Aacap 17 Teoria de Decisiones

17

TEORÍA DE DECISIONES

capítulo

Objetivos

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valores de probabilidad necesarios, aun cuando no comprendan la teoría de probabilidad Aprender a usar árboles de decisión para estructurar y analizar problemas complejos de toma de decisiones

Contenido del capítulo w

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Aprender métodos de toma de decisiones bajo incertidumbre Usar el valor esperado y la utilidad como criterios de decisión Comprender por qué la información adicional es útil y calcular su valor Ayudar a los tomadores de decisiones a proporcionar

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•

17.1 El entorno de la decisión 756 17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad 757 17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal 765 17.4 Utilidad como criterio de decisión 773 17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas 776

17.6 Análisis de árboles de decisiones 780 • Estadística en el trabajo 790 • Del libro de texto al mundo real 791 • Términos introducidos en el capítulo 17 793 • Ecuaciones introducidas en el capítulo 17 793 • Ejercicios de repaso 794

755

a Acme Fruit and Produce Wholesalers compra jitomates para venderlos a minoristas. Actualmente, Acme paga 20 dólares por caja; las cajas vendidas el mismo día cuestan 32 dólares cada una. Por ser en extremo perecederos, los jitomates que no se venden el primer día, valen sólo 2 dólares la caja. Acme ha calculado que la media de las ventas diarias históricas es 60 cajas y que la desviación estándar de las ventas diarias es 10 cajas. Usando las técnicas introducidas en este capítulo, podremos indicar a Acme cuántas cajas ordenar diariamente para maximizar las ganancias. ■

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¿Qué es la teoría de decisiones?

En la sección 5-3, introdujimos la idea de usar el valor esperado en la toma de decisiones. Trabajamos con un problema sencillo que involucraba la compra de fresas para su reventa. Esa clase de problemas forma parte de un conjunto de problemas que puede resolverse mediante las técnicas desarrolladas en ese capítulo. En los últimos 35 años, los administradores han utilizado técnicas estadísticas de reciente desarrollo para solucionar problemas con información incompleta, incierta o, en algunos casos, casi inexistente. Esta nueva área de la estadística tiene varios nombres: teoría estadística de decisiones, teoría de decisiones bayesiana (en honor al reverendo Thomas Bayes, quien se mencionó en el capítulo 4), o simplemente teoría de decisiones. Estos nombres se usan indistintamente. Cuando hicimos la prueba de hipótesis, tuvimos que decidir si aceptar o rechazar la hipótesis formulada. En la teoría de decisiones, debemos decidir entre varias opciones tomando en cuenta las repercusiones monetarias de nuestras acciones. Un administrador que ha de seleccionar de entre varias inversiones disponibles debe considerar la ganancia o pérdida que pudiera resultar de cada opción. La aplicación de la teoría de decisiones implica seleccionar una alternativa y tener una idea razonable de las consecuencias económicas de elegir esa acción.

17.1 El entorno de la decisión La teoría de decisiones puede aplicarse a problemas que abarcan un periodo de cinco años o un día, ya sea que involucre administración financiera o una línea de ensamble en una planta, o que se relacione con el sector público o el privado. Independientemente del entorno, la mayor parte de estos problemas tiene características comunes. Por ello, quienes toman decisiones enfocan sus soluciones de manera bastante consistente. Los elementos comunes a la mayoría de los problemas de la teoría de decisiones son los siguientes: Elementos comunes a los problemas de teoría de decisiones

756

1. Objetivo que el tomador de decisiones trata de lograr. Si el objetivo es minimizar el tiempo de fallas de maquinaria costosa, el administrador puede tratar de encontrar el número óptimo de motores de repuesto que debe tener reparaciones rápidas. El éxito de encontrar ese número puede medirse contando las fallas mensuales. 2. Varios cursos de acción. La decisión debe involucrar una elección entre alternativas (llamadas actos). En el ejemplo de motores de repuesto, los diversos actos posibles para el tomador de decisiones incluyen almacenar cero, uno, dos, tres, cuatro o cinco motores de repuesto. 3. Medida calculable del beneficio o valor de las diversas alternativas. En general, estos costos pueden ser negativos o positivos, y se denominan pagos. Los contadores deben determinar el costo del tiempo perdido de producción, resultante de la descompostura de un motor, cuando se tiene a mano un repuesto y cuando no. Pero algunas veces, los pagos implican consecuencias que no sólo son financieras. Imagínese intentando decidir el número óptimo de

Capítulo 17

Teoría de decisiones

generadores de repuesto que un hospital requeriría en caso de presentarse una falla de energía eléctrica. No tener suficientes podría costar vidas, además de dinero. 4. Eventos que están fuera del control del tomador de decisiones. Este tipo de hechos incontrolables a menudo se denominan resultados o estados de la naturaleza, y su existencia crea dificultades así como interés en la toma de decisiones bajo incertidumbre. Tales eventos podrían ser el número de motores de nuestra costosa maquinaria de producción que fallarán en un mes dado. El mantenimiento preventivo reducirá estas fallas, pero seguirán ocurriendo. 5. Incertidumbre respecto a qué resultado o estado de la naturaleza ocurrirá realmente. En nuestro ejemplo, no estamos seguros respecto a cuántos motores se quemaron. Esta incertidumbre suele manejarse con probabilidades asignadas a los diversos eventos que pudieran tener lugar; digamos, una probabilidad de 0.1 de que fallen cinco motores al mes.

Ejercicios 17.1 Aplicaciones 17-1

■

17-2

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17-3

La empresa Wholesale Lamps ha estado en contacto con Leerie’s, una tienda local minorista de lámparas, para surtirle una lámpara especial de pie cromado, que la tienda desea usar como atracción en sus ventas próximas. Wholesale Lamps debe ordenar la fabricación de las lámparas 2 días antes para entregarlas en la fecha de venta. El costo de las lámparas para Wholesale es $49 y las vende a Leerie’s en $54. Wholesale no está seguro de la cantidad que Leerie’s desea, pero supone que serán entre 15 y 20. Uno de los administradores ha asignado probabilidades a los distintos números de lámparas que Leerie’s podría ordenar. El gerente de Wholesale Lamps pronostica que no tendrá mercado para las lámparas que no venda a Leerie’s. Se espera que Leerie’s presente la orden mañana. ¿Debe el gerente de Wholesale Lamps usar la teoría de decisiones para ordenar las lámparas que le pedirá Leerie’s? Adventures, Inc., es una fuente de capital para empresarios que inician compañías en el campo de la ingeniería genética. Lisa Levin, socia de Adventures, ha estado estudiando varias propuestas de negocios recientes. Cada propuesta describe una nueva empresa, delinea su mercado potencial y solicita la inversión de Adventures. Lisa acaba de terminar de leer el capítulo de teoría de decisiones en el libro de estadística de su padre. Piensa que esta técnica proporciona una metodología que puede ayudarle a decidir qué empresas respaldar y a qué nivel. ¿Está Lisa en lo correcto? Si es así, ¿qué información requiere para aplicar la teoría de decisiones a su problema? Si no es así, ¿por qué? La 8th Avenue Book Store depende de Grambler News Service para el suministro de varias revistas conocidas. Cada semana, Grambler entrega un número predeterminado de Today’s Romances, entre otras, y recoge los ejemplares no vendidos durante la semana anterior. No se sabe con seguridad el número de ejemplares que venderá la librería, pero el gerente cuenta con datos históricos de las ventas. Grambler cobra $1.60 a la librería por ejemplar que se vende en $2.95. El gerente de la librería desea obtener una máxima rentabilidad de la venta de revistas y quiere determinar el número óptimo de Today’s Romances a ordenar. ¿Debe usar la teoría de decisiones para decidir el número de revistas que debe tener?

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17.2 Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad Decisión de compra bajo incertidumbre

17.2

Comprar y vender fresas, como en el ejemplo del capítulo 5, es sólo un caso en que las decisiones deben tomarse bajo incertidumbre. Otro de ellos sería el del comerciante de periódicos que compra cada ejemplar a $0.30 cada uno y lo vende a $0.50. Los periódicos no vendidos al final del día carecen completamente de valor. El problema del comerciante es determinar el número óptimo a ordenar diariamente. En los días en los que tiene más periódicos de los que vende, sus ganancias se reGanancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad

757

Cálculo de las probabilidades para los niveles de ventas

ducen por el costo de los periódicos no vendidos. En los días en que los compradores piden más ejemplares de los que tiene, pierde ventas y tiene menores ganancias de las que podría haber tenido. El comerciante ha mantenido un registro de sus ventas en los 100 días anteriores (tabla 17-l). Esta información es una distribución de las ventas pasadas del comerciante. Como el volumen de ventas puede tomar sólo un número limitado de valores, la distribución es discreta. Supondremos en este análisis, que el comerciante sólo venderá las cantidades enumeradas; no 412,525 ni 637. Más aún, no tiene una razón para pensar que el volumen de ventas tomará cualquier otro valor en el futuro. Esta información dice algo sobre el patrón histórico de ventas del comerciante. Aunque no da la cantidad que los compradores pedirán mañana, sí dice que existen 45 oportunidades en 100 de que la cantidad sea 500 periódicos. Por consiguiente, se asigna una probabilidad de 0.45 a la cifra de ventas de 500 periódicos. La columna de probabilidades de la tabla 17-1 muestra la relación entre las observaciones totales de ventas (100 días) y el número de veces que apareció cada valor posible de ventas diarias en las 100 observaciones. Así, la probabilidad de cada nivel de ventas se obtiene dividiendo el número total de veces que aparece cada valor en las 100 observaciones entre el número total de ellas, esto es, 15/100, 20/100, 45/100, 15/100 y 5/100.

Maximizar ganancias en vez de minimizar pérdidas

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Un problema del capítulo 5 trabajado de otra manera

En la sección 5-3, cuando presentamos por primera vez el valor esperado en la toma de decisiones, usamos un enfoque que minimizaba pérdidas y nos conducía a un patrón de inventario óptimo para nuestro comerciante de fresas. Es igual de fácil encontrar el patrón de inventario óptimo al maximizar ganancias, y eso es justo lo que haremos aquí. Recuerde que el comerciante de frutas y verduras del capítulo 5 compraba fresas a $20 la caja y las vendía a $50. Supusimos que el producto no tenía valor si no se vendía el primer día (una restricción que pronto quitaremos). Si mañana los compradores piden más cajas de las que el comerciante tiene, las ganancias potenciales disminuyen $30 (el precio de venta menos el costo) por cada caja que no pueda vender. Por otra parte, también se tienen costos de almacenar demasiadas unidades en un día dado. Si el comerciante tiene 13 cajas pero sólo vende 10, obtiene una ganancia de $300, o $30 por caja en 10 casos. Pero esta ganancia debe reducirse $60, el costo de las tres cajas no vendidas y carentes de valor. Una observación de 100 días de ventas históricas proporciona la información de la tabla 17-2. Los valores de probabilidad se obtienen igual que en la tabla 5-6. Observe que sólo hay cuatro valores discretos para el volumen de ventas, y hasta donde sabemos, no existe un patrón discernible en la secuencia en que ocurren estos cuatro valores. Suponemos que el comerciante no tiene razones para creer que el volumen de ventas se comportará de manera distinta en el futuro.

Cálculo de las ganancias condicionales Para ilustrar este problema, podemos construir una tabla que muestre los resultados en dólares de todas las combinaciones posibles de compras y ventas. Los únicos valores de compras y ventas que tienen significado para nosotros son 10, 11, 12 y 13 cajas, porque el comerciante no tiene razones para considerar la compra de menos de 10 o más de 13 cajas.

Tabla 17-1 Distribución de la venta de periódicos

758

Capítulo 17


Ventas diarias 300 400 500 600 700

Número de días que se venden

Probabilidad de cada número que se vende

15 20 45 15 5 0 0 1

0.15 0.20 0.45 0.15 0.05 .0 1 0

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Función de la tabla de ganancias condicionales

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Explicación de los elementos de la tabla de ganancias condicionales

La tabla 17-3, denominada tabla de ganancias condicionales, muestra la ganancia resultante de cualquier combinación posible de oferta y demanda. Las ganancias podrían ser positivas o negativas (aunque todas son positivas en este ejemplo) y son condicionales en cuanto a que una ganancia dada es el resultado de tomar una acción específica de inventario (ordenar 10, 11, 12 o 13 cajas) y vender un número específico de cajas (10, 11, 12 o 13 cajas). La tabla 17-3 refleja las pérdidas ocurridas cuando quedan existencias sin vender al final de un día. Observe, asimismo, que el comerciante no aprovecha las ganancias potenciales adicionales cuando los clientes demandan más cajas de las que tiene. Observe que el inventario diario de 10 cajas siempre dará una ganancia de $300. Incluso en los días en los que los compradores quieren 13 cajas, el comerciante sólo puede vender 10. Cuando almacena 11 cajas, su ganancia será $330 en los días en que los compradores solicitan 11, 12 o 13 cajas. Pero en los días que tiene 11 cajas y los compradores compran sólo 10, la ganancia baja a $280. La ganancia de $300 por las 10 cajas vendidas se reduce $20, el costo de la caja no vendida. Un inventario de 12 cajas incrementa las ganancias diarias a $360, pero sólo en los días en que los compradores deseen 12 o 13 cajas. Si los compradores sólo quieren 10 cajas, la ganancia se reduce a $260; la ganancia de $300 sobre la venta de 10 cajas se reduce $40, el costo de las dos cajas no vendidas. Almacenar 13 cajas producirá una ganancia de $390 ($30 por cada caja vendida cuando se venden todas) si existe mercado para las 13 cajas. Cuando los compradores adquieren menos de 13 cajas, esa acción de inventarios da ganancias menores que $390. Por ejemplo, con 13 cajas y una venta de sólo 11 cajas, la ganancia es $290; la ganancia de 11 cajas, $330, se reduce por el costo de dos cajas no vendidas ($40). La tabla de ganancias condicionales no muestra al comerciante cuántas cajas debe tener cada día para maximizar sus ganancias. Sólo revela el resultado de tener en inventario un número específico de cajas cuando se vende un número específico de ellas. En condiciones de incertidumbre, el comerciante no sabe de antemano el tamaño del mercado de cada día. Sin embargo, debe decidir qué número de cajas tener en existencia continua para maximizar las ganancias durante un periodo largo.

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Tabla de ganancias condicionales

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Cálculo de las ganancias esperadas w

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El siguiente paso para determinar el mejor número de cajas que debe tener es asignar probabilidades a los resultados o ganancias posibles. En la tabla 17-2 vimos que las probabilidades de los valores posibles para las ventas del comerciante son las siguientes: Cajas Probabilidad

Tabla 17-2 Cajas vendidas en 100 días

Ventas diarias 10 11 12 13

10 0.15

11 0.20

12 0.40

13 0.25

Número de días que se venden

Probabilidad de cada número que se vende

15 20 40 25 0 0 1

0.15 0.20 0.40 0.25 .0 1 0

Tabla 17-3 Tabla de ganancias condicionales

17.2

Posible acción de inventario

Demanda posible (ventas) en cajas

10 cajas

11 cajas

12 cajas

13 cajas

10 11 12 13

$300 $300 $300 $300

$280 $330 $330 $330

$260 $310 $360 $360

$240 $290 $340 $390

Ganancia esperada en condiciones de incertidumbre: asignación de valores de probabilidad

759

Para 12 y 13 unidades

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La acción de inventario óptima es la que proporciona la mayor ganancia esperada, es decir, las mayores ganancias promedio diarias y, por tanto, las ganancias totales máximas en un periodo dado. En esta ilustración, el número adecuado en inventario es 12 cajas, porque esta cantidad rendirá las ganancias diarias promedio más altas posibles. No disminuimos la incertidumbre en el problema que enfrenta el comerciante. Más bien, usamos su experiencia pasada para determinar su mejor acción de inventario. Continúa ignorando cuántas cajas le pedirán en un día determinado. No hay garantía de que mañana obtendrá una ganancia de

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Solución optima

Si se almacenan 10 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $300.00. Si se almacenan 11 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $322.50. Si se almacenan 12 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $335.00. Si se almacenan 13 cajas cada día, la ganancia diaria esperada es $327.50.

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Para 11 unidades

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Para 10 unidades

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Cálculo de la ganancia esperada

Usando estas probabilidades y la información contenida en la tabla 17-3, podemos calcular la ganancia esperada de cada posible acción de inventario. En el capítulo 5 establecimos que podemos calcular el valor esperado de una variable aleatoria ponderando cada valor posible de la variable con la probabilidad de que tome ese valor. Usando este procedimiento, podemos calcular la ganancia diaria esperada de tener en existencia 10 cajas al día. Vea la tabla 17-4. Las cifras de la columna 4 de esa tabla se obtienen multiplicando la ganancia condicional de cada volumen de ventas posible (columna 2) por la probabilidad de que ocurra esa ganancia condicional (columna 3). La suma de la última columna es la ganancia esperada diaria al tener en inventario 10 cajas al día. No es sorprendente que esta ganancia esperada sea $300, puesto que vimos en la tabla 17-3 que almacenar 10 cajas al día siempre dará una ganancia de $300 por día, sin importar si los compradores quisieran 10, 11, 12 o 13 cajas. Se puede hacer el mismo cálculo para un inventario de 11 unidades, como se ve en la tabla 17-5. Esto nos dice que si el comerciante tiene en existencia 11 cajas cada día, su ganancia diaria esperada con el tiempo será $322.50. El 85% del tiempo, la ganancia diaria será $330; en estos días, los compradores piden 11, 12 o 13 cajas. Sin embargo, la columna 3 nos dice que el 15% del tiempo el mercado tomará sólo 10 cajas, produciendo una ganancia de sólo $280. Esto reduce la ganancia diaria esperada a $322.50. Para 12 y 13 unidades, la ganancia diaria esperada se calcula según se muestra en las tablas 17-6 y 17-7, respectivamente. Calculamos la ganancia esperada para cada una de las acciones de inventario abiertas al comerciante. Estas ganancias esperadas son:

Significado de la solución

Tabla 17-4 Ganancia esperada al tener 10 cajas en inventario


760

Capítulo 17


Tamaño del mercado en cajas (1)

Ganancia condicional (2)

10 11 12 13

$300 300 300 300

Tamaño del mercado en cajas

Ganancia condicional

10 11 12 13

$280 330 330 330

Probabilidad del tamaño de mercado (3)

0.15 0.20 0.40 0.25 .0 0 1

Ganancia esperada (4) = = = =

Probabilidad del tamaño de mercado

0.15 0.20 0.40 0.25 .0 0 1

$ 45.00 60.00 120.00 75.00 3 $ 0 0 .0 0

Ganancia esperada = = = =

$ 42.00 66.00 132.00 82.50 3 $ 2 2 .5 0




10 11 12 13

$260 310 360 360



Ganancia esperada

0.15 0.20 0.40 0.25 .0 1 0



10 11 12 13

$240 290 340 390

= = = =

$ 39.00 62.00 144.00 90.00 3 $ 3 5 .5 0 ,

Acción de

← inventario óptima


0.15 0.20 0.40 0.25 .0 0 1

Ganancia esperada = = = =

$ 36.00 58.00 136.00 97.50 3 $ 2 7 .5 0

$335.00. Sin embargo, si almacena 12 cajas cada día bajo las condiciones dadas, tendrá ganancias promedio de $335.00 diarios. Esto es lo mejor que puede hacer, porque la opción de cualquiera de las otras tres acciones posibles de existencias ocasionará una ganancia diaria esperada menor.

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Ganancia esperada con información perfecta Ahora, supongamos que el comerciante de nuestro ejemplo pudiera eliminar toda la incertidumbre de su problema al obtener información completa y precisa respecto al futuro, denominada información perfecta. Esto no significa que las ventas variarían de 10 a 13 cajas diarias. Las ventas seguirían siendo 10 cajas diarias el 15% del tiempo, 11 el 20%, 12 el 40% y 13 cajas el 25%. Sin embargo, con información perfecta, el comerciante sabría de antemano cuántas cajas le pedirían cada día. En estas circunstancias, el comerciante tendría en existencia hoy el número exacto de cajas que los compradores desearían mañana. Para ventas de 10 cajas, el comerciante tendría 10 cajas y obtendría una ganancia de $300. Cuando las ventas fueran de 11 cajas, almacenaría exactamente 11 cajas, obteniendo una ganancia de $330.00. La tabla 17-8 muestra los valores de la ganancia condicional aplicables al problema del comerciante si tiene una información perfecta. Conociendo el tamaño del mercado con antelación para un día particular, el comerciante elije la acción de inventario que maximizará sus ganancias. Esto significa que puede comprar y tener en inventario cantidades que evitan todas las pérdidas por existencias obsoletas, así como todas las pérdidas por demanda de fresas no satisfecha. Ahora podemos calcular la ganancia esperada con información perfecta. Esto se muestra en la tabla 17-9. El procedimiento es el mismo que usamos, pero observe que las cifras de ganancia condicional de la columna 2 de la tabla 17-9 son las ganancias máximas posibles para cada volumen de ventas. Cuando los compradores adquieren 12 cajas, por ejemplo, el comerciante siempre obtendrá una ganancia de $360 con información perfecta, porque habrá almacenado exactamente 12 cajas.

