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REGLAMENTO DE DISEÑO CONSTRUCCIÓN, OPERACIÓN DE REDES DE GAS NATURAL E INSTALACIONES INTERNAS ANEXO 5 Instalaciones de Categorías Doméstica y Comercial de Gas NaturalDescripción completa
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Índice I Bimestre Capítulo 1
Teoría de exponentes
5
Capítulo 2
Polinomios I
8
Capítulo 3
Polinomios II
11
Capítulo 4
Productos notables I
13
Capítulo 5
Productos notables II
16
Capítulo 6
Repaso
19
Capítulo 7
División algebraica I
21
Capítulo 8
División algebraica II
24
Capítulo 9
Factorización
27
II Bimestre Capítulo 10
MCD - MCM - Fracciones algebraicas
31
Capítulo 11
Teoría de ecuaciones
34
Capítulo 12
Planteo de ecuaciones
37
Capítulo 13
Ecuación de segundo grado
40
Capítulo 14
Ecuaciones polinómicas
43
Capítulo 15
Sistema de ecuaciones
45
Capítulo 16
Desigualdades - inecuaciones de primer grado
48
Capítulo 17
Inecuaciones de segundo grado
51
Capítulo 18
Repaso
53
III Bimestre Capítulo 19
Inecuaciones de grado superior
56
Capítulo 20
Valor absoluto
58
Capítulo 21
Logaritmos I
60
Capítulo 22
Logaritmos II
63
Capítulo 23
Funciones I
67
Capítulo 24
Funciones II
70
Capítulo 25
Funciones III
74
Capítulo 26
Repaso
78
Capítulo 27
Progresiones
82
Capítulo 28
Binomio de Newton
86
IV Bimestre Capítulo 29
Radicación
89
Capítulo 30
Cantidades imaginarias
91
Capítulo 31
Repaso
94
Capítulo 32
Función Biyectiva, Inversa y Compuesta
97
Capítulo 33
Función exponencial y logarítmica
101
Capítulo 34
Programación lineal
104
Capítulo 35
Repaso
109
Álgebra
Álgebra
1
Teoría de exponentes
Ejercicios resueltos 1. Si: xy=2, (donde x>0), halle el valor de la expresión: (Ex. Admisión UNMSM 2010–I)
y −y y (4 x ) x . (x x ) y + (x2) − y 2x 2y − 6x − y
Resolución Preparamos convenientemente a la expresión:
x+3 x+2 x+1 x 5. Calcular: A = 5 x − 3 + 5 x − 2 + 5 x − 1 + 5 x 5 +5 +5 +5
a) 1
c) 0
11. Si: x x = 3 16
− 1 2
c) 1 3
b) 9
b) –1
Calcular M = x 2y + 1
−1
c) 1 2
−81 −16
x+1
x
4 42 p 23
b) 4
49 2
10. Si: 73 = 49 y
c) 3 4
3. Reducir: M = f
= 49
a) –2
4 5 .6 2. Simplificar: A = 30.10 2 96 .15 4
a) 1
343 x
7
a) 1 5
a)
1 125
c) 125
Quinto año de secundaria
Capítulo 02
2
Polinomios I
Ejercicios resueltos 1. Si la expresión: P(x;y)=3x5yn+mxa – 2y6+bx5yb+1 se reduce a un monomio de coeficiente 10, halle el valor de m+n+a+b.
Resolución El dato expresa; que los términos del "polinomio"
además: 3+m+b=10
se reducen a un monomio; por lo tanto:
a=7
3x5yn; mxa – 2y6; bx5yb+1.
m+b=7
son términos semejantes.
`m+n+a+b=7+7+6=14
& a – 2=5 / n=6; b+1=6
m+n+a+b=14
2. Halle el valor de "h" si en el polinomio P(x)=(2x – 1)3+4x+2h se cumple que la suma de su término independiente con la suma de sus coeficientes es 12.
Resolución Por propiedad: / coef.P(x)=P(1) / T. Independiente P(x)=P(0) luego, se establece; del dato: P(1)+P(0)=12 donde: P(x)=(2x – 1)3+4x+2h entonces: (2 – 1)3+4+2h+(0 – 1)3+0+2h=12 [ 1 +4+2h – [ 1 +2h=12 " 2 x 2h=8 ` h=2 3. Sea P(x)=x2 – 3. Si f(x)=P(P(x)), halle el término independiente aumentado en la suma de coeficientes del polinomio f(x).
Resolución Piden:
P(1)=12 – 3= –2
T. Independiente f(x)+/ coef. f(x)
P(P(1))=P(–2)=(–2)2–3=1
Por propiedad: f(0)+f(1)
y como:
Del dato:
f(0)+f(1)=P(P(0))+P(P(1))
P(P(0))+P(P(1))
` f(0)+f(1)=6+1=7
P(0)=02 – 3=–3 P(P(0))=P(–3)=(–3)=(–3)2 – 3=6
8
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Álgebra
Problemas para la clase 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones matemáticas representan a un polinomio?
polinomio se cumple que: GA(p)=8 ∧ GR(y)=5
I. P (x, y) = 3x2 y3 + 5 x2 y 4 + 9 2
P(x,y)=3xm+1yn–3+7xm+2yn–1+11xm+3yn–2
II. Q (x, y) = 5x −2 y + x 4 y9 + 3x 4
a) 2
III. R (x, y) = 8 x y − 4x −2 y3 + 9
b) I e) I, II y III
P (x) = x a) 3
8 5 + 3x − a
b) 5
a) 25 d) 7
c) 2
d) –7
e) –14
4. Sean los polinomios:
Calcular "F(4)+G(1)" b) 104 e) 112
c) 114
F(x)=(3nx–2n)3+8xn–576x excede en 8 al término independiente, entonces el valor de "n" es: b) 3
c) 6
d) 7
c) 10
d) 12
b) 1
c) 2
d) 3
e) 20
e) 4
c) 8
d) 9
e) 12
Central 6198-100
c) 47
1 4
2 6
b) 12
c) 10
d) 2
e) 8
x2 y5 3 x 4 y2 4 xmn yn
b) 2
c) 4
d) 6
e) 7
a) 2x2–12x+8
b) 2x + 16 − x + 4
c) 2x − 5 x − 4
d) 2x − 16 − 5 x + 4
e) 2x − 16 − 5 x − 4
F(x,y,z) = (9a + b) xa+3 y5 zb–2 si sus grados relativos son iguales b) 16
x P(x)
16. Si: P(x2+1)=2x2–5x+8, hallar "P(x–3)"
9. Hallar el coeficiente del monomio:
a) 65
14. Dado el polinomio lineal que presenta resultados mostrados en el cuadro:
a) 1
H(P(x))=5x+4 b) 7
n+1 x+b e) a ax + b
n+1 c) a n x + b a x+b
Si GR(x)=2 ∧ GA(m)=5 ; Hallar "m+n"
Calcular "P(2)" a) 6
an x + b a x+b n−1
15. Sea el monomio: M (x, y) =
8. Se definen: H(x+3)=5x–1
c) x–1
n−1 x+b b) a ax + b
a) 14
7. Si: F(x–1)=2x+1. x , resuelva "F(a+2)=16a+48" a) 0
e) 20
Calcular "P(0)+P(5)"
Hallar el valor de "k", si: P(Q(x))–Q(P(x))=20 b) 4
b) 2x e) x+1
n+1 a) an − 1 x + b a x+b
e) 5
6. Dados los polinomios: P(x)=2x+3 ∧ Q(x)=x+k a) 5
d) 30
13. Se define: P(x)=(ax+b)(a2x+b)(a3x+b)...(anx+b)
d)
5. La suma de coeficientes del polinomio:
a) 4
c) 29
Hallar " P (ax) " P (x)
F = ^ x + 1h = x2 + x + 2 / G ` 2x − 3 j = 3x + 1 x+4 a) 96 d) 94
b) 27
a) x d) 2x+1
Calcular A= P(Q(2)) b) 1
e) 5
12. Se define: R (x + 3) = x + 4 / R (N (x)) = x x+2 x−3 Hallar "N(3+3x)"
e) 6
3. Si: P(x)=5x2–7x+2 ∧ Q(x)=x3–7 a) 0
d) 6
El GR(x)=15; además GR (x) = 5 GR (y) 4 Hallar el grado absoluto del polinomio
+ 2x 4 − a c) 4
c) 4
Q(x,y)=xa+2by7–b+xa+by10–b+xa+3by9–b
c) IV
2. Cuál es el grado del polinomio: a−2
b) 3
11. En el polinomio:
IV. S (x, y) = 5x2 y 4 + 8x x y3 + 10 a) I y IV d) II y III
10. Indicar el valor de n ; si se sabe que en el siguiente m
a + b − 3c = a − 3b + c = − 3a + b + c a − 3 b + c − 3a + b + c a + b − 3c Siendo a + b + c, un número comprendido entre 180 y 636 , calcular en Gr(x) del polinomio:
P(5)=4 ; Calcular "P(Q(1))" a) 4 3
b) 1 3
c) 2 3
d) 5 3
e) − 4 3
19. Sea P un polinomio, tal que:
F (x, y, z) = x
P(x,y)=P(x)+P(y) ; 6x, y ! R b) 3 e) 6
+y
b+c 5
+z
c+a 2
Sabiendo que este posee grado mínimo
Si además P(10)=0 , calcular M=P(7)+P(99)+P(1001) a) 1 d) 0
a+b 3
a) 50 d) 60
c) 1107
b) 90 e) 40
c) 30
Tarea domiciliaria 1. ¿Cuál o cuáles de las expresiones matemáticas representan a un polinomio? 4 8
9. Hallar "n", si el grado del monomio es cuatro: E=
4 11
I. P (x, y) = 5x y + 3x y + 2 II.
1 3
III. R (x, y) = 7x −1 y + 2x 4 y + 2 4 y
IV. S (x, y) = 2x y − x y + 4x a) I y IV d) II y III
P (x) = 7x a) 1
− 2x
+x
b) 3
c) II
a) 8
c) 28
b) 6
d) 9
e) 5
c) 4
b) –3
c) –5
a) 18
d) 30
e) 32
d) 2
a) 1,5 d) 2,5
b) 1 e) 3
b) 38
c) 39
d) –6
e) –9
b) 18
c) 9
e) 32
b) 21
c) 20
d) 24
e) 30
Cuando: x = 1 + 1 + 1 + ... + 1 2 6 12 9900 a) 1
b) 2
c) 3
d) –1
e) 0
13. Siendo: P(x,y,z)=xmy2n+1z(xm–1yzn–1+(xy)mzn) Además si GA(p)=17 ∧ GR(y)=9 Calcular A=(m–n)n a) 1
c) 2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
14. Indicar el valor de "n" en el monomio P (x) = d) 40
e) 41
d) 17
e) 16
8. Se cumple: P(Q(x)–2)=3x+1 P(x–1)=x+3 Calcular "P(Q(2))" a) 19
d) 24
2 P (x) = c 100 x m − c 100 x m + 1 99 99
7. Dado: F(x+3)=2F(x+1)+5 Además F(2)=6 ; calcular F(6) a) 37
c) 20
12. Calcular el valor numérico de:
e) –4
4P (x) − P (4x)
6. Si: P(4x–3)=x , calcular
b) 12
Calcular la suma de coeficientes
5. Calcular el término independiente de: P(x–1)=x2–5x+3 sumado con la suma de coeficientes de Q(2x–3)=2x2–5x–3 a) –1
e) 8
P(x,y)=3mxm–3yn+5–5nxm–7yn+6+7xm–3yn+9 Si GR(x)–GR(y)=–7, además GA(p)=9
4. Si: P(3x–5)=x2–3, calcular P(–8)+P(4) a) –2
d) 7
11. Dado el siguiente polinomio
6−a
c) 7
b) 26
c) 6
7
3. Si: P(x)=3x2–2x+5 ∧ Q(x)=x3–5 Calcular A=P(Q(2)) a) 24
b) 5
A (x) = 2n x5 ^3xh2n 7 ^3xh7 si tiene como grado a "2n"
2. Cuál es el grado del polinomio: 9 6−a
x
−1
10. Indicar el coeficiente del monomio 4
b) I e) IV
a−5
x3n + 2
x2
a) 4
Q (x, y) = 3xy7 − 2x y + 1 3 4
3
a) 2
3
x
3
x2
3
b) 3
x3 ...
