Aplicaciones de la electrostática Los principios de la electrostática se pueden utilizar de manera práctica en una diversidad de modos para efectuar trabajos que de otra manera parecerían difíciles difíciles e incluso imposible imposibles. s. Por ejemplo, ejemplo, la xerografía xerografía ha revolucion revolucionado ado la industria del copiado, y los recubrimientos y el pintado electrostáticos han ahorra ahorrado do consi conside derab rables les canti cantidad dades es de dinero dinero solame solamente nte en materi material al los separa separador dores es electr electrost ostáti ático coss han propor proporcio cionad nado o un sistem sistema a excele excelente nte para para separar minerales y en plantas de procesamiento se utilizan precipitadores elec electr tros ostá tátitico coss para para redu reduci cirr el nive nivell de la cont contam amin inac aci! i!n n atmos atmosf" f"ri rica ca.. #l generador van de $raaff es un dispositivo con muchas aplicaciones en la cien cienci cia a y la tecn tecnol olog ogía ía,, espe especi cial alme ment nte e como como acel aceler erad ador or de partí partícu cula lass elementales. #l principio del blindaje electrostático es sumamente importante, pues proporciona un m"todo de protecci!n para instrumentas delicados contra fen!menos el"ctricos indeseables que pudieran estar ocurriendo en otro sitio. La aplicaci!n más com%n e importante de la electrostática son los aparatos el"ctr el"ctrico icos, s, como como son telev televisio isiones nes,, compu computad tadora oras, s, hornos hornos de microo microonda ndas, s, tel"fo tel"fonos nos celula celulares res,, etc. etc. #stos #stos aparat aparatos os nos han han dado dado grande grandess venta ventajas jas,, ahorran tiempo, trabajo ! simplemente nos entretienen ! facilitan la vida, sin embarg embargo, o, las ondas ondas electr electroma omagn" gn"tic ticas as que que emiten emiten pueden pueden llegar llegar a tener tener efectos negativos en nuestra salud. #n esta secci!n se estudiarán algunos ejemplos que demuestran la utilidad de la elec electr tros ostá tátitica ca,, prop propor orci cion onan ando do con con ello ello la moti motiva vaci ci!n !n nece necesa sari ria a para para profundizar en el estudio de este interesante tema.
BLINDAJE ELECTROSTÁTICO Primero se considerará el ejemplo más elemental de un blindaje electrostático. #n la figura se muestra un conductor que encierra encierra completamente cierta regi!n del espacio. &up!ngase que la regi!n interior no contiene en absoluto cargas el"ctricas. #ntonces se puede demostrar que el campo el"ctrico dentro de la regi!n es necesariamente nulo, sin importar los cambios en la distribuci!n de carg carga a que que ocur ocurra ran n en la supe superf rfic icie ie exte extern rna a del del cond conduc ucto tor, r, o los los camp campos os el"ctricos que pudieran existir fuera del mismo. Para corroborar esta afirmaci!n se util utiliz iza a el hech hecho o de que que la pare pared d inte intern rna a del del cond conduc ucto torr debe debe ser ser una una superf superfici icie e equipo equipoten tencia cial.l. &up!ng &up!ngase ase que el campo campo el"ctr el"ctrico ico dentro dentro de la cavidad no es cero y que se traza una línea de fuerza típica que comienza en el punto ' y termina en el punto (, como se indica en el mismo diagrama. Para obtener la diferencia de potencial entre los puntos ( y ', se debe integrar el campo el"ctrico a lo largo de cualquier trayectoria. Por tanto, B
∫
V B − V A = − E .dr A
)*+..*-
'hora se escogerá una trayectoria que coincida con esta línea de campo. #ntonces, a lo largo de tal trayectoria, # y dr son paralelos y #. dr siempre es un n%mero positivo, lo que implica que la integral de la derecha es positiva. Pero como ' y ( están en la misma superficie equipotencial, V B − V A es cero, de manera que la integral tambi"n debe ser nula, lo que lleva a una contradicci!n que s!lo puede resolverse suponiendo que no hay líneas de campo que comiencen en un punto como ' y terminen en otro como el punto (. Por tanto, el campo el"ctrico dentro de la cavidad debe ser cero cuando no hay cargas dentro de la misma. #n consecuencia, se ve que al rodearna cavidad con paredes conductoras es posible mantener una regi!n libre de la presencia de campos el"ctricos. #sta pudiera ser una regi!n peque/a en la que se quiere tener un campo nulo, o ser todo un laboratorio, en que se realizan mediciones el"ctricas muy sensibles. #l estudio anterior se puede generalizar al caso en que la cavidad sí contiene campos el"ctricos producidos por cargas en su interior. #n estas condiciones, es posible demostrar que los campos internos s!lo se deben a las cargas del interior. 0odo campo o carga situados en el exterior no afectan al campo # del interior. 'sí, el conductor blinda electrostáticamente el interior de la cavidad. #stas mismas conclusiones se siguen del caso que se estudi! el ejemplo *+.1.*, que conviene repasar en este momento. &e sabe bien que uno de los lugares más seguros para permanecer durante una intensa tormenta con descargas el"ctricas, es el interior de un autom!vil. 'unque no es una envolvente metálica perfectamente conductora, de todas maneras funciona bastante bien como blindaje electrostático debido a que gran parte de su carrocería esta hecha de lámina metálica de alta conductividad el"ctrica.
