TEMA 4: LEY DE HOOKE GENERALIZADA Además de deformación unitaria axial asociado a barras cargadas normalmente, un cuerpo puede estar sometido a deformaciones unitarias cortantes, lo que está asociado a su vez con esfuerzos cortantes aplicados. Ahora bien un cuerpo sometidos a cargas axiales en el plano también genera esfuerzos cortantes, siempre y cuando existan esfuerzos desviatorios, vale decir si el .
Relaciones esfuerzo – deformación para cortante El cambio en el ángulo recto entre dos planos cualquiera imaginarios de un cuerpo define la deformación unitaria cortante γ . Para elementos infinitesimales, esos pequeños ángulos se miden en radianes. En el Tema 1 vimos que los esfuerzos cortantes sobre planos mutuamente perpendiculares son iguales, con lo que se observa la situación planteada en la figura para cortante puro.τ γ τγ
τ
τ
En numerosos problemas de ingeniería, los esfuerzos cortantes no superan el rango elástico del material. Para estos materiales, puede postularse una relación lineal entre el esfuerzo cortante puro y el ángulo γ . Luego, la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes tiene la forma:
Donde G es una constante de proporcionalidad llamada módulo de rigidez. Al igual que E, G es una propiedad específica para cada material.
Ley de Hooke generalizada Esta sección trata respecto de las relaciones que se pueden establecer entre los esfuerzos y deformaciones unitarias en un material continuo, homogeneo, isotrópico y linealmente elástico. Básicamente la ley de Hooke establece que existe una relación lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformación resultante. Durante este proceso tiene lugar una concentración o expansión lateral de un cuerpo, dependiendo de si el cuerpo es estirado o comprimido. La magnitud de la deformación lateral es formulada
anlíticamente usando la razón de Poisson. Esta situación se ilustra en la siguiente figura: σy
y
Forma final
y b
a
a
b
c
c x
z
Situación
x z σy
Para el caso de la figura la deformación en x y z es igual a deformación en y es deformación en z e y es
Paralelepípedo deformado debido a esfuerzos aplicados
y la
. Si el esfuerzo fuera sometido en la dirección x, la y la deformación en ex es
. Por último si el
esfuerzo es aplicado en la dirección de z la deformación es x e y es
y la
deformación en z es . Al superponer estas deformaciones unitarias se obtienen las expresiones completas para las deformaciones unitarias cuando se someten a esfuerzos triaxiales, vale decir:
Análogamente:
Por otro lado, las desangulaciones debido a esfuerzos cortantes están dadas por:
De la primera ecuación: (1) (2) (3) Sumando (2) y (3) se obtiene:
Despejando
queda:
(4) Ahora reemplazando (4) en (1) se obtiene:
Dividiendo por E y pasando el término
Despejando σx:
Desarrollando esta última expresión:
a la derecha queda:
Haciendo un poco más de trabajo algebraico:
Sea
, donde este último parámetro se llama coeficiente de Lamé,
se tiene:
Por analogía:
Los esfuerzos cortantes están definidos por:
Ejemplo 1 Un cubo de acero de 50 mm de lado está sometido a una presión uniforme de 200 MPa actuando sobre todas las caras. Determine el alargamiento de todas las direcciones del cubo. Sea E=200 GPa y µ=0,25.
