Índice Semana 1
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR ..................................................................... 4 Semana 2
CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO Y ÁREA DEL SECTOR ................................ 7 Semana 3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I ........................................ 10 Semana 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II........................................ 13 Semana 5
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES ............ ........................... 16 Semana 6
COMPLEMENTO DE R AZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO S AGUDOS .. ............... 19 Semana 7
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................... 21 Semana 8 REPASO ...................................................................................................... 24 Semana 9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MEDIDA I .................. 2 6 Semana 10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE C UALQUIER MEDIDA II .... ............. 29 Semana 11
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I ............................................................. 31 Semana 12
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II ............................................................ 34 Semana 13
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I ............................................................ 36 Semana 14
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II ........................................................... 39 Semana 15
MISCELÁNEA DE CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA ......................................... 41 Semana 16
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE I ........................................ 44 Semana 17
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE II ........................................ 46
TrigonomeTría
Semana 18
REPASO DE IDENTIDADES ............................................................................. 48 Semana 19
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABLES ............. 50 Semana 20
IDENTIDADES TRIG ONOMÉTRICAS DE LA V ARIABLE DOBLE .... ................................ 53 Semana 21
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD ......... ........................... 56 Semana 22 MISCELÁNEA................................................................................................. 58 Semana 23
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................ 6 0 Semana 24
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES I ......................................................... 62 Semana 25
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES II ........................................................ 66 Semana 26 REPASO....................................................................................................... 69 Semana 27
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................... 71 Semana 28
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS...... .......................................... 73 Semana 29 REPASO....................................................................................................... 75 Semana 30
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS .......................................... 77 Semana 31
MISCELÁNEA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS......... .......................................... 79 Semana 32 MISCELÁNEA................................................................................................. 82 Semana 33 REPASO GENERAL .......................................................................................... 85 Semana 34
MISCELÁNEA DE IDENTIDADES ....................................................................... 88
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 1
TRILCE
Quinto Católica
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR •
Ángulo trigonométrico Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, desde una posición inicial (lado inicial) hasta otra posición final (lado final), alrededor de un punto fijo llamado vértice y en un solo plano. Así tendremos: Obs. O
S entido A Horario
Q
O
B
S entido Antihor ario P
O
Los ángulos así generados, serán medidos en diferentes unidades que dependerán del sistema utilizado.
•
Sistemas de medición angular Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando los siguientes: Sistema sexagesimal Unidad: 1° 1 vuelta: 360° Además: 1° = 60’
Sistema centesimal Unidad: 1g 1 vuelta: 400° Además: 1g = 100m 1m = 100s 1g = 10 000s
1’ = 60” 1° = 3600”
•
Unidad: 1 vuelta:
1 rad 2 rad
Consideraciones: 1. 360° = 400 g = 2 rad 2. 180° = 200 g
•
Sistema radial o circular
180° = 200g = rad
3. 1 rad > 1° > 1 g 4. = a°b’c’’ = a° + b’ + c’’ = xgymzs = xg + ym + zs
9° = 10g
Fórmula general de conversión Consideremos un ángulo positivo como el de la figura.
Siendo: 1
S° 2
Cg 3
R rad
4
O
Luego se cumple:
4
S=C=R 180 200
Simplificando, tenemos:
4
4
S :
Número de grados sexagesimales
C :
Número de grados centesimales
R :
Número de radianes
S = C = 20R = k 9 10
k , es decir S = 9k ; C = 10k ; R = 20
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 8. Del gráfico, calcular “x”.
Problemas para la clase 1.
Señale el valor de: =
9
rad + 60g en el sistema sexa-
gesimal. C. 76° D. 74°
A. 64° B. 69°
A. B. C. D.
3 5 7 9
(6 – 18x) g
(10x + 2)º
9. Del gráfico, calcular “x”.
2. Si un ángulo mide 7 rad y también (8x – 1)°, ¿cuál es el 9 valor de “x”?
A. 1 B. 3
A. B. 78
C. D. 96
3. En un triángulo, dos de sus ángulos miden: 2 rad y 40g, 3 ¿cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? A. 14° B. 18°
C. 20° D. 24°
4. En un triángulo ABC: A + B =
120g;
B + C = 4 rad. 9
C Calcular: K =
(2 – 7x) g
C. 5 D. 6
(8x + 6)º
a+c+1 10. Sabiendo que: b 17rad = a0º3b’1c’’; calcular: K = A. 5 2 B. 5 3
C.
D. 2
11. Sabiendo que:
C. 99 D. 2
rad = 2ag5bm1cs; calcular: K = a + b 7 c+1
A. 2 B. 3 12. Reducir: K =
C. 4 D. 5 1°3’
+
1°4’
3’
5. Del gráfico, calcular “x”. A. B. C. D.
3 5 7 9
(9x
–
A
calcular: F =
3 rad 5 C
7. Si un ángulo mide (13x + 7)° y su complemento (5x – 5)g, ¿cuál es el equivalente de x° en radianes? A.
rad 18 B. rad 24
TRILCE
Colegios
m
C. 53,6 D. 16,2
14. Si: x°y’z” = 3°42’48” + 5°29’34”
(11x –3)º
A
5’
A. 17,2 B. 32,4
C
B
5 6 7 4 150g
2°5’
1”
6. Del gráfico, calcular “x”.
A. B. C. D.
+
C. 60 D. 62
13. Calcular: K = 1
1)g
3 rad 10
4’
A. 57 B. 58
B
4
B
7 2 B. 5
A.
3
rad 36 D. rad 12
C.
A. 1 B. 2
z-y-1 x C. 3 D. 4
15. Si "" , "" y " " son ángulos internos de un triángulo y la medida en grados sexagesimales de " " es 44° 33’ 14” y la de "" es 65° 26’ 46”, encontrar la medida en radianes de"". 6 8 A. rad C. rad 18 18 7 B. rad D. 9rad 18 18 16. Determine la medida del ángulo en radianes si se cumple: S-2=C (“S” y “C” lo convencional) 10 20 A. C. 4 rad 8 rad B. rad D. rad 3 36
5
Católica
Ciclo
17. Señalar la medida circular de un ángulo que cumple: 2S - C + 4R = 40 + .("S", "C" y "R" lo conocido) rad 3 6 rad
A. B.
C. rad 4 rad D. 10
18. Determinar el ángulo en radianes, que cumple: S = x x + 2 y C = xx + 4, siendo “S” y “C” lo conocido. 5 rad B. rad 10
4 rad D. 90
A.
C.
19. Siendo “S” y “C” lo convencional para un ángulo no nulo, simplificar: C+S + 5S–2C + 1 S= C-S C-S A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
20. Hallar un ángulo en el sistema francés, si se cumple que: SC = CS , (“S” y “C” lo conocido). 10 10 A. ( ) 9 10 B. ( 9 ) 10
10 9 C. ( 9 ) 9 9 D. ( 10 )
1. Señale el equivalente de: = rad + 9°; en el sistema 4 centesimal. C. 70g D. 80g
A. 1 B. 2
4. Si dos ángulos cumplen que la suma de sus medidas es 40º y su diferencia es 20g, ¿cuál es la medida del mayor? A. 27° B. 28°
C. 29° D. 30° g
5. En un triángulo ABC; se sabe que: A = 120 ; B = rad. 9 ¿Cuánto mide el ángulo C? A. 42° B. 52°
C. 62° D. 32°
6. Si un ángulo se expresa como (7x – 1)g y también como (5x + 3)º, ¿cuál es el valor de “x”? A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. Un ángulo mide (8x – 2)º y su complemento mide (6x– 2)g. ¿Cuál es el valor de “x”?
A. 3 B. 5
A. B. C. D.
3 5 7 9
A. 1 B. 3
70g C. 3 D. 1 3
C. 7 D. 4
(10x + 2) º
C. 5 D. 7
10. Exprese en el sistema sexagesimal: A. 25° 42’ 51’’ B. 23° 42’ 31’’
6
C. 3 50 D. 9 50
9. Calcular “x”, si: (7x – 4)º = (8x – 6)g
rad + 3º 3
2. Calcular: K =
A. 3 rad 20 B. 5
8. Del gráfico, calcular “x”.
Tarea domiciliaria
A. 50g B. 60g
3. ¿Cuál es el complemento de 64g en el sistema circular?
rad. 7
C. 26° 31’ 42’’ D. 32° 17’ 43’’
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 2
TRILCE
Quinto Católica
CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO Y ÁREA DEL SECTOR •
Longitud de un arco Viene a ser una de las aplicaciones del radián; que permite determinar la longitud del arco correspondiente a un ángulo central en una circunferencia. En el gráfico adjunto: L: longitud del arco AB R: radio de la circunferencia : número de radianes contenidos en el AOB
R O
A
rad L
B
Se cumplirá: L = R OBS: A la región AOB se le denomina sector circular y para que ello ocurra: 0 < ≤ 2
•
Área del sector A R 0
rad
L
S
S=
R2 LR
2 = L 2 = 2 2
R B
Problemas para la clase 1. En un sector circular, el ángulo central mide 70 g y el radio 40 cm. ¿Cuánto mide el arco? (use: = 22 ) 7
A. 11 cm B. 22
C. D.
33 44
2. En un sector circular, el ángulo central mide 40° y el radio 18 cm, ¿cuál es la longitud del arco? A. cm B. 2
C. 4 D. 3
3. En undm, sector circular, ángulo del central mide 2°30’ y el radio 144 ¿cuál es laellongitud arco? A. dm B. 2
C. 3 D. 4
4. En un sector circular, el ángulo central mide 5 g25m y el radio mide 80 cm. ¿Cuánto mide el arco? (use: =
TRILCE
Colegios
A. 120 cm B. 130
C. 140 D. 160
6. En un sector circular el arco mide 70 cm. Si el radio se aumenta en su doble y el ángulo central se reduce a su tercera parte, se obtiene un nuevo sector circular, cuyo arco mide: A. 70 cm B. 80
C. 140 D. 210
7. En un sector circular, si aumentamos el radio en 20% y reducimos el ángulo en 30%; el arco: A. Aumenta en 10% B. Disminuye en 10%
C. Aumenta en 16% D. Disminuye en 16%
8. Si en un sectorcircular,reduces el radioen 10% y aumentas el ángulo central en 10%; el arco: A. Aumenta en 10% B. Disminuye en 10%
22 ) 7
A. 3,3 cm B. 6,6
5. En un sector circular, el arco mide 120 cm. Si el radio se duplica y el ángulo central se reduce en su tercera parte, se obtiene un nuevo sector circular cuyo arco mide:
C. Aumenta en 1% D. Disminuye en 1%
C. 9,9 D. 5,5
7
Católica
Ciclo
9. Un arco de 2 cm de longitud subtiende el mismo ángulo central que un arco de 3 cm de longitud. Si el radio del primer sector es 16 cm, ¿cuál es el radio del segundo sector? A. 18 cm B. 20
C. 24 D. 28
15. Determinar el área de un sector circular de radio 6 m y un ángulo central de 60°. A. 3 m2 B. 4
C. 6 D. 8
16. Determinar el área de la región sombreada. 10. El arco que le corresponde a un ángulo central de 60°; es el doble del que le corresponde a un ángulo central de 27°. Si en el primer caso, el radio mide “R” y en el segundo es R “r”; calcular: r A.
9 10
2 C. 3 D. 32
B. 10 9
A
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
C
12 cm D 3 2 O
B
17. Del gráfico mostrado, determinar el área de la región sombreada.
L1 11. Del gráfico, calcular: L 2
A C
A
A. B. C. D.
D
1 . e gr co, c alcular:
O
/4 rad
3 D
C1 B 18. En la figura, hallar el área sombreada (“0” y “0 1” : centros)
L
B
L2
A
A
A. m2
L1
3,1 3,2 3,3 3,4
4
D
6m
B. 612 C. D. 24
1C L2
18º
O
O
B
O1
19. Calcular el área de la región sombreada, si: L1 + L2 = 8 m. (“0” y “0 1” : centros)
13. Del gráfico, calcular “” A
A. B. C. D.
O
C
18° 24° 30° 36°
O
2
D B
O1
6
L1
A
20. “L”. En laDetermine figura adjunta, cuadrado tiene lados de longitud el áreaelsombreada. O
2
3
A. L2 (3 D
6
B
2
)
A
B
D
C
B. L22 (3 + ) L 2 C. (3 4 2) D. L2 4
8
12 cm
L2
C
15° 20° 30° 60°
12 cm
A. 10 cm2 B. 14 C. 18 D. 24
14. Del gráfico, calcular “”
A. B. C. D.
B
7
L2
24º 3
O
A. B. C. D.
A. 6 m2 B. 5 C. 7 D. 11
L1
1 2 3 5
(3 + ) 2
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría circular,su área es 2 cm2 y su ángulo central
7. En un sector mide 40g. ¿Cuánto mide el radio?
Tarea domiciliaria 1. En un sector circular el ángulo central mide 30º y el radio 12 cm. ¿Cuánto mide el arco? A. 360 cm B. 12
C. 2 D.
2. Calcular la longitud del arco correspondiente a un sector circular cuyo ángulo central mide 20 g y su radio mide 20 cm. A. cm B. 2
C. 3 D. 4
3. Determinar el área de un sector circular de un ángulo central 20g y radio 10 m. A. m2 B. 2
C. 5 D. 10
4. En un sector circular el radio mide 7 cm y el arco 2 cm, ¿cuál es, aproximadamente, la medida sexagesimal del ángulo central? A. 52° 32’ 34” B. 51° 26’ 38”
C. 50° 25’ 43’’ D. 51° 25’ 43’’
5. Se tiene un sector circular cuyo arco mide 100 cm. Si aumentamos el radio en su mitad y reducimos el ángulo central a su mitad, se genera un nuevo sector cuyo arco mide: A. 50 cm B. 75 6.
C. 90 D. 100
En un sector circular el ángulo central mide “3 º” y su radio es “R”; mientras que en otro sector ci rcular el ángulo central mide “5 g” y su radio es “r”. Calcular “R/r”, si sus
C. 10 D. 2 10
A. 5 cm B. 2 5 8. Del gráfico, calcular: A. 23 B. 2 9 C. 3 55 D. 9
L1 L2 A L1
º
O
g
C
B
L2
D
9. Del gráfico, calcular la medida sexagesimal de “º”. A
5
A. B. C. D.
24° 12° 43° 36°
D O
2
C
5
B
10. Del gráfico, calcular “ ”, si: L1 = L2 y OB = 2BC. A
A. B. C. D.
L1
18° 36° 24° 30°
C B L2
O
D
arcos son iguales. A. 5 3 B. 43
C. 32 6 D. 5
TRILCE
Colegios
9
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 34 Semana
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I •
Definición: Son los resultados que se obtienen al dividir entre sí losados l de un triángulo rectángulo. Dichos resultad os asumirán un nombre que dependerá de la posición de los lados que se dividen. respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así tendremos: C
b
A
a
B
c
Para “”:
Seno de “”:
sen =
Coseno de “ ”:
cos =
Tangente de “ ”:
tan =
C.O. H C.A. H C.O. C.A.
Cosecante de “ ”:
csc =
Secante de “ ”:
sec =
Cotangente de “ ”: cot =
H C.O. H C.A. C.A. C.O.
a = cateto opuesto (C.O.) c = cateto adyacente (C.A.) b = hipotenusa (H) Sin olvidar que:
+ = 90°
y
a2 + c2 = b2
(Teorema de Pitágoras)
Por ejemplo: Calcule las razones trigonométricas (R.T.) del ángulo mencionado en cada caso:
7
2
2
cot =
csc =
tan = 2 6
4
3
5
5
5
1
3
cos =
sec =
3
sen cos =
.
=
Problemas para la clase 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir:
A. 1 B. 2
C. 3 D. AC
L = senA . secC + cosA . cscC 3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: A. 1 B. 2
C. 3 D. ABC
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar: L = tanA . tanC + 1 cotA . cotC + 1
10
L = a . senC + c . senA ac A. b B. 2b C. b – 1
D. 2b – 1
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L = 3 a . tanA c . tanC A. 1 B. 12
C. 2 D. ac
A. 1
1 C. 2 1 D. 3
B. 2
14. Del gráfico, si: tan =
7 5 , calcular:
5. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 7. Calcular el seno del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. A. 0,25 B. 0,45
6 tan A C
C. 0,5 D. 0,75
B
6. En unlatriángulo los catetos miden 2 y 5. Calcular secanterectángulo del mayor ángulo agudo. A. 1,25 B. 1,5
C. 2 D. 2,5
7. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de los ángulos agudos vale 0,6. Calcular el perímetro del triángulo, si la hipotenusa mide 15 cm. A. 12 cm B. 21
C. 36 D. 48
C. 32 D. 2
10. Si“” es un ángulo agudo, tal que: sen= 2 ; calcular “cot”. 3 1 C. 5 A. 2 5 D. B. 2 2 11. Si“” es un ángulo agudo; tal que: cos = 1; calcular “tan”. 3 C. 2 2 D. 4 2
12. Si “” es un ángulo agudo; tal que: sec =
C. 11 D. 13
13. Del gráfico mostrado, calcular: L = tan.tan C
A
TRILCE
Colegios
M
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
A. 2 B. 4
C. D.
3 5
A. 25 m B. 30
C. 35 D. 40
18. Determinar el área de un triángulo rectángulo ABC, si: 8 tanA = 15 y la hipotenusa mide 34 m. A. 120 m2 B. 240
C. 360 D. 60
19. A partir de la figura mostrada, calcular: N = tan + tan
A. B. C. D.
6 18 9 12
3 2ab
a
b
13
L = 13sen 2 + 4cot2 A. 7 B. 9
15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se cumple que: 3tanA = 2cscC; calcular: M = 5tanA + 6secC
17. En un triángulo rectángulo la secante de uno de sus ángulos agudos es 2,6. Si el perímetro del triángulo es 180 m, hallar la longitud del menor cateto.
9. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. A. 5 C. 3 2 7 B. 3 D. 2
A. 2 2 B.
C. 2,5 D. 1
16. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que : senA = 2senC. Calcular: N = tanA + secA - 2
8. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de los ángulos agudos vale 3. Si la hipotenusa mide 2 10 cm, ¿cuál es el área del triángulo? A. 6 cm2 B. 3
D
A. 3 B. 1,5
, calcular: 3
20. Del gráfico, calcular: K = csc 2 – cot2
A. B. C. D.
2 3 4 1
a+ b
a– b
a2 + b2
B
11
Católica
Ciclo
6. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Si el mayor lado del triángulo mide 52 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo?
Tarea domiciliaria 1.
En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°); simplificar: L = a tanC + b cosA c C. c2c D. 2
A. 1 B. 2 2.
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), cuyo perímetro es “2p”; hallar: K = c tanA + a cscA + b senC A. p B. 2p
3.
C. p 2 D. 4p
En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo del triángulo. A. 14 B.
1 10
C. D.
3 4
3 10
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruple de un cateto. Calcular el cuadrado de la cotangente del menor ángulo agudo del triángulo. A. 16 B. 15
A. 100 cm B. 120
C. 160 D. 140
7. Si: sen = 2; “” es agudo, calcular: P = 3 A. 1 B. 2 8.
5 cot+
1 2
C. 3 D. 4
Si: cos = 1; “” es agudo, calcular: Q = 2 tan + 1 3 A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
9. Si: tan = 2; “” es agudo, calcular: R = sen . cos A. 0,1 B. 0,2
C. 0,3 D. 0,4
10. Si: sec = 1,5; “” es agudo, calcular: S = sen . tan + 1 6 A. 1 B. 2
C. 4 D. 3
C. 17 1 D. 15
5. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es 0,6. Si el perímetro del triángulo es 48 cm, ¿cuánto mide el menor lado? A. 6 cm B. 3
12
C. 12 D. 16
TRILCE
Colegios
Colegios
TRIGONOMETRÍA Semana 5 4
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II 8 6. Del gráfico, hallar "tan", si: tan = 15
1. Calcular: E = cot - tan 5 7 7 B. 5 14 C. 5 D. 10 7 A.
A.
7
O
B
7. De la figura, determinar el valor de “m”, si se sabe que: 12 tan = 5
2. Siendo ABCD un cuadrado, hallar: tan + tan B
C
3 5 4 C. 5 D. 2 5
A. 1
B.
5
A
A
3
B
B. 2 C. 12 D. 4
D
A. B. C. D.
C
22 23 24 25
26
m
A
3. En el gráfico, calcular: cos2
8. De la figura, hallar "tan" C
43 3 B. 4 3 C. 5 2 D. 3 A.
4 3
A
C
17
B
4. En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcular "tan", si: 4 tan = 3 A B A. 2 5 1 B. 3
A. B. C. D.
0,1 0,3 0,4 0,6
5
4
9. Del gráfico mostrado, calcular: "tan" A. 817 B. 43 C. 7 24 D. 11 60
D 17
10
A
15
C
B
P
1 C. 2
10. De la figura, hallar "cot"
D
D. 2
C
B
x+3
5. Del gráfico, calcular "cot ", si: 4AE = 2BE = EC
B
1 3 B. 3 1 C. 2 1 D. 4 A.
A
A
TRILCE
Colegios
E
A. 1,7 B. 0,4
D
8
2x+1
H
5x-3
C
C. 0,6 D. 1,4
C
13
Católica
Ciclo
11. Determinar “tan ”, del gráfico mostrado, si ABCD es un
rectángulo y MD = 3AM =
AB =3 2
D
C
M D
B
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
C 1 17. En un triángulo ABC (B= 90°), reducir: F = . cot (a+b) 1 A. c C. c B. a 1 D. a bsenA 18. En un triángulo ABC (B = 90°) simplificar: N = ccotC 1 A. a C. a2 2 B. a D. 1
12. Determinar: sen + cos 4
A
20 “” es un ángulo agudo y sen = 29 , determinar: 19. Si tan(90° - )
B
4 D
7
A. 1 B. 1,2
C
11 A. 20 21 B. 20
17 C. 20 19 D. 20
20. Del gráfico calcular: 1+sen ; siendo “a” y “b” los radios 1– sen de las semicircunferencias.
C. 1,3 D. 1,4
13. Del gráfico mostrado, calcular: tan
P
A 2
Q
a b
D
C
O 3
O
A. B.
2 3 3
15. Determinar: (tan)-1
1. Si: sen = 1 ; determinar: F = sec 2 + tan2 ( : agudo) 5 7 25 C. 7 A. 25 13 12 D. 13 B. 12 3 2. Si: tan = 2 ; determinar: F = sen + cos ( : agudo) 6 4 A. 13 C. 13 2 5 D. 13 B. 13 1 3. Determinar "sen", si: tan = 2 ( : agudo)
C. 2 D. 3
16. Reducir , en un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°): F = (b + c)tan( A) 2 A. b C. a+b B. a D. a+c
14
C. a/b D. b/a
Tarea domiciliaria
14. Si “” es agudo, además: 3tan – 2 = 0, determinar: E = sen.cos 6 C. 13 A. 6 2 6 D. 13 B. 5
A. 1 B. 2
O’
T
A. a+b B. a.b
B
4 C. 3 3 D. 4
2
2
3 A. B.
3 3 4
3 C. D.
6 3 2
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 4. Si: tan =
2 3
; 0° < < 90°; calcular: 3sec 2 + 2csc2
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
5. De la figura: sen =
1
A. B. C. D.
;3determinar: BC × AC B
A. B. C. D.
8 3 2 8 2 4 2
6
A
C
5ab
b
a
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simplificar: senA + senC F = cosA + cosC A. 1
C. tanC
B. tanA
D. 2
A. 3 B. 5
B
8 6 4 2
9.