P2#34P4056 #L#3027&08043' La precipitaci!n electrostática es un proceso mediante el cual se separan partículas s!lidas o peque/as gotas de un líquido, del gas en que están en suspensi!n. #n la figura se ilustra la t"cnica básica. Las paredes del conducto que lleva tanto el gas como las partículas suspensas están conectadas a tierra, lo que sencillamente quiere decir que el potencial electrostático de las paredes es el mismo que el de la superficie del suelo o tierra. &i una persona que est" de pie en el piso tocara las paredes, no encontraría diferencia de potencial entre su mano y su pie, y por tanto, no habría peligro de que pasara corriente a trav"s de su cuerpo. #n el centro del conducto se tiene un conductor axial recto denominado de efecto corona, a un potencial muy alto, de muchos 9ilovolts con relaci!n a tierra. #ste voltaje puede ser positivo o negativo. :e ser negativo existirá un campo el"ctrico dentro del conducto de gas, establecido apuntando radialmente hacia el interior y dirigido hacia el conductor de alto voltaje. Para este tipo de configuraci!n geom"trica, el campo el"ctrico varía en proporci!n a l;r, como se vio en el ejemplo
*+.<.<. &up!ngase que # = y;r, en que y es una constante que se determinará a partir de la diferencia de potencial entre el conductor de corona y las paredes del conducto de gases de combusti!n. &up!ngase que hay una diferencia de potencial negativa > entre un conductor de corona de radio r c , y la superficie interior de la pared, que está a la distancia radial r p del centro. #ntonces r p
r p
∫
∫
r c
r c
V = − E dr = − Y
= −Y ln
dr r
r p
= −Y [ ln r ] r
c
r p r c
)*+..?-
:e donde se sigue que
V E = − r ln p r c )*+..<-
1 r
:e esto es evidente que el campo el"ctrico aumenta al disminuir r, por lo que es más intenso cerca del conductor negativo de corona. #l campo es bastante fuerte puede desprender electrones de los átomos de gas, ionizándolo. #n el aire, esto comienza a suceder cuando la intensidad del campo el"ctrico # alcanza un valor cercano a <@ @@@ >;cm )volts por centímetro-. #n estas circunstancias se establece una descarga de corona en la que fluyen corrientes de partículas cargadas, siendo los electrones atraídos hacia la pared positiva del conducto, y los iones )positivos- hacia el conductor
negativo central. La descarga de corona es visible a simple vista como una luminiscencia verdosa que emiten los átomos excitados. ' medida que los electrones se mueven desde la regi!n de la descarga por efecto corona pr!xima al conductor central hacia la pared positiva, encuentran las partículas de polvo u otra materia que deberán precipitarse del gas. 'l hacerlo, los electrones se adhieren a las partículas, imparti"ndoles una carga negativa. Las partículas el"ctricamente negativas son atraídas entonces hacia la pared, donde se acumulan y pueden eliminarse peri!dicamente. #l proceso de pintado electrostático se realiza si en vez de partículas de polvo o ceniza, hay peque/as gotas de pintura y el objeto por pintar es el electrodo positivo del sistema. &i en la ecuaci!n )*+..<- se despeja >y se hace r = r c , se encuentra que la diferencia de potencial entre el conductor de corona y el electrodo externo requerido para producir un campo dado # en la superficie del conductor esA V = − Er c ln
r p r c
)*+..1#n un caso determinado en que se tenga un conducto )o cámara- para el cual r p = *@@ cm y un conductor de corona de radio r c = @.?B cm = @.@?B m, esto indica que bastará una diferencia de potencial de unos + ?@@ > para producir un campo el"ctrico con una intensidad de <@ @@@ >;cm en la superficie del alambre de corona. #s relativamente fácil establecer y mantener esta diferencia de potencial. Los precipitadores electrostáticos se usan extensamente. Cay muchos tipos para diversas aplicaciones. 'lgunas de "stas comprenden la reducci!n de la contaminaci!n atmosf"rica por eliminaci!n de gases y polvos industriales potencialmente muy nocivos, como los de fábricas de cemento, de acero, etc. o bien, de centrales termoel"ctricas, fundiciones y otras. Los precipitadores electrostáticos tambi"n pueden recuperar materiales valiosos como !xidos de cobre, esta/o y otros metales de los gases de escape en las chimeneas de fundiciones.
