Índice Semana 1
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR ..................................................................... 4 Semana 2
CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO Y ÁREA DEL SECTOR ....... .............. .............. ............... ........... ... 7 Semana 3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I ....... .............. .............. ............... ............... ........... .... 10 Semana 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II....... .............. .............. ............... ............... ........... .... 13 Semana 5
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES ................... .......................... ............... ............. ..... 16 Semana 6
COMPLEMENTO DE RAZONES R AZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ÁNGULOS AGUDOS .......... ................. ....... 19 Semana 7
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................... 21 Semana 8 REPASO ...................................................................................................... 24 Semana 9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MEDIDA I ........ ............... .......... ... 26 26 Semana 10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER C UALQUIER MEDIDA II ........... ................. ...... 29 Semana 11
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I ............................................................. 31 Semana 12
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II ............................................................ 34 Semana 13
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I ........ ............... .............. .............. ............... ............... .............. ............... .......... 36 Semana 14
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II ....... .............. .............. .............. ............... ............... .............. ............... .......... 39 Semana 15
MISCELÁNEA DE CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA ....... .............. .............. .............. ............... ............. ..... 41 Semana 16
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE I ....... .............. .............. ............... ............... ........... .... 44 Semana 17
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE II....... .............. .............. ............... ............... ........... .... 46
TrigonomeTría
Índice Semana 1
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR ..................................................................... 4 Semana 2
CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO Y ÁREA DEL SECTOR ....... .............. .............. ............... ........... ... 7 Semana 3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I ....... .............. .............. ............... ............... ........... .... 10 Semana 4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II....... .............. .............. ............... ............... ........... .... 13 Semana 5
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES ................... .......................... ............... ............. ..... 16 Semana 6
COMPLEMENTO DE RAZONES R AZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ÁNGULOS AGUDOS .......... ................. ....... 19 Semana 7
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................... 21 Semana 8 REPASO ...................................................................................................... 24 Semana 9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MEDIDA I ........ ............... .......... ... 26 26 Semana 10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER C UALQUIER MEDIDA II ........... ................. ...... 29 Semana 11
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I ............................................................. 31 Semana 12
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II ............................................................ 34 Semana 13
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I ........ ............... .............. .............. ............... ............... .............. ............... .......... 36 Semana 14
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II ....... .............. .............. .............. ............... ............... .............. ............... .......... 39 Semana 15
MISCELÁNEA DE CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA ....... .............. .............. .............. ............... ............. ..... 41 Semana 16
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE I ....... .............. .............. ............... ............... ........... .... 44 Semana 17
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE II....... .............. .............. ............... ............... ........... .... 46
TrigonomeTría
Semana 18
REPASO DE IDENTIDADES ............................................................................. 48 Semana 19
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABLES ....... ............. ...... 50 Semana 20
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS TRIG ONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE V ARIABLE DOBLE ........... .................. ............... ............... .......... ... 53 Semana 21
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD ................ ....................... .............. ............. ...... 56 Semana 22 MISCELÁNEA MISCELÁ NEA .................... .......................................... ............................................. .............................................. ................................ ......... 58 Semana 23
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS ....... .............. .............. ............... ............... .............. .............. ............. ...... 60 60 Semana 24
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES I ....... .............. .............. .............. ............... ............... .............. .............. ....... 62 Semana 25
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES II ....... .............. .............. ............... ............... .............. .............. ............. ...... 66 Semana 26 REPASO ...................... ............................................. ............................................. ............................................. .................................... ............. 69 Semana 27
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................... 71 Semana 28
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS...... OBLICUÁNGULOS.............. ............... .............. ............... ............... ............ ..... 73 Semana 29 REPASO ...................... ............................................. ............................................. ............................................. .................................... ............. 75 Semana 30
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS ........ ............... .............. .............. ............... ............. ..... 77 Semana 31
MISCELÁNEA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS......... TRIGONOMÉTRICAS................. ............... .............. ............... ............... ............ ..... 79 Semana 32 MISCELÁNEA MISCELÁ NEA .................... .......................................... ............................................. .............................................. ................................ ......... 82 Semana 33 REPASO GENERAL .......................................................................................... 85 Semana 34
MISCELÁNEA DE IDENTIDADES ....................................................................... 88
Colegios
TRIGONOMETRÍA Semana 1
TRILCE
Quinto Católica
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR •
Ángulo trigonométrico Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, desde una posición inicial (lado inicial) hasta otra posición final (lado final), alrededor de un punto fijo llamado vértice y en un solo plano. Así tendremos: O
A
Obs.
Q
S entido Horario O
B
S entido Antihor ario P
O
Los ángulos así generados, serán medidos en diferentes unidades que dependerán del sistema utilizado.
•
Sistemas de medición angular Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando los siguientes: Sistema sexagesimal Unidad: 1° 1 vuelta: 360° Además: 1° = 60’
Sistema centesimal Unidad: 1g 1 vuelta: 400° Además: 1g = 100m 1m = 100s 1g = 10 000s
1’ = 60” 1° = 3600”
•
Unidad: 1 vuelta:
1 rad 2 rad
Consideraciones: 1. 360° = 400g = 2 rad 2. 180° = 200g
•
Sistema radial o circular
180° = 200g = rad
3. 1 rad > 1° > 1 g 4. = a°b’c’’ = a° + b’ + c’’ = xgymzs = xg + ym + zs
9° = 10g
Fórmula general de conversión Consideremos un ángulo positivo como el de la figura.
O
1 4 S° 4 2 4 Cg 4 3
Siendo: S :
Número de grados sexagesimales
C :
Número de grados centesimales
R :
Número de radianes
R rad
Luego se cumple:
S = C = R 180 200
Simplificando, tenemos:
4
S = C = 20R = k 9 10
k , es decir S = 9k ; C = 10k ; R = 20
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría
Problemas para la clase 1.
Señale el valor de: =
9
rad + 60g en el sistema sexa-
gesimal. C. 76° D. 74°
A. 64° B. 69°
8. Del gráfico, calcular “x”. A. B. C. D.
3 5 7 9
(6 – 18x) g
(10x + 2)º
9. Del gráfico, calcular “x”.
2. Si un ángulo mide 7 rad y también (8x – 1)°, ¿cuál es el 9 valor de “x”?
A. 7 B. 8
C. 9 D. 6
3. En un triángulo, dos de sus ángulos miden: 2 rad y 40g, 3 ¿cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? A. 14° B. 18°
C. 20° D. 24°
4. En un triángulo ABC: A + B = 120g; B + C = 4 rad. 9
C Calcular: K =
A. B. C. D.
1 3 5 6
(2 – 7x) g (8x + 6)º
10. Sabiendo que: 17rad = a0º3b’1c’’; calcular: K = a + bc + 1
A. 5 2 B. 5 3
C. 3 4 2 D.
11. Sabiendo que:
rad = 2ag5bm1cs; calcular: K = a + b 7 c+1
B
7 2 B. 5
A.
C. 99 D. 2
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
12. Reducir: K = 1°3’ + 1°4’ + 2°5’ 3’
4’
5’
5. Del gráfico, calcular “x”. A. 57 B. 58
B A. B. C. D.
m
3 5 7 9
13. Calcular: K = 1
(9x – 1) g
1”
3 rad 10
A
A. 17,2 B. 32,4
C
calcular: F =
B
5 6 7 4 150 g
(11x – 3)º
A
3 rad 5 C
7. Si un ángulo mide (13x + 7)° y su complemento (5x – 5)g, ¿cuál es el equivalente de x° en radianes? A.
rad 18 B. rad 24
Colegios TRILCE
C. 53,6 D. 16,2
14. Si: x°y’z” = 3°42’48” + 5°29’34”
6. Del gráfico, calcular “x”.
A. B. C. D.
C. 60 D. 62
rad 36 D. rad 12
C.
A. 1 B. 2
z-y-1 x C. 3 D. 4
15. Si "" , "" y " " son ángulos internos de un triángulo y la medida en grados sexagesimales de "" es 44° 33’ 14” y la de "" es 65° 26’ 46”, encontrar la medida en radianes de "". 6 rad 18 B. 7 rad 18
A.
8 rad 18 D. 9rad 18 C.
16. Determine la medida del ángulo en radianes si se cumple: S - 2 = C (“S” y “C” lo convencional) 10 20 A. C. 4 rad 8 rad B. rad D. rad 3 36
5
Católica
Ciclo
17. Señalar la medida circular de un ángulo que cumple: 2S - C + 4R = 40 + .("S", "C" y "R" lo conocido) rad 3 6 rad
A. B.
rad 4 rad D. 10
C.
18. Determinar el ángulo en radianes, que cumple: S = x x + 2 y C = xx + 4, siendo “S” y “C” lo conocido. 5 rad B. rad 10
4 rad D. 90
A.
C.
19. Siendo “S” y “C” lo convencional para un ángulo no nulo, simplificar: C+S + 5S –2C + 1 S= C-S C-S A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
20. Hallar un ángulo en el sistema francés, si se cumple que: SC = CS , (“S” y “C” lo conocido). 10 A. ( ) 9 10 B. ( 9 ) 10 10
10 9 C. ( 9 ) 9 9 D. ( 10 )
centesimal. A. 50g B. 60g
rad + 9°; en el sistema
4 C. 70g D. 80g
A. 1 B. 2
4. Si dos ángulos cumplen que la suma de sus medidas es 40º y su diferencia es 20g, ¿cuál es la medida del mayor? A. 27° B. 28°
C. 29° D. 30° g
5. En un triángulo ABC; se sabe que: A = 120 ; B = rad. 9 ¿Cuánto mide el ángulo C? A. 42° B. 52°
C. 62° D. 32°
6. Si un ángulo se expresa como (7x – 1)g y también como (5x + 3)º, ¿cuál es el valor de “x”? A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. Un ángulo mide (8x – 2)º y su complemento mide (6x – 2)g. ¿Cuál es el valor de “x”?
A. 3 B. 5
A. B. C. D.
3 5 7 9
A. 1 B. 3
70g C. 3 D. 1 3
C. 7 D. 4
(10x + 2) º
C. 5 D. 7
10. Exprese en el sistema sexagesimal: rad. 7 A. 25° 42’ 51’’ B. 23° 42’ 31’’
6
C. 3 50 D. 9 50
9. Calcular “x”, si: (7x – 4)º = (8x – 6)g
rad + 3º 3
2. Calcular: K =
3 rad 20 B. 5
A.
8. Del gráfico, calcular “x”.
Tarea domiciliaria 1. Señale el equivalente de: =
3. ¿Cuál es el complemento de 64g en el sistema circular?
C. 26° 31’ 42’’ D. 32° 17’ 43’’
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 2
TRILCE
Quinto Católica
CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO Y ÁREA DEL SECTOR •
Longitud de un arco Viene a ser una de las aplicaciones del radián; que permite determinar la longitud del arco correspondiente a un ángulo central en una circunferencia. En el gráfico adjunto:
A R
L: longitud del arco AB R: radio de la circunferencia : número de radianes contenidos en el AOB
O
rad L
B
Se cumplirá: L = R OBS: A la región AOB se le denomina sector circular y para que ello ocurra: 0 < ≤ 2
•
Área del sector A R 0
rad
L
S
S=
R2 LR
2 = L = 2 2 2
R B
Problemas para la clase 1. En un sector circular, el ángulo central mide 70 g y el radio 40 cm. ¿Cuánto mide el arco? 22 (use: = ) 7 A. 11 cm B. 22
C. 33 D. 44
2. En un sector circular, el ángulo central mide 40° y el radio 18 cm, ¿cuál es la longitud del arco? A. cm B. 2
C. 4 D. 3
3. En un sector circular, el ángulo central mide 2°30’ y el radio 144 dm, ¿cuál es la longitud del arco? A. dm B. 2
C. 3 D. 4
4. En un sector circular, el ángulo central mide 5 g25m y el radio mide 80 cm. ¿Cuánto mide el arco? (use: =
Colegios TRILCE
A. 120 cm B. 130
C. 140 D. 160
6. En un sector circular el arco mide 70 cm. Si el radio se aumenta en su doble y el ángulo central se reduce a su tercera parte, se obtiene un nuevo sector circular, cuyo arco mide: A. 70 cm B. 80
C. 140 D. 210
7. En un sector circular, si aumentamos el radio en 20% y reducimos el ángulo en 30%; el arco: A. Aumenta en 10% B. Disminuye en 10%
C. Aumenta en 16% D. Disminuye en 16%
8. Si en un sector circular, reduces el radio en 10% y aumentas el ángulo central en 10%; el arco: A. Aumenta en 10% B. Disminuye en 10%
22 ) 7
A. 3,3 cm B. 6,6
5. En un sector circular, el arco mide 120 cm. Si el radio se duplica y el ángulo central se reduce en su tercera parte, se obtiene un nuevo sector circular cuyo arco mide:
C. Aumenta en 1% D. Disminuye en 1%
C. 9,9 D. 5,5
7
Católica
Ciclo
9. Un arco de 2 cm de longitud subtiende el mismo ángulo central que un arco de 3 cm de longitud. Si el radio del primer sector es 16 cm, ¿cuál es el radio del segundo sector? A. 18 cm B. 20
C. 24 D. 28
15. Determinar el área de un sector circular de radio 6 m y un ángulo central de 60°. A. 3 m2 B. 4
C. 6 D. 8
16. Determinar el área de la región sombreada. 10. El arco que le corresponde a un ángulo central de 60°; es el doble del que le corresponde a un ángulo central d e 27°. Si en el primer caso, el radio mide “R” y en el segundo es R “r”; calcular: r A.
9 10 B. 10 9
2 C. 3 D. 3 2
A
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
C
12 cm D 3 2
O
B
17. Del gráfico mostrado, determinar el área de la región sombreada.
L1 11. Del gráfico, calcular: L
2
A C
A
A. B. C. D.
1 2 3 5
D
1 . e gr co, c alcular:
O
/4 rad 3 D
C1 B 18. En la figura, hallar el área sombreada (“0” y “0 1” : centros)
L L2
B
A
A. B. C. D.
L1
3,1 3,2 3,3 3,4
1 C
4
D
m2 6 12 24
A
6m
L 2
18º
O
O
B
O1
19. Calcular el área de la región sombreada, si: L1 + L2 = 8 m. (“0” y “0 1” : centros)
13. Del gráfico, calcular “” A
A. B. C. D.
O
C
18° 24° 30° 36°
O
D
C O
12 cm
L 2
14. Del gráfico, calcular “”
15° 20° 30° 60°
12 cm
A. 10 cm2 B. 14 C. 18 D. 24
2
B
A. B. C. D.
B
7
L 2
24º 3
O
A. B. C. D.
A. 6 m2 B. 5 C. 7 D. 11
L1
6
2
20. En la figura adjunta, el cuadrado tiene lados de longitud “L”. Determine el área sombreada. 3
6
L1
A
A. L2 (3 D
O1
B
B. C.
L22 (3 L
+
2
)
2
A
B
D
C
)
4 (3 - 2 ) D. L2 4
8
(3 + ) 2
Colegios TRILCE
T rig onomeTría 7. En un sector circular, su área es 2 cm2 y su ángulo central mide 40g. ¿Cuánto mide el radio?
Tarea domiciliaria 1. En un sector circular el ángulo central mide 30º y el radio 12 cm. ¿Cuánto mide el arco? A. 360 cm B. 12
C. 2 D.
2. Calcular la longitud del arco correspondiente a un sector circular cuyo ángulo central mide 20g y su radio mide 20 cm. A. cm B. 2
C. 3 D. 4
3. Determinar el área de un sector circular de un ángulo central 20g y radio 10 m. m2
A. B. 2
C. 5 D. 10
4. En un sector circular el radio mide 7 cm y el arco 2 cm, ¿cuál es, aproximadamente, la medida sexagesimal del ángulo central? A. 52° 32’ 34” B. 51° 26’ 38”
C. 50° 25’ 43’’ D. 51° 25’ 43’’
5. Se tiene un sector circular cuyo arco mide 100 cm. Si aumentamos el radio en su mitad y reducimos el ángulo central a su mitad, se genera un nuevo sector cuyo arco mide: A. 50 cm B. 75 6.
C. 90 D. 100
En un sector circular el ángulo central mide “3 º” y su radio es “R”; mientras que en otro sector ci rcular el ángulo central mide “5 g” y su radio es “r”. Calcular “R/r”, si sus
C. 10 D. 2 10
A. 5 cm B. 2 5 8. Del gráfico, calcular: A. B. C. D.
2 3 2 9 3 5 5 9
L1 L2 A L1
º
O
g
C
B
L 2
D
9. Del gráfico, calcular la medida sexagesimal de “º”. 5
A. B. C. D.
24° 12° 43° 36°
A
D O
2
C 5
B
10. Del gráfico, calcular “ ”, si: L1 = L2 y OB = 2BC. A
A. B. C. D.
L1
18° 36° 24° 30°
C B L 2
O
D
arcos son iguales. A. 5 3 B. 4 3
Colegios TRILCE
C. 3 2 6 D. 5
9
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 34 Semana
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I •
Definición: Son los resultados que se obtienen al dividir entre sí los l ados de un triángulo rectángulo. Dichos resultados asumirán un nombre que dependerá de la posición de los lados que se dividen. respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así tendremos: C
b
A
a
B
c
Para “”:
Seno de “”:
sen =
Coseno de “”:
cos =
Tangente de “ ”:
tan =
C.O. H C.A. H C.O. C.A.
Cosecante de “ ”:
csc =
Secante de “ ”:
sec =
Cotangente de “ ”: cot =
H C.O. H C.A. C.A. C.O.
a = cateto opuesto (C.O.) c = cateto adyacente (C.A.) b = hipotenusa (H) Sin olvidar que:
+ = 90°
y
a2 + c2 = b2
(Teorema de Pitágoras)
Por ejemplo: Calcule las razones trigonométricas (R.T.) del ángulo mencionado en cada caso:
7
2
5
4
3
cot =
csc =
tan = 2 6
2
5
5
1 3
cos =
sec =
3
sen cos =
.
=
Problemas para la clase 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L = senA . secC + cosA . cscC A. 1 B. 2
10
C. 3 D. AC
3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: C. 3 D. ABC
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar: L = tanA . tanC + 1 cotA . cotC + 1
A. 1 B. 2
L = a . senC + c . senA ac A. b B. 2b C. b – 1
D. 2b – 1
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L = 3 a . tanA c . tanC A. 1 B. 1 2
C. 2 D. ac
A. 1
1 C. 2 1 D. 3
B. 2
7 14. Del gráfico, si: tan = , calcular: 5
6 tan
A
5. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 7. Calcular el seno del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. A. 0,25 B. 0,45
C
C. 0,5 D. 0,75
6. En un triángulo rectángulo los catetos miden 2 y 5. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. A. 1,25 B. 1,5
7. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de los ángulos agudos vale 0,6. Calcular el perímetro del triángulo, si la hipotenusa mide 15 cm. C. 36 D. 48
C. 3 2 D. 2
10. Si “” es un ángulo agudo, tal que: sen= 2 ; calcular “cot”. 3 1 C. 5 A. 2 5 D. B. 2 2 1 11. Si “” es un ángulo agudo; tal que: cos = ; calcular “tan”. 3 A. 2 C. 2 2 2 B. D. 4 2 13 12. Si “” es un ángulo agudo; tal que: sec = , calcular: 3 L = 13sen2 + 4cot2 C. 11 D. 13
13. Del gráfico mostrado, calcular: L = tan.tan C
A
Colegios TRILCE
M
C. 2,5 D. 1
15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se cumple que: 3tanA = 2cscC; calcular: M = 5tanA + 6secC A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
A. 2 B. 4
C. D.
3 5
17. En un triángulo rectángulo la secante de uno de sus ángulos agudos es 2,6. Si el perímetro del triángulo es 180 m, hallar la longitud del menor cateto.
9. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. A. 5 C. 3 2 7 B. 3 D. 2
A. 7 B. 9
D
16. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que : senA = 2senC. Calcular: N = tanA + secA - 2
8. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de los ángulos agudos vale 3. Si la hipotenusa mide 2 10 cm, ¿cuál es el área del triángulo? A. 6 cm2 B. 3
A. 3 B. 1,5
C. 2 D. 2,5
A. 12 cm B. 21
B
A. 25 m B. 30
C. 35 D. 40
18. Determinar el área de un triángulo rectángulo ABC, si: 8 tanA = 15 y la hipotenusa mide 34 m. A. 120 m2 B. 240
C. 360 D. 60
19. A partir de la figura mostrada, calcular: N = tan + tan
A. B. C. D.
6 18 9 12
3 2ab
a
b
20. Del gráfico, calcular: K = csc 2 – cot2
A. B. C. D.
2 3 4 1
a+ b
a – b
a 2 + b 2
B
11
Católica
Ciclo
6. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Si el mayor lado del triángulo mide 52 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo?
Tarea domiciliaria 1.
En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°); simplificar: L = a tanC + b cosA c C. 2c D. c 2
A. 1 B. 2 2.
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), cuyo perímetro es “2p”; hallar: K = c tanA + a cscA + b senC A. p B. 2p
3.
p 2 D. 4p
B.
1 10
C. D. 3 4
3 10
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruple de un cateto. Calcular el cuadrado de la cotangente del menor ángulo agudo del triángulo. A. 16 B. 15
C. 160 D. 140
7. Si: sen = 2; “” es agudo, calcular: P = 3 A. 1 B. 2 8.
5 cot+
1 2
C. 3 D. 4
1 Si: cos = ; “” es agudo, calcular: Q = 2 tan + 1 3
C.
En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo del triángulo. A. 1 4
A. 100 cm B. 120
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
9. Si: tan = 2; “” es agudo, calcular: R = sen . cos A. 0,1 B. 0,2
C. 0,3 D. 0,4
1 10. Si: sec = 1,5; “” es agudo, calcular: S = sen . tan + 6 A. 1 B. 2
C. 4 D. 3
C. 17 1 D. 15
5. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es 0,6. Si el perímetro del triángulo es 48 cm, ¿cuánto mide el menor lado? A. 6 cm B. 3
12
C. 12 D. 16
Colegios TRILCE
Colegios
TRIGONOMETRÍA
Semana 5 4
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II 8 6. Del gráfico, hallar "tan", si: tan = 15
1. Calcular: E = cot - tan 5 7 7 B. 5 14 C. 5 D. 10 7
A.
A. 5
7
A
B
C
O
B
B. 2 C. 1 2 D. 4
D
A. B. C. D.
C
22 23 24 25
26
m
A
3. En el gráfico, calcular: cos2 4 3 3 B. 4 3 C. 5 2 D. 3
C
17
8. De la figura, hallar "tan" C
A.
4 3
A
B
4. En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcular "tan", si: 4 tan = 3 2 A B A . 5 1 B. 3
A. B. C. D.
0,1 0,3 0,4 0,6
5
4
9. Del gráfico mostrado, calcular: "tan" A. 8 17 B. 4 3 C. 7 24 D. 11 60
D 17 10
A
15
C
B
P
1 C. 2
10. De la figura, hallar "cot"
D
D. 2
C
B
x+3
5. Del gráfico, calcular "cot", si: 4AE = 2BE = EC 1 3 B. 3 1 C. 2 1 D. 4
B
7. De la figura, determinar el valor de “m”, si se sabe que: 12 tan = 5
2. Siendo ABCD un cuadrado, hallar: tan + tan A. 1
A
3 B. 3 5 4 C. 5 D. 2 5
B
A.
