Apuntes Ing. Fluidom

APUNTES DE INGENIERÍA FLUIDOMECÁNICA 2º Curso de Ing. Técnica en Mecánica

Almandoz Berrondo, Jabier Mongelos Oquiñena, Mª Belén Pellejero Salaberria, Idoia

Dpto: Ingeniería Nuclear y Mecánica de Fluidos Escuela Universitaria Politécnica Unibertsitate Eskola Politeknikoa Donostia-San Sebastián

ISBN: 978-84-690-5851-0 Nº Registro: 07/37957

Desde el comienzo de los Nuevos Planes de Estudios, con la entrada de los créditos y la reducción de horas lectivas, los profesores del Departamento de Ingeniería Nuclear y Mecánica de Fluidos pertenecientes al Área de Mecánica de Fluidos nos propusimos ir preparando apuntes de algunos capítulos de Ingeniería Fluidomecánica, asignatura correspondiente a la titulación de Ingeniero Técnico Mecánico, con el fin de facilitar a los alumnos su estudio y comprensión. En el curso 2002-03 se completaron los apuntes de la segunda parte de dicha asignatura dedicados a las aplicaciones, y en el 2003-04 y siguientes se han ido corrigiendo las erratas encontradas y se ha completado algún apartado. En el curso 2006-07, se ha añadió un problema tipo, resuelto, de instalaciones de bombeo. La numeración de los diferentes temas responde a la del programa de la asignatura, y se aborda desde el Análisis dimensional y estudio de modelos reducidos hasta Instalaciones de bombeo, pasando por el estudio del flujo en conductos cerrados y abiertos, análisis de los transitorios es decir estudio del “golpe de ariete”, y los fundamentos de turbomáquinas. El capítulo dedicado al estudio del golpe de ariete es un resumen del que presenta en su libro: “Mecánica de Fluidos incompresibles” el Profesor José Agüera Soriano Con esta aportación se pretende que el alumno adquiera los cimientos o la base necesaria para continuar con otras asignaturas de la titulación, pertenecientes al área de Mecánica de Fluidos, como Instalaciones Hidráulicas o Máquinas Hidráulicas, así como para abordar cualquier problema que, en este tema, le pueda surgir en su vida profesional. Nuestro deseo es que sean de utilidad a nuestros alumnos y que ellos nos aporten sus ideas, críticas constructivas, así como erratas que puedan existir, con el fin de poder mejorarlos. Donostia- San Sebastián Febrero 2008 Los profesores

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Indice de materias

Índice de materias

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Tema 16.- Análisis dimensional y Teoría de modelos 0.- Introducción .......................................................................... 1.- Análisis dimensional.............................................................. 1.1.- Magnitudes fundamentales y derivadas ............................. 1.1.1.- Primer principio del análisis dimensional ......................... 1.1.2.- Segundo principio del análisis dimensional ..................... 1.2.- Principio de homogeneidad dimensional ............................ 1.3.- Teorema de π o de Vaschy – Buckingham ......................... 1.3.1.- Obtención de los parámetros π........................................ 1.4.- Parámetros fundamentales en el estudio de los fluidos ...... 1.5.- Problema............................................................................ 2.- Semejanza de modelos ......................................................... 2.1.- Leyes de semejanza .......................................................... 2.2.- Semejanza absoluta y análisis dimensional........................ 2.3.- Semejanza restringida o incompleta................................... 2.4.- Semejanzas en flujos de fluidos incompresibles................. 2.4.1.- Flujos en carga................................................................ 2.4.2.- Flujos en superficie libre..................................................

1 1 2 2 2 3 3 4 5 7 12 13 14 14 15 16

16

Tema 17.- Efectos de la viscosidad en flujos 0.- Introducción........................................................................... 1.- Flujos externos e internos ..................................................... 2.- Experiencias de Reynolds, consecuencias, nº de Reynolds .. 3.- Capa límite ............................................................................ 4.- Flujos laminar y turbulento en flujos internos.- Distribución de velocidades ...........................................................................

17 17 18 20 22

Tema 18.- Estudio de pérdidas de carga en conductos cerrados 0.- Introducción........................................................................... 1.- Resistencia al flujo en conductos cerrados. Ecuación de Darcy-Weisbach ................................................................... 2.- Tubos lisos y rugosos desde el punto de vista hidráulico. Fronteras.............................................................................. 3.- Expresiones para el cálculo del coeficiente de frotamiento. Fenómeno de la intermitencia. Experiencias de Nikuradse... 3.1.- Flujo laminar....................................................................... 3.2.- Flujo turbulento................................................................... 3.2.1.- Coeficientes de fricción en tuberías lisas......................... 3.2.2.- Fenómeno de la intermitencia ......................................... 3.2.3.- Coeficiente de fricción en tuberías rugosas ..................... 3.2.4.- Experiencias de Nikuradse .............................................. 3.2.5.- Coeficiente de fricción en tuberías semilisas o semirrugosas ..................................................................

Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.

25 25 29 31 31 31 32 32 33 34 35

E.U.Politécnica de Donostia- San Sebastián

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Análisis dimensional y Teoría de modelos

pág 3.2.6.- Coeficientes de fricción, explícitos aproximados, para tuberías lisas y semilisas ................................................ 4.- Ábaco de Moody ................................................................... 5.- Utilización del Ábaco de Moody............................................. 6.- Cálculo de pérdidas de carga en flujo compresible................ 6.1.- Flujo isotermo en tubos de sección constante .................... 6.1.1.- Hipótesis de partida......................................................... 6.1.2.- Ecuaciones que definen el proceso ................................. 6.1.3.- Coeficiente de fricción “f” .................................................

36 37 39 43 44 44 44 46

Tema 19.- Flujo permanente en conductos cerrados. Cálculo práctico de conducciones. Redes. 0.- Introducción........................................................................... 1.- Pérdidas menores. Longitud equivalente y factor de paso..... 1.1.- Método de la longitud equivalente ...................................... 1.2.- Método de los factores de paso o coeficientes ................... 2.- Envejecimiento en tuberías ................................................... 3.- Línea piezométrica y de altura total ....................................... 3.1.- Casos particulares.............................................................. 3.1.1.- Salida mediante boquilla.................................................. 3.1.2.- Pieza especial ................................................................. 3.1.3.- Bomba............................................................................. 3.1.4.- Turbina ............................................................................ 3.1.5.- Depresión por bomba ...................................................... 3.1.6.- Sifón ................................................................................ 4.- Fórmulas empíricas de cálculo de pérdidas de carga ............ 4.1.- Fórmula de Hazen-Williams................................................ 5.- Tuberías en serie y en paralelo. Leyes de circulación de los fluidos en un circuito............................................................. 5.1.- Tuberías en serie ............................................................... 5.2.- Tuberías en paralelo........................................................... 5.3.- Tuberías ramificada............................................................

47 47 48 48 48 49 51 51 51 52 52 53 53 55 56 57 57 58 58

Tema 20.- Flujo variable en tuberías.- Golpe de ariete 0.- Introducción........................................................................... 1.- Propagación de la onda......................................................... 2.- Valor del golpe de ariete máximo.- Fórmula de Allievi ........... 3.- Velocidad del sonido ............................................................. 4.- Celeridad de la onda en tuberías........................................... 5.- Oscilaciones de presión en la tubería.................................... 6.- Cierre gradual........................................................................ 6.1.- Clasificación ....................................................................... 6.2.- Techo de presiones en conducciones largas...................... Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.

59 59 60 61 62 63 65 65 65


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Indice de materias

pág 6.3.- Longitud crítica ................................................................... 6.4.- Golpe de ariete en conducciones cortas............................. 6.5.- Tiempo de anulación del caudal. Expresión de Mendiluce . 7.- Formas de atenuación del golpe de ariete............................. 8.- Conducciones en centrales hidroeléctricas............................

67 68 68 70 71

Tema 21.- Flujo en conductos abiertos.- Canales 0.- Introducción........................................................................... 1.- Resistencia al flujo permanente y uniforme ........................... 1.1.- Altura normal...................................................................... 2.- Coeficiente de Chezy ............................................................ 2.1.- Formula de Manning .......................................................... 3.- Secciones hidráulicamente optimas ...................................... 3.1.- Sección rectangular............................................................ 3.2.- Sección trapecial ................................................................ 3.3.- Sección más económica..................................................... 4.- Cálculo práctico de canales de sección rectangular y trapecial 4.1.- Ejemplo ..............................................................................

73 73 74 75 75 75 76 76 76 77 78

Tema 22.- Máquinas hidráulicas. Principios fundamentales 1.- Definición de máquina de fluido.- Clasificación...................... 2.- Clasificación de máquinas hidráulicas ................................... 3.- Turbomáquinas hidráulicas ................................................... 3.1.- Clasificación de turbomáquinas hidráulicas ........................ 3.1.1.- Formas de representación............................................... 4.- Descripción y principio de funcionamiento ............................ 4.1.- Diagrama de velocidades ................................................... 4.2.- Definiciones de alturas, caudales, potencias, etc. .............. 4.2.1.- Turbinas .......................................................................... 4.2.2.- Turbobombas .................................................................. 4.3.- Teorema fundamental de turbomáquinas .......................... 5.- Semejanza en turbomáquinas .............................................. 5.1.- Fenómeno físico en una turbomáquina ............................. 5.2.- Parámetros de Rateau ....................................................... 5.3.-Teorema de semejanza de las turbomáquinas ................... 6.- Velocidad específica ............................................................. 6.1.- Velocidad específica dimensional o nº de Camerer: ns ....... 6.2.- Velocidad específica adimensional: Ns .............................. 6.3.- Velocidad específica convencional: nq ................................ 7.- Clasificación de turbomáquinas.............................................


81 81 83 84 84 84 87 87 88 89 89 92 92 93 94 94 94 96 96 96


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pág

Tema 23.- Turbinas hidráulicas. 1.- Definición de turbina hidráulica ............................................. 2.- Tipos actuales de turbinas hidráulicas................................... 2.1.-- Turbinas de acción y de reacción ...................................... 2.2.- Descripción general............................................................ 2.2.1.-- Turbinas de acción ......................................................... 2.2.2.-- Turbinas de reacción...................................................... 3.- Centrales hidroeléctricas ....................................................... 3.1.- Disposición de conjunto de una central hidroeléctrica ........ 3.2.- Clases de centrales ............................................................ 3.2.1.- Centrales de acumulación o bombeo...............................

99 99 99 99 99 101 111 111 113 115

Tema 24.- Bombas hidráulicas 0.- Introducción........................................................................... 1.- Clasificación de las bombas hidráulicas ................................ 2.- Bombas de desplazamiento positivo ..................................... 2.1.- Bombas alternativas. Descripción general.......................... 2.2.- Bombas rotativas ............................................................... 3.- Turbobombas ........................................................................

117 119 120 120 123 124

Tema 25.- Instalaciones de bombeo 1.- Diagrama de transformación de energía en un sistema de bombeo ................................................................................ 2.- Alturas manométricas de la instalación y de la bomba .......... 3.- Curva característica de la instalación .................................... 4.- Selección de una bomba, punto de funcionamiento .............. 5.- Variación del punto de funcionamiento.................................. 5.1.- Por modificación de la cc de la instalación ........................ 5.2.- Por modificación de la cc de la turbobomba ....................... 5.2.1.- Variación de la velocidad de giro ..................................... 5.2.2.- Torneado del rodete ........................................................ 6.- Bombas funcionando en grupo.............................................. 6.1.- Disposición en serie ........................................................... 6.2.- Disposición de bombas funcionando en paralelo................ 7.- Estudio de la cavitación en las bombas: NPSH ..................... 7.1.- Evaluación de la cavitación en las turbobombas ................ 8.- Problema tipo de resolución de instalaciones de bombeo ..... 8.1.- Obtención de la curva característica de la instalación ........ 8.2.- Selección de la bomba más idónea .................................... 8.3.- Punto de funcionamiento.................................................... 8.4.- Costo energético ................................................................ Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.

129 132 133 134 137 137 139 139 142 144 144 145 146

147 150 150 153 156 158


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Indice de materias

pág 8.5.- Regulación del caudal en un sistema de bombeo............... 8.5.1.- Modificación del punto de funcionamiento mediante variación en la cc de la Instalación .................................... 8.5.2.- Modificación del punto de funcionamiento mediante variación en la cc de la turbobomba ................................ 8.6.- Cavitación en un sistema de bombeo.................................

158

Bibliografía utilizada...............................................................

169


158 162 166


1

Ingeniería Fluidomecánica. Tema 16

TEMA 16.- ANÁLISIS DIMENSIONAL Y TEORÍA DE MODELOS 0.-INTRODUCCIÓN En la Mecánica de Fluidos hay muchos problemas que, por su complejidad, no se pueden resolver analíticamente. Se hace necesario recurrir a métodos experimentales. Sin embargo, realizar experimentos en un laboratorio es caro y lleva mucho tiempo. Además, en un fenómeno cualquiera de Mecánica de Fluidos pueden intervenir muchas variables: viscosidad, densidad, diámetro, que dificulta su resolución etc... El Análisis Dimensional es la herramienta que nos ayuda a simplificar el estudio de un problema concreto, ya que nos permite reducir el número de variables necesarias para analizar un determinado sistema. Mediante este método podemos obtener una serie de parámetros adimensionales que relacionan las variables físicas implicadas en el flujo a estudiar. Al trabajar con menos variables tendremos que realizar menos experimentos, lo que supone un considerable ahorro de tiempo y dinero. Una ventaja adicional, muy importante que nos proporciona la teoría dimensional es la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando con un modelo a escala reducida. Por ejemplo no parece razonable construir un avión a escala natural para comprobar si proporciona la sustentación suficiente. Ensayaremos con un modelo a escala reducida y, mediante las leyes de semejanza, calcularemos los resultados para el prototipo. El análisis dimensional es un método de análisis que puede utilizarse para cualquier fenómeno físico y cuya base fundamental está en el conocimiento de las variables físicas que intervienen en el fenómeno, es decir, la base es el estudio y conocimiento previo del proceso y de todas las variables que intervienen en él, y en la ecuación de dimensiones de cada una de dichas variables físicas

1.- ANÁLISIS DIMENSIONAL. El análisis dimensional es un método matemático de considerable valor en la resolución de cualquier fenómeno físico. Todas las variables o entidades físicas se pueden expresar en función de unas variables o entidades fundamentales, que en mecánica son : Longitud (L), Masa (M) y tiempo ( T). Por ejemplo: Fuerza = masa . aceleración = masa . longitud/tiempo2 Por tanto la ecuación de dimensiones de la Fuerza es : MLT-2 En cualquier ecuación que represente un fenómeno físico real, cada término debe de contener la misma potencia de las variables fundamentales (L, M, T). En otras palabras, si se comparan los términos entre sí, tienen que tener todos las mismas



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dimensiones, ya que si no, la ecuación no tiene sentido, aunque pueda dar el mismo resultado numérico. En muchos casos al estudiar un fenómeno físico se conocen las variables que intervienen en dicho fenómeno, mientras que la relación entre las variables se desconoce; mediante el análisis dimensional, el fenómeno puede formularse como una relación entre un conjunto de grupos adimensionales de las variables, siendo el número de grupos menor que el de variables. La razón de lo anterior es que la naturaleza no se preocupa por las coordenadas y dimensiones que el hombre utiliza cuando trata de imitar un proceso real. Por ello los grupos adimensionales mencionados antes, son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en sí. 1.1.- MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS. Las magnitudes fundamentales son aquellas entidades o variables físicas a partir de las cuales pueden deducirse todas las demás, que serán llamadas magnitudes derivadas. Si trabajamos en el Sistema Internacional, se suelen tomar como variables fundamentales la masa, la longitud y el tiempo, añadiendo la temperatura cuando hay fenómenos de transmisión de calor. Ejemplos: la velocidad es una magnitud derivada de la longitud y del tiempo:

[v ] = L = LT −1

(1)

T

por otra parte, la densidad es la relación entre la masa y el volumen:

M

[ ρ ] = [V ] =

M −3 3 = ML L

(2)

Las igualdades (1) y (2) son las expresiones o ecuaciones de dimensiones de la velocidad y la densidad, respectivamente. Se han tomado como magnitudes fundamentales la masa M, la longitud L y el tiempo T. 1.1.1- Primer principio del análisis dimensional. “Toda ecuación de dimensiones de cualquier magnitud física tiene que adoptar la forma de producto de potencias de las dimensiones fundamentales”. 1.1.2.- Segundo principio del análisis dimensional. En algunas expresiones de cálculo aparecen constantes dimensionales, cuyo valor numérico depende del sistema de magnitudes fundamentales que utilicemos. En estos casos debe cumplirse el siguiente principio: “las constantes dimensionales que aparezcan Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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en fórmulas de uso científico deben estar constituidas, sus dimensiones, por productos de potencias de las dimensiones del sistema elegido”. 1.2.- PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Enunciado: “En una ecuación física o matemática, todos sus términos deben tener la misma ecuación de dimensiones, es decir, deben ser homogéneos”. Ejemplo: Ecuación de Bernoulli para un flujo incompresible, en régimen estacionario y despreciando las pérdidas de carga.

P

ρ

+

v2 + g z = cte. 2

Ecuaciones de dimensiones de estos términos: 2

F A MLT −2 L2 L L = = = 2 L =  =v2 3 ρ MV M L T T 

P

2

gz =

L L L =  =v2 2 T T 

Como se puede comprobar, todos los términos de la ecuación tienen la misma ecuación de dimensiones, luego son homogéneos. 1.3.-TEOREMA DE π O DE VASCHY - BUCKINGHAM. El análisis dimensional puede emplearse antes de abordar un problema o programa experimental, los fenómenos físicos pueden formularse mediante una función de grupos adimensionales. Cada uno de estos grupos adimensionales se conocen como parámetros π. La razón de lo anterior es que en cualquier fenómeno físico la naturaleza no se preocupa por las coordenadas y dimensiones que el hombre utiliza cuando trata un proceso real. Por ello los grupos adimensionales ya indicados son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en sí. La pregunta que nos podemos plantear es: ¿cuántos parámetros adimensionales π podemos obtener a partir de las variables que intervienen en un determinado problema? Para responder a esta pregunta estudiamos el teorema π de Buckingham. Supongamos un fenómeno físico en el que intervienen n variables. Matemáticamente, la relación entre ellas podría expresarse del siguiente modo: f (q1, q2,...,qn) = 0 ; El teorema de π dice: Las cosas en la naturaleza no suceden aleatoriamente y por ello un fenómeno físico puede ser estudiado con arreglo a la variación de (n-m) Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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parámetros adimensionales siendo (n-1) el número de variables independientes del fenómeno y ( m) el número de entidades fundamentales. De manera que: F (π1,π 2 ,......πn-m) = 0 ;

π 1 = F (π2 , π 3,..... πn-m)

o bien:

La función F que relaciona los parámetros adimensionales π  debe determinarse experimentalmente. 1.3.1.- Obtención de los parámetros π. El procedimiento que se debe seguir adimensionales consta de los siguientes pasos:

para determinar

los parámetros

1) Analizar el fenómeno físico a estudiar y determinar todas las variables implicadas en el mismo. Se deben incluir todas aquellas variables que se sospecha que influyen en el sistema. Si una de las variables es extraña, se obtendrá un parámetro π que, a través de los experimentos, se comprobará que su influencia en el fenómeno que se está estudiando es pequeña o nula, es decir, que no tiene importancia y puede despreciarse. 2) Seleccionar las variables o entidades fundamentales o primarias. Lo más frecuente es tomar la masa M, la longitud L y el tiempo T. 3) Obtener la ecuación de dimensiones de todas las variables, que intervienen en el fenómeno físico, en función de las dimensiones de las variables o entidades fundamentales. 4) Seleccionar las variables repetidas, tantas como entidades fundamentales. Dichas variables deben incluir todas las variables fundamentales. En ningún caso dos variables repetidas pueden tener las mismas dimensiones diferenciándose solamente por el exponente. Por ejemplo, no se pueden tomar como variables repetidas una longitud (L) y un volumen (L3). 5) Establecer las n-m ecuaciones dimensionales, combinando las variables repetidas del punto 4 con el resto de las variables, formando los n-m parámetros adimensionales. 6) Comprobar que los parámetros que se han obtenido son realmente adimensionales.



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Por último, destacar que los parámetros que se obtienen son independientes pero no son únicos, porque los cocientes que resultan dependen de las entidades fundamentales y de las variables repetidas que hayamos elegido. 1.4.- PARÁMETROS FUNDAMENTALES EN EL ESTUDIO DE LOS FLUIDOS.

Número de Reynolds. Es el parámetro adimensional más importante en la Mecánica de Fluidos. Tiene importancia en prácticamente todos los casos, haya o no superficie libre. Representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad.

Re =

ρv D µ

Donde ρ es la densidad, v es la velocidad del flujo, D es el diámetro u otra longitud característica y µ es la viscosidad dinámica. Con números de Reynolds elevados tendremos un flujo turbulento, mientras que con Reynolds pequeños nos encontraremos con un flujo laminar. En general, si trabajamos con flujos viscosos a bajas velocidades y sin superficie libre, el único parámetro adimensional importante es el número de Reynolds. Número de Euler. Resulta de especial interés cuando las disminuciones de presión en el flujo son importantes. Representa el cociente entre las fuerzas de presión y las de inercia:

Eu =

∆p ρV 2

siendo ∆p la variación de presión, ρ la densidad del fluido y v su velocidad. Cuando la variación de presión se refiere a la presión de vapor del fluido se habla del número de cavitación:

Ca =

p − pv ρV 2

donde pv es la presión de vapor del fluido.



6


Este parámetro derivado del número de Euler es de gran importancia en tuberías, máquinas, instalaciones, etc, en general en fenómenos donde puede aparecer la cavitación. Número de Froude. Muy importante en flujos con superficie libre, como en los canales abiertos, desagües en orificios y en todas las situaciones donde la gravedad juega un papel importante. En el resto de los casos, suele ser despreciable. Representa la relación entre las fuerzas de inercia y las gravitatorias:

Fr =

v2 gL

donde v es la velocidad del flujo, g es la aceleración de la gravedad y L es una longitud característica del sistema. Número de Weber. Tiene importancia cuando su valor es 1 o menor, en aquellos casos en que la curvatura de la superficie es comparable en tamaño a la profundidad del líquido (gotas, flujos capilares). Si el número de Weber toma un valor grande, su efecto puede despreciarse. Cuanto menor sea el Weber, mayor es la importancia de la tensión superficial. Representa el cociente entre las fuerzas de inercia y las de tensión superficial:

We =

ρv 2 L σ

siendo ρ la densidad, v la velocidad del flujo, L una longitud característica del mismo y σ la tensión superficial. Si nos encontramos con un problema en el que no hay superficie libre, su efecto es despreciable. Los efectos de la tensión superficial tienen gran influencia en las industrias relacionadas con la pulverización y atomización, como por ejemplo en la fabricación de sprays. Número de Mach. Tiene influencia cuando trabajamos con fluidos compresibles que se mueven con velocidades altas. Sirve para caracterizar los efectos de compresibilidad en un flujo. Representa el cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de compresibilidad: Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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M2 =

ρv 2L2 2

Ev L

⇒M =

v v = Ev ρ c

donde v es la velocidad del flujo y c es la velocidad del sonido local. Los flujos con un número de Mach mayor de 1 se denominan flujos supersónicos y si es menor de 1, se trata de un flujo subsónico. Cuando el número de Mach es menor de 0,3 nos encontraremos estudiando un flujo incompresible. 1.5.- PROBLEMA. La caída de presión ∆P, en una tubería es una función de las siguientes variables: diámetro D, longitud L, rugosidad ε, velocidad media del flujo V, viscosidad dinámica µ del fluido circulante, densidad ρ del mismo, de la tensión superficial σ, de la aceleración gravitatoria g y del módulo de elasticidad volumétrica K. ∆P = f( D, L, ε, V, µ, ρ, σ, g, k ) Encontrar los parámetros adimensionales π más adecuados para el estudio del sistema. Utilizar el Teorema π o de Vaschy-Buckingham. Solución: Este ejercicio se puede resolver siguiendo el procedimiento que se explica en Obtención parámetros de Teoría. 1) Variables físicas que intervienen en el problema: diámetro D, longitud L, rugosidad ε, velocidad media V, viscosidad dinámica µ densidad ρ, tensión superficial σ aceleración de la gravedad g y módulo de elasticidad volumétrico K. Número de variables físicas: n = 10

2) Variables fundamentales o primarias: de acuerdo con el Sistema Internacional, tomamos la masa M, la longitud L y el tiempo T. Número de magnitudes fundamentales: m = 3 3) Expresar las dimensiones de todas las variables físicas en función de las variables fundamentales. En la siguiente tabla se indican los exponentes de las diferentes variables físicas en función de las magnitudes fundamentales.



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∆P

D

L

ε

ρ

µ

σ

g

K

V

M

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

L

-1

1

1

1

-3

-1

0

1

-1

1

T

-2

0

0

0

0

-1

-2

-2

-2

-1

A modo de ejemplo, consideremos el caso de la tensión superficial σ, que se toma como fuerza por unidad de longitud:

[σ ] =

[ F] L

M [ a] MLT −2 M = = 2 = MT −2 L L T

=

4) Seleccionar las variables repetidas: tomaremos el diámetro D, la densidad ρ y la velocidad media V. Estas variables recogen las tres variables fundamentales: masa, longitud y tiempo. Además, nos sirven para reflejar las características geométricas (diámetro D), cinemáticas (velocidad V) y dinámicas (densidad ρ) del sistema. 5) Establecer las ecuaciones dimensionales para obtener los parámetros adimensionales. Aplicando el Teorema π o de Vaschy-Buckingham, el número de grupos adimensionales que podemos obtener es de: n - m = 10 - 3 = 7 En consecuencia tenemos que plantear 7 ecuaciones dimensionales, combinando en ellas las variables repetidas con cada una de las demás variables físicas que intervienen en el sistema: b

c

M aM   L  L     = M 0 L0T 0 π 1 = ∆P D ρ v = LT 2  L3   T  a

b

c

Masa M: 1 + b = 0 ⇒ b = -1 Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 ⇒ a = 3b - c + 1 c=-2 Tiempo T: -2 - c = 0 ⇒

π1 =

⇒a = 0

∆P ρV2 b

c

M   L  0 0 0    =M LT 3  L  T 

π 2 = LD a ρ b v c = LLa  Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Masa M: b=0 Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 ⇒ a = 3b - c - 1 ⇒ a = -1 Tiempo T: c=0

π2 =

L D

b

c

M   L  π 3 = ε D ρ v = LL  3    = M 0 L0T 0  L  T  a

b

c

a

Masa M: b=0 Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 ⇒ a = 3b - c - 1 ⇒ a = -1 Tiempo T: c=0

π3 =

ε D

b

π 4 = µ D a ρ bv c =

c

M aM   L  L  3    = M 0 L0T 0 LT  L   T 

Masa M: 1 + b = 0 ⇒ b = -1 Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 ⇒ a = 3b - c + 1 ⇒ a = 0 Tiempo T: -1 - c = 0 ⇒ c = - 1

π4 =

µ Dρ V b

c

M M   L  π 5 = σ D ρ v = 2 La  3    = M 0 L0T 0 T  L  T  a

b

c

Masa M: 1 + b = 0 ⇒ b = -1 Longitud L: a -3b + c = 0 ⇒ a = 3b - c ⇒ a = -1 Tiempo T: -2 - c = 0 ⇒ c = - 2

π5 =


σ Dρ V 2


10


b

c

L M   L  π 6 = g D ρ v = 2 La  3    = M 0 L0T 0 T  L  T  a

b

c

Masa M: b=0 Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 ⇒ a = 3b - c - 1 ⇒ a = 1 Tiempo T: -2 - c = 0 ⇒ c = - 2

π6 =

gD V2

b

c

M aM   L  L  3    = M 0 L0T 0 π 7 = KD ρ v = 2 LT  L  T  a

b

c

Masa M: 1 + b = 0 ⇒ b = -1 Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 ⇒ a = 3b - c + 1 ⇒ a = 0 Tiempo T: -2 - c = 0 ⇒ c = - 2

π7 =

K ρV2

6) Comprobar que los parámetros obtenidos son adimensionales. Lo que se debería hacer es comprobar los siete parámetros que hemos obtenido. A modo de ejemplo, comprobaremos sólo uno de ellos:

π5 =

MT −2 MT −2 MT −2 σ = = = =1 Dρ V 2 L ML−3 L2 T −2 MT −2 L1− 3+ 2 MT −2

Por lo tanto, este parámetro es completamente adimensional. Lo mismo se debe hacer con el resto de los parámetros. En algunos de ellos se observa rápidamente que son adimensionales, sin necesidad de plantear ecuaciones. Comprobados los parámetros se puede expresar: ∆P / ρV2 = φ ( L/D , ε/D , µ/ρVD , σ/ρV2D , gD/V2 , k/ρV2 )



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La experiencia dice que los parámetros σ/ρV2D , gD/V2 , k/ρV2 no tienen influencia en el estudio de la caída de presión en el flujo de fluidos incompresibles en conductos cerrados. Por tanto : ∆P / ρV2 = φ ( L/D , ε/D , µ/ρVD ) Además la caída de presión es directamente proporcional a la longitud de la tubería; por tanto : ∆P / ρV2 = L/D φ ( ε/D , µ/ρVD ) ∆P / ρ = V2. (L/D) φ ( ε/D , µ/ρVD ) ∆P / γ = (V2/2g). (L/D) φ ( ε/D , µ/ρVD ) = f .(L/D).(V2/2g) f = φ ( ε/D , µ/ρVD ) = coeficiente de frotamiento y

∆P / γ = hf

Sustituyendo: hf


=

f .(L/D).(V2/2g)


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2.- SEMEJANZA DE MODELOS En el estudio de muchos fenómenos físicos, en particular en el estudio de los fluidos y en especial en las máquinas hidráulicas es absolutamente necesario recurrir al método experimental si se desea conocer el fenómeno con cierta profundidad. Se trata de un procedimiento muy laborioso que requiere mucho tiempo para obtener resultados y que por tanto se recurre a él cuando los otros métodos han fracasado y el tema lo exige por su trascendencia económica, por motivos de seguridad o de otra índole. Las dificultades del método experimental se agravan cuando el tamaño de los fenómenos que han de reproducirse alcanzan grandes dimensiones, como es el caso de muchas turbomáquinas, que conllevan instalaciones de gran tamaño y trabajar con enormes caudales resultando todo ello prohibitivo y rozando lo imposible. Para resolver tal dificultad se recurre al estudio de modelos en tamaño reducido y a aplicar entre la máquina o proceso real, llamada prototipo, y el modelo determinadas relaciones de semejanza.

