Análisis Factorial Confirmatorio

Departamento de Comercialización e Investigación de Mercados Departament Departament de Comercialització Comercialització i Investigació de Mercats 

Doctorado Interuniversitario en Marketing Análisis de Datos Avanzado

ANÁLISIS FACTORIAL CONFIRMATORIO Apuntes y ejercicios

Dr. Joaquin Aldas-Manzano

Nota importante

Los presentes apuntes forman parte del borrador del libro de Joaquín Aldás y Ezequiel Uriel Análisis Multivariante Aplicado   que será próximamente publicado por la editorial Thomson-Paraninfo. Por lo tanto, como tal borrador pueden existir erratas, siendo bienvenidos todos los comentarios que las detecten y sugerencias sobre la mejora del capítulo.

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Nota importante

Los presentes apuntes forman parte del borrador del libro de Joaquín Aldás y Ezequiel Uriel Análisis Multivariante Aplicado   que será próximamente publicado por la editorial Thomson-Paraninfo. Por lo tanto, como tal borrador pueden existir erratas, siendo bienvenidos todos los comentarios que las detecten y sugerencias sobre la mejora del capítulo.

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13 ECUACIONES ESTRUCTURALES : ANÁLISIS FACTORIAL CONFIRMATORIO

13.1 INTRODUCCIÓN El presente capítulo es el primero de los dos capítulos dedicados a ecuaciones estructurales. Además de su interés en si mismo, facilita el tránsito al segundo capítulo dedicado a modelos de estructuras de covarianza. ¿Por qué el desarrollo del Análisis Factorial Confirmatorio (AFC) facilita este tránsito? Básicamente por dos razones. En primer lugar, porque su desarrollo se sigue con facilidad una vez el lector ha visto el capítulo dedicado al análisis factorial exploratorio y, en segundo lugar, porque la herramienta estadística que lo resuelve es, esencialmente, la misma que emplearemos en los modelos de estructuras de covarianza. Muchos son los textos que el lector puede utilizar para profundizar en el análisis del AFC que, en su gran mayoría, también incluyen el desarrollo de los modelos de estructuras de covarianza. La elección de uno u otro suele ir ligada a la decisión acerca del programa estadístico que se prefiera utilizar. El SPSS incluía, hasta hechas recientes, el programa LISREL (Jöreskog y Sörbom, 1989) como módulo opcional, convirtiéndolo en el de uso más extendido. Si se opta por este programa, Sharma (1996) ofrece una buena introducción con salidas comentadas o, si se prefiere un texto con mayor profundidad, puede recurrirse a Long (1983). Si, por el contrario, el lector opta por el EQS (Bentler, 1995), con un sistema de notación mucho más intuitivo en nuestra opinión (Bentler y Weeks, 1980), una buena guía es, sin duda, el texto de Byrne (1994). Una buena alternativa para aquellos que no se atreven a decidirse por uno u otro tipo de software, es recurrir al módulo CALIS del SAS, que permite utilizar alternativamente cualquiera de las dos notaciones. En este caso, Hatcher (1994) es un  buen texto. Finalmente, puede recurrirse a Ullman (1996) para una aproximación a esta técnica con salidas comparadas de todos los programas mencionados.

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Dado que, como hemos indicado, la notación de Jöreskog y Sörbon (1989) es la más conocida, será la que utilizaremos en el desarrollo del tema. Sin embargo, llegado el momento, presentaremos también la de Bentler y Weeks (1980) y demostraremos la equivalencia de ambas. Para introducirnos en el AFC es necesario presentar una serie de convenciones y términos no utilizados hasta el momento. Lo haremos basándonos en un ejemplo que nos servirá para ver la diferencia entre el AFC y el análisis factorial exploratorio y los modelos de estructuras de covarianza que analizaremos en el próximo tema. CASO 13.1 Componentes de la inteligencia Supongamos que un investigador ha recogido las notas de 275 alumnos de secundaria en seis asignaturas: Lengua (L), Filosofía (FSF), Historia (H), Matemáticas (M), Física (FSC) y Química (Q). En el cuadro 13.1 se recogen las correlaciones entre estas seis variables. Nuestro investigador se plantea una cuestión a la que quiere dar respuesta. Asumiendo que las notas de un alumno miden su inteligencia (I), desearía saber si estas se agrupan en un único factor (la inteligencia) o, por el contrario, miden distintos aspectos de la misma, por ejemplo, la inteligencia cuantitativa (IQ) y la inteligencia verbal (IV).

Cuadro 13.1 Matriz de correlaciones entre las notas de los 275 estudiantes L

 X 1=L  X 2=FSF  X 3=H  X 4=M  X 5=FSC  X 6=Q

FSF

H

M

FSC

Q

1 0,493

1

0,401

0,314

1

0,278

0,347

0,147

1

0,317

0,318

0,183

0,587

1

0,284

0,327

0,179

0,463

0,453

1

Si suponemos que el investigador no tiene una hipótesis a priori acerca de qué estructura es la adecuada (un único componente de la inteligencia o dos), decidirá efectuar un análisis factorial exploratorio para ver cuántos factores obtiene. Su planteamiento aparece recogido gráficamente en la figura 13.1. Las variables observadas o manifiestas o indicadores, es decir, aquellas que se han medido (las notas en los alumnos en nuestro ejemplo), aparecen insertadas en un cuadrado y se denotan como  X 1,..., X   X 6. Las variables latentes, esto es las no observables o subyacentes (por ejemplo, los factores, como la inteligencia en general, o la inteligencia verbal o cuantitativa en particular), aparecen rodeadas por círculos. Una flecha recta desde una variable latente a una variable observada, indica una relación de causalidad. Así el factor “ξ 1” está “causando” las notas de los alumnos en las seis asignaturas, es decir, la mayor o menor inteligencia “cuantitativa” provoca que los alumnos tengan notas diferentes. El término λ  que   que aparece en cada una de las relaciones causales o “ paths” es el parámetro que mide la intensidad de la relación, esto es, el término que denominamos “carga factorial” en una análisis factorial exploratorio, o el coeficiente estandarizado asociado a una variable independiente en una regresión múltiple.

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Figura 13.1 Modelo de análisis factorial exploratorio

φ12=φ21

ξ1

ξ2 61 λ 61

11 λ 11

12 λ 12

51 λ 51 21 λ  λ 21 31 31 λ  41 41

32 32 22 λ  λ 22 42  λ 52 52 λ 42

62 λ 62

x1

x2

x3

x4

x5

x6

δ1

δ2

δ3

δ4

δ5

δ6

Las variables latentes son de dos tipos. Los mencionados  factores comunes (ξ ), ), que son comunes en cuanto que sus efectos son compartidos por más de una variable observada, y los ). Como se comprueba en la figura 13.1, cada uno de estos  factores específicos o errores (δ ). factores afecta solamente a una variable observada, y son errores aleatorios que se pueden haber producido en la medida de la variable observada. Finalmente, la flecha curva con dos  puntas que une a los factores comunes, indica que estas variables están correlacionadas con una intensidad φ 1122. Planteados los convenios de representación y los términos empleados en el AFC que son comunes a los de los modelos de estructuras de covarianza, que se examinarán en el próximo tema, nos restaría por por señalar las diferencias del análisis factorial confirmatorio con respecto al análisis factorial exploratorio, examinado en el tema 12, o con respecto al modelo de estructuras de covarianza. Volviendo a nuestro ejemplo, el investigador quiere saber si las notas están midiendo un único componente de la inteligencia o, por el contrario, reflejan el efecto de varios componentes. Como él no tiene establecida una hipótesis a priori, su análisis factorial ha de contemplar como plausibles todas las posibilidades. Un caso extremo consistiría en que todas las variables carguen de forma significativa sobre sobre un solo factor. Un caso intermedio, aunque aunque  puede haber otras muchas combinaciones, consistiría en que un grupo de variables cargue significativamente sobre un factor y el resto de variables lo haga sobre un segundo factor. La figura 13.1 recoge todas las posibilidades y, en concreto, estos dos casos. En el primer caso, λ 11 11, λ 21 21, ... , λ 61 61 serían significativos, mientras que λ 12 12, λ 22 22, ... , λ 62 62 no lo serían. En el segundo caso, λ 11 11, λ 21 21 y λ 31 31  tendrían un valor significativo y λ 41 41, λ 51 51, λ 61 61  no (las notas en literatura, filosofía e historia cargan sobre un factor, inteligencia verbal, y no sobre el otro); por otra  parte, λ 12 12, λ 22 22, λ 32 32 tendrían un valor no significativo, mientras que λ 42 42, λ 52 52, λ 62 62 sí (las notas en

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matemáticas, física y química cargan sobre un factor, la inteligencia cuantitativa). El investigador debe efectuar un análisis factorial exploratorio con objeto de averiguar cuál de las dos posibilidades (o cualquiera de las otras muchas que sugiere la figura 13.1) es más verosímil de acuerdo con los datos. Ahora bien, el investigador basándose en estudios previos o en una revisión de la literatura existente, puede considerar la hipótesis, por ejemplo, de que no existe una medida global de la inteligencia sino dos tipos alternativos de la misma: inteligencia verbal (que explicaría las calificaciones en lengua, filosofía e historia) e inteligencia cuantitativa (que explicaría las obtenidas en matemáticas, física y química). Si éste es el caso, el análisis exploratorio ya no tiene sentido, ya que el investigador lo que pretende es confirmar   o no la verosimilitud de su hipótesis. Su planteamiento aparece recogido ahora en la figura 13.2. El investigador puede plantearse otra hipótesis alternativa según la cual, sí existe una sola medida global de la inteligencia que, a su vez, causa la inteligencia verbal y la cualitativa (figura 13.3). Su misión consistiría, ahora, en determinar cuál de los dos modelos es más verosímil de acuerdo con los datos. En este segundo caso, ha establecido una relación de causalidad, no de correlación, entre una o más variables latentes. El modelo deja de ser un AFC para convertirse en un modelo de estructuras de covarianza. Nótese en la figura 13.3 que, ahora, los factores ξ 1 y ξ 2  no son variables independientes (además de salir una flecha causal de ellas, también la reciben), por lo que están sujetos a un error de predicción que se denomina  perturbación (disturbance) y que se suele denotar mediante la letra ζ . Los coeficientes de estos path se designan con la letra β .

Figura 13.2 Modelo de AFC

φ12=φ21

ξ1

λ 11

ξ2

λ 42

λ 21 λ 31

λ 52 λ 62

x1

x2

x3

x4

x5

x6

δ1

δ2

δ3

δ4

δ5

δ6

θ12=θ21

θ32=θ23

θ45=θ54

θ56=θ65 θ46=θ64

θ13=θ31

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Figura 13.3 Modelo de estructuras de covarianzas

ξ3

β13

β23

ξ1

ζ1 λ 11

ξ2

λ 42

λ 21 λ 31

ζ2

λ 52 λ 62

x1

x2

x3

x4

x5

x6

δ1

δ2

δ3

δ4

δ5

δ6

13.2 FORMALIZACIÓN MATEMÁTICA DEL AFC A partir del problema de AFC ilustrado en la figura 13.2, presentaremos a continuación la formalización del mismo siguiendo la notación de Jöreskog y Sörbom, (1989), tal y como la ofrece Long (1983). La relación entre las variables observadas y las latentes de la figura 13.2,  pueden expresarse:

 x1 = λ11ξ1 + δ 1  x2 = λ21ξ1 + δ 2  x3 = λ31ξ1 + δ 3  x4 = λ42ξ2 + δ 4  x5 = λ52ξ2 + δ 5  x6 = λ62ξ 2 + δ 6 Si recurrimos a la notación matricial, la anterior expresión adoptaría la forma: 0 ⎤ ⎡  x1 ⎤ ⎡ λ11 ⎡ δ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ 0  x ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ δ 2 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ λ 0 ⎥ ⎡ ξ  ⎤ ⎢ δ 3 ⎥ ⎢ 3 ⎥ = ⎢ 31 ⎥ 1 +⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 0 λ ⎥ ⎢ ξ  ⎥ ⎢ δ  ⎥ 42 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎢ 4 ⎥ ⎢ 4⎥ ⎢ ⎢ x5 ⎥ ⎢ 0 λ52 ⎥ ⎢ δ 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 λ62 ⎥⎦ ⎢⎣ δ 6 ⎥⎦ o de manera compacta:

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x=

+  

(13-1)

donde, en general, x es un vector q×1 que contiene las q variables observadas, es un vector  s ×1 que contiene los  s  factores comunes, es una matriz q× s  que contiene las cargas factoriales de las variables latentes y  es un vector q×1 de los factores específicos o errores. Asumimos que el número de variables observadas será siempre mayor que el de factores comunes, o lo que es lo mismo que q> s. Tanto las variables latentes como las observadas de la expresión (13-1) vienen expresadas como desviaciones sobre la media, con lo que la esperanza de cada vector es otro vector de ceros:

 E (x)=0; E ( )=0 y E ( )=0. Este desplazamiento respecto al origen, no afecta a las covarianzas entre las variables. Si denotamos como   a la matriz de varianzas covarianzas entre las variables observadas (vector x), de acuerdo con 13.1, resulta que:

=  E ( xx′ ) = E  ⎡ ( ⎣

)′ ⎤ ⎦

)(

Teniendo en cuenta que la traspuesta de una suma de matrices es la suma de las traspuestas y que la traspuesta de un producto es el producto de las traspuestas en orden inverso, tenemos que:

=  E [ (

)( ′ ′

′ )]

y teniendo en cuenta la propiedad distributiva y calculando la esperanza:

=  E [

′ ′+

=  E [

′ ′] + E[

′+

′ ′+ ′] + E[

′] ′ ′ ] + E [

′]

Dado que la matriz   no contiene variables aleatorias, al ser constantes los parámetros  poblacionales, se tiene que:

=  E [

′] ′ + E[

′] + E[

′ ] ′ + E [

′] 

(13-2)

Si hacemos

y asumimos que y del siguiente modo:

=  E [

′]

=  E [

′]

están incorrelacionados entre sí, la expresión (13-2) puede escribirse

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′  +

 

(13-3)

Es muy importante, para desarrollos posteriores, analizar el contenido de la expresión (13-3). Así, en el primer miembro aparece una matriz que contiene q(q+1)/2 varianzas y covarianzas distintas de las variables observadas1 . En el segundo miembro aparecen q× s cargas factoriales ( ),  s( s+1)/2 varianzas y covarianzas entre los factores comunes ( ) y q(q+1)/2 varianzas y covarianzas entre los factores específicos ( ). Por lo tanto, la expresión (13-3) expresa los q(q+1)/2 elementos distintos de   en función de [ qs+ s( s+1)/2+q(q+1)/2] parámetros desconocidos de las matrices , y . Así pues, los parámetros que se deberán estimar aparecen vinculados mediante la expresión (13-3) a los valores de las varianzas y covarianzas  poblacionales de las variables observadas. En el ejemplo ilustrado en la figura 13.2 se introducen restricciones adicionales sobre las cargas factoriales y se asume que δ 1, δ 2 y δ 3 están incorrelacionadas con δ 4, δ 5 y δ 6. Teniendo en cuenta estas restricciones y dado que existen q=6 variables observadas y  s=2 factores comunes, las matrices que contienen los parámetros a estimar adoptarán la forma siguiente:

⎡ λ 11 0 ⎤ ⎢ ⎥ λ  0 ⎢ 21 ⎥ ⎢ λ  0 ⎥ 31 ⎢ ⎥; = ⎢ 0 λ  ⎥ 42 ⎥ ⎢ ⎢ 0 λ 52 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 λ 62 ⎥⎦

0 0 ⎤ ⎡ θ11 θ12 θ 13 0 ⎢θ θ θ  0 0 0 ⎥ ⎢ 21 22 23 ⎥ 0 0 ⎥ ⎢θ 31 θ 32 θ 33   0 =  ⎢ ⎥   θ θ θ 0 0 0 44 45 46 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 θ 54 θ 55 θ 56 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 θ 64 θ 65 θ 66 ⎥⎦

⎡ φ11 φ12 ⎤ =⎢ ⎥; ⎣ φ12 φ22 ⎦

donde los subrayados indican que esos elementos de las matrices y   son 0 por la especificación concreta que tiene el modelo que se quiere contrastar. Lógicamente, si el investigador asumiera otras hipótesis la configuración de estas matrices sería distinta. De hecho, tal como hemos comentado anteriormente, en general, la matriz  tiene 6(6+1)/2 = 21 elementos distintos a estimar (el triángulo inferior), mientras que en nuestro caso, dado el modelo especificado, sólo hay 12. ¿A qué se reduce, a grandes rasgos, el método AFC? La finalidad de este método es obtener estimaciones de las matrices , y   que hagan que la matriz de varianzas y covarianzas  poblacional estimada  obtenida a partir de ellas, sea lo más parecida posible a la matriz de varianzas y covarianzas muestral que se obtiene a partir de los valores muestrales de las variables observadas. Pero para poder entrar en el procedimiento de estimación, es necesario abordar previamente el problema de la identificación que se plantea en el método AFC.

