FUERZAS DISTRIBUIDAS
En ocasiones es posible que un área muy grande de un cuerpo esté sujeta a la acción de cargas distribuidas, tales como las causadas por el viento, fluidos, o simplemente el peso de¡ material soportado por la superficie de dicho cuerpo. La intensidad de estas cargas en cada punto de la superficie se define como la presión p (fuerza por unidad de área), que puede medirse en unidades de libra/pie2 o pascales (Pa) donde 1 Pa = 1 N/m2. En esta sección hablaremos del caso más común de carga de presión distribuida, la cual presenta uniformidad a lo largo de uno de los ejes del cuerpo rectangular plano sobre el que se aplica la carga.* Un ejemplo de tal carga se muestra en la figura 1.
Figura 1
Figura 2
La dirección de la intensidad de la carga de presión se indica por las flechas mostradas en el diagrama carga-intensidad. La carga completa sobre la placa es, por lo tanto, un sistema de fuerzas paralelas, infinito en número y donde cada una actúa sobre un área diferencial separada sobre la placa. Aquí la función de carga, p = p(x) Pa, es sólo una función de x, puesto que la presión es uniforme a lo largo del eje y. Si multiplicamos p = p(x) por el ancho a m de la placa, obtenemos w = [p(x) N/m2]a m = w(x) N/m. Esta función de carga, ilustrada en la figura 2, es una medida de la distribución de carga a lo largo de la línea y = 0, que está en el plano de simetría de la carga; ver figura 1. Ésta se mide como una fuerza por unidad de longitud, más que como una fuerza por unidad de área. En consecuencia, el diagrama carga-intensidad para w = w(x) puede representarse por un sistema de fuerzas paralelas coplanares, vistas en dos dimensiones en la figura 2. Utilizando los procedimientos explicados en la sección 4.9, este sistema de fuerzas puede simplificarse hasta representarse como una fuerza resultante única FR y con ubicación x específica; ver figura 3.
Figura 3
Figura 4
En la ecuación F R = ∑ F se puede observar que la magnitud de FR es equivalente a la suma de todas las fuerzas del sistema. En este caso debe utilizarse la integración, puesto que hay un número infinito de fuerzas paralelas d F actuando a lo largo de la placa; ver figura 2. Puesto que dF está actuando sobre un elemento de longitud dx, y que w(x) es una fuerza por unidad de longitud, entonces en el punto x, d F = w(x) dx = dA. En otras palabras, la magnitud de dF se determina a partir del área diferencial en color, dA, situada bajo la curva de carga. Para la longitud de placa completa, Magnitud de la fuerza resultante.
F R = F R =
∑ F ;
∫ w(x )dx = ∫ L
dA = A
A
De aquí que, la magnitud de la fuerza resultante es igual al área total bajo el diagrama de carga w = w(x).
Ubicación de la fuerza resultante. Aplicando la ecuación M R = ∑ M O , la ubicación x de la línea de acción de FR puede determinarse igualando los momentos de la fuerza resultante y la distribución de la fuerza, con respecto al punto O (el eje y). Puesto que d F produce un momento de x dF = x w(x) dx con respecto al punto O (figura 2), entonces para la placa completa (figura 3), O
M RO =
∑ M
O
;
x F R =
∫ x w(x ) dx L
Al despejar x , utilizando la ecuación F R = ∫ w( x )dx = ∫ dA = A , se puede escribir L
x=
A
∫ x w( x ) dx = ∫ x dA ∫ w( x ) dx ∫ dA L
A
L
A
Esta ecuación representa la coordenada x para el centro geométrico o centroide del área localizada bajo el diagrama de carga distribuida w(x). Por lo tanto, la fuerza resultante tiene una línea de acción que pasa a través del centroide C (centro geométrico) del área definida por el diagrama de carga- distribuida w(x); ver figura 3.
Una vez que se determina x , FR por simetría atraviesa el punto ( x , 0) sobre la superficie de la placa; ver figura 4. Si ahora consideramos la carga de presión tridimensional p(x), como se aprecia en la figura 1, se puede, por lo tanto, concluir que la fuerza resultante tiene una magnitud igual al volumen bajo la curva de carga distribuida p = p(x) y una línea de acción que pasa a través del centroide (centro geométrico) de dicho volumen. En proximas
clases se proporcionará un tratamiento detallado de las técnicas de integración para el cálculo de centroides de volúmenes o áreas. En muchos casos, sin embargo, el diagrama de carga distribuida toma forma de rectángulo, triángulo u otra forma geométrico simple. Los centroides de tales formas geométricas comunes no tienen que determinarse por la ecuación ∫ x w( x ) dx = ∫ A x dA , sino tomarse directamente de las tablas proporcionadas. x= L ∫ w( x ) dx ∫ dA L
A
FUERZAS DISTRIBUIDAS
Resumen Magnitud de la Fuerza resultante F R = F R =
∑ F ;
∫ w(x )dx = ∫ L
dA = A
A
Ubicación de la Fuerza Resultante M RO =
∑ M
O
;
x F R =
∫ x w(x ) dx L
Al despejar x , utilizando la ecuación F R = ∫ w( x )dx = ∫ dA = A , se puede escribir L
x=
∫ x w( x ) dx = ∫ x dA ∫ w( x ) dx ∫ dA L
A
L
A
A
Problemas de Fuerzas Distribuidas
Problema 4-130 (R.C. Hibbeler, 7ma Edición). Reemplace la carga por un momento de par y fuerza resultante equivalente que actúe en el punto O.
Solución: La fuerza concentrada equivalente de cada triángulo es determinada de la siguiente forma F concentrad a =
F R =
50 lb / ft (9 ft ) 2
∑ F ;
M RO =
= 225 lb
F R = 0
∑ M
O
;
M R O = 225 lb ⋅ (6 ft ) = 1350 lb ⋅ ft = 1,35 kp ⋅ ft
Problema 4-133
((R.C. Hibbeler, 7ma
Edición). Reemplace la carga por un momento de par y fuerza resultante equivalente que actúa en el punto O.
Solución:
a h y
b y=
1 (2 a + b ) ⋅ ⋅h 3 (a + b )
F R =
∑ F ;
M RO =
F R
∑ M
O
;
= 90 kN
M RO = 90 kN ⋅
3,75 m = 338 kN ⋅ m
Problema 4-148 ((R.C. Hibbeler, 7ma Edición).
w = (− x 2 + 2 x + 3) k N / m
La carga distribuida actúa sobre la viga como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza resultante equivalente y especifique el lugar donde actúa, medido desde el soporte A.
w = (− x 2 + 2 x + 3) kN / m
F R =
3
∫ 0 (− x
2
+ 2 x + 3) dx 3
x3
2x2 + + 3x = 9,00kN F R = − 3 2 0
x=
3
2
11,25 m· ⋅kN = 1,25 m 9 kN
x4
3
2 x 3 3x 2 ∫ x dF = ∫ 0 (− x + 2 x + 3x) dx = − 4 + 3 + 2 0 = 11,25 m ⋅ kN 3
