FISICA III -LABORATORIO-
Giancarlo Callaoapaza Chávez Universidad Privada del Norte Facultad de Ingeniería e-mail:
[email protected]
En el desarrollo del análisis experimental que se llevó a cabo, se determinó el comportamiento de los procesos de carga y descarga de un capacitor, el cual se encontraba conectado en serie con un resistor y una fuente de alimentación utilizando como instrumentos de medición el multitester en las opciones correspondientes y el cronómetro. Se comprobó que el comportamiento de los datos obtenidos (voltaje y tiempo) toma la forma de curvas exponenciales así como también se dedujeron las ecuaciones de este fenómeno mediante la segunda ley de Kirchhoff y el cálculo infinitesimal, corroborándose las relaciones existentes entre estas ecuaciones matemáticas y el fenómeno mismo, Se calculó además las constantes de tiempo experimentales mediante regresión lineal y se determinó el error del mismo respecto a la constante de tiempo teórico RC medida previamente (la cual no se diferenciaba sustancialmente de lo provisto por el fabricante) , llegando a un error experimental
superior al 5 % permisible a pesar de la precisión en la toma de datos; este error se debe a que la placa de pruebas, un circuito pre armado, tenía fallos en su construcción ya que agregaba al sistema una resistencia adicional no deseada deseada de aproximadamente
Ω
550 , dificultando la tarea de análisis.
1
JUNIO 03, 2008
FISICA III -LABORATORIO-
Para comenzar con el experimento pasaremos a definir primero el fenómeno de carga y descarga de un capacitor en un circuito RC, conformado en este caso por un resistor y un capacitor conectados en serie a través de una fuente de alimentación con un voltaje terminal igual a la FEM de la batería, despreciando la resistencia interna de la misma, para poder simplificar el análisis presentado a continuación:
En la figura 1 pasaremos a mostrar un diagrama de este circuito para comenzar con el análisis.
Diagrama de circuito RC para la carga del capacitor Partimos de un sistema en el cual el capacitor esta inicialmente descargado, como el interruptor no cierra el circuito no existe corriente alguna en el sistema por lo que si definimos t=0 al cerrar el interruptor, la carga comenzara a recorrer por el circuito estableciendo una corriente en el mismo y el capacitor empezara a cargarse. Este proceso de carga del capacitor terminara cuando el mismo se encuentre a la misma diferencia de potencial que la mal llamada FEM E de la batería (debido a que la denominación fuerza electromotriz no es correcta y a que en si no se está describiendo a una fuerza sino una diferencia de potencial proveniente de la fuente)
entrando en un estado estacionario al no existir corriente alguna recorriendo ninguna de las ramas que contiene el capacitor. Para describir cuantitativamente este proceso de carga que varía en el tiempo y en el cual la resistencia R del resistor influye aplicamos la segunda ley de Kirchhoff o ley de las mayas, el cual define lo siguiente: 2
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∑ ∆ = 0
El cual señala que la suma de las diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos que conforman un circuito cerrado debe ser igual a 0. Mediante esta ley obtenemos lo siguiente:
= 0 Donde E es la diferencia de potencial de la fuente, capacitor y
⁄ la diferencia de potencial del
la diferencia de potencial del resistor. Para la determinación de los
signos utilizamos la manera convencional, equívoca pero funcional de asignación de la dirección de la corriente, el cual señala que esta tiene la misma dirección que el flujo de la carga positiva, por lo tanto al recorrer del extremo derecho al izquierdo de la fuente tenemos un voltaje positivo, al recorrer del extremo inferior al superior del capacitor tenemos un voltaje negativo y al recorrer el circuito en la misma dirección que la corriente en el resistor el voltaje en el mismo es negativo teniendo el voltaje del circuito igual a 0 que necesitamos.
Tenemos que tener presente que tanto como representan valores instantáneos, ya que estos dependen del tiempo en el cual sucede tanto la carga como la descarga del capacitor. Ahora determinaremos los valores máximos tanto de la corriente como de la carga en el sistema. En t=0 como mencionábamos la
∆ en el capacitor es igual a 0 por lo que
al hacer la variación respectiva en nuestra ecuación de la segunda ley de Kirchoff tenemos:
= 0 á = Es decir en el estado inicial, la diferencia de potencial presente en el resistor es la misma que en la fuente y por lo tanto la corriente presente en este estado del circuito es máxima. 1
Realmente la corriente sigue la dirección de la carga negativa (electrones) por las ramificaciones del circuito, solo que esta convención es una de las tantas malas costumbres como el término flujo de calor.