13.3 IDENTIFICACIÓN DEL MODELO EN EL AFC En el epígrafe anterior, hemos visto que en el método AFC disponemos de una serie de datos (las varianzas y covarianzas muestrales de las variables observadas) y con ellos hemos de estimar una serie de parámetros (cargas factoriales, varianzas y covarianzas de los factores comunes, y varianzas y covarianzas de los factores específicos o errores). Al igual que ocurre Para determinar el número de varianzas y covarianzas distintas, téngase en cuenta que  es una matriz q × q simétrica 1

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con un sistema de ecuaciones lineales, podemos disponer en principio de más ecuaciones que incógnitas, del mismo número o de mayor número de incógnitas que ecuaciones. Pues bien, la identificación del modelo en el AFC hace referencia, precisamente, a la cuestión de si los  parámetros del modelo pueden o no ser determinados de forma única. En palabras de Long (1983), si se intenta estimar un modelo que no esté identificado, los resultados que se obtendrán serán estimaciones arbitrarias de los parámetros lo que desembocará en interpretaciones carentes de sentido. En el apéndice A13.1 se demuestra cómo, si no se imponen restricciones a los parámetros a estimar, necesariamente habrá un número infinito de soluciones posibles para los mismos. ¿Qué tipo de restricciones pueden imponerse a los parámetros? Por ejemplo, si una carga factorial λ ij  de la matriz se fija a 0, estaremos indicando que el factor ξ  j  no afecta causalmente a la variable observada  xi. Si fijamos a 0 el elemento φ ij  de la matriz , estaremos señalando que los factores ξ i y ξ  j están incorrelacionados. Si todos los elementos de la matriz  fuera de la diagonal se fijan a 0, los factores serán ortogonales (como ocurre en el análisis factorial exploratorio, por ejemplo). Restricciones similares se pueden imponer a los elementos de la matriz . Long (1983) señala que existen una serie de condiciones para que el modelo esté identificado: necesarias (si no se dan, el modelo no está identificado), suficientes (si se dan el modelo está identificado, pero si no se dan no tiene porqué no estarlo) y necesarias y suficientes (si se dan el modelo está identificado y si no se dan está no identificado). No hay acuerdo entre la literatura acerca de si existen o no las condiciones necesarias y suficientes. Jöreskog y Sörbom (1989) señalan que el análisis de la llamada matriz de información, construida a partir de la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores de los parámetros, puede servir  para establecer si el modelo está identificado. Estos autores señalan que “si la matriz de información es definida positiva es casi seguro  que el modelo está identificado. Por el contrario, si la matriz de información es singular, el modelo no está identificado”. Las cursivas son de Long (1983) y las introduce porque indica que, dado que los programas existentes verifican esta condición, si no hacen advertencias acerca de problemas en esta matriz, estaríamos ante un buen indicador de que el modelo está identificado pero, en su opinión, aún siendo la matriz definida positiva es posible, aunque improbable, que el modelo no esté identificado. Otros autores, como Hatcher (1994) y Ullman (1996) confían también en las advertencias de los programas como indicadores de no identificación. En general, la mayoría de textos optan por recomendar que se comprueben una serie de condiciones necesarias que suelen demostrarse como lo suficientemente exigentes para garantizar la identificación del modelo. Siguiendo a Hatcher (1994) y Ullman (1996), el investigador debería centrarse en las siguientes tareas: 1. Comparar el número de datos con el número de parámetros que han de estimarse. Los datos son siempre las varianzas-covarianzas muestrales, y hemos visto que existen q(q+1)/2. Como el número de parámetros a estimar es qs+[ s( s+1)/2]+[q(q+1)/2], el modelo estará sin identificar si no se imponen, al menos, qs+[ s( s+1)/2] restricciones. Decimos “al menos” porque sólo si hay más datos que parámetros, el modelo está sobreidentificado (caso particular de identificación), lo que hace que, al existir grados de libertad, será posible la aceptación o el rechazo del modelo. 2. Establecer una escala para los factores comunes. Esto se consigue fijando la varianza de cada factor común a 1 o el coeficiente de regresión (carga factorial) de una de las variables observadas que cargan sobre cada factor a 1. Si esto no se hace se produce el

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denominado problema de indeterminación entre la varianza y las cargas factoriales, es decir, es imposible distinguir entre los casos en los que un factor tiene una varianza grande y las cargas son pequeñas y el caso en que las varianzas son pequeñas y las cargas altas. 3. Asegurar la identificabilidad de la parte del modelo que contiene la relación entre las variables observadas y los factores. Para ello debe analizarse el número de factores y el número de variables observadas que cargan sobre cada factor. Si solo hay un factor, el modelo puede estar identificado si el factor tiene al menos tres variables con cargas no nulas sobre él. Si hay dos o más factores, examínese el número de variables observadas de cada factor. Si cada factor tiene tres o más variables que cargan sobre él, el modelo puede estar identificado si los errores asociados con los indicadores no están correlacionados entre sí, cada variable carga sólo sobre un factor y los factores  pueden covariar entre ellos. Si sólo hay dos indicadores por factor, el modelo puede estar indentificado si los errores asociados con cada indicador no están correlacionados, cada indicador carga sólo sobre un factor y ninguna de las covarianzas entre los factores es igual a cero. 4. Fijar arbitrariamente el coeficiente de regresión del término de error al valor 12. La aplicación de las condiciones expuestas al modelo de la figura 13.2, que nos viene sirviendo de ejemplo, se ilustran en figura 13.4.

Figura 13.4 Modelo de AFC identificado φ12=φ21=*

ξ1*

ξ2*

1=λ 11

1=λ 42 λ 21=* λ 31=*

x1

λ 52=* λ 62=* x3

x2

1

1

δ1*

x4

1

δ2*

1

δ3*

δ4*

x5 1

x6 1

δ5*

0=θ12=θ21 0=θ32=θ23

0=θ45=θ54  0=θ 56=θ65

0=θ13=θ31

0=θ46=θ64

2

δ6*

 En el modelo (13-1), como puede verse, los coeficientes correspondientes al término de error (δ ) son 1. Sin embargo, en algunos programas de ordenador para tratamiento del AFC se permite fijar los coeficientes δ a valores distintos de 1.

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En primer lugar, recordemos que disponemos para estimar el modelo señalado de 6(6+1)/2=21 datos, que se corresponden con las varianzas covarianzas de las variables observadas. Tenemos que estimar, en principio, 6 ×2+(2×3/2)+(6×7/2)=36 parámetros. Estos  parámetros son 12 coeficientes de regresión (cargas factoriales), la varianza de los 2 factores comunes, la covarianza entre ellos, 6 coeficientes de regresión entre las variables observadas y los factores específicos, las 6 varianzas de los factores específicos y las 15 covarianzas entre esos factores específicos. Veamos en qué medida las condiciones de determinación anteriores influyen en esta situación.

En primer lugar, resolvemos el problema del establecimiento de la escala de los factores comunes. Obsérvese en la figura 13.4 como se ha fijado a 1 el coeficiente de regresión entre la variable  x1  y el primer factor y ente la variable  x4  y el segundo factor. Como indicábamos  podríamos haber fijado a 1 la varianza de ambos factores y dejar libres los mencionados  parámetros. Nótese que hemos señalado con un ‘*’ aquellos parámetros que sigue siendo necesario estimar tras la identificación del modelo. A continuación aseguramos la identificabilidad de la parte del modelo que contiene la relación ente las variables observadas y los factores. En nuestro caso tenemos dos factores y tres variables observadas sobre cada uno de ellos. Entonces, tal como señalamos con anterioridad, se han adoptado los supuestos de que los errores asociados con los indicadores (δ ) no estan correlacionados entre sí (es decir, las covarianzas θ ij se han hecho 0, como se observa en la figura 13.4), y de que cada variable carga sólo sobre un factor. Por otra parte, sí se ha  permitido que las covarianzas entre los factores sean no nulas (las φ ij  están marcadas con *  para ser estimadas). Finalmente, los coeficientes de regresión entre las variables observadas y los términos de error se han fijado arbitrariamente a 1. Tras haber efectuado estas restricciones, cabe preguntarse ¿el modelo está identificado, o sobreidentificado, y, en consecuencia, puede ser sometido a contraste? En otras palabras, ¿hay más datos que parámetros a estimar? O, análogamente, ¿disponemos de grados de libertad suficientes? Los datos son, según hemos visto, 21, mientras que los parámetros a estimar son los siguientes:

• • • •

1 covarianza entre los factores comunes 2 varianzas de los factores comunes 4 coeficientes de regresión entre las variables observadas y los factores comunes. 6 varianzas de los factores específicos (errores).

Es decir, hay 13 parámetros a estimar, con lo que tenemos 8 grados de libertad, dado que el número de datos es 21. Por tanto, el modelo puede someterse a contraste. A continuación aprovecharemos el ejemplo para presentar la sintaxis que nos permite estimarlo mediante uno de los programas que indicábamos al comienzo del capítulo, concretamente, el EQS. El EQS se basa en la notación de Bentler y Weeks (1980) que se limita a distinguir entre variables dependientes e independientes en el AFC. Una variable será independiente cuando de ella sólo salga una flecha causal y será dependiente si recibe alguna. Este programa denota como V i a las variables observadas, como  F i a los factores comunes y como  E i a los factores

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específicos. Si un parámetro se ha de estimar, aparece señalado con un asterisco en la ecuación correspondiente y si se ha fijado que toma un valor determinado, se indica expresamente. Las covarianzas, de no especificarse, se suponen que son nulas. El cuadro 13.2 muestra la sintaxis del EQS para estimar el modelo de AFC, tal y como se ha especificado en la figura 13.4.

Cuadro 13.2 Sintaxis de EQS para el problema de AFC /TITLE CFA INTELIGENCIA VERBAL Y CUANTITATIVA

/SPECIFICATIONS CASE=275; VAR=6; ME=ML; MA=COR; ANAL=COV;

/MATRIX 1.000 0.493 0.401 0.278 0.317 0.284

1.000 0.314 0.347 0.318 0.327

1.000 0.147 0.183 0.179

1.000 0.587 0.463

1.000 0.453

1.000

/STANDARD DEVIATIONS 1.0900 0.5900 0.9800 1.1000 0.4100 1.1100

/LABELS V1=L; V2=FSF; V3=H; V4=M; V5=FSC; V6=Q; F1=IV; F2=IQ;

/EQUATIONS V1= F1+E1; V2=*F1+E2; V3=*F1+E3; V4= F2+E4; V5=*F2+E5; V6=*F2+E6;

/VARIANCES F1 TO F2=*; E1 TO E6=*;

/PRINT EFFECT=YES; FIT=ALL;

/COVARIANCES F1 TO F2=*;

/LMTEST /WTEST /END

Bajo el apartado de /SPECIFICATIONS se refleja la siguiente información: el número de casos, (CASE=275, tal y como se indicó en el cuadro 13.1 que recogía los datos originales); numero de variables observadas (VAR=6); la selección de máxima verosimilitud como método de estimación3 (ME=ML); indicación de que la matriz de datos suministrada es una matriz de correlaciones (MA=COR); e indicación de que el análisis se efectúe sobre la matriz de varianzas covarianzas (ANAL=COV). Estas dos últimas instrucciones tienen dos implicaciones: en primer lugar, es necesario suministrar al programa la matriz de 3

En el epígrafe siguiente se examinarán los métodos de estimación

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correlaciones, lo que se hace bajo el apartado /MATRIZ y, en segundo lugar, para que el EQS realice el análisis en términos de matriz de varianzas covarianzas es necesario ofrecerle las desviaciones típicas de las variables observadas (/STANDARD DEVIATIONS). El planteamiento de las ecuaciones se hace en el apartado /EQUATIONS. Puede comprobarse que las variables observadas son dependientes siendo explicadas por los factores comunes ( F i) y por los específicos ( E i). Así, la primera ecuación: V1=F1+E1

La anterior ecuación recoge la particularidad de que el parámetro de F1 ( ξ 1, en la notación anterior) es 1, porque se ha fijado a este valor tal y como se ve en la figura 13.4 ( λ 11=1) y lo mismo ocurre con el parámetro del término de error E1. En cambio, en la segunda ecuación: V2=*F1+E2

el coeficiente del término de error sigue estando fijado a 1, pero es necesario estimar el  parámetro de F1 (λ 21=*). Todas las varianzas, tanto de los factores específicos como de los comunes han de estimarse, tal como indica la instrucción /VARIANCES y lo mismo ocurre con las covarianzas ente los factores comunes F1 y F2 (así lo indica la instrucción / COVARIANCES). Así pues, queda comprobada la sencillez de la sintaxis del programa cuando seguimos la notación de Bentler y Weeks (1980), dado que todo se reduce a distinguir entre variables dependientes e independientes, lo que permite deducir de manera natural las ecuaciones. Las dos últimas instrucciones (/LMTEST y /WTEST) las analizaremos más adelante. En el epígrafe siguiente, que dedicamos a la estimación del modelo, comentaremos las salidas resultantes de la ejecución del programa EQS con la sintaxis anterior.

