Cálculo Para La Ingeniería 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBL PR OBL EM AS RES RESUEL UEL TOS 

Salvador Vera Ballesteros www.satd.uma.es/matap/svera

Tema 3. Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables 

    

1. Derivadas parciales de primer orden . 2. Diferencial total y cálculo aproximado. 3. Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores. 4. Derivada direccional y vector gradiente. 5. Derivada de la función compuesta. 6. Derivada de funciones implícitas.

3.2 Plano tangente y recta normal a una superficie 3.3 Extremo de una función de dos variables   

1. Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales. locales . 2. Extremos condicionados. 3. Extremos absolutos en regiones compactas. compactas .

3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables 3.1.1. Derivadas parciales de primer orden.  Se llama derivada parcial  de  de una función función finito:

con respecto respecto a la variable variable independient independiente e

calc calcul ulad ado o supo suponi nien endo do

cons consta tant nte. e.

Se llama derivada parcial de parcial de una función al siguiente límite, si existe y es finito:

calc calcul ulad ado o supon suponien iendo do

al siguiente siguiente límite, si existe y es

cons constan tante te..

con respecto a la variable independiente

Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando. Volver al comienzo de la página

1. Halla, aplicando la definición, las derivadas parciales de la función Solución: Considerando

como una constante, tenemos:

Considerando

como una constante, tenemos:

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2. Dada la función

definida por

Halla

y

Solución: Considerando

como una constante, tenemos:

Considerando

como una constante, tenemos:

.

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3. Dada la función Solución:

definida por

Halla

y

.

.

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4. Dada la función f definida por

. Halla sus derivadas parciales en el

punto P(1,1,1).

Solución: Podemos elegir entre aplicar la definición de derivada en el punto P(1, 1, 1). o lo que es más fácil, calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos.

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5. Calcula las derivadas, en el punto P(0, 0), de la función f definida por:

Solución: En este caso es más conveniente aplicar la definición de derivada en el punto P(0, 0). ya que si calculamos las derivadas parciales y en ellas sustituimos, nos encontramos con una indeterminación.

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6. Prueba que la función f definida por

satisface la ecuación:

Solución: Hallamos las derivadas parciales.

; Sustituimos las expresiones halladas en el primer miembro de la ecuación y operamos:

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