Fisica Vol. 2 - Alonso & Finn

Versión en español de:

CARLOSALBERTOHERAS Coardinudor Cientílico Universidad de Oriente.Venezuela

v JOSEA. BARRETOARAUJO Departamento de Física de Oríente,Venezuela Universídad de: Conla colaboración ROMULOE. BALLESTERO Facultadde Cienciasy Letras de CostaRica Universidad

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F I SI C A VOTUMENII: CAMPOSY ONDAS


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F I SI C A

VOTUMENII: CAMPOSY ONDAS

MARCELOALONSO de Geargetown de Físíca,Universidad Departamento D. C. Washíngton, de los EstadosAmerimnos Deportamento de AsuntosCientlficos,Organización EDWARD I. FINN de Georgetown de Física,lJniversidad Deparlamento D.C. Washington,

FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, S. A. Bogotá

Caracas - X'féxico- Panamá - San Juan - Santiago - Siro Pa:l:,


PROTOGOA TITEDICIONEN ESPANOL

Uno de nosotros (J. A. B.), aprovechando Ia flexibilidad proporcionada pof el carácter experimental de la Universidad de Oriente, habla comenzado a reestructurar el programa de ffsica general y a experimentar con él a fin de hacerlo más moderno e interesante para los estudiantes. Este trabajo lue completado por ambos traductores a principios de 1967 con la colaboración de algunos colegas. Se iba a utilizar en cursos básicoscomunes a todos los estudiantes de ingenierfa y de ciencias (incluyendo los del área biológica). La diflcultad para ponerlo en práctica era la falta de un texto apropiado, lo cual exigirfa de los profesores del departarninto un csfuerzo de asimilación de textos tales como The Fegnman Leclures on Pñysics. Fue entonces cuando llegó a nuestras manos el volumen I y poco después el Il de esta serie de física fundamental universitarla. La adoptamos como texto gufa del curso de fisica general,conscientesde los inconvenientespedagógicosque implica utilizar a este nivel un libro €n otro idioma. Felizmente, el libro, particularmente este volumen II, resultó incitante no sólo para ios estudiantessino también para los profesores.El resultado fue un aumento sustancial en el rendimiento estudiantil, tradicionalmente bajo, especialmenteen el primer semestre del curso. Una de las ventajas que hemos encontrado en esta serie es que.su nivel no es uniforme. Mediante una selección adecuada de temas, ejemplos y problemas, so puede conseguir diversos niveles efectivos. Entendemos que esto será de suma utilidad en la América latina, ya que se podrá adaptar el libro a los niveles de enseñanzatan dislmiles en la región. El volumen II es particularmente revolucionario, tanto por el enfoque como por el contenido: la reducción del espacio dedicado a los campos estáticos a sus justas proporciones,la posposicióndel estudio de circuitos a problemas (lo que realme¡te son), el tratamiento unificado de las ondas, que permite un estudio razonable de las ondas electromagnéticas(sobre las cuales se basa gran parte de las com.odidadesque la civilización actual ha puesto a nuestro alrededor). La introducción del concepto de fotón a esta altura nos parece sumamente útil, pues una vez que el estudiantese conv€ncede que los rayos gamma, Ios X, la luz y las ondas de radio son de la misma naturaleza,la pregunta invariable es ¿por qué, entonces, algunas de estas ondas pueden ser dañinas y otras ni las sentimos? El trabajo de traducción ha sido a la vez un placer y un estlmulo. Un placer por Ia claridad y la concisióndel lenguaje utilizado en el original - aparte de los hallazgos didácticos; sólo introdujimos algunos cambios menores respecto al original cuando consideramosque ello redundaba en mayor precisión o claridad, El lector sabrá disculpar los defectosidiomáticos que pueda hallar: consideramos que poner al alcance de los lectores de habla castellanaun texto de alta calidad en la materia era más urgente que lograr un castellano perfecto. La traducción fue además estimulante, en primer lugar, porque dada el área de difusión que tenciría la presenteedición en castellano,deblamos evitar en lo posible el uso de


PROTOGO

La ffsica es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las otras ciencias. Por consiguiente,no sólo los estudiantes de flsica e ingenierfa, sino todo aquel que piense seguir una carrera cientfflca (biologfa, qufmica y matemática) debe tener una completa comprensión de sus ideas fundamentales. El propósito primario de un curso de fisica general (y guizá la única razón para que aparezca en el plan de estudios) es dar al estudiante una visién uniflcada de la fisica. Se deberia hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sólo, los principios básicos,sus implicacionesy sus limitaciones. El estudiante aprenderá aplicacionesespecfficasen cursos más avanzados. Asf, este libro presenta las ideas que creemosfundamentales y que constituyen el corazón de la'flsica de hoy. Flemos tenido en cuenta cuidadosamentelas recomendacionesde la Comission on College Phgsics(Comisión de Ffsica para Universitarios) para escogerlos temas y el método de presentación. Hasta no hace rnucho tiempo, la ffsica se venfa enseñando como si fuera un conglomerado de varias ciencias más o menos relacionadas, pero sin un punto de vista realmente unitario. La división tradicional (en "ciencias"): mecánica, calor, sonido, óptica, electromagnetismo y ffsica moderna no se justifica al presente. Nos hemos apartado de este enfoque tradicional. En su lugar seguimos una presentación lógica uniflcada, haciendo énfasis en las leyes de conservación, en los conceptos de campos y de ondas y en el punto de vista atómico de la materia. La teor[a de la relatividad especial se usa sistemáticamente en el texto como uno de los principios gufa que debe satisfacer cualquier teorla ffsica. El curso se ha dividido en cinco partesl (1) Mecánica,(2) Interaccionesy Campos, (3) Ondas,(4) Flsica cuántica y (5) Fisica estadistica.Comenzamospor Ia mecánica con el fin de establecerlos principios fundamentalesnecesariospara descubrir los movimientos que observamosa nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenómenos naturales son el resultado de interacciones y éstas se analizan en función de campos, en la parte (2) consideramoslas clases de interacciones que comprendemos mejor: la gravitacional y la electromagnética, responsablesde muchos de los fenómenosmacroscópicosque observamos,Estudiamos detalladamenteel electromagnetismo, concluyendo con la formulación de las ecuacionesde Maxwell. En la parte (3) discutimoslos fenómenosondulatorios como consecuenciadel concepto de eampo. Es aquf donde incluimos gran parte del materjal que generalmente aparece bajo los tftulos de óptica y de acústica. Sin embargo, se ha puesto énfasis en las ondas electromagnéticascomo extensión lógica de las ecuacionesde Maxwell. En la parte (4) analizamosla estructura de la materia - átomos, moléculas, núcleos y particulas fundamentales-, análisis que está precedido de las bases necesarias de la meeánicacuántica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedades de la materia en conjunto. Comenzamospresentandolos principios de la mecánica estadísticay los aplicamosa algunoscasossimplespero fundamentales.Estudiamos


Prologo la termodinárnica desde el punto de vista de la ¡nc,:"liiica estadfstica y concluimos cen un capitr.rio sol¡re las propiedacies térmicas de ia materia, demostrando cómo se aplican lor principlos de la mecánica est.adistica y de la ter¡nodinámica. Esle libro es novedoso no sólo en su enfr)que si¡¡o tarnlrién en su contenido, ya gue hemos inclrri
TI. A. E . J. F.

IYashinslo¡t, D. C.


ADYERTENCIA AL PROFESOR

Con el fin de ayudar al profesor a organizar su curso, presentamos una breve reseña de este volumeu y algunas sugerencias sobre los conceptos importantes de cada capitttlo. Como se dijo en el prólogo, este curso de flsica se ha desanollado en forma inLegt'ada de rnodo que el estudiante pueda reconocer fácilmente las pocas ideas básicas en que se funda la física (por ejemplo, Ias leyes de conservación y el hecho tle que es posible reducir ios fenómenos flsicos a interacciones e¡rtre partlculas funilamentales). El estudiante deberla darse cuenia de que para llegar a ser lfsico o ingeniero debe alcanzar una comprensió¡r clara de estas ideas y desarrollar la habilitJatl para manejarlas. I.os temas hásicos constituyen el cuerpo del texto. Muchos ejernplos han sido incluidos en cada capltulo; algunos son simples aplicaciones numéricas de la teorla que se está discutiendo, mientras que otros son realmente extensiones de Ia teorfa o, deducciones matenláticas. Se rccomienda aconsejar al estudiante que en la primera lectura de un capftulo omita fodos los ejelnplos. Luego, en una segunda lectura, que examinc los cjemplc¡s sugeridos por el profesor. De €sta manera el estudiante comprenderá separadamente las ideas básicas y sus aplicaciones o extensiones. Hay una sección de problemas al final de cada capf [ulo. Algunos son nlás difíciles que el término medio de los problemas de fisica general y otros son extremadamente simples. Están dispuestos en un orden que corresponde aproximadamente al de las secciones del capitulo, habiendo algunos problemas más difíciles al flnal. El gran nÍimero y la variedad de los problemas dan al instructor mayor libertad de elecclón en la adecuación de los problemas a las aptitudes de sus estudiantes. Sugerimos al profesor que establezca una biblioteca de reserva basada en el ¡naterial bibliográfico que se enumera al final de cada capitulo y que incite al estr¡diantr: a usarla para desarrollar el hábito de veriñcar las fuentes, con lo que obtendrá más de una interpretación de un tópico dado y adquirirá iniormación Itistórica acerca de la flsica. llste volumen esLá concebido para cubrir el segundo semestre. Como gufa hemos sr:geri
INTER,ACTJIONES Y CAMPOS

La Parte 2 se ocupa de las interacciones electromagnéticas, que se desarrollan en los capítulos 14 a 17 (en el capitulo 13 del'u'olumen I se presentó la interacción gravii.acional). Estos cuatro capltulos constituyen una introducción al electromagtuetismo, exc)uycndo las ondas electron'ragnéticas y la radiación, que se estudian *ir la lratte 3" En los capítulos 14 y 15 se introducen algunos conceptos cuánticos,


rr.les como ia cuantificación de la energia y del nromenlum angular. En el volumen III estos tópicos serán discutidos :nás extensa¡rlent.s, Capftulo l^4. Interacción eléctricq 1,i ir,¡;¡s] Este capftrrlo se conc.flt;a nii- l:, 4ii , r ¡ s ¡jl' f a : ? " ' ' ¡ : ! - ¡ ', ' O uJ O ioL. ic ; rvr t L2 i' ai: : ¡ it ; 1¡ : ; i i : : ; iqt a iJ $ ec r r + : r t 'e p i' i.li

I -.

i-: .,il.,rcir parte de este c¿F!ii.rlor¡itr¡rl¡rc¡:er, fornia dinámica el conccpto de !;.ii.f'j nragnátrco,!"estudia el movinrientc'de r¡ira partfcula cargada en un canpo nr:gnLiico. Ei punto culminante se al.anza h¿ci.*ei llnai riel cap[tulo con una dis,:usiórrce ia ti:ansformació¡r ie Loir:ntz del carnpo electrümagnéticoy una revisión de! principio de consen'acióndei ürrrnlrjntum.EI prolesor deberá hacer hincapié en ¿sia parte del capltulo. {*pftulo 1S" Compos eledramsgniti*r¡s¿sidticas{5 horas) lln ¿stecallltülo se intrtrducel variotr.:o.icapif]$ inlportanles pero ha]" dos objetivos piincip:rlcs que cl;,rofesor rlqire iener i.rrescrtes.Lfno es ccnlenrar un desarrollo Ce i¡¡ t¡;oria generd Cei ca:npo eleetromagnéticc(le-vesdi? Gauss y do Ampére) y rle la materia en conjunto "i ctro es rrl'.¡c:on,lrlas propiedaCrr:elrctro:-nagnéticas con la estri¡ctura atómica de la misma. Sc ha relegarloa rrn plano secundario dentro rlel texto. l"e¡nastale¡ cornoel de eapacitoresy circuitosCC, pero se les presta mayor atenció¡r en los problemas del flnai del capitulo" Ca¡ltnio I?,

Cependienles Carnposelectromagnélicas del tiempo (4 horas)

La formulacién de las ecuacionesde N{axwelles el tema principal de este capftulo. El tema de circuitos CA sólo se discute de paso en el texto, aunque hay muchos iruenos ejernplos resueltos y problernas al flnal del capftulo para ayudar al estudiante a aciquirir cierta habilidad para nlanejar dichos circuitos. Es importante que el estuCiante se dé cuenta de qui: las ecuacionesde lllaxwell proveen una descripción compacta del campo electromagnético y que ilustran la estrecha relación que existe entre las partes f y It de este campo. PARTE 8.

ONITAS

La Parte 1 tlio al estudiante una descripción "particulatoria" de los fenómenos naturales.Ahora, presentamosen ia Parte 3 ia descripción"ondulatoria" complernentaria de los mismos, basada en e! concepto de campo, ya lntroducido.en la Parte 2. tr,asideas que habitualmente se estudian bajo los tftulos de acústica y de éptica están consideradosaquf en forma integrada. Capftulo 18. IVlauimienÍt ondulatario (5 horas) Este capltulo considerael movintientc oudulatorioen general,determinandoen cada casosuspropiedadesespeclfic*aa partir de las ecuaeiones de campo que describenuna situación flsica determinada, de rnotk¡ que no es necesarjo recurrir a la imagen mecánica de moléculas rnovióndosehacia ariba y hacia abajo. Dos ideas son fundamentales:una es comprenderla ecuaciónde onda; la otra es entender gue una onda transporta tanto energfa como momentu¡n. (5 hriras) Ccpltulo 19. Ondos elcetromagnótír:as Presentomcsaqu[ Ias ondas eieclrcinagnéticaspredichas por las ecuacionesde llfaxv¡ell. ilt'r lo que el estudiantedel¡e entcn¡ier a fondo las secciones19.2 v 19.3,


AduertenciaaI prolesor

ciii

Este capitulo también consideralos rnecanismosde radiación ,v absorción. Introduee además el concepto irnportante de lotón corno resultado natural del hecho tle que la; ontlas elcctromagnéticastransportan ener¡¡lay rnomentuni y de que estas propiedarles físicas estári relacionaiias por' la ecuación E : cp" 'fambién se discute brevernente las transiciones radiativas enirc es!.adosestacionarios. Cepftulo 90.

Ilefletión, refraccíón, polarízación (4 horas)

Los textos eiementales recurren tradicionalmente al principio de Huygens para estudiar la rcflexión y la retracción, aunque el principio que usan realmente es el teorema de Malus. Lo novedoso de este capltulo es que encara este hecho. Se puede omitir las secciones20.8 a 20.13 sin perder la continuidad del desarrollo. Cepftulo 91. Geometríade Ias ondas (3 horas) Se puede on'ritir totalmente este capltulo que en cierto sentido se ocupa ¡ealmente de ia óptica geométrica.De todos modos, e! profesor debe hacer resaltar que el material de este capitulo no sólo se aplica a ondas lumfnicas sino también a ondas en general. La convenciónde signos adoptada es la misma que la de OplÍcs, por F:orn y Wolf, Pergamon Press, 1965. Capftulo 29. Interlerencia (3 horas) En este capltulo se usa sistemáticamenteel método de los vectoresrotantes. Puede resultar provechosoque el estudianterelea las secciones72,7,12.8 y 12.9 del volumen I. Ei ccncepto de gufa de onda que aquf se da es tan importante que no se debe omitir. Capftul


,{DYERTENCIA AL ESTUDIANTE

Es este un libro sobro los fundamentos de la flsica para estudiantes que siguen carreras cientfficas o ingenieria. Los conceptos e üéas que aprenda en él entrarán, nru;. ¡lrobablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar. t-lr¡anto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto dc su educación tu perir.rr, El este cursv debe estar pi:eparado para abordar nur*erosos problemas arduos. L-)l aprenrlcr las leyes y iécnicas de la ffsica puede ser, a veces, un proceso iento ;; rir:loroso. Ant¡,s de tlue entre en €sas regiones de la ffsica que excitan srr imagil¡zrr-'i4n"i¡steri

TUi

Adurytencia al estudtante

enumera en rin apéndice ai fin¡.i rjti libirl e,l;:.¡.1¡¡¿;. .!. l¿¡ rtilr.:iones rrrati¡¡nátic¿ls más útiies. Torlos lo¡ cálc¡los rll ill físit-:asc' dclt¡'ir i,e.;ar ::.*¿ii¡r,rri-ilit¡¡rirjr¡un sistt¡r¡r-,co;rr, patible de uni¡; r:r. los E,stados Uniilos ll usa a.ítn cl Nalional Burer,¡.uol Slandards {rír sus uublicaciones. Sea extrelnadairrcnte cuidadoso en verificar la compatibilid¡.,1 de ias unidades en todos sns cálculos. E s adem ás una buena ide¿r ut i l i z - a t 'l a r e g l a , l e c á l c r r l o d e s d e e l c o m i e n z o ; l a p r e cisión a tres cifras significa"ivas de la r¡rás sintple ,Llelas reglas de cáiculo le ahorrará rnuehas horas cle trabajo nurnéfico. Sin crnbaigo, erl algunos casos, puedc que la regla de cálcuio no le dé la precisión ¡iecesaria. Al final de cada capftulo se dn una lista bii.rliogr;'rficaseleccionada. Consú!tela tan a menudo como sea posible. Algunos trabajos ayudarán a entender la idea de la ffsica como una ciencia en evohición,. mienr"ras que otros ampliarán el rnaterial d.cl tcxto. En particular encontrará que el iibro de Holton y Roller, Foundatians o! Modern Pñgsics (Addison-Wesley, Reading, l\{ass., 1958) es particularmente útil pol la informacién quc trae scbre Ia evoiución de ideas en la flsica.


AGRADECIMIENTOS

Querernos cxpfesar nuestro reconocirnienttt a las siguientes persorlas v organizac iones por s u anr abilit lad al p e r m i t i r n o s p u b l i c a r m a t e r i a l i l u s t r a t i v o d e s u p e r t e n enc ia: Br ook hav en Nat ional l , a b o r a t o r l ' ( f i g u r a 1 5 - 6 ) ; G e n e r a l E l e c t r i c C o m p a n y ( f igur a 17- 5b) ; Pr o{ es or Har v e y F l e t c h e r ( f i g u r a 1 8 - 2 3 ) ; E d u c a t i o n a l S e r v i c e s , I nc or por at ed ( f igur a l8- 37a) ; U . S . N a v a l O r d r t a n c e L a b o r a t o r y , Wh i t e O a k , Silver Spring, lfd. (figura 18-37b); Yíbration and Sound, por Philip NI. Nlorse, McGlarv-IIili Book Co., 1948 (figura 22-26); Ripple Tank Studies of lVaue llolion, c on ant or iz ac ión de W . Llow a r c h , T h e C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , I n g l a i t r r r a ( f i g ur a 23- 2) ; Pr í nc iplt s ol O pt ic s , p o r H a r d 5 ' y P e r r i n , t r f c G r a w - H i l l L i o o k C o . , 1 9 3 2 (figrrras 23-'12 y 23-14b); y Profesor B. E. Warren, del IVLI.T. (figura 23-42)- Debemos especiai agradecimiento a Educational Services, Incorporated y al Physical Science Study Committee, de cuyo libro PSSC Pnysic.s, D. C. Heath and Co., 1960, h em os iom ado las s iguient es f i g u r a s : 0 - 1 3 a , 1 8 - 2 2 , 1 8 - 2 8 b , 2 0 - 6 b , 2 0 - 1 0 b , 2 0 - 1 1 b , 2 0- 16dy e, 22- t y 22- 15.



INDICE

Contratapos ilelsnter¡s Tabla periódica de los elementos; constantes fundamentales Contratopas tr¿geres Unidades y slmbolos; factores de conversión Capltulo 14

lntersccldn elóctrlcs Introducción 457. Carga eléctrica 458. Ley de Coulomb 460. Campo eléctrico 462. La cuantización de la carga eléctrica 468. Estructura eléctrica de la materia 471. Estructura atómica 473. Potencial eléctrico 480. Relaciones energéticas en un campo eléctrico 484. Corriente eléct¡ica 489. Dipolo eléctrico 491. Multipolos eléctricos de orden superior 498.

Capltulo 16

Interaccldn mognétlca Introducción 512, Fuerza magnética sobre una carga en movimiento 513. Movimiento de una carga en un campo magnéticó 516, Ejemplos de movimiento de partlculas cargadas en un campo magnético 523, Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica 530. T'orque magnético sobre una corriente eléctrica 532. Campo magnéticoproducido por una corriente cerrada 538. Campo magnético de una corriente rectilfnea 539. Fuerzas entre corrientes 541. Campo magnético de una corriente circular 544. Campo magnético de una carga en movimiento (no relativista) 549. Electromagnetismo y el principio de relatividad 551. Campo electromagnético de una carga en movimiento 555. Interacción electromagnética entre dos cargas en movimiento 560.

Cepltulo 16

estáticos Composelectromagnétleoe Introducción 577. Flujo de un campo vectorial 577. Ley de Gauss para el campo eléctrico 579. Ley de Gauss en forma diferencial 584. Polarización de la materia 587. Desplazamiento eléctrico 591. Cálculo de la susceptibilidad eléctrica 593. Capacitaneia; capacitoelécres 600. Energfa del campo eléctrico 603. Conductividad trica ; ley de Ohm 606. Fuerza electromotriz 672. Ley de Ampére para el campo magnético 616. Ley de Ampére en forma diferen-

L


rÍ,

Indíce cial 621. Flujo magnético 623. Magn';tizaciónde la materia 623. Canrpo magnetizanle 625. Cálculc ie ia susceptibilidadmagnética 628. Resumen de las leyes de lcs campos estáticos633.

Capftulo 17

ilependlcutesdel tiempo Camposelectromagnóticoe Int¡oducción 645. Ley de liaraday-Henry 645. El betatrón 648. Inducción electromagnéticadebida al movimiento relativo de un conductor y un campo magnético 651. La inducción electrornagnética y ei principio de relalividad 654. Poiencial eléctrico e inducción electromagnética 655. Ley de F-araday-Herlry en forma diferencial 655. Autoindr¡cción {i57. Energfa del campo magnético 661. Oscilaciones eléctricas664. Cir'cuitosacoplados670. Principio de conservación de la carga 674. Ley de Ampére-Maxwell 675. Ley de Ampére-IIaxwell en forma dilercncial 678. Ecuaciones de Maxrvcll 680.

PAR?Í A

ONDAS

Capltulo l8

trIorimlento ondul¿torlo Introducción 694. Descripciónmatemática de la propagación695. Análisis de Fourier del ¡novimiento ondulatorio 699. Ecuación diferencialdel movimiento ondulatorio ?01. Ondas elásticasen una bar¡a 703. Ondas de presión en una columna de gas 707. Ondas transversalesen una cuerda 712, Ondas superficialesen un lfquido 716. ¿Quése propagaen un movimiento ondulatorio??19. Ondas en dos y tres dímensiones722. Ondasesféricasen un flúido 727.Yeloci^ dad de grupo 729. El efecto Doppler 731. Sonido; acrlstica 735.

Crpftulo 19

Onda¡ electromegnéticas Introducción 744, Ondas electromagnéticas planas 744. Energfa y momentum de una onda electromagnética 748. Radiación por un di¡:olo eléctrico oscilante ?52. Radiación por un dipolo magnético oscila¡rte 757. Radiación por multipolos oscilantes de orden superior 761, Radlacién por una c.arga acelcrada 761. Absorción de la radiacié¡ electrcmagnética 769. Difusión ¿ie ondas electromagnéticas por eiectrones ligados 770. Difusión de la ¡adiación electromagnética fror un elec{rón libre; el efecto Compton 772. Fot<¡nes 776. Más sobre los fotones: el efecto fotoeléctrico 780. Propagación de ondas clectromagnéticas en la materia ; dispersión 782. Efectt'¡ l)oppler en las ondas electromagnétieas ?86, Espectro de la racliación electromagnética 791.

Capitulo 30

Rcflexlón, refracción, polarlzacién Introducción 802. Principio de Huygens 802. Teorema de lllalus 804. Reflexión y reiracción de ondas planas 806. Reflexión v ref¡acción de ondas esféricas it10. NIás acerca de las leyes de la reflexión y de la refracción 812. Reflcxión 1' refracción de ondas eiectromagnéticas 8i7. Propagación de ondas electromagnéticas en un medio auisótropo 820. !l)icrcrísrr..o 626, Doble refracción 827. Actividad úptica 333. l.riflexié¡i '". -"irac'ión cn superficies metálicas 837. Pio¡lagación tn ¡r$ tnediü uo homo11éneo838.


Indíce Capltulo 21

xd

Qeonetrfa do las onalas Introducción 8-16.Reflexión en una superficie esférica 847" Ilefracción en una superlicieeslérica854. Lentes 858. Instrumentos ópticos 863. El prisrna 867. Dispersión de un medio 869. Aberración cromática 872. Principio de i;'er¡nat del tiempo estacionario 875.

Capltulo 22

Interlerencio introducción 887. Interferencia de cndas producidas por dos fuentes sincrónicas 887. Interferencia cle ondas producidas por varias fuentes sincró¡ricas 893. Ondas estacionarias en una dimensión 899. Ondas estacio¡rarias ¡r la ecuación de onda 902. Ondas electromagnéticas estacionarias g0?, Ondas estacionarias en dos dimensiones 910. Ondas estacionarias en tres dimensiones : cavidades resonantes 915. Gulas de onda 918.

Cepíiulo 28

Dilrae cidn

Introducción 932. Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular 933. Difracción de Fraunhofer por una abertura circular 939. Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas iguales 941. Redes de difracción 943. Difracción de Fresnel 947. Difusión de ondas 954. Difusión de rayos X por cristales 954. Capftulo 24

Fenómenosde transporte Introducción 967. Difusión molecular; ley de Fick 967. Conducción térmica ; ley de Fourier 974. Transporte con producción y absorción 982. Viscosidad984. Camino libre medio, frecuencia de colisión y sección eficaz de colisión 988. Teoria molecular de los fenómenos de transporte 992. Conclusión995. Apéniltee: Reloolonesmatemótieas; Tablas A-8 Reapuestasa los problemaltGon númoro lmpor A-17 Indlee alf¿bétlco A-29


PARTE 2 II\TERACCIONESY CAMPOS

B, Electromagnetismo


154 IJna vez entendidas las reglas generalesque gobii:raan el ¡novimiento, el paso siguiente es investigar las interaccioncs responsablesrle dichos movimientos. Hay varios tipos de interacciones. Lina es la inleracción grauítactonalque se manifiesta en el movimiento planetario y en el de la materia en conjunto. La gravitación, a pesar de ser la más débil de todas las interaccionesconocidas, es la primera interacción estudiada cuidadosamente,debido al interés que el hombre ha tenido desdela antigüedad en la astronomia y porque la gravitación es responsablede muchos fenómenos que afectan directamente nuestra vida. Otra es la inleraccíón eleclromagnétíca,la mejor comprendida y posiblemente la más importante desde el punto de vista de la vida diaria. La mayoría de los fenómenosque observamosa nuestro alrededor,incluyendo los procesosquímicos y biológicos, son el resultado de interacciones electromagnéticas entre átomos y moléculas. Un tercer tipo es la ínleracciónfuerte a nuclear, que es responsable de que los protones y los neutrones (conocidoscomo nucleones)se mantengan dentro dei núcleo atómico, y de otros fenómenos relacionados.A pesar de Ia investigación intensiva realizada, nuestro conocimiento de esta interaccién es aún incompleto. Un cuarto tipo es la ínlcraccíóndébil, responsablede ciertos procesosentre partículas Iundamentales, tal como la desintegración beta. Nuestro conocimiento de esta interacción es airn muy escaso. La intensidad relativa de las interaccionesnombradas es: Iuerte, tomada como 1; electromagnética- 10-2; débil 10-5; gravitacional - trO-s. Uno de los problemas no resueltos de la fisica es por qué parece haber sólo cuatro interacciones y por qué hay una diferencia tan gmnde en sus intensidades. Es interesante ver lo que Isaac Newton decÍa hace 200 años acerca de las interacciones: ¿No tienen acasolas pequeñasPartfculas de los Cuerposciertos Poderes,o Fuerzas, por medio de los cualesactúan.,,unassobre otras para producir gran Parte de los Fenómenos de la Naturaleza'l Porque bien se sabe que los Cuerpos actúan unos sobre otros por medio de las Atraccionesde la Gravedad,Magnetismo,y Electricidad;...y no lo tengáispor improbable sino que puedehaber más Poderesatractivos que éstos....De cómo estasatraccionespuedenser realizadas,no Io consideroaqul.... Las Atraccionesde la Gravedad, del Magnetismo,y de la Electricidad, alcanzan distanciasmuy apreciables,,..ypuede que haya otras que alcancendistanciastan pequeñasque hasta ahora escapena la observación;....(Oplicks,Libro III, Indagación 31) Para describir estas interacciones introducimos el concepto de campo. Entendemos por campo una propiedad fisica extendida en una región del espacio y descrita por medio de una función de la posición y el tiempo. Suponemosque para cada interacción una partícula produce a su alrededor un campo correspondiente. Este campo actúa a su vez sobre una segundapartícula para producir la interacción necesaria.I-a segunda particula produce su propio campo, el cual actúa sobre la primera dando como resuitado una interacción mutua. Aunque se puede dcscribir las interacc;ionespor medio de campos, no todos los campos correspondena interacciones,ht,cho que cstá implicito en la definicion dc canlpo. I'e-r ejernplo, il¡: meterirriio;ioJrrrcdeexpresar la presión y la ¡rr¡ fr¡:rrrir,rr rlr'l¿ }¡1,i.u,i y la longitud en la superficie ternpemlrrrl at,rnos{éricas entonces dos cllripos escalares:el ter¡r:stri"-'rle ia ¡¡lLura sohrq:risl.i:."1'trjlerli(]s


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1;ó eampo de presiones v el campo de temperaturas. En el movimiento de un flúido su velocidad en cada punto constituye un campo vectorial. El concepto de campo es entonces de gran utilidad general en la física. En el capítulo 13 del volumen I se estudió la inte¡acción gravitacional y el campo gravitacional. En los capitulos 14 a 17 de este vclumen, consideraremos las interacciones electromagnéticas. I:Iablaremos del resto de las interacciones en el volume n IIl .


L4 ffiTHCTRICA ENTEKAT{-g{}N

14.1 Introdueción i4.2 Carga, eléctrica i4"3 L-eEde Coulomb 14.4 üarnpo e\éetríeo 14.5 La cus¡ziizficíónde la carga eléctrica *íéctrica de la materia 14.8 F.stru,¿tt¡ra j'!.7 Estruetura atémíca 14.8 Potencial eléctrico eft un cempa eléctrico 1 4 .9 Relacíoneserrergétícas 14.1A Corriente eléctríca 14.1i Dípolo eléetríca 14.12 fulultipolas eléctríccsde orden superior


Inlraduccíón

14"lj

457

74.7 Introdueeión Consideremosun experimento mry simple. Supongamos que después de peinar el peine a pedacitos ligeros de papel: nuestro cabello un día muy secü ¿rcercamos similar ocurre si frotarnos una peine los atrae. Fenó¡neno que el obser.,'amos varilla de vidrio con un paño de seda o una varilla de ámbar con un pedazo de piel. Podemos concluir que, como resultado del frotamiento, estos materiales adquieren una nueva propiedad que llamamos electrícídad (del griego elektron, que significa ámbar), y que esta propiedad eléctrica da lugar a una interacción más fuerte que la gravitación. Hay, además, varias otras diferencias fundamentales entre las inte¡acciones eléctrica y gravitacional. En primer lugar, hay solamente una clase de interacción gravitacionai, que da como resultado una atracción universal entre dos masas cualesquiera; por el contrario, hay dos clasrs de jnteraccioneseléctricas.Supongamosque acercamos una varilla de vidrio electrizada a una pequeña esfera de corcho suspendida de un hilo. Vemos que la varilla atrae la esfera. Si repetimos el experimento con una varilla de ámbar electrizada, observamos el mismo efecto de atracción. Sin embargo, si ambas varillas se acercan a la esfera simultáneamente, en lugar de una mayor atracción, observamosuna fue¡za de atracción menor o aún ninguna atracción de la esfera(fig. 14-1). Estos experimentossimples indican que, aunque ambas varillas electrizadas, la de vidrio y la de ámbar, atraen la bola de corcho, lo haeen debido a procesosfísicos opuestos.Cuando ambas varillas actúan simultáneamente, sus acciones se contrarrestan produciendo un efecto menor o nulo. Concluimos,entonces,que hay dos clasesde estadosde electrización: uno que se manifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el ámbar. Al primero le llamamos positíuo y al otro negaliuo.

Varilla de ámba¡

Varilla de vidrio

Ambar

\ (¿r )

(b)

---G:] V i dúo (c)

Ftg. 14-1. Experimentos con varillas de vidrio y árnbar electrizadas. Supongamos,ahora, que tocamos dos esferas de corcho con una varilla de vidrio electrizada. Podemos suponer que ambas se electrizan positivarnente. Si las ace¡camos, observamos que se repelen (fig. 1 -2a). El mismo resultado se obtiene cuando tocamos las esferas con la varilla de ámbar electrizada, de modo que ambas se electricen negativamerite (fig. 14-2b). Sin embargo, si tocamos


,158

(14.2

Interaccióneléclrica

una de ellas coa la varilla de vidrio y la otra con ia de ámbar, de modo que una adquiera electricidad positiva y ia otra negativa, observamos que se atraen (fig. 14-2c).

F ie .

(c)

(b)

(e)

In te r a ccio n e-q el éctri cas enl r¡r c¿l i 'gas de i gual

1 4 .2 .

-v

de di ferente

si gno,

Pt'r consiguiente, mientías u€ la irrteracci¡;u gravitacional es siernpre atractrrra, ia intcracción eléctrica pucile ser etractiva o repulsiva. Dos cuerpo.scon Ia misma clasede eleclrización(posílíua o negalíua) se tepelen, pe.rasí tienen diferenles clasestle eleclrizacíón (una posiliua g la otra negatíua),se atraen. Este enunciado se ilustra esquemáticamente en la fig. 14-3, Si la interacción eléctrica hubiera sido sólo repuisiva t¡ sóio atractiva, probabienlente nunca hubiéramos observado la existencia de la gravitación porque la interacción eléctrica es más fuerte. Sin ernbargo.la mayoria de los cuerpos están compuestosde cantidades iguaies de electricidad positiva y negativa, de nrodo que la interacción es muy pequeñe o cero. De este modo, eléctricaentre dos cuerpos macroscÓpicos co¡no resultado dei efecto acumulativo de las masas, la interacción que aparece macroscópicamentecomo dorninarite, es la interacción giavitacional, aunque muchc más débil. /1 F ---___._tl/* Fig. i4-S.

74,2

Carga

I'¿-\ *1:J

,r-1

¡'

\:-r-*

jq'-\

-*1li

liuerzas €utre cargíis de igual y de diferente sigtic-

eléetriea

ia inteirsitiad tte la interacción gravitacional Del mismo modo que caracterizarno"q asignando a cada cuerpo ulla masa gravitacicnal, caracterizamosel estado de elécírit:c,¡nás conrúnmente llaelectriz¡¡:ión de un cuerpo ,iríinl'r:::tioull:t r,'ri.'r{r ¡"¡arl:ri¡¡rrii.,clirclricci,reprttsi:nit

Cmga elédrica

14.2)

459

Así como hay dos clases
Cuerpo de referencia

F/'.:\

n)-FiS. 14-4. Comparación de las cargas eléctricas g ! Q', mediante sus interacciones eléctricas con una tercera carga Q.

Para definir operacionalmente la carga de un cuerpo electrizado adoptamos el siguiente procedimiento. Tomamos un cuerpo cargado arbitrario Q (fig. 14.4) y, a una distancia d de éI, colocamos la carga g, Entonces medimos la fuerza F ejercida sobre q. Seguidamente, colocamos otra carga q' a la misma distancia d de Q y medimos la fuerza F'. Definimos los valores de las cargas g y q' como proporcionalesa las fuerzas F y F', Esto es

qlq': FIF'.

(14.1)

Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga q', tenemos un medio de obtener el valor de la carga q. Este método de comparación de cargas es muy siinilar al usado en la sección13.3 para comparar las masas de dos cuerpos.Nuestra definiclón de carga implica que, siendo iguales todos L,osfactores geométricos, la fuerza de la interacción eléctrica es proporcional a las cargas de las particulas. Se ha encontrado que, en todos los procesos observados en la naturaleza, la carga neta de un sistema aislado perrnanece constante. En otras palabras, en cualquíer procesoque lcurra en un sístema aislado, Ia carga lolal o neta no cambía. No se ha hallado excepción a esta regla, conocida como el principio de conseruación de la carga. Tendrernos ocasión de discutir este principio más adelante, cuando tratemos los procesosque involucran partículas fundamentales. El estuJ.ianterecordará que ya hemos aplicado este principio en el ejemplo 1,1.11, donde la reacción p' + p* -. p* + p. + p- * p- fue discutida. A la izquierda la carga total rs dos vecesla carga del protón y a la derechalos tres protones contribuyen tií".$ l.ece" ]a carga del protón, mientras que el antiprotón contribuye la carga iiel proi,ón negativa. f)e este modo sc obtiene una carga neta igual a dos veces .t:r carga del protón.


160 74.3

lnteraccióneléctríca

't

a

Ley de Caulo'mb

Co¡rsiderenrosla interacción eléctric¿lcr¡tre rlos pariÍculas cargadas, en replso, o, cu¿indornás, moviéndose en el sisterna inercial de referc¡rr'ia¡lci ribserr,-ador a u n a v e l o c i d a dm u y p e quei ra;el resul tadode tal i nteracci ónconsti tuye l a el ec Iroslática.I-a interacción elect¡ost¿itieuerit.rerios partic:ulascargadas estí¡ dada por la le,gde Coulornó,llamada asi en ironcil'dei ingeniero francés ChrtrlesA. de ) u i en fue el pri mero en enunci arl a,corno si gue: C o u l o mb (1 7 3 6 -1 8 0 6 q La ínleraccíón eleclrostctlicaentre dos partlculas cargadas es"proporcíonal a sus caigas e í.nuersamenteproporcional al ruadrado de Ia distancía entre ellas g su dírección es según la recta que Ias une. Esto puede expresarsematemáticamenLepor

F:

0q'

R":;-,

(r4.2)

dondc ¡ es la distancia entre las dos cargasq y q', F es Ia fuerza que actúa sobre cada carga y K" es una constantc a determinar de acuerdo con nuestra elección de unidades. Esta ley es nruv sernejantea la ley de interacción gravitacional. Por consiguiente,podemos aplicar aqui rrruchosresultados matemáticos que demostranrosen el capitulo 13 simplemente reemplazando ymm' p

-i ;¡

Leg d.e Coulamb

461

. . .,:,i ri 1 tl -71 2:8 ,9 8 7 i x 1 0 e d , ondc (como anteri ürrnente)c es l a vei oci rl adde l a . .r:rt.:l v a c i c .* E n l a p rá c ti ca, D ti demostomar para Ii " el yal or g X l ge. E n: :rr'i1i.ciran'i0 la riisl.anciase nriiie cn rrretros y Ia fuerza en newtons, la ec. I i .2 ) s e e s c ri b e

F :9

x

úo ' I n9 -'-',--

(14.3)

i'n¿r vez (iue.hemüs decitlido sobre ei valor de Xu, la unidad de carga está fljada. :-strr rrrriilarl se llama ur coul.omb,y se designa por el sirnbolo c. De aquí que ' l,{-l¿ilíros cstabiece:-la ;iguiente dellnicjón: eI coulomb es la carga que, colotada : Jn metro de alra cargu igual en el.uacío, Ia repeie con una fuerza de 8,9874 x 10e ';,r:¿'lons. I-a fórnrula (14.3) es válida solamente para dos particulas cargadas en ' I r.¡c ío ; o s e a . p a ra d o s p a rt i cul as cargadasen ausenci a de toda otra carga o r''¡ri-eria(ver sección 16.6). obsérvcse que, de acuerdo con la ec. (14.2), expre..rilos 1{" en N mz C-2 ó m3 kg s..z 6*2. Pcr razones prácticas y de cálctrlo numérico es más conveniente expresar 1{¿ ¿¡l la lorma Ke:

(14.4)

4r eo'

,londe la nueva constante eo se llama permítíuidail d.el oucto.De acuerdo con el valor asignado a K¿, su valor es ,o :

10?

:8 ,8 54

+*,

X 10-12N -l m-t C g

ó

m-3 kg-r 5z ¿2.

(14.5) Por lo tanto escribiremosla ec. (1.4.3)en la forma

tñ :

qq' nrr.*

(14.6)

Cuando usemos Ia ec. (14.6) debemos incluir los signos de Ias cargas q y q'. un v¡lor negativo para F corresponde a atracción y un valor positivo.corresp onde a r epuls ión. I:JEI|IPLO7.t.7. Dada ia disposición de cargas de la fig. 14-6, donde 4r : *1,5 x 1 0- 3 C, gz : - 0, 50 x 10- 3 c , 4 ¡ : 0 , 2 0 x 10-3 c, y AC :1,2 m, BC :0,50 m, hallar la fuerza resultante sobre la carga ga. .Solr¿ción.' La fuerza F, entre gty Qaes de repulsión, mientras que la fuerza I', entre Qz ! % es de atracción. Sus respectivos valores, usando la ec. (14.6), son

FL :

-9!3-: {rr€ori

1,9 x 10¡ N,

F, :

-S-zQl-:

-

47leofi-

Luego la fuerza resultante es

./F : V Fi + Fe - 4,06x 103N. I La elección de este vaior particular

para ff" se explicará en Ia sección 15.g.


3,6 x 103N.

Campo eléctríeo

463

I.'scribamoi ia ec, (14.6) en la forrna f : q'(ql4nef). Esto da la fuerza pro. ¡iu,¡itlapor.ia carga q sobre la carga q'colocada a una distancia ¡ de q. Fodriamos l,anibién decir', usando la ec. (1,*-?),que el campo eléctrico C en el punto donde esta colocadag' es tal que F : Q'{,Por consiguiente,comparandolas dos expresionesde Ji, concluimosque el campo eléctrico a la distancia ¡ de una carga puntuai g es C : ql|rceor2,o en forma vectorial

( :7!¡; u"

(14.8)

donde u, es el versor en la dirección radial, alejándose de la carga q, ya gue .F está según esta dirección. La expresión (14.8) es válida para cargas positivas y aegativas, con el sentido de { respecto a 'tt, dado por el signo de q. De este ::roCo f está dirigido alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. E,n la fórmula correspondientepara el campo gravitacional (ec. 13.15), el signo negativo se escribió explicitamente porque la interacción gravitacional es .ienipre de atracción. La fig. 1a-9(a) representa el campo eléctrico en las vecinCades de una carga positiva y la fig. 1+9(b) muestra el campo eléctrico en las cercanias de una carga negativa.

/ ta tt.

.r' ,i ,' ta-

'-

r-1-t

-

--,Ii)^-.-I

,.

I

i I

I

,r'r"

I

I

(a)

(b)

flg. 14-9. Campo eléctrico producido por a) una carga positiva negativa.

y b) por

una

Igual que en el caso del campo gravitacional, un campo eléctrico puede rep¡€sentarse por líneas de fuerza, lineas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos. Las líneas de fuerza en la fig. 14-10(a) representan ei campo eléctrico de una carga positiva, y las de la fig. 14-10(b) muestran el campo eléct¡ico de una carga negativa. Estas lineas son rectas que pasan por la carga. (-liando varias cargas están presentes, como en la fig. 14.7, eI campo eléctrico -:-srilt¡rntees la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada carga. O sea,


462

Interaccíón eléctríca

- - ,t

F,*

Flg. 14-6. Fuerza eléctrica resultante sobre q, debida 4t y a Qz. ^

L'j.4

üampo

Flg. I4-7.

Campo eléctrico resultante P, producido por varias

ilr¿.O"tto

eléctríco

Ct¡a!¡¡rri*rrt:6iiin del espaoioe:r clandeuna c¡.rga¡:lóctrjcaexperimenta una fuerza s.cllarn:i t:n ci¡Jnr,oeléttríco. La fuerza se dri;e a i;r prr:sr:nciaile otras eargas en aqueila r"gión. Por ejernplo, unil carga { cr,}sr-:¿dn en uüa regiíin doride hayan ct¡as ¡rargasQyQ,""Qs,etc..(fig. i4-7) experiincnla una iuerz¿,É':Fr + ¿', + .F".+ . . ., .." ¡" r,lecimosque está en un carnpo eléctrict¡producitlo pcr las cargas gp ga,Qs,, (ia carga.E', por supucsto,Lambien ejerce iuerzas sobre Qr, gz, {s,... pero por ahora no la.stomaremos en cuenta). Como ia fue¡za que cada carga qr, Qz,4s,. . . ej*rr:e sobre ia carga q es proporc¡onai a q, la fuerza resultante ,f' es propnrcional a q. Asi, ia fuerza sobre una particuia cargad.a,coiocada en un campo eléctrico, es proporcional a ia carga de la particula. La íntensi¡Iadde un campo eléclricoen un punto es igual a la fuerza por unidad
{':+ q

it

F :q ( .

(14.7)

La intensidad de campo elóctrico f' se ex-presaen ¡rew|onicoulomb o N C-1, o, usancioias unidades fundanrentales,m kg s-': g-r" Obsérveseque, ctendie¡rdoa la definición (.14"7),si ? es positiva, la fuerza .ú' que actúa slbre la carga tiene la ¡nis¡na ¡Jirecrióndel r:arrrpof pero si g es legat.iva, ia fuerza F tiene la dirección cpur:sl;-t¡ f {fig. 14-8). Por Io tactc, si aplicamrts u! campo e)éctricoen una región dontle haya iones positivos v negatÍvos, el carrtpr:tcndcrá a mQver los cuer^¡ios cargari'lspositivarnente y negativamcnte en direcciones opuestas,la cual da como resultarlo una $eparación de car"gas, efecto éste llamado algunas veces po/ar.jztsción. Carnpo eléctrico Cargá fiüsitira C*rg:r tcg+

-__*--g+ l :qE

de la fuerza prorlnI'ig. 14-8,. -{eutid,ri cicia ,pcr ur1 t:Jmpo eléctricc sobre una cargu positiva y sobre una negativa"


464

Interaccióneléctríca

(14.4

(e)

(b)

Fig. 14'10. Lfneas de fuerza y superficiesequipotencialesdel campo eléctricode una carga positiva y de una negativa.

'.t''.\-{ / ,'.,' --\ ir{<-1-i-r:S( /t

I

\

i

l\

,

/

.'

r i tl l l l

i l i i l tl l

Flg. f 4'11' Llneas de fuerza y superficies r:r¡rii¡rotencialesdel campo eléctrico de dos: c¿¡g31¡iguales y r:¡ruestas.


Campo eléctrico

14.Q¡

465

Ftg. 14-12. Llneas de fuerza y superflciesequipotenciales del campo eléctrico de dos cargas idénticas.

C:Cl *Cz*Cr*... :),C,:#

)rff.+u

La fig. 1tl-11 indica cómo obtener el campo eléctrico resultante en un punto P en el caso de dos cargas, una posiüva y otra negativa de la misma magnitud, como es el caso de un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno. La ftg. l*12 muestra las lineas de fuerza para dos cargas positivas iguales. tal como los dos protones en una molécula de hi{rogeno. En ambas liguras también se han repre. sentado las líneas de fuerza del campo eléctrico resultante producido por las dos cargas. Distribución volumétrica de carga

+ -r I

+ + + 1-

Ftg. 14-13. Cálculo del campo eléctrico de una distribución continua de carqa.

FtS. 14-14. Campo eléctrico uniforme.

Si tenemos una distribución continua de carga (fig. 14-13), la dividimos en elementos diferenclrles de carga dq y reemplazamos la surna por una integral,


466

(14.4

Interaccióneléctríca

resultando

¿':J-f4",. 4r,eo J i't La integral debe extenderse a todo el espacio ocupado por las cargas. Un campo eléctrico unifornrc tiene la misma intensidad y dirección en todos sus puntos Un campo uniforme está representado, evidentemente, por líneas de fuerza paralelas y equidistantes ({ig. 14-14). El mejor rncdo de producir un campo eléctrico uniforme es cargando, con cargas iguales y opuestas, dos placas metáiicas paralelas. La simetrÍa indic.a que el campo es uniforme; más adelante, en la sección 16.3, verificaremos matenrátic¿mente esta ascrción. (Recordar el ejemplo 13.8 tlonde aparece un problema semejarite relacionado con la interacción gravitacional). producirlo por las cargas Qt ! 4z fiJERlf,Lt'!-14,2. Determi¡ar *l campo elé
C : :- :' ;, 03 x 10¿]' l C -1. 9s Otri; procedi¡nientoes calcular primero ei campo eléctricr:producido en C (fig. 14-15) poi cada una de las cargas,usando ia ec. (14"6).Esto da c, : -* :: 4tte¡l

q2

9,32 x l oc N C -r

v {." : ' 13 Et

¡t

Ftg. l4-16, Campo eléctrico resultante en C producido por {l

Y (c'

9t == 18.0 x 108N C-r. Aneorl -

For consiguiente,el campo eléctrico resultante es c :

V71 ¡

¿7: 2.03 x 10?N C-1.

Los dos resultados son, evidentemente,idénticos,

EJE*ÍPLO 74.3. Discusión tlel movi¡nientc de una carga eléctrica en un campo unilorme. Solt¿Íd¿: La ecuación de movimienio dc una carga eléctrica en un campo eléct¡ico uniforme está dada por la ecuación m a: q{

ó

a:.

3- ¿.

La aceleración que adquiere un cuerpo en un caÍrpo eléctrico depende, por lo tanto, de la razón qlm. Corno esta razón cs en gcneral diferente para diferentes partlculas cargadas o iones, sus aceleraciones eir. rin campo eléclrieo serán también diferentes; es decir, que hay una clara distinción enr.re l¡l acelcración de un cuerpo cargado que se lnucve en un campo eléctriro, y la aceir¡'ación en un oampo gravitacional, que es la mism.a para todos los crtrrpti-t, Sl cj c¿rrn*¡r{'es u¡tilorlnc, la aceleraciÓn ¿ es constante y la trayocloria dcsr:riia por ta ,:lrga eiéctrica e¡r su movimientn es una parábola, conro se explicó en la secció;r 5.7"

-_


14.4

Campo eléctríco

467

++++++ F_rr-1"--¿ Ftg. 14-16. Desviación de una carga positiva por un campo eléctrico uniforme. Un caso interesante es el de una partfcula cargada moviéndose a través de un campo eléctnco que ocupa una re'gión limitada del espacio (fig. 14-16). Supongamos, para simpliflcar, que la vetocidad inicial uo de la partfcula cuando entra al campo eléctrico sea pelpendicular a la dirección del campo eléctrico. Hemos colocadt¡ el eje X paralelo a la velocidad inicial de la partlcula y el eje Y paralelo al campo. La trayectoria AB descrita por la partfcula al moverse a través del campo es una parábola. Despuésde cruzar el campo la partlcula readquiere el movimiento rectillneo, pero con una velocidad c diferente en módulo y dirección. Decimos entcnces que el campo eléctrico ha producido una desviación medida por el ángulo a. Usando los resultados de la sección 5.7, encontramos que las coordenadas de la partícula mientras se mueve a través del campo con una aceleración (q/m)C, están dadas por g :r(ql m)C | 2.

Í,:u o t¡

Eliminando el tiempo l, obtenemos la ecuación de la trayectoria,

+(-"J(*)*' lo cual verifica que es una parábola. Obtenemos la desviación¿ calculando la pendiente dgldr de la trayectoria para x : a. El resultado es tg a : (dgldr)"*

-- qCalmozs.

Si colocamosuna pantalla S a la distancia l, la partlcula con un q/m dado y velocidad uo, llegará a la pantalla en el punto C. Observando que tg c¿es aproximadamente igual a dlL, ya que el desplazamiento vertical BD es pequeño comparado con d si Z es grande, tenemos qéa mú'o

(r4.e)

_d L

lfidiendo d, L, a y C obtenemos la velocidad oo (o la energla cinética) si conocemos la razón qlmi o reclprocamente, podemos obtener q/m si conocemos u0. Por lo tanto, cuando un haz tle partfculas con la misma relación qlm,pasa a través de un campo c.léctrico, las mismas se deflectan de acuerdo con sus velocidades o energfas. Un aparato tal como el ilustrado en la fig. 14-16 puede usarse como un dn¿r¿f:ador de energla, el cual separa las partfculas cargadas idénticas que se mueven ion energías diferentes. Por ejemplo, los rayos I son electrones emitidos por algunos materiales radioactivos; si colocamos un emiso¡ de rayos B en O, todos los electroncs se concentrarán en el mismo punto de la pantalla si tienen la misma L---


468

(14.5

I nteracción eléctríca.

energfa. Pero si st¡n trmitidos ccn tiitcrenrrls i'rct'iJíl)i se dispersarán en una región de la pantalla. l'ls esla segunda posibil.idad Ia que sc e¡rcuentra experirnentalmente, resultado rle ¡nucha irnportancia desde ei punto rie vista cle la estn:ctura nuclear. Usandi¡ dos juegos de placas paralelas cargadas, ¡i'.:ls66s producir dos campos otro vertical según yV', ¡nutuamente perpendicularcs, rlno horizonlal según llfl'y corno se muestra en la fig, 14-17. Ajustando lá intensitlad relativa de los dos campos, podemos obtener una desviación arbitraria rlel haz de electrones respecto a cualquier punto de referencia en la pantalla. Si los dos caÍipos son variables, el puntc luminoso de referencia sobre la ¡ranta)la ilescribirá una cierta curva. Aplicaciones prácticas de este efecto se presentan en los tubos de televisión y en los osciloscopios. En particular, si los campos eléctricos varfan en intensidad con movirniento armónico simple, se obtentlrán las figuras de Lissajous (sección 12.9). An o d o P l acas para d o cn lo q u e d e Svi aci ón hori zontal RPj;lla .\n o do i tle co n tr o ll a ce le rador \

P l acas paraln desvl acron' -<.1'

/---r---T----;-

i-\_-l

H az de el ectrones R evesti mi ento P antal l a metál i co =fluorescente

Calefactor Ca ñ ó n e le ctr óni co ( o fu e n te e le ctróni ca)

I'19. 14-17. Nlovimiento de una carga bajo la acción de campos eléctricos cruzados. Los electrones son emitidos por el cátodo y acelerados por un campo eléctrico intenso. Una ranura en el ánodo acelerador, perm¡te a los electrones salir del cañón electrónico y pasar entre dos sistemas de placas deflectoras. El revestimiento metálico del interior del tubo, mantiene el extremo derecho libre de campos eléctricos, producidos por fuentes ext€rnas y permitiendo el movimiento libre a los electrones del haz.

74.5

Cuantízución

de Ia carga

eléctriea

lJn aspectoimportante que .Jebemosdilucidar antes dc proseguir, es el hecho de que Ia carga eléctrica aparece no en cualquier cantidad, sino en rnúltiplos de una unidad fundamental o cuanto. De los muchos experimentosrealizadospara determinar esto, es clásico el del físico norteamericano Robert A. Nfillikan (1869-1953),quien, por varios años durante la primera parte de este siglo, ller'ó a efecto el experimento conocido de Ia gota de.aceile.Ifillikan estableció,entre dos placas hoy como el erperí.rnento horizontales y paralelas A y B ({ig. 14-18), un c¿mpo eléctrico vertical C que podia ser eliminadc¡o restablecidopor medio de un inter¡uptor. La placa superior tenía en su centro unas pocas perforacionespequeñasa través de las c,ualespodían pasar gota.sde aceite producidas por un atorrizador" La mayoria de estas gotas s e c a rg a b a n J ro r fri c c i ó n :r l pasar por l a boqui l i n del atomi zador. Analice.mosprimero cste experimento desde urt punto de vista teórico. Llarnaremos rn ¿ la masa y r ai radio de la gota de aceite. Para esta gota, la ecuación


I4.o)

Cuantízación de lu cargc eléclrícq

Firr- 1.t-1.8. Iixpcrime'rto de trfillikan. Ill movimiento gada g se observa a través del rnicroscopio ill.

469

de la gota de aceite car_

del movimiento cle caida iibre sin el campo eléctrjco c es, usanclola ec. (7.20) c o n K rl a d o p o r l a e c . (7 " 1 9 ),ma: mg - 6r1ru. La vel oci dad fi nal u, de l a gota, c u a n d o a :0 , e s

mg 6nrr

"r -

2prrtl g¡ '

(14.10)

donde p representala densicladdel aceite y hemos usado la relación m : ({rcf)p. (con el fin de ser precisosdebemostambién tomar en cuenta el empuje aól aiie escribiendop - pa en irigar de p, siendo po la densidad del aire). Suponiendo que Ia gota tiene carga positiva g, cuando apricamos er campo eléctrico,la ecuacióndel nrovimiento en dirección vertical haóia arriba es m a :g (

-m g - 6rr¡rD ,

y la velocidad final u, de la gota, cuando a :0,

es

.. : q ( -n g -G";-' "t Despejando g, y usando la ec. (14.10) para eliminar mg, tenemos q-

6r¡r(u, { ur)

(14.11)

P o d e m o sh a l l a r e l ra d i o d e l a gota mi di endo u, y despej andor de l a ec. (14.10). I l i d i e rd o ,r, o b te n e mo sl a c a rga q apl i candol a éc. (14.11).S i Ia carga cs negati va, e l m o v i ¡rl i e n l oh a c i a a mi b a s e produceapl i cando el canrpo el éctri co haci al ba.¡o. En la práclica se sigue un procedimiento diferente. El movirniento hacia arriba y ' h a c i a a b a j o d e l a g o ta s e o b s ervavari as veces,apl i candoy supri mi endoel canl pr) elclctricr:sucesi.'¿rllte¡lte. La velocidad u, permaneceiuvariatle, pero Ia velocid¿r¿u"


470

(14.5

Inleraccíótt eléctrice

ocasionahnentct¡lmbie sugiricndo iili c¡ml:io {r¡i ::. r;:¡rqacle ia gota. Iistos camai¡ r.-,'r¡r.,}¡ienirr poa raJ¡osctisrrricos. bios son drl-.ido: ¿ la ioniz.:¡cionotiiiit-rl,¡rlr'lr:.}. La gota prreclet,orulilal¡;uitci ¡lc csti,irin¡jesnr('nl.ras se :nusl'r a trar'és,:lel airc. I-os canbÍos en la carga pr:r:dtn iilCuciisc t¡¡r¡.:Liéni:r,loca¡ricrercit de }as placas una fnente de rayo; X u 1o lc'1,cuaies slrmeili:ll: ];t ionjzación dei airi:. l)e acuerdo con la er:. (14.11),los ia,,¡Lio:; Ao y :\u, de la carga y de la velocidad hacia arriba están relecionaCcsí|.r Aq :

0:r:l¡ --:-

(r4.12)

¡",

Aigunas veces Aq es positiva'i 0ir¿1sveces r1e¡iativir,según la naturaleza de la modificaciórrrie la carga. Repitiencloel e:;pt:riinenlode la gota de aceil.emuchas 'r'€c€scoil diferentesgotas, ios lis.icoshan conclu!do que ios cambios Ag son siempre nrúitiplos de la carga filndi.lrrl;]tai ¿ rirst()¿s, AÍ -' ne), cuyo vaior e$ ¿:

(14.13)

1 ,6 0 21x i i i -l e C .

las crtgas que se obseruonen la na^ La caatidaci e se llarna carga e¡emcntal.'i't¡Cc:; o-,o rnúliíplosde, in :art¡t tlente.nfale; hasta ahora no se han {uralezason ig¿ro¡€s ohservado excepc:onesa est; regla" Parece ser, entunces, una ley fundamental il,; la naturaleza quc la carga eléctrica est,a cuaniizada. Hasta el presente, no rc ha encontrarioexpücación¿ estc hcehoa prrrt.irde conceptosmás fundamentales. Un segundoaspecto iritporl-rnte de la carga eléctrica es que la carga elemental eslá siempre asociada con alguna masa deterininada, dando lugar a Io que llanramos wta partíclila fundamnlal. Ii1n e] próximo capÍtulo (sección15.4), explicarelnosaigunos métodos para medir la nroporciór qim" de modo que si se conoce q, prieda obtenersern; de esta mauera se han identificado varias particulas fundamentales.lPor el moinen!,o,podernosi¡tdicar que en la estructura del átomo entran tres partíeulasfundi¡nlentair,s:cl el¿clrón,e! prolón y el neutrón Sus caracteristicas se indican err el siguierite cuadro. i

Masa

Partícirla i ___-t__ elc c t r ón p r Or o n n e UlIOn

f { m. I

I tnp I ¡nn I

I i-- "rrgu

rr,109l r l 0' .r kg I ,: kg r - t,67?5 r' .r-2? :. 1",6748x 10-r?ks |

- c + r 0

Olrsérvesec¡ue.el neuirón no tiene cargrr uléctrir:r; sin crnbargo posee otras propietladeseléctricas,rlue scl'án discutidas eri cl cr,pitulo 1.-1. trl hecho de que la masa iiel protón sea cerca de 1840 veces mavor que la masa del electró¡r tiene gran influencia eri nir¡chos fenó¡i:enosfisirros" ['let+rnclr.los :lhr)raa Ia ielinición preiirnilrar ilel coulomb dada en la sección2.3, y v e ri fi q u c l ri o sq u e e l n¡i mero de el t:ctrc,r.es 3' rrroi nrresnecestri osparn al cnnza r llr)¿ic¿ifg¿¡ ¡rr'rsitivac)nrgativi¡ igui.irr i¡¡r r:ouioriiLr:s i/1,6021 x 10"rs:ü,Z-tr18x10r8 qur cs trl ¡iúrnero riuc agr:rrccealli,


Eslructura etéclrica de la maleria

14,6) 74.6

Estructura

eléctrica

471

de Ia materia

Hemos recordado al estudiante el hecho frecuentementeobservado de que ciertos cuerpos pueden electrizarsefrot¿indoloscon tela o piel. IlIuchos otros experimenbásicos de todos los tos de laboratorio señalanel hecho de que los r.;en5fifuyentes átomos son partículas cargadas. Por ejemplo, cuando se calienta un filamento, éste emite.eleclrones,tal como se evaporan las moléculas de un líquido al calentarse. Este fenómeno se llama emisión termoióníca. Anodo

7/"/' /)7

I

|

ll tt. ¡

lÍ!

V'Q*

Fie. 14-19. Electrólisis. Lns iones se muel'en bajo la acción del campo eléctrico producido por los electrodos cargados.

C átodo

r¡\

>' \\\ t+l

w

Otro fenómeno interesantees el de la electrólísis.Supongamosque se establece un campo eléctrico C (lig. t4-19) en una sal fundida (tal como KHFJ o en una solución que contiene un ácido (tal como HCI), una base (tal como NaOH), o una sal {NaCL). Producimos este campo sunrergiendoen la solución dos barras o placas opuestamente cargadas llamadas eleclrodos.Observamos que las cargas :léctricas fluyen y que ciertas clases de átomos cargados se mueven hacia el electrodopositivo o anodo,v otras se mueven hacia el electrodo negativo o cáIodo. i,ste lenómeno sugieret¡ue las moléculasde la sustancia disuelta se han separado (o disociado)en dos partes diferentemcnte cargadas.o iones. Algunas están cargadas positivaniente y se mueven en la dirección del carnpo eléctrico; otras están cargadasnegativarnentey se mueven en dirección opuesta a la del campo elécl.rico, Por ejemplo, en el caso del NaCl, los átomos de Na se mueven hacia el cátodo y en consecuenciason iones positivos, llamados caliones,mientras que los átomos de Cl van al ánodo y son iones negativos, llamados aníones.La disociación puede escribirse en Ia iorma N a C l + N a .* C l -. Como las moléculas normales de NaCl no tienen carga eléctrica, suponemos que eslán formadas de cantidadesiguales de cargaspositivas y negativas. Cuando las moléculas de i\aCl se disocian, las cargas no se separan uniformemente. Una parte de las moléculas transporta un exceso de electricidad negativa y la otra un cxceso de electricidad positiva. Cada una de estas partes es, por lo tanto, un ion. Ilen'rosdicho que todas las cargasson múltiplos de la unidad fundamental


472

(14.6

Interacción eléctrica

de carga e. Supongamosque los iones positivos transportan la carga f ve, y los iones negativosuna carga - ve donde v es un nitrneroelitero que determin¡trcmos ¡nás adelante. Cuando los iones llegan a cada electrcdo,se neutralizan, intercambiando sus cargas con las cargas disponibles en los electrodos. Generalmente s i g u e u n a s e ri e d e re a cci onesqrrími casque no nos i nteresan ahora, pero que sirven para identificar la natu¡aleza de los iones que se mueven hacia cada e l e c tro d o . Despuésde un cierto tiempo l, un número N de átomos ha ido a cada electrodo. La carga total Q transferida a cada electrodo es entonces, en valor absoluto, S u p o n i e n d oque m sea l a masa de cada mol écul a, l a masa total M Q :N r¿ . depositada en ambos electrodos €s M : Nm. Dividiendo la primera relación por la segunda, tenemos Q IM :

v el m.

(14.14)

Si .A{¡ es la constantede Auogadro (el número de moléculas en un mol de cualquier sustancia),la masa de un mol de la sustancia es Ma : NA[r. En consecuencia, la ec. (14.14) puede escribirseen la forma 'le m

a M _ :+

N4v€

Fv

Nem.

M¡

(14.r5)

La cantidad

(14.16)

F :N ¡e

es una constante universal llamada constantede Faradag. Esta representa la carga de un rnol de iones que tiene v :1. Su valor experimental es

F :9,6487 X 104C mol-r.

(r4.17)

f)e este valor y del hallado previamente para e, obtenemos para la constante de Avogadro lüa :

6,0225 x 1023mol-l,

(14.18)

de acuerdo con otros cálculos cie esta constante. La ec. (14.15) ha sido verificada experimentalntenley se ha hallado que v es igual a la ualenciaquímíca clcl ion correspondiente.E,l hecho de que v sea la valencia quimica sugiereque cuando dos átomos se rrnen para formar una molécula, irrtercambian la carga ve, convirtiéndoseuno en un ion positivo y el otro en un ion ncgativo. La interacción eléctrica entre los dos iones los mantiene unidos. Podemos tantbién sllponer, con bastante confianza, que las particulas intercambiadas son los electrones,ya que se mueven más fácilmente por ser más ligeros que Ios protones. Esta imagen del enlace quínrico, llamado enlace iónín, rlebe considerarsesólo conro una descripción prelimin:r sujeta a revisión y crítica ulteriores. En la s¡'cci(¡n13.9 indicarnos tlue las luerzrs gravitacionalesno eran suficientemente lutrtes conlo para producir la atracción nccesariapara mantener unitlos dos áloulr,rsy fornrar una ¡noldcula, o dos nloléculas y formar una porción de


Eslruclura afómira

!1 .? ' l

473

, ,-¿ ¡' i e ri ya , q t¡c s i o ni 0 3 ; v e c e srnenosi ntensasde l o rrecesari o. C ompare¡nosahora rl rir,le¡; de rnagnitud dc las fue¡zas eléctricas y de las gravitacionales. Supola intensidad de la interacción eléctrica c¡ue la distancia sea la. :--';!sma, ¡','re¡rdo está deLerrninadapor ia const.antede aco¡rlamienLoqrqrl4reo, y Ia cJela interacción gravitacional por i'rn,rnr. Por lo tirlil; intcracción eléctrica interacción gravitacional

:

Jíer--4rer-¡mrm,

Pa ra o b te n e r e l o rd e n d e rn agni tud, hagarnosgt:82e y !n1 : rn o d o q u e p a ra d o s p ro to n e s o dos i ones de hi drógeno, interacción eléctrica I nt.ia..ion g.a"it-u.i* li

:

e2

4reoprtf,

:

rrr2: rr?p,de

1,5 x 1036.

Este es, aproxirnadamente,el factor que le faltaria a la fuerza gravitacional J)ara producir ia interacción requerida. Para la interacción entre un protón y un electrón (rn, : mp, Inz: me), la relación antcrior resulta todavía mayor: 2,8 x 1040. P o r c o n s i g u i e r¡tec o n c l u i n ro sque la interacción eléclrícaes del orden de mugnitud requerido para producir el enlace entre atomos para formar moléutlas, o eI e¡tlaceenlre eleclronesy protones para formar dtomas. L a c o n c l u s i ó ne s , e n to n c es,obvi a: l os procesosqui mi cos (en general el com: portamiento de la máteria en su totalidad) se deben a las interaccioneseléctricas entre átomos y moléculas. Una comprensión complela de la estructura eléctrica de los átomos y moléculas es, pues, esencialpara explicar los procesosqttimicos v , e n g e n e ra l ,p a ra e x p l i c a r todos l os fenómenosque observatnoscorri entcmente a nuestro alrededor, tanto en la materia incrte como en la viviente. l'il objc'tivo d e l a fís i c a e s , c o m o v i mo s e n el capi tul o 1, capaci tarnospara comprender l a estructura de los constituyentesfundamentales de la materia y explicar, en func i ó n d e s u s i n te ra c c i o n e se, l c omportami entode l a l nateri a como un todo. l )ara c ,L rn rp l icr o n e s te p ro g ra m a debernoscomprendcr previ amente l as i nteracci ones eiéctricas.Por esta razón ¡nuchos de los capítulos siguientes estarán rir-'dicados a los fenómenos eléctricos. D o n d e q u i e ra q u e h a y a c u erpos cargadosel éctri camente,l as fuerzas gravi tac i o n a l e ss o n d e s p re c i a b l e sE. s tas fuereasson i mporl antes sól o cuando estu< l i a¡nos {ruerposde gran masa sin carga eléctrica, o cuando las cargas son ptquetias en cr-imparacióncon sus masas. Este es el caso del movimiento planetarit.¡o del movirniento de cuerpos en la superficie terrestre. 14.7

Estruetura

atótnic.a

Por Io dicho en la secciónanterior, el estudiante se habrá dado cuenta que comprender la estructura a!ómica es uno de los problemasbásicosde la fisica. ltxponganros,por lo tanto, algunas ideas preliminares y desarrollemosun modelo satisfactorio del átomo. Sabemos que los átomos son eléctricamente neutros e¡r su


474

(14.7

Interaccíóneléctríca

estado normal, ya que en la materia en conjunto tto se manifiestan fuerzas eléctricas grandes. Por consiguiente,los átomos deben contener cantidades iguales de electricidad positiva y negativa o, en otras palabras,igual número de protones v de electrones.El número igual de protonesy electronesse llama númeroatómicoy sc designa par Z. El átomo consta entonces de una carga positiva lZe debida a los protonesy de una carga negativa de igual inagnitud debida a los eiectrones. Acuden a nuestra mente dos posibics modelos para el átonto. En uno de ellos podemossuponer que los protones, como tierren mayor masa que los electrones, están agrupadosalrededor d€l centro de masa del átomo, formando una especie de núclet¡y los electronesgiran a su alrededor,corno en nuestro sistemaplanetario. En el otro modelo los protones podrian estar esparcidosen todo el volumen del átomo, con los electronesmovjéndoseentre ellos y lormando algo así como una mezcla de gases con cargas positivas y negativas llamada plasnio. E,l primer modelo es más llamativo dada nuestra lamiliaridad con el sistema solar. Sin eml.rargo,entrc las dificr¡ltadesa que debemoshace¡ frente en este modelo, está la de explicar córnolos protonesse mantienen unidos entre sÍ, en el núcleo,a pesar de la fuerte repulsión eléctrica entre ellos. Esta complicación requiere la existencia de otras interacciones,además de la interacción eléctrica. Para dilucidar el problema de la di-qtribuciónde electronesy protones en un átomo, debemos investigar el interior del átomo experimentalmente,lanzando un haz de particulas rápidas cargadastales como iones de hidrógeno (es decir protones) o iones de helio (llamados partlculas afa), contra el átomo, y observar las interaccionesproducidas. Este es un experimento de dispersíón,cuyo fundamento matemático se ha dado ya en el capÍtulo 7. La simetría sugiereque podemos considerarlos átomos como esferascon un radio del orden de 10-10m, como se ha indicado previamente.Debido a que la interacción eléctricasigue la ley 71r2, los resultados demostradosen la sección 13,7 para el campo gravitacional, son válidos también para el campo eléctrico. Sólo es necesarioreemplazar "¡mm' por qq'!4*o, Por lo tanto, una esfera de radio a cargada con la carga Q unüormemente distribuida en su volumen, produce en todos los puntos externos (r > a) un campo eiéctrico dado por (' :,Q-= , 4ne¿2

rl e,

(14.19)

y un campo eléctrico en todos Ios puntos interic¡res (r < a) dado por

Qr 4xeoa} '

|
(14.20)

Este campo está representadoen la fig. 14-20. En el rnodelo de plasma, el radio a es el ¡nismo que el radio del átomo y la carga efectiva Q es muy pequeña ponlue las cargas positivas de los protones y las cargasne¡¡ativasde los electronesesi¡ln inezcladasunifor¡nemente.La desviación experimentadapor l;r particula de carga q al aproximarse al átomo, pero


14'.7)

l-'

(carga -

Fig. 14-t0. Campo eléctrico de una esfera de radio c cargada,

Ze)

Flg. 14-21. Distribución de electrones en un átomo.

sin pasar a través de é1,se calcula usando la ec. (7.42) coo rf(:

cots+ó :

4"'ún'3 b. Qq

Qq!4rc6i resulta

(14.21)

En este caso el parámetro de impacto b debe ser mayor que ei radio del átomo o N 10-10m. Suponiendo que la energía de las particulas es del orden de 1.6 x 10-rsJ, o un MeV (que es el rango de energias proporcionado por los laboratorios en esta clase de experimentos),y que 0 y q son del orden de e, encontramos que ó es menor que 30" de arco. Es decir que prácticamente no hay desviación. Para valores menores de ó, si la particula incidente tiene energÍa suficiente para penetrar al interior del átomo, inmediatamente actúa sobre ella un campo decrer:ientey la ec. (14.21) ya no es aplicable. Pero entonces,la desviación, en lugar de ser mayor, es de nuevo muy pequeña porque el campo es menor. En otras palairras, el modelo de plasma no puede explicar grandes desviaciones de las partÍcuias que bombardean un átomo. Sin embargo, se ha encontrado experimentalmente que muchas partículas se desvian en ángulos grandes, en algunos casoshasta 180". Por consiguientedebemosdesechareI modelo de plasma basándonos en este experimento simple pero concluyente. Consideremosahora el modelo nuclear, en el cual los protones están agrupados en una pequeña región al centro del átomo (fig. 14-21). Entonces la ec. (14.21) se mantiene para valores de ü mucho menores que el radio atómico, y son posibles desviacionesmayores. Aqui nos damos cuenta que los electrones en rápido movimiento forman una "pantalla" entre la carga nuclear positiva y cualquier partícula cargada que esté más allá del radio del átomo, reduciendo de este modo la carga efectiva del núcleo. El resultado es que, para valores de ó mayores que 10-10m del centro, el átomo nuclear y el átomo plasma son esencialmente lo mismo. Para pequeños valores de ó, sin embargo, pueden ocurrir mayores desviaciones en el modelo nuclear, haciéndolo completamente diferente del modelo de plasnta. Por ejemplo, para ó - 1g-ta m y Q - l}e, usando el mismo valor de


476

lnteraccióneléctríca

(14.7

energia que antes, obtenemos cotg *d - I ó d - 90'. En el modelo nuclear, Q : Ze, y poniendo Q : ve para la partÍcula que bornbardea(r : 1 para protones, rr :2 para partículas alfa), obtenemos de ta ec, (14.21), b:

,u z" u col g$. 4*eomufi

En los experimentos se dirigen varias particulas contra una delgadlsima lámina y se observan las deflecciones.Corno ó no puede controlarse porque es imposible apuntar a un átomo en particula¡ debemos hacer un análisis estadistico para interpretar los resultados experimentales. Supongamosque tenemos una delgada lámina metálica de espesor/, que tiene n átomos por unidad de volumen. Si N partículas por unidad de área inciden en Ia lámina, algunas pasarán cerca de un átomo de la misma (parámetro de impacto pequerio). experimentando entonces una gran desviación; algunas pasarán a distanciasrelativamente giarides de los átomos de la lámina (panimetro de impacto g'ande) y experimentarán un¿ pequeíradesviación.El resultado del análisis estadístico(ver ejemplo 14.4) muestra que el número de particulas dN Jesviadasdentro del ángulo sóiido dl) (correspondientea los ángulos de dispersión { y 4 + d{ respecto a la dirección de incidencia) está dado por d¡/

NnvzZzd

; n : - T f f i ñ co se ca $ '

(14.22)

Ei signo negativo se debe a que dN representa las particulas sacadas del haz incidente co¡no consecuenciade la dispersión,y esto correspondea una disminución de N. El resultado que predice la ec. (14.22) es que las partículas dispersadaspor unidad de ángulo sólido, deben distribuirse estadísticamente según la ley nseca l$. Al verificar esta predicción para todos los ángulos, se prueba, indirectamente, que todas ias cargas pcsitivas se concentlan cerca del centro del átomo. Esla prueba se obtuvo mediante experimentos ejecutados por primera rrez durante el periodo 191l-1913 par H. Geiger y E. llarsden, bajo la dirección del fÍsico británico Ernest Rutherfcrd (1871-1937).Estos experimentos constituy e ro n e l fu n d a me n to d e l modei o nrtci eardel átomo, que ha si do aceptado desde entonces como el correcto. Para cada valor riel parámetro de irnpacto ó, existe una distancia de máxirno acercamientopara ia cual la particula que bombardea está lo más cerca posible del centro. I-a distancia mínima ocune para á : 0. EI cálculo de esta distancia para diferentes condicionesexperimentales,cmpleanilo metodos dinámicos (ver ejemplo 14.5) indica que esia ciistancia es del crden de lO-ra m para ener$as del orden de 10-13J (o un }fel'). Esta dist;lncia da un limite superior para el radio del núcleo atómico. Fc'r consiguienleconcluirnosque los protones se concentra¡r cn u¡ra regifin cuyas dinrensionesson del orden de 10-u m. Cuando consideranroscl hecho de que el radio ilel átomr; rs {ici orden de l0-10 m, nos damos cuent,aque ia rnayor Jiartc Cel v¡¡lurnen clei átorno está octipado por los electriines en mov-imiento,y está en realidad vacío.


