CAPÍTULO
4
Valor del dinero en el tiempo
Conceptos clave del capítulo 1. El con conce cept ptoo de int inter erés és a. El inte interé réss simp simple le se pag pagaa solo solo sob sobre re la suma principal b. El interés compuesto se paga sobre la cantidad inicial del principal y sobre cualquier interés devengado, pero no retirado durante los periodos anteriores. 2. Los cálcul cálculos os de valor valor futu futuro ro (com (compue puesto sto)) determinan el valor, en algn momento en el tiempo, de una cantidad determinada de dinero que se invierte el d!a d!a de "oy "oy y que que obti obtien enee cier cierta ta tasa tasa compuesta de interés, i, por cada periodo. #. Los cálculos del valor presente determinan el valor al d!a de "oy (valor presente) de cierta cantidad que "abrá de recibirse en el futuro. $. %na anu anualid alidad ad es una ser serie de pag pagos peri&dicos iguales. a. Los Los pago pagoss de anua anuali lida dade dess regu regula lare ress se "acen al final de cada periodo. b. Los pagos de anualidades anticipadas se "acen al inicio de cada periodo.
'.
.
*.
Los Los cál cálcu culo loss del del valo valorr fut futur uroo de de una una anua anualid lidad ad deter determin minan an el valor futuro de una serie anual de fluos anuales de efectivo. Los Los cálc cálcuulos los del del valo valorr pres presen ente te de una anualidad determinan el valo valorr pres presen ente te de una una seri seriee anu anual de flu fluos os anu anuales ales de efectivo. +tros tros de de los los tema temass impo imporrtant tantes es son a. -recuencia de capitaliaci&n. b. /eterminaci&n del valor presente de las perpetuidades. c. /eterminaci&n del valor presente de series de fluos de efectivo desiguales. d. /eter terminaci& ci&n del valor lor presente de las anualidades diferidas.
RETO FINANCIERO Oportunidad de Powerball /urante el verano del 2001, el monto de la multiestatal oerball Lotery alcan& los 23$.4 millones de d&lares. 5e vendieron cuatro boletos ganadores, cada uno de los cuales obtuvo una cuarta parte de la suma total, 0 *#.* millones. 6ada uno de los cuatro ganadores ten!a dos opciones con respecto al pago del premio 1.
7ecib 7ecibir ir un pag pagoo nic nicoo inm inmedi ediato ato de $1.$ $1.$ mill millone ones. s.
2.
7ecibir 7ecibir un un pago pago de *#.* millones millones duran durante te 2' a8os 9 es decir, decir, 2.3$4 2.3$4 millone milloness al princ principio ipio de cada uno de los siguientes 2' a8os.
5uponga que usted es el asesor financiero de uno de los poseedores de los boletos ganadores. :6&mo le "ar!a para elegir entre las dos opciones; +bviamente, la tasa de rendimiento que cabr!a cabr!a espera esperarr sobre sobre la invers inversi&n i&n es una variab variable le import important antee para para tomar tomar una decisi decisi&n &n informada.
Introducción
"ttp ?aga clic en la opci&n @nvestment Análisis 6alculador en el sitio "ttpBBfinance.scollege.co m para que conoca una interesante calculadora financiera que le será til para realiar cálculos de valor futuros y actuales
Entender el valor del dinero en el tiempo es fundamental para una administraci&n financiera efica. /e "ec"o, cualquier persona cuyo trabao suponga el maneo de dinero deberá contar con cierto conocimiento del valor del dinero en el tiempo. 6onsidere lo siguiente %n banquero que "ace préstamos y otras inversiones %n funcionario cuyo trabao consiste en considerar las diversas fuentes de financiamiento en términos de costos. %n eecutivo de planeaci&n corporativo que debe elegir entre varios proyectos alternos de inversi&n. %n analista de valores que evala las acciones que una empresa vende a los inversionistas %na personas que enfrenta varios problemas financieros cotidianos, los cuales van desde el maneo de la cuenta personal de crédito "asta decidir c&mo financiar la compra de una casa nueva. 6ada uno de estos individuos emplea con frecuencia el valor del dinero en el tiempo.
aluaci&n de acciones y otros activos resupuestos de capital (análisis de proyectos de inversi&n) 6osto de capital.
Administraci&n de capital circulante (activos y pasivos a corto plao)
Análisis de arrendamiento financiero Este cap!tulo presenta los conceptos y "abilidades necesarios para entender el valor del dinero en el tiempo y sus aplicaciones. El análisis del cap!tulo supone que usted utiliará una calculadora financiera o las tablas de interés (tablas @ a @>) que aparecen al final del libro para resolver los problemas. problemas. En muc"os de los eemplos del cap!tulo, cap!tulo, se presentan soluciones obtenidas por calculadora. 5in embargo, nos interesa en especial que aprenda los principiosC del valor del dinero en el tiempo.
Comentario sobre la notación Antes Antes de comen comenar ar el anális análisis is del valor valor del dinero dinero en el tiemp tiempo, o, con convie viene ne anali analiar ar brevemente la notaci&n financiera. En finanas, por regla general, las letras minsculas denotan tasas porcentuales y periodos, mientras que las letras maysculas representan dinero o cantidad cantidades es monetaria monetarias. s. or eemplo, utiliamos utiliamos i para denotar la tasa de interés, n para representar el nmero de periodos, PMT para los pagos en efectivo, PV (present value) para representar el valor presente y VF (future value) para valor futuro. %na eDcepci&n eDcepci&n importante en este teDto es que empleamos T para denotar la tasa fiscal fiscal en lugar de t, pues la t minscula denota tiempo. El uso que "acemos de la letra i para denotar la tasa de interés es similar a la notaci&n que se utilia en casi todas las calculadoras financieras. 5in embargo, más adelante en el teDto, por eemplo en el cap!tulo seis, cuando la tasa de interés se convierta en una tasa de rendimiento requerida concreta, nos servimos de la letra k para denotar el rendimiento requerido, como acostumbran muc"os analistas financieros. Plantillas en Ecel disponibles para esta edición +tra caracter!stica de Administración Financiera Contemporánea, en su novena edici&n, es la disponibilidad de plantillas de EDcel para resolver diversos problemas compleos de administraci&n financiera, incluidos los de amortiaci&n de crédito que se encuentran en este cap!t cap!tulo ulo.. Estas Estas planti plantilla llass se dise8a dise8aron ron para para utili utiliars arsee unto unto con el progra programa ma de "oa "oa electr&nica de cálculo EDcel. Las plantillas no exien exien conocimientos conocimientos previos previos de !xcel !xcel y se manean mediante mens. Las plantillas están disponibles en el sitio en la 7ed del libro ("ttp ("ttpBBm BBmoye oyerr.t"oms .t"omson. on.com com.mD .mD). ). 6omo 6omo parte parte de la secci secci&n &n de proble problema mass de alguno algunoss cap!tulos, cap!tulos, incluimos problema problemass que pueden pueden resolvers resolversee mediante mediante estas estas plantilla plantillas. s. Estos problemas se identifican por medio de un icono de EDcel impreso unto al nmero del problema, Inter!s Es posible pensar en el dinero como si tuviera un valor en el tiempo. En otras palabras, una cantidad de dinero que se recibe "oy vale más que si se recibiera dentro de un a8o. 1 La prin cipal ra&n para que un d&lar valga más el d!a de "oy que si se recibe en algn momento en el futuro es que el d&lar actual puede invertirse para obtener una tasa de rendimiento (esto se aplica aun cuando no se consideren el riesgo y la inflaci&n). or eemplo, suponga que tiene 100 d&lares y decide depositarlos en una cuenta de a"orros a un a8o de plao. Al "acerlo, re nuncia, o pierde, la oportunidad de gastar esos 100 d&lares en lo que se desea a"ora, o bien pasa por alto el rendimiento que esos 100 d&lares podr!an obtener en alguna inversi&n alterna, como los bonos del Fesoro de Estados %nidos. + bien pierde la oportunidad de pagar 100 d&lares adicionales a la "ipoteca de la casa. /el mismo modo, un banco que presta dinero a una empresa pierde la oportunidad de obtener un rendimiento sobre alguna inversi&n alterna.
1
/urante todo el cap!tulo, los términos dinero, flu"o de efectivo y pao se emplean de manera indistinta. G/ebido a que la mayor!a de las f&rmulas y ecuaciones contenidas en esta edici&n se resuelven a través de las abreviaturas en inglés de los términos clave, "emos decidido deadas tal y como están. ara comodidad del lector, cada uno de estos conceptos tendrá su traducci&n al espa8ol y su correspondiente denominaci&n en inglés. /e este modo. le será más fácil identificarse con los términos técnicos en ambos idiomas.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
El interés (interest) es el monto que se obtiene como rendimiento de, o la cantidad que se paga a, alguien que perdi& una oportunidad de consumo o de inversi&n alterna actual y Galquil&H el dinero en una relaci&n de crédito. 2 El principal es la cantidad de dinero que se toma prestada, o invierte. El plao de un crédito es el lapso de tiempo o la cantidad de periodos durante los cuales el prestatario (la persona que obtuvo el préstamo) utilia el principal. La tasa de interés es el porcentae del principal que el prestatario paga al acreedor, por cada periodo espec!fico, espec!fico, como compensaci&n compensaci&n por perder otras otras oportunidades de inversi&n inversi&n o consumo.
Inter!s simple El interés simple (simple interest) es el interés que se paga (en el caso de créditos) o que se obtiene (en el caso de inversiones) s&lo sobre el principal. El monto del interés simple es igual al producto del principal por la tasa determinada para cada periodo multiplicada por la cantidad de periodos. & I >0 x i x n
(#$%)
/onde & es es el monto obtenido por el interés simple en d&lares, > 0 es el principal en el tiempo 0, o el valor v alor presenteJ i es la tasa de interés por periodo y n es el nmero de periodos. Los siguientes problemas ilustran el uso de la ecuaci&n $.1. 1. :6uál :6uál es el interés interés simple simple de 100 d&lare d&laress a un 10K anual anual durante durante seis meses; meses; 5ustitu 5ustituir ir 100 por >0 , 10K (0.10) por i y B12 (0.'0) por n genera lo siguiente & I 100 x 0.10 x 0.'
I ' 2. 'i &saia illimas compró una casa * pidió + dólares a una tasa anual de %-, .Cuál ser/a el pao de inter0s del primer mes ; 5ustituir #0 000 por > 0 , (01.0) por i y 1B12 (0.') por n genera lo siguiente & I #0 000 x 0.10 x 1B12
I 2'0 #. Mar* 'ciller reci1e reci1e + dólares dólares cada + meses de una una cuenta 1ancaria 2ue paa una tasa de inter0s anual de 3-$ .Cuánto a invertido en la cuenta4 6omo en este eemplo la inc&gnita es >0 , la ecuaci&n $.1 se reordena >0
(#$5)
1 i Xn
5ustituir #0 por & , 0.0 por i y M (0.2') por n genera lo siguiente >0 I
L#0 0.0 N0.2'
I 2 000 Fambién es til poder calcular la cantidad de dinero que una persona puede esperar recibir en algn momento. En las matemáticas financieras, el valor Ferminal o futuro (Ferminal (Ferminal or future value ->n) de una inversi&n representa el principal más los intereses acumulaos al final de n a8os. 5e escribe como sigue ->n I >0 O 1
(#$+)
$. 7aymond 7aymond P&me P&me pide presta prestados dos 1 000 d&lares d&lares durant durantee nueve meses meses a una una tasa anula anula de 4 por ciento. :6uánto deberá pagar al final de los nueve meses; 6ombinar las ecuaciones $.1 y $.# para despear ->n genera la siguiente ecuaci&n 2
Si bien en el texto se manejan otras formas de rendimiento, este análisis se limita a situaciones de préstamo.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
->n I >0 O (>0 N i N n)
(#$#)
7eemplaar 1 000 d&lares por > 0, 0.04 por & y Q (3 meses I M de a8o) por n genera lo siguiente ->1B$ I 1 000 O (1 000 N 0.04 N Q) I 1 00 Este problema puede ilustrarse mediante la siguiente l!nea de tiempo t ( año
0.25
0.50
0.75
!1 000 "#$%&
'. Marie Como acepta invertir % dólares en una empresa 2ue promete paarle un inter0s simple de %- anual durante los próximos dos a6os .Cuánto dinero tendrá al final del seundo a6o4 5i nos servimos de la ecuaci&n $.$ y suponemos dos pagos con
interés simple de 10K, el valor futuro de la inversi&n de 2 I >0 O (>0 N i N 2) I 1 000 O (1 000 N 0.10 N 2) I 1 200
"ttp
Este problema puede ilustrarse mediante la siguiente l!nea de tiempo
.!l valor del dinero en el tiempo es un concepto importante en el mundo de los neociso4 !scri1a 8valor presente9 (t0rmino en0rico) en uno de los principales motores de 1:s2ueda, como ;oole, * o1serve cuántos millones de 8its9 (calculadoras, tutoriales, ráficas, asesores * consultores, etc)$ ??@@@$oole$com
t ( año
0
2
!1 000 "#2
En general, en el caso del inter0s simple, el valor futuro, o Ferminal (-> n), al final de n a8os, está dado por la ecuaci&n $.$.