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Definición de información perfecta

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Uso de la información perfecta

Ganancia esperada con información perfecta

Tabla 17-8 Tabla de ganancias condicionales con información perfecta

17.2

Acción de inventario posible Venta posibles en cajas

10 cajas

11 cajas

12 cajas

13 cajas

10 11 12 13

$300 — — —

— $330 — —

— — $360 —

— — — $390


761


Ganancia condicional con información perfecta

10 11 12 13

$300 330 360 390

Tabla 17-9 Ganancia esperada con información perfecta

Probabilidad de tamaño de mercado 0.15 0.20 0.40 0.25 1.00

Ganancia esperada con información perfecta = = = =

$ 45.00 66.00 144.00 97.50 $352.50

Con información perfecta, entonces, el comerciante podría confiar en tener una ganancia promedio de $352.50 diariamente. Ésta es una cifra significativa porque es la máxima ganancia esperada posible.

Valor esperado de la información perfecta Valor de la información perfecta

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¿Por qué se necesita el valor de la información perfecta?

Suponiendo que un comerciante pudiera obtener un pronosticador perfecto del futuro, ¿cuál sería su valor para él? Debe comparar el costo de esa información con la ganancia adicional que obtendría como resultado de tener la información. El comerciante de nuestro ejemplo puede obtener ganancias diarias promedio de $352.50 si tiene información perfecta acerca del futuro (vea la tabla 17-9). Su mejor ganancia diaria esperada sin el pronosticador es sólo $335.00 (vea las tablas 17-4 a 17-7). La diferencia de $17.50 es la cantidad máxima que el comerciante estaría dispuesto a pagar, por día, por un pronosticador perfecto, porque ésa es la cantidad máxima en que puede incrementar su ganancia diaria esperada. La diferencia es el valor esperado de información perfecta y se conoce como VEIP. No tiene sentido pagar más de $17.50 por el pronosticador; hacerlo costaría más que lo que vale el conocimiento. El cálculo del valor de la información adicional en el proceso de toma de decisiones es un problema serio para los administradores. En el ejemplo que estamos trabajando, encontramos que nuestro comerciante pagaría $17.50 al día por un pronosticador perfecto. Sin embargo, rara vez podemos asegurar un pronosticador perfecto. En la mayoría de los casos de toma de decisiones, los administradores en realidad intentan evaluar el valor de la información que les permitirá tomar mejores decisiones, aunque no perfectas.

Advertencia: todos los ejemplos usados en esta sección involucraron distribuciones discretas; es decir, se permitió que las variables aleatorias tomaran sólo unos cuantos valores. Esto no refleja la mayoría de las situaciones del mundo real, pero facilita los cálculos necesarios para presentar esta idea. Con eventos discretos, la ganancia esperada no necesariamente es uno de los eventos. Sugerencia: un 50% de posibilidad de una ganancia esperada de SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

$10, unida a un 50% de posibilidad de no tener ganancias da una ganancia esperada de $5. Pero con una distribución discreta el resultado será ¡ya sea $10 o cero! Algunas situaciones del mundo real también se comportan de esta manera. Una parcela de tierra no desarrollada puede valer ya sea $5 millones o $250,000, dependiendo de dónde van a construir un nuevo aeropuerto. La tierra puede también venderse por $500,000 a un especulador que espera obtener el precio de venta final de $5 millones.

Ejercicios 17.2 Ejercicios de autoevaluación EA 17-1

762

La Writer’s Workbench opera una cadena de franquicias de procesamiento de palabras en ciudades universitarias. Por una tarifa de $8.00 por hora, Writer’s Workbench proporciona acceso a una computadora personal, software de procesamiento de palabras y una impresora a los estudiantes que necesitan elaborar

Capítulo 17


trabajos escritos para sus clases. El papel se proporciona sin costo adicional. La compañía estima que el costo variable por hora por máquina (principalmente por el papel, las cintas, electricidad y desgaste de las computadoras e impresoras) es alrededor de $0.85. Deborah Rubin está considerando abrir una franquicia de Writer’s Workbench en Ames, Iowa. Una investigación de mercado preliminar arrojó la siguiente distribución de probabilidad del número de máquinas requeridas por hora durante las horas que planea operar: Número de máquinas Probabilidad

22 0.12

23 0.16

24 0.22

25 0.27

26 0.18

27 0.05

Si desea maximizar sus beneficios, ¿cuántas máquinas debe Deborah planear tener?, ¿cuál es el valor esperado de la información perfecta en esta situación? Aunque Deborah pudiera obtener un pronóstico preciso de la demanda para cada hora, ¿por qué no estaría dispuesta a pagar el VEIP por esa información en esta situación?

Aplicaciones ■

17-4

La Center City Motor Sales se acaba de constituir en sociedad. Su principal activo es una franquicia para vender automóviles de un importante fabricante estadounidense. El gerente general de la Center City está planeando cuánto personal ocupará en las instalaciones del taller del negocio. A partir de información proporcionada por el fabricante y por otros negocios cercanos, ha estimado el número de horas de mecánica anuales que es probable que requiera el taller. Horas Probabilidad

10,000 0.2

12,000 0.3

14,000 0.4

16,000 0.1

at

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17-5

w

w w

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1.

co

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El gerente planea pagar a cada mecánico $9.00 por hora y cobrar a su cliente $16.00. Los mecánicos trabajan una semana de 40 horas y tienen 2 semanas de vacaciones anuales. a) Determine cuántos mecánicos debe contratar Center City. b) ¿Cuánto debe pagar Center City por la información perfecta del número de mecánicos que necesita? Airport Rent-A-Car es un negocio local que compite con varias compañías importantes. La administración de Airport Rent-A-Car planea un nuevo trato para los clientes que desean rentar un automóvil por un solo día y regresarlo al aeropuerto. Por $24.95, la compañía rentará un automóvil económico pequeño a un cliente cuyo único otro gasto será ponerle gasolina al final del día. La empresa planea comprar al fabricante varios automóviles pequeños al reducido precio de $6,750. La gran pregunta es cuántos comprar. Los ejecutivos de la compañía han decidido aplicar la siguiente distribución de probabilidad estimada del número de automóviles rentados por día: Número de automóviles rentados Probabilidad

■

17-6

11 0.19

12 0.21

13 0.15

14 0.14

15 0.13

La compañía pretende ofrecer el plan 6 días a la semana (312 días al año) y anticipa que su costo variable por automóvil por día será $2.25. Después de usar los automóviles durante un año, la Airport Rent-ACar espera venderlos y recuperar el 45% del costo original. Ignorando el valor del dinero en el tiempo y cualesquiera otros gastos no monetarios, determine el número óptimo de automóviles que la Airpor RentA-Car debe comprar. Durante varios años, la tienda departamental Madison Rhodes ha ofrecido lápices personalizados como artículo especial de Navidad. Madison Rhodes compraba los lápices a su proveedor, quien proporcionaba la máquina de grabado en relieve. La personalización se hacía en los departamentos de la tienda. A pesar del éxito en la venta de los lápices, Madison Rhodes recibió comentarios respecto a que la mina de los lápices era de mala calidad, y la tienda encontró un proveedor diferente. El nuevo proveedor, sin embargo, no puede comenzar a surtir a la tienda antes del primero de enero. Madison Rhodes se vio forzada a comprar sus lápices una última vez con su proveedor original para satisfacer la demanda navideña. Era importante, por un lado, que no hubiera exceso de lápices y, por otro, que hubiera suficientes para no perder clientes por faltantes. Los lápices vienen empacados en estuches de 15 unidades, en cajas de 72 estuches. Madison Rhodes pagó $60 por caja y vendió los lápices a $1.50 el estuche. Los costos de mano de obra son de 37.5 centavos por estuche vendido. Basándose en las ventas del año anterior, la gerencia construyó la siguiente tabla: Ventas esperadas (cajas) Probabilidad

17.2

10 0.18

15 0.05

16 0.20

17 0.30

18 0.25

19 0.10

20 0.10


763

■

17-7

a) ¿Cuántas cajas debe ordenar Madison Rhodes? b) ¿Cuál es la ganancia esperada? Emily Scott, jefa de una pequeña compañía consultora de negocios, debe decidir cuántos egresados de la maestría en administración (MBA) contratar como asesores de tiempo completo el año siguiente. (Emily ha decidido que no contratará empleados de tiempo parcial.) Emily sabe por experiencia que la distribución de probabilidad del número de trabajos de consultoría que su compañía obtiene cada año es la siguiente: Trabajos de consultoría Probabilidad

■

17.8

24 0.3

27 0.2

30 0.4

33 0.1

Emily también sabe que cada MBA contratado podrá manejar exactamente tres trabajos de consultoría al año. El salario de cada uno es $60,000. Cada trabajo de consultoría que gana la compañía pero que no puede concluir le cuesta $10,000 por la pérdida de negocios futuros. a) ¿Cuántos MBA debe contratar Emily? b) ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta para Emily? Algunos estudiantes de la sociedad de alumnos, como organización que colecta fondos, han decidido vender pizzas individuales en la entrada de sus instalaciones los viernes. Cada pizza cuesta $0.77 y se puede vender a $1.75. Las ventas históricas indican que se venderán entre 66 y 60 docenas de pizzas con la siguiente distribución de probabilidad: Docenas Probabilidad

55 0.15

56 0.20

57 0.10

58 0.35

59 0.15

60 0.05

a1

17-9

w

w

w

.M

at

em at

ic

■

.c o

m

Para maximizar la contribución a la ganancia, ¿cuántas pizzas deben ordenar? Suponga que las pizzas deben ordenarse por docena. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta en este problema? ¿Cuál es la cantidad máxima que la organización estaría dispuesta a pagar por la información perfecta? Manfred Baum, gerente de comercialización de la Grant Shoe Company, está planeando las decisiones de producción para la línea de zapatos de verano del año entrante. Su principal preocupación es estimar las ventas de un nuevo diseño de sandalias de moda. Estas sandalias han planteado problemas en el pasado por dos razones: 1) la temporada de ventas limitada no proporciona tiempo suficiente para que la compañía produzca una segunda corrida del popular artículo y 2) los estilos cambian drásticamente de un año para otro, y las sandalias no vendidas pierden todo valor. Manfred discutió el nuevo diseño con la gente de ventas y formuló las siguientes estimaciones sobre las ventas del artículo: Pares (miles) Probabilidad

45 0.25

50 0.30

55 0.20

60 0.15

65 0.10

La información del departamento de producción revela que la fabricación de las sandalias costará $15.25 el par, y los estudios de mercado informan a Manfred que el precio total por par será $31.35. Usando el criterio de decisión del valor esperado, calcule el número de pares que Manfred debe recomendar que produzca la compañía.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA

17-1

La siguiente tabla de pagos da las ganancias tanto esperadas como condicionales: Máquinas necesarias Probabilidad

Máquinas provistas

22 23 24 25 26 27

22 0.12 157.30 156.45 155.60 154.75 153.90 153.05

23 0.16 157.30 164.45 163.60 162.75 161.90 161.05

24 0.22 157.30 164.45 171.60 170.75 169.90 169.05

25 0.27 157.30 164.45 171.60 178.75 177.90 177.05

Debe tener 26 máquinas. VEIP 157.30(0.12) 164.45(0.16) 171.60(0.22) 178.75(0.27) 185.90(0.18) 193.25(0.05) 172.54 $1.787

764

Capítulo 17


26 0.18 157.30 164.45 171.60 178.75 185.90 185.05

27 0.05 157.30 164.45 171.60 178.75 185.90 193.25

Ganancia esperada 157.30 163.49 168.40 171.55 172.54 ← 172.09

Como el número de máquinas que tendrá disponibles no puede ajustar cada hora, un pronóstico de la demanda cada hora será de poco valor en esta situación.

17.3 Uso de distribuciones continuas: análisis marginal Limitaciones del enfoque tabular

Pérdida marginal

Derivación de la regla de inventario

w

w

w

.M

at em

at

ic

a1

.c

om

Obtención de la ganancia marginal

En muchos problemas de inventarios, el número de cálculos requeridos dificulta el uso de las tablas de ganancias condicionales y ganancias esperadas. El ejemplo anterior contenía sólo cuatro acciones de existencias posibles y cuatro niveles de ventas posibles, que daban como resultado una tabla de ganancias condicionales con 16 posibilidades. Si tuviéramos 300 valores posibles para el volumen de ventas y un número igual de cálculos para determinar la ganancia condicional y esperada, tendríamos que hacer muchísimos cálculos. El enfoque marginal evita este problema. El análisis marginal se basa en el hecho de que cuando se compra una unidad adicional de un artículo, pueden ocurrir dos cosas: la unidad se vende o no se vende. La suma de las probabilidades de estos dos eventos debe ser 1. (Por ejemplo, si la probabilidad de vender la unidad adicional es 0.6, entonces la probabilidad de no venderla debe ser 0.4.) Si hacemos que p represente la probabilidad de vender una unidad adicional, entonces 1 p debe ser la probabilidad de no venderla. Si se vende la unidad adicional, lograremos un incremento de nuestras ganancias condicionales como resultado de la ganancia de la unidad adicional. Nos referimos a esto como ganancia marginal, o GM. En el ejemplo anterior sobre el comerciante, la ganancia marginal resultante de la venta de una unidad adicional es $30, el precio de venta ($50) menos el costo ($20). La tabla 17-10 ilustra esto. Si tenemos 10 unidades cada día y la demanda diaria es 10 o más unidades, nuestra ganancia condicional es $300 diarios. Ahora decidimos tener 11 unidades cada día. Si la onceava unidad se vende (y éste es el caso cuando la demanda es 11, 12 o 13 unidades), nuestra ganancia condicional se incrementa a $330 diarios. Observe que el incremento en la ganancia condicional no es consecuencia simplemente de tener en existencia la onceava unidad. En las condiciones supuestas en el problema, este incremento en la ganancia se obtiene sólo cuando la demanda es 11 unidades o más. Esto ocurrirá el 85% del tiempo. También debemos considerar que afectará las ganancias tener almacenada una unidad adicional que no se vende. Esto reduce nuestra ganancia condicional. La cantidad de la reducción se conoce como la pérdida marginal (PM) que resulta de tener en existencia un elemento que no se vende. En el ejemplo anterior, la pérdida marginal era $20 por unidad, el costo del artículo. La tabla 17-10 también ilustra la pérdida marginal. Una vez más decidimos tener en inventario 11 unidades. Si la onceava unidad (la unidad marginal) no se vende, la ganancia condicional es $280. La ganancia condicional de $300, con un inventario de 10 unidades y una venta de 10, se reduce en $20, el costo de la unidad no vendida. Las unidades adicionales deben almacenarse mientras la ganancia marginal esperada de tener cada una de ellas sea mayor que la pérdida marginal esperada de almacenarlas. El tamaño de la orden de cada día debe incrementarse hasta el punto en que la ganancia marginal esperada de almacenar una unidad más si ésta se vende sea justo igual a la pérdida marginal esperada de almacenar esa unidad si no se vende. Tabla 17-10 Tabla de ganancias condicionales

Demanda posible (ventas) en cajas

Probabilidad del tamaño del mercado

10 cajas

11 cajas

12 cajas

13 cajas

10 11 12 13

0.15 0.20 0.40 0.25

$300 $300 $300 $300

$280 $330 $330 $330

$260 $310 $360 $360

$240 $290 $340 $390

17.3

Posible acción de inventario

Uso de distribuciones continuas: análisis marginal

765

En nuestro ejemplo, la distribución de probabilidad de la demanda es: Tamaño del mercado

Prob. del tamaño del mercado

10 11 12 13

0.15 0.20 0.40 0.25 0 1.0

Esta distribución nos dice que al aumentar el inventario, la probabilidad de vender una unidad adicional ( p) disminuye. Si incrementamos el inventario de 10 a 11 unidades, la probabilidad de vender las 11 es 0.85. Ésta es la probabilidad de que la demanda sea 11 unidades o más. Los cálculos son los siguientes: Probabilidad de que la demanda sea 11 Probabilidad de que la demanda sea 12 Probabilidad de que la demanda sea 13 Prob. de que la demanda sea 11 o más unidades

0.20 0.40 0.25 5 0.8

om

Si añadimos una doceava unidad, la probabilidad de vender las 12 unidades se reduce a 0.65 (la suma de las probabilidades de demanda de 12 o 13 unidades). Por último, la adición de una treceava unidad lleva consigo sólo una probabilidad de 0.25 de vender las 13 unidades, porque la demanda será 13 unidades sólo el 25% del tiempo.

em at

ic

La ganancia marginal esperada de almacenar y vender una unidad adicional es la ganancia marginal de la unidad multiplicada por la probabilidad de que se venda dicha unidad; esto es p(GM). La pérdida marginal esperada de almacenar y no vender una unidad adicional es la pérdida marginal en que se incurre si no se vende la unidad multiplicada por la probabilidad de que no se venda; es decir (1 p)(PM). Podemos generalizar que el comerciante en esta situación mantendría existencias hasta el punto en que:

w

w

w

.M

at

Definición de ganancia y pérdida marginal esperada

a1 .c

Derivación de la ecuación de probabilidad mínima

p(GM) (1 – p)(PM)

Acción de inventario óptima

Esta ecuación describe el punto hasta el cual la ganancia marginal esperada de almacenar y vender una unidad adicional, p(GM), es igual a la pérdida marginal esperada de almacenar y no vender la unidad (1 p)(PM). Mientras p(GM) sea mayor que (1 p)(PM), se deben almacenar unidades adicionales, porque la ganancia esperada de esa decisión es mayor que la pérdida esperada. En cualquier problema de inventario, habrá un solo valor de p para el que la ecuación de maximización es cierta. Debemos determinar ese valor para conocer la acción de inventario óptima. Podemos hacer esto tomando nuestra ecuación de maximización y despejando p de la siguiente manera: p(GM) (1 – p)(PM) Multiplicando los dos términos del lado derecho de la ecuación, obtenemos p(GM) PM – p(PM) Reuniendo los términos que contienen a p, tenemos p(GM) p(PM) PM o p(GM PM) PM Dividiendo ambos lados de la ecuación entre GM PM obtenemos

766

[17-1]

Capítulo 17


[17-1]

Probabilidad mínima requerida para almacenar otra unidad

Ecuación de probabilidad mínima

PM p* GM PM

[17-2]

El símbolo p* representa la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad adicional para justificar la existencia de esa unidad adicional. El comerciante debe tener unidades adicionales siempre y cuando la probabilidad de vender al menos una unidad adicional sea mayor que p*. Ahora podemos calcular p* para nuestro ejemplo. La ganancia marginal por unidad es $30 (el precio de venta menos el costo); la pérdida marginal por unidad es $20 (el costo de cada unidad); por tanto, $20 PM $20 p* 0.40 GM PM $30 $20 $50

.M

at e

m at

ic

a1 .c

om

Este valor de 0.40 para p* significa que para justificar el almacenamiento de una unidad adicional, debemos tener al menos 0.40 de probabilidad acumulada de vender esa unidad o más. Con el fin de determinar la probabilidad de vender cada unidad adicional que pensamos almacenar, debemos calcular una serie de probabilidades acumuladas, como se ve en la tabla 17-11. Las probabilidades acumuladas de la columna derecha de la tabla 17-11 representan las probabilidades de que las ventas alcancen o excedan cada uno de los cuatro niveles de ventas. Por ejemplo, el 1.00 que aparece junto al nivel de ventas de 10 unidades significa que estamos 100% seguros de vender 10 o más unidades. Esto debe ser cierto porque nuestro problema supone que siempre ocurrirá uno de los cuatro niveles de ventas. El valor de probabilidad de 0.85 junto a la cifra de ventas de 11 unidades significa que sólo estamos 85% seguros de vender 11 o más unidades. Esto puede calcularse de dos maneras. Primero, podemos sumar las posibilidades de vender 11, 12 o 13 unidades: 11 unidades 0.20 12 unidades 0.40 13 unidades 0.25 probabilidad de vender 11 o más 13 unidades 0.85

w w w

Cálculo de las probabilidades acumuladas

[17-2]

O podemos razonar que las ventas de 11 o más unidades incluyen todos los resultados posibles, excepto la venta de 10 unidades, que tiene una probabilidad de 0.15. Todos los resultados posibles 1.00 Probabilidad de vender 10 0.15 probabilidad de vender 11 o más Todos los resultados posibles 0.85

El valor de la probabilidad acumulada de 0.65 asignado a ventas de 12 unidades o más puede establecerse de una manera similar. La venta de 12 o más significa ventas de 12 o 13 unidades; de esta forma Probabilidad de vender 12 0.40 Probabilidad de vender 13 0.25 0.65 probabilidad de vender 12 o más

