Buku Ajar Pdp

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Oleh :

Drs. Arjudin, M.Si.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN JURUSAN PENDIDIKAM PENDIDIKAM MATEMATIKA DA N ILMU PENGETAHUAN PENGETAHUAN AL AM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM TAHUN 2009

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa kita panjatkan ke hadirat Allah swt atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penyusunan buku ajar Persamaan Diferensial Parsial ini dapat terselesaikan. Buku ajar Persamaan Diferensial Parsial ini dipersiapkan bagi mahasiswa program studi Pendidikan Matematika S1. Dengan mempelajari persamaan diferensial parsial, mahasiswa diharapkan dapat menguasai konsep persamaan diferensial parsial, memahami

metode

penyelesaian

persamaan

diferensial

parsial,

serta

terampil

menerapkan pemahaman tersebut dalam pemecahan masalah. Ucapan terima kasih dan penghargaan disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu tersusunnya tersusunnya buku ajar ini. Disadari bahwa buku ajar ini masih belum sempurna, oleh karena itu saran dan kritik yang bersifat membangun sangat diharapkan dari pembaca semua. Semoga buku ajar ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amiin!

Mataram, Nopember 2009

Penyusun

ii

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ………………………………………………… ………………………………………………………… ………

i

KATA PENGANTAR ............................................................ ..........................

ii

DAFTAR ISI ………………………… ……………………………………………………… ……………………………………….. …………..

iii

TINJAUAN MATA KULIAH ………………………… ……………………………………………….. ……………………..

v

BAB I :

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

A. Kompetensi Dasar dan Indikator ................................................. ...

1

B. Pendahuluan ………………………… …………………………………………………… …………………………... ...

1

C. Penyajian …………………………… ………………………………….................................... ……....................................

2

D. Penutup ………………………… ……………………………………..………………… …………..……………………. ….

3

BAB II :

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL SEDERHANA


6

B. Pendahuluan ………………………… …………………………………………………… …………………………... ...

6

C. Penyajian …………………………… ………………………………….................................... ……....................................

6

D. Penutup ………………………… ……………………………………..………………… …………..……………………. ….

9

BAB III :

METODE PEMISAHAN VARIABEL


12

B. Pendahuluan ………………………… …………………………………………………… …………………………... ...

12

C. Penyajian …………………………… ………………………………….................................... ……....................................

12

D. Penutup ………………………… ……………………………………..………………… …………..……………………. ….

15

BAB IV :

DERET FOURIER


18

B. Pendahuluan ………………………… …………………………………………………… …………………………... ...

18

C. Penyajian …………………………… ………………………………….................................... ……....................................

18

D. Penutup ………………………… ……………………………………..………………… …………..……………………. ….

22

iii

BAB V :

PEMODELAN PERSAMAAN GELOMBANG 1-DIMENSI


26

B. Pendahuluan ……………………………………………………...

26

C. Penyajian …………………………………....................................

27

D. Penutup ……………………………………..…………………….

32

BAB VI :

METODE TRANSFORMASI VARIABEL


36

B. Pendahuluan ……………………………………………………...

36

C. Penyajian …………………………………....................................

36

D. Penutup ……………………………………..…………………….

39

BAB VII :

METODE TRANSFORMASI LAPLACE


42

B. Pendahuluan ……………………………………………………...

42

C. Penyajian …………………………………....................................

42

D. Penutup ……………………………………..…………………….

48

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ..........................................................

51

SUPLEMEN: PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DENGAN PROGRAM MAPLE V .................................................................

iv

53

TINJAUAN MATA KULIAH

Buku ajar untuk mata kuliah Persamaan Diferensial Parsial (PDP) ini dipersiapkan bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika S1, baik reguler maupun non-reguler/ekstensi, dimana mata kuliah ini diberikan dengan bobot 3 sks. Dengan mempelajari buku ini diharapkan mahasiswa mampu memahami konsep persasmaan diferensial dan menguasai metode-metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial, serta terampil menggunakannya dalam pemecahan masalah, baik permasalahan matematika maupun dalam penerapan sehari-hari Dalam buku ajar ini termuat tujuh bab dan dilengkapi dengan suplemen penggunaan software komputer Maple V dalam penyelesaian persamaan diferensial parsial. Setiap bab berisikan pendahuluan, penyajian, dan penutup sesuai dengan materi yang dibahas pada bab tersebut. Adapun

deskripsi singkat isi masing-masing

bab

sebagai berikut. Bab

I

Membahas

konsep

dasar

persamaan

diferensial

parsial,

pengertian

solusi/penyelesaian persamaan diferensial, serta istilah-istilah pada persamaan diferensial parsial yang meliputi: orde, linieritas, koefisien, homogenitas. Bab II . Membahas persamaan diferensial sederhana yang dapat dipandang sebagai persamaan diferennsial biasa, sehingga dapat diselesaikan dengan metode pada persamaan diferensial biasa. Di samping itu juga dibahas sistem persamaan diferensial parsial sederhana. Bab III .

Membahas

metode pemisahan variabel untuk menyelesaikan persamaan

diferensial parsial. Metode ini disebut juga dengan metode hasil kali, karena penyelesaian persamaan diferensial parsial dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi satu variabel. Bab IV.

Membahas deret Fourier, yang merupakan penyajian fugsi periodik dalam

bentuk deret. Selain definisi dari deret Fourier, juga ditentukan rumus koefisienkoefisiennya. Materi ini akan digunakan pada bab berikutnya, sebagai salah satu tahap dalam penyelesaian persamaan diferensial parsial sebgaia pemodelan gelomang 1-dimensi.

v

Bab V . Membahas penerapan persamaan diferensial parsial orde-2 pada pemodelan persamaan gelombang 1-dimensi.

Dalam pembahasannya,

dikemukakan

pemodelan gelombang 1-dimensi dari fenomena fisik ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial. Selanjutnya persamaan diferensial parsialnya, yang merupakan model persamaan gelombang 1-dimensi, diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel, menggunakan syarat awal dan syarat batas, dan juga menggunakan deret Fourier. Bab VI. Membahas metode penyelesaian menggunakan metode transformasi variabel. Bentuk rumus transformasinya didasarkan tipe persamaan diferensial parsialnya, sehingga dibahas juga mengenai tipe-tipe persamaan diferensial parsial linier orde-2. Bab VII. Membahas transformasi Laplace dan penggunaannya dalam penyelesaian persamaan diferensial parsial. Penggunaan metode ini harus dilengkapi dengan tabel trabsformasi Laplace. Untuk dapat memahami dengan baik dan benar materi yang ada di setiap bab, baca dan kajilah dengan seksama sampai tuntas. Kerjakanlah setiap latihan yang ada di setiap bab, agar semakin memahami konsep dan terampil menggunakannya. Selanjutnya kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan pada setiap bab, dengan cara mengerjakan sendiri dan tanpa melihat kunci jawaban. Jika tingkat penguasaan yang diperoleh belum mencapai nilai yang disyaratkan, pelajarilah kembali materi yang bersangkutan. Anda dapat mencari sumber-sumber belajar lain yang relevan dan dapat membantu Anda untuk mengatasi kesulitan dalam memahami nateri dalam mata kuliah ini.

TETAP SEMANGAT DAN SELAMAT BELAJAR

vi

BAB I KONSEP PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

A. KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR Kompetensi Dasar:

1. Memahami pengertian persamaan diferensial parsial. 2. Mengidentifikasi orde dari suatu persamaan diferensial parsial. 3. Mengidentifikasi derajat dari suatu persamaan diferensial parsial. 4. Menentukan koefisien suku-suku persamaan diferensial parsial 5. Menentukan homogenitas suatu persamaan diferensial parsial 6. Mengevaluasi solusi persamaan diferensial parsial.

Indikator:

1. Dapat menjelaskan definisi persamaan diferensial parsial. 2. Dapat menyebutkan orde suatu persamaan diferensial parsial. 3. Dapat membedakan antara persamaan diferensial parsial linier dan non linier. 4. Dapat menyebutkan koefisien pada suku-suku peersamaan diferensial parsial. 5. Dapat membedakan antara persamaan diferensial parsial homogen dan non homogen. 6. Dapat memeriksa apakah suatu fungsi merupakan solusi atau bukan dari suatu persamaan diferensial parsial.

B. PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai konsep dasar persamaan diferensial parsial, pengertian solusi/penyelesaian persamaan diferensial, serta istilah-istilah pada persamaan diferensial parsial yang meliputi: orde, linieritas, koefisien, homogenitas. Penguasaan terhadap konsep dasar persamaan diferensial parsial akan bermanfaat sebagai prinsip-prinsip dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial, baik dalam penentuan

metode

penyelesaiannya

maupun

ketrampilan

pada

langkah-langkah

penyelesaiannya.

Persamaan Diferensial Parsial

1

C. PENYAJIAN Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah persamaan yang mengandung

turunan parsial dari suatu fungsi multivariabel. Contoh 1.1: 2 ∂ 2u 2 ∂ u (1) =c 2 ∂t 2 ∂ x

(Persamaan gelombang satu dimensi)

∂u 2 ∂ 2u (2) =c 2 ∂t ∂ x

(Persamaan panas satu dimensi)

∂ 2 u ∂ 2u (3) + =0 ∂ x 2 ∂ y 2

(Persamaan Laplace dua dimensi)

∂ 2u ∂ 2u (4) + = f ( x, y ) ∂ x 2 ∂ y 2

(Persamaan Poisson dua dimensi)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 (5) ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2

(Persamaan Laplace tiga dimensi)

Tingkat tertinggi dari turunan pada suatu persamaan diferensial parsial disebut orde dari PDP tersebut.

Suatu PDP dikatakan linier apabila jumlah pangkat tertinggi dari fungsi (variabel terikat) dan turunan parsialnya pada setiap suku adalah satu. Apabila semua suku pada PDP memuat fungsi atau turunannya maka PDP tersebut dikatakan homogen, dalam hal lain dikatakan PDP tak homogen. Yang dimaksud dengan koefisien pada suku-suku persamaan diferensial parsial adalah konstanta atau variable bebas yang menyertai fungsi atau turunannya, dimana koefisien ini letaknya di depan fungsi atau turunannya sebagai pengali pengali Solusi dari PDP adalah fungsi yang apabila disubstitusikan akan memenuhi PDP

tersebut. Seringkali solusi PDP mensyaratkan suatu nilai pada batas dari daerah yang ditinjau, yang disebut syarat batas, atau mengasumsikan suatu nilai pada waktu tertentu, misalnya t = 0, yang disebut nilai awal. Prinsip pada teorema berikut ini serupa dengan di PD biasa, sehingga pembuktiannya tidak disertakan dan ditinggalkan sebagai latihan. Teorema 1.1. : Prinsip Linieritas Jika u1 dan u2 adalah suatu solusi PDP homogen di suatu daerah R,


2

maka u = c1u1 + c 2u2, dimana c1, c2 sebarang konstanta, adalah juga solusi PDP di daerah R tersebut.