2 3 4 5
10. Si “” es un ángulo agudo, tal que: sen(90° – ) = 25 ; obtener: F = csc + cot
1 6. De la figura: tan = ; calcular: AB + BC 3 A. B. C. D.
8. Determinar: tan + cot
C. 7 D. 1,5
A
2 10
C
7. Del gráfico, calcular: cot.tan A. 1 B. 2 2 C. 3
D. 3
TRILCE
Colegios
15
24
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 5
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 53º
45º
30º L2
L
45º
74º
37º
60º
L
7k
5k
3k
2L
L 3
4k
L
25k
75º
6–2
4
13
12 15º
16º 6 +2
24k
5
1
82º
5 2 8º 7
5 1
71º30' 10 2
1
26º30'
18º30' 3
4. Del gráfico, hallar "AP"
Problemas para la clase
B
1. Hallar el valor de: E = (sec45º)sec60º + 5sen37º A. 1 B. 3
C. 5° D. 7
2. Calcular: M = 6sec45°sec30° + 5(sen37° + sen53º)º tan45º + 3sec53º 11 5 13 B. 6 A.
11 6 17 D. 5
16
C. 16 D. 18
12 14 15 16
P 10 23º A
37º
C
5. Del gráfico, hallar "tan".
C.
x cos60° + tg45° 3. Calcular el valor de "x" en: xcos60° – tg45° = csc53° A. 10 B. 12
A. B. C. D.
A. B. C. D.
B
3 2 3 3 3 4 3 5
60º 4 P 2 A
C
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 12. Del gráfico, calcular "tanx"; además "O" es el centro de la semicircunferencia.
6. De la figura, hallar: P = 5sen . csc
A. B. C. D.
2 2 2 2
2 3 4 5
D
x
53º
45º
24 28 30 32
37º
A
7. De la figura, hallar: tan
A. B. C. D.
A
A. 12 1 B. 3 C. 14 D. 1 5 B
53º
C
A. B. C. D.
C
1 2 3 4
45º F 37º
15. Encontrar: tan del gráfico mostrado.
B
53º D
10. Del gráfico, hallar: tan
C
4
3 2 B. 3 4 4 3 C. 3 4 D. 2 27 3 A.
A. 12 B. 2 7 C. 3 7 D. 4 7
D
E
9. Del gráfico, hallar: tan
A
E
B
D
A. 116 B. 316 C. 5 16 D. 7 16
37º C
14. Del gráfico, calcular: 11tan
A
B
D
8. En el gráfico, DC = 2AD. Calcular "tan" 1 8 B. 1 5 2 C. 8 D. 38
B
O
13. Del gráfico, hallar "tan" (ABCD es cuadrado).
37º
A.
C
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0,5
37º
45º
A
60º
C D
16. Calcular: tan 37º
O
B
11. Calcular "cot", de acuerdo al gráfico mostrado.
C. 1 5 D. 16
A. 12 B. 13
A
3 2 2 3 B. 5 C. 53 D. 63 A.
17. Calcular: tan
45° 2
8
A. B.
TRILCE
2 2+1
C. 1 – 2 D. 2 + 2
D 60º 2
B
Colegios
53° 2
10
C
17
Católica
Ciclo
5. Halle el valor de "x" en la ecuación: 6(x – 1)cos2(45º) – (x – 4)csc(30º) = x tan2(60º) 2
18. Del gráfico, obtener “tan” A
4 A. 3 B. 34 C. 23 4 D. 5
37º
A. 10
M
O
21
C.
4 D. 14
21 B. 5 6. Del gráfico, calcular "cot"
B
A
19. Del gráfico, calcular: “cot”
A. 1
a
A. 1 B. 1,5 C. 2,5 D. 3
4a
F O
45º
3 20. En la figura, BD = 10 cm y tan = . La longitud de “AD” es: 13 B
5 3c 2 B. 3 C. 3 3 D. 2 3 A.
37º
B
7. En un triángulo rectángulo ACB, recto en "C", se tiene que secA=2cosB; entonces la medida del ángulo "B" es: A. 80º B. 60º
C. 45º D. 53º
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 20m y uno de sus ángulos agudos mide 37º. Hallar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.
30º A
E
B. C. 24 D. 5
C
D
A. 8 m B. 3
C. 4 D. 5
9. En el gráfico mostrado, hallar "x", si : DC = 10 B
Tarea domiciliaria A. B. C. D.
1. Calcular: E = 3sec53º – tan45º . sec60º A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
D x 23º 37º
A
C
10. Del gráfico, hallar "cot "
2. Hallar "x" en: 5x . sen37º – csc30º = x + cot45º A. 0,5 B. 1
13 12 9 6
C. 1,5 D. 2
A. B. C. D.
3. Si: cot = sec37º, determine: E = 41sen + 8cot
45º
1,6 1,7 0,6 1,4
x+3
A. 11 B. 12
C. D.
2x + 1
14 15
5x
–
3
2
4. Reducir: sen30° + csc30° tan45º ++ sec60° cot45º + cos60º – tan360° A. 1 B. 1,2
18
C. 1,4 D. 1,5
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana67 Semana
TRILCE
Quinto Católica
COMPLEMENTO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Problemas para la clase 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L = senA . secC + cosA . cscC A. 1 B. 2
L = tanA . tanC + 1 cocA . cotB + 1 C. 3 D. ac
C. b–1 D. 2b–1
atanA c . tanC
A. 1 B. 1/2
“cot”.
A. 1/2 B. 2
C. D.
5 5/2 1
4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L
3
11. Si “” es un ángulo agudo; tal que: cos = 3; calcular “tan ”.
3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: a . senC + c . senA L= ac
=3
C. 3/2 D. 5/2 2
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar:
A. b B. 2b
5 A. B. 3
10. Si “” es un ángulo agudo, tal que: sen = ; calcular
C. 3 D. abc
A. 1 B. 2
9. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo.
A. 2 B. 2
C. 2 2 D. 4 2
12. Si “” es un ángulo agudo; tal que: sec =
10 3,
Calcular: L = 13sen2 + 4cot2 A. 7 B. 9
C. 11 D. 13
13. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza la ceviana "AD" (“D” en BC), tal que: BD = 2DC. Si: BAD = y ACB = ; calcular: L = tan . tan
C. 2 D. a/c
A. 2 B. 3
C. 2/3 D. 3/2
5. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 7. 14. En un cuadrado ABCD se traza la ceviana AE (“E” en BC). Calcular el seno del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. Si: BEA = y EDC = ; calcular: L = cot + tan A. 0,25 B. 0,45
C. 0,5 D. 0,75
6. En un triángulo rectángulo los catetos miden 2 y 5. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. A. 1,25 B. 0,5
C. 0,75 D. 1,5
7. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de los ángulos agudos vale 0,6. Calcular el perímetro del triángulo, si la hipotenusa mide 15 cm. A. 12 cm B. 21
C. 36 D. 48
8. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de los ángulos agudos vale 3. Si la hipotenusa mide 2 10 cm, ¿cuál es el área del triángulo? A. 6 cm2 B. 3
TRILCE
Colegios
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
15. En un triángulo ABC (B = 90°), se cumple: tanA = 4tanC. Calcular: senA.senC A. 0,1 B. 0,2
C. 0,3 D. 0,4
16. En un trián gulo rectán gulo ABC (B = 90°), reduc ir: F = asecC + bsenA + C; si su perímetro es 20 cm. A. 20 cm B. 10
C. 40 D. 30
17. Reducir: C = sen245º + sen230º A. 1/4 B. 1/2
C. 2 D. 3/4
C. 3/2 D. 2
19
Católica
Ciclo
18. Siendo: tan = sen 60º, calcular "sen " 2 3 3 5
A. B.
C. D.
2 7 3 7
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); atanC + bcosA Simplificar: K = c C. c/2 D. 3
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), cuyo perímetro es "2p"; hallar: K = c tanA + a cscA + b senC A. p B. 2p
C. 4p D. 3p
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo del triángulo. A. 1/4 B. 1/ 10
C. 3/ 10 D. 3/4
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruple de un cateto. Calcular el cuadrado de la cotangente del menor ángulo agudo del triángulo. A. 16 B. 15
20
A. 6 cm B. 3
C. 12 D. 16
6. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Si el mayor lado del triángulo mide 52 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo?
Tarea domiciliaria
A. 1 B. 2
5. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es 0,6. Si el perímetro del triángulo es 48 cm, ¿cuánto mide el menor lado?
C. 1/15 D. 11
A. 100 cm B. 120
C. 140 D. 150
7. Si: sen = 2; 3"" es agudo, calcular: P = A. 1 B. 2
1 5 cot+ 2
C. 3 D. 4
1 8. Si: cos = ; "" es agudo, calcular: Q = 2tan + 1 3 A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
9. Si: tan = 2; "" es agudo, calcular: R = sen . cos A. 0,1 B. 0,2
C. 0,3 D. 0,4
10. Si: sec = 1,5; "" es agudo, calcular: S = sen . tan + A. 1 B. 2
1 6
C. 4 D. 5
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
8 Semana 7
TRILCE
Quinto Católica
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 10. Calcular el valor de “x”, en: tan(4x + 32°)tan(x + 18°) = 1
Problemas para la clase 1. Hallar “x”, si: tan3x.cot(x+20°) = 1 A. 10° B. 20°
C. 30° D. 40°
2. Hallar “x”, si: sen(3x – 17°).csc(x + 13°) = 1
A. 10° B. 15°
C. 20° D. 25°
3. Si: cos(60° – x)sec2x = 1, calcular el valor de: cos(x + 25°) 3 2 1 B. 2 A.
2 2 3 D. 5 C.
4. Hallar “x”, si: sen3x = cos2x A. 18° B. 36°
A. 6° B. 8°
C. 16° D. 20°
11. Si: cos6x.csc4y = 1; calcular: tan(3x+ 2y) A. 1 B. 2
C. 3 D. 3
12. Si:
tan7x = cot(2x + 9°) sen4x.csc3y = 1
Calcular: F = cos5x.tan(3y + 1°) A. B.
3 2 8 2 8
D.
13. Del gráfico, hallar “x” en función de "n", " ", "".
C. 10° D. 9°
B
6.
3 2 1 B. 2 A.
7.
x
C. 20° D. 25°
D
A
Si: sec(20° + 2y) = csc(50° – y); calcular el valor de: sen(y + 10°) 2 2 3 D. 5 C.
14. Del gráfico, hallar "HC" en función de: "L", "", "" B
L
sen31° tan47° N = cos59° + cot43°
C. 0 D. -1
A
2cot10°+4tan80° F = 5cot10°-3tan80°
C
H
A. Lsensen B. Lcostan
8. Reducir la expresión:
A. 1 B. 2
C. ncoscos D. n2sencos
A. nsencos B. nsensen
Reducir la expresión:
A. 2 B. 1
C
n
5. Hallar “x”, en: tan(2x + 20°) = cot(x + 10°)
A. 10° B. 15°
3 2 4 2 4
C.
C. Lsentan D. Lsencot
15. Del gráfico, hallar "AC". B
C. 3 D. 4 m
n
9. Calcular el valor de: F = (sen20° + cos70°)sec70° 1 C. 2 D. 3
A. 1 B. 2
TRILCE
Colegios
x A
y
C
21
Católica
Ciclo
A. msenx + nseny B. nsenx + mcosy
C. mcosx + nseny D. mcosx + ncosy
16. En el gráfico, determinar “x”.
Tarea domiciliaria 1. Si: cos(2x + 10°)sec(60° – 3x) = 1; hallar “x”. A. 10° B. 20°
C. 30° D. 40°
x
2. Siendo: sen20° = cos(3y + 10°). Hallar el valor de “y”.
m
A. 20° B. 40°
C. msec D. mcsc
A. mtan B. mcot
17. Determinar el perímetro del triángulo rectángulo mostrado. B m
C. 50° D. 70°
3. Reducir: 3sen65° + 2tan39° cos25° cot51° A. 8 C. 5 B. 3 D. 2 4. Determinar el valor de ( + ), si: sen = cos2 ... (I) sen.csc4 = 1 ... (II)
A
C
A. m(1 + sen + cos) B. m(1 + csc + cot)
A. 20° B. 30°
C. m(1 + sec + tan) D. m(1 + sec + csc)
C. 40° D. 50°
5. Hallar “x”, si: tan(2x + 35°)tan(5x – 15°) = 1
18. Determine el área del triángulo ABC.
A. 10° B. 20°
A
C. 30° D. 40°
6. Hallar el perímetro del triángulo ABC.
m
B B
C
A. B.
m2 sen m22 cos 2
m
C.
m2 2 tan m2
D.
2 cot
A. m(1 + sen + cos) B. m(1 + tan + sec)
19. Si ABCD es un cuadrado, determine “x” B
C
A
7.
C
C. m(1 + cot + csc) D. m(sen + cos)
Hallar “x”, en el gráfico.
E L
m
x
A
D
A. Lsen B. Lcos
x
C. Lsec D. Lcsc
A. msen.sec B. msencsc
C. mcossec D. mcoscsc
8. Hallar "tan", en función de “”.
20. Del gráfico, determinar “x”
C
B 45° x m A
A. m(sen – cos) B. m(tan – cot)
22
D
C. m(cos – sen) D. m(cot – tan)
A
A. 0,2tan B. 0,3tan
3
D
2
B
C. 0,4tan D. 0,5tan
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 9. Del gráfico, hallar AD en función de “m” y “”. C
A. V F B. V V
m 45°
A. m(sen – cos) B. m(sen + cos)
TRILCE
Colegios
D
I. sen42°.csc48° = 1 ... ( ) II. tan20°.cot70° = 1 ... ( )
A
10. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
C. F V D. F F
B
C. m(cos – sen) D. m(sec – csc)
23
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 98
TRILCE
Quinto Católica
REPASO 8. Del gráfico, calcular: L 1 – L2
Problemas para la clase 1.
A. 84° B. 74° 2.
3.
Sabiendo que un ángulo se expresa como (7n+1)° y también como (8n)g. ¿Cuál es su medida radial? A.
rad
B.
C. 5 D. 6
3
4
Simplificar: F =
3°4’ 4’ +
2g5m 5m C. 87 D. 88
Calcular el ángulo en radianes que cumple: (“S” y “C” lo conocido) C + S = 43 4 5 A. B.
5.
5
6
Calcular el valor de: F =
C. 2
D. 3 C+S +6 C–S
O
60°
L1 D
12 cm
A. cm B. 2
C. 3 D. 4
9. Determinar el área de un sector circular de una circunferencia de diámetro 10 m y un ángulo central de 12°. A. 10 m2 3 B. 10 5
56 3 D. 10 C.
10. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 13 cm y 12 cm. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo. A.
5 12 12
5 C. 13 7
B. 13 D. 15 11. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); calcular: b b c F = a senA + c senC + a tanA A. 2a B. 2c
C. b D. 3
12. En un triángulo ABC, recto en "B", se cumple que: 3tanA = 2cscC, calcular: F = 5 tanA + 6secC
(“S” y “C” lo convencional)
6.
C
L2 B
C. 94° D. 64°
A. 85 B. 86 4.
A
En un triángulo, dos de sus ángulos miden rad y rad. 5 3 ¿Cuál es la medida en sexagesimal del tercero?
A. 5
1 C. 5
B. 25
1 D. 25
Determinar la medida circular de un ángulo que cumple: C - S + R = 20 + ; siendo “S”, “C” y “R” lo conocido.
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
13. Determinar el valor de: F = sen230° + 2cos60° + tan37° – cot45°
A. rad B. 2
C. 3
D. 4
7. En un sector circular, el arco mide 5 m, y el ángulo central 30°. ¿Cuánto mide el radio? A. 30 m B. 33
A. 1
C. 2
B. 1 2
D. 3
14. Determinar: tan B
C. 38 D. 42 37° A
24
C
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 3 A. 4 3 B. 8
1 C. 2 1 D. 3
4. Determinar la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 15°, en una circunferencia de radio 24 m. A. m B. 2
15. Determinar "AB", si: AP = 10 2 ; PC = 24
C. 3 D. 3 2
5. Determinar el área de un sector circular de ángulo central 20g y de radio 10 m.
A 45°
A. m2 B. 2
P 30°
B
C
6.
C. 5 D. 10
En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, reducir:
F = csenB – acotA + bcscB A. 14 B. 22
C. 24 D. 20
A. 1 B. 2
1. Convertir a radianes 135°
B. 2.
C. 23 D. 3 4
2 rad
3
Siendo: 10 rad = (5x + 15) g; calcular “x”. A. 1 B. 2
C. b D. c
3 7. Si: sen = 4 0° < < 90°, determinar: 3 7 cot
Tarea domiciliaria
A.
A. 2a B. a
C. 3 D. 4
3. Sabiendo que “S” y “C” son lo conocido para un mismo ángulo no nulo, simplificar:
C. 3 D. 7
8. Determinar: F = 10tan53° – 4cot37° A. 3 B. 2
C. 4 D. 5
9. Resolver “x”, que cumpla: tan(x + 20°).cot80° = 1
A. 10° B. 20°
C. 40° D. 60°
10. Determinar el valor de“x” en: sen(2x – 7°) = cos(2x + 29°) F=
2C + S + 7 C–S
A. 15° B. 16°
C. 17° D. 18°
C. 5 D. 7
A. 6 B. 3
TRILCE
Colegios
25
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 10 9
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MEDIDA I Definiciones preliminares I.
Signos de las R.T.:
Ángulo en posición normal
y
y
Scscen (+) Positivas todas
Tan (+) Cos (+) x
I C II C
x
cot
R. T. de ángulos cuadrantales
II. Ángulo cuadrantal (n × 90°; “n” ZZ) y 180º
90º –90º
x
no pertenece a cuadrante alguno.
III. Ángulos coterminales y
0º; 360º
90º
180º
270º
sen
0
cos
1
1
0
–1
0
–1
tan
0
0
N
0
N
cot
N
0
N
0
sec
1
N
–1
N
csc
N
1
N
–1
Propiedad:
sec
x
pertenecen al mismo cuadrante.
IV. Definición de las razones trigonométricas
“Las R.T. de los ángulos coterminales son respectivamente iguales”.
Problemas para la clase 1. El ángulo canónico que mide 300° pertenece al: A. I C B. II C
P(x; y)
C. III C D. IV C
r
r2 = x2 + y2
2. El ángulo canónico que mide –160° pertenece al: A. I C B. II C
Dado el punto P(x; y) perteneciente al lado final del ángulo canónico “”, se define: sen = y r csc = r y
26
cos = x r sec = r x
tan = y x cot = x y
C. III C D. IV C
3. Si el punto Q(–5 ; –12) pertenece al lado final del ángulo canónico “”, calcular: sec + tan A. 1 5
C. 23
B. – 1 5
D. – 2 3
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 4. Si el lado final de un ángulo canónico “” pasa por (–2;1), hallar: E = sen.cos A. 0,2 B. – 0,2
A. + B. –
C. 0,4 D. – 0,4
C. + y – D. + ó –
– 11. Señale el signo de: C = tan100º cot217º sen148º – tan116º
5. Del gráfico, calcular: K = sen – cos A. 1 5 B. – 1 5 7 C. 57 D. – 5
A. + B. –
x
C. + y – D. + ó –
12. Señale el signo de: D = sen200º . cos300º + tan146º cos100º . tan112º – sec200º
A. + B. – ( –4; 3)
A. I C B. II C y
( –8; 15)
A. 13 B. – 1 3 C. – 3 5 D. 3 5
A. I C B. II C
A. I C B. II C
C. III C D. IV C
16. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: cos – tan > 0? A. I C B. II C x
C. III C D. IV C
17. Si: sen = – 0,6; “” III C; calcular: E = sec + tan 1 C. A. 2 2 D. – 1 B. – 2 2
(24; –7)
18. Si: cos = 0,5; “” IV C; calcular: E = tan – sen
8. Del gráfico, calcular: K = tan.tan
A. B. –
B. – 7 6 C. 6 7 D. – 6 7
C. III C D. IV C
15. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: tan sen < 0? x
y
7 6
C. III C D. IV C
14. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: tan > 0 y cos < 0?
7. Del gráfico, calcular: K = sec – tan 4 A. – 3 B. 34 C. 43 D. – 3 4
C. + y – D. + ó –
13. ¿Aqué cuadrante pertenece “ ”, si: sen > 0 y cos < 0?
6. Del gráfico, calcular: K = csc + cot
A.
tan100º . cos160º 10. Señale el signo de: B = cos314º
x
(8; –7)
TRILCE
3 2
2 2 19. Reducir: E = a sen90º + b cos180º + bsen270° asen90º + bcos180º
( –3; –4)
C. –– ab D.
A. ba B. a2sen
9. Señale el signo de A = sen100º . cos130º . tan160º sec210º
Colegios
D.
3
y
A. + B. + y –
3 2
C. –
3
C. – D. + ó –
20. Reducir: E =
A. a – b B. b – a
+ 2abcos + b2sen23 2 2 asen + absen – bcos2 2
C. a + b D. – a – b
27
Católica
Ciclo
5. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: sen > 0; cos < 0?
Tarea domiciliaria
A. IC B. IIC
1. Del gráfico, calcular “sen”. ( –4; 3)
A. B. C. D.
6. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: cos > 0; tan < 0?
y
4 – 3 3 – 4 4 – 5 3 5
A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC a2sen90°+b2cos180° asen90° – bcos180° C. a + b D. a – b
7. Calcular: x
A. a B. b
8. Señale el signo de:
2. Del gráfico, calcular: sencos. 3 2 B. 2 33 C. 2 D. – 2 3
C. IIIC D. IVC
y
A. –
x
A. (–), (–), (+) B. (+), (+), (+) ( 2; –1)
3. Si el punto P( –3; 4) pertenece al lado final de un ángulo canónico “”; calcular: J = sec – tan A. 3 B. 13
C. – 3 1 D. – 3
4. Si el punto Q(7; –24) pertenece al lado final de un ángulo canónico “”, calcular: C = csc + cot A. 34 B. – 3 4
28
C. 43 D. – 4 3
J = sen100º + cos310º tan140º A = cos130º + cot340º sen210º C = sen114º – tan117º cos314º – sen214º C. (–), (–), ( –) D. (–), (+), (+)
9. Si: sen = 2; IIC, calcular “cot”. 3 A. B. –
5 3 5 3
5 2
C. D. –
5 2
10. Si: cos = 0,6; IVC; calcular: K = csc – cot C. 1 A. 2 2 B. – 2 D. – 1 2
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 11 10
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MEDIDA II 7. Señale los signos que adoptan:
Problemas para la clase
C = sen124°cos200°sec256° L = tan117°cos342°sen224°
1. De acuerdo al gráfico, señale lo incorrecto:
A. +; + B. +; –
y
A. B. C. D.
IC IVC IIC IIC
8. Señale los signos que adoptan:
x
C = sen246°tan116°cot316° L = cos140°sec320°tan147° A. B.
