ÁLGEBRA 5° GENERALES - 2017

Índice I Bimestre Capítulo 1

Teoría de exponentes

5

Capítulo 2

Polinomios I

8

Capítulo 3

Polinomios II

11

Capítulo 4

Productos notables I

13

Capítulo 5

Productos notables II

16

Capítulo 6

Repaso

19

Capítulo 7

División algebraica I

21

Capítulo 8

División algebraica II

24

Capítulo 9

Factorización

27

II Bimestre Capítulo 10

MCD - MCM - Fracciones algebraicas

31

Capítulo 11

Teoría de ecuaciones

34

Capítulo 12

Planteo de ecuaciones

37

Capítulo 13

Ecuación de segundo grado

40

Capítulo 14

Ecuaciones polinómicas

43

Capítulo 15

Sistema de ecuaciones

45

Capítulo 16

Desigualdades - inecuaciones de primer grado

48

Capítulo 17

Inecuaciones de segundo grado

51

Capítulo 18

Repaso

53

III Bimestre Capítulo 19

Inecuaciones de grado superior

56

Capítulo 20

Valor absoluto

58

Capítulo 21

Logaritmos I

60

Capítulo 22

Logaritmos II

63

Capítulo 23

Funciones I

67

Capítulo 24

Funciones II

70

Capítulo 25

Funciones III

74

Capítulo 26

Repaso

78

Capítulo 27

Progresiones

82

Capítulo 28

Binomio de Newton

86

IV Bimestre Capítulo 29

Radicación

89

Capítulo 30

Cantidades imaginarias

91

Capítulo 31

Repaso

94

Capítulo 32

Función Biyectiva, Inversa y Compuesta

97

Capítulo 33

Función exponencial y logarítmica

101

Capítulo 34

Programación lineal

104

Capítulo 35

Repaso

109

Álgebra

Álgebra

1

Teoría de exponentes

Ejercicios resueltos 1. Si: xy=2, (donde x>0), halle el valor de la expresión: (Ex. Admisión UNMSM 2010–I)

y −y y (4 x ) x . (x x ) y + (x2) − y 2x 2y − 6x − y

Resolución Preparamos convenientemente a la expresión:

Reemplazamos el dato: 16 + 1 4 . (2) 2 + 2 − 2 4 = 8−3 2 (2) 2 − 6 (2) − 1

y −y y 4 x . x . (x y) x + (x y) − 2 2 (x y) 2 − 6 (x y) − 1

=

65 13 4 = 5 4

2. Si: 5n+1+5n+2+5n+3+5n+4=780 y "n" es un número entero, entonces el valor de 2(n+3), es: (Ex. Admisión UNMSM 2009–I)

Resolución Factorizamos: 5n+1. (base común elevado al menor exponente) 5n + 1 . (1 + 5 + 52 + 53) = 780 1 444 4 2 444 43 Factor común

se obtiene de dividir: 5n + 1 ; 5n + 1

5n + 2 ; 5n + 3 ; 5n + 4 5n + 1 5n + 1 5n + 1

Operando: 5n + 1 . (156) = 780 & 5n + 1 = 51 & n + 1 = 1 & n=0 ` 2 (n+3) = 6 3. Resuelva la ecuación: 22x+2–5(6x)=32x+3, luego calcule 5x (Ex. Admisión UNMSM 2011 - I)

Resolución Preparamos las potencias de la ecuación 22x . 22 − 5 . (3 x) (2 x) = 32x . 32 4 . (2 x) 2 − 5 . (2 x) (3 x) = 9 (3 x) 2 Entonces:

Puesto que: a ≠ –b 4 . (2x)=9 . (3x) Para facilitar su resolución cambios: 2x = a / 3x=b

4a2 − 5ab − 9 b2 = 0

4 a2 − 5 ab − 9 b2 = 0

Factorizando: (4a – 9b)(a+b) = 0

4a a

4a=9b 22 . 2 x = 32 . 3 x " 2 x + 2 = 3 x + 2 ;

Central 6198-100

hacemos

x+2=0 ;

5

–9 b b

–9 ab (+) 4 ab –5 ab

` x = − 2 5 x = 5− 2 = 1 25

Quinto año de secundaria

Capítulo 01

Problemas para la clase 1. Calcular:

−1

−1 1 3 2

A = '^2 5 h + c 1 m + 2 5 + 4 1 3 0

a) 2

b) 4

0

c) 6

d) 8

b) 5

d) 11000

e) 3

a) 0

e) 10

4 5 2. Simplificar: M = 75 8.185 15 .6

a) 1 5

a+6 11. Calcular el valor de "a", si: 3 6 . 9 = 27a 3

b) 1

12. Resolver: c) 1 3

72

c) 2

d) 3

e) –1

2

2x + 1 = 9 2 8 2

a) {0} d) {2}

;

(x < 0)

b) {4} e) {–2}

c) {–4}

x

5 x + 2y .81 y .15 x 75 x + y

3. Reducir: T = y a) 9

b) 25

4. Simplificar: A =

a) 1

Calcular el valor de A = x − 2 y

c) 15

`23

x−1 4−x 3

j

d) 27

.2

c) 215

5. Calcular "A ", si: A = 125

c) 1 5

b) 25

a) 5x d) 2–17

e) 218

b) 3

1 25

e) 1

a) 0

d) 27

e) 25

d)

x

2

e)

xx

8. Si: xx=3 ; dar el valor de A = x b) 9x

9. Calcular: M = a) 3

c) 27x

b) 6

c) 9

20 + 20 + 20 + ...

B=

110 − 110 − 110 − ...

C=

3

D=

4

16

3

32 '

16 3 16... 4

c) 1024

d) –1

e) –2

2x + 2 2x + 3 b) {1} e) {–2}

a) –2

e) 3x

A M

A M

c) {–1}

A ... M

b) 2

c) 1

d) 1 2

e) 4

19. Indicar el exponente final de "x" en: 3

58

3

e) 15

x

5

9

x4

x24

n a) 2n + 1 2 −1

10. Calcular en forma directa: A=

e) 4

2 Calcular ` A − 1j ; A, M ! R + / A ! M M

d) 27

d) 12

d) 2

3

c) 2

3

xx

3 3 3 + 5 32 ' 3 35 ' 3 −1

2

2

17. Resolver: ^2 −1h =

1 + x1 + x

a) 3x

=

b) 1

18. Si: A + M = A−M

c) 1 2

2–1

a) {0} d) {2}

b) 2x

c) 0

b) 1065 e) 1066

16. Resolver: x x

xx

x

e) 4

8

x 7. Si: xx=2, calcular T = x 2 x 2x

a) 22x

b) 2y

a) 1056 d) 1058 d)

c) 9

d) 3

15. Si: x x = 220 , calcular A=x8+x16

x+3 x+2 x+1 x 6. Reducir: M = 3 x − 3 + 3 x − 2 + 3 x − 1 + 3 x 3 +3 +3 +3

a) 1

c) 2

Calcular M=5x + 22 – 2y

3

− 9 −8

b) 1

14. Si se cumple: 5x+1 – 2y+1=5 . 2y – 2 . 5x

1

−

–2

a) –1

e) 50

43

2−x x−1 6 c`^23h5j6 m

b) 2

a) 5

13. Dada la igualdad: 52 = 625 y

20. Si:

a) 5

32 ' 4 32 ' ... 6

y

y

2n 2 +1 n

c)

2n

2n + 1

n e) 2n − 1 2 +1

n

x

x240 ... n radicales

b)

2n 2 −1

d)

17

x = 3− b) 4

3

, hallar un valor de A=x2+2y2 c) 3

d) 2

e) 1

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Álgebra

Tarea Domiciliaria −1

9. Hallar "x"

1 2 −1 2

1 1. Reducir: M = '^ − 5 3 h + ` j + 5 3 + 36 1 4 0

a) 2

b) 4

c) 5

0

d) 6

Si: 7

e) 7

b) 2

a) 2

4. Calcular: A = 27 a) 3

d) 4

e) 5

a) 1

b) 5

d) 125

e) 625

d) 1 4

e) 8

d) 1 9

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

a) 16

b) 17

d) 21

e) 22

c) 18

12. Resolver:

e) 27

54

c) 25

2

2x − 1 = 9 2 6 2

a) {–4}

b) {4}

d) {0}

e) {1}

c) {4,–4}

13. Si: x0 verifica la igualdad: x+1

x+x Dar el valor de: M = x x x

a) 2

b) 4

c) 6

^7xhx = 77

d) 8

x'

b) 10 16

d) 13 16

e) 17 16

b) 13

d) 14

e) 8

c)

9 16

Hallar el producto de cifras de 7x0+1 a) 14

b) 18

d) 22

e) 12

c) 16

15. Resolver:

A=

56 +

B=

72 − 72 − 72 − ...

22x+2– 5 (6x) = 32x+2

56 + 56 + ...

c) 17

Luego, calcule 5x a) d) 14

e) 18

1 25

b) 25

Central 6198-100

c) 12

2x. 8x+2. 4x+1= 22x–1 . 42x–3. 82x–5

8. Hallar "A+B", si:

b) 16

a) 11

x0

14. Si: x0 satisface la ecuación

x' x

a) 15 16

3

e) 16

x x x x x'

7

Halla la suma de cifras de

7. Dar el exponente final de "x" en la expresión:

a) 15

e) 2

Calcular A=x6+x12+1

6. Si: xx=2

A=

d) 1

6

x+3 x+2 x+1 x 5. Calcular: A = 5 x − 3 + 5 x − 2 + 5 x − 1 + 5 x 5 +5 +5 +5

a) 1

c) 0

11. Si: x x = 3 16

− 1 2

c) 1 3

b) 9

b) –1

Calcular M = x 2y + 1

−1

c) 1 2

−81 −16

x+1

x

4 42 p 23

b) 4

49 2

10. Si: 73 = 49 y

c) 3 4

3. Reducir: M = f

= 49

a) –2

4 5 .6 2. Simplificar: A = 30.10 2 96 .15 4

a) 1

343 x

7

a) 1 5

a)

1 125

c) 125


Capítulo 02

2

Polinomios I

Ejercicios resueltos 1. Si la expresión: P(x;y)=3x5yn+mxa – 2y6+bx5yb+1 se reduce a un monomio de coeficiente 10, halle el valor de m+n+a+b.

Resolución El dato expresa; que los términos del "polinomio"

además: 3+m+b=10

se reducen a un monomio; por lo tanto:

a=7

3x5yn; mxa – 2y6; bx5yb+1.

m+b=7

son términos semejantes.

`m+n+a+b=7+7+6=14

& a – 2=5 / n=6; b+1=6

m+n+a+b=14

2. Halle el valor de "h" si en el polinomio P(x)=(2x – 1)3+4x+2h se cumple que la suma de su término independiente con la suma de sus coeficientes es 12.

Resolución Por propiedad: / coef.P(x)=P(1) / T. Independiente P(x)=P(0) luego, se establece; del dato: P(1)+P(0)=12 donde: P(x)=(2x – 1)3+4x+2h entonces: (2 – 1)3+4+2h+(0 – 1)3+0+2h=12 [ 1 +4+2h – [ 1 +2h=12 " 2 x 2h=8 ` h=2 3. Sea P(x)=x2 – 3. Si f(x)=P(P(x)), halle el término independiente aumentado en la suma de coeficientes del polinomio f(x).

Resolución Piden:

P(1)=12 – 3= –2

T. Independiente f(x)+/ coef. f(x)

P(P(1))=P(–2)=(–2)2–3=1

Por propiedad: f(0)+f(1)

y como:

Del dato:

f(0)+f(1)=P(P(0))+P(P(1))

P(P(0))+P(P(1))

` f(0)+f(1)=6+1=7

P(0)=02 – 3=–3 P(P(0))=P(–3)=(–3)=(–3)2 – 3=6

8

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Álgebra

Problemas para la clase 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones matemáticas representan a un polinomio?

polinomio se cumple que: GA(p)=8 ∧ GR(y)=5

I. P (x, y) = 3x2 y3 + 5 x2 y 4 + 9 2

P(x,y)=3xm+1yn–3+7xm+2yn–1+11xm+3yn–2

II. Q (x, y) = 5x −2 y + x 4 y9 + 3x 4

a) 2

III. R (x, y) = 8 x y − 4x −2 y3 + 9

b) I e) I, II y III

P (x) = x a) 3

8 5 + 3x − a

b) 5

a) 25 d) 7

c) 2

d) –7

e) –14

4. Sean los polinomios:

Calcular "F(4)+G(1)" b) 104 e) 112

c) 114

F(x)=(3nx–2n)3+8xn–576x excede en 8 al término independiente, entonces el valor de "n" es: b) 3

c) 6

d) 7

c) 10

d) 12

b) 1

c) 2

d) 3

e) 20

e) 4

c) 8

d) 9

e) 12

Central 6198-100

c) 47

1 4

2 6

b) 12

c) 10

d) 2

e) 8

x2 y5 3 x 4 y2 4 xmn yn

b) 2

c) 4

d) 6

e) 7

a) 2x2–12x+8

b) 2x + 16 − x + 4

c) 2x − 5 x − 4

d) 2x − 16 − 5 x + 4

e) 2x − 16 − 5 x − 4

F(x,y,z) = (9a + b) xa+3 y5 zb–2 si sus grados relativos son iguales b) 16

x P(x)

16. Si: P(x2+1)=2x2–5x+8, hallar "P(x–3)"

9. Hallar el coeficiente del monomio:

a) 65

14. Dado el polinomio lineal que presenta resultados mostrados en el cuadro:

a) 1

H(P(x))=5x+4 b) 7

n+1 x+b e) a ax + b

n+1 c) a n x + b a x+b

Si GR(x)=2 ∧ GA(m)=5 ; Hallar "m+n"

Calcular "P(2)" a) 6

an x + b a x+b n−1

15. Sea el monomio: M (x, y) =

8. Se definen: H(x+3)=5x–1

c) x–1

n−1 x+b b) a ax + b

a) 14

7. Si: F(x–1)=2x+1. x , resuelva "F(a+2)=16a+48" a) 0

e) 20

Calcular "P(0)+P(5)"

Hallar el valor de "k", si: P(Q(x))–Q(P(x))=20 b) 4

b) 2x e) x+1

n+1 a) an − 1 x + b a x+b

e) 5

6. Dados los polinomios: P(x)=2x+3 ∧ Q(x)=x+k a) 5

d) 30

13. Se define: P(x)=(ax+b)(a2x+b)(a3x+b)...(anx+b)

d)

5. La suma de coeficientes del polinomio:

a) 4

c) 29

Hallar " P (ax) " P (x)

F = ^ x + 1h = x2 + x + 2 / G ` 2x − 3 j = 3x + 1 x+4 a) 96 d) 94

b) 27

a) x d) 2x+1

Calcular A= P(Q(2)) b) 1

e) 5

12. Se define: R (x + 3) = x + 4 / R (N (x)) = x x+2 x−3 Hallar "N(3+3x)"

e) 6

3. Si: P(x)=5x2–7x+2 ∧ Q(x)=x3–7 a) 0

d) 6

El GR(x)=15; además GR (x) = 5 GR (y) 4 Hallar el grado absoluto del polinomio

+ 2x 4 − a c) 4

c) 4

Q(x,y)=xa+2by7–b+xa+by10–b+xa+3by9–b

c) IV

2. Cuál es el grado del polinomio: a−2

b) 3

11. En el polinomio:

IV. S (x, y) = 5x2 y 4 + 8x x y3 + 10 a) I y IV d) II y III

10. Indicar el valor de n ; si se sabe que en el siguiente m

17. UNMSM 2006–II Si: F(x–1)=2F(x–2)–1 ; F(–3)=2 , hallar "F(0)" d) 88

e) 82

a) 1

9

b) 2

c) 8

d) 9

e) 12


Capítulo 02 18. UNMSM 2010–I

20. Si se cumple:

Sean: P(x)+Q(x)=ax+b ∧ P(x)–Q(x)=a+bx

a + b − 3c = a − 3b + c = − 3a + b + c a − 3 b + c − 3a + b + c a + b − 3c Siendo a + b + c, un número comprendido entre 180 y 636 , calcular en Gr(x) del polinomio:

P(5)=4 ; Calcular "P(Q(1))" a) 4 3

b) 1 3

c) 2 3

d) 5 3

e) − 4 3

19. Sea P un polinomio, tal que:

F (x, y, z) = x

P(x,y)=P(x)+P(y) ; 6x, y ! R b) 3 e) 6

+y

b+c 5

+z

c+a 2

Sabiendo que este posee grado mínimo

Si además P(10)=0 , calcular M=P(7)+P(99)+P(1001) a) 1 d) 0

a+b 3

a) 50 d) 60

c) 1107

b) 90 e) 40

c) 30

Tarea domiciliaria 1. ¿Cuál o cuáles de las expresiones matemáticas representan a un polinomio? 4 8

9. Hallar "n", si el grado del monomio es cuatro: E=

4 11

I. P (x, y) = 5x y + 3x y + 2 II.

1 3

III. R (x, y) = 7x −1 y + 2x 4 y + 2 4 y

IV. S (x, y) = 2x y − x y + 4x a) I y IV d) II y III

P (x) = 7x a) 1

− 2x

+x

b) 3

c) II

a) 8

c) 28

b) 6

d) 9

e) 5

c) 4

b) –3

c) –5

a) 18

d) 30

e) 32

d) 2

a) 1,5 d) 2,5

b) 1 e) 3

b) 38

c) 39

d) –6

e) –9

b) 18

c) 9

e) 32

b) 21

c) 20

d) 24

e) 30

Cuando: x = 1 + 1 + 1 + ... + 1 2 6 12 9900 a) 1

b) 2

c) 3

d) –1

e) 0

13. Siendo: P(x,y,z)=xmy2n+1z(xm–1yzn–1+(xy)mzn) Además si GA(p)=17 ∧ GR(y)=9 Calcular A=(m–n)n a) 1

c) 2

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

14. Indicar el valor de "n" en el monomio P (x) = d) 40

e) 41

d) 17

e) 16

8. Se cumple: P(Q(x)–2)=3x+1 P(x–1)=x+3 Calcular "P(Q(2))" a) 19

d) 24

2 P (x) = c 100 x m − c 100 x m + 1 99 99

7. Dado: F(x+3)=2F(x+1)+5 Además F(2)=6 ; calcular F(6) a) 37

c) 20

12. Calcular el valor numérico de:

e) –4

4P (x) − P (4x)

6. Si: P(4x–3)=x , calcular

b) 12

Calcular la suma de coeficientes

5. Calcular el término independiente de: P(x–1)=x2–5x+3 sumado con la suma de coeficientes de Q(2x–3)=2x2–5x–3 a) –1

e) 8

P(x,y)=3mxm–3yn+5–5nxm–7yn+6+7xm–3yn+9 Si GR(x)–GR(y)=–7, además GA(p)=9

4. Si: P(3x–5)=x2–3, calcular P(–8)+P(4) a) –2

d) 7

11. Dado el siguiente polinomio

6−a

c) 7

b) 26

c) 6

7

3. Si: P(x)=3x2–2x+5 ∧ Q(x)=x3–5 Calcular A=P(Q(2)) a) 24

b) 5

A (x) = 2n x5 ^3xh2n 7 ^3xh7 si tiene como grado a "2n"

2. Cuál es el grado del polinomio: 9 6−a

x

−1

10. Indicar el coeficiente del monomio 4

b) I e) IV

a−5

x3n + 2

x2

a) 4

Q (x, y) = 3xy7 − 2x y + 1 3 4

3

a) 2

3

x

3

x2

3

b) 3

x3 ...

3

xn Si su GA(p)=7

c) 4

d) 5

e) 6

15. Hallar la raíz cuadrada de la suma de coeficientes del siguiente polinomio P(x,y)=(2a2+b)x5–aya+(a–2b)(xy)a+(b+4a–3)xa+1ya–3 Sabiendo que a2–2ak+2a=4k ; a, b, k ∈ + a) 5 10

b) 6

c) 9

d) 7

e) 4

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Álgebra

3

Polinomios II Problemas para la clase

1. Si el polinomio:

8. Sea el polinomio homogéneo:

n–2 m

n–3 m+1

n–1 m–1

c) 3

d) 5

R(x,y)=x5yn+2xm+2y3+3xn+1ym+2+4xmy5 Indicar el producto de coeficientes de P(x)=mxn+nx3+nmx+m

P(x,y)=2x y +3x y –4x y es homogéneo de grado 10 y GR(x)=6 Calcular m + n n−m a) 1

b) 2

a) 2

e) 6

b–c+1

a+b–4

b) 9

c) 3

d) 14

b) –10 e) 16

a) –6

e) 17

3

a) 1

b) 3

a) –2

n

3

n–2

R(x)=(25x +7) (100x –1) Calcular

n+6

a) 2

b)

10

c) 10

(2x –1) es 49

b−a

a) 3

e) 3

d) 1

a+b 4

a) 7

b) 5

y + a (xy) b

Central 6198-100

b − 1+ 9

c) 8

− x17 y2b

e) 8

e) 6

b) 240 e) 24

c) 51

b) 4

c) 8

d) 16

e) 25

14. Si el polinomio:

2+ 1

d) 4

d) 1

Hallar el grado de Q2(x)

7. Obtener la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: P (x, y) = bxa

c) 8

P7(x)Q3(x) es 19 y el de P5(x)Q(x) es 9 a) 1

c) 10

b) 4

13. Dados los polinomios P(x) y Q(x), tal que el grado de

P (1) + b

b) 5

e) 3

a) 18 d) 54

6. Si el polinomio de 18 términos: P(x)=xb+8+...+xa–5+xa–6+(a–8)xa–7 es completo Calcular

c) 31 6

b) 37

Si GA(A)=24 ∧ Q(x)=9x6–8x10+x15–3

5

d) 4

e) –4

2 12. Hallar el grado del polinomio: P 8(x) .Q (x) P (x)

e) 9

5. Si el grado del polinomio: 2

d) 2

11. Sea: A(x)=3x2+bx2–5–ax–7x+c un polinomio idénticamente nulo. Hallar A = a + b c

m+n +p d) 6

c) 4

10. Sea: R(x)=(x–2)2+(x+1)2+(x+3)2+(x–4)2 F(x)=mx2–nx+p p si R(x) ≡ F(x) , calcular m+n+2 4 31 d) 30

c) –20

c) 5

b) 6

a)

4. Si: P(x)=(m–5)x2+(n–3)x+2p–14 Se anula para más de 2 valores de su variable "x" Calcular

e) 32

Determine el término independiente

3. Si se cumple que: (x+2)(x+3)(x+1) ≡ (a–1)x3+6x2+(2b+5)x+c–2 Calcular M = abc 2 a) 32 d) 24

d) 16

2 2 P (x) = x16 + xm − 2 + x13 + ... + x12 + n + ... + x7 + xn + 2 + x1 − m + ... + (m + n)

a–3

P(x)=ax +bx +cx +dx es completo y ordenado en forma decreciente. Hallar M=a+b+c+d a) 2

c) 8

9. Sea el polinomio ordenado:

2. Si el polinomio: c+d–1

b) 4

P(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+... es ordenado y completo. Calcular P(1)–P(–1) a) –15 d) 5

e) 3

11

b) –12 e) 15

c) 12


Capítulo 03 15. De la siguiente identidad:

19. Si los polinomios:

(x+1) +(x–1) ≡ 2x +ax +10x+b

P(x,y,z)=(a–b)2xm+(c–a)2zp+(b–c)2yn

Calcular M=(a–18)b+3

Q(x,y,z)=abxm+3bcyn+5aczp

5

a) 4

5

b) 6

5

3

c) –4

d) 8

e) 0

Son idénticos. Calcular A = a + b + b + c + a + c c a b

16. Si: F(x–1)=2F(x–2)–1 ; F(–3)=2 , Hallar F(0) a) 1

b) 2

c) 8

d) 9

17. Si: P(x)=(ab–ac–n2)xn+(bc–ab–2n)x2+(ca–cb–1) ≡ 0 –1

–1

a) 8

e) 12

b) 8

d) 0

b) 1

c) 3

d) 7

e) 15

Si M(x) se anula para más de 3 valores que adopten sus variables ; (m,n,p) ⊂ +

e) 27

18. Si: (p2–3)x5+9x–n+(m2–19) ≡ xm+(n2–7)x2–p+6 (m,n,p ≠ 0) , hallar m+n+p a) –1

d) 14

M(x)=(mn+mp–3)x2017+(mp+np–5)x2016+(mn+np–4)

–1 3

c) –8

c) 13

20. Dado el polinomio:

Calcular M=(a –2b +c ) a) 1

b) 11

Calcular A=mnp(m+n)(m+p)(n+p) a) 40

b) 45

c) 50

d) 55

e) 60

e) 11

Tarea domiciliaria 8. Si el polinomio: P(x)=(n+2)xn+8+(n+3)xn+9+... es completo y ordenado. Hallar el número de términos de dicho polinomio.

1. Hallar "a–b", sabiendo que: P(x,y)=xa+3byb+2+xay14–a+xa+by2b+4 Es un polinomio homogéneo a) 1 d) 6

b) 2 c) 3 e) Hay 2 correctas

a) 8

2. Si "n" es la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: 2

2

P (x, y) = axm − 5 y12 + (4b − 1) xm y3m − 14 + (a − 2b) xa y b Hallar la suma de cifras de "n" a) 7 d) 111

b) 49 e) 56

b) 13

c) 5

a) 2

c) 3

b) 3

c) 5

d) 12

d) 8

a) 5

e) 20

6. Dados:

c) 9

a) 3 d) 10

e) 12

F(x)=(2x+1)(x–1)(x+1)

b) 2

c) –1

c) 15

d) 1

d) 1

e) –3

a

b

a + 23

b) 6

c) 7

− abx13 y27 d) 8

b) 2

c) 1

d) 4

b) 6 e) 13

Si A(x)=(B(x))2 , Indicar M=n+m2

es idénticamente nulo. Calcular A = acd abcd

a) 50 d) 64

c) 3

d) 4

e) 0

c) 14

13. Dados los polinomios: A(x)=3x2+mx+n B(x)=ax+2

P(x)=x(ax2+bx+c)–2x(bx2+cx+d)+2d–1 b) 2

e) 4

12. Hallar el término independiente del polinomio P(x)=xn+2+xm–1+...+mx+m+n si es completo y ordenado, además posee 8 términos. a) 7 d) 12

7. Sabiendo que el polinomio:

a) 1

e) 8

Calcular el grado de Q(y)=(b–a–2)ya+b–1+2bxa+1

G(x)=2x3+mx2+nx+p Si F(x) ≡ G(x) , indicar el valor de "n" a) –2

e) 7

11. Si el polinomio es idénticamente nulo: P(x)=(a+3b–10)x2+(5a+6b–23)

e) 10

P(x,y)=x5+xny2+xmy4+yr–1 , hallar m+n+r b) 7

b) 16

P (x, y) = axa + 5 y8 + bxa y b es homogéneo

5. Si el polinomio es homogéneo: a) 5

d) 6

10. Indicar el valor de "a+b", si el polinomio:

4. Si: P(x)=xa+2b+3xb–3c+2x2c+d–7x2d–6 es completo y ordenado descendentemente, hallar "a" a) 1

c) 5

9. Si: F(x)=xa–2+2xb–3+3xc–4+...+nxm+nm es un polinomio completo y ordenado de 15 términos. Hallar A = a + b c

3. Si: (a–6)x3+12(b–2)x+10≡(2a–7)x3+24x+a–b+c+6 Hallar a+b+c a) 10

b) 4

e) 5 12

b) 52 e) 100

c) 61

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Álgebra

4

Productos notables I

Ejercicios resueltos 1. Se sabe que x2+5x=4, entonces, ¿cuál es el valor de (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – 79?

Resolución Ordenando lo que se pide: ^ x + 1h^ x + 4h^ x + 2h^ x + 3h - 79

1 444 2 444 3 1 444 2 4 44 3 2 2 = ^ x + 5x + 4h ^ x + 5x + 6h - 79 Reemplazando el dato:

= ^4 + 4h^4 + 6h - 79 = 80 - 79 = 1

2. Simplifique la siguiente expresión:

^ x + 1h^ x - 1h^ x + 1h + 1 . x ! R+ . 2

Resolución Aplicando diferencia de cuadrados: ^ x + 1h^ x - 1h^ x + 1h + 1 2 2 = ^ x - 1h^ x + 1h + 1 2

= =

^ x2h - 1 + 1 2

x 4 = x2

3. Calcule el valor de x3+6x si se sabe que x = 3 4 - 3 2

Resolución Elevando al cubo el dato: x3 = ^3 4 - 3 2 h

3

x3 = 4 - 2 - 3 3 4 . 3 2 ^3 4 − 3 2 h 1 44 2 44 3 1 44 4 2 44 43 2

x

" x3 = 2 - 6x ` x3 + 6x = 2

Central 6198-100

13


Capítulo 04

Problemas para la clase 1. Efectuar: A = (x + 5) 2 − (x + 4) 2 − (x − 3) 2 + (x − 4) 2 a) 8

b) 16

c) 12

d) 20

e) 14

11. Si: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1 = x + k2 Calcular el valor de "k" a) x+1 d) 1

2. Si: m + n = 5 mn=2

12. Si: x3 = 1 , x ! 1. Hallar

Hallar M = m + n n m a) 2 3

b) 1

d) 3

e) 1 2

3. Efectuar:

a) − 1 3 d) − 1 6

c) 1 3

b) a–b e) 4ab

c) ab

4. Si: x2 − 3x + 1 = 0 , calcular A = x2 + 12 x a) 5

b) 6

c) 12

d) 8

y) + ( x −

a) 10000 d) 1000

b) 10100 e) 1

y)

c) 3

d) 4

2

e) 5 3

b) 27x3 e) 27

2

d)

c) 9x3

b) (x y + x −y) 6 e) x

+x

21

b) FVFVF e) FFFFF

c) VVVVV

2

2 2

e)

2 3

3

13 + 2011

c) 3 2

3

b = 2008 + 13 Indicar el valor de A=a9–9a3b3–b9

(x y + x −y) (x y − x −y) (x 4y + x −4y + 1)

−x

c)

21

b)

18. Si: a =

10. La expresión simplificada de

6y

8

17. Si: a −1 + a = 2 Calcular E=a9+a–9

(x − 3) (x + 3) (x + 3x + 9) (x − 3x + 9) − (x − 27) + 1458

−6y

e)

21

a) 2 2

a) (x −y − x y) 6

e) 15

(9264) (9258) + 9 4 + (439) (443) b) 21

a) VVVFV d) VFVFV

9. Efectuar:

d) x

4

d) 8

V. Es entero

a) 1

a) 54x3 d) 54

c) 5

IV. Es divisor de 1000

x + 3y + 2 x + 2x 4x y + 3x x + 3y

6y

b) 2 5

III. Es no negativo

c) 0

Hallar el valor de M =

2

c) 2 2

II. Tiene raíz cúbica exacta

8. Si: 1 + 1 = 4 x y x+y

b) 2

c) − 1 5

16. Si: 4 4a + 4 −4a = 119 ∧ a>0, al hallar el valor de M=2a–2–a+5 , indicar (V) o (F) del resultado obtenido I. No es par

2

c) 100

b) 5 e) –36

e) 4 2

d)

7. Efectuar: ( x + 1) ( x + 3) ( x + 6) ( x − 2) − ( x 2 + 4 x ) ( x 2 + 4x − 9 ) a) 10 d) –10

d) 3

a) 441

e) 6

6. Calcular el valor de A = P(1,2)+P(3,4)+P(5,6)+...+P(99,100) Si: P (x, y) = ( x +

b) 2

15. Calcular: M = 8

d) 4

2

a) 4

a) 10

3 3 M = 4m −2n + 7m + 3n + 52mn 2 2m 4m + n mn

c) 1

b) − 1 4 e) − 1 2

−7x + 1 + 3 −7x + 2 Determinar el valor de E = 5 −7x − 1 7. (5 )

e) 7

2

b) 0

x 4 ( x 4 + 1) x6 + 1

14. Si: 25 x + 9 x = 2 (15 x)

5. Si: m2 + n2 = c m + n m , calcular el valor 2

a) 9

c) x

13. Si: a(b+c)=–bc y a+b+c=2. Calcular a2 + b2 + c2

(a + b) (a − b) + 2ab + 2b2

a) a+b d) 2ab

b) x–1 e) –1

c) x −6y − x6y

a) 81 d) 9

−9

14

b) 27 e) 3

c) 18

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Álgebra 19. Si: x2+x–2=79 (x>0)

20. Si: x2=9(x–1),

(x9 + x7) (x5 + x3) (x13 + x11) 27x24

Hallar M = 3 a) 1 d) 0

b) 2 e) 24

Calcular M =

8 x 9 − ( x 4 + x 2 + 1) ( x 6 + x 3 + 1 )

a) 2

c) 3

d)

b) 5

c)

5

e) 2 2

7

Tarea domiciliaria 1. Si: x+y=5 ∧ xy=3 . Calcular A=x2+y2 a) 18

b) 19

c) 20

d) 25

e) 31

x + 4y = 2 . Calcular 3x + 2y − 5x − 2y y x x + 2y 3 x + 2 y

2. Si: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

b) 12x e) 0 2

e) 5

b) 125 e) 25

8

A = 3 3xy (x + y) + (x + y) (x2 + y2 − xy)

2

a) x+y d) y

c) 133

a) 1 d) –2

b) 1 e) 2

c) 2017

b) 2 e) 3

c) –1

13. Si: R = 3 25 + 3 5 Calcular A = R (R + 15 ) (R − 15 ) + 5

( 3 x + 5 ) 2 − ( 3 x − 5 ) 2 ( x + 7) 2 − ( x − 7 ) 2 + 10 7

a) 10 d) 10x

b) 7 e) 5x

a) 30 d) 45

c) 17

b) 16

c) 64

d) 48

1

e) 52

b) 24 e) 25

d)

c) 30

el mayor valor de x − 1 es: x

d) 6

e) –16

Central 6198-100

3

E(x) =

b) − 10

1

b)

3

1 3

c) 1

e) 2 3 3

3

15. Determine el valor numérico de

9. Si: x + 1 = 2 10 , x

a) 2 10

c) 40

3 3 M = e1 + 2 7 o + e1 − 2 7 o 3 3 3 3

a) 0

8. Si: x2+5x=1, calcular M=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)–5x(x+5) a) 1 d) 35

b) 35 e) 50

14. Efectuar:

7. Si: ab=a+b=4, calcular el valor de "a3+b3" a) 4

c) x

Hallar M=x2+x3+x4+5

6. Efectuar: M=

b) x–y e) xy

12. Si: x + 1 = 1 , x ! 0 x

2 (a + b) (a2 + b2) (a 4 + b 4) + b8

a) 0 d) 2015

c) 2

c) 6

5. Si: a=2017 ∧ b=2015, Calcular A =

b) 6 e) 12

11. Simplificar:

4. Reducir: M=(x+2)(x –2x+4)–(x–5)(x +5x+25) a) 8 d) 0

Calcular: x3m+x–3m a) 4 d) 8

3. Reducir: A=(3x+2)2+(5–3x)(5+3x)–29 a) 12 d) 9x2

10. Si: xm + 1m = 2 ; m ! Z + x

x 6 (x 2 − 8) 3 3

Para x = a) 192 d) –180

c) –6

15

2+3 3 +

2−3 3

b) 182 e) –192

c) 120


Capítulo 05

5

Productos notables II

Ejercicios resueltos 1. Calcule el valor de

x2 + y2 + z2 si se sabe que: x + y + z=xy + yz + zx – 8=8

Resolución Del dato se tiene que: x + y + z =8 / xy + yz + zx = 16 Se sabe que: (x + y + z)2=x2 + y2 + z2 + 2(16) Reemplazando los datos: (8)2=x2 +y2 +z2+2(16)32 " `

x2 +y2 +z2 =32 x2 + y2 + z2 = 32 = 4 2

2. Calcule el valor de: J = =

x3 + y3 + z3 xy + yz + zx E , si se sabe que: x = 5 - 2, y = 2 - 3 , z = 3 - 5 G; xyz x2 + y2 + z2

Resolución Sumando los datos se obtiene: x + y + z =0, entonces la expresión J es equivalente a: 3xyz xy + yz + zx E E; - 2^ xy + yz + zxh xyz J = 8 3 B=- 3 -2 2 J =;

Por identidad condicionales: x3+y3+z3=3xyz Si: x+y+z=0 x2+y2+z2=-2(xy+yz+xz)

3. Calcule el valor de (x – y) si se sabe que x e y son números reales que satisfacen la ecuación: x2+y2+2y+10=6x.

Resolución Ordenando el dato: 2 2 6x 4 +493 + y + 2y + 1 = 0 1x44- 2 1 44 2 44 3 ^ x - 3h2 + ^ y + 1h2 = 0

Por el teorema x2 + y2=0 " x=y=0 6 " x; y , 1 R se tiene: (x - 3)2=0 / (y - 1)2=0 " x=3 / y= -1 ` (x - y)2=16

16

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Álgebra

Problemas para la clase 11. Si: x2+y2+z2=xy+xz+yz x+y y+z x+z Calcular M = + + x y z