Latihan 1:

1. Tentukan orde masing-masing persamaan diferensial pada contoh 1.1. 2. Di antara persamaan diferensial (1) s/d (6) pada contoh 1.1, nyatakan manakah yang merupakan persamaan diferensial parsial linier dan manakah yang merupakan persamaan diferensial non linier. 3.

Di antara persamaan diferensial (1) s/d (6) pada contoh 1.1, nyatakan manakah yang merupakan persamaan diferensial parsial homogen dan manakah yang merupakan persamaan diferensial non homogen. 1

4. Tunjukkan bahwa fungsi u(x, y) = x

2

+ y 2 + z 2

merupakan solusi dari

persamaan Laplace 3-dimensi. 5. Buktikan bahwa prinsip linieritas (teorema 1.1) berlaku pada persamaan diferensial parsial homogen.

D. PENUTUP Rangkuman:

-

Persamaan Diferensial Parsial adalah persamaan yang mengandung turunan parsial dari suatu fungsi multivariabel.

-

Orde dari suatu PDP adalah tingkat tertinggi dari turunan pada PDP tersebut.

-

PDP dikatakan linier apabila jumlah pangkat tertinggi dari fungsi (variabel terikat) dan turunan parsialnya pada setiap suku adalah satu.

-

PDP dikatakan homogen apabila semua suku pada PDP memuat fungsi atau turunannya.

-

Koefisien pada suku-suku persamaan diferensial parsial adalah konstanta atau variable bebas pengali fungsi atau turunannya.


3

Tes Formatif 1:

Petunjuk: Petunjuk: Berilah tanda silang (X) pada salah satu pilihan jawaban yang paling tepat. 1. Persamaan diferensial parsial uxy + ux = 0 berorde ….. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 2. Di antara persamaan diferensial parsial berikut, yang bukan merupakan persamaan diferensial parsial linier adalah ..... A. B. C. D. E.

∂ 2u ∂ 2 u − =0 ∂ y∂ x ∂ y 2 ∂u ∂u + = 2( x + y )u ∂ x ∂ y ∂u ∂u − y = 0 ∂ x ∂ y 2 2 ∂ u + 3 y 2u = 0 x ∂ y∂ x ∂u ∂u −u = 0 ∂ x ∂ y

3. Di antara persamaan-persamaan diferensial berikut, yang memiliki koefisien variabel adalah ..... A. ux - uy = 0 B. uxx + uyy = 0 C. uxx + 4u = 0 D. ux – yuy = 0 E. uxy – u = 0 4. Persamaan-persamaan diferensial parsial berikut adalah homogen, kecuali ..... A. uxy + uy + x + y + 1 = 0 B. uxx + ux – 2u = 0 C. uyy + 16u = 0 D. uxx + u = 0 E. uyy + uy = 0


4

5. Di antara fungsi-fungsi berikut ini yang merupakan solusi dari persamaan diferensial parsial 2

∂ 2u ∂ 2u + = 0 adalah .... ∂ x 2 ∂ y 2

2

A. u = x + y

B. u = sin 2x sin 2y 2

2

C. u = ln(x +y ) D. u = sin x cos 4y 1 E. u = 2 2 x + y

Umpan Balik dan Tindak Lanjut:

Setelah mengerjakan Tes Formatif 1, cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang terdapat pada bagian akhir buku ajar ini. Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda, gunakan rumus: Tingkat Penguasaan =

Jumlah jawaban yang benar Jumlah soal

× 100 %

Jika mencapai tingkat penguasaan minimal 80%, Anda dinyatakan berhasil dengan baik. Selamat, silakan Anda mempelajari materi pada bab berikutnya. Sebaliknya, jika tingkat penguasaan Anda kurang dari 80%, pelajari kembali materi pada bab ini, terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai dengan baik.


5

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL SEDERHANA


1. Memahami pengertian persamaan diferensial sederhana 2. Mengidentifikasi persamaan diferensial parsial sederhana 3. Menyelesaikan persamaan diferensial parsial sederhana 4. Menyelesaikan sistem persamaan diferensial sederhana

Indikator:

1. Dapat menjelaskan pengertian persamaan diferensial parsial sederhana. 2. Dapat menentukan suatu persamaan diferensial parsial yang tergolong sederhana 3. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial sederhana 4. Dapat menyelesaikan sistem persamaan diferensial sederhana.

B. PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai persamaan diferensial parsial sederhana yang dapat dipandang sebagai persamaan diferensial biasa. Setelah dibahas tentang cara penyelesaian persamaan diferensial parsial sederhana tersebut, kemudian dikemukakan permasalahan penyelesaian sistem persamaan diferensial sederhana. Pengetahuan prasyarat tentang cara penyelesaian persamaan diferensial parsial biasa sangat diperlukan dalam pembahasan pada bab ini. Oleh karena itu, perlu diingat kembali tentang ketrampilan pada langkah-langkah penyelesaian persamaan diferensial biasa.

C. PENYAJIAN Yang dimaksud persamaan diferensial parsial sederhana adalah persamaan diferensial parsial yang dapat dipandang sebagai persamaan diferensial biasa. Oleh karena itu, persamaan diferensial parsial sederhana dapat diselesaikan dengan caracara/metode penyelesaian persamaan diferensial biasa. Namun demikian, harus diingat


6

bahwa solusi yang akan dicari adalah fungsi multivariabel, sehingga pada waktu mengintegralkan terhadap suatu variabel harus memperhitungkan variabel yang lain. Persamaan diferensial parsial sederhana, dapat diidentifikasi bentuknya sebagai berikut: (1) Persamaan diferensial parsial yang turunan parsialnya hanya muncul terhadap salah satu variabel saja, (2) Persamaan diferensial parsial yang turunan parsialnya muncul terhadap semua variabel tetapi dapat dimodifikasi bentuknya , dengan cara memisalkan turunan parsial terhadap salah satu variabel sebagai variabel terikat yang lain, sehingga dapat diperoleh persamaan diferensial parsial yang hanya memunculkan turunna parsial terhadap salah satu variabel saja. Berikut ini dikemukakan kedua contoh bentuk persamaan diferensial parsial sederhana tersebut, disertai cara penyelesaiannya. Contoh 2. 1 : Tentukan fungsi u (x, y) yang merupaka solusi umum persamaan diferensial parsial uxx – u = 0. Jawab : Karena turunan parsial terhadap variabel y tidak muncul, persamaan

tersebut dapat dipandang sebagai PD biasa, yaitu u’’ – u = 0. Dengan mengingat cara penyelesaian persamaan diferensial biasa menggunakan persamaan bantu, diperoleh x

-x

solusi umum u = Ae + Be . Dalam hal ini A dan B dapat bergantung terhadap y, x

-x

sehingga solusi PDP di atas adalah u(x, y) = A(y)e + B(y)e . Contoh 2. 2 : Selesaikan persamaan diferencial parsial uxy = -ux. Jawab: Nyatakan ux = p. Maka diperoleh persamaan diferencial parsial py = -p,

yang turunan parsialnya hanya muncul terhadap y saja. Persamaan tersebut ekuivalen dengan

p y p

= -1, sehingga dengan mengintegralkan

terhadap y, diperoleh 1

∫ p dp = − ∫ dy ln p = -y + c1(x) -y

sehingga p = c(x) e .


7

Dengan mengintegralkan terhadap x, diperoleh solusi umum PDP tersebut adalah u(x, y) = f(x)e + g(y), dimana f(x) = ∫c(x) dx. -y

Karena c(x) fungsi sebarang, maka dalam hal ini f(x) dan g(y) juga fungsi sebarang. Seperti halnya pada persamaan, dikenal juga sistem persamaan diferensial, yang melibatkan lebh dari satu persamaan diferensial. Berikut contoh beserta penyelesaian dari sistem persamaan diferensial parsial sederhana. Contoh 2.3: Selesaikan sistem persamaan diferensial parsial sederhana:

⎧u xx = 0 ⎨u = 0 ⎩ yy Jawab: Dari persamaan pertama, diperoleh u(x, y) = f(y)x + g(y).

Dengan

menggunakan persamaan kedua, diperoleh bahwa f ’’(y) = 0 dan g’’(y) = 0, sehingga f(y) = Ay + B dan g(y) = Cy + D. Dengan demikian, diperoleh solusi umumnya u(x, y) = (Ay+B)x + Cy + D = Axy + Bx + Cy + D, dimana A, B, C, dan D konstanta. Contoh 2.4: Selesaikan sistem persamaan diferensial parsial sederhana:

⎧u xx = 0 ⎨u = 0 ⎩ xy Jawab: Misalkan p = ux. Maka dari persamaan pertama diperoleh px = 0 dan dari

persamaan kedua diperoleh py = 0. Sehingga, p(x, y) = c. Dengan demikian, solusi sistem persamaan diferensial tersebut adalah u(x, y) = cx + f(y).

Latihan 2:

1. Tentukan fungsi u(x, y) yang merupakan penyelesaian umum persamaan diferensial parsial: uxx + 4u = 0 2. Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial: ux – 2xyu = 0. 3. Tentukan solusi umum persamaan diferensial parcial: uxy = 0.


8

4. Carilah fungís u(x, y) yang merupakan solusi umum persamaan diferensial parsial: uxyy + ux = 0. 5. Selesaikan sistem persamaan diferensial parsial:

⎧u xx = 0 ⎨u = 0 ⎩ yx D. PENUTUP Rangkuman:

-

Persamaan diferensial parsial sederhana adalah persamaan diferensial parsial yang turunan parsialnya hanya muncul terhadap salah satu variabel.

-

Terdapat persamaan diferensial parsial yang turunan parsialnya muncul terhadap dua variabel tetapi dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial parsial sederhana, dengan memisalkan turunan terhadap salah satu variabel sebagai fungsi/variabel terikat lain.

-

Sistem persamaan diferensial parsial dibentuk oleh lebih dari satu persamaan diferensial parsial. PDP dikatakan homogen apabila semua suku pada PDP memuat fungsi atau turunannya.

-

Cara penyelesaian persamaan diferensial parsial sederhana maupun sistem persamaan diferensial parsial sederhana dilakukan dengan memandang sebagai persamaan diferensial biasa, dengan tetap memperhitungkan solusinya sebagai fungsi multivariabel.

Tes Formatif 2:

Petunjuk: Berilah tanda silang (X) pada salah satu pilihan jawaban yang paling tepat. 1. Berikut ini merupakan persamaan diferensial parsial sederhana, yang dapat diselesaika dengan metode pada persamaan diferensial biasa, kecuali ..... A. ux = 0 B. uy = 0 C. uxy = 0 D. uxy = u E. uxy = ux


9

2. Persamaan diferensial parsial ux = 0 mempunyai solusi umum ….. A. u = C B. u = C(x) C. u = C(y) D. u = x E. u = y 3. Penyelesaian umum dari persamaan diferensial pa rsial uyxx – uy = 0 adalah ..... y

-x

A. u = f(x) e + g(y) e

B. u = f(y) sin x + g(y) cos x y

-y

C. u = f(x) e + g(x) e + h(y) D. u = f(x) sin y + g(x) cos y x

-x

E. u = f(y) e + g(y) e – h(x) 4. Penyelesaian persamaan diferensial parsial uxx + u = 0 , yang memenuhi syarat u(0, y) = f(y) dan ux(0,y) = g(y) adalah ..... A. u = f(y) sin x + g(y) cos x B. u = f(y) cos x + g(y) sin x C. u = f(y) sin y + g(y) cos y D. u = f(y) cos y + g(y) sin y E. u = f(x) sin y + g(x) cos y 5. Yang meruapakan solusi dari sistem persamaan diferensial parsial

⎧u xx = 0 ⎨u = 0 ⎩ xy adalah ..... A. u = C1 x + C2(y) B. u = C1(x) + C2 y C. u = C1(x) + C2(y) D. u = C1 x + C2 y E. u = C1xy + C2


10




× 100 %



11

BAB III METODE PEMISAHAN VARIABEL


1. Memahami pengertian persamaan diferensial parsial terpisahkan, 2. Menjelaskan langkah-langkah metode pemisahan variabel, 3. Menggunakan

metode

pemisahan

variabel

untuk

nyelesaikan

persamaan

diferensial parsial.