2. De acuerdo al gráfico, señale lo incorrecto: y
A. B. C. D.
C. –; – D. –; +
IIC IC IVC IIC
+; + +; –
C. –; – D. –; +
9. Del gráfico, hallar "tan"
x
1
x+
9
3. De acuerdo al gráfico, calcular: C = 2sen + cos y
( –4; 3)
A. B. C. D.
0,1 0,2 0,3 0,4
x
1 A. 3
1 C. 9
1 B. – 3
D. – 9
10. Del gráfico: AB = BC.Hallar "tan"
4. De acuerdo al gráfico, calcular: C = sen – cos B y 37°
A. 0,1 B. –0,1 C. 0,2 D. –0,2
x
( –4; –3)
5. Si el lado final del ángulo canónico “” pasa por P(–5; 12), calcular: C = 2sen – 2cos 5 A. 1 B. –1
C. 2 D. –2
6. Si el lado final del ángulo canónico “” pasa por P(8; –15); calcular: C = 1cos – 2sen 2 A. 1 B. –1
TRILCE
Colegios
C
x
1 A. – 7
C. –
B. – 2 7
D. – 4 7
3 7
11. Señale el cuadrante al que pertenece “ ”, si: sen < 0 y
cos > 0. A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
C. 0 D. 2
29
Católica
Ciclo
12. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: tan < 0 y sen > 0? A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
1. Del gráfico, calcular: C = 5sen – 1
13. Sabiendo que: sen cos < 0, ¿a qué cuadrante pertenece “”? A. IC B. IIC
Tarea domiciliaria
C. IIIC D. IVC
y
( –3; 4)
A. B. C. D.
1 –1
3 –4
x
14. Sabiendo que: tan – sen < 0; ¿a qué cuadrante pertenece “ ”? A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC 2 2 2cos – sen3 + 2cos – sen3 2 2 15. Señaleel valorde: C= 2sen – cos2 A. –15 B. 16
y
A. 0 B. –14 C. –7 D. 7
( –7; –24)
3. Del gráfico, señale el valor de: C = 5sen – 3cot
C. –16 D. –17
16. Calcular: C = (3sen90º – cos180º)2 + tan0º 2sen180º + cos360º A. 3 B. 4
2. Del gráfico, calcular: C = 25cos + 7
C. 5 D. 16
A. B. C. D.
–2
2
–1
x
(4; –3)
1
17. Si: tan = 2sen – cos; IIIC. Calcular: C = sen – cos 2
A.
– 1
C.
10
B. 1 10 18. Sabiendo que: tan
1
4. Si el punto P( –3; 2) pertenece al lado final de un ángulo canónico “”, calcular: C = 13sen + 3tan
2 10
D. – 2 10
III C; calcular: C = sen .cos
=3;
A. 0,2 B. 0,3
A. 1 B. 0
19. Si: 9cscx = 81; además: cotx < 0, entonces al calcular: F = 2 3 cosx + 3cotx; se obtiene:
A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
8. ¿En qué cuadrante se ubica “ ”, si: cos –cot < 0?
B
A. IC B. IIC
53º A
C. IIIC D. IVC
7. ¿En qué cuadrante se ubica “”, si: tan < 0 y sen > 0?
y
C
C. –1 D. 2 6. ¿En qué cuadrante se ubica “ ”; si: sen < 0 y cos > 0? A. IC B. IIC
C. 1 D. 3
20. Del gráfico, calcular “tan ”, si: AB = BC
A. – 7 3 7 B. – 4 C. – 3 7 D. – 4 7
C. –2 D. 0
5. Si el punto P( –1; –2) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “b”; calcular: C = 5cos + tan
C. 0,4 D. 0,6
A. – 6 B. – 1
A. 1 B. 2
x
C. IIIC D. IVC
9. ¿En qué cuadrante se ubica “ ”, si: sen216°cos < 0 y tan140°tan < 0? A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
10. Señale los signos de: C = sen142°cos216°tan190° L = sen3200°cos5124°sec250° A. +; + B. +; –
30
C. –; – D. –; +
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 12 11
TRILCE
Quinto Católica
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I •
Definición: Es el procedimiento mediante el cual se calculan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de un ángulo que sí lo sea. R.T.()
R.T. ()
: no es agudo
: si es agudo
III C
Obviamente si “ ” fuese cuadrantal; se utilizará el criterio
•
tan4223° = tan263° = +tan(263° – 180°) = tan83° 4223° 360° 263° 11
•
cos2540° = cos20° 2540° 360° 20° 7
práctico de las R.T. de un ángulo cuadrantal.
•
Casos. Los casos que vamos a identificar; son los siguientes: I.
III. Ángulos de medida negativa
Ángulos cuya medida está en:90°; 360° – {180°; 270°}
sen; csc R.T.(–x) = tan; cot cos; sec
II C ± R.T. (180º – ) R.T.() = III C ± R.T. ( – 180º) IV C ± R.T. (360º – )
Por ejemplo:
•
sen(– 45°) = – sen45° = 2 2
•
cos(– 30°) = cos30° =
•
tan(– 10°) = – tan10°
sen140º = + sen(180º – 140º) = sen40º II C
•
cos220º = – cos(220º – 180º) = – cos40º
R.T.(x)
Por ejemplo:
El signo (±) dependerá del cuadrante al quepertenezca el ángulo srcinal; y de la R.T. pedida.
•
– R.T.(x)
3 2
Problemas para la casa
III C
•
tan310º = – tan(360º – 310º) = – tan50º
II. Ángulos cuya medida es mayor que 360° R.T.()
R.T.() 60°
resto (reemplazará al ángulo srcinal)
cociente (indica el número de vueltas que tiene )
3 3 6 4
3 C. – 4 D. – 6 4 tan150º 2. Calcular el valor de: L = sec300º A.
II C
B.
3 6 B. – 3 6 A.
II C sen3710° = sen110° = +sen(180° – 110°) = sen70° 3710° 360° 110° 10
A. sen20° B. –sen20°
TRILCE
C. sen40° D. –sen40°
4. Hallar: U = tan190ºcos350º sec260º A. sen210° B. cos210°
Colegios
3 4 D. – 3 4 C.
3. Hallar: A = sen200ºcos140ºtan320º cos250º
Por ejemplo:
•
1. Señale el valor de: C = sen120°cos225°
C. –cos210° D. –sen210°
31
Católica
Ciclo
5. Calcular: D =
sen1200º sen1500º
A. 1 B. –1
15. Calcular: L = cos10º + cos20º + cos30º + ... + cos180º C. 3 D. –3
A. 1 B. –1
C. 2 D. –2 7sen40° – 3cos50° 7. Reducir: F = sen140°
B.
6
B. – 6
cos(123) 2 17. Calcular: A = sen (156)sen 343 2
3
A.
2 D. – 3 2 4
6
C. D. –
62 2
sen(–1200º) 11. Calcular: I = tan(–1830º)
C.
A. 34 4 B. 3
12. Calcular: A = sen(–120º)cot(–330º) sec(–1500º)
3
D. – 3
3 C. – 4 4 D. – 3
20. Calcular: I = sen( –240º)cos(–120º) 3
43 3 D. – 4 C.
2 3
–3
3
3 3
19. Señale el valor de: tan6173º
A. C. D.
3
B. –
B. – A. 2 3 B. –2 3
C. 2 D. –2
–32
10. Calcular: C = tan(–60º)sec(–45º) csc(–30º) A.
2
18. Calcular: C = (sen330º + cos240º)tan210º
sen(–60º)cos(–45º) tan(–30) C.
C. – 2 3 D. 3
A. 1 B. –1
C. 1 D. 0
A. 3 2 2 B. 3 2 4
tan135°
}
sen 237
8. Calcular el valor de: F = sen323° + cos307°
9. Calcular: U =
sen150°.cos225° tan143°
2 3 3
A.
C. 6 D. 8
A. 2 B. –2
C. 0 D. – 1
16. Calcular: F = {
6. Hallar: I = sec1920°tan855°
A. 2 B. 4
A. 1 B. 2
2
Tarea domiciliaria 1. Calcular: C = sen120°cos150°
3 4 3 B. – 4 A. 3
C. 34 D. – 3 4
13. Calcular: L = sen240º . cos315º . tan225º sec300º . cos(–37º) 36 32 56 B. 32 A. –
56 32 76 D. 16 C. –
14. Calcular el valor de: F = (sen330° + cos240°)tan210° A.
3
C.
B. – 3 D. –
32
3 3
3 A. 4 3 B. 2
C. – 3 2 3 D. – 4
2. Calcular: L = sen150° + cos300° A. 0 B. 1
C. –1 D. 3
3. Calcular: A = tan315° + cos240° A. 12 B. – 1 2
3 C. – 32 D. 2
3 3
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 4. Calcular: U = sec300° + csc210° A. 1 B. – 1 5. Calcular: D =
9. Calcular: tan2760°
C. 0 D. 4
A. – 1 B.
2tan217º + sen330º cos225º
A. 2 B. – 2
D.
3 3 3
10. Calcular: T = sen2130º tan3540º
C. –1 D. –2
A. – 3 1 B. 3
sen140ºsen200º 6. Reducir: I = sen320ºsen160º C. D. ––12
A. B. 12
3 3
C. –
1 C. –3 3 D.
6
7. Señale el valor de: tan1200° A.
3
B. – 3
C. –
3 3
D. 1
8. Calcular: cos5190° 1 A. 2
C.
1 B. – 2
TRILCE
Colegios
23 3 D. – 2
33
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 12 13 Semana
TRILCE
Quinto Católica
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II Situaciones particulares: I.
3. Reducir: A = sen(–x) + cos(90º + x) cos(270º + x)
Ángulos de la forma: 90°. n ± x; n ZZ R.T.(90º ± x) = CO – R.T.(x)
R.T.(180º ± x) = ± R.T.(x)
R.T.(270º ± x) = ±CO– R.T.(x)
R.T.(360º ± x) = ± R.T.(x)
El signo (±) dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo srcinal (asuma que “x” es agudo) y de la R.T.pedida.
•
Por ejemplo: sen(90º + x) = + cosx (cambia)
A. 2senxtanx B. –2senxtanx
– x) – cot(270º – x) 4. Simplificar: U = tan(360ºtan(270º + x)
IIC cos(180º + x) = –cosx (no cambia) IIIC
•
tan(270º – x) = +cotx (cambia) IIIC
•
cot(360º – x) = –cotx (no cambia) IVC
I.
Propiedades: 1. Si: x + y = 180º
2. Si: x + y = 360º
C. 2tan2x D. –2tan2x
A. 2senxtanx B. –2senxtanx 5. Si: sen( + x)tan
•
C. 2cosx D. –2
D=
A.
2
1 + x = ; “x” es agudo, calcular: 3
+ x = tan( + x) 2
1
C.
3
3 D. – 2 3 3
B. – 1 3
1 6. Si: sen + x = csc( – x) calcular: I = tan( –x) – cot( + x) 2 3
senx = seny cosx = – cosy senx = – seny cosx = cosy
3. Si: x + y + z = 180°; se cumple: tanx + tany + tanz = tanxtanytanz cotxcoty + cotycotz + cotzcotx = 1
A. 3 B. –3 7. Reducir: A =
C. 9 D. –9 sen( – x)cot 3 + x sen + x 2 2 csc(2 – x)
C. cos3x D. – sen3x
A. cosx B. sen3x tan( + x)sen 8. Simplificar: L = sen
4. Si: x + y + z = 90°; se cumple: cotx + coty + cotz = cotxcotycotz tanxtany + tanytanz + tanztanx = 1
Problemas para la clase 1.
Simplificar: C = sen(180º + x) cos(270º + x) A. 1 B. –1
2. Reducir: L = A. –1 B. cot2x
34
2 3
C. senx D. –senx
sen 7 + x 9. Reducir: U = 2 cos(17 – x)
C. –tanx D. cotx 10. Reducir: C =
C. –cot2x D. –tan2x
3 + x tan(2+ x) 2
A. cosx B. –cosx
A. 1 B. –1
tan(90º + x) cot(270º – x)
+ x cos + x 2
A. 2secx B. 2cscx
C. tanx D. –cotx tan 123 – x cot(231+ x) 2 sen 145 + x 2 C. –2secx D. –2cscx
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 11. Si: x + y = 180°; calcular: I = tan(cosx + cosy) + 1 A. 1 B. 2
A. – 3 B. –2
C. tan2 D. 1 + tan2
C. – 1 D. 3
Tarea domiciliaria
12. Si: x + y = 360°; calcular: A = cos(senx + seny) + 1 1. Calcular: sen(– 240°) A. 1 B. 2
C. 1 + cos2 D. 1 – cos2
13. Calcular: C = cos20º + cos40º + cos80º + cos100º + cos140º cos160º C. 2 D. 12
A. 1 B. – 1
A. B.
1 2
C. – 3 2 3 D. – 4
3
2 2. Calcular: tan(–3000°) A. – 1 B.
C. – 3 3
3
D.
14. Calcular: L = cos1º + cos2º + cos3º + ... (179 términos) A. 1 B. 0
C. –1 D. –2
A. 1 B. – 1
15. Calcular: L = sen(12 + x) + cos(24 + x) sen(12 – x) cos(24 – x) A. 1 B. 2
C. 0 D. – 2
A. cosx B. –cosx
tan(36 + x) 17. Reducir: F = tan(8 + x)
C. –cscx D. –cosx
A. senx B. –senx
A. tanx B. tan2x
6. Señale el equivalente de: S =
C. 1 D. cot2x
18. En un triángulo ABC, reducir: F = A. 1 B. –1
sen(A + B) tan(B + C) senC + tanA
C. 2 D. 0 C
C. –cosx D. –senx +x 2 sen(2 + x) + cot( + x)
sen( + x)
sen
C. 0 D. –2
A. 2 B. –1 8. Reducir: P =
M B
sen(90º + x)cos(180º + x) sen(270º – x)
A. cosx B. senx 7. Simplificar: T =
19. Del gráfico, calcular “tan”
2 A. 3 3 B. 2
C. senx D. –senx
5. Simplifique: R = tan(90° + x)sen(180° – x)
C. – 2tanx D. 2cotx
37°
C. tanx D. – tanx
4. Reducir: Q = {sec( –x) + tan(–x)}{1 – sen(–x)}
sen(40 + x) 16. Calcular: F = cos(136 – x) + tan(120 – x) A. 0 B. 2tanx
3
sen(–x) + cos(–x) 3. Reducir: P = senx – cosx
sen( + x)cos 3 + x tan + x 2 2 cot( – x)
2
2 C. – 3 3 D. – 2
A. –senx2x B. sen
2
C. D. –cos cosx2x
9. Si: x + y = 180°; calcular: Q = senx + cosx + tanx seny cosy tany
20. Del gráfico, calcular “tan ”, si: CM = 2MB
A. 1 B. 3
C 45°
10. Si: x + y = 270°; calcular: R =
M
C. –3 D. –1 senx
+
tanx
cosy
+ coty
secx cscy
A
TRILCE
Colegios
B
A. 1 B. –1
C. 3 D. –3
35
TRIGONOMETRÍA
Colegios
14 Semana 13
TRILCE
Quinto Católica
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I •
Circunferencia trigonométrica: y
Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el srcen del sistema cartesiano y cuyo radio es igual a la unidad del sistema. En ella se debe reconocer:
B
M (+)
A: Origen de arcos
A
A’
x
B: A’: Origen Origen de de complementos suplementos
( –)
B’: Antónimo
N
M y N: Extremos de arco
B’
Sobre esta circunferencia se van a representar gráficamente los valores numéricos de las razones trigonométricas de un ángulo o de un número cualquiera.
•
Líneas trigonométricas: Son segmentos orientados; que van a representar los valores de las razones trigonométricas; los cuales se trazarán sobre la circunferencia trigonométrica.Conocida la representación gráficapodremos deducir características de cada razón trigonométrica.
I.
y B M
Línea trigonométrica SENO La L.T. seno correspondiente a un arco; es la perpendicular trazada desde su extremo al eje de abscisas.
(+)
(+)
A
A’
P
En el gráfico:
x ( –)
( –)
B’
y
II. Línea trigonométrica COSENO
Q
La L.T. coseno correspondiente a un arco, es la perpendicular trazada desde su extremo al eje de ordenadas.
( –)
En el gráfico:
M A
(+)
( –)
x
(+)
Problemas para la casa 1. Señale verdadero(V) o falso (F); según corresponda en:
A. sen40° B. sen114°
I. sen 70° > sen 50° II. sen 120° > sen 160° III. sen 200° > sen 230° A. V V F B. F V V
I. cos 20° > cos 70° II. cos 110° > cos 160° III. cos 210° > cos 280°
36
C. sen96° D. sen160°
4. Señale la expresión de menor valor en: C. V F V D. V V V
2. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en:
A. V V V B. F F V
3. Señale la expresión de mayor valor en:
A. cos100° B. cos160°
C. cos190° D. cos230º
5. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I. sen 40° > sen 140° II. sen 160° = |sen 200°| III. |sen 240°| > |sen 310°|
C. F V F D. V V F
A. F F V B. F V V
C. V V F D. V F V
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 6. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en:
y
I. |cos 100°| < |cos 140°| II. cos 250° = cos 290° III. cos 310° > cos 340° A. V V F B. V V V
12. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
A. 1 + sen + cos B. 1 + sen – cos C. 1(1 + sen – cos) 2 D. 1(1 – sen – cos) 2
C. V F F D. F F F
MB
Ax
A’
7. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: 13. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
I. Si: 0° < x < 45° sen x < cos x II. Si: 90° < x < 135° sen x + cos x > 0 III. Si: 135° < x < 180° sen x + cos x > 0 A. V F V B. V V F 8.
En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
M
A. sen B. 2 sen 1 C. sen 2 D. 2 cos
A
x
En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. By
A. sen B. 2sen C. 1sen 2 D. – cos
14. En la C.T. mostrada, halle el área dela región sombreada.
C.T.
9.
1 sencos 2 B. – 2sencos C. – sencos 1 D. sencos 2 A. –
C. F F V D. F V V
A. 1 sen + cos 2sen B. 1 – cos sen C. 2(1 – cos ) D. 12sen + cos
M
x
15. En la C.T. mostrada, hallar “x” A
A’
y x
MB
A. B. C. D.
1 + sen – cos 1 – sen – cos 1 – sen + cos 1 + sen + cos
y
B. C. D.
B
C.T.
x C.T. B’
x M
B’
x
16. En la circunferencia trigonométrica, calcular la longitud del segmento MN.
A
A’
45º
A’
10. En la C.T. mostrada, hallar el área dela región sombreada.
A.
y
M
B’
1 – sen 2 1 – cos 2 – sen – cos
A. cos B . senx C. cos + cos D. cos – cos
M N
11. En la C.T. mostrada, hallar el área de laregión sombreada. A. 1sen (1 + 2cos) 2 B. 1sen (1 + cos) 2 C. 1sen (1 – 2cos) 2 1 D. sen (1 – cos) 2
TRILCE
Colegios
17. Señale la expresión de mayor valor en:
y MB
A. sen 1 B. sen 2
A’
C. sen 3 D. |sen 4|
18. Señale la expresión de menor valor en: C.T. B’
A. cos1 B. cos2
C. cos3 D. cos4
37
Católica
Ciclo
19. Indique verdadero (V) o falso (F) en:
6. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: Si: 0 < < < cos < cos 2 II. Si: < < < cos > cos 2 III. Si: < < < 3 l cos l > l cos l 2
I.
I. 180° < < < 270° sen > sen II. 90° < < < 180° sen < sen A. V V B. V F
C. F V D. F F
A. V V V B. V F V C. V F F
20. Señalar verdadero (V) o falso (F) en: I. 0° < < < 90° cos < cos II. 270° < < < 360° cos > cos A. V V B. V F
7.
En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
C. F V D. F F A.
Tarea domiciliaria
B. C. D.
1. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I. sen50° < sen70° II. sen100° < sen130° A. V V B. V F
M
y B A
A’
x
8. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. A. 3sen 2 B. – 3sen 2 C. 3sen 4 D. – 3sen 4
2. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I. sen200° > sen220° II. |sen300°| > |sen340°| C. F V D. F F
3. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I. cos70° > cos80° II. cos110° > cos150° A. V V B. V F
1 sen 2 sen 2sen –sen
B’
C. F V D. F F
A. V V B. V F
D. F V V E.
C. F V D. F F
4. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en:
9.
A. V V
C. F V
B. V F
D. F F
N A
A’
x B’
M
En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. A. 1 + cos B. 1 – cos 1 C. + cos 2 D. – 1cos 2
M
B A
A’
B’
10. Señale la expresión demayor valor en: A. sen190º B. sen210º
I. cos200° > cos250° II. cos300° > cos340°
y B
C. sen260º D. sen310º
5. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I.
Si: 0 < < <
sen < sen 2
Si: < < < sen > sen 2 III. Si: 3 < < < 2 sen > sen 2
II.
A. V V V B. V F V
38
C. F F V D. V V F
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 15 14
TRILCE
Quinto Católica
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II •
Variaciones del seno y coseno Recordando que:
M
Q
1 s en
–1
x
P
cos
M
1
A x
–1
R.T.
0º 90º
90º 180º 180º 270º 270º 360º
sen
0º 90º
R.T.
90º 180º 180º 270º 270º 360º
cos
–1 sen 1
(sen)máx = 1
–1 cos 1
(sen)mín = –1
(cos )máx = 1
sen2
(sen2)máx = 1
(cos)mín = –1 cos2
(sen2)mín = 1
cos2)máx = 1
(cos2)mín = 1
Problemas para la clase 1. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponde en: I. En el IIC, el seno es creciente II. En el IIIC, el seno es creciente en valor absoluto A. V V B. V F
C. F F D. F V
4. ¿En qué cuadrante(s), el seno es creciente y el coseno es decreciente? A. I B. II
C. III D. I y III
5. Señale el máximo valor de: C = 3 + 2 sen x
2. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponde en: I. En el IIC, el coseno es creciente. II. En el IIIC, el coseno es decreciente en valor absoluto
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
6. Señale el máximo valor de: L = 2 – 3senx A. V V B. V F
C. F F D. F V
3. ¿En qué cuadrante(s), el seno y el coseno son crecientes? A. I B. IV
TRILCE
Colegios
C. I y IV D. II y IV
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
7. Señale el mínimo valor de: A = 3 + 4cosx A. 3 B. 2
C. 1 D. –1
39
Católica
Ciclo
8. Señale el mínimo valor de: U = 7 – 2cosx A. 7 B. 6
C. 5 D. 4
1. Señale el mayor valor de: C = 2senx + 1
9. Señale el máximo valor de: D = 5 – 2cos2x A. 5 B. 6
C. 4 D. 7
10. Señale el mínimo valor de: E = 3 + 2sen2x A. 3 B. 4
C. [3; 10] D. [8; 10]
12. Señale la variación de: U = (2 + senx)(2 – senx) A. B.
[3; 4] [4; 6]
C. [2; 6] D. [2; 4]
13. Señale la variación de: C = (3 + cosx)(3 – cosx) A. B.
[8; 9] [7; 9]
C. [6; 8] D. [8; 10]
C. 3; 5 D. 3; 6
15. Señale la variación de: A = 7 + 4cos x; si: x IIC A. 5; 7 B. 4; 7
C. 3; 6 D. 3; 7
16. Señale la variación de: L = 5 – 2 A. 2; 3 B. 2; 5
cos2x;
si: x IIC
C. 3; 7 D. 3; 5
17. Señale la variación de: L = 3 + 2senx; si: x 30°; 180°] A. B.
[2; 5] [2; 4]
C. [3; 5] D. [3; 4]
18. Señale la variación de: H= 2 – 3 cosx; si: x [60°; 180°] A. B.
3 ;4 2 1; 3
1 C. ; 4 2 D. 1; 5
2 2 19. Señale la variación de: J = 2 – 3 sen2x; si: x 60°; 150°] A. B.