Solución Se tiene que:
Reemplazando los datos:
Luego:
Como
, implica que
Relaciones entre E, G y Un estado de esfuerzos de cortante puro, como el de la figura mostrada a continuación, puede transformarse en un sistema equivalente de esfuerzos τ normales. D C
da
τ
A
B
da Para hacer la transformación dividimos el cuadrado ABCD por la diagonal DB y aislamos un elemento triangular, como se muestra en la figura que sigue: Nota: Para el cálculo de las fuerzas se supuso que la profundidad del cuadrado era dz, lo que implica que el área del cuadrado es dA
D
C
45°
A
B
Diagrama de fuerzas
De la figura se puede observar que las componentes de las fuerzas paralelas a la diagonal DB están en equilibrio. Por otra parte, las componentes paralelas a la diagonal AC forman una resultante dada por
, actuando normalmente
hacia DB. Esta fuerza es equilibrada por el esfuerzo normal σ1 que actúa sobre el área . Como estas dos fuerzas deben ser iguales, entonces σ1=τ. Estos esfuerzos se muestran en la siguiente figura, y no pueden ser tratados como fuerzas. D C
B Ahora aislando un elemento con lado AC, y realizando el mismo procedimiento se obtienen los esfuerzos mostrados en la figura que continua:
Además σ3=τ. Los resultados de los dos análisis se muestran en la figura que se muestra a continuación:
45°
La representación de los esfuerzos mostrados en la figura de arriba es completamente equivalente a la situación original, vale decir a la de cortante puro. Por lo tanto, un esfuerzo cortante puro en un punto puede ser representado alternativamente por los esfuerzos normales a 45° con las direcciones de los esfuerzos cortantes, numéricamente estos esfuerzos son:
Considere el elemento deformado de la figura de más abajo. Determinaremos la deformación unitaria en la diagonal AC de dos maneras distintas: a través de los esfuerzos cortantes en primer lugar y luego a partir de los esfuerzos normales equivalentes.
da D
D´
C
C´
da 45°
A
γ
B
Considerando sólo deformaciones infinitesimales, se puede trabajar con las siguientes aproximaciones:
Se infiere que el desplazamiento CC´ debido a esfuerzos cortantes está dado por . La proyección de este desplazamiento, que con el orden de aproximación adoptado, es igual al alargamiento AC, es: Ahora, como la longitud de la diagonal AC es
.
implica que la deformación
unitaria normal es:
De la ley de Hooke tenemos:
Ahora, usando los esfuerzos normales equivalentes que calculamos anteriormente y teniendo presente que en el caso de esfuerzos principales:
En el caso particular analizado:
Igualando las dos expresiones que definen la deformación unitaria a lo largo de la diagonal se obtiene:
Esta relación muestra que E, G y µ no son independientes. Por tanto si dos cualquiera de ellas se determinan experimentalmente, la tercera puede calcularse. También se puede rescatar que G siempre es menor que E, puesto que la razón de Poisson siempre tiene valores positivos del orden de 0,25.
Dilatación
El objetivo de esta sección es determinar una ecuación para los cambios volumétricos en materiales elásticos sometidos a esfuerzos. Los lados de un elemento infinitesimal dx, dy, dz después de deformarse se convierten en
, respectivamente. Luego el
volumen del elemento esta dado por:
Luego, la diferencia de volumen es:
Bajo la hipótesis de deformaciones infinitesimales se desprecian los términos de segundo y tercer orden en el paréntesis, con lo que la expresión queda:
Luego el cambio de volumen por unidad de volumen es:
e se llama dilatación
Sumando queda:
Lo que significa que la dilatación es proporcional a la suma algebraica de los esfuerzos normales.
TEMA 5: TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES UNITARIAS En este capítulo se analiza un procedimiento formal para cambiar las componentes del estado de esfuerzos o deformación unitaria en un conjunto de ejes coordenados, a otro conjunto de ejes girados. En ambos casos, el análisis se confina a problemas en dos dimensiones. La posibilidad de transformar un estado dado de esfuerzos que implique esfuerzos normales y cortantes a cualquier otro conjunto de ejes girados, permite examinar el efecto de tales esfuerzos sobre un material. De esta manera pueden hacerse hipótesis relativas a los criterios de falla. Este importante tema será tratado en particular para rocas en los cursos de geología y geomecánica. Supongamos un elemento, por ejemplo una viga, que está sometida a esfuerzos normales a ella debido a una tensión axial y a esfuerzos cortantes directos. Si analizamos un punto de la viga, podemos observar que por él pasan infinitos planos, luego el estado de esfuerzos se puede describir de distintas maneras que son todas equivalentes.