Inter!s compuesto " valor #uturo El interés compuesto (compound interest) es el interés que se paga no s&lo sobre el principal, sino también sobre cualquier interés obtenido, pero no retirado, durante los periodos anteriores. or eemplo, si Rerry Rones deposita 1 000 d&lares en una cuenta de a"orros que paga un interés compuesto de K cada a8o, el valor futuro (compuesto) de su cuenta al final de un a8o (->1) se calcula como sigue ->1 I >0(1Oi)
(#$7)
I 1 000(1 O 0.0) I 1 00 Este problema puede ilustrarse mediante la siguiente l!nea de tiempo t ( año
0
1
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo !1 000
"#1
5i Rones dea los 1 000 d&lares, más el interés acumulado en la cuenta durante otro a8o, su valor al final del segundo a8o se calcula como sigue ->2 I ->1(1 O i)
(#$3)
I 1 00(1 O 0.0) I 1 12#.0 Este problema puede ilustrarse mediante la siguiente l!nea de tiempo t ( año
0
2
1 !1 0'0
"#1
7ecuerde que en el caso del interés compuesto, el interés en cada periodo se obtiene no s&lo sobre el principal, sino también sobre cualquier interés acumulado y no retirado durante los periodos anteriores. 6omo se observa en la figura $.1, si la cuenta de los dos a8os ser!a de 1 120 d&lares en lugar de los 1 12#.0. La diferencia de #.0 d&lares es el interés sobre el interés del primer a8o (0.0 N 0). 5i Rones no realia retiros de la cuenta durante otro a8o, el total al final del tercer a8o será el siguiente -># I ->2(1 O i)
(#$)
I 1 12#.0(1 O 0.0) I 1 131.02 Este problema puede ilustrarse mediante la siguiente l!nea de tiempo "#$ !1 1(1.02 t ( año
1 210 0
1
1 1)0 1 150 "#2 !1 12$.'0
1 120
2
*nterés compuesto año $- interés sobre el interés del primer / !12$.'0 seundo años 0.0' x !'0 "#$ !12$.'0 !11.02
1 0(0 1 0'0
*nterés compuesto año 2interés sobre el interés del primer año 0.0' x !'0 !$.'0
"#1 !1 0'0
1 0$0 1 000
*nterés simple
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo +rincipal
$
Fi$ura %&' @nterés simple contra interés compuesto La figura $.1 ilustra que si la cuenta paga s&lo un interés simple, valdr!a s&lo 1 140 d&lares al final de los tres a8os. La diferencia de 11.02 (es decir, 1 131.02 1 1 40) es el interés sobre el interés del primer y el segundo a8os, 0.0 N (0 O 12#.0). Es posible desarrollar una f&rmula general para calcular los valores futuros, combinando las ecuaciones $.', $. y $.*. 5ustituir la ecuaci&n $. dentro de la ecuaci&n $.* genera la siguiente ecuaci&n -># I ->1(1 O i) (1 O i) + -># I ->1(1 O i)2
(#$B)
7eemplaar la ecuaci&n $.' por la ecuaci&n $.4 genera lo siguiente -># I >0(1 O i) (1 O i)2 + -># I >0(1 O i)#
(#$)
Esta ecuaci&n puede generaliarse an más para calcular el valor futuro al final de un periodo n para cualquier pago compuesto a una tasa de interés i ->n I >0(1 O i)n
(#$%)
Aunque la ecuaci&n $.10 es til para resolver problemas de valor futuro de uno, dos, tres y "asta cuatro a8os en el futuro, su uso para periodos que suponen lapsos más prolongados es bastante tedioso. or eemplo, resolver 20 a8os en el futuro requerir!a calcular (1 O i)20. 6omnmente se utilian las fórmulas yBo tablas de factores de interés del valor futuro (future value interest factors, -@>) para simplificar tales cálculos. La tabla @, al final del libro, presenta una lista de los factores de interés de valor futuro, para diversas tasas de interés, que cubren "asta 0 periodos (a8os u otros lapsos). /ebido a que cada factor de interés futuro se define como ->@-i,n I (1 O i)n
(#$%%)
La ecuaci&n $.10 puede reformularse de la siguiente manera (#$%5)
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
-> D I >0(->@-i,n,)
/onde i es la tasa de interés nominal por periodo y n es el nmero de periodos. ara entender meor la tabla @, conviene considerar cada factor como resultado de la inversi&n o el préstamo de un d&lar durante una determinada cantidad de periodos, n, a una tasa de interés i. La soluci&n para cualquier cantidad distinta a 1 d&lar es producto de ese principal por el factor para una cantidad de 1 d&lar como principal. %na parte de la tabla @ se reproduce en la tabla $.1. Esta puede utiliarse para determinar el valor compuesto de 1 000 d&lares a K durante 20 a8os ->20 I >0(->@-0.0, 20) I 1 000(#.20*) I # 20* La cantidad del valor futuro también puede obtenerse con una calculadora financiera. or eemplo, el problema anterior puede resolverse como sigue Teclee Solucin con calculadora
20
1 000
n
i
>
(olución
-> )*+,
Dota> 6uando no aparece un valor sobre el Scuadro de teclaH, como
es necesario teclear valor alguno para resolver el problema 5e llega a la cifra #.20* leyendo la columna de K o 0.0, "acia abao "asta la fila 20, bao el encabeado Sfinal del periodo (n)H, donde se intersecan.
C-lculo para la tasa de inter!s En algunos problemas de valor compuesto, se conocen los valores presente (presente value, >0) y futuro ( future value, -> n) y el obetivo consiste en determinar la tasa de interTs ( i) que resuelve la ecuaci&n $.10. or eemplo, el factor de interés del valor futuro para una inversi&n que eDige una erogaci&n inicial de 1 000 d&lares y que promete un rendimiento de 1 23 d&lares después de die a8os es el siguiente ->@-i,10 I I
->10 >0
L123 L1000
. '&/*0
Tabla %&'
Factores de inter!s de valor #uturo 1FVIF2 para ' dólar a una tasa de inter!s i durante n periodos3 Fasa de interés (i)
-inal del periodo (n)
1K
'K
K
4K
10K
1
1.010
1.0'0
1.00
1.040
1.100
2
1.020
1.102
1.12$
1.1
1.210
#
1.0#0
1.1'4
1.131
1.20
1.##1
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
$
1.0$1
1.21
1.22
1.#0
1.$$
'
1.0'1
'&*,/
1.##4
1.$3
1.11
4
1.04#
1.$**
1.'3$
1.4'1
2.1$$
3
1.03$
1.''1
1.43
'&000
2.#'4
10
1.10'
'&/*0
1.*31
2.1'3
2.'3$
20
1.220
2.'#
)&*+,
$.1
.*24
2'
1.242
#.#4
$.232
.4$4
10.4#'
U Los valores en esta y otras tablas similares en el texto se han redondeado a tres lugares decimales. Cuando se trata de grandes sumas de dinero, deben utilizarse tablas o calculadoras financieras más precisas
Al leer la fila de 10 a8os en la tabla $.1, se encuentra 1.23 en la columna de ' por ciento. or tanto, la inversi&n genera una tasa de rendimiento compuesta del ' por ciento.
Solucin con calculadora
La tasa de interés también puede calcularse con una calculadora financiera. or eemplo, el problema anterior puede resolverse como sigue Teclee
20 n
(olución
1 000 i
123
>
->
'.0
C-lculo de la cantidad de periodos con capitali4ación Las tablas de factores de interés del valor futuro también pueden utiliarse para determinar la cantidad de periodos con capitaliaci&n anual ( n). or eemplo, para determinar cuánto tiempo se requiere para que se dupliquen 1 000 d&lares, invertidos a 4K, busque en la columna de 4K "asta localiar un factor de interés del valor futuro de 2 000. el valor más pr&Dimo a esta cifra es 1 333. Leyendo a la iquierda de esta cifra, puede observarse que los 1 000 d&lares originales valdrán casi 2 000 d&lares es nueve a8os. Este problema también puede resolverse de manera algebraica ->n I >0(->@-0.04,n) ->0.04, n I I
->n >0
L2000 L1000
. *&+++ /e acuerdo con la tabla $.1, el valor más pr&Dimo a ->@- I 2.000 bao la columna de 4K es 1333, lo que ocurre aproDimadamente a los nueve a8os.# La capitaliaci&n también puede ilustrarse de manera gráfica. La figura $.2 muestra los efectos del tiempo, n y la tasa de interés, i, en el crecimiento de una inversi&n de 100 d&lares. 6omo lo ilustra la figura, mientras más alta sea la tasa de interés compuesto, más rápida será la tasa de crecimiento del valor del principal inicial. La noci&n de que una tasa de interés puede $
n una solucin abre3iada a este tipo de problema, conocida como 4rela del 72, se di3ide el n6mero 72 entre la tasa de interés para determinar la cantidad de años ue se necesitar8an para ue se dupliue una suma de dinero. n este caso, 72%)9 (. :a rela del 72 también puede utili;arse para determinar la tasa de interés ue se reuiere para ue una cantidad de dinero se dupliue en un determinado periodo de años- 72%( ) por ciento. :a rela del 72 no brinda cifras exactas, pero puede usarse para calcular buenas aproximaciones
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
considerarse como una tasa de crecimiento será til durante los análisis posteriores sobre valuaci&n y costo del capital.
'50 s e r a l 1 d , o r u t u f r o l a #
'00
I 209
I 109
550 500 &50
I 59
&00 $50 $00 250 I 29
200 150 +#0100
5
10
15
20
25
$0
$5
&0
t año
Fi$ura %&* 6recimiento de una inversi&n de 100 d&lares a diversas tasas de interés compuesto.
Valor presente Los cálculos de valor compuesto, o futuro, responden a la pregunta :6uál seraTel valor futuro de N d&lares que se invierten "oy, a una cierta tasa de interés compuesta, iV =o obstante, quien toma la decisi&n financiera muc"as veces enfrenta otro tipo de problema dado un valor futuro, ->n , :6uál es su valor equivalente "oy en d!a; Es decir, :6uál es el valor presente, > 0; La soluci&n eDige calcular el valor presente, que se utilia para determinar el valor monetario "oy, >0, es decir, el equivalente a cierta cantidad en d&lares prometida a futuro, ->n$ La equivalencia depende de la tasa de interés (rendimiento) que puede obtenerse sobre las inversiones durante el periodo que se considera. Es posible mostrar la relaci&n entre los valores compuestos y presente al reformular la ecuaci&n $.10 para despear > 0 ($.10) ->n I >0(1 O i)n 11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
o (#$%+)
>0 I ->n
1 (1 O i) n
donde 1B(1 O i)n es el reciproco del factor de valor compuesto. El proceso de cálculo de los valores presentes suele denominarse descuento. La ecuaci&n $.1# es la f&rmula de descuento básica. ara ilustrar el uso de la ecuaci&n $.1#, suponga que un banquero le ofrece pagarle 2''.20 d&lares en cinco a8os si usted deposita N d&lares "oy a una tasa de interés de 'K anual. /ecidir si la inversi&n vale la pena dependerá de cuánto dinero debe depositar, o el valor presente de N d&lares. Las tablas ->@-, como la $1 que ya presentamos, pueden usarse para resolver el problema como sigue >0 I ->' (
1 ) ->@-0.0','
1 I L2''.20 ( ) 1.2*
I 200 Este problema puede ilustrarse mediante la siguiente l!nea de tiempo t ( año
0
1
2
$
&
5 !255.20
"#0
As!, una inversi&n de 200 d&lares "oy proporcionar!a un rendimiento de ''.20 d&lares en cinco a8os. /ebido a que determinar los valores reciprocos de factores de interés de valor compuesto, 1B (1 O i)n, puede ser un proceso tedioso, por lo general se utilian las tablas de factores de interés del valor presente (present value interest factors, >@-) para simplificar tales cálculos. 5e define cada factor de interés del valor presente como >@-i, n I
(#$%#)
1 (1 O i) n
La ecuaci&n $.1# puede escribirse de la siguiente manera >0 I ->n(>@-i,n)
(#$%7)
La tabla @@, al final del libro, proporciona factores de interés del valor presente. La tabla $.2 reproduce parte de la tabla @@. or eemplo, es posible utiliar la tabla $.2 para determinar el valor presente de 1 000 d&lares que se recibir!an dentro de 20 a8os, descontados a un 10K >0 I ->20(->@-0.10, 20) I 1 000(0.1$3) I 1$3 As!, 1$3 d&lares invertidos el d!a de "oy, a una tasa de interés compuesta de 10K anual durante 20 a8os, valdr!an 1 000 d&lares al final del periodo. A la inversa, la promesa de 1 000 d&lares dentro de 20 a8os, "oy vale 1$3 d&lares, a una tasa de interés de 10 por ciento.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
Teclee Solucin con calculadora
20
10
n
i
1 000
>
(olución
->
PMT
'%0
C-lculo de las tasa de inter!s " crecimiento Los factores de interés del valor presente también pueden usarse para determinar las tasas de interés. or eemplo, suponga que "oy desea obtener un crédito de ' 000 d&lares de un banquero. El banquero está dispuesto a prestarle el dinero si usted promete pagarle 2'0 d&lares dentro de cuatro a8os. La tasa de interés compuesta que su banquero le cobra puede determinarse de la siguiente manera >0 I ->#(>@-i,#) ' 000 I 2'0(>@-i,#) (>@-i,$ ) I
L'000 L2'0
0.)00 Factores de inter!s de valor presente 1FVIF2 para ' dólar a una tasa de inter!s i durante n periodos
Tabla %&*
Fasa de interés (i) -inal del eriodo (n) 1 2 # $ ' 4 10 20 2'
1K 0.330 0.340 0.3*1 0.31 0.3'1 0.32# 0.30' 0.420 0.*40
'K 0.3'2 0.30* 0.4$ +&5*) 0.*4$ 0.** 0.1$ +&),, 0.23'
K 0.3$# 0.430 0.4$0 +&,0* 0.*$* 0.2* 0.''4 +&)'* 0.2##
4K 0.32 0.4'* 0.*3$ 0.*#' 0.41 0.'$0 0.$# 0.21' 0.1$
10K 0.303 0.42 0.*'1 0.4# 0.21 0.$* 0.#4 +&'%0 0.032
1#K 0.44' 0.*4# 0.3# 0.1# +&6%) 0.#* 0.23' 0.04* 0.0$*
Al leer la falta de cuatro a8os en la tabla $.2, 0.400 se encuentra entre las columnas de 'K (0.42#) y K (0.*32). @nterpolar estos dos valores genera i I 'K O
0.42# 0.400 0.42# 0.*32
I '.*$ K /e esta manera, la tasa efectiva de interés sobre el crédito es de '.*$K al a8o, compuesta anualmente. Teclee Solucin con calculadora
$ n
(olución
' 000 i
>
2'0 PMT
->
6&,%
+tra aplicaci&n comn del valor presente es el cálculo de la tasa compuesta de crecimiento del fluo de utilidades o dividendos. or eemplo, Warnes X =oble (la empresa más importante del 11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
mundo en la venta de libros) tuvo ingresos de 0.3# d&lares por acci&n en 133*. 5uponga que estas ganancias crecen a 2.0$ d&lares al final del 2002. /urante este periodo de cinco a8os, :cuál es la tasa anual compuesta de crecimiento de las utilidades de esa compa8!a;. La respuesta a este problema puede obtenerse despeando el factor de interés de valor presente de los cinco a8os del periodo como sigue 0.3# I 2.0$ (>@-i,') >@-i,' I 0.$' En la tabla @@, encontramos este factor de interés del valor presente en la columna de 1*K de tasa de interés o de crecimiento. or tanto, la tasa de crecimiento anual compuesta de las utilidades por acci&n de Warnes X =oble "a sido del 1* por ciento. Teclee Solucin con calculadora
' n
(olución
0.3# i
>
2.0$ PMT
->
',&+
El proceso de descuento también puede ilustrarse gráficamente. La figura $.# presenta los efectos del tiempo, n, y la tasa de interés, i, en el valor presente de una inversi&n de 100 d&lares. 6omo indica la figura, cuanto más elevada sea la tasa de descuento, menor será el valor presente de los 100 d&lares.