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Ahora en el otro extremo, cuando
→ ∞ la diferencia de potencial presente en el
capacitor será la misma que en la fuente y por lo tanto al no existir corriente (por ser despreciable por la tendencia al infinito en el tiempo) la diferencia de potencial aplicada al resistor resultar ser 0 y entonces la segunda ley de Kirchhoff aplicada a nuestra malla es:
= 0 á =
Es decir, la diferencia de potencial aplicada en el capacitor es la misma que la de la fuente y por ende la carga del mismo es máxima. Ahora realizaremos un análisis de cómo varía la carga y la corriente en el tiempo en nuestro sistema para lo cual expresaremos la malla en términos infinitesimales y resolvemos la ecuación diferencial por variables separables y determinaremos la expresión final aplicando propiedades de logaritmos y exponenciales.
= 0 = 0 = = ∫ = ∫ ln ln = = −⁄
Y finalmente obtenemos la expresión de la carga en función del tiempo reacomodando esta última línea, llegando a lo siguiente: 2
Nunca llega a ser la misma, se considera así solo en términos prácticos ya que estrictamente a nivel teórico la ecuación no tiene solución, y en nuestro contexto esto significa que pase el tiempo que pase el voltaje del capacitor nunca será exactamente el mismo que el de la fuente.
=
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= 1 1 −⁄ Ó = á 1 −⁄ Para fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la carga como el voltaje aplicado al capacitor capacitor en función del tiempo de la siguiente manera:
= 1 −⁄
= −⁄
Para hallar la corriente del sistema en tenemos que derivar la carga respecto del tiempo:
⁄ ] − [ [ 1 = = −⁄ Para los fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la corriente como el voltaje aplicado a la resistencia en función del tiempo de la siguiente manera:
= −⁄ = −⁄ Una manera de relacionar el voltaje del capacitor y del resistor
y
de interés para
el análisis tabular de datos obtenidos es el siguiente: En
0 = , el mismo de la fuente de es 0 = 0, como es deducible, dándonos
= 0 el voltaje de la ecuación
es
alimentación y el voltaje de la ecuación la siguiente ecuación:
= 5
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Una vez terminado el proceso de carga del condensador pasaremos a analizar la descarga del mismo en función del tiempo, para esto imaginemos que el condensador del circuito de la figura 1(cuyo interruptor debe cerrar el circuito) ahora esta totalmente cargado y no existe corriente alguna en el sistema (lo cual es una consecuencia simplemente); entonces entonces pasaremos a abrir el interruptor interruptor y extraer del sistema la fuente de alimentación (todo esto se realiza mediante un selector, el cual es comúnmente usado para que ahora el circuito cerrado comprenda solo el capacitor cargado y el resistor original) resultando el diagrama de circuito siguiente:
Diagrama de un circuito RC para la descarga del capacitor Una vez que el circuito se encuentre cerrado por el interruptor comenzar a fluir corriente desde la placa positiva inferior del capacitor hacia la placa superior negativa del mismo, descargándose, pero a la vez esta corriente pasa a través del resistor por lo cual nuestra malla para este sistema es:
= 0 Tanto los valores de q como los de I son instantáneos, para ahora analizar la variación de la carga en el tiempo, expresamos la malla en términos infinitesimales de carga y mediante variables separables y propiedades de los logaritmos y exponenciales resolver la ecuación diferencial.
= 0 ∫ = ∫ á = ln ln á 6
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= −⁄ á = á −⁄ Para fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la carga el voltaje aplicado al capacitor en función del tiempo de la siguiente manera:
qt como
= −⁄ = −⁄
= −⁄ Para hallar la corriente del sistema sistema tenemos que derivar derivar la carga respecto del tiempo: tiempo:
= −⁄ = −⁄ El signo menos en esta expresión no indica que la corriente es negativa, lo cual no existe, sino que la capacitor.
