Cobac Matemáticas IV Ok

MATEMÁTICAS IV Guía de Estudio EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Profr. Gerardo Melchor Sánchez Favela

“EDUCACIÓN DE CALIDAD PARA TODOS”

Colegio de Bachilleres de Coahuila Sistema de Enseñanza Abierta

COLEGIO DE BACHILLERES DE COAHUILA SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA

MATEMÁTICAS IV

PRÓLOGO El Colegio de Bachilleres del Estado de Coahuila cumple con la misión que le fue asignada desde su fundación en el año de 1973; formar de manera integral a los jóvenes educandos; desarrollando sus habilidades y destrezas, ampliando mediante el conocimiento sus potencialidades, dotándolos de herramientas para solucionar la problemática que un día se les presente; con una sólida formación en valores que los convierta en hombres y mujeres de bien, individuos preparados para enfrentar los retos que la sociedad del conocimiento demanda mediante la política educativa, implementada con una filosofía curricular constructivista. En el Sistema de Enseñanza Abierta opción de educación mixta que ofrece una educación semipresencial, mediante los servicios de Asesores de Contenido y los materiales didácticos incluidos en sus guías pedagógicas; implementa la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) 2009 que contiene estrategias de enseñanza basadas en el aprendizaje con alumnos que trabajan a su propio ritmo, tienen su propio modo personal de demostrar sus conocimientos y mediante el desarrollo de competencias amplían sus habilidades y mejoran sus actitudes para que se movilicen de forma integral en contextos específicos. Es un orgullo para el COBAC la implementación de la RIEMS con el desarrollo de 31 guías de Componente de Formación Básica; 8 guías del Componente de Formación Propedéutica, realizadas en equipo por los Asesores del Contenido de los SEAS de Chihuahua y Cd. Juárez y la colaboración de Docentes de la Institución.

1


MATEMÁTICAS IV

ÍNDICE CONTENIDO

P G.

PRESENTACIÓN

3

INTRODUCCI N

3

RELACIÓN ESQUEMÁTICA HORIZONTAL Y VERTICAL DE MATEMÁTICAS IV

4

ESTRUCTURA DE LA GU A

5

EDUCACIÓN ABIERTA EN EL COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE COAHUILA

6

COMPETENCIAS GENÉRICAS DEL BACHILLERATO GENERAL COMPETENCIAS DISCIPLINARES DEL CAMPO DE MATEM TICAS

10 11

MAPA CONCEPTUAL DE LOS SABERES DE LA GUÍA

12

BLOQUE I RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

13

BLOQUE II APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS

38

BLOQUE III EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS

48

BLOQUE IV EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO

61

BLOQUE V EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES

77

BLOQUE VI EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

90

BLOQUE VII APLICA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

101

BLOQUE VIII EMPLEA FUNCIONES PERI DICAS

126

BIBLIOGRAFÍA

140

2


MATEMÁTICAS IV

PRESENTACIÓN El propósito fundamental de esta guía pedagógica es servirte como instrumento de apoyo en tu aprendizaje del curso de MATEMÁTICAS IV. Se presenta de manera organizada para que desarrolles los conocimientos, habilidades y actitudes que tienen que ver con tu formación integral durante tu educación media superior a través del Sistema de Enseñanza Abierta (SEA), lo cual implica formas de trabajo como el autodidactismo y la autogestión, necesarios dentro de un modelo de competencias. Específicamente, la asignatura de Matemáticas IV te permitirá utilizar distintas transformaciones y tipos de funciones algebraicas y trascendentes para representar relaciones entre magnitudes constantes y variables, y resolver, por ejemplo, problemas relativos a ladeterminación de costos de producción de artículos, de pago de servicios o de consumos conforme a rangos o estratificaciones específicas, o de situaciones que conllevan tasas o razones de cambio constante, como aumentos o disminuciones en precios, producción o consumo de artículos; problemas de obtención de soluciones óptimas, como ganancias máximas en una empresa, o bien, reducción de costos, desperdicios industriales o contaminación al mínimo posible; modelación de fenómenos o situaciones que involucran incrementos o decrementos mediante factores constantes, como la preservación o extinción de especies biológicas; aumento o disminución demográfica o económica, depreciación contable de equipos, cálculo de intereses financieros capitalizables continuamente y modelación de fenómenos ondulatorios y periódicos como el flujo de las mareas, propagación de sonidos musicales, etc.

INTRODUCCIÓN La asignatura de Matemáticas IV es la última de un conjunto de cuatro, que forman el campo de las matemáticas y su antecedente inmediato es la asignatura de Matemáticas III. En las anteriores asignaturas de matemáticas del bachillerato, los estudiantes aprendieron a plantear y resolver problemas en distintos ámbitos de su realidad, así como a justificar la validez de los procedimientos y resultados, empleando los lenguajes algebraico, geométrico

y de tratamiento del azar y la

información, como elementos de construcción y comunicación. En estos cuatro primeros cursos se busca consolidar y diversificar los aprendizajes y desempeños, ampliando y profundizando los conocimientos, habilidades, actitudes y valores relacionados con el campo de las matemáticas, promoviendo en Matemáticas I el uso de representaciones y procedimientos algebraicos para resolver situaciones de su entorno que impliquen el manejo de magnitudes variables y constantes y, 3


MATEMÁTICAS IV

en las asignaturas consecuentes, fortaleciendo este desempeño con el manejo de las relaciones funcionales entre dos o más variables, mismas que permitirán al estudiante modelar situaciones o fenómenos, y obtener, explicar e interpretar sus resultados. En Matemáticas II, con relación a magnitudes físicas o espaciales y también determinísticas o aleatorias; en Matemáticas III, mediante el cambio y la equivalencia entre representaciones algebraicas y geométricas; y finalmente en Matemáticas IV, mediante el empleo de diversos tipos de relaciones funcionales.

RELACIÓN ESQUEMÁTICA HORIZONTAL Y VERTICAL DE MATEMÁTICAS IV Si bien desde el punto de vista curricular, cada materia de un plan de estudios mantiene una relación vertical y horizontal con el resto, el enfoque por competencias reitera la importancia de establecer este tipo de relaciones al promover el trabajo interdisciplinario, en similitud a la forma como se presentan los hechos reales en la vida cotidiana. En este caso, todas las matemáticas del área básica alimentan a las asignaturas del campo de las Ciencias Experimentales como son la Física, Química y Biología y constituyen un apoyo en cuanto a las materias de Ciencias Sociales. En Física, por ejemplo, se requieren para el estudio del movimiento (rectilíneo uniforme, circular, parabólico), presión, volumen, palancas, óptica, etc., en Química para el estudio de los cristales; en Biología para el análisis del aumento o disminución de poblaciones, o para la determinación de la duración del efecto de un medicamento; en Ciencias Sociales y en Administración, resultan útiles para realizar cuantificaciones estadísticas; en Economía, para obtener soluciones óptimas, o realizar predicciones sobre el efecto de variables económicas en la producción, la exportación, etc.

MATEMÁTICAS III

MATEM TICAS IV

CIENCIAS EXPERIMENTALES

C LCULO DIFERENCIAL

CIENCIAS SOCIALES

Ubicación de la asignatura con relación al componente de formación básica.

4


MATEMÁTICAS IV

ESTRUCTURA DE LA GUÍA Antes de que empieces a estudiar esta guía, es muy importante que conozcas su estructura interna, cada bloque te ofrece:

Actividad previa: es la actividad que permite conocer qué sabes del curso antes de iniciar con el desarrollo de las actividades del mismo. Te permite comparar el conocimiento antes y después del curso.

Actividad de indagación: te orienta sobre la forma de buscar la información requerida así como el texto de lectura en que te apoyarás. Actividad de análisis y reflexión: te apoyarás en algunas preguntas o indicadores para acercarte al conocimiento de cada modulo.

Actividad de aplicación del conocimiento: esta actividad es muy importante, ya que te permite utilizar el conocimiento en situaciones reales.

Actividad de integración: en esta actividad podrás integrar lo aprendido en cada bloque de forma escrita, oral o práctica en tu computadora en la que expliques lo aprendido con buenos argumentos.

Actividad de apoyo: esta actividad será desarrollada cuando el asesor indique que necesitas apoyo para comprender mejor el contenido del curso de acuerdo a los resultados de la actividad de aplicación del conocimiento y de integración. Esta guía está organizada en ocho bloques de conocimiento, con el objeto de facilitar la formulación y/o resolución de situaciones o problemas de manera integral en cada uno, y de garantizar el desarrollo gradual y sucesivo de distintos conocimientos, habilidades, valores y actitudes en el estudiante, a partir del conocimiento de las características y empleo de diferentes tipos de modelos funcionales. Los ocho bloques para esta asignatura, son los siguientes: Bloque I

Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones

Bloque II

Aplica funciones especiales y transformaciones de gráficas

Bloque III

Emplea funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

Bloque IV

Emplea funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

Bloque V Bloque VI

Emplea funciones polinomialesfactorizables. Emplea funciones racionales.

Bloque VII

Aplica funciones exponenciales y logarítmicas.

Bloque VIII

Emplea funciones periódicas. 5


MATEMÁTICAS IV

En el Bloque I se establecen las características matemáticas que definen las relaciones entre dos magnitudes, enfatizando las de carácter funcional; en el Bloque II se distinguen y describen diferentes tipos de funciones matemáticas, así como operaciones y transformaciones algebraicas y geométricas entre ellas; en los Bloques III, IV y V se realiza un estudio comparativo de las funciones polinomiales hasta grado cuatro, se profundiza el análisis de las características de los modelos lineales y cuadráticos, y se desarrollan procedimientos numéricos, algebraicos y geométricos para la obtención de ceros polinomiales; en el Bloque VI se revisa el comportamiento de las funciones racionales y la existencia de posibles asíntotas. En los Bloques VII y VIII se estudian, respectivamente, las funciones exponencial y logarítmica, y las funciones periódicas.

EDUCACIÓN ABIERTA EN LA FORMACIÓN DEL SISTEMA DE COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE COAHUILA El Proyecto educativo del Colegio de Bachilleres del Estado de Coahuila, tiene como propósito fundamental y prioritario, preparar generaciones de jóvenes que al egresar, posean los conocimientos, las habilidades y las competencias necesarias para ingresara a las Instituciones de Educación Superior que satisfagan sus aspiraciones personales y perfiles profesionales y/o vocacionales. En consecuencia, una exitosa incorporación social, laboral y ética a la sociedad que exigirá de él o de ella, propuestas viables, efectivas e inteligentes tendientes a resolver las problemáticas que seguramente enfrentarán en su etapa futura de vida. Es misión del Colegio de Bachilleres formar ciudadanos competentes para realizar actividades propias de su momento y condición científica, tecnológica, histórica, social, económica, política y filosófica, con un nivel de dominio que les permita movilizar y utilizar, de manera integral y satisfactoria, conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes, pertenecientes a las ciencias naturales, las ciencias sociales y a las humanidades. El propósito general del SEA es ofrecer a sus alumnos la alternativa que les permita, tanto, iniciar, continuar, como concluir estudios de educación media superior para que puedan acceder a estudios de educación superior y/o su incorporación al trabajo productivo. En síntesis, el Bachillerato General es un tipo de educación formal dentro del nivel medio superior que prepara al estudiante para incorporarse de manera eficiente a la vida social, a los estudios superiores y al ámbito productivo en caso de ser necesario. Para ello brinda una educación integral que trasciende la transmisión de conocimientos y hace participes activos del proceso educativo a los protagonistas principales: el educando, el profesor y los saberes.

6


MATEMÁTICAS IV

Características de la educación abierta Estimado alumno, cuando leas este texto, estarás en posibilidades de reconocer la calidad de un material cuidadosamente estructurado. El diseño y presentación de los contenidos que encontrarás en esta Guía Pedagógica, son producto de la gran labor realizada por los Asesores de Contenido del Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres del Estado de Coahuila. En ella, seguramente observaras temas que, además de interesantes, están debidamente planeados para convertirse en la guía eficaz que mediante su diseño, te darán la sensación que estas escuchando a un (a) maestro (a) y no, que estas frente a un texto escrito. Sin embargo, debes reconocer que este documento, el cual, sin lugar a dudas, utilizaras en innumerables ocasiones, lugares y circunstancias, es un digno ejemplo de organización tutorial. A partir de este momento y hasta que tu esfuerzo rinda frutos, eres participe de un modelo educativo singular que responderá a tus necesidades de formación y cultura: ¡Bienvenido al Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres del Estado de Coahuila! Esta estrategia educativa o modalidad de enseñanza que generalmente conocemos como enseñanza abierta, está caracterizada, principalmente, porque exige del alumno aprendizaje autodidacta, generalmente, realizado a distancia. ¿Qué significa esto? Que has ingresado a un modelo educativo en donde la presencia del (la) maestro (a) no es el rasgo típico de interacción como en una escuela presencial o tradicional. Ahora, como alumno del SEA en lugar de escuchar y p articipar en sesiones de trabajo “cara a cara” con los docentes de las diferentes asignaturas, tendrás que familiarizarte, adaptarte e involucrarte activamente en un modo especial de trabajo, cuya estructura y organización te presentará los contenidos de manera que sean aprensibles a distancia. Es decir, las informaciones y los conocimientos relativos al plan de estudios, utilizarán para su construcción diferentes vías y/o canales de comunicación que no requieren una relación de contigüidad presencial alumno-maestroaula. Entonces, si las relaciones entre maestros y alumnos cambian, es evidente que los roles de los maestros y los tuyos, propios, también cambiarán; surgirán, pues, entre ustedes, nuevas actitudes y nuevos enfoques metodológicos. Luego, encontrarás un curso altamente autoinstructivo y totalmente accesible para ti, alumno, aún sin el apoyo directo de los docentes.

7


MATEMÁTICAS IV

Participarás en un modelo pedagógico flexible en donde la actividad educativa estará centrada, principalmente, es tu aprendizaje individual e independiente que, desde luego, estará firmemente sustentando y respaldando en una eficiente organización de apoyo-tutoría. La forma de estudio no guiada y/o controlada directamente por el mentor caracteriza al SEA, sin embargo, estamos seguros, promoverá en tu personalidad: el desarrollo de habilidades para el trabajo independiente y para un esfuerzo autor responsable. Favorecerá, además, un proceso de aprendizaje más personalizado que garantice una secuencia didáctica, afín a tu ritmo y estilos de aprendizaje. Para concluir este apartado, te preguntamos: ¿Estas listo para el arranque? ¿Dónde estudiar? ¿Cómo estudiar? Y ¿A qué velocidad aprender? La repuesta….No la queremos ahora….El tiempo la dará de acuerdo con las metas que te fijes, los objetivos que te propongas y tus firmes deseos de concluir esta importantísima etapa de tu formación.

Papel del profesor El asesor de contenido desempeña funciones de asesoría de apoyo al aprendizaje de los estudiantes del Sistema de Enseñanza Abierta. El titular de este puesto es responsable de proporcionar al alumnado los conocimientos necesarios de la materia asignada mediante asesorías individuales para el desarrollo y el cumplimiento de los programas. Asimismo, explica, aclara y desarrolla prácticas; simultáneamente, promueve y da seguimiento al avance académico de los estudiantes y contribuye en el logro de los objetivos de cada una de las asignaturas que conforman las diferentes áreas del plan de estudios de la Institución. Para el desempeño eficiente de su labor, el Asesor de Contenido, precisa una planificación cuidadosa para la utilización de recursos necesarios a la metodología flexible del SEA, que no cuenta con la relación “cara a cara” entre profesores y alumnos. Mediante sus acciones, el Asesor de Contenido, potencia el trabajo independiente y por ello, la individualización y personalización del aprendizaje, que se adapta, en la medida de las posibilidades, al ritmo, forma y estilo de cada uno de los estudiantes. A manera de conclusión, la labor primordial del Asesor de Contenido puede resumirse de la siguiente manera: proporcionar orientación accesible y sistemas de apoyo instruccional para el estudiante. Además, es imprescindible señalar que dentro de sus funciones generales y específicas están: Llevar un registro de seguimiento de asesorías previa a la evaluación. Elaborar los instrumentos de evaluación del aprendizaje requeridos para atender a los estudiantes durante su proceso de estudio. Evaluar los resultados del auto aprendizaje por medio de la aplicación de exámenes. 8


MATEMÁTICAS IV

Papel del alumno El estudiante realiza la mayor parte de su aprendizaje por medio de materiales didácticos previamente preparados. En el caso particular del SEA, el material, habitualmente, se presenta como Guías de Estudio, estructuradas en módulos de aprendizaje. Así, el estudiante es el centro del proceso de aprendizaje; es un sujeto activo en busca de su propia formación; aprende sin la presión del grupo, según su estilo y método singular, motivado y guiado por los propios materiales y la orientación del (las) Asesor (as) de Contenido. Mediante la metodología de enseñanza-aprendizaje característica del SEA, el alumno adquiere actitudes, intereses y valores que le facilitan los mecanismos precisos para regirse a sí mismo, lo que le llevará a responsabilizarse en un aprendizaje permanente. Con la guía del profesor o tutor, el estudiante descubrirá, interpretara y analizara sus propios objetivos; con ello, transitará hacia la consecución de aprendizajes independientes y flexibles. El alumno es el responsable exclusivo del ritmo y realización de sus estudios. Es un sujeto protagonista de su propio aprendizaje, gracias al uso sistemático de materiales educativos, reforzado con diferentes medios y formas de comunicación. El alumno de un modelo de enseñanza abierta se involucra en un proyecto personal; transformarse de escuchadores pasivos a activos gestores de su propio proyecto de autoformación. El aprendizaje individual de este, puede perfectamente desarrollarse fuera de las aulas, en el mismo hogar, etc. En relación con la cantidad de contacto directo con los profesores, éste es determinante por la decisión y necesidad del alumno. Sin embargo, es importante puntualizar que de acuerdo con El Reglamento Interior de Alumnos del Colegio de bachilleres del Estado de Coahuila, el alumno del SEA deberá acudir cuando menos a una sesión de asesoría por asignatura para tener derecho a examen.