1. Si: a + b + c = 3 2 a2 + b2 + c2 = 2 Hallar el valor de M=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2 a) 18 2. Si: x =

b) 20

c) 22

7+ 3 / y=

d) 16

a) 1

e) 24

b) 2

c) 3

d) –2

b) 2

c) 3

a) 1

d) 4

e) –2

c) 3

d) 4

6. Si: x =

5− 3 ; y=

Calcular A = e a) 8

c) 2

2

2

d) 4

2− 5 ; z= 2

2

c) –6

2

e) 1

b)

d) a c

e) c a

ac

3− 2

a) 5

b) 6

d) –3

e) 6

a+c

e) –2

Central 6198-100

d) 1 2

c) 2

e) 1

(a + b + c) 2 + (a − b − c) 2 2 (5 + 2bc) c) 5 d) 2 e) 4

b) 50 e) 0

18. Si:

c) 1

c) 75 ax + by + cz = 3p abxy + acxz + bcyz = 3p2

x + bc + y + ac ac Reducir E = bc z + ab ab a) 0 3

b) 1

c) 2

d) 2p

e) p

d) 2

e) 10

a +3 b +3 c = 0

3 3 3 Evaluar M = a + b + c − 27abc (a + b) (b + c) (a + c)

a) 6

b) –3

c) –9

19. Si: a3+b3+c3=2(a+b)(b+c)(a+c) ∧ a+b+c=1

a2+b2+c2=5 Hallar " 1 + 1 + 1 " a b c b) 2

2

17. Si: {x,y,z,a,b,c} ⊂ , además )

10. Si: a3+b3+c3=12 a+b+c=3

a) 0,5

c) 3

16. Sean: a+b+c=0 ∧ abc=5 Hallar el valor de A=ab(a+b)4+bc(b+c)4+ac(a+c)4

22

b) xy e) y–x

b) 3

a) 25 d) 100 c)

3

a3+b3+c3=3

b) 3

a) 1

9. Si: x+y=1 , Reducir A=x3+y3+4xy–1 a) x–y d) 0

e) 12

15. Si: a2+b2+c2=5 . Hallar

2

929.919 + 25 237.225 + 36 c) 2 d) 4

8. Calcular el valor de M =

b) 2 e)

a) 1 3

2 2 7. Si: ` a + b j + ` a − b j = 4a (ac>0) b c b c c Indicar el equivalente de "b" (b>0)

a) ac

d) 1 6

a2+b2+c2=2 (a + b + c) (2 − ab − bc − ac) Calcular A = 1 − abc

x + y + z oe x y + +z o xy + xz + yz yz xz xy

b) 4

c) 1 4

a2+b2+c2=2 (a+b+c)(1+ab+bc+ac)=32 Calcular "a+b+c"

14. Sabiendo que:

3 3 3 Hallar M = a + b + c + a + b + b + c + a + c abc c a b

b) 0

b) 1 3

d) 4

e) 5

5. Si: a+b+c=0 ; abc ≠ 0

a) 3

1 12

a) 2 3 4

x+y+1 b) 2

e) 10

13. Dadas las condiciones

4. Si se cumple: x2+y2=2x+4y–5 ; x,y ∈  Hallar A =

d) 6

12. Si: x+y+z=1

a)

e) 5

4 3. Si: x + 3 = 2 . Calcular M = x +2 9 x x

a) 1

c) 4

1 3 1 3 1 3 ` x − 2 j + c y − 3 m + cz − 6 m Calcular M = (2x − 1) (3y − 1) (6z − 1)

7− 3

y Calcular A = x + y x a) 1

b) 2

Calcular A = c) 0,2

d) 1

a) 4

e) 5

17

1 + 5abc ab + bc + ac

b) 5

c) 3

d) 6

e) 1


Capítulo 05 20. Si: a–1+b–1+c–1=0 Calcular M = a) 2

(ab) 4 + (ac) 4 + (bc) 4 a2 b2 c2 (a2 + b2 + c2)

b) 3

c) 4

d) 6

e) 18

Tarea domiciliaria 1. Si: x =

5+ 2 / y=

9. Hallar abc , si: a+b+c=15 a2+b2+c2=93 a3+b3+c3=645

5− 2

y Calcular A = x + y x a) 1 2

b) 7 2

c) 14 3

d) 7 3

Calcular M =

2

Indicar el valor de M=a +3a +3a+4 a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

3. Sea a,b,c ∈  , si: a2+b2+c2=ab+bc+ac 3

3

3

4

4

Calcular A = a + b + c + a + b 2+ c abc abc a) 2

b) 3

c) 20

a) 1

A=

e) 6

a2+b2+c2=36 Calcular M=(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2

d) 12

b) 8

a) 0

c) 11

d) 10

c) 3

d) 4

a) 1

c) 1 2

d) − 1 3

d) 12

e) 6

e) 0

c) –1

d) 1

e) –2

x3 + y3 + z3 − 3xyz (x − 1) + (y − 2) + (z − 4)

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

15. Siendo: a3+b3+c3=30 a+b+c=3 abc=4 Calcular " 1 + 1 + 1 " a b c

1 − 6abc Simplificar M = 2 (a3 + b3 + c3) − 3 (a2 + b2 + c2) b) 1

c) 18

b) 2

Calcular M =

8. Si: a+b+c=1

a) –1

b) 8

x2+y2+z2=7

e) 7

2 2 2 6 6 6 Calcular A = 9a 3b 3c −3a 3− b 3−3c a b +a c +b c

b) 2

c) 3abc

14. Si: x+y+z=5

7. Si: a+b+c=0

a) 1

b) 9a2b2c2 e) 1

3 3 3 Calcular A = a4 b 4+ c 4− 3abc a + b + c − 4abc

e) 24

(m + n − 2p) 2 + (m + p − 2n) 2 + (m + p − 2n) 2 m2 + n2 + p2

a) 9

e) 6

13. Si: a+b+c=a2+b2+c2=1

4

6. Si: m+n+p=0 . Calcular M=

d) 5

a9 + b9 + c9 + 3 (a3 + b3) (a3 + c3) (b3 + c3) 6 (a3 + b3 + c3) − 15abc

a) 3 4

c) 36

c) 3

Hallar "xyz"

c) 100

Calcular A=xy(x+y) +xz(x+z) +yz(y+z) b) 48

b) 2

12. Si: x,y,z ∈ , tal que x2+y2+z2+14=2(x+2y+3z)

5. Si: x+y+z=0 ∧ xyz=4

a) 15

e) 85

a3 + b3 + (c − 2) 3 abc − 2ab

a) 9abc d) 3a3b2c2

4

d) 80

Hallar

d) 1

b) 72 e) 144

c) 75

11. Si: a+b+c=0

4

4. Si: a+b+c=8

a) 80 d) 120

b) 70

10. Si: a+b+c=2

2. Se sabe que: a = 3 5 − 1 3

a) 60

e) 4

a) 0,5 d) 0,25

e) − 1 6

18

b) 2 e) 0,4

c) 0,2

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Álgebra

6

Repaso

Problemas para la clase 1. Hallar "m" si: 2m+1–2m+3–2m–2=–200 a) 2

b) 3

c) 4 14

2. Hallar x28 , si: x x = a) 7–1 d) 72

d) 5

9. Si el polinomio: P(x)=(a–2)x2+(a+b–5)x+(a+b+c–8) es idénticamente nulo. Calcular "abc"

e) 6

7

a) 15

b) 70 e) 73

c) 7

625

n+4 8

.

a) 6

125

n+2

b) 15

4. Efectuar: M = a) 1

7

4.7n

n

= 4 125 . 5n + 2 c) 17

7

b) 2

3.7n

77

a) 65

d) 22 0

128

c) 4

77

e) 27

20 + 20 + 20 + ...

B=

30 −

C=

3

a) 2

D=

16

16

3

a) 4 3

16...

d) 88

e) 82

3

M ( − 2 , 2 , 2) b) 4

c) 6

d) 8

e) 7

b) 1 3

c) 2 3

d) 5 3

e) − 4 3

13. Sea el polinomio F(x)=(x+1) , si para a ≠ b Se cumple que: F(a)=1–b y F(b)=1–a

6. Si: a+b=1 ∧ ab= 2

Calcular el valor de "a+b" a 2

b 2

a) 1

Simplificar A = (a b + ba) (aa + b b) − (2 + 2 ) a) ab+1

b) ba+1

d) 1

e) 0

b) 0

c) 2

d) –1

e) 1 2

d) 18

e) 72

14. Sea P(x)=(2x+3)2–4x(x–1)–74

c) a+1

F(x)=a(x–5)+b(x–2) Hallar "ab" ; si P(x)≡F(x)

7. Sean las expresiones: P(x)=3x+2 Q(x)=x–4 Hallar I. P(x–1)+Q(x+2) II. P(Q(x)) III. P(P(x)) IV. Q(P(x))

a) 55

b) 30

c) 84

15. Si: a+b=5 ∧ ab=2 Hallar M=a0+a1+a2+a3+ b0+b1+b2+b3 a) 113 d) 143

8. Se definen: P(x–1)=2x+4

b) 132 e) 125

c) 123

16. Si: a2x+a–2x=38 (a>0)

P(F(x)+1)=4x+10

Hallar ax–a–x

Hallar F(9) a) 14

c) 47

Calcular P(Q(1))

27 ' 27 ' 27 ' ...

b) 16

12. Si: P(x)+Q(x)=ax+b ; P(x)-Q(x)=a+bx ; P(5)=4

30 − 30 − ...

3

e) 20

11. Dado el polinomio homogéneo:

Calcular

e) 0

5. Calcular en forma directa: A=

d) 24

M(x,y,z)=xm+2+(m+n)yn–(m–n)zm+n–4

n+1

d) 5

c) 18

10. Hallar el coeficiente del monomio F(x,y,z)=(9a+b)xa+3y5zb–2 , si sus grados relativos son iguales.

3. Hallar "5n" , si: 16

b) 21

b) 16

Central 6198-100

c) 18

d) 20

e) 19 19

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 12


Capítulo 06 17. Si: a2–a–1=0 ; (a≠0)

19. Si: x3–3x=4 ; ¿Cuánto vale "a"?

Reducir:

x=3

A = 8 à + 1 jca2 + 12 mca 4 + 14 m + 18 a a a a

a +1 +3 a −1

a −1 a +1

a) 3

b) 2

c) 1

a) 0

b) 1

d) a2

c) a

e) a3/2

18. Si: ab=3 y a2+b2=19, calcular a3+b3 a) 75

b) 60

d) 120

e) 90

c) 80

d) 0

e) 4

20. Si x e y son números enteros positivos que satisfacen x+y 6x = 5 + x + y 2 . Hallar 13x+9y 6x * xy − x − y = 9 a) 104 d) 102

b) 105 e) 106

c) 103

Tarea domiciliaria 1. Hallar "x+1" , si: 25 a) 10

3x − 1 2 =

b) 11

2. Hallar "x" , si: x

c) 9

x13

9. Si: F(x–3)=x2+1 y H(x+1)=4x+1

2x + 1 625 3

Hallar el valor de H(F(3)+H(–1))

d) 8

1

1

b) 13 3

d) 13

e) 132

a) 24

3

5x

5x

b) 48

4

1

c) 13 13

4. Hallar "n" , si: ^5 h

=5

E= c) 180

y −y y ^ 4 x hx ^ x x hy + ^ x2h−y

2x2y − 6x −y

c) 11 4

b) 3

d) 16 5

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 12

a) 243 d) 257

b) 543 e) 357

P(x,y)=3x a) 2

y

b) 3

m+2 n–1

+7x

y

c) 4

b) m4–1

d) m2–1

e) (m–1)4

c) m2+1

a) 2 21

b) 5 21

d) 4 21

e)

c) − 2 21

21

13. Reducir: A=(m+1)(m+2)(m+3)(m+4)–(m2+5m+5)2 b) –1 e) 0

c) m+1

M = (3 5 + 3 2 ) (3 4 − 3 10 + 3 25 ) + (3 3 − 1) (3 9 + 1 + 3 3 )

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 6

d) 2

e) 3

15. Si: a–b=–c Calcular A =

m+3 n–2

d) 5

a) m4+1

14. Calcular:

c) 267

+11x

( m + 1 ) 3 ( m − 1 ) 3 ( m 2 − 1 ) 5 ( m 2 + 1 ) 8 ( m 4 − 1) 2

a) –m d) 1

8. Hallar " n " , si se sabe que en el siguiente polinomio, m se cumple que GA(p)=8 y GR(y)=5 m+1 n–3

10

Calcular x–x–1

7. Si la suma de coeficientes del polinomio P(x)=(x2+3x+1)2–7x(x+1) es "α" y el término independiente de Q es "β" Hallar α+β2 , si: Q(x–1)=(3x+1)2–2(x+3)2

c) –15

12. Si x+x–1=5

e) 16 3

6. Se define: H(x+3)=5x+1 H(P(x))=5x+6 Calcular P(2)

b) –13 e) –17

11. Simplificar:

1680

5. Si: xy=2 , (x>0) . Hallar a) 13 4

e) 6

c) 115

¿Cuál es el valor de P(2)? a) –14 d) –16

d) 36

b) 200 e) 300

b) 145 e) 120

10. Si P(x)=7xn–8xn+1–xn+2 , es completo en "x"

5 x = 2517

c) 12

−n 8n 4

a) 210 d) 320

a) 117 d) 107

= 13

a) 13 2

3. Hallar "x" , si:

e) 14

y

e) 6

a) 1 20

(a − b) 2 + c2 c (b − a)

b) –1

c) 0

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Álgebra

67

División Divisiónalgebraica algebraicaI I

Ejercicios resueltos 1. Efectúe:

x 4 + â + 1h x3 + â + b - 1h x2 ^ b - ah x + 3 - b x2 + ax + b

; e indique la suma de los coeficientes del cociente.

Resolución Aplicando el método de Horner: : 1

1 a+1 +

a+b-1

-a

-b

1

-a -1

#- a

b-a +

-b

#- b

-1

1

1

3-b

a

b

0

3

` El cociente Q(x) es: Q(x)=x2+x - 1

2. Dado el polinomio: P (x) = x5 + ^3 2 - 2h x3 + 2 2 + 1; halle el valor de P^ 2 - 1h

Resolución P( 2 - 1) es el residuo de dividir P^ x h ' ^ x - 2 + 1h ABBBBB C

"divisor de primer grado"

Luego por Ruffini: x- 2 +1 = 0

1

x = 2 -1 1

3 2 -2

0

0

2 -1

3-2 2

1

2 -1 3-2 2

2 -1

2 +1

1

2 -1

0

2 2 +1

4

` P^ 2 - 1h = 4 Residuo

2 2 * ^ 2 - 1h = 2 - 2 2 + 12 = 3 - 2 2 2 * ^ 2 - 1h^ 2 - 1h = 2 - 12 = 2 - 1 = 1

Central 6198-100

21


Capítulo 07

Problemas para la clase 4 3 2 1. En la división indicada: 8x − 6x −213x + 19x − 27 2x + x − 3 Indicar el grado del cociente aumentado en el grado del resto máximo

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

nx 4 + ^2n − 1h x3 − 2x2 + n2 x − 3 nx − 1 la suma de coeficientes del cociente es igual al cuadrado del residuo

e) 5

4 3 2 2. Efectuar la división: 3x +32x −22x − 2 x + 2x − 3 y determinar la suma del cociente con el residuo

a) 5x2–12x–18 c) 6x2+12x–18 e) 6x2+x–18

10. Calcular el mayor valor de "n" si en la división:

a) 1

a) 4017 d) 3

b) x2+12x+18 d) 6x2–12x–18

b) 6x+5 e) 7x–2 5

3

2

b) 9

una división

c) 10

d) 11

e) 12

c) 5

d) 20

e) –24

4 3 2 6. Si al dividir: 2x + 52x + 2mx + 5 2x + 3x − 1 los coeficientes del cociente son iguales. Hallar el resto

b) 2x–6 e) x–6 4

c) 2x+6

b) 130 e) 145 4

3

2

a) 1

x3 − 2x2 − 15x − x2 m + 2x m + 15 m x− m a) x2–2x+15 b) x2+2x+15 c) x2–2x–15 d) x2–x+15 2 e) x +x–15

d) 8

e) 10

c) 2

d) 3

e) 4

b) –35 e) –61

c) –37

^ y + 4h10 + y5 ^ y + 8h5 + ^ y + 2h^ y + 6h

b) 2

y 2 + 8y + 8

c) 3

d) 4

e) 5

40 16. Al realizar la división: 3x − mx + 2 se obtiene un x−1 cociente cuyos coeficientes suman 105. Calcular "m"

b) 3

c) 4

d) 5

e) 15

17. Hallar el valor de ab-1, si en la división: â − bh xn + â − bh2 xn − 1 + â − bh3 xn − 2

x−a+b se obtiene un residuo 3bn+1 a) 1 2

b) 3

c) 1 3

;b≠0

d) 4

e) 2

22 15 18. Si el residuo de la división: x 2+ 4x + 1 x +x+1 es R(x), calcular R(5)

a) 9

c) 78

9. Dividir e indicar el cociente:

b) 1

15. Hallar el resto de:

2

b) 77 e) 80

c) 6

100 98 2 14. Hallar el resto de: x − 9x + 7x − 5x − 13 x−3

c) 135

8. Si al dividir: ax + bx2 + cx + 3x + 1 x −x+1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 22 y un resto R(x)=10x–1. Hallar "a+c" a) 57 d) 79

b) 4

13. Calcular el residuo cuando: 8x50–19x42+14x+28 se divide entre x+1

a) 2 3

7. Si la siguiente división: ax + bx 2+ 7x + 4x + 3 3x + x + 3 b a es exacta. Calcular M=a +b a) 125 d) 140

c) –4017

3− 2

a) –27 d) –51

8x5 + 4x3 + mx2 + nx + p 2x 3 + x 2 + 3 Es R(x)=5x2+3x–2 ; hallar E=m+n+p b) 6

a) 2

a) 0

5. Sabiendo que el resto de la división:

a) 2x+5 d) –2x+6

b) –3 e) –2007

Cuando x =

a−b+c

exacta. Determinar el valor de

a) 24

e) 7

P (x) = x 6 + 2 2 x 5 + 2 2 x 3 + 2 2 x + 7

c) 7x+2

x − 2x + 3x − ax + bx + c x 3 + 3x 2 − 2

a) 8

d) 6

12. Hallar el valor numérico de:

a) 5x+2 d) –7x+2 4. Siendo:

c) 5

11. Si: P(x)=x3–2009x2+4015x–2010, evaluar P(2007)

4 3 2 3. Hallar el resto de la división: 6x − x 2− 3x + 2x + 5 2x − 3x + 1

4

b) 2

b) 10

c) 15

d) 18

e) 21

19. Hallar la diferencia "m–n" si la división de: 3x2+mxy+4y2+5y+ny entre "x+y" es exacta a) 2

b) –2

c) 12

d) –12

e) 5

20. Sea: P(x)=x3–9x2+27x–27, hallar el resto de dividir por x − 3 − 3 7 a) 6 22

b) 5

c) 8

d) 7

e) 9

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Álgebra

Tarea domiciliaria 1. Determine el residuo de la siguiente división:

9. Calcular el residuo de dividir

10x5 + 3x 4 − 7x3 − 8x2 − 7x + 13 2x3 − x2 − 3x + 2 a) x+1

b) 2x+1

d) 2x+3

e) 3x+1 4

3

2 x 5 + 4x 4 + 3 x 3 + 2 2 x + 6 x− 3 + 2 c) x+3

a) 5

c) 4

a) 15 d) 5

e) 6

a) –5

d) 46

e) 48

5 4 3 2 4. Si la división: Ax − Bx + 262x − 14x + 39x − 15 2x − 3x + 5

es exacta, Hallar "A+B" a) 6

b) 12

c) 16

d) 19

e) 24

Determinar su resto b) 8

c) 6

d) 14

e) –4

6. Hallar la suma de coeficientes del cociente de:

b) 8

c) 10

d) 15

e) 20

7. Determine el residuo de dividir: 2x +bx+5 entre (x–1)

c) 17

c) –16

d) 8

e) 12

( x − 6 ) ( x − 2) ( x + 1) ( x + 5 ) + 7 x2 − x + 5 a) 244

b) 248

d) 250

e) 252

c) 298

P(x)=(x3+x)2017+x+3 por D(x)=x2+1 a) x+1

b) x+2

d) 3

e) 2017

c) x+3

14. La siguiente división: 2x119 + 1 es inexacta x2 − x + 1

a) 2x+3

b) 2x–3

d) x+3

e) –2x–2

c) –2x+3

x 4 + mx3 + nx2 − 18x − 12 x 2 + 4x + 3

si la suma de coeficientes de su cociente es 72 b) 16

b) 32

15. Hallar "m+n" , si la división deja como resto: (2x+3)

31

a) 15

e) 35

Hallar su residuo

2x 4 + 3x 3 + 4 x 2 + 5 x + 6 2x − 1 a) 6

d) 30

13. Indicar el resto al dividir:

6 5 3 2 5. Dividir: 6x − 9x − 4x + 20x − 23x + 11 2x − 3

a) 7

c) 25

12. Determinar el residuo de dividir:

Deja como resto: 3x2+5x–1 c) 44

b) 20

4(3x–7)8–(3x–5)5+8 por x–3

15x5 + 4x 4 + x3 + mx2 + nx − p 3x 3 − x 2 + 2x + 3

b) 42

e) 9

11. Hallar el resto de dividir:

3. Hallar "np–m", si la división:

a) 40

d) 8

8 (x − 1) 37 − (1 − x) 40 + 4x + 3 x−3

Es exacta. Calcular A = a + b b) 3

c) 7

10. Calcular el resto al dividir:

2

2. Si la división: 6x + 5x2 + 8x − ax + b 3x − 2x + 1

a) 9

b) 6

d) 18

e) 19

d) 32

e) 36

a) 4

b) 3

c) 5

d) 1

e) 2

8. Hallar "a" si la división: 21x 4 − 34x3 + 41x2 − ax − 20 3x − 4 es exacta a) 29

b) 30

Central 6198-100

c) 31

23


Capítulo 08

8

División algebraica II

Problemas para la clase 1. Determine el residuo en la división:

(x − 1) 51 (x3 + 5) (x − 1) 50 (x + 3) c) 32x50

a) 88

b) 32

d) 88(x–1)50

e) 88(x–1)51

a) 5

2. Al dividir: F(x) entre (x–1) se obtiene como residuo 4 ¿Qué residuo se obtendrá al dividir (F(x))5 entre (x–1)? a) 1024

b) 16

d) 64

e) 216

c) 32

b) x2–6

d) x2–9

e) x2–8

4. Hallar el resto de dividir: a) 8x

c) x2–3

e) x

c) 2x

a) 7

e) 94x+95

c) 95x+91

c) 6

d) 5

e) 10

7. Un polinomio M(x) se divide por (3x3+1–7x) generando un cociente (2x+m) y un residuo (7+x2+2mx), además se sabe que su suma de coeficientes es –32. Hallar "2m+3" a) 11

b) 25

d) –11

e) –19

d) 378

e) 49

a) 72

b) 36

d) –72

e) 18

c) –36

Tiene 9 términos en su desarrollo. Calcular

m−n

a) 1

e) 7

b) 3

c) 4

d) 5

a75 − b30 a15 − b6

Hallar la suma de coeficientes de P(x) b) 7

c) 21

12. Hallar el tercer término del cociente, al dividir:

6. Al dividir un polinomio: P(x) entre (x2+4x–6)2 se obtiene un cociente (3x–1) y un resto igual a (x2+5)

a) 8

b) 420

¿Cuál es el resto de dividir dicho polinomio entre (x+2)?

Hallar el residuo de dividir P(x) ÷ (x2+3x+2)

d) 96x+95

e) 2

10. Se tiene un polinomio mónico de 6to grado que carece de término independiente y es cuadrado perfecto. Si se sabe que es divisible por (x2–1)

5. Al dividir un polinomio: P(x) entre (x+1) y (x+2) separadamente deja residuos 1y –94 respectivamente.

b) 95x+96

d) 3

m−2 n+5 11. Siendo que el CN: a 3 − b2 a −b

2

a) 96x+94

c) 7

9. Si el polinomio: P(x) es de 3er grado, se divide separadamente por (x–4), (x–2) y (x–3) obteniendo el mismo resto –42, además 5 es la raíz de P(x)

(x − 3) 37 + 5 + (x − 2) 21 x 2 − 5x + 6

b) 7x

d) x+5

b) 4

Hallar P(7)

3. Hallar un polinomio mónico cuadrático que sea divisible por (x–3) y que tenga por suma de coeficientes a:–8 a) x2–5

8. Si el resto de dividir: M(x) entre (x–7) es 20, además el cociente obtenido en dicha división posee una suma de coeficientes igual a 3. En cuanto hay que disminuir a "M(x)" para que sea divisible por (x–1)

a) a12b30

b) a30b6

d) –a30b6

e) –a30b12

c) a30b12

13. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de: a) 5

c) 22

24

x180 − y80 x9 − y4

b) 10

c) 15

d) 20

e) 25

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Álgebra 14. En el desarrollo del cociente notable: 3α

18. Calcular:

α

109–1 entre 999

x −y x3β − yβ

el quinto término es x36y16. Hallar el número de términos del cociente notable a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 12

desarrollo de C.N.?

c) 100100100

d) 1001001000

e) 10010010000

....+x70y12–x63y15+....

x27 − x −9 x 3 − x −1

a) 14 b) 7

c) 8

d) 9

e) 5

20

^ x + 1h20 − ` 1 j

E=

2

x+ 1 2

Hallar el valor que toma el noveno término para x=1 b) 8

c) 16

d) 64

b) 15

c) 16

d) 17

e) 18

20. Calcular el valor del mayor término racional que se obtiene al efectuar el cociente:

16. En el cociente notable:

a) 4

b) 10010010

19. Hallar el número de términos del desarrollo de un cociente notable, que tiene los siguientes términos consecutivos:

15. ¿Qué lugar ocupa el término independiente en el

a) 6

a) 1001001

3

7

4 − 2 3 4− 2

7

a) 8

b) 32

d) 64

e) 128

c) 16

e) 32

17. Simplificar la expresión: 102 96 90 M = x 90 + x72 + x54 + ... + 1 x + x + x + ... + 1

a) x6+x3+1

b) x3+x2+1

d) x12+x6+1

e) x12–x+1

Central 6198-100

c) x6–x3+1

25


Capítulo 08

Tarea domiciliaria 1. Si un polinomio P(x) de grado 4 es divisible por (x–7). Hallar P(7) a) 7

b) 49

c) 343

d) 14

e) 0

10. Hallar el término vigésimo tercero del desarrollo del x120 − y96 cociente: x5 − y4 Señalar la suma de sus exponentes

( x − 2) 3 ( x + 3) 2 2. Hallar el resto de dividir: (x − 2) (x − 1) a) 16x+32

b) 16x–32

d) 16

e) x+4

a) 91

c) 16x–3

b) 4

c) 2

4. Hallar el residuo al dividir:

d) 5

a) 9x–11

b) 9x+11

d) 11x+9

e) 11x–29

a) –3x

b) 3x+1

d) 3

e) x

a) 2

b) –2

c) –4

b) 1

c) 2 3

b) 0

c) 6

c) x15–x10+x5+1

d) x20+x15+x10+x5+1

d) 8

9. Hallar el valor de "n", si la división:

d) 40

e) 48 xa − y b x + y2

b) 2

c) 20

d) 8

e) 16

45 −30 14. Al efectuar el desarrollo de: x 3 − x −2 x −x

el número de términos fraccionarios es:

e) 3

d) 3 2

c) 36

es x10y10. Hallar " b " a a) 10

d) 4

b) 8

13. Si uno de los términos del cociente notable:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

15. Calcular el valor numérico del término central del desarrollo de:

e) 5 2

(x + y) 100 − (x − y) 100 8xy (x2 + y2)

para x=3 ; y = 2 2

8. Un polinomio mónico de tercer grado es divisible por (x–2) y por (x+1), al dividirlo por (x–3) deja resto 20. ¿Qué resto tendría dicho polinomio al dividirlo entre (x+3)? a) –10

b) x15+x10+x5+1

an − b5n − 18 es indicar su grado absoluto a2 − b 4

c) 3x

7. Si el polinomio: P(x)=x4+ax3–9x2+bx+49 al ser dividido por (x+1) deja como resto 60, además al ser dividido por (x+3) el resto es 82. Hallar el valor de "a" a) 3

a) x15–x10+1

a) 32

6. La suma de coeficientes del polinomio cociente que se obtiene al dividir R(x) por (x–2) es 7 y el resto en esta división es 5. Hallar "R(1)"

e) 99

12. Hallar el tercer término del desarrollo del C.N.

c) 11x–9

5. Un polinomio P(x) al ser dividido por (x+2) deja resto 6 y al dividirlo por (x–3) deja resto –9. Hallar el resto de dividir P(x) entre (x2–x+6)

d) 97

e) x20–x15+x10–x5+1

e) 8

4 (x − 2) 120 + 7 (x − 3) 51 x 2 − 5x + 6

c) 95

95 90 85 80 ... + x5 − 1 11. Reducir: x − x80 + x60 − x +20 x + x + ... + x + 1

3. Calcular la suma de coeficientes de un polinomio, tal que al dividirlo entre (x3–2x+1) deja cociente (x2–8) y un residuo igual a (x+3) a) 3

b) 93

a) 1

b)

d) 4

e) 2

2

c)

3

e) 12

xn + 1 − y3n − 4 x − y2

genera un cociente notable a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

26

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Álgebra

9

Factorización

Ejercicios resueltos 1. Factorizar: a3b4c5+a3b3c5y+a2b4c5x+a2b3c5xy. Dar como respuesta el número de factores primos.

Resolución Extraemos el factor común: a2b3c5 E = a2b3c5[ab+ay+bx+xy] E = a2b3c5[a(b+y)+x(b+y)] E = a2b3c5(b+y)(a+x) Los factores primos son: a; b; c; (b+y); (a+x) & En total son cinco 2. Factorizar: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z). Dar como respuesta la suma de factores primos.

Resolución Factor común: (x+y)

Efectuando: P(x;y)=x2+y2+x(y+z)+y(x+z)

P(x;y)=(x+y)(x+y+z) Los factores primos son:

Agrupando convenientemente:

(x+y); (x+y+z)

P(x; y)=(x2+y2+xy+yx)+(xz+yz) P(x; y)=(x2+y2+2xy)+(xz+yz) P(x;

La suma de factores primos es:

y)=(x+y)2+z(x+y)

x+y+x+y+z=2x+2y+z

3. Factorizar: R=(x – 3)3+125. Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do grado.

Resolución A potencia 3:

Factores primos:

R=(x – 3)3+53 ........ suma de cubos.

( x + 2) S

/ (x2 - 11x + 49) 1 444 2 444 3

R=[(x –3)+5][(x – 3)2 – (x – 3)(5)+52]

primer grado

Desarrollando y reduciendo:

Finalmente la suma de coeficientes

R=(x+2)(x2 – 6x+9 – 5x+15+25)

del factor primo de 2do grado es: 1 – 11+49=39

R=(x+2)(x2 – 11x+49)

Central 6198-100

segundo grado

27


Capítulo 09 4. Hallar la suma de los factores primos de: M=2x5+5x4 – 26x3 – 65x2+72x+180.

Resolución Agrupando de 2 en 2: M=(2x5+5x4) – (26x3+65x2)+(72x+180) Factorizando cada paréntesis: M=x4 ^2x + 5h – 13x2 ^2x + 5h + 36 ^2x + 5h S S S Factor común: 2x+5 M=(2x+5)[x4 – 13x2+36] Luego factorizando el polinomio de cuarto grado:

x2 x2

"Aspa simple" - 4 " - 4x2 - 9 " - 9x2 suman: - 13x2

Luego: M=(2x+5)(x2 – 4)(x2 – 9) " M=(2x+5)^ x2 - 22h^ x2 - 32h M=(2x+5)(x+2)(x – 2)(x+3)(x – 3) Donde la suma de sus factores primos será: (2x+5)+(x+2)+(x – 2)+(x+3)+(x – 3)=6x+5

5. Factorizar: P(x)=4x4 – 101x2+25

Resolución P(x)=4x4 – 101x2+25 Aplicamos aspa simple: 4x2 x2

- 1 " - x2 - 25 " - 100x2 suman: - 101x2

Luego: 2 2 P(x)=(4x – 1)(x – 25)

Transformando cada factor a una diferencia de cuadrados: P(x)=[(2x)2 – 12][x2 – 52] Finalmente: P(x)=(2x+1)(2x – 1)(x+5)(x – 5)

28

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Álgebra

Problemas para la clase 1. Hallar el número de factores primos y factores algebraicos: M(x)=(x+3)(x4–625)(x2+1) a) 3 y 17 d) 6 y 6

b) 4 y 21 e) 5 y 3

a) 10m–2n d) 8m–2n

c) 5 y 31

a) x2–x+y

b) x+y

d) 2x–y

e) x2+x–y

a) x+yz+y d) x+2y–z

c) x2–x–y

3. Factorizar: L(x,y)=5ax–ay–5bx+by e indicar el número de factores primos c) 3

d) 4

e) 5

4. Luego de factorizar: P(x)=(x–2)3–64, señalar el factor primo de mayor grado a) x2+6

b) x2+8

d) x2–12

e) x2+12

c) x2–10

b) –6 e) 1

c) 2

b) 2x+2 e) 2x+5

b) 3x+1 e) 4x+6

c) 4x+5

b) x2+6x–7

d) x2+6x+5

e) x2+6x+3

c) x2+6x+7

c) 6

d) –6

e) –2

2

10. Factorizar: M(x)=(x +2x+4)(x –2x+4)–48 y hallar la suma de coeficientes del factor primo cuadrático. a) –3

b) 9

Central 6198-100

c) 3

14. Factorizar: H(x)=(a2–b2)(x2–1)+4abx dar como respuesta la cantidad de factores primos b) 4

c) 2

d) 5

e) 1

15. Factorizar: P(x,y)=x3–64y3–125–12xy(x–4y) luego señalar uno de sus factores primos a) x–y+3 d) 3x+y

b) x+y+1 e) 4x+y–8

c) x–4y–5

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Calcular el valor de "T(3)" a) 1 d) 48

b) 7 c) 43 e) más de una es correcta

P(x)=x6+7x5+17x4+13x3–10x2–20x+m se obtiene (x–1)(x+a)n(x+b)p Calcular "M=a+b+m+n+p" a) 8

9. Factorizar: F(x)=x3+2x2–5x–6 luego indicar el término independiente de uno de sus factores primos.

2

c) 0

18. Al factorizar:

a) x2+6x+1

b) –3

b) y2+2c2 e) 2(y2+2c2)

17. Si: T(x) es un factor primo de: P(x)=x5+8x2–7x+7

8. Señalar el factor primo cuadrático: P(x)=x3+5x2+x–7

a) –1

a) 3y2c2 d) 2y2

a) 1

c) 2x+3

7. Factorizar: P(x)=2(x2+3x)2–x(x+1)(x+2)(x+3)–8 luego indicar la suma de sus factores primos a) 4x d) 2x+3

c) x+z–2y

16. Luego de descomponer: P(x)=(x3+x–1)2–(x2+x+1)2 obtener el término independiente del factor primo de mayor grado.

6. Factorizar: P(x)=(x2–3)2+7x(x2–3)+10x2 e indicar la suma de los factores primos lineales a) 2x+1 d) 2x+4

b) x+y+z e) 2x–y+z

13. Factorizar: P(y)=y4+4c4 e indicar la suma de los términos cuadráticos de sus factores primos

a) 3

5. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos: P(x,y)=3x8y10–30x5y7+63x2y4 a) –7 d) –4

c) 6m–2n

M(x,y,z)=(x+y–2z)3–(2y–x–z)3–(2x–y–z)3

F(x,y)=x3+x2–x2y+y2–2xy

b) 1

b) 8m+2n e) 6m+2n

12. Factorizar e indicar un factor primo:

2. Indicar un factor primo:

a) 2

11. Luego de factorizar: G(m,n)=25m2–10mn–64+n2 Hallar la suma de sus factores primos

d) 8

e) –9

29

b) 4

c) 2

d) 1

e) 0

19. Calcular la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos de: P(x)=(x7+1)2–x2(x6+6)2 a) 11

b) 9

c) 0

d) –5

e) –9

20. Señalar un factor primo, luego de factorizar: P(x)=x6+2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1 a) x4+2x2+1 c) x2–x+1 e) x2+1

b) x–1 d) x2+x+1


Capítulo 09

Tarea domiciliaria 1. Hallar la cantidad de factores primos y factores algebraicos de: 6

9. Factorizar: M(x,y,z)=(x+2y+3z)(x+3y+5z)+2yz

8

M(x)=(x–7)(x +1)(x –16) a) 6 y 63

b) 5 y 127

d) 9 y 511

e) 3 y 7

Indicar el número de factores algebraicos c) 8 y 255

a) 7

d) x+2m

e) x+3m

a) 3

c) x+m

b) x2+x+1

2

c) x2–x+1

d) 5

e) 2

a) Multiplicidad simple

2

e) x +1

b) Multiplicidad dos c) Multiplicidad tres d) Multiplicidad cuatro

P(x)=(x+3)3–8 dar la suma de coeficientes de un factor primo b) 9

c) 16

d) 22

e) 28

5. Factorizar: P(x)=(x–9)(x+3)(x+5)(x–7)–585 dar como respuesta la suma de independientes de los factores primos a) –20

b) –10

d) 12

e) –22

e) Multiplicidad cinco 12. Indicar la suma de términos lineales de los factores primos M(x)=x3+4x2+8x+5

términos

c) 14

3

M(a,b)=a +b +3ab(a+b)–1 Señalar el número de términos cuadráticos que posee uno de sus factores primos c) 3

b) 4x

d) 2x

e) –x

c) –3x

F(x)=(a–b)x2+(a2–b2+1)xy+(a+b)y2

3

b) 2

a) 5x

13. Factorizar e indicar un factor primo:

6. Factorizar:

a) 1

c) 1

e indicar la multiplicidad de uno de sus factores primos

4. Factorizar:

a) 5

b) 4

P(x)=x3+6x2+12x+8

M(x)=x5–9x3+x2–9

d) x –x–1

e) 127

11. Factorizar:

3. Dar el factor primo de mayor grado:

a) x2+x–1

d) 3

T(m)=36m4+144 Dar como respuesta el número de factores primos

P(x)=mx–am+x2–ax es: b) x–m

c) 63

10. Factorizar:

2. Un factor primo de

a) x+a

b) 15

d) 4

e) 5

a) x+(a–b)y

b) (a+b)x–y

c) (a–b)x+(a+b)y

d) (a–b)x+y

e) x–(a–b)y 14. Factorizar: I(x)=x4–6a2x2–a3x+6a4

7. Factorizar:

e indicar el término independiente de uno de sus factores primos

P(m,n)=(m+n)2–16(m+n)+63 e indicar uno de sus factores primos a) m+n+7

b) m+n+9

d) m–n–9

e) m+n–7

c) m–n–7

8. Indicar el término independiente de un factor primo de: P(x)=(x2+a)2+13x2+22+13a a) 11

b) a+11

d) 2

e) a

a) 3a

b) –2a

d) 6a2

e) –a2

c) –3a2

15. Dar el número de factores primos P(x)=(x2–11x+3)2+4(x2+3)–44x–32 a) 1

b) 3

c) 2

d) 4

e) 5

c) 13

30

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Álgebra

MCD - MCM - Fracciones algebraicas

10

Ejercicios resueltos 1. Hallar el MCD y el MCM de: P(x)=(x – 1)3(x+2) y Q(x)=(x – 1)2(x+2)2(x – 3).

