Cobac Matemáticas II Ok

MATEMÁTICAS II Guía de Estudio EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Lic. María Bibiana Arias Hernández

“EDUCACIÓN DE CALIDAD PARA TODOS”

Colegio de Bachilleres de Coahuila Sistema de Enseñanza Abierta

COLEGIO DE BACHILLERES DE COAHUILA SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA Matemáticas II

PRÓLOGO El Colegio de Bachilleres de Coahuila cumple con la misión que le fue asignada desde su fundación en el año de 2007; enfocada a impartir educación de calidad en el nivel Medio Superior, ofertando un servicio educativo en sus diferentes modalidades que permita el desarrollo integral de los estudiantes, con un enfoque humanista, propedéutico y de formación para el trabajo, fomentando los valores universales, las actividades académicas, deportivas, sociales y culturales y creando una conciencia analítica que le permita adoptar una actitud responsable ante la sociedad, consolidándose como una de las mejores opciones educativas del Estado. En el Sistema de Enseñanza Abierta opción de educación mixta que ofrece una educación semipresencial, mediante los servicios de Asesores de Contenido y los materiales didácticos incluidos en sus guías pedagógicas; implementa la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) 2009 que contiene estrategias de enseñanza basadas en el aprendizaje con alumnos que que trabajan a su propio ritmo, tienen su propio modo personal de demostrar sus conocimientos y mediante el desarrollo de competencias amplían sus habilidades y mejoran sus actitudes para que se movilicen de forma integral en contextos específicos. Es un orgullo para el COBACH la implementación de la RIEMS con el desarrollo de 32 guías de Componente de Formación Básica; 24 guías del Componente de Formación Propedéutica y 13 del Componente de Formación para el Trabajo, realizadas en equipo por los Asesores del Contenido de los SEAS de Chihuahua y Cd. Juárez y la colaboración de Docentes de la Institución.

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PRÓLOGO El Colegio de Bachilleres de Coahuila cumple con la misión que le fue asignada desde su fundación en el año de 2007; enfocada a impartir educación de calidad en el nivel Medio Superior, ofertando un servicio educativo en sus diferentes modalidades que permita el desarrollo integral de los estudiantes, con un enfoque humanista, propedéutico y de formación para el trabajo, fomentando los valores universales, las actividades académicas, deportivas, sociales y culturales y creando una conciencia analítica que le permita adoptar una actitud responsable ante la sociedad, consolidándose como una de las mejores opciones educativas del Estado. En el Sistema de Enseñanza Abierta opción de educación mixta que ofrece una educación semipresencial, mediante los servicios de Asesores de Contenido y los materiales didácticos incluidos en sus guías pedagógicas; implementa la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) 2009 que contiene estrategias de enseñanza basadas en el aprendizaje con alumnos que que trabajan a su propio ritmo, tienen su propio modo personal de demostrar sus conocimientos y mediante el desarrollo de competencias amplían sus habilidades y mejoran sus actitudes para que se movilicen de forma integral en contextos específicos. Es un orgullo para el COBACH la implementación de la RIEMS con el desarrollo de 32 guías de Componente de Formación Básica; 24 guías del Componente de Formación Propedéutica y 13 del Componente de Formación para el Trabajo, realizadas en equipo por los Asesores del Contenido de los SEAS de Chihuahua y Cd. Juárez y la colaboración de Docentes de la Institución.

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ÍNDICE

PÁGINA

PRESENTACIÓN……………………………………………………………………………... 3 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………… 3 SABERES DEL MODULO I UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS …………………..… 16 SABERES DEL MODULO II COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ……………………………..…… 36 SABERES DEL MODULO III RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS…………………………………………………………..……………… .……... 43 SABERES DEL MODULO IV RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS ………………………….…. 56 SABERES DEL MODULO V EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA…………………………………………………………… 6 8

SABERES DEL MODULO VI DESCRIBE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ………………………………..…... 76 SABERES DEL MODULO VII APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS………………………………………… 97 SABERES DEL MODULO VIII APLICA LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS…………………………………... 133 SABERES DEL MODULO IX APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL…………………………………………….…… 146 SABERES DEL MODULO X EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALE S DE PROBABILIDAD…………….…… 1 67 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………… 183

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PRESENTACIÓN El propósito fundamental de esta guía pedagógica es que sea un instrumento que proporcione a los alumnos el apoyo para el aprendizaje del curso de Matemáticas II, su estructura y diseño es una estrategia didáctica encaminada para que el alumno adquiera conocimientos significativos que produzcan cambios de organización permanentes en su estructura cognoscitiva, desarrollando competencias y habilidades que tienen que ver con su formación durante la educación media superior a través del Sistema de enseñanza abierta, lo cual implica formas de trabajo, como el auto didactismo y la autogestión, necesarios dentro de un modelo por competencias.

INTRODUCCIÓN La asignatura de Matemáticas II introduce al alumno en el estudio de la geometría y la trigonometría. Su importancia teórica reside en que estas ramas de la matemática posibilitan visualizar y analizar geométricamente los problemas que se presentan a los estudiantes en su entorno, así como la construcción de modelos matemáticos para su estudio. El núcleo central del curso está destinado al estudio de la Geometría Euclidiana, que ayuda al alumno a percibir y describir los objetos y sus partes de acuerdo a sus formas, dimensiones y propiedades; contribuye a favorecer un pensamiento reflexivo cuando el alumno en un primer momento, identifica propiedades y relaciones que puede enunciar en proporciones generales, construye y proporciona argumentos que validen dichas proposiciones y, finalmente, establece relaciones lógicas entre ellas, sin llegar necesariamente a un rigor axiomático, propio de estudios más especializados. Es así que, desde el punto de vista práctico, la geometría y la trigonometría proporcionan al alumno un instrumento útil para estudiar diversas situaciones o fenómenos desde una o ambas perspectivas, según la información disponible y la conveniencia de tales representaciones.