9


MATEMÁTICAS IV

COMPETENCIAS GENÉRICAS Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desarrollar al permitirle a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc.; en razón de lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

10


MATEMÁTICAS IV

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS Módulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Competencias disciplinares básicas 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variaciones para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

11

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x


MATEMÁTICAS IV

MAPA CONCEPTUAL DE MATEMÁTICAS IV

MATEMÁTICAS IV

FUNCIONES

RELACIONES

OPERACIONES Tipos de funciones TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS Y GEOMÉTRICAS

POLINOMIALES

RACIONALES

LOGAR TMICAS

PERIÓDICAS

Y EXPONENCIALES

Grados Existencia posiblesde

FUNCIONES SENOIDALES Función logarítmica inversa de la función exponencial

CERO, UNO, DOS, TRES Y CUATRO ASÍNTOTAS

Y=A SEN BX+C Y=A COS BX+C

Procedimientos numéricos algebraicos y geométricos

PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS

HORIZONTALES, VERTICALES U OBLICUAS

CEROS POLINOMIALES

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

CONSTRUCCI N GR FICA

12

AMPLITUD, PERIODO, FRECUENCIA Y FASE


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE I APRENDIZAJES ESPERADOS AL TÉRMINO DEL BLOQUE I

No. 1 2 3

ENUNCIADO Identifica una relación binaria Representa relaciones en diferentes formatos Identifica las propiedades de las relaciones binarias

45 6 7 8 9 10 11

Comprueba las propiedades deeslasuna relaciones Distingue cuando una relación función ybinarias cuando no lo es Identifica el dominio de una función Identifica el rango de una función Identifica las imágenes en una función Identifica el codominio o contradominio de una función Identifica la regla de correspondencia de una función Obtiene la regla de correspondencia de una función a partir de un conjunto de pares ordenados. Identifica el dominio en la gráfica de una función Identifica el rango en la gráfica de una función Identifica a los conjuntos numéricos que comprenden a los números reales Representa intervalos en diferentes formatos en la recta real Construye tabulaciones con los valores de una función Construye gráficas de funciones a partir de una tabulación Emplea la computadora para construir gráficos de funciones Expresa el dominio y el rango de una función empleando intervalos en los números reales, Realiza la operación de suma de funciones Realiza la operación de resta de funciones Realiza la operación de multiplicación de funciones Realiza la operación de división de funciones Realiza la operación de composición de funciones Identifica el srcen del dominio de la función composición Expresa y opera situaciones reales de su entorno en términos de funciones

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

13


MATEMÁTICAS IV

EVALUANDO LOS CONOCIMIENTOS ANTECEDENTES DEL CURSO 1.- ¿Que conjuntos de números conforman a los números reales? 2.- Ordene de menor a mayor los siguientes números:

0.3, 1/5, 2/3, -0.2, -0002, 3/8, 0.5, -1/2 3.- Sitúe los siguientes números en el eje que se proporciona: 1 

2

,

3 8

,0.5,

18

,

9

-2

3

- 7 , 1.87

,

-1

0

1

2

4.- Resuelva para “X “ Las siguientes ecuaciones y construya la gráfica de cada una.

3x +5 = -8 2

x

+ 2 = 12 3

+3x X2 +2 = 0

3X

2

y = sen x

5.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

2x + 3y = 6 4x - 3y= 18 ____________

3x + 3y +4z = 12 4x- 5y 2z= 8 5x + y - 6z = 10 __________________

x3 + 2x2 -5x = 0

14

+5x -10 = 0


MATEMÁTICAS IV

6.- Obtenga la ecuación correspondiente a cada una de las gráficas siguientes:

15


MATEMÁTICAS IV

7.- RESUELVA LAS SIGUIENTES INECUACIONES O DESIGUALDADES Y REPRESENTE EN UNA GRÁFICA CARTESIANA EL CONJUNTOSOLUCIÓN.

A) 3X< 2

B) 5X +3 > 1

C) 2X-4 < 3Y +5

FUNCIONES 1.- REFERENCIA HISTÓRICA

El antecedente del concepto de función fue el interés del hombre por el cambio Existe una variable que siempre esta incesantemente cambiando, esta variable es el “tiempo”, y a medida que el tiempo pasa todas las cosas cambian. Una vez que el hombre pudo medir el cambio del tiempo fortuitamente paso a tratar de medir el cambio producido en las cosas que se prestan a una medición más o menos completa. Las primeras nociones del concepto actual de función se gestaron durante el período medieval del siglo XIV, es en est5e tiempo cuando los filósofos escolásticos desarrollaron intentos por medir aspectos como, la velocidad, la variación de las temperaturas en diferentes objetos de metal, etc. Se le atribuye al francés, Nicole Oresme (1323- 1382) el primero en hacer uso de diagramas para representar cantidades o magnitudes variables, ubicando para tal fin dos ejes perpendiculares. Siendo este descubrimiento el antecedente de lo que se conoce como el plano cartesiano. El aporte de Oresme que fue retomado posteriormente por Rene Descartes, dio margen a un desarrollo muy significativo de la matemática, al lograrse una interacción muy productiva entre geometría, cálculo y algebra. 16


MATEMÁTICAS IV

Fue Leibniz quien acuño el nombre de función al realizar estudios sobre los puntos máximo y mínimo de las curvas y el método para encontrar la ecuación de la recta tangente. En los siglos XVIII y XIX el concepto de función fue definitivo para el desarrollo de la matemática, por ejemplo las ecuaciones diferenciales y fundamentalmente en sus aplicaciones hacía la física y otros campos científicos. Lo cual impulso el gran desarrollo científico y tecnológico.

3.- INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES En los ámbitos de la naturaleza y de la actividad humana existen una serie de parámetros interrelacionados, así por ejemplo, el precio del transporte público depende del incremento de la gasolina o diesel, a mayor velocidad de un vehículo es menor el tiempo que dura en su recorrido, a mayor altura sobre el nivel del mar hay menor cantidad de oxigeno, etc. La comparación entre parámetros relaciona dos variables como mínimo, el estudio de estas variaciones y la información obtenida al saber cómo influye una cosa sobre otra ha sido de gran importancia en el desarrollo tecnológico y científico, de ahí el papel de la importancia de la matemática al proporcionar las herramientas en las diferentes disciplinas y en general en la vida cotidiana de la sociedad.

4.- CONCEPTO DE RELACIÓN El mundo natural y social se forma por una serie de relaciones, por ejemplo: El conjunto A se relaciona con el conjunto B a través de la relación: “Ser novia de”

La relación que se muestra se compone de pares, cada elemento de los pares se les llama “variables “porque pueden cambiar de orden o de valor. 17


MATEMÁTICAS IV

: Cada par se forma de dos componentes, la primera componente se representa con la letra “X” y la segunda componente con la letra “Y”, (x,y) Así en la relación del conjunto A con B, efectuando el producto AXB, (léase: A cruz B) los valores de las variables son: X = (María, Pedro, Juan);

Y = (Iván, Mayra, Paty)

Observe esta otra relación: En la primera relación los pares ordenados quedaron:

AXB = {(María, Iván), (Pedro, Mayra), (Juan,Paty)} Se observa que María solo aparece una vez como primera componente Pedro solo aparece una vez como primera componente y Juan solo aparece una vez como primera componente. Entonces esta relación es una “FUNCIÒN“ Los resultados del producto de la relación entre dos variables (la magnitud de una depende de la magnitud de la otra) se pueden expresar de diferentes formas, las más comunes son: a) Como un conjunto de pares ordenados Ejemplo: desplazamiento de un vehículo a una velocidad constante de 40 Kms. / h, estableciendo la relación entre las magnitudes de la distancia recorrida y el tiempo empleado

(distancia, tiempo ) , ( 40 kms. , 1 h ), ( 80 kms., 2 hrs. ), ( 120 kms, 3hrs.)… RRESPONDENCIA DE b) Con una fórmula o modelo matemático que se llama “REGLA DE CO LA FUNCIÓN:

T = D/ V (Tiempo = Distancia ÷ Velocidad) c) Utilizando una tabla o tabulación: 18


MATEMÁTICAS IV

Tiempo en hrs. Distancia recorrida en Kms.

1 40

2 80

3 120

Con una gráfica Sagital

d).- O bien utilizando una gráfica Cartesiana

EVALUACIÓN FORMATIVA ¿Cómo se representa en pares ordenados la relación: “SER PADRE DE”? en una supuesta familia.

19


MATEMÁTICAS IV

La relación que se muestra se compone de pares, cada elemento de los pares se les llama “variables “porque pueden cambiar de orden o de valor. : Cada par se forma de dos componentes, la primera componente se representa con la letra “X” y se le llama abscisa, la segunda componente con la letra “Y”, y se le llama ordenada (x , y ) en este orden constituyen una coordenada en el plano cartesiano

5.- PROPIEDADES DE LAS RELACIONES A) Una relación en el conjunto de los números reales es una “RELACIÓN BINARIA “ Ejemplo: Sea el conjunto de los números enteros: A = {1, 2,3,20} y la relación que signifique, “ES TRIPLE DE “ Entonces los elementos de la relación es: ( x , y ), ( 1 , 3 ), ( 2 , 6 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 ,12 ), ( 5, 15 )

B) Una relación que se establece en un conjunto determinado es REFLEXIVA si cada elemento se relaciona consigo mismo: Ejemplo: Sea el conjunto, N= {1, 2, 3, 4) y la Relación “ES IGUAL A SI MISMO “, entonces 1 es igual 1, 2 es igual a 2, 3 es igual a 3 4 es igual a 4. como esto es verdad entonces la relación es reflexiva. Ejemplo: Sea el conjunto, N= {1, 2, 3, 4) y la Relación “ES MAYOR QUE” implicaque: 1 es mayor que 1, 2 es mayor 2, etc. Y obviamente que esto no sucede por lo tanto la relación no es reflexiva.

C) UNA RELACIÓN ES SIMÉTRICA, si al relacionar los elementos de un conjunto se cumple que: a en relación con b, es lo mismo que: b en relación con a

ejemplo: Sea el conjunto de los alumnos del SEA, y la relación, “ TIENE EL MISMO NOMBRE QUE “ si el alumno(a) “ x “ tiene el mismo nombre que el alumno(a) “y” Entonces se cumple que la relación, x tiene el mismo nombre que y es lo mismo a decir ; y tiene el mismo nombre que x. No así en la relación: “ ES MAYOR QUE “ , X es mayor que y, no implica que y sea mayor que x. la relación no es simétrica D) Una relación es TRANSITIVA, si a se relaciona con b y b se relaciona con c , entonces a se relaciona con c. Ejemplo: Sean las rectas l 1 , l2 y l3 y pertenecen al conjunto de rectas paralelas en el plano, y se establece la relación: “ES PARALELA A” Así: l1 es paralela con l2 y l2 es paralela con l3 entonces implica que l1 es paralela con l3 , esta es una relación transitiva. 20


MATEMÁTICAS IV

5.- Se llama una relación de EQUIVALENCIA, aquella que es reflexiva, simétrica y transitiva

EVALUACIÓN FORMATIVA Triángulos congruentes son aquellos que son iguales”

Sea T = triángulos congruentes T 1 ,T2 , T3 , Pertenecen al conjunto T y, se establece la relación: “SER CONGRUENTE CON”

¿Esta es una relación de equivalencia?

5.- DEFINICIÓN DE “FUNCIÓN“ PRIMERA CONCEPTUALIZACIÓN DE FUNCIÓN: Una función es una relación binaria que se forma por un conjunto de pares ordenados donde ningún primer elemento ( la x ) se repite en los otros pares como primera componente . En la naturaleza y sus fenómenos físicos se observa que unas magnitudes dependen de otras Por ejemplo: La distancia recorrida por un cuerpo en caída libre depende del tiempo que tarda en caer y se expresa con la fórmula e =

1 2

(9.8) t2

Se observa que el espacio recorrido depende del tiempo o expresado de otra forma se dice que el espacio recorrido es función del tiempo.

Por ejemplo: El área de un cuadrado depende de la medida del lado, y se expresa como: A= l2 , la variable independiente es la longitud del lado, es decir, a mayor medida del lado mayor será el área, lo cual se expresa también diciendo que el Área del cuadrado es función de la medida del lado. CONCEPTO DE LA RELACIÓNFUNCIÓN: El termino función significa dependencia, donde la variable dependiente depende de la independiente. Para cada valor que demos a la variable independiente, obtenemos uno para la dependiente, de esta forma: 21


MATEMÁTICAS IV

FUNCIÒN ES UNA APLICACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÙMEROS REALES EN LOS NÙMEROS REALES

La variable “X” representa al dominio La variable “ Y” representa al codominio o contradominio, la “Y” también se representa con f(x), que se lee efe de equis o función en equis. Imagen: Es cada elemento del contradominio que está relacionado con un elemento del dominio El rango es el conjunto de imágenes Regla de correspondencia: Es el modelo matemático que expresa la relación entre las variables “equis”, y “ye. La regla de correspondencia o condición se puede obtener a partir de un par ordenado de la función. Ejemplo: Dado el par ordenado (x, y), (2,5) determinar la regla de correspondencia. Se establece la relación y = k x i) y x

ii)

Se despeja la k, así, k =

iii)

Aplicando k en ( 2 , 5 ) se tiene k=

iv)

Así la regla de correspondencia es: y =

5 2

( se lee: “ y “ es 5 2

22

x

5 2

del valor de x )


MATEMÁTICAS IV

Para calcular el área del círculo se emplea la función A= π r 2 , por lo que la medida del área depende de la longitud del radio, entonces el radio es la variable independiente y el área es la dependiente y, π es una constante igual a 3.1416… 2 : f(r) = π r Así que la regla de correspondencia de la función es: Es decir a mayor longitud del radio mayor será la Superficie del área.

23


MATEMÁTICAS IV

6.- INTERVALOS Un intervalo es una acotación que se hace en un conjunto de números, a los extremos de la acotación se les llama limites. Ejemplo de Lectura del Gráfica del intervalo Descripción intervalo intervalo del intervalo expresado como desigualdad

ſ-5
Equis que es -5 mayor pero menor que 4, “x” es u número real

( -5 ,4 )

-5<=x<4

Equis es mayor o igual a menos 5 y menor que 4. X es un número real [ -5 , 4)

-5
Equis es menor que -5 y mayor o igual a 4X es un número real

-5<=x<= 4

-∞
intervalo abierto por la derecha y por la Izquierda no incluye al -5 ni al -4 Es cerrado por la Izquierda porque incluye al -5, pero es abierto por la derecha, no incluye al 4 Es abierto por la Izquierda porque no incluye al -5por y es cerrado la derecha porque incluye al 4 Es cerrado por la izquierda y por la derecha porque incluye al -5 y al -4

( -5 , 4 ]

Se lee: x es mayor o igual a -5 y menor o igual a 4 “x” es un [-5 , 4] número real Se lee: x es mayor que menos infinito pero menor ∞que mas

+∞

infinito “x” es un número real

Es abierto por el derecho y la Izquierda, la “x” puede tener un número infinito de valores dentro los número reales.

