. 3 ATOMOS CON UN ELECTRON
3.1 lntroducción 3.2 Atomo de hidrógeno 3.3 Espectro del hidrógeno 3.4 Cuantización del momentum angular 3.5 Funciones de onda de un electrón en un campo de fuerzas centrales 3.6 Efecto Zeeman 3.7 Espín del electrón 3.8 Adición de momenta angulares 3.9 lnteracción espín-órbita
3.2) 8.1
Afomo de hidrógeno
113
lntroducción
r r
Comenzaremos nuestro estudio de los átomos resumien do las ideas fundamentales acerca de su estructura atómica. Un átomo tiene una dimensión total del orden de 10-9 m. Está compuesto de un núcleo relativamente pesado (cuyas dimensiones son del orden de 10-14m) alrededor del cual se mueven los electrones, cada uno de carga - e, que ocupan el resto del volumen atómico. El núcleo está compuesto de A partículas (A es el número másico) llamadas nucleones, de las cuales Z son pro. tones (Z es el número afómico), cada uno de carga + e, y N (= A - Z) son neutrones que no tienen carga eléctrica. El núcleo posee entonces una carga .positiva + Ze. En cualquier átomo el número de electrones es ígual al de protones (es decir Z) por lo que el átomo es un sistema eléctricamente neutro. Sin embargo, en ciertas circunstancias un átomo puede ganar o perder algunos electrones, cargándose negativa o positívamente; en este caso se denomina ion. La masa del nucleón es cerca de 1850 veces más grande que la del electrón; en consecuencia, la masa del átomo es prácticamente igual a la de su núcleo. Sín embargo, los electrones Z de un átomo son responsables de la mayoria de las propiedades atómícas que se retlejan en las propiedades macroscópícas de la materia, tales como las propiedades elásticas y electromagnéticas de los diversos materiales. Las interacciones electromagnéticas entre electrones y núcleos de átomos diferent es juegan un papel básico en la ligadura de átomos para formar moléculas, en las reacciones químicas y en prácticamente todas las propiedades macroscópicas de la materia. Podemos explicar el movimiento de los electrones alrededor del núcleo consi<;I.erandosólo las interacciones electromagnéticas entre los electrones y los componentes del núcleo (protones y neutrones). Siendo las interacciones electromagnéticas bien comprendidas, ha sido posible desarrollar una descripción precisa del movimiento electrónico. El correspondiente problema nuclear es, sin embargo, más complejo, ya que entran en juego otras interacciones que no se comprenden tan bien. Para analizar el movimiento electrónico debemos usar los métodos de la mecánica cuántica discutidos en el capítulo anterior. En este capítulo estudiaremos las propiedades de los átomos y de los iones que tienen un solo electrón (de los cuales el más simple es el átomo de hidrógeno) y en el capítulo siguiente considerarem os el problema de los átomos con muchos electrones. El átomo con un electrón nos ayudará a comprender los problemas básicos relacionados con la estructura atómica.
8.2
Atomo
de hidrógeno
El átomo de hidrógeno es el más simple de todos los átomos. Su núcleo está compuesto de una sola partícula, un protón, de modo que tiene A = 1 Y Z = 1. Alrededor del protón se mueve un solo electrón. Para que nuestros cálculos sean aplicables a otros átomos supondremos, sin embargo, que el núcleo contiene Z protones con una carga positiva igual a + Ze (fig; 3-1). A esta altura haremos dos aproximaciones. La primera es que consideraremos que el núcleo está en
114
Alomos con un eleclrón
(3.2
reposo en un sistema inercial; esto es razonable, ya que teniendo el núcleo una masa mucho mayor que el electrón, coincide prácticamente con el centro de masa del átomo, el cual está ciertamente en reposo en un sistema inercial mientras no actúen fuerzas externa s sobre el átomo. La segunda aproximación es que supondremos que el campo eléctrico del núcleo es el de una carga puntual; esto es también razonable, ya que el núcleo tiene un tamaño muy pequeño (alrededor de 10-14 m) respecto a la distancia promedio electrón-núeleo (alrededor de
/
Núcleo
+Ze
.
/ ':/111"
Fig. 3-1. Electrón de un núcleo.
,/
/
/
moviéndose
r I
alrededor
//"/Úr / /
//
10-10 m). Sin embargo, el tamaño y la forma del núcleo se tienen consideración en un análisis más refinado. El movimiento del electrón respecto al núcleo está determinado acción electromagnética entre ambos. Esta interacción se expresa fuerza central, que actúa sobre el electrón dependiente del inverso de la distancia, y que está dada por Ze2 F=-
que tomar en por la intermediante una del cuadrado
(3.1)
2 Ur. 47rEoT
La energia potencial del sistema electrón-núcleo es entonces Ep(r)
Ze2
=--
(3.2)
47rEor
Sin embargo, como debemos analizar el movimiento del electrón por medio de la mecánica cuántica, no podemos resol ver el problema aplicando la ecuación de movimiento
de Newton F
=
dpjdl; sino que debemos estable cer la ecuación de
Schrodinger correspondiente al movimiento con una energia potencial dada por la ec. (3.2). Como el movimiento electrónico es tridimensional, debemos usar la ec. (2.9), que da una ecuación de Schrodinger de la forma --
;'2 2m
(
02
-+--+ox2
02
oy2
02
)
Ze2
--
(3.3)
La solución de esta eeuación es un problema matemático eomplejo para el eual el estudiante aún no' está adecuadamente equipado. Por ahora, nos limitarem os
( ( ~
( l e a e I: e e
e y .
115
Atomo de hidrógeno
3.2)
a considerar la energía de los estados estacionarios En la sección 3.4 discutiremos las funciones de onda. Introduzcamos una constante, denominada constante de Rydberg, definida por* me& R 00 = -- 2 3 = 10974 X 107 m-l. ' 8 €oh e Los niveles
de energia
que obtenemos
de la
posibles
de los estados estacionarios
ec. (3.3),
En =
-
Zli=
n2
del electrón,
n
~
Z=2 He+
n
Z=3 Li2+
n
6 -I 3
9 6 5 -I
2
3
10
2,180 Xn21O-l8Z2 J,
. ..
(enteros
I
(3.5) positi-
30
(3.6)
cv-lO
13,607Z2 n2 eV.
13,6 eV
1
20
vos). Es a vec~s más conveniente expresar el resultado en electrovolts. Haciendo los cambios de unida des apropiados obtenemos Ell = -
1
o,
=
donde n = 1, 2, 3,
ligados
están
dados por la expresión RoohcZ2
(3.4)
2
50 Obsérvese que los valores de la energía total son negativos. Esto concuerda con 54,-1eV 1 el resultado clásico para el movimiento 60 I bajo la acción de una fuerza inversaI mente proporcional al cuadrado de la I I distancia cuando la órbita es elíptica, es I decir ligada. El cera de la energía se 1101 asigna al estado en que las dos partículas (electrón y núcleo) están en reposo a una distancia infinita una de otra. En ]20 consecue,ncia,la ec. (3.6) es equivaltmte 122,5 cV 1 a la energía que en la mecánica clásica corresponde al movimiento de partícuFig. 3-2. Algunos niveles de energía la sen órbitas elípticas; recordamos, sin del H, el He+ y el LP+. embargo, al lector que en la mecánica cuántica no se habla de órbitas precisas. La expresión (3.6) se aplica a cualquier átomo que tiene un solo electrón. Vale entonces para el hidrógeno (Z = 1) Y sus isótopos: el deuterio (A = 2, Z = 1) Y el tritio (A = 3, Z = 1); para el helio monopositivo He+ (átomo de helio que . La razón del uso del subíndice
00
se ac1arará rnás ade1ante.
pili
i
116
Atomos con un electr6n
(3.2
ha perdido uno de sus dos electrones, Z= 2); para ellitio bipositivo Li2+ (átomo de litio que ha perdido uno de sus tres electrones, Z = 3), etc. La fig. 3-2 muestra los correspondientes niveles teóricos de energia. Se indica además los valores apropiados de n para algunos niveles de cada serie. TABLA 3-1 Constante de Rydberg (Roo = 10973 731 m-I) Atomo
Z
A
R, m-I
Hidrógeno (H) Deuterio (D) Tritio (T) Helio (He+) Litio (Li2+) Berilio (Be3+)
1 1 1 2 3 4
1 2 3 4 7 9
10 967 758 10970742 10971 735 10972 227 10972880 10973070
Obsérvese en la fig. 3-2 que algunos niveles coinciden. Por ejemplo, los niveles del hidrógeno coinciden respectivamente con los niveles del He+ que tienen n = 2, 4, 6, ... y también con los de Li2+ que tienen n = 3, 6, 9, . .. La razón de esto es que en la ec. (3.6) se cancelan algunos factores comunes debido a los respectivos valores de Z. En la naturaleza, sin embargo, no ocurre exactamente esta coincidencia. El núcleo no está en reposo en un sistema inercial; en realidad el núcleo y el electrón se mueven alrededor del centro de masa del sistema. Sin embargo, podemos analizar el movimiento relativo del electrón y el núcleo sustituyendo en la ec. (3.4) la masa del electrón por la masa reducida del sistema electrón-núcleo. Si M es la masa del núcleo, la masa reducida del átomo es* !L
=
meM me+M
me
] u
P d l(
1 + m'elM
Por lo tanto, en la ec. (3.5) debemos reemplazar la constante de Rydberg Roopor R =
~e4- = Roo ~ = Roo me
(1 +
1 me IM
),
(3.7)
de modo que los niveles de energia están dados por E = - RhcZ2ln2. En la tabla 3-1 se da el valor de R para diferentes núcleos. Evidentemente Roocorresponde al caso en que el -núcleo tiene masa infinita (M = 00) y esto explica el porqué del subindice en el simbolo. Hasta ahora hemos considerado solamente estados de energia negativa o estados ligados. Los esta dos de energia positiva, que en una descripción clásica corresponden a órbitas hiperbólicas, son estados no ligados, en los cuales un electrón con suficiente energia cinética se aproxima al núcleo desde una gran distancia y después de desviarse de su movimiento rectilíneo debido a su interacción coulom. Ver, por ejemplo, el primer volumen de esta serie, Física: Mecánica, sección 9.3.
1 t: e
P d d 1<
E
3.2)
Atomo de hidrógeno
117
biana con el núcleo, vuelve nuevamente al infinito. Como se explicó en la sección 2.7, los estados de energía positiva no están cuantizados, ya que la energía cinética inicial puede tener cualquier valor arbitrari o, por lo que constituyen un continuo de estados. EJEMPLO 8.1. del hidrógeno.
Deducción
semiclásica
de la expresión
para los niveles de energia
Solución: Podemos justificar la ec. (3.5) para los estados estacionari os de los átomos hidrogenoides, tal como al final de la sección 2.5 justificamos los niveles de energia de una partícula que se mueve en una caja de potencial usando conceptos derivados de nuestro conocimiento de las onda& estacionarias. Supongamos que el electrón describa una órbita circular como se muestra en la fig. 3-3. Para que la órbita corres-
Fig. 3-3. Ondas estacionarias una circunferencia.
en
ponda a un estado estacionario, parece Iógico que deba permitir ondas estacionarias de longitud de onda À = hjp. Podemos ver en la fig. 3-3 que esto requiere que la longitud de la órbita sea un multiplo entero de À, esto es: 21tr = nÀ = nhjp o sea rp
=
nhj21t.
(3.8)
Teniendo en cuenta que rp es el momentum angular del electrón, vemos que los estados estacionarios son aquellos para los cuales el momentum angular es un múltiplo entero de ñ = hj21t. Como p = meP, también podemos escribir la ec. (3.8) en la forma mepr
=
nhj21t.
(3.9)
Por otro lado, la ecuación de movimiento del electrón requiere que F = mev2jr, donde F es la fuerza centripeta. Pero en el caso de un electrón moviéndose alrededor de un núcleo, la fuerza centripeta es la fuerza de Coulomb dada por la ec. (3.1). Por lo tanto. mep2 Ze2 -=Ó mep2=-. Ze2 (3.10) r 41t~orz 41t~oT Eliminando P con las ecs. (3.9) y (3.10), tenemos
r
=
n2h2~o nmeZeS
n2
= -Z- Ilo,
(3.11)
118
Atomos con un electrón
(3.2
donde
=
ao
h2€ --L 7tmee2
=
5,2917
X lO-u
m
(3.12)
se denomina radio de Bohr. La expresión (3.11) da el radio de las órbitas circulares permitidas y el radio de Bohr ao es el "radio" de la órbita fundamental (n = 1) del hidrógeno (Z = 1). Usando la expresión (3.2) de la energia potencial del sistema electrón-núcleo, podemos expresar la energia del electrón en una órbita circular en la forma R = Ek En consecuencia,
+ Ep =
usando
Ze2
- -.
47t €or
la ec. (3.10) para eliminar
meV2 obtenemos
Ze2
E--
Introduciendo
tmev2
47t€o(2r)
(3.13)
.
el valor de r dado por la ec. (3.11), tenemos E
=-
RooheZ2 n2
mee4Z2
8 €~2n2
que concuerda con las ecs. (3.4) y (3.6). Sin embargo, es necesario advertir lo siguiente respecto a nuestra deducción: además de ser aplicable sólo a órbitas circulares, depende en su totalidad de la validez de la ec. (3.8) que más adelante discutiremos con más detalle (sección 3.4). Por otra parte, debemos considerar que aqui el concepto de órbita se aplica a la región en que es más probable que se encuentre el electrón, siendo la ec. (3.11) sólo una indicación de la magnitud de la región en que el electrón se mueve la mayor parte del tiempo, y por lo tanta del tamaño del átomo. Combinando las ecs. (3.9) y (3.11) encontramos que la velocidad del electrón en una órbita estacionaria es v
=~
27tmer
=
hZ
27tmeaofl
= 21,9 X 10sZ m S-I. n
Debemos considerar este resultado sólo como una indicación del orden de magnitud de la velocidad del electrón. Obsérvese que la velocidad disminuye cuando la energia aumenta (mayor valor de n). Tenemos también que v/e,..., 7 X 10-3 Z/n, por lo que v ~ e, excepto para valores grandes de Z y valores pequeños de n. En consecuencia las correcciones relativistas no son muy importantes excepto cuando se desea una gran precisión. Sin embargo, estas correcciones son muy importantes desde el punto de vista teórico.
j €
a 1
EJEMPLO 3.2. Estimar la magnitud del término correctivo en la ec. (3.7), debido al movimiento nuclear, para la energia de los estados estacionarios de los átomos más livianos, es decir, H, D, T, He+ y Li2+. Solución: Como me/M es una cantidad muy pequeña, podemos usar la aproximación (1 + X)-l = 1 - x + ... y escribir la ec. (3.7) en la forma
R=Roo(l- :)
ó ilR = R - Roo = -
me Roo. M
La masa de un átomo" de número másico A se puede escribir con buena aproxirnación en la forma M = 1,67 X 10-27 A kg; además me = 9,11 x 10-31 kg. Por lo a R, podemos escritanto, me/M = 5,45 X 10-4/A. Como la energia es proporcional
l v
. d S
2
Especlro del hidrógeno
3.3)
119
bir entonces tJ.E
!) :s ) .,
E
=
-
= --100
me
me
MM/o
o/
-
=
5;45
X lO-a
o/
A/o,
donde tJ.E es el cambio de energia respecto al valor dado en la ec. (3.5). En la tabla 3-2 se dan los resultados para los el~mentos más livianos. El hecho de que tJ.EIE es diferente para H, D Y T significa que los niveles de energia de estos tres isótopos del hidrógeno están ligeramente desplazados, resultando lo que se denomina electo isotópico. Análogamente, los niveles pares de He+ no coinciden exactamente con los de H. Fue esta pequeña diferencia la que llevó a Frankland y Lockyer a descubrir el heli o cuando estaban analizando el espectro solar en 1868. TABLA 3-2 Correcciones miento nuclear
energétic8S cuando
se considera
el movi-
:)
e
Atomo
H
D
T
He+
Li2+
A
1
2
3
4
7
(mel M) X 104
5,45
2,75
1,82
1,36
.0,78
-
0,0545
0,0275
0,0182
0,0136
"
s
(tJ.EIE), %
0,0078
I
8.3 l
Espectro
del hidr6geno
Como vimos en la fig. 3-2, la energia de los estados estacionarios aumenta con el número cuántico n. La diferencia en energia entre dos niveles correspondientes a nI Y n2 (con n2 > nI) es, para un ion hidrogenoide,
I E2-EI
l )
= -
(
RhCZ2
n~
)- (-
RhcZ2
n~
)= RhcZ2(~n~ -~ n~).
Aplicando la condición de Bohr, v = (E2- EI)/h (ec. 1.29), Y despreciando los efectos de retroceso, la frecuencia de la radiación electromagnética emitida o absorbida por el átomo en una transición entre los esta dos correspondÍentes a nI Y n2 es
(~n~ -~ n~ ) = 3,2899 (~nI - ~n2.) Hz.
v=- E2 - El = RCZ2 h
X 1()l5 Z2
(3.14)
Los espectroscopistas prefieren a veces usar el número de onda v = v/e = l/À en vez de la frecuencia. * Su razonamiento es que las medidas espectroscópicas deter-
.
El número de onda ::¡da el número de longitudes de onda en la unidad de longitud y no se debe confundir con el número de onda k = 2rtjÀ., que está asociado con una partícula y que se definió en la sección 1.10.
...,.....
120
Atomos con un electrón
(3.3
minan generalmente longitudes de onda y no frecuencias. En el sistema MKSC el número de onda está dado en m-l aunque la unidad más comúnmente usada es cm-I. En este caso la ecuación anterior se escribe en la forma 1 v = RZ2 -"ni
(
~
-
1
n~
)
1
(ni
= 1,0974 X 105 Z2 -
-
1 -n~
)cm-I.
Esta expresión (o la anterior) se denomina fórmula de Balmer y se aplica sólo a átomos hidrogenoides. Como en un espectroscopio (de prisma o de red) cada Energia ,
l'V
n
:; -1
.L-
--.1 Serie de Paschen
a
2
ttttt
Serie
de Pfund
Serie de Bracketl
-
0,54 0,85
1,51
3,a9
.. . I Serie dI' : Lyman I
r .-
.< 1 i2 1 a> , 11
OI:
.<.-< ,3 e
.<
Ii .-<
'" O/; ... '" ;;. e o
'" '" "O '" ..... :
"I 1 13,60
Fig. 3-4.
Transiciones
radiativas
en el hidrógeno.
transición aparece como una línea (que es la imagen de la rendija), el espectro se llama espectro de linea; se usa frecuentemente las palabras línea y transición como sinónimos. El espectro del hidrógeno (Z = 1) (y análogamente el espectro de otros átomos) se cIasifica en series, formadas cada una por las transiciolles que tienen
Espectro del hidrógeno
3.3)
121
en común el nivel de energía más bajo. La fig. 3-4 representa las siguientes series del hidrógeno: (1) Serie de Lyman:
nI = 1, n2 = 2, 3, 4,
(2) Serie de Balmer:
nI
(3) Serie de Paschen:
nI = 3, n2 = 4, 5,
(4) Serie de Brackett:
nI
(5) Serie de Pfund:
nI = 5, n2 = 6, 7,
...
= 2, n2 = 3, 4, ...
. ..
= 4, n2 = 5, 6, . . .
.. .
La serie de Balmer, que se encuentra principalmente en la región visible, se observa fácilmente con un espectroscopio común. La serie de Lyman cae en la región ultravioleta y las otras en el infrarrojo. Las transiciones indicadas en la fig. 3-4 corresponden al espectro de emisión; las transiciones inversastienen lugar en el espectro de absorción. Históricamente, fue el problema de explicar los espectros de tífiea del hidrógeno y de otros elementos lo que originó las primeras aplicaciones de la teoria cuántica al átomo. El matemático suizo J. Balmer (1825-1898), mucho antes del advenimiento de la teoria cuántica, obtuvo empiricamente la fórmula (3.14) en 1885 sin ninguna explicación teórica relacionada con la estructura atómica. En 1913, el físico danés Niels Bohr, entonces en la Universidad de Cambridge, dedujo la ec. (3.14) introduciendo por primera vez el concepto de estados estacionarios. Como la mecánica cuántica no habia sido aún formulada, et método de Bohr consistia en una serie de suposiciones ad hoc muy parecidas a los cálculos hechos en el ejemplo 3.1. E.1EMPLO 3.3. Determinar zación del hidrógeno.
la primera
energia
de excitación
y la energia de ioni-
Solución: Como se explicó en la sección 1.8 al discutir el experimento de FranckHertz la primera energia de excitación es la energia necesaria para llevar un átomo de su estado fundamental al primer (o más bajo) estado excitado. En los átomos hidrogenoides, estos estados corresponden, respectivament~, a n = 1 Y n = 2. Poniendo n = 1 Y n = 2 en la ec. (3.6) con Z = 1, tenemos El = - 13,6 eV y Ez = - 3,4 eV. La energia necesaria para excitar el átomo del estado fundamental
al primera excitado es entonces Ez -
El
= 10,2 eV. Si se lleva un átomo de hidró-
geno a su primer estado excitado por media de una colisión inelástica electrónica, como ocurre en una des carga a través de un gas, vuelve al esta do fundamental em itiendo radiación de frecuencia v.= (Hz -
E1)/h = 2,47 x 1015 Hz
o longitud de onda À
= 1,216 X 10-7 m,
que en este caso cae en la región ultravioleta. La energia de ionización es la energia necesaria para llevar el electrón
desde el estado fundamental
energia nula (n = 00) y es por lo tanta igual a
-- El
(n
=
1) al estado de
= 13,6 cV. La ionización puede
ser el resultado de una colisión inelástica del átomo de hidrógeno con un electrón u otra partícula cargada, con otro átomo, o por absorción de un fotón de frecuencia igualo mayor que 3,29 x 1015 Hz o sea con una longitud de onda igualo menor que 9,12 x 10-8 m.
122 ..