Transformaciones de esfuerzos en problemas bidimensionales En esta sección obtendremos ecuaciones en forma algebraica para los esfuerzos normales y cortantes que actúan en un plano inclinado. Tales expresiones se llaman ecuaciones de transformación de esfuerzos. Estas ecuaciones se basan en los esfuerzos inicialmente dados que actúan sobre un elemento de orientación conocida y en el plano que se está investigando, definido por una normal a él. Las ecuaciones se desarrollaron considerando un elemento de espesor unitario en un estado de esfuerzos bidimensional xy, que será transformado a los ejes x´y´. En este curso se utilizará la siguiente convención de signos:
La siguiente figura representa el estado de esfuerzos inicial de esfuerzos y las convenciones de signos adoptadas en este apunte. El plano donde se quiere obtener los esfuerzos normal y cortante es CB, para analizar los esfuerzos en el plano inclinado se aísla la cuña infinitesimal ABC.
x´
θ
C
θ
τ
x
σy
τ yx
D
xy
σx
σx τ xy
A y
E
B σy
y´
τ yx
Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de esfuerzos positivos
En la siguiente figura se muestran los esfuerzos asociados a la separación de la cuña ABC respecto de la figura inicial (recuerde el método de las secciones)
C τ
xy
x´ σx
σx
´
σy
A
τ yx
σy
B
´
y´
Cuña ABC aislada de la figura inici al. Se considera que el á área generada por el lasdo BC de esta cuña es dA.
Ahora vamos a obtener las fuerzas en las caras de la cuña asociados a los esfuerzos a la que está sometida.
C
x´
A
B
´
y´ Fuerzas que actúan n la cuña ABC
El siguiente paso consiste en aplicar las leyes de la estática en el eje y´ y x´ con el fin de conocer los esfuerzos que actúan en la cara BC de la cuña:
Desarrollando un poco la expresión y despejando σx´ queda:
Ahora
, luego:
Se tiene además que:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación anterior queda:
Reordenando esta expresión queda:
Haciendo equilibrio de fuerzas en el eje y´, se tiene:
Reduciendo términos, simplificando y despejando
τx´y´
queda:
Las expresiones deducidas son las ecuaciones generales para los esfuerzos normales y cortantes, respectivamente, que actúan sobre cualquier plano localizado por el ángulo θ y causado por un sistema conocido de esfuerzos. Esas relaciones son las ecuaciones para la transformación del esfuerzo de un sistema de ejes coordenados inicial a uno rotado respecto a este último. Reemplazando θ por θ + 90° en las dos ecuaciones se obtiene el esfuerzo normal en y´ σy´ y el esfuerzo tangencial τy´x´. Algebraicamente estos esfuerzos son:
Haciendo
queda:
Esto significa que la suma de los esfuerzos normales sobre dos planos perpendiculares cualquiera permanece constante independiente del ángulo θ . A esta suma se le llama invariante de esfuerzo.
Esfuerzos principales A menudo el interés, en el análisis de esfuerzos, se centra en los esfuerzos máximos a los que está sometido un elemento. Para encontrar tales esfuerzos la ecuación general para los esfuerzos normales y cortantes se deriva respecto a θ y luego se iguala a 0. En esta sección haremos una deducción de las expresiones que nos entregan los esfuerzos normales máximos o esfuerzos principales. Procediendo como habíamos enunciado en el párrafo anterior se obtiene:
Dividiendo la expresión por cos 2 θ queda:
Despejando tg 2θ se tiene:
El subíndice del ángulo θ se utiliza para designar el ángulo que define el plano del esfuerzo normal máximo o mínimo. La ecuación anterior tiene dos raíces pues la función tangente es periódica de período π, ahora como la tangente de la ecuación anterior corresponde a un ángulo doble implica que las dos raíces de θ 1 están a 90° entre sí. Una de las raíces localiza el plano donde se encuentra el esfuerzo normal máximo; mientras que la otra localiza al plano donde actúa el esfuerzo normal mínimo. Para encontrar el esfuerzo normal máximo mínimo encontraremos las siguientes funciones trigonométricas previamente:
Reemplazando estas expresiones en:
Queda:
Reduciendo términos:
Mediante el mismo procedimiento se obtiene:
Ahora, si queremos obtener los planos donde el esfuerzo cortante es nulo hacemos:
Con lo que obtenemos:
Vale decir, la misma expresión que obtuvimos al tratar de encontrar los esfuerzos normales máximos, esto implica que en los planos donde actúan esfuerzos principales los esfuerzos cortantes son nulos.