Los Intervalos con dos variables 24


MATEMÁTICAS IV Los intervalos también pueden ser de dos variables o dos condiciones.

y

Observemos la gráfica de la izquierda: “x” puede ser igual a 4 o bien

mayor que 4 o menor que 4, igual pasa con la “y”. x

Así, ejemplo, intervalo de lapor gráfica puedeunser:

X>4 Y< 2

x es mayorque 4y“y” esmenor

que 2

Un punto que satisface o pertenece al intervalo es: X= 5, Y= 1

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UN INTERVALO: El conjunto solución son los valores que puede adquirir la variable dentro de su dominio, por ejemplo:

INTERVALOS X> 2

DOMINIO Xε Z, X , es un número entero

CONJUNTO SOLUCI N X = 3, 4, 5, 6,7……+∞

Xε Z, X es un número entero

X = -4,-5,-6….

-3

X = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

-7

COMPLETAR

-4=

COMPLETAR

-10
Xε R, X es un número real COMPLETAR

-3 >X

25

.-∞


MATEMÁTICAS IV

8.- EL DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN: R E C O R R I D O

D O M I N I O

DOMINIO Es el conjunto de números reales que tienen imagen: DOMINIO de f(x) = (a / f(a) existe, o bien es el conjunto de números reales que al substituirlos en “x”, no de una expresión absurda como una raíz negativa, o una división entre cero, o bien un logaritmo negativo, etc. Por ejemplo:

Si f(x) = √x-3 , x no puede ser menor que cero porque entonces daría un radicando negativo, se necesita que el radicando sea cero o mayor que cero para que de un número positivo, por lo que el dominio de f(x) será desde 3 hasta el infinito, expresado en un intervalo queda: Df(x) = [3, + ∞] por lo que D (f) = {x pertenece a los reales de tal forma que, x es mayor o igual que 3} o dicho de otra forma: D (f) =

{x € R / x ≥ 3}

26


MATEMÁTICAS IV

EJEMPLOS

27


MATEMÁTICAS IV

SUMA La suma de dos funciones es la suma de sus imágenes

F(x) + g(x) = ( f + g) (x) Por ejemplo, sean las funciones: f(x) = Entonces la suma (f + g) (x)=

1

x 1

1

x 1

y g(x) =

x

+ x en la gráfica la operación es:

28


MATEMÁTICAS IV

Los dominios de las funciones mostradas en las gráficas son:

D( f(x))= x< 1 unión con x > 1

D (g(x))= x



0

D(f+g(x))= x



0

Observando las gráficas se concluye que el dominio de la suma (D(f+g(x)) Es igual a la intersección del dominio de f(x) y de g(x).

D (f +g) = D f ∩ D g Tabulando algunos valores del dominio de f (x) y g(x) se tiene: x f(x) =

1

-4

-3

1





x 1

-2

1



-1

1

5

4

x

-4

-3

g(x) = x

Raíces no definidas



3

-2

-1

0 -1

1

1 1

2 1

3

2

0

1

2

0 1

3 2

4

1

1

2

3

4

5

2

3

5

Para efectuar suma las imágenes de los elementos comunes del dominio se suman

(f + g) (x ) = 1 3

1

x 1

+ x = { ( 0 , -1 +0 ), (1 , 1+1), (2 , 1+

2

),(3,

1 2

+

3 ),

( 4

,

+2 ) }

(f + g) (X ) = { (0, -1 ) , ( 1 , 2 ). ( 2 , 2.4142 ), ( 3, 2.23 ), ( 4 , 2.33) En la suma de funciones se cumplen las propiedades algebraicas de los números reales, asociativa, conmutativa, elemento neutro, función constante y función inversa.

RESTA DE FUNCIONES En la resta de funciones se restan las imágenes de los elementos comunes de los dominios. Sean las funciones: f(x) =

1

x 1

y g(x) =

x

, de tal forma que la resta es igual a:

29


MATEMÁTICAS IV

Tabulando algunos valores del dominio de f (x) y g(x) se tiene: x f(x) =

1

x 1

x g(x) = x

-4

-3

1





5

1

4

-2 

1

-1 

3

-4 --3 -2 Raíces no definidas

0 -1

1

1 1

2 1

3

2

-1

(f - g ) (x ) = { (0 , -1-0 ) , (1 , 1-1 ) , (2 , 1 -

0 0

2 ), (3,

1 1

2

1 2

-

3

3

), (4 ,

(f-g)(x) = { (0 , -1) , (1 , 0 ) , (2 , - 0.4142 ), (3, - 1.2320) , ( 4 , -1.667)

30

1

2

3

3 2

4

1

4 2

1 3

-2)

5 5


MATEMÁTICAS IV

PRODUCTO DE FUNCIONES Sean las funciones: f(x) =

1

x 1

y g(x) =

x

, de tal forma que el producto es igual a: (g).(x)=

y = x^05/x-1

Gráfico de la función

(g). (x)=

x x 1

x x 1

Tabulando algunos valores del dominio de f (x) y g(x) se tiene: x f(x) =

1

x 1

-4

-3

1





5

-2

1



-1

1

3

4

--3

-4

g(x) = x


-2

( f .g )(x) = { (0 , -1 *0 ) , (1 , 1*1 ) , (2 , 1 *

{ (0 , 0) ,

0 -1

1

1 1

2 1

3

2

x

(f .g)(x) =



(1 , 1 ) ,

-1

0

1

0

1

2 ), (3,

(2),, √2

(3,

2 2

1 2

3

*

3 3 2

1

2

3

4

2

3

), (4 ,

),

4

1

1 3

(4 ,

5 5

*2) 2 3

)

En la multiplicación de funciones se multiplican las imágenes de los elementos del dominio que son comunes, así el dominio del producto se define como:

31


MATEMÁTICAS IV

D(f .g ) = D f

Dg

Tabulando algunos valores del dominio x 1 f(x) =



x

-4

g(x) = x


x 1

-4

1

5

-3

-2

-1







1

4

1

1 1

2 1

-2

f ( x)

4

1

1

3

2

-1

0

1

0

1

2

3 2

Dominio de la intersección f(x) y g(x) ( 0 , ? ), ( 1 , ? ), (2 , ? ), ( 3, ?

g ( x)

3

2

3

--3

0 -1

1

= ( 0, no existe ), ( 1 , 1 ), (2 , 0.7071), ( 3, 0.2886

4 3

) , ( 4, ? )

) , ( 4, 1/6)

EVALUACIÓN FORMATIVA ¿Porque Los números negativos del dominio no tienen imagen? En este ejemplo. 32

2

5 5


MATEMÁTICAS IV

33


MATEMÁTICAS IV

34


MATEMÁTICAS IV

EJERCICIO DE DESEMPEÑOS DEL BLOQUE 1 1.- ¿De las siguientes relaciones cuáles son relaciones de equivalencia? a) Sea el conjunto de triángulos y la relación “ESTRIÁNGULO SEMEJANTE A..” b) Sea el conjunto de rectas en el plano y la relación, “¿ES PERPENDICULAR A…? c) Sea el conjunto de los primeros 20 números naturales y la relación: “ES MÚLTIPLO DE” d) Sea el conjunto de alumnos del SEA y la relación: “TIENE LA MISMA EDAD QUE”

35


MATEMÁTICAS IV

3.- En cada una de las siguientes funciones determine: a) b) c) d) e) f)

el dominio el codominio el rango la variable independiente la variable dependiente la regla de correspondencia en términos de x , f(x)

3.1 su Se peso mide en la estatura mts. de mediciones 50 personasson; y en(las primeras diez ),se (observa relación con kg. Las en primeras estatura , peso 1:50 , 53cierta ), las ocho restantes midieron en estatura respectivamente, 1:55 , 1:80 ., 1:77 , 1:90 1:65 , 1:85 , 1:70 , 1:45 ¿ cuál es el peso en kg, de cada una de estas personas ¿ , se sugiere primero determinar la regla de correspondencia. .3.2.- Un carro se desliza a una velocidad constante de 50 km/h. ¿Que distancia recorrerá en: 0.5 hrs., 0.75 hrs., 0.37 hrs., 1.55 hrs. a) encuentre la regla de correspondencia b) encuentre la distancia en cada caso. 4.- Escriba la regla de correspondencia de las siguientes funciones PARES ORDENADOS F(x) = Y es igual x mas 15 Y es igual al cubo de x (1, 2 ), ( 4, 8 ) ( 1 ,1 ), ( 2, ½), ( 3, 1/3 ) 5.- Obtenga el dominio y el rango de las funciones siguientes: FUNCI N DOMINIO F(x) = X +3 ∞-  F(x)  +∞ F(x) = 5x F(x) = X se lee: valor absoluto de “x” F(x) = F(x) = F(x) =

2x  1

2

x2 x4 x4

36

RA NGO 3



F(x) < ∞


MATEMÁTICAS IV

6.- Efectué las siguientes operaciones con funciones 6.1

Dadas: f(x) = (2,1), (5, 6), (7,8). ( 3 , 4 ), ( 8, 9 ) g(x)= (5, 8), (8, 11), (2, 5), (15, 18),

f(x) + g(x) ,

f(x) - g(x) ,

f(x) . g(x) ,

f(x) : g(x)

6.2. Sean las funciones: k(x) = x 2 -5x +6 ; L(x) = -x 2 +5x Efectuar: ( k + L ) (x) ;

( k - L ) (x) ;

6.3 Dadas las funciones: f(x) = Hallar: ( f + g ) (x) ;

( k . L ) (x) ; ( k : L ) (x) ;

1  2x 2  5x

( f - g ) (x) ;

y g(x) =

x 1 x2

( f . g ) (x) ; ( f : g ) (x) ;

7.- Dadas las funciones h(x) = 2x + 1 y k(x) = x+1 encontrar la composición h º m, cuando h(x) se aplica en los siguientes valores de “x”: X= -1, -2 , -3 , 5, 9, 12 7.2- f(x) =

1  2x 2  5x

7.3 Dadas f(x) =

; g(x) = x2 2x  1

x 1 ; calcular g º f (se lee: g en composición con f) xx  2

y g(x) =

x ; Calcular f º g

37


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE II APRENDIZAJES ESPERADOS AL TÉRMINO DEL BLOQUE 2 1.- Identifica las funciones inversas 2.- discrimina las funciones que son inversa de otras 3.- Encuentra la función inversa, dada una función 4.- Gráfica la función inversa 5.- Identifica en una gráfica el dominio y el rango de una función inversa 6.- Identifica Expresa ellas dominio y el constantes rango en la notación de intervalos 7.funciones 8.- grafica la funciona constante 9.-Identifica la función identidad 10.- Grafica la función valor absoluto 11.- Calcula el rango de la función valor absoluto 12.- Identifica la función escalonada o a trozos 13.- Grafica la función escalonada 14.- Determina el dominio y rango de la función escalonada 15.- Aplica traslaciones horizontales y verticales a funciones sobre los ejes coordenados. 16.- Resuelve problemas de aplicación.

38


MATEMÁTICAS IV

Ejemplo: dada la función: y = 2x + 3 encontrar su inversa -1 a)

en la función y = 2x + 3 despejamos la “x” X=

b)

f

y 3 2

Se sustituye la x por la y y viceversa ( la y por la x ) Y = x 3 2

39

f


MATEMÁTICAS IV

GRAFICA DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La gráfica de la función valor absoluto f(x) = |x| se puede construir a partir de valores de una tabla Valor de x Valor de |f(x)| -2 2 -1.5 1.5 0 0 13 13 Para representar cualquier función que presente valor absoluto, es conveniente representarla como si no lo tuviera y luego doblar la parte que queda debajo del eje x hacia arriba respecto al mismo eje.

40


MATEMÁTICAS IV

FUNCIÓN IDENTIDAD. Es una aplicación en los números reales ( R tal forma que: F(x) =x.

R) de

Por ejemplo: sea la función: y=x donde y, x son números reales, construyamos una tabla con algunos de sus valores:

EVALUACIÓN FORMATIVA Cuál es la diferencia entre la función, f(x) y la función | f(x) | valor absoluto,

VALORES DE X VALORES DE la función f(x) =x Coordenadas ( x , f(x) ) -2 F(-2) = 2 (-2, 2) -1 F(-1) = -1 ( -1, -1) 0 F(0) = 0 (0, 0) 1 F(1 )= 1 ( 1, 1) 2 F(2) = 2 ( 2,2) En la función Identidad La abscisa(x) y la Ordenada (y) de cada punto son iguales

41


MATEMÁTICAS IV

LA FUNCIÓN ESCALONADA O A TROZOS: Generalmente estamos acostumbrados a representar una función utilizando una única fórmula. Esto significa que la relación entre las variables independiente y dependiente siempre se mantiene igual. Pero en ocasiones no sucede así. Puede ocurrir que la relación entre variables vaya cambiando, cuando así sucede se describe una función escalonada o a trozos, es decir una función que se representa con varias fórmulas según sea el valor de x. Por ejemplo: Imaginemos que estamos calentando agua en un recipiente y que inicialmente está a una temperatura de 10º centígrados y que la temperatura aumenta a razón de 15º C por minuto. La función que mide la temperatura (f(x)) en función del tiempo (x) es: y = 10 +15x

42


MATEMÁTICAS IV

FUNCIÓN CONSTANTE

43


MATEMÁTICAS IV

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

44


MATEMÁTICAS IV

EVALUACIÒN FORMATIVA Dada la función: y= 2x +1, efectúa las siguientes traslaciones: a) tres unidades hacía a la derecha en traslación horizontal b) 1 unidad hacía arriba en traslación vertical

REFLEXIÓN DE UNA FUNCIÒN SOBRE E JES COORDENADOS El termino reflexión deriva de reflejar, así LOS cuando te miras en un espejo se refleja tu imagen.

45


MATEMÁTICAS IV

EJERCICIOS DE DESEMPEÑO DEL BLOQUE 2 1.- ¿Como se identifica que una función es inversa de otra? 2.- ¿Como se calcula la función inversa? del dominio de una función f(x), estos mismos elementos que serán en la 3.- Si 1,0 ,3 son elementos función inversa, f -1 (x).

4.- Hallar la función inversa de y = x +4 5.- Hallar la función inversa de:

2x  1 4x  2

6.- Hallar el dominio de la función inversa de

x 1 x2

7.- Hallar el Contradominio de la función inversa de: y = x2 8.- Grafique la función y= x2 y su inversa 10.- ¿Cual es la función que es igual a su inversa? 11.- ¿Como es la función constante? 12.- Grafiqué la función: y=3 13.- Grafique la función:

2

si 0 < x < 3

4

si 3 < x < 5

f(x) = 46


MATEMÁTICAS IV

14.- Grafique la función: y = | 2x+1| 15.- grafique la función y determine el dominio y rango: f(x) =

-x si x< 0 2 si x= 0 X si 0 < x < 2 1 si x ≥ 3

16.- Grafique la función: f(x) = | x | -3 x 4

17.- Represente gráficamente la función: f(x) =

si x< 0 2

x si 0 ≤ x < 2

6-x si x ≥ 2 18.- Un alud de nieve tiene una velocidad inicial de 10 kms/ h en su deslizamiento en una pendiente, si alcanza una aceleración de 50 m/seg, ¿cuál será su velocidad en cada segundo durante los próximos 5 segundos? Encuentre la función que represente esta situación y represéntela gráficamente.

19.- En una tienda comercial a la entrada regalan un cupón con valor de 50 pesos en mercancía y por cada 500 pesos de compra le descuentan el 10%, ¿cuál es la ecuación de esta función? Represéntela gráficamente.

20.- María tiene 10 dólares y cada semana va a comprar el doble de lo que tiene. ¿Cuantos dólares tendrá cada semana y al termino de la quinta semana? , ¿Cuál es la función que representa la situación? Construya una grafica donde se muestren los resultados en las primeras cinco semanas. 47


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE III APRENDIZAJES ESPERADOS AL FINALIZAR EL ESTUDIO DEL BLOQUE 3 1.-Identifica las funciones polinomiales en una variable 2.- Caracteriza a las funciones polinomiales de grado cero 3.- Define la influencia de los parámetros de las funciones de grado uno, en la gráfica 4.- Define la influencia de los parámetros de las funciones de grado dos, en la gráfica 5.- Identifica las funciones polinomiales de grado dos 6.- Representa gráficamente a las funciones cuadráticas 7.- Obtiene el dominio y rango en la gráfica de una función cuadrática 8.- Obtiene los ceros o raíces de las funciones polinomiales de primer y segundo grado 9.- Obtiene la función algebraica a partir de una gráfica de un polinomio de primer o segundo grado 10.- Traza el eje de simetría en una función cuadrática

48


MATEMÁTICAS IV

1.- FUNCIÓN POLINOMIAL DEFINICIÓN: Es una expresión ordenada en forma decreciente con respecto a los exponentes de la variable x: an xn + an-1 xn-1 + an-2 x n-2 + a n-3 xn-3 + … + a2 x 2 + a1 x + a Cada termino está separado del siguiente por el signo + , el grado de un término lo determina el exponente de x,

  

el delque polinomio lo determina exponente detérmino x de todos los términoso el grado término no contiene a x es deelgrado cero y mayor se llama independiente termino constante.