A
A
Colegios TRILCE
E
A. 1,7 B. 0,4
D
8
2x+1
H
5x-3
C
C. 0,6 D. 1,4
C
13
Católica
Ciclo
11. Determinar “tan ”, del gráfico mostrado, si ABCD es un
rectángulo y MD = 3AM =
AB =3 2
D
C
M D
B
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
12. Determinar: sen + cos 4
A
B
7
A. 1 B. 1,2
C
11 A. 20 21 B. 20
17 C. 20 19 D. 20
20. Del gráfico calcular: 1+sen ; siendo “a” y “b” los radios 1 – sen de las semicircunferencias.
C. 1,3 D. 1,4
13. Del gráfico mostrado, calcular: tan
P
A 2
Q
a b
D
C
O 3
O
A. B.
2 3 3
15. Determinar: (tan)-1
1. Si: sen = 1 ; determinar: F = sec2 + tan2 ( : agudo) 5 7 25 C. 7 A. 25 13 12 D. 13 B. 12 3 2. Si: tan = 2 ; determinar: F = sen + cos ( : agudo) 6 4 A. 13 C. 13 2 5 D. B. 13 13 3. Determinar "sen ", si: tan =
C. 2 D. 3
16. Reducir, en un triángulo rectángulo ABC (B = 90°): F = (b + c)tan( A) 2 A. b C. a+b B. a D. a+c
14
C. a/b D. b/a
Tarea domiciliaria
14. Si “” es agudo, además: 3tan – 2 = 0, determinar: E = sen.cos 6 C. 13 A. 6 2 6 D. 13 B. 5
A. 1 B. 2
O’
T
A. a+b B. a.b
B
4 C. 3 3 D. 4
2
2
20 19. Si “” es un ángulo agudo y sen = 29 , determinar: tan(90° - )
4 D
C 1 17. En un triángulo ABC (B = 90°), reducir: F = . cot (a+b) 1 A. c C. c B. a 1 D. a bsenA 18. En un triángulo ABC (B = 90°) simplificar: N = ccotC 1 A. a C. a2 B. a2 D. 1
1 2
3 A. B.
3 3 4
( : agudo) 3
C. D.
6 3 2
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 4. Si: tan =
2 3
; 0° < < 90°; calcular: 3sec2 + 2csc2
A. 5 B. 10
8. Determinar: tan + cot
C. 15 D. 20
A. B. C. D.
1 5. De la figura: sen = ;3determinar: BC × AC B
A. B. C. D.
8 3 2 8 2 4 2
6
A
5ab
b
a
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simplificar: senA + senC F = cosA + cosC A. 1 B. tanA
C. tanC D. 2
C 10. Si “” es un ángulo agudo, tal que: sen(90° – ) = 25 ; obtener: F = csc + cot
1 6. De la figura: tan = ; calcular: AB + BC 3
A. 3 B. 5
B
A. B. C. D.
9.
2 3 4 5
8 6 4 2
C. 7 D. 1,5
A
2 10
C
7. Del gráfico, calcular: cot.tan A. 1 B. 2 2 C. 3 D. 3
Colegios TRILCE
15
24
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 5
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 53º
45º
30º L2
L
45º
4k
L
25k
74º
37º
60º
L
7k
5k
3k
2L
L 3
75º
6 – 2
4
13
12 15º
16º 6 +2
24k
5
1
82º
5 2 8º 7
5 1
71º30' 10 1
26º30' 2
18º30' 3
4. Del gráfico, hallar "AP"
Problemas para la clase
B
1. Hallar el valor de: E = (sec45º)sec60º + 5sen37º A. 1 B. 3
C. 5° D. 7
2. Calcular: M = 6sec45°sec30° + 5(sen37° + sen53º)º tan45º + 3sec53º A. B.
11 5 13 6
11 C. D.
16
P 10 23º 37º
C
5. Del gráfico, hallar "tan". A.
5
B.
C. 16 D. 18
12 14 15 16 A
6 17
x cos60° + tg45° 3. Calcular el valor de "x" en: xcos60° – tg45° = csc53° A. 10 B. 12
A. B. C. D.
C. D.
B
3 2 3 3 3 4 3 5
60º 4 P 2 A
C Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 12. Del gráfico, calcular "tanx"; además "O" es el centro de la semicircunferencia.
6. De la figura, hallar: P = 5sen . csc
A. B. C. D.
2 3 4 5
2 2 2 2
D
x
53º
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0,5
45º
24 28 30 32
37º
A. B. C.
A
1 2 1 3 1 4 1 5
B
D
C
A. B. C. D.
C
1 2 3 4
45º F 37º
15. Encontrar: tan del gráfico mostrado.
B
53º D
10. Del gráfico, hallar: tan
B. C. D.
37º
45º
A
60º
C D
16. Calcular: tan 37º B
O
11. Calcular "cot", de acuerdo al gráfico mostrado. A.
C
4
3 2 B. 3 4 C. 4 33 4 D. 2 27 3
A.
A. 1 2 B. 2 7 C. 3 7 4 D. 7
D
E
9. Del gráfico, hallar: tan
A
E
B
53º
1 A. 16 B. 3 16 C. 5 16 D. 7 16
37º C
14. Del gráfico, calcular: 11tan
A
B
D
8. En el gráfico, DC = 2AD. Calcular "tan" A.
B
O
13. Del gráfico, hallar "tan" (ABCD es cuadrado).
D.
1 8 B. 1 5 C. 2 8 3 D. 8
37º
A
7. De la figura, hallar: tan
A. B. C. D.
C
53° 2 C. 1 5 1 D. 6
1 A. 2 B. 1 3
A
3 2 2 3 5 3 5 3 6
17. Calcular: tan
45° 2
8
A. B.
Colegios TRILCE
C. 1 – 2 D. 2 + 2
D 60º 2
B
2 2+1
10
C
17
Católica
Ciclo
5. Halle el valor de "x" en la ecuación: 6(x – 1)cos2(45º) – (x – 4)csc(30º) = x tan2(60º) 2
18. Del gráfico, obtener “tan” A
4 A. 3 B. 3 4 C. 2 3 4 D. 5
37º
A. 10
M
21 B. 5
O
21
C.
4
D. 14
6. Del gráfico, calcular "cot"
B
A
19. Del gráfico, calcular: “cot”
A. B. C. D.
a
A. 1 B. 1,5 C. 2,5 D. 3
4a
E F O
45º
3 20. En la figura, BD = 10 cm y tan = . La longitud de “AD” es: 13 B
5 3c 2 B. 3 C. 3 3 D. 2 3
A.
30º C
D
37º
B
7. En un triángulo rectángulo ACB, recto en "C", se tiene que secA=2cosB; entonces la medida del ángulo "B" es: A. 80º B. 60º
C. 45º D. 53º
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 20m y uno de sus ángulos agudos mide 37º. Hallar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.
A
1 2 4 5
A. 8 m B. 3
C. 4 D. 5
9. En el gráfico mostrado, hallar "x", si : DC = 10
Tarea domiciliaria
B
1. Calcular: E = 3sec53º – tan45º . sec60º A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
2. Hallar "x" en: 5x . sen37º – csc30º = x + cot45º A. 0,5 B. 1
C. 1,5 D. 2
3. Si: cot = sec37º, determine: E = 41sen + 8cot
A. B. C. D.
13 12 9 6
D x 23º 37º
A
C
10. Del gráfico, hallar "cot"
A. B. C. D.
45º
1,6 1,7 0,6 1,4
x + 3
A. 11 B. 12 4.
C. 14 D. 15
2x + 1
5x – 3
sen30° + csc30° + sec60° + cos60º – tan260° Reducir: 3 tan45º + cot45º A. 1 B. 1,2
18
C. 1,4 D. 1,5
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana67 Semana
TRILCE
Quinto Católica
COMPLEMENTO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Problemas para la clase 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L = senA . secC + cosA . cscC A. 1 B. 2
C. 3 D. abc
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar: L = tanA . tanC + 1 cocA . cotB + 1 A. 1 B. 2
C. 3 D. ac
b –1
C. D. 2b –1
L = 3 atanA c . tanC C. 2 D. a/c
C. 0,5 D. 0,75
6. En un triángulo rectángulo los catetos miden 2 y 5. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. A. 1,25 B. 0,5
C. 0,75 D. 1,5
7. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de los ángulos agudos vale 0,6. Calcular el perímetro del triángulo, si la hipotenusa mide 15 cm. A. 12 cm B. 21
C. 36 D. 48
8. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de los ángulos agudos vale 3. Si la hipotenusa mide 2 10 cm, ¿cuál es el área del triángulo? A. 6 cm2 B. 3 Colegios TRILCE
2 10. Si “ ” es un ángulo agudo, tal que: sen = ; calcular 3 “cot”. A. 1/2 B. 2
C. D.
5 5/2
A. 2 B. 2
C. 2 2 D. 4 2
12. Si “” es un ángulo agudo; tal que: sec =
10 3,
Calcular: L = 13sen2 + 4cot2 A. 7 B. 9
C. 11 D. 13
13. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza la ceviana "AD" (“D” en BC), tal que: BD = 2DC. Si: BAD = y ACB = ; calcular: L = tan . tan
5. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 7. Calcular el seno del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. A. 0,25 B. 0,45
C. 3/2 D. 5/2
11. Si “” es un ángulo agudo; tal que: cos = 3; calcular “tan ”.
4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir:
A. 1 B. 1/2
5 A. B. 3
1
3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: a . senC + c . senA L= ac A. b B. 2b
9. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo.
A. 2 B. 3
C. 2/3 D. 3/2
14. En un cuadrado ABCD se traza la ceviana AE (“E” en BC). Si: BEA = y EDC = ; calcular: L = cot + tan A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
15. En un triángulo ABC (B = 90°), se cumple: tanA = 4tanC. Calcular: senA.senC A. 0,1 B. 0,2
C. 0,3 D. 0,4
16. En un triángulo rectán gulo ABC (B = 90°), reduc ir: F = asecC + bsenA + C; si su perímetro es 20 cm. A. 20 cm B. 10
C. 40 D. 30
17. Reducir: C = sen245º + sen230º A. 1/4 B. 1/2
C. 2 D. 3/4
C. 3/2 D. 2
19
Católica
Ciclo
18. Siendo: tan = sen 60º, calcular "sen" 2 3 3 5
A. B.
C. D.
2 7 3 7
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); atanC + bcosA Simplificar: K = c C. c/2 D. 3
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), cuyo perímetro es "2p"; hallar: K = c tanA + a cscA + b senC A. p B. 2p
C. 4p D. 3p
3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo del triángulo. A. 1/4 B. 1/ 10
C. 3/ 10 D. 3/4
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruple de un cateto. Calcular el cuadrado de la cotangente del menor ángulo agudo del triángulo. A. 16 B. 15
20
A. 6 cm B. 3
C. 12 D. 16
6. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Si el mayor lado del triángulo mide 52 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo?
Tarea domiciliaria
A. 1 B. 2
5. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es 0,6. Si el perímetro del triángulo es 48 cm, ¿cuánto mide el menor lado?
C. 1/15 D. 11
A. 100 cm B. 120
C. 140 D. 150
2 7. Si: sen = ; "" es agudo, calcular: P = 3 A. 1 B. 2
5 cot+
1 2
C. 3 D. 4
8. Si: cos = 1; "" es agudo, calcular: Q = 2tan + 1 3 A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
9. Si: tan = 2; "" es agudo, calcular: R = sen . cos A. 0,1 B. 0,2
C. 0,3 D. 0,4
1 10. Si: sec = 1,5; "" es agudo, calcular: S = sen . tan + 6 A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
8 Semana 7
TRILCE
Quinto Católica
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 10. Calcular el valor de “x”, en: tan(4x + 32°)tan(x + 18°) = 1
Problemas para la clase 1. Hallar “x”, si: tan3x.cot(x+20°) = 1 A. 10° B. 20°
C. 30° D. 40°
2. Hallar “x”, si: sen(3x – 17°).csc(x + 13°) = 1
A. 10° B. 15°
C. 20° D. 25°
3. Si: cos(60° – x)sec2x = 1, calcular el valor de: cos(x + 25°) 3 2 1 B. 2
A.
2 2 3 D. 5 C.
4. Hallar “x”, si: sen3x = cos2x A. 18° B. 36°
A. 6° B. 8°
C. 16° D. 20°
11. Si: cos6x.csc4y = 1; calcular: tan(3x+ 2y) A. 1 B. 2
C. 3 D. 3
12. Si:
tan7x = cot(2x + 9°) sen4x.csc3y = 1
Calcular: F = cos5x.tan(3y + 1°) A. B.
3 2 8
C.
2 8
D.
3 2 4 2 4
13. Del gráfico, hallar “x” en función de "n", " ", "".
C. 10° D. 9°
B
5. Hallar “x”, en: tan(2x + 20°) = cot(x + 10°)
A. 10° B. 15° 6.
3 2 1 B. 2
A.
7.
x
C. 20° D. 25°
D
A
Si: sec(20° + 2y) = csc(50° – y); calcular el valor de: sen(y + 10°) 2 2 3 D. 5 C.
14. Del gráfico, hallar "HC" en función de: "L", "", "" B
L
sen31° tan47° N = cos59° + cot43°
C. 0 D. -1
A
2cot10°+4tan80° F = 5cot10°-3tan80°
C
H
C. Lsentan D. Lsencot
A. Lsensen B. Lcostan
8. Reducir la expresión:
A. 1 B. 2
C. ncoscos D. n2sencos
A. nsencos B. nsensen
Reducir la expresión:
A. 2 B. 1
C
n
15. Del gráfico, hallar "AC". B
C. 3 D. 4 m
n
9. Calcular el valor de: F = (sen20° + cos70°)sec70° A. 1
1 C. 2
B. 2
D. 3
Colegios TRILCE
x A
y
C
21
Católica
Ciclo
A. msenx + nseny B. nsenx + mcosy
C. mcosx + nseny D. mcosx + ncosy
16. En el gráfico, determinar “x”.
Tarea domiciliaria 1. Si: cos(2x + 10°)sec(60° – 3x) = 1; hallar “x”. A. 10° B. 20°
C. 30° D. 40°
x
2. Siendo: sen20° = cos(3y + 10°). Hallar el valor de “y”.
m
A. 20° B. 40°
C. msec D. mcsc
A. mtan B. mcot
17. Determinar el perímetro del triángulo rectángulo mostrado.
C. 50° D. 70°
3. Reducir: 3sen65° + 2tan39° cos25° cot51° A. 8 B. 3
B m
C. 5 D. 2
4. Determinar el valor de ( + ), si: sen = cos2 ... (I) sen.csc4 = 1 ... (II)
A
C
A. m(1 + sen + cos) B. m(1 + csc + cot)
A. 20° B. 30°
C. m(1 + sec + tan) D. m(1 + sec + csc)
C. 40° D. 50°
5. Hallar “x”, si: tan(2x + 35°)tan(5x – 15°) = 1
18. Determine el área del triángulo ABC.
A. 10° B. 20°
A
C. 30° D. 40°
6. Hallar el perímetro del triángulo ABC.
m
B
C
A. B.
B
m2 sen m22 cos
m
m2 C. 2 tan m2 D.
2
2 cot
A. m(1 + sen + cos) B. m(1 + tan + sec)
19. Si ABCD es un cuadrado, determine “x” B
C
A
7.
C
C. m(1 + cot + csc) D. m(sen + cos)
Hallar “x”, en el gráfico.
E L
m
x
A
D
A. Lsen B. Lcos
x
C. Lsec D. Lcsc
A. msen.sec B. msencsc
C. mcossec D. mcoscsc
8. Hallar "tan ", en función de “”.
20. Del gráfico, determinar “x”
C
B 45° x m
A
A. m(sen – cos) B. m(tan – cot)
22
D
C. m(cos – sen) D. m(cot – tan)
A
A. 0,2tan B. 0,3tan
3
D
2
B
C. 0,4tan D. 0,5tan
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 9. Del gráfico, hallar AD en función de “m” y “”. C
A. V F B. V V
m 45°
A. m(sen – cos) B. m(sen + cos)
Colegios TRILCE
D
I. sen42°.csc48° = 1 ... ( ) II. tan20°.cot70° = 1 ... ( )
A
10. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
C. F V D. F F
B
C. m(cos – sen) D. m(sec – csc)
23
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 9 8
TRILCE
Quinto Católica
REPASO 8. Del gráfico, calcular: L1 – L2
Problemas para la clase 1.
B.
rad
C. 5 D. 6
3
4
Simplificar: F =
3°4’ 4’ +
2g5m 5m
A. 85 B. 86 4.
C. 87 D. 88
Calcular el ángulo en radianes que cumple: (“S” y “C” lo conocido) C S 4 + 5 = 43 A. B.
5.
5
6
Calcular el valor de: F =
C. 2
D. 3 C+S +6 C – S
A. 5
1 C. 5
B. 25
1 D. 25
Determinar la medida circular de un ángulo que cumple: C - S + R = 20 + ; siendo “S”, “C” y “R” lo conocido. A. rad B.
D. 4
7. En un sector circular, el arco mide 5 m, y el ángulo central 30°. ¿Cuánto mide el radio? A. 30 m B. 33
D
12 cm
A. cm B. 2
C. 3 D. 4
9. Determinar el área de un sector circular de una circunferencia de diámetro 10 m y un ángulo central de 12°. A. 10 m2 3 10 B. 5
56 3 D. 10 C.
10. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 13 cm y 12 cm. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo. 5 12 12 B. 13
5 C. 13 7 D. 15
A.
11. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); calcular: b b c F = a senA + c senC + a tanA A. 2a B. 2c
C. b D. 3
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
13. Determinar el valor de: F = sen230° + 2cos60° + tan37° – cot45° A. 1
C. 2
1 2
D. 3
B.
14. Determinar: tan B
C. 38 D. 42 37° A
24
60°
C. 3
2
O
L1
12. En un triángulo ABC, recto en "B", se cumple que: 3tanA = 2cscC, calcular: F = 5 tanA + 6secC
(“S” y “C” lo convencional)
6.
C
L 2 B
C. 94° D. 64°
Sabiendo que un ángulo se expresa como (7n+1)° y también como (8n)g. ¿Cuál es su medida radial? A.
3.
En un triángulo, dos de sus ángulos miden rad y rad. 5 3 ¿Cuál es la medida en sexagesimal del tercero? A. 84° B. 74°
2.
A
C
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 3 A. 4 B. 8
1 C. 2 1 D. 3
3
4. Determinar la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 15°, en una circunferencia de radio 24 m. A. m B. 2
15. Determinar "AB", si: AP = 10 2 ; PC = 24
5. Determinar el área de un sector circular de ángulo central 20g y de radio 10 m.
A 45°
A. m2 B. 2
P 30°
B
A. 14 B. 22
C
C. 24 D. 20
B. 2.
C. 23 D. 3 4
2 rad
3
Siendo: 10 rad = (5x + 15) g; calcular “x”. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3. Sabiendo que “S” y “C” son lo conocido para un mismo ángulo no nulo, simplificar: F= A. 6 B. 3
Colegios TRILCE
En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, reducir: F = csenB – acotA + bcscB
A. 2a B. a
A. 1 B. 2
1. Convertir a radianes 135°
6.
C. 5 D. 10
C. b D. c
3 7. Si: sen = 4 0° < < 90°, determinar: 3 7 cot
Tarea domiciliaria
A.
C. 3 D. 3 2
2C + S + 7 C – S
C. 3 D. 7
8. Determinar: F = 10tan53° – 4cot37° A. 3 B. 2
C. 4 D. 5
9. Resolver “x”, que cumpla: tan(x + 20°).cot80° = 1
A. 10° B. 20°
C. 40° D. 60°
10. Determinar el valor de “x” en: sen(2x – 7°) = cos(2x + 29°) A. 15° B. 16°
C. 17° D. 18°
C. 5 D. 7
25
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana10 9
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MEDIDA I Definiciones preliminares I.
Signos de las R.T.:
Ángulo en posición normal
y
Sen (+) Positivas
y
todas
csc
Tan (+) Cos (+) x
I C II C
x
cot
R. T. de ángulos cuadrantales
II. Ángulo cuadrantal (n × 90°; “n” ZZ) y 180º
90º –90º
x
no pertenece a cuadrante alguno.
III. Ángulos coterminales y
0º; 360º
90º
180º
270º
sen
0
1
0
–1
cos
1
0
–1
0
tan
0
N
0
N
cot
N
0
N
0
sec
1
N
–1
N
csc
N
1
N
–1
Propiedad:
sec
x
pertenecen al mismo cuadrante.
IV. Definición de las razones trigonométricas
“Las R.T. de los ángulos coterminales son respectivamente iguales”.
Problemas para la clase 1. El ángulo canónico que mide 300° pertenece al: A. I C B. II C
P(x; y)
C. III C D. IV C
r
r 2 = x2 + y2
2. El ángulo canónico que mide –160° pertenece al: A. I C B. II C
Dado el punto P(x; y) perteneciente al lado final del ángulo canónico “”, se define: sen = y r csc = r y
26
cos = x r sec = r x
tan = y x cot = x y
C. III C D. IV C
3. Si el punto Q( –5 ; –12) pertenece al lado final del ángulo canónico “”, calcular: sec + tan 1 5 B. – 1 5
A.
2 C. 3 D. – 2 3
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 4. Si el lado final de un ángulo canónico “” pasa por ( –2;1), hallar: E = sen.cos A. 0,2 B. – 0,2
A. + B. –
C. 0,4 D. – 0,4
B. C. D.
1 5 1 – 5 7 5 7 – 5
x
D.
A. I C B. II C y
1 3 1 – 3 3 – 5 3 5
A. I C B. II C
B. C. D.
x
C. III C D. IV C
17. Si: sen = – 0,6; “” III C; calcular: E = sec + tan 1 C. A. 2 2 D. – 1 B. – 2 2
(24; –7)
18. Si: cos = 0,5; “ ” IV C; calcular: E = tan – sen A. B. –
x
(8; –7) – 3; –4) (
C. – D. + ó –
3 2
C. –
3 3
D.
3 2
2 2 19. Reducir: E = a sen90º + b cos180º + bsen270° asen90º + bcos180º
A. a B. b
9. Señale el signo de A = sen100º . cos130º . tan160º sec210º
Colegios TRILCE
C. III C D. IV C
A. I C B. II C
y
A. + B. + y –
A. I C B. II C
16. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: cos – tan > 0?
8. Del gráfico, calcular: K = tan.tan A.
C. III C D. IV C
15. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: tan sen < 0? x
y
7 6 7 – 6 6 7 6 – 7
C. III C D. IV C
14. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: tan > 0 y cos < 0?
7. Del gráfico, calcular: K = sec – tan A. – 4 3 3 B. 4 C. 4 3 D. – 3 4
C. + y – D. + ó –
13. ¿Aqué cuadrante pertenece “ ”, si: sen > 0 y cos < 0?
–8; 15) (
C.
C. + y – D. + ó –
A. + B. –
6. Del gráfico, calcular: K = csc + cot
B.
A. + B. –
12. Señale el signo de: D = sen200º . cos300º + tan146º cos100º . tan112º – sec200º
( –4; 3)
A.
C. + y – D. + ó –
– 11. Señale el signo de: C = tan100º cot217º sen148º – tan116º
5. Del gráfico, calcular: K = sen – cos
A.
tan100º . cos160º 10. Señale el signo de: B = cos314º
C. – a D. – b
a2sen + 2abcos + b2sen23 2 2 20. Reducir: E = asen + absen – bcos2 2
A. a – b B. b – a
C. a + b D. – a – b
27
Católica
Ciclo
5. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: sen > 0; cos < 0?