de la corriente es inversa a la del proceso de carga del
Para los fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la corriente como el voltaje aplicado a la resistencia en función del tiempo de la siguiente manera:
= −⁄
= −⁄ Una manera de relacionar el voltaje del capacitor y del resistor
y
que es de
interés para el análisis tabular de los datos obtenidos es el siguiente:
= 7
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Podemos observar que en todas las expresiones hasta ahora desarrolladas se
−⁄, el el cual nos indica que los procesos de carga y descarga tendrían el −
encuentra un término muy particular,
de la corriente máxima en el caso de la carga del capacitor, y de la carga máxima y la corriente máxima en el caso de la descarga del capacitor y el
−
de la carga máxima del capacitor en el proceso de carga del mismo . A este término
[en segundos] que que acabamos de mencionar y utilizar
para este análisis, se le conoce como la
Cables eléctricos conectores
Un condensador (C=3300 µF)
Un resistor (R=4.66 kΩ)
Placa de pruebas (circuito pre armado)
Fuente de alimentación
Multímetro digital
Cronómetro (Precisión=±0.01)
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Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de carga del condensador
0.02 3.25
0.00 5.1.0
4.42
7.41
5.00
8.68
5.89 6.55
10.47 12.31
7.16
14.40
7.50 8.23
15.34 18.09
8.25
18.46
8.78
20.60
9.16 9.79
22.57 26.25
10.10
28.69
10.47 10.82
31.75 35.81
11.05
39.19
11.30
43.35
11.96
70.22
Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de descarga del condensador
12.13 10.54
0.00 2.75
9.13
5.25
9
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FISICA III -LABORATORIO8.88
5.66
7.64
7.59
6.99
9.00
6.67
10.76
6.18
11.28
5.83
12.54
5.62 4.77
12.35 15.53
4.02
17.97
3.63
19.59
3.16 2.92
22.07 23.28
2.53
25.25
1.54 1.09
33.57 39.65
0.21
72.16
Se presenta un resumen de las ecuaciones deducidas previamente en la sección anterior para el análisis de datos correspondiente y después se realiza el cálculo correspondiente para las ecuaciones de regresión lineal de datos para la obtención de los RC experimentales.
= −⁄ = 10
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= −⁄ = = 1 −⁄ −⁄ = ln −⁄ = ln( ln( ) ln 1 = ln( ln( )
Donde
=
= − = −⁄ ln( ln() = lnln −⁄ ln( ln() ln = 1
Donde
=
= 11
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ó| ∗ % = | = |− ó Ahora pasaremos a realizar el análisis de los datos obtenidos en el laboratorio tanto para carga como para la descarga del capacitor.
Utilizando los datos de la
pasaremos a graficar el voltaje del capacitor durante el
proceso de carga del mismo
V(t)Capacitor vs. T 14 12 10 ) V 8 ( e j a t 6 l o V
4 2 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
tiempo (s)
Voltaje del capacitor durante el proceso de carga en el tiempo Podemos verificar por el trazado de puntos la tendencia exponencial propuesta por la
Ahora se pasará a calcular el de la
, para lo cual tenemos que reajustar los datos
para poder utilizar la regresión lineal definida mediante la
Datos experimentales del voltaje y el tiempo 12
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FISICA III -LABORATORIOpara el proceso de carga del condensador
0.02
0.00
12.17
2.50
2.50
0.00164
3.25
5.1.0
12.17
2.19
2.50
0.31068
4.42
7.41
12.17
2.05
2.50
0.45128
5.00
8.68
12.17
1.97
2.50
0.52907
5.89 6.55
10.47 12.31
12.17 12.17
1.84 1.73
2.50 2.50
0.66160 0.77264
7.16
14.40
12.17
1.61
2.50
0.88754
7.50 8.23
15.34 18.09
12.17 12.17
1.54 1.37
2.50 2.50
0.95781 1.12779
8.25
18.46
12.17
1.37
2.50
1.13288
8.78 9.16
20.60 22.57
12.17 12.17
1.22 1.10
2.50 2.50
1.27814 1.39703
9.79
26.25
12.17
0.87
2.50
1.63187
10.10
28.69
12.17
0.73
2.50
1.77143
10.47
31.75
12.17
0.53
2.50
1.96835
10.82
35.81
12.17
0.30
2.50
2.19887
11.05
39.19
12.17
0.11
2.50
2.38565
11.30
43.35
12.17
-0.14
2.50
2.63824
11.96
70.22
12.17
-1.56
2.50
4.05962
Pasaremos a graficar los datos de la última columna en función del tiempo para poder hallar la pendiente de la recta determinada por la
, la cual es el inverso del
que estamos buscando.