De esta forma, su

inclusión en el segundo semestre del plan de estudios del bachillerato general, posibilita que el estudiante aplique dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de física I y en el estudio de la geometría analítica del tercer semestre, así como del cálculo diferencial e integral, del V y VI semestres.

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Por tratarse del nivel medio superior, estos temas se centran en el manejo de las propiedades básicas que permitan la graficación, modelación y resolución de problemas de situaciones de la ciencia, la vida diaria y del ambiente laboral que asocian las propiedades mencionadas. Su ubicación y relación esquemática de la asignatura es la siguiente:

FÍSICA

MATEMÁTICAS I

QUÍMICA

MATEMÁTICAS II

CIENCIAS SOCIALES

MATEMÁTICAS III

BIOLOGÍA

Los saberes de Geometría que serán abordados en el curso de matemáticas II están organizados en los módulos 1 y 2 que comprenden los temas de ángulos, triángulos, polígonos y circunferencia respectivamente; correspondientes a la geometría plana y para su estudio se utilizaran estrate gias que posibilitan una enseñanza menos rigurosa, es decir, no axiomática y los de trigonometría están organizados en los módulos 3 y 4 que comprenden los temas de funciones trigonométricas, las leyes de senos y cosenos respectivamente, y para su estudio, se utilizaran tanto el circulo unitario como las coordenadas cartesianas rectangulares. Es importante destacar que la asignatura de Matemáticas II contribuye ampliamente al desarrollo de estas competencias cuando: 4


El alumno se expresa y comunica -

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o graficas.

-

Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

El alumno piensa crítica y reflexivamente - Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, y comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objeto. -

Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones

-

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

El alumno aprende de forma autónoma - Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento. -

Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

La metodología propuesta para su enseñanza se centra en propiciar que el alumno acceda a la comprensión y dominio de los conocimientos en forma gradual y paulatina, mediante aproximaciones cada vez más generales y comprensivas, a partir de su propia actividad sobre el objeto de estudio. La estrategia didáctica

va de la aplicación práctica de conceptos, técnicas y métodos de la

Geometría y la Trigonometría, alternando con el dominio de algoritmos, hasta la reflexión y comprensión teórica de los contenidos.

Lo anterior implica que, en vez de iniciar el estudio de

cada tema con las deducciones habituales de formulas (que en ocasiones incluyen conceptualizaciones teóricas), la ejercitación algorítmica correspondiente se realice de la siguiente manera: 1) Ejercitar el uso básico de las técnicas y métodos de cada apartado, alternando con la resolución de problemas prácticos donde se utilicen dichos contenidos. 2) Presentar los principios, conceptos y formulas de cada tema, como hechos matemáticos (sin demostración alguna).

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El tratamiento didáctico evidencia y equilibra los aspectos teórico funcional de la matemática (en una rama cuya utilidad está reconocida mayormente como teórica-instrumental al interior de esta ciencia) y concede un papel importante a la resolución de problemas como elemento de motivación y medio de aprendizaje para el alumno. De esta forma, para que el estudiante se sienta atraído hacia el estudio de los contenidos de esta asignatura se deberá promover que tenga un sentido y significados cercanos a su experiencia, es decir relativos a situaciones de su entorno o de campos del saber accesibles a su nivel de madurez personal y de desarrollo cognitivo.

Se abordaran así, problemas del medio circundante

(económicos, sociales, ambientales, demográficos, etc.) y de diferentes campos del saber, que proporcionen el desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo (en el ámbito matemático y en contexto social) así como una actuación comprometida del alumno.

ACTIVIDADES A DESARROLLAR 1. Actividad previa: Es la actividad que permite conocer que conoces del curso antes de iniciar con el desarrollo de las actividades del mismo.

Te permite comparar el conocimiento antes

y después del curso. 2. Actividad de indagación: Este tipo de actividad te orienta sobre la forma en la que buscaras la información requerida para comprender el curso, así como el texto de lectura en que te apoyaras. 3. Actividad de análisis y reflexión: En esta actividad te apoyaras de algunos indicadores o preguntas para acercarte al conocimiento de cada modulo.

Para ello utilizaras materiales de

apoyo que se te proporcionan en este documento. 4. Actividad de aplicación del conocimiento: El profesor te facilitara una serie de recursos que te permitirán resolver problemas, analizar una situación real, etc. utilizaras el conocimiento aprendido.

En los cuales

Esta actividad es muy importante ya que te permite

utilizar el conocimiento en situaciones reales. 6


5. Actividad de integración: En esta actividad podrás integrar lo aprendido en cada modulo de forma escrita (documento solicitado) u oral (entrevista con el profesor) en la que expliques el epitome desarrollado, es decir, expliques lo aprendido con argumentos teórico-prácticos. 6. Actividades de apoyo:

Esta actividad será desarrollada cuando el profesor indique que

necesitas apoyo para comprender mejor el contenido del curso de acuerdo a los resultados de la actividad de aplicación del conocimiento y de integración.