Fig 16.1.- Semejanza dinámica entre dos flujos del modelo y prototipo (a y b)

Fueron los franceses Charles de Bossut y el Conde de Buat, en el siglo XVIII, los primeros que reprodujeron en laboratorio fenómenos hidráulicos y son considerados los padres de los laboratorios hidráulicos de hoy en día. Sin embargo fue más tarde, avanzado el siglo XIX, cuando el francés Frederic Reech y el inglés Willian Froude establecieron los primeros criterios de semejanza, siendo los precedentes de los grandes laboratorios de este siglo. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.



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Para llevar a cabo el diseño de un determinado fenómeno de importancia se realizan los pasos siguientes: La máquina o proceso que se trata de construir o reproducir interesa que trabaje de manera óptima con unas condiciones o parámetros predeterminados, como son el caudal, su potencia, su velocidad de giro o desplazamiento y el rendimiento deseado, entre otros. Con estos datos de partida, con los conocimientos teóricos disponibles y sobre todo con datos y la experiencia de anteriores construcciones, se efectúa un prediseño. Basado en este prototipo de partida se reproduce o construye una máquina semejante a la diseñada, realizada a la escala conveniente, que se denomina modelo. Esta máquina o proceso se ensaya en un laboratorio especial para comprobar sus resultados; a la vista de estos se modifican determinadas partes con el fin de mejorar su comportamiento y por lo tanto su rendimiento; así se continúa hasta el momento en que se considere que se ha alcanzado un techo en su perfeccionamiento. Una vez concluidos los ensayos se construye la máquina o instalación a escala real, que se denomina prototipo, semejante al modelo definitivo que habrá recibido una serie de mejoras sobre el modelo de partida. 2.1.- LEYES DE SEMEJANZA. Para realizar lo relatado en el apartado anterior, previamente se habrá de contestar a una serie de preguntas: ¿Cómo habrán de ser las máquinas o procesos semejantes para poder aplicar los resultados de uno al otro? ¿Cómo se trasladarán los resultados de una máquina o proceso a su semejante? ¿Es suficiente con que exista semejanza geométrica entre las dos máquinas o procesos? ¿Qué se necesita para que haya semejanza de funcionamiento entre el comportamiento de los dos? ... Analizando la cuestión se deduce que indudablemente entre modelo y prototipo, trabajando de manera semejante, deberán existir ciertas analogías, que serán de orden geométrico, cinemático, dinámico, etc, las cuales reciben el nombre de semejanzas y se explican a continuación. 1. Semejanza geométrica: La primera semejanza o analogía que deberá existir es la geométrica, habiendo de tener entre dos máquinas o procesos semejantes una correspondencia biunívoca punto por punto. A estos puntos correspondientes de prototipo y modelo se les denomina homólogos. Igualmente habrá correspondencia entre líneas, superficies, volúmenes y masa de modelo y prototipo. Si las máquinas se comportaran como esculturas y carecieran de movimiento bastaría la semejanza geométrica para declararlas semejantes.



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2. Semejanza cinemática: Si en sistemas geométricamente semejantes se producen movimientos, será necesario introducir el concepto de tiempos y posiciones homólogas. Para que exista semejanza cinemática es preciso que puntos correspondientes ocupen posiciones correspondientes en instantes correspondientes, lo cual exige además que aquellos estén sometidos a velocidades y aceleraciones correspondientes, no siendo suficiente que sean solo en módulo sino también en dirección y sentido. Resumiendo, cuando las velocidades en puntos correspondientes de modelo y prototipo tienen la misma dirección y sentido; sus módulos se relacionan por medio de un factor de escala constante. De tal manera que dos flujos cinematicamente semejantes tienen líneas de corriente relacionadas por una escala constante. Puesto que las fronteras de un cuerpo son las que determinan las líneas de corriente del flujo, los flujos que son cinematicamente semejantes deben ser geométricamente semejantes. 3. Semejanza dinámica: Al producirse fuerzas, es necesario que exista, además de las dos semejanzas señaladas en los párrafos precedentes, semejanza dinámica, es decir que puntos correspondientes estén sometidos a fuerzas correspondientes. Para que se verifique, los flujos deben poseer tanto la semejanza geométrica, como la cinemática; de tal modo que en dos flujos dinámicamente semejantes los triángulos de fuerzas son paralelos y sus magnitudes o módulos están relacionadas por un factor de escala constante. 2.2.- SEMEJANZA ABSOLUTA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL Cuando dos sistemas son semejantes, los parámetros adimensionales que regulan el fenómeno físico a estudiar, son los mismos y la ley que los relaciona es también la misma; por ello para que se verifique la semejanza dinámica absoluta entre modelo y prototipo es condición necesaria que se verifique la igualdad de todos los parámetros adimensionales que intervienen en el fenómeno. Lógicamente como todos estos parámetros adimensionales están relacionados por la función que define el funcionamiento de la máquina, instalación o fenómeno tanto en prototipo como en modelo, es suficiente verificar que todos los parámetros menos uno sean iguales, ya que por la función que los relaciona, se verificará la igualdad de todos. 2.3.- SEMEJANZA RESTRINGIDA O INCOMPLETA En algunos casos, no es posible obtener la semejanza dinámica completa entre modelo y prototipo debido a que las condiciones que se tienen que cumplir para dicha semejanza, no dejan ningún grado de libertad por lo que modelo y prototipo deberían ser iguales. Por ejemplo, supongamos un caso en que se requiere que sean iguales los números de Froude y de Reynolds para conseguir la semejanza dinámica total. Igualando los números de Froude: Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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L  v p2 v2 v Frm = Fr p ⇒ m = ⇒ m = m  gLm gL p v p  Lp 

1

2

se obtiene la relación de velocidades entre modelo y prototipo. Al igualar los números de Reynolds:

Re m = Re p ⇒

v m Lm

νm

=

v p Lp

νp

L  ν ⇒ m = m  ν p  L p 

3

2

Las condiciones de semejanza obligan a que los fluidos a utilizar en modelo y prototipo deben cumplir esa relación de viscosidades. Sin embargo, en los ensayos experimentales se emplean generalmente el aire y el agua por ser los fluidos más baratos y más comunes a nuestro alcance. Resulta prácticamente imposible encontrar un fluido con una viscosidad muy concreta. Entonces resulta que si la gravedad, que interviene en el número de Froude, y la viscosidad de los fluidos a emplear en prototipo y modelo han de ser iguales, la escala geométrica, según se observa de las relaciones anteriores, habrá de ser la unidad:, Lm/Lp = 1, lo cual atestigua que no se puede obtener una semejanza hidrodinámica absoluta entre prototipo y modelo. Por todo esto, es importante analizar en el fenómeno o flujo que se esté estudiando, la importancia de cada uno de los parámetros adimensionales que intervienen. Afortunadamente en un buen número de casos puede prescindirse de la influencia de alguna fuerza o parámetro adimensional, originándose así las semejanzas incompletas o restringidas. Como conclusión el conocimiento completo del fenómeno y la experiencia son indispensables para definir el tipo de semejanza a utilizar. 2.4.- SEMEJANZAS EN FLUJOS DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES. En el estudio de semejanza aplicada al flujo de fluidos, se pueden diferenciar por su comportamiento, en dos tipos de flujo: -Flujos en carga. -Flujos en superficie libre. Flujos en carga podríamos definirlos como aquellos flujos, aislados de la atmósfera exterior, en los que, a menudo, la variación de energía de presión y de posición se verifica de forma conjunta y se expresa por la variación de presión hidrostática, mientras que en flujos en superficie libre, al estar en contacto con la atmósfera, las dos variables físicas son independientes, ya que la presión depende de la atmósfera que intervenga, y la cota o energía de posición dependerá de las condiciones o características geométricas del flujo. Por la diferencia indicada, los parámetros predominantes en cada caso son diferentes.



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En el estudio de flujos la función adimensional que define el proceso es : ∆P / ρV2 = φ ( L/D , ε/D , µ/ρVD, V2/gD ) es decir ∆P / ρV2 = φ ( L/D , ε/D , Re, Fr ) Para que se verifique la semejanza absoluta entre dos flujos se tiene que verificar, que además de la semejanza geométrica, se tiene que cumplir la igualdad de números de Reynolds y de Froude como se ha indicado anteriormente. 2.4.1.- Flujos en carga. En el caso de flujos en carga, “en muchos casos”, se puede prescindir de la influencia de la gravedad es decir del nº de Froude, ya que la variación de cota se puede agrupar con la presión en forma de presión hidrostática. Por tanto además de la semejanza geométrica se deberá de verificar la igualdad de números de Reynolds. La igualdad de (L/D)m y (L/D)p se verifica por la semejanza geométrica: (L/D)m = (L/D)p → Lm /Lp = Dm /Dp = λ (escala geométrica) Análogamente ocurre con la igualdad de ε/D entre modelo y prototipo. Por tanto si se verifica además Rem = Rep , se verificará asimismo la igualdad del parámetro de Euler, por ser función de los anteriores, y de todos sus derivados. (∆P / ρV2)m = (∆P / ρV2)p → (∆P)m/(∆P)p = (ρV2)m / (ρV2)p Realmente se prescinde del número de Froude por lo que será una semejanza restringida pero con buenos resultados prácticos. 2.4.2.- Flujos en superficie libre En el estudio de flujos en superficie libre la función adimensional que define el proceso es igual que en el caso anterior. En este caso la presión permanece constante al estar la superficie en contacto con la atmósfera, mientras las fuerzas gravitatorias varían según varía la cota. Luego, además de la semejanza geométrica, se tiene que verificar la igualdad de números de Reynolds y Froude entre modelo y prototipo para que se verifique la semejanza u homología total o absoluta. En general es necesario recurrir a la semejanza restringida, y la experiencia indica que en un flujo en superficie libre, la importancia de las fuerzas gravitatorias es muy superior a la de las fuerzas viscosas normalmente, por ello, cuando no se puede alcanzar la semejanza absoluta, no se tiene en cuenta el número de Reynolds y se debe verificar además de la semejanza geométrica la igualdad de números de Froude. Con estas condiciones además se verificará la igualdad del número de Euler, por ser función de los anteriores, y de todos sus derivados como se ha visto en el caso de flujos en carga. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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TEMA 17: EFECTOS DE LA VISCOSIDAD EN FLUJOS 0.- INTRODUCCIÓN En el comienzo de la asignatura de Ingeniería Fluidomecánica se definió una propiedad que caracteriza a los fluidos y los distingue de los sólidos, es la viscosidad. Sin embargo, a lo largo de la asignatura, hasta este momento, no se ha tenido en cuenta la viscosidad, debido a que en los fluidos en reposo (estática) no aparecen los efectos de la misma y en el estudio de la dinámica se hace la abstracción de que los fluidos sean perfectos, es decir, tengan viscosidad nula, con el fin de simplificar el problema. Partiendo de la Ecuación de Euler o ecuación fundamental de los fluidos perfectos, y mediante una serie de hipótesis simplificatorias, se llega a la expresión de Bernoulli, que lógicamente no tiene en cuenta los efectos de la viscosidad. Con el fin de poder aplicar la ecuación de Bernoulli a problemas prácticos, hay que introducir unas modificaciones de las hipótesis utilizadas en su deducción, que permiten ampliar su campo de aplicación. Entre estas modificaciones, está la de considerar que el fluido es real, por tanto tiene viscosidad, existiendo pérdidas de energía. A partir de este capítulo se va a tener en cuenta los efectos de la viscosidad y se estudia el cálculo de las pérdidas de energía. En el presente capítulo, en particular, se van a establecer los fundamentos de partida definiendo los flujos externos e internos, seguido de las experiencias de Reynolds y sus consecuencias, terminando con el concepto de capa límite y la distribución de velocidades en los flujos internos laminares y turbulentos.

1.- FLUJOS EXTERNOS E INTERNOS Flujo interno: flujo completamente limitado por superficies sólidas. Incluyen flujos a través de tuberías, toberas, difusores, ensanchamientos y estrechamientos bruscos, válvulas,... Los flujos internos pueden ser laminares y turbulentos. Algunos casos de flujo laminar pueden resolverse analíticamente. En el caso de flujo turbulento no son posibles las soluciones analíticas, por lo que se debe confiar en teorías semiempíricas y en datos experimentales. Para flujos internos el régimen de flujo (laminar o turbulento) es fundamentalmente una función del número de Reynolds. Flujo externo: es aquel flujo sobre cuerpos sumergidos en un fluido sin fronteras. La corriente de fluido en la cual el cuerpo está inmerso, con frecuencia, se considera como infinita en extensión.



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Efectos de la viscosidad en flujos

Las teorías actuales del flujo sobre cuerpos inmersos proporcionan explicaciones cualitativas excelentes para casi todas las situaciones del flujo externo. Solamente se dispone de predicciones puramente analíticas para unos cuantos flujos simples. Las teorías tanto cualitativas como cuantitativas del flujo externo se basan en el concepto de dividir el campo en dos zonas: zona de flujo viscoso (capa límite) y zona de flujo no viscoso o ideal.

2.- EXPERIENCIAS REYNOLDS

DE

REYNOLDS.

CONSECUENCIAS.

NÚMERO

DE

Se sabe por capítulos anteriores que flujo laminar es aquél en que el fluido se mueve en capas paralelas, mientras que en el flujo turbulento las partículas del fluido tienen un movimiento errático. La naturaleza del flujo laminar o turbulento, viene definida por el número de Reynolds. En 1883 el investigador Osborne Reynolds estudió el movimiento de un fluido. Mediante las ecuaciones diferenciales generales que describen el flujo, dedujo las condiciones para que dos flujos fuesen dinámicamente semejantes, encontrando que el grupo adimensional “VLρ /µ” debía ser el mismo para ambos casos; por ello este parámetro se conoce como número de Reynolds:Re Re = VLρ /µ Siendo: • • • •

V una característica del flujo, que para el caso de tuberías es la velocidad media V. L una longitud característica del entorno que rodea al fluido, que suele ser el diámetro de la tubería. ρ la densidad del fluido. µ la viscosidad dinámica del fluido

Para determinar el significado del grupo adimensional, Reynolds llevó a cabo sus experimentos con flujo de agua a través de tubos de vidrio, para lo cual dispuso un tubo horizontalmente con un extremo abocinado dentro de un depósito y en el otro extremo una válvula reguladora del caudal, según se observa en la figura 17.1. En el interior del tubo de ensayo inyectó un colorante y observó que para caudales y velocidades pequeños, y por tanto nº de Reynolds bajo, el filete coloreado se movía trazando una línea recta sin entremezclarse con el agua que le rodeaba, es decir el flujo era laminar. Al aumentar el caudal y por tanto la velocidad, aumentó el número de Reynolds, y llegó a la condición en que dicha línea se iba ondulando llegando un momento en que se rompía bruscamente, difundiéndose por el tubo, es decir se alcanzaba el régimen turbulento.



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Fig.17.1.- Aparato de Reynolds

Reynolds obtuvo un valor de Re=12.000 antes de que se estableciera la turbulencia. Investigadores posteriores, usando el equipo original de Reynolds, obtuvieron un valor de 40.000 al mantener el agua en reposo en el tanque durante varios días antes de realizar el experimento, y teniendo cuidado en evitar vibraciones del agua o del equipo. Estos números, llamados como números críticos superiores de Reynolds, no tienen significado práctico ya que las instalaciones ordinarias tienen irregularidades que causan flujo turbulento para valores muy inferiores del número de Reynolds. Comenzando con flujo turbulento en el tubo de vidrio, Reynolds encontró que siempre se vuelve laminar cuando se reduce la velocidad hasta hacer Re menor que 2000. Este se denomina Número crítico inferior de Reynolds para flujos en tubos y es importante en los cálculos prácticos. Análogamente al aumentar el flujo de laminar a turbulento observó que para Re mayor de 4000, era turbulento. Este se denomina Número crítico superior de Reynolds. Consecuencias de los ensayos: Como resultado de sus experiencias, Reynolds dedujo lo siguiente: •

La transición entre el régimen laminar y el turbulento se produce bruscamente.

•

La mayor o menor laminaridad del flujo depende directamente de la velocidad del fluido y de los diámetros de los distintos tubos, e inversamente de la viscosidad del fluido.

•

La frontera de paso laminar a turbulento es muy difícil de precisar, ya que depende mucho de las condiciones del flujo (vibraciones,...). En condiciones prácticas se verifica: •

Para nº Re ≤ 2000: flujo laminar. Predominan las fuerzas viscosas. Se verifica la ley de Newton de la viscosidad.

•

Para nº Re ≥ 4000: flujo turbulento. Las fuerzas viscosas quedan casi anuladas por las de turbulencia. No se verifica la ley de Newton de la viscosidad.



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•

Para 2000< Re <4000 el flujo está indeterminado, pudiendo comportarse como laminar o como turbulento, según las condiciones del entorno, y variando de unos momentos a otros. Es un intervalo en el que no se debe de trabajar, y donde además se puede producir el fenómeno de la intermitencia que se analiza posteriormente.

Para las tuberías circulares el número de Reynolds se expresa: Re = V D ρ / µ =

V D

ν

Se puede considerar el número de Reynolds como la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas debidas a la viscosidad. Es el número más empleado en la Mecánica de los Fluidos, ya que existen un gran número de expresiones en las que aparece dicho factor. Se habla continuamente de él y en función de él aparecen muchas características de elementos hidráulicos. Pero donde adquiere su mayor importancia es en el campo de la semejanza de los flujos (ensayo de modelos) ya que, como se ve en el capitulo del análisis dimensional, en los flujos en carga la condición para que sean dinámicamente semejantes es que, además de ser geométricamente semejantes los números de Reynolds han de ser iguales, permitiendo estudiar cualquier dispositivo a partir de los ensayos realizados en modelos a escala reducida.

3.- CAPA LÍMITE En 1904 Ludwig Prandtl desarrolló el concepto de capa límite que permite relacionar el flujo de los fluidos ideales con el de los fluidos reales. Para los fluidos que tienen una viscosidad relativamente pequeña el efecto de la fricción interna es apreciable sólo en una región delgada en inmediato contacto con las fronteras sólidas del fluido, que Prandtl denominó capa límite. De acuerdo con esta hipótesis el flujo fuera de esta zona estrecha se puede considerar como fluido ideal. Cuando un fluido se mueve junto al contorno de un sólido éste ejerce una fuerza de rozamiento, de forma que la velocidad de la capa de fluido en contacto con el sólido es la misma que la de éste. Si consideramos puntos situados en un plano perpendicular al contorno del sólido, a medida que nos alejamos de él la velocidad aumenta hasta alcanzar la correspondiente al flujo libre. La región en la que se produce la variación de la velocidad se conoce como capa límite, como ya se ha indicado, y su espesor en la práctica se puede definir como la distancia desde el contorno sólido hasta el punto en que la velocidad del fluido es el 99% de la del flujo libre (figura 17.2).



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Fig.17.2.- Capa límite

En el interior de la capa límite se producen tensiones de cortadura originadas por el gradiente de velocidad entre las capas de fluido adyacentes. En flujo laminar τ = µ

du dy

Donde τ es la tensión de cortadura, µ la viscosidad dinámica del fluido y u la velocidad del fluido a una distancia y medida perpendicularmente desde la superficie del sólido. Los factores principales que influyen en la formación de la capa límite son, por lo tanto, la condición de no-deslizamiento en la superficie de contacto entre el sólido y el fluido y la tensión de cortadura debida al gradiente de velocidad. La figura 17.2 muestra una capa límite creciente sobre una placa plana delgada, con un borde de ataque puntiagudo, donde la capa límite empieza siendo laminar. La capa límite aumenta de espesor a medida que nos alejamos del borde de la pared. Cuando el espesor δ de la capa límite alcanza un valor determinado la estructura laminar se hace inestable y desaparece, comenzando a ser turbulenta. La transición de capa límite laminar a turbulenta se ha deducido experimentalmente que se verifica para un número de Reynolds que oscila entre 500.000 y 1.000.000, siendo Re =

V x

ν

.

En la zona turbulenta la tensión de cortadura es debida a los efectos de las turbulencias siendo su expresión τ = η

du , siendo η la viscosidad de turbulencia ó de dy

remolino.



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Sin embargo, una vez pasado el punto de transición, en los puntos muy cercanos a la pared de la placa, la presencia de ésta hace imposible todo movimiento transversal, es decir perpendicular a la pared. La experiencia demuestra que, por grande que sea la turbulencia de la masa fluida, su acción se anula en contacto con la placa; se forma por consiguiente, en las proximidades inmediatas de ésta, una delgada capa en la que el régimen es laminar y que está comprendida entre la pared y la masa de fluido en movimiento turbulento. A esta película de fluido se la denomina subcapa laminar o capa límite laminar secundaria (figura 17.3)

Fig.17.3.- Capa límite laminar y turbulenta

En realidad no hay discontinuidad muy definida entre las tres zonas: fluido libre, capa límite turbulenta y subcapa laminar. En flujos externos, el flujo lejos del cuerpo sólido puede considerarse prácticamente no viscoso, mientras que se utiliza la técnica de la teoría de la capa límite para determinar el movimiento en la capa viscosa cerca de las paredes.

4.-FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES

EN

FLUJOS

INTERNOS.-

Consideremos una tubería por la que circula un fluido en condiciones tales que el movimiento sea necesariamente laminar (figura 17.4). A la entrada de la tubería, el perfil de velocidades es casi uniforme en toda la sección transversal. La acción del esfuerzo cortante en la pared es retardar el flujo cerca de dicha pared. Como consecuencia la velocidad debe aumentar en la zona central.



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Debido a este esfuerzo cortante se crea una capa límite laminar, cuyo espesor, nulo a la entrada de la tubería, va creciendo hasta llenar totalmente el conducto a partir de una cierta sección situada a una distancia l de la entrada. La capa límite que presentaba hasta esa abscisa l un estado de transición, se ha transformado en la configuración laminar; se dice que el régimen está dinámicamente establecido. A partir de aquí la distribución de velocidades es parabólica.

Fig. 17.4.- Flujo interno laminar

La formación del régimen turbulento en el interior de una tubería cilíndrica obedece el mismo esquema que en una placa plana. El fluido entra en la tubería con una velocidad sensiblemente uniforme. A partir de la entrada, las partículas de fluido próximas a la pared de la tubería se adhieren a ésta y el efecto de retraso que resulta de ello provoca la aparición de la capa límite. Esta es primeramente laminar y su espesor aumenta gradualmente hasta un valor en que se hace inestable, desarrollándose entonces una capa turbulenta hasta casi las mismas paredes de la tubería en que se desarrolla la subcapa laminar. Se establece así una configuración permanente a lo largo de la tubería y el régimen está dinámicamente establecido. La distribución de velocidades es la de la figura 17.5; una vez establecido el régimen, la variación de la velocidad es muy rápida en la subcapa laminar y en la zona turbulenta la distribución es logarítmica.

Fig.17.5.- Flujo interno turbulento



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Este tipo de régimen es el que se establece normalmente en las tuberías industriales, de ahí el interés que tiene el estudio de las pérdidas de carga provocadas por la turbulencia del mismo y que son distintas de las del régimen laminar por la configuración distinta de éste. Como se observa la distribución de velocidades en flujo turbulento es prácticamente uniforme.



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TEMA 18: ESTUDIO DE PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS CERRADOS 0.- INTRODUCCIÓN El capítulo comienza con la demostración de la ecuación de Darcy-Weisbach, que define la pérdida de carga en regímenes permanentes y uniformes, en función del coeficiente de frotamiento. Un trabajo que ha durado décadas y que todavía no parece concluido ha sido analizar este valor del coeficiente de frotamiento para cada caso, sea el régimen laminar o turbulento, sea el tubo liso, semirrugoso o rugoso. En el capítulo se establecen las expresiones desarrolladas, en orden cronológico, por Prandtl, Karman, Colebrook y otros investigadores, sin describir todo el trabajo desarrollado por ellos, que resultaría muy extenso. Estas expresiones obtenidas por los investigadores mencionados son complicadas, por lo que llevarlas a ábacos ha facilitado durante muchos años la resolución de problemas. Se presenta el trabajo realizado por Moody mediante su ábaco, y se incluyen expresiones, aproximadas, para el cálculo directo del coeficiente de frotamiento, que resultan muy útiles en la actualidad ya que el grado de aproximación es elevado. El capítulo se termina con el análisis del cálculo de pérdidas de carga en flujo compresible isotérmico.

1.- RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS. ECUACIÓN DE DARCY-WEISBACH En esta apartado se estudian las pérdidas de carga o energía llegando a la expresión general de las mismas, denominada ecuación de Darcy-Weisbach. Se realiza el estudio considerando régimen turbulento, utilizando la expresión de la tensión de cortadura obtenida mediante la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl, sin deducirla, y se generaliza la expresión obtenida para régimen laminar mediante su coeficiente de fricción específico. Hipótesis de partida: Se realiza el estudio para las siguientes condiciones de validez: • • • • •

Flujo turbulento Régimen permanente y uniforme Fluido incompresible Conducto cerrado Flujo unidimensional



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Estudio de pérdidas de carga en conductos cerrados

Se considera dentro de un conducto cerrado un volumen de control formado por un elemento de fluido de longitud L, sección transversal A y perímetro P. Las fuerzas actuantes sobre dicho elemento de fluido, que se representan en la figura 18.1, son las siguientes: • • • •

Fuerza debida a la presión aguas arriba = p1 A Fuerza debida a la presión aguas abajo = p2 A Fuerza debida a la gravedad = γ A L Fuerza debida a la tensión de cortadura a lo largo de todo el contorno del conducto = τ L P

Fig.18.1.- Flujo en conductos cerrados. Representación de fuerzas

Teniendo en cuenta las fuerzas actuantes la ecuación de equilibrio resultante, proyectada sobre el eje del movimiento, es la siguiente: p1 A – p2 A + γ A L sen θ = τ L P Teniendo en cuenta que sen θ = ∆z/L (p1 – p2)A + γ A ∆z = τ L P ∆p A + γ A ∆z = τ L P Dividiendo por el volumen (A L), se tiene: ∆p/L + γ ∆z/L = τ P/A Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.

(1)


27


Según la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl, el valor de la tensión de cortadura para flujo turbulento resulta ser proporcional a la densidad del fluido y a la velocidad del flujo al cuadrado: τ = λ ρ v2/2 Donde λ es un factor, adimensional, de proporcionalidad. Sustituyendo el valor de τ en la expresión (1): ∆p/L + γ ∆z/L =

λ ρ V2 P 2

A

Se llama radio hidráulico R al cociente entre el área de la sección transversal (A) y el perímetro mojado (P), es decir: R=A/P Por tanto la expresión de equilibrio puede expresarse de la siguiente manera: ∆p/L + γ ∆z/L = λ ρ v2 /2 R

(2)

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de la figura 18.1, se tiene: B1 – hf = B2 P1/ γ + z1 – hf = P2/ γ + z2 Al ser el régimen permanente y uniforme, las velocidades en 1 y 2 son iguales. Operando: (P1/ γ - P2/ γ) + (z1 – z2 ) = hf ∆p/ γ+ ∆z = hf ∆p+ γ ∆z = γ hf

(3)

Sustituyendo la expresión (3) en la (2) γ hf /L = λ ρ v2 /2 R Operando resulta:

hf = λ

L V2 R 2g

(4)

Expresión de Darcy-Weisbach, para el caso de conductos cerrados de sección cualquiera.



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Para el caso de tubos circulares el valor del radio hidráulico es :

D2 4 = D/4 R=A/P= π D

π

Sustituyendo este valor en la expresión (4) hf = 4 λ

L V2 D 2g

Al factor 4λ λ se le denomina coeficiente de frotamiento del conducto y se representa por f. La expresión de Darcy-Weisbach para conductos circulares que proporciona la pérdida de carga hf por unidad de peso resulta entonces: hf = f

L V2 D 2g

El coeficiente de frotamiento es adimensional y depende, como se vio en el capítulo dedicado a análisis dimensional, de las características del flujo y del material de la tubería, es decir f = f (Re, ε/D) Para el caso de tuberías de sección no circular la expresión de las pérdidas de carga es la siguiente:

L V2 f L V2 hf = λ = R 2g 4 R 2g que representa la fórmula de Darcy-Weisbach para conductos cerrados de sección no circular, considerando el coeficiente de frotamiento f. En esta expresión cada término representa lo siguiente: • • • • • •

f: el coeficiente de frotamiento, que se determina como en el caso de las tuberías circulares. L: longitud del conducto. V: velocidad media del flujo R: radio hidráulico, es decir R = A/P P: perímetro mojado A: sección transversal de la tubería.



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2.- TUBOS LISOS Y RUGOSOS DESDE EL PUNTO DE VISTA HIDRÁULICO. FRONTERAS. En el capítulo anterior se estudió la capa límite y se mencionó la formación de la subcapa laminar. El espesor de esta subcapa laminar es inversamente proporcional al número de Reynolds, de manera que al aumentar éste el espesor de la subcapa laminar disminuye, tal y como se deduce de la siguiente expresión:

δ sl D

=

11.6 Re

8 f

Se denomina ε al espesor medio de la rugosidad de las paredes del conducto, característico del material, cuyos valores se encuentran tabulados en el cuadro nº 18 del cuaderno o documento: “Cuadros y ábacos” de la asignatura. Espesor relativo de la tubería se llama al cociente entre la rugosidad y el diámetro de la tubería: ε / D Se dice que un tubo se comporta como hidráulicamente liso cuando el espesor de la subcapa laminar es netamente superior a la altura ε de las rugosidades del material de la tubería, según se observa en la figura 18.2, es decir δsl >> ε. En este caso el coeficiente de frotamiento sólo depende de las características del flujo f = f (Re)

Fig.18.2.- Tubo hidráulicamente liso, semiliso y rugoso



30


Se dice que un tubo se comporta como hidráulicamente rugoso cuando el espesor de la subcapa laminar es netamente inferior a la altura ε de las rugosidades del material de la tubería, según se observa en la figura 18.2, es decir δsl << ε. En este caso el coeficiente de frotamiento sólo depende de las características del material f = f (ε/D) Se dice que un tubo se comporta como hidráulicamente semirrugoso cuando el espesor de la subcapa laminar es del mismo orden de valores que la altura ε de las rugosidades del material de la tubería, según se observa en la figura 18.2, es decir δsl ≈ ε. En este caso el coeficiente de frotamiento depende de las características del flujo y del material de la tubería f = f (Re, ε/D) Para un determinado conducto, la rugosidad relativa es un valor constante, mientras que el espesor relativo de la subcapa laminar varía inversamente proporcional al número de Reynolds del flujo A medida que aumenta el número de Reynolds el espesor de la subcapa laminar va disminuyendo y llega un momento en que las rugosidades de la pared empiezan a emerger fuera de la subcapa laminar, pasando el tubo de liso a semirrugoso. Si siguiera aumentando el número de Reynolds el espesor de la subcapa continuaría disminuyendo y el tubo podría pasar a rugoso. De lo anterior se deduce que un tubo no es liso o rugoso, sino que se comporta como liso, rugoso o semirrugoso dependiendo de la velocidad del flujo. Las fronteras entre estos tres tipos de tubos (lisos, semirrugosos y rugosos) se producen para unos valores del número de Reynolds obtenidos experimentalmente por numerosos investigadores, que son los siguientes:

• •

Frontera lisa-semirrugosa: Re’ =

Frontera semirrugosa-rugosa:

23

ε

D

Re’’ = Re’’ =

560

ε ε

D 200 D

f

Siendo este último valor frontera el utilizado en los ábacos que posteriormente se estudiarán, para determinar el coeficiente de frotamiento f.



31


3.- EXPRESIONES PARA EL CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE FROTAMIENTO. FENÓMENO DE LA INTERMITENCIA. EXPERIENCIAS DE NIKURADSE. En el apartado anterior se ha obtenido la expresión de Darcy-Weisbach para tubos circulares, que nos da la pérdida de carga: hf = f

L V2 D 2g

En la misma, aparece el coeficiente de frotamiento f, que es preciso determinar según sea el tipo de flujo (laminar ó turbulento) y el comportamiento de la tubería (lisa, rugosa o semirrugosa) En este apartado se va a determinar el valor de dicho coeficiente, siguiendo el orden cronológico en que se fueron obteniendo. 3.1.- FLUJO LAMINAR Para el caso de flujo laminar (Re ≤ 2000), Hagen y Poiseuille, dos investigadores el primero alemán y el segundo francés, estudiaron por separado el flujo laminar, obteniendo en 1839, la expresión para el cálculo de las pérdidas de carga en dicho flujo: hf =

64 ν L V 64 ν L V 2 64 L V 2 = = D 2g V D D 2g Re D 2g

Por comparación con la ecuación de Darcy-Weisbach, deducida en la primera pregunta de este capítulo, se puede observar que coincide con dicha ecuación, siendo el coeficiente de fricción en este caso: f = 64 / Re. La pérdida de carga es, según se observa en la expresión anterior, función de la primera potencia de la velocidad y el coeficiente de frotamiento depende solamente de las características del flujo, es decir del número de Reynolds: f = f (Re). La expresión para flujo laminar: f = 64 / Re, se le conoce como expresión de Hagen-Poiseuille en honor a los investigadores que la obtuvieron. 3.2.- FLUJO TURBULENTO El estudio del flujo turbulento (Re ≥ 4000), es muy complicado, y está basado en la Teoría de la longitud de mezcla de Prandtl, es una teoría empírica muy imaginativa, que tiene muchos detractores, pero es la única que existe, y que fue completada con ensayos y estudios experimentales por Prandtl y sus discípulos. En estos apuntes no se ha desarrollado la teoría de Prandtl que puede encontrarse en la bilbliografía de Mecánica de Fluidos.



32


En las pérdidas de carga en flujo turbulento no solo intervienen las características del flujo sino además las del conducto o tubería, mediante su rugosidad relativa, siendo diferente el coeficiente de fricción para cada tipo de tubería. 3.2.1.- Coeficientes de fricción en Tuberías lisas 3.2.1.1.- Re ≤ 105 Blasius (1913),mediante su tesis doctoral, y a través de ensayos experimentales estudio el flujo turbulento en conductos lisos, obteniendo para el coeficiente de frotamiento la expresión, llamada de Blasius,: f = (100.Re)-1/4 = 0.316/ Re0.25 para flujos cuyo Re ≤ 105 Es decir si: Re ≤ 105 y tubería lisa (Re
23

ε

f = 0.316/ Re0.25

):

D

El coeficiente de frotamiento depende, como puede observarse, solamente de las características del flujo es decir f = f (Re). Sustituyendo el valor del coeficiente de frotamiento en la expresión de Darcy-Weisbach se obtiene que la pérdida de carga es función de V 1.75 . 3.2.1.2.- Re > 105 En 1925 los alemanes Von Karman y Prandtl obtuvieron la expresión para el caso de flujo turbulento (Re ≥ 4000) y tubería lisa (Re
23

ε

), valida para Re > 105,

D

denominada expresión de Karman-Prandtl, que es la siguiente:

Re f 1 = 2 log 2.51 f Nuevamente se observa que f = f (Re), ya que la tubería se comporta como lisa.

3.2.2.- Fenómeno de la intermitencia Cuando se trabaja en un intervalo de valores del número de Reynolds comprendido entre 2000< Re > 4000 se produce el fenómeno de la intermitencia, en el cual el flujo pasa de laminar a turbulento y de turbulento a laminar de una forma intermitente. Este fenómeno se explica a continuación. Se considera una tubería de pequeño diámetro alimentada por un depósito de nivel constante, según se observa en la figura 18.3. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


33


El desnivel existente (H) entre la lámina superior de agua y la salida de la tubería se transforma en energía de velocidad y en pérdida de carga. H = V22/2g + hf1-2 = Cte.

Fig.18.3.- Fenómeno de la intermitencia

Supongamos que el flujo en un instante determinado es turbulento, pero cercano al laminar. En ese momento la pérdida de carga es proporcional a la velocidad elevada a una potencia entre 1.75 y 2. La pérdida de carga, en este caso, es mayor que en el laminar con lo cual la velocidad disminuye, ya que la energía total H es constante, y por tanto el numero de Reynolds se hace más pequeño, pasando el flujo a ser laminar. En este régimen laminar, la pérdida de carga es proporcional a la primera potencia de la velocidad V, es decir, disminuye la pérdida de carga con relación al régimen turbulento, con lo cual la velocidad aumenta y por tanto el número de Reynolds se hace mayor, pasando el flujo de laminar a turbulento. El fenómeno continúa repitiéndose de forma intermitente.

3.2.3.- Coeficiente de fricción en Tuberías rugosas El mismo año (1925) Karman y Prandtl obtuvieron la expresión valida para flujo turbulento (Re ≥ 4000) y tuberías rugosas (Re >Re’’ =

560

ε

), sin concretar el campo de

D

aplicación de la misma, que es la siguiente:

f =


0.25

  log10 3.71 ε   D 

2


34


Se observa que el coeficiente de frotamiento en tubos rugosos es función exclusiva de la rugosidad relativa ε/D del material de la tubería f = f(εε/D) y la pérdida de carga es función de la segunda potencia de la velocidad, por ser f independiente del número de Reynolds. 3.2.4.- Experiencias de Nikuradse El alemán J. Nikuradse, discípulo de VON KARMAN, realizó en 1932 experiencias con tuberías de rugosidad artificial, para determinar el campo de validez de la expresión de Karman-Prandtl para tuberías rugosas. Las experiencias consistieron en tomar tuberías de diferentes diámetros y arenas tamizadas de distintos diámetros, pero constante para cada ensayo, con las que enlució las tubería, consiguiendo de esta forma tuberías con rugosidades diferentes pero excesivamente homogéneas, en comparación con las tuberías comerciales. Con estas tuberías realizó ensayos en laboratorio, calculando el coeficiente de frotamiento y llevándolo a un gráfico, tal como se representa en la figura 18.4.

Fig.18.4.- Experiencias de Nikuradse

Del gráfico obtuvo las siguientes importantes consecuencias: •

Para régimen laminar, el coeficiente de frotamiento dependía sólo del número de Reynolds y era independiente de la rugosidad, siguiendo fielmente la expresión de Hagen-Poiseuille para tuberías lisas: f = 64/Re.

•

Existía una zona crítica, para valores del número de Reynolds entre 2000 y 4000, en que se desconocía lo que ocurría, al igual que en el caso de las tuberías lisas.



35


•

Al aumentar el número de Reynolds los resultados comenzaban a separarse de los de las tuberías lisas, y se separaban tanto más cuanto mayor era el número de Reynolds y tanto antes cuanto mayor era la rugosidad relativa de la tubería.

•

A partir de un cierto valor del número de Reynolds, que resultaba variable, el coeficiente de frotamiento se hacia independiente de dicho número y dependía solamente de la rugosidad relativa, siendo aplicable la fórmula de KarmanPrandtl para tubos rugosos.

3.2.5.- Coeficiente de fricción en Tuberías semilisas o semirrugosas Nikuradse obtuvo con sus experiencias, una serie de valores del coeficiente de frotamiento para tuberías con rugosidad perfectamente homogénea, sin llevar dichos valores a una fórmula. Los valores obtenidos por Nikuradse son inferiores a los que se obtienen en la realidad con tuberías comerciales, de rugosidad heterogénea. Seguidamente los ingleses Colebrook y White (1939) desarrollaron una expresión empírica para el caso de flujo turbulento (Re ≥ 4000) y tuberías semirrugosas (Re’ ≤ Re ≤ Re’’), que es la siguiente:

ε   2.51 1 = − 2 log  + D 3.71  Re f f   Se observa que el coeficiente de frotamiento depende de las características del flujo y del material f = f(Re, ε/D), ya que la tubería se comporta como semirrugosa. En 1944 el norteamericano L.F. Moody publicó uno de los gráficos más prácticos para la determinación del coeficiente de frotamiento de tuberías y que es válido para toda clase de fluidos, denominado ábaco de Moody. En el siguiente cuadro se presentan, como resumen, las expresiones para el cálculo del coeficiente de frotamiento, indicando su campo de validez.



36


COEFICIENTES DE FROTAMIENTO EN TUBERÍAS

Tipo de Flujo

Comportamiento de la tubería

Flujo laminar Re ≤ 2000

2000< Re < 4000

Flujo indeterminado

Tubería Lisa Re
Flujo turbulento (Re ≥ 4000),

23

ε

Expresión

Hagen-Poiseuille

f = 64 / Re

Zona crítica, no se

debe de trabajar

Re ≤ 105 Blasius

f = 0.316/ Re0.25

),

D

Tubería semirrugosa Re’ ≤ Re ≤Re’’

Re > 105 Karman-Prandtl

Colebrook- White

Tubería rugosa ’’

Re >Re =

560

ε

D

hf

Karman-Prandtl

1

f

= 2 log

hf = f (v)

hf = f (v1.75)

Re f 2.51

 2.51 ε / D  1 = − 2 log  +  3 . 71 f Re f  

f =

0.25

  log10 3.71 ε   D 

2

hf = f (v2)

La expresión de Karman-Prandtl para tubería lisa y la de Colebrook-White para tubería semirrugosa son implícitas, logarítmicas e irracionales por lo que es necesario iterar. 3.2.6.- Coeficientes de fricción, explícitos aproximados, para tuberías lisas y semilisas Los investigadores indios Prabhata K. Swamee y Akalank.K. Jain (P.S.A.K.) desarrollaron expresiones explícitas, con el fin de simplificar el cálculo en el caso de las Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


37


dos expresiones implícitas ya indicadas, cuyos resultados son bastante aproximados a los obtenidos a través de dichas expresiones. Para el caso de tubería lisa y Re > 10 la siguiente:

f =

5

la expresión aproximada de P.S.A.K es

0.25 5.74   log10 Re 0.9   

2

Para el caso de tubería semirrugosa la expresión aproximada de P.S.A.K es la siguiente.

f =

0.25  ε log D + 5.74   3.71 Re 0.9  

   

2

4.- ABACO DE MOODY El valor del coeficiente de frotamiento f viene dado por formulas de difícil resolución (implícitas, logarítmicas, exponenciales) que incluso con las modernas calculadoras llevaría bastante tiempo resolverlas y más aún si son implícitas. Por esta razón dichas formulas se llevaron a ábacos o gráficos que han facilitado durante mucho tiempo la resolución de los problemas. Esta fue la labor realizada por el norteamericano L.F.Moody, que en 1944 publicó uno de los gráficos más prácticos para la determinación del coeficiente de frotamiento de tuberías y que es válido para toda clase de fluidos. En la actualidad, bien en un ordenador o una calculadora programable, se puede programar, con las expresiones ya dadas, todo el cálculo de los coeficientes de fricción. No obstante el ábaco de Moody sigue siendo una herramienta muy útil e intuitiva para conocer el comportamiento de la tubería y para un cálculo rápido de los coeficientes. El ábaco de Moody representa las fórmulas obtenidas anteriormente por HagenPoiseuille, Blasius, Karman-Prandtl, y Colebrook-White, indicadas por los números (1), (2), (3), (4) y (5).



38


4 1

4 4 2

5 3

•

Ecuación (1): Hagen-Poiseuille; Régimen laminar (Re≤2000).

•

Ecuación (2): Blasius; Régimen turbulento y tubos lisos(4000≤Re≤105)

•

Ecuación (3) :Karman-Prandtl; Régimen turbulento y tubos lisos (Re>105)

•

Ecuación (4): Karman-Prandtl; Régimen turbulento y tubos rugosos (Re> Re’’ = 200 ) ε f D • Ecuación (5): Colebrook-White; Régimen turbulento y tubos semirrugosos (Re’< Re> Re’’) Fig.18.5.- Construcción del ábaco de Moody

En el gráfico logarítmico de la figura 18.5 se señalan de forma esquemática estas ecuaciones así como la frontera Re’’, representando en ordenadas el coeficiente de frotamiento f, en abscisas el número de Reynolds Re y tomando la rugosidad relativa ε/D como parámetro variable. El ábaco de Moody no define la frontera entre tuberías lisas y semirrugosas, conocida posteriormente a su publicación. Dicha frontera, como se ha indicado anteriormente, es la siguiente Re’ = 23/ε/D. Se ha considerado conveniente definirla en el ábaco de Moody, modificando éste ligeramente. En la figura 18.6 se representa el ábaco de Moody, perfectamente perfilado, realizado en papel logarítmico, representando el coeficiente de frotamiento f en ordenadas, el número de Reynolds en abscisas y la rugosidad relativa ε/D como parámetro variable. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Fig.18.6.- Abaco de Moody

5.- UTILIZACIÓN DEL ÁBACO DE MOODY Los tres tipos de problemas sencillos que se presentan referentes al flujo en tuberías y que son la base de otros problemas más complejos, son los siguientes: TIPO I II III

DATOS Q, L, D, ν, ε hf , L, D, ν, ε hf, L, Q, ν, ε

INCOGNITA hf (pérdida de carga) Q (caudal) D (diámetro

El tipo I es el más frecuente y mediante el ábaco de Moody y la expresión de Darcy-Weisbach se resuelve directamente. Los tipos II y III hay que asimilarlos al tipo I, para lo cual hay que hacer suposiciones y realizar tanteos.



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PROBLEMA TIPO I Datos: Q, L, D, ν, ε Incógnita: hf (pérdida de carga) El procedimiento de cálculo es el siguiente: con los datos de partida se calcula la velocidad, el número de Reynolds y la rugosidad relativa; con estos dos últimos valores se entra en el ábaco de Moody obteniéndose el coeficiente de frotamiento f y mediante la fórmula de Darcy-Weisbach se determina la pérdida de carga. Para mayor claridad se presenta un organigrama de dicha resolución.

PROBLEMA TIPO II Datos: hf, L, D, ν, ε Incógnita: Q (caudal) Caso a) hf = Cte = K Al ser la pérdida de carga un valor constante se puede obtener el parámetro Ref ½, que corresponde a otra entrada más al ábaco de Moody (parte superior del ábaco). Mediante la expresión de Darcy-Weisbach y el nº de Reynolds:

L V2 hf = f → D 2g

f 1/ 2 =

1 V

hf D 2 g L Re f ½ =

Re =


D

ν

hf D 2g = Cte L

V D

ν E.U.Politécnica de Donostia- San Sebastián


41

Para mayor claridad se acompaña un organigrama que facilita la resolución del problema. Caso b) hf = expresión matemática Si la pérdida de carga no es una constante, mediante la ecuación de Bernoulli y la expresión de la pérdida de carga se obtiene una ecuación con dos incógnitas: la velocidad V y el coeficiente de frotamiento f, por lo que es necesario iterar. El procedimiento de cálculo es el siguiente: se supone un valor arbitrario del coeficiente de frotamiento f; con este valor y mediante la ecuación de Darcy-Weisbach se calcula la velocidad, y con los datos de partida se puede conocer el número de Reynolds y la rugosidad relativa. Entrando con éstos en el ábaco de Moody se obtiene un nuevo coeficiente de frotamiento. Si los coeficientes de frotamiento supuesto y obtenido son del mismo orden de valores (es admisible un 5% de diferencia) el problema esta resuelto, calculando el caudal solicitado. Si no es así, con el coeficiente de frotamiento obtenido se repite el proceso hasta que los valores supuesto y obtenido sean similares. Normalmente no suele ser necesario realizar más de tres iteraciones. Es muy conveniente con el fin de facilitar las iteraciones preparar todas las expresiones para su utilización rápida y confeccionar un cuadro de iteraciones. Es usual partir de un valor para f = 0.03 ó similar (punto medio del eje de ordenadas). Para mayor claridad se acompaña un organigrama que facilita la resolución del problema.



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PROBLEMA TIPO III Datos: hf, L, Q, ν, ε Incógnita: D (diámetro) Al ser el diámetro desconocido no se dispone de ninguna de las tres entradas al ábaco de Moody por lo que nuevamente es necesario iterar. El procedimiento de cálculo es el siguiente: se supone un valor arbitrario del coeficiente de frotamiento f; con este valor y mediante la ecuación de Darcy-Weisbach se calcula el diámetro y a partir de éstos se determinan el número de Reynolds y la rugosidad relativa. Entrando con éstos en el ábaco de Moody se obtiene un nuevo coeficiente de frotamiento. Si los coeficientes de frotamiento supuesto y obtenido son del mismo orden de valores el problema esta resuelto. Si no es así, con el coeficiente de frotamiento obtenido se repite el proceso hasta que los valores supuesto y obtenido sean similares. Normalmente el diámetro obtenido no coincide con uno comercial, por lo que habrá de tomarse el inmediatamente superior al obtenido. Es muy conveniente con el fin de facilitar las iteraciones preparar todas las expresiones para su utilización rápida y confeccionar un cuadro de iteraciones. Para mayor claridad se acompaña un organigrama que facilita la resolución del problema.



43


6.- CÁLCULO DE PÉRDIDA DE CARGA EN FLUJO COMPRESIBLE

El transporte de fluidos por tuberías se conoce desde la antigüedad, pero hasta principios del presente siglo las técnicas de soldadura no alcanzaron el nivel necesario para permitir, con la suficiente garantía, la construcción de conducciones capaces de resistir presiones elevadas. El transporte de gas por tuberías presenta, entre otras, las siguientes ventajas: • •

• • • • •

Permite el transporte económico de grandes cantidades a distancias considerables. Permite realizar el transporte sin aportar energía exterior, aprovechando la presión del propio gas. Unicamente cuando se trata de grandes distancias es necesaria la instalación de estaciones intermedias de compresión, para compensar las pérdidas de carga que se producen en la tubería. Inexistencia de obras de protección costosas. Aprovechamiento de trazados rectilíneos. Escasos gastos de personal por su sencillez y elevado grado de automatismo. Asegurar la regularidad del suministro. No alterar el medio ambiente.

Como desventajas cabe citar: • •

Rigidez en el trazado. Poca flexibilidad para adaptarse a las variaciones cuantitativas de la demanda.

Generalmente se parte de depósitos de almacenamiento desde los cuales, y previos los tratamientos necesarios con compresores, se impulsa el gas a lo largo de la canalización. Los gasoductos están formados por tramos bien diferenciados en función de los caudales de gas transportados y de su presión. La espina dorsal del gasoducto está constituida por el llamado conducto principal o red de transporte, diseñado para conducir grandes volúmenes de gas a grandes distancias, a presiones superiores a los 12 bar, alcanzando normalmente valores de 30 a 40 bar e incluso superiores. En las estaciones de regulación se reduce la presión del gas que procede de la red de transporte y adecuadamente filtrado, es introducido en la red de distribución. En estas estaciones se controla el caudal de gas que circula por la tubería así como la presión y la temperatura. Las presiones de trabajo de las redes de distribución suelen estar comprendidas entre 12 y 4 bar. Esta gama de presiones es la más adecuada para usuarios industriales.



44


En algunas circunstancias, las redes de distribución deben trabajar con presiones de servicio entre 4 y 0,4 bar y menores de 0,4 bar. Las distribuciones realizadas a presiones inferiores a 500 mm c agua constituyen las de baja presión y se utiliza para el suministro a usuarios domésticos. 6.1.- FLUJO ISOTERMO EN TUBOS DE SECCIÓN CONSTANTE En conducciones largas, el flujo generalmente es isotérmico: si son conducciones sin aislar, (gasoductos, red urbana de distribución de gas, aire comprimido etc.) el contacto del flujo con el ambiente garantiza, en el flujo, la temperatura de éste. Si las conducciones son aisladas (en centrales térmicas por ejemplo), las pequeñas disminuciones de temperatura, que origina la suave expansión del flujo en su recorrido, son contrarrestadas en buena medida por el rozamiento. 6.1.1.- Hipótesis de partida • • • •

Tubería horizontal Flujo isotermo Flujo permanente Flujo con rozamiento o real.

6.1.2.- Ecuaciones que definen el proceso •

Ecuación de estado:

Gas ideal: P = ρ R T

• • •

Gas real: P = z ρ R T (z = coeficiente de compresibilidad) Ecuación de la transformación isotérmica: P / ρ = Cte Ecuación de la Continuidad: ρ v A = m. = Cte (flujo permanente) Ecuación de la energía: g dz + v dv + dp / ρ + g dhf = 0

Las velocidades de circulación del fluido suelen ser del orden de 6–7 m/s y como máximo alcanzan valores de 20 m/s. A lo largo de la tubería, debido a las pérdidas de carga, la presión disminuye, por tanto la densidad disminuye y como consecuencia la velocidad tiene que aumentar, de forma que las máximas velocidades existirán al final de la tubería. L dx

x 1 P1 v1

2 P v

P+dP v+dv

P2 v2

Conducto de longitud L

Fig.18.7.- Conducto con flujo compresible



45


Como ya se ha indicado, la velocidad varía a lo largo de la tubería, por ello se toma un pequeño elemento de longitud “dx “, para aplicar la ecuación de la energía. Sustituyendo en la expresión de la energía “dhf” por la ecuación de DarcyWeisbach: dhf = f (dx/D) (v2 / 2g) Se obtiene: g dz + v dv + dP / ρ + g f (dx/D) (v2 / 2g) = 0 • •

Al suponer tubería horizontal: dz = 0 La variación de energía cinética en el elemento infinitesimal dx, es despreciable frente a la variación de energía de presión, por lo que la despreciamos: dP / ρ + f (dx/D) (v2 / 2) = 0 dP = - ρ f (dx/D) (v2 / 2) Multiplicando los dos miembros por la densidad ρ: ρ dP = - f (dx/D) ((ρv)2 / 2)

Por la Ec. de estado: ρ = P /RT ⇒ T = Cte & = ρ v A = Cte ⇒ (ρ v ) = Cte Y por la Ec. de la continuidad: m Sustituyendo:

p dx ρ V 2 dp = − f RT D 2 Ecuación diferencial en variables separadas, cuyas únicas variables son P y x. x = 0 → P = P1 x = L → P = P2

Límites de integración:

pdp f ( ρV ) 2 dx ∫ RT = −∫0 2D P1

P2

2

P2 - P1 2RT

2

L

2

=− f

2

L (ρ V ) 2 D

P1 - P2 = R T f


2

L (ρ V ) D

2

Ecuación de Weymouth


46


Si no se desprecia el término de energía cinética (v.dv) la ecuación que se obtiene es: 2

2

P1 - P2 = R T

(ρ V ) 2  f 

L V  + 2 ln 2  V1  D

Pero la diferencia en los resultados es totalmente despreciable. 6.1.3.- Coeficiente de fricción “f” El calculo del coeficiente de fricción f se realiza mediante el ábaco de Moody o las expresiones que lo definen. Datos de partida: ε/D y Re Re = ρVD/µ Como ρVA = Cte → ρVD = Cte → µ = Cte Y para T = Cte Es decir Re = Cte en toda la conducción



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TEMA 19: FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS. CÁLCULO PRÁCTICO DE CONDUCCIONES. REDES. 0.- INTRODUCCIÓN En este capítulo se estudian las pérdidas de carga en las piezas especiales, conocidas con el nombre de pérdidas menores o puntuales, que se calculan mediante dos métodos: el de las longitudes equivalentes y el de los coeficientes de paso. A continuación se estudia el envejecimiento de las tuberías y se define el concepto de línea piezométrica y de alturas totales, presentándose varios casos particulares. Por último y teniendo en cuenta que además del ábaco de Moody y de la expresión de Darcy-Weisbach existen numerosas fórmulas empíricas para el cálculo de las pérdidas de carga se analiza la expresión de Hazen-Williams muy valida para cálculos rápidos con agua. Por último se explican las tuberías en serie, en paralelo y ramificadas.

1.- PÉRDIDAS MENORES. LONGITUD EQUIVALENTE Y FACTOR DE PASO En el capítulo anterior se han estudiado las pérdidas de carga en conducciones, considerando que están constituidas solamente por la tubería es decir por tramos de tubería recta, ya que una de las hipótesis de partida es flujo uniforme. La realidad es que en una conducción existen muchos puntos singulares, entendiendo por éstos todo tipo de válvulas, codos o curvas, bifurcaciones, juntas de unión, ventosas, filtros, contadores y, en general, cualquier singularidad de la tubería. Todas estas particularidades, denominadas también “piezas especiales” producen lo que se llama pérdidas de carga: menores, puntuales, singulares o particulares. Aunque se consideren como pérdidas menores, en algunos casos tienen extraordinaria importancia, sobretodo en instalaciones industriales, urbanas y domésticas. Estas pérdidas se consideran despreciables en caso de conducciones largas, con pequeño número de piezas especiales. Existe una regla práctica que consiste en suponer despreciables dichas pérdidas cuando entre una pieza especial y la siguiente hay una separación del orden de mil veces el diámetro de la conducción. La evaluación de las pérdidas menores se realiza, con no pocas dificultades, experimentalmente. Solamente en el caso de ensanchamiento y estrechamiento bruscos se pueden determinar analíticamente dichas pérdidas, aplicando el teorema de la cantidad de movimiento.



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Flujo permanente en conductos cerrados. Cálculo práctico de conducciones

Los métodos empleados para determinar las pérdidas de carga son dos, el de la “longitud equivalente” y el del “factor de paso”

1.1.- MÉTODO DE LA LONGITUD EQUIVALENTE Se llama longitud equivalente de una pieza especial a la longitud de tubería que, con el mismo diámetro que el de la pieza, produce igual pérdida de carga. Según la fórmula de Darcy-Weisbach, la pérdida de carga viene dada por la expresión:

L V2 hf = f D 2g En el caso de piezas especiales L representa la longitud equivalente, es decir: hf = f

Le V 2 D 2g

Por medio del ábaco de las longitudes equivalentes, construido por la casa Whortington (ábaco nº 20 de Cuadros y ábacos:), se puede determinar perfectamente la longitud equivalente de las distintas piezas especiales según los diferentes diámetros de las mismas.

1.2.- MÉTODO DE LOS FACTORES DE PASO O COEFICIENTES Las pérdidas en piezas especiales se pueden evaluar también por el llamado factor de paso, de forma que: hf = K

V2 2g

siendo K el factor de paso en piezas especiales, equivalente al factor f

L de la fórmula D

de Darcy-Weisbach. Los factores de paso están tabulados en el cuadro nº 21 de Cuadros y ábacos. En todo caso las casas comerciales suministradoras los deben de indicar.

2.- ENVEJECIMIENTO DE TUBERÍAS A pesar de que las tuberías son cada vez más lisas en el momento de salir de fábrica, el tiempo de funcionamiento influye muy notablemente en la rugosidad absoluta ε del material, en el coeficiente de frotamiento f y, por tanto, en las pérdidas de carga hf, haciéndose las tuberías más rugosas con el paso del tiempo.



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Si bien no se puede cuantificar perfectamente la incidencia de los parámetros que influyen en el coeficiente de frotamiento, si se pueden considerar clasificados en tres grupos: •

Parámetros fisicoquímicos de la tubería, es decir el acabado y el material de fabricación.

•

Parámetros fisicoquímicos del fluido, es decir, su acidez, dureza, sustancias en suspensión, minerales, los cuales pueden dar lugar a formación de incrustaciones como en el caso de sustancias calcáreas, ó erosionar la tubería disminuyendo su espesor, como en el caso de arenas en suspensión.

•

Parámetros hidráulicos, es decir la velocidad de circulación y la presión.

Una velocidad demasiado baja facilita la acumulación de sedimentos en el interior de la tubería, originando una considerable disminución de su diámetro, aparte del natural aumento de rugosidad, con lo cual las pérdidas de carga aumentan considerablemente. Por el contrario, una velocidad demasiado elevada produce un efecto de erosión o desgaste del espesor del tubo, pudiendo llegar a deteriorarse con el paso del tiempo. Las fórmulas que cuantifican la influencia de la edad de la tubería son totalmente empíricas y con poco rigor científico. Una forma práctica de evaluar la influencia de la edad en la pérdida de carga consiste en considerar que ésta aumenta un tanto por ciento igual al número de años t transcurridos desde la salida de fábrica.

 

hf (t) = hf (0) 1 +

t  100 

3. LÍNEA PIEZOMÉTRICA Y DE ALTURA TOTAL Altura piezométrica: Se llama a la altura alcanzada en un piezómetro abierto dispuesto en la tubería, es decir, representa la suma de la energía de posición y de presión, tomando como referencias un origen arbitrario de cotas y la presión atmosférica local (presión manométrica). Altura total: Se llama a la resultante de sumar a la altura piezométrica la altura equivalente a la energía de velocidad. Si en una conducción se unen los puntos alcanzados por la altura piezométrica y la altura total, se obtiene la “ línea de alturas piezométricas” ó la “ línea de alturas totales” respectivamente.



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En una conducción, salvo en casos muy excepcionales, es casi imprescindible que la energía de presión sea positiva, con lo cual la línea piezométrica debe estar siempre por encima del perfil de la tubería, que representa la energía de posición. Si está por debajo significa una presión negativa, es decir, la línea piezométrica no ha de cruzarse con la del perfil de la tubería, en la mayoría de los casos.

Altura total disponible α

hf 2

V /2g

Línea altura total

Tubería P/ρg Línea Piezométrica

Fig. 19.1.- Línea piezométrica y línea de altura total

. En la lámina superior del depósito, la línea piezométrica coincide con la altura total; en la entrada a la tubería una pequeña parte de la energía de posición se transforma en energía de velocidad, que se mantiene constante a lo largo de la conducción si no se modifica el diámetro de la misma. En un punto cualquiera de la conducción se tiene la siguiente distribución de energías: Z: energía de posición P/ρ ρg: energía de presión V2/2g: energía de velocidad hf : pérdida de energía o pérdida de carga La pendiente de la línea de altura total proporciona la pérdida de carga por unidad de longitud, de forma que: tagα = hf / L = J Sin embargo, por ser las líneas piezométricas y de altura total paralelas, es normal decir que J es la pendiente de la línea piezométrica. Es indudable que al final de la conducción la energía de presión se anula, pues el fluido ha de salir a la atmósfera, convirtiéndose en energía de velocidad si existe una boquilla, en energía de posición si se trata de un consumo en una cierta cota, ó simplemente se transforma en pérdida de carga en los grifos de salida ó en instalaciones industriales.



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3.1.-CASOS PARTICULARES

3.1.1.- Salida mediante boquilla En el caso de que al final de la conducción sale al exterior a través de una boquilla, en dicha boquilla se verifica la transformación de energía de presión en energía cinética, además de pérdidas de carga, y dejan de ser paralelas, lógicamente, la línea piezométrica y de altura total.

v2 /2g

hf v2boq/2g

p/ρg z

Origen de cotas

Fig. 19.2 .- Salida mediante boquilla

3.1.2.- Pieza especial En el punto donde existe una pieza especial se produce una caída de la línea piezométrica, ya que se origina una pérdida de carga puntual. La línea piezométrica continúa posteriormente con la misma pendiente que tenía antes de que el fluido pasara por la pieza especial, según puede observarse en la figura.

hf p. especial

P/ρg

D D z Origen de cotas Fig. 19.3.- Pieza especial



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3.1.3.- Bomba Si se tiene una bomba dentro de una conducción se incrementa la energía entre la entrada y la salida de la bomba. Si el diámetro y el material de la tubería permanecen constantes antes y después de la bomba, la línea piezométrica tiene la misma pendiente en ambas tuberías según puede observarse en la figura 19.4, ya que la velocidad permanece constante así como el número de Reynolds y la rugosidad relativa y por tanto el coeficiente de fricción y la pérdida de carga unitaria.

p/ρg

Hm

z Bomba Origen de cotas Fig. 19.4.- Bomba

3.1.4.- Turbina Si se tiene una turbina dentro de una conducción disminuye la energía, produciéndose una caída repentina de la línea piezométrica, según se observa en la figura 19.5.

Ht

Turbina Origen de cotas Fig 19.5.- Turbina



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3.1.5.- Depresión por bomba Como es sabido, una bomba puede producir una depresión en su tubería de aspiración. En este caso la línea piezométrica corta al perfil de la conducción, según se observa en la figura 19.6.

P/ρg

z

Origen de cotas

Fig. 19.6.- Depresión por bomba

Es preciso tener cuidado con el fenómeno de la cavitación, que consiste en que el fluido hierve cuando la presión a la entrada de la bomba disminuye, alcanzando la tensión de vapor máxima del fluido y en ese momento se forman burbujas de aire muy rico en oxígeno y burbujas de vapor de agua. Como consecuencia de ello se oxida el material y se deteriora la bomba y tuberías. Por otra parte se producen también detonaciones o implosiones peligrosas originadas por las burbujas gaseosas al licuarse, con vibraciones y ruidos que dan lugar a una disminución del rendimiento de la bomba y de la vida de la misma. 3.1.6.- Sifón Se denomina sifón al paso de un fluido de un punto a otro de menor cota, bien pasando su intermedio por cotas superiores o por inferiores (Figura 19.7)

0

1

1

H H

(a)

2

2

(b) (b

Fig.19.7.- Sifones: a) por cotas superiores ; b) por cotas inferiores



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Los sifones presentan unas limitaciones, ya que en el sifón (a) hay que tener cuidado con la depresión que se produce en la parte superior que puede originar cavitación y en el sifón (b) hay que tener precaución con la sobrepresión que tiene que soportar la parte inferior. Suponiendo que el tubo del sifón está totalmente lleno de fluido, la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 conduce a la expresión: B1 - hf 1-2 = B2 ; B1 = 0 y

B2 = H

2

H = hf 1-2 = f

LV D 2g

Es decir, el fluido circula por el sifón gastándose la altura H en pérdida de carga. La presión en el punto superior ó inferior del sifón (vértice) se determina aplicando la ecuación de Bernoulli: B1 - h f 1-0 = B0 Siendo: B1 = p1/γ + v12/2g + z1 = 0 + 0 + z1 B0 = p0/γ + v02/2g + z0 Resulta: p0/γ = (z1 - z0) - v02/2g - h f 1-0 En el caso del sifón (a) la presión resulta ser negativa p0/γ = - (z0 – z1) - v02/2g - h f 1-0 y disminuye con la altura del vértice respecto al punto 1 y con la velocidad del fluido en el sifón. Si al determinar p0/γ resulta que es igual ó menor que la presión de vapor, el fluido hierve en el vértice y se dice que el sifón cavita. El paso del fluido se produce a borbotones y el sifón no trabaja satisfactoriamente, pudiendo incluso llegar a descebarse. Los grandes sifones que trabajan continuamente tienen en su vértice superior bombas de vacío que impiden el descebado. La presión más baja puede en algunos casos no presentarse en el vértice sino en un punto aguas abajo, puesto que el rozamiento y las pérdidas menores pueden reducir aún más la presión. La línea piezométrica de un sifón es una recta que une las dos superficies libres, según se observa en la figura 19.8.



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Sifón a 1 Cabeza de sifón

2

Sifón b

Cola de sifón

Fig 19.8.- Línea piezométrica del sifón

4.- FÓRMULAS EMPÍRICAS DE CÁLCULO DE PÉRDIDAS DE CARGA Todas las fórmulas estudiadas hasta ahora son muy recientes, pues tienen como punto de partida el año 1925, en que Ludwig Prandtl expuso su teoría sobre la capa límite. Sin embargo ya se habían realizado cálculos de tuberías con anterioridad a esta fecha. Esto fue posible gracias a la existencia de fórmulas empíricas, obtenidas por numerosos investigadores anteriores a Prandtl, que permitieron determinar las pérdidas de carga en las conducciones. Entre ellas citaremos las de Prony, Dupuit, Levy, Flamant, Darcy, Lees-Cespedes, Reynolds, Hazen-Williams, Sonier, Manning, Barnes, GauckerStricler, Scimemi,y Drew-Kov-Macadams. De todas las indicadas la mas utilizada hoy en día para cálculo rápido de pérdidas de carga en conductos cerrados y en flujos de agua o de fluidos de viscosidad similar al agua (ν ≈ νagua = 10-6 m2/s) es la de Hazen-Williams. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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4.1.- FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS Esta ecuación data del año 1970, tiene en cuenta todos los parámetros que intervienen en el rozamiento fluido, es decir, rugosidad, velocidad y diámetro, Por ello es de las expresiones empíricas más ampliamente utilizadas en el cálculo de redes hidráulicas. Su expresión dada en el sistema internacional es la siguiente: Q = 0.0849 CHW A R 0.63 J 0.54

(S.I)

Siendo: • CHW: coeficiente de Hazen-Williams, que depende de la rugosidad de la tubería. • A: sección transversal del conducto • R: radio hidráulico; R = A/P • J: pérdida de carga unitaria; J = hf/L Para el caso de tuberías de sección circular: A = π D /4 y 4

4 π D 4 R= = D/4 π D

Despejando la pérdida de carga: J = hf/L =

10.7 C HW

1.852

D( m )

4.87

1.852

Q (

m3

s

(S.I.)

)

El coeficiente de Hazen-Williams: CHW es función de la rugosidad de la tubería, pero la bibliografía solamente indica tubería muy lisa, lisa, semilisa,...etc. Haciendo la comparación de los resultados obtenidos mediante esta expresión con las derivadas de la mecánica del flujo turbulento, representadas en el ábaco de Moody, se puede expresar el coeficiente en función de la rugosidad relativa: ε / D, tal como se encuentra en el cuadro:22 de “Cuadros y ábacos”. Las fórmulas empíricas son notablemente más sencillas que la teóricas ya indicadas, pero con el fin de resolver mucho más rápidamente el cálculo de pérdidas de carga, se ha confeccionado un cuadro de valores de las pérdidas de carga unitarias (J1) en función del diámetro comercial de la tubería, tomando como base la expresión de Hazen-Williams. De la expresión anterior: J = hf/L =

10.7 C HW


1.852

D( m )

4.87

1.852

Q (

m3

s

(S.I.)

)


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Se llama J1 a la pérdida de carga producida por un caudal de 1 l/s, por tanto: J = J1 . Q1,852 hf = J1 . L . Q1,852 El cuadro se ha preparado para los diámetros comerciales más comunes así como para los diferentes coeficientes de Hazen-Williams. En dichos cuadros se ha expresado el caudal en l/s , el diámetro en milímetro y la pérdida de carga en unidades es decir en metros de columna de agua por metro de longitud de tubería. Expresando en la ecuación de Hazen-Williams, el caudal en l/s y el diámetro en mm es decir: Qm3/s = Ql/S .(10-3) y Dm = Dmm . (10-3) Y sustituyendo se escribirá: J1 =

1.2117 1010 1.852 4.87 C HW D( mm )

siendo J1 la pérdida de carga unitaria cuando Q = 1 l/s, cuyo valor esta tabulado, cuadro nº 22,en función del diámetro y del coeficiente de Hazen-Williams. La expresión final de Hazen-Williams para el cálculo de la pérdida de carga es la siguiente: hf = J1 L Q (l/s) 1.852

5.- TUBERÍAS EN SERIE Y EN PARALELO. LEYES DE CIRCULACIÓN DE LOS FLUIDOS EN UN CIRCUITO 5.1.- TUBERÍAS EN SERIE Las tuberías están conectadas en serie cuando van colocadas una a continuación de otra Por el teorema de la continuidad, el caudal es el mismo para cada tubería en ausencia de manantiales ó sumideros y la pérdida de carga total es la suma de las pérdidas parciales. hf

total

= Σ hf parciales

es decir, las pérdidas de carga son acumulativas.



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5.2.- TUBERÍAS EN PARALELO Se dice que las tuberías están conectadas en paralelo cuando parten y terminan en el mismo punto (figura 19.9).

1 A Fig.19.9.- Tuberías en paralelo

2

B

3

En este caso se verifican las leyes de circulación de fluidos en circuitos para los caudales y las pérdidas de carga. Ley de caudales: “En un nudo se verifica que la suma de caudales entrantes es igual a la suma de caudales salientes” En general, en un nudo Σ Q = 0, suponiendo positivos los caudales entrantes y negativos los salientes. Ley de pérdida de carga: “Las pérdidas de carga entre dos nudos son independientes del camino recorrido” hf AB = hf1 = hf2 = hf3 ya que si se aplica Bernoulli entre los nudos A y B, resulta BA – BB = hf AB y como el Bernoulli es el mismo en cada punto para cada instante, la pérdida de carga es indiferente que circule el fluido por una tubería ó por otra en paralelo con ella. Si se considera la pérdida de carga positiva cuando el fluido circula en una dirección y negativa si lo hace en otra, se puede escribir para un circuito Σ hf = 0

5.3.- TUBERÍAS RAMIFICADAS Es un conjunto de tuberías que parten de un nudo común.



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TEMA 20: FLUJO VARIABLE EN TUBERÍAS 0.- INTRODUCCIÓN Al variar el régimen en una conducción, cerrando parcial o totalmente una válvula por ejemplo, aparece un fenómeno de compresibilidad en el flujo, que se traduce en una variación brusca de presión en la tubería. Si en la conducción ABC (fig. 20.1) anulamos el caudal en B, la primera rodaja de flujo aguas arriba de B queda parada en seco, a continuación se para la segunda comprimiendo a la primera, la tercera a la segunda y así sucesivamente hasta llegar a A. En definitiva, aparece en B un aumento de presión ∆P que como una onda se propaga aguas arriba a una velocidad a. Este aumento de presión es como un golpe que sufre la conducción en su interior, y que se conoce con el nombre de golpe de ariete, y recientemente con el de transitorio.

Fig.- 20.1.- Cierre de válvula en B

Al anularse el caudal en B, la primera rodaja de flujo aguas debajo de B queda también parada en seco. El flujo entre B y C tira de dicha rodaja, provocando en la misma una succión o disminución de presión llamado golpe de ariete negativo. A veces se pueden originar en la tubería presiones inferiores a la atmosférica, incluso próximas al cero absoluto, que aplastarían la tubería si esta no está preparada para ello.

1.- PROPAGACIÓN DE LA ONDA Al anular instantáneamente el caudal en B (Fig. 20.2) pueden suceder tres casos: •

Fluido incompresible (no existe) Tubería inelástica (difícil de conseguir).

Al cerrar instantáneamente en B, no hay posibilidad de que siga entrando líquido por A en la tubería. El caudal se anularía simultáneamente en ambas secciones. La celeridad de la onda a sería infinita: a = ∞ Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Flujo variable en tuberías

•

Fluido compresible (siempre) Tubería inelástica

Al anularse el caudal en B, el fluido dentro de la tubería va reduciendo su volumen a medida que se produce la sobrepresión del golpe; por tanto sigue entrando en la tubería fluido por A. En este caso, tampoco real, la celeridad de la onda coincide con la velocidad del sonido en dicho fluido c: a = c. •

Fluido compresible. Tubería elástica

Al anularse el caudal en B sigue entrando fluido por A, por doble causa, ya que éste se comprime y además la tubería se dilata a medida que le va llegando la onda de sobrepresión. Por ello el caudal en A tarda más en anularse es decir que la onda se propaga más despacio: a< < c.

2.- VALOR DEL GOLPE DE ARIETE MÁXIMO.- FÓRMULA DE ALLIEVI Al anularse el caudal en B (Fig. 20.2) aparece un ∆P, que actuando sobre la sección transversal S del flujo va comprimiendo a éste con la fuerza: F = S. ∆P

Fig.: 20.2.- Cierre rápido de válvula en B

El impulso de dicha fuerza durante el tiempo: t = ∆ L / a que tarda el trozo de tubería ∆ L en pararse, será igual a la variación de la cantidad de movimiento que ha sufrido la masa m de dicho trozo, al pararse o al pasar de una velocidad V a otra V’ menor. m = ρ. S. ∆ L F. t = m. ∆ V ∆ V = V – V’ (parcial) Sustituyendo: S. ∆ P. ∆ L/a = ρ. S. ∆ L. ∆ V ∆ V = V (total) Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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En el caso de cierre total: ∆ V = V, lógicamente el más peligroso, se obtiene: ∆ P = ρ. a. V

ó

∆ H = a. V /g

Expresión obtenida por Allievi que calcula el máximo golpe de ariete que puede presentarse.

3.- VELOCIDAD DEL SONIDO Calculando la celeridad de la onda en una tubería inelástica se tendrá la velocidad del sonido ya que c = a.

Fig.- 20. 3.- Onda de presión

Se representa en la Fig. 20.3 la primera rodaja próxima a B. Dicha rodaja pasa de un espesor dL antes del golpe a otro (dL-dx) después de comprimida. La fuerza de compresión es F que comienza en C, siendo nula y acaba en C’ con el valor del golpe: F = S.∆P. La fuerza media: S.∆P/2 al desplazarse de C a C’(dx), realiza un trabajo dW: d W = F . dx = (S.∆P / 2 ). dx Sustituyendo: ∆P = ρ. a. V y teniendo en cuenta que en este caso a = c dW = (S.ρ. c. V / 2).dx Este trabajo se realiza a costa de otra energía, que es la energía cinética que desaparece de la rodaja de fluido al quedar en reposo: (1/2) dm V2 = (1/2) ρ. S. d L .V2 Igualando las expresiones: (S.ρ. c. V / 2).dx = (1/2) ρ. S. d L .V2

V /c = S.dx /S.dL Expresión que nos da la variación de volumen por unidad de volumen que produce el incremento de presión .∆P. Recordando el módulo de elasticidad volumétrico de un fluido: K = - ∆P / (∆v /v):

S.dx /S.dL = ∆v /v = ∆P / K V / c = ∆P / K = ρ. c.V / k

c2 = k / ρ


Por tanto:

c=

k

ρ


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Para el caso del agua k = 2,03 .109 N /m2 y la velocidad del sonido en el agua: c = ( ( 2,03 . 109) / 1000)1/2 = 1425 m/s

4.- CELERIDAD DE LA ONDA EN TUBERÍAS Al considerar elástica la tubería, la porción de fluido de espesor dL disminuye, por efecto del golpe de Ariete (∆P), al aumentar el diámetro. El recorrido dx de la fuerza F es ahora mayor y depende además del fluido de la elasticidad del material de la tubería y de su espesor respecto del diámetro. Llamando E al módulo de elasticidad del material, e al espesor de la tubería y D a su diámetro interior, se llega a la expresión de Joukowski:

k/ρ

a=

1+

k .D E.e

Fig.-20.4.- Velocidad de la onda de presión en tuberías

Para el caso del agua, Allievi propuso una fórmula más facil de recordar y manejar obtenida de la siguiente forma: como c = (k / ρ)1/2 = 1425 m/s Recordando que k = 2,1.105 N/cm2 y sustituyendo:

1425

a= 1+

2,1.10 5.D E.e

=

1425. 48,3 48,3 +

10 7.D E.e

Siendo K el cociente adimensional 107 / E(N/cm2) queda:

a=


9900 K.D 48,3 + e


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Valores orientativos de K para la fórmula de Allievi Hierro y acero……………… Hormigón………………….. Hormigón armado…………. Fundición………………….. Fibrocemento……………… Poliester…………………… Plomo……………………… PVC………………………..

0,5 5 5 1 5,4 (5 ÷ 6) 6,6 5 33 ( 20 ÷ 50)

5.- OSCILACIONES DE PRESIÓN EN LA TUBERÍA Analicemos lo que sucede en la conducción desde el instante t = 0 en que se produce el cierre instantáneo en B: t = 0: Aparece en B el golpe ∆P y la onda Instante t = (L /2) / a: La onda de presión comienza a circular por la tubería hacia el llega al punto medio M. El trozo de tubo MB está dilatado y el fluido en su interior depósito A. en reposo y comprimido. En el trozo AM el fluido sigue circulando hacia M.

Fig.-20.5.- Cierre de válvula instante t=0

Fig.-20.6.- Cierre de válvula instante t=(L/2)/a

Instante t = L / a : La onda de presión llega a A, toda la tubería está dilatada por la sobrepresión y el fluido en su interior en reposo y comprimido. La presión en B es la estática más la sobrepresión del golpe. Sería el momento más peligroso en la conducción. En el depósito A solo puede existir la presión h debida a la altura del mismo, el golpe al llegar a A tiene que desaparecer automáticamente.

Igual que un resorte, el fluido de la tubería comienza a expandirse por A y comienza un flujo en dirección al depósito, a la vez que la presión se va estabilizando.


En el Instante t = (3L/2)/a, la onda estabilizadora llega a M. La línea piezométrica en el tramo AM queda con .inclinación decreciente hacia A ya que el flujo circula en ese sentido


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Fig.-20.7.- Cierre de válvula instante t=L/a

Fig.-20.8.- Cierre de válvula instante t=(3L/2)/a

Instante t = 2L / a : La onda estabilizadora llega a B. El fluido de toda la tubería se mueve hacia el depósito, teóricamente a la misma velocidad V que llevaba antes de producirse el golpe. Como el tramo de fluido próximo a B no puede moverse, el resto tira de él provocando un ∆P negativo teóricamente igual en valor absoluto a la sobrepresión del golpe. A continuación esta onda se propaga hacia A.

En el instante t = (5L/2)/a: La onda negativa llega a M. El trozo de tubería BM esta contraído y el fluido en su interior en reposo y expandido.

Fig.-20.9.- Cierre de válvula instante t= 2L/a

Fig.-20.10.-Cierre de válvula instante t=(5L/2)/a

Instante t = 3L / a: La onda llega a A. Toda En el instante t = 4L/a: el flujo llega a B y la la tubería está contraida por efecto de la situación vuelve a ser la misma que en el depresión y el fluido en reposo y instante inicial expandido. En A se inicia un flujo en dirección a B.



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Fig.-20.11.- Cierre de válvula instante t=3L/a

Fig.-20.12.- Cierre de válvula instante t=4L/a

A partir de entonces el fenómeno vuelve a repetirse indefinidamente cada período 4L/a , pero debido al rozamiento del agua en la tubería la onda de presión se va amortiguando hasta anularse totalmente. Cuando el golpe de ariete es negativo, se podría alcanzar el cero absoluto, en el peor de los casos, verificándose un fenómeno ondulatorio análogo al anteriormente descrito. En consecuencia el golpe de ariete negativo puede ser tan nocivo como el positivo.

6.- CIERRE GRADUAL 6.1.- CLASIFICACIÓN En un cierre gradual, el golpe de ariete dependerá del tiempo T de cierre y de la longitud L de la tubería. Si la conducción es suficientemente larga o el cierre suficientemente rápido, como para que la válvula esté cerrada antes de lo que tarda la onda en ir y volver (2L/a), se habla de conducciones largas o cierres rápidos; de lo contrario, se habla de conducciones cortas o cierres lentos. Si T< < 2L/a, cierre rápido; ó L > a.T/2, conducción larga Si T > 2L/a, cierre lento; ó L < a.T/2, conducción corta 6.2.- TECHO DE PRESIONES EN CONDUCCIONES LARGAS Cuando al comienzo del capitulo se supuso el cierre instantáneo, el golpe aparecía completo en la sección B desde el primer instante (t=0) y se mantenía en dicha sección durante el tiempo t = 2L/a que tarda la onda en ir y volver. Al ser gradual, aunque sea rápido, el golpe aparece en B también gradualmente, alcanzando su valor máximo: Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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∆P = ρ.a.V al final del cierre: t = T, valor que se mantiene teóricamente en la sección hasta el instante t = 2L/a.

Fig.-20.13.- Techo de presión

Es necesario conocer el valor máximo de presión que puede aparecer en toda la conducción que sería el techo de presiones, ya que para dicho valor se tiene que calcular la resistencia de la tubería. Se puede analizar para cualquier valor de T, siempre que sea inferior a 2L/a.. La figura(20.14) corresponde a: L/2a < T


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Fig.-20.14.- Techo de presiones

En el instante crítico tc = (L+Lc)/a , la situación es la mas peligrosa, la línea B4C’A’ es “el techo de presiones” que ha de soportar la tubería.

6.3.- LONGITUD CRÍTICA Como se ha indicado en la pregunta anterior, “la longitud crítica” es el tramo de tubería en el que el golpe de ariete varía entre el valor nulo en el depósito A y el máximo en C. La longitud crítica será tanto menor cuanto mas rápido sea el cierre, siendo cero en el cierre instantáneo. El tiempo transcurrido desde el comienzo del cierre hasta el instante crítico es: tc = (L + Lc) / a El tiempo que tarda la última onda en recorrer la longitud (L – Lc) es (tc – T) , por tanto: Tc – T = (L – Lc) / a Restando las dos expresiones se obtiene: T = 2 Lc / a ; de donde: Lc = T. a / 2 Si se compara esta ecuación con las de tiempo de cierre vistas anteriormente se puede ver que: − Si L > Lc : se tiene conducción larga − Si L < Lc es conducción corta − Si L = Lc se tiene una conducción crítica



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6.4.- GOLPE DE ARIETE EN CONDUCCIONES CORTAS En un cierre lento o conducción corta, cuando la primera onda formada vuelve al cabo del tiempo 2L / a, encuentra la válvula a medio cerrar; es decir que aún no se ha alcanzado en B el valor máximo del golpe. A partir de dicho instante, los siguientes aumentos de presión previsibles quedan prácticamente compensadas con las ondas estabilizadoras que van llegando y por tanto la presión permanece prácticamente constante Suponiendo en principio que el crecimiento de la presión es lineal con el tiempo de cierre ( recta OMM’), el golpe en una conducción corta (MN) puede obtenerse por semejanza de triángulos entre OMN y OM’N’.

Fig 20.15.- Golpe de ariete en conducciones cortas

MN / M’N’ = ON / ON’ ; ∆P / ρ a V = ( 2L/ a) / T Es decir ∆P = 2. L V ρ / T , o bien

∆H = 2 L V / g T

(formula de Micheaud)

Jouguet obtuvo también para cierre lento la expresión: ∆H = L V / g T que es la mitad que la obtenida por Micheaud. 6.5.- TIEMPO DE ANULACIÓN DEL CAUDAL. EXPRESIÓN DE MENDILUCE Hasta hace unos años, se desconocía como determinar el tiempo T de anulación de caudal en una parada imprevista, que es fundamental para valorar el golpe de ariete, por esta razón se hacían los cálculos en condiciones desfavorables que daban lugar a tuberías sobredimensionadas. En el VII Congreso Internacional de abastecimiento de agua, en 1966, el español Enrique Mendiluce presentó un trabajo de investigación, en el que se aportaron fórmulas para valorar dicho tiempo T.



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El tiempo de cierre de la válvula antirretorno para bombeo por el método de Mendiluce es: Tcv = C1 + C2 ( LV / g Hm ) C1 es función de la pendiente de la tubería (ver tabla 1). C2 es función de la longitud de la tubería (ver tabla 2). Tabla 1

GOLPE DE ARIETE – VALORES DEL COEFICIENTE C1 (Método de Mendiluce) Pendiente: Hg/L

C1

< 0,150

1,00

0,200

0,90

0,250

0,80

0,300

0,60

0,350

0,40

0,365

0,25

0,400

0,00

0,500

Aplicar Allievi Tabla 2

GOLPE DE ARIETE – VALORES DEL COEFICIENTE C2 (Método de Mendiluce) Longitud de la tubería (m)

C2

< 500

2,00

500

1,75

500
1,50

1.500

1,25

>1.500

1,00

En resumen, el tiempo que tarda la onda sonora en subir y bajar por la tubería es:



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T=2L/a Comparando Tcv y T , se puede saber si el cierre es lento o rápido y por tanto la fórmula o expresión a utilizar: Lg > Lc : tubería larga: Allievi L=aT/2

Lcrítica = a Tcv / 2 Lg < Lc : Tubería corta : Micheaud

7.- FORMAS DE ATENUACIÓN DEL GOLPE DE ARIETE. DISPOSITIVOS PARA REDUCIR. -

Chimenea de equilibrio: Se instala en impulsiones de cierta importancia.

-

Calderín de aire: Consiste en un recipiente parcialmente lleno de aire a presión que se coloca inmediatamente aguas debajo de la válvula de retención que hay a la salida de la bomba. La compresibilidad del aire amortigua tanto las depresiones como las sobrepresiones, es bastante eficaz, su inconveniente es que hay que ir reponiendo el aire que se consume y para ello es necesario un compresor.

-

Amortiguadores de aire con vejiga: En estos el aire se encuentra encerrado en una vejiga, por tanto el aire y el agua no están en contacto y no necesitan instalación de compresor, su eficacia es análoga al calderín

-

Válvulas de seguridad : Son válvulas taradas para que funcionen con solo un 5% por encima de la presión de regimen. Se colocan en paralelo inmediatamente aguas abajo de la válvula de retención que hay junto a la bomba. Cuando aumenta la presión por encima de un valor prefijado, la válvula abre y el agua se descarga al exterior evitando una sobrepresión. No evita las depresiones.

-

Válvulas reguladoras de presión.: Estan diseñadas para controlar las sobrepresiones y las depresiones, evitando el golpe de ariete y la cavitación. Son caras.

-

Válvulas de retención: Sistema introducido por Mendiluce, muy extendido en españa. Cosiste en colocar varias válvulas de retención sin freno a lo largo de la tubería de impulsión.

-

Ventosas: Permiten lo mismo la entrada de aire como la salida.

