t ESTÁTICA
En Estática, cuerpos grandes o pequeños pueden ser considerados como PARTÍCULAS cuando el tamaño y la forma de estos no afectan en la solución del problema. En tales condiciones, la masa del cuerpo se puede considerar concentrada en un punto. Como en un cuerpo que se considera punto material se supone que la masa está concentrada en un punto y que puede prescindirse de su forma y tamaño, dicho cuerpo podrá estar sometido solamente a un sistema de fuerzas concurrentes. En esta unidad estudiaremos el efecto de las fuerzas que actúan sobre las partículas. Aprenderemos a sustituir dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula por una sola. 1.
FUERZA SOBRE UNA PARTÍCULA Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y se caracteriza por su punto de aplicación, magnitud o módulo y dirección. Pero las fuerzas sobre una partícula tienen el mismo punto de aplicación. Por tanto, cada fuerza considerada en esta unidad estará completamente definida por su magnitud o módulo y dirección. La magnitud o módulo de una fuerza se fuerza se caracteriza por cierto número de unidades. Las unidades del SI usadas por los ingenieros para medir la magnitud de una fuerza son el newton (N) y su múltiplo el kilonewton (kN), mientras que las unidades del sistema de uso común en Estados Unidos, empleadas con el mismo fin, son la libra (lb) y su múltiplo la kilolibra (kip), igual a 1000 lb. La dirección de una fuerza se fuerza se define por la línea de acción y el sentido de la fuerza. La línea de acción es la línea recta infinita a lo largo de la cual actúa la fuerza; se caracteriza por el ángulo que forma con algún eje fijo (figura 1).
⃑ A
⃑
⃑ A
⃑
⃑
(a)
(b)
⃑ A Fig. 2 3.
(c)
ESCALARES Y VECTORES Todas las cantidades físicas en ingeniería pueden medirse mediante escalares o vectores.
3.1. ESCALARES
Fig. 1
2.
La fuerza en sí se representa por un segmento de esa línea; mediante el uso de una escala apropiada, puede escogerse la longitud de este segmento para representar la magnitud de la fuerza. Finalmente, el sentido de la fuerza debe indicarse por una punta de flecha. En la definición de una fuerza es importante indicar su sentido. Dos fuerzas como las mostradas en las ( Fig. 1), que tienen la misma magnitud y la misma línea de acción pero diferente sentido, tendrán efectos opuestos sobre una partícula. RESULTANTE DE DOS FUERZAS ⃑ La evidencia experimental muestra que dos fuerzas ⃑ y que actúan sobre una partícula A partícula A (Fig. (Fig. 2.a) pueden susti⃑ tuirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula (Fig. 2.c). ⃑ A esta fuerza se le llama l lama resultante de las fuerzas ⃑ y y puede obtenerse, como se muestra en la figura 2.b, ⃑ como lados. La construyendo un paralelogramo con ⃑ y diagonal que pasa por A A re presenta la resultante. Esto se conoce como la ley del paralelogramo para paralelogramo para la adición de dos fuerzas, y se basa en la evidencia experimental; no puede probarse ni derivarse de manera matemática. Ing. Mario Carranza Liza
Es cualquier cantidad física positiva o negativa que se puede especificar por completo mediante su magnitud. La longitud, la masa y el volumen son ejemplos de cantidades físicas. 3.2. VECTORES
Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud, dirección y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vectores se representan por flechas, la magnitud de un vector determina la longitud de la flecha correspondiente. Un vector con el que se representa una fuerza que actúa sobre una partícula tiene un punto de aplicación bien definido, a saber, la partícula misma. A tal vector se le llama vector fijo o ligado, y no puede cambiarse su posición sin modificar las condiciones del problema. Sin embargo, otras cantidades físicas, como los pares se pueden representar por vectores que pueden moverse libremente en el espacio; a estos vectores se les conoce como libres. Existen otras cantidades físicas, como las fuerzas sobre un cuerpo rígido que están representadas por vectores que pueden moverse o deslizarse a lo largo de su línea de acción; a éstos se les conoce como vectores deslizantes. Dos vectores de la misma magnitud, dirección y sentido se dice que son iguales, tengan o no el mismo punto de aplicación (Fig. 3); los vectores iguales pueden representarse por la misma letra. II - 1
t ESTÁTICA
⃑
⃑
⃑
⃑ Fig. 3
Fig. 4
El vector negativo de un vector ⃑ se define como aquel que tiene la misma magnitud que ⃑ y una dirección opuesta a la de ⃑ (Fig. 4); el negativo del vector ⃑ se representa por ⃑. A los vectores ⃑ y ⃑ se les llama vectores iguales y opuestos. Se tiene: ⃑ ⃑
4.
