Clase de Equivalencia y Particiones

2.3.1 Relaciones de equivalencia y particiones En el área de computación muchos algoritmos de búsqueda se basan en una técnica que “particiona” de manera sucesiva un conjunto  A en subconjuntos cada vez más pequeños, haciendo que el procedimiento de búsqueda sea más eficiente. En esta sección estudiaremos el concepto de partición de un conjunto, y mostraremos como este concepto está íntimamente ligado al de relación de equivalencia. Definición: 2.3.2 partición de un conjunto. Una partición de un conjunto  A es una colección de subconjuntos de A, los cuales son no vacíos y  disyuntos entre sí cuya unión es A. Formalmente, una partición de un conjunto A es una familia siguientes propiedades: propiedades:

Cada conjunto

de subconjuntos no vacíos de A, con las

se llama celda o bloque de la partición.

Ejemplo:

Sea particiones de A de A..

. Cada una de las siguientes colecciones son

Ejemplo: Cada una de los siguientes conjuntos son particiones de

= el conjunto de números pares, impares.

.

= el conjunto de números

La siguiente definición de clase de equivalencia, nos servirá para mostrar como las relaciones de equivalencia y las particiones son descripciones del mismo concepto. definición: 2.3.3 Clase de equivalencia. Sean A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Para cada con respecto a R es el conjunto

, la clase de equivalencia de x 

definido como sigue:

.

En otras palabras, es el conjunto de todos los elementos de A que están relacionados con x. Cuando solamente una relación de equivalencia R se esté considerando, escribiremos

en vez de

.

Ejemplo:

Sea

y consideremos la siguiente relación de equivalencia en A:

Entonces

. Ejemplo: Consideremos las siguientes relaciones de equivalencia en

Dado

, tenemos que:

.

.

. Ejemplo: Consideremos la relación de equivalencia congruencia módulo 5.

Dado

, tenemos que:

Es decir, la clase de equivalencia del entero a es el conjunto de números y para los cuales la diferencia

es un múltiplo de 5. Así, por ejemplo,

Como se observa en este ejemplo, conjunto de números con residuo 0 cuando se dividen por 5. conjunto de números con residuo 1cuando se dividen por 5. conjunto de números con residuo 2 cuando se dividen por 5. conjunto de números con residuo 3 cuando se dividen por 5. conjunto de números con residuo 4 cuando se dividen por 5. Además, se tiene que

.

En general para todo para algún . Es decir cada entero pertenece a exactamente uno de estos cinco conjuntos. De manera más en general para la relación de equivalencia congruencia módulo

n: contiene a

, denotamos la clase de equivalencia que como . Esto es,

Generalizando el caso n = 5 podemos concluir que dado un entero positivo n,

=conjunto de números con residuo r cuando se dividen por n. Además s tiene que: para todo

.

Es decir cada entero pertenece a exactamente uno de estos n conjuntos. Por lo tanto la colección de las clases de equivalencia de la relación congruencia módulo n es una partición de con n elementos. El resultado anterior se cumple en general para cualquier relación de equivalencia: la colección de las clases de equivalencia de una relación de equivalencia en un conjunto A forman una partición de A. Para demostrar este resultado utilizaremos el siguiente teorema.

Teorema 2.3.1 Supongamos que R una relación de equivalencia en un conjunto

. Entonces

Demostración: Como

es reflexiva entonces

de clase de equivalencia,

. Luego por definición

.

Hay que demostrar las dos implicaciones:

( i ) Supongamos que

. Hay que probar

que:

. ( ii )supongamos que

.

por la parte

. Por lo tanto

. Entonces

.

Demostraremos que:

De esta forma concluimos que La parte (c) del teorema anterior afirma que las clases de equivalencias solo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disyuntas. Mostraremos en el siguiente teorema como una relación de equivalencia particiona un conjunto.