Bab 2 - Deret Tak Hingga

B A B 2 Deret Tak Hingga

2

Deret Tak Hingga

BAB 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4 2.6

Barisan Deret Tak Hingga Deret Suku Positif Deret Ganti Tanda Deret Pangkat Deret Taylor dan Deret Mac Laurin

B A B 2 Deret Tak Hingga

3. 4.

5.

6. 7.

Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu: 8. 1. menerapkan aturan limit untuk menghitung limit barisan dan menerapkan konsep 9. keterbatasan (boundedness) untuk mengindentifikasi kekonvergenan barisan monoton. 10. 2. menggunakan konsep jumlah parsial untuk membedakan deret konvergen dan divergen dan mendefinisikan jumlah dari deret konvergen .

mengenali deret geometri dan deret collaps, dan menghitung jumlahnya jika konvergen. menggunakan menggunaka n uji integral, uji banding biasa, uji banding limit, dan uji rasio untuk menen-tukan kekonvergenan kekonvergen an atau kedivergenan de-ret. mengenali deret ganti tanda dan menerapkan uji deret ganti tanda untuk mengidentifikasi kekonvergenan mutlak dari deret. menentukan jari-jari konvergensi dan him punan kekonvergena kekonvergenan n dari deret pangkat pangkat.. menerapkan pengintegralan suku demi suku dan penurunan pada deret pangkat, dan melakukan operasi aljabar pada deret pangkat secara manual untuk deret pangkat yang sederhana dan dengan bantuan TIK untuk deret pangkat yang lebih lebih kompleks. kompleks. menguraikan fungsi dalam deret Taylor secara manual dan dengan bantuan TIK. menyebutkan dan menggunakan deret Taylor dari fungsi elementer. menggunakan sisa pada deret Taylor untuk menduga kesalahan pendekatan pada polinomial polinomial Taylor. Taylor.

Pendahuluan Kebanyakan fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret. Keunggulan ini amat bermanfaat dalam aplikasi fisika karena dalam aplikasi fisika banyak hal-hal yang berkaitan dengan bilangan yang sangat kecil atau selisih yang amat kecil antara dua buah fungsi. Pada kasus-kasus seperti ini, suku-suku awal dari deret cukup memberikan informasi fenomena fisika dengan bentuk yang lebih sederhana dibandingkan keseluruhan fungsi. Salah satu contoh aplikasi adalah penggunaan uraian fungsi pada persamaan persamaan radiasi Planck. Bab 2 akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan deret. Subbab 2.1 membahas mengenai barisan tak hingga. Dilanjutkan dengan Subbab 2.2 mengenai deret tak hingga. Pada Subbab 2.3 dibahas mengenai deret yang suku-sukunya positif sedangkan pada Subbab 2.4 dibahas mengenai deret yang suku-sukunya berganti tanda. Untuk deret dengan suku-suku berupa fungsi dibahas pada Subbab 2.5, yaitu deret pangkat. Pada bagian akhir, Subbab 2.6, dibahas mengenai salah satu deret yang banyak digunakan dalam aplikasi, yaitu deret Taylor.

M o d u l M a t e m at ik a D a s ar A 2

Universitas Indonesia | 2

BAB 2

2.1

Deret Tak Hingga

Barisan

Barisan Tak Hingga, Kekonvergenan Barisan, Sifat Limit dan Teorema-teorema Limit, Barisan Monoton

Barisan Tak Hingga Suatu barisan tak hingga adalah deretan terurut bilanganbilangan yang tak berakhir, (1) Karena barisan adalah deretan angka yang terurut, maka suku pertama barisan adalah , suku kedua adalah , suku ketiga adalah , dan seterusnya. Lebih lanjut, karena barisan ini adalah barisan tak terhingga, maka untuk setiap suku selalu terdapat suku yang mengikutinya.

DEFINISI 2.1 Barisan Tak Hingga Barisan tak hingga (atau barisan) dari bilangan adalah fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positif dan daerah hasil himpunan bilangan riil, (2)

Notasi Notasi yang digunakan untuk barisan adalah atau secara sederhana . Apabila daerah asalnya adalah bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan bulat tertentu , maka notasi barisannya adalah . Contohnya barisan

maka notasinya adalah

.