D#27$2'EF' #n los %ltimos a/os se ha extendido muchísimo el %til proceso de reproducci!n de imágenes conocido como xerografía. 3hester 3arlson ide! el proceso básico poco antes de la &egunda $uerra Gundial. #l m"todo depende del efecto físico que se conoce como fotoconductividad el"ctrica, en el que la luz que incide sobre un material fuertemente aislante proporciona a los electrones )que de ordinario están intensamente ligados a los átomos-, suficiente energía para liberarlos y permitir que se muevan a trav"s de la sustancia fotoconductora en forma muy parecida a como lo hacen los electrones libres en los metales altamente conductores. n tambor metálico giratorio recubierto con una capa delgada de una sustancia como el selenio que es muy aislante en la oscuridad pero que se hace fotoconductor cuando se ilumina se carga positivamente por medio de una descarga de corona como la que se mencion! en la secci!n anterior. Luego, una lente enfoca la imagen de la página que se quiere copiar, sobre el
recubrimiento de selenio 3uando la luz incide ahí, la película de selenio se hace conductora y la carga positiva en estas áreas se infiltra por la película hacia el tambor metálico. &in embargo, donde aquella se mantiene 7scura, el selenio se conserva muy aislante, y en estas regiones la distribuci!n de cargas se mantiene constante, como en cualquier sustancia aislante normal. Luego se espolvorea sobre el tambor una tinta pulverizada )de color negro intenso- cargada negativamente que s!lo se adhiere en los sitios que retienen su carga positiva, lo cual corresponde a las partes oscuras de la imagen del documento original. Luego se transfiere el polvo tonalizador )toner- a la superficie de una hoja de papel blanco, a la que se ha dado una intensa carga positiva. Por %ltimo, se funde la tinta pulverizada sobre la superficie de papel mediante la aplicaci!n temporal de calor, con objeto de formar una copia permanente )en positivo- de la página original. #l proceso Derox es una buena demostraci!n de la utilidad de los conocimientos de física. &u "xito se basa en la aplicaci!n de los principios de la electrostática, la !ptica y la fotoconductividad. :esde su aparici!n se han logrado avances notables en la velocidad de producci!n de las copias y en la calidad general de la reproducci!n. 3on las versiones más modernas de este proceso se pueden obtener copias xerográficas en colores. 4ncluso se ha sugerido utilizar este proceso para reproducir material fotográfico en blanco y negro y en colores, aunque hasta ahora no se ha podido lograr la calidad de los procesos de reproducci!n fotográfica.