La Educación Abierta en la formación del Sistema de Colegio de Bachilleres El proyecto educativo del Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua, tiene como propósito fundamental y prioritario, preparar generaciones de jóvenes que al egresar, posean los conocimientos, las habilidades y las competencias necesarias para ingresar a las instituciones de Educación Superior que satisfagan sus aspiraciones personales y perfiles profesionales y/o vocacionales. En consecuencia, una exitosa incorporación social, laboral y ética a la sociedad que exigirá de el o de ella, propuestas viables, efectivas e inteligentes tendientes a resolver las problemáticas que seguramente enfrentaran en su etapa futura de vida. Es misión del Colegio de Bachilleres formar ciudadanos competentes para realizar actividades propias de su momento y condición científica, tecnológica, histórica, social, económica, política y filosófica con un nivel de dominio que les permita movilizar y utilizar, de manera integral y satisfactoria, conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes, pertenecientes a las ciencias naturales, las ciencias sociales y a las humanidades. El propósito general del SEA es ofrecer a sus alumnos la alternativa que les permita, tanto, iniciar, continuar, como concluir estudios de educación media superior (bachillerato) para que puedan acceder a estudios de educación superior y/o su incorporación al trabajo productivo. En síntesis, el Bachillerato General es un tipo de educación formal dentro del nivel medio superior que prepara al estudiante para incorporarse de manera eficiente a la vida social, a los estudios superiores y al ámbito productivo en caso de ser necesario. Para ello brinda una educación integral que trasciende la transmisión de conocimientos y hace participes activos del proceso educativo a los protagonistas principales: el educando y el profesor.

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Características de la educación abierta Estimado alumno, cuando leas este texto, estarás en posibilidades de reconocer la calidad de un material cuidadosamente estructurado. El diseño y presentación de los contenidos que encontraras en esta Guía Pedagógica, son producto de la gran labor realizada por los Asesores de Contenido del Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua. En ella, seguramente observaras temas que, además de interesantes, están debidamente planeados para convertirse en la guía eficaz que mediante su diseño, te darán la sensación que estas escuchando a un (a) maestro (a) y no, que estas frente a un texto escrito. Sin embargo, debes reconocer que este documento, el cual, sin lugar a dudas, utilizaras en innumerables ocasiones, lugares y circunstancias, es un digno ejemplo de organización tutorial. A partir de este momento y hasta aquel en que tu esfuerzo rinda frutos, eres participe de un modelo educativo singular que responderá a tus necesidades de formación y cultura: ¡Bienvenido al Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua! Esta estrategia educativa o modalidad de enseñanza que generalmente conocemos como enseñanza abierta, está caracterizada, principalmente, porque exige del alumno el aprendizaje autodidacta, generalmente, realizado a distancia ¿Qué significa esto? Que has ingresado a un modelo educativo en donde la presencia del (la) maestro (a), no es el rasgo típico de interacción como en una escuela presencial o tradicional. Ahora, como alumno del SEA, en lugar de escuchar y participar en sesiones de trabajo “cara a cara” con los docentes de las diferentes asignatu ras, tendrás que familiarizarte, adaptarte e

involucrarte activamente en un modo especial de trabajo, cuya estructura y organización te presentara los contenidos de manera que sean aprendibles a distancia. Es decir, las informaciones y los conocimientos relativos al plan de estudios. Utilizaran para su transmisión diferentes vías y/o canales de comunicación que no requieren una relación de contigüidad presencial alumno-maestroaula. Entonces, si las relaciones entre maestros y alumnos cambian, es evidente que los roles de los maestros y los tuyos, propios, también cambiaran; surgirán, pues, entre ustedes, nuevas actitudes y nuevos enfoques metodológicos.

Luego, encontraras un curso altamente autoinstructivo y

totalmente accesible para ti, alumno, aun sin el apoyo d irecto de los docentes.

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Participaras en un modelo pedagógico flexible en donde la actividad educativa estará centrada, principalmente, en tu aprendizaje individual e independiente que, desde luego, estará firmemente sustentado y respaldado en una eficiente organización de apoyo-tutoría. La forma de estudio no guiada y/o controlada directamente por el mentor que caracteriza al SEA, sin embargo, estamos seguros, promoverá en tu personalidad: el desarrollo de habilidades para el trabajo independiente y para un esfuerzo autorresponsable.

Favorecerá, además, un proceso de

aprendizaje más personalizado que garantice una secuencia didáctica, a fin a tu ritmo y estilos de aprendizaje. Para concluir este apartado, te preguntamos: ¿Estás listo para el arranque? ¿Dónde estudiar? ¿Cómo estudiar? y ¿A qué velocidad aprender? La respuesta…No la queremos ahora…El tiempo la dará de acuerdo con las metas que te fijes, los objetivos que te propongas y tus firmes deseos de concluir esta importantísima etapa de tu formación.

Papel del profesor El Asesor de Contenido desempeñara funciones de asesoría de apoyo al aprendizaje de los estudiantes del Sistema de Enseñanza Abierta.

El titular de este puesto es responsable de

proporcionar al alumnado los conocimientos necesarios de la materia asignada mediante asesorías individuales para el desarrollo y el cumplimiento de los programas. Asimismo, explica, aclara y desarrolla prácticas; simultáneamente, promueve y da seguimiento al avance académico de los estudiantes y contribuye en el logro de los objetivos de cada una de las asignaturas que conforman las diferentes áreas del plan de estudios de la Institución. Para el desempeño eficiente de su labor, el Asesor de Contenido, precisa una planificación cuidadosa para la utilización de recursos necesarios a la metodología flexible del SEA, que no cuenta con la relación “cara a cara” entre profesores y alumnos.

Mediante sus acciones, el Asesor de Contenido, potencia el trabajo independiente y por ello, la individualización y personalización del aprendizaje, que se adapta, en la medida de las posibilidades, al ritmo, forma y estilo de cada uno de los estudiantes. A manera de conclusión, la labor primordial del Asesor de Contenido puede resumirse de la siguiente manera: Proporcionar orientación accesible y sistemas de apoyo instruccional para el estudiante. Además, es imprescindible señalar que dentro de sus funciones generales y especificas 9


esta: Llevar un registro de seguimiento de asesorías previa a la evaluación.