Esfuerzos cortantes máximos Usando el mismo procedimiento que para el esfuerzo normal, se tiene:
Dividiendo por cos 2 θ se tiene:
Luego:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación general:
Queda:
Ahora bien, al igual que en la sección anterior la tangente entrega dos raíces que están a 90 grados una de otra, luego haciendo el procedimiento análogo al que hicimos hasta acá obtenemos:
Esto significa que la magnitud de los esfuerzos de corte máximo y mínimo es igual. El signo no tiene ningún sentido físico, surgen de la convención para localizar los planos donde estos actúan, por tanto el esfuerzo cortante
encontrado bajo este procedimiento será llamado esfuerzo cortante máximo independiente del signo. Otro aspecto a considerar es que:
Luego las raíces para los ángulos dobles de los esfuerzos normales con respecto de los esfuerzos cortantes están a 90° unas de otras, lo que implica que los planos que localizan los esfuerzos cortantes máximos están a 45° respecto de los planos principales. El sentido del esfuerzo cortante puede ser determinado por sustitución directa de la raíz particular de θ 2 en la ecuación general que define el esfuerzo cortante en cualquier plano. Un esfuerzo cortante positivo indica que actúa según la orientación definida en la siguiente figura:
C τ xy
σx
σx
´
σy
A
τ
B
´
yx
σy
La determinación del esfuerzo cortante máximo es de la mayor importancia en materiales cuya resistencia al corte es débil. A diferencia de los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes máximos actúan sobre planos que usualmente no están libres de esfuerzos. Haciendo una sustitución de θ2 en la ecuación general de esfuerzos normales se obtiene:
Por tanto, un esfuerzo normal actúa simult´paneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que:
Circulo de Mohr En esta sección analizaremos las expresiones obtenidas para el esfuerzo normal y cortante en cualquier plano, vale decir:
Esto permitirá interpretarlas gráficamente. Se persigue con esto dos objetivos: tener una mejor idea del problema general de la transformación de esfuerzos y con la ayuda de la construcción gráfica obtener una solución más rápida de los problemas de transformación de esfuerzos. De la primera ecuación obtenemos:
Elevando al cuadrado:
(1) De la segunda ecuación:
Elevando al cuadrado:
(2) Sumando (1) y (2) queda:
Reduciendo términos:
En un problema dado σx, σy y τxy son conocidos. Sea:
Reemplazando estas expresiones en (3) queda:
Está última expresión corresponde a la ecuación de la circunferencia de centro τ en (a,0) y radio b. Por consiguiente, si se grafica un círculo que satisfaga esta ecuación, los τ valores simultáneos de un punto (x,y) sobre este círculo má representan a σx´ y τx´y´ para una orientación particular de un pano inclinado. La (σxel ,τxy ordenada dex un punto sobre el círculo es esfuerzo cortante τx´y´, mientras que ) la abscisa es el esfuerzo normal2 σx´. El círculo así construido se llama circulo de 2 Mohr para esfuerzos. En la figura siguiente se muestra el círculo de Mohr. O
2
σ3
1
σ1
σ
(σy,τ min
)
τ xy
Circulo de Mohr: Se puede observar que con los datos de entrada ( x,τxy) y ( y,-τxy) se pueden obtener los esfuerzos en cualquier plano inclinado del elemento de manera gráfica mediante el círculo de Mohr
Pueden hacerse las siguientes importantes observaciones relativas al estado de esfuerzos en un punto con base al círculo de Mohr: 1. El esfuerzo normal máximo posible es σ1; el mínimo es σ3. Ningún esfuerzo cortante existe junto con cualquiera de esos esfuerzos principales. 2. El esfuerzo cortante máximo es numéricamente igual al radio del círculo. Un esfuerzo normal igual a
actúa sobre cada uno de los planos de
esfuerzo cortante máximo. 3. Si σ1=σ3, el círculo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningún esfuerzo cortante se desarrolla en el plano XY. 4. Si , el centro del círculo de Mohr coincide con el origen de las coordenadas y entonces existe el estado de cortante puro. 5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente perpendiculares cualquiera es invariable.