Tarea domiciliaria
A. IC B. IIC
1. Del gráfico, calcular “sen”. –4; 3) (
6. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: cos > 0; tan < 0?
y
4 A. – 3 3 B. – 4 4 C. – 5 3 D. 5
A. IC B. IIC
x
28
A. a B. b
y
x
A. ( –), ( –), (+) B. (+), (+), (+) ( 2; –1)
C. – 3 1 D. – 3
4. Si el punto Q(7; –24) pertenece al lado final de un ángulo canónico “”, calcular: C = csc + cot A. 3 4 B. – 3 4
a2sen90°+b2cos180° asen90° – bcos180° C. a + b D. a – b
8. Señale el signo de:
3. Si el punto P( –3; 4) pertenece al lado final de un ángulo canónico “”; calcular: J = sec – tan A. 3 1 B. 3
C. IIIC D. IVC
7. Calcular:
2. Del gráfico, calcular: sencos. A. – 3 2 B. 2 C. 3 23 D. – 2 3
C. IIIC D. IVC
C. 4 3 D. – 4 3
sen100º + cos310º J= tan140º cos130º + cot340º A = sen210º C = sen114º – tan117º cos314º – sen214º C. ( –), ( –), ( –) D. ( –), (+), (+)
9. Si: sen = 2; IIC, calcular “cot”. 3 A. B. –
5 3 3
5 2
C. 5
D. –
2
5
10. Si: cos = 0,6; IVC; calcular: K = csc – cot 1 C. A. 2 2 1 B. – 2 D. – 2
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
11 Semana 10
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE CUALQUIER MEDIDA II 7. Señale los signos que adoptan:
Problemas para la clase
C = sen124°cos200°sec256° L = tan117°cos342°sen224°
1. De acuerdo al gráfico, señale lo incorrecto:
A. +; + B. +; –
y
A. B. C. D.
IC IVC IIC IIC
8. Señale los signos que adoptan:
x
C = sen246°tan116°cot316° L = cos140°sec320°tan147° A. +; + B. +; –
2. De acuerdo al gráfico, señale lo incorrecto: y
A. B. C. D.
C. –; – D. –; +
IIC IC IVC IIC
9. Del gráfico, hallar "tan"
C. –; – D. –; +
x
1
x +
9
3. De acuerdo al gráfico, calcular: C = 2sen + cos y
–4; 3) (
A. B. C. D.
1 A. 3
0,1 0,2 0,3 0,4
1 C. 9
1 B. – 3 x
D. – 9
10. Del gráfico: AB = BC. Hallar "tan"
4. De acuerdo al gráfico, calcular: C = sen – cos B y 37°
A. 0,1 B. –0,1 C. 0,2 D. –0,2
x
–4; – 3) (
5. Si el lado final del ángulo canónico “” pasa por P( –5; 12), calcular: C = 2sen – 2cos 5 A. 1 B. –1
C. 2 D. –2
6. Si el lado final del ángulo canónico “” pasa por P(8; –15); calcular: C = 1cos – 2sen 2 A. 1 B. –1 Colegios TRILCE
C
1 A. – 7 2 B. – 7
x
C. –
3
7 4 D. – 7
11. Señale el cuadrante al que pertenece “ ”, si: sen < 0 y
cos > 0. A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
C. 0 D. 2
29
Católica
Ciclo
12. ¿A qué cuadrante pertenece “ ”, si: tan < 0 y sen > 0? A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
1. Del gráfico, calcular: C = 5sen – 1
13. Sabiendo que: sen cos < 0, ¿a qué cuadrante pertenece “”? A. IC B. IIC
Tarea domiciliaria
C. IIIC D. IVC
y
– 3; 4) (
A. B. C. D.
1 – 1
3 – 4
x
14. Sabiendo que: tan – sen < 0; ¿a qué cuadrante pertenece “”? A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC 3 2 3 2 2cos – sen + 2cos – sen 2 2 15. Señale el valor de: C= 2sen – cos2 A. –15 B. 16
y
A. 0 B. –14 C. –7 D. 7
–7; – 24) (
3. Del gráfico, señale el valor de: C = 5sen – 3cot
C. –16 D. –17
16. Calcular: C = (3sen90º – cos180º)2 + tan0º 2sen180º + cos360º A. 3 B. 4
2. Del gráfico, calcular: C = 25cos + 7
C. 5 D. 16
A. B. C. D.
–2
2
–1
x
(4; – 3)
1
17. Si: tan = 2sen – cos; IIIC. Calcular: C = sen – cos 2
A. – 1 10 1 B. 10 18. Sabiendo que: tan
C.
2 10
D. – 2 1
10
III C; calcular: C = sen .cos
=3;
A. 0,2 B. 0,3
5. Si el punto P( –1; –2) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “b”; calcular: C = 5cos + tan
C. 0,4 D. 0,6
A. 1 B. 0
19. Si: 9cscx = 81; además: cotx < 0, entonces al calcular: F = 2 3 cosx + 3cotx; se obtiene: A. – 6 B. – 1
A. B. C. D.
A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
8. ¿En qué cuadrante se ubica “ ”, si: cos –cot < 0?
B
A. IC B. IIC
53º A
C. IIIC D. IVC
7. ¿En qué cuadrante se ubica “”, si: tan < 0 y sen > 0?
y
C
C. –1 D. 2 6. ¿En qué cuadrante se ubica “ ”; si: sen < 0 y cos > 0? A. IC B. IIC
C. 1 D. 3
20. Del gráfico, calcular “tan ”, si: AB = BC
7 – 3 7 – 4 3 – 7 4 – 7
4. Si el punto P( –3; 2) pertenece al lado final de un ángulo canónico “”, calcular: C = 13sen + 3tan A. 1 C. –2 B. 2 D. 0
x
C. IIIC D. IVC
9. ¿En qué cuadrante se ubica “ ”, si: sen216°cos < 0 y tan140°tan < 0? A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
10. Señale los signos de: C = sen142°cos216°tan190° L = sen3200°cos5124°sec250° A. +; + B. +; –
30
C. –; – D. –; + Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 12 11
TRILCE
Quinto Católica
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I •
Definición: Es el procedimiento mediante el cual se calculan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de un ángulo que sí lo sea. R.T.() : no es agudo
III C
•
tan4223° = tan263° = +tan(263° – 180°) = tan83° 4223° 360° 263° 11
•
cos2540° = cos20° 2540° 360° 20° 7
R.T. () : si es agudo
Obviamente si “” fuese cuadrantal; se utilizará el criterio
práctico de las R.T. de un ángulo cuadrantal.
•
Casos. Los casos que vamos a identificar; son los siguientes: I.
III. Ángulos de medida negativa
Ángulos cuya medida está en: 90°; 360° – {180°; 270°}
sen; csc R.T.( –x) = tan; cot cos; sec
II C ± R.T. (180º – ) R.T.() = III C ± R.T. ( – 180º) IV C ± R.T. (360º – )
Por ejemplo:
•
sen( – 45°) = – sen45° = 2 2
•
cos( – 30°) = cos30° =
•
tan( – 10°) = – tan10°
sen140º = + sen(180º – 140º) = sen40º II C
•
cos220º = – cos(220º – 180º) = – cos40º
R.T.(x)
Por ejemplo:
El signo (±) dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original; y de la R.T. pedida.
•
– R.T.(x)
3 2
Problemas para la casa
III C
•
tan310º = – tan(360º – 310º) = – tan50º
II. Ángulos cuya medida es mayor que 360° R.T.()
R.T.() 60°
cociente (indica el número de vueltas que tiene )
Por ejemplo: II C
•
sen3710° = sen110° = +sen(180° – 110°) = sen70° 3710° 360° 110° 10
3 3 6 4
3 4 B. D. – 6 4 tan150º 2. Calcular el valor de: L = sec300º A.
II C
resto (reemplazará al ángulo original)
1. Señale el valor de: C = sen120°cos225°
3 6 B. – 3 6
A.
3 4 D. – 3 4 C.
3. Hallar: A = sen200ºcos140ºtan320º cos250º A. sen20° B. –sen20°
C. sen40° D. –sen40°
4. Hallar: U = tan190ºcos350º sec260º A. sen210° B. cos210°
Colegios TRILCE
C. –
C. –cos210° D. –sen210°
31
Católica
Ciclo
sen1200º 5. Calcular: D = sen1500º A. 1 B. –1
15. Calcular: L = cos10º + cos20º + cos30º + ... + cos180º C. 3 D. –3
A. 1 B. 2
C. 0 D. – 1 tan135°
16. Calcular: F = {
6. Hallar: I = sec1920°tan855° A. 1 B. –1
C. 2 D. –2 7sen40° – 3cos50° 7. Reducir: F = sen140° A. 2 B. 4
B.
B. – 6
C. – 3 2 2 D. – 3 2 4
6 2 6 D. – 2 C.
sen( –1200º) 11. Calcular: I = tan( –1830º) A. 2 3 B. –2 3
cos(123) 2 17. Calcular: A = sen (156)sen 343 2
C. 2 D. –2
18. Calcular: C = (sen330º + cos240º)tan210º
10. Calcular: C = tan( –60º)sec( –45º) csc( –30º) 6
2
A. 1 B. –1
C. 1 D. 0
sen( –60º)cos( –45º) 9. Calcular: U = tan( –30)
A.
C. – 2 3 D. 3 sen 237
8. Calcular el valor de: F = sen323° + cos307°
A. 3 2 2 B. 3 2 4
2 3 3
A.
C. 6 D. 8
A. 2 B. –2
sen150°.cos225° } tan143°
12. Calcular: A = sen( –120º)cot( –330º) sec( –1500º)
C. 3
B. –
3 3
3
D. – 3
19. Señale el valor de: tan6173º 3 A. 4 B. 4 3
3 4 4 D. – 3 C. –
20. Calcular: I = sen( –240º)cos( –120º) A.
C. – 3 D. 3
3
A.
3
B. –
43 3 D. – 4 C.
2 3 2
Tarea domiciliaria 1. Calcular: C = sen120°cos150°
3 4 3 B. – 4
A. 3
C. 3 4 3 D. – 4
13. Calcular: L = sen240º . cos315º . tan225º sec300º . cos( –37º) 36 32 5 6 B. 32
A. –
56 32 7 6 D. 16 C. –
14. Calcular el valor de: F = (sen330° + cos240°)tan210° A.
3
C.
B. – 3 D. –
32
3 3
3 A. 4 3 B. 2
C. – 3 2 3 D. – 4
2. Calcular: L = sen150° + cos300° A. 0 B. 1
C. –1 D. 3
3. Calcular: A = tan315° + cos240° A. 1 2 1 B. – 2
3 C. – 32 D. 2
3 3 Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 4. Calcular: U = sec300° + csc210° A. 1 B. – 1
9. Calcular: tan2760°
C. 0 D. 4
A. – 1 B.
2tan217º + sen330º 5. Calcular: D = cos225º A. 2 B. – 2
D.
3 3 3
sen2130º 10. Calcular: T = tan3540º
C. –1 D. –2
A. – 3 1 B. 3
sen140ºsen200º 6. Reducir: I = sen320ºsen160º A. 1 B. 2
3 3
C. –
C. –1 D. –2
1 C. –3 3 D. 6
7. Señale el valor de: tan1200° A.
3
B. – 3
C. –
3 3
D. 1
8. Calcular: cos5190° 1 A. 2
1 B. – 2
Colegios TRILCE
C.
23 3 D. – 2
33
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 12 13 Semana
TRILCE
Quinto Católica
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II Situaciones particulares: I.
3. Reducir: A = sen( –x) + cos(90º + x) cos(270º + x)
Ángulos de la forma: 90°. n ± x; n ZZ R.T.(90º ± x) = CO – R.T.(x)
R.T.(180º ± x) = ± R.T.(x)
R.T.(270º ± x) = ±CO – R.T.(x)
R.T.(360º ± x) = ± R.T.(x)
El signo (±) dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original (asuma que “x” es agudo) y de la R.T. pedida.
•
Por ejemplo: sen(90º + x) = + cosx (cambia)
A. 2senxtanx B. –2senxtanx
4. Simplificar: U = tan(360º – x) – cot(270º – x) tan(270º + x) C. 2tan2x D. –2tan2x
A. 2senxtanx B. –2senxtanx 5. Si: sen( + x)tan
IIC
•
cos(180º + x) = –cosx (no cambia) IIIC
C. 2cosx D. –2
D= A.
+ x = 1; “x” es agudo, calcular: 2 3
+ x = tan( + x) 2
1
C.
3 1 B. – 3
•
tan(270º – x) = +cotx (cambia) IIIC
•
cot(360º – x) = –cotx (no cambia) IVC
I.
Propiedades:
3 2 D. – 3 3
1 6. Si: sen + x = csc( – x) calcular: I = tan( –x) – cot( + x) 2 3
1. Si: x + y = 180º
senx = seny cosx = – cosy
2. Si: x + y = 360º
senx = – seny cosx = cosy
3. Si: x + y + z = 180°; se cumple: tanx + tany + tanz = tanxtanytanz cotxcoty + cotycotz + cotzcotx = 1
A. 3 B. –3
C. 9 D. –9
sen( – x)cot 3 + x sen + x 2 2 7. Reducir: A = csc(2 – x)
C. cos3x D. – sen3x
A. cosx B. sen3x tan( + x)sen 8. Simplificar: L = sen
4. Si: x + y + z = 90°; se cumple: cotx + coty + cotz = cotxcotycotz tanxtany + tanytanz + tanztanx = 1
Problemas para la clase 1.
Simplificar: C = sen(180º + x) cos(270º + x) A. 1 B. –1
34
C. senx D. –senx
sen 7 + x 2 9. Reducir: U = cos(17 – x)
C. –tanx D. cotx
C. tanx D. –cotx tan
10. Reducir: C =
C. –cot2x D. –tan2x
+ x cos + x 2
3 + x tan(2+ x) 2
A. cosx B. –cosx
A. 1 B. –1
tan(90º + x) 2. Reducir: L = cot(270º – x) A. –1 B. cot2x
2 3
A. 2secx B. 2cscx
123 – x cot(231+ x) 2 sen 145 + x 2 C. –2secx D. –2cscx Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 11. Si: x + y = 180°; calcular: I = tan(cosx + cosy) + 1 A. 1 B. 2
A. – 3 B. –2
C. tan2 D. 1 + tan2
C. – 1 D. 3
Tarea domiciliaria
12. Si: x + y = 360°; calcular: A = cos(senx + seny) + 1 A. 1 B. 2
C. 1 + cos2 D. 1 – cos2
13. Calcular: C = cos20º + cos40º + cos80º + cos100º + cos140º cos160º C. 2 D. 1 2
A. 1 B. – 1
1. Calcular: sen( – 240°) A. B.
1 2
3 2 3 D. – 4 C. –
3
2 2. Calcular: tan( –3000°) A. – 1 B.
C. – 3 3
3
D.
14. Calcular: L = cos1º + cos2º + cos3º + ... (179 términos) A. 1 B. 0
C. –1 D. –2
A. 1 B. – 1
15. Calcular: L = sen(12 + x) + cos(24 + x) sen(12 – x) cos(24 – x) A. 1 B. 2
C. 0 D. – 2
A. cosx B. –cosx
A. senx B. –senx
tan(36 + x) 17. Reducir: F = tan(8 + x) A. tanx B. tan2x
18. En un triángulo ABC, reducir: F = A. 1 B. –1
C. –cscx D. –cosx
6. Señale el equivalente de: S = sen(90º + x)cos(180º + x) sen(270º – x)
C. 1 D. cot2x sen(A + B) tan(B + C) senC + tanA
C. 2 D. 0
A. cosx B. senx 7. Simplificar: T =
19. Del gráfico, calcular “tan”
C
C. –cosx D. –senx +x 2 sen(2 + x) + cot( + x)
sen( + x)
A. 2 B. –1
sen
C. 0 D. –2
sen( + x)cos 3 + x tan + x 2 2 8. Reducir: P = cot( – x)
M B
2 A. 3 3 B. 2
C. senx D. –senx
5. Simplifique: R = tan(90° + x)sen(180° – x)
C. – 2tanx D. 2cotx
37°
C. tanx D. – tanx
4. Reducir: Q = {sec( –x) + tan( –x)}{1 – sen( –x)}
sen(40 + x) 16. Calcular: F = cos(136 – x) + tan(120 – x) A. 0 B. 2tanx
3
sen( –x) + cos( –x) 3. Reducir: P = senx – cosx
A. sen2x B. –sen2x
2
C. – 3 3 D. – 2
C. cos2x D. –cos2x
9. Si: x + y = 180°; calcular: Q = senx + cosx + tanx seny cosy tany
20. Del gráfico, calcular “tan ”, si: CM = 2MB
A. 1 B. 3
C 45°
10. Si: x + y = 270°; calcular: R =
M
C. –3 D. –1 senx tanx secx + + cosy coty cscy
A Colegios TRILCE
B
A. 1 B. –1
C. 3 D. –3
35
TRIGONOMETRÍA
Colegios
14 Semana 13
TRILCE
Quinto Católica
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I •
Circunferencia trigonométrica: y
Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y cuyo radio es igual a la unidad del sistema. En ella se debe reconocer:
B
M
(+)
A: Origen de arcos B: Origen de complementos
A
A’
x – ) (
A’: Origen de suplementos B’: Antónimo
N
M y N: Extremos de arco
B’
Sobre esta circunferencia se van a representar gráficamente los valores numéricos de las razones trigonométricas de un ángulo o de un número cualquiera.
•
Líneas trigonométricas: Son segmentos orientados; que van a representar los valores de las razones trigonométricas; los cuales se trazarán sobre la circunferencia trigonométrica. Conocida la representación gráfica podremos deducir características de cada razón trigonométrica. y
I.
B M
Línea trigonométrica SENO La L.T. seno correspondiente a un arco; es la perpendicular trazada desde su extremo al eje de abscisas.
A
A’
P
x – ) (
( – )
En el gráfico:
(+)
(+)
B’
y
II. Línea trigonométrica COSENO
Q
La L.T. coseno correspondiente a un arco, es la perpendicular trazada desde su extremo al eje de ordenadas.
– ) (
– ) (
En el gráfico:
M (+)
(+)
A x
Problemas para la casa 1. Señale verdadero(V) o falso (F); según corresponda en:
A. sen40° B. sen114°
I. sen 70° > sen 50° II. sen 120° > sen 160° III. sen 200° > sen 230° A. V V F B. F V V
I. cos 20° > cos 70° II. cos 110° > cos 160° III. cos 210° > cos 280°
36
C. sen96° D. sen160°
4. Señale la expresión de menor valor en: C. V F V D. V V V
2. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en:
A. V V V B. F F V
3. Señale la expresión de mayor valor en:
A. cos100° B. cos160°
C. cos190° D. cos230º
5. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I. sen 40° > sen 140° II. sen 160° = |sen 200°| III. |sen 240°| > |sen 310°|
C. F V F D. V V F
A. F F V B. F V V
C. V V F D. V F V Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 6. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en:
y
I. |cos 100°| < |cos 140°| II. cos 250° = cos 290° III. cos 310° > cos 340° A. V V F B. V V V
12. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. M B
A. 1 + sen + cos B. 1 + sen – cos 1 C. (1 + sen – cos) 2 1 D. (1 – sen – cos) 2
C. V F F D. F F F
A x
A’
7. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: 13. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
I. Si: 0° < x < 45° sen x < cos x II. Si: 90° < x < 135° sen x + cos x > 0 III. Si: 135° < x < 180° sen x + cos x > 0 A. V F V B. V V F 8.
1 A. –
C. F F V D. F V V
En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
M
A. sen B. 2 sen C. 1 sen 2 D. 2 cos
En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y B
A. sen B. 2sen C. 1sen 2 D. – cos
2 B. – 2sencos C. – sencos D. 1sencos 2
14. En la C.T. mostrada, halle el área de la región sombreada.
A x C.T.
9.
sencos
A. 1 sen + cos B. 12sen – cos C. 2(1sen – cos) D. 12sen + cos
M
15. En la C.T. mostrada, hallar “x” A x
B’
y M B
A. B. C. D.
1 + sen – cos 1 – sen – cos 1 – sen + cos 1 + sen + cos
A. – 1sen 2 1 B. – cos 2 C. – sen D. – cos
B
A x
A’
M
C.T.
B’
45º
A’
x C.T. B’
10. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. y
y
x
M A’
x
16. En la circunferencia trigonométrica, calcular la longitud del segmento MN.
A. cos B . sen x C. cos + cos D. cos – cos
M N
11. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. 1 sen (1 + 2cos) 2 1 B. sen (1 + cos) 2 C. 1sen (1 – 2cos) 2 1 D. sen (1 – cos) 2
Colegios TRILCE
17. Señale la expresión de mayor valor en:
y M B
A.
A. sen 1 B. sen 2
A’
C. sen 3 D. |sen 4|
18. Señale la expresión de menor valor en: C.T. B’
A. cos1 B. cos2
C. cos3 D. cos4
37
Católica
Ciclo
19. Indique verdadero (V) o falso (F) en:
6. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: Si: 0 < < < cos < cos 2 II. Si: < < < cos > cos 2 3 III. Si: < < < l cos l > l cos l 2
I.
I. 180° < < < 270° sen > sen II. 90° < < < 180° sen < sen A. V V B. V F
C. F V D. F F
A. V V V B. V F V C. V F F
20. Señalar verdadero (V) o falso (F) en: I. 0° < < < 90° cos < cos II. 270° < < < 360° cos > cos A. V V B. V F
7.
C. F V D. F F
1. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I. sen50° < sen70° II. sen100° < sen130° A. V V B. V F
En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. A. 1 sen 2 B. sen C. 2sen D. –sen
Tarea domiciliaria
A.
2. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en:
C.
I. sen200° > sen220° II. |sen300°| > |sen340°|
D. C. F V D. F F
3. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I. cos70° > cos80° II. cos110° > cos150° C. F V D. F F
4. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en:
9.
3sen 2 3 – sen 2 3sen 4 3 – sen 4
x
y B N A x
A’
B’
M
En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada. A. 1 + cos B. 1 – cos 1 C. + cos 2 D. – 1cos 2
M
B A
A’
B’
10. Señale la expresión de mayor valor en: A. sen190º B. sen210º
I. cos200° > cos250° II. cos300° > cos340° A. V V B. V F
A
A’
8. En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
B.
A. V V B. V F
M
y B
B’
C. F V D. F F
A. V V B. V F
D. F V V E.
C. sen260º D. sen310º
C. F V D. F F
5. Señale verdadero (V) o falso (F); según corresponda en: I.
Si: 0 < < <
sen < sen 2
< < < sen > sen 2 III. Si: 3 < < < 2 sen > sen 2
II.
Si:
A. V V V B. V F V
38
C. F F V D. V V F Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 14 15
TRILCE
Quinto Católica
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II •
Variaciones del seno y coseno Recordando que:
M
Q
1 s en
–1
x
P
M cos
1
A x
–1
R.T.
0º 90º
90º 180º 180º 270º 270º 360º
sen
R.T.