Anualidades %na anualidad es el pago o ingreso, de fluos de efectivo iguales por periodo durante una cantidad espec!fica de tiempo. $ %na anualidad ordinaria (ordinary annuity) es aquella en la cual los pagos o ingresos ocurren al final de cada periodo, como se aprecia en la figura $.$. %na anualidad anticipada (annuity due) es aquella en la que los pagos o ingresos se cubren al inicio de cada periodo, como se ilustra en la figura $.'. casi todos los pagos de arrendamiento, como el alquiler de departamentos y los pagos de primas de seguro, son anualidades anticipadas. 100
)0 s e r a l 1 d , e t n e s e r p r o l a #
'0
&0
20
0 &
ste análisis se centra sobre todo en periodos de un año
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
5
10
15
20
25
$0
t año
Fi$ura %&) >alor presente de 100 d&lares a diversas tasa de descuento t ( periodo
0
1
!100
2
!100 *nresos
$
!100
& !100
Fi$ura %&%& L!nea de tiempo de una anualidad ordinaria de 100 d&lares por periodo durante cuatro periodos t ( periodo
0
1
!100
2
!100 *nresos
$
!100
& !100
Fi$ura %&6& L!nea de tiempo de una anualidad vencida de 100 d&lares por periodo durante cuatro periodos
"ttp .??@@@$salemfive$com
En una anualidad ordinaria de cuatro a8os, el ltimo pago se "ace al final del cuarto a8o. En una anualidad anticipada de cuatro a8os, el ltimo pago se "ace al final del tercer a8o (es decir, al inicio del cuarto a8o).
Valor #uturo de una anualidad ordinaria Los problemas de valor futuro de una anualidad ordinaria (future value o fan ordinary annuity, ->A=n) plantean la pregunta si el dep&sito # I 2 I
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
I 1 000(1.0) I 1 00 El primer dep&sito, 1 I
t año
0
1
2
$
+<=1!1 000
+<=2!1 000
+<=$!1 000
?o obtiene interés
>ompuesto 2 años
!1 000
>ompuesto 1 año
1 0'0 1 12& !$ 1)& 3alor futuro de una anualidad ordinaria "#@?$
La suma de tres cifras es el valor futuro de a anualidad ->A=# I ->#rd O ->2nd O ->1st I 1 000 O 1 00 O 1 12$ I #.14$ El valor del factor de interés de una anualidad (future value o fan annuity interest factor, ->@-A) es la suma de los factores de interés de valores futuros que presentamos en la tabla @. En este eemplo, el valor fuutro del factor de interés de una anualidad se calcula como ->@-A0.0,# I ->@-0.0,1 O ->@-0.0,0 I 1.12$ O 1.00 O 1.000 I #.14$ ara simplificar los cálculos, eDisten las tablas del valor futuro de los factores de interés de una anualidad ordinaria. La tabla @@@, ubicada al final del libro, proporciona diversos valores futuros para los factores de interés de una anualidad. %na parte de la tabla @@@ se reproduce aqu! como tabla $.#. Fambién es posible calcular los valores ->@-A de la manera siguiente (1 O i ) n ->@-A i , n I i
(#$%3)
1
Esta f&rmula es til cuando no se tiene acceso a las tablas de interés con los valores apropiados para i y n, ni una calculadora financiera.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
El valor futuro de una anualidad ordinaria puede calcularse multiplicando el pago de la anualidad, @-A i,n, ->A=n @-A i,n)
(#$%)
La tabla $.# puede utiliarse para resolver el problema que supone la anualidad de la se8ora Refferson. 6omo A=# I @-A0.0,#) I 1 000(#.14$) I # 14$ Teclee Solucin con calculadora
#
n
i
1 000
>
PMT
(olución
-> ) '5%
Problema para un #ondo de amorti4ación& El valor futuro de los factores de interés de una anualidad también puede utiliarse para encontrar el monto que debe invertirse cada a8o para producir un valor futuro. Este tipo de problema se conoce como problema para un fondo de amortiaci&n. 5uponga que +mega Prap"ics 6>ompany desea separar una cantidad igual al final de cada a8o en una Scuenta de fondo de amortiaci&nH que percibe un interés anual de 3.'K durante los siguientes cinco a8os. La firma desea tener cinco millones de d&lares en la cuenta final de los cinco a8os, a fin de reiterar (y liquidar) cinco millones de d&lares en bonos de circulaci&n. :6uánto debe depositar en la cuenta al final de cada a8o; Este problema puede resolverse con la ecuaci&n $.1* o una calculadora financiera. 5ustituir n I ', ->A=7 I ' 000 000 e i I 0.03' en la ecuaci&n $.1* genera ' 000 000 I @-A0.03',')
Tabla %&)
Valor #uturo de los #actores de inter!s Fasa de interés (i)
-inal del eriodo (n) 1 2 # $ ' 4 10 20
1K 0.330 0.340 0.3*1 0.31 0.3'1 0.32# 0.30' 0.420
'K 0.3'2 0.30* 0.4$ +&5*) 0.*4$ 0.** 0.1$ +&),,
K 0.3$# 0.430 0.4$0 +&,0* 0.*$* 0.2* 0.''4 +&)'*
4K 0.32 0.4'* 0.*3$ 0.*#' 0.41 0.'$0 0.$# 0.21'
10K 0.303 0.42 0.*'1 0.4# 0.21 0.$* 0.#4 +&'%0
1#K 0.44' 0.*4# 0.3# 0.1# +&6%) 0.#* 0.23' 0.04*
6omo la tasa de interés de 3.'K no aparece en la tabla @@@, es preciso utiliar la ecuaci&n $.1 para determinar ->@-A 0.03',' (1 O 0.03') ' L'000000 I
1
Al depositar aproDimadamente 42* 142 d&lares al final de cada uno de los pr&Dimos cinco a8os en una cuenta que obtiene un interés anual de 3.'K, +mega acumulará los cinco millones de d&lares que necesita para retirar los bonos. Teclee Solucin con calculadora
'
3.'
n
i
' 000 000
>
->
PMT
42* 142
(olución
Valor #uturo de una anualidad anticipada La tabla @@@, al final del libro (valor futuro de los factores de interés de una anualidad) supone anualidades ordinarias (de final de periodo). ara una anualidad anticipada, en la cual los pagos se "acen al inicio de cada periodo, es preciso modificar los factores de interés de la tabla @@@. 6onsidere el ya citado caso de la se8ora Refferson. 5i deposita 1 000 d&lares en una cuenta de a"orros al inicio de cada a8o durante los pr&Dimos tres, y la cuenta percibe un interés com puesto del K anual, :cuánto "abrá en la cuenta al final de los tres a8os; (7ecuerde que cuan do los dep&sitos se "icieron al final de cada a8o, la cuenta ascendi& a # 14$ d&lares al final de los tres a8os.) La figura $.* ilustra este problema como anualidad anticipada$ El PMT % se compone durante tres a8os, @-A durante tres a8os y K (#.14$) por 1 más la tasa de interés (1 O 0.0). Esto genera un ->@-A de #.#*' para una anualidad anticipada, y el valor futuro de ésta ( future value of te annuit* due, ->A=/n) se calcula como sigue
t año
0
1
2
+<=1!1 000
+<=2!1 000
+<=$!1 000
$
?o obtiene interés
>ompuesto 2 años >ompuesto $ años
>ompuesto 1 año
1 0'0 1 12& 1 1(1 3alor futuro de una anualidad anticipada "#@?$ !$ $75
Fi$ura %&, L!nea de tiempo del valor futuro de una anualidad anticipada (
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
->A=/n I @-At,n(1 O i) ->A=/# I 1 000(#.#*') I # #*'
Teclee Solucin con calculadora
#
n
i
1 000
>
PMT
(olución
-> ) ),6
?ota- sta cantidad es ma/or a los $ 1)& dlares ue obtu3imos en el ejemplo de la anualidad ordinaria ue /a 3imos, por una cantidad iual a 1 A i , o 1.0' en este ejemplo espec8fico.
Valor presente de una anualidad ordinaria
"ttp la próxima ve= 2ue se ane la loteria * no pueda esperar para astarse el dinero, recurra a una empresa llamada 'tonestreett, la cual le comprará el 1oleo a su valor presente, esto es, dinero contante * sonante en su mano$ ttp>@@@$stonestreet$com
El valor presente de una anualidad ordinaria (present o fan ordinary annuity, >A= 0) es la suma del valor presente de una serie de pagos peri&dicos iguales '. or eemplo, para encontrar el valor presente de una anualidad ordinaria de 1 000 d&lares, que se recibe al final de cada a8o durante cinco, descontados a una tasa de interés del K, la suma de los valores presentes individuales se determinarYia de la siguiente manera >A=0 I 1 000(>@- 0.0,1) O 1 000(>@- 0.0,2) O 1 000(>@-0.0,#) O 1 000(>@-0.0,$) O 1 000(>@-0.0,') I 1 000(0.3$#) O 1 000(0.430) O 1 000(0.4$0) O 1 000(0.*32) O 1, 000(0.*$*) I 1 000(0.3$# O 0.430 O 0.4$0 O 0.*32 O 0.*$*) I $ 212 t año
0
1
2
$
&
5
/escontando 1 a8o
430
/escontando 2 a8os
4$0
/escontando # a8os
*32
/escontando $ a8os
*$*
/escontando ' a8os
$ 212 I valor presente de una anualidad ordinaria (>A=0)
Fi$ura %&5 L!nea de tiempo del valor presente de una anualidad ordinaria (@-A) permiten simplificar tales cálculos. La tabla @>, al final de libro, proporciona varios valores presentes de los factores de @nterés de una anualidad. A continuaci&n se reproduce como tabla $.$ una parte de la tabla @>. Los >@-A también pueden calcularse como sigue $.13
5
1 >@-A i, n I
ste análisis se centra principalmente en periodos de un año
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
1 (1 O i) n i
Está f&rmula es til cuando no se tiene acceso a las tablas de interés con los valores apropiados de i y n, o a una calculadora financiera. El valor presente de una anualidad puede determinarse multiplicando el pago de la anualidad (annuity payment, @-A i,n , $.20 >A=0 I @-Ai,n) 7ecurriendo a la tabla $.$ para determinar el factor de @nterés para i I K y n I ', el valor presente de la anualidad del problema anterior puede calcularse como sigue >A=0 I @-Ai,n) I 1 000($.212)
!& 212 Valor presene de los #actores de inter!s de una anualidad ordinaria 1PVIFA2 para ' dólar a una tasa de inter!s i durante n periodos
Tabla %&%
Fasa de interés ( i) -inal del eriodo (n) 1 2 # $ ' 10 20 2' Teclee Solucin con calculadora
1K 0.330 1.3*0 2.3$1 #.302 $.4'# 3.$*1 14.0$ 22.0#2#
'
n
i
(olución
'K 0.3'2 1.4'3 2.*2# #.'$ $.#23 *.*22 12.$2 1$.03$
K 0.3$# 1.4## 2.*# #.$' %&*'* *.#0 11.$*0 12.*4#
10K 0.303 1.*# 2.$4* #.1*0 #.*31 .1$' 4.'1$ 3.0**
1 000
>
PMT
->
% *'*
(olución de la tasa de inter!s& El valor presente de los factores de interés de una anualidad también puede utiliarse para obtener la tasa de rendimiento esperada de una inversi&n. 5uponga que @W< compra una máquina en 100 000 d&lares. 5e espera que ésta genere fluos de efectivo anuales por 2#*$2 d&lares a la empresa durante los pr&Dimos cinco a8os. :6uál es la tasa de rendimiento esperada de esta inversi&n; . 6on la ecuaci&n $.20, es posible determinar la tasa de rendimiento esperada en este eemplo como sigue >A=0 I @-Ai,7) 100 000 I 2# *$2(>@-Ai,7) >@-Ai,7 I $.212 ara la fila de cinco a8os, en la tabla $$ o @>, observamos que un >@-A de $.212 ocurre en la columna de por ciento.* or tanto, esta inversi&n ofrece una tasa de rendimiento esperada de por ciento. or tanto, esta inversi&n ofrece una tasa de rendimiento esperada de por ciento '
Esta tasa de interés, o tasa de rendimiento, tiene varios nombres en finanas, dependiendo del tipo de GinversiénG que se considere. Al evaluar un bono (t!tulo de renta fia), esta tasa se conoce como rendimiento al vencimiento (*ieldHtoHmaturit*, ZF<) (véase cap!tulo seis). En el análisis de decisiones de erogaciones de capital, esta tasa se conoce como tasa interna deI retorno (internal rate of return, @77) (véase cap!tulo nueve). or ltimo, cuando se calcula el costo de préstamos banéarios y otras clases de créditos, esta tasa se conoce como tasa porcentual anual (annual percentae rate, A7). (véase cap!tulo 14). 7 Es posible utiliar la interpolaci&n para encontrar la tasa de interés aproDimada cuando el >@-A queda entre dos valores de la tabla. 6omo eemplo de esta técnica, consulte los eemplos que ya vimos relacionados con los >@-.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
Teclee Solucin con calculadora
' n
1 000
2# *$2
>
i
->
PMT
.0
(olución
Problemas de amorti4ación de cr!ditos " recuperación de capital& El valor presente de los factores de interés de una anualidad puede utiliarse para resolver un pro1lema de amorti=ación de cr0dito en el que el obetivo consista en determinar los pagos necesarios para liquidar, o amortiar, un préstamo. or eemplo, suponga que pidi& un préstamo de 10 000 d&lares al LeDington 5tate Wan[. El préstamo es por un periodo de cuatro a8os a una tasa de interés de 10.'K y la dependencia le. eDige que realice cuatro pagos anuales iguales, al final de cada periodo, que incluyan el principal e intereses sobre el saldo no liquidado.4 Este problema puede resolverse con la ecuaci&n $.20 o con una calculadora financiera. 5ustituir n I $, >A= 0 I 10 000 e i I 0.10' en la ecuaci&n $.20 genera ,
10 000 I @-A0.10',$) 6omo la tasa de interés (i) de 10.'K no aparece en la tabla @>, es preciso utiliar la ecuaci&n $.13 para determinar el >@-A 0.10',$ 1
1
(1 O 0.10') $ 0.10'
L10000 I
"ttp &nternet para preparar un prorama de amorti=ación$ Cientos de sitios en la Eed como Mone* Advisor, contienen 8calculadoras9 interadas para reali=ar un prorama de amorti=ación ttp>??@@@$mone*advisro$com
$
10.'
n
i
(olución
10 000
>
PMT
->
) '55&0*
Al realiar cuatro pagos anuales al final de cada periodo al banco por # 144.32 d&lares cada uno, usted liquidará por completo su préstamo, además de brindar al banco un rendimiento, por intereses de 10.'K. Esto puede observarse en el programa de amortiaci&n del préstamo (loan amortiation sc"edule) desarrollado en la tabla $.'. Al final de cada a8o, usted paga al banco # 144.32 d&lares. /urante el primer a8o, 1 0'0 d&lares de este pago constituyen intereses (0.10' N 10 000 de saldo por liquidar), y el resto (2 1#4.32 d&lares) se aplica contra el saldo principal que se debe al principio del a8o. or tanto, después del primer pago, usted debeJ *41.04 d&lares (l0 000 2 1#4.32). 5e "acen cálculos similares para los a8os 2, # y $. El valor presente de los factores de interés de una anualidad también puede utiliarse para encontrar la cantidad de la anualidad necesaria para recuperar una inversi&n de capital, dada una tasa de rendimiento requerida sobre tal inversi&n. Este tipo de problema se conoce como problema de recuperaci&n de capital.
Valor presente de una anualidad anticipada Los cálculos de las anualidades anticipadas también son importantes cuando se trata del valor presente de una anualidad. En estos casos, deben modificarse los factores de interés de la tabla @>. 6onsidere el caso de una anualidad a cinco a8os de 1 000 d&lares anuales, descontados al por ciento. :6uál es el valor presente de esta anualidad si cada pago se recibe al principio de cada a8o; (7ecuerde el eemplo antes presentado, que ilustra el concepto del valor presente de una anualidad )
Los programas de amortiaci&n de créditos distintos a los pagos peri&dicos anuales se analian en el cap!tulo 14.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
ordinaria, en el que cada pago se recib!a al final de cada a8o y el valor presente era de $ 212 d&lares.) La figura $.3 ilustra este problema. El primer pago, recibido al principio del a8o 1 (final del a8o +), ya se encuentra en su forma de valor presente y, por tanto, no requiere descuento. , multiplicando el valor presente del factor de interés de una anualidad ordinaria para cinco
Tabla %&6
Pro$rama de amorti4ación de cr!dito7 8ein$ton (tate 9an: Fasa de interés (i)
-inal del eriodo (n) 0 1 2 # $
1K # 144.32
'K 1 0'0 42'.$1 '**.2' #0#.02
# 144.32 # 144.32 # 144.32
K 2 1#4.32 2 ##.'1 2 11* 2 44'.30
10K 10 000 * 41.04 ' $3*.'* 2 44'.30 0
t año
0
1
2
$
&
5
/escontando 1 a8o
430
/escontando 2 a8os
4$0
/escontando # a8os
*32
/escontando $ a8os
$ 212 I valor presente de una anualidad ordinaria (>A=0)
Fi$ura %&0 L!nea de tiempo del valor presente de una anualidad anticipada (@-A para una anualidad anticipada de $.$' y el valor presente de esta anualidad anticipada (>A=/ 0) se calcula como sigue >A=/0 I @-Ai,n(1 O i) C >A=/0 I 1 000($.$') I $ .$'
$.21
Este problema debe resolverse con la calculadora en la modalidad de pago al inicio del periodo Teclee Solucin con calculadora
'
n
i
(olución
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
1 000
> % %/6
PMT
->
=ota esta cantidad es mayor a los $ 212 d&lares obtenidos en el eemplo de la anualidad ordinaria que ya presentamos por una cantidad igual a 1 O i, es decir, 1.0 en este eemplo espec!fico.
"ttp Comprar una casa, rentar un auto, pedir un pr0stamo * mucas otras transacciones se 1asan en el valor del dinero en el tiempo$ Visite el sitio FinanCenter * cono=ca o"as de tra1a"o :tiles para ipotecas, arrendamientos, pr0stamos, etc0tera ttp>??@@@$financenter$com
Los cálculos de las anualidades anticipadas tienen especial importancia cuando se trata de contratos de arrendamiento o alquiler, ya que es comn que estos contratos eDian que los pagos se realicen al inicio de cada periodo.
Valor presente7 patrones adicional de #lu;o de e#ectivo ?asta a"ora, el análisis del valor presente se "a centrado en dos patrones de fluo de efectivo pagos nicos y anualidades. En esta secci&n eDaminaremos el valor presente de tres tipos adicionales de fluos de efectivo a saber, perpetuidades, fluos de efectivo desiguales y anualidades retardadas. Los eemplos de estos tipos de fluos de efectivo se encuentran en muc"as áreas diferentes de la toma de decisiones financieras.
Perpetuidades< %na perpetuidad (perpetuit*) es un instrumento financiero que promete pagar un fluo igual de efectivo por cada periodo de manera permanenteJ es decir, una serie infinita de pagos. or tanto, es posible considerar una perpetuidad como Cuna anualidad infinita. Algunos bonos (y ciertas acciones preferentes) adquieren la forma de una perpetuidad porque estos t!tulos especiales nunca vencenJ es decir, no "ay obligaci&n por parte del emisor de liquidar estos bonos a su valor nominal en un momento futuro. %n instrumento financiero como éstos proporciona al tenedor pagos peri&dicos iguales al futuro indefinido. or eemplo, considere un instrumento financiero que promete pagar una serie infinita de pagos anuales iguales (fluos de efectivo) de PMT % I PMT para t I 1,2,#,.. . a8osJ es decir,
E7 0) de este instrumento financiero, puede representarse como sigue >E7 0 I
+, con una sumatoria, como D
>E7 0 I ]
$.22
t I1 (1 O i)
t
donde i equivale a la tasa de rendimiento requerida por un inversionista en este instrumento financiero. /ebe quedar claro que la ecuaci&n $. 22 representa un tipo especial de anualidad en la que la cantidad de periodos equivale a infinito. Este tipo de problema no puede resolverse con la tabla @>. or eemplo, suponga que la serie E de acciones preferentes de ^ansas 6ity oer X Lig"t promete pagos de $.'0 d&lares al a8o, permanentemente, y que un inversionista necesita una tasa de rendimiento de 10K para este tipo de inversi&n. :6uánto estará dispuesto a pagar el inversionista por este tipo de valor; %n eDamen de los factores de interés >@-A de 10K (en la tabla @>) indica que el valor en la columna de 10K se eleva conforme aumenta la cantidad de a8os, pero a una tasa decreciente. or eemplo, el factor >@-A para 10K y 10 a8os es .1$', en tanto que el factor para 10K y 20 a8os es de s&lo 4.'1$ (muc"o menos que dos veces el factor de 10 a8os). El valor de limitaci&n en cualquier columna de la tabla @> es 1 dividido entre la tasa de interés de esa columna, i. En el caso de una perpetuidad de 10K, el factor apropiado de interés es 1B0.10, o 10. As! la ecuaci&n $.22 puede reformularse de la manera siguiente $.2#
>E7 0 I
En este eemplo el valor de una perpetuidad de $.'0 d&lares a una tasa de rendimiento requerida de 10K se da como >E7 0 I
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
L$.'0 0.10
I $' En el cap!tulo seis, el concepto de perpetuidad se eDamina con mayor detalle en los casos espec!ficos de acciones preferentes y bonos perpetuos.
Valor presente de un #lu;o con pa$os desi$uales 0 I
o, con la sumatoria, como n
>0 I ]
$.2$
t I1 (1 O i)
2
n
I ] @-i, t )
$.2'
t I1
donde i es la tasa de interés (es decir, la tasa de rendimiento requerida) sobre esta inversi&n y >@-i,t es el factor de interés apropiado de la tabla @@. /ebe observarse que los pagos pueden ser positivos (entradas de efectivo) o negativos (erogaciones). 6onsidere el eemplo siguiente. 5uponga que F"e Pillette 6ompany evala una inversi&n en equipo nuevo, el cual se utiliará para fabricar un producto nuevo que la empresa desarroll&. 5e espera que el equipo tenga una vida til de cinco a8os y que genere el siguiente .fluo de efectivo (pagos) durante los cinco a8os
"ttp ?aga clic en este icono dentro del sitio =ttp7>>#inance&swcolle$e&co m para que conoca la sinopsis de los art!culos más recientes sobre el valor del dinero en el tiempo
-in de a8o
-luo de efectivo
1
O 100 000
2
O 1'0 000
#
'0 000
$
O 200 000
'
O 100 000.