Construcción del Círculo de Mohr La representación gráfica de la transformación de los estados bidimensionales de esfuerzo de un conjunto de coordenadas a otro rotado usando un círculo de Mohr ofrece una vista de conjunto de una solución y es útil en algunas aplicaciones. Se dan a continuación dos procedimientos relativos para obtener tales soluciones. En el primer procedimiento se muestran claramente los planos físicos sobre los que actúan los esfuerzos transformados; en el segundo, la deducción de la transformación del esfuerzo es más sencilla, aunque la determinación de la dirección del esfuerzo transformado es algo menos conveniente. Escoger un x´ método u otro es asunto de preferencia.
Método 1: El problema consiste en construir el circulo de Mohr para los esfuerzos σx, θσy y τxy y luego determinar x el estado de esfuerzos sobre un plano σy arbitrario. τ a
C
θ
τ
yx
D
xy
σx
σx τ
A y
y´
B
τ
σy
xy
E yx
a
Estado de esfuerzos original. Se ilustra además el sentido de esfuerzos positivos
El centro C de un círculo de Mohr se localiza sobre el eje σ a una distancia del origen. El punto A sobre el círculo tiene la coordenadas ( σx,-τxy) correspondientes a los esfuerzos que actúan sobre la cara derecha del elemento en la dirección positiva de los ejes coordenadas. El punto A se le llamará origen de los planos. Esta información es suficiente para dibujar un círculo de Mohr. τ
A(σ ,x )
τ xy
τ
O
σ3
σ1
A(σ ,x )
(σy,τxy B ) O
2
σ3
σ
τ xy
1
J σ1
σ
(σy,τxy B ) El siguiente paso consiste en dibujar sobre el círculo una línea por A paralela al plano a-a en el plano físico del elemento infinitesimal. La intersección de esta línea con el círculo entrega el esfuerzo que actúa sobre el plano a-a (punto J).
Para comprobar esto revisaremos en detalle la construcción geométrica del círculo de Mohr. De acuerdo a la figura:
Y se tiene además:
Estas expresiones son idénticas a las deducidas analíticamente. Sin embargo, se debe considerar que consideramos que los esfuerzos cortantes positivos, en el círculo se dibujan como negativos.
Método 2: Igual que antes, el centro C del círculo de Mohr se localiza en De nuevo, la cara derecha del elemento define a σx y punto sobre el círculo. Sin embargo, •
Si
, éste se dibuja hacia abajo en el eje
•
Si
, éste se dibuja hacia arriba en el eje
.
, usados para localizar un
τxy
τ
y
τ
Las coordenadas σx yτ τxy localizan el punto gobernante A sobre el círculo. El punto B dado por σy y -τxy, puede localizarse sobre el círculo mediante las mismas reglas que las enunciadas anteriormente para el esfuerzo de corte. A continuación la recta AB es J girada un ánguloA2 θ en el mismo sentido que el eje x´ con respecto al eje x. El nuevo punto J determina los esfuerzos que actúan en τ < xyes negativo el plano inclinado. Si τx´y´ está por sobre el eje τ el esfuerzo cortante 2 0 y viceversa 2 O
1
σ3
σ1
σ
B
Transformación de la deformación unitaria: Enfoque geométrico
Para tratar este tema es conveniente previamente establecer la convención de signos para las deformaciones y desangulaciones unitarias: •
Las deformaciones unitarias normales εx y εy correspondientes a elongaciones en x e y, respectivamente, se toman como positivas.