3
xn Si su GA(p)=7
c) 4
d) 5
e) 6
15. Hallar la raíz cuadrada de la suma de coeficientes del siguiente polinomio P(x,y)=(2a2+b)x5–aya+(a–2b)(xy)a+(b+4a–3)xa+1ya–3 Sabiendo que a2–2ak+2a=4k ; a, b, k ∈ + a) 5 10
b) 6
c) 9
d) 7
e) 4
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Álgebra
3
Polinomios II Problemas para la clase
1. Si el polinomio:
8. Sea el polinomio homogéneo:
n–2 m
n–3 m+1
n–1 m–1
c) 3
d) 5
R(x,y)=x5yn+2xm+2y3+3xn+1ym+2+4xmy5 Indicar el producto de coeficientes de P(x)=mxn+nx3+nmx+m
P(x,y)=2x y +3x y –4x y es homogéneo de grado 10 y GR(x)=6 Calcular m + n n−m a) 1
b) 2
a) 2
e) 6
b–c+1
a+b–4
b) 9
c) 3
d) 14
b) –10 e) 16
a) –6
e) 17
3
a) 1
b) 3
a) –2
n
3
n–2
R(x)=(25x +7) (100x –1) Calcular
n+6
a) 2
b)
10
c) 10
(2x –1) es 49
b−a
a) 3
e) 3
d) 1
a+b 4
a) 7
b) 5
y + a (xy) b
Central 6198-100
b − 1+ 9
c) 8
− x17 y2b
e) 8
e) 6
b) 240 e) 24
c) 51
b) 4
c) 8
d) 16
e) 25
14. Si el polinomio:
2+ 1
d) 4
d) 1
Hallar el grado de Q2(x)
7. Obtener la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: P (x, y) = bxa
c) 8
P7(x)Q3(x) es 19 y el de P5(x)Q(x) es 9 a) 1
c) 10
b) 4
13. Dados los polinomios P(x) y Q(x), tal que el grado de
P (1) + b
b) 5
e) 3
a) 18 d) 54
6. Si el polinomio de 18 términos: P(x)=xb+8+...+xa–5+xa–6+(a–8)xa–7 es completo Calcular
c) 31 6
b) 37
Si GA(A)=24 ∧ Q(x)=9x6–8x10+x15–3
5
d) 4
e) –4
2 12. Hallar el grado del polinomio: P 8(x) .Q (x) P (x)
e) 9
5. Si el grado del polinomio: 2
d) 2
11. Sea: A(x)=3x2+bx2–5–ax–7x+c un polinomio idénticamente nulo. Hallar A = a + b c
m+n +p d) 6
c) 4
10. Sea: R(x)=(x–2)2+(x+1)2+(x+3)2+(x–4)2 F(x)=mx2–nx+p p si R(x) ≡ F(x) , calcular m+n+2 4 31 d) 30
c) –20
c) 5
b) 6
a)
4. Si: P(x)=(m–5)x2+(n–3)x+2p–14 Se anula para más de 2 valores de su variable "x" Calcular
e) 32
Determine el término independiente
3. Si se cumple que: (x+2)(x+3)(x+1) ≡ (a–1)x3+6x2+(2b+5)x+c–2 Calcular M = abc 2 a) 32 d) 24
x + 4y = 2 . Calcular 3x + 2y − 5x − 2y y x x + 2y 3 x + 2 y
2. Si: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
b) 12x e) 0 2
e) 5
b) 125 e) 25
8
A = 3 3xy (x + y) + (x + y) (x2 + y2 − xy)
2
a) x+y d) y
c) 133
a) 1 d) –2
b) 1 e) 2
c) 2017
b) 2 e) 3
c) –1
13. Si: R = 3 25 + 3 5 Calcular A = R (R + 15 ) (R − 15 ) + 5
( 3 x + 5 ) 2 − ( 3 x − 5 ) 2 ( x + 7) 2 − ( x − 7 ) 2 + 10 7
a) 10 d) 10x
b) 7 e) 5x
a) 30 d) 45
c) 17
b) 16
c) 64
d) 48
1
e) 52
b) 24 e) 25
d)
c) 30
el mayor valor de x − 1 es: x
d) 6
e) –16
Central 6198-100
3
E(x) =
b) − 10
1
b)
3
1 3
c) 1
e) 2 3 3
3
15. Determine el valor numérico de
9. Si: x + 1 = 2 10 , x
a) 2 10
c) 40
3 3 M = e1 + 2 7 o + e1 − 2 7 o 3 3 3 3
a) 0
8. Si: x2+5x=1, calcular M=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)–5x(x+5) a) 1 d) 35
b) 35 e) 50
14. Efectuar:
7. Si: ab=a+b=4, calcular el valor de "a3+b3" a) 4
c) x
Hallar M=x2+x3+x4+5
6. Efectuar: M=
b) x–y e) xy
12. Si: x + 1 = 1 , x ! 0 x
2 (a + b) (a2 + b2) (a 4 + b 4) + b8
a) 0 d) 2015
c) 2
c) 6
5. Si: a=2017 ∧ b=2015, Calcular A =
b) 6 e) 12
11. Simplificar:
4. Reducir: M=(x+2)(x –2x+4)–(x–5)(x +5x+25) a) 8 d) 0
Calcular: x3m+x–3m a) 4 d) 8
3. Reducir: A=(3x+2)2+(5–3x)(5+3x)–29 a) 12 d) 9x2
10. Si: xm + 1m = 2 ; m ! Z + x
x 6 (x 2 − 8) 3 3
Para x = a) 192 d) –180
c) –6
15
2+3 3 +
2−3 3
b) 182 e) –192
c) 120
Quinto año de secundaria
Capítulo 05
5
Productos notables II
Ejercicios resueltos 1. Calcule el valor de
x2 + y2 + z2 si se sabe que: x + y + z=xy + yz + zx – 8=8
Resolución Del dato se tiene que: x + y + z =8 / xy + yz + zx = 16 Se sabe que: (x + y + z)2=x2 + y2 + z2 + 2(16) Reemplazando los datos: (8)2=x2 +y2 +z2+2(16)32 " `
x2 +y2 +z2 =32 x2 + y2 + z2 = 32 = 4 2
2. Calcule el valor de: J = =
x3 + y3 + z3 xy + yz + zx E , si se sabe que: x = 5 - 2, y = 2 - 3 , z = 3 - 5 G; xyz x2 + y2 + z2
Resolución Sumando los datos se obtiene: x + y + z =0, entonces la expresión J es equivalente a: 3xyz xy + yz + zx E E; - 2^ xy + yz + zxh xyz J = 8 3 B=- 3 -2 2 J =;
Por identidad condicionales: x3+y3+z3=3xyz Si: x+y+z=0 x2+y2+z2=-2(xy+yz+xz)
3. Calcule el valor de (x – y) si se sabe que x e y son números reales que satisfacen la ecuación: x2+y2+2y+10=6x.
Resolución Ordenando el dato: 2 2 6x 4 +493 + y + 2y + 1 = 0 1x44- 2 1 44 2 44 3 ^ x - 3h2 + ^ y + 1h2 = 0
Por el teorema x2 + y2=0 " x=y=0 6 " x; y , 1 R se tiene: (x - 3)2=0 / (y - 1)2=0 " x=3 / y= -1 ` (x - y)2=16
16
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Álgebra
Problemas para la clase 11. Si: x2+y2+z2=xy+xz+yz x+y y+z x+z Calcular M = + + x y z
1. Si: a + b + c = 3 2 a2 + b2 + c2 = 2 Hallar el valor de M=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2 a) 18 2. Si: x =
b) 20
c) 22
7+ 3 / y=
d) 16
a) 1
e) 24
b) 2
c) 3
d) –2
b) 2
c) 3
a) 1
d) 4
e) –2
c) 3
d) 4
6. Si: x =
5− 3 ; y=
Calcular A = e a) 8
c) 2
2
2
d) 4
2− 5 ; z= 2
2
c) –6
2
e) 1
b)
d) a c
e) c a
ac
3− 2
a) 5
b) 6
d) –3
e) 6
a+c
e) –2
Central 6198-100
d) 1 2
c) 2
e) 1
(a + b + c) 2 + (a − b − c) 2 2 (5 + 2bc) c) 5 d) 2 e) 4
b) 50 e) 0
18. Si:
c) 1
c) 75 ax + by + cz = 3p abxy + acxz + bcyz = 3p2
x + bc + y + ac ac Reducir E = bc z + ab ab a) 0 3
b) 1
c) 2
d) 2p
e) p
d) 2
e) 10
a +3 b +3 c = 0
3 3 3 Evaluar M = a + b + c − 27abc (a + b) (b + c) (a + c)
a) 6
b) –3
c) –9
19. Si: a3+b3+c3=2(a+b)(b+c)(a+c) ∧ a+b+c=1
a2+b2+c2=5 Hallar " 1 + 1 + 1 " a b c b) 2
2
17. Si: {x,y,z,a,b,c} ⊂ , además )
10. Si: a3+b3+c3=12 a+b+c=3
a) 0,5
c) 3
16. Sean: a+b+c=0 ∧ abc=5 Hallar el valor de A=ab(a+b)4+bc(b+c)4+ac(a+c)4
22
b) xy e) y–x
b) 3
a) 25 d) 100 c)
3
a3+b3+c3=3
b) 3
a) 1
9. Si: x+y=1 , Reducir A=x3+y3+4xy–1 a) x–y d) 0
e) 12
15. Si: a2+b2+c2=5 . Hallar
2
929.919 + 25 237.225 + 36 c) 2 d) 4
8. Calcular el valor de M =
b) 2 e)
a) 1 3
2 2 7. Si: ` a + b j + ` a − b j = 4a (ac>0) b c b c c Indicar el equivalente de "b" (b>0)
a) ac
d) 1 6
a2+b2+c2=2 (a + b + c) (2 − ab − bc − ac) Calcular A = 1 − abc
( m + 1 ) 3 ( m − 1 ) 3 ( m 2 − 1 ) 5 ( m 2 + 1 ) 8 ( m 4 − 1) 2
a) –m d) 1
8. Hallar " n " , si se sabe que en el siguiente polinomio, m se cumple que GA(p)=8 y GR(y)=5 m+1 n–3
10
Calcular x–x–1
7. Si la suma de coeficientes del polinomio P(x)=(x2+3x+1)2–7x(x+1) es "α" y el término independiente de Q es "β" Hallar α+β2 , si: Q(x–1)=(3x+1)2–2(x+3)2
c) –15
12. Si x+x–1=5
e) 16 3
6. Se define: H(x+3)=5x+1 H(P(x))=5x+6 Calcular P(2)
b) –13 e) –17
11. Simplificar:
1680
5. Si: xy=2 , (x>0) . Hallar a) 13 4
e) 6
c) 115
¿Cuál es el valor de P(2)? a) –14 d) –16
d) 36
b) 200 e) 300
b) 145 e) 120
10. Si P(x)=7xn–8xn+1–xn+2 , es completo en "x"
5 x = 2517
c) 12
−n 8n 4
a) 210 d) 320
a) 117 d) 107
= 13
a) 13 2
3. Hallar "x" , si:
e) 14
y
e) 6
a) 1 20
(a − b) 2 + c2 c (b − a)
b) –1
c) 0
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Álgebra
67
División Divisiónalgebraica algebraicaI I
Ejercicios resueltos 1. Efectúe:
x 4 + ^a + 1h x3 + ^a + b - 1h x2 ^ b - ah x + 3 - b x2 + ax + b
; e indique la suma de los coeficientes del cociente.