8.-CONDUCCIONES EN CENTRALES HIDROELÉCTRICAS En centrales hidroeléctricas cuando varía o se anula la carga del generador eléctrico, hay que actuar rápidamente sobre el caudal, ya que sino la turbina y el alternador podrían embalarse peligrosamente; esta rapidez de maniobra puede provocar golpes de ariete importantes. En algunos casos existen válvulas de descarga que desvían Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.



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el caudal, impidiendo que pase por la turbina, aún y todo el tiempo de cierre es pequeño ( de 15 a 20 segundos). En centrales a pié de presa, la longitud de la tubería forzada es pequeña, y el golpe de ariete también lo será. En centrales en las que las turbinas se encuentran a 15 o 20 km del embalse, se procura un perfil de tubería con muy poca pendiente hasta llegar lo más cerca posible a la vertical de la turbina, donde se colocaría una chimenea de equilibrio. La chimenea de equilibrio, sirve para reducir la longitud hasta la turbina a efectos de golpe de ariete. El fenómeno ondulatorio tendría lugar entre la chimenea y la turbina, quedando prácticamente eliminado el golpe entre el embalse y la chimenea. Cuanto más suave sea la pendiente entre el embalse y la chimenea, menor será la altura de ésta. Aún así puede resultar muy alta, como ejemplo, la de la central de Villarino tiene 130 m de altura por lo que suele empotrarse en el terreno. La construcción de la chimenea de equilibrio es muy costosa, sule constar de un depósito superior de expansión y abajo un depósito de expansión inferior, unidos por un pozo de un diámetro muy inferior, de esta forma el golpe se disipa rápidamente con el subir y bajar del agua en el pozo. En las centrales convencionales aguas debajo de la turbina no hay problema de golpe de ariete pues la descarga va al canal de desagüe. En las centrales de acumulación por bombeo, la tubería de descarga puede tener longitud suficiente como para no ignorar el golpe de ariete, entonces se coloca otra chimenea de equilibrio aguas debajo de la turbina.



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Ingeniería Fluidomecánica. Tema 21.

TEMA 21: FLUJO EN CONDUCTOS ABIERTOS.- CANALES 0.- INTRODUCCIÓN Este capítulo estudia el régimen normal en un canal, es decir el régimen permanente y uniforme, comenzando por la demostración de la fórmula de Chezy. Mediante la fórmula de Manning para el coeficiente de Chezy, se explica el cálculo de canales, en régimen normal, con sección transversal rectangular, y trapecial, dejando el estudio de canales de sección circular para otras asignaturas posteriores.

1.- RESISTENCIA AL FLUJO PERMANENTE Y UNIFORME Se considera un elemento de fluido de longitud L, sección recta A y perímetro mojado P, contenido en un conducto abierto de sección transversal constante, como se observa en la figura 21.1

Fig.-21.1.- Representación de fuerzas

Las fuerzas que actúan sobre este elemento son las siguientes: • • • •

Fuerza debida a la presión aguas arriba: p1 A Fuerza debida a la presión aguas abajo: p2 A Fuerza debida al esfuerzo cortante: τo L P Peso: γ A L

Debido a que se considera régimen permanente y uniforme, en el que la velocidad media es la misma para todas las secciones y todos los instantes, por el teorema de la continuidad la altura alcanzada por la lamina de agua es la misma en todas las secciones, y por tanto las presiones son equivalentes en todas ellas, es decir: p1 = p2 La ecuación de equilibrio resulta ser:


E.U.Politécnica de Donostia-San Sebastián

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Flujo en conductos abiertos. Canales

γ A L . senα = τo L P Teniendo en cuenta que: senα = ∆Z / L, siendo ∆Z la diferencia de cotas entre la sección 1 y 2, resulta: γ A ∆Z = τo L P dividiendo por el volumen A L, se tiene γ ∆Z/ L = τo P/A = τo / R siendo R el radio hidráulico. Sustituyendo τo por el valor ya utilizado en la deducción de la ecuación de Darcy-Weisbach para flujo turbulento, resulta: γ ∆Z/ L = λ ρ V2 / 2R despejando la velocidad: V = (2g /λ )1/2 (R ∆Z/ L)1/2 El valor de ∆Z/ L representa tanto la pendiente de la lámina superior como de la solera del canal, al ser éstas paralelas, y se designa por J, resultando: V = (2g /λ )1/2 (R J)1/2 En definitiva: V = C (R J)1/2 Expresión que se denomina de CHEZY (1870). En un principio se creyó que el coeficiente C llamado de Chezy, era constante pero la realidad es que tiene gran variabilidad. 1.1.- ALTURA NORMAL. Se llama altura normal a la que se alcanza en un canal cuando el régimen es permanente y uniforme, también denominado flujo normal. En este régimen, la pérdida de carga es equivalente a la caída de cota, y la pendiente de la solera del canal ó de su lámina superior, es la pendiente de su línea piezométrica, ya que son coincidentes. Tomando Bernoulli entre las secciones 1 y 2 y teniendo en cuenta que presiones y velocidades son iguales en ambas secciones se tiene: Z1 -hf = Z2 es decir hf = Z1 - Z2 = ∆Z


y

hf / L = ∆Z / L = J


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2.- COEFICIENTE DE CHEZY Numerosos investigadores estudiaron el valor del coeficiente de Chezy. Solamente vamos a considerar la expresión de Manning, por ser de las mas empleadas. 2.1.- FORMULA DE MANNING. El investigador coeficiente de Chezy:

irlandés Robert Manning propuso el siguiente valor del C = (1/n) R1/6

Sustituyendo, la velocidad es: V = (1/n) R2/3 J1/2 Normalmente se utiliza la expresión que proporciona el caudal que circula por un canal: Q = (1 / n) A R2/3 J1/2 Donde: Q: caudal, viene expresado en m3/s, A: superficie transversal en m2 R: radio hidráulico en m J: pérdida de carga por unidad de longitud en mcl/m. n: coeficiente de rugosidad de las paredes tiene dimensiones de TL-1/3 y viene dado en el cuadro nº 24 de “Cuadros y ábacos”. .

3.- SECCIONES HIDRÁULICAMENTE ÓPTIMAS Para un caudal, una pendiente y un coeficiente de rugosidad dados, algunas formas de secciones son hidráulicamente y económicamente más convenientes que otras. Basándonos en la fórmula de Manning se demuestra que cuando el área A de la sección recta es mínima, el perímetro mojado P también es mínimo, permaneciendo constantes caudal, pendiente y rugosidad. En efecto, según Manning: Q = (1/n) A R2/3 J1/2 = (1/n) A (A / P)2/3 J1/2 Es decir, para Q, n y J dados, de la expresión anterior resulta: A = k P2/5 Siendo k un valor conocido constante. Esta expresión demuestra que P es mínimo cuando A es mínima. Considerando una determinada figura geométrica como sección del canal, se llama sección hidráulicamente óptima a aquella que tiene menos perímetro mojado y por tanto menos área. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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3.1.- SECCIÓN RECTANGULAR

Los valores de P y A son:

y

P = b + 2y A= b.y

b

Eliminando b resulta:

P = A / y + 2y

Fig:21.2.- Sección rectángular

Derivando respecto a y e igualando las derivadas parciales a cero, para determinar el mínimo, se llega a : b = 2y Es decir en el caso de sección rectangular, la sección hidráulicamente óptima es aquella en que la solera ”b“ es doble de la profundidad “y”, es decir se trata de un semicuadrado. 3.2.- SECCIÓN TRAPECIAL b = solera y = profundidad 1/m = talud m

y

Los valores de P y A son: P = b + ( y2 + y2/m2)1/2

1 b Fig 21.3.- Sección

A = b + y + y2/m m caracteriza el talud de las paredes

trapecial

De forma análoga, a la sección rectangular, se puede demostrar que en el caso de sección trapecial, la sección hidráulicamente óptima es un semihexágono, es decir m = √ 3 , por tanto tg α = m / 1 = √ 3, y α = 60º. 3.3.- SECCIÓN MÁS ECONÓMICA Para un caudal determinado, el coste será menor cuanto menor sea la sección, por tanto que para una sección dada el radio hidráulico debe ser el mayor posible, es decir el perímetro ha de ser mínimo. Se puede demostrar que de todas las posibles secciones rectas de canales, la más económica es el semicírculo



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4.- CÁLCULO PRÁCTICO DE CANALES DE SECCIÓN RECTANGULAR Y TRAPECIAL En el cálculo de canales, con régimen permanente y uniforme, se aplica la fórmula de Manning o cualquier otra conocida. Los datos de partida, del problema mas frecuente, son: el caudal “Q”, el coeficiente de rugosidad de las paredes “n”, y la pendiente del canal “J”. Las incógnitas son la anchura de la solera y la altura de la lámina de agua, habiendo infinitas soluciones al problema. El proceso a seguir es el siguiente: −

Se supone una velocidad de flujo con el fin de obtener un orden de ideas del área transversal A.

−

Se supone un valor de la anchura de la solera y de la altura de la lámina del canal, de forma que el área resultante sea del mismo orden de valores que la hallada en la suposición anterior.

−

Con estos valores supuestos se calcula, el valor real del área A, el perímetro mojado P y el radio hidráulico R.

−

Mediante la formula de Manning, se determina el valor del caudal Q’ que circulará por el canal obtenido con los valores supuestos.

−

Llegado este punto se comprueba si el valor obtenido (Q’) es muy diferente del caudal real (Q) que ha de circular por el canal. Si esto ocurre, hay que volver a suponer de nuevo la anchura de la solera y la altura, hasta llegar a conseguir una cierta aproximación.

−

Una vez obtenida dicha aproximación, basta modificar la altura de la lámina de agua, hasta obtener un caudal suficientemente aproximado al de partida. Una diferencia del 5% es perfectamente admisible.

Para mayor claridad se presenta un organigrama del proceso a seguir. Este organigrama es válido tanto para canales rectangulares como trapeciales; en este caso las pendientes de los taludes se tomarán como dato. Es muy conveniente, con el fin de facilitar los tanteos, al ser estos repetitivos confeccionar un cuadro. De todas formas, normalmente con tres o cuatro tanteos es suficiente.



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Fig 21.4.- Organigrama para el cálculo de canales

4.1.- EJEMPLO Diseñar un canal de sección recta rectangular, que con una pendiente de una milésima sea capaz de conducir un caudal de 25 m3/s. Material de las paredes: hormigón en bruto. Datos.- Q = 25 m3/s, Según Manning: Resulta :

J = 1 milésimas = 0,001,

n = 0,015

Q = (1/0,015) . A . R2/3. √0,001

Q = 2,1 . A . R2/3

Se supone una velocidad de 2 m/s, aproximadamente 12,5 m2.

con lo que el valor del área será

Supongamos para empezar: b = 5 m y h = 3 m Se confecciona el siguiente cuadro de iteraciones:

b

h

A (m2)

P (m)

R(m)

Q’(m3/s)

-

-

b.h

b+2h

A /P

2,1 .A.R2/3

5

3

15

11

1,36

38,7

Si

4

3

12

10

1,2

28,45

No

No

4

2,5

10

9

1,11

22,51

No

No

4

2,7

10,8

9,4

1,15

24,89

No

Si


Q’ ≠ Q

Q’ = Q


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Es suficiente la última aproximación, con lo cual la velocidad de circulación será: V = 24,89 / 10,8 = 2,3 m/s El canal tiene una solera de 4 m con una profundidad de 2,7 m. Todo el canal debe tener una berma de seguridad, del orden del 10% de la lámina de agua, con el fin de que ésta no desborde. Es conveniente que el valor de la velocidad no supere determinados valores, que dependen del material de las paredes y de la frecuencia y el tiempo en que funciona el canal con esa velocidad. En la actualidad utilizando la hoja de cálculo Excell, se simplifica totalmente el cálculo de canales.



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TEMA 22: MÁQUINAS HIDRÁULICAS, PRINCIPIOS FUNDAMENTALES. TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS 1. - DEFINICIÓN DE MÁQUINA.- CLASIFICACIÓN Máquina, según el diccionario "es el conjunto de aparatos combinados para recibir cierta forma de energía, transformarla y restituirla en otra forma mas adecuada, o para producir un efecto determinado". Máquina de Fluido corresponde a una máquina del primer tipo, que reciben energía aportada por un fluido y la restituyen en forma de energía mecánica, o bien a la inversa, absorben energía mecánica y con ella incrementan la correspondiente a un fluido. Pueden definirse también las máquinas de fluidos como aquellas máquinas que utilizan un fluido como elemento intercambiador de energía. Las máquinas de fluidos, atendiendo al comportamiento del fluido como incompresible o compresible se clasifican en: Máquinas Hidráulicas: son aquellas que utilizan como medio intercambiador de energía un fluido que se comporta como incompresible: bomba hidráulica, ventilador turbina hidráulica, aerogenerador etc. Máquinas térmicas: son las que utilizan como elemento intercambiador de energía fluidos que se comportan como compresibles, donde los fenómenos termodinámicos tienen una incidencia fundamental: compresor, turbina de gas etc. Máquinas Hidráulicas Máquinas de Fluidos: Máquinas Térmicas

2. - CLASIFICACIÓN DE MÁQUINAS HIDRÁULICAS El primer criterio que aplicaremos por ser el más importante es el que clasifica las máquinas hidráulicas atendiendo a su principio de funcionamiento: se tienen turbomáquinas, y máquinas de desplazamiento positivo. Las Turbomáquinas basan su funcionamiento en el teorema de la cantidad de movimiento, o en el momento de la cantidad de movimiento, también llamado teorema del momento cinético, que al aplicarlo a estas máquinas se denomina Teorema de Euler o fundamental de las turbomáquinas. Las máquinas de desplazamiento positivo se fundamentan en el teorema de Pascal, es decir la máquina consigue incrementar la presión en un punto, transmitiéndole la presión hidrostática íntegramente a todo el fluido que se encuentra aguas abajo. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Máquinas Hidráulicas . Principios Fundamentales

Las máquinas de desplazamiento positivo, también llamadas volumétricas, se dividen a su vez en máquinas alternativas y rotativas, según que el órgano intercambiador de energía se desplace alternativamente o gire alrededor de un eje. Estas últimas se denominan también rotoestáticas. Turbomáquinas Máquinas Hidráulicas: Alternativas M.de desplazamiento positivo: Rotativas

Fig.: 22.1. - Esquema de una bomba alternativa

Fig.. 22.2. - Esquema de una bomba rotativa.

Otro criterio para clasificar las máquinas hidráulicas es el sentido de conversión de la energía. Se denominan máquinas motoras a aquellas que transforman la energía del fluido en movimiento de las máquinas: turbinas hidráulicas y eólicas, motores hidráulicos. Se llaman máquinas generadoras a aquellas en las que la energía mecánica se transforma en hidráulica: bombas y ventiladores. Las turbinas hidráulicas o eólicas son las turbomáquinas que transforman la energía hidráulica en mecánica. Reciben agua o aire con una gran cantidad de movimiento y hacen que disminuya, para así generar una fuerza propulsora y con ella un par motor. Este par es el que hace girar al generador, mediante el cual se produce la energía eléctrica. Se denomina motor hidráulico a la máquina que transforma la energía hidráulica, obtenida previamente mediante una bomba hidráulica, en energía mecánica empleándose ésta en realizar directamente un trabajo. Se trata de máquinas de desplazamiento positivo. Se utilizan fundamentalmente en los circuitos oleohidráulicos.



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Los antiguos molinos hidráulicos que utilizaban la energía hidráulica de los cursos naturales y la convertían en energía mecánica, utilizándola directamente para moler grano, desplazar fuelles, mover martinetes, elevar agua, etc., eran turbomáquinas. Las turbobombas y los ventiladores convierten la energía mecánica en energía hidráulica. Estas máquinas reciben una fuerza motora del exterior que permite incrementar la cantidad del movimiento y, por tanto, la energía del fluido. Las bombas de desplazamiento positivo incrementan la presión de una u otra forma y la transfieren al líquido ubicado en el mismo recinto.

Energía Motor Eléctrica Eléctrico

E.Hidráulica Natural

Energía Bomba Mecánica Hidráulica

Turbina Hidráulica

Energía Hidráulica

Energía Generador Mecánica

Motor Hidráulico

Energía Máquina Eléctrica

Energía Trabajo Mecánica

Energía Trabajo Mecánica

3. - TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Turbomáquina hidráulica, como ya se ha indicado, es aquella máquina de fluido que intercambia energía hidráulica en mecánica, o a la inversa, gracias a la variación del momento de la cantidad de movimiento que se produce al pasar el fluido de manera continua por los conductos de un órgano, que gira sobre su eje, llamado rodete. El rodete es el único punto de la máquina donde se produce transformación de la energía hidráulica en mecánica o a la inversa; además la turbomáquina puede disponer de elementos situados aguas arriba y aguas abajo, con el objeto de que el fluido penetre en el rodete y salga de él en las mejores condiciones posibles, a fin de optimizar su rendimiento y por tanto el de la turbomáquina.

Fig.: 22.3.- Esquema de una turbobomba



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El rodete de la turbomáquina está formado por el cubo, los conductos y en determinados casos por la llanta que lo perimetra. Así mismo está dotado de álabes, paletas o cucharas que conforman los conductos por los que atraviesa el fluido.

3.1. - CLASIFICACIÓN DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS Las turbomáquinas pueden clasificarse de formas diferentes atendiendo a distintos criterios. Un criterio importante es la dirección del intercambio de energía es decir según se transforme la energía hidráulica en mecánica o al contrario. Las primeras se llaman motoras ya que el fluido es el motor de la máquina. Las segundas se llaman receptoras pues reciben energía no hidráulica del exterior y generan energía hidráulica. Otro criterio a considerar en el momento de clasificar las máquinas es la dirección del flujo con relación al eje de la máquina; según ello se dividen en: radiales, diagonales y axiales.

3.1.1.- Formas de representación Los planos de representación mas usuales en turbomáquinas son: meridiano o axial, transversal y desarrollado. La representación según un plano meridiano o axial se refiere al corte que pasa por el eje de la máquina; el plano transversal es normal a dicho eje, y el plano desarrollado, posible en algunas ocasiones, se desprende del desarrollo en plano de un cilindro de un radio determinado.

Fig.:22.4 - Corte meridional del rodete: a) de una TM radial; b) de una TM axial; c) de una TM diagonal



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Fig.: 22. 5 - Representación de una TM axial: a) corte meridional; b) corte transversal; c) desarrollo cilíndrico.

Fig.: 22.6 - Rodetes de : TM axial; TM radial; TM diagonal o mixta

4. - DESCRIPCIÓN Y PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO 4.1. - DIAGRAMA DE VELOCIDADES El elemento fundamental de una turbomáquina, es sin duda, el rodete, que es móvil, y consiste en un conjunto de álabes dispuestos en circulo formando una especie de rueda. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Si se considera una partícula fluida atravesando la rueda, se definen en ella tres velocidades: • Velocidad absoluta: c • Velocidad relativa: w • Velocidad de arrastre: u En cada instante y en cada punto se ha de cumplir la relación vectorial:

r r r c =u + w La velocidad de arrastre u, es la velocidad tangencial o circunferencial del propio rodete, y valdrá por tanto: ω.r, siendo ω la velocidad de giro en radianes por segundo y r el radio del rodete en el punto considerado. Los diagramas o triángulos de velocidades a la entrada y a la salida de la rueda tienen gran importancia, se dibujarán por tanto en el estudio de cada rueda, afectando con el subíndice 1 los valores correspondientes a la entrada de la rueda y con el 2 los de salida. Se llama α al ángulo formado por la velocidad absoluta (c) con la velocidad de arrastre (u) y β el que forman w con el sentido negativo de u. La proyección de la velocidad absoluta sobre la de arrastre, se denomina componente tangencial o circunferencial de la velocidad absoluta, se representa por: cu . También se denomina velocidad periférica o de circulación. La velocidad absoluta proyectada sobre un radio, llamada velocidad radial, meridiana o de gasto, se representa por cm. Recibe el nombre de velocidad de gasto, porque al multiplicarla por la sección transversal proporciona el caudal fluyente.

Fig.: 22.7. - Planos de representación: a) plano meridional; b) plano transversal; diagramas de velocidades.



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4.2. - DEFINICIONES DE ALTURAS, CAUDALES, POTENCIAS ETC. Hay que recordar y advertir que una altura, que tiene unidades de longitud, es una energía por unidad de peso, siendo por ello la energía total dependiente del caudal; sin embargo en la mayoría de los casos se dice que es una energía.

4.2.1. - Turbinas Alturas : • •

Salto neto (Hn) es la energía puesta a disposición de la turbina. Salto efectivo (He) es la energía mecánica obtenida por la máquina. Se denomina también salto útil. He = Hn - hfh (pérdidas hidráulicas). Salto real (Hr) es la energía mecánica que recibe el alternador eléctrico. De la energía mecánica obtenida por la turbina hay que restar las pérdidas orgánicas, es decir, las producidas en cojinetes, rodamientos y demás elementos mecánicos de la turbina. Hr = He - hfo

•

Hn (entrada turbina) - hfh = He He (obtenida por la turbina) - hfo = Hr (cedida al alternador) Caudales: • • •

Caudal total (Qt): Es el que recibe la turbina (que llega de la tubería forzada). Caudal útil ( Qu): Es el que atraviesa los conductos del rodete de la turbina, constituidos entre los álabes y que sirve para obtener energía mecánica, se llama también caudal turbinado. Caudal perdido (Qp): Es aquella parte del caudal total que no atraviesa el rodete, sino que circula entre la carcasa de la turbina y la llanta del rodete o rueda y que por tanto no produce energía mecánica. Qt = Qu + Qp

Potencias: • • •

Potencia neta (Pn): es la puesta a disposición de la turbina = Hn Qt γ. Potencia efectiva (Pe): es la energía mecánica producida. También llamada útil. = He Qu γ. Potencia real (Pr): es la recibida por el generador. También se denomina potencia al freno y potencia en el eje. = Hr Qu γ.

Pérdidas: • Pérdidas hidráulicas (hfh): Se producen en la turbina por circulación del fluido, por rozamiento, cambios de dirección y sección y por choque. • Pérdidas volumétricas (Qp): Es el caudal perdido y no aprovechado. • Pérdidas orgánicas (hfo): Son las pérdidas en los elementos mecánicos de la máquina.



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Rendimientos • • • •

Rendimiento manométrico o hidráulico (ηm o ηh ): evalúa las pérdidas hidráulicas de la máquina: He / Hn. Rendimiento volumétrico (ηv): considera el caudal realmente turbinado: Qu/Qt. Rendimiento orgánico (ηo): Evalúa las pérdidas orgánicas o mecánicas. Pr/Pe. Rendimiento global (ηg): Es el rendimiento total de la máquina, engloba todas las pérdidas: Pr/Pn. ηg = ηm ηv η0

En las turbinas el rendimiento volumétrico es muy elevado (0,98 a 0,99). Muchas veces se supone la unidad.

Fig.: 22. 8 - Pérdidas volumétricas: a) en una TH; b) en una TB.

4.2.2. - Turbobombas Alturas: • • • •

Altura de Euler (HE): es la energía hidráulica producida por la turbobomba si tuviese un número de álabes infinito. La máquina en la realidad no es capaz de producirla, se le llama altura teórica para número de álabes infinito. Altura interna (Hi): es la parte de la energía recibida del motor de arrastre que se convierte en energía hidráulica en el rodete. Altura absorbida (Ha): es la energía mecánica absorbida por la turbobomba y transmitida por el motor de arrastre. Ha - hfo = Hi. Altura manométrica o util (Hm): es la energía transmitida al fluido es decir la convertida en hidráulica. Hm = Hi - hfh. Ha-hfo = Hi

;

Hi -hfh = Hm

Caudales: • • •

Caudal total: es el que circula por los conductos del rodete de la turbobomba. Caudal útil: Es el que circula por la tubería de impulsión. Caudal perdido: es el caudal que circula en cortocircuito entre la salida y la entrada del rodete, y el que se pierde entre la carcasa y el eje de la máquina.



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Potencias • • •

Potencia útil o efectiva: (Pu ) es la potencia transmitida al fluido: Hm Qu γ. Potencia interna: (Pi ) potencia mecánica convertida en hidráulica: Hi Qt γ. Potencia absorbida: (Pa ) es la potencia que la bomba absorbe o solicita del motor de arrastre: Ha Qt γ.

Rendimientos • • • • •

Eficiencia del álabe: ea = Hi / HE Rendimiento hidráulico o manométrico: Hm / Hi Rendimiento volumétrico: Qu / Qt Rendimiento orgánico o mecánico: Hi / Ha Rendimiento global: Pu / Pa ηg = ηm ηv η0

4.3. - TEOREMA FUNDAMENTAL DE TURBOMÁQUINAS La ecuación del teorema de la cantidad de movimiento para una turbomáquina: Σ Fext = ρ Q ( c2 - c1 ) y la del momento cinético o momento de la cantidad de movimiento: Σ Mext = ρ Q ( r2 ∧ c2 - r1 ∧ c1 ) En primer lugar se deduce la ecuación para el caso de turbinas.

M

G

Fig.:22. 9. - Corte meridional de un rodete de turbobomba

Analizando las fuerzas que actúan sobre el volumen de control, se puede observar que las fuerzas debidas a la presión a la entrada y salida del rodete, así como la fuerza gravitatoria no crean momento respecto al eje de la máquina, por ello el único momento exterior es el de las fuerzas de presión del rodete sobre el fluido (πm), que será igual y de signo contrario al momento de las fuerzas de presión del líquido sobre el rodete es decir del momento motor: M



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MπM = -M Sustituyendo en la ecuación del momento cinético: -M = ρ Q ( r2 ∧ c2 - r1 ∧ c1 ) M = ρ Q ( r 1 ∧ c1 - r 2 ∧ c2 )

Fig.: 22. 10. - Secciones de una turbina de reacción y triángulos de velocidades a la entrada y salida del rodete

Por otro lado,

r ×c

=

r r ⋅ cu

y sustituyendo:

M = ρ Q ( r1 .cu1 - r2 . cu2 ) Ecuación fundamental de las turbomáquinas, llamada Ecuación de Euler. Para obtener la potencia efectiva de la máquina, bastará multiplicar el momento por la velocidad angular: Pe = M . ω = ρ Q ( r1 .cu1. ω - r2 . cu2 . ω ) Como: ωr1 = u1 y ωr2 = u2 se puede escribir: Pe = ρ Q ( u1 cu1 - u2 cu2 ) = He Q γ He = (u1 cu1 - u2 cu2 )/ g Siendo He la altura efectiva, es decir la altura que se convierte en energía mecánica.



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Si se trata de conseguir las condiciones de máximo rendimiento o de diseño de la máquina, es decir la máxima altura efectiva, observando la expresión se deduce que: u2 cu2 = 0, como u2 ≠ 0, se deberá cumplir que: cu2 = 0 es decir α2 = 90º que supone que a la salida del rodete c2 = cm2 y β2 = arc tg (c2 / u2 ). Otra manera de escribir la ecuación conduce a consecuencias importantes. cu = c. cos α

sustituyendo en He

He = (c1.u1.cos α1 - c2.u2.cos α2 )/ g Aplicando a los triángulos de velocidades el teorema del coseno: w2 = u2 + c2 - 2 c.u.cosα se puede escribir: He = [ (c12 - c22 ) + (u12 - u22 ) + w22 -w12 ) ] / 2g Para conseguir He máxima: c2 < c1: conviene disminuir lo más posible la velocidad absoluta de salida del agua. u2 < u1 ⇒ r2 < r1: es conveniente que la sección de salida de la rueda esté más próxima al eje de rotación que la sección de entrada. w2 > w1: conviene que la velocidad relativa del agua vaya aumentando al atravesar el rodete, ello implica que la sección vaya disminuyendo hacia la salida, es decir que los álabes formarán canalizaciones convergentes hacia la salida.

