Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com PHẦN I: RÚT MẪU 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp r quả cầu khác nhau vào n hộp? Giải: - Nếu số cầu trong mỗi hộp là tuỳ ý (mỗi quả cầu có thể đặt trong nhiều hộp lặp)
Mẫu r phần tử, có thứ tự, có lặp: F rn - Nếu số cầu trong mỗi hộp ít nhất là một (mỗi quả cầu chỉ có thể đặt trong một hộp không lặp) Mẫu r phần tử, có thứ tự, không lặp: A nr với r n. (r > n: vô nghĩa) 2. Một bộ môn gồm 15 người trong đó có 5 nam giới a. Có bao nhiêu cách để lập một hội đồng chấm thi gồm 3 người, trong đó phải có nam giới? b. Có bao nhiêu cách lập một hội đồng chấm thi gồm 9 người, trong đó phải có nam và nữ? Giải: a. Hội đồng 3 người, có nam Nam (5)
Nữ (10)
Rút mẫu
1
2
2 C 15 . C 10
2
1
C 52 . C 110
3
0
0 C 35 .C 10
(mẫu không lặp, không thứ tự) 2 Nếu hội đồng có 1 nam, số cách chọn là: C 15 .C 10
Nếu hội đồng có 2 nam, số cách chọn là: C 52 .C 110 0 Nếu hội đồng có 3 nam, số cách chọn là: C 35 .C 10 2 0 Số cách chọn hội đồng phải có nam giới là: C 15 .C 10 + Có C 52 .C 110 + C 35 .C 10 =
1
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com b. Hội đồng 9 người, có nam và nữ Nam (5)
1
2
3
4
5
Nữ (10)
8
7
6
5
4
Rút mẫu
8 C 15 . C 10
7 C 52 .C 10
6 C 35 . C 10
5 C 54 .C 10
4 C 55 . C 10
8 Nếu có 1 nam: có C 15 . C 10 cách chọn
7 Nếu có 2 nam: có C 52 .C 10 cách chọn 6 Nếu có 3 nam: có C 35 . C 10 cách chọn 5 Nếu có 4 nam: có C 54 .C 10 cách chọn 4 Nếu có 5 nam: có C 55 . C 10 cách chọn
Số cách chọn hội đồng 9 người có cả nam và nữ là: 8 7 6 5 4 C 15 . C 10 + C 52 .C 10 + C 35 . C 10 + C 54 .C 10 + C 55 . C 10 =
3. Có 6 người cùng vào một thang máy, lên tầng của toà nhà 4 tầng. Có bao nhiêu cách lên tầng sao cho tầng 4 có 2 người và tầng 3 có 1 người? Giải: a. Nếu như thang máy xuát phát từ tầng trệt thang máy sẽ đi qua 4 tầng (1-2-3-4) - Tầng 4 có 2 người: mẫu 2 phần tử từ 6 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 62 - Tầng 3 có 1 người: mẫu 1 phần tử từ 4 phần tử cho trước (2 người vào tầng 4), không lặp, không thứ tự: C 14 - Tầng 1 và tầng 2, số người tuỳ ý: trong 3 người còn lại, mỗi người có 2 cách chọn
có 2 3 cách chọn. Có C 62 . C 14 .2 3 = 480 cách chọn. (Cách giải khác: C 16 .C 52 . 2 3 ) T4
T3
T2
T1
Rút mẫu
2
1
0
3
C 62 . C 14 .C 30 .C 33
2
1
1
2
C 62 . C 14 .C 13 .C 22
2
1
2
1
C 62 . C 14 .C 32 .C 11
2
1
3
0
C 62 . C 14 .C 33 .C 00
Tổng số: C 62 . C 14 .( C 30 .C 33 + C 13 .C 22 + C 33 .C 00 )= 480
2
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com
b. Nếu thang máy xuất phát từ tầng 1 thang máy sẽ đi qua 3 tầng (2-3-4). - Tầng 4 có 2 người: C 62 - Tầng 3 có 1 người: C 14 - Tầng 2, có 3 người còn lại: C 33
Số cách chọn là: C 62 . C 14 . C 33 = 80 4. Có 6 cặp giáo viên nam-nữ, trong đó có một cặp giáo viên nam-nữ dạy toán, một cặp giáo viên nam-nữ dạy hoá, một cặp giáo viên nam-nữ dạy sinh, còn lại mỗi người một môn khác. Chọn ngẫu nhiên 3 người. a. Có bao nhiêu cách chọn trong đó có đúng 1 nam. b. Có bao nhiêu cách chọn trong đó không có cặp giáo viên nào cùng một môn. Giải: 6 Cặp giáo viên nam nữ có 6 nam, 6 nữ. a.Chọn 3 giáo viên trong đó có đúng 1 nam - Chọn nam: rút mẫu 1 phần tử trong 6 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 16 - Chọn nữ: rút mẫu 2 phần tử trong 6 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 62
Số cách chọn trong đó có 1 nam là: C 16 . C 62 = b. Chọn 3 giáo viên trong đó không có cặp nào cùng một môn. Cặp
Môn khác
Rút mẫu
2 Toán
1
1.C 6
2 Hoá
1
1.C 6
2 Sinh
1
1.C 6
1
1
1
Số cách chọn sao cho không có cặp giáo viên nào cùng một môn là: 3 3 C 12 - (1.C 16 +1.C 16 +1.C 16 ) = C 12 - 3.C 16 = 202
(3 cặp còn lại chọn 1 cặp do vậy có C 13 .C 16 cách chọn có một cặp giáo viên cùng môn)
3
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com 5. Có 5 bệnh nhân được xếp vào 3 buồng bệnh, mỗi buồng bệnh đều còn trên 5 chỗ. a. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho mỗi buồng nhận ít nhất một bệnh nhân. b. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho có đúng một buồng không xếp bệnh nhân. Giải: a. Mỗi buồng bệnh nhận ít nhất một bệnh nhân: Mỗi buồng có ít nhất một bệnh nhân, có 5 bệnh nhân, 3 buồ7ng có ít nhất 1 buồng chỉ có một bệnh nhân Rút mẫu 1 phần tử từ 5 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: 3.C 15 cách chọn. - Nếu buồng thứ 2 cũng có 1 bệnh nhân: mẫu 1 phần tử từ 4 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: 2.C 14 cách chọn Buồng thứ 3 có 3 bệnh nhân còn lại: C 33 cách chọn Có 3.C 15 .2.C 14 .C 33 cách chọn - Nếu buồng thứ 2 có 2 bệnh nhân: mẫu 2 phần tử từ 4 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: 2.C 24 cách xếp Buồng thứ 3 có 2 bệnh nhân còn lại: C 22 cách xếp Có 3.C 15 .2.C 24 .C 22 cách xếp - Nếu buồng thứ 2 có 3 bệnh nhân: mẫu 3 phần tử từ 4 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: 2.C 34 cách xếp Buồng thứ 3 có 1 bệnh nhân còn lại: C 11 cách xếp Có 3. C 15 .2.C 34 . C 11 cách xếp. Vậy trong cả hai trường hợp, số cách xếp là: 3.C 15 .2.C 14 .C 33 + 3.C 15 .2.C 24 .C 22 + 3. C 15 .2.C 34 . C 11 = b.Có đúng 1 buồng không có bệnh nhân: Có 3 cách chọn buồng duy nhất không có bệnh nhân Hai buồng còn lại phải có ít nhất một bệnh nhân: - Nếu 1 buồng có 1 bệnh nhân thì số cách xếp cho buồng này là: 2.C 15 Số cách xếp cho buồng còn lại là: C 44