•
La deformación unitaria cortante se considera positiva si el ángulo de 90° entre los ejes x e y se vuelve más grande. Por conveniencia, al deducir las ecuaciones de transformación de la deformación unitaria, el elemento
A´ A
O A ´´ A´
O A´´ A ´´ ´
O
distorsionado por una deformación unitaria cortante se tomará como el mostrado en el tercer caso de la siguiente figura:
y y´ Ahora, suponga que se conocen las deformaciones unitarias εx, εy, γ xy asociadas con los ejes xy y que se requiere la deformación unitaria extensional a lo
A´´ A ´ ´´ A A´
B
x´
dy θ
O
C
d x dx´
x
largo de un nuevo eje x´. El nuevo sistema de ejes x´y´ está relacionado con los ejes xy como se muestra en la figura de la derecha:
En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx´ de largo, puede imaginarse como una diagonal de un elemento diferencial rectangular de dimensiones dx por dy en las coordenadas iníciales. Considerando el punto O fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A causados por las deformaciones unitarias impuestas sobre una base diferente en los dos sistemas coordenados: •
Desplazamiento en la dirección x
•
Desplazamiento en la dirección y
•
Desplazamiento debido a la deformación unitaria cortante: se supone que ella causa desplazamiento horizontal:
Proyectando estos desplazamientos sobre el eje x´, se encuentra el desplazamiento del punto A a lo largo del eje x´. Ahora, por definición, en el sistema coordenado x´y´es también el alargamiento en OA, luego se tiene la siguiente igualdad:
Pero:
Luego:
Esta ecuación es la expresión básica para la transformación de la deformación unitaria en un plano en una dirección arbitraria definida por el eje x´. Ahora, estudiemos la transformación de la deformación unitaria cortante. Para este fin considere la figura que se muestra a continuación:
Por definición la deformación unitaria cortante para este elemento es el cambio en el ángulo AOB. De la figura el cambio en este ángulo es negativo pues el ángulo recto se reduce.
, el signo es
Para deformaciones pequeñas el ángulo α puede determinarse proyectando los desplazamientos AA´, A´A´´, A´´A´´´ sobre una normal al eje x´ y luego dividiendo por dx´:
Por un razonamiento análogo,
Por lo tanto:
Esta es la segunda expresión fundamental para la transformación de la deformación unitaria. Las ecuaciones básicas para la transformación de la deformación unitaria en un plano son análogas a las ecuaciones para la transformación del esfuerzo en dos dimensiones. Esto se debe a que los esfuerzos y las deformaciones unitarias son tensores de segundo rango y matema´ticamente obedecen a las mismas leyes de transformación.