Resolución MCD: los factores comunes son (x – 1) y (x+2) como debemos escoger los de menor exponente el MCD de (P(x) y Q(x)=(x – 1)2 . (x+2) MCM: Los factores comunes de mayor exponente son (x – 1) y (x+2) y el no común (x - 3), el MCM de P(x) y Q(x)=(x – 1)3(x+2)2 (x – 3). R=[(x – 3)+5][(x – 3)2 - (x – 3)(5)+52] 2. Descomponer en factores y calcular el MCD y el MCM de los polinomios: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6 y Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18

Resolución Los polinomios factorizados son: P(x)=x4+3x3 – 3x2 – 11x – 6=(x+1)2(x – 2)(x+3) Q(x)=3x3 – 12x2+3x – 18=3 . (x – 2)(x+1)(x – 3); Por tanto: MCD=(x – 2)(x+1) ⇒ MCM=3 . (x+1)2(x – 2)(x+3)(x – 3) â - 3h x + ^2a - 5b + 3h y + 5b - 2 3. Si la fracción: adopta un valor constante para cualquier valor de x e y. Hallar el valor 3x - 5y + 3 de la constante.

Resolución Si es independiente de las variables se cumplirá: 2 a - 3 = 2a - 5b + 3 = 5b - 2 = k (valor cons tan te) 3 3 -5 1 De(1): a – 3=5b – 2 ⇒ a=5b+1 .....(a) De(2): 3(2a – 5b+3)=–5(5b – 2) 6a – 15b+9=–25b+10 10b+6a=1 .... (b) De(a) y(b): 10b+6a=a – 5b ∴ 15b+5a=0 ∴ a=–3b

Central 6198-100

31

en (1): –3b=5b+1 ⇒ b=– 1 8 Entonces: 5 c - 1 m - 2 - 21 8 K= = 8 3 3 7 ` K =8


Capítulo 10

Problemas para la clase 4. Calcular el valor de "x" en función de "n" para que el MCD de: P(x)=x2+(2n+3)x+6n, Q(x)=x2+2(n+1)x+4n ∧ R(x)=x2+(2n+1)x+2n. Elevado al cuadrado resulta ser igual a Q(x). a) n b) –2n c) –n d) 2n e) n+1

13. Al simplificar la siguiente expresión: 24 xy 1− 2 9x + 12xy + 16y2 , se obtiene 8y 27x3 + 64y3 c1 − me o 3x + 4y 54x3 − 128y3

5. Hallar el MCD de: P(x)=x3–x2–x+1 y Q(x)=x3–3x2+3x–1 a) (x – 1)2 d) (x+2)

b) (x – 1) e) (x+1)2

c) (x+1)

6. (Ex. de Admisión UNMSM 2006 – II) Determine el MCD de los siguientes polinomios: P(x;y)=x3+x2y+xy2+y3, Q(x;y)=x3 – xy2+x2y – y3 y R(x;y)=x4 – 2x2y2+y4. a) x(x –y) b) (x+y)y c) x+y d) x – y e) (x+y)(x –y) 7. Sean: P(x)=mx2+6x–n; y Q(x)=mx2 – 10x+n Si: (x–1) es el MCD de P(x) y Q(x). Hallar "m . n" a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 8. El producto del MCD y MCM de los polinomios P(x) y Q(x) es:(x – 2)2 . (x+1)3 . (x – 1). Hallar P(x). Si: Q(x)=(x –1) (x2 – x – 2). a) (x – 2)(x – 1) b) (x – 1)(x+1)2 2 c) (x – 2)(x+1) d) (x – 2)2(x+1) e) (x – 2)(x+1)(x – 1) 9. P(x) es uno de 10 polinomios, donde: 3x4–2x3+3x2+ax+b, es el MCM de dichos polinomios. Hallar: "a+b". Si: P(x)=x2 – 2x+1. a) –4 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5

b) x – y e) 0

c) x+y

b) 8

12. Simplificar: a+b + P= a−b a+b − a−b

c) 7

d) 6

d) –2

e) 1/2

F (x; y) = a) 0

b) 4

a) x + 1 x−1

b) ab

d) a/b

e) a2+b2

c) 1/2

d) 1

b) x+1

e) 2

2 c) ` x + 1 j x−1

(x − 1) 2 x+1 16. (Examen UNMSM 2006-I) x 1 x = x−1 Si: x = x + x+1 −1 ; d) x – 1

Calcular:

e)

x

a) x d) x2

b) x+1 e) x2–1

c) x–1

17. Si: G(x) = x + 1 ; n ∈ N x−1 Reducir: G (G (G...G (x) ...)) 1 4444 2 444 43 "2n + 1" veces

a) x

b) x + 1 x−1

n d) xn + 1 x −1

e) xn

c) x − 1 x+1

a2 + b2 − c2 + 2 ab ; se obtiene un a2 + c2 − b2 + 2ac numerador y denominador, cuya suma es:

18. Al simplificar:

a) 2c

b) 2b

d) a–b

e) 2(a+b+c)

19. Reducir: R =

a) 1

Ax2 + 2y2 + 6 x2 + By2 + 3

2 Dado: R(x) = x + 1 ; Q(x) = x2 + 1 x−1 x −1 Calcular: R (Q(R(x)))

e) 5

a−b a+b a−b a+b

c) 2

15. (Examen UNMSM 2006-I)

+ 1 . Hallar: "A+2B". 11. Si: A + B = 7x x - 2 x + 1 x2 - x - 2 a) 9

b) –1

14. Si la fracción F(x; y) es constante, para cualquier valor de x e y, calcule "A . B".

10. Al efectuar la operación: -1 x y x+y E = - 1+ + c - 1 m , se obtiene: + -1 x y + xy + 1 yx + 1 a) x d) 1

a) 1

2 2 c) a + b 2 ab

32

c) 2a

x+1 − x−1 x2 + x + 1 x2 − x + 1

a)

2 x +1

b)

2 x −1

d)

2 x 4 − x2 + 1

e)

1 x 4 + x2 + 1

4

4

c)

2 x + x2 + 1 4

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Álgebra

Tarea domiciliaria 1. Hallar el MCM de los polinomios: P(x)=(x+2)2(x–3)4(x+1), y Q(x)=(x+2)5(x – 3)5(x+6) a) (x+2)5 (x – 3)5 (x+1)(x+6)

a)

b) (x+2)4 (x – 3)4 (x – 2) d) (x+2)2 (x – 3)4

P(x)=(x+3)4 (x2+1)6 (x – 2)2 (x+7)6 Q(x)=(x+7)2 (x2+1)3 (x – 2)4 (x+5)6 R(x)=(x+5)4 (x2+1)2 (x – 2)3 (x+3)3 a) (x2+1)(x – 2)

b) (x2+1)2 (x – 2)2

c) (x+1)(x+3)

d) (x2+1)4(x – 2)3

x - 6x + 11x - 6 x-2 x+3

a) x + 5 x-3

b) x - 2 x+1

d) x

e) 2

b) a – b

d) a + 2b

e) ab

c) x - 3 x

e) –12

a) x2 – x+1

b) x2+x+1

d) x2 – 1

e) x3+x+1

c) x2+1

13. Si el MCM de los polinomios: A(x)=x2+x – 2, B(x)=x2 – x – 2, y C(x)= x4+5x2+4; es equivalente a: x8+Ax6+Bx4+Cx2+D. Calcular: (A+B+C+D).

a) 1

b) –1

14. Reducir: E =

c) a – 2b

c) 2

â + bh3 - â - bh3 - 2b

d) –2 3

â + bh3 + â - bh3 - 2a

a) a + b a-b d) 1

Cumplen: MCM=axay4 ; MCD=bx5yb. Calcular:

b) a b e) –1

3

e) 0

. c) b a

15. Sabiendo que: a2+b2+c2= 3 , y ab+bc+ac= 0.

β+b-n α+a-m b) –1

Central 6198-100

d) –6

c) –8

R(x)=x4+x3+2x2+x+1

7. Si: A(x,y)=12xn – 1 ym+1 ,y B(x,y)=16xn+1 ym – 1.

3

b) 8

4ab+4b2.

a) a + b

–5

a) 12

P(x)=x5+x+1, Q(x)=x5+x4+1, y

c) 2

A(a,b)=a2+ab – 6b2; B(a,b)=a2 – ab – 2b2 , y

d)

mx - 12y , 4x - 6y

12. Hallar el MCD de los polinomios:

6. Indicar el MCD de los polinomios:

a) 1

c) 2n

es independiente de “x” e ”y”. Calcular "m".

2 2 5. Reducir: e x2 + x - 2 o + e x 2+ 7x + 12 o x + 2x - 3 x + 6x + 9

R=

5x + 1 6^ x - 1h

2

b) 1 e) N.A.

–

c)

b) 1 n e) n + 1

11. Si la fracción: F (x; y) =

4. Reducir: 2x2 - 10x + x 2+ 16x + 15 x - 25 x + 6x + 5

C(a,b)=a2

5x + 7 6^ x + 1h

e) x

d) 3n

e) N.A

a) 0 d) 3

b)

a) n

^ x2 - 9h^ x - 1h 3 2

c)

x x-y

n n an bn 10. Si: x = a + b . Calcular: E = . n 2 2na - 2nx nân - bnh

e) N.A

b) x + 3 x-2

c)

1 + 1 + 1 ^ x - 1h . 3x + 3 2x - 2 x2 - 1 m

a) 2x + 1 x-3 d) x + 1 x-2

2. Hallar el MCD de los polinomios:

2

1 x+y x e) x+y b)

9. Reducir: M = c

e) (x+1) (x – 2)

a) x + 2 x+3 d) x + 1 x-1

2 x+y

d) 1

c) (x+1)6 (x – 1)6

3. Simplificar: F (x) =

2xy 8. Simplificar: S = 1 = x + x + 2 2 G. 2 x-y x+y x -y

e) 0

Calcular: S =

c) 3 5

a) 3

33

a 4 - ^ bch2 b4 - âch2 c4 - âbh2 . + + aâ - b - ch b^ b - a - ch c^c - a - bh

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7


Capítulo 11

11

Teoría de Ecuaciones

Ejercicios resueltos 1. Si xo el valor que satisface la ecuación:

3

x3 + 9x2 + 25x + 1 = x + 3 . Hallar: x2o + 1

Resolución Elevamos al cubo miembro a miembro para eliminar el radical: x3 + 9x2 + 25x + 1 = x3 + 33 + 3 (3x) (x + 3) x3 + 9x2 + 25x + 1 = x3 + 27 + 9x2 + 27x Reduciendo: 25x + 1 = 27 + 27x –26 = 2x - 13 = xo " x2o + 1 = 170 2. Si: "x" es el valor que satisfacen la ecuación: Hallar el valor de: 1+x+x2+....+x8

x2 - 2x + 14 + x 2 + 4x + 2

x 2 + 4x + 2 = 2 x2 - 2x + 14

Resolución El primer miembro de la ecuación tiene la forma: a +n b

n

b ; luego si: a

n

a +n b

b =2"a =b a

` x2 - 2x + 14 = x2 + 4 + 2 12 = 6x 2=x 9 entonces: 1 + 2 + 22 + ... + 28 = 2 - 1 = 511 2-1 n+1 -1 Nota: 1 + x + x2 + ... + xn = x x-1

3. Si la ecuación en "x": n2x–n2+5x=2+6nx–3n; tiene infinitas soluciones, halle el valor de "n". a) 5

b) 2

c) 1

d) 0

e) 3

Resolución Se tiene la ecuación: n2x–n2+5x=2+6nx–3n Ordenando convenientemente: 2

2

n x–6nx+5x=n –3n+2 2

2

(n –6n+5)x=n –3n+2 Factorizando los coeficientes por aspa simple: (n - 1) (n - 5) x = (n - 1) (n - 2) 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 A

B

Se obtiene una ecuación paramétrica, que por dato debe tener infinitas soluciones, entonces A=0 / B=0, es decir: (n–1)(n–5)=0 (n–1)(n–2)=0 De donde: n=1.

34

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Álgebra

Problemas para la clase 10. Del problema anterior, indicar el valor de "m" para que el conjunto solución de la ecuación sea vacío

1. Resolver: 2x − 1 + x + 2 = 3x − 5 3 4 6 a) 2 5

b) − 3 5

d) − 9 5

e) − 1 5

a) 7

c) − 12 5

3. Resolver:

b) 1+a–b e) 1–b–c

a) m∈–{3} c) m∈–{–3,3} e) m∈{2,–2}

c) 1–a+b

b) p–q e) q–p

a) 12 d) –3

c) –2p

3 x –1 =

x –5

a) 3

b) 5x + 2 + 2017 = 4x + 5 + 2017 x−3 x−3 c)

3

x3 + 9x2 + 25x + 1 = x + 3

d)

8

x−5 = 2−x

m

b) –6 + 1h x2 − ^3

c) 3

b) –1

c) 8

d) –3

e) 2

b) 5 6

d) 5 3

e) 2 5

−1

d) –8

b) 8

c) 10

e) 2

b) 3

Central 6198-100

c) 2

e) 43

d) 1

b) 1000 e) 1020

c) 1021

15. Al resolver la ecuación: 2x + 2 + x x + 4 = 2x + 2 − x x + 4

x+4 + x x+4 − x

Es par Es impar Es menor que la unidad Es mayor que la unidad Hay dos correctas

a) 2

e) 14

9. Si la ecuación en "x": (x–1)m2+(5–4x)m+3x–4=0 , resulta ser compatible indeterminada. Hallar "m" a) 4

d) 31

16. Dada la ecuación: (k2–4)x=(k+4)k–1–6 Si su conjunto solución es vacío. Hallar "k"

c) − 5 21

d) 12

a) 210 d) 1002

a) b) c) d) e)

8. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b , se obtienen infinitos valores de "x" que verifican la igualdad. Hallar el valor de "a+b" a) 6

c) 7

Con respecto a la solución obtenida, se puede afirmar

7. Resolver la ecuación en "x": x + 2n = x + 1 , 5x 2nx + 1 si esta es reducible a una ecuación de primer grado a) 0,5

b) 13

a + x + ( a + 6) 6 − 4x = 2 Si la solución es x=9. Hallar el valor de "a"

m − 1h x − m + 2 = 0

Si una de sus soluciones es m3 a) –2

b) 3 c) 4 e) Incompatible

10

6. Determinar el valor de "m", en la ecuación: ^3

b) m∈ d) m∈{–3,3}

14. Sea la ecuación de incógnita "x":

5. Indicar el cociente entre la mayor y menor de las soluciones: 1 + ^ x − 6h^ x + 2h = x2 ^ x + 2h^ x − 6h + 2 1 x2 − 3x − 10 x − 3x − 10 a) 6

e) –1

13. Después de resolver: 2x − 1 + x + 3 = 3 Indicar un valor de x2+x+1

4. Resolver: a)

d) 1

12. Indicar la suma de soluciones de: 1 1 + + 1 =− 3 2 x 2 − 5x + 6 x 2 − 3x + 2 x 2 − x

x + p x + q p2 + q2 = − − 2 ; pq ! 0 q p pq

a) p+q d) –2q

c) 3

11. La ecuación en "x": (x–1)m2–9(x–m)=18 genera un conjunto solución unitario. Hallar "m"

2. Resolver: x + a + b + x + b + c + 2 = a + c ; ac ! 0 a ac c a) 1–a–b–c d) 1–a–c

b) 5

e) 9 35

b) –2

c) –3

d) –4

e) –5

17. Al resolver la ecuación lineal: (n–2)xn–3+xn–2+2nx=15 , indicar el producto de los valores máximo y mínimo de las soluciones posibles. a) 2 18. Resolver:

b) 5

c) 7

d) 9

e) 14

x + x+1 = 2− x+4

a) 1 4

b)

9 16

d) 64 36

e) Incompatible

c) 36 64


Capítulo 11

19. Resolver: x + a) 1 4

n

n+1

k=1

k=1

20. Resolver e indicar una solución

/ ( x + k) = / k

b) 1 2

c) 1

64 − ^12x5 + 40x3 + 12xh = 1 − x

6

d) − 1 2

e) − 1 4

a) 6

b) –1

c) –6

d) 1

e) 0

Tarea domiciliaria 1. Resolver: 2x + 1 + 3x − 1 = x 3 2 6 a) 1 2

b) 1 3 2

c)

1 12

9. Hallar "x" si: x − a + x − b + x − c = 3 27 b+c a+c a+b d)

1 20

e) 1

2

2. Resolver: a x+b =abx+ab ; a ≠ b a) b a

b) a b

c) a

d) b

e) 1

3. Si la ecuación: (3n–81)x=(16–2m) es compatible indeterminada. Hallar el valor de "n+m" a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

c) 1

5. Si n − m es solución de:

d) –1

b) –2

c) 3

d) 2

e) 0

e) –1

e) 53a 15 4+

e) 10

c) 49a 15

23 + 1 + x − 3 = 3

b) 20

a) 86

c) 30

d) 40

e) 12

d) 3

e) 27

2x + 3 − 3x − 5 = 1

b) 23

c) 25

14. Hallar el valor de "n", para que la ecuación: ( n 2 + 6) x + 1 = n n

8. Siendo 0
2 − 4n + 4

+ 5nx sea incompatible c) 1 2

a) 2

b) 5

d) 3

e) dos anteriores son correctas

15. Resolver:

b) –9 c) –2 e) Incompatible

c) 1 2

d) 51a 15

13. Al resolver:

7. Resolver: x − 8 + 3x = 2x + 1 + 6x x−2 x+9 x − 2 2x + 18

b) 0

d) 5

Dar la suma de soluciones

Presenta dos soluciones Sus soluciones son pares Sus soluciones son impares Una solución es impar No presenta solución

a) 1 4

b) 47a 15

a) 1

2(3x–1)(x–8)(x–3)=(x–9)(x–8)(2x–6) Indicar lo correcto:

a) 2 d) 9

c) 4

a) 46a 15

12. Hallar "x", en:

6. Con respecto a la ecuación:

a) b) c) d) e)

b) 7

5x + a + 6a = 4 ; a > 0 5x + a − 6a

¿Cuál es el valor numérico de dicha solución? a) 1

e) abc

c) c+a

11. Resolver la ecuación en "x":

e) 10

(x + m ) m n = n− m x−n− m

d) a+b+c

a) 1

Determinar le valor de "h" b) –a

b) b+c

10. Si la ecuación: (m–5)x10+(15–m)x–100=0 es de primer grado. Hallar el valor de "x"

4. De la ecuación incompatible: h ^ x − hh = a ^ x − ah ; ah ! 0 a h a) a

a) a+b

3

a+ x +

3

a − x = 3 5a

a) 4 a2 5

b) 3 a 5

d)

e)

a

3

c) 1

a

e) 1

36

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Álgebra

12

Planteo de ecuaciones

Ejercicios resueltos 1. De un depósito lleno de x litros se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad del resto y queda aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito.

Resolución Traducción: capacidad del depósito

x

un cuarto del contenido

1x 4

mitad de resto

1 (x - 1 x) 2 4

queda aún

1500 litros

Expresión: x = 1 x + 1 ( 3 x) + 1500 4 2 4 8x = 2x + 3x + 12000 3x = 12000 x = 4000 litros

2. Tres hermanos tienen una hacienda. El primero tiene 1/3 de ellas más 80 hectáreas; el segundo 1/4 de la hacienda y el tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene la hacienda?

Resolución Traducción: extensión de la hacienda

x (en hectáreas)

primer hermano

1 x + 80 3

segundo hermano

1x 4

tercer hermano

20

Expresión - ecuación: 1 x + 80 1 x 20 = x + + 3 4 4x + 960 + 3x + 240 = 12x 1200 = 5x x = 240 hectáreas

Central 6198-100

37


Capítulo 12

Problemas para la clase 1. El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Halle la raíz cúbica de dicho número. a) 8 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 2. Pedro compró el cuádruplo del número de relojes que de billeteras. Si hubiera comprado 5 relojes más y 5 billeteras más, el número de relojes, sería 2 veces mayor que el número de billeteras. ¿Cuántos relojes compró? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 3. El largo de una Tablet excede a su ancho en 4 cm. Si cada dimensión aumentara en 4 cm., el área aumentaría al doble, halle el perímetro de la Tablet. a) 40 b) 50 c) 30 d) 60 e) 80 4. En cada día, de lunes a jueves, gané S/.6 más que lo que gané el día anterior. Si el jueves gané el cuádruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el miércoles? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 5. De un tanque de 140 litros se sacó tantos litros como 4 veces no se extrajeron, de lo que queda se extrae tanto como no se extrae. ¿Cuánto queda en el tanque? a) 28 b) 14 c) 42 d) 7 e) 21 6. Un comerciante de frutas dispone de S/.184 para hacer sus compras de manzanas y peras. Si el kilo de manzanas cuesta S/.2 y el kilo de peras cuesta S/.5 ¿Cuántos kilos como máximo se puede comprar de ambas frutas? a) 100 b) 89 c) 71 d) 95 e) 88 7. El precio de una torta es de S/.3 la porción y el precio de un flan es de S/.5 la porción. Como el flan es muy rico, se desea comprar más de 5 flanes. Halle el mayor número de postres que se puede comprar con 160 soles. a) 50 b) 44 c) 48 d) 46 e) 52 8. La suma de la tercera parte de un número con la cuarta parte de otro número es 15 y la suma del doble del primer número con quíntuplo del segundo número es 174. Hallar el mayor de dichos números. a) 50 b) 24 c) 28 d) 27 e) 6 9. En el concierto de Tongo hay 700 personas entre varones y mujeres. Cada varón paga S/.40 y cada mujer S/.15 por su entrada. Si el dinero total obtenido es de S/.180 00 ¿Cuántos varones pagaron su entrada? a) 200 b) 250 c) 300 d) 350 e) 125 10. Entre José y María tienen S/.84. Si José tiene el triple de lo que tiene María ¿Cuánto tiene María? a) 27 b) 33 c) 20 d) 21 e) 44

11. UNMSM 2012 II Por cada nueve panes que compró María, le regalaron uno. Si recibió 770 panes en total, ¿Cuántos panes le regalaron? a) 74 b) 71 c) 77 d) 88 e) 66 12. Juana prometió casarse cuando su edad fuera la tercera parte de la de su padre, quien tenía 55 años cuando ella contaba con 13. Al casarse Juana, su edad y la de su padre sumarían. a) 88 años b) 86 años c) 84 años d) 80 años e) 82 años 13. UNMSM 2012 II En una bolsa hay 165 monedas, si por cada 5 monedas de S/.2 hay 8 monedas de S/.5 y por cada 2 monedas de S/.5 hay 5 monedas de S/.1, halle el número de monedas de a S/.5 a) 32 b) 56 c) 40 d) 40 e) 64 14. Al inicio de una conferencia, había un cierto número de mujeres y varones, durante los 15 minutos siguientes, ingresaron 19 mujeres y 16 varones, siendo la relación de mujeres y varones de 4 a 3 y la diferencia de mujeres y varones 16. Determinar el número de personas que había a la hora de inicio de la conferencia. a) 86 b) 67 c) 78 d) 79 e) 77 15. UNMSM 2012 II Un granjero tiene cierta cantidad de gallinas, vende 30 docenas, luego obsequia la cuarta parte de las que quedaban y finalmente, adquiere 180 gallinas, si en la granja hay 909 gallinas, ¿Cuántas había inicialmente? a) 972 b) 729 c) 1233 d) 1332 e) 927 16. Un obrero gana por cada mes de 30 días S/.300 más un artefacto. Luego del décimo día de trabajo es despedido, y recibe en pago dos artefactos, si todos los artefactos son de igual precio. ¿Cuánto le pagaron por día? a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14 17. UNMSM 2012 I En un zoológico hay cuatro tortugas: Flash, Meteoro, Rayo y Viento. Viento tiene 32 años más que Meteoro, pero 14 menos que Flash, Rayo tiene tantos años como la suma de las edades de Viento y Meteoro. Si dentro de 25 años la suma de las edades sería igual a dos siglos y medio. ¿Qué edad tiene Rayo? a) 40 años b) 38 años c) 62 años d) 20 años e) 48 años 18. UNMSM 2011 I Un reservorio de agua lleno hasta sus ¾ partes pesa 3000 kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900 kg. ¿Cuál es el peso del recipiente lleno en su capacidad? a) 3 400 kg b) 3 600 kg c) 3 300 kg d) 3 500 kg e) 3 200 kg 38

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Álgebra 19. Adán y Eva fueron a comprar manzanas, y cada uno compró tantas manzanas como soles pagó por cada una. Si Adán gastó S/.600 menos que Eva y compraron 30 manzanas en total. ¿Cuánto gastó Adán? a) 25 d) 1200

b) 725 e) 550

c) 650

20. Un vagón lleno de cal pesa 27 toneladas, lleno hasta los 3/5 pesa 7/4 del vagón vacío. Halle el peso de la cal. a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

Tarea domiciliaria 1. Ana compró una bolsa de caramelos, consumió la cuarta parte y regala 5; después Ana comió la mitad de los que tenía y obsequió los 5 que le quedaban. ¿Cuántos caramelos contenía la bolsa al inicio? a) 18 b) 25 c) 30 d) 20 e) 22 2. Un frutero compra fresas pagando S/.7 por cada 3 kg. de fresa. Si vende a S/.13 cada 4 kg. y ha ganado el precio de costo de 44 kg. de fresa. ¿Cuántos kg. de fresa vendió? a) 120 kg b) 116 kg c) 112 kg d) 105 kg e) 110 kg 3. Al examen de un curso de matemáticas, solo asistieron los 2/3 del número total de alumnos matriculados. De los que asistieron, aprobaron los 3/4 y desaprobaron 30. ¿Cuántos alumnos matriculados hay en dicho curso? a) 75

b) 180

d) 80

e) 120

c) 10

4. Juan obtiene un determinado ingreso al vender la mitad del total de sus manzanas a 3 por 5 soles y la otra mitad a 5 por 5 soles. ¿A qué precio debió vender cada manzana para triplicar el mencionado ingreso? a) 3,50 soles

b) 4,00 soles

d) 3,75 soles

e) 4,25 soles

c) 4,50 soles

5. En un restaurante, 24 personas consumen por una suma de S/.360 para pagar en partes iguales. Como algunos no tienen dinero, cada uno de los que asumen la cuenta pagará 1/3 más de lo que le corresponde. ¿Cuántas personas no tienen dinero? a) 8 b) 6 c) 5 d) 9 e) 7 6. En una escuela, cada 4 niños disponen de una pelota para jugar. Al cabo de algún tiempo, abandonan la escuela 40 niños. Desde entonces, cada 3 niños disponen de una pelota. ¿Cuántos niños hay actualmente en la escuela? a) 120 b) 160 c) 180 d) 100 e) 80 7. Sebastián cría conejos en la azotea de su casa. Él ha observado que si coloca tres conejos en cada conejera, le sobra un conejo; pero si coloca cinco conejos en cada conejera, le sobran 3 conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián? a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 4 8. Solo tengo pantalones de colores negro, azul y verde. Todos mis pantalones son de color negro, menos cuatro; todos son de color azul menos cuatro, y

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todos son de color verde, menos cuatro. ¿Cuántos pantalones tengo en total? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 9 9. Cierto número de gorriones están volando y se posarán en postes con travesaños. Cuando haya 6 gorriones en cada poste, quedarán 4 gorriones volando; pero cuando en cada poste haya 8 gorriones, quedarán 4 postes libres. ¿Cuántos postes hay? a) 16 b) 14 c) 20 d) 18 e) 22 10. Una persona tiene "x" años y otra "z" años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces la edad de la segunda? a) n b) x – z c) x − zn x – zn x – zn d) e) n n –1 11. Si por la compra de 120 botellas de vino, Roberto paga en impuestos el valor de una botella de vino mas S/.11 y por 40 botellas el impuesto correspondiente equivale al valor de una botella menos S/.5. ¿Cuánto cuesta cada botella de vino? a) S/.12 b) S/.9 c) S/.15 d) S/.13 e) S/.11 12. Un boticario tiene cierta cantidad de kilos de una sustancia química, vende la cuarta parte y compra 12 kilos, con lo cual tiene los 3/2 de la cantidad primitiva. ¿Qué cantidad tiene de sustancia el boticario? a) 16 b) 24 c) 32 d) 8 e) 48 13. Pilar tiene 2 hijos, una hija y 9 nietos. José, el primogénito, tiene un hijo más que su hermano Jorge; y su hermana Carmen tiene dos hijos más que su hermano menor. ¿Cuántos hijos tiene José? a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5 14. Para comprar "n" libros me falta S/.a; pero si compro (n−1)libros me sobra S/.b. Si todos los libros tiene el mismo precio. ¿Cuánto cuesta cada libro? a) S/. a + 2b b) S/. 2a + b 2 (a + b) 3 a 2b + e) S/. 2

d) S/. a+b

c) S/.

15. Manuel va de compras llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es la cantidad si por cada 7 soles que gastó ahorró 5 soles y gastó 800 soles más de lo que ahorró? a) 5200 d) 3800

b) 4800 e) 3200

c) 4200


Capítulo 13

13

Ecuación de segundo grado

Ejercicios resueltos 1. (Ex. Admisión UNMSM 2011−I) Sea: α = 2 + 5 , indique el polinomio cuya raíz es a2.

Resolución Hallamos a2 2

2

α2 = ( 2 + 5 ) 2 = 2 + 2 10 + 5 = 7 + 2 10 2

Luego si: x= a es raíz del polinomio pedido; lo formamos a través de: x = 7 + 2 10 x - 7 = 2 10 (x - 7) 2 = 40 x2 - 14x + 49 - 40 = 0 ∴ el polinomio pedido es: x2–14x+9

2. (Ex. Admisión UNMSM 2007−II) Dada la ecuación con raíces complejas: 3x2 + (m+2)x + m = –2 Halle el máximo valor entero que puede tomar m.

Resolución Ordenando la ecuación: 3x2 + (m + 2) x + m + 2 = 0 "

T<0 S

discriminante:

por tener raices complejas

(m + 2) 2 - 4 (3) (m + 2) < 0 (m + 2) (m - 10) < 0 " m ! < - 2; 10 > El máximo valor entero que puede tomar m es: m=9

40

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Álgebra

Problemas para la clase 1. Resolver * 3x2+5x–2=0 * x2+7x–2=0

10. Si las ecuaciones: (a–2)x2+3x+2=0 (a–2)x2+4x+1=0 Presentar una raíz común, Hallar "a"

* 2x2–9=3x * 2x2+x=5

2. Calcular "k", si –3 es raíz de la siguiente ecuación: 4x2–kx+6=0 a) –15 d) –14

b) 12 e) –9

a) 1

b 2 − 4b 2b

a) 2

a) x2+x+3=0 c) x2–x–3=0 e) x2–2x–3=0

; calcular "bc"

b) –3

c) 3

d) 1 3

e) 1 2

b) 6

c) 5

e) 2

5. Determinar el valor de "m", de tal manera que la ecuación de segundo grado: x2–2(m2–4m)x+m4=0 tenga dos raíces con un mismo valor diferente de cero a) 2

b) 4

c) 6

d) 7

b) 15 2 25 e) 2

b) 6

c) 12

a) 1

c) − 21 2

d) 8

b) 2

c) –1

d) 4

b) 7 + 78 2

d) 7 + 41 2

e) 7 + 89 2

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d) –1

e) 0

b) –13

c) –15

d) –17

e) –21

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

x3 + 4x2 − x + 35 = x2 + 4x − 1 2x3 − 4x2 + 10x + 35 2x2 − 4x + 10 Indicar la mayor solución obtenida

e) 4

e) 5

9. Indicar el equivalente: 10 x = 7+ 10 7+ 7 + 10 7 + 10 h a) 7 + 87 2

c) 4

15. Al resolver la ecuación:

8. La diferencia de raíces de: (n+1)x2–15x+(7n–2)=0 es 3. Hallar el valor de "n" a) 1

b) –3

14. Si el conjunto solución de la ecuación: x2–nx+272=0 a a es " aa , aa + 1, Calcular "a" , si n∈+

7. La ecuación 9x2–(p+1)x+24=0 de raíces x1 y x2 cumple que 1 + 1 = 3 x1 x2 8 Hallar el valor de "p" a) 3

b) x2+3=0 d) x2+2x+3=0

13. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas: nx2+mx+5(1–x)=3x2 2nx2+3mx+1=5x2+2x son equivalentes. Hallar el valor de "14m–9n" a) –1

e) 9

6. Siendo x1 y x2 raíces de la ecuación: 2x2–8x+1=0 Calcular M=(x1+3)(x2+3) a) 43 2 53 d) 2

e) 2

2x2 + 2x − 3 x2 + x + 3 = 3 entonces la suma de los elementos de "a" es: a) –8

d) 4

d) –2

12. Si "a" es el conjunto solución de:

4. Calcular la mayor solución de: x+ 1 = 4 + 2 x + 1 x 2x + 2 a) –1

c) 3

11. Sea la ecuación 4x2–2x+3=0, cuyas raíces son"a" y "b". Hallar otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2a–1) y (2b–1)

c) 30

3. En la ecuación 3x2+bx+c=0, el valor de "x" es: −3 !

b) –3

a) − 2 − 3

b) − 1 − 7

d) 2 − 11

e) 4 + 5

c) − 5 − 5

16. Si una de las soluciones de la ecuación: x + a + b = x + a es x , entonces este valor es: 0 b+1 a) a2–b2 d) a2–ab

b) a+1 e) a2–1

c) b2–a

17. Si las raíces de la ecuación: x2–k2x+k2=0 , k ≠ 0 Están en la relación de 1 a 2. Hallar la menor raíz a) 1

b) 3 2

c) 2

d) − 1 2

e) 3

18. El valor de "p" que hace mínima la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: x2–(p+7)x+(p–5)=0 ; es:

c) 7 + 79 2

a) 7

41

b) 5

c) 0

d) –5

e) –6


Capítulo 13 19. En la ecuación: x2+mx+5=0 , la suma de los valores de "m" para que las raíces "p" y "q" cumplan la relación 3p–q=2 , es: a) 1

b) 4 3

c) 5 3

d) 2

20. Si el conjunto solución de: x2–2mx+6=0 es $ k + 4 ; 2k + 5 . Hallar el menor valor de "m" k+1 k+1 a) − 5 4 d) − 5 2

e) 7 3

b) 25 2

c) 5 2

e) 1

Tarea domiciliaria 1. Si: –3 es raíz de la ecuación:

8. Hallar "m" si la ecuación admite raíces simétricas: 6x − 1 = m − 3 2x + 1 mx

2

2mx +(m+1)x–3=3x+48 Calcular el valor de "m" a) 2

b) –2

a) –1

c) 3

d) –3

e) 0

2. Indicar la mayor solución que se obtiene al resolver: I. 3x2–7x+1=0 II. 2x2+5x–1=0 a) 7 − 37 6

b) − 5 − 33 4

d) 7 + 37 6

e) 4

c) − 5 + 33 4

a) –70

b) –5

c) 15

d) 5

e) 70

a) –1

b) –2

c) –1

d) 2

e) 3

b) 15

c) 20

d) 24

e) –10

6. Si las ecuaciones cuadráticas: 2x2–mx+n=0 2nx2–3mx+9m=0 tienen el mismo conjunto solución. Calcular m2+n2 a) 5

b) 7

c) 10

d) 20

e) 13

7. Sea la ecuación: 3x2–10x+7=0 , cuyas raíces son "a" y "b". Hallar otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (3a+2) y (3b+2) a) x2+14x–15=0

b) x2–14x+15=0

c) x2–14x+45=0

d) x2+14x–45=0

e) –2

b) –2

c) 1

d) 2

e) 3

b) 0

c) 2

d) 8

e) –4

11. La ecuación cuadrática: x2–(k+1)x+(2k–1)=0 presenta raíz doble. Hallar los valores que tome "k" a) {1,5}

b) {–1,–5}

d) {1,–5}

e) {2,1}

c) {–1,5}

12. Resolver: 4x + 1 = 2 + x − 1 Indicar la mayor de sus soluciones

5. Sean x1 y x2 raíces de la ecuación: 2x2–12x=–6 Calcular: M= x1(3+x2)+x2(3+x1) a) 13

d) 2

10. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación 2x2+2x–1=0 x x Calcular " 1 + 2 " x2 x1