Indikator:

1. Dapat menjelaskan pengertian persamaan diferensial parsial terpisahkan, 2. Dapat menyebutkan langkah-langkah metode pemisahan variable, 3. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode pemisahan variable.

B. PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai cara penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode pemisahan variabel.

Metode pemisahan variabel juga dikenal

pada penyelesaian persamaan diferensial biasa, tetapi prinsip dan langkah-langanya sangat berbeda.

Metode

pemisahan variabel pada persamaan diferensial biasa

memisahkan antara fungsi/variabel terikat dengan variabel bebasnya, sehingga bisa dilakukan langkah pengintegralan. Sedangkan metode pemisahan variabel pada persamaan diferensial parsial, dilakukan dengan menyatakan fungsi solusinya sebagai hasil kali dua fungsi satu variabel, yang masing-masing berbeda variabel bebasnya.

C. PENYAJIAN Metode pemisahan variabel untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial parsial disebut juga metode hasil kali. Dikatakan demikian karena solusi persamaan diferensial dari fungsi dua variabel, misalnya u(x,t), dinyatakan sebagai bentuk hasil kali F(x)G(t). Langkah-langkah metode pemisahan variabel sebagai berikut:


12

(1) Nyatakan solusinya sebagai hasil kali dari dua fungsi satu variabel, yaitu fungsi terhadap variabel besa pertama dan fungsi terhadap variabel bebas kedua, (2) Substitusikan bentuk solusi tersebut ke persamaan diferensial parsialnya, kemudian pisahkan masing-masing fungsi dan variabel bebasnya pada ruas yang berbeda, (3) Kedua ruas dapat dinyatakan sebagai konstanta, sehingga diperoleh dua persamaan diferensial biasa, (4) Tentukan masing-masing solusi kedua persamaan diferensial biasa, (5) Diperoleh solusi persamaan diferensial parsial sebagai hasil kali dua solusi persamaan diferensial parsial tersebut. Berikut dikemukakan contoh-contohnya. Contoh 3.1: Tentukan solusi dari persamaan diferensial parsial ux + uy = 0. Jawab:

Nyatakan u(x, y) = F(x)G(y). Substitusikan ke persamaan diferensial parsialnya, diperoleh F’(x)G(y) + F(x)G’(y) = 0 Selanjutnya, pisahkan fungsi F(x) dan G(y) pada kedua ruas persamaan F’(x)G(y) = -F(x)G’(y) F ′( x ) F ( x)

=−

G ′( y ) G ( y )

Karena ruas kiri hanya bergantung pada x dan ruas kanan hanya bergantung pada y, maka dapat dinyatakan kedua ruas sebagai konstanta, yaitu F ′( x ) F ( x)

=−

G ′( y ) G ( y )

= k ,

dengan k konstanta. Diperoleh dua persamaan diferensil biasa F ′( x ) F ( x )

dan

G ′( y ) G ( y )

= k

(i)

= −k .

(ii) kx

Dari persamaan difernsial biasa (i) diperoleh solusi F(x) = C1e


13

-ky

dan dari persamaan diferensial biasa (ii) diperoleh solusi G(y) = C2e . Jadi solusi umum persamaan diferensial parsialnya adalah u(x, y) = F(x)G(y) = C ⋅e

k(x-y)

.

Pada contoh berikut ini, ditinjau metode pemisahan variabel pada penyelesaian persamaan diferensial parsial orde 2. Contoh 3.2: Tentukan solusi dari persamaan diferensial parsial uxy - u = 0. Jawab:

Nyatakan u(x, y) = F(x)G(y). Substitusikan ke persamaan diferensial parsialnya, diperoleh F’(x)G’(y) - F(x)G(y) = 0 Selanjutnya, pisahkan fungsi F(x) dan G(y) pada kedua ruas persamaan F’(x)G’(y) = F(x)G(y) F ′( x ) F ( x)

=

G ( y ) G ′( y )

Karena ruas kiri hanya bergantung pada x dan ruas kanan hanya bergantung pada y, maka dapat dinyatakan kedua ruas sebagai konstanta, yaitu F ′( x ) F ( x)

=

G ( y ) G ′( y )

= k , dengan k konstanta.

Diperoleh dua persamaan diferensil biasa F ′( x ) F ( x )

dan

G ′( y ) G ( y )

= k =

1 k

.

(i)

(ii)

Dari persamaan diferensial biasa (i) diperoleh solusi F(x) = C1e

kx y/k

dan dari persamaan diferensial biasa (ii) diperoleh solusi G(y) = C2e . Jadi solusiumum persamaan diferensial parsialnya adalah 2

u(x, y) = F(x)G(y) = Ce ( k x + y ) / k .

Latihan 3:

1. Selesaikan persamaan diferensial parsial ux + uy = 0 2. Carilah solusi umum peramaan diferensial parsial xux - yuy = 0


14

3. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial parsial uxx - uyy = 0 4. Selesaikan persamaan diferensial parsial ux + uy = 2(x+y)u 2

2

5. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial parsial x uxy + 3y u = 0.

D. PENUTUP Rangkuman:

-

Metode pemisahan variabel atau disebut metode hasil kali adalah metode penyelesaian persamaan diferensial dengan cara menyatakan fungsi solusinya sebagai hasil kali dua fungsi satu variabel.

-

Metode pemisaha variabel dilakukan dengan langkah-langkah berikut: (1) Nyatakan solusinya sebagai hasil kali dari dua fungsi satu variabel, yaitu fungsi terhadap variabel besa pertama dan fungsi terhadap variabel bebas kedua, (2)

Substitusikan bentuk solusi tersebut ke persamaan diferensial parsialnya, kemudian pisahkan masing-masing fungsi dan variabel bebasnya pada ruas yang berbeda,

(3)

Kedua ruas dapat dinyatakan sebagai konstanta, sehingga diperoleh dua persamaan diferensial biasa,

(4)

Tentukan masing-masing solusi kedua persamaan diferensial biasa,

(5)

Diperoleh solusi persamaan diferensial parsial sebagai hasil kali dua solusi persamaan diferensial parsial tersebut.

Tes Formatif 3:

Petunjuk: Berilah tanda silang (X) pada salah satu pilihan jawaban yang paling tepat. 1. Persamaan diferensial parsial berikut ini dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel, kecuali ..... A. yux – xuy = 0 B. ux + yuy = 0 C. uxx - uxy = 0 D. uxx + uyy = u E. uxy = 0


15

2. Metode pemisahan variabel mengidentifikasi persamaan diferensial terpisahkan pada langkah .... A. Menyatakan solusinya sebagai hasil kali dari dua fungsi satu variabel, yaitu fungsi terhadap variabel besa pertama dan fungsi terhadap variabel bebas kedua B. Mensubstitusikan bentuk solusi ke persamaan diferensial parsial C. Memisahkan masing-masing fungsi dan variabel bebasnya pada ruas yang berbeda D. Kedua ruas dapat dinyatakan sebagai konstanta, sehingga diperoleh dua persamaan diferensial biasa E. Menentukan masing-masing solusi kedua persamaan diferensial biasa 3. Persamaan diferensial parsial ux - yuy = 0 mempunyai solusi umum ….. k(x+y)

A. u = Ce

kx

k

B. u = Ce y

k(x-y)

C. u = Ce

kx

D. u = Cye

ky

E. u = Cxe

4. Penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial yux – xuy = 0 adalah ..... 2

A. u

= Ce k ( x

B.

= Ce k ( x

u

+ y 2 ) 2

− y 2 )

C. u

= Ce k ( x+ y )

D. u

= Ce k ( x− y )

E. u

= Ce

⎛ x ⎞ ⎟⎟ ⎝ y ⎠

k ⎜⎜

2

5. Solusi umum dari persamaan diferensial parsial x uxy - 2yu = 0 adalah .... k y

A. u

= Ce

B. u

= Ce

x 2

+

k

k y

C. u

= Ce

x 2

−

k

⎛ 1 y 2 ⎞ ⎟ ⎜ x − k ⎟ ⎝ ⎠

k ⎜


16

⎞ 1 ⎛ ⎜ y 2 − k ⎟ k ⎜⎝ x ⎠⎟ 2

D. u

= Ce

k y

E. u

= Ce x

+

2

k




× 100 %



17

BAB IV DERET FOURIER


1. Menjelaskan pengertian deret Fourier, 2. Menghitung koefisien-koefisien deret fourier, 3. Menerapkan deret Fourier pada suatu fungsi.

Indikator:

1. Dapat menyebutkan bentuk deret Fourier berperiode 2π, 2. Dapat menyebutkan bentuk deret Fourier berperiode 2L, 3. Dapat menyebutkan rumus-rumus koefisien deret Fourier, 4. Dapat menyatakan suatu fungsi perodik dalam bentuk deret Fourier.

B. PENDAHULUAN Pada bab

ini akan dibahas deret Fourier yang merupakan salah satu cara

menyatakan suatu fungsi periodik. Sebelumnya sudah dikenal cara menyatakan fungsi dalam bentuk deret yang lain, yaitu deret Taylor dan deret McClaurin. Pembahasan akan dimulai dengan pengertian fungsi periodik, yang dilanjutkan dengan pengertian deret trigonometri.

Deret Fourier termasuk deret trigonometri, yang kemudian dijabarkan

koefisien-koefisiennya yang dapat dinyatakan dalam rumus Euler. Selanjutnya, deret Fourier digunakan untuk menyatakan suatu fungsi.

C. PENYAJIAN Fungsi periodik adalah fungsi yang berbentuk f(x + p) = f(x), ∀x ∈ Df . Dalam hal ini, p disebut periode. Bentuk Deret Trigonometri adalah a0 +

∞

∑ (a

n

cos nx + bn sin nx)

n =1


18

dengan a0, a1, a2, ..., b1, b2, b3, ..... bil. riil. Perhatikan bahwa periodenya 2π. Deret Fourier dari fungsi f(x) berperiode 2π adalah f ( x) = a0 +

∞

∑ (a

n

cos nx + bn sin nx)

(*)

n =1

dengan koefisien-koefisien Fourier yang dapat dinyatakan dalam rumus Euler berikut a0

π

1

∫

=

f ( x ) dx 2π −π π

=

1

f ( x) cos nxdx, π −π π

=

1

an

bn

∫ ∫

f ( x ) sin nxdx, π −π

n

= 1, 2, 3,....

n = 1, 2, 3,....