Rumus barisan Jika diberikan beberapa suku dari barisan, misalkan (3)

M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2


BAB 2

Deret Tak Hingga

dan (4) maka kita dapat mencari rumus untuk barisan (3) dan (4). Ada dua macam rumus yang digunakan, yaitu: 1. Rumus eksplisit untuk suku ke-n. ke-n. Rumus eksplisit untuk barisan (3) adalah

2. Rumus rekursif. Rumus rekursif untuk barisan (4) adalah

Contoh 1 Berikut ini beberapa contoh barisan yang ditulis dengan tiga macam cara, Notasi

Rumus

Daftar anggota

Contoh 2 Carilah rumus umum dari barisan dengan beberapa suku awal sebagai berikut. (5) Penyelesaian Rumus umum barisan (5) adalah



BAB 2

Deret Tak Hingga

Carilah rumus umum barisan apabila beberapa suku awalnya adalah

Kekonvergenan Kekonver genan Barisan Perhatikan barisan-barisan di Contoh 1, masing-masing barisan memiliki perilaku yang berbeda. Perhatian kita adalah jika n menuju tak hingga apakah barisan tersebut menuju suatu nilai tertentu? Apabila barisan menuju nilai tertentu, maka dikatakan barisan konvergen. Definisi formal barisan yang konvergen diberikan pada Definisi 2.2.

DEFINISI 2.2 Barisan Konvergen Barisan dikatakan konvergen ke bilangan L jika untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga jika

Gambar 1

Apabila tidak terdapat L, maka dikatakan barisan divergen. divergen. Barisan

yang konvergen ke L seringkali ditulis dengan

dan L disebut limit dari barisan.

(

|

L  

L

| a

n

) L  

Gambar 2

Gambar 1 memberikan ilustrasi dari barisan barisan konvergen. Karena ketaksamaan ketaksamaan memiliki arti maka, jika , titik-titik akan terletak antara garis horizontal dan . Atau, jika di garis real, untuk bil bilanga ngan terl terle etak tak anta ntara titi titik k dan dan (Ga (Gambar 2). Contoh 3 Buktikan bahwa barisan

,

konvergen ke 0.

Penyelesaian Barisan

konvergen

ke

Berdasarkan Definisi 2.2, barisan

0

karena konvergen ke

. jika

untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga jika berlaku . Jika



BAB 2

Deret Tak Hingga

maka

, sehingga berlaku

sembarang, pilih

. Misalkan

sedemikian sehingga jika

diperoleh

Jadi terbukti barisan

konvergen ke 0.

Periksalah apakah barisan

,

, konvergen atau

divergen? Bila konvergen, tentukan kemana barisan konvergen? Lakukanlah hal serupa namun untuk barisan dengan

,

.

Sifat Limit dan Teorema-teorema Limit Seperti pada limit fungsi, terdapat operasi limit fungsi yang analog dengan operasi operasi pada barisan yang yang konvergen.

TEOREMA 2.1 Sifat Limit Misalkan dan adalah barisan yang konvergen dan k adalah konstanta, dan misalkan juga dan ada, maka a. b. c. d. e.

asalkan

Contoh 4 Tentukan

.

Penyelesaian



BAB 2

Deret Tak Hingga

Tentukan nilai

dengan menggunakan sifat-sifat

limit seperti Contoh 4. Bandingkan hasilnya bila kita faktorkan dulu bentuk tersebut menjadi bentuk

.

Berikut ini adalah beberapa teorema untuk limit barisan.

Barisan TEOREMA 2.2 Aturan Substitusi untuk Barisan Jika

dan f adalah fungsi yang kontinu di x =L,

maka

TEOREMA 2.3 Teorema Apit Misalkan bulat yang tetap dan maka

untuk suatu

dengan K bilangan bilangan

konvergen menuju L atau

Contoh 5 Tentukan limit dari barisan:



BAB 2

Deret Tak Hingga

Penyelesaian

Karena untuk setiap n berlaku berlaku

maka untuk

. Karena

,

maka menurut Teorema Apit kita peroleh

. Jadi

Coba kalian gunakan Teorema Apit seperti pada Contoh 5 untuk menentukan limit dari barisan berikut:

Pada barisan yang suku-sukunya berganti tanda, Teorema 2.4 berikut digunakan untuk menguji kekonvergenan barisan.

TEOREMA 2.4 Jika

maka

.

Contoh 6 Tunjukkan bahwa

.

Penyelesaian Dari

Contoh

3

diketahui

bahwa

.

maka menurut Teorema 2.4

Karena .