có 3.2.C 15 . C 44 cách chọn - Nếu 1 buồng có 2 bệnh nhân thì số cách xếp cho buồng này là: 2.C 52 Số cách xếp cho buồng còn lại là: C 33
có 3.2.C 52 . C 33 cách chọn
4
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com - Nếu 1 buồng có 3 bệnh nhân thì số cách xếp cho buồng này là: 2.C 35 Số cách xếp cho buồng còn lại là: C 22
có 3.2.C 35 .C 22 cách chọn Tổng số cách chọn là: 3.2.C 15 . C 44 + 3.2. C 52 . C 33 + 3.2.C 35 .C 22 =150 6. Khoa ngoại của một bệnh viện có 40 bác sỹ. Có bao nhiêu cách sắp xếp một kíp mổ: a. Trong đó có 1 người mổ chính và 1 người mổ phụ. b. Chọn kíp mổ 5 người, người chọn trước là mổ chính và 4 người phụ mổ.
5
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com 7. Một lớp gồm 32 sinh viên trong đó có 16 nam. a. Chọn một nhóm 8 người sao cho nam, nữ bằng nhau. b. Chia 4 nhóm 8 người sao cho nam, nữ bằng nhau. Giải: 32 sinh viên, gồm 16 nam, 16 nữ a. Chọn nhóm 8 người, số nam bằng số nữ (4 người) 4 - Chọn 4 nam: rút mẫu 4 phần tử, không lặp, không thứ tự: C 16
4 - Chọn 4 nữ: rút mẫu 4 phần tử, không lặp, không thứ tự: C 16 4 4 . C 16 = 3.312.400 Số cách chọn cả nhóm 8 người có số nam bằng số nữ là: C 16
b. Chia 4 nhóm, mỗi nhóm 8 người, số nam bằng số nữ. 4 4 - Nhóm 1 có C 16 . C 16 cách chọn
4 4 - Nhóm 2 có C 12 . C 12 cách chọn
- Nhóm 3 có C 84 . C 84 cách chọn - Nhóm 4 có C 44 . C 44 cách chọn
Số cách chọn 4 nhóm 8 người có nam, nữ bằng nhau là: 4 4 4 4 C 16 . C 16 . C 12 . C 12 . C 84 . C 84 . C 44 . C 44 =
8. Một nhóm sinh viên gồm 20 người, trong đó có 12 nam. Cần chọn một nhóm 5 người làm công tác xã hội sao cho: a. Chọn tuỳ ý. b. Có ít nhất 2 nam và 2 nữ. c. Phải có nam và có nữ. Giải: a. Chọn nhóm 5 người tuỳ ý: Rút mẫu 5 phần tử từ 20 phần tử, không lặp, không thứ tự: C 520 = 15.540 cách chọn b. Chọn 5 người, có ít nhất 2 nam và 2 nữ Khi có 2 nam: 2 - Chọn nam: rút mẫu 2 phần tử từ 12 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 12
- Chọn nữ: rút mẫu 3 phần tử từ 8 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 83
6
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com 2 .C 83 Số cách chọn có 2 nam: C 12
Khi có 3 nam: 3 - Chọn nam: rút mẫu 3 phần tử từ 12 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 12
- Chọn nữ: rút mẫu 2 phần tử từ 8 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 82 3 .C 82 Số cách chọn có 3 nam: C 12
Tổng số cách chọn có ít nhất 2 nam và 2 nữ là: 2 3 C 12 .C 83 + C 12 .C 82 = 9.856
c.Chọn 5 người, có ít nhất 1 nam và 1 nữ Tổng số cách chọn nhóm 5 người: C 520 5 Nếu không có nữ: C 12 cách chọn
Nếu không có nam: C 85 cách chọn
Số cách chọn sao cho có cả nam và nữ là: 5 C 520 - C 12 - C 85 = 14.656
9. Một lớp học có 12 học sinh giỏi, trong đó có 5 học sinh nữ giỏi sinh, 4 nam giỏi hoá, 3 nam giỏi toán. Cần lập ban cán sự lớp 4 người sao cho: a. Có học sinh giỏi của cả 3 môn. b. Có học sinh giỏi của 2 môn và có nam, có nữ. c. Có học sinh giỏi ít nhất 2 môn và có nam, có nữ. Giải a. Nhóm 4 người có học sinh giỏi của cả 3 môn: Do yêu cầu phải có học sinh giỏi của cả 3 môn nên 2 môn chỉ có 1 người và 1 môn có 2 ngươì. - Nếu môn sinh có 2 người: rút mẫu 2 phần tử từ 5 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 52 . Khi đó số lựa chọn cho môn hoá là C 14 và môn toán là C 13
Số cách chọn nếu môn sinh có 2 người là: C 52 . C 14 . C 13 - Nếu môn hoá có 2 người: rút mẫu 2 phần tử từ 4 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 24 . Khi đó, số lựa chọn cho môn sinh là C 15 và môn toán là C 13
Số cách chọn nếu môn hoá có 2 người là: C 24 . C 15 . C 13
7
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com - Nếu môn toán có 2 người: rút mẫu 2 phần tử từ 3 phần tử cho trước, không lặp, không thứ tự: C 32 . Khi đó, số lựa chọn cho môn sinh là C 15 và môn hoá là C 14
Số cách chọn nếu môn toán có 2 người là: C 32 . C 15 . C 14 Vậy tổng số cách chọn nhóm 4 người sao cho có học sinh của cả 3 môn là: C 52 . C 14 . C 13 + C 24 . C 15 . C 13 + C 32 . C 15 . C 14 = 270 b.Có học sinh giỏi của 2 môn và có nam có nữ: Do phải có cả nữ nên chắc chắn trong nhóm cán sự đó có môn sinh (5 nữ), số thành viên ban cán sự còn lại là toán hoặc hoá. - Nếu có 1 nữ trong nhóm cán sự thì số cách chọn nữ là C 15 . Do chỉ được phép có học sinh của 2 môn nên số cách chọn 3 nam còn lại trong 2 môn toán, hoá sẽ là (C 34 +C 33 ) Số cách chọn nếu trong nhóm cán sực có 1 nữ là: C 15 . ( C 34 +C 33 ) - Nếu có 2 nữ trong nhóm cán sự thì số cách chọn nữ là C. Do chỉ được phép có học sinh của 2 môn nên số cách chọn 2 nam còn lại trong 2 môn toán, hoá sẽ là (C 24 +C 32 ) Số cách chọn nếu trong nhóm cán sự lớp có 2 nữ là : C 52 . (C 24 +C 32 ) Nếu có 3 nữ trong nhóm cán sự thì số cách chọn nữ là C 35 . Do chỉ được phép có học sinh của 2 môn nên số cách chọn nam trong hai môn toán, hoá còn lại sẽ là (C 14 +C 13 ) Số cách chọn nếu trong nhóm cán sự lớp có 3 nữ là: C 35 . (C 14 +C 13 ).