Berikut akan diuraikan perhitungan untuk memperoleh rumus Euler untuk koefisienkoefisien deret Fourier.

•

Menentukan koefisien a0

Kedua ruas persamaan (*) diintegralkan terhadap x dari -π sampai π, diperoleh ∞ ⎛ ⎞ = + + f ( x ) dx a ( a cos nx b sin nx ) ⎜ ⎟dx n n ∫−π ∫−π ⎝ 0 ∑ n =1 ⎠ π π ∞ ⎛ π ⎞ ⎜ = a0 ∫ dx + ∑ ⎜ an ∫ cos nxdx + bn ∫ sin nxdx ⎟⎟ n =1 ⎝ −π −π −π ⎠ π

π

Di ruas kanan, suku pertama adalah 2πa0 dan suku lainnya nol, sehingga π

∫ f ( x)dx = 2π a + 0 0

−π

Jadi, a 0

•

=

1

π

∫

f ( x )dx . 2π −π

(terbukti).

Koefisien an , (n = 1, 2, 3, ...)

Kalikan kedua ruas persamaan (*) dengan cos mx, dimana m bilangan asli, kemudian integralkan terhadap x dari -π sampai π, diperoleh


19

∞ ⎛ ⎞ f ( x ) cos mxdx a ( a cos nx b sin nx ) = + + ⎜ ⎟ cos mxdx n n ∫−π ∫−π ⎝ 0 ∑ n =1 ⎠ π

π

Ruas kanan dapat dituliskan π

∫

a 0 cos mxdx +

π

∞

∑ (a ∫ cos nx cos mxdx + b ∫ sin nx cos mxdx) n

n =1

−π

π

n

−π

−π

Suku pertama bernilai nol. Selanjutnya, dengan rumus trigonometri diperoleh π

π

1

1

π

∫ cos nx cos mxdx = 2 ∫ cos(n + m) xdx + 2 ∫ cos(n − m) xdx

−π

−π

π

1

−π

π

1

π

∫ sin nx cos mxdx = 2 ∫ sin(n + m) xdx + 2 ∫ sin(n − m) xdx

−π

−π

−π

Keempat suku di ruas kanan bernilai nol, kecuali suku kedua baris baris yang bernilai π, untuk n = m. π

Diperoleh,

∫ f ( x) cos mxdx = a π m

−π

Jadi, a n

=

1

π

∫

f ( x ) cos nxdx, π −π

n = 1,2,3,.... (terbukti).

Dengan cara serupa, dapat dibuktikan rumus untuk koefisien bn. Deret Fourier untuk fungsi f(x) berperiode p = 2L adalah f ( x ) = a 0

∞

+ ∑ (a n cos n =1

nπ nπ x + bn sin x) L L

Rumus Euler untuk koefisien-koefisien deret Fourier dari fungsi berperiode p = 2L adalah a0

an

bn

L

1

∫

=

f ( x ) dx 2 L − L

=

1

=

L

∫

L − L

1

L

∫

nπ xdx, L

n = 1, 2, 3,....

nπ xdx, L

n = 1, 2, 3,....

f ( x) cos

f ( x) sin

L − L

Pembuktiannya serupa dengan rumus Euler untuk fungsi berperiode 2π.


20

Contoh 4.1 : Diketahui fungsi f(x) periodik be rperiode 2π yang didefinisikan:

⎧− 1, jika − π < x ≤ 0 ⎩ 1, jika 0 < x ≤ π

f ( x ) = ⎨

a) Nyatakan f(x) tersebut dalam bentuk deret Fourier, b) Gunakan hasil pada no. a), untuk membuktikan bahwa 1−

1 3

1

1

π

5

7

4

+ − + −...... =

Jawab:

a) Bentuk umum deret Fourier: f ( x ) = a0 +

∞

∑ (a

n

cos nx + bn sin nx) .

n =1

Akan ditentukan koefisien-koefisie Fouriernya. a0

π ⎛ 0 ⎞ 1 ⎜ f ( x ) dx ( 1 ) dx dx = = − + ∫0 ⎠⎟⎟ = 2π (−π + π ) = 0 2π −∫π 2π ⎜⎝ −∫π π

1

1

Untuk n = 1, 2, 3, ... an

=

π

1

∫

f ( x ) cos nxdx =

π −π

1 ⎛ ⎜ 1

1 ⎛

⎞ ⎜⎜ ∫ (−1) cos nxdx + ∫ cos nxdx ⎟⎟ π ⎝ −π 0 ⎠ π

0

⎞ 1 = ⎜ − sin nx + sin nx ⎟⎟ = (0 + 0 ) = 0 . π ⎝ n n π −π 0 ⎠ π

1

π

1

∫

bn

=

=

1 ⎛ ⎜1

=

0

f ( x) sin nxdx =

π −π

π ⎜⎝ n 2 nπ

⎞ ⎜⎜ ∫ (−1) sin xdx + ∫ sin nxdx ⎟⎟ π ⎝ −π 0 ⎠ π

0

⎞ 1 − cos nx ⎟⎟ = (cos 0 − cos(−nπ ) − cos nπ + cos 0) n n π −π 0 ⎠

0

cos nx

1 ⎛

π

1

(1 − cos nπ ).

⎧− 1, jika n ganjil , sehingga diperoleh ⎩ 1, jika n genap

Perhatikan bahwa cos nπ = ⎨

b1

=

4 π

, b2

= 0,

b3

=

4 3π

, b4

= 0,

b5

=

4 5π

, .............

Jadi, deret Fouriernya 4 ⎛ 1 1 ⎞ f ( x ) = ⎜ sin x + sin 3 x + sin 5 x + ........⎟ . π ⎝ 3 5 ⎠


21

b) Bentuk fungsi dan deret Fouriernya, apabila dievaluasi pada titik x =

π 2

, diperoleh

π 4 ⎛ π 1 3π 1 5π f ( ) = ⎜ sin + sin + sin + ........ ⎞⎟ 2 π ⎝ 2 3 2 5 2 ⎠ 4 ⎛ 1 1 1 ⎜1 − + − π ⎝ 3 5 7

1= Jadi, 1 −

1 3

+ −........ ⎞⎟ . ⎠

1

1

π

5

7

4

+ − + −.... =

.

(terbukti)

Latihan 4:

1. Tentukan periode p terkecil dari fungsi f(x) = sin x cos x. 2. Buktikan rumus koeisien bn untuk deret Fourier berperiode 2π. 3. Tentukan bentuk deret Fourier dari fungsi periodik berperiode 2π berikut:

⎧− 1, jika − π < x ≤ 0 = f ( x ) ⎨ ⎩ 1, jika 0 < x ≤ π 4. Buktikan rumus koefisien a0 , an , dan bn untuk deret Fourier berperiode p = 2L. 5. Tentukan bentuk deret Fourier dari fungsi periodik berperiode p=2L=4 berikut:

⎧0, jika − 2 < x ≤ −1 ⎪ f ( x ) = ⎨ 1, jika − 1 < x ≤ 1 ⎪⎩ 0, jika 1 < x ≤ 2. D. PENUTUP Rangkuman:

Deret Fourier dari fungsi f(x) berperiode 2π adalah f ( x) = a0 +

∞

∑ (a

n

cos nx + bn sin nx)

n =1

Rumus Euler untuk koefisien Fourier fungsi beroeriode 2π adalah a0 an

π

1

∫

=

f ( x ) dx 2π −π

=

1

π

∫

f ( x) cos nxdx, π −π


n = 1, 2, 3,....

22

bn

=

π

1

∫

f ( x) sin nxdx, π −π

n = 1, 2, 3,....

Deret Fourier untuk fungsi f(x) berperiode p = 2L adalah

f ( x ) = a0 +

∞

∑

(an cos

n =1

nπ nπ x + bn sin x) L L

Rumus Euler untuk koefisien-koefisien deret Fourier fungsi berperiode p = 2L adalah

a0

=

1

L

1

L

f ( x)dx ∫ 2 L − L

an

bn

=

=

∫

f ( x) cos

L − L

1

L

∫

f ( x) sin

L − L

nπ xdx, L

nπ xdx, L

n = 1, 2, 3,....

n = 1, 2, 3,....

Tes Formatif 4:

Petunjuk: Berilah tanda silang (X) pada salah satu pilihan jawaban yang paling tepat. 1. Di antara fungsi-fungsi periodik berikut yang periodenya paling kecil adalah ..... A. f(x) = sin x, B. f(x) = cos 2x, C. f(x) = tan πx, D. f(x) = cos πx, E. f(x) = tan x. 2. Pernyataan-pernyataan berikut ini adalah benar, kecuali ...... A. Deret cosinus Fourier: f ( x) = a 0 +

∞

∑a

n

cos nx merupakan fungsi genap

n =1

B. Deret sinus Fourier: f ( x ) = a 0 C.

D.

E.

1

π

1

π

1

π

∞

+ ∑ bn sin nx

merupakan fungsi ganjil

n =1

∫

sin( n + m) xdx bernilai 0, karena sin(n+m)x fungsi ganjil 2 −π

∫

sin( n − m) xdx bernilai 0, karena sin (n-m)x fungsi ganjil 2 −π

∫

cos(n − m) xdx bernilai 0, karena cos(n-m)x fungsi genap. 2 −π


23

3. Bentuk deret Fourier dari fungsi periodik berperiode 2π yang didefinisikan f(x) = x, (- π < x < π) adalah ...... A. f ( x) =

1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ cos x − cos 3 x + cos 5 x − +........⎟ 2 ⎝ 3 5 ⎠

1 1 ⎛ ⎞ B. f ( x) = 2⎜ sin x + sin 3 x + sin 5 x + ........ ⎟ 3 5 ⎝ ⎠ 1 1 ⎛ ⎞ cos 3 x + cos 5 x + ........ ⎟ 3 5 ⎝ ⎠ 1 1 1 ⎛ ⎞ f ( x) = 2⎜ sin x − sin 2 x + sin 3 x − sin 4 x + −........ ⎟ 2 3 4 ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ f ( x) = ⎜ sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x + ........ ⎟ 2 ⎝ 2 3 4 ⎠

C. f ( x) = 4⎜ cos x − D. E.

4. Fungsi periodik berperiode 2π yang bentuk deret Fouriernya f ( x) =

2 1 1 ⎞ + ⎛ ⎜ cos x − cos 3 x + cos 5 x − +........⎟ 2 π ⎝ 3 5 ⎠

1

adalah ......