Unidades de ventas

Probabilidad de este nivel de ventas

Probabilidad acumulada de que las ventas estén en este nivel o en uno mayor

10 11 12 13

0.15 0.20 0.40 0.25

1.00 0.85 0.65 0.25

Tabla 17-11 Probabilidades acumuladas de ventas

17.3


767

Regla de inventario

Por supuesto la probabilidad acumulada de vender 13 unidades sigue siendo 0.25, ya que las ventas nunca excederán 13. Como mencionamos, el valor de p disminuye al aumentar el nivel de inventario. Esto ocasiona que la ganancia marginal esperada disminuya y la pérdida marginal esperada aumente hasta que, en algún punto, almacenar una unidad adicional no sea rentable. Hemos afirmado que las unidades adicionales deben almacenarse mientras la probabilidad de vender al menos una unidad adicional sea mayor que p*. Ahora podemos aplicar esta regla a nuestra distribución de probabilidad de ventas y determinar cuántas unidades deben almacenarse. En este caso, la probabilidad de vender 11 o más unidades es 0.85, cifra claramente mayor que nuestro p* de 0.40; por consiguiente, debemos tener en existencia una onceava unidad. La ganancia marginal esperada de tener esta unidad es mayor que la pérdida marginal esperada. Podemos verificar esto de la siguiente manera: p(GM) 0.85($30) $25.50 de ganancia marginal esperada (1 p)(PM) 0.15($20) $3.00 de pérdida marginal esperada Debe almacenarse una doceava unidad porque la probabilidad de vender 12 o más unidades (0.65) es mayor que la p* requerida de 0.40. Tal acción ocasionará la siguiente ganancia marginal esperada y pérdida marginal esperada: p(GM) 0.65($30) $19.50 de ganancia marginal esperada (1 p)(PM) 0.35($20) $7.00 de pérdida marginal esperada

a1

.c om

Doce es el número óptimo de unidades que debe haber en inventario, porque agregar una treceava unidad tiene una probabilidad de sólo 0.25 de venderse, y eso es menos que la p* requerida de 0.40. Las siguientes cifras revelan por qué la treceava unidad no debe tenerse en existencia:

at

ic

Nivel de existencias óptimo para este problema

at e

m

p(GM) 0.25($30) $7.50 de ganancia marginal esperada

w .M

(1 p)(PM) 0.75($20) $15.00 de pérdida marginal esperada

w

w

Si almacenamos una treceava unidad, añadimos más a la pérdida esperada que a la ganancia esperada. Observe que el uso del análisis marginal nos conduce a la misma conclusión que obtuvimos con las tablas de ganancia condicional y ganancia esperada. Ambos métodos de análisis sugieren que el comerciante debe tener en inventario 12 unidades cada periodo. Nuestra estrategia, tener 12 cajas cada día, supone que las ventas diarias es una variable aleatoria. Sin embargo, en la práctica las ventas diarias a menudo siguen patrones detectables, dependiendo del día de la semana. En las ventas al menudeo, se sabe en general que el sábado es un día con un volumen más alto que, digamos, el martes. De manera similar, las ventas al menudeo del lunes son por lo general menores que las del viernes. En situaciones con patrones reconocibles de ventas diarias, podemos aplicar estas técnicas calculando un nivel de inventario óptimo para cada día de la semana. Para el sábado, usaríamos como datos de entrada la experiencia de ventas anteriores de los sábados únicamente. Cada uno de los otros seis días podría tratarse de la misma manera. Básicamente, este enfoque no representa más que el reconocimiento, y la reacción, a patrones discernibles en lo que a primera vista podría parecer un entorno completamente aleatorio.

Ajuste del nivel de inventario óptimo

Uso de la distribución de probabilidad normal estándar

Solución de un problema usando análisis marginal

768

Vimos el concepto de distribución de probabilidad normal estándar en el capítulo 5. Ahora podemos usar esa idea como ayuda para resolver un problema de teoría de decisiones empleando una distribución continua. Suponga que un gerente ofrece un artículo que tiene ventas con distribución normal con media de 50 unidades diarias y desviación estándar en las ventas diarias de 15 unidades. El gerente compra este artículo en $4 por unidad y lo vende en $9. Si el artículo no se vende el día que sale a la venta,

Capítulo 17


pierde su valor. Usando el método marginal de calcular niveles de compra de inventario óptimos, podemos calcular nuestra p* requerida: PM p* GM PM

[17-2]

$4 0.44 $5 $4

w

w

w

.M

at

em

at ic

a1 .

co m

Uso de la distribución de probabilidad normal estándar en el análisis marginal

Esto significa que el gerente debe estar 0.44 seguro de vender al menos una unidad adicional antes de almacenar esa unidad. Reproducimos aquí la curva de las ventas históricas para determinar cómo incorporar el método marginal con distribuciones continuas de ventas diarias históricas. Ahora consulte la figura 17-1. Si trazamos una línea vertical b en 50 unidades, el área bajo la curva a la derecha de esta línea es la mitad del área total. Esto nos dice que la probabilidad de vender 50 o más unidades es 0.5. El área a la derecha de cualquier línea vertical de este tipo representa la probabilidad de vender esa cantidad o más. Al disminuir el área a la derecha de cualquier línea vertical, también disminuye la probabilidad de que vendamos esa cantidad o más. Supongamos que el gerente desea almacenar 25 unidades, la línea a. La mayor parte del área completa bajo la curva está a la derecha de la línea vertical trazada en 25; por tanto, la probabilidad de que el gerente venda 25 unidades o más es alta. Si piensa almacenar 50 unidades (la media), la mitad del área total bajo la curva está a la derecha de la línea vertical b; por consiguiente, está 0.5 seguro de vender las 50 unidades o más. Ahora, digamos que considera almacenar 65 unidades. Sólo una pequeña porción de toda el área bajo la curva cae a la derecha de la línea c; en consecuencia, la probabilidad de vender 65 o más unidades es bastante pequeña. La figura 17-2 ilustra la probabilidad de 0.44 que debe existir antes de que convenga a nuestro gerente almacenar otra unidad. Mantendrá en inventario unidades adicionales hasta que llegue al punto Q. Si almacena una cantidad mayor, el área sombreada bajo la curva es menor que 0.44 y la probabilidad de vender otra unidad o más será menor que el 0.44 requerido. ¿Cómo podemos localizar el punto Q? Como vimos en el capítulo 5, podemos usar la tabla 1 del apéndice para determinar cuántas desviaciones estándar se necesitan para incluir cualquier porción del área bajo la curva, midiendo desde la media hasta cualquier punto como Q. En este caso particular, como sabemos que el área sombreada debe ser 0.44 del área total, entonces el área desde la media hasta el punto Q debe ser 0.06 (el área desde la media hasta la cola derecha es 0.50). Al consultar el contenido de la tabla, encontramos que 0.06 del área bajo la curva se localiza entre la media y un punto a 0.15 de la desviación estándar a la derecha de la media. Por tanto, sabemos que el punto Q está a 0.15 de la desviación estándar a la derecha de la media (50). Tenemos la información de que 1 desviación estándar para esta distribución es 15 unidades; así, esto por 0.15 serían 2.25 unidades. Como el punto Q está 2.25 unidades a la derecha de la media (50),

Solución óptima para este problema

b

c

a

FIGURA 17-1 Distribución normal de ventas diarias históricas

20

25

30

35

40

45

50 55

60 65

70

75

80

Media de 50

17.3


769

0.44 del área

FIGURA 17-2 Distribución de probabilidad normal, con 0.44 del área bajo la curva sombreada

Problema de inicio del capítulo

0

50 Punto Q

100

debe estar aproximadamente en 52 unidades. Ésta es la cantidad a ordenar óptima para el gerente: 52 unidades cada día. Una vez terminado un problema usando una distribución de probabilidad continua, podemos trabajar en nuestro problema de inicio del capítulo con los datos siguientes de las ventas diarias que siguen una distribucióln normal:

.c om

Media de ventas diarias históricas Desviación estándar de distribución de ventas diarias históricas Costo por caja Precio de venta por caja Valor si no se vende el primer día

60 cajas 10 cajas $20 $32 $2

at em

at ic

a1

Igual que en el problema anterior, primero calculamos la p* que se requiere para justificar el inventario de una caja adicional. En este caso: PM p* GM PM

[17-2]

w .M

Probabilidad mínima requerida

w

w

$20 $2 $12 ($20 – $2)

Observe que el valor de recuperación de $2 se deduce del costo de $20 para obtener la PM

$18 $12 $18 $18 0.60 $30 Ahora podemos ilustrar la probabilidad sobre una curva normal marcando 0.60 del área bajo la curva, comenzando desde la cola derecha de la curva, como se muestra en la figura 17-3. El administrador desea incrementar su tamaño de orden hasta el punto Q. Ahora bien, el punto Q está a la izquierda de la media, mientras que en el problema anterior estaba a la derecha. ¿Cómo

0.60 del área

FIGURA 17-3 Distribución de probabilidad normal, con 0.60 del área bajo la curva sombreada

770

Capítulo 17

0.25 de la desviación estándar 0

60 Punto Q


120

podemos localizar el punto Q? Como se tiene 0.50 del área bajo la curva entre la media y la cola derecha, debemos tener 0.10 del área sombreada a la izquierda de la media (0.60 0.50 0.10). En la tabla 1 del apéndice, el valor más cercano a 0.10 es 0.0987, de manera que, deseamos encontrar un punto Q con 0.0987 del área bajo la curva contenida entre la media y el punto Q. La tabla indica que el punto Q está a 0.25 de desviación estándar de la media. Ahora obtenemos el valor del punto Q de la siguiente manera: 0.25 desviación estándar 0.25 10 cajas 2.5 cajas

Solución óptima para el problema de inicio del capítulo

Punto Q media menos 2.5 cajas 60 2.5 cajas 57.5, o 57 cajas

Advertencia: usar la ganancia esperada máxima calculada de una sola distribución de ventas como regla de decisión supone que la distribución de ventas que se maneja representa toda la información que tiene acerca de la demanda. Si sabe, por ejemplo, que las ventas el sábado se representan mejor con otra distribución, entonces debe manejar el sábado como una decisión separada y calcular un nivel de inventario para los sábados, que tal vez difiera del de los otros seis días. Sugerencia: de todos modos,

ésta es la manera en que los buenos administradores toman decisiones. En lugar de aceptar que todos los días de la semana tienen características de mercado idénticas, se sabe desde hace mucho que existen diferencias fuertes y discernibles. Estas diferencias entre los días son en sí distintas en ciertos países. Sugerencia: mientras que el sábado es el día más importante para las compras en Estados Unidos, las ventas del sábado serían nulas en Israel, debido a sus creencias religiosas.

a1 .c

om

SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

m at

ic

Ejercicios 17.3 .M

Floyd Guild atiende un puesto de periódicos cerca de la estación de la línea suburbana de la calle 53. El City Herald es el más popular de los periódicos que tiene Floyd. Durante muchos años, ha observado que la demanda diaria del Herald queda bien descrita por una distribución normal con media 165 y desviación estándar 40. Él vende los ejemplares del Herald a 30 centavos, y los compra a la casa editora a 20 centavos cada ejemplar. Si quedan algunos Herald al final de las horas de trasbordo de la tarde, Floyd los vende al mercado de pescado de Jesselman de la misma calle a 10 centavos cada uno. Si Floyd desea maximizar su ganancia diaria esperada, ¿cuántos ejemplares del Herald debe ordenar?

w

17-2

w

w

EA

at e

Ejercicios de autoevaluación

Aplicaciones ■ 17-10

■ 17-11

La construcción de carreteras en Dakota del Norte se concentra en los meses de mayo a septiembre. Para proporcionar protección a las cuadrillas de trabajo en las carreteras, el Departamento de Transporte (DT) requiere que se coloquen grandes letreros anaranjados de HOMBRES TRABAJANDO antes de cualquier construcción. Debido al vandalismo, el desgaste y el robo, el DT compra nuevos letreros cada año. Aunque los letreros se hacen con el apoyo del Departamento de Correccionales, el DT paga un precio equivalente al que pagaría por los letreros a una fuente externa. El cargo interdepartamental por los letreros es $21 si se ordenan más de 35 del mismo tipo; de otra forma, el costo por letrero es $29. Debido a las presiones de presupuesto, el DT intenta minimizar sus costos no comprando demasiados letreros, a la vez que intenta comprar una cantidad suficiente para obtener el precio de $21. En los últimos años, el departamento ha promediado compras de 78 letreros al año, con una desviación estándar de 15. Determine el número de letreros que el DT debe comprar. La ciudad de Green Lake, Wisconsin, se está preparando para la celebración del “79° Día Anual de Productos Lácteos”. Para recolectar fondos, el ayuntamiento nuevamente planea vender camisetas de recuerdo. Las camisetas, impresas en seis colores, tendrán la imagen de una vaca y las palabras “79° Día Anual de Productos Lácteos” al frente. El ayuntamiento compra parches de aplicación térmica a un proveedor 17.3


771

■ 17-12

ic

at

w

w

w

.M

at

em

■ 17-14

a1

.c om

■ 17-13

en $0.75 y camisetas blancas de algodón a $1.50. Un comerciante local provee el dispositivo para aplicar calor y también compra todas las camisetas blancas que no se venden. El ayuntamiento planea establecer un puesto en la avenida principal y vender las camisetas a $3.25. La impresión de la camiseta se realizará en el momento de la venta. El año anterior, las ventas de camisetas similares promediaron 200 con una desviación estándar de 34. El ayuntamiento sabe que no habrá mercado para los parches después de la celebración. ¿Cuántos parches debe comprar? Jack compra salchichas todas las mañanas para su puesto de hot-dogs en la ciudad. Se enorgullece de vender sólo salchichas frescas, rostizadas lentamente y, por ello, puede vender sólo las que compra en la mañana. El precio de cada hot-dog es $1.50; su costo es $0.67. Suponga que Jack puede comprar cualquier cantidad de salchichas. Como mañana es viernes, sabe que la demanda tendrá una distribución normal con media de 375 hot-dogs y varianza de 400. Si Jack se queda con alguna salchicha, deberá comérsela él mismo o regalarla a los pobres, sin ingresos por ella. Para maximizar sus ganancias, ¿cuántas salchichas deberá comprar Jack? ¿Cuántas compraría si cada salchicha sobrante pudiera venderse a $0.50 cada una? Bike Wholesale Parts se estableció a principios de la década de 1980 como respuesta a la demanda de varias tiendas de bicicletas pequeñas recién establecidas que requerían acceso a una amplia variedad de partes, pero que no podían financiarse a sí mismas. La compañía tiene en existencia una gran diversidad de partes y accesorios pero no bicicletas completas. La gerencia está preparando un pedido de rines de 27″ 11/4″ que comprará a la Flexspin Company, anticipándose a una mejora comercial esperada en alrededor de dos meses. Flexspin fabrica un producto superior, pero el tiempo de entrega requerido obliga a que los mayoristas hagan un solo pedido, que les debe durar los meses críticos del verano. En el pasado, Bike Wholesale Parts ha vendido un promedio de 120 rines en verano, con una desviación estándar de 28. La compañía espera que su inventario se agote para el momento en que llegue el nuevo pedido. Bike Wholesale Parts ha tenido bastante éxito y planea trasladar sus operaciones a una planta mayor durante el invierno. La gerencia calcula que el costo combinado de trasladar algunos productos, como los rines, y el costo existente de financiarlos es al menos igual al costo de compra de la compañía de $7.30. Aceptando la hipótesis de la gerencia de que los rines no vendidos al final del verano ya no se venden, determine el número de rines que la compañía debe ordenar si el precio de venta es de $8.10. La cafetería B&G ofrece pollo a la parrilla todos los jueves y Priscilla Alden, la gerente, desea asegurar que la cafetería obtendrá ganancias por este platillo. Incluyendo los costos de mano de obra y preparación, cada porción de pollo cuesta $1.35. El precio de venta de $2.15 por porción es una ganga, por lo que el especial de pollo a la parrilla se ha vuelto un plato muy popular. Los datos tomados del último año indican que la demanda del plato especial sigue una distribución normal con media 190 porciones y desviación estándar 32 porciones. Si la cafetería B&G prepara dos porciones del pollo a la parrilla por cada pollo entero que cocina, ¿cuántos pollos debe ordenar Priscilla cada jueves? Paige’s Tire Service almacena dos tipos de llantas radiales: con banda de poliéster y con banda de acero. Las llantas de banda de poliéster cuestan a la compañía $30 cada una y las vende en $35. Las de banda de acero le cuestan $45 cada una y las vende en $60. Por varias razones, Paige’s Tire Service no podrá volver a ordenar neumáticos a la fábrica este año, así que debe ordenar sólo una vez para satisfacer la demanda de los clientes todo el año. Al final de éste, debido a los nuevos modelos de llantas, Paige’s tendrá que vender todo su inventario como caucho de desecho a $5 cada pieza. Las ventas anuales de ambos tipos de llantas radiales tienen distribución normal con las siguientes medias y desviaciones estándar:

■ 17-15

Tipo de llanta radial

Ventas medias anuales

Desviación estándar

Banda de poliéster Banda de acero

300 200

50 20

a) ¿Cuántas llantas de banda de poliéster debe ordenar? b) ¿Cuántas llantas de banda de acero debe ordenar?

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA 17-2 GM 50 20 30

PM 20 10 10

PM 10 p* 0.25, que corresponde a 0.67, de manera que debe ordenar 0.67 GM PM 40 165 0.67(40) 191.8 o 192 ejemplares.

772

Capítulo 17


17.4 Utilidad como criterio de decisión Diferentes criterios de decisión

En lo que va de este capítulo, utilizamos el valor esperado (ganancia esperada, por ejemplo) como nuestro criterio de decisión. Supusimos que si la ganancia esperada de la alternativa A es mejor que la de la opción B, entonces el tomador de decisiones sin duda elegirá la alternativa A. De manera inversa, si la pérdida esperada de la opción C es mayor que la pérdida esperada de la opción D, entonces el tomador de decisiones seguramente elegirá D como el mejor curso de acción.

Inconvenientes del valor esperado como un criterio de decisión El valor esperado algunas veces es inadecuado

Existen situaciones, en las que el uso del valor esperado como criterio de decisión causaría problemas serios a un administrador. Suponga que un empresario posee una nueva fábrica con un valor de $2 millones. Suponga también que existe sólo una posibilidad en 1,000 (0.001) de que se incendie este año. A partir de estas cifras, podemos calcular la pérdida esperada: 0.001 $2,000,000 $2,000 pérdida esperada por incendio

ic a

w

w w

.M

at

em

at

Un ejemplo personal

1.

co

m

Un agente de seguros le ofrece asegurar el edificio por $2,250 este año. Si el empresario aplica la idea de minimizar pérdidas esperadas, se negará a asegurar el inmueble. La pérdida esperada de asegurar ($2,250) es mayor que la pérdida esperada por incendio. No obstante, si el empresario piensa que una pérdida no asegurada de $2 millones lo arruinaría, probablemente descarte el valor esperado como su criterio de decisión y compre el seguro al costo adicional de $250 por año de la póliza ($2,250 $2,000). Elegiría no minimizar la pérdida esperada en este caso. Tome un ejemplo quizá más cercano a la vida estudiantil. Usted es un estudiante con el dinero justo para acabar el semestre. Un amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $10 por $1. Es probable que usted analice el problema en términos de valores esperados y razone de la siguiente manera: “¿Es 0.9 $10 mayor que $1?” Como $9 (el valor esperado de la apuesta) es nueve veces mayor que el costo de la apuesta ($1), puede sentirse inclinado a aceptar la oferta de su amigo. Aun si pierde, la pérdida de $1 no afectará su situación monetaria. Ahora su amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $1,000 por $100. Ahora se plantearía la pregunta: “¿Es 0.9 $1,000 mayor que $100?” Claro está que $900 (el valor esperado de la apuesta) sigue siendo nueve veces el costo de la apuesta ($100), pero es más que seguro que lo piense dos veces antes de dar su dinero. ¿Por qué? Porque aunque el placer de ganar $1,000 sería alto, el dolor de perder sus $100 ganados con esfuerzo podría ser mayor que el que desearía experimentar. Digamos, por último, que, su amigo le ofrece una oportunidad de 0.9 de ganar $10,000 por todos sus bienes, que resultan ser $1,000. Si utiliza el valor esperado como su criterio de decisión, se preguntaría: “¿Es 0.9 $10,000 mayor que $1,000?” Obtendría la misma respuesta que antes: sí. El valor esperado de la apuesta ($9,000) sigue siendo nueve veces mayor que el costo de la apuesta

Utilidad positiva

•

1,000

Utilidad de diferentes ganancias y pérdidas

Pérdida monetaria en dólares

•

Utilidad negativa

1,000

FIGURA 17-4

5,000

9,000

Ganancia monetaria en dólares

17.4

Utilidad como criterio de decisión

773

Función de utilidad

($1,000), pero ahora probablemente se negará a apostar, no porque el valor esperado de la apuesta no sea atractivo, sino porque la idea de perder todo es un resultado completamente inaceptable. En este ejemplo, cambió el criterio de decisión del valor esperado cuando la idea de perder $1,000 era demasiada dolorosa, a pesar del placer que podría constituir ganar $10,000. En este punto, ya no consideró el valor esperado; sólo pensó en la utilidad. En este sentido, la utilidad es el placer o disgusto que se derivaría de ciertos resultados. Su curva de utilidad, en la figura 17-4, es lineal alrededor del origen (en esta región $1 de ganancia es tan deseable como $1 de pérdida es doloroso), pero disminuye rápidamente cuando la pérdida potencial aumenta a niveles cercanos a $1,000. En particular, esta curva de utilidad muestra que desde su punto de vista, el disgusto de perder $1,000 es casi igual al placer de ganar nueve veces esa cantidad. La forma de la curva de utilidad personal es producto de la constitución sicológica, las expectativas personales respecto al futuro y la decisión o acto particular que se esté evaluando. Una persona puede tener una curva de utilidad para una situación y otra bastante diferente para la siguiente.