Elaborar los

instrumentos de evaluación del aprendizaje requeridos para atender a los estudiantes durante su proceso de estudio.

Evaluar los resultados del auto aprendizaje por medio de la aplicación de

exámenes.

Papel del alumno El estudiante realiza la mayor parte de su aprendizaje por medio de materiales didácticos previamente preparados.

En el caso particular del SEA, el material, habitualmente, se presenta

como Guías de Estudio, estructuradas en módulos de aprendizaje. Así, el estudiante es el centro del proceso de aprendizaje; es un sujeto activo en busca de su propia formación; aprende sin la presión del grupo, según su estilo y método singular, motivado y guiado por los propios materiales y la orientación del (las) Asesor (as) de Contenido. Mediante la metodología de enseñanza-aprendizaje característica del SEA, el alumno adquiere actitudes, intereses y valores que le facilitan los mecanismos precisos para regirse a si mismo, lo que le llevara a responsabilizarse en un aprendizaje permanente.

Con la guía del profesor o tutor, el

estudiante descubrirá, interpretara y analizara sus propios objetivos; con ello, transitara hacia la consecución de aprendizajes independientes y flexibles. El alumno es el responsable exclusivo del ritmo y realización de sus estudios.

Es un sujeto

protagonista de su propio aprendizaje, gracias al uso sistemático de materiales educativos, reforzado con diferentes medios y formas de comunicación. El alumno de un modelo de enseñanza abierta se involucra en un proyecto personal: transformándose de escuchadores pasivos a activos gestores de su propio proyecto de autoformación.

El aprendizaje individual de este, puede perfectamente desarrollarse fuera de las

aulas, en el mismo hogar, etc. En relación con la cantidad de contacto directo con los profesores, este es determinado por la decisión y necesidad del alumno.

Sin embargo, es importante

puntualizar que de acuerdo con el Reglamento interior de Alumnos del Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua, el alumno del SEA deberá acudir cuando menos a una sesión de asesoría por asignatura para tener derecho a examen.

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Las aportaciones del curso a la formación del estudiante del SEA Ofrecer una oportunidad de formación adaptada a las exigencias actuales a quienes, como tu, no pudieron iniciar o concluir su formación anterior. El material didáctico se estructura de manera que posibilita la autoevaluación con lo que de motivador tiene conocer con inmediatez los procesos del propio aprendizaje.

COMPETENCIAS GENÉRICAS Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desarrollar al permitirle a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en el, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc.; Estas competencias junto con las disciplinares básicas construyen el perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a si mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 11


10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencia, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones respetables.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS

Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas II 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o Formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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Módulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

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x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

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x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

x


SABERES DE LA GUÍA SABERES DEL MÓDULO I UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS. 1.1 Clasifica los ángulos: a) Por la posición de sus lados: Opuestos por el vértice. Adyacentes. Formados por dos rectas secantes o dos paralelas cortadas por una transversal. b) Por la suma de sus medidas Suplementarios. Complementarios. 1.2 Define y clasifica los triángulos por: la medida de sus lados y de sus ángulos. SABERES DEL MÓDULO II COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. 2.1 Enuncia los criterios de congruencia de triángulos: - LAL - LLL - ALA 2.2 Comprende la relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes. SABERES DEL MÓDULO III RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS. 3.1 Identifica las características de triángulos semejantes. 3.2 Enuncia y comprende los criterios de semejanza de triángulos: - AA - Tres lados proporcionales - Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. 3.3 Enuncia y comprende el teorema de Tales. 3.4 Enuncia y comprende el teorema de Pitágoras. 3.5 Describe relaciones de proporcionalidad entre catetos e hipotenusa al trazar la altura sobre ésta. SABERES DEL MÓDULO IV RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS. 4.1 Clasifica polígonos. - Regulares e irregulares - Cóncavos y convexos. Reconoce las propiedades y elementos de los polígonos - Radio - Apotema - Diagonales - Numero de diagonales desde un vértice y de diagonales totales. Reconoce las relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares: - Central 



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- Interior - Exterior - Suma de ángulos centrales. - Suma de ángulos interiores. - Suma de ángulos exteriores.

SABERES DEL MÓDULO V EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA 5.1 Describe las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia: - Radio - Diámetro - Cuerda - Arco - Tangentes - Secantes 5.2 Identifica las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia: - Central - Inscrito - Semi inscrito SABERES DEL MÓDULO VI DESCRIBE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. 6.1 Identifica diferentes unidades de medida de ángulos y describe las diferencias conceptuales entre ellas. - Angulares - Circulares 6.2 Define y describe las funciones trigonométricas directas y reciprocas de ángulos agudos. 6.3 Caracteriza los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45°, 60° y en general múltiplos de 15°, utilizando triángulos. SABERES DEL MÓDULO VII APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 7.1 Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. 7.2 Ubica el ángulo de referencia para ángulos situados en los cuadrantes II, III y IV. 7.3 Reconoce las funciones trigonométricas en circulo unitario como funciones de un segmento. 7.4 Distingue el comportamiento grafico de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

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SABERES DEL MÓDULO VIII APLICA LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS 8.1 Identifica las leyes de senos y cosenos así como los elementos necesarios para la aplicación de una u otra. SABERES DEL MÓDULO IX APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL 9.1 Identifica las medidas de tendencia central. - Media - Mediana - Moda 9.2 Describe las características de las medidas de tendencia central. 9.3 Identifica las medidas de dispersión. - Rango - Varianza - Desviación típica para datos agrupados por clases 9.4 Ubica las características de las medidas de tendencia central. SABERES DEL MÓDULO X EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD 10.1 Distingue entre eventos deterministas y aleatorios. 10.2 Describe el espacio muestral de diversos tipos de eventos. 10.3 Define la probabilidad clásica de un evento aleatorio. 10.4 Define y describe la probabilidad de eventos compuestos por medio de las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades.

