6.5 Flexión asimétrica Al desarrollar la formula de la flexión se impuso la condición de que el área de la sección transversal fuese simétrica respecto a un eje perpendicular al eje neutro; además el momento interno resultante M actúa a lo largo del eje neutro, tal es el caso de las secciones en¨T¨ o de canal que se muestra en la figura
Momento aplicado alrededor del eje principal Considere que la sección transversal de la viga tiene una forma asimétrica como la mostrada en la figura (a). Al igual que en la sección 6.4, el sistema de coordenadas derecho x , y, y, z se establecerá de manera que el origen se encuentren el centroide C de la sección transversal, y el momento interno resultante M actué a lo largo del eje +z
Momento aplicado alrededor del eje principal Considere que la sección transversal de la viga tiene una forma asimétrica como la mostrada en la figura (a). Al igual que en la sección 6.4, el sistema de coordenadas derecho x , y, y, z se establecerá de manera que el origen se encuentren el centroide C de la sección transversal, y el momento interno resultante M actué a lo largo del eje +z
Momento aplicado alrededor del eje principal Como se muestra en la sección 6.4, en la ecuación 6-14 se cumple ya que el eje z pasa por el e l centroide del área. Además como el eje z representa el eje neutro de la sección transversal, el esfuerzo lineal varia linealmente desde cero en el eje neutro hasta un máximo en y=c figura(b)
Momento aplicado arbitrariamente En ocasiones un elemento puede cargarse de modo que M no actué sobre uno de los ejes principales de la sección transversal . Cuando esto ocurre el momento deberá primero descomponerse en sus componentes dirigidos a lo largo de los ejes principales, después puede usarse la formula de la flexión para determinar el esfuerzo normal causado por cada componente del momento
Orientación del eje neutro El ángulo α del eje neutro en la figura(d) puede determinarse al aplicar la ecuación 6-17 con σ=0, ya que por definición no actúa esfuerzo normal sobre el eje neutro se tinene
Ejemplo 6.15 La sección transversal rectangular que se muestra en la figura esta sometida a un momento flexionante de M=12kN·m. determine el esfuerzo normal desarrollado en cada esquina de las sección, y especifique la orientación del eje neutro Componentes del momento interno
Propiedades de la sección
Ejemplo 6.15 La sección transversal rectangular que se muestra en la figura esta sometida a un momento flexionante de M=12kN·m. determine el esfuerzo normal desarrollado en cada esquina de las sección, y especifique la orientación del eje neutro Esfuerzo flexionante
Orientación del eje neutro
Ejemplo 6.16 La sección en Z de la figura esta sometida al momento flexionante de M= 20kN·m. Con base en los métodos del apéndice A , los ejes principales y y z se orientan de la manera mostrada para representar los momentos de inercia principales mínimo y máximo, Iy=0.960(10-3)m4 e Iz=7.54(10-3)m4, respectivamente. Determine el esfuerzo normal en el punto P y la orientación del eje neutro Componentes del momento interno
Las coordenadas de P son -0.2 m, 0.35 m
Esfuerzo flexionante
Ejemplo 6.16 La sección en Z de la figura esta sometida al momento flexionante de M= 20kN·m. Con base en los métodos del apéndice A , los ejes principales y y z se orientan de la manera mostrada para representar los momentos de inercia principales mínimo y máximo, Iy=0.960(10-3)m4 e Iz=7.54(10-3)m4, respectivamente. Determine el esfuerzo normal en el punto P y la orientación del eje neutro Orientación del eje neutro El ángulo = 57.1°
Problema 6.109 La viga esta sometida a un momento flexionante de M=20 kip·pie dirigido como se muestra en al figura. Determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga y la orientación del eje neutro
Problema 6.117 La viga de acero voladizo con perfil en I de ala ancha esta sometida a la fuerza concentrada de P=600 N en uno de sus extremos. Determine el esfuerzo flexionante máximo desarrollado en la sección A de la viga
6.6 Vigas compuestas Las vigas fabricadas con dos o mas materiales diferentes se conocen como vigas compuestas. Los ingenieros diseñan vigas de esta forma con el propósito de desarrollar un medio mas eficiente para soportar cargas. En esta sesión se desarrollara un método para modificar o transformar la sección transversal de una viga compuesta en una viga fabricada con un solo material.