Barisan Monoton Suatu barisan

atau

dikatakan naik apabila apabila

dan dikatakan turun apabila turun apabila

atau . Barisan dikatakan barisan monoton. monoton.


yang naik atau turun


BAB 2

Deret Tak Hingga

Contoh 7 Tentukan apakah barisan

,

merupakan barisan

monoton. Penyelesaian Barisan merupakan merupakan barisan yang turun karena mengakibatkan , maka

. Lebih

lanjut

,

, atau dengan kata lain

.

Karena barisan adalah barisan yang turun maka barisan adalah barisan monoton.

Tentukan apakah barisan yang monoton atau tidak.

,

merupakan barisan

Barisan dikatakan terbatas terbatas apabila terdapat bilangan sedemikian sehingga , untuk setiap n. Contoh 8 Tentukan apakah barisan yang terbatas? Penyelesaian Karena setiap n. Berarti barisan dibatasi oleh 1.

,

merupakan barisan

maka untuk adalah barisan yang terbatas dan

Coba kalian tentukan apakah barisan terbatas? Bila terbatas, tentukan ten tukan batasnya.

,

Misalkan adalah barisan yang monoton naik dan terbatas di atas oleh M , maka walaupun suku-suku barisan naik, sukusukunya tidak akan melebihi batas atasnya. Kenyataan ini memberikan ide mengenai kekonvergenan barisan monoton pada Teorema 2.5 berikut.

TEOREMA 2.5 Kekonvergenan Barisan Monoton Setiap barisan monoton yang terbatas adalah konvergen. Contoh 9 Tentukan apakah barisan pada Contoh 7 konvergen?



BAB 2

Deret Tak Hingga

Penyelesaian Barisan

merupakan barisan yang monoton turun. Selain

itu, barisan ini juga terbatas di bawah oleh Teorema 2.5, barisan ini konvergen.

2.2

. Maka menurut

Deret Tak Hingga

Jumlah Deret, Deret Geometri, Sifat-sifat Deret Tak Hingga yang Konvergen, Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan, Kedi vergenan, Deret Collaps

Jumlah Deret Misalkan barisan tak hingga. Jumlah suku-suku dari barisan tak hingga disebut deret tak hingga dan dit ulis sebagai

(6)

Contoh 1 Deret yang suku-sukunya dari barisan

adalah

(7)

Perhatikan Tabel 1. Tabel ini menunjukkan jumlah n suku pertama dari deret (7). Tabel 1 N

Jumlah n suku pertama

5

0.96875000

10

0.99902344

15

0.99996948

20

0.99999905

25

0.99999997

Dari Tabel 1 dapat diharapkan bahwa jumlah deret (7) adalah 1. Sehingga jumlah deretnya dapat ditulis sebagai,



BAB 2

Deret Tak Hingga

(8)

Berdasarkan jumlah n suku pertama seperti pada Tabel 1, dikenal suatu definisi yaitu jumlah parsial yang didefinisikan sebagai berikut.

DEFINISI 2.3 Jumlah Parsial Jumlah parsial ke-n ke-n, S n , adalah

Perhatikan kembali kolom jumlah n suku pertama pada Tabel 1. Kolom ini membentuk suatu barisan baru yaitu barisan jumlah parsial

atau

Jumlah suatu deret dikatakan ada jika limit barisan jumlah parsialnya ada.

DEFINISI 2.4 Jumlah Deret Deret tak terhingga barisan jumlah parsial

konvergen dengan jumlah S jika jika konvergen ke S ,

S disebut disebut sebagai jumlah deret . Jika divergen maka deret

divergen, yaitu deret

tidak mempunyai jumlah.



BAB 2

Deret Tak Hingga

Contoh 2 Tentukan jumlah deret tak hingga berikut

Penyelesaian

Barisan jumlah parsial deret

adalah

Maka, jumlah deret tak hingga

adalah

Coba kalian tentukan jumlah deret tak hingga berikut.

Deret Geometri Salah satu deret yang banyak digunakan untuk uji kekonvergenan deret lainnya adalah deret geometri. Deret geometri juga merupakan salah satu deret yang rumus jumlah deretnya dapat ditulis secara eksplisit.



BAB 2

Deret Tak Hingga

DEFINISI 2.5 Deret Geometri Deret disebut deret geometri jika geometri jika terdapat bilangan r yang disebut sebagai rasio deret rasio deret sedemikian sehingga untuk semua Jika

.

, maka deret geometri memiliki bentuk

Kekonvergenan deret geometri dapat dilihat pada Teorema 2.6 berikut.