Tổng số cách chọn sao cho có học sinh giỏi của 2 môn và có nam, có nữ là: C 15 . ( C 34 +C 33 ) + C 52 . (C 24 +C 32 ) + C 35 . (C 14 +C 13 ) = 185 c. Có học sinh giỏi của ít nhất 2 môn và có nam, có nữ: Do phải có cả nữ nên chắc chắn trong nhóm cán sự đó có môn sinh (5 nữ), số thành viên ban cán sự còn lại là toán hoặc hoá. - Nếu có 1 nữ trong nhóm cán sự thì số cách chọn nữ là C 15 . Do yêu cầu có học sinh giỏi của 2 hoặc 3 môn nên số cách chọn 3 nam còn lại trong 2 môn toán, hoá sẽ là C 37 Số cách chọn khi trong nhóm cán sự có 1 nữ là: C 15 . C 37
8
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com - Nếu có 2 nữ trong nhóm cán sự thì số cách chọn nữ là C 52 . Do yêu cầu có học sinh giỏi của 2 hoặc 3 môn nên số cách chọn 2 nam còn lại trong 2 môn toán, hoá sẽ là C 72 Số cách chọn khi trong nhóm cán sự có 2 nữ là: C 52 . C 72 - Nếu có 3 nữ trong nhóm cán sự thì số cách chọn nữ là C 35 . Do yêu cầu có học sinh giỏi của 2 hoặc 3 môn nên số cách chọn 1 nam còn lại trong 2 môn toán, hoá sẽ là C 17 Số cách chọn khi trong nhóm cán sự có 2 nữ là: C 35 . C 17
Tổng số cách chọn sao cho trong nhóm cán sự có ít nhất học sinh giỏi của 2 môn và có cả nam, cả nữ là: C 15 . C 37 + C 52 . C 72 + C 35 . C 17 = 455 10. Một tổ bộ môn có 9 giáo viên. Lập ban giám khảo 5 người, có bao nhiêu cách lập: a. Biết rằng có 2 người luôn được vào cùng ban giám khảo b. Biết rằng có 3 người không được vào cùng ban giám khảo. Giải a. Ban giám khảo 5 người, luôn có mặt 2 người cố định - Số cách chọn 2 người cố định là: C 92 - Số cách chọn 3 người còn lại là: C 37
Số cách chọn nhóm giám khảo gồm 5 người, trong đó luôn có 2 người cố định là: C 92 . C 37 = 1.260 b. Có 3 người không được vào cùng ban giám khảo: - Tổng số khả năng chọn 5 người vào ban giám khảo: C 59 - Số khả năng chọn được 3 người vào cùng ban giám khảo:
11. a. Có 5 bênh nhân xếp hàng chờ khám bệnh. Có bao nhiêu trường hợp để 2 người chọn trước cách nhau 2 người. b. Có 7 bệnh nhân xếp hàng chờ khám bệnh. Có bao nhiêu trường hợp để 2 người chọn trước xếp cách nhau 3 người.
9
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com c. Có n bệnh nhân xếp hàng chờ khám bệnh. Có bao nhiêu trường hợp để 2 người chọn trước cách nhau r người. (r
12. Có 3 thuốc cùng loại điều trị cho 4 bệnh nhân. Có bao nhiêu cách điều trị nếu: a. Mỗi bệnh nhân dùng ít nhất 1 thuốc. b. Mỗi bệnh nhân dùng không quá 2 thuốc. c. Số thuốc dùng tuỳ ý cho mỗi bệnh nhân. Giải: Chú ý, có biện pháp điều trị không dùng thuốc hay không? a. Mỗi bệnh nhân dùng ít nhất 1 thuốc: Cách 1: Mỗi bệnh nhân dùng ít nhất 1 thuốc mà có 3 thuốc nên mỗi bệnh nhân có 3 cách điều trị 4 bệnh nhân có 3 4 = 81 cách điều trị Cách 2: Rút mẫu 4 phần tử từ 3 phần tử cho trước, có lặp (nhiều bệnh nhân dùng 1 thuốc), có thứ tự (cùng một thuốc dùng cho các bệnh nhân khác nhau thì cho các khả năng khác nhau): F 34 = 81 b. Mỗi bệnh nhân dùng không qúa hai thuốc: Mỗi bệnh nhân dùng không quá 2 thuốc, tức là mỗi bệnh nhân có 2 cách điều trị (sử dụng 1 hoặc 2 thuốc), nhưng có 3 thuốc do vậy có C 32 cách lựa chọn 2 thuốc đó Mỗi bệnh nhân có 2. C 32 cách điều trị. Có 4 bệnh nhân nên số cách điều trị là: (2. C 32 ) 4 =
10
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com XÁC SUẤT 1. Một người gọi điện thoại quên mất hai số cuối của điện thoại và chỉ nhớ được là chúng khác nhau. Tìm xác suất sao cho quay ngẫu nhiên một lần đúng số cần gọi. Giải: Cách 1: Gọi A là hiện tượng quay đúng 2 số cuối P(A)=
C11 .C11 1 = = 0,0111 1 1 C10 .C 9 90
Cách 2: Gọi Ai là hiện tượng quay đúng số thứ i (i=1,2) A là hiện tượng quay đúng 2 số cuối P(A)=P(A1A2)= P(A1).P(A2/A1)=
1 1 . = 0,0111 10 9
2. Trong bình có 6 quả cầu giống hệt nhau, được đánh số từ 1-6. a. Tìm xác suất để số của quả cầu lấy ra trùng với số lần lấy. b. Tìm xác suất để lấy lần lượt các quả cầu theo thứ tự tăng hoặc giảm. Giải: a. Số của quả cầu trùng với số lần lấy Gọi Ai là hiện tượng lấy được quả cầu thứ i ở lần thứ i (i=1-6) A là hiện tượng lấy được các quả cầu có số trùng với lần lấy P(A) = P(A1.A2.A3.A4.A5.A6) = P(A1). P(A2/A1).P(A3/A1.A2). P(A4/A1.A2.A3). P(A5/A1.A2.A3.A4). (A6/A1.A2.A3.A4.A5) =
1 1 1 1 11 1 = 6 5 4 3 2 1 6!