Resolución Aplicando el método de Horner: : 1
1 a+1 +
a+b-1
-a
-b
1
-a -1
#- a
b-a +
-b
#- b
-1
1
1
3-b
a
b
0
3
` El cociente Q(x) es: Q(x)=x2+x - 1
2. Dado el polinomio: P (x) = x5 + ^3 2 - 2h x3 + 2 2 + 1; halle el valor de P^ 2 - 1h
Resolución P( 2 - 1) es el residuo de dividir P^ x h ' ^ x - 2 + 1h ABBBBB C
Problemas para la clase 4 3 2 1. En la división indicada: 8x − 6x −213x + 19x − 27 2x + x − 3 Indicar el grado del cociente aumentado en el grado del resto máximo
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
nx 4 + ^2n − 1h x3 − 2x2 + n2 x − 3 nx − 1 la suma de coeficientes del cociente es igual al cuadrado del residuo
e) 5
4 3 2 2. Efectuar la división: 3x +32x −22x − 2 x + 2x − 3 y determinar la suma del cociente con el residuo
a) 5x2–12x–18 c) 6x2+12x–18 e) 6x2+x–18
10. Calcular el mayor valor de "n" si en la división:
a) 1
a) 4017 d) 3
b) x2+12x+18 d) 6x2–12x–18
b) 6x+5 e) 7x–2 5
3
2
b) 9
una división
c) 10
d) 11
e) 12
c) 5
d) 20
e) –24
4 3 2 6. Si al dividir: 2x + 52x + 2mx + 5 2x + 3x − 1 los coeficientes del cociente son iguales. Hallar el resto
b) 2x–6 e) x–6 4
c) 2x+6
b) 130 e) 145 4
3
2
a) 1
x3 − 2x2 − 15x − x2 m + 2x m + 15 m x− m a) x2–2x+15 b) x2+2x+15 c) x2–2x–15 d) x2–x+15 2 e) x +x–15
d) 8
e) 10
c) 2
d) 3
e) 4
b) –35 e) –61
c) –37
^ y + 4h10 + y5 ^ y + 8h5 + ^ y + 2h^ y + 6h
b) 2
y 2 + 8y + 8
c) 3
d) 4
e) 5
40 16. Al realizar la división: 3x − mx + 2 se obtiene un x−1 cociente cuyos coeficientes suman 105. Calcular "m"
b) 3
c) 4
d) 5
e) 15
17. Hallar el valor de ab-1, si en la división: ^a − bh xn + ^a − bh2 xn − 1 + ^a − bh3 xn − 2
x−a+b se obtiene un residuo 3bn+1 a) 1 2
b) 3
c) 1 3
;b≠0
d) 4
e) 2
22 15 18. Si el residuo de la división: x 2+ 4x + 1 x +x+1 es R(x), calcular R(5)
a) 9
c) 78
9. Dividir e indicar el cociente:
b) 1
15. Hallar el resto de:
2
b) 77 e) 80
c) 6
100 98 2 14. Hallar el resto de: x − 9x + 7x − 5x − 13 x−3
c) 135
8. Si al dividir: ax + bx2 + cx + 3x + 1 x −x+1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 22 y un resto R(x)=10x–1. Hallar "a+c" a) 57 d) 79
b) 4
13. Calcular el residuo cuando: 8x50–19x42+14x+28 se divide entre x+1
a) 2 3
7. Si la siguiente división: ax + bx 2+ 7x + 4x + 3 3x + x + 3 b a es exacta. Calcular M=a +b a) 125 d) 140
c) –4017
3− 2
a) –27 d) –51
8x5 + 4x3 + mx2 + nx + p 2x 3 + x 2 + 3 Es R(x)=5x2+3x–2 ; hallar E=m+n+p b) 6
2. Si la división: 6x + 5x2 + 8x − ax + b 3x − 2x + 1
a) 9
b) 6
d) 18
e) 19
d) 32
e) 36
a) 4
b) 3
c) 5
d) 1
e) 2
8. Hallar "a" si la división: 21x 4 − 34x3 + 41x2 − ax − 20 3x − 4 es exacta a) 29
b) 30
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c) 31
23
Quinto año de secundaria
Capítulo 08
8
División algebraica II
Problemas para la clase 1. Determine el residuo en la división:
(x − 1) 51 (x3 + 5) (x − 1) 50 (x + 3) c) 32x50
a) 88
b) 32
d) 88(x–1)50
e) 88(x–1)51
a) 5
2. Al dividir: F(x) entre (x–1) se obtiene como residuo 4 ¿Qué residuo se obtendrá al dividir (F(x))5 entre (x–1)? a) 1024
b) 16
d) 64
e) 216
c) 32
b) x2–6
d) x2–9
e) x2–8
4. Hallar el resto de dividir: a) 8x
c) x2–3
e) x
c) 2x
a) 7
e) 94x+95
c) 95x+91
c) 6
d) 5
e) 10
7. Un polinomio M(x) se divide por (3x3+1–7x) generando un cociente (2x+m) y un residuo (7+x2+2mx), además se sabe que su suma de coeficientes es –32. Hallar "2m+3" a) 11
b) 25
d) –11
e) –19
d) 378
e) 49
a) 72
b) 36
d) –72
e) 18
c) –36
Tiene 9 términos en su desarrollo. Calcular
m−n
a) 1
e) 7
b) 3
c) 4
d) 5
a75 − b30 a15 − b6
Hallar la suma de coeficientes de P(x) b) 7
c) 21
12. Hallar el tercer término del cociente, al dividir:
6. Al dividir un polinomio: P(x) entre (x2+4x–6)2 se obtiene un cociente (3x–1) y un resto igual a (x2+5)
a) 8
b) 420
¿Cuál es el resto de dividir dicho polinomio entre (x+2)?
Hallar el residuo de dividir P(x) ÷ (x2+3x+2)
d) 96x+95
e) 2
10. Se tiene un polinomio mónico de 6to grado que carece de término independiente y es cuadrado perfecto. Si se sabe que es divisible por (x2–1)
5. Al dividir un polinomio: P(x) entre (x+1) y (x+2) separadamente deja residuos 1y –94 respectivamente.
b) 95x+96
d) 3
m−2 n+5 11. Siendo que el CN: a 3 − b2 a −b
2
a) 96x+94
c) 7
9. Si el polinomio: P(x) es de 3er grado, se divide separadamente por (x–4), (x–2) y (x–3) obteniendo el mismo resto –42, además 5 es la raíz de P(x)
(x − 3) 37 + 5 + (x − 2) 21 x 2 − 5x + 6
b) 7x
d) x+5
b) 4
Hallar P(7)
3. Hallar un polinomio mónico cuadrático que sea divisible por (x–3) y que tenga por suma de coeficientes a:–8 a) x2–5
8. Si el resto de dividir: M(x) entre (x–7) es 20, además el cociente obtenido en dicha división posee una suma de coeficientes igual a 3. En cuanto hay que disminuir a "M(x)" para que sea divisible por (x–1)
a) a12b30
b) a30b6
d) –a30b6
e) –a30b12
c) a30b12
13. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de: a) 5
c) 22
24
x180 − y80 x9 − y4
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
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Álgebra 14. En el desarrollo del cociente notable: 3α
18. Calcular:
α
109–1 entre 999
x −y x3β − yβ
el quinto término es x36y16. Hallar el número de términos del cociente notable a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 12
desarrollo de C.N.?
c) 100100100
d) 1001001000
e) 10010010000
....+x70y12–x63y15+....
x27 − x −9 x 3 − x −1
a) 14 b) 7
c) 8
d) 9
e) 5
20
^ x + 1h20 − ` 1 j
E=
2
x+ 1 2
Hallar el valor que toma el noveno término para x=1 b) 8
c) 16
d) 64
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
20. Calcular el valor del mayor término racional que se obtiene al efectuar el cociente:
16. En el cociente notable:
a) 4
b) 10010010
19. Hallar el número de términos del desarrollo de un cociente notable, que tiene los siguientes términos consecutivos:
15. ¿Qué lugar ocupa el término independiente en el
a) 6
a) 1001001
3
7
4 − 2 3 4− 2
7
a) 8
b) 32
d) 64
e) 128
c) 16
e) 32
17. Simplificar la expresión: 102 96 90 M = x 90 + x72 + x54 + ... + 1 x + x + x + ... + 1
a) x6+x3+1
b) x3+x2+1
d) x12+x6+1
e) x12–x+1
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c) x6–x3+1
25
Quinto año de secundaria
Capítulo 08
Tarea domiciliaria 1. Si un polinomio P(x) de grado 4 es divisible por (x–7). Hallar P(7) a) 7
b) 49
c) 343
d) 14
e) 0
10. Hallar el término vigésimo tercero del desarrollo del x120 − y96 cociente: x5 − y4 Señalar la suma de sus exponentes
( x − 2) 3 ( x + 3) 2 2. Hallar el resto de dividir: (x − 2) (x − 1) a) 16x+32
b) 16x–32
d) 16
e) x+4
a) 91
c) 16x–3
b) 4
c) 2
4. Hallar el residuo al dividir:
d) 5
a) 9x–11
b) 9x+11
d) 11x+9
e) 11x–29
a) –3x
b) 3x+1
d) 3
e) x
a) 2
b) –2
c) –4
b) 1
c) 2 3
b) 0
c) 6
c) x15–x10+x5+1
d) x20+x15+x10+x5+1
d) 8
9. Hallar el valor de "n", si la división:
d) 40
e) 48 xa − y b x + y2
b) 2
c) 20
d) 8
e) 16
45 −30 14. Al efectuar el desarrollo de: x 3 − x −2 x −x
el número de términos fraccionarios es:
e) 3
d) 3 2
c) 36
es x10y10. Hallar " b " a a) 10
d) 4
b) 8
13. Si uno de los términos del cociente notable:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
15. Calcular el valor numérico del término central del desarrollo de:
e) 5 2
(x + y) 100 − (x − y) 100 8xy (x2 + y2)
para x=3 ; y = 2 2
8. Un polinomio mónico de tercer grado es divisible por (x–2) y por (x+1), al dividirlo por (x–3) deja resto 20. ¿Qué resto tendría dicho polinomio al dividirlo entre (x+3)? a) –10
b) x15+x10+x5+1
an − b5n − 18 es indicar su grado absoluto a2 − b 4
c) 3x
7. Si el polinomio: P(x)=x4+ax3–9x2+bx+49 al ser dividido por (x+1) deja como resto 60, además al ser dividido por (x+3) el resto es 82. Hallar el valor de "a" a) 3
a) x15–x10+1
a) 32
6. La suma de coeficientes del polinomio cociente que se obtiene al dividir R(x) por (x–2) es 7 y el resto en esta división es 5. Hallar "R(1)"
e) 99
12. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N.
c) 11x–9
5. Un polinomio P(x) al ser dividido por (x+2) deja resto 6 y al dividirlo por (x–3) deja resto –9. Hallar el resto de dividir P(x) entre (x2–x+6)
d) 97
e) x20–x15+x10–x5+1
e) 8
4 (x − 2) 120 + 7 (x − 3) 51 x 2 − 5x + 6
c) 95
95 90 85 80 ... + x5 − 1 11. Reducir: x − x80 + x60 − x +20 x + x + ... + x + 1
3. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio, tal que al dividirlo entre (x3–2x+1) deja cociente (x2–8) y un residuo igual a (x+3) a) 3
b) 93
a) 1
b)
d) 4
e) 2
2
c)
3
e) 12
xn + 1 − y3n − 4 x − y2
genera un cociente notable a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
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Álgebra
9
Factorización
Ejercicios resueltos 1. Factorizar: a3b4c5+a3b3c5y+a2b4c5x+a2b3c5xy. Dar como respuesta el número de factores primos.
Resolución Extraemos el factor común: a2b3c5 E = a2b3c5[ab+ay+bx+xy] E = a2b3c5[a(b+y)+x(b+y)] E = a2b3c5(b+y)(a+x) Los factores primos son: a; b; c; (b+y); (a+x) & En total son cinco 2. Factorizar: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z). Dar como respuesta la suma de factores primos.
3. Factorizar: R=(x – 3)3+125. Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado.
Resolución A potencia 3:
Factores primos:
R=(x – 3)3+53 ........ suma de cubos.
( x + 2) S
/ (x2 - 11x + 49) 1 444 2 444 3
R=[(x –3)+5][(x – 3)2 – (x – 3)(5)+52]
primer grado
Desarrollando y reduciendo:
Finalmente la suma de coeficientes
R=(x+2)(x2 – 6x+9 – 5x+15+25)
del factor primo de 2do grado es: 1 – 11+49=39
R=(x+2)(x2 – 11x+49)
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segundo grado
27
Quinto año de secundaria
Capítulo 09 4. Hallar la suma de los factores primos de: M=2x5+5x4 – 26x3 – 65x2+72x+180.