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Ln[E/(E-V(t)capacitor)] vs. T
y = 0.058x + 0.051
4.50000 4.00000 ) l a 3.50000 n o i s n3.00000 e m i d2.50000 A ( ] ) 2.00000 ) t ( V - 1.50000 E ( / E [ n1.00000 L
0.50000 0.00000 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tiempo (s)
. Regresión lineal para la determinación de
en el proceso de carga
Constante de tiempo para la carga aplicando la
es:
= 17.241 [] Constante de tiempo teórico del sistema
ó = 15.378 [] Ahora pasaremos a determinar el error asociado a esta parte del experimento aplicando la
%−− = 12.11% Utilizando los datos provistos por la
podemos determinar la variación de la
corriente de carga del capacitor mediante la variación del voltaje del resistor ya que ambas son proporcionales.
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FISICA III -LABORATORIO Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de carga del condensador y cálculo del voltaje del resistor en el tiempo
0.02
0.00
12.17
12.15
3.25
5.1.0
12.17
8.92
4.42
7.41
12.17
7.75
5.00 5.89
8.68 10.47
12.17 12.17
7.17 6.28
6.55
12.31
12.17
5.62
7.16 7.50
14.40 15.34
12.17 12.17
5.01 4.67
8.23
18.09
12.17
3.94
8.25 8.78
18.46 20.60
12.17 12.17
3.92 3.39
9.16
22.57
12.17
3.01
9.79
26.25
12.17
2.38
10.10
28.69
12.17
2.07
10.47
31.75
12.17
1.70
10.82
35.81
12.17
1.35
11.05
39.19
12.17
1.12
11.30
43.35
12.17
0.87
11.96
70.22
12.17
0.21
Ahora al graficar la variación del voltaje del resistor en el tiempo podremos visualizar esta proporcionalidad entre la corriente y el voltaje antes mencionada.
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V(t)resistor vs. T 14 12 10 ) V ( 8 e j a t l o 6 V
4 2 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tiempo (s)
Voltaje del resistor durante el proceso de carga en el tiempo
Utilizando los datos de la
pasaremos a graficar el voltaje del capacitor durante el
proceso de descarga del mismo.
V(t)capacitor vs. T 14 12 10
) V ( 8 e j a t l o 6 V
4 2 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tiempo (s)
Voltaje del capacitor durante el proceso de descarga en el tiempo Podemos verificar por el trazado de puntos la tendencia exponencial propuesta por la .
16
JUNIO 03, 2008
FISICA III -LABORATORIOAhora se pasará a calcular el de la
, para lo cual tenemos que reajustar los datos
para poder utilizar la regresión lineal propuesta mediante la
.
Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de descarga del condensador
12.13
0.00
12.13
2.50
2.50 2 .50
0.00000
10.54
2.75
12.13
2.36
2.50 2 .50
0.14050
9.13
5.25
12.13
2.21
2.50
0.28412
8.88 7.64
5.66 7.59
12.13 12.13
2.18 2.03
2.50 2.50
0.31188 0.46228
6.99
9.00
12.13
1.94
2.50
0.55120
6.67 6.18
10.76 11.28
12.13 12.13
1.90 1.82
2.50 2.50
0.59806 0.67436
5.83
12.54
12.13
1.76
2.50
0.73266
5.62
12.35
12.13
1.73
2.50
0.76935
4.77 4.02
15.53 17.97
12.13 12.13
1.56 1.39
2.50 2.50
0.93334 1.10440
3.63
19.59
12.13
1.29
2.50
1.20645
3.16 2.92
22.07 23.28
12.13 12.13
1.15 1.07
2.50 2.50
1.34511 1.42410
2.53
25.25
12.13
0.93
2.50
1.56746
1.54
33.57
12.13
0.43
2.50
2.06390
1.09
39.65
12.13
0.09
2.50
2.40950
0.21
72.16
12.13
-1.56
2.50 2 .50
4.05633
Pasaremos a graficar los datos de la última columna en función del tiempo para poder hallar la pendiente de la recta determinada por la
, la cual es el inverso del
que estamos buscando.