Representación de una función polinomial: f(x) = a2 x 2 + a1 x + a Donde n es un entero no negativo y an ≠ 0

an xn + an-1 xn-1 + an-2 x n-2 + a n-3 xn-3 + … +

f(x) =0 se llama función polinomial cero y de grado n. f(x) = a0 donde a0 = 0 , que es una función polinomial de grado cero y corresponde a la función constante. Si n=1 entonces f(x) = a1+ a0 = mx+b ( ecuación lineal) Si n=2 entonces la función es. F(x) = a2 x2 + a1 x1 + a0x 0 + a = ax2 +bx +c , y que corresponde a la ecuación cuadrática. 





Una función polinomial de grado cero o uno recibe el nombre de función lineal y su gráfica es una línea recta:

En conclusión: Se deduce que las funciones constantes, lineales, cuadráticas y cúbica son casos especiales de la función polinomio. El valor o valores que satisfagan a cada ecuación se le llama raíz de la ecuación o también se les conoce como CEROS del polinomio

Por ejemplo, son rectas como: Y = 3x +1; y= 5x;

y= 4 Las rectas se clasifican en:  

Funciones afines Funciones lineales

49


MATEMÁTICAS IV

50


MATEMÁTICAS IV

Las funciones que se expresan por una ecuación del tipo. Y =mx, donde m≠ 0, reciben el nombre de funciones lineales, su gráfica es una línea recta que pasa por el srcen de los ejes coordenados y m es la constante de

proporcionalidad.

FUNCIONES LINEALES TRANSFORMANDO LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA A LA FORMA DE UNA FUNCIÓNAFÍN La ecuación general de la recta es: Ax +By+C= 0; Despejando la “y” ; se tiene: Y = 

A



C

C A X +( ); B B



La formaEn deuna la función es: paquetes y= mx +n donde ; y n=( ) Ejemplo: papeleríaafín venden de, 500 hojas m= de papel B cada uno, deBtal forma que el número de hojas adquiridas está en función del número de paquetes comprados. Por lo tanto el número de paquetes y el número de hojas son magnitudes directamente proporcionales. La ecuación que expresa esta función es: y= 500x, siendo “y “el número de hojas y "x" el número de paquetes. Se trata de una función lineal.

   

 





EVALUACIÒN FORMATIVA En el ejemplo: y=500x ¿Cuál es la variable Independiente? Es lo mismo escribir. Y=500x que f(x)=500x, porque? ¿qué se entiende cuando se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales? ¿qué significa constante de proporcionalidad? ¿La grafica de la función f(x) = mx es una línea recta que siempre pasa por el srcen? ¿Si la constante de proporcionalidad (m) es negativa que cambio experimenta la gráfica? ¿La función f(x) =mx es biyectiva? Porque?

51


MATEMÁTICAS IV

52


MATEMÁTICAS IV

PENDIENTE DE UNA RECTA

53


MATEMÁTICAS IV

DIFERENTES RECTAS CON SU PENDIENTE

La pendiente (m) da una idea de la inclinación de la recta. En la fig. se observan un conjunto de rectas que pasan por el srcen de los ejes coordenados pero con diferentes inclinaciones con respecto al eje x, observe que cuando la recta tiende al eje y la pendiente crece el xinfinito cuandotiende es paralela a ser paralela conhasta el eje la pendiente a cero.al eje y. Mientras que si la recta tiende

54


MATEMÁTICAS IV

EVALUACIÓN FORMATIVA



¿Con cuál función trigonométrica tiene relación la pendiente? Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje x? ¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje y? Si la pendiente es igual a 1 y la x aumenta una unidad, cuánto vale la y?



Si la pendiente es negativa entonces la función “y “, crece o decrece? Porque?

  

  

¿qué significa que la pendiente sea infinita? Como será la gráfica de la función? Si el ángulo que forma la recta con el eje x es igual a 60º, ¿cuánto vale pendiente? Si la pendiente de una función es igual a ,1 ¿qué ángulo forma la recta con el eje x?

55


MATEMÁTICAS IV

FUNCIÓNPOLI NÓMICA DE SEGUNDO GRADO a2x2 +a1 x1 +a Las funciones polinómicas de segundo grado son de la forma: y= ax2 +bx +c, cuando a ≠ 0, reciben el nombre de parábolas y su gráfico por consiguiente es una parábola.

56


MATEMÁTICAS IV

57


MATEMÁTICAS IV

PASOS PARA DIBUJAR UNA FUNCIÓNCUADRÁTICA 1.- localizar los cortes de la parábola con el eje de las abscisas (eje x) o s ea encontrar las raíces de la ecuación a ax2 +bx +c = 0, través de la fórmula general (x=



b   bb  4ac 2a

) para resolver ecuaciones

de segundo grado, o por factorización. 2.- localización de las coordenadas (x, y) del vértice, a partir de la forma: y= ax2 +bx +c 3.- Identificar el valor de “a” en y= ax2 +bx +c , si a>0 la parábola se abre hacia arriba y su vértice es un mínimo Si a< 0 la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un máximo.

Entonces la abscisa del vértice es: X=



b

2a

y la ordenada (y) se localiza substituyendo el valor de

“x” en la función:

y= ax2 +bx +c

58


MATEMÁTICAS IV

4.- Construir una tabla de valores para localizar algunos puntos que pertenezcan a la parábola x y= ax +bx +c , 5.- localizar los puntos en el plano cartesiano y unirlos para dibujar la parábola. FUENTES DE CONSULTA Del saber universal enciclopedia CWD México s.a. de C.V. 2002 Flores Meyer matemáticas del bachillerato edit. Progreso México 1996 Campos Ortiz j. Francisco Matemáticas funciones publicaciones cultural, México 2006. sanchezfavela-gerardo.blogspot.com EJERCICIOS DE DESEMPEÑO DEL BLOQUE 3 1.- Como se define el grado de una función polinomial? 2.- ¿Cuál es el grado de la función; F(x) = 3? 3.- ¿Cuál es el rango de la función cero? 4.- Escriba un ejemplo de un polinomio de grado 4 y con término independiente igual a 5 5.- En el polinomio 4x3 + 2x2 – 5x +3;¿Cuál es el grado del polinomio. 6.- En el polinomio anterior cuál es el término independiente o constante 7.- En las funciones afines Y = mx +b, que representan: a) m b) b 8.- En la función y= 2x +3, ilustre en una gráfica los valores de: a) 2 c) 3 9.- ¿qué es la pendiente de una recta? 10.- ¿Cuál función trigonométrica se relaciona con la pendiente? 11.- Si la pendiente de una recta es igual a 3, ¡¿Cuál es el ángulo que representa en grados y en radianes? 59


MATEMÁTICAS IV

12-¿Dequé depende que la gráfica de la función cuadrática se abra hacía arriba o hacia abajo? 13.- Que ocurre con la gráfica de la función cuadrática cuando el coeficiente de x 2 es mayor que 1 y va en aumento? 14- Que ocurre con la gráfica de la función cuadrática cuando el coeficiente de x 2 es mayor que 1 y fraccionario y se encuentra entre cero y uno. 15- ¿Cuál es la imagen de la función cuadrática de la forma f(x)=x? 16.- ¿Cuál es la gráfica de las siguientes funciones? a) x2 +7x +10

b) – 2x2 +3x -2 =0

6.- Cual es la función: y= ax2 +bx +c en cada una de las siguientes gráficas:

7.- Si una función corta al eje x en x= -2 y x=3, encuentre: a) La ecuación de la función b) La gráfica de la función c) Las coordenadas del punto más bajo de la gráfica

60


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE IV APRENDIZAJES ESPERADOS AL TÉRMINO DEL BLOQUE 1. 1.- caracterizas el comportamiento general de las funciones de grados 3 y 4 2. 2.- define la variación de los parámetros de las funciones polonomiales de grados 3 y 4 en la representación gráfica. 3. Soluciona ecuaciones factorizables. 4. Establece similitudes en las gráfica de las funciones pares e impares 5. Bosqueja gráficas de funciones de grado 3 y 4. 6. Determina las intersecciones con el eje por las funciones de grados 3 y 4. 7. Resuelve problemas aplicando las propiedades de las funciones de grados 3 y 4. 1.-LA FUNCIÓN CÚBICA

La función cúbica es generalmente utilizada para relacionar VOLÚMENES en determinados contextos de espacio o tiempo. Asimismo podemos decir que algunos ejemplos prácticos sean por ejemplo el relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza se puede determinar la semanas de gestación del feto. Otro ejemplo característico podríamos decir que sería el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Esta función cúbica se utiliza más en el campo de la economía como en el de la física. Esta función es más conocida como la:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma: 3

2

y=a*x +b*x +c*x+d

Donde a (distinto de 0), b , c y d

son números reales.

61


MATEMÁTICAS IV La función definida por: y = f(x) = a o + a1x + a2x2 + a3x3, se llama: función cúbica. Dentro de

estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la siguiente figura

PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA CÚBICA



El dominio de la función es la recta real 



El recorrido de la función es la recta real ()



La función es simétrica respecto del srcen, ya que f (-x) = -f(x).



La función es continua en todo su dominio.



La función es siempre creciente.



La función no tiene asíntotas.



La función tiene un punto de corte con el eje Y. La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X



62


MATEMÁTICAS IV

A continuación se muestran algunas graficas características de las funciones cúbicas f (x) = x3

=Eje X -2 -1 0 1 2 Y -8 -1 0 1 8

f (x) = x6

= Eje x -2

-1 0 1 2

y -512 -1 0 1 512

63


MATEMÁTICAS IV

Ejemplo Determinar el dominio y codominio de la función: F(x) = -x3 +8 Solución domf = (- 00, 00) codomf = (-00, 00) La gráfica corta al eje Y en 8 -x3 +8 8 = 0, x3 = x =2 Tabla de valores x y

-1

0

1

9

8

2 7

0

3

La gráfica corresponde a la función: y= x

2

- 3x + 3







Solicite a su asesor la orientación sobre el uso de un software de gráficos y estudie la variación de los parámetros de la función que se muestra en esta

























gráfica.





64


MATEMÁTICAS IV

Evaluación Formativa Dada la función y= x3 – 3x2 + 3, complete la siguiente tabla encontrarando los valores de y X -2

-1 0 1 2

Y -17

Determine el dominio y el codominio de la función Determine el intervalo Observando la gráfica obtenga una aproximación de las raíces de la ecuación x3 – 3x2 + 3 =0

2.- ESTUDI O DE VARIA CIÓN DE PARÁMETRO S EN LA FUNCIÓ N CÚBICA a X 3 + bx

2

+cx + d

Modifica el parámetro d para observar cómo influye en la gráfica. Al modificar el valor de d la grafica se modifica en función de la ubicación del punto de intersección con el eje Y ya sea si se aumenta este tiende a subir y si se disminuye este tiende a bajar ¿Puede una función cúbica no tener ningún punto de corte con el eje OX? Siempre la función cubica va a tener por lo menos un punto de intersección con el eje de intersección con el eje x todo dependiendo de los valores de c y de b pues estos son los que determinan las curvas. Además que para el eje y solo va existir un punto de intersección con dicho eje. Modificando los parámetros a, b y c podemos observar cómo influye que cada uno de ellos influye en la grafica de manera particular pues mientras que el parámetro a determina el crecimiento de la 65


MATEMÁTICAS IV

grafica el parámetro b y c determinan las curvas que esta pueda adoptar encontrando máximos y mínimos en ese espacio determinado de la gráfica:

EVALUACIÓN FORMATIVA - ¿ La función cúbica tiene un dominio finito en los reales ¿ - La función cúbica es bi ectiva?

3.- Ecuación de cuarto grado

Gráfico de una ecuación de cuarto grado. Una ecuación cuartica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

Donde a, b, c, d y e son números reales (siendo

)

66


MATEMÁTICAS IV y = x^4 -2x^3

-3x^2+3x+2 

































En el gráfico se muestra la representación de la ecuación cuartica: X 4 -2X 3 -3X2 + 3X +2; Que de acuerdo con la forma canónica sus coeficientes son:

a = 1, b = -2, c= - 3 , d= 3 , e= 2 En este caso es una función cuartica completa. La función tiene como dominio a los números reales, dependiendo de la variación de sus parámetros (coeficientes de los términos ) la gráfica adquiere diferentes formas y no siempre corta al eje x por lo que puede presentar raíces

EVALUACIÓN FORMATIVA

67


MATEMÁTICAS IV

y = x^4

x

y -5.00000 -4.00000 -3.00000 -2.00000 -1.00000 0.00000 1.00000 2.00000 3.00000 4.00000 5.00000

625.00000 256.00000 81.00000 16.00000 1.00000 0.00000 1.00000 16.00000 81.00000 256.00000 625.00000

En la gráfica se muestra La función cuartica pura, es decir solo con el término de cuarto grado. 4

Y = a x - si la “a” crece entonces la curva se cierra hacía el eje “y” siendo a mayor que cero la curva se abre hacia arriba

-

Si la “a” cambia de signo de + a - entonces la curva se abre hacia abajo

-

En este caso la función se anula en cero, observe la tabla de valores cuando x= 0 entonces la y= 0.

-

Por lo tanto el polinomio presenta un cero en los números reales.

-

En esta presentación la función es simétrica con respecto al eje y.

-

La inversa es igual y= ( x/a) 1/ 4

68


MATEMÁTICAS IV y = x^4 -2x^3 y = x^4+2x^3































EVALUACIÓN FORMATIVA En la función: f(x) = ax 4 + bx3, que



significa la variación de “b” cuando

b> 0 y cuando b< 0? 

En la gráfica se muestra las variaciones que tiene la función cuartica incompleta mixta del tipo: ax4 + bx3 = 0 -

Si b< 0 y decrece entonces la parte de la curva (roja) del lado derecho se abre hacía bajo, presenta un mínimo y corta al eje x cuando asciende.

-

Si b > 0 y crece entonces la curva (azul) la rama izquierda de la curva baja presentando un mínimo y vuelve a ascender cortando al eje x, en este caso en -2

-

El valor de “b” determina la intersección con el x y por lo tanto determina dos

raíces de la ecuación dependiendo del signo que adquiera -

Si tomamos la ecuación : X4 + 2X3 = 0

Factorizando se tiene, X3 (X + 2) = 0, separando los factores, X3 = 0, (X + 2) =0, despejando la X en cada caso, X = 0, X= -2, ambos son ceros o raíces de la función descrita

69


MATEMÁTICAS IV y = x^4 +x^3 +x^2 y = x^4 +x^3+2x^2 y = x^4+x^3-x^2



































En la gráfica de la superior se muestra la función de la forma: 4 3 2

F(x) = a x + bx^ + cx

Manteniendo constantes a los coeficientes a,y b se observa que: - Si c> 0 y en crecimiento Entonces la curva se cierra. - Si c < 0, entonces la rama Izquierda de la curva decrece de acuerdo al valor de de c presentando un mínimo - Se observa que la función sigue conservando su intersección con el srcen de los ejes coordenados.

70


MATEMÁTICAS IV y = x^4 +x^3 +x^2 y = x^4+x^3+x^2+x y = x^4+x^3+x^2+3x



































En la gráfica se muestra las variaciones de la función: ax +bx +cx + dx Cuando el coeficiente d es mayor que cero. Manteniendo constantes a,b y c Si c> 0 y aumenta de valor entonces la curva decrece hacía el lado izquierdo del eje y Si c < 0 y decrece constantemente entonces la curva decrece pero por el lado derecho del eje y. Si c=+ entonces la curva se desplaza hacia la izquierda pero si c = - entonces se desplaza hacia la derecha Factorizando la ecuación se tiene x ( ax 3 +bx2+ c ) = 0 lo cual significa que sigue conservando su raíz en el srcen, x= 0 y resolviendo el otro factor ax3 +bx2+ c se localizan las otras tres raíces.

71


MATEMÁTICAS IV y = x^4+x^3+x^2+x-1 y = x^4+x^3+x^2+x+1 y = x^4+x^3+x^2+x



































En la gráfica se muestra un comparativo de funciones cuarticas completas cuando se hace variar el coeficiente o termino independiente “e”

ax4 +bx3 +cx2 + dx +e Manteniendo constantes a,b,c, d i) ii) iii)

si ”e” es mayor que cero y varia en forma creciente entonces la curva se desplaza hacia arriba, el corte de la curva con él y es igual al valor de “ e” Si “e” es menor que cero, es decir negativo entonces la curva se desplaza hacia abajo y el valor de “e” es la intersección con el eje “y” Solamente en este caso de la ecuación com pleta, es decir cuando existe “e”,

la curva no pasa por el srcen de los ejes coordenados.