14

13.4 ESTIMACIÓN DE MODELOS EN EL AFC A partir de lo descrito, y siguiendo a Sharma (1996), el proceso de estimación del AFC puede sintetizarse en los dos pasos siguientes:

• •

1) Dada la matriz de varianzas covarianzas muestrales (S), se estiman los parámetros del modelo factorial hipotetizado. 2) Se determina el ajuste del modelo hipotetizado. Esto es, se determina en qué medida la matriz de varianzas covarianzas estimada ( ˆ ) está próxima a la matriz de varianzas covarianzas muestral S.

Presentaremos a continuación algunos de los métodos de estimación disponibles. Profundizar en todos ellos va más allá del alcance de este libro, y recomendamos recurrir a Bentler (1995)  para ello. Sin embargo, se ofrecerán los fundamentos básicos de cada uno de ellos. Como hemos señalado, el investigador parte de una matriz de varianzas y covarianzas muestral S. Como ya se ha indicado, la matriz de varianzas y covarianzas poblacional condicionada al modelo (13-1), está relacionada con los parámetros poblacionales por la conocida expresión (13-3):

=

′+

Estimar el modelo, supone encontrar valores, a partir de los datos muestrales, para las matrices anteriores (que denotamos con “^”) que cumplan las restricciones impuestas en el  proceso de identificación y que hagan que la matriz de varianzas y covarianzas estimada mediante la expresión siguiente, sea lo más parecida posible a S: ˆ = ˆ ˆ ˆ′+ ˆ  

(13-4)

Long (1983) ilustra el proceso de estimación como sigue. Inicialmente existirán infinitas matrices estimadas de ,  y que satisfagan la expresión anterior, pero habrá que rechazar todas aquellas soluciones que no cumplan las restricciones que se han impuesto en la identificación del modelo. Llamemos genéricamente *, * y *  a las matrices que sí cumplen las restricciones. Esas matrices permiten obtener una estimación de la matriz de varianzas covarianzas poblacional * mediante (13-4). Si esta última matriz está próxima a S, entonces las estimaciones de los parámetros contenidas en *, * y * serían razonables en el sentido de ser consistentes con los datos de S.  Necesitamos una función, a la que denominamos una  función de ajuste, que nos indique en qué medida “ *  está próxima a S”. Long (1983) denota a estas funciones de ajuste con la expresión  F (S; *) y están definidas para todas las matrices que cumplen las restricciones marcadas en la identificación del modelo. Si entre dos matrices que cumplen esta condición se verifica que F (S; ∗

∗

1)

<  F (S;

∗

2 ),

entonces concluiremos que *

*

*

∗ 1

está más “próxima” a S que

 que minimizan el valor de F( S; serán las estimaciones de los parámetros poblacionales finales ˆ ˆ y ˆ . 2

. Consecuentemente, aquellos valores de

,

y

*

)

Los procedimientos de estimación que vamos a describir a continuación son los siguientes: mínimos cuadrados no ponderados, mínimos cuadrados generalizados, máxima verosimilitud,

15

estimación por la teoría de la distribución elíptica y estimación con libre distribución asintótica.

13.4.1 Estimación por mínimos cuadrados no ponderados La estimación por mínimos cuadrados no ponderados ULS ( Unweighted Least Squares) toma como estimadores a los valores que minimizan la siguiente función de ajuste: 1

) = 2 tr  ⎡⎣ ( S −

 FULS  (

* 2

)

⎤  ⎦

(13-5)

donde por tr  indicamos la traza de la matriz resultante de la operación subsiguiente, esto es, la suma de los elementos de su diagonal. Long (1983) y Ullman (1996) indican que este método tiene dos limitaciones que hacen que no sea muy utilizado. En primer lugar, no existen contrastes estadísticos asociados a este tipo de estimación y, en segundo lugar, los estimadores dependen de la escala de medida de las variables observadas, esto es, no se alcanzaría el mismo mínimo de (13-5) si las unidades del nivel de renta, por ejemplo, estuviera medida en pesetas que si lo estuviera en millones. Este método tiene, sin embargo, algunas ventajas. Así, no es necesario asumir ningún tipo de distribución teórica de las variables observadas, frente a la hipótesis de normalidad multivariante que asumen otros métodos de estimación. Por ello, si la violación de esta hipótesis fuera muy evidente, algunos autores recomiendan recurrir a la estimación por este método, pero tomando como datos de partida la matriz de varianzas covarianzas estandarizada  – o matriz de correlaciones - para corregir el problema de la dependencia de las unidades de medida.

13.4.2 Estimación por mínimos cuadrados generalizados La estimación por mínimos cuadrados generalizados GLS ( Generalized Least Squares) se  basa en ponderar la matriz cuya traza se calcula en (13-5) mediante la inversa de matriz de varianzas covarianzas muestral, esto es:

 FGLS  ( S;

*

1

) = 2 tr ⎡⎣ ( S −

*

) S−1 ⎤⎦

2

 

(13-6)

13.4.3 Estimación por máxima verosimilitud La estimación por máxima verosimilitud ML ( Maximum siguiente función de ajuste:

 F ML ( S;

*

) = tr ( S

*−1

) + ⎡⎣ log

*

Likelihood ) implica minimizar la

− log S ⎤⎦ − q  

(13-7)

donde toda la notación es conocida, salvo q  que es el número de variables observadas y el hecho de denotar como | | al determinante de la matriz de referencia. Como señala Long − (1983) cuanto más se aproximen las matrices S y *, más se aproximará el producto S * 1 a la matriz identidad q×q. Como la traza de esa matriz identidad es la suma de los q  unos de la

16

diagonal (o sea, q), el primer término de (13-7) se aproximará a q cuando las matrices estén  próximas, compensándose con el término q de (13-7). Por otra parte, la diferencia de los * logaritmos de los determinantes de S y tenderá a 0, dado que, cuando las matrices estén  próximas, también lo estarán sus determinantes. De esta forma, cuando las matrices sean iguales la función de ajuste será cero.

13.4.4 Estimación por la teoría de la distribución elíptica La estimación EDT ( Elliptical Distribution Theory) se basa en la distribución de probabilidad de este nombre. La distribución normal multivariante es un caso particular de esta familia con  parámetro de curtosis4 igual a cero. En este caso, la función a minimizar adopta la forma: 1 2

2

2

 F EDT  ( S; Σ* ) = ( κ + 1 )−1 tr ⎡⎣ ( S − Σ* ) W −1 ⎤⎦ − δ tr ⎡⎣ ( S − Σ* ) W −1 ⎤⎦  

(13-8)

siendo κ  y δ  funciones de curtosis y W cualquier estimador consistente de .

13.4.5 Estimación con libre distribución asintótica La estimación ADF ( Asymptotically mediante la siguiente expresión:

 F  ADF  ( S;

*

Distribution Free) minimiza una función definida

) = [s − σ (

) ]′ W −1 [ s − σ (

)] 

(13-9)

donde s  es el vector de datos, es decir, la matriz de varianzas covarianzas muestrales pero escrita en forma de un solo vector;   es el la matriz de varianzas covarianzas estimada, de nuevo puesta en forma de vector y donde con el término ( ) se ha querido indicar que se deriva de los parámetros del modelo (coeficientes de regresión, varianzas y covarianzas). W es una matriz que pondera las diferencias cuadráticas entre las matrices de varianzas y covarianzas muestrales y estimadas. En este caso, cada elemento de esa matriz se obtiene:

wijkl = σ ijkl − σ ijσ kl

 

siendo σ ijkl  momentos de 4º orden y σ ij y σ kl  las covarianzas.

13.4.6 Comparación de los distintos procedimientos de estimación Resumimos a continuación los resultados del trabajo de Hu, Bentler y Kano (1992), que analizaron mediante simulación de Monte Carlo cómo se comportaban los distintos  procedimientos de estimación ante distintos tamaños muestrales, violación de las hipótesis de normalidad y de independencia entre los términos de error y los factores comunes. Estos autores encontraron que, en caso de que fuera razonable asumir la normalidad, el método ML funcionaba mejor cuando el tamaño muestral era superior a 500, mientras que 4

El coeficiente de curtosis de una distribución es igual al coeficiente estandarizado de cuarto orden menos 3.

17

 para tamaños inferiores a esa cifra tenía un mejor comportamiento el método EDT. Finalmente, el método ADF sólo ofrecía buenos resultados con muestras superiores a 2500 casos. Cuando el supuesto de normalidad se violaba, los métodos de ML y GLS solo daban buenos resultados con muestras superiores a 2500 casos, aunque el GLS funcionaba algo mejor que el ML en muestras inferiores. Pese a no adoptar el supuesto de normalidad, el método ADF tampoco daba buenos resultados con muestras inferiores a 2500 casos. Cuando se produce una violación del supuesto de independencia entre los términos de error y los factores comunes, los métodos de ML y GLS funcionan muy mal, y también el ADF salvo que la muestra fuera superior a 2500 casos. En cambio, el EDT funcionaba significativamente mejor que los demás. A la luz de lo expuesto, Ullman (1996) recomienda:

• •

Los métodos de ML y GLS son la mejor opción con pequeñas muestras siempre que sea plausible la asunción de normalidad e independencia. En el caso en que ambos supuestos no parezcan razonables, se recomienda recurrir a la estimación ML denominada “escalada”. Una descripción de este procedimiento se encuentra en Bentler (1980) y es una opción de estimación del EQS.

Veamos, a modo de ilustración, el resultado de estimar mediante máxima verosimilitud las matrices de (13-4). Para facilitar la familiarización con el EQS se ha seleccionado la parte del output resultante de aplicar la sintaxis recogida en el cuadro 13.2 que contiene esta información. En primer lugar, el programa ofrece la matriz S de varianzas covarianzas muestrales (cuadro 13.3). Como se señaló al comentar la sintaxis, al programa se le ha suministrado una matriz de correlaciones y las desviaciones típicas de las variables observadas. A partir de esta información el programa calcula la matriz de varianzas covarianzas muestral. Cuadro 13.3 Matriz S de varianzas covarianzas muestrales L V L FSF H M FSC Q

V V V V V V

1 2 3 4 5 6

1

1.188 0.317 0.428 0.333 0.142 0.344

FSF V 2

H V

0.348 0.182 0.225 0.077 0.214

0.960 0.158 0.074 0.195

3

M V

4

1.210 0.265 0.565

FSC V 5

Q V

0.168 0.206

1.232

6

La matriz que contiene los coeficientes de regresión entre las variables observadas y los factores comunes, se obtiene directamente de las ecuaciones que el EQS denomina ecuaciones de medida  y que se recogen en el cuadro 13.4. En estas ecuaciones aparecen también los estadísticos para contrastes de significatividad de cada coeficiente, así como los errores estándar, cuya interpretación se ofrecerá más adelante.

18

De este cuadro se deduce directamente que la estimación de

5

es la siguiente :

0 ⎤ ⎡ 1 ⎢ 0,509 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0, 604 0 ⎥ ⎢ ˆ =  ⎢ 0 ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0,373 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0,817 ⎥⎦

MEASUREMENT EQUATIONS WITH STANDARD ERRORS AND TEST STATISTICS L

=V1

=

1.000 F1

+ 1.000 E1

FSF

=V2

=

.509*F1 .068 7.467

+ 1.000 E2

H

=V3

=

.604*F1 .096 6.319

+ 1.000 E3

M

=V4

=

1.000 F2

+ 1.000 E4

FSC

=V5

=

.373*F2 .039 9.467

+ 1.000 E5

Q

=V6

=

.817*F2 .096 8.552

+ 1.000 E6

Cuadro 13.4 Matriz  de coeficientes de regresión

La estimación de (matriz de varianzas covarianzas de los factores comunes) aparece separada en dos elementos de la salida del EQS (ambas recogidas en el cuadro 13.5): “varianzas entre las variables independientes” y “covarianzas entre las variables independientes”. De esta salida se obtiene que la estimación de la mencionada matriz es: 0, 636 ˆ =⎡ ⎢ 0, 388 ⎣

0, 388 ⎤

0, 698 ⎥⎦

Cuadro 13.5 Matriz  estimada de varianzas covarianzas entre factores comunes

5

 Los subrayados indican que ese parámetro se fijo al valor señalado durante la identificación del modelo.

19

 VARIANCES OF IND EPENDENT VARIAB LES ---------------------------------V ---

F --I F1 I I I I F2 I I I

-

IV

-

IQ

.636*I .117 I 5.443 I I .698*I .112 I 6.244 I I

COVARIANCES AMONG INDEPENDENT VARIABLES --------------------------------------V ---

F --I F2 I F1 I I

-

IQ IV

.388*I .068 I 5.712 I I

Finalmente resta por obtener la estimación de la matriz ,  que contiene las varianzas y covarianzas entre los factores específicos o términos de error. Si se observa la figura 13.4, se comprueba que, durante la identificación del modelo, todas las covarianzas se fijaron a 0 (como se indica con un subrayado en la matriz que se muestra a continuación), por lo que sólo se han estimado las varianzas. El cuadro 13.6 ofrece la información que nos permite obtener la estimación de la matriz :

0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ 0,552 ⎢ 0 0,183 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0, 728 0 0 0 ⎥ ˆ =⎢  ⎢ 0 ⎥ 0 0 0,512 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0, 071 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0 0 0, 767 ⎥⎦

Basta operar matricialmente de acuerdo con la expresión (13-4) para obtener la estimación de la matriz de varianzas covarianzas poblacional (el EQS no la ofrece):

⎡ 1,188 ⎢ 0, 324 ⎢ 0, 384 ˆ =⎢  ⎢ 0, 388 ⎢ ⎢ 0,145 ⎢ ⎢⎣ 0,317

0, 348 0,196

0, 960

0,197

0, 234

0, 074 0, 087 0,161

0,191

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥  1, 210 ⎥ ⎥ 0, 260 0,168 ⎥ 0,570 0, 213 1, 232 ⎥⎦

20

(13-10)

 VARIANCES OF IND EPENDENT VARIAB LES ---------------------------------E --E1

-

L

E2

-

FSF

E3

-

H

E4

-

M

E5

-

FSC

E6

-

Q

D --.552*I .088 I 6.256 I I .183*I .025 I 7.294 I I .728*I .071 I 10.281 I I .512*I .075 I 6.828 I I .071*I .010 I 6.807 I I .767*I .079 I 9.655 I I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

Cuadro 13.6 Matriz  estimada de varianzas covarianzas ent re factores específicos La diferencia entre la matriz de varianzas covarianzas muestral S y la matriz de varianzas y covarianzas poblacional estimada recogida en (13-10) es la denominada matriz residual de covarianzas. Esta matriz nos indica en qué medida el modelo ha sido capaz de ajustarse a los datos. Para que el ajuste sea bueno, los valores de cada uno de sus elementos deben ser  pequeños. El EQS ofrece esta matriz tal y como la recogemos en el cuadro 13.7.

