COMPARATIVO COMPARATIVO DEL METODO DE KARMARKAR Y EL METODO SIMPLEX PARA RESOLVER PL OPTIMIZACION LINEAL José Alexander Vargas Aguirre Código 79.648.227 Universidad Manuela Beltrán Octubre 21 de 2011.
RESUMEN. La búsqueda de una solución óptima en un modelo de programación lineal ha llevado que a través del tiempo que se hayan generado varios métodos de resolución de un PL. PL. Lo que se busca busca con este comparativo es dar una visión de dos métodos, mostrando los principios y de desarrollo de estos. Palabras Claves: Algoritmo, PL, Modelo, Algoritmo, Métodos
1. INTRODUCCION La programación lineal es una herramienta que permite resolver problemas de gran complejidad, donde se involucran elementos tales como los algoritmos, métodos matemáticos, y programas computacionales todo esto para determinar la solución óptima. Ahora se visualizaran dos métodos para resolver un PL, como lo son el método Karmarkar o Algoritmo de punto interior y el Método Simplex.
1. METODO SIMPLEX
Para convertir una desigualdad >= se agrega una variable de holgura restando y una variable artificial sumando. Todas las restricciones del lado derecho son no negativas.
1.1 Puntos a tener en cuenta en desarrollo del método simplex Si en el tablero simplex de la solución óptima queda al menos una variable de Súper avit ó artificial dentro de las variables básicas, con un valor > 0 , el problema no tiene solución, esto quiere decir que al menos existen dos restricciones excluyentes, por lo tanto no existe área de soluciones factible y menos una solución , en éste caso se debe revisar la formulación del problema. Si al escoger la variable que sale, ninguna de las variables básicas restringe el crecimiento de la variable no básica escogida para entrar, el problema tiene solución indeterminada y se debe revisar la formulación en busca de una nueva restricción que no se tuvo tuv o en cuenta en la formulación inicial. Si en el tablero simplex del óptimo, al menos una de las variables no básicas tiene coeficiente cero (0) en la función objetivo, esto es su Zj Cj = 0, el problema tiene múltiples ii soluciones y se nos está ofreciendo una de ellas. –
Indica que la solución óptima lineal siempre está asociada con un punto esquina del espacio de soluciones. La Transición de la solución del punto esquina geométrico hasta el método simplex implica un procedimiento de computo que determina en forma algebraica los puntos esquina. Esto se logra convirtiendo primero a todas las restricciones de desigualdad en ecuaciones, para resolver resolver estas en forma sistemática.
Este se resuelve basándose en la eliminación gaussiana con pivoteo.
Este resuelve la programación lineal en iteraciones. Donde cada una desplaza la solución a un nuevo punto que tiene la posibilidad de mejorar el valor de la función objetivo. Y este i termina cuando se haya la solución óptima. Las restricciones del problema se convierten en ecuación de acuerdo a las reglas de estandarización del modelo así:
Figura No 1 Ejemplo de Estandarización.
Para convertir una desigualdad <= se agrega una variable de holgura.
2. METODO KARMARKAR Es un algoritmo de tipo Polinómico, se utiliza una transformación de la geometría proyectiva para crear un conjunto de variables transformadas y1,y2 yn. Esta transformación llamémosla f .transforma siempre el punto actual en el centro de la región factible en el espacio definido por las transformadas. Si la transformación se convierte en al punto x en el punto y, se escribe f(x) = y. En el espacio transformado, el algoritmo empieza con el desplazamiento desde f(x^0) en una buena dirección que tiende a mejorar z y iii conserva la factibilidad del PL. …
Por otro lado una ventaja de los algoritmos de punto interior es que los problemas grandes no requieren muchas más iteraciones que los problemas pequeños. Por ejemplo un problema con 10000 restricciones funcionales tal vez requiera menos de 10 iteraciones. Aun considerando el tiempo sustancial de computadora necesario por iteración para un problema de este tamaño, hace que el problema sea mucho más manejable. Por el contrario el método simplex puede requerir 20.000 iteraciones con lo que puede no terminar en un tiempo razonable. Una última comparación importante se refiere a la habilidad de realizar distintos tipos de análisis posóptimo. El método simplex y sus extensiones son muy adecuados y sus uso es muy extenso para este tipo de análisis. En cambio el algoritmo de punto interior tiene una capacidad muy limitada en iv esta área. Sin embargo se puede establecer una forma de combinar estos dos métodos para mejorar las deficiencias del uno y del otro.
4 CONCLUSIONES Karmarkar es un algoritmo de tiempo de polinomio, Ahora si un PL del tamaño n se resuelve mediante este, entonces existen los números positivos a y b tales que para cualquier n se puede resolver un PL de tamaño n en un tiempo an^b. En contraste con el método de Karmarkar el método simplex es un algoritmo de tiempo exponencial para resolver los PL .Si un PL de tamaño n se resuelve mediante simplex entonces existe un número positivo c, tal que, para cualquier n encontrara la solución optima en un tiempo c2^n. Para n suficientemente grande c2^n > an^b. Así que en teoría un algoritmo de tiempo de polinomio es superior a un v algoritmo de tiempo exponencial. Figura No 2 La Curva de (1,2) a (2,6) muestra una trayectoria típica, seguida por un algoritmo de punto interior, a través de la región factible 3. COMPARACION PUNTO INTERIOR SIMPLEX. Una Manera significativa de comparar los algoritmos de punto interior con el método simplex es examinar sus propiedades teóricas en cuanto a la complejidad computacional. Karmarkar demostró que la versión original de su algoritmo es un algoritmo de tiempo polinómial; esto se traduce en el tiempo en el que tarda en resolver un problema. Los dos factores básicos para determinar el desempeño de un algoritmo para un problema real son el tiempo promedio de computadora por iteración y el número de interacciones. Los Algoritmos de punto interior son mucho más complejos que el método simplex, se requieren muchos más cálculos en cada iteración para encontrar la siguiente solución prueba. Para problemas bastante pequeños, el número de iteraciones requeridas por un algoritmo de punto interior y por el método simplex tiende a ser comparable.
Dicho lo anterior de otra forma que para resolver problemas grandes, la cantidad de iteraciones necesarias para vi legar a la solución óptima puede crecer en forma exponencial. 5. BIBLIOGRAFIA
i
HAMDY A TAHA, Investigación de Operaciones, 7ma Edición, Pág. 71-85. ii FRANCISCO CHEDIAK, Investigación de Operaciones. iii HILLIER - LIBERMAN, Investigación de Operaciones, 7ma Edición, Pág.164. iv HILLIER - LIBERMAN, Investigación de Operaciones, 7ma Edición, Pág.165. v Wayne L Winston, Investigación de Operaciones, 7ma Edición, Pág. 309-315. vi HAMDY A TAHA, Investigación de Operaciones, 7ma Edición, Pág. 332.