0º 90º
90º 180º 180º 270º 270º 360º
cos
–1 sen 1
(sen)máx = 1
–1 cos 1
(sen)mín = –1
(cos)máx = 1
sen2
(sen2)máx = 1
(cos)mín = –1 cos2
(sen2)mín = 1
cos2)máx = 1
(cos2)mín = 1
Problemas para la clase 1. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponde en: I. En el IIC, el seno es creciente II. En el IIIC, el seno es creciente en valor absoluto A. V V B. V F
C. F F D. F V
2. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponde en: I. En el IIC, el coseno es creciente. II. En el IIIC, el coseno es decreciente en valor absoluto
4. ¿En qué cuadrante(s), el seno es creciente y el coseno es decreciente? A. I B. II
C. III D. I y III
5. Señale el máximo valor de: C = 3 + 2 sen x A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
6. Señale el máximo valor de: L = 2 – 3senx A. V V B. V F
C. F F D. F V
3. ¿En qué cuadrante(s), el seno y el coseno son crecientes? A. I B. IV
Colegios TRILCE
C. I y IV D. II y IV
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
7. Señale el mínimo valor de: A = 3 + 4cosx A. 3 B. 2
C. 1 D. –1
39
Católica
Ciclo
8. Señale el mínimo valor de: U = 7 – 2cosx A. 7 B. 6
C. 5 D. 4
9. Señale el máximo valor de: D = A. 5 B. 6
A. 3 B. 4
1. Señale el mayor valor de: C = 2senx + 1
5 – 2cos2x
C. 4 D. 7
10. Señale el mínimo valor de: E = 3
+ 2sen2x
C. [3; 10] D. [8; 10]
12. Señale la variación de: U = (2 + senx)(2 – senx) A. B.
[3; 4] [4; 6]
C. [2; 6] D. [2; 4]
13. Señale la variación de: C = (3 + cos x)(3 – cosx) A. B.
[8; 9] [7; 9]
C. [6; 8] D. [8; 10]
14. Señale la variación de: E = 2 + 3senx; si: x IIC A. 2; 3 B. 2; 5
C. 3; 5 D. 3; 6
15. Señale la variación de: A = 7 + 4cos x; si: x IIC A. 5; 7 B. 4; 7
C. 3; 6 D. 3; 7
16. Señale la variación de: L = 5 – 2 cos2x; si: x IIC A. 2; 3 B. 2; 5
C. 3; 7 D. 3; 5
17. Señale la variación de: L = 3 + 2senx; si: x 30°; 180°] A. B.
[2; 5] [2; 4]
C. [3; 5] D. [3; 4]
18. Señale la variación de: H = 2 – 3 cosx; si: x [60°; 180°] A. B.
3; 4 2 1; 3 2
C. 1; 4 2 1 D. ; 5 2
19. Señale la variación de: J = 2 – 3 sen2x; si: x 60°; 150°] 1; 5 4 B. – 1; 13 4
A.
A. 0 B. 1
C. –2 D. 3
2. Señale el mayor valor de: L = 1 – 3senx A. 0 B. 1
C. 5 D. 1
11. Señale la variación de: A = 7 + 3 senx – 2cos2y A. [2; 5] B. [2; 10]
Tarea domiciliaria
C. –2 D. 4
3. Señale el menor valor de: A = 2cosx – 1 A. 0 B. 1
C. –1 D. –3
4. Señale el menor valor de: U = 2 – 5cosx A. 0 B. –1
C. –2 D. –3
5. Señale el mayor valor de: D = 3 – sen2x A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6. Señale el menor valor de: I = 2 – sen2x A. 1 B. 2
C. 0 D. –1
7. Señale la suma del máximo y mínimo valor de: A = ( 5 + senx)( 5 – senx) A. 5 B. 6
C. 7 D. 9
8. Señale la variación de: L = 4 – 3sen2x A. B.
[0; 4] [0; 3]
C. [1; 4] D. [1; 3]
9. Señale la variación de: U = 1 + 2sen 2x A. [0; 2] B. [1; 2]
C. [1; 3] D. [1; 4]
10. Señale la variación de: C = (3 + cosx)(3 – cosx) A. B.
[7; 8] [7; 9]
C. [6; 9] D. [8; 9]
C. 2; 13 4 D. – 1; 5 4
20. Señale la variación de: K = sen2x + senx 1 ;2 41 B. – ; 1 2
A. –
40
1 C. – ; 2 2 D. – 1; 2 45
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 15 16
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA DE CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 8. Hallar la extensión de: E = sen2 + 2sen + 3
Problemas para la clase 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
C. V V F D. F F F
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. |sen200º| > |sen250º| II. sen10º + sen260º > 0 III. |sen3 – sen2| = sen3 – sen2 A. F V V B. F V F
4.
A. – sen1 2 B. sen 1 C. – sen 2 D. –2sen
C. F F F D. F F V
C. sen3 D. sen4
Si: – > x1 > x2 > – , entonces: 2
I. senx1 > senx2 II. |senx1| < |senx2| III. sen|x1| > sen|x2|
5.
3 5 A. – ; 2 2 3 5 B. ; 2 2 6.
2k – 1 4
C. [ –1; 1] 5 3 D. ; 22
sen= 3k + 1 5
C. V F V D. F V F
I. |cos100º| > |cos160º| II. cos160º + cos70º < 0 III. |cos3 – cos2| = cos2 – cos3 A. V V F B. F V V
C. F F V D. V V V
13. Indicar el menor valor: A. cos1 B. cos2
C. cos3 D. cos4
14. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
A. –1; 0 C. –2; 0 1 1 B. – ; 0 – 2; – 3 D. 3 5 7. Si: < < , hallar la extensión de: E = 2sen – 3 6 6
Colegios TRILCE
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
C. V V V D. F F V
Si IIIC, hallar todos los valores de “k” que verifican la igualdad:
A. –2; –1 B. [ –2; –1
x
I. cos20º > sen20º II. cos2 < cos3 III. Si: > > > cos < cos 2 A. V V F B. V V V
Para que valores de “k” la igualdad se verifica: sen=
0
11. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
A. V F F B. F V V
10. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región triangular sombreada. y
3. Indicar el menor valor: A. sen1 B. sen2
C. [2; 6] D. [2; 5]
sen + 3 9. Hallar la extensión de: E = sen + 2 3 4 A. 1; C. 1; 2 3 B. 1; 3 D. 4; 2 2 3
I. sen20º > sen80º II. sen2 3< sen3 III. Si: > > > sen > sen 2 A. F V V B. F V F
A. [0; 3] B. [1; 6]
C. –2; –1] D. –2; 1
Si: – < x1 < x2 < – , entonces: 2
I. cosx1 > cosx2 II. |cosx1| < |cosx2| III. cos|x1| > cos|x2| A. F V V B. F F F
C. V V V D. F F V
41
Católica
Ciclo
15. Para que valores de “k” la igualdad se verifica:
cos= 4k –1 3 A. 1; 1 2 1 B. – ; 1 2
Tarea domiciliaria 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
C. – 1; 1 2 1 D. – 1; – 2
I. sen10º > sen20º II. sen1 < sen2 III. Si: > > > sen > sen 2
16. Si II C, hallar todos los valores de “k” que no verifican la igualdad: cos= 4k + 3 7
A. F V V B. F V F
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
5 3 A. – ; – 2 4 5 3 B. – ; – 2 4
3 5 ; 42 3 5 D. ; 42 C.
I. |sen210º| < |sen250º| II. sen10º + sen260º > 0 III. |sen1 – sen2| = sen1 – sen2 A. V V V B. F V F
17. Si: – < < , hallar la extensión de: E = 4cos + 1 3 3
A. sen1 B. sen2
18. Hallar la extensión de: E = cos2 + cos + 1
B.
4 ;3 3 3; 3 4
43
B.
2 ;4 3 2 ;4 3
C. D.
I. senx1 > senx2 II. |senx1| < |senx2|
4 ;2 3 4 ;2 3
A. V F B. F V
20. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región triangular sombreada.
C. V V D. F F
5. Para qué valores de “k” la igualdad se verifica: sen= 2k + 1 3
y
A. cos B. – cos C. 1cos 2 D. – 1cos 2
C. sen3 D. sen4
4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Si: – > x > x > – entonces: 1 2 2
C. [3; 4] D. 3; 4
cos – 3 19. Hallar la extensión de: E = cos – 2 A.
C. V F F D. V F V
3. Indicar el mayor valor:
C. 3; 5 D. [3; 5
A. [3; 5] B. 3; 5]
A.
C. V V F D. V V V
A. – 3; 5 2 2 B. [ –2; 1]
0
C. [ –1; 1] D. 5; 3 2 2
x
6.
Si: IIIC, indicar uno de los valores de “k” que no veri fican la igualdad: sen = 3k – 1 5 A.
2 7
B. – 1
42
C. – 2 D. 0
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 7.
Si:
5 < < ; hallar la extensión de: E = 2sen 6 6
A. 1; 2 B. [1; 2
C. –2; –1] D. 1; 2]
8. Hallar la extensión de: E = sen2 + 2sen A. [ –1; 3] B. [ –3; –1]
C. [1; 3] D. [ –3; 1]
10. La circunferencia es trigonométrica, calcular el área de la región triangular sombreada. y
A. –sen B. 1sen 2 1 C. – sen 2 D. –2sen
0 x
9. Hallar la extensión de: E = sen + 4 sen + 3
A. B.
4; 1 3 5 ;1 4
Colegios TRILCE
5; 3 4 2 3 D. 1; 2 C.
43
TRIGONOMETRÍA
Colegios
17 Semana 16
TRILCE
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE I Definición. Son aquellas igualdades que se establecen entre las razones trigonométricas de una cierta variable angular y se verifican para todo valor admisible de dicha variable.
Clasificación I.
Identidades trigonométricas recíprocas senx . cscx = 1
•
cosx . secx = 1
cscx = 1 senx
•
tanx . cotx = 1
secx = 1 senx
•
cotx = 1 senx
II. Identidades trigonométricas por división tanx = senx cosx
cotx = cosx senx
III. Identidades trigonométricas pitagóricas sen2x + cos2x = 1
sec2x – tan2x = 1
•
sen2x = 1 – cos2x
•
sec2x = 1 + tan2x
•
cos2x = 1 – sen2x
•
tan2x = sec2x – 1
csc2x – cot2x = 1
• •
csc2x = 1 + cot 2x cot2x = csc2x – 1
Los problemas que vamos a resolver en este capítulo serán de tipo simplificación y tipo cardinales.
Problemas para la casa 1. Reducir: E = tanx . cosx + senx A. senx B. sen2x
6. Reducir: E = C. 2senx D. 2
C. 1 D. sen2x
3. Reducir: E = senxcotx + cosxtanx – sen2xcscx – cos2xsecx A. 1 B. 2senx
C. 2(senx – cosx) D. 0
4. Reducir: E = [(senx + cosx)2 – (senx – cosx)2]tanx A. 2 B. 2senx
C. 2cosx D. 4sen2x
5. Reducir: E = (2senx + cosx) 2 + (senx – 2cosx)2 A. 3 B. 4
44
C. 5 D. 7
1 – cos2x + 1
A. sen2x B. cos2x
2. Reducir: E = sen3x . cot2x . sec2x A. senx B. cosx
1 – sen2x
7.
Reducir: E = A. tanx B. tan2x
C. sec2x D. csc2x (sec2x – 1)cotx (csc2x – 1)tanx C. cotx D. cot2x
8. Reducir: E = tanx . senx + cosx A. senx B. secx
C. cscx D. cosx
9. Reducir: E = cotx . cosx + senx A. senx B. cosx
C. cscx D. secx Colegios TRILCE
T r ig onomeTría secx + tanx + 1 10. Reducir: E = cscx + cotx + 1 A. 1 B. tanx
Tarea domiciliaria C. cotx D. cscxsecx
– 11. Reducir: E = secxcscx cotx + 1 secxcscx – tanx
A. csc2x B. sec2x 12. Reducir: E =
C. tan2x D. cot2x sen4x – cos4x senx + cosx
A. 1 B. tanx
secx + 1
13. Reducir: E = sen3x + cos3x + sen3x – cos3x senx + cosx senx – cosx
14. Reducir: E =
C. 2senxcosx D. 2(1 + senxcosx) sen2x – tan2x sen2x – cot2x
A. tan2x B. tan4x
C. tan6x D. tan8x
C. 8 D. 12
2 16. Si: senx – cosx = ; calcular: E = senxcosx 2 A. 1 2 B. 1 4
C. 1 6 D. 1 16
17. Si: tanx + cotx = 3; calcular: E = senxcosx 1 3 2 B. 3
A.
1 C. 6 D. 1 12
18. Si: tanx + tan2x + tan3x = 1; hallar: E = cotx + tan 3x A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
19. Si: senx + cosx = n, hallar: E = tanx + cotx + secx + cscx 2 A. n – 1 2 B. n+1
C. cos3x D. cos2x
2. Reducir: C = tanx . cot 2x . senx + cos 2x . secx A. cosx B. tanx
C. 2tanx D. 2cosx
A. 1 B. 2
C. tanx D. cotx
4. Simplificar: C = sen3x . cscx + cos3x . secx A. 1 B. senx + cosx
C. senx . cosx D. tanx
5. Reducir: C = senx + cosx tanx secx + cscx
15. Si: tanx + cotx = 2 2; calcular: E = tan 2x + cot2x A. 4 B. 6
A. senx B. cosx
3. Simplificar: C = (senx . cotx) 2 + (cosx . tanx)2 C. cotx D. secx
A. 1 B. 2
1. Reducir: C = sen2x . cotx . secx
A. senx B. cosx
C. sen2x D. cos2x
6. Reducir: C = (secx + tanx)(1 – senx) A. cosx B. cos2x
C. sen2x D. secx
7. Simplificar: C = (cscx – cotx)(1 + cosx) cotx A. senx B. cosx
A. sen2x B. cos2x
8. Reducir: C = secx + tanx + 1 cscx + cotx + 1 A. secx . cscx B. senx . cosx
C. tanx D. cotx
9. Reducir: C = 2secx – 3tanx + 1 2cscx + cotx – 3 A. secx . cscx B. senx . cosx
C. tanx D. cotx
10. Simplificar: C = (2senx + cosx)2 + (senx – 2cosx)2 A. 3 B. 2
C. 5 D. 5sen2x . cos2x
2 C. n
2 D. n2 – 1
20. Si: sen2x = cosx; hallar: E = (1 – sen4x)csc2x A. 1 B. 2 Colegios TRILCE
1 C. 2 D. 1 4
45
TRIGONOMETRÍA
Colegios
18 Semana 17
TRILCE
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UNA VARIABLE II •
Identidades trigonométricas . Auxiliares: Apartir de las identidades trigonométricas fundamentales, se demuestran una serie de relaciones adicionales para simplificar o resolver expresiones de manera más rápida y eficiente. Estas relacione s auxiliares son: tanx + cotx = secx . cscx
sec2x + csc2x = sec2x . csc2x
sen4x + cos4x = 1 – 2sen2x . cos2x
sen6x + cos6x = 1 – 3sen2x . cos2x
(senx + cosx)2 = 1 + 2senx . cosx
(senx – cosx)2 = 1 – 2senx . cosx a c b cosx = c
senx =
Si: asenx + bcosx = c (a2 + b2 = c2)
tanx =
a b
Problemas para la clase 1. Reducir: C = (secx . cscx – cotx)cosx A. 1 B. senx
7. Siendo: tanx + cotx = 3; calcular: C = sen4x + cos4x 1 A. 3 2 B. 9
C. cscx D. sen2x 2
2. Reducir: C = tanx + cotx – 1 secx C. tan2x D. cot2x
A. 1 B. cotx
1 8. Siendo: sen2x – cos2x = 3; hallar: C = sen 4x + cos4x A. 3 5 B. 4 9
3. Si: tanx + cotx = 2secx; “x” es agudo, calcular: C = senx . tanx A.
3
C.
B. 2 3
D.
4. Si: tan + cot = 2 3 C = 12sen2 + tan2 A. 10 B. 20
3 3 3 6
A. 1 B. 1 2
sc ; “” es agudo, calcular: 10.
+ 6. Reducir: C = sen6x + cos6 x – 1 1 A. 3 B. – 1 3
46
2 C. 3 D. – 2 3
1 Si: sen4x + cos4x = 1 – tan2x; “x” IC; 8
A. 3 B. 3 2
C. 15 D. 2 15 cos4x – 1
C. 2 3 D. 1 4
calcular: C = senx . tan x
5. Si: tan + cot = 3; calcular: C = sec + csc
sen4x
C. 5 9 2 D. 5
2 2 6 6 9. Si: sec x + csc x = 6; calcular: C = sen x + cos x
C. 22 D. 23
A. 7 B. 2 7
2 C. 3 D. 7 9
11.
C. 3 4 D. 2 3
Si: sen6x + cos6x = 1 – 1senx . cos2x; “x” IIC 2 calcular: C = cscx + 1 – 5cotx A. 5 7 B. 4 7
C. 6 7 D. 3 7 Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 2
12. Reducir: C = (senx + cosx)2 –1 (senx – cosx) –1 A. 1 B. – 1
3. Reducir: C =
C. 2 D. – 2
C. 3 D. 4
1 14. Si: senx + cosx = , calcular: C = tanx + cotx 4 32 A. – 15 1 B. 16
C. 32 3 14 D. – 3
15. Si: senx – cosx = 1; calcular: C = sec2x + csc2x 2 A. 8 B. 64
C. 64 9 32 D. 3
16. Si: 3senx + 4cosx = 5; calcular: C = 7senx + cosx A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
17. Si: 7sen + 24cos = 25; calcular: C = 3sen + cos C. 8 A. 7 5 5 B. 6 D. 9 5 5 18. Si: secx + tanx = 4; calcular: cosx 1 8 A. C. – 4 17 8 D. 1 B. 17 16 19. Si: secx + cscx = 15; calcular: C = tanx + cotx A. – 5 B. 3
C. – 3 D. { – 5; 3}
3
2 C. – 3 2 D. 3
tan2x + 1 4. Reducir: L = sec2x + csc2x A. sen2x B. cosx
C. cos2x D. csc2x
5. Reducir: L = 1 + 2senx . cosx – senx; x IC A. 1 B. 1 – senx
C. 1 + senx D. cosx
6. Siendo: senx + cosx = 3 ; calcular: Q = senx . cosx 2 1 1 A. 2 C. 6 1 1 B. D. 4 8 1 7. Siendo: senx – cosx = ; calcular: Q = senx . cosx 2 A. 1 8 B. 3 4
C. 3 8 3 D. 16
8. Siendo: tanx + cotx = 4; calcular: Q = senx . cosx 1 A. 2 B. 1 4
C. D. 2
2 2 4
9. Siendo: tanx – cotx = 3; calcular: Q = tan2x + cot2x A. 3 B. 4
C. 5 D. 7
10. Siendo: tanx + cotx = 3; calcular: P = tan 3x + cot3x
20. Reducir: C = (1 – 2cos2x)(1 – 2sen2xcos2x)(1 – 4sen2xcos2x + 2sen4xcos4x) A. sen16x + cos16x B. sen16x – cos 16x
sen6x + cos6x – 1
A. 1 3 B. – 1
13. Reducir: C = (senx + cosx + 1)(senx + cosx – 1)(tanx + cotx) A. 1 B. 2
sen4x + cos4x – 1
C. sen8x – cos8x D. sen32x + cos32x
A. 16 B. 17
C. 18 D. 21
Tarea domiciliaria 1. Reducir: C = (secx . cscx – tanx)senx A. 1 B. sen2x
C. cosx D. cos2x
2. Reducir: L = sec2x . csc2x – tan2x – 1 A. secx B. cscx Colegios TRILCE
C. sec2x D. csc2x
47
TRIGONOMETRÍA
Colegios
19 Semana 18
TRILCE
Quinto Católica
REPASO DE IDENTIDADES Problemas para la clase
12. Reducir: E = A. 1 B. tanx
1. Reducir: E = tanx . cosx + senx A. senx B. sen2x
C. 2senx D. 2
A. senx B. cosx
3. Reducir: E = senxcotx + cosxtanx – sen2xcscx – cos2xsecx A. 1 B. 2senx
A. 2 B. 2senx 5.
A. 1 B. 2
A. tan2x B. tan4x
A. 4 B. 6
1. Reducir: C = sen2x.cotx.secx
1 – sen2x 6. Reducir: E =
1 – cos2x
+ 1
A. sen2x B. cos2x
C. sec2x D. csc2x (cot2x – 1)tanx
A. tanx B. tan2x
A. 1 B. tanx
A. 1 B. 2
C. cscx D. cosx
A. 1 B. senx + cosx 5.
C. cscx D. secx secx + tanx + 1 cscx + cotx + 1
C. 2tanx D. 2cosx
C. cotx D. secx
C. senx.cosx D. tanx
Reducir: C = senx + cosx tanx secx + cscx A. senx B. cosx
C. sen2x D. cos2x
6. Reducir: C = (secx + tanx)(1 – senx) C. cotx D. cscxsecx
– 11. Reducir: E = secxcscx cotx + 1 secxcscx – tanx B. sec2x A. csc2x
48
D. cos2x
4. Simplificar: C = sen3x.cscx + cos3x.secx
9. Reducir: E = cotx . cosx + senx
10. Reducir: E =
B. cosx
3. Simplificar: C = (senx.cotx)2 + (cosx.tanx)2
8. Reducir: E = tanx . senx + cosx
A. senx B. cosx
C. cos3x
A. cosx B. tanx
C. cotx D. cot2x
A. senx B. secx
A. senx
2. Reducir: C = tanx.cot2x.senx + cos2x.secx
(sec2x – 1)cotx 7. Reducir: E =
C. 8 D. 12
Tarea domiciliaria
Reducir: E = (2senx + cosx)2 + (senx – 2cosx)2 C. 5 D. 7
C. tan6x D. tan8x
15. Si: tanx + cotx = 2 2; calcular: E = tan2x + cot2x
C. 2cosx D. 4sen2x
A. 3 B. 4
C. 3 D. 2senxcosx
2 – 2 14. Reducir: E = sen x tan x cos2x – cot2x
C. 2(senx – cosx) D. 0
4. Reducir: E = [(senx + cosx)2 – (senx – cosx)2]tanx
C. cotx D. secx
3 3 3 3 13. Reducir: E = sen x + cos x + sen x – cos x senx + cosx senx – cosx
2. Reducir: E = sen3x . cot2x . sec2x C. 1 D. sen2x
sen4x – cos4x secx + 1 senx + cosx
A. cosx B. cos2x
C. secx D. cscx
7. Simplificar: C = (cscx – cotx)(1 + cosx) cotx D. cot2x C. tan2x Colegios TRILCE
A. senx B. cosx
Colegios TRILCE
C. cos2x D. tanx
T r ig onomeTría
49
TRIGONOMETRÍA
Colegios secx + tanx + 1
8. Reducir: C =
TRILCE A. secx . cscx C. cscx + cotx + 1
B. senx . cosx
tanx D. cotx
9. Simplificar: C = (2senx + cosx)2 + (senx – 2cosx)2 A. 3 B. 2
50
2 10. Simplificar: C = (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)Semana 19 18
A. B. C. D.
2 2(tan2x + cot2x) 4 4(tan2x + cot2x)
C. 5 D. 4
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIAS DE VARIABLES •
Fórmulas básicas: sen(x ± y) = senxcosy ± senycosx cos(x ± y) = cosxcosy senxseny
tan(x ± y) = tanx ± tany 1 tanxtany
Por ejemplo:
•
•
sen(40° + x) = sen40°cos x +
•
•
cos(10° – x) = cos10°cos x +
•
cos(a + 10°) = tan(10° + a) = tan10º + tan 1 –
•
sen(70° – x) =
•
tan(20° – x) =
sen2x – sen2y = sen(x + y) . sen (x – y)
•
tan17° + tan28° + tan17°tan28° =
•
sen25x – sen2x =
•
tan26° + tan34° + 3 tan26°tan34° =
•
sen250° – sen212° =
•
sen23x – sen22x =
•
sen215° – sen27° =
•
sen27x – sen22x =
Propiedades:
Si: K = asenx + bcosx, entonces: Kmáx = a2 + b2 Kmín = – a2 – b2
•
K = 2senx + 3cosx
Kmín =
tanx + tany + tanxtanytan(x + y) = tan(x + y)
• •
tan5x + tan2x + tan5xtan2xtan7x =
Kmáx =
•
K = 3senx – 4cosx
Kmáx = Kmín =
tan4x + tanx + tan4xtanxtan5x =
Problemas para la casa 1.