Fig. 22.11.- Triángulos de velocidad en una turbobomba centrífuga



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En el caso de turbobombas, el par motor es positivo y con las mismas deducciones se obtiene: M = ρ Q ( r2 .cu2 - r1 . cu1 ) PE = ρ Q ( u2 .cu2 - u1 . cu1 ) HE = ( u2 .cu2 - u1 . cu1 )/ g Se llegan a las conclusiones contrarias a las de turbinas: α1 = 90º c1 < c2 u1 < u2 ⇒ r1 < r2 w1 > w2

5. - SEMEJANZA EN TURBOMÁQUINAS El desarrollo teórico de las turbomáquinas lleva a un conocimiento, únicamente aproximado, en dimensiones y en funcionamiento debido a las dificultades que plantea el conocimiento exacto del movimiento de los fluidos. Para resolver el problema hay que acudir a la experimentación, pero debido, generalmente, a las grandes dimensiones de las turbomáquinas y a la complejidad de sus instalaciones es necesario recurrir a los modelos reducidos. Para conocer las condiciones de homología o semejanza que se tienen que cumplir entre modelo y prototipo, vamos a utilizar el previamente el análisis dimensional para obtener los parámetros adimensionales que intervienen en el fenómeno. 5.1. - FENÓMENO FÍSICO EN UNA TURBOMÁQUINA La experiencia afirma que el fenómeno físico que se produce en una turbomáquina depende de siete variables, seis de ellas independientes, siendo totalmente desconocida la función que las relaciona. Una serie o familia de turbomáquinas, se define geométricamente por una cualquiera de sus dimensiones, escogiendo el diámetro D, por ser su medida más representativa. La experiencia indica que su funcionamiento está determinado por: El caudal Q La velocidad de rotación de la máquina N (rpm) La densidad del fluido circulante ρ La viscosidad cinemática del fluido ν La aceleración de la gravedad g Las seis variables físicas anteriores son independientes en el fenómeno físico de las turbomáquinas, cualquier otra variable que entre en juego en el problema



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depende de las anteriores, como es la diferencia de presión entre la entrada y salida de la máquina ∆p, la potencia P, el par mecánico C, etc. La diferencia ∆p, por ejemplo, vendrá expresado por : ∆p = F( D, Q, N, ρ, ν, g ) Mediante el análisis dimensional y fundamentalmente por el teorema de π o de Vaschy-Buckingham, permite reducir el número de variables, y pasar a unos parámetros adimensionales. Recordando dicho teorema: nº variables = 7; nº variables fundamentales =3 nº parámetros adimensionales: 7 - 3 = 4

M L T

∆P 1 -1 -2

D 1 -

Q 3 -1

ρ 1 -3 -

N -1

ν 2 -1

g 1 -2

Tomando como variables repetidas: D, N, y ρ Se obtienen los siguientes parámetros: π1 = ∆p / ρ N2 D2 ; π2 = Q / N D3 ;

π3 = ν / N D2 ;

π4 = g / N2 D

5.2. - PARÁMETROS DE RATEAU Con los parámetros obtenidos se hacen ligeras variaciones, permitidas por el teorema de π, con el fin de obtener otros que la experiencia indica que son más útiles. π1 = ∆p / ρ N2 D2 ≡ ρ g H / ρ N2 D2 = gH / N2D2 π2 = Q / N D3 π3 = N D2 / ν = nº Reynolds : Re π4 = g / N2 D = nº Froude : Fr Los parámetros resultantes son llamados parámetros de Rateau: µR = gH / N2D2: altura específica o coeficiente manométrico. δR = Q / N D3 : caudal específico o coeficiente de caudal. Re = nº de Reynolds. Fr = nº de Froude. El fenómeno físico de una turbomáquina, queda definido por la siguiente ecuación: Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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µR = F (δR, Re, Fr ) 5.3. - TEOREMA DE SEMEJANZA DE LAS TURBOMÁQUINAS Como es sabido, las condiciones que se tienen que cumplir para que dos fenómenos sean semejantes, es que sus parámetros adimensionales sean iguales dos a dos, y si los parámetros son iguales, idénticas serán las funciones que los relacionan. En este caso se tendrá que cumplir la igualdad de números de Reynolds, Froude, y parámetro de caudal (δR), lo cual supone la igualdad del coeficiente de altura (µR), y de todos los restantes parámetros incluido el rendimiento. Ahora bien la igualdad de los tres parámetros indicados, nos llevaría a la utilización de fluidos especiales en los ensayos, circunstancia no viable, ya que en la práctica los únicos fluidos que se utilizan son el agua o el aire; o a utilizar una escala geométrica unidad. Por las razones anteriores es necesario recurrir a las semejanzas restringidas, es decir, prescindir de algún parámetro cuya influencia en el fenómeno sea despreciable. En una turbomáquina la diferencia de cotas entre la entrada y salida de la máquina es muy pequeña, es decir la influencia de la fuerza gravitatoria es casi nula por lo que se puede prescindir del número de Froude, pero además como el flujo es totalmente turbulento, la influencia de las fuerzas viscosas también es despreciable por lo que asímismo se puede prescindir del número de Reynolds. Esta semejanza se denomina "semejanza restringida geométrica" y la ecuación que la define es: µR = F ( δR ) Basándonos en esta semejanza restringida se puede enunciar el Teorema fundamental de turbomáquinas homólogas conocido con el nombre de teorema de Combes-Bertrand-Rateau: "Si una serie de turbomáquinas geométricamente semejantes, tienen el mismo coeficiente de caudal δR , funcionan de manera semejante, y por lo tanto trabajan homológicamente". En esta semejanza, se elige la escala geométrica λ, el fluido de los ensayos, y además queda un grado de libertad para elegir la escala cinemática como convenga.

6. - VELOCIDAD ESPECÍFICA 6.1. - VELOCIDAD ESPECÍFICA DIMENSIONAL O NÚMERO DE CAMERER: nS Utilizando la semejanza restringida geométrica, se deducen a continuación las relaciones existentes entre las variables de los fenómenos producidos en el prototipo y el modelo de una turbomáquina. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Se representarán con (') las variables del modelo. Llamando a la escala geométrica λ = L / L' ( relación de longitudes entre prototipo y modelo). El fluido en prototipo y modelo es el mismo: agua Combinando parámetros se pueden obtener otros coeficientes:

P1 / 2 τ R1 / 2 = N ⋅ 1/ 2 5/ 4 µ R5 / 4 ρ ⋅ ( gH ) P'1 / 2 P1 / 2 N ⋅ 1/ 2 5 / 4 = N '⋅ 5/ 4 ρ ⋅ ( gH ) ρ '1 / 2 ⋅( gH ') Como ρ = ρ’, reduciendo se obtiene

5/ 4

1/ 2

H  P N'= N      H '   P' 

Con el fin de poder relacionar los resultados de cualquier máquina, Camerer propuso referirlos todos a una máquina ideal cuya potencia fuera de 1 CV trabajando con una altura de 1 m. Al sustituir P' = 1 CV y H' = 1m, el valor de N' toma entonces el nombre de velocidad específica dimensional: ns y se define como: “El número de vueltas por minuto que daría una turbomáquina homóloga al modelo y prototipo que se trata de construir, que trabajando a una altura de 1 m diera la potencia de 1 CV”.

Pe1 / 2 ns = N ⋅ 1 / 2 rpm Hn Este parámetro tiene la cualidad de no contener el diámetro y por tanto no ser función de la magnitud de la máquina.



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6.2. - VELOCIDAD ESPECÍFICA ADIMENSIONAL: NS Partiendo de los parámetros adimensionales µR y δR se obtiene otro parámetro:

δ2

4 2 R = N ⋅Q µ 3 (gH )3 / 4 R

La raíz cuarta de esta expresión se le denomina velocidad específica adimensional y se representa por NS

Q1 / 2 Q1 / 2 = n ⋅ 3/ 4 Ns = n ⋅ ( gH )3 / 4 E Conviene recordar que al ser parámetro adimensional la velocidad de rotación debe ser expresada en revoluciones por segundo, y se expresa por "n", por otro lado gH representa la energía por unidad de masa y se suele expresar por "E" tanto: Sus características son análogas al número de Camerer, con la ventaja de ser adimensional, por ello cada vez mas el número de Camerer va dejando paso a la velocidad específica adimensional, su única desventaja es que sus valores son muy pequeños y por tanto mas incómodos de utilizar. 6.3.- VELOCIDAD ESPECÍFICA CONVENCIONAL nq En la actualidad se utiliza, fundamentalmente los fabricantes de turbinas, la velocidad específica convencional nq que es una modificación de la velocidad específica adimensional, se utiliza la velocidad de rotación en revoluciones por minuto, y se prescinde de la gravedad.

Q1 / 2 nq = N ⋅ 3 / 4 H Sus características son análogas a los anteriores, con la ventaja respecto a la velocidad específica adimensional de que sus valores son mayores y por tanto más cómodos de utilizar.

7. - CLASIFICACIÓN DE TURBOMÁQUINAS Si se ensayan las turbomáquinas de una familia y se calculan los valores del número de Camerer y del rendimiento todas ellas responderán a la misma curva. De los infinitos puntos en que la máquina puede funcionar, hay uno que destaca de los demás, es aquel que proporciona el rendimiento máximo



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η

ns Fig.: 22.12. - Variación del rendimiento en función de ns

Esta circunstancia conduce a poder clasificar las turbomáquinas en función de la velocidad específica que proporciona el rendimiento máximo. De forma general se puede afirmar que las turbomáquinas de tipo radial corresponden a velocidades específicas reducidas, mientras que las axiales poseen valores elevados. En el caso de turbinas se toma : H = Hn ; P = Pe y Q = Qt En el caso de turbobombas : H = Hm ; P = Pu y Q = Qu

Fig.: 22.13. - Evolución del rodete de las turbobombas al aumentar ns




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TEMA 23: TURBINAS HIDRÁULICAS 1.- DEFINICIÓN DE TURBINA HIDRÁULICA. Turbina hidráulica se puede definir como aquella máquina que transforma la energía hidráulica aportada por un fluido incompresible (agua) en energía mecánica, mediante la variación del momento de la cantidad de movimiento, en resumen es una turbomáquina hidráulica motora. El elemento fundamental de la turbina es el impulsor llamado rodete o rueda, es el único elemento giratorio, y es donde se verifica la transformación de energía hidráulica en mecánica. Además del rodete constan de una serie de elementos, situados aguas arriba del rodete, que tienen la misión de introducir el agua con la dirección y condiciones precisas. A su salida se encuentran otros órganos que tienen el objetivo de evacuar convenientemente el agua hacia el canal de desagüe.

2- TIPOS ACTUALES DE TURBINAS HIDRÁULICAS 2.1.- TURBINAS DE ACCIÓN Y DE REACCIÓN Se llaman turbinas de acción o vena libre, a aquellas en las que el agua mueve el rodete exclusivamente con energía cinética. Es decir las turbinas Pelton. Se llaman turbinas de reacción o de vena forzada a las que utilizan energía cinética y de presión para mover el rodete. A este grupo corresponden las turbinas: Francis, Helice, Kaplan, Deriaz, Bulbo y Straflo. 2.2.- DESCRIPCIÓN GENERAL 2.2.1.- Turbinas de acción La turbina Pelton o de acción, consta fundamentalmente del distribuidor, llamado así mismo inyector, y de la rueda o rodete. El inyector tiene como misión introducir el agua en el rodete de forma conveniente; es una prolongación de la tubería forzada, terminando en forma atoberada que reduce la sección, con salida a la atmósfera, de esta forma la energía de presión que el agua posee a su entrada se convierte totalmente en energía cinética. Puede tener de 1 a 6 inyectores, pero en todo caso la admisión del agua en el rodete es puntual. El rodete está constituido por un cubo unido al eje, con una serie de cazoletas dispuestas en su periferia. El chorro formado a la salida de cada inyector incide tangencialmente sobre las cazoletas, convirtiéndose la energía cinética del agua en energía mecánica. La turbina, arrastrando el generador eléctrico, permite la obtención de la energía eléctrica a partir de la energía mecánica de aquella. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Turbinas Hidráulicas

Las turbinas de acción se emplean en centrales hidroeléctricas cuyo salto sea grande y el caudal relativamente pequeño, es decir en aquellos casos en que la relación caudal- altura es reducida, y por tanto corresponden a velocidades específicas bajas, en particular el número de Camerer estará comprendido entre 5 y 36 aproximadamente.

Fig.: 23.1.- Disposición de conjunto de una sala de máquinas con turbina Pelton

Fig.: 23.2.- Inyector de una turbina Pelton




101

Fig.: 23.3.- Rodete de una turbina Pelton

Fig.: 23.4.- Cazoleta de una turbina Pelton

Al necesitar saltos grandes con caudales reducidos, las turbinas Pelton se emplean en centrales de cabecera de cauce, es decir próximas al nacimiento de los ríos, donde, por una parte, llevan fuertes pendientes, pudiéndose obtener así grandes desniveles entre puntos relativamente próximos. Por otro lado las cuencas vertientes en las cabeceras de cauce son reducidas. 2.2.2.- Turbinas de reacción Las turbinas de reacción tienen una concepción notablemente diferente a las de acción. En primer lugar, el elemento situado aguas arriba del rodete, llamado distribuidor, transforma parte de la energía de presión, que tiene el agua a la entrada de la turbina, en energía cinética. El distribuidor en este caso rodea todo el rodete, llegando el agua por la totalidad de la periferia de éste, siendo por tanto la admisión del agua total. El rodete, único órgano transformador de energía hidráulica en mecánica, es de diseño diferente según el tipo de turbina de reacción de que se trate, pero en esencia está formado por el cubo, unido al eje, y una serie de alabes dispuestos en la periferia de aquél. El agua a la salida del rodete tampoco sale a la atmósfera, sino que penetra en un tubo llamado tubo difusor, generándose a su entrada una depresión, cuya misión fundamental es aumentar la energía hidráulica absorbida por el rodete. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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El tubo difusor desemboca en el canal de desagüe, que devuelve el agua al cauce natural. En conjunto las turbinas de reacción están formadas por los siguientes elementos: Cámara espiral, antedistribuidor, distribuidor, rodete, y tubo difusor. Las turbinas de reacción se utilizan para una gamma muy amplia de alturas y caudales, donde la relación caudal-altura es mayor que las correspondientes a turbinas de acción. Los valores más bajos de dicha relación corresponden a las turbinas Francis y los más elevados a las Hélice, Kaplan, Deriaz , Bulbo y Straflo, más o menos por este orden.

Fig.: 23.5.- Corte meridional de una turbina Francis

Fig.: 23.6.- Corte transversal de una turbina Francis




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El número de Camerer de las diferentes turbinas toma los siguientes valores aproximados: Francis : 50 < ns < 400 Hélice, Kaplan, Deriaz: 400 < ns < 700 Kaplan, Deriaz, Bulbo, Straflo: 700 < ns < 1300 Las centrales hidroeléctricas con turbinas de reacción están ubicadas en el cauce medio o terminal de los ríos, incluso en su propia desembocadura, como es el caso de las centrales mareomotrices, que aprovechan tanto el propio caudal del rio, como el flujo y reflujo de las mareas. A medida que el rió discurre por su cauce va disminuyendo la pendiente y reduciendo su cota, disminuyendo las posibilidades de generar salto, pero incrementándose su cuenca vertiente y por lo tanto su caudal.

Fig.: 23.7.- Cámara espiral de una turbina Francis



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Fig.: 23.8.- Antedistribuidor de una turbina Francis

Fig.: 23.9.- Distribuidor y rodete de una turbina Francis




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Fig.: 23.10.- Semicorte meridiano parcial de una turbina Francis

Fig.: 23.11.- Rodete de una turbina Francis



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Fig.: 23.12.- Rodete de una turbina Francis de velocidad específica alta

Fig.: 23.13.- Turbina Kaplan parcialmente desmontada




107

Fig.: 23.14.- Sección meridional de una turbina Kaplan



108


Fig.: 23.15.- Corte meridional de la central mareomotriz de La Rance con turbina bulbo

Fig.: 23.16.- Turbina Straflo




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DIFERENCIAS FUNDAMENTALES ENTRE TURBINAS

Turbinas de Acción

Turbinas de Reacción

Tipos

Pelton

Francis, Hélice, Kaplan, Deriaz, Bulbo, Straflo

Admisión

Por puntos

Total

Elementos

Inyector y Rodete

Energía aportada

Cinética: c2/2g

Cinética y de presión: c2/2g + P/γ

Campo de trabajo: Q/H

Pequeña

Media y Grande

Número de Camerer

5 - 36

50 - 1300

Tipo de Central

Cabecera de los ríos


Cámara espiral, Antedistribuidor, Distribuidor, Rodete, Tubo difusor

Cauce medio y terminal del río, y en las desembocaduras de los ríos


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Fig.: 23.17.-Límites de aplicación de las turbinas en función de la carga y de la velocidad específica




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3.- CENTRALES HIDROELÉCTRICAS Actualmente, la energía eléctrica se produce, principalmente, en las centrales hidráulicas y térmicas, bien sean éstas convencionales o nucleares. Las centrales térmicas convencionales transforman en calor la energía de algún combustible fósil (carbón, petróleo, fuel, gas, etc. ), produciendo vapor de agua, que se utiliza en mover las turbinas de vapor, que, a su vez, transmiten su movimiento a los generadores de energía eléctrica. Las centrales nucleares son similares a las térmicas, convencionales, si bien emplean la energía atómica del uranio enriquecido, en vez de combustible normal. Las centrales hidroeléctricas utilizan como combustible la "hulla blanca", es decir la energía hidráulica que posee el agua en sus cursos naturales, las turbinas hidráulicas la transforman en energía mecánica y los generadores, por último, en energía eléctrica. Para conseguir el aprovechamiento de la energía hidráulica que contiene el agua en su curso natural, es necesario realizar en él una serie de transformaciones, más o menos profundas, además de construir determinados elementos auxiliares; todo ello constituye la central hidroeléctrica. 3.1.- DISPOSICIÓN DEL CONJUNTO DE UNA CENTRAL HIDROELÉCTRICA La formación de un salto de agua, se puede obtener elevando el nivel superficial de ésta sobre el natural, bien atajando el agua con una presa, o bien derivando el río por un canal de menor pendiente que su cauce, para conseguir una diferencia de cotas entre canal y río, o bien mediante sistemas mixtos. Estas aguas hay que conducirlas a continuación a las turbinas, bien, directamente a las cámaras de éstas o por medio de una tubería.

Fig.: 23.18.- Disposición general de una central hidroeléctrica. Planta esquemática

Las disposiciones del conjunto son bastante variadas, tomando una u otra según las características topográficas del terreno y otros muchos aspectos de cada caso. Las partes esenciales de que consta son, en una disposición general, las siguientes:



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1. 2. 3. 4. 5. 6.

Presa o azud de derivación Canal de derivación Depósito de carga Tubería forzada. Casa de máquinas Canal de desagüe

La disposición del conjunto de estos elementos viene indicada en la figura:23.18. Algunas de sus partes pueden ser subterráneas, horadadas en la tierra. No siempre las centrales hidroeléctricas constan de todos estos elementos, sino que debido a las características propias de cada caso pueden faltar algunos de ellos. Con el fin de conseguir un máximo aprovechamiento del agua, la disposición indicada en la figura: 23.19 es más perfecta, ya que se efectúa la toma por debajo del nivel superior de la presa, sustituyendo el canal de derivación por una galería o tubería de presión, no perdiendo de esta manera la energía de posición generada por la presa.

Fig.: 23.19.- Perfil longitudinal esquemático de una central con galería de presión

Cada una de las partes esenciales de las disposiciones de conjunto mencionadas tienen las misiones que se describen a continuación. La presa puede tener una o dos misiones: elevar la cota del nivel superior del agua y/o servir de almacén para regulación del caudal, según como se utilice. •

Si el canal sale de la parte superior del embalse, la presa sirve únicamente para elevar el nivel superior de agua.

•

Si el canal parte de la zona baja del embalse, la presa sirve de almacén, pero no para elevar la cota, ya que ésta se pierde en el momento que el agua cae al canal.

•

Si a la salida de la presa se dispone una galería de presión o tubería forzada, ésta tiene entonces, la doble misión de elevar la cota y de almacenar agua.

•

En ciertas ocasiones el canal sirve para conducir el agua a un lugar con topografía más idónea para realizar el salto.




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En bastantes casos la presa solamente tiene como finalidad derivar el agua hacia un canal, en tal caso recibe el nombre de azud. El depósito de carga tiene como objetivo regular el caudal a tiempo corto, para responder a las variaciones de las necesidades de agua de las turbinas, por modificación de la potencia solicitada a las mismas, puesto que el embalse tarda demasiado tiempo en dar respuesta apropiada, faltando o sobrando agua si no existiera el depósito de carga. Cuando el caudal requerido se altera, se modifica el nivel del depósito de carga, variando la pendiente del canal y regulándose en un determinado plazo de manera natural el caudal necesario en las turbinas. En la tubería forzada se produce la transformación de energía hidráulica de posición en energía hidráulica de velocidad y presión, fundamentalmente esta última. En la sala de máquinas la energía hidráulica de velocidad y presión se transformará sucesivamente en energía mecánica en las turbinas hidráulicas y en eléctrica en los generadores eléctricos. Por último el canal de desagüe devuelve el agua al río. También puede aprovecharse simultáneamente un río con sus afluentes e incluso ríos distintos. 3.2.- CLASES DE CENTRALES Se denomina central de agua fluyente a aquella que utiliza el caudal que en cada momento lleva el río, o una cantidad inferior, y no tiene capacidad para acumularla. Es decir que las turbinas instaladas utilizan en todo caso un caudal igual o inferior al que discurre por el río en todo instante, pudiendo trabajar con carga total o parcial o bien estar paradas, cuando requieren un caudal superior al que fluye por el cauce. Únicamente se construye un azud de derivación de las aguas, vertiendo por encima de él las sobrantes.

Fig.: 23.20.- Central de agua embalsada y alta presión



CONCEPTO

DENOMINACIÓN

Centrales que acumulan mediante bombeo, es decir se pueden comparar a los acumuladores de energía potencial El valor del salto hidráulico es superior a los 200 m, siendo los caudales relativamente pequeños ≅ 20 m3/s. Están en zonas altas de montaña. Las que disponen de saltos hidráulicos entre 200 y 20 m, desaguando caudales de hasta 200 m3/s por cada turbina. Dependen de embalses relativamente grandes. Asentadas en valles amplios de baja montaña. El salto es inferior a 20 m y los caudales pueden superar los 300 m3/s.

De bombeo

De alta presión

De media presión

De baja presión


Son centrales con posibilidad de almacenar volúmenes de agua en el embalse, que representan períodos mas o menos prolongados, de aportes de caudales medios anuales.

El proviene de grandes lagos, o pantanos artificiales, conocidos como embalses, conseguidos mediante la construcción de presas.

No cuentan prácticamente con reserva de agua, oscilando el caudal suministrado según las estaciones del año.

CARACTERÍSTICAS

De regulación

De agua embalsada


Por la altura del salto

De agua embalsada


CLASIFICACIÓN DE CENTRALES HIDROELÉCTRICAS

Por la forma de utilizar el agua De agua fluyente del río

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115

Fig.: 23.21.- Central de agua embalsada y media presión, situada a pié de presa.

Las centrales de agua acumulada almacenan agua en momentos de abundancia para emplearla en tiempos de escasez, procediendo así, a una regulación del río. La variabilidad de los caudales en muchos ríos es verdaderamente notable, así en Guipúzcoa, pueden pasan de llevar 1 a 20.000 l/s, por km2 de cuenca vertiente, siendo, todavía, menos homogéneos, en otras zonas. 3.2.1.- Centrales de acumulación o bombeo El consumo eléctrico a lo largo de las 24 horas del día pasa por horas de máximo consumo “horas punta” y horas de bajo consumo “horas valle” , esto da lugar a que en horas de bajo consumo u horas valle haya excedente de energía eléctrica, aún disminuyendo al mínimo térmico la carga de las centrales térmicas.

Embalse Superior

Embalse Inferior

Rio

Estación de Bombeo y Turbinado Fig.: 23.22.- Central de acumulación o bombeo



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Debido a que la energía eléctrica no puede almacenarse, en los últimos años se han construido centrales de bombeo o de acumulación, en ellas se eleva, o bombea, agua en horas de bajo consumo nocturno y se baja, o turbina, en horas punta generando de nuevo energía eléctrica. A pesar de las pérdidas correspondientes a esta doble operación, el tema resulta rentable. El motor eléctrico y la bomba hidráulica de la noche se transforman por la mañana en alternador y turbina respectivamente. Estas centrales tienen además la ventaja de que pueden instalarse grandes potencias sin apenas caudal de cauce , solo son necesarios dos embalses, superior e inferior con capacidad suficiente. Las centrales de acumulación por bombeo fueron construidas inicialmente en Alemania Occidental, Estados Unidos, Luxemburgo etc. Hoy día se han construido en casi todos los países industrializados. En España existen en la cuenca del rió Duero dos centrales de acumulación o bombeo.




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TEMA 24: BOMBAS HIDRÁULICAS 0.- INTRODUCCIÓN Las bombas hidráulicas tienen como misión incrementar la energía de los líquidos, transformando la energía mecánica que reciben del motor de arrastre en energía hidráulica. La energía hidráulica, como es conocido, es la suma de tres clases de energía: de posición, de velocidad y de presión; por lo tanto una bomba hidráulica ha de ser capaz de aumentar uno o más de dichos tipos de energía. El incremento de la energía de posición, con interés práctico, sólo lo efectúa un ingenio ideado por Arquímedes, denominado "Tornillo de Arquímedes", que todavía se utiliza hoy en día. Consiste, tal como se muestra en la figura 24.1, en un tubo al que se le arrolla exteriormente una chapa en espiral, todo ello ubicado en un canal circular o semicircular dispuesto en plano inclinado, encontrándose su extremo inferior sumergido en un canal o depósito alimentador. Produciendo un giro al tornillo se consigue, gracias al rozamiento, que el agua se eleve hasta un punto superior donde se vierte.

Fig.24.1: Tornillo de Arquímedes.

El ángulo de inclinación con que se dispone el tornillo es del orden de 30º y la velocidad de giro oscila entre 30 y 60 rpm; el rendimiento alcanza el 75%. Lógicamente la altura de elevación tiene un límite, pues el tornillo no puede tener apoyos intermedios; normalmente no se construyen longitudes superiores a los 15m, y por tanto la altura máxima conseguida se reduce a los 7,5 m aproximadamente, si bien pueden conseguirse alturas superiores disponiendo tornillos de Arquímedes en serie. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Bombas Hidráulicas

Para tener un orden de valores diremos que un tornillo de Arquímedes de tamaño medio que puede tener un diámetro exterior de 300 mm, permite elevar un caudal de 15 l/s, existiendo piezas que elevan caudales muy superiores, de hasta 6 m3/s. Es obvio que pueden disponerse tornillos de Arquímedes en paralelo para incrementar el caudal. El aumento exclusivo de la energía cinética de un líquido mediante una bomba no puede conseguirse con buenos rendimientos. Si se quiere obtener una gran velocidad se realiza mediante una transformación hidráulica de energía de presión en energía de velocidad mediante una fuerte reducción de la sección de paso. Por otra parte no interesa realizar el transporte de un líquido con una velocidad importante pues llevaría consigo grandes pérdidas de carga. Sin embargo sí que existen unos aparatos que incrementan la velocidad de los líquidos, denominados eyectores, o bombas de chorro, si bien el incremento de la velocidad del líquido no es el objetivo final del ingenio, pues realmente su finalidad es mezclar dos líquidos o un líquido y un gas; se trata de unas bombas que carecen de elementos móviles (figura 24.2), que utilizan como elemento motor líquidos en movimiento.

Fig 24.2: Principio del eyector

El líquido "motivador" pasa por una boquilla por la que por efecto Venturi se incrementa fuertemente su velocidad, reduciéndose la presión por debajo de la atmosférica, se aprovecha esto para succionar otro líquido, o un gas, que se mezcla con el anterior en una cámara; a continuación se incrementa la sección para disminuir la velocidad y aumentar la presión.




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Tratando las posibles formas de incrementar la energía de un líquido se han visto aquellos casos que elevan sólo la energía de posición y sólo la de velocidad, restan ahora las maneras de aumentar la energía de presión y aquellas que incrementan mas de un tipo de energía; pero resulta que no existen bombas que eleven la energía de posición, salvo el tornillo de Arquímedes, pues entre la entrada y la salida de cualquier bomba la diferencia de cotas es nula o reducida, por ello dentro de las bombas que elevan mas de un tipo de energía sólo se tienen las que aumentan o trabajan con una combinación de la energía de presión y de velocidad. Visto lo anterior quedan por considerar las bombas que sólo elevan la energía de presión y aquellas en las que intervienen las energías de presión y de velocidad.

1.- CLASIFICACIÓN DE LAS BOMBAS HIDRÁULICAS En el momento de realizar la clasificación de las bombas hidráulicas se puede casi afirmar que solamente existen dos grandes grupos de bombas: las que elevan únicamente la energía de presión, denominadas bombas de desplazamiento positivo, y las que incrementan una combinación de las energías de presión y velocidad, llamadas turbobombas. Podría añadirse a esta clasificación un tercer grupo, denominado de bombas especiales, que a modo de cajón de sastre reuniera una serie de bombas no clasificables en los grupos anteriores, en el que figuraran el tornillo de Arquímedes, los eyectores y otra serie de aparatos que sirven también para incrementar la energía de los líquidos que utilizan distintas técnicas en las que ahora no vamos a entrar. Las bombas de desplazamiento positivo se basan en el principio de Pascal, es decir en conseguir de alguna manera incrementar la presión en un punto del líquido para que esta elevación se transmita íntegra e inmediatamente a todos los puntos del fluido. Constan de un elemento denominado "desplazador" que precisamente desplaza positivamente el líquido, de ahí su nombre, desde una zona donde hay líquido a una presión reducida a otra donde se encuentra líquido a una presión superior, donde lo deposita. Este tipo de bombas se clasifica a su vez en bombas alternativas y en bombas rotativas, distinguiendo la forma con que se mueve el elemento desplazador del líquido. Dentro de las bombas alternativas existe una subclasificación que las divide en bombas de émbolo y de membrana, considerando la esencia del elemento que se desplaza alternativamente. Las turbobombas se basan, al igual que las turbinas, en el teorema de la cantidad de movimiento, o más exactamente en teorema del momento de la cantidad de movimiento, también llamado teorema del momento cinético y teorema de Euler. Es decir estas máquinas mediante el giro producido por un motor de arrastre generan una fuerza exterior sobre el rodete que tiene como consecuencia el incremento de la cantidad de movimiento del fluido que atraviesa la máquina de manera continua y la presión en la sección de salida de aquel.



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Bombas Hidráulicas

2.- BOMBAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO Este tipo de bombas tienen un principio muy sencillo como es el teorema de Pascal, y una construcción difícil que las hacen en bastantes casos de coste elevado. Esta dificultad es consecuencia de la necesidad de dar estanquidad a la separación entre las zonas de presión elevada y reducida, y la de la propia bomba con el exterior. Aunque las bombas alternativas y rotativas son ambas de desplazamiento positivo y tienen el mismo fundamento, funcionan de manera algo diferente que aconseja explicarlas por separado.