4. Determinar el valor de "m", tal que la ecuación: x2+2(m2+6m)x+m4=0 tenga dos raíces iguales, diferentes de cero a) –3

c) –3

9. Para que valor de "a", las ecuaciones: x2+ax+1=0 x2+x+a=0 , a ≠ 1 tienen una raíz común

a) –1

3. Hallar la suma de soluciones: 2x(x–5)–1–2=x(x+7)–1

b) 0

a) − 10 9

b) –2

c) 28 9

d) 2

e) 10 9

13. En la ecuación: x2–(m+1)x+2=0 , la suma de los valores de "m" para que las raíces "p" y "q" cumplan la relación 2p–q=3 es: a) − 7 2

b) –7

c) 7 2

d) 7

e) 14

14. Si la ecuación cuadrática: (2n–5)x2–(3n–2)x+7–n=0 tiene raíces recíprocas, calcular la diferencia de raíces a) − 8 3

b) − 4 3

c) 5 3

d) 7 3

e) − 3 8

15. Si: {r,s} es la solución de la ecuación x2+3x+k=0 y se sabe que r2+s2=p, entonces se cumple:

e) x2–14x–45=0

42

a) P=8k

b) p–9=2k

d) p=2k

e) p–9=–2k

c) p=–8k

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Álgebra

14

Ecuaciones Polinómicas Problemas para la clase

1. Resolver las siguientes ecuaciones: * x3 +2x2–x–2 = 0 * x4 =4x2 * x4+x2–132=0

10. Formar una ecuación bicuadrada que tiene como dos de sus raíces –3 y 7

2. Dada la ecuación: (x+3)4(x–6)2(x–21)=0 Determine la diferencia entre el número de raíces y el número de soluciones. a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

b) –1

c) 0

d) 1

a) –1

e) 2

a) x4+35x2+324=0 c) x4–45x2+324=0 e) x4–45x2+424=0

(a + b + c) 2 − 3 (ab + bc + ac) abc

b) 1

c) –2

d) 2

e) 3

b) 301 e) –2

a) 10

c) –318

6. Sean: x1, x2 y x3 las raíces de la ecuación: x3–x2+7=0 (1 − x1 − x2) (1 − x2 − x3) (1 − x1 − x3) Hallar el valor de " " x1 x2 x3 a) 1

b) 3

c) 2

d) 4

e) –1

7. Si: 2 + 3 es una raíz de la ecuación: x3–4x2+mx+n=0 Calcular el valor de "m+n" a) 2

b) 3

c) 4

d) 1

e) 5

8. Hallar el valor de "a", si el producto de raíces de la ecuación: (a–2)x6–x4+3x2+x+3(a+1)=0 es 4 a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

9. Dada la ecuación: x4–5xn–2+(3n–3)x2=nx+4n+2 de raíces x1, x2, x3, x4, x5. Calcular el producto de raíces a) –20 Central 6198-100

b) 6

c) 8

d) 15

c) 17 4

b) x4–35x2+324=0 d) x4+45x2+324=0

13. Si las soluciones de la ecuación: x4–(3k+4)x2+(k+1)2=0 son números enteros y están en progresión aritmética. Hallar la suma de los cuadrados de dichas soluciones (k∈z)

5. En la ecuación polinomial de raíces: x1, x2 y x3 x3–5x+m=0 , dos de sus raíces x1 y x2 suman 7 Hallar el valor de "x3+m" a) 0 d) –315

b) 37 4 15 e) 2

12. Si al formar una ecuación bicuadrada que tiene por dos de sus raíces a: − m y 2 , se obtiene: x4–(m+n+1)x2+8n=0 , se pide hallar otra ecuación bicuadrada de raíces m y n (m,n ∈ +)

4. Si a, b y c son las raíces de: 3x3–6x2+x–9=0 Calcular M =

b) x4+48x2+441=0 d) x4–58x2+441=0

11. Hallar la suma de los cuadrado de las raíces de la ecuación: 4x4–37x2+9=0 a) 15 4 37 d) 2

e) 6

3. En la ecuación polinomial: x7+3x2+x+m=0 Se cumple que seis de sus siete raíces suman 1 Calcular el valor de "m" a) –2

a) x4+58x2+441=0 c) x4–58x2+44=0 e) x4–58x2–441=0

b) 26

43

d) 34

e) 18

14. Si la ecuación: x4+ax2+b=0 ; tiene 2 raíces positivas que suman 5, 2 raíces reales que suman 3 y el producto de las mismas es negativa. Hallar "a+b" a) 1

b) 3

c) 4

d) –1

e) 2

15. Si en la ecuación polinomial: 2x3+9x2+ax+b=0 , las raíces están en la proporción 1; 2; 6. Hallar "a–b" a) 1

b) 4

c) –3

d) 7

e) –1

16. Si (2+i) es una raíz de multiplicidad dos de la siguiente ecuación: x5+ax4+bx3+cx2+dx+25=0 Hallar a–b+c–d, donde a, b, c, d ∈  a) 17 d) –18

b) 18 e) –17

c) –24

17. Si x1, x2, x3 (x3 ∈ ) son soluciones de la ecuación: x3–x2–3x+2=0 x x −1 x −1 Calcular: A = 2 1 + 22 + 3 x −x +1 x −x +1 2 1

e) 10

c) 20

a) − 1 2

b) 1 2

1

2

c) − 1 4

2

d) 0

e) 1 4


Capítulo 14 18. Si el polinomio: P(x)=2x3+x2+mx–4 tiene dos raíces opuestas y "α" es la mayor raíz. Hallar "mα" a) 8

b) 4

c) 6

d) –6

20. Dada la ecuación recíproca: (b+7)x4–56x3+89x2–4(a+2)x+12=0

e) –8

Dar como respuesta una de sus soluciones

19. Si: x1, x2, x3 son raíces de la ecuación: x3–2x2+x+5=0 Calcular M = c 1 + 1m + c 1 + 1m + c 1 + 1m − 19 x1 x2 x3 5 a) 0

b) –1

c) –2

d) –3

a) − 1 2

b) − 3 2

c) 3 2

d) –2

e) 1

e) –4

Tarea domiciliaria 1. Resolver las siguientes ecuaciones: * x3 –5x2+2x+8= 0 * x4 –5x2+4=0 * x4+x3–7x2–13–6=0

9. Dada la ecuación: xn–1–x4+29x2=(5n–1)xn–3–100x+6n+4 De raíces x1, x2, x3, x4, x5 . Calcular "x1x2x3x4x5"

2. En la ecuación: x3–3x–2=0 , de raíces a, b y c Calcular M=(a+2)(b+2)(c+2) a) 4

b) 5

c) –10

d) 2

e) –4

a) 2

b) –24

c) 25

d) –26

e) 28

4. Si: m, n, p son raíces de la ecuación: x3+3x2–x+6=0 Calcular M =

a) x4+20x2+64=0 c) x4–20x2+64=0 e) x4+20x2–46=0

a) 5 6 d) –6

b) − 5 6 e) –1

c) –5

x28+(a+2)x27+x2+x+2=0 , se cumple que la suma de sus raíces es 17 ; calcular el valor de "2a+1"

b) a

c) a 3

d) a 4

c) –6

d) –5

e) a 5

a) 2

b) 24

c) 39

d) 16

c) 4

d) –6

e) 3

d) 1

e) 3

2m + 1 + 2n + 1 + p m2 + m + 2 n2 + n + 2 3 c) 2 3

b) 3

d) 1

e) –1

14. Resolver la ecuación: 12x4–31x2+7=0 e indicar la mayor solución a) 1 2 7 3

d) −

e) 4

8. Se sabe que las raíces de la ecuación: x3–12x2+px–28=0 , están en progresión aritmética. Hallar el valor de "p" a) 20

b) 5

Hallar el valor A =

2x3–6x2+mx+p=0. Calcular el valor de "m–p" b) 7

c) 5

x3+2x2–2x+3=0

7. Si: 2 + 3 es una raíz de la ecuación a) –8

b) x4+20x2–64=0 d) x4+20x2+46=0

13. Si: m, n y p (P ∈ ) son raíces de la ecuación

c) 36

6. Hallar "m", si el producto de raíces de la ecuación: x88+3x86+3(a+m)=0 es 6m+2a a) a 2

b) 6

a) 6

b) 35 e) 37

e) 40

12. Proporcionar "m" si la suma de sus raíces positivas es 6, en la ecuación: x4–(3m+4)x2+(m+1)2=0

5. En la ecuación polinomial:

a) –35 d) –37

d) 10

11. Si: m y n son soluciones de x4–5m2x2+9n2=0 Hallar el mayor valor de "m+n" a) 9

(mn + np + mp) 2 + 2 (m + n + p) mnp

c) 1

10. Formar una ecuación bicuadrada si dos de sus raíces son 4 y –2:

3. Si: x=2 es una raíz de: 8x5+ax2+bx–128=0 Calcular A=2a+b a) 23

b) 5

b)

21 7

e)

5 2

c)

7 3

15. Si una de las raíces de la ecuación: 2x3+mx2+nx+4=0 (m, n ∈ ) es 2 − 2 Hallar

e) –20

a) 1

44

3

−n − m b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

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Álgebra

15

Sistema de ecuaciones

Ejercicios resueltos 1. (Ex. Admisión UNMSM 2011−I) Si el par (1; a) es solución del sistema: 3x − y = K 5x + y = K − 2 Halle el valor de a.

Resolución A partir de la solución reemplazamos x=1 / y=a 3 − a = K; 5 + a = K − 2 5 +a = 3 − a − 2 ∴ a = −2 2. (Ex. Admisión UNMSM 2008 − I) 6x - ay = y Determinar la suma de todos los valores reales de a, de modo que el sistema: ) 2x + 3y = ax tenga infinitas soluciones.

Resolución Ordenando el sistema: 6x - (a+1)y = 0 (2 - a) x + 3 = 0 Se cumple que: ∴

6 = a+1 3 a-2

a2 − a − 20 = 0

suma de valores de a: a1 + a2 = - (- 1 ) = 1 1

3. (Ex. Admisión UNMSM 2006 − I) Si: x > y, resolver: x2 y - xy2 = 70 .... (1) * 1 - 1 = 5 ... (2) : Indique el valor de: xy − (x − y) y x 14

Resolución De (1) : xy (x − y) = 70 .... (1)' De (2) : 14 (x − y) = 5xy .... (2)' Multiplicando (1)' ∧ (2)': 14 xy (x - y) 2 = 350 xy x − y = 5 (x > y) (x - y) 2 = 25 En (2)': 14 (5) = 5 xy xy = 14 ∴ xy − (x − y) = 9

Central 6198-100

45


Capítulo 15

Problemas para la clase Z x−y+3 ]] = 3 (1) 9. A partir del sistema: [ 2x + y − 3 2 ]] 3x − 2y + 4 = 5 (2) 2 2x − 2y + 3 2 Calcular y \ a) 2 b) 4 c) 8 d) 16

1. En cada ejercicio indicar su conjunto solución Zx y ] + =6 II. [ 2 3 ]x − y =2 \2 3

I. ) 3x + 2y = 5 3x − 2y = 1 III. ) 3x + 2y = 19 x + 3y = 11

2. Cual de los siguientes sistemas presenta infinitas soluciones I. ) 2 x + 3 5 y = − 7 2 2 x + 6 5 y = 14

c) I y III

3

a) 5 d) 2

b) 3 e) 5

b) a2+ab e) a–b

a) –7

a) 1

c) 1

b) k ≠ 3 e) k ≠ 6

)

b) –6

c) –2

c) a2–ab

c) 16 d) 7 7 16 Zx + y − z = 1 ] 8. En el siguiente sistema [ x − y + z = 2 ]−x + y + z = 3 \ Hallar el valor de (x+y+z)y a)

1 36

b) 3 4

b) 6

c) 216

b) 5

d) 1 6

e) 5

d) 12

e) –12

c) 4

d) 3

e) 2

x2 + 2x − y = 21 es: x2 y = 48 b) –48 e) 32

e) 6

e) − 4 3

e) 36

c) –32

15. Del siguiente gráfico, hallar "a+b" 3x–2y=5

b+1

c) k ≠ –3

d) 2

d) 4

c) –8

y

7. Determine el valor de "m", para que el sistema en x e y 5x + (3 − m) y = 4 sea incompatible ) 2x − ( 2 − m ) y = 6 a) 4 3

c) 3

b) 8

a) –21 d) 69

6. El valor de "a", para que el sistema ) x + 2y = 18 3x − ay = 54 sea compatible indeterminado es: a) 3 2

b) 2

14. El producto de valores de "x", para el sistema

5. Para que valores de "k" el sistema )(2k + 1) x + 5y = 7 (k + 2) x + 4y = 8 tiene solución única a) k ≠ 2 d) k ≠ 1, 2

c) –40

2 2 12. Un posible valor de "x+y", en: ) x − 3xy + y = 20 es: x + 5xy + y = 36

Z x y ]a+b + a−b = a+b 4. Resolver y hallar "x" [ ] x + y = 2a \a b a) a2+b d) b–a

b) –20 e) –30

2 2 13. La suma de valores de "x" en: ) x + pxy + y = 2 es x+y = 3 igual a –5. Hallar el valor de "p"

3. Si: (3,5) es la solución de )ax − by = 2 ax + by = 10 Hallar el valor de 3 5ab 3

a) 20 d) 30

a) 1

III. ) 3x + 5y = − 1 2x − 4y = 2 b) Sólo II e) Sólo III

10. Si: a b = 20 . Hallar A = a + b a − b c d c+d c−d

3 11. Resolver: ) 5x + 2 − y = 17 . Hallar el valor de "x" y + (5 − x) 3 = 2

II. )100x + 100y = 500 7x+ 7y = 5 7

a) Sólo I d) II y III

e) 100

x ax+by=15

5 a) 6

b) 5

c) 4

16. Hallar el valor de "y" en: a) 7

b) 5

*

d) 3

e) 2

y+3 =5 x

x 2 + 7x + y = x + 3 c) 4 d) 3 e) 8

2 2 17. Si el siguiente sistema ) x − 2mxy + y = 0 presenta x−y = 1 CS={(x0,y0)}. Calcular la suma de valores de "m"

a) 1

b) 0

c) 2

d) –2

e) –1

Z xy = 24 ] 18. Indicar el menor valor de "y", al resolver: [ xz = 18 ] yz = 12 \ a) –8 b) –3 c) –2 d) –6 e) –4 46

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Álgebra 3 3 19. Dado el sistema ) x + y = 72 si una solución es (a,b), x+y = 6 2 entonces "b –a" es:

a) 14

b) 12

c) –5

d) –6

e) 8

20. Luego de resolver el sistema en + x+y = 3 . Hallar el valor de "4xy" ) 2 x + 25 + y2 + 1 = 3 5 a) 5 4

b) 3 2

c) 3

d) 4

e) 5

Tarea domiciliaria 9. Si:

3x + y = 11 1. Hallar el valor de "x" al resolver: * y x+ = 7 2 a) –2

b) –3

c) 4

d) 5

L2

b) 14

c) 16

d) 18

e) 20

3. Hallar los valores de "m", para que el sistema en "x e y" sea compatible determinado. )(m − 1) x + 8y = 3 6x + (m + 1) y = 5 b) 7

a)  d) 7 6

c) –{3,5}

e) –{7,–7}

c) 12

d) 14

e) 16

5. Si el sistema: )(4 − m) x + 5y = 11 (m − 5) x + 2y = 27

c) –4

d) 4

e) –2

b) –11 e) 1

b) 1

c) 5

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b) 60 e) 80

4

2

10

2 10. Si el sistema: ) x + nx = 3y 5x + 3y = –4 Tiene solución única, el menor valor de "n" es:

b) 3

c) –3

d) –9

e) 1

a) 10

b) 3

c) 4

d) 2

e) 8

b) 2

c) 1

d) 4

e) 6

2 13. Hallar el producto de valores de x en ) x + 2x + y = 3 y ( x + 3) = 5

b) 5

c) 3

d) 4

e) 2

e) –6

15. Al resolver el siguiente sistema en los número reales d) 4

e) 2

(a + b + c) 2 = 270 *ab + bc + ac = 435 . 3

8. Calcular "xy", si: ) x + y − x − y = 2 2 x+y + x−y = 4 2 a) 10 d) 8

2

c)

14. Indicar un valor de x+y–z, al resolver: Z (x + 1) (y + 2) = 12 ] [ (z + 3) (x + 1) = 60 ] (y + 2) (z + 3) = 45 \ a) –8 b) 7 c) –7 d) 6

c) 10

Z x + y = 16 ] 7. Resolver: [ x + z = 22 . Hallar "x" ] y + z = 28 \ a) 0

e)

a) 7

6. Resolver: x − 2 1 + x = − x 5 3 a) 11 d) –10

d)

a) 0

2 3 4 Hallar E = ` 7m j + ` 7m j + ` 7m j + ` 7m j 33 33 33 33

b) 2

b) 2

2 2 12. La suma de valores de "x" en ) x + axy + y = 7 x+y = 2 es igual a –1; calcular el valor de "a"

es incompatible.

a) 1

a) 10

2 2 11. El mayor valor de "x–y" en ) x − xy + y = 40 es: x − xy − y = 32

presenta infinitas soluciones. Hallar "m+n" b) 10

Representa la solución gráfica del sistema )ax − 3y = 1 x−b = y Calcular 4 ab + 1

a) 4

4. Si el sistema: )mx + (n + 3) y = 15 2x + 3y = 5 a) 8

L1

e) 6

2. Si (2,4) es solución de: ) 5x + ay = 2 . Hallar "a+b" 4x + 3y = b a) 12

(–2,7)

Calcular ab2 + bc2 + ac2 c a b

c) 100

a) 2 3 47

b) 12 7

c) − 1 9

d) 1 3

e) 3


Capítulo 16

Desigualdades - inecuaciones de 16 primer grado Ejercicios resueltos 1. Resolver: 3x - 7 - x 5 10 20

2

1 - 7x 5 20

Resolución El MCM de todos los denominadores es 20, luego: 4(3x) − 2(7) − x>4(1) − 7x 12x − 14 − x>4 − 7x Transponiendo términos: 12x − x+7x > 4+14 18x>18 x> 18 18 x>1 x∈<1;+∞>

1

+3

2. Resolver: * 5x − 3y>2 ................................................................................ (I) * 2x+y<11 ................................................................................ (II) * y+ 1 > 37 − 1 ...................................................................... (III) 2 10 5

Resolución De (a) y (b) se tiene 3
De la inecuación III: y> 37 - 1 - 1 " y > 37 - 2 - 5 10 10 5 2

En (I): 5x>2+3(4) 5x>14 x> 14 → x>2,8 5

y> 30 ⇒ y>3 ................. a 10 Multiplicando a la primera inecuación por 2 y a la segunda inecuación por -5, se tiene:

En (II): 2x<11 – 4 ⇒ 2x<7 x<3,5

10x −6y > 4 −10x −5y > −55

como: 2,8
−11y > −51

finalmente: x=3; y=4

y < 51 .........(b) 11

48

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Álgebra

Problemas para la clase 1. Si: A=<–3,–2> , B=[–2,2] , C=[–5,1> Calcular (C – A) ∩ B a) <–2,–1> d) <–2,–1]

b) [–2,–1] e) { }

10. Resuelve la ecuación lineal: x − 4 + x − 5 $ 2 (x − 2) 3 4 a) [2,+∞> b) [1,+∞> c) [–2,+∞> d) <–∞,2] e) <–∞,1]

c) [–2,1>

2. Dados los conjuntos: a) A={x ∈  / – 4 < x < 1} b) B={x ∈  / – 1 ≤ x ≤ 3} c) C={x ∈  / – 6 < x ≤ 6} Efectuar (A ∪ B)C ∩ C a) <–6,–4] ∪ <3,6] c) <–5,–4] ∪ <3,7]

b) <–4,3] d) {7}

e) [–4,3]

3. Si: x ∈ <–2,4> . Hallar el intervalo de variación de − 2x + 4 3 b) 8− 4 , 4 B c) 3 3 e) − 4 , − 1 5 3 1 4. Si: x ∈ <1,2>, además < 1 < 1 a 5x + 3 b Indicar el valor de "a–b" − 4, 4 3 3 4 d) − , 8 3 3 a)

a) 6

b) 8

c) 10

13. Indicar el conjunto solución de: (x–1)(x+2) < (x+1)(x–1) ≤ (x+3)(x–1)

− 8, 4 3 3

d) 5

b) <–4,45] e) <7,45>

b) [–3,4] e) [–3,1]

e) 13

b) 2 2

c) <5,49]

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b) <0,8] e) [8,10>

5

125 x − 1

b) [–9,9] e) [–9,+∞>

c) { }

18. Si la inecuación lineal: mx3+2x2–(m+n)x ≥ 4x3+nx2+12 posee C.S. <–∞,p], determine el valor de "mnp"

c) 4

a) 16

c) 4

c) <0,+∞>

c) 0

d) 2

e) –16

b) 9

c) 6

d) 7

e) 5

20. Para: a
49

b) 5

19. Si la ecuación: 2x+3n ≤ 27 genera un conjunto solución S, tal que S ⊂ <–∞,3], determine el mínimo valor de "n" a) 8

9. Si a, b, c ∈ + ∧ a ≠ b ≠ c. Hallar el conjunto de valores (a + b) (b + c) (a + c) al cual pertenece "M", si: M = abc a) [8,+∞> d) <8,+∞>

25 x + 3 $

c) 2

2x − 3 x+1 17. Resolver el sistema: c 1 m # 57 − 2x < c1m 5 5 a) <5,9] b) <4,8] c) <6,8] d) [6,8> e) [–3,6>

c) [1,3]

k = x − 4x + 8 es: x−2 e) 6 2

b) 11 e) 14

a) <–9,∞> d) <9,+∞>

2

d) 2 2

72x − 1

16. Hallar el C.S. de:

8. Sabiendo que: x > 2, entonces el mínimo valor de "k"

b) 2

49 x + 5 #

a) 10 d) 13

e) 4 2

a) 6

15. Hallar el mínimo valor entero de "x", en: 3

7. Si: ∀ x ∈ +. Hallar el menor valor de la expresión M = x+ 8 x a) 2 d) 2

c) –{1}

3^ x − 3h + 2^ x + 2h < 7^ x − 1h 14. Hallar "x", en: * si: x ∈  5 ` x − 2 j < 7 ( x + 1) − 3 ( x + 2 ) 5 a) –1 b) –2 c) 0 d) 2 e) 1

6. Si: x ∈ [2,6]. Hallar el intervalo al cual pertenece 2x − 7 x−1 a) [–5,1] d) [–3,1>

b) {1} e) { }

a)  d) {–1}

5. Si: 2x − 3 ! < − 3, 1] 5 dar el intervalo de variación de A=x2+6x+5 a) [5,45] d) [–4,45]

11. Si: "x" e "y" son enteros positivos que verifican el sistema ) x − 3y > 2 entonces "x+y" puede ser x−y < 7 a) 5 b) 6 c) 7 u 8 d) 8 ó 9 e) 7, 8 ó 9 Z 3y − 2 > 2x + 3 ] 12. Resolver el sistema en  : [ x + y > 5 ] x + 2y < 11 Indicar "x+3y" \ a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

2 e) b 4a


Capítulo 16

Tarea domiciliaria 1. Si: A=[–4,0> , B=[–2,5] , C=<2,7] Calcular "(A ∩ B) – C" a) [–2,0>

b) <–2,0>

d) <0,2]

e) [–2,0]

c) [0,2]

a) –2

2. Siendo: 7 ≤ x+6 ≤ 8, indicar el menor entero de − x + 10 2 a) 4

b) 6

c) 2

Z 3x + y > − 4 ] 9. Resolver el sistema en : [ x − 2y < − 7 . Hallar "xy" ] 2x + 3y < 6 \

d) –2

a) [7,9> ∪ [11,+∞]

b) [7,+∞> ∪ <9,+∞>

c) [–7,0> ∪ <9,+∞>

d) <–∞,–7> ∪<9,+∞>

c) 3

d) 6

e) 10

10. Resolver la inecuación: 3x–2 < x+1 < –x+7

e) –1

3. Si x ∈ [–1,3]. Hallar el complemento de la variación de (5–4x)

b) –6

a) <–∞,–2>

b) <–8,+∞>

d) <–∞, 3 > 2

e) <2,+∞>

c) <–∞,–8>

11. Si: 2x+3 ∈ <11,35> Hallar el intervalo de variación de 3x–10

e) [–7,9]

a) <–1,233>

b) <–1,71>

c) <17,71>

d) <17,233>

e) <17,719>

4. Si: (3x+7) ∈ <10,23>, indicar el intervalo de variación de 4 + 2 3x + 4 a)

5, 9 8 7

b) <1,2>

d)

13 , 25 5 7

e)

c)

11 , 18 5 7

b) 2

d) Más de 3

e) 0

d) k ≥ 11

e) k < 11

c) k < 10

2 2 n2 + p2 m2 + p2 k = m +n + + mn np mp

d) k $ 4 3

e) k ≥ 3

c) k ≥ 12

b) <–8,+∞>

d) <–∞,8>

e) <2,+∞>

b) [–11,+∞>

c) <–∞,11>

d) <–∞,–11>

a) <–∞, 1 > 12

b) <36,+∞>

c) < 1 ,+∞> 36

d) < 1 ,+∞> 12

a) 1 2

b) − 1 8

d) 1 8

e)

a)

5 14

d) 11 14

8. Resolver: x + 2 + x − 1 < x + 2 2 3 a) <–∞,–2>

a) <11,+∞>

c) − 1 2

1 27

15. Si: 2 ≤ x ≤ 5 y n,m son el menor y el mayor valor de 2x + 1 respectivamente. Hallar el valor de "m–n" 3x − 1

Luego es posible afirmar: b) k $ 1 3

93 (x + 1)

14. Si la inecuación lineal: nx2+nx–2x2+1 ≤ 0 posee C.S.=<–∞,a], determinar el valor de a3

7. Si: m, n, p ∈ + y además

a) k ≥ 6

10

e) <–∞,36>

k = 2x + 25 ; x > 0 2x b) k ≥ 10

35x + 1 <

13. Resolver: x + x + x + x + ... + x > 1 2 6 12 20 156 39

c) 3

6. Hallar la variación de "k", siendo:

a) k > 10

9

e) <–11,+∞>

7 , 11 5 3

5. Si: x ∈ <5,11], indicar el número de valores enteros que puede tomar 2x − 1 x−2 a) 1

12. Hallar el C.S. de:

b)

9 14

c)

3 14

e) 13 14

c) <–∞,–8>

50

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Álgebra

17

Inecuación de segundo grado Problemas para la clase

1. La inecuación que presenta en su conjunto solución al menor número de enteros posibles es: a) x2–12x+27 < 0 c) 2x2–17x+36 ≤ 0 e) x2–12x+35 ≤ 0

b) x2–11x+30 ≤ 0 d) x2–5x+6 ≤ 0

a) 8

b) –{6} e) {6}

b) –{2}

a) –6

b) 7

c) –2

b) [2,7] e) [–3,6]

b) –5

c) –2

b) 1

c) 4

c) – $ 1 . 2

a) 9

Central 6198-100

e) 6

c) <0,4>

b) <–4,16> e) <–4,∞>

c) <–∞,0>

b) 10

c) 8

d) 7

e) 6

14. Al resolver la inecuación: x2–9x+18<0, se obtiene que x∈. Hallar "a+b"

e) –3

c) [6,7]

a) 0

b) 2

c) 8

d) 9

e) –3

2

15. Dado el polinomio P(x)=x –6x+11. Determine la constante "k" de modo que P(x) ≤ k, tenga por solución al intervalo [0,r], donde r>0. Calcular "2k– 5r" a) –8

b) –3

c) 7

d) –4

e) 5

2

16. Si P(x)=x +m(x+m+6), presenta valores negativas en; x=0 y x=2. Indicar los valores de "m" que hacen posible ambas situaciones

d) –3

e) –4

d) 3

e) 2

8. Para que valores reales de "x" el polinomio F(x)=x2–5x+4 adopta valores comprendidos entre –2 y 0 a) <0,1> ∪ <2,3> c) <1,2> ∪ <3,4> e) <3,4> ∪ <4,5>

d) 12

13. Dada la ecuación con raíces complejas: 3x2+(m+2)x+m=–2. Hallar el máximo valor entero que puede tomar "m"

7. Indicar el menor número entero "n", tal que ∀x∈ se cumple: (x+1)2+n > 1 a) 7

c) 5

b) <0,+∞> e) <–4,4>

a) <–16,0> d) <–16,4>

6. Calcular el máximo valor entero de "m", si: 2(x2–m) ≥ 8x–1 ; ∀x∈ a) –8

e) 3

12. Del problema anterior: Si las raíces fueran reales y positivas ¿Entre qué valores debe variar "n"?

5. Dados los conjuntos: A={x/x ∈  ∧ (x–2)2 ≤ 16} B={x/x ∈  ∧ (x–5)2 ≥ 4} Indicar "A ∩ B" a) [3,6] d) [–2,3]

b) –8

a) <0,16> d) <–4,0>

c) 

d) 0

d) 5

11. Para que la ecuación: x2+(n–4)x–2n=0 Presente raíces reales y de signos diferentes ¿Entre qué valores debe variar? "n"

d) – $ − 1 . e) 1 , + 3 2 2 4. Indicar la suma de los valores enteros que verifican: 1 < 1 <1 43 x2 − x + 1 7 a) 3

c) 6

10. Al resolver: x –2<14 ; si x ∈ Calcular "n–m"

3. Indicar su conjunto solución: 2x2+7x–5 > (2x2–11x+6) a) 

b) 7 2

2. De las inecuaciones: I. (x–8)2 ≥ 0 II. (x–2)2 ≤ 0 III. x2–10x+25 < 0 IV. x2–12x+36 > 0 V. (x–6)2 ≥ 0 Indicar el C.S. que no corresponda a algún caso: a) {2} d) { }

9. Determine el menor valor de "β" en: 4x2–8x+β–3≥0 si se verifica ∀x∈

b) <0,2> ∪ <3,4> d) 

51

a) m∈<–8,2>

b) m∈<–4+2 3 ,6>

c) m∈<0,4–2 3 >

d) m∈<–6,–4+2 3 >

e) m∈<–6,4+2 3 > 17. Resolver: (x– 5 +1)2+5 ≥ 3–(x– 3 +1)2 a) <–∞, 3 ] ∪ [ 5 ,+∞> b) [ 3 –1, 5 –1]

c) { }

d) [0,+∞]

e) 


Capítulo 17 18. Si el polinomio: P(x)=x2–(m+3)x+5m es estrictamente positivo para todo valor real de "x". Indicar el máximo valor entero que puede adoptar "m" a) 8

b) 4

c) 5

d) 6

20. ¿Cuál es el valor apropiado para "a", de tal manera que el siguiente sistema: Z 2 ] 2x + 3x − 9 1 0 [ 2x 2 − 3x − 5 # 0 ] x>a \

e) 7

19. Dado y ∈  , tal que verifica la inecuación en x (y2+7)(3x+5)≥(xy)2+7x2; indicar la solución a) 63 − 29 ; 3 + 29 @

b) ; 1 − 29 ; 1 + 29 E 2 2

c) ; 3 − 29 ; 3 + 29 E 2 2

d) 

Admita solución única en +? a) –0,3

b) 0,2

c) 1,2

d) 0

e) 2,5

e) { }

Tarea domiciliaria 9. Si: A={x ∈ /x2 ≥ –7} B={x ∈ /x2 ≤ 0} Hallar el complemento de "A ∩ B"

1. Indicar el valor de verdad: I. (x–8)2 ≥ 0 C.S.= II. (x–8)2 < 0 2

C.S.=–{8}

III. (x–8) ≤ 0

C.S.={8}

IV. (x–8)2 > 0

C.S.={ }

a) VVVV d) VFVF

b) VFFF e) FFFF

a) + d) – c) VVVF

10. Si el C.S de la inecuación: x2–3 2 x +4<0 2

Es de la forma < a,b c >. Calcular " a " bc

2. Resolver en cada caso: I. II. III. IV.

a) 1 2

x2+3x+8 ≥ 0 x2–6x+7 < 0 x2–9x+10 ≤ 0 x2+2x+5 < 0

d)

2 3. Si ∀x∈, se verifica x + 11 ≥ mx 2 Indicar el máximo valor entero que adopta "m"

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

4. Si el C.S. de –x2+8x–7<0 es –[a,b] Indicar el valor que adopta a2+b2 a) 13

b) 29

c) 50

d) 40

b) 6

c) 4

d) 2

b) [–7,–1] e) [1,7>

a) 0

b) 2

b) 0
b) –1

a) <–∞,1> d) 8 25 ,+∞> 2

c) 0
c) 2

d) –2

e) 3

b) <–∞, 25 B 4

c)

5 ,+∞> 2

e) <–∞, 25 > 4

3 14. Al resolver: x2+ c m x<1, se obtiene 5+ 2 Indicar "ab" a) 1 d) –2

b) <–∞,–a+b> d) <–∞,4(a+b)>

c) 3

2 2

e)

13. ¿Cuáles son los valores de "m", para los cuales x ∈ /x2+5x+m<0?

c) <1,7>

8. Indicar el menor valor entero de "k", que verifique: 7 > 0 ; 6x ! R x 2 + 2x + k a) 1

c) 1

12. ¿Para qué valor de S la inecuación cuadrática (S–1)x2+Sx+1 ≤ 0 tiene solución única?

e) 5

7. Si: a(x–a)2+7a2 a) <1,b> c) <–∞,a–b> e)

2

a) p>4 d) p<2

6. Resolver el sistema: 9 ≤ x2–8x+25 < 18 a) <–7,–1> d) <–1,1>

b) 2

11. Si: P ∈ +.¿Para qué valores de p, las raíces de: x2+px+p=0, son complejos conjugados?

e) 61

5. La inecuación x2–7x+1<0 presenta como conjunto solución . Calcular A=m+n–mn a) 8

c) {0}

b) –{0} e) 

d) 4

b) 2 e)

c) –1 5+ 2

15. Hallar los valores de "r" (r∈)para los cuales el polinomio P(x)=(r–1)(rx+x+2), ∀x∈ ,además (x+1) es positivo. a) r∈[2,+∞> c) r∈[–1,–∞> e) <–1,+∞>

e) 5

52

b) r∈[1,+∞> d) <1,+∞>

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Álgebra

18

Repaso Problemas para la clase

1. Un reservorio de agua, lleno hasta sus 3/4 partes pesa 3000kg, pero lleno hasta su quinta parte pesa 1900kg. ¿Cuál es el peso del recipiente lleno en toda su capacidad? a) 3600 kg d) 3500 kg

b) 3400 kg e) 3200 kg

c) 3300 kg

a) 12m d) 30m

2. Una joven debe lavar "n" docenas de camisas; recibirá "a" nuevos soles por cada camisa bien lavada y pagará "b" nuevos soles por cada camisa mal lavada. si recibió "m" nuevos soles en total. ¿Cuántas camisas fueron mal lavadas? a) m + 12an a+b c)

b) an – m a+b

m – an 12a + b

c) 35

d) 36

e) 42

4. Mario desea comprar un lote de terreno de forma rectangular. Se sabe que el doble del perímetro del terreno excede en 168 metros al ancho del terreno. Hallar el área máxima del terreno que puede comprar Mario. a) 588m2 d) 630m2

b) 300m2 e) 672m2

c) 540m2

5. Las dimensiones de un paralelepípedo están en progresión aritmética y suman 24u. Si el volumen es 440u3. Calcule la dimensión de mayor longitud. a) 11

b) 12

c) 13

d) 15

e) 16

6. Un comerciante cambia una arroba de camote por un costal de trigo y 2000 soles. Luego cambia otra arroba por un costal de papas y 3000 soles o un costal de trigo y un costal de papas. ¿Cuánto cuesta 2 arrobas de camote? a) 5000 d) 15000

Central 6198-100

c) 6m

8. Un día de fiestas patrias, uno de los circos que actuaba en Lima tuvo 400 personas en palco. Al día siguiente se subió el precio de la entrada, a esta localidad en S/.25, entonces disminuyó en 50 el número de asistentes a palco, pero se recaudó S/.6250 más que el día anterior. ¿Cuál fue el valor de la entrada al día siguiente? b) S/.65 e) S/.85

c) S/.75

9. Si uno de los lados de un rectángulo es el doble del otro y su área es 450m2. Determine su perímetro.

3. Un tanque puede llenarse por dos bombas A y B en 20 minutos; por las bombas A y C en 30 minutos; y por las bombas B y C en 40 minutos. ¿En cuántos minutos podrá llenar el tanque la bomba B? b) 48

b) 2m e) 15m

a) S/.55 d) S/.70

d) 12an – m a+b

e) 12am – n a+b

a) 24

7. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean losetas cuadradas cuyos lados miden 20cm. Si el patio tuviera 2 metros más por cada lado, se necesitaría 700 losetas más. ¿Cuántos metros tiene cada lado del patio?

b) 2500 e) 1000

c) 10000

a) 100m

b) 80m

d) 600m

e) 40m

10. Las dos soluciones de x2− 3x−10=0 son soluciones de una ecuación bicuadrada de coeficiente principal 3. Hallar la suma de coeficientes de la ecuación bicuadrada. a) 72 d) 216

b) 116 e) 221

c) 174

11. Una fracción irreductible tiene denominador 2. Si a esta fracción le restamos 13/6 se obtiene la inversa de la fracción con signo opuesto. Determine el numerador de la fracción. a) 9

b) 5

c) 1

d) 7

e) 3

12. El producto de dos números pares consecutivos es 728. La suma de las cifras del número mayor es. a) 6

b) 9

c) 8

d) 10

e) 3

13. Una caja contiene 2240 nuevos soles en billetes de 20 y 100 nuevos soles. Hay doble número de los primeros que de los segundos billetes. ¿Cuántos hay de cada clase? a) 32 y 16 d) 48 y 24

53

c) 90m

b) 24 y 12 e) 30 y 15

c) 31 y 15


Capítulo 18 14. Se compran dos piezas de tela: una a "x" soles el metro y otra, que tiene "x" metros más, a "y" soles el metro; si por cada pieza se pagó lo mismo. ¿Cuántos metros se compraron en total? a)

x (x + y) (y - x)

b)

y (x + y) c) (x - y) e)

17. En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de tiros acertados fue:

x+y x-y

x (x + y) d) (x - y)

x (xy + 1) (xy)

2 b) x - x - 2 4

2 c) x 2- 3x - 2 x + 2x

2 d) x - 3 x 2x

2 x2 - 6x + 10 = (x - 3) , entonces el valor de: 2 x + 8x + 17 (x + 4) 2

2x2+x+1 es. a) −1/2

b) 4

d) 2

e) 1

d) 74

e) 70

c) 72

a) 18 personas

b) 36 personas

c) 6 personas

d) 12 personas

e) 20 personas 19. Un regalo envuelto cuesta 13 soles y sin envolver cuesta 11 más de lo que cobran por envolverlo. ¿Cuánto cobran por envolverlo?