Reducir: C = sen(x + y) – senycosx cos(x + y) + senxseny A. tanx B. cotx
2.
C. tany D. coty Reducir: L = sen(x – y) + senycosx cos(x – y) – senxseny
A. tanx B. cotx
C. tany D. coty
3. A qué es igual: A = sen22°cos8° + sen8°cos 22° A. 1 B.
2 2
Colegios TRILCE
C.
3 2 1 D. 2
4. A qué es igual: U = cos52º . cos15º + sen52º . sen15º A. 1 B. 2 2
3 5 4 D. 5 C.
5. Si: senx + cosx = 2; calcular: D = 4sen(45°+x) + 3 4 A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
1 1 6. Si: 3senx + cosx = ; calcular: E = 5sen(x + 30°) + 3 6 3 A. 2 B. 1
2 C. 3 D. 2
51
Colegios 2 7. Si: sen x = ; tan y = 1; donde “x” e “y” son ángulos
TRILCE 13 8 agudos, calcular: sen(x + y)
A. B.
17 65 13 23 65 5
17
C.
13 5 8 B. 5 13
C. 3 D. 3 B. 3 3 16. Si: + = 45°; calcular: C = (1 + tan )(1 + tan)
17
5 5 3 D. 13 3 2 ; II C; cos = ; III C, calcular: 9. Si: sen = 13 10 “tan( + )” 3 A. 11 3 B. – 11
0,25 0,35 0,75 0,85
D 2 5
E
B
2
D
1
B
5
sen240º – sen 220º
C. D.
3 2 3
C. 3 D. 4
14. Calcular: C = tan 22° + tan 38° + 3 tan 22° tan 38° 3
A. B. 3
52
C. 3 1 D. 2
A. 1 B. 2
sen40° – 3cos40° 20. Hallar el valor de: F = sen20° C. 4 D. – 4
Tarea domiciliaria 1. Simplificar: C = sen( + ) – sen cos cos( + ) + sensen A. tan B. cot
C. tan D. cot
2. Reducir: L = cos( – ) – sensen
13. Sume el valor máximo de: C = 3senx + 13 cosx; con el valor mínimo de: L = 2senx + 7cosx A. 1 B. 2
C. a –c b D. b –c a
sen( – ) + sencos
sen225º – sen25º
B.
C. 1,5 D. 2,5
18. Si las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0, son: “tan ” y “tan ”; hallar “tan ( + )”
C
3
12. Simplificar: C =
3 3 3
A. 2 B. 3
A. 3,5 B. – 3,5 C. 4,5 D. – 4,5
A.
17. Calcular: C = (sen20°+ cos10°)2 + (sen10° + cos20°)2
A. 2 B. – 2
11. Del gráfico, calcular “tan”
A
C. 3 D. 4
tan2° 19. Calcular el valor de: F = tan46° – tan44° C 1
A
A. 1 B. 2
A. c – ab B. a – cb
7 C. 9 9 D. 7
10. Del gráfico, calcular “tan ”
A. B. C. D.
20 15. Calcular: L = tan20º + tan25º + tan20ºtan25ºSemana 19 tan40º + tan5º + tan40ºtan5º A. 1
13 C. 19 65 19 D. 65 5
8. Siendo “” y “” ángulos agudos; tal que: cot = 2; cot = 8, calcular: cos( + ) A.
TRIGONOMETRÍA
C. 1 3 D. 3 3
A. tan B. cot
C. cot D. csccsc
3. Simplificar: C = sen20ºcos10º + sen10ºcos20º cos20ºcos25º – sen20ºsen25º A. 2 B.
C.
2
2
2 D. 2 2
4. Calcular: L = (sen20°+cos10°)2 + (sen10° + cos20°)2 A. 1 B. 2
C. 3 D. 1,5
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 5. Calcular: L = (sen50°+ cos50°)(sen10°+ cos10°) – cos40° A. 2 B. 3
C. 1 2 D. 3 2
6. Reducir: E = tanx + tany + tanxtany tan(x + y) A. 1 B. 2
C. tan(x + y) D. tanx + tany
7. Si: tanx = 3; tany = 4 ; calcular “tan(y – x)”. A. 1 12 B. 1 13
C. 1 11 D. 2 13
1 8. Si: x + y = 45°; tanx = ; calcular “tany”. 6 A. 5 6 B. 6 5
Colegios TRILCE
9. Del gráfico, obtener “tanx”.
A. B. C. D.
C 1
0,2 0,4 0,6 0,8
x A
2
N
M 1 B
2
10. Del gráfico, calcular “tanx”, si ABCD es un cuadrado. B
A. B. C. D.
5
E 2
C
x
2 4 6 8 A
D
5 C. 7 D. 7 5
53
Católica
Ciclo
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 21 20
TRILCE
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE DOBLE •
Fórmulas básicas (x 2x) cos2x = cos2x – sen2x
sen2x = 2senxcosx
•
•
sen40º = 2sen20ºcos20º
•
cos40º = cos220º – sen220º
•
sen32º = 2
•
cos16º =
•
sen4 = 2
•
cos6 =
•
2sen10ºcos10º = sen20º
•
cos210º – sen210º = cos20º
•
2sen4ºcos4º =
•
cos23x – sen23x =
•
2sen3xcos3x =
•
cos25x – sen25x =
tan2x =
2tanx 1 – tan2x
•
2tan40º tan80º = 1 – tan240º
•
tan32º =
•
tan4 =
Propiedades: 1 – cos2x = 2sen2x
1 + cos2x = 2cos2x
(sen ± cosx)2 = 1 ± sen2x
•
1 – cos40 = 2sen20º
•
1 + cos48º = 2cos224º
tan + cotx = 2csc2x
•
1 – cos16º =
•
1 + cos32º =
cotx – tanx = 2cot2x
•
1 – cos4 =
•
1 + cos8 =
•
2sen210º = 1 – cos20º
•
2sen24x = 1 + cos8x
•
2sen23x =
•
2cos214º =
Problemas para la clase 2
1. Si “” es un ángulo agudo tal que: sen =
; calcular: 13
sen2 A. 12 13 B. – 3 13 2.
C.
5 13 D. – 13 13
3 Si “” es un ángulo agudo, tal que: tan = ; calcular: cos 2 2 5 A. 13
5 B. – 13
C. 12 13 12 D. – 13
3. Si: tan = – 5; IIC, calcular: sen2 2 A. – B.
9 9
54
C. – D.
9
4. Si: cot = – 1 ; IVC; calcular: cos2 2 A. 3 A. 4 5 5 3 4 B. – B. – 5 5 5. Reducir: C = sen2x + 2cosx 1 + senx A. 2senx B. 2cosx
C. 2tanx D. 2cotx
2 6. Reducir: C = sen2x + 2sen x cos2x – 2cos2x
A. 1 B. – 1
C. tan2x D. cot2x
7. Simplificar: C = 4senxcosxcos2x A. sen4x B. 2sen4x
C. 2sen2x D. 4sen2x
9 Colegios TRILCE
Católica
Ciclo
8. Reducir: C = senxcos3x – sen3xcosx
17. Del gráfico, obtener: cos
A. sen4x
C.
1 sen4x 4
A.
B. 1sen4x 2
D. 2sen4x
B. C.
9. ¿Cuál es el máximo valor de: C = sencosx? A. 1
1 C. 4
B. 1 2
D. 2
D.
4 D 3 A
18. Simplificar: F =
10. Cuál es el valor máximo de:
19. Simplificar: F =
C. 8 D. 9
B
cos4 – sen4 sen.cos
A. 2cot2 B. 2sec2
L = (2senx + cosx)2 + (senx + 2cosx)2 A. 4 B. 6
C
7 4 7 3 14 4 14 8
C. 2sec4 D. 2tan2 2 + 2 + 2cos40°
A. cos10° B. 1
C. 2 D. 2cos10°
11. Señale el valor mínimo de: L = sen6x + cos6x 20. Sabiendo que: cot – tan = 16; calcular: tan2 C. 1 6 D. 3 4
A. 1 B. 1 4
A. 0,25 B. 0,125
Tarea domiciliaria
12. Reducir: C = 1 – cos2x + sen2x senx + cosx A. 2senx B. senx
1. Si “” es agudo, tal que: sen = 1; calcular “sen2” 3
C. tanx D. cotx
A.
sec2x – 1 13. Reducir: C = sec2x + 1
B.
14. Simplificar: C =
5 A. 12 B. 5 13
C. 4tanx D. 4tan2x
A. 20 21 20 B. 29
3 8 D. 1 4 C.
A. 2sen2x B. sen4x
54
B
2
A
2
5 ; calcular “tan2 ” 29 C. 21 29 21 D. 20
4. Reducir: C = 4senx . cosx . cos2x
16. Del gráfico, calcular: cos 2 A. 3 1 B. 3 1 C. 4 D. 3 4
6 C. 13 D. 12 13
3. Si “” es agudo, tal que: cos =
1 15. Si: senx – cosx = ; calcular: sen2x 2 3 A. 2 B. 3 4
2 3 4 2 D. 9
2. Si “” es agudo, tal que: tan = ;3calcular “cos2 ”
(1 – tan2x)(1 – tan22x)tan4x
A. 2tanx B. 2tan2x
C.
22 3 2 2 9
2
C. tan22x D. cotx
A. tanx B. tan2x
C. 0,225 D. 0,315
C. 2sen4x 1 D. 2sen4x
5. Reducir: L = (2senx + cosx)2 + (senx + 2cosx)2 – 5
3
C
A. sen2x B. 2sen2x
C. sen4x D. 4sen2x
Colegios TRILCE
T rig onomeTría 6. Señale el equivalente de: C = 2sen2x . cotx + 3cos2x . tanx A. 5sen2x 2 B. 3sen2x
C. 4sen2x
A. 2cos2x B. 2senx
D. 5sen2x
7. Señale el valor de: L = cos4 – sen4 12 12
A. 1 2 B. 3 2
9. Simplificar: L = (2cosx – sen2x)(1 + senx)
C.
10. Señale el equivalente de: C = A. tanx B. tan2x
C. 2sen2x D. 2cos3x 1 – cos2x 1 + cos2x C. cotx D. cot2x
3
D. 2
sen2x – 2senx 8. Simplificar: C = 1 – cosx A. senx B. 2senx
Colegios TRILCE
C. – senx D. – 2senx
55
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 21 22
TRILCE
Quinto Católica
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD •
Fórmulas básicas: (x x) 2 sen x = ± 2
•
1 – cosx 2
cos x = ± 2
1 + cosx 2
tan x = ± 2
El signo ± dependerá del cuadrante en x que se ubique “ ” 2
1 – cosx 1 + cosx
Fórmulas especiales x tan = cscx – cotx 2
x cot = cscx + cotx 2
1 – cosx = tan2x 1 + cosx 2
Problemas para la clase 5 A. B.
0,1 C. 0,2 D.
2. Sabiendo que: tan =
B.
2 ; “” es agudo. Calcular “cos ” 2 2 5 6 7 8
C. D.
3. Sabiendo que: sen = –
2 2 ; 180°; 270°; calcular 3
2
B. –
C.
2
2 2 2 D. – 2
3
A. – 1
C. –
3 B. – 2 3
6 D. – 3 2
B.
–
7 8
C. 5 8
D.
–
7 8
6. Señale el valor de tan15° A. 1
B.
56
tanxtan x + 1 2 = tanxcot x + 1 2 A. 1
3 3+1
cotx A. B. tanx
x C. tan2 2 D. cot2x 2
C. 2 + 3 D. 2 – 3
tan2x C. x D. cot2
11. Señale el equivalente de: F = sec40° – tan40° A. tan20° B. cot10°
5. Sabiendo que: tan = 7; ; 3 , calcular “sen 2” 3 2
5 8
C. sen2x D. cos2x
10. Reducir: L = csc2x + csc4x + csc8x + cot8x
4. Sabiendo que: cot = – 5 ; 270°; 360°; calcular “tan 2” 12
A.
A. tanxsenx B. cosx
B. – 1 2
C. 2+1 D. 1
8. Reducir: C = (csc2x + cot2x)senx
9.
“tan ”
A.
A. 2 – 1 B. 2 – 3
0,4 0,6
2 3 3 5
A.
2
2
C. cot20° D. tan25°
12. Calcular: C = csc40º + csc80º + csc160º cot20º A. 1 B. 2 13. A qué es igual: L = A. tan x 2 B. cotx 2
C. –1 D. –2 secx – 1 3 ;
T r ig onomeTría 14.
Simplificar: F =
sec50° – tan50° cot70° C. 3 1 D. 4
A. 1 B. 2 15. Si:
5 3. Si “” es un ángulo agudo, tal que: sen = ; hallar 3 “cos ”. 2 1 3 3
A.
1 – sen20° 1 + sen20° = tan
B.
calcular “”; IC
A. 30° B. 28° 16. Reducir: P =
5 C. 35° D. 38°
4.
cscx + cotx
1 A. 3 B. 1 2
x C. tan2 x2 x D. sec . csc 2 2
17. Señalar el equivalente de: P = secx – tanx x x A. tan – C. cot – 4 2 4 2 x x 2 2 B. tan – D. cot – 4 2 4 2 18. Simplificar: Q = cot – 2cos2 – cot 2 2 C. sen2 A. cos2 B. cos D. sen x x cot – tan 2 2 19. Reducir: F = csc2x + cot2x A. –2 C. 1 1 D. 2 B. 2 20. Si: 2sen2 = 3sen 270° < < 360° ; calcular: 2sen 2
B.
2 2 2 4
C. –
2 2
D. – 2
1 Si “” es un ángulo agudo, tal que: cos = ; calcular 5 “tan ”. 2 A. B.
2.
3 6 6 2
C. D.
6 3 6 6
1 Si “” es un ángulo agudo, tal que: c os = ; hallar “tan”. 7 2 A. B.
3 2 3 4
Colegios TRILCE
1 C. 3 3 D. 2 3 3
3
5 Si “” es un ángulo agudo, tal que: cos = ; hallar “sen ”. 6 2
A.
2
B.
1 C. 2 11 1 D. 23
11 3 11
6. Señale el equivalente de:
secx – 1 secx + 1
A. tan x 2 B. tan2x 2
C. D.
C. cotx 2 D. cot2x 2
20 7. Si: tan = 21 III C; calcular: tan 2 A. – 5 4 B. – 5 2
C. – 3 4 D. – 3 4
1 8. Siendo: cos = ; 90° < < 180°, calcular “tan ”. 3 2
A. 3 B. – 2
Tarea domiciliaria 1.
Si “” es un ángulo agudo, tal que: tan = 2 2; hallar
2
5.
A.
D.
5 6 3 7
“sen”.
cscx – cotx
x A. tan 2x B. cot2 2
C.
C. 2 D. – 2
1 9. Siendo: cos = ; 270° < < 360°, calcular “cos ”. 5 2
A. – 0,2 B. – 0,3 10. Reducir: C = cscx – cotx 1 A. 2tanx x B. tan 2
C. 0,3 D. – 0,6
x C. cot2 1 x D. cot 2 2
3 6 3 8
57
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 23 22
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA 1 8. Siendo: cot = ; 180° < < 270°, calcular: cos 2 6
Problemas para la clase 1.
Sabiendo que: tan = 2 ; “” es agudo, calcular: sen2 3 12 13 B. – 12 13
6 C. 13 D. 135
A.
9.
1 2.
Sabiendo que: tan =
; calcular: cos2 6
B. –
C. 5 7 D. – 3 7
C. – 0,2 D. – 0,4
Siendo: sen = – 5; <270°; 360°>, calcular: 3 2 A.
A. 3 7 5 B. – 7 3.
A. – 0,5 B. – 0,6
2
1 5 1
C. 5
5
D. – 5
x x x 10. Señale el equivalente de: C = cscx + csc + csc + csc 2 4 8 A. cot x – cotx 16 B. cot x + cotx 16
Siendo: sen2 + sen2 + sen2 = 1 ; calcular: 2 C = cos2 + cos2 + cos2
C. cot x – tanx 16 D. cot x + tanx 16
11. Calcular: C = (sen9° + cos9°)2 – (sen9° – cos9°)2 C. 2
A. 1 B. –1 4.
D. –2
A.
sen2 + cos Simplificar: F = sen + sen30° A. 1 B. sen
5. Simplificar: F =
B.
1 A. 2 B. 1 4
sen2 + 2sen 1 + cos C. cos D. 1
21 9 8 B. 17 C. 20 29 D. 15 17
1
1 C. 8 D. 1 10
A. –m B. m
C. –n D. n
B
14. Siendo: sen6x + cos6x = a + bcos4x; calcular:
D 2
A
C
5
15 17 B. 20 29 8 C. 17 5 D. 13
A. 5 3 B. 3 5
a b
C. – 3 5 5 D. – 3
15. Reducir: C = cotx – tanx – 2tan2x – 4tan4x – 8tan8x; x = tanx 34
7. Del gráfico; calcular: cos2 C
A.
3
A. 8 B. 4
C. 32 D. 16
5 D A
58
D.
5 – 1 2 5 4
13. Siendo: msen – ncos = 0; hallar: C = msen2 – ncos2
6. Del gráfico, calcular: sen2 A.
5+1 2
C.
12. Calcular: E = cos20ºcos40ºcos80º
C. 2cos D. – 1
A. sen B. 2sen
4
5+1
B Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 2 2 2 16. Reducir: C = cos 20° + cos 100° + cos 140° 3 A. 1 C. 4 2 3 B. 3 D. 4 8
17. Reducir: F =
4. Reducir: C = [(senx + cosx)2 + cos2x – 1]2 – 1 A. sen2x B. sen4x 5. Reducir: C = tanx(1 + cos2x)
2 – 2cos20°
A. sen10° B. 2sen20°
A. 2senx B. sen2x
C. 2sen10° D. 1 6.
Siendo: senx + cosx =
18. Señale el equivalente de: C = sec50º + tan50º A. tan20º B. cot20º
B 2
C = sen2x + 2senxcosx + 3cos2x C. 4 + 2 2 D. 2 + 2
Tarea domiciliaria
C
8. Siendo: sen2= a – b; hallar: tan2(45° – ) a+b
9. Si: tan = 15 ; “” ;
B.
C. cot 1 D. cot 4
1 – cos2x cotx 2. Reducir: C = senx
3. Reducir: C =
3 8 5
3
, calcular: sen 2 2
C. D.
8
Reducir: C = 2cos2
A. 2senx B. 2secx
C. a – b a+b b D. a
A. a b B. a + b a – b
A.
sen2
A. tan 1 B. tan 2
C. 1 4 D. 1 2
B. 4
3
20. Calcule el valor máximo de:
1.
C. 0,3 D. 0,4
A. 2
2
A. 2 + 2 2 B. 3 + 2
6 ; calcular: sen2x 5
7. Siendo: cotx – tanx = 4; calcular: tan2x
19. Del gráfico, calcular: tan2
A
C. 2sen2x D. 2cos2x
A. 0,1 B. 0,2
C. tan10º D. tan25º
A. 2 7 B. 3 7 C. – 3 7 D. 4 7
C. cos4x D. 2cos4x
1 2 1 6
10. ¿A qué es igual: C = csc – cot? A. 1 B. cot 2
C. tan 2 D. sec 2
C. 2cosx D. 2cscx cos2x – cos22x 1 – cos2x
A. cos2x B. 2cos2x
Colegios TRILCE
C. 2sen2x D. 1cos2x 2
59
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 24 23
TRILCE
Quinto Católica
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS •
Caso I: De suma y/o diferencia de senos y/o cosenos a producto. – senx + seny = 2sen x + y cos x y 2 2 – senx – seny = 2sen x y cos x + y 2 2
– cosx + cosy = 2cos x + y cos x y 2 2 – cosx – cosy = 2sen y x sen y + x 2 2
Por ejemplo: sen70º + sen16º = 2sen
70° + 16°
70° – 16°
= 2sen43ºcos27º 2 2 sen5x – sen3x = 2sen 5x – 3x cos 5x + 3x = 2senxcos4x 2 2 – cos48º + cos14º = 2cos 48° + 14° cos 48° 14° = 2cos31ºcos17º 2 2 5x – x cosx – cos5x = 2sen 2
cos
sen 5x + x 2
= 2sen2xsen3x
No olvide: sen2x – sen2y = sen(x + y) sen (x – y)
cos2x – cos2y = sen (y + x)sen (y – x)
Problemas para la clase 1. Reducir: C =
sen7x – senx sen4x
A. 2cosx B. 2cos2x 2. Reducir: C =
6. C. 2cos3x D. 2cos4x
sen5x – sen3x 2cos4x
A. senx B. 2senx
C. sen2x D. 2sen2x
C. 2 D.
3
5. Transforme a producto: C = senx + sen3x + s en5x + sen7x A. 4senxcos2xsen4x B. 4cosxcos2xsen4x
60
cos 45° – x – y 2 2
A. 2cos(45° – x + y)
C. 2cosxcos2xsen4x D. 2senxcos2xsen4x
x y C. 2cos 45° – – 2 2 x D. 2sen 45° – – y 2
2
8. Reducir: C = senx + sen5x + sen9x + sen13x cosx + cos5x + cos9x + cos13x A. tan 3x A. tan 4x
C. tan5x D. tan7x
C. 2cos2xcos4xcos5x D. 4cos2xcos4xcos5x
senx + cosy
B. cos 45° – x – y 2 2
sen7x + sen3x Simplificar: C = 4. cos7x + cos3x A. tan2x B. tan3x
A. 2cosxcos2xcos5x B. 4cosxcos2xcos5x 7. Reducir: C =
3. Reducir: C = cos40º + cos20º cos10º 1 A. 2 B. 3 2
Transforme a producto: L = cos2x + cos4x + cos6x + cos8x
C. tan 5x D. tan 7x
9. Reducir: L = sen20º + sen40º + sen60º + sen80º cos20º + cos40º + cos60º + cos80º A. tan20° B.
3
3 C. 3 D. tan 50° Colegios TRILCE
T rig r ig ono onom meTría sen 3x + sen4x 10. Simpli Simplificar: ficar: C = sen2x + sen3x cos2x + cos3x + cos4x A. tan2x B. tan3x
C. tan4x D. tan5x
11. Simpli Simplificar: ficar: L = senx + sen3x + sen5x + sen7x + sen9x cosx + cos3x + cos5x + cos7x + cos9x A. tanx B. tan3x
C. tan5x D. tan7x
sen2A + sen2B 12. En un ABC; reducir: J = cos(A – B) A. senC B. 2senC
C. cosC D. –2senC
13. Señale el valor máximo de: P = sen(70º + x) + s en(4º – x) A. 1 B. 1,1
C. 1,2 D. 1,4
14. Si: x + y = ; calcular el valor máximo de: C = sen2x + sen2y A. 2sen B. 2sen 2
C. 2cos D. sen
15. Reducir: F = sen2x + 2senx.cos3x A. – sen4x B. – sen2x 16.. Si: 2sen 7x 16 2 A. 1 B. 2
C. sen4x D. sen2x cos
x = senAx + senBx, hallar “A + B” 2 C. 3 D. 7
17. Señale el valor máximo de: C = senxcos(x + 30°) C.
1 A. 2 B.
3
23 1 D. 4
18.. Reduci 18 Reducir: r: F = 2cos4 2cos4x.cos3x x.cos3x – cos7x A. cosx B. cos2x
C. cos3x D. cos4x
1 B. 2
1 C. – 2 D. 1
20.. Reduci 20 Reducir: r: F = sen7 cos - sen3cos5 A. sen4cos2 B. cos4cos2
Colegios TRILCE
sen5x + senx 1. Reduci Reducir: r: C = sen3x A. 2cosx B. cos2x 2. Reducir: L =
C. 2cos2x D. cosx sen5x – senx sen4x – sen2x
A. cotx B. senx
C. sensen2 D. cos8
C. cosx D. 2cosx
3. Simpli Simplificar: ficar: A = sen7x – senx cos7x – cosx A. cot3x B. tan4x
C. cot4x D. tan5x
4. Reducir Reducir:: U = sen5x – senx cos5x + cosx A. tan2x B. cot2x
C. tan3x D. cot3x
5. Simpli Simplificar: ficar: D = sen5x + sen3x + senx 2cos2x + 1 A. senx B. sen3x
C. sen5x D. sen7x
6. Simpli Simplificar: ficar: I = sen2x + sen4x + sen6x cos2x + cos4x + cos6x A. tan2x B. tan4x
C. tan6x D. cot2x
+ sen3x + sen5x + sen7x 7. Reduci Reducir: r: A = senx cosx + cos3x + cos5x + cos7x A. tan3x B. tan5x
C. tan7x D. tan4x
8. Transforme a producto: L = sen10° + sen20° + sen30° + sen40° A. 4sen25°cos10°cos5° B. 4sen25°sen10°cos5°
19. Hallar “A + “B en la identidad: senx.cos2x = Asenx + Bsen3x A. 0
Tarea domiciliaria
C. 4sen20°cos15°cos5° D. 2sen25°sen10°cos15°
9. Transforme a producto: L = senx + sen3x + s en5x + sen7x A. 2sen4xsen2xco 2sen4xsen2xcosx sx B. 4senxsen2xcosx
C. 4sen4xcos2xcosx D. 4sen4xsen2xsenx
10.. Calcul 10 Calcular: ar: U = sen40º + sen20º cos10º A. 1 1 B. 2
C.
