AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
I. II.
I.
Autovectores (vectores propios) y autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada. Semejanza y diagonalización. diagonalización.
AUTOVECTORES (VECTORES PROPIOS) Y AUTOVALORES (VALORES PROPIOS) DE UNA MATRIZ CUADRADA.
a) Definición 1.- “S ea A una matriz cuadrada con ea elementos de un cuerpo conmutativo K, se llama n autovector (vector propio) de A todo vector x de K tal que de K verificando: existe un escalar
Ax x”
Definición 2.- “Si A es una matriz cuadrada con elementos de un cuerpo conmutativo K, se llama autovalor (valor propio) de A todo elemento de K tal que existe n un vector x 0 de K verificando:
Ax x.
Al conjunto de todos los autovalores de A se le llama espectro de A y se escribe A ”
Teorema 1.- “Dad a una matriz cuadrada A sobre K: 1. A todo autovector x 0 de A corresponde un autovalor único , llamado autovalor asociado a x. 2. A todo autovalor de f corresponde un n subespacio vectorial V( ) de K , que está descrito por n x , se le los vectores x de K que verifican Ax ”. llama el subespacio propio asociado a
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b) Propiedades de los autovalores y de los autovectores de una matriz cuadrada. Polinomio característico y ecuación característica. Teorema 2.- “Dado una una matriz cuadrada A sobre K, para de K, las propiedades siguientes son equivalentes: 1. es un autovalor de A. I 2. A n no es invertible.
I 3. det A n 0”
Definición 3.- “Si A es una matriz cuadrada de orden n con elementos de un cuerpo conmutativo K, se llama polinomio característico de A al polinomio en de grado det A PA det I n Y se llama ecuación n.
I característica a la ecuación det A n 0”
Teorema 3.- “Los autovalores de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.”
Teorema 4.- “Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si 0 no es autovalor de A.”
Teorema 5.- “Si
es autovalor de A y x un autovector
asociado, entonces: n a) n , es autovalor de An con autovector x. 1 b) Si A es invertible, entonces es autovalor de A -1 con autovector x n c) n , es autovalor de An con autovector x.” x.”
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Teorema 6.- “Los subespacios vectoriales
( y V 2) asociados a dos autovalores distintos de una matriz cuadrada A, A, sólo tienen en común el vector nulo.” V ( 1)
Teorema 7.- “Siendo A una matriz cuadrada, que admite , m autovalores distintos dos a dos, 1 , 2, m , el sistema de vectores {xi} (i = 1, ..., m), de autovalores no nulos
asociados a i es libre”
Corolario.- “Toda matriz cuadrada de orden n tiene como máximo n autovalores distintos dos a dos”
Teorema 8.- “Si A es una matriz cuadrada de orden n, los autovalores de A son las raíces de su polinomio característico. Existen n como máximo. Si K es algebraicamente cerrado, A posee n autovalores distintos o confundidos”
II. SEMEJANZA Y DIAGONALIZACIÓN. Definición 4 (matrices semejantes).- “Se dice que dos matrices A y B cuadradas de orden n son semejantes, si están asociadas a la misma aplicación lineal f pero respecto a dos bases diferentes. Es decir, existe una matriz P de cambio de base que verifica: AP = PB equivalente a -1 P AP = B”
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Propiedades (inmediatas).(1) La relación de semejanza de matrices es de equivalencia. (2) det(A) = det(B). (3) A es invertible si y sólo si B es invertible. (4) (5) (6)
rg A rg B . PA P . B A B .
Definición 5 (matrices diagonalizables).- “Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D, del mismo orden, semejante a A. Es decir, existe una matriz P de cambio de base que verifica: AP = PD equivalente a -1 P AP = D” D”
Teorema 9.- “A es diagonal izable si y sólo si, A tiene n izable autovectores linealmente independientes, es decir se puede formar una base del espacio vectorial de referencia formado por autovectores de A”
Demostración.- Sea A diagonalizable, es decir, existe una n
base B ai i1 respecto de la cual, la matriz A se puede escribir: 1 A
i
n
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x con polinomio característico pA x 1 x i x n , , n son los autovalores de f, y son las raíces luego i , i 1, de p, que están en el cuerpo K. Además, existen ai , i 1, , n , tales que: Aai ,n , i ai , i 1, o bien, en forma matricial: 1 2 Aa1 Aa2 Aan a1 a2 an (*) n Es decir son n vectores propios de A (base, pues, de E)
Recíprocamente, Recíprocamente, supongamos que se puede hallar una base de E formada por vectores propios de A, es decir que Aai a i , n , lo que es equivalente a se verifique i i , 1, la expresión (*) anterior, con matriz asociada diagonal.
Teorema 10.- “Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si k autovalores distintos ( k n ) de A, y Bi es una base del subespacio propio V , entonces B B B B es un sistema libre” libre” 1 , 2 ,
, k son
i
1
2
k
Teorema 11 y definición 6 .- “Si A es una matriz cuadrada de orden n y si su polinomio característico admite una raíz múltiple de orden k, se tiene dim V ( ) recibe el nombre de 1 dim dim V ( ) k . El valor multiplicidad geométrica del autovalor ”
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Demostración.- Supongamos que
K es
una raíz del 0 y x polinomio característico asociado, es decir p A x ). Sea un vector propio asociado ( Ax
n
B ai i 1
del espacio vectorial de referencia E. Es decir:
una base x
n
xa i
i
i 1
donde las xi son las coordenadas de x respecto de la base B. Así que xi serán las soluciones del sistema I n x 0 con soluciones no triviales, homogéneo: A es decir que: dimV r rg A I n n y dimV n r
( ). 0 , entonces 1 dimV Como V Supongamos
que
dimV h
(multiplicidad
, que serán, geométrica), sea a1 , , ah una base de V por tanto, vectores propios asociados al valor propio . n Luego la matriz asociada a f respecto de la base B ai i 1 será: Ih A ' A A 0 ' ' escrita por bloques, donde A’ es de orden h n h , y A’’ es cuadrada de orden n h . Luego el polinomio característico será: h x det A '' xI n h p A ( x) h k dimV k . Es Luego decir la multiplicidad geométrica asociada a cada autovalor es
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menor o igual que la multiplicidad algebraica de ese autovalor.
Teorema 12 (teorema de la diagonalización) .- “Los enunciados siguientes son equivalentes 1. Una matriz cuadrada A de orden n, es diagonalizable. 2. La unión B de las bases de los subespacios propios de A contiene n vectores. 3. Las multiplicidades algebraica y geométrica coinciden para cada autovalor: ma lg i mg eom i ”
Teorema 13.- “Si una una matriz cuadrada de orden n sobre K, posee n autovalores diagonalizable”.
distintos
en
K,
A
es
Corolario.- “Siendo A una matriz cuadrada de orden n con elementos de K, si K es algebraicamente cerrado, para que A sea diagonalizable es suficiente que todas las raíces de su polinomio característico sean simples”