⎧0, jika − π < x < 0 A. f ( x) = ⎨ ⎩ 1, jika 0 < x < π π π ⎧ 1, jika − < x < ⎪ 2 2 B. f ( x) = ⎨ π ⎪0, jika − π < x < − atau π < x < π ⎩ 2 2 π π ⎧ , jika − 0 < x < ⎪ 2 2 C. f ( x) = ⎨ π ⎪0, jika − π < x < 0 atau < x < π ⎩ 2 ⎧ ⎪0, jika − π < x < 0 ⎪⎪ π D. f ( x) = ⎨ − 1, jika0 < x < 2 ⎪ π ⎪ 1, jika ≤ x < π ⎪⎩ 2

⎧− 1, jika 0 < x < π ⎪ 2 E. f ( x) = ⎨ π ⎪1, jika < x < 2π ⎩ 2


24

5. Bentuk deret Fourier dari fungsi periodik berperiode p = 2L = 2 yang didefinisikan

⎧− 1, jika − 1 < x < 0 ⎩ 1, jika 0 < x < 1

f ( x) = ⎨

adalah ...... A. f ( x) =

4 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ sin π x + sin 3π x + sin 5π x + ........⎟ π ⎝ 3 5 ⎠

B. f ( x) = 1 +

E.

+

1 3

sin

3π x 2

+

1 5

sin

5π x 2

+ ........ ⎞⎟ ⎠

⎛ cos π x − 1 cos 2π x + 1 cos 3π x − +........ ⎞ ⎜ ⎟ 3 π 2 ⎝ 4 9 ⎠ 4 ⎛ π x 1 3π x 1 5π x − sin + sin − +........ ⎞⎟ f ( x) = 1 + ⎜ sin π ⎝ 2 3 2 5 2 ⎠ 4 ⎛ 1 1 ⎞ f ( x) = ⎜ sin π x − sin 3π x + sin 5π x − +........⎟ π ⎝ 3 5 ⎠

C. f ( x) = D.

4 ⎛ π x ⎜ sin π ⎝ 2

2

+

4




× 100 %



25

BAB V PEMODELAN GELOMBANG SATU DIMENSI


1. Menjelaskan

pemodelan

gelombang

1-dimensi

dalam

bentuk

persamaan

diferensial parsial, 2. Menyelesaikan persamaan diferensial parsial yang merupakan model persamaan gelombang 1-dimensi, 3. Menjelaskan interpretasi solusi persamaan diferensial parsial.

Indikator:

1. Dapat menyatakan persamaan gelombang 1-dimensi beserta nilai awal dan syarat batasnya, 2. Dapat

menyebutkan langkah-langkah penyelesaian persamaan gelombang 1-

dimensi, 3. Dapat menyatakan solusi persamaan gelombang 1-dimensi dalam bentuk interpretasi geometris dan interpretasi fisis.

B. PENDAHULUAN Pada bab

ini akan dibahas pemodelan gelombang 1-dimensi dalam konteks

dawai/tali bergetar. Dari fenomena fisik tersebut, akan diperoleh persamaan gelomabnag 1-dimensi yang berupa persamaan diferensial parsial disertai dengan nilai awal dan syarat batas. Selanjutnya, persamaan gelombang 1-dimensi akan diselesaikan dengan metode pemisahan variabel dan juga menggunakan deret Fourier. Solusi persamaan diferensial parsial dilustrasikan secara geometris dalam bentuk grafik yang memuat variabel waktu dan defleksi.

Berdasarkan ilustrasi geometris, dapat dijelaskan interprestasi solusi

tersebut dalam kaitannya dengan fenomena fisiknya.


26

C. PENYAJIAN Kita akan menentukan suatu persamaan yang merupakan model dari getaran transveral dari suatu tali lentur, misalnya dawai (senar) biola. Tali dengan panjang L diikat di kedua ujungnya kemudian diberikan simpangan (defleksi) awal, seperti gambar berikut.

Gambar 1. Gelombang 1-dimensi Akan ditentukan defleksi u(x, t) di posisi x pada waktu t > 0. Untuk menyelesaikan permasahan ini, dikemukaka n asumsi fisik berikut: a) Tali homogen, sehingga mempunyai koefisien massa konstan, b) Gravitasi diabaikan, dalam arti tidak mempengaruhi gerakan tali, c) Gelombangnya transversal, yaitu setiap partikel pada tali hanya bergerak secara vertikal saja. Perhatikan gambar di atas, dan tinjau bagian tali PQ. Gaya arah horisontal: T1cos α = T2 cos β = T = konstan.

(5.1)

Gaya arah vertikal: T2sin β - T1sin α = ρ Δ x dengan ρ koefisien massa.

∂ 2u ∂t 2

(5.2)

Dari persamaan 5.1 dan 5.2, diperoleh T 2 sin β T 2 cos β

−

T 1 sin α T 1 cos α

= tan β − tan α =

ρ Δ x T

∂ 2u ∂t 2

Perhatikan bahwa tan α dan tan β merupakan slope (kemiringan), yaitu


27

tan α =

∂u ∂u dan tan β = ∂ x x ∂x x + Δ x

Diperoleh

⎛ ∂u ∂u ⎞ ρ ∂ 2u ⎜ ⎟= − Δ x ⎜⎝ ∂ x x + Δ x ∂ x x ⎠⎟ T ∂t 2 1

Untuk Δx → 0, diperoleh persamaan gelombang 1-dimensi

∂ 2 u 2 ∂ 2u = c 2 dimana ∂t 2 ∂ x

c

2

=

T

ρ

> 0.

Dengan memperhatikan bahwa kedua ujung diikat sehingga tidak bergerak, diperoleh syarat batas: u(0, t) = 0;

u(L, t) = 0, untuk setiap t >0.

Sedangkan dengan meninjau defleksi/simpangan awal dan kecepatan awal, dirumuskan syarat/nilai awal: u(x, 0) = f(x)

(defleksi awal)

∂u = g ( x) ∂t t =0

(kecepatan awal).

Penyelesaian dari persamaan gelombang 1-dimensi dilakukan dalam beberapa tahap, sebagai berikut. Langkah I: (Pemisahan Variabel) Misalkan u(x, t) = F(x) G(t). Dengan langkah-langkah pada metode pemisahan variabel diperoleh 2 persamaan diferensial biasa: F ‘’ – kF = 0 …..

(i)

&& − c kG = 0 G

(ii)

2

…..

Langkah II: (Syarat Batas) Jika G ≡ 0, u ≡ 0. (tidak mungkin) Jika G ≠ 0, maka F(0) = 0


dan

F(L) = 0

…. (*)

28

- Untuk k = 0, diperoleh solusi (i) yang memenuhi adalah F = 0. (tidak mungkin) - Untuk k > 0, mis. k = μ , solusi (i) yang memenuhi (*) adalah F = 0. (tidak mungkin) 2

- Untuk k < 0, mis. k = F n ( x ) = sin

μ2, diperoleh solusi (i) yang memenuhi (*) adalah nπ L

(n = 1, 2, 3, ...)

x,

Solusi umum (ii) adalah Gn(t) = Bncos λnt + Bn*sin λnt, dimana λn = cnπ/L. Fungsi-fungsi yang merupakan solusi persamaan gelombang 1-D adalah un(x, t) = (Bncos λnt + Bn*sin λnt) sin(nπ/L).

Langkah III: (Syarat Awal) Dari langkah II dan menggunakan sifat linieritas (kombinasi linier), diperoleh solusi pers. gelombang 1-dimensi berbentuk deret Fourier ∞

∑ u ( x, t )

u ( x, t ) =

n

n =1

∞

= ∑ ( Bn cos λ n t + Bn * sin λ nt ) sin n =1

nπ x L

Syarat awal u(x, 0) = f(x), menghasilkan

Bn

=

Syarat awal menghasilkan

Bn

*

=

2 L

L

∫

f ( x) sin

0

nπ L

xdx

∂u = g ( x) ∂t t =0 L

2

∫

g ( x ) sin

cnπ 0

nπ L

xdx

Untuk v0 = 0, diperoleh solusi persamaan gelombang 1-dimensi:

u ( x, t ) =

f (v) = *

1

( f ( x − ct ) + f ( x + ct ) ) *

2

∞

∑

Bn sin

n =1 Persamaan Diferensial Parsial

*

nπ L

v 29

dimana

Contoh 5.1 : Tentukan defleksi u(x, t) dari gelombang 1-D, dengan panjang tali L = π dan T/ρ = c = 2

1, dimana defleksi awal: L ⎧ 2 ≤ ≤ x , jika 0 x , ⎪ L 2 f ( x ) = ⎨ ⎪ 2 ( L − x), jika L < x ≤ L. ⎩ L 2

dan kecepatan awal 0. Jawab:

Ilustrasinya pada t = 0 sebagai berikut

Gambar 2. Defleksi gelombang 1-dimensi pada t = 0. Bentuk solusi persamaan gelombang 1-dimensi dengan kecepatan awal 0 adalah

u ( x, t ) =

∞

∑

Bn cos λ nt sin

n =1

nπ x, denganλ n L

=

cnπ L

.

∞

∑ B cos nt sin nx. Syarat awal u(x, 0) = f(x) menghasilkan f ( x ) = ∑ B sin nx. Karena L = π dan T/ρ = c = 1, diperoleh u ( x, t ) = 2

∞

Dengan rumus koefisien Fourier, diperoleh

Bn

=

2

n

n =1 n n =1

π

f ( x ) sin nxdx. ∫ π 0

⎛ π 2 ⎞ π ⎜ ⎟ 4 = 2 ⎜ ∫ x sin nxdx + ∫ (π − x) sin nxdx ⎟. π ⎜ 0 π ⎟ 2 ⎝ ⎠ Persamaan Diferensial Parsial

30

Dengan pengintegralan parsial, dihasilkan

Bn

8

=

n 2π 2

nπ

sin

2

.

Untuk n genap, Bn = 0.

Untuk n ganjil, B1

=

8 π

2

, B3

=−

8 2

3 π

2

, B5

=

8 2

5 π

2

,....

Jadi solusinya,

u( x, t ) =

8

1 1 (sin cos sin 3 cos 3 sin 5 x cos5t + ....) − + x t x t 32 52 π 2

Contoh 5.2 :

∂ 2u 2 ∂ 2u =c 2 , ∂t 2 ∂ x

Diketahui persamaan gelombang satu dimensi 2

koefisien c =

T

ρ

dengan panjang tali L = π,

= 1, kecepatam awal g(x) = -0,2 sin x dan defleksi awal f(x) = 0,1 sin x.

Buktikan bahwa solusinya adalah u(x, t) = 0,1 sin x (cos t – 2 sin t). Jawab : ∞

Bentuk solusinya u(x, t) =

∑ ( B

cos λ n t + Bn sin λ n t ) sin *

n

n =1

∞

∑ ( B

=

nπ L

x

cos nt + Bn sin nt ) sin nx . *

n

n =1

Perhatikan Bn = =

2

2 L

L

nπ x

∫ f ( x) sin L

dx =

0

π

0,1

2

π

∫ f ( x) sin nxdx

π 0

π

∫ 0,1sin x sin nxdx = π ∫ (cos(1 − n) x − cos(1 + n) x)dx .

π 0

Untuk n = 1, Bn =

0

0,1 π

π

π

∫

1 − cos 2 x) dx

0

=

0,1 ⎡ 1 ⎤ x sin 2 x − ⎥⎦ π ⎢⎣ 2 0

=

0,1 π

(π − 0) = 0,1.

Untuk n ≠ 1, Bn = 0.


31

Selanjutnya Bn = =−

Untuk n = 1,

* Bn =

L

2

*

nπ x

∫ g ( x) sin L

cnπ 0

2

dx =

π

2

∫ g ( x) sin nxdx

nπ 0

0,2

π

∫ 0,2 sin x sin nxdx = − π ∫ (cos(1 − n) x − cos(1 + n) x)dx .

nπ 0

−

π

0

π

π

0,2 ⎡ 1 ⎤ 1 − cos 2 x )dx = − x sin 2 x − ⎥⎦ π 0 π ⎢⎣ 2 0

0,2

∫

=−

0,2 π

(π − 0)

= -0,2. Untuk n ≠ 1, Bn = 0. *

Jadi solusinya : u(x, t) = (0,1 cos t – 0,2 sin t) sin x = 0,1 sin x (cos t – 2 sin t). (terbukti)

Latihan 5:

1. Tentukan defleksi u(x, t) dari gelombang 1-D, dengan panjang tali L = π dan T/ρ 2

= c = 1, dimana defleksi awal f(x) = sin x dan kecepatan awal g(x) = 0. 2. Tentukan defleksi u(x, t) dari gelombang 1-D, dengan panjang tali L = π dan T/ρ 2

= c = 1, dimana defleksi awal f(x) = sin 3x dan kecepatan awal g(x) = 0. 3. Tentukan defleksi u(x, t) dari gelombang 1-D, dengan panjang tali L = π dan T/ρ = c = 1, dimana defleksi awal f(x) = πx – x dan kecepatan awal g(x) = 0. 2

2

4. Tentukan defleksi u(x, t) dari gelombang 1-D, dengan panjang tali L = π dan T/ρ 2

= c = 1, dimana defleksi awal f(x) = 0 dan kecepatan awal g(x) = 0.1 sin 2x. 5. Tentukan defleksi u(x, t) dari gelombang 1-D, dengan panjang tali L = π dan T/ρ 2

= c = 1, dimana defleksi awal f(x) = 0.1 sin x dan kecepatan awal g(x) = -0.2 sin x.

D. PENUTUP Rangkuman

Pemodelan gelombang 1-dimensi dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial parsial

∂ 2 u 2 ∂ 2u = c 2 dimana ∂t 2 ∂ x dimana c 2

=

T

ρ

> 0,

c2

=

T

ρ

> 0.

dengan T = gaya tegangan tali dan ρ = koefisien massa.


32

Syarat batas: u(0, t) = 0;

u(L, t) = 0, untuk setiap t >0.

Syarat/nilai awal: u(x, 0) = f(x)

(defleksi awal)

∂u = g ( x) ∂t t =0

(kecepatan awal).

Solusi persamaan gelombang 1-dimensi adalah

u ( x, t ) =

∑

u n ( x, t ) =

n=1

dimana

Bn dan

∞

Bn

= *

2 L

=

L

∫ 0

f ( x ) sin

2

L

∫

cnπ 0

∞

∑

( Bn cos λ nt + Bn sin λ nt ) sin

n =1

nπ L

g ( x) sin

*

nπ L

x

xdx

nπ L

xdx.

Tes Formatif 5:

Petunjuk: Berilah tanda silang (X) pada salah satu pilihan jawaban yang paling tepat. 1. Pemodelan persamaan gelombang 1-dimensi menggunakan asumsi-asumsi fisik berikut, kecuali ..... A. Tali homogen, B. Gravitasi tidak mempengaruhi gerakan, C. Gelombannya transversal, D. Massa tali nol, E. Tali tidak bergerak arah horisontal. 2. Langkah-langkah penyelesaian persamaan gelombang 1-dimensi mencakup beberapa tahap, yaitu: (i) Metode pemisahan variabel (ii) Penggunaan syarat awal (iii) Penggunaan syarat batas (iv) Penggunaan deret Fourier Urutan langkah-langkah yang benar adalah ....


33

A. (i), (ii), (iii), (iv) B. (i), (iii), (ii), (iv) C. (i), (iv), (ii), (iii) D. (ii), (iii), (i), (iv) E. (ii), (iii), (iv), (i) 3. Solusi persamaan gelombang 1-dimensi, dimana panjang tali L = π dan T/ρ = c = 2

1, dengan defleksi awal f(x) = sin x – sin 2x dan kecepatan awal g(x) = 0 adalah ….. A. u(x, t) = cos t sin x B. u(x, t) = cos t sin x + cos 2t sin 2x C. u(x, t) = cos t sin x – cos 2t sin 2x D. u(x, t) = cos t sin x + cos 2t sin 2x + sin 3t cos 3x E. u(x, t) = cos t sin x - cos 2t sin 2x - sin 3t cos 3x 4. Persamaan gelombang 1-dimensi, dimana panjang tali L = π dan T/ρ = c = 1, 2

dengan defleksi awal f(x) = - 0,1 sin 3x dan kecepatan awal g(x) = 0 mempunyai solusi u(x, t) = - 0,1 cos 3t sin 3x. Pada partikel dengan posisi x =

π/6,

mempunyai amplitudo ..... A. 0,1 B. 0,05 C. 0 D. - 0,05 E. - 0,1 5. Permasalahan pada soal no. 4, mempunyai periode .... A. 3π B. 2π C. 3π/2 D.

π

E. 2π/3


34




× 100 %



35

BAB VI METODE TRANSFORMASI VARIABEL


1. Menjelaskan pengertian transformasi variabel, 2. Menjelaskan langkah-langkah metode transformasi variabel, 3. Menggunakan metode transformasi variabel untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial.

Indikator:

1. Dapat menuliskan contoh transformasi variabel, 2. Dapat menyebutkan langkah-langkah metode transformasi variabel, 3. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode transformasi variabel.

B. PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai cara penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode transformasi variabel. Sebagaimana halnya bentuk transformasi pada umumnya, pada penyajian dikemukakan langkah-langkah penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode transformasi vaiabel. Selanjutnya, disajikan ilustrasi dan contoh dengan rumus bentuk transformasi yang sudah diketahui. Pada akhirnya, dikemukakan bagaimana rumus-rumus bentuk transformasi dapat diperoleh, dengan mengidentifikasi jenis-jenis bentuk baku persamaan diferensial parsial orde-2.

C. PENYAJIAN Transformasi variabel pada persamaan diferensial parsial adalah menyatakan variabel-variabel bebasnya dengan variabel lain, yang diharapkan dapat memperoleh bentuk persamaan diferensial parsial yang lebih sederhana dalam variabel yang baru. Misalkan persamaan diferensial parsial dengan fungsi u terhadap variabel bebas x dan y. Langkah-langkah penyelesaian dengan metode transformasi sebagai berikut. (1) Nyatakan variabel bebas x dan y dengan variabel baru v dan z.


36

(2) Dengan menggunakan aturan rantai turunan, ubah turunan-turunan parsial terhadap variabel lama yang muncul pada suku-suku persamaan diferensial parsial ke dalam turunan-turunan terhadap variabel baru. (3) Substitusikan bentuk-bentuk turunan parsial terhadap variabel baru v dan z, sehinga diperoleh persamaan diferensial parsial baru yang diharapkan bentuknya lebih sederhana. (4) Selesaikan persamaan diferensial parsial yang baru, sehingga diperoleh solusi dalam variabel v dan z. (5) Nyatakan kembali v dan z ke dalam variabel lama x dan y, sehingga diperoleh solusi persamaan difrensial yang dimaksud. Berikut ini dikemukakan contoh

penggunaan metode transformasi variabel pada

penyelesaian persamaan diferensial parsial, dimana rumus transformasi variabelnya sudah diberikan. Contoh 6.1: Selesaikan persamaan diferensial parsial uxx + 2uxy + uyy = 0., (v = x, z = -x + y) Jawab:

Perhatikan bahwa, dengan bentuk transformasi variabel v = x, z = -x + y, maka vx = 1, vy = 0, dan zx = -1, zy = 1. Dengan aturan rantai diperoleh ux = uv - uz uxx = uvv - 2uvz + uzz uxy = - uvz - uzz uyy = uzz Substitusikan ke persamaan diferensial parsial, diperoleh (uvv - 2uvz + uzz) + 2(- uvz - uzz) + uzz = 0 uvv = 0. Maka uv = f(z), sehingga u = vf(z) + g(z). Jadi solusi umumnya: u(x, y) = xf(-x+y) + g(-x + y). Selanjutnya, untuk menentukan bentuk rumus transformasi variabel, kita tinjau bentuk umum persamaan diferensial parsial linier orde dua: Auxx + Buxy + Cuyy = F(x, y, u, ux, uy).


(*)

37

2

Persamaan bantunya Ar + Br + C = 0, dimana r = y’(x) 2

Berdasarkan diskriminan D = B – 4AC, persamaan diferensial (*) dibedakan 3 bentuk baku, yaitu: 2

- Hiperbolik, jika B – 4AC > 0, 2

- Parabolik, jika B – 4AC = 0, 2

- Elliptik, B – 4AC < 0. Berikut ini adalah teorema yang berkaitan dengan penentuan bentuk rumus transformasi variabel, dimana buktinya diberikan sebagai latihan. Teorema 6.1: (1) Persamaan diferensial parsial (*) jenis hiperbolik dapat diubah ke persamaan diferensial parsial berbentuk uvz = F*(uv, uz, u, v, z) dengan rumus transformasi variabel v = r 1x + y,

z = r 2x + y,

dimana r 1 dan r 2 akar-akar persamaan bantu. (2) Persamaan diferensial parsial (*) jenis paraboli dapat diubah ke persamaan diferensial parsial berbentuk uvv = F*(uv, uz, u, v, z) dengan rumus transformasi variabel v = x, z = rx + y, dimana r akar kembar persamaan bantu.

Contoh 6. 2: Tentukan solusi umum persamaan diferensial uxx + uxy – 2uyy = 0. Jawab: 2

Persamaan bantunya r + r – 2 = 0, mempunyai akar-akar r 1 = 1 dan r 2 = -2. Maka persamaan diferensial parsialnya termasuk tipe hiperbolik. Rumus transformasi variabelnya: v = x + y,

z = -2x + y.

Perhatikan bahwa, dengan bentuk transformasi variabel v = x + y, z = -2x + y, maka vx = 1, vy = 1, dan zx = -2, zy = 1. Dengan aturan rantai, dan mengasumsikan uvz = uzv, diperoleh ux = uv - 2uz uxx = uvv - 4uvz - 2uzz uxy = uvv + uvz – 2uzv + 4uzz.


38

uy = uv + vz uyy = uvv + uvz + uzz Substitusikan ke persamaan diferensial parsial, diperoleh (uvv - 4uvz – 2uzz) + (uvv + uvz – 2uzv + 4uzz) - 2(uvv + uvz + uzz) = 0 uvz = 0. Maka uv = h(v), sehingga u = f(v) + g(z), dimana f(v) = ∫h(v)dv. Jadi solusi umumnya: u(x, y) = (x+y) + g(-2x + y).

Latihan 6:

1. Selesaikan persamaan diferensial uxy – uyy = 0, (v = x, z = x + y). 2. Selesaikan persamaan diferensial uxx - uxy - 2uy = 0, (v = x - y, z = 2x + y). 3. Buktikan teorema 6.1. 4. Selesaikan persamaan diferensial uxx – 2uxy + uyy = 0 dengan terlebih dahulu menentukan rumus transformasi variabelnya. 5. Selesaikan persamaan diferensial uxx + 4uxy + 3uyy = 0 dengan terlebih dahulu menentukan rumus transformasi variabelnya.

D. PENUTUP Rangkuman

Langkah-langkah penyelesaian dengan metode transformasi sebagai berikut. (1) Nyatakan variabel bebas x dan y dengan variabel baru v dan z. (2) Dengan menggunakan aturan rantai turunan, ubah turunan-turunan parsial terhadap variabel lama yang muncul pada suku-suku persamaan diferensial parsial ke dalam turunan-turunan terhadap variabel baru. (3) Substitusikan bentuk-bentuk turunan parsial terhadap variabel baru v dan z, sehinga diperoleh persamaan diferensial parsial baru yang diharapkan bentuknya lebih sederhana. (4) Selesaikan persamaan diferensial parsial yang baru, sehingga diperoleh solusi dalam variabel v dan z. (5) Nyatakan kembali v dan z ke dalam variabel lama x dan y, sehingga diperoleh solusi persamaan difrensial yang dimaksud.


39

Bentuk umum persamaan diferensial parsial linier orde dua: Auxx + Buxy + Cuyy = F(x, y, u, ux, uy).

(*)

2

Persamaan bantunya Ar + Br + C = 0, dimana r = y’(x) 2

Berdasarkan diskriminan D = B – 4AC, persamaan diferensial (*) dibedakan 3 bentuk baku, yaitu: 2

- Hiperbolik, jika B – 4AC > 0, 2

- Parabolik, jika B – 4AC = 0, 2

- Elliptik, B – 4AC < 0. Dengan transformasi variabel, persamaan diferensial parsial hiperbolik dapat diubah ke bentuk uvz = F*(uv, u z, u, v, z), dan persamaan diferensial parsial parabolik dapat diubah ke bentuk uvv = F*(uv, uz, u, v, z) atau uzz = F*(uv, uz, u, v, z).

Tes Formatif 6:

1. Persamaan-persamaan diferensial parsial berikut yang termasuk jenis parabolik adalah ..... A. uxx + uxy - 2uyy = 0 B. uxx - 2uxy + uyy = 0 C. uxx – 4uxy + 3uyy = 0 D. uxy – uyy = 0 E. uxx + 2uxy - uyy = 0 2. Persamaan diferensial parsial xuxy = yuyy+ uy, dengan menggunakan transformasi variabel v = x, z = xy akan diperoleh solusi ...... A. u = f(x) + g(xy) B. u = x f(x) + g(xy) C. u = f(x) + y g(xy) D. u = x f(x) + y g(xy) E. u = y f(x) + x g(xy) 3. Solusi umum dari persamaan diferensial parsial uxx + 2uxy + uyy = 0, (v = x, z = x – y) adalah ...... A. u = f(x) + g(x-y)


40

B. u = x f(x) + g(x-y) C. u = f(x) + y g(x-y) D. u = f(x) + (x-y) g(x) E. u = x f(x-y) + g(x–y). 4. Solusi umum persamaan diferensial parsial uxx + 4uxy + 3uyy = 0 adalah ...... A. u = f(x) + g(xy) B. u = f(x) + g(x-y) C. u = f(x + y) + g(3x + y) D. u = f(x – y) + g(x – 3y) E. u = f(x - y) + g(3x – y) 5. Penyelesaian umum persamaan diferensial parsial 2uxx + 5uxy + 2uyy = 0 adalah ...... A. u = f(y) + f(x + y) B. u = y f(x+y) + g(x+y) C. u = f(x+y) + g(2y-x) D. u = f(2x – y) + g(2y – x) E. u = f(2x – y) + g(2x + y)




× 100 %



41

BAB VII METODE TRANSFORMASI LAPLACE


1. Menjelaskan pengertian transformasi Laplace, 2. Menjelaskan langkah-langkah metode transformasi Laplace, 3. Menggunakan metode transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial.

Indikator:

1. Dapat menuliskan definisi transformasi Laplace, 2. Dapat menyebutkan langkah-langkah metode transformasi Laplace, 3. Dapat menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode transformasi Laplace.

B. PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai cara penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode transformasi Laplace. Terlebih dahulu akan dijelaskan pengertian transformasi Laplace serta teorema-teorema yang berkaitan dengan transfomasi Laplace. Metode transformasi Laplace juga dikenal pada penyelesaian persamaan diferensial biasa, oleh karena itu langkah-langkahnya serupa dengan pada persamaan diferensial biasa. Perbedaannya adalah bahwa pada persamaan diferensial parsial, yang melibat fungsi multivariabel, transformasi Laplace diterapkan terhadap salah satu variabel bebasnya

C. PENYAJIAN Misalkan f(t) fungsi yang terdefinisikan untuk setiap t ≥ 0. Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai ∞

L (f)

∫

= F(s) = e − st f (t ) dt . 0

Contoh 7.1 : Misalkan f(t) = 1,

∀ t ≥ 0.

Maka transformasi dari f adalah


42

∞

L (f)

=

∫e

T

T

− st

∫

f (t )dt = lim e T → ∞

0

⎛ 1 − sT + 1 e0 ⎞ ⎡ 1 − st ⎤ dt = lim ⎢− e ⎥ = lim ⎜ − e ⎟ T → ∞ s ⎠ ⎣ s ⎦ 0 T →∞⎝ s

− st

0

1 ⎛ 1 ⎞ = lim ⎜ − e − sT ⎟ + lim . T → ∞ ⎝ s ⎠ T →0 s 1 Untuk s > 0, diperoleh L(f) = . s 1 Jadi L (f) = , dimana s > 0. s Teorema 7.1 : Sifat Linearitas Untuk setiap fungsi f(t), g(t) dan konstanta a dan b, berlaku : L (af(t)

+ bg(t)) = aL (f) + bL (g).

Buktikan ! Teorema 7.2 : Sifat Turunan Misalkan f(t) fungsi kontinu untuk setiap t > 0 dan

|f(t)| < Meγt, untuk suatu konstanta γ dan M. Maka L (f

′(t)) = sL (f) - f(0), dimana s > γ.

Bukti : ∞

L (f

′) =

∫e

− st

f ' (t ) dt .

0

Dengan pengintegralan parsial, diperoleh L (f

′) =

[e

∞

]

− st

f (t ) 0

∞

+ s ∫ e − st f (t )dt . 0

Untuk s > γ, − st lim e f (t ) t → ∞

≤

− st γ t lim e Me t → ∞

( γ − s ) t lim Me

=

t → ∞

=0

sehingga L (f

′) = sL(f) - f(0).

(terbukti)

Sebagai akibat dari terorema di atas dapat diperoleh L (f

′′)

= sL (f ′) – f ′(0) = s[sL (f) - f(0)] - f ′(0)

L (f

′′)

= s L (f) – s f(0) - f ′(0). 2

Dan dengan cara serupa diperoleh L (f ′′′) = s L(f) – s f(0) - s f ′(0) – f ′′(0). 3


2

43

2

Contoh 7.2 : Misalkan f(t) = t . Tentukan L (f). Penyelesaian :

Perhatikan f(0) = 0, f ′(0) = 0, f ′′(t) = 2. Sehingga L (f ′′) = L(2) = 2 L (1) =

2 s

.

Selanjutnya karena L (f ′′) = s L(f) – s f(0) - f ′(0) maka 2

s L (f) – s f(0) - f ′(0) = 2

2

s L (f) = Jadi L (f) =

2 s

3

2 s

2 s

.

.

Berikut ini dikemukakan tabel beberapa rumus umum dan hasil transformasi Laplace dari beberapa fungsi : Tabel 7.1. Rumus-rumus pada Transformasi Laplace No.

Nama Rumus

Bentuk Rumus

1.

Transformasi turunan

2.

Transformasi integral

3.

Pergeseran variabel s

L [e

4.

Pergeseran variabel t

L[f(t-a)u(t-a)] = e F(s)

5.

Turunan transformasi

L [tf(t)]

6.

Integral transformasi

⎛ f (t ) ⎞ = L⎜ ⎟ ∫ F (υ )d υ t ⎝ ⎠ s

7.

Rumus Konvolusi

′) = sL (f) - f(0) 2 L (f ′′) = s L (f) – s f(0) - f ′(0) 3 2 L (f ′′′) = s L (f) – s f(0) - s f ′(0) – f ′′(0). ⎛ t ⎞ 1 L ⎜ ∫ f (τ )d τ ⎟ = L (f) ⎜ ⎟ s ⎝ 0 ⎠ L (f

at

f(t)] = F(s-a) -as

= - F ′(s) ∞

t

(f * g)(t) =

∫ f (τ ) g (t − τ )d τ 0

t

(f * g)(t) =

∫ f (t − τ ) g (τ )d τ 0

L (f*g)


= L (f)L (g).

44

Tabel 7.2. Bentuk-bentuk Fungsi pada Transformasi Laplace No.

f(t)

1.

1

2.

t

3.

t

L (f)

No.

f(t)

6.

e

2

7.

cos wt

3

8.

sin wt

1 s 1 s 2!

2

s n!

n

4.

t

5.

T (a > 0)

a

s

9.

cosh at

a +1

10.

sinh at

Ket . : Γ adalah fungsi gamma, yaitu Γ(x) =

∫e

1

at

n 1

s + Γ(a + 1)

L (f)

s − a s s

2

s

2

+ w2 w

+ w2 s

s

2

− a2 a

s

2

− a2

− t x −1

t dt .

Berikut akan diuraikan penyelesaian persamaan diferensial parsial

dengan metode

transformasi laplace. Misalkan persamaan diferensial parsial dalam bentuk L(u(x, t)) = k(x, t), dengan syarat-syarat awal yang diberikan.

Untuk menyelesaikannya dengan menggunakan

transformasi Laplace dapat dilakukan dengan langkah-langkah umum sebagai berikut : (1) Dengan transformasi Laplace di kedua ruas terhadap variable t, persamaan diferensial parsial dapat dinyatakan dalam variabel U(x, s) = L (u(x, t)) dan K(x, s) = L (k(x, t)), sehingga diperoleh persamaan diferensial parsial baru L*(U(x, s)) = K(x, s).

(*)

(2) Selesaikan persamaan diferensial parsial (*) , sehingga diperoleh solusi U(x, s) (3) Terapkan invers transformasi Laplace, sehingga diperoleh solusi persamaan diferensial parsial u(x, t) = L -1 (U(x, s)) yang dapat dilakukan dengan melihat tabel transformasi Laplace.

Contoh 7.3 : Selesaikan persamaan diferensial parsial

∂w ∂w + x = 0 , ∂ x ∂t yang memenuhi nilai awal w(x, 0) = 0 dan syarat batas w(0, t) = t, dimana t ≥ 0.