Resolución Agrupando de 2 en 2: M=(2x5+5x4) – (26x3+65x2)+(72x+180) Factorizando cada paréntesis: M=x4 ^2x + 5h – 13x2 ^2x + 5h + 36 ^2x + 5h S S S Factor común: 2x+5 M=(2x+5)[x4 – 13x2+36] Luego factorizando el polinomio de cuarto grado:
Transformando cada factor a una diferencia de cuadrados: P(x)=[(2x)2 – 12][x2 – 52] Finalmente: P(x)=(2x+1)(2x – 1)(x+5)(x – 5)
28
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Álgebra
Problemas para la clase 1. Hallar el número de factores primos y factores algebraicos: M(x)=(x+3)(x4–625)(x2+1) a) 3 y 17 d) 6 y 6
b) 4 y 21 e) 5 y 3
a) 10m–2n d) 8m–2n
c) 5 y 31
a) x2–x+y
b) x+y
d) 2x–y
e) x2+x–y
a) x+yz+y d) x+2y–z
c) x2–x–y
3. Factorizar: L(x,y)=5ax–ay–5bx+by e indicar el número de factores primos c) 3
d) 4
e) 5
4. Luego de factorizar: P(x)=(x–2)3–64, señalar el factor primo de mayor grado a) x2+6
b) x2+8
d) x2–12
e) x2+12
c) x2–10
b) –6 e) 1
c) 2
b) 2x+2 e) 2x+5
b) 3x+1 e) 4x+6
c) 4x+5
b) x2+6x–7
d) x2+6x+5
e) x2+6x+3
c) x2+6x+7
c) 6
d) –6
e) –2
2
10. Factorizar: M(x)=(x +2x+4)(x –2x+4)–48 y hallar la suma de coeficientes del factor primo cuadrático. a) –3
b) 9
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c) 3
14. Factorizar: H(x)=(a2–b2)(x2–1)+4abx dar como respuesta la cantidad de factores primos b) 4
c) 2
d) 5
e) 1
15. Factorizar: P(x,y)=x3–64y3–125–12xy(x–4y) luego señalar uno de sus factores primos a) x–y+3 d) 3x+y
b) x+y+1 e) 4x+y–8
c) x–4y–5
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Calcular el valor de "T(3)" a) 1 d) 48
b) 7 c) 43 e) más de una es correcta
P(x)=x6+7x5+17x4+13x3–10x2–20x+m se obtiene (x–1)(x+a)n(x+b)p Calcular "M=a+b+m+n+p" a) 8
9. Factorizar: F(x)=x3+2x2–5x–6 luego indicar el término independiente de uno de sus factores primos.
2
c) 0
18. Al factorizar:
a) x2+6x+1
b) –3
b) y2+2c2 e) 2(y2+2c2)
17. Si: T(x) es un factor primo de: P(x)=x5+8x2–7x+7
8. Señalar el factor primo cuadrático: P(x)=x3+5x2+x–7
a) –1
a) 3y2c2 d) 2y2
a) 1
c) 2x+3
7. Factorizar: P(x)=2(x2+3x)2–x(x+1)(x+2)(x+3)–8 luego indicar la suma de sus factores primos a) 4x d) 2x+3
c) x+z–2y
16. Luego de descomponer: P(x)=(x3+x–1)2–(x2+x+1)2 obtener el término independiente del factor primo de mayor grado.
6. Factorizar: P(x)=(x2–3)2+7x(x2–3)+10x2 e indicar la suma de los factores primos lineales a) 2x+1 d) 2x+4
b) x+y+z e) 2x–y+z
13. Factorizar: P(y)=y4+4c4 e indicar la suma de los términos cuadráticos de sus factores primos
a) 3
5. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos: P(x,y)=3x8y10–30x5y7+63x2y4 a) –7 d) –4
c) 6m–2n
M(x,y,z)=(x+y–2z)3–(2y–x–z)3–(2x–y–z)3
F(x,y)=x3+x2–x2y+y2–2xy
b) 1
b) 8m+2n e) 6m+2n
12. Factorizar e indicar un factor primo:
2. Indicar un factor primo:
a) 2
11. Luego de factorizar: G(m,n)=25m2–10mn–64+n2 Hallar la suma de sus factores primos
d) 8
e) –9
29
b) 4
c) 2
d) 1
e) 0
19. Calcular la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos de: P(x)=(x7+1)2–x2(x6+6)2 a) 11
b) 9
c) 0
d) –5
e) –9
20. Señalar un factor primo, luego de factorizar: P(x)=x6+2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1 a) x4+2x2+1 c) x2–x+1 e) x2+1
b) x–1 d) x2+x+1
Quinto año de secundaria
Capítulo 09
Tarea domiciliaria 1. Hallar la cantidad de factores primos y factores algebraicos de: 6
9. Factorizar: M(x,y,z)=(x+2y+3z)(x+3y+5z)+2yz
8
M(x)=(x–7)(x +1)(x –16) a) 6 y 63
b) 5 y 127
d) 9 y 511
e) 3 y 7
Indicar el número de factores algebraicos c) 8 y 255
a) 7
d) x+2m
e) x+3m
a) 3
c) x+m
b) x2+x+1
2
c) x2–x+1
d) 5
e) 2
a) Multiplicidad simple
2
e) x +1
b) Multiplicidad dos c) Multiplicidad tres d) Multiplicidad cuatro
P(x)=(x+3)3–8 dar la suma de coeficientes de un factor primo b) 9
c) 16
d) 22
e) 28
5. Factorizar: P(x)=(x–9)(x+3)(x+5)(x–7)–585 dar como respuesta la suma de independientes de los factores primos a) –20
b) –10
d) 12
e) –22
e) Multiplicidad cinco 12. Indicar la suma de términos lineales de los factores primos M(x)=x3+4x2+8x+5
términos
c) 14
3
M(a,b)=a +b +3ab(a+b)–1 Señalar el número de términos cuadráticos que posee uno de sus factores primos c) 3
b) 4x
d) 2x
e) –x
c) –3x
F(x)=(a–b)x2+(a2–b2+1)xy+(a+b)y2
3
b) 2
a) 5x
13. Factorizar e indicar un factor primo:
6. Factorizar:
a) 1
c) 1
e indicar la multiplicidad de uno de sus factores primos
4. Factorizar:
a) 5
b) 4
P(x)=x3+6x2+12x+8
M(x)=x5–9x3+x2–9
d) x –x–1
e) 127
11. Factorizar:
3. Dar el factor primo de mayor grado:
a) x2+x–1
d) 3
T(m)=36m4+144 Dar como respuesta el número de factores primos
P(x)=mx–am+x2–ax es: b) x–m
c) 63
10. Factorizar:
2. Un factor primo de
a) x+a
b) 15
d) 4
e) 5
a) x+(a–b)y
b) (a+b)x–y
c) (a–b)x+(a+b)y
d) (a–b)x+y
e) x–(a–b)y 14. Factorizar: I(x)=x4–6a2x2–a3x+6a4
7. Factorizar:
e indicar el término independiente de uno de sus factores primos
P(m,n)=(m+n)2–16(m+n)+63 e indicar uno de sus factores primos a) m+n+7
b) m+n+9
d) m–n–9
e) m+n–7
c) m–n–7
8. Indicar el término independiente de un factor primo de: P(x)=(x2+a)2+13x2+22+13a a) 11
b) a+11
d) 2
e) a
a) 3a
b) –2a
d) 6a2
e) –a2
c) –3a2
15. Dar el número de factores primos P(x)=(x2–11x+3)2+4(x2+3)–44x–32 a) 1
b) 3
c) 2
d) 4
e) 5
c) 13
30
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Álgebra
MCD - MCM - Fracciones algebraicas
10
Ejercicios resueltos 1. Hallar el MCD y el MCM de: P(x)=(x – 1)3(x+2) y Q(x)=(x – 1)2(x+2)2(x – 3).
Resolución MCD: los factores comunes son (x – 1) y (x+2) como debemos escoger los de menor exponente el MCD de (P(x) y Q(x)=(x – 1)2 . (x+2) MCM: Los factores comunes de mayor exponente son (x – 1) y (x+2) y el no común (x - 3), el MCM de P(x) y Q(x)=(x – 1)3(x+2)2 (x – 3). R=[(x – 3)+5][(x – 3)2 - (x – 3)(5)+52] 2. Descomponer en factores y calcular el MCD y el MCM de los polinomios: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6 y Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18
Resolución Los polinomios factorizados son: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6=(x+1)2(x – 2)(x+3) Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18=3 . (x – 2)(x+1)(x – 3); Por tanto: MCD=(x – 2)(x+1) ⇒ MCM=3 . (x+1)2(x – 2)(x+3)(x – 3) ^a - 3h x + ^2a - 5b + 3h y + 5b - 2 3. Si la fracción: adopta un valor constante para cualquier valor de x e y. Hallar el valor 3x - 5y + 3 de la constante.
Resolución Si es independiente de las variables se cumplirá: 2 a - 3 = 2a - 5b + 3 = 5b - 2 = k (valor cons tan te) 3 3 -5 1 De(1): a – 3=5b – 2 ⇒ a=5b+1 .....(a) De(2): 3(2a – 5b+3)=–5(5b – 2) 6a – 15b+9=–25b+10 10b+6a=1 .... (b) De(a) y(b): 10b+6a=a – 5b ∴ 15b+5a=0 ∴ a=–3b
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31
en (1): –3b=5b+1 ⇒ b=– 1 8 Entonces: 5 c - 1 m - 2 - 21 8 K= = 8 3 3 7 ` K =8
Quinto año de secundaria
Capítulo 10
Problemas para la clase 4. Calcular el valor de "x" en función de "n" para que el MCD de: P(x)=x2+(2n+3)x+6n, Q(x)=x2+2(n+1)x+4n ∧ R(x)=x2+(2n+1)x+2n. Elevado al cuadrado resulta ser igual a Q(x). a) n b) –2n c) –n d) 2n e) n+1
13. Al simplificar la siguiente expresión: 24 xy 1− 2 9x + 12xy + 16y2 , se obtiene 8y 27x3 + 64y3 c1 − me o 3x + 4y 54x3 − 128y3
5. Hallar el MCD de: P(x)=x3–x2–x+1 y Q(x)=x3–3x2+3x–1 a) (x – 1)2 d) (x+2)
b) (x – 1) e) (x+1)2
c) (x+1)
6. (Ex. de Admisión UNMSM 2006 – II) Determine el MCD de los siguientes polinomios: P(x;y)=x3+x2y+xy2+y3, Q(x;y)=x3 – xy2+x2y – y3 y R(x;y)=x4 – 2x2y2+y4. a) x(x –y) b) (x+y)y c) x+y d) x – y e) (x+y)(x –y) 7. Sean: P(x)=mx2+6x–n; y Q(x)=mx2 – 10x+n Si: (x–1) es el MCD de P(x) y Q(x). Hallar "m . n" a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 8. El producto del MCD y MCM de los polinomios P(x) y Q(x) es:(x – 2)2 . (x+1)3 . (x – 1). Hallar P(x). Si: Q(x)=(x –1) (x2 – x – 2). a) (x – 2)(x – 1) b) (x – 1)(x+1)2 2 c) (x – 2)(x+1) d) (x – 2)2(x+1) e) (x – 2)(x+1)(x – 1) 9. P(x) es uno de 10 polinomios, donde: 3x4–2x3+3x2+ax+b, es el MCM de dichos polinomios. Hallar: "a+b". Si: P(x)=x2 – 2x+1. a) –4 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5
b) x – y e) 0
c) x+y
b) 8
12. Simplificar: a+b + P= a−b a+b − a−b
c) 7
d) 6
d) –2
e) 1/2
F (x; y) = a) 0
b) 4
a) x + 1 x−1
b) ab
d) a/b
e) a2+b2
c) 1/2
d) 1
b) x+1
e) 2
2 c) ` x + 1 j x−1
(x − 1) 2 x+1 16. (Examen UNMSM 2006-I) x 1 x = x−1 Si: x = x + x+1 −1 ; d) x – 1
Calcular:
e)
x
a) x d) x2
b) x+1 e) x2–1
c) x–1
17. Si: G(x) = x + 1 ; n ∈ N x−1 Reducir: G (G (G...G (x) ...)) 1 4444 2 444 43 "2n + 1" veces
a) x
b) x + 1 x−1
n d) xn + 1 x −1
e) xn
c) x − 1 x+1
a2 + b2 − c2 + 2 ab ; se obtiene un a2 + c2 − b2 + 2ac numerador y denominador, cuya suma es:
18. Al simplificar:
a) 2c
b) 2b
d) a–b
e) 2(a+b+c)
19. Reducir: R =
a) 1
Ax2 + 2y2 + 6 x2 + By2 + 3
2 Dado: R(x) = x + 1 ; Q(x) = x2 + 1 x−1 x −1 Calcular: R (Q(R(x)))
e) 5
a−b a+b a−b a+b
c) 2
15. (Examen UNMSM 2006-I)
+ 1 . Hallar: "A+2B". 11. Si: A + B = 7x x - 2 x + 1 x2 - x - 2 a) 9
b) –1
14. Si la fracción F(x; y) es constante, para cualquier valor de x e y, calcule "A . B".
10. Al efectuar la operación: -1 x y x+y E = - 1+ + c - 1 m , se obtiene: + -1 x y + xy + 1 yx + 1 a) x d) 1
a) 1
2 2 c) a + b 2 ab
32
c) 2a
x+1 − x−1 x2 + x + 1 x2 − x + 1
a)
2 x +1
b)
2 x −1
d)
2 x 4 − x2 + 1
e)
1 x 4 + x2 + 1
4
4
c)
2 x + x2 + 1 4
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Álgebra
Tarea domiciliaria 1. Hallar el MCM de los polinomios: P(x)=(x+2)2(x–3)4(x+1), y Q(x)=(x+2)5(x – 3)5(x+6) a) (x+2)5 (x – 3)5 (x+1)(x+6)
3. Si la ecuación en "x": n2x–n2+5x=2+6nx–3n; tiene infinitas soluciones, halle el valor de "n". a) 5
b) 2
c) 1
d) 0
e) 3
Resolución Se tiene la ecuación: n2x–n2+5x=2+6nx–3n Ordenando convenientemente: 2
2
n x–6nx+5x=n –3n+2 2
2
(n –6n+5)x=n –3n+2 Factorizando los coeficientes por aspa simple: (n - 1) (n - 5) x = (n - 1) (n - 2) 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 A
B
Se obtiene una ecuación paramétrica, que por dato debe tener infinitas soluciones, entonces A=0 / B=0, es decir: (n–1)(n–5)=0 (n–1)(n–2)=0 De donde: n=1.