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MÓDULO I UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS. UNIDADES DE COMPETENCIA - Construye e interpreta modelos geométricos de ángulos y triángulos, al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. -

Cuantifica y representa magnitudes angulares y de longitud en ángulos y triángulos identificados en situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

-

Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de ángulos y triángulos.

UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS

Clasifica los ángulos

Define y clasifica los triángulos por: La medida de sus lados y de sus ángulos

a) Por la posición de sus lados

Opuestos por el vértice Adyacentes

Formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal b) Por la suma de sus medidas

Suplementarios

Complementarios

SABERES DEL MÓDULO I UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS. 1.1 Clasifica los ángulos: a) Por la posición de sus lados: Opuestos por el vértice Adyacentes Formados por dos rectas secantes o dos paralelas cortadas por una transversal

b) Por la suma de sus medidas Suplementarios Complementarios

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1.2 Define y clasifica los triángulos por: la medida de sus lados y de sus ángulos.

ACTIVIDADES A DESARROLLAR ACTIVIDAD PREVIA 1.- Mide con el transportador los siguientes ángulos y escribe su medida en las líneas de la parte de abajo. C

B

P

A

CBA  _______

B

N

 B  ______

M

A

 PNM  ______

 A  _____

2.- Escribe sobre la línea el nombre que le corresponde a cada ángulo. (recto, llano, agudo, obtuso, de una vuelta o entrante).

_________

_________

________

________

________

_________

3.- ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un triangulo? ________ 4.- Escribe sobre la línea el nombre que corresponde a cada triangulo (escaleno, isósceles o equilátero).

__________

___________

_____________

Después de responder esta actividad muéstrala a tu asesor.

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ACTIVIDAD DE INDAGACIÓN 1.- Investiga ¿Qué es un ángulo?______________________________________________________ 2.- ¿Cómo se nombra un ángulo? _____________________________________________________ 3.- ¿Cómo puedes medir un ángulo? __________________________________________________ Semirrecta o rayo: Es una línea que tiene principio pero no tiene fin. Angulo: Es la abertura que forman en un plano 2 semirrectas unidas en un punto llamado vértice cuando una de ellas tiende a girar sobre uno de sus extremos.

lado terminal vértice

ángulo

lado inicial semirrecta

ACTIVIDAD DE ANÁLISIS Y REFLEXIÓN Podemos nombrar un ángulo de tres maneras: 1) Con el símbolo (  ) y la letra mayúscula o numero que representa su vértice.  A

A

2) Con el símbolo (  ) y 3 letras mayúsculas las 2 letras de los extremos representan los lados y la de en medio al vértice. A  ABC

B

C

3) Con los símbolos α, β, φ, γ, θ, etc. β

β

Nombra con tres letras cada uno de los ángulos citados. A 5

= _____ _____

2 6

4

1 =

__________

2 =

__________

3 =

__________

= __________

1

3

B

5

6

4 =

C D 18

__________


Medición de los ángulos. El instrumento que se emplea para la medición de ángulos es el transportador. Antes de usar un transportador, es indispensable localizar su centro. Este se encuentra en el punto medio de la recta o diámetro que va del 0° a 180°. 1) Para medir un ángulo cualquiera, se coloca el centro del transportador en el vértice del ángulo; y que el lado inicial pase por 0º para que la medida del ángulo sea exacta se puede prolongar el lado inicial del ángulo hacia la izquierda y que este coincida con los 180° del lado izquierdo del transportador como se muestra en la figura.

prolongacion

lado inicial vértice

2) Se lee sobre la semicircunferencia del transportador de derecha a izquierda la medida por la que pasa el otro lado del ángulo (lado terminal) como se muestra en la figura. lado terminal

El angulo mide 60° Utiliza el transportador y mide los ángulos que se te indican

E

D

F

G

 ABC

= _______  ABF = _______  ABD = _______  ABE = _______  ABG = _______

C

B

A

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ACTIVIDAD DE INTEGRACIÓN 1.- Mide con transportador los siguientes ángulos y escribe su medida en las líneas de la siguiente pagina.

C

B

A

C

B B

D

P

N

M

O

A

C

B D A

D

O

B

D = ________ AOB = _______ B = _______

BOD = _________ C = _______ MNP = ______

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A = ________ CBA = ______ DCB = ______


B 2.- Con base en la figura contesta:

A

1 D

2 C

a) ¿Por que al  ABD lo podemos llamar  B? _____________________________ b) ¿Cuáles otros nombres puedes utilizar para identificar el  BCD? _____________ ________________________________________________________________ c) El  1, puede ser llamado  B. si____ no____ ¿Por qué? ___________________ ________________________________________________________________ d) Nombra el vértice del  1. ___________________________________________ e) ¿Cuáles son los lados del  2? _______________________________________ f) ¿Qué otros nombres puedes darle al  2? _______________________________

ACTIVIDAD DE INDAGACIÓN 1.- Investiga ¿Cuál es la clasificación de los ángulos?

2.- ¿Cuáles son los ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal?

1.1 Clasifica los ángulos. Por sus medidas: Angulo agudo: Es un ángulo mayor que 0º y menor que 90º Angulo recto: Es un ángulo que mide 90º exactamente. Angulo obtuso: Es un ángulo mayor que 90º y menor que 180º Angulo llano: Es un ángulo que mide 180º Angulo de una vuelta: Es un ángulo que mide 360º Angulo entrante: Es un ángulo mayor que 180° y menor que 360°

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ACTIVIDAD DE ANÁLISIS Y REFLEXIÓN 1.- Realiza lo que se te pide.