b. Lần lượt lấy các quả cầu theo thứ tự tăng hoặc giảm Gọi Bi là hiện tượng lấy quả cầu thứ i (i=1-6) B là hiện tượng lấy lần lượt các quả cầu theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần P(B)
=P(B1.B2.B3.B4.B5.B6) + P(B6.B5.B4.B3.B2.B1) =
1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 2 + = 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6!
11
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com 3. Một hộp thuốc có 10 ống thuốc, trong đó có 8 ống Peni. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 ống. a. Tìm xác suất để cả 3 ống là Peni b. Tìm xác suất để chỉ có 2 ống là Peni Giải: Gọi Ai là hiện tượng lấy được ống Peni thứ i (i=1-3) B là hiện tượng lấy được cả 3 ống Peni C là hiện tượng lấy chỉ có 2 ống Peni a. Cả 3 ống là Peni P(B)
= P(A1.A2.A3) = P(A1). P(A2/A1). P(A3/A1.A2)
C81 C71 C61 8.7.6 42 = 1 1 1 0.4666 C10 C9 C8 10.9.8 90 b. Chỉ có 2 ống Peni P(C)
= P(A1.A2. A3 ) + P(A1. A2 .A3) + P( A1 .A2.A3) = P(A1).P(A2/A1).P( A3 /A1A2) + P(A1).P( A2 /A1).P(A3/A1 A2 ) + P( A1 ).P(A2/ A1 ).P(A3/ A1 A2) =
8 23 8 27 2 87 0.4666 10 9 8 10 9 8 10 9 8
4. Một hộp thuốc có 15 ống thuốc, trong đó có 12 ống còn hạn. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 ống. a. Tìm xác suất để có ít nhất 2 ống còn hạn b. Tìm xác suất để lần 1 và lần 2 còn hạn, lần 3 không còn hạn. Giải: Gọi Ai là hiện tượng lấy được ống thuốc còn hạn thứ i (i=1-3) B là hiện tượng lấy được ít nhất 2 ống còn hạn C là hiện tượng lấy được lần 1, lần 2 là các ống còn hạn, lần 3 hết hạn
12
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com a. ít nhất 2 ống còn hạn P(B)
= P(A1.A2.A3) + P(A1.A2. A3 ) + P(A1. A2 .A3) + P( A1`.A2.A3) =
12 11 10 12 11 3 12 3 11 3 12 11 . 0.1986 15 14 13 15 14 13 15 14 13 15 14 13
b. Lần 1 và lần 2 còn hạn, lần 3 hết hạn P(C)= P(A1.A2. A3 ) =
12 11 3 0.145 15 14 13
5. Một hộp thuốc có 12 ống thuốc trong đó có 8 ống Peni và 4 ống Strep. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 ống a. Tìm xác suất để lần 2 lấy ra là Peni, biết rằng lần 1 là ống Strep. b. Tìm xác suất để lần 3 lấy ra là Peni. Giải: Gọi Ai là hiện tượng lấy được ống Peni thứ i (i=1-3) B là hiện tượng lấy lần 2 được ống Peni, biết rằng lần 1 là ống Strep C là hiện t ượng lấy được ống Peni ở lần 3 a. Lần 2 lấy ra ống Peni P(B) = P(A2/ A1 ) =
8 =0.7272 11
Cần phân biệt: P(B) = P( A1 .A2.A3) + P( A1 .A2. A3 ) = P( A1 .A2) (Trong trường hợp này đề bài sẽ là: Tìm xác suất để lần 1 1ấy ống Strep, lần 2 lấy ống Peni) b. Lần 3 lấy ra ống Peni P(C)
= P(A1.A2.A3) + P(A1. A2 .A3) + P( A1 .A2.A3) + P( A1 . A2 .A3) =
8 7 6 8 4 7 4 8 7 4 3 8 = 0.497 12 11 10 12 11 10 12 11 10 12 11 10
6. Có 2 hộp thuốc. Hộp 1 có 15 ống trong đó có 10 ống Peni, hộp 2 có 10 ống trong đó có 9 ống Peni. a. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 ống, tìm xác suất để cả hai ống cùng loại b. Chọn ngẫu nhiên 2 ống của 1 hộp được cả 2 ống Peni, khả năng gặp của hộp nào cao hơn?