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Ln[E/V(t) capacitor] vs. T
y = 0.057x + 0.034
4.50000 4.00000 ) l a 3.50000 n o i s 3.00000 n e m i 2.50000 d a ( 2.00000 ] ) t ( V1.50000 / E [ n1.00000 L
0.50000 0.00000 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tiempo (s)
Regresión lineal para la determinación de
en el proceso de
descarga Constante de tiempo para la carga aplicando la
es:
= 17.544 [] Constante de tiempo teórico del sistema
ó = 15.378 [] Ahora pasaremos a determinar el error asociado a esta parte del experimento aplicando la
%−− = 14.08%
Utilizando los datos provistos por la
podemos determinar la variación de la
corriente de descarga del capacitor mediante la variación del voltaje del resistor ya que ambas son proporcionales.
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FISICA III -LABORATORIO Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de descarga del condensador y cálculo de voltaje del resistor en el tiempo
12.13
0.00
-12.13
10.54
2.75
-10.54
9.13
5.25
-9.13
8.88 7.64
5.66 7.59
-8.88 -7.64
6.99
9.00
-6.99
6.67 6.18
10.76 11.28
-6.67 -6.18
5.83
12.54
-5.83
5.62 4.77
12.35 15.53
-5.62 -4.77
4.02
17.97
-4.02
3.63
19.59
-3.63
3.16
22.07
-3.16
2.92
23.28
-2.92
2.53
25.25
-2.53
1.54
33.57
-1.54
1.09
39.65
-1.09
0.21
72.16
-0.21
Ahora al graficar la variación del voltaje del resistor en el tiempo podremos visualizar esta proporcionalidad entre la corriente y el voltaje antes mencionada.
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V(t)resistor vs. T 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
-2 -4 ) V -6 ( e j a t l o -8 V
-10 -12 -14
Tiempo (s)
Voltaje del resistor durante el proceso de descarga en el tiempo
Podemos resumir los resultados del presente informe en la siguiente tabla: Errores experimentales asociados a cada circuito analizado
15.378
17.241
12.11
15.378
17.544
14.08
Los errores experimentales están muy por encima de lo permisible debido a que la placa de pruebas, un circuito pre armado, el cual fue proveído para este experimento y en donde estaban conectados tanto la resistencia, el capacitor y la fuente de poder fue mal construido ya que agregaba al sistema una resistencia no deseada, adicional a los
4.66k del resistor, de aproximadamente 550, lo cual
dificultaba la tarea de análisis mediante los valores de R y C teóricos y su comparación con los experimentales.
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FISICA III -LABORATORIO
Hubo una toma de datos mucho más precisa en la carga del capacitor que en la descarga del mismo, señalando esto, tanto las diferencias de errores de RC experimental entre ambos procesos mostrados en la gráficas del voltaje del capacitor en el tiempo
como las respectivas .
Se corroboró que tanto en los procesos de carga y descarga del capacitor y la resistencia la carga y la corriente tienen un comportamiento exponencial.
Se determinaron las ecuaciones que determinan el comportamiento de este fenómeno mediante el uso de la segunda ley de Kirchhoff y el cálculo infinitesimal.
Se determinó la constante de tiempo RC experimental experimental en los procesos de carga y descarga del capacitor, los cuales difieren en un porcentaje mucho más de lo permisible debido a un incremento en la resistencia del sistema por una mala construcción del tablero de pruebas utilizado en este experimento.
Se analizaron las gráficas de voltaje versus tiempo en los circuitos RC tanto en los procesos de carga y descarga y se observó y confirmó la relación entre las ecuaciones que determinan este fenómeno y el comportamiento del fenómeno en mismo.
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REFERENCIAS [1] Serway; Beichner,
, Editorial Mc-Grawhill, 5ta edición, México, 2002.
[2] Tipler; Mosca, “ ísica para la ciencia y la tecnología Vol. 2” , Editorial Reverté, 5ta edición, España, 2006.
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La diferencia de potencial entre los bornes del condensador cuando
→ ∞ será el
mismo que la FEM E provista por la fuente de alimentación solamente en términos prácticos, porque a nivel estrictamente teórico nunca podrá ser exactamente igual a la FEM E, ya que:
= 1 1 −⁄
Ahora teniendo V(t) = E tenemos: t enemos:
= 1 1 −⁄ Lo cual no tiene solución.
−⁄ = 0
Explicado en el fundamento teórico.
También poseen una forma exponencial y son proporcionales al voltaje de la resistencia en el tiempo. Desarrollado en la sección 2,
.
Desarrollado en el fundamento teórico.
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JUNIO 03, 2008