1, 1

Eslruclura alór¡tics

:\

477

Para pequeños valores del ¡rarárnetro de impacto 5,'altas energías,cuando la partir:ula incidente liega muy cerca del ttúcleo, observamos que la ley coseca$ no se cumple. Esto indica Ia prest:icia de otras interacciones,las fuerzasnucleares. .\nalizando las discrepanciasccn respecto a la dispersión puramente culombiana dada por la ec. (14.22), obtenemos informa,ción valiosa acerca de las fuerzas nucleares. Los más simples y livianos de todos los átomos son los átomos de hidrógeno. Su rnasa es igual a la de un protón más la de un electrón, Por consiguienteconcluimos que un átomo de hidrógeno está compuesto de un electrón girando alrey el núcl eo de un átomo de hi drógeno d e d o r d e u n s o l o p ro tó n . E n to nces,Z:1, protón (esto podria tomarse también como definición de es precisamente un la sujeto fuerza de está a atracción 1/r2, deberíamos el electrón protón). Como dadas el para el movimiento plarazones en capítulo 13 por las mismas esperar, nétario, que las órbitas fueran elipses con el protón en uno de los focos. Las órbitas electrónicas,sin embargo, requieren que dispongamos de técnicas especiales antes de poder discutirlas, porque ellas poseen caracteristicaspropias que las hacen diferentes de las órbitas planetarias. Estas técnicas corresponden a la mecánica cuántica. Sin embargo, podemos adelantar dos de los más importantes resultados de la mecánica cuántica. (1) ,Lc energla del mouímienlo electrónícoeslá cuantizada. Esto significa que la energia de los electronespuede tomar sólo ciertos valores Ep Ei2,Es, . . ., En, . . . Los estados correspondientes a estas ener$as se llaman eslados estacíonarios.El estado con la más baia energía posible es el eslado fund.amenlal Determinar las ener$as de los estados estacionarios es una de las tareas de la mecánica cuántica. Como la energía (en un sentido clásico) determina el "tamaño" de la órbita, solamente ciertas regiones del espacio son posibles para eI movimiento electrónico. Esto está indicado esquemáticamente por Ia región sombreada de la fig. 14-21. (2) EI momentum angular del mouimiento electróni.coeslá cuanlizado tanto en magnitud como en direccíón. Esto significa que el momentum angular de un electrón puede tener sólo valores discretos y gue, como el momentum angular es un vector, puede orientarse sólo en ciertas direcciones. A esta última propiedad nos referimos cuando hablamos d,e cuanlizacíón espacíal Pa¡a usar terminología clásica de nuevo, podemos interpretar esta segunda propiedad como implicando que las órbitas del electrón sólo pueden tener ciertas "formas". Para átomos más pesados que el hidrógeno, la masa es mayor que la masa de los Z protones que ellos contienen. La diferencia puede ser atribuida a la presenciad,eneulronesen el núcleo. El número total de partículas en un núcleo se llama el número másíco, y se designa por A. Por lo tanto, un átomo tiene Z electrones,Z protones y A-Z neutrones. Los neutrones son necesarios,aparentemente, para estabilizar el núcleo. Si los protones estuvieran solamente sometidos a su propia interacción eléctrica, se repelerían entre sí, por estar cargados positivamente. El hecho de que pueden permanecer unidos en un núcleo indica qne, además de las interaccioneseléctricas,hay otras interacciones muy Iuertes, correspondientesa las llamadas fuerzas nucleares,las cuales contrarrestan la repulsión cléctrica. Los neutrones contribuyen a crear las fuerzas nucleares sin añadir reprrlsión eléctrica, produciendo de este modo un efecto estabilizador. L


(14.7

Interaccíóneléctrica

478

En este punto debemosdeci¡ que nuestro conoci¡nirnto de las fuerzas nucleares no es tan completo como lo es cl de las fuerzas elécl.ricas. El comportamiento quimico de un átomo, siendo un efecto eléctrico, está determinado por el número atómico Z^ Sin embargo, para un valor de Z puede haber varios valores del número rnásicoA. En otras palabras, a ull número dado de protones en el núcleo puedc corresponder düet'ente número de neutrones. Los átomos que tienen el rnisnlo ¡rúniero atómico, pero diferente número másico, se llaman isótopos.Todos ellos correspondenal mismo elemento quÍmico. Los diferentes isótopos de un elemento químico se designan por el símbolo del elemento químico (que también identifica el número atómico) con un índice colocado en la parte superior a la izquierda indicando el número másico. Por ejemplo, tiene tres isótopos: lH, 2H o deuterio, y 3FI o tritio. Análohidrógeno (.2:l) gamente, dos de los más importantes isótopos de} carbono (Z :6) son r2C y 14C. El isótopo 12Ces el que se usa para delinir la unidad de masa atómica. EJEiltPLO 14.4. Obtener la ecuación (14.?2) para la dispersiónculombiana. S<¡luctón:Sea n el número de átomos por unidad de volumen del dispersor.Entonces nl será el número de átomos dispersadospor una lámina delgada de espesorI y área unid.ad.El número de átomos en un anillo de radio D y ancho dD y por lo tanto de árca2rb dó) será (nt)(2ttbdó), ccmo se rnuestra en la fig. 14-22. Si N partlculas inciden sobre la unidad de área de la lámina, el número de átomos cuyo parámetro de impacto está entre D y D + db es dN : N(n¿) (hb db\. Diferenciando la expresión del parámetro de impacto dado anteriormente, se obtiene:

dN: *

cosec' $d{ .

ffi4cor gl$

(14.23)

r'9\- t\

,[ It

:l.l __ _ _ _ _ _ _ - _ _ - -G:_*-i ;;

+Ze

--_

FtS. 14-22. Desviación de un ion positivo debido a la repulsión coulombiana del núcleo.

Flgura 14.23

Para átomos livianos, debemos reempluzar la nrasa m de la partfcula por la masa reducida del sistema de partlculas. Si trazamos dos conos de ángrrkrs d V d n d{ alrededor del átomo (ng. 14-23) todas ias particulas dadas pot' la ec. (14.2i3) sr:rán desviadas a través del ángulo sóiido entre las dos supcrfir:ies cónic¡r.s.Ei ár¡.: sornbreada es (2nr sen $) (r dg) .-= 2:;¡¡ sen $ d$. ?ot consi¡;uit'nte, en v;stit tle li'. rlefinitriÓn (?"7), el ángulo sólido es dfl == 2r sr.:uó d+ =- 4:: sen \$ cas y4 dg!, donrle llcrn¡rs rrs¿tdola relación sen{ : 2 sen {.$ cas }$. La distribución angular está .iada por el ¡rúme¡o de partlculas


Estructuraalo¡¡ti¡.c

!i,t:

t, ' :

':iispersadas por unidad rie ángrrlo sélido. Entonces dN

:

-1r]

-

Nn\¡zzzeal

t(-*i;;ü

coseca|r/'

que es la ec. (14.22). Aigunas veceslos rcsulta.dosde los experimentr,s rle dispersión se expresan meior nsando el concepto de seccírjneficaz.La seccióneflcaz pará un proceso está definid.a por 1 ldNl .,, :

o(P/

(r4.24)

Nr.. i do i'

Las barras verticales están ]nolgq que usamos el valor absoluto de dN/do. -para I-a cantidad o({) representa.la probabilidad de que una particula incidente se desl'le un ángulo.entre{_y # + d#: Se expresaen unidadesde área (mr), ya que n es una densiiad im-u) y f es una distancia (m); (obsérveseque las unidad.Lsde N se can:elan). Por io ianto, sustituyendola .ec. {14.22)en ia ec. (14.24),obtenemosla sec,:idn eficaz diferencialpara la dispersiónculombiana,

,

"' "(ó)

:

^;tZy;T 2 ( 4 te ) 2 m2oo

coseca i{.

(14.25)

E,íEMPLO 74.5. Obtener la dlstancia de máximo acercamiento rle una partfcula de carga ve dirigida con velocidad uo contra un átomo de número atómici z. Solucló¡t:La flg. 14-24 muestra la geometla del probiema. De acuerdo con la discusiónhecha en la sección 13.5, la partfcula describe una rama de hipérbola con el núcleo *Ze en el foco más distante F'. La distancia de máximo acercamiento es & : F',4,. Sea b : F'D el parámetro de impacto. Demostraremos primero que ó es igual al eje vertical OB de la hipérbola. St angulo f : POQ, entre las dos asfniotas, es el ángulo de desviación de la partlcula debido a Ia repulsión coulombiana del nrlcleo. La distancia OA : OA' : (I s€ mide en el eje horizontal, y de las propiedadesde la hipérbola tenemos que AF' : OC. Por lo tanto, los triángulos OF,D y OCA' son iguales, de modo que ü : F,D: : CA' : OB. En la geometrfa de la ñgura vem o s q u e O F ' : ó c o s e ca y O A : ¿r: D cotg cr. ForconslguienteR: F'A : ó(coseca * cotgc). Pe ro 2 a + Ó : z c , d e mo d o {ue c: + " _-hi . Por Io tanto

É lt,

lr

Figuro 14-24

ó(1*.cos-e: *ó). R : ü(sec I4 + te 14,¡: cotglc Usandoel resultado(14.21),con e : Ze y g : y€, obtenemos u?" R : .. (1 * cosec|f), 4reo(mo!) ^. 'que da !a clisi.anciacle máximo acercamiento en función de la energla inicial de la partfctrla- \mu^, y del ángulo de dispersión $. Para un choque de freñte, la partícul.r


48A

Inturaccióneléclrica

(14.8

rebota de modo que se dispersaen un ángulo igual a ;r, resultandocosec : tó vZe| ,, Areo(lmuf,)'

I y

Por ejemplo, swtituyendo valores numéricos con v: 1, Z:6 (correspondiente al carbono) y E : ImuE : 1,6 x 10-raJ ó 1 MeV, obtenemosR'- 10-ir *, qué es el orden de magnitud señalado antes para las dimensicnes nucleares. 74.8

Potencial

eléctrico

Una carga eléctrica colocada en un campo eléctrico tiene energia potencial debido a su interacción con el campo. El polencial eléctricoen un printo se define como la energía potencial por unidad de carga colocada en dicho punto. Designando el potencial eléctricopor v y la energíapotencial de una q por Ep, tánemos "^rgi

v :!-o

6

q

Er:qV.

(r4.26)

El potencialeléctricose mide en joure/coulombo .I c-r, unidad que recibe el nombre de uolt, abreviado v, en honor del cientifico italiano Alejandro volta (1745'1827\.En función de las unidadesfundamentales,v : ¡nz¡g .-z ¡-r. Observemosque las defirricionesde campo eléctricoy de potencial etéctrico son análogasa las de campo y de potencial gravitacional,E-llasse relacionan del mismo modo que en la ec. (13.21).o sea, las componentescartesianas del campo eléctricoC están dadas por (,

av :- +

- a----:-' v

\y

^, oÍ

.0V og

0z

(r4.27)

En general, la componente según la dirección correspondiente a un desplazamiento ds es

av t'_- - -a-' '*

(r4.28)

Esto puede escribirseen la forma compacta ¿.:_grad

V,

(14.29)

comoseha mostradoantesen los capítulosg y 13.Las ecuaciones (14.27)o (14.28) se usflnpara encontrarel potencialeléctric:oV cuandose colloceel campo eléctrico {', y recíprocamente. consideremos el casoril p]. de un campoeréctricounifonne (fig" r+25). I.a primerade lasecuaciones (1.4.I7)da, paraun c€mpoparaieloal ejeX, f.: _dV ldr. como f es constantey $ujronemfisv : 0 para r : 0, tenemos,por integración, fV

frf.¡

I dv'--- f Jo Cd r--. (' -l Jo ¿ ¡. r ./o


ó

V:--Cs.

(14.30)

Potencíaleléctríco

i'1.8) iv:ri

481

it '

I

I

01."r l

l¡ rl II

Flg. 14-9ó. Campo eléctrico uniforme.

Ftg. 14-26. Variaciones de f y V en un campo eléctrico uniforme.

I

Esta relación muy útil ha sido representada gráficamente en la fig. 14-26. Observemos que, debido al signo negativo en la ec. (14.29)o en la ec. (14.30), el campo eléctrico se orienta hacia los potenciales decrecientes. Cuando consideramos dos V z:-(rz. R estando,tenemos p u n to s Íty rz , l a e c . (1 4 .3 0 )da V , :-(\y Vr- Y, : - ((rz- rJ; o, haciendo d : Íz- l' obtenemos

" d -d

Yr-V,

a:_

Vr-

V,

(14.31)

-

-A.unqueesta relación es válida solamente para campos eléctricos uniformes, puede usarse para estimar el campo eléctrico entre dos puntos separados por una dis'uanciad, cuando se conoce la diferencia de potencial V, - V, entre ellos. Si la diferencia de potencial V, - V, es positiva el campo está dirigido de r, a l, ¡' si es negativa, está dirigido en sentido opuesto.La ecuación(14.31) [o de hecho también la ec. (14.27) o Ia ec. (14.28)l indica que el campo eléctrico se puede expresar también en volt/metro, unidad equivalente a newton/coulomb dada anteriormente. Esto puede verse del siguiente modo: volt

joule

newton-metro

metro

coulomb-metro

coulomb-metro

:-.

newton coulomb

En Ia práctica se prefiereusar el término volt/metro, abreviadoV m-r en luga.r de N C-1. Para obtener el potencial eléctrico debido a una carga puntual, usamos la ec. (14.28), reernplazando s por la distancia r, ya que el campo eléct¡ico producido yace según el radio; esto es, C - - 0Vl0r. Recordandola ec. (14.8), podemos escribir

lqaV 4 tceo rz

0r


482

Interaccióneléctrica

Integrando, suponiendo Y :0 tenemos

v:

(14.8 para r :

oo, coülo en el caso gravitacional, ob-

q

(1.1.32)

4Íesl

Esta expresión podria haberse obtenido también reemplazandoen ra ec. (13.18) -'(m por ql4teo. El potencial eléctrico v es positivo o negativo dependiendo del signo de la carga g que lo produce. Si tenemos varias cargas Q7,Qs,Qs,. . ., el potencial eléctrico en un punto p (frg, 1+7) es la suma escalar de sus potencialesindividuales. O 5ea,

v: .

,8 t

4re¡1

+ +rr.eor, + ,9r +... - =!- r-',- lL.- ( 14.33) 4re6.r3 4rreo r¡

En general es más fácil, por Io tanto, calcular el potencial resultante debido a una distribución de cargas y luego obtener el campo resultante, que proceder en el orden inverso. Para calcular el potencial debido a una distribución continua de cargas, dividimos ésta en cargas elementales dq y sustituimos la suma de Ia ec. (14.33) por Ia integral (recordar la fig. t4-l3), obteniendo

u:+[+'

(14.34)

donde la integral se extiende a todo el espacio ocupado por las cargas. Las superficies que tienen el mismo potencial eléctrico en todos sus puntos - o sea, y : constante -- se llaman superficies equipotencíal¿s.La dirrcción del campo eléctrico es perpendicula¡ a la superficie equipotencial en cada uno de sus puntos. (La justificación de esto se dio en la sección 18.6). para un campo unüorme, deducimosde la ec. (14.30) que V : const. implica r : conSt.ry que por lo tanto las superficiesequipotencialesson planas, como se indica con Ias lineas de trazos en la fig. 14-25.La ec" (14.82)indica que para una carga puntual, ias superlicies equipotenciales son esferas ¡ : corist, señaladas poi las lin"as de trazos en la fig. 14-10(a) y (b). Para varias cargas las superficies equipotenciales están dadas por Xi(qi/r,) : cor$t, de acuerdo con la ec. (14.33). Las superlicies equipotencialespara dos cargas se han indicado con lÍneas de trazos en las figs. 1,111 y 14-12. EJEMPLO 74.6. calcular laenergfapotencialetéctricade Ia cargaq,del ejemplol4.l. solución: Reflrámonosa Ia fig. 14-6 y usemosla ec. (14.32).Los potencialeseléc. tricos producidosen c por las cargashy Qzsituadas en ;l y B, respóctivamente,son Y, : - L- : f i, 25x 1 0 6 ! , 47!€oft

vr:

Luego. el potencial eléctrico en el ¡runto C es ,-Ytfv r:2 ,2 5 x106v.


-J3--: 4?TÉo12

-_9 x 100\¡.

14.8)

Potencialeléctrico

483

La energía potencial de la carga q, es entonces q"V : (0,2 :< 10-3 C) (2,25 x 108V) ': 4,5 x 10¡ J. Si cornparamos este ejenrplo con ei 14.2, vemos Ia diferenciaentre trabajar con el ca¡npo eléctrico y con el potencial eléctri¡:c. Eo

EJEjTIPLO 11.7. Calcular cl campo elicLrico y el potenciai eléctrico producidos Dor un filanlento muy iargo que porta la carga tr por unidad dc longitud. sabniiin: Dividarnos el filamento en pequeñas porc.lonesde longitud ds (fig. 14.27). La carga de cada una de estas porciones es dq : X ds. La nagnitud del campo cléctrioo que caoa elemento produce en P es

o t:-:g t---

4ttcorz '

dirigirlo segiln la linea AP. Pero, debido a la sirr.retriadel problema, a cada elemento ds, a la distanria s por encima de O, corresponde otro elemento a la misma distancia por debajo de O. F'or lo tanto, debemos considerar solamente las componentes paralelas a OP, dadas por dó cos a, y el campo eléctrico resultante según OP es | ldC c os 6¡ : J

C:

D.l

4aeof(

g\

.ll'-'.

;l+o--i-.

.7.' f d.s llcosa. 4ÉeoJ t2

De la figura se deduce que r : R sec a y s : R tg a, luego, ds : R scc2 ¿ da. Haciendo estas sustituciones, integrando desde a 0 a s. : .12, y multiplicando por dos (ya que las dos nritades dcl filamento dan Ia misma contribución), obtenemos

C: : - "= l

U

dslr{,1 I t\

s P

ilo----':' tl

U

- ----\

Fig. 14-27. Campo eléctricoproducido por un filamento cargado.

r tl2

cosd.dz:

J 6

2reoR

De modo que el campo eléctrico del filamento varía como R-r. En forma vectorial, (-).:

Para hallar el

u8' 2 ? r € 0 R-

p o te n cia l

e lé ctr ico

usamos l a rel aci ón

¿ : -

AVIAR, lo cual nos da

dv dR

2neo-R

La integración produce

v: -

^l-

2nen

rn R+ c .

se acostumbra en este caso asignar el valor cero al potencial en el punto donde R : 1, lo cual da C :0. Luego el potencial eléctrico es

v :

-

^]2neo

ln n.

Sugerimos al estudiante resolver este problema invirtiendo el orden, hallando primero el potencial y después el campo,


484 74.9

(14.e

Interaccíóneléclrica Relaciones energétieüs en un cerrt.Elr)eléctriea

I-a energiatctal de una partículacargarlao de un:u¡r tie masam y carga g moviéndose€n un campocléctricoes E : Ex * E, ,: \mtt2 -¡ qV,

(14.35)

Cuanrlo el ion se nrueve de la posiciónP, (donde el potencial eléctricoes Vr) a la posición P2 (donde el potenciai es \'r), la ec. (14.35) combinada con el principio de conservaciónde la energía, da ¡mu ! * Q v t:

| nu,, ¡ qvr.

(14.36)

O , re c o rd a n d oq u e s e g únl a ec. (8.11) W :l muzr-I^r1 es el trabaj o hecho sobre la particula cargada al ntoverse desdeP, a Pr, tenemos 17t:5nuf,-

trnui : q()'1-

V;).

(14.37)

Esta última ecuación nos permite ditr una definición precisa clel voit: es la difea través de la cual la carga de urr cculomb debe moverse, rencia de pt-rtenr:ial para ganar una cantidacl de errcrgíaigual a un joule. Obsérveseque segúnla ec. (14.37),una particula cargadapositivamente (q > 0) gana energia cinética cuando se mueve, desdepuntos de mayor potencial, a puntos de menor potencial (V, > %), mientras que una partícula cargada negat! van¡ente (q < 0), para ganar energía, debe moverse desde puntos de menor potencial, a puntos de mayor potencial (% < %). y disSi escogemosel valor cero para el potencial eléctrico en P" (Vr:0) ponemos ¡ruestro experimento de modo que en P, los iones tengan velocidad cero (V, :0), la ec. (14.36) se convierte (quitando los subíndices)en $maz :

qV,

(14.3B)

expresión que da la energíacinética adquirida por una partícula cuando se mueve a través de una dilerencia de potencial V. Este es, por ejemplo, el principio aplicado en los acelerqdoreseleclroslalícos. Un aceleradortipico (ng. 1A-28)consisteen un tubo al vacio a través del cual se aplica una diferencia de potencial entre sus extremos. E,n uno de sus extremos está una fuente de iones inyectando particulas cargadas dentro del tubo. Las particulas iiegan al otro exttemo con una energia dada por la ec. (14.38). Estos iones rápidos golpean un biallco ?, construido cle un material escogido según la naturaleza rlel experimellto a ejecutar. El rcsuitado de estascolisioneses algún tipo de reacciónnuclear. La energÍaproducida por el choque de los iones se transfie¡e al blanco, por lo cr.raiéste debe ser constantenienteenfriado, ya que de otro modo se fundiria o vaporizaria. Hay varios tipos de aceieradoreselectrostáticos (Cockroit-Walton, Van de Graaff, etc.). Cada uno de ellos produce la diferencia de potencial V por diferentes métodos. En cualquier caso, la energia de los aceleradoreselectrostáticosestá limitada por la diferencia de potencial máxima que se les puede aplicar sin que salten chispas entre los rnateriales usaclos.Est-a diferencia de potencial no excede de unos pocos millones de volts.

'|


Reiacíonu enerqéticasen un campo eléctrico

*,J i

4Bi

Esfe r a ca r g a d a p o sitivá m e n te _ Fuente de i onos. S

Co le cto r .

Resistores para la distribución del vol taj e

Anillos aisladores

Entrada

SuminisLro de carga

de gas a alta presión

Tubo acelerador al vacfo e

PartículasaceJeradas+ Illanco, ?. Fig. 14-28. Sección transversal simplificada de un acelerador electrostático de -''an de Graaff. Un motor de alta velocidad transporta sobre dos poleas una conea :.echa de url material aislador. La correa toma en su extremo inferior la carga eléc: ica proveniente de una fuente de voltaje y la transporta hacia arriba. Un colector :tira la carga y la coloca en la esiera rnetálica situada en la parte superior, la que .'.'iquiere un alto potencial eléctrico. En este extremo de alto loltaje se produccn .'nes positivos que son acelerados hacia abajo por la diferencia de potencial entre .i esfera cargada y el potencial de tierra al otro extremo.

Corrsiderando que las particulas lundamentales y los núcleos tienen una carga r'.re es igual a, o es un múitiplo de la carga fundamental e, la ec. (14.37) sugiere que refinamos una nueva unidad de ener$a, llamada eleclronuolt, abreviado eV, lue se introdujo por primera vez e\ la sección 8.5. Un electronvolt es la energía ,dquirida por una partícula de carga e al moverse a través de una diferencia ie potencial de un volt. Así, usando el valor de e de la ec. (14.13), tenemos

eV : (1,6021 x 10-1eCX1 V) :

1,6021 x 10-10J,

-Lle es ja equivalenciadada en la sección8.5. Una partícula de carga ve moviénl,rse a través de una diferencia de potencial AV gana la energia vAV eV. Múl.L--_


486

(14.9

Inleraccíón eléclríca

tiplos convenientes del electronvolt son el kíloelectronuoll(keV) y el megaelectronuolt O{*V). Es muy ritil expresar la masa en relioso de las partículas fundamentales en e.staunidad. Los resultados son: Ee :

: 8,1867 v. 10-1¿.i :0,5110 IIeV, rrrecg

Ep : mpcz: En:

1,5032 x 10-10"I :938'26 N{eV, 1,5053 x 10-10J :939,55 NfeV.

nrncz:

EJEiTIPL} 14.8. Suponiendo que el rnovimiento de un electrón en un átomo pueda ser descritó por las leyes de Ia mecánica nervtoniana, rliscutir las órl¡itas posibles de un electrón único alrededor de una carga nucleat Ze, El caso Z : 1 corresponde al átomo de hirirógeno, Z : 2 a un átomo de helio ionizado He- (es tiecir, un áiomo de lrelio qt:e ha perdido un electrón), Z : 3 a trn áton.io de litio doblemente ioni¿ado Li '* {es decir, un átomo de litio que ha perdi
g:\mrtl+1m,ut+]'32-. +fi€or

En el caso de varias partículas cargadas, como €n un átomo o en una molécula, la *rrergia t.olal es

tmro;-+ \-

-\n:Z

#o"

todas lrs par t fc u l as

_4,q1__. to. 4:ree,-¡¡

p¿tres

Coír1üsc explicó en el ejetirplc 9.0, i.t ener¡1ía,!'n el caso de dos l)articulas reieridas :t su centro de rnasa, puedr: esrribirse de la forma

H:Iguzr-H.

(14.39)

doncle ¡e es la masa reducida del sisterna de dos particulas Iec. (9.17)] y u su velocidad relaliva. En el caso de un electrón moviéndose alrededor de un núcleo, Qt : - e ! Qz: Ze. Además, como ia masa del núcleo es mayor que la masa del electrón, podemos reemplazar la masa reducida clel sistema electrón-¡rúcleopor la masa del electrón me. Solamente en ios átomos muv ligeros tales corno Ios de hidrógeno y helio, puede conprobarse el efecto de la masa reducirla. ilon esta aproximación tenemos para Ia energla total del átomo, g: lm eoz -

-Ze2 4Í€or


i 1 .9 \

Relatíones energéticas en un campa eléctrico

487

Suponiendo que la órbita sea circular, la ecuacirlndel movimiento del electrón es, :t.giin Ia ec. (7"28), meu2lr: Fx, ó fflelJz

:

Ze2 4",€ol''

Ce donde, DleuL: Ze2f4reor, Substituyendo la energla total, se obtiene

Ze,

E:-

4re o(2r)

:-9

este valor en la expresión previa

xntS,

de

(14.40)

.Lrnde la constante eléctrica está €xpresada en el sistema MKSC de unidades. Con i:i-e valor, -E se expresa en J cuando ¡ está en m y ¿ en C, Esta ecuación está de a-uerdo con la ec. (13.6) para el caso gravitacional si reemplazamos ymm'por Z=2t{ tt€t

La ':xpresiórt (14.40) para Ia energla del sistema electrón-núcleo, será revisada ':ás adelantepara tomar en consideraciónlos efectosrelativista y magnético(ejem--l¡,s 14.10 y 1ir.15)"Para el átomo de hidrógeno {Z : l), -E representala energia :'.¡uerida para separar el electrón del protón; o sea, la energfade ionización del ir;mo de hidrógeno. El valor experimental para esta energla de ionización es y. 10-18J ó 13,6 eV; con este valor encontramosqr¡e el radio de la érbita -.:i7 :¡l electrónes r:0,53 x 10-10m. El hecho de que este radio sea del mismo orden :.. nragnitud que el estimado para las dimensionesatómicas, nos proporciona una ::ena verificación de nuestro modelo del átomo, En la sección 14.7 indieamos que la energfa del movirniento electrónico en un .:lmo está cuantizada. En el caso de átomos con un solo electrón, las energlas :,siblesde los estados estacionariosestán dadas, según la mecánica cuántica, por .¿ expresión En:

-

m&rzt 8e!ñr¡r '

: :n d e n e s u n n rl m e roe n te ro que puedetomar l os val ores1,2,3,.., y tr :2tth : :.t1256:10-3¿ J s es la constante de Planck, que se introdujo en el ejemplo ?.15 .: relación con el momentum angular del electrón en el átomo de hidrógeno. Intro-:ciendo valores numéricos,tenemos que E1 - -

2.777 x 70-r8Z' J n2

73.5982. ---f,i -ev.

:i estado fundamental corresponde a n : 1, ya que ésta es la mlnima energfa :,:sible para el átomo. Comparando la expresión anterior de En con la ec. (14.40), ::nemos una €stimación del tamaño de las correspondientesórbitas electrónicas :ermitidas, Este resultado es r :-

n sh ze o

rZezm.

:

R tao

Z

donde ao :

: 5,292 x 10-rr m hrcolrce'me

se llama radio de Boñ¡. Correspondeal radio del átomo de hidrógeno en su estado fundamental. Hemos indicado previamente que el movimiento electrónico no corresponde a órbitas electrónicas bien deflnidas, como en el caso de los planetas. Por consiguiente,el valor de r no debe tomarse al pie de la letra. Antes bien, sirve sólo para dar una idea del orden de magnitud de la región en la cual es muy probable que se encuentre el electrón.


488

(14.e

Inleracción eléctrica

EJSMPLO 74.9. Usando el principio de conservación de la energía, calcular la distancia mínima de aproximación dc una partfcula cargana que choca de frente c ont r a un núc leo at ónl i c o . Solución: Si la carga del núcleo es Ze y la del proyectil es ve, que corresponden a % y Qz de la ec. (14.39), la energia total del sistema tici proyectil más núcieo es Ze2

E: ht u2*

4reot

'

siendo ¡,r,la masa reducida del sistenra. Si la masa del. núcleo es mucho nlayor que la del proyectil, o si el núcleo está aiojado en un cristal, podemos reemplazar ¡r por la nrasa del proyectil m, resultando

6 : lmuz i

\41- '

4Íeor

1), debe¡nos Pero si, por ejemplo, dirigimos protones contra protones (v: Z: usar la masa reducida,que es p =..lmp (recordarel ejernplo9.3). CuandoIa partfcula está muy distante, toda su enerSíaes cinética e igual a \mvf,. Llamamos u e su velocidad en el punto .4. de máximo acercarniento(flg. 14-24) cuando ¡ : ft. La conservaciónde la energia requiere que

lmuz*# : L mu t . la velocidad es totalmente transversal, En el punto A de máxim" y por lo tanto el momentum"p.o*i.,l""ión, angular es .L : mRo. Como ,L es una constante del movimiento, podemos usar esta relación para eliminar la velocidad a en el punto A, obteniendo ,¡Ze2 L2 :tnl ,ó' z^R't 4" .rR Ecuación de segundogrado en 1/fi que permite obtener R en función de la energía y del momentum angular de Ia partÍcula. Para una colisión de frente, L : 0 y R:

vZe2

Ar
lo cual está de acuerdo eon el resultado previarnente obtenido en el ejemplo 14.5. Clbsérvese que para r¡na colisión de frente, D : C en el punto de máxima aproximación y toda la energfa cinética se ha transformado en potencial. EJEMPLO 14.70. Estimar el orden de masnitud de la corrección debida a los efectos reiativistas que ha.v qur: hacer a ia energia de un electrón en un átomo. Solueióm: En el capitulo 13 y en esfc capíluio, siempre que hemos tratado el movirniento regido por ia ley de proporcionalidad inversa del cuaci.radode la distancia, como se hizo en el ejemplo 14.8, hemos usaCo la mecánica newtoniana despreciando Ios efectos reiativistas. El proceciimiento es correcto para el movimiento planetario, pero cuando se trata del movimiento de electrones en un átomo no siemprc se justifica. En un átomo, ios electrones se nlueven con velocidades suficientemente grandes de modo que la corrección relativista puede medirse experimentalmente. Estimemos el orden de magnitud de este efeci.o. Usando la cc. (11.18), encontramos que Ia energla total de un electrón que se mueve con gran velocidad en un át,omo (restatrdo su energfa en r€poso) es E -' cl/

nt!c" + f'

+ (-eV)

-


¡n"¿2.

I 1.iu¡

Corrienle eléclricq

.l8g

Suponiendo que el momentum p es menor que ¡ne¿,podemos desarrollar el radical hasta términos de segundo orden, con lo que se obtiene E :-1

p '^-

z^.

1 p4 + ... + (-ev) gr,É "

r

_I

: I| --:-- o2 -1 ¡\ (---e-' /'Y) ' l2m"t

:

1 ' nr -L | "' 8mgc2t

Los dos términos encerradosdentro del corchete dan la energfa sin tomar en cuenta el efecto relativista, el cual, para órbitas circulares, está dado por la ec. (14.40). Por lo tanto, el último término eg la corrección relativista de la energfa total del electrón, con aproximación hasta del primer orden, que designaremospor A.Ur.Luego

L E r : - # r o .:

2m.cs

(ot)(,*)

Los dos términos encerrados en el paréntesis-conesponden a la energla cinética ¡to relativista del electrón. Entonces podemos escribir (con razonable aproximación) para el primero, usando el resultado del ejemplo 14.8, P" :. E -b P:F 2 m,

-

El segunclopuede escribirsepzl2me :

Zez , 4" €r(2r) -

Z" 4" ." r

:-

Zez t" * (* )

:

-E '

lmeu8,Por consiguiente

A ,E ,: -=l

. ( - E) ( |m eu¡ ) :+ 4U. Zmcca ' 4 ¿r

Luego, la corrección relativista es del orden de (u/c)! veces la energla del electrón" En el átomo de hidrógeno, por ejemplo, (olc) es del orden de 10-t y por lo tanto AE, 10-6 -8, o cerca de 0,001 o/o d,e E, una cantidad que puede ser lácilmente medida en el laboratorio con técnicas experimentales abora en uso,

74.70 Comiente eléctrica El ejemplodel acelerador electrostático conparticulascargadas aceleradas según Ia dirección del eje del tubo, dado en la sección 14.9, sugiere que introduzcamos ahora el concepto muy importante de corríente eléctríca. Una corriente eléctrica consiste en un chorro de particulas cargadas o iones. Esta definición es aplicable a los iones en un aeelerador de cualquier clase, a los de una solución electrolitica, a los de un gas ionizado o plasma, o a los electrones en un conductor metáüco. A fin de que se produzca una corriente eléctrica, debe aplicarse un campo eléctrico para mover las particulas cargadas en una dirección determinada. La intensidad de una corriente eléctrica se deline como la carga eléctrica que pasa por unidad de tiempo a través de una sección de la región donde ésta fluye, como, por ejemplo, la sección del tubo de un acelerador o de un alambre metálico. En ccasecuencia, si en el tiempo l, pasan N particulas, cada una con carga q, a través de una sección del medio conductor, la carga total Q que ha pasado es Q : Ng, y Ia intensidad de Ia corriente es

I:Nqlt:Qlt.


(14.41)

490

(14.10

Interaccióneléctrica

En realidad,Ia expresiónanteriorda la corrienternediaen ei tiempo l; la corriente instantáneaes

(r4.42)

I : dQldt.

La corriente eléctrica se expresa en coulomb¡segund.oo s-r C, unidad llamada ampere{abreviado A) en honor del fÍsicc¡francds André M. Ampére (i775-1836). Lin ampere es la intensidad de una corriente eléctrica que correspondeal paso de un coulomb a través de una secciÓndel nraterial en un segundo. La dirección de una corriente eléctrica se supone que es la del movimiento de las partÍculas cargadaspositivamente. Es la misma dirección del campo eléctrico aplicado o de la diferencia de potencial que produce el movimiento de las particulas cargadas(fig. 14-29a).De ahi que, si una corriente se debe al moviI

I

-\-L

(a) Cargas positivas

(b) Cargas negativas

I

____q_

(c) Cargas positivas y negativas

Ftg. 14.29. Corriente eléctrica .I resultante del movimiento de iones positivos y negativos producido por un campo eléctrico. miento de partículas cargadas negativamente, tal como los electrones, el sentido de la corriente es opuesto al del movimiento real de los misrnos (fig. 1a-29b). Mantener una corriente eléctrica requiere energia porque los iones son acelerados por el campo eléctrico,Supongamosque en el tiempo I haya N iones, cada uno con carga q, moviéndose a través de una düerencia de potencial V. Cada ion adquiere la energía qV, y la energía total adt¡uirida es Ng V : QV. La ener$a por unidad de tiempo, o la potencia'requerida para mantener la corriente. es entonces

P :QV lt : V I .

(14.43)

Esta expresión da, por ejemplo, la potencia requerida para hacer funcionar el acelerador estudiado en la sección antdior. También da Ia rapidez con que se transfiere energia al blanco del acelerador, y por lo tanto la rapidez con la cual el sistema de enfriamiento del blanco debe sacar energÍa. Vemos asi, que la expresión (1.1.43)tiene validez general y da la potencia necesariapara mantener una corriente eléctrica f a través Ce una diferencia de potencial V aplicada a dos puntos de cuaiquier medio conductor. Nótese que, según la ec. (14.43),


ltipolo e!éclríco

: ri. ,t i)

coulomL) 1'oll x á¡npere :- -j"llt -r"g-r,1" ' i otrl omb "

il91

ioule segundo

:e mcdc que las unid.aclesson compatiblcs.

,1

Flgura 14-80

71.77

Di.gtolo eléctrico

. aa disposicióninteresantede cargases el dipolo eléctrico.Este consisteen dos :irgas opuestas,{ qy - g, separadas por una distanciamuy pequeña(fig. 1a-30). El momento dipolar eléctricop* se define por

P :8ú'

(r4.441

orientadode la carganegativaa a positiva. :--'ndeo es el vector desplazamiento :i potencial eléctrico en el punto P debido al dipolo eléctrico es, usando la .:. (14.33), v:

1 (q 4neo \ r,

q(rz-r). 1 4neo rtrz

{}: rz I

:, la distancia c es muy pequeñacomparadacon r, podemosponer lz-

lr:

l! COS0

y

tlrr:

¡2,

::siltando V:-

0a cos 0 4re¡2

O

rr Y:--.

pcos0

(14.45)

4tte¡2

' - : sérvese que el slmbolo convencional de momentum es el mismo gue el de momento dipolar ..L-.


492

(14"11

Inleraccíón eléctríca

Podemosexplesar'la ec. (14.45)en coordenadasrcctanguiaresy usar la ec. (14.29) para obtener la intensidad del campo eléctr.ico(recordar el ejemplo 13.7). Dejamos esto como ejercicio al estudiante. L,n su lugar determinaremoslas componentes de {' en coordenadaspolare.s,usando la ec. (14.28),Para obtener la componente radial C", observemos que ds : dr, entonces

AV _: 0r

^ ^-:_

2pcoso 4".1

(14.46)

Para la componente transversal fe, usamos ds : ^

1

AV

psen0

r

00

A rerf

a , Ftgurr 14-81

r d0, con lo cual se obtiene

(t4.47)

Estas dos componentes se ilustran en la figura 14-31. Las lineas de fuerzas están indicadas en la fig. 1,1-32.Aunque en un dipolo eléctrico, por ser las dos cargas iguales y opuestas, la carga neta es cero, el ligero desplazamiento que hay entre ellas es suficiente para producir un campo eléctrico diferente de cero. En general, si tenemos varias cargas q' 42,Qs,.,. en l os puntos P ¡, P 2, P a, ..., el momento dipolar eléctrico de la distribución de cargas es p : Q{t *

qzr, *

qcra+ ... -

)

ertt.

[Esta definición coincide con la ec. (74.44), porque, siendo dos cargas iguales y opuestas,el momento es l0 : Qrt- grz: Q(\r) : ga.] Tomando el eje Z en la dirección de p, la expresión anterior para el momento dipolar eléctrico de varias cargas es, en módulo

(14.48) siendo ¡ la distancia de cada carga al origen, 0¡ el ángulo que ri forma con el eje Z y 2¡ : ri cos 0i. En los átomos, el centro de masa de los electronescoincide eon el núcleo, y por consiguiente, el promedio del momento dipolar eléctrico del átomo es cero (fig. 1a-33a). Pero si se aplica un campo externo, el movimiento electrónico se perturba, lo que ocasiona que el centro de rnasa de los electrones se desplace una distancia r, con respecto al núcleo (fig. 1a-33b). Se dice que el átomo se ha polarizado convirtiéndoseen un dipolo eléctrico de momentt¡ p. Este momento es proporcionai al campo eléctrico externo f.


f-¡ípoloe.l.éctrirc 4!i3

i4.t t,

Fig. 14-82. Llneas de fuerza del campo eléctrico de un dipolo eléctrico.

Electrones::';tll I r;iiii'li!,;i

(lt) Campo externo nulo

(b) Campo oxterno

Fig. l4-33. Polarizaciónde un átomo bajo la acción de un campo eléctricoexterno. Por otra parte, algunas moléculas pueden tener un momento dipolar eléctrico permanente. Tales moléculas se llaman polares. Por ejemplo, .en la molécula de HCI lfig. 14-34), el electrón del átomo de H tarda más tiempo en su movimiento alrededor del átomo de CI, que alrededor del átomo de H. En consecuencia,el centro de las cargasnegativasno coincidecon el de las cargaspositivas,


494

(14.11

Inleraccíén eléclríca

+

H *r

Fis. 14-84. Moléculasdiatómicas polares. y la molécula presenta un momento tlipolar dirigido del átomo de Cl al átomo de ft. O sea que podemos escribir H"CI-. El momento dipolar eléctrico de la molécula de HCi €s p :3.43 x 10-30C m. En Ia moiécula de CO, la distribución de cargas es iigeramente asirnétrica y el momento dipolar eléctrico es relativamente pequeño, aproximadamente igual a 0.4 x 10-m C m, estando el átomo de carbono en el extrcmo positivo de la molécula y el de oúgeno en el negativo.

-Prt-

FlS. 14-Nó. Dipolo eléctrico de la molécula H¿O.

t ¿P-0

FtS. 14-86. La molécula tiene dipolo eléctrico.

de COe no

En una molécula tal como HrO, donde los enlaces H-O forman un ángulo un poco mayor de 90o (fig. ltf-35), los electronestratan de concentrarse alrededor clel átomo de oxigeno, por lo cual éste parece ligeramente negativo respecto a los átomos de H, Cada enlace H-O contribuye de este modo al momento dipolar eléctrico resultante, el cual, debido a la simetría, yace según el eje de la molécula y tiene un valor igual a 6,2 x 10-s C m. Pero en ia molécula de CO' todos los átomos están en linea recta{fig. 14-36), y el momento dipolar eléctrico resultante es igual a cero por sirnetria. For lo tanto los momentos dipolares eléctricos suministran información útil acerca de ia estructura de las moléculas. En la tabla 14-1 se dan valores de p para varias moléculas polares. Cuando un dipolo eléctrico se coloca en un campo eléctrico, se produce una fuerza sobre cada carga del dipolo (fig. 14-37). La resultante de estas fuerzas es F :g {

-q(' ' :g((' -{ ' ' ).

Consideremosel caso especial en que el campo eléctrico está dirigido .segúnel eje X y ei dipolo está orientado paralelamenteal campo. Entonces, considerando sólo los módulos, ( - (' : (d{ lCr)q"y por Io tanto F : p(d( ldr). Este resultado prueba que un dipolo eléctricoparalelo al campl e.Iéclrícoliende q rnoaerseen la


14.tlJ

Dipolo eléctrícs

495

!'AIILA 14-1 Momentos dlpolare¡ elóciricos de nisun¿s moléeules Beieccion¡adBs* I

I

Molécula -l

I

I

HCI HBr Hi CO HrO H,S SO,

3, 43 2, 60 1, 26 0, 40 6,2 5'3 5,3 5,0 3,66

i

NHg

c:H5oH

x x x x x x x x x

10-30 10-30 10-¡o 10-ao 10-30 10-30 10-30 10-30 10-so

* Entre las moléculas con momento dipolar eléctrico igual a cero están: COz, H2, CH4 (metano), C,"H. (etano) y CCl. (tetracloruro de carbono).

Ftg. l4-8?. Dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo.

direccíón en que eI campo cf¿ce.Se obtiene un resultado contrario si el dipolo se orienta antiparalelamente al campo. El estudiante observará que si el campo eléctrico es uniforme, la fuerza resultante sobre el dipolo eléctrico es cero. La energía potencial del dipolo es Ep:

qV -

q V ' : q(V -

V') : -

qa(-

= I),

y usandola ec. (14.31),encontramosque si 0 es el ángulo entre el dipolo y el campo eléctrico, el último factor es la componente Co : {'cos 0 del campo f paralelo a o. Por lo cual Ep : - qa(a ó

Ep : - pC cos0 : -p.{'.

(r4.4e)

La energia potencial tiene un valor mínimo cuando 0 : 0, lo que indica que el dipolo está en equilibrio cuando se orienta paralelamente aI campo. Si desprer:iamosla pequeña diferenciaentre f y f'las fuerzasq('y - qC' sobre las cargas que componenel dipolo forman un par cuyo torque, de acuerdo con la ec. (4.13), es t :

e, * (Có) :

(qtl) x (' : p x f.

(14.50)

De la expresión anterior, así como de la fig. 14-37, deducimos que el lorque del campo elécirico líende a alínear eI dípolo paralelamente aI campo. El módulo del torque es r : pC sen 0 y su dirección están indicados en la fig. t437. Si usamos la ec (8.26),tz : - AEplA0,podemosusar la ec. (14.49)para obtener t, : - p( sen 0. La diferencia de signo para ? se debe al hecho que t da el módulo del torque, mientras que rz da la componente del torque según la dirección Z, perpertdicular al plano en el cual se mide el ángulo 0, y orientada en el sentido en que avanza un tornillo de rosca derecha, que rota en el sentido en que 0 crece.


Dipolo eléctricu

ItÍ.i 1;

497

,:joh¡¿:¡l1¡r:: En el ejernpin 14.11 ¡btuvirn¡;s ei carnpo eléctrico prodrrcirlo por'ün dipolo a la dista¡rcia ¡. r,la;n:incio ¡r, su rnom€nto dipoiar elóctrico, podemos escribir (, ' :

3u, ( ur . pr ) - - p r - - - l; t ' " --'

Designando por ?¡ el momento del segurrdo dipoio, y usando la ec. (14.49) encontrarhos que la energla de interacción entre los dos dipolos es Ep,tz :

p". (1 -

-

-

3(u"

pt) (u¡' p') -

pt'p"

(14.51)

4ne¿3

Importantes conclusiones pueden derivarse de este resultado. Una de ellas es que la energfa de interacción Ep,n es simétrica en los dos dipolos porque si intercambiamos Ft ! pz todo permanece igual. Este resultado era de esperarse. Otra es que la interacción entre los dos dipolos no es ¿¿nfral porque depende de los ángulos que el vector de posición r o el versor u' forma con pr y Z¡. Como consecuencia, en el movimiento debido a la interacción dipolo-dipolo, el rnomentum angular orbital de los dipolos no se conserva. Otra consecuencia es que la fuerza entre los dos drpolos no yace según la linea que los une (excepto para ciertas posiciones especffieas). Una conclusión adicional es que, como la energfa potencial entre dos dipolos eléctricos varla con la distancia de acuerdo a ¡-3, Ia fuerza, que es el gradiente de ia energla potencial, disminuye según r-{, y por lo tanto la interacción entre dos dipolos eléctricos disminuye con la distancia más rápidamente que la interacción entre las cargas. _]+ Ir2

\n, ,,\

tht

,

P',

I

¡l

url t,

f

rl

+ - - -Pt +

(rr)

Ir2

I

+ur

Pl

(lt

(c)

".1 -*r (d)

FtS, 14-89. Interacción entre dos dipolos eléctricos. La geometrla correspondiente a la ec. (14.51) se ilustra en la fig. 14-39, donde (a) corresponde al caso general. En (b) los dos dipolos están alineados según la recta q ue los une. De es t e m odo p¡ . p 2 : ptpzru,.pt: pr y u¡.pz: pr, luego Ep,tz :

__ 2prp, 4ne¡t' -

resultando una atracción entre los dipolos ya que el signo es negativo. En (c) teney u r 'p z : 0 , m O S pr ' lt z : Pt Pz ,per o ür ' pr : 0 de mOdO qUe ,

Ep ,p : -

PtPz 4 t€ "t"'

Como este valor es positivo, indica una repulsión entre los dos dipolos. Finalrnente, en (d) tenemospr.pz : - ptpz y entonces

L-.


496

(14.11

Inleracción eléclrica

A i{) G-\:j V.'o v r:\ C-/ \Ji

unñ/--¡

l-...

\li

Y

FlS. 14-88. Efectos de polarizaciónde un ion en solución. Iil signo negativo de r, confirn)a c..ií.ri torque tientle a disminuir el ángulo 0. cil un carnpo eléctrico tienen imporEslas propiedadesde urr cii¡:irioeülo,.,ario .-rr.iill,.¡ ::,tr;:c¡onrt¡nos e¡¡ la discusiónde la iig. 14.i9 tanies nplicaciones,Por ejr:n.:illr), :..c.l i npo el éc.tncodr un i o¡r en sol uru * rr{ ú h a b l a rro s a c e rcari ¿ i ¿ r;,' .1t¡r;l i ,qin! c i ó n , p o l a ri :a l a s u ro !é cul asdei ' ¡¡| r' ¡r¡:i ' (l ui rr{i d(j aal i ol r" y entoncesse c,ri entan r.l: la l,rrma rntlicaqlaen la fig. i4-3i-]. i,:'iar nioleiculagorientadas se iigan más o rrieno$¡l icn. aurtrenta.ndcsr¡ illasa riil1¡ij1';i;* tiismirtuyr:ndosu carga efectiva, la cual queda parciaimente sin influeneia externa, por Ia pantaila que formau lrrs moléculas. F.l efecto netc es que ia moviiidad del ion en el campo externo disminuye. 'lambién, cuando un gas o un liquido cuyas rnoléculasforman dipolos prrmanentes,se coloca en un iugar donde exista un campo eléctrico,las moléculas, colno resultado de los rnonrentosdebidos al campo eléctrico, tienden a alinearsecon sus dipolos paralelosal campo. En este caso decimos que Ia sustancia ha sitlo polartzada(ver la sección 16,5). EJEMPLO 74.77. Expresar el campo eléctrico de nn dipolo en forma vectorial. Solueión: En la fig, 14-31 observamosque (' : t+{, -y u6(o:

-;l

4:i€or""

(r,2p cos 0 | uop sen g).

De la misma figura obtenemos p : p(ur cos 0 -

uo sen 0).

Usando esta relación para eliminar p sen 0 en la expresiónde C obtenemos f

-

--l

4neor3-

(3u,p cos {)-- rr).

Además, p cr,rs0 : w.p. Por consiguiente 3ur\u,'P) * P (,' : --

4lt€or3

t

que d:r el rampo del dipolo eléctrico en fcrnr;i .,'ectorial. Í : . J EllI FL{ t t / r - 12, O bt en e r l a e n e r g í a d c ! : : , - ,ir'i,! 'i1 iriltre rios dip.olos elóct.riccs. l. s ar t l ies ir lt at lo obt enic l o p a r a e s t i r l a i 'l a ,,i:' . r intrra.a¡5¡ gnt-re ilcs tnolécu";,,: la: r ie ogui: . Dis c ut ir adr : r n á s l o s e f e c t o s d e o ' r',l i ;-aruiir rela iiva.


498

Inleracción eléctrica

(14-12

que s ignif lc a que ha¡ ' at r a c c i ó n d e l o s r l i p o l o s . E s t o s r e s i l l t a d o s e s t á n e v i d e n l e r n e n t e de ac uer do c on ia im age n f f s i c a d e l p r o b l e m a . . La int er ac c ién ent r e d . r s d i p o i o s e i é c l r i c o s e s d e g r a n i r n ¡ r o r t a n c i a p o r q u e l a s fuerzas mt¡leculares se rleben, cu gran parte, a este tipo ile interacció¡r. Consideremos dos moléculas de agua en la ¡rosicitin rt:lativa de la iig. 14-39b a distancia normal en ! a l¿r s elf quida de 3. 1 x 1 0 - 1 0n l . S u r r t o t n e n t o d i ¡ r o l n r e l ó c t r i c o e s 6 . 1 x l 0 - 3 0 C m , Por lo tanto, la energía potencial de interacción es Ep, t z :

I

x-J{

a - 2 - ) - ( l i '1 - ' 1 {) - 3to- i e " 2 '2 2 x 1 0 " 2 0J ' (3,1 r 10-ro)s-

Este result-ado es diez veces nravor que la energfa de interacción mencio¡ada en la sección 13.9, que se estimó usando el valor del calor de vaporización. El estudiante comprenderá, sin ernbargo, que el presente resultado corresponde a la energia de interaccióo instantánec entre dos moléculas de agua en la posición relativa de la fig. 14-39b. Pero conto las moléculas de agua están en continuo movimiento, s u or ient ac ión r elat iv a c a m b i a c o n t i n u a m e n t e . P o r c o n s i g u i e n t e , p a r a o b t e n e r I a energia 8p,., debemos promediar los valores dados por la ec. (14.51) en totlas las orientaciones relativas posibles. Asl obtenemos resultados más concordantes. Sugerimos que el estudiante compare el resultado anterÍor para la energla de interacción elóctrica E¡,12, entre dos moléculas de agua, con la correspondiente interacción gravitacional para la misma posición relativa.

74.72

Multipolos

eléctrieos

de orden

super¿or

Es posible definir momentos multipolares eléctricosde orden superior al segundo. Por ejemplo, una distribuiión de cargas como la indicada en la fig. 14-40 constituye vn cuadrupolo eléctríco.Obsérvese que su carga total es cero y que su momento dipolar eléctrico es también cero, en virtud de la ec. (14.48). No es fácil dar aquí una de{inición general del momenlo cuodrupolar eléctrico, de un modo elementai. Sin embargo, podemos decir, que el momento cuadrupolar eléctrico de una distribución de cargas respecto a un eje de simetría, tal como el eje Z, se define por

Q:tZq,r?(3 c o s 2 o ¡-1 ),

Fig. 14-.10. Cuadrupoloeléctrico.


(14.52)

Ficurs 14--11

Iti ulti pob:; *ri..'.,'l::í"..:4: ortl en sup¿rior

' ,1 ,i 2 \,

I I

I

(b)

(u)

ti9.74-42.

499

(c)

Cuadrupolo eléctrico de distribuciones elipsoidales de carga.

donde ri es la distancia desde la carga i al centro, y 0¡ es el ángulo Que ?¡ fcrma con el eje (fig. 14-41), Observamos Qü€ z¡ : r¡ cos 0¡. Entonces podemos €scribir ia e c . (1 4 .5 2 ) c o mo

a : t Z q , Q ' ?- r f) .

(14.53)

El ¡nomento cuadrqpolar eléctrico es cero para una distribución esférica de cargas, positivo para una distribución de cargas alargada, y negativb para una distribución de cargas achatada (ttg. 1+44. Por consiguiente el momento cuadrupoiar eléctrico da el grado en que una distribución de cargas se aparta de la forma esférica.Por ejemplc, en la sección 14.7 sugerimosque los núcleos atómicos eran csféricos.Sin embargo, nredicionescuidadosasindican que ciertos núcleos tienen momentos cuadrupolaresrelativamentc grandes, lo que se ha interpretado como indicación de que tales ¡rúcleosestán muy deformadosy en consecuenciael campo elcctrico que ellos producen difiere del de una carga puntual. Esto a su vez afecta a la energía del movimiento electrónico. I)ebemos observar que el potencial de una carga puntual disminuye como ¡-1 el campo como r-2. Análogamente hemos visto (sección 14.11) que para un -v ciiproloeidctrico el potencial disminuyc como r-2 y el campo como ¡-3. De un inodo similar puede probarse que el potencial de un cuadrupolo eléctrico varÍa ct)rno r-3 y el campo como r-4. Resultados similares se obtienen para multipolos cie orden superior. Concluimos entonces que cuanto más alto sea el orden de multipolo, menor es el alcance dentro clel cual el campo eléctrico tiene efectos observables. i:,II)MPLO 71.73. Calcuiar el potencial eléctricopara la distribución de cargas de i a fi g . (1 4 .1 3 ),l l a m a d a c u a d rupol oel éctri col i neal . Solución:La carga total del sistemaes cero. También el momento dipolar eléctrico € s c e ro p o rq u e ,u s a n d ol a e c . (14.48),tenemosp : + A (+ a¡ - 2q(0) * q(-c) : 0. -Sinernbargo.el campo eléctrico no es idénticarncntenulo. El potencial eléctrico ':

jr e i p U,r ttO 1 ) ,jS

v-

1

(!-

4neo \ r,

- + ' ; i ) -i ; É - i


-l ;)

(14 54)

500

Interacción e!éclrica

Q4.12

De Ia figura deducimos que r. : (rr -Zar

cos 0 1 ar¡rr.

Suponiendoque d es muy pequeñocomparadocon r, podemosescribir r,:rl '

/.

, d2\r/2 - --! rzl

2acos0 r

\

{14.55) Usandc el clesarrollo del binomio dado por la ":c. (rI. 22i irasta el tercer térrnino {.:on n : - }, cbtenen-ros (1 -l x)*r¡t : | -- }r -i 8¡t * ,.. En el presente caso, tene¡¡los r : -* 2o cos 6ir .,* a2l¡e. Lr:ego

-1-: rr ir - |2 (- ?s:-c + +\ + _3l- ?lsolo * r \ rzl 8 \ r i

rt

, 4'\' - F/

-i ".i, l Desanollando el corchete y dejando sólo los términos hasta el orden ¡3 en €l denominador, obtenem0s

P Tt

¿'

--'./

1 :

+g e

tr

r zl

1 * acqso +-gt (3cos¡o_-l)+... I

tz

2rt

(14.56) X

Análogamente,r": consiguiente

a

-1 :

+q

rz

1 r

-

(r, + zar cos 0 + a¡)r/2;por

ocoso + + : (3 c o s ro -r) lz 2r3

+ ... (14.57)

Flgure i4-48

Sustituyendolos resultados(1a.56)¡'(14.57) en la ec. (14.s4)y slmplificanclo,obten€rnos para el potencial v :

ls-1Q_coso 9_ 4re.r3

!)_

Aplicando la ec. (14.52), cncolitrarnosquc el momento cuadrupolar eléctrlco de la distribución de carga es q : !{q(3a'z-

a2\-

2q(0) + St3(- a)á-

ael} :

2qa2.

Por to tanto rr

Q ( 3 c o s '1 0- 1 ) 2(4xeo)r3

(14.58)

que da erl potencial eléetrico de un cuadruplo rléctrico linea]. Podemos ubtener el carnpo elóctrico aplicando la ec. (14.28), como lricimos para el dipolo eléctrico.


Bíblíografta

a01

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502

eléctrica Interaccíón

Problemos 14.1 Encontrar la fuerza eléct¡'i<'.a¡,le itlorepulsión entre rlos protones pI1 rin¿1" lécula de hidrógeno, siehdo la sepat'acliin ent r e ellos de 0, 74 x 1 0 - 1 0 R t . C o m p a raria con la fuerza de atracción gravit ac ional c or r es pondiet r t e . 14.2 E¡lcontrar la fuerza de atracción eléctrica entre el protón y el electrón de un átomo de hidrógeno, suponiendo que el clectrón describa úna órbita circular de 0,53 x 10-10m de radio. Compararla con su atracción gravitacional. 14. 3 Com par ar la r epu l s i ó n e l e c t r o s t á tica cntre tlos eler:troncs, con ::u atracci/rn gravitacional a la misnra distancia. llepet ir par a dos Dr ot on e s . 14"1 Dos esfr.rasidéuticas de ccrchri rJe rnasa m v carga q (fi9. M.aa), están suspendiclas del rnismo punto por n¡edio tle ¡los cuerdas de longitud l. Encontrar eI ángulo 0 que las cuerdas forman con la vertical, una vez iogrado eI equiiibrio.

Figura 14-il4

u

!

14,5 Repetir el problema 14.4, suponiendo que las cuerdas están unidas a puntos situados a la distancia d (ng. 14-45).¿Cómose podrfa usar esta disposición para verificar expcrimentailnente la ley de la proporcionalidadinversa del cuadradode la distancia,variando la rlistancia d y observandoel ángulo 0?

Flgure 14-4ó 74.6 ¿Cuál debe ser la carga dc una partÍcula de masa 2 g para que permanez c a er l r epos o en e l l a l ¡ o r a t o r i o a l c oloc ar s e donde el c am p o c l é c t r i c o e s t á dir igido hr c ia abajo y c s d e i n t e n s i d a o igual a 500NC- r ?

74.i Ettrei i¡,s piacas de deflección cle un csciiostapio dc ravos catódicos, exist-e un car::¡po eléctrico de 30.000 N C-l, ¿Qué fuerzu se ejerce sobre un electrón c o l o c a d o e n e s t a r e g i ó n ? ( b ) ¿ Q u é a c elersció¡r adquiere el electrón debido a esta fuerza? Compararla con la aceleración de la gravedad. 14.8 Una carga de 2,5 x 10{ C se coloca en un campo eléctrico uniformc de intensidad 5,0 x 10{ N C-r di¡igido hacia arriba. ¿Cuál es el trabajo que la fuerza eléctrica eiectúa. sobre la carga cuando ésta se mueve (a) 45 cm hacia la ti':recha ? (b) 80 c¡n hacia abajo ? (c) 260 cm a un ángulo de 45' por encima de la horizontal? 14.{i Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón de la superficie de la placa nega¿iva y choca en la superflcie de )a placa opuesta, distante 2,0 cnr de la primera, en un intervalo de 1,5 x 10-€ segundos. (a) Calcular el campo eléctrico; (b) calcular la velocidad del electrón al chocar con la placa.

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Figura 14-46 14.10 En la figura 14-46 Se lanza un electrón con una velocidad inicial de 2 x 107 m s-r en la dirección de un eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico uniforme entre las placas, tiene una intensidad de 20.000 N C-r y está dirigido hacia arriba. (a) ¿Qué distancia perpendicuiar al cje ha recorrido el electrén cuando pasa por el extremo de las placas? (b) ¿.Quéángulo con el eje forma su velt¡cidad cuando abandona las placas ? (O ¿A qué distancia por debajo del eje choca con la r¡antalla fluo¡escente S?


Problemas 11 . 11 Se lanz a un elc c t r ón en un c a m p o eléctrico uniforme de intensidad 5000 N C-r dirigido verticalmente hacia abajo' La velocidad inicial del electrón es de 107 m s-l y forma un ángulo de 30" por encima de la horizontal. (a) Calcular el tiernpo requerido para que el electfón alcance su altura máxima' (b) Calcuiar la elevación máxima que alcanza a partir de su posición inicial. (c) ¿Qué distancia horizontal recorre el electrón para alcanzar su nivel inicia)? (d) Dibujar la trayectoria del electrón' 14.12 Una gota de aceite de masa 3,0 x 10-r¿ kg y de radio 2,0 x 10-e m transporta 10 electrones en exceso. ¿Cuál es su velocidad final (a) cuando cae en una región donde no hay campo eléctrico? (b) cuando cae en un campo eléctrico de intensidad 3,0 x 105 N C-r dirigido hacia abajo? La viscosidad del aire es 1,8 x 10-6 N s m-2. DesPreciar el empuje del aire. 74.13 En un aParato de Millikan se observa que una gota de aceite cargada cae a través de una distancia de 1 mm en 27,4 seg, en ausencia de un camPo eléctrico externo. La misma gota permanece estacionaria en un camPo de 2,37 x 104 N C-r. ¿Cuántos electrones en exceso ha adquirido la gota? La viscosidad del aire es de 1,80 x 10-5 N s m-'. La densidad del aceite es 800 kg m-a t Ia densidad del aire es 1,30 kg m-r' 14.14 Una gota de aceite cargada cae en el aire 4,00 mm en 16,0 seg a velocidad constante, en ausencia de un campo eléctrico. La densidad del aceite es 800 kg la del aire es 1,30 kg r¡-a y el coede viscosidad del aire 1,80 x 10-5 ficiente --a, N s m-3. (a) Calcular el radio y la masa de la gota. (b) Si la gota lleva una unidad fundamental de carga y está en un campo eiéctrico de 2,00 x 105 N C-r, ¿cuál es el cociente entre la fuerza eléctrica sobre la g ot a y s u pes o? 14.15 Cuando la gota de aceite del problema 14.14 se encuentra en un campo eléctrico constante de 2,00 x 105 N C-1, se observaron varios tiempos diferentes en que la gota asciende la distancia de 4.00 ntm. Los ticmpos medidos fueron l0 , t i5 ; 25, 46; 18, 53 ; 12' 00 Y 7 , 8 5 s e g ' Calcular (a) la velocidad de caída libre, 1tr) la velocidarl de ascensión en cada

503

caso, y (c) la surna de la velocidad en la parte (a) y cada una de las velocidades en la parte (b). (d) Verificar que Ias sumas en la parte (c) son múltiplos enteros de algún número, e interpretar este resultadc. (e) Calcular el valor de la carga fundamental a partir de estos datos. 14.16 Se tienen dos cargas puntuales, 5t"C y - 10¡¡C, distantes 1 m. (a) Encontrar el módulo y la dirección del campo eléctrico en un punto situado a 0,6 m de la primera carga y a 0,8 m de la segunda. (b) Hallar el punto donde el campo eléctrico de estas dos cargas es cero. 74.17 En un aparato para medir la carga eléctrica e por el método de Millikan se requiere un campo eléctrico de intensidad 6,34 x 10a V m-r para mantener en reposo una gota de aceite cargada. Si la distancia entre placas es 1,50 cm, ¿cuál es la diferencia de potencial entre ellas? 14.18 Tres cargas positivas de 2 x 10-? C, 1 x 10-7 C y 3 x 10-? C están en linea recta, con la segunda carga en el centro, de modo que la separación entre dos cargas adyacentes es 0,1 m. Calcular (a) la fuerza resultante sobre cada carga debida a ¡as otras, (b) la energfa potencial de cada carga debida a las otras, (c) la energía potencial interna del sistema. Comparar (c) con la suma de los resultados obtenidos en (b) y explicar, 14.19 Resolver el problema precedente en el caso de que la segunda carga sea negativa. 74.20 En una fisión de un núcleo de uranio, los dos fragmentos son eóY y 141I,con masas prácticamente iguales a 95 uma y 141 uma, respectivamente. Sus radios pueden calcularse por medio de la expresión R : 1,2 x 10-rs Ar/3 m, donde A es el número másico. Suponiendo que los fragmentos están inicialmente en reposo y tangentes uno al otro, encontrar (a) la fuerza y la energfa potencial iniciales, (b) su velocidad relativa final, (c) la velocidad final de cada fragmento con 'respecto al centro de nlasa. t4.2t Cuando un núcleo de uranio se desintegra enritiendo una partícula alfa (o sea un núcleo de helio, Z :2), e\

L-


504

Interacción eléclrica

f;0). núcleo resultante es el tario i f Suponiendo qr r e la par t ! c u l a a ¡ fa c s t á inicialntente en reposo, a un:i r'iislril¡cia de 8.5 .y 10-i5 l¡'r del centr¡¡ dr:i ¡luclct; rle uranio, calcular (a) ia aceleraci,lrr inicial y la energía de la ¡rartlcuiri, (i]) la ilnergla y ia velocidad de ia ¡rar' ticuia cnando se encuenlra a gran dir' tancia del núcleo. 11.22 En los vértices de un cuadradc de Iedo 2 x 104 m se colocan cuatro protones. Otro protón está inicialmente sobre la perpendicular al cuadrado por su centro. a una ilistancia de 2 x 10{ m del mismo, Ca.lcular (a) la velocidad inicial mfnima que este último protÓn necesita para llegar al centro del cuadrado. (b) sr¡s aceleraciones inicial y final. ( c ) I lac er un gr áf ic o t le l a e n e r g l a p o tencial del protón en función de su tlistancia al centro del cuadradc. I)escribir su movimiento en el caso de que la energla inicial sea menor o mayor que la encontrada en (a). 14.23 El potencial a una cierta distancia de una carga puntual es 600 V Y el campo eléctrico es 200 N C-1. ¿Cuál es ta distancia a la carga puntual? (b) ¿Cuál es la magnilud de la carga? 14.24 La máxima carga que puede retener uno de los terminales esféricos de un generador de Van de Graaff es cerca de 10-3 C. Supóngase una carga positiva de esta magnir.ud, distribuida uniformernente sobre la superflcie de una esfera situada en el vacfo. (a) Calcular el módulb de la intensidad del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera, a 5 m de su centro. (b) Si se liberara un electrón en este punto, ¿cuál seria el módulo 1' Ia dirección de su aceleración inicial? ¿cuál serfa su velocidad aI llegar a la esfera? 14.25 Una pequeña esfera de 0,2 g cuelga por medio de una cuerda entre dos placas paralelas separadas 5 cm. La carga sobre la esfera es de 6 x 10{ C. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas si el hilo lorma un ángulo de 10" con la vertical? 74.26 Dos cargas puntuales de 2 x 10-? C y 3 x 10-? O están separadas por una distancia de 0,1 m. Calcular el campo y el potencial eléctrico resultantes (a) en el punto medio de la distancia entre ellas, (b) en un punto situado a 0,04 m

de l:i ¡;r'ii:t|ut, si-,bre la recta que pasa por eliat:. I-¡{lrú ftlela del segmento que ias unc, í-:1) elr rrn purrto sitt¡adtr a {i,1 m de cada carga. (e) ¿En gué punto el campo eiectric:o es cero? 1,1.2i Resr¡ir,'er ei Droblema anterior ¡rara el caso en que Ia segunda carga sea negativa. 1i4.28 P.etiriéndonos de nuevo al problema 14.26, calcular el lrabajo reguerido para mover una carga de 4 x 10--?C desrle el punto indicado en (c) al punto indicado en (d). ¿Es necesario especificar la trayectoria? 71.29 Dos cargas positivas puntuales, ,rada una de magnitud q, están fljas sobre el eje I' en Ios puntos g : * a, U:-a. (a) 1'razar un diagrama mostrando las pcsiciones de las cargas. (b) ¿Cuál es el potencia! en el origen? (c) Probar que el potencial en cualquier punto sobre el eje X es V :

+ ,\ "' (d) Hacer un gráflco del potencial sobre el eje X en función de r en el intervalo - 5a, + 5a. (e) ¿Para qué valor de ¡ el potencial tiene la mitad de su valor en eI origen? A partir de (c) obtener el campo eléctrico sobre el eje X. 14.30 Con referencia al problema anterior, supongamos que una partfcula de carga + g y masa ¡n se separa ligeramente del origen en la dir€cción del eje X, y entonces se suelta. (a) ¿Cuál es su velocidad a distancia inffnita? (b) Hacer un gráfico de la velocidad de la partfcula en función de r. (c) Si la partlcula se lanza hacia la izquierda según el eje X desde un punto situado a gran distancia a la derecha del origen con la mitad de la velocidad adquirida en la parte (a), ¿a qué distancia del origen queda en reposo? (d) Si una partlcula cargada negativamente fuera liberada a partir del reposo sobre el eje X, a gran distancia a Ia izquierda del origen, ¿cuál serfa su velocidad al pasar por el origen? 2qlL¡ceolf

14.31 Rellriéndose de nuevo a las cargas descritas en el problema 14.29, hacer un gráflco de la variación dei potencial según el eje Y. Comparar con el gráflco de la parte (d) del problema 14.29. ¿Es el potencial mfnimo en el origen?


Problemqs 1,1.32 Lfna vez más considerar ias cargas rlel iixrLrlema 14.29. ia) Supongamos que se coloca una part.icilla de carp:: nq' en el origen, v se la ticja iibre. ¿iJué suc ede? ( b) ¿, Q ué s uc eder ia s i i a c : a i g a a que nos ¡'cferircos en la parte (a) se separara del origen ligeramente en la direcciún d.el eje Y ? (c) ¿,Qué sucr:dería si se separara dci origen en la direcciór¡ del eje X? 14.3:l En un sistema de caordenadas rectangulares urra carga de 25 x 10-{ C se coloca en eI origen y otra carga de - 25 x 10a C se coloca en el punto 3 : 6 m, i/ : 0. ¿.Cuál es el campcr (b) ett m , Y: 0? , eléc t r ic o ( a) en c : 3 ¡ : 3r n, g: 4m 7

.

14.34 Cargas eléctricas iguales a 1 C cada una se coloca¡r en ios vértices de un t r iángulo equilát er o de 10 c m d e l a d o . Calcular (a) la fuerza sobre cada carga y Ia encrgfa potencial de cada una de ellas co¡no resultado de las interacciones con las ctras, (b) el cantpo y el potencial eléctrico resultantes en el centro dcl triángulo, (c) la energla potencial interna del sistema. 14.35 Refiriéndose al problema anterior, dibujar las líneas de fuerza del campo eléctrico producido por las tres cargas. Dibujar también las superficies equipotenciales. 14.36 Demostrar que las componentes cartesianas del campo eléctrico producido por una carga g a la distancia r son 6, : qrl4ne¡x, etc. 1,4.37 Ifn un átomo de hidrógeno en su estado de menor energia (también llamado estado fundamental) el electrón se mueve alrededor del protón en lo que se puede considerar una órbita circular de radio 0,53 x 10-to m. Calcular (a) la energta potencial, (b) la energía cinética, (c) la energfa total, (d) la trecuencia del movimientc. (A modo de comparación, Ia frecuencia de radiación emitida por el átomo de hidrógeno es del orden de 1015Hz). 14.38 Usando el teorema virial para una partfcula, determinar la energfa de un electrón (carga - e) que gira alrededor de un núcleo de carga I Ze a wa distancia r. Aplicarlos al átomo de hi-

505

drógeno (r - 0,53 x 10-10 m) y contparar el resultado con el obtenid¡¡ en (c) dei problema 14.37. 1.-1.39 Escribir la expresión que da la cne:"gia potencial eléctrica interna total la) rir un átomo de helio, (b) de una n'.olécula de hidrLigeno. L4.44 ¿Qué energía cinética, en joules, y qué velocidad, en m s-r, tienc un núcleo de carbono (carga *6e) después de haber sido acelerado por una diferencia de potenciai de 10? V? 14.41 Estableber una relación numérica que dé la velocidad (en m s-1) de un electrón y un protón en función de la diferencia de potencial (en volts) a través de la cual se mueven, suponiendo que estaban inicialmente en reposo, 14.42 (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial máxima a través de la cual un electrón puede ser acelerado si su masa no debe exceder en más del 1 l,i a su masa en reposo? (b) ¿Cuál es la velocidad de tal electrón, expresada como fracción de la velocidad de la luz c? (c) Hacer los rnismos cálculos para un protón. 14.43 Calcular, usando la relatividad, la diterencia de potencial requerida (a) para que un electrón alcance Ia velocidad de 0,4c a partir del reposo (b) para aumentar su velocidad de 0,4c hasta 0,8c y (c) para aumentar su velocidad desde 0,8c hasta 0,95c. Repetir los cálculos para un protón. 74.44 Una eierta máquina de alta ener= gia acelera electrones a través de una diferencia de potencial de 6,5 x 100 V. (a) ¿Cuál es la relación entre la masa m del electrón y su masa mo en reposo, cuando sale del acelerador? (b) ¿Cuál es el cociente entre su velocidad y la de Ia luz? (c) ¿Cuál serfa la velocidad calculada con los principios de la mecánica clásica? 74.45 ¿Cuál es la velocidad final de un electrón acelerado a través de una diferencia de potencial de 12.000 volts si tiene una velocidad inicial de 107 m s-l? 14.46 En un cierto tubo de rayos X se acelera un electrón inicialmente en reposo al pasar desde el cátodo al ánodo a través de una diferencia de potencial de 180.000 V. Al llegar al ánodo, ¿cuál

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506

Inleracci.ón eléclríca. I:-uenl c de i ont.s..\

( l 0n( 'x i 0n tl óc t r i c a

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Iilef t rir{i0s Tanquc tubui ares rte acel eraci dn al vaci o

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Figuro 14-47

Ll l anco

es { a. t s u { r ner gia c inét i c a e n e \ '. ( b ) s r t poterrcrial elér:trica nuciear en J y en l.leY en fulciótr <1t Z y ,4. rnasa, (c) su vclocidad. 14"47 F-n rr:r ¿¿gl5'¡¡rior lineal, colnc el f i.¡ j tt',arrdo los resrrltarlos rlel r:rr¡i! us t r at lo en ln t ig. 1- 1 - 4 7 ,l a s s e c c i c , , t r r r s i , l e r n a 1 J . i r r , c l r l t r r l t r l ¡ o l t e r g í a p , , i . r ,alt r . r nas del t ubo s e c o t i c c t a n e n l r e s ! rial ¡:1i:ctrica tot al ¡; la .rr-rergia prrr ", s r âpiic a r , r nadiler enc ia r t e p o l . e t r c i a l o s I , ¡ r , t ó : r l ) ¿ i 'i l i o s s i g r r i e r t e s n ú c l e o s: lií) (Z =_.\), roca tZ r : ilanle ent r i: lc s c ic s c o n j u u i o s . ( a , t I ) t (.2 =. 4t)\. -. 20),r\Zr aiur, a iin Ce r¡tit: ull irll esl¡' r:tl 1{ri\d {z . tjü), )t,'í.1.¿(.2 : g0) }. 2r8i_I lnr.r:rt¡"íIr (Z =..9?,). r,(luri lc dici't sus resr¡it¿lrirrs i: . ls e c r - ¡ lt el ¡ r c t enc iai o s r : i l a n t e t u a ¡ r r l c :¡,,iza ilesde l¡n tul';t.¡al ¡tri-¡ i.sit:ttr{rt{:t: rl('li{:::l dei elecio rlc 1a interacción tléct'rrerqías lrr¡ ¡r-'lativistas), Ias lolr'.jitrrtlr-.q t r i r a i - : l t . ¡ e p r o t l t t e d s o b r e l a e s t ¿ . h i l i d acl tlc lrs t ubos sucesivcls deiie ser L, \ n., rt,ri ¡rucicc¡? Lísalldo sus datos, haga el gráfico cie la cnprgfa potcncial en fr¡nción rirniie 1-, cs la longitud tlel irrinterf ubo. (hi l-fallar I, si el voltaje aceíeraricr es d e l n ú r n e r o r n á s i c ü . .l l'o y su frecuencia es v. (c) Caicular la 4.52 Un protón producido en un aceerrergia del ion que emerge del enésimr.r It¡'adt¡r de Van de Graaff de 1 l\{eV se t ubo. ( d) ¿Cuáiesdeben s e r l a s l o n g i t u d c s hace incidir sobre una lámina de oro. de los tubos sucesi\.osdespués que e1 ion Calcular la rlislancia de máxima aproalcanza energfas relativistas ? ximación (a) para un choque de frente, (b) para choques con parámetros de im1.1.-18 Supongamos que la diferencia de p a c t o d e 1 0 - 1 5r n y 1 0 - t ¿ m . ¿ C u á l e s l a potencial entre el terminal esférico de un generarlor de \¡an de Graaff y el punto deflección del ¡rrotón cn cada caso? en el cual liis cargas son esparcidas sobre 14.53 t.lna partlcula alfa con una enerla ct¡,r¡eae¡r su movimiento iracia arriba gia cinética dc '1 lfeV se lanza en línea sea de 2 v: 104 \¡. Si Ia correa cntrega iecta hacia el núcleo de un áto¡no de carga negativa a la esfera a razón de lriercurio. Éll nirmero ¿ilómico del mer2 x 10-s C s-r y toma carga positir-a cur"ic-,es 80, _v por lo tanto el núcleo c on la nlis m a r apidez , ¿ q u é p o t e n c i a s e tierre una. carga ¡,.ositivaigilal a 80 cargas necesita pera mor,'er la cor¡e¡t contra t:leciré¡ricas. (a) Flallar la distancia de las f ir er z as elóc t r ic as ? nl¡ixirna aproxinración tle la partÍcula 14. 49 La s e¡ r ar ac ión ¡ n e d i a e n t r e l o s aifa al núrcleo.(b) (iom¡>arar cl resultado pr ot ones en un ir úc leo a t ó n t i c o e s c l e l crrn el ¡'a¡1ionuclt:ar, - 10-14rl. or den de 1{ l- 15m . Es t i n r a r e n . l } c n 14.i,1 Prcto¡res acelera'1os por un volM eV el or den de r nagnit u d d e l a e n e r g Í a taje tle 8 ;< 105 \' inciden sobre una lápot enc ial eléc t r ic a ent r e d o s p r o t o n e s nrin¿rde oro (Z =- 79). Calcula¡ la sección del núcleo. eficaz diferencial para dispersión coulombiana en intervalos de 20' para é com14. 50 Suponiendo que l o s p r o t o n e s e n preudido entre 20o y 180". Hacer un un núcleo atórnico de ratlio R estén unigráfico, utilizando coordenadas polares, formemente distribuidos, la energía potencial eléctrica interna puede calcularse de o({). [Obseruación: la ec. (14.25) se con la expresión :,Z(Z*l)e¿l4nenR (ver hace infinita para { : 0. Esto se debe el pr oblem a 14. f i0 y el e j e r n p l o 1 0 . 1 3 ) . a q u e h e m o s s u p u e s t o q u e e l n ú c l e o d i sprlsof es una carga puntual. Cuando se El radio nuclear se puede a su vcz calcular por R : 7, 2 x 10- 1 5¡ 1 1 , 3 m . l , l s c t i - toma er) consideración el tamaño finito del núcleo esta anornalia desaparece.I bir las expresiones que dan la encrgia


Problemcs 14.55 La diferencia de potencial entre las clls yrlacas paralelas rie la fiq. 'i4.48 es rlc: 10(-lV, la separación entr¡ cllas es de 1 cm, _vsu longitud cs 2 t:!ri. Se ianza un electr()n con una vciocidarl rie 10? rrr s-r en dirección per¡rcntlicular al campc. (a) Ilallar sir rlesviación i.ransversal su -y velocida{i transversal ':r¡a¡,¡Coen:erge de las placas. (b) Si ,secoloca una pantalla a (i,50 rt a la tlcreciia dcl t'xtretno de las placas, ¿a qué pc¡iciór: sobre la pantalla llega el elt:clrón? 14 . 56 Sc es t abler e una dif er e n c i a d e potencial de 1600 V ent;:e dos placas paralelas separiidas 4 cm. Un cleclrón se libera
Flgura 14-48 14.57 Un triodo consiste fundamentalnente en los siguientes elementos: una superflcie plana (el cátodo) que emite eiectrones con velocidades iniciales despreciables; paraiela al cátodo y a 3 mm de di:iancia está Ia rejilla de alambre lino y a una difcrencie de potencial de 18 V cc¡it respecto al cátorio. La estructr.ira de la rejilla es tal qtre permitc que ics elecirones p¿sen Iibremenle. Una :egunda superficie plana (el ánodo) cstá 12 nim más ailá de la grilla y a un p0iencial de 15 V con respecto al cátodo. Su¡rongamos que el campo eléctrico entre el cátodo y la rejilla, y entre la rejilla r ei ánodo, sea uniforme. (a) Trazar un' iiagrama del potencial en función de la listancia, a lo largo de Ia llnea entre el ¡álodo y el ánodo. (b) ¿Con qué veloci:...d cruzrrn la rejilla los electrones ? -'' ¿.i-,anrlr¡é velocidad llegan al ánodo? , Determinar el módr¡lo y la dirección -1 carnpc eléctrico entre el cátodo -v la ::i 1la, y ent r e la r ejilla y e i á n o d o .

-

_

507

(e) Calcular el módulo v la dirección dc la aceleración dcl clectrón eir cada región. 1.1.58 Un acelerador lineal ccn un volLaje de 800 kV produce uir haz <1epro, tones equivalente a una corriente de 1 mA. Calcnlar (a) el nr':mt:ro de protones por segundo que inciden en cl $¿¡"o, (b) la potencia requerida p¿¡ra acelerar los protone s, (c) la velocida
_:_=-


508

Interaccióneléclrica

tados el haber ignorado los efectos [email protected],,3O vitacionales en .-:s1.ecapÍtulo ? () r.:j i3 (,j, G_-\e 74.62 AdaFtar ei rrsultado c.lel cjemplo X3.8 ai caso cle un planu con r:na densidad de carga o para irrrtbar r.¡'-le el camfrr; y ei potenc.iai eléctriccs son rf r-\ f;¡ ¡], C' i. (. :
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14. 61 Suponiendo qüe a l a c ¡ ¡ ¡ g e d e l prub.lerna 14.63 sg le dé una veloiiri:¡.d ini..iai ua p;.rralela al plano. fleterniin:rr (:) ia tt':ryectorir: que sigue, (h) el tierir¡ro {í$e lrini,cürr.¡ hasta que incitic ell el ¡,iai"r,',{c) l¿ ciisianci¿tgue ieci'rre itii-l.alei¡;:l::irie al p'lano antes cl¡ regresar al m,ist-I:ii.

1.t,6í¡ Fefiriéndcnos de nuevc al pr;bie¡ira 14.63, supone¡ que la carga sea y gue sea l ani n i c i a l me n tee \t z :0 z:ida * una velocicladuo a un ánguio a r:on el plano. Deternrinar (a) la trayectoria que siguc, (b] su separaciónmáxima dei plano, (c) ta distancia que recilrre paralelamente al plano antes de regresar ai mismo. J.".66 Se dispcnen en forma alternada ri¡l infinito número de cargas positivas l- negatlvas :l q sohre una ]inea recta. La stparaciónentre las cargasadyacentes es la rnisma e igual, r (fig. 14-4!)). Demostrar que la energfs potenciai de una carga es (- qzl?reur)ln 2 í"Suge¡e n c i c : u s a r l a e c . (l f. 24).1

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utle carg;r g. Calrrular el p,rtencial y el {'9.Ín!}oelriciflcos t:rr pri:rlos situados soL¡re ¿i eje rerpendicular ai plano del :rnlllr,'. 11,.t':1,,l.I:¡ilar ei potenr:i:-d _rr cl carcpo ¡lé:::tri'"r.r er puntOs Situatlos SObre el ejC ¡ie u¡ disc¡; dc ¡'adio R quc conticne una carqa d ¡;cr unidad de área. lSugerencía: diviciir el disco ¡rn anillos y sumar las contribuciones dc todos eilos.l Á.74 {lctiriéndose al problema 14.69 obtener el carnpo y el potencial eléctrico de una distribución de cargas sobre un plano que tiene la misma densidad de carga que el dlsco. lSugerencia: llacer Ái nruy granrie y mantener sélo ei térnrino predomina.nte,l 74.ii Se tiene un alambre de longitud 1- con una densidad lineal de carga ). ( n g . 1 4 - 5 1 ) {a ) P r o b a r q u e e l c a ¡ n p o

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Flgure 14-49

L---

74.67 Una dispt'lsición plana regular rie cargas de igual magnitud, positivas y negativas alternadas, se obiiene cnlocandr:i l¡rs crirgas en los cenl¡os de cr¡ad¡a¡los ;.ie iado r (Íi¡¡. 14-50). En':r,i:trar la ene:'glii iro{ errciai rie r¡na cár ;1.1 l¡l com¡¡ la ,{. 14,it? il¡:. il¡rillo d'r ¡ar]io rz l,rensircrla

.l

I'lgur* 14-ó1. elóriiico en un punt-oa r¡na distancia ¡iel rlernbre está CaCo por

v

i'i- - l;.i.trÍ€0fi)(sen0, --- sen {i,) f tt .- -- (',',14r;rlt)(cos 0" -


cos 0r),

Problemas donde i'.¡ y C.¡¡son las componentes de C perpc,nrlii:ular v paraiela al alamtrre y Br l/ 0¿ so¡i los ángulcs que toimtir las llneas trazadas iles(le el puntc a lris cxtremos
Figura 1.{-É*

5Ag

mentos dipolar y cuadrupolar para las tlireccio¡res consideradas. 14.77 Hallar los momentos dipolar y c-Liadrupolar con respecto al eje Z de la d;striirucién rie cargas mostrada en la fig. 1,1'52. llalla¡ el potencial y el campo en los punLos del eje Z, suponierrdo que : es muy grande comparailo con o. Repetir los cálculos para los puntos del eje Y.

Figura 14-58 14.78 Repetir el problema 74.77, suponiendo que todas las cargas son positivas. 14.79 Un protón muy rápido con velocidad Do pasa a la distancia a de un electrón inicialmente en reposo (ng. 1453). Suponiendo que el movimiento del protón no se perturba debido a su gran masa respecto a la del protón, (a) hacer el gráfico en función de r de la componente de la fuerza perpendiculat a rro que el protón ejerce sobre el electrón. (b) Demostrar que el momentum transferido al electrón es (ezl4ne o)(2luoa) Do. (c) Esen dirección perpendicular timar la desviación del protón^ en función de su velocidad. Este ejemplo sirve de base para analizar el movimiento de particulas cargadas gue pasan a través de la materia. [Sugerencia: Suponiendo que el electrón permanece prácticamente en su posición inicial mientras el protón pasa, el momentum transferido al electrón está dado por A,p : I F df y solamente Ia componente perpendicular a uo tiene que ser calculada. En vista de la simetrÍa de la füerza, en lugar de integrar desde -6 a + €, integrar desde o a € y multiplicar por 2.1 14.80 Demostrar que la energla potencial eléctrica interna de un sistema de cargas puede escribirse en cualesquiera

L-


Interacciéneléctrica

510

de las lormas:

(a) Eo: ). ii?o,

-::+,

+rc€orij

los pares

(b )

E,:t¿ -

Qtv ;, todas las cargas

donde Yr es el pot enc ial pr o d u c i d o t t n g r por las ofr:presiólt Para ttreltlostr';¡r quc la ener gí a de un c or ¡ d i t c t o r e s f é r i i r - t c on lr na c ar ga Q dis t r ibr : i d a u n i f r . r m e rlrernt¿sobre su r,'olumen es *(i¿l{;€Nll. ( e) Aplic ar t i úit im o t ' es ulta d o a l <: ¿ i s roi e un ¡ lúc ieo de núnr er o at ór n i c o Z . 14. 81 Pr ob¡ r t iue las ec u a c i c n c s t l i i e ' r enc iales par a ias lineas d e f u e r z a s o t r dtl{," : dAitu : dzlc',, do¡¡de dr, dg Y dz corresponden a la separació]t eiltre dos puntos muJ" cercanos de la iÍnea de f uer z a. Aplic ar es t as ec u a c i o h e s p a r a obt ener I a ec uac ión c le l a s l i n e a s d e fue¡za de un dipolo eléctrico. fSugerencia r Obsérvese que, como en este caso las llneas de fuerza son curvas planas, I a c om ponent e r ' ¿ es nula. E x p r e s a r C ¡ y (y de un dipolo elóctrico en coordenadas rectangulares,] 74.82 Probar que en coordenadas polares la ecuación diferencial de las llneas de fuerza es drlf, : r d0l(0. tlsar este resultado para obtener la ecuaciótr de las líneas de fuerza de uu clipolo eléctrico en coordenadas polares. \'erificar con cl r es ult ado del pr oblem a 14 . 8 1 . 14.83 El statcoulomb (stC) es utra unidad de carga que se define com
dina/statcoulcmb y N C-l para medir el campo elóctrico. 14.84 ¿Cuántos electrones equivalen a un statcoulomb ? i4:85 EI abcoulomb es una u¡ri¡lad de carga equivalente a 1t) C. Hallar el valor de las constantes R" y €o cuando la carga se expresa en abcoulombs, Ia fucrza en di¡ras y la distancia eri centímctros. ¿Cuál es la relación eutre el abcouio¡lrb .v ei statcor.rlonrb? 1 4 . 8 0 E l s t a t v o l t ( s t \ ') e s l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l q u e d e b c e x i s t i r t 'n t r e d o s puntos para que al rnover irna carga de un siai-coulomt-¡rie u¡r pilnto al otro se efectúe el tiabajo dc uri crg. (a) I)robar qrie un statvolt es iguai a c/106 ó aprox i n . i a r l a l n e n t c l j O 0 \ '. ( b ) f {a l l a r l a r e l a ción entrc el stV crn-r !' el V rn-r ccl¡no unidades para rnedir el cam¡ro cléctrico. C o n i p a r a r c o n e l r e s u l t a d o ( d ) d e l p r 'o blenla 14.83. 11.E7 Escribir la explesión para el potcncial creado por ul)a carga q a la disiancia r cuando el potencial se rnicle en stV, la carga en stC, y la distancia en cnl. Repetir para un canrpo eléctrico mcdido en stV cnr-r. 14.88 Se acostunrbra escribir la expresión para la energia del estado estaciona¡'io de los árotnos con un clectrón en la forma E¡ : - IlZhzclnz, tlonde .Il es la llarnada constanle dr llgdberg. L.'sando la ex¡rresión dada rn cl ejernplr-'1.1.8para € n p r o b a r q u c I i e s i g u a l a 1 , 0 9 7 - 1. r 1 0 7 rn-1. 14.89 Calcular la energÍa rle los cuatro primeros estados estacionarios del H y d e t H e '. f {a l l a r , e n c a d a c a s o , l a e n e r g i a r e q u e r i d a p a r a c l e t 'a r e l s i s t e m a , d e s d c c l e s t a d o f u n d a r - ¡ r e ¡ r t a la , l prirner estado excilado. Representar las energlas sobre uua cscala por nredio de Iineas horizont a l e s a d e c u a d a ¡ n e n t e e s p a c i a d a s . O b s i 'r vese que algunas cnergias coinciden. ¿Es posible deducir una regla general? 14.90 Usando el resultado del prob l e ¡ n a 1 ^ 1 . 3 7 ,e s t i m a r l a v e l o c i d a d d e l elec.trón en un átomo cle hidrógeno en su estado fundarnental y vcrificar los cálculoshechos al final del ejernplo 14.10.


15 II\TERACCIONh{AGNETICA

15.1 Introduccíón 15.2 Fuerzo rnagnética sobre una carga en movimíento 15.3 Mouimíento de una carga,en un campo magnétíco 15.4 Ejemplos de mouímiento de partículas cargadas en un ca,mpo magnético /5.5 Fuerza magnética sobre una corríente eléctrica 15.6 Torque magnétíco sobreuna corríenteeléctrica I5-7 campo magnétíeoproducído por ulul corriente cerrada /5.8 Campo magnétieo de una corriente reetíIíneo. 15.9 Fuerzas entre corríentes 15.10 Campo magnéticode una corcíentecircular 15.11 Campo rnagnétícode una carga en mouimiento (no relatiuísta) 15.12 Electromagnetismoy eI principio de relatíuidad 15.13 campo electromagnéticode una carga en mouimíento 15.14 Intbracción electromagnéticaentre d,os cargasen tnouimíento


512

{15.1

Interaccíón magnéIíca

75.7 Introd,ucción en la naturaLa interucción magnétícaes otro tipo de interacción que. se observa minerales de leza, varios siglos antes de cristo, el irombre observÓque ciertos de propiedad la hierro, como la'piedra imán (varied:rtl de la rnagnetita), tenían cobalto el el hierro, atraer pequeños1roro, de hierro. La nilsma pi:opierJadtienen y el manganesoen su estado naturll, y muchos compuestos de estcs met¿ries' la gravitación bsta propieOad,aparentemetrteesp':cifica'no está relacionada con que aparece sino puestc qu* no sólá no la tienen naturalmente lotloslus cuerpos, tampoco Aparentemente, concentiada en ciertos lugares del lrrineral de hierro' atraen no minerales estos porque está relacionada con la interacción eléctrica propiedad esta dio a le se consecuencia, l boiitas de corcho o pedazosde papel" E Las regiones de un cuerpo en las cuales física un nuevo nomble: ma,Qnetísmo+. clenominan polos magnétícas'LTn cuerpo se el magnetismo aparece concentrado magnetizado se denourina imrin'

Wñ

_--.-.t.

(b)

(a)

Fls. 16.1, Interacción entre dos barras magnetizadas. (a) Los polos de distinto noittb.. se atraen. (b) Los polos del mismo nombre se repelen' La tierra rnisma es un inmenso imán. Por ejemplo, si suspendemosuna varilla mover magnetizada en cualquier punto de la superficie terrestre y la dejamos que siempre de modo orienta varilla se la la vertical, de alrededor libremente el mismo extremo apunta hacia el polo norte geográfico. Este resultado demuestra que la tierra ejerce una fuerza arlicional sobre la varilla magnetizada, fuerza que no experimentan varillas no magnetizadas' Estó experimento sugiere también que hay dos clases de polos magnéticos que podembsáesignar.on lor signos + y *, o por las letras N-y S correspondientes, los polos que apuntan hacia el norte y hacia el sur. Si tomarespectivam"ñt", ^ do, varillas magnétizadasy las colocamoscomo se muestra en la lig' 15-1' -oi mismas se repelen o se atraen según enfrentemos polos del mismo o de dife'las rente nombre. concluimos entonces de nuestro experimento que

del mismonambrees repulsiua Ia ínteracciónenlre polosmagnéfícos nombrees atractiua' distínto polos de entre g la interaccíón * El nombre magnetismo praviene de una antigua ciudad del Asia l{enor llamada Magnesia' donde. de acue¡d"o con la iradición, se observó por primera vez eI fenómeno.


15.2)

Fuerza magnétíca sobre una eargo. en mouimienlo

513

A continuación, podriamos intentar medir la intensidad de un polo magnético definiendo \na carga o masa magnélica, e investigar cómo depende la interacción magnética de la distancia entre los polos. E,sto es perfectamente posible, y de hecho, antes que los físicos comprendieran claramente la naturaleza del magnetismo, aquél fue el nlétodo de estudio adoptado. Sin embargo, cuando se intentaron estas mediciones, apareció una dificultad fundamental: aunque ha sido posible aislar cargas eléctricas positivas y negativas y asociar una carga eléctrica definida con las particulas fundamentales que constituyen todos los átomos, no ha sido posible aislar un polo magnético o identificar una particula fundamental que tenga solamenteuna clase de magnetismo, sea el N o el S. Los cuerpos magnetizados siempre presentan pares de polos iguales y opuestos. Por otra parte, se ha encontrado que las nociones de polo magnético y masa magnética no son necesariaspara describir eI magnetismo. Las interacciones eléctrica y magnética están lntimamente relacionadas, siendo en realidad sólo dos aspectos diferentes de una propiedad de Ia materia: su ca.rga eléctrica; eI magnetísmo es un efeclo del mouimíenlo de las caryas e!éclricas.Las interacciones eléctrica y magnética deben considerarse conjuntamente bajo la designación más general d.e inleraccíón electromagnética,

1-5.2 Fuerda ,rrynéüct

sobre uno corgd en mooírniento

podemos interacciones entrecuerpos magnetizados, decir, Puestoqueobservemos por analo$a con los casos-gravitacional y eléctrico, que un cuerpo magnetizado produce un campo magnétícoen el espacio que lo rodea. Cuando colocamos una carga eléctrica en reposoen un campo magnético, no se observa la misma fuerza o interacción especial alguna; pero cuando una carga eléctrica se mueve en una región donde hay un campo magnético, se observa una nueva fuerza sobre la carga además de las debidas a sus interacciones gravitacional y eléctrica. Midiendo en el mismo punto de un campo magnético, la fuerza que experimentan dilerentes cargas moviéndose de diferentes maneras, podemos obtener una relación entre la fuerza, la carga y su vclocidad. De este modo encontramos que Ia fuerza ejercida por un campo magnéticosobrc una carga cn mouimíento es proporcional a Ia carga eléclrica g a su uelocidad, U la direccíón de la fuerza es perpendicula¡ a la uelocidad d.e la carga. Podemos avanzar un paso más y, recordando la definición de producto vectorial, escribir tentativament¿ la fuerza F sobre una carga q que se mueve cdn velocidad r: en un campo magnético, en la forma

(15.1)

P:qoxT,

la cual satisfacelos requisitos experimentalesmencionadosmás arriba. En esta ccuación, :]J es un vector que se determina en cada punto comparando el valor observado de F en ese punto con los valores de q y o. Este modo de proceder ha demostrado tener éxito. El vector ')l puede variar de punto a punto en un


514

Intcraccíon maqnélica

(15.2

c am po m . agnél. ir : o, ; ) er o r n c i ¡ t l ¡ : i ¡ u l i t c $ ¡ : ¡ J i i c l i {. : . l l ': t , , . >: l r t ¡ ; - i l l l r . ¡ i t a i n e ¡ i t e {u r ) c S el rnismo para todas las carg;:s;.,:relr-',i!iliiiitr:r.. lrol ir¡ iii¡itr; ilescribc una propir:ciacl gue es c ar ac t er Í s t ic t dc i r . : l L ¡ r t t , or n *g n r : t r i c - ; 1 ; i ; d t n r i ; s l i a m a r l a í r ú e n s i t l o d ¿ l e camp7 rnur¡nélico: rltr0 nonti,ii'c, tm¡tttr.ri-ti l¡r ¡l iliio. cs í¡tducrión magnélict. Iln esl.e te>;to irsartrll'los solal)i'r;te lr prilnt:ril tlt:sigiilición, Cuando la partícuJa se nlue"-e r-rn ilri¿l regrón dolde ha]' un carrlpo eléctricr_i v lttio magüético, l¿r frterza toial es la ¡u¡na dr: la filerza clictrica qC y la fuerza rnagnética qu x (.13.es decir.

F '-=q(.(' -r u x ')J).

(15.2)

Esta expresitin se denomina fuerza de Lore¡¡lz" La ec. (15.1) da, por l a defi ni ci ón de producto vectorial, una fuerza no sfto perpendicular a la velocidad ü, como se inriicó anteriormentc, si¡to también al campo magnético ':)J.La ec. (15.1) impiica taml¡ién que cuandoo es paralelaa :|J, la fuerza .ú' es cero; de hecho, se observa que en cada punto de todo campo magn egati va) nético hay una cierta dirección de movimiento para la cual no se ejerce fuerza Flg. 15-2. Relación vectorial entre la alguna sobre la carga €n movimiento. Esfuerza magnética, el campo magnético ta dirección define la dirección del campo y ia velocidad de la carga. La fuerza es magnético en el punto. En la fig. 15-z perpendicular al plano que contiene se ha ilustrado la relación entre los tres a ? rv a o . vectores a, )t y .[', tanto para una carga positiva como para una negativa. La figura muestra la regla para determinar el sentido de la fuerza; esta regla usa la mano derecha. Si a es el ángulo entre ?: y ?, el módulo de ^f,'es F :Q D

)J s e n" .

El máximo de intensidad de la fuerza ocurre cuando o : es perpendicular a '7J, resultando

p : qu.)).

(15.3) rl2 o sca cuando o

(15.4)

El mínimo de la fuerza, cero, ocurre cuando ¿ : 0 o sea cuando tl es paralela a ''JJ, como se dijo antcs. A p a rti r d e l a e c . (1 5 .1 ),podemosdefi ni r l a uni dad de campo magnéti co como NiC rn s-r o sea kg -s-r6-r. Ilsta unid¿irlse de¡rorninaleslo en honor del irigeniero norteamericanonacido en Yugoeslavia NichcrLrsTesla (1856-!943).Se abrevia l, por lo qtie T --=kg s-1 C-1. Un tirsle colrespo¡rtleal campo rnagnético gue produce una fnrrza rle un ¡reuton solirr urla car'qa de un corilo*i, qu* se mueve perpendicularme¡lteal campo a razón dc un metro por segundo.


15"2)

l.-uerzamagnétícasobre una cqrga en mouímiento

515

coino ia fircrza magnétice r" : Qú x ?l es perpendicular a la velocidad, su trabajo es cer(, y por lo tantc no produce cambio alguno en la eneryia c,inética de la partícula, definida por ia ci'. (8.i1). Aunqrre la fuerza rnagnética no es conservativa en el sentido delinido cn el capitulo 8, cuanclo una partícula se mueve €n carnpos rnagnético y eléctrico superpuestc-c, su energia total pcrmanece constante. (Por energÍa total entendemos la energía cinética rnás la energia potencial de las diferentes interacciones). ltJEDlIlLo i5.7. Un protón de los rayos cósmicos entra con una velocida{ de 10? ¡n s-1 en ei campo m-agnÉtico de la tierra, en dirección perpendicular al mismo. Estima¡ Ia fuerza que se ejcrce sobre el protón. Solució-¿¡.:La itt'rensidad del carnpo magnético cerca de la superficie terrestre en el ecuador es de alrededor de ')J : 1,3 x 10-? T. La carga eléctrica de! protón es q : ,l e : 1,6 x 10-rr C. Por lo tanto, usando la ec. (15.4), la fuerza sobre el protón es P :

qu(I} -

2,Ct8 x 10-re N,

gue es ccrca de dicz millones de veces mayor que la fuerza debida a la gravedatl m ¡ t ! : 1, 6 x 10- 26N. Siendo m p : 7 , 7 x 1 0 - 2 ?k g , l a a c e l e r a c i ó n d e b i d a a e s t a fuerza es c : Flmp -- 1,2 x 108 rn s-2; la aceleración del protórr cs pues nruy grande comparada con ia aceleración de la giavedad, EJEMPLO 75.2. Discusión del electo HaIL En 1879 el fisico norteamericano .8. C" Hall (1855-1929) descubrió que cuando una placa metálica por la que pasa una corriente 1 se coloca en un campo magnético perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este fenór¡leno se denomina efecto Hall, sorución: Se trata de una aplicación tfpica de Ia ec. (15.1). Supongamos primero que los portadores de corriente eléctrica en la placa metálica son electrones, los cuales tienen una carga negativa g - -.- c. Considerando la ftg. (15-3(a), donde se ha dibujado el eje Z paralelo a la corriente 1, vemos que el movimiento de las cargas es en el sentido d,e - Z con velocidad ¡:-. Cuando se aplica el campo mag-

z

+

+ + f

+ 'r -t-

+ + (a)

Portadores . negatMs

l ñ:

\Y

-o l

"/

(r,)

Portadores positivos

Flg. 15-3. El efecto Hall.


516

(15.3

InÍerscdón rnagnélica

nético'lJ perpcndicularmente a la placa, en el serrtjrl,¡ ciri eje X, los electrones están (d tiene el sensujetos a una frter¿a ,F : (-- e)u x lJ. IJI prodiictr: vcctc¡¡iai er- x ¿. como está t.;ruiiipiicar-lo --cl rcsultado es un vec¿or .F tido tle --)', ilor ¡rero en el sel¡iido de -i- Y. En co¡rsecuertt:ia.los eiertroriss tlel'i.,'q¡thaeia ei lado rlerecho rie I* pirca" la cu:rl te carga negaiiva,!:i)llte. Fli lad<.¡izqriierdo se carge positivamente ¡lcrique tie¡re un:i rj.eficienniatír ,.'l ¡iúmef{r nctmai cle eler:trones. Como resulta-do, aparece u¡! car¡po eléctiic.o { paralelc, ai cje ; Y, l,a fuerza sr¡bre los elect.icinrs dchiii; a este car¡rpo eiertri{":ü{jt i.--.¿,)(; ;onl(; eslá dirigitta l;acie la izqrriercla i¿ ftit,iz'¡ hacia ia rler.-i:he ¡iebida a1 carnpo liega u:-i ii:'ji-¡"r¿nittn 1i11{'*Lrrltr^fi'l".lgii; ic,:' ii, 1;r:ailucióndcseei e¡Iuiiii'¡tc. Est{i a $ú vcz da r;rigen a r¡na diferencia ::la¡;:re.i lrllr.isve:;rii gnl¡1 lr,rr lir,¡.1,'s i,;"¡i!9sti.sdel c¿nducicr, sicndo el l¿rio Jr ¡:rr--1-*lr:i:ti i;:tilrir'rCc el qrre crttír a p(itcrrr:ial ¡l¿j¡r ¡lir¡. cl valor r-iela rlifercnci¿ de potenc:ial a1 carn¡-ro¡raÉirélico .liEie es tl efr:ct¿rllail ¡rornal o "negatir'o" r:t l,,r¡,)l-1{J}'cional rI*{' prr:}entan ta inal'oría d* los mtl.ai*s, como ei orc, li1 plaia, el platino, el coi-'ie" r:t-ír.$i:.i errri.:argclerr cit:i't¡:; Inrirles '-.como ¡:l cobaito, ei zinc y el hierr'o y otl'::; ¡r¡aterr:r¡asÍ,imo los senliio¡lrliicloits, se produce un eiccto l{ail opuesto o o' ¡ ir ' .,t

i' .' t;",

I¡r!,ir i'\plií ¡r' ri 1fú{:ta t-iall posiiivo, :!jJrt''iir,¡:l'nsqt¡e irs tr':¡ta¡lnrcs dc corriente, . , ' , 1. , . 1.r ' ic ¡ r , : . . ' , 1r ir r ' t r ¡ t : t ; r s r r r g l i <, : rr r i ; i a l . : , ¡ ; : : l a i e " ¡ o u p e r t i l ¡ l l a s d t c a r g a p o s i 1,. ,:¿iiir ¡

¡ j r ¡ 'r r ;¡ ¡ ¡ - :- ¡ .' :.:s .:? * -j i

. j

fj :s ¡ :'f r ,- r5t;i l

iii+

i i i .!+ l ¿ ! l ti l r i .i eti t_€,

1. 1,; ¡ 1, : jr : : t . i a:j . , l¡ ¡ u' r : j¡ ' 11 l. : . i j . a r - , . . : rÍ : i '¡ . . l . ', . 1 : ! 1i(':j t ! ¡ ¡ '. 1 . i i , - : . r 1 1 : l)-. . '. tf u r : r Z a ,"' -,i t r t . : j: i, ; ' . . ' r ¡ . - : r , : . lI - , r : ; . gli. r ; l t - . . i . ; ; : i 6 . ; : , ' : ') : . , .r i i . - ' r - . S ! ár j t ¡ i d . i . . : - i a :-:l: rj r,' .,i¡..j;il¡.r*rie '¡ el i::r;tiitril,'' ¡ir¿r:ai: i tr;.,..:',i ?, ,;li.'1r:¡i; nd0 ftr carnp(l eléCi,,T'r ;.i'r' , :'r.:lri;i,e:,.1; el itentiflo ilr -- liir',-o:ir¡ ia¡:tt¡ l¡ .iife ;'c¡,cia
75.8

ilToaimiemto

d,e un{t r:{ñrgd, en uft eürnfto

rnagnéttco

Consideremosprimeramente el movirniento de una particula cargada en un campo magnético uniforrne, es decir, un campo nagnético que tiene la misma intensidad y dirección en todos sus puntos. Para simpiificar, consideraremo.sprimero el caso de una partícula que -qemue\e perpendicularmenteal campo rnagnético (fig. 1ir-4); la fuerza está dada entorrcespor !a ec" {15.4). Como la fuerza es perpendii:ular a la veiocidad, su efr:it* es canbr¿ir ia ciirecciónde la velocidad sin cambiar sr; mírdulo, resuitando uri n;i,rinli.ri¡l,.ic:irr:ularuniforme. L,a aceleración es por lo tanlo centrípeta y usatdo le etuaciirn de movi¡nienr;o(7.28), tenemos


15.3)

Llouimiento de una carga en un campo magnélíco

517

F' .-' p¡21v, donde F está dada por la ec. (1b.4). Escribimos por lo tanto ñ ,2

_ -q ú b t

mu , - -;=, qD

(15.5)

la rual da cl radio de la circunferenciadescritapor Ia particrrla. por ejemplo, usandolos datos del ejemplo15.1,vemosque los protonesdescribiríanuna cir-

cunfcrencia de radio 8 x 105m si el campo fuera uniforrne. Escribiendo r : (¡r, donde <¡ es la velocidad angular, tenei-nos entonces

. .m: J-q.

(15.6)

Por lo tanto la velocidad angular es independiente de la velocidad lineal u y depende solamente del cociente qlm y del campo cB. La expreión (1b.6) da el módulo de c,:pero no su dirección. En la ec. (5.58) indicamos que la aceleración en un movimiento circular uniforme se puede esc¡ibir en forma vectorial como ü: e) x o. Por lo tanto, la ecuación de m o v i mi e n to ,F ' :/7 ? l Ie s m@ x ? ):q Ox ff)

Flg, l5-4. Una carga que se mueve perpendicularmente a un campo mag_ nético uniforme sigue una trayectoria circular.

o, invirtiendo el producto vectorial en el primer miembro y dividiendo por m, @xn:_@lm)cl3xa, lo cual impiica que @ : - (qlm),ü,

(15.7)

la cual da a¡ tanto en módulo como en dirección y sentido.* El signo menos indica que a¡ tiene dirección opuesta a la de ?3 para una carga positiva y la misma djrección para una carga negativa. Llamaremos a a frecueicia ciclolrónica por razolles que se explicarán en la sección 15.4(c) cuando tratemos el ciclotrbn. Es costumbre representar un campo perpendicular al papel por un punto (.) si está dirigido hacia el lector y por una cruz (x) si está áirigloó hacia la página. * En rigor, tendrÍamos que haber escrito ú) : - (qlm)T * lo, donde ), es una constante arbit r ar ia ; sin ,.) ¡ n b a r g ola e c. ( 1 5 .6 ) indi ca que debernos poner ). : 0.


518

(15.3

Interacción maonética

aoaaa

q p o sitiva ; G h a cia a r r ib a , co hacia abaj<'r (a)

aaaaaa

r¡ negativa ; (B y ro hacia arriba (b) FiS. 1ó-5. Trayectorias circulares positivas y negativas en un campo magnético uniiorme.

Fig. 16-6. Fotografia, tomada en una cámara de niebla, de trayectorias de partfculas cargadas en un campo magnético uniforme dirigido hacia la página. ¿Puede el estudiante identiflcar cuáles son las cargas positivas y cuáles las negativas?

La fig. 15-5 representa la trayectoria de una carga positiva (a) y una negativa (b) moviéndoseperpendicularmentea un campo perpendicular a la página. En (a) @ está dirigida hacia la página y en (b) hacia el lector. La curvatura de la trayectoria de un icn elt un campo magnético constituye un método para dcterminar si su carga es uegativa o positiva, si sabemoscttál es el sentido de su movimientc. La fig. l5-6 muestra las trayectorias de varias particulas cargadasque se han hecho visibles rnediante una cámara de niebla* colocada en un campo magnético. El campo magnético aplicado es valias veces más intenso que el de la tierra, de modo que el radio de la trayectr¡ria es del orden de las djmensionesde la cámara de niebla. Nótese que las trayectorias se curvan * L a cá m a ¡ a d e n ie b la e s u n d isp o s i ti vo que conti enr: una mezcl a de gas y vapor en l a cual l a t r a ye cto r ia d e u n a p a r tícu la ca r g a da se hace vi si bl e er:'nC ensandoel vapor sobre i ones del gas. Los iones son producidos por la interacción ent¡e ]es partlculas ca¡gá,das y las moléculas del g a s. L a co n d e n sa ció n se lo g r a e n fr iando l a mezcl a meci i ante una expansi ón rápi da (adi abáti ca). L a m e zcla p u e d e se r a ir e y va p o t de agua.

-L


15.3\

l,Iouímiento de una carga en un campo magnético

519

trlg- 15-?" Fotografla de la trayectoria d.eun positrón (elecLrónpositivo) en un campo magnético dirigido hacia la .página, tomada por Anderson en una cámara de niebla. Esta lotogralla cc¡nstituyó la primera (1932) evidencia experimental de la existencia de los positrones, que habfan sido predichos teóricamente por l)irac. en sentidos opuestos, lo cual indica que algunas partículas son positivas y otras negativas. Puede observarse que algunas de las partículas describen una espiral de radio decreciente; esto indica que la partícula está siendo frenada por colisiones con las moléculas del gas. Esta disminución de la velocidad ocasiona, según la ec. (15.5), una disminución del radio de la órbita. La ec. (15.5) nos dice también que la curvatura de la trayectoria de una particula cargada en un campo magnético depende de la ener$a de la particula; cuanto mayor es la ener$a (o el momentum p - mu), mayor es el radio de Ia trayectoria y menor la curvatura. La aplicación de este principio condujo en 1932 al descubrimiento del posítrón en los rayos cósmicos. El positrón es una particula fundamental que tiene la misma masa me que el electrón pero una carga positiua + ¿; su descubrimiento fue fruto de los trabajos del físico norteamericano Carl D. Anderson (1905- ).* Fue Anderson el que obtuvo en una cámara de niebla Ia fotograflía de la fig. 1t7. La banda horizontal que se ve en Ia figura es una plancha de plomo de 0,6 cm de espesorque se ha colocado dentro de la cámara de niebla y a través de la cual ha pasado la partfcula. La parte inferior de la trayectoria de la particuia está menos curvada que la superior, lo cual indica que por encima de la plancha la partícula tiene menor velocidad y energia que por debajo; en consecuenciala partícula se mueve hacia arriba ya que debe perder ener$a al pasar a través de la plancha. La curvatura de la trayectoria de Ia partícula y el sentido del movimiento con respecto al campo magnético indican r¡ue la partícula es positiva. La trayectoria se parece mucho a la de un electrón -- pero de un electrón positivo. Usando la ec. (15.5)podemosescribirp:¡ny:flJr; aur Io t*nto, si en Ia fotografía medimos ¡ y suponemos que q : J, podemos calculrf p; el resultado de este cálculo es que p tiene un orden de magnitud co:respc;idi:rirtqa una partícula que tiene la misma masa que el electrón. Un anát Sin ernbrrgo, la existencia de esta partfcula habfa sido predicha unos años antes de su descubrimiento, por el físico británico Paul A. M. Dirac (1902- ).


520

(1s.3

Inleracciónmagnética

.lisis más d.etaiiadr nos perrrrite encontrar Ia veiecjtl¡lcl de la partícuia y por lo ianto deterrninar su masa, obtcnier¡doun acuerdo totai cr:n ia masa del electrÓn. Si una particula cargada se ml,¡e'/e inicialmente en u.na dirección que no es ia velocidad en sus perpendicular al campo magnético, ,oder¡ltrs dcsct,rnpr.rrier componentes paralela y perpendicular al campo triaglrtitico. La componente paralela permanececonstante y !a perpcndicrrlarcambia continuamente de direcoión pero no de magnitud. El movimiento es eulonces el resultantc de un movi'lniento uniforrne en la direccjól del canlpo y un movimicnto circular alredcdor ,,1c1 campo con velociCad anguiar dada pcr !a r,1..ili'Si. I-a trayectoria es ulta hei¡ce, cLirnü se rnuestra en i:: fig' 1!8 para tl ca-r¡' ¡le r::r ion positivo. üravor es ei campc liir+ hech¡ nrás que se dedrieede la ec. í15.5) es {iui- t:r.l.'rrit-o la lr i.r;r-Yectoria dg pr:rticllla eiirgada. Por !o de es lacirc cl ri iiEi;éi;.co,iicrror f-¡:¡vtrtoria la r:nilctn-,c, llo es circtll*r. La r:s ¡ro ita,-qlétici; ¡:ini.r: $i t:j carnp¡r ::.¡ " l,' ;;!:' In t:cii¡ :: ¡ ir ;;1 :i :i !{.t !i th,r.:r! , l i ){r {i i i 'i ',-:i i i l i l t, i .',i 1,ti ei ,j a a rl t¡'.:cha C on sl i ' ,r ,1 i i ¡l vL'i '" t i , ,i , .r;.',": .1;'i 'C ei '.i i , ¡:oi 1r' tl 'rrtt{t l i Íl t p:fti C ul :. :il;r .!e 1 lil::,ii.' .,.t., 'J¡ 'rrrl l j )i )¡ .l "S i .:;i ''l l l i ':, l ¡, i .f,: l l ;1i .í'l f¡C i ¡l .i l -l ¡l i .v;l e i;.,..',r.'.; :.' . r i::f i: ' ' l' :,,.i]:,., ..:t:- .... ...,:. I :, ;.r ' ¡ , rr. , . .i '.:.t;]:,1-.i , ,l i fr ;¡; i ,r:,:i ]tJ ,:l :l ;;,:t :i :l i :i , .l ::;,ti ;l :'!.: ,;; .' .lir it;]1:' jr '

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. ¡ !.i.t*{ {

:.,1 ;ir ,ii;iii:r i.l¡ :i!li:rl

i i : .ri :.¡:l fti } i -l r:l É i )'.'i :l :fr" P ..l r l t; i .ati l .O, ¡- ¡ri C ti i da

C tl a U i l

d.: ii:i.i;;' r ' r ¡ illa g r - { i' t:ú ' .} ¡ il¡ r la ¡ r ta ul ¡ ;:..i i ,^:¡:i .j ad,,''t¡¡¡;,,r,rO a ¡ctt¡¿r cíJ¡:rc i el l ector r ) ] c:'j ti r:t 3e .'l -':r i (,nl t:'i tríIer:t.c, ci i rcú ri n e.{ptJc magri él i co" Il.lr iicü l¿ t3 i:a ;g a d ;s

Slste ¿feri'o se usa ampiiamrrntc Lr¡ra coitl-¿iiergases itni;.ados o pl:rsmas. En ia !ig. 15-10 se hil repiesentidc ctra li[uar:ión, i)ri la que ull campo magrrétiüo perpe¡rdiculara la piigina aurrenta de intensidad de derecha a izquierda. También se ha indicado la trayectoria de un irln positivo inyectado perpendicularurente al campo; esta trayecilria está más curvada a la izquierda, donde ei campo es más fuerte, que a la derecha,donde es más débil. La trayectoria no es cerrada y la partícula avanza a través del campo perpendicularmente a la dirección e¡r que éste aumenta. Un ejemplo interesante del movimiento de iones en un campo magnético es el caso de las partículas cargadas que inciden sobre ia tierra prevenientes del espacio exterior, las cuales constituyen parte de Io que se denomina ragos cósmicos. La fig. 15-11 muestra las líneas de fuerza del campo magnético terrestre.* Las partículas que inciden según €l eje magnético de la tierra no sufren desviación alguna y llegan a Ia tierra aunque tengan energía muy pequeña. Las partículas que caerroblicuameirte con respecto al eje magnético de la tierra, describen una trayectoria.helicoidal, que puede ser tan cilrvada si las particulas se mueven muy lentamente, que las mismas no ilegan a Ia superficie terrestre. Las que llegan r En ;' e a litl¿ ii, e l ca in p o m a gnéti co que rur:ea l a ti t¡ra preserrl a veri as anomal fas l ocal es y rrna d isto ¡ sió n g lo lia i e n iiie cciú n opuesta al s¡l , i as cual cs no se ven cn l a representaci ón esquem á tica d e la fls. 1 5 - r i.


15.3\

Mauímienlo de una carga en un campo magnélico

521

Fig. 15-8. Trayectoria helicoidal de un ion positivo que se mueve oblicuamente respecto a un campo magnético uniforme.

Ftg. 16-9. Trayectoria de un ion positivo en un campo magnético no uniforme,

G ¡ r ) te n so

Fig. 16-10. Movimiento plano de un ion arrastrado por un campo magnético no uniiorme.


(15.3

Interacciónmagnélica É )nergi a baj a, aprcl xi tuadal nente pol ar En e r g fa a lta , a p r o xin a d a m e n te p o lar

E nergía baj a, aproxi madamente

Eje E l ectrón rotaci ón atrapado Ele ctr ó n a tr a p a d

En e r g la a lta , a Dr o xin r a d a ln e n te \z u.u"toti¡t -,'/ \ \ \_:;:2-

l

I

(o entrante)

agnetÍco

FtS. 15-11. Movimiento de partfculas cargadas de Ios rayos cósmicosen el campo magnético terrestre.

sobre el ecuador magnético experimentan la mavor desviación porque se mueven en un plano perpendicuiar al campo magnético; en consecuenciasólo las partículas que tienen mayor energia pueden alcanzar la superficie terrestre. En otras palabras: la energíamínima que una partícula cósnica cargada debe tener para llegar a la superficie de la tierra, aumenta a medida que se va del eje magnético terrestre al ecuador rnagnético. Otro efecto debido al campo magnético terrestre es la asÍm¿lría este-oeste de la radiación cósmica. No se conoce con certeza si las particulas cósmicascargadas son preponderantementepositivas o negativas; sin embargo sabemos,sí, que las particulas de cargas opuestas sorr desviadas en sentidos opuestos por el campo rnagnéticoterrestre. Si en los rayos cósmicosel número de particulas positivas que llegan a la tierra es difercnte del de particulas negativas, debemos observar que ios rayos cósrnicosque llcgan a urr lugar dado de la superficie tenestre en direccjón cste del ce¡]it, tienen rtna i¡:teilsirl*d dilerente a la de los que ilegan en dirección oeste dei cenit. Lcs resultados errperimentaieseslán ampliantent* a favor de una mayoria de particulas cargadaspositivamente.


Ejemplos d.e mouimienÍo de partlculas

15.4)

s23

Lss cíntt¡ronesde radiacíón de Yan AIIen son otro ejernplo de la interacción de partículas cósmicas cargadas, con e] campo rnagnético terrestre. Estos cinturones están compuestosde partÍculas cargadasrápidas, principalmente electrones y protones, atrapados en ei cer$po magnetico terrestre. Ei primer cinturón se extiende aproximadamente entre los 800 y lss 4000 km de la superficie de la tiema, mientras que el segundo se extiende a unos 60.000 km de la tierra.* Fueron descubiertos en 1958 por medio de aparatos que llevaba un satélite norteamericano Explorer e investigados por la sonda lunar Pioneer IIL Para comprender mejor cómo Ias partícnlas cargadasson atrapadas en los cinturones de Van Allen, consideremos,por ejemplo, un electrón libre producido por la colisión entre un átorno y uira particula cósmica a muchos kilómetros de la superllcie terrestre; la componente de la velocidad perpendicular al campo magnético terrestre hace que ei electrón viaje en una trayectoria curvada. Sin embargo, Ia intensidad del campo es mayor más cerca de la tierra. EI resultado es un movimiento similar al mostrado en la fig. 15-10, desviándoseel electrón hacia el este debido a su carga negativa (para cargas positivas Ia desviación es hacia el oeste). La componente de Ia velocidad paralela al campo magnético terrestre da lugar a un efecto adicionai, que hace que las partículas avancen en espiral hacia uno de los polos siguiendo las líneas de fuerza magnéticas, en forma similar a la mostrada en la fig. 1ts8. Debido al aumento de la intensidad del campo magnético hacia el norte o hacia el sur, el radio de giro se hace cada vez rnenor, disminuyendo al mismo tiempo la componente paralela de la velocidad, como se explicó en relación con el efecto de espejo magnético de la fig. 1il9. Cada electrón alcanza una latitud norte o sur determinada para la cual se anula Ia componente paralela de la velocidad; latitud que dependede la velocidad inicial de inyección. El electrón retrocede entonces hacia el polo opuesto. El movimiento resultante es por lo tanto un cambio de longitud hacia el este y una oscilación norte-sur en latitud. El movimiento se repite continuamente, quizás durante varias semanas, hasta que el electrón es expulsado del cinturón de Van Allen por una coüsión que terrnina con su condición de prisionero. Con los protones atrapados ocume una situación similar.

75.4

Ejemplos

d,e tnoairniento

departlculas

eargadaa

enun

earnlro

rnagnético En esta secciónilustraremosvarias situacionesconcretasen las cuales un ion se mueve en un campo magnético. (a) Espectrómetro de mdsas" Consideremos el dispositivoilustrado en la fig. 15.12. Alü f es una fu.entede iones(para electronespuedeser simplementeun filamento * Hay bastante evidencia de que el cinturón interno está compuesto por protones y electrones provenientes de la desintegración de neutrones quo han sido producidos por la inte¡acción de los rayos cósn.ricoscon la atmósfe¡a terrestre, El cinturón externo consiste principalmente en partfculas cargadas enritidas por el sol. La actividad solar está asociada con un ar¡mento de estas partlculas, y su tlesaparición del cinturón de radiación es la causa de la actividad auroral y del enmudecimiento rle las ¡adiotransmisiones,


524

Interacción maqnétíca

{15.1

de iir-qrilries pasari los caliente) y ,Sr y 5" son dos ien.lijas est¡echas;.r i.i:'o.,És iones siendo acelerarlospor lrr diLerc¡cui dc polelciai 'v' :r,riicada enlre ambas. L a v e i o c i d a dd e s a l i d a c i e i cs i i ,l ¡:s se c,¡l cui aÉ p¡Ii i i dt i a ec. i 14.38i , i a cu¿rlda

uz:2 {A } u .

(15.8)

\in l

Hn ia región que estii por rl:):ajrr ;lr: la:; renil:jrr hav un carcpo magnético uniiorme dirigirio hacia el lectc¡'. Ii, ii:¡l 'jescribi:á cntcnccs una órh'ita circuier, *url'aiia cn un sentid{i G en otrr; srgúl sea el signr..:rie :;-r,lcarga g. Después de jc: r¡¡nrs itrcrci.en sobre ¡ing placa fotográfica P, describii una ser¡ricircunferencia dejando una marca. EI radio ¡ de la óririta está dado p.orla ec. (15.5), de la cual,

Pl¿rea fotográfic¿

1)

FlS. 16-12. Espectrómetrode masas de Dernpster. 1 es una fuente de iones. Las rendijas S, y Ss sirven de colimadores del haz de iones. V es la diferencia de potencial aceleradora aplicada entre ,S, y Sr. P es una placa fotográfica que registra la llegada de los iones.

despejando Ia velocidad u, obtenemos

v:

Q cry r. m

(15.e)

las ecs.(15.8)y (15.9)para eliminaru, obtenemos Combinando 2V _g- :-- (larz, m

(15.10)

que da la razón qlmen función de tres cantidades(V,(-tri,yr) que pueden medirse fácilmente. Podemos apiicar esta técnica a electrones, protones y cualquier otra partícula, átomo o molécuia cargada. Midiendo la carga q independientemente, podemos obtener la masa de la partícula. Estos son los métodos que se mencionaron anteriormente en la sección 14.5. El dispositivo de la fig. 15-12 constituye rn especlrómet¡ode masos, porque separa los iones que tienen la misma carga q pero diferente masa m ya que de acuerdo con la ec, (15.10), el radio de la trayectoria de cada ion cambia según el valor de qlm del mismo. Este espectrómelrr; particular se denomina espectrG metro de rnasas de Dempslr, Se ira.n de-carrcii¡rdootros tipcs de espectrómetros de masíis,l.cdos basadcs en rl r¡¡jsrrc principro. l"os cirntif¡cos que usaban e::ta técnica,drrcubriercn err la décadad-sl!(] que áisuros dei n.lisnrt¡elenrentoquimico


15"4)

Ejemplosde mouimienlode partículas

525

no tienen necesariamentela misma masa. Como se indicó en la sección14.7, las diferentes variedades de átomos de un elemento químico, variedades que difieren en la rnasa, se denominan fso/opos. El dispositivo experimental de la fig. 15-12 puede usarse también para obtener el cociente qfm para una particula que se rnueve con velocidades düerentes. Se ha encontrado que q/m depende de u como si q permaneciera constante y m vd-, riara con la velocidad en la forma indicada en la ec, (1,1.7),es decir, m:mol / | - vTF. Por lo tanto concluimos que Ia carga eléctríca es un ínuarianle, siendo Ia misma para todos los obseruadoresen mouímíento relatíuo uníforme, (b) Zos erperímenlos d.eThomson, Durante la última parte del siglo diecinueve, hubo una gran cantidad de trabajos experimentales sobre descargas eléctricas. Estos experimentos consistian en producir una descarga eléctrica a través de un gas a baja presión colocando dentro del mismo dos electrodos'y aplicándoles una elevada diferencia de potencial. Se observaron varios electos luminosos según fuera la presión del gas dentro del tubo. Cuando se mantenÍa el gas dentro del tubo a una presión menor que un milésimo de atmósfera, dejaban de observarse efectos visibles dentro del tubo, pero se observaba una mancha luminosa en la pared del mismo en el punto O directamente opuesto al cátodo C (fig. 15-13). Por lo tanto se hizo la hipótesis de que alguna radiación era emitida por el cátodo, la cual se movía en línea recta hacia O: de acuerdo con esto la radiación fue llamada rcyos calódicos.

ffil=

i =: ::: :::: :::--:: ---

Fig. 1ó-18. Bxperimento de Thomson para medir qlm. Los rayos catódicos (electrones) emitidos por C y colimados por A y A' llegan a la pantalla S despuésde atravesar una región en donde se aplica un campo eléctrico y uno magnético. Los experimentadoresañadieron dos placas paralelasP y P' dentro del tubo y aplicaron una diferencia de potencial, produciéndoseun campo eléctrico C dirigido de P a P', EI resultado de aplicar este campo eléctrico fue que la mancha luminosa sa rnovió de O a O', o sea en el sentido correspondientea una carga eléctrica negafivir. Esto sugirió que los rayos catódicos son simplernente una


526

Interaccíénmasnético.

(15.4

coniente tle partículas cargadas negativamente. Si qr es la carga de cada parti cula y u su velocidad, la desviación d : OO' puede calcularse apiicando la ec. (14.9): qf.aimuz: dlL. La fuerza eléctrica sobre la partícula es qd y está dirigida hacia arriba. Supongamos que a continuación aplicamcs.en la misma región donde está C, un campo magnético dirigido hacia cl papel. l,a luerza magnética es, según la ec. (15.4), qflS .v está dirigida hacia abajo pt¡íijue q e$ una carga negativa. Ajustando ?3 e¡r fortna a¡rropiuda,podemcs irírr:er',tiicla fuer¿a magaética sea igual a la eléci u¡ni nt¡savt¡el ve de O' a 0, es i .i i c u ; e g to d a i i n a rc s u i ta n te nr¡l a..' i i i l rl ¿nr' hÍ-. catóriicos. de ios ¡a-"os qire hay desviación [,¡rt,¡nresq€-: qfl3S v : (:''lr. rio decir llsto perrtite nredir la .,'etocidaridc ia ;:ariicula cargada. Sustituyendo este valor ,.ie ¡¡ ün )a ec, (14.9), olrienelirosia ¡'a¿únqlm dt las prirtículas quc constii.u,ven i rs ra y o s c a tó d i c c s , qlm : iC|ü1.a. ifste. íue u¡:o ire los priureros experirilent.r clignosde confianza pa.ra rnedir qim v pi'cpi:r'cicnrii¡rürectamente una irrueba de qrie ios rayos catóciicosconsistet desde entonces. rn prartículascargadasne¡;ativamentr',llamadas t:les-.trones Estos y otrcs experimentos simiiares lueron publicados en 1897 por el fisico británico Sir J. J. 'I'homson (1856-1940),que invirtió muchos esfuerzosy tiempo tra.tando de descubrir la naturaleza de los rayos catódicos. Hoy en día sabemos que los electrones libres presentes en el metal que constituye el cátodo C son arrancados o evaporados dei cátodo como resultado del fuerte campo eléctrico apücado entre C y A, y son aceleradosa lo iargo del tubo por el mismo campo. (c) El cíclolrón. El hecho de que la trayectoria de una particula cargada en un camJ)omagnético sea circnlar, ha permitido el diseño de aceleradoresde partlculas que luncionan cíclicamente. [Jna diflcultad con los aceleradores electrostáticos (descritos en la sección 14.9) es que la aceleracióndepende de la diferencia total de potencial V. Como el campo eléctrico dentro del acelerador es ( : Yid, si V es muy grande, la longitud d del tubo del aceleradortambién debe ser muy grande para impedir la formación de campcs eléctricos intensos que producirir.rrel salto de chispas e¡ri.relos mal;eiialesdel tubo de aceleración.Un tubo de aceleraciónlnuy iargo prt'senta, adtmás, varias diflruitarles técnicas" Pr¡r ei contrario, en un act'leradcr cíclico una carga eléctrica puede recit¡ir una pasando muchas vecesa trar'és de una diferencia depotenserie de aceleraciones cial relativamente pequeña. El prirntrr instruinento que trabajó según este principio fue el cíclotrón,diseñedo por ei físico norteamericano E. O. Lawrence. E,l primer ciclotrón práctico comenzó a luncionar en 1932. Desde entonces numerosos ciclotroneshan sido construidosen todo el mundo, teniendo sucesivamente cada uno mayor energíay mejor diseño. Un ciclotrón (fig. 15-1a) consis|eesenciaimerteen una cavidad cilindrica dividida en dos mitades D, y D, (cada rina llam¡da "tle" por su forma), la cual se coloca en un campo magrretico uililorme paralelo a su eje" Las dos cavidades están aislariaseléctricamenterina de oira. J:-n¿-:l ce¡rtroclr:lespacioentre la.s"ties" se coioca r:na fuente Ce iones S v se aulica entre ias mismas una diferencia de


Ejemptos de ntovímíenlo de partlculas

15.4\

527

potencial alterna del orden de 104 V. Cuando los iones son positivos, son acelerados hacia la "de" negativa. Una vez que el ion penetra en una "de", no experirnenta fuerza eiéctrica aiguna, porque el campo eléctrico es nulo en ei interior de un conductor. Sin embargo, el canrpo magnético obliga a los iones a describir una órbita circular con un radio daclo por la tc, (15.5), r : mulfb, y una velocidad angular igual a ia frecuencia ciclotrónica de las partículas, dada por la ec. (15.6), u : ()31m. La diferencia de potencial entre las "des" oscila con una frecuencia igual a <¡. De esta manera la diferencia de potencial entre las "des" está en resonanciacon el movimiento circular de los iones.

Gl

I l- l*l i l illl

lil

ll tl

I

li '-' .

{.l l l

y'---

¿ 1- - - - - z

/a.;-===-7.. -l-i\) / ,' t' .t --,f,'n

*-':-::-íi, Fie. 16- 14. üom ponent es bás ic os i e un cicloirón. La li¡:ea de trazos tn ur ' s t l' a la t r a¡ r c t or ia dc un i o n .

Despuesque ia partícula ha descrito media revolución, se invierte la polaridad d* las "des" y cuando el ion cruza el espacio entre ellas, recibe otra pequeña aceleración.La semicircunferenciaque describea continuación tiene entonces un radio mayor, pero Ia misma velocidad angular. El pr<.rceso se repite varias veces hasta que el radio alcanza el valor máximo R que es prácticamente igual al radio de ias "dcs". El campo magnético disminuye abruptamente en el borde de las "des" y la partícula se mueve tangencialmente,cscapandoa través de una abertura conveniente. La máxima velocidad u-^* está relacionada con el radio R por la ec. (15.5), es decir, ff:

fB

u má:x l a \q g o . \ml

La energÍacinética de las partículas gue emergende A es entonces

E¡ : !muln6* tq (* -

.*o', )


(15.11)

528

(15.4

| nteracciótttnaqnélíca

i j t 'i : ' p í t l 'i ; " '; : 1 , i : r i i r t 'r ': t l s i t l a ¡dl e i c a m ¡ l o Y es t á det er m in: lCa por l: is c l t r ; t t " t r í 5 r - r c l s niagnético y el radio
nToczt

E4 la masa de la partlcula

es

m : Elc z : m oiEt lcz , de modo que Erfcz es la variación de masa. f)e la ec. (15.6) deducimos que la frecuencia ciclotrónica es inversamente proporcional a la masa, por lo que, si o Y oo son las frecuencias correspondientes a las masas m V mo de la misma partlcula, podemos escribir co/oro: mofm, ó _@o 06

_ _

rfl_nljm

:

_

__E:l!,_ : mt, * Erfcz


_

E* _ mocz ! Et

1s.4)

Ejemplos de mouímiento de partlculas

529

El primer miembro da el cambio porcentual de la frecuencia ciclotrónica y el se.gundo el de la masa. Para energíasrelativamente bajas podemos despreciaren el denoniinadorla energiacinéticaE¡ frente a mocz;poniendoA<¡ : <¿- oo, obtenemos A<¡

Et

;:--^,ü Por lo tanto, mientras la energla cinética de las partÍculas sea pequeña comparada con su energía en reposo, la variación de frecuencia será muy pequeña. En nuestro caso tenemos: para partfeulas alfa, Acof
de una

partfcula

cargada en campos

Solución: En los ejemplos dados anteriormente en este capltulo, hemos considerado solamente el movimiento de una partfcula en un campo magnético. Examinaremos

ahora el caso de que haya también un campo eléctrico, por lo que debe usarse la ec. (15.2). Consideraremossin embargo una situación especial: cuando los campos eléctrico y magnético son perpendiculares, como se muestra en la fig. 15-15. La ecuación de movimiento de la partlcula es dtt

î:q(f+ox.Il). Hagamos una transformación de Galileo del sistemaXYZ a otro sistemaX'Y'Z' que se mueve con respecto al anterior con velocidad relativa ao:

Cx lg - $-

X xr

z'

Figura 16-16 :

Ur -7a.

podemos escribir Luego, si rr:'es la velocidad de Ia partlcula respecto a X'y'Z', tr : o' * oo y doldt: da'ldt. Por lo tanto la ecuación de movimiento puede escribirse conro

*

#-:

q(C + u' x 'lJ -i-.ror 'B).


530

(15.5

Interacción magnélica

Per oc o") J : ( uz €l' i3) x ut ) - - r c y d - : - - ( : . E n t o n c i r s , e l p r i r n e r o y c l ú l t i m o d e Ia ecuación precedente se cancelan y Ia ecuación de rnovin¡iento en cl sistema X' Y' Z' CS do' : oÜ' x ]). dt Vemos entonces que, con respecto a X'Y'Z', ':l movimiento es como si no hubiera campo eléctrico, Si Ia partícula se mueve inicialmentc en el plano XY, su moviuna ci¡cunferencia de radio r: r n u 'l q : B , d e s c r i t a m ient o en el s is t em a X' Y' Z' € s esta circunferencia ccn velocidad angular c) : -- q')),|m. Corr respecto a X\'2, avanca según el eje X con velocidad uo, resultanrlo alguna de las trayectorias que s e r nues t r an en la f ig. 15- 16 . E l p r o c ) e s os e r e ¡ r i t e e n u n a d i s t a n c i a ú o I > : Z r u o f a . Si 2rruol
,r"r----'

I

2rr¡ r___-..

i F_____-

I ____-*l

*ig. i i"1{'i. 'Jlra-vtr:tori;¡si¡ri¡idales rie i;rra partf cuia respecto zi r..hsrr-ia¡lO¡G. (il j¡ ::: L?0,(ü, i.:.']r .t ir,¡rr,".{,3} r { ¿ro,lo. F.ste rjem¡:lc revela un a-spectoint-e:¡sr¡nte: lllient,fa-silue el observa-dor qlre usa ei sistcnia { Y? observa lanlo ul c:l¡¡iro eléctrir:r; rcmo uno magnético, el observ adt lr que us a el s is t r ¿m a X'\ " 2 ' q u e s e t n i l e v c r e s p e c t o a X Y Z , o b s e r v a e i m o v i nrienlo de la part.icuia cargada correspondiente a un campo magnético solo. Esto sugiere gue los campos eléctrico v magnético dependen del movimiento relativo del observadoi. Es esta una cuestión muy importante que se considerará con mayor det alle en la s ec c ión 15. 12.

75.5

Fuerza

m.agnética

sobre

una

carriente

eléctríca

Como se explicó en la sección14.10,una coniente eléctrica es un chorro de cargas eléctricas que se mueven en el vacío o a través de un medio conductor. La intensidad de la corriente eléctrica se ha definido como la carga que pasa por unidad de tiempo a través de una seccióndel conductor. Consideremosuna seccióntransversal de un conductor a través de la cual se están moviendo partículas con carga g y velocidad o. Si hay n partículas por unidad de volumen, eI número total de partículas que pasan por la unidad de área en la unidad de tiempo es no, y la densídadde corcíenle,definida como la carga que pasa a través de Ia unidad de área en la unidad de tie¡npo, es el vector

j : nqo.


(15.12)

Fuerza rnagnétíca sobre una corriente eléclrica

15.5)

531

Si S es el área de la sección dcl contLuctor perpendicular a j, Ia ccn'iente es el escalar

(15.13)

f:jS :nqus,

Supongamos ahora que el conductor está e¡r un campo magnético. La fuerza sobre cada carga está dada por la ec. (15.1) y, como hay n partÍculas por unidad de volumen, Ia fuerza f por unidad de uolumen es

(15.14)

f:nqoxctl:i*'n.

La fuerzatotal sobreun pequeñovolumendV delmedioesdF : f dV : i x 'l) dV, y la fuerza total sobre un volumen finito se obtiene integrando esta expresión sobre todo ese volumen; es decir

o:J ''rj x .'1d v . (15.15) Consideremos ahora el caso de una con'iente en un alambre o filamento. El elemento de volumen dV es (fig. 15-17) S dl por lo que la ec. (15.15) da

F:f

^

J Filamento

J * ' v ls a t

Ahora bien, j : jr.4r, donde ilr es el vector tangente al eje del filamento. Se tiene entonces

Flgur¡ 16-1?

F : I (iur) ' ctrsd¿: J 0", ur x cI)dI-

(15.16)

PerojS - I, y la intensidadde corriente / en el alambre es la misma en todos sus puntos por la ley de conservaciónde la carga eléctrica.Por lo tanto la fuerza magnéticasobre un conductor por eI que circula una corriente es

F:IIur"'B at .

(15.r7)

el casode un conductorrectilíneocolocadoen un Como ejemplo, consideremos cB campomagnéticounüorme% (fig. 15-18).Comotanto ?¿r como son constantes, podemosescribir

F :Iu z'*|l 5 Jat, o sea, si L :

dI es la longitud del conductor rectilíneo, F : ILur x':}.3.

El conductorestá sujeto a una fuerza perpendiculara él y al campo magnético. Este es el principio sobreel que se basa el funcionamientode los motores eléc-


<29

(15.6

Interaccíónmagnélica rQ

r!-

\L-,/ I

lp . f is . 1í "18. I lelac ión v ec t or i a l ¡ t i t r e la {r,¡erzamagnética sobre un r:ontluclor por el r¡r.let:ircula una corricnt.e, el carrrpo magnéticcr ¡.' la corrientc. La f uer z a c s pt r pendieular a i p ) a n o true colitiene ur Y I),

F i g . 1 ó - 1 9 " 'i o r g u e r n a g n é t i c o s o b r e u n circriit
tricos. Si 6 es el ángulo entre c! cc,nductory el canlpo nlagnético, e! lnóduio de Ia fuerza .F es F :

l Il J

(15.18)

s e n 0.

La fuerza es sero si el conductor es paralelo al campo (0 : 0) y máxima si es p e r¡re n d i c u i aar é l (0 : senti do de l a fuerza se encuentra apl i cando l a " 1 2).E l regla de la mano derecha, como se muestra en la lig. 15.18.

75.6

Torrlue

rnagnético

sobre

u,n& eomiente

eléctrica

Podemcrsaplicar la cc. (15.18) para calcular el torque debido a Ia fuerza que un campo magnético ejercc sobre un circuito eléctrico. Para simplificar, consideremos en primer lugar uu circuito rectangular con una comiente f, colocado de modo que la nornral a¡ al plano quc lo contiene (orientada en el sentido que avanzü un tornillo derechoiotando en el seut.idode la corriente), foruia un ángitlo I con el c¿rrnpo')9, y rlos lados del circuito son perpendicularesal campo ({ i g . 1 5 -1 9 ).L a s fu e rz a s .F ' que acti ran sobre l os l ados L' son de i gual módul o pcro direccionesopuestas; tienclen a delornrar el circuito pcro no dan lugar a u n trrrq u e .I-a s fu e rz a sI' s o bre Lts l ados L ti enenmódul o F : I))L y consti tuyen un par cuyo blazo cs L'st'n 0. Protlucen pues sobre el circuito un torque de


15.6)

Torque magnético sr.tt¡reLtna coniente eléctrica

SJS

módulo t :

(I'))L)(L' sen 0).

Siendo LL' : S, donde S es el área del circuito, se tiene r : (1$:/l sen 0. La dirección del torque, siendo perpendicular al plano del par, es según la recta Pe. Si definimos un vector M:

(1 5 . 1 e )

IS U N

normal al plano del circuito, podemos escribir el torque r err la forma t : M'13 sen 0,

(15.20)

o, en forma vectorial, t :M

x (1 1 .

(1 5 . 2 1 )

Este resultado es matemáticamente similar a la ec. (14.50), que da el torque sobre un dipolo eléctrico, debido a un campo eléctrico externo. Por elio, la cantidad .lPfdefinida en la ec. (15.9), que es equivalente a p definido en la ec. (15.49), se denomina momenlo dipolar nrugnétíco de la corriente. Notemos que según la ec. (15.19),el sentido de J}f es el de avance de un tornillo derecho que gira en el mismo sentido de Ia corriente, o sea el sentido que da la regla de la mano derecha como se muestra en la fig. 15-19. Para obtener la energía de una corriente en un campo magnético, aplicamos el razonamientoinverso al usadoen Ia sección 14. 1 1 p a ra p a s a r d e l a e c . (1 4.49) a l a (14.50), encontrando que la energía potencial de la corriente colocada en el campo magnético '/J es E p:-

M :D c o s0 :

-

M.' .1 J .

(15.22)

Fig. 1ó-20.

Relación entre el mo-

Aunque las ecs. (15.21)y (15.22)se han mento dipolar magnético de una coobtenido para un circuito rectangular con rriente eléctrica y el sentido de la misma, una orientación particular en un campo magnético uniforme, una discusión matemática más elaborada demuestra que son de validez general. Supongamos, por ejemplo, que tenemos un circuito pequeñode cualquíerforma, cuya área es S (fig. 15-20). El momento dipolar magnético llI del circuito está aún dado por la ec. (15.19), y el torque y la energia potencial cuando se coloca el circuito en un campo magnético están dados por las ecs. (15.21) y (15.22). Usando Ia ec. (15.22), la unidad de momento magnético se expresa normalmente en joules/tesla ó J T*1. En función de las unidades fundanrentales es m2 s-l C, de acuerdo con la definición (15.19).


(Ls.6

(b)

Ftg. 1ó-91. tal Colpor,*ntes básicos de un galvanómetro de bobina móvil. (b) Vista superi..rr del gaivanómetro mostrado en (a).

EJEMPLO 75.5, Discusión de los instrurnentos de rnedición de corrient-e tales como los galuanómel¡os.En la fig. 15-21 se ilustra un diseño simple. La corriente a medir pasa por una bobina suspendida entre los polos de un imán, En algunos casos la bobina se enrolia sobre un cilindro de hierro C. El campo magnético produce un torque sobre la bobina rotándola un cierto ángulo. Establecer la relación entre este ángulo y la corriente que pasa por la bobina. Sotuclón: Sea S el área efectiva de la bobina (número de vueltas x sección de la bobina). El torgue producido por el campo magnético, ec. (15.21), tiende a colocar la lobina perpendicularmente al campo, retorciendo el resorte Q. La bobina adopta una posición de equilibrio rotada un ángulo ¿ cuando el torque magnético es compensado por el torque elástico ka del resorte, donde /< es la constante elástica de éste. Una aguja flja a la bobina indica el ángulo a. Las piezas polares tienen la forma que se ilustra en la figura, para que el campo magnétieo entre ellas y el cilindro de hierro C sea radial, como se muestra en la vista superior del instrumento, fig. 15-21b. De este modo el campo 'R está siempre en el plano del circuito y en la ec. (15.20) 0 es rl2 o sea sen e : 1. El torque es entonces t : fS.13,ya que ¡14: IS. En el equilibrio, cuando el torque debido al campo magnético es compensado por el torque debido al resorte, se tiene 1S'8 : kc, de donde I : kslS%. Si se conocen k, S y ?3, esta ccuación da el valor de Ia corriente en función del ángulo a. Normalmente Ia escala se calibra de morio que pueda leerse f en alguna unidad conveniente. EJEMPLO 15.6. Motnento magnético correspondiente al movimiento orbital de una partfcula óargada, tal como un electrón girando alrededor de un núcleo atómico, Soluctón: Consideremos una carga q que describe una órbita cerrada la cual, para simpliflcar, podemos suponer circular. Si v : o/2n es la frecuencia de su movimiento, la corriente en cada punto de su trayectoria es f : qv, puesto que siendo v el número de veces por segundo que la carga q pasa por el mismo punto, qv es la carga total que pasa por el punto en la unidad de tienrpo. La corriente tiene el mismo sentido de la velocidad o el opuesto, según g sea positiva o negativa. Aplicando entonces la ec. (15.19), encontramos qur el momento rnagnético orbital tle la carga es

tI - (q v i (rrz ¡ :(

H )

(rr2) -- l qa,r¡.

(15.23)

i


15.6)

Torquemagnéticosobreuna corñenteeléctrica

íBs

De acuerdo con la regla dada anteriormente, su dirección, que depende del signo de g, es la que se indica en la flg. 15-22.Por otro lado, si m es Ia masa de la partlcula, su momentum angular orhital es, según la ec. (7.33), L: m ar : m < or r .

(1ó.24)

Comparando las ecs. (15.23) y (15.24), encontrainos que

u : -!-.u 2m

(15.25)

O, en forma vectorial, m:9

2m

z.

(15.26)

En consecuenciailt y f, tienen el mismo sentido o sentidos opuestos, según gue la carga q sea positiva o negativa. Un electrón tiene g : -e y ¡n: nic, resultando

M¿: -# Un protén tiene q : + e y

*r:

L. ^:

^n,

(75.27>

(15.28)

*,

l" lu

por lo que

v -l--\

Si suponemos que la carga eléctrica está girando sobresl misma alrededorde un diámetro del mismo modo que la tierra gira alrededor de su eje, tiene, además de su momentum q po3iüv¡ q negeüve angular orbital ¿, un momentum angular interno S, llamado espfn. Debe haber un mo- Flg. 16-92. Relación vectorial enmento magnético asociadocon el espfn S, ya tre el momento dipolar magnético que cada elemento de volumen de la carga y el momentum angular de una que gira se comporta de la misma manera carga describiendo una órbita ceque la carga g en la flg. 75-22. Sin embargo, rrada. la relación entre el momento magnético y el espin no es la misma que la relación(15.26), porque eI coeflciente por el que hay que multiplicar el momentum angular de esptn s para obtener el momento magnético correspondientedepende de la estructura interna de la partlcula. Es útil escribir el momento magnético debido al espln en Ia forma

lrrs:.t

2^L ",

(r5.2e)

donde el coeficiente1, llamado laclor giromagnético,depende de la estructura de la partlcula y del signo de su carga. Combinando las ecs. (15.26) y (15.29), obtenemos el momento magnético total de una partlcula de carga i e que recorre una órbita y $ra sobre sf misma,

*:+(+rfys).

(15.30)

El signo rnás (menos) delante de Z conesponde a una partlcula cargada positivament€ (negativamente). Aunque el neutrón no tiene carga eléctrica y por lo tanto no origina un *-romento magnético orbítal de acuerdo con la ec. (15.26), tiene un


536

( r ó.6

Interac:íón nagnétitu

il ir i-c.tig gue sigue se : ii :'i::,

f;::il:u]_r ; lii;

p :;- "::i t.{t!l

-1

¡r1.r i ,_ri

;'.:,fl i r.1 :j ,;:1;rl

j- ,i I' c,*r ;:tr ¡ ñ ta g n ill' :{ .' :} L ¡ ¡ i.a Ll i ,.'l r;4"j tl '"r r 1 li ' - ;llt- ,r t:t;l¡ : ilt .r;r.';r.l 'j l :1: :,j 'r:l i;i I i;.2 t¡ r r :{ ¡ ¡ ::r ia jii, An á .1 il9 ¡ i;le ¡ lir ' . e l hafr!l rl '11!: :;i i :: j '.::l i l i i 1:1í-' i:: Cti:a ,:¡ i:e l:¡ e ltm !;u J :'i *lt*lr ' i:r

I

', :.,;,: i i r,ri .r, i rr¡- i ¡. ¡¡t. l i j ).:l tl j g,i ¡i ,) l Lrr-i 'i --;'.;-i i i ;ri r i r.:: ::; i ¡ j i l l egtl i ¡C i -l l i a i ni l .i i A i ,,¡ , rl e: ;',1:.1 ót: 1{e;i ci fe ¡'€i ¡te a i a ri ri , j rroti ,,;i {:i ,'j l tcre¡:i "¿ s l i ", ¿i r:1.ei eci .:i ,n.

/-.\

'{ i'

\.t* 't'lln--

'*-t c i \ --,r,¿:^ -*-"--*C

\ \.i

i

\,/

(B

,, .:r) r¡ positiva

t-;-

-E.**u_;

{.r)i? negativa Fig" L5-93"

F;l iorqtre ñagnr;t;cil ¡ 16'

i:a ' ..n 3 r ' ? .i1 lc:lia ci) .F .a ' 1 .: ui l :ttr''.¡+ i I}1j r,f!:)':ui n r tiici".i.¡ ¿ g ;r c¡ tr ¡ ' ¡ d i¿ i:la r ci i r;;l ;: a :r g r - - 1 a r l" ilc Ia p e r l.Ícu ia ¡ -ci ?i. magirútico

Fic. l5-2d. Frccesitin dei mcmerttum ir-giri;tr .Je i,rna part-ícula. car6,a.daalie.Jeciti¡ deJ cti¡rpr.¡ nagnético.

!:,lnktf'}'ti] tr5.?, i'r:rque ;' eiier¡;ia dr".i;¡:¡- i¡a¡l!rr:L* rjar¡,;a,laque s¡i mile"re c:n ün3 l( jgr ún

( ¡ on\ie

lia¡

ttn

cal¡ il- i,

'¡ '; ';r ,r

i i,

Sotueéón:Suptingamos que se rolo.:- i:¡ i-lartii:ul¿rdel cjttrnpk; ant€ri(r¡ ert un campo nr agnót ic o unif or ¡ r lr ( t ig. 15- 2 3 i . E m , i ; e . r ¡ ) C {)i a ¡ ; ¡ : c s . ( 1 i j . 2 1 ) v ( 1 5 . 2 6 ) e n c o n t r a ¡ n o s que €l torqr,re ejeir:itlo si;bre la par.iictii; es

t :-n

2m

Í,\

n.=--- -3

il¡ri

ilx;,,

(1i.3r)

en tiirecc.ién ¡erpe:ldic.rilar i1 J; v i, .¡j il1;i. i{,¡qug t-i¿nrit r. cambia-r el momel¡l"i-;rn angui;-r ori:;ii¡l L tie la parl-i:riia Crra.'t;r'ii':r-'¡,':¡'lt ec. i?.33), dr'lií .- c. Deti¡iendo {2 - ^ (1i)m) t1, que rs la r¡'ilad ct: !:r .i, .^:;r.;',tl¡iliclui¡"t''ilii:a '.lada por la ec, { l:}.7), terrr'nr¡rsprlra el lorque rliid.i: p<;; :- c:. íi I:..-1,,i,

(15.32)

N: Q x f u.

-_-_


15.6j

Torque magnétícosobre una corúenle eléctrica

5J7

Esta ecuacién es similar a la ec. (10.29) correspondient.e ai movimiento del giroscopio, por I o que en es t e c as o s e t i e n e e l r n i s m o t i p o d c p r e c e s i ó n a l l í e s t u d i a d o . En el capitulo 10 la precesión se debía al torque producido por la interacción gravitacional; aqul se debe al torque prolucioo por la interacción rragnóiica. La frecesión de /, alrededor de )J prcduce una rotación de Ia órbita de la particula. En la flg. 15-24 se ha indicado la dirección de l) :'el sentido de precesión para una carga positiva y para una negativa. La expresión (15.32) es válida solamente para una partlcula sin espfn. si la partfcula tiene espÍn, el análisis es algr: más complicado, por lo que lo omi'-iremos. Podemos obtener la energía de una partrcula que se mueve e¡: una órbita d.entro de un campo magnético combinando las ecs. i15.22) y (15.26); resulta

E,:-;^L.E:e-L.

(15.33)

Si la partfcula tiene espfn, usamo$ paia el momentc tnagnético la ec. (15.30), obteniendo

E p : -# ro ¿

i Ys) ' D'

(15.34)

Estos resultados son muy importantes para ayudar a comprender el comportarniento de un átomo o de una molécula en un campo magnético externo, tema de interés tanto desde el punto de vista teórico como del experimental. por ejemplo, cuando se coloca un átomo en un campo magnético externo, se perturba el movimi.ento de los electrones y la energla varfa de acuerdo con Ia ec. (15.34). Cuando se compara esi.e valor teórico de .Ep con los resultados experimentales, se encuentra que las componentes Z de los momenta angulares orbital y de espfn están cuantizados; es decir, L, y S, pueden tomar sólo ciertos valores que se expresan en la forma L" :

mtñ,

St :

ttuh,

Conde la constante h : hl2¡c: 1,05 x 1C-s4J s. Esta constante fue introducida en la sección 14.9 al discutir el movimiento orbital de los electrones, y ñ es la consta nt e de Planc k . Los v alor es p o s i b l e s d e m ¡ s o n 0 , * 1 , *2 , + 3 , . . . , m i e n t r a s ![u€ rzu puede tomar solamente dos valores, + t ó - ]. El número m¡ se denomina número cudntico magnético del electrón, mientras eu€ /nr es el número cudntico de esp[n. Para ]os neutrones y los protones se obtiene un resultado análogo, Por esa razón se dice que e! electrón. eI protón y eI neutrón tienen espín |. Por otro lado, eI momentum angular orbítal L tambíén estd cuantízado, pudiendo tomar solamente los valores dados por

L:[4¿;10¡, do n d e / :0 ,1 ,2 ,3 , ... e s u n n úmero natural que se denomi na número cudnti co del momentum angular, Como L" no puede ser mayor que I,, concluimos que los valores de mr no pueden pasar de /, es decir mt:0 , * 1 , + 2, ..., + (¿- i ), + ¿. Por lo tanto, para Z : 0 sólo es posiblemt : O. Para I : 1, podemostener mt : O, * 1, y asf sucesivamente.Por otra parte, como el número cuántico de espln tiene solamente un valor, hay un único valor para el momentum angular de espin

s: /+t++rl h:tY z pn.

El hecho de que para un valor dado de I sólo ciertos valores de Z, son posibles implica que I, puede tener solamente ciertas direcciones en el espacio (lig. 15-25a). En la sección 14.7 esto se denominó cuantización espacial. En el caso ciel espÍn, colrro rrr¡ tiene sólo dos valores posibles ( + á), concluimos que S puetle únicamente


538

I nteratctónmagnética.

(15.7

It I

s- -]

L '¿-

I

2

hl

tr" : i

T s=¡/\iDñ

s,:-;{4

- ,= - i

\4.,t

(l ,)

FIg. 16-25. P_osiblesorientaciones (a) del molgentum angular conespondlente a I : 7 , L :l t rh ,y (b ) d e l espfn s : l , S :< y-' p)n. estar en dos direccionesrespecto al eje z, que generalmenie se denominan h¡cia arriba ( f ¡ y hacia abajo ( { ). En Ia ng. 15-r5b Je muestran las orientacionesp6rmitidas del espfn.

75.7

Campo

rnognético

producido

fror

una

eorriente

eerrada

Hasta ahora hemos dicho que nos damos cuenta de la presenciade un campo magnético por la fuerza que produce en una carga en movimiento. También hemos nombrado ciertas sustanciasque en su estado natural, producen un campo magnéticc.Examinemos ahora con mayor detalle cómo se produce un campo magnético. En 1820, el físico danés Hans c. oersted (1277-1851), notando la desviación de la aguja de una brújula colocada cerca de un conductor por el que pasaba una corriente, fue el primero en observar que ana corríenle eléctrica prod"uceun campo magnétícoen el espacio que la rodea. Después de muchos experimentos que varios físicos hicieron a través de los años usando circuitos de formas diferentes, se ha obtenido una erpresión general para calcular el campo magnético producido por una corriente cerrada de cualquier forma. Esta expresión, ilamada ley de Ampére-Laplace, es

'R: KÎ{ rit

or,

(15.35)

donde el significado de todos los simbolos está indicado en la fig. 1b-26, y la integral se extiende a todo el circuito cerrado (es por eso que se usa el símbolo f), En la expresión anterior, Kr,. es una constante que depende de las unidades que


1é.8)

Gampa magnético de una corriente rectíltnec

539

se elijan. En el sistema MKSC se ha acordado (ver rrota despuésde la sección 15.9) que Ko : 10-? T m/A ó m kg C-2. Debemos notar que Ia integral de la cc. (15.35) se expresa en m-1 cuando r y I están en metros. En consecuencia

,lt : Lo-1l6 u' ?u' at J rz Es costumbre escribir Knt :

(1b.36)

¡,o/42r,donde po es una nueva constan_tellamada

permeabílídadmagnéticadel uacío.La expresión (15.35) de la ley de Ampére-Laplacese escribeentonces

' r:# ,{94!r0,,

(r5.37)

y en el sistema MKSC de unidades po :4n x 10-7m kg C-2 : : 1,3566 x 10-o m kg C-2.

Flg. 16-26. Campo magnético producido en un punto P por una corriente eléctrica.

(15.38)

Como una corriente eléct¡ica es simplementeun chorro de partículas cargadas que se muevenen la misma dirección,llegamosa la siguienteimportante conclusión que sigue: eI campomagnélico,g por lo tanto Ia inleraccíónmagnética,es pr> ducido poNcaryas eléctricasen mouimiento. Para ilustrar eI empleo de la ec, (15.37),la aplicaremosal cálculo del campo magnéticoproducido por corrientesde formas simples.

15.8

Campo rnagnético

de una corriente

rectillnea

Consideremos una corrienterectillneamuy larga y delgada,comoen la fig. l*22. Para cualquierpunto P y cualquierelementode corrientedl, el vector ttt x u. es perpendicularal plano determinadopor P y la corriente,por lo que es paralelo al versoru6. El campomagnéticoproducidopor dl en p es entoncestangente a la eircunierenciade radio R que pasa por P, tiene su centro en la corriente y está en un plano perpendiculara la corriente.Por lo tanto, cuando realizamos Ia integración indicada en la ec. (15.37),todas las contribucionesdel integral tienen la misma direcciónque ?roy el campo magnéticoresultante es también tangente a la circunferencia.Se necesitaentoncessolamentecalcular el módulo de cts.El módulo de ur x ?¿¡es sen 0 por ser ua y 14 versores.En resumen,para una corrienterectilíneapodemosescribir el módulo de la ec. (1b.32)en la forma

%: *rJ-_ s*d¿.

(15.3e)

*--


540

fl

(1ó.E

i

I

tll FIg. 15-2?. Campo magnético producido en un punto P por t¡na corriente rectillnea.

Fig. 15-98. Lfneas de fuerza magnéticas alrededorde una corrienterectilínea.

D e l a fi g u ra s e d e d u c e{ ü e r : R cosec0y I :-R d0. Sustituyendo en la ec. (15.39) resulta

,, :# donde I - -

tJ; F##r

6 colTespo¡rdea 0 :0 )¿ -

cotg 0, de dondedI :R cosecz 0

(Rcosecs odo) odo, - ff, fi sen y / :

-| € a 0 :

l'01

r. Luego,

(15.40)

o, enforma;,*f"

B:#"".

(15.41)

El campo magnético es invetsamenteproporcional a la distancia .R y las lineas de fuerza son circunferenciascon centro en la corriente y perpendicularesa la misma, como se muestra en la fig. 15.28. En esta figura se indica también la regla de la mano derecha para determinar el sentido del campo magnético con respecto a la corriente, El resultado (15.a1) se denomina fórmula de Bíot-Sauart. En el caso de una cortiente rectilinea circulando por un alambre observamos el campo magnético pero ningún campo eléctrico; esto se debe a que, además de los electronesen movimiento que producen el campo magnético, están los iones positivos del metai, que no contriiruyen al campo magnético porque están en reposo con respecto al observador, pero que producen un campo eléctrico igual y opuesto al de los electrones.Es por ello que el carrrpoeléctrico total es nulo, Por el contrario, para iones rnoviéndosesegún el eje de un aceleradorlineal,


16.e)

Fuerzas enbe corrientes

541

*t-

ooo

\J/ \?

((a).9 a)'g p positiva o sitiva

oooo (b) q negativa

Fig. 15-29. Relación entre los campos eléctrico y magnético producidos por una corriente de iones positivos (negativos) que se mueven en lfnea recta.

tenemos un campo magnético y un campo eléctrico. El campo eléctrico corresponde al valor dado en el ejemplo 14.7 para el campo eléctúco de un lilamento cargado, C : url2¡c
cIl -

,' .

*o'o'I

(r5.42)

ur x t.

A

15.9

Fueraas entre corrientes

Apliquemosahora las ecs.(15.41)y (15.16)conjuntamentepara obtener la interacción entre dos corrienteseléctricas.Para simplificar, consideremosen primer iugar dos corrientesparalelasI e I' (fig. 1s.30),en el mismo senüdo y separadas una distanciaR. En cualquierpunto de 1' el campomagnético(tl debido a r está dado por la ec. (15.41)y tiene la direcciónindicada. La fuerza .F, sobre .f, es,

flr I

//t'¿ - ¿ - ¿ - - - -

lll

IrL r

I I

_---\\\ u ¡tl

I I

U Fig. 16-30. Interacción magnética entre dos corrientes rectillneas.


542

Interacción maqnétíca

(r5.9

u s a n d o l a e c . (1 5 .1 7 ),

F' : I' | ,rr, )J ¿ t ' . Ahorabien,rri x )J: -un-iJ,donde r¿¡ esel versorde I a I,. por lo tanto usandola expresión (15.41)para /J, ¿enemos

F': r,J (*"^** ) úr, : *"" (#) : --?,n+# ".

I ", (15,43)

Este resultado indica que la corrientc I arraea ra corriente r,. un cárcuro análogo rle la fuerza que I ejerce sobre 1da el r¡ism,:rresuitado pero con signo más, cre modo que está dirigida según u¡ y también representa una at¡acción. En resumen-: dos corríenlesparalelas en el misna sentidose atrqen con fuerzasigucles como resultado dc su interacción.magnética.I)ejamcs al estudiante la tarea cleverificar que si corríentesparulelas lienen senlíd,os opuesfos,se repelen. I

,

f-"'-' t\ | I ¡¡ J;

l\\i

'/--: /'. /',

/\

f\

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l,j \/

(b)

F i g . 1 6 -3 1 . A i racr,i dn¡z repul;:ón enire dcs c

r5.e)

Fuerzasentreco¡ríentes

543

y ia tr1'dc int-eracciri¡rerrr,redrs corrientes rectilineas, datia por la ec. (15"43,] con magné,iic;r h.- er.'^r'ez de ¡i"i4r, !t ci-'¡r-s+,ante

- l '- .- '

//a)'

-

-

// i// jt l l, ¡ It

ii

¡ ': 2 x i 1 i ; N

I - i- - l

¡ t

r ,r - -

¡l

tl

Fig. 1ñ-32. Aparato pala íimpere expcr¡mentaimente.

I

t

deñnir el

Flg. f6-88- Balanza de corrientes para medir una corriente en función de la fuerza magnética entre dos conductores paralelos.

ñn la flg. 15-33 se muestra una disposición experimental para medir la fuerza entre rlos conductores paralelos, Constituye vna balanza de corrientes. La misrria x 7A-1IzL'lR. Primero corrienti) pasa pcr los rlos conductores, de modo que F :2 se equrlibra 1a tralanza cuando no hay corrientes en el circuito, Cuando por éste circl:l¿¡ i:crr;iiil,c, es necesario agregar pesas cn el platillo izquierdo para equilibrar nilevarnente ia balanza, Usando los valores conocidos d,e F, L' y R, podemos encontrar el valor de I. En la práctica se usan dos bobinas circulares paralelas. La expresión de la fuerza entre bobinas es diferente.


544

Interdcción maqnétíca

$5.14

Como en luncién de las constantes auxiliai'es +$ v pr. terrer;;os K": (^: ptof4:t,se deduce que e.l cociente entre estas ,.los c¡,'nst¿urtes es

K"1" K^

€of r o

li{reo y

- -" t r .

donde ¿: 11f ; ; C Es t a c ons t . a n t ee s l q u ; r l a l a v t 'l o c i , l a d r i e l s l u z ( c d e c u a i g u i e r señal electromagnética) en el .racio. conro se denrcsl.rará en e! capttulo 19. La constantc c ha si.lo rr¡ediCa cxpet'inr.entaii-lltntecon llran precisión. trn fr¡ncién de eila tenemcs que Air - Kmcz: iC?- t, qr-rees el vaior de K. tlado an ¡¡ secr-:ión14.3. .Fis+.o explica nr¡estra e!ección anterior ¡;ata Kq. ':l'¡cciólt (itle rjnic)ncespudo parecer algo arbit-raii;r. ljn:i rle las razol-l*s ¡ror il'.s ,''':ll's llr i,ltlticirrr'.; (,.,;,r'.,;'n*1,9rt:ccrnendó e] uso del e, r i. 1; er l:{ . : r ' iiir lir - 1au; ; : ' t ¿i, i i i i 'j ; i : l f r ; ¡ t ¡ l '. ¡ ¡ i . ¡ ¡ l ¿ l 'r f r r i : 1 , 'c s ¡ i r í s f á r : i l p r *¡ t ; l l a i u n ' ¡ a il' 4 :, !:!ii iOr r !fl:le v l":li:i1 i;-i :, l .:ttza. i :nl l t-: l l i r: {'/ri rj ei l tei , t¡i .te ccnstrl i l f i 1¡i t):,i l :Ón ,Jt ca ig a :,' llr ,.' { lir e i i i r(-(i i -r1 ui ti '-1}.i '\i ¡: ?ri rbi l r'gi }, r'1úsi i i rt:l I¡¡nto dc r.i sta 1 n fu :l::l l t;1,.l i rl :.,'1r¿r :l l i t: ri :1r'¡'Ol t:r.:nl .e. }--}ei ¿¡i j t¡r nl ardos. iislc,t, *: a í' :r t' { .l.r i} tie e lig a l- ' : t-¡'i :r-. is.ilto fr : ll ijsr ) ¿ jijtij f¡ .iia tiCr .:¡i i 'ri : qJ.Tr¡i;ai t¡rt,-:1.

15.1*

fyr r.i ;¡'i ;:i r.'r" l os si s;;t¡'t¿¡S i i !i {S C

}

MI_{-S -1 _eír;'!

Caxe.pct mfrgr¿{,ticr} de un¿p"e$"ffi-ente (ireular

Considere¡nosahora una corriente circuler Ce radic a (fig, 15-34), El cálculo del {;a;npo magnético en un puntc ¿rbit¡ario es un problema matemático algo complicado; pero en puntos sobre el eje de la corriente, dicho cálculo es una tarea bastante fácil. Veamos primero que la ec. (15.37) puede interpretarse matemáti-

FlS. 15-84. Cálculo del carnpo magnético a lo largo del eje de una coriiente r:ircuiar. camen¿edicie¡rdoque el campo maguético resilltante(lJ producid$ Iior Ja ccryiente en P es la suma de un gran número de contribuciunes elementalesdill de cada uno de los elementos de longitud dl que componen el ,circuito, Cada contribución elemental es

d n __ yo 7 J:J_!:_ ¿¡. 4r

12

Sin embargo, esta ecuación debe considerarsesólo en relación con la ec. (15.37) y no como un enunciado independiente.

¡

En ei casode una corriente circul¡r.r'" ei producia vectori¡rl rtr.yX ü¡ de la fig. 15-34 es perpcn{iicuiaral plano P.tL'¡,'i.i.-rii,-, mi'i}ul* u¡iidad pc,rquelos dos vs¡sores son perpen,Jicrilares. Ilor lo tanto. ri carnpo d':13producido por el elemento de

II

I )


15.10i

Carnpomagnéticode una corrientecircular

545

longitud dl en P tiene el rnódulo

d.)J

$o 4; r

, dl 12'

y es perpendicular al plano PAA', siendo entonces oblicuo respecto al eje z. Descomponiendo dJJ en una componente d?311 paralela al eje ¡r otra d:lJ, perpendicular a éI, vernos que, cuando integramos a lo largo de la eircunferencia,para cada d'131 hay otro en sentido contrario proveniente dei elernento de longitud directarnente opuesto a dl; la resuitante de todos los vectores *)Jr es entonces nula" La resultanteí)3 será Ia suma de todoslos d':?J11, siendoen consecuenciaparalela al eje" Ahora bien, como cos ¿ : <¡/r,

dcIJ¡:(d.iJ)cosn: ldl:

:

{S

Or.

La distancia ¡ permanece constante cuando integramos a Io largo de la circunferencia. Luego, siendo 0 dl :2ra, obtenemos para el módulo del campo magnético resultante

cB:

:t#{ o,

f d%11

-

Volaz 2f

Teniendo en cuenta que r : (az { R2lt2, podemos escribir el campo magnético en los puntos que están sobre el eje de una corriente circular en Ia forrna Fslaz ,'-@J@8.

c)? -

(15.44)

El momento dipolar magnético del circuito es. usando la delinición (lb.lg),

319. fii-3ri" l,lneas de fuerza magnéti::.s ilebidas i; una corriente circular.

Fig. 15.36. Campo nagnétieo praducidb en el punto .P por !Ma crtrriente dipolar magnética.


646 M :

(15.10

Interacciónmagnétíca I(¡caz); Iuego

v&1r-, "'- 2*1o"* Rz ¡s ' z '

(15.4s)

En la fig. 15-35 se ha repre-sentadoel campo raagnético de una corriente circular. Ocurre un caso muy interesante cuando el circuito es tan pequeño que el radio a puede despreciarsefrente a la tiistancia .R. La ec" (15.45) se reduce entonces a

po(2II)

M,-:-:_-v$ 2 nJ?3

(15.46)

4 aRg

Cuando comparamos la ec, (15.46) con la ec. (14.46) con 0 :0, es decir, f. : $l4neo\(2plÉ), vemos que el módulo del campo magnético a lo largo del eje de la pe.queriacorriente es iddntico al carnpo eléctrico a lo largo del eje Ce un dipolo eléctrico si hacemos cor"responder{¡r.o/4r')M e pifr.er. Por esa razón el circuito ce dencmina dípola mdgnélico.En consecuencia,podemos ar¡iicar a un dipolo magnéiico las ecs" (i4.46) y (1a"+?) correspcndientes a un Cipelo eléct¡"ico.resultando para el campo rnagnético fuera del eje (fig, 1t36), ñ) -ür

Fo 2/!f cos 0

:

--:4tt

-----:---, ,{

^d -ijo

:

Fo M sen 0

-7 4n

(r5.47)

,'

En el capítulo 14 vimos-Que las lineas de fuerza de un campo eléctrico van de las cargas negativas a las'iiositivas o, en aigunos casos, desde o hacia el inlinito. Por el contrario, podemos ver en las figs. 15-28 y 15-35 que las líneas de fueua de un campo magnético son ce¡radcs enlazando la corriente. La razón de esto es que el campo magnético no se origina en polos magnéticos. Un campo de este tipo, que ¡ro tiene fuentes puntuales, se denomina solenoidal. EJDMPL0 75.8. Estudiar el galoanómetro de langentes. Sotucló¡: Un galvanómetro de tarrgentesconsisteen una bobina circular (flg. 15-37) que tiene N vueltas y por la cual -circuia una corriente f. Se coloca en una región donde hay un eampo magnético ]J de manera que un diámetro de la bobina sea paralelo a IJ. La coniente f produce en el centro de la bobina" rin campo rnagnético dadc por la ec. (15.44) con R : 0; es decir, ¿oIl2a. Y por tener N vrreltas" el campo magnético total producido en el céntra es'.)Jc: p.6INl2a. Por consiguiente ei campo magnético resultante )J'en el centro cie la bobina forma con el eje de la bobina un ángulo 6 dado por

'rr"-;r-v '

!' { g . I6 - :Jr .

gentÉ:s.

,--4

íi' - r iv¡ .¡ iú m e ir < l r le tai -r-

tg 0 =, 1ll])" -

2a-))i¡loliv".

Si se cr¡lcca una pequeña aguja u:agnética en er cenir¿.idr la bobina, girará y quetlará en equiiii.,;'i+ic:¡:.:lr;do ri.n ángui,.r,3i:9n 6¡ eje. Esto nos ;:]iarii;tíi r¡rcrlir el r-ra¡¡po txterno c,Usi ccnocemcs il: r:r'a¡it'=¡¡.i c, i:rvtlsamente, meiiir la tor¡iente I si cü¡r$cetnos el carnpo ']J. Norr¡almente,

1

t1

If; )


r,5.i0'¡

Ceryrponagnélíco rJ¿ una carfiente círcular

5tt7

'.,fes e.l campc magnéiir:o terrestre. Para mediciones <.lepr*eisión debe corregirse la Itirrnula para [ener en cuenta llr lirngiiu
Estudiar

el campo magnétic<.r 4i: una corriente

solenoidal.

Solucáón: Una corrientc solenoitlal, o sim¡rlemente un solenoide, es una corriente cu¡npuesta de varias espiras circuiares cogxiales y del mismo radio, todas con la

t6su* U\T

Fis. 16.$8.

debidas a una corriente solenoidal.

misma eorriente{ng. 15-38).obtenemos su campo magnético sumando los de cada t¡na de las corrientes circulares correspondientes.En Ia figura se ha indicado el campo por medio de lfneasde fuerza, suprimiendoalgunas fluctuacionesen el espacio entre cspiras. calcularemosel eampo del solenoideúnicamente en puntos {ue están sobre su eje. Iiir !t íig. 15-39 tenemosun corte longitudinal dei solenoide.Si I es la longitud i{ ei núnero de espiras,el número de espiraspor unidad de iongitud es Nir y -vei núr¡rero de es¡rirasen una secciónde longituti tll? es (NiI)dR. Podemos calculir jl carnpo de cada espiraen un punto P del eje usando la ec. (15.-14);el campo debido L

Hn-l

Ptg. 16-3,q, f.á.lcuio del campo magnético en un punto ttna corrient.e solerroidal.


P situado sobre el eje de

548

Inte¡accíónmaqnétit&

{15.10

a las espiras ct¡lrlenidas cn la seccion C.{ purde t-.:.;j -:iiar-jn {il ia sigL.iienLcform¿:

ci,rj - l¡,A?{*r,,]itoo -- o;tl' r,;;i;1ü;;

(15.18)

lle l a fi g u ra i n fe ri m o s g u e fi - .¡i ti gF, ¡i r--.-..* ,tosec2pdl i , y t??* R a:ca crisec$ 2 . Su s ti tu 3 e rrd o e n l a e c. i 1i ,-{ ,3).tenernos ij ,= ji1-{ ',t ¿L

i.- rcri ? ¿r;);.

Pála oblenei el eampo resulta.nte. dct,erlr4s itrtegrar llesde un extremo del solenoit-i; hasta el olro. Es decir, calclllsrr¡r): ri r:ai;-¡porerr:ll.anie como sigue:

rr : -*d{

f r'

-sen grrp: --#"

(cosB,- cosg,).

(15.4e)

Si el solenoide es muy largo con res¡leclo al radio, tenemos para puntos cerca del tentro {ue lji d n y tÉz; 0, cle donde .. n

-

r r olN L"-.

(15.50)

Irara un punto en uno de sus extrernos, Fr : En cualquiera de los dos casos

rl2

y gz r 0, ó Fr

n -

Y Fz: rl2.

.)r

¡roll'r Á,:: _----. 2L

(15.51)

o sea Ia mitad del valor en el centro. Los solenoides largos se usan para producir campos magnéticos bastante unifoimes en regiones limitadas cerca del centro, EJEMPL0 15.70. Estudiar el campo rnagnético rrientes ilustrado cn la fig. 15-40"

del sistema cuaüupolar

de co-

solucíón: El sistema de corrientes de Ia fig. 15-40 está compuesto por dos pequeños circuitos iguales separados una distancia 2a, por los que ci¡culan corrientes

t'r

iguales 1 pero de sentidos opuestos. Cada circuilo es entonces un dipolo magnético; pero co¡no las corrientescircrrlanen sentidos opuest.os, ios mornenlos rlipoiarcsson opuestos,dandc un rnomento dipolar magnétir:o total nulo. Sln enbargc, el campo magnético resr¡ltante fro cs cero tjebidc a la separación de los circuit.os y cl sist.emaconsti+"uyepor lo tanto un cuadrupolo magnético.Debe notarseque la situación es matemálicamente rnuy similar a la del ejompl o 1,1.13. Teniendo en cuenta la analogla entre la ec. (15.47) para un dipolo magnético y las ecs.(14.46) y (14.4?) para un dipolo eléctrico, po,Jemos definir un potcrrcial "riiagrrético" ym asociírdo cou el campo magnético de un diaolo magnético daCo i:ol la ec. (14.4i) ctin ¡L"l!,{/4r en '"'ez dc ;;1.!.;:r, S€ { .f;nr-r

Fig. f6-4{}. tico"

Cuadrnl¡,,rio rnagnÉ-

\r

:

'--'

4r¡r:


4rcrz

Campo magnélico de una cargd en mavímíenta

1,5.11)

549

Luego, el potencial "magnético'' resultante en P es, teniendo en cuenta que M! - - M ¿: M , y-

i l o t r l ¿ 't ,

. - _laor lr ' r r -

t"r",

4;¡r- -

En la fig. 15-40 observamosque rr - -o rl :¡t* a 2 -2 a rc a s 0 , rf;: ¡t + az + 2ar cos0.

f " t -_ " r . \ :- -_ i r ¡ M .'\e 4, rl /'

* r Y rz : a + t, por lo que

Usando el desarrollo binomial hasta el primer orden en a/r, tenemos 1

1 (r_ Z a c os9

-r4\-" t_

¡

" i :;'\

*)

:F\'! - r(,,- + "' )3acosd '

_

\

y análogamente,

1 _ 1 rr_

1

3acos0

e :,"\,_ _,

+ ...\. _. I

Por lo tanto IL ;l -;l

IL :-

-= -t: i "3

l,

_"_+_"

/1 \^' -

_ 3 acos0 r

¡ ..- \r -

3o cos o, -r" ' )- \ r -2o , \_ , 9l ogggn -1--7...): ,,

_.

r¿

Sustituyendo este valor en la expresiónde V-, obtenemos

v^ : P e ro M . a :

3vo (_r." 4 r¡3 \

M a y M.t

g , qf:re "9t \. r l

: M r cos 0; l uego

(3 cosr 0 - 1) t¿oM(24) 4¡.rs cuya dependencia angular y radial es similar a la de la ec. (14.58), confinnando el hecho de que estamostratando con un cuadrupolomagnético.El momento cuadrupolar magnético es M(2a). El campo magnético del cuadrupolo magnético tiene las siguientescomponentesradial y rangencial u. _

_ A V^ _ 3p¿oM(2a)(3cosa0-1) or 4nV -' a Y.^ 6p' oM(24)senocoso. Bo :-l r 00 4*ra

()r P i :-_

Advertimos al estudiante que el potencial "magnético" que hemos introducido es simplemente un artificio matemático para calcular el campo magnético, y que no está relacionadocon una energla potencial en la misma forma que lo está el potencial eléctrico. 75.77

Campo rnagnético (no relatiaista)

de una

ea,rgú en rnoairniento

El hecho de que una corriente eléctrica (es decir, un chorro de cargas en movimiento produce un campo magnético,sugiereque una sola carga en movimiento debe producii también un campo magnético. 'Irataremos de determinar este


¡ lnl¡,,,,lr¿'ritit,r':rri:¿.íirrr.

55ü { llIñp{ l

ií11!!: if i j."l: i.r :r j 1i i' :.' il

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15.12)

Electrcmagnetísmo E ei príncipio de relatiuídarl

551

que, como señalamosanteriormente y demostraremosmás adelante, es la velocidad de la luz o de cualquier señal electromagnéticaen el vacio. En núnreros ¡n s-1. redondos. c : 3.0 x 1Cl3 Err ctr¡rclusiÓn:aunque utia c¿1rgaen i{.f,,rr$oproduce rinicament,eun campo €lór:i¡is6,una oarf]a en movimiento produce t¡ri:t.oun campo eléctrico c{}mo uno rnagnélico, relacicnados por la ec. (15.54). Lcs carnpos eléctrico y magnético son entonres simi;iernente dos aspectos de una propiedad fundamental de ja niateria. si¿nclolnás aprcpiado empleai el tér¡nj.no ((1mpoeletlromagnélicopara descril:ir la siLi¡arión íisica que involucra carga.se¡r movi¡¡liento. i l e i ..e n :o ss e ñ a l a ra q rti q u e ei pasaj e de i a ec. (l i :.52).c l a ec. (15.53) no constitr¡ve u:r procedimiento nlatemálico único ]'a ql¡e, si agregamos pcr ejern¡llo a la *:c. (15.53) urr tér¡nino cuya integral a lo largo de un r:amino cerrado sea ce r.¡,l a e c . (1 5 .5 2 )n o c a mb i a . E n ¡eal i dad, l a ec. (15.53) no es compl etamente correcta. Se ha encontrado experimentalmente que da resultaclos accptables iióic cu¡ndo la velocidad de la particula es pequeúa con respecto a c. En la sección Ii;.13 deduciremos Ia expresión correcta cie )l qtre seÉ válida para todas las vtlocidades. Por otra parte la ec. (15.52) es válida para todas las vclocidades. EiE:iwPLA 15.77. Veri!.icarque el resultado (15.42) para el campü magnético de u n a c o rri e n tere c ti l fn e ae s c o mpati bl econ l a ec. (15.54). Salucáón:El campo magnéticoproducido por nna corrienterectillneaes el resultante p ro duci dospor todas l as cargas(¡ucse mueven a l o l arg< r dr l o s ' :a m p o si n d i v i rl u a l e rs r l e ! c c n d u c to L D . e a c u e rtl oc o n l a ec. (15.1.3), si S cs l a secci óntransveri al del conriuctor, I -: ñq.Slr,donde u es la velccidad de las cargas.Pero nq es la carga por utririac de volu¡nen y por lo tanto la carga por unidad de longiLuden un conductor de s e c c i ó nS e s n q S : ),; d e d o nde I: ).a.H aci endosusti tuci onesen l a ec. (X 5.42) y tcniendo en cuenta que c,l: l¡ur, tenemos ,, :

Fo€lOsI ur x € :

x C, pr.o€oo

que es precisamenteIa lc. (rS.s¿).

75.12

Eleetrornagnetismo

V eI princ$ño

d,e relatioidad

En el capitulo 11 establecimoscomo principio general el requisito de que todas las leyes de la naturaleza deben ser idénticas para todos los observadoresinerciales. En consecuencia,debemos ahora obtener la relación entre los campos eléctricos y magnéticos medidos por dos observadoresen movimiento relativo uniforme, de modo que se satisfaga el principio de relatividad. Supongamosque tenemos dos observado¡esO y O' (fi9. 15-42, en movimiento relativo con velocidad a, y que hay dos cargas q y Q en reposo respecto a O'; las dos cargas están por lo tanto en movimiento con respecto a O. Los valores de arnbas cargas son los mismos para los dos observadoresO y O', como ya se señaló en la sección 15.4. Para el observador O'hay solamente una interacción eléctricaentre Q y q y la fuerza que mide sobreq es.F' : qC', donde C' es el campo eléctrico producido por Q en g de acuerdo con lo que mide O'.


552

2 {1,'',í

; nl¿¡i.:ic¿t.¡¡;

." ' r !111.¡ - ,'::.r l ta l f i i {j !i üíl r i l l ¡ c ar nti o Por otro lariir. i'i le 1í¡.rírrg¿t i.r 'li, ;',r0,' ;i .l 'fi If.!, l i ; a- ;Li s i 'i l :: ,:l - ¡ t: i l í.!j .:l l - 'i i ;l f e:i .á e¡ l ,i i ,,f!:r ': i .i eléc t r ic o Ú' ¡ t in r linp¡ ií lr i ¿ - 'i l ¡ : i i , l r . 1 ¿j¡r.r"¡i,qi:r .;r;r ¡..'¡-íue 0 nlide sobre g cs i::. f.1;¡¡7;,: teioi-.iili1¿ 3;. mo./iÍ!ieiit,0 c{.}n

P : qit' i- a: x 'll).

Fig. 1ír-.{2. Comparación de las nre,licl.as eletrtrornagnéticas hechas por tios observarlores en tnovilnicnto relalivt.¡. 71

Ei i g i rn ri c r,.is i s l e n i i rd e c" .r;r¡l enai tsi al i l .re i ,¡s' :j er X v X ' cr¡i nri cl an con i a \¡ riirer:c!ón,le i* r,elocidad reiaiir,¡t i,: i,;s obseryirdoics.tcn.elnosquc ?i =: ?¿r¿, :t3 dt' F en el siS: --'ltsu:l\z + ?{¡t¡i;1r; i--l,ri0 tailtO las ci'liip{JjiettteS (lrie tDx tenla XYZ son Fo .-- qq(u -

F" : Q{x,

!,.as r:rimponentesde F' en el sistc.-'rraX'Y'Z' F'o : q{'r"

P' : q{L,

It- : rl((. n rÉ)J¡¡). (15'56)

i:¡j,), son

(15.57)

F', : q(',.

de F y ccmo g est{¡ e¡r ropcso respect,a¿ c" la reiat:ión entre las componente_s d s ,i r" e s tá d :rc i a¡o r l a s e cs' i i l .,i 2)' 111' .3:' ):r{ 11' 34), es rl eci r,

FL :' ]rr,

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I leer r r plaz ando los ' , ' aic r es r i e i a r c 'r r l l f l ú I l i ¡ n i e s ¡ r c 'i i o s i i a i l o s e n l a s e c s ' ( 1 5 '5 6 ) y { 15. 57) , - r ' c anc eianiio t l i a r : . i , '¡ -c D I I l L l n q . . '}) t c 1 1 c }n {) 5

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l .q t9\

Eleclromctqnelisnto y el príncípio de relatiuidad

SSJ

vador o' mide un camp0 eléctricoc" y un campo n-ragnético)l', el campo eléctrico qu e mi d e O e s tá d a d o p o r

c" =-c;.

(u :

',.u-j-'t)'- . V 1 -¡¡z f c z

f , ::;-!=L!íL. l/ l-u z ¡¿ z

(15.59)

Si la carga Q, en vez de estar en reposo con respecto a O', está también en movimiento respecto a é1,el observadorO' observa un campo magnético '8, además del campo eléctrico{'. un cálculo similar pero más trabajoso* da en ese caso

t)',: t),, ,';,: -))y--L!!!L, ¡¡'": ))::'ül-'i. (15.60) V l -D 2l c2

l /7-uz¡sz

Aquí también, como lo hicirnosen Ia ec. (15.58),podemosobtenerla transformación inversa de la (15.60)intercarnbiandolos campos y reemplazandou por - u; resuita

B, : )J,.

¡¡ - !"---f!'e

,

)J.: )Ljú--!!.

l /1-u2¡sz

fl5.61)

l /t-ur¡¿z

La s e c s . (1 5 .5 8 )y (1 5 .6 0 ),o s u s i nversas,l as ecs. (15.59) y (15.61),consti tuyen la transfcrmación de Lorentz para el calrrpo electromagnético.Estas ecuaciones demuestran una vez más que los campos eléctrico y magnético no son entes separados, sino que forman un único ente físico llamado el campo electromagnético. La separación de un carnpo electromagnético en sus componentes eléctrico y m a g n é ti c o n o e s u n p ro c e d i m i entoabsol uto si no que depende del movi mi ento de las cargas respectoal observador.En consecuenciarepetimos que no debemos hablar de las interaccioneseléctrica y magnética como procesosseparados,sino como de dos aspectos de la ínlerqccíóneleclromagnélica. EJEMPLO 15.72. Reconsiderarla situación discutida en el ejemplo 15.4 usa¡rdo Ia transformaciónde Lorentz para el campo electromagnético,para relacionar los campos medidos por ambos observadores. Sol*cidn.' Recordemosque en el ejemplo 15^4habfa un campo eléctrico según el eje Y y un campo magntlticosegirn el eje Z. Haciendo una transformación cinei- n á ti c aa u ¡r s i s te m ad e e j e s X '\" 2' movi éndose en l a di recci ónX con vel oci dad v : CtA, redujimos el rnovintiento al de una particula en un campo magnético solo. Vayamos un paso más adelante en este análisis y veamos las implicaciones de este ejemplo dentro del marco de la teorta de Ia relatividad. En el sistema XYZ tenemos ó., : 6, Cc : t" y ('" -= 0 para el catnpo eléctrico, y lJ" : )rv -- 0, )lz : I) pa ra e l c a rn p o ma g n é ti c o .L u e g o, usando l as ecs. (15.58)y (15.60),encontramos qu e l o s c a m p o sq u e s e o b s e rv anen el si stema de referenci aX ' Y ' Z' son

tí : o,

(í : :=.L, l/ 7 -

)'J;: 0,

c"j: 0, ttzlcz

)ti : 0.

r P o r e je m p lo , si e l e stu d ia n te d e sea obl ene¡ l a segunda y tercera ecuaci or¡es en ec. (15,60), t'! de Ia transformaci ón i nversa (15.59), s u ge ¡ im o s q u e u se la e c- ( 1 5 .5 8 ) p a r a el i mi nar r'i -:' y lu e g o d e sp e jr ' ' ) :¡ t tt;.


554

(15.12

Interaceiónmaqnétícu

Poniendo u :

( llJ , c Lr nc lui m o s q u e ú i -= 0 por lr.; q¡. t"

t ! ; - . |' t - - u l ¡

('

"= l), mientras que

'r .

Por lo {.antc la teoria ie la relati..'iciad predice que u;l ¡¡bservador 0' moviendose ccn velocidaA ¡¡ : (ll-j ,.lonresprcto a ulro obserl*dor {), ¡ro rnerlirá campo ¡riértrico aiguno y medirá ur (:aynp()magné|ico m.-nor q'Lteel que rnide O, runque en ia lnisrlra direccién. {tJE3!r'L{, itt.7}. Obtener el carDpo i;rap.iiétict'rd¡ irna crrrrienic rcctilinea :-¡sando i¿ i.ransfc¡r,'in¡:iónreiatír'lsta del {;ait¡p{.'eiectrc:r:!gttétir:o. l: - * t s c ddr ¡ . . { : or r s ldeiei¡ . : .r}¡l;na Í l l s : n l i : ; i i l i
II

sl 1",

i i

I i"

I

U

s/; v t;

lR= Iil i

iy d.,:' *--'r--i-

i , r,. ----=--y

_\/

Fí9. 1i.4S. Campo elect.rornagnético ¡;roducido por un chorrc de cargas que se ¡ . , r b s e r v ¿ l ¡d o s o i r s e r v a r l ( r r e se n ; n c v i m i e n t o r e l a t l v o . nluc v en s t : gr inei eje X ial < : o ¡ n ci o

La carg,amedid¿¡ por íJ eri lrn segrreilic ri-r'es rlq =''¡.tj:" lll *bserr,otior {J';r;:de la misma carqa per(i rlel¡idc a la-i'.)niráü<:rón'.!e i-.¡¡renlz,el segnrent<;parerc ir:trer una longit ud dr ' t al que Cr - - I i - - i , : , c ¡ d : . F 'r - r r 'l ot a - n t o l J ' m i d c u n a c a r g a p o r unidad de longitud i' dilerente, daila par dt

^,

: +(If

: i -1{. ,= .{7'--u,-¡c, t.. OÍ

El campo eléctricomedido por O'es transversai.En un punto P está dado por eI resultadodel ejernplo14.7,es decir, ¡ror t' : \'l2¡eaR'. Colocandoel eje }' paralelo a la lfnea PQ y teniendo en cuenta que .R : R' porgue es una longitud transversal, podemosescribir

(l :0,

{J :

2reo.R '

Luego, usando las ecs. (15.59) con fl' :

t'l :

0.

0, podemos escribi¡ las componentes del


de una carga en movimie¡tlo Campo e,ieclromagnético

15.13)

555

campc eléctrico con respectoa O en la forma C, : t'" : 0'

,.''u -ji {t-

=-: ¡¡} z

- --¡2neol l l tI-i ;¡sz

-

2neoR '

A n á l o g a rn c n tel a , s e c s .(1 5 .6 1 )d an l as si gui entescompon€ntesdel campo magnéti co r e s p e c toa O: tj , -

y v :0 ,

y" :

--yi , ' !l i :- : Y 1 -- t):-k'

---ry\' -, 27euR[ i -

, - -utk"

r' ql -2nll'

clonrlehemos usado la relación €opo: 11c2.En consecuencia,no sólo obtenemos correctamenteel campo eléctricoen el sistema Xl'Z r)e una distribución rectilfnea de c a rg a , s i n o q u e ta mb i ó n , u sando l a ec. (15.37)como punto de parti da, hemos en c o n tra d ol a e x p re s i ó nc o rre ctapara el carnpo magnéti coproduci do por una cor r i e n te re c ti l fn c a . q u e h a b fa si do obteni do previ amente {ec. (15.41)I. P odemos c o n fi a r e n to n c e se n q u e l a l e y de A mpére-Lapl ace(15.37)es compati bl e con l os requisitos del principio de relatividad y que da por lo tanto el campo rnagnético correcto asociadocon una corriente elóctrica cerradu.

15.13

Canryto eleetrontagnético

de una cargú

en tnoaitniento

En el capitulo 14 vimos que una carga en reposo produce un campo eléctrico ( ' : (q l 4 n e s r2 )u r, y e n l a s e cci ón 15.11 señal amosque cuando una carga estrá en movimiento, produce,además, un campo magnético cuya expresión sugerimos que serÍa )J : (¡ro/4n)qox urlr2, Sin embargo, de acuerdo con la sección precedente, los campos ( y '11 deben estar relacionadospor las ecs. (15.58) y (15.60). En consecuenciadebemosempezar, desde el principio, con un cálculo relatiüsta para obtener las expresionescorrectas de t y ']J para una carga en movimiento. Consideremosuna carga q en reposo con respecto al sistema de referenqia X'Y'Z', y que se está moviendo con respecto a XYZ con velocidad u paralela al eje X común. El observador O' no mide campo magnético alguno, sino simplemente un campo eléctrico, como se señaló anteriormente; por lo tanto Luego, l as transformaci ones(15.59) para ' D ' r:' H i :' l J ' ,:0 , o s e a ' )r' :0' el campo eléctrico dan

C, : fi., t, : - -!+=: , V 1 -ü ¡c z

('" : -:!:.

(15.62)

J f r-u z ¡c z

Las ecs. (15.62) indican que cuandolos observadoresO, que ve moverse la carga, y O', que la ve en reposo,comparan sus medidas del campo eléctrico de la carga, obtienen la misma componentedel campo paralela a la dirección del movimiento, pero O obtiene una mayor componente perpendicular a la di¡ección del movimiento. Análogamente, las transformaciones (15.61) para el campo magnético dan, si usanos Ias ecs. (15.62) para escribir las componentesdel campo eléctrico respecto a O,

iJ": o, ,t, : - Llt,

tJ,: t'


.

(r5.63)

556

(15.13

Interatcíón magnétíca

las cualesson equivalentesa '?J : t x (' l*. E sta ri:i¿ciónes idt':nticaa la ec. (15.54) que, como se señaló anteriormente, ts la rclacióri cutre ius campos eléctrico y magnético de una carga moviénciosecor.¡r'rlcciCari co¡¡stanten. relación que es válida para todas las velociriades.

t'l, Fig. 1á-i14. Transformación relaiivisia de ias componentes del campo eléctrico pro;jucido por una earga q en reposo rcspcr:lo a O' y situ¡¡da en O',

[,as cbservaiionesde O y'de O'se comparan en ia fig. 15-44. Si la carga está en O', el absen'ador O' mirie en P' (sobre el plano -X'Y') un campo eléctrico dado por q ¿ .,: uJ__,Q_r" 4 nenr'? 4 ';eor'3 El ohservadorO ve el mismo punto en el piano XY pero. debido a la contracción cle l-oreni.z,la coordenadaX rJtrl¡runtc parece acortatla en el factor / 1_úlr', i .gua!. E ,s deci r, Í = -Í' l 1* u2l c2, m i e n tra s q u e i a c o o rd e r¡a da\' l ,erry¡aner:: que I forrna con OX es del á n g u l o ú| di ferente ángul o É ' qrre f" u e g o , e l A :!' . i as ecs.i 15.62),vemos que el campo O ' P' fo l rn a c o n O ' X' (fi g . 1 5-aa).F.,mpl eando f que O nide. en P tiene rlna componente X igual a la medida por O', pero la c o mp o n e n te Y e s m a .v o rc n un factor 1¡N ' , --L* ¡i L E l resLi l tadoes que f forma con ei eje X el mismo ángulo 0 q'.ter. Pcr io tanto, respecto al observador 0, el campo eléctrico yace también en ia direccrón radial. Sin embargo, el campo ya no es estéricamenti..sjnrétric{i con res¡recto a O. tin cálculo simple y directo (v e r e l e j e mp l o 1 5 .1 ,1m ) u e stra que

¿ .- Á;i,; -ffi;.i, n,ro""' ¡ n

1 -

n2l r 2

(15.64)

El factor que conbienesen en 0 hace que el campo cléctrico rlependade la dirección del vectar de posición r. Así, a distancias iguales de Ia carga, el campo eléctrict¡ es más fuerte en el plano ecuatorial (0 : n/2), perpendicular a la dirección del L


de uno carga en mouímienlo Campo electromagnélico

15.13)

557

movimiento, que;egirn la dirección del'mismo (B:0). Esto contrasta con el campo eléctricoproducido por una carga en reposo,el cual es esféricamentesimétrico. Esta situación se ha ilustrado en la fig. 15-45(a)y (b), donde el espaciarniento de i a s l ín e a si n d i c a l a i n te n s i dad del campo. Llsando la relación 'ü : u x f ic2 que, segúnhetnos demostredo, tiene validez general, empleando la ec. (15.64) ¡r:rra{", encontramosque el campo magnético -v de una carga en movlmiento es

'B : J.o!= 4rrz

I -

ú¡cz

[1 _- (rl/c') sens0]3/2

DxUr.

(15.65)

Esta expresiónse reduce a la no relativista, ec. (15.53),cuando ¿,les muy pequeña c o n re s p e c toa c . S e d e b ete n e r en cuenta que l as ecs.(15.64)y (15.65)son vál i das solamente para una carga en movimiento uniforme. Si la carga está acelerada, el campo eléctrico tiene una forma similar a la mostrada en la fig. 15-45(c) y las expresionesmatemáticas son más complejas.

q(a) Carga en reposo o con velocidad m u Y b a ia Flg.

ló .4 6 .

L in e a s

(b) C arga en movi mi ento con velocidad alta

d e fu e r za

l)

(c) Carga acelerada -

eléctricas de una carga en reposo y en movimiento.

E l h e c h o d e q u e Ia e c . (1 5 .65)sea di ferente de l a ee. (15.53),que se deri vó de la ley de Ampere-Laplace(15.37),puedehacer pensaral estudianteque la ec. (15.37) es a su vez una aproximación no relativista a una ley más general. Sin embargo, es ta i mp re s i ó ne s e rró n e ay a q ue, como se señal óen l a secci ó¡r15.11,l a ec. (15.37) tiene validez general. La dificultad aparente se debe a que el camino seguido pa ra i r d e l a e c . (1 5 .3 7 )a l a ec. (15.55)usal do l a ec. (15.52),no es úni co. E sto se debe al hecho de que una sola carga en movrmiento no constituye una corriente cerrada, mientras que la ec. (15.37) es aplicable sólo a corrientes cerradas. Por ejemplo, si usamos la expresión (15.65) en la ec. (15.52) correspondientea un chorro de particulas cargadasmoviéndoseen linea recta, obtenemos la expresión (15.41) para el campo de una corriente rectilínea. Este cálculo, que omitimos, muestra la compatibilidad de la teoúa. EJEMPLO 75.14. Deducir la ec. (15.64) para el campo eléctrico de una carga en movimiento unilorme.


ó58

Inleracción magnétíca

{15.13

Solución: Notando en la fig. 15.4,1(a)qu+: {' lormil un ánguic 8' con O'X' cos 0' : x'fr', scnB' : g'ir', tenemos qiie las cLrmponeiitt'r ile f' son

(';: (' cos0' =' -rL

i; -..';.n u' :

lr,

4::
:-

-a.:

4neo r'3

y que

(t5.co)

Tenienriu. en cuc¡lta la ec. {15.6ii }- que, sc'grin la lransformac!ón de Lot'entz, r : j:'{1 --o;ic" e ai : g', porJen:osrs..:r!Lrirlas crlmponentes dcl canlpo f-l obse¡v,ido por úr en la forma

q

¿- -- ,''' -

-----l-*-

4ft€o y' | __ ¡.¡zj¿z¡,2 (y

-

ti _

-_

ll|, t -

_ _q _ ____g _ -

t--u.z

4-e.. . ll' , 1 - ¿ z f ¿ z y 's

Es decir, err forlna vect orial,

¿--

qr

(15.67)

- - - - - - =:- t

ttr e i{ 1 - zzfsz¡tt

la cual muestraque el campo{ es radial en el sistemade reterenciaX YZ. Ahora bien r,z : t,2 I "u,2 : ], además gt :

Je 1_y2,t¡z

-F.u¡ : -:l-iYli:\g'

1_Uzlgz

r2 senz 0. Por lo tanto r ll -

':--

( u z i c z )s e n 20 j r / r

vr-u\4:'

Usando esta relsción para elinrinar r'en Ia ec. (15.67),obtenemosfinalmente ,

f

:

---

I

il -' u¡lcr)r

4:r
q 4re¡2

| _ utlc2 ur) .'1ua¿:¡sen, €jsiu [1

que es precisamente rl resulla¡ic obtenido anteriorr¡rente. FJEltPl,0 15.t5. Discutii' ia ¡:ori¡i1c rnferacción maglútiea r¡rbi'i*.J y tri i1írLr1i'jo de i¡n ¿itrrlnB.

rnire

$n electrón

Soh¿¿dcln.' {lonsidtrre;r¡os {f! g. i I:-,;Ír; ;¡: ;lc¡ii¡in cuyÍi (rarÉ¿res -- i giraldg con : :iar _"iti¡ r i i, ¡ ¿ir et1*cjt,¡ al* ilii ¡ i L:. i j ,] 11t ¡a¡i-. .-í¡. St¡ irLr.\'e't!.:)r:,n c,ril ¡'tl::lí.j!"t el ¡ : i r i l i ' ¿ , i ; , :c i l t v : , i l e i i i , i ¡ t : t , {r a ¡ ¿ s Í ¡ n ¡ , l i i l ¡ a r , ¡11r.i n r.rr!r,.i qrial as lr na i_-iriiI ti Íeier¡cia" I.¡,:ro" si lt:l,rrirnos l+s ¡loYir¡rjr.!rtos a ¡rri sisle¡rra tle c;,.crilc¡r.a,irsIijtl ai electrliri, éste es.tará en ¡rp:.;sú )--i¡l i:r.ir.:iec irarecerá estar describiend* la lra.-tett<.¡riacic irazcs, tarnbién ¡-tna cir¡,:u¡iferencia,cnn veloc!dad -- r'. Despreciando ia :celera-ción del electrón (el estudiarrte deberia ser capaz de calcularla y juz€iar lo razcnable que es csta suposición), podemos co¡rsideiar que este nuevo sistema ¿s inercial. F,l i-iúclec,produce, pues, con respecto al e¡ec:.r trón, uir üampo electrico cuya expresión r¡o FlS, 15-dB, Interacr:ir)¡r rspin-órl--ii de un elc¡trén que se muer,e alre- rela-tivista es f - (Zel4xe¡z)u, y un campo dedor de un rrúcleooositivo. maf:nético reiacionado con C por la ec. (15.54)

: I

i

I I I I¡ I

¡ I

I I


Campo eleúramcqnélíto de uflü rarga en mauímíento c0¡1 -

589

r, ;n vez de o, Es decir,

,:c: +(-o),r: +rx u: #fu,'.¡\a. Pero el momentum angular del electrón respeclo al núcleo es L : mt x o : mrTt¡ x o. Despejando w x o y reemplazando en la expresión de (D y ¿, obtenemos

n:

^ft;;,.

En consecuenciael campo magnético producido por el movimiento relativo del núcleo es proporcional y paralelo al momentum angular del electrón, como se indica en la flgura. Como ?J es un campo magnético referido a un sistema en el cual el elect¡ón está en reposo,no da origen a ninguna interacción con el movimiento orbital del electrón" Pero el electrón tiene un momento magnético Ms debido a su espfn, de modo que Ia interacción magnética del electrón con el campo magnético nuclear es, empleando las ecs. (L5.22) y (15.29), Ep ---Ms .B:-(" 9 ").( -

fz " 8neoc3m2d

\'

2m

t" ^ , I \ 4tte¡ct¡¿'t-r\:¡

s .L .

El aspectomás importante de esteresultado es qu€ la interacción magnética depende de la orientación relativa del espln S y el momentum angular orbital z del electrón. Es por esa razón que se denomina interacciónesptn-órbitay se designa a menudo por .6e,sr,.Un cálculo relativista más detallado indica que el valor de Ep,sz es l& mitad del valor obtenido más arriba. Estima¡emos a continuación su orden de magnitud- Recordemos que según la tabla del ejemplo 15.6 se tiene que para el electrón, y es aproximadamente- 2. Adenrás, según la ec. (14.40), la energfa del electrón en una órbita ci¡cular es, en la aproximación de orden cero, E:-Zetl4rceo(2r). Por lo tanto, despuésde corregir E¡,sa con el factor un medio mencionado antes, podemos escribir Ee ,s z x = E= = S ' L. czmzlr Pero el módulo de z es mru y podemos suponer que el de S es del mlsmo orden de magnitud. Luego, S. ¿ es aproximadamente (mru)t. Haciendo la sustitución, obtenemos Ep ,s t x * l u t. Cornparadoeste valor con el resultado del ejemplo 14.10, concluimos que la interaeción espln-órbita de un electrón orbital es del mismo orden de magnitud que Ia correcciónrelativista a su energfa.Sin embargo,la interacciónesptn-órbitatiene la p,articularidadde que presentaun efecto direccionalnltido a causadel factor S. f,, que dependede la orientaciónrelativa de /- y S. Llu análisiscuidadosode los nivelesde energíade un eiectrónen un átomo muestra que S ¡rriedetener sólo dos orientacionesrespectoa ¿, paralelo o antiparalelo, lo ¡uai esiá de acu,erdocon la discusiónque hicimos al flnai del ejemplo 15.2, En conscguencia,la ini.cracciónespln-órbitadesdoblacada nivel de energfade un electrón &l:"peres (o dobletes) de niveles rnuy cercanos.


560

(15.14

Interacciónmagnética

75.74 Interacción miento

electrotnagnétiea

entre

dos eargas en ,nov¿-

Podemos notar a esta altura que en nuestro estudio de las interacciones magnéticas nos hemos apartado del procedimiento seguido en los capitulos 13 y 14 para las interacciones gravitacional y eléctrica. En aquellos capftulos comenzamos estudiando la interacción entre dos partículas, introduciendo luego el concepto de campo, En este capítulo, en cambio, introdujimos primero el concepto de campo magnético en forma operacional, hablando de la fuerza (15.1) que se ejerce sobre una carga en movimiento. Luego calculamos los campos magnéticos producidos por corrientescerradas. Hicimos esto por medio de la ec. (15.37), de la cual [si usamos también Ia ec. (15.1)l podemos obtener la fuerza magnética que una corriente eléctrica produce sobre otra o sobre una carga en movimiento. Pero hasta ahora no hemos dado ninguna expresión para la jnteracción electromagnética entre dos cargas en movimiento. Una de las razones de esta diferencia de procedirniento es la siguiente: las interacciones gravitacional y eléctrica estudiadas en lcs capitulos 13 y 1.1,respcrtivamente, dependen exclusivame¡rtede ia distancia entre las dos parliculas que interactúan; es decir, son fuerzasestaticas. i,a jnteracción puede existir entre partÍculas err reposo y la situación fisica se puede entonces discuti"r en condiciones estacionarias o índependientesdel tiernpo. Por ei contrario, la interacción magnética depende del movimiento de las partlculas en interacción, o sea que es una fuerza dependíentede Ia uelocídad.En un punto dado, el campo magnético de una carga que se mueve respecto al obserrador depende de la velocidad de la carga además de depender de la distancia entre la misma y el observador. Pero la distancia está cambiando, puesto que la carga se mueve, y en consecuenciael campo magnético (asi como el campo eléctrico) en un punto dado está variando en el tiempo; es decir, respecto al observador, el campo magnético de la carga en movimiento es dependíentedel tíempo, Un nuevo elemento entra entonces en la imagen física: la uelocídadde propagación de una inleruccíón. Un modo posible de encarar el problema es suponer

(v)

(,)

Fle. 16-4?. Efecto de reta¡do debido fis. 16-48. Interacción electromagnéa la velocidad finita de propagación tica entre dos cargas en movimiento. de los carnpos electromagnéticos.


j lL. i +'

t¡JrriQS en mqilimicnl',:t

5íJ

ts ciecir. si le carga g (f-rg.15.47')se i:ne las particrllas irl"teractilcí!" C,islartri.a; rl rreq prodoceen A al ti empo I r i ti tr.-:'ci lc n v e l o c i d a riu , e l c a ¡lr;' i icl ectrci rragnéti r;,r ,,s ,,' l re s u l ta d


562

Interaceíón magnétíca

(15.14

módulo j, si las cargas están aceleradas,direcciones diferentes, Concluimos por Io tanto que las fuerzas entre dos cargas en mouímienlo no son íguales en módulo ni aclúan en direccionesopuesfas. En otras palabras: la ley de accitin y reacción no es válida en presencia de interaccionesmagnéticas.EsLo implica a sll vez la conservacióndel mornentum, del mornentum angular y de la energíano serjan válidos para un sistema de dos partículas en movimiento. Este fracaso apcrentede leyes tan imporiantes se debe ai hecho siguiente; cuando en el capitulo 7 cscribimosla ley de conservacióndel momentum e¡r ia forma Pt * Fz: coilst., estábamoscansidera¡¡doque O medía simuilaneamenleyt, y f¿; sin cmbargo, eu presenciade una interacción que se propaga con velocidad finita, el efecto de retardo requiere que ia rapidez con que cambia el lnomentum de unt parlícrrla en un ins',ante dado no esté relacionadr con la dei momentum dc ir otra particula en el mismo instante, sino con ia correspartdie.nle a un inslanle anteríor, e inversamente. No poderrros esperar, entonces, eue pr -i- p2 sea constante si los momenta se determinan al mismo tiempo. El estudiante recordará que, según la sección 7.4, podemos describir el resultado de una interacción como un intercambio de momentum ent¡e las dos particulas, Para restaurar la ley de conservacióndel momentum, debemos incluir el momentum que se está intercambiando entre las dos particulas y que, en un instante dado, está viati jando entre ellascon una velocidad finita. Esto es,tenemos que Pz (i tener en cuenta el momentum "en vuelo". Decimos que el campo electromagnético transporLa este rnomentum y lo designamos con pcampo(ng. 15-49). Por lo tanto la ley de conservación del momentum requiere que

i,t*-*

/-zo'

9t

Pt 1- Pz * P"rmpo :

cooSt.

(15.68)

Flcurg 16-49 "

Análogamente,debemosatribuir un cierto momentum angular y una cierta energia al campo electromagnéticoa {in de restaurar los dos principios de conservacióncorrespondientes. Pospondremoshasta el capitulo 19 la discusión de cómo se obtienen el momentum, el moment¡m angular y la energía asociadoscon el campo electromagnético. El estudiante recordará que en la seccjón7.7, cuando presentamosuna apreciación crÍtica del concepto de fuerza, señalamosque la ec. (7.5) se debia considerar sólo como preliminar, sujeta a una consideraciónultcrior de la mecánica de Ia interacción. Esta revisión se ha incorporildo ahora en la ec. (15.68). Es por esto que el concepto de fuerza adquiere importancia secundariay es necesario desarrollar técnicas especiaiespara analizar ei movimiento de dos particulas en interacción. EJEIIIPL0 ló.1G. Comparar la interacción nragnética entre dos cargas con Ia interacción eléctrica entre las misrnas"


Bibliografla

563

Salucion: Cnmo qucrerros sólo órdenes de nragnitud, simplificaremos la esc¡itura de las fórmuias. l,uegc,, dadas las cargas q y q', podemos decir que la fuerza eiéctrica ejercida por q' sobre g es qt'. Ill canrpo magnético producido por q' en q es, si empleamos la ec. (15.54), del orden de magnii-ud de u'( lcz. La fuerza magnótica sobre ia carga q es, usando Ia ec. (15.1), del orde¡l rie magnitud de qtr(u'{lc2) "' (uu'lcz)q(. Por lo tanto fuerza magnética = f * . . . lé. t t ' t *

uu' c '

Asl, si las velocidades son pequeñas respecto a Ia velocidad c de Ia luz, la fuerza magnética es despreciable frente a la fuerza eléctrica y se puede ignorar en muchos casos. En cierto modo, podernos decir que el magnetismo es una consecuencia de la velocidad finita de propagación de las interacciones electromagnéticas. Por ejemplo, si las cargas tienen una velocidad del orden de 106 m s-r, que corresponde a la velocidad orbital de los electrones en los átomos, tenemos que fuerza magnética : ru f"""r^ " "lé"t.ia^ A pesar de su valor pequeño respecto al de la fuerza eléctrica, la fuerza magnética es la que se usa en los motores eléctricos y otras aplicaciones tecnológicas, por la siguiente razón. La materia es normalmente neutra eléctricamente por lo que la fuerza eléctrica neta entre dos cuerpos es cero. Por ejemplo, cuando se ponen dos alambres juntos la fuerza eléctrica resultante entre ellos es nula. Si se mueven los alambres, las cargas positivas y negativas se mueven en el mismo sentido, por lo que la corriente total en cada uno es cero, siendo entonces cero la fuerza magnética resultante también. No hay por lo tanto ninguna fuerza entre los alambres. Pero si se aplica una diferencia de potencial a Ios alambres, Io cual origina un movimiento de las cargas negativas respecto a las positivas, se produce una corriente neta en cada alambre que da como resultado un campo magnético. Como el número de electrones libres en un conductor es muy grande, su efecto acumulado produce, aungue sus velocidades sean pequeñas, un giran campo magnético gue da como resultado una fuerza magnética apreciable entre los alambres. Aunque la fuerza magnética es débil comparada con la eléctrica, es todavla muy fuerte comparada con la gravitacional. Recordando la discusión que hicimos en la sección 14.6, podemos decir que interacción magnética interacción gravitacional

x

l}ss

"u c2

Para velocidades comparables a las de los electrones orbitales, este cociente es del orden de 1032.

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564

Interacción magnélica

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Froblemas 15.1 Un electrón con una velocidad de 108m s-r €ntra a una región donde hay un campo magrrético, Encontrar la intensidad del campo magnéticosi el electrón describe una trayectoria de radio 0,1 m. Encontrar también la velocidad angular del electrón. t5.2 Se aceleran protones a través de una diferencia de potencial de 10c V partiendo del reposo. Luego se los inyecta en una región donde hay un caúpo magnético uniforme de 2 T, con la trayectoria perpendicular al campo, ¿Cuálserá ei radio de la trayectoria ¡r la velocidadangular de los protones? 15.3 Un protén se mueve en un campo magnético a un ángulo de 30" respecto al campo, La velocidad es 10? m s-l y la intensidad del campo es 1,5 T, CalcuIar (a) el radio de la hélice descrita, (b) la distancia que avanza por revolución, o paso de la hélice, y (c) la frecuencia de rotación en el campo, 15.4 Un deuteró¡r (isótopo del hidrógeno de nasa mu)¡ cercaná a 2 uma) describerrna órbita circ'.rlar de 40 cm de L

radio en un campo magnético de 1,5 T" (a) Calcular la velocidad del deuterón. (b) Determinar el tiempo que tarda en da¡ media revolución. (c) ¿A través de qué diferencia de potencial se deberfa acelera¡ el deuterón para que adquiera la velocidad de la parte (a)? 15.5 Un protón que tiene una energfa cinética de (a) 30 MeV, (b) 30 GeV se mueve perpendicularmentea un campo magnéticode 1,5 T. Determinar en cada caso el radio de la trayectoria y el perfodo de revolución. Notar que en (a) el prot.ón se puede tratar clásicamente y en (b) se debe tratar en forma relativi sta. 15.6 ¿Cuál es el campo magnético que se requiere para que un protón de 30 GeV describa una trayectoria de 100 m de radio? Encontrar también la velocidad angular. Notar que el cálculo debe ser relativista. 15.7 LIn ion de ?Li con carga +e tiene una masa de 1,2 x 10-ro kg. Se lo acelera a través de una diferenciade potencial de 500 V y entra luego en un campo


Problemqs

-l

565

¡ aB É_-10

Flgura 15-50

cm-=i

Ftgura ló-51

magnético de 0,40 T moviéntlose perpendicularmente al mismo. ¿Cuál es el radio de su trayectoria en el campo magnético ? 15. 8 Un elec t r ón en el punt o A d e l a ñ g. 15- 50 t iene una v eloc ida d u o d e 10? m s-1. Calcular (a) el módulo y la dirección del campo magnético que hará que el electrón siga el camino semicircular de ,4 a B, (b) el tiempo que tarda el electrón en moverse de A a B. 15.9 Uno de los procesos para separar los isótopos 3sóU y ¡slJ.se basa en la diferencia en el radio de sus lrayectorias en un campo magnético. Suponer que átomos de U simplemente ionizados parten de una f uent e c om ún y s e m u e v e n perpendicularmente a rrn campo magnético uniforme. .Encontrar la máxima separación de los haces cuando el radio de curvatura del haz de 236Ues 0,50 m €n un carnpo de 1,5 T, (a) si las energias sr¡n las mismas, (b) si las velocidades son las mismas. El superfndice a Ia izquierda dei slmbolo qulrnico es el número másico que a los fines de este problema, se puede identificar con la masa del átomo en um a. 15.i0 Una tira delgacla de cobre de 1,50 cm de ancho y 7,25 mrn de espesor se coloca perpendicularmente a un campo magnético de 1,?5 T. A lo largo de la tíra ha5' una corrieule de 100 A. Encontrar (a) el campo eléctrico transversal debido al clecto Hall, (b) la velocidad de arrast]'e
Flguro 15-62

15.11 Un campo magnético uniforme ']i está en la dirección O y, como se muestra en la fig. 15-51. Encont¡ar el módulo y la dirección de la fuerza que experimenta una carga g, cuya velocidad instantánea es o, para cada una de las direcciones que se muestran en la figura. (La figura es un cubo). 15.12 Una partfcula de masa m y carga q se mueve con velocidad uo perpendicularmente a un campo magnético uniforme, Expresar, en función del tiempo, Ias componentes de la velocidad y las coordenadas de la partfcula referidas al centro de la trayectoria. Repetir el problema para una particula cuya velocidad forma un ángulo d con el campo magnético. 15.13 Una partlcula tiene una carga de .1 x 10a C. Cuando se mueve con una velocidad o, de 3 x 10a m s-r a 45" por encima del eje Y en el plano YZ, un campo magnético uniforme ejerce una fuerza F, según el eje X. Cuando la partfcula se mueve con una velocidad ¿t" de 2 x 10{ m s-r según el eje X, se ejerce sobre ella una fuerza F2 tle 4 x 105 N según el eje Y. ¿Cuáles son el módulo y la dirección del campo magnético? (Ver fig- 15-52.) 15.14 Se disparan partlculas cargadas dentro de una región donde hay un campo eléctrico y uno magnético cruzados. La velocidad de las partfculas incidentes es normal al plano de los dos campos y éstos son perpendiculares entre sí. La intensidad del campo magnético es 0,1 T, El campo eléctrico está generado por un par de placas paralelas


566

Interaccién maqnética

iguales y de carga opuesta, colocadas a 2 cm una de otra. Cuando la diferencia de potencÍal entre las placas es 300 V, no hay desviación de las partfculas. ¿Cuái es la v eloc idad de las par t Í c t : l a s ? 15. 15 ( a) ¿, Cuál es la v eloci d a d d e u n haz d¿ elec t r ones c uat r do la i n f l u e n c i a .;lmulthnea de un campo ek'cl.rico il¡r inren¡;il¡ril 3,{. r 10¡ \r rn--i :i (lc :rr'¡ c alnp. r iir agnóiic o c iel2. t l T t r e ,i >e i l : i i t 'i i .

será nccesario hacer una corrección relativista. I

15.19 El espectrómetro de masas de Den"rpster, ilustrado en la fig. l5-t2, empie¿ un campo magnético para sepaiar iories quc tienen ¡nasas tiiferentes perrr ia m.isniu energia. El espectrómelro d¿ nrr¡s¡r.sde IJnínhtidge (l'ig. 15-5:3) es , . r t r r ;d i s ¡ r t , s i t r ro p o s i i r l c q u e s e p a r a i r l ¡ r e s r¡iir' fii:ircil la ¡¡¡ls;r¡auelr,ci:lnd^l)espuós la r ,:. ir l .i a l h i.¡ 2 , fl( f p i{ Jtlii( ' { : 1l .rr''¡;1¡i ¡,ri i i i r '; , l r : 1 ! c s ¿ ¡ li a s i e n d i j i r s , l ü s i o n e s p a s a n ;- iig ,,¡ ¡ ¡ r ' te lO.. r t;{ ' Ciin } r e s? l};} i i 'l ''i .rl ¡t' J)t)I r-ln il!¡,.irrr de velo..,:irlaiiesc.).inrel :¡1,..':: i,;: i;ii iii:lg r a ilia l;1 cr icr i:r ¡ i,i:l l l l : 1 1 r y d p u ¡ : r ¿ i i r 'l r ¡ r . i é r : t r l r 'ol 'p r . . r i i u il:' lo :: tr cctu lr ,:: a :" r " ' , iJ. ir ' ) ¿C rr::i ,: e.i r:idr-rf¡¡¡l Jils i:i:rl:iis cargadlrs ,t )'lt', y ¡ ¿ i¡ 1 !¡ : r le Ia í¡ n ,ii:¡ e ie ¡ :!¡ ¡ ,n ir .' ¿rcr'¡i i r'i d{; a)..1 r : f t i r r ( i ¿ ¡ r n l i )r n ¿ g n r t i c ( ! ) / ¡ r *- 'l 'p e i ; i i i r l r i a r :r r r p ¡ ' ilr c ci c;ttr ¡ ;r t lltir tt' ico I i i l r 't t f : i ) t ' t l r : t t r i . u . I . r 's i o n , - 'st l l t e i r ¡ ¡ r ¿ ¡ ¡ ' L ,r r e r r i . i ¡ r l r . i ¿ i , :l:o s c a ¡ r p o s c r u z a d o s s i l l d c s j l -:"p a r titlr ia il,: ln a .s t:;,ü.'. ii.1 í.i .,¡;,¡st i:lllra;r f-'tl ult.1 rcgititi rionllc hay Ig t;*:ti: u r t:1 r ' a ¡ ' ¿ { a tt* 2 .:- ' ' ... I t}-* C . i :t: r i r r s e g u n d r - ci a n p o r l a g n é t i r o ) J 'd c s c r i ie ir n p r lr r r c tir l¡ l ici¡ ' cir llil ini r:¡:rl tr,.i i i r i e ; r r i t .ó¡ r l i i t a s s e r n i c i r c u l a r e s .[ . l n a p l a c a ziln i.r l d ( r ti,ú x 1 .0 a tr ' t t - r . ¿{i ui i l cs so}i f o l . o g r á ñ c a F r e g i s t : 'a s u l l e g a d a . D e r e l r n ó d u io y la d ir e e ció n d e l carnpc rrraer¡rosfrar qur: qlm : t lrl)i)'. q u e ¡ n a n te n d rá l a parn é l.ir :o m ín im i¡ ticu la m o vie n d o se e n u n a d irecci ón ho15.20 El carnp,r eléctrico entre las plala fu e r za gravi tar izo n | a T , e q u ilib r a n d o cas del selector de velocidades de un cia n a .l d e la tie r r a ? espectrómetrc¡ de nrasas de Bainbridge 15.11 En un espectrómetro de masas es 1,2 x 105 v m-l y ambos campos tal corno el que se ilustra en la fig. 15-12, magnéticos son de 0,60 'I". Un haz de iones de neón con carga +e se mueve una diferencia de potencial de 1000 V hace que iones de 2alfg con carga l- e desc¡iban una trayectoria de radio R. (a) ¿Cuál será el radio de la tral's¡¡o¡¡, descrita por los iones de 25Mg si se les acelera a través del rnismo pctencial? (b) ¿Qué dife¡encia de potencial harÍa que los iones de $tr{g describieran trna trayectoria del mismo radio R? (Srt¡roner que las masas son, en ilma, iguales r P l aca :rl número rnásico indicado como superfnr-jice a la izquierda del símbolo qufm ic o, ) 15. 18 Un es pec t r óm c t r o t le l ¡ a s a s t i i : n e un \¡oltaje acelerad<;r de' 5 k\r ¿ln -v carnpo nrrrgnético de 10-s T. Enconlrar la distancia cntre los dos isóto¡:os €¿Zn y loZn del zinc. Por distancia entendemos la separación de las dos manchas que aparecen en Ia ernulsión de la placa fotográfica después que Ios iones rle u"Zn y ToZn con carga -f e son acele¡ados primero y luego obligados a rlescribir una seü!icircunferencia. Ver fig. 15-12. lSuger ent in: no c aic ular c ad a u n o d e I os r adios ' s ino obt ener una ec u a c i ó n {j ü e dé directamente la separación. (c) (la!cular la v elr ic ir lad t ic los ionc s p a r a v e r s i

Figur¡

ló-irf|

en una trayectoria circular de 7,4 cm de radio en el campo magnético. Determinar !a masa del isótopo de neón. 15.?1 Suponer que Ia intensidad eléctric¿¡ cntre las placas P y .P' de la fig. 15-53 es 1,5 x 10a V m-¡ y que arnbos canrp(Jsmagnéticos son de 0,50 T. Si kr fuente cr¡ntiene los tres isótopos


Problemas

587

ralvdg,aalf,{gy 23Mp,del magnesio y los iones tienen catgá.+e, €ncontrerla dislancia entre las lfneas formadas ¡+r ios tres isótopos sobre la piaea fotcgrálica. Suponer que las rnssasatómicas de ]os isótoposson, en uma, iguales a sus nirmeros másicos indicados a la izquierda del sfmbolo químico. CamPo t'll gal i endo

Ftgurc ló.66

tones, (c) la energia de los protoncs en J y en MeV, (d) ei número minimo de vueitas completas de los protones si el valor máximo del potencial entre las des es 20 000 V. 75.25 Repetir el problema precedente para un deuterón y para una partícula alfa (núcleo de helio). Sus masas son 2,014uma y 4,003uma, ¡espectivamente. Flgura 1ó-64 15.26 El campo magnético de un ciclotrón qre acelera protones es 1,ó T. (a) 15.22 En un espectrómetro de masas ¿Cuántas veces por segundo se debe tal como el que se muestra en Ia fig. invertir el potencial entre las des? (b) 15-54, es dificil asegurarque todas las El radio máximo tlel ciclotrén es 0,35 m. partfculas llegan perpendicularme¡rte a ¿Cuál es la velocidad máxima del prola rendija- Si R es el radio de Ia trayec- tón? (c) ¿A través de qué diferencia de toria, dernostrar que las partfcuias que potenc.ialse tendrla que acelerar el prollegan a la rendija formando un pequeño tórr para imprimirle la velocidad máángulo 0 con Ia normal llegarán a la xima que da el ciclotrón? placa fotográfica a una distarrciap (aprol'¿.27 En un ciclotrón, los deuterones ximadamente igual a R0,) de las que describen una circunlerencia de 32,0 cm inciden perpendicularmente.¿Cuál es el de radio inmediatamente antes de emervalor de 0 para el cual esta separación ger de las des. La frecuencia del voltaje es menor que 0,1]f de 2R? (La situación alterno aplicarioes 10t Hz. Hallar, (a) el deseriia en este problema se denomina carapo magnético,(b) la energfay veloenlaqzternagnétíco.) cidad de los deuteronesal emerger. La 15.23 En el espectrómetrode masasde rnasa rle un deuterón es 2,014 uma. ia flg. 15-55,los iones aceleradospor una 15.28 tIn tubo de rayos catódicos se diterencia de potencial entre S y A en- colocaen un campo magnético uniforme tran en el campo tnagnético que cubre ii de rnodoque el eje del tubo sea paraun sector de 60" y son enviados a una lelo las a lineas de fuerza. Si los electroemulsión fotográfica. Demostrar gue gue emergen del cañón con una veqlm ,:321r¡fi'D"" Estudiar los eambios nes locidad u forman un ángulo 0 con el eje de posición de C para pequeñas desviacuando pasan por el origen O, de modo ciones de la dirección de incidencia. que su trayectoria sea una hélice, de15.24 .En dr.ier¡ninado ciclotrón, Ios mcstrar (a) que tocarán nuevamente el protcnes d,escril¡en una ci¡cunferencia eje al tiempo t : 2nmlh, (b) que la de 0,40 m de radio poco antes de emer- coordenadadel punto de intersecciónes ger. La freeucncia del potencial alterno r : Ztmu cos 0/'I/9, y (c) que para peentre las des es 747 Hz- Despreciando queños valorel de 0 la coordenada dei efectosrelativls!¿s, calcular (a) el campo punto cleinterseccióncon el eje es indemagnético, ib) la velocidad de los pro- irendientede 0. (cl)El dispositivode este


568

Intcracción

müqnelicü

problema se clenumi:ra kile r",o'¡néíica: ¿por qué? ie'' ¿Eit rlué iiifierel ias tralt'l;torias de los elel:+.rcnesqne lia-a.n por: ':) oriqen forntando uri ángujo 0 1'o; ei:i::ii'.: del eje y ias de los qite pasan ioi:lianrlo el rnism{-¡ ángu}o por debajo riel t'je ? 5e inyectan iiror.ones c¡: il lfe i 1i.29 de ei:ergia a un cierto ánguio coli i'r's' pecl.r) a ltn canlpo nragnétl.co unifot'-:;r: de 1 T. ¿A qrré distancia volr"¿r:án i¿¡ particul*s a rin pun!-o coriiún i1e ititers¿ceión con el eje? 15.30 IJna partlcuia rle carga g v -;eloc idad. un ( s eqún el eje X) ent r a . n u i ¡ ¡ regiÓn donde hay un carnpc r!-¡íi¡4!1'ili{:o (segúir el cje Y,i. $!o';irar que, s! l¿ '¡r:iilcidad uo es suÍici+:rite¡.rel1tegru-nde íiui'Ilri pa¡a que el ca¡nbio de dire¿ción cta dcspreciabie .'"' ia fuer¿a magnéllca ie p ueCa c ons idr r r r c olis t ar t t e ¡ ) a r a i e t a al ejc Z, la ecriación d€ la trnyecLoria de la partlcula cs z == (qül2vom)xg. 15,31 Una particula de carga I Y i¡t:locidad uo (seg,1nei eje X) entra en una región (ng. 15-56) drlnde hay un campo eléctrico y uno magnético uniformes en Ia mlsma dirección (según el eje Y). Demostrar que si la velocidad a, es suffcientemente grancie como para que el carnbio en su dirección sea despreeiable y la

illc¿sul:!¡.::znt¿tjja ¡:cr:,t'trlic"lar a1 eje -Y, iodar ler Il:tit,ii::s 1ir.itt,¿og&Irel mismo co¡ic¡rte ür,'n i¡rcidiráir a lo largo tle tina pxrábola rirtia, intlcpendientemente de .;u teioc,t'lerl inici:il. ijor lo tanto habrá ula paribtla para cad* lsóiopo presenle e;r el haz inliCe¡rte, 1i 32 Lina n-irticula de cai'ga q y masa ¡l) se líuel'e erriLe dcg placas paralelas r'tr'Éadas y separarias a una distancia ñ. Sc aplica un canrpo nragnético ultiforme p;:raleio a las plac.as y dirigiclo como se intlica en ia 1ig. 15-57. Inicialmente ia ¡rartlcula esiá en reposo sobre la placa inf,:rior. la) EscriL¡ir ias ecuaciones de

Ficura 1ó-í¡7

+++++++

movimiento de la partfcula. (b) Demostrar que a una Cistancia y de la placa inferior, p" : (qlm)'Bg. (c) Demostrar quc el módulo de la velocidad está dado por a2 : 2(qlm)Cg. (d) Con los dos reque precedentes mostra¡ sultados t gue (qlm)trzÍ2{'J us: -(qlm)'"}3'gz|tt, Y II Ia pa.rtlcula pasará rasando la placa suI-entos perior si ( : \(qlm)'B'h. Rápidos I i5.33 lln una tegión donde haY un { campo eléctrico y uno magnético uniIsótopo formes y en la misma dirección, se inpesado yella una partfcula de carga q y masa m con una velocidad ¿roen dirección perpendicular a la dirección comirn de los dos carnpos. (a) Escribir la ecuacién de F& movimiento en coordenadas cartesianas' (b) l'Iostrar por sustitución directa en la \2 Fignra 16-50 ecuación de movimiento que las componentes de la velocidad al tiempo I so¡ L'¿: r,o coS (q'l3lm)t, v, : {qC!m,\t y fuerza magnética se pueda considerar rrz : s€rl (q}lm)t. (c) Del resultado preconstante y paralela al e¡e Z, (a) las coorrienadas al tiempo ¿ son c : üof, cedente, ot¡tener las coordenadas de la partfcula al tiempo f. (d) Hacer un gráy : l@{ lm)tz y z : l(quo:l6ln)t2. (tr) Elifico dc la trayectoria. (e) ¿Cuál serfa el minando f uo de estas ocuaciones. obte-v ¡¡¡ovimiento de la partlcula si la veiociner la relación z2lg: $(-1131()@lnn)'zr'z. dad iniciai de la misma fuera paralela a El resultado tiene aplicación en uno de los primero$ espectrógrafos de lnasas los ,rampos? iSuge.rencia: Para las respue:tas da'Jas, el eje X está en la direcque fueron
)


Problemas ción de uo y el eje 1' está en la dirección c om ún a los dos c am pos ( ng . 1 5 - 5 8 ) . 1 15.34 En una cierta regiórr hsy un carrrpo eléctrico y uno magn4tico unifor¡nes y perpendiculart's entre sf. Se inyecta una partícula con velocidad un paralela al campo magnélico" (a) Escribir la ecuación de movimiento de la particula en coordenadas eartesianas,

569

v (¿/)t + (i /l .l + uo)cos{qB l m}t. Demostrar que para gue la parttcula se nirrevaa través dei campo sin desviarse, es ¡¡elesarioque u0 : - ( l'¡J,Comparar el resultadocon lo dicho en la sección15.4 15.37 Con referenciaal problema 15.34, veriñcar que cuando la velocidad tiene una dirección inicial arbitraria, las componentes de Ia velocidad al tiempo I D s: -

SoD, tt

:

Do'",

u" : (€lli

i- uoa)sen (g )J/m)f + ,o¡, eos (q Dlm)t,

' ,, : -{ltJ Figura 15-.í8

-

(b) Mostrar, por sustitucióndirecta, que las componentes de la velocidad al tlempo ú son u¡ : uo uy:

v

os : -

+ (c/}J 1- ue,)cos (q'tum)t

(fl )l ) s e n (g )l /m)t, (¿/ )j)[1 -

cos(g Blm)tl.

(c) Dei resultado precedente,obtener las coordenadasde la partlcula al tiempo f. (d) Hacer un gráfico de la trayectoria. lSugerencia:El campo magnético está en la direccióndel eje X y el eléctricoen la del eje Y. l 1 5 .3 5 R e s o l v e re l p ro b l e ma 1 5.34para una partfcula cuya velocidad inicial es paralelaal campo eléctrico.VeriÍicar gue las componentes de la velocidad so¡r ú x :0 ,

D6¡r5€ll (q)1lm)L

Obtener (por integración) las coordenadas de la partlcula y discutir la trayectoria. Comparar con los resultadosde los problemas 15-35 y 15.36. 15.38 Con referenciaal problema 15.33, (a) demostrar que cuando (qblm)t ( l, las coordenadasde la partícula se pueden expresaren la forma r.:t)olt g:@( l2m)tt y z : (ooq)ll2m)tr,lo cual coincidecon el resultado del problema 15.31.

z

"l

uu : oo cos (q Dim)l + (ai ), sen (s')i/m)Í, 0z - -

(C/ )i)f 1 -

cos (g )l/m)ll - Dosen (qIllm)L

15.36 Resolverel problema 15.34 para una particula cuya velocidad inicial es perpendicular a ambos campos,Verificar que las componentesde Ia velocidadson ur :0 . uv : ( I lj * uo)sen (g ljlm)f,

Figure 15-59 15.39 Encontrar la densidad de corriente (supuesta uniforme) que se requiere en un alambre horizontal de aluminio para hacerlo "flotar" en el carnpo magnótico terrestre en el ecuador. La densidad del Al es 2,7 x 1o8 kg m-3. Suponer que el campo magnético terrestre es de alrededorde 7 x 10-5T y que


570

Interac.ciónmaqnético.

el alambre está <¡rientado en la rlirecriein es t e- oes t e. 15. 40 Enc ont r ar la f r - t ei' z as {) i r r e c a ( l a uno de los segtttenttls dtl alarrbre qü{j s(' rnuestra¡r en 1a fig. 15-i9 si ei r¡-rirtr 'ij =- 1.5 T es par*lelc a ÚZ e I 2,{.\;'". -. La arista del cul.¡o rnirle i-)'10m 1i].41 1:,1pialL, {1{) u}1?.tsllii.a- ril'liitil gril*r i1t alamb;'t iie 5,{) cni x f} [i :'¡:i ¡¡: '1 " . r ar aieii; í l iln c at npo r nagt : ét ic o r i e 0 , i l > i 'i r c i t l i ¡ p t i l i r ) Si r : n, i c ; . 1' r ipnler lt ' ] U. \ la e:¡;iru.- ¿qut tcrqr-:¿ ¿rctúrasol,rreeiial il¡) ¿Cu¿iles el rno:ncnto magnéti-c* tie i¿r espirrr? (c) ¿Crrá] es el torque máxi¡trc' q ue s e pt t et lc ob l, . r ner c on c : a c o r t i e l l t c circulan-do por la misma iongilud de alalnbre- en este camp(, rnagnótico?

,'

---'-r t\ j . ).,'l/ | ,'

Figura 1é"61 forme un ángulo de 30" con el plano YZ. (i;) Hacer cl rstudio para el caso el1 que ei campo es paralclo al eje X. 1í.,14 ¿.Cuáles el lorque máximo sobre una bobina de 5 crn x i2 cm compuesta r i e t i 0 ( ) r 'u e l t a s c t t a n d o l l e v a 'u n a c o rriente de 10-5 A en un campo unif
l'ieure l5-{i0

15. 42 La es pir a r ec t anguiar d e l a l i g . 15.6{r pueCe girar alrerledor clei eje i- 1' llel'ir una c¡riiitnte de 1tl .\ e¡1el r.er+'i4{r ? t '/ / | ¡'-îlrclir::-dr;-{:r) 5i ia esirira t'rl.á en ).}¡t uniÍl¡rlne dr: it,) i- pa' ijarnl,iüBj-a;lrlr-itii)ü .*.__1-_ raiell-: ai r.je X, caicr:lav ia fl¡+¡"¡:llttl hi ,;7:7:-r)7¡ri \ ilti.:il.' la espira s{r!¡ie clrlu- l:rdc Ce / : t'¡ 'i ' i {¿ n' '' cn N nl ¡¡ilri,lcriiltl ir¿1raniarltJnti ia! ¡ :r. pir a * n ir i pr : s ic ión que s e i . l : ': c \ i l . '. ,'__-,1/_-1.. -- )_-¿-/-( b) Lo m is r no que en ( a) ' ex í : e p r o q u € /---..*'"i/_ Ia espira está en u¡l canlp'l paraiei-'r al {/r/ {// / I:l O A eje Z. (c) ¿Qué torque se requeriria si la espira pudiera girar alrededor de un eje Figura 1é-62 paralelo al eje Y que pase por su centro?

'tl*l'l-'+"'O

i:'Z-,/k"""'

15.43 La espira rectangular de alambre rnostrada en la fig. 15-61 tiene una masa de 0,1 g por centimetro de longitud y puede girar sin roce alrededo¡' del lado ,{8. Por el alambre clrcula una corriente de 10 A en el sentido indicado. (a) Calcular el nródulo y el sentitlo del campo magnético paralelo al cje Y, que hará que la espira gire hasta que su plano

--A

75.46 Una espira de alambre en forma de cuadrado de 0,1 m de lado, yace sobre el piano X Y, como se muestra elr la fig. i 5-62. En la espira hay una corriente de I0 A en el sentido indicado. Si se aplica un campo magnético paralelo al eje Z y de intensidad )j : 0,1¡ T (donde r está en m), calcular (a) la fuerza re-


Problemas srlltante sobre la €spira y (b) el torque resultante respecto a O. 15.47 Repetir el pr-oblema prececiente uuando se aplica el r;arnpo rrragnético según el eje X,

571

magnético de un electrón en un átomc de hidrógeno, suponiendo que describe una órbita ci¡cular a una distancia de 0.53 x 10-10 ln del protén. üalcular la 'vel¡;t:idad angular de precesión Cel electrón si está en u¡l campo rnagnótico de 15.48 tlna espira circrrlar de radio a y 10-5 t' (lue forma un ángulo de 30o con corriente f está centrada er el eje Z el momentum angular orbital. y es perpendicuiar a ó1, Se .produce urr 15.51 Calcular el factor giromagnético campo rnag;rético con si¡nelria axial aly para un dísco rotante de radio R que rededor del eje Z que forma un ánguic 0 ticne ulra carga g distribuida uniformecon el eje Z en putrtos sobre la espira mente sobre su supr:rffeie. ( n9. 15- 63) . ( a) Enc ont r ar , p a r a c a d a 15.52 Repetir el problema 15.51 para ¡,¡no de ios seirtidos pos¡bles cie ia co una esfera cargada uniformenrente en riiente, ei mócluio .r' la dirección de la l:uerza, ib) 3u¡roner que el c'.ircuito es todo su volumen. ISugerencia.. Dividir Ia esfer¿ e¡r discos perpendiculares al eje tan pequeño que se puede considerar (:omo u¡'r clipolo magnético y que el de rutació¡r.] Del resultado de est.e problema, ¿qué puedc tj,l. concluir acérca {.'Ít¡r¡pi}rrragnético sigue la ley de la inversa del crra¡lrado cle la rlist.ancia de la estrut:tura del eiectrón? ii;t =. A'lr?),Demostrar que la fuerza so15.53 El gauss es una r¡nidad frecuenteL'¡e el circi¡ito es .F' --- r: Xí(d'),)ldr'), mente usada hasta hace poco para ntedir i*l¡¡ie M €s sii momento dipolar rnagel campo magnético. La relr¡.ciénentre el :rético que está arientado según el eje Z. gauss y el tesla es 1 T : 10¿ gauss. F,sie resultarrro€s g€n€f&l y rnuestra que Ifostrar que cuando se mide la fuerza urt tlipr:lo se moverá en la dirección en en ciinas. Ia carga en stC, el campo magqtte el campo crece cuando está ol'ie¡r- lrético etr gauss y la velocidad €n cm s-1, t ado s egir n el c am po y en s e n t i d o c o n ia fuerza magnética €stá dada por treriü cuando está orientado en sentirlo F:{ v 1 g *t o g r : r ) }. opuesto al ciel campo. {Conrparar eon el 1.5.54 Encontrar la fuerza sobre la porresultado sirnilar encontrado para un ción circular del conductor de ia fis. 15-64 diprjlo t1¿.t.ico, ser:ción 1 4. I 1.) si ia corriente es I v ei campo magnético unifornre lJ está clirigido hacia arriba" Demostrar que es la misnra que si el conductor fuera recto entre P y Q. 15.55 Demostrar que la fuerza sobre una porción PQ de rur ala¡nbre conductor (fig. 15-65) que ileva una corriente f y está colocado en un campo magnético uniforme'tl, es /(F[) x ]J, siendo por lo tanto independiente de la forma del conductor. Aplicar al problema precedente. Concluir de esto que la fuerza sobre una corriente cerrada colocada en Figura ló-63 un campo magnético uniforme es nula. f5.56 Considerar una espira cuadrada 15.49 (a) Calcular Ia velocidad angular de alambre, de 6 cm de lado, cuando de precesión del espin de un electrón en por ella ci¡cula una corriente constante un campo magnéticode 0,5 T. (b) Calcu- de 0,1 A y está en un campo magnético lar la misma cantidad para un protón uniforme de 10-{ T. (a) Si el plano de la en el mismo campo, suponiendoque el espira está inicialmente paralelo al campo espfn de un protón es igual al de un magnético, ¿se ejerce algún torque sobre electrón. lSugerencia: Usar los valores la espira? (b) Contestar (a) cuando la esde y que se dan en la página 536.1 pira está inicialmente perpendicular al 15.50 Calcular el momento dipolar campo magnético. (c) Expresar el torque


572

Interaccíón magnética P

ñ\ ,,' il -}. n-i-1 ¿a

'tu ,4 l 'tt ,t\ .t4 t¿ .. f | .

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F i g u ra 1 5 -S4

FiFrt¡ri li-{.iü

fi gura 15-66

l : i d r : ; i . . i ! , r i j a l s 'r e n i o s s i g n o s d e I o s ej¡ fr,iü¿:i(:ntlel ángi]),-rt¡ue la nOrrlal e la irpl¡a fr:rlna con el cámpo ..r':agnéii,.:o" ár,gi.rrrs.] flr,¡t:'clrn t:ir gríÍrcl,.rricr;t ¡ I ?..trl u ¡: i.:i:':r 15.ir: I:'r': r-r:t all¡rnbie recto y láii¡ü :i ingr lr - r . ; ; : i; án, . it t nt : ' e C i l;: . l r l : q : :.'iir'r:t:i :.iitrrc,ri'fie11t.erl,' ifl \ en 'l s;l-r' ' ' ,; Ji. ,:i i¡ 1 "¡ jt¡ ¿ 3(,'l ;;r' '1" ir ,,.jci,' ¡ it i i1 { iir L It¡l'l dr:i tj,' -:r.IIa.f i.tll ca4-lporrirrgñ¿ti("ú , 1 1 i];¡ ' t ,,- ¡ ¡ :lu , lt ,,s1 ;it: ' ir .:l,t ai ;l i . r: ..' ; r r \ i : r i : . ; : l el i J e i n l , t 'i r i d a d 1 0 . . ci '3 - d . i r i , ; i;' il . ' i¡ .tt.:i:- t' .i.( ti:i r ¡ ¿ i,ir ,, ' ; i t : , , r : ; ; t " i t , l e j r , X , a : . C r . r eá sl -c , i : . r r t ¡ i ; t,)sÍ i rl i :...? i i i . t : r . l i : i i i {r , r e s u l t a n t c t : r 'l r - , s s i g u : : : r ; i t s i l - ,' ;? Sli i;.¡Sit,' A( ."r :) itci C? ) ¡ t- ii, . tA,l,,r , :i .r l) il, i :' t:- ,1 ' ]q ;1 3 . p a l rr":l ¡l i t !: . ;,,,.¡,{¡,3:í¿) ¡ =. í-},.: - 2, ..1,1'¡ t =- 12¡¡, i,r, í'::l ¡ ,.'. f), ¿ ,-- --.- ¡l,i'r r¡1'J ; - , i i' i) ,,r I::- ' ,r - l 1 i,| } :.' iilr il::r j,tilIT f i' ri i --r-: :í.'i r1r..::i ii{ i i,:. ú ú r l:i,1 1 } 1 !r;.i.i' , ¡ ¿íla llfit? ¡C r:,-¡L¡ 1¡...:.i I)cs largcs ala¡nbrr.s rectos :,. pa¡ . :iii' r ir ja ila Ud . r :l sc¡ :lid c, ,lt' . l;r rr,¡;i ri : i : f ¿ {? , c s e : r ; i n s e t a r a d o s ; r r , i r r n a ¿ i i s t a n t : i a ¡ ' rr i¿ 1 ,,' r i.r t ij:ic se n t*¡ lr .io ;r * en l e l i Í 2r,:.Si ¡'r.r," io! alArnbres cirr:¡lan ¿oirie¡rtes q',¡r: ! : r:.ir :i i' i.ti( . ll¿ ,.St¡ [r r a ]llC!n Í.!,' -l )¡' i g i r e i e s *n s r 'n t i c i o s o p u . c s t o s ,¿ c u á l e s e l u iii,e :li) s¿ r i;¡ t- r tp ca ¡ n t¡ ic? .ral'it;lornagn¿li{.:odt.l piano de los a'ram:it- t a :¿ n lb r i: . : :' ,.ir ' , f) ci in !l!r i i !.-j tl ei l l r, b r e ; e n u r r p u n i o ( ; '. ) e i ¡ r i d i s t a n i e d e l ¿!t$ i.: i- ji' clilt ' .:Iiil 1 :r ü r ' r L r ' jir .l.c c,Éc t¡'i c;l da. ¿ i r l r l , o sy i i ; . ) a ü r a d i s t á n c i a ¿ r d e u n o 1 ."!: c::l{:!rt;rr la inie'¡::ijrJrrtl Li,:l (,'aJ;r'r}:.)o v 3 , : C e l o t r o ? ( c ) C o i r t e s t a ¡ ( a ) f ' ( b ) p lo r iu cid r i * ¡ r r } ít Ci- r'i ¡r¡cr¡ d¡: x r¡ g ir { licc {¡r¿rr.:a: Dor ios alarnl'res circr¡lan co( \ ,í3 ' / l 0 *1 0 ¡ ¡ l riiertrs iquales en cl mi:;m4 sentido. :i ¿ i 1 n l. { ;¡ lr u ll t: l ai i ,b ¡ é n e i ca r n p a i e ]é ct;:icc e n e r ics ;runt4s. iÍ'.it\) Por iu¡ ¡ l¡r ¡ni;r¡ i'lct(., i- lai.{ü c i ¡r u la u r :ii i:( r r ¡ .ie ¡ j- e tic i.r ii r i. U a el ':ci r ¡ lt vla j* cí;¡ l t,ca ve lr :ciila tl { la; ; .í i l t m s- - r ¡ :a r a ie la n r e .lli *r lr i a la r ¡ i:r e v aírr ¿i i i f i:,ÍiC S¡ r r ,.ir :0 d e l:i cilf f ie lr i¡ :. i t ü. i ¡i < ! ti ¿ lltin i¡ r e . ¿ ( f u í lr r *r za i jr :r ,:..rel c.r.i .rn; ¡:r i l e g itr lir :o cir la c,,:r ie ¡ ,lr - r sr ih i rr rj ;:!'¡l rf . l ¡ i:- r e l: lllil\ :li:it1 i' r it' J

15.6,1 L)i)s largos aiarnbi'es re ctoi y Irar¡ritlr;sestán a 100 cm uno de otro, conlú s? ri';üi.st:r.cn la tlg. 15-67. Por el alan), i-,re iul)€r-illf ciicula una corr¡ente Ir .ie ii ,1 :'.¿cia rl plano dcl papel. (a) i,Cuál ¡ l : - i r , :s e r l r l r r i i t n s r C a ( i y e l s e n t i d o c i e I a .'1,¡¡jsr',ir: i* ¡ra,a ílrlo el campo resultantii f;r I, ii¡rt:lr¡jo :i ib) ¿Cuáj es entonr:es frr ,:,','l'r','i) lCsultanl.e en Q? (tl) ¿ Y r;': S? l ; .tiú ) ) e n r Ostlir r , r ' ,.:¿ lii¡ r l¿ i,.,.:.t'1i l .íi : ¡, f i . ¡ , 1 , i . ; t f i g . 1 . j l " 6 3e s u n a \ r i s t a f r l r r i t : r 1 q u e e i ca lr p ú ;;ia g ití:l;c0 d ,\: u !i¿ it(-¡1i 'i |]i i i ' rll :lcs i:r¡;¡ci al;¡r'ilbres paraielos pe i.pelrf e ctilin e a tr stá d a tli¡ Ir o f ir i € r . (1i ).,:l j . Ciculares 2l Flano X l, pcr lt:s que l 5 .6 l L r e m o s{ r a r tlu e e l ca n llto .r-l a!;}rc.- c l r í j u l a J a m i s m a c o r r i e n t c f p e r o e n t i co p r o d u ciCo p o r u n a co r r ie lr te refl "i s e n t r d o s o p L : e s t o s .( a ¡ M o s t r a r c o n v e c l f n e a f d e io n g itu d tores, el campo magnético de cada alamfin ita e s ( s ¡.i i 2ni l ) ( s en a , bre v el campo resultante en el punto Ir. se n a r ) , d o n d e í? e s la di stanci a ( p er p e n d icu la r ) (bi C)lrtener la expresÍón del rnódulo de d e l p u n to a l a lambre, y d r y cr ¡ so n lo s á n g u ) o s e n tie la perpen').1en eualqirier ¡tunto del eje X en fund i cu la r a la co lr ie n te J¡ lo s se g n r entos que ción de la coordenada c del punto. (c) I-lacer un gfáfico de1 módulo de )J u n e n e l fJu n to co tl lo s e xtr e m os de l a m i sm a ( vcr fig . 1 5 - 6 S) . A¡ ilica r c:ste reen cuaiquier punto del eje X. (d) ¿P:rra s u lta d o p a r a o b te n e f e l ca n lp o n agnétrco qué r'alor de ¡ es el valor de D máxi;no? e n e l ce n tr o d e u n cir cu ito cu a drado de Repetir para los puntos dei eje Y.

,a


Prablemas

573

T0

50 cm

¡ 1\ |^\ i nrt-

/ r : 6 Aé

100 cm

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li l60c s m

I,V -t

50 cm

lP l'Icurs 16-6?

Fisure ló-68

15.66 Repetir el problema15.65cuando Ias corrientesestán en el mismo sentido. 15,67 Una corriente de 2.5 A circula por una bobina de vueltas muy juntas rlue tiene un diámetrode 0,4 m. ¿Cuántas vueltas debe tener para que el campo magnéticoen su centro seal,272x 10-{T? 15.68 Un solenoidede 0,3 m de longitud está constituido por dos capas de alambre. La capa interna tiene 300 vueltas y la externa 250 vueltas. Por ambas capas circola una corriente de 3 A en el mismo sentido. ¿Cuál es el campo magnétieo en un punto cercanoal centro del solenoide? 15.69 Una lámina conductora de gran longitud y ancho ru tiene una densidad uniforme de corriente i por unidad de ancho; es decir, ftotal : iut (ng. 15-69). (a) Calcular el campo magnético en un punto P a una distancia(perpendicular) d por encima del centro de la tira, como se rnuestra. fSugerencia:La expresión del campo debidoa una tira recta y larga de aneho d¡¿ es la misma que la de un alambre rect.oy largo.] (b) ¿Cuál es eI campo si d < zu, es decir, si la tira se hace un plano infinitc? 15.70 Dos cor¡ir:ntes circulares de la misma intensidad ,f y el mismo radio o están separadaspor una distancia 20, como se muestra en la flg. 15.70.(a) Probar que el campo magnético sobre el eje está dado por (B : ,

volaz . Ir * I J!!=o\_r, (a 2 + b 2 )3 /2 L 2 (a 2 + b2)z 1 5 (8 b 4-1 2 o z 6 z ¡ fi ) I " 'l' g (a 2 + b z \4

Ftguro 16-69 donde r se mide a partir del punto medio entre las dos corrientes. (b) Veriñcar que para a : 2b, el campo en el centro es independiente de ¡ hasta Ia tercera potencia. (Esta disposición se denomina óoóinas de trIelmholtz y se usa mucho en el laboratorio para producir un campo magnético uniforme en pequeñas regiones del espacio.) (c) Suponiendo que se satisface la condición señalada en (b), encontrar el valor de c (en función de a) para el cual el campo diflere en 1o/o del campo en el punto medio. 15.71 Un alambre largo horizontal A.B (ng. 15-71) reposa sobre la superflcie de una mesa. Otro alambre CD, situado directamente encima del primero, tiene 1,0 m de longitud y se puede deslizar hacia arriba y hacia abajo por las gulas metálicas verticales C y D. Los dos alambres están conectados mediante los dos contactos corredizos y por ellos circula una corriente de 50 A. La densidad lineal del alambre CD es 5,0 x 10-3 kg nr-r. ¿A qué altura quedará en equilibrio eI alambre CD a causa de la fuerza magnética debida a la corriente que circula por el alambre AB? 75.i2 Un largo alambre recto y una espira rectangular de alambre yacen sobre una mesa (fig. 15-72). El lado de la espira paralelo al alambre tiene 30 em de longitud y el lado perpendicular 50 cm. Las corrientes son /r : 10 A e I¿:20 A. (a) ¿Cuál es la fuerza sobre la espira? (b) ¿Cuál es el torque sobre la espira con respecto al alarnbre recto? ¿Y con respecto a la lfnea de trazos? (c) Encontrar el torque después que la


Inleraccíón maqnélícc

574

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ni{'irtr ai r'e!:ir'ii.a{io riei campc dtntro de} á-rrgr,.r'cni:oilir[r]u er1 (a). {c) Rc¡rt'tir 'l j i , . ¡ , . , ' ; : , ; r a t t f c L t l a{i ¡ j r ' i }3 s a q . 5i t : ; r ': , . . i.:ri¡11ip ir. r'iisnia energfa, en ve¡, ie itn protl:ii. (.icr ijE. 15-73.) 'i 5.:1 l,'sarrio )a expr"esirin rciativisia (1.r.i:r) para el calrlli! magnéticc de u¡r¿r car-íir]. cn rnof iÍ]iento, obtener la cxplesióii para ei eampo rnagnético de una corriente rectilí:rea.

i

J


I

Problemas 15.82 Usando la regla gi:neral para la transformaciól ¡elativisla de i¡na frrerza (probleina 11.29), obtener las tra¡rsfcrrnaciones relativistas del ctrrn¡r+ tiectrom agnét ic o, ec s . ( 15. 53) ¡ " 1i5. 6 0 ) .

!i="a\

"riz ,'¡TF-r* Figur als - ?3

"r*\ u' l\ | /

\

15. 83 Us ar . idol¿r sec s . ( 15. 58) y ( 1 5 . 6 0 ) , prolrar que las cantlclades C'')J y c'2-?J€ son invariantcs respccto a la transformación de Lo¡entz. 15.84 [Ina partlcula de carga g y masa

575

m se rtlueve en una región donde hav urr carrrpo eléctrico f y un campo magnético '}3. Demostrar que si el movimie¡rlo de la partÍcuja se refiere a un sistenra de roor'(:len¿dasque rota con Ia frecuencia de l.a¡nror de la partícula, tot":--qBl2m [ver cc. (15.7)J, su ecuación de movimiento se transforma en ma':q[f f (mi 4)@t * (or * r¡¡. Estimar el valor de (o¿ para un electrón y verificar que el último término es despreciable. En esta aproximación, la ecuación de rnovimiento de Ia particula en el sistema rotante de ejes es no' : qf. La comparación de este resultado con el ejemplo 15.4 nos muestra cómo elirnina¡ eI efecto de un campo magnético. [Sugerencia.' Emplear las fórmulas de la sección 6.4 para cxpresar la velocidad y la aceleracién de la particula respecto al sistema rotante de ejes.l


i t¡ i,:..'"Jg,-'g'f },"1'j i,{-}$ CA}frtr]*SFIF$r,t"'É'f:i{

;6.1 fntroducción i6"2

Fiujo d¿ it"n cailtpo i;ectoríal

J6.3 [-¿t¡ de Causs ¡inra ei cenl,poeléctrico f 6.4 Leg ic Gr¡ussen lorma diferenciul lfi.S Polcrizeeiún d,e.Ia materin 16.6 Despíaznmíenta eléctríco 1f,.7 Cúlcr,'ir,tlc lcLsusceptibilidndeléctricn

l6.iü

lb.B Capaeífinctn; capacitores !6,9 ErLrrgíariel campo eléctríca (--t:¡rc'¿¿c:líut,j.ad ¿|"éctríca; Ieg cle Ohtn i5"11 Fuerzoelectromotríz

16.12 Leg ,le Ampére pora eI cG.nlpomagnético 16.13 |,et¡ áe Am¡tire en forma diferencbl /S./5

16.14 Fluja magnético I\\agnetizací.ón de Ic¡,matería

i6.16 Campo magnetízante !i1.17 iliiír¿¿iorj,r Ic si¿sr: r:y;tibíiiclodmagtztlüca it:. I¿^ iiesirri¡,r"rirt lo:i lrai,,s.Jelc:scampcrst:;tátícos


Flui:¡ dr tiil canrpo tecloríol

"td,;l) f S. f

577

itzt.r*ú.treeion

l-1, lls ilos c*¡ril.ulosprecedenie: i:gtridiarnosl¿isinteraccioneseiectrrxiragnéticas 1 ei ri,lr'imie¡it¡ ile parr;iculasc:rigadai .i.ri:reconsecuenciacleestas inieraccicnes. ii 'in;¡!:;:arias i¡¡ieraccicl¡eseieclromagnrifire: :ri:ro,lujimcs el conce¡:iade carnpo En este capítuio y cn ei pr,.riiria, estudiaremosen deialic las iJ¡:l:ir.'c¡¡:agn.éticr. üar.;rierislic?:sd11 campo electromagnetico mis¡no, considerándolo como una t:¡t.iekd rndeperiilieiite.En este ca¡rit.uioe:ia¡ninaremosel ca.mpoelectronragnético ,:siirl.irc a inde¡rarliente del tiernpr. i:]n el capítulc 17 considei'amosel campo tl t,:tr;m a g n é i i c L r,l e p e n d i entedel ti empo,

iü":l

.i"iicr3rrtÉt: t¿¡; aantpo

r(etor¿al

., .::t 1 ,,::.,,. ¡;.i ¡, ¿ .1 i'.;' tfl u ;o i t un ta;nítt¡vecl ,¡i i ti !.Ir,te es un concei :t¡jí.:.1fi :.i tj ' :. ..,,' t, :- ,,.,h ig fir,,l fi l :tr + \, ::íi á:rl í'i rffj i ¡ñ*l ti ;¿i :¡ Y rt{)tt3 i i t f.r:? {',i :;r'. i .: / r :t:a ,:1 r .,1 i' ,¡ . :' i- - :,!,i¡ !6¡9¡1ri i r:t:.1{-,;j t,rr:i Ji c!;:.sl ¡fi j ,t¡.¡úl ; t:.i }.r!a rt'gi ,i ,n {r;:...r. ;i . :: .- .,.' ir :ii . i ' i. ..' ,. V (tti .. t!,.1l . i -¡i '.'i rl ri i :i ¡;:, l :¡ :t,.ti ,.r$:.¿a: r.¡. I'i i .i r-, i . t. :t-'t!; 1...:.':,',.: ., .,r 1 ::' l .r ,,' ,. ! r l r - .",Ci¡ - ,S i J¿. .,.;"0,, tl ' .:j .tl ,. -i j (;ri ;1t::.rt: ';'..1, ..,.:' ' ' ta :j,. if .. l ; ::r¡: $1:.i i rl i 'i ,'i ":i '-:l i ::::{,i .!i r rl r-l S¡r!i }t¡t:. ;l .,:. 1 ;, :r ' :ln di rl U i ;|,',r i :r ' "qii ¡ ::: 1 ,.11 :r ;.,¡ ¡ i1 ¡ 1 -t::ji r t! sl t¡ti r:ú e ( i i üe i l \r.i ;1i ;r r,;: i l -:;'¡i l l c ri e ¡:+.",i :,1r-l i ::"t',-:i ¡a ,

r,¡;ar:Crr;;t¡ i:¡l ¡.r?se¡ii¡.lo en que licmcs riecidi,io oi'ientar la periferia de ia sul:' {:olir.'enr::ión estabieciCaen la sección 3.i0. Si la sr:perficie e$ :.;::tti'i,',cr'r:.tihn r,{riri:di!,ili:: vers4res ?JN apuntan ha,cí.rafuera. Sean fl1,02,03, , . . los ánguios er¡ri.reios ','ectoresnoimales ?a1,rt2, u3, . . , y los vectores de campo Vp V2, I'", . . . Entcinces,oor definición, el flujo O del vector 7 e* cada punto de la superfir'.ie. a través de Ia superficie es i} : :

* :

% d S , cos 0, * % dS rcos 0z+ V B dS . cos 0, * I¡r.t¿ r d sr * V z.uzdsz * V " .ttrdS s+ . . .,

: i" V cosodS J" V.uy dS,

...

(1ri. 1)

donde la integral sr extienrJca toda la superficie,lo cual se indica con el subindice S. Por esta iaz.lri una expresión como la ec. (16.1) se llama integral de superficie.Debido al ía¿lor cos 0 en la ec. (16.1), el flujo a través de la superficie elemental CS puede ser positivo o negativo, según 0 sea menor o mayor que rl2. Si el r:ampo I,' es paralelo o tangente ai clemento de dS, el ángulo 0 es zr/2 y cos 0 - 0, resultando un llujo nulo a través dc la superficiedS. El flujo total puede ser positivc, negativo o nulo. Si es positivo, se denomina "saliente", y si es negativo, "entrante". Si ia superficiees cerrada como una esferao un elipsoide, se escribe un círculo sobre el signo integral; de este modo la ec, (16.1) se convierie en

t :

f"

V coso rt :

f"

lr.u;¡ dS.


(16.2)

578

(r6 . 2

eslrili,:,;s Campos eleclromqqnélicos

o.-,

9<*-\::\

\

G- \,G-- ui \ ^-- ., G---

\u-!r,

\. t-*.{ -.i

,._:___9_-

- --

5

^:'^* o--o=-

G_-

,--=:-**-l\

-\ \ Fi¡q. l{i-l" Flujo de un campo \¡eciori¿rl a través de una superficie.

Fig. 16-9. un atea,

F l u j o d e p a r t i c u l a s a t r a r 'é s d e

E , l n o mb re d e fl u j o d a d o a l a i utegral de l a ec. (16.1) se det¡ea su apl i caci ón nl estutlio de los flúidos. Supongamos(lrir)terlemosun chclrrodc particulas, todas o. i\quellas particulas clue atraviesan ¡ncviéndosehacia la dr:rechacon vek-rcitlrrd la sLiperficiedS en el tienrpo I estarian corttenidasen un cilindro tle base dS, generatriz paralela a o y longitud ul. Este volumen es ul dS cos 0. Suponiendo que h a y a n p a rtíc u l a sp o r u n i d a d de vol urnen,el rn' rmerototal de parti cul as que pas a a tra v é s d e l a s u p e rfi c i ed .Sen el ti empr¡ I es nul dS cos 0 y el número que pasa por unidad de ticnrpo, o fluja dc partículas,es r¿udS cos 0 : nD. z¡¡ dS. fil flujo totai de particulas a través de la superlicie S es O:

f

f - no. ?d¡ dS.

E,sta es unu u* pr . r iO n s inr ilar a la e c . ( 1 6 . 1 ) , c o n e l v e c t o r d e c a n . r p o 1 1i g u a l a n u . Se c om pr ender á, s in em bar go, qu e e l n o m b r e d e " f l u j o " d a d o a l a e c . ( 1 6 . 1 ) n o sign if ic a, en gener al, m ov im ient o r e a l d e a l g o a t r a v é s d e l a s u p e r f r c i c . Í:JE: t I PLO 76, 7. Ex pr es ar la c or r i e ¡ r t e e l é c l r i c a a t r a v é s d e u n a s u p e r f i c i e c o m o un f lujo de deus idat l de c or r ie¡ r t e . So luc iót t : Her nos v is t o que n"- ' r ¿ ¡ 'd S r ) x p r e s a e l n ú m e r o d e p a r t i c u l a s q u e p a s a a tra v és de la s uper f ic ie r lS por unid a d d e t i e m p o . S i c a d a p a r t f c u l a l l e v a u n a c a r g a g , Ia ca r ga que pas a a t r av ós de la s u p e r f i c i e d S p o r u n i d a d d e t i e m p o e s qna. t N dS : j. r ¡ ¡ d - S , d on dej : ng?,es la dens idad de c o r r i e n t e d e f i n i d a e n l a e c . ( 1 5 . 1 2 ) . P o r c o n s i g u i e n t e , la carga total que pasa a través tle ia superficie S por unidad de tigmpo (esto es, la corriente eléctrica a través de la superficie) es

t : I" t.u ¡ d S . En otras palabras, la corriente eléctrica a travi's de una superficie es igual al flujo d e ia c lens idad de c or r ient e a t r ar 'é s d e J a s r r p e r f i c i e . S i l a d e n s i d a d d e c o r r i e n t e e s un if or m e y la s uper f ic ie es piana , l r t e c u a c i ó n s e r ¿ t l u c e a 1 : j. ur S

:

iS c os 0 .


I-eu de Gausspnra eI campo eléctrico

16.3\

Fig. 16-3. Flujo eléctrico de una carga puntual a través de una esfera.

I.

EL

76.3

CAMPO

579

Fig. 16-4. El flujo eléctrico a través de esferas concéntricas que rodean a la misma carga es el mismo.

ELECTNICO

Ley d,e Gauss para el campo

eléetríco

ahora una carga puntual q (fig. 16-3) y calculemosel llujo de su Consideremos campoeléctricoC'a través de una superficieesféricacon centro en la carga. Si r es el radio de ia esfera,el campo eléctricoproducido por la carga en un punto de la superficieesféricaes

t :

l **'u ''

El versor normal a la esfera coincide con el versor ?¿rsegún la dirección radial. Luego el ángulo 0 entre el campo eléctrico f y el versor ?ú¡0s cero¡ y cos 0 : 1. Obsérveseque el campo eléctrico tiene la misma magnitud en todos los puntos de la superlicie esférica y que el área de la esfera es 4rr2; por lo tanto la ec. (16.2) da para el flujo eléctrico

o^:d c ds: c d Js ds:cs: Js

rQ;(4rr2):Q

+íf;€or"

€o .

Entonces, el flujo eléctrico a través de la esfera es proporcional a la carga e independiente del radio de Ia superficie. Por lo tanto si trazamos varias superficies concéntricas51, Ss,Sr, . .. (fig. 16-4) con centro en Ia carga q, el flujo eléctrico a través de todas ellas es el mismo e igual a Qleo.Este resultado se debea que el campo depende de l/r2, y se aplica también al campo gravitacional de una masa dado por la ec. (13.15).El llujo del campo gravitacional se encuentra reemplazando qlLnco por ym, donde m es la masa encerradapor la superlicie. Esta sustitución da Q s :4 rrm .


580

(16.3

esldtícos Camposelectramagnéticos

Consideremosuna carga q en el interior cle una l*perlicie, arbttraria cen'ada S (ng, 16-5).Ei flujo total a través de S del calnpo elÉctriccproducido por ia carga g está dado por

jl-:,g,' ! cos0¡fS== *o : $, c cos0ds :. g, ?*1, f" ¡;?,;; Pr:rc ¡fS cos 0/r2 es el ánguio sóliilo :,ubtendrrlc por el elemento cle superficie dS visto rl¿sCela r,argaq [recordarla ec. (2.3)"] Ccmo el ángulo sólido total alredeilar de un prrnto e:i 4r, vemos que

* q - 1+,.) d on : _.-_9 *n€0 €0

o* :;L

47r€c r

E,ste resultado es el mismo que el encontrado previamente para una superficie esférica con centro en ia carga, por lo cual es válido para cualquier superficie cerrada,independienternentede la pcsición ¡ie la carga dentro de la superficie.Si une carga tal como q' está fucra de la superlicieccrtada, ei flujo eléctrico es cero, porque el flujo ent.ranter:sigual al salientt'; luego, ei flujo neto es nulo. Por ejent¡rlc. el flujo eié.ctricode q'a través de dS'es igual en magnitud, pero de signo opucsto, al flujc' elécl¡'icoa través de dS", y por consiguientesu suma es cero. oq"

fig. 16-6. El flujo eléctrico a través de una superflcie cerrada gue encierra una carga es inde¡rendiente de la forma de la superficie.

Ftg. 16-6. El flujo eléctrico a través de eualquier superficie cerrada es proporcional a la carga neta contenida dentro de la suoerñcie.

Si hay varias cargas 4t, Qz,Qz,. . . en el interior de la superficie arbitraria S (fig. 1GG), el flujo eléctrico total será la sum¿ide los flujos producidos por cada carga. Fodemos pues establecerla leg de Gauss: EI flujo e!é.ctricaa lraués rie una superfícíe cerraila que eÁcierra las cargas qp gz, Qs,, . . €s 0r , : 4

tq j .\"

(r6.3)

( . U_. - d 5 : - L , €o


Leg de Gauss parc el campo eléctríco

16.3) donde q :8t superfície,

* q2 * % + ...

581

es Ia carga tolal en eI interíor de la

Si no hay cargas en el interior de la superficie certada, o si la carga neta es cero, el flujo eléctrico total a través de ella es cero. Las cargas que están fuera de la superficie cemada no contribuyen al flujo total" La ley de Gauss es particularmente útil cuando queremos calcular el campo eléctrico producido por distribuciones de carga que presentan cierbas simetrlas, como se muestra en los siguientes ejemplcs. DJEMPLA 76,2. Usando la ley de Gauss, hallar el campo eléctrico producido por (a) una carga distribuida uniformemente sobre un plano, (b) dos planos paralelos con cargas iguales y opuestas. Solueión: (a) Supongamos que el plano de la fig. 16-7 contiene una carga d por unidad de área. De ia simetrla del problema se deduce que las lineas de fuerza son perpendiculares al plano, orientadas como ge indica en la ffgura si la carga es positiva, Tomando como superficie cerrada el cilindro ilustrado en la figura, podemos separar el flujo eléctrico Os en tres térrninos: el flujo a través de St que es *CS, siendo S el área de la base del cilindro; el flujo a través de Sr, que es también *CS

Flg. 16-7. Campo eléctrico de una superficie plana cargada uniformemente.

Fts. 16-8. Campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos superflciesplanas y paralelas que contienen cargas iguales y opuestas,

ya que, por simetrla, el campo eléctrico debe ser el mismo en módulo y dirección pero ae ientido opuesto en puntos situados a la misma distancia a ambos lados del plano; y el flujo a través de la superficie lateral del cilindro, que es nulo porqu_e el cámpo eléctrico es paralelo a la superficie. En consecuencia tenemos @e : 2CS. La carga en el interior de la superficie es la correspondiente al área sombreada y es iguai a g : oS. Por consiguiente, aplicando la ley de Gauss, ec. (16.3), tenemos 2CS: c S7< oos ea a' :

o Zeo '

lo cual indica que el campo e]éctrico es independiente de la distancia al planO y es por lo tanto uniforme. EI potencial eléctrico es, usando la relación C: - dVldr


582

Camposeleclromagnél[cos estátícos

(16.3

y suponiendo quc el potencial en el plano es cero,

" _ r:;, Estos resultados son idénticos a los del cjemplo 13.8 para el caso gravitacional si se reemplaza y por (4;rer)-' (ver acleinásel problema 14.62). EI estudiante apreciará que la técrrica usacla ahora es más sii:rple detririo a la simetria del pro|lema. (b) f,a fig" 16-8 muestra dos ¡;lanos paraiel-rs con cargas iguaies y opuestas. Observanlr]s qt¡e en la región fuera tl¡: lc:s
tl

C dS : t'0 dS : JI s -,s

t(4rre).

Supongamos primero ¡ > a; encontramos que la carga en el interior de la superflcie S es la carga total Q de la esfera, Luego, aplicantlo Ia ley de Gauss, ec. (16.3), obtenemos C(4rrr) : Q/eo ó

¿:

/L\

f igura 16-9

0 4re¡z'

Este resulta.do es el mismo que el obtenido para

*;.iJJ,',::'o::';"J':gi:::'","::n;;#'" ,:ff Lfi de eIIa es igual al que producirÍa

puntos fuera si toda su carga estuuíera con-cenlreda en su centro. consideremos a continuación, r < a; tenenros dos posibilidades. si toda la carga está en la superficie de ia csfera, la carga en el interior de Ia superficie S, es ceró, y la ley de Gauss da C(4rr'a) : 0, ó C : 0. De este rnodo, cuando la carga ¿sl¿Ídistribuida en la superficie de la eslera eI campo eléctríco en los puntos ínternos-de la eslera es nulo. Pero si la carga está distribuida uniformemente en todo su volumen y es 0, la carga en el interior de la superficie S; tenernos nQ f

O' : Z^^r/B (4rf ,3) : -k

-I


16.3)

Ley de Gausspara el campoeléctríca

.El teorema de Gauss da entcnces €(4rrr) :

e,/eo:

\Ea

ert/eoas ó

Qr 4'xera3 '

F-

demostrando asf que eI campo eléctrico en los puntos internos d.e una eslera uníformemenle cargada es directamente proporcíonal a Ia distancia del punto al cenÍio d.ela mismaEstos resultados están conforme a los de la sección 13.7 para el caso gravitacional, si se reemplaza \m por Ql4reo. EJEMPLO 76.4. Usando el teorema de Gauss, hallar el campo eléctrico creado por una distribución cilfndrica de carga de longitud inflnita. soluctón: Consideremos una longitud z del cilindro c, de radio a (fig. 16-10). Si r es la carga por unidad de longitud, la carga total en esa porción de ciiináro es g : I r . La simetría del problema.indica .que-el campo eléctricó en un punto depenáe solamente de su distancia al eje del cilindro y está dirigido radialmente. Tom-emos como superficie cerrada de integración una superfieie ciIndrica de radio r, coaxial con la distribución de carga. Entonces el flujo eléctrico a través de la suoerficie tiene tres términos. Dos de ellos representan el flujo a través de cada baie; éstos son nulos porque_ e-l campo eléctrico es tangente a cada superficie basal. por lo e¡ral sólo queda el flujo a través de la superficie lateral. Esie es ((2nrL). o sea, @e : 2tt¡L(, considerando ¡ > o, la carga total dentro de la superficie cilfndrica s es g : y la ley de Gauss, ec. (16.3), d.a 2rrL( : ),L/eo ó

c:

ttl,,

2re¡

El ¡esultado del ejemplo 14.2 para el campo eléctrico de un filamento cargado está de acuerdo con éste. Por consiguiente, el campo eléctricoen puntos ertlrnos a una disl¡ibución cillndri.ca de.carga de.longitud tti¡intta es eI miimo que si toda Ia carga esluviera distribuida a lo largo de su eie. Para ¡ < a, tenemo.sde nuevo dos posibilidades. Si la carga está distribuida en la superficie del cilindro, no hay carga en eI interior de la íuperficie s,, y por

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i:----l-l '.

Flguru 16-10

tl

Fig. 16-f 1. Elemento de volumen para establecer la ley de Gauss en forma diferencial.


58.4

(16.4

estáticas Camposelectromagnéticos

cuando lo carga la ley de Gauss se obtiene 2rrLf : 0, 15c : 0. Iii¡ i:<-¡nsecuencia, esta"distribuid'a sobre la super/icie de un cilintlro, eI canrt¡:oeléctrico ¿n sus puntos interiores¿s nulo. Pero si la carga está distribuirla uniformeinente sobre todo el volu: ll¡zf4', men del cilindro C, encontramos que la carga dentro de Ia superficie S'es q' -q' 6 y la Iey de Gauss da 2zrLt

n_-

v_ 2n
'

De este modo el campo e!éctríco en un punto tnterior a un cilíndro cargodo de longítud infinita es proporcional a Ia díslancia rlel punto al eie.

"1,6.4 Leg de Gauss en Íorrna

diferenciat

Hemos visto que Ia ley de Gausspuede aplicarsea super{iciesde cualquier forma. Vamos a aplicarla a la superficieque rodea a un volumen infinitesimal de aristas paralelasa los ejes XYZ, como se iiustra en la fig. 16-11. Los lados del elemento de volu¡nen eiemental son dc, ttg y dz, EI área de la super{icieABCD es dg dz, y el flujo eléctrico a bravés de ella es C dS cos 0 : (C cos 0) dg f,2 :

(,dg dz,

ya que C": C cos 0. El flujo a través de Ia cara A'B'C'D' tiene una expresión ii*iin" pero es negativo porgue el campo está dirigido hacia el interior del volumen, o sea -- fLdg dz. El flujo total a través de estas dos superficies es Ia suma

(, dg dz + (- CLdg dz): (f" - CL)ds dz. d¡ entre las dos superficieses muy pegueña' Pero como la distancia A'A: pequeña y podemos escribir muy también eL es la canüdad C, -

39:' ¿' '

C ,- C i :d é":

ofr

lo cual permite expresarel flujo total en la direccjónX como

uc' d, ar

o€"

' d g d z:-a;o' '

La cantidad du : dr dg dz es el volumen de la caja. Como se obtienen resultados análogos para el flujo a través de Ias cuatro caras restantes del volumen elemental, el flujo total a través del mismo es

a,: (++ a, t a!' o": of'-du + a!' 0z 0g 0x \?¡

+* Ag

af-\ar. 0zl

Si dq es la carga eléctricadentro del elementode volumen, la ley de Gaussda

(ryt++ \ dx 0goz l€o

d4 d ,: -+ )


l

Leg de Gaussen forma d.iferencial

16.4)

585

Escribiendo dq : p du en la expresión anterior, donde p es la densidad de carga eléctrica (o carga por unidad de volumen), y cancelando el factor común du, obtenemos

o(", -T--T

Ar

af4¡ , o(., 0g

0z

p €o

(16.4)

Esta es la ley de Gauss expresada en forma diferencial. La expresión en el primer miembro de ia ec. (16.4) se llama la diuergencia de f, abreviado div C, de modo que Ia ley de Gauss se puede escri-bir en la forma compacta div f

p

(16.5)

€0

El signifrcado fÍsico de la ley de Gauss en su forma dife¡encial es que relaciona el campo eléctrico C en un punto del espaciocon la distribución de carga, expresada por p, en el mismo punto; o sea que expresa una relación local entredos cantidadesfísicas. De este modo podemos decir que las cargas eléctricasson las fuentes del campo eléctrico, y que su distribución y magnitud determinan el campo eléctrico en cada punto del espacio. EJEMPLO 16.5. Expresar la ley de Gauss en función del potencial eléctrico. Soluclón: Recordando que las componentes del campo eléctrico f se expresan en función del potencial eléctrico V por (" : - 0V/0r y con expresiones similares para (y y C, (ver ec. 14.27), podemos escribir

af"

al

av\

a,v

0r

á ¡\

0rl

0r2'

con resultados análogos pata (, y (". Haciendo la sustitución en la ec. (16.4) obtenemos otra expresiónpara la le¡ de Gauss: A2 V AzV -r r a", a¡

A zV : _ __!_, ¿", €e

(16.6)

expresión llamada ecuación de Poisson. Podemos usar la ec. (16.6) para obtener el potencial eléctrico cuando conocemos la distribución de cargas, y reclprocamente, siempre que la distribución de cargas sea independiente del tiempo. En el espacio libre, donde no hay cargas (p : 0), la ec. (16.5) se convierte en div f : 0 y la ec. (16.6) nos da

a2v , azv azv -:---- +-+-:1, oÍ' ' og' ' azz

(16.7)

Esta ecuación se llama ecuaciónde I.aplace. Es una de las eeuacionesmás importantes de la ffsics, maternática, y aparece en muchos problemas no incluidos en la teorfa dei campo elcctromagnético, tales como en el movimiento de fluidos y en la elasticidatl. La ex pr es ión que apar ece a l a i z q u i e r d a d e l a s e c s .( 1 6 . 6 ) y ( 1 6 . 7 ) r e c i b e e l n o m b r e d.e laplaciano de V,


586

(16.4

estáti.cos Carnpos electromagnéticos

EJnnrpLo 76.6, Verificar que el potencial de u¡ia c:rrga satisface la ecuación de Laplac e, ec . ( 16. 7) , en t od c ¡ s i o s p u n t o s e x c e p t c ) e n e l o r i g e n d o n d e l a c a r g a e s t á situada. Solución: El potencial de una carga punlual es V : ql4nesr, según la ec. (14.32), Pero r3 -- Í2 * g2 + 22, de modo que derivanrlo respecto a r, tenemos 2r 0rl0s :

2t

?ri?r :

ó

r,'r.

Por consiguiente A 11\

L

0r \ r )

Í2

_._t._t:_

v

0r

Í

Ar,

¡3

#(+)-*(-+) 1

,3¡A r

'€ -' -ri ;' :-r"

Entonces

1

-r

3x2 ts

{" # (:) u#oO -' ::,(+): --3 1 re11'2 : e

tr{ultiplicandoel resultado anterior por Q/4¡eo, obtenemos la ec. (16.7). Nuestro método matenráticono es válido para r : 0 porque Ia función 1l¡ tiende a infinito cuando ¡ tie¡-rdea cero. En consecuencia, el origen debe exch¡irse de los cálculos, Además, la ec.(16.7) no es aplicable a puntos ocupados por cargas.

EJEMPLO76.7. Usando la ecuación de Laplace, obtener el potencial eléctrico y el campo eléctrico en la región vacfa comprendida entre dos planos paralelos, cargados a los potenciales V, y Vr. Solución: La simetrfa del problema sugiere que el campo debe depender sólo de la coordenada r(fig. 16-12). Por consiguiente, como no hay cargas en el espacio entre los planos, debemos aplicar la ecuación de Laplace, ec. (16.7), Ia cual dadrV/dtt : O. Obsérvese que no usamos los simbolos de derivación parcial porque sólo hay una variabie independiente, Í, Integrando, lenenros dVldx: F l g u ra 1 6 -1 2 const. Pero el campo c l é c t r i c o e s f : - d \ '/ d r . Concluimos entonces que el campo eléctrico entre los planos es constante. Integrando la expresión { : - dV/dr, teniendo presente que C es constante, obtenemos la siguiente ecuación

(ds : -t f' d', ll ot, -' - Jf" .t Jzt

Jl' r

l/ r : - C ( ¿ - ¿ t ) ó de la c ual r es ult a l' '': que el potencial eléctrico varía linealmente col tenemos \t : Vz. Por lo tanto "

I ' , , - 1 ', r e- f r

Í"-Y, d

Vr-t(r -ft). Esto demuestra la distancia ¡. Haciendo , : "r,

'


16.ó)

Polarízación de la materia

ó87

.L? :rr. Estcl resuliados eslán cie acuerdo con ni¡estra discusión hecha donde d en la s ec c ión 14. 8, que c on d u j c a i a e c . ( 1 1 . 3 1 ) . EJEltrPLo 16.8, Resolver ei misnio problerna del ejempln 16.7, suponiendo que haya una distribución uniforrne de cargrr entre ios clanos. E,sta situación puede encontrarse, por ejemplo, entre las placas de un tubo electrónico. Solución: Ahora debemos aplicar la ecuación de Poisson, ec. (16.6). Debido a la simetria del problema, el potencial depende solamente de la coordenada r, y podemos escribir dzY/drz : * pl€s, con p : const. Integrando, tenemos d2V

r'

J', a '"

t

dx: -;

tt

J",P dr:-

€O

|

dr,

Jt,

^rt 3,t

lo cual da

-{.(¡-¡,) #-(-#),:",: o sea dV- o

( 16.8)

qr

€6

donde C, : - (dYldr)r:c, eS el campo eléctrico en el punto r : rt, Como C : - dY ldx., el campo entre los planos es

c:

ct +3(¡-r.), €o

Fl gure 16-18

lo cual demuestra que el campo eléctrico varfa linealmente con r, como se ilustra en la fig. 16-13. Integrando de nuevo la ec. 16.8, el potencial eléctrico en función d e ¡e s PV J

I

or:-l

fÍ

(,dr_

.J zl

V,

t I',,(r- r,)dr (16.e)

o sea

V : Vt -

c,(¡ - r,) -

i;

@- q),,

Ahora el potencial eléctrico varla con el cuadrado de c, como se muestra en la figura 16-13. La cantidad C, puede deterrninarse haciendo Í : r2; se tiene Vz :

Vt -

c' (r, -

r') -

G/2eJ (rr-

rr)' ,

de donde se despeja C,.

76.5

Polarización

de la rnatería

En esta secciónvarnos a discutir el efecto que un campo eléctrico produce sobre una porción de materia. Recordemosque los átomos no tienen momentos dipolares eléctricospermanentesdebido a su simetría esférica,pero cuando se colocan


588

estaticcs Camposelectromagnétícos

(r6 . 5

en un campo eléct.nr:ose polarizan, adquirienri'-r;riu;rentos tlipolares eléctricos de la perturbación induciciosen la direcr:ióndel camlic. llstc cs r¡ne i.;cnr¡r,je;r.,'ie r:1 pr:r cinp,; de lcs electrtrics eléctrico *liícado (ver del movinrientr-i 1;;"oiiu,,,i'.!:i i ). 1 4 .1 sección For oira partc, rnüch¡¡s l¡roléce;.islirí:,cntIi;t n:c;nentos dipolarcs eióctr;cos permanenles, Cuando ul.iarnoiécula¡jtre iill il{rllllcnti-rdipoiar elécirico pcrlnanente, tiendc ¿ oriiintarsc paralelamenttr.:¡lr::nii:t; aplicatir:',l,orque sobre elia se cjerce t,rlr.ri4ri.;nseeueuci¿r dc estos dos efectos,una un t,rrque (tiade,por la cc. 1.1.1¡1),}. porriri:i tle naterial cclücadii iiri ill c¿¡in:r'¡eiticÍ.ric,..st polatízu. Es decir, sus

.'-*-.

Fis. 16-14.

Polarización cle la materia por un camDo eléctrico.

moléculas o átornos se convit:tterrerr.dipolos clectricos orientados en la direcciíln del carnro eléctilco l¡;c¿ri({lg. 16-i,1). st'a dehidt¡ a la distorsión del movimiento clectrórico, se¡ a la orieniacií:n de ci:s tiipoils ¡iermanentes.Un rnedio que puede polarizase cn un e¡nllo cléctiico se llrima dieléclrícc.La polarización da lugar a una carga neta positiva sol.¡reun iatlo dc la porción dc materia y a una carga neta negativa sobre el lado opuesto, f)c este modo la porción de materia se corrvierte en un gran dipolo eid:ctrico que líende a mo\¡erse en la dirección en que e l c a m p o a u m e n ta , c o mo s e estudi ó en l a secci ón14.11.E sto expl i ca el fenómeno descrito en l¿ sección 14.1 por ei cual una variila de vidrio electrizadao un peine atraen pec¡ueñospedazos de papel o esferitas de corcho. La poktrización,l> de un malerial se qlefilrecon¡o el momento dipolar eléctrico d e l me d i o 1 :c r u n i d a d d e v oi umen. {)or l o tai i i o. si p cs ei momento di pol ar i nducido cn carla áto¡no c rnolécula_v,t cs cl nir¡n,.:rcrle átcmos o moléculaspor r:r:,idad de vulumen, la polarización es -l>: np. En generai, ? es proporcional al


16.5)

Folarízacíónde Ia matería

589

cxmpo eléctrico aplicado f. Como .P se mide en (C m) m-3 : C m-2, o carga por unidad de área, y de la ec. (14.8), eo{' se mide también en C m-2, es costumbre escribir .P - y"es(. (16.10) La cantidad x" se llama susceptibilidadeléclrica del material. Este es un número puro. Para la mayoría de las sustancias,esta cantidad es positiva. Consideremosahora una porción de material de espesorI y superficie S colocada perpendicularmentea un campo uniforme (fig. 16-15). La polarizacibn ?, siendo paralela a ¿', es también perpendicular a S. El volumen de Ia rebanada es lS, y por consiguiente su momento dipolar eléctrico es i2(1.$ : (?S¿. Pero I es precisamente la separación entre las cargas positivas y negativas que aparecen sobre

Fig. 16-16. Porción de material polarizado.

Flg. 16-16. El campo eléctrico dentro de un conductor es nulo.

las dos superficies. Como por definición el momento dipolar eléctrico es igual a la carga multiplicada por la distancia, concluimos que la carga eléctrica que aparece sobre cada superficie es ?S y por consiguiente, la carga por unidad de área dc sobre las caras del material polarizado es?,,ó oe :?. Aunque este resultado se ha obtenido para una disposición geométrica particular, tiene validez general, y Ia carga por unídad de área sobre Ia superficíe de una porción de materia polarizada es igual a Ia componentede Ia polarización iP en Ia dírección de Iq normal a Ia superfície del cuerpo. Asi, en la fig. 16-14, la carga por unidad de área sobre la superlicie en ^¿1es ?x : .2 cos o. Algunos materiales, conro la mayoria de los metales, contienen partÍculas cargadasque pueden moverse más o menos libremente a través del medio. Estos materialesrecibe¡rel nombre de conductor¿s. En nresenciade un campo eléctrico


590

(t6.5

Campos electromagnélicosestalicos

éstos también se polarizan, pero de un modo que difiere esencialmentede los dieléctricos.A ¡nenos que se saquen en forma apropiada, las cargas rnóviles en un conduclor se acumulan sobr¿lla superlicie hast-aqrre el campo que producen iguala completamerrteal campo extcrncr aplicado dcltro del conductor, ptodt-tentonces,que ¿n eI i nteri or c i e n d c p r> rl o ta n tc e q u i i i b ri o (i i g. 16-i 6). C or:t:l ui rrrcrs, que esÍá en equiLrbriaeléctrin, ci campo elülrico es ¡t,ulo.Por la de un cand.uctar ¡'nisnra raza¡, rI can¡to eléclricttrn lc sui';erfícieri¿bestr norrnel, va que si tuvi.era ¡!na cLrrnp()nente paraiela, las carga:l tt) mt)\'er¡ai¡ scbre le superlicie del condr.¡ctor.Atlemás, debido a que cl canipt en el interio¡ del conductor es cero, ttt equilihri¡ tlétirico dehene.slaral ¡nismopolencial. iodoslos punlos de wt co¡icluclar

superflciaJ

tig. 16-17. El campo eléctrico en la superficie de un conductor es normal a la suoerficie.

Flg. 16-18. \rariación del campo eléctrico al cruzar ia superliciede un conductor.

Si el campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo, tenemos también que div ¿' : 0, y por lo tanto la ley cie Gauss en su forrna diferencial, ec. (16.5) da p :0; en consecuencia la densidad de carga en el volumen del conductor es cero. Esto significa que toda Ia corga eléclríca de un conductor en equilibrio estd sobre su super{icie. Con esta proposición queremos significar que Ia carga neta está distribuida sobre una superficie con un €spesor de varias capas atómicas, no sobre una superficie geométrica. EJEDIPLO 76.9. Relacionar el carnpo eléctrico en un punto de la superficie de un conductor con la carga eléctrica en la superficie. Soluciín: Consideremos un conductor de forma arbitraria, como el de la fig. 16-17. Para hallar el campo eléctrico en un punto inmediatamente fuera de la superficie del conductor, construimos una superficie cilindrica plana semejante a una caja de plldoras, con una base inmediatamente fuera de la superficie y la otra a una profundidad tal que toda la carga de la superÍicie quede dentro del cilindro y podamos decir que el campo eléctrico en un punto de esa base es cero. El flujo eléctrico a través de la superficie corlsta de tres términos. El flujo a través de la base que está dentro del tc¡rductor es cero porque el campo es cero. El flnjo a través de la superficie laterai es nulo porque el c¿r¡ps cs tangente a esta superficie. En consecuencia resta


Despl,tzamienta eléclrirc

ó91

sólo cl flujo a través de la base externa. Si S es el área de esa base, tenemos Os : CS. Por otra parte, si o es la densidad de carga dei conductor, la carga dentro del cilindro es g : oS. Por c ons iguien t e , a p l i c a n d o l a i e y d e G a u s s , C S : o S / e o o { :

(16.11)

oleo.

Esto da el campo eléctrico en un punto inmediatamente fuera de Ia superficie de un conductor cargado, mientras que el campo eléctrico en el interior es nulo. Por lo tanto, al atravesar Ia superlicie de un conductor cargado, el campo eléctrico varfa del modo ilustrado en la fig. 16-18. 16.10. Hallar la fuerza por unidad EJ&MPLo de la superficie de un conductor.

de área ejercida

sobre las cargas

Soluctón: Las cargas en la superficie de un conductor están sometidas a una fuerza repulsiva debido a las otras cargas. La fuerza por unidad de área o esfuerzo eléctrico, puede calcularse multiplicando el valor promedio del campo eléct_ricopor la carga por unidad de área. El campo promedio es, según la fig. 16-18, C : c/2eo. Luego el esfuerzo eléctrico es Fr : oF: oz / 2eo cantidad siempre positiva, ya que depende de o2 y por lo tanto corresponde a una fuerza que impulsa a las cargas fuera del conductot.

76.6

Desplazanniento

eléctrico

En la sección precedente vimos que un dieléctrico polarizado tiene ciertas cargas sobre su superficie (y también, a menos que su polarización sea uniforme, en todo su volumen). Estas cargas de polarización, sin embargo, están "congeladas" en el sentido que están ligadas a átomos o moléculas determinadas y no son libres de moverse a través del dieléctrico. En otros materiales tales como un metal o un gas ionizado, puede haber cargas eléctricas capaces de moverse a través del material, por Io cual Ias llamaremos cargas liór¿s. En muchas circunstancias, como en esta sección, tendremos que distinguir claramente entre cargas übres y cargas de polarización.

Fig. 16-19. Dieléctrico colocado entre placas con cargas opuestas. Las cargas de las placas son cargas libres y las cargas de la superflcie dei dieléctrico son c ar gas de polar iz ac ión.


592

estálícos Camposelectromagnélicos

(16.6

Consideremosde nuevo una porción de un rnateriai dieléctrico ccrlocadoentre dos placas ¿onductoras paralelas (fig. 16-19), conteniendo cargas libres iguales y opuestas.La derrsidadrle carga superíicialsobre ia placa izquierda es * clinr" y sobre la placa de la derechaes '_ qibre. Estas cargasproducen un campo eléct¡ico que polariza el material de modo que aparecen cargirsde polarización sribre cada superficie del niismo. Estas cargas de polarización tienen signos opuestos a los de las cargas sobre las placas. Por consiguientelas cargas dc polarización sobre las caras del clielóctricoequilibran pat'cialmentea las cargas libres de las placas conductoras. Siendc P el módulo de la polarización er el material, la densidad superficial de carga sobre ]a cara izquierda del rnismo es - ? mientras que sobre la cara de la rlerecha es +- ?. La densidad de carga superfi.cial efectiva o neta a la izquierda es r : dl¡bre-'.p, con un result-adoigual y opuesto a la derecha. Estas cargas superñcialesnetas dan lugar a un campo eléctrico unilorme g u e , e n c o n fo rmi d a d c o n l a ec. (16.11),está daci o por é" :ol uo. D e este modo, usando el vaior efectivo de o. tenemos C :

1

(o u¡ru-' .?)

60

ó

or¡b" "-= eo{ * ?,

expresión que da las cargas libres sobre la superficie de un conductor rodeado por un dieléctrico en función del campo eléctrico en el dieléctrico y de la polarización del misrno. Cuando observamosque, en el caso que estamosestudiando, { y lP son vectores en la misma dirección, los resultados anteriores sugieren la conveniencia de introduci¡ un nuevo vector, Ilamado desplazamiento eléctrico, definido por (16.12) 'D : eof *.P. Obviamente, 2 se expresa en C m-2, ya que éstas son las unidades de las cantidades que aparecen en el segundo miembro de la ec. (16.12). Para el caso especial que estamos corrsiderando,encontramos que dtibre: í1); o sea que las cargas libres por irnirJad de área en la superficie del conductor son iguales aI desplazamientc¡eiectrico en cl dieiéctricc. Este resultado tiene validez general y puede extendersea conductores de cuaiquier forma. Por consiguientel¿ companentede (D según la normal a la superfície de un conduclor sumerqído en un dieléctrícoda la densídad d.ecarga superfíctal en el candurlo¡. Esto es o)ib.e: tD.UX, mientras que Ia componente normal de
: qlibre

rS : dS : @s. f"ono"" f" 'V'ux

(16.13)

tin análisis ¡r:ás detallado, que omitiremos, indica que el flttjo de Q a lraués de cualquieí superficie cerrad-aat ig¿¡cl a la targa latal "Iibre" en eI interíor de Ia su.


i{;';'1

Crilc¡¿iBcfe ic sr:seeptíbílidad eléctritt¿

&93

pcr{ir:ir, erclt.tu{ndo todc.sias r!-tteas deóídas a la polarizaeién dsl media. For lo leiifo la ec. (1tí"13) es válide ¡:t qeneral para cualquier superlicie cenada. Para casos en ios cu*les l:i i:t:- (16.1{))es válicla, podemos escribir 'V :

o-of * .oX.¿ : (l + x.)c¡f :

ef,

(16.14)

donde el coeliciente

q

. :

==(l f x")e¡

.-

{16.15)

se llama permítiuidad del medio, y se expresa er¡ las misrnas unidades {ue €6i €$to es, m-3 kg-l s2 C2. La permiliuídad relatiua se define como <¡ -

,l c/

--

t-0

--

I r

| --f

(16.16)

", ê.

y es un número puro, independiente del sistema de unidades. La permitividad relativa se llama conslanledieléclríca.Para la mayoría de las sustanciases mayor que la unidad. Cuando la relación (D : u{' vale para un medio, pode¡no$escribir Ia ec. (16.13) como g¡ibre: f5 .{ . u¡ dS y, si el meclio es homogéneode modo gue € sea constante.

o.:f

(16.17)

{.urydS:{rilre/e.

Comparandola ec. (16.17)con la ec. (16.3)vemos que el efecto del dieléctrico sobreel campoeléctrico€ es reempiazar
4 n c .rz

u,

v

f'

q

4t
(16.18)

El irródulo de la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales inmersas en un dieléctrico es entonces F -

ItQz

(16.1e)

4 n e rz

Ccmo e es en general mayor qü€ e$ la presencia del dieléctrico produce una reducciór.refectiv¿ de la inleracción porque la polarización de las moléculas del dieléctrico hace de pantalla.

76.7

Círlculo

d,e Ia susceptibilidacl

eléctríca

I-a susceptibiiidad eléctrica p, que describe la respuesta de un medio a la acción de un campo eléctrico externo, está evidentemente relacionada con las propiedades de los átomos v moléculas del medio. En est¿ sección describiremos bre-


594

Campos eleclromagnéticosesláticts

(16.7

veme¡rte córno esta cantidad. de carár:ter macroscópico, está reiacionada con las propiedaclesatómicas del medio. Hemos explicado previament.eque u!l átorno colocado en un callrpo eléctrico se polariza clebidoal desplazamientorelativo de las cargas positivas y negativas. Si p es ei montento tiipolar eiéctricoindur;ido en el átotno por uIr campo externo f, podenios suponer que p es proporcional a i', resuliadc¡ confirmado por experimentos, y escribir p .: dr.o(',

(16.20)

di¡nclec es una constante carar:teristir:ade cada átomr.r,llamada polarízabilídad; se expresa en m3. La constante €0 se escribe en la ecuación explícitamente por Si hay n átomos o rnoidcuiaspor unidad de vc¡iurnen.la polarizaconr.enienci¿r. , l a ecttaci ón,comparadacon l a ec. (1S .10), c i ó n c l e i r¡re d i oe s .P : fi p = : ¡¿¡6,,{ '5s' Ca para *l¿rsusceptibilidad eiécl.rica tiel r¡,a1.cli¿l* At : tlq.. De este rnor-loel ciii¡:uio de ia susiepiibilldac!eléctrica se ri:ducc al cálculo de de l;,¡sátamos (o:noléculr.e) tie ia s'.lsta¡ícin"Esto conduce a la p;-'J11¡j7e.¡iiidad eiecto di: un caiirpo ert¡:L¡rositb¡:¿e] ;no.¡imientc de lor elt:ctrones el rieier¡ninar e.n el átomo. Ilero eso a su i rz r'equierer¡ue iengamos iniormación delallada ficrrca del movimiento electrónicoen r.lnálcrno. Este movimiento sigue las leyes de l¡¡ mecánica cuántica y el cálculo del electo perturbacitrrdel carnpo eléctrico externo está fuera del objeto de este libro. Por ello preseniare¡nossolantentelos rcsr¡itadosnrás irnportantes,distinguiendoel efecto sobre las sustanciasno polares de! de las sustanciaspolares. (a) Eiecto de Cislorsión Cuando las moléculas de una sustancia no tiene¡r mornento dipolar eiéctrico pern:anenle, ia polarización proviene enteramente del electo de distorsión producido por el campo eléctrico sobre las órbitas electrónicas. Podemcs describir este efecto como un desplazamiento del centro de la rlistrit¡uciónde carqaselectrónicascon respectoal núcleo. Esto da como resultado un dipolo eléctrico inducido que, en átomos v en muchas moléculas,es paralelo al campo eiéctrico apiicado.
*-._.,r' -.rn"

¡

ñ

A ^?'

(16.21)

* Rig u r o sa n r e n t.eh a b la n d u , cu r l n{l o se r.scri br:13 ec. {1i i .20) pára un átomo o ¡¡1')l ócul aque está in m e r so - ¡ n iil tn e d .iom a ¡ cr ia l v no ai sl :l ri o, r! cl i rn¡i o i 'l trctr!co que aparece en cl seguntl o Ini errrb r o d c la e ¿ u a ció n d e b r ' str cl rarnp0 ti ú,.'tri cc ¡rs::l i ¿t:rl e en cl medi o Inl l nos el campo ei ér*.ri t'o p r o d u cid o } r r ¡ r t' l ¡ n ism o á to ¡ n o . C ua¡ri c' si : j ¡rcl uye i 'r.1'atorreüci ól i , i a re.i aci ón eni ae X e y c se co n vie r te e t l¿ : n tl\1 - .n r li3 ) . l i l n ei ri Lurg,r, i ri l ¡a l a ¡i avo¡ía de l os mal eri al es {pri nci pal mente g a se s) ,la r e la ció n 1 e : n J. t¡ s una buena aproxi l i 1aci ói l .


16.'í)

Cálrula de l+ susceplibilídad eléctríffi

bgt)

tlcirrlr: ¡¡¡ representa ctralqqi,il"frecuencia del especiro electrarnagnético y la surna se extierrde a todas l¿s frecuerrcias"Las cantidades simbolizadas por fi se llaman intensiiades de osúlación de 1a '-;ustancia.Todas ellas sol¡ positivas y menores que uno, y representania propcreión relativ¡. con que cada una de las frecnencias tlel espectro contribuye a la polarizabilidad tlei étomo. Ellas satisfacen la relación 2¡ft:1. Las otras cantidades de la ec. (16.21) tienen sus significados usuales. Puede constituir un enigma para el estudiante el hecho de que una frecu¿ncia o¡ esté asociada con un efecto producido por un carnpo estático. Su presencia puede, sin embargo, justificarse usando un modelo fenomenológicomuy simple, c o mo s e i n d i c a e n e l e j e mpl o 16.11. Usando la relación xe : nd, encontramos que la susceptibilidad eléctrica estática es

xloÉn *,: ,+>,1+-3,1e 1+

(16.22)

Esta expresión relaciona una propiedad macroscópicarx¿, con las propiedades atómicas n, toi y fi, de Ia sustancia. Veamos hasta dónde nuestros resultados están de acuerdo con los experimentos. Si la radiación del átomo está en la región visible, las frecuenciasroi son del orden de 5 x 1015.-r, de modo que la sumatoria que aparece en la ec. (16.22) es del orden de 4 x 10-32. Además, n es del orden de lOa átomos por metro cúbico para la mayoria de los sólidos y líquidos y cerca de 1025átomos/ms para gases en condiciones normales. Por consiguiente la ec. (16.22) muestra que la susceptibilidad eléctrica estática ¡¿" de materiales no polares que radian en la región visible es del orden de 1@ (o uno) para sólidos y 10-g para gases. Como nuestras estimaciones no han sido cuidadosas, no podemos esperar una reproducción precisa de los resultados experimentales. Sin embargo, la comparación con los valores experimentales de la susceptibilidad eléctrica para unos pocos materiales, como los dados en la tabla 1&-1, muestra conformidad en cuanto al o¡den de magnitud. TABLA

16-1

Susceptlbiliilades eléctrleae a temperoturc

Sustancia

Sustancia

¡mblente lc

Gases*

Sólídos m ic a porcelana vidrio baquelita

6 8 4,7

Llquidos aceite trementina be¡rceno alcohol (etflico) agua

hidrógeno helio nitrógeno oxfgeno argón óxido de

1r1

1,2 I,84 24 78

vapor de agua aire aire (100 atm)

r Alalm y 20oC


5,0 0,6 5,5 5,0 5,2 9,2 7,0 5,4 5,5

x x x x x x x x x

10-' 10-a 10-l 10-' 10-' 10-4 10-8 10-r 10-¡

596

néficcs cslalicc¡s Cumpos eleclromag

u6.7

La discusión previa tiene valcrr sólo para farririls estacionarios.Si un campo depende del tiermpo, debemosesperar utt resuitar,ioilift:rente para la poiarizaLiilidacl atónriea, llamada en este c{tscL'olqrizabílidd tli¡támicti,porqr.iela distorsión del mor"imiento electrónicobajrt r¡n r,ranlpodt:pendicntetlel tiempo serír cbviamente dlferente de ia ploducida ¡¡,¡¡ cílxrpcs r:siacir,.narios. Supongamosque el campo osciJacon un¿rlrrcuenr:ia rlefirritl¡io. Este campo uscilatoriosuper¡;ondrá naturrl de l os el ectroÍ]esqur,es anáu n a p e rt.u rb a c i ó no s c i l a tori aal mr¡r' i ¡ri er:Lri loga a la osciiaciónforzada estutli¿rdaer-ila secciórr12.11J. Cuando no se tonra en tu e n ta e l a mo rti g u a m i c n to,el resui taci odel cál cul o, us¿¡ndol as tócni cas de l a ¡necánicacuantica, da. para la suscer-rtibilidad dinámica ncz \.orn" f

f¡ rui -- rue

(16.23)

donde todas las cantidadestie¡ren el sir;nilicadoya establecido.Una justificación fe n o rn e n o l ó g i c as i m p i e d e este resul tado se da en el ej empl o 16.11. Obsérvese que el resultado dinámico (16,23), se recluce al caso eslacionario, ec. (16.22), s i ¿ o :0 . La constantedieléctricao permitividad relativa del medio es,usandola ec. (16.23) para el caso dinámico,

e ¡:l */.,:r +- YL

I- - ofi ui--z

e¡ne 7

=

(16.24)

Si hiciéramosel grafico de €¡ en función de o, hallaríamosque €r es infinita para r" igual a cada una de las frecuenciascaracterísticascl¿,en contradicción con lo que se observa. Este resultado no es físico y se origina en el hecho de que hemos excluido el amortiguamiento al hacer los cálculos de la susceptibilidaddinámica.

'tl

fig. 16-90' \'ariación del campo eléctrico.

de la permitividacl relativa


en función de la frecuencia

dít!¡:uía d¿ /q susceptibíiidu,l eiéctr¿':{r

597

i:¡te a¡nortiguarnlenlono se debe ai ¡ncvirnie¡¡la riel elect.rónen un fluitlo viscoso, sinl que tie¡:e un origen di{err'nte.Correspondea ia energía que *l elecirón pierde de la-qosciiacionesforeailas. (Iisto se expiicará ¡:or railiecióil colno cons€cu{irlci¿r e n l a s e c c i ó n 1 9 .4 ). La variación observadade €r erl iunciórr dc .,, se ilustra cn la fig. 16-20. EI diagrame se repite para ias frecuencias caractcrisiicüs {,i1,o2, os, . . " de cada sustanci.a.Esta variación tiene gran influencia en el comportamientti óptico y eiéctrico de la sustancia. {n} fuIolécutaston tnamentodipolar permanenle. Las polarizabilidades obtenidas ccn las ecs. (16.22) y (16.23) son "inducidas" porque resultan de la distorsión ¡novimiento electrónico por un campo exter¡lo, Sin embargo, cuando existe '-lei un dipolo eiéctricc permanente, entra en juego otro eiecto. Consideremosun gas pciar cuyas rnoléculastie¡len un momento dipolar permanente po. En ausencia ......+

é

-----

+++

-

+++

_

++

---

FlS. 16-21.

(b) Campo eléctrico sin inte¡acciones moleculares

4

__._

-----

¿r¿

¿-r' r

(a) Campo nulo

-=--

-= ¿'¿

.

-

-__.-.

(c) Campo eléctrico con interacciones moleculares

Orientación de los dipolos eléctricos en un campo eléctrico.

de un campo eléctrico externo, estos momentos dipolares se orientan al azar y no se observa un momento dipolar colecüvo o macroscópico(fig. 16-21). Pero cuando se aplica un campo eléctrico estacionario, éste tjende a orientar todos los dipolos e]éctricosen la dirección del campo. Este alineamiento sería perfecto en ausencia de las interaccionesmoleculares(fig. 16.21b); pero las colisionesentre las moléculastienden a desordenarlos dipolos eléctricos.EI desordenno es completo porque el campo eléctricoaplicado hace que los dipolos tiendan a orientarse predominantemente en la dirección del campo (fig. 16.21c). Como resultado, el valor medio de la componente paralela al campo eléctrico del momento dipolar de una molécula está dado por =YOE

P:

t*

r'

(16.25)

donde k es la constante de Boltzmann, definida por la ec. (9.60), y ? es la temperatura absoluta del gas. Obsérvese que p disminuye cuando la temperatura aumenta. Esta dependencia de la temperatura se debe a que la agitación molecular aumenta con la temperatura; cuanto más rápido se mueven las moléculas


598

eslalicos Camposelectromagnélicos

(16.7

más efectivamentevencen el efecto de alineamientc del campo eléctrico aplicado. Esto ocasiona una disminución en el promedio del nomento dipoiar según la dirección del campo. Comparando la ec. (16.25) con Ia ec" (16.20), obtenemos el promedio o polarizabilidad efectiva de una molécr¡la como z : pf;|3+okTy. si hay n moléculas por uriidad de vc,lumen, la susceotibilidad efectiva I¿ : l't¡ 8s xe :

np'zo

(16.26)

* 1 ;'

resulfeCcconocirlocomo fórrnuia ,ie í-snqet¡i¡¡.i-ns ¡iii,rnentosdipolares eléctricos son del orde¡rde ilagnitrrd de ia carga elt,ctió¡rica(1,{1:: 10-rs(l) :tr: las;r:eiéc¡¡.jas d¿ l 2 r¡¡l i :ci rl x i 10' -i 0m) o cerca de 1ü--m(l rn (rern u i i l p l i c a d ap r;r i a .C i rn e n sj órr lcriiar la laili.,r l4-li. h:t¡oduci.:,"ii,: iirl','¡¡lr-rret dc las ¡ltra.c constanr-esen ia r:c. liii.'jiii i:ú¡rr:nnsr{ue. a teu:pelrt.rri';l¡;lnbtente iT : ?i}8"i{), la suscepti}:iliri:;rl ¡:lect¡:r:rde n¡ia susirrllr,::lcrntl,lr'3i:'r rie rrrrilétui::*pr-!]artges t.l¡rnbiéririi:l ,i.l'{jel;{1. !íjt tr; r¡r¡i.riparir los cóii¡?'i,:\' ¡{j'-ii ;,,;r::aios ga,;ts. lo cu¡ j t stá crj (ron¡t¡riltiC¿.ii rll Ios l'¡lit;lcs ,le lrl,;cilt3 t:li:.:. lr -'i:.u,-'s. a ia ariei,,ir¿iór,je I)r:i:¡;no¡ rlbservsi r¡ue ia sr:gr¡rii].,:-iiirti iieci;ric;r dr.i-'i'-'l:: Ír tti;ii'¡.:r¡lasc+¡r momentos tlipoiari,; Pti;riaí¡ei1!{.ar¿s irrve:-q?.r¡:enf.e ¡:ri'r.,rpoici¡inll! ia Lerri¡;crat.ura ebsohitil. n¡irnLrari rlrr,.' l'i :::scr:pl.ibilir"laci rriéctric:¿-.irt¡.luciti¡ tit'l¡id:r ;¡ i': distc:'ri¡;lt: d¿i ¡¡tovinrientc elt,¡,,lrirtticr'r]:tret(;rnos it r11ülécr.rlat,,:c.(1Éi.22), rr$ íl¿rr,1a;üeni;¡.is¡.,ntc indeprrndienlt ,je i:l ii irrpei:iura, exceptuando qut. n varia r.nn in ¡¡ism:. rlebidc a la eapansión ttrrlrica. Esto i;frtce un rnedio de separar i'rs dos efectos experirnentalrnente. .F!idlendo 'te a t€mperatrrra.s diferentes obtendremcs ilna depend€ncia tie la temL:eratura de la fo¡ma Ai- -

B 'T

Un resultado más corriplejo se obtiene cuando cl campo elér:trico depende del tieinpo. Llna ciase especial de sustantlas llaniadas ferrorléciricaspresenta una polarizaeíónpermanente en ausenciade un <;ampoeléetrico ertcrno; esto sugierc que los dipclos pr:rmanentesde sus molóculastienen uria tcnritx.rcianatural a alinearse. Este aljnearnientoprobablenrenteresulta de l¡s iniergccionesmutuas de las rnoléculas,las cualesproducen intensos carnposlocalesque lo favorecen.Entre estas sustanciasmencionaremosBa'fios, K¡{h03 v LiTaOr" Una de las sustanciasferroeléctricasmás antiguamente conocida es la sal de Rochelle: I{aK(CoHnO6).4H2O. EJEMPLT 7(i.lI. externo.

Discutir la polarización de un átomo en un campo eléctrico

Soluctón:En este ejemplo intentaremos, usando un modelo muy simplificado y fenomenológico,determinar el efecto que un campo eléctrico externo produce sobre el movimiento de los electronesen los átomos. Supongr.rnosque, cuando el centro del movimiento electrónicose desplazauna distancia r con respecto al núcleo, una fuerza media .-/r¡ actúa sobre el electrón,


1á

il¡li,:uío d¿ i¡ srirc¿'ntibítidatlel{ctrir¡.¡

" t

599

1"r ri¡a! lrenrie a Íi:stRutctl.o il ¡t': tri{.-,sición n{}rmai; rl equilibrio requiere que esta |'ii:';:a rf 4 ;,{u:l ;r i;r ¡uer¡a---e.1 r;e}ririu ai carnpo eléctrico aplicado. Luego --*¡ *r',i' ....rJ {; r ... - rr'¡,c. iii sign.} r}}e;ri)sindic:r r¡ue }a órbit.a del electrón se Cesplaz¿r Fii monr*ntc¡ elór:trico indlltcido en el átarno al dr:l cr,rrp.,,.¡:i:cti-irjo. r.;r i,¡.nlirio e-r¡ruesi-c (e,/k)f , y de esta pr¡r' la pertlrt]trción rl¡:i n-rcvi:ci¿nto el,ecl¡'únicoes p ...:-er: milnera tiene la nris¡na dirección que el campt' e!ie{-rico. Podemos expresar está relar:ién de una niancra ligeramente diferente asociando una frecuencia cüs con la corisf.anlek, tal como aparece en la ec. (12.6); esto es Á'-.- me<¿6.Entonces en forma vectorial e2 : --:-p -

mq:Jf

c.

Ccrnparandc este resultado con la definición dada en la ec" (16.20), tenernos que la no!'¡r'rzabilidael atómica para este modelo simple es c:

- - €" €¡Itl3ú163

nc', encontramos que la polarizabilidad eléctrica estática es

Us;¡ndo la relación x.¿: Xe :

'

nez €orneo!

: (3,19x 10É)+

(16.27)

Para que nuestro modelo tenga signiflcado ffsico, debemos identiflcar la frecuencia oo .on alguna propiedad atómica. Si el campo C se elimina, podemos decir que, usando superpone sobre ies irier.s expuestas en el capltulo 12, la fuerza restauradora -kr el movimiento natural del electrón, una osciiación de frecuencia coo.Más adelante, en el capttulo 19, probaremos que una carga oscilante radia energla. Asi, podemos identificar ¿D0con la frecuencia de la radiación emitida por el átomo. Por lo tanto, si el espectro de la sustancia contiene sólo una frecuencia t,ro,nuestro modelo coincide básicamente con la ec. (16.21). Consideremos ahora el caso en el cual el campo eléctrico aplicado varfa con el ticmpo según C - r"ocos<¡1.Entonces es iazonable suponer que ha¡r una perturbación oscilatoria superpuesta al movimiento natural del electrón, resultando la siguiente ecuación de movimiento:

^.#

: -kx-

e(ocos of,

(16.28)

donde el último término conesponde a la fuerza debida al campo oscilante. Haciendo k : mcc¡8 podemos escdbir la ecuación anterior en la forma

!? dt2

tt'o

: -

*.g¡'

rrte

.os

(16.2e)

-r.

forzadasde un oscilador Esta ecuaciénes simi¡ar a la ec. (12.56)para las oscilaciones arnortiguado. La principal diferencia está, sin embargo, en que en la ec. (16.29) no hay término de amortiguación.Debemossuponer una solución de la forma ¡ : A Por cós of, la cual, cuando se sustituye en la ec. (16.29),da A : -eCs/(al-or¡). consiguiente r' -ya qr¡e d :

m . ( ol -
cocosorf :"

Cc cos of. El dipolo eléctrico inducido es e2 -

'

-f

mt(
<12)


,:---

m . ( <, r i -
600

CamposeLeclromagnélícas eststicos

(J6.8

de donde obtenemos la polarizabilidad rlinámiea riei átomo como

(1ü.30)

":--*-ti----. es/ñe(t:o¡ -.¡')

Par a ol¡ t ener la s us c ept ibili d a d d i n á m i c a , u s a m o s d e nuevc: Ia relacién X. y encontramos que Xeld,námlta

-)

:

nez -;-

e/ne(cufr-- uttj '

irs.,

(16.31)

que es esencialmenteidéntica a la ec. (16.23) si hav sóio la frecuencia ¿d0eD el espectro electromagnético de la sustancia. LIna vez más obse:'vamos que nuestro burdo modelo fenomenológico no puede dar resultados precisos. Una de las razones es que, como en el caso estático, estamos suponiendo una frecuencia única c,ro.otra razón es que estamos ignorando el hecho de que el movimiento del eleetrón sigue las leyes tie la mecánica cuántica y :ro las de la mceánica nervtoniana.

1,6,8 Capacitanciü ; capaeitores Ilemos probado(sección14"8)que el potencialelictrico en la superliciede una esferade radio R y carga Q es v : Ql4resR. Si la esferaestá rodearlapor un dieléctrico,tendremosen su lugar, reemplazando€0 por €,

v-

a 4xeR

I-a relación Q/V para la esfera es entonces AneR, que es una cantidad constante independientede la carga 0. Esto es comprensibleporque si el potencial es proporcional a la carga que Io produce, la razón de las dr¡s debe ser una constante. Esta última proposición es válida para todo r:onductor cargado cualquiera que sea su íorma geométrica. En consecuencia,Ia capaci.tancí.a de un conductor aislado se define como el cocienteentre su carga y su potencial,

C :9. v

(16.32)

La capacitancia de un conductor esférico es, conto hemos indicado,

c:9

v

:4 te R.

Si la esfera está rodeada por el vacío en lugar de un dieléctrico, tenemos para su capacitancia c : 4nesR. Por consiguiente, rodear una esfera, y en general cualquier conductor, con un üeléctrico, aumenta su capacitancia en el factor e/eo. Esto se debe al efecto de pantalla que hacen las cargas opuestas gue se han inducido sobre la superficie del dieléctrico adyacente al conductor. Estas cargas reducen Ia carga efectiva del conductor disminuyendo su potencial en el mismo factor.


: i. . ¡

i .,..¡.,¡l¡.jj,i:?¡. iri. ,

t8.¡tÁi,i.¡¡i¡:;1

{;{t-i

ei! C r"r-t, un!riari Il*rnarta f*rad La caixi'ila¡¡lia c.r ir¡t tr¡iitlucta;r se ,:x.i,'r'ssi+ de i\lichael FiaraCay.Íl fared se def{ne camo ir capa{ril,r*via,iio Jr:i€n h{-rn1)r titancia- Ce ur¡ ¡:onth¡ctcraislarlt cLiyt'rpctenci¿¡lcléctrico, tiespuósde recibir una carga de u¡i coulomb, es de un r:olt. En fr.rnr:iónde las unidades fundamentales, tenemo-,¡que F : C V-l : m2 kg-l s2 C2. El concepto de capacitancia puede extenderse a un sistema de conductores. Consideremosel caso de dos conductorescon cargas Q y - 0 (nS. 16-22). Si Vr y V, sori sus potenciales respeciivos, de modo que V - yl V, sea su diferencia de potencial. la capacitancia del sistema se define como

roa Vt-- Y,

(16.33)

v

Esta disposición consti[uye lo que se llama un capacilor. Los capacitores tienen arnplia aplicación en circuitos eléctricos. Un capacitor tipico está formado por dos conductores pianos y paralelos separados por una distancia d, con el espacio

Fig. 16-92. Sisterna de dos conductores con cargas iguaies y opuestas.

Fig. 16-28. lelas.

Capacitor

de placas para-

entre ellos ocupado por un dieléctrico ({ig. 16-23).El campo eléctrico en el espacio (V , --V 2)d coni orme a e n tre l o s c o n d u c t-o ¡ees s u n iforme, y está dado por d: ;¿ ,:'.:.i.1,1.31). Perc si a es !a densidadsuperficialde carga, la intensidad de carnpo ":iéclrico en el e.spacioentre las placas es, según el ejemp.lo 16.2, t' : oie, donde €0 se lle. reerntlazaut)por € debido a la presenciade un dieléctrico. Por lo tanto V, -

V, :. {d : odlSe.

.For otra parie, si S es el área.d* irrs placlrs metálicas, debemos tener Q : aS. l-uego, hacie¡rtlr la sustituciór¡en ia ec. (1{i.33),obtenemos para la cei¡aüitancia


602

(16.8

eslaticas Camposelectromagnélicos

del sistema, C :

(16.34)

eSld.

Esto sugiereun medic prácticc pam ¡nedir la ¡rermir"ividado constante dieléctrica de un nraterial. Primero rncdimos [a capacitancia dr un capacitor sin matcrial entre las Dlacas, resultando Co :

eoS/d'

Luego lienarnos el espacio entre las piacas con el material qlle se está investig a n d oy me d i m o sl a n u e v a capaci tanci a,dada por l a ec, (16.34).E ntoncestenemos

co

a : - : €r . €o

Por consiguiente el cociente entre las dos capacitancias da Ia permitividad o constante dieléctrica del nraterial colocado entre las placas. EJDMPLo

relativa

16.12. Estudiar la combinaciÓn de capacitores"

Solución.. Los capacitores pueden combinarse en dos formas: en se¡ie y en paralelo. En la combinación en serie (ver flg. 16-24a), la placa negativa de un capacitor se conecta a la positiva del próximo, y asi sucesivamente, En consecuencia todos los capacitores tienen la misma carga, positiva o negativa, sobre sus placas. Cr

+O- - l, !

a, *

ci

Cz

+Q¡ -Qt

FiS. f 6-24.

Combinación de capacitores en serie .y en paralelo.

Llam em os Vr , Vr , Vr , . . . V " a l a s d i f e r e n c i a s d e p o t e n c i a l e n l o s c a p a c i t o r e s . Si Cr , C2, . . . C" s on s us r e s p e c t i v a s c a p a c i t a n c i a s t e n e n r o s q u e V , : Q / C r , V r : Q lCr , . . . , Vn: Q iC". Por l c t a n t o l a d i f e r e ¡ r c i a d e p o t e n c i a l t o t a l e s I / - l. r * \ , 2f . . . + \, , : l i

\r ,

*

I

¿;+ '

*

1\^

a) a'

El sistema se puede sustituir por ull solo ca¡racitor cuya capacitancia C satisface


J6.s)

Er¡trQla dtl campo etéclrbo

ia rel¿ción \' :

603

QlC. Ptir r:onsiguielte

1

] i1

T

'

tt

(18.35)

aa !, u

Ca ia capacitancia resuli-antc para una disJ;c:;i,;iónde capacitores en serie. En ia as¿:ciacióne; paraielc 1lig, i6-24b), torlas Ias placas positivas se conectan ¡ un i]ilnlo común, _vias negativas ta¡nl¡ién a otio punto común, de modo que la ¡llfrr*'¡rria rie l,:t.elrcial es l.l ¡nisma p*-ra todos ios capacitores, En consecuencia, : . i ias aailg¿l: ar r ) r . rí r 1. { . 1: ,. , . , 1, . ) n , d e t - 'e r r i ¡ : st e n e r Q r . . . C r t '', Q ¡ : C r V , . " . r Q n : , ü , l' . La c ar ga iot ¡ l dr : 1 r is t . r : l ¡ i r e s 0 :

0, - r Q z - ¡ - . . .

*

Q " : {C r

r

C , - }. . " .

-f, C") y.

El sistema puede reemplazarse por un capacitor único cuya capacitancia C satisfaga la relación Q : CV. Luego C:

Ct - f C' *

...*

(16.36)

C"

da la capacitancia resultante de una dispcsición de capacitores en paralelo.

76.9

BnerEía

d,el ca,rnpo eléctrico

Para cargar un conductor es necesario gastar energia porque, para suministrarle más carga, debe realizarsetrabajo para vencer ia repulsión de las cargas ya presentes.Este trabajo ocasionaun aumento en la energiadel conductor. Por ejemplo, consideremosun conductor de capacitancia C con una carga g. Su potencial es V : giC. Si añadimos una carga dq al conductor, trayéndola desde el infinito, el trahajo hecho es, según la ec. (14.37), dW : V dg. Este trabajo es igual al incremento dEe en la energía del conductor. Por consiguiente,usando el valor de V, tenemos dEa : _g_dq

C

jfl aumento total de la energía del conductor cuando su carga se incrementa desciecera hasta el valor Q (lo que es igual al trabajo hecho durante el proceso)es

s * : f l o na o : - E- . C 2C

(16.37)

Jo'

Para el easode un conductoresférico,C :AreR,

y la energiaes

u":*{*)

(16.38)

Esta expresión se puede relacionar de un modo muy interesante con el campo eléctric* producirio por la esfera. El campo eléctrico creado por un conductor esféricfta nüa distancia r mayor que su radio, es

,:# *.


604

(16.e

esf¡ilícls Carnposelectromsqnélicos

i .ei ri oa l a esfera. P ara C a l c u l c rn o si a i n te g ra l ci e i l extt' ¡rti i rl .¡ai r" ol :ri nt:i t:xl t' l es¡i aci oexteri or err o b tt' n c r e l v o l u tn e n e l e nteni aItl e i i i i l :¡l reci ón.ci i ' .' i rl ¿¡l ,rrs c a p a se s fó ri c a sd e l g a d a st -l eradi o r .,' esppsordr (l i g. l 6-2tt).E l ¿i reade cada capa e s ' l ¡r2 , y c n c o n s e c u enci asu vtl l u¡nen es du : árca x cspesor:4::rr dr. P or Io ta n to te i re m o s

I e ¿,: J; ( r-qr)' {n*"o4:

JR

Q'

f* d,

'lr<2 J p rz

:-q

4rre2R

Comparando este resultado con la ec. (16.38),podemos esc¡ibir la energia de un conductor esféricocargado cn la forma

E r,: Lu f* f ' , t r. Un tr¿rtanricntomatemático más rigurosri inclica que esüeresultado tiene validez gencral, y la cnergía rcquerida para disponer un sistenradc cargas puede expresarse en la forma E r, - ), -

|

J to( l o el es pac i o

(2 du.

(16.3e)

A csta expresión ¡luede dársele una interpretación fÍsica importante. Podemos d e c i r q u e l a e n e rg i a u ti l izada en di sponerl as cargasse ha al macenadoen el es-

F i g u ra 1 8 -2 ó

I'igr¡ra

p a c i o q u e l a s ro c l e a ,d e m oci oQue al vol unrenrl u correspondel a energía)< (2 du. Po r c o n s i { u i c n te l a cnergia por urridad tle ','oiun'ren.o densjdad de energÍa ng " a l m a c e n a c l a "e rr e l c a mpo el éctl i co t:s _

t:E :

1

-C,

t€ ( r - .


(16.40)

16.9)

605

Energía d.el carnpo eléclríco

Esta rnterpretación oe la energia tle un sistema de particulas cargadas distribuidas en todo el espaciodonde existe el campo eléctrico €s muy útil en Ia discusión de muchos procesos. EJEDTPLO 76.79, Calcular la energía necesaria para formar una esfera de cargas distribuidas uniformemente en todo su volumen (fig. 16.26). Solución: Llamemos R al radio de la esfera y Q a Ia carga distribuida uniformemente en su volumen (fig. 16-26). Dividamos el volumen de la esfera en ura serie de capas esféricas deigadas de radios crecie¡rtes desde cero hasta R. Poder..os imaginar que la distribución ha sido construida superponiendo capas esféricas hasta alcanzar una esfera de ra
o H_

4¡rR3/3

Si el radio de la esferaes r, la carga q contenida en ella es C : p(i'r,¡) :

Qf R3

(16.41)

y el potencial eléctrico en la superficie es y:

I : 4ne¡

Qt' 4zreoRs

Al incrementar eI radio en la cantidad dr con Ia superposición de una nueva capa, añadimos una carga dq obtenida diferenciando la ec. (16.41), de donde

.

¿I? :

39!_ ¿r.

-Ra

La energfa necesaria para agregar esta carga a la esfera es dE6 :

lt ¿q :

SQ"n dr. 4n
La energfa total necesaria para obtener el valor flnal de la carga es entonces

J;## *:-^-l*Ii-* "': J:vdq: Efectuando la integración, obtenemos

"':+(#o)'

(16.42)

resultado que difiere de la ec. (16.37). Larazón está en que para obtenerla ec. (16.37) supusimos una esfera de radio constante con cargas distribuidas sobre su superflcie mientras que para la ec. (16.42) la carga está distribuida en todo su volumen y se ha formado por atlición sucesiva de capas hasta obtener el tamaño final. Dejamos al estudiante la tarea de venficar que en este caso la relación (16.39) sigue siendo válida siempre que se incluya la energia asociada con el campo eléctrico en el interior de la esfera.


606

(16.r0

Campos eleclromagnéticos eslalicos

Una aplic ac ión int er es an t e d e l a e c . ( 1 6 . 4 2 ) e s e s t i ¡ n a r l a energí¿¡eléctrica o coulombiana de un ní lc leo c uy a c a r g a e s Q : - Z r : . T e n e r n c 's E6

-

- _J

Z2ez

(16.43)

{reo R

Sin en- r bar go,en el c as o d e u n n ú c l e o c o m p u e s t o d e p r o t o n e s v n e u t r o n c s , n o h a v un¿i dis t r Í buc ión u¡ r if or m e d e c a r g a e n t o r l o e l v o l u m e n d e l a e s f e r a . L a c a r g a e s t á c onc ent r a< i¿rs obr e I os pr ot o n e s , r 'u ¡ l a n á i i s i s n l á s c u i d a d o s o c l a u n r e s u l t ¿ i d ol i g e r a m ent c r lif er ent e, en el c ua l Z z e s t á r c e n ¡ r l a z a d o p o r Z ( Z - 1 ) , EJ t r : M I , L( ) 16, 71. Es t im ar e l " r a d i r r " d e l c l e c t l 'ó n . Soluúón: Es muy poco lo que conocemos ílcercn de la fcrm¿r geométrica del electrón. Todo lo que podem os dec i r c o n c e r t e z a e s q u e u ¡ r e l e c t r ó n e s u n a p a r t Í c u l a c a r g a d a negat iv am enl- e c on una c a r g a '- e . E s t a m o s i n t e r e s a d o s e n e s t i m a r e l l a m a ñ o d e la r egión t lont le es a c ar g a e s t á c o n c e n tr a C ¡ . P a r a s i m p l i f i c a r n u e s t r o s c á l c u l o s , c ons ider em os qr - r ec l elec t r ó n e s l l n a e s l e i a d c r a d i o R . P o d e m o s c a l c u l a r s u e n e r g Í a elóc t r jc a us ando el m ét odo a n t e r i o r y d e s p u ú s h a c e r a l g u n a s s u p o s i c i o n e s a c e r c a de cómo se distribuye la carga en ei volumen del electrón. Si suponemos, por ejemplo, quc el electrón es semejante a una esfera sólida de radio R y carga -e, su energfa será ¡-'3e2 c :'

T

4r *" R ' con la energía mec2 del electrón en reposo, con Io

Podemos igualar..,"".*ü c ual r es ult a llleC'

^ó:

-l J

ó

4reo.R

R:3(t

\-q-

5 \4::eo I

mecz

(16.44)

Esta expresión da el radio del electrón conforme aI modelo escogido. Si suponemos que el electrón, en lugar de estar cargado uniformemente, lo está sólo en la superficie, debem os us ar la ec . ( 16. 38 ) p a r a l a e n e r g i a . L a e x p r e s i ó n q u e o b t e n e m o s p a r a e l radio es similar a Ia ec. (16.4.1),pero con el factor.! en lugar del factor !. Como el electrón probablemente no corresponde a ninguno de estos modelos, se acostumbra adoptar como delinicirin del radio del electrón la cantidad : "

1p2

4*r"

: ,*;

2'8178 x lo-ts m'

(16.45)

Repetimos que este radio no puede considerarse en un sentido estrictamente geométrico, sino principalmente como ulra estimación del tamaño de la región donde el electró¡r está "concentrado",

16.70

Cond,uetitsidad

eléctricü;

leg cle Ohtn

En las tres últimas seccioneshemos'discutido ciertos aspectos del comportamiento de una sustancia bajo la influencia de un campo eléctrico. Este comportamiento se ha representado por la susceptibilidad eléctrica del nraterial. Iixiste otra propiedad irnportante relacionada con el campo eléctrico externo. eléclrit:u,y se estudiará en esta sección EsLr propiedad se llalna co¡¡¡/uclit:idad elóctiica e¡r ul: i¡retal. cn relacir)n con la c'.rnclucción Cuanritt se apliea un cainl)o eicctrico ¿l u.ji {;rrjlt:cliirrc,tlste se po!ariza. IJcro s i e l c a rü p o s e a p l i t:a e n u na reg!ón donde i ri ry ctfgas i i br:es,éstas se pon€n en


t6.1Gj

Conductiuídad.eléctrica: ley de Ohm

607

inovtmiento resultando uha corriente elécLricaen lugar de Ia polarización del ¡nedio"El carrpo aceleralas cargas,que de este modo ganan energía. (Esta situación se consideró en la secciól 14.9). Cuando en el interior de un cuerpo existen cargas libres, tales como electrones en un metal, sus movimientos son obstaculizadospor la interacción con los iones positivos que forman la red cristalina del metal. Consideremos,por ejemplo, un metal con los iones positivos regularmente dispuestosen tres dimensiones,como en la fig. 16-27. Los electroneslibres se mueven en un campo eléctrico que muestra

Fig. 16-27. Movimiento de electrones a través de la red cristalina de un metal. En la ffgura, ur es la velocidad térmica de los electrones.

la rnisma periodicidad que la red, y durante sus movimientos son frecuentemente dispersados por el campo. Para describir este tipo de movimiento electrónico debemos utilizar los métodos de la mecánica cuántica. Debido a que los electrones se mueven en todas direcciones, no hay un transporte neto de cargas o sea no hay corriente eléctrica. Sin embargo, si se aplica un campo eléctrico, un movimiento de arrastre se superpone al movimiento natural al azar de los electrones, resultando una corriente eléctrica. Parece natural suponer que la intensidad de la corriente debe estar relacionadacon la intensidad del campo eléctrico, y que esta relación es una consecuenciadirecta de la estructura interna del metal. Como guía para obtener esta relación, vamos a remitirnos primero a los resultados experimentales.Una de las leyes lísicas gue es quizás más familiar al estudiante es la leg de Ohm, la cual estableceque, en un conductor metálíco a temperalura constanle,Ia razón de la diferencía de polencíal V entre dos puntos a Ia corciente eléctricaI es conslanl¿.Esta constante se llama resístenciqeléctrícqR entre los dos puntos del conductor. Por Io tanto podemos expresar la ley de Ohm por

Vll:R

ó

V:RI.

(16.46)

Esta ley, formulada por el físico alemán Georg Ohm (1787-1854),la siguen con sorprendente precisión muchos conductores en un amplio intervalo de valores de V, de 1 y de temperatura del conductor. Sin embargo, muchas sustancias, especialmentelos serniconductores,no la obedecen. En la ec. (16.46), vemos que R se expresa en volt/ampere ó m2 kg s-r q-2, unidad llamada oñ¡n, abreviado O. Asi, un ohm es la resiStenciade un conductor pcr el cuai pasa una corriente dr un ampere cuando se estableceentrc sus extremos una diferencia de potencial igual a un volt.


(.16.10

Campos electromagnéticasestalica:: TABLA 1(i-2 Conductlvitl¡deseléctrleaso temperetura amblente Sustancia

Sustancia Metales cobre plata aluminio hieno tungsteno

5 ,8 1 x 6 ,1 4 x 3 ,54 x 1 ,53 x 1 ,8 2 x

10? 10' 10' 10? 10?

(-]-l ^

Senticanductores carbono germanio silicio :l is Iador¿s vidrio

10_10 a 10-1{ < 10-13 10!1r a 10-15

lucita

Aleaci.ones manganina constantán nicromo

2,27 x 70E 2 ,04 x 106 1 ,0 x 108

2,8 x 10¿ 2,2 x 10-z 1,6 x 10-5

mtca cuarzo teflon para{ina

1,33 x 1Q-ra < 10-13 3,37 x 10-r?

ahora un conductor cilindrico de lcngitud / y seccióntransverCor"rsideremos donde j es la sal S (lig. 16-28), La corriente puede expresarsecomo 1:jS, densidad de corriente. El campo eléctrico a io largo del conductor es é:VlI. (Recordar la ec. 14.30). Por consiguientepodemos escribir la ec. (14.46) en la forma él : RjS ó

, :

€:'é,

(*)

(16.47)

donde o : l/RS es una nueva constante llamada conductiuídadeléclricadel material. Se expresa en o-1 m*1 ó m+ kft s C2.La relación entre o y R se escribe más frecuentemente en la forma (16.48) R : //oS.

t------.i

La tabla 16-2 da la conductividad eléctrica de varios materiales. La ecuación (16.47) es una relación entre los módulos de los vectores j y f. Si suponemos que tienen la misma dirección, situación que se da en la mayoría de las sustancias, podemos reemplazat la ec, (16,47) por la ecuación vectorial

\

Figura 16-28

j :

o(',

(16.4e)

que es simplementeotro modo de escribir la iey de Ohm. Recordandola ec, (15.12), con {: -e , j - -e n o s ; donde n es el número de el ectronespor uni dad de volumelr y lrs cs la velocidad de arrastre debida al campo eléctrico aplicado {', te n e m o s q u e tl6 , :

o -

en

¿.


(16.50)

rc.14)

eléctríca: Ieu d.e Ohm Conductit¡í.d.ad

609

Esta ecuación muestra que los electroneslibres del melal adquieren una velocidel carnpo eléctricoexterno aplicado. dad de arrastre constantecorno consecuencia Llegamos aqui a una conclusiónalgo diferente de la obtenida en nuestra discusión del movimiento de un ion a lo largo de! tubo al vacío de un acelerador (sección 14.9). Allí encontramosque la aceleraciónirs o : - (elm)f, la cual da lugar a una velocidad D : - (elm)('|, que aumenta continuamente con el tiempo. Sin embargo, no es la primera vez que encontramos una situación como ésta. Sabemos que un cuerpo cayendo libremente en el vacÍo tiene una velocidad o : gt que aumenta continuamente con el tiempo. Pero si el cuerpo cae en un medio viscoso su movimiento llega a ser uniforme alcanzando una velocidad límite constante, tal como se estudió en la sección 7.10. Por analogia, podemos decir que el efecto de la red cristalina se puede representarpor una fuerza "viscosa", que actúa sobre los electronesde conducción cuando su movimiento natural se perturba al aplicar un campo eléctrico. La naturaleza exacta de esta fuerza "viscosa" depende de la dinámica oel movimiento elect¡ónico a través de la red cristalina; discutiremos esto con más detalle en el ejemplo 16.15. Mantener una corriente en un conductor requiere un gasto de ener$a. También se debe gastar energia para acelerar.un ion en un aceleradoro en un tubo electrónico (sección14.9),pero hay una diferencia. En el aceleradortoda la energia se emplea en aumentar la velocidad de los iones. En un conductor, debido a la interacción entre los electronesy los iones positivos de Ia red cristalina, la energÍa de los electronesse transiiere a la red, aumentando su energía vibracional. Esto conduce a un aumento en la temperatura del material, y constituye el bien conocido efecto calórico de una corriente, Ilamada efecloJoule. Podemos estimar fácilmente Ia rapidez con la cual se transfiere energía a la red cristalina. El trabajo hecho por unidad de tiempo sobre un electrón es F. ot; : - et . ns (recordar la ec. 8.10) y el trabajo hecho por unidad de tiempo y p o r u n i d a d d e v o l u me n (o potenci apor uni dad devol umen) €s p: n(-eC ' os). lJsando las ecs. (16.47) y (16.50) para eliminar Ds, obtenemos p :

oé2 - jL.

(16.51)

Consideremosnuevamente el conductor cilindrico de la fig. (16-28), cuyo volumen es S/. La potencia necesariapara mantener la corriente en él es

: (J.t(¿|. P : (S|p : (sr)UC) Pero jS : I y éI : V. Por consigujentela potencia necesariapara mantener la corriente en el conductor es

(r6.52)

P:VI.

Esta ecuación es idéntica a la ec. (14.43), la cual se obtuvo de un modo más general, y es independiente de Ia naturaleza del proceso de conducción. Para a q u e l l o s ' c o n d u c to re sq u e si guen l a l ey de Ohm, V : R I,l a ec. (16.52) puede escribiríe también en la iorma P : R12.


(16.53)

610

estdlicos Campos electromagnétícos

(16.10

Sin embargo, algunos materiales no obedecenia ley de Oh¡n y para ellos la ec. (16.53) no cs correcta, aunque la ec. (16.52) sigue siendo válida. Un conductor con ¡esistencia, también llamado un resistor, se representa con el simbolo mostrado en la fig. 16-29.

o--^---ufin¡v---< Fig. 16-29.

Sfmbolo para representar un resistor.

EJEMPí"O 16.75. Estudiar eI movimiento de los electrones de conducción en un metal. Solución: Her¡ros indicado que podemos representar fenomenológicamente el efecto tir la i¡teracción entre la reC cristailr¡a v lt¡s eiecirones de conducción de un metal por una fuerza "viscosa". Supcniendo que: esta fuerza es de la misma forma que Ia considerada en el caso del rnovimiento de ui¡ fluiclc¡(sección ?.i0), esto es,_-kc, escribimos la ecuación de movimiento de un eiectrón en un metal en la forma

*

dc

-¿C -- ku.

a:

(16.54)

De este rnodo la velocidad llmite de arrastre, obtcnida haciendo do/dt : 0, es od : -et/k Si comparamos este resultadq con la ec. (16.50),la conductividad e l é c tri c a$ < s :n e 2 /k . Poriemosexpresaresteresultadode un modo diferenteintroduciendouna cantidad liamada tietnpa de relajamienfo. Supongamosque el campo eiéctrico se interrumpe de pronto despuésque se ha alcanzadola velocidad lfmite de arrastre. La ecuación de rnovimiento para el electrón es entonces dt¡

-ko,

dI

cuya solución cs n =- 65¿'lkim)t. El estudiante puede verificar este resultado bien por sustitución directa, bien reflriéndoseal problema 7.82. Entonces el tiempo necesario para que la velocidad de arrastre disminuya en el factor e es r: mlk. Este es el tiempo de relajamientt¡ del movimiento del electrón, similar al que se introdujo en el ejempio 7.8 para el movimiento de un cuefpo a través de un tluido viscoso. Luego, obtenernospara la conductividad Ia relación nez:,

(16.55)

lñe

SÍ se conoce o, se puede calcular ; y recfprocamente, ya que n, e y mz son cantidades conocidas. Suponiendo que cada átomo contritruye con un electrón, podemos estimar que n es cerca de 1028electrones por rn{ en la mayorla de los metales. Usando los valores de e y nk, encontramos que, con o del orden de 107Q-r m-r, el tiempo de relajamiento .r es del orden de 10-ié s. Se debe comprender que todo Io que hemos hecho es idear un modelo fenomenológico por niedio del cual se obtienen los result:rdos requeridos por la iey dp Ohm; pero esto ncs ha conducido a introducir una nuel:a caniidad r. Para "explicar" la ley dc Ohm y la conductiviclad eióctricil en l'.r::metales, debemos reiacionarT con la dinárnic¿rdel movimienlo electrónic¡r. Pi¡r¡, c'imo hemos indicado anteriormen!.e, este r¡rovi¡rriento tiene lugar según llrs ie;;es dr, la mecánica cuántica, por lo cual una dis c ur . in m ás det aliaCa d e ! a e c . 1 1 6 . 5 5 )d r : l 'e p o s t p o n *r s e . ( V e r e l v o l u m e n I I I , capftulo 4).


Conducíiuul',t'ltleti¡ita:

Jrf.¡úr

Ieg¡de úhnt

8II

I)oricntos, sin ern¡)arlJooestiiriar la l¡onclad de n¡¡esil¡r modelc veriflcando los crd¿nes de magniturt de las cantitlades invojLtcradas. Es raeonable supoiler que el ti¡:rn*o rie relajamien!¡ es dei misrn¡¡ orden de magnit.ud que el tiempo que tarda ci rlectrón cn reaiizirr ri;rs c¡¡iisi¡'nrs sucesir,'ascün los iones de la retl cristalina. Fc r c s i I es la s epar ac ión r ne d i ; ¡ e ¡ l t ¡ e i c n e s . y r r r i a v e i o c i d a d m e d i a d e l o s e l e c t r o n e s , l;'u. Fara la mayoria de los sóliel tiempc de coiisión prtede estimarse por cl g4¡'.1,¡'ii¿ tios i es del orden de 5¡ x 10{ m. Para obtener' ¡'.!rsupongamos que podemos usar la rclación (9.59) propuesta para las rnoléculas de gas" De este rnodo, a temperatura ambiente, u es del orden de 10; m s-r. Concluimos entonces que r es cerca de 5 x 10-1as, Este resultado concuerda con la estimación hecha previamente, usando la ec. (16.55) y los valores expcrimentales de c. E,IEMPLO 1-8.16. Combinación de resistores. Sotr¡cdór¡rLos resistores pueden combinarse en dos tipos de disposición, similares a los discrrtidos en eI ejemplo 16.12 para los capacitores: s¿rie y paralelo. En la combinácldn en serie {fig' 1€-30a), los'resistores se conectan de tal modo que la misma cor]'iente pasa a lo largo de ellos. La cafda de potencial a través de cada resistor R z I, . . . , V r : €s , s egi¡ n la ley de O hm , V , : R , 1 , V ¿ : R"1. Por lo tanto la diferencia de potencial total es

v : vt+ v , + . . . * v " : (R, * R¿* . . . + R" )/ . El sistema puede reducirse efectivamentea un resistor único R que satisfagala re l a c i ó n V :R L L u e g o R r * R z * ... * R "

R :

(16.56)

da la resistenciaresultante para una disposiciónde resistoresen serie. En la combinaciónen paralelo(fig. 16-30b),los resistoresse conectande tal modo gue la diferenciade potencial V seala misma para todos ellos.La corriente a través D ¡!l

t

^!?^

vr

lI "

I'

t

^ft:. vs v---__

.!:^t

( a)

R,

Fig. 16-30. Combinaciónde resistoresen sene y en paralelo. de cada resistor es, según la ley de Ohm, f. : V lR.' I ¿ : La corriente total f suministrada al sistema es I :

It -l- I, -f

+ In :(+ .f+ ,


Y /R z, ...,1" :

*

* )"

V /R " .

612

Cumpos eleelromagnélicos¿sfuificos

{16.11

El sistenrapuede reducirseefectlvamentea un resist;r¡único que satisfaceIa ecuación I : V lR" Por consiguiente 1111 llr R

* -:-R2

(16-57)

If.'

da la resistenciaresultante para una combinación de resistoresen paralelo,

'16.'t-1 Fuerza

electrotnotri¿

Supongamos que una partícula se m'üeve de .,1 a -B según una trayectoria I bajo la acción de una fuerza F. trn el capítulo B hemos cxplicado que en este caso el trabajo hecho por la fr.rerzaes lV : ltF"Cl. donde el subíndice 1, significa que !a integral se efectúa a io largo de Ia treye,:toda y dl es un elernento lineal de la rnisma. Ilemos probado adeinás que cuanCola fuerza es conservativa (esto es, la iuerz¡t está relacionaCa con !a energia potencial por ,ú' : - grad .Eo), el trabajo es independiente de la trayectaria I iuego ! F "al : Ep,A * Ep,a. Una consecuenci:l irnportante, también establecidaen el capitulo 8, es que cuando la trayectoria es cerrada, ei trabajo de una fuerea conserv'ativa es cero, ya que los puntos A y B coinciden y por lo tanto Epd : Ep,x. Estos resultados se pueden extender a cualquier campo vectorial, tales como los campos eléctrico o rnagnético. Designemos el vector de campo por I/. La integral curvilÍnea del campo vectorial I/ desde el ¡runto A hasta el punto B a lo largo de la trayectoria .L se define como

Integral curvilínea de l- :

iL

V'dl.

(16.58)

En general i:r integral curvilinea depende tle Ia trayecto¡ia. Si la trayectoria a lo largo de la cual se calcula la integral curvilinea es cerrada, ésta se liama circulación vectoriai. Se indica por medio de una circunferencia colocada sobre el signo integral:

Circutación de V:

+V.dI.

(16.5e)

Un caso importarrte es aquél e¡i el cual el campo I/ se pucde expresarcomo el gradiente de una función. Esta es la misnia situación encontrada en el caso de fuerzas conservativas y por lo tanto potlemos decir que cuando un campo uecloríal se puede eÍpresar como eI gradíente de una función, Ia ínlegral curuíIlnea del campo enlre dos puntos es índependienlede Ia tragecloria que une esfospunlos g Ia circulación alrededor de una tragectoria arbitraria cerrada es nula. A medida que avancemos en este texto, el estudiante descubrirá que los conceptos de integral curvilínea y de circulación de un campo vectorial son muy útiles para formular las leyes del electromagnetismo. Aplicaremos ahora estas dos nuevas definicione.s al campo eléctrico.


/6 .1 1 )

F'uerza eiecíronrctriz

$ t;t

tlomo el carlito eiéctrico es tgual a la fuerz¿ por unidad de carga. ia integral curvi!ínea del campc eléctrico, j'tt.dI, es igr:al al trabajo hecl\o ar rrlover u1a unidad de carga a io largs de ll truyectoria l. Si la trayectoria es.cerrada({ig. l6-31), la integral curvilinea se convieri,e en la circulación del campo eiéctrico y se denomlna fue.rza eleclromotriz (fem) aplicada a Ia tra,rrectoria cerrada. Designándola por Ve, tenemos que

fenr:V ":$" C-A t .

(16.60)

Por consiguiente /a fuerza eleclromolrizaplicada a una tragecloría cerrada es ígual cI lrabajo hecho al mover una unídad de carga alrededor de la mísma. (La palabra "fuerza" no está correctamente usada porqr¡e nos estamos refi¡iendo a "ener{ra", no cbstante, es aceptada por el uso gencral). Naturalrnente, Ia fem se expresa en volts. Consideremosahora el caso especial de t'"t;Tl.X'$ un campo eléctrico estacionario.Recordando que el campo eléctrico estacionario se relaciona con el potencial eléctrico por f : - grad Y, podemos escribir

t-c .dt:v ,+ - v n ,

JL

(16.61) Flgure 16-8l

donde A y B son puntos unidos por la trayectoria l. De este modo la integral curvilíneaentre dos puntos de un campo eléctricoestacionarioes igual a la diferencia de potencial entre esosdos puntos. Si el camino es cerrado,los puntos A y B coinciden,y la ec. (16.61)da

u ' : $ € . i l :a .

(16.62)

Expresándolo en palabras, podemos decir que Ia fem, o círculacíón, de un campo eléctrico estacionario alred.edor de un eamíno cerrado arbitrarío es nula. Esta proposicién significa que el trabajo hecho por un campo eléctrico estacionario al mover una carga en urra trayectoria cerrada es cero. Si el campo eléctrico se aplica a un conductor, podemos combinar la ec. (16.61) con la ley de {Jhm y escribir la ec. (16.46) en la forma

!rc .at:R I,

(16.63)

cit¡¡rde.L es u¡r carnino a lo iargo del conductor y It es la resistencia eléctrica ¿:ntre los punt+s del conductor u¡üdos por el camino .L.


614

estálicos Camposelectromagnéticos

(16.11

Como hemos dicho previamente,mantener una corrionte entre dos puntos de un conductorimplica que debe suministrarseenergiaal sistemapor medio de la fuente de düerenciade potencial.El problemaque ahora se presentaes si una corriente se iruede o no mantener en un conductot cenadoo circuito eléclrico. Cuandose aplica la ec. (16.63),qur esencialmenteno es otra cosa que Ia conservaciónde la energÍaen el conductor,a un conductorcerrado,da I

Jt

('ill : RI.

(16.64)

El prirner mielnbro de esta ecuaeiónes la fem aplicada al circuito y R es la resistencia total del mismo. Si el conductorse colocaen un carnpoeléctrico estacionario, entonces,según Ia ec. (16.62),tenemosque la fem es cero (Vs, :0) y la ec. (16.64)da I : p. En otras palabras, un campo eléctrícoutacío¡tarío no puedemanleneruna corríenteen un eircuito cenado, La razón de esto es que un campo eléctrico estacionario es conservativo y la energla total neta suministrada a'una carga que describeun camino cerrado es nula. Sin embargo, una carga moviéndoseen el interior de un conductor transfiere la energia recibida del campo eléctrico a la red cristalina y este proceso

Itg. 16-89. Una corriente eléctrica se mantiene en un circuito cerrado por medio de generadoreseléctricos.

es irreversüle; es decir, la red no retorna la energlaa los electrones.Por Io tanto, a menosque se suministreuna cantidad neta de energíaa los electrones,éstos no se podrán mover unüormementeen un circuito cerrado. En consecuencia, para manteneruna corrienteen un circuito cerradoes necesario prrrveerener$a al circuito en ciertospuntos A,A',A",... (fig. 10-32). A los dispositivosque suplenenergialos llamamosgeneradores eléclrícos G, G', G,,,..., y podemosdecir que constituyenlas fuentesde fem. Luego el campoeléctricof que apareceen Ia ec. (16.64)no es estacionario, y a los puntosA,A',A,,,..., corresponden camposlocalizados producidospor los generadores G,G',G,,,... Hay muc.hasmanerasde generaruna fuerza electromotriz.Un método común es por medic de una reacciónquimica,tal comoen una pila secao en una bateria, en las cualesla euergiainterna tiberada en la reacciónquírnica se transfierea


r6 .íl i

l-cei';c eiet:i¡rnnulri¿

*16

Jir¡l *lettf'*¡¡n:$" i,1t.rfi¡'.:,--t¡¡iii;;i:i:lrli¿¡¡::.c{is Ft.1i.¡¡:r,,._liu rlr:. i;i:.;fi]er.,¡;;rt ia in;iuc* *:i*;r ¿:ieCtra;s;r;;nc,lica, {lit:rr: ¡3X¡.i!;lrd s¡: r:j brr,¡xil¡i1:.L:i:rjtilii}, !i:¡;l- flle¿ftt ür l:::¡:, lit ii\r!,r:.,:...i:j-. ;tSL¡;teiri*i_ir-::l;::f.ni.,. .ti.!l-r.{) S, ir:di...t *"1 i"l. fig. : fl'lii, d*rrd,: tl ienti¡!;.1 ii', ir, ," -1.':i1.: :,,1.' - ;,.;'r¡j it:: 1\i ¡i i,il.:¡itn ¿;rí..r¡¡*a jd 'fi¡cnle 4e f':r-r el tie:":¿ .! :{.[ir;-r.. i.; !:rr"" .. .,. ,.r irüsiti.,'j. ¿.i Seg:nr.nr.OCrirt{". L.¡ ¡)i)iú negst"¡a/ú, Cnand* fi:riica:nc's i¡. irv de Llhnr iec" ils.d$lj a l¡n circur:* simple conlü e! de t* fig, 16-33, debernoe tener *r¡ cuentá q:le !a re"qi$tr.rcrá iqf.si p es la s¡rrna cle Ia

iesietenci*. interna f;¡ de Ia fi¡eute de fern y ia yesisten*ia externa .ft" tl.el condustcy coneetado ai genenador(o baterfa). Asi "R : fi¡ * R¿, y la lev de Ohm. se convierte en

Ve :(R"*R¡)/.

(16.65)

E.qta ecuación puede también escribirseen la Jorrna V - filf R¿I. Cada miembro de Ia ecuación da la difereneia d¿ potencial entre los polos del generador(o baterla). Podcmos Ftg. 16-88" Representación en übservar gue esta düerencia de potencial es slmbolos de un circuito con una menor que ls fem. fuerza electromotriz, ñ,rEMPLo 78.77. Métodos para calcular las corrientes que existen en una red eléctrica. gotr¡olón.'Una red eléctrlca es una combinacién de.conductores y fuerzas electromotrlces, tal como la ilustrada en la ñg. 16-34. consideraremos por ahora sólo el easo en,que las fem son constantesy en la red se ha alcanzado un régimen estacionario, de rnodo que las corrientes ssr¡ también constantes. Usualmentl el problema c{}nsiite en encontrar las lntensldades de corriente en funcióh de las fem y de las resiste¡eiac. Las reglas pára resolver sste tipo de problerna, reglas conocidas como legesde KírcMrcff, €xpresan simplemente la conservaciónde la carga eléctrÍca y de la energfa. Las leyes de Kirchhoff se pueden enunclar como sigue: (1) En un nudo de una red la suma de las intensidadeses cero. (2) La swna d.e las catdas d.e potencial a Io largo de cualquier ca¡nina cenad.o en une red es nuia.

1" o FtS. 1&84.

Red eléctriea.


616

Camposeleclromagnélicos esttittr';¡s

(16.12

Al escribir la primera ley" debemosconsirleraraqi;eiiasi:orrie¡rt:sgue salen de un nudo como positivas y las que llegan como negai.ivas.La prirnera iey expresala conservacióncle la carga porqtie, colnlr .iasc¿¡rgasl{i se acumuia¡i en un nudo, el número de cargasque ilegaria un nu
-1, -r 1, a 1, : 9, -I, * Ir + y'E: 0, -Ir-_ fn + .1" : g.

I-a segundaley aplicadaa los recorridos1, 2 y 3 da: Ilecorrido 1: Recorrido 2: Recorrido 3:

-R"I , * R¡I, + Rrt. - Vs¡ : 0, Ru/o- Rrf. - Rnf. : g, Rr/, * R"I" * Rr/. - Ver * Vs. : 0.

Estas seis ecuacionesson suficientes para determinar las seis corrientes en la red. [Ina regla práctica a seguir para encontrar las corrientes en una red con n nudos es aplicar la primera ley a n - 1 nudos solamente, porque si la ley se satisface para n - f ¡t¡dss, se satisface automáticarnente para eI restante. (El estudiante deberá veriflcav esta aserción en la red de la fig. L6-3.1).La segunda ley se debe splicar a tan¿osrecorridos certados cuantos se requieran a fin de que cada conductor sea parte de un recorrido aI menos una vez.

II. DL CAMPO MAGNNTICO 78.72 Ley úe Arnpire pd,ra el carnllo rn$gnétieo Estudiaren¡os ahora algunas de las plopiedades de los campos magnéticos estacionarios, o independientes del tiempo. consideremos primero una corriente .tr rectilinea indefinida (lig. 16-35). El campo magnético :)J en un punto A es perpendicular a OA y está dado por la ec. (15.41),o sea

tj :

,'f

#u4.

Calculemos la circulación de ?J alrededor dc una trayectoria circu.lar de radio r. El campo magnético ?3 es tangente a la trayectoria, de modo que qJ "dl:WL y de mótlirlo constante^ Por lo tanto ia circuiación magnética (que designamos por .A.s) es

.r,.=''{, rl j.dI - .,f '¡.

r,

r iI:

i) $J L at,=f!,,,: f*ú) \2rrl'


tr "n

16.12)

Leg de Ampére para eI campo nngnélico

¡ 'll I i'[ L]]I

.t

61f

-

Fig. tB-!ió. Campo magnético de una corriente rectilfnea.

Fig. 1ú-36. La circuiacién magnélica a lo largo de todas las trayeetorias circulares concéntriias alrededor de una co: rriente rectilf nea es la misma e igual a P o/.

porque L :Znr.

De este modo

Ag :

(16.66)

¡r,01.

l¿ circulación magnética es entonces proporcional a la corriente eléctrica f, y es independiente del radio de la trayectoria. Por consiguiente, si trazarrios varias circunferencias2., L2,Ls,..., (fig. 16-36) alrededor de la cor¡iente,f;la circulación maguética en todas ellas es la misma e igual a ¡rof, conforme a la ec. (16.66). Conside¡emosa continuación una camino arbit¡ario Z rodeando la corriente / (fig. 1ü37)" La circulación magnética a lo largo de L es

¡ , " : óu L ( B .d t:+ 4 0uL u e ' d t. ¿r

f

Pero uo.df es la componente de dt en la dirección del versor ?Je,y por lo tanto es igual a ¡ d0. Por consiguiente

^':

,,01- ¿u: 4 $2¡r tr'l: 2¡t J t.

pol,

ya que el ángulo plano total alrededor de un punto es 2n. Este es nuevarnente nuestro resultado anterior (16.66), el cual es por lo tanto válido para cualquier ca¡'nlno que encierue a la corriente rectilínea, independientemente de la posición de ia misma con respecto al camino. Un análisis más riguroso, que omitiremos, indica que la ec. (16.66) es correcta cualquiero-sea la forma de la corriente, y no sólo para una corriente rectilínea. $i fenemosvarias corrientes IL, Iz,ls,..., enlazadaspor una linea ¿ (fig. 16-38), cada corriente da una contribucrón a la circulación del campo magnético a lo Iargo de L, Podemos establecerentoncesla ley de Ampére en la forma


618

(16.12

esfálíccs Campos electrontagnéticos

I{l

--¡z:-

I a?.

Á*\ I'l¡¡. l6-38, [,a circulaci,in magnética a lo l:rgo rie cualquier cami¡¡o lerrailc i:s proporcional a la corriente nctil ciiaet'riiria ¡,r¡r el camino.

F l g u rr 1 G-37

la círculdcíónde ¿rn.:ütnp(tmuqriétícoa Io krgo tle una i{nea ce.rrada que enlazq las corríeaies1,, 1r. Ir, . . ., es

(16.67)

¡n :{ r} J .d l :¡,01, donde I : Ir -l- Iz -t- IB 1tenüda por la lrar¡ecloriaL,

repre$entaIq corrientelolal conca-

C u a n d o :l p l i c a mo sl a e c. (16.67)tomi rni oscomo posi ti vl i a corri enteque atrar,i e s al , e ¡i c l s c n ti d l ¡¡¡ ri i l r ír\' anzaun torni i l o de i csci ¡ dercchaal rotarl o cn el cn rJi¡eestl'roi:icntaila l-, I'rr,:galii'a si el ser¡t,l'llles opuesto, Así, cn la ":c¡'rtiric, í!g i ti-i8, i¡: corrir:nt.t'sJ, cr f* se tunriclt riin Ilnsit.iteq-r l'íi /^ negativa. r ¡ 'i l r . rs *v l i r i 1 . 1 ¡ ¡ : ; ¡ ¡ i ¡ | r . 1 *'! . ! l i - ¡ ': t : r ¡ " i i 'i l f e e l ó c t r i c a p r r e r l t Ci: endll it li, r ij¡ ; : lc : j" u.r' dS), pOípst;: ¡s. 1 r'>ilir.,s¿,I'sfc,.;nto al iirijo de C¡:n.';id¡¡j ilrr ':'.11'!-lrlirt:: -. JS i , a i q l r i t : l t i l i ¡ . í . . i }. i ¿ r ; , '. t 'n i o l 'u ta l¿l i. . r "' r it , \ ¡ i i ¡ ¡ , 'r i " de¡ n¡ ¡ : "r t ! í ir t { - - c : . ! t

ti . ,it

¡

;i ' l t:

I i í1.i13)

l"t;;r''¡ii:: l.'ri j,. tltin,,i¡:.il t's tryilr¡qi,:r siitrttri'irtir.' sta generailnentenula lfl hqchri de qiir ja circulaciir¡1¡i¡i leirpr' rLat-:n¡il.ic('¡tL) i n d i c a q u e e l c a mp o mrgnéti co no tj rne ui l potenci al nragnéti coen el tni smo sentido que el campo elóct¡ico tierte potencial eléctrico. La Ley de Ampére es particularrncnte útil cuando deseamoscalcular ei campo magnético prcducido por distribuciones de corriente que tienen ciertas simetrias geornétricas,como se muestra en ios siguientesejenpias. E, I Ef r I PL0 7$. Í 8. Lr s anr l o l a i e y d e Á i l p e r e . : i t L r

r u .ia t

Leg de Arnpbe

para e!. caranpümagnética

6jg

;soir¡*dctn¡ üor¡sideren¡o¡ !a corriente .l q'e pasa a lo iargo de un eilindro de radio a ing 16-39). La simet¡ra tier pri-ibrema o,:qi*.* claranie¡ite il ltneas de ruerza dei campc rnagnético son cirCur,ier,:nr:ias íon sr-¡sr:entros ó; sit-uarios a lo largo del eje dei cii:neirc, l" 9_ir9e. mú,i*L-. .':):rcel carnpo magnético en un punta d.epende sélo df is riistancia-.del pL1:-jir.¿r i.jt' itrcr.r¿'¡1.,i¡ui.nie, euando .i"iJ"*o. una circun_ ferencia de'¡adio r csrn el cere'r¡r:scl,:rs i¿r'u,;:riente rru*rira trayectcria l, Ia eirculacién magnética es "o*u

$_+t¿t : T,$ ,il : .tJ¡, : 2tr¡{D. Jt f tSi el radio ¡ es ¡rriyot que el radio del cilindro c, tr:claia corriente queda .l en el interior de la circunferencia.por lo cual, apricandoia ec. iró.021,"i.."i""I" ,rrr:

2;cr-ú:

iqi

ó

$:

tI

zfEl

,

(16.6e)

que e$ precisamente el resultado encontrado en el capftulo 15 para la corriente en un filamento. Por consíguiente,-en puntos luera de'uno r*rirnte cilÍ.nd.ríca,er eunpo magnético es eI mismo que si ra colriente ástuuíera a to t*-gi aet e¡e.

l-,,_¡

'I

I

\

1,

rrgurs Flguro 16-30 rs,-óu

Flg. 16.40. Bobina toroidat.

Pero si ¡ es meno¡ que a, tenemos d.osposibilidades. si la corriente ci¡cula sólo 3l.o lTgo-qe la-superficie.d.el cüindro (como puede ocurri¡ si er conductor es una hoja ciltndrica de metal) la corriente encerradi por L, es cero y ia rey de Ampére rra}rfr1 : $ ó cÉ : 0. Luego, e.rcampo magnétiioíÁ m pl¡¿loi'intíriorw de un cilindro r¡eefransporta una carri.ente,sobr,tu'supei¡icie es cero.'pero sita corriente está unl-¿er formemente distribuida a través oe tó¿a la secclón transversat conau"torl-ia eorriente en el interior de l, es

,':-+(nr¿):+ En consecuencia,aplicando ra ley de Ampére, obtenemos ?"rtt9 : , b:

hL . 2rra,

FnI' :

polrr/az s

(16.70)

Par lo tanto el campo magnético en yn punto interior de un ciltnd¡o que lg:ansporta una corrienle unilormemente d.istribuida u traué.sd.esu sección t¡ansoer'sal it- jr:opo"eíonal a Ia distancia del punto aI eie del cilind.ro.


620

Campos electromagnéIír.oseslalicrs

(16.12

EJEMPLo 76.79, usando la ley de Ampore, discutir ei campo magnético produci{o por una bobina toroidal. Salución:Una bobina to¡oidal consisteen un alambre uriiformementearrollado en un toro o superficieanular, como en la fig, 16-40.SeaN el número de vueltas, todas igualmente espaciadas,e r la intensidad de la corriente que por ellas circula. La simetria del problema sugiere que las llneas de fuerza clel campo magnético son clrcunÍerencias concéntricas con el toro, J'o¡nen¡osprimero como nuestro camino de integracién una circunferencia rlc¡rtro det toro. La circulación magnética es entonces/rA :'13L. El camino l. concatenatodas las vueltas alrededordel toro, y por io tanto la corriente totai que fluye a través de él es N/. Luego, ap.licando la ley de Ampére, obtenemosc6¿ : ¡¡NI ó (Íl : uoNI/L. Si el radio de la sección transversal del toro es pequeño comparado con su radlo, pcdemossuponerque I es práct.icamentela misma para todos los puntosinteriores cel aniilc. Dado que n: N/1, es el núrnero de vueltas por unidad de longitud, concluimos que el campo nragnético en el interior del toro es uniforme v tiéne el valo¡ constante ej :

ponl.

(16.71)

Fara cualquier camino fuera del toro, tal como tr' e L",la corriente total concatenada por él es cero, por lo que .ts : 0. En otras palabras, el carnpo magnético de una bobina toroidal está enteramente confinado en su interior. Esta situación es aplicable sólo a bobinas toroidales cuyas espirasestán nuy juntas. e.tEMPLo 7820. usando la ley de Ampére hallar el campo magnético en el centro de u¡r solenoide muy largo. sotuclón: consideremosel solenoidede la ffg. 16.41, que tiene n espiraspor unidad de longitud cada una conduciendo una corriente 1" Si las espiras éstán muy cerca unas de otras y el solenoidees muy largo, podemosconsiderarque el campo magnetico está confinado enteramenteen su interior y esuniforme, como se indica ton lai lineas de fuerza en la ligura. Escojamos como camino de integración el rectángulo pOns.

z' Ftg. 1B-41, Solenoide

Iig. 1$-42. Camino elemental para establecer la ley de Ampére en forma diferencial.


16.13)

Leg de Ampére en forma diferencial

62I

La contribución de ios lados 0¡t y sP a la ciiculación magnética es cero porque el campo es perpendicular a ellos; tantbién Ia contribución del lado RS es cero porque aill no hay campo. Por consiguiente sólo el lado PQ contribuye en la cantidad sc de modo que A?,1 : 'lJc. La corrietite total concatenada por el camino de integración es ncf, ya que nr da el núrnero de espiras. For consiguiente la ley de Ampére da :lJa,: ynnx.I ó (Il : ¡.ronl, conforme a nuestros resultaCos del ejemplo 15.9 para el campo en el centro rle un solenoide largo. El estudiante habrá comprendido con estos ejemplos la utilidad práctica de Ia iey de Ampére para calcular campos magnéticos que tienen c¡ertas simetrfas.

16.73

Leg d,e Arnpére

en forma

d,ifereneial

Como sabemos que la ley de Ampére se puede aplicar a trayectorias de cualquier forma, apliquémosla a una trayectoria rectangular muy pequeña o infinitesimal PQ-RS del plano XY, de lados dr y dg y área dr dg (frg- 1G42). El sentido de la circulación alrededor de PQRS se indica con las flechas. La circulación consta de cuatro términos, uno para cada lado; esto es,

¡o:d JPQR^S

cn.d.I:i +i +f +[ J PQ J QR J .R S J .SP

(16.72)

Ahora bien, a lo largo del caminoQR, cuya orientaciónes paralelaa la dirección positivadel eje Y, dI :uudg y f

dl : cbl'uudg : c)JudY. J oRW' Análogamente,para el lado SP, que está orientado en la direcciónnegativa del y asl eje Y, dl:-uydg, r

, dI : -'B' . W¿g: -c&i dg, J"r,% de modo que

- ,Ei)ay. Jn^* f"": (%u Pero,comoPQ:dr, c$u-13;:dcl3v:(ffiol4x) dr, se tiene r

l+ J QR

: ñ3ud., du.

| JsP

0x

Por un razonamiento análogo, los restantes dos integrales de Ia ec. (16.72) son

as. i * f : -Y"a, og

Jee' Jns

Sumando los dos resultados. obtenemos finalmente J e p n s 'r'dI:(ry-{!'\ ou \ or ^%:ó


/

a,av.

(16.73)

622

Campos eleclromagnélicos eslilícrrs

(l6.IJ

Dado que d/ es ia cor¡iente qiie pasü a través d.: .trQ.RS,pc.rienrosrelacio¡rarla con la densidarl de corriente j escribiendo

(16.74) Escriiriinos.i, porque esta es la única romponente de la densjdad de corriente 3 quc crtntribuye a la corijente ri1 :i ir¿lvés de PQR^S.[,as componerntes jr y ju correspond€¡la mcvimientos pa:ai,rios¿rl;i sullecicie y no a través de ella. Sustituyendo las ecs. (16.73) y (iü.7a) er la ley cle Ampdre, cc. 1.16.07),podem
I fr, \

,,

0 tJ.'\

,-,._ --e ;) cxdu:¡t' ttt

-vsi zdrds'

cancelando ei factor conrún rlr dE en aribos mienbros, obtenemos la lev de Ampóre en su forma diferencial, ?t liv

Ar

d'13, -_-j:

Ay

j U ^ l '.

(16.75)

Podemosahora colocarnuestra superficiePqRs en los planos yz o zx, resultando las exDresiones eqüvalentes

ffw, 0g

ffiu0z

tr)]"

acld,

0z

Ar

tLoJ "

(16.76)

voJu

(16.77)

Las tres ecs. (16.75), (16.76) y (16.77) pueden combinarse en una sola ecuación vectoriai. obsérveseque los segundosmiembros son las componentesdel vectorj, la densidad de comiente,multiplicada por ir.. Análogamente,los primeros miembros pueden considerarsecomo las componentesde un vector obtenidas a partir de?3 combinando las derivadas en la lorma i¡rdicada; ese vector se llama el rolacional de r)l y se escribe rot ?J. Entonces las tres ecuaciones se pueden resumir en ia ecuación vectorial

rot .)J : poi.

(16.78)

Esta es la expresión de la ley de Arnpére en forma diferencial. Podemos usar la ec. (16.78) para obtener el campo magnético cuando conocetnosla distribución de corriente, y reciprocamente.En una región tionde no haya corriente eléctrica, rot clj : 0. La ley de Ampére en iorma diferenciat esiablece un¿l relación focal entrc el campo magnético (7JcIr tin punto .r la Ce¡tsirla;i j de corriente en el mismo punto dcl espar:ir.'. de un nlodo sirnilar D ro;rlo la i;:y de G¿russrtrlacionael carnpo eléctrlc* y h"', ¡¿¡g¿" t-'¡rel lnisriro prilto Cel esp:-icic.Pcd*¡nos de este l¡rocioclccir quc .lrs cocrientescléctricas son ii¡s fuentes dtl campo magnético.


16.15)

Xlagnetización de la malería

623

equivalente a la ec. (16.78)para un campo eléctrico estacionarioes La expresión rot {' :0,

(16.7e)

Y f q u e h e mo s p ro b a d o [e c. (i 6.62)] que para tal campo la circulación es cero

(9rt 'dl : o¡. 16.74

rnagnético

Flujo

EI flujo rnagnéticoa través de cualquier superficie,cerrada o no, colocada en un üanlpo magnético es oo :

(16.80)

)J ' u.v dS .

|

JS

El concepto de {lujo magnético a través de una superficie es de gran imporiancia, especialmentccuancio la superficie no es cerrada, como verernos en el rapitulo 17. Por elio es conveniente deflnir una unidad de flujo magnético. fivirientemente, como el flujo rnagnético es igual al campo rnagnético multiplicado por *:l irrea, se expresaen T m2, unidad llamada weber en honor del físico alemán Wilhelm E. \Veber (1804-1891).Se abrevia Wb. Obsérveseque corno T : kg s-l i-1, \\¡b : T m2 : mz kg s-l C-1. Muchos textos expresan el campo magnético eir Wb m-2 en lugar de -I'. Como no hay masas rnagnéticaso polos (o al menos no han sido observados), ias líneas cle fuerza del campo magnético )J son cerradas,como se indica en el e j e m p l o d i s c u ti d o e n e l c a pi tul o 15. C oncl ui mos que ei flujo magnéticoa lraués de unq superfície cerrada es síempre nulo. E,.stoes, el flujo entrante a través de cualquier superficie cerrada es igual al flujo s;rlie¡rte. Luegc

i

( r6.8r )

)r.¿¿vr1. S : 0 ,

i5

ptl fl ;t:n¡l ,t ,i.:,:iii.:r ,it:, { litr ) s( ; !- .r ¡ t,ilr ,r it:!t'-i i l fr}¡'l i :-rl r,¡nti l i ":fntcl i i : do ]a ¡.:X l ;fesi ¡':i l :- ,iir i' t' .!1 ' .;¡ a ll iJ ii;1 ¡ .lr t,' r r t.:' t ,,. t.!i , .i i i . I.l t C rri ri ¡rr.ri ¡:l r i i l i ¡ s',¡'.: ol ni ti dl i . i j si i : i i tsi i J::l r;ur:i l t,¡ ¡¡1'1¡¡;'¡¿fi ¡;ti!,l ;r ' - 1 :, ¡ tr _ :ti:ti.lli:r ' l:it: i- t:i ti' . ii,¡:¡'.!:.i i i (¿ . l form* ri i i er,:i i ,:.ti i Itn t¡ ¡ 1 0 s.

p r - i¡ xn a l¡ g ia t.

-;

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- - T-I

,:r .¡ l j ;¡ rC . I l {). 1; ¡l l trl i el r-'i i m}to ei ét:l ri co, r,

I iíl

:"' (u

i,

í.:) ;.:_ -___ ¿:

--

{)

ó

ttiv ,U ',= 0.

(16.82)

1i¡:.gnetiznciópr rJe la tnuteriu

t ir lt it s lli: ir : . : : i5"10 inc iic ¿i n i c ¡ sq l l e u n a p e q u c ñ a c o r r i e n t e , t a l c o r n r ¡ l a d e b i d a a los elec ir ones er r un át om o, c o n s t i t r r v t , L r n t l i p o l o n r a g n é t i c o . L o s á t o n . r o s p u e d e n o no presentar un rnornento dipoiar niirgnético neto, derpendiendo de la sinretria o


624

(16.15

Campos eleclromagnélicoseslátícos

de la orientaciónrelativa de sus órbitas electrónicas.Como la rnayoría de las moléculas no presentan simetría esférica,pueden tener un momento dipolar magnético permanentedebido a orientación especialde las órbitas electrónicas.Por ejemplo, las moléculas diatómicas tienen sjmetiÍa axial, y pueden poseer un momento dipolar magnético paralelo al eje molecular. Una porción de materia, con la excepción de los materiales ferromagnéticos, no presenta momento magnético neto, debido a la orientación al azar de Ias moléculas,situación similar a la encontrada en la polarización eléctrica de la materia. Sin embargo, la presencia de un eampo magnético externo distorsiona el movimiento electrónico dando lugar a una polarización magnética neta o magnelizacíón del material. Lo que Corriente superflcial

\

PlS. 10-4S. Corriente superficial de magnetización en un cilindro magnetizado.

Flg. 18-44. Corrientes elementales en un cilindro magnetizado.

sucede esencialmente, es que el campo magnético produce sobre los electrones un movimiento de prccesión o de rotación en torno a la dirección del campo magnético local, como se explicó en la sección 15.6. Cada electrón contribuye con un momento dÍpolar magnético dado por la ec. (15.27). Consideremos, por simplicidad, una susüancia en forma de cilindro que está magnetizada en dirección paralela al éje del mismo (fig. 16-43). Esto significa que los dipolos magnéticosmoleculatesestán orientados paralelamenteal eje del cilindro, y por lo tanto las corrientes electrónicasmolecularesestán orientadas perpendiculanncnte al eje del cilindro. Podemos ver en la fig. 16-43 (y con más detalle en la vista de frente que se muest¡a en la fig. 16-44), que las corrientes internas tienden a cancelarsedebido a los efectoscontrarios de las corrientesadyacentes,de modo que no se observa corriente neta en el interior de la sustancra. Sin embargo, la magnetización da lugar a una corriente neta Im sobre la superficie d e l ma te ri a l , q u e a c tú a como un sol enoi de, El uectormagnelizució¡1 )l( rle un rnaterial se riefine como ei momento magnético del medio ¡ror unidad de volumen. Si rr es el ¡nomento dipolar magnético de cada


;6 .t6 )

Co,mpa mugnetízanle

625

átomo o molécula y n es el nún:¡erode á.tom¡s o moléculas por unidad de volumerr, ir ma.gnetizaciónes c:ll( : nrn. El momento magnético de una corriente elemental se expresaen A m2,y pcr consignicntela magnetiza cíónLlll se expresa en A m¿/ma.\ rn-1 ó m_l s-r C, y es equivalcr:te a corriente por unidad de longitud. Existe una relacién muy irnportante entrc i:r corriente sobre la superficie del cuerpo magnetizado y la magnetización ?fl. üi¡servamos en la {ig. 16-43 que Ie¡ íluye en dirección perpendicular a cW. El cilindro mismo se comporta como un gran üpclo uragnético resultante de la superposición de todos los dipolos indi.;iduales. Si S es el área de la sección transversal del cilindro y I su longitud, su volunren es IS, y por consiguiente su momento dipolar magnético total es9/C(/,S): (.''¡?(-i)S. Pero S es precisamente el área de la sección transversal del circuito fornado por la corriente superficial. Como momento dipolar magnético : corriente rnultiplicada por área, concluimos que la corriente total de magnetización que ¿parece sobre ia superficie del cilindro es()lU y en consecuencia la corriente por unidad de longitud /fl sobre la superlicie del cilindro magnetizado es ?tr, ó Ix :cl/(. Aunque este resultado se ha obtenido para una disposición geométrica particular, es de validez general. De este modo podemos decir que la corrienle por unídad de longitud sobre la superfícíede una porcíón de mqtería magnelizadaes ígual a la componenledel uectot magnetización cll(. paralela aI plano langente a la superfície del cuerpo, g tiene dírección perpendicular a (ll(.

76,76

Carnpo mrynetieante

En la secciónprecedentevimos que una sustanciamagnetizadatiene ciertas corrientessobresu superficie(¡r dentro de ella si la magnetizaciónno es uniforme). Estas corrientesde magnetización,sin embargo,están "congeladas"en el sentido de que se deben a electronesligados a átomos o moléculasdeterminadasy no son ljbres de moversea través de la sustancia.Por otra parte, en algunas sustanciastales como los metales,hay cargaseléctricascapacesde moversea través de la sustancia.Llamaremoscorriente tibrea la corrienteeléctricadebida a estas

Figuro 16-46

Ftgurr 16.46


626

(16.16

Campos eledromagnélítose-ctalbr¡s

cargas libres. Eln muchos caso$ lcr rielcsita iii-*r:q{';!r er¡riicitanrente entre coi',irnc irlr€Inos en esta seccii)il. rrientes iilrres v corrie¡rtes .)t mli¿1n*'tizi¡¡:irill. ¡'rin ro!ocada en ei intedc nut:r'c ltl: plrcilrr rjlínili!t:t tir: ¡-::a1 Consiilers:l'¡ros ri o r d e u rr s rrl e ¡ro i (llea r,qc ¡ci el :i i te,' i rri tl u l l ri ¡ r,.¡i ri er' ,te.f 1fi 9. l rj -4ó). l )sta corr-ienteproilucreur! caürpc irirÉi;r'i;co qurt:r;rtrqli'ii¿a ':i .:iliniirc y da lugar a soi,:'r i;¡ s:i'-i¡rJiciedcl r¡¡isrnoen igiiai sentido una rürrienie de rnagnet.lzali¡.'r¡ r:olric¡lte ¡¡:,i,'¡¡r""!,1¡i:i¡ili supcrfir:i:i1 ¡i¡¡ urtitlatl Ce lr¡ngitud es igrral gue i. L.a irt.r:¡ t]/i. esi,'i¡'1):J::,rl|+n:Jitud, s;:ie¡roi¡le rnr{ja¡i d" ci sisl.emaso}erlrride tiene n el Sjr ir gr:lenrtirli: t1.,. irluj'-¡rlri-:te i" r:l qr.retranstori.a so}r¡ *i rntg!:t:+iz;ld{i cilinciio ti¡á: +-'llí. psr rl iorgit';C iqulii z Ii¡l¿ corriente srlenoidai cír¡l'icnte dt, uliilad una ef¿ct,ivaria irrga"rü un frmcn ¡¡1:;¡¡;¡;11.i;1;;eql¡it¡i¡rte 7J paralelo al eje del cilirdro, ron nl rtenip}azari
':tii :. nI"

por unidail de longitud" lrsl"a e;*prcsi('nda ias c
N : ]-'N -: t l(.

(16.83)

l¿o

Se expresa en A m-r o m-¡ s-l C, que son las unidades de los dos términos que aparecen en el segundo miembro. En nuestro ejemplo particular, tenemos )t : nI, que relaciona 91 con la corriente libre o de conducción por unidad de longitud del solenoide,Cuando consideramos una longitud P0 : L a lo largo de Ia superficie, tenemos entonces }tL : lnl

:- lri¡.e,

(16.8,1)

donde /¡1¡.. : I-nI es la corric::te lil:ie totai del soient-¡i'lecorrespondientea la lcni:ituri J," i-aiculanrjriIa circulac;rn de ':|f alrtderJorriel rectáirguloPQI?S"trnen i ü s q ' (e .\j : :,:/{ .L , y a q u e-} es cexr fi :er:r,-.1e} scl r;i oi ¡i t{ /}f i i (l os¡;n)vl osi ndos ja circi,ri¡¡tión, no cr.intrii:uyen a SP Iloiqile sr;n perpendicularesal campo Qn -v magnético. De este modo la ec. (lti.48) puede t'scriiiir-seen la forma r\¡c:1¡1¡.*, donde fu¡," es ia coniente libre total a través cltl rectángrrloPQRS. Este resultadn tiene validez más general d,-rlo que nr-iestro:.¡nálisis simplificado puede sugerir. E¡r eiecto, puede verificflrse que la cí.rculación'J-eI campa mognelízantea lo largo líbrt lt¡fala íreuésde Ia lragectoric.Esto es, de una llneu cerradaes ittuale la corrí¿.nte .\:* = = ü

.| f . :j / :

,rI

/¡,¡,

iir ' tl l i ::l

t- ;:l j

Itlr :!i '{.

r"lI

(16.85)

",

r :i i :1¡ i l r l . i .tr

i ';i C ,'

'


. .¡ ¡ ' ' : ; r . l , , l t , ! ¡ i , l r i i : i : : l l g a s lii:,.; , i',.::'rrr:xt:lr;yenflc Laq Co-

16.16)

Campo magnelizanle

627

rrientes debidasa la magnetrzaciónde la materia.'Por ejemplo, si la trayectoria f(ng. 16-46) enlaza a los circuitos 1r, /, y a un cuerpo con magnetización 9ll, debernos incluir en la cc. (16.85) s
13:vo(N+' llc ).

(16.86)

{lotiro la magnetizacion :ll( del cuerpo está fÍsicamente relacionadacon la resulta n tc d e i c a mp o n ra g n c ti co l .l , podri arnosi ntrocl uci rrrnarel aci (l nentre,)/l y' )l s i n ;i l rrra l ¿ rre i a c i ó n ,c n e l caso el éctri co,entre I y t, dada en l a ec. (16.10)"S i n irilltrar{Jo,por razonr'shistÓricasse acostulrbra a proceder de rnanera diferente, ',' rei¡cionar, en su lugar, ?/l y 7, escribiendo

'ltl : t-lt.

(16.87)

l.a cantidad xrn se llama susceptíbílidadmagnéticadel nraterial, y es un número puro independiente de las unidades escogidaspara ffi y .X. Sustituyendo la ec. (16.87) en Ia ec. (16.86),podemos escribir

'lJ : rro(Q(* x'"cY): ¡,0(1+ xñV : v2L

(16.88)

donde

v :,)Jll{:

_f m) r,o(1

(16.8e)

se llama la permeabílidaddel medio y se expresa en las mismas unidades llue tro, es decir, en m kg-z C. La permeabilidad relativa se define por

(16.e0)

i¡ ¡ : t ¡ / po: 1* Xm ,

y es un número puro independientedel sistema de unidades. Cuando vale la relación ,11 : vcY podemosescribir, en lugar de la ec. (16.85),

r1

-' l ' ' d l $ UL V

-

/ti ¡" " '

Si el medio es homogéneo,de modo que {¡ es constante, la circulación del campo magnético es

nn:

f ,lJ.dI:

p/¡b,e.

(16.e1)

E,steresultado es simiiar a la ley de Ampére, ec. (16.67), pero con la corriente t+tal reemplazada por la corriente libre y p en lugar de po. Podenros entonces ronciuir que el efecto de la materia magnetizada sobre el campo magnético ?J ,'s reLrmplazaf,;.. rror ¡r. Por ejemplo, el campo magnético de una corriente rec¡E-.


rc.tn

Cálculo d.e la suscepiibilídad magnélíea

629

aunque en muchas de ellas n se observa a causaadd efecto paramagnético que s¿ describe más adelante. La magnetización resultante está dada por

)ft: -{# (4 r) ,*,

(16.e3)

donde 9{ es el campo magnetizante en la sustancia, n es el número de átomos por unidad de volumen y ri es la distancia del electrón f-esimo al núcleo de un átomo. La suma se extiende a todos los electrones del átomo y el valor meüo debe calcularse de acuerdo a las prescripciones de la mecánica cuántica. Las otras cantidades tienen el significado usual. EI signo menos se debe al hecho de que cll( es opuesto a ?f. Entonces, conforme a Ia ec. (16.87), la susceptibiüdad magnética es

kn-*E#(tr)

(16.e4)

y, como es negativa, la permeabilidad relativs [¿r : 1 * x- es menor que uno. Si introducimos el valor conocido de las constantes, suponemos que n es aproximadamente 104 átomos por ms en un sólido y estimamos que ri es cerca de 10-10m (que es el orden de magnitud de la órbita electrónica), entonces tenemos que xm es del orden de magnitud de 10-5 para los sólidos, de conformidad con los valores que aparecen en la tabla 16-3. El resultado (16.94) es el equivalente magnético de la susceptibilidad eléct¡ica estacionaria, dada por la ec. (16.22). (b) Electo de oríentación. A continuación veamos el efecto de orientación. Como se indicó en el ejemplo 15.6, un átomo o molécula puede tener un momento dipolar magnético permanente, asociado al momentum angular de sus electrones. En este caso la presencia de un campo magnético externo produce un torque que tiende a alinear todos los dipolos magnéticos según el campo magnético, co¡r Io cual resulta una magnetización adicional llamada paramagnetisrno. El magnetismo adquirido por una sustancia paramagnética tiene, por consiguiente, la misma dirección del campo magnético. Este efecto es mucho más intenso que el diamagnetismo y, en el caso de sustancias paramagnéticas, los efectos diamagnéticos están complet¿mente compensados por los efectos paramagnéticos. La susceptibílidadparamagnélica de los gases está dada, aproximadamente, por una expresión similar a la ec. (16.26) para la susceptibilidad eléctrica debida a las moléculas polares,

xm:

nmiw zkr '

(16.e5)

donde mo es el mome¡tto magnético perrnanente atómico o molecular, I es la temperatura absoluta de la sustancia y k es la constante de Boltzmann. Como en el casc eiéctrico, ¡- disminuye si la temperatura de la sustancia aumenta. Esta depen

628

¿sfdltr:;s Campos electromagnéfícos

{16.17

tilinea 1 dentro de un medio magnetizati'u¿S P' I

' t! t¡ :_ 7 _

en lugar del valor d;:

16.77

(16.92) por la ec. (15.41).

Có,IcuIo d,e Ia susceptibilidad

magnéticü

Como la susceptibilidad magnética ¡". anáiogamente a la susceptibilidad eléctrica x.¿,expresa la respuesta de un medio al campo magnético externo, está relacionada con las propiedades de los átomos y moléculas del medio. En el fenómeno de la magnetización de la materia por un campo magnético externo del movimiento electrónico debida al entran dos efectos. Uno es una ¿rsfor.si¿in efeclo El otro es ut de rnagnético. orientación cuando el átomo o molécula campo tiene un momento magnético permanente. Ambos efectos contribuyen al valor de z- y serán discutidos separadamente. (a) Efecto de distorsíón Sabemos que un campo magnético ejerce una fuerza sobre una carga en movimiento. Por consiguiente, si se aplica un campo magnético a una sustancia, los electronesque se mueven en los átornos o moléculas están sujetos a una Iuerza adicional debido al campo rnagnéticoaplicado. Esto ocasiona una perturbación del movimiento electrónico. Si fuéramos a evaluar esta perturbación de un modo preciso, tendríamos que usar ios métodos de la mecánica cuántica. Por lo tanto nos lirnita¡emos a establecer los principales resultados, haciendo una ilustración simplificada en el ejemplo 16.21. El electo de urr campo maguético sobre el movimiento elect¡ónicoen un átomo es equivalente a una cordente adicjonai inducida en el átomo. Esta corriente esta orientada en un sentido tal que el momento dipolar magnético, a ella asociado, tiene sentido opuesto al del campo magnético. Como este efecto es independiente de la orientación dei átomo y es el mismo para todos los átomos, conciuimos que la suslancía ha odquirido una magnetizución7f( opuesta aI campo magnélico,resultadoque contrasta con el encontradoen el casodel campo eléctrico. Este cornpcrtamiento, llarnado diamagnelísmo,es común a todas las sustancias, TABLA 16-g Suseeptibilldadmagnético a tempereiura emiriente Sustancias paramagnéticas tt

nitrógeno (1 atm) s odio cobre bismuto diamante m er c ur i¡

--F,

n

---¿)"

-1,0

v

i 0-e x i 0-6 x 1i i -5 ! fl-6

1i¡-é 1 0-5


10-'6 l0-s 2,3 /. 10-ó rlR 10-5 7,1 x L0-5 !n ¡ i0-* ?R 1ü-3 l.)

(i30

Cani¡¡tls elet:irlinaq¡¡ifi¡'os es/iJlc¡;s

{tri " t 7

Ahora bie¡r, ilr.i ¡esi:JtaCri
."l I

L i i 'l

Fig. 16- . 1?. Dom inios r n a g n é t . l : o s . ( a ) S u s t a n c i a s n o m a g n e i i z a d a s , ( b ) m a g n e t i z ac iór t por c r ec im ient o de d o r n i n i o s , 1 c ) m a g n e t i z a c i ó n p o r o i i e n t a c i ó n d e d o m i n i o s.

resultantlo una oririntación de lo,sespinesclectrónicosen regiones microscópicas llamadas tlominíos (figs. 16.,17ar' 16-48a), cuyas riimensionesson del orden dc 10-8 'r 10-12m3 y que co¡rlienende 104 a 1017átomos. La dirección de magnetización de un dominio depende de la estructura cristalina de la sustancia. Por ejernplo en el hierro, cr¡yos c¡istales tienen est¡uctura cúbica, las direccionesde fácil magnetización están a lo largri de los tres ejes del cubo. En una porción de materia los dominios mismos puedcn estar orientadosen diferentesdirecciones, d a n d c ru n e fe c to n e to , o macroscópi co,que r)uedeser nul o o despreci abl e.E n p re s e n c i ad e u n c a mp o magnéti coeai e¡' no,l r¡si l omi ni osexperi mentandos efecto s: a q u rl l c r i ' i o rri n i c s o ri r-' nl aC ,rl i ¡r,' rl Ll el :r..1t.1.a c(ri i r..' sl -recto al campü magl i étj co c fi tc (i rli t i ' ' .1 )€ l l s arl s e l ¡;s ri l j i tntarl l : frl l ri to:ii ' tr' ¡l ral ,i c¡t¡r:ntr (fi g. ' lfl -17b)I 3 rnei i ri :r t¡rr,-:i ¿ i i ri te n s i d :¡,irl ,;i i ti i i ,¡;r;ri r¡tgi i i :ti r' i..-; :rtrti ;tq :11:r:,t Iti , l l ;n:rg" i :cti zaciól


f .$.17)

Cálculo de la suscepiibíIídadmagnélícd

631

tietide a alinearse c:r l¿¡ dirección slel.campo {lig. i6-47c)i y la d¿ 1a::doy¡:irrjr¡s dc nrs!.er.ia 5t convierÍ-i-r en rili ¡n¡in. El ferrirnagnetismo i:rr ilna frro¡;Orción q1-¡r la dcpendc de t¿¡:ri.i'.:iura, y para cada sultancia {erronagntitic:r ¡:ied:r-'-i rina trmpt'ratura, li¿¡i¡l:¡l!i;íentl¡trtit:¡'tttle Cp.ríe,pot encima tle i¡r cr¡al la ,:,r*ist(r :ustariíi¡ sq:liRce p:r.ranragnét¡ca, llste fe¡rónir::¡ooilurre cu¡ntli-, tl ;¡¡ovirniento iér'¡nicr",es suiicientrrnente grande panl venr:e¡ las fuerzas de alineación, Las ;i¡:;iai¡tia: qlie son fcrromagnélicasa lenrperatura ambiente scn: hierro, niquel, c ü b a l i .r)v g a i l o l i n i a . S u s te mp craturasde C uri e son 770" C ,365" C ,1075" Cy 15' C , r€spectiv¿mente. Si¡r trmtrargo,es posil,l¿ tambien que para algunas sustanciasJ sea negativa. Xiitcnces, ei eauilibric se obtiene si los espines electrónico$ son antiparaielos"

+t .e1 {rl0ri 0 0 0 0 9 ? i i i ttl F e r r o r n a g n e tismo

I'ig. 16-48. Orientación de ios momentos dipolares magnéticos cie va¡ias sustancias.

,,,,+ f f ++i +t A nti f erromagneti smo

, . , )ó ¡

ll

é

l?

¿

¿

'

I

r

l' ? ? ?

Ferri rnagneti s mo

resultando una rnagnetizaci,6n neta nula (fig. 16-a8b)" En este caso la sustancia se ilarna antiferromognética. Algunas sustancias antiferromagnéticas son MnO, FeO, CoO y NiO" Otro tipo de magnetización es el llamado ferrímagnetismo. Es similar al antiferromagnetismo, pero los momentos nragnéticos atómicos o iónicos orie¡rtados en un sentido son diferentes de los orientados en sentido opuesto, resultando una magnetización neta (fig. 16-48c). Estas sustancias son llamadas ferritas, y se representan generalmente por la fórmula quimica MOFerOr, donde M representa Mn, Co, Ni, Cu, Mg, Zt, Cd, etc.¡ )bsérvese que si lf es Fe resulta el compuesto F%On, o magnetita. EJI:Mi,LO 76,27. Calcular el momento magnético atómico inducido por un campo rnagnético externo. Soluaión: Hcmos indicado que un campo magnético externo produce en un átomo ¡i¡r momento magnético en la dirección opuesta al campo. Esto se puede justificar por medio de un modelo mu¡¡ simple. Considerernos un electrón cuya carga es -e, moviértdose alrededor dc un nr'rcleo N, en una órbita que por simplicidad suponclremt¡scircuiar, de radio p y en el plano X 1'. Si oo es la velocidad angular del electrón ¡: F ia fuerza sobre el mismo debida al núclco, la ecuación de movimiento del electrón es entonces mecofP:

¡'

Si ahora se aplica un campo magnético )l según tl eje Z (esto es, perpendicular al plano rie la órbita), se ejerce sobrc el electrón una fuerza adicional F' : ---ez:x 11. ll:¡ta fuerza estará en la misma Cirección que ¡' o en la opuesta, dependiendo de la irierrtaciót; rclativa de oo y )1, ccmo se iniiica en la fig. 16.49. Como la fuerza radial co br e el eiec t . r ónv ar í r r , 1a f r ec ue n c i i r a n g u l a r ( s u p o n i e n d o q u e e l r a d i o ¡ i 'e r m a n e z c a


632

Camposeleclronagnéticos estálícas

(16.17

iI

(a)

(b)

F tS. te-+9.

Il xpl i caci ór

dei di arnagneti smo.

r:cnst;rnle) tambiétr ver[a, y se hace igu*l a t¡, La ecuación de movirniento del electrórr .;s ahora usando e : @py el liecho de que ei tnóduio de F' es etft1, m ec ot p: F: ! e o p . ) ? , rionde se tonla ei signo ¡¡{s para cl casc, (a) de la fig. (1€-49) y el menos para eI caso (t¡). Restando ambas ecttaciones de nrovimieltto para elirninar F, encontramos ¡n (
ü¡3)p=

+eo']'j

ó

m.(o +- óo) (r,: _. o¡o) :

Ahora bien, el carnbio de frecuenci&, A
¡e'B

ó

A¿o :

+e¡'l%.

pequeño y podemos

-: - =l-¡¡, 2mu

de modo que el cambio Ce fr,,cuencia es igual a Ia frecuencia de Larmor fJ¿, eue definimos en el ejelnplo 1ó.?. El signo más, que ccgesponde al caso (a), significa lin aumento de loo, y Ar.,uestá ellto]1ce$ dirigido bacia la derecha, El signo menos, q¡.¡ecorresPonde al casi (b), significa una disminución de filo, y Aro está entonce$ tambiér¡ diri¿ida iracia ia Ce¡ech¡. i)e mcd,c que en arnbcs casos podemos escribir ia relació¡r vectorial

Aot : d- 6. 2a. El cambio en la frecuencia del rnovimieril.o electrénico protluce una comiente neta y por c':nsiguiente, usanCo la Cefinición (15.19), un monlento magnético -e(Lul?rl m .= - -r( 4o_r_\(no,) : i. 9 r / '

_

t'?'_ n 4ru

Por lo tanto ei momento magnético del átomo está dirigido en sentido op¿esto al campo magtrético D, y la sustancia co¡1o un todo adquirirá una magnetización opuesla al carnpo magnótico aplicado, Ctimo nilestros cá.lculos han sido muy simpliflcados, -si queremos obtener un resultado más general debemos tor¡ar en consideración la rlistribución al azar en ei espacic de las órt¡itas eiectrónicas y analizar en detalie la naturaleza del campo nragnéiico local B que aciúa sobre el electrón. En cualquler caso, nuestrcs cálculos fundamentalmente coinciden con el resujtado señalado en la ec. (16.98).


Bibiiogruf{a 16.78

Resunnen

d,e Las leyes de los carnpos

6JS

est6tieos

En este capítulo herrros discutido los campos eléctrico y magnétic¡r estáticos como dos entidades sepal'adas,sin relación alguna entre ellas, excepto que las irientes del campo eiéctrico son las cargas electricas y las del campo magnético son l¡ls corrientes eléctricas. En consecuenciáh:mos obtenido dos conjuntos de eruaciones separadas,las cuales aparecen en la tabla 16-4 en arnbas forrnas, integral y düerencial. Estas ecuacionesperrniten calcular el campo eléctrico d ',. el campo magnéticc .)3 si se conocen las cargasy las corrientes, y recÍprocamente. De este modo parece corno si los campos eléctrico y magnético se pudieran considerar como dos campos independientes. Sabemos, sin embargo, que esto no es cierto, ya gue en el capítulo 15 hemos deducido reglas que relacionan los campos eiéctrico y magnético, tal comc los miden dos observadores en movimiento relativn uniforme, usando la transformación de Lorentz, y notamos que c y ?3 están intimamente rclacionados.De este rnodo podernos esperar que en los casos que ,-iel..encien del tiempo las ecuacionesprecedentesrequerirán algunas modilicaciones. Aprender cómo hacer estas modificaciones es la tarea del próximo capítulo, donde cbtend¡emos un lruevo conjunto de ecuacionesbasadas en evidencias experimentales y que son extensiones de las ecuacionesprecedentes. IABLA 16-4 Ecuacionesdel campo olectromagnétlcoe¡t¡oionrrlo Forma integral

Forrna diferencial

Ley de Gauss para el campo eléctrico IE c s . (1 6 .3 ) y (1 6 .5 )l

f r.""nr*

divé

Ley de Gausspara el campo magnético IE c s . (1 6 .8 1 )y (1 6 .8 2)l

ó ?9.¡¡,vdS : 0

div ']l :

Circulación del campo eléctrico. [ €c s . ( 16. 62) y ( 16. 79 ) ]

.ar: o $re

rot C:0

Circulación del campo magnético ( Ley de Am pér e) [ Ec s . ( 1 6 , 6 7 ) y ( 1 6 . 7 8 ¡ ]

$;t.at:

Ley I.

JS

*or

rot ?J :

P €o

0

pJ

Bibliografla 1. "Nonuniform Electric F'ields", H. Pohl, Scí. Am., diciembre 1960, pág" 106 2. "Equipment for the Determination of Magnetic Susceptibilities",J. A. McMillan, A m " i " P h ¡1 s2. 7 ,3 5 2 (1 959) "Resource Letter FC-i cn the Evolution oI the ElectromagneticField Concept", -3, W . Sc o tt, Am. J . P h g s . B l ,819 (1963) .[. F-outidationsol ElectromagneticTheorg, J. R. Reitz y F. J. Milford" AddisonWesley, ReadÍng, Mass., 1960


634

Campos eleclromagnéticosestáIícos

5" The Fegnman Lecture.son Phgsics,vol. II, R. Fe-vnman,R. Leighton y M. L. Sands.Addison-Wesley,Reading, Mass., 1963, caps. 2, 3, l0 a L4, y 34 a 37 6. SourceBook in Physics, W. F. Magie. Ha¡vard University Press, Cambridge, M a s s .,1 9 6 3 , p á g . 4 3 1 (vol ta); pá9.446 (A mpére); pá9. 465 (Ohm); pá9. 519 (Gauss)

Problernas 16.1 Una esfera de radio Rr tiene una cavidaci central de radio l?s, Una ca¡ga q está unif ormentente distribuida etr su volumen. (a) Ilallar el campc' eléctrico y el potencial en puntos fuera de la esfrlra, en el intcrior de la esfera y en la cavidad central. (b) Hacer los gráficos del caurpo y del potencial eléctricos en función de la distancia al centro.

eléctrico es (a) uniforme, (b) varia según C:Cc.

16.2 l.lna esfera conductora de radio It tien¿ una t;avidad cential de radio Rr. U¡r el eentro de la cavidad hay urra earg^ q, (a) Entontrar la carga sobre las supcrficies itrterna y externa del conductor" (b) Calcuiar el campo y el potencial eléctricos en puntos fuera de la esfera, en el inte¡ior de la esfera y en ia cavidad. (c) Hacer los gráflcos del campo y del potencial en funcién de la distancia al centro. f.Sugerencia: Recordar que el campo en el i¡rterior de un c onduc t or es nulo. l

16.S Dos esferas c'.rnductoras de radios 0,10 cm y 0,15 cm tienen cargas de 10-? C y 2x 70-?C, respectivamente. Se ponen en contacto y luego se separan. Calcular la carga de cada esfera.

16. 3 El elec t r ón en un át o m o d e h i d r ó geno se puecle suponer "disperso" en todo el volumen atómico con una densidatl p : Ce-2r¡do,donde cro : 0,53 x 10.-10m. (a) Hallar la constante l, cle (b) morio que la carga total sea -r. Determinar la carga total dentro de una esfera de radio cio, que corresponde al radio de la órbita del electrón. {c) Obtener el campo eléctrico en funcir'¡n de r. (d) ¿A qué distancia el campo eléctrlco difiere de -e/Areorz en 1o,'o7[Suaerencia: Para la parte (a), dividir cl espacio en capas esféricas, cada una de volumen 4rr2dr.l 16.4 Co¡rsiderar la superficie cúbica cerrarla de lado ú que se muestra en la fig. 16-50. tista superficie está cokrcada en una región donde hay un campo eléc t r ic o par a! elo al eje. K . H a l l a r e l flujo eléctrico a través de la superlicic y la carga total en su interior si el carrrpo

16.5 Hallar el flujo eléctrico y la carga total en el interior dei cubo de lado a (fig. 16-50) si éste está colocado en una región donde el campo eléctrico es (a) f : ü¿crzt (b) f : c(v"E {usr). Hallar también, en cada caso, la densidad de carga"

x

Fieur¡

16.60

16.7 Una esfera metálica de radio tr m l-icne r¡na carga eléctrica neta de 10-'eC. Se co¡recta mediante un alambre contluctor a una esiera de radio 0,30 cm inicialmente descargada (muy lejos de la esfera mayor) de ¡nodo que ambas tienen eI mismo potencial. (a) ¿Ctrál será la carga de equilibrio en cada esfera después de hacer la conexión? (b) ¿Cuál es la energla de la esfera cargada antes de hacer ia conexión? (c) ¿Cuál es la energfa del sistema después de unir las esferas? S: hay alguna pérdida, explicar dónde se encuentra esa encrgla perdida. (d) Mostrar que la carga se distribuye en ias esferasde radios Rr y R, unidas eléctrica-


Problemqs

635

Cs

Ilgure 16-61 mente de modo ![ue cr/c, : Rr/Rz, donde o es la densidad superficial de carga eléctrica. (e) Demostrar, entonces, que el valor del campo eléctrico en la superñcie de cada esfera es tal que Cr, ruptrficie/ : Rr/ Rr. Para resolver este C2,mperricie problema, ignorar el efecto del alambre. 16.8 Se coloca una carga q a una distancia a de un plano conductor inflnito mantenido a potencial cero. Se puede dernostrar que el campo eléctrico resultante en un punto situado frente al plano e$ el mismo que el que se obtiene al reemplazar el plano por una carga elécLi'ica negativa -q situado a una dis'rarrcia --a (ver la fig. 16-51). Esta segunda carga se llama imagen de la primera. (a) Demostrar que el potencial del plano es cero y que el campo es perpr:ndicular al prl¿no. (b) Probar que la densitlad de carga sobre el plano es qalÉ. (c) Verilicar que la carga total sobre cl plairc es igual a -9. 16.9 Se coloca una esfera conductora de radio c en un campo eléctrico unilorme Cocomo se muestra en la fig. 16-52. Como la esfera debe estar a un potencial constante, le asignaremos eI valor cero. El campo eléctrico actuando sobre las cargas libres de la esfera hace que éstas se muevan hacia la superlicie hasta que el campo eléctrico en su interior es nulo., La esfera se polariza distorsionando el campo eléetrico a su alrededor, aunque a grandes distancias el campo permanece esencialmente uniforme. Puede demostrarse que la solución de la ecuación de Laplace para el potencial eléctrico que satisface las condiciones de este p r oblem aes V: 0 (l-azl¡a). - C¡ c os

Dirección dei campo eléctrico aplicado

Flgurr 16-62

(a) Verificar que eI potencial de la esfera es cero- (b) Demostrar que a distancias muy grandes el potencial correspone al de un campo uniforme. (c) Notar que el potencial V es la suma del potencial correspondiente a un campo unlfor¡ne y el correspondiente a un dipolo eléctrico. Otrtener el momento dipolar eléctrico de la esfera. (d) Obtener las componentes radial y transversal del campo eléctrico. (e) Verificar que el campu eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular al mismo. (f) Hacer el gráfico de las lineas de fuerza del campo eléctrico resultante. (g) Haliar Ia densidad superficial de carga. Discutir su variación sobre la superficie de Ia esfera. (h) Verifiear que la carga total sobre la esfera es cero. (i) Mostrar que el campo eléctrico en el centro de la esfera producido por la carga superficial es -Co. Lo ¡nisllo ocurre para cualquier punto interior de la esfera. ¿,Era de esperarse este resultado? 16.10 Como resultado de las ecs.(16.16) y (16.17), puede probarse que en la superficie de separación de dos dieléctricos, la componente tangencial del campo eléctrico y la componente normal del desplazamiento eléctrico son continuas es decir que tienen el mismo valor a ambos lados de la superficie. (La segunda proposición vale sólo si la superficie está descargada). Mostrar entonces que los ángulos que las lfneas de fuerza forman con la normal a la superflcie satisfacen Ia relación tg 9Jtg Az: €Jez. 16.11 La permitividad del diamante es 1,46 x 10-10C2 m-2 N-1. (a) ¿Cuál es la constante dieléctrica del diamante? (b)

L-


636

Campos eleclromagnélícosestdlicts

Tl

*_,1

''T -'r¿I

c2 I

I

*---

Figura 16-ü6 ('1

(.lt

cr

:tff,T-

"li.]"ai_I_

Flgura 16"68 C2

{" r-"JFr L Jil I__* tl HT c2

FiEur¡ 16-ó6

Flgurr 16-6?

Flgura l0-64 ¿Cuái es la susceptibilidad dia¡na.ntr?

eléctrica dei

16.12 El statlarud es la ur¡idad de capacitancia que se deñne como la capacitancia de un conductor que adquiere el potencial de un estatvoltio cuando se carga con un statcoulornb. Probar gue rin statiar*rl e-qigual a 9 x 101¡F, Otras uniclades útiles son ei nricraiarad (pF), igue! a 10-s ir. v el picofarad (¡.iF). tgual c. JO-te F. que i *. e n e ¡ g i a e l ó r 16. 13 llc l: os t iar i"rica de un {r}¡rii..,lci.rraislad,¡ .'3 i CV:. Probar '!ambii:rl r¡ue el rnismo rq:'¡lt-:rdr: es váliiio paia ur-i rapacitor de pieca; ¡rlanas y parelel:s v, en general, para cualquier clrpacltor. 16.14 Lin capacitol gue ccnsta de dos piat:as paralelas rnu.y derca uria de otra tiene en el ¡¡ire una capacitancia de 1000 pli. La carga scbre ca
16.15 Se desea construi¡ un capacitor intercalando una hoja de papel de 0,004 cm de espesor entre hojas de estaño. Ill papel tiene una constante dieléctrica relativa de 2,8 y conducirá la electricidad si está en un campo eléctrico de intensidad 5 x 10? V m-t (o mayor). Esto es, l,a lensil¡¡t de ruptura del papel es 50 IIV m-1. (a) Determina¡ el área de placa que se necesita para que un capacitor de cste tipo tenga una capacitancia de 0.3 ¡rl.'. (b) ¡Cuál es el potenci¡.i r-rá:¡i¡n¡.¡íJue se puede aplicar si el canrlr eléctiirc en ei paliel no riebe cxceder ia rnitad dt-: la l"errsión cie rupt.t¡¡a? i6.iti Se dese¿rconstíuir un capauitor ie piacas paraicias ¡¡sando goma com(i dieláctrico. Esla goma tiene una constante dieiéctrica de 3 y una tensión de ruptura de 20 MV m-1. El capacitor tlebe tener una capacitancia de 0,15 ¡rF y debe sc,portar una diferencia de potencial rnáxima rle 6000 V. ¿Cuál cs ei área mlnima que ileben tener las placas del capacitor? 16.17 L.a *apacilancia de trn capacitor variable de radio se puede variar entre 50 i,i. y i}50 pF girando ¿i dial tie 0o a 1800. ílon el dial en 180';. se conecta


Problemas el capacitor a una baterfa de 400 V. Una vez cargado, el capacitor se desconecta de la batería y se lleva eI dial a 0o. (a) ¿Cuál es la carga dei capacitor? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial en el capacitor cuando el dial marca 0o? (c) ¿Cuál es la energfa del capacitor en esta posición? (d) Despreciando el roce, determinar la cantidad de trabajo necesario para girar el dial. 16.18 Se carga un capacitor de 20-¡rF a una diferencia de potencial de,1000 V. Luego se conectan los terminales del capacitor cargado a los de un eapacitor Cescargadode 5-¡rF. Calcular (a) Ia carga original en el sistema, (b) la diferencia de potencial final en cada capacitor, (c) la energla final del sistema, (d) la disminución de energfa cuando se conectan los capacitores. 16.19 (a) Demostrar gue la capacitancia de un capacitor esférico de radios o y D es 1,1.1 x 10-10e,abl(a - b). (b) Demostrar que la capacitancia de un capacitor clltndrico de longitud I y radios a y b es 1,X1 x 10-18e,l/2 \n (bla). 16.20 Un cierto capacitor está hecho de 25 hojas delgadas de metal, cada un¿t de 6G0 cmz de área. separadas entre si curr papel parafinado (permitividad relativa igual 2,6). Flailar la capacitancia del sistema. J6.?1 Tres capacitores de 1,5 ¡rF, 2 ¡rF y 3 pF se conectan (1) en serie, (2) en paralelo y se ies aplica una dilerencia tie potencial de 20 V, Determinar en catia t;aso (a) la capacitancia del sistema, (b) la cerga y la diferencia de potencial de cada capacitor, (c) la energia del sistema. 16.22 Determinar la capacitancia de la disposición de capacitores que se ilustra en la fig. 16-53. Si el voltaje aplicado es de 120 V, hallar la carga y la diferencia de potencial en cada capacitor asi como la energla del sistema. 16.23 En la disposición de capacitores d e la f ig. 16- 54. Cr : 3 FF, C z : 2 v F Y Ct : 4 ¡rF. Iil voltaje aplicado entre ios puntos c y D es 300 V. Hallar (a) ia carga y la dilerencia de potencial de cada capacitor, (b) la energia del sistema. Usar dos métodos dif erentes para el cálculo de (b).

637

16.24 Dada la combinación de capacitores que se muéstra en la fig. 16-55, probar que la relación entre C, y C, debe ser Cz : 0,618 C, para que la capacitancia del sistema sea igual a C". 16.25 Usando el resultado del problema anterior, mostrar que la capacitancia del sistema de la fig. 16-55 es 0,618 Cr. fSugereneía: Observar que, si el sistema se corta según la lfnea de trazos, la sección de la derecha sigue siendo igual al sistema original porque éste se comPQne de un número infinito de capacitores.] 16.26 Un trozo de dieléctrico se introduce parcialmente entre las dos placas de un capacitor de placas paralelas. como se muestra en la fig. 16-57. Calcular, en función de c, (a) la capacitancia del sistema, (b) la energfa del sistema y (c) Ia fuerza sobre el trozo. Suponer que el potencial aplicado al capacitor es constante. ISugerencia: Se puede considerar el sistema como dos capacitores en paralelo.l 16.27 Las placas paralelas de un capacitor en el vaclo tienen cargas *Q y -Qr. y la distancia entre las mismas es Las placas se desconectan de la fuente de voltaje que las carga y se apartan

l-

Y ,-----z i ,/ ,/ /---

---4

.//l

.//

1. Flcur¡ 16-68

una pequeña distancia fu. (a) ¿CuáI es la variación dC en la capacitanciadel capacitor? (b) ¿Cuáles la variación d.Esen su energfa? (c) Igualar el trabajo F dr al incremento de energia dEe y hallar la fuerza de atracción F entre las placas. (d) Explicar por qué F no es igu4l a Q<' siendo C la intensidad de campo eléctrico entre las placas. Rehacer el problema para el casoen que V se mantiene constante. 16.28 Un electrómefro, cuyo diagrama se muestra en la fig. 16-58,se usa para determinardiferenciasde potencial.Con-


638

Camposelectromagnétícos estalícos

siste en una balanza cuyo platiDo izquierdo es un disco de área S colocado a una distancia a de un plano horizontal. formando asl un capacitor. Cuando se aplica una diferencia de potencial entre el dis c o y el plano, s e pr o , l u c e u n a f u e r z a hacia abajo sobre el disco. Para restaurar el equilibrio de la balanza, se coloca una lnasa m sobre el otro platillo. Der ¡ os t r ar quc l' : a{ Zin!
en función de un capacitor patrón y del cociente entre dos capacitancias. 16.30 En un medio ionizado (tal como un gas o un electrolito) hay iones posi_ tivos y negativos. Demostrar que si cada ion llcva una carga + ye la densidad de corriente esJ : pe(n+o+ - n--u_), {onde n.¡ y n- son el número cle iones de cada clase por unitlad de volumen. i0.31 Se ha estimado que el cobre tiene t e i c a d e 1 0 z ec l e c t r o n e s l i b r e s p o r m e t r o ¡ - : u b i c o ,L i s ¡ n d c e l v ¿ r l o r d e l a c o r r d u c t i viiind del ¡obre dado en Ia tabia 16-2. c . i l l n : t Í e l t i r 'r r l ¡ , o t i r , r e l a j r l n i e r r I o f ¡ a r a '¡ i l c i r ( 't r ó n r J t l r o i r r c . 16-29 f-u;rtrc c:ilia<.ikrresesl áii rlispues16.3J La corricnle i:n un coneltictor t os c onlo s e t nues t r a c n l a f i g . i 6 - ¡ 9 . e s i á C a d a p o r 1 =. 4 + z t t , d o n d e e s t á -I ie apir , , a t ilr a, liler c nc ii¡ . l t , ¡ o t t , n c . ¡ l i ' €rl amperes y ¡ en segunrlos. Hallar el valor medio y el valor medio cuadrático de la corrienie ent¡e ¡ : 0 y f : 10 s. (-t, cr 16.33 Deterrninar la resistencia total en carla una de las combinaciones que se muestran en Ia fig. I6-60. Determinar además la corriente v la diferencia de ñ^ potencial entre los éxtre¡nos de cada |," resistor. 16.34 (a) Calcular Ia resistencia equiF i g u ra 1 6 -5 9 valente entre ¡ e y del circuito de Ia fig. 16-61. (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre r y a si la comiente en entre los terminales A y B v se conecta el resistor de 8 ohms es de 0,S arnperes? un electrómetro -&'e¡.rtre C y D para determinar la diierencia de potencial entre 16.35 (a) El resistor largo entre a y ó eilos. Probar qtre el electrómetro marca de ia fig. 16-62 tiene una resistencia de cero si Cr/ Cz == CrlCo. Esta es une dis300 ohms y derivaciones a un tercio posición en puente que permite rleterde su iongitud. ¿Cuál es la resistencia minar la capacit.ancia de un capacitor equivalente entre r e g? (b) La diferencia

YA

^Y

L_*

c { Il --\r I

12s) 30

{ il)

,,,) (d)

l {t l J

Fi eurs 16.60


l,

o

'- "

Problemas

figura 16-62

Figura l6-8l

#llf1" Flgura 16-68

Flguro 16-64

de potencial entre ¡ e y es 320 V. ¿Cuál es Ia diferencia de potencial entre ó y c? i6.36 Cada uno de los tres resistores de la fig. 16-63 tiene una resistencia de 2 ohms y puede disipar un máximo d.e 18 watts sin calentarse excesivamente. ¿Cuál es la potencia máxima que el circuito puede disipar? 16.37 Tres resistores iguales se conectan en serie. Cuando se aplica una cierta diferencia de potencial a la combinación, ésta consume una potencia total de 10 watts. ¿Qué potencia consumirá si Ios tres resistores se conectan en paralelo a la misma diferencia de potencial? 16.38 Dada la disposición de resistores qr¡e se lnuestra cn la fig. 16-64, probar que la relación entre R, y R, es R, _-1,618 Rr. fSugerencia: Observar que si el sistema se corta a través de la linea de trazos, la sección de la derecha es aún igual al sistema original porque éste está compuesto de un núnrero infinito de resistores I 16.40 La corriente máxima permisible en la bobina de rrn instrumento eléctrico es 2,5 A. Su rcsistencia es 20 O. ¿Qué clebe hace¡se para insertarla (a) en una llnea eiéctrica que conduce una corriente d e 15 A, ( b) ent r e dos punt os qu e t i e n e n una diferencia de potencial de 110 V? 16.41 ¿Cómo varla la resistencia de un alambre cuando (a) se dupiica su lon-

I Flgure 16-66 gitud, (b) se duplica su sección transversal, (c) se duplica su radio? 16,42 Discutir los errores cometidos en la medida de una resistenciausando un voltlmetro y un amperlmetro como se muestra en la fig. 16-66 cuando las resistenciasRv y Rt de los instrumentos se desprecian.¿Cuá,1 método da el menor error cuando R es (a) grande, (b) pequeño? Observar que, en general,Ry es muy grande J/ Re es muy pequeño. 16.43 Las medidas que aparecenen la tabla 16-5 correspondena la corriente y a la diferencia de potencial entre los extremos de un alambre'de cierto material. (a) Hacer el gráfico de V en funcién de 1. ¿Sigue el material la ley de Ohm? Estima¡ en el gráfico la resistencia del material cuando la corriente es de 1,5 A. Esta resistenciase define como el cocienteLV/AI cuandolas variaciones son pequeñas y se obtiene trazando la tangente a la curva en el punto dado, (c) Comparar sus resultados con Ia resistenciamedia entre 1,0 A y 2,0 A. 76.44 El gráfico de la fig. 16-67 ilustra la variación del voltaje con la corriente (sobreuna escalalogaritmica), para diferentes temperaturas de un semiconductor. (a) Estimar la resistenciadel semiconductor a las temperaturas indicadas y hacer el gráfico de la resistenciaen función de la temperatura en escala semi-


gnétícrtsestattcus Cantpos electroma

640

tof

iI

( a)

100"c

s9r iof !l

Figur a 16- 66

L).:l 1.0

lc qar it r nic a. ( h) Suponiendo q r : e i a r '¡ r i a c ión er ¡ ia r es is ienc ia s e deb e l o t a i r r , ¿ n t ¡ a la r erirrrirjn r:;r el ¡rrirneri-rtie ('úigas ¡roI l;ttriiiitl dr voirlmen, trstill::r el i:,1ri:nll ¿lrirl, sr: vr¡ior a iir.i{jt'Cr. sG r.ilioa a

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¡ r ir dil ir r s i- c lt ' nt ' i: i.Islt. . m os lf ¿ r t {l u r ; t : i ; i : : i {i,.: l3 ca':-l'i,rntc:l t-rar',i:; Ccl .¡rivll::ii¡¡lrir'rl il €ir ('1ri; i'tlr¡tn':¡iir qri¿rjlis liLirti.'r'' t ' . r ' s l' . ' r r : l ¡ lt is r r t ' ; ; \ l r t e i i f : ¿ : i ; . i a ))'t c r ; r ; r t r ; lr; i, ' ii¿ . - ¡ ir r í 1, "j., ' \ s i - t l i : ; r . .i . 1 ¡ o c(il.¡ li, ',. ,,¡ c:ccit:ilte ll.,'/; ". F(iili'iitu:i obi. c n¿: riii ¡ ir s is t e¡ r c ia . [ i, .

fisura

l0 100 r0ü) 1, m.\

10-67

t t i i : l p u n i c . ? . c o i o c a r r <1 oa s í i a p , i l a ir;i1"róiren r:l circr¡ilo ,:iei galvanórnetrr,¡. {- l u : u r d o i a d e r i v a c i ó n b c s t . á a 0 , 3 6 d e l a r . i ! s t r ¡ r c i ae n i r e a ) ' c , c n e i g a l v a n ó r J 'i 't ; u . r l c c c c l o . 1 a ) u C u á l e s l a d i f e relic;a rlc potencinl entre los exttemos dei resist.c,roc? ib) Se pone el conmutador en el punlo 1 v se lee nuevamente cero en el gaivanónetro cuando á está :r 0,47 ie la distancirr entre o y c. ¿Cuál es la lcrl dc la pil:r :r? i$".i8 T-a difcrencia de potencial entre ic: terminalcs rle un¡r bateila es de 8,5 V cu:.irirlopor elia !¡!Sx ün{r colriente de 3 ¿\ ¡lrsrle ri ternrii¡ai rregativo al positivr-rCu.lrlrlc 1¿ cori.i.:n1.ees r.le2 A en sentidc eo r l r r ¡ 'i c , 1 a i i i i e l c ¡ t c i t ¡ d e p o l e n c i a l s e

t'

1i; . , i6 l, a f ig. lt j- 61 ¡ nu¡ : s t ;a u r l ¡ ; o 1 ¿ ¡ ¿ ciót¡¡ttrr,¡usado prara n'rtrdir la Íeiri \'" de una pila r; B es una baterla -\,St es u jta pila patrón de fem I'st. Cuandr¡ el conm ut ador s e c oloc a en 1 ó e n 2 , s c l n u e v e la derivación D hasta que ci gaivanól'isur¡ 16-tiE metro G marque cero. Dernostrar qtte si l. y /, son las distancias correspondientcs des de b has t a a, ent onc es l' , : I 's t ( 1 r l l z ) . h a c e i g u a l a 1 1 V . ( a ) ¿ C u á l e s l a r e s i s tencia interna de la baterÍa? (b) ¿Cuál 16.47 \rolviendo aI potenciómetro de es su fem? la fig. 16-69, la fem de -B es aproximadamente lj V y su resistencia interna es 16..1q En el circuito de Ia fig. 16-70, des c onoc id: r ;St es una pila p a t r ó n c u - v a detcrminar (a) la corriente en la batería, fem es 1,0183 \'. Se pone el conmutaclor (b) lrr diferencia de potencial entre sus


Prcblenms

611

Flsure 16-6$ (1,) 3 \' ,

j ti ca d a p ila

Flgure 16-?l Figura 16-70

l':3{.t v

1 2 \., I f)

60

t' :36 V 6f¡ a

3a

Figuro 16.72 terminales y conductor.

Flguro 16-?3 (c) la corriente en cada

16"50 Determinar la corriente en cada conductor de la red que se muestra en la f ig. 16- 71 16.51 (a) Determinar la diferencia de potencial entre los puntos a y ó de la fr9" 1$-72. (b) Suponiendo que d y ó estén conectados, calcular la corriente e n la pila de 12 V. 1ü. 52 ( a) En la llg. - 16- 73a, ¿c u á l e s l a riiferencia de potencial yo¿ cuando el interruptor S está abierto? 1b) ¿CuáI es la cc¡riente :i iravés del inte rruptor S cuando éste se cierra? (c) Iin la fig. 16-73b, ¿cuál es la diferencia de potencial l/o¿ cuando el internrotor S está

abierto? (d) ¿Cuál es la corriente a través del interruptor S cuando éste está cerrado? ¿Cuál es la resistencia equivalente del circuito de la fig. 16-73,(e) cuando el interruptor S está abierto?, (f) ¿cuándo está cerrado? 16.53 Un conductor cillndrico hueco, de longitud I-, tiene radios Rr y R2. Se apiica una diferencia de potencial entre sus extremos de tal modo que una corriente 1 fluye paralelamentea su eje. Demostrar que. si o es la conductividad del material, la resistenciadel conductor es Llrc(R'zr-

nb.

16.54 Un conductor cilfndrico de longitud "L .tiene radios R,


hueco y Rr"

642

¿:.sirili¡:r;s Can pos eleclranmgnélicos

1{ i -?5 ! . e r r ¡ r ii, : ii ir ¡ ir l ¡ lif c r et l¡ ia
:rr:r¡nilir.:c': ilistancias r :- F¿ es Jj --= ' ,,.1 .' )-r, qrreel rami i o para R , < r < Ii , es q}(rr -,- n;),':'iR] *

fii),-,

1.:(i1l€ ei ilci{} Iiaf:l r Rl. .ii,.:,'.; !. n l;ab,lc cr¡axial se foi¡n:l lc'j,i:;,r;:rii¡¡rr i{}itiuci-i:r ciiindr"ico s.ilido i-r. l'ar1io l?, cttri rin cilindr,i condr¿r:irri r : r , : . : ; i . i l
1ii ir7 tr-l¡¡aunidsri ilara' e! (irrrn;lumaíjx.t B LA f ri " ¿¡ rrei.izenlc cs er ogrs/cri. Se :10-' 1L >: 1(l-s oerstori. (b) Demostrar r¡ue el 1n2 11,3 x 10-l carnpo magnetizant.e de una corrienle -73 5,65 x 10-a ¡ ec t ilí nea es - l : 21, / 3 x 10 1 0r , c u a n d o 27 3,77 x 10-{ y en se mide oersted, stA r en en / '{ c m . ( c ) Pr obar que, en f r : n c i ó n d e l a s m is m as unidades , la ec . ( 16 . 8 5 ) s e c o n 16.6i Usando el operador V : u'(7lAr) v ier t e t : r r i{ . d¿ 4¡ r I / 3 x l o t o . -¡ uuQ/7y) ¡ u,(0i02) definido en la secci¡in 8.7, demostrar que se verifican 16. 58 lit c iiindr o hr r ec o c o n d u c t t ; r d e l: r f ig. 1i) - ?. 1,de r at iios l?, ¡ - l i r , c ( ] n r l u c e l.:.i:s:grrir:ittesidentiilades: riiv ut -= Y. A, roL -.! .- V x l. ullr ¡ i: , r r t ie¡ it¿ I nnif c nnen r ¡ n t e d l : i r i bulda t : n : : r r s er : c iór ¡t r ans v e ¡ s a l . L , 'g a ¡ i d c 1d.t),: L,srrirclr., ei operador V, rcesr:ribir la ley ,-1+: ¡\rnp,:iÉ. Ir,rb;ri qiie el canrpo l:rs *r,t¡ecirrrtr::,

Problents eiectromagnético tabla 16-4.

que

apar:ecen en

la

16. 63 Us ando el r es ult ado d e f p r a b l e r n a 16.61, probar que rot grad l' : V x ( VV) : 0 v t ¡ ue div r ot ¡ t : V '( V x a ) : 0. Dos resultados importanies se deducen de estas itlentidades: uno cs que, como para el campo electrostático d : - grad V, entonces rot d : V x f : 0;

64:3

Verificar qr:e vele la relación ¡'ot ?l Y x' ?J:poJ.j 1{i.66 Escribir el operador Vt : V.V. l,uego. demostrar que la ecuación de Lar.iace (16.7) y la ecuación de Poisson (X6.6) se pr¡¿ds¡¡ escribir. respectivamente como V 2!' -. 0 y V zV : -p/eo. 16.67 En una cierta región el módulo del campo magnético 'IJ es 2 T y su dirección la del eje positivo X de la fig. 16-76.(a) ¿Curáies el flujo magnético a través de la superficie aócd de la flgura? (b) ¿Cuál ei el flujo magnético a través de la superficie belc2 (c) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie aeld? 16.68 Determinar el flujo magnético a través del circuito rectangular de la figura 76-77 cuando por el alambre recto fluye una corriente .f.

16-76 este resultado se estableció en la ec. (16.7S).La otra es que como para el campomagnéticodiv'U : V.()l : 0, entonces existe un campo vectorial s{ tal que T :9 x s{. El vector de campo sl se llama potencial vectorial del campo electromagnético. 16.64 Demostrar que el potencial vectorial de un campo magnéticouniforme es gl : * Zl , r, [Sugerencia.'Suponer que ?l está según el eje Z. Obtener las componentes cartesianas de -cl y luego hallar v x s{.1

Fl eura l 6-77

16.69 Introduciendo en la ec. (16.78) el valor de (X dado por la ec. (16.83) probar que rot Q( : ¡ro(Juure * rot ?/l). Interpretar este resultado como indicación de que el efectode la magnetización 16.65 Probar que en un medio en el del medio es equivalente a la adición cual existe una corriente eléctrica uni- de una densidadde corriente de magneforme de densidad constante,el campo tizaciÓn Jm : rot cll(.,a la densidad de magnéticoes ? : *¡r¿Jx r. fSugerencía: corriente libre.

b--.


17

CAMPOS FILTCT'FT AT}NETI COS Ü&,f IltiPEniDiENT'}rlS IJEL TIEI\{PO

17.I

lntroduccíón

17.2 l.eg de Faradag-Henrg 17.3 El betatrón 17.4 lnducción electramagnétíca rlebida al mouímíentorelatiuo de un conductorV un calnpo magnético 17.5 lndu.ccióneleetromegnética g el príncípíode relatíuídad 17.6 Potencía!eiéctricoe induccíón electromagnétíca 17.7 Lery de Faradag-HenrAen forma diferencíal 17.8 Autoínduccíón l7.9 Energía del campo magnétíco 17.10 Oscilacioneseléctrícas 17.11 Círcuitosacoplados 17.12 Príncípio de conseruaciónde la carga 17.13 Leg de Ampére-Maxwell 17.14 Leg de Ampére-Maxtuellen forma diferencial 17.15 Ecuacíonesde MaxweII


Ley de fr-aradug-ller'rt¿

17.t) 17.1

616

I'lr,trod,uecíón

lin ei capitulo- anterior con$iCrri:lnos campos eléctrjcori y inagrrétjci,s indepen{iectes tlel tiernpo o, en otra.: i;alabras, i'siáticos..Jln esti: eapitrr.lc co¡ls;derarernos oanipos qu€ dependen
77.2

Ley

d,e Faraday.Henry

Uno de los muchos fenómenos electromagnéticos con los cuales el estudiante está familiarizado es la inducción electromagnética, que fue descubierla casi simultáneamente hacia 1830 por Michael Faraday y Joseph Henry, aunque estaban trabajando independientemente. La inducción electromagnética es el principio sobre el que se basa el funcionamiento del generador eléctrico, el transformador y muchos otros dispositivos de uso diario. Supongamos que se coloca un conductor eléctrico en forma de circuito dentro de una región en la que hay un campo magnético. Si el flujo magnéüco oo a través del conductor cerrado uarfa en el liempo, se puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo está variando). La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia o inducción de una fem actuando en el circuito. Midiendo esta fem inducida se encuentra que depende de la rapidez de variación dasidt del flujo magnético. Por ejemplo, si se coloca un imán cerca de un conductor cerrado, aparece una fem en el circuito cuarldo el imán (o el circuito) se mueve de tal modo que cambia el flujo mag-

'l (b) 6 disminuye

r ) G a u m e n ta

Fig, 1?-1. Campo eléctrico prorlucido por un campo magnético dependiente del tiempo : (a) du.sldt positiva, Vs negativa; ($ dÚspt negativa, Vs positiva.


(17.2

rleptrt,!;e¡tic.s dei lietnr¡o Campos electromaqnrllcos

646

nético a travér di¡l t'.in:uito. Ill v¡rirri'ai¡¡olu.t',' ue l:r i:n,- induciria depende dc si el ir nán ( c r i c ir r : r r it o) s ( ,i r i i i r 'v r r á ¡ , i d a ( ) l € i l t c r r r ü r ¡ i . t - ( l l r n n i o Í I i i i - ! 'o r s r - : al a r a p i d e z ¿. r ' 1¡ js ¡ : ir iir ilei Í lr . : jl, : : l r '; ! : i 's l t 'i . i ¿ r{¡ r , '. i r ¡ d u c i d a , I - l s , : l i i , i d t ie n o u e a c t ¡ i ¿ ti a f e m iri:ttttlll.e ¿¡ rlisrninuve' i¡rcitrcldr¡ t'aii",liia seiriiri cüt, el t:enr,rr; II)lii:'rt:.'l.ia{,! P.'i.rr!i:iri 1i;i':r i)rcr:ir;ils,:iJ,l':iii;l¡',:,is á l:r il,:-" i7 I" rj¡;ll¿Je,sc ha o¡'icnt-at1illa i: t ¡ T' it ¡ , , : . : , , . : illiJ l: r . . 't t i : ¡ : '{J i a r . i r l ' ¡ , 'c ¡ 'l i ¡ l l l . i 0 , t - ', ¿ ! t r : ; r , e ¡ l e l r e ¡ 1 l i r l r ¡ r l c t l n ,r r i

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(17.i) Er, riu.r exlii.üsala ler de Farutla¡,,-ileri¡'vilarli ll irrducciórr{-rlectromagnétice, palabra$ ia po

;7.2')

Leg de Faradeg-Henrg

647

Ilefiriéndonos a la ü9. 17-2, si dividimos Ia superficie limitada por L en eleinenios inflnite.simaiesde área, cada uno orientado de acuerdo con Ia regle estar-.leciriaen la sección3.10, el fiujt rlagnético a través de l; es ós : Js 7J.u:t dS, ci¡nforrnea Ia sección16"1.1.Ade¡nás,la fenr l/s irnplica la existencia dc un campo ei é c ti c o € ta l q u e V" :ú t f " C l , según i a er. i te.Oo). P odemos por l o tani o escribi¡ la ec. (i7.1) en la forma equivaiente

4 c.al: - d dtJsI

.L

(r7.2)

lJ'¿¡u dS.

Oividemos ahora que el camino I- coincide con un conductor eléctrico tal corno un alambre cerrado y consideremosen cambio una región del espacio en que existe un campo magnético variable en el tiempo, Entonces la ec. (17.2) es equiv a l e n te a d e c i r: un campo magnéticodependíenteilel tiempo ímplicá Ia exislencía d.e un campo eléclrico lal que su círcu[ación a Io largo de un ca¡níno arbitrario csrrado es ígual a menos la deriuada con respectoal tiempo del flujo rnagné!ícoa trauésde una superficie límitada por el caminc,. Esta es otra manera de expresar la ley de Faraday-Henry para la inducción electromagnética.Da una visión más profunda del contenido fisico del fenómeno de inducción electromagnética,es decir, del hecho de que siempre debe haber un campo eléctrico cuando ui campo magnético está variando en el tiempo, estando los dos campos relacionadospor la ec. {17.2). El campo eléctrico se puede determinar midiendo la fuerza que actúa sobre una carga en reposo en la región donde el campo magnético está variando. De esta manera se ha confirmado experimentalmente nuestra interpretación de la ec. (17.2), SJEMPLo77.L. Se coloca un circuito plano de N vueltas, cada una de área S, perpendicularmentea un campo magnético uniforme que varfa en el tiempo en forma alternada.l,a ecuacióndel campo es ')J : ')lo sen ¿,rf.Calcularla fem inducida e¡r el circuito. Soluelón: El flujo a través de una vuelta del circuito es (Ds : y el flujo total a través de las N vueltas es

S?1 : 5¡o t.tt t

Oo : NS )30sen ol. A,plicandola ec. (17.1) obtenemosentoncespara la fem inducida

Vs : -

ry

:-

coscof, NSiJ6ro

(17.3)

la cual indiea que la fem inducida es ocilatoria o alterna con la misma frecuencia que cl campo magnético. EJEIITPL{} ty,z. En una región del espacio hay un campo magnético que es paralelo al eje Z liene simetrfa axial, es decir, que en cada punto su módulo depende -v sólo de la distancia r al eje Z. El módulo lambién varia en el tiempo. Determinar el campo eléctrico C en cada punto del espacio.


648

(17.3

Campos electromagnéllccsdependienlesCe! tieritp0

(b)

( nj

Fig. l?-8. Campo eléctrico ¡rroducido por un campo magnético dcpendiente del tiempo que tiene simetrfa axial; (a) vista lateral, (b) corte transversal. Solución: Supongamos que el canrpo magnético decrece alejándose del eje Z. L,a fig. 1?-3(a)muestra una vista lateral del campo y la fig. 17-3(b)una seccióntransversal. La simetrla del problema sugiere que el campo eléctrico C debe dependerde r solamente, y que debe ser perpendicular al campo magnético y al radio vector r. En otras palabras: las lfneas de fuerza del campo eléctrico f son circunferencias con centro en el eie Z. Eligiendo una de estascircunferencias como nuestrocamino.L para la ec. (17.2), tenemos v 6 :f¿ ¿ .dl :C (2¡r). Por lo tanto, usando la ec. (17.1), obtenemos

: {.(2nr) #

(r7.4\

El campo magnético promed.io'iJen una regién que cubre un área S se define como B : éa/S o sea Os : 'ljs. En nuestro caso S : nr?, de modo que 66 : 'T{nrr). Entonces la ec. (17.4) nos da para el campo eléetrico a una distancia r del eje

dTi c: -+.1 \. ' \d .tl

(17.5)

Si el campo magnético es uniforme, A : n.

77.3 El, betatrón Los resultados del ejemplo 17.2 se han usado para diseñar un aceleradorde electrones llanrado betutrón,inventado en 1941 por el físico norteamericanoD, Kerst. La idea e:rrnuy simpie en principio. Si se inyecta un electrón(o cualquierpaltícula cargada) en una regióa doncie hay un carnpo maguético variable que tiene sime,


I /.3)

EI belat¡ón

649

tría -:xrai, el electrón será aceierado por el campo eléctrico asociado C dado pcr l.a ec. {17.2) o la ec. (1?.5). A medida que ei eiectrón gane velocidad, el campo magnético ?J cu¡vará sir trayect"iia. Si se ajustan los campos eléctricp y magnético en fonna apropiaca, la óri;ita del eiectrón será una circunferencia. En cada revohrción el eleetrón gana energía, por lo qr:r despuésde describir varias revoluciones se ha acelerado adquiriendo una energia determinada; cuanto urayor sea el núrnero de revoiuciones, mayor será la energía. Para ver el problema con más detalle consideremos el electrón en el punto p (fig. 17.3). Si las cosas se arreglan de modo tal que el electrón describa una circunferencia de radio r, el campo eiéctrico producirá un movimiento tangencial que se determina usando dpldt : Fa (ver sección 7.12) con una fuerza tangencial Fr : - e(, de modo que

(!+\. +dt : - eé: +,, - \d¿l

(12.6)

Para generar un movimiento circular, el campo magnéticodebe producir la aceleración centrípetanecesaria.El módulo de la fuerza centrípeta es, según la ec. (15.1),FN : etfl3.Usandopulr : Fy Fig. 17-4. Tiempo de aceleraciónen un (ver sección7.12),obtenemos betatrón.

palr:eÑJ

ó

p:eflJ,

(17,7)

y derivandorespectoal tiempo, teniendoen cuenta que ¡ es constanteporque la trayectoria es una circunferencia,tenemos dp d.t

¿: el-

ü3 dt

Si comparamosésta con la ec. (17,6),concluimosque la condiciónnecesariapara que el electrón describauna órbita circular bajo Ia acción combinada de los camposeléctricoy magnéticoes que, a cualquierdistanciar, el campo magnético debe ser cY : lTj (17.8) dontle * es el valor promedio de gg en la región entre Z y Z. Esto impone ciertos requisitos en la manera cómo el campo magnético 7J puede variar en función de la distancia radial r al eje. La variación exacta de ri.Jcon ¡ se determina por el hecho de que es necesaria cierta estabilidad del movimiento orbit¿I. Esto es, dado el radio de Ia órbita deseada,Ias fuerzas que actúan sobre el electrón deben ser tales que si se perturba ligeramente el movimiento del electrón (es decir, si se Ie empuja hacia un ladc o hacia otro de la órbita), las fuerzas eléctrica y magnética que actúan sobre el electrón tiendan a colocarlo nuevamente en la órbita corecta. L-.


dependíente:s Campos eleclrontagnéticos de\ liempt

{17.3

(b) Fig. 17-6. (a) Vista del tubo de aceleracióny de las piezaspolaresde un betatrón. (b) Ensamblandoel tubo de aceleraciónen un betatrón. En general, el campo magnético tl3 es osciiatorio con una lrecuencia angular ol Ahora bien, de acuerdocon las ecs.(17.6)y (17.7),el electrón se acelerasolamente cuando el campo rnagnéticoestá aumentando. Por otra parte, como en la práctica se inyectan los electronescon momentum muy pequeño, se debe hacerlo cuando el campo magnético es cero. Esto signilica que sólo un cuarto del período rie variació¡i del carnpo ntagnético sin'e para acelerar ios electrones.Los tiempos de ¿iceleraciónestán indicados por las írrrrassombre¿¡das en la fig. 17.4.


17.4)

Induccíón electromegné!íct

651

El inomentum márjmo que ganan los electrones es, según la ec. (lT"I), F*á, =..¡f l)c, y en consecutncia Ia ellergia ci¡rética mirxi'ma de lus ele i :ones acele¡"adoses | e2:2If:. E; !¡ ( ,m a .{ -., I'rnx2^"

2*"

si no se los acelera a energíasaltas con respectoa la energia en reposomrcz,Pero cuando la errergia es bastante grande, comparable o rnayor que la energía en reposom"czclel electrón,debemosusar las ecs. (11.i8) y (11.20),con lo que resulta -E¡,ma*: tV;'"t'

+ er"tfo-

¡n"¿2.

Los betatrones consistenen un tubo toroidal (fig.17-5) colocado en el campo reagrréticoprcducido por un imán a cuyas piezas polares se les ha dado una forma tal qlie se produzca la variación correcta del campo magnético /J con r ccnfor¡ne a !a ec. (i7.8) y se satisfaganlas condicionesde estabilidad. Los electrones se inyectarr al comienzo del peliodo de aceleracióny se los deflecta aI linal del mismo de modo r¡ue puedan incidir sobre un blanco situado conveniente;ncnte. La energÍa cinética de los electrones se disipa como energia de radiación (capítulo 19) y/o como energÍainterna del bianco que se calienta..Los hetatrones se han construido para energías de hasta 350 MeV. Se usan para estudiar ciertos tipos de reacciones nucleares y como fuentes de radiación para el tratamiento del cáncer.

77.4

Indueeión eleetrornagnética debida aI tnooitniento de un eond,uctor A un eúmpo rnagnétieo

relatitso

La ley de la inducción electromagnética, expresada por la ec. (17.2), implica la existencia de un campo eléctrico local siempre que el campo magnético en ese punto esté variando en el tiempo" Si se la expresa por Ia ec. (17.1), implica Ia existencia de una fem cuando el flujo magnético a través del circuito varia en el tiempo. Iis importante descubrir si se obtienen los mismos resultados cuando el cambio de flujo se debe a un movimiento o a una deformación del camino L sin que necesariamente,'IJ varÍe en ei tiempo. Consideremosdos casos simples. Consideremosla üsposición de conductoresilustrada en Ia fig. 17-6, donde el conductor PQ se puede mover paralelamente a sí mismo con velocidad u manteniendo contacto con los conductores R" y St/. El sistema PQRS forma un circuito cerrado. Supongarnostambién que hay un campo magnético uniforme 91 perpendicular al plano del sistema. Cada carga g del conductor móvil PQ está sujeta a una fuerza gu x ')J que actúa, de acuerdo con la ec. (15.1), según QP. Ahora bien, la misma fuerza sobre la carga sr podría suponerdebida a un campo eléctrico"equivalente" é'"q dado por qf o

"q

f"q:

: 4a x tlT o x ?t.

L-


652

Campos electromagnéticosdepertriíenlesde! líempo

(17.4

Como o y ?d scn perpendicu.lares,la relación e¡ttru los módulos es (F,r :q---

u,,11 r J.

(17.e)

Si P0 : /, hay entre P y Q una dilerenciade potencial V : Cuql:.)ul. Sobre las secciones 0R, Rs y sP no se ejercenruerzasporqlleno se mueven.En consecuenciala circulaciónde f"q a lo largo del circuito p0Rs (o sea la fem) es simplementeVe : V en la direcciénde p .li, es decir " Vs :Y,Jul. Por otra parte, si llamamosr al segmerrtosp, el área de pQRS es lr y el flujo

L),.

x

--'% Fls. l7-6. Fem inducidaen un conductorque se mueveen un campomagnético. magnéticoa través de PQ,RSes a* :

|"

(D.u,v dS :lJls.

., PORS

La variación de flujo por unidad cle tiempo es entonces dbs -d t Pero ilxldt:

:

d .^^.. -..dx \' t)tr¡ -' l )t ¿ dt

u; por lo tanto d@s

-

*

::lllu: v ¿ '

En otras palabras: obtenemos la ec. (17.i). El signo rnenos no aparece porque sólo estamos consideranclola relación entre módulos. Sin embargo, la ec. (t2.1)


I nducción eleclromagnétíca

17.4)

653

sigue siendo váiida en cuanto a signo, ya que el flujo oo está aumentando y el (8, de modo que concuerda con la fig. 17.1. signo de Ve es el de o x Conro segundo ejemplo, consiCeremos un circuito . rectangular rotando con velocidad angular to en un campo magnético unilorme cll (fig. l7-7). Cuando la (8, todos normal uru al circuito forma un ángulo 0 : a;l con el campo magnético los puntos de PQ se están moviendo con una velocidad o tal que el campo eléc(B está trico "equivalente" Cuq : n x dirigido de Q a P y su módulo es Csq : rf} sen 0. Análogamente, para los puntos que están sobre RS, el sentido de r: x ?J es de S a R y su módulo es el mismo. En cuanto a ios lados RQ y PS vemos que a x cB es perpendicular a elios no habiendo diferencia de potencial entre S y P y entre n y 0. Luego, si PQ : RS : /, ia ci¡culación del campo eltictrico equivaiente C"q alrededor de PQRS, o sea la fern aplicada, es

\,, : #"f .dr: c"q(PQ + sR): :

2l¡y,Tsen 0.

Flg. 1?-7. Fem inducida en una escalqcada en un campo H;?";itt#t"

[,os lacrosps y nQ no contribuyen a v6, prlrque en ellos deq es perpendicular a d! corno ya se dijo. Si r : SP, el ¡adio de la circunferencia descrita por las cargas que están sobre PQ y SR es |r, por lo que u : r(l¡) - *.r. Luego, como S : ls es ei área del circuito y 0 : r,rl, podemos escribir Ve == tl(1"'")?3 sen at :

a(ü(b) sen .i :

oqJS selr <¡f

para ia lern inducida en ei circuito como resultado de su rotación en el campo :nagnétl,:o. Por ctra parte, el flujo magnético a través del circuito es

Gs : c]3.u¡S : ?3Scos0 : ?3Scos<¡1. Luego

- !!1: dt

o,?jssen.ur: ve.

Verificamos entonces nuevamente que la fem inducida resultante del movimiento del conductor también se puede calcular aplicando la ec' (17.1) o la (17.2) en v e z d e l a s e c s . (1 5 .1 ) y (1 6 .6 0 ). Aunque nuestro estudio ha tratado sólo circuitos de formas especiales, un cálculo matemático más detallado indica que para cualquier circuito se puede ta leg d.e Ia inducción electromagnélícaVt :-dasldt os d.ebea se magnétíco uariación Ia del bíen cuando aplicar flujo


654

Campos electromagnéfii*sdepen*icntes del lí,ernpa

{17.6

(1,J,hien cuündo debeal mouiuna uaríacién del mmpo rnagnétict se mienlo o a la d{ormación del circuilo a lo largo dtl cual se calcula Ia fem, o cuando se debea ambós. La fem inducida en el segundo caso se suele denominar fem de mouimienlo.

17.5

Ind,ueción

eleetrontagnética

y el prinaipio

de relatioid,ad,

A pcsar de que, como se indicó en el párrafo anterior, ia ley de la inducción electronragnética expresada por las ecs. (17.1) y (17.2) es v¿ílida cualguiera sea el crlgen ile la variación Cel ilujc nraglárico, hay una profunrla diferencia entre a las dcs posibiiidades.Cuando el obserla¡; s¡iracioncs fisii:as corresn.¡nr.liei¡Ler vador r.e:,,,.¡eel car¡i'biode iirja ¡ri:.:j¡rúiic+¿ tra.¡és de un crrcuito estacio:rario \jn sl.ililspiü sist*ma iirr leierencias,,C|lr¡;¡ un¡r v¿¡'iació:rdel c¿lmfromagnético':lJ, ,nidr ¿tl rni;mo tie:npo iin cí.rnl)0¿lr:,.'ir-¡:ri f' relar,ionadotcn ilj en la fornra indicada p,lr la ec" (17"2), y reco¡roeela preserrtiadel campo electrico midiendo la Iuerza qutr se ejerce sobre:una carga en repasoen su sistema de referencia.Pero

Figura l?-B

cuandú el cbservador \:e que el cambio tle {iujo rnagnético se debe a un movimiento del conduci,or respecto a su si¡tema de referencia, no obsetva campo eléctrico alguno y atribul'e la fem que mide la luerza aó x'-lJ ejercida por el campo utagnético sobre las cargas del conductor móvil, de conformidad con la e c . (1 5 .1 ). ¿Cómo puede ser que dos situacionesdiftrentes y aparentementesin relación tengan una descripcióncomún? No es cuestión rie coincidenciasino estrictarnente consecuenciadel principio de relatividad. No podernosentrar aquí en un análisis matemático completo; en su iugar, exar.ninarenlosla situación desde un punto de vista intuitivo. Consideremosel caso dcl circuito rotante estudiadoen conexión con la fig. 17-7. En un sistema de relerencia en el cual el campo magnético cB es constante (fig. 17-8a)v el circuito está rotando, ro se observa campo eléctrico


Le1¡ de Faladag-Henry en forrna difercntíai

I i. 7 i

855

:iiguno y'la fuerza que se ejerce sobre ios electrones del circuito se debe a la ic, i15.1). Pero un observador fijo a un sistema que se muevc con ei circuito ve un conductor en reroso y lln campo magnético ?3 cuya diiección rota en el tspacio (fig. 17-8b). ll.eiariunt r'ntonces las fuerzas que actúan sobrc los elecirones deJ circuito ccn el campo eiéctrico 1'' ii,,qciado con el camfo magnético variatole, eonforrrre a la iey ¡.le la inducción eiectromagnética según la expresa la ec. (17.2)-(El análisis matemático de este caso es algo complicado porque involucra un sistema de referencia rotante; por ello será omitido). Co¡rcluimosentonces que la verjficación experimental de ia ley de la inducción electromagnética para campos magnéticos variables es simplemente una reafirmación de la validez general del principio de relatividad. 17.8

Potencial

eléctrieo

e índucción

electromngnética

En los capitulos 14 y 16 indicamos que un campo eléctrico f está asociado con Lln potencial eléctrico V de tal modo que las componentes de C según los ejes X, Y y Z son las derivadas de V respecto a Í, y y z con signo negativo" Esto es, etc.; o simplemente: el campo eléctrico es menos el gradiente fr:-AVl1r, del potencial eléctrico. Una consecuenciade esto es gue la circulación del campo eléctrico estáüco a lo largo de cualquier camino (cerrado) es cero, propiedad que se expresa matemáticamente mediante la ec. (16.62) o

: o. 6 c'¿¿ JL

Sin embargo, cuando el campo electromagnético depende del tiempo, hemos visto que la ecuación anterior ya no es r'álida; en su lugar tenemos la ec. (17.2)

{

"r'or:

- *J"?r'u¡vds.

Concluimos entonces que en un campo electromagnético depenüente del tiempo la circulación del campo eléctrico no es nula, por Io que dicho campo no se puede expresar eomo menos el gradiente del potencial eléctrico. Esto no significa que el conceptode potencial es completamenteinapiicable en este caso,sino solamente que se debe usar en forma diferente. De hecho se necesitan dos potenciales; uno se llarna patencíal escalar,similar al usado en el caso estático, y el otro potencial ueclorial. No tendremos ocasión de usar estos potenciales en este texto; los mencionamos aqui sólo para señalar ai estudiante que cuando pase de los campos estáticcs a los dependientesdel tiempo debe tener mucho cuidado acerca de cuáles conceptos correspondientesal campo estático puede continuar usando.

17.7

Leg de Faradag.Henry

en forma

diferencíal

La ley de la inducción electromagnética, en la forma expresada en la ec. (17.2) se puede aplicar a caminos de cualquier forma. La aplicaremos ahora a un camino rectangular infinitesimal PQRS colocado en el plano XY y de lados dr y dg


656

depentlienf¿sd¿,ltitrnpa Campos eleclrornagnéÍicos

{17.7

(fig. 17-9). Debernoscalcular primeranrentela cir.;ulacióndel campo eléctrico C, El procedimientoes similaral que seguimosen la sección16.13cuando estudiamos la ley de Arnpére en forma diferencial; ios detalles los encontrará el estudiante en aquella sección. Para la superficie infinitesimal PQfiS en el plano XY podemos escribir

c.d I:lJP Q +i +iJrl s +iJsP c-dt. d "Po Rs "'QR A h a ra b i e n , $ 9 n C .d I:(o d y

y Jspd.d.t:-€' ur)g,

tfa f, c"dl : (r"u+ | I J ¡ri t .' s r'

d' emodo que

cí,) du : df,,¿u" :

!-! dr,dy. 0t

d.r, va oue dóy es el incremento de C!, corrcsEsto es así porque d(,u : (.ACslAr,) pondiente a dos puntos separaclospor i:: iii¡ta¡rcia Cr y que tienen los mismos l] y z, Podenios escribir análogamente tl

|

Jpe

*l

2F

Jns

c . d I : _ - ' l-og ¿'¿s.

Sumando los dos resultados.obtenemos - /2.c r .r \

c.¿t:(+s-"!'laras. ó , poRs oa I \ dir (17.10)

Flg. 17-9. Ci¡cuito elementalpara deducir la forma diferencial de la lev de Faraday-Henry.

A continuacióndebemoscalcularel flujo magnéticoa través de la superficie.Como la superficiePQ.RSestá en el plano XY, su versor normal uN es simplemente u" y ctl.?rN:'T),tt, -cllr. E\ consecuencia el flujo magnéticoes ü.?r.vds:c).J,drdg, I J Pons

(17.11)

ya que drdy es el área del rectáaguio.Sustituyendolas ecs,(17.10)y (17.i1) el factorcomúndr dg en ambos¡niembros, obtenemos en la ec.(f i.2) y cancelando

a€u Ar

ocr 0g

f'lJ" at

Colocando nuestro rectángulo en los planos presiones:

(17.r2) YZ y ZX obtenemos otrasdos ex-

o(, _o(u : _ F I J , 0g At 0z

(17.13)

_a!t _ a(z _ _ a tia 0z At 0r

(r7.r4)


Autr¡ind'ucción 657 17.8)

(17'13) (11'1,?

la ley de

y (17'12)' expresiones sección 16'13 para la El ccnjunto de las en la ,constituve óoô diferencial' fcrma en '"'hizo FaradaY-HenrY ecuación vectorial escribiendo combinar Jt" unu-tof" pueden se ley de AmPére, rotd:-

(17.15)

aclS at,

expr:salas relaciones (17.12),(1?.13)y (17.14)'. equivalentes sus o magnéticoen La ec.(1?.15), ,".;u;,o'ui'ri"*po del campo existir oue deben ""#."i;'l;;i""ir

3J:':,ilHj'; $",;;,;;";;rltli.l*Hi*$J;""'Hl'ru*;::f la t'l""tt"'"^]-*-,-^ de una manera obvra electromagnético' campo un de magnética

17.8

Autoiniluceión

corrientetilÍ-}t'to)' un circuito-lorel.uu1^c1::t:"tu consideremos

l)e acuerdo

i"""i^'iü'ln¡:"'"T,"r,lT;;:lh5m::,""rf f XU:nT:"'":t.l.iil: punto es Proporcroni cuito debido *o p*fio ^

campo *"gr,eti.l

"¡Iu¡o p'opio' Este fluio'

v'ri"i""r"

''(1",,

' t' i

\,i

I en aumenLO

(¿)

propio en Fig. 1?'10. Fluio magnético un circuito.

,,['i

ti \.i en disminución (b)

la tem Fls. 1?'11. Sentido .de circuito' un ináuci¿a en

I por lo que proporcionala la corriente entonces es O¡. con designaremos

que podemosescrrbtr

(12.16)

Q7 : LI' en unidad llamada henrg ElcoeficienteLdependedelaformageométricadelconductorysedenomrna Se expresa¡ il ¡-1' c-2' k8 : tittuito' mz del u : wl A-r auroiínd.uctancic il;';'; Henrvv q': :: "1':':?,tf"¡J*áq"etico @-la través del circuito honordeJoseph el tiempo' tf Si la corriente I va¡ia-en-

Jl'lH: d- ii;",J;;;caso iénvaríay, tarnb I : I i:1,::' l*:'ruft'fffiil:H'X;': ij especrar Este ci¡cuito' el en ;;;-f.*


658

d.eftíempa depenrlientes Camposelectromagnéticos

(17.8

las ecs.(17.1)y (17.16),tenemospara la fem inducida, autoinducción. Combinando 'v,

:-

d a.t

-dtdt

.

--:

dI

(r7.17)

El signo menos indica que y¿ se opone a Ja variación de corriente, AsÍ, si la corriente aumenta, dlldl es positiva y yL se opone a la corriente (fig. 17.11a).Si la corriente disminuye, dlldt es negativa y V¿ actúa en el mismo sentido que la ccrriente (fig. 17.11b).Por lo tanto V¡ siempre actúa en un sentido que se opone a la uariaci¿inde corriente. Cuando escrlbimosla ec. (17.17), supusimos que el circuito era rigido por lo que consideramos L constante al derivar respecto al tiempo. Si la forma del circuito es variable, L no es constante y en vez de Ia ec. (17.17) debemos escribir

vL:-!on.

(17.18)

Para indicar en un diagrama que r:n ronductor tien¿ una inductanc.iaapreciable s{ usa el sím}¡olo rnostracloen ia fig" 17-12 Sin en'lbarg+debemos hacer notar que la autoindr.tctanciade un r:ircuitl ¡io r:slá cr:ncrrrtrad¿cn un punto particril;rr i:i:ri <¡u': e9 una propierJaii dr¡i crrcuito ¡:omo un tor-lo.

Fig" ti.i*,

lirFrr-lrcntación dc :¡nü ¿¡rii-oinrj'¡clar¡cia.

a ,J*' .¡ Ífj} ¿ { } ¡ ::.J1 " I1 s:a b le l i rl ,i rni i .]

.jÍ

ri tri i .i j r{:,cri l .e *:l

--:-/TlTStL..

iin

Íi ri tti l .A "

iio lr É,:' ió tr .' { l:,a ¡ :- iü r c a F llca ür:r-i i 'r.^r: ':"¡, ¡-!.i :. cl t
Flg. 1?-18. Circuito eléctrico con una resistencia y una autoinductancia. desdecero hasta su valor ffnai ccn$tante. La fem total aplicatta al circuito es entonces \rt: -l- Vt : V c -L(dIl dl i . La l ey ri e Oi rrn es.ahora RT -- V t, * 1/r

ó

fi I -

Vc -


L(dIi dtJ.

(17.19)

17.8'

/tutoínd.uccíón

Esta última se puede escrilrir en la forma n(/ las .¡a ri a b l e s J y f,

Velft) : -

6a.

L{dIldt) o, separando

l t .. -4l

dI ¡-l /tn -:--

Ai integrar, teniendo en cuenta que para f : 0 !a corriente es nula (/ : 0), tenemos fI

dl

*1,0,

v e /R

J o ¡-

in (/ __ VslR)- ln (- VslR) : - (RlL)t. Recordando que ln er : r -

l:

t, tenemo$

Vu- ,a \r-c o

¿-RtlL;, ).

El segundo término Ou, n*rérr,.ris disminuye con el tiempo y la corriente se aproxima asintóticamente al valor VelR dado por la ley de Ohm (fig. 47'14). Si R/¿ es grande, la corriente alcanzaeste valor muy rápidamente, pero si Rp es pequeño puede transcurrir un largo tiempo antes de que la corriente se estabilice. El estudiante puede reconocerla similitud matemática entre la expresión de I y la de la veiocidad de un cuerpo cayendo a través de un flúido viscoso (ejemplo 7.8) si se establecenlas siguientes correspondencias: Vs ++ .F',L++ s y R<-+ K4.

FtS. 17-14. Establecimientode una corriente en un circuito. EJEMPLGI7.4. Estudiar la caida de la corriente en el circuito de la fig. 17-15 cuando se mueve el conmutador de la posición 1 a la posición 2. Éolución: Si el ecnmutador ha estado en la posición 1 durante mucho tiempo' podemos $uponerque la corriente en el circuito ha alcanzadosu valor llmite (o estacionario) Ve/R. Moviendo el conmutador a la posición 2, desconectamosla fem aplicada sin abrir realmenteel circuito. La única fem que queda es Y¡': -LdIldt y la iey de 0hro estableceque

nI:-L +

ó +:-*o '


660

Cantpos eledronngnéticos dependientesdel tiempo

(17.8

Si contamosel tiempo (l : 0) desdeel instante en que se desconectaVe del circuito, la corriente inicial es Va/R. Integrando tene¡nos

r'

d t :- !l' 0,

ln / -

l n (Y s /R ) : -

J v t/n I

L Jo

o sea (R l L)t.

Eliminando los logaritmos tenemos I : (Vtlft'S¿-Rttt' I:a corriente decreceexponencialmentecomo se muestra en la fig. 17.16. Cuanto mayor es la resistencia-R, o menor la inductancia I, más rápida es la calda de la corriente.El tiempo necesariopara que la corrientecaiga a 1/e,o aproximadamente 63 /o, de su valor inicial, es r : l/R. Este tiempo se denominatíempoderelajamienlo.

Fig. 1?-16. Dispositivo para eliminar la fenr aplicada a un circuito sin cam-biar la resistencia.

EJBMPLO 77.5. Un circuito está compuesto de dos láminas metálicas cilfndricas coaxiales de radios a y b; por cada una circula una corriente f pero en sentidos opuestos. Calcular la autoinductancia por unidad de longitud del ciróuito (fig. 17-17). El espacio entre Ios ciiindros está ocupado por una sustancia de permeabilidad p. Soluclón: En el ejemplo 16.18 se obtuvo para el cat.¡tpomagnético de esta disposición de co¡rientes: B - u.llZrr entre los cilindros ¡¡ cero en el resto del espacio. Aquf , r le c onf or ¡ nidat l c on l a s e c c i ó n 1 6 . 1 6 , h e n r o i r e e m p l a z a d o ¡ r o ( u s a d a e n e l ejemplo 16.18) por p, ![ue es 1a pernreabilidad de] medio que llena el espacio entre los dos cilindros. Para cclcula¡ la autoinductancia debemos calcular ei flujo magnético a través de cualquier sección del conductor, tal como la PQRS, que tiene

-tVt 0. 63+

K

o Fig. 1 ?- 16.

Caícla de la corriente cn un circuilo rlesoués de desconecta¡ la fem,


EnerElc dei campo nragnélicc

1/.3)

661

lcngltud i Si dividimos esta secciónen tiras de ancbo dr, el área de cada tira es f d¡. Et campo rnag;réticorl3 es perpendicular a PQftS. En consecuencia

o-,:

|

J p c ¡s

? i 'rs: ¡ ' ( - e{ - ) ' lr aa Jo\Znr) nl l tnD . a 2r

:p I¿ [o d r: 2n Jo r

Por lo tanto la autoinductancia de una porción de longitud I es ó¡

- : L:-

r,¿l .

lfi -

I 2pa

b

(r7.20)

II

I

ú

y la autoinductancia por unidad de ldngitud será ln bla. Q¡.l2zr)

'it

I

I 11 i.;l !' -

..,*---+t,--t I l ,r - - - J - - -t . Yl

ra

"---i-,

Flguro 1?-17

77.9

Dnergla

d,el compo

tnagnético

Hemos visto en la sección16.10que para manteneruna corrienteen un circuito se debe suministrar energia. La energía que se necesita por unidad de tiempo (o seala potencia)es Ve1. Ahora bien, podemosescribirla ec. (17.19)en la forma

v s : R /+'dtL + Multiplicando esta ecuaciónpor .I tenemos rII Yt.I : RI2 + LI -' dt

(r7.2r)

De acuerdo con la ec, (16.53), el término R12 es la energia consumida por unidad de tiempo en mover los electrones a través de la red cristalina del conductor y que se transfiere a los iones que forman la red. Interpretamos entonces el último término de la ec. (L7.21\ como Ia energía que se necesita por unidad de tiempo para establecer la corriente o su campo magnético asociado. En consecuencia la rapidez de aumento de la energía magnética es

dEs dt

:LIdI

dt

La energía magnética necesaria para aumentar una corriente desde cero hasta el valor .I es entonces

u* : Il' dEs: !' u ar : tLIz.


(r7.22)

662

(17.9

Carnpos eleclromagnéticosdependíentesdel liempo

Por ejemplo, en el circuito del ejemplo 17.5, la energÍa magnética de una sección de longitud I es, usando la ec. (17.20),

u n : *(# ''+)I, :

b vII' ln 4ra

(r7.23)

La energía magnética Es se puede también calcular empleando la expresión

E":+ !wo u ,

(r7.24)

donde la integral se extiende a todo el volumen en que eúste el campo magnético y du es un elemento de volumen' Por ejemplo, en el caso del circuito de la ftg. 17-17,que se ha dibujado nuevamente en la fig. 17-18,el campo magnético está dado por ?1 : gI lZt. Si tomam(.)scomo elemento de volumen una capa ciiintlrica de radio r y espesordr, enccntramos que su volumen es du : (2rr)I dr. Sustituyendo en Ia ec. {17.24} y recordando que el campo se extiende sólo desde e n c o n tramosque h a s ta Í:b , r:d

u* :*

I

lb /

uI

J,(;;)

\2

dr

{ z - t , d, )vllz : : í JJlb, ; :

vllz .

b

i; - t ' 7,

Obtenemos por lo tanto el mismo resultado que en la ec. (17.23). Podemos interpretar la expresión (17.24) diciendo que la energia gastada en establecer la corriente se ha almccenadoen el espacio circundante, de modo que a un volumen du corresponde una energia (c/,ylzv\ du, y la energia E6 por unidad de volumen almacenada en ei campo magnético es

un:

(17.25)

*rw.

Aunque hemos justificado la expresión (17.25) para la densidad de energía magnética usando un circuito de simetrÍa muy especial, un análisis más detallado que no se dará aqui, indicaría que el resultado es completamente general. Cuando hay tanto un campo eléctrico como uno magnético presentes, debemos considerar también la densidad de energia eléctrica dada por ia ec. (16.40), por Io que la energía total por unidad de volumen en el campo electromagnético es I ' 9,,

s :\e ü *

aYrz

(r7.26)

aJDMPLO 77,6. Obtener la energía del canrpo magnético de un electrón que se mueve lentamente y analizar el resultado. Solución: Según la sección 15.11, una carga que se mueve lentamente produce un €mpo magnético cuyas lineas de iuerza son circunferencias perpendiculares a la dirección del movimiento y cuyo mórlulo es, segiin ia ec. (15.53), ,, u :- - -

lr o

^

US en0

A - 'n 2


í 7.t])

Energla del carnpo maqnáticc

663

2-,¡rsen 0

F i g u ro 1 ? -1 8

Flgure 17.19

con q : - ¿ para un electrón. Supongamosque podemos usar eI modelo burdo del electrón introducido en el ejemplo 16.14, donde R es el "radio" d.el electrón. La energia del campo magnético en el exlerior de la carga se obtiene usando la ec. (77.24),extendiendola integral a todo el espacioluera de la carga. Tomare¡nos como elemento de volurnen al anillo ilustrado en la fig. 17-19. El mismo tiene un perfmetro igual a 2rr¡ sen 0 y su sección transversal tiene lados dr y r d0, por lo gue su área es r dr d0. El volumen es dD : perfmetro x seccióntransve¡sal : 2¡cr,sen 0 d¡ dg. En consecuenciala ec. (17.24) da

od¡do J' (* "#-g)' '*"sen

# [ l fj rr'

-

0",, f* + f'r.n,odo:* +g-)r,. 2 lp 3R I J n r' Jo \4:r

Este resultado no da la energla magnéticatotal porque tenemos que agregarlela coritribución debida al campo magnéticodentro de la partlcula cargada, que a su vez requiere que conozcamosIa distribución de carga dentro de la particula. De todos modos el resultado anterior da una estimación del orden de magnitud. La caracterlstica más importante de .Eo es que depende de u2 por lo que recuerda la energla cinética de una partfcula cuya masa es m:

po 2q,

L-

4*

3R'

En el c as o del elec t r ón, q: - e r r l. = : :

y m:me

!¿o 2ez 41 3R

d€ modo que

7 2e2 4ne¡ 3Rc2'

donde hemos usado la ec. (15.55) para eliminar ¡.r,0. Despejando R obtenemos

o^ :

2(

e2

\

'.\*;F ):1"'

donde ¡e es el radio del electrón defi¡rido en la ec. (16.45). El hecho de que nuestro cálculo burdamente aproximado dé un resultado del mismo orden de magnitud


664

nél i i'o.r dtrp erlr.-: i r tzlt :: dt I I i¿,-n,nL: C¿n¡ Iros ei rctr at n a 11

{17.1t}

quc el del e¡emuic 16.i,1, cionde cbtuvirr,r-rs R -: j,'-. e: una ¡rueba de la compatibilidad de rnri,¡stra teoria ya t¡ue sólc se purrle i:siirrrar ei oriien de magnitud. Si combinamos el presente resultada con el tiel cje¡¡irlo 16.14, parece razonablt: pensar que la energia en reposo ¡i.ei¡;ia 'i:artícula cargarla esiá asociada ccn la energía de su campo eléctrico, mientras r¡ue la energía cinética corresponde a la energla del campo magnético, Iis lógico pensar tlue ios campos a.srciados con las otras interacciotres que existeu cn la natrrraieza tambi(:n contribuven a las energias en reposo y cinét.ica de una partlcula. Sin ernbargo, rrusstrs conocimiento incompleto de esas interacciones no nos permite al presenl-r:dar una respuesta definida. De hecho, el problema que hernos considerado, ?anto rn ei ejemplo 16.14 como aqul, es lo que se denomina la determinación de la erLerglapropiu del electrón. El propósito de nuestra discusión de este problema ha sido el de presentarlo al estudiante, Si deseáramos tratarlo en forma apropiada, deberiamos emplear las técnicas de la mecánica cuántica en un nivel muv superior al de este libro.

17.70

Oseilaeiottes

e\éetrdeas

I-Iernc'svisto en divcrsas ocasionesque hay tres parámetros que caracterizanel liujo de electricidad a travós de un r.ircuitr;eiéctrico: la capacitanciaC, la resistencia R y Ia autoinductanci¿r1,. Analüalemos ahora el modo en que los tres juntos tleterminan ia corriente producida por una fem dada. Suponiendoque la con'iente 1 en el circuito de la fig. 17.2t)(a)está en el sentido indicado,aparecen cargas q y -- q en las placas del capacitor C tales que

I : dqldt.

(17.27)

Estas cargasproducenuna lem Vc : qlC. EI signo mrnos aparece porque la fem se opone a la cor¡iente ,¡ corno resuitarlo de la tendencia del capacitor a descargarse a través del circuito. E,n le inr-luctancial, ha.v otra fem Yr:.L(dlldt) conÍornie ¡r la ec. (17.17)"Pueqlehabcr adeni:1salguna otra fem aplicada al circriitc, tal cti.¡..ola i'-¡ mostrarJacn ia fig. i7.20(h). (a) Osci/ccír¡ne.s liÓ¡es. Consid¡,'rarcmos prinrcro cl caso crr que están presentes sóltrlas dos fem l'¿ :.. I'c. ilr¡ tst.¿cÍrscla col'rientese inicia cargantloel capacitor o variando el flujti magnélicr-r a traves dc la i¡iciuctanciac intercalando y di:spués

Fi gura 17-20


t/.10)

Oscilacioneseléetricas

665

desconectando(como en Ia fig, 17-15) una fem externa. Por lo tanto, aplicando la ley de Ohm, ec. (16.64), tenemos

R¡:-t#-+

ó

RI:Vr*Yc

(r7.28)

Derivando la ecuación respecto a /, tenemos ^dI It-:-L dt

, d ,I dtz

I

dq

c

dt

Usando la ec. (17.27) y pasando todos los términos al primer miembro de la ecuación, obtenemos

L üI + R l L +'Cl¡ : 0 . dF

di

07.n)

Esta es una ecuaeión diferencial cuya solución da la corriente 1 en función de l. Los parámetros Z, R y C caracterizan el circuito. Ahora bien, esta ecuáción es formalmente idéntica a la ec. (12.51), correspondiente a las oscilacionesamortiguadas de una partícuia, si establecemos las siguientes correspondencias.L e m, R +-r r, l/C<-+k. En consecuencia,todas las expresiones dadas allÍ se pueden aplicar en este caso. Las cantidades 1 y
'r:R l 2L,

.: V W - r c ¡ + ü ,

(17.30)

y la corriente está dada en función del tiempo por la misma expresión (12.54), que escribimos ahora en la forma I :

Ioe-f, sen (tof { al

(17.31)

Fig. 1?-21. Variación de Ia corriente de descarga de un capacitor en función del tie m po; ( a) c uanr t o R2 < ALIC, (b) cuando Il2 > ALIC.


666

del tíernptt de¡;endienf¡:." Ca..nposelerlroma¡tnétícos

{17.1(}

que el estudiantr. puede verifical Dor sustitucicii:llri:ct¡¡ en la ec. (17.29). En la fig. 17-21(r) se da.la grirfica de la corriente en f';:rciÓndel tiempo' Yemcs que se estrblecc r¡;¡a cori'ienie cscllitot'i¡¡ c altcrna ctr3'a arnpiitud decrece con el tiempo' Cuanciola resisttncia .R es niuy pequeila eil colnl)aracióncon la inductancia -L, podemos despreciar tanto i' cr¡nro ei Íriiirno termino en la expresión dc o, con lo que resulta I : fo sen (rof * a), de rnoCo que las oscilacioneseléctricas no son amortiguadas y' tiene:r una frecuencia

(r7.32)

ô : l t¡tc.

iie un circuito LC y es equivalentea la Esta se denomina frccuenciacaracterlstíca frecuencia .o : lA'¡* de un oscilador no amortiguado. Obsérveseque el amortiguamienta cir iln circuito eléctrico proviene tle ia disipación de energia en la resistencia R. Si la resistencia es suficienternente ¿trande como paru qtte RzlALz> 1'lLC ó P;2> 4LlC, i:l irercucncia,r se hac:eimaginaria. En este caso la cOrrientedisminuye graduaimente sin osciiar como se muestra en ia {ig. 17-21(b). Las oscilacionesque hemos estudiado, en las cuales no hay una fem externa aplicada, son las oscilaciones libr¿s del circuito. I/¿ : I/c,osenoyf

Fieuro 1?-22

(b) Oscilacionu forzadas. Las oscilaciones eléctricas forzadas se producen cuando agregamos al circuito mostrado en la fig. 17-20 una fem alterna de la forma Vs : Voo ser
Vt *

Vc *

Vs6 sen o¡f.

Repitienclo el procedimiento usado para obtener la ec. (17.2g), derivamos respecto al tiempo y ordenamos los tér¡ninos en la forma

"

!# * o !i¡" :,¡vs¿cos ro¡r. +

(17.33)

Esta ecuacióu es mu¡r similar a la ec. (12"56) para las oscilacionesforzadas de una particula, pero con una diferenciaimportante: la frecuenciat,lt aparececomo factor en el segunrlo miembro de la ec. (17.33). La razón de esto es que, debido a la relación I : dqidt, la corriente en un circuito eléctrico correspondea la velocidad a : hldt en ei movimiento de una partícula. Podemos ahora aplicar las fórmulas de la sección12.i3 con la correspondenciaapropiada para ias cantidades tal cual se rnuestra en la Talila 17-L. 'lenemos entonces que la coriente está dada nor I :

Io sen (.,:¡f-- a)

(17.34)

donde, si usamosla ec. (12.62)para la anpijtuC ao de la velocidad,con la corres-


17.10>

Oseilacioneselécbícas

667

pondencia apropiada, la amplitud de corriente es

vsu

t-

(17.35)

+-6,r-\.,q' 11rc TABLA

17-l

Correrponilencla entre un ogcilailor rmortiguailo

y un olroulto elóci¡leo

Oscilador

Circuito eléctrico

masa, m amortiguamiento, I constante elástica, k desplazamiento, r velocidad, u : drldt fuerza aplicada, Fo

inductancia, -L resistencia,R inversa de la capacitancia,llC carga, g corriente, I : dqldt fem aplicada, Ves

Usando las expresronesobtenidas en la sección 12.14,podemos expresar la impedancia der un circuito eléctrico en la forma

z : ] / R r + @ú - rl-ú)'.

(17.36)

I-a reactancia del circuito es X:

(r7.37)

o ,tL _ l l a ¡ C ,

de modo que

(17.38)

z:l /R r+xz y la dilerencia de fase a entre la corriente y la fem aplicada se obtiene de

tgn:+:

< ¡ t L - r l" ñ .

(rz.B9)

RR

l,as cantidadesZ, R, X y ¿ estánrelacionadascomo se muestra en la lig, 17-23,

a)0

o

, r L >L ^ '

@ f'

l'ig" 17-28. Relación entre resistencia, Fig. 1?-24. Vectores rotantes de la coreactancia e impedancia. riiente y de la fem en un circuito de corriente alterna-


668

(17-10

dependienle.s del tiempo Campos electromagnélícos

o)0

o

u L >J : qlL '

Fig. 17-26. Variación de la corriente y de la fem en función del tiempo en un circuito de CA. que es una reproducción de la fig. 12.39.Nótese que tanto la reactancia como la impedancia se ¿xpresan en ohms. Por ejemplo, expresando el término <¡L en función de ias unidades fundamentales se tiene s-r H : m2 kg s-r g-2. Esta es la misma expresión obtenida en la sección 16.10 para el ohm. El estudiante puede hacer la misma verificación para el término l/eoC. Si R y X se expresan en ohms, también Z, en vista de su definición (17.38), se debe expresar en ohms. Se pueden representar la fem V6 y la corriente 1 mediante vectores rotantes, como se ilustra en la fig. 17-24. Las componentes de los vectores según el eje X dan los valores instantáneos de Ve y de 1. La corriente I sigue o precede a Ia fem según que c sea positivo o negativo, o que
(17.40)

En este caso, Ia resonancia es equivalente a la resonancía de energla, estudiada

(a)

(b)

c:0

I v

st

-

/ -, 1

v L<,

Flg. 17- 9C, Relac ión ent r e f e m v c o r r i e n t c c u a n d o l a tiiferencia de fase es cero (resonancia).


17.10)

Oscilacíones eléclrícas

669

en la sección12,13.Se obtiene cuando P es máxima, Io cua! ocurre cuando ¿ :0 c o rre spondi endoa una frecuenci a o¡ :l t o c u a n d o a ¡L :1 1 .{ , C , i gual a la ec. (17.32). En la resonanciá, la corrignte tiene amplitud rnáxima y está en fase con la fem, lo cuai significa potencia media rnáxima. Los vectores rotantes Vc e / están en fase o superpuestos'y la cor¡iente y la fem varían corno se muestra en la fig. 17.26. Como en el caso de las oscilaciones forzadas de una particula, la solución gene¡al de la ec. (17.33) es la suma de la ec. (17.34) y de una corriente transitoria dada por la ec, (17"31). Sin embargo, el térrnino correspondiente a la ec. (17.31) se hace rápidamente despreciable a causa del amortiguamiento y sólo es necesario tener en cuenta la ec. (17.34). No obstante, cuando ocurre una modificación en el circuito, tal como una variación en ¿, C o R, el término t¡ansitorio aparece por un corto iiempo hasta que el circuito se ajusta a las nuevas condiciones. EJEMPLO 77.7. Un 'circuito tiene una resistencia de 40 O, una autoinductancia de 0,1 H y una capacitancia de 10{ F. La fem aplicada tiene una frecuencia de 60 Hz. Encontrar la reactancia, la impedancia, el defasaje de la corriente y la frecuencia de resonancia del circuito. Soiueión: La frecuencia anguiar es
tenemos que

X: < ot l- lla¡ C: 227C l . La impedancia es entonces

z : y R+

X r: 2 3 1 o .

El defasaje es, conforme a la ec. (17.39), tg a :

XIR :-5 ,6 7

ó

a:-80b.

Por lo tanto la corriente precede a la fem. Para la f¡ecuencia de resonancia encontramos, usando la ec. (17.32), ^"

: lt llLC : 10s s-l

DJEMPLo 77.8. Estudiar vectores rotantes.

ó

v : ul 2n:

159 ÍIz.

un circuito de corriente alterna usando la técnica de los

Fig. 1?-27. Diagrama de vectores rotantes para el circuito mostrado en la fi$. 7?-22.


670

dependientes del tíempo Campaselectromagnétícos

(17.11

solueión¡ Los resultados esta-biecidosen Ia sección 17,1Gse pueden obtener mu¡l fácilmente por medio de ia técnica de los vectores rotantes. Obsérveseque la ecuación del circuito se puede escribir en Ia forma V e os e n< o ¡ t: R I -

V t -.- V c : R I + L + + +. dtc

Del mismo modo que decimosque rQ.fes la difere¡rciade potencial en la resistenciaR, podemos decir que L(dIldt) y c¡lC son las diferenciasde potencial (o cafdas de voltaje) en la inductancia y en la capacitancia respectivamente" Si suponemos que f : Io sen (:(D¡t- a), el vector rotante de la corriente queda atrás del de la fem en un ánguio a (fig. 11-27>.Ahora bien, pudemos considerar al vector rotante de la fem como suma de los vectoresrotantes correspondientes a los tres términos del segundo miembro de la ecuación anterior. Notemos que y que q : I I dt : -(7l a¡)Iscos (o¡f-cr). P odemos d l l d t : < o ¡l oc o s (.¡f-c ) escribir entonces Caida de potencial en la resistencia: RI :

RIo sen (<¡tl- cr),en fase con f.

Cafda de potencial en la inductancia: L(d.Ildt): atLIo sen (<.r¡f -a

* *¡), delante de .I en {zr.

Cafda de potencial en el capacitor: qlC : (l/otQ fo sen (.rf -

¿-

*rc), detrás de I en |:r.

Los tres vectores rotantes se muestran en la flg. 17-27, donde la llnea de referencia está dada por el vector rotante correspondientea Ve. Sus amplitudes son R.Io,
vlo : R¡ro'+ (.'r -*a)'rt o sea Veo :

[/ R8 * (<¡¡I -

Ll<'t¡C)sIs'

Si despejamos.Io de esta ecuación,el resuitado es idéntico a la ec. (17.35).El ángulo c se puede obtener de la flgura, resultando un valor que concuerda con la ec. (17.39). La técnica de los vectores rotantes es muy usada por los ingenieros en el análisis de circuitos de corriente alterna.

1-7.17 Circuútos acoplados Consideremos doscircuitostalescomoel (1) y el (2) de la fig. 17-28.Cuandouna corriente.I, circula por el circuito (1), se establecea su alrededorun campomagnético proporcionala Ir, y a través del circüto (2) hay un flujo magnético
M Ip

(t7.4r)

donde M es un coeficiente de proporcionalidad y representa el flujo magnético a través del circuito (2) por unidad de coniente en el circuito (l). Análogamente,


17.11\

Círcuítos acoplado:;

Fig. l?-28.

671

Inducción mutua.

si una corriente 1, circula por el circuito (2), se produce un campo magnético que a su vez produce un flujo magnético ó, a través del circuito (1) el cual es proporcional a 1r. Podemos escribir entonces Qt:

(17.42>

MIz'

Nótese que en la ec,(17.42) hemos escrito el mismo coeficienteM que en la ec. (17.41). Esto significa reconocer que el flujo magnético a través del circuito (1) debido a la unidad de corriente en el circuito (2) es el mismo que antes. Este coeficiente común se denomina ínductancía mutua de los dos circuitos y se puede demostrar que detreser Ia misma en ambos casos,como hemos señalado.En otras palabras: la inducción mutua es simétrica. El coeficiente M depende de las formas de los circuitos y de su orientación relativa. También se mide en henrys, ya que corresponde a Wb A-r. Si la corriente I, es variable, el flujo o, a través del circuito (2) varía y se induce una fern Y¡a2 en este circuito. Esta fem está dada por

vMz:-M +. dt Al escribiresta ecuaciónhemossupuestoque los circuitosson rígidosy que están lijos en el espaciode modo que /Vl es constante.Análogamente,si la corriente ,It es variable, se induce en el circuito (1) una fem V¡a, dada por

VMt:-M +

(r7.43)

Esta es la razón por la cual M se llama "inductancia mutua", ya que describe el efecto o influencia mutua entre los dos circuitos. Además, si se mueven los circuitos uno xespecto al otro, lo que origina una variación de /V1, tambiéñ se inducen fem en elios. {Jsando Ia ley de Ohm podemos obtener las ecuacionesque relacionan la corriente en el circuito (1) con los parámetros del sistema. Todo Io que tenemos que hacer es sumar Ia tem V¡1,, dada por la ec. (17.43),a la ec. (17.28). Esto es, R Il :V h * Vc t* Yvt'


672

dependienlesdel tiempo Campos eleclromagnétícos

(17.1I

d o n d e V ¡, - -- L rd l rl d t y V h:.Qri C , P or l o tanto, si deri vamosIa ecuación anterior respectoal tiempo y tenemos en cuenta que -I, : dqrld!, obtenemos, en vez de la ec. (17,25\,

jll L. .drl, + R. '

dtz

dt

+

1 cl

r. : _ LI -q:r" . '

dtz

(17.44)

Análogamente, obtenemos la siguiente ecuación para el circuito (2)

L,#:* o , +++I z : - * #

(17.45)

l,as ecs. (17.44) y (17,a$ forman un sistema de ecuacionesdiferencialessimultáneas sirnilar a Ia ec. (12.36)correspondientea dos osciladoresacoplados.La constante de acoplamiento es .&1.No consideraremoslas solucionesgenerales,pero del estudio de los osciladorcsacopiadosque hicimos en la sección12.10,concluimos que habrá un intercambio de energÍa entre los circuitos. El transformadcr y el generador de inducción son aplicacionesprácticas comunes de este proceso.Otra apiicación de Ia inductancia mutua en un sentido ¡nás amplio, es la transmisión de una señal de un lugar a otro produciendo una corriente variable en un circuito llamado lrqnsmísor,'a su vez este circuito actúa sobre otro acoplado a é1, llamado receptor.Este es el caso del telégrafo,la radio, la televisión,el radar, etc. Sin embargo, pora estudiar estos dispositivos se necesita una técnica diferente que será desarrolladaparcialmente en el capítulo 19. El aspecto más importante y fundamental de la inducción es que se puede inlercambíar energta enlre dos circuítos por inlermedio del campo eleclromagnético. Podemos decir que el campo elebtromagnéticoproducido por las corrientes que circulan por los circuitos actúa como portador de energia, transportándola a través del espacio de un circuito a otro. Pero la inducción mutua entre dos circuitos es un fenómeno macroscópicoque resulta de las interaccioneselementalesentre las cargasen movimiento que constituyen sus respectivas corrientes. Podemos co¡rcluir eqtonces del fenómeno de inducción mutua que la interacción electromagnéticaentre dos partículas cargadasse puede describir como un intercambio de energíapor intermedio del campo electromagnéticomutuo. Cuando dos partículas cargadas están sujetas a una intcracción electromagnética, el principio de conservaciónde la energia se debe reformula¡ incluyendo la energia del campo. llecordar que también tuvimos que rcformular el principio de conservacióndel momentum en la ec. (15.68) para tener en cuenta el momentum del campo. En consecuenciadebemosescribir la energia total de un sistema dc dos particulas cargadas en interacción en la forma E :Er* E z j ' E * po,

(17.46)

donde E, ! Ez son las energíastle cada particula, suma de sus energíascinética y poiencial quc resulta de alguna fuerza qr-ri:actú.r solrre elias, y E"u*oo es la energia ascciada con su carnpo eiectromagnéticocomún.


! 7. f 1 )

Circt¡í.los acoplarlos

673

Se puede demostra¡'que en c¡rndicionesesiáticas(o que varian rnuy lentamente en el tienrpo), li"o,npoc0rrespondr exactamente a la energía potencial Ep : qrqrf4reur', dei:ida a la interacción coulombiana entre l¿rs dos cargas. Es Ia surna cie los trcs términos en la ec. (17.46) Ia que permanece constante durante el movirniento de las dos nartículas si no están suietas a otras fuerzas. EJnMPLa 17.{j. Una bobina que contieneN vueltas está arrollada en un solenoide toroidal que tiene n vueltas por unirlad de longitud y una seccióntransversal de nrea S. Calcular la inducta¡rciamutua del sisterna(fig. 17-29). S o frrc i rl rr..P o d e n ro ress o l v e rc l p r obl cma sea cal cul andoel fl uj c magnéti co a través riel solerlriiriecr¡ando circula una corriente por la bobina, sea calculando ei flujo rnagnéticoa travós de la bobina cuando circula una corriente por el solenoide.Sigar¡ic: el segundoprocerlimiento,que cs el rnás fácil de los dos. Podemos recordar

So le n o id e

l'ig ur a 17- 20

Fig. 17-SO. Corriente a través de una superficie cerrada que contiene una carga g.

tlcl ejernpio 16.19 que en el caso de un solenoide toroidal, el campo magnético está pon/. El flujo con f inado a s u int er ior y t iene u n v a l o r d a d o p o r l a e c . ( 1 6 . 7 1 ) , l j : magnético a través de cualquier sección del solenoide es O S: , lJ , S. - ¡ r onSf , donde S es el área de la sección transversal del solenoide. Este flujo es el mismo que el que hay a través de cualquier vuelta de la bobina, aunque su sección sea mayor. Luego, el flujo rnagnético a través de la bobina es Ct bobir a: N( Ds : p' n N S I . Cc:np::rando ésla cr.rnla ec. (17.41), se obtiene para la induetancia mutua del sistema Jf :

¡ronNS.

Este ariegio se usa mucho en cl laboratorio cuando se necesita una inductancia mutua pat-rón.


674 77.72

de!. {íentpo Campos eleclromagnélícosdepen",lienles Principio

de conseraaeiót¿

(17.12

de Ia {-:íirg(l

En la sección 14.2 discutinlos ei hechr: dc que ia cargr eldctrica se conscrva. En otras palabres: en todos los prroiesr'nqu¿ (iúurre!1en el universo, ia cantidad l:stc enrtnr:iadose pucde neta rle ca.rga sietlpre deire iienn:nt'ir-t cr)n:rlant.rrexpresAr i'il ur'a fcrma cu¿r*titatira que cs rn.tr¡luiii" ilr¡nsiderernosuna stlperficic cerraiia S (fig. 17.30) v lhnreirr'-- ¡i,'. ll chrga net"atlcntro cie ella en un insla¡rte dado, Como nuesLio prcblei:ra es'Jinárnico v no estático, las cargas iitrres j " .s e l e c i i ' r¡¡i t si ' .n l r::neLa!t' s o l os i ones e!, un t)l a$nra)se mücven { te l e l c c rrro a i.lavés riel rneciio,atravt'sdndc la superf;r:ieS. A vrces prredr:iratrcr rnás cargas salieriiesque rltran[es,
(17.47)

Ahora bien, se vio en el ejemplo 16.1 qrre el flujo neto de carga por unidad de tiempo, o corriente, a través de una superficieS es f :fsj.u¡dS, donde j es la densidad de corriente. En el caso presente la superficie es cerrada, de modo que

t : $" j .u ¡ d s

(17.48)

da la carga neta que sale a través de la superficie por unidad de tiempo, es decir, Ia diferencia entre el flujo de carga saliente por unidad de tiempo y el entrante. Por otra parte, la pérdida de carga por unidad de tiempo dentro de S es - dqldt. Por lo tanto, en tér¡ninos matemáticos \a ec. (17.17)es - dqldt:/ o sea

as' - +': f' j'"^-

(17.4e)

ecuación que expresa el principio de conservaciónde la carga suponiendo que la carga no se crea ni aniquila. Ahora bien, de acuerdo con la ley de Gausspara el campo eléctrico dada por la ec. (16.3), la caiga totai dentro de una superficie cerrada se expresa en funsión del campo eléctrico en la superficie mediante

I : eof, a .r¡NdS, por lo que

#: . , # $ "

f .r¡N dS.

Sustituyendo este result¿do en la ec. (17.49), obtenemos

(17.s0)


I /.1 3't

I.eg de Ampére-IlIanuell

675

para expresarel principio de conservaciónde la carga de una man€ra que incor pora la ley de Gauss.Cuandoios campossonestáticos,la integral 9s f .ux dS no dependedel tiempo. Luego, su derivad{ respectoal tiempo es cero, porlo que j.u,v dS :0, Ó^ JS'

(r7.51)

para campos estáticos.

Esto significa que para campos estáücos no hay acumulación o pérdida de carga en ninguna región del espacio por lo que la corriente neta a través de una superficie cerrada es cero. (Este es esencialmente el contenido de la primera ley de Kirchhoff para el análisis de redes, que se introdujo en el ejemplo 16.17).

77.73

Leg de Arnpére-Nlanwell

La ley de Faraday-Henry, expresada por las ecs. (17.2) o (17.15), establece una relación entre el campo magnético y el campo eléctrico en la misma región del espacio. La íntima relación que existe entre los campos eléctrico y magnético sugiere que debiera existir una relación análoga entre la derivada de un campo eléctrico respecto al tiempo y un campo magnético en el mismo lugar. Ahora bien, la ec. (17.2), es deci¡

{,''o':-*1" t,.

t¿NdS,

relaciona la circulación del campo eléctrico con la deúvada respecto al tiempo del flujo del campo magnético. Podriamos esperar que una relación similar debiera relacionar la circulación del campo magnético con la derivada del llujo del campo eléctrico respecto al tiempo. Hasta ahora hemos encontrado que la circulación del campo magnético está expresada por la Iey de Ampére, ec, (16.68),

.'B.dt: po j. ü¡¿ds, ls

(r7.52)

pero esta expresión no contiene ninguna derivada del flujo del campo eléctrico

i{ )

Fig. 17-31. Superficie limitada por una curva I,. Cuando la curva L se encoge hasta convertirse en un punto, la superflcie se cierra.


676

del líempo dependientes Cam¡tos electromagnéticos

3 (17.1

ytr que se obtuvo en condlcrones respecto al tiempo. Esto no es sorprendente que la iey de Ampére puede necesospechar potienios estacionarias.Sin enrbargo dependientesdel tiempo' a cainpos aplique la se sitar una revisión .oundo Ah o ra b i e n ,l a l e y d e A n rp é re.nl nf" ' -" (17.52)seapl i caai asuperfi ci eS por la cutva L, la superlimitada por la curva l. Eicepto por esta. limitada valor de pr,')-l'dl disminuye ficie S es arbitraria. Si la curva L se encoge,el punto y la super(fig. 17-31). Iri¡ralmentese anula cuanrio I se convierte en un Ampdre exige, según la ficie s se convierte en una super{icie cerrada.La ley de e c . (1 7 .5 2 ),q u e F

9;

o^*dS : 0.

''?

de la carga, en tanto el Esto concuerda con la ec. (17.51) para Ia conservación el canrpo no es estático que cuando cattpo sca estático. Siu emtargo, iabemos s i n o d e p e n d i e n te rl e l ti e m p o,i aec' (17' 51)yanoescorrecta' Lacorrectaesl a -!,sto confirma nuestra sospechade que ec. irz.bO) que inciuye la iey
I

JS

*1"

j .¿ ¿ N d S + €o

f . ?¿NdS,

de confornridad con la ec. (17.50)' Resulta

tr ^-r ls* eor r o i"a' t' N ds' $ n .a t: p,jî' * 's

(17.53)

J f,

través de la superficies, Rccorclalrdoque Jsj.1r.1 ds es Ia c.rriente I que pasa a la forma en (17'53) ec. también podemos escribir la

r .o *o - 1 i t' r r *a s. + n.at: P o+ L1l

'

(17.54)

.S

(16.t17)para ia ley de Antpére. La ec. (17'54) Hay que comparar ésta con la t'c. que entoncesel último ," ..dr.. a ta ley de Ampt:re pai'a canlpos csi.áticos,Ya cuando la línea L Se la (17.50) ec" t'.n t¡atlsfcrma térnrino es cero; aclemássc s. Por lo tanto' superficie ia cerrántlose punto, .naog" hasta convcrtirse en un anteencontradas fisicas condicioncs las todas v€mos que esta ecuación satisface riormente. tratando de hacer Hasta ahora hemos jugado ¡¡rer¡rne¡itecon la matemátlca la carga. Lin paso de conservación ley de la con t" .o-poiit la ley de Anrpére (17.53) es colTecta adicional nece.sarioes veriflcar experimentalmenteque la ec. ja naturaleza' PodemosantiV que clescribeIa situación real que sc cncuentra en clectromagnéticas, lip", qu., es así. La mejor prrreba es la exist.ellciacle ondas tema qttt: se estudiará tln el callíLulo 19' tle la Jcy de Ampere e¡r la form_a I-a p*..n,,a rlue prinrero sugiriCla 'roclificacióIt que hern,,ssen:ilaciofur el cientilico británico Jamcs Cierk Nlaxwell (1831-1879)


| 7.í3i

Leg de Ampi,rc-Manlúí

6?I

en ia segunda mitad del siglo pasado; por ello !a ec. (17.53) se denomin;¡ lev de jntrr-rdr¡jole modificaci(lnmás por la necesidatltlc comArrpért>Maxwell. tr'{axrvell patil-.ilidadmatemátic¿¡que por los resullados experimentales.Los experimentos que c.arrotroraronias ide¿s de I'Iaxu'ell sób se realiz¡ron algunos años después. I-a ley de Ampére, ec. (17.52), relaciona una c¡lttiente estacionaria con el campo magnético que produce. La ley de Arnpére-lúaxwell, ec. (17.53), va un paso más adelante e indica que un campo eléctrico € dependiente del tiempo también contribuye al campo magnético. Por ejemplo, en ausencia de corrientes, tenemos rd

{ u L

t.df

: eopo* i t-il¡ds,

(17.5s)

o I 's

que muestra más claramente la relación entrc un campo eléctrico dependiente del tiernpo y su campo magnético asociado.En otras palabras: un campl eléclríco dependienledel líempo ímplíca Ia eristencíu ile un campo magnético en eI mismo lugar: Si a ia circulación del campo magnético la llamamos fuerza magnetomotriz aplicada a la curva L y la designamoscon As, y designamos con
Jr

&F

r aumenta d @e/dt positiva

(¿/

e di smi nuye d {beldt negativa (b)

ftS. 17-32. Campomagnéticoproducido tiempo.

por un campo eléctrico dependiente del

trico a través de la superficie S limitada por la curva ¿, podemos escribir la ec. (17.55) en la forma I\s :

t,otto

dos dt

,

que el estudiante debe comparar con Ia ec (17.1) para la ley de la inducción electromagnética. La orientación relativa de los campos eléctrico y magnético si: muestra en la fig. 17-32, correspondientea un campo eléctrico unlforme depcndiente del tiempo. Si el campo eléctrico aumenta (disminuye), la orientación de las lÍneas rnagnéticasde fuerza es igual (opuesta)al sentido de rotación de un


67E

¿/¿'lliempo Campos electromagné{ircsdepeie$i¿n&:.r

{17.14

tornillo tle rosca derecha que avan¡,a er el sentiriil rlel carn¡ro eléctrico. EI estudiante debe c.omparareste resultatic ccn la {ig. i7.1. La ley de Ampere-Maxweli, tai co¡:rola expresala ec. (17.54),difiere de la ley de Faraday-Henry, tal como Ia expresa la ec. (17.?,), en varios aspectos. En primer lugar, tenemosen ia ec. 117.i,3)un térnrino que coüespondea una cor¡iente eléctríca,nientras que en la ec. (17.2) nc hav ningún término que corresponda a una corriente magnética. Esto se debe sirnplemenLeal hecho de que aparentemente no hay polos nagnéticos libres en ia naturaleza. En segundo lugar, la derivada del llujo eléctrico respecto a) Íienrpo aparece con signo positivo en la ec. (17.53), ¡¡¡ientrasque en la ec. (1?"2) ia dei flu;o magnótica aparececon signo negi:tivrr.El estudiante tarnbién piretlt verificar que ei factor reF¡ 8s conrpatible con las unidades. Aunque hemos coregido la lei; tie Arnpdre usando coino guia ei principio de ccnserlaciún tle ia carga, igualrntrtÍc podríamos hal¡er usado cl principic cle ¡'eiatividad ¡i encontradr, qüe r)u.a,ndoios ctnpos eléctrico y magnético están yelacicnadc¡reri dos siste¡nasinerciaitrsdc referencri¿¡ colllo en las ecs, (15.58) y (i5.6{}), y la leJ'de Faraday-lieni'; c-scúrrecta, tsmhitin se dehe satisfacer la i:c. i17.53)" i'i,steprocedimientc es alqo más dificil, pero es en cierto senti.domás iu¡¡da¡nsntal.

77.14

Leg

rle Am.pére-IWa,awell

en furtna

difereneial

Comc la ec. {i7.53) para la ley de Ampr.\re-Maxwelles rnuy similar a Ia ec. (17.2) para la jey de Faraday-Henry, pod':mosapliuar nuevamente la técnica empleada en ja sec. 17"7 a fin de obtener la iey clr Ampére-Maxweli en forma diferencial. t,a fig. 17-9 se reemplaza ahora por la {ig. 1?-33. Omitiendo los detalles, obtenemos análogamentea la ec. (17.10), la circulación del campo rnagnético a lo largo del camino rectangulal POfi,S de lados dr ¡' dy, en la forma

( t::::- #) *o'' fono"o'u':

(17.56)

Para establecerla forma diferencial rie la iey de Ampére, ya ubtuvimos en la ec. (16.74) el flujo de la densidad de cc¡rriente¡ tr¡vés de ia superficielimitada por P0ftS, esto es, : j , dr ,1g. | J pons J¡.u ¡¡d S

(r7.57)

Finalrnente el llujo del campo eléctricc a través de la superficie Iimitada por PQfiS es, por analogÍa con la ec. (17.57), |

-^¿' J PORS

u,v ds : (" dr lg,

y en con-secuencia .a ';;' iir dy. C. lr.r' dS , .

Í J,n^,


(17.58)

17 14).

Lcy de Ampére-Maru¡eli e¡t forma di{erencíal

6T9

Sustituyendolas ecs.(12.56),(l7"bZ)y (17.58)en la ec. (17.53) y cancelando en ambos ;niembrosel factor común dc dg resulta 6/30__())3, _ oó, , : iro../z -61 ' * eou.o os au

(17.5e)

colocandonuestro rectánguroen los planos yz y ZX, obtenemos otras dos ex_ presiones: 6)j.,6-l3u:,0(, Ag Ar:voJzt

toh

at-

aJJ, 6¡d, : tlo/c-t- rotto-fi --A* A,

(17.60)

(17.61)

Las expresiones (i7.59), (12.60)y (12.61)constituyenconjuntamentera rey de Ampére-Maxwellen forma diferencial.Las podemoscombinaren una única ecua-

Fls. 17-38. circuito elemental para deducir la forma diferencial de la ley de Ampére-Maxwell.

Flgr. 1?-84. La corriente de desplaza_ -.r, mi,ento de Maxrr-.ell ur, capacitor.

ción vectorial como ya hicimos para las leyes de Ampére y de Faraday-Henry, escribiendo

rotrB: * , (j * . r # ) ,

(r7.62)

que expresa la relación entre la corriente eléctrica en un punto del espacio y los campos eléctrico y magnético en el mismo punto. En ei espacio vacio, donde no hay corrientes,j :0 y la ec. (17.62) se convierte en

rot?J - ,roro , ff


(17.63)

680

depenriienlesdel ttempo Catnpos electronrugnélicos

{17.15

q u e e s e l c r¡u i v :i tre n d tec l a e c. (l ;-.55)en foi ' ¡ri ari i frl " ¡;l i al . E s si m.i l a-r a Ia ec. (17" 15) para la le¡'rle i:'arada¡--ilenry v inuestr¿tclarami.nte la rciación entre el carnpo magnéticoy la derrivadade! carnpoeleclrico:espectoal tiempc,en el mis¡no punto. Podenrosobscrv,:¡rque €lr Ia et. (17.t2) el t:ftcÍ,ode un campo eléctrico dependiente rJeltiempo es añadir un té¡mino eo?{'itila la ,lensidad dc ccrriente. }{axwell intcrpretó este térrnino corn0 ul)i i'o¡rientc adiciona! y la llamó cr¡nienlede d.esplazamíeni¿¡. El razonamiento de líaxwcll fue el siguiente, E,n un circuito que rlontien€ un capacitor C (fig. 17-34), éste interrurnpe la corriente 1. Para "cerrar" el circuito debe haber una corriente de u¡ia placa a la otra y esta co¡riente es precisamente(eottilAt)$, donde C es el camp() eléctrico en el capacitor y ^Ses su superficic. Sin embargo, el términu "corriente de desplazamiento" lieva a confusionesy la "imagen" de Nlaxwell es innecesaria,va que no hay tai corrir:nte entre las placas del capacitor, expresandola ec. (17.63) simplernenteuna correiación entre (','13 y j en el mismo punto del espacio.

77.15

Ecuat:iones

cle Ma.cwell

F{ecapitulemosa esta altura nuestro estudio de! carnpo electromagnético.llemos visio que r¡na claseimportante Ce interacción entre las partículas fundamentales qrre componen la materia es la Ilarnada íntuaccíón elettromagnélicq.Está relacionada con lrna ¡lropiecladcaracteristicadr c¡rr,laparticula que se denomina su t'urqa eléclrícc.P:¡ra eiescrihirla interacción ...leclromagnética, hemos introducido ca¡ecterizatlo por dos vectrrres,el campo !a nociirn tle tatnp,s cleclro¡neqnélico, eléctrlro{'y el crmpo r,tagnétícc ?J, t¿les ciu* ia fuerza que se ejerce so}rre una car¡¡a eléctrica es F :q (C ' + u x

| J).

(17.64)

I-r-rscantpost-léctricoC' y nagnético lJ cstán a su vez determinadospor las posiciont',sde las cargasv pr,r sus movimientos (o corrientcs).La scparacióndel campo clrctromagnéticoen sus componcnteseléctrica-vmagnéticr dependedel movimieato relativo del obser"'adory de las cargus que producen el r"ampo.Además los campos f y 'ü están tlirectamente correlacionatiospor las leyes de Anrpére-l\,lax*'ell y de Fraraday-I{enry.Todas estas relacionesse rKprcsan mediante cuatro }eyes r¡ue hcmos ¡r¡ralizadoen los capitulos precedentesy que se pueden escribir tanto en forma integral como en forma diferencial como en la tabla 17-2. La teoría del campo electromagnéticoestá condensadaen estas cuatro leyes. Se denominan ecuacionestle Xlasutell porque fue Maxwell quien, además de formula¡ la cuarta ley, se dio cuenta que, junto con la ec. (17.64), constif.uíanla estructura básica de la teoria de las interacciones electromagnéticas. La carga eléctrica q y ia corrienie 1 se denominan las fuentesdel campo elcctromagnético y a q u e , d a d a sq e 1 , l a s e c u aci onesdc X ax* ri i nos permi ten cal cul ar C y' l J. Debc,'nosnotar oue ias leyes dc Gausspar:r ios campos eiéctrico y rnagnér:ico, e c s . (1 6 .3 i v (1 6 .8 1 ),s t o b t uvi eron,-' n ci ci i ¡;i i .l l o 1tj pri ra campos estáti ccs.l .l o ohstanl-o,ias estamosincor¡roraniit¡ahore a ur.¡ateoria tlrre lnvolucra campos de-


17.f5)

Eeuaciones de MonweII

681

pendientesdel tiempo. El estudiantese puede preguntar si no tendremosquüá que ccrregirlasdel mismo modo que tuvimos que modificar la ley de Ampére para hacerlaapiicableen la situación de dependenciadel tiernpo. La respuesta gr:eel mencirnadoconjunto de leyesestá conforme es negativa.Seha eneonl.radc deducidasde ellas hasta ahora eoncuerdan a la experiencia,y las consecu.encias con ios resultadosexperimentales.For io tantc, las dos leyes de Gausssiguen siendoválidas cuandose aplican a camposeléctricosy magnéticosdependientes del tiempo. TABLA l7-2

Ecusolon¿sile Moxwell pora el osmpo oleeúronagn6tleo Forma integral

Ley {" Ley cle Gausspara ei campo eléctrico [(1 6 .3 ) v { 1 6 " 5 )]

$ c.",' ds : -g€6

di vd:

JS

II. Ley de Gausspara el campo magnéti c o [(1 6 .8 1 )y (16.82)l iII. Ley de FaradayÉfenr.v l(77.2) y {t7.r5)l

Forma diferencial

€9

di v (B :

f'f...,"dS:0,

f"

dr dt fs

,}.u¡¡ dS

IV. Ley de AmpéreMaxwell [(17"54) y (17"62)l

A

rotC :

0

7B

at 2f

r o t 'D :

¡roj *

eo¡¡o:

Las ecuaciones de Maxwell forman también un conjunto compatible. Por un Iado, ias ecs. (16.3) y (17.54), que involucran una integral de superficie dei campo r'léi:tric¡¡, scn compatibles porque éste fue nuestro requisito básico p¿ra corregir i* l;y ,:.r An:rpére"Por otro lado, las ecs.(16.81) y i17.2), que involucran uile ini*gral dc superficie del campo magnético, tamtrién son compatibles. Por ejemplo, aplicando la ec. (17.2) a la super{icie de la fig. 17-31, tenemos que cuando tra curva .t se encoge hasta que Ia superficie se cierra, la circulación de C es cero. Iintonces s,

l-",6 ,8. rr¡ dS : 0 dt J s

ó

: f"'tr 'n- ds const,

que coincide csln la ec. (16.81) si anularnos la constante de integración. En el espacio :ib¡.c o vacío, donde no hay ni cargas (p : 0) ni corrientes (-l :0), Ias ec¡iacicnes de Maxweli son algo más simples, siendo su forma diferencial

divf:¡,

divff:9,

rotC: +,

rot?J: €opo +,


(r7.65)

682

Campos electromagnélicosdependienlesde{ tíernpo

(17.15

las cuales presentan cierta simetria. Sugerimos ql¡e el estudiante las escriba en detalle usando las componentescartesianas' El estudiante debe comparar las ecuacionesde l\faxwell, sea en forma integral o diferencial, con las ecuacionespara el campo estático que se muesttan en la tabla 16-'1, y notar las principales modificaciones introducidas. En particular, debe observar que las leyes de Faradav-Henry y de Ampére-Maxwell suministran la conexión enire los campos eléctricoy magnético, la cual estaba ausente en las ecuacionespara los campos estáticos. Según el problema a tesolver, las ecuaciones de Maxwell se usan en forma integral o diferencial.En el capitulo 19, por ejemplo, ilustraremos cómo se usan para estudiar ias ondas electromagnéticas. Puede parecer a primera vista que recordar todas estas ecuacioneses una tarea formidable. Sin embargo no es así. En primer lugar tienen una cierta simetria que (una vez reconocida) ayuda a organizarlasen Ia mente y por aplicación continuada uno se familiariza gradualmente con ellas. Pero en segundolugar, comprender su significadoiisico es más importante qr¡e recordarlas en detalle. Las ecuacionesde Maxrvell son compatibles con el principio de relatividad en el sentido de que son invariantes frente a una transformación de Lorentz. Es decir, su forma no cambia cuando ias coordenadasr, A, z y el tiempo f se transforman confonne a la transformación de Lorentz (6.33) y los campos f y tll se transforman conforme a las ecs. (15.59)y (15.61).La demostraciónnratemática de esto pertenecea un curso más avanzado,por lo que la omitiremosaquí aunque no €s esencialmente difícil. La síntesisde las interaccioneselectromagnéticasque expresan las ecuaciones de Maxwell es uno de los mayores logros de la fisica y es lo que coloia estas interaccionesen una posición privilegiada. Son las mejor comprendidas de todas las interaccionesy las únicas que, hasta ahora, se pueden expresar en una fo¡ma matemática cerrada y compatible. Esto es bastante afortunado para Ia humanidad, put'sto que gran parte de nuestra civilización ha sido posible gracias a nuestra comprensión de las interaccioneselectromagnéticas,ya que son responsables de la mayoria de ios procesos,naturales y dehidos a la mano del hombre, que afectan nuestra vida diaria. No obstante, debemosdar¡ros cuenta que las ecuacionesde Maxwell, t¿l cual han sido presentadas,tienen sus limitaciones. Funcionan muy bien para tratar interacciones entre gran número de cargas, corr¡o ias antenas radiantes, los circuitos eléctricosy aún los haces de átomos o de moléculas ionizados.Pero se ha encontrado que las interacciones electromagnéticas entre partículas elementales (especialmente a energías altas) se deben tratar en una forma algo diferente y conforme a las leyes de la mecánica cuántica, constituyendo una técnica denominada eleclrodinámicacuánlica. Este tema nr.¡recibirá consideraciónulterior en este libro. Aun dando por sentadas esf.aslirnitaciones,los resultados obtenidos de Nfaxwell dadas en este capítulo son una aproximación excede las ecui.rciones lente para describirlas interaccioneselectronragnéticas entre particulaselementales. Estc nrétrdo se c!enomint eleclrodintlnl.ica. clusfca. Ils esta técnica aproximada ia rlue se iisará en este libro cuancio estudienroslas ondas electromagnéticasy la estructura de la materia.


F^-sóie¡nas

SSs

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Problemas 17.1 Se colocauna bobina de 200 vueltas y de 0,10 m de radio perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,2 T. Encontrar la fem inducida en la bobina si, en 0,1 s, (a) se duplica el campo, (b) se reduce el campo a cero, (c) se invierte el sentido del campo, {d) se rota Ia bobina en 90", (e) se rota la bobina en 180'. En cada caso, hacer un diagrama mostrando el sentido de la fem. 77.2 Con referenciaal problema 16.68, si la corriente varfa según 1 : fo sen
enrollados sea el mismo y en tanto la resistencia sea despreciable. 17.4 Cuando se expresa el campo magnético en gauss y el área en cm2, el flujo magnético se mide en marwells. (a) De-

Figura 17-35 finir el maxwell. (b) Mostrar que un lveber es igual a 108 maxwells. (c) Poner en la ec. (17.1) el factor numérico apro-


dei liempo Campos elerlronagneticosdepe.ndirr;l¡¿.t

684

piado dc Inod{) quc Ve sc mida ttr r,oil-i¿s Oo erl rnaxlveils. -"17,1 Ei carirpc magn¿tic,-: ):) pr¡ ic¡io:, Ios puntr-.sde¡rtro de la cirrtrnlerenc-iarle trazos
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FIacer ;r; Éiálir'o esquemiitico de ia fem j¡rrjLlti,rl:. t'n la esirir:r en función de r,
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Figürr, 1?-36 campo eléclrico inducido dentro d¡: Ia ci¡cunferencia de trazos? (b) ¿,Cuálcsson cl rnó
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1 7 . 8 S L r p o n i e n d o( J l l e l a e s p i r a d e l p r o blenz 'i7,i rota al¡€de(iur del eie AZ, (:r) ¡cuá1 ¡:s 1a ier¡r Inedia dur¿rnie los prirneros 9t)" clc ¡oiación si cl pc'rír-rdode rctaciór e5 0,2 s? (b) Calcular la fe¡n v l ¡ ¡ i r o ; r i c l : l c i l i : : t r ¡ t : i a l t e a sc n f u n c i ó n d e l tietn¡lt;, 1;.ii En Ia lig. 1?-39 sean I : 1,5 m' ii : i.),5T y u : 4 n¡ s-1. ¿Cuát es la difr-.renciade potencial entre los extremos del ccrnductor? ¿Cuál extremo está a potenciai más alto? 17.1A E1 cubo de la fig. 17-40, de un metro de lado, está en un campo magnético uniforme dr 0,2 T dirigido según el eje Y. I-os alambrcs A, C y D se nurelcn en las direccioncs indicadas, todos r:on una velocidad de 0,5 nt s-1. ;.Cuál es la dilerenci¿r de potencial entre los extri:rrros de cada aiantbre?


Probiemas

GI

68.5

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L I I

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T I I _l_ x

Flgura 17-39

Flcuro 1?-40

Flcur¡ 1?-41

t7.ll Un disco metálico de radio o rota con velocidad an€¡ular to en un plano donde hay un campo magnético uniforme 'IJ paralelo al eje del disco (ver fig. 17-41). Demostrar que la diferencia de potencial entre el centro y el borde es $coa2$. 17.72 Un solenoide tiene una longitud de 0,30 m y una sección de 1,2 x 10-3 mr. LIna bobina de 300 vueltas está arrollads en su parte central. Dcterminar (a) su inducción mutua, (b) la fem inducida en la bobina si en 0,2 s se invierte el sentido de Ia corriente de 2 A que circula por el solenoide. 17.73 Las bobinas A y B tienen 200 y 800 vueltas respectivamente. Una corriente de 2 A en A produce un flujo magnético de 1,8 x 10-' Wb en cada vuelta de .8. Calcular (a) el coeflciente de inductancia mutua, (b) el flujo magnético a través de A cuando hay una corriente de 4 A en B, (c) la lem inducída e¡r B cuando la corriente e¡r á varla dc ll A a. 1 A en 0,3 s.

La bobina 1 está conectada a una fuente externa V5, de fem. Suponer que la geometrfa es tal que un quinto del flujo magnético producido por la bobina 1 pasa por la bobina 2 y viceversa. Las resisterrcias de las bobinas son R, y R, y la bobina 2 está conectada a una resistencia externa como se muestra. Los números de vueltas de las bobinas son N. y N¡. El flujo total producido por la bobina 1 está dado por
17"14 Se colocan dos bobinas coaxialm€nte como s€ muestra en la fig. 17-42.

17.16 En el centro de una bobina circular de radio c que tiene N, vueltas, hay

Figurr 17-42

71.15 Se coloca una bobina de N vueltas alrededor de un solenoide muy largo de sección S que tiene n vueltas por unidad de longitud (ver fig. 77-34). Demostrar que la inductancia mutua del sistema es ponNs.

Figura 17-43


Fig'r¡* 1t-n*

686

(lczn¡'asele':irttntagnetircs CtpenCí;:¡:!r'; le! i!em'yt:

una bobina ¡¡1u1'pgqueña de sección ,! que tiene N, vrteltas, como sc muestrrl en la lig. 17.4'l^ L)eniostrar que la induc.tancia mutua es {¡roNrNrS cos 0/o, dolide 0 es eI ángulo entre ias normales a i.s dos bobi¡ras. t7.17 lil fiujo magnótico a través de un circuito de resistencia ¡l es (Ds, En un tiempo determinado el flujo varia e¡r A(Ds" Dernostrar que la cantidad de carga que pasa a través de cualquier sección del circuito es 0 : AOo/R, independientemente de que la variación de flujo sea rápida o lenta. 17.18 lJna bobina de 1000 vueltas y con una resistencia de 100 f) está amollada en un solenoide muy largo que tiene 10{ vueltas por metro y una sección Ce 2 x 10-3 ¡nt. La coniente que circula por el solenoide es de 10 A, En un tiempo corto dicha corriente se (a) duplica, (b) reduce a cero, (e) invierte. Encontra¡ !a cantidad de carga que circula por la bobina en cada caso. 17.19 Encontrar la autoinductancia de un solenoide toroidal de N vueltas. Suponer que el radio del bobinado es muy pequeño respecto al fadio del toro. g

Gal vanómetro

I'iguta l7-4ó 17.2A El flujo ma.gnético a través de tin circuito por el que circula una corriente de 2 A es 0,8 Wb. Encontrar su autoinductancia, Calcular la fem inducida en el circuito si en 0,2 s la corriente se (a) duplica, (b) reduce a cero, (c) invierte. 17.21 El puente ilustrado en la flg.17-45 se puede usar para comparar las dos inductancias L, y Lr. Se equilibra el puente de modo que la coniente de B a D sea cero en todo momento cuando sc aplica la fem alterna Vs. Mostrar q:ue Lrl L" -= 8'/Rn.

1?.'¿2 ::iL ei probiema 17.21 se desirreció la resisten(:ia r.!elas inductancias. Si sus resisie¡rt:iasson Il, y R, el procedimie¡to es el siguiente: se equilibra prirnero el puente hasla que no haya co¡riente entrr¡ I y I) cuando se aplica una fem ¿onslenie. A continuación se equilibra el puente como en el problema 17-21, sirr cambiar ia resistencia. Demostrar que se mantiene la misma relación.

tr'lgura17-48

-Y {

77.23 Si el circuito rectangular de la frg. 17-46 se mueve con velocidad u alejándose de la corriente rectillnea, encontrar la fem inducida. Usar dos métodos. lSugerencia:Recordar el problema 16.68 y tener en cuenta que ¿t: dr/dl.] 17.24 Reflriéndosea la situación estudiada en las secciones17.2 y 17.4,calcular el carnpo eléctrico en el sistema de referencia fijo al conductor móvil y determinar la diferencia de potencial entre sus puntos terminales. 17.25 Aplicar el estudio de la sección 12.10 al análisis de dos circuitos idénticos acoplados. 17.26 Se conecta un capacitor C que tiene una carga inicial {o & un resistorR. Si seciena el interruptor S de la flg.77-47, el capacitor se descargaa través del resistor. Demostrar que (a) la corrienteen el circuito es f : -dqldt, (b) Ia ecuación del circuito es qlc : R/, (c) la carga del capacitor al tiempo ú es q : qoeal&c,(d) la energia disipada en la resistenciapor efecto Joule es igual a la energla inicial del capacitor. [Sugerencta: Para (c) combinar (a) y (b); para (d) cal cul arl a i ntegral Í7 R I" dt.I 17.27 Un capacitor C, tiene una carga inicial go. Cuando se cierra el lnterruptor S (fig. 17-48),el capacitorse conecta


tsroblemas

+?[--_-l

-rr'

Ftgure 1?-4?

68?

t ¡r Ftgura 1?-48

en se¡ie con un resistor R y un capacitor descargadoCr. (a) Demostrar que la ecuac ió n d e l c i rc n i toe s g /C ¡* @ o -ü l C z:R I. (b) Determinar g e -I en lunción del tiernpo. L7.28 Se coneeta un capacitor C que tiene una earga inicial qo a una autoinductancia I de resistencia despreciatrle (fig. 17-49).Si se cierra el interruptor S, el capacitor se descarga a través de la inductancia. Demostra¡ que (a) la cor¡iente que cireula por el circuito es I : -- dqidt, (b) la ecuacióndel circui ta es qlC-L dlldt:O, (c) la cargaen el capacitor al tiempo f es q : go cos úrl, donde o : 1l]/ LC, de modo que se establecen oscilacioneseléctricas. Este circuito se usa para obtener oscilaciones de alta frecuencia. 17.29 Se conecta una baterla de fem Vs y resistenciainterna despreciableen serie con- un resistor R y un capacitor descargadoC (flg. 17-50).Demostrarque,

Flgura 17-49 fem alterna Ve : Vo sen of. Demostrar quc la corrienteestádada por ¡ : ( yoiR) sen
Figura l?-60

17.33 La amplitud de voltaje de una fuente de CA es 50 V y su frecuencia angular es 1000 s-r. Encontrar la amplitud de corriente si la capacitancia de un capacitor conectado a la fuente es (a) 0,01 ¡.rF,(b) 1,0 pF, (c) 100 ¡,tF.(d) Construir un gráflco bilogarltmico de la,corriente en función de la capacitancia.

después de cerrar el interrüptor S, (a) la corriente en el circuito es / : +dqldt, donde q es l¿ c¿¡g¿ acumulada en el capacitor, (b) la ecuación del circuito es Vt - qlC : Á/, (c) la carga en función dei tienrpo es q : YsC(1 - ell?c), la corriente en función del tiempo es I: { f ' ¿i¿l) e- úls c . Repr es ent ar g é 1 "n funcién del tiempo. 17.30 Un circuito está compuesto de una resistencia a la cual se aplica una

77.34 Un ci¡cuito está compuesto de una fem alterna de amplitud V6o y frecuencia angular o conectadaa una autoinductancia Z. (a) Encontrar Ia corriente. (b) Dibujar los vectores rotantes correspondientesa la fem aplicada,a la calda de potencial en la autoinductancia y a la corriente, (c) Representarla corriente en función de co y de l. 77.35 A la fuente del Problema 17.32 se conecta un inductor de autoinductancia 10 H y resistencia despreciable.

R

r/*_.l.

T-->__r-


Problemas

689

f{epresentarel vector rotante de la fem. Luego, usando los resultadosde los problemas1?.34y 17.37,dibujar losvr:ctores rotantes correspondientes a la corriente en la resisteneiay en Ia inductancra. Su resultante da la corriente total de la cual se obtienen Ia impedancia y la diferencia de fase.l I

v{¡ Va

I-

l'" Flguro l7-68 17.45 Repetir el problema precedente para los tres circuitos ilustrados en la flg. 17-53. 17.46 Se conectauna bobina que tiene una resistenciade 1 O y una inductancia de 10-3 H en paralelo con una segunda bobina que tiene una resistenciade 1 O )¡ una autoinductancia de 3 x 10-3 H. Se aplica al sistemauna fem alterna con una amplitud de 10 V y una frecuencia angular de 120r s-1. Calcular (a) Ia corriente que circula por cada bobina, (b) la corriente total, (c) Representar Ios vectores rotantes de la fem, de la corriente en eada bobina y de la co¡riente total. (d) Verificar que el vector de la corriente total es igual a la suma de los vectores de cada corriente, 77.47 Un circuito está compuesto de :¡n inductor y un capacitor en paralelo, conectadosen seriecon un resistorcomo se muestra en la fig. 17-54.(a) Dibujar

Flgun 1?-64

los vectores rotantes correspondientesa V5, It, Ic, RI, Vz y Vc. (b) Demostrar que Ia impedancia del circuito es ÍR' I o2L2l(l - a2LQ2lrrr. ¿Cuál es el valor de Ia impedancia cuando

x Fisure 17-65

Cam¡tos eleúromagnéticosdepenriientesde! tíempo I7.49 Demostrar que si '¡i -- Cir se saCalcutisface la ec. (17.8). ISugerencia-' lar ')3 para r arbitrario, introducir el valor en la ee. (1?.8)y calcular la derivada respectoa r.l 17.50 Una cargag dc masa m se mueve en una órbita circular de radio p bajo la acción de una fuerza centrlpeta F. Duranle cierto intervalo de tienrpo,se establebeun campo magnéticouniforme perpenclicularal plano de ia órbita. Usando ia iey de la inducción electrontagnética, demostrar que la variación del niódttlo de la velocidaddel ion ss i¡i:--qp )li2m y que Ia variación correspondientedel ;no¡nentomagnéticoes Arn :-(l'?' llm) )J . C o m p a ra rc o n e l e j e n rp l o16.21.IS uilerencia: Para obtener la aceleración langcncial mient¡as el campo magnético está variando, usar la ec. (17.6)obteltida al discutir el betatrón.l 1'7.51 Refirióndosea la situación descrita en la sección 17.5 (a) demostrar que en el sistema de referencia en el cual el circuito está en reposo y el campo magnético rota con velocidad x %, (b) Esangular - er, A(nlAt cribir la ec. (17.15) con este valor de QV3l7ty, usa¡rdo el resultado del problema 16.64, demostrar que el campo eléctrico observadoen este sistemade re(c) Deferencia es d : 11cox )l) * ". mostrar que la fem producida por este campo eléctrico es la misma que la fern medida por el observadorfijo al canrpo magnético.fSugerencia:Notar que ]r x dt es el área del triángulo determinado por ambos l'€ctores Y que A \ R'C -4 .8 x f,. 1 17.52 En una región donde hay un campo magnéticouniforme')I, el móduio del campo está aumentandocon una rapirlez constante, es decir, 0l1i?t : o, donde b es un vector constanteparaielo a 19,(a) Denrost¡ar que, cotrlorme a la

ec. (17.15)"el campo el éctri coen cada punto es ¿ : - lb x t. (b) Coiocando el eje Z paralelo al campo magnético, obtener las componentes cartesianas de f. (e) Representar las llneas de fuerza tle los campos eléctrico y magnético. 17.53 Encontrar el flujo eléctricoa través de una eslera con centro en una carga que se mueve a alta veiocidad. lSugerencia:Usar la cxpresión (15.64) dc l a l ey de Gauss.l 1?.54 Escribir la forma diferencial de las ecuacionesde Maxwell (tabla 17-2) usando el operador V. 17.ó5 Demost.rarque la forma diferential de la ecuaciónde continuidad117.51) xs AplAt: - div j. 17.5ij Demostrar que para que la ecuación de continuidad escrita en el problema 1?.55permanezcainvariante bajo una tra¡rsformación de Lorentz para todos los observadoresinerciales,es necesario que la corriente y ia densidad de carga se transformen de acuerdo con la ley .. : j',

i t* ou -::=-:=, V | - ¡¡21¿z

i ' z:

i z,

, t J _ . ' --r-_ -

i'v : iv,

? - iúlcr V 7 - ullcz

Escribir el lfmite no relativista de estas expresionesy discutir su verosimilitud. [SugerencíarRecordar que i - pD es la densidad de corriente para cargas que se mueven con velocidado.l 77.5i Verificar por $ustitución directa que la ec. (17.3-t)es solución cie la ec. (17.33) si io y ¿ están dados por las ecs. (17.35) y (17.39), respectivamente. ISugerencia.' Desarrollar primero sen (r¡f -- a) y reemplazar sen .úy cos crpor los valores obtenidos de la ec. (17.39).1


688

¿¡r,¡,.' ¿JeiÍler,'ipr. Campos eleüromnqnélist¡; $.sp¡¡1rli

Encontrar la anr¡r1il.uddc cornerrte ¡:i¡an.. do la f r ec uenc ia angular es ( a ) 1 ü 0 s - r . (b) 1000 s-r, tc) 10.000 s-'. (d) flolstruir un gráflco biJogar'Ítmico de la arnplilrrd de corriente en funci/rn de la frecuencia.

{:!liiiar ri alnpi!.|;rti }¡ le fase respecto a la f i::il rlo ics Ciiercnci¡.s
17.43 Un circuito consiste en una fem alterna,de valor máximo 100 V, una resisteneiade 2 O, una autoinductancia de 10-3 H y una capacitancia de 10-3 F, todas conectadasen serie. Encontrar el valor máximo de la corriente para los siguientesvalores de la frecuencia angular de la fem: (a) 0, (b) 10 s-', (c) 102s-1, (d) resonancia,(e) 10as-r, (f) 1ff s-1.ReFlgura 17.51 I

comparar con V6o para obtener la impedancia. EI ángulo entre el vector rotante total de la fern y el vector rotante de la corriente da la riiferencia de fase.] 17.38 Repetir el probiema precedente para un circuito compuesto de (a) una resisténciay una capacitancia,(b) una inductancia y una capacitancia. 17.39 Una bobina que tiene 20 vueltas y un área de 0,04 mr rota a 10 rev s-l en un campo magnético de 0,02 T. La resistenciade la bobina es 2 0 y su autoinductancia es 10-3H. Encontrar la expresión de (a) la fem inducida, (b) ta corriente. 17.40 En el circuito de la fig. 1?-51 V c -= l ' .:' os e l r< ¡le s u n a fe n l al tei na.D n-

Fl eura 17.62 presentar la corriente en función del logaritmo de la frecuencia. 77.44 Un circuito está compuesto de una resistencia y una inductancia en paraielocomo se muestraen ta fig. 1Z-52. Demcstrar que la impedanciatotal tlel circuito está dada por ti z -. f uR ; + ti G,,rt y la fa-sepor arctg (Rla¡L). fsugerencía:








































































































































































Fisica Vol. 2 - Alonso & Finn

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