8.4
Atomos con un electrón
Cuantizaci6n
(3.4
del momentum
3.!) CuaniÏzación del momentum angular
angular
posibles son E = (n + t)lioo (ver ec. 2.22) y para cada n los valores de I son n, n-2, n -4, .. "Ió O. Tenemos entonces: para n = O,I = O ó s; para n = 1, I = 1 ó p; para n = 2, I = O Y 2 ó s Y d, Y así sucesivamente.
Hasta ahora hemos visto que la energía de un sistema atómico está cuantizada. Debemos explorar la posibilidad de que otras cantidades físicas también estén cuantizadas, es decir, restringidas a sólo ciertos valores para el sistema. Señalamos al final de la sección 2.5 que el momentum de una partícula en una caja de potencial también está cuantizado. En la mayoría de los ejemplos del capitulo 2 el momentum y/o la energía eran constantes de movimiento, es decir, cantidades cuyo valor no cambia durant e el movimiento de la partícula. Es entonces razonable investigar si otras constantes de movimiento están cuantizadas o no. Sabemos que para el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales el momentum angular L = r x p respecto al centro de fuerza es una constante de
Hay evidencia experimental (que se discutirá más adelante) de que el momentum angular, además de su limitación en módulo, está restringido en cuanto a dirección; esta situación se denomina cuantización espacial. Esto significa que el ángulo que L forma con el eje Z (fig. 3-5) no es arbitrario; en otras palabras: se puede demostrar (ver el ejemplo 3.4) que los valorespor de la componente Lz están cuantizados y dados Z
Lz
O
Simbolo
s
Degeneración,
g
=
21 + 1
1
-
1 p
3
-
2 d
5
-
3
-
f
-
7
4 g
9
-
=
de l. En consecuencia
-
/
esto es, ml
para cada valor del momentum angular hay 21 + 1 valoresde ml o sea 21+ 1 orienlaciones diferentes de L. . L fi 3 6 .1 t t t .. a 19. I us ra es a Sl uaclOn para L= 1 y I =. 2 La cantidad g = 21 + 1 se denomina degeneración
h
11
-
I\
-
{
Lz
, ""'
_"
A__
~
",
-, "
,
\
/.
IL
y X/
Figura
3-5
esencial del estado de momentum angular. Se puede probar que esta degeneración es consecuencia de la simetria esférica del movimiento bajo la acción de una tum angular. fuerza central. En la tabla 3-3 se da el valor de 9 para algunos valores del momenEn la mecánica c1ásica el momentum angular bajo la acción de una fuerza central es constante en módulo y dirección. Por el contrario, en la mecánica cUántica el módulo del momentum angular está dado por la ec. (3.15) y una de SUScomponentes por la ec. (3.16). Pero para especificar la dirección del momentum angular necesitamos conocer las otras dos componentes, Lx y Ly. Un análisis detalla do que no reproducimos aquí por su complejidad matemática, muestra que
donde I = O, 1, 2, 3, ... es un entero no negativo. Sin embargo, en los átomos hidrogenoides los valores de I para cada nivel de energia están limitados por los valores de n correspondientes a dicho nivel, siendo n
. .., ::J: l,
'"
5
(3.15)
1(1 + 1)1i2,
(3.16)
es un número entero entre O y ::J:I. El número cuántico ml no puede ser mayor que I porque entonces Lz sería mayor que ILI, lo cual es imposible. Concluimos entonces que:
movimiento. Esto también es cieMo en la mecánica cuántica. Un análisis teórico y experimental cuidadoso muestra que el momentum angular está cuantizado, es decir: sólo puede tener valores discretos. Se puede demostrar (ver ejemplo 3.4) que el módulo del hlomentum angular está caracterizado por los valores L2
= mlli,
donde ml = O,::J:1, ::J:2, :f: 3,
TABLA 3-3 Designación de los esta dos de momentum angular y degeneración esencial para el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales
Momentum angular, I
123
1 el valor máximo
en un campo coulombiano, para cada valor de n que especifica un nivel de energia, hay n valores diferentes del momentum angular desde I = O hasta I = n - 1.
es imposible conocer exaclamente más de una componenle deL momentum angular.
Es costumbre designar los valores posibles de I por media de letras conforme al esquema de la tabla 3-3. Tenemos entonces: para n = 1, I = Oó s; para n = 2, l = O Y 1 ó s Y p; para n = 3, I = O, 1 Y 2 ó s, P Y d, etc. Eu un campo central diferente del coulombiano los valores de I asociados con cada nivel de energia también son diferentes. Por ejemplo, en el caso de un oscilador tridimensional la energía potencial es Ep = tkr2. Los niveles de energia
Por 10 tanto, si conocemos Lz, lo más que podemos saber de Lx y Ly es que lndeterminación ~stán dentro de las indeterminaciones t:.Lx y t:.Ly que satisfacen la relación de t:.Lx t:.Ly ¿ !IiLz.
I .1
Esta relación
es similar
a las relaciones
de indeterminación
para la posición
y
122 ..
8.4
Atomos con un electrón
Cuantizaci6n
(3.4
del momentum
3.!) CuaniÏzación del momentum angular
angular
posibles son E = (n + t)lioo (ver ec. 2.22) y para cada n los valores de I son n, n-2, n -4, .. "Ió O. Tenemos entonces: para n = O,I = O ó s; para n = 1, I = 1 ó p; para n = 2, I = O Y 2 ó s Y d, Y así sucesivamente.
Hasta ahora hemos visto que la energía de un sistema atómico está cuantizada. Debemos explorar la posibilidad de que otras cantidades físicas también estén cuantizadas, es decir, restringidas a sólo ciertos valores para el sistema. Señalamos al final de la sección 2.5 que el momentum de una partícula en una caja de potencial también está cuantizado. En la mayoría de los ejemplos del capitulo 2 el momentum y/o la energía eran constantes de movimiento, es decir, cantidades cuyo valor no cambia durant e el movimiento de la partícula. Es entonces razonable investigar si otras constantes de movimiento están cuantizadas o no. Sabemos que para el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales el momentum angular L = r x p respecto al centro de fuerza es una constante de
Hay evidencia experimental (que se discutirá más adelante) de que el momentum angular, además de su limitación en módulo, está restringido en cuanto a dirección; esta situación se denomina cuantización espacial. Esto significa que el ángulo que L forma con el eje Z (fig. 3-5) no es arbitrario; en otras palabras: se puede demostrar (ver el ejemplo 3.4) que los valorespor de la componente Lz están cuantizados y dados Z
Lz
O
Simbolo
s
Degeneración,
g
=
21 + 1
1
-
1 p
3
-
2 d
5
-
3
-
f
-
7
4 g
9
-
=
de l. En consecuencia
-
/
esto es, ml
para cada valor del momentum angular hay 21 + 1 valoresde ml o sea 21+ 1 orienlaciones diferentes de L. . L fi 3 6 .1 t t t .. a 19. I us ra es a Sl uaclOn para L= 1 y I =. 2 La cantidad g = 21 + 1 se denomina degeneración
h
11
-
I\
-
{
Lz
, ""'
_"
A__
~
",
-, "
,
\
/.
IL
y X/
Figura
3-5
esencial del estado de momentum angular. Se puede probar que esta degeneración es consecuencia de la simetria esférica del movimiento bajo la acción de una tum angular. fuerza central. En la tabla 3-3 se da el valor de 9 para algunos valores del momenEn la mecánica c1ásica el momentum angular bajo la acción de una fuerza central es constante en módulo y dirección. Por el contrario, en la mecánica cUántica el módulo del momentum angular está dado por la ec. (3.15) y una de SUScomponentes por la ec. (3.16). Pero para especificar la dirección del momentum angular necesitamos conocer las otras dos componentes, Lx y Ly. Un análisis detalla do que no reproducimos aquí por su complejidad matemática, muestra que
donde I = O, 1, 2, 3, ... es un entero no negativo. Sin embargo, en los átomos hidrogenoides los valores de I para cada nivel de energia están limitados por los valores de n correspondientes a dicho nivel, siendo n
. .., ::J: l,
'"
5
(3.15)
1(1 + 1)1i2,
(3.16)
es un número entero entre O y ::J:I. El número cuántico ml no puede ser mayor que I porque entonces Lz sería mayor que ILI, lo cual es imposible. Concluimos entonces que:
movimiento. Esto también es cieMo en la mecánica cuántica. Un análisis teórico y experimental cuidadoso muestra que el momentum angular está cuantizado, es decir: sólo puede tener valores discretos. Se puede demostrar (ver ejemplo 3.4) que el módulo del hlomentum angular está caracterizado por los valores L2
= mlli,
donde ml = O,::J:1, ::J:2, :f: 3,
TABLA 3-3 Designación de los esta dos de momentum angular y degeneración esencial para el movimiento bajo la acción de fuerzas centrales
Momentum angular, I
123
1 el valor máximo
en un campo coulombiano, para cada valor de n que especifica un nivel de energia, hay n valores diferentes del momentum angular desde I = O hasta I = n - 1.
es imposible conocer exaclamente más de una componenle deL momentum angular.
Es costumbre designar los valores posibles de I por media de letras conforme al esquema de la tabla 3-3. Tenemos entonces: para n = 1, I = Oó s; para n = 2, l = O Y 1 ó s Y p; para n = 3, I = O, 1 Y 2 ó s, P Y d, etc. Eu un campo central diferente del coulombiano los valores de I asociados con cada nivel de energia también son diferentes. Por ejemplo, en el caso de un oscilador tridimensional la energía potencial es Ep = tkr2. Los niveles de energia
Por 10 tanto, si conocemos Lz, lo más que podemos saber de Lx y Ly es que lndeterminación ~stán dentro de las indeterminaciones t:.Lx y t:.Ly que satisfacen la relación de t:.Lx t:.Ly ¿ !IiLz.
I .1
Esta relación
es similar
a las relaciones
de indeterminación
para la posición
y
124
Atomos con un electrón
.
z
(3.4
r
z ,
,\
ml=+l
\
....
:>.-
,,
,,
\
\
\ \ \
-tII --
/'
_/
/
/
I I I I /
/
1=2
(:I)
(b)
Fig. 3-6.
Estas reglas de selección están impuestas por la ley de conservación del momentum angular, ya que el fotón emitido o absorbido lleva momentum angular, por lo que el momentum angular del átomo debe cambiar para compensar el momentum angular que lleva el fotón emitido o absorbido. La ley de conservación del momentum angular y la regla cuántica de spma de momenta angulares (ver sección 3.8) permitiria ilI = ::i:: 1. Sin embargo, la paridad de las funciones de onda en un potencial central (que se discutirá en la sección 3.5) prohibe la posi-
/
1=1 Cuantización
Cuantización
del momentum
angular
125
decir, niveles ns, np, nd, etc.) no tienen necesariamente la rnisma energia. Asi, en un campo de fuerzas centrales, la energia depende en general de n y de l, pero nO puede depender de m¡ porque en un campo central de fuerzas la orientación de la órbita carece de importancia. El hecho de que en un átomo hidrogenoide cada nivel está compuesto de varios estados de momentum angular, es sin embargo importante desde el punto de vista de las transiciones. En el caso de movimiento en un potencial central, las reglas de selección para transiciones dipolares eléctricas son 1=0 1=1 1=2 1=4 1=3 M = :!::1, ilm¡ = °, ::i::1. ~ ~ ~ (3.17) :~ ~
-m¡=+2
3.4)
76-2L
5~
5d
5i
~
°,
=
espacial para I
1 Y I
= 2.
el momentum (ec. 1.48), y para la energia y el tiempo (ec. 1.49). En otras palabras : en la mecánica cuántica es imposible determinar precisamente la dirección del momentum angular.
bilidad
Como sólo podemos conocer ILI y Lz, imaginaremos el vector momentum angular L de la fig. 3-5 como realizando un movimiento de precesión alrededor del eje Z, formando con él un ángulo constante 6. Podemos concIuir de esta discusión que los niveles de energia de los átomos hidrogenoides son algo más complejos que la representación simple implícita en la ec. (3.6) y la fig. 3-2. En un campo coulombiano cada nivel de energia, que corresponde a un n dado, contiene n estados düerentes de momentum angular, todos con la misma energia y con I entre cera y n - 1 (esto ha sido ilustrado en la fig. 3-7). Estos niveles se indican con ns, np, nd, etc. (Este resultàdo concuerda con la descripción cIásica del movimiento bajo la acción de una fuerza proporcional al inverso del cuadrado de la distancia, para la cualla energia es independient e del momentum angular, aunque la excentricidad de las órbitas elípticas depende del momentum angular.) En una teoria más refinada de los átomos con un electrón que torne en cuenta otros efectos (como correcciones relativista s), los düerentes estados de momentum angular correspondientes al mismo n tienen energias diferentes. Si la fuerza no es inversament e proporcional al cuadrado de la distancia, los ni veles que tienen el mismo valor de n pero momenta angulares düerentes (es
M
=
O.
Fig. 8-7. Transiciones entre diversos estados d.e momentum angular.
.
ls Las reglas de selección (3.17) requieren que las transiciones ocurran sólo entre estados de momentum angular ubica dos en columnas adyacentes en la fig. 3-7. Se han indicado algunas de estas transiciones posibles. Obsérvese que de acuerdo con estas reglas, no se puede pasar del estado 2s al ls que es el única e'3tado disponible de energia menor. Por esta razón el estado 2s se llama estado metastable. Las reglas (3.17) son válidas piua transiciones dipolares eléctricas, que son las más probables. Para otras transiciones, como las dipolares magnéticas o las cuadrupolares eléctricas, las regla s de sclección son düerentes; estas transiciones tienen una probabilidad mucho menor que las dipolares eléctricas. Es por esta razón que en los espectros atómicos sólo se toma en consideración las transiciones dipolares eléctricas. Hagamos ahora algunos comentarios sobre la ec. (3.8). Teniendo en cuenta que para una órbita circular rp es el momentum angular L, vemos que la ec. (3.8) I ...l
124
Atomos con un electrón
.
z
(3.4
r
z ,
,\
ml=+l
\
....
:>.-
,,
,,
\
\
\ \ \
-tII --
/'
_/
/
/
I I I I /
/
1=2
(:I)
(b)
Fig. 3-6.
Estas reglas de selección están impuestas por la ley de conservación del momentum angular, ya que el fotón emitido o absorbido lleva momentum angular, por lo que el momentum angular del átomo debe cambiar para compensar el momentum angular que lleva el fotón emitido o absorbido. La ley de conservación del momentum angular y la regla cuántica de spma de momenta angulares (ver sección 3.8) permitiria ilI = ::i:: 1. Sin embargo, la paridad de las funciones de onda en un potencial central (que se discutirá en la sección 3.5) prohibe la posi-
/
1=1 Cuantización
Cuantización
del momentum
angular
125
decir, niveles ns, np, nd, etc.) no tienen necesariamente la rnisma energia. Asi, en un campo de fuerzas centrales, la energia depende en general de n y de l, pero nO puede depender de m¡ porque en un campo central de fuerzas la orientación de la órbita carece de importancia. El hecho de que en un átomo hidrogenoide cada nivel está compuesto de varios estados de momentum angular, es sin embargo importante desde el punto de vista de las transiciones. En el caso de movimiento en un potencial central, las reglas de selección para transiciones dipolares eléctricas son 1=0 1=1 1=2 1=4 1=3 M = :!::1, ilm¡ = °, ::i::1. ~ ~ ~ (3.17) :~ ~
-m¡=+2
3.4)
76-2L
5~
5d
5i
~
°,
=
espacial para I
1 Y I
= 2.
el momentum (ec. 1.48), y para la energia y el tiempo (ec. 1.49). En otras palabras : en la mecánica cuántica es imposible determinar precisamente la dirección del momentum angular.
bilidad
Como sólo podemos conocer ILI y Lz, imaginaremos el vector momentum angular L de la fig. 3-5 como realizando un movimiento de precesión alrededor del eje Z, formando con él un ángulo constante 6. Podemos concIuir de esta discusión que los niveles de energia de los átomos hidrogenoides son algo más complejos que la representación simple implícita en la ec. (3.6) y la fig. 3-2. En un campo coulombiano cada nivel de energia, que corresponde a un n dado, contiene n estados düerentes de momentum angular, todos con la misma energia y con I entre cera y n - 1 (esto ha sido ilustrado en la fig. 3-7). Estos niveles se indican con ns, np, nd, etc. (Este resultàdo concuerda con la descripción cIásica del movimiento bajo la acción de una fuerza proporcional al inverso del cuadrado de la distancia, para la cualla energia es independient e del momentum angular, aunque la excentricidad de las órbitas elípticas depende del momentum angular.) En una teoria más refinada de los átomos con un electrón que torne en cuenta otros efectos (como correcciones relativista s), los düerentes estados de momentum angular correspondientes al mismo n tienen energias diferentes. Si la fuerza no es inversament e proporcional al cuadrado de la distancia, los ni veles que tienen el mismo valor de n pero momenta angulares düerentes (es
M
=
O.
Fig. 8-7. Transiciones entre diversos estados d.e momentum angular.
.
ls Las reglas de selección (3.17) requieren que las transiciones ocurran sólo entre estados de momentum angular ubica dos en columnas adyacentes en la fig. 3-7. Se han indicado algunas de estas transiciones posibles. Obsérvese que de acuerdo con estas reglas, no se puede pasar del estado 2s al ls que es el única e'3tado disponible de energia menor. Por esta razón el estado 2s se llama estado metastable. Las reglas (3.17) son válidas piua transiciones dipolares eléctricas, que son las más probables. Para otras transiciones, como las dipolares magnéticas o las cuadrupolares eléctricas, las regla s de sclección son düerentes; estas transiciones tienen una probabilidad mucho menor que las dipolares eléctricas. Es por esta razón que en los espectros atómicos sólo se toma en consideración las transiciones dipolares eléctricas. Hagamos ahora algunos comentarios sobre la ec. (3.8). Teniendo en cuenta que para una órbita circular rp es el momentum angular L, vemos que la ec. (3.8) I ...l
(3.5
Atomos con un electrón
126
Funciones de onda de un electrón
3.5)
r
z
z equivale a L = nñ. Pero este resultado está en desacuerdo con la ec. (3.15), es decir, L = V 1(1+ 1)ñ. Por lo tanto el modelo simple e intuitivo usado en el ejemplo 3.1 para llegar a la ec. (3.8) es incorrecto (aunque sea correcto el resultado obtenido). Esta es otra advertencia al estudiante de que no es posible, a no ser que se tenga mucho cuida do, extrapolar conceptos ondulatorios al campo de la mecánica cuántica. En este caso del momentum angular, la discrepancia se debe a que es imposible confinar las ondas electrónicas en una trayectoria estrictamente circular. Sin embargo, poniendo 1= n -1 en la ec. (3.15) obtenemos L2 = (n Cuando
n es grande
-
l)nñ2
podemos
=
(n2
-
;z=rcosO I
y
I ¡~y /
/
esta expresión
escribiendo
L2
=
n2/i2
.
/
/
x
x Fig. 8.8.
Fig. 8.9. Función angular de onda para los esta dos s (I = O).
Coordenadas esféricas.
cutiremos las propiedades más importantes
ricas r, °, ep (fig. 3-8). Podemos demostrar que la función de onda para un electrón en un campo central se puede escribir como el producto de dos factores, uno que depende de la distancia del electrón al origen y otro que depende de la orientación del vector posición r, especificada por los ángulos y ep. Podemos escribir entonces para la función de onda
°
La parte radial R(r) depende de la forma particular de la energia potencial Ep(r) correspondiente a la fuerza central que actúa sobre el electrón. En cambio, como la parte angular Y(O, ep)es consecuencia de la simetria esférica de la fuerza central, no depende de la forma particular de la energia potencial Ep(r). En otras palabras, las funciones angulares Y(O, ep)son las mismas para todos los problemas con fuerzas centrales. No discutirem os la forma de obtener las funciones de onda, aunque es un problema matemático de solución directa (ver ejemplo 3.4). En vez de ello dis-
de las funciones de onda.
En un problema con fuerzas centrales la parte angular de la función de onda está determinada enteramente por el módulo y la componente Z del momentum angular del electrón.
Funciones de onda de un electrón en un campo de fuerzas centrales
La función de onda
I
YI
I
o sea L = n/i, que concuerda con la ec. (3.8). Luego I = n - 1 con n grande aproxima el caso clásico de órbitas circulares. Esto es una ilustración del principio de correspondenciade Bohr, que dice que cuando los números cuánticos son grandes la descripción cuántica se aproxima a la clásica.
8.5
P(J:,y, z) I I I
n)/i2.
aproximar
127
El módulo del momentum angular está determinado por el número cuántico [ y la componente Z u orientación está determinada por m,. Por esa razón, las funciones angulares correspondientes a valores especificos de L2 y Lz se designan por Y,m¡(O,ep). Los matemáticos llaman armónicos esféricos a estas funciones. La tabla 3-4 da las funciones angulares Ylm¡para I = O,1 Y 2. Esta es la forma que se aplica en la mayoría de los problemas físicos. La tabla 3-5 da las funciones angulares en una forma más adecuada para discutir el enlace molecular. Las funciones de la tabla 3-5 no pertenecen a un valor particular de m, sino de mf o Imz/,correspondiendo a L2 y L~ en vez de Lz. Vemos en la tabla 3-5 que para I
=
O (esta dos s) la única función de onda es
independiente de los ángulos, es decir: los estados s son esféricamente simétricos. Esto se ha ilustrado en el diagrama polar de la fig. 3-9 donde el valor de la función s para cada dirección (O, ep)es igual a la longitud de un segmento desde el origen. El lugar geométrico de los extremos es una supe¡ficie esférica. Se comprende este resultado porque si el momentum angular es cero, no hay orientación preferencial de la órbita del electrón. .Para I = 1 (estados p) hay tres funciones angulares que representan las tres onentaciones
posibles del momentum
angular
o los tres valores
de m,
= O, :f:: 1.