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Álgebra
Problemas para la clase 10. Del problema anterior, indicar el valor de "m" para que el conjunto solución de la ecuación sea vacío
1. Resolver: 2x − 1 + x + 2 = 3x − 5 3 4 6 a) 2 5
b) − 3 5
d) − 9 5
e) − 1 5
a) 7
c) − 12 5
3. Resolver:
b) 1+a–b e) 1–b–c
a) m∈–{3} c) m∈–{–3,3} e) m∈{2,–2}
c) 1–a+b
b) p–q e) q–p
a) 12 d) –3
c) –2p
3 x –1 =
x –5
a) 3
b) 5x + 2 + 2017 = 4x + 5 + 2017 x−3 x−3 c)
3
x3 + 9x2 + 25x + 1 = x + 3
d)
8
x−5 = 2−x
m
b) –6 + 1h x2 − ^3
c) 3
b) –1
c) 8
d) –3
e) 2
b) 5 6
d) 5 3
e) 2 5
−1
d) –8
b) 8
c) 10
e) 2
b) 3
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c) 2
e) 43
d) 1
b) 1000 e) 1020
c) 1021
15. Al resolver la ecuación: 2x + 2 + x x + 4 = 2x + 2 − x x + 4
x+4 + x x+4 − x
Es par Es impar Es menor que la unidad Es mayor que la unidad Hay dos correctas
a) 2
e) 14
9. Si la ecuación en "x": (x–1)m2+(5–4x)m+3x–4=0 , resulta ser compatible indeterminada. Hallar "m" a) 4
d) 31
16. Dada la ecuación: (k2–4)x=(k+4)k–1–6 Si su conjunto solución es vacío. Hallar "k"
c) − 5 21
d) 12
a) 210 d) 1002
a) b) c) d) e)
8. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b , se obtienen infinitos valores de "x" que verifican la igualdad. Hallar el valor de "a+b" a) 6
c) 7
Con respecto a la solución obtenida, se puede afirmar
7. Resolver la ecuación en "x": x + 2n = x + 1 , 5x 2nx + 1 si esta es reducible a una ecuación de primer grado a) 0,5
b) 13
a + x + ( a + 6) 6 − 4x = 2 Si la solución es x=9. Hallar el valor de "a"
m − 1h x − m + 2 = 0
Si una de sus soluciones es m3 a) –2
b) 3 c) 4 e) Incompatible
10
6. Determinar el valor de "m", en la ecuación: ^3
b) m∈ d) m∈{–3,3}
14. Sea la ecuación de incógnita "x":
5. Indicar el cociente entre la mayor y menor de las soluciones: 1 + ^ x − 6h^ x + 2h = x2 ^ x + 2h^ x − 6h + 2 1 x2 − 3x − 10 x − 3x − 10 a) 6
e) –1
13. Después de resolver: 2x − 1 + x + 3 = 3 Indicar un valor de x2+x+1
4. Resolver: a)
d) 1
12. Indicar la suma de soluciones de: 1 1 + + 1 =− 3 2 x 2 − 5x + 6 x 2 − 3x + 2 x 2 − x
x + p x + q p2 + q2 = − − 2 ; pq ! 0 q p pq
a) p+q d) –2q
c) 3
11. La ecuación en "x": (x–1)m2–9(x–m)=18 genera un conjunto solución unitario. Hallar "m"
2. Resolver: x + a + b + x + b + c + 2 = a + c ; ac ! 0 a ac c a) 1–a–b–c d) 1–a–c
b) 5
e) 9 35
b) –2
c) –3
d) –4
e) –5
17. Al resolver la ecuación lineal: (n–2)xn–3+xn–2+2nx=15 , indicar el producto de los valores máximo y mínimo de las soluciones posibles. a) 2 18. Resolver:
b) 5
c) 7
d) 9
e) 14
x + x+1 = 2− x+4
a) 1 4
b)
9 16
d) 64 36
e) Incompatible
c) 36 64
Quinto año de secundaria
Capítulo 11
19. Resolver: x + a) 1 4
n
n+1
k=1
k=1
20. Resolver e indicar una solución
/ ( x + k) = / k
b) 1 2
c) 1
64 − ^12x5 + 40x3 + 12xh = 1 − x
6
d) − 1 2
e) − 1 4
a) 6
b) –1
c) –6
d) 1
e) 0
Tarea domiciliaria 1. Resolver: 2x + 1 + 3x − 1 = x 3 2 6 a) 1 2
b) 1 3 2
c)
1 12
9. Hallar "x" si: x − a + x − b + x − c = 3 27 b+c a+c a+b d)
1 20
e) 1
2
2. Resolver: a x+b =abx+ab ; a ≠ b a) b a
b) a b
c) a
d) b
e) 1
3. Si la ecuación: (3n–81)x=(16–2m) es compatible indeterminada. Hallar el valor de "n+m" a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
c) 1
5. Si n − m es solución de:
d) –1
b) –2
c) 3
d) 2
e) 0
e) –1
e) 53a 15 4+
e) 10
c) 49a 15
23 + 1 + x − 3 = 3
b) 20
a) 86
c) 30
d) 40
e) 12
d) 3
e) 27
2x + 3 − 3x − 5 = 1
b) 23
c) 25
14. Hallar el valor de "n", para que la ecuación: ( n 2 + 6) x + 1 = n n
Presenta dos soluciones Sus soluciones son pares Sus soluciones son impares Una solución es impar No presenta solución
a) 1 4
b) 47a 15
a) 1
2(3x–1)(x–8)(x–3)=(x–9)(x–8)(2x–6) Indicar lo correcto:
a) 2 d) 9
c) 4
a) 46a 15
12. Hallar "x", en:
6. Con respecto a la ecuación:
a) b) c) d) e)
b) 7
5x + a + 6a = 4 ; a > 0 5x + a − 6a
¿Cuál es el valor numérico de dicha solución? a) 1
e) abc
c) c+a
11. Resolver la ecuación en "x":
e) 10
(x + m ) m n = n− m x−n− m
d) a+b+c
a) 1
Determinar le valor de "h" b) –a
b) b+c
10. Si la ecuación: (m–5)x10+(15–m)x–100=0 es de primer grado. Hallar el valor de "x"
4. De la ecuación incompatible: h ^ x − hh = a ^ x − ah ; ah ! 0 a h a) a
a) a+b
3
a+ x +
3
a − x = 3 5a
a) 4 a2 5
b) 3 a 5
d)
e)
a
3
c) 1
a
e) 1
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Álgebra
12
Planteo de ecuaciones
Ejercicios resueltos 1. De un depósito lleno de x litros se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y queda aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito.
Resolución Traducción: capacidad del depósito
x
un cuarto del contenido
1x 4
mitad de resto
1 (x - 1 x) 2 4
queda aún
1500 litros
Expresión: x = 1 x + 1 ( 3 x) + 1500 4 2 4 8x = 2x + 3x + 12000 3x = 12000 x = 4000 litros
2. Tres hermanos tienen una hacienda. El primero tiene 1/3 de ellas más 80 hectáreas; el segundo 1/4 de la hacienda y el tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene la hacienda?
Resolución Traducción: extensión de la hacienda
x (en hectáreas)
primer hermano
1 x + 80 3
segundo hermano
1x 4
tercer hermano
20
Expresión - ecuación: 1 x + 80 1 x 20 = x + + 3 4 4x + 960 + 3x + 240 = 12x 1200 = 5x x = 240 hectáreas
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37
Quinto año de secundaria
Capítulo 12
Problemas para la clase 1. El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Halle la raíz cúbica de dicho número. a) 8 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 2. Pedro compró el cuádruplo del número de relojes que de billeteras. Si hubiera comprado 5 relojes más y 5 billeteras más, el número de relojes, sería 2 veces mayor que el número de billeteras. ¿Cuántos relojes compró? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 3. El largo de una Tablet excede a su ancho en 4 cm. Si cada dimensión aumentara en 4 cm., el área aumentaría al doble, halle el perímetro de la Tablet. a) 40 b) 50 c) 30 d) 60 e) 80 4. En cada día, de lunes a jueves, gané S/.6 más que lo que gané el día anterior. Si el jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el miércoles? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 5. De un tanque de 140 litros se sacó tantos litros como 4 veces no se extrajeron, de lo que queda se extrae tanto como no se extrae. ¿Cuánto queda en el tanque? a) 28 b) 14 c) 42 d) 7 e) 21 6. Un comerciante de frutas dispone de S/.184 para hacer sus compras de manzanas y peras. Si el kilo de manzanas cuesta S/.2 y el kilo de peras cuesta S/.5 ¿Cuántos kilos como máximo se puede comprar de ambas frutas? a) 100 b) 89 c) 71 d) 95 e) 88 7. El precio de una torta es de S/.3 la porción y el precio de un flan es de S/.5 la porción. Como el flan es muy rico, se desea comprar más de 5 flanes. Halle el mayor número de postres que se puede comprar con 160 soles. a) 50 b) 44 c) 48 d) 46 e) 52 8. La suma de la tercera parte de un número con la cuarta parte de otro número es 15 y la suma del doble del primer número con quíntuplo del segundo número es 174. Hallar el mayor de dichos números. a) 50 b) 24 c) 28 d) 27 e) 6 9. En el concierto de Tongo hay 700 personas entre varones y mujeres. Cada varón paga S/.40 y cada mujer S/.15 por su entrada. Si el dinero total obtenido es de S/.180 00 ¿Cuántos varones pagaron su entrada? a) 200 b) 250 c) 300 d) 350 e) 125 10. Entre José y María tienen S/.84. Si José tiene el triple de lo que tiene María ¿Cuánto tiene María? a) 27 b) 33 c) 20 d) 21 e) 44