Para explicar como se hace esto. Considere una viga compuesta de dos materiales 1 y 2, que tienen el área de la sección transversal mostrada en al figura(a)
Por ejemplo, si se considera que la viga consiste enteramente del material 2 que es el menos rígido, entonces la sección transversal será similar a la mostrada en la figura(e). Aquí la altura h se conserva, y la parte superior de la viga debe ensancharse igual a b2=nb. lo mismo ocurre para el material 1 mas rígido, acá la anchura del material 2 se ha cambiado a b1=n´ b, donde n´=E2/E1
6.7 Vigas de concreto reforzado Todas las vigas sometidas a flexión pura deben resistir tanto esfuerzo de tensión como de compresión. Sin embargo, el concreto es muy susceptible al agrietamiento cuando se encuentra en tensión, y por lo tanto no resulta adecuado por si mismo para resistir un momento flexionante.
Ejemplo 6.17 Una viga compuesta esta fabricada de madera y reforzada con un franja de acero situada en su parte inferior. Tiene el área de la sección transversal mostrada en al figura. Si la viga se somete a un momento flexionante de M=2kN·m, determine el esfuerzo normal en los puntos B y C. Considere que Ew=12 Gpa y Eac=200GPa Propiedades de la sección
Ejemplo 6.17 Una viga compuesta esta fabricada de madera y reforzada con un franja de acero situada en su parte inferior. Tiene el área de la sección transversal mostrada en al figura. Si la viga se somete a un momento flexionante de M=2kN·m, determine el esfuerzo normal en los puntos B y C. Considere que Ew=12 Gpa y Eac=200GPa Esfuerzo normal
Ejemplo 6.18 La viga de concreto reforzado tiene el área de la sección transversal mostrado en la figura . Si se somete a un momento flexionante de M = 60 kip-pie, determine el esfuerzo normal en cada una de las varillas de acero de refuerzo y el esfuerzo normal máximo en el concreto. Considere que Eac=29 (103) ksi y Econcr=3.6(103) ksi. Propiedades de la sección
Ejemplo 6.18 La viga de concreto reforzado tiene el área de la sección transversal mostrado en la figura . Si se somete a un momento flexionante de M = 60 kip-pie, determine el esfuerzo normal en cada una de las varillas de acero de refuerzo y el esfuerzo normal máximo en el concreto. Considere que Eac=29 (103) ksi y Econcr=3.6(103) ksi.
Esfuerzo normal
6.8 Vigas curvas La formula de la flexión aplicable para un elemento recto, ya que se demostró que la deformación normal dentro de dicho elemento varia linealmente desde el eje neutro. Sin embargo si el elemento es curvo, esta suposición se vuelve inexacta, por lo que debe desarrollarse otro método para describir la l a distribución de esfuerzos.
6.8 Vigas curvas
=E.є
σ
6.8 Vigas curvas La integral de la ecuación anterior se ha evaluado para secciones transversales con distintas geometrías y los resultados para algunas de las formas se pueden ver en la siguiente tabla.
6.8 Vigas curvas
6.8 Vigas curvas
Estas dos ecuaciones representan dos formas distintas de expresión conocida como formula de la viga curva, que al igual que la formula de la flexión puede usarse para determinar la distribución del esfuerzo normal en un elemento curvo. Esta distribución es hiperbólica como se puede ver en las figuras.
