Bab 2 Tansformasi
2. 1. Transformasi sebagai fungsi
Istila Istilahh transf transform ormasi asi sering sering dijump dijumpai ai dalam dalam bebera beberapa pa kon kontek tekss dan mengandung arti sebagai perubahan. Dalam konteks matematika, transformasi sering diartian sebagai perubahan yang dibuat dalam suatu persamaan atau ekspresi ekspresi matematis. matematis. Tujuanny Tujuannyaa adalah untuk membantu membantu suatu proses, seperti menemukan akar, menggambar grafik atau menghitung integral. Pengertian lainnya, transformasi dipandang sebagai relasi fungsional antara himpunan obyek oby ek-o -oby byek ek geom geometr etrii (mis (misaln alnya ya himpu himpuna nann titik, titik, gari garis, s, lingk lingkar aran an dan dan sebagainya. sebagainya.)) Pernyataan Pernyataan " y adalah adalah fungsi fungsi dari x" mengandung arti baha terdapat dua himpunan obyek, setiap unsur pada himpunan pertama yang disebu disebutt daerah daerah asal asal (domain (domain)) berkor berkoresp espond ondens ensii dengan dengan suatu suatu unsur unsur pada pada himpunan kedua yang disebut daerah kaan (kodomain). Domain maupun kodomain dapat berupa himpunan yang sama. Transformasi yang dimaksudkan di sini adalah transformasi (geometri) yakni suatu fungsi atau pemetaan yang menyatakan korespondensi satu-satu dari himpunan titik dalam bidang euklid kepada himpunan himpunan itu sendiri. !idang euklid euklid adalah adalah himpun himpunan an titik titik yang yang memenu memenuhi hi sifatsifat-sif sifat at geome geometri tri euklid euklid.. $ e#ara analitik bidang euklid dinyatakan dengan yang didefinisikan sebagai berikut%
Definisi 2.1.1. $ & '(a, b)(a, b) ∈ R R, R bilangan nyata* bersama pasangan titik P ( x xP, yP) dan Q( x x+, y+) yang diberikan oleh%
PQ &
dengan jarak setiap
( x P − xQ )$ + ( y P − yQ ) $
elas baha transformasi sebagai fungsi mendefinisikan domain dan kodomain adalah bidang yang yang sama. ambang yang akan akan digunakan untuk transformasi adalah huruf T . isalnya titik P pada pada bidang dan oleh transformasi T diperoleh diperoleh yang tunggal sebagai padanan P , ditulis P' & & T ( P ). Titik P dianggap dianggap sebagai P' yang P ). titik asal (original) atau model model sedangkan titik P/ sebagai bayangan atau peta. 01
ifat fungsional T adalah fungsi bijektif yang memenuhi sifat sebagai fungsi injektif dan fungsi suryektif. !ila diambil sebarang titik-titik P dan Q dalam bidang maka T ( P ) 2 T (Q), atau bila T ( P ) & T (Q) maka P & Q. ebaliknya, untuk setiap P’ selalu ada P sedemikian hingga T ( P ) & P’ . adi, dapat dikemukakan suatu pemetaan berupa in3ers dari T ( dilambangkan dengan T -4) yang dirumuskan sebagai berikut% T -4 % $ $ yang didefinikan dengan T -4( P’ ) & P T ( P ) & P’ .
Teorema 2.1.1. ika T transformasi maka T -4 adalah juga transformasi.
!ukti% 5leh karena T merupakan fungsi bijektif yang menghasilkan korespondensi satu-satu, jelas T -1 yang menyatakan in3ers dari T adalah transformasi yang bersifat bijektif. Definisi 2.1.2.
6pabila untuk setiap titik P berlaku T ( P ) & P maka T adalah suatu identitas yang dilambangkan dengan I. adi I disebut transformasi identitas bila I ( P ) & P untuk setiap P dalam bidang. !erikut ini akan diberikan sebuah #ontoh pemetaan geometri yang didefinisikan pada bidang euklid. Contoh 2.1.1.