13
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com Giải: Gọi Ai là hiện tượng lấy được ống Peni ở hộp i (i=1-2) Gọi B là hiện tượng lấy được 2 ống thuốc cùng loại ở 2 hộp a. Hai ống thuốc ở 2 hộp cùng loại P(B) = P(A1A2) + P( A1 A2 ) = P(A1).P(A2) + P( A1 ).P( A2 ) =
(Các hiện tượng độc lập)
10 9 5 1 0.622 15 10 15 10
b. So sánh khả năng Xác suất lấy 2 ống Peni của hộp 1 là:
10 9 . 0.428 15 14
Xác suất lấy 2 ống Peni của hộp 2 là:
9 8 0.8 10 9
Vậy khả năng lấy được 2 ống Peni của hộp thứ 2 cao hơn hộp thứ 1. 7. Một lớp có 3 nhóm đi thực tập tại 3 bệnh viện. Nhóm 1 có 20 sinh viên trong đó có 10 nữ. Nhóm 2 có 25 sinh viên trong đó có 10 nữ. Nhóm 3 có 25 sinh viên trong đó có 8 nữ. a. Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm và chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên, tìm xác suất sao cho đó là sinh viên nữ. b. Tìm xác suất sao cho sinh viên nữ đó là của nhóm 3 Giải: Gọi A là hiện tượng chọn được sinh viên nữ Ei là hiện tượng chọn sinh viên của nhóm i (i=1-3) a. Xác suất để đó là sinh viên nữ P(A)= P(E1)P(A/E1) + P(E2).P(A/E2) + P(E3).P(A/E3) =
20 10 25 10 25 8 28 0.4 70 20 70 25 70 25 70 (Chú ý: Do chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên nữ nên đương nhiên cũng bao gồm chọn nhóm 1 C 28 28 ngẫu nhiên 1 ) C 70 70
14
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com b. Xác suất để sinh viên nữ đó là của nhóm 3 P(E3/A)=
P( E 3).P( A / E 3) P( A)
28
.8 70 25 224 0.32 0.4 700
9. Nhóm người dự thi của một bệnh viện gồm các chuyên ngành khác nhau trong đó có thi 3 chuyên ngành A, 5 thi chuyên ngành B, 7 thi chuyên ngành C. Gặp ngẫu nhiên 3 người trong nhóm dự thi. Tìm xác suất sao cho a. Ba người dự thi 3 chuyên ngành khác nhau b. Ba người dự thi cùng 1 chuyên ngành Giải: Gọi
Ai là hiện tượng gặp người thứ i thi chuyên ngành
A
Bi
B
Ci
C
D là hiện tượng gặp 3 người dự thi 3 chuyên ngành khác nhau E là hiện tượng gặp 3 người cùng dự thi 1 chuyên ngành a. Xác suất gặp 3 người dự thi 3 chuyên ngành khác nhau P(D) = P(A1B2C3) + P(B1A2C3) + P(C1A2B3) + P(A1C2B3) + P(B1C2A3) + P(C1B2A3) =…… b. Xác suất gặp 3 người dự thi cùng một chuyên ngành P(E) = P(A1A2A3) + P(B1B2B3) + P(C1.C2.C3) = 3 2 1 5 4 3 7 6 5 0.101 15 14 13 15 14 13 15 14 13
10. Để dập tắt sâu bệnh hại lúa, một đội thực vật phun 3 đợt thuốc liên tiếp. Xác suất sâu bị chết sau lần phun thứ nhất là 0,5. Nếu sâu sống sót thì khả năng bị chết sau lần phun thứ 2 là 0,7 và tương tự sau lần phun thứ 3 là 0,9. Tìm xác suất sâu bị chết sau 3 lần phun thuốc liên tiếp và nêu ý nghĩa. Giải: Gọi A là hiện tượng sâu bị chết sau lần phun thứ 1 P(A) = 0,5 B
2 P(B/ A )=0,7 P( B / A )=0,3
C
3 P(C/ A B )= 0,9
D là hiện tượng sâu bị chết sau 3 lần phun liên tiếp P(D) = P(A) + P( AB ) + P( A B C) =
15
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com P(A) + P( A ).P(B/ A ) + P( A ).P( B / A ).P(C/ A B )= 0,5 + 0,5.0,7 + 0,5.0,3.0,9 = 0.985 Ý nghĩa: Nếu như chúng ta phun thuốc sâu 3 lần liên tiếp thì hầu như toàn bộ sâu sẽ bị tiêu diệt 11. Một phòng điều trị cho 3 bệnh nhân nặng A, B, C. Trong 1 giờ, xác suất để mỗi bệnh nhân bị cấp cứu tương ứng là 0,6 0,7 0,5. a. Tìm xác suất sao cho trong 1 giờ không có ai cần cấp cứu b. Tìm xác suất sao cho trong 1 giờ có ít nhất 1 người cần cấp cứu. Nêu ý nghĩa. c. Tìm xác suất sao cho trong 1 giờ có 1 bệnh nhân không cần cấp cứu Giải: Gọi:
A là hiện tượng cấp cứu bệnh nhân
A
B
B
C
C
trong 1 giờ
A, B, C là các hiện tượng độc lập P(A)=0,6
P(B)=0,7
P(C)=0,5
P( A )=0,4 P( B )=0,3 P( C )=0,5 D là hiện tượng trong 1 giờ không có ai cần cấp cứu E là hiện tượng trong 1 giờ có ít nhất 1 người cần cấp cứu F là hiện tượng trong 1 giờ có 1 bệnh nhân không cần cấp cứu a. Không có ai cần cấp cứu P(D) = P( A.B.C )=P( A ).P( B ).( C ) = 0,4.0,3.0,5 = 0.06 b. Có ít nhất 1 người cần cấp cứu P(E)
= P(A. B.C ) + P( A.B.C ) +P( A.B.C ) + P(A.B. C ) + P(A. B.C ) + P( A.B.C ) + P(A.B.C) = 1 - P( A.B.C ) = 1- P( A.B.C )= 1-0,06= 0,94
ý nghĩa: Trong giờ trực mà có 3 bệnh nhân nặng thì hầu như lúc nào cũng có bệnh nhân có nguy cơ cần được cấp cứu Phải thường xuyên có mặt tại vị trí trực
16
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com c. Trong 1 giờ có 1 bệnh nhân không cần cấp cứu P(F)
= P(A.B C ) + P(A. B.C ) + P( A.B.C ) = P(A).P(B).P( C ) + P(A).P( B ).P(C) + P( A ).P(B).P(C) = 0,6.0,7.0,5 + 0,6.0,3.0,5 + 0,4.0,3.0,5 = 0,36
12. Có 2 người cùng đến khám bệnh, người thứ i mắc bệnh Bi. Xác suất mắc bệnh Bi là 0,01 và 0,02. a. Tìm xác suất sao cho khi khám 2 người có ít nhất 1 người bị bệnh b. Khám 2 người có 1 người bị bệnh, tìm xác suất sao cho đó là người thứ 2. Giải: Gọi:
B1 là hiện tượng người thứ 1 mắc bệnh B1 B2 là hiện tượng người thứ 1 mắc bệnh B2
B1, B2 là các hiện tượng độc lập P(B1)= 0,01
P(B2)=0,02
D là hiện tượng khám 2 người có ít nhất 1 người bị bệnh E là hiện tượng khám 2 người có 1 người bị bệnh F là hiện tượng khám 2 người có 1 người bị bệnh và người đó là người thứ 2 a. Khám 2 người, có ít nhất 1 người bị bệnh P(D)
= P( B1.B2) P( B1.B2) P( B1.B2) = P(B1).P(B2) + P(B1).P( B 2) + P( B1).P( B2) = 1- P( B1.B2.) = 1-0,99.0,98 = 0,0298
b. Khám 2 người có 1 người bị bệnh, người đó là người thứ 2 P(E)= P ( B1.B2) P( B1.B2) P(F) =
P( B1.B 2) 0,99.0,02 0,669 P( B1.B 2) P( B1.B 2) 0,01.0,98 0,99.0,02
(Chú ý không nhầm với P(F)= P( B1.B 2) , trường hợp này đề sẽ ra là: Tìm xác suất để người thứ nhất không bị bệnh, người thứ 2 bị bệnh)
17
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com 13. Tỷ lệ bị lao trong những người khám lao là 10%. Trong số những người bị lao, có 62,5% tìm thấy BK nên phải nằm viện. Trong số nằm viện, có 10% phải mỗ. a. Tìm tỷ lệ nằm viện do lao b. Tìm tỷ lệ phải mổ do lao Giải: Gọi:
A là hiện tượng bị lao P(A)=0,1 B là hiện tượng nằm viện do lao P(B/A)=0,625
P(A/B)= 1
(Đã nằm viện do lao thì chắc chắn bị lao) C là hiện tượng phải mổ do lao P(C/B) = 0,1 a. Tính tỷ lệ nằm viện do lao: P(B) P(B) =
P(A).P(B/A) P( A).P( B / A) = 0,1.0,625=0,0625 P(A/B)
b. Tính tỷ lệ phải mổ do lao: P(C) P(C) =
P(B).P(C/B) P(B).P(C/B) = 0,0625.0,1=0,00625 P(B/C)
14. Tỷ lệ bị sốt rét ở một vùng dân cư miền núi là 10%, trong số bị sốt rét có 3% sốt rét ác tính, trong số bị sốt rét ác tính có 1 số bị chết a. Tìm tỷ lệ bị sốt rét ác tính b. Tìm tỷ lệ chết của sốt rét biết rằng tỷ lệ chết do bị sốt rét ác tính là 0,9% Giải: Gọi:
A là hiện tượng mắc sốt rét P(A)= 0,1 B là hiện tượng mắc sốt rét ác tính P(B/A)=0,03 P(A/B)=1 C là hiện tượng chết P(C/AB)=0,009
a. Tính tỷ lệ sốt rét ác tính P(B) P(B) =
P(A).P(B/A) P(A).P(B/A) 0,1.0,03 0,003 P(A/B)
b. Tính tỷ lệ chết của sốt rét P(C) P(C)=
18
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com 15.Giả sử sự sinh con trai và con gái là như nhau. a. Tìm xác suất để gia đình sinh 3 con có 1 con trai, thứ nhất b. Tìm xác suất để gia đình sinh 3 con có 1 con trai ở lần 3 Giải: Gọi:
Ai là hiện tượng sinh con trai ở lần sinh thứ i B là hiện tượng sinh 3 con có 1 con trai C là hiện tượng sinh 3 con có 1 con trai, thứ nhất D là hiện tượng sinh 3 con có 1 con trai ở lần 3
Do sự sinh con trai và con gái là như nhau nên xác suất sinh con trai P(T) bằng xác xuất sinh con gái P(G): P(T)=P(G)=0,5 a. Sinh 3 con có 1 con trai, thứ nhất P(B)
= P(A1. A2. A3) + P( A1. A2. A3) P( A1. A2. A3) = 3.P(T).P(G).P(G)
P(C)
=
P( A1. A2. A3) 1 0,333 P( B) 3
b. Sinh 3 con có 1 con trai ở lần 3 P(D)= P ( A1. A2. A3) P(G).P(G).P(T ) 0,125 16. Xác suất sinh bằng được con trai thứ ba là 0,122551. Xác suất sinh được một con trai trong 3 lần sinh là 0,367353. Tìm xác suất sinh con trai trong 1lần sinh Giải: Gọi:
Ai là hiện tượng sinh con trai ở lần sinh thứ i
Xác suất sinh bằng được con trai thứ 3 là 0,122551 P( A1. A2. A3) 0,122551 Xác suất sinh được một con trai trong 3 lần sinh là 0,367353 P( A1. A2. A3) P( A1. A2. A3) P( A1. A2. A3) 0,367353 17. Trong đám đông có số nam bằng nửa số nữ. Xác suất bị bệnh bạch tạng đối với nam là 0,0006 và đối với nữ là 0,000036. a. Tìm xác suất gặp người bị bạch tạng trong đám đông b. Tìm xác suất để người bị bạch tạng đó là nam
19
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com Giải: Gọi:
A là hiện tượng bị bạch tạng E1 là hiện tượng nam giới P(A/E1)= 0,0006 E2 là hiện tượng nữ giới P(A/E2)= 0,000036
E1, E2 là nhóm đầy đủ các hiện tượng: P(E1)+P(E2)=1 Do số nữ gấp đôi số nam nên P(E1)=1/3, P(E2)=2/3 a. Tìm xác suất để gặp người bị bạch tạng trong đám đông P(A) P(A)=P(E1).P(A/E1)+P(E2).P(A/E2)= 1/3.0,0006+2/3.0,000036=0,000224 b. Tìm xác suất sao cho người bị bạch tạng đó là nam P(E1/A) P(E1/A)=
P( E1).P( A / E1) 1 / 3.0,0006 0.8928 P( A) 0,000224
18. Tỷ lệ cha mắt đen, con mắt đen là 0,05. Cha mắt đen, con mắt xanh là 0,079. Cha mắt xanh, con mắt đen là 0,089. Cha mắt xanh, con mắt xanh là 0,782 a. Tìm xác suất gặp con mắt xanh biết rằng cha mắt xanh b. Tìm xác suất gặp con mắt không đen biết rằng cha mắt đen. Giải: Gọi:
A là hiện tượng con mắt đen A là hiện tượng con mắt xanh
E1 là hiện tượng cha mắt đen -- > P(AE1) = 0,05
P(AE2) = 0,089