5 4 13 – 1; 4
1;
C. D.
C. –2 D. 3
2. Señale el mayor valor de: L = 1 – 3senx C. –2 D. 4
3. Señale el menor valor de: A = 2cosx – 1 A. 0 B. 1
C. –1 D. –3
4. Señale el menor valor de: U = 2 – 5cosx A. 0 B. –1
C. –2 D. –3
5. Señale el mayor valor de: D = 3 – sen2x A. 1 B. 2
14. Señale la variación de: E = 2 + 3senx; si: x IIC A. 2; 3 B. 2; 5
A. 0 B. 1
A. 0 B. 1
C. 5 D. 1
11. Señale la variación de: A = 7 + 3 senx – 2cos2y A. [2; 5] B. [2; 10]
Tarea domiciliaria
C. 3 D. 4
6. Señale el menor valor de: I = 2 – sen2x A. 1 B. 2
C. 0 D. –1
7. Señale la suma del máximo y mínimo valor de: A = ( 5 + senx)( 5 – senx) A. 5 B. 6
C. 7 D. 9
8. Señale la variación de: L = 4 – 3sen2x A. B.
[0; 4] [0; 3]
C. [1; 4] D. [1; 3]
9. Señale la variación de: U = 1 + 2sen 2x A. [0; 2] B. [1; 2]
C. [1; 3] D. [1; 4]
10. Señale la variación de: C = (3 + cosx)(3 – cosx) A. B.
[7; 8] [7; 9]
C. [6; 9] D. [8; 9]
13 4 5 – 1; 4 2;
20. Señale la variación de: K= sen2x + senx A. B.
1; 2 41 – ;1 2 –
40
C. D.
1 21 2 – ; – ;2
45
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 16 15
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA DE CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. sen20º > sen80º II. sen2 < sen3 III. Si: 3 > > > sen > sen 2 A. F V V B. F V F
C. V V F D. F F F
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. |sen200º| > |sen250º| II. sen10º + sen260º > 0 III. |sen3– sen2| = sen3 – sen2 A. F V V B. F V F
C. F F F D. F F V
3. Indicar el menor valor: A. sen1 B. sen2 4.
C. sen3 D. sen4
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Si: – > x1 > x2 > – , entonces: 2
I. senx1 > senx2 II. |senx1| < |senx2| III. sen|x1| > sen|x2| A. V F F B. F V V 5.
6.
C. V V V D. F F V
Si IIIC, hallar todos los valores de “k” que verifican la igualdad: sen= 3k + 1 5
TRILCE
9. Hallar la extensión de: E = A. B.
3 2 3 1; 2
C. [2; 6] D. [2; 5] sen + 3 sen + 2
4 1; 3 4 D. ;2 3
1;
C.
10. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región triangular sombreada. y
A. – sen1 2 B. sen 1 C. – sen 2 D. –2sen
0 x
11. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. cos20º > sen20º II. cos2 < cos3 III. Si: > > > cos < cos 2 C. V F V D. F V F
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. |cos100º| > |cos160º| II. cos160º + cos70º < 0 III. |cos3– cos2| = cos2 – cos3 A. V V F B. F V V
C. F F V D. V V V
13. Indicar el menor valor: A. cos1 B. cos2
C. cos4 cos3 D.
14. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
A. –1; 0 C. –2; 0 1 1 B. – ; 0 – 2; – 3 D. 3 7. Si: < < 5 , hallar la extensión de: E = 2sen – 3 6 6
Colegios
A. [0; 3] B. [1; 6]
A. V V F B. V V V
– Para que valores de “k” la igualdad se verifica: sen= 2k 1 4 3 5 A. – ; C. [–1; 1] 2 2 B. 3; 5 D. 5; 3 2 2 22
A. –2; –1 B. [–2; –1
8. Hallar la extensión de: E = sen2 + 2sen + 3
C. –2; –1] D. –2; 1
Si: – < x1 < x2 < – , entonces: 2
I. cosx1 > cosx2 II. |cosx1| < |cosx2| III. cos|x1| > cos|x2| A. F V V B. F F F
C. V V V D. F F V
41
Católica
Ciclo
15. Para que valores de “k” la igualdad se verifica:
cos= 4k –1 3 1; 1 2 1 B. – ; 1 2
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
C. – 1; 1 2
A.
Tarea domiciliaria
I. sen10º > sen20º II. sen1 < sen2 III. Si: > > > sen > sen 2
1 D. – 1; – 2
16. Si II C, hallar todos los valores de “k” que no verifican la igualdad: cos=
4k + 3 7 5
– ;–
B.
2 4 5 3 – ;– 2 4
C.
3; 5
I. |sen210º| < |sen250º| II. sen10º + sen260º > 0 III. |sen1– sen2| = sen1 – sen2
42 3 5 D. ; 42
A. V V V B. F V F
17. Si: – < < , hallar la extensión de: E = 4cos + 1 3 3
A. sen1 B. sen2
18. Hallar la extensión de: E= cos2 + cos + 1
B.
4 ;3 3 3 ;3 4
B.
2; 4 3 2 ;4 3
I. senx1 > senx2 II. |senx1| < |senx2|
C. 4; 2 3 4 D. ;2 3
A. V F B. F V
20. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región triangular sombreada.
C. V V D. F F
5. Para qué valores de “k” la igualdad se verifica: sen= 2k + 1 3
y
A. cos B. – cos C. 1cos 2 D. – 1cos 2
C. sen3 D. sen4
4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Si: – > x > x > – entonces: 1 2 2
C. [3; 4] 3 4 D. ; 43
– 19. Hallar la extensión de: E= cos 3 cos – 2
A.
C. V F F D. V F V
3. Indicar el mayor valor:
C. 3; 5 D. [3; 5
A. [3; 5] B. 3; 5]
A.
C. V V F D. V V V
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
3
A.
A. F V V B. F V F
A.
3 5 2 2
– ;
B. [–2; 1]
0
C. [–1; 1] D. 5; 3 2 2
x
6.
Si: IIIC, indicar uno de los valores de “k” que no veri fican la igualdad: sen = 3k – 1 5 A.
2 7
B. – 1
42
C. – 2 D. 0
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 7.
5
Si: < < ; hallar la extensión de: E = 2sen 6 6 A. 1; 2 B. [1; 2
C. –2; –1] D. 1; 2]
8. Hallar la extensión de: E = sen2 + 2sen A. [–1; 3] B. [–3; –1]
C. [1; 3] D. [–3; 1]
10. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región triangular sombreada. y
A. –sen B. 1sen 2 1 C. – sen 2 D. –2sen
0 x
9. Hallar la extensión de: E = sen + 4 sen + 3
A.
4; 1
B.
3 5; 1 4
TRILCE
Colegios
5; 3 4 2 D. 1; 3 2 C.
43
TRIGONOMETRÍA
Colegios
17 Semana 16
TRILCE
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE I Definición. Son aquellas igualdades que se establecen entre las razones trigonométricas de una cierta variable angular y se verifican para todo valor admisible de dicha variable.
Clasificación I.
Identidades trigonométricas recíprocas senx . cscx = 1
•
cosx . secx = 1
cscx = 1 senx
•
tanx . cotx = 1
secx = 1 senx
•
cotx = 1 senx
II. Identidades trigonométricas por división tanx =
senx cosx
cotx =
cosx senx
III. Identidades trigonométricas pitagóricas sen2x + cos2x = 1
sec2x – tan2x = 1
csc2x – cot2x = 1
•
sen2x = 1 – cos2x
•
sec2x = 1 + tan2x
•
csc2x = 1 + cot 2x
•
cos2x = 1 – sen2x
•
tan2x = sec2x – 1
•
cot2x = csc2x – 1
Los problemas que vamos a resolver en este capítulo serán de tipo simplificación y tipo cardinales.
Problemas para la casa 1. Reducir: E = tanx . cosx + senx A. senx B. sen2x
6. Reducir: E = C. 2senx D. 2
A. sen2x B. cos2x
2. Reducir: E = sen3x . cot2x . sec2x A. senx B. cosx
C. 1 D. sen2x
3. Reducir: E = senxcotx + cosxtanx – sen2xcscx – cos2xsecx A. 1 B. 2senx
C. 2(senx – cosx) D. 0
4. Reducir: E = [(senx + cosx)2 – (senx – cosx)2]tanx A. 2 B. 2senx
C. 2cosx D. 4sen2x
5. Reducir: E = (2senx + cosx)2 + (senx – 2cosx)2 A. 3 B. 4
44
C. 5 D. 7
1 – sen2x 1 – cos2x + 1
7.
Reducir: E = A. tanx B. tan2x
C. sec2x D. csc2x (sec2x – 1)cotx (csc 2x – 1)tanx C. cotx D. cot2x
8. Reducir: E = tanx . senx + cosx A. senx B. secx
C. cscx D. cosx
9. Reducir: E = cotx . cosx + senx A. senx B. cosx
C. cscx D. secx
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría secx + tanx + 1 10. Reducir: E = cscx + cotx + 1 A. 1 B. tanx
Tarea domiciliaria C. cotx D. cscxsecx
– 11. Reducir: E = secxcscx cotx + 1 secxcscx – tanx
A. csc2x B. sec2x
C. tan2x D. cot2x
4 4 12. Reducir: E = sen x – cos x secx + 1 senx + cosx
A. 1 B. tanx
C. cotx D. secx
13. Reducir: E = sen3x + cos3x + sen3x – cos3x senx + cosx senx – cosx A. 1 B. 2
C. 2senxcosx D. 2(1 + senxcosx)
14. Reducir: E =
sen2x – tan2x sen2x – cot2x
A. tan2x B. tan4x
C. tan6x D. tan8x
C. 8 D. 12
16. Si: senx – cosx = 2; calcular: E = senxcosx 2 A. 12 1 B. 4
C. 16 D. 1 16
17. Si: tanx + cotx = 3; calcular: E = senxcosx 1 A. 3 2 B. 3
1 C. 6 D. 1 12
18. Si: tanx + tan2x + tan3x = 1; hallar: E = cotx + tan 3x A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
19. Si: senx + cosx = n, hallar: E = tanx + cotx + secx + cscx A. n – 21 2 B. n+1
A. senx B. cosx
C. cos3x D. cos2x
2. Reducir: C = tanx . cot 2x . senx + cos 2x . secx A. cosx B. tanx
C. 2tanx D. 2cosx 2
2
3. Simplificar: C = (senx . cotx) + (cosx . tanx) A. 1 B. 2
C. tanx D. cotx
4. Simplificar: C = sen3x . cscx + cos 3x . secx A. 1 B. senx + cosx
C. senx . cosx D. tanx
5. Reducir: C = senx + cosx tanx secx + cscx
15. Si: tanx + cotx = 2 2; calcular: E = tan 2x + cot2x A. 4 B. 6
1. Reducir: C = sen2x . cotx . secx
A. senx B. cosx
C. sen2x D. cos2x
6. Reducir: C = (secx + tanx)(1 – senx) A. cosx B. cos2x
C. sen2x D. secx
7. Simplificar: C = (cscx – cotx)(1 + cosx) cotx A. senx B. cosx
A. sen2x B. cos2x
8. Reducir: C = secx + tanx + 1 cscx + cotx + 1 A. secx . cscx B. senx . cosx
C. tanx D. cotx
9. Reducir: C = 2secx – 3tanx + 1 2cscx + cotx – 3 A. secx . cscx B. senx . cosx
C. tanx D. cotx
10. Simplificar: C = (2senx + cosx) 2 + (senx – 2cosx)2 A. 3 B. 2
C. 5 D. 5sen2x . cos2x
2 C. n 2 D. n2– 1
20. Si: sen2x = cosx; hallar: E = (1 – sen4x)csc2x C. 12 D. 14
A. 1 B. 2
TRILCE
Colegios
45
TRIGONOMETRÍA
Colegios
18 Semana 17
TRILCE
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE II •
Identidades trigonométricas. Auxiliares: Apartir de las identidades trigonométricas fundamentales, se demuestran una serie de relaciones adicionales para simplific ar o resolver expresiones de manera más rápida y eficiente. Estas relacione s auxiliares son: sec2x + csc2x = sec2x . csc2x
tanx + cotx = secx . cscx 4
4
2
2
6
sen x + cos x = 1 – 2sen x . cos x (senx + cosx)2 = 1 + 2senx . cosx
6
2
2
sen x + cos x = 1 – 3sen x . cos x (senx – cosx)2 = 1 – 2senx . cosx senx = a c cosx = b c
Si: asenx + bcosx = c (a2 + b2 = c2)
tanx =
a b
Problemas para la clase 1. Reducir: C = (secx . cscx – cotx)cosx A. 1 B. senx
7. Siendo: tanx + cotx = 3; calcular: C = sen4x + cos4x A. 13 2 B. 9
C. cscx D. sen2x 2
2. Reducir: C = tanx + cotx – 1 secx A. 1 B. cotx
C. tan2x D. cot2x
C. 23 D. 79
8. Siendo: sen2x – cos2x = 13; hallar: C = sen 4x + cos4x 3 5 B. 4 9 A.
3. Si: tanx + cotx = 2secx; “x” es agudo, calcular:
5 C. 9 2 D. 5
C = senx . tanx A.
3
B. 2 3 4. Si: tan + cot = 2 3 C = 12sen2 + tan2 A. 10 B. 20
C. D.
3 3 3 6
2 2 6 6 9. Si: sec x + csc x = 6; calcular: C = sen x + cos x
A. 1 B. 1 2
sc ; “” es agudo, calcular: 10. C. 22 D. 23
A. 3 B. 3 2
C. 15 D. 2 15 11.
sen4x + cos4x – 1 6. Reducir: C = sen6x + cos6 x – 1 A.
1 3
B. – 1 3
46
C.
2 3
D. – 2 3
1 Si: sen4x + cos4x = 1 – tan2x; “x” IC; 8 calcular: C = senx . tan x
5. Si: tan + cot = 3; calcular: C = sec + csc A. 7 B. 2 7
C. 2 3 D. 1 4
C. 3 4 D. 2 3
Si: sen6x + cos6x = 1 – 1senx . cos2x; “x” IIC 2 calcular: C = cscx + 1 – 5cotx A. 5 7 B. 4 7
C. 6 7 D. 3 7
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 12. Reducir: C =
(senx + cosx)2 –1 (senx – cosx)2 –1
A. 1 B. – 1
C. 2 D. – 2
13. Reducir: C = (senx + cosx + 1)(senx +cosx– 1)(tanx + cotx) A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
1 14. Si: senx + cosx = , calcular: C = tanx + cotx 4 A.
–
32
115 B. 16
32 C.D. –314 3
15. Si: senx – cosx = 1; calcular: C = sec2x + csc2x 2 A. 8 B. 64
C. 64 9 D. 32 3
16. Si: 3senx + 4cosx =5; calcular: C = 7senx + cosx A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
17. Si: 7sen + 24cos = 25; calcular: C = 3sen + cos C. 8 A. 7 56 59 B. D. 5 5 18. Si: secx + tanx = 4; calcular: cosx 1 8 A. C. – 4 17 D. 1 B. 8 17 16
sen4x + cos4x – 1 3. Reducir: C = sen6x + cos6x – 1 2 A. 13 C. – 3 1 B. – D. 2 3 3 tan2x + 1 4. Reducir: L = sec2x + csc2x A. sen2x B. cosx
C. cos2x D. csc 2x
5. Reducir: L = 1 + 2senx . cosx – senx; x IC A. 1 B. 1 – senx
C. 1 + senx D. cosx
6. Siendo: senx + cosx = 3 ; calcular: Q = senx . cosx 2 1 1 A. 2 C. 6 1 1 B. D. 4 8 7. Siendo: senx – cosx = 1; calcular: Q = senx . cosx 2 1 A. 8 B. 3 4
3 C. 8 3 D. 16
8. Siendo: tanx + cotx = 4; calcular: Q = senx . cosx 1 A. 2 1 B. 4
C. D. 2
2 2 4
9. Siendo: tanx – cotx = 3; calcular: Q = tan2x + cot2x 19. Si: secx + cscx = 15; calcular: C = tanx + cotx A. – 5 B. 3
C. – 3 D. {– 5; 3}
C. 5 D. 7
10. Siendo: tanx + cotx = 3; calcular: P = tan 3x + cot3x
20. Reducir: C = (1 – 2cos2x)(1– 2sen2xcos2x)(1– 4sen2xcos2x + 2sen4xcos4x) A. sen16x + cos16x B. sen16x – cos 16x
A. 3 B. 4
C. sen8x – cos8x D. sen32x + cos32x
A. 16 B. 17
C. 18 D. 21
Tarea domiciliaria 1. Reducir: C = (secx . cscx – tanx)senx A. 1 B. sen2x
C. cosx D. cos2x
2. Reducir: L = sec2x . csc2x – tan2x – 1 A. secx B. cscx
TRILCE
Colegios
C. sec2x D. csc2x
47
TRIGONOMETRÍA
Colegios
19 Semana 18
TRILCE
Quinto Católica
REPASO DE IDENTIDADES Problemas para la clase
4 4 12. Reducir: E = sen x – cos x secx + 1 senx + cosx
A. 1 B. tanx
1. Reducir: E = tanx . cosx + senx A. senx B. sen2x
C. 2senx D. 2
13. Reducir: E = sen3x + cos3x + sen3x – cos3x senx + cosx senx – cosx
2. Reducir: E = sen3x . cot2x . sec2x C. 1 D. sen2x
A. senx B. cosx
3. Reducir: E = senxcotx + cosxtanx – sen2xcscx – cos2xsecx A. 1 B. 2senx
A. 2 B. 2senx 5.
A. 1 B. 2
A. tan2x B. tan4x
A. 4 B. 6
C. 2cosx D. 4sen2x
6. Reducir: E =
1 – sen2x 1 – cos2x
C. 5 D. 7
1. Reducir: C = sen2x.cotx.secx
C. sec2x D. csc2x
2. Reducir: C = tanx.cot2x.senx + cos2x.secx
(cot2x – 1)tanx
A. tanx B. tan2x 8. Reducir: E = tanx . senx + cosx
A. 1 B. tanx
D. cos2x
C. 2tanx D. 2cosx
C. cotx D. secx
4. Simplificar: C = sen3x.cscx + cos3x.secx
secx + tanx + 1 cscx + cotx + 1
A. 1 B. senx + cosx 5.
C. senx.cosx D. tanx
senx + cosx Reducir: C = secx + cscx tanx A. senx B. cosx
C. sen2x D. cos2x
6. Reducir: C = (secx + tanx)(1 – senx) C. cotx D. cscxsecx
– 11. Reducir: E = secxcscx cotx + 1 secxcscx – tanx B. sec2x A. csc2x
48
B. cosx
A. 1 B. 2
C. cscx D. cosx
9. Reducir: E = cotx . cosx + senx A. senx C. cscx B. cosx D. secx 10. Reducir: E =
C. cos3x
3. Simplificar: C = (senx.cotx)2 + (cosx.tanx)2 C. cotx D. cot2x
A. senx B. secx
A. senx
A. cosx B. tanx
(sec2x – 1)cotx 7. Reducir: E =
C. 8 D. 12
Tarea domiciliaria
+ 1
A. sen2x B. cos2x
C. tan6x D. tan8x
15. Si: tanx + cotx = 2 2; calcular: E = tan2x + cot2x
Reducir: E = (2senx + cosx) 2 + (senx – 2cosx)2 A. 3 B. 4
C. 3 D. 2senxcosx
2 – 2 14. Reducir: E = sen x tan x cos2x – cot2x
C. 2(senx – cosx) D. 0
4. Reducir: E = [(senx + cosx)2 – (senx – cosx)2]tanx
C. cotx D. secx
A. cosx B. cos2x
C. secx D. cscx
7. Simplificar: C = (cscx – cotx)(1 + cosx) cotx D. cot2x C. tan2x
TRILCE
Colegios
A. senx B. cosx
TRILCE
Colegios
C. cos2x D. tanx
T rig onomeTría
49
TRIGONOMETRÍA
Colegios secx + tanx + 1
8. Reducir: C =
cscx + cotx + 1 TRILCE A. secx . cscx C. B. senx . cosx
tanx D. cotx
2 10. Simplificar: C = (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)Semana 19 18
A. B. C. D.
2 2(tan2x + cot2x) 4 4(tan2x + cot2x)
9. Simplificar: C = (2senx + cosx)2 + (senx – 2cosx)2 A. 3 B. 2
50
C. 5 D. 4
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIAS DE VARIABLES •
Fórmulas básicas: sen(x ± y) = senxcosy ± senycosx cos(x ± y) = cosxcosy senxseny
tan(x ± y) = tanx ± tany 1 tanxtany
Por ejemplo:
•
•
sen(40° + x) = sen40°cos x +
•
cos(a + 10°) =
•
cos(10° – x) = cos10°cos x +
•
tan(10° + a) = tan10º + tan 1–
•
sen(70° – x) =
•
tan(20° – x) =
sen2x – sen2y = sen(x + y) . sen (x – y)
•
tan17° + tan28° + tan17°tan28° =
•
sen25x – sen2x =
•
tan26° + tan34° + 3 tan26°tan34° =
•
sen250° – sen212° =
•
sen23x – sen22x =
• •
sen215° – sen27° =
Propiedades:
sen27x –
sen22x
Si: K = asenx + bcosx, entonces: Kmáx = a2 + b2
=
•
K = 2senx + 3cosx
Kmín = – a2 – b2 Kmáx =
•
K = 3senx – 4cosx
Kmáx =
Kmín =
tanx + tany + tanxtanytan(x + y) = tan(x + y)
•
tan5x + tan2x + tan5xtan2xtan7x =
•
tan4x + tanx + tan4xtanxtan5x =
Kmín =
Problemas para la casa 1.
Reducir: C = sen(x + y) – senycosx cos(x + y) + senxseny A. tanx B. cotx
2.
C. tany D. coty sen(x – y) + senycosx Reducir: L = cos(x – y) – senxseny
A. tanx B. cotx
C. tany D. coty
3. A qué es igual: A = sen22°cos8° + sen8°cos 22° A. 1 B. 2 2
TRILCE
Colegios
C.
