GUÍA DE MATEMÁTICAS I
LECCIÓN 11
Lecc ección 11: Fr acciones iones.. Equivalencia y orden Fracciones equivalentes No siempre podemos trabajar con unidades divididas decimalmente; con frecuencia nos conviene partir de otra manera lo que tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces necesitamos saber cuánto tenemos en total. En esta lección vamos a trabajar sobre estos conceptos. Observe las siguientes figuras. En ellas la unidad es el rectángulo A. Hemos partido la unidad en diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo expresamos como 1 = 22 . Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama tercio y la unidad queda partida en 3 tercios. Eso se expresa como 1 = 33 . En el dibujo de abajo también hemos partido la unidad en sextos y en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda partida la unidad y el nombre de las partes. A
B
C
D
E
F
1
1 = 22 mitades
1 = 33 tercios
1 = 66 sextos
1 = 22 medios
1 = 44 cuartos
unidad
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LECCIÓN En la forma en que estamos expresando estas particiones el número de abajo sirve para decir en cuántas partes iguales se fraccionó la unidad y el número de arriba para decir cuántas partes tomamos. De estos números, el de arriba se llama numerador (el que numera o cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la expresión se llama completa fracción o quebrado. En las figuras de arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos todas las partes que forman la unidad. Para decir de qué tamaño es un trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notación. Por ejemplo, en la figura siguiente tenemos las mismas particiones que antes pero hemos marcado en G un medio, en H un tercio, en I dos sextos, en J un medio y en K dos cuartos. Al pie de cada dibujo hemos anotado cómo se escribe la parte sombreada. A
G
H
I
J
K
1
1 2
1 3
2 6
1 2
2 4
Observe que en las figuras G, J y K se marcó la misma cantidad de área aunque la manera de partir es distinta. En este caso se dice que tenemos fracciones equivalentes y eso significa que expresan la misma cantidad. Lo mismo sucede con las figuras H e I. En las figuras G y J tenemos dos maneras de partir la unidad en dos partes iguales y en cada figura marcamos un medio. En K tenemos la unidad partida en cuatro partes iguales pero hemos tomado dos de ellas y juntas también son la mitad del rectángulo; esto se expresa como
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1 = 2 . En las figuras H e I tenemos 1 = 2 pero hay muchas 2 4 3 6 otras maneras de tener esa misma cantidad. Observe las siguientes figuras en las que el rectángulo U es la unidad; en ellas se ha marcado la misma cantidad de área de muchas maneras:
U
1
1 3
2 6
4 12
4 12
8 24
2 6
8 24
En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del área del rectángulo U con diversas fracciones. Estas fracciones son equivalentes porque expresan la misma cantidad, un tercio: 1 = 2 = 4 = 8 3 6 12 24 Observe que podemos obtener todas estas fracciones de un tercio multiplicando numerador y denominador por el mismo número: 1 = 1´2 = 2 3 6
1 = 1´4 = 4 3 12
1 = 1´8 = 8 3 24
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LECCIÓN Estas operaciones corresponden a obtener una partición más fina, de partes más pequeñas. 1 3
1 3
2 6
4 12
1 3
a
8 24
De esta manera es posible obtener todas las fracciones equivalentes que se quiera. Tomamos una fracción y multiplicamos numerador y denominador por el mismo número natural. Por ejemplo, dos diecisieteavos es equivalente a dieciséis dieciséis ciento-treinta ciento-treinta-y-sei -y-seis-avos s-avos porque porque 2 ´ 8 = 16 y 17 ´ 8 = 136: 2 = 2 ´ 8 = 16 17 136
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Observe también que si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, entonces al hacer esas divisiones obtenemos una fracción equivalente. Lo que se hace con esto es agrupar partes pequeñas en una mayor. Por ejemplo: 4 = 4¸2 = 2 12 6 4 12 2 6
{ {