TEOREMA 2.6 Jumlah Deret Geometri Jika

, maka deret geometri konvergen dengan jumlah

Jika

maka deret geometri divergen.

Bukti Jumlah parsial dari deret gometri adalah Jika jika maka

, maka karena

. Artinya, deret geometri akan divergen membesar membesar terus apabila n . Jika , →

Jadi diperoleh,

Untuk

, karena

Untuk barisan

atau r =1, maka barisan juga divergen.


, maka

divergen. Akibatnya


BAB 2

Deret Tak Hingga

Contoh 2 Tentukan apakah deret geometri berikut divergen:

konvergen atau

a. b. Penyelesaian Deret pada Contoh 2.a memiliki rasio maka barisan divergen. Sedangkan deret pada Contoh 2.b memiliki rasio maka barisan konvergen ke

konvergen. Deret pada Contoh 2.b

karena

Coba kalian tentukan apakah deret geometri

konvergen atau divergen. Carilah jumlah deretnya bila konvergen.

Sifat-sifat Sifat-si fat Deret Tak Hingga y ang Konvergen Suatu jumlah deret ada jika limit jumlah parsialnya ada. Akibatnya sifat dari jumlah deret serupa dengan sifat-sifat limit barisan.

TEOREMA 2.7 Kelinieran Deret Konvergen Jika

dan

adalah deret yang konvergen dan



adalah suatu konstanta, maka: a. b.

konvergen dan konvergen dan

Contoh 3 Tentukan apakah deret

konvergen atau divergen.



Deret Tak Hingga

BAB 2

Penyelesaian

Jadi deret tersebut konvergen ke 1. Coba kalian tentukan apakah deret

konvergen atau divergen.

Ingat ! Kontrapositif dari Teorema

Uji Suku ke- n untuk Kedivergenan

2.8 adalah: Jika adalah: Jika deret tak hingga

konvergen

Teorema 2.8 berikut merupakan salah satu uji yang digunakan untuk menentukan kekonvergenan deret.

dengan jumlah S, maka Ke divergenan TEOREMA 2.8 Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan

.

Jika Jadi deret

berkaitan

atau jika

tidak ada, maka deret

divergen.

dengan dua barisan, yaitu barisan suku-suku deret dan barisan jumlah parsial

Contoh 4 Tunjukan bahwa

. Kebalikan dari

Teorema 2.8 tidaklah berlaku, yaitu jika belum tentu konvergen.

adalah deret yang divergen. Penyelesaian Karena

0 maka,

menurut Teorema 2.8, deret tersebut adalah deret yang divergen. Coba kalian tunjukan bahwa

divergen. divergen.



BAB 2

Deret Tak Hingga

Contoh paling baik dari keadaan seperti dapat dilihat pada deret harmonik yang yang memiliki bentuk

(9)

Jelas bahwa barisan

memiliki

, namun

Teorema 2.9 di bawah ini menyatakan bahwa deret harmonik divergen.

TEOREMA 2.9 Deret Harmonik Deret harmonik adalah divergen. Bukti Jumlah parsial S n deret harmonik

Jumlah parsial ini dapat ditulis kembali kembali menjadi

Jika n→ maka S n akan meningkat tanpa batas. Akibatnya divergen.

Deret Collaps Tidak banyak deret yang jumlah parsialnya dapat dituliskan secara eksplisit seperti deret geometri. Salah satu deret yang jumlah parsialnya dapat ditulis secara eksplisit adalah deret collaps. collaps. Misalkan memiliki bentuk

adalah barisan. Jumlah parsial deret collaps

(10)

Maka, jumlah deret collaps adalah collaps adalah



BAB 2

Deret Tak Hingga

(11)

Contoh 5 Tentukan jumlah deret

Penyelesaian Suku deret dapat dituliskan d ituliskan kembali kembali menjadi

Jumlah parsial deret adalah

Maka,

2.3

Deret Suku Positif

Uji Jumlah Terbatas, Uji Integral, Uji Banding, Uji Banding Limit, Uji Rasio

Deret suku positif adalah deret yang suku-sukunya positif, atau ai>0 untuk setiap i. Dua hal yang menjadi perhatian pada deret ini adalah, pertama apakah deretnya konvergen? Kedua, bila konvergen, berapa jumlah deretnya? Dari Subbab 2.1, telah dikenalkan beberapa deret khusus yang telah diketahui kekonvergenannya dan ada rumus untuk menghitung jumlah parsialnya. Deret tersebut adalah deret geometri dan deret collaps. collaps. Untuk deret suku positif, ada



BAB 2

Deret Tak Hingga

beberapa uji yang digunakan untuk menentukan apakah deret suku ini konvergen.