2.1.- BOMBAS ALTERNATIVAS. DESCRIPCIÓN GENERAL Las bombas alternativas constan esencialmente de una carcasa cilíndrica con un émbolo desplazable en uno y otro sentido y una serie de válvulas que comunican las tuberías de aspiración e impulsión con el interior de la carcasa. El émbolo al desplazarse axialmente en uno y otro sentido crea, por una parte, una depresión que aspira el líquido del depósito de aspiración, y por otra, una compresión que lo desplaza hacia la tubería de impulsión. Como puede observarse en la fase de succión la cámara está a presión inferior a la atmosférica, mientras que en la otra el líquido situado en la cámara incrementa su presión al disminuir su volumen hasta el momento en que abre la válvula de impulsión, instante en que el líquido situado en la cámara empieza a pasar a la tubería de descarga. En ocasiones las válvulas se sustituyen por simples lumbreras u orificios. En la figura nº 24.3 pueden apreciarse los esquemas de diferentes bombas de desplazamiento positivo. Caso a: bomba de émbolo alternativo. Se emplean para elevar caudales relativamente pequeños a gran altura, o mejor en la mayoría de los casos para generar grandes presiones, que posteriormente produzcan notables esfuerzos. Los líquidos empleados no deben de ser muy viscosos ni llevar sólidos en suspensión o estar sucios. Una cualidad de estas bombas es ser autocebantes, es decir, no requieren que se llene de líquido la tubería de aspiración para comenzar a trasegar aquel, ya que el émbolo al desplazarse genera un volumen que crea naturalmente una depresión. Un inconveniente es que no tienen funcionamiento continuo, si no que es cíclico, dado que es preciso convertir el movimiento giratorio del motor de arrastre en movimiento lineal, ello lleva consigo ciertas irregularidades en el suministro, defecto que puede atenuarse de distintas formas, como se verá más adelante. Los elementos fundamentales de este tipo de bombas son la cámara cilíndrica, el pistón o émbolo que se desplaza en su interior, el vástago que relaciona el émbolo con el elemento motor y las válvulas o lumbreras. Entre el émbolo y el cilindro y entre éste y el vástago, en el punto de salida hacia el exterior, es preciso producir la estanquidad suficiente para que el líquido no pase de una a otra cara del émbolo y no salga al exterior respectivamente.




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Fig 24.3 Esquemas de bombas de desplazamiento positivo El caudal que proporciona la bomba es en principio independiente de la presión de la impulsión, ya que será equivalente al volumen de una embolada por el número de éstas por unidad de tiempo; sin embargo, la presión hace que se produzcan pérdidas volumétricas, es decir que parte del líquido pase a la otra cara del émbolo e incluso fugue al exterior, o bien las válvulas no se abran o cierren en el momento adecuado, por ello el caudal disminuye algo a medida que se incrementa la presión. La curva característica que relaciona presión y caudal es por tanto prácticamente una recta vertical (figura 24.4). La regulación del caudal puede conseguirse mediante la variación de la velocidad de giro o gracias a la modificación de la cilindrada. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


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Bombas Hidráulicas

Fig:24.4. Curva característica de una bomba de desplazamiento positivo

La altura o presión engendrada teóricamente no tiene tope, sin embargo en la práctica está limitada por cuestiones tecnológicas obvias que aconsejan que cada tipo de bomba no exceda de una determinada presión, e incluso lo normal es impedir pase ésta de un determinado valor mediante una válvula de seguridad. Se construyen bombas alternativas de émbolo para presiones de hasta 1.000 bar e incluso mayores. Es muy frecuente que una bomba alternativa esté formada por una serie de émbolos dispuestos paralelamente o perpendicularmente al eje del motor de arrastre, y desfasados sus ciclos, consiguiendo de esta manera incrementar el caudal y minorar la discontinuidad de cada émbolo (figura 24.5)

Fig 24.5: Bombas alternativas múltiples

Existe una variante de bomba alternativa, denominada de diafragma, que consiste en sustituir el émbolo por una membrana, se emplean para trasegar caudales reducidos a pequeñas alturas (figura 24.6)




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Fig: 24.6: Bomba alternativa de diafragma

2.2 BOMBAS ROTATIVAS Las bombas rotativas, también denominadas rotoestáticas, constan de un cuerpo de bomba de forma variable, dentro del cual están dispuestas unas piezas móviles giratorias que provocan el desplazamiento positivo del líquido. Las piezas móviles están dispuestas de tal forma que generan volúmenes en una zona de la carcasa, creando automáticamente una depresión que aspira el líquido, a continuación lo desplaza y por último lo deposita en otra zona donde el líquido se halla a presión. Estas bombas carecen de válvulas, requiriendo un ajuste perfecto entre las distintas piezas, para impedir que el líquido retroceda y de esta forma obtener un alto rendimiento. Se utilizan, en general, para obtener grandes presiones, y por lo tanto para generar grandes fuerzas; solo pueden trabajar con líquidos viscosos, que sirven a la vez de lubricantes, con un alto grado de limpieza Existen numerosos tipos de bombas rotativas de difícil clasificación; en la figura 24.7 se muestran una serie de máquinas de este tipo. Aunque estas bombas carecen de válvulas son también autocebantes, su funcionamiento no es continuo, pero su discontinuidad es menor que en las bombas alternativas dado el menor tamaño de cada recinto y su mayor número. El caudal producido es así mismo independiente de la presión engendrada, siendo su curva característica similar a la de aquellas. Se construyen para presiones de hasta 600 bar e incluso superiores; los caudales forzosamente son reducidos. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


124

Bombas Hidráulicas

Fig: 24.7: Bombas de Desplazamiento Positivo Rotativas

3.- TURBOBOMBAS Este tipo de bombas es sin duda el más empleado y el que se utiliza universalmente para trasegar casi todo tipo de líquidos a cualquier altura, solamente líquidos muy viscosos, caudales muy pequeños y alturas muy grandes ofrecen dificultades a este tipo de máquinas. Como se ha indicado más arriba se trata de turbomáquinas con funcionamiento y diseño parecido a las turbinas de reacción. Constan de una carcasa donde se encuentra el rodete o impulsor y el sistema difusor. En el rodete se transforma la energía mecánica recibida del motor de arrastre en energía hidráulica de presión y velocidad; en el sistema difusor parte de la energía hidráulica de velocidad se convierte en energía de presión. El sistema difusor puede adquirir distintas formas pero la más frecuente es la de voluta o caracol, que hace de colector y donde la sección de paso aumenta, disminuyendo así la velocidad aumentando la presión, tal como puede apreciarse en la figura 24.8 Otro sistema importante de una turbobomba es el sellado, es decir el que tiene como finalidad impedir o dificultar que el líquido bombeado fugue.




125

Fig 24.8: Turbobomba

Fig: 24.9: Sistema de sellado interno

Tipos diversos de anillos laberínticos utilizados en las bombas para reducir las pérdidas internas



126

Bombas Hidráulicas

Para ello es preciso atenuar el denominado cortocircuito hidraúlico (figura 24.9), que hace que el líquido que ha adquirido cierta energía a la salida del rodete retroceda hacia puntos de energía menor, es decir a la entrada del rodete, a través de los huelgos existentes entre la carcasa y el rodete. Para ello se disponen los anillos de cierre o rozantes que se ubican en la carcasa y/o el rodete con el fin de conseguir minorar al máximo los mencionados huelgos. El problema tiene su dificultad dado que el rodete gira a una velocidad importante y la carcasa está fija. Otro punto que hay que estanqueizar es aquel en el que el eje de arrastre penetra en la carcasa de la bomba, produciéndose un huelgo entre el elemento móvil y el fijo. Para ello se dispone la caja prensaestopas (fig 24.10) o los cierres mecánicos ( figura 24.11). La caja prensaestopas consta de unos anillos de material elastomérico que envuelve el eje, al sometérseles a un empuje axial se dilatan radialmente y consiguen la estanquidad necesaria, sin embargo es conveniente dejar formar entre eje y anillos una película de líquido que haga de lubricante.

Fig: 24.10: Caja prensaestopas

Fig: 24.11: Cierre mecánico




127

Los cierres mecánicos constan de dos discos de material cerámico apretados por muelles entre sí, dispuesto uno de ellos fijo al eje y el otro fijo a la carcasa; de esta manera, dada la casi nula rugosidad de los materiales cerámicos, se consigue una prácticamente total estanquidad. En este tipo de bombas el caudal y la altura engendrada vienen relacionados entre sí, siendo la curva característica más o menos descendente (figura 24.12). Otras variables importantes son la potencia absorbida y el rendimiento.

Fig 24.12: Curvas características de una Turbobomba

Las turbobombas se clasifican a su vez, teniendo en cuenta la dirección del flujo con relación al eje de giro en: radiales, diagonales y axiales. (figura 24.13)

Fig 24.13: Tipos de rodetes de las Turbobombas

Las turbobombas radiales y las diagonales son análogas a las turbinas Francis, mientras que las axiales son similares a las turbinas Hélice.



128

Bombas Hidráulicas

En muchos textos y en casi todos los catálogos las turbobombas reciben el nombre de bombas centrífugas, nombre no totalmente apropiado, ya que corresponde solo a las radiales y en alguna medida a las diagonales. El nombre de turbobombas, que poco a poco va tomando peso, es más idóneo dado que se trata de una turbomáquina. También se denominan rotodinámicas. El resto de las bombas que no es posible catalogar como bombas de desplazamiento positivo o turbobombas se pueden incluir dentro de un tercer grupo denominado bombas especiales. Entre estas pueden caber por ejemplo las bombas turbina, bombas Hytor, bombas de chorro, tornillo de Arquímedes, ariete hidráulico, bomba mamut, bombas transportadoras de polvos, etc.




129

TEMA 25.- INSTALACIONES DE BOMBEO 1.- DIAGRAMA DE TRANSFORMACIÓN DE ENERGÍA EN UN SISTEMA DE BOMBEO Se denomina aquí Sistema de Bombeo al conjunto formado, por una parte, por la bomba y, por otra, por las conducciones y depósitos situados aguas abajo y aguas arriba de aquella; se reserva el nombre de Instalación de Bombeo precisamente a esta segunda parte. Un sistema de bombeo convencional consta fundamentalmente de depósito de aspiración, tubería de aspiración, bomba, tubería de impulsión y depósito superior a donde se conduce el líquido. El diagrama de transformación de energía es un método por el cual se representan las sucesivas transformaciones hidráulicas que se verifican en el sistema; el diagrama que a continuación se explica utiliza el método de las franjas verticales, donde cada elemento del sistema de bombeo queda representado por una franja vertical. En la figura 25.1 se representa el esquema del sistema elegido para el estudio y el diagrama de transformación de energía correspondiente. La bomba es una turbobomba, representada por sus dos elementos principales: rodete y sistema difusor. Las energías que se contemplan son evidentemente las energías de posición, presión y velocidad. Se adopta como plano de referencia de cotas el que pasa por la lámina superior del depósito de aspiración, que se considera abierto y por tanto en contacto con la atmósfera. Las presiones se refieren a la atmósfera local, es decir se adoptan presiones manométricas. En primer lugar se estudia la energía de posición, que viene representada en la figura por la ordenada existente entre el plano de referencia y la línea de trazos. Esta energía es nula en el depósito de aspiración; en la tubería de aspiración aumenta hasta alcanzar la cota de la bomba, que se supone constante en rodete y sistema difusor; por último crece en la tubería de impulsión hasta alcanzar la cota del depósito superior. La ordenada entre el plano de referencia y la línea de punto y raya, representa la suma de las energías de posición y de presión, es decir la energía piezométrica; por lo tanto, la energía de presión será la ordenada entre la línea de trazos y la de punto y raya. Por lo tanto cuando la línea de punto y raya se encuentra por encima de la de trazos la presión es positiva, y si es a la inversa, negativa. En el depósito de aspiración, al estar éste en contacto con la atmósfera, ambas líneas son coincidentes.



130

Instalaciones de bombeo

En el momento en que el líquido entra en la tubería de aspiración ocurren dos hechos: •

Se crea una energía de velocidad

•

Se produce una pérdida de carga por estrechamiento brusco y en la válvula de pie, que se dispone en ese punto. La válvula de pie es una pieza especial compuesta de una válvula antirretorno y un filtro; la primera impide el retroceso del líquido, y el segundo denominado alcachofa o cebolleta, dificulta la entrada de cuerpos extraños en la tubería de aspiración.

Ambos sucesos se pueden producir gracias a la existencia de una energía de presión, ya que el líquido todavía no ha recibido ninguna energía, es decir se produce una transformación de energía de presión en velocidad y en calor, motivado por la pérdida de carga. Por tal causa se engendra una depresión. En la tubería de aspiración: •

aumenta la energía de posición

•

se producen pérdidas de energía en la tubería y en las piezas especiales existentes, lo cual se puede conseguir y vencer igualmente gracias a la energía de presión, pues el líquido sigue sin recibir ninguna clase de energía, con lo que la depresión habrá aumentado.

En el momento en que el líquido entra en el rodete recibe una energía, pues éste es el órgano donde se transforma la energía mecánica en hidráulica. Gracias a ello la presión pasa de negativa a positiva y se aumenta la energía de velocidad del líquido. En el sistema difusor aumenta la energía de presión, a costa de la energía de velocidad, saliendo el líquido de la bomba con una determinada energía de presión y una moderada energía cinética. Por último, en la tubería de impulsión la energía de presión se convierte en energía de posición y se vencen las pérdidas de carga producidas en la conducción. La energía de presión se hace nula en el momento en que el líquido alcanza el depósito superior. La ordenada entre el plano de referencia y la línea de trazo continuo, representa la energía total, es decir la suma de las energías de posición, presión y velocidad. La ordenada entre la línea de punto y raya y la de trazo continuo corresponde a la energía cinética. En el depósito de aspiración, al ser la velocidad nula, ambas líneas coincidirán. En el momento, en que el líquido entra en el depósito de aspiración, se genera una energía de velocidad, a costa de la energía de presión, como ya se ha indicado. En toda la tubería de aspiración, la energía de velocidad permanece constante al tener, generalmente, la misma sección en toda ella.




131

Fig: 25.1.- Diagrama de transformación de energía en un sistema de bombeo



132


En el rodete la velocidad aumenta, convirtiéndose parte de ésta en energía de presión en el sistema, lógicamente con las consiguientes pérdidas que conlleva toda transformación energética. En la tubería de impulsión la energía cinética permanece constante en toda su longitud sino se modifica el diámetro, perdiéndose cuando llega el líquido al depósito superior. Una vez explicado el diagrama, se indica a continuación el significado de cada ordenada; sin embargo hay que resaltar, que el gráfico de la figura es cualitativo, no estando las ordenadas representadas rigurosamente a escala. Así se tiene: •

AC representa la depresión en la entrada de la tubería de aspiración, siendo equivalente a la suma de la energía cinética en la tubería de aspiración más las pérdidas de carga en la válvula de pie.

•

BC es la energía cinética en la tubería de aspiración, constante a lo largo de ella. BC = ED.

•

AB indica pérdida de carga en la válvula de pie.

•

GD señala la depresión en la entrada de la bomba, suma de la energía de posición en ese punto más la pérdida de carga en toda la tubería de aspiración.

•

FE representa la energía total negativa que existe a la entrada de la bomba. Puede ser negativa, debido a que el origen de las presiones consideradas es la atmosférica local.

2.- ALTURAS MANOMETRICAS DE LA INSTALACION, Y DE LA BOMBA Se denomina Altura manométrica de la instalación a la energía necesaria para trasegar un determinado caudal de líquido desde el depósito inferior (aspiración) al superior (impulsión), es decir será la diferencia de energías entre ambos depósitos más la pérdida de carga en las tuberías de aspiración e impulsión. Por otra parte Altura manométrica de la bomba es la energía útil que la bomba le comunica al líquido, es decir será la diferencia de energías totales que tiene el líquido entre la salida y la entrada de la bomba para un determinado caudal. Como puede apreciarse ambas alturas manométricas, la de la instalación y la de la bomba, corresponden a conceptos totalmente diferentes, que conducen a expresiones matemáticas distintas. Es decir que aunque ambos conceptos son diferentes cuando una bomba trabaja en una determinada instalación las alturas manométricas de ambos tienen el mismo valor numérico.




133

Fig: 25.2.- Instalación de bombeo

3.- CURVA CARACTERISTICA DE LA INSTALACION La expresión analítica que define la altura manométrica de la instalación es: 2 2  p v   p v  H mi =  z2 + 2 + 2  −  z1 + 1 + 1  + h f1− 2 γ 1 2g   γ 1 2g   p v2 H mi = ∆z + ∆ + ∆ + h f1 − 2 γ1 2g

Los dos primeros términos del segundo miembro son independientes del caudal, siendo por tanto su suma el valor de la altura manométrica de la instalación a caudal nulo (Hi0). Dicho valor se denomina altura piezométrica de la instalación. Realmente el que un depósito se encuentre presurizado, es a estos efectos, como si estuviera situado en otra cota geométrica, es decir, a título de ejemplo, un depósito con una presión de 2 kg/cm2, es como si estuviese dispuesto 20 m más alto, en el caso de que el líquido fuese agua. Los otros dos términos son función del caudal, el tercero proporcional a su cuadrado, y el cuarto aproximadamente proporcional a la misma potencia. En la mayoría de los casos el incremento de la energía cinética suele despreciarse debido a su poca magnitud. Un caso en que este valor no puede dejar de considerarse es aquel en que el líquido sale a la atmósfera a través de boquillas, ya que entonces la energía cinética a la salida puede tener bastante entidad. La representación gráfica de la expresión anterior se denomina curva característica de la instalación (cci), la cual viene indicada en la figura 25.3.



134


Hmi

cci

2

Hmi0 =∆z + ∆p/γl

Hf+∆v /2g

Q Fig: 25.3: Curva característica de la instalación

Por otra parte la altura manométrica de la turbobomba es igualmente función del caudal, denominándose curva característica de la turbobomba (cctb) a la representación gráfica de sus puntos de funcionamiento. Si en un mismo gráfico se representan las curvas características de la instalación y de la turbobomba, al haber de tener las alturas manométricas correspondientes el mismo valor, el punto de funcionamiento será necesariamente el definido por la intersección de ambas curvas (fig 25.4).

Hm

cci ∆z + ∆p/γl

cctb

O

Q

Fig: 25.4: Curvas características de instalación y de la bomba. Punto de funcionamiento.

4.- SELECCIÓN DE UNA BOMBA.- PUNTO DE FUNCIONAMIENTO Para seleccionar la bomba más idónea con el fin de atender al servicio es preciso conocer en primer término la instalación donde ha de funcionar y el caudal que se requiere. En la mayoría de los casos la altura piezométrica no es constante sino que oscila entre determinados valores y en ocasiones el caudal deseado puede ser igualmente variable. Estas circunstancias evidentemente habrán de considerarse en el momento de seleccionar la bomba; es usual considerar como hipótesis de cálculo unos valores medios para la altura piezométrica y el caudal. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.



135

Fig : 25.5.- Curvas características de las turbobombas de un determinado modelo



136


Fuente Itur

Fig : 25.6.- Curvas características de un determinado tipo de bombas




137

Primeramente habrá de seleccionarse el tipo de bomba que se adapte mejor al servicio, lo cual depende de las características del líquido a elevar y del tipo y circunstancias de la instalación. Trazada la curva característica de la instalación y conocido el caudal deseado se puede saber el punto en que se desea trabajar. La bomba seleccionada trabajando en la instalación prevista no proporcionará indudablemente el punto deseado sino otro que será el que corresponde a la intersección de las curvas características de bomba e instalación. Para conocer dicho punto deberán dibujarse las dos curvas en el mismo gráfico, bien en el de la bomba o en el de la instalación, mejor en el de esta última. Hay que resaltar aquí que en el momento de seleccionar una bomba no se puede conseguir que su curva característica pase exactamente por el punto deseado, ni que el punto de funcionamiento resultante sea el óptimo de la bomba; sin embargo, habrá que intentar conseguir en lo posible que el rendimiento del punto de trabajo, no se aleje mucho del correspondiente al punto nominal de la bomba.

5.- VARIACION DEL PUNTO DE FUNCIONAMIENTO 5.1.- POR MODIFICACIÓN INSTALACIÓN

DE

LA

CURVA

CARACTERÍSTICA

DE

LA

Si en una determinada instalación variara la diferencia de cotas y/o la diferencia de presiones entre los depósitos superior e inferior, quedando el resto invariable, la curva característica de la instalación se desplazaría paralelamente a sí misma, como indica la figura 25.7, modificándose el punto de funcionamiento al trabajar con la misma bomba.

cci Fig: 25.7: Variación de la cci al modificarse ∆z y /o ∆p/γ

cc tb



138


Por último, si se cerrara poco a poco una válvula situada en la instalación, dejando el resto igual, aumentarían las pérdidas de carga, y su curva característica se iría cerrando en abanico, tal como se indica en la figura 25.8. El punto de funcionamiento se irá modificando, produciendo un caudal cada vez menor, hasta llegar a ser nulo, cuando la válvula estuviera totalmente cerrada. En este caso la curva característica de la instalación sería el eje de ordenadas. En realidad la curva característica de la instalación tiene una segunda rama para caudal negativo; no obstante en la mayoría de las instalaciones no existe, al disponer de una válvula antirretorno que impide los caudales inferiores a cero.

Fig: 25.8: cc de la instalación al variar hf

En tal caso la curva característica completa de la instalación está formada por la rama del primer cuadrante y el eje de ordenadas hasta el punto A (fig 25.9)

Fig: 25.9: Cc completa de la instalación en el primer cuadrante.




139

La curva característica completa de la instalación teniendo en cuenta los caudales negativos sería la indicada en la figura 25.10. En este caso la altura manométrica de la instalación vale Hmi = (B1-B2) + hf resultando que el primer factor es negativo y el segundo positivo.

B2 –B1 + hf

B1-B2+ hf

Fig: 25.10: Cc completa de la instalación

5.2.- POR MODIFICACIÓN TURBOBOMBA

DE

LA

CURVA

CARACTERÍSTICA

DE

LA

Otra forma de modificar el punto de funcionamiento de una instalación de bombeo es actuar sobre la bomba dejando inalterable la instalación, con lo que se consigue modificar la curva característica de aquella. Existen varios procedimientos para actuar sobre la bomba, de entre ellos destacan la variación de su velocidad de giro y el torneado de su rodete. 5.2.1.- Variación de la velocidad de giro Al variar la velocidad de giro de una turbobomba se modifican sus curvas características y por lo tanto la que relaciona la altura manométrica con el caudal, con lo que se consigue que al trabajar en una determinada instalación proporcione caudales variables (figura 25.11) El trazado las curvas características de una bomba cuando gira a un determinado régimen a partir de las curvas de la bomba cuando trabaja con otro número de revoluciones se resuelven mediante la homología ya explicada.



140


Figura : 25.11: Modificación del punto de funcionamiento de un sistema de bombeo al variar la velocidad de giro

Es decir lo que se trata es de hallar la relación entre un punto de la curva característica cuando gira a N1 rpm de la misma bomba cuando funciona a N2 rpm teniendo el mismo rendimiento, es decir siendo homólogos. Para el caso concreto de la curva altura - caudal se igualan los parámetros manométrico y de caudal :

µR =

gH N2D 2

δR =

Q ND 3

que al permanecer invariables la gravedad y el diámetro se verifica:

H1 H = 22 = L 2 N1 N2 Q1 Q 2 = = L N1 N2

= =

H = cte N2

Q = cte N

lo cual subraya que en puntos de igual rendimiento las alturas manométricas son proporcionales al cuadrado de la velocidad de giro y el caudal lo es a su primera potencia. Dividiendo la primera expresión por el cuadrado de la segunda, con el fin de eliminar N, se tiene:

H 2 N = H = cte 2 Q 2 Q2 N es decir que los puntos de igual rendimiento verifican que: H = K Q2




141

y que por lo tanto están situados en una parábola que pasa por el origen (fig: 25.12). Conocido lo anterior es fácil trazar la curva característica de una bomba girando a N2 rpm a partir de la correspondiente curva trabajando a N1 rpm, pues se tiene: 2

N H2 = H1 22 N1

Q 2 = Q1

N2 N1

con lo cual pueden calcularse los puntos A2, B2, C2, ... conocidos previamente A1, B1, C1, ... y trazarse la curva deseada.

Figura : 25.12.- Curvas de igual rendimiento al variar la velocidad de giro

Los problemas prácticos que fundamentalmente pueden presentarse en el caso de variar la velocidad de giro son los siguientes: •

Conocidas las curvas características de una bomba girando a un determinado número de revoluciones trazar las curvas correspondientes de la misma bomba al trabajar a otro régimen.

•

Conocida la curva característica H-Q de una bomba girando a un determinado número de revoluciones y la curva característica de la instalación en que trabaja, hallar el punto de funcionamiento cuando la bomba trabaje a otro régimen.

•

Conocida la curva característica H-Q de una bomba girando a un determinado número de revoluciones y la curva característica de la instalación en que trabaja, calcular la velocidad a que deberá girar para que proporcione un determinado caudal.

El primer problema ha sido resuelto en el apartado anterior. El segundo se resuelve trazando la nueva curva, y hallando así gráficamente su punto de intersección con la curva de la instalación, el cual será el punto pedido. No hará falta trazar toda la



142


nueva curva, sino solamente el trozo situado en el entorno de la intersección con la curva de la instalación. Para resolver el tercer problema se procede de la siguiente forma (figura 25.13). Cuando la máquina gira a N1 rpm el punto de funcionamiento es el A(H1, Q1), pero se pide que proporcione un caudal Q2 sin variar la curva de la instalación, es decir que la curva de la bomba pase a funcionar en el punto B(H2, Q2). Se calcula el coeficiente de la parábola que pasa por B, H2 = K Q22

Fig; 25.13.- Velocidad de giro de una bomba para obtener un determinado caudal

A continuación se traza la parábola que pasa por el origen y por B, y se halla gráficamente el punto C (H3, Q3); al estar B y C en una parábola se trata de puntos homólogos en los que se verifica:

H2 H = 32 2 N2 N3

o bien

Q2 Q3 = N2 N3

con lo que podrá calcularse la velocidad de giro N2 solicitada. No es necesario trazar toda la parábola, sino únicamente el entorno de punto de intersección con la cc de la bomba.

5.2.2.- Torneado del rodete Otro recurso para modificar la curva característica de una bomba, y por tanto el punto de funcionamiento en una determinada instalación, es torneando el rodete, es decir disminuyendo su diámetro exterior, sin alterar ninguna otra característica de la máquina y manteniéndose la misma carcasa que constituye el sistema difusor. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.



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Normalmente el ángulo β formado entre la velocidad relativa y el sentido negativo de la de arrastre, va modificándose desde la entrada a la salida del rodete. Sin embargo los impulsores de las bombas se construyen en bastantes ocasiones de tal manera que en su parte exterior se conserve constante dicho ángulo, lo que equivale a decir que en esa zona el rodete forma una espiral logarítmica. La construcción así de los rodetes, permite su torneado sin variar el ángulo de salida β 2.

Zona de torneado

Espiral logarítmica

Zona de β2 = cte

Figura: 25.14.- Torneado de rodete

El proyecto de norma internacional ISO/DIS 9906 que presenta el código de ensayos para las pruebas de recepción de las turbobombas, en su anexo F, prescribe que para aquellos casos en que el torneado no pase del 5% y la velocidad específica adimensional no sobrepase el valor de 0,24, que el caudal y la altura manométrica se modifican atendiendo a las expresiones siguientes:

(D ) Qt = 2 t Q a ( D 2 )a

y

( ) ( )

D22 Ht = 2 Ha D2

t

a

donde los subíndices t y a indican los valores después y antes del torneado respectivamente. En los casos en que los diámetros a la entrada o salida no son constantes se adoptarán sus valores medios. Con relación al rendimiento permanecen prácticamente inalterables cuando la velocidad específica dimensional no supera 0,16 y el torneado no pasa del 3%.



144


En la práctica se admiten torneados superiores, suponiéndose que se verifican las relaciones indicadas más arriba, manteniéndose los rendimientos. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, los problemas resultantes se resuelven de manera análoga al caso de modificación de la velocidad de giro, verificándose que:

Ht

Ha

(D )

=

(D )

Qt ( D2 ) t

=

Qa ( D2 ) a

2 2 t

2 2 a

además de que los puntos de igual rendimiento práctico se sitúan en parábolas que pasan por el origen de manera análoga que en el caso de modificación de la velocidad de giro. Es conveniente recordar que antes y después del torneado del rodete de una bomba no existe semejanza geométrica y que por tanto no se pueden aplicar relaciones de homología, siendo por eso por lo que se habla de igual rendimiento práctico. Por último se advierte que hay que poner cuidado en el momento de realizar los cálculos previos al torneado del rodete pues se trata evidentemente de una operación irreversible.

6.- BOMBAS FUNCIONANDO EN GRUPO Las bombas además de funcionar individualmente pueden hacerlo en grupo, en serie o en paralelo, o bien combinando estas dos disposiciones. Estas soluciones se adoptan en los casos en que se requiera aumentar la altura manométrica o el caudal, o ambos factores a la vez.

6.1.-DISPOSICIÓN EN SERIE Dos o más bombas se disponen en serie cuando la brida de salida de una se conecta con la de entrada a la siguiente. Obviamente el caudal que circula por todas es el mismo y la altura manométrica total es la suma que proporciona cada una de ellas. Conociendo la curva característica de cada bomba de puede trazar la correspondiente al conjunto sin más que sumar las alturas manométricas para cada caudal, tal como se observa en la figura: 25.15.




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AB + AC = AD H1 + H2 = HS

Figura :25.15 - Bombas funcionando en serie

No es frecuente la disposición en serie puesto que se fabrican bombas multicelulares, que no es otra cosa que varias máquinas dispuestas en serie dentro de una misma carcasa.

6.2.-DISPOSICIÓN DE BOMBAS FUNCIONANDO EN PARALELO Dos o más bombas trabajan en paralelo cuando tienen, en lo posible, las aspiraciones e impulsiones comunes. En este caso el caudal resultante es, evidentemente, la suma de los caudales de cada máquina, mientras que las alturas manométricas de cada bomba son iguales. Tomando Bernoulli entre la salida y entrada de las bombas, se tiene: BE + Hm1 = BS BE + Hm2 = BS Luego: Hm1 = Hm2 = BS - BE Por lo tanto, la curva característica Hm-Q del conjunto de dos o más máquinas trabajando en paralelo, conocidas las correspondientes a las bombas funcionando aisladamente, se obtiene sumando los caudales para cada altura (figura 25.16).



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AB + AC = AD

Figura: 25.16 - cc de bombas funcionando en paralelo.