E2 là hiện tượng cha mắt xanh -- > P( A E1) = 0,079
P( A E2) = 0,782
Do P(AE1)+ P(AE2) + P( A E1) + P( A E2) = 1 nên các hiện tượng trên là một nhóm đủ, không còn màu mắt nào khác nữa. P(A)
= P(E1). P(A/E1) + P(E2).P(A/E2) = P(AE1) + P(AE2) = 0,05+0,089 = 0,139
P( A ) = 1- P(A) = 0,861 P(E2) = P(A).P(E2/A) + P( A ).P(E2/ A ) = P(AE2) + P( A E2) = 0,089 + 0,782 = 0,871 -- > P(E1)= 0,129
20
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com a. Tìm xác suất gặp con mắt xanh biết rằng cha mắt xanh P( A /E2) P( A /E2) =
P( AE 2) 0,782 = 0,897 P( E 2) 0,871
b. Tìm xác suất gặp con mắt không đen, biết rằng cha mắt đen P( A /E1) P( A /E1) =
P( AE1) 0,079 0,612 P( E1) 0,129
19. Gọi E1 là hiện tượng sinh đôi thật do một trứng sinh ra, hai trẻ luông cùng giống. Gọi E2 là hiện tượng sinh đôi giả do hai trứng sinh ra, hai trẻ cùng giống hoặc khác giống với khả năng như nhau. Biết xác suất sinh đôi thật là p a. Tìm xác suất sinh đôi cùng giống b. Tìm xác suất để nếu trẻ sinh đôi cùng giống thì khác trứng Giải: Gọi:
A là hiện tượng cùng giống, A là hiện tượng khác giống E1 là hiện tượng sinh đôi thật -- > P(E1) = p E2 là hiện tượng sinh đôi giả -- > P(E2) = 1-p
SĐ thật, 2 trẻ luôn cùng giống -- > P(A/E1) = 1, P( A /E1) = 0 SĐ giả, 2 trẻ cg hoặc kg với khả năng như nhau-- > P(A/E2) = P( A /E2) = 0,5 a. Xác suất sinh đôi cùng giống P(A): P(A) = P(E1).P(A/E1) + P(E2).P(A/E2) = p.1 + (1-p)0,5 =
p 1 2
b. Xác suất để nếu trẻ sinh đôi cùng giống thì khác trứng P(E2/A): P(E2/A) =
P( E 2).P( A / E 2) (1 p).0,5.2 1 p P( A) p 1 1 p
20.Có 2 hộp thuốc giống hệt nhau. Hộp 1 có 3/4 chính phẩm, hộp 2 có 2/3 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và lấy ngẫu nhiên 1 ống tìm xác suất được là chính phẩm Giải: Gọi:
A là ht lấy hộp thuốc chính phẩm E1 là ht hộp 1: P(A/E1) = 3/4 = 0,75
P( A /E1) = 1/4 = 0,25
E2 là ht hộp 2: P(A/E2) = 2/3= 0,6667
P( A /E2) = 1/3= 0,3333
21
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com Hai hộp thuốc giống hệt nhau -- > P(E1)=P(E2)=0,5 Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, và lấy ngẫu nhiên 1 ống thuốc. Xác suất để ống thuốc là chính phẩm: P(AE1 +AE2) = P(AE1)+P(AE2) = P(A) = P(E1).P(A/E1) + P(E2).P(A/E2) = 0,5.0,75 + 0,5.0,6667 = 0,70835 21. Có 2 lô sản phẩm thuốc. Lô 1 có 90% hộp còn hạn, lô 2 có 80% còn hạn. Người ta lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 hộp thuốc được còn hạn, trả lại hộp thuốc vào lô đó và lại lấy ngẫu nhiên 1 hộp thuốc khác. Tìm xác suất để hộp lần 2 lấy ra là không còn hạn. Giải: Gọi:
A là hiện tượng hộp thuốc còn hạn E1 là hiện tượng lô 1: P(E1)= 0,5
P(A/E1)=0,9
E2 là hiện tượng lô 2: P(E2)=0,5
P(A/E2)=0,8
(các lô thuốc thường được sản xuất giống hệt nhau nên P(E1)=P(E2)=0,5) 22. Có một trạm cấp cứu bỏng có 65% bệnh nhân bỏng do nóng, 35% bệnh nhân bỏng do hoá chất. Bị bỏng do nóng có 25% bị biến chứng, bị bỏng do hoá chất có 40% bị biến chứng. a. Tìm xác suất gặp bệnh nhân không bị biến chứng b. Gặp ngẫu nhiên một bệnh nhân bị biến chứng, hỏi khả năng bệnh nhân đó bị bỏng do nguyên nhân nào nhiều hơn? c. Gặp ngẫu nhiên một bệnh nhân không bị biến chứng, tìm xác suất đó là bệnh nhân bỏng do hoá chất. Giải: Gọi:
A là hiện tượng có biến chứng E1 là ht bỏng do nóng -- > P(E1)=0,65
P(A/E1)=0,25
E2 là ht bỏng do hoá chất -- > P(E2)= 0,35 P(A/E2)=0,4 a. XS gặp bệnh nhân không bị biến chứng P( A ) P( A ) = P(E1).P( A /E1) + P(E2).P( A /E2) = 0,65.0,75 + 0,35.0,6 = 0,6975
22
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com b. Biến chứng do bỏng nhiệt hay bỏng hoá chất: - BN bị biến chứng do bỏng nhiệt P(E1/A) =
P( E1).P( A / E1) 0,65.0,25 0,1625 P( A) 0,3025
- BN bị biến chứng do bỏng hoá chất P(E2/A)=
P( E 2).P( A / E 2) 0,35.0,4 0,463 P( A) 0,3025
Vậy nếu gặp một bệnh nhân có biến chứng thì khả năng bệnh nhân đó bị bỏng hoá chất sẽ cao hơn bệnh nhân bị bỏng nhiệt c. Bệnh nhân không bị biến chứng, bỏng do hoá chất P(E2/ A ) P(E2/ A ) =
P(E2).P(A /E2) 0,35.(1 0,4) 0,301 0,6975 P(A)
23. Tại một khoa nội, tỷ lệ 3 nhóm bệnh tim mạch, huyết học, tiêu hoá là 1:2:2. Xác suất gặp bệnh nhân nặng của nhóm tim mạch là 0,4 và của huyết học là 0,5. Xác suất gặp bệnh nhân nặng của 3 nhóm là 0,375. a. Tìm xác suất gặp bệnh nhân nặng của nhóm tiêu hoá b. Khám tất cả bệnh nhân nặng, tìm tỷ lệ gặp bệnh nhân nhóm tiêu hoá Giải: Gọi:
A là hiện tượng bệnh nhân nặng E1 là hiện tượng khoa tim mạch E2 là hiện tượng khoa huyết học E3 là hiện tương khoa tiêu hoá P(E1)= 1/5=0,2
P(A/E1)=0,4
P(E2)= 2/5=0,4
P(A/E2)=0,5
P(E3)= 2/5=0,4
P(A/E3)=?