11. UNMSM 2012 II Por cada nueve panes que compró María, le regalaron uno. Si recibió 770 panes en total, ¿Cuántos panes le regalaron? a) 74 b) 71 c) 77 d) 88 e) 66 12. Juana prometió casarse cuando su edad fuera la tercera parte de la de su padre, quien tenía 55 años cuando ella contaba con 13. Al casarse Juana, su edad y la de su padre sumarían. a) 88 años b) 86 años c) 84 años d) 80 años e) 82 años 13. UNMSM 2012 II En una bolsa hay 165 monedas, si por cada 5 monedas de S/.2 hay 8 monedas de S/.5 y por cada 2 monedas de S/.5 hay 5 monedas de S/.1, halle el número de monedas de a S/.5 a) 32 b) 56 c) 40 d) 40 e) 64 14. Al inicio de una conferencia, había un cierto número de mujeres y varones, durante los 15 minutos siguientes, ingresaron 19 mujeres y 16 varones, siendo la relación de mujeres y varones de 4 a 3 y la diferencia de mujeres y varones 16. Determinar el número de personas que había a la hora de inicio de la conferencia. a) 86 b) 67 c) 78 d) 79 e) 77 15. UNMSM 2012 II Un granjero tiene cierta cantidad de gallinas, vende 30 docenas, luego obsequia la cuarta parte de las que quedaban y finalmente, adquiere 180 gallinas, si en la granja hay 909 gallinas, ¿Cuántas había inicialmente? a) 972 b) 729 c) 1233 d) 1332 e) 927 16. Un obrero gana por cada mes de 30 días S/.300 más un artefacto. Luego del décimo día de trabajo es despedido, y recibe en pago dos artefactos, si todos los artefactos son de igual precio. ¿Cuánto le pagaron por día? a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14 17. UNMSM 2012 I En un zoológico hay cuatro tortugas: Flash, Meteoro, Rayo y Viento. Viento tiene 32 años más que Meteoro, pero 14 menos que Flash, Rayo tiene tantos años como la suma de las edades de Viento y Meteoro. Si dentro de 25 años la suma de las edades sería igual a dos siglos y medio. ¿Qué edad tiene Rayo? a) 40 años b) 38 años c) 62 años d) 20 años e) 48 años 18. UNMSM 2011 I Un reservorio de agua lleno hasta sus ¾ partes pesa 3000 kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900 kg. ¿Cuál es el peso del recipiente lleno en su capacidad? a) 3 400 kg b) 3 600 kg c) 3 300 kg d) 3 500 kg e) 3 200 kg 38
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Álgebra 19. Adán y Eva fueron a comprar manzanas, y cada uno compró tantas manzanas como soles pagó por cada una. Si Adán gastó S/.600 menos que Eva y compraron 30 manzanas en total. ¿Cuánto gastó Adán? a) 25 d) 1200
b) 725 e) 550
c) 650
20. Un vagón lleno de cal pesa 27 toneladas, lleno hasta los 3/5 pesa 7/4 del vagón vacío. Halle el peso de la cal. a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
Tarea domiciliaria 1. Ana compró una bolsa de caramelos, consumió la cuarta parte y regala 5; después Ana comió la mitad de los que tenía y obsequió los 5 que le quedaban. ¿Cuántos caramelos contenía la bolsa al inicio? a) 18 b) 25 c) 30 d) 20 e) 22 2. Un frutero compra fresas pagando S/.7 por cada 3 kg. de fresa. Si vende a S/.13 cada 4 kg. y ha ganado el precio de costo de 44 kg. de fresa. ¿Cuántos kg. de fresa vendió? a) 120 kg b) 116 kg c) 112 kg d) 105 kg e) 110 kg 3. Al examen de un curso de matemáticas, solo asistieron los 2/3 del número total de alumnos matriculados. De los que asistieron, aprobaron los 3/4 y desaprobaron 30. ¿Cuántos alumnos matriculados hay en dicho curso? a) 75
b) 180
d) 80
e) 120
c) 10
4. Juan obtiene un determinado ingreso al vender la mitad del total de sus manzanas a 3 por 5 soles y la otra mitad a 5 por 5 soles. ¿A qué precio debió vender cada manzana para triplicar el mencionado ingreso? a) 3,50 soles
b) 4,00 soles
d) 3,75 soles
e) 4,25 soles
c) 4,50 soles
5. En un restaurante, 24 personas consumen por una suma de S/.360 para pagar en partes iguales. Como algunos no tienen dinero, cada uno de los que asumen la cuenta pagará 1/3 más de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas no tienen dinero? a) 8 b) 6 c) 5 d) 9 e) 7 6. En una escuela, cada 4 niños disponen de una pelota para jugar. Al cabo de algún tiempo, abandonan la escuela 40 niños. Desde entonces, cada 3 niños disponen de una pelota. ¿Cuántos niños hay actualmente en la escuela? a) 120 b) 160 c) 180 d) 100 e) 80 7. Sebastián cría conejos en la azotea de su casa. Él ha observado que si coloca tres conejos en cada conejera, le sobra un conejo; pero si coloca cinco conejos en cada conejera, le sobran 3 conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián? a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 4 8. Solo tengo pantalones de colores negro, azul y verde. Todos mis pantalones son de color negro, menos cuatro; todos son de color azul menos cuatro, y
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todos son de color verde, menos cuatro. ¿Cuántos pantalones tengo en total? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 9 9. Cierto número de gorriones están volando y se posarán en postes con travesaños. Cuando haya 6 gorriones en cada poste, quedarán 4 gorriones volando; pero cuando en cada poste haya 8 gorriones, quedarán 4 postes libres. ¿Cuántos postes hay? a) 16 b) 14 c) 20 d) 18 e) 22 10. Una persona tiene "x" años y otra "z" años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces la edad de la segunda? a) n b) x – z c) x − zn x – zn x – zn d) e) n n –1 11. Si por la compra de 120 botellas de vino, Roberto paga en impuestos el valor de una botella de vino mas S/.11 y por 40 botellas el impuesto correspondiente equivale al valor de una botella menos S/.5. ¿Cuánto cuesta cada botella de vino? a) S/.12 b) S/.9 c) S/.15 d) S/.13 e) S/.11 12. Un boticario tiene cierta cantidad de kilos de una sustancia química, vende la cuarta parte y compra 12 kilos, con lo cual tiene los 3/2 de la cantidad primitiva. ¿Qué cantidad tiene de sustancia el boticario? a) 16 b) 24 c) 32 d) 8 e) 48 13. Pilar tiene 2 hijos, una hija y 9 nietos. José, el primogénito, tiene un hijo más que su hermano Jorge; y su hermana Carmen tiene dos hijos más que su hermano menor. ¿Cuántos hijos tiene José? a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5 14. Para comprar "n" libros me falta S/.a; pero si compro (n−1)libros me sobra S/.b. Si todos los libros tiene el mismo precio. ¿Cuánto cuesta cada libro? a) S/. a + 2b b) S/. 2a + b 2 (a + b) 3 a 2b + e) S/. 2
d) S/. a+b
c) S/.
15. Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad si por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró? a) 5200 d) 3800
Luego si: x= a es raíz del polinomio pedido; lo formamos a través de: x = 7 + 2 10 x - 7 = 2 10 (x - 7) 2 = 40 x2 - 14x + 49 - 40 = 0 ∴ el polinomio pedido es: x2–14x+9
2. (Ex. Admisión UNMSM 2007−II) Dada la ecuación con raíces complejas: 3x2 + (m+2)x + m = –2 Halle el máximo valor entero que puede tomar m.
Resolución Ordenando la ecuación: 3x2 + (m + 2) x + m + 2 = 0 "
T<0 S
discriminante:
por tener raices complejas
(m + 2) 2 - 4 (3) (m + 2) < 0 (m + 2) (m - 10) < 0 " m ! < - 2; 10 > El máximo valor entero que puede tomar m es: m=9
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Álgebra
Problemas para la clase 1. Resolver * 3x2+5x–2=0 * x2+7x–2=0
10. Si las ecuaciones: (a–2)x2+3x+2=0 (a–2)x2+4x+1=0 Presentar una raíz común, Hallar "a"
* 2x2–9=3x * 2x2+x=5
2. Calcular "k", si –3 es raíz de la siguiente ecuación: 4x2–kx+6=0 a) –15 d) –14
b) 12 e) –9
a) 1
b 2 − 4b 2b
a) 2
a) x2+x+3=0 c) x2–x–3=0 e) x2–2x–3=0
; calcular "bc"
b) –3
c) 3
d) 1 3
e) 1 2
b) 6
c) 5
e) 2
5. Determinar el valor de "m", de tal manera que la ecuación de segundo grado: x2–2(m2–4m)x+m4=0 tenga dos raíces con un mismo valor diferente de cero a) 2
b) 4
c) 6
d) 7
b) 15 2 25 e) 2
b) 6
c) 12
a) 1
c) − 21 2
d) 8
b) 2
c) –1
d) 4
b) 7 + 78 2
d) 7 + 41 2
e) 7 + 89 2
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d) –1
e) 0
b) –13
c) –15
d) –17
e) –21
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
x3 + 4x2 − x + 35 = x2 + 4x − 1 2x3 − 4x2 + 10x + 35 2x2 − 4x + 10 Indicar la mayor solución obtenida
e) 4
e) 5
9. Indicar el equivalente: 10 x = 7+ 10 7+ 7 + 10 7 + 10 h a) 7 + 87 2
c) 4
15. Al resolver la ecuación:
8. La diferencia de raíces de: (n+1)x2–15x+(7n–2)=0 es 3. Hallar el valor de "n" a) 1
b) –3
14. Si el conjunto solución de la ecuación: x2–nx+272=0 a a es " aa , aa + 1, Calcular "a" , si n∈+
7. La ecuación 9x2–(p+1)x+24=0 de raíces x1 y x2 cumple que 1 + 1 = 3 x1 x2 8 Hallar el valor de "p" a) 3
b) x2+3=0 d) x2+2x+3=0
13. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas: nx2+mx+5(1–x)=3x2 2nx2+3mx+1=5x2+2x son equivalentes. Hallar el valor de "14m–9n" a) –1
e) 9
6. Siendo x1 y x2 raíces de la ecuación: 2x2–8x+1=0 Calcular M=(x1+3)(x2+3) a) 43 2 53 d) 2
e) 2
2x2 + 2x − 3 x2 + x + 3 = 3 entonces la suma de los elementos de "a" es: a) –8
d) 4
d) –2
12. Si "a" es el conjunto solución de:
4. Calcular la mayor solución de: x+ 1 = 4 + 2 x + 1 x 2x + 2 a) –1
c) 3
11. Sea la ecuación 4x2–2x+3=0, cuyas raíces son"a" y "b". Hallar otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2a–1) y (2b–1)