+bserve que en el tercer a8o, el fluo de efectivo es negativo, debido a una nueva ley que eDige que la empresa adquiera e instale un equipo para reducir la contaminaci&n. El valor presente de estos fluos de efectivo, suponiendo una tasa de interés (tasa de rendimiento requerida) del 10K, se calcula con la ecuaci&n $.' como sigue >0 I 100 000(>@-0.10,1) O 1'0 000((>@-0.10,2) '0 000(>@-0.10,#) O 200 000(>@-0.10,$) O 100 000(>@-0.10,1) I 100 000(0.303) O 1'0 000(0.42) '0 000(0.*'1) O 200 000(0.4#) O 100 000(0.21) I #*' 3'0 La figura $.10 ilustra una l!nea de tiempo para esta inversi&n. El valor presente de los fluos de efectivo (#*' 3'0 d&lares) se comparar!a con la erogaci&n de efectivo inicial (es decir, una in versi&n neta en el a8o +) para decidir si se compra el equipo y se fabrica el producto. 6omo veremos más adelante, durante el análisis de los presupuestos de capital, los cálculos de este tipo son muy importantes al decidir si se aceptan o rec"aan los proyectos de inversi&n.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
Valor presente de anualidades di#eridas En el área de finanas es muy comn toparse con problemas en los que una anualidad comiena a más de un a8o en el futuro. or eemplo, suponga que desea ofrecerle una educaci&n universitaria t año
0
1
2
$
&
O100 000)
O1'0 000)
O'0 000)
O200 000)
5 O100 000)
30 300 12# 300 #* ''0 1# 00 2 100 O #*' 3'0
I valor presente de los fluos de efectivo
a su "ia. Ella comenará a asistir a la universidad dentro de cinco a8os y usted desea contar con 1'000 d&lares para ella, al principio de cada a8o en la universidad. :6uánto deberá invertir "oya una tasa de rendimiento de 12K anual para proporcionarle a su "ia la anualidad de 1'000 d&lares, durante cuatro a8os;. Este problema puede ilustrarse con la l!nea de tiempo que aparece en la figura $.11. 5e requieren cuatro pagos iguales de 1'000 d&lares cada uno al final de los a8os ',,* Z 4. or supuesto, este problema puede resolverse encontrando la suma de los valores presentes de cada uno de los pagos de la siguiente manera A8o t ' * 4
ago
>@-0.10,t 0.'* 0.'0* 0.$'2 0.$0$
>alor presente 4 '0' * 0' *40 00
Es evidente que éste será un método de cálculo en eDtremo tedioso en el caso de una anualidad retardada, por eemplo, de 10 a8os. La figura $.11 ilustra un mecanismo alterno para resolver este problema. En primer lugar, es posible calcular el valor presente de una anualidad de cuatro a8os, evaluado al final del cuarto a8o (recuerde que es lo mismo que al inicio del quinto a8o). Este cálculo se "ace multiplicando la cantidad de la anualidad (1' 000 d&lares) por el >@-A para una anualidad de cuatro a8os al 12 por ciento. Este factor es #.0#* y puede obtenerse de la tabla @>. A continuaci&n, el valor presente de la anualidad ($' ''' d&lares), evaluado al final del a8o $ (>A=$), debe descontarse de nuevo al tiempo presente (> 0) or tanto, multiplicamos $' ''' por un >@- para 12K y cuatro a8os. Este factor, que se obtiene de la tabla @@, es igual a 0.#. El valor presente de la anualidad diferida es de 24t (a8o) 3*# d&lares. (_ue es diferente de la cantidad calculada antes, debido al redondeo en las tablasJ no "abr!a diferencias si este problema se resolviera con una 3 0 1 o con tablas 2 con más # decimales). $ ' * 4 3 calculadora
"ttp ?aga clic en este icono dentro del sitio =ttp7>>#inance&swcolle $e&com para que conoca más sobre los principios de la valuaci&n
1' 000 1' 000 1' 000 1' 000
(
%na forma alterna de resolver este problema consiste en multiplicar el pago de la anualidad (1' 000 d&lares) por la diferencia entre (>@-A 0.12,4) y (>@-A0.12.$) Al restar (>@-A0.12.$) de (>@-A0.12,4), se percibe este problema como una anualidad de oc"o a8os que no tiene pagos durante los primeros cuatro a8os. En este caso, el cálculo genera > 0 I 1'000 d&lares ($.34 #.0#*) I 24 3' d&lares. (La ligera diferencia de la cantidad ya calculada se debe al redondeo en la tabla @>).
11$ Capitulo #(> Valor del dinero )I>A= (>@-en el) tiempo 0
$
(>A=$)I1' 000(>@-A0.12,$) I1' 000(#.0#*) I$' '''
0.12,$
I$' '''(0.#) .?*5 0,) . Valor presente de un anualidad di#erida
Fi$ura %&'' L!nea de tiempo de una anualidad diferida cuatro a8os (i I 12K)
5i usted "oy tiene 24 3*# d&lares y los invierte en una cuenta que obtenga un interés del 12K anual, tendrá en su cuenta la cantidad suficiente que le permitirá a su "ia retirar 1' 000 d&lares al principio de cada a8o y as! asegurar su permanencia en la universidad. /espués del ltimo retiro, el saldo en la cuenta será de cero. Periodos de capitali4ación " tasas de inter!s e#ectivas La frecuencia con que se componen las tasas de interés (por eemplo, anual, semestral, trimes tral, etc.) influye en los valores presente y futuro de los fluos de efectivo, as! como en las tasas de interés efectivas que se cobran, pagan o ganan. E#ecto de los periodos de capitali4ación en los valores presente " #uturo ?asta a"ora, se "a supuesto que la capitaliaci&n (y el descuento) ocurre en forma anual. 7ecuerde la ecuaci&n del interés compuesto general . ($.10)
->n I >0(1 O i)n donde >0 es el dep&sito inicial, i es la tasa de interés anual, n es el nmero de a8os y -> n el valor futuro que se acumulará a partir de la capitaliaci&n anual de > 0 5e supone una tasa de interés de i por ciento anual, durante n a8os. En lo que resta de esta secci&n, esta tasa de interés nominal anual se designará como inom para diferenciada de la tasa de interés efectiva anual, ieff. En algunas circunstancias, el interés en una cuenta se compone de manera semestral en lugar de anualJ es decir, la mitad de la tasa de interés nominal anual, inom%5, se percibe al final de seis meses. El inversionista percibe un interés adicional sobre el interés obtenido antes del final del a8o, o (inom12)>0 Al calcular el interés compuesto de manera semestral, la ecuaci&n $.10 se reformula como sigue ->n I >0 (1 O
i nom 2n ) 2
La misma l&gica se aplica al interés que se compone en forma trimestral ->n I >0 (1 O
i nom $n ) $
En general, el interés compuesto para cualquier cantidad de periodos durante un a8o puede calcularse mediante la siguiente ecuaci&n
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
$.2
->n I >0 (1 O
i nom mn ) m
/onde m es la cantidad de veces durante el a8o que se compone el interés y n es el nmero de a8os. (En el apéndice $` se analia el caso limitante de la capitaliaci&n y el descuento continuo). La tabal $. contiene el valor futuro, -> 1, de 1 000 d&lares que obtienen un interés nominal de 10K para frecuencias de capitaliaci&n diversas. or eemplo, el valor futuro (-> 1) de 1 000 d&lares compuestos semestralmente ( mI2) a una tasa de interés nominal (i nom) del 10K anual, mediante la ecuaci&n $.2, es ->1 I L1000(1 O
0.10 2 D1 ) 2
I 1 102.'0 Teclee Solucin con calculadora
2
'
1 000
n
i
>
PMT
(olución
-> ' '+*&6+
6omo lo muestra la tabla $., mientras más frecuente sea la capitaliaci&n, mayor será el valor futuro del dep&sito y mayor será la tasa de interés efectiva. El interés efectivo, en comparaci&n con el nominal, es la tasa de interés real que obtiene el prestamista y que, por lo general, es la definici&n econ&micamente más importante de las tasas de interés.
:a relacin entre 3alores presentes / compuestos señala ue en los 3alores presentes también influirá la frecuencia de la capitali;acin. n eneral, el 3alor presente de una suma ue Tabla %&/
E#ectos de diversas #recuencias de capitali4ación sobre los valores #uturos de ' +++ dólares a una tasa de inter!s de '+@ -recuencia de capitaliaci&n
6antidad @nicial 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
Anual 5emestral Frimestral
>alor futuro ->1 (final del a8o 1)
1 100.00 1 102.'0 1 10#.41 1 10$.*1 1 10'.1*
Uara aplicaciones avanadas conviene saber que la capitaliaci&n continua se obtiene deando que m tienda a infinito en -> n I > 0(1Oi)m I e i, y la eDpresi&n de valor compuesto se convierte en -> n I >0@=, donde e es el nmero eDponencial que tiene el valor aproDimado de 2.*1424. >éase el Apéndice $` para un análisis completo de la capitaliaci&n y el descuento.
se recibirá al final del a8o n, descontado a la tasa de i nom por ciento y compuestos m veJ a8o, es como sigue >0 I
$.2*
->n i nom mn (1 O ) m
La tabla $.* contiene valores presentes, > 0, para 1 000 d&lares recibidos un a8o en el futuro, descontados a una tasa de interés nominal de 10K, con distintas frecuencias de capitaliaci&n. 11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
or eemplo, el valor presente (> 0) de 1 000 d&lares, compuestos en forma trimestral (m I $), a una tasa de interés nominal (i nom) de 10K anual, por medio de la ecuaci&n $.2*, es
>0 I
L1000 0.10 $ D1 (1 O ) $
I 30'.3' Teclee Solucin con calculadora
$
2.'
n
i
(olución
1 000
>
PMT
->
0+6&06
6omo se aprecia en la tabla $.*, cuanto más frecuente sea la capitaliaci&nJ menor será el valor presente de una cantidad futura En todo el teDto, buena parte del análisis supone una capitaliaci&n anual en lugar de periodos más frecuentes, debido a que esto simplifica las cosas y porque las diferencias entre ambas son peque8as. /el mismo modo, a menos que se especifique de otra forma, se supone que los fluos de efectivo para un t!tulo o proyecto de inversi&n se recibirán de manera global, al principio o al final de cada periodo. Los periodos de capitaliaci&n más frecuentes eDigen tablas más eDtensas o el uso de una calculadora financiera.
*ndependientemente de la frecuencia de capitali;acin, es importante reconocer ue lDs tasas de interés efecti3as son las de uso rele3ante para análisis financiero / econmico. n la siuiente seccin consideraremos más detalladamente el cálculo de tasas de interés efecti3as para auellos casos en los ue la capitali;acin se reali;a más de una 3e; al año. Tabla %&,
E#ectos de diversas #recuencias de capitali4ación en los valores presentes de ' +++ dólares a una tasa de inter!s de '+@
6antidad @nicial 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
-recuencia de capitaliaci&n
Anual 5emestral Frimestral
>alor futuro ->1 (final del a8o 1)
303.03 30*.0# 30'.3' 30'.21 30$.4' 30$.4$
C-lculo de tasas e#ectivas En la secci&n anterior eDplicamos el "ec"o de que mientras más frecuente sea la capitaliaci&n de una tasa de interés nominal mayor será la tasa de interés efectiva que se obtiene o se cobra. , As!, si usted tuviera la opci&n de recibir 1) intereses sobre una inversi&n, en la que el interés se compone anualmente a una tasa de 10K, o 2) en la que el interés se compone cada semestre a, una tasa del 'K, usted elegir!a la segunda opci&n, porque le proporcionar!a una tasa efectiva más elevada. /ada la tasa de interés nominal anual (inom), es posible calcular la tasa de interés efectiva anual (ief ) como sigue 11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
$.24
i eff I (1 O
i nom n ) 1 m
donde m es el nmero de periodos de capitaliaci&n por a8o.10 or eemplo, suponga que un banco le ofrece un préstamo a una tasa de interés nominal anual de 12K, que se compone cada trimestre. :_ué tasa de interés efectiva anual le está co brando el banco; 5ustituir inom I 0.12 Z m I $ en la ecuaci&n $.24 genera i eff I (1 O
0.12 $ ) 1 $
I 0.12''
+ 12.'' por ciento En finanas también "ay situaciones en las que interesa determinar la tasa de interés durante cada periodo de capitaliaci&n, lo que proporcionará una tasa de interés efectiva anual. or eemplo, si la tasa efectiva anual es de 20K y la capitaliaci&n se realia cada trimestre, probablemente desee saber cuál tasa de interés trimestral generará una tasa de interés efectiva anual de 20 por ciento. En general, la tasa de interés por periodo (cuando "ay más de un periodo de capitaliaci&n por a8o), im, que dará como resultado una tasa de interés anual efectiva i eff , si la capitaliaci&n ocurre m veces al a8o, puede calcularse como sigue $.23 im I (1 O ieff )1Bm 1 En este eemplo, la tasa de interés trimestral que generará una tasa de interés efectiva anual de 20K es11 im I (1 O 0.20)0.2' 9 1 I (1.0$$) 9 1 I 0.0$$ o $.$K As!, si obtiene un $.$K por periodo y la capitaliaci&n ocurre cuatro veces al a8o, la tasa efectiva anual que obtiene será de 20 por ciento. Este concepto se encuentra en el cap!tulo seis, en el análisis de la valuaci&n de bonos que pagan intereses semestralmente.