EVALUACIÓN FORMATIVA ¿Si la gráfica de una función de cuarto grado corta al eje y en 2 esto significa que f (2) = 2? 72


MATEMÁTICAS IV

FUENTES DE CONSULTA Del saber universal enciclopedia CWD México s.a. de C.V. 2002 Flores Meyer matemáticos del bachillerato edit. Progreso México 1996 Campos Ortiz j. Francisco Matemáticas funciones publicaciones cultural, México 2006 . Sanchezfavela-gerardo.blogspot.com EJERCICIO DE DESEMPEÑO (Portafolio) 1.- Exprese la función: f(x) = x 4 como una función de segundo grado y compare sus valores en las siguientes tablas: Cuarto grado 2ª grado x Y x y -5

-5

-4

-4

-2

-2

-1

-1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

73


MATEMÁTICAS IV

f(x)=2X 4 +2X 3

2.- Complete la tabla y esboce la gráfica de la función x

F(x) = 2X +2X

( x, y )

-5 -4

F(-5) =2(-5) +2(-5)

(-5 , 2250

-2 -1 0 1 2 3 4 5





























74








MATEMÁTICAS IV

3.- Exprese en factores la ecuación: x3 + x 2 -2x = 0 4- explique cuando una función es continua y cuando es discontinua 5.- Como se comporta en la gráfica una función de grado par? 6.- Como se comporta en la gráfica una función de grado impar?

































7.- Escriba los intervalos del dominio de la función que se muestra en la gráfica si: a) cuando la curva crece b) cuando la curva decrece

8.- Escriba la forma canónica de una función de grado cuarto?

9.- Identifique cada gráfica con su ecuación si estas son. F(x) = x3,

75

f (x ) = - x 3


MATEMÁTICAS IV

10.- dada la función f(x) = X 4 -2X 3 -3X2 + 3X +2; explique. a) cuántos cortes o intersecciones tiene la grafica con el eje x b) cuál es el término que define la intersección con el eje y c) qué forma adquiere la ecuación cuando la gráfica tiene intersección con el srcen de los ejes coordenados. d) Si en la ecuación se elimina el termino cuadrático (-3x2 ) como se comporta la gráfica e) En una gráfica cualesquiera como se definen los puntos mínimo y máximo f) Esboce la gráfica de la función f(x) = X 4 -2X 3 -3X2 + 3X +2;

76


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE V APRENDIZAJES ESPERADOS AL FINALIZAR EL BLOQUE 5 1.- Obtiene el residuo de un polinomio entre un binomio de la forma x-a, aplicando el teorema del residuo 2.-Aplica el teorema del factor para identificar que un binomio de la forma x-a es factor de un polinomio 3.- Opera la división sintética 4.-Describe el teorema fundamental del algebra para explicar los ceros racionales de un polinomio 5.-Reconoce los ceros reales y complejos de un polinomio 6.- determina si un binomio de la forma x-a es factor de un polinomio sin efectuar la división 7.- Obtiene los ceros de un polinomio y construye graficas

77


MATEMÁTICAS IV

Los puntos de intersección de la curva con el eje x se llaman raíces o ceros de la función. Observe en la gráfica que existen tres cortes, o sea tres raíces o ceros Reales de esta función, se pueden denotar así:

X1 = -3, X2 =-1, X3 = 2 Cuando la gráfica no corta al eje x o de abscisas las raíces de la función no son reales sino imaginarias o complejas

78


MATEMÁTICAS IV

Ejemplo: En la división que se muestra, el teorema del residuo Significa que. Calculandof (-2) en el polinomio 3x3 -2x2 -18x-1 Se obtiene el residuo =3

Veamos: f(-2) = 3(-2)3-2(-2)2-18(-2)-1= -24 -8 +36 -1 =3 Es decir: se despeja la x del divisor ( x= -2 ) y el -2, se sustituye Por la x en el dividendo y el resultado es el residuo.

Evaluación formativa Compruebe que al sustituir las raíces, X1=-3, X2=-1 y X3 = 2, en la función F(X) = X3 +2X2 -5X – 6 f (-3) =0, f (-1 ) = 0 , f(2) = 0

79


MATEMÁTICAS IV

TEOREMA DEL FACTOR Si “r” es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0 ; es decir, f(r) = 0, entonces x-r. es un factor de

f(x). Y viceversa, si x – r es un factor de la ecuación polinomial f(x) =0, Entonces “r” es una raíz de la ecuació n, o sea que f(r ) = 0. Ejemplo de aplicación del teorema del factor: Sean X1 = 3 , X 2 = 1/3 , y X 3 =- 2 las raíces de una ecuación cúbica, encontrar: a) la función polinomial correspondiente b) Su gráfica Solución: si X1 , X2 y X3 son raíces entonces son factores de la ecuación cúbica, es decir: ( X + 3 ) ( X+1 ) ( X-2 ) = 0 Observe que al pasar cada raíz como factor se le cambia el signo, porque cada factor se iguala a cero. Por lo que efectuando la multiplicación se tiene: (X - 3)(X-1/3)(X+2) = 3X3 - 4X2 - 17X + 6 = 0; sustituyendo el 0 por f(x) se obtiene la función buscada. F(x) = 3X3 - 4X2 - 17X + 6 b) Para graficar la función se construye una tabla de valores con algunos valores del dominio (Valor de x y -5.00 -384.00 -4.00 -182.00 -3.00 -60.00 -2.00 0.00 -1.00 16.00 0.00 6.00 1.00 -12.00 2.00 -20.00 3.00 0.00 4.00 66.00 5.00 196.00

EVALUACIÒN FORMATIVA En F(x) = 3X3 - 4X2 - 17X + 6 ¿Cuanto vale la “y” si la

x= 1/3 ?

80


MATEMÁTICAS IV

DIVISIÓN SINTÉTICA O MÉTODO DE RUFFINI En el proceso de determinación de las raíces de un polinomio P(x) se recurre al teorema del residuo, es decir dividir el polinomio P(x) entre una expresión lineal de la forma x-r. Por ejemplo, al dividir el polinomio: 3X3 -4X2- 9X + 7 ÷ X-3 3 X ^2  5 X  6 X  3 3 X ^3  4 X ^ 2  9 X  7

-3x3 +9x2 2

0+ -5x 5x 2–+15x 9x 0 + 6x +7 - 6x +18 0 +25 La división sintética también se puede disponer así: 3 3 4 9 7 +9+15+18 3+5 +6 +25 Como el dividendo es de grado tres el cociente Es de grado dos, es decir: P(x)n = C(x) n-1 Para hacer la misma división pero a través de la división sintética se r procede de la siguiente forma: Se escriben los coeficientes del dividendo y al -3 del divisor se le cambia el signo.. a) 3|

3-4-9+7

3 x 3| 3

-4 - 9 +7

se baja el tres y se

9

|

multiplica por el 3 del divisor

y da 3 +59 que se suma con - 4 y da 5 c) 3 x 5| 3

-4-9+7 9

que 3 +5 + 6 con -9 quedando 6 d)

3 x 6| 3

+15

se multiplica 3x5

da15 y este se suma

-4-9+7

9 +15 +18 se multiplica 3x6 que 3 +5 + 6 + 25 da 18 y este se suma con +7 quedando 25 Finalmente el cociente es: 3X2 +5X +6 81


MATEMÁTICAS IV

EVALUACIÓN FORMATIVA Empleando la división sintética encuentre el cociente y el residuo en cada una de las siguientes divisiones:

a) X3 +8X2 +9X +2 ÷ X-1 b) 2X4 -17X3 -4X2 +5X -2÷ X+2 CALCULO DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN El problema de resolver ecuaciones algebraicas, que es equivalente al de obtener las raíces de polinomios, ha interesado a los matemáticos de todas las épocas. Los antiguos griegos conocían ya métodos de solución para las ecuaciones cuadráticas que son de la forma: ax2 +bx + c=0 , con a≠ 0 Los algebristas italianos del siglo XVI se preocuparon específicamente por las soluciones a ecuaciones de grado mayor que dos, logrando algunos avances. Los trabajos de Scipione Ferro, Niccolo Ferro( conocido como Tartaglia) y Girolamo Cardano condujeron a la fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado a las que se conocían como fórmulas de “Cardano” la fórmula para la solución de una ecuación de cuarto grado fue obtenida por

Ludovico Ferrari discípulo de Cardano.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Si p(x) es un polinomio en x con coeficientes en R de grado mayor o igual que uno, entonces p(x) tiene al menos una raíz en los Números reales(R ) Las raíces de un polinomio con coeficiente en Q (números racionales) pueden ser de tres tipos: a) Raíces racionales b) Raíces irracionales c) Raíces complejas Las raíces racionales de un polinomio con coeficientes en Q se pueden obtener de entre un conjunto finito de números mediante un procedimiento de prueba directa, este conjunto finito se determina con el siguiente teorema:

TEOREMA

Sea el polinomio: p(x) = anxn + an-1 xn-1+ . . . + a1 x + a0 , un polinomio en x con coeficientes enteros, donde .

an ≠ 0 , ap 0 ≠ 0 y n> 1 . si un número racional es raíz de p(x) y q es su mínima expresión entonces p es un factor a0 y q es un factor de a n 82


MATEMÁTICAS IV

Ejemplo: Sea el polinomio P(x) = 2x3 +7x2 + 2x- 3 que tiene las mismas raíces de f(x) y cuyos coeficientes son números enteros. Para p(x) se tiene que. a 0 = -3 cuyos factores son: ± 1, ± 3 numeradores de las posibles raíces a n = 2; cuyos factores son

± 1, ± 2 denominadores de las posibles raíces

Por lo que el polinomio p(x) tiene raíces reales y estas deberán ser de los siguientes números: 1

3

± 1, ± 3, ± 2 , ± 2 a las cuales se conoce como posibles raíces racionales de p(x), aplicando el teorema del residuo y por medio de la división sintética se sabe cuáles son las raíces del polinomio. 1

2

2

2

7

2

-3

2

9

11

9

11

8

Por lo que 1 no es raíz de p(x)

7

2

-3

-2

-5

+3

5

-3

-1 0

2

Por lo que -1 es raíz de p(x); de ahí que (x +1) (2 x2 +5x - 3)= 0 Se puede seguir probando con la división sintética hasta encontrar las otras dos raíces faltantes, sin embargo también se puede resolver la ecuación cuadrática 2x2 +5x – 3 por medio de la fórmula general para ecuaciones de segundo grado o bien por factorización. EVALUACIÓN FORMATIVA Resuelva la ecuación 2x2 +5x – 3 y encuentre las dos raíces faltantes en el e em lo, com ruebe sus resultados a través del teorema del factor Ejemplo: Sea el Polinomio: 6X3 +X2 -10X + 3, de acuerdo con el teorema a n = 6 y a 0 = 3, por lo que los factores de 3 son los numeradores de las posibles raíces y los factores de 6 son los denominadores. - Factores de 3 = ± 1 ,± 3 (numeradores) - Factores de 6 = ± 1, ± 2, ± 3 , ± 6 (denominadores) - Posibles raíces: ± 1 , ±

1 2

, ±

1 3

±

Probemos utilizando la división sintética: 83

1 6

,

± 3 , ±

3 2


MATEMÁTICAS IV

1

6

1

-10

3

6

6 7

7 -3

-3 0

En esta tercera fila el residuo es cero por lo que, +1 es una raíz o sea que (x- 1) es un factor del Polinomio el otro factor es 6x2 + 7x -3 de tal forma que (x-1)(6x2 + 7x 3 2 -3) =: 6X +X -10X + 3 Resolviendo la ecuación cuadrática por la fórmula general (x= -b ± bb  4ac ) 2a X=

1 3

, y

x=

3 2

En la gráfica observe que las raíces obtenidas son los puntos en los cuales la curva corta al eje de las equis. 

x





y -5.00000 -672.00000 -4.00000 -325.00000



-3.00000 -120.00000 

















-2.00000 -21.00000 

-1.00000 8.00000



0.00000 3.00000



1.00000 0.00000



2.00000 35.00000 3.00000 144.00000 4.00000 363.00000 5.00000 728.00000

84


MATEMÁTICAS IV

EVALUACIÓN FORMATIVA ¿Cuales son las posibles raíces del polinomio

2x4 +x3 +2x2 -3x + 6 = 0

?

COTAS DE LAS RAÍCES REALES DE UN POLINOMIO P(X)

TEOREMA 1.- Sea un polinomio P(x) = f(x) > 0 Si al efectuar la división sintética de p(x) ÷ (x-r )con r positivo y todos los términos de la tercera fila de la división sintética son positivos o cero, entonces r es una cota superior de la raíces reales del polinomio p(x) =0 2.- Si en la división sintética de p(x) entre (x-r) con r negativo los términos de la tercera fila son alternadamente positivos y negativos o cero; entonces, r es una cota inferior de las raíces

LIMITE DE LA EXISTENCIA DE LAS RAICES DE P(X) COTA INFERIOR

85


MATEMÁTICAS IV

EVALUACIÒN FORMATIVA ¿ Cual es el intervalo de las cotas de las raíces de la funciòn: 4

3

2

X -5x + 5x +5x – 6 ?

86


MATEMÁTICAS IV

RAÍCES IMAGINARIAS O COMPLEJAS y = x^2 +1

En la gráfica se muestra la función y= x2 +1, Se observa que la curva de la función no tiene intersecciones Con el eje de las abscisas, cuando esto sucede significa Que las raíces no pertenecen a los números Reales, se llaman raíces complejas o imaginarias En las funciones de segundo grado cuando se aplica la fórmula general para encontrar las raíces se bb  4ac . detectan este tipo de raíces imaginarias a través del discriminante:

>0

las raíces son Reales

Si bb  4ac . = 0 Las raíces son Reales e idénticas < 0 Las raíces son Imaginarias

87


MATEMÁTICAS IV

FUENTES DE CONSULTA Algebra , lovaglia florence, elmore merrit, Conway DonaldHarla ,Harper latinoamericana, Buenos Aires 2000 Flores Meyer matemáticos del bachillerato edit. Progreso México 1996 Campos Ortiz j. Francisco Matemáticas funciones publicaciones cultural, México 2006 . Sanchezfavela-gerardo.blogspot.com

EJERCICIOS DE DESEMPEÑO DEL BLOQUE 5 (PORTAFOLIO) 1.- Grafique las siguientes funciones, puede utilizar la computadora (consulte con su asesor acerca del software que puede utilizar) represente algunos puntos de la función en una tabla. a) F(X) -1 = X3

3

b) 3X

-4X2-9X +7

C) 2X3 -3X2 +5X -7

2.- Aplicando el teorema del factor encuentre el polinomio que representa cada una de las gráficas siguientes.































88






MATEMÁTICAS IV



































3.- Aplicando el teorema del residuo calcula el residuo en las siguientes divisiones: a) (2X3 -3X2 +5X – 7 ) ÷ ( 2X )–

4

b) (2X

+ 7X

3

+X +11 ) ÷( X – 3 )

4.- Por medio de la división sintética obtenga el cociente y el residuo en cada una de las siguientes divisiones a) (3X

4

+ 2X 3 +X2 - 2x +11) ( X + 3 )

5

b) ( X

-1 )÷ (X – 1 )

c) (X 4 +X 2 -5X + 3 ) ÷ ( X + 1 ) 5.- Aplicando El teorema del factor demuestre que la primera expresión tiene como factor a la segunda: a) 4X 3 -17 X-216X + 5 : X-5

b) X

3

-2X2 + 2X – 4 : X-2

6.- Escriba el teorema fundamental del algebra 7.- Cuales son las posibles raíces reales del polinomio: f(x) = X 3 +2X2 - 5X – 6 =0 8. Establezca las cotas de las raíces del polinomio 3X 3 -4X 2 -17X + 6 , y calcule sus raíces. 9.- Encuentre las raíces del polinomio: 2X 3 +7X 2 +2X – 3 y dibuje su gráfica. 10.- Gráficamente que significa que un polinomio tenga raíces imaginarias o complejas? ejemplifique 89


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE VI APRENDIZAJES ESPERADOS AL FINALIZAR EL BLOQUE 6 NO. 1 2 3 4 5 6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19 20 21

CONTENIDO Identifica las funciones racionales Define lo que es una función racional Identifica las funciones explicitas de las implícitas Despeja la y o bien la x en una función racional implícita Identifica en una gráfica los cortes de una función con los ejes coordenadazo En una función determina el corte de la curva con los ejes coordenados En una gráfica identifica la simetría con respecto a los ejes coordenados En una gráfica identifica la simetría con respecto al srcen de los ejes coordenados Dada una función calcula las simetrías si las hay, con respecto al srcen y a los ejes coordenados Dada una función sabe cuando esta no tiene simetría con respecto a los ejes y al srcen. Identifica dominio unafunción función obtiene eleldominio dedeuna expresa el dominio a través de un intervalo Identifica el rango de una función Obtiene el rango de una función expresa el rango a través de un intervalo Identifica en una gráfica las Asíntotas de una función Dada una función racional obtiene la ecuación de las Asíntotas horizontales Dada una función racional obtiene la ecuación de las Asíntotas verticales Identifica en el plano coordenado los intervalos del dominio y del rango Utiliza la computadora para analizar la información escrita y gráfica.