2 e) x - 3x - 2 4

16. Si "x" es solución de la ecuación:

b) 78

18. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántos participaron en la compra?

15. ¿Qué número debe agregarse a los términos de la fracción 1/x para que resulte x - 2 ? x+2 2 a) x - x 4

a) 76

a) S/.1,50

b) S/.0,75

d) S/.2,00

e) S/.0,50

c) S/.1,00

20. Se compró cierto número de lapiceros por S/.100,00. Si el precio de la unidad hubiera sido S/.1,00 menos, se tendría 5 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántos lapiceros se compró?

c) 3

a) 18

b) 25

d) 30

e) 28

c) 20

Tarea domiciliaria 1. Una enfermera proporciona a su paciente una tableta cada 45 minutos. ¿Cuántas tabletas necesitará para nueve horas de turno si debe suministrarlas al inicio y término del mismo? a) 11

b) 13

d) 17

e) 12

c) 15

2. A un cierto número de personas se les iba a pagar S/.35 a cada uno, pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/.42. ¿Cuántas personas iban a recibir S/.35? a) 4

b) 7

d) 8

e) 9

4. Gasté los 2/9 de mi dinero en ropa y luego los 3/5 del resto en comida. ¿Qué fracción de todo lo gastado es lo que me queda?

a) En su cuarta parte

b) En su sexta parte

c) En su tercera parte

d) En su novena parte

b) 14/31

d) 31/45

e) 13/31

c) 14/45

5. En un congreso hay peruanos, chilenos y argentinos. Si los peruanos representan los 2/3 de los chilenos y los chilenos los 5/8 de los argentinos. ¿Cuál es la fracción de peruanos con respecto al total?

c) 6

3. ¿En cuánto debe aumentar el numerador de una fracción para que al disminuir el denominador en sus 2/5, la fracción aumente en sus 11/9?

a) 3/7

a) 10 53

b) 10 51

d) 10 49

e) 10/47

c) 10 43

6. Un recipiente contiene agua, en sus 2/3 partes. Si se extrae 1/5 de la parte no llena y después se añade 1/4 de la parte llena en ese momento. ¿Qué fracción del recipiente queda lleno?

e) En su quinta parte

54

a) 3/4

b) 3/5

d) 5/6

e) 2/5

c) 4/5

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Álgebra 7. De un juego de 32 cartas se saca primero "x" cartas y tres más, luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía le quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas sacó la primera vez? a) 8

b) 9

d) 12

e) 3

c) 10

8. En una máquina de escribir mecánica se puede preparar una nómina en 120 horas, pero digitando la misma nómina en una computadora se le prepara en 80 horas. ¿En cuánto tiempo se prepara toda la nómina si se pone a trabajar en ambas? a) 46

b) 48

d) 52

e) 53

c) 50

9. Se ha pagado una deuda de S/.265 con monedas de S/.5 y S/.2. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/.5 en 17 monedas. ¿Cuántas suman las monedas de S/.5 y de S/.2? a) 81

b) 82

d) 84

e) 85

c) 83

10. El jardinero "A" planta rosas más rápidamente que el jardinero "B" en la proporción de 4 a 3. Cuando "B" planta "x" rosas en una hora "A" planta "x+2" rosas. ¿Cuántas rosas planta "B" en cuatro horas? a) 6

b) 8

d) 24

e) 32

c) 12

11. Se compra cajones de naranja a S/.100 cada uno y cada cajón contiene 20kg. Primero se vende la mitad a S/.20 el kilogramo, después la cuarta parte a S/.15 el kilogramo y por último el resto se remata a S/.10 el kilogramo ganando S/.11250 en total. ¿Cuántos cajones de naranja se habían comprado? a) 65

b) 70

d) 50

e) 54

13. Dos corredores, Pedro y Juan, parten simultáneamente en viaje de una ciudad a otra distantes 60 km, la velocidad de Pedro es cuatro kilómetros por hora menos que la de Juan. Después de llegar Juan a la segunda ciudad, emprenden inmediatamente el viaje de regreso y se encuentra con Pedro a 12 kilómetros de la última ciudad que visitó. ¿Cuál es la velocidad de Pedro? a) 6 km/h

b) 8

d) 12

e) 14

c) 10

14. Los lados de un triángulo son "a", "b" y "c"; se añade al lado "a" una longitud "d/2", se le quita al lado "b" la longitud "d/4" y se le agrega al lado "c" una longitud "5d/6". ¿Cuál debe ser la longitud "d" para que el perímetro del segundo triángulo sea el triple del perímetro del primer triángulo? a) 24 (a + b + c) 19

b) 24 (a + b + c) 13

c) 6 (a + b + c) 7

d) 12 (a + b + c) 19

e) 12 (a+b+c) 13 15. Un comerciante tenía determinada suma de dinero. El primer mes gastó S/.100 y aumentó a lo que quedaba un tercio de ese resto. Al mes siguiente volvió a gastar S/.100 y aumentó a la cantidad restante un tercio de ella. El tercer mes gastó de nuevo S/.100 y agregó la tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del inicial. ¿Cuál fue el capital inicial? a) S/.1480

b) 1500

d) 2380

e) 7400

c) 1400

c) 55

12. Cuando se pregunta a Juanito cuántos hermanos tiene, responde así: "Tengo el mismo número de hermanos y de hermanas". Cuando se le pregunta a María cuántos hermanos tiene responde así: "Tengo la mitad de hermanas que de hermanos o lo que es lo mismo, tengo el doble número de hermanos que de hermanas". Sabiendo que Juanito es hermano de María, diga Ud. ¿Cuántos hermanos hay de cada sexo? a) 3 hombres y 2 mujeres

b) 4 y 3

c) 5 y 4

d) 6 y 5

e) 5 y 2

Central 6198-100

55


Capítulo 19

19 Inecuaciones de grado superior Problemas para la clase 1. Al resolver: x4–13x2+36 ≤ 0 Se obtiene C.S.=[–a,–b] ∪ [b,a]. Calcular "ab" a) 3

b) 2

c) –6

d) 6

b) 14

c) 13

d) 26

2x + 2 # 3 − x

e) 4

2. Resolver: (x–1)2003(x–2)2002(x–13)13 ≤ 0 Hallar el producto del máximo y mínimo que puede tomar la variable a) 1

10. Determine el conjunto solución de la inecuación: a) [–1,3>–{2} c) <–∞,1] ∪ [7,+∞> e) [–1,1] 11. Hallar el C.S.

e) 36

3. Resolver: (x +1)(x–5)(–x+6) ≤ 0 e indicar parte del conjunto solución a) [4,+∞> d) <–∞,6]

b) [5,+∞> e) [7,+∞>

c) [3,+∞>

4. Resolver: –(x2+x+1)(x2–3x–1) ≥ 0 Indicando el producto de los extremos finitos pertenecientes a su intervalo solución a) 2 d)

b) –1

c) –2

e) − 13 2

13

5. Resuelva: (x2–8x)2–2(x2–8x)–63 ≤ 0 e indicar el producto de soluciones enteras positivas a) 0

b) 63

c) 3

d) 56

e) 81

b) 2

c) 3

d) 4

a) [4,+∞> c) <–3,5> e) ∅

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

2 8. Resuelva: x + 6 # x x−2

a) <–∞,3] d) [3,+∞>

b) –{2} e) <2,3]

c) <2,4]

a) 1 3

b) 2

c) 4

d) 6

5−x $ 0 x+3 b) <–3,1> ∪ [4,5] d) <–3,4]

b) 4 3

c) 5 3

d) 7 3

e) 8 3

2 2 14. Al resolver: ` x j < ` x − 1 j x+1 x Se obtiene x ∈ –{c}. Hallar E=ab+c

b) − 1 2 e) − 1 16

a) –2 d) − 1 8

c) − 1 4

15. Sea: [(x+3)3–1](x2–1) ≤ 0, cuyo C.S. <–∞,a] ∪ [b,c]. Entonces: "a+b+c" es a) 3

b) –3

c) 0

d) 2

e) –2

16. Al resolver: x4–3x3–3x2+11x–6<0, se observa que el conjunto solución tiene la forma -{c}. Calcular "b–a+c" a) 27

b) 0

c) 6

d) 7

e) 3

17. Resuelva: (x3–6x2+11x–6)4(x2–9)3(–x3–8)<0 a) b) c) d) e)

9. El número de enteros negativos que satisfacen la x2 + x + 5 $ 0 inecuación: (− x + 5) (x + 7) a) 1

c) 8 2 , + 3 3

13. El C.S. de la inecuación: 3 > 210 x x +1 consiste en la unión de un intervalo finito y un intervalo infinito, la longitud del intervalo finito es:

e) 5

7. ¿Cuántos valores enteros de "x" satisfacen la (x + 3) (x − 4) 2 inecuación < 0? (x − 7) 3

b) − 3, − 1 B 2 e) [0,2] 2x − 8 + x−1

12. Resuelva:

6. ¿Cuántos valores enteros de "x" verifican la inecuación x4+6x<6x3+x2? a) 1

3 − x − 2x + 1 $ 0

a) ;− 1 , 2 E 2 3 d) [–1,3]

2

b) <–∞,1] d) [–1,0]

e) 7 56

<–3;–2> ∪ <–1;+∞> <–3;–2> ∪ <3;+∞> <–3;–1> ∪ <1;+∞> <–3;–2> <3;+∞> www.trilce.edu.pe

Álgebra 18. Resolver: (x − 2)

35

20. Hallar el C.S. de: x + 1.

7

x + 3 (x − 4)

a) [–3;–1] ∪ [2;+∞> c) + e) 

64

2

64 − x $ 0

b) [–3;–1] ∪ [2;8] d) [–3;–1]∪[2;8]∪{–8}

19. Resuelva: x2 − x − 6 (x − 5) (2x2 − 3x − 2) # 0 y dar como respuesta la suma de valores enteros positivos que la verifican a) 5

b) 11

c) 12

d) 13

1 + 1 + 1 + 1 > 2x3 − 50x + 2 x + 3 x + 4 x − 3 x − 4 x 4 − 25x2 + 144 a) b) c) d) e)

<–4;–3> <1;3> ∪ <4;+∞> <–4;+∞> <–4;–3> ∪ <1;3> ∪ <4;+∞> <1;4>

e) 14

Tarea domiciliaria 1. Resolver: (x2–6x+5)(x–1) ≥ 0 a) [5;∞> c) [5;+∞>∪{1} e) {1} 2. Resuelva:

8

10. Si el conjunto solución de la inecuación: x3–10x2+31x–30 ≥ 0, tiene la forma: [a;b]∪[c;+∞> Determine "a+b+c"

b) [1;+∞> d) [1;+∞> ∪ {5}

a) 10

b) [7;+∞> e) <–∞;7]

c) <–∞;3]

a) –3 d) –9

2 3. Resolver: x − 9x + 14 $ 0 x−4

a) [2;4> c) [0;4> ∪ [7;+∞> e) [2;4> ∪ [7;+∞>

b) [7;+∞> d) [2;7]

5. Resolver:

5

b) <–∞;8] e) <–∞;2]

b) [2;5] e) [0;5]

6. Hallar el C.S. de: a) [0;+∞> d) <0;2>

c) <2;+∞>

b) 78

c) 68

c) { }

b) –1

9. Resuelve: a) {1;3} d) {3} Central 6198-100

c) 0

x 2 − 5x + 6 + b) {1} e) {2}

b) <–∞,1]∪[2,+∞>

c) <–∞,1>∪<2,+∞>

d) <1;2>

(x2 + 2x + 13) (x2 − 4x + 4) <0 (x2 − 2x + 13)

a) <–∞,5]∪[10,+∞>

b) 

c) ∅

d) –{3}

e) ∪{13} c) +

14. Al resolver:

d) 65

e) 72

8. Resuelva: (3–x)3(x2–1)2(1–x)5x > 0, dar como respuesta el menor valor entero que la verifica a) 1

c) –7

Hallar el complemento del C.S.

7. Halle la suma de valores enteros del conjunto solución 2 de: x + 2 $ x + 6 x−3 a) 70

b) –10 e) –5

a) [1,2]

13. Resuelva:

3 + x−2 > 0 b) [0;2] e) [2;+∞>

e) 20

e) ∅

x − 2. x − 5 # 0

a) <–∞;2] d) [2;+∞>

d) 12

12. Calcule el complemento del C.S. (x–1)(x2–5x+6) ≥ (x–2)(x2–3x+2)

4. Resuelva: (x–1)10(x–2)13(x2+x+1) ≤ 0 a) <–∞;6] d) <1;+∞>

c) –10

11. Determine la suma de elementos enteros del conjunto solución de la inecuación: x4+2x3–12x2+14x–5<0

x−3+ 7−x $ 0

a) [3;+∞> d) [3;7]

b) 5

d) 3

e) 4

25 x2 < (x − 1) (x + 7) (x − 1) (x + 7)

se obtiene x ∈ <α,–β>∪<λ,β>. Determine "αβλ" a) –36 d) –28 15. Resuelva:

b) –35 e) –24 3x # 2 x 3x 2 − 2x − 5 x − 2x + 1

Indique el complemento del conjunto solución: a) [–1;0>∪{1}

x 2 − 4x + 3 # 0

c) 8 5 ; 2 3

c) {2;3}

e) {1}

57

c) –30

b) [–1;0>∪ 8 5 ; 2 ∪{1} 3 d) [–1;0>∪ 8 5 ; 2 3


Capítulo 20

20

Valor absoluto

Problemas para la clase 1. Dar el equivalente:

8. Resolver la ecuación: x2 − 2 x − 3 = 0 e indicar el producto de soluciones.

5 −1 =

a)

a) 9

b) 8 − 2 − 5 = c)

−4 +

8

^5 − 10 h +

a) 5

8

12

b) 4

^ 5 − 10 h

12

c) 3

+ − 5

d) 2

e) 1

2x + 5 + x − 3 + x − 6 7

a) 1 d) 4x − 4 7

b) 2

c) 3

d) 3 4

e) − 11 4

a) 2

I.

c) 1

d) –1

e) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

a) 134 135

b) 132 133

d) 135 134

e) 133 135

6. Resuelva el sistema:

x−3 > 8

II.

a) { } d) [0,+∞>

c) 133 132

b) <0,+∞>

c) <–∞,0>

e) 

3x − 2 < x + 6

y =5 de como respuesta la suma de los valores de "x" menos la suma de los valores de "y" que son solución del sistema d) 4

a) 2

c) 4

d) 5

e) 6

A = $ x ! R/x2 − x < 6. a) <–3,3> c) <–∞,–3>

e) 10

b) <–∞,–3>∪<3,+∞> d) <3,+∞>

e) 

el intervalo solución está comprendido entre 8 a , c B b d Calcular "M = c + d " a+b d) 4

b) 3

15. Indicar el equivalente del conjunto:

7. Luego de resolver: 5x − 9 + 4 − 3x = 2x − 5

c) 7

IV. x − 3 # 5

14. Resolver y dar el máximo valor entero de:

3 x + 4y = 0

c) 0

x−3 $ 2

13. Resolver: 5x − 3 # 3x + 2 + 5 − 2x

2x − 1 + 3 3 − 6x = x − 2 , es:

b) 2

b) –3

III. x − 3 < 4

5. La suma de soluciones de la ecuación

b) 5

c) − 3 4

12. Resolver:

5x + 2 = 4x + 3

a) 3

b) –2

Se obtuvo como C.S.={m;n}. Halle "m2+n2"

x−8 = 0

a) –5

e) 0

11. Al resolver: 2x + x + 1 = 7

e) x

b) 2x + 5 = 3 c)

a) –1

a) 3

4. Resolver: a)

d) –3

10. Dado: 2x − 3 + 2 x − 1 = 4 + 3 − 2x Calcule el producto de valores de "x"

3. Si: 2
c) 3

2 9. Dada la ecuación: 2 x + 1 − 7 x + 1 = − 6 2 2 Halle la suma de sus soluciones.

5 −1 + 3− 5

2. Calcular: E=

b) –9

16. Resolver la inecuación: x + x − 1 + x − 2 < 3 a) <0+∞> d) <2;+∞>

e) 1 58

b) <0;2> e) <0;3>

c) <–∞;2>

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Álgebra 17. Si: x∈<–3;2] y además verifica x 2 + 2 x + 3 $ k (k ! R) Calcule el máximo valor de "k" a) 1

b) 2

c) 3

2x − 1 − x <2 x−5 a) <–∞;5> b) <9;+∞> d) <–∞;5>∪<9;+∞>

19. Resolver: d) 4

e) 5

18. Indique el intervalo solución de: x2 − 4 < –2x + 4 a) <0;4> d) <–4;0>

b) <–∞;0> e) <0;+∞>

20. Resolver: x

c) <–∞;–4>

x2 − x − 2

a) <1;2> d) <0;4>

c) <–∞;–5> e) <–∞;9>

<1

b) <0;2> e) <4;7>

c) <1;3>

Tarea domiciliaria 1. Calcule el producto de las soluciones de la ecuación: 2 x−3 = x+9 a) –15

b) –10

c) 2

d) 8

e) 15

2. Calcule la suma de soluciones de la ecuación: 3x + 1 = 7 − x a) 5/3 d) 4

b) –5 e) –7/2

c) 2

d) 3

e) 4

4. Con respecto a la ecuación: 6x − 12 − 10 = 2 2 − x + 6 Se puede afirmar que: a) Presenta 4 soluciones b) Presenta 3 soluciones c) Presenta 1 solución d) Presenta 2 soluciones e) No presenta solución 5. Luego de resolver la ecuación: x + 2 + 3x + 2 = 5 3 2 Indique verdadero o falso según corresponda: I. II. III. IV.

b) VVVF e) FVFV

c) FFFV

2

c) 33

d) 32

e) 30

7. Si: x ∈ [–2;3], y ∈ {–5;7} encuentre el valor de: x+2 + 3−x + 7−y + y+5 b) 17/3 e) 1

Central 6198-100

b) {–3,3} e) {–3,4}

b) − 4 ; 1 3

a) { } c)

− 3; − 11 E j 16 ; + 3 7 3

d) − 3; − 4 B j 1; + 3 3

a) x∈ d) x∈<–3;+∞>

e)  (2x − 3) 2 < 11. b) <–5;+∞> d) <–∞;–4]∪[7;+∞>

b) x∈{ } c) x∈<3;+∞> e) x∈<–∞;3>

14. Hallar el intervalo para "x" que resuelve: x2 − 2 x # 3 a) [–3;3] c) <–∞;–3]

b) <–∞;3]∪[3;+∞> d) [3;+∞> e) <–∞;+∞>

2x2 − 5x + 2

` x + 1j

c) 12

8. Resolver: x2 − 2 x − 3 = 0 a) {1,2} d) {0,2}

B = $ x ! R/ 7x + 2 $ 9.

15. Hallar el conjunto solución de la inecuación:

x + y − 10 + x + y + 7 a) 12/17 d) 17/12

A = $ x ! R/ 3x − 11 > 5.

13. Resolver: 5x − 8 + 16 − 10x # 15x − 24

x + 1 = 3 x + 1 + 4 es {α;β} b) 35

c) x ! − 1 ; 5 2 3 e) x ! − 3 ; 5 4 3 11. Obtener A∩B a partir de los conjuntos:

a) <–∞;–3]∪[6;+∞> c) [–4;+∞> e) [–4;7]

6. Calcule: α2+β2 si el conjunto solución de la ecuación

a) 34

b) x ! − 3 ; 2 2 3 d) x ! − 3 ; 5 2 3

12. Indicar AC si: A = $ x ! R

Presenta una solución entera. Todas sus soluciones son positivas. Presenta una solución irracional Todas sus soluciones son racionales.

a) FVFF d) VFVF

b) <–∞;–5] d) <–∞;–7]∪[–3;+∞>

a) x∈<–3;5>

x − 1 + 2 = 2x − 4 b) 1

a) <–∞;–6]∪[–2;+∞> c) <–∞;–4] e) [–7;–3]

10. Resolver la inecuación: 7x − 2 < 4x + 3 + 3x − 5

c) –5/2

3. Indique el número de soluciones de la ecuación: a) 0

9. Indicar el equivalente del conjunto: A = $ x ! R/ 2x + 10 + 3x + 15 $ 10.

c) {3}

a)

− 3,4 2

c)

− 3, − 3 j < 4; + 3 > d) − 3, − 3 2 2 − 3, − 3 j 3 , + 3 2 2

e)

59

14

> ` x + 1j

b) <4,+∞>


Capítulo 21

21

Logaritmos I

Ejercicios resueltos 1. Si: Log 2= x, Log 3= y, el valor de la expresión Log ( 8 ) − 3 log 60 en términos de x e y, es: 27

Resolución Aplicando las propiedades: Log A + Lob B = Log (A . B) " A, B, 1 R+ Log A − Log B = Log ( A ) 4 B Entonces: Log ( 8 ) − 3 Log 60 = Log 8 − Log 27 − 3 (Log (6 # 10)) 27 = Log 23 − Log 33 − 3 (Log 3 + Log 2 + Log 10) S 1

Además: Log xn = n . Log x ; x>0 Entonces: Log ( 8 ) − 3 Log 60 = 3 Log 2 − 3 Log 3 − 3 Log 3 − 3 Log 2 − 3 27 = 3x − 3y − 3y − 3x − 3 = −6y − 3 ` Log 8 − 3 Log 60 = − 3 (2y + 1) 27

2. Si: Log 4 y = 2 y Log 4 (

x2 y3 )=5 16

El valor de x es:

Resolución Aplicando las mismas propiedades y la definición: Log ) y 42 ` y = 16 = 4 y 2= Del segundo dato: Log 4 x2 + log 4 y3 − log 4 16 = 5 2 . Log 4 x + 3 Log 4 y − 2 = 5 S 2

1/2 1 ....= 2 log 4 x 1= " log 4 x x 4= 2 = 2

60

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Álgebra

Problemas para la clase 1. Si: Loga12=N ∧ Logb18=n ∧ (a>0∧a≠1) (b>0∧b≠1) Calcular 3 (ab) n a) 1

b) 2

c) 4

3

S = Log2b a3 + Log b2 a

a) 16

d) 6

e) 9

b) 4

c) 6

d) 12

e) 16

3. Indica el equivalente de la expresión: J = Ln e a) b) c) d) e)

Lny +Ln(x+1)+Ln(xy) 2Lny+Ln(x–1)+Ln(xy) Lny2–Ln(x–1)–Lnx Lny+Ln(x+1)–Lnx Lny+Ln(x–1)–Lnx 3 3 4 + Log x x j

x2 − Log

2

4

4

c) 13/12

b) 12/7 e) 13/4

c) 7/5

1+β 1−β 1 + 2β e) 1 + 3β

b)

c)

1 + 3β 1−β

a) 100

Central 6198-100

IV. LogxLogxxx=1 ; x>2 b) FVFV e) VVVV

c) FFVV

b) 5/2 e) 7/2

c) 7

16. Calcular:

2 (α + β) 1 − 2β β e) α − 2

c) 48

c) a + 3 a−1

Loga x Logb â 2 0 / b 2 0 / x 2 ch ∧ = Log b x Loga a ! 1/b ! 1

a) 3 d) 3/2

c) -2/3

b)

b) 72

b) a + 2 a+3 a e) a+3

a) FFFF d) VFVF

N = antiLοg 1 cLog3 c 1 mm + coLog3 ^Log5 125h 81

8. Dado que: Log1003= α ∧ Log1002= β ; Halle el valor de: Log56 en términos de "α" y "β"

9. ¿Cuántas cifras tiene el número 3 Log3=0,47?

c) 3

2 + Log5 3 + 3Log5 10 N= 2 2Log5 15

b) –1 e) Log2Log5

α+β 1−β β d) α + 2

e) 1/7

15. Determine el valor de la siguiente expresión:

^Log2h2 + ^Log5h2 − 1

a)

b) 2 e) Logb2

a) a + 1 a−1 d) a + 2 a+4

III.

^Log2h3 + ^Log5h3 − 1

a) 1 d) 3/2

d) 1/4

II. Log2x3=3 Log2x ∧ (x>0)

7. Simplifique la siguiente expresión: A=

c) 1/2

I. Log(a+b)=Log a+Log b ∧ (a>0 ∧ b>0)

6. Si: Log32= β ;Calcule el valor de Log1254 en términos de "β" 1−β 1 + 2β 3+β d) 1 + 2β

b) 2

14. Indicar el Valor de Verdad de las siguientes preposiciones:

7 5. Dados los números: a = 4 10 ∧ Ck = 1 + 1 k Hallar el valor de la siguiente expresión LogaC1+ LogaC2+ LogaC3+...+ LogaC99

a)

a) 1

13. Si Log218=a . Indica el valor de Log312

b) 17/6 e) 4/3

a) 8/7 d) 8/5

Hallar el valor de "A.B"

a) 1 d) 1/2

4. Simplifica: (x>0 ∧ x≠1)

a) 25/12 d) 3/4

e) 25

Halle el valor de: mLog b ` a j b

2

2

d) 37

12. Si se cumple que: am=bm+2

xy2 + y2 o ∧ x>0 ∧ y>0 xy

Log x x x + Log 3 `2Log x

c) 28

B=Log76.Log54.Log63.Log35

Log8 4 + Log125 5

a) 3

b) 13

11. Si: A=Log23.Log35.Log57

3 3 + Log 4 2 4 − Log 1 36 6

Log2 16 − Log

2. Reducir:

10. Si Logba=2 ; hallar el valor de:

c)

100

2

α + 2β 1 − 2β

a) 15

c) 17

d) 18

e) 19

17. Simplificar:

si se sabe que

d) 47

b) 16

e) 94

61

J=

Log a

Log x Log b

âLog x ah

.

a) 1

b) ab

d) (ab)2

e)

1 ab

^ bLog x bh

Log x

c) a b


Capítulo 21 18. Si: anti Log2x; anti Log4y; anti Log8z Están en P.G.: Calcular "x–z" si se conoce y–z=8 a) 16 19. Reducir:

b) 24

c) 32

d) 40

20. Si: Log 15=a ∧ Log 21=b ∧ Log 35=C Calcular "Log 49"

e) 48

1 1 1 + + 1 + Log3 (10e) 1 + Ln (30) 1 + Log (3e)

a) 1 d) Ln 30

b) Log 3 e) Log (3e)

a) b+c–a

b) a–v+c

d) b–2a+c

e) c–a–b

c) 2a–b+c

c) Ln 10

Tarea domiciliaria 1. Reduzca: A = Log2 ` 2 j + Log2 ` 4 j − Log2 c 1 m 3 5 30 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

9. Dada la función: fn = Log `1 − 1 j + Log c1 − 1 m + ... + Log `1 − 1 j 2 3 n+1

e) 5

Determinar el valor de f99

2. Calcular: M=Log232+Log33+Log25125 a) 3

b) 5

c) 7

d) 9

A = Log2 3Log3 4

3. Sean:

a) 2

e) 11

10. Efectuar:

B = Log5 ^3Log3 2+ 5Log5 3h

Indique el valor de "a+b" a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 9

b) 2/3 e) 1/3

b) 2 e) Log 2

b) a + 2 b+1 e) ab + 2 2a + 1

b) 4 e) 1/8

c) 5

5 175 "

2−λ 2 − 2λ d) 2 + λ 2 − 2λ a)

b) 1/2

d) Log47

e) 4

b) 1

c) 0

a)

5 x+1

b)

5 x+4

d)

6 x+4

e)

6 x+3

a)

c) ab + 1 a+2

b) m − 1 m−2

m m−2

d) m–1

c) 2

d) –1

e) 2

c)

5 x+3

N = aa a) ac

c) 8

c)

c) m + 2 m

e) 2m–3

14. Indicar el valor reducido de: c

Log c m Log a

; a>0/ c>0

b) c

c) ac

d) a2c

e) ac2

15. Si: Logba+Logcb=Logca, indique la expresión equivalente de "M=Logbc+Logab"

en función de λ b) 4 − 2λ 1−λ e) 2 + λ 2 + 2λ

3

13. Si: Log a00=m, hallar Logaao

8. Si Log357=λ, determine la expresión equivalente de "Log

7Log4 3 + 3Log4 7

Hallar "Log2464" en términos de "x"

Log y x + 1 7. Se define en + la expresión: f^ x, yh = ; Log x y + 1 f^2; 9h evalúe " " f^16; 3h a) 1 d) 1/2

e) –2

12. Si se sabe que: Log23=x

6. Si se sabe: Log23=a ∧ Log35=6 Hallar un equivalente de Log1820 a) ab + 1 a+1 d) b + 2 a+1

d) –1

^Log5 7h^Log 4 11h^Log115h

a) 1

a) 10

c) 3/2

5. Reduzca la siguiente expresión: 1 1 s= + 1 + Log2 5 1 + Log5 2 a) 1 d) Log 5

c) 0

11. Calcular "Log x" si: Log0,5256=2–x

2

4. Hallar el logaritmo de "a 3 a " en base: a) 25/6 d) 1/2

b) 1

1+λ 2 − 2λ

62

a) 1

b) 2

d) ac b

e) abc

c) ab

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22

Logaritmos II

Ejercicios resueltos 1. Si se satisfacen: 10x−1 +10y+2 = 2p − 1 x − y - 3 = Log ( Hallar: 10x–1 − 10y+2

p+q−1 ) p−q

Resolución

Del dato: 10x−1 + 10y+2 = 2p − 1 ..... (1) Factorizar: 10y+2 10y+2 (10x−y−3+1) = 2p − 1 ..... (a) Usando la otra condición por definición de Log: 10x−y−3 = 10y+2 ;

p+q−1 reemplazando en (a): p−q

p+q−1 + 1E = 2p − 1 p−q

10y+2 = p - q ... (b) en (1): 10x−1 = p+q−1 ..... (c) Restando: (c − b): 10x−1 − 10y+2 = 2q−1

2. Si: – xn = Log ( 3 ) + Log ( 4 ) 2 + ... + Log ( n + 1 ) n − 1 , entonces el valor de: 2 3 n E=

10 − xn (n + 1) n − n ; es: n!

Resolución Del dato, por propiedad: 2

3

Tener en cuenta que: n! = 2 . 3 . 4 ... n

n−1

3 . 4 . 5 ... (n + 1) 2 . 32 . 43 .... nn − 1 Por definición: xn = Log

10

xn

Reemplazando E = ; 2 . 3 . 4n...− n E (n + 1) 1

3 . 42 . 53 ...... (n + 1) n − 1 = 2 . 22 . 43 ...... nn − 1

E = n+1 - n = 1

Elevando a la (−1): 10 − xn =

Central 6198-100

(n + 1) n (n + 1) n −n= −n n! (n + 1) n − 1

2 . 32 . 43 ... nn − 1 = 2 . 3 . 4 .... n 3 . 42 . 53 ... (n + 1) n − 1 (n + 1) n − 1

63


Capítulo 22 3. Resolver: x log8 20 = 1 + log45; Indique el valor de: 4x2 − 2x + 1

Resolución x log820 = log44 + log45

Reemplazando: 2 4x −2x+1 = 4 . 9 −2 . 3 + 1 = 7 4 2

x

log820 = log420 log 3 20 x log 201 & x 1 ` x = 3 = = 2 22 3 2 2

4. Halle la suma de las raíces de la ecuación: Log 4 x2 + Log x 4 − 3 = 0

Resolución Multiplicamos cada miembro por Log4x: (2 log 4 x + Log x 4 = 3) . Log 4 x Factorizando:

2 Log24 x − 3 Log 4 x + 1 = 0 2 Log 4 x

−1

=

0

Log 4 x

−1

=

0

Log 4 x = 1 2 x1 = 2

log 4 x = 1 x2 = 4 ` x1 + x2 = 6

64

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Álgebra

Problemas para la clase 1. Si: x=Log2(Log4(Log216)). Hallar M=31+x+31–x a) 10

b) 8

c) 12

d) 6

11. Luego de resolver, dar como respuesta la menor solución: Log2 xLog2 x − Log2 x5 = − 4

e) 7

a) 1/8 d) 2

2. Hallar los valores de "x" que satisfacen la ecuación ^ x2 –5x + 15h

5 Lο g x

= 3Lοg x 25

a) 1 y 3 d) 2 y 4

Lοg 63 + 2 Lοg^1 + xh@ = anti Lοg^cο Lοg 10h − 1 10 a) 1/10 b) –1/10 c) –9/10 d) 9/10 e) 1/100

c) 2 y 3

a) Log4x=1,5 b) Log0,0625x= 5 4 Indique el producto de los valores obtenidos para "x" en cada una. b) 2

c) 1/4

d) 1/2

e) 4

b) ' 1 1 9 e) '9; 1 1 9

d) $ 7 . 2

e) {1}

Lοg x 3.Lοg3 π.Lοg π a) {9} d) {6}

5

5

c) {3}

a) 1

b) 2

c) 4

b) 2

c) 4

9 64Lοg8 3 @

a) d)

c) { }

x

e) 1/4

c) 6

d) 8

e) 1/4

d) 5

c) 5/2

d) 1

e) 4/5

Log x7 − 12 y hallar el producto c) 107

= 27 x b) 4 3 e) 1/4

2 2

c)

3

4

19. Sea: "a" un número real positivo diferente de 1, halle el valor de "y" que satisface el sistema de ecuaciones: a x + y = 16, a x − 2y = 1 4

#= 5 2

d) 1/4

3

e) 1/2

e) 25

a) Loga6 d) Loga8

65

b) Loga64 e) Loga4

c) Loga16

20. Resuelve la ecuación logarítmica: Lοgex ` e j + Ln2 x = 1 x Señale el producto de soluciones a) 1

Central 6198-100

d) 1/2

18. Hallar el valor de "x" en la ecuación:

10. Calcule el valor de "x" si: x Log 2+Log(Log 5)=Log(Log 625) a) 1

c) 32

2x

b) 108 e) 105 1 + Lοg27 2

b) {2} e) {36}

El valor de "x" es:

b) 3/4

a) 109 d) 106

8. El equivalente del conjunto: A={x ∈ /Log3x+Log9x–7=Log27x} es:

9. Si: 6Lοg2 3 + 10Lοgx − 3Lοg2 6 + Lοg

b) 4

17. Resolver Log x = de soluciones:

b) {2} e) {4}

a) {1} d) {3}

b) 16

a) 9/4

c) $2; 2 . 3

Lοg

c) 102

16. Los números positivos x e y satisfacen el siguiente sistema: 2 Log3x+2 Log3y=0 Log2x–Log2y=2 Halle "x+y"

7. Obtener el conjunto solución de: ^ x2 − 6h =

x

b) 103 e) 1

a) 10 d) 10

a) 2

c) {3}

6. Indique el conjunto solución de: Log 25+Log(3x–2)=2 b) {2}

4

15. Dado el sistema: Log x+coLog y=Log 2 2x+y=antiLog26 Calcular el valor de "x"

Lοg3 xLοg3 x = 4

a) { }

4

a) 2 c) {2}

5. Indicar el conjunto solución de la ecuación:

d) ' 1 1 3

Calcula el valor de

^1, 25h−1 − Lοg2 x = ^0, 64h2 + Lοg

b) {6} e) {24}

a) {9}

13. Luego de resolver: 2Log x+2Log x+1=eIn 48

14. Determine la menor solución, luego de resolver:

4. Resolver la ecuación logarítmica: Log x=3 Log 6 – 2 Log 3 a) {3} d) {28}

c) 256

12. Resuelve:

b) 2 y 1 e) 3 y 5

3. A partir de las ecuaciones mostradas:

a) 1

b) 16 e) 8

b) e–1

c) e–2

d) e

e) e 2


Capítulo 22 {}

Tarea domiciliaria 1. Indique la suma de los valores obtenidos para "x" en cada ecuación: Logx0,5=0,2 Log0,250,0625=x 3 32 d) 15 16

b) 65 32 e) 3 16

a)

c)

Lο g 2 x

d) ' 1 1 8

e) '8, 1 1 8

b) 5 9

c) 1 3

d) 10 3

e) 4 9

4. Indicar el equivalente del conjunto: A={x ∈ /Log2x+Log4x+7=Log8x} a) {2}

b) ' 1 1 64

d) {16}

e) {64}

a) − 19 10

b) − 9 10

d) − 1 10

e) 19 10

1 10 d) 10

c) 3

a)