Cuadro 13.7 Matriz residual de varianzas covarianzas RESIDUAL COVARIANCE MATRIX

L FSF H M FSC Q

V V V V V V

1 2 3 4 5 6

L V 1 0.000 -0.007 0.044 -0.055 -0.003 0.027

(S-SIGMA) :

FSF V 2 0.000 -0.014 0.028 0.003 0.053

H V

3

0.000 -0.076 -0.014 0.003

M V

4

0.000 0.004 -0.005

FSC V 5

0.000 -0.006

 AVERAGE ABSOLUT E

COVARIANCE

RESIDUALS

=

 AVERAGE OFF-DI AGONAL ABSOLUTE

COVARIANCE

RESIDUALS

=

Q V

6

0.000

0.0163 0.0228

13.5 BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO ESTIMADO Antes de pasar a interpretar los resultados del análisis factorial confirmatorio que se ha efectuado, es necesario determinar hasta qué punto el modelo asumido se ajusta a los datos muestrales. Si detectáramos problemas de ajuste, sería necesario plantear algún tipo de

21

reespecificación del mismo hasta que se lograra un mejor ajuste. Analizaremos, a continuación, una serie de criterios que se calculan en la mayor parte de programas que abordan este tema. Como ya avanzamos, los estadísticos elaborados con esta finalidad son muchos más de que los que aquí se muestran. La selección efectuada recoge, desde nuestro  punto de vista, los más utilizados.

13.5.1 Matriz residual de covarianzas Como indicábamos al presentar los distintos métodos de estimación del AFC, el objetivo  básico de los mismos es que la matriz de covarianzas poblacional estimada se parezca lo más  posible a la muestral S. En otros términos, puede expresarse lo anterior diciendo que la diferencia entre ambas matrices, a la que llamamos matriz residual de covarianzas, esté lo más cercana posible a una matriz nula 0. Los valores de esta matriz deberían ser pequeños y estar homogéneamente distribuidos. Como señala Byrne (1994), residuos grandes asociados a algunos parámetros, podrían indicar que han sido mál especificados, y ello afectaría negativamente al ajuste global del modelo. El EQS proporciona la matriz residual de covarianzas recogida en el cuadro 13.7, así como su versión estandarizada que mostramos en el cuadro 13.8. En ambos casos calcula los promedios de estos residuos teniendo en cuenta los elementos de la diagonal y obviándolos. Este segundo promedio se justifica porque, normalmente, son los elementos de fuera de la diagonal los que tienen más influencia sobre el estadístico χ 2 que mostraremos más adelante (Bentler, 1995).

22

Cuadro 13.8 Matriz residual estandarizada de varianzas covarianzas y otra información relacionada STANDARDIZED RESIDUAL MATRIX:

L FSF H M FSC Q

V V V V V V

1 2 3 4 5 6

L V 1 0.000 -0.011 0.041 -0.046 -0.007 0.022

FSF V 2 0.000 -0.024 0.043 0.013 0.081

H V

M V

3

0.000 -0.070 -0.035 0.003

FSC V 5

4

0.000 0.010 -0.004

0.000 -0.014

 AVERAGE ABSOLU TE STANDARDIZED RESIDUALS  AVERAGE OFF-DI AGONAL ABSOLUTE STANDARDIZED RE SIDUALS

= =

Q V

6

0.000

0.0201 0.0282

LARGEST STANDARDIZED RESIDUALS: V

6,V 2 0.081

V 4,V 3 -0.070

V 4,V 1 -0.046

V

4,V 2 0.043

V

3,V 1 0.041

V

5,V 3 -0.035

V 3,V 2 -0.024

V

6,V 1 0.022

V 6,V 5 -0.014

V

5,V 2 0.013

V

2,V 1 -0.011

V

5,V 4 0.010

V 5,V 1 -0.007

V 6,V 4 -0.004

V

6,V 3 0.003

V

2,V 2 0.000

V

3,V 3 0.000

V

V

V

4,V 4 0.000

6,V 6 0.000

5,V 5 0.000

DISTRIBUTION OF STANDARDIZED RESIDUALS ---------------------------------------! ! 20! ! ! ! ! ! ! ! 15! ! ! ! ! ! ! * ! 10* * ! * * ! ! * * ! ! * * ! ! * * ! 5* * ! * * ! ! * * ! ! * * ! ! * * ! ---------------------------------------1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C

RANGE

FREQ PERCENT

1 -0.5 -0 0.00% 2 -0.4 -0.5 0 0.00% 3 -0.3 -0.4 0 0.00% 4 -0.2 -0.3 0 0.00% 5 -0.1 -0.2 0 0.00% 6 0.0 -0.1 11 52.38% 7 0.1 0.0 10 47.62% 8 0.2 0.1 0 0.00% 9 0.3 0.2 0 0.00% A 0.4 0.3 0 0.00% B 0.5 0.4 0 0.00% C ++ 0.5 0 0.00% -------------- ---------------- TOTAL 21 100.00% EACH "*" REPRESENTS

1 RESIDUALS

Asimismo, el programa ordena de mayor a menor los 20 residuos estandarizados más grandes en valor absoluto, de tal manera que puedan identificarse las variables con mayores errores. Finalmente, muestra un gráfico con la distribución de estos residuos, distribución que debería ser simétrica y centrada en cero. Examinando los resultados de nuestro ejemplo en concreto, observamos que el error promedio de los elementos fuera de la diagonal es pequeño (0.0282), indicando un buen ajuste. El elemento que muestra un mayor residuo es el asociado a las variables V2 y V6 (notas en química y filosofía), pudiendo indicar una mala especificación, lo que será analizado  posteriormente para comprobar si procede su reespecificación. Finalmente comprobamos que 23

el 100% de los residuos cae dentro del intervalo [–0.1; 0.1] de forma prácticamente simétrica y, como se ha señalado, centrada en cero. En síntesis, el ajuste del modelo, a partir del análisis de los residuos es bueno, aunque puede existir un problema debido a la interrelación entre las variables V2 y V6.

13.5.2 Estadísticos

2

 para el contraste global del modelo

Como hemos visto anteriormente, se ha denominado

  a la matriz de varianzas covarianzas del vector x  condicionado al modelo (13-1); su estimación se ha denotado por ˆ . Por otra  parte, vamos a denominar nc  a la matriz de varianzas covarianzas de x no condicionada al modelo; la estimación de esta matriz es directamente la matriz muestral S. En el caso de que el modelo sea adecuado para explicar el comportamiento de x, ambas matrices serán iguales. Por lo tanto, podemos establecer la siguiente hipótesis nula:

 H 0 : Σnc = Σ   La hipótesis alternativa postula que la matriz

nc  es

(13-11)

igual a cualquier matriz que sea definida

 positiva. Para el contraste de estas hipótesis en Bentler y Bonett (1980) se propone el siguiente estadísico:

 N × F 0 L donde  N   es el número de datos y

 F 0 L es el valor que toma la función de ajuste (13-7) al

realizar la estimación por máxima verosimilitud. Este estadístico se distribuye, bajo la hipótesis nula, como una  χ 2  con ½q(q+1)-k   grados de libertad, siendo q  el número de variables independientes y k   el número de parámetros a estimar. Si el modelo es el adecuado, se puede esperar que se rechace la hipótesis nula planteada en este contraste. En el EQS a este estadístico se le denomina Chi Square. El EQS ofrece, además, un segundo estadístico denominado independence model chi-square. Este estadístico se distribuye también como una  χ 2  bajo la hipótesis nula de que existe una completa independencia entre las variables (matriz de correlaciones identidad). En este caso, si el modelo es el apropiado, cabe esperar que el estadístico tome valores elevados. Por el contrario, si todas las variables observadas fueran independientes entre sí el modelo de AFC  propuesto no tendría sentido y, consecuentemente, este estadístico tomaría valores bajos. El cuadro 13.9 recoge junto a los dos estadísticos citados, otros estadísticos que miden la  bondad del ajuste que comentaremos posteriormente. Por otra parte el estadístico χ 2 para este modelo en que son independientes las variables observadas es efectivamente muy alto (392,8). Por otra parte, el estadístico  χ 2  para contrastar la hipótesis nula (13-11) tiene ½ 6 (6+1)-13 = 8 grados de libertad y toma el valor 8,84 con un  p=0,355, lo que nos permite aceptar la hipótesis nula de igualdad entre las matrices para los niveles usuales de significación. Este estadístico se utiliza, en definitiva, para contrastar la validez del modelo teórico propuesto por el investigador.

24

Cuadro 13.9 Estadísticos de bondad de ajuste GOODNESS OF FIT SUMMARY INDEPENDENCE MODEL CHI-SQUARE = INDEPENDENCE AIC = MODEL AIC =

362.81793 -7.15793

392.818 ON INDEPENDENCE CAIC = MODEL CAIC =

15 DEGREES OF FREEDOM 293.56637 -44.09210

CHI-SQUARE = 8.842 BASED ON 8 DEGREES OF FREEDOM PROBABILITY VALUE FOR THE CHI-SQUARE STATISTIC IS 0.35579 THE NORMAL THEORY RLS CHI-SQUARE FOR THIS ML SOLUTION IS BENTLER-BONETT NORMED FIT INDEX= BENTLER-BONETT NONNORMED FIT INDEX= COMPARATIVE FIT INDEX (CFI) = BOLLEN (IFI) FIT INDEX= McDonald (MFI) FIT INDEX= LISREL GFI FIT INDEX= LISREL AGFI FIT INDEX= ROOT MEAN SQUARED RESIDUAL (RMR) = STANDARDIZED RMR = ROOT MEAN SQ. ERROR OF APP.(RMSEA)= 90% CONFIDENCE INTERVAL OF RMSEA (

0.977 0.996 0.998 0.998 0.998 0.989 0.971 0.027 0.044 0.020 0.000,

9.157.

0.075)

En la construcción del estadístico  χ 2 se ha tenido en cuenta que (i) se asume la hipótesis de normalidad de las variables observadas, (ii) el análisis se basa en una matriz de varianzas y covarianzas y no en una matriz de correlaciones y (iii) el tamaño muestral es lo suficientemente grande para que se justifiquen las propiedades asintóticas del contraste. Ahora bien, dado que rara vez se cumplen simultáneamente estos requisitos, Bentler y Bonett (1980), Long (1983) y Ullman (1996), entre otros, señalan que la utilización de este estadístico debe efectuarse con precaución con muestras grandes, dado que incluso pequeñas diferencias entre las matrices de covarianzas muestral y estimada serán evaluadas como significativas por el contraste. Este limitación ha llevado al desarrollo de más de 30 indicadores ad hoc  de bondad de ajuste (véase Marsh, Balla y McDonald, 1988; Tanaka, 1993; Browne y Cudeck, 1993 o Williams y Holahan, 1994 para una revisión de los mismos), algunos de los cuales se mostrarán a continuación.

13.5.2 Estadísticos ad hoc Un primer grupo de estadísticos se correspondería con los denominados por Ullman (1996) índices comparativos de ajuste. Los distintos modelos que se pueden plantear en un AFC van desde el que hemos denominado modelo independiente (variables sin ninguna relación) y que tendría tantos grados de libertad como el número de datos menos el de varianzas que se han de estimar, hasta el llamado modelo saturado, con ningún grado de libertad. Los índices que se proponen son comparativos en el sentido de que comparan el valor del modelo teórico que se evalúa, con el del modelo independiente.

 Índice NFI El índice NFI ( Normed Fit Index) ha sido propuesto por Bentler y Bonnett (1980) y compara el valor del estadístico χ 2 del modelo teórico con el del modelo independiente:

 NFI  =

2 2 χ indep − χ teorico 2  χ indep

25

Para que sea satisfactorio este estadístico, como la mayor parte de los que examinaremos a continuación, debe alcanzar valores superiores a 0,90 (Bentler, 1992). En nuestro ejemplo, como puede comprobarse en el cuadro 13.9, su valor es el siguiente: 392, 81 − 8, 84 = 0,977 392,81

 NFI  =

Algunos trabajos han demostrado que este índice tiene una tendencia a subestimar el ajuste del modelo si las muestras son pequeñas (Bearden, Sharma y Teel, 1982), llevando a sus autores a plantear dos modificaciones del mismo, el índice NNFI y el CFI.

 Índice NNFI El  Nonnormed Fit Index  (NNFI) incorpora los grados de libertad de los modelos teórico e independiente y aunque se evita así la subestimación del ajuste, puede provocar en algunos casos extremos valores fuera del rango 0-1. Otra limitación es que, en pequeñas muestras,  puede indicar un ajuste excesivamente bajo si se compara con otros modelos, tal y como apuntan Ullman (1996) y Anderson y Gerbing (1984).

 gl indep 2 χ   gl teorico teorico 2  χ indep − gl indep

2  χindep −

 NNFI  =

En el ejemplo que nos ocupa, y tomando la información del cuadro 13.9, este estadístico ofrece también un buen ajuste:

 NNFI  =

15 8,84 8 = 0,996 392, 81 − 15

392,81 −

 Índice CFI  Este índice (Comparative Fit Index), propuesto por Bentler (1988), corrige por el número de grados de libertad del siguiente modo:

2 2 − glindep ) − ( χ teorico − gl teorico ) ( χ indep CFI  = 2 − gl indep ) ( χ indep

En nuestro ejemplo este índice también toma un valor satisfactorio:

CFI  =

( 392,81 − 15 ) − ( 8.84 − 8 ) = 0,998 ( 392, 81 − 15 )

26

 Índice IFI Propuesto por Bollen (1989), pretende corregir la posibilidad de que el NNFI tome valores  por encima del intervalo razonable 0-1. Para ello se formula así:

 IFI  =

2 2  χ indep − χ teorico 2  χ indep − gl teorico

En nuestro ejemplo este índice también alcanza valores de ajuste razonables. A partir de la información del cuadro 13.9, se obtiene el siguiente valor:

 IFI  =

392, 81 − 8, 84 = 0,998 392,81 − 8

 Índice MFI Propuesto por McDonald y Marsh (1990), el índice MFI entraría en los denominados índices de ajuste absoluto en contraposición a los anteriores que hemos denominado comparativos,  por basarse en poner en relación el modelo teórico con el independiente. El MFI solo toma en consideración la χ 2 del modelo teórico y responde a la expresión siguiente:

 MFI = e

− gl teorico 1  χ 2 − ⋅ teorico 2

 N 

donde toda la notación es conocida salvo  N  que indica el tamaño de la muestra. Con los datos del cuadro 13.9 se comprueba que:

 MFI = e

1 8,84 − 8 2 275

− ×

= 0,998

 Índice GFI  Ullman (1996) denomina a este índice y al AGFI que, como se verá, es una sencilla corrección de aquel, índices de proporción de varianza . El índice GFI (Goodness of Fit Index ) es una ratio entre los elementos ponderados de la matriz de covarianzas poblacional estimada y los elementos ponderados de la matriz de covarianzas muestral. Concretamente, su expresión es la siguiente:

GFI  =

tr ( ˆ ′W ˆ ) tr ( sˆ′Wsˆ )

donde el vector ˆ  contiene las varianzas de la matriz de covarianzas estimada y el vector s las de la matriz muestral. La matriz W  es una matriz de ponderación que varía en función del método de estimación elegido: la matriz identidad en el ULS, la matriz de covarianzas muestral en el GLS, la inversa de la matriz de covarianzas estimada en el ML, etcétera. Según  puede verse en el cuadro 13.9, este estadístico toma el valor 0,981.