Ejemplo 6.19 La barra curva tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Si se somete a los momentos de flexión de 4kN·m, determine el esfuerzo máximo normal desarrollado en la barra Propiedades de la sección
Según tabla 6.1
Ejemplo 6.19 La barra curva tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Si se somete a los momentos de flexión de 4kN·m, determine el esfuerzo máximo normal desarrollado en la barra
Esfuerzo normal
6.9 Concentración de esfuerzo La formula de la flexión no puede usarse para determinar la distribución de esfuerzos en las regiones de un elemento donde el área de la sección transversal cambia de manera súbita, ya que las distribuciones del esfuerzo normal y de la deformación en la sección se vuelven no lineales
6.9 Concentración de esfuerzo
Ejemplo 6.20 La transición en el área de la sección transversal de la barra de acero se logra mediante filetes, como se muestra en la figura. Si la barra esta sometida a un momento flexionante de 5kN·m, determine el esfuerzo máximo normal desarrollado en el acero. El limite de elasticidad es σy=500MPa
Problema 6.158 La placa simétrica con muescas esta sometida a flexión. Si el radio de cada muesca es r = 0.5 pulg y el momento aplicado es M = 10 kip.pie, determine el esfuerzo flexionante máximo en la placa.
Problema 6.164 La barra escalonada tiene u grosor de 15 mm. Determine el momento máximo que pueda aplicarse en sus extremos, si esta hecha de un material con un esfuerzo flexionante permisible de 200 Mpa.
Problema 6.127 La viga compuesta esta fabricada de aluminio 6061-T6(A) y latón rojo C83400(B). Determine la dimensión h de la franja de latón de modo que el eje neutro de la viga se ubique en la costura de los 2 metales. ¿Qué momento máximo soportara esta viga si el esfuerzo flexionanté permisible para el aluminio es ( σ perm)al=128MPa, y para el latón es(σ perm)br=35MPa? Propiedades de la sección
Problema 6.127 La viga compuesta esta fabricada de aluminio 6061-T6(A) y latón rojo C83400(B). Determine la dimensión h de la franja de latón de modo que el eje neutro de la viga se ubique en la costura de los 2 metales. ¿Qué momento máximo soportara esta viga si el esfuerzo flexionanté permisible para el aluminio es( σ perm)al=128MPa, y para el latón es(σ perm)br=35MPa? Esfuerzo de flexión permisible Asumir falla del latón rojo
Ans Asumir falla del aluminio
Problema 6.129 El segmento A de la viga compuesta esta fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. si w=0.9kip/pie, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto desarrollado en el aluminio y el acero. Dibuje la distribución del esfuerzo en la sección transversal
Problema 6.129 El segmento A de la viga compuesta esta fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. si w=0.9kip/pie, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto desarrollado en el aluminio y el acero. Dibuje la distribución del esfuerzo en la sección transversal
Momento máximo
Problema 6.129 El segmento A de la viga compuesta esta fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. si w=0.9kip/pie, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto desarrollado en el aluminio y el acero. Dibuje la distribución del esfuerzo en la sección transversal Propiedades de la sección
Problema 6.129 El segmento A de la viga compuesta esta fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. si w=0.9kip/pie, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto desarrollado en el aluminio y el acero. Dibuje la distribución del esfuerzo en la sección transversal Máximo esfuerzo de flexión
Problema 6.130 El segmento A de la viga compuesta esta fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. Si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio y el acero es (σ perm)al=15ksi y (σ perm)ac=22ksi. Determine la intensidad máxima permisible w de la carga uniforme distribuida
Problema 6.130 El segmento A de la viga compuesta esta fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. Si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio y el acero es (σ perm)al=15ksi y (σ perm)ac=22ksi. Determine la intensidad máxima permisible w de la carga uniforme distribuida
Máximo momento