2

b) 4

d)

10

e) 8

c)

)

1 10

d) 4

e) 5

c) 0,5

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

x2 − y2 = 11 Log x − Log y = 1

e indicar el valor de "x+y" a) 16/15

b) 13/3

d) 11/3

e) 9/2

c) 13/2

15. Luego de resolver la ecuación:

− Lοg2 x = 18

b) 103

e) 10

14. Resolver el siguiente sistema:

Log3x ` 3 j + Log3 x = 1 x

c) 32

dar la suma de soluciones como respuesta:

8. Luego de resolver: 3Log x+3Log x+1=eLn36 Indicar x a)

b) 2

a) 4

7

b) 1 4 e) 512

d) 7

12. Resolver: (antiLog0,50,5)(Log 0,5)+x Log x=0

c) {3,4}

7. Luego de resolver, dar como respuesta la mayor solución: a) 1 2 d) 128

c) 5

13. Halle la suma de raíces de la ecuación: Log4x2+Logx4–3=0

= 3Lοgn 10 b) {2,3} e) {3,5}

5 /25

X−2

b) 3

a) 1

6. Resolver: Log(6+5 Log(2+x)=coLog(antiLog(–1))–Log 10

Lοg 2 x

e) − 5 /5

5

a) 2

c) { }

5. Siendo n>1, resolver la ecuación:

Lο g 2 x

d)

c)

5 /5

11. Calcule el valor de "x" si, x Log 3+Log(Log 4)=Log(Log 64)

Lοg 49 ^8 + Lοg3 ^ x − 3hh = 1 2

a) {2,1} d) {2,4}

b)

Log x ^ x xh = ^ X2h

c) $ 1 . 2

3. Calcular "x" en:

^ x2 − 3x + 5h

a) 50

xx

b) {4}

10Lοgn

Log x − Log y = 1 2 3 Log x + 2 Log y = 3

10. Hallar el valor de "x" en la ecuación:

=9

a) { }

a) 4 3

*

1 16

2. Indicar el conjunto solución de: Lο g 2 x

9. Indicar el valor de "y" sabiendo que:

a) 4

b) 10/9

d) 32/9

e) 2/3

c) 28/9

c) 102

e) 1

66

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Álgebra

23

Funciones I Problemas para la clase

1. Determine el valor de "b", si f es una función de  en  . f={(2,1),(4,1),(b,2),(4,b2–3)} a) 2

b) –2

c) 1

d) 3

e) 4

2. Sean las funciones: f={(3,5),(2,1),(5,4)}

c) 1 2

d) 3 5

e) 10 3

3. Indicar cuál gráfica no representa una función:

d) G (x) = 2x + 3 x − 25

a) F (x) = 3x − 1 4x − 2

b) G (x) =

c) H(x)=x2–6x+3 e) F(x)=2x+5

d) G(x)=x2+2x

y 6

a)

f

4

x

x

3 2x + 3

7. Según la gráfica de "f" , calcule f(1)+f(3)+f(5)

y

y

b) G(x)= x − 3

6. Hallar el rango:

f^g^1hh g^ 5h + f^ 2h Calcular A = g^ f^ 3hh + g^4h b) − 2 5

a) F(x)= 1 x−3 c) F(x)=(x+5)2017+x–1 e) F (x) = 3 x − 2 + 5 x

g={(1,2),(4,5),(5,3)}

a) 2 5

5. Hallar el dominio en cada caso:

b) 1 y

y

x

c)

a) 14

b) 8

3

5

c) 10

x

d) 16

e) 12

8. Hallar el rango de: f(x)=–5x+3

x

Si: Df=[–2;3]

d) y

a) [10;15]

b) [–12;14]

d) [–12;13]

e) [–11;13]

c) [12;13]

9. Si <–5;–4> es el dominio de la función "f", donde: f (x) = x + 1 x+3

x

e)

Hallar el rango de "f" 4. Dado: A={x∈/|x| ≤ 4} . Sean F y G funciones de A en , definidas por: 2

a) <–2,–1>

b) <0,1>

d) <1,2>

e) [2,3]

F(x)=x –3 ∧ G(x)= 1 − x + 1 Hallar la intersección del rango de F con el dominio de G a) {0,–2,–3}

b) {–1,–2,–3}

c) {1,–2,–3}

d) {1,2,3}

e) {–1,0,1}

Central 6198-100

67

c) <2,3>

2

10. Dada la función "g": g(x)=x +2x Si el dominio de g es [3;+∞> Calcular el rango. a) <–∞;15]

b) [15;+∞>

d) <–∞;15>

e) [3;+∞>

c) <15;+∞>


Capítulo 23 17. Determine la regla de correspondencia de la función lineal f, tal que f(2)=3 ∧ f(3)=2f(4)

x + 1 , determine: x+2

11. Si: F(x)= Dom(F)

a) <2;+∞>

b) [–1;2>

c) <–∞;1]∪<2;+∞>

d) R0+ − {1}

y

f (x) =

c) 4

a) –[–1,1] c) + e) <–1,+∞>

x

d) 8

e) 11

b) –<–1,1> d) –

Calcular "f (f (f (f (...f (f (7) ) ) ) ) )"

Halle el rango de "f"

e) 

c) [–5,5]

f={(3,1),)(7,3),(1,1),(7,a2+b2),(3,a2–b2)}

f (x) = ) x − 1 ; x < 4 x−4 ;x $ 4

d) [–1;∞>

b) [–1,2] e) [–3,3]

20. Sabiendo que es una función "f"

2

b) <–∞;0]

 / y=F(x)=|x+2|–|x–2|

f (x) = x 8^ x − 1h2 + 2 x B x

13. Sea "f" una función definida mediante:

a) [–4;∞]

c) f(x)=–x+4

19. El rango de la función:

x−2

h(x)=3

b) 9

e) f(x)=x+4

a) [–2,2] d) [–4,4]

Calcular "x0"

a) 3

d) f(x)=5x–1

F=

12. Según las gráficas de las funciones "f" y "h"

x0

b) f(x)=–x+5

18. Determine el rango de la función:

e) <–∞,–2> ∪ [–1,+∞>

2

a) f(x)=–x+3

a) 0 d) –1

c) [–4;4]

b) a2+b2 e) 1

c) 3

14. Determine el rango de la función "H" tal que: H(x)=x2–2(|x|+1)+7 a) [6;+∞> d) [–8;3>

b)  e) [4,+∞>

c) [–4,4]

15. Sean "f" y "g" dos funciones definidas por: 3senx − 1

f (x) = ^ 2 h

y

g (x) = ` 1 j 2

; 6x ! R

3sen2 x − 1

La suma del valor mínimo de "f" con el valor mínimo de "g" es igual a: a) -1/4 d) –1/2

b) 1/4 e) 1

c) 1/2

16. Dada la función: F(x)=|a|x–b|+b|x–a|| En donde a>b>0 Calcular F ` a + b j 2 a) 2a2–b2

2 2 b) a + b 2

2 2 d) a − b 2

e) 2b2–a2

2 2 c) b − a 2

68

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Álgebra

Tarea domiciliaria 1. Si es una función: F={(1,2a),(2,7),(5,1),(1,3a–5),(7,9)} Calcular la suma de los elementos del rango de dicha función. a) 22

b) 15

c) 27

d) 16

e) 0

b) <–1,5]

Hallar "a+b+c"

a) 1

5. Halle el dominio de la función: f(x) =

49 − x2 x2 − 6

b) < − 6 ; 6 >

c) < 6 ;∞>

d) <–∞; − 6 >

e) 

e) 9

c) –4

d) 0

e) 4

4x 1 + x2

a) [–2;2]

b) <–1;1>

d) <–10;0>

e) <–4;4>

c) [0;+∞>

3x + 7 3x2 − 2x − 21

a) 

b) <–7/3;3>

c) – $ − 7 ; 3. 3

d) –{3}

12. Calcular el rango de: F(x)=5x–2 ; x ∈ [1,4>

y

b)

b) 2

e) <–∞;–7/3>∪<3;+∞>

6. ¿Cuál de los siguientes gráficos no corresponde a una función?

y

d) 8

11. Calcular el dominio en: F (x) =

a) [–7; − 6 >∪< 6 ;7]

x

c) 7

10. Hallar el rango de: F (x) =

4. Dada la función "G": G={(1,3),(3,6),(2,4),(4,5)} Calcular M = G (3) + G (2) G (1) − G (4) a) –6 b) –4 c) –10 d) –5 e) 0

y

b) 6

F(x)=–x2+10x–21 de dominio real?

c) [1,5>

3. Hallar el rango de la función: F (x) = 2x − 6 x + 3 3x + 9 a) –{–3} b) –{1} c) –{2} d) –{–2} e) –{3}

a)

x2 − 5x + 6 es: [a; b > − {c} 7x − x2 − 12

9. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la función:

5−x + x−1

a) –[1,5] d) [1,5]

F (x) =

a) 5

2. Indicar el dominio de la función: F (x) =

8. Si el dominio de la función:

a) <–7,18] d) [–8,+∞>

b) [–5,20> e) [3,18>

13. Calcular el rango de: F (x) =

c) [–7,18>

x+5 −3

a) [2,+∞>

b) [–3,+∞>

d) [–8,+∞>

e) [0,+∞>

c) [5,+∞>

14. Dada la función:

x

F={(x,y) ∈ 2/F(x)=x2–4x ∧ 3x ∈ <–3,15>}

y

Además RanF=[a,b> Calcular "M=2a+3b"

c)

x

d)

x

y

a) 7

b) 4

d) –4

e) –7

15. Si la función F: 

c) –2

 esta definida por

F (x) = 2 + 16 − x2 e)

Hallar Dom F ∧ Ran F

x

7. Sea la función: F(x)= 10 − x + 3

a) [2,4>

b) <2,4>

d) <2,6]

e) [2,6]

c) [2,4]

De dominio: DF=[–A;B]. Hallar A+B a) 7

b) 10

Central 6198-100

c) 15

d) 20

e) 28

69


Capítulo 24

24

Funciones II

Problemas para la clase 1. Graficar las siguientes funciones: 2

a) f(x)=3+x

b) f(x)=x –5x+6

c) f(x)= x − 1 − 3

d) f(x)=|x+2|–1

8. Calcule el área de la región sombreada: y F(x)=x2–x–6

2. Si la gráfica de la función "f": f(x)=x2–3x+2m pasa por el punto (5;20). Halle la ordenada de la abscisa –3 que pertenece a f(x). a) 12

b) 8

c) 18

d) 28

5

3. La gráfica de g(x)=3ax2+2b pasa por los puntos: (1;5) y (–2;23). Hallar "5a+2b" a) 5

b) 20

c) 10

d) 11

e) 9

4. Hallar uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones: g(x)=–x2–7x+8 h(x)=–x+1 a) (1;3) d) (2;5)

b) (5;4) e) (1;0)

c) (0;1)

5. Dadas las siguientes funciones reales: f(x)=2x2–3x+m g(x)=–x2+2x–m+4 Si: (3;b) es un punto en común a las gráficas de "f" y "g" evaluar f(5) a) 31

b) 40

c) 20

d) 50

a) 100 u2 d) 7 u2

b) –8

c) –7

d) –5

a) 14 u2 d) 18 u2

a) 11

b) 15 u2 e) 20 u2

c) 16 u2

c) 11 4

b) 4

d) 11 5

e) 11 3

11. Obtener la gráfica de la función constante "G", tal que G^10h + G^15h =8 G^7h − 3

e) 60

a)

b)

y 4

e) 0

y 8 x

x c)

I. El dominio de: f(x)=3x–1 es el conjunto de los números reales II. El rango de f(x)=x2+1 es el intervalo: [1;+∞> III. El punto máximo que alcanza la función f(x)=–x2+4x–1 es 3 IV. Si el rango es unitario la función es constante ∀x∈ b) VVFV e) FFFV

c) 49 u2

10. Calcular el valor de "b" para que la recta y=x+b sea tangente a la parábola y=x2+3

7. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) VVVF d) FVVF

b) 50 u2 e) 14 u2

9. Si F es una función definida por F(x)=4–|x+3|; x∈, entonces el área en u2 de la región limitada por F y el eje de abscisas es:

6. Hallar el mínimo valor que puede tomar la función: F:  ; F(x)=x2+4x–5 a) –9

x

e) 38

d)

y 4

4 x

e)

y

x

y

c) VVVV x

–4

70

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Álgebra 15. Hallar las coordenadas de uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones: G()=–2x2–6x+8

12. Si F es una función definida por: F (x) =

x − 3 − 2 , su gráfica es:

a)

b)

H(x)=–x+1

y

y

a) (1,3) d) (5,4)

2 27 c)

x

–7

7 e)

siendo "x" el peso ejercido sobre el material. Para que peso la resistencia es máxima y cuál es la resistencia máxima

y

–2

x

c) (1,0)

16. La resistencia de un material de aluminio está dada por la función: f (x) = 10 x^12 − xh , 9

x

d)

y

b) (0,1) e) (2,5)

a) 15; 36 d) 10; 25

3 x

b) 6; 30 e) 11; 40

c) 6; 40

17. La figura muestra los gráficos de las funciones: y

y=x2 ∧ y=–x2+n. La medida del segmento MN es: y M 7

2

x

13. Dadas las gráficas de las funciones: F(x)=x2+4x+a G(x)=–x2+8x+b y

N

0

(m,n)

a) 2 5

b) 4 5

d) 5 2

e)

x c)

6

5

18. Indique la gráfica que mejor represente a: f(x)=||x2–2|–3|; x ∈  a)

b)

y

y

Hallar "m2+n2+a2+b2", si a+b=8 a) 90 d) 135

b) 120 e) 140

c) 130

x

14. Determinar el menor K ∈ , de manera que la gráfica

c)

F(x)=x2–6x+k sea la mostrada gráfica

x d)

y

y

y x e) x a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

x

y

e) 11 x

Central 6198-100

71


Capítulo 24 19. La gráfica de la función definida por: F(x)=|x–2|+|x–4| es: a)

b)

y 6

c)

y 6

2

6

2 6

2

x d)

y

20. En la región determinada por el eje "x" y la gráfica f(x)=3–|x–4| se inscribe un rectángulo, una de cuyas bases está en el eje "x" y los otros dos vértices están en la gráfica de f(x). Determina el valor del área máxima de dicha rectangular.

x

a) 4/11 u2

b) 11/2 u2

d) 6/11 u2

e) 13/2 u2

c) 9/2 u2

y

6 1

2 2 4

e)

2 4

x

x

y 4

6

x

–2

Tarea Domiciliaria 1. Calcular el área de la región limitada por los ejes coordenados y F(x) y

a) 43

F (x) = 4– x 2 0 b) 14 u2

d) 13 u2

e) 12 u2

b) 58

b) –4

d) –16

e) 4

3

c) –20

–4

F (10) + F (15) =8 F (7) − 3

Calcular F(2010)+F(2011) b) 6

c) 7

d) 8

b) 6

c) 7

d) 8

6

x

a) y=x2+6x+5

b) y=x2–6x+5

c) y=x2+4x+5

d) y=x2–6x–5

e) y=x2+6x–5

e) 9

4. Si "F" es una función lineal de manera que: F(1)=2 y F(2)=1 dar como respuesta "F(2010)+F(–2010)" a) 5

e) 24

5

3. Sea "F" la función constante tal que:

a) 5

d) 32

y

c) 15 u2

2. Si: f(x)=–x2+8x–20 . Hallar el valor máximo de f(x) a) –3

c) 61

6. Indicar la ecuación que describe la función representada en el siguiente gráfico:

x

a) 16 u2

5. Si las funciones f(x)=3x+5a, g(x)=ax2+5x+7, tienen como uno de sus puntos de intersección (2;b) Hallar el valor "b"

7. Calcular el valor máximo que toma la función: f(x)=–x2+2x–6 e) 9

a) –1

72

b) –6

c) –5

d) –3

e) –4

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Álgebra 8. Las gráficas de: f(x)=x+2 ∧ g(x)=x2, están dadas en: y

f(x)=nx2–5x+4 ∧ g(x)=11x+n sean tangentes.

(p;q)

a) –3

x Según ello calcular: M=|m–n+2p–q| b) 2

c) 4

d) 3

b

3

c

x

Calcular M=a+b+c c) 10

d) 11

e) 19

10. Sea: f(x)=x2–2x+m+2. Calcular el menor valor entero no negativo de "m" tal que f(x) ≥ 0, para todo valor de x real. b) 0

e) –8

a) –14

b) 7

d) –36

e) 17

c) 13

14. La gráfica de la función: f(x)=–x2+6x–5, intersecta al eje "x" en los puntos "P" y "Q", y al eje "y" en el punto "R". Hallar el área de la región triangular PQR.

4

a) –1

d) –6

g(x)=|x+8|–2

e) 6

y

b) 9

c) –5

f(x)=2–3x

9. Dada la función "f" tal que: f(x)=–|x–a|+4 Se grafica según:

a) 7

b) –4

13. Si las gráficas de las funciones f y g se intersectan en el punto (m;n). Indicar el valor de: E=2m+3n donde:

(m;n)

a) 0

12. Indicar el valor de "n" para que las gráficas de las funciones:

c) 1

d) 2

a) 15 u2

b) 10

d) 20

e) 30

c) 12

15. Hallar el área de la región triangular formada al unir los puntos de intersección de la parábola f(x)=–x2+4 con los ejes coordenados. a) 6 u2

b) 8 u2

d) 5 u2

e) 10 u2

c) 16 u2

e) 3

11. Si la gráfica de la función: f(x)=2x2+x+5n–5, pasa por el punto (3,26) Hallar el menor valor que toma dicha función a) − 1 4

b) 3

d) 39 8

e) 10

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c) 24 5

73


Capítulo 25

25

Funciones III

Problemas para la clase 1. Dada la función cuadrática "T": f(x)=(x+k)2+4k. Halle el mínimo valor de "f(x)" si 2k–7 es la imagen 3. a) –14 d) –8

b) –16 e) –24

b) ±1 e) ±8

c) ±6

3. Si: P=(x;y) es un par ordenado común a las funciones "f" y "g" cuyas reglas de correspondencia son f(x)=3x+8 y g(x)=5, entonces la distancia del punto "P" al origen de coordenadas es: a)

13

b)

17

d)

26

e)

11

c)

34

4. Dadas las funciones: f(x)=2x2–16 y g(x)=–x2+48. Halle la máxima distancia horizontal entre "f" y "g" a) 6u

b) 7u

f^ x h = x2 + x + 1 es "a" y el valor máximo de la función "g": g(x)=–3x2+6x–1 es "b". Entonces "ab" es:

c) –10

2. Calcular para que valor de "H" el máximo valor que alcanza f(x) es 6 siendo: f^ x h = 2 30 x − Hx + 14 a) ±2 d) ±4

8. El valor mínimo de la función "f"

a)

3 4

b)

3

d)

5 2

e)

5

c)

3 2

9. Calcular la máxima distancia vertical que se determina en la región limitada por los gráficos de las funciones: f(x)=9–x2 ∧ g(x)=x–2 a) 27 4

b) 37 4

c) 37 2

d) 43 4

e) 45 4

10. Indicar el área máxima de la región triangular AOB, siendo B ∈ G(x) y con coordenadas de componentes positivas. y V1 B 2 F(x)=–x –8x

2

G(x)=–x +6x+3

c) 8u

d) 9u

e) 8 3 u 3 5. Una partícula se coloca en el punto "M" de la parábola: y=x2–x–12 cuya ordenada es 8 se le deja rodar por la parábola hasta que llegue a un punto N, cuya ordenada es –12. La distancia mínima horizontal que ha recorrido la partícula es: a) 8u d) 15u

b) 7u e) 4u

A a) 22 u2 d) 28 u2

a) <–∞;a ] d) <0;a2]

b) 8− 1 ; a B 2 2 e)

a)

b) 7 u2 e) 16 u2

b)

y 1

− 1 ; a@ 2

c) 26 u2

y 1

x c)

7. Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados y el cuarto vértice sobre la recta de la ecuación: f(x)=8–2x, calcular el área máxima de la región rectangular. a) 8 u2 d) 12 u2

b) 24 u2 e) 30 u2

3 F (x) = – x + 1 x

c) 6u

c)

x

11. Bosquejar la gráfica de la siguiente función:

6. Sea y=f(x) la expresión que representa el área de un rectángulo de base "x" y perímetro 4a. Halle el rango de f(x). 2

0

d)

y 1

74

y 1

x

c) 6 u2

x

x

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Álgebra e)

14. Graficar: R={(x;y) ∈ 2 / y < |x + 1|}

y

a)

b)

y

y

1 x –1

12. Graficar la relación: R = {(x; y) ∈ R2 / y ≥ 3x – 2} a)

b)

y 2

–2

2/3

e)

e)

y

–1

y

a) 2

x

a) –1 13. Graficar: R = {(x; y) ∈ R2 / y ≥ x2 – 2x + 1}

c)

b)

y

a)

d)

d) 5

e) 6

c) y

1

c) 2

d) 3

e) 8

b)

y

y x

x d)

y

x

x

x

e)

y 1

b) 1

x

1 e)

c) 4

17. Graficar la relación: R = (x; y) ∈ R2 / x2 + y2 ≤ 9 ∧ y ≤ |x|}

y

x

y

b) 3

16. Si las gráficas de: f(x)=Kx2+Kx+K y g(x)=–2x2– Kx+1, son tangentes, hallar "K".

–2

1

x

15. Las gráficas de f: 3y–2x=1–K y g: 7y–x2=–2K. Se intersectan en (5,a). Hallar: a + K

2/3

a)

x

x –2/3

–2

y

–1 x

y –2

x

d)

y

x

d)

y

x

–1

–1

2/3

–2

c)

c)

y

x

x

y x

y x

x 18. Hallar el área de la región limitada por: y=x+2, x=4 y el eje "x" a) 10 u2 d) 12 u2

Central 6198-100

75

b) 13 u2 e) 24 u2

c) 18 u2


Capítulo 25 19. Se desea hacer un cubo, sin tapa ni base, para esto se cuenta con una placa como se muestra. Si se dobla por la línea punteada por pegarlo al lado AB. Hallar la regla de correspondencia de la función que representa el volumen.

20. Indicar el conjunto "M", representado por la siguiente gráfica: y

x

5x+12

A

a) M={(x;y) ∈  x  / y ≥ |x|} b) M={(x;y) ∈  x  / x . y ≥ x2} |x | c) M={(x;y) ∈  x  / |x| ≥ y} d) M={(x;y) ∈  x  / x . y ≤ x2} |x | e) M={(x;y) ∈  x  / |y| ≤ x2}

x+3 B a) (x+3)2 d) (x+12)3

b) x3 e) (x–2)2

c) (x+3)3

Tarea domiciliaria 1. Determine el rango de la función f: f(x)=x2–2(|x|+1)+7 a)  d) [4;∞>

b) [6;∞> e) [8;3>

¿Qué afirmación es verdadera? I. f(g(3))=5 c) [–4;4]

III. Si: f(f(x))=1, entonces x=2.

2. La gráfica de la función: y = f (x) = 2 x2 + bx + c 3 Intersecta al eje x, en los puntos (–2;0) y (5;0), y al eje "y", en el punto (0;K). Determine el valor de: b+c+K. a) − 518 5 d) –5

b) − 46 3 e) –4

c) − 20 3

− 10 ; 3 3

d) − 3; − 10 3

a) Solo I d) II y III

b) I y III e) I, II y III

b) ;− 10 ; − 3E 3

b) 1

a)

c) ;− 10 ; − 3 3

e) 4

y

4

x x

c)

5 1 2 g

–4 d)

y

4

5 4 1 2

d) 3

b)

y

4. En la figura adjunta se muestran las funciones f y g: f

6

c) 2

6. Graficar: R = {(x; y) ∈ R / y ≥ 4}

e) <–3;∞>

2 3 4

c) I y II

5. Calcule el número de elementos de la función: f={(x;y) ∈ g/ x2+y2<15} siendo g la siguiente función: g={(1;4),(2;a+b–1),(3;a)(2;–2)(4;6),(1;a2–b2+1)} a) 0

3. Sea: f: A <1;4]. Hallar su dominio A, si: x 2 + y su rango es <1;4> f (x) = x+3 a)

II. g(f(2))=6

x

y

4 x

3 76

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Álgebra e)

13. Las gráficas de las parábola: g(x)=x2–3kx+k y f(x)=kx–x2, x ≠ 0 son tangentes, halle el valor de "k"

y x

–4

b) –3

d) –1

e) –5

b) 1/2

d) 1/4

e) –3/4

c) –1/2

14. Halle el área de la región limitada por la relación: R={(x;y) ∈  /y ≤ 4 ∧ y ≥ |x|–3}

7. Hallar el valor mínimo de: f(x) = x2 – 2x – 3; x ∈ <–14; 4> a) 4

a) –2

c) –4

a) 14 u2

b) 49 u2

c) 98 u2

d) 343 u2

e) No determinan región de área calculable. 15. La gráfica de la parábola: y=16–x2 se intersecta con la recta y=7 en los puntos "P" y "Q",el punto "P" se une con el origen de coordenadas "O" y del punto "Q" se baja una perpendicular QR al eje "x", halle el área del cuadrilátero PQRO.

8. Hallar el área de la región sombreada: y

x

x=–4

a) (37/2) u2

b) (63/2) u2

d) 18 u2

e) 24 u2

c) 36 u2

y=–x

a) 10 u2

b) 15 u2

d) 13 u2

e) 16 u2

c) 8 u2

9. Sean f(x)=mx2+mx+5 y g(x)=x2–mx–m, las reglas de dos funciones que se intersectan en un solo punto. Hallar "m" a) 5 4

b) 3 4

d) 2 5

e) 1 2

c) 4 5

10. Hallar el área de la región limitada por f(x)=|x|–6 y g(x)=6–|x|: a) 49 u2

b) 72 u2

d) 18 u2

e) 24 u2

c) 25 u2

11. Halle los puntos de intersección de la recta: f(x)=2x+7 con la parábola y(x)=x2–1, indique la suma de componentes de uno de dichos puntos. a) 2

b) 6

d) 5

e) 17

c) 19

12. Las gráficas de las relaciones f: x y + x = k g : y – x2 = k Se intersectan en el punto (2;R). Halle "R + k" a) 12

b) –12

d) 32

e) –18

Central 6198-100

c) –16

77


Capítulo 26

26

Repaso

Problemas para la clase 1. Considerando: Dom F = <−5; 3]. Calcular su rango, si: F(x) = 2x2 − 10 a) [0;40>

b) [−10;40]

d) [8;40]

e) [−10;40>

adopte máximo valor igual a 35. a) 2 d) 4

c) [0;40]

b) 8 e) 3

c) 9

8. Grafique la relación: R = " (x; y) ! R2 / y $ (x − 2) 2 / y # x ,

2. Calcular: "a+1" en F(G(−1)) = −3a.

y

Sabiendo que:

y

2

F(x) = 3x + 10x − a − 2 G(x−2) = 3 − |x − 6| a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

a)

x

b)

y

x y

3. Sea "f" una función lineal tal que su gráfica pasa por (4; 10) y además f(2)+2f(0)=0. Indique el valor de su pendiente. a) 2

b) 3

d) 8

e) 12

c)

c) 4

d) 80u

2

b) 105u2 e) 50u

d)

x

y

4. Hallar el área de la región triangular formada al unir los puntos de intersección de la gráfica de: F(x) = x2 − 4x − 21 con los ejes cartesianos. a) 125u2

x

c) 100u2

e)

9. Calcular la oferta máxima, si la función oferta "l" de

2

una empresa está dada por:

l(x)=−2x2+60x+50 tal que "x" representa unidades

5. Calcular el área de la región formada por las gráficas de las rectas: y=2x−6; y=x+4 y el eje "x". a) 41u2

b) 32u2

d) 45u2

e) 18u2

b) m=4n

d) m−n=4

e) mn=4

en soles. a) 300 d) 200

c) 49u2

6. Hallar la relación entre "m" y "n", tal que las gráficas de la recta: f(x)=−3x+n y la parábola: g(x)=x2+x+m, sean tangentes. a) m−n=−4

x

b) 500 e) 650

10. Si: M = Log 3 log3 4 2

log4 5i

Hallar el valor de: M a) 36 d) 9

c) m+n=4

c) 400

log4095 4096

log144 81

b) 8 e) 25

c) 16

log b 7 11. Si: aK = K; 6 K ! Z , el valor de:

7. Calcular "m" tal que: f(x)=−2x2+16x+m

logn ( 7

78

log b a1

+ 7 logb a2 + 7Logb a3 + ... + 7 logb an ) x www.trilce.edu.pe

Álgebra donde: 2x-n=1 a) 1 d) nx

b) 2 e) nn

c) 2x

12. Si: 2 . 5Loga x + 3 . x loga 5 = 125

a) 3

b) 12

d) 2 2

e) 2

c) 24

17. Si: a = log32 ; b=log52

para: a > 0; x>0; a≠1. Calcular: x3+1

Calcule log154 en términos de a y b.

a) (a2+1)3

b) 23a+1

a) ab

b) 2ab a+b

d) a+1

e) a6+1

c) 1 + 1 a b

d) a + b b a

c) a12+1

13. Si:

e)

log3 64 + co log3 (log3 (anti log9 x))@ = 1

entonces: x es igual a: 18

18. Calcule: 9

a) 3

b) 2

d) 10

e) 9

1 1 + log(a + 1) ab log(b + 1) ab

c) 3/2

Si la ecuación: x2 − 5x + 2 = 0 , tiene por raíces a y b.

14. En las proposiciones marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda: −1

• log37 = (log73) •

ab a+b

log7 20 = log7 5 log5 20

a) 1

b) 2

d) 5

e) 8

c) 3

19. Si x e y verifican:

• Antilog0,2log0,29−log0,9antilog0,94=5

y = anti log 1 + anti log 2 + ... + anti log x .... (I) 9

• −lnp=cologep

log (y+10) = 3x − 5 .............................. (II)

• 2008

log 2 2009 log 2 2008 = 2009

a) VFVVV

b) VVFVV

d) VVFFV

e) VVVVV

Calcule: c) VVVVF

15. Sabiendo que:

y x

a) 9999

b) 3330

d) 6660

e) 9990

c) 3333

20. Hallar el producto de raíces:

p

m

n

log56=a ; log310=b ; log215=c

Log x 2x

El valor de: (ap+1)−1+(bm+1)−1+(cn+1)−1; es:

a) 2

a) log5 6 log3 10 log215

d)

x2 = 2 b) 4

2

e)

c) 8 2 2

b) log26 c) log215 d) 1 e) 7/6 16. Si: x =

4

3; y =

3

4; z = 2

Calcular el valor de: 1 + log y x 2 log z 6(y ) x @1 + log x y

Central 6198-100

79


Capítulo 26

Tarea domiciliaria 1. Sea la función: F = "(2; 24), (a2; a + 3), (a − 3; 7), (2; a!), (2a; 10),

5. Halle uno de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones: f(x) = |2x − 25|

y sean los conjuntos

g(x) = 5 − 3x

D: Dominio de F y R: Rango de F. Hallar: n(D) . n(R) . F(8) a) 2!

b) 3!

d) 5!

e) 6!

c) 4!

2. Obtener la pendiente de: F(x) = Ax + B + 2 Sabiendo que la gráfica de F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; −2) a) −2

b) 4

d) 3

e) 1

a) m = n − 4

b) mn = 4

c) m = 4n

d) m = n + 4

e) m = 4 − n

7. Sea la función lineal: cuya regla de correspondencia es: f(x) = |ax2 − 3ax + a − 2| + ax2 − ax + 3 Indicar los valores del parámetro real "a" que definen completamente la función "f".

(-1;15)

x

c) 18u2

a) a ! < 0; 8 > 5

b) a ! < 1; 5 > 3

c) a ! < − 8 ; 1 > 5

d) a ! R

e) a ! < − 8 ; 0 > 5

L

e) 16u2

d) (−20 ; 65)

f(x) = x2 + x + m?

y

d) 24u2

c) (6 ; 13)

6. ¿Qué relación deben cumplir m y n para que la gráfica de la recta g(x) = n − 3x sea tangente a la gráfica de la parábola:

si L es una recta de pendiente −3.

b) 32u2

b) (−6 ; 23)

e) Dos anteriores son correctas

c) 5

3. Hallar el área del triángulo sombreado,

a) 12u2

a) (6 ,−20)

8. De la gráfica:

y b

4. Calcular el valor absoluto de la diferencia de las raíces del polinomio: S

f(x) = −x2 + bx + c

a

Si este toma como valor máximo 9. a) 8

b) 6

d) 3

e) 9

x

Si el área "S" del rectángulo es máxima; hallar dicha área.

c) 12

80

a) ab

b) ab 2

d) ab 3

e) ab 6

c) ab 4

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Álgebra 9. Sea la gráfica de la función F:

12. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación: Log2 x = Log2 x

y -b

Hallar el valor de "b", tal que el punto (400; 798) ∈H(x), siendo: H (x) =

b) 17

d) 21

e) 32

c) 19

13. Indicar el producto de las raíces de la siguiente ecuación:

x

b

a) 16

F(2− x) − F(x2)

x log5 x − 2 = 125 a) 5

b) 15

d) 25

e) 1/5

c) 125

b 14. Resolver el sistema:

a) 9

b) −5

d) −8

e) −3

c) −9

*

10. Señale el producto de las raíces de la ecuación:

e indicar el producto de valores "x".

81Log x 3 = 27 x a) 1/3

b) 1/9

d) 1/81

e) 1/243

c) 1/27

a) n d) nn+1

Central 6198-100

a) 10

b) 100

d) 1

e) 0

distintos de la unidad y además: ab=1 obtenga el valor de:

nn

a b) nn e) n

c) 1/10

15. Si " a; b, ! Z +

11. Señale el valor de "x" que verifica la igualdad: (n logn x) logn x = n

Log2 xy − Log2 x = 8 y Log x Log y 2 =4

c) nn−1

nn − 1

81

Log b 0, 5

+ bLoga 0, 2

a) 2

b) 5

d) 10

e) 12

c) 7


Capítulo 27

27

Progresiones

Problemas resueltos 1. Timoteo no pudiendo cancelar una deuda de S/.12 950 le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/.600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/.50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago?

Resolución Datos: S = 12 950; a1 = 600; r=50 2) Como: an = a1 + (n − 1) r

1) Como: Sn = 62a1 + (n − 1) r @ n 2 Luego:

an = 600 + (14 − 1) 50 ∴ an = S/. 1 250

12 950 = 62 (600) + (n − 1) 50@ n 2 Operando: n = 14

2. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están al lado de una calzada; los árboles están a 8 m de distancia y el montón de arena está a 10 m antes del primer árbol. ¿Cuánto habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena?

Resolución 1º

2º

3º

30º

10 8 8 Ojo: Para cada uno lleva la arena y regresa al montón (hace doble recorrido) & S = 20 + 36 + 52 + .... r = 16

Sn = 62a1 + (n − 1) r @ n 2

n = 30

S = 6 2 (20) + (30 − 1) 16 @ 30 2

a1 = 20

S = 640 + 464 @ . 15

∴ S = 7560

82

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Álgebra 3. Se deja caer una pelota desde una altura h=270 m. En cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura de la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia total recorre la pelota hasta quedar en reposo?

Resolución

h=270 2 1 `5j h

2 2 `5j h

2 3 `5j h

1 2 3 S = h + 2 ;` 2 j hE + 2 ;` 2 j hE + 2 ;` 2 j hE + .... 5 5 5 1 444444444 2 444444444 3 P.G.