Diferentes utilidades Las curvas de utilidad para la decisión de tres administradores se muestran en la gráfica de la figura 17-5. Damos los nombres arbitrarios de David, Ann y Jim a estos administradores. Sus actitudes son evidentes a partir del análisis de sus curvas de utilidad. David es un hombre de negocios cauto y conservador. Un movimiento a la derecha del punto de ganancias cero incrementa sólo un poco su utilidad, mientras que un movimiento a la izquierda de ese punto disminuye su utilidad rápidamente. En términos de valores numéricos, la curva de utilidad de David indica que ir de una ganancia de $0 a $100,000 incrementa su utilidad en un valor de 1 en la escala vertical, mientras que moverse al intervalo de pérdida de sólo $40,000 disminuye su utilidad en el mismo valor de 1 en la escala vertical. David evitará situaciones en que puedan ocurrir grandes pérdidas; se dice que tiene aversión al riesgo. Ann es otra historia. Vemos en su curva de utilidad que una ganancia incrementa su utilidad mucho más de lo que la disminuye una pérdida de la misma cantidad. Específicamente, aumentar sus ganancias en $20,000 (de $80,000 a $100,000) aumenta su utilidad de 0 a 5 en la escala vertical, pero disminuirlas $20,000 (de $0 a $20,000) disminuye su utilidad en sólo 0.33, de 4 a 4.33. Ann es una apostadora arriesgada; está convencida de que una gran pérdida no empeoraría demasiado las cosas, pero que una gran ganancia sería bastante remuneradora. Se arriesgará para tener ganancias aún mayores.

w w

w .M

at em

at ic

a1

.c om

Actitudes hacia el riesgo

+5 +4

id

Dav

• •

•

+3 +2

Jim

Utilidad

+1

•

0 –1 n

An

–2

•

–3 –4

•

FIGURA 17-5 –5

Tres curvas de utilidad

774

–80,000

–40,000

• 0

40,000

Ganancia o pérdida monetaria

Capítulo 17


80,000

¿Quién usaría el valor esperado?

Jim, una persona con buenas finanzas, es la clase de hombre de negocios que no sufriría mucho por una pérdida de $60,000 y que tampoco incrementaría significativamente su riqueza con una ganancia de $60,000. El placer de obtener $60,000 adicionales o de perderlos tendría casi la misma intensidad. Como su curva de utilidad es lineal, puede usar efectivamente el valor esperado como su criterio de decisión, mientras que David y Ann deben usar su utilidad. Jim actuará cuando el valor esperado sea positivo, David pedirá un valor esperado alto en su resultado y Ann quizá actúe cuando el valor esperado sea negativo.

Un requisito importante para entender el comportamiento de los inversionistas es advertir que sus curvas de utilidad no son iguales. En especial, los “grandes apostadores” se sienten atraídos por inversiones de alto riesgo que pueden dar como resultado la pérdida de la inversión completa o la ganancia de una fortuna. Es de suponerse que esas personas con fortunas significativas pueden darse el

lujo de perder. Por otro lado, las personas con fortunas moderadas y fuertes obligaciones familiares tienden a sentir aversión al riesgo e invierten sólo cuando el resultado esperado es positivo. Una pregunta interesante para analizar con sus compañeros es por qué las personas de edad avanzada son víctimas de los esquemas de inversión para “hacerse ricos rápido”, muy por arriba de la proporción que corresponde a su número en la población.


Ejercicios 17.4 a1 .c

El ingreso de Bill Johnson lo sitúa en la categoría del 50% en términos de impuestos federales por ingresos. Johnson a menudo proporciona capital de riesgo a pequeñas compañías que inician, a cambio de algún tipo de participación en la compañía. Recientemente, Bill fue contactado por Circutronics, una pequeña compañía que intenta ingresar a la industria de microcircuitos. Circutronics le solicitó $1.6 millones de respaldo. Debido a su posición fiscal, Bill invierte en valores municipales exentos de impuestos cuando no encuentra empresas atractivas que respaldar. Actualmente, tiene una cantidad grande colocada en bonos de la Agencia Energía Municipal del Este de Carolina del Norte, cuyo rendimiento es 9.43%. Bill considera que este rendimiento después de impuestos es su punto de equilibrio de utilidad. Arriba de este punto, su utilidad aumenta con rapidez; abajo, disminuye un poco, ya que bien puede permitirse perder el dinero. a) ¿Qué rendimiento en dólares debe prometer Circutronics antes de que Bill considere financiarlo? b) Grafique la curva de utilidad de Bill. La Enduro Manufacturing Company es una sociedad que produce componentes de acero estructural para la construcción. El gerente financiero y socio William Flaherty está examinando proyectos potenciales que la compañía podría emprender en el siguiente año fiscal. La compañía tiene una tasa de rendimiento meta del 10% sobre su inversión, pero como no existe financiamiento ni interferencia externa, los socios han aceptado proyectos con tasas de rendimiento entre 0 y 100%. Arriba del 10%, la utilidad de los socios se incrementa muy rápido; entre 0 y 10%, se incrementa sólo un poco arriba de 0; abajo de 0, cae muy rápido. Flaherty está considerando varios proyectos que implican que Enduro invierta $250,000. Grafique la curva de utilidad de la compañía. Una inversionista está convencida de que el precio de unas acciones de movimiento rápido (PDQ) se incrementará en el futuro cercano. Las acciones PDQ se venden actualmente a $57 la acción. Después de inspeccionar las últimas cotizaciones del mercado, la inversionista se da cuenta que puede comprar una opción a un costo de $5 por acción, que le permite comprar acciones PDQ a $55 por acción en los siguientes dos meses. También puede adquirir una opción de compra de acciones en un periodo de 4 meses; esta opción, con costo de $10 por acción, también tiene un precio de uso de $55 por acción. Ella ha estimado las siguientes distribuciones de probabilidad para el precio de las acciones en los días en que expiran las opciones:

w

w

w

.M

at e

m at

ic

■ 17-16

om

Aplicaciones

■ 17-17

■ 17-18

Precio Probabilidad en 2 meses Probabilidad en 4 meses

50 0.05 0

55 0.15 0.05

17.4

60 0.15 0.05

65 0.25 0.20

70 0.35 0.30

75 0.05 0.40

Utilidad como criterio de decisión

775

La inversionista planea ejercer su opción justo antes de la expiración si las acciones PDQ se venden en más de $55 y venderlas de inmediato al precio de mercado. Claro está que si las acciones se venden en $55 o menos, cuando la opción expire, perderá todo el costo de compra de la opción. La inversionista es relativamente conservadora, con los siguientes valores de utilidad para cambios en sus bienes en dólares: 1,500 1.0

Cambio Utilidad

1,000 0.9

500 0.8

0 0.7

500 0.1

1,000 0.0

Ella está considerando una de tres opciones: 1) Comprar una opción a 2 meses sobre 100 acciones. 2) Comprar una opción a 4 meses sobre 100 acciones. 3) No comprar en absoluto. ¿Cuál de estas alternativas maximizará su utilidad esperada?

17.5 Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas Los dos problemas que trabajamos usando la distribución de probabilidad normal requerían que conociéramos la media () y la desviación estándar (). Pero, ¿cómo podemos usar una distribución de probabilidad cuando los datos históricos faltan o están incompletos? Al trabajar un problema, veremos cómo muchas veces podemos generar los valores requeridos utilizando un enfoque intuitivo.

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.c om

Información faltante

.M

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m

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Un enfoque intuitivo para estimar la media y la desviación estándar w

w

w

Suponga que está pensando en comprar una máquina que reemplace la mano de obra de una operación. La operación de la máquina costará $10,000 al año y ahorrará $8 por cada hora que opere. Entonces, para quedar a mano, deberá operar al menos $10,000/$8 1,250 horas al año. Si está interesado en la probabilidad de que trabaje más de 1,250 horas, debe saber algo acerca de la distribución de los tiempos de operación, en especial, la media y la desviación estándar de esta distribución. Pero como no tiene un registro de la operación de la máquina, ¿dónde encontraría esas cifras? Podríamos pedir al supervisor, quien ha estado estrechamente involucrado en el proceso, que calcule el tiempo de operación promedio de la máquina. Digamos que su mejor estimación es 1,400 horas. ¿Pero cómo reaccionaría él si usted le pidiera la desviación estándar de esta distribución? Este término podría no tener significado para él, y sin embargo, quizá tenga alguna noción intuitiva de la dispersión de la distribución de los tiempos de operación. La mayoría de las personas entienden las posibilidades de una apuesta, así que lo abordamos con esa idea. Comenzamos por descontar una distancia igual a cada lado de su media, digamos, 200 horas. Esto produce un intervalo de 1,200 a 1,600 horas. Entonces podemos preguntarle al supervisor, ¿cuál es la posibilidad de que el número de horas caiga entre 1,200 y 1,600 horas? Si él ha apostado alguna vez, debe poder contestar. Supongamos que dice, “creo que la posibilidad de que opere entre 1,200 y 1,600 horas es de 4 a 3”. Mostramos su respuesta en una distribución de probabilidad en la figura 17-6. La figura 17-6 ilustra la respuesta del supervisor de que las posibilidades son de 4 a 3 de que la máquina corra entre 1,200 y 1,600 horas, y no fuera de esos límites. ¿Cuál es el siguiente paso? Primero, etiquetamos el punto de 1,600 horas en la distribución de la figura 17-6 como el punto Q. Después vemos que el área bajo la curva entre la media y el punto Q, de acuerdo con las estimaciones del supervisor, es 4/7 de la mitad del área bajo la curva, o 4/14 (0.2857) del área total bajo la curva.

Estimación de la media

Estimación de la desviación estándar

776

Capítulo 17


FIGURA 17-6 Intervalos de posibilidades del supervisor para tiempos de operación de las máquinas propuestas

3

4

4

1,200

3

1,400

1,600 Q

Media

0.79 de desviación estándar

FIGURA 17-7

•

•

m

•

1,200

Q = 1,600

1,400

co

Determinación de la desviación estándar a partir de las posibilidades del encargado

ic a

1.

Horas

y, por tanto,

0.79 de desviación estándar 200 horas

w

w w

.M

at

em

at

Observe la figura 17-7. Si consultamos el valor 0.2857 en la tabla 1 del apéndice, encontramos que el punto Q está a 0.79 de desviación estándar a la derecha de la media. Como sabemos que la distancia desde la media hasta Q es de 200 horas, vemos que

1 desviación estándar 200/0.79 253 horas Cálculo de la probabilidad de quedar a mano

Ahora que conocemos la media y la desviación estándar de la distribución del tiempo de operación, podemos calcular que la probabilidad de que la máquina opere menos horas que su punto de equilibrio de 1,250 horas: 150 1,250 1,400 253 253 0.59 de desviación estándar

Obtención de información para los modelos

La figura 17-8 ilustra esta situación. En la tabla 1 del apéndice, encontramos que el área entre la media de la distribución y un punto a 0.59 de desviación estándar abajo de la media (1,250 horas) es 0.2224 del área total bajo la curva. A 0.2224 sumamos 0.5, el área de la media a la cola derecha. Esto nos da 0.7224. Como 0.7224 es la probabilidad de que la máquina opere más de 1,250 horas, la posibilidad de que opere menos de 1,250 horas (su punto de equilibrio) es 1 0.7224 o 0.2776. Aparentemente, ésta no es una situación demasiado riesgosa. Este problema ilustra cómo podemos usar el conocimiento de otras personas respecto a una situación sin requerir que comprendan lo intrincado de las diversas técnicas estadísticas. Si hubiéramos esperado que el supervisor comprendiera la teoría en que se basan los cálculos, o si hubiéramos intentado explicarle esa teoría, tal vez nunca hubiéramos aprovechado su conocimiento práctico de la situación. Al usar un lenguaje y términos comprensibles para él, pudimos hacer que nos diera esti17.5

Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas

777

0.59 de desviación estándar

FIGURA 17-8 Probabilidad de que la máquina opere entre 1,250 y 1,400 horas

Horas de operación para quedar a mano

•

1,250

•

1,400 Horas

maciones manejables de la media y la desviación estándar de la distribución de los tiempos de operación para la máquina que pensábamos comprar. En este ejemplo (y para el caso, también en muchos otros), es mejor ajustar las ideas y el conocimiento de otras personas dentro de sus modelos que buscar hasta encontrar una situación que se ajuste a un modelo que ya está desarrollado. Si se usan sólo los métodos descritos en este capítulo para tomar decisiones, no hay muchas posibilidades de éxito; si lo único que emplea para tomar decisiones es la intuición, habrá muchas situaciones en que pierda oportunidades. Pero al combinar una gran inteligencia, una fuerte intuición y los modelos cualitativos sólidos, la oportunidad de ganar aumenta de manera drástica. Sugerencia:

las personas con las ideas intuitivas más firmes acerca de cómo funcionan las cosas y qué es posible y más probable que ocurra no son “deportistas numéricos” sino personas normales que tienen mucha experiencia y quizá poco conocimiento de los modelos de valor esperado. El reto real es captar la sabiduría industrial de estos veteranos y enfocarla en una toma de decisiones más sensata cuando se desconoce el futuro.

em

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EA

17-3

.M w w w

Ejercicio de autoevaluación

at

Ejercicios 17.5

John Stein es el director de programación de SATPlus Services, una empresa que garantiza que su curso de preparación para el examen de admisión a la universidad elevará la calificación combinada de las partes oral y cuantitativa de esos exámenes por lo menos 120 puntos. El precio del curso es $275 para cada estudiante y el costo del mismo para SATPlus es alrededor de $3,300 en salarios, suministros y renta de instalaciones. John no programará el curso en lugares donde no tenga una certeza de por lo menos el 90% de que SATPlus obtendrá una ganancia mayor o igual que $2,200. De acuerdo con un estudio de mercado que acaba de recibir de Charlottesville, Virginia, ha decidido que si ofrece el curso ahí, puede esperar que se inscriban alrededor de 30 estudiantes. También piensa que tiene posibilidades de 8 a 5 de que el número real de inscritos esté entre 25 y 35 estudiantes, y que es apropiado usar la distribución normal para describir la inscripción. ¿Debe John programar el curso en Charlottesville?


■ 17-20

778

La Northwestern Industrial Pipe Company está considerando la compra de un nuevo soldador de arco eléctrico a $2,100. Se espera que el soldador ahorre a la compañía $5 por hora cuando pueda usarse en lugar del actual, un soldador menos eficiente. Antes de tomar la decisión, el gerente de producción de Northwestern observó que sólo había cerca de 185 horas al año de soldaduras en las que el nuevo soldador de arco podía sustituir al actual. Calculó una posibilidad de 7 a 3 de que el resultado real estaría dentro de las 25 horas de su estimación. Además, se sentía seguro al suponer que el número de horas estaba bien descrito por una distribución normal. ¿Puede Northwestern estar 98% segura de que se recuperará lo gastado en el nuevo soldador de arco eléctrico en un periodo de 3 años? La Relman Electric Battery Company ha sentido los efectos de una economía en recuperación al aumentar la demanda de sus productos en los meses recientes. La compañía está considerando contratar seis per-

Capítulo 17


■ 17-21

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w

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.M

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■ 17-23

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1.

co

m

■ 17-22

sonas más para su operación de ensamble. El gerente de producción de la planta, Mike Casey, cuyo desempeño se valora en parte por la eficiencia en costos, no desea contratar empleados adicionales a menos que se espere que tendrán trabajo durante al menos 6 meses. Si se corre a los empleados involuntariamente antes de ese tiempo, la compañía está forzada por las reglas del sindicato a pagar un bono sustancial de despido. Además, si se despide a los empleados antes de 6 meses de haberlos contratado, la tasa de seguro de desempleo de la compañía se eleva. El economista corporativo de Relman espera que el alza en la economía dure al menos 8 meses y da posibilidades de 7 a 2 de que la duración de la mejora esté en un intervalo de un mes de esa cifra. Casey desea estar 95% seguro de que no tendrá que despedir a ningún empleado recién contratado. ¿Debe contratar a seis personas en este momento? El servicio de mensajería Speedy Rabbit opera una flota de 30 vehículos que cubren muchas millas por día. En la actualidad los vehículos usan gasolina normal a un costo de $1.059 por galón, y la eficiencia de la gasolina en la flota es alrededor de 36 millas por galón (mpg). Un informe reciente indica que si cambian a gasolina premium, a un costo de $1.229 por galón, cada vehículo tendrá un incremento de 6.4 mpg. La compañía cambiará de gasolina siempre que puedan tener una certidumbre del 95% de que ahorrarán dinero, lo que ocurrirá si la eficiencia en gasolina para la flota es mayor que 40 mpg. Creen que las posibilidades son de 6 a 4 de que la eficiencia actual esté entre 33 y 39 mpg y que es adecuado usar una distribución normal para describir la eficiencia de la gasolina. ¿Deben cambiar de combustible? Natalie Larsen, representante de ventas de viajes Nova Products, está considerando comprar un nuevo automóvil para usarlo en el trabajo. El automóvil que quiere tiene un precio de $13,497, pero piensa que puede negociarlo con el vendedor y bajarlo a $12,250. Como su auto se usa sólo para propósitos comerciales, Natalie puede deducir $0.31 por milla por gastos de operación. Comprará el auto sólo si el ahorro en impuestos resultante compensa el costo durante su vida útil. Natalie ha estado en una categoría combinada de 34% de impuestos federales y estatales durante algunos años y parece que seguirá allí en el futuro previsible. Una afamada revista de automotores afirma que la vida promedio del automóvil que está pensando comprar es de 120,000 millas. El artículo además establece que las posibilidades son de 4 a 3 de que la vida real del automóvil esté dentro de 12,000 millas arriba o abajo de 120,000. ¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil dure lo suficiente para que Natalie no pierda dinero en su inversión? El Departamento de Policía de Newton Pines está considerando comprar una unidad de radar VASCAR para instalarla en la única vía rápida de la ciudad. El ayuntamiento se ha opuesto a la idea porque no está seguro de que la unidad valga su precio de $2,000. El jefe de policía, Buren Hubbs, afirma que con seguridad la unidad se pagará con el mayor número de multas de $20 que levantarán él y su adjunto. Se oyó a Buren decir que calcula posibilidades de 9 a 1 de que el incremento en multas el primer año será entre 95 y 135 si se compra la unidad. Espera levantar 115 multas más si la vía se equipa con el VASCAR. ¿Puede el ayuntamiento estar 99% seguro de que la unidad se pagará con el aumento en los ingresos por multas durante el primer año? Usted planea invertir $15,000 en acciones comunes de Infometrics si puede estar razonablemente seguro de que su precio subirá hasta $60 por acción en 6 meses. Pregunta a dos corredores expertos lo siguiente: a) ¿Cuál es su mejor estimación del precio más alto al que se venderá Infometrics en los próximos 6 meses? b) ¿Qué posibilidades da a que su estimación falle en no más de $5? Las respuestas son las siguientes:

■ 17-24

Corredor

Mejor estimación

Posibilidades

A B

68 65

2a1 5a1

Si ha decidido que comprará las acciones sólo si cada corredor está al menos 80% seguro que se venderán en al menos $60 en algún momento dentro de los 6 meses siguientes, ¿qué debe hacer?

Solución al ejercicio de autoevaluación EA

17-3

8/26 0.0377, correspondiente a 0.87, de manera que 5/0.87 5.75 estudiantes. Para tener 3,330 2,200 ganancias de $2,200 tendrán que inscribir al menos 20 estudiantes, corresondientes a 275 20 30 z 1.74. 5.75 P(z 1.74) 0.9591. Como esto excede el 0.90 necesario, debe programar el curso en Charlottesville. 17.5

Ayuda para que los tomadores de decisiones proporcionen las probabilidades correctas

779

17.6 Análisis de árboles de decisiones Fundamentos del árbol de decisiones

Un árbol de decisiones es un modelo gráfico de un proceso de decisión. Con él podemos introducir probabilidades al análisis de decisiones complejas que involucran muchas opciones y condiciones futuras que no se conocen, pero que pueden especificarse en términos de un conjunto de probabilidades discretas o de una distribución de probabilidad continua. El análisis de árboles de decisiones es una herramienta útil en la toma de decisiones referentes a inversiones, adquisición o disposición de propiedades físicas, administración de proyectos, personal y estrategias de nuevos productos. El término árbol de decisiones se deriva de la apariencia física de la representación gráfica usual de esta técnica. Un árbol de decisiones se parece a los árboles de probabilidades presentados en el capítulo 4; pero un árbol de decisiones no sólo contiene las probabilidades de los resultados, sino también los valores monetarios (o de utilidad) condicionales vinculados con esos resultados. Por esto, podemos usar estos árboles para indicar los valores esperados de las diferentes acciones que podamos tomar. Los árboles de decisión tienen símbolos estándar: • Los cuadrados simbolizan puntos de decisión, donde el tomador de decisiones debe elegir entre varias acciones posibles. De estos nodos de decisión, sale una rama para cada acción posible. • Los círculos representan eventos aleatorios, donde ocurre algún estado de la naturaleza. Estos eventos aleatorios no están bajo el control del tomador de decisiones. De estos nodos aleatorios sale una rama para cada resultado posible.

at

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Utilicemos un árbol de decisiones para ayudar a Christie Stem, la propietaria y gerente general del centro de esquí Snow Fun, a decidir cómo debe administrar el hotel la próxima temporada. Las ganancias de Christie de la temporada de esquí de este año dependerán de cuántas nevadas haya durante el invierno. Con base en la experiencia, cree que la distribución de probabilidad de las nevadas y la ganancia resultante puede resumirse en la tabla 17-12. Hace poco, Christie recibió una oferta de una cadena de hoteles para operar el centro durante el invierno, garantizándole una ganancia de $45,000; por otro lado, ha estado considerando la renta de equipo de fabricación de nieve para la temporada. Si renta el equipo, la estación podría operar tiempo completo, sin importar la cantidad de nieve natural que caiga. Si decide usar nieve fabricada para complementar las nevadas naturales, su ganancia de la temporada será $120,000, menos el costo de rentar y operar el equipo de fabricación de nieve. El costo de renta será cerca de $12,000 por la temporada, independientemente de cuánto se use. El costo de operación será $10,000 si cae más de 40 pulgadas de nieve natural, $50,000 si cae entre 20 y 40 pulgadas y $90,000 si cae menos de 20 pulgadas. La figura 17-9 ilustra el problema de Christie como un árbol de decisiones. Las tres ramas que salen del nodo de decisión representan las tres formas posibles de operar el centro este invierno: contratar la cadena de hoteles, administrarlo sin equipo de fabricación de nieve y administrarlo con equipo de fabricación de nieve. Cada una de las dos últimas ramas termina en un nodo aleatorio que representa la cantidad de nieve que caerá durante la temporada. Cada uno de estos nodos tiene tres ramas que salen, una para cada cantidad de nieve posible, y las probabilidades de esa cantidad de nieve se indican en cada rama. Observe que el tiempo fluye de izquierda a derecha del árbol, esto es, los nodos de la izquierda representan acciones o eventos aleatorios que ocurren antes que en los nodos que están más a la derecha. Es muy importante mantener el orden de tiempo adecuado al construir los árboles de decisiones.

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Ejemplo de árbol de decisiones: funcionamiento de un centro de esquí

El árbol de decisiones de Christie

Tabla 17-12 Distribución de nevadas y ganancias para el centro de esquí Snow Fun

780

Capítulo 17


Cantidad de nieve

Ganancia

Probabilidad de ocurrencia

Más de 40 pulgadas De 20 a 40 pulgadas Menos de 20 pulgadas

$120,000 40,000 40,000

0.4 0.2 0.4

Dejar que la cadena hotelera opere el centro

Operar ella sin fabricación de nieve

FIGURA 17-9 Operar ella

Árbol de decisiones de Christie

0.4

> 40" de nieve

0.2

20"-40" de nieve

0.4

< 20" de nieve

0.4

> 40" de nieve

0.2

20"-40" de nieve

0.4

< 20" de nieve

con fabricación de nieve

$120,000 $40,000 –$40,000 $98,000 $58,000 $18,000

Al final de cada rama a la derecha está la ganancia neta que Christie obtendrá si se sigue un camino desde la raíz del árbol (en el nodo de decisión) hasta la copa del árbol. Por ejemplo, si ella opera el centro con la fabricación de nieve y las nevadas están entre 20 y 40 pulgadas, su ganancia será $58,000 ($120,000 menos $12,000 de renta del equipo para hacer nieve y $50,000 de operarlo). Las otras ganancias netas se calculan de manera similar. Ahora podemos iniciar el análisis del árbol de decisiones de Christie. (El proceso inicia a la derecha —en la copa del árbol— y regresa a la izquierda —a la raíz del árbol—. En este proceso hacia atrás, al trabajar de derecha a izquierda, tomamos las decisiones futuras primero y luego retrocedemos para que formen parte de decisiones anteriores.) Tenemos dos reglas que dirigen este proceso:

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Reglas para analizar un árbol de decisiones

$45,000

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1. Si estamos analizando un nodo aleatorio (círculo), calculamos el valor esperado en ese nodo multiplicando la probabilidad en cada rama que sale por la ganancia al final de esa rama y luego sumando los productos de todas las ramas que salen del nodo. 2. Si estamos analizando un nodo de decisión (cuadrado), el valor esperado de ese nodo será el máximo de los valores esperados de todas las ramas que salen del nodo. De esta forma, elegimos la acción con el mayor valor esperado y podamos las ramas que corresponden a las acciones menos rentables. Marcamos esas ramas con una doble diagonal para indicar que se podaron. La decisión óptima de Christie

Para la decisión de Christie que se ilustra en la figura 17-10, el valor esperado de contratar a la cadena de hoteles para que administre el centro es $45,000. Si opera la estación ella y no usa equipo de fabricación de nieve, su ganancia esperada es $40,000 $120,000(0.4) $40,000(0.2) $40,000(0.4) Si utiliza la fabricación de nieve, su ganancia esperada es $58,000 $98,000(0.4) $58,000(0.2) $18,000(0.4) Por tanto, su decisión óptima es operar Snow Fun con equipo de fabricación de nieve. Dejar que la cadena hotelera opere el centro

$45,000 0.4

> 40" de nieve

0.2

20"-40" de nieve

0.4

< 20" de nieve

0.4

> 40" de nieve

0.2

20"-40" de nieve

0.4

< 20" de nieve

$40,000 Operar ella $58,000

sin fabricación de nieve

FIGURA 17-10 Árbol de decisiones de Christie Stem analizado

$58,000 Operar ella con fabricación de nieve

17.6

$120,000 $40,000 –$40,000 $98,000 $58,000 $18,000

Análisis de árboles de decisiones

781

Árboles de decisión e información nueva: aplicación del teorema de Bayes para revisar las probabilidades

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Valor esperado de la información perfecta

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Incorporación de nueva información

Precisamente cuando Christie se está preparando para decidir si dejar que la cadena de hoteles opere Snow Fun u operarlo ella, recibe una llamada de la Asociación Meteorológica ofreciendo venderle un pronóstico de las nevadas de la siguiente temporada. El precio del pronóstico será $2,000, e indicará ya sea que las nevadas estarán por encima o bien que estarán por debajo de lo normal. Después de hacer un poco de investigación, Christie se entera de que la Asociación Meteorológica es una compañía reconocida cuyos pronósticos han sido bastante buenos en el pasado, aunque, por supuesto, no han sido perfectamente confiables. La compañía ha pronosticado nevadas arriba de lo normal el 90% de todos los años en que la cantidad de nieve ha sido más de 40 pulgadas; el 60% en que ha estado entre 20 y 40 pulgadas, y el 30% de los años en que ha estado por debajo de 20 pulgadas. Para incorporar esta nueva información y decidir si debe comprar el pronóstico de nevadas, Christie tiene que usar el teorema de Bayes (que analizamos en el capítulo 4) para ver cómo los resultados del pronóstico harán que revise las probabilidades de nevadas que está usando para tomar su decisión. El pronóstico tendrá algún valor para ella si con él cambia su decisión y evita tomar una decisión no óptima. Sin embargo, antes de hacer los cálculos necesarios para aplicar el teorema de Bayes, decide ver cuánto valdría un pronóstico perfectamente confiable de las nevadas. El cálculo de este VEIP puede hacerse con el árbol dado en la figura 17-11. En esta figura, invertimos el orden del tiempo de la decisión de Christie y cuándo conoce la cantidad de nieve de la temporada. En la figura 17-9, tuvo que decidir cómo operar el centro, y después supo la cantidad de nieve que hubo en realidad. Si dispusiera de un pronóstico perfectamente confiable, sabría cuánta nieve caería antes de tener que decidir cómo operar el centro. Examinemos con cuidado la figura 17-11. Aunque Christie trata de determinar el valor de un pronóstico perfectamente confiable, no puede saber de antemano el resultado del pronóstico. El 40% del tiempo, habrá más de 40 pulgadas de nieve en una temporada de esquí. Entonces, la probabilidad de que el pronóstico sea de más de 40 pulgadas de nieve es 0.4. Cuando las nevadas están en ese nivel, el mejor curso de acción de Christie es operar el centro sin usar equipo de fabricación de nieve, y su ganancia será $120,000. Otro 20% de todas las temporadas, cuando las nevadas están entre 20 y 40 pulgadas, Christie ganará $58,000 operando el centro y usando fabricación de nieve para complementar las exiguas nevadas naturales. Finalmente, en los años con menos de 20 pulgadas de nevadas naturales (lo que sucede el 40% del tiempo), debe tomar los $45,000 de ganancias por dejar que la cadena hotelera opere Snow Fun. Con un pronóstico perfectamente confiable, vemos que la ganancia esperada de Christie sería:

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Costo y valor de información nueva

$77,600 $120,000(0.4) $58,000(0.2) $45,000(0.4) Dejar que la cadena 0.4

hotelera opere el centro Operar ella sin fabricación de nieve

> 40" de nieve $120,000

Dejar que la cadena hotelera opere el centro Operar ella sin fabricación de nieve

20"-40" de nieve

0.2

$58,000

$77,600

FIGURA 17-11 Árbol de Christie con un pronóstico perfectamente confiable

782

Capítulo 17

0.4

< 20" de nieve $45,000


Operar ella con fabricación de nieve

Operar ella con fabricación de nieve Dejar que la cadena hotelera opere el centro Operar ella sin fabricación de nieve Operar ella con fabricación de nieve

$45,000 $120,000 $98,000 $45,000 $40,000 $58,000

$45,000 –$40,000 $18,000

Evento (nevada)

P(evento)

P(pronóstico evento)

Arriba de lo normal

Más de 40” 20”-40” Menos de 20”

0.4 0.2 0.4

0.9 0.6 0.3

Abajo de lo normal

Más de 40” 20”-40” Menos de 20”

0.4 0.2 0.4

0.1 0.4 0.7

Tabla 17-13 Probabilidades posteriores de Christie

Actualización de probabilidades con el teorema de Bayes

Pronóstico

P(pronóstico y evento)

P(evento pronóstico)

0.4. 0.9 0.36 0.2 0.6 0.12 0.4 0.3 0.12 P(arriba de lo normal) 0.60 0.4 0.1 0.04 0.2 0.4 0.08 0.4 0.7 0.28 P(abajo de lo normal) 0.40

0.36/0.60 0.6 0.12/0.60 0.2 0.12/0.60 0.2 0.04/0.40 0.1 0.08/0.40 0.2 0.28/0.40 0.7

Como su mejor curso de acción sin el pronóstico (operar Snow Fun con el equipo de fabricación de nieve) tiene una ganancia esperada de sólo $58,000, su VEIP es de $19,600 ($77, 600 $58,000). Como el pronóstico de la Asociación Meteorológica no es perfectamente confiable, valdrá menos de $19,600. Sin embargo, Christie se da cuenta que la información adicional respecto a la cantidad de nieve puede ser bastante valiosa. ¿Valdrá el pronóstico de la Asociación Meteorológica su costo

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––––––––––––––––––––––––

CENTRO DE ESQUÍ SNOW FUN RESULTADO DEL ¿COMPRAR PAGO PRONÓSTICO? PAGO PRONÓSTICO PROB. PAGO PAGO DE DECISIÓN DE OPERAR NEVADAS PROB PAGO ––––– –––– ––––– ––––– –––––––––––––– –––––– –––– –––– –––– –––– ––––– ––––––– ––––––– ––––– ––––– ––––––– ––––––– –––– –––––––––––––– –––– –––– –––––– QUE LA CADENA OPERE –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– $45,000

1.

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OPERAR CON FÁBRICA DE NIEVE

$58,000 (7)

––––––––––––––––––––––––

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$60,400–[1]

SÍ

–––––––––––––––––––––––––––––––

OPERAR SIN >NORMAL 60% $72,000 [4] FÁBRICA DE NIEVE $70,000 (8) ––––––––––

$60,400–(2)


$72,000 (9)

Árbol de decisiones completo de Christie Stem

40% $120,000

20–40"

20%

$40,000

<20"

40%

($40,000)

>40"

40%

$98,000

20–40"

20%

$58,000

<20"

40%

$18,000

>40"

60% $118,000

20–40"

20%

$38,000

<20"

20%

($42,000)

>40"

60%

$96,000

20–40"

20%

$56,000

<20"

20%

$16,000

QUE LA CADENA OPERE –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– $43,000

OPERAR SIN < NORMAL 40% $43,000 [5] FÁBRICA DE NIEVE $(10,000) (10) ––––––––––

FIGURA 17-12

>40"

QUE LA CADENA OPERE –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– $43,000

––––––––––––––––––––––––

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

OPERAR SIN NO –––––––––––––––––––––––––– $58,000 [3] FÁBRICA DE NIEVE $40,000 (6)


17.6

$32,000 (11)

>40"

10% $118,000

20–40"

20%

$38,000

<20"

70%

($42,000)

>40"

10%

$96,000

20–40"

20%

$56,000

<20"

70%

$16,000


783

Análisis de todo el árbol

Modificación de algunos datos de entrada

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Árboles de decisiones en la computadora personal

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La decisión óptima de Christie

de $2,000? La respuesta a esta pregunta puede hallarse en la tabla 17-13 y en la figura 17-12. La tabla 17-13 utiliza el mismo formato que usamos en el capítulo 4 para hacer los cálculos con el fin de usar el teorema de Bayes para actualizar las probabilidades de nevadas, dados los resultados del pronóstico. Observe cómo cambian las probabilidades. Si el pronóstico es para más nieve de lo normal, la probabilidad de Christie de que habrá más de 40 pulgadas de nieve sube a 0.6 de su valor inicial de 0.4. Con un pronóstico de menos nieve de lo normal, su probabilidad revisada baja a 0.1. La figura 17-12 ilustra todo el árbol, incluyendo la opción de comprar el pronóstico de la Asociación Meteorológica. Revisemos el procedimiento hacia atrás de este árbol. La copa del árbol (del nodo 3 en adelante) es la misma que en la figura 17-10. La base del árbol (del nodo 2 en adelante) analiza las opciones de Christie si compra el pronóstico. En los nodos aleatorios 8, 9, 10 y 11, calculó los valores esperados usando la regla 1. Con la regla 2, decide en el nodo 4 que operará el centro (pero se protege usando el equipo de fabricación de nieve) si el pronóstico es de más nieve que lo normal. Por otra parte, en el nodo 5 decide que aceptará la oferta de la cadena hotelera de operar Snow Fun si el pronóstico es de menos nieve que lo normal. Continuando el análisis del árbol hacia atrás, en el nodo 2 encuentra que el valor esperado de comprar el pronóstico es $60,400. Finalmente, en el nodo 1, Christie decide que debe pagar a la Asociación Meteorológica los $2,000 que cobra por su pronóstico, puesto que la ganancia esperada resultante de $60,400 es mayor que los $58,000 que espera ganar sin comprar el pronóstico. En resumen, vemos que la decisión óptima de Christie es comprar el pronóstico. Después, si el pronóstico es más nieve que lo normal, debe operar el centro ella misma, pero protegerse usando el equipo de fabricación de nieve. Sin embargo, si el pronóstico es menos nieve que lo normal, debe aceptar la oferta de la cadena de hoteles de operar Snow Fun. Si sigue este curso de acción, espera que su ganancia para la temporada sea de $60,400. Aun después de pagar $2,000 por el pronóstico, gana $2,400 más de lo que hubiera ganado si no lo hubiera usado. ¿Cuál es la cantidad máxima que estaría dispuesta a pagar por el pronóstico? Pagaría hasta $2,400 adicionales por él y todavía esperaría ganar al menos tanto como ganaría sin comprarlo. Así, el valor esperado del pronóstico (algunas veces llamado el valor esperado de la información de la muestra, o VEIM) es $4,400, y ésta es la cantidad máxima que Christie estaría dispuesta a pagar por él. Quizá haya observado que la figura 17-12 (árbol de decisiones completo de Christie) era el resultado de un paquete de software. De hecho, construimos el árbol e hicimos los cálculos del teorema de Bayes y el procedimiento hacia atrás con un paquete de hoja de cálculo en una computadora personal. (La figura 17-13 proporciona los datos de entrada y los cálculos del teorema de Bayes de nuestra hoja de cálculo.) Puede realizarse un análisis similar con muchas otras hojas de cálculo. Un estudio de cómo hacer este tipo de análisis fue publicado por J. Morgan Jones en “Decision Analysis Using Spreadsheets”, The European Journal of Operations Research 26(3) (1986): 385-400. También existe software diseñado específicamente para analizar árboles de decisión. Vea el artículo de investigación de Dennis Buede, “Aiding Insight, 11”, OR/MS Today 21(3) (junio de 1994): 62-68. Christie está satisfecha con los resultados de este análisis, pero todavía no está segura de que debe implantar la política óptima. Su incertidumbre proviene del hecho de que no está segura que rentar equipo de fabricación de nieve costará $12,000 para la temporada. Ésa era la cantidad que su amiga, Deborah Rubin, pagó el año pasado por la fabricación de nieve en su negocio, la Posada Quaking DATOS DE ENTRADA Y REVISIÓN DE BAYES PARA CHRISTIE STEM Y EL CENTRO DE ESQUÍ SNOW FUN

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-------– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-------

FIGURA 17-13

ESTADO DE NEVADAS

PROB. ANT.

GANANCIA SIN FÁBRICA DE NIEVE

COSTO DE OPERACIÓN DE FÁBRICA DE NIEVE

GANANCIA CON FÁBRICA DE NIEVE

PROB. DE RESULTADO DE PRONÓSTICO >NORMAL
PROB. CONJUNTAS >NORMAL
PROB. REVISADAS >NORMAL
––-–––– –-–––––

–––– ––––

–––––––––– ––––––––––

––---–––––––– –---–––––––––

––-–––––– –––-–––––

–––––––––––– ––––––––––––

–––––––––––– ––––––––––––

–––––––––––– ––––––––––––

>40" 20–40" <20"

40% 20% 40%

$120,000 $40,000 ($40,000)

$10,000 $50,000 $90,000

Hoja de cálculo con los datos de Christie y los cálculos del teorema de Bayes

784

Capítulo 17

$98,000 $58,000 $18,000

90% 60% 30%

10% 40% 70%

36% 12% 12%

4% 8% 28%

60% 20% 20%

––––––––––– ––––––––––– GANANCIA DE=> $45,000 RENTA AL HOTEL


$120,000 <=INGR. CON FÁBRICA DE NIEVE $ 12,000 <=COSTO DE RENTA DE FÁBRICA DE NIEVE

60%

40% <=PROB. DE RESULTADOS DE PRONÓSTICOS $2,000 <=COSTO DEL PRONÓSTICO

10% 20% 70%

Estrategias razonables

1. No comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente usando fabricación de nieve. 2. Comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente sin usar fabricación de nieve si se pronostica más nieve que lo normal, pero aceptar la oferta de la cadena hotelera si predicen nevadas menores que lo normal. 3. Comprar el pronóstico y operar Snow Fun personalmente usando fabricación de nieve si se pronostica más nieve que lo normal, pero aceptar la oferta de la cadena hotelera si predicen nevadas menores que lo normal. Con su “estimación adivinada” original de $12,000 del costo de renta, la decisión óptima de Christie es seguir la tercera estrategia. Se pregunta si otros posibles costos de renta entre $5,000 y $20,000 afectarán o no su estrategia óptima y ganancia esperada. Aunque es tedioso hacer a mano un análisis de sensibilidad, es bastante fácil hacerlo con ayuda de una hoja de cálculo; la figura 17-14 muestra a Christie qué hacer si el costo de renta de equipo varía de $5,000 a $20,000. Si el costo está entre $5,000 y $6,000, debe adoptar la primera estrategia. (Exactamente en $6,000, le da lo mismo la primera o tercera estrategia.) Para costos entre $6,000 y $14,000, la estrategia 3 es óptima. (Exactamente en $14,000, le da lo mismo la segunda o la tercera estrategia.) Por último, si el costo es mayor que $14,000, debe adoptar la estrategia 2. La última columna de la figura 17-14 da la cantidad máxima que Christie estaría dispuesta a pagar por el pronóstico de nevadas. Incluye este cálculo en su análisis porque ha oído el rumor de que la Asociación Meteorológica tiene tanto trabajo que está considerando incrementar sus honorarios. Estas cifras le serán útiles si tiene que negociar la tarifa por el pronóstico. Acabamos de ver un análisis de sensibilidad respecto a un costo. De manera similar, es posible ver cómo cambian las decisiones óptimas y las ganancias cuando varían los pagos o las probabilidades. Esta capacidad es especialmente importante al usar estimaciones subjetivas de probabilidad en la toma de decisiones, y puede hacerse de una manera bastante directa en una computadora personal. La capacidad de realizar estos análisis de sensibilidad mejora en gran medida el valor de los árboles de decisiones como ayuda para tomar decisiones importantes.

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Otras sensibilidades

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Análisis de sensibilidad

Aspen. Pero existen muchas diferencias, entre ellas que las pendientes de Snow Fun son más largas que las de Quaking Aspen y que hay muchas más compañías que rentan tales equipos este año. Christie está razonablemente segura de que el costo de rentar el equipo estará entre $5,000 y $20,000. Ella está consciente de que sólo existen tres cursos de acción razonables (estrategias) que seguir:

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL COSTO DE RENTA DEL EQUIPO PARA HACER NIEVE ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ESTRATEGIA 1: OPERAR CON EQUIPO DE NIEVE ESTRATEGIA 2: COMPRAR PRONÓSTICO Y OPERAR C/S EQUIPO DE NIEVE SI >NORMAL DEJAR QUE LA CADENA DE HOTELES OPERE SI NORMAL DEJAR QUE LA CADENA DE HOTELES OPERE SI
FIGURA 17-14 Análisis de sensibilidad del costo de rentar el equipo para hacer nieve

ESTRATEGIA / GANANCIA ESPERADA COSTO DE MÁXIMO A –––––––––––––––––––––––––––––– HACER PAGAR POR ESTRATEGIA VALOR –––––––––––––––––––––––––––––– NIEVE PRONÓSTICO 1 2 3 ÓPTIMA ESPERADO ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– $1,600 $65,000 1 $64,600 $59,200 $65,000 $5,000 $2,000 $64,000 1 O 3 $64,000 $59,200 $64,000 $6,000 $2,400 $63,400 3 $63,400 $59,200 $63,000 $7,000 $2,800 $62,800 3 $62,800 $59,200 $62,000 $8,000 $3,200 $62,200 3 $62,200 $59,200 $61,000 $9,000 $3,600 $61,600 3 $61,600 $59,200 $60,000 $10,000 $4,000 $61,000 3 $61,000 $59,200 $59,000 $11,000 $4,400 $60,400 3 $60,400 $59,200 $58,000 $12,000 $4,800 $59,800 3 $59,800 $59,200 $57,000 $13,000 $5,200 $59,200 2 O 3 $59,200 $59,200 $56,000 $14,000 $6,200 $59,200 2 $58,600 $59,200 $55,000 $15,000 $7,200 $59,200 2 $58,000 $59,200 $54,000 $16,000 $8,200 $59,200 2 $57,400 $59,200 $53,000 $17,000 $9,200 $59,200 2 $56,800 $59,200 $52,000 $18,000 $10,200 $59,200 2 $56,200 $59,200 $51,000 $19,000 $11,200 $59,200 2 $55,600 $59,200 $50,000 $20,000

17.6


785

Uso del análisis de árbol de decisiones La resolución del problema de Christie Stem fue fácil, porque el árbol tenía sólo 11 nodos. Pero los problemas de análisis de decisiones del mundo real pueden ser mucho más complejos. Puede haber muchas más alternativas que considerar en cada nodo de decisión y muchos más resultados posibles en cada nodo aleatorio. Además, los problemas más realistas a menudo involucran secuencias más largas de decisiones y eventos aleatorios. (¡Los árboles son más altos y frondosos!) Al resolver un problema con un árbol de decisiones, recuerde detenerse en un nivel de complejidad que le permita considerar las consecuencias importantes de las alternativas futuras sin empantanarse en demasiados detalles. En general, los análisis de árboles de decisiones requieren que los tomadores de decisiones procedan a través de los siguientes seis pasos: 1. Defina el problema en términos estructurados. Primero, determine qué factores son relevantes para la solución. Después, estime las distribuciones de probabilidad apropiadas para describir conductas futuras de esos factores. Recabe datos financieros referentes a los resultados condicionales. 2. Modele el proceso de decisión; esto es, construya un árbol de decisiones que ilustre todas las opciones involucradas en el problema. Este paso estructura el problema presentando todo el proceso de decisión de manera esquemática y organizada, paso por paso. Durante este paso, el tomador de decisiones elige el número de periodos en que se divide el futuro. 3. Aplique los valores de probabilidad y datos financieros apropiados a cada una de las ramas y subramas del árbol de decisiones. Esto le permitirá distinguir el valor de probabilidad y el valor monetario condicional asociados con cada resultado. 4. “Resuelva” el árbol de decisiones. Usando la metodología ilustrada, proceda a localizar la rama particular del árbol que tiene el valor esperado más alto o que maximiza el criterio de decisión, cualquiera que éste sea. 5. Realice análisis de sensibilidad; esto es, determine cómo reacciona la solución a cambios en los datos de entrada. Cambiar los valores de probabilidad y los valores financieros condicionales permite al tomador de decisiones probar tanto la magnitud como la dirección de la reacción. Este paso permite experimentar sin compromisos o errores reales, y sin interrumpir las operaciones. 6. Enumere las suposiciones subyacentes. Explique las técnicas de estimación usadas para llegar a las distribuciones de probabilidad. ¿Qué clase de suposiciones de contabilidad y costos fundamentan los valores financieros condicionales usados para llegar a una solución? ¿Por qué se dicidió el futuro en ese número de periodos? Hacer explícitas estas suposiciones, permite a otros conocer los riesgos que toman cuando usan los resultados del análisis de su árbol de decisiones. Use este paso para especificar los límites dentro de los cuales serán válidos los resultados obtenidos, y en especial las condiciones en las que las decisiones no serán válidas.

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Pasos de los árboles de decisiones

Ventajas del enfoque del árbol de decisiones

El análisis de árbol de decisiones es una técnica que los administradores usan para estructurar y mostrar opciones y procesos de decisión. Es popular porque: • Estructura el proceso de decisión, y sirve de guía a los administradores para abordar la toma de decisiones de una manera ordenada y secuencial. • Requiere que el tomador de decisiones examine todos los resultados posibles, deseables e indeseables. • Comunica el proceso de toma de decisiones a otros, ilustrando cada suposición acerca del futuro. • Permite que un grupo discuta las alternativas enfocándose en cada cifra financiera, valor de probabilidad y suposición subyacente, una a la vez; por tanto, un grupo puede moverse en pasos ordenados hacia una decisión de consenso, en lugar de debatir una decisión en su totalidad. • Puede usarse con una computadora, de manera que pueden simularse muchos conjuntos distintos de suposiciones y observar sus efectos sobre el resultado final.

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Capítulo 17


Advertencia: no olvide que las probabilidades de cada nodo de un árbol de decisiones deben sumar 1.0, y tampoco que la parte importante del análisis de árboles de decisiones es proporcionar las probabilidades. Es mucho más difícil determinarlas que los valores financieros. Conforme nos familiaricemos con la contabilidad y las finanzas, nos sentiremos más seguros al estimar los resultados financieros. Pero aun cuando se convierta en un mago de las finanzas, todavía es posible que se sienta incapaz de “detectar sus instintos” y obtener probabilidades razonables para los resultados. La habilidad para asignar probabi-

lidades subjetivas razonables a los resultados, de una manera consistente, es la razón por la cual se les paga mejor a los administradores exitosos que a los contadores exitosos, aunque ambos realicen un trabajo útil para la organización. Por último, no es de sorprender que las compañías, de hecho, usen árboles de decisiones como parte de sus sistemas expertos (sistemas escritos en lenguaje de computadora avanzado que pueden manejar símbolos lo mismo que valores numéricos), que en efecto toman decisiones simulando el comportamiento de un tomador de decisiones mientras resuelven el problema.


Ejercicios 17.6 Ejercicio de autoevaluación Evelyn Parkhill está considerando tres formas posibles de invertir los $200,000 que acaba de heredar. 1) Algunos de sus amigos están considerando financiar una combinación de lavandería, galería de videojuegos y pizzería, donde los jóvenes del área se puedan encontrar y jugar mientras lavan su ropa. Esta inversión tiene un riesgo alto y podría resultar tanto en una pérdida importante como en una ganancia sustancial en el transcurso de un año. Evelyn estima que con una probabilidad de 0.6, perderá todo su dinero. Sin embargo, con probabilidad de 0.4, tendrá una ganancia de $200,000. 2) Puede invertir en unos departamentos nuevos que se están construyendo en la ciudad. En un año, este proyecto bastante conservador producirá una ganancia de al menos $10,000, pero puede producir $15,000, $20,000, $25,000 o incluso $30,000. Evelyn estima las probabilidades de estos cinco rendimientos en 0.20, 0.30, 0.25, 0,20 y 0.05, respectivamente. 3) Puede invertir en algunos bonos del gobierno que tienen un rendimiento actual del 8.25%. a) Construya un árbol de decisiones para ayudar a Evelyn a decidir cómo invertir su dinero. b) ¿Qué inversión maximizará su ganancia esperada en un año? c) ¿Cuánto deben producir los bonos del gobierno para que decida invertir en ellos? d) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar por la información perfecta sobre el éxito de la lavandería? e) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar por la información perfecta sobre el éxito de los departamentos?

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EA 17-4


La Motor City Auto Company planea producir un nuevo automóvil que ofrezca un sistema de control de contaminación radicalmente nuevo. Tiene dos opciones. La primera es construir una nueva planta, anticipando una producción completa en 3 años. La segunda opción es reconstruir una pequeña planta piloto existente para una producción limitada el siguiente año del modelo. Si los resultados de la producción limitada son prometedores al final del primer año, la producción a escala total en una planta recién construida seguiría siendo posible dentro de 3 años. Si decide proceder con la planta piloto, y un análisis posterior muestra que no resulta atractivo llegar a la producción total, la planta piloto puede seguir operando por sí misma con una pequeña ganancia. Las ganancias anuales esperadas para las diversas alternativas son las siguientes: Instalación de producción

Aceptación de los consumidores

Ganancia anual (millones de dls.)

Planta nueva Planta nueva Planta piloto Planta piloto

Alta Baja Alta Baja

14 6 2 1

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■ 17-26

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Nivel de éxito

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■ 17-27

La división de marketing de Motor City ha estimado que hay 50% de probabilidades de que la aceptación de los consumidores sea alta y otro 50% de que sea baja. Si se pone en producción la planta piloto, junto con un programa de publicidad moderado, los investigadores sienten que las probabilidades son 45% de alta aceptación de los consumidores y 55% de baja aceptación. Más aún, han estimado que si se construye la planta piloto y se encuentra que la aceptación de los consumidores es alta, existe el 90% de probabilidades de aceptación alta con producción total. Sin embargo, si se encuentra que la aceptación de los consumidores con los modelos piloto es baja, sólo hay el 10% de probabilidad de una eventual aceptación alta con producción total. ¿Qué planta se debe construir? Vea el problema de Christie Stem, figura 17-9. a) Suponga que el costo de operación del equipo de fabricación de nieve resulta ser 30% mayor de lo estimado por Christie, esto es, $13,000 si las nevadas son grandes, $65,000 si son moderadas y $117,000 si son ligeras. ¿Cómo afectará esto a la decisión óptima y a la ganancia esperada de Christie? b) Responda las mismas preguntas del inciso a) si el costo de operación real es 20% más alto que la estimación original de Christie. c) ¿A qué porcentaje de aumento del costo de operación le dará lo mismo a Christie entre las decisiones óptimas de los incisos a) y b)? En este punto, ¿cuál será su ganancia esperada? La International Pictures está tratando de decidir cómo distribuir su nueva película Garras. La película narra la historia de un experimento de cría de ganado en la Universidad Estatal de Carolina del Norte que se sale de control, con resultados cómico-trágicos. El intento de criar pavos con más carne produce de alguna manera un pavo inteligente de 1,000 libras que escapa del laboratorio y aterroriza el campus. En un sorprendente final, el pavo se hace amigo del entrenador Morey Robbins, quien le enseña a jugar básquetbol y llega a ganar el campeonato NCAA. Debido a la controvertida naturaleza de la película, tiene el potencial de ser todo un éxito, un éxito modesto o un fracaso total. International quiere decidir si estrena la película con una distribución general desde el principio o si comienza con un “estreno limitado” en unos cuantos cines seleccionados, seguido de una distribución general tres meses después. La compañía ha estimado las siguientes probabilidades y ganancias condicionales de Garras:

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Gran éxito Modesto Fracaso

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Ganancias (millones de dls.)

Probabilidad

Estreno limitado

Distribución general

0.3 0.4 0.3

22 19 10

12 18 2

a) Construya un árbol de decisiones para que International decida cómo estrenar Garras. b) ¿Qué decisión maximizará la ganancia esperada? c) ¿Cuánto pagaría International por un pronóstico absolutamente confiable del nivel de éxito de la película? d) International puede hacer varios preestrenos de Garras para tener una mejor idea del nivel de éxito de la película. El público de los preestrenos clasifica las películas como buena o excelente, pero sus opiniones no son completamente confiables. Con base en otras experiencias con preestrenos, International ha encontrado que el 90% de sus grandes éxitos se clasificaron como excelentes (con 10% de ellos clasificados como buenos), 65% de todos los éxitos modestos fueron clasificados como excelentes (con 35% clasificados como buenos) y 40% de todos los fracasos fueron clasificados como excelentes (con 60% clasificados como buenos). Si el costo de los preestrenos fuera alrededor de $750,000, ¿deben relizarse los preestrenos de Garras? ¿Cómo debe responder International a los resultados? ¿Cuál es la cantidad máxima que International debería estar dispuesta a pagar por los preestrenos? Sam Crawford, estudiante del penúltimo año de administración, vive fuera del campus y acaba de perder el autobús que lo habría llevado para su examen de las 9:00 AM Ahora son las 8:45 AM y Sam tiene varias opciones disponibles para llegar al campus: esperar el siguiente autobús, caminar, ir en bicicleta o manejar su auto. El autobús está programado para llegar en 10 minutos, y le tomará exactamente 20 minutos para llegar a su examen a partir del momento en que se suba al autobús. Sin embargo, existe la probabilidad de 0.2 de que el autobús llegue 5 minutos antes, y una probabilidad de 0.3 de que el autobús llegue 5 minutos después. Si Sam camina, hay una probabilidad de 0.8 de que llegue al examen en 30 minutos, y una probabilidad de 0.2 de que lo haga en 35 minutos. Si Sam va en bicicleta, llegará al examen en 25 mi-

Capítulo 17


nutos con una probabilidad de 0.5, 30 minutos con una probabilidad de 0.4 y existe una probabilidad de 0.1 de que se le ponche una llanta y llegue en 45 minutos. Si Sam maneja su coche al campus, le tomará 15 minutos llegar a la ciudad universitaria, pero el tiempo requerido para estacionar el auto y llegar al examen está dado por la siguiente tabla: Tiempo para estacionarse y llegar (minutos) Probabilidad

10 0.30

15 0.45

20 0.15

25 0.10

a) Suponiendo que Sam desea minimizar su tiempo de retraso esperado para llegar al examen, dibuje el árbol de decisiones y determine su mejor opción. b) Suponga en vez de esto que Sam desea maximizar su utilidad esperada medida por la proyección de la calificación. Use el mismo árbol de decisiones para determinar su decisión ahora. Hora de llegada Calif. de examen proyectada

9:15 85

9:20 70

9:25 60

9:30 45

La Autoridad de Aeropuertos de Carolina del Norte intenta resolver un difícil problema del saturado aeropuerto Raleigh-Durham. Tiene tres opciones que considerar: 1) Se puede rediseñar y reconstruir el aeropuerto por completo a un costo de $8.2 millones. La pregunta es cuál es el valor presente de los ingresos aumentados de un nuevo aeropuerto. Hay 70% de probabilidades de que su valor presenta sea $11 millones, 20% de probabilidades de que sea $5 millones y 10% de probabilidades de que sea $1.0 millón, según si el nuevo aeropuerto es todo un éxito, tiene un éxito moderado o fracasa. 2) Se puede remodelar el aeropuerto con una nueva pista de aterrizaje a un costo de $4.7 millones. El valor presente de los ingresos incrementados sería $6 millones (con probabilidad de 0.8) o $3 millones (con probabilidad de 0.2). 3) Podrían elegir no hacer nada y sufrir una pérdida de ingresos de $1 millón (con probabilidad de 0.65) o $4 millones (con probabilidad de 0.35). a) Construya un árbol de decisión para ayudar a la Autoridad de Aeropuertos. b) ¿Qué opción maximizará el valor presente de ganancia? c) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por la información perfecta acerca del éxito del nuevo aeropuerto? d) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por la información perfecta acerca del éxito de un aeropuerto remodelado?

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■ 17-29

9:10 95

Soluciones al ejercicio de autoevaluación a) INVERSIÓN ––––––– –––––––

GANANCIA ––––– –––––

PROB PAGO –––– –––– ––––– ––––– -200.0 +–– 60%

–

GANANCIA ––––– –––––

-40.00 ––– ( ) ––

––– LAVANDERÍA

+–– 40%

+–– 20%

––––– ––––– ––––– –––––

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–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

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+–– 30%

18.00 –[ ] DEPARTAMENTOS

18.00 ––– ( )–– 25%

+–– 20%

+–– 5%

BONOS GOB.

200.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

16.5

17.6


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b) Debe invertir en los departamentos. c) Para que los bonos tengan un rendimiento mayor que $18,000, tendrían que pagar una tasa de interés mayor al 9%. d) Con información perfecta acerca de la lavandería, invertiría en ella si supiera que tendrá éxito, de otra manera invertiría en los departamentos. Entonces su rendimiento esperado con información perfecta es 0.6(18) 0.4(200) 90.8 y así, VEIP 90.8 18 72.8, es decir, $72,800 e) Con información perfecta acerca de los departamentos, invertiría en ellos si su rendimiento fuera mayor que $16,500, de otra manera compraría bonos del gobierno. Así su rendimiento esperado con información perfecta es 0.5(16.5) 0.25(20) 0.20(25) 0.05(30) 19.75, y entonces VEIP 19.75 18 1.75, es decir, $1,750

Estadística en el trabajo

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Caso 17: Teoría de decisiones Una curiosa calma inundó Loveland Computers y Lee Azko comenzó a pensar en programar un bien merecido día en las colinas. Tanto Walter Azko como Gracia Delaguardia habían estado fuera de la oficina durante dos días, y se rumoraba que estaban en Nueva York, entrevistándose con los banqueros inversionistas. Lee encontró un mensaje en la contestadora telefónica de su casa: “Lee, soy tu tío. Puedes olvidarte de ir a esquiar este fin de semana. Y no vayas a la oficina. Gracia y yo debemos tomar una decisión importante. Ven a mi casa mañana temprano. Vamos a desayunar y nos podrás ayudar a Gracia y a mí a resolver esto.” “Sírvete”, le dijo Walter la mañana siguiente, señalándole una gran pila de hotcakes. “Probablemente puedes adivinar dónde estuvimos esta semana.” El gesto de Walter indicaba que se refería a él y su socia. “Sé que puede parecer extraño para una compañía tan grande como ésta que siga siendo una sociedad. Pero en muchas formas es simplemente un negocio ‘familiar’...” “... con algunos números bastante grandes”, añadió Gracia. “Bueno, existen todo tipo de compañías que crecieron bastante mientras seguían sin participar en la Bolsa”, concluyó Walter. “La mayor parte de las compañías de software, y algunos de tus competidores directos”, comentó Lee. “Pues ahora estamos en un punto decisivo”, continuó el director ejecutivo de Loveland Computers. “Estos tipos de Nueva York están listos para hacer una inversión realmente sustancial en Loveland. Pero, como uno esperaría, quieren que formemos una corporación, y que les demos una participación del 60%. Supongo que eso es bastante normal. En algún momento, tal vez en 2 o 5 años, la compañía entrará a la Bolsa.” “Tú y Gracia, con el 20% cada uno, tendrán una fortuna”, dijo Lee alegremente, preguntándose si sería demasiado pronto para solicitar una bonificación.

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Loveland Computers

“Pero por otro lado”, advirtió Gracia, “tal vez nos convenga más quedarnos como estamos. Claro, esto significa que tendremos que limitar nuestro crecimiento, digamos, tal vez a 25% anual”. “En contraste con un crecimiento de 50 o 100% anual en ventas si tuviéramos suficiente capital que nos respaldara”, dijo Walter. “Bueno, tío, esto no es para romperse la cabeza”, Lee seguía soñando con grandes bonificaciones. “Vayan por el oro. Tomen el dinero, crezcan todo lo que quieran: nuevos almacenes y más teléfonos de atención, y logren mayores ganancias.” “No es tan simple”, Gracia continuaba dudosa. “La economía se mantiene fija en el mejor de los casos. Si hay un repunte económico, la expansión será rentable. Pero si el país continúa otro año con crecimiento muy lento, entonces la única forma en que podríamos expandir nuestra participación de mercado sería bajando seriamente los precios. Así que mantendríamos activas las nuevas instalaciones, pero a final de cuentas ganaríamos mucho menos dinero.” “¿Quieres decir que podrías vender más y ganar menos?”, Lee se mostraba incrédulo. “Absolutamente. Sucede más seguido de lo que crees. De hecho, no puedo estar seguro de la estructura de precios de toda la industria”, dijo Walter, volviendo a intervenir en la conversación y estirándose para alcanzar el jarabe de maple. “Muchos expertos industriales esperan que algunos de los grandes nombres, como IBM y Compaq, renuncien a su estrategia de precios altos. Si aceptan un margen mucho menor en sus máquinas, podrían incrementar mucho el número de computadoras vendidas. Y ambas tienen capacidad de fabricación aquí en Estados Unidos, así que podrían incrementar la producción mucho más rápido que nosotros.” “Dame esa servilleta y una pluma”, dijo Lee poniéndose serio. “Déjenme ver si puedo esbozar sus opciones.”

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Capítulo 17


Preguntas de estudio: ¿Qué está dibujando Lee en la servilleta? ¿Cuál es la acción que los socios tomarán o no después de esta discusión? ¿Cuáles son las incertidumbres que enfrentan? ¿Qué tan bien estimarán estas tres personas las probabilidades de los distintos resultados?

Del libro de texto al mundo real

cuencia y no son perecederos. Por el contrario, los productos no almacenables pueden ser perecederos, venderse sólo en grandes envases, o usarse con poca frecuencia. El estudio usó una estructura de decisión bayesiana por las dos razones siguientes:

Al borde de una guerra de precios En marzo de 1983, una pequeña cadena de tiendas de abarrotes canadiense usó los resultados de un estudio sobre estrategias de precios para competir con éxito durante una guerra de precios. El estudio indicaba que la sensibilidad de los precios de bienes comestibles almacenables es diferente de la de bienes no almacenables. Se utilizó un esquema de decisión bayesiano para determinar la estrategia óptima de tratamiento de precios, así como el riesgo en dólares asociado con ella. También se proporcionó una regla de detención óptima para el experimento. En lugar de responder a la competencia con cortes de precios drásticos, la cadena implantó una estrategia precisa de preservación de ganancias. Como resultado, la cadena incrementó sustancialmente su participación de mercado durante la guerra de precios, al costo de sólo 1.2% de su margen total. La competencia sufrió una disminución aproximada del 5% en su margen.

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El modelo representa las ventas de cada producto como una función del tipo de producto (almacenable o no) y del nivel de precios (precio normal y 20% arriba o abajo del precio normal). Podían evaluarse seis posibles tratamientos de precios: elevar los precios de bienes almacenables o no almacenables, disminuir los precios de bienes almacenables o no, o mantener los precios normales de cualquier tipo de bienes. Era importante medir los cambios en las ventas, pero la utilidad percibida, asociada con cada tratamiento también era necesaria. Después de cada semana, se obtenía un valor de la pérdida esperada de la decisión inmediata. La continuación del experimento sólo se justificaba si la nueva información reducía esta pérdida esperada de la decisión inmediata en una cantidad mayor qué el costo de la nueva información.

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El mercado de abarrotes de Quebec Hasta 1980, la industria de venta al menudeo de abarrotes en Quebec estuvo dominada por Steinberg, Inc. Steinberg utilizó una estrategia de presión sobre los costos y reducción de precios que mantuvo a la competencia en un mínimo, por lo cual quedó convertida en la número 24 de las compañías más grandes (en términos de ventas). La industria de ventas al menudeo de abarrotes comenzó a consolidarse para competir mejor con Steinberg. Hacia 1982, la industria era un oligopolio dominado por Provigo, Metro-Richelieu, Steinberg, y Hudon y Deaudelin (IGA), con participaciones de mercado de 31, 25, 20 y 8.5%, respectivamente. Steinberg, que ocasionó la consolidación, irónicamente se convirtió en la más vulnerable a ésta. Tenía costos de mano de obra mayores y estaba sujeto a reglamentos que limitaban sus horas de operación y restringían la venta de cerveza y vinos.

1. Podía seleccionarse la estrategia de precios que producía la mayor rentabilidad y estimarse el riesgo en dólares asociado con esta estrategia. Esto indicaría la estrategia óptima a usar durante una guerra de precios. 2. Este diseño indica cuándo detener el experimento, lo que es muy importante debido al gasto involucrado en la experimentación de precios.

El experimento de precios Como la cuarta compañía más grande del oligopolio, Hudon y Deaudelin tendría que responder a movimientos competitivos de las otras empresas importantes y, sin embargo, la gerencia sabía que las rebajas drásticas de precios ocasionarían grandes pérdidas. Para preparar a la compañía para una inminente guerra de precios, el presidente de Hudon y Deaudelin contrató asesores para realizar un experimento. El estudio indicaba que ocurría una diferencia muy pequeña en el nivel de ventas cuando se cambiaba el precio de la fruta fresca, mientras que ocurría un cambio mayor cuando se alteraba el precio de los vegetales enlatados. El experimento investigaba esta diferencia en la sensibilidad de los precios de bienes almacenables y no almacenables. Los productos almacenables son aquellos que pueden comprarse en grandes cantidades, se usan con fre-

Resultados Después de dos semanas, era evidente que los consumidores eran altamente sensibles a los cambios de precios en los productos almacenables, pero no podían aprovechar las fluctuaciones en el precio de bienes no almacenables guardándolos (vea la tabla MR17-l). Los resultados sugieren que las rebajas drásticas pueden dañar los ingresos innecesariamente. Si se requieren las rebajas, Hudon y Deaudelin (IGA) deben bajar los precios sólo en productos almacenables, mientras que los precios de productos no almacenables pueden elevarse o mantenerse constantes. A principios de marzo de 1983, Steinberg anunció su nueva promoción, “le regresamos el 5% de su cuenta”. En cuestión de horas, Metro-Richelieu y Provigo siguieron su ejemplo. IGA llevó a cabo reducciones de precios en cientos de productos almacenables, pero no redujo los precios drásticamente. Como resultado, experimentó la menor disminución en su margen total. La guerra de precios duró sólo 14 semanas y ocasionó pérdidas en el margen total y en la participación de mercado tanto a Steinberg como a Metro-Richelieu. Al planear con antelación y usar métodos estadísticos, IGA no sólo se ahorró millones de dólares al preservar su margen, sino que realmente incrementó su participación de mercado del 8.5 al 9.5%. Fuente: Roger J. Calantone, Cornelia Droge, David S. Litvack y C. Anthony Di Benedetto. “Flanking in a Price War”, Interfaces 19(2)(1989): 1-12.

Del libro de texto al mundo real

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Elevado 20%

54.95 10.55

1.75 6.95

24.10 27.60

Cambio porcentual en ventas unitarias estandarizadas después de manipular precios. Las ventas de bienes almacenables se incrementan fuertemente en respuesta a una reducción de precios y disminuyen fuertemente en respuesta a un incremento de precios. Los cambios en las ventas de productos no almacenables son mucho menos drásticos.

Automatización postal en Estados Unidos

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En 1984, el Servicio Postal de Estados Unidos decidió continuar usando el código postal de nueve dígitos (ZIP 4) para remitentes comerciales de primera clase y comprar equipo básico adicional como parte de su movimiento continuo hacia la automatización. Antes de esta decisión, se pidió a la Oficina de Asesoramiento Tecnológico (OAT) y a sus contratistas que efectuaran análisis técnicos y económicos para evaluar las opciones disponibles para el Congreso de Estados Unidos y el Servicio Postal. Las opciones de automatización implicaban inversiones de capital de más de $350 millones y mantenimiento anual y otros costos que podían ascender a más de $300 millones al año, pero que permitían ahorros anuales potenciales de aproximadamente $1.5 miles de millones en requerimientos menores de mano de obra. Ante la incertidumbre respecto a los ahorros posibles, la OAT usó teoría de decisiones para determinar la mejor opción para el Servicio Postal de Estados Unidos (SPEU).

Marco de decisiones Antes de proceder con el plan de automatización, se pidió a la OAT que investigara la conveniencia de la estrategia en el terreno técnico y el económico. Su estudio juzgó que la estrategia era técnicamente factible, pero varias opciones de implantación requerían mayor análisis para determinar la viabilidad económica. El SPEU compró, originalmente, OCR de una línea que leían la última línea de cada dirección. También había OCR multilínea con capacidad de leer hasta cuatro líneas de una dirección. Los OCR multinlínea tenían un desempeño similar al leer códigos ZIP 4, pero eran mejores al leer códigos postales de cinco dígitos que los OCR de una línea. Se identificaron varios proveedores de estos OCR. La perspectiva se complicó porque los grandes ahorros eran fortuitos en la clasificación reducida, que, al menos con los OCR de una línea, requería que grandes volúmenes de remitentes de primera clase usaran nueve dígitos. Para estudiar esta compleja e incierta situación, se contrató a Decision Science Consortium, Inc., en febrero de 1984, con el fin de realizar un análisis de decisión de las alternativas de automatización postal. El modelo básico incluía seis pasos: 1) identificar opciones de decisión, 2) desarrollar un modelo probabilístico de flujo de efectivo para cada operación, 3) analizar los resultados, 4) discutir el modelo en un taller público, 5) refinar el modelo basándose en la información intercambiada en el taller y 6) presentar los análisis y evaluaciones al Congreso.

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Sin cambios

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Almacenable No almacenable

Rebajado 20%

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Tipo de producto

Acababa de recibir presupuestos de otros 403 OCR y estaba planeando solicitarlos para 452 CCB adicionales.

Manipulación de precios

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Tabla MR17-1

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La automatización postal: costos y beneficios Desde octubre de 1983, el SPEU ha animado a los remitentes comerciales a usar el código postal de nueve dígitos, ofreciendo una tasa de descuento por grandes volúmenes de correo de primera clase que empleen el ZIP 4. Al mismo tiempo, el SPEU comenzó la Fase I de su programa de automatización. Hacia 1984, había comprado 252 lectores ópticos de caracteres (OCR, Optical Character Readers) y 248 clasificadores de código de barras (CCB) a un costo aproximado de $234 millones. Se pidió a OAT que revisara el sistema antes que comenzara la Fase II de la operación. La reducción del número de empleados postales involucrados en el direccionamiento intermedio proporcionaría la mayor cantidad de ahorros porque la mano de obra representa cerca del 85% de los costos postales totales. Se obtendrían grandes ganancias de la automatización conjunta con el uso del código ZIP 4 que permitía clasificar en un nivel más avanzado que los códigos postales de cinco dígitos. Los OCR leen el código ZIP 4, lo traducen a código de barras y lo imprimen en el sobre. Luego los CCB clasifican la carta automáticamente al nivel de rutas de mensajeros, eliminando toda la clasificación intermedia. El SPEU asignó $450 millones para la Fase II.

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Capítulo 17


El modelo de análisis de decisión: estructura, opciones y evaluación Se identificaron seis opciones: A) OCR de una línea, B) OCR multilínea con códigos postales de 9 dígitos (ZIP 4), C) multilínea sin ZIP 4, D) convertir a multilínea después, E) restringir (convertir sólo si el uso de ZIP 4 fuera bajo) y F) cancelar la Fase II y ZIP 4. Cada opción se evaluó con base en la tasa interna de retorno y el valor presente neto de flujos de efectivo. Se usó una tasa de descuento del 15% y el horizonte de tiempo fue de 1985 a 1998. El flujo de efectivo neto anual se calculó como ahorros menos inversión, mantenimiento y reducción de tasas. Se modelaron tres incertidumbres importantes que afectaban los ahorros de la automatización postal: el uso de ZIP 4, el porcentaje de ahorros y los ahorros de uso. Históricamente, el SPEU tendía a sobrestimar tanto el uso de nuevos programas por los remitentes como el ahorro potencial de equipo nuevo. En condiciones de un alto uso de ZIP 4 y grandes ahorros, la opción D (convertir) tenía una tasa interna de retorno del 111% y un valor presente neto (VPN) de $2,700 millones, haciéndola una opción muy atractiva. De los árboles, se claculó el VPN esperado de la siguiente manera: Opción A: $1,300 millones Opción C: $900 millones Opción E: $1,400 millones

Opción B: $1,200 millones Opción D: $1,500 millones

reflejaban incertidumbres. También ayudó a la OAT a pensar creativamente acerca del problema y a generar alternativas. Más aún, facilitó el uso de análisis múltiples o plurales para llegar a una evaluación global.

Así, según el valor esperado, se prefirió la opción D (convertir), y cualquier Fase II era mejor que cancelar. Conclusiones El análisis de árbol de decisiones se usó como base para el informe de OAT al Congreso en junio de 1984. Proporcionaba evaluaciones detalladas y cuantitativas de las implicaciones económicas de las opciones de estrategias que

Fuente: Jacob W. Ulivila, “Postal Automation”, Interfaces 17(2) (marzo-abril de 1987): 1-12.

Repaso del capítulo ● Términos introducidos en el capítulo 17 Pago Beneficio reunido de una combinación dada de una alternativa de decisión y un estado de la naturaleza.

Árbol de decisiones Representación gráfica del entorno de decisiones, indica las alternativas de decisión, los estados de la naturaleza, las probabilidades relacionadas con esos estados de la naturaleza y beneficios y pérdidas condicionales.

Pérdida por obsolescencia Pérdida ocasionada por almacenar demasiadas unidades y tener que desechar unidades no vendidas.

Certidumbre Entorno de decisión en el que sólo existe un estado de la naturaleza.

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Pérdida marginal Pérdida incurrida por tener almacenada una unidad que no se vende. Pérdida marginal esperada Pérdida marginal multiplicada por la probabilidad de no vender esa unidad.

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Estado de la naturaleza Evento futuro que no está bajo el control del tomador de decisiones.

Pérdida de oportunidad Ganancia que se pudo obtener si se hubieran tenido almacenadas suficientes unidades para surtir una unidad solicitada.

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Criterio del valor esperado Criterio que requiere que el tomador de decisiones calcule el valor esperado para cada alternativa de decisión (la suma de los pagos ponderados para esa alternativa en la que los pesos son los valores de probabilidad asignados por el tomador de decisiones a los estados de la naturaleza que pueden ocurrir).

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Ganancia condicional Ganancia que resultaría de una combinación dada de alternativas de decisión y un estado de la naturaleza.

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Ganancia esperada Suma de las ganancias condicionales para una alternativa de decisión dada, cada una ponderada por la probabilidad de que ocurra. Ganancia esperada con información perfecta Valor esperado de la ganancia con certidumbre perfecta respecto a los estados de la naturaleza que ocurrirán. Ganancia marginal Ganancia obtenida de vender una unidad adicional. Ganancia marginal esperada Ganancia marginal multiplicada por la probabilidad de vender esa unidad. Nodo Punto en el que tiene lugar un evento aleatorio o una decisión en un árbol de decisiones.

Probabilidad mínima Probabilidad de vender al menos una unidad adicional que debe existir para justificar tenerla almacenada. Punto de decisión Punto de ramificación que requiere una decisión. Procedimiento hacia atrás También llamado retroceso; método para usar árboles de decisión para encontrar alternativas óptimas. Implica trabajar de derecha a izquierda en el árbol. Utilidad Valor de un cierto resultado o pago para alguien; el placer o disgusto que alguien deriva de un resultado.

Valor de recuperación Valor de un producto después del periodo inicial de venta. Valor esperado de información perfecta Diferencia entre la ganancia esperada (en condiciones de riesgo) y la ganancia esperada con información perfecta.

● Ecuaciones introducidas en el capítulo 17 ■

17-1

p(GM) (1 p)(PM) Esta ecuación describe el punto en el que la ganancia marginal esperada de guardar y vender una unidad adicional, p(GM), es igual a la pérdida marginal esperada de tener y no vender la unidad (1 p)(PM). Mientras p(GM) sea mayor que (1 p)(PM), se deben almacenar unidades adicionales, porque la ganancia marginal esperada de esa decisión es mayor que la pérdida marginal esperada.

■

17-2

PM p* GM PM Repaso del capítulo

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Ésta es la ecuación de probabilidad mínima. El símbolo p* representa la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad adicional para justificar el inventario de esa unidad adicional. Mientras la probabilidad de vender una unidad adicional sea mayor que p*, el comerciante debe almacenar esa unidad. Esta ecuación es la ecuación 17-1 despejando p*.

● Ejercicios de repaso ■ 17-30

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■ 17-31

La Mountain Manufacturing Company planea producir impresoras de matriz de puntos. Un problema que enfrenta es la decisión de fabricar o comprar las cabezas de impresión. Puede comprar estas unidades a un fabricante japonés a $35 cada una, o puede producirlas en su propia planta con costos variables de $24 la unidad. Si escoge producir las cabezas de impresión, incurrirá en costos fijos de $28,000 al año. Debido a las unidades defectuosas, cada impresora requiere 1.15 cabezas. La compañía prevé que la demanda anual de sus impresoras tendrá una distribución normal con media 3,000 unidades y desviación estándar 700 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que el uso requerido de cabezas de impresión sea suficientemente grande para justificar producirlas en vez de comprarlas? Si es política de la compañía fabricar componentes sólo cuando hay más del 60% de probabilidad de que el uso esté 1.5 de desviación estándar arriba del punto de equilibrio de hacer o comprar, ¿cuál debería ser la decisión en esta cuestión? Sarah Peterson va a abrir una tienda de comida saludable, la Boysenberry Farms Organic Food Emporium. Al planear su inventario inicial, Sarah está tratando de decidir cuántos tarros de jalea de grosella comprar a la señora Miles. Ella prepara su jalea de grosella sólo una vez cada dos meses, así que es necesario que Sarah planee con anticipación cuánta necesitará (no hay posibilidad de volver a ordenar en el ínterin). Sarah debe decidir entre satisfacer a sus clientes y amigos y perder dinero si la jalea se echa a perder, ya que tiene un periodo de vida en anaquel de dos meses. Sarah está segura de que venderá al menos 10 tarros durante el periodo, y 18 amigos le han prometido que comprarán la jalea cuando la tenga en existencia. Sarah sabe que la probabilidad de vender más de 18 tarros es prácticamente nula y piensa que las ventas caerán en algún punto entre 10 y 18 tarros, a pesar de lo que le han prometido los amigos. Sarah tiene todos los datos de costo y planea vender un 50% arriba del costo. Como está planteado el problema, ¿puede Sarah obtener una solución a su problema usando teoría de decisiones? Por un precio de $26.95, La Langouste ofrece un plato principal que consiste en dos colas de langosta marina asadas con salsa de ajo en mantequilla. Debido al reglamento federal de salud, las langostas, que son importadas de la Península de Yucatán, no pueden entrar vivas a Estados Unidos. Sólo se pueden importar colas refrigeradas o congeladas. El chef de La Langouste, que se niega a usar colas de langosta congeladas y para mantener la reputación de su establecimiento de servir sólo haute cuisine emplea un agente para traer colas de langosta recién refrigeradas por avión diariamente desde la península. Toda cola que no se sirve el día de su envío debe desecharse. El chef desea saber cuántas colas debe embarcar el agente cada día. Desea poder satisfacer a sus clientes, pero se da cuenta que si siempre ordena lo suficiente para satisfacer la demanda potencial, esto podría implicar un gasto sustancial en los días de baja demanda. Ha calculado el costo de una sola cola de langosta en $7.35, incluyendo los cargos de transporte. Los registros anteriores muestran la siguiente distribución de la demanda diaria del platillo de cola de langosta: Número Probabilidad

■ 17-33

■ 17-34

794

18 0.07

19 0.09

20 0.11

21 0.16

22 0.20

23 0.15

24 0.14

25 0.08

a) Si desea maximizar sus ganancias esperadas diarias sobre las colas de langosta, ¿cuántas colas debería ordenar el chef? b) Si La Langouste adoptara una política que requiriera que los clientes ordenaran la langosta marina un día antes, ¿cuánto incremento en la ganancia se podría esperar? La compañía para el cuidado de prados y jardines Bay Lalkes proporciona servicios a propietarios de casas y pequeños negocios. La compañía está considerando la compra de un nuevo aspersor de fertilizantes a un costo de $43.50. Se estima que el aspersor ahorrará 8 minutos de trabajo por cada hora que esté en uso. El jefe especialista en cuidado de céspedes Ralph Medlin estima que la vida esperada del aspersor es sólo de 48 horas debido a la corrosión y las probabilidades son de 7 a 5 de que su vida esté entre 42 y 54 horas. Si la compañía paga su servicio de jardinería a $12.50 la hora, ¿cuál es la probabilidad de que el gasto del aspersor se recupere antes de que se estropee? El departamento de equipaje de la tienda departamental Madison Rhodes realiza una venta especial de equipaje un día después de Navidad de la mercancía navideña no vendida. La marca de equipaje en barata será Imagemaker. El gerente del departamento planea su pedido. Como la tienda no vende Imagemaker durante el año, el gerente desea evitar la sobreexistencia; sin embargo, debido al precio especial que

Capítulo 17


el fabricante ofrece en la línea, también desea minimizar los faltantes. Intenta decidir el número de bolsas de viaje de mujer que debe comprar. Su estimación de las ventas probables basándose en parte en su experiencia es: Bolsas Probabilidad