"ttp ara encontrar las tasas actuales en "ipotecas, alquileres, préstamos para autom&viles, préstamos de personas f!sicas, a"orros, préstamos de ayuda educativa, etc., en su region del pa!s, visite la 7ed =acional de 5ervicios -inancieros "ttpBB.nfsn.com
(olución al Reto #inanciero 7ecuerde, de la secci&n 7eto financiero que aparece al principio de este cap!tulo, 2ue uno los ganadores de la loter!a necesita decidir qué pago de la oerball Lottery es la meor opci&n. El poseedor del boleto tiene dos opciones 1. %n pago total "oy de $1.$ millones de d&lares, o 2. >einticinco pagos a principio de a8o de 2 3$4 millones de d&lares cada uno. 6on base en un estudio cuidadoso del material de este cap!tulo, usted decidi& calcular la tasa de rendimiento que "ará que el ganador se muestre indiferente ante cualquiera de las dos op ciones. Establece el siguiente problema utiliando la f&rmula del valor presente de una anua lidad adelantada (ecuaci&n $.21) $1 $00000 I 2 3$4 000(>@-Ai,2')(1 O i) 10
+bserve que las tasas de interés efectivas anuales equivalen a alas tasas de interés nominal anual cuando la capitaliaci&n ocurre s&lo una ve al a8o, particularmente al final de éste. Esto puede demostrarse sustituyendo m I 1 en la ecuaci&n $.24 i nom 1 i eff I (1 O ) 1 1 I 1 O inom 9 1 I inom 11 Es fácil encontrar la ra! M o 0.2' de (1 O 20), con cualquier calculadora financiera o cient!fica, utiliando la funci&n de ra!
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
Este problema puede resolverse meor con ayuda de una calculadora financiera, lo que genera una tasa de indiferencia de rendimiento de '.0$ por ciento.
Este problema debe resolverse con la calculadora en la modalidad de pago al nico del periodo Teclee Solucin con calculadora
2' n
(olución
$1 $00 000 2 3$4 000
>
i
PMT
->
6&60
Esta tasa de indiferencia de rendimiento puede compararse a"ora con la tasa de oportunidad de inversi&n para inversiones de riesgo similar. 6omo el fluo de pagos del Lottery Woard multiestatal está prácticamente libre de riesgo, usted considera que es apropiado comparar la tasa de indiferencia de rendimiento de '.'3K con el rendimiento de los bonos del Fesoro del gobierno de Estados %nidos a 2' a8os, que también se consideran libres de riesgo. 5i el posee dor del boleto puede obtener un rendimiento mayor a '.'3K en los bonos del Fesoro, deber!a aceptar el pago general e invertido en bonos del Fesoro, ya que su valor presente rebasará el valor presente de los pagos de la anualidad de 2' a8os. or otra parte, si la tasa de rendimiento en los bonos del Fesoro es menor al '.'3K, al ganador le convendr!a más aceptar el fluo de pagos de la anualidad. Resumen o
o
o
o
Entender el interés es crucial para una administraci&n financiera s&lida. El interés simple es el interés que se percibe o paga s&lo sobre el principal. El interés compuesto es el inte rés que se paga o percibe no s&lo sobre el principal, sino también sobre cualquier interés percibido, pero no retirado, durante periodos anteriores. %na anualidad es el pago o recepci&n de una serie de fluos de efectivo iguales por perio do, durante una cantidad espec!fica de periodos. En una anualidad ordinaria, los fluos de efectivo ocurren al final de cada periodo. En una anualidad adelantada, los fluos de efectivo ocurren al inicio de cada periodo. La tabla $.4, de la siguiente página, resume las ecuaciones utiliadas para calcular los va lores futuro y presente de los diversos fluos de efectivo. Al resolver problemas de matemáticas financieras, es necesario responder dos preguntas 1. :5e necesita un valor futuro o un valor presente; 2. :5e trata de un pago nico o de una anualidad;
%na ve que estas preguntas se "an resuelto de manera satisfactoria, es posible utiliar elJ siguiente diagrama para elegir la tabla apropiada de factores de interés >alor futuro
>alor presente
ago nico
Fabla @
Fabla @@
Anualidad
Fabla @@@
Fabla @>
o
o
o
Los problemas del fondo de amortiaci&n determinan el monto de la anualidad que debe
invertirse cada a8o para producir un valor futuro. Los problemas de recuperaci&n de capital determinan el importe de la anualidad necesario para recuperar cierta inversi&n inicial.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
origen a mayores valores futuros y menores valores presentes que una capitaliaci&n menos frecuente a la misma tasa de interés. Tabla %&5
Resumen de las ecuaciones para valores presentes " #uturos Tabla de #actor Nmero de Tipo de c-lculo Ecuación de inter!s ecuación Valor #uturo de un FVn . PV+1FVIFi0 I @-i, t , ) r I1 desi$uales Valor presente de una %&*) E7 I 0 perpetuidad i 1ordinaria2 /efiniciones n I nmero de periodos de tiempo del descuento o la capitaliaci&n (por lo general en a8os). i I tasa de interés anual, es decir, tasa de interés nominal anual
o
La tasa de capitaliaci&n o descuento apropiada que se utilia en un problema espec!fico depende del nivel general de las tasas de interés en la econom!a, del marco temporal que se utilia para el análisis y el riesgo de inversi&n que se considera.
Pre$untas " temas para an-lisis 1. _ué preferir!a usted recibir :los ingresos de una inversi&n a dos a8os que paga un interés simple de 'K anual o una que paga un 'K de interés compuesto; :or qué; 2. :_ué es mayor el factor de interés de valor futuro (future value interest factor, ->@-) para 10K y dos a8os o el factor de interés de valor presente (present value interest factor, >@-) para 10K y dos a8os; #. :_ué le ocurre al valor presente de una anualidad si aumenta la tasa de interés; :_ué le ocurre al valor futuro de una anualidad si aumentan las tasas de interés; $. :En qué preferir!a invertir usted en una cuenta de a"orros que le pague un interés com puesto de K anual o en una cuenta de a"orros que pague un interés compuesto de K diario; :or qué; '. :_ué tipo de contrato eDigir!a el uso de cálculos de anualidades adelantadas; . :_ué efecto tiene una capitaliaci&n más frecuente en los valores presentes;
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
*. :or qué cada una de las siguientes personas debe conocer los conceptos de capitaliaci&n y valor presente; a. %n gerente de mar[eting b. %n gerente de personal 4. EDplique lo que significa la Gregla del *2G. :6&mo puede utiliarse en aplicaciones finan cieras (véase la nota # a pie de página); 3. :6uál es la relaci&n entre valor presente y valor futuro; 10. :6uál es la diferencia entre anualidad ordinaria y anualidad anticipada; /é eemplos de cada una. 11. 5i aumenta la tasa de rendimiento requerida, :cuál es el impacto en lo siguiente; a. El valor presente de una anualidad b. El valor futuro de una anualidad 12. EDplique c&mo puede utiliarse el valor futuro de los factores de interés de una anualidad para resolver un problema del fondo de amortiaci&n. 1#. /escriba c&mo establecer un programa de amortiaci&n de préstamos. 1$. El 21 de noviembre de 1340 fue el d!a del trágico incendio en el egas. En el momento del incendio, el "otel s&lo ten!a una cobertura de seguro de responsabilidad por #0 millones de d&lares. %n mes después del incendio, el "otel adqui ri& una cobertura de responsabilidad adicional por 1*0 millones de d&lares, con una prima de #*.' millones de d&lares, retroactiva al1 de noviembre de 1340 (es decir, antes del incendio). 6on base en sus conocimientos sobre los conceptos de valor presente, :por qué las aseguradoras estar!an dispuestas a emitir un seguro al
Problemas de autoevaluación A1. 6alcule el valor en cinco a8os de 1 000 d&lares depositados en una cuenta de a"orros "oy, si la cuenta paga intereses a una tasa de a. 4K al a8o, compuesto anualmente . b. 4K al a8o, compuesto trimestralmente A2. %na empresa está considerando la posibilidad de adquirir una máquina que se proyecta que proporcionará a"orros en efectivo de 1 000 d&lares al a8o, durante 10 a8os. 6on una tasa de descuento de 12K, calcule el valor presente de los a"orros. (5uponga que los a"orros en efectivo ocurren al final de cada a8o.) A#. 5impson erip"erals obtuvo 0.30 centavos de d&lar por acci&n en 133' y 1.'2 d&lares en el 2000. 6alcule la tasa de crecimiento anual en las ganancias por acci&n durante este lapso. A$. %sted es propietario de una peque8a empresa que está a la venta. Alguien le ofreci& 2 000 d&lares al a8o durante cinco a8os, de los que recibirá la primera cantidad dentro de cuatro a8os. 6alcule el valor presente de esta oferta, utiliando una tasa de descuento de 1$ por ciento. A'. Actualmente, Zolanda illiams tiene #' a8os de edad y comiena a planear su ubilaci&n. /esea separar una cantidad igual al final de cada uno de los siguientes 2' a8os, de modo que pueda ubilarse a los 0 a8os. Espera llegar a los 40 a8os y poder retirar de la cuenta '0 000 d&lares desde los 1 "asta los 40 a8os. Espera que su cuenta le proporcione un interés de 10K anual durante todo el periodo. /etermine el monto de los dep&sitos anuales que debe realiar. 11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
Problemas3 E@S*>F
E@S*>F
E@S*>F
E@S*>F
1. :6uánto valdrán 1 000 d&lares depositados en una cuenta de a"orros que obtiene una tasa de interés de K anual compuesto al final de los siguientes lapsos; a. # a8os b. ' a8os c. 10 a8os 2. 5i usted necesita un rendimiento de 3K sobre sus inversiones, :qué preferir!a; a. ' 000 d&lares "oy b. 1' 000 d&lares dentro de cinco a8os c. 1 000 d&lares al a8o durante 1' a8os #. Lancer Leasing 6ompany "a convenido en arrendar una eDcavadora "idráulica a 6"áve EDcavation 6ompany por 20 000 d&lares anuales, durante los siguientes oc"o a8os. Los pagos de arrendamiento deben "acerse al principio de cada a8o. 5uponiendo que Lancer invierte estos pagos a una tasa anual de 3K, :cuánto "abrá acumulado al final del octavo a8o; $. F"e
U Los nmeros e incisos en cursivas indican los problemas cuya respuesta se incluye al final del libro
E@S*>F E@S*>F E@S*>F
E@S*>F
E@S*>F
E@S*>F
E@S*>F
'. :6uánto debe depositar usted al final de cada a8o en una cuenta que paga una tasa nominal del 20K anual, si al final de cinco a8os usted desea tener 10000 d&lares en ellaJ . %n importante corredor "a anunciado certificados de inversi&n que triplican su inversi&n en nueve a8os, es decir, si usted compra "oy uno por ###.## d&lares, dentro de nueve a8os le pagará 1 000 d&lares. :_ué tasa de rendimiento obtendrá usted sobre estos certificados; *. :6uál es el valor presente de 400 d&lares que se recibirán dentro de oc"o a8os, suponiendo que las tasas anuales de interés son las siguientes a$ $ por ciento, descontado anualmente b. 4 por ciento, descontado anualmente c. 20 por ciento, descontado cada trimestre d. 0 por ciento 4. El se8or Rones compr& un edificio en 0 000 d&lares, el cual pagará en los plaos siguientes un pago inicial de 10 000 d&lares y 2' pagos anuales iguales que incluyen el principal y un interés de 10K anual. 6alcule la cantidad de cada pago parcial. :_ué parte del pago del primer a8o se destina a reducir el principal; 3. %na empresa adquiere 100 acres de tierra en 200 000 d&lares y conviene en realiar 20 pagos anuales iguales al final de cada a8o por $1 0* d&lares cada uno. :6uál es la ver dadera tasa de interés anual de este préstamo; 10. 5usan 7obinson planea su ubilaci&n. El d!a de "oy tiene #0 a8os de edad y le gustar!a contar con 00 000 d&lares cuando se ubile a los ''. 5usan calcula que podrá obtener una tasa de rendimiento de 3K en sus inversiones para la ubilaci&n en el tiempoJ por tanto, desea separar una cantidad constante cada a8o (al final de éste) para alcanar su obetivo. :6uánto dinero debe invertir 5usan al final de cada uno de los siguientes 2' a8os para alcanar su meta de 00 000 d&lares al término de ese lapso;
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
E@S*>F E@S*>F
11. 6uánto estar!a dispuesto a pagar por un bono de 1 000 d&lares que paga un interés de *0 d&lares al final de cada a8o y que vence dentro de 2' a8os si usted desea que el bono genere las siguientes tasas, de rendimiento a$ ' por ciento b. * por ciento c. 12 por ciento (Dota> al vencimiento, el bono será liquidado y el tenedor recibirá 1 000 d&lares en efectivo. or lo general, los bonos se emiten con un valor nominal, o par, de 1 000 d&lares. El valor real de mercado en cualquier momento tenderá a elevarse a medida que disminuyan las tasas de interés, y a disminuir a medida que las tasas de interés se eleven.) 12. %na compa8!a de seguros ofrece préstamos a sus asegurados contra el valor en efectivo de sus p&lias, a una tasa de interés anual (nominal) de 4 por ciento, que se compone cada trimestre. /etermine a la tasa de interés efectiva anual porcentual de estos préstamos.
