AULA 02 DERIVADAS LATERAIS E CONTINUIDADE (Itens 4.6 e 4.8 – p. 126 e 128)
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EXERCÍCIOS Sejam as funções f (x) e g (x).
4, <2 = 8 12, ≥ 2
e
5 , < 1 = 2 4, ≥1
(a) Verifique se f é derivável em x = 2. (b) Esboce o gráfico de f. (c) Verifique se g é derivável em x = 1. (d) Esboce o gráfico de g. 2
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (a)
4, <2 = 8 12, ≥ 2 2∆ = ′+ = lim ∆ ∆→ ∆→ 2 ∆ 8 ∆ = lim 2 ∆ 12 0= lim ∆→ ∆ ∆ 4∆ = lim ∆→ ∆ 4 = 0 4 = 4. ′+ = . 3
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (a)
4, <2 = 8 12, ≥ 2 2∆ = ′− = lim ∆ ∆→ ∆→ 2∆∆ 4 0 = lim∆→ ∆ ∆ 4∆ = lim = lim ∆→ ∆ 4 = 04 = 4. ′− = . 4
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (a)
4, <2 = 8 12, ≥ 2 ′+ = ′− = 4 Como
, concluímos que
′ = . é á = . 5
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (b )
4, <2 = 8 12, ≥ 2
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SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (c)
5 , < 1 = 2 4, ≥1 ′+ = ∆→ lim 1∆∆ = ∆→ 1∆ 4 = lim ∆ 1 ∆ 3= lim ∆→ ∆ ∆ 2∆ = lim ∆→ ∆ 2 = 02 = 2. ′+ = . 7
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (c)
5 , < 1 = 2 4, ≥1 ′− = ∆→ lim 1 ∆∆ = lim∆→ 2 1 ∆∆ 5 3
∆→ 22∆∆5 3 = lim∆→ 3 2∆ = lim ∆ 3 3 2∆ 3 2∆ = lim = lim ∆→ ∆ ∆→ ∆ = 2. ′− = .
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SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (c)
5 , < 1 = 2 4, ≥1 ′+ 1 = ≠ − 1 = Como
, concluímos que
′ ã é á = . 9
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS (d)
5 , < 1 = 2 4, ≥1 O ponto do gráfico onde as derivadas laterais são diferentes denomina-se . 10
FUNÇÃO DERIVÁVEL E CONTINUIDADE (
) Qual a afirmativa correta?
(
) Toda função f (x) derivável em x = a é contínua nesse ponto.
(
) Toda função f (x) contínua em x = a é derivável nesse ponto.
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4, <2 = 8 12, ≥ 2 ′ = f (x) é contínua e derivável em x = 2
5 , < 1 = 2 4, ≥1 ′ ã g (x) é contínua, mas não derivável em x = 1
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TEOREMA (4.6.1 – p. 126) Toda função derivável num ponto a é contínua nesse ponto.
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EXERCÍCIOS RECOMENDADOS 4.10 — p. 132:
1, 2, 3 e 4.
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