■ 17-35

33 0.14

34 0.15

35 0.20

36 0.17

37 0.13

38 0.11

La tienda planea vender estas bolsas en $42.75. El costo al mayoreo es $26.00. ¿Cuántas bolsas deben pedirse para su venta? Archdale, una cadena de tiendas de moda masculina, está considerando comprar un lote de 5,700 corbatas de Beau Charin Company. El lote de corbatas costará $16,500 y cada corbata se venderá en $3.50. El vicepresidente de ventas de Archdale ha afirmado que piensa que la cadena podría vender 5,000 corbatas, y las posibilidades son de 2 a 3 de que las ventas reales estén dentro de 200 arriba o abajo de su estimación. Las corbatas no vendidas carecen de valor. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Archdale al menos quede a mano en la venta de corbatas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Archdale pueda ganar el 10% o más de su inversión en inventario? Barry Roberts, abogado corporativo en jefe de Triangle Electronics, acaba de enterarse que un competidor ha entablado dos demandas relacionadas de violación de patentes contra Triangle. La primera se dictará en la Suprema Corte en 3 meses, y la segunda está programada 6 meses después. Barry estima que el primer juicio no tomará más de 4 meses en concluir. Las opciones disponibles para Triangle en cada caso son llegar a un arreglo amistoso o dejar que se lleve a cabo el juicio. La preparación de cualquiera de los juicios costará $7,500, pero parte de la preparación legal del primero ayudará en el segundo, así que el costo de prepararse para ambos juicios será de sólo $12,000. Barry estima que le costará a Triangle $75,000 llegar a un arreglo en la primera demanda y $45,000 en la segunda. Claro que si llega a un acuerdo, Triangle evita los costos de preparación del juicio. Si las demandas van a juicio y Triangle gana, no habrá más costos. Sin embargo, Barry estima que perder el primero ocasionaría costos adicionales de $150,000, y perder el segundo costaría aproximadamente $90,000. Piensa que Triangle tiene el 60% de posibilidades de ganar el primer juicio. La posibilidad de ganar el segundo depende de la resolución del primero: 40% si se llega a un acuerdo fuera de la corte, 80% si llega a juicio y gana, y 10% si llega a juicio y pierde. a) Construya el árbol de decisiones de Barry para decidir cómo proceder. b) ¿Qué debe hacer Barry para minimizar el costo esperado de Triangle? c) Barry podría simular un juicio para tener una mejor idea de la probabilidad de ganar la primera demanda. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar Triangle si Barry puede simular un juicio absolutamente confiable? d) ¿Cómo cambiaría la decisión de Barry en el inciso b) si el costo de un arreglo la segunda demanda fuera sólo $20,000? ¿Qué sucedería si el costo fuera $90,000? Optometrics Village es una cadena regional de tiendas para el cuidado de los ojos y sus administradores estudian la posibilidad de agregar visores para el agua con graduación para los clientes que deseen bucear. Una empresa de marketing estima que la demanda anual sería 4,000 visores con desviación estándar de 450, si el precio es $130 por unidad; si el precio es $140 por unidad, la demanda anual estimada es 3,200 con desviación estándar de 300 unidades. La inversión requerida para el equipo de tallado de las lentes es $500,000 con costos fijos de $125,000 anuales. El costo variable para cada visor es $80. La junta directiva de Optometrics estableció una tasa de retorno anual “barrera” del 13% y el director desea al menos el 60% de posibilidades de cumplir esa meta. ¿Deben proceder con este proyecto? Si es así, ¿qué precio es más probable que logre la barrera en la tasas de retorno sobre la inversión? En Campus Set, una tienda de ropa para jóvenes modernos elegantes, la gerente Judy Sommers está haciendo el pedido de trajes de baño de la temporada a Jamaican Swimwear. Como en años anteriores, está ordenando sobre todo trajes de dos piezas, pero planea pedir algunos trajes de una sola pieza. Por experiencia, ella estima la demanda de estos últimos como sigue:

w

w w

.M

at

em

at

ic a

1.

co

m

■ 17-36

32 0.10

■ 17-37

■ 17-38

Unidades pedidas Probabilidad

■ 17-39

19 0.05

20 0.18

21 0.21

22 0.22

23 0.16

24 0.10

25 0.08

Los trajes de una pieza se venderán en $43.95; el costo de Judy es de $21.50. Cualquier traje que no se venda para finales de la temporada se venderá en oferta a $19.95 y es seguro que se vendan a ese precio. Use el análisis marginal para determinar el número de trajes de una pieza que Judy debe ordenar. La tienda de aparatos eléctricos Flint City está planeando la Venta de Fin de Semana del Día del Fundador. Como oferta especial, está vendiendo una combinación de lavadora y secadora Royalty por sólo $600. Repaso del capítulo

795

Royalty ha informado recientemente a sus distribuidores que un producto innovador hará obsoletas las combinaciones de lavadora y secadora existentes, y por tanto ofrece a las tiendas su actual combinación de lavadora y secadora de primera línea por sólo $325. Aunque el gerente de Flint City no cree todo lo que dice Royalty sobre la obsolescencia, sí sabe que cualquier mecanismo que Royalty instale en sus nuevas máquinas, dificultará la venta de las antiguas. Por consiguiente, desea ser muy cuidadoso respecto al número de máquinas que ordene para la Venta del Día del Fundador. Su estimación de la demanda de las combinaciones de lavadora y secadora durante la venta es: Demanda de unidades Probabilidad

■ 17-40

7 0.12

8 0.30

9 0.24

10 0.18

11 0.12

Use análisis marginal para determinar cuántas combinaciones de lavadora y secadora debe ordenar para la venta si Flint City ya tiene dos en inventario. Steel-Fab Manufacturing es un competidor de Enduro Company (ejercicio 17-17) en el mercado de componentes de acero estructural. A diferencia de Enduro, Steel-Fab tiene accionistas en la Bolsa y también está financiado en parte por una emisión de bonos. En consecuencia, la compañía ha adoptado una tasa de retorno de corte del 9%. Abajo del 9%, la curva de utilidad de la compañía tiene mayor pendiente al alejarse el rendimiento. Arriba del 9%, la utilidad de la compañía crece a una tasa más lenta por el riesgo asociado con tasas de rendimiento más altas. La utilidad del 15% es sólo un poco mayor que para el 14%. Steel-Fab está considerando un proyecto de $300,000. Grafique la curva de utilidad de la compañía. Una fábrica de textiles debe decidir si amplía un crédito de $150,000 a un nuevo cliente que fabrica vestidos. La experiencia anterior de la textilera con varios fabricantes de vestidos la ha llevado a clasificar esos clientes de la siguiente manera: el 25% son riesgos malos; el 45% son riesgos promedio, y el 30% son riesgos buenos. Las ganancias esperadas en este orden (si se amplía el crédito al fabricante de vestidos) son: $20,000 si resulta ser riesgo malo; $18,000 si resulta ser riesgo promedio, y $25,000 si resulta ser riesgo bueno. Dibuje un árbol de decisiones para determinar si la fábrica debe ampliar el crédito este fabricante. Por $750, la fábrica de textiles del ejercicio 17-41 puede comprar un análisis exhaustivo de crédito y clasificación del fabricante. La clasificación, en orden creciente de merecimiento de crédito será C, B o A. La confiabilidad de la agencia de crédito se resume en la tabla siguiente, cuyos elementos son las probabilidades (basadas en la experiencia) de la clasificación del fabricante de vestidos, dada la verdadera categoría de crédito a la que pertenece.

a1

ic

w

w

.M

at

em

at

■ 17-42

.c

om

■ 17-41

6 0.04

w

Categoría verdadera

■ 17-43

796

Clasificación dada por la agencia

Malo

Promedio

Bueno

A B C

0.1 0.2 0.7

0.1 0.8 0.1

0.6 0.3 0.1

a) Use el teorema de Bayes y un árbol de decisiones para determinar si la fábrica debe comprar la clasificación de crédito. b) Si sí compra la clasificación, ¿cómo afectará esto a la decisión de otorgar el crédito al fabricante de vestidos? c) ¿Cuál es la cantidad máxima que la fábrica estaría dispuesta a pagar por el informe de crédito? d) ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar la fábrica por una clasificación de crédito del fabricante absolutamente confiable? John Silver puede usar su bote, el Jolly Roger, tanto para pesca comercial de atún como para pesca deportiva. En el último caso, lo renta a un precio diario de $500. En una temporada de pesca con buen tiempo, promedia 150 días de renta. Sin embargo, si el tiempo es malo, promedia sólo 105 días de renta. Por cada día que se renta el bote, John estima que incurre en costos variables aproximados de $135. Cuando el tiempo es bueno, los ingresos de pesca de atún exceden los costos variables de esa operación en $50,000, mientras que en temporadas de mal tiempo, la contribución a las ganancias de la pesca de atún es sólo $43,000. A principios de la temporada de 1997, John piensa que las posibilidades son alrededor de 7 a 3 a favor de que haya buen tiempo en la temporada. a) Use un árbol de decisiones para ayudar a John a decidir cómo usar el Jolly Roger durante la temporada de pesca de 1997. b) ¿Cuánto pagaría John por un pronóstico a largo plazo perfectamente confiable para la temporada?

Capítulo 17


■ 17-44

at

em

at

ic a

1.

co

m

■ 17-45

Jim Hawkins, buen amigo de John, está a cargo de un servicio privado de predicción de tiempo que ha sido 90% exacto en el pasado. En el 90% de todas las temporadas que tuvieron buen tiempo, Jim había pronosticado buen tiempo, y de igual forma en 90% de las temporadas en las que el tiempo fue malo, el pronóstico de Jim había sido de mal tiempo. Jim suele vender su pronóstico en $1,000, pero como John es un buen amigo, está dispuesto a vendérselo en sólo $400. c) Amplíe su árbol de decisiones para ayudar a John a decidir si debe comprar el pronóstico de Jim. ¿Cómo afectará el pronóstico su uso del bote durante la temporada de 1997? d) ¿Compraría John el pronóstico de Jim si no fueran amigos? Explique. ¿Cuál es la cantidad máxima que John estaría dispuesto a pagar por el pronóstico? Robert Ingersoll de Tungsten Products ha abordado tanto a Enduro Manufacturing Company como a Steel-Fab Manufacturing respecto a la posibilidad de un proyecto conjunto con alguno de ellos. En este proyecto, se usa una aleación de tungsteno en lugar de ciertas aleaciones de acero. Tungsten Products tiene la pericia tecnológica pero no la capacidad de producción. El proyecto conjunto sería una división 5050 y costaría a cada compañía $500,000 en inversión de capital. a) Si la ganancia esperada el primer año del proyecto fuera $80,000, ¿aceptaría alguna de las compañías, o las dos, la oferta? b) Superponga las gráficas de los ejercicios 17-17 y 17-40, ajuste las coordenadas y muestre el área en la que Enduro aceptaría un proyecto y Steel-Fab no. c) Si la ganancia esperada del primer año en el proyecto fuera $110,000, ¿lo aceptaría alguna de las compañías? ¿Cuánto ofrecería Steel-Fab por una participación del 50% de los $110,000? Marty Tait es un contratista que piensa construir una casa espec, llamada así porque no lo contrata un cliente sino que va a especular con su venta. El lote tiene vista al puente Golden Gate, por lo que es costoso. La localización en una colina significa que necesitará cimientos profundos. Pero la vista es espectacular y el precio de venta de la casa será alto. Si la casa se vende rápido al terminarla, Marty obtiene una buena ganancia arriba de lo que cobra como contratista en sus proyectos; pero si lleva demasiado tiempo venderla una vez terminada, su ganancia se va en el interés del préstamo para la construcción y la reducción en el precio para poder venderla. Marty trabaja con un agente de bienes raíces, quien ha estimado la posibilidad de vender la casa 30, 60 o 90 días después de terminarla. Los pagos y las probabilidades se dan en la siguiente tabla. ¿Debe Marty construir la casa?

w w

.M

Pagos (pérdida) Probabilidad

Construir

No construir

0.20 0.30 0.50

$71,000 $26,000 ($42,000)

$0 $0 $0

w

Días para vender 30 60 90

■ 17-46

■ 17-47

Stanley Glass, propietario de una cadena de centros de diversión familiar en Ohio, planea abrir otro centro en Cincinnati. Desea decidir si debe tener 20, 25 o 35 videojuegos. Espera que la demanda sea alta, mediana o baja, y ha determinado las probabilidades asociadas con cada nivel. Las probabilidades y pagos son los siguientes: Evento

Probabilidad

20 juegos

25 juegos

35 juegos

Demanda alta Demanda media Demanda baja

0.55 0.30 0.15

$12,600 $11,000 $10,600

$18,000 $16,200 $ 8,500

$23,000 $15,000 $$7,100

a) Sin más información sobre la demanda, ¿qué debe hacer el señor Glass? b) ¿Cuál es la cantidad máxima que estaría dispuesto a pagar por información perfectamente confiable? La nueva escuela de ingeniería de una pequeña universidad sureña está decidiendo qué libros de texto utilizará en sus cursos de licenciatura. Los directivos del departamento desean saber si usar los libros de texto escritos por profesores de la universidad (“libros de texto universitarios”) o aquellos escritos por profesores de otras instituciones (“libros de texto externos”). Ha habido rumores de que los administradores de la escuela están presionando para obtener más apoyo para la universidad y que podrían requerir que los departamentos usen los libros de texto universitarios siempre que sea posible. Si se aprueba este requerimiento y si el departamento ha decidido comprar libros de texto externos, el cambio a los textos universitarios resultará muy costoso. A continuación se muestra la tabla de pagos preliminar de la universidad (los pagos se dan en miles de dólares). Repaso del capítulo

797

Evento

Probabilidad

Uso de libros universitarios

Uso de libros externos

0.70 0.30

$8 16

$13 13

Requerimiento aprobado Requerimiento no aprobado

■ 17-48

a) Calcule el pago esperado para cada una de las dos decisiones. b) ¿Qué decisiones debe elegir la escuela de ingeniería? Allyson Smith, subgerente de Records and Tapes Unlimited, planea vender una revista semanal de música. Sabe que si la revista no se vende en una semana de publicada, se le considera sin valor en las tiendas. Allyson especula, con base en datos de ventas anteriores, qué tan bien se vendería la revista; sus ventas semanales y estimaciones de probabilidad son las siguientes: Número de revistas Probabilidad

700 0.15

800 0.33

900 0.30

La revista tiene un costo de producción de $0.70 cada una, pero Records and Tapes Unlimited planea venderla en $1.50. Determine el número óptimo de revistas que la tienda debe ordenar, usando el criterio de decisión del valor esperado. Las afiliadas de la fraternidad Alpha Zeta de una pequeña universidad del Medio Oeste de Estados Unidos se están preparando para participar en la celebración anual de tres días de primavera de la escuela. Como en años anteriores, el club estará a cargo de un puesto de refrescos, vendiendo bebidas a $0.75 el vaso. Deduciendo el pago del establecimiento y los costos materiales, el club incurre en un costo de $0.35 por cada vaso (8 onzas) de refresco. Los datos recolectados de la celebración del año anterior indican que las ventas totales de refrescos tienen distribución normal con media de 960 y desviación estándar de 140. Determine la cantidad de refresco (en onzas) que las socias deberían comprar. El administrador en jefe de una cadena de casas de convalecencia desea abrir una nueva instalación en el sur de California. Su decisión de construir una instalación de 50, 75 o 150 camas se basará en si la demanda esperada es baja, media o alta. Según su experiencia, construye la siguiente tabla de ganancias a corto plazo:

em

at

ic

a1

.c

■ 17-50

600 0.12

om

■ 17-49

500 0.10

Probabilidad

w

w

w

Demanda baja Demanda media Demanda alta

.M

at

Evento

■ 17-51

■ 17-52

75 camas $12,000 68,000 80,000

$41,000 52,000 65,000

150 camas $53,000 24,000 117,000

a) ¿Qué tamaño de instalación debería construir el administrador? b) Calcule la ganancia esperada con información perfecta. c) Use su respuesta en el inciso b) para calcular el valor esperado de información perfecta para el administrador. La University Gear Sweatshop es una tienda de ropa que surte a los estudiantes de una universidad conocida por su fantástico récord de fútbol. Janet Sawyer, la gerente de la tienda, quiere decidir si ordenar más sudaderas impresas con el nombre y mascota del equipo. Si el equipo pierde el campeonato este año, las sudaderas adicionales no se venderán muy bien, pero si el equipo gana, espera poder tener una alta ganancia con ellas. El periódico local predice un 65% de probabilidad de que el equipo gane el campeonato. Sawyer ha construido la siguiente tabla de pagos (para las sudaderas adicionales): Evento

Almacenar sudaderas adicionales

No almacenar sudaderas

El equipo gana El equipo pierde

$6,110 $1,500

$0 $0

¿Qué curso de acción debe tomar la señora Sawyer? Un distribuidor local de teléfonos, Phones and More, planea hacer una oferta especial esta semana en su máquina contestadora de activación remota. La tienda necesita decidir cuántas máquinas contestadoras “estándar” y “remotas” solicitar al fabricante. Basándose en experiencias anteriores, la gerencia estima las ventas de la máquina remota según se muestra en la siguiente tabla. Ventas Probabilidad

798

0.2 0.3 0.5

50 camas

Capítulo 17


15 0.12

16 0.17

17 0.26

18 0.23

19 0.15

20 0.05

21 0.02

■ 17-53

El precio al menudeo de la máquina remota es $89.95, pero el costo de Phones y More será $75.50. Use el análisis marginal para determinar el número de máquinas remotas que debe ordenar el distribuidor. Los tratados comerciales se han suspendido y existe una fuerte posibilidad de que los autos de lujo importados tengan que pagar aranceles que están en proceso de evaluación. El dueño de Motors piensa duplicar la orden de importación mensual normal. Si se aprueban los aranceles, la empresa obtendrá una ganancia alta en los autos que ya están en el país. Pero si no se aprueban los impuestos, los costos de inventario (principalmente el interés sobre la línea de crédito de la compañía) reducirá la ganancia. La siguiente tabla proporciona la mejor estimación del dueño de las probabilidades y pagos. Decisión de ordenar Probabilidad

Duplicar

No duplicar

Aranceles aprobados Sin aranceles

0.15 0.85

$240,000 $220,000

$100,000 $280,000

w w

.M

at

em

at

ic a

1.

co

m

¿Qué debe hacer el dueño? Las acciones tecnológicas suelen mostrar una gran volatilidad en el precio, según si el análisis en Wall Street percibe que el siguiente producto de la compañía va a tener éxito. Al final del primer trimestre de 1994, un grupo de inversionistas estudió la posición de las acciones de Digital Equipment Corporation (DEC) que se vendían a $31.50, casi 50% abajo del costo base para el grupo. El grupo tenía un horizonte de inversión a enero de 1995 y discutía si debían vender las acciones. El consenso de opinión de los expertos era que el precio más probable (esperado) en enero de 1995 de las acciones de DEC sería $35 por acción, pero podría bajar (digamos a $25). Había cierta esperanza de que se vendieran hasta en $50, según la fuerza del nuevo chip Alpha, un diseño propio rápido sobre el que DEC planea lanzar una nueva línea de computadoras. El grupo de inversionistas tiene reservas sustanciales de efectivo sobre las que esperan ganar el 8% en los 9 meses que faltan para enero de 1995. Además de mantener las acciones hasta enero de 1995 o venderlas ahora y colocar el ingreso junto con su reserva de efectivo, los inversionistas pueden reinvertir los ingresos en LEAPs (opciones a largo plazo) sobre las acciones de DEC. Un LEAP es el derecho a comprar una acción en el futuro a un precio fijo. En marzo de 1994, el costo de un LEAP por el derecho a comprar una acción de DEC a $30 es $6. Este LEAP expira en enero de 1995. Si el precio de la acción de DEC en ese momento es más alto que $30, los inversionistas ejercen el LEAP y luego venden la acción de DEC. Si el precio de la acción de DEC es menor que $30, entonces el LEAP expira y no tiene valor. En lo siguiente, ignore las consecuencias de impuestos y suponga que las tarifas por transacción son despreciables debido al gran número de acciones involucradas. Los inversionistas tienen 100 acciones de DEC, de manera que si venden ahora a $31.50 por acción, pueden usar el ingreso de $3,150 para comprar LEAPs sobre 525 ( 3,150/6) acciones de DEC. a) ¿Cuánto dinero tendrán los inversionistas en enero de 1995 si venden sus acciones ahora y colocan los ingresos con sus reservas de efectivo? b) Suponga que estiman probabilidades de 0.25, 0.50 y 0.25 de que las acciones de DEC se vendan en $25, $35 y $50 en enero de 1995. Calcule cuánto esperarían recibir si i. conservan las acciones hasta enero de 1995 antes de venderlas, ii. venden las acciones ahora, pero compran LEAPs, y los liquidan (los ejercen o dejan que expiren) en enero de 1995. c) ¿Qué estrategia recomendaría? ¿Por qué?

w

■ 17-54

Evento

Repaso del capítulo

799

Aacap 17 Teoria de Decisiones

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