3 2 1 D. 2
4. A qué es igual: U = cos52º . cos15º + sen52º . sen15º A. 1 B. 2 2
3 5 4 D. 5 C.
5. Si: senx + cosx = 2; calcular: D = 4sen(45°+x) + 3 4 A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
6. Si: 3senx + cosx = 1; calcular: E = 5sen(x + 30°) + 1 3 6 3 A. 2 B. 1
2 C. 3 D. 2
51
Colegios 2 ; tan y = 1; donde “x” e “y” son ángulos
7. Si: sen x =
13 8 TRILCE agudos, calcular: sen(x + y) A. B.
17 65 13 23 65 5
C. D.
A. 1
C. 3 D. 3 3 16. Si: + = 45°; calcular: C = (1 + tan )(1 + tan)
19 13 65 19 65 5
B.
8. Siendo “” y “ ” ángulos agudos; tal que: cot = 2; cot = 8, calcular: cos( + ) A. B.
17
17
C.
13 5 8 5 13
13 3 2 ; II C; cos = ; III C, calcular: 9. Si: sen = 13 10 “tan( + )” 3 A. 11 B. – 3 11
C 1 D
18. Si las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0, son: “tan ” y “tan ”; hallar “tan ( + )” C. a –c b D. b –c a
C. 3 1 D. 2
A. 1 B. 2
B
2
E
1
C
C. –4 4 D.
Tarea domiciliaria
3
A
12. Simplificar: C =
sen40° – 3cos40° sen20°
A. –2 2 B.
A. 3,5 B. – 3,5 C. 4,5 D. – 4,5
B
5
1. Simplificar: C = sen( + ) – sen cos cos( + ) + sensen A. tan B. cot
sen240º – sen 220º
C. D.
C. tan D. cot sen( – ) + sencos
sen225º – sen25º
2. Reducir: L = cos( – ) – sensen 3 2 3
13. Sume el valor máximo de: C = 3senx + 13 cosx; con el valor mínimo de: L = 2senx + 7cosx A. 1 B. 2
C. 1,5 D. 2,5
20. Hallar el valor de: F = 5
D
B.
A. 2 B. 3
2
11. Del gráfico, calcular “tan”
3 3 3
C. 3 D. 4
tan2° 19. Calcular el valor de: F = tan46° – tan44°
0,25 0,35 0,75 0,85 A
A.
A. 1 B. 2
A. c – ab B. a – cb
7 C. 9 D. 9 7
10. Del gráfico, calcular “tan ”
A. B. C. D.
3
17. Calcular: C = (sen20°+ cos10°)2 + (sen10° + cos20°)2
5 5 3
D.
TRIGONOMETRÍA 20 15. Calcular: L = tan20º + tan25º + tan20ºtan25ºSemana 19 tan40º + tan5º + tan40ºtan5º
C. 3 D. 4
A. tan B. cot
C. cot D. csccsc
3. Simplificar: C = sen20ºcos10º + sen10ºcos20º cos20ºcos25º – sen20ºsen25º A. 2 B.
C. 2
2
2 D. 2 2
4. Calcular: L = (sen20°+cos10°) 2 + (sen10° + cos20°)2
14. Calcular: C = tan 22° + tan 38° +3 tan 22° tan 38° 3
A. B. 3
52
C. 1 3 D. 3 3
A. 1 B. 2
C. 3 D. 1,5
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 5. Calcular: L = (sen50°+ cos50°)(sen10°+ cos10°) –cos40° A. 2 B. 3
C. 12 D. 3 2
6. Reducir: E = tanx + tany + tanxtany tan(x + y) A. 1 B. 2
C. tan(x + y) D. tanx + tany
7. Si: tanx = 3; tany = 4 ; calcular “tan(y – x)”. A. 12 1 B. 1 13
C. 11 1 D. 2 13
1 8. Si: x + y = 45°; tanx = ; calcular “tany”. 6 5 6 B. 6 5 A.
TRILCE
Colegios
9. Del gráfico, obtener “tanx”.
A. B. C. D.
C 1
0,2 0,4 0,6 0,8
M
x A
2
N
1 B
2
10. Del gráfico, calcular “tanx”, si ABCD es un cuadrado.
B
5
E 2
C
x
A. 2 B. C. 46 D. 8 A
D
5 C. 7 D. 75
53
Católica
Ciclo
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 21 20
TRILCE
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE DOBLE •
Fórmulas básicas (x 2x) cos2x = cos2x – sen2x
sen2x = 2senxcosx
•
• •
sen40º = 2sen20ºcos20º
cos40º = cos220º – sen220º
sen32º = 2
• •
•
sen4 = 2
•
cos6 =
•
2sen10ºcos10º = sen20º
•
cos210º – sen210º = cos20º
•
2sen4ºcos4º =
•
cos23x – sen23x =
•
2sen3xcos3x =
•
cos25x – sen25x =
tan2x =
2tanx 1 – tan2x
•
tan80º = 2tan40º 1 – tan240º
•
tan32º =
•
tan4 =
cos16º =
Propiedades: 1 – cos2x = 2sen 2x
1 + cos2x = 2cos 2x
(sen ± cosx)2 = 1 ± sen2x
•
1 – cos40 = 2sen20º
•
1 + cos48º = 2cos224º
tan + cotx = 2csc2x
•
1 – cos16º =
•
1 + cos32º =
cotx – tanx = 2cot2x
•
1 – cos4 =
•
1 + cos8 =
•
2sen210º = 1 – cos20º
•
2sen24x = 1 + cos8x
•
2sen23x =
•
2cos214º =
Problemas para la clase 1. Si “” es un ángulo agudo tal que: sen =
2
; calcular: 13
sen2 A. 12 13 B. – 3 13
C.
5 13 13 D. – 13
2. Si“” es un ángulo agudo, tal que: tan = 3; calcular: cos 2 2 5 A. 13 C. 12 13 5 D. – 12 B. – 13 13 3. Si: tan = – 5; IIC, calcular: sen2 2 A. – B.
9 9
54
C. – D.
9
4. Si: cot = – 1 ; IVC; calcular: cos2 2 A. 3 A. 4 5 5 3 4 B. – B. – 5 5 5. Reducir: C = sen2x + 2cosx 1 + senx A. 2senx B. 2cosx
C. 2tanx D. 2cotx
2 6. Reducir: C = sen2x + 2sen x cos2x – 2cos2x
A. 1 B. – 1
C. tan2x D. cot2x
7. Simplificar: C = 4senxcosxcos2x A. sen4x B. 2sen4x
C. 2sen2x D. 4sen2x
9
TRILCE
Colegios
Católica
Ciclo
8. Reducir: C = senxcos3x – sen3xcosx
17. Del gráfico, obtener: cos
A. sen4x
1 C. sen4x 4
B. 1sen4x 2
D. 2sen4x
9. ¿Cuál es el máximo valor de: C = sencosx? A. 1
C. 14
B. 1 2
D. 2
4 D 3 A
18. Simplificar: F =
10. Cuál es el valor máximo de:
B
cos4 – sen4 sen.cos
A. 2cot2 B. 2sec2
L = (2senx + cosx) 2 + (senx + 2cosx) 2 A. 4 B. 6
C
7 4 7 B. 3 14 C. 4 14 D. 8 A.
19. Simplificar: F =
C. 8 D. 9
C. 2sec4 D. 2tan2 2 + 2 + 2cos40°
A. cos10° B. 1
C. 2 D. 2cos10°
11. Señale el valor mínimo de: L = sen6x + cos6x 20. Sabiendo que: cot – tan = 16; calcular: tan2 C. 1 6 D. 3 4
A. 1 B. 1 4
A. 0,25 B. 0,125
Tarea domiciliaria
12. Reducir: C = 1 – cos2x + sen2x senx + cosx A. 2senx B. senx
1. Si “” es agudo, tal que: sen = 1; calcular “sen2” 3
C. tanx D. cotx
13. Reducir: C =
A.
sec2x – 1 sec2x + 1
B.
5 A. 12 B. 5 13
C. 4tanx D. 4tan2x
A. 20 21 B. 20 29
C. 3 8 1 D. 4
B. C.
A. 2sen2x
D.
54
B. sen4x
B 2
A
2
5 ; calcular “tan2 ” 29 C. 21 29 D. 21 20
4. Reducir: C = 4senx . cosx . cos2x
16. Del gráfico, calcular: cos A.
6 C. 13 D. 12 13
3. Si “” es agudo, tal que: cos =
1 15. Si: senx – cosx = ; calcular: sen2x 2 3 A. 2 3 B. 4
2 3 4 2 D. 9
2. Si “” es agudo, tal que: tan = ;3calcular “cos2 ”
14. Simplificar: C = (1 – tan2x)(1 – tan22x)tan4x A. 2tanx B. 2tan2x
C.
22 3 2 2 9
2
C. tan22x D. cotx
A. tanx B. tan2x
2 3 1 3 1 4 3 4
C. 0,225 D. 0,315
C. 2sen4x 1 D. 2sen4x
5. Reducir: L = (2senx + cosx)2 + (senx + 2cosx) 2 – 5
3
C
A. sen2x B. 2sen2x
C. sen4x D. 4sen2x
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 6.
7.
Señale el equivalente de: C = 2sen2x . cotx + 3cos2x . tanx
9. Simplificar: L = (2cosx – sen2x)(1 + senx)
A. 5sen2x 2 B. 3sen2x
C. 2sen2x D. 2cos3x 1 – cos2x 10. Señale el equivalente de: C= 1 + cos2x
C. 4sen2x D. 5sen2x
Señale el valor de: L = cos4 – sen4 12 12 1 A. 2 B. 3 2
8. Simplificar: C =
C.
A. 2cos2x B. 2senx
A. tanx B. tan2x
C. cotx D. cot2x
3
D. 2 sen2x – 2senx 1 – cosx
A. senx B. 2senx
TRILCE
Colegios
C. – senx D. – 2senx
55
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 21 22
TRILCE
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD •
Fórmulas básicas: (x x) 2 sen x = ± 2
•
1 – cosx 2
cos x = ± 2
1 + cosx 2
tan x = ± 2
El signo ± dependerá del cuadrante en x 2
1 – cosx 1 + cosx
que se ubique “ ”
Fórmulas especiales tanx = cscx – cotx 2
cotx = cscx + cotx 2
1 – cosx = tan2x 1 + cosx 2
Problemas para la clase 5 A. B.
0,1 C. 0,2 D.
2. Sabiendo que: tan =
B.
2 ; “” es agudo. Calcular “cos ” 2 2 5 6 7 8
C. D.
3. Sabiendo que: sen = –
2 2
C.
2 2
2 2 2 D. – 2
A. – 1
C. –
3
6 3 D. – 2 7 3 5. Sabiendo que: tan = ; ; , calcular “sen 2” 3 2 5 8
7 8
C. 5 8
D.
–
7 8
6. Señale el valor de tan15° A. 1
B.
56
x C. tan22 D. cot2x 2
10. Reducir: L = csc2x + csc4x + csc8x + cot8x
3 2 B. – 3
–
tanxtan2x + 1 tanxcot x + 1 2
B. – 1
4. Sabiendo que: cot = – 5 ; 270°; 360°; calcular “tan 2” 12
B.
=
C. sen2x D. cos2x
A. 1
2
A.
A. tanxsenx B. cosx
; 180°; 270°; calcular
“tan ”
B. –
C. 2+1 D. 1
8. Reducir: C = (csc2x + cot2x)senx
9.
3
A.
A. 2–1 B. 2 – 3
0,4 0,6
2 3 3 5
A.
2
2
3 3+1
C. 2 + 3 D. 2 – 3
tan2x C. cot x D. 2
A. cotx B. tanx
11. Señale el equivalente de: F = sec40° – tan40° A. tan20° B. cot10°
C. cot20° D. tan25°
12. Calcular: C = csc40º + csc80º + csc160º cot20º A. 1 B. 2 13. A qué es igual: L = A. tan x 2 B. cotx 2
C. –1 D. –2 secx – 1 ; < x < 3 secx + 1
2 C. –cotx 2 D. –tanx 2
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 14.
Simplificar: F =
sec50° – tan50° cot70°
5 3. Si “” es un ángulo agudo, tal que: sen = ; hallar 3 “cos ”. 2
C. 3 1 D. 4
A. 1 B. 2
1 3 3
A.
1 – sen20° 1 + sen20° = tan
15. Si:
B.
calcular “”; IC
A. 30° B. 28° Reducir: P = 16.
5 C. 35° D. 38°
4.
1 A. 3 B. 1 2
x C. tan2 2 x D. sec . csc x 2 2 5.
17. Señalar el equivalente de: P = secx – tanx x x A. tan – C. cot – 4 2 4 2 B. tan2 – x D. cot2 – x 4 2 4 2 18. Simplificar: Q = cot – 2cos2 – cot 2 2 C. sen2 A. cos2 B. cos D. sen x x cot – tan 2 2 19. Reducir: F =
B.
C. –
B.
2
5
2
2.
B.
3 2 3 4
TRILCE
Colegios
secx – 1 secx + 1
C. D.
C. D.
C. cot x 2 D. cot2x
2 20 2 7. Si: tan = 21 III C; calcular: tan 2 5 A. – 4 B. – 5 2
C. – 3 4 D. – 3 4
6 3 6 6
C. D.
2 – 2
1 9. Siendo: cos = ; 270° < < 360°, calcular “cos ”. 5 2 A. – 0,2 B. – 0,3
Si“” es un ángulo agudo, tal que: c os = 1; hallar “tan”. 7 2 A.
11
A. 3 B. – 2
“tan ”.
B.
1 C. 2 11 1 D. 23
11 3
1 8. Siendo: cos = ; 90° < < 180°, calcular “tan ”. 3 2
2
D. – 2
1
3 6 6 2
2
A. tan x 2 B. tan2x
Si “” es un ángulo agudo, tal que: cos = ; calcular
A.
3
6. Señale el equivalente de:
Tarea domiciliaria 1.
1 C. 3 3 D. 2 3 3
5 Si“” es un ángulo agudo, tal que: cos = ; hallar “sen ”. 6 2 A.
csc2x + cot2x A. –2 C. 1 1 D. 2 B. 2 20. Si: 2sen2 = 3sen 270° < < 360° ; calcular: 2sen 2 2 2 2 4
Si “” es un ángulo agudo, tal que: tan = 2 2; hallar
2
cscx + cotx
A.
D.
5 6 3 7
“sen”.
cscx – cotx
x A. tan 2x 2 B. cot 2
C.
10. Reducir: C = cscx – cotx 1 A. 2tanx x B. tan 2
C. D.
0,3 – 0,6
x C. cot2 1 x D. cot 2 2
3 6 3 8
57
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 23 22
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA 1 8. Siendo: cot = ; 180° < < 270°, calcular: cos 2 6
Problemas para la clase 1.
Sabiendo que: tan = 2 ; “” es agudo, calcular: sen2 3 A.
12
6
C.
1312 B. – 13
13 D. 135
9.
1 2.
Sabiendo que: tan =
6
B. –
C. 5 7 3 D. – 7
B. – 5 7
2
C. – 0,2 D. – 0,4
Siendo: sen = – 5; <270°; 360°>, calcular: 3 2 A.
; calcular: cos2
A. 3 7
3.
A. – 0,5 B. – 0,6
1 5
C.
1
5
5
D. – 5
10. Señale el equivalente de: C = cscx + csc x + cscx + cscx 2 4 8 x – cotx 16 x B. cot + cotx 16 A. cot
Siendo: sen2 + sen2 + sen2 = 1 ; calcular: 2 C = cos2 + cos2 + cos2
x C. cot – tanx 16 x D. cot + tanx 16
11. Calcular: C = (sen9° + cos9°)2 – (sen9° – cos9°)2 C. 2
A. 1 B. –1 4.
D. –2
A. 4
sen2 + cos Simplificar: F = sen + sen30° A. 1 B. sen
B.
1 A. 2 B. 14
sen2 + 2sen 5. Simplificar: F = 1 + cos C. cos D. 1
1 C. 8 D. 1 10
A. –m B. m
C. –n D. n
B
A.
14. Siendo: sen6x + cos6x = a + bcos4x; calcular:
D 2 A
C
5
15 17 B. 20 29 8 C. 17 5 D. 13
A. 5
C. – 3
B. 3 5
D. – 5 3
a b
15. Reducir: C =cotx – tanx – 2tan2x – 4tan4x – 8tan8x; x = tanx 34
7. Del gráfico; calcular: cos2 C
A.
3
A. 8 B. 4
C. 32 D. 16
5 D A
58
D.1
5–1 2 5 4
13. Siendo: msen – ncos = 0; hallar: C = msen2 – ncos2
6. Del gráfico, calcular: sen2 21 9 8 B. 17 20 C. 29 15 D. 17
5+1 2
C.
12. Calcular: E = cos20ºcos40ºcos80º
C. 2cos D. – 1
A. sen B. 2sen
5+1
B
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 16. Reducir: C = A. 14 B. 34 17. Reducir: F =
cos220°
+
cos2100° + cos2140°
4. Reducir: C = [(senx +
C. 32 D. 38
A. sen2x B. sen4x
A. 2senx B. sen2x
C. 2sen10° D. 1 6.
Siendo: senx + cosx =
18. Señale el equivalente de: C = sec50º + tan50º A. tan20º
C. tan10º
B. cot20º
D. tan25º
A. 0,1
B 2
A
C = sen2x + 2senxcosx + 3cos2x C. 4 + 2 2 D. 2 + 2
Tarea domiciliaria
2. Reducir: C =
1 – cos2x cotx senx
A. 2senx B. 2secx 3. Reducir: C =
6 ; calcular: sen2x 5 C. 0,3
A. ab B. a + b a–b
C. a – b a+b b D. a
9. Si: tan = 15 ; “” ; 3 , calcular: sen 2 2 3 8 5 8
C. D.
1 2 1 6
10. ¿A qué es igual: C = csc – cot? A. 1 B. cot 2
C. tan 2 D. sec 2
C. 2cosx D. 2cscx cos2x – cos22x 1 – cos2x
A. cos2x B. 2cos2x
TRILCE
Colegios
C
B.
C. cot D. 1cot 4
C. 2sen2x D. 2cos2x
8. Siendo: sen2= a – b; hallar: tan2(45° – ) a+b
A.
sen2 Reducir: C = 2cos2 A. tan B. 1tan 2
B. 4
3
20. Calcule el valor máximo de:
1.
C. cos4x D. 2cos4x
C. 1 4 D. 1 2
A. 2
2
A. 2 + 2 2 B. 3 + 2
1
B. 0,2 D. 0,4 7. Siendo: cotx – tanx = 4; calcular: tan2x
19. Del gráfico, calcular: tan2
A. 2 7 B. 3 7 C. – 3 7 D. 4 7
cos2x
– 1]2 –
5. Reducir: C = tanx(1 + cos2x)
2 – 2cos20°
A. sen10° B. 2sen20°
cosx)2 +
C. 2sen2x D. 1cos2x 2
59
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 24 23
TRILCE
Quinto Católica
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS •
Caso I: De suma y/o diferencia de senos y/o cosenos a producto. – senx + seny = 2sen x + y cos x y
– cosx + cosy = 2cos x + y cos x y
2
2 x–y x+y senx – seny = 2sen cos 2 2
cosx – cosy = 2sen
2 2 y–x y+x sen 2 2
Por ejemplo: sen70º + sen16º = 2sen
70° + 16°
cos
70° – 16°
2 5x – 3x
= 2sen43ºcos27º
2
5x + 3x cos = 2senxcos4x 2 2 – cos48º + cos14º = 2cos 48° + 14° cos 48° 14° = 2cos31ºcos17º 2 2 sen5x – sen3x = 2sen
cosx – cos5x = 2sen
5x – x 2
sen 5x + x 2
= 2sen2xsen3x
No olvide: sen2x – sen2y = sen(x + y) sen (x – y)
cos2x – cos2y = sen (y + x)sen (y – x)
Problemas para la clase 1. Reducir: C =
sen7x – senx sen4x
A. 2cosx B. 2cos2x
6. C. 2cos3x D. 2cos4x
2. Reducir: C = sen5x sen3x 2cos4x –
A. senx B. 2senx
C. sen2x D. 2sen2x
C. 2 D. 3
C. tan5x D. tan7x
5. Transforme a producto: C = senx + sen3x + sen5x + sen7x A. 4senxcos2xsen4x B. 4cosxcos2xsen4x
60
x y cos 45° – – 2 2
A. 2cos(45°– x + y)
C. 2cosxcos2xsen4x D. 2senxcos2xsen4x
x y C. 2cos 45° – – 2 2 D. 2sen 45° – x – y 2
2
8. Reducir: C = senx + sen5x + sen9x + sen13x cosx + cos5x + cos9x + cos13x A. tan 3x A. tan 4x
sen7x + sen3x 4. Simplificar: C = cos7x + cos3x
C. 2cos2xcos4xcos5x D. 4cos2xcos4xcos5x
senx + cosy
B. cos 45° – x – y 2 2
1
A. tan2x B. tan3x
A. 2cosxcos2xcos5x B. 4cosxcos2xcos5x 7. Reducir: C =
3. Reducir: C = cos40º + cos20º cos10º
A. 2 B. 3 2
Transforme a producto: L = cos2x + cos4x + cos6x + cos8x
C. tan 5x D. tan 7x
9. Reducir: L = sen20º + sen40º + sen60º + sen80º cos20º + cos40º + cos60º + cos80º A. tan20° B.
3
3 C. 3 D. tan 50°
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 10. Simplificar: C = sen2x + sen 3x + sen4x cos2x + cos3x + cos4x A. tan2x B. tan3x
Tarea domiciliaria
C. tan4x D. tan5x
1. Reducir: C =
11. Simplificar: L = senx + sen3x + sen5x + sen7x + sen9x cosx + cos3x + cos5x + cos7x + cos9x A. tanx B. tan3x
A. 2cosx B. cos2x
C. tan5x D. tan7x
12. En un ABC; reducir: J =
–
A. cotx
C. cosC D. –2senC
13. Señale el valor máximo de: P = sen(70º + x) + sen(4º – x) A. 1 B. 1,1
14. Si: x + y = ; calcular el valor máximo de: C = sen2x + sen2y C. 2cos D. sen
15. Reducir: F = sen2x + 2senx.cos3x A. – sen4x B. – sen2x 16. Si: 2sen 7x 2 A. 1 B. 2
C. sen4x D. sen2x cos
x = senAx + senBx, hallar “A + B” 2 C. 3 D. 7
17. Señale el valor máximo de: C = senxcos(x + 30°) C.
1 A. 2 B.
3
23 1 D. 4
– 18. Reducir: F = 2cos4x.cos3x cos7x
A. cosx B. cos2x
C. cos3x D. cos4x
20. Reducir: F = sen7cos - sen3cos5 A. sen4cos2 B. cos4cos2
TRILCE
Colegios
4. Reducir: U = sen5x – senx cos5x + cosx A. tan2x B. cot2x
C. tan3x D. cot3x
5. Simplificar: D = sen5x + sen3x + senx 2cos2x + 1 A. senx B. sen3x
C. sen5x D. sen7x
6. Simplificar: I = sen2x + sen4x + sen6x cos2x + cos4x + cos6x A. tan2x B. tan4x
C. tan6x D. cot2x
+ sen3x + sen5x + sen7x 7. Reducir: A = senx cosx + cos3x + cos5x + cos7x A. tan3x B. tan5x
C. tan7x D. tan4x
L = sen10° + sen20° + sen30° + sen40° A. 4sen25°cos10°cos5° B. 4sen25°sen10°cos5°
1 C. – 2 D. 1
1 B. 2
C. cot4x D. tan5x
8. Transforme a producto:
19. Hallar “A + “B en la identidad: senx.cos2x = Asenx + Bsen3x A. 0
C. cosx
B. senx D. 2cosx 3. Simplificar: A = sen7x – senx cos7x – cosx A. cot3x B. tan4x
C. 1,2 D. 1,4
A. 2sen B. 2sen 2
C. 2cos2x D. cosx
2. Reducir: L = sen5x senx sen4x – sen2x
sen2A + sen2B cos(A – B)
A. senC B. 2senC
sen5x + senx sen3x
C. sensen2 D. cos8
C. 4sen20°cos15°cos5° D. 2sen25°sen10°cos15°
9. Transforme a producto: L = senx + sen3x + sen5x + sen7x A. 2sen4xsen2xcosx B. 4senxsen2xcosx
C. 4sen4xcos2xcosx D. 4sen4xsen2xsenx
10. Calcular: U = sen40º + sen20º cos10º A. 1 1 B. 2
C.
3
D. 3 2
61
TRIGONOMETRÍA
Colegios
25 Semana 24
TRILCE
Quinto Católica
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES (I) INTRODUCCIÓN: toda función se define como un conjunto de pares ordenados, donde cada primera componente está asociada a una sola segunda componente. Por ejemplo:
F = {(1; 2), (3; 5), (4; 7), (6; 9), (7; 5)} es una función. G = {(1; 3), (4; 5), (6; 9), (4; 7), (2; 3)} no es función, es una relación. (Note que la primera componente (4) se le asocian dos segundas componentes (5) y (7)).
H = {(4; 5), (1; 2), ( –1; 2), (7; 2), (2; 2)} J = {(3; 1), (1; 3), (4; 5), (5; 4), (3; 2)} Ahora, observe el siguiente conjunto de pares ordenados:
F = {(x; y)/y = x + 2; x ZZ,2 x 7}
Tendremos que escribir este conjunto por extensión, pero note que:
x = 3; 4; 5; 6; 7
Luego: F = {(3; 3 + 2), (4; 4 +2), (5; 5 + 2), (6; 6 + 2), (7; 7 + 2)} F = {(3; 5), (4; 6), (5; 7), (6; 8), (7; 9)} → si es función Al conjunto de las primeras componentes de una función, se le denomina dominio de la función; y al conjunto de las segundas componentes se le denomina rango de la función. En el último ejemplo: Dominio = Dom(F) = {3; 4; 5; 6; 7}
Rango = Rang(F) = {5; 6; 7; 8; 9}
Cuando una función se define como en el último ejemplo; mediante fórmulas que relacionan a los valores de la segunda y primera. componente; dicha fórmula (y = x + 2) se denomina regla de correspondencia; y ante ellas, los valores de “x” determinan el dominio de la función y los valores de “y” determinan el rango de la función. Es decir: Dom(F) = {valores de “x”}
Rang(F) = {valores de “y”} y
Para graficar una función, se ubican los pares ordenados que conforman la función como si fueran puntos del plano cartesiano xy; siendo el dominio ubicado en el eje “x”, y el rango se ubica en el eje “y”.
9 8 7 6 5
Por ejemplo, la última función: F = {(3; 5), (4; 6), (5; 7), (6; 8), (7; 9)}
3 4 5 6 7
•
x
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO: y S inu s oide
1
Analizando: y = f(x) = senx
Dom: lR Rang: [–1; 1]
–/2
3/2 O
Graficando:
/2
2 5/2
x
–1
62
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría Podemos notar que hay tramos de crecimiento y decrecimiento; también es una función continua y algo importante; es una función periódica; es decir hay un tramo de la gráfica que se repite a lo largo de todo su dominio. La longitud mínima de dicho tramo, en el dominio, se denomina período principal de la función; se denota por T y en el caso de la función trigonométrica seno: T = 2
•
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO: F.T (coseno) = {(x; y)/y = cosx} y Cosinusoide
1
Analizando: y = f(x) = cosx
Dom: lR
–/2
Rang: [–1; 1]
/2
O
Graficando:
3/2 2
5/2
x
–1
Podemos notar que hay tramos de crecimiento y decrecimiento; también es una función continua y es una función periódica, siendo su período: T = 2
5. Dada la función y = sen x; con dominio en ;, su rango es: 4
Problemas para la clase
A.
1. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada caso:
•
La función y = senx es creciente en 0;
•
2 La función y = senx es decreciente en
•
La función y = senx es creciente en
A. V V V B. V F V
3 ;2 2
C. F V V D. V V F
•
La función y = senx es creciente en ; 2
• •
La función y = senx posee un máximo en 0; La función y = senx es decreciente en 0;
3.
Dada la función y = senx; con dominioen0; , su rango es: A. [–1; 1] B. –1; 1
4.
C. F V V D. F V F
C. [0; 1] D. 0; 1]
Dada la función y = senx; con dominio en ; 2, su rango es: A. [–1; 1] B. –1; 1
TRILCE
Colegios
C. [–1; 0] D. [–1; 0
7.
C.
B. – 2; 0]
D.
2 ;1 2 2 – ;1 2 –
Determine el rango de la función: y = 3senx + 1; x lR. [–4; 4] [–2; 4]
C. [–1; 2] D. [–4; 2]
Determine el rango de la función: y = 2senx + 3; x lR. A. [–1; 3] B. [1; 5]
9.
D. [–1; 0
A. [– 2; 1]
A. B. 8.
C. [0; 1]
;5 Dada la función y = senx; con dominioen , su rango es: 94
6.
; 3 2
2. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada caso:
A. V V V B. V V F
B.
2; 1 2 2; 1 2
C. [–1; 5] D. [2; 3]
Determine el rango de la función: y = Senx Cosx; x lR. A. [–1; 1] B. – 1 ; 1 2 2
C. D.
1 2 1 1 – ; 44 0;
10. Determine el rango de la función: y = senxcosxcos2x; x lR C. – 1; 1 A. [–1; 1] 44 D. – 1 ; 1 B. – 1 ; 1
63
2 2 Colegios
TRILCE
64
88
TRIGONOMETRÍA 25 Semana 24
TRILCE
Colegios
Católica
Ciclo
11. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:
20. Determine el rango de la función: y = 2sen2x – 5cos2x; x lR.
• La función y = cosx, es creciente en 0; • La función y = cosx, es creciente en ; 3 .
A. [2; 5] B. [–2; 5]
2 La función y = cosx, es decreciente en 3 ; 2 . 2
•
A. V V V B. V V F
C. V F V D. F V F
Tarea domiciliaria 1. Acerca de la función: y = senx; señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
12. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso: . 2 3 La función y = cosx, posee un mínimo en ; . 22 La función y = cosx, es creciente en ; . 2
•
• • •
La función y = cosx, es decreciente en 0;
• •
A. V V V B. V V F
C. V F V D. F V F
13. Dada la función: y = cosx, con dominio 0; A. [–1; 1] B. [0; 1]
2
En 0; es creciente 3 En 2; 2 es decreciente En 0; posee un máximo.
A. V V V B. F V V
• • •
Es periódica Su valor máximo es 1. Es creciente y decreciente
A. V V V B. V F V
C. 0; 1] D. 0; 1 3.
• •
1 ;1 2 D. – 1; 1 B. 0; 1] 2 3 3 ; su rango es: 16. Dada la función y = cosx, con dominio – ; 42
A. V V V B. V V F
A. [–1; 1 B. [–1; 0
C.
C. [–1; 1] D. – 1; 2 2
17. Determine el rango de la función: y = 3cosx +2; x lR. A. B.
[–1; 1] [–1; 5]
C. [–3; 2] D. [–3; 5]
18. Determine el rango de la función: y = 4 – 3cosx; x lR. A. B.
[0; 4] [1; 4]
C. [1; 7] D. [3; 7]
19. Determine el rango de la función: y = 3sen2x – 4cos2x; x lR. A. B.
[0; 3] [0; 4]
64
C. V V F D. F V V
Acerca de la función: y = cosx; señale la verdad (V) o falsedad (F) según corresponda:
C. [–1; 0 D. –1; 0 15. Dada la función: y = cosx, con dominio – ; ; su rango es: 33 A. [–1; 1] B. [0; 1]
C. V V F D. V F V
2. Acerca de la función: y = senx; señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
; su rango es:
14. Dada la función: y = cosx, con dominio ; ; su rango es: 2
A. [0; 1]
C. [–5; 2] D. [3; 5]
•
En 0; es decreciente. 3 En ; es creciente y decreciente. 2 2 En ; 2 es creciente. C. V F V D. F V V
4. Acerca de la función: y = cosx; señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
• • •
Es una función creciente y decreciente Es una función periódica Su valor mínimo es 0.
A. V V V B. V V F
C. V F V D. V F F
5. Dada la función: y = senx, con dominio 10; ; su rango es:
A. [–1; 1] B. –1; 1]
C. 0; 1 D. [0; 1]
6. Dada la función: y = senx, con dominio ; 7 ; su rango es: 2 6 A. [–1; 1]
C.
– 1; 1
B. [–1; 1
D.
– ;1
2 1 2
C. [3; 4] D. [1; 4]
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 7. Dada la función: y = cosx, con dominio ; 2 , su rango es: 33 A. [–1; 1] B. – ;11 2
C. D.
1 1 2 2 11 –; 22
– ;
8. Dada la función:y = cosx, con dominio 5; 3 ; su rango es: 9 2 A. B.
[–1; 1] [–1; 0]
TRILCE
Colegios
C. [–1; 0 D. –1; 1]
9. Dada la función: y = senx; con dominio 0; 5 ; su rango es: 9 A. [0; 1] B. 0; 1
C. 0; 1] D. [0; 1
10. Dada la función: y = senx, con dominio ; 3 ; su rango es: 4 2 A. –1; 1 B. –1; 1]
C. [–1; 1] D. [–1; 1
65
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 25 26 Semana
TRILCE
Quinto Católica
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES (II) •
OBTENCIÓN DE DOMINIOS: para determinar el dominio de una función cualquiera, definida mediante una regla de correspondencia; solo deberás tener en cuenta la presencia de radicales de índice par y de denominadores; para luego aplicar:
A: 2n A’: (2n + 1)
B: (4n + 1) 2 B B’: (2n + 1) B’: (4n + 3) 2 4
Si: y = n f(x); n par f(x) 0 Si: y =
f(x) g(x) ≠ 0 g(x)
n 2
En la función: y = tan x y = senx, luego: cosx ≠ 0 cosx
; n par g(x) > 0 g(x) f(x)
Si: y = n
A A’ B B’:
Ejemplo (3): Determine e l dominio de la función: y = f(x) = tan x
f(x) Si: y = n
A A’: n
; n impar g(x) ≠ 0 g(x)
Sabemos que el coseno vale 0 para arcos ubicados en B y B’; luego “x” no puede coincidir con B o B’. 6
Ejemplo (1): Determine el dominio de: y = x – 3
x ≠ (B B’)
En este caso: x – 3 0 x 3 x [3; +
x ≠ (2n + 1)
Dom: [3; +
Ejemplo (2): Determine el dominio de: y =
En este caso:
2
Df: lR – x ≠ (2n + 1) ; n ZZ 2
Ejemplo (4): Determine el dominio de la función: y = f(x) = cot x
x+8 x2 – 4x + 3
En la función: y = cot x ; y = cosx senx
x2 – 4x + 3 ≠ 0 x x
Luego: sen≠ 0; sabemos que el seno vale 0 para arcos ubicados en A y A’; luego “x” no puede coincidir con A o A’
3 1
x ≠ (A A’)
(x – 3)(x – 1) ≠ 0 Dom: lR – {1; 3}
x ≠ n Df: lR – {n; n ZZ}
x–3≠0 x≠3
•
x– 1≠ 0 x≠ 1
•
En el caso de las funciones trigonométricas, se debe tener en cuenta la ubicación de ciertos arcos en la circunferencia trigonométrica: y
A’: ; 3; 5; 7; ...
5 9 13 B: ; ; ; ; ... 2 2 2 2
3; 7; 11; 15; ... B’: 2 2 2 2
Analizando: y = f(x) = tanx
Dom: lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 Rang: lR
Graficando:
B
A: 0; 2; 4; 6; ...
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE:F. T.Tangente = {(x; y) / y = tanx}
Tangentoide
A
A’
x 0
–/2
/2
3/2 2
x
B’
Como son demasiados los arcos que se ubican en A, A’, B y B’; se recurre al uso de fórmulas: (n ZZ)
s íntotas
Se puede notar que es una función creciente en cada cuadrante; es discontinua en todo R y es periódica, siendo su periodo principal:
66
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría
Problemas para la clase 1. Determine el dominio de la función: y = f(x) = senx + 1 cosx – 1 C. lR – n; n ZZ A. lR – {n; n ZZ} 2 D. lR– (2n + 1) ; n ZZ B. lR – {2n; n ZZ} 2 – 2. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 3senx 1 cosx + 1 A. lR – (2n + 1) ; n ZZ C. lR – {(2n + 1); n ZZ} 2 B. lR – {n; n ZZ} D. lR – {2n; n ZZ}
3.
Determine el dominio de la función: y = f(x) = A. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 B. lR – (4n + 1) ; n ZZ 2
3cosx + 1
senx + 1 C. lR – (4n + 3) ; n ZZ 2 D. lR – {(2n + 1); n ZZ}
5cos2x – 1 4. Determine el dominio de la función: y = f(x) = senx + 1 A. lR – (2n + 1) ; n ZZ C. lR– (4n + 3) ; n ZZ 2 2 B. lR – (4n + 1) ; n ZZ D. lR – {(2n + 1); n ZZ} 2 5. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 3Tanx + 1 A. lR – (2n + 1) ;2n ZZ B. lR – n; n ZZ 2
C. lR – {(2n + 1); n ZZ} D. lR– (4n + 1); n ZZ 2
6. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 3cotx + 5 C. lR – {(2n + 1); n ZZ} A. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 B. lR– n ; n ZZ D. lR – {n; n ZZ} 2 7. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 2csc2x – 1 A. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 B. lR– n ; n ZZ 2
C. D.
lR– (2n + 1) ; n ZZ 4 lR– n ; n ZZ 4
8. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 5sec4x + sen2x A. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 B. lR – (2n + 1) ; n ZZ 4
C. lR – (2n + 1) ; n ZZ 8 D. lR– (2n + 1) ; n ZZ 16
9. Si el rango de la función: y = sen x es – 12; 3 2; su dominio en 0; ; sería: 2 A. ; C. ; 6 2 63 B. ; D. ; 6 2 63
TRILCE
Colegios
10. Si el rango de la función: y = cosx es 2; 3 ; su dominio 2 2 en 0; ; sería: 2 A. ; 4 3 B. ; 4 3
C. ; 6 4 D. ; 64
11. Si el rango de la función: y = cosx es – 1; 1 ; su dominio 22 en [0< ]; sería: 5 A. ; 6 6 B. ; 2 3 3
2 C. ; 3 3 D. ; 2 33
11 12. Si el rango de la función: y = senx es – ; ; su dominio 2 2 3 en ; ; sería: 22 A. B.
5; 6 5; 7 6 6
C. D.
5; 7 6 6 ; 7 26
13. Si los puntos A ; a y B ; b ; pertenecen a la gráfica de la 2 6 función: y = senx; determine: a – b. A. – 0,5 B. 0
C. 0,5 D. 1
14. Si los puntos A2; a y B 5; a ; pertenecen a la gráfica de 3 3 la función: y = cosx; determine: b – a. A. –1 B. –0,5
C. 0 D. 1
15. Si los puntos A ; a y B ; b ; pertenecen a la gráfica de la 8 4 función: y = 2sen22x + 1; determine: a + b.
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
16. Si los puntos A(; a) y B2; b ; pertenecen a la gráfica de 3 la función: y = 4cos x + 3; determine: a + b. 2 A. 42 B.
C. 86 D.
17. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda; acerca de la función y = tanx:
• • •
Su periodo es . Su dominio es lR– (2n + 1) ; n ZZ 2 3 Es creciente en 2; 2
A. V V V B. V F V
C. V V F D. F V V
67
Católica
Ciclo
18. Si el rango de la función: y = tanx es 3; 1 su dominio 3 en 0; sería: 2 A. ; 6 4 B. ; 6 4
C. ; 64 D. ; 43
5. Determine el dominio de y = f(x) = 2tanx + 3 A.
C. ; 4 2 D. 0; 4
20. Si los puntosA ; a y B ; b ; pertenecen a la gráfica de la 4 3 función: y = 2tan2x + 1; determine: b – a. A. 1 B. 2
A. B.
A. B. 9.
C.lR – (4n + 3) ;2n ZZ D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
2. Determine el dominio de y = f(x) = sen3x + cos2x 1 – senx n A. lR – ; n ZZ C. lR– (4n + 3) ; n ZZ 2 2 B. lR – (4n + 1); n ZZ D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 2
lR – {2n; n ZZ} D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
8. Determine el dominio de y = f(x) = 2sec4x + sen22x
Tarea domiciliaria
n A. lR – 2; n ZZ B. lR – (4n + 1) ; n ZZ 2
C.
lR – {n; n ZZ} n lR – ; n ZZ 2
7. Determine el dominio de y = f(x) = 3csc3x + cos3x C. lR – n; n ZZ A. lR – {n; n ZZ} 6 n B. lR – ; n ZZ D. lR – (2n + 1); n ZZ 3 6
C. 3 D. 4
– 1. Determine el dominio de: y = f(x) = 3cosx 1 senx + 1
D. lR – {(2n + 1) ; n ZZ}
6. Determine el dominio de y = f(x) = 5cotx + 3senx
19. Si el rango de la función y = tanx es 1; + su dominio en 0; , sería: 2 A. 0; 2 B. ; 4 2
C. lR – {n; n ZZ}
lR – {n; n ZZ} B. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
lR – n; n ZZ 8 D. lR – (2n + 1); n ZZ 8 C.
lR – {n; n ZZ} n lR – ; n ZZ 4
El rango de y = senx es 0;
2
; su dominio en 0;
2 0; 4 B. ; 4 2 A.
C. D.
, sería: 2
0; 4 0; 2
10. El rangode: y = senxes –1; 2 ; su dominio en ; 3 , sería: 2 22
A.
34; 54
B.
3; 5 4 4
C.
34; 32
D.
3; 3 4 2
3. Determine el dominio de y = f(x) = 1 + sen2x + cos3x 1 + cosx A.
lR – {n; n ZZ} B. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
C. lR – {(2n + 1); n ZZ} D. lR – {2n; n ZZ}
4. Determine el dominio de y = f(x) = A.
lR – {n; n ZZ}
B. lR – {(2n + 1); n ZZ}
68
sen4x + cos2x – 1 1 – cosx
C.
lR – {2n; n ZZ} D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 28 26
TRILCE
Quinto Católica
REPASO 1.
Simplificar: F =
sen(30° + x) + sen(30° – x) senx
A. tanx B. cscx 2.
10. Reducir: F =
C. cotx D. secx
A. tan11x B. tan7x
Si: cos( + x) = 5cos( - x) ; calcular: F = tan.tanx 2 A. – C. – 1 5 D. 4 2 7 B. – 3
B. – 5.
C. –
9
D.
9
6.
B.
A. 3 B. 4
sen40° 1+cos40°
5 8
A. B. –
TRILCE
Colegios
D. –
1 2
A. tan
7 8
D. –
1 1 4
– 1. Simplificar: F = sen( x) + tanx cos.cosx
3 9
7 8
2
C. cot
B. tanx 1 D. cotx 3 2. Si: tan = y tan = , calcular: tan( + ) 2 2 A. 2 B. 4
; 270° < < 360° ; calcular: cos 3
5 8
C. 4
Tarea domiciliaria
C. 0,25 D. 0,1
C.
1 A. 2 B. –
8 x 8. Si: 270° < x < 360° y secx = ; calcular el valor de: sen 7 2
7
C. 6 D. 8
15. Si: ( 6 ; 2n + 1), pertenece a la gráfica de la función: y = senx ; hallar “n”.
D. 1
9. Si: tan = –
D.
1 2 1 –1; ] 2
–1;
y = F(x) = 4senx + 3; x lR
C.
A. 0,5 B. 0,2
2
C.
14. Determine la sumadel máximo y mínimovalor de la función:
C. 30° D. 40°
3 3 3 6
2 1
7. Si: cos = 1 ; 0° < < 90°; calcular: sen 3 2 A.
C. cosx D. –cosx
1
B. [– 1 ; ]
9 2 9
Hallar el ángulo agudo “ ” que cumple: tan =
A. 10° B. 20°
C. 1 1 D. 2
3 2
A. [– 1 ;
3 C. 4 D. 4 3
B. 12 5
A. B.
5 13. Dada la función:y = cosx; con dominio: 3 ; 3 ; su rango es:
Si: senx = cosx ; hallar: tan2x 2 3 5 A. 12
11. Simplificar: F = sen50°cos5° + cos50°
A. senx B. 2senx
C. 15° D. 8°
1 4. Si: sen = ; II C, calcular: sen2 3 A.
C. tan4x D. tan9x
12. Reducir: F = 2sen2x.senx + cos3x
3. Hallar un valor de “x”, que verifica: 3 sen3x.cosx + cos3x.senx = 2 A. 20° B. 30°
sen11x + sen3x cos11x + cos3x
C. 6 D. 8
3. Si: tan = 1 ; “” agudo, calcular: sen2 4 5 A. 17 8 B. 17
7 8 15 D. 17 C.
69
Católica
Ciclo
4. Simplificar: F =
(1+cos2x) . secx cosx
A. 1 B. 2
8.
C. 3 D. – 1
5. Reducir la expresión: F = A. 1 B. 2
csc20° + cot20° cot10° C. 3 D. 4
Completar: cos4 + cos2 = 2 cos3 A. cos B. cos2
C. sen D. sen2
2senx + 1 9. Señalar el dominio de la función. y = F(x) = senx - 1 n A. lR - 2
x 6. Si : cosx = - 0,2 ; x III C, hallar: tan 2
C. lR - (4n + 1) 2
B. lR - (2n + 1) 2
D. lR - n
10. Hallar el rango de la función: y = 4senx + 3 A.
–
B.
–
67 3 2
C. D.
23 6 7
senA + senB 7. Reducir: F = cosA + cosB ; donde: A + B = 90° A. B. 1
70
2
A. [1 ; 7] B. [– 7 ; 7 ] C. [– 1 ; 7 ] D. [0 ; 7]
C. – 1 1 D. 2
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 29 27
TRILCE
Quinto Católica
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ¿Qué es una ecuación trigonométrica? Es una igualdad en el cual la incógnita o variable angular está afectada por un operador trigonométrico (sen, cos, tan, cot, ... arcsen, arccos, ... etc.) y que dicha igualdad se cumple para un conjunto determinado de valores que asume la incógnita.