En la tabla 3-5 se desig~an con Px, Pu Y pz Y la fig. 3-10 muestra sus diagramas polares. Estas funciones corresponden a un movimiento preferencial del electrón según cada uno de los ejes de coordenadas; este resultado es muy importante para describir el enlace quimico. . Para I = 2 (esta dos d) hay cinco funciones angulares diferentes. La ~tribuc16n de estos estados es más compleja, como se desprende de los diagramas
(3.5
Atomos con un electrón
126
Funciones de onda de un electrón
3.5)
r
z
z equivale a L = nñ. Pero este resultado está en desacuerdo con la ec. (3.15), es decir, L = V 1(1+ 1)ñ. Por lo tanto el modelo simple e intuitivo usado en el ejemplo 3.1 para llegar a la ec. (3.8) es incorrecto (aunque sea correcto el resultado obtenido). Esta es otra advertencia al estudiante de que no es posible, a no ser que se tenga mucho cuida do, extrapolar conceptos ondulatorios al campo de la mecánica cuántica. En este caso del momentum angular, la discrepancia se debe a que es imposible confinar las ondas electrónicas en una trayectoria estrictamente circular. Sin embargo, poniendo 1= n -1 en la ec. (3.15) obtenemos L2 = (n Cuando
n es grande
-
l)nñ2
podemos
=
(n2
-
;z=rcosO I
y
I ¡~y /
/
esta expresión
escribiendo
L2
=
n2/i2
.
/
/
x
x Fig. 8.8.
Fig. 8.9. Función angular de onda para los esta dos s (I = O).
Coordenadas esféricas.
cutiremos las propiedades más importantes
ricas r, °, ep (fig. 3-8). Podemos demostrar que la función de onda para un electrón en un campo central se puede escribir como el producto de dos factores, uno que depende de la distancia del electrón al origen y otro que depende de la orientación del vector posición r, especificada por los ángulos y ep. Podemos escribir entonces para la función de onda
°
La parte radial R(r) depende de la forma particular de la energia potencial Ep(r) correspondiente a la fuerza central que actúa sobre el electrón. En cambio, como la parte angular Y(O, ep)es consecuencia de la simetria esférica de la fuerza central, no depende de la forma particular de la energia potencial Ep(r). En otras palabras, las funciones angulares Y(O, ep)son las mismas para todos los problemas con fuerzas centrales. No discutirem os la forma de obtener las funciones de onda, aunque es un problema matemático de solución directa (ver ejemplo 3.4). En vez de ello dis-
de las funciones de onda.
En un problema con fuerzas centrales la parte angular de la función de onda está determinada enteramente por el módulo y la componente Z del momentum angular del electrón.
Funciones de onda de un electrón en un campo de fuerzas centrales
La función de onda
I
YI
I
o sea L = n/i, que concuerda con la ec. (3.8). Luego I = n - 1 con n grande aproxima el caso clásico de órbitas circulares. Esto es una ilustración del principio de correspondenciade Bohr, que dice que cuando los números cuánticos son grandes la descripción cuántica se aproxima a la clásica.
8.5
P(J:,y, z) I I I
n)/i2.
aproximar
127
El módulo del momentum angular está determinado por el número cuántico [ y la componente Z u orientación está determinada por m,. Por esa razón, las funciones angulares correspondientes a valores especificos de L2 y Lz se designan por Y,m¡(O,ep). Los matemáticos llaman armónicos esféricos a estas funciones. La tabla 3-4 da las funciones angulares Ylm¡para I = O,1 Y 2. Esta es la forma que se aplica en la mayoría de los problemas físicos. La tabla 3-5 da las funciones angulares en una forma más adecuada para discutir el enlace molecular. Las funciones de la tabla 3-5 no pertenecen a un valor particular de m, sino de mf o Imz/,correspondiendo a L2 y L~ en vez de Lz. Vemos en la tabla 3-5 que para I
=
O (esta dos s) la única función de onda es
independiente de los ángulos, es decir: los estados s son esféricamente simétricos. Esto se ha ilustrado en el diagrama polar de la fig. 3-9 donde el valor de la función s para cada dirección (O, ep)es igual a la longitud de un segmento desde el origen. El lugar geométrico de los extremos es una supe¡ficie esférica. Se comprende este resultado porque si el momentum angular es cero, no hay orientación preferencial de la órbita del electrón. .Para I = 1 (estados p) hay tres funciones angulares que representan las tres onentaciones
posibles del momentum
angular
o los tres valores
de m,
= O, :f:: 1.
En la tabla 3-5 se desig~an con Px, Pu Y pz Y la fig. 3-10 muestra sus diagramas polares. Estas funciones corresponden a un movimiento preferencial del electrón según cada uno de los ejes de coordenadas; este resultado es muy importante para describir el enlace quimico. . Para I = 2 (esta dos d) hay cinco funciones angulares diferentes. La ~tribuc16n de estos estados es más compleja, como se desprende de los diagramas
128
Alomos con un eleclrón TABLA 3-4 aL2yL.
-
1
(3.5
Funciones
anguiares
ml
O
correspondientes
3.,5)
Funciones de onda de un eleclrón
z
aI
129
z
FunCÍón angular
O
Yoo = l/V 47t
O
Y10 =
y
V3/47t cos 6
y
y
1 :1:1
-
O 2
Y20
=f
Y2:l:l= =f
:1:2
Y2:l:2=
1
Imll
O
O
Y 3/87t
= t Y 5/47t
:1:1
TABLA 3-5 aL2yL~
-
Y1:J:J. =
Funciones
sen 6 e
(3 cos2 6 -
1)
Y15/87tsen 6 cos 6e:!:itf>
t V15/27t
x
x
:!:itf>
}l'ig. 3-10.
Funciones
angulares
z
de onda para los estados
z
p (l
=
1).
z
sen2 6 e :!:i2<¡l
angulares
correspondientes
Función angular
y
y
y
x
s = l/Y 47t I
O
p. = Y 3/47t cos 6
1
p., = V 3/47t sen 6 cos 4> PI/ = Y 3/47t sen 6 sen 4>
O
dsz'-r'
1
d.,.
dyz
d3z2-r2
1
2
dl/'
2
=
=
5/167t (3 COSS6 -
Y15/47t
=Y
z 1)
sen 6 cos 6 cos
4>
sen 6 cos 6 sen
'"
d"l/ = fi5/47t sens 6 sen 24>
z
---y
x
x dX2-y2
dxy lIf
polares de la fig. 3-11, que representan las funciones d de la tabla 3-5. Para valores mayores de I la situación se hace aún más compleja. Una propiedad importante de las funciones angulares Y/ml es que tienen pari~ dad igual a (-1)/. Esto es, para I = O, 2, 4, ..., entero par, las funciones Y/ml tienen el mismo valor y el mismo signo en puntos situados simétricamente res~ pecto al origen de coordenada s, siendo por lo tanto funciones pares, mientras que para I = 1, 3, 5, ..., entero impar, las funciones Y/ml tienen el mismo valor pero signos opue,stos en puntos simétricos, siendo entonces funciones impares. Se puede demostrar que para transiciones dipolares eléctricas los estados inicial y final deben tener paridades opuestas, por 10 que estos estados no pueden ten er
Fig. 3-11.
Funciones
angulares
de onda para los estados
d (1 = 2).
el mismo valor de 1. Por esa razón, el valor M = O es imposible para esas transiciones, como se indicM anteriormente en relación con la ec. (3.17). La parte radial R(r) de la función de onda Ij¡(r,6, t/J) depende de la energia Y del módulo del momentum angular, pero no de su orientación. Podemos entender esto porque dada la simetria esférica de un campo central, la distribución radial del movimiento electrónico debe ser independiente de la orientaci.n de SuDlomentum angular, o sea que debe ser independiente de m,. Este es el análogo
II"
lli
128
Alomos con un eleclrón TABLA 3-4 aL2yL.
-
1
(3.5
Funciones
anguiares
ml
O
correspondientes
3.,5)
Funciones de onda de un eleclrón
z
aI
129
z
FunCÍón angular
O
Yoo = l/V 47t
O
Y10 =
y
V3/47t cos 6
y
y
1 :1:1
-
O 2
Y20
=f
Y2:l:l= =f
:1:2
Y2:l:2=
1
Imll
O
O
Y 3/87t
= t Y 5/47t
:1:1
TABLA 3-5 aL2yL~
-
Y1:J:J. =
Funciones
sen 6 e
(3 cos2 6 -
1)
Y15/87tsen 6 cos 6e:!:itf>
t V15/27t
x
x
:!:itf>
}l'ig. 3-10.
Funciones
angulares
z
de onda para los estados
z
p (l
=
1).
z
sen2 6 e :!:i2<¡l
angulares
correspondientes
Función angular
y
y
y
x
s = l/Y 47t I
O
p. = Y 3/47t cos 6
1
p., = V 3/47t sen 6 cos 4> PI/ = Y 3/47t sen 6 sen 4>
O
dsz'-r'
1
d.,.
dyz
d3z2-r2
1
2
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2
=
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5/167t (3 COSS6 -
Y15/47t
=Y
z 1)
sen 6 cos 6 cos
4>
sen 6 cos 6 sen
'"
d"l/ = fi5/47t sens 6 sen 24>
z
---y
x
x dX2-y2
dxy lIf
polares de la fig. 3-11, que representan las funciones d de la tabla 3-5. Para valores mayores de I la situación se hace aún más compleja. Una propiedad importante de las funciones angulares Y/ml es que tienen pari~ dad igual a (-1)/. Esto es, para I = O, 2, 4, ..., entero par, las funciones Y/ml tienen el mismo valor y el mismo signo en puntos situados simétricamente res~ pecto al origen de coordenada s, siendo por lo tanto funciones pares, mientras que para I = 1, 3, 5, ..., entero impar, las funciones Y/ml tienen el mismo valor pero signos opue,stos en puntos simétricos, siendo entonces funciones impares. Se puede demostrar que para transiciones dipolares eléctricas los estados inicial y final deben tener paridades opuestas, por 10 que estos estados no pueden ten er
Fig. 3-11.
Funciones
angulares
de onda para los estados
d (1 = 2).
el mismo valor de 1. Por esa razón, el valor M = O es imposible para esas transiciones, como se indicM anteriormente en relación con la ec. (3.17). La parte radial R(r) de la función de onda Ij¡(r,6, t/J) depende de la energia Y del módulo del momentum angular, pero no de su orientación. Podemos entender esto porque dada la simetria esférica de un campo central, la distribución radial del movimiento electrónico debe ser independiente de la orientaci.n de SuDlomentum angular, o sea que debe ser independiente de m,. Este es el análogo
II"
lli
130
Atomos con un electrón
(3.5
3.5) Funciones
TABLA 8-6 Funciones mos hidrogen oides
-
n
I
1
O
de onda radiales de los áto-
Rnl(r) (p
O 2 1 -
11
1
= 2Zr/nao)
n=3 l,O
1=0
l,O
R (1')- ---1 (Z (2 p)e-p/a ao - 2V2 aota -
4
1 (Z RaI(r)= 2V6 -;;; ra pe-p/a
2
1=0
0,5
1=0
O
1\
o ¡ al
4
o.:~,
8
O
8
r, A
ai
j
4
8
0'2~ ()
8
1=1 ~1112
01~, ' O
,
n=1
40
=
Rno(r) Y1m¡(0, 1».
8
12
1, 2 Y 3. En cada caso, la
4()
n=3
1=0
I=()
20 1»
=
L
I
4 á3 o r, A
1 (Z Ra2(r)= 9V30 -;;;ta pae-p/a
cuántico del resultado clásico de que la energia y el módulo del momentum angular determinan el "tamaño" de la órbita. Por lo tanto, la función radial depende del número cuántico n asociado con la energia, y de I pero no de ml. Luego, estas funciones radiales se representan por Rnl(r) Y la función de onda total es
12
r, A
.'il\'. 3-12. de Funeioncs del hidrógcllo ordcnada la curva ~sradiales (Rnl(r) ro-a/aJ x 10-8. para n
IjInlm¡(r,°,
131
6
Z)* e-p/a RIo(r)= 2 (-;;;
1 (Z ra p(4 - p)e-p/a Ra1(r)= 9Vf>-;;;
2
n=2 2,0
O 1 (Z R30(r)= 9V3 -;;;ra (6 - 6p + pa)e-p/a -------. 3
n=1
de onda de un electrón
2()
(3.18)
La tabla 3-6 da las funciones radiales correspondientes a los tres primeros niveles de energia de los átomos hidrogenoides. La fig. 3-12 muestra estas funciones. La línea de trazos indica en cada caso el radio clásico de la órbita, conforme a la ec. (3.11). Podemos ver que, aunque lo más probable es que el electrón se encuentre dentro del radio clásico de la órbita, también se puede encontrar a distancias mayores. La probabilidad de encontrar el electrón dentro de una capa esférica de radios l' y l' + dI' independientemente de su posición angular es proporcional a r2[Rnl(r)]2 (ver problema 3.25). La fig. 3-13 muestra estas probabilidades. Una particularidad interesante que se aprecia fácilmente en la fig. 3-12 es que las funciones radiales para electrones s tienen valores relativamente grandes para l' pequeño. Decimos que los electrones s describen órbitas penetrantes que llegan muy cerca del núcleo. Los electrones p son menos penetrantes, los electrones d aún menos y así sucesivamente para valores crecientes del momentuIll angular. Esto es fácil de entender si consideramos que (tanto en la mecánica clásica como en la cuántica) el movimiento radial bajo la acción de una fuerza
4
8
12
60 1= 1
~lA"
40
() 2()
) a~
l'ig. 3-13.
Distribución
4o r, A
S
¡
~h
12
,
8
radial de probabilidad
4
()
~
:
-t
((;!
8
12
o
r. A
en el hidrógéno
En cada caso la ordenada es [raRnl(r)ro-I] x 10-1&.
para n
=
..
l, 2 Y 3.
I
130
Atomos con un electrón
(3.5
3.5) Funciones
TABLA 8-6 Funciones mos hidrogen oides
-
n
I
1
O
de onda radiales de los áto-
Rnl(r) (p
O 2 1 -
11
1
= 2Zr/nao)
n=3 l,O
1=0
l,O
R (1')- ---1 (Z (2 p)e-p/a ao - 2V2 aota -
4
1 (Z RaI(r)= 2V6 -;;; ra pe-p/a
2
1=0
0,5
1=0
O
1\
o ¡ al
4
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8
O
8
r, A
ai
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4
8
0'2~ ()
8
1=1 ~1112
01~, ' O
,
n=1
40
=
Rno(r) Y1m¡(0, 1».
8
12
1, 2 Y 3. En cada caso, la
4()
n=3
1=0
I=()
20 1»
=
L
I
4 á3 o r, A
1 (Z Ra2(r)= 9V30 -;;;ta pae-p/a
cuántico del resultado clásico de que la energia y el módulo del momentum angular determinan el "tamaño" de la órbita. Por lo tanto, la función radial depende del número cuántico n asociado con la energia, y de I pero no de ml. Luego, estas funciones radiales se representan por Rnl(r) Y la función de onda total es
12
r, A
.'il\'. 3-12. de Funeioncs del hidrógcllo ordcnada la curva ~sradiales (Rnl(r) ro-a/aJ x 10-8. para n
IjInlm¡(r,°,
131
6
Z)* e-p/a RIo(r)= 2 (-;;;
1 (Z ra p(4 - p)e-p/a Ra1(r)= 9Vf>-;;;
2
n=2 2,0
O 1 (Z R30(r)= 9V3 -;;;ra (6 - 6p + pa)e-p/a -------. 3
n=1
de onda de un electrón
2()
(3.18)
La tabla 3-6 da las funciones radiales correspondientes a los tres primeros niveles de energia de los átomos hidrogenoides. La fig. 3-12 muestra estas funciones. La línea de trazos indica en cada caso el radio clásico de la órbita, conforme a la ec. (3.11). Podemos ver que, aunque lo más probable es que el electrón se encuentre dentro del radio clásico de la órbita, también se puede encontrar a distancias mayores. La probabilidad de encontrar el electrón dentro de una capa esférica de radios l' y l' + dI' independientemente de su posición angular es proporcional a r2[Rnl(r)]2 (ver problema 3.25). La fig. 3-13 muestra estas probabilidades. Una particularidad interesante que se aprecia fácilmente en la fig. 3-12 es que las funciones radiales para electrones s tienen valores relativamente grandes para l' pequeño. Decimos que los electrones s describen órbitas penetrantes que llegan muy cerca del núcleo. Los electrones p son menos penetrantes, los electrones d aún menos y así sucesivamente para valores crecientes del momentuIll angular. Esto es fácil de entender si consideramos que (tanto en la mecánica clásica como en la cuántica) el movimiento radial bajo la acción de una fuerza
4
8
12
60 1= 1
~lA"
40
() 2()
) a~
l'ig. 3-13.
Distribución
4o r, A
S
¡
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12
,
8
radial de probabilidad
4
()
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8
12
o
r. A
en el hidrógéno
En cada caso la ordenada es [raRnl(r)ro-I] x 10-1&.
para n
=
..
l, 2 Y 3.
I
132
Atomos con un electrón
(3.5 11
eentral corresponde a un potencial efectivo
=
Ep,et
+ -2mr2 =
E
E
E p (r)
+
\ 'Potencial \
n' 1(12m + r1)1i2
\
(3.19)
donde Ep(r) es la energía potencial de la fuerza central (el potencíal coulombíano en el caso de un electrón) y L2f2mr2 se denomina potencial centrifugo (ver ejemplo 3.5). Para los estados s tenemos I = O Y no hay potencial centrífugo por lo que Ep,et = Ep' Luego, un electrón s ligado o con energía E negativa (fig. 3-14a) se puede mover clásicamente entre O y A tenien do en consecuencía acceso al origen de coordenadas. La forma de la parte radial de la funcíón de onda debe ser entonces como se muestra en la parte inferior de la figura. (El número de oscilacíones de la funcíón de onda depende de la energía). Para otros valores del momentum angular, la forma del potencial efectivo es cOmo se muestra en la fig. 3-14(b). Clásicamente, el electrón se debe mover por lo tanto entre B y C. Traducímos esto allenguaje cuántico dicíendo que la funcíón de onda debe decrecer rápidamente fuera de los limites clásicos del movimiento, debiendo ser entonces muy pequeña cerca del origen. Cuanto mayor sea el momentum angular, tanto más lejos del origen comienza la funcíón de onda a ser aprecíable y tanto menos "penetrante" es la órbita. Esta característica del movimiento electrónico se refleja en muchas propiedades importantes del átomo. Por ejemplo: los electrones s son muy sensibles a la forma y a la estructura interna del núcleo, mientras que los electrones que tienen momentum angular mayor son mucho menos sensibles a la forma y a la estructura nucleares.
,
Análisis de los operadores
de momentum
angular
"-
-------
r
L
=-
ifiT X V
E
Us
UI/
y %y
%x de donde concIuimos que la componente
~
~
=
-ifi
(
X~ oy
f
r
r
o
'*-'I~ 1r!0 (b)
momentum
Fig. 3.14. Potencial efectivo y función dc onda radial para I = O y I =¡ic. O en el movimiento bajo la acción de una fuerza central.
U.
z %z
Pero ox/ot/> =
-
r sen 6 sen
o -
= -y
ot/>
Z es
-y ~ox ),
(3.20)
y expresiones parecidas para Ls y LI/.Es más conveniente das esféricas. Observando en la fig. 3-8 que
expresar
x = r sen 6 cos t/>, y = r sen 6 sen t/>, z = r cos 6, tenemos
que
~=
o
ox ~+ o ox
oy ~+~~. o oy
.
R(r)
R(r)
t/> =
- y, oy/o = r sen 6 cos t/>= x y oz/ot/>= O.Luego,
o o ---'- + x ox oy
,
con lo que el operador L. se escribe en la forma L.
.E
y sus funciones
2-2, sección 2.12, que el operador
= - i1iI x
r
CI
(a)
Solución: Recordemos de la tabla angular está dado por
1)/r2
'''''....
A
o
,,
centrifugo-l(l+
ElcclrlÍn s (I = O)
EJEMPLO 3.4. propias.
133
de onda de un electrón
\
L2
Ep(r)
Funciones
3.5)
L. en coordena-
L.
=
~.
(3.21)
ot/>
Se puede demostrar que esta relación es absolutamente general y que el operador cuántico correspondiente a la componente del momentum angular según cualquier dirección
está
dado
por
-
ili%, don de t/> es un
ángulo
medido
alrededor
de
esa dirección. La ecuación de valores propios es, conforme a la ec. (2.48), L.<1I= L.<1I, donde <11(
o oz
-ifi
¡¡
0<11 o
= L.<1I
ó
0<11 = iml <11
o'
..
132
Atomos con un electrón
(3.5 11
eentral corresponde a un potencial efectivo
=
Ep,et
+ -2mr2 =
E
E
E p (r)
+
\ 'Potencial \
n' 1(12m + r1)1i2
\
(3.19)
donde Ep(r) es la energía potencial de la fuerza central (el potencíal coulombíano en el caso de un electrón) y L2f2mr2 se denomina potencial centrifugo (ver ejemplo 3.5). Para los estados s tenemos I = O Y no hay potencial centrífugo por lo que Ep,et = Ep' Luego, un electrón s ligado o con energía E negativa (fig. 3-14a) se puede mover clásicamente entre O y A tenien do en consecuencía acceso al origen de coordenadas. La forma de la parte radial de la funcíón de onda debe ser entonces como se muestra en la parte inferior de la figura. (El número de oscilacíones de la funcíón de onda depende de la energía). Para otros valores del momentum angular, la forma del potencial efectivo es cOmo se muestra en la fig. 3-14(b). Clásicamente, el electrón se debe mover por lo tanto entre B y C. Traducímos esto allenguaje cuántico dicíendo que la funcíón de onda debe decrecer rápidamente fuera de los limites clásicos del movimiento, debiendo ser entonces muy pequeña cerca del origen. Cuanto mayor sea el momentum angular, tanto más lejos del origen comienza la funcíón de onda a ser aprecíable y tanto menos "penetrante" es la órbita. Esta característica del movimiento electrónico se refleja en muchas propiedades importantes del átomo. Por ejemplo: los electrones s son muy sensibles a la forma y a la estructura interna del núcleo, mientras que los electrones que tienen momentum angular mayor son mucho menos sensibles a la forma y a la estructura nucleares.
,
Análisis de los operadores
de momentum
angular
"-
-------
r
L
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E
Us
UI/
y %y
%x de donde concIuimos que la componente
~
~
=
-ifi
(
X~ oy
f
r
r
o
'*-'I~ 1r!0 (b)
momentum
Fig. 3.14. Potencial efectivo y función dc onda radial para I = O y I =¡ic. O en el movimiento bajo la acción de una fuerza central.
U.
z %z
Pero ox/ot/> =
-
r sen 6 sen
o -
= -y
ot/>
Z es
-y ~ox ),
(3.20)
y expresiones parecidas para Ls y LI/.Es más conveniente das esféricas. Observando en la fig. 3-8 que
expresar
x = r sen 6 cos t/>, y = r sen 6 sen t/>, z = r cos 6, tenemos
que
~=
o
ox ~+ o ox
oy ~+~~. o oy
.
R(r)
R(r)
t/> =
- y, oy/o = r sen 6 cos t/>= x y oz/ot/>= O.Luego,
o o ---'- + x ox oy
,
con lo que el operador L. se escribe en la forma L.
.E
y sus funciones
2-2, sección 2.12, que el operador
= - i1iI x
r
CI
(a)
Solución: Recordemos de la tabla angular está dado por
1)/r2
'''''....
A
o
,,
centrifugo-l(l+
ElcclrlÍn s (I = O)
EJEMPLO 3.4. propias.
133
de onda de un electrón
\
L2
Ep(r)
Funciones
3.5)
L. en coordena-
L.
=
~.
(3.21)
ot/>
Se puede demostrar que esta relación es absolutamente general y que el operador cuántico correspondiente a la componente del momentum angular según cualquier dirección
está
dado
por
-
ili%, don de t/> es un
ángulo
medido
alrededor
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esa dirección. La ecuación de valores propios es, conforme a la ec. (2.48), L.<1I= L.<1I, donde <11(
o oz
-ifi
¡¡
0<11 o
= L.<1I
ó
0<11 = iml <11
o'
..
134 donde
Atomos con un eleclrón hemos
puesto
=
ml
(3.5
L./ñ, o L. = mlñ,. La solución
de esta
ecuación
3.5)
es cII =
Funciones
= Ceim¡t/> donde C es la constante de normalización. Como un mismo punto del espa- III cio está representado por y por + 2~, es necesario que cII( + 2~), lo cual implica que eim¡t/> = eim¡(t/>+2",) o ei2",m¡= 1. Esto exige que ml sea un número entero, es decir: ml = O, ::I:1, ::I:2, . . ., como ya se indicó en la sección 3.4. Para determinar C aplicamos la condición de normalización, que en nues tro caso es J~"'cII*clld=1 o
Haciendo
el cambio de COordenadas cartesianas 02
2 o
1
1 -- 2m {-+--+--[ or2 r or r2 sen 6
Recordando
la ec. (3.32) para el operador ñ,2
- -2m (-8r2 82
ml = O, :I:-1, ::I:2, ...,
(3.22)
y los valores propios L. = mlñ, son múltiplos enteros de ñ,. El cuadrado del módulo del momentum angular está dado por el operador
=
L~
+ L~+
8 86
[
(
sen6-
8 86
)
+--.
1
sen2 6 82 ]
(3.23)
!I
Se puede demostrar de contorno
8Y
(
sen6-
86
)
1 +--+-Y=O.
sen2 6
que para obtener
y continuidad
que requiere
Q2Y
V
82
ñ,2
cuántica,
~
86
(sen6- 86 ) + --sen2 6
I... .'
.I
.
[El factor que depende de
(cos 6) eim¡t/>.Teniendo podemos escribir L2Ylm¡
en cuenta
que V/ñ,2
=¡
propias
tjJ
+ Ep(r)tjJ
en cuenta
1(1 + r2
~ I
que
=
=
1(1 + 1)ñ,2Ylm¡,
L. Ylm¡
=
IU +
1)1i2
2mr2
]
u
Ep(r)
+
IU + 1)1i2 2 mr 2
R + Ep(r)R = ER.
=
Eu.
(3.24)
.
1(1 + 1)lï,2j2mr2 es un potencial
correspondiente, F =
-
8Ep,cen/or, es positiva
centrifugo
porque
y está por lo tanto
la
"fuerza"
dirigida aleján-
Si ponemos Ep = Ze2¡4~Eor obtenemos una ecuación diferencial que admite como soluciones las funciones radialcs dadas la tabla 3-6. Con otras formas de la energia potencial resultan funciones radialesen diferentes.
pr¡ I
de L2 y ...,
E:JE1I1PLO3.6.
Corrección
relativista
a la energia
de átomos
hidrogenoides.
S"'aelóa, Como eXP"eamo, en la 'eeción 2.12, la 'euoo;ón d~ Sobrod;ng", (3.3) obU'n,
para
(~+~ ox2
oy'
+
)
(2 OZ2 -¡.+ Ep(r)-¡'
movimiento
bajo la
para el mo-
a part;,
de ]a exp""ón
no "laUv;,'a
E
~
"
p'/2m,+ E.. E", P'o",o "
'o'"'cio ,'emp" que ]a VOlocidaddel ,I«"ón '" pequ'fia "'p,eto a la ve'ocldad d, la Iu,. En e] ejemplo 3.1 ""Umó que el valo, d, o/e paca un "«',ó" en un "'ado "'ac'o"";o,, del o'd'n de 7 x 104Z/n. EI et«,o "Iatlv]"a deb]do a "ta ve'ocidad, aunque P'quefio, " PU'de deteci" fócllmente con mHodo, "poctm'Cópleo,. La Potencial Ep es (ver ec. A.ll), 'UOCg'a"'aUv'''a de un "eci,ón que.. mueve con momentum p Y !t'ne una enocgla E = cVñ&2+ p2 + Ep-mec',
=
EtjJ.
L2Y¡m¡ = 1(1 + 1)ñ,2Y¡m¡,
-
= mdi Ylm¡.
de Schrodinger
=
EtjJ.
'
Solucióp: Recordemos que según la ec. (2.9) la ecuación de Schrodinger vimiento con una energia potencial Ep(r) es 2m
=
Ep,eff
EI término Ep,cen dose del origen.
+ l(l + 1)Y =0,
es idéntico a la ec. (3.22)J. Esto es: Ylm¡ =
EJEMPLO 8.5. Análisis de la ecuación acción de fuerzas centrales.
-~
+ Ep(r)1ji
De estai
82
que las Ylm¡ son funciones
tjJ
Esta expresión se llama a veces ecuación de Schrodinger radial. Comparando esta ecuación con la ecuación de SChrodinger unidimensional (2.3) concluimos que el potencial por la ec. a (3.19), es decir unidimensional en una energia movimientoefectiva radial dada es equivalente un movimiento
las condiciones :)
es necesario
se designan por Ylm¡ Y son las funciones dadas en la tabla 3-4. La tabla muestra que las funciones Ylm¡ son productos de un factor que depende de 6 y otro que depende
de
}
.
forma hemos obtenido los resulta dos anteriormente establecidos en la sección 3.5, esta es, J.2 = 1(1+ 1)ñ,2.Las soluciones de la ecuación resultante, 8Y 1 Q2Y . 1 8 sen 6
02 8 2
. .
= 1(1+ 1), donde 1 es un entera no negativo, esta es: 1 = O, 1, 2, 3, ... --
o
(sen6- 06 ) +
L2, podemos escribir
valor prOPiO' .i'' .;, .,'
una solución que satisfaga la mecánica
86 1
L2
-8r - -ñ,2r2)
- ~ ~ + [Ep + 2m dr2
¡
depende de los ángulos 6 y , se ha designado con Y(6,
esféricas r,
bre R(r) contiene = u(r)/r,sól0 conlaloparte que radial resulta R(r) de la función de onda Iji.Es costumEsta poner ecuación
82
La ecuación de valores propios es L2Y(6,
1 -sen 6
+ -r
8
- ~ ~ +~ ~ 2m [ dr2 r dr
de L. dada en la ec. (3.20). Transformando a coordenadas esféricas por media de un cálculo algebraico elabora do, se encuentra que el cuadrado del momentum angular está representado por el operador cuántico 1 sen 6
2
Poniendo tjJ= R(r) Y¡m¡(O,
L2 =
L~, donde L", y L" son operadores con expresiones similares a la
L2=-ñ,2 --
o
+ 5eñ2e
o sea, suponiendo C real, C = 1/V2~. Por lo tanto, las funciones propias normalizadas de la componente Z del momentum angular son 1 eim¡t/>, V2~
x, Y, z a coordenadas
135
6, , esta ecuación ñ,2 se transforma, después de un largo cálculo algebraico, en
f:'" (C*e-im¡t/»(Ceim¡t/»d = IcI2 f:'" d = 2~lc12 = 1,
cII(
de onda de un eleclrón
E-¡'.
dOUde" ha ""ado
la 'necgla en "po,o P"a qu, el ce,o d, la '''ecg'a co'Uooa cou
" c"o no "laUv;,ta. Suponl,ndo qu, ,] momentum p .. mucbo meno, qu, m",
134 donde
Atomos con un eleclrón hemos
puesto
=
ml
(3.5
L./ñ, o L. = mlñ,. La solución
de esta
ecuación
3.5)
es cII =
Funciones
= Ceim¡t/> donde C es la constante de normalización. Como un mismo punto del espa- III cio está representado por y por + 2~, es necesario que cII( + 2~), lo cual implica que eim¡t/> = eim¡(t/>+2",) o ei2",m¡= 1. Esto exige que ml sea un número entero, es decir: ml = O, ::I:1, ::I:2, . . ., como ya se indicó en la sección 3.4. Para determinar C aplicamos la condición de normalización, que en nues tro caso es J~"'cII*clld=1 o
Haciendo
el cambio de COordenadas cartesianas 02
2 o
1
1 -- 2m {-+--+--[ or2 r or r2 sen 6
Recordando
la ec. (3.32) para el operador ñ,2
- -2m (-8r2 82
ml = O, :I:-1, ::I:2, ...,
(3.22)
y los valores propios L. = mlñ, son múltiplos enteros de ñ,. El cuadrado del módulo del momentum angular está dado por el operador
=
L~
+ L~+
8 86
[
(
sen6-
8 86
)
+--.
1
sen2 6 82 ]
(3.23)
!I
Se puede demostrar de contorno
8Y
(
sen6-
86
)
1 +--+-Y=O.
sen2 6
que para obtener
y continuidad
que requiere
Q2Y
V
82
ñ,2
cuántica,
~
86
(sen6- 86 ) + --sen2 6
I... .'
.I
.
[El factor que depende de
(cos 6) eim¡t/>.Teniendo podemos escribir L2Ylm¡
en cuenta
que V/ñ,2
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propias
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en cuenta
1(1 + r2
~ I
que
=
=
1(1 + 1)ñ,2Ylm¡,
L. Ylm¡
=
IU +
1)1i2
2mr2
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u
Ep(r)
+
IU + 1)1i2 2 mr 2
R + Ep(r)R = ER.
=
Eu.
(3.24)
.
1(1 + 1)lï,2j2mr2 es un potencial
correspondiente, F =
-
8Ep,cen/or, es positiva
centrifugo
porque
y está por lo tanto
la
"fuerza"
dirigida aleján-
Si ponemos Ep = Ze2¡4~Eor obtenemos una ecuación diferencial que admite como soluciones las funciones radialcs dadas la tabla 3-6. Con otras formas de la energia potencial resultan funciones radialesen diferentes.
pr¡ I
de L2 y ...,
E:JE1I1PLO3.6.
Corrección
relativista
a la energia
de átomos
hidrogenoides.
S"'aelóa, Como eXP"eamo, en la 'eeción 2.12, la 'euoo;ón d~ Sobrod;ng", (3.3) obU'n,
para
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movimiento
bajo la
para el mo-
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no "laUv;,'a
E
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"
p'/2m,+ E.. E", P'o",o "
'o'"'cio ,'emp" que ]a VOlocidaddel ,I«"ón '" pequ'fia "'p,eto a la ve'ocldad d, la Iu,. En e] ejemplo 3.1 ""Umó que el valo, d, o/e paca un "«',ó" en un "'ado "'ac'o"";o,, del o'd'n de 7 x 104Z/n. EI et«,o "Iatlv]"a deb]do a "ta ve'ocidad, aunque P'quefio, " PU'de deteci" fócllmente con mHodo, "poctm'Cópleo,. La Potencial Ep es (ver ec. A.ll), 'UOCg'a"'aUv'''a de un "eci,ón que.. mueve con momentum p Y !t'ne una enocgla E = cVñ&2+ p2 + Ep-mec',
=
EtjJ.
L2Y¡m¡ = 1(1 + 1)ñ,2Y¡m¡,
-
= mdi Ylm¡.
de Schrodinger
=
EtjJ.
'
Solucióp: Recordemos que según la ec. (2.9) la ecuación de Schrodinger vimiento con una energia potencial Ep(r) es 2m
=
Ep,eff
EI término Ep,cen dose del origen.
+ l(l + 1)Y =0,
es idéntico a la ec. (3.22)J. Esto es: Ylm¡ =
EJEMPLO 8.5. Análisis de la ecuación acción de fuerzas centrales.
-~
+ Ep(r)1ji
De estai
82
que las Ylm¡ son funciones
tjJ
Esta expresión se llama a veces ecuación de Schrodinger radial. Comparando esta ecuación con la ecuación de SChrodinger unidimensional (2.3) concluimos que el potencial por la ec. a (3.19), es decir unidimensional en una energia movimientoefectiva radial dada es equivalente un movimiento
las condiciones :)
es necesario
se designan por Ylm¡ Y son las funciones dadas en la tabla 3-4. La tabla muestra que las funciones Ylm¡ son productos de un factor que depende de 6 y otro que depende
de
}
.
forma hemos obtenido los resulta dos anteriormente establecidos en la sección 3.5, esta es, J.2 = 1(1+ 1)ñ,2.Las soluciones de la ecuación resultante, 8Y 1 Q2Y . 1 8 sen 6
02 8 2
. .
= 1(1+ 1), donde 1 es un entera no negativo, esta es: 1 = O, 1, 2, 3, ... --
o
(sen6- 06 ) +
L2, podemos escribir
valor prOPiO' .i'' .;, .,'
una solución que satisfaga la mecánica
86 1
L2
-8r - -ñ,2r2)
- ~ ~ + [Ep + 2m dr2
¡
depende de los ángulos 6 y , se ha designado con Y(6,
esféricas r,
bre R(r) contiene = u(r)/r,sól0 conlaloparte que radial resulta R(r) de la función de onda Iji.Es costumEsta poner ecuación
82
La ecuación de valores propios es L2Y(6,
1 -sen 6
+ -r
8
- ~ ~ +~ ~ 2m [ dr2 r dr
de L. dada en la ec. (3.20). Transformando a coordenadas esféricas por media de un cálculo algebraico elabora do, se encuentra que el cuadrado del momentum angular está representado por el operador cuántico 1 sen 6
2
Poniendo tjJ= R(r) Y¡m¡(O,
L2 =
L~, donde L", y L" son operadores con expresiones similares a la
L2=-ñ,2 --
o
+ 5eñ2e
o sea, suponiendo C real, C = 1/V2~. Por lo tanto, las funciones propias normalizadas de la componente Z del momentum angular son 1 eim¡t/>, V2~
x, Y, z a coordenadas
135
6, , esta ecuación ñ,2 se transforma, después de un largo cálculo algebraico, en
f:'" (C*e-im¡t/»(Ceim¡t/»d = IcI2 f:'" d = 2~lc12 = 1,
cII(
de onda de un eleclrón
E-¡'.
dOUde" ha ""ado
la 'necgla en "po,o P"a qu, el ce,o d, la '''ecg'a co'Uooa cou
" c"o no "laUv;,ta. Suponl,ndo qu, ,] momentum p .. mucbo meno, qu, m",
l
3.6)
(3.5 136
Atomos con un electrón 8.6
III
podemos desarrollar E =
la raiz hasta el término de segundo orden, resultando 1 1
-
2me
p2
= ~ 2me
(
-
p2
:¡-
SmeC2
p4
+ .., +
(3.25)
Los dos términos dentro del paréntesis dan la aproximación no relativista a1a energia. En consecuencia, el último término es la corrección relativista de primer orden a la energia total del electrón; la designaremos por t..ET. Luego, ~ ~ 1 1 TSm~c2 2mec2 2me 2me'
1943)observó por primera vez este efecto en 1896.Se le ha Hamado erecto Zeeman
para honrar su trabajo.
(-- )(- )
t..E___p4
Un electrón que describe una órbita circular con velocidad angular
Para el segundo podemos
-
t..ET= -
escribir p2/2me = 1meV2. Por lo tanto 1 1 ~ 2mec2 (-E) ÜmeV2) = -4 -c2 E.
-
Luego, la corrección relativista es del orden de (V/C)2 X (energia del electrón). En el átomo de hidrógeno, por ejemplo, (V/C)2es del orden de 10-5, por lo que t..ET '"'" 10-5E o sea alrededor de 0,001 % de E, cantidad que, aunque pequeña, se puede detectar fáeilmente en el laboratorio con las técnicas experimentales que se usan actualmente. Para obtener un resultado más preciso, notemos que el último término de la ec. (3.25), el cual acabamos de ver que es muy pequeño respecto a los dos primeros, se puede considerar como una pequeña perturbación. Para calcular su efecto sobre los estados estacionarios podemos estimar su valor medio conforme a la ec. (2.50). En el estado descrito por la función de onda
-
El resultado
f
-
Cò
pasa
por cada punto de la órbita Cò/27tveces por segundo, lo cual corresponde a una corriente 1= e(Cò/2rt).Como la corriente tiene un contorno muy pequeño, equivale a un dipolo magnético cuyo momento magnético es igual a (corrien te) X(área). En consecuencia, el momento dipolar magnético orbital del electrón es
Los factores idénticos dent ro de los paréntesis correspon den a la energia cipética no relativista del electrón. Por lo tanto (con una aproximación razonable) podemos escribir para el primero, usando el resultado de las ecs. (3.10) Y (3.13), p2 = 1meV2 = Ze2 Ze2 + Ze2 = = -E. 2me 47tEo(2r) 47tEor 47tEo(2r)
-
Electo Zeeman
La cuantización espacial se manifiesta de una manera obvia cuando se perturba el movimiento electrónico aplicando un campo magnético. Cuando el campo magnético es suficientemente fuerte cada línea espectral de los átomos con un electrón se desdobla en un triplete que consta de tres líneas muy próximas. El espaciamiento es el mismo para todos los átomos y todas las líneas y es proporcional al módulo del campo magnético. El físico holandés Pieter Zeeman (1865-
Ep
p4 + .., + Ep ) - -4-Smec2
137
Erecto Zeeman
ML
=
e(Cò/2rt) (7tr2)
=
-teCòr2.
Recordando que para una órbita circular L = mevr = meCòr2,tenemos que ML ==(e/2me)L. Esta es una relación entre los módulos de ML y L. Ahora bien, la dirección de L está relacionada con la del movimiento del electrón como se muestra en la fig. 3-15. Por otra parte, la carga del electrón es negativa y por lo tanto la corriente equivalente es opuesta a la del movimiento electrónico, resultando una orientación de ML opuesta a la de L. Podemos entonces escribir la ecuación vectorial e
ML=---L.
(3.27)
2me
Aunque hemos obtenido esta relación para' una órbita circular y hemos usado la mecánica clásica, la mismaes válida àún en la mecánica cuántica para un Z
de este cálculo es t..E T =
\En\Z20(2 n
(-2-4n
- ~ I
)
(3.26) 1
L
donde O(
=
~
+1 '
e2/4rtEoñc ~ 1/137
se denomina constante de estructura tina y IEnl es el valor absoluto de la en~rgla dada por la ec. (3.~). En nuestra aproximación, los niveles de energia están dadO~ entonces por E = En + t..ET. Como la corrección relativista (3.26) depende de y de n, los niveles que tienen el mismo n pero diferente I no tienen la misma energia, En otras palabras: la corrección relativista destruye la degeneración accidental que encontramos en el caso de un campo coulombiano. Además, la corrección reli!' tivista es siempre negativa para todo n Y l. Para un n dado, cu ant o menor es el valor de I mayor es la corrección relativista. Por lo tanto, los esta dos del hidrógeno pari los cuales la corrección es más importante son el ls y el 2s. .~ P. A. M. Dirac desarrolló una teoria relativista del electrón más refinada. En ¡, teoria de Dirae se establece desde el principio una ecuación correspondiente a * energia relativista, obteniéndose de este modo los niveles de energia exactoS. SJ¡! embargo, esta teoria es demasiado complicada para ser presentada aquí.
Movi .' del
mlento n / electró ,
/
l
\
Corrien t
~
e'qUlValente e
'
+Ze "- ---
I
\
-e l-~l~ m
---"-
/'
,
--
L
\ l
"-- ~"'_~~jL z
-- -~ i' .:"- , "-
r'
/
\
?J¡J5
// v
}l'
19. 3-15. Relación entre el momento ~a.gnético y el momentum angular orbia.les de un electrón.
)'
x Fig. 3-16. Precesión del momentum angular por la acción de un campo..magnétieo.
l
3.6)
(3.5 136
Atomos con un electrón 8.6
III
podemos desarrollar E =
la raiz hasta el término de segundo orden, resultando 1 1
-
2me
p2
= ~ 2me
(
-
p2
:¡-
SmeC2
p4
+ .., +
(3.25)
Los dos términos dentro del paréntesis dan la aproximación no relativista a1a energia. En consecuencia, el último término es la corrección relativista de primer orden a la energia total del electrón; la designaremos por t..ET. Luego, ~ ~ 1 1 TSm~c2 2mec2 2me 2me'
1943)observó por primera vez este efecto en 1896.Se le ha Hamado erecto Zeeman
para honrar su trabajo.
(-- )(- )
t..E___p4
Un electrón que describe una órbita circular con velocidad angular
Para el segundo podemos
-
t..ET= -
escribir p2/2me = 1meV2. Por lo tanto 1 1 ~ 2mec2 (-E) ÜmeV2) = -4 -c2 E.
-
Luego, la corrección relativista es del orden de (V/C)2 X (energia del electrón). En el átomo de hidrógeno, por ejemplo, (V/C)2es del orden de 10-5, por lo que t..ET '"'" 10-5E o sea alrededor de 0,001 % de E, cantidad que, aunque pequeña, se puede detectar fáeilmente en el laboratorio con las técnicas experimentales que se usan actualmente. Para obtener un resultado más preciso, notemos que el último término de la ec. (3.25), el cual acabamos de ver que es muy pequeño respecto a los dos primeros, se puede considerar como una pequeña perturbación. Para calcular su efecto sobre los estados estacionarios podemos estimar su valor medio conforme a la ec. (2.50). En el estado descrito por la función de onda
-
El resultado
f
-
Cò
pasa
por cada punto de la órbita Cò/27tveces por segundo, lo cual corresponde a una corriente 1= e(Cò/2rt).Como la corriente tiene un contorno muy pequeño, equivale a un dipolo magnético cuyo momento magnético es igual a (corrien te) X(área). En consecuencia, el momento dipolar magnético orbital del electrón es
Los factores idénticos dent ro de los paréntesis correspon den a la energia cipética no relativista del electrón. Por lo tanto (con una aproximación razonable) podemos escribir para el primero, usando el resultado de las ecs. (3.10) Y (3.13), p2 = 1meV2 = Ze2 Ze2 + Ze2 = = -E. 2me 47tEo(2r) 47tEor 47tEo(2r)
-
Electo Zeeman
La cuantización espacial se manifiesta de una manera obvia cuando se perturba el movimiento electrónico aplicando un campo magnético. Cuando el campo magnético es suficientemente fuerte cada línea espectral de los átomos con un electrón se desdobla en un triplete que consta de tres líneas muy próximas. El espaciamiento es el mismo para todos los átomos y todas las líneas y es proporcional al módulo del campo magnético. El físico holandés Pieter Zeeman (1865-
Ep
p4 + .., + Ep ) - -4-Smec2
137
Erecto Zeeman
ML
=
e(Cò/2rt) (7tr2)
=
-teCòr2.
Recordando que para una órbita circular L = mevr = meCòr2,tenemos que ML ==(e/2me)L. Esta es una relación entre los módulos de ML y L. Ahora bien, la dirección de L está relacionada con la del movimiento del electrón como se muestra en la fig. 3-15. Por otra parte, la carga del electrón es negativa y por lo tanto la corriente equivalente es opuesta a la del movimiento electrónico, resultando una orientación de ML opuesta a la de L. Podemos entonces escribir la ecuación vectorial e
ML=---L.
(3.27)
2me
Aunque hemos obtenido esta relación para' una órbita circular y hemos usado la mecánica clásica, la mismaes válida àún en la mecánica cuántica para un Z
de este cálculo es t..E T =
\En\Z20(2 n
(-2-4n
- ~ I
)
(3.26) 1
L
donde O(
=
~
+1 '
e2/4rtEoñc ~ 1/137
se denomina constante de estructura tina y IEnl es el valor absoluto de la en~rgla dada por la ec. (3.~). En nuestra aproximación, los niveles de energia están dadO~ entonces por E = En + t..ET. Como la corrección relativista (3.26) depende de y de n, los niveles que tienen el mismo n pero diferente I no tienen la misma energia, En otras palabras: la corrección relativista destruye la degeneración accidental que encontramos en el caso de un campo coulombiano. Además, la corrección reli!' tivista es siempre negativa para todo n Y l. Para un n dado, cu ant o menor es el valor de I mayor es la corrección relativista. Por lo tanto, los esta dos del hidrógeno pari los cuales la corrección es más importante son el ls y el 2s. .~ P. A. M. Dirac desarrolló una teoria relativista del electrón más refinada. En ¡, teoria de Dirae se establece desde el principio una ecuación correspondiente a * energia relativista, obteniéndose de este modo los niveles de energia exactoS. SJ¡! embargo, esta teoria es demasiado complicada para ser presentada aquí.
Movi .' del
mlento n / electró ,
/
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Corrien t
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19. 3-15. Relación entre el momento ~a.gnético y el momentum angular orbia.les de un electrón.
)'
x Fig. 3-16. Precesión del momentum angular por la acción de un campo..magnétieo.
138
(3.6
Atomos con un electrón
movimiento arbitrario con momentum angular L. La componente Z del momento magnético orbital es
=-
MLz
e Lz 2me
-
=-
e/i --2me ml = - ¡LBm¡,
(3.28)
139
que hace que el momentum angular L precese alrededor de la dirección del campo magnético C)'j, como se indica en la fig. 3-16. Tomando el eje Z paralelo al campo magnético
C}3, podemos
reescribir
la ec. (3.30) en la forma
de donde, empleando la ec. (3.28), obtenemos
Eg¡
= - MLzr)3, (3.31)
E g¡ = ¡LBC'f3ml'
donde la cantidad
Vemos entonces que Eg¡, en vez de tener un intervalo continuo de valores, puede
¡LB
=
eli 2me
-
= 9,2732X 10-24 J
T-1
= 5,6564X 10-5 eV T-1 (3.29)
se denomina magnetón de Bohr. Cuando se coloca un dipolo magnético de momento M en un campo magnétic o C}3,adquiere
una energia E ,'I;=
- M .13. En consecuencia,cuando se coloca +2 +1 o 1 2
d
+1 O 1
p
,l'
Erecto Zeeman
3.6)
"
tener 21 + 1 valores
diferentes
correspondientes
a cada una de las 21 + 1 orien-
taciones de L respecto a '}j tenien do todos un espaciamiento constante igual a ¡LBCJ]. La energia total de un electrón ligado a un átomo que se encuentra en un campo magnético es En + Egs, donde En es la energia del movimiento del electrón en ausencia de campo magnético. La ec. (3.31) indica entonces que cada nivel de energia con números cuánticos n I se desdobla en 21 + 1 niveles en presencia de un campo magnético. La separación entre los niveles sucesivos se refleja también en las frecuencias asociadas con las transiciones entre niveles. En la fig. 3-17 se ilustra la situación correspondiente a los niveles s, p y d. Los estados con I = O (estados s) no son afectados por el campo magnético. Los niveles con I = 1 (esta dos p) se desdoblan en tres estados igualmente espaciados correspondientes
a las orientaciones
para las cuales ml
= + l, O Y - 1. Luego,
la transición p --+ S se transforma en una transición triple, una correspondiente a ml = O--+ ml = O con la frecuencia original, y otras dos correspondientes a ml = :1:1 --+ ml = O con un cambio de frecuencia dado por
+
p
s
-1 0+1 Am¡
O
y-1
m¡
(a)
yO +1 y
-1
Am¡
ml
(b)
}'ig. 3-17. Desdoblamicnto de los nivclcs de energia s, p Y d bajo la acción de un campo magnético. La separación de niveles sucesivos es ¡LB'-13.
un átomo en un campo magnético, éste agrega a un electrón en órbita la energia Eg¡
=-
e MvC}3
= --'2me
(3.30) L.C}3
AI mismo tiempo el electrón experimenta un torque 't'
=
ML
X C}3
=
e
- -2me
L x '}j,
t:..v
=
:1: -
¡LB93 = 1,40 X 101°0'3 Hz. h
(3.32)
Esto significa que cada una de las líneas p --+ S mostradas en la fig. 3-8 se transforma en tres líneas muy juntas. Análogamente, los estados con I = 2 (estados d) se desdoblan en cinco niveles igualmente espaciados correspondientes a las orientaciones de L dadas por ml = :1: 2, :1: 1, O. La transición d --+ P tiene ahora nueveposibilidades,conformea la regla de selección t:..ml= :1: l, O. Sin embargo, las transiciones correspondientes al mismo valor de t:..mltienen todas la misma energia por lo que dan la misma línea espectral. Concluimo~ entonces que aunque hay nueve transiciones posibles, el espectro de la transiciÓn d --+P en un campo rnagnético contiene tres líneas solamente, con t:..vdado también por la ec. (3.32). La cuantización del momentum angular explica claramente los resultados experimentales del efecto Zeeman. Si en vez de estar cuantizado espacialmente, el momentum angular pudiera tener cualquier orientación, el efecto del campo rnagnético seria ensanchar cada nivel. Los nuevos niveles ocuparian entonces una banda de energia de ancho 2(-lBC'f3L y cada línea se transformaria en una banda. Esta es la razón, como se mencionó aIÍteriormente, de por qué el efecto Zeeman es una prueba de la cuantización espacial. De hecho, el efecto Zeeman fue uno de los fenómenos que llevó a introducir la idea de la cuantiza~ión del rnOmentum angular.
,1
138
(3.6
Atomos con un electrón
movimiento arbitrario con momentum angular L. La componente Z del momento magnético orbital es
=-
MLz
e Lz 2me
-
=-
e/i --2me ml = - ¡LBm¡,
(3.28)
139
que hace que el momentum angular L precese alrededor de la dirección del campo magnético C)'j, como se indica en la fig. 3-16. Tomando el eje Z paralelo al campo magnético
C}3, podemos
reescribir
la ec. (3.30) en la forma
de donde, empleando la ec. (3.28), obtenemos
Eg¡
= - MLzr)3, (3.31)
E g¡ = ¡LBC'f3ml'
donde la cantidad
Vemos entonces que Eg¡, en vez de tener un intervalo continuo de valores, puede
¡LB
=
eli 2me
-
= 9,2732X 10-24 J
T-1
= 5,6564X 10-5 eV T-1 (3.29)
se denomina magnetón de Bohr. Cuando se coloca un dipolo magnético de momento M en un campo magnétic o C}3,adquiere
una energia E ,'I;=
- M .13. En consecuencia,cuando se coloca +2 +1 o 1 2
d
+1 O 1
p
,l'
Erecto Zeeman
3.6)
"
tener 21 + 1 valores
diferentes
correspondientes
a cada una de las 21 + 1 orien-
taciones de L respecto a '}j tenien do todos un espaciamiento constante igual a ¡LBCJ]. La energia total de un electrón ligado a un átomo que se encuentra en un campo magnético es En + Egs, donde En es la energia del movimiento del electrón en ausencia de campo magnético. La ec. (3.31) indica entonces que cada nivel de energia con números cuánticos n I se desdobla en 21 + 1 niveles en presencia de un campo magnético. La separación entre los niveles sucesivos se refleja también en las frecuencias asociadas con las transiciones entre niveles. En la fig. 3-17 se ilustra la situación correspondiente a los niveles s, p y d. Los estados con I = O (estados s) no son afectados por el campo magnético. Los niveles con I = 1 (esta dos p) se desdoblan en tres estados igualmente espaciados correspondientes
a las orientaciones
para las cuales ml
= + l, O Y - 1. Luego,
la transición p --+ S se transforma en una transición triple, una correspondiente a ml = O--+ ml = O con la frecuencia original, y otras dos correspondientes a ml = :1:1 --+ ml = O con un cambio de frecuencia dado por
+
p
s
-1 0+1 Am¡
O
y-1
m¡
(a)
yO +1 y
-1
Am¡
ml
(b)
}'ig. 3-17. Desdoblamicnto de los nivclcs de energia s, p Y d bajo la acción de un campo magnético. La separación de niveles sucesivos es ¡LB'-13.
un átomo en un campo magnético, éste agrega a un electrón en órbita la energia Eg¡
=-
e MvC}3
= --'2me
(3.30) L.C}3
AI mismo tiempo el electrón experimenta un torque 't'
=
ML
X C}3
=
e
- -2me
L x '}j,
t:..v
=
:1: -
¡LB93 = 1,40 X 101°0'3 Hz. h
(3.32)
Esto significa que cada una de las líneas p --+ S mostradas en la fig. 3-8 se transforma en tres líneas muy juntas. Análogamente, los estados con I = 2 (estados d) se desdoblan en cinco niveles igualmente espaciados correspondientes a las orientaciones de L dadas por ml = :1: 2, :1: 1, O. La transición d --+ P tiene ahora nueveposibilidades,conformea la regla de selección t:..ml= :1: l, O. Sin embargo, las transiciones correspondientes al mismo valor de t:..mltienen todas la misma energia por lo que dan la misma línea espectral. Concluimo~ entonces que aunque hay nueve transiciones posibles, el espectro de la transiciÓn d --+P en un campo rnagnético contiene tres líneas solamente, con t:..vdado también por la ec. (3.32). La cuantización del momentum angular explica claramente los resultados experimentales del efecto Zeeman. Si en vez de estar cuantizado espacialmente, el momentum angular pudiera tener cualquier orientación, el efecto del campo rnagnético seria ensanchar cada nivel. Los nuevos niveles ocuparian entonces una banda de energia de ancho 2(-lBC'f3L y cada línea se transformaria en una banda. Esta es la razón, como se mencionó aIÍteriormente, de por qué el efecto Zeeman es una prueba de la cuantización espacial. De hecho, el efecto Zeeman fue uno de los fenómenos que llevó a introducir la idea de la cuantiza~ión del rnOmentum angular.
,1
140 8.7
Atomos con un electrón Espín
(3.7
Espln del electrón
141
del electrón
Recordemos que la tierra, además de su movimiento orbital alrededor del sol, tiene un movimiento rotacional (gira) alrededor de su eje. Por lo tanto, el momentum angular total de la tierra es la suma vectorial de su momentum angular orbital y su momentum angular de giro. Por analogía, podemos sospechar que un electrón ligado en un átomo también gira sobre sí mismo. Sin embargo, no podemos describir el electrón como una partícula esférica que gira sobre sí misma porque no conocemos su estructura interna. En consecuencia no podemos calcular el momentum angular de giro del electrón en la misma forma que calculamos el momentum angular de giro de la tierra en función de su radio y de su velo cidad angular. La idea de que el electrón gira fue propuesta en 1926 por G. Uhlenbeck y S. Goudsmit para explicar ciertas característica s de los espectros de átomos con un solo electrón (en la sección 3.9 consideraremos estos espectros). No se puede, sin embargo, mantener la analogia del electrón con una pequeña esfera que gira. Es por ella que se postula la existencia de un momentum angular intrínseco del electrón llamado espln [del inglés lo spin (girar)]. Si S es el espín del electrón y L es el momentum angular orbital, el momentum angular total es J
3.7)
= L + S.
Para L y S dados, el valor de J depende
de la orientación
Espín hacia arriba
Fig. 3-18. lach.
Experimento
de Stern-Ger-
El campo magnético desviará entonces el haz atómico según sea la orientación de Ms o, lo que es equivalente,
la orientación
S.
El resultado
del experimento
es que elque campo magnético no homogéneo desdobla el haz atómico en dos. Esto mUtstra
e 2me
donde gs se denomina razón giromagnética del electrón. El valor experimental de gs es 2,0024. Para la mayoria
En el experimento de Stern-Gerlach se produce cI campo magnético no homogéneo dando a las piezas polares la forma que se muestra en la fig. 3-18. La intensidad del campo magllético aumenta en la dirección S-N. Si los átomos hidrogenoides están en su esta do fundamental, el momentum angular orbital del electrón es nulo (estado s o I = O) Y todo el momento magnético se debe al espin.
rela-
tiva de los mismos y podemos esperar que esto se refleje en ciertas propiedades atómicas; esto es lo que ocurre realmente. La existencia del espín del electrón está confirmada por una gran cantidad de datos experimentales. Por ejemplo, el espín del electrón se manifiesta de forma muy directa en el experimento de Stern-Gerlach, realizado por primera vez en 1924. Como el electrón es una partícula cargada, el espin del electrón debe dar lugar a un momento magnético Ms intrínseco o de espin. Si el electrón pudiera ser descrito como un cuerpo rígido cargado que rota, la relación entre Ms y S sería la misma que entre ML y L, ec. (3.17). Sin embargo, como no es así, debemos escribir Ms = -gs-S,
la dirección en que el campo magllético aumenta, mientras que si el dipolo magnético es antiparalelo al campo magnético se moverá en la dirección en que el campo magnético disminuye. .
de los fines prácticos
podemos
tomar
gs
= 2.
El momento dipolar magnético total de un electrón en su órbita es enton~es
M= ML + Ms= --
e 2me
(L +gsS),
(3.33)
que por supuesto depende no sólo del módulo de L y de S sino también de SU orientación relativa. Supongamos ahora que un haz de átomos hidrogenoides atraviesa un campo magnético no homogéneo como se muestra en la fig. 3-18. El efecto de ese campo sobre un dipolo magnético e!iejercer una fuerza cuyo módulo y dirección dependell de la orientación relativa del campo magnético y el dipolo magnético. Por ejeIJ1plo, si el dipolo magnético es paralelo al campo magnético, tiende a moverse ell
el espln del electrón sólo puede tcner dos orienlaeiones respecto al campo magnético: paralelo o anliparalelo. Como según la discusión hecha en la sección 3.4 el número de orientaciones de un vector momentum
angular
respecto a un eje Z fijo es g
=
21 + 1, tenemos
para el caso del espín el valor g = 2 o sea I = 1-- Designando el número cuántico de espín con s en vez de 1 y el número cuántico correspondiente a la componente
S: Conms, tenemos que s = S2
=
s(s
+
1)1i2
-!-
y ms = :J:-!-.Luego:
= i1i2,
S
= -!-,
Sz = msli,
ms
=
:J:
t. (3.34)
-
En la fig. 3-19 se muestra los únicos valores de ms permitidos (esto es, + -!- y -!-), riue corresponden a las. dos orientaciones posibles de S. Para abreviar, se los arna comúnmente espln para arriba (t ) y espln para abajo ( .,¡.) aunsue realrnente el espin nunca está dirigido según el eje Z u opuesto a éI.
140 8.7
Atomos con un electrón Espín
(3.7
Espln del electrón
141
del electrón
Recordemos que la tierra, además de su movimiento orbital alrededor del sol, tiene un movimiento rotacional (gira) alrededor de su eje. Por lo tanto, el momentum angular total de la tierra es la suma vectorial de su momentum angular orbital y su momentum angular de giro. Por analogía, podemos sospechar que un electrón ligado en un átomo también gira sobre sí mismo. Sin embargo, no podemos describir el electrón como una partícula esférica que gira sobre sí misma porque no conocemos su estructura interna. En consecuencia no podemos calcular el momentum angular de giro del electrón en la misma forma que calculamos el momentum angular de giro de la tierra en función de su radio y de su velo cidad angular. La idea de que el electrón gira fue propuesta en 1926 por G. Uhlenbeck y S. Goudsmit para explicar ciertas característica s de los espectros de átomos con un solo electrón (en la sección 3.9 consideraremos estos espectros). No se puede, sin embargo, mantener la analogia del electrón con una pequeña esfera que gira. Es por ella que se postula la existencia de un momentum angular intrínseco del electrón llamado espln [del inglés lo spin (girar)]. Si S es el espín del electrón y L es el momentum angular orbital, el momentum angular total es J
3.7)
= L + S.
Para L y S dados, el valor de J depende
de la orientación
Espín hacia arriba
Fig. 3-18. lach.
Experimento
de Stern-Ger-
El campo magnético desviará entonces el haz atómico según sea la orientación de Ms o, lo que es equivalente,
la orientación
S.
El resultado
del experimento
es que elque campo magnético no homogéneo desdobla el haz atómico en dos. Esto mUtstra
e 2me
donde gs se denomina razón giromagnética del electrón. El valor experimental de gs es 2,0024. Para la mayoria
En el experimento de Stern-Gerlach se produce cI campo magnético no homogéneo dando a las piezas polares la forma que se muestra en la fig. 3-18. La intensidad del campo magllético aumenta en la dirección S-N. Si los átomos hidrogenoides están en su esta do fundamental, el momentum angular orbital del electrón es nulo (estado s o I = O) Y todo el momento magnético se debe al espin.
rela-
tiva de los mismos y podemos esperar que esto se refleje en ciertas propiedades atómicas; esto es lo que ocurre realmente. La existencia del espín del electrón está confirmada por una gran cantidad de datos experimentales. Por ejemplo, el espín del electrón se manifiesta de forma muy directa en el experimento de Stern-Gerlach, realizado por primera vez en 1924. Como el electrón es una partícula cargada, el espin del electrón debe dar lugar a un momento magnético Ms intrínseco o de espin. Si el electrón pudiera ser descrito como un cuerpo rígido cargado que rota, la relación entre Ms y S sería la misma que entre ML y L, ec. (3.17). Sin embargo, como no es así, debemos escribir Ms = -gs-S,
la dirección en que el campo magllético aumenta, mientras que si el dipolo magnético es antiparalelo al campo magnético se moverá en la dirección en que el campo magnético disminuye. .
de los fines prácticos
podemos
tomar
gs
= 2.
El momento dipolar magnético total de un electrón en su órbita es enton~es
M= ML + Ms= --
e 2me
(L +gsS),
(3.33)
que por supuesto depende no sólo del módulo de L y de S sino también de SU orientación relativa. Supongamos ahora que un haz de átomos hidrogenoides atraviesa un campo magnético no homogéneo como se muestra en la fig. 3-18. El efecto de ese campo sobre un dipolo magnético e!iejercer una fuerza cuyo módulo y dirección dependell de la orientación relativa del campo magnético y el dipolo magnético. Por ejeIJ1plo, si el dipolo magnético es paralelo al campo magnético, tiende a moverse ell
el espln del electrón sólo puede tcner dos orienlaeiones respecto al campo magnético: paralelo o anliparalelo. Como según la discusión hecha en la sección 3.4 el número de orientaciones de un vector momentum
angular
respecto a un eje Z fijo es g
=
21 + 1, tenemos
para el caso del espín el valor g = 2 o sea I = 1-- Designando el número cuántico de espín con s en vez de 1 y el número cuántico correspondiente a la componente
S: Conms, tenemos que s = S2
=
s(s
+
1)1i2
-!-
y ms = :J:-!-.Luego:
= i1i2,
S
= -!-,
Sz = msli,
ms
=
:J:
t. (3.34)
-
En la fig. 3-19 se muestra los únicos valores de ms permitidos (esto es, + -!- y -!-), riue corresponden a las. dos orientaciones posibles de S. Para abreviar, se los arna comúnmente espln para arriba (t ) y espln para abajo ( .,¡.) aunsue realrnente el espin nunca está dirigido según el eje Z u opuesto a éI.
142
t
Alomos con un electrón
(3.8 '
Designaremos con Xm. las funciones de onda asociadas con la componente del espín. No nos interesa la forma de Xm.; sus principal es propiedades son S2Xm. = iIï2Xm., A veces se usa la notación
y
- t
SzXm.
=
Sz III
x+ Y X- en vez de Xm., las cuales corresponden
a ms
III.,= -- ~
I
angular resultante,
Jz = mlï,
J2 = jU + 1)1ï2,
--
Fig. 3-20. Orientaciones relativas posibles de L y S cuando l = 2.
j = l+~ (espín hacia (a) arriba)
j=l-f¡
(espín hacia abajo) (b)
/
~~
Fig. 3-19. Orientaciones eje Z.
posibles
del espín
respecto
al
tieo j varia en pasos de a uno desdc jI +- j2 hasta lA - j21, por lo que sólo puede ten er los valores
j = jI
de momenta
angulares
Vimos en la sección precedent e que el momentum angular resultant e J de un electrón en un átomo hidrogenoide es la suma del momentum angular orbital L y el momentum angular de espín S, esto es: J = L + S. Es de importancia examinar los valores posibles de J conforme a la mecánica cuántica. Para que nuestro análisis sea de aplicación general, supongamos que tenemos dos momenta angulares, JI Y J2, que pueden corresponder, por ejemplo, al momentum angular orbital de un electrón y a su espín (como acabamos de considerar en la sección precedente), o al momentum angular de dos electrones en un átomo (caso que consideraremos en el próximo capítulo). Se tiene que: .T'f= jI(jI + 1)1ï2,Jlz = mllï, y J~ = j2(j2 + 1)1ï2,J2z = m21ï. Se puede demostrar que en el caso más general
+ j2'
jI
+ j2 -
1,
jI
+ j2 -
2, ...,
UI- j21.
El primer valor corresponde a JI y,J2 "paralelos" y el último a los dos momenta angulares "antiparalelos". Los valores sucesivos de j difieren en una unidad y si j2 s: jI' el número total de posibilidades es 2j2 + r. TABLA 3-7
Adición
(3.36)
. ..
/
Cuando el átomo está en un estado con l #- O, el desdoblamiento producido por el campo magnético depende del momento magnético total o, lo que es lo mismo, del momentum angular total J = L + S. Por ello se puede usar el experimento de Stern-Gerlach para determinar el momentum angular total de un átomo.
8.8
m ==:í: j, :í: U-I),
siendo m = ml + m2' Pero como JI y J2 pueden tener diversa s orientaciones relativas, hay varios valores posibles de J. Se encuentra que el número cuán-
/ /'
de modo que Jz = Jlz + J2Z'
(3.35)
Rnl(r) Ylm¡(e, cf»Xms'
Obsérvese que según la ec. (3.35), para describir completamente el esta do de un electrón en un campo central se necesitan cualro nú1: meros cuánticos: n, l, ml Ym.. Las propiedades del espín del electrón descritas por las ecs. (3.34) no se pueden explicar con ningún modelo clásico del electrón. Sin embargo, podemos explicarlas teórica111.,=t~ \ mente combinando las ideas de la mecánica cuántica \ \ con el principio de relatividad. Dirac hizo esto alrededor " \;¡ li Ii .) de 1928 pero no discutiremos sJ análisis aquí porque ~ I I cae fuera del objetivo de este libro. / /
JI + J2 es el momentum
= +!
en un cam~o central es entonces
=
=
se tiene
respectivamente. La función de onda completa de un electrón que se mueve
IJinlm¡m.
Y j2 pueden ser enteros o semienteros, esta es, O, t,l, 1, 2, . .. Como ya se explieó, los momenta angulares orbitales sólo pueden ser enteros.
jI
Si J msIïXm.'
143
Adición de momenla angulares
3.8)
Designación
de estados electrónicos
l
O
i
t
t
t
t
S¡/a
PIla
Pala
da/a
Sím'bolo
1
3
2 s
t
t
ds/2
fs/a
f7/a
-2-
Por ejemplo, si j2 = t los valores posibles de j son jI + t y jI - t, que corresponden a las orientaciones paralela y antiparalela. En el caso del electrón, si JI = L Y J2 = S, tenemos entonees que los valores posíbles del momentum angular total J son j = I :J:: l Estas dos situaciones están ilustradas en la ofIg. 3-20
142
t
Alomos con un electrón
(3.8 '
Designaremos con Xm. las funciones de onda asociadas con la componente del espín. No nos interesa la forma de Xm.; sus principal es propiedades son S2Xm. = iIï2Xm., A veces se usa la notación
y
- t
SzXm.
=
Sz III
x+ Y X- en vez de Xm., las cuales corresponden
a ms
III.,= -- ~
I
angular resultante,
Jz = mlï,
J2 = jU + 1)1ï2,
--
Fig. 3-20. Orientaciones relativas posibles de L y S cuando l = 2.
j = l+~ (espín hacia (a) arriba)
j=l-f¡
(espín hacia abajo) (b)
/
~~
Fig. 3-19. Orientaciones eje Z.
posibles
del espín
respecto
al
tieo j varia en pasos de a uno desdc jI +- j2 hasta lA - j21, por lo que sólo puede ten er los valores
j = jI
de momenta
angulares
Vimos en la sección precedent e que el momentum angular resultant e J de un electrón en un átomo hidrogenoide es la suma del momentum angular orbital L y el momentum angular de espín S, esto es: J = L + S. Es de importancia examinar los valores posibles de J conforme a la mecánica cuántica. Para que nuestro análisis sea de aplicación general, supongamos que tenemos dos momenta angulares, JI Y J2, que pueden corresponder, por ejemplo, al momentum angular orbital de un electrón y a su espín (como acabamos de considerar en la sección precedente), o al momentum angular de dos electrones en un átomo (caso que consideraremos en el próximo capítulo). Se tiene que: .T'f= jI(jI + 1)1ï2,Jlz = mllï, y J~ = j2(j2 + 1)1ï2,J2z = m21ï. Se puede demostrar que en el caso más general
+ j2'
jI
+ j2 -
1,
jI
+ j2 -
2, ...,
UI- j21.
El primer valor corresponde a JI y,J2 "paralelos" y el último a los dos momenta angulares "antiparalelos". Los valores sucesivos de j difieren en una unidad y si j2 s: jI' el número total de posibilidades es 2j2 + r. TABLA 3-7
Adición
(3.36)
. ..
/
Cuando el átomo está en un estado con l #- O, el desdoblamiento producido por el campo magnético depende del momento magnético total o, lo que es lo mismo, del momentum angular total J = L + S. Por ello se puede usar el experimento de Stern-Gerlach para determinar el momentum angular total de un átomo.
8.8
m ==:í: j, :í: U-I),
siendo m = ml + m2' Pero como JI y J2 pueden tener diversa s orientaciones relativas, hay varios valores posibles de J. Se encuentra que el número cuán-
/ /'
de modo que Jz = Jlz + J2Z'
(3.35)
Rnl(r) Ylm¡(e, cf»Xms'
Obsérvese que según la ec. (3.35), para describir completamente el esta do de un electrón en un campo central se necesitan cualro nú1: meros cuánticos: n, l, ml Ym.. Las propiedades del espín del electrón descritas por las ecs. (3.34) no se pueden explicar con ningún modelo clásico del electrón. Sin embargo, podemos explicarlas teórica111.,=t~ \ mente combinando las ideas de la mecánica cuántica \ \ con el principio de relatividad. Dirac hizo esto alrededor " \;¡ li Ii .) de 1928 pero no discutiremos sJ análisis aquí porque ~ I I cae fuera del objetivo de este libro. / /
JI + J2 es el momentum
= +!
en un cam~o central es entonces
=
=
se tiene
respectivamente. La función de onda completa de un electrón que se mueve
IJinlm¡m.
Y j2 pueden ser enteros o semienteros, esta es, O, t,l, 1, 2, . .. Como ya se explieó, los momenta angulares orbitales sólo pueden ser enteros.
jI
Si J msIïXm.'
143
Adición de momenla angulares
3.8)
Designación
de estados electrónicos
l
O
i
t
t
t
t
S¡/a
PIla
Pala
da/a
Sím'bolo
1
3
2 s
t
t
ds/2
fs/a
f7/a
-2-
Por ejemplo, si j2 = t los valores posibles de j son jI + t y jI - t, que corresponden a las orientaciones paralela y antiparalela. En el caso del electrón, si JI = L Y J2 = S, tenemos entonees que los valores posíbles del momentum angular total J son j = I :J:: l Estas dos situaciones están ilustradas en la ofIg. 3-20
r44
Atomos con un electrón
(3.9
Jara I == 2. Tenemospor lo tanto que el espín del electrón sólo puede tener dos orientaciones posibles respecto al momentum angular orbital.
t.
Cuando I = O (estado s) sólo es posible j = Indicando el valor de j como subíndice, los estados posibles de un electrón en un campo central se designan como se muestra en la tabla 3-7. Se puede Otro ejemplo es j2 = 1 Y j¡ ~ 1; entonces j = j¡ + 1, j¡ ó j¡ -1. demostrar que en una transición dipolar eléctríca el fotón tiene un momentum angular correspondiente a un valor de j igual a 1. Luego, si j¡ se refiere al momentum
angular
orbital
I del electrón y j2
= 1 al
del fotó n, los valores permitidos
del momentum angular orbital de un electrón depués de emitir o absorber el fotón son 1+ 1, I Y l-l,
a bol = ::I: 1, O. Como ya explicamos
correspondientes
en la sección 3.4, 6.1= O queda elimina do por razones de paridad.
3.9
Interacción
3.9)
lnteracción spin-órbita
..
tico C}Jparalelo al momentum angular L. Como el electrón está en reposo respecto a X' Y'Z', la única interacción del campo magnético nuclear es con momento magnético Ms debido al espín del electrón. Esta interacción es proporcional a Ms' C}J.Pero C}Jes paralelo a L y Ms es paralelo a S. Por lo tanto la interacción es proporcional a L. S. Es por esto que el efecto se llama interacción espinórbita. Podemos escribir entonces para la energía del electrón debida a la interacción espín-órbita: ESL
= aS. L,
La doble orientación del espín del electrón respecto al momentum angular orbital da lugar a un efecto importante: la duplicación de los niveles de energía (excepto los niveles s) de los átomos hidrogenoides. A su vez, esta duplicación da lugar a una duplicación de las líneas espectrales. Estàs líneas aparecen en pares que tienen frecuencias o longitudes de onda muy parecidas por lo que se denominan dobletes. El doblete mejor conocido es el formado por las dos líneas amarillas D del sodio, que corresponden a longitudes de onda de 5890 A y 5896 A. Fue precisamente el problema de explicar estos dobletes el que dio origen a la idea del espín del electrón con dos orientaciones posibles. La duplicación de los niveles de energía es consecuencia de la llamada interacción espin-órbita. El origen de esta interacción es el siguiente: en un sistema de referen cia X YZ fijo al núcleo de un átomo, el electrón rota alrededor del núcleo (fig. 3-21a) con momentum angular L. Pero en un sistema de referencia X' Y' Z' fijo al electrón es el núcleo el que rota alrededor del electrón. Como el núcleo tiene carga positiva, produce en el sistema X' Y'Z' un campo magné-
z
(3.37)
donde a es una cantidad que depende de las diferentes variables que afectan el movimiento del electrón y cuya forma precisa no necesitamos conocer por ahora. Si En es la energía del movimiento electrónico bajo la acción de una fuerza central solamente, la energia total es, cuando se agrega la interacción espín-órbita,
E = En + ESL
espín..órbita
= En + aS. L.
(3.38)
Al escribir esta expresión estamos suponiendo que la interacción espín-órbita nò afecta la contribución a la energía debida a las fuerzas central es, suposición que es válida mientras ESL sea muy pequeña respecto a En. Para valores dados de L y de S, la interacción espín-órbita ESL depende de la orientación relativa de los dos vectores. concluimos que Pero como S sólo puede tener dos orientaciones respecto a L, la interacción espin-órbita desdobla cada nivel de energia del electrón con un valor dado de I en dos niveles muy próximos. Un nivel corresponde a L y S paralelos o espín hacia arriba (j = I +!) y el o espín hacia abajo (j = I - t). Evidentemente, los niveles s (I = O) siguen siendo simples. En presencia de la interacción espín-órbita, los números cuánticos necesarios para especificar el esta do de momentum angular de un electrón son' l, j Y m, otro a L y S antiparalelos
1=0
ZI
1=1
1=2 d5/2
n=3 +Ze
r:¡~
~--Y / -e
X
~
GSL--y,
/
XI
(o)
(a)
Fig. 3-21.
Origen de la interacción
espin-órbita.
145
n=2
Fig. 3-22. Desdoblamiento de los niveles de energia por la interacción espinórbita y transiciones posibles. La Iinea de trazos indica una transición, con probabilidad muy baja.
n=l
81/2
.
r44
Atomos con un electrón
(3.9
Jara I == 2. Tenemospor lo tanto que el espín del electrón sólo puede tener dos orientaciones posibles respecto al momentum angular orbital.
t.
Cuando I = O (estado s) sólo es posible j = Indicando el valor de j como subíndice, los estados posibles de un electrón en un campo central se designan como se muestra en la tabla 3-7. Se puede Otro ejemplo es j2 = 1 Y j¡ ~ 1; entonces j = j¡ + 1, j¡ ó j¡ -1. demostrar que en una transición dipolar eléctríca el fotón tiene un momentum angular correspondiente a un valor de j igual a 1. Luego, si j¡ se refiere al momentum
angular
orbital
I del electrón y j2
= 1 al
del fotó n, los valores permitidos
del momentum angular orbital de un electrón depués de emitir o absorber el fotón son 1+ 1, I Y l-l,
a bol = ::I: 1, O. Como ya explicamos
correspondientes
en la sección 3.4, 6.1= O queda elimina do por razones de paridad.
3.9
Interacción
3.9)
lnteracción spin-órbita
..
tico C}Jparalelo al momentum angular L. Como el electrón está en reposo respecto a X' Y'Z', la única interacción del campo magnético nuclear es con momento magnético Ms debido al espín del electrón. Esta interacción es proporcional a Ms' C}J.Pero C}Jes paralelo a L y Ms es paralelo a S. Por lo tanto la interacción es proporcional a L. S. Es por esto que el efecto se llama interacción espinórbita. Podemos escribir entonces para la energía del electrón debida a la interacción espín-órbita: ESL
= aS. L,
La doble orientación del espín del electrón respecto al momentum angular orbital da lugar a un efecto importante: la duplicación de los niveles de energía (excepto los niveles s) de los átomos hidrogenoides. A su vez, esta duplicación da lugar a una duplicación de las líneas espectrales. Estàs líneas aparecen en pares que tienen frecuencias o longitudes de onda muy parecidas por lo que se denominan dobletes. El doblete mejor conocido es el formado por las dos líneas amarillas D del sodio, que corresponden a longitudes de onda de 5890 A y 5896 A. Fue precisamente el problema de explicar estos dobletes el que dio origen a la idea del espín del electrón con dos orientaciones posibles. La duplicación de los niveles de energía es consecuencia de la llamada interacción espin-órbita. El origen de esta interacción es el siguiente: en un sistema de referen cia X YZ fijo al núcleo de un átomo, el electrón rota alrededor del núcleo (fig. 3-21a) con momentum angular L. Pero en un sistema de referencia X' Y' Z' fijo al electrón es el núcleo el que rota alrededor del electrón. Como el núcleo tiene carga positiva, produce en el sistema X' Y'Z' un campo magné-
z
(3.37)
donde a es una cantidad que depende de las diferentes variables que afectan el movimiento del electrón y cuya forma precisa no necesitamos conocer por ahora. Si En es la energía del movimiento electrónico bajo la acción de una fuerza central solamente, la energia total es, cuando se agrega la interacción espín-órbita,
E = En + ESL
espín..órbita
= En + aS. L.
(3.38)
Al escribir esta expresión estamos suponiendo que la interacción espín-órbita nò afecta la contribución a la energía debida a las fuerzas central es, suposición que es válida mientras ESL sea muy pequeña respecto a En. Para valores dados de L y de S, la interacción espín-órbita ESL depende de la orientación relativa de los dos vectores. concluimos que Pero como S sólo puede tener dos orientaciones respecto a L, la interacción espin-órbita desdobla cada nivel de energia del electrón con un valor dado de I en dos niveles muy próximos. Un nivel corresponde a L y S paralelos o espín hacia arriba (j = I +!) y el o espín hacia abajo (j = I - t). Evidentemente, los niveles s (I = O) siguen siendo simples. En presencia de la interacción espín-órbita, los números cuánticos necesarios para especificar el esta do de momentum angular de un electrón son' l, j Y m, otro a L y S antiparalelos
1=0
ZI
1=1
1=2 d5/2
n=3 +Ze
r:¡~
~--Y / -e
X
~
GSL--y,
/
XI
(o)
(a)
Fig. 3-21.
Origen de la interacción
espin-órbita.
145
n=2
Fig. 3-22. Desdoblamiento de los niveles de energia por la interacción espinórbita y transiciones posibles. La Iinea de trazos indica una transición, con probabilidad muy baja.
n=l
81/2
.
II III" 146
(3.9
Atomos con un electrón
donde m se refiere al valor propio de J z. Las reglas de selección para transiciones dipolares
eléctricas
impuestas
por la conservación
Al = ::l: 1,
Aj = O, ::l:1,
del momentum
angular
son
(3.39)
Am = O, ::l:1.
Las transiciones con Aj = O son muy débiles porque requieren la inversión de la dirección del espín respecto al momentum angular del electrón. Pero la fuerza que produce esa inversión de espín es la interacción espín-órbita que es una fuerza relativamente débil. La fig. 3-22 muestra (no en escala) cómo la interacción espín-òrbita afecta los niveles mostrados en la fig. 3-7, Y algunas de las transiciones posibles. La transición dS/2--? PS/2'que es relativamente débil, está indicada por una línea de trazos. Vemos que las líneas espectrales correspondientes a transiciones entre niveles p y s son dobletes mientras que aquéIlas entre niveles d y p son tripletes, aunque una de las líneas es tan débil que en la práctica podemos hablar de un doblete. EJEMPLO 8.7. Cálculo de la separación ción espin-órbita.
tenemos
J2
=
L2
+
S2
Introduciendo
-
los valores de
L2
-
L2, S2
E
1) -1(1
+
E
IEnlZ2OC2~
n
(
n
- ~
4n
j
+t
por lo que los niveles con los mismos n y j coinciden. El nivel n n
.
=
tlñ2
=
2 y n
1 tiene j
=t
= 3. Medidas más cuidadosas y cálculos más precisos muestran que los I
j
Estados
2 d5/2 1, 2 P3/2, d3/2
0,108 cm-I
'~3J:
°, 1 81/2.PI/2
S2). j
Y J2 dados por las ecs. (3.15), (3.34) Y (3.36),
3 2
+
1) -
i}ñ2
.
espin bacia arriba,
j = l
+ t,
n=2
{- tU + 1)ñ2, espin bacia abajo, j = 1- t.
0,365 cm-I
!{
E( t) = En + ESL(t) = En + talñ2,
j = 1 + t, E( t ) = En + ESLO ) = En - ta(1 + 1)ñ2, j = 1- t.
Luego, si a es positiva, los niveles con j
E8tados P3/2
P3/2
Utilizando la ec. (3.38) se tiene para los niveles de energia
= 1 + t están un poco más arriba respecto
-
de energia En de la fuerza central, y aquellos con j = I t están un poc~ más abajo. Para completar nuestro cálculo debemos evaluar a, per o como esto esta por encima del nivel de este libro, nos limitaremos a dar el resultado final:
al nivel
!
°,1
1
1
0,365 cm-I
~
r-I
°
81/2 Pl/2
81/2. PI/2
l"ig. 3-23. Estruclura /ina de la transición n = 3 --? n = 2 en el hidrógeno.
Fig. 3-24. Desdoblamientp del nivel n = 2 del bidrógeno; incIuyendo el corrimiento de Lamb.
IEnlZ2oc2
a= ñ2nl(1
+
1) (I
+ t) ,
donde oces la constante de estructura fina introducida en el ejemplo 3.6 Y IEnl eS el valor absoluto de la energia del electrón en ausencia de la interacción espinórbita. La separación entre los dos niveles de energia es AE
=
cstados con I difcrente pero con el mismo j no coinciden sino que están ligeramente
o sea S L
)'
y no se desdobla. En la fig. 3-23 se muestra los niveles d,eenergia del hidrógeno para
obtenemos
S.L = t{j(j +
=
0,036cm-I
+ 2S' L, de donde
S' L = t(J2
Luego, la separación entre los niveles debida a la interacción espin-órbita es muy pequeña respecto alEni y disminuye a medida que n y I aumentan. Por ejemplo, ara el estado 2p del hidrógeno, t:..ESLes aproximadamente 4,6 x 10-5 eV, por lo ~ue la transición del estado 2p al ls consistirá en dos lineas separadas por un intervalo de frecuencia de 1,11 x 1010 Hz o con una diferencia de longitud de onda de 53 ><10-13 m. Se debe comparar estos valores con la frecuencia 2,47 ><1015 Hz y' la longitud .de onda 1,2~ x 10-7 m que corr~sponden a la transición en ausencia de la interacción espin-órbita. cuando se agrega la corrección relativista dada por la ec. (3.26) a la interacción espin-órbita, los niveles de energia están dados, basta el primer orden de aproximación, por la expresión
de dos niveles de energia debida a la interac-
Solución: Tenemos que calcular el valor de ESL para espin hacia arriba y espin hacia abajo, y hallar su diferencia. Esta diferencia da la energia de separación de los niveles. Para hacer esto debemos hallar S' L en ambos casos. Como J = L + S,
147
Interacción sptn-órbita
3.9)
SL
=
tañ2(21
+
1)
= nl(1 IEnlZ21X2 + 1)'
~ 532
X lO-fi
IEn\Z2
nl(l + 1)
.
~epar~dos. Por ejemplo, en la fig. 3-24 se muestra la disposición real de los niveles del hi~rógeno para 11 = 2. La separación entre los niveles Sl/2y los niveles P1/2se enomma corrimiento de Lamb. ~JE:MPLÚ 8.8. Cálculo del momento Interacción espin-órbita.
magnético
de un electrón en presencia d'II la
II III" 146
(3.9
Atomos con un electrón
donde m se refiere al valor propio de J z. Las reglas de selección para transiciones dipolares
eléctricas
impuestas
por la conservación
Al = ::l: 1,
Aj = O, ::l:1,
del momentum
angular
son
(3.39)
Am = O, ::l:1.
Las transiciones con Aj = O son muy débiles porque requieren la inversión de la dirección del espín respecto al momentum angular del electrón. Pero la fuerza que produce esa inversión de espín es la interacción espín-órbita que es una fuerza relativamente débil. La fig. 3-22 muestra (no en escala) cómo la interacción espín-òrbita afecta los niveles mostrados en la fig. 3-7, Y algunas de las transiciones posibles. La transición dS/2--? PS/2'que es relativamente débil, está indicada por una línea de trazos. Vemos que las líneas espectrales correspondientes a transiciones entre niveles p y s son dobletes mientras que aquéIlas entre niveles d y p son tripletes, aunque una de las líneas es tan débil que en la práctica podemos hablar de un doblete. EJEMPLO 8.7. Cálculo de la separación ción espin-órbita.
tenemos
J2
=
L2
+
S2
Introduciendo
-
los valores de
L2
-
L2, S2
E
1) -1(1
+
E
IEnlZ2OC2~
n
(
n
- ~
4n
j
+t
por lo que los niveles con los mismos n y j coinciden. El nivel n n
.
=
tlñ2
=
2 y n
1 tiene j
=t
= 3. Medidas más cuidadosas y cálculos más precisos muestran que los I
j
Estados
2 d5/2 1, 2 P3/2, d3/2
0,108 cm-I
'~3J:
°, 1 81/2.PI/2
S2). j
Y J2 dados por las ecs. (3.15), (3.34) Y (3.36),
3 2
+
1) -
i}ñ2
.
espin bacia arriba,
j = l
+ t,
n=2
{- tU + 1)ñ2, espin bacia abajo, j = 1- t.
0,365 cm-I
!{
E( t) = En + ESL(t) = En + talñ2,
j = 1 + t, E( t ) = En + ESLO ) = En - ta(1 + 1)ñ2, j = 1- t.
Luego, si a es positiva, los niveles con j
E8tados P3/2
P3/2
Utilizando la ec. (3.38) se tiene para los niveles de energia
= 1 + t están un poco más arriba respecto
-
de energia En de la fuerza central, y aquellos con j = I t están un poc~ más abajo. Para completar nuestro cálculo debemos evaluar a, per o como esto esta por encima del nivel de este libro, nos limitaremos a dar el resultado final:
al nivel
!
°,1
1
1
0,365 cm-I
~
r-I
°
81/2 Pl/2
81/2. PI/2
l"ig. 3-23. Estruclura /ina de la transición n = 3 --? n = 2 en el hidrógeno.
Fig. 3-24. Desdoblamientp del nivel n = 2 del bidrógeno; incIuyendo el corrimiento de Lamb.
IEnlZ2oc2
a= ñ2nl(1
+
1) (I
+ t) ,
donde oces la constante de estructura fina introducida en el ejemplo 3.6 Y IEnl eS el valor absoluto de la energia del electrón en ausencia de la interacción espinórbita. La separación entre los dos niveles de energia es AE
=
cstados con I difcrente pero con el mismo j no coinciden sino que están ligeramente
o sea S L
)'
y no se desdobla. En la fig. 3-23 se muestra los niveles d,eenergia del hidrógeno para
obtenemos
S.L = t{j(j +
=
0,036cm-I
+ 2S' L, de donde
S' L = t(J2
Luego, la separación entre los niveles debida a la interacción espin-órbita es muy pequeña respecto alEni y disminuye a medida que n y I aumentan. Por ejemplo, ara el estado 2p del hidrógeno, t:..ESLes aproximadamente 4,6 x 10-5 eV, por lo ~ue la transición del estado 2p al ls consistirá en dos lineas separadas por un intervalo de frecuencia de 1,11 x 1010 Hz o con una diferencia de longitud de onda de 53 ><10-13 m. Se debe comparar estos valores con la frecuencia 2,47 ><1015 Hz y' la longitud .de onda 1,2~ x 10-7 m que corr~sponden a la transición en ausencia de la interacción espin-órbita. cuando se agrega la corrección relativista dada por la ec. (3.26) a la interacción espin-órbita, los niveles de energia están dados, basta el primer orden de aproximación, por la expresión
de dos niveles de energia debida a la interac-
Solución: Tenemos que calcular el valor de ESL para espin hacia arriba y espin hacia abajo, y hallar su diferencia. Esta diferencia da la energia de separación de los niveles. Para hacer esto debemos hallar S' L en ambos casos. Como J = L + S,
147
Interacción sptn-órbita
3.9)
SL
=
tañ2(21
+
1)
= nl(1 IEnlZ21X2 + 1)'
~ 532
X lO-fi
IEn\Z2
nl(l + 1)
.
~epar~dos. Por ejemplo, en la fig. 3-24 se muestra la disposición real de los niveles del hi~rógeno para 11 = 2. La separación entre los niveles Sl/2y los niveles P1/2se enomma corrimiento de Lamb. ~JE:MPLÚ 8.8. Cálculo del momento Interacción espin-órbita.
magnético
de un electrón en presencia d'II la
f ¡
Atomos con un eZectrón
148
(3.9
Solución: La interacción espin-órbita ESL = aS oL depende de la orientación relativa de S y L, es decir, del ángulo formado por los dos momenta angulares. Pero cuando la energia potencial depende de un ángulo, aparece un torque en dirección perpendicular al ángulo. Existe entonces un torque perpendicular a S y a L que ha~ que los dos vectores precesen. Sin embargo, si no hay torques externos aplicados el momentum angular total J = L + S debe ser constante. Podemos entonces repre~ sentarnos el efecto de la interacción espin-órbita como una precesión de S y de L alrededor de su resultante como se indica en la fig. 3-25.
Figo 3.250 Momento magnético tante promedio.
f7/ /
resul-
/
El momento dipolar magnético
M = - (ej2me) (L
del electrón dado en la ec. (3.33) es, con gs ~ 2,
+ 2S)
= - (ej2me) (J
+ S)
y no es directamente opuesto a J. En consecuencia M también precesa alrededor de J. El valor medio de M es igual a la componente de M paralela a J. Luego, podemos escribir
Problemas
149
Bibliografia 1 "Papers Given at the Niels Bohr Memorial Session", A. Bohr, F. Bloch, J. . Neilson, J. Rosenfeld, V. Weisskopf y J. Wheeler, Physics Today, octubre de 1963, pág. 22 2. "The Evolution of the Balmer Series", L. Banet, Am. J. Phys. 34, 496 (1966) 3. "Orbital Angular Momentum in Quantum Mechanics", M. Whippman, Am. J. Phys. 34, 656 (1966) 4. "A Quantum-Dynamical Description of Atoms and Radiative Processes", G. Fowles, Am. J. Phys. 31, 407 (1963) 5. Elements ot Waue Mechanics, N. MoU. Cambridge University Pres s, Cambridge, 1962, cap. 4, secs. 4-13; cap. 5, secs. 1.2.1 y 4.3 6. PrincipIes ot Modern Physics, R. Leighton. McGraw-Hill, New York, 1959, caps. 5 y 6 7. Atomic Spectra and Atomic Structure, G. Herzberg. Dover, New York, 1951, cap. 1 8. The Behauior ot Electrons in Atoms, R. Hochstrasser. Benjamin, New York, 1964 9. Structure ot Malter, W. Finkelnburg. Academic Pres s, New York, 1964, cap. 3 10. Quantum Theory ot Malter, J. C. Slater. McGraw-Hill, New York, 1951, cap. 5 11. lntroduction to Modern Physics, R. Richtmyer, E. Kennard y T. Lauritsen. McGraw-Hill, New York, 1955, cap. 5, secs. 80-83; cap. 6, secs. 104-108
M = (MouJ)uJ, donde UJ es el versor en la dirección de J que se puede escribir en la forma UJ = JfJ. Por lo tanta M = Como J = L los cuadrados finalmente
-
(ej2me) (J
+
S)
o
+
S, podemos escribir S o J de los momenta angulares
-
M =
= -
JJfJ2
=
(ej2me) (1
+
+
- Li). Luego, reemplazando por sus expresiones cuánticas, tenemos t(J2
S2
(ej2me)gJ,
donde g
=
1
+
S oJ
J2
=
1
+
j(j
+ 1) + 2j(j ses + 1)- Z(l+ 1) + 1)
se denomina tactor de Landé. Sus valores correspondientes para abajo son 1 1 j = 1::1:20 g = 1::1: 21 + 1 '
(3.40)
a espin para arriba y espin
En presencia de un campo magnético débil que no perturba apreciablemente relaciones dinámicas de la fig. 3-25 la energia de interacción es Eç¡¡ =
-Moen = (ej2me)g'13J. = ¡LBg'13m.
Problemas
SoJjJ2)J.
(3.41) laS
(3.42)
Esto da lugar a diagramas de Zeeman más complicados que los considerados en la sección 3.6. El efecto Zeeman expresado por la ec. (3.42) es muy importante porqu~ permite hallar g experimentalmente y de ahí verificar los valores de j y de l para el estado del electrón. Los resultados de la sección 3.6 siguen siendo válidos cuando e campo magnético es tan intenso que la interacción magnética es mucho mayot que la espin-órbita por lo que ésta se puede ignorar.
3.1 Calcular la velocidad angular y las energias potencial y cinética del electrón de un átomo de hidrógeno en función del número cuántico n, suponiendo que el electrón se mueve en órbitas circulares (ver el ejemplo 3.1). Evaluar los coeficientes numéricos. Representar los valores calculados en función de n para determinar su tendencia general a me dida que la energía total del electrón aumenta. 3.2 Rallar la energia y la velocidad de retroceso de un átomo de hidrógeno cuando sufre una transición del estado n
=
4 al n = 1 emitiendo
un fotón.
A
~artir de este resulta do justificar la vahdez de la suposición hecha al escribir la ec. (3.14). 3.3 Si la vida media promedio de un estado excitado del hidrógeno es del orden de 10-8 s, estimar cuántas revoluciones da un electrón cuando está (a) en el estado n = 2 Y (b) en el estado n = 15, antes de experimentar una transición al estado
n
= 1.
(c) Comparar
ros con el de revoluciones
estos
núme-
que ha dado
la tierra tencia.
en sus 2 x 109 años de exis-
3.4 Cinco Hneas de la serie de Balmer del hidrógeno tienen las longitudes de onda 3669,42 A, 3770,06 A, 3835,40 A, 3970,07 A Y 4340,47 A. Representar ~ en función de n para la serie de Balmer. Hallar por inspección el valor de n del nivel superior para cada una de las longitudes de onda dadas. 3.5 Calcular la diferencia de longitud de onda entre las Hneas Ha (esto es, n = 3 a n = 2) del hidrógeno, el deuterio y el tritio, resultante de las masas diferentes de estos átomos. 3.6 ¿Qué Hneas del espectro del hidrógeno caen en la región visible del espectro (entre 4000 A y 7000A)? ¿Qué Uneas del He+ caen en la misma región? ¿Cómo se podria distinguir si hay hidrógeno mezcIado con Ona muestra de helio? 3.7 Mostrar que para un fotón podemòs usar las equivalencias 1 eV =806~,8 cm-1 y 1 cm-1 = 1,2398 X 10-4 eV.
f ¡
Atomos con un eZectrón
148
(3.9
Solución: La interacción espin-órbita ESL = aS oL depende de la orientación relativa de S y L, es decir, del ángulo formado por los dos momenta angulares. Pero cuando la energia potencial depende de un ángulo, aparece un torque en dirección perpendicular al ángulo. Existe entonces un torque perpendicular a S y a L que ha~ que los dos vectores precesen. Sin embargo, si no hay torques externos aplicados el momentum angular total J = L + S debe ser constante. Podemos entonces repre~ sentarnos el efecto de la interacción espin-órbita como una precesión de S y de L alrededor de su resultante como se indica en la fig. 3-25.
Figo 3.250 Momento magnético tante promedio.
f7/ /
resul-
/
El momento dipolar magnético
M = - (ej2me) (L
del electrón dado en la ec. (3.33) es, con gs ~ 2,
+ 2S)
= - (ej2me) (J
+ S)
y no es directamente opuesto a J. En consecuencia M también precesa alrededor de J. El valor medio de M es igual a la componente de M paralela a J. Luego, podemos escribir
Problemas
149
Bibliografia 1 "Papers Given at the Niels Bohr Memorial Session", A. Bohr, F. Bloch, J. . Neilson, J. Rosenfeld, V. Weisskopf y J. Wheeler, Physics Today, octubre de 1963, pág. 22 2. "The Evolution of the Balmer Series", L. Banet, Am. J. Phys. 34, 496 (1966) 3. "Orbital Angular Momentum in Quantum Mechanics", M. Whippman, Am. J. Phys. 34, 656 (1966) 4. "A Quantum-Dynamical Description of Atoms and Radiative Processes", G. Fowles, Am. J. Phys. 31, 407 (1963) 5. Elements ot Waue Mechanics, N. MoU. Cambridge University Pres s, Cambridge, 1962, cap. 4, secs. 4-13; cap. 5, secs. 1.2.1 y 4.3 6. PrincipIes ot Modern Physics, R. Leighton. McGraw-Hill, New York, 1959, caps. 5 y 6 7. Atomic Spectra and Atomic Structure, G. Herzberg. Dover, New York, 1951, cap. 1 8. The Behauior ot Electrons in Atoms, R. Hochstrasser. Benjamin, New York, 1964 9. Structure ot Malter, W. Finkelnburg. Academic Pres s, New York, 1964, cap. 3 10. Quantum Theory ot Malter, J. C. Slater. McGraw-Hill, New York, 1951, cap. 5 11. lntroduction to Modern Physics, R. Richtmyer, E. Kennard y T. Lauritsen. McGraw-Hill, New York, 1955, cap. 5, secs. 80-83; cap. 6, secs. 104-108
M = (MouJ)uJ, donde UJ es el versor en la dirección de J que se puede escribir en la forma UJ = JfJ. Por lo tanta M = Como J = L los cuadrados finalmente
-
(ej2me) (J
+
S)
o
+
S, podemos escribir S o J de los momenta angulares
-
M =
= -
JJfJ2
=
(ej2me) (1
+
+
- Li). Luego, reemplazando por sus expresiones cuánticas, tenemos t(J2
S2
(ej2me)gJ,
donde g
=
1
+
S oJ
J2
=
1
+
j(j
+ 1) + 2j(j ses + 1)- Z(l+ 1) + 1)
se denomina tactor de Landé. Sus valores correspondientes para abajo son 1 1 j = 1::1:20 g = 1::1: 21 + 1 '
(3.40)
a espin para arriba y espin
En presencia de un campo magnético débil que no perturba apreciablemente relaciones dinámicas de la fig. 3-25 la energia de interacción es Eç¡¡ =
-Moen = (ej2me)g'13J. = ¡LBg'13m.
Problemas
SoJjJ2)J.
(3.41) laS
(3.42)
Esto da lugar a diagramas de Zeeman más complicados que los considerados en la sección 3.6. El efecto Zeeman expresado por la ec. (3.42) es muy importante porqu~ permite hallar g experimentalmente y de ahí verificar los valores de j y de l para el estado del electrón. Los resultados de la sección 3.6 siguen siendo válidos cuando e campo magnético es tan intenso que la interacción magnética es mucho mayot que la espin-órbita por lo que ésta se puede ignorar.
3.1 Calcular la velocidad angular y las energias potencial y cinética del electrón de un átomo de hidrógeno en función del número cuántico n, suponiendo que el electrón se mueve en órbitas circulares (ver el ejemplo 3.1). Evaluar los coeficientes numéricos. Representar los valores calculados en función de n para determinar su tendencia general a me dida que la energía total del electrón aumenta. 3.2 Rallar la energia y la velocidad de retroceso de un átomo de hidrógeno cuando sufre una transición del estado n
=
4 al n = 1 emitiendo
un fotón.
A
~artir de este resulta do justificar la vahdez de la suposición hecha al escribir la ec. (3.14). 3.3 Si la vida media promedio de un estado excitado del hidrógeno es del orden de 10-8 s, estimar cuántas revoluciones da un electrón cuando está (a) en el estado n = 2 Y (b) en el estado n = 15, antes de experimentar una transición al estado
n
= 1.
(c) Comparar
ros con el de revoluciones
estos
núme-
que ha dado
la tierra tencia.
en sus 2 x 109 años de exis-
3.4 Cinco Hneas de la serie de Balmer del hidrógeno tienen las longitudes de onda 3669,42 A, 3770,06 A, 3835,40 A, 3970,07 A Y 4340,47 A. Representar ~ en función de n para la serie de Balmer. Hallar por inspección el valor de n del nivel superior para cada una de las longitudes de onda dadas. 3.5 Calcular la diferencia de longitud de onda entre las Hneas Ha (esto es, n = 3 a n = 2) del hidrógeno, el deuterio y el tritio, resultante de las masas diferentes de estos átomos. 3.6 ¿Qué Hneas del espectro del hidrógeno caen en la región visible del espectro (entre 4000 A y 7000A)? ¿Qué Uneas del He+ caen en la misma región? ¿Cómo se podria distinguir si hay hidrógeno mezcIado con Ona muestra de helio? 3.7 Mostrar que para un fotón podemòs usar las equivalencias 1 eV =806~,8 cm-1 y 1 cm-1 = 1,2398 X 10-4 eV.
150
Aiomos con un eleciran Problemas
3.8 Suponga que Ud. está repitiendo el experimento de Franck-Hertz usando como vapor hidrógeno lltómico. ¿Qué ,
Hneas del espectro del hidrógeno' observaria si la energia máxima trones fuera 12,5 eV?
de los elec-
3.9 (a) Empleando el método del ejemplo 3.1 calcular la frecuencia del movimiento circular de un electrón en el nivel correspondiente al número cuántico n. (b) Calcular la frecuencia de la radiación emitida en la transición del estado n al n - 1. (c) Mostrar que los resultados de (a) y (b) concuerdan cuando n es muy grande. 3.10 Podemos computar las funciones de onda del momentum angular Ylm(e, q,)
Ver lo que ocurre
cuando
se reemplaza
~
por - ~ en las definiciones de PI(~) Y de P'('(ç).] a 3.15 En coordenadas esféricas, la operación de paridad T -+ - T (o X, y, z--.,. - x, - y, - z) se expresa mediant e la transformación r, e, q,-+ r, 1t- e, 1t + rp. Analizar el comportamiento rie las funciones de onda angulares dadas en la tabla 3-4 y confirmar la regla dada en el texto de que la paridad de las funciones Ylml es (- 1)/. Repetir para las funciones que aparecen en la tabla 3-5.
se puede expresar en la forma Ij¡
= elN.
=
~ ilV 41t(2i I
+
con
es la constante de normalización y p;n(~) es la !unción asociada de Legendre definida por
3.17 Expresar los operadores Lx y Ly en coordenadas esféricas. Empleando estas expresiones y la ec. (3.21) para L" obtener la expresión (3.23) para L2. 3.18 Escribir la ecuación radial (3.24) para una partícula libre (Ep = O). Mostrar por sustitución directa en la ecuación que las soluciones para i = OY i = 1 que satisfacen las condiciones u = Opara r = O, son u = sen kr y u = (sen kr)/ jkr - cos kr, donde k2 = 2mEjñ2. Escri-
y Nnl es la constante dada por
la expresión
Ylm
= NlmP'('(cos e)
eim,donde
2i
V
Mm =
1 (i - m)! 41t (i + m)!
P'('(Ç) = (-l)m(1-
~2)mI2dm:.~~)
y P ( ") l''
-
~ ~
( "2 - 1)
1
- 2/l! d~1 "
son los polinomios de Legendre. Computar Ylm para i = O, 1 Y 2, Y comparar con las expresiones dadas en la tabla 3-4. 3.11 Demostrar que de acuerdo con su definición (ver el problema 3.10), los polinomios de Legendre son de grado I y contienen sólo potencias pares o impares de ~ según que i sea par o impar. 3.12 Determinar por cálculo directo si las funciones de onda que aparecen en la tabla 3-5 son funciones propias de los operadores (a) L., (b) L~.
3.13 Hacer un diagrama polar de IYlml12 para i = 1 Y ml = O, ::I::1. Repetir para las funciones angulares p~, p; y p~, y comparar resultados. 3.14 Refiriéndose a la definición de las funciones asociadas de Legendre dadas en el problema 3.10, mostrar que su paridad es igual a (-l)/+m. [Sugerencia:
bir la solución completa
Ijilm(T)
para una
partícula libre incluyendo la parte angular, para i = O Y i = 1. Interpretar la función de onda I = O como la combinación lineal de una onda esférica entrante y una saliente. [Noia: Se puede demostrar que la función de onda general de una partícula libre de momentum p = lik Y momentum angular orbital L =" = Vi(l + l)ñ es
l)j¡(kr) Ylo(e).
Jo J~1t YI':.1 Yl'mÍ dO
¿Por qué sólo las funciones con ml = O están permitidas? ¿Por qué la solución contiene muchas funciones del momentum angular? Escribir en detalle los dos primeros términos de la suma. (Ver la definición de j¡ en el problema anterior). 3.20 Las funciones de onda radialesdel átomo de hidrógeno están dadas por
3.16 (a) Demostrar que se puede obtener las funciones de onda angulares de la tabla 3-5 por medio de una combinación lineal apropiada de las funciones de onda de la tabla 3-4. (b) Expresar las funciones de onda de la tabla 3-5 en función de x, y, z y r, y justificar la notación utilizada para las mismas.
usando
normalizadas. (La condición de ortogonalidad y normalización es que
.'
+
=
Rn/(r)
Nnle-P/2 pi L~Z:/ (p),
don de p = 2Zrjnao, los L: son los polinornios asociados de Laguerre definidos por dB
= dpB [Lt(p)],
L:(p)
donde li
Nnl
=-
=
~
eP dpt
de i es n
en caso
conlrario).
=
dr dS
=
r2 dr dO.
La probabilidad de encontrar un electrón dentro de ese elemento de volumen es 1lji12r2 dr dO. Verificar que la probabilidad de encontrar el electrón dentro del cascarón esférico de radio s r y r + dr independientemente de su posición angular, está dada por IRnli2r2dr. [Sugerencia: Reemplazar Iji por su expresión (3.18) e integrar sobre to dos los ángulos, utilizando la condición de normalización de los Ylml dada en el problema 3.24.]
z
de normalización
(n -11)/ ) 2n[(n + i)!]3
1/2.
]
Escribir todas las funciones radiales para n = 1, 2 Y 3, Y comparar con las expresiones dada s en la tabla 3-6. 3.21 Demostrar que los polinomios as 0ciados de Laguerre deQnidos en el problema 3.20, son de grado i-s. Esto muestra que s :s;;i. Verificar entonces la regla de que para un n dado el valor máximo
811'8mlmÍ,
dO = sen e de d 4> y 8ab es 1 si
D y ccro
dV
[pte-P],
3
[( nao
coc
=
3.25 El elemento de volumen en coordenadas esféricas (fig. 3-26) es
dt Lt(p)
151
y
x
Figura 3-26
- 1.
3.22 A partir de la información dada en el problema 3.20, demostrar que las funciones de onda radiales del hidrógeno Se comportan como pI para pe'queños valores de r y que se comportan como pne-p/2 para grandes valores de r. Concluir de est o que cuanto mayor es el Valor de i menos penetrante es la órbita. 3.23 Mostrar por sustitución directa qUe RIO es solución de la ecuación de SChrodinger radial. 3.24 Verificar que las funciones de onda del momentum angular Ylml(6, 4» dadas en la tabla 3-4 son ortogonales y están
3.26 Usando el resultado del problema precedente, hallar (a) la distancia más probable y (b) la distancia promedio del electrón al protón en el estado ls del hidrógeno. Comparar con el radio de Bohr de la órbita para n = 1. 3.27 (a) Utilizando el elemento de volumen dado en el problema 3.25, demostrar que la condición de normalización de las funciones de onda ljinlmlimplica que Jo" /Rn¡j2r2dr = 1. (b) Refiriéndose a la fig. 3-13, demostrar que el área que está por debajo de cada curva 's igual a uno, como lo exige la condición de nor-
150
Aiomos con un eleciran Problemas
3.8 Suponga que Ud. está repitiendo el experimento de Franck-Hertz usando como vapor hidrógeno lltómico. ¿Qué ,
Hneas del espectro del hidrógeno' observaria si la energia máxima trones fuera 12,5 eV?
de los elec-
3.9 (a) Empleando el método del ejemplo 3.1 calcular la frecuencia del movimiento circular de un electrón en el nivel correspondiente al número cuántico n. (b) Calcular la frecuencia de la radiación emitida en la transición del estado n al n - 1. (c) Mostrar que los resultados de (a) y (b) concuerdan cuando n es muy grande. 3.10 Podemos computar las funciones de onda del momentum angular Ylm(e, q,)
Ver lo que ocurre
cuando
se reemplaza
~
por - ~ en las definiciones de PI(~) Y de P'('(ç).] a 3.15 En coordenadas esféricas, la operación de paridad T -+ - T (o X, y, z--.,. - x, - y, - z) se expresa mediant e la transformación r, e, q,-+ r, 1t- e, 1t + rp. Analizar el comportamiento rie las funciones de onda angulares dadas en la tabla 3-4 y confirmar la regla dada en el texto de que la paridad de las funciones Ylml es (- 1)/. Repetir para las funciones que aparecen en la tabla 3-5.
se puede expresar en la forma Ij¡
= elN.
=
~ ilV 41t(2i I
+
con
es la constante de normalización y p;n(~) es la !unción asociada de Legendre definida por
3.17 Expresar los operadores Lx y Ly en coordenadas esféricas. Empleando estas expresiones y la ec. (3.21) para L" obtener la expresión (3.23) para L2. 3.18 Escribir la ecuación radial (3.24) para una partícula libre (Ep = O). Mostrar por sustitución directa en la ecuación que las soluciones para i = OY i = 1 que satisfacen las condiciones u = Opara r = O, son u = sen kr y u = (sen kr)/ jkr - cos kr, donde k2 = 2mEjñ2. Escri-
y Nnl es la constante dada por
la expresión
Ylm
= NlmP'('(cos e)
eim,donde
2i
V
Mm =
1 (i - m)! 41t (i + m)!
P'('(Ç) = (-l)m(1-
~2)mI2dm:.~~)
y P ( ") l''
-
~ ~
( "2 - 1)
1
- 2/l! d~1 "
son los polinomios de Legendre. Computar Ylm para i = O, 1 Y 2, Y comparar con las expresiones dadas en la tabla 3-4. 3.11 Demostrar que de acuerdo con su definición (ver el problema 3.10), los polinomios de Legendre son de grado I y contienen sólo potencias pares o impares de ~ según que i sea par o impar. 3.12 Determinar por cálculo directo si las funciones de onda que aparecen en la tabla 3-5 son funciones propias de los operadores (a) L., (b) L~.
3.13 Hacer un diagrama polar de IYlml12 para i = 1 Y ml = O, ::I::1. Repetir para las funciones angulares p~, p; y p~, y comparar resultados. 3.14 Refiriéndose a la definición de las funciones asociadas de Legendre dadas en el problema 3.10, mostrar que su paridad es igual a (-l)/+m. [Sugerencia:
bir la solución completa
Ijilm(T)
para una
partícula libre incluyendo la parte angular, para i = O Y i = 1. Interpretar la función de onda I = O como la combinación lineal de una onda esférica entrante y una saliente. [Noia: Se puede demostrar que la función de onda general de una partícula libre de momentum p = lik Y momentum angular orbital L =" = Vi(l + l)ñ es
l)j¡(kr) Ylo(e).
Jo J~1t YI':.1 Yl'mÍ dO
¿Por qué sólo las funciones con ml = O están permitidas? ¿Por qué la solución contiene muchas funciones del momentum angular? Escribir en detalle los dos primeros términos de la suma. (Ver la definición de j¡ en el problema anterior). 3.20 Las funciones de onda radialesdel átomo de hidrógeno están dadas por
3.16 (a) Demostrar que se puede obtener las funciones de onda angulares de la tabla 3-5 por medio de una combinación lineal apropiada de las funciones de onda de la tabla 3-4. (b) Expresar las funciones de onda de la tabla 3-5 en función de x, y, z y r, y justificar la notación utilizada para las mismas.
usando
normalizadas. (La condición de ortogonalidad y normalización es que
.'
+
=
Rn/(r)
Nnle-P/2 pi L~Z:/ (p),
don de p = 2Zrjnao, los L: son los polinornios asociados de Laguerre definidos por dB
= dpB [Lt(p)],
L:(p)
donde li
Nnl
=-
=
~
eP dpt
de i es n
en caso
conlrario).
=
dr dS
=
r2 dr dO.
La probabilidad de encontrar un electrón dentro de ese elemento de volumen es 1lji12r2 dr dO. Verificar que la probabilidad de encontrar el electrón dentro del cascarón esférico de radio s r y r + dr independientemente de su posición angular, está dada por IRnli2r2dr. [Sugerencia: Reemplazar Iji por su expresión (3.18) e integrar sobre to dos los ángulos, utilizando la condición de normalización de los Ylml dada en el problema 3.24.]
z
de normalización
(n -11)/ ) 2n[(n + i)!]3
1/2.
]
Escribir todas las funciones radiales para n = 1, 2 Y 3, Y comparar con las expresiones dada s en la tabla 3-6. 3.21 Demostrar que los polinomios as 0ciados de Laguerre deQnidos en el problema 3.20, son de grado i-s. Esto muestra que s :s;;i. Verificar entonces la regla de que para un n dado el valor máximo
811'8mlmÍ,
dO = sen e de d 4> y 8ab es 1 si
D y ccro
dV
[pte-P],
3
[( nao
coc
=
3.25 El elemento de volumen en coordenadas esféricas (fig. 3-26) es
dt Lt(p)
151
y
x
Figura 3-26
- 1.
3.22 A partir de la información dada en el problema 3.20, demostrar que las funciones de onda radiales del hidrógeno Se comportan como pI para pe'queños valores de r y que se comportan como pne-p/2 para grandes valores de r. Concluir de est o que cuanto mayor es el Valor de i menos penetrante es la órbita. 3.23 Mostrar por sustitución directa qUe RIO es solución de la ecuación de SChrodinger radial. 3.24 Verificar que las funciones de onda del momentum angular Ylml(6, 4» dadas en la tabla 3-4 son ortogonales y están
3.26 Usando el resultado del problema precedente, hallar (a) la distancia más probable y (b) la distancia promedio del electrón al protón en el estado ls del hidrógeno. Comparar con el radio de Bohr de la órbita para n = 1. 3.27 (a) Utilizando el elemento de volumen dado en el problema 3.25, demostrar que la condición de normalización de las funciones de onda ljinlmlimplica que Jo" /Rn¡j2r2dr = 1. (b) Refiriéndose a la fig. 3-13, demostrar que el área que está por debajo de cada curva 's igual a uno, como lo exige la condición de nor-
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Problemas
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Atomos con un electr6n
malización. [Sugerencia: Considerar cada pico como un triángulo.] 3.28 En los átomos hidrogenoides el valor medio de r está dado por
r=
n~o {1 + t II
r
-
i(i
~ 1) n .
observables las Uneas teniendo en cuenta que la resolución de un espectrómetro es 10-11 m? 3.36 Se puede obtener el valor de elme experimentalmente observando el efecto Zeeman. Hallar el valor de e/me si la separación entre dos llneas en un campo de 0,450 T es 0,629 X 1010 Hz. ¿Cuál es la separación en longitud de onda para la llnea del hidrógeno correspondiente a la transición n = 2 a n = 1? ¿Es la separación en longitud de onda para la llnea Ha(n = 3 a n = 2) mayor, menor o igual '/ 3.37 La fuerza que un campo magnéti('O no homogéneo '13 de gradiente d93/dz ejerce sobre un dipolo magnético de mo-
Calcular para todos los estados con n = 1,2 Y 3. Comparar estos valores con los radios de Bohr correspondientes. Utilizando como me dida del tamaño de la órbita, disponer los estados ni en orden creciente de distancia promedio al núcleo. 3.29 Las funciones de onda radiaks tienen uno o más nodos, es decir, remento M es F = :I: M(dCfjldz). Si en giones en las cuales la probabilidad de encontrar el electrón es cero. Hallar el cierla región el gradiente es 1,5 X lO. T valor de r para el cual ocurre esta en la m-1, calcular la fuerza que se ejerce función de onda 2s de la tabla 3-6. sobre un electrón debida a su momento 3.30 Usando la ec. (3.24) demostrar dipolar magnético de espin. Si un átomo de hidrógeno se mueve 1 m en dirección que, independientemente del momentum angular, la función de onda radial de una perpendicular a ese campo, calcular el desplazamiento vertical si la velocidad partícula libre a gran distancia d.el oridel átomo de hidrógeno es 105 m S-l y el gen es proporcional a e:l:.ik1' Ir, donde k2 = 2mElh2. De aqui que se pueda es- espin del electrón es paralelo o :mtipacribir la función de onda completa en ralelo al campo magnético. la forma I(O}e:l:.ik' Ir, donde 1(0) depende 3.38 Un haz de átomos de plata con del momentum angular. Interpretàr amuna velocidad media de 7 X 102 m S-l bos signos. atraviesa un campo magnético no ho3.31 Escribir las integrales radiales y mogéneo de 0,1 m de longitud Y que angulares necesari as para computar lós tiene una gradiente de 3 X 102 T m-1 en elementos de matriz de z = r cos Oentre dirección perpendicular a la: del movilos estados nimi y n'l'm;. Demostrar miento de los átomos. Hallar la separaque los elementos de matriz son nulos ción máxima de los dos haces que emera no ser que ml = m;. gen del campo. Suponer que el momento 3.32 Estimar la corrección relativista magnético neto de cada átomo es 1 magrelativa IlErlEn para lòs niveles n = 2 netón de Bohr. del átomo de hidrógeno. 3.39 ¿Qué señal de radiofrecuencia in3.33 Analizar el desdoblamiento de los ducirá transiciones electrónicas en las niveles p, d Y f de un átomo con un que el espin cambia de paralelo a antielectrón como resulta do del efecto relaparalelo (o viceversa) en un campo magnético de 10-1 T'/ tivista. [Sugerencia: ver el ejemplo 3.6.] 3.34 Determinar la corriente eléctrica 3.40 Haciendo uso de la ec. (3.39) vedel electrón en las tres primeras órbitas rificar que son correctos los números de Bohr (n = 1, 2, 3). Calcular también dados para el desdoblamiento espi~para cada caso el momento dipolar magórbita de los niveles de energia del hlnético del electrón. drógeno mostrados en la fig. 3.23. Calcu3.35 Dibujar un diagrama de niveles de lar las mismas energias de desdoblamiento para el He+. energia para los estados 4f Y 3d del hidrógeno en presencia de un campo magné3.41 En el ejemplo 3.8 se indicó que la tico. Mostrar que en la transición 4f-3d interacción espin-órbita origina una preel número de lineas espectrales es tres. cesión de L Y de S alrededor .de su resulSi el campo magnético es 0,5 T, ¿serán
r
tante J, que es constante. Demostrar que en este caso L. y S. no pueden tener valores bien de fini dos aunque su suma
J.
sea
constante.
En
consecuencia,
ml
y m. no son buenos números cuánticos mientras que m si lo es. 3.42 Analizar el desdoblamiento del nivel 3d del hidrógeno debido a un campo magnético (a) cuando el campo magnético es débil y (b) cuando es intenso, respecto a la interacción espinórbita. 3.43 Discutir el desdoblamiento de las
lineas en la transición 3d - 2p en presencia de un campo magnético, cuando éste es débil respecto a la interacción espin-órbita. 3.44 La expresión relativista de la energia de una partícula
libre es E2 = m~c4+
+ p2C2.Escribir la correspondiente ecuación relativista de Schrodinger reemplazando p por su operador-iliV (conforme a la tabla 2-4). Esta ecuación se denomina ecuación de Kiein-Gordon. (a) Hallar la solución correspondiente a una .particula libre que se mueve según el eje X. (b) Demostrar que para una partícula libre de momentum angular nulo la función de onda es Ij¡ = Ce-IL'Ir, donde fi.= moclh es 27tpor la inversa de la longitud de onda Compton de la partícula. 3.45 En el caso de una partícula relativista que se mueve con una energia potencial Ep, la energia total se escribe E = c V m~c2+ p2 + Ep. También se puede escribir esto en la forma(E-Ep)2
= m~c4 + p2C2. Escribir
=
la correspondiente
ecuación de Schrodinger
para el átomo
de hidrógeno reemplazando p por su operador - iliV (ver el problema 3.44). [Nota: Esta ecuación nó da correctamente los niveles de energia relativistas del hidrógeno.] 3.46 Se puede demostrar que la interacción espin-órbita es 1 1 dEp ESL=---S-L, 2ndc2 r dr donde Ep es la energia potencial debida a la interacción eléctrica con el núcleo. Empleando el resultado
za (r-a)
=
agnai(i
+ t) (l + 1) ,
obtener la expresión del desdoblamiento espin-órbita IlEsL dada en el ejemplo 3.7. 3.47 De acuerdo con el ejemplo 3.6, la corrección relativista a los niveles de energia de un átomo con un electrón se puede obtener computando el valor medio de p. ~ 4m2(En
-
Ep)2
donde En está dado por la fórmula Balmer
potencial sultados
y Ep
=
-
del electrón.
Usando
los re-
Z (r-1)
=
y
aon2
Z' (r-2)
de
Ze2/4r;EoT es la energia
= a~n3(i + t) ,
obtener la ec. (3.26).
..
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malización. [Sugerencia: Considerar cada pico como un triángulo.] 3.28 En los átomos hidrogenoides el valor medio de r está dado por
r=
n~o {1 + t II
r
-
i(i
~ 1) n .
observables las Uneas teniendo en cuenta que la resolución de un espectrómetro es 10-11 m? 3.36 Se puede obtener el valor de elme experimentalmente observando el efecto Zeeman. Hallar el valor de e/me si la separación entre dos llneas en un campo de 0,450 T es 0,629 X 1010 Hz. ¿Cuál es la separación en longitud de onda para la llnea del hidrógeno correspondiente a la transición n = 2 a n = 1? ¿Es la separación en longitud de onda para la llnea Ha(n = 3 a n = 2) mayor, menor o igual '/ 3.37 La fuerza que un campo magnéti('O no homogéneo '13 de gradiente d93/dz ejerce sobre un dipolo magnético de mo-
Calcular para todos los estados con n = 1,2 Y 3. Comparar estos valores con los radios de Bohr correspondientes. Utilizando como me dida del tamaño de la órbita, disponer los estados ni en orden creciente de distancia promedio al núcleo. 3.29 Las funciones de onda radiaks tienen uno o más nodos, es decir, remento M es F = :I: M(dCfjldz). Si en giones en las cuales la probabilidad de encontrar el electrón es cero. Hallar el cierla región el gradiente es 1,5 X lO. T valor de r para el cual ocurre esta en la m-1, calcular la fuerza que se ejerce función de onda 2s de la tabla 3-6. sobre un electrón debida a su momento 3.30 Usando la ec. (3.24) demostrar dipolar magnético de espin. Si un átomo de hidrógeno se mueve 1 m en dirección que, independientemente del momentum angular, la función de onda radial de una perpendicular a ese campo, calcular el desplazamiento vertical si la velocidad partícula libre a gran distancia d.el oridel átomo de hidrógeno es 105 m S-l y el gen es proporcional a e:l:.ik1' Ir, donde k2 = 2mElh2. De aqui que se pueda es- espin del electrón es paralelo o :mtipacribir la función de onda completa en ralelo al campo magnético. la forma I(O}e:l:.ik' Ir, donde 1(0) depende 3.38 Un haz de átomos de plata con del momentum angular. Interpretàr amuna velocidad media de 7 X 102 m S-l bos signos. atraviesa un campo magnético no ho3.31 Escribir las integrales radiales y mogéneo de 0,1 m de longitud Y que angulares necesari as para computar lós tiene una gradiente de 3 X 102 T m-1 en elementos de matriz de z = r cos Oentre dirección perpendicular a la: del movilos estados nimi y n'l'm;. Demostrar miento de los átomos. Hallar la separaque los elementos de matriz son nulos ción máxima de los dos haces que emera no ser que ml = m;. gen del campo. Suponer que el momento 3.32 Estimar la corrección relativista magnético neto de cada átomo es 1 magrelativa IlErlEn para lòs niveles n = 2 netón de Bohr. del átomo de hidrógeno. 3.39 ¿Qué señal de radiofrecuencia in3.33 Analizar el desdoblamiento de los ducirá transiciones electrónicas en las niveles p, d Y f de un átomo con un que el espin cambia de paralelo a antielectrón como resulta do del efecto relaparalelo (o viceversa) en un campo magnético de 10-1 T'/ tivista. [Sugerencia: ver el ejemplo 3.6.] 3.34 Determinar la corriente eléctrica 3.40 Haciendo uso de la ec. (3.39) vedel electrón en las tres primeras órbitas rificar que son correctos los números de Bohr (n = 1, 2, 3). Calcular también dados para el desdoblamiento espi~para cada caso el momento dipolar magórbita de los niveles de energia del hlnético del electrón. drógeno mostrados en la fig. 3.23. Calcu3.35 Dibujar un diagrama de niveles de lar las mismas energias de desdoblamiento para el He+. energia para los estados 4f Y 3d del hidrógeno en presencia de un campo magné3.41 En el ejemplo 3.8 se indicó que la tico. Mostrar que en la transición 4f-3d interacción espin-órbita origina una preel número de lineas espectrales es tres. cesión de L Y de S alrededor .de su resulSi el campo magnético es 0,5 T, ¿serán
r
tante J, que es constante. Demostrar que en este caso L. y S. no pueden tener valores bien de fini dos aunque su suma
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constante.
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consecuencia,
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lineas en la transición 3d - 2p en presencia de un campo magnético, cuando éste es débil respecto a la interacción espin-órbita. 3.44 La expresión relativista de la energia de una partícula
libre es E2 = m~c4+
+ p2C2.Escribir la correspondiente ecuación relativista de Schrodinger reemplazando p por su operador-iliV (conforme a la tabla 2-4). Esta ecuación se denomina ecuación de Kiein-Gordon. (a) Hallar la solución correspondiente a una .particula libre que se mueve según el eje X. (b) Demostrar que para una partícula libre de momentum angular nulo la función de onda es Ij¡ = Ce-IL'Ir, donde fi.= moclh es 27tpor la inversa de la longitud de onda Compton de la partícula. 3.45 En el caso de una partícula relativista que se mueve con una energia potencial Ep, la energia total se escribe E = c V m~c2+ p2 + Ep. También se puede escribir esto en la forma(E-Ep)2
= m~c4 + p2C2. Escribir
=
la correspondiente
ecuación de Schrodinger
para el átomo
de hidrógeno reemplazando p por su operador - iliV (ver el problema 3.44). [Nota: Esta ecuación nó da correctamente los niveles de energia relativistas del hidrógeno.] 3.46 Se puede demostrar que la interacción espin-órbita es 1 1 dEp ESL=---S-L, 2ndc2 r dr donde Ep es la energia potencial debida a la interacción eléctrica con el núcleo. Empleando el resultado
za (r-a)
=
agnai(i
+ t) (l + 1) ,
obtener la expresión del desdoblamiento espin-órbita IlEsL dada en el ejemplo 3.7. 3.47 De acuerdo con el ejemplo 3.6, la corrección relativista a los niveles de energia de un átomo con un electrón se puede obtener computando el valor medio de p. ~ 4m2(En
-
Ep)2
donde En está dado por la fórmula Balmer
potencial sultados
y Ep
=
-
del electrón.
Usando
los re-
Z (r-1)
=
y
aon2
Z' (r-2)
de
Ze2/4r;EoT es la energia
= a~n3(i + t) ,
obtener la ec. (3.26).
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