1 2 3 S = h + 2h ; ` 2 j + ` 2 j + ` 2 j + .... E 5 5 5

S = h + 2h ;

t1 E 1−q R 2 V S W S = h + 2h S 5 W S = h + 2h 8 2 B 3 SS1 − 2 WW 5 T X 7 (270) & S 630 S = = 3

S = 7h 3

4. Hallar la suma límite: S = 1 + 22 + 13 + 24 + 15 + 26 + .... 7 7 7 7 7 7

Resolución Agrupando convenientemente: S = c 1 + 13 + 15 + ....m + 2 c 12 + 14 + 16 + ....m 7 7 7 7 7 7 Aplicando la fórmula para cada caso: S límite =

t1 1−q

J 1 N J J 1 N K O K 7 O 72 O = K K S =K 2 + K 1 O KK 1 − 1 OO K K1 − 2 O 2 7 P 7 P L L L

S= 7 + 2 = 9 = 3 48 48 48 16

1 7 48 72

J N K O K 2 + O KK O P L

1 72 48 72

N O O OO P

SLímite = 3 16

Central 6198-100

83


Capítulo 27

Problemas para la clase 1. En una progresión aritmética, el cuarto y el décimo sexto término suman 20. Halle el décimo término. a) 14

b) 10

c) 8

d) 2

e) 4

2. Hallar el término "a30" de una progresión aritmética en la que: a1=6 y r=2 a) 60

b) 62

c) 64

d) 20

9. Entre "m" y 930 se interpolan 133 medios aritméticos, siendo el último de éstos 924. Calcular la suma de cifras de "m". a) 3

"b" tér min os

e) 30

b) 4

c) 3

c) 3x=4y

d) 2

Si la suma de todos los términos de esta progresión es 1377 Hallar la razón.

b) 401 e) 420

c) 405

6. Indicar (V) o (F): Dada la P.A. {an}=a1,a2,a3...an, donde r: razón de la progresión. a) an=a1+(n–1)r: (término general) b) Sn = n â1 + anh (suma de "n" términos) 2 c) La progresión aritmética es creciente si y sólo si r>0 d) a2=a1+r e) a2–a1=a3–a2=a4–a3=...=r 7. Halle el menor de tres números en progresión aritmética, tales que al sumarles respectivamente 3,10 y 2 los valores obtenidos sean proporcionales a 2,4 y 3. a) 10

b) 40

c) 20

d) 7

a) 20 meses d) 50 meses

b) 30 meses e) 32 meses

a) 36 d) –4

c) 40 meses

c) 9/20

b) –36 e) –19

c) 4

12. Dadas las progresiones: ÷÷ 8,x,y ÷ z,x,8 Calcular "E=x+y+z", sabiendo que y–z=8 a) 72

b) 70

c) 68

d) 66

e) 74

13. Dada la progresión aritmética: ÷ a1; a2; a3 ... an–3 Calcular el cociente que resulta de dividir la sumatoria de todos sus términos entre el término medio. a) n − 3 2

b) n–6

d) n–3

e)

c) n − 9 2

3^n − 3h 2

14. Tres números está en P.A. decreciente y aumentados en; 2; 1 y 5 respectivamente forma una P.G. de tres términos cuya suma es 35. Indicar la razón y el producto de los 3 términos de la P.G. respectivamente. a) 1/2 y 1000 d) 2 y 1000

e) 9

8. Una deuda de 4500000 soles será pagada de la siguiente manera S/.5000 el primer mes S/.15000 el segundo S/.25000 el tercero, S/.35000 el cuarto mes y así sucesivamente. ¿En cuántos meses la deuda quedará cancelada?

b) 11/20 e) 1/4

11. En una P.A. de razón –4 el productos de sus 4 primeros términos es 144. Hallar el producto de los términos extremos de dicha progresión.

e) 1

5. La suma de los "n" términos en una progresión aritmética es: sn=3n2–8. Hallar "a30" a) 400 d) 415

e) 11

"b" tér min os

a) 13/20 d) 7/20

b) y=2x e) x=4

d) 9

17 ................. b ' a ................. 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3

4. Calcular "z" en la siguiente progresión aritmética: 4z–4,5,3z a) 5

c) 7

10. Dada la P.A.

3. Sean los términos consecutivos: (x+2y) , (2x+3y) , (4x+8y) de una progresión aritmética. ¿Cuál es la relación entre x e y? a) x=3y d) x=–4y

b) 5

b) 2 y 35 e) 2 y 100

c) 1/2 y 35

15. Si se aumenta una misma cantidad a los números 20, 50 y 100 se forma una progresión geométrica cuya razón es: a) 1/2

b) 1/3

c) 2

d) 4/3

e) 5/3

16. ¿Cuál es la razón de una P.G. de 12 términos siendo el primero 1 y el último 2048? a) 1

84

b) 2

c) 4

d) 8

e) 16

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Álgebra 17. Los lados de un triángulo rectángulo forman una P.G. Hallar el seno del menor de sus ángulos agudos. a) 1 2 5 − 2 2

b) 1 2

c) 1 5 −1 2 e) 1 ^ 2 − 1h 2

d) 1 ^ 5 − 1h 2

5 +1

b) 89

c) 79

d) 77

1 1 1 c1, , , , ...m 2 4 8 La suma de sus correspondientes áreas es igual a:

18. Dadas las sucesiones: 2, 4, 8, 16, 32,... y –22, –21, –20, –19,... Halle "n" de tal manera que la suma de los n primeros términos de la segunda sucesión sea igual a la suma de los 9 primeros términos de la primera sucesión. a) 59

19. Si los radios de una sucesión de círculos son:

e) 73

a) 3 πm2 4

b) 2πm2

c) 4 πm2 3

d) 1,3πm2

e) 2,4πm2

20. Calcular la suma límite: 2 3 S = 1 + 3 ` 1 j + 5 ` 1 j + 7 ` 1 j + ... 2 2 2

a) 2

b) 4

d) 6 1 2

e) 6

c) 5

Tarea Domiciliaria 1. Hallar el término "a20" de una progresión aritmética en la que: a1=5 ; a2=9 a) 80

b) 81

c) 82

d) 90

e) 91

2. Hallar el término "a50" de una progresión aritmética en la que: a1=10, r=7 a) 351 d) 353

b) 343 e) 350

c) 200

3. La suma de "n" términos de una progresión aritmética es: sn=2n2+6n. Hallar a10–48 a) –10

b) –8

c) –7

d) –4

e) –2

4. En una progresión aritmética, el quinto y el noveno término suman 50. Halle el séptimo término. a) 20

b) 25

c) 30

d) 35

e) 40

5. Las edades de Luis, Juan y Martín están en progresión aritmética creciente, cuya suma es 63, si la suma de sus cuadrados es 1341; la edad del mayor es: a) 24

b) 35

c) 21

d) 26

e) 27

6. Hallar la razón "r" para interpolar 20 medios aritméticos entre 25 y 109 a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

b)

3

c)

3

3

d)

4

3

e)

5

3

8. Calcular la suma de los 24 primeros términos de la sucesión: 5,9,6,10,7,11,8,12,9,... a) 280 d) 240

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b) 200 e) 300

a) 1

b) 2

c) 220

a)

3

2

d) 4

e) 5

b)

3

4

c)

3

d)

6

e)

3

3

11. Si: (x) ; (x+2y) ; (2x+y) forman una P.A. los números (y+1)2; (xy+5) ; (x+1)2 forman un P.G. Calcular los valores de "x" e "y" respectivamente. (x, y ∈ ) a) 2,4

b) 3,2

c) 2,1

d) 5,2

e) 3,1

12. En un P.A. creciente de 5 términos la suma de los tres centrales es 33 y el producto de los extremos es 57. Hallar la razón. a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

13. Las cifras de un número entero positivo que tiene tres dígitos están en P.A. y suman 21. Si los dígitos se invierten, el nuevo número 396 unidades mayor que el número original, hallar el original. b) 579 e) 957

c) 759

14. Dividir 45 en cuatro partes que están en P.G., tales que el producto de la primera por la tercera es al producto de la segunda por la cuarta como 1 es a 4. Hallar el primer término por la razón. a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

15. Calcular la suma ilimitada: 2 4 6 8 S = 8 2 B + 2 8 2 B + 3 8 2 B + 4 8 2 B + ... 3 3 3 3

a) 36/25 d) 4 85

c) 3

10. En una progresión geométrica de 6 términos, la suma de los 3 primeros es la mitad de la suma de los restantes. Calcular la razón común.

a) 597 d) 795

e) 7

7. En una progresión geométrica los términos de lugares 5 y 8 son 2x y 6x respectivamente. Hallar la razón de la progresión. a) 3

9. Dividir 20 en cuatro partes que están en P.A. tales que el producto de la primera por la cuarta sea al producto de la segunda por la tercera como 2 es a 3. Hallar la razón.

b) 25/36 e) 20

c) 1/4


Capítulo 28

28

Binomio de Newton

Ejercicios resueltos 1. Hallar el valor de x sabiendo que x!=110(x − 2)!.

Resolución Aplicando la propiedad: n!=n . (n − 1)! 2 veces seguidas al primer miembro: x . (x − 1) . (x - 2) !=110 (x - 2) !; x>2; x ∈ z x . (x − 1)=11.10 ∴ x=11 2. En el desarrollo de (1+3x2)19, calcule el coeficiente de x6.

Resolución Para encontrar el coeficiente que acompaña a x6 primero debemos conocer cuales son los coeficientes del Binomio de Newton. n n n n n n n-1 n-1 â + bhn = Co .a + ^ C1 h a b + ... + ^ Cn - 1 h ab + C n .b

Usando el coeficiente que necesitamos para obtener x6, obtenemos:

19 3 6 2 ^C19 3 h^3x h = ^C3 h 3 x 3

19! 3 3 x6 3!^19 - 3h ! 3 6 = 19! 3 x 3!16! 3 6 = 19.18.17.16! 3 x 6.16! 4 6 6 = 19.17.3 x = 26163x =

Por lo tanto el coeficiente que acompaña a x6 es 26163.

3. Si los coeficientes del primer y último término del desarrollo de P(x;y)=^3a2 x3 + ay7h coeficiente del término de lugar 18.

20

son iguales. Hallar el

Resolución Veamos los términos:

3 17 20 " t18 = C17 ^3a2 x3h ây7h

20 20 t1 = C0 ^3a2 x3h

t21 =

20 " Coef. t18 = C17 33 .a6 .a17, donde a = 1 3 20 3 - 23 # 19 # 18 20 " Coef.t18 = C3 3 .3 = 6

20 20 C20 ây7h

Por dato: 320a40=a20 "a= 1 3

#3

- 20

` Coef.t18 = 380 # 3 - 19

86

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Álgebra

Problemas para la clase

a) 1

b) 2

2. Hallar "n" si: a) 1

13. Indicar el término independiente en la expansión de

90 . 30 89 .^ 31 − 30 h

1. Calcular: M =

c) 3

^1 + n h n

6+ n

b) 2

22

d) 4

7 1 cx + 3 m x

e) 5

a) 21 = 20 c) 3

d) 4

e) 5

a) 56

â − 5h !â − 6h ! = 720â2 − 12a + 35h â − 5h ! − â − 6h !

b) 14

c) 16

d) 18

e) 20

b) 18

c) 24

d) 8

e) 36

d) 23

e) 20

5. Hallar "x", si: C3x − 8 = 220 a) 17

b) 18

6. Hallar "x", si: a) 12

C6x

Cn4 + 2

d) 9

e) 14

=7 5

b) 2

c) 3

d) 2

c) 58

d) 59

e) 60

b) 16

c) 17

d) 20

e) 28

n

xy6 yx6 + 5 o x5 y Sabiendo que dos términos consecutivos de dicho desarrollo son independientes de "x" e "y" respectivamente. b) 8

c) 7

d) 6

e) 5

c) 3

a) –30x3y2

b) –32x2y3

d) 32x2y8

e) –28x2y3

d) 4

e) 5

c) 28xy3

e) 5436x5y35

c) 3635x6y36

8

11. Señale el término central de la expansión de: ` x2 − 1 j x b) –70x4 e) 70

b) 361

d) 371

e) 381

a) 6

104

d) 5356x6y34

a) 360

c) 370

18. Calcular el número de términos fraccionarios del 56 desarrollo de: c x + 3 1 m x

desarrollo de: ^ x3 − 3 y h

b) 5365x5y35

27n + 1

/ Q (x) = ^5x 4 − 2x2h

n2 − 1

10. Hallar el término que ocupa el lugar 103 en el a) 5536x6y64

9n + 11

P (x) = ^8x12 − 5x3h

desarrollo de: R^ x h = ^7x3 + 2000h

e) 1

9. Hallar el cuarto término del desarrollo de: (x2–2y)4.

a) 70x4 d) –70

b) 57

Si ambos polinomios admiten la misma suma de coeficientes. Calcular el número de términos del

16 8. Hallar "n", si: 40C18 n = 51Cn

a) 1

e) 20

17. Dados los polinomios: c) 10

C2n + Cn3 + 1

b) 4

d) 22

16. Calcular el valor de "n" en: e

a) 9

=2 3

b) 16

7. Hallar "n", si: a) 5

C5x

c) 21

c) 19

15. Si el grado absoluto del séptimo término del desarrollo de P(x;y;z)=(x2y+z)n es 30. Hallar el grado del término central. a) 14

4. Resolver: 3.6.9. ...(3n–3)(3n)=9n–12n! a) 12

b) 23

14. Calcular el número de términos irracionales del 60 desarrollo de: c 5 x + 4 1 m x

3. Hallar "a", si:

a) 12

; x!0

c) 70x2

b) 4

c) 8

d) 7

e) 23

19. Si el desarrollo del trinomio: P(x,y,z)=(x2+xy+z2)5 Posee un término de la forma: pxq(yz)2. Indicar el valor de "p+q" a) 18

b) 26

c) 30

d) 36

e) 42

20. Reducir: K = Cn0 + 5C1n + 52 Cn2 + 53 Cn3 + ... + 5n Cnn a) 5n–1

b) 6n+1

d) 6n

e) 5n

c) 5n+1

12. Halle el lugar del término que contiene como parte 22 literal a x29 en la expansión de: `2x2 + 3 j ; x ! 0 x a) 5

b) 6

Central 6198-100

c) 8

d) 7

e) 4 87


Capítulo 28

Tarea Domiciliaria 11. El término vigésimo cuarto y el término vigésimo cuarto, contado a partir del final, en la expansión de:

1. Calcular: A = 12 ! + 13 ! + 14 ! 13 ! + 12 ! a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

N(x;y)=(x3+y2)n tienen igual grado absoluto.

e) 16

¿Cuántos términos tiene dicha expansión?

0 2. Hallar: M = ` 6! + 5! j 5! + 4!

a) 1

a) 45 c) 35 3

b) 2

d) 35 6

e) 1 8

3. Reducir: A = Cn3 + 4Cn3 + 1 + Cn3 + 2 a) n

b) n2

d) 2n

e) 3n2

4. Resolver: a) 9

c) 12

b) 4

c) 6

a) 7

d) 10

c) 4

b) 14

c) 35

d) 42

e) 56

a) 4

e) 11

b) 6

c) 3

d) 7

e) 5

14. Calcular "n+k" si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x+2)n es 80xk. d) 8

Cn0 + 4 + C1n + 4 + Cn2 + 4 + Cn3 + 4 + ...Cnn ++ 44 b) 52

e) 41

13. En el desarrollo de (5x17–y15)n, la suma de exponentes es "n" veces la suma de coeficientes. Hallar "n"

e) 10

6. Calcular "n", en:

a) 6

d) 36

12. La suma de los coeficientes de los términos 1°,2° y 3° n del desarrollo de: c 3 x + 4 1 m es 29. x

c) n3

5. Hallar "a", si: 5Ca5 = aCa3 − 1 a) 2

c) 39

Obtener el término independiente del desarrollo. Considere n∈+

(x + 5) ! (x + 11) ! = 20! (x + 6) + 5 (x + 5) ! b) 8

b) 47

b) 10

c) 7

d) 5

e) 8

15. Calcular "n" en la expansión de (y+1)36 si los términos de lugar (n–4) y n2 tienen coeficientes iguales.

= 1024

d) 3

a) 6

a) 6

e) 8

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

7. Hallar el cuarto término de: (x2+2y)4 a) –30x3y2

b) 28xy3

d) –28x2y3

e) 32x2y3

c) 32xy2

6 8. Calcular el cuarto término de: ` x − 4 j . 4 x

a) 10

b) –10

d) –20

e) 30

c) 20

9. Halle el término independiente que genera:

e

9

x2 + 3 o 3 x4

a) 56

b) 79

d) 126

e) 154

c) 84

10. Determine el número de términos irracionales en el desarrollo de: 48

Q (x) = ^ 4 x + 3 x h a) 26

b) 32

c) 34

d) 42

e) 44

88

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Álgebra

29

Radicación Problemas para la clase

1. Efectuar: R=

9. Determine el valor del denominador después de 1 racionalizar: 5 6 − 12 a) 6 b) 10 c) 15 d) 16 e) 20

3 + 2 2 − 17 − 2 72 − 19 + 2 18

a) –3

b) –1

c) 1

d) 3

e) 4

2. Transformar a radicales simples: S=

7 + 61 + 4 15

a)

5+ 3

b)

5+ 2

d)

6+ 2

e)

6+ 3

3. Efectuar: a)

2n

2n

5+2 6 .

2

d) 1 4

4. Simplificar: a) 1

n n

2

e)

n

2+ 3

17 + 12 2 −

b) 2

c)

3+ 2

d) 4

2x + 1 + 2 x2 + x − 12 x+3

b)

x−4

d)

x+2

e)

x+4

c)

x+6

c) 6

d) 9

e) 18

7. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada una de las proposiciones: I.

6

II. III. IV.

25 + 6 = 6 216 + 3 5

b)

6 /2

e)

3 /2

1 2 + 2+ 3 c) 1/2

1 + 2 1 + ... + 2 1 + 2 3 + 2 2 a)

2

b)

d)

6

e) – 3

c)

3

5

a)

x2 − x + 1

d)

x−1

b) x2 + x − 2 e) c o d

c)

x2 − x + 2

14. Si: a + b + c = 13 + 84 + 56 + 24 ; a > b > c > 0. Calcule el valor de "abc" a) 84

b) 28 4

c) 42

d) 63

e) 70

15. Si: M =

4 + 6+ 2

16. Al resolver: 3x − 2 − 2 2x2 − x − 3 = 2x − 3 se obtiene como elemento del conjunto solución la p fracción irreductible . Determine el valor de 2p–3q. q

5 = 7− 2

a) 1

7+ 6

b) FFFV e) VVVV

c) VVFV

1 − 1 − 7+ 5 2 2

2 + 2 4 3+ 7

a) 4

8. Calcular:

a)

1 − 2 − 2− 3

2 − x − 2 1 − x = 1 − x − 1; 1 < x < 1 2 12 − 2 32 = x − y & xy = 16

a) VFFV d) FFFF

M=

e) 1 − 3

x 2 + 1 − 2 x 3 − 2x 2 + 3x − 2

1 8 + 18 + 32 e indicar el dominador racionalizado. b) 3

3 −1

c) 1 − 2

13. Hallar uno de los radicales simples de la expresión:

6. Racionalizar: R = a) 2

d)

2 −1

12. Indicar uno de los radicales simples de la expresión:

e) 5

5. Transformar a radicales simples e indicar uno de ellos:

a)

b)

a) 6 /3 d) –1/3

17 − 12 2

c) 3

2 +1

es equivalente a:

c) 2

4

a)

11. La expresión: E =

3− 2 n∈;n>0

b)

5−2 6 6 −2+ 3 − 2

10. Simplificar: E =

1 + 3+ 5 3

b)

Central 6198-100

5

c)

7

d) 1

28 + 16 3 + 8 − 60 . Hallar "M − 5 " b) 22

b) 5

c) 5

c) 7

d) 3

d) 9

e) 6

e) 11 4

17. Halle el valor reducido de: ^ 2 + 3 + 2 − 3 + 6 h a) 125 d) 80

e) 0

89

b) 100 e) 576

c) 96


Capítulo 29 6 + 12 3− 3 b) 2 − 3

20. Racionalizar:

18. Halle el equivalente de: a)

3 −1

d) 2 + 3

c) 1 + 3

a) 1 + 3 12

b) 2 + 3 12

d) 3 + 3 18

e) 3 + 3 12

1 x + y y + 3 x2 y2 3

e indique su denominador racionalizado.

e) 2 3

19. Al racionalizar la expresión: M =

x

3

10 2 − 3 12 + 3 18

a) x2–y

b) x+y

c) x–y2

d) x2–y2

e) (x2+y)2

c) 3 + 3 15

Tarea domiciliaria 1. Efectuar: P = a) 1 d)

3+ 2

2. Efectuar:

1 9. Reducir la expresión: 1 + 1 + x ' 1+x+ x x x −1

7 + 2 6 − 8 − 2 12 b)

2 +1

e)

3− 2

c)

2 −1

3 + 8 + 7 − 40 − 5

a) 0

b) 1

d) 2 + 5

e) 3 + 2

c)

2+ 5

d)

c) 2

; indicar su denominador.

a) a–b d) a2+b2

a) 0

c) a2–b2

b) a+b e) ab

6 + 2n 10 + 2 8 − 2 7 =

5. Calcular "n" si: b) 1

c) 2

a) 42

d) 3

7. Efectuar: E = a) 1

c) 47

8. Simplificar: R = 3

c) 3 81 − 3 3

m+2 n

d) 49

a) 3

b)

d) 2 3

e) 3 3

2

x + 1 + 2x + 1

2x + 1 + 1

b)

2x + 1 − 1

c)

2x + 1 + 1 2

d)

2x + 1 − 1 2

a)

x+2

b)

x−2

d)

x−1

e)

x−3

a) 60

17 + 12 2 + 7 = 3+ 8

1−x

a + 2 128

b) 64

c) 66

d) 62

e) 68

14. Luego de racionalizar la expresión: 17

2^ 3 7 + 3 2 h

e) 5

a) 9

8 −3 3 9 2 c)

c)

se verifica, si "a" toma el valor de:

e) 51

d) 4

1 +3 72

e) 15

2x + 2 x2 − 1 ; x > 1 e indique uno de ellos.

e) 4

8 + 60 − 5 + 24 + 7 + 40 7 − 40 + 8 − 60 + 5 + 24

b) 2

d) 14

a)

13. La igualdad:

5 + 2 6 + 7 − 2 10 =

b) 45

c) 5

12. Transformar a radicales simples la expresión:

7 +1

6. Calcular (m+n) si se cumple: 10 − 2 21 +

b) 2

e) 1 − 2x + 1 2

4. Luego de racionalizar la expresión: 1

e) x–2

10. Proporcionar el denominador racional de la expresión: 1 10 + 14 + 15 + 21

e) 2 3

â + bh − 2ab

d) 2+x

c) x

11. Halle el equivalente de la expresión:

b) 1 3

b) x–1

a) 1

3. Efectuar: P = 2 + 3 + 2 − 3 3 +1 3 −1 a) 0

a) 1+x

; indique el denominador.

b) 18

c) 14

d) 49

15. Halle el denominador racionalizado de: 3 a) 4

90

b) 30

c) 7

e) 21

4 3 (3 10 − 3 3 )

d) 21

e) 27

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Álgebra

30

Cantidades imaginarias

Problemas resueltos 1. Calcular el valor de: E =

( 1 + i) 9 1 + i9

Resolución

Como i9 = i E=

( 1 + i) 9 = ( 1 + i) 8 1+i

Pero: (1+i)8 = [(1+i)2]4 = (2i)4 = 16i4 = 16 Finalmente: E = 16 −5 − 15 i − 49 − i − 18 + i − 400 + 2i − 14 2. Calcular: E = i −−i6 + − 50 i −i − i − 23 + i − 35 + i − 441

Resolución Transformar las potencias: 0

6 4444 7 4444 8 1 − 1 + 1 − 1 +1+ 2 i i3 i (− 1) 1 (− 1) E= 1 − 1 − 1+1 +1 (− 1) (− 1) i3 i3 i 1 44 4 2 44 43 S 0

0

3 E= i =3 1 i 3. Hallar "a" y "b" si se verifica la siguiente igualdad:

ai = 3a + 4i ; a, b ! R 1 + bi a + 3b

Resolución Efectuando en aspa:

Igualamos partes reales e imaginarias:

)

ai (a + 3b) = (1 + bi) (3a + 4i) (a2 + 3ab)i = 3a + 4i + 3 abi + 4bi2 (a2 + 3ab)i = 3a + 4i + 3 abi + 4b(–1)

Resolviendo: De (2): a2 = 4

Ordenando: 0 + (a2 + 3ab)i = (3a - 4b) + (4+3ab)i

Central 6198-100

3a − 4b = 0 ................ (1) a2 + 3ab = 4 + 3ab .... (2) ∴ a = ±2

En (1): 3 (±2) = 4b

91

` b =! 3 2


Capítulo 30

Problemas para la clase 1. Si: Re(Z)+2Im(Z)=3 Im(Z)–Re(Z)=6 * Calcule Z − Z 6 a) 1 + i d) –1 - i

a) 1

b) 2 + i e) 1 – i

c) –1 + i

Z2 .Z Z3 1

a) 9 –9i d) 2i 3. Si: Z =

1−i

4. Si:

c) 1 – i

b) –2i e) –i

b) 4

d)

e) 5

5

b) 25

6. Simplifique: E = a) 16i d) –32

c) 28

a) 63 d) –75

b) 37 e) –35

4

^1 − ih10

c) 7i

b) − 1 i 2 e) 1 i 2

5 + 3i m + 4 − mi

c) i

b 2b 14. Si: a a + a 2a i es un número real no nulo, además: a ≠ b +b i 2 y a ≠ 4. Calcule ab.b1-a

c) 2

a) 2 d) a1/4

d) 38

c) –77

3

b) 5i e) 12i

d) –i

e) 40

b) b e) a2

c) aa

15. Sean: Z + W = 3 + 4i 2 2 Calcule Re c Z − 1 m + Re c W − 1 m Z−1 W+1

c) –32i

7. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. (1+i)2=2i II. 1 + i = i 1−i

a) –1

b) 3

c) 2

2 3 3 2 ì − i j . ì − i j 16. Simplifique: Z = 2 3 3 ì + i j . ì + i j a) 27i b) –27i d) –54 e) –1

d) 4

e) 5

c) 54i

17. Determine "Mi" siendo: M = 1 + i + 2 + 2i + 3 + 3i + ... + n + ni 1 − i + 2 − 2i + 3 − 3i + ...n − ni a) –n b) –2 c) –1/n d) –n(n+1) e) –1

III. 1 − i = − i 1+i IV. (1–i)2=–2i V. i3=–i a) VVFFV d) VVVVF

b) VFVFV e) VVVVV

c) VVVFF

a) 3 d) 99/20

b) 5 e) 5/13

c) 1/11

^1 − ih6

c) i/3

b) –1

c) 0

d) 2

e) 1

19. Si: Z, W ∈ C; tal que |Z|=|W| y Re(Z)–Re(W)=1 Calcule |1+Z|2–|1+W|2 a) –1

b) 2

c) 0

d) –2

e) –1

20. Si la suma de un complejo con su módulo es 2–3i; entonces la parte real de dicho complejo es:

^1 + ih3 − ^1 + ih2

b) i/2

18. Si: |Z+W|=|Z–W|, ∀ Z;W ∈ C; entonces el valor de Re(Z . W) es: a) –2

8. Dada la igualdad: (1+2i)x+(3–5i)y=1–3i. Determine "x+y"

a) i

^ Z + Wh4 + ^ Z − Wh8

a) 2i

^1 + ih20

b) 32i e) 32

9. Calcule: E =

Calcule

a) 10i d) 9i

c) 0

5. Si: (2+i)2+(3+i)2+(4+i)2=2a–3bi entonces, el valor de "|a–b|" es: a) 19

e) 4

12. Siendo: E = 2i2 + 3i9 + i203 . Calcule E2+i

2 2 3 + 4i = x + yi . Calcules x +y

a) –25

d) 2

13. Halle el imaginario puro siguiente: Z =

y W = 1 + i , halle "Z+W"

a) 2i d) i

c) –1

3

b) 9 + 9i e) –1 + i

^1 + ih2

b) 3

11. Si: Z=2+i y W=1+2i

2. Sean: ZI=4–5i, Z2=1–i, Z3=1+i Calcule E = Z1 −

2i + 5 i − 1 Indique: Re(E)+Im(E)

10. Calcule: E =

d) i/4

a) –2/3 d) –3/4

e) i/5 92

b) –2/5 e) –5/4

c) –3/5

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Álgebra

Tarea domiciliaria 9. Sea: Z=2i2+3i5+4i8+5i11. Calcule Z+Z

108 109 110 111 112 1. Calcule: E = i + i4 +8 i 12+ i 16 + i i +i +i +i

a) 1/2

b) 0

d) 1/4

e) –1/4

a) 4

c) –1/2

a) 27

4 Calcule ^Z − Wh + ` Z j W

c) –1

b) –1

c) 2

d) 0

e) –2

b) 6 + 9i 25

d) 9 − 12i 25

e) 2 − i 5

d) –2

e) 4

b) 1 2

c) − 1 2

c) − 6 + 12i 25

c) 6

a) 2

b) 7

d) 5

e) 3

c) 4

d) 3 2

1 + i −2i

a) 1/2

b) 2–2

d) 2–4

e) 25

c) 22

a) –9+3i

b) –18+2i

d) –2+18i

e) 18–2i

c) 2–9i

14. Si: Z y W son complejos opuestos, halle "b", siendo:

e) 5 2

Z=2b+ai+(b–2)i2+(a–3)i3 y W=–1+3i+(1–a)i2+(b+1)i3 a) 5

es un número imaginario puro, el valor de "m" es: b) –5

e) 26

determine el complejo opuesto de Z1=3a+2bi

−1 6. Si: Z = ` 9 − mi j + i , 4 9 −i m

a) 7

d) 31

13. Si: Z = a − 3bi = − 3 , 2b − i

5. Si: 12 + 8i + 8 + 7i = a + bi . Hallar "a" 6 − 4i 16 + 14i a) − 3 2

c) 25

1−i

Z1* + Z2 Z3

a) 12 + 9i 25

b) 19

− 12. Calcule: Z = =` 1 − i − 1 + i j1 + i 1 − i G 1+i 1−i

4. Si: Z1=1–i, Z2=1–2i, Z3=3–4i Calcule Z =

e) 8

11. Si: 5+12i=(x+yi)2, halle E=2x–y

3. Calcular: E = 1 + i + 1 − i + 8 4 1 − i 1 + i ^1 + ih a) 1

d) 5

W2–Z=0. Calcule "a+b"

2

b) 2

c) 7

10. Sea: Z=a+bi y W=4+3i, tal que:

2. Si: Z = 1 + i y W = 1 – i

a) –3

b) 6

d) 5

e) –7

7. Calcule (x–1)(y+1), si:

b) –2

c) –1

d) 1

e) 2

15. La diferencia de dos números complejos es 3–11i y la parte real del primero es 7. Si el cociente del primero entre el segundo es un imaginario puro. ¿Cuál es el segundo número complejo?

1 + 1 = x + yi 3 + 7i 7 − 3i 29 a) –16

b) –25

d) 25

e) –4

c) 16

a) –4 + 8i

b) 7 – 4i

d) 4 + 4i

e) 4 – 7i

c) 4 + 8i

8. Sean:

Z=2 + 2i W=2 – 2i

Hallar Re `

Z + Re ` W j Z+W Z+Wj

a) 2

b) 3

Central 6198-100

c) –2

d) 1

e) –2

93


Capítulo 31

31

Repaso

1. Si: x1, x2, ... xn son "n" números reales positivos, y la media aritmética de sus logaritmos en base 10 es 2. ¿Cuál

Halle el valor de: a . c b a) 1 b) 4

es el valor de la media geométrica de 2x1, 2x2, ...2xn? a) 200 d) 50

b) 400 e) 600

2. Los números positivos x e y, satisfacen el sistema: 2 Log3 x + 2 Log3 y = 0 . Halle: x+y. ) Log2 x − Log2 y = 2 a) 9/4

b) 3/4

d) 1

e) 4/5 3

b) 5/6

d) 4/3

e) 17/6

d) 2b − a 4

e) 6b − 11a 4

4x

c) 13/6

4. Sean: b>1, sen x>0, cosx>0 y Logb(senx)=a Hallar: logb(cos x) a

a) 1 log b (1 + b2a) 2

2 b) 2 log b (1 − b )

c) 1 log b (b2a − 1) 2

d) 2 log b (1 − b2a)

c) 3b − 11a 4

2x

a) 2a

b) ab

d) Log3a

e) Logab

entonces halle el valor de x2o − 4 xo a) 8 d) 48

n 5. Si: A = c 1b m ; B=ax; donde a>0, x≠0. Calcular el a valor de x LogB(A).

a) n–b

b) nb

d) –nb

e) n–b+x

6. Las soluciones de la ecuación: a con a>1, b>1, son: Ln (ab) Ln (a)

Ln (ab) Ln (a)

entonces el valor de: r2+s2, es: a) 450 b) 600

b) 1 !

d) 750 =b Ln (ab) Ln (a)

d) − 1 ! Ln (b)

Ln (ab) Ln (a)

7. Si a, b, c ∈ <1;+∞> y se cumple: Log2(ab2) + Log3c3=10

b) 16 e) 56

c) 32

11. Si: A = " r; s, es el conjunto solución de la ecuación: log5 125 7 log5 x + = 2 log5 x

c) nb–x x2 + 2x

c) Loga2

10. Si " xo, es el conjunto solución de la ecuación: Log(3 + x) 4 Log(x + 3) 22 − =1 log(x − 6) 4

e) 1 log b (1 − b2a) 2

e) 2 !

b) b − a 4

eLn a − 4eLn a + 4 = aLn b − bLn a y determine el valor de 2x.

a) 7/3

c) !

a) 3b − a 4

9. Resolver la ecuación

aE b

a) − 1 !

e) 12

8. Si: Log 5 a= , Log c 2401 m b = 125 Calcule en términos de a y b el Log 8 343 B. 3125

c) 5/2

3. Si: Logaba=4; a>1, b>1. Calcular: Logab ;

d) 8

c) 100

c) 6

c) 625

e) 900

12. Al resolver el sistema: Log3 (Log2 y) = 1 + Log3 (Log2 x) .... (1) ) (x + y) 2 − (x − y) 2 = 324 .................... (2) Calcule el valor de: T = x 1 + x y y a) 1/6 b) 2/3 c) 3/2 d) 10/3

e) 6

13. Si: Log 2 = 0,301 y S es el conjunto solución de la ecuación: 16x =100 (4x−1−1), entonces halle la suma de los elementos del conjunto S.

2

Log3 ( a ) = 4 Log3 2 b Log2b2 − Log3c = 3 94

a) 1,301

b) 1,161

d) 2,301

e) 2,161

c) 3,322

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Álgebra 14. Si: Log 2 = a y Log 3 = b, halle el conjunto solución de la ecuación: 2 (9 x) + 15 (4 x) = 13 (6 x) ; x ! 1 a) 1 − a b) 1 − a c) 1 + a a+b a+b b−a 1 a a 1 + − d) e) b−a b−1 15. Sea "M" el conjunto determinado por:

A = $ x ! R / Log (2x − 1) 3 + Log (x − 2) 7

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4 2

b) f

d) <−∞;0>

e) <1; 2] ∪ <3; +∞>

3

c) <0;+∞>

1 + Log 1 x

=1

3

16. En la ecuación logarítmica: Log(328)=Log(3)+Log(32)+Log(33)+ ... + Log(3m) Determine el valor de m. a) 7 b) 8 c) 9 e) 15

Hallar la suma de sus soluciones. a) 1/9

b) 16/9

d) 29/9

e) 31/9

2

Log x (x x) + Log x2 (x x ) = 4 Halle el valor de: x2o + xo + 1 e) 13

c) 7

c) 28/9

20. Hallar el complemento del conjunto solución de la ecuación: Log(x + 1) (x2 – 4) = 2 (

17. Si: {xo} es el conjunto solución de la ecuación:

d) 9

c) 2

− 1 + Log 1 x

a) R

b) 5

= 3 − Log 8.

19. Al resolver la ecuación:

Halle el conjunto MC

a) 3

Log7 3

Halle n(A ∩ Z).

Log x (2x) M "= x!R /x 4, =

d) 12

18. Sea A un conjunto determinado por:

1 1 ) + 1 + Log2 3 1 + Log3 2

a) R

b) R–{3; 4}

c) R–{3}

d) f

e) R–{5}

Tarea domiciliaria 1. Resuelva:

4. Si: Log 4 = x; Log 9=y;

Log (x − 5) + Log (x + 2) =2 Log (x − 3) a) ' 19 1 5

b) $ 5 . 19

d) ' 18 1 5

e) "18,

el valor de la expresión: Log 1024 – 2 Log 36 81

c) ' 19 1 3

en términos de x e y es:

2. Sea a; b ∈ R+, reduzca: 2 2 + Log b a2 + 2 Loga b2 + 2 a) ab

b) a

d) 2

e) 1

d) −4

e) −12

Central 6198-100

d) 4x−3y

e) 7x+4y

c) 2x−5y

3 2 A = Log2 m − nm m−n

c) b

B = Log2 6(n − m) (m + n) + m2@; m > n > 0 A

B

Indique: 2 2 2 2

Calcule: Log2x8 b) 4

b) 3x−4y

5. Sea:

3. Si: Log 2 + Log 3 + 2 Log 2 = Log (5x+4)

a) 16

a) 5x−2y

c) 12

95

a) m

b) n

d) m+n

e) m−n

c) mn


Capítulo 31 6. Sea:

12. Si: Log22y=3; Log 4 c

A = Log27(m+n)2−Log27(m−n)2 B = Log27 m − n ; m > n > 0 m+n Indique: 33A+3B a) m + n m−n

b) m − n m+n

d) n m

e) mn+1

c) m n

d) m2−n2

e) m−n

5

Log b2 Log 5 + 7 7 = 3 b + Log

b) 5

d) 1; −5

e) −1

e) 8

a) Log52

b) Log254

d) Log465

e) Log25

c) Log2546

A = antilog3log3 (log69+log64) c) m2+n2

B = log4antilog4(log8128−log82) Indique: A2 + B2

9 33

a) 2

b) 4

d) 16

e) 32

c) 8

15. Calcule el antilogaritmo de: 1 6log (m2 − n2) 4 − log (m + n) 2 − Log (m − n) 2@ 2

Indique (b+2) a) −5

d) −4

c) −12

14. Sea:

8. Si: Log b 3

b) 4

e indique la suma de soluciones.