27

 Índice AGFI El  Adjusted Goodness of Fit Index  (AGFI) es una corrección del anterior que se hace en función del número de parámetros que se han de estimar (a los que denominanmos k ) y el número de datos disponibles (a los que denominamos d ). Esta corrección adopta la forma:

 AGFI  = 1 −

1 − GFI  1−

k  d 

En nuestro ejemplo, con la información del cuadro 13.9, y recordando que se disponía de 21 datos y 13 parámetros a estimar, el valor del estadístico es el siguiente:

 AGFI  = 1 −

1 − 0,989 = 0,971 13 1− 21

 Índice AIC Este índice, denominado  Akaike Information Criterion  (Akaike, 1987) forma parte de un nuevo grupo que Ullman (1996) denomina índices de grado de parsimonia , por cuanto tienen en cuenta no solamente la bondad de ajuste estadístico sino también el número de parámetros a estimar. Su expresión adopta la forma: 2  AIC =  χ teorico − 2 gl teorico

Para nuestro ejemplo, con la información del cuadro 4.9 se obtiene el siguiente valor:

 AIC  = 8,84 − 2 × 8 = −7,15 ¿Qué valor debe tomar este índice? Ullman (1996) señala que “lo suficientemente bajo” pero, dado que no está normalizado a un intervalo 0-1, “suficientemente bajo” solo puede entenderse en términos comparativos con otros modelos teóricos, es decir, servirá como indicador para señalar si el modelo que hemos contrastado es mejor o peor que otro modelo contrastado previamente, pero no ofrece un nivel de ajuste absoluto. Esta es la razón de que siempre vaya acompañado por el AIC del modelo independiente, que se supone que es la base que cualquier modelo teórico debe mejorar y cuanto mayor sea la diferencia del valor del AIC del modelo comparado con el valor correspondiente independiente, tanto mejor. En nuestro ejemplo lo mejora muy claramente, dado que el AIC en el modelo independiente toma el valor:

 AIC  = 392,81 − 2 × 15 = 362,81  Índice CAIC El Consistent   AIC (CAIC) es la corrección propuesta por Bozdogan (1987) al AIC, siendo válidos todos los comentarios efectuados para este último. Su expresión es la siguiente:

28

2 CAIC =  χ teorico − ( ln N + 1 ) glteorico  

En nuestro ejemplo, como puede verse en el cuadro 13.9, toma el siguiente valor:

CAIC  = 8,84 − ( ln 275 + 1 ) 8 = −44, 09 que debe compararse con el CAIC del modelo independiente:

CAIC  = 392,81 − ( ln 275 + 1 )15 = 293,56  Índice RMR El último grupo de índices que analizaremos son los que Ullman (1996) denomina basados en los residuos que no son sino un promedio de las diferencias entre las varianzas y covarianzas muestrales y las estimadas que se derivan del modelo. Esto es: q

i

∑∑ ( sij − σ ˆij )  RMR =

2

i =1 j =1

q ( q + 1) / 2

donde toda la notación es conocida, pero recordemos que q  era el número de variables observadas. En nuestro ejemplo este índice toma el valor de 0.027. Como los residuos sin estandarizar están afectados por la escala en que se mide la variable, se suelen utilizar los residuos estandarizados construyéndose el llamado SRMR ( Standardized  RMR) que está acotado entre 0 y 1, siendo recomendables valores inferiores a 0,05. Como  puede verse en el cuadro 13.9, el índice SRMR se sitúa ligeramente por debajo de 0,05 (0,044).

13.5.3 Convergencia en el proceso de estimación Byrne (1994) plantea que, en cuanto que la estimación del modelo es un proceso iterativo, el hecho de que el algoritmo converja de una manera rápida, es indicador de un buen ajuste del modelo. La autora considera que, si después de dos o tres iteraciones, el cambio medio en las estimaciones de los parámetros se estabiliza en valores muy bajos, estaremos probablemente ante un ajuste adecuado. El EQS ofrece (cuadro 13.10) la información del número de iteraciones que han sido necesarias para la convergencia y el cambio medio en los parámetros en cada una de ellas ( parameter abs change). Puede comprobarse como, efectivamente, esta convergencia se ha  producido en apenas 6 iteraciones y cómo, a partir de la tercera, los cambios han sido mínimos.

29

Cuadro 13.10 Historial de iteraciones ITERATIVE SUMMARY

ITERATION 1 2 3 4 5 6

PARAMETER ABS CHANGE 0.298689 0.124292 0.026794 0.008439 0.001469 0.000443

ALPHA 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

FUNCTION 0.88599 0.10692 0.03287 0.03231 0.03227 0.03227

Al presentar los distintos índices de ajuste, hemos podido comprobar que en el modelo que hemos tomado como ejemplo se ha obtenido un buen ajuste a los datos. Llegados a este  punto, vamos a analizar e interpretar los resultados que hemos mostrado.

13.6 INTERPRETACIÓN DEL MODELO Hasta este momento nos hemos centrado en analizar la razonabilidad del modelo en términos globales (su ajuste). Ahora vamos a examinar si los estimadores de los parámetros son también razonables en dos sentidos: (i) ¿toman valores adecuados teóricamente? y (ii) ¿son significativos?. La mayor parte de la información necesaria para esta fase, ya se ha mostrado en los cuadros 13.4, 13.5 y 13.6 y a ellos referiremos nuestros comentarios. En primer lugar, vamos a analizar si los valores que toman los parámetros estimados son o no compatibles con el modelo estadístico. Para que exista tal compatibilidad las respuestas a las siguientes preguntas deben ser en todos casos negativas:

• • • •

¿Existen correlaciones superiores a la unidad? ¿Existen cargas factoriales estandarizadas fuera del intervalo –1,+1? ¿Son los residuos estandarizados anormalmente grandes o pequeños? ¿Hay estimaciones negativas de las varianzas?

Si hubiera respuestas no negativas, y aunque el ajuste global del modelo fuera óptimo, estaríamos ante un indicador claro de que (Long, 1983) esta incompatibilidad puede haberse originado por uno o más de los siguientes motivos: 1. El modelo está mal especificado. 2. Los datos no respaldan la hipótesis de normalidad multivariante de las variables observadas 3. La muestra es demasiado pequeña 4. El modelo está demasiado cerca de no estar identificado, lo que hace la estimación de algunos parámetros difícil o inestable. 5. Los valores perdidos de algunas variables observadas han provocado que cada elemento de la matriz de covarianzas muestral esté calculado sobre una muestra diferente.

30

Si se revisan los cuadros 13.4 a 13.6 se puede comprobar que, en el modelo del ejemplo, no se  presenta ninguna de las incompatibilidades señaladas. La segunda cuestión que debemos examinar es la significatividad estadística de cada  parámetro individual. Centraremos la explicación en los coeficientes de regresión entre variables observadas y factores comunes, aunque lo expuesto es válido para el resto de  parámetros (varianzas y covarianzas). Si tomamos, por ejemplo, la segunda ecuación del cuadro 13.4, comprobamos que aparecen las tres líneas que están reproducidas en el cuadro 13.11. La primera de ellas ofrece la ecuación correspondiente a la variable observada “calificación en Filosofía” (FSF o V2). Esta ecuación se expresa como una combinación lineal del factor común “inteligencia verbal” (F1) multiplicado por el coeficiente de regresión estimado (0,509) y un error de medida (E2). Cuadro 13.11 Ecuación con errores estándar y estadístico t FSF

=V2

=

.509*F1 .068 7.467

+ 1.000 E2

En la segunda línea aparece el error estándar (0,068) y el estadístico t   (coeficiente/error estándar = 7.467) que permite contrastar la hipótesis nula de que el parámetro es nulo. Aunque la significatividad depende de los grados de libertad, para una muestra de un tamaño mayor de 60, valores superiores a ± 1,96 permiten rechazar dicha hipótesis nula para un nivel de significación α ≤ 0,05, o superiores a 2,56 para α  ≤ 0,01. La carga factorial (o coeficiente de regresión) es, pues, significativa en este caso, así como en el resto de los coeficientes que aparecen en el cuadro 13.4. Es habitual ofrecer, sobre todo en la publicación de los resultados, la solución estandarizada del AFC, esto es, aquella en que se recalculan los estimadores para asegurar que las varianzas de los factores comunes y de las variables observadas son igual a la unidad. Esto se hace,  básicamente, para facilitar la comparación de los resultados con trabajos precedentes. Esta información, tal como la proporciona el EQS, se recoge en el cuadro 13.12 para las ecuaciones fundamentales (estimación de las coeficientes de regresión de los factores comunes y de los factores específicos), y las correlaciones entre los factores comunes.

31

Cuadro 13.12 Solución estandarizada STANDARDIZED SOLUTION: L FSF H M FSC Q

=V1 =V2 =V3 =V4 =V5 =V6

= = = = = =

.732 F1 .688*F1 .492*F1 .759 F2 .760*F2 .615*F2

+ + + + + +

.682 .725 .871 .651 .650 .789

E1 E2 E3 E4 E5 E6

CORRELATIONS AMONG INDEPENDENT VARIABLES --------------------------------------V ---

F --I F2 I F1 I

-

IQ IV

.582*I I I

Esta información se suele presentar gráficamente tal y como se recoge en la figura 13.5. Figura 13.5 Modelo AFC estimado 0,582

ξ2

ξ1

0,732

0,688

x1 0,682

0,759

x3

x2 0,725

δ1

0,492

0,871

δ2

0,760

x4 0,651

δ3

32

x5 0,650

δ4

0,615

x6 0,789

δ5

δ6

13.7 REESPECIFICACIÓN DEL MODELO Como señala Ullman (1996), existen básicamente dos motivos para reespecificar un modelo (esto es, eliminar o introducir relaciones entre las variables que los conforman): (i) mejorar su ajuste o (ii) contrastar alguna hipótesis teórica. Existen, sin embargo, muchos problemas que  pueden generarse como consecuencia de una reespecificación poco meditada. Como veremos a continuación, existen dos instrumentos analíticos –el contraste del multiplicador de Lagrange y el contraste de Wald– que nos indican qué relaciones causales pueden añadirse o eliminarse y qué mejoras en el ajuste obtendríamos con cada una de esta modificaciones. Si el investigador cae en la tentación de ir incorporando o eliminando relaciones sin más, hasta lograr un ajuste razonable y no tiene en cuenta si estas modificaciones están o no soportadas  por el marco teórico que sustenta su investigación, puede provocarse que el modelo al que se llega no sea en absoluto generalizable (McCallumn, Roznowski y Necowitz, 1992). En este mismo sentido, Pedhazur (1982) y Sorbom (1989) afirman que es científicamente incorrecto modificar un modelo simplemente porque mejore su ajuste, ya que el cambio debe ser teóricamente interpretable y el investigador debe ser capaz de justificar cuál es el motivo  para añadir una relación causal determinada. Todo lo expuesto lleva a Hatcher (1994) a plantear las siguientes recomendaciones para la modificación de un modelo, aunque la mayoría se basan en el trabajo de McCallumn, Roznowski y Necowitz (1992): 1. Utilizar muestras grandes. Los modelos basados en menos de 100 o 150 casos llevan a modelos finales poco estables si las modificaciones se basan en los datos y no en la teoría. 2. Hacer pocas modificaciones. Es posible que las primeras modificaciones puedan estar derivadas de un modelo que refleje las relaciones poblacionales; las siguientes,  probablemente, reflejarán relaciones específicas de la muestra. 3. Realizar solo aquellos cambios que puedan ser interpretados desde una perspectiva teórica o tengan soporte en trabajos precedentes. En todo caso, se deben detallar todos los cambios realizados sobre el modelo inicial en el informe del trabajo final. 4. Seguir un procedimiento paralelo de especificación. Siempre que sea posible, el investigador debería trabajar con dos muestras independientes. Si las dos muestras desembocan en las mismas modificaciones del modelo, se podrá tener una mayor confianza en la estabilidad del mismo. 5. Comparar modelos alternativos desde el principio. Más que proponer un modelo e ir modificándolo, puede ser conveniente en algunas ocasiones plantear modelos alternativos y determinar con cuál se obtiene un mejor ajuste. 6. Finalmente, describir detalladamente las limitaciones de su estudio. Como indica Hatcher (1994), la mayoría de los trabajos que se publican están basados en una única muestra y sobre los que se efectúan sucesivas modificaciones basadas en los datos hasta lograr un ajuste razonable. Si se sigue este enfoque, sería recomendable que el trabajo advirtiera al lector de todas estas circunstancias. Una vez planteadas estas precauciones, veamos a continuación los instrumentos de que se dispone para reespecificar un modelo.