La demostraci!n matemática de la ley de $auss La aceptaci!n de la ley de $auss se ha basado hasta ahora en argumentos físicos cualitativos. 'unque son enteramente válidos y muy %tiles para impartir un conocimiento intuitivo de este importante principio, se proporcionará ahora
una deducci!n matemática más rigurosa para quienes no se convenzan fácilmente por el puro razonamiento cualitativo. &e comenzará considerando una sola carga puntua* q, e imagínese una superficie cerrada gaussiana arbitraria & que rodee la carga y tambi"n una gran esfera &H de radio r 0 , con que en su centro, que rodee completamente a la superficie &, como se muestra en la figura l+.1+, a. &e indica la secci!n transversal de un peque/o elemento de área da, de esta superficie, y el vector unitario normal a la misma es n. #ste elemento de área está a la distancia r de la carga. Por definici!n, el flujo el"ctrico d Φ que pasa a trav"s de da, esA d Φ = E .n da = E cos θ da
)*+.I.*#n que θ es el ángulo entre n y el campo #, el cual, de acuerdo con la ley de 3oulomb, debe apuntar radialmente hacia afuera, a partir de q. #l ángulo θ es tambi"n el ángulo entre la superficie real & y la superficie de una esfera de radio r )que se se/ala con línea punteada-. #n la figura siguiente tambi"n se muestra la proyecci!n da , del área da, sobre la superficie esf"rica punteada de la figura, la relaci!n entre estas dos áreas esA da ' = da cosθ
)*+.I.?Jue permite escribir la ecuaci!n )*+.I.*- como d Φ = Eda '
)*+.I.<:e acuerdo con la ley de 3oulomb, el campo se expresa por E =
q 4π E 0 r 2
)*+.I.1 'demás, el área da ' y el área da '' que es su proyecci!n sobre la esfera grande S '' que rodea & deben estar relacionadas por da ' da ''
=
r 2 r 0
2
)*+.I.B:ebido a que las dimensiones de los dos lados del rectángulo elemental da '' , son mayores que los de da ' en la relaci!n
r 0 r
. &i ahora se sustituyen en
)*+.I.<- el valor de # de )*+.I.1- y el valor de da ' en t"rminos de da '' dada por )*+.I.B-, se encuentra
d Φ =
r 2
q 2
4π E 0 r r 0
2
q
da '' =
4π E 0 r 0
2
da ''
)*+.I.+#n combinaci!n con )*+.I.*-, esto permite escribir
d Φ = E .nda =
q 4π E 0 r 0
da ''
2
)*+.I.K 'hora se integrará #.n sobre los elementos de área, da que comprenden d&, y q
se integrará
4π E 0 r 0
sobre los elementos de área da '' de la esfera S '' . Puesto
2
que r 0 es una constante en la integraci!n sobre S '' , y como el flujo a trav"s de cada par correspondiente de elementos es el mismo, se encontrará que Φ = ∫ E .nda = S
q 4π E 0 r 0
2
q
=
∫ da
''
''
S
2
4π E 0 r 0
2
( 4π r 0 )
7 bien que,
∫
E .nda =
S
q E 0
#sto se parece mucho a la ley de $auss, pero todavía no se ha terminado la demostraci!n, pues no se ha considerado a%n lo que sucede cuando la carga q está fuera de la superficie gaussiana &, .#n este caso es evidente que, primero que todo, el flujo asociado con las áreas da1 y da 2 es d Φ
= E 1 .n1da1 + E 2 n2 da 2 = E 1 cos ο 1da1 + E 2 cos(180 − ο 2 )da 2
)*+.I.I#n que n y n son las normales dirigidas hacia el exterior, que se indican. 6o obstante, puesto que da1 ' = da1 cosθ , y da2 ' = da2 cosθ 2 y como además cos(180° − θ 2 ) = − cos θ 2 ,puede escribir )*+.I.I- como 1
d Φ
'
2
= E 1 da1 − E 2 da 2
)*+.I.*@-
'
Pero de los cálculos anteriores, es evidente como antes que E 1 da1 = E 2 da 2 =
q 4π E 0 r 0
2
da ''
)*+.I.**:e ser cierto esto, la ecuaci!n )*+.I.*@- se reduce a d Φ
'
'
= E 1 .n1 da1 + E 2 .n 2 da 2 =
0
si esto se integra sobre todos los e*ementos de superficie ) da1 , da2 - de &, se obtiene
∫ E .n da = 0 S
)* +.I.*?:esde luego, se llega a este resultado porque el flujo hacia el exterior a trav"s de da1 es magnitud pero de signo contrario que el flujo hacia el exterior a trav"s de da2 . 3ombinando los resultados obtenidos en )*+.I.- y )*+.I.*?- y observando que cada carga puntual o elemento de carga en un sistema en que hay muchos de tales elementos, contribuye al flujo a trav"s de esa superficie exactamente de la misma manera, se llega a
∫
E .n da =
S
q0 E 0
)*+.I.*<#n que q0 representa la carga total dentro de la superficie gaussiana &. #sta es la ley de $auss, en la forma como se expreso originalmente.