1$. Gsted dispone de dos oportunidades de in3ersin- la in3ersin 1 / la in3ersin 2. >ada una tiene un costo inicial de 10 000 dlares. Suponiendo ue usted desea un rendimiento de 109 sobre su in3ersin inicial, calcule el 3alor presente neto de ambas opciones / e3al6e el atracti3o relati3o ue tienenInversión ' Flu;os de e#ectivo ' 000 000 * 000 4 000
E@S*>F
*?=H<I*F
*?=H<I*F
I*"*>*:
*?=H<I*F
Ao 1 2 # $
Inversión * Flu;os de e#ectivo 4 000 * 000 000 ' 000
Ao 1 2 # $
1$. 5u t!o abuelo 6laude tiene 42 a8os de edad. /urante a8os "a acumulado a"orros por 40000 d&lares. l calcula que vivirá otros 10 a8os cuando muc"o y desea gastar sus a"orros para entonces. (5i vive más tiempo, se imagina que usted tendrá el gusto de cuidarlo). El t!o 6laude coloca los 40 000 d&lares en una cuenta que percibe un 10 por ciento anual y lo "ace de tal manera que "ará 10 retiros anuales iguales, el primero dentro de un a8o, de modo que el saldo en la cuenta será de cero al final de los 10 a8os. :6uánto podrá retirar cada a8o; 1'. /ecide comprar un edificio en #0 000 d&lares, dando ' 000 como pago inicial y asumiendo una "ipoteca de 2' 000. El Wanco le ofrece una "ipoteca a 1' a8os, que eDige pagos anuales, al final de cada a8o, de # 144 d&lares cada uno. Asimismo, el banco le eDige pague una cuota de apertura de crédito de #K, que reducirá la cantidad real que el banco le entregue. 6alcule la tasa de interés porcentual anual de este crédito. 1. %na inversi&n promete pagar 000 d&lares al final de cada uno de los pr&Dimos cinco a8os, y $ 000 d&lares al final de cada uno de los a8os a 10. a$ 5i necesita una tasa de rendimiento de 12K sobre una inversi&n de este tipo, :cuál es la cantidad máDima que pagar!a por esta inversi&n; b. 5uponiendo que los pagos se reciben al principio de cada a8o, :cuál es la cantidad máDima que usted pagar!a por esta inversi&n, dada una tasa de rendimiento requerida de 12 por .ciento; 1*. Está considerando la posibilidad de invertir en un bono que vence dentro de 20 a8os. aga una tasa de interés por cup&n al final del a8o de 4.*'K anual, o 4*.'0 d&lares por a8o. ?oy en d!a, el bono se vende en 313 d&lares. La tasa marginal del impuesto sobre la renta (que se aplica a los pagos de intereses) es de 24 por ciento. Las ganancias de capital se gravan a la misma tasa que el ingreso ordinario. :6uál es la tasa de rendimiento despu0s de impuestos si usted compra este bono "oy y lo retiene "asta su vencimiento; 14. 5us padres descubrieron un bono de 1 000 d&lares en el fondo de su caa fuerte. El bono fue un regalo que le "io a usted su difunta t!a ?ilda cuando cumpli& dos anos. El bono paga intereses a una tasa de 'K anual, compuesta cada a8o. El interés se acumula y se
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo *?=H<I*F
EJS*>F
EJS*>F *?=H<I*F
paga en el momento que se vence el bono. 5i usted tiene actualmente 2* a8os, :cuál es el valor actual del bono (principal más interés); 13. 5u madre pretende ubilarse en este a8o. La empresa donde trabaa le "a ofrecido un pago general de ubilaci&n de '0 000 d&lares o una anualidad vitalicia de 000 d&lares, lo que ella decida. 5u madre tiene un estado de salud raonablemente bueno y espera vivir al menos 1' a8os más. :_ué opci&n deber!a elegir, suponiendo que una tasa de interés de 4K es apropiada para evaluar la anualidad; 5$ 5tri[ler, @nc. "a emitido un bono por 10 000 000 d&lares a 10 a8os. Los bonos eDigen que la empresa estableca un fondo de amortiaci&n y realice 10 dep&sitos iguales al fondo, al final de cada a8o. Estos dep&sitos percibirán una tasa de interés de 4K anual y el fondo de amortiaci&n deberá tener acumulada una cantidad suficiente, al final de los 10 a8os, para liquidar los bonos. :6uáles son los pagos anuales al fondo de amortiaci&n; 21. Elabore un programa de amortiaci&n para un préstamo de #0 000 d&lares a tres a8os y a 11 por ciento. El préstamo eDige realiar tres pagos iguales al final de cada a8o. 22.
EJS*>F
*?=H<I*F
*?=H<I*F EJS*>F
EJS*>F
EJS*>F *?=H<I*F
2#. 6uando se ubile, su meta es pasar cinco a8os viaando por todo el mundo. 5in embargo, "acerlo con el estilo al que usted está acostumbrado le eDigirá 2'0 000 d&lares al a8o, desde el inicio de cada uno. 5i usted planea ubilarse dentro de #0 a8os, :cuáles son los pagos anuales iguales necesarios, al final de cada a8o, para alcanar esta meta; Los fondos en la cuenta de retiro se compondrán cada a8o, al 10 por ciento anual. 2$. %sted deposita $ '00 d&lares al a8o al final de cada uno de los pr&Dimos 2' a8os, en una cuenta que paga 10K compuesto anual. :6uánto podr!a retirar usted al final de cada uno de los pr&Dimos 20 a8os después de su ltimo dep&sito; (El vigésimo quinto y ltimo dep&sito se "ace al principio del periodo de 20 a8os. El primer retiro se "ace al final del primer a8o de dic"o periodo. 2'. %sted deposita 10 000 d&lares al final de cada uno de los pr&Dimos cuatro a8os en una cuenta que paga 12K cada a8o. :6uál es el saldo de la cuenta al final de 10 a8os; 2. /etermine el valor, después de # a8os, de una inversi&n de 10000 d&lares ("oy) en un certificado de dep&sito bancario que paga una tasa de interés nominal anual de 4K, compuesta a$ 5emestralmente b. Frimestralmente c.
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
-luo de efectivo 20 000 #0 000 1' 000
I*"*>*:
*?=H<I*F
I*"*>*:
I*"*>*:
I*"*>*:
*?=H<I*F
6on ayuda de una tasa de interés de 1' por ciento, convierta esta serie de fluos de efectivo irregulares en una anualidad equivalente (en términos de valor presente) de tres a8os. #0. El "io de Rames 5treet, ?arold, tiene "oy 10 a8os de edad. Es un oven muy estudioso, "ace planes para ir a la universidad cuando cumpla 14 a8os y su padre desea comenar a separar dinero para ese fin. 5treet calcula que ?arold necesitará 14000, 13000,20000 Z 21 000 d&lares para los a8os primero, segundo, tercero y cuarto, respectivamente. retende que ?arold cuente con esas sumas al principio de cada uno de esos a8os. 5treet quisiera "acer 4 dep&sitos anuales (el primero de los cuales se "ar!a el d!a del undécimo cumplea8os de ?arold, dentro de un a8o, y el ltimo en el décimo octavo cumplea8os, es decir, el d!a que salga para la universidad) en una cuenta que obtiene un rendimiento de 10K anual. /esea que la cuenta tenga el dinero suficiente para pagar los gastos universitarios de ?arold y nada más$ 6ualquier saldo que permaneca en la cuenta seguirá obteniendo 10 por ciento. :6uánto deberá depositar 5treet cada a8o en esta cuenta de Gplaneaci&nG, para poder pagar la educaci&n de ?arold; #1. :6uánto debe depositar usted al final de cada trimestre, en una cuenta que obtiene una tasa de interés nominal de 20K, compuesto cada trimestre, si al final de cinco a8os us ted desea que la cuenta tenga 10000 d&lares; ('uerencia> al trabaar con las tablas de interés compuesto, cuando resuelva este problema, necesitará austar la tasa de interés y la cantidad de periodos de capitaliaci&n para reflear la capitaliaci&n trimestral. en lugar de la anual.). #2. @7A @nvestments elabora programas de ubilaci&n para las personas. %sted tiene #0 a8os y planea ubilarse a los 0. /esea establecer un plan con esta dependencia la cual le eDigirá una serie de dep&sitos anuales iguales al final del a8o en la cuenta para su ubilaci&n. El primer dep&sito se "ará dentro de un a8o cuando cumpla #1 a8os. El pago A final a la cuenta se "ará cuando cumpla 0 a8os. El plan de ubilaci&n le permitirá retirar 120 000 d&lares al a8o durante 1' a8os. y el primer retiro será cuando cumpla 0 J a8os. Fambién desea retirar 2'0 000 d&lares adicionales. al final del decimoquinto a8o. La cuenta de ubilaci&n promete un rendimiento de 12K anual. :_ué pago peri&dico debe "acerse a la cuenta para lograr el obetivo de la ubilaci&n; ##. Acaba de cumplir #0 a8os de edad. Fiene dos "ios. %no irá a la universidad dentro de 10 a8os y necesitará cuatro pagos. al principio de cada a8o. para gastos de 10 000, 11 000, 12 000 y 1# 000 d&lares. 5u segundo "io irá a la universidad dentro de 1' a8os y necesitará cuatro pagos. al principio de cada a8o. para gastos de 1' 000, 1 000, 1*000 Z 14 000 d&lares. Además usted planea ubilarse dentro de #0 a8os. por lo que desea estar en posibilidades de retirar '0 000 d&lares al a8o (al final de cada a8o) de una cuenta durante toda su ubilaci&n la cual estima dentro de 20 a8os. El primer retiro de la cuenta ocurrirá cuando cumpla 1 a8os. :_ué cantidades iguales anuales y al final del a8o debe a"orrar durante los pr&Dimos #0 a8os para cumplir con estas metas. si todos los a"orros obtienen una tasa de rendimiento anual de 1# por ciento; #$. %sted tiene actualmente #0 a8os de edad, pretende ubilarse a los 0 y desea estar en posibilidades de recibir una anualidad de 100 000 d&lares durante 20 a8os al principio de cada a8o y que el primer pago lo reciba al cumplir los 1 a8os. _uiere a"orrar suficiente dinero durante los pr&Dimos 1' a8os para alcanar tal obetivoJ es decir, desea acumular los fondos necesarios antes de cumplir $' a8os. a. 5i espera que sus inversiones obtengan 12K anual durante los pr&Dimos 1' a8os y 10K anual en lo sucesivo, :cuánto debe acumular para cuando cumpla $' a8os; b. :_ué cantidad igual anual debe a"orrar al final de cada uno de los pr&Dimos 1' a8os para alcanar su obetivo, suponiendo que dispone actualmente de 10000 d&lares, para cumplir con su meta; 5uponga las condiciones establecidas en el inciso anterior. #'. 5teven "ite está considerando la posibilidad de ubilarse anticipadamente, toda ve que a"orr& $00 000 d&lares. Además desea determinar cuántos a8os le durarán los a"orros si
11$ Capitulo I*"*>*:# Valor del dinero en el tiempo
I*"*>*:
I*"*>*:
I*"*>*:
retira $0 000 d&lares al final de cada a8o. 5teven considera que la cuenta puede obtener un interés de 10K anual. #. 5uponga que "oy es el primero de ulio del a8o 2001 y que usted deposita 2 000 d&lares en una cuenta. /espués, deposita 1 000 d&lares en la misma cuenta cada primero de ulio comenando en 2002 y contina "asta que se realia el ltimo dep&sito de 1 000 d& lares el primero de ulio de 200*. 5uponga también que retira # 000 d&lares el primero de ulio de 2003. 5uponiendo una tasa de interés compuesta anual de *K, :cuál será el saldo en la cuenta al cierre del primero de ulio de 2011; #*. 5u "io, 6"arlie acaba de cumplir 1' a8os. 6"arlie planea ir a la universidad para estudiar electr&nica cuando cumpla 14 a8os. 5e espera que la universidad le cueste 1'000, 1000,1*000 Z 14 000 d&lares durante cada uno de los cuatro a8os que permaneca all!. %sted desea que 6"arlie disponga de estos fondos al principio de cada a8o. Además desea darle 2' 000 d&lares como regalo de graduaci&n cuando cumpla 22 a8os de modo que pueda tener algo para empear en su carrera o para sus estudios de posgrado. Actualmente usted cuenta con 4 000 d&lares para cumplir con estas obligaciones. /esea a"orrar una cantidad igual al final de cada uno de los pr&Dimos seis a8os para cumplir con las obligaciones restantes. 5i sus inversiones obtienen 10K antes de impuestos y su tasa fiscal marginal es de #0K, :cuánto debe a"orrar al final de cada uno de los pr&Dimos seis a8os; #4. -ran[ 6"ang planea a"orrar para e d!a en que su "ia Laura vaya a la universidad.Laura acaba de cumplir oc"o a8os, planea ir a la universidad cuando cumpla 14 y necesita. 2' 000 d&lares al principio de cada a8o en la universidad. -ran[ planea regalarle a Laura un
I*"*>*:
$0. Forbet -is" ac[ing 6ompany desea acumular suficiente dinero durante los pr&Dimos 10 a8os para pagar e reemplao de su báscula digital automatiada. 5e espera que la nueva máquina cueste 200 000 d&lares dentro de 10 a8os. Actualmente Forbet tiene 10 000 Cd&lares, que planea invertir durante los pr&Dimos 10 a8os para ayudarse a pagar la nueva máquina. Forbet desea separar una cantidad igual al final de cada a8o, en una cuenta de inversi&n de un fondo de amortiaci&n, al final de cada uno de los pr&Dimos 10 a8os. 5e espera que las ganancias sobre todas las inversiones serán de *K durante los primeros cinco a8os y de 3K en los sucesivos. :_ué cantidad igual debe a"orrar Forbet al final de cada a8o durante los pr&Dimos 10 a8os para cumplir con estas necesidades;
*?=H<I*F
$1. 6rab 5tate Wan[ le "a ofrecido a usted un préstamo de 1 000 000 de d&lares a cinco a8os, a una tasa de interés de 11.2'K, que eDige pagos iguales al final de cada a8o, que incluyen e principal y e interés sobre e saldo insoluto. Elabore un programa de amortiaci&n para este préstamo.
I*"*>*:
$2. Parrett Erdle acaba de cumplir 2 a8os. Aunque actualmente tiene un capital negativo, espera liquidar todas sus obligaciones financieras dentro de cuatro a8os y después iniciar un importante plan de a"orro para su ubilaci&n. /esea poder disponer de 100 000 d&lares anuales durante los primeros 10 a8os de su ubilaci&n (la primera disposici&n se realiará e d!a en que cumpla 1 a8os) y de 1'0000 durante los siguientes 10 a8os. 6omo
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
I*"*>*:
precauci&n en caso de una longevidad inesperada, le gustar!a tener un capital netoC de '00 000 d&lares después del retiro que realiará al cumplir 40 a8os. Parrett espera que el rendimiento de sus inversiones, después de impuestos, sea de K "asta que cumpla '0 a8os y de *K en lo sucesivo. :_ué cantidad igual debe a"orrar al final de cada a8o (el primer dep&sito se realiará el d!a en que cumpla #1 a8os y el ltimo al cumplir 0), para cumplir con estas metas de su ubilaci&n; $#. Wobbi roctor no desea Gcorrer el riesgoG de que la 5egurdad 5ocial cuide de ella cuando sea adulto mayor. or tanto, desea iniciar "oy un plan para su ubilaci&n. Wobbi "a contratado los servicios de ?ac[ney -inancial lanning para que le ayude a cumplir sus metas. Wobbi "a determinado que le gustar!a tener una anualidad en su ubilaci&n de 200 000 d&lares y que el primer pago lo reciba dentro de # a8os, al final de su primer a8o de ubilaci&n. lanea una ubilaci&n larga y divertida de aproDimadamente 2' a8os. /esea a"orrar ' 000 d&lares al final de cada uno de los pr&Dimos 1' a8os y una cantidad desconocida e igual al final del periodo, durante los siguientes 20 a8os, antes de comenar su ubilaci&n. ?ac[ney le "a advertido que puede suponer con seguridad que todos sus a"orros obtendrán una tasa anual de 12K "asta que se ubile, pero s&lo de 4K en lo sucesivo :6uánto debe a"orrar cada a8o durante los 20 a8os antes de ubilarse; $$. %sted "a decidido empear a planear su ubilaci&n analiando para ello distintos planes de ubilaci&n. El plan que ofrece @7A F
Kttp
EJS*>F
Kttp
$'. Frate de utiliar una de las muc"as calculadoras que aparecen en @nternet, como la de 5alem -ive, para resolver sus problemas sobre el valor del tiempo. a. 5uponga que desea obtener 100000 d&lares durante de 2' a8os, a14 por ciento. 6on ayuda de la calculadora de 5alem -ive, determine su pago mensual. b. 6on ayuda del Gplanificador de a"orros e inversionesG de 5alem -ive, descubra cuál será el crecimiento de 2 000 d&lares a"orrados al final de cada uno de los pr&Dimos#0 a8os, suponiendo que obtienen una tasa constante de 10K anual. "ttpBB.salemfive.com $. 6on ayuda de la calculadora de amortiaci&n que aparece en el siguiente sitio en la 7ed, amortice un préstamo de 100000 d&lares a 3K, durante 10 a8os. :6uál es el saldo restante después del quinto pago; "ttpBB.moneyadvisor.com
PRO98EBA INTEGRA8 E8 CA(O
Valor del dinero en el tiempo 5uponga que actualmente tiene #0 a8os de edad y espera ubilarse cuando llegue a los '. 5i tuviera que ubilarse o*, le gustar!a un ingreso fio (antes de impuestos) de 0 000 d&lares al a8o (además de la 5eguridad 5ocial) durante un periodo de 1' a8os (su esperana de vida aproDimada a los ' a8os). 5in embargo, se da cuenta de que la inflaci&n desgastará el poder de compra del dinero durante los pr&Dimos #' a8os y desea austar su ingreso deseado de la ubilaci&n a los ' a8os para reflear la disminuci&n en el poder adquisitivo. Además del ingreso anual fio, pagadero al principio de cada a8o desde los ' a8os, desea tener activos (por eemplo, inversiones en valores) por 1 000000 de d&lares, ya sea para cubrir sus propias necesidades o para donados a sus "erederos, cuando usted llegue a los 40 a8os. Los estudios emp!ricos "an calculado la tasa compuesta promedio de la inflaci&n en los pre cios y el rendimiento de los valores y bonos, durante los ltimos *0 a8os, en aproDimadamente @nflaci&n 11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
Tasa compuesta #K
Acciones comunes 11 >alores corporativos 6artera de ponderaci&n equilibrada 4.' ('0K de acciones comunes, '0K de bonos) 5uponga que estas tasas permanecerán igual durante los pr&Dimos '0 a8os y que obtendrá estas tasas de rendimiento, después de costos de transacci&n, al invertir en acciones yBo bonos indeDados en fondos mutualistas. 5uponga también que las contribuciones a su fondo de ubilaci&n se realian al final de cada a8o. or ltimo, suponga que los impuestos sobre la renta sobre los rendimientos de cualquier inversi&n de ubilaci&n (por eemplo, planes @7A o $01 ([ pueden diferirse "asta que retire los fondos, comenando a los ' a8os. 1. /etermine su ingreso anual austado a la inflaci&n (antes de impuestos) a los ' a8os. 5uponga que esta cantidad anual permanece constante de los ' a los 40 a8os. 2. /etermine la cantidad que debe acumular cuando tenga ' '.os para alcanar su meta de ubilaci&n, suponiendo que invierte en a. Acciones comunes b. >alores corporativos c. 6artera de ponderaci&n equilibrada ('0K de acciones comunes, '0K de bonos). #. /etermine la inversi&n anual necesaria en acciones comunes para acumular los fondos establecidos en la pregunta 2, suponiendo que el primer pago se realia a la edad de a.#0 b.$0 c.'0 $. /etermine la inversi&n anual necesaria en valores corporativos para acumular los fondos establecidos en la pregunta 2, suponiendo que el primer pago se "ace a la edad de a. #0 b. $0 c. '0 '. /etermine la inversi&n anual necesaria en una cartera de ponderación e2uili1rada (7- de acciones comunes '0K de bonos) para acumular los fondos establecidos en la pregunta 2, suponiendo que el primer pago se "ace a la edad de a. #0 b. $0 c. '0 . :_ué conclusiones es posible obtener de las respuestas a las preguntas #, $ Z 5; APHNICE %7 CAPITA8IJACIKN CONTINLA M E(CLENTO
Capitali4ación continua En el cap!tulo cuatro dimos por "ec"o que el interés se recib!a (o el crecimiento en una serie de pagos ocurr!a) en momentos diferenciados del tiempo, por eemplo, el final de cada a8o, cada seis meses, cada trimestre, etc. 5e demostr& además que una tasa nominal de i nom por ciento al a8o genera una tasa porcentual efectiva anual mayor que la tasa i nom por ciento anual efectiva si la capitaliaci&n ocurre con mayor frecuencia que solamente al final del a8o. En concreto, el valor futuro (FV n ) de cierta cantidad inicial (>0) se determina en la ecuaci&n $.2 11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
->n I >0 (1 O
i nom mn ) m
donde inom es la tasa de interés o de crecimiento nominal anual, m es la cantidad de veces al a8o que ocurre la capitaliaci&n y n es el nmero de a8os en los que también ocurre la capitaliaci&n. (7ecuerde de la nota 11 a pie de página del cap!tulo cuatro, que una tasa de interés nominal anual equivale a la tasa efectiva anual en caso de que la capitaliaci&n ocurra una ve al a8o, al final de éste.) 6omo se observa en la tabla $., mientras más frecuente sea la capitaliaci&n durante cada lapso anual, mayor será el valor futuro de cierta cantidad presente. +tra forma de considerar esto es indicar que mientras más frecuente sea la capitaliaci&n, mayor será la tasa de interés (o crecimiento) efectiva en comparaci&n con la tasa anual nominal establecida. En el l!mite, podr!amos acumular o componer el interés de manera continua$ En este caso eDtremo, la ecuaci&n de valor futuro para la capitaliaci&n continua se convierte en ($A.1)
->n I >0 (e)
i
nom n
donde e es aproDimadamente igual al valor 2.*1424 (este valor es el nmero base de los logaritmos naturales). 5i tiene una calculadora financiera o cient!fica, normalmente el valor de e inomn puede encontrarse multiplicando la tasa nominal i por el nmero de a8os n y después oprimiendo a la tecla eD or eemplo, si invierte 1 000 d&lares durante un a8o a una tasa nominal de 10K, compuesta de manera continua, el valor futuro al final de ese a8o será el siguiente ->1 I 1 000(e)0.10(1) I 1 000(2.*1424)0.10 I 1 10'.1* En caso de que los 1 000 d&lares se inviertan a una tasa nominal de 10K durante tres a8os, el valor futuro, suponiendo una capitaliaci&n continua, es igual a -># I 1 000(e)0.10(#) I 1 000(2.*1424)0.#0 I 1 #$3.4
escuento continuo La ecuaci&n $A.1 también puede modificarse para que reflee descuentos continuos. En el l!mite en el que la capitaliaci&n ocurre de manera continua, es posible calcular los valores presentes como sigue >0 I
($A.2)
->n (e)
i
nom n
o su equivalente ($A.#)
>0 I ->n (e)
i
nom n
or eemplo, si se recibieran 1 #$3.4 d&lares dentro de tres a8os a una tasa con capitaliaci&n continua de 10K, el valor presente puede calcularse como sigue >0 I
L1#$3.4 ( 2.*1424) 0.10 (#)
I 1 000
C-lculos de tasas e#ectivas
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
6uando se conoce la tasa de interés (o crecimiento) nominal anual, inom, y la capitaliaci&n ocurre de manera continua, es fácil calcular la tasa efectiva anual, con ayuda de la siguiente eDpresi&n12 ) ($A.#)
i eff I e
i nom
1
or eemplo, si la tasa nominal anual es de 20K y la capitaliaci&n ocurre en forma continua, la tasa anual efectiva se calcula como sigue ieff I 2.*1424(0.2) 1 I 1.221$ 9 1 I 0.221$ 22.1$K La tasa efectiva es mayor que la tasa nominal porque, en una capitaliaci&n continua, el dinero trabaa másJ es decir, el interés se acumula con mayor frecuencia (continuamente), y este interés acumulado puede obtener su propio interés de manera constante.
Problemas de auto evaluación A1. :6uál es el valor futuro de 1 000 d&lares invertidos durante * a8os a una tasa interés nominal de 10K que se compone de manera continua;
de
A2. :6uál es el valor presente de recibir ' 000 d&lares dentro de oc"o a8os si la tasa de descuento nominal es de 3K, descontada de manera continua; A#. 6alcular la tasa efectiva anual si la tasa anual nominal es de 12K y se compone de manera continua.
Problemas3 EJS*>F
1. :6uál es el valor futuro de 10 000 d&lares invertidos durante dos a8os a una tasa de interés nominal de 12K que se compone de manera continua;
EJS*>F
2. %sted espera recibir '000 d&lares dentro de cinco a8os. :6uál es el valor presente de este ingreso futuro a una tasa de descuento continuo de 12 por ciento;
*?=H<I*F *?=H<I*F
#. La tasa de interés nominal de un certificado de dep&sito bancario es de 4por ciento. 5i capitaliaci&n ocurre de manera continua, :cuál es la tasa efectiva anual;
la
$. /ada una tasa de interés nominal anual de 20K, determine la tasa efectiva anual con a. 6apitaliaci&n anual b. 6apitaliaci&n trimestral c. 6apitaliaci&n mensual d$ 6apitaliaci&n continua
*?=H<I*F *?=H<I*F
'. :6uál es el valor futuro de 1 000 d&lares invertidos durante 10 a8os a una tasa de interés nominal de 10K que se compone de manera continua; :6uánto mayor es este valor que el que se obtiene con una capitaliaci&n anual durante 10 a8os a 10 por ciento; . :6uál es el valor presente de recibir 1 '00 d&lares dentro de 2' a8os si la tasa de interés nominal es de 10K y se descuenta de manera continua;
12
:a ecuacin &L se obtiene de la ecuacin &.2) dejando ue m tienda a infinito i nom n i eff I lim (1 O ) 1 I einom 1 m mg D
11$ Capitulo # Valor del dinero en el tiempo