Si se obtienen fracciones equivalentes con este proceso se dice fracción. Cuando el que se simplifica o que se reduce u na fracción. numerador y el denominador de una fracción no tienen divisores en común se dice que la fracción es irreductible, es decir que no se puede reducir. Por ejemplo, podemos simplificar la fracción cuarenta y ocho sesentavos dividiendo entre dos, dos veces, y luego entre tres, una vez. Obtenemos una fracción que ya no se puede simplificar más: 48 = 48 ¸ 2 = 24 = 24 ¸ 2 = 12 = 12 ¸ 3 = 4 60 30 15 5 Saber encontrar fracciones equivalentes es muy útil, so sobre todo para comparar comparar fracciones fracciones y para hacer hacer operaciones operaciones con ellas. Por ejemplo, si queremos saber qué es más grande, tres quintos o cuatro séptimos, buscamos una manera de dividir la unidad que permita expresar tanto séptimos como quintos y vemos cuál es mayor directamente. Veamos cómo hacer esto. Si queremos tener quintos debemos partir en 5 o en un múltiplo de 5, y si queremos tener séptimos debemos partir en 7 o en un múltiplo de 7. Necesitamos entonces un múltiplo común de 7 y 5; puede ser cualquiera de sus
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LECCIÓN múltiplos en común pero, si no queremos acabar trabajando con números muy grandes, conviene que sea el mínimo común múltiplo de estos números, mcm {5, 7}. Como 5 y 7 son números primos, no tienen divisores en común, y entonces mcm {5, 7} = 5 ´ 7 = 35. Debemos entonces escribir los dos quebrados con denominador 35:
4 = 4 ´ 5 = 20 7 35
3 = 3 ´ 7 = 21 5 35
Aquí vemos directamente que 3 es mayor que 5 4 porque 21 es 7 mayor que 20.
Cuando tenemos un quebrado con el numerador más chico que el denominador, tenemos menos que una unidad y decimos que es una fracción propia. Por ejemplo, 4 , 11 y 32 son fracciones propias. Sin embargo podemos 7 20 360 tener un quebrado con el numerador mayor que el denominador; en ese caso tenemos más que una unidad y decimos que es una fracción impropia. Por ejemplo, 23 y 132 son fr fracciones im impropias. Ta También po podemos 10 25 escribir las fracciones impropias como los enteros que forman y una fracción propia. Por ejemplo, en siete quintos tenemos un entero y dos quintos; esto se acostumbra escribir como 7 = 1 2 y se lee un ente entero ro dos dos qui quint ntos os.. Cua Cuand ndoo ten tenem emos os 5 5 se lee racción enteros y fracciones en esta forma decimos que es una f rac mixta. Por ejemplo, 5 7 y 14 3 son fracciones mixtas. 25 8
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En las siguientes figuras el rectángulo R es la unidad. Diga qué parte de la unidad es la parte sombreada de cada uno de los otros rectángulos. Encuentre todas las fracciones equivalentes que haya en estas figuras.
B
A R
C
F
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D
G
E
H
LECCIÓN
En las siguientes figuras cada rectángulo es la unidad de referencia. Escriba qué parte del entero es la parte sombreada en cada caso y encuentre tres fracciones equivalentes a la que dio. A
B
C
D
E
Simplifique las siguientes fracciones hasta tener una fracción irreductible: 8 a) 12
b) 36 60
11 c) 121
d) 48 6
85 e) 180
72 f) 360
De las siguientes parejas de fracciones diga cuál es más grande: a) 49 y 53
34 b) 46 y 60 30
12 c) 36 y 45 15
30 d) 48 y 6 4
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Quebrados y fracciones decimales Para expresar partes de una unidad hemos trabajado con números fraccionarios en el sistema de numeración decimal posicional y también con quebrados con cualquier denominador. Es conveniente ver la relación entre estas dos maneras de escritura. Observe que podemos escribir las fracciones decimales como quebrados o como números decimales, por ejemplo: un décimo un centésimo un milésimo un diezmilésimo un cienmilésimo un millonésimo un diezmillonésimo un cienmillonésimo
1 10 1 100 1 1000 1 10000 1 100000 1 1000000 1 10000000 1 100000000
= 0.1 = 0.01 = 0.001 = 0.0001 = 0.00001 = 0.000001 = 0.0000001 = 0.00000001
En general, si tenemos cualquier número decimal, con leerlo basta para saber cómo se puede escribir como un quebrado. Por ejemplo, el número 0.23 se lee veintitrés centésimos. Sabemos entonces que se puede escribir como 23 partes de un entero partido en cien pedazos iguales. Es decir: 23 . Observe que el denominador de la fracción 0.23 = 100 que construimos tiene dos ceros y 0.23 tiene dos cifras decimales.