90


MATEMÁTICAS IV

FUNCIONES RACIONALES Una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos polinomios:

F(x) =

P( x) Q( x)



Características de las funciones racionales







El polinomio del denominador ( Q(x) ) no puede ser nulo El dominio de la función es el dominio de los números Reales , con excepción de aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero El Rango de la función es un subconjunto de los números reales Los polinomios del numerador y del denominador no tienen factores comunes.

GRÁFICA DE LAS FUNCIONES RACIONALES Para graficar este tipo de funciones se puede optar por elaborar una tabla de valores para localizar algunos puntos (x, y) en el plano cartesiano de tal forma que uniendo estos puntos se bosqueja una parte de la gráfica sin embargo este método resulta deficiente cuando los valores de las coordenadas son demasiado pequeños o grandes y además infinitos. Por tal motivo se opta por métodos de cálculo para situar la gráfica como a continuación se explica. Intersección con los ejes coordenados del plano cartesiano Para determinar en qué puntos la gráfica intersecta a los ejes coordenados se hace que cada variable alternadamente valga o sea igual a cero. Las coordenadas del punto de intersección con el eje x son (x,0) Y para el eje y (0,y). Veamos un ejemplo. 

Sea la ecuación 2x + 3y = 6 2x +3y = 6

2x +3y = 6 2( 0 ) + 3 y = 6

2x + 3 ( 0 ) = 6 3y = 6 2x = 6 Y = 6/ 3 X = 6/ 2

y= 2 Así que ( 0 , 2 ) es el punto de intersección con el eje y

X= 3 Así que ( 3 , 0 ) es el punto de intersección con el e e x 91


MATEMÁTICAS IV

Evaluación formativa ¿Cuáles son los puntos de intersección con los ejes coordenados en la ecuación:

X2 – X – 6 = Y

SIMETRÍAS CON RESPECTO A LOS EJES COORDENADOS Cuando un punto es simétrico de otro con respecto al eje, ambos guardan la misma distancia con respecto al eje de simetría. En esta gráfica los puntos A y B son simétricos con respecto al eje “y” Y los puntos D y E son simétricos con respecto al eje “x”.

En este gráfico se representa una parábola que es una curva de segundo grado en la cual se observa una simetría con respecto al eje “y” Observe los puntos simétricos B y C, D y E, F y G

92


MATEMÁTICAS IV

Demostración: ¿La recta y=3 es simétrica con respecto al eje “y”? 1.- Es simétrica si Y = - Y 2.- Y + 0 (X) = 3, como la función no tiene x, se agregaMultiplicada por cero 3.- y + 0 (- x) = 3 se cambia de signo la x para representar la parte negativa del eje x. 4.- y = 3; se observa que se conserva la ecuación Inicial, lo que significa que la recta es Simétrica con respecto al eje “y”.

Los puntos A* y A son simétricos con respecto al srcen de los ejes cartesianos. *O = OA BO = 0B*

93


MATEMÁTICAS IV

Evaluación formativa ¿ que se pretende con saber donde corta una función a los ejes cartesianos y si es simétrica con respecto a estos . ?

SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN DE LOS EJES CARTESIANOS

Ejemplo:

Para saber si una función es simétrica con respecto ¿La función, y = x 3 es simétrica con Al srcen se sustituye en la ecuación x por –x y “y” respecto al srcen? Por “– y”, y luego se trabaja algebraicamente y si La ecuación no se altera entonces la función es 1.- En l a ecuación cambiemos los signos Simétrica con respecto al srcen. de las variables, es decir, x por –x ,yY por –Y -Y = ( - X ) 3 : -Y = - X 3 2.- multiplicando por menos uno, se tiene -1( - y ) = -1 ( - x 3 ) luego entonces. Y = x 3 por lo que la ecuación no se altera al cambiarle el signo a las variables ( x , y), por lo que la función es simétrica con respecto al srcen

94


MATEMÁTICAS IV

y = 2x^3

Ejemplo: ¿ la función y = y = (x^2 )/ ( x -2)

xx x2

1.- le cambiamos los signos a las variables - y = (-x )2 -x -2 2.- multiplicando por -1 -1 ( -y ) = ( - 1 ) (-x )2 ( -x -2) Y= x +2

-x 2

Como ecuación es igualseaobserva la de la la función por no lo tanto la función no es simétrica con respecto al srcen, observe la gráfica de la izquierda. 95


MATEMÁTICAS IV

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectasa las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Se utilizan para trazar la gráfica de funciones racionales.Una definición más formal es: DEFINICIÓN Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas se clasifican en:

TEOREMA: En la gráfica de una función racional de la forma F(x) = a n xn +an-1xn+1 + an-1xn+1 + . . .+ a1 x + a 0 Bm xm + b m-1 xm-1+ . . . + b 1 x + b 0 Se tiene. 1.- Al eje x como asíntota horizontal cuando n < m 2.- A la recta y = an / bn como asíntota horizontal cuando n = m 3) Ninguna asíntota horizontal cuando n > m Determinación del dominio y rango: Dominio: Para obtener el dominio se despeja la “y” en términos de x y se eliminan los valores de x para lo que “y” no es un término real y luego se fija el intervalo. Rango: Para obtener el rango se despeja x en t érminos de “y” y se eliminan los valores de “y” para los cuales x no es un número real. Teorema: La gráfica de una función racional de la forma f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) no tienen factores comunes, entonces la recta y = a es una Asíntota vertical si Q(a) = 0 96


MATEMÁTICAS IV

97


MATEMÁTICAS IV

Asíntotas oblicuas (inclinadas) Si existen los límites:

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua. Ejemplo:

Es la asíntota oblicua. 98


MATEMÁTICAS IV

GRÁFICA ASÍNTOTAS OBLICUAS

RESUMEN Para trazar y/o estudiar la gráfica de una función racional se utilizan los siguientes recursos:     

Intersecciones con los ejes coordenados Simetría con respecto a los ejes y al srcen Asíntotas Dominio y Rango Intervalos

EJERCICIOS DE DESEMPEÑO DEL BLOQUE 6 Dada la función: X2 Y – 4XY + 4Y – 1 = 0 1.- Calcule las intersecciones con los ejes coordenados: Respuestas: no hay intersección con el eje “x”, y=

1 4

2.- Determine las simetrías con respecto a los ejes coordenados Respuestas: No hay simetría con respecto al eje “y”, No hay simetría con re specto al srcen, no hay simetría con respecto al eje “x”. 3.- Asíntotas: 99


MATEMÁTICAS IV

Respuestas: Asíntotas vertical: x 1 = 2, x2 = 2, asintotota horizontal: y= 0, 4.- Dominio: Respuesta: (-∞,2) Ủ (2, + ∞) 5.- Rango Respuesta: (0, +∞) 6.- A partir de los intervalos del dominio y del rango trazar la grafica. Se puede auxiliar de una tabulación despejando la y de la función. 7.- En cada una de las funciones racionales siguientes, cuando sea posible, determine: a) b) c) d)

Intersecciones con los ejes Simetrías Dominio y rango Trazar la gráfica y= f(x) =

1

y=

x

x x2

f(x) =

1

x3 x 1

x 1

FUENTES DE CONSULTA. Funciones matemáticas IV Ortiz Campos J. Francisco primera edición, México 2006 Bachillerato Matemáticas semestre IV, Gaudry Lizárraga, Flores Meyer, edit. Progreso matematica.50webs.com/asintotas.html www.sectormatematica.cl/contenidos/asintotas.htm - En caché

Peterson,JohnC, Matemáticas básicas, grupo Patria Cultural, México 2000

100


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE VII APRENDIZAJES ESPERADOS AL FINALIZAR EL Comprende lo que indica el exponente en una potenciación Identifica las funciones exponenciales Identifica cuando una función exponencial es creciente Identifica cuando una función exponencial es decreciente Traza la gráfica de la función exponencial creciente decreciente Obtiene valores tabulando, de la función exponencial utilizando la calculadora Define lo que es un logaritmo Identifica los tipos de logaritmos Identifica las propiedades de los logaritmos Identifica la inversa de la función exponencial Identifica la base de los logaritmos neperianos Construye tablas de valores de funciones exponenciales Grafica funciones logarítmicas a partir de los valores de función exponencial Resuelve problemas de aplicación identificando las propiedades la función exponencial y logarítmica Resuelve ecuaciones exponenciales aplicando las propiedades de los logaritmos Resuelve ecuaciones logarítmicas aplicando las propiedades de los logaritmos Utiliza la computadora y la calculadora para buscar, procesar y/o analizar información Consulta otras fuentes de información además de la guía para ampliar su comprensión y conocer otros enfoques sobre temas tratados. Asume una actitud constructiva dentro de los equipos de trabajo y consigo mismo

101


MATEMÁTICAS IV

Un poco de gimnasia mental Mediante el trazo de 4 líneas, una los 9 puntos que siguen. No se permite levantar el lápiz del papel, ni recorrer dos veces la misma línea, ni tocar dos veces el mismo punto.

  

  

102

  


MATEMÁTICAS IV

Un año luz es igual a 9 461 000 000 000 000 km. Esta cantidad también se expresa así: 946110  10  10  10  10   10  10 10 10 10 10 10

se abrevia como 1012

El producto 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10,

lo cual se lee 10 a la 12, en ello el número 10 se llama base y el número 12 se llama exponente , y ambas cosas forman lo que se llama unapotencia . El exponente indica el número de veces que la b ase actúa como factor en el producto que se abrevia. x

Los términos que forman una potencia a son estos:

x

x

a es la base

a

103

es el exponente


MATEMÁTICAS IV

Para trabajar con este tipo de funciones es necesario recordar un poco de cosas Como las siguientes

104


MATEMÁTICAS IV

Exponentes Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por sí mismo. La expresión a2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a la n. El entero positivo se llama exponente y el número real a, base.

Leyes de los exponentes: 1. 2.

mn

3. (

a  m

ab )

n

n

n

a

5.

a

n

a

n

b

n

m

a

mn

a b

a   b

4. 



a

m n

a a

6.

a

7.

a

n

n

,

b

0

105

 a m  n,

n

0



1 a

 1,

n

,

a

a

a

0

0

0


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE VII APLICA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS En este bloque, se presentan dos funciones de gran importancia en la matemática, como son: la función exponencial y la función logarítmica. Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real. Imaginemos una célula que se divide a razón de una vez por dia.Facilmente podemos deducir que en el primer día podremos contar con dos células, en el segundo día cuatro, al tercero ocho. Etc. Pero posiblemente nos interesaría conocer más, como cuantas células tendremos al décimo día, o en días posteriores, ¿qué pasará a lo largo de diferentes períodos de tiempo?, ¿qué tipo de crecimiento se observa? Este proceso viene definido por una función exponencial, tal como y= 2 x, donde x son los días que pasan (tiempo) e y el número de células (eventos). Las funciones exponenciales describen procesos que pueden suceder en cuestiones biológicas (infecciones, o curaciones), económicas (inflación y deflación, ahorró y consumo), etc. De ahí el interés y utilidad de conocerlas más profundamente.

El ajedrez y los granos de trigo Una conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición:

264+

263+...

+

22

+

+ 2 granos de trigo, una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino. Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función 2 x, para el dominio x = 1, 2, 3,..., 64. EVALUACIÓN 106 FORMATIVA ¿ Escriba una fórmula o modelo matemático que represente esta paradoja del ajedrez y los granos de


MATEMÁTICAS IV

ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y = 2^x































x y -20 9.536743164 x 10-7 -5.000 0.031 -4.000 0.062 -3.000 0.125 -2.000 0.250 -1.000 0.500 0.000 1.000 1.000 2.000 2.000 4.000 3.000 8.000 4.000 16.000 5.000 32.000 20 1,048,576 1.- En la función a x , donde a =2, es decir a es mayor que cero y “x “ también



es mayor que cero.



a) Con a> 0 , x> 0 b) La función es monotamente creciente c) El eje x es una asintota de la función

Llamamos función exponencial de base “a” a la función:

X

f(x) = a x

Para este tipo de funciones es importante recordar que:

Por ejemplo: 2x es una función exponencial: Observemos su comportamiento con algunos Valores: Análisis gráfico de la función exponencial Ha-x

107


MATEMÁTICAS IV y = 2^-x

























x y -50 8.881784197 x 10 -16 -5.000 32.000 -4.000 16.000 -3.000 8.000 -2.000 4.000 -1.000 2.000 0.000 1.000 1.000 0.500 2.000 0.250 3.000 0.125 4.000 0.062 5.000 0.031 50 1.25899907 x 10 15











a) Si a > 0 , x < 0 b) La función es decreciente c) El eje positivo de las x es una asintota. d) Dominio: ( - ∞ , + ∞ ) e) Rango: ( + ∞ , -∞ ) EVALUACIÓN FORMATIVA ¿ La función, a x es biyectiva ? ¿ cuál es el contra dominio de a x ?

Ejemplo: f(x) = 0.1x

108


MATEMÁTICAS IV

Evaluación formativa Observando los valores que toma la función:: f(x) = 0.1x , ¿ que se concluye?

Se llaman ecuaciones exponenciales aquellas donde la incógnita (x) aparece como exponente x 3x =9 22x2 –=2x0– 2 + 2x+1 -22x = 2 Existen varios mètodos para resolver ecuaciones exponenciales, dos de ellos son: IGUALAR LA BASE Utilizando las propiedades de las potencias, debemos conseguir que aparezca una sola vez la misma base a ambos lados de la igualdad, a continuación se igualan los exponentes. A x = A y entonces x = y, finalmente se resuelve la ecuación resultante. Al igualar los exponentes.

Ejemplo:

Sigue aqui

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES POR CAMBIO DE VARIABLE. El objetivo es conseguir que todas las potencias que aparezcan en la ecuación sean iguales, una vez logrado se sustituye la potencia por otra variable, luego se resuelve la ecuación resultante y, finalmente se deshace el cambio de variable realizado.+

109


MATEMÁTICAS IV

110


MATEMÁTICAS IV

Logaritmos Referencia Histórica Los desarrollos sociales (cálculos astronómicos, de navegación, etc.) hicieron surgir en el siglo xvI la imperiosa necesidad de facilitar y simplificar los cálculos numéricos, sobre todo los de naturaleza trigonométrica. Así George Joachim (1514-1576) inicio la confección de unas grandes tablas trigonométricas, con 15 dígitos publicadas en 1596 y posteriormente en 1613. En ese ambiente John Napier, señor de Merchiston (1550- 1617), también conocido como Neper, inicio en 1594 y en el cual duro 20 años para la construcción de un método numérico para facilitar los cálculos para facilitar los cálculos a través de una correlación entre las series geométricas y aritméticas. El resultado fue su particular aportación de los logaritmos (del griego logos tratado y arithmos número) neperianos o de base e. El matemático Ingles Henry Briggs visitó en 1615 a Neper y, como resultado de sus conversaciones inventó los logaritmos de base, haciendo corresponder el 1 al logaritmo de 0 y el 10 al logaritmo de 1. En 1624 Briggs publico La primera tabla de logaritmos, llamada Aritmética Logarítmica, que incluía de los primeros 20,000 números, más los comprendidos entre 90000 y 100,00. El holandés Adrián Vlacq publicó en 1628 unas nuevas tablas de logaritmos vulgares entre 1 y 100,000(con 10 cifras), que puede decirse terminan la época inicial y sirven de base a las tablas de los siglos siguiente 111


MATEMÁTICAS IV

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = e x. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: (1 + 1/n)n Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito el eje “y “, es una asíntota. Este número es

la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos y = e^x

x































y

-50 -48 -46 -44 -24 -12 0 46

2.74597 2.74715 2.74983 2.74983 2.74 2.84094 Indefinido 2.68

48 50

2.69050 2.69159



e = 2,7182818285…



112


MATEMÁTICAS IV

F(x) = e x Dominio: Es el conjunto de los números reales. Rango: El conjunto de los números reales positivos.