Este método llamado regla del triángulo se obtiene como sigue: considérese la figura 5, donde la suma de los vectores ⃑ y ⃑ ha sido determinada por la ley del paralelogramo. Puesto que el lado del paralelogramo o⃑ es igual a ⃑ en magnitud y dirección, se popuesto a dría dibujar sólo la mitad del paralelogramo (Fig. 6.a). De esta manera, la suma de los dos vectores puede encontrarse colocando ⃑ y ⃑ de punta a cola y uniendo la cola de ⃑ con la punta de ⃑ . En la Fig. 6.b se considera la otra mitad del paralelogramo y se obtiene el mismo resultado. Esto confirma el hecho de que la suma vectorial es conmutativa. La resta de un vector se define como la adición del vector negativo correspondiente. De manera que el vector ⃑ ⃑ que representa la diferencia de los vectores ⃑ y ⃑ ⃑ . (Fig. se obtiene agregándole a ⃑ el vector negativo 7). Se escribe:
OPERACIONES CON VECTORES
⃑ ⃑ ⃑ ⃑
(2)
4.1. SUMA DE VECTORES
En la sección anterior se vio que, por definición, los vectores se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. ⃑ se obtiene uniendo Así, la suma de dos vectores ⃑ y los dos vectores al mismo punto A y construyendo un paralelogramo que tenga por lados a ⃑ y a ⃑ (Fig. 5). La diagonal que pasa por A representa la suma vectorial de ⃑ y ⃑, y se representa por ⃑ ⃑ .
⃑ ⃑
⃑ ⃑
Fig. 7
⃑ A
Ahora se considerará la suma de tres o más vectores. La suma de tres vectores ⃑ ⃑ ⃑ se obtendrá por definición, sornando primero los vectores ⃑ ⃑ y agregan⃑ . De manera que: do el vector ⃑ al vector ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ (3)
⃑ ⃑ ⃑
Fig. 5 Puesto que el paralelogramo construido con los vectores ⃑ y ⃑ no depende del orden en que ⃑ y ⃑ se seleccio nen, se concluye que la adición de dos vectores es conmutativa, y se escribe: ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ (1) A partir de la ley del paralelogramo se puede obtener otro método para determinar la suma de dos vectores.
⃑ ⃑
A
⃑
(a) A
Fig. 6 Ing. Mario Carranza Liza
⃑
En forma semejante, la suma de cuatro vectores se obtiene agregando el cuarto vector a la suma de los tres primeros. Por consiguiente, la suma de cualquier número de vectores se puede obtener al aplicar en forma repetida la ley del paralelogramo a pares sucesivos de vectores, hasta que todos los vectores sean sustituidos por uno solo. 4.2. PRODUCTO DE UN ESCALAR Y UN VECTOR Como es conveniente representar la suma ⃑ ⃑ como ⃑ , a la suma ⃑ ⃑ ⃑ como ⃑ , y en general a la su ma de n vectores ⃑ iguales como el producto ⃑, se definirá el producto ⃑ de un entero positivo n y un vector ⃑ , como un vector que tiene la misma dirección que ⃑ y magnitud ⃑ (léase n veces P). Al ampliar esta definición para incluir a todos los escalares y si recordamos la definición de un vector negativo dada en la anteriormente, se define el producto ⃑ de un escalar k y un vector ⃑ como un vector que tiene la misma dirección y sentido que ⃑ (si k es positivo), o la misma dirección pero sentido opuesto al de ⃑ (si k es negativo) y una magnitud igual al producto de P y el valor absoluto de k (Fig. 8).
(b) II - 2
t ESTÁTICA
⃑
⃑ .
dos componentes ⃑ ⃑ son los más importantes en cuanto a aplicaciones prácticas se refiere. Pero aun en este caso, el número de formas en las que una fuerza ⃑ puede descomponerse en sus componentes es ilimitado (Fig. 10). Dos casos son de especial interés:
⃑
Fig. 8 4.3. RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURREN-
TES. Considérese una partícula A sujeta a varias fuerzas coplanares, es decir, a varias fuerzas contenidas en el mismo plano (Fig. 9.a). Como todas estas fuerzas pasan por A, se dice que son concurrentes los vectores que representan las fuerzas que actúan sobre A pueden sumarse con la regla del polígono (Fig. 9.b). Puesto que el uso de la regla del polígono es equivalente a la aplicación repetida de la ley del paralelogramo, el vector ⃑ obtenido representa la resultante de las fuerzas concurrentes que intervienen, es decir, la fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula A que las fuerzas dadas. Como se indico antes, no importa el orden en el que se sumen los vectores ⃑ ⃑ ⃑ que representan las fuerzas sobre la partícula.
⃑
A
⃑
⃑
A
(a)
⃑ ⃑
A
Fig. 11
⃑
⃑
1) Una de las dos componentes, ⃑ , se conoce. La se⃑ , se obtiene aplicando la regla gunda componente, del triángulo y uniendo la punta de ⃑ a la punta de ⃑ (Fig. 11); la magnitud, la dirección y el sentido de ⃑ se determinan gráficamente o por trigonometría. Una ⃑ se ha determinado, ambas componentes ⃑ vez que ⃑ deben aplicarse en A. y
(b) Fig. 9
4.4. DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS
COMPONENTES. Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la misma manera, una sola fuerza ⃑ que actúa sobre una partícula puede remplazarse por dos o más fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se les llama componentes de la fuerza original ⃑ , y al proceso de sustituirlas en lugar de ⃑ se le llama descomposición de la fuerza ⃑ en sus componentes.
2) Se conoce la línea de acción de cada una de las componentes. La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la ley del paralelogramo y trazando líneas, por la punta de ⃑, paralelas a las líneas de acción dadas (Fig. 12). De esta forma se ob⃑ , que tienen dos componentes bien definidas ⃑ y pueden determinarse gráficamente o por trigonometría aplicando la ley de los senos.
⃑ A
⃑ Fig. 12
Fig. 10 En este sentido, para cada fuerza ⃑ existe un número infinito de conjuntos de componentes. Los conjuntos de Ing. Mario Carranza Liza
II - 3
t ESTÁTICA
1. Determine
la magnitud de la fuerza resultante F F F y su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. R
1
2
4. La magnitud
tud F tud de
A
FB
FB
F A 80 lb y
el ángulo 65 . La magni 120 lb . Determinar gráficamente la magni-
.
HIBBELER 12 – 2.1
⃑ y ⃑ actúan sobre el perno A. Determi2. Las dos fuerzas
ne su resultante.
BEDFOR 5 – 2.8 - 28
5. Resuelva la fuerza
F2
en componentes que actúen a lo
largo de los ejes “u” y “v” y determine las magnitudes de
las componentes.
BEER 9 – Eje 2.1
3. Determine
la magnitud de la fuerza resultante F F F así como su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. R
1
2
HIBBELER 12 – 2.4 /5/6
6. Determinar las magnitudes de las componentes “u” y “v”
de la fuerza de 1000 N de la figura.
HIBBELER 12 – 2.3 RILEY – 2.17
Ing. Mario Carranza Liza
II - 4
t ESTÁTICA 7. La placa está sometida a las dos fuerzas en A y B, como
se muestra. Si 60 , determine la magnitud de la resultante de esas dos fuerzas y su dirección medida desde la horizontal.
10. El ángulo
del vector
50
r AC
. Determine gráficamente la magnitud
.
BEDFOR 5 –
11. La fuerza que actúa sobre el diente del engrane es
. Resuelva esta fuerza en dos componentes actuando a lo largo de las líneas aa y bb . F 200 lb
HIBBELER 12 – 2.7 /8
⃑ y ⃑ se aplican en el punto A del gancho 8. Dos fuerzas
que se muestra en la figura. Si P = 60 N y Q = 25 N, determine en forma gráfica la magnitud y la dirección de su resultante mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.
HIBBELER 12 – 2.11/12
12. Se aplican dos fuerzas a un anclaje en la forma que se
indica en la figura. La resultante R de las dos fuerzas tienen por módulo 1000 N y su recta soporte está dirigida según el eje x. Si la fuerza F tiene por módulo 250 N, determinar: A. El módulo de la fuerza F . 1
BEER 9 – 2.1
9. La fuerza vertical
actúa hacia abajo en A sobre la estructura de dos barras. Determine las magnitudes de las dos componentes de F dirigidas a lo largo de los ejes de AB y AC. Considere F=500N . F
2
B.
El ángulo que forma la recta soporte de la fuerza F con el eje x. 2
RILEY eje 2.3
HIBBELER 12 – 2.9 /10
Ing. Mario Carranza Liza
II - 5
t ESTÁTICA 13. La fuerza de 500 lb que actúa sobre la estructura debe
resolverse en dos componentes actuando a lo largo de los ejes de las barras AB y AC. Si la componente de fuerza a lo largo de AC debe ser de 300 lb, dirigida de A a C, determine la magnitud de la fuerza que debe actuar a lo largo de AB y el ángulo de la fuerza de 500 lb.
16. Se aplica dos fuerzas en el gancho de apoyo que se muestra en la figura. Si se sabe que la magnitud de ⃑
es 35 N, determine por trigonometría a) el ángulo requerido, si la resultante ⃑ de las dos fuerzas aplicadas en el gancho debe ser horizontal, y b) la magnitud correspondiente de R.
BEER 9 – 3.7 HIBBELER 12 – 2.13
14. Los tirantes del cable AB y AD ayudan a sostener al poste
AC. Si se sabe que la tensión es de 120 lb en AB y 40 lb en AD, determine gráficamente la magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en A mediante a) la ley del paralelogramo, b) la regla del triángulo.
BEER 9 – 2.3
15. El poste va a ser extraído del terreno usando dos cuerdas
A y B. La cuerda A estará sometida a una fuerza de 600 lb y será dirigida a 60° desde la horizontal. Si la fuerza resultante que actuará sobre el poste va a ser de 1200 lb, vertical hacia arriba, determine la fuerza T en la cuerda B y el correspondiente ángulo .
17. Dos fuerzas son aplicadas en el extremo de una armella
roscada para extraer el poste. Determine el ángulo 0 90 y la magnitud de la fuerza F para que la fuerza resultante sobre el poste esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 750 N.
HIBBELER 12 – 18.
18. Determinar las magnitudes de las componentes “u” y “v”
de la fuerza de 900 N representada en la figura.
RILEY eje 2.2.
HIBBELER 12 – 2.14
Ing. Mario Carranza Liza
II - 6