Problema 6.130 El segmento A de la viga compuesta esta fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. Si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio y el acero es (σ perm)al=15ksi y (σ perm)ac=22ksi. Determine la intensidad máxima permisible w de la carga uniforme distribuida Propiedades de la sección
Problema 6.130 El segmento A de la viga compuesta esta fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. Si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio y el acero es (σ perm)al=15ksi y (σ perm)ac=22ksi. Determine la intensidad máxima permisible w de la carga uniforme distribuida
Esfuerzo de flexión
Problema 6.134 El elemento tiene un núcleo de latón unido a una fundición de acero. Si se aplica un momento de 8 kN-m en su extremo libre , determine el esfuerzo flexionante máximo en el momento. Ebr=100 Gpa, Eac=200GPa
Problema 6.134 El elemento tiene un núcleo de latón unido a una fundición de acero. Si se aplica un momento de 8 kN-m en su extremo libre , determine el esfuerzo flexionante máximo en el momento. Ebr=100 Gpa, Eac=200GPa
Esfuerzo máximo en acero
Esfuerzo máximo en latón
Problema 6.138 La viga de concreto esta reforzada con tres varillas de acero con un diámetro de 20 mm. Suponga que el concreto no pueda soportar cargas de tensión. Si el esfuerzo de compresión permisible para el concreto es (σ perm)con=12.5MPa y el esfuerzo permisible de tensión para el acero es (σ perm)ac=220MPa, determine la dimensión d requerida para que tanto el concreto como el acero alcancen simultáneamente el esfuerzo permisible. A esta condición se le llama ´equilibridad´. Además calcule el correspondiente momento interno máximo permisible M que se puede aplicar a la viga. Los módulos de elasticidad para el concreto y el acero son Econ=25 Gpa, Eac=200GPa, respectivamente
Problema 6.138 La viga de concreto esta reforzada con tres varillas de acero con un diámetro de 20 mm. Suponga que el concreto no pueda soportar cargas de tensión. Si el esfuerzo de compresión permisible para el concreto es (σ perm)con=12.5MPa y el esfuerzo permisible de tensión para el acero es (σ perm)ac=220MPa, determine la dimensión d requerida para que tanto el concreto como el acero alcancen simultáneamente el esfuerzo permisible. A esta condición se le llama ´equilibridad´. Además calcule el correspondiente momento interno máximo permisible M que se puede aplicar a la viga. Los módulos de elasticidad para el concreto y el acero son Econ=25 Gpa, Eac=200GPa, respectivamente Esfuerzo de flexión
Problema 6.138 La viga de concreto esta reforzada con tres varillas de acero con un diámetro de 20 mm. Suponga que el concreto no pueda soportar cargas de tensión. Si el esfuerzo de compresión permisible para el concreto es (σ perm)con=12.5MPa y el esfuerzo permisible de tensión para el acero es (σ perm)ac=220MPa, determine la dimensión d requerida para que tanto el concreto como el acero alcancen simultáneamente el esfuerzo permisible. A esta condición se le llama ´equilibridad´. Además calcule el correspondiente momento interno máximo permisible M que se puede aplicar a la viga. Los módulos de elasticidad para el concreto y el acero son Econ=25 Gpa, Eac=200GPa, respectivamente Ecuación 1 en 2
Propiedades de la sección
Problema 6.138 La viga de concreto esta reforzada con tres varillas de acero con un diámetro de 20 mm. Suponga que el concreto no pueda soportar cargas de tensión. Si el esfuerzo de compresión permisible para el concreto es (σ perm)con=12.5MPa y el esfuerzo permisible de tensión para el acero es (σ perm)ac=220MPa, determine la dimensión d requerida para que tanto el concreto como el acero alcancen simultáneamente el esfuerzo permisible. A esta condición se le llama ´equilibridad´. Además calcule el correspondiente momento interno máximo permisible M que se puede aplicar a la viga. Los módulos de elasticidad para el concreto y el acero son Econ=25 Gpa, Eac=200GPa, respectivamente Propiedades de la sección
Resolviendo 3 en 4
Problema 6.138 La viga de concreto esta reforzada con tres varillas de acero con un diámetro de 20 mm. Suponga que el concreto no pueda soportar cargas de tensión. Si el esfuerzo de compresión permisible para el concreto es (σ perm)con=12.5MPa y el esfuerzo permisible de tensión para el acero es (σ perm)ac=220MPa, determine la dimensión d requerida para que tanto el concreto como el acero alcancen simultáneamente el esfuerzo permisible. A esta condición se le llama ´equilibridad´. Además calcule el correspondiente momento interno máximo permisible M que se puede aplicar a la viga. Los módulos de elasticidad para el concreto y el acero son Econ=25 Gpa, Eac=200GPa, respectivamente
Sustituyendo en la ecuación 1
Problema 6.139 La viga esta fabricada de tres tipos de plástico que se identifican y tienen los módulos de elasticidad mostrados en la figura. Determine el esfuerzo flexionante máximo en el PVC
Problema 6.139 La viga esta fabricada de tres tipos de plástico que se identifican y tienen los módulos de elasticidad mostrados en la figura. Determine el esfuerzo flexionante máximo en el PVC
Problema 6.140 La losa para piso esta fabricada de concreto de baja resistencia e incluye una viga I de ala ancha, de acero A-36 unida mediante pernos de corte (no se muestran en la figura) para formar la viga compuesta. Si el esfuerzo flexionante permisible para el concreto es (σ perm)con=10MPa, y el esfuerzo flexionante permisible para el acero es (σ perm)ac=165MPa, determine el momento interno máximo permisible M que puede aplicarse a la viga
Problema 6.140 La losa para piso esta fabricada de concreto de baja resistencia e incluye una viga I de ala ancha, de acero A-36 unida mediante pernos de corte (no se muestran en la figura) para formar la viga compuesta. Si el esfuerzo flexionante permisible para el concreto es (σ perm)con=10MPa, y el esfuerzo flexionante permisible para el acero es (σ perm)ac=165MPa, determine el momento interno máximo permisible M que puede aplicarse a la viga Propiedades de la sección
Problema 6.140 La losa para piso esta fabricada de concreto de baja resistencia e incluye una viga I de ala ancha, de acero A-36 unida mediante pernos de corte (no se muestran en la figura) para formar la viga compuesta. Si el esfuerzo flexionante permisible para el concreto es (σ perm)con=10MPa, y el esfuerzo flexionante permisible para el acero es (σ perm)ac=165MPa, determine el momento interno máximo permisible M que puede aplicarse a la viga Momento de inercia
Problema 6.140 La losa para piso esta fabricada de concreto de baja resistencia e incluye una viga I de ala ancha, de acero A-36 unida mediante pernos de corte (no se muestran en la figura) para formar la viga compuesta. Si el esfuerzo flexionante permisible para el concreto es (σ perm)con=10MPa, y el esfuerzo flexionante permisible para el acero es (σ perm)ac=165MPa, determine el momento interno máximo permisible M que puede aplicarse a la viga Esfuerzo de flexión
Asumiendo falla del concreto
Problema 6.142 La viga de concreto reforzado se fabrico usando dos varillas de acero como refuerzo. Si el esfuerzo de tensión permisible para el acero es ( σac)perm=40 ksi y el esfuerzo permisible del concreto a la compresión es ( σconc)perm=3 ksi, determine el momento M máximo que puede aplicarse a la sección. Suponga que el concreto no puede soportar un esfuerzo de tensión Eac=29(10)3ksi, Econc=3.8(10)3ksi
Problema 6.142 La viga de concreto reforzado se fabrico usando dos varillas de acero como refuerzo. Si el esfuerzo de tensión permisible para el acero es ( σac)perm=40 ksi y el esfuerzo permisible del concreto a la compresión es ( σconc)perm=3 ksi, determine el momento M máximo que puede aplicarse a la sección. Suponga que el concreto no puede soportar un esfuerzo de tensión Eac=29(10)3ksi, Econc=3.8(10)3ksi
Problema 6.142 La viga de concreto reforzado se fabrico usando dos varillas de acero como refuerzo. Si el esfuerzo de tensión permisible para el acero es ( σac)perm=40 ksi y el esfuerzo permisible del concreto a la compresión es ( σconc)perm=3 ksi, determine el momento M máximo que puede aplicarse a la sección. Suponga que el concreto no puede soportar un esfuerzo de tensión Eac=29(10)3ksi, Econc=3.8(10)3ksi Solución positiva para el rollo
Asumiendo fallas del concreto
Asumiendo fallas del acero
Problema 6.144 El elemento tiene una sección transversal elíptica. Si está sometida a un momento de M=50N-m,determine el esfuerzo en los puntos A y B ¿el esfuerzo en el punto A ´ que se encuentra cerca de la pared del elemento, es igual al del punto A?
Problema 6.144 El elemento tiene una sección transversal elíptica. Si está sometida a un momento de M=50N-m,determine el esfuerzo en los puntos A y B ¿el esfuerzo en el punto A ´ que se encuentra cerca de la pared del elemento, es igual al del punto A?
Problema 6.145 El elemento tiene una sección transversal elíptica. Si el esfuerzo flexionante permisible es σ perm=125 Mpa. Determine el momento máximo M que puede aplicarse al elemento. Asumir falla de tensión
Asumir falla de compresión
Problema 6.146 Determine la mayor magnitud P de las fuerzas aplicadas si el esfuerzo flexionante permisible es (σ perm)c=50 Mpa en compresión y (σ perm)t=120 Mpa, en tensión.
Problema 6.146 Determine la mayor magnitud P de las fuerzas aplicadas si el esfuerzo flexionante permisible es (σ perm)c=50 Mpa en compresión y (σ perm)t=120 Mpa, en tensión.
Momento interno
Propiedades de la sección
Problema 6.146 Determine la mayor magnitud P de las fuerzas aplicadas si el esfuerzo flexionante permisible es (σ perm)c=50 Mpa en compresión y (σ perm)t=120 Mpa, en tensión.
Tensión admisible normal
Asumir falla de tensión
Asumir falla de compresión
Problema 6.151 El elemento curvo es simétrico y se encuentra sometido a un momento de M=600lb-pie. Determine el esfuerzo flexionante en los puntos A y B del elemento , además muestre el esfuerzo actuando sobre elementos de volumen ubicados en esos puntos
Problema 6.151 El elemento curvo es simétrico y se encuentra sometido a un momento de M=600lb-pie. Determine el esfuerzo flexionante en los puntos A y B del elemento , además muestre el esfuerzo actuando sobre elementos de volumen ubicados en esos puntos
Problema 6.151 El elemento curvo es simétrico y se encuentra sometido a un momento de M=600lb-pie. Determine el esfuerzo flexionante en los puntos A y B del elemento , además muestre el esfuerzo actuando sobre elementos de volumen ubicados en esos puntos
Problema 6.152 La barra curva usada en una maquina tiene una sección transversal rectangular. Si la barra esta sometida a un par como el mostrado en la figura, determine los esfuerzos máximos en tensión y en compresión que actúan sobre la sección a-a. dibuje en tres dimensiones la distribución del esfuerzo sobre la sección
Problema 6.152 La barra curva usada en una maquina tiene una sección transversal rectangular. Si la barra esta sometida a un par como el mostrado en la figura, determine los esfuerzos máximos en tensión y en compresión que actúan sobre la sección a-a. dibuje en tres dimensiones la distribución del esfuerzo sobre la sección
Problema 6.152 La barra curva usada en una maquina tiene una sección transversal rectangular. Si la barra esta sometida a un par como el mostrado en la figura, determine los esfuerzos máximos en tensión y en compresión que actúan sobre la sección a-a. dibuje en tres dimensiones la distribución del esfuerzo sobre la sección