LOGARITMOS NEPERIANOS Se llaman logaritmos naturales o neperianos a los logaritmos que tienen por base a l número e, este logaritmo se denota por LX O BIÉN ln x

A la inversa de la función exponencial se le llama función logarítmica:

Y = ax

f -1 (y) = x

Esta función f -1 se representa por la expresión loga y, debido a esto se llama logaritmo en base a, de un número x a la A la potencia a la que hay que elevar a para obtener el número x.

ay = x

LogaX = Y 113


La base a, es un n úmero rea l, positivo y d exponencial

El logaritmo de un

istinto de un

MATEMÁTICAS IV o, al i gual que o curre co n la función

o en cualquier base es cero:

No existe el logaritmo de de números ni cero negativos

Ejemplos

logaritmos de base 10 , utili za dos con mu cha frecuencia, se lla man d ecimales; los que tienenLos com o b ase el nú mero e se deno m inan n aturales o n eperianos , y también p ueden tener múltiples aplicac iones en ciencia. Propiedades de

los logaritmos

A p artir de las propiedades de las potencias, se deducen diversas pro piedades inte resantes de los log aritmos en c ualquier base. E stas prop iedade s se resum en en la tabla a djunta.

Propiedad El logaritmo de la base es siempre igual a 1 El logaritmo de 1 en cualquier base es 0 El logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos

Expresión simbólica loga a = 1 loga 1 = 0 loga (x y) = log a x + loga y

El logaritmo de un cociente es igual a la resta de logaritmos

a a log - loga(x/y) y = log x

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base (este enunciado engloba al logaritmo de una raíz, entendida como una potencia de exponente fraccionario)

loga (x)p = p × loga x

114


MATEMÁTICAS IV

115


MATEMÁTICAS IV

Log aritmos en b

ase 1 0

Log aritmos decimale

s

Los logaritmos de base 10, se llaman logaritmos decimales. Normalmente, estos logaritmos se simbolizan por log, sin indicar la base. En el valor de un logaritmo decimal pueden distinguirse dos partes complementarias:  

La característica, que expresa el orden de magnitud de esta cantidad y tiene valores enteros. La mantisa, o parte marginal del logaritmo, que expresa su componente decimal.

Por ejemplo, el logaritmo del número 100 es 2, por lo que sólo tiene característica (igual a 2) y su mantisa es nula. En cambio, el logaritmo del número 2 es 0,301030, característica igual a 0 y mantisa 301030.  





Los logaritmos de números mayores o iguales que 1 y menores que 10 tienen característica 0. Los logaritmos de números mayores o iguales que 10 y menores que 100 tienen característica 1. Los de los números mayores o iguales que 100 y menores que 1000 tienen característica 2, y así sucesivamente. En cambio, los logaritmos de los números menores que 1 tienen característica negativa.

Por otra parte, la mantisa de los números que sólo difieren entre sí en potencias de 10 tiene igual mantisa. Por ejemplo:

mantisa (log 2) = mantisa (log 20) = mantisa (log 200) =?= mantisa (log 0,2) = = mantisa (log 0,02) = mantisa (log 0,002) =? Log aritmos ne perianos

Los logaritmos neperianos o naturales tienen como base el número e = 2,7182818285... Estos logaritmos se simbolizan por ln o L (por ejemplo, ln 2 o L 2). La elección de una base aparentemente tan arbitraria responde a las singulares propiedades de la función exponencial ex , de manera que los logaritmos neperianos (que deben su nombre a su inventor, John Neper), tienen aplicaciones en numerosísimos campos científicos, técnicos y sociales. 116


MATEMÁTICAS IV

Antilogaritmo El antilogaritmo de un número es el número al que corresponde un logaritmo dado. Por ejemplo, si log10 100 = 2, entonces antilog 10 2 = 100. Por tanto, el operador antilogaritmo cancela la acción del logaritmo: antiloga (loga x) = x.

Cambio de base entre logaritmos Un mismo número tiene logaritmos diferentes según la base elegida. Ahora bien, basta conocer el logaritmo de un número en una base para determinar su valor en cualquier otra base, a partir de la siguiente propiedad de cambio de base : Con la calculadora o bien en la computadora se obtiene logaritmos en base 10 ( log), o bien en base “e “ logaritmos neperianos.

Ejemplo: Transformar log 276 a logaritmo de base 3 a) se obtiene el log 10 de 3 y de 276; b) Se efectúa el cociente: log =

log 3 = 0.4771, log 276 = 2.4409

2.4409 0.4771

= 5.1165

c.- log3 276 = 5.1165 Ejemplo. Encontrar log 4 83 Log4 83 =

log 83 log 4

=

1.9190 0.6020

= 3. 1877

117


MATEMÁTICAS IV

COLOGARITMO DE UN NÚMERO: Es el logaritmo de su inverso es decir, menos El logaritmo de dicho número, se denota por Evaluación Formativa ¿Cual es el logaritmo en base 5 de 68? ¿Cuál es el cologaritmo en base 10 de 200?

118


MATEMÁTICAS IV

119


MATEMÁTICAS IV

Ejemplo 3

Procedimiento:

120


MATEMÁTICAS IV

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS EJEMPLO 4 Log 2 512 = -3x +9 512 = 2 -3x + 9 2 9 = 2 -3x + 9

por definición de logaritmo expresando 512 con exponente

2 -3x + 9 = 2 9 Trasponiendo los términos de la igualdad -3x + 9 = 9

def. De igualdad

X= 0

despejando la x

Ejemplo. 6 Log 4 4= x + 2 4 = 4 x+2def. de logaritmo

Ejemplo 5 Log 5 (3x + 2) = 3 3x + 2 = 5 3

4 x+2 = 4 1 X+2=1 X= - 1

3x + 2 = 125 3X = 125-2 X= 123/ 3

Ejemplo 7 Log 2 64 = 7x – 1 64 = 2 7x - 1 2 6 = 2 7x - 1 6 = 7x – 1 X=1

121


MATEMÁTICAS IV

APLICACIONES El in ter é s c o n ti n u o

El capital obtenido de la inversión de un capital inicial C0 a un interés compuesto r en n periodos anuales sigue la fórmula: C = C0 (1 + r / n) nt, siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión... Ejemplo. El señor Pérez invierte $50,000 a un plazo fijo de 5 años con un interés compuesto del 8%. (¿Cuál será su capital al término del tercer año? C = C0 (1 + r / n) net C = 50,000(1 +

0.08 5

) 5 (3)

C= 50,000 (1.016) 15 C = $ 63,441, 82 Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial: re

C = C0 · e . Ejemplo: ¿Cuál es el interés continuo de un capital inicial de $50,000 con un interés del 6% en un periodo de cinco meses? C = 50,000 (e (0.06) (0.5) C= 50,000 (e0.03) = 50,000(1.03045) = 51, 522.72 Desintegración radiactiva Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si R0 es la cantidad inicial de sustancia y k la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo t será: R = R0 × e-k t. ¿Qué valor toma k cuando se da un crecimiento o un decaimiento?

122


MATEMÁTICAS IV

Ejemplo: En un cementerio radioactivo se depositan 200 kilos de radio, el cual tiene una vida media de 1600 años que ¿qué cantidad de radio habrá al cabo de 100 años? R = 200 (e1600 (100)) = 200(11.98) = 2.36 kg. Entonces 200 – 2.36 =197.64 kg. Crecim iento dem og ráfico

Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. Siendo P 0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial: P = P0 × eit. Ejemplo: ¿Cuál será la tasa de crecimiento de una población de 80,00 organismos en cinco años, si tiene un índice de crecimiento anual del 1 %? P = 80,000(e0.01 (5)) = 80,000 (0.05) = 4000

FUENTES DE CONSULTA 

Barnet ,Raymond A. , Michel R, Siegler y Kart E. Byleen Funciones y gráficas, McGraw Hill , México 2000



Britton, Jack R. e Ignacio Bello Algebra y Trigometrìa contemporánea, Harla México 1986



Peterson John C Matemáticas básicas, Grupo Patria Cultural, México 2000





Ortiz Campos j. Francisco, matemáticas funciones, publicaciones cultural, México 2006 Sanchezfavela-gerardoblogspot.com

EJERCICIOS DE DESEMPEÑO DEL BLOQUE 7 1.- Para calcular el capital que produce una inversión a interés compuesto se usa el modelo. C n = C (1 + i)n, donde n, son los períodos anuales de tiempo e i es la tasa de interés. Calcule el capital que produce una inversión de $100,000 cada año por un periodo de tres años. Investiga la tasa de interés a plazo fijo que ofertan los bancos. 2.- Una sustancia radioactiva posee una vida media de 90 días. Si se tienen 100 miligramos en período de t = 0, la cantidad que queda después de t períodos está dada por: f (t) = 100 (

1 2

) t¿qué

cantidad de sustancia radioactiva resta después de 360 días. 3.- En una ciudad la población se duplica cada 10 años, el número actual de habitantes esta dado en millones por: f (t) = 3 (2t /10) Donde t se expresa en años. a) Cuántos habitantes tendrá la ciudad dentro de 10 años? b) Cuantos habitantes tenía hace 10 años? 123


MATEMÁTICAS IV

4.- Utilizando la calculadora calcule el valor de f(x) = 2 x, para los siguientes valores. X= 32, x= ½, x= 0.0325, x= 32/9 5.- Utilizando la calculadora calcule los siguientes logaritmos: log 324, ln 456, los 34, ln 1120 6.- Exprese como logaritmos las siguientes expresiones: 4 3 = 64 10 3 = 1000 3 4 = 81 ex =y e 0.9969 = e       

32

= 7.88 (e 10456 ) ( 10 0.5 )



7.- Aplicando las propiedades de los logaritmos resuelva las siguientes operaciones. Log 345 + log 12 = Log 10 / log 500 Log14 ( log 67 ) (Log 78) 4 Ln 56 / ln 789 Sabiendo que log 2 = 0.30103, hallar log 4 Sabiendo que log 2 = 0.30103 hallar log 4 125 8.- En cada una de las siguientes expresiones cambia a log de base 10 o a ln (logaritmos neperianos) Log 3 456 Log 5 1025     

3

 

   

8 Log Log 20.028 1.325



El logaritmo de 0.3 en cierta base es

1 3

, Hallar dicha base , y calcular el logaritmo de0.09 en

dicha base Con ayuda de calculadora y mediante cambio de base calcula: log 20 8 9.- ¿cuando la función exponencial crece y cuando decrece?, en cada caso como escriba en los intervalos del dominio y del rango 

10.- si la función 2 x = 8 cuando x= 3, lo que significa que 8 es imagen de 3, en la función logarítmica log2 8 = x, cuánto vale la x. 11.- Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales 

2x = 2 2x+3



4 x = 4 x-1



4 2x+3 = 64 x-5



8 3x+5 = 16

x+4

124


MATEMÁTICAS IV

Y 2m = y 5m +6 12 Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas Log 2 580 = x+5 





2x-6 = log 3 102



Log 4 (x +3 ) = 5



Log 2 (2x -1 ) = 3



Halla el valor de y si log 3 27 = y.

13 hallar el exponente al cual hay que elevar el 7 para obtener: 14 resuelva las siguientes ecuaciones Log x - log x 2 = 9 5





Log3 x +log 3 (9x) -5 = log 3 ( x

 

x 3

)

2 1.56 =3 X =8

Resolver el sistema:












Existe alguna “ x “ con la cual: log6 = log

20

x

Es Cologaritmo (A. B ) = Cologaritmo A + CologaritmoB

125


MATEMÁTICAS IV

BLOQUE VIII APRENDIZAJES ESPERADOS AL FINALIZAR EL BLOQUE 8 1.- Definición de los parámetros de una perturbación de onda, dada su gráfica o bien su ecuación 2.- Construcción de gráficos de la función senoide 3.- Identificación de los parámetros dada la ecuación de una función senoidal 4.- Dados los parámetros de la función senoidal determinar su ecuación 5.- Dado el gráfico de la función senoidal determinar la ecuación que representa a la función 6.- Resolver problemas de aplicación de la función senoidal

126


MATEMÁTICAS IV

FUNCIONES PERIÓDICAS En El estudio de la variación de las funciones trigonométricas, se ha observado que después de un período de 360º, los valores del seno y del coseno se repiten nuevamente y con la misma secuencia; en el caso de la tangente y de la cotangente, esta repetición de valores se presenta a intervalos de 180º.Las funciones que tienen esta propiedad reciben el nombre de funciones periódicas. Puesto que las ondas de radio, la luz, el sonido, la corriente alterna y muchos otros tipos de vibraciones tienen carácter ondulatorio, resulta importante estudiar las funciones periódicas. En el caso de sen θ, cos θ, o en cualquier otra relación trigonométrica, queda perfectamente definida desde el momento en que se conoce el valor del Angulo θ y es cuando la relación se convierte en una función, en la cual el valor de θ es la variable ind ependiente y el valor de sen en

variable dependiente. En la gráfica los valores del ángulo θ (puede medirse en grados o radianes) se medirán sobre el eje

horizontal (eje x) mientras los valores de las funciones sen y cos sobre el eje vertical (ejey). Para fines de construcción de las gráficas se hace una tabulación: por ejemplo

θ 0º sen

45º 0

120º 0.7071

360º 0.8660

0

ONDAS Una onda es una perturbación que se produce por una vibración de una propiedad y un medio concreto que se propaga a través del espacio transportando energía. Las ondas se clasifican de acuerdo: - Medio por el cual se propagan - Tipo de Propagación - Su dirección - Su periocidad

127


MATEMÁTICAS IV

1.-TIPOS DE ONDAS EN FUNCIÓN DEL MEDIO DE PROPAGACIÓN A) Ondas mecánicas y se trasmiten a través de un medio elástico (movimiento armónico simple) que puede ser sólido, liquido o gaseoso, se representan con la ecuación: y = A sen (ωt + φ)

B) Ondas electromagnéticas se trasmiten por el espacio en el vacío, dan lugar a la luz, al sonido, a los rayos x, etc. C) Ondas gravitacionales: Influye la fuerza de gravedad y Alteran el espacio y el tiempo, dan margen a la teoría de la relatividad de Einstein.

2.- CLASIFICACIÓN DE ONDAS POR SU FORMA DE PROPAGACIÓN: A) ONDAS UNIDIMENSIONALES: Se propagan en una sola dirección o dimensión B) ONDAS BIDIMENSIONALES: Se propagan en dos direcciones o dimensiones, por ejemplo las vibraciones del agua de un estanque. C) ONDAS TRIDIMENSIONALES: Se propagan en tres dimensiones o del tipo esfera.

3.- CLASIFICACIÓN DE ONDAS EN FUNCIÓN DE LA DIRECCIÓN A) ONDAS LONGITUDINALES: Las partículas que se propagan vibran paralelamente a la dirección de la onda. B) ONDAS TRANSVERSALES: Las partículas que se propagan vibran perpendicularmente a la dirección de la onda, ejemplo las vibraciones que produce un barco en el agua. C) TIPOS DE ONDAS POR SU PERIOCIDAD: A) Ondas Periódicas: La propagación de la onda se da en ciclos repetitivos, por ejemplo la corriente eléctrica llamada alterna que se representa con una ecuación senoidal. B) Ondas no Periódicas: La perturbación se propaga en ciclos aislados. PARÁMETROS QUE DEFINEN UNA ONDA

AMPLITUD DE LA ONDA: Es la altura de la onda tomando como referencia el eje horizontal, la amplitud se mide en metros. PERÍODO DE UNA ONDA: Es el tiempo que tarda la perturbación en recorrer un ciclo o una oscilación (una en cresta más un valle de la onda se le llama ciclo) el Período se representa con la letracompleta “T” y se mide segundos.

FRECUENCIA DE UNA ONDA: Es el número de ciclos u oscilaciones completas que recorre la perturbación en una unidad de tiempo. La frecuencia se mide en Hercios (HZ) que es una vibración 128


MATEMÁTICAS IV

por ser. También se mide en revoluciones por minuto (rpm), o también en radianes por segundo (rad/seg.) La frecuencia es inversamente proporcional al período (F =

1

t

)También la frecuencia es igual a la velocidad de la onda entre la longitud de onda (F = V/ λ).