Dalam bidang $ditentukan titik P dan lingkaran ( P , r ) seperti dalam 7ambar $.4.4. 6turan pengaanan f dinyatakan sebagai berikut% i. 8ntuk sebarang titik Q di bidang $, tarik sinar PQ dan tentukan Q/ & PQ sebagai f (Q)9 ii. 8ntuk P sendiri berlaku f ( P ) & P . a. 6pakah f suatu pemetaan : b. 6pakah f merupakan transformasi : Penyelesaian% a. 8ntuk setiap Q 2 P terdapat satu sinar PQ dan satu titik Q/ sebagai perpotongannya dengan . ebaliknya untuk setiap R/ ∈ tentu ada R yang menjadi kaannya, sedang P berimpit dengan kaannya. Dengan ;<
f merupakan pemetaan dari bidang $ sebagai domain kepada P sebagai daerah hasilnya (range). isalkan A, B dua titik berbeda di luar P dan B, A, P segaris. !erdasarkan aturan pengaanan ternyata f ( A) & f ( B) sehingga pemetaan di atas tidak satu-satu. adi, f bukan transformasi.
demikian
b.
+
!
P
f (!) 6 f (6)
+= P
7ambar $.4.4.
Contoh soal 2.1.2. Diberikan garis g dan
aturan pemetaan T %
$ $
didefinisikan sebagai
berikut% i. Titik B g dipetakan ke B sendiri (T ( B) & B) ii. Titik A g dipetakan ke A/ sedemikian hingga AA ' ⊥ g dan jarak berarah dari A/ ke g adalah setengah dari jarak berarah dari A ke g . !uktikan baha T adalah transformasi. ´
;4
>
6=
7ambar $.4.$.
!ukti% 8ntuk sebarang titik A $ seperti pada 7ambar 4.4.$. selalu dapat dilukis A/ T ( A) yang tunggal. ebaliknya, untuk sebarang C’ g selalu dapat dilukis & kembali prapetanya C se#ara tunggal. adi T memenuhi syarat sebagai transformasi. !ila V dan W adalah transformasi maka dapat disusun hasilkali atau komposisi W◦V , selanjutnya ditulis WV , dalam arti V dikerjakan lebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan W . isalkan A sebuah unsur dalam bidang maka WV ( A) & W (V ( A)). Teorema 2.1.2.
?asil kali dua transformasi akan merupakan transformasi lagi. !ukti% isalkan V dan W adalah transformasi. 6mbil sebarang titik Q" . @arena W transformasi maka terdapatlah titik Q/ yang memenuhi W (Q' ) & Q" . Demikian pula halnya dengan V yang juga transformasi sehingga terdapatlah Q yang ;$
memenuhi V (Q) & Q'. Dengan demikian Q" & WV (Q), berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi WV terhadap salah satu titik dalam bidang. @emudian karena V dan W fungsi yang menyatakan korespondensi satu-satu maka WV juga akan merupakan fungsi yang bersifat korespondensi satu-satu. Terbukti baha WV adalah transformasi. ebagai akibat, WV juga mempunyai in3ers. esuai dengan sifat fungsi maka berlaku (WV ) -4 & V -4W -4. Definisi 2.1.2.
uatu transformasi V merupakan in3olusi bila V 2 I berlaku V $ & I . Teorema 2.1.3. Transformasi V 2 I adalah in3olusi jika dan hanya jika V & V -4.
!ukti akan dilakukan untuk% i. ika V 2 I maka V & V -4 ii. ika V & V -4 maka V 2 I
!ukti untuk ( i)% 6nggap V 2 I adalah in3olusi yakni V $ & I . !ila kedua ruas dikalikan dengan V -4 maka diperoleh% & V -4 I V -4 (V $) & V -4 I V -4 (V V ) (V -4 V ) V & V -4 I I V & V -4 I V & V -4 !ukti untuk (ii)% ebaliknya, anggap V 2 I sedemikian hingga V & V -4. !ila kedua ruas dikalikan dengan V maka diperoleh% VV & V V -4 & I V $ & I Contoh soal 2.1.3.
Tunjukkan baha transformasi P yang didefinisikan dengan% ;0
adalah sebuah in3olusi.
P
(( x, y)) & (- x A $a, - y A $b)
Penyelesaian% elas P bukan identitas. isalkan P (( x, y)) & ( x’ , y’ ) sehingga x’ & - x A $a, y’ & - y A $b $ P (( x, y)) & P (P ( x, y)) & P ( x’, y’ ) = (-x’ A $a, -y’ A $b) & (- (- x A $a) A $a, - (- y A $b) A $b)) & ( x - $a A $a, y - $b A $b) & ( x, y) & I adi, P adalah in3olusi. 2.2. Invarian
!erdasarkan pembahasan di atas, terkesan baha geometri transformasi se#ara informal mempelajari suatu perubahan yang didefinisikan oleh suatu T yang diberikan. Bamun satu sisi yang penting diperhatikan adalah unsur atau sifat yang bertahan (in3arian) terhadap suatu transformasi T bahkan hal-hal yang bertahan inilah yang akan menggolongkan setiap T yang diberikan. uatu titik yang bertahan terhadap suatu T disebut titik tetap dan suatu garis yang bertahan terhadap suatu T disebut garis tetap. ebaliknya T disebut mempertahankan titik atau garis tadi. uatu relasi atau sifat tertentu dikatakan dipertahankan terhadap suatu transformasi bila sifat yang berlaku bagi unsur di bidang itu akan berlaku pula bagi unsur hasil transformasinya. isalnya kelurusan, kesejajaran, ketegaklurusan, dan bentuk. Transformasi identitas ( I ) mempertahankan semua titik sehingga semua titik adalah titik tetap dan semua garis adalah garis tetap. Titik B pada >ontoh $.4.$. di atas merupakan titik tetap terhadap T . 7aris g adalah himpunan titik-titik tetap atau g merupakan garis tetap. 8ntuk menyelidiki apakah masih ada garis tetap lain dilakukan berikut. isalkan k adalah garis tetap lain. 6mbil S ∈ k maka S / & T (S ) harus pada k sedang SS ' g . adi haruslah k ⊥ g . Dengan #ara yang sama dapat dibuktikan baha untuk sebarang ⊥ g maka menjadi garis tetap. adi garis tetap terhadap T adalah garis g dan semua garis yang tegaklurus g . ´
;;
2.3. Kolineasi
Transformasi T disebut suatu k!#nea# bila hasil transformasi suatu garis (lurus) akan berupa garis lagi. adi, bila g garis maka T adalah suatu kolineasi bila T ( g ) berupa garis lagi yang tak lain adalah himpunan titik P / & T ( P ) dengan P pada g . Contoh soal 2.3.1. Diberikan f (( x, y)) & ($ x A 4, y - x). a. !uktikan baha f transformasi. b. 6pakah f suatu kolineasi:
Penyelesaian% a. isalkan ( x', y' ) & f (( x, y)). Pemetaan di atas dapat ditulis% x' & $ x A 49 y/ & y - x
............ (4)
8ntuk sebarang A( x, y) dapat ditemukan tepat satu A/( x/, y/) sebagai bayangannya karena hubungan di atas linier. ebaliknya sebarang titik B/ ( x/, y/) selalu berasal dari tepat satu B( x, y) melalui rumus f -1 % x & C ( x/-4)9
y & y/A C ( x/-4)
........... ($)
adi, f merupakan transformasi. b. 6mbil sebarang garis $ % ax % by % & = <. 5leh f garis ini akan dipetakan ke $/. Persamaan garis $/ diperoleh dengan #ara mensubstitusikan x dan y pada ($) ke persamaan garis $ yang menghasilkan% C a( x/-4) A b( y/A C x/ C ) A & & < atau C (a A b) x/ A by/ C (a A b) A & & < dan ini merupakan persamaan suatu garis lurus lagi. adi kolineasi. Contoh soal 2.3.2.
Diketahui transformasi f dengan rumus % f ( x, y) & ( x/, y/) & ( y, ; x ). ;E
f
adalah suatu
a. 6pakah f suatu kolineasi: b. 6pakah f memuat titik tetap atau garis tetap : Penyelesaian% a. Fumus f menyatakan baha% x/ & y9
y/ & ; x
sehingga rumus f -1 dapat ditulis% x & G y/ 9
y & x’ .
ika rumus f -4 ini disubstitusikan kedalam persamaan umum garis ax % by % & = maka diperoleh% a (G y/) % bx’% & =
;bx/ % ay’% (& = ........ (H) ebagai #atatan, pemetaan ini berlaku pada bidang $ yang sama sehingga penggunaan notasi x= dan y= hanya sekedar untuk membedakan titik-titik atau garis-garis yang dipetakan. Dengan kata lain tidak ada bidang koordinat lain yang dibentuk oleh x= dan y=. 5leh karena itu persamaan (H) yang dimaksudkan adalah %
;bx % ay % (& = yang menyatakan persamaan garis lurus lagi dan ini merupakan bayangan dari persamaan garis ax % by % & = . adi f adalah kolineasi. b. uatu titik tetap mensyaratkan ( x', y' ) & ( x, y). Dari rumus f % x' = y dan y' = (x, maka harus dipenuhi f ( x, y) & ( y, ; x) & ( x, y). !erarti x = y dan ; x & y. @ondisi ini hanya dipenuhi oleh titik (<, <). Inilah titik tetapnya. 8ntuk men#ari garis tetap disyaratkan f ( g ) & g. isalkan persamaan garis% − ax
−
&
atau y = b b g % ax % by % &= !ila rumus f -4 disubstitusikan ke persamaan g maka diperoleh ;
g / & f ( g ) dengan persamaan
;bx'%
ay' %; &=
atau
y / =
−;bx
a
−
;&
a
6gar g’ = g maka harus dipenuhi% a
i.
ii.
b & b
= =
;b a ;& a
yang menghasilkan a = ±$b. atau a& = ;b& 9
atau (a ) ;b)& & <
8ntuk ini% a ) ;b = < jika & 2 < atau a = ;b dan sekaligus juga dipenuhi a & ± $b. !erarti a = b = < dan hal ini tidak dimungkinkan. 8ntuk a 2 b diperoleh & & < dan menghasilkan garis tetap% J *x % y & <. 2.4. Grup Transformasi Definisi 2.4.1.
uatu himpunan G dan operasi biner ( ¿ ) yang didefinisikan dalam G akan menyusun sebuah grup apabila memenuhi postulat-postulat% 4) sifat tertutup9 a ¿ b & + dengan a, b, + G. $) sifat asosiatif9 8ntuk a, b, & G berlaku (a ¿ b) ¿ & & a ¿ (b ¿ &) 0) memiliki unsur identitas9 6da e G yang bersifat (a ¿ e) & (e ¿ b) & a untuk semua a G ;) memiliki in3ers9 8ntuk setiap a G terdapat in3ers a-4 G yang ber sifat (a ¿ a-4 ) & (a-4 ¿ a) & e. ∈
∈
∈
∈
∈
∈
Teorema 2.4.1.
?impunan transformasi menyusun grup. !ukti% ;K
isalkan himpunan T dengan operasi perkalian (4) Teorema $.4.$ menyatakan sifat tertutup terhadap operasi perkalian (◦) dalam T. ($) ifat asosiatif% isalkan T , V , W transformasi dan A adalah unsur (titik atau garis) pada bidang maka W (VT )) ( A) & W ( (VT ) ( A) ) & W ( V ( T ( A) ) & WV (T ( A)) & ((WV ) T ) ( A) adi, W (VT ) & (WV ) T ( sifat asosiatif). (0) 8nsur netral transformasi ialah I . (;) !aha in3ers transformasi juga transformasi (Teorema $.4.4.). Dengan demikian himpunan transformasi menyusun grup. uatu grup transformasi T disebut grup hingga berderajat n bila T hanya mempunyai n unsur (n berhingga). !ila tidak demikian maka T disebut grup tak hingga. ?al yang sama, jika ada bilangan bulat positif n yang bersifat T n & I maka grup transformasi T memiliki derajat n, dalam hal lain dikatakan memiliki derajat tak hingga. Contoh soal 2.4.1.
uatu himpunan transformasi C4 unsur-unsurnya adalah #, o, h, u yang didefinisikan sebagai berikut% #(( x, y)) & ( x, y)9 o(( x, y)) & (- x, - y)9 h(( x, y)) & ( x, - y)9 u(( x, y)) & (- x, y). Perkalian dua transformasi dapat ditunjukkan sebagai berikut% ho ( x, y) & h ((- x, - y)) & (- x, y) untuk semua ( x, y). Ternyata juga baha ho ( x, y) & h ((- x, - y)) & (- x, y) & u dan merupakan salah satu unsur V . hh( x, y) & h ( x, - y) & ( x, y) & #. Ini berarti h merupakan in3ers dari h. 8ntuk memastikan apakah V menyusun grup, perlu diperiksa persyaratan (4) sd (;) dan untuk hal ini diangkat sebagai soal latihan. Tabel perkalian untuk grup berhingga sering disebut Ltabel >ayleyL untuk gup. Tabel >ayley untuk >ontoh 4.;.4. digambarkan sebagai berikut% C4
#
o
h
# o
;M
u
h u
u
#
Dalam tabel ini, perkalian artinya mengalikan LL pada kolom pertama dengan LL pada baris pertama. Teorema 2.4.3.
?impunan kolineasi menyusun grup. @arena kolineasi adalah transformasi maka teorema ini #ukup dibuktikan syarat ketertutupan (4) dan syarat keberadaan unsur in3ers (;) dalam himpunan itu. !ukti% (4) isalkan V , W kolineasi dan g garis, N( g ) & g /. (VW ) ( g ) & V (W ( g )) & V ( g' ) & g @arena W kolineasi maka g' adalah garis. V kolineasi juga sehingga g" pun sebuah garis. adi, sifat tertutup terpenuhi sebab VW juga merupakan kolineasi. (;) 6nggap V kolineasi dan g garis. Tentu terdapat $ yang memenuhi O($) & g , dan V -1 ( g ) & V -1(V ($)) & (V -1 V ) ($) & I($) & $. -1 !erarti baha V pun kolineasi karena membaa garis g ke garis $. Dengan demikian himpunan kolineasi K menyusun grup. 7rup kolineasi merupakan pun#ak pembahasan geometri transformasi karena lingkup transformasi yang dibi#arakan dalam geometri transformasi hanya sapai pada transformasi yang kolineasi.
Soal atihan 2
;1
4. Diketahui dua garis sejajar dan . A adalah titik di antara dua garis tersebut. ebuah fungsi f dengan domain didefinisikan sebagai berikut% ika P ∈ maka P' & f ( P ) & PA ∩ - a. 7ambarkan daerah hasil dari f. b. !uktikan baha jika dan / dua titik tertentu pada maka% D ' E ' & DE 9 ( ’ & f ( ), /’ & f ( / )) #. 6pakah f pemetaan satu-satu : ´
´
6
$. Diketahui titik-titik A, R, dan S seperti pada gambar di baah ini. isalkan pemetaan yang didefinisikan sebagai berikut% i. ( A) & A, ii. 8ntuk P 2 A, ( P ) & P = sedemikian hingga P = titik tengah AP ukis R/ & ( R) a. ukis Q sedemikian hingga (Q) & S . b. 6pakah sebuah transformasi : R A S 0. isalkan 0 adalah fungsi yang domainnya adalah bidang dan mendefinisikan setiap titik P ( x, y) dengan 0 ( P ) & ( xA$, $ y-0). a. Tentukan 0 ( A) jika A (4, -). b. Tentukan prapeta dari B (-$, ;) #. elidiki apakah 0 fungsi satu-satu. d. 6pakah 0 sebuah transformasi : ;. Pemetaan f dari $ ke $ didefinisikan sebagai berikut% a. 8ntuk setiap P ( x, y), f ( P ) & (R xR, R yR). b. Tentukan f ( A) jika 6& (-0, ). #. Tentukan semua prapeta dari B(;, $). d. Byatakan daerah hasil dari f . e. 6pakah f suatu transformasi : E. isalkan adalah transformasi. Tuliskan S!enarL atau SalahL pernyataan - pernyataan berikut% a) ika ( P ) & (Q), maka P & Q E<
b) 8ntuk setiap titik P terdapat Q yang tunggal sedemikian hingga ( P ) & Q. #) 8ntuk setiap titik P terdapat satu Q sedemikian (Q) & P d) uatu kolineasi adalah syarat perlu bagi suatu transformasi. e) uatu transformasi adalah syarat perlu bagi suatu kolineasi. f) uatu kolineasi adalah fungsi yang injektif. g) uatu kolineasi adalah pemetaan yang !n!. h) uatu transformasi adalah pemetaan yang onto tapi tidak perlu injektif. . Diketahui transformasi φ memetakan ( x, y) ke ( x/, y/) dengan x/ & x9 y/ & - y. a. Tunjukkan baha φ adalah sebuah kolineasi. b. Tentukan bayangan dari garis y & E x A K dibaah pemetaan φ . #. Tentukan titik tetap dan garis tetap jika ada. K. Tentukan prapeta dari garis y & 0 x A $ dibaah kolineasi K ( x, y) & (0 y, x - y). M. Pemetaan Φ membaa setiap titik ( x, y) ke titik (- x%y $, xA$). Tunjukkan baha Φ adalah suatu kolineasi. 1. Tunjukkan baha 0 (( x, y)) & (- x, y* ) bukan sebuah transformasi. 4<. ebuah transformasi didefinisikan dengan ( P ) & P yang koordinatnya ( xA4, $ y) untuk semua P ( x, y). a. ika diberikan A (<,0) dan B (4, -4), tentukan koordinat A/ & ( A) dan B/ & ( B). b. Tentukan persamaan garis AB dan A / B / . #. isalkan C (&, ) pada AB , apakah C /& (C ) pada A / B / : d. ika ’ (e, f ) ∈ A / B / , apakah ∈ T ( AB ) : 44. ebuah persegi, titik-titik sudutnya adalah A(4,<), B($, <), C ($, 4), (4, 4). 7ambarkan bayangan persegi itu dibaah pemetaan% a. ( x, y) ( x, x % y) b. ( x, y) ( y, x) #. ( x, y) ( x, x$ A y) d. ( x, y) (- x A
y 2
, x A $)
x / x x / − x = y÷/ = 4 y÷ y÷/ y÷ 4$. Diketahui transformasi T 1 % dan T * % $ a. Tulis rumus untuk T * T 1, dan kenakan pada garis g dengan persamaan E4
x % y & <.
b. !uktikan baha T * T 1& T 1 T * 40. Tunjukkan baha transformasi yang didefinisikan dengan% ( x, y) (( x A √ 3 y, ( √ 3 x - y) adalah sebuah in3olusi. 4;. Temukan semua a dan b yang membuat f menjadi in3olusi jika% f (( x, y)) & (a y, x b). 4E. Diketahui , , dan adalah unsur-unsur dari suatu grup. !uktikan baha% a. ika & maka & 9 b. ika & maka & 9
E$