45

Jawab :

Pada kedua ruas diterapkan transformasi Laplace terhadap variabel t, diperoleh

⎛ ∂w + x ∂w ⎞ = L(0) ⎟ ∂t ⎠ ⎝ ∂ x

L⎜

⎛ ∂w ⎞ + xL⎛ ∂w ⎞ = 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂t ⎠

L⎜

Pada suku pertama, transformasi Laplace terhadap variabel t dan turunan terhadap variabel x dapat ditukarkan urutannya, yaitu ∞ ⎞ ∂w ⎞ ∞ − st ∂w ∂ ⎛ ⎛ ⎜⎜ ∫ e − st w( x, t )dt ⎟⎟ = ∂ L( w( x, t )) . L⎜ dt = ⎟ = ∫e ∂ x ∂ x ⎝ 0 ⎝ ∂ x ⎠ 0 ⎠ ∂ x

Pada suku kedua, digunakan sifat turunan dan syarat awal w(x, 0) = 0, diperoleh

⎛ ∂w ⎞ = x(sL( w( x, t ) − w( x,0) ) = xsL( w( x, t )) ⎟ ⎝ ∂t ⎠

xL⎜

Selanjutnya, dengan menyatakan L (w(x, t)) = W(x, s) dihasilkan persamaan diferensial sederhana

∂W + xsW = 0 . ∂ x Dengan menggunakan metode pada persamaan diferensial biasa, diperoleh solusi umum W ( x, s ) = C ( s )e

−

sx

2

2

.

Syarat batas w(0, t) = t, dengan transforasi Laplace L (t) = sehingga C(s) =

1 s

W ( x, s ) =

s

2

, menjadi W(0, s) =

1 s

2

,

. Jadi diperoleh solusi dalam variabel x dan s, yaitu

2

1 s

1

2

e

−

sx

2

2

.

Perhatikan tabel bentuk fungsi pada invers transformasi Laplace L

-1

⎛ 1 ⎞ = t. ⎜ 2⎟ ⎝ s ⎠

Dengan menggunakan rumus pergeseran variabel t pada invers transformasi Laplace, yaitu L [e F(s)] = f(t-a)u(t-a), dimana a = -1

-as


x

2

2

, diperoleh

46

⎛ x 2 ⎞ 1 ⎟⎟u (t − x 2 ) , dimana u adalah fungsi tangga satuan. w(x, t) = ⎜⎜ t − 2 ⎝ 2 ⎠ Jadi, solusi persamaan diferensialnya dalah 2 ⎧ x ⎪⎪ 0, jika t < 2 w( x, s ) = ⎨ 2 ⎪t − 1 x 2 , jika t > x ⎪⎩ 2 2

.

Latihan 7: 2

1. Tentukan L (f) terhadap variabel t dari fungsi f(x, t) = sin x cos t. 2. Tentukan L -1(F) terhadap variabel s dari fungsi F(x, s) =

x s

2

−s

.

3. Selesaikan persamaan diferensial parsial

∂u ∂u + 2 x = 2 x, dimana u ( x,0) = 1, u (0, t ) = t ∂ x ∂t dengan menggunakan transformasi Laplace 4. Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial x

∂u ∂u − = xt , dimana u ( x,0) = 0, untuk x ≥ 0, dan u (0, t ) = t , untuk t ≥ 0 . ∂ x ∂t

5. Carilah penyelesaian persamaan gelombang

∂2w 2 ∂2w =c , dimana ∂t 2 ∂ x 2

c

2

=

T

ρ

, dan

x > 0, t > 0 yang memenuhi syarat batas

⎧sin t , jika 0 ≤ t ≤ 2π w(0, t ) = f (t ) = ⎨ ⎩ 0, untuk t yang lain lim w( x, t ) = 0, t ≥ 0

x → ∞

dan syarat awal w(x, 0) = 0 dan


∂w = 0. ∂t t =0

47

D. PENUTUP Rangkuman ∞

∫

− st

Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai L (f) = F(s) = e f (t ) dt . 0

Penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan metode transformasi Laplace dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : (1) Dengan transformasi Laplace di kedua ruas terhadap variable t, persamaan diferensial parsial dapat dinyatakan dalam variabel U(x, s) = L (u(x, t)) dan K(x, s) = L (k(x, t)), sehingga diperoleh persamaan diferensial parsial baru L*(U(x, s)) = K(x, s).

(*)

(2) Selesaikan persamaan diferensial parsial (*) , sehingga diperoleh solusi U(x, s) (3) Terapkan invers transformasi Laplace, sehingga diperoleh solusi persamaan diferensial parsial u(x, t) = L -1 (U(x, s)) yang dapat dilakukan dengan melihat tabel transformasi Laplace.

Tes Formatif 7:

1. Pernyataan-pernyataan berikut yang berkaitan dengan transformasi Laplace L terhadap variabel t adalah benar, kecuali ..... A. L (0) = 0 B. L (f + g) = L (f) + L (g) C. L (fg) = L (f)L (g) D. L (xf) = xL (f)

⎛ ∂ f ⎞ = ∂ ( L( f ) ) ⎟ ⎝ ∂ x ⎠ ∂ x

E. L⎜

2

2. Transformasi laplace L (f) dari fungsi f(x, t) = x sin t adalah A. F ( x, s ) = B. F ( x, s ) = C. F ( x, s ) =

1 s

−

s s

2

+4

x ⎛ 1

s ⎞ ⎜ − 2 ⎟ 2 ⎝ s s +4 ⎠

1 ⎛ 1

s ⎞ ⎜ + 2 ⎟ 2 ⎝ s s +4 ⎠


48

D. F ( x, s ) =

s ⎞ ⎜ + 2 ⎟ x ⎝ s s +4 ⎠

E. F ( x, s ) =

2 ⎛ 1

1 s

+

s s

2

+4

3. Transformasi Laplace invers L -1(F) dari fungsi F(x, s) =

x s

2

+ sx

adalah

A. f ( x, t ) = 1 − e − xt B. f ( x, t ) = 1 + e

xt

C. f ( x, t ) = 1 + e − xt D. f ( x, t ) = x + e

− t

E. f ( x, t ) = x − e xt . 4. Dengan menggunakan metode transformasi Laplace, dapat diperoleh solusi persamaan diferensial parsial x

∂u ∂u + = xt , dimana u ( x,0) = 0, untuk x ≥ 0, dan u (0, t ) = t , untuk t ≥ 0 ∂ x ∂t

adalah ...... A. u(x, t) = xt + x + xe B. u(x, t) = xt + x - xe

-t

-t

-t

C. u(x, t) = xt – x - xe

-t

D. u(x, t) = xt – x + xe

E. u(x, t) = - xt + x - xe

-t

5. Penyelesaian persamaan diferensial parsial

∂u ∂u − x = 0, dimana u ( x,0) = 1, u (0, t ) = t , ∂ x ∂t

x

> 0, t > 0

dengan menggunakan transformasi Laplace, adalah .... A. u(x, t) = 0 B. u(x, t) = t C. u(x, t) = ½ x

2

D. u(x, t) = t – ½ x

2

E. u(x, t) = t + ½ x

2


49




× 100 %



50

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

Kunci Jawaban Tes Formatif 1

1. B 2. E 3. D 4. A 5. C


1. D 2. C 3. E 4. B 5. A


1. E 2. C 3. B 4. A 5. D


1. C 2. E 3. D 4. B 5. A


51


1. D 2. B 3. C 4. A 5. E


1. B 2. A 3. E 4. C 5. D


1. C 2. B 3. A 4. D 5. E


52

Function: pdesolve - solve partial differential equations Calling Sequence: pdesolve(deqns, vars)

Parameters: partial differential equation in vars - variable to be solved

deqns vars

Description: • pdesolve gives closed-form solutions to many partial differential equations. • Arbitrary functions appear as _F1, _F2, etc. • Information about the methods of solution can be obtained using userinfo. Set infolevel[pdesolve] to an integer from 1 to 5 to get progressively more information. Set it to 9 to get very detailed information. To get debugging tracing information, set infolevel[pdesolve_debug] to 3.

Examples: > pdesolve( diff(f(x,y),x,x)+5*diff(f(x,y),x,y)=3, f(x,y) );

f( x, y ) =

3 2

x

2

+ _F1( y ) + _F2( y − 5 x )

> pdesolve( 3*diff(g(x,y),x)+7*diff(g(x,y),x,y)=x*y, g(x,y) );

g( x, y ) =

1 6

2

x y

−

7 18

2

x

+ _F1( y ) + e( − 3 / 7 y ) _F2( x )

> pdesolve( diff(h(x,y),x,x)-diff(h(x,y),y,y)=0, h(x,y));

h( x, y ) = _F1( y + x ) + _F2( y − x ) > pdesolve(y*diff(U(x,y),x)+x*diff(U(x,y),y)=0, U(x,y) ); 2

2

U( x, y ) = _F1( − x + y ) > pdesolve( diff(U(x,y),x)+3*diff(U(x,y),y)=sin(x*y), U(x,y) );

U( x, y ) =

+ + − − −

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

1 6

2

2

π

2

π

2

π

2

π

2

π

  1   3   cos x y  cos x2   12   2   4   1 2   1   3 2  3 FresnelS( %2 ) cos y  sin x y  sin x   12   2   4 

π

 1

3 FresnelS( %2 ) cos

2

y

 1 2   1   3 2  y   sin x y  cos x   12   2   4   1 2   1   3 2  3 FresnelS( %2 ) sin y  cos x y  sin x   12   2   4   1 2   1   3 2  3 FresnelC( %2 ) sin y  cos x y  cos x   12   2   4   1 2   1   3 2  3 FresnelC( %2 ) sin y  sin x y  sin x   12   2   4  3 FresnelS( %2 ) sin

Page 1

+ − − − − + + + − +

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

%1 :=

%2 :=

 1

  1   3   sin x y  cos x2   12   2   4   1 2   1   3 2  3 FresnelC( %2 ) cos y  cos x y  sin x   12   2   4   1 2   1   3 2  3 FresnelS( %1 ) cos y  cos x y  cos x   12   2   4  3 FresnelC( %2 ) cos

2

π

2

π

2

π

2

π

3 FresnelS( %1 ) cos

2

π

3

2

π

3

2

π

3

2

π

3

2

π

3 FresnelC( %1 ) cos

2

π

 1

y

2

 1

  1   3   sin x y  cos x2   12   2   4   1 2   1   3 2  3 FresnelC( %1 ) cos y  cos x y  sin x  + _F1( y − 3 x )  12   2   4  2

3

2

3

y

2

π

1 ( 3 x + y ) 6

2

  1   3 2   sin x y  sin x   12   2   4   1 2   1   3 2  FresnelS( %1 ) sin y  sin x y  cos x   12   2   4   1 2   1   3 2  FresnelS( %1 ) sin y  cos x y  sin x   12   2   4   1 2   1   3 2  FresnelC( %1 ) sin y  cos x y  cos x   12   2   4   1 2   1   3 2  FresnelC( %1 ) sin y  sin x y  sin x   12   2   4 

1 ( y − 3 x ) 6

y

π

See Also: dsolve, DEtools

Page 2

Buku Ajar Pdp

Recommend Documents