Ejercicios 1) En el interior de un sólido deformable el estado tensional es el indicado en la Figura. Si las tensiones admisibles del material son: σ ADM TRACC = 50 Mpa, σ ADM COMP = 60 MPa yτ ADM = 20 Mpa, se le solicita: a) Calcular la máxima tensión cortante que se puede producir en el punto del sólido elástico indicado en la Figura cumpliendo con los esfuerzos admisibles del material. b) Determine el plano en donde se da este máximo esfuerzo cortante
48 MPa
35 MPa
Solución:
Se utilizan las siguientes ecuaciones:
Ahora τxy=0, lo que implica que:
Ahora, las funciones trigonométricas siguientes deben estar en los siguientes rangos:
Implica que: •
Para el primer caso los ángulos que hacen máximo y mínimo al esfuerzo normal son 90° y 0°, respectivamente, estos ángulos entregan la siguiente expresión:
Consecuentemente el esfuerzo normal se encuentra en el siguiente rango:
Por lo tanto nunca supera los esfuerzos admisibles del material. •
Para el segundo caso los ángulos que hacen máximo y mínimo al esfuerzo cortante son 45° y 135°, respectivamente, estos ángulos entregan la siguiente expresión:
Luego los esfuerzos cortantes se encuentran en el siguiente rango:
Esto supera los esfuerzos admisibles del material, por tanto el esfuerzo cortante máximo posible es 20 (MPa) y corresponde al esfuerzo cortante admisible del material. Ahora para calcular el plano donde se da esto utilizamos nuevamente la siguiente ecuación:
Igualando esta ecuación a 20 (MPa) y reemplazando los valores de σx y σy se obtiene:
2) Después del montaje de una estructura pesada se estima que el estado de esfuerzo en la cimentación de roca será esencialmente bidimensional tal como muestra la figura. Si la roca esta estratificada de manera que los estratos forman un ángulo de 30 ° con la vertical, ¿es permisible realizar este montaje?. Suponga que el coeficiente de fricción estático de roca sobre roca es de 0,50 y que a lo largo de los planos de estratificación la cohesión es de 85 kN/m 2
Solución: Primero “homogeneizaremos” las unidades:
Luego:
En segundo lugar para determinar el máximo esfuerzo cortante que puede soportar la roca utilizaremos la relación de Mohr-Coulomb (que será explicada en los ramos de geología y geomecánica):
Siendo c, la cohesión de la roca; σ el esfuerzo normal en el plano que se está analizando y tg φ el coeficiente de fricción en el plano, por lo tanto, reemplazando los valores:
Para obtener σ utilizamos la siguiente ecuación:
Reemplazando los valores se obtiene:
Luego:
Con la siguiente ecuación determinaremos el esfuerzo cortante en el plano de estratificación:
Luego, el esfuerzo cortante a que es solicitada la estructura es mayor a la resistencia al corte de ella, esto implica que va a fallar y por tanto no es factible realizar el montaje.
3) Tres hilos de acero, AD, BD y CD de sección transversal de área A = 0,0075 cm2, módulo de elasticidad E = 2,1 * 10 6 N/cm2 y largo 60 cm están colocados en un plano vertical formando un ángulo de 120 ° entre sí de modo que inicialmente existe una tensión de 850 N en cada hilo. Si se aplica enseguida una fuerza de 800 N en la dirección del hilo DC, determinar: a) La tensión resultante en cada hilo b) Los alargamientos o acortamientos adicionales que experimentan los hilos por sobre los que tenían antes de aplicar la fuerza de 800 N.
4) Se tiene una barra estructural AB conformada por rotación de la función 2 2ay en torno al eje Y, que esta empotrada en A y que lleva una carga x vertical Q en su extremo libre B. Paralelamente se tiene otra barra estructural CD cuya forma es la de un cilindro circular recto de radio 2a y largo L/2 empotrada en C y sujeta a una carga vertical idéntica Q en su extremo libre D. Las dos barras se suponen de acero con un peso específico ρ =78 dinas/cm3 y módulo de elasticidad E = 2,1 * 10 6 N/cm2. Determinar: =
a) El largo de la barra AB para que el esfuerzo axial A sea idéntico al de la barra CD en C. b) Si a =1 cm y L =90 cm determinar la diferencia en longitud que experimentan las barras por efecto de sus propios pesos y de la carga Q aplicada en el extremo siendo el valor de Q = 1000 N.
Solución Empezaremos por analizar la barra de la derecha por ser la más simple Haciendo equilibrio estático:
Para obtener el esfuerzo dividimos la reacción en C por el área respectiva que es , se tiene entonces:
Ahora para la barra derecha:
El área en A está dada por:
luego el esfuerzo en A es:
Igualando los dos esfuerzos se obtiene:
Simplificando:
Desarrollando la igualdad:
Luego:
Reemplazando el valor del peso específico:
y puede tomar dos valores, se toma el valor más “razonable” Reemplazando los valores:
