Contoh Soal Relasi Rekursi 1.Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98….. •
a. an= 7n (2) , n > 1
•
b. an= 7n (1) , n > 0
•
c. an= 7n , n > 2
•
d. an = 7n (2) , n > 0
Jawab: Unuk n = 1 !aka a1 = 7 a0 a2 = 7 a1 = 7 (7 a0) = 72a0 "ari a2 = 98 !aka 98 = #9 a0 se$in%%a "i&er'le$ a0 = 2. Jika relasi rekurensi ersebu "i"erekan erus akan "i&er'le$ : a = 7 a2 = 7 (72 a0) = 7 a0 ………."an seerusna se$in%%a &enelesaian u!u! "ari relasi rekurensi "i aas a"ala$: an= 7n (2) , n > 0 ======================================================================== 2. *ikea$ui : Suau barisan c0, c1, c2, … "i"e+inisikan secara rekursi+ seba%ai beriku : Unuk se!ua bilan%an bula k 2, k = (ck-1 k) (ck-2 1) *en%an k'n"isi awal c0 = 1 "an c1 = 2. *iana : /iun%la$ c
•
.
= 90
•
3.
= 92
•
.
= 8#
•
D.
C5 = 94
4le$ karena barisan "i"e+inisikan secara rekursi+, !aka c i"ak bisa "i$iun% secara lan%sun%, ea&i $arus erlebi$ "a$ulu !en%$iun% c2, c "an c#. •
c2 = c1 2 c0 1 =
2 2.1 1 •
c= c2 c1 1 =
.2 1 •
=
= 12
c#= c # c2 1
12 #. 1
=
•
c= c# c 1 =
.12 1 = 9# Ja"i, c = 9# ======================================================================== . 5ana "ianara beriku an% !eru&akan s'lusi "ari relasi rekursi "ari : an # an-1 # an-2 = 0….. a. an(h) = (A n!" # A2 n!"2) an , an(h) = (A n # A2 ) ("2)n b. an($) = (1 n 2 ) (-2)n . c. an($) = (1 n!-1 2 n!-2) a1n , ". an($) = (1 n!-1) an($) = (1 n 2 ) (-2)n . Jawab : 6elasi rekurensi $'!'%en : an # an-1 # an-2 =0. ersa!aan karakerisikna a"ala$ a2 # a # = 0 (a 2) (a 2) = 0 kar-akar karakerisik a1 = a2 = -2 , ! = 2, 4le$ karena akar-akar karakerisikna %an"a, !aka s'lusi $'!'%enna berbenuk: an($) = (1 n!-1 2 n!-2) a1n ,an($) = (1 n 2 ) (-2)n ======================================================================== #.
Jika %a!barna i"ak !uncul "a&a !elalui link ini ======================================================================== . an = an 2 an 1 unuk n > 2 a0 = 10 "an a1 = enukan a2 "an a#. Jawab : an = an 2 an 1 a2 = a2 2 a2 1 = a0 a1 = 10 a2 = a# = a2 a = a2 = =0 ======================================================================== . enukan s'lusi $'!'%en "ari: bn 2bn-1 8bn-2 = 0; "en%an baas b0 = # < b1 =
a. (4)$n # %("2)$n b. 2(#)n 2(2)n c. 1(-#)n (2)n ". 2(-#)n 2(-2)n
Jawab: ia uba$ "ulu bn !en?a"i @ !aka @A 2@ 8 = 0 (@ #) (@ 2) @1 = # < @2 = -2 !aka an = 1a1n 2a2n = 1(#)n 2(-2)n b0 = # = 1(#)0 2(-2)0 # = 1 2 b1 = -2 = 1(#)1 2(-2)1 -2 = #1 22 r'ses eli!inasi: # = 1 2 B C2 B 8 = 21 22 -2 = #1 22 B C1 B -2 = #1 22 ("i?u!la$) DDDD- = 1 !aka 1 = 1 2 = se$in%%a an = 1a1n 2a2n = 1(#)n (-2)n ======================================================================== 7. *ikea$ui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 "en%an sara awal S0 = 1. Selesaikan unuk suku ke-n a. 2n b. #n c. n ". 2 Jawab: Sn = 2Sn-1 = 2 (2Sn-2) = 22 Sn-2 = 2 Sn- = ……… = 2nS0 = 2n ======================================================================== 8. an an-1 2an-2 = n 2 *ikea$ui : a = , a # = enukan : a = E &a'a 0 = 1 = - 2 = 2 =2 F(n) = n2