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LECCIÓN Este procedimiento para escribir un número decimal como quebrado se puede usar siempre que el número tenga expansión decimal finita. Se pone como numerador la parte decimal del número y como denominador un uno con tantos ceros como decimales tenga nuestro número. Veamos un par de ejemplos: 876 876 14.876 = 1000
28349 642.28349 = 642 100000
Veamos ahora el procedimiento inverso: escribir un quebrado como un número decimal. Si tenemos un quebrado con denominador distinto de una potencia de diez, por ejemplo cuatro quintos, quiere decir que partimos la unidad en cinco partes iguales y de ellas tomamos cuatro. Si queremos expresar esta misma cantidad con una fracción decimal podemos buscar una fracción equivalente con denominador 10, que es la potencia de 10 inmediatamente más grande que 5. En este ejemplo, si multiplicamos el numerador y el denominador por dos, obtenemos ocho décimos que es una fracción con denominador 10, y la podemos expresar como quebrado o como decimal. 4 = 4 ´ 2 = 8 = 0.8 5 10 Observe que, para encontrar la fracción decimal que necesitábamos, usamos el 10 que divide a 8. Cuando tenemos un quebrado con denominador a una potencia de 10, podemos usar el procedimiento anterior. Por ejemplo, ejemplo, si queremos queremos expresar expresar siete veinticincoavos como un decimal, multiplicamos numerador y denominador por 4 y obtenemos veintiocho centésimos. Este número se puede escribir directamente como quebrado o como decimal: 7 = 7 ´ 4 = 28 = 0.28 25 100
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El procedimiento anterior se puede usar si tenemos un quebrado con denominador que divide a una potencia de diez pero puede ser complicado. Observe que si en los ejemplos anteriores dividimos 4 entre 5, obtenemos 0.8 y si dividimos 7 entre 25, obtenemos 0.28. Esta es otra manera de encontrar un número decimal equivalente al quebrado que tenemos y se puede usar aunque el denominador no divida a una potencia de diez.
3
0. 8 4 4 0 0
25
0. 2 7 7 0 2 0
8 0 0
Por ejemplo, si queremos expresar tres octavos como un número decimal no podemos encontrar una fracción equivalente con denominador que sea una potencia de diez. Pero podemos dividir tres entre ocho sin problema para encontrar su equivalente en notación decimal que es 0.375.
3 = 0.375 8
8
0. 3 3 3 0 6
7 5 0 4 0 0
Con este procedimiento es posible encontrar el número decimal equivalente a cualquier quebrado. Desde luego encontraremos distintas expansiones decimales, algunas de ellas finitas y algunas de ellas periódicas.
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LECCIÓN
Encuentre el número decimal equivalente a cada uno de los siguientes quebrados: a) 12
b) 13
c) 41
g) 81
h) 19
1 i) 10
d)
1 5
1 j) 11
e) 16
f) 17
1 k) 12
l) 43
Encuentre un quebrado equivalente a cada uno de los siguientes números decimales: a) 0.12
b) 1.34
c) 9.75
d) 71.1
e) 82.7
f) 38.44
g) 0.75
h) 0.25
i) 1.20
j) 5.5
k) 21.83
l) 8.90
José y Fermín tienen que pintar dos paredes del mismo tamaño y decidieron que cada uno pintara una pared. En 3 horas José pintó 53 de la pared que le correspondía y Fermín 23 . a) Represente epresente gráficame gráficamente nte las paredes paredes y la parte parte de cada cada una que ya está pintada. b) Exprese Exprese las porcione porcioness de pared pared pintadas pintadas por cada uno uno con fracciones de igual denominador. denominador.
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GUÍA DE MATEMÁTICAS I c) ¿Quién ¿Quién pint pintóó más, más, José José o Fermí Fermín? n? d) ¿Terminarán ¿Terminarán de pintar pintar en 2 horas más más de trabajo trabajo al mismo ritmo? ¿Por qué? Se
7 del contenido de un depósito de agua que extrajeron 11 estaba lleno. a) Represen Represente te gráficamen gráficamente te el depósito depósito y la parte parte de agua agua que se extrajo. b) Exprese Exprese con un quebrado quebrado la parte parte del conteni contenido do que quedó en el depósito. c) ¿La cantida cantidadd de agua agua que que quedó quedó en el el depósito depósito ocupa ocupa más o menos de la mitad de su capacidad?
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