c) 30
3. En la ecuación 3x2+bx+c=0, el valor de "x" es: −3 !
b) –3
a) − 2 − 3
b) − 1 − 7
d) 2 − 11
e) 4 + 5
c) − 5 − 5
16. Si una de las soluciones de la ecuación: x + a + b = x + a es x , entonces este valor es: 0 b+1 a) a2–b2 d) a2–ab
b) a+1 e) a2–1
c) b2–a
17. Si las raíces de la ecuación: x2–k2x+k2=0 , k ≠ 0 Están en la relación de 1 a 2. Hallar la menor raíz a) 1
b) 3 2
c) 2
d) − 1 2
e) 3
18. El valor de "p" que hace mínima la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: x2–(p+7)x+(p–5)=0 ; es:
c) 7 + 79 2
a) 7
41
b) 5
c) 0
d) –5
e) –6
Quinto año de secundaria
Capítulo 13 19. En la ecuación: x2+mx+5=0 , la suma de los valores de "m" para que las raíces "p" y "q" cumplan la relación 3p–q=2 , es: a) 1
b) 4 3
c) 5 3
d) 2
20. Si el conjunto solución de: x2–2mx+6=0 es $ k + 4 ; 2k + 5 . Hallar el menor valor de "m" k+1 k+1 a) − 5 4 d) − 5 2
e) 7 3
b) 25 2
c) 5 2
e) 1
Tarea domiciliaria 1. Si: –3 es raíz de la ecuación:
8. Hallar "m" si la ecuación admite raíces simétricas: 6x − 1 = m − 3 2x + 1 mx
2
2mx +(m+1)x–3=3x+48 Calcular el valor de "m" a) 2
b) –2
a) –1
c) 3
d) –3
e) 0
2. Indicar la mayor solución que se obtiene al resolver: I. 3x2–7x+1=0 II. 2x2+5x–1=0 a) 7 − 37 6
b) − 5 − 33 4
d) 7 + 37 6
e) 4
c) − 5 + 33 4
a) –70
b) –5
c) 15
d) 5
e) 70
a) –1
b) –2
c) –1
d) 2
e) 3
b) 15
c) 20
d) 24
e) –10
6. Si las ecuaciones cuadráticas: 2x2–mx+n=0 2nx2–3mx+9m=0 tienen el mismo conjunto solución. Calcular m2+n2 a) 5
b) 7
c) 10
d) 20
e) 13
7. Sea la ecuación: 3x2–10x+7=0 , cuyas raíces son "a" y "b". Hallar otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (3a+2) y (3b+2) a) x2+14x–15=0
b) x2–14x+15=0
c) x2–14x+45=0
d) x2+14x–45=0
e) –2
b) –2
c) 1
d) 2
e) 3
b) 0
c) 2
d) 8
e) –4
11. La ecuación cuadrática: x2–(k+1)x+(2k–1)=0 presenta raíz doble. Hallar los valores que tome "k" a) {1,5}
b) {–1,–5}
d) {1,–5}
e) {2,1}
c) {–1,5}
12. Resolver: 4x + 1 = 2 + x − 1 Indicar la mayor de sus soluciones
5. Sean x1 y x2 raíces de la ecuación: 2x2–12x=–6 Calcular: M= x1(3+x2)+x2(3+x1) a) 13
d) 2
10. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación 2x2+2x–1=0 x x Calcular " 1 + 2 " x2 x1
4. Determinar el valor de "m", tal que la ecuación: x2+2(m2+6m)x+m4=0 tenga dos raíces iguales, diferentes de cero a) –3
c) –3
9. Para que valor de "a", las ecuaciones: x2+ax+1=0 x2+x+a=0 , a ≠ 1 tienen una raíz común
a) –1
3. Hallar la suma de soluciones: 2x(x–5)–1–2=x(x+7)–1
b) 0
a) − 10 9
b) –2
c) 28 9
d) 2
e) 10 9
13. En la ecuación: x2–(m+1)x+2=0 , la suma de los valores de "m" para que las raíces "p" y "q" cumplan la relación 2p–q=3 es: a) − 7 2
b) –7
c) 7 2
d) 7
e) 14
14. Si la ecuación cuadrática: (2n–5)x2–(3n–2)x+7–n=0 tiene raíces recíprocas, calcular la diferencia de raíces a) − 8 3
b) − 4 3
c) 5 3
d) 7 3
e) − 3 8
15. Si: {r,s} es la solución de la ecuación x2+3x+k=0 y se sabe que r2+s2=p, entonces se cumple:
10. Formar una ecuación bicuadrada que tiene como dos de sus raíces –3 y 7
2. Dada la ecuación: (x+3)4(x–6)2(x–21)=0 Determine la diferencia entre el número de raíces y el número de soluciones. a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
b) –1
c) 0
d) 1
a) –1
e) 2
a) x4+35x2+324=0 c) x4–45x2+324=0 e) x4–45x2+424=0
(a + b + c) 2 − 3 (ab + bc + ac) abc
b) 1
c) –2
d) 2
e) 3
b) 301 e) –2
a) 10
c) –318
6. Sean: x1, x2 y x3 las raíces de la ecuación: x3–x2+7=0 (1 − x1 − x2) (1 − x2 − x3) (1 − x1 − x3) Hallar el valor de " " x1 x2 x3 a) 1
b) 3
c) 2
d) 4
e) –1
7. Si: 2 + 3 es una raíz de la ecuación: x3–4x2+mx+n=0 Calcular el valor de "m+n" a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) 5
8. Hallar el valor de "a", si el producto de raíces de la ecuación: (a–2)x6–x4+3x2+x+3(a+1)=0 es 4 a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
9. Dada la ecuación: x4–5xn–2+(3n–3)x2=nx+4n+2 de raíces x1, x2, x3, x4, x5. Calcular el producto de raíces a) –20 Central 6198-100
b) 6
c) 8
d) 15
c) 17 4
b) x4–35x2+324=0 d) x4+45x2+324=0
13. Si las soluciones de la ecuación: x4–(3k+4)x2+(k+1)2=0 son números enteros y están en progresión aritmética. Hallar la suma de los cuadrados de dichas soluciones (k∈z)
5. En la ecuación polinomial de raíces: x1, x2 y x3 x3–5x+m=0 , dos de sus raíces x1 y x2 suman 7 Hallar el valor de "x3+m" a) 0 d) –315
b) 37 4 15 e) 2
12. Si al formar una ecuación bicuadrada que tiene por dos de sus raíces a: − m y 2 , se obtiene: x4–(m+n+1)x2+8n=0 , se pide hallar otra ecuación bicuadrada de raíces m y n (m,n ∈ +)
4. Si a, b y c son las raíces de: 3x3–6x2+x–9=0 Calcular M =
b) x4+48x2+441=0 d) x4–58x2+441=0
11. Hallar la suma de los cuadrado de las raíces de la ecuación: 4x4–37x2+9=0 a) 15 4 37 d) 2
e) 6
3. En la ecuación polinomial: x7+3x2+x+m=0 Se cumple que seis de sus siete raíces suman 1 Calcular el valor de "m" a) –2
a) x4+58x2+441=0 c) x4–58x2+44=0 e) x4–58x2–441=0
b) 26
43
d) 34
e) 18
14. Si la ecuación: x4+ax2+b=0 ; tiene 2 raíces positivas que suman 5, 2 raíces reales que suman 3 y el producto de las mismas es negativa. Hallar "a+b" a) 1
b) 3
c) 4
d) –1
e) 2
15. Si en la ecuación polinomial: 2x3+9x2+ax+b=0 , las raíces están en la proporción 1; 2; 6. Hallar "a–b" a) 1
b) 4
c) –3
d) 7
e) –1
16. Si (2+i) es una raíz de multiplicidad dos de la siguiente ecuación: x5+ax4+bx3+cx2+dx+25=0 Hallar a–b+c–d, donde a, b, c, d ∈ a) 17 d) –18
b) 18 e) –17
c) –24
17. Si x1, x2, x3 (x3 ∈ ) son soluciones de la ecuación: x3–x2–3x+2=0 x x −1 x −1 Calcular: A = 2 1 + 22 + 3 x −x +1 x −x +1 2 1
e) 10
c) 20
a) − 1 2
b) 1 2
1
2
c) − 1 4
2
d) 0
e) 1 4
Quinto año de secundaria
Capítulo 14 18. Si el polinomio: P(x)=2x3+x2+mx–4 tiene dos raíces opuestas y "α" es la mayor raíz. Hallar "mα" a) 8
b) 4
c) 6
d) –6
20. Dada la ecuación recíproca: (b+7)x4–56x3+89x2–4(a+2)x+12=0
e) –8
Dar como respuesta una de sus soluciones
19. Si: x1, x2, x3 son raíces de la ecuación: x3–2x2+x+5=0 Calcular M = c 1 + 1m + c 1 + 1m + c 1 + 1m − 19 x1 x2 x3 5 a) 0
9. Dada la ecuación: xn–1–x4+29x2=(5n–1)xn–3–100x+6n+4 De raíces x1, x2, x3, x4, x5 . Calcular "x1x2x3x4x5"
2. En la ecuación: x3–3x–2=0 , de raíces a, b y c Calcular M=(a+2)(b+2)(c+2) a) 4
b) 5
c) –10
d) 2
e) –4
a) 2
b) –24
c) 25
d) –26
e) 28
4. Si: m, n, p son raíces de la ecuación: x3+3x2–x+6=0 Calcular M =
a) x4+20x2+64=0 c) x4–20x2+64=0 e) x4+20x2–46=0
a) 5 6 d) –6
b) − 5 6 e) –1
c) –5
x28+(a+2)x27+x2+x+2=0 , se cumple que la suma de sus raíces es 17 ; calcular el valor de "2a+1"
b) a
c) a 3
d) a 4
c) –6
d) –5
e) a 5
a) 2
b) 24
c) 39
d) 16
c) 4
d) –6
e) 3
d) 1
e) 3
2m + 1 + 2n + 1 + p m2 + m + 2 n2 + n + 2 3 c) 2 3
b) 3
d) 1
e) –1
14. Resolver la ecuación: 12x4–31x2+7=0 e indicar la mayor solución a) 1 2 7 3
d) −
e) 4
8. Se sabe que las raíces de la ecuación: x3–12x2+px–28=0 , están en progresión aritmética. Hallar el valor de "p" a) 20
b) 5
Hallar el valor A =
2x3–6x2+mx+p=0. Calcular el valor de "m–p" b) 7
c) 5
x3+2x2–2x+3=0
7. Si: 2 + 3 es una raíz de la ecuación a) –8
b) x4+20x2–64=0 d) x4+20x2+46=0
13. Si: m, n y p (P ∈ ) son raíces de la ecuación
c) 36
6. Hallar "m", si el producto de raíces de la ecuación: x88+3x86+3(a+m)=0 es 6m+2a a) a 2
b) 6
a) 6
b) 35 e) 37
e) 40
12. Proporcionar "m" si la suma de sus raíces positivas es 6, en la ecuación: x4–(3m+4)x2+(m+1)2=0
5. En la ecuación polinomial:
a) –35 d) –37
d) 10
11. Si: m y n son soluciones de x4–5m2x2+9n2=0 Hallar el mayor valor de "m+n" a) 9
(mn + np + mp) 2 + 2 (m + n + p) mnp
c) 1
10. Formar una ecuación bicuadrada si dos de sus raíces son 4 y –2:
3. Si: x=2 es una raíz de: 8x5+ax2+bx–128=0 Calcular A=2a+b a) 23
b) 5
b)
21 7
e)
5 2
c)
7 3
15. Si una de las raíces de la ecuación: 2x3+mx2+nx+4=0 (m, n ∈ ) es 2 − 2 Hallar
e) –20
a) 1
44
3
−n − m b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
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Álgebra
15
Sistema de ecuaciones
Ejercicios resueltos 1. (Ex. Admisión UNMSM 2011−I) Si el par (1; a) es solución del sistema: 3x − y = K 5x + y = K − 2 Halle el valor de a.
Resolución A partir de la solución reemplazamos x=1 / y=a 3 − a = K; 5 + a = K − 2 5 +a = 3 − a − 2 ∴ a = −2 2. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − I) 6x - ay = y Determinar la suma de todos los valores reales de a, de modo que el sistema: ) 2x + 3y = ax tenga infinitas soluciones.