Jika %a!barna i"ak !uncul "a&a !elalui link ini ======================================================================== 9. bn = bn 2 2bn - b = 8, b# = . enukan b7 0 = 1, 1 = -1, 2 = -2, = 2, +(n) = 0 b = 8, b# = b7 = -1G1 ((-1) bn 2 (-2)b7 +(n)) = -1G1 ((-1) b7 2 (-2) b7 +(n)) = -1 ((-1)(8) (-1)() 0) = -1 (-8) (-7) = -1(-1) = 1 ======================================================================== 10. enukan s'lusi $'!'%en "ari relasi rekurensi b n bn-1 bn-2 = 0 "en%an k'n"isi baas b0 = 0 , b 1 = 1 en*elesaian + 6elasi rekurensi ersebu a"ala$ relasi rekurensi $'!'%en, karena +(n)=0. ersa!aan karakerisik "ari relasi rekursi bn bn-1 bn-2 = 0 a"ala$ a 2 a = 0 aau (a ) (a 2) = 0 $in%%a "i&er'le$ akar-akar karakerisik a1 = - "an a2 = 2. 4le$ karena akar-akar karakerisikna berbe"a, !aka s'lusi $'!'%enna berbenuk b n($) = 1a1n 2 a2n H bn($) = 1 (-)n 2 . 2n. Se$in%%a s'lusi $'!'%en "ari relasi rekursi ersebu a"ala$ b n($) = (-)n 2n
2. Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi dari : an + 4 an-1 + 4 an-2 = 2n . •
1n , an(h) = (1 n + 2 ) (-2)n .αan(h) = (1 nm-1 + 2 nm-2)
•
an(h) = (1 n + 2 ) (-2)n .
•
1n ,αan(h) = (1 nm-1 + 2 nm-2)
•
an(h) = (1 nm-1) an(h) = (1 n + 2 ) (-2)n . 1n , an(h) = (1 n + 2 ) (-2)n α !a"aban : an(h) = (1 nm-1 + 2 nm-2) pembahasan : #elasi rekurensi homogen : an + 4 an-1 + 4 an-2 =$. %ersamaan karakteristiknya adalah + 4 = $α2 + 4
α
+ 2) = $α+ 2) (α( hingga diperoleh akar-akar karakteristik 2 = -2 , m = 2,α1 = α &leh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk 1n ,an(h) = (1 n + 2 ) (-2)n .αan(h) = (1 nm-1 + 2 nm-2) '.
ika diketahui anoi *o"er memiliki akram berapakah langkah paling singkat untuk menyelesaika n permainan tersebut (engan menggunakan rumus (2n / 1) dimana n adalah banyakny akram).
•
10 ara
•
04 ara
•
'2 ara
•
ara !a"aban : '2 ara pembahasan :
akram = 2 , adi !a"abannya 2 = '2 ()
4. iketahui relasi rekurensi 3n = 23n-1 dengan syarat a"al 3$ = 1. 3elesaikan untuk suku ke-n •
2n
•
4n
•
n
•
2 !a"aban : 2n pembahasan : %enyelesaian engan iterasi diperoleh: 3n = 23n-1 = 2 (23n-2) = 2%angkat2 3n-2 = 2pangkat'3n-' = 555 = 2n3$ = 2n .
6erapa banyak kah bilangan 7ibonai antara 1$ sampai dengan 1$$
•
8$
•
8
•
•
1$ !a"aban : pembahasan : bah"a bilangan 7ibonai yang terletak antara 1$ hingga 1$$ adalah sebanyak (lima) buah, yaitu suku ke-0 (1'), suku ke-9 (21), suku ke- ('4), suku ke-8 (), dan suku ke-1$ (8). engan demikian, !a"abannya adalah () . (tergantung table) 0.
engan mengambil satu harga n kemudian anda men!umlahkan bilangan-bilangan tsb mulai dari 1 s.d. n maka berapakah n terkeil agar !umlah itu ; 1$
•
8
•
1$
•
11
•
1 !a"aban : 1$ pembahasan : apat kita ketahui bah"a nilai n terkeil agar !umlah seluruh bilangan 7ibonai dari 1 hingga n ; 1$ adalah sebesar 1$ (n=1$), yang akan menghasilkan !umlah sebesar 2'1 (diperoleh dari = 1 + 2 + ' + + + 1' + 21 + '4 + + 8, yang merupakan bilangan