3
D. 3 2
61
TRIGONOMETRÍA
Colegios
25 Semana 24
TRILCE
Quinto Católica
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES (I) INTRODUCCIÓN: toda función se define como un conjunto de pares ordenados, donde cada primera componente está asociada INTRODUCCIÓN: a una sola segunda componente. Por ejemplo:
F = {(1; 2), (3; 5), (4; 7), (6; 9), (7; 5)} es una función. G = {(1; 3), (4; 5), (6; 9), (4; 7), (2; 3)} no es función, es una relación. (Note que la primera componente (4) se le asocian dos segundas componentes (5) y (7)).
H = {(4; 5), (1; 2), ( –1; 2), (7; 2), (2; 2)} J = {(3; 1), (1; 3), (4; 5), (5; 4), (3; 2)} Ahora, observe el siguiente conjunto de pares ordenados:
F = {(x; y)/y = x + 2; x ZZ,2 x 7}
Tendremos Tendr emos que escribir este conjunto por extensión, extensión, pero note que:
x = 3; 4; 5; 6; 7
Luego: F = {(3; 3 + 2), (4; 4 +2), (5; 5 + 2), (6; 6 + 2), (7; 7 + 2)} F = {(3; 5), (4; 6), (5; 7), (6; 8), (7; 9)} → si es función función ; y al conjunto de las segundas Al conjunto de las primeras componentes de una función, se le denominadominio denomina dominio de la función; rango de la función función. componentes se le denomina . En el último ejemplo: Dominio = Dom(F) = {3; 4; 5; 6; 7}
Rango = Rang(F) = {5; 6; 7; 8; 9}
Cuando una función se define como en el último ejemplo; me diante fórmulas que relacionan a los valores de la segunda y primera. componente; dicha fórmula (y = x + 2) se denomina regla de correspondencia; correspondencia ; y ante ellas, los valores de “x” determinan el dominio de la función y los valores de “y” determinan el rango de la función. Es decir: Dom(F) = {valores de “x”}
Rang(F) = {valores de “y”}
Para graficar una función, se ubican los pares ordenados que conforman la función como si fueran puntos del plano cartesiano xy; siendo el dominio ubicado en el eje “x”, y el rango se ubica en el eje “y”.
y 9 8 7 6 5
Por ejemplo, la última función: F = {(3; 5), (4; 6), (5; 7), (6; 8), (7; 9)} 3 4 5 6 7
•
x
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO: y S inu inuss oide
1
Analizando: y = f(x) = senx
Dom: lR –1; 1] Rang: [ –
– / /2 2
3 / /2 2 O
Graficando:
/ /2 2
2 5 / /2 2
x
–1
62
Colegios TRILCE
T rig r ig ono onom meTría Podemos notar que hay tramos de crecimiento y decrecimiento; también es una función continua y algo importante; es u na función periódica; es decir hay un tramo de la gráfica que se repite a lo largo de todo su dominio. La longitud mínima de dicho tramo, en el dominio, se denomina período principal de la función; se denota por T y en el caso de la función trigonométrica seno: T = 2
•
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO: COSENO: F.T (coseno) = {(x; y)/y = cosx} y Cosinusoide
1
Analizando: y = f(x) = cosx
Dom: lR
– / /2 2
–1; 1] Rang: [ –
/ /2 2 O
3 / /2 2 2
Graficando:
5 / /2 2 x
–1
Podemos notar que hay tramos de crecimiento y decrecimiento; también es una función continua y es una función periódica, siendo su período: T = 2
5. Dada la función y = sen x; con dominio en ;, su rango es: 4
Problemas para la clase
A.
1. Señale verdadero verdadero (V) o falso falso (F) según corresponda corresponda en cada caso:
•
La función y = senx es creciente en 0; 2
•
La función y = senx es decreciente en
•
La función y = senx es creciente en
A. V V V B. V F V
3 ;2 2
La función y = senx es creciente en 2 ;
• •
La función y = senx posee un máximo en 0; La función y = senx es decreciente en 0;
Dada la función función y = senx; con dominio en 0; , su rango es: A. [ – –1; 1] B. –1; 1
4.
C. F V V D. F V F
C. [0; 1] D. 0; 1]
Dada la funció función n y = senx; con domini dominio o en ; 2, su rango es: A. [ – –1; 1] –1; 1 B. –
Colegios TRILCE
C. – [–1; 0] [–1; 0 D. –
B. – – 2; 0] 7.
[ ––4; 4] –2; 4] [ –
2 ;1 2 D. – 2; 1 2 C. –
C. [ – –1; 2] –4; 2] D. [ –
Determine el rango de la función: y = 2senx + 3; x lR. A. [ – –1; 3] B. [1; 5]
9.
–1; 0 D. [ –
Determine el rango de la función: y = 3senx + 1; x lR. A. B.
8.
C. [0; 1]
5 Dada la función función y = senx; con dominio en ; , su rango es: 94
A. – [ – 2; 1]
C. F V V D. V V F
•
A. V V V B. V V F
6.
; 3 2
2. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada caso:
3.
B.
2 ;1 2 2; 1 2
C. [ – –1; 5] D. [2; 3]
Determine Determi ne el rango de la funció función: n: y = Senx Cosx; x lR. [ –1; 1] A. –
B. – 1 ; 1 2 2
1 2 D. – 1 ; 1 44 C.
0;
10. Determine el rango de la función: función: y = senxcosxcos2x; senxcosxcos2x; x lR C. – 1; 1 [–1; 1] A. – 44 D. – 1 ; 1 B. – 1 ; 1
63
2 2 Colegios
TRILCE
64
88
TRIGONOMETRÍA 25 Semana 24
Colegios TRILCE
Católica
Ciclo
11. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso:
20. Determine el rango de la función: y = 2sen2x – 5cos2x; x lR.
• La función y = cosx, es creciente en 0; • La función y = cosx, es creciente en ; 3 .
A. [2; 5] B. [ –2; 5]
2 3 La función y = cosx, es decreciente en ; 2 . 2
•
A. V V V B. V V F
C. V F V D. F V F
Tarea domiciliaria 1. Acerca de la función: y = senx; señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
12. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada caso: . 2 La función y = cosx, posee un mínimo en ; 3 . 22 La función y = cosx, es creciente en ; . 2
•
• • •
La función y = cosx, es decreciente en 0;
• •
A. V V V B. V V F
C. V F V D. F V F
• • •
Es periódica Su valor máximo es 1. Es creciente y decreciente
A. V V V B. V F V 3.
• •
1 ;1 2 D. – 1; 1 B. 0; 1] 2 16. Dada la función y = cosx, con dominio – 3 ; 3 ; su rango es: 42
A. V V V B. V V F
A. [0; 1]
A. [ –1; 1 B. [ –1; 0
C.
C. [–1; 1] D. – 1; 2 2
17. Determine el rango de la función: y = 3cosx + 2; x lR. A. B.
[ –1; 1] [ –1; 5]
C. [ –3; 2] D. [ –3; 5]
18. Determine el rango de la función: y = 4 – 3cosx; x lR. A. B.
[0; 4] [1; 4]
C. [1; 7] D. [3; 7]
19. Determine el rango de la función: y = 3sen2x – 4cos2x; x lR. A. B.
[0; 3] [0; 4]
64
C. V V F D. F V V
Acerca de la función: y = cosx; señale la verdad (V) o falsedad (F) según corresponda:
C. [ –1; 0 D. –1; 0 15. Dada la función: y = cosx, con dominio – ; ; su rango es: 33 A. [ –1; 1] B. [0; 1]
C. V V F D. V F V
2. Acerca de la función: y = senx; señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
C. 0; 1] D. 0; 1
14. Dada la función: y = cosx, con dominio ; ; su rango es: 2
En 0; es creciente 3 En ; es decreciente 2 2 En 0; posee un máximo.
A. V V V B. F V V
13. Dada la función: y = cosx, con dominio 0; ; su rango es: 2
A. [ –1; 1] B. [0; 1]
C. [–5; 2] D. [3; 5]
•
En 0; es decreciente. 3 En ; es creciente y decreciente. 2 2 En ; 2 es creciente. C. V F V D. F V V
4. Acerca de la función: y = cosx; señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
• • •
Es una función creciente y decreciente Es una función periódica Su valor mínimo es 0.
A. V V V B. V V F
C. V F V D. V F F
5. Dada la función: y = senx, con dominio 10; ; su rango es:
A. [ –1; 1] B. –1; 1]
C. 0; 1 D. [0; 1]
6. Dada la función: y = senx, con dominio ; 7 ; su rango es: 2 6
A. [ –1; 1] B. [ –1; 1
1 C. – 2; 1 1 D. – ; 1 2
C. [3; 4] D. [1; 4] Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 2 7. Dada la función: y = cosx, con dominio ; , su rango es: 33
A. [ –1; 1] 1 B. – ; 1 2
1 1 C. – 2; 2 D. 11 – ; 22
3 8. Dada la función: y = cosx, con dominio 5; ; su rango es: 9 2 A. B.
[–1; 1] [ –1; 0]
Colegios TRILCE
C. [ –1; 0 D. –1; 1]
9. Dada la función: y = senx; con dominio 0;
5
; su rango es:
9 A. [0; 1] B. 0; 1
C. 0; 1] D. [0; 1
10. Dada la función: y = senx, con dominio ; 3 ; su rango es: 4 2 A. –1; 1 B. –1; 1]
C. [ –1; 1] D. [ –1; 1
65
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 25 26 Semana
TRILCE
Quinto Católica
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES (II) •
OBTENCIÓN DE DOMINIOS: para determinar el dominio de una función cualquiera, definida mediante una regla de correspondencia; solo deberás tener en cuenta la presencia de radicales de índice par y de denominadores; para luego aplicar:
A: 2n A’: (2n + 1)
n A A’ B B’: B: (4n + 1) 2 2 B B’: (2n + 1) 2 B’: (4n + 3) 4
n
Si: y = f(x); n par f(x) 0 Si: y =
f(x) g(x) ≠ 0 g(x)
Ejemplo (3): Determine el dominio de la función: y = f(x) = tan x
f(x) Si: y = n
g(x)
; n par g(x) > 0
En la función: y = tan x y = senx, luego: cosx ≠ 0 cosx
; n impar g(x) ≠ 0
Sabemos que el coseno vale 0 para arcos ubicados en B
f(x) Si: y = n
g(x)
A A’: n
y B’; luego “x” no puede coincidir con B o B’. 6
Ejemplo (1): Determine el dominio de: y = x – 3
x ≠ (B B’)
En este caso: x – 3 0 x 3 x [3; +
x ≠ (2n + 1)
Dom: [3; +
Ejemplo (2): Determine el dominio de: y = En este caso:
En la función: y = cot x ; y = cosx senx Luego: sen≠ 0; sabemos que el seno vale 0 para arcos ubicados en A y A’; luego “x” no puede coincidir con A o A’
3 1
x ≠ (A A’)
(x – 3)(x – 1) ≠ 0 Dom: lR – {1; 3}
x ≠ n Df: lR – {n; n ZZ}
x – 3 ≠ 0 x ≠ 3
•
x – 1 ≠ 0 x ≠ 1
•
En el caso de las funciones trigonométricas, se debe tener en cuenta la ubicación de ciertos arcos en la circunferencia trigonométrica: y
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE:F. T. Tangente = {(x; y) / y = tanx} Dom: lR – (2n + 1) ; n ZZ Analizando: y = f(x) = tanx 2 Rang: lR
Graficando:
B
A: 0; 2; 4; 6; ...
Df: lR – x ≠ (2n + 1) ; n ZZ 2 2
Ejemplo (4): Determine el dominio de la función: y = f(x) = cot x
x+8 2 x – 4x + 3
x2 – 4x + 3 ≠ 0 x x
Tangentoide
A’: ; 3; 5; 7; ...
B: ; 5 ; 9 ; 13 ; ... 2 2 2 2
3; 7; 11; 15; ... B’: 2 2 2 2
A’
A x 0
– /2
/2
3 /2 2
x
B’
Como son demasiados los arcos que se ubican en A, A’, B y B’; se recurre al uso de fórmulas: (n ZZ)
s íntotas
Se puede notar que es una función creciente en cada cuadrante; es discontinua en todo R y es periódica, siendo su periodo principal:
66
Colegios TRILCE
T rig onomeTría
Problemas para la clase 1. Determine el dominio de la función: y = f(x) = senx + 1 cosx – 1 n C. lR – ; n ZZ A. lR – {n; n ZZ} 2 D. lR – (2n + 1) ; n ZZ B. lR – {2n; n ZZ} 2 – 2. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 3senx 1 cosx + 1 A. lR – (2n + 1) ; n ZZ C. lR – {(2n + 1); n ZZ} 2 B. lR – {n; n ZZ} D. lR – {2n; n ZZ}
3.
3cosx + 1 Determine el dominio de la función: y = f(x) = senx + 1 A. lR – (2n + 1) ; n ZZ C. lR – (4n + 3) ; n ZZ 2 2 B. lR – (4n + 1) ; n ZZ D. lR – {(2n + 1); n ZZ} 2
– 4. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 5cos2x 1 senx + 1 A. lR – (2n + 1) ; n ZZ C. lR – (4n + 3) ; n ZZ 2 2 B. lR – (4n + 1) ; n ZZ D. lR – {(2n + 1); n ZZ} 2
5. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 3Tanx + 1 A. lR – (2n + 1) ; n ZZ C. lR – {(2n + 1); n ZZ} 2 B. lR – n ; n ZZ D. lR – (4n + 1) ; n ZZ 2 2 6. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 3cotx + 5 C. lR – {(2n + 1); n ZZ} A. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 B. lR – n ; n ZZ D. lR – {n; n ZZ} 2 7. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 2csc2x – 1 A. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 n B. lR – ; n ZZ 2
C. lR – (2n + 1) ; n ZZ 4 n D. lR – ; n ZZ 4
8. Determine el dominio de la función: y = f(x) = 5sec4x + sen2x A. lR – (2n + 1) 2 ; n ZZ B. lR – (2n + 1) ; n ZZ 4
C. lR – (2n + 1) ; n ZZ 8 D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 16
9. Si el rango de la función: y = sen x es – 12; 3 2; su dominio en 0; ; sería: 2 A. ; C. ; 6 2 63 B. ; D. ; 6 2 63 Colegios TRILCE
2 3 10. Si el rango de la función: y = cosx es ; ; su dominio 2 2 en 0; ; sería: 2 A. ; 4 3 B. ; 4 3
C. ; 6 4 D. ; 64
11. Si el rango de la función: y = cosx es – 1; 1 ; su dominio 22 en [0< ]; sería: A. ; 65 6 B. ; 2 3 3
C. ; 323 D. ; 2 33
11 12. Si el rango de la función: y = senx es – ; ; su dominio 2 2 en ; 3 ; sería: 22 A. B.
5; 6 5; 7 6 6
C. D.
5; 7 6 6 ; 7 26
13. Si los puntos A ; a y B ; b ; pertenecen a la gráfica de la 2 6 función: y = senx; determine: a – b. A. – 0,5 B. 0
C. 0,5 D. 1
14. Si los puntos A 2 ; a y B 5 ; a ; pertenecen a la gráfica de 3 3
la función: y = cosx; determine: b – a. A. –1 B. –0,5
C. 0 D. 1
15. Si los puntos A ; a y B ; b ; pertenecen a la gráfica de la 8 4 función: y = 2sen22x + 1; determine: a + b.
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
16. Si los puntos A(; a) y B 2 ; b ; pertenecen a la gráfica de 3 x la función: y = 4cos + 3; determine: a + b. 2
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
17. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda; acerca de la función y = tanx:
• • •
Su periodo es . Su dominio es lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 3 Es creciente en 2; 2
A. V V V B. V F V
C. V V F D. F V V
67
Católica
Ciclo
18. Si el rango de la función: y = tanx es 3; 1 su dominio 3 en 0; sería: 2 A. ; 6 4 B. ; 6 4
C. ; 64 D. ; 43
5. Determine el dominio de y = f(x) = 2tanx + 3 A.
0;
2
C. ; 42 D. 0; 4
B. ; 4 2
A. B.
A. 1 B. 2
A.
C. 3 D. 4
C. lR – (4n + 3) ;2n ZZ D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
2. Determine el dominio de y = f(x) = sen3x + cos2x 1 – senx n A. lR – ; n ZZ C. lR – (4n + 3) ; n ZZ 2 2 B. lR – (4n + 1) ; n ZZ D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2 2
n ; n ZZ 3
8. Determine el dominio de y = f(x) = 2sec4x + sen22x A. B. 9.
n lR – 2; n ZZ B. lR – (4n + 1) ; n ZZ 2
n ; n ZZ 6 D. lR – (2n + 1) ; n ZZ C. lR –
6
Tarea domiciliaria
A.
lR – {2n; n ZZ} D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
lR – {n; n ZZ}
B. lR –
3cosx – 1 1. Determine el dominio de: y = f(x) = senx + 1
C.
lR – {n; n ZZ} n lR – ; n ZZ 2
7. Determine el dominio de y = f(x) = 3csc3x + cos3x
20. Si los puntos A ; a y B ; b ; pertenecen a la gráfica de la 4 3 2 función: y = 2tan x + 1; determine: b – a.
D. lR – {(2n + 1) ; n ZZ}
6. Determine el dominio de y = f(x) = 5cotx + 3senx
19. Si el rango de la función y = tanx es 1; + su dominio en 0; , sería: 2 A.
C. lR – {n; n ZZ}
lR – {n; n ZZ} B. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
n ; n ZZ 8 D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 8 C.
lR – {n; n ZZ} n lR – ; n ZZ 4
El rango de y = senx es 0;
2
lR –
; su dominio en 0;
2 0; 4 B. ; 4 2
A.
C. D.
, sería: 2
0; 4 0; 2
3 2 10. El rango de: y = senx es –1; ; su dominio en ; , sería: 2 22
A.
34; 54
C.
34; 32
B.
3; 5 4 4
D.
3; 3 4 2
3. Determine el dominio de y = f(x) = 1 + sen2x + cos3x 1 + cosx A.
lR – {n; n ZZ} B. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
C. lR – {(2n + 1); n ZZ} D. lR – {2n; n ZZ}
sen4x + cos2x – 1 4. Determine el dominio de y = f(x) = 1 – cosx A.
lR – {n; n ZZ}
B. lR – {(2n + 1); n ZZ}
68
C.
lR – {2n; n ZZ} D. lR – (2n + 1) ; n ZZ 2
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 28 26
TRILCE
Quinto Católica
REPASO 1.
sen(30° + x) + sen(30° – x) Simplificar: F = senx A. tanx B. cscx
2.
10. Reducir: F =
C. cotx D. secx
A. tan11x B. tan7x
Si: cos( + x) = 5cos( - x) ; calcular: F = tan.tanx 2 5 2 B. – 3
A. –
C. – 1 D. 4 7
A. senx B. 2senx
C. 15° D. 8°
B. – 5.
C. –
9
D.
9
6.
A. [ – 1 ;
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
15. Si: ( 6 ; 2n + 1), pertenece a la gráfica de la función: y = senx ; hallar “n”. sen40° 1+cos40°
1 A. 2
A. 10° B. 20°
B. –
C. 30° D. 40°
7. Si: cos = 1 ; 0° < < 90°; calcular: sen 3 2
B.
C.
C. 0,25 D. 0,1
A. B. –
5 8
7
; 270° < < 360° ; calcular: cos 3 C.
5 8
Colegios TRILCE
D. –
7 8
D. –
1
1 4
– 1. Simplificar: F = sen( x) + tanx cos.cosx
3 9
8 x 8. Si: 270° < x < 360° y secx = ; calcular el valor de: sen 7 2
9. Si: tan = –
1 2
C. 4
Tarea domiciliaria
D. 1
A. 0,5 B. 0,2
2
1 C. – 1 ; 2 1 D. – 1 ; 2]
14. Determine la suma del máximo y mínimo valor de la función: y = F(x) = 4senx + 3; x lR
3 4 4 D. 3
3 3 3 6
2 1
Hallar el ángulo agudo “ ” que cumple: tan =
A.
1
B. [ – 1 ; ]
9 2 9
C.
B. 12 5
C. cosx D. –cosx
5 13. Dada la función: y = cosx; con dominio: 3 ; 3 ; su rango es:
senx cosx Si: = ; hallar: tan2x 2 3 5 A. 12
C. 1 1 D. 2
3 2
12. Reducir: F = 2sen2x.senx + cos3x
1 4. Si: sen = ; II C, calcular: sen2 3 A.
C. tan4x D. tan9x
sen50° + cos50° 11. Simplificar: F = cos5° A. B.
3. Hallar un valor de “x”, que verifica: 3 sen3x.cosx + cos3x.senx = 2 A. 20° B. 30°
sen11x + sen3x cos11x + cos3x
7 8
2
A. tan B. tanx
C. cot D. cotx
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
1 3 2. Si: tan = y tan = , calcular: tan( + ) 2 2
3. Si: tan = 1 ; “” agudo, calcular: sen2 4 5 A. 17 8 B. 17
7 8 15 D. 17 C.