Problemas para la clase 1. Resolver: 2senx + 3 = 0. (x 0, 2 ). Dar como respuesta la suma de soluciones.
A continuación indicar cuáles son ecuaciones trigonométricas:
•
tan3x = 3
•
cos x = x3
•
sen x = 0,5
•
x sen x = 1
•
tan x +
•
sen x = x
•
x2 sen x + 1 = 0
•
csc(3x) = 3 2
•
sen x + x = 0
•
2cosx + cotx = 2 3
•
9
=– 3
3 senx = x2
•
cos–1x = x
•
sen2x + cos2x = 1
Algunas definiciones • •
Conjunto Solución (C.S.) de una ecuación trigonométrica: Es el conjunto de valores que satisfacen la ecuación. Solución Principal o Valor Principal (V. P.):Es aquella solución que pertenece al rango de la función inversa dada en la ecuación trigonométrica elemental.
Fórmulas generales de las ecuaciones trigonométricas elementales senx = a xg = k + (–1)k arcsen a, k ZZ cosx = b xg = 2k ± arccos b, k ZZ tanx = c xg = k + arctan c, k Z cotx = d xg = k + arccot d, k ZZ secx = e xg = 2k ± arcsec e, k ZZ cscx = f xg = k + (–1)k arccsc f, k ZZ
TRILCE
Colegios
A. 360º B. 420º
C. 480º D. 540º
2. Resolver: 3senx + cosx = 0 (x 0, 2). Dar como respuesta la suma de soluciones. A. 360º B. 420º
C. 480º D. 540º
3. Resolver: sen 2x = cos x (x 0; ). Dar como respuesta la suma de soluciones. A. 120º B. 180º
C. 240º D. 270º
4. Calcular la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: 2cos2x + 4cosx = –3. A. 360º B. 480º 5.
C. 780º D. 840º
Si “x” es la medida de un ángulo agudo, hallar dicho valor en la ecuación: sen x + sen 3x = cos x 15 B. 6
A.
12 D. 18
C.
6. Resolver: sen2x + cosx = 0, si: x III C A. 150° B. 210°
C. 240° D. 225°
7. Resolver e indicar l a segunda solución po sitiva en: tan3x – 1 = 0 12 B. 4
A.
5 12 3 D. 4 C.
8. Resuelva: cos 3x – = – 2 6 2 A. 2k ± – ; k ZZ 4 18 B. k ± + ; k ZZ 4 18
C. 2k ± + ; k ZZ 3 4 18 D . 2k – ; k ZZ 4
71
Católica
Ciclo
20. Hallar la solución principal en: tan x + cotx = 4.
2 9. Resolver: cosx2x – sen2x = 2 A. 8 C. 4 B. D. 16 2
A. 10° B. 15°
Tarea domiciliaria
10. Resolver: 1 + cosx = 2sen2x, indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas. A. 180° B. 120° 11. Resolver:
1. Resolver: 2sen(x + 12°) + 1 = 0
C. 200° D. 240° sen7x + sen3x
A. 190° B. 194°
= 3
cos7x + cos3x A. n+ 3 B. n + 5 15
A. 45° B. 30°
C. n + 15 D. n + 6 15
3. Señale un valor de “x” agudo que cumpla:
8
A. 30° B. 45°
D. a y b
A. 10° B. 15°
C. n2 D. n6
C. 90° D. 0°
5. Resolver: secx = 4senx
1
14. Resolver: sen 6x = 4 A. n6 ± 10 B. n ± 6 12
C. 60º D. 22°30’
4. Resolver: sen2x = 2senx
13. Resolver: cos 3x – cos 5x = 0
2
C. 180º D. 225°
sen x . cot x + cosx = 1 C. 2n±
A. n 4 B. n 3
C. 198° D. 199°
2. Resolver: sec(2x – 45º) = 2; x [180º; 360º
12. Resolver: cos3x + cosx = 0 A. 2n ± 2 B. 2n ± 4
C. 20° D. 30°
6. C. n6± 30 D. n ± 6 36
A. 30° B. 60°
C. 15° D. 45°
Resolver: 1 + tanx = 3 1 + cotx A. 2 B. 3
C. 6 D. 8
15. Resolver: senx + cosx = 2, e indicar la menor solución positiva 7. Resolver: 2sen2x = cos2x A. 15° C. 45° A. 10° B. 30° D. 60° B. 20° 16. Hallar la solución principal de: tan(2x + 10°) – A. 15° B. 25°
17. Hallar la solución principal de: 3tan3x + A. –30° B. –10°
3=0
C. 45° D. 65° 3=0
C. 30° D. 150°
C. 90° D. 45°
19. Si: 0° < x < 360°, hallar el número de soluciones de: tan2x = 3tanx. A. 4 B. 5
72
C. 7 D. 8
8. Encuentra la menor solución positiva de la ecuación: cscx – senx = cosx
18. Resolver: senx – 3cosx = 1 y señalar la menor solución positiva. A. 15° B. 30°
C. 30° D. 45°
C. 4 D. 2
A. 3 B. 6 9. Resolver: cotx – tanx = 2 A. 10° B. 20°
3 C. 15° D. 75°
10. Halle el menor valor positivo que toma “x” en la ecuación:
1 + 1 =8 1 + cosx 1 – cosx A. 30° B. 20°
C. 10° D. 50°
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 30 28
TRILCE
Quinto Católica
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 5. En la figura, calcular "x".
Problemas para la clase
A. 1/2 B. 1 C. 3/2
1. Calcular "x". B
D. 1/4 x
5
A
A. 45° B. 30°
C
A. 6 B. 3
C. 8 D. 4
7.
2. Del gráfico, calcular "sen " B
B.
45°
1 A. 2 B. 2 32
8. C
2
C.
2
;c= 3 ,
C. 75° D. 60°
12 C. 17 10 D. 21
b – a senA – senB En un triángulo ABC, simplificar: M = b + a + senA + senB A. b + c B. a + c
9.
D. 1
3. En el triángulo ABC, calcular "b"
C. 1 D. 2
En un triángulo ABC se cumple que: abc = 16 y 1 senA.senB.senC = . Calcular el circunradio de dicho triángulo. 4 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 acosB + bcosA 2c 1 C. 2 D. 4
10. En un triángulo ABC, reducir: F =
B 127°
A. 1 10
7
A
A. B.
7 11 11 14
2
A
30°
a b c En un triángulo ABC, se cumple: 3 = 5 = 7 . Hallar "cosB" A.
3
s en
6. En un triángulo ABC, se cumple que: b = C = 60°. Calcular la medida del ángulo "B". 30°
53°
x
B. 2 C
5 65
C. D.
233 7
11. En un triángulo ABC; a = 6 y m B A = 30°. ¿Cuánto mide el circunradio del triángulo ABC? A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
4. En el triángulo ABC, calcular "AB". 12. En un triángulo ABC cuyo perímetro es 24,además el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo es 5, calcular: F = senA + senB + senC
B
8 60° A
A. 4 7 B. 3
TRILCE
Colegios
A. 1,2 B. 2,4
12
C
C. D.
7 3
C. 1,3 D. 2,6 a2– b2 + c2 13. En un triángulo ABC, reducir: F = 2cosB A. b B. a
C. ac D. abc
73
Católica
Ciclo
14. En un triángulo ABC de perímetro 20 cm, reducir: a – bcosC b – ccosA c – acosB F= + + , cosB cosC cosA A. 10 cm B. 20
C. 40 D. 8
15. Dos autos parten de un mismo punto en direcciones que forman 60°. Si sus velocidades son 5 km/h y 7 km/h, ¿qué distancia los separa al cabo de 1 h? 31 39
A. B.
C. D.
41 49
Tarea domiciliaria 1. En un triángulo ABC, m BB = 60°, además: b = 4 y a = 2.
5. Del gráfico, calcular "a". B
A. B.
C. D.
3. Calcular "x", si: A. 5 3 B. 76 C. 79 D. 7 2
60° 6
10
x
4. En un triángulo ABC, se sabe que: a = 4; b = 3 y c = 5. Calcular "cosA" 1 A. 5 2 B. 3
74
3
2
C
1
B. 3
C. 6 1 D. 3
a b c 7. En un triángulo ABC, se cumple que: 2 = 3 = 4 ; calcular "cosB" 2 7 11 9
17 C. 19 11 D. 16
3a 5b 7c 8. En un triángulo ABC, reducir: F = + – senA senB senC (R : Circunradio)
6 3
C. D.
60°
A. 6
B.
2. En un triángulo ABC, BA = 45°; BB = 60°, a = 4. Hallar "b" A. 2 6 B. 6
a
asenB + bsenA 6. En un triángulo ABC, reducir: F = , siendo: csenB + bsenC a = 3c
A.
3 6 3 8
3
A
Calcular "senA". 3 3 3 4
2 3 5 7
A. B. C. D.
A. R B. 2R
C. 3R D. 4R
9. En un triángulo ABC, simplificar: bccosA + accosB + abcosC F= a 2 + b2 + c 2 1 A. 1 C. 2 B. – 1 D. 2 10. Dado un triángulo ABC, (C = 90°). Simplificar: F = a2cosB + abcosA A. b B. c
C. ab D. ac
C. 5 4 D. 5
TRILCE
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TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 29 31
TRILCE
Quinto Católica
REPASO 1.
7. Determine el signo de “E” en los cuatro cuadrantes:
Determinar “x”
A. B. C. D.
E = csc x (1 – cos x)
msen . tan mcos . sec msen . cot mcos . tan
A. (+)(+)(+)(+) B. (+)(+)(–)(–)
m
8. Si “” es un ángulo canónico del tercer cuadrante el cual 8 cumple: (tan) 2cot = 27
x
2.
C. (+)(–)(+)(–) D. (+)(–)(–)(–)
Hallar BE, si “L” es el lado del cuadrado ABCD.
Calcular: E = 3cos + 2sen D
A
A. B. C. D.
L(1 – sen) L(1 – cos) L(1 – tan) L(1 – cot) F
3.
A. 0 B. 5 13
E
9. Calcular: C = (3sen90° – 2cos180°)2 + (sen270° – cos360°)2
C
B
De la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
A. 1/2 cos B. 1/2 sen C. 1/4 sen
A. 26 B. 28
C. 29 D. 25
10. Reducir: C = sec(180° + ) + sen(270° + ) csc(90° + ) cos(360° – ) O
x
A. –2 B. 2
D. sen 4.
C. – 7 D. – 13
En la gráfica se muestra una C.T. Hallar la medida de“PB”, si: A’P = 5 P
C. 0 D. 1
11. Simplificar: L = tan x (1 + cos x) – sen x . csc x 2
A. tanx B. 2tanx
C. cosx D. 2cosx
B
A. B. C. D.
1/2 cos 1/2 sen 1/4 sen 1
12. Reducir:
A’
x C.T.
C = senx(1 + senx – cosx) + cosx(1 + cosx + senx) – 1 A. senx B. cosx
5. En el gráfico, hallar: tg + tg
C. 2senx.cosx D. senx+cosx
13. Reducir: L = senx(cscx + senx) + cosx(secx + cosx) + 1 y (2; 5)
A. B. C. D.
1,1 1,2 1,9 2,8
B. 2 4 – 6 14. Reducir: L = sen 4x sen 6x cos x – cos x
( –5; 3)
6. Calcular: E = sec 1860º + tg ( –135º) – sen2 990º C. –1 D. –2
TRILCE
Colegios
C. 4 D. 5
x
A. 1 B. 2
A. 1
A. tg2x B. ctg2x
C. tg4x D. ctg4x
15. Reducir: C = (3 senx + 2 cosx)2 + (2 senx – 3 cosx)2 A. 7 B. 5
C. 12 D. 13
75
Católica
Ciclo
8. ¿En qué cuadrante(s) el seno decrece y el coseno crece?
Tarea domiciliaria 1. Siendo “”, “” y “” las medidas de tres ángulos agudos
que verifican el siguiente sistema de ecuaciones: cos ( + ) = sen 20º cos ( – ) = sen 40º cot ( – ) = tan 80º
C. IIIC D. IVC
9. Hallar el mínimo valor de: E = 6cos + 13sen + 20 A. 2 B. 4
A. 75º B. 65º
C. 55º D. 45º
A. B.
2. Hallar la medida del ángulo agudo “x”, en:
cos3x . tan2x . sen4x . cot2x . sec3x . csc(60º – x) = 1 A. 8º B. 10º
C. 8 D. 1
10. Si: sen =
Luego, uno de ellos será:
3.
A. IC B. IIC
5x – 18 ; Indicar la variación de “x”. 3
21 5 3, 21 5 3,
11. De la figura, calcular “tan ” (1 – x; 2x)
A. B. C. D.
Calcular: (4.cos36° + 9.sen54°) . sec36° cot18° . cot72°
1
17
–2 –3 –4
A. msen + 1 B. (m + 1)sen
12. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal “” pasa por el punto ( –1; 2), hallar el valor de: E = 5sen + tan m +1
w
+ 1 C. (m mcos D. + 1)cos
C. –24 D.
A. 04 B.
13. Calcular: Q = 5. Del gráfico mostrado, determine “x”.
(a + b)2sen90° – (a – b)2cos2180° asen490° + bcos3270°
A. 4ab B. 4 msen mcos msec mcsc
m
A.
6. Calcular “x” en la figura mostrada, en función de “ ”, “” y “m”.
C. – D.
2 6 3 2 3
15. Del gráfico, calcular “cot ” B
x º m
7. ¿En qué cuadrantes el seno crece, a medida que el ángulo crece?
76
6
3 6 B. – 3
º
A. mcotsec
A. I y IIC B. II y IIIC
C. 4a D. 4b
14. Calcular: C = sen135° . sen240° . tan150° cos210° . cos300° x
B. C. mcot mtancos sec D. mtancos
x
C. 1 D. 13
4. Del gráfico mostrado, determine “w”.
A. B. C. D.
3;
D.
C. 12º D. 15º
A. 5 B. 5
21 5 0, 21 5
C.
A. 12 B. 4 C. – 1 2 D. – 4
C E
D
37°
C. I y IVC D. II y IVC
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TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 30 32 Semana
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS 8. Del gráfico, calcular: sen
Problemas para la clase
1 1. Si: tanx = , determinar: E = 26senx + cotx 5 A. 1 B. 5 2.
C. 6 D. 7
En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo del triángulo. A. B.
1 3 2 3
C. D.
5. Si: p . cot = q2 – p2; hallar: sen C. D.
q2 – p2 2 q 2 + p2 2
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) se sabe que: 2
2
senA = 2senC, calcular: L = sec A + 4sec C A. 6 B. 8
C. 4 D. 5
10. Los lados de un triángulo rectángulo son: "x – 1"; "x"; "x + 1"; determinar la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo. C. 5 3 D. 5
4 11. En el trapecio ABCD: BC//AD. Si: AB = BC =8, CD = 15 y AD = 25 y la medida del ángulo C DA = D, el valor de: K = cscD + ctgD, es: A. 1 B. 2
C. 25 D. 29
p
2
A. 34 4 B. 3
C = 2sec2 + 10sen2
B.
Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 2 2, calcular:
A. 2 B. 3
4. Sabiendo que: 2 3 +tan = 43; donde “” es un ángulo agudo, calcular:
q q p
9.
5 2 5
C. c D. c2
A. 19 B. 21
4
7
tan . tg
L = (b – asenA)cscC A. a B. b
0,2 0,4 0,6 0,8
1
3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º); reducir:
A.
A. B. C. D.
C. 9 D. 10
C. 3 D. 4
12. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) señale el equivalente de: K = tanA . tan A + 1 tanA . cot A – 1 2 A. B.
sen2A cos2A
C. D.
13. En un triángulo rectángulo los lados miden: a + b; a – b; a2 + b2. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. A. B.
2 3
C. 5 D. 3
14. Del gráfico, calcular: W = 7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C” se sabe que:
secA 1 = secB 2
Calcular: E = 13cosA + 3cotB A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
TRILCE
Colegios
2 cot2A sec2A
A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 2
sen . sen sen
77
Católica
Ciclo
15. Siendo “O” centro, hallar: tg A A. 23 5 B. 3 C. 32 D. 4 3 O
8. De la figura, calcular: sen. (O centro), MP= 1; PB=2 N A. 32 M 3 B. 2 1 P C. 2 1 D. 3
B
A
Tarea domiciliaria 1. En la figura mostrada, calcular: K = ctg – ctg A. B. 121 C. 2 D. 1 3 2.
Si:
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3. Del gráfico, si: AB = CD, calcular: M =
A
E
1D
4. Del gráfico, calcular: tg, si: tg =
A. B. C. D.
0,5 1 2 2,5
cos – sen cos – sen C 2 B
A. B. C.
5 12
7.
C. 86 D. 69
Si“A” y “B” son ángulos agudos de un triángulo rectángulo, simplificar: R = senA + cosB (cscBcscA) cscB secA
78
11. Dado un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") donde se cumple: a –b + c = 1 a – b + 7c 7 A Calcular: cot – senAsecB 2 A. 2 B. 4 2
C. 3 2 D. 2 2
12. En un triángulo rectángulo, el área y el perímetro son iguales numéricamente. Si el coseno de uno de los ángulos agudos es 0,8; hallar la longitud del lado mayor. A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
1
La hipotenusade un triángulorectángulo 3 mide 40 m. Si“” es uno de sus ángulos agudos y tan = , hallar su perímetro. 4
A. 6 B. 3
C. 18 D. 360
A. 2 B. 3 C. 7 D. 7 3
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B”), reducir: K = (tgA + tgC)senA senC. 1 A. 1 C. 2 B. 2 D. 13
A. 96 m B. 64
A. 72 m2 B. 144
13. Calcular: cot.
6.
C. 4 D. 5
10. Calcule el área de la región triangular ABC, donde: AC = 36 m; si, además: cscA = 17 cscC = 26
B
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, se sabe: secA 2 = . Calcular: E = 13 cosA + 3cotB secB 3 A. 1 B. 2
tgA + 1 = 2 (0º < A < 90º). Calcular: N = 6ctgA +40cosA tgB – 1
1 2 1 2 D. 2 5
O
C. 2 D. 8
8
14. Del gráfico, calcular: cot
A. 5 B. 76 C. D. 8 A
1
H
C
4
15. Del gráfico, calcular: tan . cot A. 1 1 B. 2 C. 3 D. 2
1
3
2
TRILCE
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Semana 31 33 Semana
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 9. Calcular el valor de:
Problemas para la clase
sen10º + cot(25º – 3x) + sec(80º + 5x) E = csc(10º – 5x) + tan(65º + 3x) + cos80º
1. Del gráfico, calcular: csc
C. 2 1 B. 0 D. 2 10. Siendo“” y “” ángulos agudos, calcular“” sabiendo que: A. 1
A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5
2
sen(7 – 5º) = cos(5 + 11º) tan(3 – ) . cot(3 + 2º) = 1
5
5 2. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: cos = ; calcular 13 el valor de: E = tan + sec A. 1 B. 3 3.
A. 5º B. 10º
C. 15º D. 20º
11. Del gráfico, calcular “x”.
C. 5 D. 8
Siendo “x” un ángulo agudo para el cual: cscx = 2; calcular el valor de: M = 5cos 2x + 2senx A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
A. B. C. D.
1 2 3 4
7x + 9 6x 37º
12. Calcular el ángulo agudo “ ” que cumple: triángulo 4. En un senA . cscCrectángulo + 2tanA ABC (recto en “B”), simplificar: E= senA . sec C . tanA
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en “B”) calcular “cscA”, sabiendo que: secC – senA = 2senC A. 1 2 B.
C. 3 2 D. 5
6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC (recto en 25 “B”) es 112 cm, además: csc A = 7 , calcular la diferencia entre las longitudes de los dos mayores lados. A. 1 cm B. 2
C. 4 D. 6
7. Siendo “x” e “y”, ángulos agudos, calcular “x”, si: cos(2x + y + 15º) sec (5x + y – 12º) = 1 A. 5º B. 7º
C. 9º D. 12º
sec + tan45º 2sen30º + sec60º = sec – cot45º tan37º A. 30º B. 37º 13. Calcular “cot” 1 2 B. 23 3 C. 54 D. 9 A.
A. 3º B. 5º
TRILCE
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C. 7º D. 9º
37º
14. Del gráfico, calcular “tan ” (O: centro)
C
3 A. 5 B. 5 13 C. 6 17 D. 8 15
M
A
37º
B
O
8. Calcular el ángulo agudo “x” que cumple: sen(5x + 15º) – cos(4x + 12º) = 0
C. 45º D. 53º
15. Calcular la medida del ángulo agudo “x” para el cual se cumple: cot(2x – 9º) = tan1º . tan2º . tan3º . … tan89º A. 10º B. 18º
C. 20º D. 27º
79
Católica
Ciclo
16. Siendo “x” e “y” ángulos agudos que cumplen:
2. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 5 ; 12
sec(5x + 17º) = csc(2y + 13º) tan(25º + y) tan (45º + 3y) = 1
calcular el valor de: E = cos – sen 3 A. 19 B. 4 17
Calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y) A. 1 2 B. 1
C. 3 2 D. 2
17. Siendo “” y “” ángulos agudos tales que: tan = 7 ^ csc = 2 2 calcular: E = sen + + tan + 3 2
Siendo“x” un ángulo agudo para el cual: cotx =
C. 1 3 D. 4
18. Si: “”, “” y “” son ángulos agudos que cumplen: sen(3 + ) = cos(3 + 2) sen( + + )tan(3 + 2) calcular: M = cos(2 + 2 + 2)cot( + 3) 1 2
C.
B. 1
D.
2 2 3 2
19. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”),
el valor de: M = 5cos2x + 2senx A. 1
C. 3
B. 2
D. 5
A. –2 B. –1
senA . cscC + 3cotC E = cosC . secC . tanA A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en “B”) calcular “cscA”, sabiendo que: secC – senA = 3senC A. B.
10 2 10
C. 3 10 D. 5
6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC (recto en 25, calcular la diferencia “B”) es 168 cm, además: cscA = 7 entre las longitudes de los dos mayores lados. A. 1 cm B. 2
se sabe que: cot 2 A – tan2B = 2 2 calcular: E = tan 2A – 2cscB
C. 3 D. 4
7. Siendo “x” e “y”, ángulos agudos, calcular “x”, si:
C. 0 D. 1
20. Siendo “x” e “y” ángulos agudos que cumplen: tan(60º – x) = cot(x + 30º)tan (y + 20º) tan20ºtan70º
cos(2x + y + 15º) sec (3x + y – 12º) = 1 A. 25º B. 27º
C. 29º D. 12º
8. Calcular el ángulo agudo “x” que cumple:
calcular: E = sen(x + y + 50º)cos(20º + y) cos(y – x – 10º)
sen(5x + 13º) – cos(4x + 14º) = 0
A. 12 B. 3 2
A. 3º B. 5º
C. 34 D. 2 2
9. Calcular el valor de:
C. 2 D. 1 2 10. Siendo“” y “” ángulos agudos, calcular“” sabiendo que: A. 1 B. 0
1. Del gráfico, calcular: sen A. B. C.
80
A. 7º B. 9º
– 5x) E = sen20º + 3x) + –sec(80º csc(10º++cot(25º 5x) + tan(65º 3x) + cos70º
Tarea domiciliaria
0,2 0,5 2 3 2 D. 5
10 calcular 2
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B”) simplificar:
A. 12 B. 32
A.