P(A)= 0,375 a. Tìm xác suất gặp bệnh nhân nặng của nhóm tiêu hoá P(A/E3) P(A)
=P(AE1) + P(AE2) + P(AE3) =P(E1).P(A/E1) + P(E2).P(A/E2) + P(E3).P(A/E3)
0,375 =0,2.0,4 + 0,4.0,5 + 0,4.P(A/E3) -- >
P(A/E3)=0,2375
b. Tìm tỷ lệ gặp bệnh nhân nhóm tiêu hoá trong số bệnh nhân nặng P(E3/A)
23
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com P(E3/A)=
P( E 3).P( A / E 3) 0,4.0,2375 = 0,253 P( A) 0,375
24. Điều trị riêng rẽ 2 kháng sinh cho bệnh nhân, xác suất phản ứng của kháng sinh I là 0,002, của kháng sinh II là 0,001. Biết xác suất phản ứng của 2 kháng sinh là 0,0014. a. Một người dùng kháng sinh bị phản ứng, tìm xác suất sao cho người đó dùng kháng sinh II b. Tìm xác suất sao cho 2 người dùng kháng sinh thì cả 2 người không bị phản ứng Giải: Gọi:
A là hiện tượng phản ứng E1 là hiện tượng dùng KS I E2 là hiện tượng dùng KS II P(A/E1)=0,002 P(A/E2)=0,001 P(A)=0,0014
a. Xác suất để người bị phản ứng dùng KS II: P(E2/A) P(E2/A)=
P( E 2).P( A / E 2) P( A)
b. Xác suất để 2 người dùng kháng sinh đều không bị phản ứng 25. Xác suất dương tính của X quang là 0,2. Giá trị của X quang dương tính bằng 0,2. Biết tỷ lệ bị bệnh trong nhóm X quang âm tính là 0,0125. Dùng X quang chẩn đoán bệnh. a. Tìm tỷ lệ bị bệnh b. Tìm độ nhạy, độ đặc hiệu của X quang Giải: Gọi:
A là hiện tượng X quang (+) B là hiện tượng bị bệnh P(A) = 0,2
P(B/A) = 0,2
P( A ) = 0,8
P(B/ A )=0,0125
a. Tìm tỷ lệ bị bệnh P(B): P(B)
= P(AB) + P( A B)
24
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com = P(A).P(B/A)+P( A ).P(B/ A ) = 0,2.0,2 + 0,8.0,0125 = 0,05 b. Tính độ nhạy, độ đặc hiệu của X quang: Độ nhạy P(A/B)=
P( A).P( B / A) 0,2.0,2 = 0,8 P( B) 0,05
Độ đặc hiệu P( A / B ) =
P( A).P( B / A) P( A).[1 P( B / A) 0,8.0,8 =0,673 1 P( B) 0,95 P( B)
26. Biết rằng trong 100 người có 2 người bị bệnh B. Điều tra tình hình mắc bệnh đó, người ta dùng một phản ứng thì thấy nếu bị bệnh phản ứng luôn dương tính, nếu không bệnh phản ứng dương tính 20%. a. Tìm xác suất dương tính của phản ứng b. Làm xét nghiệm thấy âm tính. Không tính, hãy cho biết xác suất để người đó là bị bệnh. Giải: Gọi:
A là hiện tượng phản ứng (+) B là hiện tượng bị bệnh P(B)=0,02
P(A/B)=1
P( B )=0,98
P(A/ B )=0,2
a. Tìm xác suất dương tính của phản ứng: P(A)
=P(AB) + P(A B ) =P(B).P(A/B)+P( B ).P(A/ B ) =0,02 + 0,98.0,2= 0,216
b. Không tính, hãy cho biết tỷ lệ bị bệnh trong nhóm xét nghiệm âm tính P(B/ A ): Nếu bị bệnh thì phản ứng luôn dương tính, do vậy không có trường hợp nào bị bệnh có xét nghiệm âm tính -- > Trong những trường hợp âm tính không có trường hợp nào bị bệnh -- > Xác suất để người có xét nghiệm âm tính bị bệnh = 0 (Minh hoạ: P(A/B)=1 -- > P( A /B)=0 -- > P(B/ A )=
P( B).P( A / B) 0) P( A)
25
Bài tập toán xác xuất và thống kê – Ôn thi BSNT - http://chiaseykhoa.com 27. Xác suất bị bệnh B tại phòng khám là 0,8. Khi sử dụng phương pháp chẩn đoán mới, với khẳng định là có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp, với khẳng định là không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. a. Tìmh xác suất chẩn đoán có bệnh của phương pháp trên b. Tìm xác suất chẩn đoán sai c. Khi xác suất mắc bệnh B thay đổi, bài toán trên đúng với xác suất mắc bệnh B là bao nhiêu. 28. Xét nghiệm GPB có xác suất sai là 0,197. Tỷ lệ bị bệnh tại cộng đồng là 0,02. Biết độ đặc hiệu là 0,8. Dùng giải phẫu bệnh để chẩn đoán bệnh a. Tìm độ nhạy b. Tìm giá trị của GPB (+) 29. Dùng xét nghiệm hoá sinh để xác định bệnh, xét nghiệm có xác suất đúng là 0,763. Biết xác suất dương tính của xét nghiệm là 0,22 và giá trị của xét nghiệm dương tính là 0,1. a. Tìm tỷ lệ bị bệnh b. Tìm độ nhạy, độ đặc hiệu của xét nghiệm HS. 30. Tại một bệnh viện, tỷ lệ mắc bệnh B là 0,1. Để chẩn đoán xác định, người ta làm phản ứng miễn dịch, nếu khẳng định có bệnh thì đúng 50%, nếu người không bị bệnh thì sai 10%. a. Tìm xác suất phản ứng (+) của nhóm bị bệnh b. Tìm giá trị của chẩn đoán miễn dịch
26