69
Católica
Ciclo
4. Simplificar: F =
(1+cos2x) . secx cosx
A. 1 B. 2
8.
C. 3 D. – 1
5. Reducir la expresión: F = A. 1 B. 2
csc20° + cot20° cot10° C. 3 D. 4
A. – B. –
C. D.
3 2 6 7
senA + senB 7. Reducir: F = cosA + cosB ; donde: A + B = 90° A. B. 1
70
2
cos4 + cos2 =2 cos3
A. cos B. cos2
C. sen D. sen2
2senx + 1 9. Señalar el dominio de la función. y = F(x) = senx - 1 A. lR - n 2
x 6. Si : cosx = - 0,2 ; x III C, hallar: tan 2 6 7 3 2
Completar:
C. lR - (4n + 1) 2
B. lR - (2n + 1) 2
D. lR - n
10. Hallar el rango de la función: y = 4senx + 3 A. [1 ; 7] B. [ – 7 ; 7 ] C. [ – 1 ; 7 ] D. [0 ; 7]
C. – 1 1 D. 2
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 29 27
TRILCE
Quinto Católica
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ¿Qué es una ecuación trigonométrica? Es una igualdad en el cual la incógnita o variable angular está afectada por un operador trigonométrico (sen, cos, tan, cot, ... arcsen, arccos, ... etc.) y que dicha igualdad se cumple para un conjunto determinado de valores que asume la incógnita.
Problemas para la clase 1. Resolver: 2senx + 3 = 0. (x 0, 2 ). Dar como respuesta la suma de soluciones.
A continuación indicar cuáles son ecuaciones trigonométricas:
•
tan3x = 3
•
cos x = x3
•
sen x = 0,5
•
x sen x = 1
•
tan x +
•
sen x = x
•
x2 sen x + 1 = 0
•
csc(3x) = 3 2
•
sen x + x = 0
•
2cosx + cotx = 2 3
•
9
A. 360º B. 420º
•
sen2x
+
cos2x
•
3. Resolver: sen 2x = cos x (x 0; ). Dar como respuesta la suma de soluciones. A. 120º B. 180º
C. 240º D. 270º
A. 360º B. 480º 5.
=1
Algunas definiciones •
C. 480º D. 540º
4. Calcular la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: 2cos2x + 4cosx = –3.
3 senx = x2 cos –1x = x
C. 480º D. 540º
2. Resolver: 3senx + cosx = 0 (x 0, 2). Dar como respuesta la suma de soluciones.
= – 3
•
A. 360º B. 420º
Conjunto Solución (C.S.) de una ecuación trigonométrica: Es el conjunto de valores que satisfacen la ecuación. Solución Principal o Valor Principal (V. P.): Es aquella solución que pertenece al rango de la función inversa dada en la ecuación trigonométrica elemental.
Fórmulas generales de las ecuaciones trigonométricas elementales senx = a xg = k + ( –1)k arcsen a, k ZZ cosx = b xg = 2k ± arccos b, k ZZ tanx = c xg = k + arctan c, k Z cotx = d xg = k + arccot d, k ZZ secx = e xg = 2k ± arcsec e, k ZZ cscx = f xg = k + ( –1)k arccsc f, k ZZ Colegios TRILCE
C. 780º D. 840º
Si “x” es la medida de un ángulo agudo, hallar dicho valor en la ecuación: sen x + sen 3x = cos x A. B.
12 D. 18
15
C.
6
6. Resolver: sen2x + cosx = 0, si: x III C A. 150° B. 210°
C. 240° D. 225°
7. Resolver e indicar la segunda solución positiva en: tan3x – 1 = 0 5 C. 12 3 D. 4
12 B. 4
A.
8. Resuelva: cos 3x –
= –
2
6 A. 2k ± – ; k ZZ 4 18 B. k ± + ; k ZZ 4 18
2 C. 2k ± + ; k ZZ 3 4 18 D . 2k – ; k ZZ 4
71
Católica
Ciclo
20. Hallar la solución principal en: tan x + cotx = 4.
2 9. Resolver: cosx2x – sen2x = 2 A. 8 C. 4 B. D. 16 2
A. 10° B. 15°
Tarea domiciliaria
10. Resolver: 1 + cosx = 2sen2x, indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas. A. 180° B. 120°
1. Resolver: 2sen(x + 12°) + 1 = 0
C. 200° D. 240°
A. 190° B. 194°
sen7x + sen3x 11. Resolver: = 3 cos7x + cos3x A. n+ 3 B. n + 5 15
A. 45° B. 30°
C. n + 15 D. n + 6 15
sen x . cot x + cosx = 1 C. 2n±
8
A. 30° B. 45°
D. a y b
A. 10° B. 15°
C. n2 D. n6
6. C. n6± 30 n D. ± 6 36
C. 45° D. 60°
16. Hallar la solución principal de: tan(2x + 10°) – A. 15° B. 25°
3=0
C. 45° D. 65°
C. 30° D. 150°
18. Resolver: senx – 3cosx = 1 y señalar la menor solución positiva. A. 15° B. 30°
C. 90° D. 45°
19. Si: 0° < x < 360°, hallar el número de soluciones de: tan2x = 3tanx. A. 4 B. 5
72
C. 7 D. 8
A. 30° B. 60°
C. 15° D. 45°
1 + tanx Resolver: = 3 1 + cotx A. 2 B. 3
C.
6 D. 8
7. Resolver: 2sen2x = cos2x A. 10° B. 20°
17. Hallar la solución principal de: 3tan3x + 3 = 0 A. –30° B. –10°
C. 90° D. 0°
5. Resolver: secx = 4senx
15. Resolver: senx + cosx = 2, e indicar la menor solución positiva A. 15° B. 30°
C. 60º D. 22°30’
4. Resolver: sen2x = 2senx
1 2 14. Resolver: sen 6x = 4 A. n6 ± 10 B. n ± 6 12
C. 180º D. 225°
3. Señale un valor de “x” agudo que cumpla:
13. Resolver: cos 3x – cos 5x = 0 A. n 4 B. n 3
C. 198° D. 199°
2. Resolver: sec(2x – 45º) = 2; x [180º; 360º
12. Resolver: cos3x + cosx = 0 A. 2n ± 2 B. 2n ± 4
C. 20° D. 30°
C. 30° D. 45°
8. Encuentra la menor solución positiva de la ecuación: cscx – senx = cosx A. B.
3
C. D.
6 9. Resolver: cotx – tanx = 2 A. 10° B. 20°
4
2 3 C. 15° D. 75°
10. Halle el menor valor positivo que toma “x” en la ecuación:
1 + 1 =8 1 + cosx 1 – cosx A. 30° B. 20°
C. 10° D. 50°
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 30 28
TRILCE
Quinto Católica
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 5. En la figura, calcular "x".
Problemas para la clase
A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 1/4
1. Calcular "x". B x
5
A
A. 45° B. 30°
C
A. 6 B. 3
C. 8 D. 4
7.
2. Del gráfico, calcular "sen"
30°
B
2
;c= 3 ,
C. 75° D. 60°
a b c En un triángulo ABC, se cumple: 3 = 5 = 7 . Hallar "cosB" A. B.
7 11 11 14
2
3
s en
6. En un triángulo ABC, se cumple que: b = C = 60°. Calcular la medida del ángulo "B". 30°
53°
x
12 C. 17 10 D. 21 b – a
A
45°
1 A. 2 B. 2 32
8. C
2
C.
3. En el triángulo ABC, calcular "b"
C. 1 D. 2
En un triángulo ABC se cumple que: abc = 16 y 1 senA.senB.senC = . Calcular el circunradio de dicho triángulo. 4 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 acosB + bcosA 2c 1 C. 2 D. 4
10. En un triángulo ABC, reducir: F =
B 127°
A. 1 10
7
A
A. B.
A. b + c B. a + c 9.
D. 1
senA – senB En un triángulo ABC, simplificar: M = b + a + senA + senB
B. 2 C
5 65
C. D.
233 7
11. En un triángulo ABC; a = 6 y m B A = 30°. ¿Cuánto mide el circunradio del triángulo ABC? A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
4. En el triángulo ABC, calcular "AB". 12. En un triángulo ABC cuyo perímetro es 24, además el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo es 5, calcular: F = senA + senB + senC
B
8
A. 1,2 B. 2,4
60° A
A. 4 7 B. 3
Colegios TRILCE
12
C
C. D.
7 3
C. 1,3 D. 2,6 a2 – b2 + c2 13. En un triángulo ABC, reducir: F = 2cosB A. b B. a
C. ac D. abc
73
Católica
Ciclo
14. En un triángulo ABC de perímetro 20 cm, reducir: F=
a – bcosC b – ccosA c – acosB + + , cosB cosC cosA
A. 10 cm B. 20
C. 40 D. 8
15. Dos autos parten de un mismo punto en direcciones que forman 60°. Si sus velocidades son 5 km/h y 7 km/h, ¿qué distancia los separa al cabo de 1 h? 31 39
A. B.
C. D.
41 49
5. Del gráfico, calcular "a". B
B.
D.
3 6 3 8
B.
A. 5 3 B. 76 C. 79 D. 7 2
60° 6
A. 1 10
4. En un triángulo ABC, se sabe que: a = 4; b = 3 y c = 5. Calcular "cosA" 1 5 2 B. 3
74
3
17 19 11 D. 16 C.
A. R B. 2R
F=
x
A.
2 7 11 9
C. 3R D. 4R
9. En un triángulo ABC, simplificar:
3. Calcular "x", si:
C
1 C. 6 1 D. 3
3a 5b 7c 8. En un triángulo ABC, reducir: F = + – senA senB senC (R : Circunradio)
6 3
C. D.
2
a b c 7. En un triángulo ABC, se cumple que: 2 = 3 = 4 ; calcular "cosB" A.
2. En un triángulo ABC, B A = 45°; BB = 60°, a = 4. Hallar "b" A. 2 6 B. 6
60°
asenB + bsenA 6. En un triángulo ABC, reducir: F = csenB + bsenC , siendo: a = 3c
Calcular "senA". C.
a
A
B. 3
1. En un triángulo ABC, mBB = 60°, además: b = 4 y a = 2.
3 3 3 4
3
A. 6
Tarea domiciliaria
A.
2 3 5 7
A. B. C. D.
B. – 1
bccosA + accosB + abcosC a2 + b2 + c2 1 C. 2 D. 2
10. Dado un triángulo ABC, (C = 90°). Simplificar: F = a2cosB + abcosA A. b B. c
C. ab D. ac
C. 5 4 D. 5
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana29 31
TRILCE
Quinto Católica
REPASO 1.
7. Determine el signo de “E” en los cuatro cuadrantes:
Determinar “x”
A. B. C. D.
E = csc x (1 – cos x)
msen . tan mcos . sec msen . cot mcos . tan
A. (+)(+)(+)(+) B. (+)(+)( –)( –)
m
8. Si “” es un ángulo canónico del tercer cuadrante el cual 8 cumple: (tan)2cot = 27
x
2.
Hallar BE, si “L” e s el lado del cuadrado ABCD.
L(1 – sen) L(1 – cos) L(1 – tan) L(1 – cot)
C. – 7 D. – 13
9. Calcular: C = (3sen90° – 2cos180°)2 + (sen270° – cos360°)2
C
B
De la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
A. 1/2 cos B. 1/2 sen C. 1/4 sen D. sen
4.
A. 0 B. 5 13
E
F
3.
Calcular: E = 3cos + 2sen D
A
A. B. C. D.
C. (+)( –)(+)( –) D. (+)( –)( –)( –)
A. 26 B. 28
C. 29 D. 25
10. Reducir: C = sec(180° + ) + sen(270° + ) csc(90° + ) cos(360° – ) O
x
En la gráfica se muestra una C.T. Hallar la medida de “PB”, si: A’P = 5 P
A. –2 B. 2
C. 0 D. 1
11. Simplificar: L = tan x (1 + cos x) – sen x . csc x 2
A. tanx B. 2tanx
C. cosx D. 2cosx
B
A. B. C. D.
1/2 cos 1/2 sen 1/4 sen 1
12. Reducir:
A’
x C.T.
C = senx(1 + senx – cosx) + cosx(1 + cosx + senx) – 1 A. senx B. cosx
5. En el gráfico, hallar: tg + tg
C. 2senx.cosx D. senx+cosx
13. Reducir: L = senx(cscx + senx) + cosx(secx + cosx) + 1 y (2; 5)
A. B. C. D.
1,1 1,2 1,9 2,8
– 5; 3) (
14. Reducir: L =
6. Calcular: E = sec 1860º + tg ( –135º) – sen2 990º
Colegios TRILCE
C. 4 D. 5 sen4x – sen6x cos4x – cos6x
x
A. 1 B. 2
A. 1 B. 2
C. –1 D. –2
A. tg2x B. ctg2x
C. tg4x D. ctg4x
15. Reducir: C = (3 senx + 2 cosx)2 + (2 senx – 3 cosx)2 A. 7 B. 5
C. 12 D. 13
75
Católica
Ciclo
8. ¿En qué cuadrante(s) el seno decrece y el coseno crece?
Tarea domiciliaria 1. Siendo “ ”, “” y “” las medidas de tres ángulos agudos
que verifican el siguiente sistema de ecuaciones: cos ( + ) = sen 20º cos ( – ) = sen 40º cot ( – ) = tan 80º
A. IC B. IIC
C. IIIC D. IVC
9. Hallar el mínimo valor de: E = 6cos + 13sen + 20 A. 2 B. 4
10. Si: sen = 5x – 18 ; Indicar la variación de “x”. 3
Luego, uno de ellos será: A. 75º B. 65º
C. 8 D. 1
C. 55º D. 45º
A.
3,
B.
3,
21 5 21
cos3x . tan2x . sen4x . cot2x . sec3x . csc(60º – x) = 1
3.
Calcular:
C. 12º D. 15º
5
1 –2 –3 –4
17
msen + 1 (m + 1)sen mcos + 1 (m + 1)cos
12. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal“” pasa por el punto ( –1; 2), hallar el valor de: E = 5sen + tan m +1
w
A. 4 B. 0
C. –4 D. 2
13. Calcular: Q = 5. Del gráfico mostrado, determine “x”.
(a + b)2sen90° – (a – b)2cos2180° asen490° + bcos3270°
A. 4ab B. 4 msen mcos msec mcsc
m
A.
6. Calcular “x” en la figura mostrada, en función de “ ”, “” y “m”. mcotsec mcotcos mtansec mtancos
C. – D.
B x
º m
2 6 3 2 3
15. Del gráfico, calcular “cot ”
º
7. ¿En qué cuadrantes el seno crece, a medida que el ángulo crece?
76
6
3 6 B. – 3
A. B. C. D.
A. I y IIC B. II y IIIC
C. 4a D. 4b
14. Calcular: C = sen135° . sen240° . tan150° cos210° . cos300° x
A. B. C. D.
x
C. 1 D. 13
A. B. C. D.
0,
(1 – x; 2x)
4. Del gráfico mostrado, determine “w”. A. B. C. D.
D.
21 5 21
11. De la figura, calcular “tan ”
A. B. C. D.
(4.cos36° + 9.sen54°) . sec36° cot18° . cot72°
A. 5 B. 5
3;
5
2. Hallar la medida del ángulo agudo “x”, en:
A. 8º B. 10º
C.
1 2 4 1 – 2 – 4
C E
37°
D
C. I y IVC D. II y IVC
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TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana30 32 Semana
TRILCE
Quinto Católica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS 8. Del gráfico, calcular: sen
Problemas para la clase
1 1. Si: tanx = , determinar: E = 26senx + cotx 5 A. 1 B. 5 2.
C. 6 D. 7
En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo del triángulo. A. B.
1 3 2 3
C. D.
1 5 2 5
L = (b – asenA)cscC A. a B. b
4. Sabiendo que: 23 +tan = 43; donde “” es un ángulo agudo, calcular: C = 2sec2 + 10sen2
hallar: sen
p A. B.
q q p
C. D.
q2 – p2 2 q2 + p2 2
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) se sabe que: 2
2
senA = 2senC, calcular: L = sec A + 4sec C A. 6 B. 8
C. 9 D. 10
7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C” se sabe que:
secA 1 = secB 2
Calcular: E = 13cosA + 3cotB A. 2 B. 3 Colegios TRILCE
C. 4 D. 5
7
9.
Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 2 2, calcular: tan . tg 2 C. 4 D. 5
10. Los lados de un triángulo rectángulo son: "x – 1"; "x"; "x + 1"; determinar la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo. 5 3 D. 5 4 C.
11. En el trapecio ABCD: BC//AD. Si: AB = BC = 8, CD = 15 y AD = 25 y la medida del ángulo C DA = D, el valor de: K = cscD + ctgD, es: A. 1 B. 2
C. 25 D. 29 q2 – p2;
4
A. 3 4 B. 4 3
C. c D. c2
A. 19 B. 21
0,2 0,4 0,6 0,8
A. 2 B. 3
3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º); reducir:
5. Si: p . cot =
A. B. C. D.
C. 3 D. 4
12. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) señale el equivalente de: K = tanA . tan A + 1 tanA . cot A – 1 2 A. sen2 A B. cos2 A
2 C. cot2 A D. sec2 A
13. En un triángulo rectángulo los lados miden: a + b; a – b; a2 + b2. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. A. B.
C. 5 D. 3
2 3
sen . sen 14. Del gráfico, calcular: W = sen
A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 2
77
Católica
Ciclo
15. Siendo “O” centro, hallar: tg A A. 2 3 5 B. 3 C. 3 2 D. 4 3 O
8. De la figura, calcular: sen. (O centro), MP= 1; PB=2 N A. 32 M B. 23 1 P C. 2 1 D. 3
B
A
Tarea domiciliaria 1. En la figura mostrada, calcular: K = ctg – ctg A. 1 B. 21 C. 2 D. 1 3 2.
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3. Del gráfico, si: AB = CD, calcular: M =
A
1D
E
4. Del gráfico, calcular: tg, si: tg =
A. B. C. D.
0,5 1 2 2,5
cos – sen cos – sen C 2 B
A. B. C.
5 12
7.
C. 86 D. 69
Si “A” y “B” son ángulos agudos de un triángulo rectángulo, simplificar: R = senA + cosB (cscBcscA) cscB secA
78
11. Dado un triángulo rectángulo ABC (recto en "C") donde se cumple: a – b + c = 1 a – b + 7c 7 A Calcular: cot – senAsecB 2 A. 2 B. 4 2
C. 3 2 D. 2 2
12. En un triángulo rectángulo, el área y el perímetro son iguales numéricamente. Si el coseno de uno de los ángulos agudos es 0,8; hallar la longitud del lado mayor. A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
1
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 m. Si “” es uno de sus ángulos agudos y tan = 3, hallar su perímetro. 4
A. 6 B. 3
C. 18 D. 360
A. 2 B. 3 C. 7 D. 7 3
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B”), reducir: K = (tgA + tgC)senA senC. A. 1 C. 1 2 B. 2 1 D. 3
A. 96 m B. 64
A. 72 m2 B. 144
13. Calcular: cot .
6.
C. 4 D. 5
10. Calcule el área de la región triangular ABC, donde: AC = 36 m; si, además: cscA = 17 cscC = 26
B
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, se sabe: secA 2 = . Calcular: E = 13 cosA + 3cotB secB 3 A. 1 B. 2
tgA + 1 Si: = 2 (0º < A < 90º). Calcular: N = 6ctgA + 40cosA tgB – 1
1 2 1 2 D. 2 5
O
C. 2 D. 8
8
14. Del gráfico, calcular: cot A. B. C. D.
5 6 7 8 A
1
H
C
4
15. Del gráfico, calcular: tan . cot A. 1 1 B. 2 C. 3 D. 2
1
3
2 Colegios TRILCE
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Colegios
Semana 31 33 Semana
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Quinto Católica
MISCELÁNEA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 9. Calcular el valor de:
Problemas para la clase
sen10º + cot(25º – 3x) + sec(80º + 5x) E = csc(10º – 5x) + tan(65º + 3x) + cos80º
1. Del gráfico, calcular: csc
C. 2 D. 1 2 10. Siendo “” y “” ángulos agudos, calcular “” sabiendo que: A. 1 B. 0
A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5
2
sen(7 – 5º) = cos(5 + 11º) tan(3 – ) . cot(3 + 2º) = 1
5
5 2. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: cos = ; calcular 13 el valor de: E = tan + sec A. 1 B. 3 3.
C. 3 D. 5
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B”), simplificar: senA . cscC + 2tanA E= senA . sec C . tanA A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en “B”) calcular “cscA”, sabiendo que: secC – senA = 2senC A. 1 2 B.
C. 3 2 D. 5
6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC (recto en 25 “B”) es 112 cm, además: csc A = 7 , calcular la diferencia entre las longitudes de los dos mayores lados. A. 1 cm B. 2
C. 4 D. 6
7. Siendo “x” e “y”, ángulos agudos, calcular “x”, si: cos(2x + y + 15º) sec (5x + y – 12º) = 1 A. 5º B. 7º
11. Del gráfico, calcular “x”.
C. 9º D. 12º
A. B. C. D.
1 2 3 4
sen(5x + 15º) – cos(4x + 12º) = 0
Colegios TRILCE
C. 7º D. 9º
7x + 9 6x 37º
12. Calcular el ángulo agudo “ ” que cumple: sec + tan45º 2sen30º + sec60º = sec – cot45º tan37º A. 30º B. 37º
C. 45º D. 53º
13. Calcular “cot” 1 2 B. 2 3 C. 3 5 4 D. 9
A.
37º
14. Del gráfico, calcular “tan ” (O: centro) C
A. 3 5 B. 5 13 C. 6 17 D. 8 15
M
A
37º
B
O
8. Calcular el ángulo agudo “x” que cumple:
A. 3º B. 5º
C. 15º D. 20º
C. 5 D. 8
Siendo “x” un ángulo agudo para el cual: cscx = 2; calcular el valor de: M = 5cos 2x + 2senx A. 1 B. 2
A. 5º B. 10º
15. Calcular la medida del ángulo agudo “x” para el cual se cumple: cot(2x – 9º) = tan1º . tan2º . tan3º . … tan89º A. 10º B. 18º
C. 20º D. 27º
79
Católica
Ciclo
16. Siendo “x” e “y” ángulos agudos que cumplen:
2. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 5 ; 12
sec(5x + 17º) = csc(2y + 13º) tan(25º + y) tan (45º + 3y) = 1
calcular el valor de: E = cos – sen 3 A. 19 B. 4 17
Calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y) A. 1 2 B. 1
C. 3 2 D. 2
17. Siendo “” y “” ángulos agudos tales que: tan = 7 ^ csc = 2 2 + + calcular: E = sen + tan 3 2
Siendo “x” un ángulo agudo para el cual: cotx =
C. 1 3 D. 4
18. Si: “”, “” y “” son ángulos agudos que cumplen: sen(3 + ) = cos(3 + 2) + + )tan(3 + 2) calcular: M = sen( cos(2 + 2 + 2)cot( + 3)
1 2
C.
B. 1
D.
2 2 3 2
19. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”),
el valor de: M = 5cos2x + 2senx A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
A. –2 B. –1
senA . cscC + 3cotC E = cosC . secC . tanA A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en “B”) calcular “cscA”, sabiendo que: secC – senA = 3senC A. B.