33

13.7.1 Significatividad de los parámetros La primera modificación posible, y la más obvia, para mejorar el ajuste de un modelo es eliminar aquellos parámetros cuyos estimadores no sean significativos de acuerdo con los resultados de contraste t . Aunque esta acción puede que no haga disminuir el valor de la  χ 2, sí que puede hacer aumentar la probabilidad de que no sea significativa gracias al aumento del valor crítico para un nivel de significación determinado al eliminar grados de libertad (Long, 1983). En nuestro ejemplo, tal y como se comprueba en los cuadros 13.4, 13.5 y 13.6, todos los coeficientes estimados son significativos

13.7.2 Contraste del multiplicador de Lagrange El contraste ML permite evaluar la mejora que se obtiene al añadir una relación causal o una nueva covarianza al modelo teórico. Para determinar si esta mejora es estadísticamente significativa, el estadístico lleva asociado un nivel de significación. El EQS ofrece dos versiones de este contraste, la univariante y la multivariante. En la univariante se muestra el incremento que se produciría en la  χ 2 si se introdujera, por separado, cada una de las relaciones consideradas. Esta aproximación univariante tiene el problema de que, al no considerar las covarianzas entre los distintos parámetros estimados, harán que aparezcan como candidatos a añadirse al modelo y mejorar su ajuste bastantes parámetros. El enfoque multivariante, sin embargo, identifica el parámetro que conduciría a un mayor 2 incremento en el estadístico  χ    del modelo. Después de tener en consideración su introducción, muestra el parámetro cuya inclusión causaría el siguiente mayor incremento. Cuadro 13.13 Contraste univariante del multiplicador de Lagrange LAGRANGE MULTIPLIER TEST (FOR ADDING PARAMETERS) ORDERED UNIVARIATE TEST STATISTICS: NO --

CODE ----

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 12 6 12 6 6 6 12 6 6 12 6 12 6 6 6 12 6 6 6 6 0 0

PAR AMETER --------E3,E1 V2,F2 E5,E4 V6,F1 E4,E1 E4,E2 E2,E1 V3,F2 E4,E3 E6,E2 V1,F2 E3,E2 V4,F1 E6,E5 E5,E2 E5,E1 V5,F1 E6,E4 E6,E3 E6,E1 E5,E3 V1,F1 V4,F2

CHI-SQUARE ----------

PROBABILITY -----------

4.741 4.741 2.098 2.098 1.714 1.680 1.675 1.675 1.540 1.413 1.125 1.125 1.000 1.000 0.387 0.190 0.069 0.069 0.055 0.034 0.017 0.000 0.000

0.029 0.029 0.148 0.148 0.190 0.195 0.196 0.196 0.215 0.235 0.289 0.289 0.317 0.317 0.534 0.663 0.793 0.793 0.815 0.853 0.897 1.000 1.000

34

PARAMETER CHANGE ---------------0.156 0.174 0.063 0.182 -0.065 0.035 -0.091 -0.142 -0.058 0.034 -0.167 -0.039 -0.134 -0.031 -0.006 0.008 -0.013 -0.022 0.012 0.010 -0.002 0.000 0.000

Cuadro 13.14 Contraste multivariante del multiplicador de Lagrange MULTIVARIATE LAGRANGE MULTIPLIER TEST BY SIMULTANEOUS PROCESS IN STAGE

1

PARAMETER SETS (SUBMATRICES) ACTIVE AT THIS STAGE ARE: PVV PFV PFF PDD GVV GVF GFV GFF BVF BFF CUMULATIVE MULTIVARIATE STATISTICS ---------------------------------STEP PARAMETER ---- ----------1 V2,F2

CHI-SQUARE ---------4.741

D.F. ---1

PROBABILITY ----------0.029

UNIVARIATE INCREMENT -------------------CHI-SQUARE ---------4.741

PROBABILITY ----------0.029

Los cuadros 13.13 y 13.14 recogen la información señalada que se solicitó al programa con la opción /LMTEST que aparecía en la sintaxis ofrecida en el cuadro 13.2. En el contraste univariante, se observa que hay dos parámetros que, individualmente, serían candidatos a conseguir una mejora significativa del modelo. Estos dos parámetros se corresponden con la introducción de una covarianza entre los factores específicos E1 y E3, en el primer caso, y con la inclusión de una relación causal entre la variable observada V2 y el factor común F2, en el segundo caso. En ambos casos el contraste ofrece el valor aproximado que tendría el  parámetro si se añadiera ( parameter change). Sin embargo, como se ha señalado, estos contrastes tienen el inconveniente que no tiene en cuenta las covarianzas entre los distintos estimadores de los parámetros, por lo que es conveniente centrar la atención en el contraste multivariante, que descuenta estos efectos comunes. Si nos fijamos en el cuadro 13.14, comprobamos que ahora sólo propone la inclusión de una relación, o  path  causal, entre la variable V2 y el factor común F2. Y sólo incluye este parámetro porque el enfoque multivariante hace que compruebe que, tras hacerlo, ninguna otra adición provocaría mejoras significativas en la  χ 2. La necesidad estadística de introducir este parámetro no es excesiva, dado que el contraste demuestra que la mejora sería sólo significativa al 5% y no al 1% ( p=0.029) y haría que el estadístico  χ 2  disminuyera en 4.74 unidades. ¿Debe producirse esta modificación del modelo? La respuesta debe proceder del análisis teórico del investigador. El modelo tiene un ajuste suficientemente razonable, ¿tiene sentido que exista una relación causal entre la inteligencia cuantitativa y la filosofía? ¿existe soporte teórico para esta relación? ¿hay trabajos previos que lo apuntan? Si no es así, no debería introducirse la relación propuesta por el contraste LM, dado que el ajuste del modelo sin ella es razonable.

13.7.3 Contraste de Wald Mientras que el contraste LM se utiliza para plantearse si deberían añadirse nuevos  parámetros al modelo, en el contraste de Wald se aplica para cuestionarse si deberían suprimirse algunos de los parámetros existentes. En este caso, para confirmar la validez del modelo lo deseable sería, al contrario de lo que ocurre con el contraste de los multiplicadores de Lagrange, no poder rechazar la hipótesis nula de que los parámetros son cero.

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En nuestro ejemplo, como se comprueba en el cuadro 13.15, no hay relaciones que pudieran suprimirse pero, en el caso de que existieran, deberían hacerse las mismas consideraciones de naturaleza teórica que se han efectuado en el caso de inclusión de nuevos parámetros.

En general, tanto el contraste LM como el de Wald son procedimientos “paso a paso”, por lo que el error tipo I suele sobreestimarse. Por esta razón algunos autores (Ullman, 1996) recomiendan ser conservadores en el nivel de significación considerado. Por ejemplo α   =0,01  para Lagrange y α  =0.05 para Wald. También señala esta autora que, de acuerdo con McCallum (1986), el orden en que los  parámetros se eliminen o añadan puede afectar a la significatividad de los restantes, por lo que se recomienda añadir todos los parámetros necesarios antes de eliminar los innecesarios. Cuadro 13.15 Contraste de Wald

 WALD CONTRASTE (FOR DROPPING P ARAMETERS) MULTIVARIATE WALD TEST BY SIMULTANEOUS PROCESS

CUMULATIVE MULTIVARIATE STATISTICS ---------------------------------STEP PARAMETER ---- -----------

CHI-SQUARE ----------

D.F. ----

PROBABILITY -----------

UNIVARIATE INCREMENT -------------------CHI-SQUARE ----------

PROBABILITY -----------

************ NONE OF THE FREE PARAMETERS IS DROPPED IN THIS PROCESS.

13.8 UN EJEMPLO COMPLETO DE AFC Desarrollaremos ahora un ejemplo completo de AFC pero recurriendo, en esta ocasión a un  programa distinto, el módulo CALIS del SAS, de tal forma que el lector pueda apreciar las similitudes y diferencias entre dos de los programas más utilizados para este tipo de análisis.

CASO 13.2 Validez convergente de una escala de medida de la orientación de mercado El problema con que nos enfrentamos es el siguiente. Como señala Martín Armario (1993), las organizaciones se ven obligadas a estar pendientes tanto de sus clientes como de la competencia, aunque su gestión de marketing puede variar la importancia que concede a uno u otro factor a lo largo del tiempo. Nuestro investigador quiere desarrollar un instrumento de medida de estos dos aspectos del enfoque de marketing, la “orientación al cliente” y la “orientación a la competencia”, para determinar, en cada momento del tiempo, cuál está  primando por encima del otro en un sector determinado. Basándose en el trabajo de Narver y Slater (1990), desarrolla una escala de 11 preguntas donde las 6 primeras se han diseñado para medir la “orientación al cliente” y las 5 siguientes  para medir la “orientación a la competencia”, tal y como se sintetiza en el cuadro 13.16. Pero una escala de medida debe demostrar su validez convergente, esto es, si se supone que esas 11 preguntas están midiendo dos factores latentes o constructor   distintos, cada grupo de

36

variables observadas deben tener cargas significativas sobre su respectivo factor común, y no sobre los demás (puede consultarse Küster, Vila y Aldás, 2000 para profundizar en el tema de la validación de escalas). Por este motivo, tras realizar una encuesta a 375 empresas, con el cuestionario del cuadro 13.16, se realiza una aplicación del método AFC para constatar la  plausibilidad del modelo recogido en la figura 13.6. Si este modelo ofrece un ajuste razonable y todas las cargas factoriales planteadas son significativas, será una evidencia que apoyará la validez convergente de estos indicadores (Anderson y Gerbing, 1988). Cuadro 13.16 Escala de medida a validar Valore su acuerdo o desacuerdo con las siguientes afirmaciones en una escala de siete puntos donde 1=totalmente en desacuerdo; 7=totalmente de acuerdo. ORIENTACIÓN AL CLIENTE V1. Nos preocupamos por responder a las exigencias de los clientes V2. Ofrecemos servicios post-venta V3. Comprendemos las necesidades de los clientes V4. Nos fijamos objetivos de satisfacción del cliente V5. Medimos el grado de satisfacción del cliente V6. Las acciones de mi empresa van dirigidas a que el cliente obtenga más por el mismo precio

ORIENTACIÓN A LA COMPETENCIA V7. Poseemos información sobre la cuota de mercado de la competencia V8. Damos una respuesta rápida a las acciones de la competencia V9. La alta dirección efectúa análisis de las estrategias de la competencia V10. El personal de ventas regularmente comparte información con nuestro negocio en relación a la estrategia de los competidores. V11. Vemos como ventajas competitivas las oportunidades de mercado

 Fuente: adaptado de Narver y Slater (1990) Sometido a un primer análisis descriptivo las 11 variables, obtenemos la matriz de varianzas y covarianzas que se recoge en el cuadro 13.17 y que será el punto de partida de nuestro análisis.

37

Figura 13.6 Modelo teórico sujeto a contraste φ12=φ21

Orientación al cliente

λ 11

λ 21

λ 31

ξ1

ξ2

λ 41

λ 51

λ 61

λ 72

λ 82

λ 92

Orientación a la competencia

λ 102

λ 112

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

δ1

δ2

δ3

δ4

δ5

δ6

δ7

δ9

δ9

δ10

δ11

Cuadro 13.17. Matriz de varianzas covarianzas del ejemplo V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11

V1 8,48 4,03 3,32 4,76 5,34 2,72 1,97 1,56 1,81 1,53 0,06

V2 8,79 2,68 4,81 4,62 1,89 3,54 1,47 2,97 2,72 0,52

V3

V4

V5

5,32 2,71 2,62 1,68 1,05 1,39 1,70 0,28 0,60

10,14 5,02 2,23 3,45 2,52 2,26 2,43 -0,37

8,60 2,33 2,46 1,03 2,36 1,55 0,84

V6

7,31 0,60 1,07 0,53 0,27 1,34

V7

8,61 1,94 3,04 3,03 -0,61

V8

7,07 2,53 1,92 0,29

V9

7,34 3,08 0,83

V10

8,09 0,43

V11

1,34

El primer paso consiste en identificar el modelo teórico ilustrado en la figura 13.6. Para ello es necesario determinar los parámetros que se han de estimar y los que se han de constreñir a un valor prefijado, de acuerdo con las especificaciones dadas. En este sentido, se llevan a cabo las siguientes tareas: 1. Establecimiento de la escala de los factores comunes. Puede fijarse la carga factorial entre una variable observada y el factor común a 1 o la varianza de ese factor común a 1. En este caso, se ha optado por fijar la varianza del factor común a uno, como se ilustra en la figura 13.7. 2. Comprobación de la identificabilidad de la parte del modelo que contiene la relación entre las variables observadas y los factores. Como tenemos dos factores y más de tres variables observadas por cada uno de ellos, se han asumido las siguientes supuestos: los términos de error estén incorrelacionados entre sí; cada variable carga solo sobre un factor; se permite a los factores que covaríen; y se fijan a 1 los parámetros de los coeficientes de regresión de los términos de error en las ecuaciones de las variables observadas. Todos estos supuestos se recogen en la figura 13.7. .

38

3. Determinación de los grados de libertad. Tras las restricciones anteriores, se dispone de 11×12/2=66 datos y de 23 parámetros a estimar: las 11 varianzas de los términos de error, los 11 coeficientes de regresión entre las variables observadas y los factores comunes y la covarianza entre dichos factores. El modelo está, pues, sobreidentificado y tiene 43 grados de libertad. Figura 13.7 Modelo teórico identificado φ12=φ21=*

φ11=1 ξ1

Orientación al cliente

φ22=1 ξ2

λ 11=* λ 21=* λ 31=*  λ 41=*  λ 51=* λ 61=* v1

v2

v3

v4

v5

Orientación a la competencia

λ 72=* λ 82=*  λ 92=*  λ 102=* λ 112=* v7

v6

v8

v9

1

1

1

1

1

1

1

1

δ1*

δ2*

δ3*

δ4*

δ5*

δ6*

δ7*

δ9*

v10 1

δ9*

v11 1

δ10*

1

δ11*

Una vez identificado el modelo, escribimos la sintaxis del SAS CALIS que permite su contrastación, tal como aparece recogida en el cuadro 13.18. Hemos optado por utilizar la opción de formulación equivalente al EQS (opción LINEQS de la sintaxis) para facilitar la comparabilidad de la misma con la mostrada con anterioridad. Comentamos a continuación los elementos básicos de la misma.

39

Cuadro 13.18 Sintaxis del SAS CALIS DATA D1 (TYPE=COV); INPUT _TYPE_ $ _NAME_ $ CARDS; N . 375 375 COV V1 8.48 . COV V2 4.03 8.79 COV V3 3.32 2.68 COV V4 4.76 4.81 COV V5 5.34 4.62 COV V6 2.72 1.89 COV V7 1.97 3.54 COV V8 1.56 1.47 COV V9 1.81 2.97 COV V10 1.53 2.72 COV V11 0.06 0.52 ;

V1-V11; 375 375 . . . . 5.32 . 2.71 10.14 2.62 5.02 1.68 2.23 1.05 3.45 1.39 2.52 1.70 2.26 0.28 2.43 0.60 -0.37

375 . . . . 8.60 2.33 2.46 1.03 2.36 1.55 0.84

375 375 . . . . . . . . . . 7.31 . 0.60 8.61 1.07 1.94 0.53 3.04 0.27 3.03 1.34 -0.61

375 . . . . . . . 7.07 2.53 1.92 0.29

375 . . . . . . . . 7.34 3.08 0.83

375 . . . . . . . . . 8.09 0.43

375 . . . . . . . . . . 8.25

PROC CALIS COVARIANCE CORR RESIDUAL MODIFICATION METHOD=ML; LINEQS V1=LV1F1 F1+E1, V2=LV2F1 F1+E2, V3=LV3F1 F1+E3, V4=LV4F1 F1+E4, V5=LV5F1 F1+E5, V6=LV6F1 F1+E6, V7=LV7F2 F2+E7, V8=LV8F2 F2+E8, V9=LV9F2 F2+E9, V10=LV10F2 F2+E10, V11=LV11F2 F2+E11; STD F1=1, F2=1, E1-E11=VARE1-VARE11; COV F1 F2=CF1F2; VAR V1-V11; RUN;

Como se puede comprobar al examinar el cuadro 13.18, la sintaxis del SAS CALIS es muy similar a la del EQS. La primera parte de la misma (DATA) se limita a suministrar al  programa la matriz de varianzas covarianzas con la que ha de trabajar y el número de casos (375) que la han generado. En la segunda parte (PROC CALIS) se dan las siguientes instrucciones: el análisis se ha de efectuar sobre la matriz de varianzas covarianzas (COVARIANCES) y no sobre la matriz de correlación; se debe imprimir la matriz de correlación (CORR); se debe imprimir la matriz de varianzas covarianzas residual, tanto la absoluta como la estandarizada (RESIDUAL); se solicita que ofrezca los indicadores necesarios para reespecificar el modelo, caso de que el ajuste no sea bueno, es decir, los contrastes de Wald y multiplicadores de Lagrange (MODIFICATION); y, finalmente, se indica al programa que efectúe una estimación por máxima verosimilitud (METHOD=ML). Caso de optar por otro procedimiento se utilizarían los siguientes códigos: GLS para mínimos cuadrados generalizados; LSGLS para realizar primero una estimación por mínimos