7.- ESTUDIO DE LA CAVITACIÓN EN LAS BOMBAS : N.P.S.H. La cavitación es un fenómeno que se puede producir en las máquinas e instalaciones hidráulicas, cuyas importantes consecuencias tienen el peligro de perturbar notablemente su funcionamiento. El fenómeno se produce, de manera similar a las turbinas, cuando la presión del líquido se reduce a su presión de vapor máxima, instante en el cual aquél se vaporiza, formándose bolsas de vapor de líquido. Una vez formadas las bolsas de vapor, éstas son arrastradas hacia zonas de mayor presión donde se condensan, creándose un vacío, ya que pasan a ocupar un volumen notablemente menor, produciéndose implosiones que motivan sobrepresiones puntuales elevadísimas. Es bueno hacer notar que el vapor de agua ocupa un volumen del orden de 1250 veces superior al del agua. En cuanto a las sobrepresiones, en el caso de las turbobombas se han llegado a detectar presiones de 100 MPa (≈ 1000 bar) e incluso superiores. El tiempo que tarda en producirse el condensado de las bolsas de vapor es pequeñísimo, del orden de pocos µs. Por otra parte con una incidencia menor, pero coadyuvando en el fenómeno, sucede que cuando el líquido alcanza una presión reducida desprende parte de los gases que tiene disueltos, dado que, según la ley de Henry, la cantidad de gas disuelto en un líquido es directamente proporcional a aquella; además la solubilidad es función de la temperatura, descendiendo al incrementar ésta.




147

El gas que normalmente tienen disuelto en su seno los líquidos es el aire, con una mayor riqueza relativa de oxígeno que de nitrógeno, dada su mayor solubilidad. La cantidad de aire que contiene el agua en condiciones normales es del orden del 2 al 3% en volumen, es decir que el aire disuelto en un litro de agua ocupará al desprenderse de ella un volumen de 20 a 30 cm3; esto no quiere decir que la disolución ocupe tal capacidad, puesto que los volúmenes en una disolución gas líquido o gas - gas no son aditivos. Parte del aire disuelto se desprende cuando la presión del líquido alcanza valores próximos a la de presión de vapor, de tal manera que se forman bolsas de aire y de vapor del líquido. El aire, rico en oxígeno, favorece la oxidación de las paredes; posteriormente el líquido arrastra el óxido si éste no es adherente, y deja las paredes aptas para una nueva oxidación, produciéndose de esta manera desprendimiento de material. Pero volviendo a las implosiones señaladas más arriba, cuya importancia relativa es mucho mayor que la oxidación, éstas producen fuertes vibraciones en la máquina, que pueden alcanzar al acoplamiento con el motor de arrastre, e incluso a la propia cimentación, si la cavitación es severa. Por otra parte, las implosiones que se verifican junto a paredes, actúan a modo de martillo neumático entre los poros y fisuras del material, desgarrando y desprendiéndose éste, adquiriendo el aspecto de un terrón de azúcar. Se conoce que el colapso de las burbujas no se hace concéntricamente sino que comienza por un punto a modo de dardo que produce el efecto señalado. Como consecuencia de todo lo anterior la cavitación conduce a un fuerte descenso de la altura manométrica, en el caso de turbobombas, y de la altura efectiva, en el de turbinas, así como del rendimiento.

7.1.- EVALUACIÓN DE LA CAVITACIÓN EN LAS TURBOBOMBAS Como se ha señalado la cavitación se produce cuando la presión en un punto desciende por debajo de la presión de vapor. Por otra parte en una instalación de bombeo, normalmente la presión disminuye hacia aguas abajo, siendo mínima a la entrada de la bomba, lógicamente en un punto cercano a la proa de los álabes, donde todavía el líquido no haya recibido energía del rodete, y en posiciones de mayor cota. Tomando Bernoulli entre la lámina superior del depósito de aspiración (B) y el mencionado junto (D) (figura: 25.17) se tendrá :



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Figura : 25.17.- Esquema de la aspiración de un sistema de bombeo

Válvula de pie

PB

γl

2

+ ZB +

2

VB P V − hfBD = D + ZD + D γl 2g 2g

teniendo en cuenta que VB2/2g es nulo en la inmensa mayoría de los casos, restando la tensión de vapor (ps/γ1) a los dos miembros y ordenando los factores, se tiene:

PD

γl

−

Ps

γl

2

+

VD P P = B − s − (Z D − Z B + hfBD ) 2g γl γl

donde el primer miembro es la energía que tiene el líquido en el punto D por encima de la presión de vapor, es decir lo que se denomina carga neta de la aspiración sobre la tensión de vapor (CNA), o lo que es lo mismo, en palabras inglesas Net Positive Suction Head over vapor pressure. Las siglas de las cuatro primeras palabras de dicha frase -NPSH- corresponden a algo que ha alcanzado fortuna, de tal manera que la carga neta de la aspiración de conoce internacionalmente con el nombre de NPSH. Ahora bien, realmente se le conoce con el nombre de NPSH disponible, ya que es la carga neta en la aspiración que dispone el líquido en el punto mencionado. Como, obviamente, en la fórmula anterior el primer miembro es igual al segundo, y todos los términos de éste son dependientes de la instalación se puede afirmar que el NPSH disponible es función exclusiva de ésta. Por otra parte se sabe que para que no se produzca cavitación, al menos teórica, es necesario y suficiente que PD > PS, es decir que

PD − Ps

γl

> 0 o lo que es

lo mismo: NPSH disponible >


VD 2 2g



149

Pues bien, a VD2/2g se le denomina NPSH requerido, ya que se trata de la energía mínima que se requiere tenga el líquido en la aspiración para que no se produzca cavitación. El término VD2/2g que es la energía cinética existente en un punto interior de la máquina, depende lógicamente de ésta. Volviendo a la ecuación base se podrá escribir: NPSHdisponible = NPSHrequerido +

PD − PS

γl

El valor de este último término representa el cuanto se aleja el sistema de la cavitación, por lo que recibe el nombre de carga de seguridad o NPSH de seguridad. Este factor depende del técnico diseñador de la instalación y del seleccionador de la bomba, que a la vista del NPSH disponible de la instalación elegirá una bomba con un NPSH determinado. Se aconseja que no descienda en ningún momento de 0,5 a 0,90 mcl o bien que NPSHdisponible sea mayor a 1,3 NPSHrequerido.



150


8.- PROBLEMA TIPO DE RESOLUCIÓN DE INSTALACIONES DE BOMBEO 8.1.- OBTENCIÓN DE LA CURVA CARACTERÍSTICA DE LA INSTALACIÓN Ejemplo Se desea construir la curva característica de la instalación definida en el esquema adjunto y por los datos siguientes: Líquido: Cotas: Presiones:

agua z1 = 900m z2 = 930m p1 = 0 (abierto a la atmósfera) P2=1,96 bar (manométrica) Tubería: fundición; diámetro: 100 mm aspiración: 25 m; impulsión: 125 m

Conducción: Longitudes:

Resolución Altura piezométrica (altura manométrica a caudal nulo). n

   P P 10 5   − (900 + 0 ) = 50mcl Hm io =  2 + Z 2  −  1 + Z1  =  930 + 1,96 9800     γ γ Nota: Se debe resolver esta cuestión siempre en metros de columna del líquido que fluye y preferentemente en presiones manométricas Pérdidas de carga Rugosidad de la fundición = ε = 0,026 cm Rugosidad relativa = ε/D = 0,026/10 = 0,0026 = 2,6.10-3 Coeficiente de Hazen-Williams: CHW = 120 Pérdida de carga unitaria para D = 100 mm; J1 = 3,11.10-4mca/[m.(l/s)1,852] Longitudes equivalentes Los valores indicados sólo deben utilizarse en cálculos rápidos, ya que la longitud equivalente depende del diámetro de la pieza especial Aspiración:

válvula de pié Codo 90º


25 5

m m



Impulsión:

151

válvula antirretorno 2 válvulas compuerta 4 codos 90º

15 2x5 4x5

m m m

Total ---------- 75

m

Longitud equivalente total = 25 + 125 + 75 = 225 m Pérdida de carga = hf = 3,11.10-4.225.Q1,852 Hf = 0,07.Q1,852

La expresión analítica de la cci será: Hmi = 50 + 0,07.Q1,852 A continuación se calcula el valor de Hmi para diferentes valores del caudal Q, tal como se indica: Q Hmi

l/s mca

2 50,3

4 50,9

6 51,9

8 53,3

10 55,0

12 57,0

14 59,3

16 61,9

Nota: no merece la pena en la precisión del cálculo de la pérdida de carga pasar del dm. Ahora solo resta elegir el formato del papel y las escalas más idóneas tanto para H como para Q. El formato usual es el A-4.

Hay veces que en el gráfico no se adopta como origen de coordenadas el punto (0,0) sino otros valores de H y Q para conseguir mayor definición en la zona de trabajo. En este caso se ha adoptado el formato mencionado y el origen de coordenadas (0,0) y como escalas 1cm = 1 l/s y 2,5 mca (fig 25.18). Una curva queda perfectamente definida con 10 puntos, suficientemente con 8 e incluso con 6 y en algunos casos con menos si el tramo que se desea representar es reducido; se pondrá especial cuidado en la zona en que se encuentren los resultados. Traspasados los puntos calculados al sistema de coordenadas elegido, basta trazar la curva que pasa por todos y cada uno de los puntos para obtener la curva característica de la instalación.



152


H (m ca) 60 P

50

40 Puntos calculados caudal altura l/s m ca 0 50 2 50,3 4 50,9 6 51,9 8 53,3 10 55,0 12 57,0 14 59,3 16 61,9

PUN TO DESEA D O : P (55 m ca; 10 l/s) 30

20

E scalas 1 cm = 1 l/s y 2,5 m ca

10

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Q (l/s)

Fig 25.18.- Curva característica de la instalación




153

8.2.- SELECCIÓN DE LA BOMBA MÁS IDÓNEA Para seleccionar la bomba más idónea con el fin de atender al servicio es preciso conocer en primer término la instalación donde ha de funcionar y el caudal que se requiere. En la mayoría de los casos la altura piezométrica no es constante sino que oscila entre determinados valores y en ocasiones el caudal deseado puede ser igualmente variable. Estas circunstancias evidentemente habrán de considerarse en el momento de seleccionar la bomba; es usual considerar como hipótesis de cálculo unos valores medios para la altura piezométrica y el caudal. Primeramente habrá de seleccionarse el tipo de bomba que se adopte mejor al servicio, lo cual depende de las características del líquido a elevar y del tipo y circunstancias de la instalación. Trazada la curva característica de la instalación y conocido el caudal deseado se puede saber el punto en que se desea trabajar. Si se toma la instalación del ejemplo presentado en el apartado anterior y si se desea obtener un caudal de 10 l/s, el punto deseado será: P:(55 mca; 10 l/s) (fig 25.18). Suponiendo que se trata de atender a un servicio de suministro de agua en condiciones normales, se puede adoptar, por ejemplo, el tipo de bombas normalizadas de una determinada marca comercial (versión F, de bomba Itur). En primer término se parte de los diagramas generales de curvas características facilitadas por el fabricante para la selección de dichas bombas, tanto para 1450 como para 2900 rpm, que se adjuntan (fig 25.19). Escogiendo la versión de 2900 rpm, que se adapta mejor a la altura manométrica exigida, se entra en abcisas por el caudal 36 m3/h equivalente a 10 l/s, y en ordenadas por la altura 55m, observando que corresponde al grupo de bombas 40-200b

A continuación se busca el gráfico donde figuran las curvas características de este tipo de bombas (figura 25.20). Dicho gráfico, como puede observarse, contiene las curvas características (H,Q) de cinco bombas, que en este caso corresponden a una misma carcasa con rodetes de diferentes diámetros, probablemente obtenidos por torneado, viniendo expresada esta medida en mm. Las otras curvas dibujadas en el diagrama superior indican el rendimiento. El gráfico intermedio indica la potencia absorbida y el inferior el NPSH requerido, ambos en función del caudal. Entrando con el punto P(55 m; 36 m3/h) en la parte superior de la figura 25.20 se observa que se encuentra situado entre las curvas correspondientes a las bombas cuyos rodetes tienen 193 y 202 mm de diámetro. Si se desea obtener un caudal de al menos 36 m3/h es preciso elegir la bomba mayor, es decir la 40/200.bF de 202 mm de diámetro.



154


Fuente: Itur Fig 25.19.- Curvas características de las turbobombas de un determinado modelo



Ingeniería Fluidomecánica Tema 25

155

Fig: 25.20.- Curvas características de un determinado grupo de turbobombas



156


8.3.- PUNTO DE FUNCIONAMIENTO La bomba seleccionada trabajando en la instalación prevista no proporcionará indudablemente el punto deseado sino otro que será el que corresponde a la intersección de las curvas características de bomba e instalación. Para conocer dicho punto deberán dibujarse las dos curvas en el mismo gráfico, bien en el de la bomba o en el de la instalación, mejor en el de esta última. Para ello deberán tomarse unos cuantos puntos de la curva característica de la bomba y llevarlos al gráfico de la instalación: Q Q H

m3/h l/s mca

0 0 60

10 2,8 61,5

20 5,6 61,5

30 8,3 59,5

40 11.1 56,5

50 13,9 52,2

60 16,7 46,8

Trazando la curva que pasa por estos puntos se tiene la cctb, Siendo el punto de funcionamiento (fig 25.21): P’ (56,3 mca; 11,3 l/s) Llevando este punto a la cctb facilitada por el fabricante, se puede observar que el rendimiento de la bomba es: 69,3% aproximadamente, y 9 kW de potencia absorbida (fig: 25.20) Dicha potencia puede conocerse a través de la expresión:

Pa =

γ QH 9800 ⋅ 11,3 ⋅ 10 −3 ⋅ 56,3 = = 8.897 W ≅ 9 kW 0,693 η

En el momento de seleccionar el motor eléctrico de arrastre conviene sobredimensionarlo en un 20% en el caso de motores pequeños, 15% para valores medios y 10% en el caso de que sean de gran tamaño. Evidentemente hay que elegirlos dentro de los motores existentes en el comercio. En nuestro caso concreto se adopta un motor de 11 kW.

Hay que resaltar aquí que en el momento de seleccionar una bomba no se puede conseguir que su curva característica pase exactamente por el punto deseado, ni que el punto de funcionamiento resultante sea el óptimo de la bomba; sin embargo, habrá que intentar conseguir en lo posible que el rendimiento del punto de trabajo, no se aleje mucho del correspondiente al punto nominal de la bomba. En nuestro caso el rendimiento nominal es el 70,5% y el obtenido 69,3% siendo la diferencia aceptable (fig 25.20)



157


H (m ca) c.c.i.

60 P´ P

50

40

Puntos deducidos de la figura 17.4 Bom ba 40/200.bF rodete 202 m m Diam . a 2900 rpm . Fuente: Itur.

PUNTO DE FUNCIONAMIENTO : P (56,3 mca; 11,3 l/s; 69,3

30

20

Escalas 1 cm = 1 l/s y 2,5

10

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Q (l/s)

Fig 25.21.- Curva característica de la instalación y de la bomba. Punto de funcionamiento



158


8.4.- COSTO ENERGÉTICO El costo de elevación de un m3 de agua se obtendrá dividiendo el costo de la energía gastada en una hora entre el volumen de agua elevado en el mismo tiempo. Suponiendo un costo de 0,09 euro/kWh, se tendrá:

 9   .0,09 0,87   C= . = 0,023euro / m 3 11,3x 3,6 El coeficiente 0,87 corresponde al rendimiento del motor eléctrico de 11 kW cuando trabaja en un punto equivalente a 9/11 de su potencia.

8.5.- REGULACIÓN DEL CAUDAL EN UN SISTEMA DE BOMBEO La variación del caudal proporcionado por una bomba en una instalación de bombeo se podrá realizar bien modificando la curva característica de la instalación y/o la de la bomba, tal como se estudió en los temas precedentes (12 y 15). 8.5.1.- Modificación del punto de funcionamiento mediante la variación de la instalación Considerando la expresión analítica de la curva característica de la instalación se deduce que puede modificarse aquella por: •

Variación de la altura geométrica

•

Variación de la diferencia de presiones

•

Variación, en conjunto, de la altura piezométrica

•

Variación de la pérdida de carga, normalmente mediante la maniobra de una válvula, situada siempre en la impulsión.

•

En el caso de que el líquido salga a la atmósfera a través de boquillas con reducción de sección mediante la variación de éste último parámetro.

8.5.1.1.- Variación de la altura piezométrica

Normalmente las láminas superiores de los depósitos abiertos a la atmósfera tienen una cierta carrera, lo que lleva consigo una variación de la altura geométrica y, por lo tanto, de la altura piezométrica. Cuando una instalación trabaja con los depósitos presurizados, la presión de estos es normalmente variable, modificándose por tanto la diferencia de presiones entre los dos depósitos, y a la postre la altura piezométrica. Tomando como ejemplo el caso que se viene estudiando, si se supone un descenso de la presión del depósito superior de 0,98 bar se tendrá: Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


159


Hmi = (900 + 0,98.105/9800) - (900 + 0) + hf = 40 + 0,07 Q

1,852

Como puede apreciarse la curva característica de la instalación modificada se obtendrá desplazando hacia abajo 10 m cada uno de los puntos de la curva primitiva. De la figura 25.22 adjunta se deduce que el nuevo punto de funcionamiento será: P1 (50,3 m; 15 l/s) Si se deseara obtener un caudal de 10 l/s modificando la altura piezométrica de la instalación, la curva característica de ésta habría de pasar por el punto P2, situado en la cctb para una abscisa de 10 l/s; con el fin de conseguirlo habría que incrementar aquella en un valor equivalente a la diferencia de ordenadas entre P y P2, es decir 3 mca = 0,294 bar. 8.5.1.2.- Maniobrado de válvula

Si se maniobra la válvula de impulsión, se incrementan las pérdidas de carga en ella, con lo cual la cci se cierra en abanico. Si en el ejemplo que nos ocupa se maniobra la válvula de tal forma que la longitud equivalente por tal hecho es de 500 m, se tendrá: Hmi = 50 + 0,07 Q Hmi = 50 + 0,07 Q Hmi = 50 + 0,23 Q

1,852

1,852

+ 3,11 . 10-4 . 500 Q + 0,16 Q

1,852

1,852

1,852

Se supone que no se modifica la presión del depósito superior (1,96 bar). A partir de esta expresión se obtienen los siguientes puntos: Q h

l/s mcl

2 50,8

4 53,0

6 56,4

8 60,8

10 66,4

12 72,9

Llevados estos puntos a la figura 25.23 se obtiene el nuevo punto de funcionamiento: P3 (60,1 mcl; 7,8 l/s) Si se deseara obtener un caudal de 10 l/s mediante la maniobra de una válvula, la cci habría de pasar por el punto P2 de la cctb con abscisa de 10 l/s creándose una pérdida de carga de 3 mca; para ello habrá de crearse una longitud equivalente de: 4

3 = 3,11 . 10- . Le . 10

1,852

→

Le = 135,6 m

Para saber en que posición habrá de disponerse la válvula para conseguir tal pérdida de carga indudablemente será preciso conocer la curva o curvas que definen su comportamiento. Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


160


H (mca) c.c.i.

60

P2 3 mca

P´ P P1

c.c.i.

50

Puntos calculados de la nueva c.c.i. caudal altura l/s mca 2 40,3 4 40,9 6 41,9 8 43,3 10 45,0 12 47,0 14 49,3 16 51,9 16 48,00

40 PUNTO DE FUNCIONAMIENTO : P 1 PUNTO DE FUNCIONAMIENTO : P2

(50,3 mca; 15 l/s) (58,0 mca; 10 l/s)

30

20

Escalas 1 cm = 1 l/s y 2,5 mca

10

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Q (l/s)

Fig 25.22.- Variación de la cci al modificar Hmio. Nuevo punto de funcionamiento



161


H (mca) 90

80

70 P3 P2

60

P1

P 50 Puntos calculados de la nueva cci

40

PUNTO DE FUNCIONAMIENTO: P3 (60,1 mca; 7,8 l/s)

Q H l/s mca 0 50 2 50,8 4 53 6 56,4 8 60,8 10 66,4 12 72,9 14 80,5 16 89,1 Escalas: 1cm = 2,5 mca y 1 l/s

PUNTO DE FUNCIONAMIENTO: P2 (58 mca; 10 l/s)

30

20

10

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Q (l/s)

Fig 25.23.- Variación de la cci maniobrando una válvula. Nuevo punto de funcionamiento



162


8.5.2..- Modificación del punto de funcionamiento mediante cambios en la cc de la turbobomba

La variación de la curva característica de la bomba se puede conseguir normalmente mediante dos procedimientos • •

Variación de la velocidad de giro Torneado del rodete

8.5.2.1.- Variación de la velocidad de giro

Al variar la velocidad de giro de una bomba se modifica su curva característica y, por lo tanto, el punto de funcionamiento cuando trabaja en una instalación concreta. Teniendo en cuenta lo explicado en la parte teórica, pregunta 5.2, si se desea conocer la cc de la bomba de nuestro ejemplo cuando gire a 2.500 rpm, se emplearán las expresiones:

H '1 = H1

2500 2 = 0,743.H1 2900 2

Q'1 = Q1

2500 = 0,862.Q1 2900 η’1 = η1

Adoptando los puntos de la bomba indicados en el apartado 8.3 se tendrá: H1 Q1 H’1 Q’1

mca l/s mca l/s

60 0 44,6 0

61,5 2,8 45,7 2,4

61,5 5,6 45,7 4,8

59,5 8,3 44,2 7,2

56,5 11,1 42 9,6

52,5 13,9 39 12

47,0 16,7 34,9 14,4

Llevando estos últimos puntos a la figura 25.24 y trazando la curva que pasa por ellos, se tiene la cc de la bomba 40-200 bF de 202 mm de diámetro de Itur girando a 2500 rpm. Obviamente el punto de funcionamiento de la bomba girando a 2500 rpm en nuestra instalación será el punto de intersección consiguiente, es decir: P4 (44,6 mca; 0 l/s) ya que no corta a la cci en la rama sino en el eje de ordenadas. Si ahora lo que se desea es conseguir precisamente el caudal de 10 l/s, lo que se requiere es hacer pasar la cc de la bomba por el punto P(55mca; 10 l/s). Para resolver el problema hay que dibujar la parábola de puntos homólogos, para ello se calcula el valor de: K = H / Q2 = 55 / 102 = 0,55 (coeficiente de la parábola de puntos homólogos) Dto. Ing. Nuclear y Mecánica de Fluidos.


163


A continuación se dibuja un trozo de la parábola H = 0,55 Q2 a partir del punto P, dando valores en la ecuación: Q H

mca l/s

10 55

10,5 60,6

11 66,5

Dibujado este elemento de la curva, se puede obtener el punto de intersección con la cc de la bomba cuando gira a 2900 rpm que es (figura 25.24): P5 ( 57,5 mca; 10,2 l/s) Entre P y P5 se verifican las relaciones de homología:

Q5 2900 H 5 2900 2 o bien = = 2 H Q N N de donde N = 2.836 rpm, obtenidas mediante la primera expresión y N = 2.845 rpm con la segunda; discordancia debida a la lógica inexactitud producida en la utilización del gráfico. La modificación de la velocidad de giro se puede conseguir mediante variadores de velocidad mecánicos, eléctricos o electrónicos. El rendimiento obtenido en el punto P con la nueva velocidad de giro es equivalente al del punto P5. 8.5.2.2.-Torneado del rodete

Es un método muy simple que permite modificar la curva característica de la bomba, consistente en recortar el rodete a fin de disminuir su diámetro exterior, como ha quedado explicado en este tema (5.2.2). Se desea conocer la cc de la bomba de nuestro ejemplo cuyo rodete tiene 202 mm de diámetro exterior, cuando se tornea a 195 mm. Siendo el torneado previsto del 2,5 % y la velocidad específica adimensional de la bomba de 0,0496, la situación se encuentra dentro de lo indicado en la norma ISO/DIN 9906 para poder aplicar las relaciones indicadas en el apartado 5.2.2. Adoptando los puntos indicados en el apartado 8.3 se tiene: H1 Q1 H’1 Q’1

mca l/s mca l/s

60 0 55,9 0

61,5 2,8 57,3 2,7

61,5 5,6 57,3 5,41

59,5 8,3 55,4 8,01

56,5 11,1 52,7 10,72

52,5 13,9 48,9 13,42

47 16,7 43,8 16,12

Llevando estos punto a la figura 25.25. se tiene la cc de la bomba 40-200 bF de Itur girando a 2900 rpm, de 202 mm de diámetro de rodete, torneado éste a 196 mm, lo que representa un recorte inferior al 3%.



164


H (mca) 160

Punto de funcionamiento: P4 (44,6 mca; 0 l/s)

140

Punto homólogo del punto P: P5 (57,5 mca; 10,2 l/s) 120

100

80

P5

60

c.c.i.

P´

P c.c.tb. a 2500 rpm 40

P4

c.c.tb. a 2500 rpm Escalas: 1 cm = 2,5 mca y 1 l/s

20

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Q (l/s)

Fig 25.24.- Variación de la cctb al modificar la velocidad de giro. Nuevo punto de funcionamiento



165


torneado del rodete 160

140

Pº funcionamiento bomba torneada:P6(54,1m; 9,1 l/s Pº Homólogo de P5: P7(57,5 mca; 10,2 l/s)

120

H (m)

100

80

P7

60 P6

P5

202mm 196mm

40

20

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Q (l/s)

Fig 25.25.- Variación de la cctb mediante torneado de rodete. Nuevo punto de funcionamiento



166


Obviamente el punto de funcionamiento de la bomba mencionada efectuado dicho torneado y trabajando en nuestra instalación corresponderá a la intersección de sus correspondientes curvas, es decir, el punto será: P6 ( 54,1, mca; 9,1 l/s) Si se desea conocer el diámetro a que debería tornearse el rodete de la bomba indicada para que proporcione 10 l/s en nuestra instalación se hace lo siguiente: Se traza la parábola que pasa por el origen de coordenadas (0 mca; o l/s) y por el punto P5 ( 55 mca; 10 l/s).

K=

H 55 = 2 = 0,55 → H = 0,55.Q 2 2 Q 10

- Se obtiene gráficamente el punto de intersección entre la parábola y la cc de la bomba sin tornear, dicho punto es (figura 25.25): P7 (57,5 mca; 10,2 l/s)

- Se calcula el diámetro D’ a que habrá de tornearse el rodete por cualquiera de las expresiones:

 H'  D' = D 1   H1 

1/ 2

o bien D' = D

Q'1 Q1

En nuestro caso se obtiene: 197,56 mm mediante la primera o 198,04 mm con la segunda, valores que no son idénticos por la inexactitud que conlleva todo gráfico. El rendimiento en este punto es igual al de P5

8.6.- CAVITACIÓN EN UN SISTEMA DE BOMBEO Los problemas que normalmente pueden presentarse referentes a este tema son: •

Seleccionar la bomba conocida la instalación donde ha de trabajar con la condición de que no exista peligro de cavitación.

•

Calcular la cota del eje de la bomba que no debe sobrepasarse, conocida la instalación y la bomba seleccionada, para que no se produzca la cavitación.

En nuestro caso concreto y ya que la bomba ha sido seleccionada, vemos que se trata la segunda cuestión, es decir, el cálculo de la cota máxima del eje de la bomba. Para ello se parte de la ecuación: NPSHrequerido + NPSHseguridad = NPSHdisponible



167


Se resuelve el problema para el punto de funcionamiento (inicial); en tal caso el 3 NPSH requerido para un caudal de 11,2 l/s equivalente a 40,3 m /h es 2m, procediendo a una interpolación entre las dos curvas inferiores del gráfico facilitado por el fabricante (figura 25.20). Suponiendo que se exija: NPSHdisponible > 1,3. NPSHrequerido = 2,6 mca

que equivale a 0,6 mca de NPSHseguridad.

Luego:

PB − PS

NPSH disponible = PB

γa

= 10,33 −

γa

− (Z D − Z B + hfBD ) > 2,6

900 A = 10,33 − = 9,33mca 900 900

donde: PB/γa es la presión absoluta del punto B y A la altitud en m PS/γa es la presión de vapor (presión absoluta) = 0,3 mca cota de la bomba. ZD cota de lámina superior del depósito de aspiración = 900 m. ZB pérdida de carga de la aspiración. hfBD hfBD = J1 L Q1,852 = 3,11. 10-4 (25+30). 11,31,852 = 1,53 mca. Sustituyendo arriba se tendrá: 9,33 – 0,30 – (ZD – 900 + 1,53 ) >2,6

de donde: ZD < 904,90 m



169

Blibiografía

BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA • SANTOS SABRÁS, F. MACHIMBARRENA MINCHERO L.A. “ Flujo en conductos cerrados y abiertos” Escuela Superior de Ingenieros Industriales. Universidad de Navarra. San Sebastián 1980 • SANTOS SABRÁS, Fernando. ´´ Máquinas Hidráulicas (tomos 1 y 2)’’ Escuela Superior de Ingenieros Industriales. Universidad de Navarra. San Sebastián 1999. • AGÜERA SORIANO, José. ´´Mecánica de fluidos incompresibles y Turbomáquinas Hidráulicas’’. Ed Ciencia 3 , 1998. • MATAIX, Claudio. ´´ Mecánica de fluidos y Máquinas Hidráulicas’’. Ed del Castillo, 1982. • FRANZINI J B. FINNEMORE E.J. ´´ Mecánica de fluidos con aplicaciones en Ingeniería.’’ Ed. Mc Graw-Hill, 2000. •

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ROCA VILA. R. “Introducción a la Mecánica de Fluidos “.Ed. Limusa.

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SOTELO AVILA. G. “ Hidráulica General”. Ed. Limusa 1995.

• ÇENGEL Y CIMBALA. Ed.Mc Graw-Hill, 2006.

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Apuntes Ing. Fluidom

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