10 2 10
C. 3 10 D. 5
6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC (recto en 25, calcular la diferencia “B”) es 168 cm, además: cscA = 7 entre las longitudes de los dos mayores lados. A. 1 cm B. 2
se sabe que: cot2 A – tan2B = 2 2 calcular: E = tan2 A – 2cscB
C. 3 D. 4
7. Siendo “x” e “y”, ángulos agudos, calcular “x”, si:
C. 0 D. 1
20. Siendo “x” e “y” ángulos agudos que cumplen: tan(60º – x) = cot(x + 30º)tan (y + 20º) tan20ºtan70º
cos(2x + y + 15º) sec (3x + y – 12º) = 1 A. 25º B. 27º
C. 29º D. 12º
8. Calcular el ángulo agudo “x” que cumple:
calcular: E = sen(x + y + 50º)cos(20º + y) cos(y – x – 10º)
sen(5x + 13º) – cos(4x + 14º) = 0
1 A. 2 B. 3 2
A. 3º B. 5º
3 C. 4 D. 2 2
9. Calcular el valor de:
C. 2 D. 1 2 10. Siendo “” y “” ángulos agudos, calcular “” sabiendo que: A. 1 B. 0
1. Del gráfico, calcular: sen A. B. C.
80
A. 7º B. 9º
E = sen20º + cot(25º + 3x) + sec(80º – 5x) csc(10º + 5x) + tan(65º – 3x) + cos70º
Tarea domiciliaria
0,2 0,5 2 3 2 D. 5
10 calcular 2
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B”) simplificar:
A. 1 2 B. 3 2
A.
3.
C. 7 13 9 D. 16
3
5
sen(7 – 15º) = cos(5 + 21º) tan(2 – ) . cot(3 + 2º) = 1 A. 5º B. 10º
C. 15º D. 20º
Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 17. Siendo “” y “” ángulos agudos tales que:
11. Del gráfico, calcular “x”.
sec = 2 2 ^ cot = 7, calcular: A. B. C. D.
E = tan2
18 20 13 14
7x + 9
6x
A. B.
53º 12. Calcular el ángulo agudo “ ” que cumple:
calcular: M = cos( + + )sec(3 + 2) cos(2 + 2 + 2)csc( + 3) C.
2 2
B. 1
D.
3
A. –2 B. –1 37º
tan(50º – x) = cot(x + 40º)tan(y + 20º) tan10ºtan80º calcular: E = sen(x + y + 50º)cos(20º + y) cos(y – x – 10º)
C 2a
A
C. 0 D. 1
20. Siendo “x” e “y” ángulos agudos que cumplen:
14. Del gráfico, calcular “tan ” (O: centro) A. 12 59 15 B. 139 C. 16 57 18 D. 157
1 A. 2
19. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), se sabe que: tan2B = 2; calcular: E = 2tan2A – sec2B
2a
a
3 C. 2 D. 4 3
sen(3 + ) = cos(3 + 2)
13. Calcular “tan”
1 2 3 7
1 2 1
18. Si: “ ”, “” y “” son ángulos agudos que cumplen:
csc + tan45º = 2sen30º + sec60º cot53º csc – cot45º A. 30º C. 45º B. 37º D. 53º
A. B. C. D.
+ + + cot 3 2
M a 37º
O
A.
1 2
B.
3 2
C. 3
4 2 D. 2
B
15. Calcular la medida del ángulo agudo “x” para el cual se cumple: tan(3x – 3º) = tan1º . tan2º . tan3º...tan89º A. 10º B. 18º
C. 20º D. 16º
16. Siendo “x” e “y” ángulos agudos que cumplen: sec(5x + 10º) = csc(2y + 20º) tan(20º + y) tan(30º + 3y) = 1 calcular: M = sen(4x – 2°) + tan(4y + 5º) 1 2 B. 1
A.
Colegios TRILCE
C. 3 2 D. 2
81
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 34 32
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA 1 1 7. Si: cos = tan40° . tan50° – tan10° . tan80° 2 3
Problemas para la clase 1.
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simplificar: E = senA.cotC + cosA A. senC B. cosC
2.
En un triángulo rectángulo, rectángulo, la hipotenusa es es el triple de un cateto. Si el menor ángulo agudo mide “”, calcular “tan”.
B.
2 4 2 D. 8
A.
3. Siendo “” un ángulo agudo tal que: cos = 0,6; calcular: C = 5csc2 + 4tan2 A. 14 B. 17
2 C. 7 D. 8
8. Si en un triángulo rectángulo ABC ABC ( B = 90°), se cumple 3 5 senA que: senA = (cosC) , calcular: E = 11cotA 11 cotA + 4cscA A. 3 B. 4
C.
2 2
A. 5 B. 6
C. tanC D. cscC
2
Calcular: C = tan. cot
C. 13 D. 10
C. 4 D. 7
9. En un triángulo rectángulo los lados son tres tres números números pares consecutivos. Si el menor de los ángulos agudos del triángulo es “ ”, calcular: C = sec + tan A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
10. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: 4. En un triángulo rectángulo, la la altura relativa relativa a la hipotenusa determina en ella segmentos que miden “m” y “n”. Halle
la tangente de uno de los ángulos agudos del triángulo. m mn A. C. 2 n m + n2 n m B. D. m n 5. De acuerdo al gráfico, gráfico, calcular: E =
cot + 2cot
1 2 3 6
A
D
E
4
2
A. B. C. D.
1 2 3 3 2
B
A. B. C. D.
1 2 31 2
53º
N
D
A. 3,2 B. 1,6
sec245º + 4cos60º + 3tan53º tan37º + 6tan16º C. 3,8 D. 1,9
13.. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°), 13 se sabe que: b = 3 ac ; calcular: E = tanA + tanC
A
82
C
F
C
M
1
6. De acuerdo al gráfico, calcular “tan ”, si: ABCD es un cuadrado y además: AF = 4FE. E
B
A
12. Calcul Calcular: ar: C =
B
11.. De acuerdo al gráfico, 11 gráfico, señale el valor de: C = 4cot – cot
cot C
A. B. C. D.
m – n ; m > n > 0. Hallar: E = csc – cot m+n A. m m C. n n n n B. D. m m cos=
53º
D
A. 3 B. 6 C. 9
D. 12
Colegios TRILCE
T rig r ig ono onome meTría Tría 14. Del gráfico, calcular: calcula r: E = tan.cot; si el triángulo ABC es equilátero.
20. De acuerdo al gráfico, calcular “sen ”.
A.
B
A. 1 12 2 B. 3 C. 5 6 D. 5 12
2 E
B.
A
senA . tanA . tanC senC . cotA . cotC = 3 4 calcular: E = 5senA 5s enA + 4tanC
A. b2 B. b
J = (a + b)2 – 2bc
C. 5 D. 4
1 + cosC 1 – cosC C. ac D. c2
3. Siend Siendo: o: senx = 8 ; “x” es agudo, calcular: F = secx + tanx 17 1 5 B. 1 3
C. 4 3 D. 5 3
A.
7 8 9 10
17 5 A
B
N
M
4. Siendo: cos = 0, 27 ; “” es agudo, calcular: G = cot . csc
18.. En el cuadra 18 cuadrado do ABCD, calcular “tan”. E
B
A. 1,25 B. 1,35 C. 1,45 D. 1,625
A. 17 112 B. 33 112
C F
37º
Siendo Sie ndo:: sec =
m2 – n2
; donde “ ” es agudo, hallar:
H = csc + cot M
m n A. n m
D
A.
19.. En el gráfico, AB es diámetro y PQRS 19 PQRS es un cuadrado. Calcular “cot”. Q
C. 15 112 D. 11 7 5 m2 + n2
5.
A
D.
C. ab D. c
A. c B. bc
C
C.
Q a 2 + b 2
2. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “A”), reducir:
17. De acuerdo al gráfico, calcular: C = cot + cot
A. B.
reducir: P = senB . senC . tanB . a 2
C. 8 D. 12
16. En un triángulo triángul o rectángulo ABC ( B = 90°), se sabe que:
A. B. C. D.
P
a – b
1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “A”),
E = (7sec – 3csc)(5sen – 2cos)
A. 7 B. 6
a+b
Tarea domiciliaria
15. Sabiendo Sab iendo que: + = 90°; calcular:
A. 2 B. 4
R
C
D
3
C. D.
5
1 3 1 3 1 7 7 4
6.
R
C. 2m n 2n D. m
En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90º), se cC + 1 reducir: K = senA . secC senC . secA + 1
5 5+1 5+1 2 5+2
A. 1 B. 2
A
P
S
B
7.
C. 3 D. 4
Si: “” es un ángulo agudo, tal que: cos = 0,96;
calcular: K = csc – cot A. 1 B. 1 5 Colegios TRILCE
C. 1 7 1 D. 8
83
Católica
Ciclo
8.
Calcul Cal cular: ar: K =
sen30º + cos245º
15. Se tiene un cubo, donde se traza una de sus diagonales y una de las diagonales de su base, de tal manera que tenga un punto en común con la diagonal del cubo. Calcular la tangente del ángulo que forman dichas diagonales.
sec245º + tan260º
A. 0,1 B. 0,2
C. 0,3 D. 0,4
9. Del gráfico, calcular “tan” C
1 3 3 3 2 D. 2 3
A. B. C.
A.
2
B.
2 2
C. D.
16. Del gráfico, calcular: P = tan + tan
A
37º
M
A.
B
B.
10.. Del gráfico, 10 gráfico, calcular “tan”
C. D.
B 53º
1 2 –1 2 3 1
C. 3 11 4 D. 11
1 A.. 11 A B. 2 11
D
E
E
B. C. D.
B
C
D
A. 11,4 11,413 13 B. 10,718 C. 10,216 D. 9,416
12 18º x
A. 19,35 m B. 17,26
C. 20,18 D. 21,72
A
19.. Desde lo alto de un campanario se divisa 19 divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 24°. Si el campanario mide 80 m, ¿a qué distancia de su base se encuentra el objeto?
37º
D
12.. Si: tan3x . tanx – 1 = 0; calcular: tan2x 12 A.
A
18.. Una escalera de 80 m de longitud está apoyada en una 18 pared, formando 14° con el suelo. ¿A qué altura sobre el suelo se encuentra el punto de apoyo en la pared?
11. Del gráfic gráfico, o, calcul calcular ar “tan”. 1 3 5 3 2 7 3
C
17. Hallar “x”.
45º
A
F
B
C
A.. A
23 6 2
3
B. 1
C.
3 3 D. 2
13.. Se tiene dos círculos tangentes exteriormente cuyos radios 13 radios son 1 y 3. Calcular el ángulo que forma la recta que pasa por los centros de ambos círculos c on una de las tangentes exteriores a ambos círculos. A. 10° B. 20°
C. 30° D. 45°
A. 179,42 m B. 179,6
C. 164,48 D. 182,27
20. Calcular “tan ” del gráfico mostrado, si “I” es el incentro. B
A. B. C. D.
0,3 0,4 0,5 0,6
I
A
2
3 2 C
14.. Se tiene un triángulo equilátero ABC, 14 ABC, inscrito en una circuncircunferencia. Si “M” es el punto medio del arco AC y “N” es punto medio del lado BC, calcular la tangente del ángulo MNC. MNC. A.
3
B. 3 3
84
C. 2 3 2 3 D. 3
Colegios TRILCE
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana Semana 34 33
TRILCE
Quinto Católica
REPASO GENERAL 1.
Un ángulo se expresa como abb° y también como a(b + 2)0g. Señale el equivalente en radianes de: a(b – a)5°. A. 35 B. 34
C. 23 D. 56
3.
C. 5 7 D. 7 9
B
1 3 5 7 D
37º
C
9. En la figura, halle “AB” en términos de “R” y “ ”. B
Si “a” y “b” son números reales positivos, hállese el mínimo número de radianes del ángulo que satisface la igualdad: (a + b)2 + (a – b)2 C+S=
A
A. B. C. D.
2. Calcular “R”, si: S = C + 3 4 5 A. 3 B. 3 5
8. En el cuadrado ABCD, calcular: ctg
T
A. B. C. D.
R tg(csc + 1) R (csc + 1) R (csc – 1) R (sec + 1)
O R
2ab
A. 180 B. 190
A
C.200 D. 210
C
10. Siendo ABCD un cuadrado, calcular “ctg ”, si: C(–2; –5) y
4. Del gráfico, calcular: E = 4tan + cot
A. B. C. D.
A
x
B
A. –1,2 B. 1,2 C. –1,4 D. 1,4
1 2 3 4 37º
D
C
tana . cotb 11. Del gráfico, hallar: E = sec2a – 1
5. Del gráfico, calcular “ctg ”
y
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
A. B. C. D.
45º
1 –1 –2
2
O
6.
Si: tan + x + cot – x = 2 3. Calcular: E = csc x + sec 2x 6 3
A. 2 2 B. 2 3 7.
Si: cot
C. 4 D. 3 2
1 5x – 96° = , determine “x”. 2 cot 4x 3
A. 36º B. 30º Colegios TRILCE
C. 45º D. 20º
a
x b
– 12. La expresión simplificada de: 1cos2x 1 + senx – 1 senx 1 – senx 1 + senx 4
A. cos x B. 4cos2x
C. 4sen2x D. sen x
13. Si: sen 2x + 4cosx = –4, entonces “cos x”, es igual a: A. 5 B. 4
C. –1 D. a y d
85
Católica
Ciclo
14. Si: tg14º = y (tg52º – tg38º), hallar el valor de “y”. A. 2/5 B. 3/4
C. 2 D. 1/2
23. Si “A” y “B” son agudos y cosA . cosB – senAsenB = 2. 3 Calcular: ctg(A + B) A.
15. Calcular: E =
1+
tan220°
1 – tan20°tan40°
3 2
A.
+
tan240° + tan220°tan240°
C.
B. 2 3 3
1 2
B.
C. D.
5
A. 0,125 B. 0,25
16. Reducir: E = cos(3 – x)csc(5 + x) . ctg(4 + x) . sec (3 – x) 2
C. –1 D. –tanx
17. Si: tg = 2k + 1 y ctg + = k, el valor de “k” es: 3 2 2
5
C. 0,5 D. 1
25. De la figura AB = BC, y además AN y BM son bisectrices de los ángulos BAC y ABC, respectivamente. Si: tg( + ) = 3, entonces el valor de “x” es: B
A. B. C. D.
150º 120º 135º 105º
x N
A
A. –2/7 B. 7/2
5
24. Calcular: E = 3ctg20º – 4cos20º
D. 2
A. –secx B. –cscx
5 5
C. –7/2 D. 3/7
C
M
Tarea domiciliaria
18. De acuerdo con la gráfica, calcular “x”. 1. Del gráfico, señale el área del sector circular AOB. A
A. B. C. D.
9 12 18 24
10
8 x
A. B. C. D.
25 45 50 75
O
8 + x
x rad
19. Si: sen2a = 0,4, ¿cuál es el valor de: sen4a + cos4a? A. 4/25 B. 1/5
C. 0,84 D. 23/25
B
2. Del gráfico, calcule: P =
20. La suma de las raíces de la ecuación:
sen + cos cos – sen
cos 2x + sen2x – cos2x = 0; (0 ≤ x ≤ ) 2 2
C
A. 2/5 B. /4
C. 2/3 D. 5/6
21. Si: 3senx + 4cosx = 5, calcular: E = tgx + A. 2 B. 3 22. Si: csc 2x + csc 4x = A. 5 B. 6
86
1 4
C. 1 D. 2 3 senAx . Calcular: A + B + C senBx . senCx C. 7 D. 8
A. B. C. D.
1 2 3 4
5
3
A
B
D
3. Si ABCD es un cuadrado, calcular “tanx”, si: AB = AE. B
A. 3 B. 6 C. 2 D. 1
x
C
E 53º A
D Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 4. Calcular “x + y” del sistema de ecuaciones, sabiendo que “x”, “y” son ángulos agudos. sen3x – cosy = 0 tan2y.cot30º – 1 = 0 A. 30º B. 70º
C. 45º D. 40º
5. Si: tanA = 2x ; “A” es agudo, calcular “senA”. x2 – 1 x 2x C. A. x2 – 1 x2 + 1 x B. 2x D. x2 + 1 x2 – 1 6.
Simplificar: W =
sen3 + cos3 – sen 1 – sen.cos
A. cos B. 1
C. sen D. cot
7. ¿Entre qué límites se encuentra “k” para que la expresión exista: 3cosx = 2k – 5?
A. 1 k 4 B. 2 k 4
C. 1 k 3 D. 1 k 5
8. Calcular el valor de “x”, si el ángulo agudo cumple: senx =
cos230º.cos37º sen245º.sec60º
A. 30º B. 37º
A. – 1 7 1 B. 2
1
D. – 1
11. En un triángulo rectángulo ABC (A = 90º), se cumple: cotC + cotB = 4, calcule: M = 16senB.senC.cosB.cosC A. 1 4 B. 1 2
C. 1 D. 2
12. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), si: tanC = 5 ; 12 a – c = 21. Calcular el perímetro del triángulo. A. 90 B. 120
C. 150 D. 75
13. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar “OM” en términos de “”. sen A. 2 sen B. 1 + sen sen C. 1 + cos cos.sen D. 2
M
O
C. 24 7 D. 7 25
14. Simplificar la expresión se obtiene: sen(180° + x) cos(90° + x) tan(360° – x) + sen( –x) – senx cot(90° – x) A. –3 B. –1
C. 3 D. 1 sen150° . cos210° 15. Calcular: F = sen240° . cot315° A. 1/2 B. –1/2
Colegios TRILCE
C.
C. 45º D. 53º
1 9. Si: cscx – cotx = ; calcular: cotx 7 A. 7 B. 25 7
10. Si: senx + cosx = 2; evaluar: R = sen4x + cos4x
C. 3/4 D. –3/4
87
TRIGONOMETRÍA
Colegios
Semana 34
TRILCE
Quinto Católica
MISCELÁNEA DE IDENTIDADES 9.
Problemas para la clase
Si: 1 + 2 tanx = 2 secy 1 + 2 tany = 2 secx Calcular: E = secx + secy
1. Simplificar la expresión: E = (tanx + tany)(1 – cotx.coty) + (cotx + coty)(1 – tanx.tany)
A.
2 2
A. cotx B. –coty
B.
2 – 1
C. tanx D. 0
tanx + secx + 1 A 10. Si: = (B ≠ 0 ; A ≠ B) cotx + cscx + 1 B
2. Calcular: E = sec4 – tan4 – 2tan2 A. 1 B. 2
C. 0 D. –1
Hallar: E =
3. Si: x = sena +cosa y = sena – cosa Hallar la relación entre “x” e “y” independiente de “a”
C. x = y x D. = y
A. x2 + y2 = 2 B. x2 – y2 = 2
32 C. 2 2 D. 3
3 4 4 3
Asenx – Bcosx senx – cosx C. AB2
A. A – B A – B B. 2
D. A + B
11. Reducir: W =
secx – cosx cscx – senx
cotx 2 B. secx
C. cscx
A. 4. Eliminar “”, partiendo de: A. B.
y2 = x2 – 2x y2 = 2x + x2
tan + cot = x sec + csc = y C. D.
5. En el siguiente sistema:
y2 + y2 =
2x = x2 + 2x – x2
2
C. y = a2 – b2 D. y = ± b 2 – a2
6. Determinar el valor de la expresión:
D.
3 22 2
88
C. – 1 D. – 2
cos2.cot +
C. 2tanx D. –2tanx 1 15. Si: (sen + cos)(cos – sen) = , hallar: R = cot 9 A.
C. – 1 D. 1
A. sen + cos B. sec + csc
A. 1 B. 2
A. 2cotx B. –2cotx
7. Si: senx = a ; tanx = b; calcular: E = (1 – a2)(1 + b2)
8. La expresión: equivalente a:
valor de “A”.
J = tan2x + cot2x + 2 – cot2x – tan2x – 2 C.
sen2.tan +
C. 4 9 D. 2
14. Si: cotx < tanx < 0, reducir:
sen 1 + cos 2 + – 1 + cos sen sen
A. 2 B. 0
csc4(1 – cos4) – 2cot2
13. Si: (1 + senx – cosx)2 = A(1 + senx)(1 – cosx). Hallar el
A. y = ± a2 – b2 a2 + b2 B. y = ±
B. 1
sec4(1 – sen4) – 2tan2
A. 1 B. 2
ysenx = a ycosx = b
El valor de “y” es:
A. 0
12. Simplificar:
D. tanx
B. 2sen.cos; es
5 2 5 4
1 C. 4 D. 3 4
C. tan + cot D. sen . cos Colegios TRILCE
T r ig onomeTría 16. Simplificar la siguiente expresión: R =
1 + sen + cos2 2sen – sen2
A. 3 3 2 3 B. 3
A. 1 – cos C. 1 – csc B. sec csc D. csc + 1 8 1 – senx 1 17. Hallar: sec; sabiendo que: = 17 cos 4 A. 1 B. 1,5
E = sen21º + sen22º + sen23º + ... + sen290º A. 22,5 B. 30
18. Si: cscx – secx = 2; calcular: tanx+cotx
19. Si:
C. 2 5 D. 2 + 5
tan 1 –
A. 1 B. 0
1 + senx
8. Si: tana =
1 4
97 C. 128 95 D. 128
C. F = cos D. F = sen
4.
.
senx + cosx – 1
= asenx + bcosx + c C. 1; 1; 0 D. 1; 1; 1
10. Si: A = 2K + ; la expresión equivalente de: 2 1 2 1 + senA – 2sec A, es: 1 1 – senA – 1 B. 1 – senA
–1 1 + cosA –1 D. 1 – cosA
A.
C.
= 2; encontrar el valor de:
1 – cosx + 1 – senx
1 + cosx 1 + senx
Si: x 3 2
C. – a D. ±a
1 + sen4a sena sen3a + sen5a sen7a Si: =tana;hallar:P= 1 + cos4a cosa – cos3a + cos6a – cos7a A. 2 B. 3
2senx . cosx
11. Simplificar la expresión: K =
senx.tanx + 2cosx A. – a2 – 2 B. a
A. mn B. nseca
A. 0; 2; 0 B. 0; 1; 1
2. El valor de “F” en la siguiente identidad: – < < : sen3 + Fcos2 = sen; ; – es: 2 2
3. Si:
n ; ¿a qué es igual: n(2cosa + seca) – 2msena? m
A. mcosa B. mseca
N = sen8x + cos8x?
a2 – cos2x – sec2x
3 3 2
9. Hallar “a”, “b” y “c” tal que:
1. ¿Cuál será el valor de “N”, sabiendo que: senx . cosx = –
A. F = sen2 B. F = cos2
C. D.
B. 1
Tarea domiciliaria
49 64 96 B. 128
2 tan + cot
cos3x
C. 2 D. – 2
A.
+ cos; entonces el valor de: 4
A. –1
C. sec2 D. tan2
20. Si se tiene que: secx + senx = 1; hallar: A =
C. 45 D. 45,5
7. Si: sen =
1 + 1 =1+ 1 ; hallar “N” 2 2 2 cos tan N cot
A. cos2 B. sen2
C. 2 3 3 3 D. 2
6. Hallar el valor de:
C. 2 D. 1,8
A. 1 – 5 B. 1 + 5
5 5. Si: sena + csca = ; hallar: Z = cota + cosa 2
C. 1 D. –1
A. – 2 C. 2secx B. – 2secx D. 2cosx 12. Si “P”, “Q”, “R” son constantes que satisfacen la siguiente relación: P + QtanRx =
1
–
1 + senx
1 cscx – 1
calcular el producto “P.Q.R”.
A. 2 B. 4 Colegios TRILCE
C. 8 D. 12
89