A es un ángulo agudo Mide el  ABC = ________  ABC

B

C

A es un ángulo recto  AOB = 90º  AOB

O

B

A es un ángulo obtuso Mide el  ABC = ________

 ABC

B un ángulo llano  A = 180º

C

 A es

un ángulo de una vuelta C = 360º

A

C es

C D

es un ángulo entrante Mide el = __________ 2.- Mide y escribe sobre la línea el nombre que le corresponde a cada ángulo. (recto, llano, agudo, obtuso, de una vuelta o entrante).

_________

_________

________

________

22

________

_________


a) Por la posición de sus lados: Opuestos por el vértice: Son ángulos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. (son congruentes)

B

 A   B

A

Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común.

C

C

y

D

 D son

adyacentes

ACTIVIDAD DE ANÁLISIS Y REFLEXIÓN 1.- Dibuja un ejemplo de ángulos opuestos por el vértice y otro de ángulos adyacentes con su respectiva medida.

Formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal. a

b

Ángulos externos: Están situados fuera de las paralelas.

c

p

Ángulos internos: Están situados dentro de las paralelas.

r

B C F G

A

d

q

s

Los ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal son ocho.

D

E H

23


Ángulos correspondientes: Son 2 ángulos situados del mismo lado de la transversal, uno interno y el otro externo. (miden lo mismo) Ángulos alternos internos: Son 2 ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos). (miden lo mismo) Ángulos alternos externos: Son 2 ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos). (miden lo mismo) Ángulos opuestos por el vértice: Son 2 ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados prolongados son el otro. (miden lo mismo) Ángulos colaterales internos: Son 2 ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas. (son suplementarios) Ángulos colaterales externos: Son 2 ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos). (son suplementarios)

ACTIVIDAD DE ANÁLISIS Y REFLEXIÓN 1.- En base a la figura del recuadro observa los ejemplos.

B C F G

A

Los ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal son ocho.

D E H

Ejemplos: Ángulos correspondientes: (A,E), (D,H), (B,F), (C,G) A D

E H Ángulos alternos internos: (C,E) y (F,D)

C

E 24


Ángulos alternos externos: (B,H) y (A,G)

B

H Ángulos opuestos por el vértice: (C,A), (B,D), (E,G) y (F,H) A

B

C

D

Ángulos colaterales internos: (E,D) y (C,F)

D E D + E = 180º Ángulos colaterales externos: (A,H) y (B, G)

A A + H = 180°

H b) Por la suma de sus medidas: Suplementarios: Son 2 ángulos que sumados dan 180º. Complementarios: Son 2 ángulos que sumados dan 90º.

ACTIVIDAD DE ANÁLISIS Y REFLEXIÓN Ángulos suplementarios. 120º 120º + 60º = 180º son suplementarios 25

60º


Ángulos complementarios. 20º 70º

20º + 70º = 90º son complementarios

¿Cuál es la medida de los siguientes ángulos y como se llaman? M

N 40º

 M  _______

____________

30º  N =

______ ____________

Dibuja un par de ángulos complementarios y un par de ángulos suplementarios con sus respectivas medidas.

ACTIVIDAD DE APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO 1.- ¿Cuál es la medida del ángulo más pequeño que forman las manecillas de un reloj cuando estas indican las 3:30 pm? 2.- Si consideramos que la órbita de la tierra alrededor del sol es circular, calcula el ángulo que describe la tierra en 20 semanas. Considera que el año consta de 52 semanas. 3.- Si el engrane más grande de la siguiente figura gira 16 revoluciones; determina: a) el numero de revoluciones que gira el engrane más pequeño; b) el numero de revoluciones que gira el engrane de en medio.

4.- La brújula se utiliza para indicar la dirección de los aviones. Una dirección es designada como la medida del ángulo formado por la ruta de vuelo y una ruta imaginaria en dirección al norte. Un piloto se aproxima a tierra y la brújula marca 68° nor-oeste. La torre la ha instruido aterrizar en la pista 9, la cual tiene un rumbo de 90° nor-oeste. ¿Cuántos grados debe girar su avión el piloto?

26


ACTIVIDAD DE INTEGRACIÓN 1.- Escribe el nombre a cada ángulo según su medida.

_____________

_____________

_____________

______________

______________

_____________

______________

_______________

_____________

E

2.- Considerando la figura contesta:

D 4

A

F 1

3 2

C

B a) Nombra el  1 de otras dos maneras: __________________________________ b) El  EFC es: ___________ (recto, agudo, obtuso, llano o de una vuelta). c) Nombra todos los ángulos que tengan como uno de los lados del rayo FC: _______________________________________________________________ d) El  AFC es: ___________ (agudo, recto, obtuso, llano de una vuelta). e) Nombra dos ángulos llanos: _________________________________________ f) Nombra un ángulo de una vuelta: _____________________________________ g) Completa la medida del  DFB = la medida del  2 + __________. h) Puedes nombrar algún ángulo como F. si___ no___ ¿Cuál? _________________

27


3.- Escribe sobre la línea los pares de ángulos que correspondan al nombre. Correspondientes _______________________ Alternos internos ________________________ Alternos externos _______________________ Colaterales internos _____________________ Colaterales externos _____________________ Opuestos por el vértice ___________________

2 1 6 5 3 4 7 8

4.- Completa la siguiente tabla. Angulo BAC y CAD JIK y HIL FEG y GEH YTZ y XTY J