Resolución Ordenando el sistema: 6x - (a+1)y = 0 (2 - a) x + 3 = 0 Se cumple que: ∴
6 = a+1 3 a-2
a2 − a − 20 = 0
suma de valores de a: a1 + a2 = - (- 1 ) = 1 1
3. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − I) Si: x > y, resolver: x2 y - xy2 = 70 .... (1) * 1 - 1 = 5 ... (2) : Indique el valor de: xy − (x − y) y x 14
Problemas para la clase Z x−y+3 ]] = 3 (1) 9. A partir del sistema: [ 2x + y − 3 2 ]] 3x − 2y + 4 = 5 (2) 2 2x − 2y + 3 2 Calcular y \ a) 2 b) 4 c) 8 d) 16
1. En cada ejercicio indicar su conjunto solución Zx y ] + =6 II. [ 2 3 ]x − y =2 \2 3
I. ) 3x + 2y = 5 3x − 2y = 1 III. ) 3x + 2y = 19 x + 3y = 11
2. Cual de los siguientes sistemas presenta infinitas soluciones I. ) 2 x + 3 5 y = − 7 2 2 x + 6 5 y = 14
c) I y III
3
a) 5 d) 2
b) 3 e) 5
b) a2+ab e) a–b
a) –7
a) 1
c) 1
b) k ≠ 3 e) k ≠ 6
)
b) –6
c) –2
c) a2–ab
c) 16 d) 7 7 16 Zx + y − z = 1 ] 8. En el siguiente sistema [ x − y + z = 2 ]−x + y + z = 3 \ Hallar el valor de (x+y+z)y a)
1 36
b) 3 4
b) 6
c) 216
b) 5
d) 1 6
e) 5
d) 12
e) –12
c) 4
d) 3
e) 2
x2 + 2x − y = 21 es: x2 y = 48 b) –48 e) 32
e) 6
e) − 4 3
e) 36
c) –32
15. Del siguiente gráfico, hallar "a+b" 3x–2y=5
b+1
c) k ≠ –3
d) 2
d) 4
c) –8
y
7. Determine el valor de "m", para que el sistema en x e y 5x + (3 − m) y = 4 sea incompatible ) 2x − ( 2 − m ) y = 6 a) 4 3
c) 3
b) 8
a) –21 d) 69
6. El valor de "a", para que el sistema ) x + 2y = 18 3x − ay = 54 sea compatible indeterminado es: a) 3 2
b) 2
14. El producto de valores de "x", para el sistema
5. Para que valores de "k" el sistema )(2k + 1) x + 5y = 7 (k + 2) x + 4y = 8 tiene solución única a) k ≠ 2 d) k ≠ 1, 2
c) –40
2 2 12. Un posible valor de "x+y", en: ) x − 3xy + y = 20 es: x + 5xy + y = 36
Z x y ]a+b + a−b = a+b 4. Resolver y hallar "x" [ ] x + y = 2a \a b a) a2+b d) b–a
b) –20 e) –30
2 2 13. La suma de valores de "x" en: ) x + pxy + y = 2 es x+y = 3 igual a –5. Hallar el valor de "p"
3. Si: (3,5) es la solución de )ax − by = 2 ax + by = 10 Hallar el valor de 3 5ab 3
a) 20 d) 30
a) 1
III. ) 3x + 5y = − 1 2x − 4y = 2 b) Sólo II e) Sólo III
10. Si: a b = 20 . Hallar A = a + b a − b c d c+d c−d
3 11. Resolver: ) 5x + 2 − y = 17 . Hallar el valor de "x" y + (5 − x) 3 = 2
II. )100x + 100y = 500 7x+ 7y = 5 7
a) Sólo I d) II y III
e) 100
x ax+by=15
5 a) 6
b) 5
c) 4
16. Hallar el valor de "y" en: a) 7
b) 5
*
d) 3
e) 2
y+3 =5 x
x 2 + 7x + y = x + 3 c) 4 d) 3 e) 8
2 2 17. Si el siguiente sistema ) x − 2mxy + y = 0 presenta x−y = 1 CS={(x0,y0)}. Calcular la suma de valores de "m"
a) 1
b) 0
c) 2
d) –2
e) –1
Z xy = 24 ] 18. Indicar el menor valor de "y", al resolver: [ xz = 18 ] yz = 12 \ a) –8 b) –3 c) –2 d) –6 e) –4 46
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Álgebra 3 3 19. Dado el sistema ) x + y = 72 si una solución es (a,b), x+y = 6 2 entonces "b –a" es:
a) 14
b) 12
c) –5
d) –6
e) 8
20. Luego de resolver el sistema en + x+y = 3 . Hallar el valor de "4xy" ) 2 x + 25 + y2 + 1 = 3 5 a) 5 4
b) 3 2
c) 3
d) 4
e) 5
Tarea domiciliaria 9. Si:
3x + y = 11 1. Hallar el valor de "x" al resolver: * y x+ = 7 2 a) –2
b) –3
c) 4
d) 5
L2
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
3. Hallar los valores de "m", para que el sistema en "x e y" sea compatible determinado. )(m − 1) x + 8y = 3 6x + (m + 1) y = 5 b) 7
a) d) 7 6
c) –{3,5}
e) –{7,–7}
c) 12
d) 14
e) 16
5. Si el sistema: )(4 − m) x + 5y = 11 (m − 5) x + 2y = 27
c) –4
d) 4
e) –2
b) –11 e) 1
b) 1
c) 5
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b) 60 e) 80
4
2
10
2 10. Si el sistema: ) x + nx = 3y 5x + 3y = –4 Tiene solución única, el menor valor de "n" es:
b) 3
c) –3
d) –9
e) 1
a) 10
b) 3
c) 4
d) 2
e) 8
b) 2
c) 1
d) 4
e) 6
2 13. Hallar el producto de valores de x en ) x + 2x + y = 3 y ( x + 3) = 5
b) 5
c) 3
d) 4
e) 2
e) –6
15. Al resolver el siguiente sistema en los número reales d) 4
e) 2
(a + b + c) 2 = 270 *ab + bc + ac = 435 . 3
8. Calcular "xy", si: ) x + y − x − y = 2 2 x+y + x−y = 4 2 a) 10 d) 8
2
c)
14. Indicar un valor de x+y–z, al resolver: Z (x + 1) (y + 2) = 12 ] [ (z + 3) (x + 1) = 60 ] (y + 2) (z + 3) = 45 \ a) –8 b) 7 c) –7 d) 6
c) 10
Z x + y = 16 ] 7. Resolver: [ x + z = 22 . Hallar "x" ] y + z = 28 \ a) 0
Resolución De (a) y (b) se tiene 3
De la inecuación III: y> 37 - 1 - 1 " y > 37 - 2 - 5 10 10 5 2
En (I): 5x>2+3(4) 5x>14 x> 14 → x>2,8 5
y> 30 ⇒ y>3 ................. a 10 Multiplicando a la primera inecuación por 2 y a la segunda inecuación por -5, se tiene:
En (II): 2x<11 – 4 ⇒ 2x<7 x<3,5
10x −6y > 4 −10x −5y > −55
como: 2,8
−11y > −51
finalmente: x=3; y=4
y < 51 .........(b) 11
48
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Álgebra
Problemas para la clase 1. Si: A=<–3,–2> , B=[–2,2] , C=[–5,1> Calcular (C – A) ∩ B a) <–2,–1> d) <–2,–1]
b) [–2,–1] e) { }
10. Resuelve la ecuación lineal: x − 4 + x − 5 $ 2 (x − 2) 3 4 a) [2,+∞> b) [1,+∞> c) [–2,+∞> d) <–∞,2] e) <–∞,1]
c) [–2,1>
2. Dados los conjuntos: a) A={x ∈ / – 4 < x < 1} b) B={x ∈ / – 1 ≤ x ≤ 3} c) C={x ∈ / – 6 < x ≤ 6} Efectuar (A ∪ B)C ∩ C a) <–6,–4] ∪ <3,6] c) <–5,–4] ∪ <3,7]
b) <–4,3] d) {7}
e) [–4,3]
3. Si: x ∈ <–2,4> . Hallar el intervalo de variación de − 2x + 4 3 b) 8− 4 , 4 B c) 3 3 e) − 4 , − 1 5 3 1 4. Si: x ∈ <1,2>, además < 1 < 1 a 5x + 3 b Indicar el valor de "a–b" − 4, 4 3 3 4 d) − , 8 3 3 a)
a) 6
b) 8
c) 10
13. Indicar el conjunto solución de: (x–1)(x+2) < (x+1)(x–1) ≤ (x+3)(x–1)
− 8, 4 3 3
d) 5
b) <–4,45] e) <7,45>
b) [–3,4] e) [–3,1]
e) 13
b) 2 2
c) <5,49]
Central 6198-100
b) <0,8] e) [8,10>
5
125 x − 1
b) [–9,9] e) [–9,+∞>
c) { }
18. Si la inecuación lineal: mx3+2x2–(m+n)x ≥ 4x3+nx2+12 posee C.S. <–∞,p], determine el valor de "mnp"
c) 4
a) 16
c) 4
c) <0,+∞>
c) 0
d) 2
e) –16
b) 9
c) 6
d) 7
e) 5
20. Para: a
49
b) 5
19. Si la ecuación: 2x+3n ≤ 27 genera un conjunto solución S, tal que S ⊂ <–∞,3], determine el mínimo valor de "n" a) 8
9. Si a, b, c ∈ + ∧ a ≠ b ≠ c. Hallar el conjunto de valores (a + b) (b + c) (a + c) al cual pertenece "M", si: M = abc a) [8,+∞> d) <8,+∞>
25 x + 3 $
c) 2
2x − 3 x+1 17. Resolver el sistema: c 1 m # 57 − 2x < c1m 5 5 a) <5,9] b) <4,8] c) <6,8] d) [6,8> e) [–3,6>
c) [1,3]
k = x − 4x + 8 es: x−2 e) 6 2
b) 11 e) 14
a) <–9,∞> d) <9,+∞>
2
d) 2 2
72x − 1
16. Hallar el C.S. de:
8. Sabiendo que: x > 2, entonces el mínimo valor de "k"
b) 2
49 x + 5 #
a) 10 d) 13
e) 4 2
a) 6
15. Hallar el mínimo valor entero de "x", en: 3
7. Si: ∀ x ∈ +. Hallar el menor valor de la expresión M = x+ 8 x a) 2 d) 2
c) –{1}
3^ x − 3h + 2^ x + 2h < 7^ x − 1h 14. Hallar "x", en: * si: x ∈ 5 ` x − 2 j < 7 ( x + 1) − 3 ( x + 2 ) 5 a) –1 b) –2 c) 0 d) 2 e) 1
6. Si: x ∈ [2,6]. Hallar el intervalo al cual pertenece 2x − 7 x−1 a) [–5,1] d) [–3,1>
b) {1} e) { }
a) d) {–1}
5. Si: 2x − 3 ! < − 3, 1] 5 dar el intervalo de variación de A=x2+6x+5 a) [5,45] d) [–4,45]
11. Si: "x" e "y" son enteros positivos que verifican el sistema ) x − 3y > 2 entonces "x+y" puede ser x−y < 7 a) 5 b) 6 c) 7 u 8 d) 8 ó 9 e) 7, 8 ó 9 Z 3y − 2 > 2x + 3 ] 12. Resolver el sistema en : [ x + y > 5 ] x + 2y < 11 Indicar "x+3y" \ a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
2 e) b 4a
Quinto año de secundaria
Capítulo 16
Tarea domiciliaria 1. Si: A=[–4,0> , B=[–2,5] , C=<2,7] Calcular "(A ∩ B) – C" a) [–2,0>
b) <–2,0>
d) <0,2]
e) [–2,0]
c) [0,2]
a) –2
2. Siendo: 7 ≤ x+6 ≤ 8, indicar el menor entero de − x + 10 2 a) 4
b) 6
c) 2
Z 3x + y > − 4 ] 9. Resolver el sistema en : [ x − 2y < − 7 . Hallar "xy" ] 2x + 3y < 6 \
d) –2
a) [7,9> ∪ [11,+∞]
b) [7,+∞> ∪ <9,+∞>
c) [–7,0> ∪ <9,+∞>
d) <–∞,–7> ∪<9,+∞>
c) 3
d) 6
e) 10
10. Resolver la inecuación: 3x–2 < x+1 < –x+7
e) –1
3. Si x ∈ [–1,3]. Hallar el complemento de la variación de (5–4x)
b) –6
a) <–∞,–2>
b) <–8,+∞>
d) <–∞, 3 > 2
e) <2,+∞>
c) <–∞,–8>
11. Si: 2x+3 ∈ <11,35> Hallar el intervalo de variación de 3x–10
e) [–7,9]
a) <–1,233>
b) <–1,71>
c) <17,71>
d) <17,233>
e) <17,719>
4. Si: (3x+7) ∈ <10,23>, indicar el intervalo de variación de 4 + 2 3x + 4 a)
5, 9 8 7
b) <1,2>
d)
13 , 25 5 7
e)
c)
11 , 18 5 7
b) 2
d) Más de 3
e) 0
d) k ≥ 11
e) k < 11
c) k < 10
2 2 n2 + p2 m2 + p2 k = m +n + + mn np mp
d) k $ 4 3
e) k ≥ 3
c) k ≥ 12
b) <–8,+∞>
d) <–∞,8>
e) <2,+∞>
b) [–11,+∞>
c) <–∞,11>
d) <–∞,–11>
a) <–∞, 1 > 12
b) <36,+∞>
c) < 1 ,+∞> 36
d) < 1 ,+∞> 12
a) 1 2
b) − 1 8
d) 1 8
e)
a)
5 14
d) 11 14
8. Resolver: x + 2 + x − 1 < x + 2 2 3 a) <–∞,–2>
a) <11,+∞>
c) − 1 2
1 27
15. Si: 2 ≤ x ≤ 5 y n,m son el menor y el mayor valor de 2x + 1 respectivamente. Hallar el valor de "m–n" 3x − 1
Luego es posible afirmar: b) k $ 1 3
93 (x + 1)
14. Si la inecuación lineal: nx2+nx–2x2+1 ≤ 0 posee C.S.=<–∞,a], determinar el valor de a3
7. Si: m, n, p ∈ + y además
a) k ≥ 6
10
e) <–∞,36>
k = 2x + 25 ; x > 0 2x b) k ≥ 10
35x + 1 <
13. Resolver: x + x + x + x + ... + x > 1 2 6 12 20 156 39
c) 3
6. Hallar la variación de "k", siendo:
a) k > 10
9
e) <–11,+∞>
7 , 11 5 3
5. Si: x ∈ <5,11], indicar el número de valores enteros que puede tomar 2x − 1 x−2 a) 1
12. Hallar el C.S. de:
b)
9 14
c)
3 14
e) 13 14
c) <–∞,–8>
50
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Álgebra
17
Inecuación de segundo grado Problemas para la clase
1. La inecuación que presenta en su conjunto solución al menor número de enteros posibles es: a) x2–12x+27 < 0 c) 2x2–17x+36 ≤ 0 e) x2–12x+35 ≤ 0
b) x2–11x+30 ≤ 0 d) x2–5x+6 ≤ 0
a) 8
b) –{6} e) {6}
b) –{2}
a) –6
b) 7
c) –2
b) [2,7] e) [–3,6]
b) –5
c) –2
b) 1
c) 4
c) – $ 1 . 2
a) 9
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e) 6
c) <0,4>
b) <–4,16> e) <–4,∞>
c) <–∞,0>
b) 10
c) 8
d) 7
e) 6
14. Al resolver la inecuación: x2–9x+18<0, se obtiene que x∈. Hallar "a+b"