Halle (Log43+Log34)mn b) m2n2

a) 12

13. Resuelva: 54x − 52(x+1)+46=0,

7. Si: Log 27=3m; Log 64=3n.

a) m+n

x2 y5 m = 6 . Indique: x + y 16

c) 5; −1

con m>n

9. Si: Log3 3 − Log3 32 + Log3 33 − Log3 34 + ...... − Log3 32n = − 21

a) m2+n2

b) m2−n2

d) m−n

e) 1

c) m+n

Indique: (n−20) a) −1

b) 1

d) −21

e) 0

c) 21

10. Si: Log2 3 + Log2 4 + Log2 5 + ... + Log2 n + 1 = 5 2 3 4 n Indique: n + 1 2 a) 31

b) 32

d) 15

e) 63

c) 16

11. Si: 3Log3 (m + n) − 3Log3 (m + 2n) + 3Log3 (m + 3n) ... − 3Log3 (m + 10n) = − n2

Halle: 2n−1 a) 10

b) 11

d) 8

e) 7

c) 9

96

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Álgebra

Función Biyectiva, Inversa y Compuesta

32

Problemas para la clase 1. Indique cuántas de las siguientes gráficas corresponden a una función inyectiva. a)

3. ¿Cuántos de los siguientes diagramas de flecha representan una función suryectiva? a)

b)

b) 8 9 10 11

7 4

5 6 9

c) c)

d)

4 3 1

d) 16 8

a) 0

1 7 14 20

1 –2 –3 b) 1

c) 2

2 8 9 d) 3

e) 4

4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes funciones son univalentes?

e)

I. F1={(2,1)(3,4)(8,9)(7,5)} II. F2={(1,0)(5,–1)(2,3)(7,3)} III. F3={(6,7)(7,2)(2,8)(8,6)} IV. F4={(5,11)(2,–3)(–4,10)(6,11)} a) 1

b) 2

c) 3

2. Responde verdadero(V) corresponda:

d) 4 o

falso

a) Sólo I d) II y IV

e) 5 (F),

según

I. Dada la función F, donde: F:A B, se dice que F es sobreyectiva si el rango de F coincide con el conjunto de llegada. II. Una función F (F:A B), se dice que es biyectiva si y solo si, F es inyectiva y suryectiva a la vez. III. Cualquier función posee inversa. IV. Dada la composición de funciones: F.G: R R, entonces siempre se cumple que: F.G(x)=G(F(x)) a) VVVV

b) VFFF

d) VVFF

e) FFFF

Central 6198-100

c) FFVV

c) I y III

5. Determine la regla de correspondencia de F°G, si: F(x)=2x+3 ∧ G(x)=5x–1 Además: Dominio (F.G) ≠ φ a) 20x+19 d) 10x+5

b) 30x–19 e) 10x+1

c) 10x–1

6. Determine la regla de correspondencia de: (P.Q)(x) Q(x)=3x+6 P(x)=7x–6 a) 21x+36 d) 30x+20

b) 36x+21 e) 5x+6

c) 21x+30

7. Halle el valor de (a.b); sabiendo que la función es inyectiva. F={(20;3)(a+b;3)(10;–8)(a–b;–8)} a) 20 d) 50

97

b) Sólo II e) Todas

b) 150 e) 75

c) 200


Capítulo 32 8. Sean las funciones: T: R

R / T(x)=|x–800|

P: R

R / P(x)=x2–25

A: R

R /A(x)=2(x+100)

15. Sabiendo que la función: P:[s;n] [m;72] / P(x)=7+x2–8x es biyectiva. Calcule el valor de (m+n)3. a) 8 d) 64

Se puede afirmar que: II. P es inyectiva III. A es biyectiva b) FFF e) VFF

c) VVF

a) f(x)=x2–4x+10 c) p(x)=7x–2 e) t(x)=|x|+6

b) g(x)=2x2+5 d) h(x)=9

10. Al graficas: P(x)=5+x2–4x, indique el valor de verdad de: I. P es inyectiva, si x∈[2,4] II. P es inyectiva; si x∈[0,4] III. P es biyectiva b) FVV e) VVF

c) FFF

d) 20

c) (gof)(x)=x2–6x+8; Dgof=[–3,–1/2]

e) 18

[13,28] sea biyectiva, siendo: F(x)=5x–2 b) 64 c) 81 e) 144

d) (gof)(x)=8x2–x+6; Dgof=[–3,–1/2] e) (gof)(x)=x2+8x+6; Dgof=[–3,–3/2] 19. Encuentre el dominio y la regla de correspondencia de la función inversa de: T(x)=2x–1 ; x∈ ]–1,5] (si existe) a) T*(x)= x − 1 ; Dom=<–3,9] 2

R / y=F(x)=2x–3 ; x∈<–4,1>

b) T*(x)= x + 2 ; Dom=<–9,3] 3

a) F (x)= 1 x+ 3 ; x∈<–11,–1> 2 2 *

c) T*(x)= x + 1 ; Dom=<–3,8] 3

b) F*(x)= 3 x+ 1 ; x∈<–11,–1> 2 2

d) T*(x)= x + 1 ; Dom=<–3,9] 2

c) F (x)=2x+ 2 ; x∈<–10,–1> 3 *

e) T*(x)= x + 1 ; Dom=<–9,3] 2

d) F*(x)= 1 x+ 1 ; x∈<–10,–2> 2 2

20. Si la función: M:S <1,10] es suryectiva, tal que: x 1 − M(x)= ; entonces el conjunto S es: 2

e) F*(x)= 1 x+ 3 ; x∈<–8,–1> 2 2 [a;b]

a) b) c) d) e)

2

b) 8

c) 7

e) –1

b) (gof)(x)=8x2–6x+1; Dgof=[1/2,–3]

13. Determine la inversa de F (si existe) con su dominio,

a) 9

d) –3

a) (gof)(x)=6x2–8x+1; Dgof=[1/2,–3]

12. Calcule (p+q) para que:

tal que: H(x)=x –6x–3 Si: H(x) es suryectiva. Calcule

c) 0

II. Dominio (gof)

c) 12

14. Sea la función: H:[–4;6>

b) –4

I. gof

2

F: R

d) f*(x)=1+ x + 2

18. Sean las funciones: f(x)=1–2x ; x∈ ]–2;3] g(x)=2x2–x ; –10 < x ≤ 2 Halle:

T: [–2;3] B / T(x)=x +4 Encuentre el valor de (m+n); si: B=[m;n]

F: [p;q] a) 25 d) 121

c) f*(x)=1+ x − 2

a) –2

2

b) 17

b) f*(x)=1– x + 2

17. Dadas las funciones: P(x)=2x–1 ; x∈<1,10> ∧ Q(x)=3x+1 ; x∈<–1,2> El dominio de (P.Q) es de la forma: . Encuentre: (a–b).

11. Dada la función suryectiva:

a) 21

a) f*(x)=1– x − 2

e) No existe la función inversa

9. ¿Cuál de las siguientes funciones es biyectiva?

a) VFF d) VVV

c) 216

16. Halle la función inversa de: y=f(x)=x2–2x+1 si; x∈[2,+∞>

I. T es suryectiva

a) VVV d) FFV

b) 729 e) 125

a+b d) 6

e) 5

98

<–∞,0] ∪ [4,9] <–∞,0> ∪ <5;+∞> <–∞,0] ∪ [4,+∞> <–∞,4> ∪ <8,+∞> <–∞,0> ∪ [4,+∞> www.trilce.edu.pe

Álgebra

Tarea domiciliaria 1. Indique cuántos de las siguientes gráficas son funciones univalentes. a)

x . 1 + x2

Determine H*(x) si existe.

b)

c)

6. Sea: H(x)=

a) No existe H*

^ 2 h b) H* = x + 1 x

c) H* = x^ x − 2h

2 d) 1 + x x

2 e) 1 − x x

d)

7. Sean las funciones:

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

P: R

R / P(x)=|x–30|

Q: R

R / G(x)=x2–81

R: R

R / R(x)=3(x+7)

Determine el valor de verdad de:

2. Señale el valor de verdad de:

I. P es suryectiva

I. T(x)=x3 es inyectiva

II. Q es inyectiva

II. P(x)=(x–1)2+4 es biyectiva

III. R es biyectiva

III. H(x)= x + 5 es inyectiva

a) VFV

b) FFV

d) FFF

e) FVF

a) FVF

b) FFF

d) VVF

e) VFV

3. Sea: P:[m,n]

c) VVV

8. Sean las funciones: f(x)=3x+2 ∧ g(x)= x + 3 2x + 1

[–1;3]

tal que: P(x)=(x–1)1/3. Si P es suryectiva

Calcule: gof

Calcule: nm

a) 3x + 5 6x + 5

a) 28

b) 1

d) 27

e) –28

4. Sea: T:[2,5]

c) VVV

c) 0

d)

[p;q] / T(x)=2–x+x2 es sobreyectiva.

q−p Determine: 2

x x−2

b) 3x − 5 6x − 5

c) 4x–6

e) x + 3 x−6

9. Sean f(x)=x2–1 ∧ g(x)=x+2 Calcular:

a) 18

b) 4

d) 9

e) –9

c) 22

I. (gof)(–2) II. (gof)(–1)

5. Si: M(x+1)=x+1

De como respuesta la suma de todos los resultados obtenidos.

N(x–1)=x2

a) 15

b) 13

Calcule T(MoN)(–1)–(NoM)(–1)

d) 10

e) 9

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

Central 6198-100

c) 12

c) 2

99


Capítulo 32 10. La gráfica de la función inversa de f(x)=–4x+3 es: a)

12. Halle la función inversa de: y=f(x)=2x3–5

b) a)

3

3

c)

d)

x+5 2

b)

2 x+5

e)

3

x+5 4

5

c)

3

x+5 2

3x x+8

13. Si: P(x)=x2+5 es suryectiva para un dominio [–2,1>.

d)

Halle el rango de P(x)

3

3

a) [6,9]

b) [0,9]

d) [5,9]

e) [–5,–1]

c) [0,5]

14. Dada la función biyectiva: e)

T: <–1,2>

/ T(x)=4x–9–x2

Halle: b–a+5

–3

11. Halle la función inversa de: y=f(x)= x + 3 x−2 a) 2x + 3 x−1 d)

x x−1

b)

x−1 2x + 3

a) 18

b) 19

d) 22

e) 28

c) 20

15. Si M es biyectiva, determine: mn donde: M:[m;3]

c) 2x − 1 x+3

e) 2x + 3 x

100

2 [–4;n] / M(x)= ) − x ,^ − 2 # x # 0h x ,^ 0 # x # 3 h

a) –8

b) –2

d) 1/9

e) 1/4

c) 3

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Álgebra

Función Exponencial y Función Logarítmica

33

Problemas para la clase 1. Dada la función real f definida por>

7. Indicar el valor de verdad de las siguientes preposiciones:

f(x)=a Log2x tal que f(4)=8, calcular f(f(a)) a) 16

b) 14

c) 8

d) 10

e) 12

2. Sea F una función definida en R , con regla F(x)=3.ax+2. Si (1,24) ∈ F y G es la función en R, 2 definida por G(x)=Loga(x +2xa–6a);

a) VVFF d) VFVF

hallar el complemento del dominio de "G". a) [–6,2> d) <–6,2]

b) <–6,2> e) <–4,2]

c) [–6,2]

3. Sea la función h: R R definida por: h(x)=a2x; a>1 Calcular "a!", si la gráfica de h es: y

b) 2 e) 120

b) –2

4

625 − 5

c) 6

2x

, domf=<–∞,a]

c) –3

d) –4

e) –5

5. Calcular el dominio de la función f cuya regla de x x correspondencia es: f (x) = 8 − 5 x 3+5 a) <–∞;0] d) [0;+∞>

b) <–∞;0>

c) <0;+∞>

e) 

b) 10

Central 6198-100

< 625

b) <2,3> e) <2,+∞>

c) <4,5>

c) 6

d) 3

b) Log320 e) Log324

a) 13/12 d) 8

c) Log321

e) 1

101

b) 15/13 e) 25

c) 41/12

11. El dominio de la función f: f (x) = Lοg^ x − 3h ^ x2 − 4h es: b) Df=+ d) Df=<–∞,–2>

a) Df=<3,+∞>–{4} c) Df=<2,+∞> e) +

12. Halle el menor valor real k tal que: 2

f (x) = 2 4x + x # k , 6x ! R a) 2–4

6. Hallar el dominio de "f(x)=Log4(x2–16)" e iniciar la suma de elementos enteros positivos del complemento de su dominio. a) 15

a) <0,1> d) <0,+∞>

2− 8

c) VFFF

10. Al resolver la inecuación: Log2/5(3x–2)>–2, se obtuvo como conjunto solución , halle el valor de "a+b".

Halle el valor de "Log1/a8" a) –1

8. Resolver: ^0, 04h5x − x

a) Log338 d) Log348

x

2

4. Dada la función: f (x) =

b) VVVF e) FFVV

9. Al resolver: 4(9x)–7(3x+1)+5<0 se obtiene como conjunto solución Determine "b–a"

81

a) 1 d) 24

I. Si f(x)=8x ∧ g(x)=10x tal que f(x)>g(x), entonces x∈<–∞,0> II. Si f(x)=Log0,125(e2x+ex–2) entonces el dom(f)=R III. Logx0 IV. Para la función f(x)=Logx(Logx+2), x>10 su rango es [Log3,+∞>

b) 22

c) 2

d) 24

e) 25

13. Determinar el rango de la función: f(x)=5–|x|–3, x∈ a) <–3,0> d) <–3,–2]

b) <–1,0> e) <–3,0]

c) <–1,0]


Capítulo 33 14. Dada la función definida por: f (x ) =

18. Sea la función f: [0,π/2]

x

2senx + 1

9 x ! [1, 3 > . 9 −1

f (x) = 4 ` 1 j 2

x

Determine el rango de "f". a) <0,2/9> d) [1/6,+∞>

b) <1,9/8] e) <0,9]

c) [1,+∞>

y

y=mx+b

y=ax x

–1

16. Sea f: R f (x ) = e

c) 3/2

d) 2

e) 2/3

+ Ln x − 1 + 2

a) <0,2> d) [0,2]–{1}

. Hallar el dominio de f.

b) <0,2]–{1} e) [0,2>–{1}

c) <0,∞>

17. En la función definida por: f (x) = 2 6x − x intersección de su dominio y su rango. a) [0,3] d) <1,3>

b) [0,5] e) [1,4]

2− 5

b) [1,2]

d) 8 1 , 1 B 2 4

e) <0,2]

c) ; 1 , 1 E 8 2

a) Log ` b − a j a

b) Log2 ` b − a j a

c) Log 4 ` b + a j a

d) Log2 ` a + b j a

e) Log ` t j s

R una función definida por 2−x x

a) 8 1 , 2B 2

19. En un juego de azar, por la primera acertada se paga "a" soles y por cada nueva acertada se paga el doble de lo que se le pagó por lo anterior. ¿Un jugador cuántas acertadas tuvo si al final de su juego recibió b soles?

2

b) 1/2

.

Hallar el rango de f.

15. De la siguiente gráfica mostrada, determine el valor de "E = a + b " m

a) 2/5

R definida por

20. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo "t" horas después esta dado por diez veces la potencia de 0,8 elevado a la "t". ¿Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se elimina cada hora?

, hallar la

a) 50 % d) 20 %

c) [1,5]

b) 40 % e) 10 %

c) 30 %

Tarea Domiciliaria 3. Sea la función f: R R definida por: f(x)=bx,b>1 Calcular "b2", si la gráfica de f es:

1. Dada la función real f definida por f(x)=blog3x tal que f(27)=9,

y

calcular f(f(f(f(b)))) a) 1

b) 3

c) 9

d) 27

e) 81

16

2. Sea G una función definida en R, con regla G (x) = Loga ^2 + 5x − 2ah y F función en R,

4

x

definida por F(x)=2.a . Si (4;162)∈F. Calcule el dominio "G". a) <–∞,2> d)

5, + 3 4

b) <3,+∞> e)

a) 1 c)

4, + 3 5

b) 2

4. Dada la función: f (x) =

− 3, 4 5

c) 3

x

d) 4

e) 5

9 − 3 x , Domf=<–∞,a]

Halle el valor de Loga128 a) 1

102

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

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Álgebra 5. Calcular el dominio de la función f cuya regla de x x correspondencia es: f (x) = 3x − 7 3 +5 a) <–∞,0>

b) <–∞,0]

d) <0,+∞>

e) 

c) [0,+∞>

f (x) =

3 x ; x ∈ [1,+∞> 3x − 1

Determine el rango de "f"

2

6. Hallar el dominio de f(x)=Log3(x –9) a) ∅

13. Dada la función definida por:

a) <0,1/3>

b) <1,+∞>

d) <1,3/2]

e) <0,3]

14. Del gráfico mostrado, halle el valor de "E=abm"

b) 

c) <–∞,–3>∪<3,+∞> d) <–∞,3>

c) [1/3,+∞>

y e) <–∞,–3> y=Logax

y=mx+b

7. Resolver: (0,2)|x|–2 ≥ 625 a)

b) <–∞,0>

d) {2}

e) ∅

1

c) {0}

x

3

8. Determine el conjunto solución de la inecuación: 2 1 x + 3x < 9 c m 3

a) –3

a) –{1,2}

b) –[–2,–1]

d) [0,1]

e) [1,0]

c) <–2,–1>

9. Resolver: Log2(4x–2x)<1 a) 0, 1 2 1 d) − , 1 2 2

b) <0,1> e)

c)

10. ¿Cuál es la función que presenta el número de algas verdes azules que hay en una población después de x horas, si se sabe que inicialmente existen 100 algas y que la población se cuadruplica cada hora? b) f(x)=100x

c) f(x)=4x

d) f(x)=4x

c) –1

d) 0

e) 1

15. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad α , en decibeles, que corresponde a la intensidad de sonido I es: α = 10Log c I m I0 donde I0 es un valor especial de I que corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre "α" si I es 1000 veces I0 (este es el nivel de intensidad de la voz)

1,1 2

− 1, 1 2

a) f(x)=100.4

b) –2

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

e) f(x)=100.4x 11. Halle el menor valor real de "k" tal que: 2

f (x) = 72x − x # k , 6x ! R a) 5

b) 6

d) 11/2

e) 7

c) 9/2

12. Determinar el rango de la función: f(x)=2–|x|+2–1 , ∀ x ∈  a) <–1,+∞> d) <0,3]

Central 6198-100

b) <–1,0] e) <1,+∞>

c) <–1,3]

103


Capítulo 34

34

Programación Lineal

Problemas para la clase 1. Al resolver el sistema: 2x − y > 1 x+y > 3 x<3 Indicar el valor de "x2+y2"; {x;y} ⊂  a) 4

b) 2

c) 5

d) 8

e) 1

2. Resolver en + el sistema lineal: Zx + y < 8 ] [y − x > 4 ]x + y = z + 5 \ E indicar el valor de "xyz" a) 1

b) 3

c) 6

b) 1/6

c) 3

a) –7

b) 1

d) 49

e) 343

d) 10

e) 12

d) 7

a) x > 5

b) y ≤ 2

d) x+y < 5

e) x+y ≥ 7

a)

b) y

c) –3

d) –2

b) <1 ; 5> e) <1 ; 5>

x

x c)

d)

y

x

e) –1 e)

5. Dado el sistema lineal: Z x + 2y < 7 ] [ x−y > 1 ] y>0 \ Obtener los valores de "x", sabiendo que "y" es entero. a) <2 ; 4> d) <3 ; 4>

y

e) 10

Indique la suma de componentes de las soluciones obtenidas. b) –4

c) y–x ≤ 3

8. Indicar la gráfica que representa el conjunto solución del sistema lineal: x+3y ≤ 12 2x–y ≥ –4 y≥0

4. Siendo x, y los valores enteros que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones: 3x + y > − 5 * y − 2x < 3 x<0

a) –5

c) 7

7. Graficar las siguientes desigualdades:

3. Siendo x, y, z,los valores enteros que satisfacen el sistema de inecuaciones: Z x + y + z > 18 ] ] x−y+z < 8 [ y
6. Dado el sistema de inecuaciones en  Z 2x − 5y > 30 ] [ mx + 3y < − 22 ] y >−8 \ Si (–2;n) es solución, obtener el mayor valor de mm (m ∈  ∧ m ≤ 2)

y

x

y

x

c) <2 ; 5>

104

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Álgebra 9. Obtener el área de la región determinada por el conjunto solución del siguiente sistema: x+y $ 2 * y#2 x#6 a) 12 u2 d) 16 u2

b) 18 u2 e) 20 u2

12. Maximizar la función F(x;y)=2000x+5000y, sabiendo que la región factible esta dada por el siguiente gráfico: y

c) 24 u2

II.

y

y

x III.

x IV.

y

y

x

a) I d) I y III

x

b) II e) Todas

(3;–3)

11. Determine la región factible generada por el conjunto de restricciones: Z 2x + 5y # 60 ] ] 2x + y # 30 [ x$0 ] ] y$0 \ a) b) y y

c)

x d)

y

a) 1500

b) 15000

d) 16000

e) 1700

b) 7 2

c) 6

d) 15

e) 20

14. Hallar el máximo valor de f(x;y)=30x+20y sujeta a: Z x+y # 7 ] ] 2x + y # 10 [ ] x$0 ] y$0 \ a) 130

b) 140

d) 160

e) 170

c) 150

15. Al minimizar la función F(x;y)=2x+3y, sujeta a las restricciones siguientes: Z x + 2y $ 8 ] ] 2x + y $ 7 [ ] 4x + 5y # 29 ] x $; y $ 0 \ Indique como respuesta la suma de los componentes del punto que verifica dicha condición.

y

a) 4 x

c) 1600

13. Calcular el máximo valor que asume F(x;y)=2x+y tal que: Zx − y $− 2 ] ] x+y # 3 [ ] x$0 ] y$0 \ a) 2

c) III

x

x

(0;–1)

10. Se muestran 4 regiones en el plano x–y; indique cuál o cuáles de ellas representan la región factible de un problema de programación lineal. I.

(5;1)

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

x

e) y

x

Central 6198-100

105


Capítulo 34 16. Para recorrer un determinado trayecto una compañía aérea desea operar a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T (turistas) y P (primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 dólares, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 dólares. El número de plazas tipo T no debe exceder de 4500 y el del tipo P debe se, como máximo la tercera parte de las del tipo T que se ofertan. Obtener la función objetivo y sus respectivas restricciones. (x: número de plazas del tipo T) (y: número de plazas del tipo P)

18. UNI - 2007-11 En relación al siguiente problema: maximizar Z=x1+1,5x2 Sujeto a: 2x1+2x2 ≤ 160 x1+2x2 ≤ 120 4x1+2x2 ≤ 280 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

a) F(x;y)=30x+40y Z ] x + y # 4500 ] x # 5000 [ x # y/3 ] ] x $ 0, y $ 0 \

Indique la secuencia correcta después de determinar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. No existe región admitible. II. El óptimo es el punto (60 ; 20)

b) F(x;y)=30x+40y Z x + y $ 4500 ] ] x $ 5000 [ x # y/3 ] ] x $ 0, y $ 0 \

III. Una solución admisible es el punto (40 ; 40)

e) 1000

e) VFF

M(3;8/5)

Q(10;3)

P 2 5

x

Entonces "5a+b" es: a) –2

17. Una editorial planea usar una sección de planta para producir dos líneas de textos. La utilidad unitaria es de S/.2 para la línea "A" y S/.3 para la línea "B". El texto "A" requiere 4 horas para su primera impresión y 6 horas para su encuadernación. El texto "B" requiere 5 horas para su impresión y 3 horas para su encuadernación. Si se dispone de 200 horas para imprimir y de 210 horas para encuadernar, determinar la máxima utilidad que se puede obtener.

d) 110

d) VVF

c) VFV

y

e) F(x;y)=40x+30y Z ] x + y # 5000 ]] x # 4500 [ x# x ] 3 ] x $ 0, y $ 0 \

b) 180

b) FFV

19. Si la función objetivo Z=ax+by tiene un valor óptimo de 39, siendo la solución óptima el segmento PQ ubicado en la región admisible mostrada:

c) F(x;y)=30x+40y Z ] x + y # 5000 ]] x # 4500 [ y# x ] 3 ] x $ 0, y $ 0 \ d) F(x;y)=30x+40y Z ] x + y # 5000 ] x $ 4500 [ x # x/3 ] ] x $ 0, y $ 0 \

a) S/.120

a) VVV

b) 3

c) 39 11

d) 0

e) 1

20. Si la solución de máx{ax+by} se encuentra en x=3 sujeto a: Z ] x$0 [ y+x # 4 ] y − x $− 2 \ Determine en que intervalo se encuentra " a " b a) <–∞;–1]

b) <–∞;1]

d) [–1;+∞>

e) [1;+∞>

c) [–1;1]

c) 100

106

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Álgebra

Tarea Domiciliaria 1. Dado el sistema en +

e)

2x − y > 2 * x+y > 4 x<4

y

x

Hallar el valor de "x2+y2", sabiendo que "y" es par a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

2. Si la terma (x0;y0;z0) representa la solución del siguiente sistema lineal en : Z x + y + z > 15 ] ] x−y+z < 9 [ y
6. ¿Cuántas de las regiones mostradas representan la región factible de un problema de programación lineal? a)

Calcular "x0+y0+z0" a) 12

b) 14

b)

y

y

x

x c) 16

d) 18

e) 20

c)

d)

y

y

3. Indique cuántas soluciones de componentes enteras satisfacen el siguiente sistema: 5x + y > − 10 * y−x < 2 x<0 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4. Si representa el conjunto de valores de "x" obtenidos del siguiente sistema lineal: Z ] x + 3y < 13 x−y > 1 [ ] 2y + 5 > y + 6 \ Calcular "ab(y∈)" a) 10

b) 14

c) 21

d) 27

e) 30

5. Indicar el gráfico que representa el conjunto solución del sistema lineal: x+y # 5 *x − y # 1 x$0 a)

b)

y

x

Central 6198-100

a)

x

107

c) 3

b)

y

y

x

x d)

y

x e)

y

b) 2 e) Ninguna

7. Determine la región factible generada por las siguientes restricciones: Z 2x + y # 4 ] ] x−y # 1 [ x$0 ] ] y$0 \

x d)

y

a) 1 d) 4

c)

y

x c)

x

x

y

x

y

x


Capítulo 34 8. Maximizar la función: F(x;y)=3000x+6000y, si la región factible está dada por el gráfico siguiente. y

b) F(x;y)=300x+800y Z 8x + 10y # 80 ] [ 2x + 5y # 25 ] x $ 0;y $ 0 \ c) F(x;y)=300x+800y Z 8x + 10y $ 80 ] [ 2x + 5y # 25 ] x $ 0;y $ 0 \

(6;2) x

(0;–3)

a) 3000 d) 20000

(4;–5) b) 10000 e) 30000

d) F(x;y)=300x+800y Z 8x + 10y $ 25 ] [ 2x + 5y # 80 ] x $ 0;y $ 0 \

c) 15000

9. Obtener el máximo valor que asume F(x;y)=3x+2y, sujeta a: Z ]x + y # 3 x$0 [ ] y$0 \ a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 10. Maximice la función objetivo: f(x;y)=4x+3y+2 Si se tienen las siguientes restricciones: Z ] x+y # 4 ] 2x − y # − 1 [ x$0 ] ] y$0 \ Indique este máximo a) 14

b) 15

c) 17

d) 18

b) 4

c) 6

d) 8

13. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas. El alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteína. Si el alimento A cuesta S/.1,20 por unidad y el B S/.0,80 por unidad. ¿Cuántas unidades de A y B deben comprarse para minimizar el costo? a) 3 y 5 d) 5 y 3

e) 12

11. Minimizar la función: F(x;y)=10x+12y Sujeta a las siguientes restricciones x+y # 6 * x # 2y x$2 Dar como respuesta el producto de los componentes del punto que verifica dicha condición. a) 2

e) F(x;y)=300x+800y Z 8x + 10y # 25 ] [ 2x + 5y # 80 ] x $ 0;y $ 0 \

e) 10

12. En una granja se preparan dos clases de alimentos, tipo P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P tiene 8 kg de A y 2 kg de B y un saco de Q tiene 10 kg de A y 5 kg de B. Cada saco de P se vende a 300 soles y cada saco de Q a 800 soles. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 kg de B, obtener la función objetivo y sus respectivas restricciones. (x: número de sacos del tipo P) (y: número de sacos del tipo Q)

b) 4 y 4 e) 1 y 7

c) 6 y 2

14. Obtener el valor mínimo que adopta F(x;y)=2(x+y)+x, sujeta a: Zx − y $− 1 ] ] x+y # 3 [ x$0 ] ] y$0 \ a) 1 b) 2 c) 3 d) 7

e) 9

15. Indicar la función que adopta el máximo valor, sujeta a la región factible graficada: y (0;2)

(3;0)

a) b) c) d) e)

a) F(x;y)=300x+800y Z 8x + 10y $ 80 ] [ 2x + 5y $ 25 ] x $ 0;y $ 0 \

108

x

F (x ; y) = x + 2y F (x ; y) = 2x + y F (x ; y) = x + y F (x ; y) = x – y F (x ; y) = –x + y

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Álgebra

35

Repaso

1. Determine el conjunto: A = ' (x − 1) ! R / x − 1 + x − 2 = x − 3 + x − 4 1 2 3 4 5 a) {1}

b) {2}

d) {-1}

e) {-2}

9. Indique la solución de: 2x + 2 a) 17

c) {3}

d) –2

c) 2 o 3

e) –2 o –3

e) –4

5. Halle el número de elementos del siguiente conjunto: B = " x ! R / (2x − 1) 4 1 − x = 3 4 1 − x , a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

6. Resolver: 8 x − 2 + 8 x2 − 4 − 8 x + 2 = 1 e indicar el valor de: x − 1 2 x − 2 a) d)

2 4

2

b)

4

8

e)

3

2

7. Calcular "x" a partir de la igualdad: x 3 + 5x 2 + 3x + 9 = x 2 + 5 x + 3 x 3 + 2x 2 + 7x + 9 x 2 + 2 x + 7 a) 1/3 b) 2/3 d) 1/9 e) 5/3

Central 6198-100

e) 21

ab (n − 1) ab (n − 1) b (n − 1) b) c) n−b an − b n−b b (n − 1 ) d) an − b e) ab (n − 1) an − b 12. Se tiene dos depósitos de vino de diferente calidad. El primero contiene 20 l y el segundo 30 l. Si se saca de cada uno la misma cantidad y se echa al primero lo que se saca del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad ha pasado de un depósito a otro, si el contenido de los dos ha resultado de la misma calidad? b) 10 c) 11 a) 12 l d) 13 e) 15

c)

5

13. En un autobús se observa que hay 56 personas, de las cuales 22 están sentadas. Los varones que están sentados son tantos como las damas que están paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de los varones que están parados. ¿Cuántos varones hay en el autobús? a) 40 b) 26 c) 38 d) 42 e) 34

8

c) 4/3

8. En la ecuación: m − n =0 1 + nx 1 + mx Determinar: 2m , si se sabe que es compatible n indeterminada. a) 1 b) –2 c) 2 d) 3

d) 9

a)

4. Calcular "n" si la ecuación: (n2–25)x = (n–3)n–1–16 es incompatible. a) 5 b) –5 c) ±5 d) –3

c) 19

0, 5 0, 5 2 2 0, 5 c) ` n j a) c n + n m b) c n − n m 2 2 2 0, 5 0, 5 d) ` n + 1 j e) ` n − 1 j 2 2 11. Se tiene dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad, el primero se consume en "a" horas y el segundo en "b" horas (a>b), si se encienden simultáneamente. ¿Dentro de cuánto tiempo la altura del mas lento será "n" veces la altura del más rápido?

e) 1/7

3. Para qué valor de "m" la ecuación: (m2 – 5m + 6) x = mm–1–3m presenta infinitas soluciones a) 2 b) 3

b) 13

10. Reducir para x>0; n ∈ Z, n ≥ 2008: (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + n) n + x = (x − 1) + (x − 2) + (x − 3) + .... + (x − n) n − x

2. Indicar la solución de la ecuación: x + a = 3x x + 1 ax + 1 Sabiendo que se reduce a primer grado. a) 7/5 b) 7/3 c) -3/7 d) -2/3

x2 − 1 = 3 2 + x − 1

e) –1 109

14. Un cilindro de 1,80 m de altura pesa vacío 15 kg y lleno de petróleo 95 kg. ¿A qué altura deberá llenarse para que su peso sea exactamente igual a su altura expresada en centímetros? a) 10cm b) 25 c) 12 d) 15 e) 27 15. Si un litro de leche pura pesa 1032 gramos. Calcule la cantidad de agua que contiene 11 litros de leche adulterada, los cuales pesan 11,28 kg. b) 4 c) 3,26 a) 3 l d) 2,25 e) 2


Capítulo 35 16. Una señora va al mercado a comprar tomates; para comprar 5 kg y le falta "a" soles, pero si hubiera llevado "b" soles más habría comprado 2 kilos más y aún le hubiera sobrado "a" soles. ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha señora? b) a c) b/a a) b + a 2 d) 5b − 12a e) b + a 2 3 17. Un padre reparte su herencia entre sus hijos de la siguiente manera: al primero le da S/.A más la enésima parte del resto, al segundo le da S/.2A más la enésima parte del resto, al tercero S/.3A y la enésima parte del resto, y así sucesivamente. Al final se observa que cada hijo recibió la misma cantidad. ¿De cuánto era la herencia? a) A(n–1)2

b) A n2

d) A(n–2)2

e) A(n+2)2

19. En un año Don Chuma gastó en comer la mitad de lo que gastó en beber y Florencio gastó en beber la mitad de lo que gastó en comer, resultando un gasto total entre los dos de S/.16200. Esta misma cantidad gastaron el año siguiente, pero Don Chuma disminuyó en la octava parte el gasto en la bebida y Florencio lo aumentó en la mitad. ¿Cuánto gastó Don Chuma en los dos años? b) 21700

d) 31700

e) 70200

c) 20300

20. Halle el máximo valor de S.

15cm

20cm

c) A(n+1)2

S

18. Tres cirios de una misma calidad y diámetro con duración para 2h, 4h y 6h respectivamente, se prenden simultáneamente, repentinamente se apagó el primero observándose que lo consumido hasta ese momento por los tres era 90cm; 1,5 h después la altura de la mayor era la mitad de los consumido por los otros dos. ¿Cuál era la altura del primer y tercer cirio inicialmente? a) 24 y 72 cm b) 64 y 192 c) 88 y 264

a) 20700

a) 10 cm2

b) 75 cm2

d) 70 cm2

e) 55 cm2

c) 50 cm2

d) 32 y 96

e) 13 y 36

Tarea domiciliaria 1. Una persona tiene "a" años y otra "b" años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será "n" veces la edad de la segunda? a) n

b) a–b

d) a–bn/n

e) a − bn n−1

c) a–bn

2. Hallar el valor de "a" para que la siguiente ecuación sea incompatible: 2 (3ax − 5) + 7x − 9 = 0 2 a) 5/6

b) –7/12

d) 1/10

e) –3/11

c) 3/8

3. Se ha pagado una deuda de S/.265 soles con monedas de S/.5 y de S/.2. El número de monedas de S/.2 es mayor que el de S/.5 en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas de 5 y de 2 soles? a) 82

b) 81

d) 84

e) 79

4. Al resolver: 3(x–1)+a(2 3x − 2 +a)=0 Se obtiene como una solución a "b". Calcular: E=a2–2a–3b a) –2

b) –3

d) –5

e) –6

c) –4

5. Resolver: 3 x − 2 + 2 x − 1 = 5x − 4 + 4 x − 3 Indicando luego la naturaleza de su raíz. a) Primo b) Par c) Irracional d) Impar

e) Fracción

6. Sobre la ecuación: 3 − 5x = 2 + x x + 2 x2 − 4 x − 2 x2 − 4 Se puede afirmar que: a) Admite solución x=2 b) Admite solución x=-2

c) 83

c) Es indeterminada d) Es incompatible e) Tiene solución diferente de 2 y –2 110

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Álgebra 7. Resolver:

15. La edad años de una tortuga es mayor en 20 años que el cuadrado de un número N; y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a N. ¿Cuántos años tiene la tortuga?

2x − x − 4 − x + 4 = 0

e indicar la suma de sus soluciones a) 7

b) 8

d) 4

e) 10

c) 9

8. Resolver la siguiente ecuación:

b) 6

d) 10

e) 12

c) 8

b) 50

d) 80

e) 120

c) 60

10. El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3 cuando B planta x rosas en una hora A planta x+2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas? a) 6

b) 8

d) 24

e) 12

c) 32

11. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente es el triple. Halle la suma de las edades actuales. a) 88

b) 98

d) 30

e) 40

12. Resolver:

b) 2

d) f

e) 3

c) a y b

d) 12

e) x

b) 18

d) 13

e) 17

Central 6198-100

d) 96

e) 86

c) 94

17. Hallar una fracción que al agregarle su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 13/4. a) 2/5

b) 4/9

d) 1/3

e) 3/4

c) 2/3

18. Una librería tiene para la venta un cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda, pero antes de servir este pedido se le inutilizaron 240 libros y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan, solo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron? a) 2000

b) 1760

d) 3000

e) 3520 5

1+x +

5

1+x =5 x

a) 7

b) 5

d) 4

e) 1

c) 2240

x 64 c) -2

6x + 2a + 3b + c = 2 x + 6 a + b + 3 c 6x + 2a − 3b − c 2x + 6a − b − 3 c a) ac b

c) 4x–7

14. Antonio le dijo a Carlos; cuando tenías mi edad yo tenía la edad que tenía Luís y Luís tenía dos años. Si nuestras edades están en la relación de 13/7. Hallar la edad de Antonio actualmente a) 14

b) 72

20. Resolver en x:

A = 3x + 5 − x + 2x − 12 b) 17

a) 84

19. Resolver:

13. Si: x ∈ [3; 5], calcular:

a) 30

e) 164

c) 90

x − 1 + 3 = 3x − 2

a) 17

d) 189

c) 120

¿Cuánto dinero tenía al comenzar el juego?

9. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. Indique la suma de los días que trabajó cada uno. a) 40

b) 245

16. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera vez y cuarta vez después de lo cual le quedaron 6 soles.

3 − 2 − x+3 = 0 2x + 1 2x − 1 4x 2 − 1 a) 4

a) 276

d)

1 abc

b) ab c

c) abc

e) ac2 b

c) 15

111


ÁLGEBRA 5° GENERALES - 2017

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