K

Medida

C

Nombre

X

Y

F

G

I H

L

B

A

D

T

Z

E

5.- Escribe el nombre que por su posición recibe cada pareja de ángulos en las rectas. 1) C y G Correspondientes 2) A y E ______________________________ 3) D y B ______________________________ 4) C y F ______________________________ 5) A y B ______________________________ 6) D y F ______________________________ 7) E y G ______________________________ A 8) D y E ______________________________ C B 9) B y F ______________________________ D 10) B y C ______________________________ 11) B y H ______________________________ E 12) A y H ______________________________ G F 13) E y H ______________________________ H 14) A y G ______________________________ 15) D y H ______________________________ 16) G y H ______________________________

28

H


6.- Tomando como base los datos de las figuras y la teoría sobre los ángulos entre dos paralelas, calcula el valor de los ángulos que se te piden. x = _____ f m = _____ e = _____ m 5x x n = _____ d = _____ n 65° e d p = _____ f = ______ p 7.- Resuelve los siguientes problemas de ángulos complementarios y suplementarios. Ejemplo:

10° x 80° 5x x 5x 4x 3x x + 70° 2x 3x 3x 6x 2x x + x + 70° = 90° 2x = 90° - 70° x = 20° = 10° 2 8.- Completa la tabla con el complemento o suplemento del ángulo que se te da. Angulo Complemento (90°) Suplemento (180°) 30° 45° 60° 13° 24° 33° 81° 72° 9.- Con base en la figura contesta: B C A

D F

a) b) c) d) e)

E Identifica un par de ángulos opuestos por el vértice. _________________________ Identifica lo que es un ángulo recto.______________________________________ Identifica un par de ángulos adyacentes.___________________________ _______ ¿Cuál ángulo es complementario al  DFE?_______________________________ Nombra dos ángulos suplementarios a  AFB ______________________________

10.- Calcula el valor de los siguientes ángulos.

2 1 3 4 5 6 7

1 = ______ 2 = ______ 3 = ______ 4 = ______

34° 29

5 = ______ 6 = ______ 7 = ______


11.- Calcula los ángulos de las siguientes figuras. a)

a = _______ b = _______ c = _______

143° a b

c

b) Encuentra el valor de x, el valor de y y la medida de los ángulos. x = _____ y = _____

3x + 36

5x - 8

y

c) Encuentra el valor de x, el valor de y y la medida de los ángulos. x = ______ y = ______

2x 3x - 20 y + 10 d) Encuentra el valor de x y la medida de los ángulos. x = ______

4x + 36 6x + 18

e) Encuentra el valor de x y la medida de los ángulos. x = ______

7x -18 3x + 27

30


X

12.- Con base en la figura, contesta los ejercicios:

V T

U

Y W Z a) Nombra un par de ángulos opuestos por el vértice:___________________________ b) ¿Puedes asumir que el  YUW y  WUV son suplementarios? Explica ___________ ___________________________________________________________________ c) ¿Cuál ángulo es complementario a  YWT?________________________________ d) Identifica dos ángulos que sean congruentes _______________________________ e) Puedes asumir que WT es perpendicular a YV? Explica _______________________ ___________________________________________________________________ f) Nombra dos ángulos que sean suplementarios y no sean congruentes___________ ___________________________________________________________________ g) Verifica si el  YWU y  UWZ son congruentes, adyacentes, opuestos por el vértice, complementarios, suplementarios y/o un par lineal __________________________ ACTIVIDAD DE INDAGACIÓN 1.- Investiga ¿Qué es un polígono? 2.- ¿Qué es un triangulo? 3.- ¿Cuál es la clasificación de los triángulos?

1.2 Define y clasifica los triángulos por: la medida de sus lados y de sus ángulos. Polígono: Es una figura cerrada que se forma por un numero finito de rectas determinados lados, y está formada por tres o más lados. Triángulo: Es un polígono de 3 lados, los puntos donde se unen los lados se llaman vértices. La suma de sus ángulos interiores es igual a 180º y la suma de sus ángulos exteriores es igual a 360º. lado vértice

31


Clasificación de los triángulos: Por la longitud de sus lados: Triángulo equilátero: Es el que tiene sus 3 lados iguales. Triángulo isósceles: Es el que tiene 2 lados iguales. Triángulo escaleno: Es el que tiene sus 3 lados diferentes.

Por la amplitud de sus ángulos: Triángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo de 90º. Triángulo acutángulo: Es el que tiene sus 3 ángulos agudos. Triángulo obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso.

ACTIVIDAD DE ANÁLISIS Y REFLEXIÓN 1.- Subraya el nombre del triangulo que corresponda a la figura. a) Equilátero

b) Isósceles

c) Escaleno

a) Escaleno

b) Equilátero

c) Isósceles

a) Isósceles

b) Escaleno

c) Equilátero

a) Obtusángulo

b) Acutángulo

c) Rectángulo

a) Acutángulo

b) Rectángulo

c) Obtusángulo

a) Rectángulo

b) Obtusángulo

c) Acutángulo 32


2.- Mide los ángulos internos de los siguientes triángulos y suma cada conjunto de ángulos.

A

B C

B

C

A

B

C

A

¿Qué observaste?________________________________________

ACTIVIDAD DE INTEGRACIÓN 1.- De las siguientes afirmaciones escribe en el paréntesis el número que corresponda a cada figura triangular.