LA VELOCIDAD DE UNA ONDA: es la rapidez o lentitud con que se propaga la onda, se mide en metros por segundo, es igual a la longitud de onda (λ) entre el período ( t ) o tiempo en que tarda la onda en completar un ciclo:

V=



T

= λf, donde “f” es la frecuencia o sea el número de ciclos

completados frecuencia: por unidad de tiempo: también la velocidad es igual a la longitud de onda entre la ω = 2Лf

PULSACIÓN ( ω, o en mayúsculas Ω) ( Se llama también velocidad angular o frecuencia angular), se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio del ángulo y se define como 2Л veces la frecuencia. Su uni dad de medida es igual a Radianes / seg. Se aplican en electricidad, electrónica, movimiento circular, movimiento ondulatorio etc. La pulsación de una onda se representa con la ecuación: cos (2Лn) = cos (ω t)

FASE: Es una medida de la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales, se mide en términos de ángulo, en grados o radianes. Un desplazamiento de la fase de 360° es un retraso de un ciclo o de un período de la onda. DESFASE El desfase entre dos ondas es la diferencia entre sus dos fases. Habitualmente, esta diferencia de fases, se mide en un mismo instante para las dos ondas, pero no siempre en un mismo lugar del espacio. El desfase puede existir entre dos ondas de cualquier tipo, pero en este caso, nos referimos tan solo el existente entre dos ondas sinusoidales de la misma frecuencia. El desfase se puede expresar como: 

 

Un ángulo (en radianes), el ángulo de desfase se representa mediante el símbolo . Un tiempo (en segundos), el tiempo de desfase se representa con él las letras . Una distancia (en metros).

MEDICIÓN DEL DESFASE DE UNA ONDA MEDIANTE UNA GRÁFICA Y-T 



El tiempo de desfase ( ), es la diferencia temporal existente entre un punto de una de las ondas y el equivalente a la otra onda, podemos usar los nodos o los máximos de las ondas. El ángulo de desfase ( ) Para calcular el desfase como un ángulo hay que multiplicar el tiempo de desfase frecuencia angular de las ondas: 129

por la


MATEMÁTICAS IV

rad su unidad son los y siendo seg

Para ω (pulsación o frecuencia angular):

frecuencia de las ondas, la inversa del periodo T. y y = sin(x) y = cos(x)

EQUIVALENCIAS ENTRE LAS FUNCIONES DEL SENO Y EL COSENO -Sen(wt) = Sen ( wt ± 180° ) -Cos(wt) = Cos ( wt ± 180°) ± Sen (wt) = Cos(wt ±90°)

x

± Cos (wt) = Sen(wt± 90°)

En el gráfico se muestra el desfase de 90º que se adelanta la función coseno con respecto al seno :

FUNCIÓN SENOIDAL Y = A sen Bx + C Asen(wt) = A cos (wt – 90° ) Variación de los parámetros;A,B, C a) Variación de A  Si el valor absoluto de A crece entonces la amplitud de la onda crece en la misma roporción que el valor de A, a partir del punto de intersección con el eje “y”, la pamplitud de la onda es igual al punto de corte + |A| y

x

130

, la


MATEMÁTICAS IV

En la figura se muestra el gráfico de la función y = 2sen (4x), donde la amplitud de onda es igual a, 2 b).-Variación del parámetro B: Determina la longitud de la representación de la onda (Distancia entre dos máximos) si B crece entonces la longitud de onda disminuye.

EVALUACIÓN FORMATIVA ¿ Si se modifica la amplitud de onda en la misma proporción se modificará la longitud de la onda?

C) La Variación del parámetro B, es inversamente proporcional a la longitud de onda la longitud de onda es laentre distancia que recorre la onda en unadeunidad tiempo, se obtiene dividiendo la velocidad el tiempo, o sea que la longitud onda de es inversamente proporcional al período( observe las gráficas)

Evaluación formativa: En la gráfica de la función y=3sen4x+1, cual es el valor sobre el eje “ y “ negativo, hasta donde llega el punto mas bajo (mínimo) de la onda c) El parámetro C indica el punto de intersección de la curva con el eje “y”, es decir indica el

desplazamiento vertical de la senoide, observe las gráficas

131


MATEMÁTICAS IV

EVALUACIÓN FORMATIVA Observando la gráfica de y=sen2x + 2 ¿Cuál es el valor de los parámetros ; A yB?

132


MATEMÁTICAS IV

EJEMPLO: En la siguiente Gráfica estimar la ecuación de la función: y= Asen (Bx) + C

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN PERIÓDICA Además de la descripción y/6 cálculo de los parámetros de una onda como la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la rapidez de onda , se hace necesario descripciones más detalladas acerca de las posiciones y movimientos de las partículas del medio de propagación en tiempos específicos . Para estas especificaciones es necesario el concepto de “función de onda “una función que describe la posición y el instante de cualquier partícula, para ello se utiliza la función senoidal. Considérese, como ejemplo las ondas que se producen en un hilo estirado, el hilo sin movimiento es el eje de equilibrio o eje “x”, al momento de mover el hilo hacía arriba y hacia abajo se producen transversales y que sonenperpendiculares al eje de de equilibrio y adquieren al subir y ondas bajar un valor sobre el eje “y” un instante determinado, tal forma que y es función de x, y la función se especifica cómo y=y( x, t) , la cual recibe el nombre de función de onda y que describe la onda, con esta se puede determinar los desplazamientos, la velocidad y la aceleración. 133


MATEMÁTICAS IV

Supongamos un movimiento ondulatorio que viaja de izquierda a derecha en la dirección del eje “x”, de esta forma el desplazamiento de una partícula en el extremo izquierdo del hilo (x=0), donde la onda se srcina, esta dado por: Y(x=0, t) = A cos wt = A cos 2Πft, donde w= 2Πf, donde la partícula oscila con una amplitud A, una frecuencia f y una velocidad angular w = 2Πf., la partícula en x=0 tiene el máximo desplazamiento de amplitud de onda (y= A). Si la perturbación ondulatoria viaja sobre el eje x en un tiempo dado, t= x/v (x es la distancia recorrida sobre el eje x) donde v es la rapidez de la onda, sustituyendo t= x/v en la ecuación y(x, t) se obtiene: Y(x,t) = A cos [ w ( t – x/v ) ] y dado que cos( - θ ) = cosθ, la ecuación anterior queda: Y(x,t) = A cos [ w ( t – x/v ) ] = A cos 2Πf ( x /v – 1 ) , onda sinuoidal que avanza en la dirección +x La misma ecuación sinoidal se puede escribir en términos del período (T) y de la longitud de onda (: y(x,t) = A cos 2Π ( x/

– t/T)

Otra forma de la ecuación senoidal se obtiene definiendo la cantidad “k” llamada número de onda

K = 2Π / ƛ rad/ seg( número de onda Sustituyendo = 2Π/ k y f= w/2Π en la relación v= f, se obtiene w = vk, reescribiendo la ecuación Y(x, t)= A cos 2Π (x/ – t/T), se obtiene: Y(x,t) = A cos ( kx – wt ), onda senoidal que se mueve en la dirección +x Si se quiere determinar la posición (coordenada sobre eje x) como si se tomará una fotografía instantánea de una partícula que se propaga con la onda entonces la función Y(x, t) toma la forma: Y(x, t=0 ) = A cos kx = Acos 2Π x/ En el caso de que la partícula que se propaga en la onda se encuentre en x=0, entonces se puede calcular del desplazamiento c ontra el tiempo, tomando en consideración el período (T) y la ecuación y(x, t) se transforma así: Y(x=0, t) = A cos(-wt) = A cos wt = A cos 2Π t/T La onda se puede propagar en el sentido positivo o negativo del eje x, por lo que la ecuación y(x,t) se puede escribir como: 134


MATEMÁTICAS IV

Y(x,t) = A cos ( kx ± wt ),El signo + se toma cuando la onda senoidal se mueve en el sentido negativo del eje x, y el signo - , cuando la onda s e mueve en el sentido positivo del eje x. FASE En la ecuación Y(x,t) = A cos ( kx ± wt )la cantidad( kx ± wt )se denomina fase, yfunge como cantidad angular y se mide siempre en radianes, su valor determina que parte del ciclo senoidal existe en un punto e instante dado. Para una cresta de la onda el valor máximo de “y” es 1, que es el valor máximo del coseno, en este caso el valor de la fase podría ser: 0, 2Π, 4Π, etc. Para un valle de la onda, y=-1 o sea y= -A y el coseno tiene el valor de -1, en este caso la fase podría ser igual, Π, 3 Π, 5 Π, etc. y

x

Ejemplo: El hilo de un tendedero se desata de un extremo, luego el hilo se mueve con la mano hacia arriba y hacia abajo en forma senoidal, con una frecuencia de 2.00 Hz y una amplitud de 0.075 m. la rapidez de onda es v= 12.0 m/seg. En t= 0 el hilo esta momentáneamente en reposo, calcular: a) La amplitud ( A) b) La frecuencia angular (w) c) Periodo ( T ) d) Longitud de onda ( ƛ ) e) Número de onda ( k ) f) Escribir la ecuación de desplazamiento de la onda en función del tiempo, del extremo del hilo que se sujeta(x=0) y de un punto a 3m del extremo sujetado (x=3m). g) La fase de la onda

135


MATEMÁTICAS IV

1.-Planteamiento del problema: Se considera que la perturbación de la onda se mueve en sentido positivo del eje x, se podrán utilizar las expresiones f= 1/T, W = 2Πf, k= 2Π / λ, v= λ f,y, w= v k

2.- Ejecución: a) La amplitud de la onda es A= 0.075m se da como dato en el problema. b) Frecuencia angular W = 2л f = ( 2л rad /seg.)( 2 ciclos/ seg) = 4л rad/ seg. = 12.56 rad/ seg c) Período T Como F=

1

T

, despejando T, se tiene, T =

1

F

luego sustituyendo tenemos: T =

1 2 Hz

=

1 2 / seg

0.500 seg.

d) Longitud de onda (λ ) t 0.500 s

De la relación: v= λ f, se despeja λ y se tiene, λ =

Sustituyendo los datos se tiene: λ =

12m / seg 2 / seg.

v f

= 6 m.

Resultado: λ = 6m

e) Número de onda: En la expresión: K = 2л / λ se sustituyen los datos: k= 2(3.1416) / 6m = 1.05 rad / m También K se puede calcular por: K=

w 4  rad / seg = = 1.05 rad/seg. , o también k se puede k 12m / seg

calcular utilizando la relación: K=

2 

=

2  rad 6m

= 1.05 rad/m

136

=


MATEMÁTICAS IV

f) ECUACIONES DEL DESPLAZAMIENTO DE LA ONDA De acuerdo a los datos que se conocen se puede emplear el modelo de ecuación: y (x, t) = A cos 2Π (x/ – t/T) Sustituyendo los datos conocido s se tiene: y(x, t) = (0.075 m)cos 2Л (

x 6.00m

-

t 0.500 s

)=

= (0.075m) cos [(1.05rad/m) x – 12.6 rad/seg) t] Otra forma de obtener la ecuación es utilizando los valores de w y k sustituyéndolos en la ecuación de la forma:

Y(x, t) = A cos (kx ± wt),de esta forma se tiene: Y(x, t) = (0.075m) cos [(1.05 rad. /m) x - (12.6 rad/seg.)t] En el desplazamiento de la onda se consideran dos momentos y x= 0m y x=3 m, tomando el sentido positivo del eje x, el modelo de ecuación que se utiliza es: y(x, t) = A cos 2Π (x/ – t/T)

i)

para el desplazamiento en x=0 , sustituyendo los datos se tiene:

y(x=0, t) = (0.075) cos(2Л -

t 0.500seg

) = (0.075m) cos(12.56 rad/seg) t

ii) Para el desplazamiento x= 3 m , sustituyendo los datos se obtiene: y(x= 3, t) = A cos 2Π (3m/ 6.00 m – t/0.500s) = y(x=3, t) = (0.075m) cos (9.41 rad/seg.)t g) Fase de la onda En la ecuación. Y(x, t) = (0.075m) cos [(1.05 rad. /m) x - (12.6 rad/seg.)t]

La cantidad: 1.05 rad. /m) x - (12.6 rad/seg.)t es la fase de un punto x de la cuerda en el instante t. FUENTES DE CONSULTA  Onda senoidal Wikipedia enciclopedia libre es.wikipedia.org/wiki/Onda_senoidal  Senoidales funciones: www.mitecnologico.com/.../  Sears, Zemansky, Young, Freidman, Física Universitaria, Pearson educación, México 2003  Sanchezfavela-gerardoblogspot.com

137


MATEMÁTICAS IV

EJERCICIOS DE DESEMPEÑO 1.- ¿Cual es el dominio de la función, sen(x)? 2.- ¿Cuál es el rango de la función, Cos (x)? 3.- En la ecuación y= A sen (B x) +C, ¿Que indican los parámetros, A, B y C? 4.- En la gráfica identifica el valor y describe los parámetros de la función de la forma. Y = A sen (Bx) + C A= B= C=

4.- En la gráfica se muestra la representación de una onda que viaja 340m/s con una frecuencia de 10aMGH. Determinar los siguientes parámetros de la onda descrita. 1.- Amplitud de onda 2.- Velocidad de la onda 3.- Frecuencia 4.- Período 5.- Longitud de onda 6.- Ecuación de la función senoide

138


MATEMÁTICAS IV

5.- Grafique la función y= 3sen (2x) +1 6.- la función y= 2cos3x, Representa a la vibración de una onda eléctrica que viaja a una velocidad de 800 m/seg y con una frecuencia de 0.01 GHZ, Calcular: h) El Período de la onda i) La longitud de la onda que describe la vibración j) La amplitud de la onda 7.- Calcular la frecuencia y el periodo de las ondas producidas en una cuerda de guitarra, si tienen una velocidad de propagación cuyo valor es de 140 m/seg.y su longitud de onda es de 0.3 m/ciclo. Respuestas: F = 466.66 ciclos/ seg. T = 0.002 s/ ciclos 8.- En la función: y(x=0, t) = = (0.075m) cos (12.56 rad/seg) t ¿Cuál cantidad representa a la fase de la onda?

APRENDIZAJES ESPERADOS AL FINALIZAR EL BLOQUE 8 1.- Definición de los parámetros de una perturbación de onda, dada su gráfica o bien su ecuación 2.- Construcción de gráficos de la función senoide 3.- Identificación de los parámetros dada la ecuación de una función senoidal 4.- Dados los parámetros de la función senoidal determinar su ecuación 5.- Dado el gráfico de la función senoidal determinar la ecuación que representa a la función 6.- Resolver problemas de aplicación de la función senoidal

139


MATEMÁTICAS IV

BIBLIOGRAFÍA FUENTES DE CONSULTA Matemáticas del bachillerato, Gaudry Lizárraga, Meyer Flores, Mora Vázquez, editorial Progreso, México 2000 Matemáticas IV, Ortiz Campos J. Francisco, Publicaciones Cultural, México 2006. Algebra Moderna, Ayres Frank, Magraw Hill, México 2001

FUENTES DE CONSULTA Del saber universal enciclopedia CWD México s.a. de C.V. 2002 Flores Meyer matemáticos del bachillerato edit. Progreso México 1996 Campos Ortiz j. Francisco Matemáticas funciones publicaciones cultural, México 2006. Sanchezfavela-gerardo.blogspot.com

140


MATEMÁTICAS IV

AVISO SOBRE EL DERECHO DE CITA: La reproducción de fragmentos de obras, fotografías, ejercicios, o lo que corresponda, en esta guía pedagógica se acoge al artículo 148 de la Ley Federal de Derechos de Autor, en los párrafos I y VII cuyo texto dice: “Las obras literarias y artísticas ya divulgadas podrán utilizarse, siempre que no

se afecte la explotación normal de la obra, sin autorización del titular del derecho patrimonial y sin remuneración, citando invariablemente la fuente y sin alterar la obra, sólo en los siguientes casos: I. Cita de texto, siempre que la cantidad no pueda considerarse como una reproducción simulada y sustancial del contenido de la obra. VIII. Reproducción, comunicación y distribución por medio de dibujos, pinturas, fotografías y procedimientos audiovisuales de las obras que sean visiblemente desde lugares públicos.” Además el artículo citado indica que: “las personas morales no podrán valerse de

lo dispuesto en estano fracción salvo que se trate demercantiles” una institución educativa, de investigación, o que esté dedicada a actividades

Colaborador: Lic. Rocío Guadalupe Gallegos Acosta Lic. Araceli Pérez Campos

Revisión Técnica: Ing. Jessica Lourdes López Esparza

141


MATEMÁTICAS IV

DIRECTORIO

Lic. Rubén Moreira Valdez Gobernador Constitucional del Estado de Coahuila de Zaragoza

Ing. José María Fraustro Siller Secretario de Educación.

Lic. Bona Mayahuel Vázquez Ibarra Subsecretaria de Educación Media y Formación para el Trabajo.

Profr. Jaime Rosales López Director General del Colegio de Bachilleres de Coahuila.

142

Cobac Matemáticas IV Ok

Recommend Documents