40

cuadrados sin ponderar, seguida de otra por mínimos cuadrados generalizados; LSML para realizar primero una estimación por mínimos cuadrados sin ponderar seguida por una por máxima verosimilitud; y, finalmente, ULS para realizar una estimación por mínimos cuadrados sin ponderar. El paso siguiente consiste en introducir las ecuaciones que, como se señaló, se efectúa en este caso siguiendo la notación de Bentler y Weeks (1980), lo que se le indica al programa mediante la instrucción LINEQS. A partir de aquí la sintaxis es inmediata y se deriva de manera directa de la figura 13.7. Las variables se denotan con la letra V, los coeficientes de regresión con la letra L (de loadings) seguida por los dos elementos que une (V1 y F1, por ejemplo), los factores comunes se denotan con la letra F y los términos de error por la letra E. El término STD introduce las varianzas que se desea estimar o fijar a un valor determinado. Si se fijan se pone el valor (F1=1) y si se dejan libres para su estimación, se le asigna un nombre (E1-E11=VARE1-VARE11). De forma análoga, las covarianzas entre los factores comunes se introduce con COV; así se indica que se quiere estimar la covarianza entre F1 y F2 asignándole el nombre CF1F2 mediante la instrucción: F1 F2 = CF1F2. Explicada la sintaxis del SAS CALIS, pasamos a examinar los resultados. En primer lugar, el  programa ofrece la matriz de varianzas covarianzas residual como primer indicador de ajuste. Lo hace tanto en su versión original como estandarizada y, al igual que el EQS, muestra los 10 residuos más grandes y una media de los residuos, tanto global, como los que están fuera de la diagonal. En el cuadro 13.19 ofrecemos la matriz de residuos estandarizados. De su análisis se comprueba que existen algunas variables con residuos elevados, como V7 y V2 o V10 y V3, lo que constituye un indicio de que la relación entre las mismas no ha sido bien recogida por el modelo propuesto. Si se analiza gráficamente la distribución de los residuos (cuadro 13.20) se comprueba que aunque la distribución es aproximadamente simétrica y centrada en cero, existen demasiados residuos fuera del intervalo [-1;1], mostrando también problemas en el ajuste del modelo. Finalmente, el análisis del historial de iteraciones (cuadro 13.21) no muestra problemas de convergencia, ya que ésta se produce a partir de la tercera iteración, no efectuando el  programa ninguna advertencia sobre la misma (“GCONV convergence criterion satisfied ).

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Cuadro 13.19 Matriz de residuos estandarizados

Asymptotically Standardized Residual Matrix

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11

V1

V2

V3

V4

0.000000000 -3.357227097 2.967204321 -1.246975692 3.069122401 1.877452055 -1.059194816 -0.262920898 -2.517730704 -1.962033167 -0.570490414

-3.357227097 0 .000000000 0.0 76573558 1.190600216 0.003342966 -1.095682629 4.496137954 -0.138686540 2.723908897 2.459194714 0.702822447

2. 967204321 0.07 6573558 0.00000 0000 -1.095790386 -2.237389256 1.328560327 -1.053078900 1.601857105 1.162790049 -3.515198142 1.403369934

-1.246975692 1.1906002 16 -1.095790386 0.000000000 -0.208504765 -0.509764345 3.393318795 2.567732915 -0.628459373 0.916976181 -1.558406356

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11

V7

V8

V9

-1.059194816 4.496137954 -1.05307890 0 3.393318795 0.480245969 -1.372962599 0.000000000 -1.14433812 2 -1.465373166 1.08465399 0 -3.135821742

-0.262920898 -0.138686540 1.601857105 2.567732915 -2.183475608 0.864289775 -1.144338122 0.000000000 1.252373332 -0.449518533 0.093296378

-2.517730704 2.723908897 1.162790049 -0.628459373 -0.427554446 -1.977122902 -1.465373166 1.252373332 0.000000000 0.699166646 1 .881433740

V5 3 .069122401 0.003342966 -2.237389256 -0.208504765 0.000000000 -0.260239832 0.480245969 -2.183475608 -0.427554446 -2.047080370 1.539342408

V6 1.8774 52055 -1.095682629 1.3 28560327 -0.509764345 -0.260239832 0.000000000 -1.372962599 0.864289775 -1.977122902 -2.106146228 3.138667879

V10 -1.962033167 2.459194714 -3.515198142 0 .916976181 -2.047080370 -2.106146228 1.084653990 -0.449518533 0.699166646 0 .000000000 0.3 10648263

V11 -0.570490414 0.70282244 7 1.403369934 -1.558406356 1.539342408 3.138667879 -3.135821742 0.093296378 1.881433740 0. 310648263 0.00 0000000

Average Standardized Residual = 1.256 Average Off-diagonal Standardized Residual = 1.507 Rank Order of 10 Largest Asymptotically Standardized Residuals V7,V2 4.4961

V10,V3 -3.5152

V7,V4 3.3933

V2,V1 -3.3572

V11,V6 3.1387 V8,V4 2.5677

42

V11,V7 -3.1358

V5,V1 3.0691

V3,V1 2.9672

V9,V2 2.7239

Cuadro 13.20 Distribución de los residuos estandarizados Covariance Structure Analysis: Maximum Likelihood Estimation Distribution of Asymptotically Standardized Residuals (Each * represents 1 residuals) -3.75000 -3.50000 -3.25000 -3.00000 -2.75000 -2.50000 -2.25000 -2.00000 -1.75000 -1.50000 -1.25000 -1.00000 -0.75000 -0.50000 -0.25000 0 0.25000 0.50000 0.75000 1.00000 1.25000 1.50000 1.75000 2.00000 2.25000 2.50000 2.75000 3.00000 3.25000 3.50000 3.75000 4.00000 4.25000

-

-3.50000 -3.25000 -3.00000 -2.75000 -2.50000 -2.25000 -2.00000 -1.75000 -1.50000 -1.25000 -1.00000 -0.75000 -0.50000 -0.25000 0 0.25000 0.50000 0.75000 1.00000 1.25000 1.50000 1.75000 2.00000 2.25000 2.50000 2.75000 3.00000 3.25000 3.50000 3.75000 4.00000 4.25000 4.50000

1 1 1 0 1 0 4 2 1 2 6 0 3 4 2 14 2 2 2 3 3 2 2 0 1 2 1 2 1 0 0 0 1

1.52% 1.52% 1.52% 0.00% 1.52% 0.00% 6.06% 3.03% 1.52% 3.03% 9.09% 0.00% 4.55% 6.06% 3.03% 21.21% 3.03% 3.03% 3.03% 4.55% 4.55% 3.03% 3.03% 0.00% 1.52% 3.03% 1.52% 3.03% 1.52% 0.00% 0.00% 0.00% 1.52%

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

* * * * **** ** * ** ****** *** **** ** ************** ** ** ** *** *** ** ** * ** * ** *

*

Cuadro 13.21 Historial de iteraciones Covariance Structure Analysis: Maximum Likelihood Estimation Levenberg-Marquardt Optimization Scaling Update of More (1978) Number of Parameter Estimates 23 Number of Functions (Observations) 66 Optimization Start: Active Constraints= 0 Radius= 1.000 Iter rest nfun act 1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 0 6 0 7 0 7 0 8 0 8 0 9 0

Criterion= 0.428 Maximum Gradient Element= 0.036

optcrit 0.4045 0.4032 0.4031 0.4031 0.4031 0.4031 0.4031 0.4031

difcrit 0.0233 0.00128 0.000074 5.396E-6 4.375E-7 3.825E-8 3.513E-9 3.32E-10

maxgrad 0.0439 0.00188 0.00304 0.00018 0.00022 0.00003 0.00002 4.06E-6

lambda 0 0 0 0 0 0 0 0

rho 0.882 0.903 0.956 1.037 1.120 1.187 1.236 1.267

Optimization Results: Iterations= 8 Function Calls= 10 Jacobian Calls= 9 Active Constraints= 0 Criterion= 0.40309939 Maximum Gradient Element= 4.06181E-6 Lambda= 0 Rho= 1.267 Radius= 0.00005455 NOTE:

GCONV convergence criterion satisfied.

43

Cuadro 13.22 Indices de bondad de ajuste Covariance Structure Analysis: Maximum Likelihood Estimation Fit criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4031 Goodness of Fit Index (GFI) . . . . . . . . . . 0.9309 GFI Adjusted for Degrees of Freedom (AGFI). . . . 0.8940 Root Mean Square Residual (RMR) . . . . . . . . . 0.4684 Parsimonious GFI (Mulaik, 1989) . . . . . . . . . 0.7278 Chi-square = 150.7592 df = 43 Prob>chi**2 = 0.0001 Null Model Chi-square: df = 55 1109.3122 RMSEA Estimate . . . . . . 0.0819 90%C.I.[0.0679, 0.0963] Probability of Close Fit . . . . . . . . . . . . 0.0001 ECVI Estimate . . . . . . . 0.5302 90%C.I.[0.4391, 0.6422] Bentler's Comparative Fit Index . . . . . . . . . 0.8978 Normal Theory Reweighted LS Chi-square . . . . . 152.5770 Akaike's Information Criterion. . . . . . . . . . 64.7592 Bozdogan's (1987) CAIC. . . . . . . . . . . . . . -147.0986 Schwarz's Bayesian Criterion. . . . . . . . . . . -104.0986 McDonald's (1989) Centrality. . . . . . . . . . . 0.8662 Bentler & Bonett's (1980) Non-normed Index. . . . 0.8693 Bentler & Bonett's (1980) NFI . . . . . . . . . . 0.8641 James, Mulaik, & Brett (1982) Parsimonious NFI. . 0.6756 Z-Test of Wilson & Hilferty (1931). . . . . . . . 7.2937 Bollen (1986) Normed Index Rho1 . . . . . . . . . 0.8262 Bollen (1988) Non-normed Index Delta2 . . . . . . 0.8989 Hoelter's (1983) Critical N . . . . . . . . . . . 149

Los indicadores de bondad de ajuste aparecen en el cuadro 13.22. En dicho cuadro se han subrayado aquellos que se comentaron en el desarrollo del tema y que están presentes en el  programa SAS CALIS. Todos parecen señalar que existe un problema de ajuste. Así aunque la chi cuadrado es inferior a la del modelo independiente (150,75<1109,31), es significativa, con lo que se rechaza la hipótesis nula de que las matrices nc y   sean iguales, hecho no deseable. Por otra parte, los índices NFI (0,8641) y NNFI (0,8693) no son superiores a 0,9; lo mismo ocurre con los índices CFI (0,8978) y AGFI (0,8940). Esta información ya debería llevar al investigador a dudar de la validez convergente de la escala que ha utilizado. Pero si pese a saber que su escala no es válida en este sentido, desea saber cuál es la causa que origina los problemas en su instrumento de medición, debería seguir con el análisis de los resultados. En primer lugar, debe analizar la significatividad de los parámetros estimados, dado que quizás los problemas de ajuste se deban solamente a que alguno de los items de la escala no guarde una relación significativa con el factor. El cuadro 13.23 nos muestra la parte de la solución que afecta a la relación entre las variables observadas y los factores comunes. De su análisis se aprecia que prácticamente todas las cargas factoriales son significativas, ya que los estadísticos t , excepto el correspondiente a V11, superan ampliamente a 2 en valor absoluto. Una primera modificación podría ir en la línea de eliminar esta relación. Pero recordemos nuestra insistencia de que no se trata de lograr un ajuste estadístico, sino que cada reespecificación del modelo debe tener una justificación teórica de acuerdo con los objetivos de la investigación. En este caso, si la eliminación de la relación desembocara en un buen ajuste, la única consecuencia sería que la escala que mide la orientación a la competencia

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tendría un item menos de los inicialmente propuestos, pero sería válida en un sentido convergente, lo que puede ser hasta deseable en términos de parsimonia. Para estimar este nuevo modelo, bastaría eliminar la última ecuación del cuadro 13.18 y cualquier referencia a la variable V11 de la sintaxis, incluyendo la matriz de varianzas y covarianzas. Si se hace esto, se obtendría el ajuste del modelo que sintetizan los índices del cuadro 13.24 donde, aunque se producen ligeras mejoras, estas no son suficientes para considerar como bueno el ajuste del modelo. Llegados a este punto, el investigador ya sabe que en ningún caso su escala va a gozar de validez convergente, porque cualquier otro tipo de modificación que ahora presentaremos ya supone cambios demasiados importantes respecto al modelo teórico como para considerarlo válido. ¿Qué otras modificaciones se pueden introducir? El cuadro 13.25 nos ofrece los contraste de Lagrange y de Wald que nos sirven como indicador. Cuadro 13.23 Parámetros estimados Covariance Structure Analysis: Maximum Likelihood Estimation Manifest Variable Equations V1 = Std Err t Value

2.2132*F1 + 0.1372 LV1F1 16.1305

1.0000 E1

V2 = Std Err t Value

2.0465*F1 + 0.1443 LV2F1 14.1828

1.0000 E2

V3 = Std Err t Value

1.3029*F1 + 0.1180 LV3F1 11.0399

1.0000 E3

V4 = Std Err t Value

2.2377*F1 + 0.1541 LV4F1 14.5202

1.0000 E4

V5 = Std Err t Value

2.2573*F1 + 0.1375 LV5F1 16.4143

1.0000 E5

V6 = Std Err t Value

1.0553*F1 + 0.1454 LV6F1 7.2583

1.0000 E6

V7 = Std Err t Value

1.7469*F2 + 0.1663 LV7F2 10.5077

1.0000 E7

V8 = Std Err t Value

1.2564*F2 + 0.1539 LV8F2 8.1613

1.0000 E8

V9 = Std Err t Value

1.8519*F2 + 0.1523 LV9F2 12.1590

1.0000 E9

V10 = Std Err t Value

1.6100*F2 + 0.1619 LV10F2 9.9469

1.0000 E10

V11 = Std Err t Value

0.2065*F2 + 0.1745 LV11F2 1.1834

1.0000 E11

45

Cuadro 13.24 Indices de bondad de ajuste tras eliminar V11 Covariance Structure Analysis: Maximum Likelihood Estimation Fit criterion . .......................... 0.3157 Goodness of Fit Index (GFI) . . . . . . . . . 0.9395 GFI Adjusted for Degrees of Freedom (AGFI). . .0.9022 Root Mean Square Residual (RMR) . . . . . . . 0.4415 Parsimonious GFI (Mulaik, 1989) . . . . . . . .0.7099 Chi-square = 118.0681 df = 34 Prob>chi**2 =0.0001 Null Model Chi-square: df = 45 1075.2518 RMSEA Estimate . . . 0.0813 90%C.I .[0.0656, 0.0976] Probability of Close Fit . . . . . . . . 0.0008 ECVI Estimate . . . . 0.4314 90%C.I.[0.3521, 0.5316] Bentler's Comparative Fit Index . . . . 0.9184 Normal Theory Reweighted LS Chi-square . . 120.3436 Akaike's Information Criterion. . . . . . . . 50.0681 Bozdogan's (1987) CAIC. . . . . . . . . .. -117.4474 Schwarz's Bayesian Criterion. . . . . . . -83.4474 McDonald's (1989) Centrality. . . . . . . . . 0.8940 Bentler & Bonett's (1980) Non-normed Index. . .0.8920 Bentler & Bonett's (1980) NFI . . . . . . . . .0.8902 James, Mulaik, & Brett (1982) Parsimonious NFI.0.6726 Z-Test of Wilson & Hilferty (1931). . . . . . .6.4426 Bollen (1986) Normed Index Rho1 . . . . . . . .0.8547 Bollen (1988) Non-normed Index Delta2 . . . . .0.9193 Hoelter's (1983) Critical N . . . . . . . . . . . 155

(se denomina GAMMA en el Si nos fijamos en las propuestas de modificación de la matriz  programa SAS), esto es, las que afectan a las relaciones entre las variables observadas y los factores comunes, vemos que el multiplicador de Lagrange mayor corresponde a una posible relación entre V2 y F2 que, en ningún momento estaba planteada teóricamente. Sin embargo, si el modelo ajustara mejor con su inclusión, podríamos estar ante un indicador que es compartido por los dos constructos analizados (F1 y F2) que, quizás, pueda servir de base  para realizar una posible modificación de la escala. ¿Por qué no prestamos atención a los multiplicadores de Lagrange asociados al vector de errores (PHI)? Eso es debido a que, al establecer relaciones entre los términos de error entre sí y con los factores, no tendríamos  justificación teórica para hacer alguna propuesta sobre ellos. Finalmente, el contraste de Wald nos plantea que eliminemos la relación entre la variable V11 y el factor F2, lo que ya sabíamos, puesto que este parámetro (LV11F2) había resultado ser no significativo.

46

Cuadro 13.25 Multiplicadores de Lagrange y contraste de Wald Rank order of 10 largest Lagrange multipliers in _PHI_ E2 : F1 21.1267 : 0.000

E2 : F2 21.1263 : 0.000

E10 : E3 13.6276 : 0.000

E2 : E1 11.2709 : 0.001

E11 : E6 10.4606 : 0.001

E7 : E2 9.9540 : 0.002

E11 : E7 9.8334 : 0.002

E1 : F1 9.5723 : 0.002

E1 : F2 9.5721 : 0.002

E5 : E1 9.4192 : 0.002

Rank order of 5 largest Lagrange multipliers in _GAMMA_ V2 : F2 21.1261 : 0.000

V1 : F2 9.5720 : 0.002

V4 : F2 5.4948 : 0.019

V6 : F2 3.9647 : 0.046

V7 : F1 3.8312 : 0.050 Covariance Structure Analysis: Maximum Likelihood Estimation Stepwise Multivariate Wald Test --------------------------------------------------------------------------Cumulative Statistics Univariate Increment Parameter Chi-Square D.F. Prob Chi-Square Prob --------------------------------------------------------------------------LV11F2 1.400515 1 0.2366 1.400515 0.2366

Para la introducción de las dos cambios señaladas hay que modificar la sintaxis de 13.18, expresando la ecuación correspondiente a V2 de esta forma V2=LV2F1 F1+LV2F2 F2+E2

y eliminando la correspondiente a V11: V11=LV11F2 F2+E11 ;

Con estas modificaciones el ajuste del modelo mejora significativamente, como se aprecia en 2 el cuadro 13.26, lográndose incluso que el estadístico  χ    sea no significativo para un nivel α=0,05 (p=0,08) y que los índices GFI, AGFI, NFI, NNFI y CFI superen el valor de 0,9. Como se comprueba en el cuadro 13.27, todos los parámetros que relacionan los factores comunes con las variables observadas son significativos ( t supera ampliamente 2 en valor absoluto), como también lo es la covarianza entre los factores comunes y el resto de  parámetros estimados (cuadro 13.28). De la solución estandarizada del cuadro 13.29, obtendríamos la síntesis gráfica del modelo que se ilustra en la figura 13.8.

47

Cuadro 13.26 Indices de bondad de ajuste tras eliminar V11 e introducir la relación V2F2 Covariance Structure Analysis: Maximum Likelihood Estimation Fit criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2580 Goodness of Fit Index (GFI) . . . . . . . . . . . 0.9519 GFI Adjusted for Degrees of Freedom (AGFI). . . . 0.9198 Root Mean Square Residual (RMR) . . . . . . . . . 0.3884 Parsimonious GFI (Mulaik, 1989) . . . . . . . . . 0.6980 Chi-square = 44.8992 df = 33 Prob>chi**2 = 0.0810 Null Model Chi-square: df = 45 500.2508 RMSEA Estimate . . . . . . . . . 0.0455 90%C.I.[., 0.0764] Probability of Close Fit . . . . . . . . . . . . 0.5596 ECVI Estimate . . . . . . . . . . 0.5280 90%C.I.[., 0.6556] Bentler's Comparative Fit Index . . . . . . . . . 0.9739 Normal Theory Reweighted LS Chi-square . . . . . 43.9820 Akaike's Information Criterion. . . . . . . . . . -21.1008 Bozdogan's (1987) CAIC. . . . . . . . . . . . . . -158.5388 Schwarz's Bayesian Criterion. . . . . . . . . . . -125.5388 McDonald's (1989) Centrality. . . . . . . . . . . 0.9666 Bentler & Bonett's (1980) Non-normed Index. . . . 0.9644 Bentler & Bonett's (1980) NFI . . . . . . . . . . 0.9102 James, Mulaik, & Brett (1982) Parsimonious NFI. . 0.6675 Z-Test of Wilson & Hilferty (1931). . . . . . . . 1.3992 Bollen (1986) Normed Index Rho1 . . . . . . . . . 0.8776 Bollen (1988) Non-normed Index Delta2 . . . . . . 0.9745 Hoelter's (1983) Critical N . . . . . . . . . . . 185

48

Cuadro 13.27 Ecuaciones entre variables observadas y factores comunes Manifest Variable Equations V1 = Std Err t Value

2.2636*F1 0.2004 LV1F1 11.2943

+

1.0000 E1

V2 = Std Err t Value

1.4923*F1 0.2551 LV2F1 5.8511

+

0.8903*F2 0.2674 LV2F2 3.3291

V3 = Std Err t Value

1.3095*F1 0.1733 LV3F1 7.5568

+

1.0000 E3

V4 = Std Err t Value

2.2110*F1 0.2275 LV4F1 9.7174

+

1.0000 E4

V5 = Std Err t Value

2.2799*F1 0.2018 LV5F1 11.2967

+

1.0000 E5

V6 = Std Err t Value

1.0767*F1 0.2133 LV6F1 5.0485

+

1.0000 E6

V7 = Std Err t Value

1.8117*F2 0.2400 LV7F2 7.5486

+

1.0000 E7

V8 = Std Err t Value

1.1893*F2 0.2249 LV8F2 5.2878

+

1.0000 E8

V9 = Std Err t Value

1.8173*F2 0.2201 LV9F2 8.2568

+

1.0000 E9

V10 = Std Err t Value

1.6372*F2 + 0.2344 LV10F2 6.9860

49

1.0000 E10

+

1.0000 E2

Cuadro 13.28 Varianzas términos de error y covarianzas entre factores comunes Variances of Exogenous Variables --------------------------------------------------------------------Standard Variable Parameter Estimate Error t Value --------------------------------------------------------------------F1 1.000000 0 0.000 F2 1.000000 0 0.000 E1 VARE1 3.355968 0.505628 6.637 E2 VARE2 4.355047 0.558798 7.794 E3 VARE3 3.605119 0.423623 8.510 E4 VARE4 5.251300 0.681533 7.705 E5 VARE5 3.401862 0.512702 6.635 E6 VARE6 6.150721 0.682929 9.006 E7 VARE7 5.327597 0.746134 7.140 E8 VARE8 5.655471 0.668561 8.459 E9 VARE9 4.037574 0.628791 6.421 E10 VARE10 5.409506 0.713664 7.580 Covariances among Exogenous Variables -------------------------------------------------------------------Standard Parameter Estimate Error t Value -------------------------------------------------------------------F2 F1 CF1F2 0.532588 0.081180 6.561

Cuadro 13.26 Indices de bondad de ajuste tras eliminar V11 e introducir la relación V2F2 Equations with Standardized Coefficients V1

=

V2

=

V3

=

V4

=

V5

=

V6

=

V7

=

V8

=

V9

=

V10

=

0.7773*F1 LV1F1 0.5034*F1 LV2F1 0.5678*F1 LV3F1 0.6943*F1 LV4F1 0.7775*F1 LV5F1 0.3982*F1 LV6F1 0.6174*F2 LV7F2 0.4473*F2 LV8F2 0.6708*F2 LV9F2 0.5756*F2 LV10F2

50

+ 0.6291 E1 + 0.3003*F2 LV2F2 + 0.8232 E3 + 0.7196 E4 + 0.6289 E5 + 0.9173 E6 + 0.7866 E7 + 0.8944 E8 + 0.7417 E9 + 0.8177 E10

+ 0.7039 E2

Figura 13.8 Modelo final estimado 0.532

Orientación al cliente

Orientación a la competencia

ξ2

ξ1

0.300

0.617 0.777

v1

v2

0.629

δ1

0.567

0.503

0.703

δ2

v3 0.823

δ3

0.694

v4 0.719

δ4

0.777

0.398

v5

v6

0.628

δ5

v7

δ7

0.670 0.575

v8

0.786

0.917

δ6

0.447

0.894

δ9

v9 0.741

δ9

v10 0.817

δ10

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Akaike, H. (1987): “Factor Analysis and AIC”.  Psychometrika, vol. 52, pp. 317-332. Anderson, J.C. y Gerbing, D.W. (1984): “The effect of sampling error on covergence, improper solutions, and goodness of fit indices for maximum likelihood confirmatory factor analysis”. Psychometrika, vol. 49, pp. 155-173. Anderson, J.C. y Gerbing, D.W. (1988): “Structural equation modelling in practice: A review and recommended two step approach”.  Psychological Bulletin, nº 103, pp. 411-423. Bearden, W.O.; Sharma, S. y Teel, J.E. (1982): “Sample sizes effects on chi square and other statistics used in evaluating causal models”.  Journal of Marketing Research, Vol. 19,  pp. 425-430. Bentler, P.M. (1988): “Comparative fit indeces in structural models”.  Psychological Bulletin , 107, pp. 238-246. Bentler, P.M. (1992): “On the fit of models to covariances and methodology to the Bulletin”.  Psychological Bulletin, 112, pp. 400-404. Bentler, P.M. (1995):  EQS Structural Equations Program Manual . Encino, CA: Multivariate Software, Inc. Bentler, P.M. y Bonett, D.G. (1980): “Significance tests and goodness of fit in the analysis of covariance structures”. Psychological Bulletin, 88, pp. 588-606. Bentler, P.M. y Weeks, D.G. (1980): “Linear structural equations with latent variables”.  Psychometrika, vol. 45, pp. 289-308. Bollen, K.A. (1989): Structural Equations with Latent Variables . Nueva York: Wiley. Bozdogan, H. (1987): “Model selection and Akaike’s information criteria: The general theory and its analytical extensions”.  Psychometrika, vol. 52, pp. 345-370. Browne, M.W. y Cudeck, R. (1993): “Alternative ways of assessing model fit”. En Bollen, K.A. y Long, J.S. (eds), Testing Structural Models. Newbury Park: Sage. Byrne, B. (1994): Structural Equation Modeling with EQS and EQS/Windows . Thousand Oaks, CA: Sage.

51

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52

APÉNDICE A13.1 El problema de la indentificación Consideremos un modelo de AFC tal y como fue planteado en la ecuación (13-1):

x=

+

Por otra parte, la matriz   que contiene las varianzas y covarianzas de las variables observadas puede descomponerse tal y como se mostraba en la ecuación (13-3) ′

Si no se impone ningún tipo de restricción a los parámetros de , y   y si existe un conjunto de parámetros que cumplen (13-3), entonces habrá un infinito número de ellos. Veámoslo. Sea M cualquier matriz s× s no singular, por tanto, invertible. Si definimos:

M −1; && = M

&& entonces:

&& &&

= ( M −1 ) ( M ) +

( M −1M )

=

de tal forma que si x cumple (13-1), también se cumple que:

x = && && La matriz de varianzas covarianzas de &&  vendrá dada por

&& =  E ⎡ &&&&′ ⎤ ⎣ ⎦

E[

Μ

(Μ ′ ] = ME [

′ ] M′ = M M′

Si operamos en (13-3) se obtiene que:

&& && && ′

= ( M −1 ) ( M M′ ) ( M′−1 ′ ) + = ( MM −1 )

( M′M′−1 )

′

′ Por lo tanto, si  cumple (13-3), también se cumple que:

&& && && ′ Dado que las matrices marcadas con “¨” sólo serían iguales a las originales en el caso en que M=I, existen infinitas matrices M invertibles que dan lugar a infinitas soluciones del modelo. En consecuencia, este modelo se definiría como no identificado.

53

Ejercicio Análisis Factorial Confirmatorio Shimp y Sharma (1987) desarrollaron una escala de 17 ítemes para medir las tendencias etnocéntricas de los consumidores en lo referente a comprar productos hechos fuera de los Estados Unidos frente a comprar productos norteamericanos. Se adjunta una copia del mencionado artículo con el fin de que, quien no lo haya trabajado, pueda profundizar en el concepto de etnocentrismo que ha generado numerosa literatura en marketing. En ese trabajo, los autores identificaron una batería de sólo 10 ítemes que podían también utilizarse como indicadores de la tendencia etnocéntrica y que se muestran (conscientemente sin traducir) en el cuadro 1. La escala fue administrada a 575 individuos que expresaron su acuerdo o desacuerdo con cada una de las afirmaciones del cuadro 1 en una escala tipo Likert de 7 puntos en la que 1 significaba completo desacuerdo y 5 completo acuerdo. La matriz de varianzascovarianzas que sintetiza los datos se ofrece en el cuadro 2. Los autores parten de la hipótesis de que el etnocentrismo en un concepto unidimensional, esto es, que los 10 ítemes deberían conformar un único factor. Dado lo expuesto se pide: 1. Dibuja el esquema del modelo que permitirá contrastar la hipótesis señalada. 2. Escribe la sintaxis de EQS que permitiría contrastar la hipótesis mencionada, esto es, que efectúe un análisis factorial confirmatorio donde los 10 ítemes carguen sobre un sólo factor. Ten en cuenta lo explicado sobre la correcta especificación del modelo. 3. Rueda la sintaxis y, con los diversos indicadores explicados en la teoría, determina si el ajuste es o no razonable. 4. Interpreta los resultados. Determina si los parámetros estimados toman valores adecuados teóricamente. 5. ¿Pueden los autores asumir la unidimensionalidad de la esacala de etnocentrismo? Presta especial atención a los resultados de los test de Wald y multiplicadores de Lagrange para contestar a esta pregunta.

54