3.
C. 7 13 D. 9 16
sen(7 – 15º) = cos(5 + 21º) tan(2 – ) . cot(3 + 2º) = 1
3
5
A. 5º B. 10º
C. 15º D. 20º
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 17. Siendo “” y “ ” ángulos agudos tales que:
11. Del gráfico, calcular “x”.
sec = 2 2 ^ cot = 7, calcular: A. B. C. D.
E = tan2
18 20 13 14
7x + 9
6x
A. B.
53º 12. Calcular el ángulo agudo “ ” que cumple:
+ + + cot 3 2
1 2 1
C. 32 D. 43
18. Si: “”, “” y “” son ángulos agudos que cumplen:
csc + tan45º = 2sen30º + sec60º
sen(3 + ) = cos(3 + 2)
csc – cot45º A. 30º B. 37º
calcular: M = cos( + + )sec(3 + 2) cos(2 + 2 + 2)csc( + 3)
cot53º
C. 45º D. 53º
13. Calcular “tan”
A. B. C. D.
1 2 3 7
1 A. 2
C.
B. 1
D.
A. –2 B. –1 a
C. 0 D. 1
tan(50º – x) = cot(x + 40º)tan(y + 20º) tan10ºtan80º C
calcular: E =
2a M A
3
20. Siendo “x” e “y” ángulos agudos que cumplen:
14. Del gráfico, calcular “tan ” (O: centro) A. 12 59 B. 15 139 C. 16 57 D. 18 157
2
19. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), se sabe que: tan2B = 2; calcular: E = 2tan2A – sec2B
2a
37º
2
a 37º
O
A.
1 2
B.
3 2
sen(x + y + 50º)cos(20º + y) cos(y – x – 10º) C. 3
4 D. 2 2
B
15. Calcular la medida del ángulo agudo “x” para el cual se cumple: tan(3x – 3º) = tan1º . tan2º . tan3º...tan89º A. 10º B. 18º
C. 20º D. 16º
16. Siendo “x” e “y” ángulos agudos que cumplen: sec(5x + 10º) = csc(2y + 20º) tan(20º + y) tan(30º + 3y) = 1 calcular: M = sen(4x – 2°) + tan(4y + 5º) A. 12 C. 32 B. 1 D. 2
TRILCE
Colegios
81
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 34 32
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA 1 1 7. Si: cos = tan40° . tan50° – tan10° . tan80° 2 3
Problemas para la clase 1.
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simplificar: E = senA.cotC + cosA A. senC B. cosC
2.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el triple de un cateto. Si el menor ángulo agudo mide “”, calcular “tan”.
B.
2 4 D. 2 8
A.
3. Siendo “” un ángulo agudo tal que: cos = 0,6; calcular: C = 5csc2 + 4tan2 A. 14 B. 17
2 C. 7 D. 8
8. Si en un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se cumple 3 que: senA = 5 (cosC)senA , calcular: E = 11cotA + 4cscA A. 3 B. 4
C.
2 2
A. 5 B. 6
C. tanC D. cscC
2
Calcular: C = tan. cot
C. 13 D. 10
C. 4 D. 7
9. En un triángulo rectángulo los lados son tres números pares consecutivos. Si el menor de los ángulos agudos del triángulo es “ ”, calcular: C = sec + tan A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
10. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: 4. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa determina en ella segmentos que miden “m” y “n”. Halle
la tangente de uno de los ángulos agudos del triángulo. m mn A. C. 2 nn m + n2 m B. D. m n 5. De acuerdo al gráfico, calcular: E =
cot + 2cot
1 2 3 6
A
D
4
2
E
A. B. C. D.
1 2 3 3 2
E
B
53º
N
D
A. 3,2 B. 1,6
sec245º + 4cos60º + 3tan53º tan37º + 6tan16º C. 3,8 D. 1,9
13. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que: b = 3 ac ; calcular: E = tanA + tanC
A
82
C
F
C
M
1
6. De acuerdo al gráfico, calcular “tan ”, si: ABCD es un cuadrado y además: AF = 4FE.
1 2 31 2
B
A
B
12. Calcular: C =
A. B. C. D.
11. De acuerdo al gráfico, señale el valor de: C = 4cot – cot
cot C
A. B. C. D.
cos= m – n; m > n > 0. Hallar: E = csc –cot m+n m A. m C. n n n n B. D. m m
53º
D
A. 3 B. 6 C. 9
D. 12
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 14. Del gráfico, calcular: E = tan.cot; si el triángulo ABC es equilátero. A. B. C. D.
20. De acuerdo al gráfico, calcular “sen ”.
A.
B
1 12 2 3 5 6 5 12
2 E
B.
A
E = (7sec – 3csc)(5sen – 2cos)
P
Q a2 + b2
A. b2 B. b
16. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que: senA . tanA . tanC senC . cotA . cotC = 3 4 calcular: E = 5senA + 4tanC
C. ab D. c
2. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “A”), reducir: J = (a + b)2 – 2bc
C. 5 D. 4
1 + cosC 1 – cosC C. ac D. c2
A. c B. bc
17. De acuerdo al gráfico, calcular: C =cot + cot C
3. Siendo: senx = 8 ; “x” es agudo, calcular: F = secx + tanx 17 1 5 B. 1 3
C. 43 D. 5
A.
A. 7 B. 8
17 5
C. D. 910 A
B
N
M
E
A. 1,25 B. 1,35 C. 1,45 D. 1,625
A. 17 112 B. 33 112
C F
5.
5 5+1 5+1 2 5+2
C. D.
m 2 – n2
; donde “ ” es agudo, hallar:
m n A. n m
D
A.
19. En el gráfico, AB es diámetro y PQRS es un cuadrado. Calcular “cot”.
A. B.
Siendo: sec = H = csc + cot
M
Q
C. 15 112 D. 11 7 5 m 2 + n2
37º A
3
4. Siendo: cos = 0, 27 ; “” es agudo, calcular: G = cot . csc
18. En el cuadrado ABCD, calcular“tan”. B
a– b
1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “A”), reducir: P = senB . senC . tanB . a 2
C. 8 D. 12
A. 7 B. 6
a+b
Tarea domiciliaria
15. Sabiendo que: + = 90°; calcular:
A. 2 B. 4
R
C
D
3
C. D.
5
1 3 1 3 1 7 7 4
6.
R
C. 2m n D. 2n m
En un triángulo rectángulo ABC( B = 90º), reducir: K = senA . se cC + 1 senC . secA + 1
A
A. 1 B. 2
P
S
B
7.
C. 3 D. 4
Si: “” es un ángulo agudo, tal que: cos = 0,96;
calcular: K = csc – cot A. 1 B. 1 5
TRILCE
Colegios
C. 1 7 1 D. 8
83
Católica
Ciclo
8.
Calcular: K =
sen30º + cos245º
15. Se tiene un cubo, donde se traza una de sus diagonales y una de las diagonales de su base, de tal manera que tenga un punto en común con la diagonal del cubo. Calcular la tangente del ángulo que forman dichas diagonales.
sec245º + tan260º
A. 0,1 B. 0,2
C. 0,3 D. 0,4
9. Del gráfico, calcular “tan” C
1 3 3 3 2 2 D. 3 A. B. C.
2
B.
2 2
C.
23 6 2
D.
16. Del gráfico, calcular: P = tan + tan
A
37º
A. B. C.
B
M
10. Del gráfico, calcular “tan” B
D.
C. 311 4 D. 11
1 A. 11 2 B. 11
D
E
B
1 3 5 B. 3 C. 2 D. 7 3
E
A
D
A. 11,413 B. 10,718 C. 10,216 D. 9,416
12 18º x
18. Una escalera de 80 m de longitud está apoyada en una pared, formando 14° con el suelo. ¿A qué altura sobre el suelo se encuentra el punto de apoyo en la pared?
11. Del gráfico, calcular “tan”. A.
C
17. Hallar “x”.
45º
A
F
B
1 2 –1 2 3 1
C
53º
C
A. 19,35 m B. 17,26
C. 20,18 D. 21,72
A
19. Desde lo alto de un campanario se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 24°. Si el campanario mide 80 m, ¿a qué distancia de su base se encuentra el objeto?
37º
D
12. Si: tan3x . tanx – 1 = 0; calcular: tan2x A.
A.
3
B. 1
C.
3 3 D. 2
13. Se tiene dos círculos tangentes exteriormente cuyos radios son 1 y 3. Calcular el ángulo que forma la recta que pasa por los centros de ambos círculos con una de las tangentes exteriores a ambos círculos. A. 10° B. 20°
C. 30° D. 45°
A. 179,42 m B. 179,6
C. 164,48 D. 182,27
20. Calcular “tan ” del gráfico mostrado, si “I” es el incentro.
B
A. B. C. D.
0,3 0,4 0,5 0,6
I
2
3 2
A
C
14. Se tiene un triángulo equilátero ABC, inscrito una ferencia. Si“M” es el punto medio del arco ACen y“N” escircunpunto medio del lado BC, calcular la tangente del ángulo MNC. A.
3
B. 3 3
84
C. 2 3 2 3 D. 3
TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 34 33
TRILCE
Quinto Católica
REPASO GENERAL 1.
Un ángulo se expresa como abb° y también como a(b + 2)0g. Señale el equivalente en radianes de: a(b – a)5°. A. 35 B. 34
C. 23 D. 56
3.
B
1 3 5 7 D
C. 5 7 D. 7 9
37º
C
9. En la figura, halle “AB” en términos de “R” y “ ”.
B
Si“a” y “b” son números reales positivos, hállese el mínimo número de radianes del ángulo que satisface la igualdad: (a + b)2 + (a – b)2 C+S=
A
A. B. C. D.
2. Calcular “R”, si: S = C + 3 4 5 A. 3 B. 3 5
8. En el cuadrado ABCD, calcular: ctg
T
A. B. C. D.
R tg(csc + 1) R (csc + 1) R (csc – 1) R (sec + 1)
O R
2ab
A. 180 B. 190
A
C.200 D. 210
C
10. Siendo ABCD un cuadrado, calcular “ctg ”, si: C(–2; –5)
y
4. Del gráfico, calcular: E = 4tan + cot A
A. B. C. D.
B
x
A. –1,2 B. 1,2 C. –1,4 D. 1,4
1 2 3 4 37º
D
11. Del gráfico, hallar: E= 5. Del gráfico, calcular “ctg ”
C
tana . cotb sec2a – 1 y
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
A. B. C. D.
45º
1 –1 –2
2
a
x
O
6.
Si: tan + x + cot – x = 2 3. Calcular: E = csc x + sec 2x 6 3
A. 2 2 B. 2 3 7.
C. 4 D. 3 2
1 5x – 96° Si: cot = , determine “x”. 2 cot 4x 3 A. 36º B. 30º
TRILCE
Colegios
C. 45º D. 20º
b
1 1 + senx – 1 – senx 12. La expresión simplificada de: cos2x 1 – senx 1 + senx 4 A. cos x B. 4cos2x
C. 4sen2x D. sen x
13. Si: sen2x + 4cosx = –4, entonces “cos x”, es igual a: A. 5 B. 4
C. –1 D. a y d
85
Católica
Ciclo
14. Si: tg14º = y (tg52º – tg38º), hallar el valor de “y”. A. 2/5 B. 3/4
C. 2 D. 1/2
23. Si “A” y “B” son agudos y cosA . cosB – senAsenB = 2. 3 Calcular: ctg(A + B) A.
15. Calcular: E =
1+
tan220°
+
tan240° + tan220°tan240°
1 – tan20°tan40°
A.
3 2
C. 1 2
B.
2 3 3
D. 2
B.
C.
5
A. 0,125 B. 0,25
E = cos(3 – x)csc(5 + x) . ctg(4 + x) . sec (3 – x) 2
C. –1 D. –tanx
17. Si: tg = 2k + 1 y ctg + = k, el valor de “k” es: 3 2 2
5
C. 0,5 D. 1
25. De AB = BC, AN y BM son bisectrices ladefigura los ángulos BACyyademás ABC, respectivamente. Si: tg( + ) = 3, entonces el valor de “x” es: B
A. B. C. D.
150º 120º 135º 105º
xN
A
A. –2/7 B. 7/2
5
D.
24. Calcular: E = 3ctg20º – 4cos20º
16. Reducir:
A. –secx B. –cscx
5 5
C. –7/2 D. 3/7
C
M
Tarea domiciliaria
18. De acuerdo con la gráfica, calcular “x”. 1. Del gráfico, señale el área del sector circular AOB. A
A. B. C. D.
9 12 18 24
10
8 x
A. B. C. D.
25 45 50 75
O
8 +x
x rad
19. Si: sen2a = 0,4, ¿cuál esel valor de: sen4a + cos 4a? A. 4/25 B. 1/5
C. 0,84 D. 23/25
B
2. Del gráfico, calcule: P =
20. La suma de las raíces de la ecuación:
sen + cos cos – sen
x x cos 2x + sen2 – cos2 = 0; (0 ≤ x ≤ ) 2 2
C
A. 2/5 B. /4
21. Si: 3senx + 4cosx = 5, calcular: E = tgx + A. 2 B. 3 22. Si: csc 2x + csc 4x = A. 5 B. 6
86
A. 1 B. 2
C. 2/3 D. 5/6 1 4
C. 1 D. 2 3 senAx . Calcular: A + B + C senBx . senCx C. 7 D. 8
5
C. D. 34
3
A
B
D
3. Si ABCD es un cuadrado, calcular “tanx”, si: AB = AE. B
A. 3 B. 6 C. 2 D. 1
x
C
E 53º A
D
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 4. Calcular “x + y” del sistema de ecuaciones, sabiendo que “x”, “y” son ángulos agudos. sen3x – cosy = 0 tan2y.cot30º – 1 = 0 A. 30º B. 70º
C. 45º D. 40º
5. Si: tanA = 2x ; “A” es agudo, calcular “senA”. x2 – 1 x 2x C. A. x2 – 1 x2 + 1 x B. 2x D. x2 + 1 x2 – 1 6.
Simplificar: W =
sen3 + cos3 – sen 1 – sen.cos
A. cos B. 1
C. sen D. cot
7. ¿Entre qué límites se encuentra “k” para que la expresión exista: 3cosx = 2k – 5?
A. B.
1 k 4 2 k 4
C. 1 k 3 D. 1 k 5
8. Calcular el valor de “x”, si el ángulo agudo cumple: senx =
cos230º.cos37º sen245º.sec60º
A. 30º B. 37º
A. – 1 7 B. 12
TRILCE
1
D. – 1
11. En un triángulo rectángulo ABC (A = 90º), se cumple: cotC + cotB = 4, calcule: M = 16senB.senC.cosB.cosC 1 A. 4 1 B. 2
C. 1 D. 2
5 12. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), si: tanC = ; 12 a – c = 21. Calcular el perímetro del triángulo. A. 90 B. 120
C. 150 D. 75
13. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar “OM” en términos de “”. sen A. 2 sen B. 1 + sen sen C. 1 + cos cos.sen D. 2
M
O
C. 24 7 D. 7 25
14. Simplificar la expresión se obtiene: sen(180° + x) cos(90° + x) tan(360° – x) + sen(–x) – senx cot(90° – x) A. –3 B. –1
C. 3 D. 1 sen150° . cos210° 15. Calcular: F = sen240° . cot315° A. 1/2 B. –1/2
Colegios
C.
C. 45º D. 53º
1 9. Si: cscx – cotx = ; calcular: cotx 7 A. 7 B. 25 7
10. Si: senx + cosx = 2; evaluar: R =
sen4x + cos4x
C. 3/4 D. –3/4
87
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 34
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA DE IDENTIDADES 9.
Problemas para la clase
Calcular: E = secx + secy
1. Simplificar la expresión: E = (tanx + tany)(1 – cotx.coty) + (cotx + coty)(1 – tanx.tany) A. cotx C. tanx B. –coty D. 0 2. Calcular: E = sec4 – tan4 – 2tan2 A. 1 B. 2 3. Si: x = sena +cosa y = sena – cosa Hallar la relación entre “x” e “y” independiente de “a”
A.
2
B.
x2 – y2 =
2
A.
2 2
C.
B.
2– 1
D.
10. Si:
C. 0 D. –1
x2 + y2 =
Si: 1 + 2 tanx = 2 secy 1 + 2 tany = 2 secx
C. x = 3 y 4 x 4 D. = y 3
A. y2 = x2 – 2x B. y2 = 2x + x2 5. En el siguiente sistema:
tan + cot = x sec + csc = y C. y2 + 2x = x2 + 2 D. y2 = 2x – x2 ysenx = a ycosx = b
El valor de “y” es:
A. y = ± a2 – b2 a2 + b2 B. y = ±
Hallar: E =
Asenx – Bcosx senx – cosx C. AB2
A. A – B A–B B. 2
D. A + B
11. Reducir: W =
secx – cosx cscx – senx
cotx 2 B. secx
C. cscx
C. y = D. y =
C.
3 22 2
7. Si: senx = a ; tanx = b; calcular: E = (1 – a2)(1 + b2) C. – 1 D. 1
8. La expresión: sen2.tan + cos2.cot + 2sen.cos; es equivalente a: A. sen + cos B. sec + csc
88
A. 1 B. 2
C. 4 9 D. 2
valor de “A”.
A. 1 B. 2
C. – 1 D. – 2
J = tan2x + cot2x + 2 – cot2x – tan2x – 2 D.
A. 2 B. 0
csc4(1 – cos4) – 2cot2
14. Si: cotx < tanx < 0, reducir:
sen 1 + cos 2 + – 1 + cos sen sen
B. 1
12. Simplificar:
D. tanx sec4(1 – sen4) – 2tan2
13. Si: (1 + senx – cosx)2 = A(1 + senx)(1 – cosx). Hallar el a 2 – b2 ± b 2 – a2
6. Determinar el valor de la expresión:
A. 0
3
tanx + secx + 1 A = (B ≠ 0 ; A ≠ B) cotx + cscx + 1 B
A.
4. Eliminar “ ”,partiendo de:
2
32 2
A. 2cotx B. –2cotx
C. 2tanx D. –2tanx 1 15. Si: (sen + cos)(cos – sen) = , hallar: R = cot 9 A. B.
5 2 5 4
1 C. 4 D. 3 4
C. tan + cot D. sen . cos
TRILCE
Colegios
T rig onomeTría 16. Simplificar la siguiente expresión: R =
cos2
1 + sen + 2sen – sen2
A. 3 3 2 3 B. 3
A. 1 – cos C. 1 – csc B. seccsc D. csc + 1 8 1 – senx 1 17. Hallar: sec; sabiendo que: = 17 cos 4 A. 1 B. 1,5
E = sen21º + sen22º + sen23º + ... + sen290º A. 22,5 B. 30
18. Si: cscx – secx = 2; calcular: tanx+cotx
19. Si:
1 + 1 =1 + 1 ; hallar “N” cos2 tan2 N cot2
tan 1 –
cos3x 1 + senx
8. Si: tana =
C. 2 D. – 2
1 4
97 C. 128 95 D. 128
C. F = cos D. F = sen
Si: x
senx.tanx + 2cosx
4.
C. – a D. ±a sen3a
sen5a
sen7a
1+ sena + Si: =tana;hallar:P= 1 + cos4a cosa – cos3a + cos6a – cos7a A. 2 B. 3
1 1 – senA –1 B. 1 – senA
C. 1 D. –1
–1 1 + cosA –1 D. 1 – cosA
A.
C.
11. Simplificar la expresión: K =
3. Si: a2 – cos2x – sec2x = 2; encontrar el valor de:
.
C. 1; 1; 0 D. 1; 1; 1
10. Si: A = 2K + ; la expresión equivalente de: 2 1 – 2sec2A, es: 1 + senA
2. El valor de “F” en la siguiente identidad: – < < : sen3 + Fcos2 = sen; ; – es: 2 2
sen4a
2senx . cosx = asenx + bcosx + c senx + cosx – 1 A. 0; 2; 0 B. 0; 1; 1
N = sen8x + cos8x?
A. – a2 – 2 B. a
A. mn B. nseca
9. Hallar “a”, “b” y “c” tal que:
1. ¿Cuál será el valor de “N”, sabiendo que: senx . cos x = –
A. F = sen2 B. F = cos2
3 3 2
n ; ¿a qué es igual: n(2cosa + seca) – 2msena? m
A. mcosa B. mseca
Tarea domiciliaria
49 64 96 B. 128
C. D.
B. 1
20. Si se tiene que: secx + senx = 1; hallar: A =
A.
2 tan + cot
A. –1
C. sec2 D. tan2
A. 1 B. 0
C. 45 D. 45,5
7. Si: sen = 4 + cos; entonces el valor de:
C. 2 5 D. 2 + 5
A. cos2 B. sen2
C. 2 3 3 3 D. 2
6. Hallar el valor de:
C. 2 D. 1,8
A. 1 – 5 B. 1 + 5
5 5. Si: sena + csca = ; hallar: Z = cota + cosa 2
1 – cosx + 1 – senx
1 + cosx 1 + senx
3 2
A. – 2 C. 2secx B. – 2secx D. 2cosx 12. Si“P”, “Q”, “R” son constantes que satisfacen la siguiente relación: P + QtanRx =
1 1 + senx
–
1 cscx – 1
calcular el producto “P.Q.R”.
A. 2 B. 4
TRILCE
Colegios
C. 8 D. 12
89
Católica
Ciclo
13. Hallar el mínimo valor de: M = 10 – 9cos2x + senx 17 18 35 B. 36
27 28 45 D. 46 1
A.
C.
8(sec2x + cos2x) A. 56 B. 21
1 14. Simplificar: E = + 2 – sen2 2 + tan2 A. –1 B. 1 15. Hallar “sec”; sabiendo que:
cos
5 A. B.
3 3 5
A. 1 – 10 B. 1 + 10 1 =3
5 C. D.
C. 34 D. 42
18. Si: cscx – secx = 3, calcular: tanx + cotx.
1
C. 3 D. 2 1 – sen
3 17. Si: secx – cosx = ; hallar el valor de la expresión: 2
4 4 5
1
19. Si:
sen2
C. 2 10 D. 2 + 10
– 1
tan2
= 1 – 1 ; hallar N
A. cos2 B. sen2
“N”.
cot2 C. sec2 D. tan2
20. Si se tiene que: secx + senx = 1, hallar: A = cos3x + cos2x + cosx
16. En la identidad trigonométrica: sen4x + cos4x + ksen2x.cos2x = sen2x.cos2x(tanx + cotx)2
A. 1 B. 0
C. 2 D. –2
hallar el valor de “k”. A. secx.cscx B. senx.cosx
90
C. 3 D. 2
TRILCE
Colegios