B 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

C

AB = BC y A = C ABC es escaleno Tiene sus tres lados diferentes ABC es equilátero AB = BC = AC y A = B = C Tiene sus tres lados iguales ABC es isósceles Tiene dos lados iguales y uno diferente AB BC CA y A B C

A

( ( (

) ) )

( ( (

) ) )

( ( (

) ) )

B C

A C

A

33

B


2.- Realiza lo mismo que en el ejercicio anterior.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Sus tres ángulos son agudos. Tiene un ángulo recto. Es un triangulo rectángulo Tiene un ángulo obtuso Es un triangulo acutángulo Es un triangulo obtusángulo

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3.- En cada una de las siguientes figuras encuentra el valor de x.

x°

57°

52°

35°

z°

40°

32°

x°

x°

2x + 21

b° x°

y° 120°

x° 25°

80° x°

42°

100°

2x°

x°

3x – 22

x°

x – 20°

30°

x°

a 30° 80°

5 y°

x°

64°

5 x°

z°

50° 70°

34

b°

x°

x°


ACTIVIDAD DE APOYO 1.- Realiza un mapa conceptual o mental de la clasificación de los ángulos. 2.- En tu cuaderno dibuja los siguientes ángulos y escribe el nombre de cada uno 15°, 30°, 90°, 170°, 180° y 360°. 3.- Realiza un mapa conceptual o mental de los ángulos formados por 2 rectas paralelas y una transversal. 4.- En tu cuaderno realiza un mapa conceptual o mental de la clasificación de los triángulos. 5.- Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un triangulo? _________ b) ¿Cuál es la suma de los ángulos exteriores de un triangulo? _________ 6.- En la figura AB || EC, 1 = 58°, 2 = 47° y 3 = 26°. ángulos.

A

B 12 3 6 E 5 4 C 7 8 9 D

35

Encuentra la medida de todos los demás


MÓDULO II COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. UNIDADES DE COMPETENCIA - Aplica las propiedades de la congruencia de triángulos para proponer, formular, definir y resolver problemas de situaciones teóricas o practicas. -

Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de la congruencia de triángulos.

COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Enuncia los criterios de congruencia de triángulos

LAL

LLL

Comprende la relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes

ALA

SABERES DEL MÓDULO II COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. 2.1 Enuncia los criterios de congruencia de triángulos: LAL LLL ALA 2.2 Comprende la relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes.

36


ACTIVIDADES A DESARROLLAR ACTIVIDAD PREVIA 1.- ¿Qué entiendes por congruente?__________________________________________ 2.- ¿Cuáles de los siguientes triángulos son congruentes? _________ 1)

2)

3)

4)

5)

Después de responder esta actividad muéstrala a tu asesor. ACTIVIDAD DE INDAGACIÓN 1.- Investiga ¿Qué es congruencia? 2.- ¿Cuáles son los criterios de congruencia?

2.1 Enuncia los criterios de congruencia de triángulos. 2.2 Comprende la relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes. Congruencia: Son dos triángulos que tienen la misma forma y tamaño. Símbolo (  ) = igual tamaño, misma forma. Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales explicaremos a continuación. Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los lados del otro, los triángulos son congruentes.

B A

Y C

X

Z

37

AB  XY BC  YZ AC  XZ


Criterio LAL: Si en un triangulo dos de sus lados y el ángulo que estos forman son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido entre estos de otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.

B

F

A

D BC

C



AB EF



ED

E

Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos de un triangulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triangulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

B

Q AC

A

C

P

RP

R

ACTIVIDAD DE ANÁLISIS Y REFLEXIÓN Ejemplos: 1.- Si en la figura, R es el punto medio de QS y demuestra que el T Q R

El y

S

determina el criterio mediante el cual se

Como R es el punto medio de QS, entonces (L) Porque son opuestos por el vértice (A) (dato) (A)

P Por el criterio ALA se demuestra que 2.- Demuestra que el

Si XM es mediatriz de YZ

X

(porque es XM

YZ) (A)

XM1 XM2 (lado común) (L) YM

MZ (porque es XM mediatriz de YZ) (L)

Por el criterio LAL se demuestra que el Y

M

Z 38


3.- Demuestra que el

si OL

ON y OM es una mediana.

O

L

M

OM1

OM2 (por ser lado común a ambos triángulos) (L)

OL

ON (dato) (L)

LM

MN (como MN es una mediana, entonces M es el punto medio de LN) (L)

N

Por el criterio LLL se comprueba que ACTIVIDAD DE INTEGRACIÓN 1.- Realiza las siguientes demostraciones de Congruencia y escribe el criterio que lo comprueba. a) En la figura, BD biseca el ángulo ABC y BC

AC. Demuestra que AB

BC.

B 1 2 A

D

C

b) En la figura, C es el punto medio de BD y 2

B

C 2

3. Demuestra que BA = DE.

D 1

A

E

c) En la figura, Q es el punto medio de NP y OM. Demuestra que los ángulos N y P son congruentes.

N

O Q

M

P 39


d) En la figura, AB congruentes.

AC y AD es una mediana. Demuestra que el

ABD y ACD son

A

B

D

C

e) En la figura, BE AD, CF AD, BE CF, AD II BC y AD esta trisecado, comprueba que los ABE y CFD son congruentes.

B

A

C

E

F

D

f) Si AB CD y E es el punto medio de BC, Demuestra que los congruentes.

B

E

AEB y

CED son

C

A

D

2.- Determinar que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el criterio correspondiente. a) ______________

8

I

II

12

12 III ______________

60°

60° 12

60° 8

8

16

b)

______________

15

I

21

14

II

10

10

III

14 ______________

24

16

40


28

c)

I

II 85°

28

40° III

28 40°

40°

d)

85°

_________________

3

3 II

III

_________________ 4

4 25

e)

30° I

_________________ _________________

4

I 3

85°

70° 25

30° III

II 70°

_________________ 70°

_________________

30° 25

f)

9 7

I 5

5

_________________

II 7

5 9

III

7

_________________

8

3.- Determina que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el criterio correspondiente, si no es ninguno escribe sobre la línea que no son congruentes. a) b)

_______________

__________________

c)

d)

_______________

__________________

e)

f)

_______________

__________________ 41

Cobac Matemáticas II Ok

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