Uji Jumlah Terbatas TEOREMA 2.10 Uji Jumlah Terbatas Deret dengan suku-suku tak negatif akan konvergen jika dan hanya jika barisan jumlah parsialnya mempunyai batas atas.

Contoh 1 Tunjukan bahwa deret

konvergen. Penyelesaian Mula-mula perhatikan bahwa,

Akibatnya,

Maka jumlah parsialnya,

Dapat kita lihat bahwa suku-suku terakhir deret tersebut merupakan

deret

geometri

dengan

rasio

.

Maka,

Karena jumlah-jumlah parsialnya S n terbatas di atas oleh 3 maka, berdasarkan Teorema 2.10, deret tersebut adalah deret yang konvergen.



BAB 2

Deret Tak Hingga

Coba kalian tunjukan bahwa deret

konvergen.

Uji Integral Ingat kembali integral tak wajar pada Bab 1. Perilaku integral tak wajar

terhadap kekonvergenan serupa dengan

perilaku deret . Hal ini memberikan salah satu uji yaitu uji integral seperti pada Teorema 2.10 berikut. TEOREMA 2.11 Uji Integral Misalkan adalah deret suku positif dan f fungsi kontinu yang bernilai positif, dan tak menurun di interval [1,]. Jika f (n)=a )=an untuk setiap bilangan bulat positif n1, maka deret tak terhingga

dan

akan konvergen atau divergen bersamaan.

Bukti Karena f Karena f ( x ) adalah fungsi yang tak turun, maka didapat

Integralkan dari bentuk berikut ini :

sampai

untuk mendapatkan

Kemudian jumlahkan dari suku ke n = 1 sampai n = M -1 -1 sehingga didapat :



BAB 2

Deret Tak Hingga

(12)

Jika

ada dan bernilai S , maka dari ruas kiri

ketaksamaan (12) didapat bahwa merupakan deret yang tak turun dan terbatas di atas oleh S . Sehingga didapat bahwa deret konvergen. Jika

bernilai tidak terbatas, dari ruas kanan

persamaan (12) didapat bahwa merupakan deret yang tidak turun dan tidak mempunyai batas atas atau dengan kata lain deret divergen. Contoh 2 Ujilah kekonvergenan deret

Penyelesaian Karena

maka menurut Teorema 2.11 deret

divergen.

Contoh berikut ini adalah deret- p p yang sering digunakan untuk uji kekonvergenan deret yang lain. Deret- p memiliki p memiliki bentuk:

(13)

Contoh 3 Perhatikan deret- p seperti p seperti pada persamaan (13). Tunjukkan:



BAB 2

Deret Tak Hingga

a. Deret- p konvergen p konvergen jika p jika p>1. >1. b. Deret- p divergen p divergen jika p jika p≤1. Penyelesaian Fungsi

, p , p0 adalah kontinu, positif dan tidak naik pada

interval [1,). Lebih lanjut, konvergen jika dan hanya jika

, p0. Menurut uji integral, ada.

Jika p Jika p1

Jika p Jika p=1 =1

Karena jika p>1 p>1 dan jika p jika p<1 <1 dan karena , dapat disimpulkan bahwa deret- p deret- p konvergen untuk p untuk p>1 >1 dan divergen untuk 0≤ p≤1.

TEOREMA 2.12 Perkiraan Galat untuk Uji Integral Misalkan deret tak hingga

dan integral tak tentu

memenuhi hipotesa uji integral dan keduanya konvergen. Maka

dengan adalah sisa, sisa, yaitu selisih antara jumlah deret S dengan dengan jumlah parsial ken .

Uji Banding Uji banding adalah salah satu uji yang menentukan kekonvergenan suatu deret dengan cara membandingkannya dengan kekonvergenan integral tak wajar dari fungsi yang sama dengan fungsi deret yang akan diuji. Hal ini memberikan ide yang serupa untuk melakukan uji kekonvergenan deret, namun kali ini dengan cara membandingkannya dengan deret lain yang telah diketahui kekonvergenannya, misalkan deret geometri. Ada dua macam uji banding, yaitu uji banding biasa dan uji banding limit.



BAB 2

Deret Tak Hingga

Uji Banding Biasa

TEOREMA 2.13 Uji Banding Biasa Misalkan 0≤an≤bn untuk , Jika konvergen, maka Jika

divergen, maka

konstanta. juga konvergen. juga divergen.

Contoh 4 Tentukan apakah deret

konvergen atau divergen. Penyelesaian Misalkan

dan

. Karena

atau

dan karena

divergen (karena

harmonik) maka menurut Uji Banding Biasa

deret adalah

deret yang divergen. Dalam contoh ini, kita membandingkan deret

dengan deret

yang telah diketahui

kekonvergenannya.

Coba kalian tentukan apakah

merupakan deret yang konvergen atau divergen.



BAB 2

Deret Tak Hingga

Uji Banding Limit

TEOREMA 2.14 Uji Banding Limit Misalkan dan suku yang positif. Maka:

adalah deret dengan suku-

a.

maka

Jika

dan

konvergen atau divergen secara bersamaan. b. Jika

dan

konvergen maka

juga konvergen. c.

Jika

dan

divergen maka

juga divergen.

Contoh 4 Tentukan apakah

konvergen atau divergen. Penyelesaian Untuk menentukan pembanding suku ke-n ke-n deret di atas pada uji banding limit, kita pilih suku-suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebutnya. Dalam contoh ini, kita membandingkan

dengan

Mula-mula kita hitung limit dari

Kemudian kita tentukan kekonvergenan

. Karena

konvergen dan maka menurut Uji Banding Limit barisan konvergen.



BAB 2

Deret Tak Hingga


merupakan deret yang yang konvergen atau divergen.

Uji Rasio Kesulitan yang timbul jika menggunakan uji banding adalah memilih deret yang akan digunakan sebagai pembandingnya. Salah satu cara mengatasi hal ini adalah dengan menggunakan uji rasio. Dalam uji ini kita membandingkan deret dengan dirinya sendiri. Teorema 2.13 berikut menyatakan uji rasio.

TEOREMA 2.15 Uji Rasio Misalkan misalkan

a.

adalah deret dengan suku-suku positif dan

Jika p Jika p<1, <1, maka deret tersebut konvergen.

b. Jika p Jika p>1 >1 atau jika c.

maka deret tersebut

divergen. Jika p=1, p=1, maka uji ini tidak dapat memberikan kesimpulan.



maka

. Kemudian kita cari nilai ρ,

diperoleh



BAB 2

Deret Tak Hingga

Menurut uji rasio, karena ρ=0<1 maka

konvergen.

Periksalah apakah


2.4

Deret Berganti Tanda

Uji Deret Berganti Tanda, Uji Konvergensi Mutlak, Uji Rasio Mutlak

Pada Subbab 2.3 telah dibahas mengenai deret yang sukusukunya positif semua. Pada subbab ini akan dibahas deret yang memiliki suku-suku baik yang positif maupun yang negatif. Salah satu contoh penting dari deret seperti ini adalah deret berganti tanda yang tanda yang memiliki bentuk umum

(14)

dimana an0 untuk setiap n.

Uji Deret Berganti Tanda Salah satu uji untuk deret berganti tanda adalah seperti Teorema 2.16 berikut.



BAB 2

Deret Tak Hingga

TEOREMA 2.16 Uji Deret Berganti Tanda Misalkan:

dengan tersebut konvergen.

. Jika

, maka deret

Kesalahan yang dibuat dengan menggunakan jumlah S n dari n suku pertama untuk menghampiri jumlah S dari deret tersebut tidak lebih dari an+1. Ini berarti kesalahannya (galat), .


konvergen atau divergen. Penyelesaian Deret

adalah suatu deret berganti tanda dengan . Karena

dan

maka

dan

. Jadi

konvergen.





BAB 2

Deret Tak Hingga

Uji Konvergensi Mutlak Jika setiap suku pada deret berganti tanda kita beri harga mutlak, maka diperoleh deret suku positif. Dengan demikian kita dapat menggunakan semua uji pada deret suku positif. Hubungan antara deret suku positif dengan deret berganti tanda diberikan pada Teorema 2.17 namun sebelumnya diberikan definisi konvergensi mutlak dahulu.

DEFINISI 2.6 Konvergensi Mutlak Deret konvergen.

dikatakan konvergen mutlak jika

TEOREMA 2.17 Uji Konvergensi Mutlak Jika

konvergen maka

konvergen.

Contoh 2 Tentukan apakah barisan


maka

apakah

. Untuk menentukan menentukan konvergen atau divergen, mula-

mula perhatikan bahwa deret deret geometri dengan rasio

merupakan . Akibatnya

adalah deret yang konvergen. Maka berdasarkan uji konvergensi mu-tlak kita peroleh

adalah deret yang

konvergen juga. Periksalah apakah




BAB 2

Deret Tak Hingga

Uji Rasio Mutlak Uji rasio mutlak untuk deret berganti tanda serupa dengan uji rasio pada deret suku positif. Berikut adalah teorema uji rasio mutlak.

TEOREMA 2.18 Uji Rasio Mutlak Misalkan andaikan

a.

adalah deret dengan suku-suku tak nol dan

Jika  < 1, maka deret tersebut konvergen mutlak (sehingga konvergen).

b. Jika  > > 1, maka deret tersebut divergen. di vergen. c.

Jika  = 1, maka uji tidak memberikan kesimpulan.

Contoh 3 Tentukan

apakah

merupakan

deret

yang


maka

. Kemudian

kita hitung nilai rasio  seperti seperti berikut:

Karena ρ = 0 < 1 maka menurut Uji Rasio Mutlak deret tersebut adalah deret yang konvergen. Coba kalian tentukan apakah




BAB 2

2.5

Deret Tak Hingga

Deret Pangkat

Deret Pangkat, Deret Pangkat dalam Deret Pangkat

, Operasi pada

Deret Pangkat Perhatikanlah deret berikut

(15)

Deret pada (15) berbeda dengan deret yang telah kita pelajari dalam subbab terdahulu dimana suku-suku deret berupa bilangan. Pada deret di (15), suku-suku deret merupakan fungsi dari . Ada dua hal yang perlu perlu diperhatikan pada deret deret fungsi ini ini yaitu: 1. Pada nilai x nilai x berapa berapa deret fungsi akan konvergen? 2. Fungsi seperti apakah yang merupakan jumlah dari deret fungsi? Pada Matematika Dasar A2 hanya dibahas deret fungsi yang khusus yaitu deret pangkat . Bentuk umum deret pangkat dalam

adalah

(16)

Teorema berikut digunakan untuk menentukan nilai-nilai menyebabkan menyebabkan deret pangkat konvergen.

yang

TEOREMA 2.19 Konvergensi Deret Pangkat Himpunan konvergensi dari deret pangkat berupa interval yang berbentuk: 1. Titik tunggal . 2. Interval konvergensi dengan kemungkinannya adalah:

–

,

selalu

kemungkinan,

atau

.

3. Seluruh garis bilangan riil.



BAB 2

Deret Tak Hingga

Bilangan R pada Teorema 2.19 disebut jari-jari kekonvergenan dari deret pangkat. Untuk kasus 1 pada Teorema 2.19, jari-jari kekonvergenannya adalah R=0 R=0, dan pada kasus 3, R=. Interval dimana deret pangkat konvergen seringkali disebut interval kekonvergenan. kekonvergenan. Contoh 1 Tentukan himpunan konvergensi dari deret berikut:

(17)

Penyelesaian Himpunan nilai-nilai dimana deret fungsi konvergen disebut himpunan konvergensi. konvergensi. Untuk menentukan himpunan konvergensi, kita lakukan uji rasio mutlak seperti berikut:

Deret pada (17) konvergen bila

atau

ρ<1

. Akibatnya

, lebih lanjut . Kemudian kita periksa kekonPendiferensialan & Pengintegralan TEOREMA vergenan deret2.20 tersebut di titik-titik ujungnya. Deret Pangkat Jika deret menjadi . Misalkan maka adalah jumlah deret pangkat pada selang I , yaitu: menggunakan uji deret berganti tanda, dapat dibuktikan Dengan bahwa deret

konvergen.

Jadi, jika di dalam selang I , berlaku: Jika maka deret menjadi

. Deret

adalah deret harmonik sehingga divergen. Hal ini menyebabkan a. deret divergen. Jadi himpunan konvergensi dari deret adalah

.

b. Coba kalian ulangi pekerjaan di atas yaitu menentukan himpunan konvergensi dari deret berikut

Der et P an g ka t da la m ( ) M o d u l M a t e m a ti k a D a s a r A 2 Universitas Indonesia | 30 Deret tak hingga dalam bentuk

BAB 2

2.6

Deret Tak Hingga

Deret Taylor dan Deret MacLaurin

Deret Taylor, Rumus Taylor dengan Suku Sisa, Deret MacLaurin

Deret Taylor Deret pangkat yangn kita pelajari sangat berguna untuk mencari fungsi hampiran. Contohnya deret geometri adalah salah satu deret pangkat yang digunakan untuk menghampiri fungsi . Namun demikian, masih ada masalah yang ingin dipecahkan, misalkan diberikan suatu fungsi f , dapatkah kita membuat deret pangkat dalam x dalam x , atau lebih umum dalam x dalam x -a. Dengan kata lain, apakah ada nilai-nilai sehingga

sedemikian

(19)

Misalkan Persamaan (19) ada, berdasarkan Teorema 2.20 didapat

(20)

Substitusikan x =a


ke Persamaan (20) kemudian selesaikan


BAB 2

Deret Tak Hingga

Persamaan Persamaan (20) sehingga diperoleh konstanta cn.

Bentuk umum dari ck adalah adalah (21)

Dari persamaan (21) dapat dilihat bahwa konstanta ck bergantung dari fungsi f fungsi f . Karena nilai ck hanya hanya bergantung dari f dan nilainya tunggal, ini mengandung arti bahwa uraian f terhadap deret pangkat dalam ( x ( x -a) adalah tunggal.

TEOREMA 2.21 Teorema Ketunggalan Misalkan f memenuhi (22) untuk semua x semua x di di interval int erval yang mengandung a. Maka (23)

Uraian fungsi f dalam dalam deret pangkat atas ( x ( x -a) seperti pada (22) disebut deret Taylor. Jika a=0 maka deret (22) disebut deret MacLaurin. Jadi deret MacLaurin adalah bentuk khusus dari deret Taylor.

Rumus Taylor dengan Suku Sisa Teorema 2.22 dan Teorema 2.23 berikut ini memberikan jaminan keberadaan keberadaan uraian deret Taylor.



BAB 2

Deret Tak Hingga

TEOREMA 2.22 Rumus Taylor dengan Suku Sisa Misalkan f fungsi terturunkan (k (k +1) +1) kali dengan ada untuk setiap x di interval buka I yang mengandung a. Maka, untuk setiap x setiap x di di I

dengan sisa

yang rumusnya

dengan c titik antara

dan a.

Teorema 2.22 menyatakan bentuk sisa yang terjadi apabila kita menghampiri fungsi sampai dengan sejumlah berhingga suku dari deret Taylor. Sedangkan pada Teorema 2.23, akan disebutkan kapan suatu fungsi f dapat dihampiri oleh deret pangkat dalam

.

TEOREMA 2.23 Teorema Taylor Misalkan f fungsi yang memiliki turunan-turunan keberapapun pada suatu selang . Deret Taylor (24)

merepresentasikan merepresentasikan fungsi f fungsi f pada selang dan hanya jika

jika

dimana Rn( x ) adalah suku sisa dalam Rumus Taylor, (25)

dan titik c adalah titik pada

Contoh 1 Buatlah uraian .


deret

Taylor

.

dengan

a=1

untuk

fungsi


BAB 2

Deret Tak Hingga

Penyelesaian Mula-mula tentukan

dst …. …. Maka didapat uraian deret Taylor dari fungsi

adalah

taylor(cos(x),x=1);

Coba kalian buat uraian deret Taylor dengan a=1 a =1 untuk fungsi .

Deret MacLaurin Jika nilai a di deret Taylor pada persamaan (24) adalah 0 maka diperoleh deret MacLaurin

(26)

Contoh 2 Buatlah uraian MacLaurin dari fungsi seperti pada Contoh 1 yakni . Penyelesaian Substitusikan nilai a=0 pada persamaan deret Taylor pada Contoh 1, maka diperoleh



BAB 2

Deret Tak Hingga

taylor(cos(x),x=0);

Coba kalian buat uraian deret MacLaurin untuk fungsi

Dari Contoh 2, kita peroleh uraian MacLaurin untuk yaitu

,

(27) Contoh 3 Dengan menggunakan persamaan (27) dan Teorema 2.22 a untuk mencari uraian deret MacLaurin dari . Penyelesaian

Dari penyelesaian Contoh 3, kita miliki uraian deret MacLaurin dari , yaitu

(28)

Dengan cara yang serupa, kita dapat mencari uraian deret MacLaurin dari fungsi-fungsi trigonometri, fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi lain yang terturunkan. Beberapa uraian MacLaurin dari fungsi-fungsi yang penting dapat dilihat pada buku-buku kalkulus.



Bab 2 - Deret Tak Hingga

Recommend Documents