EESSCCU UEELLAA SSU UPPEERRIIO ORR PPO OLLIITTEECCN NIICCAA D DEE CCH HIIM MBBO ORRAAZZO O FFAACCU ULLTTAAD DD DEE M MEECCAAN NIICCAA
EESSCCU UEELLAA D DEE IIN NG GEEN NIIEERRIIAA IIN ND DU USSTTRRIIAALL
TTRRAABBAAJJO OD DEE::
Dinámica TTEEM MAA::
Solución de Ejercicios impares de Beer Jhonston cap. 11
IIN NTTEERRG GRRAAN NTTEESS:: Grupo 8 Efrén Llanos
Luis Ludeña
Carlos Gualpa
Paulina Miranda
Oscar Caluña
David Quezada
Fernando Lluco 2 010
1 El movimiento de una partícula está definido por la relación, x t 2 (t 3) 3 , x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine a ) el momento en el que ala aceleración es cero, b ) la posición y la velocidad de la partícula en ese momento.
Datos:
P
x t 2 (t 3) 3
-----------------------------------------------SOLUCION:
Ecuaciones cinemáticas: x t 2 (t 3) 3
(1)
x v v 2t 3(t 3) 2
(2)
x a a 2 6(t 3)
(3)
a) a 0 a 2 6(t 3)
b) v ? x ? v 2t 3(t 3) 2
(3)
v 2(10 3) 3(10 3) 3
2
0 2 6(t 3)
(t 3)
(2)
2 6
v (20 3) (3 9)
t
2 3 6
v
180 9 27
t
10 s 3
v
19 m s 3
t 3.33s
v 6,33 m s x t 2 (t 3) 3
(1)
x (10 3) (10 3) 3 2
x
299 m 27
3
x 11,07m
3 El movimiento de una partícula está definido por la relación x=5t4 - 4t3 +3t -2, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=2s. Datos: x=5t4 - 4t3 +3t -2 x=? v=? a=? g
t=2s
Solución:
Posición: x= 5(2)4 – 4(2)3 +3(2) -2 x= 80 – 32 + 6 – 2 x= 52 ft.
Velocidad: v= 20(2)3 – 12(2)2 +3 v= 160 – 48 + 3 v= 115 ft/s.
Aceleración: v= 60(2)2 – 24(2) v= 240 – 48 v= 192 ft/s2.
5. El movimiento de la corredera A se define mediante la relación x=500 sen kt donde x y t se expresan en milímetros y segundos respectivamente , y k es constante. Si k=10 rad/s, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la corredera A cuando t=0.05 s.
SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS.
cuando t=0.05 s POSICION:
.
VELOCIDAD:
(
)
ACELERACION:
(
)
7.- El movimiento de una partícula se define mediante la relación , donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: a) El momento en que la velocidad es cero b) La posición, aceleración y la distancia total recorrida cuando DATOS
[
]
[
] a) b)
SOLUCIÓN Ecuaciones cinemáticas
a)
b)
⁄
La distancia total es la suma de las distancias: Cuando t=0 Cuando t=1 Cuando t=3 Cuando t=5
x=5 x=9 x=5 x=20
d=0 d=4 d=4 d=20
Distancia = 28 pies 9.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación donde y t se expresan en y segundos respectivamente. Si x=0 y v=0 en t=0, determine la velocidad y la posición de la partícula cuando t=0.5s ( ) ; t (s) t=0 Determine: t=0.5s
SOLUCIÓN:
Ecuaciones cinemáticas: 1.
∫
* +
∫ t
(
)
0 * + 2.
∫
* +
∫ t 0
( 3.
[ ]
) [ ]
11.- la aceleración del punto A se define mediante la relación donde y t se expresan en y segundos, respectivamente y ⁄ Con x = 0.48ft y v= 1.08 ft/s cuando t = 0. Determine la velocidad y la posición del punto A cuando t = 0.5s
⁄
⁄
{
Determine: , SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas 1.
∫
* +
∫ t o * +
2.
* +
∫
∫ t
o
[ ]
[ ]
3.
13.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a=0.15m/s2. Si x=-10m cuando t=0 y v=-0.15m/s cuando t=2s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t=5s.
Datos: Cuando
t=0s x0=-10m
Cuando
t=2s V0=-0.15m/s
Ecuaciones cinemáticas
(1) (2) Solución: Tramo AB
∫
∫ t 0
+ Remplazando valores de a=0.15m/s2 t=2s v=-0.15m/s +
Tramo BC
Cuando:
∫
a=0.15m/s2 t0=0s t=5s V0=-0.45
∫ t 0
Ecuación Cinemática de la Velocidad Remplazando valores:
Posición: Cuando: ∫
t=0s a=0.15
x0=-10m
∫
+
t 0
+
Ecuación cinemática de la posición
Reemplazando valores de:
a=0.15m/s2
t=5s v0=-0.45m/s x0=-10m
-0.45 (5)
Distancia recorrida: Cuando v=0m/s
obtendremos el tiempo en detenerse
Reemplazando en ecuación de la posición: -0.45 (3)
d1=x0 - Xmin=0.675 d2=xs - Xmin=0.3 dt=d1+d2=0.975m 15. La aceleración de una partícula está definida por la relación a . a) Si v= -10 m/s cuando t = 0 y v = 10 m/s cuando t =2s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de movimiento con x = 0 cuando t = 2s.
Datos:
Cuando t= 0 v= -10 m/s Cuando t= 2s v= 10 m/s
es decir v˳ y t˳ es decir v
Solución: Ecuaciones de movimiento:
(1) (2) (3) a) De (1) ∫
∫ ∫
(4) (5) Reemplazando los valores de los datos del problema en (5) tenemos: (6) b)
De (3) (7) ∫
integrando (7):
∫ ∫
: (
)
(
)
= 0 cuando t 2s Entonces: (8) ec. Mov. 17.- El punto A oscila con una aceleración , donde se expresan en ⁄ y en metros, respectivamente. Si el sistema se inicia en el tiempo t=0 con v=0 y x=0.2 metros, Determine: a) Posición y velocidad de A cuando t=0.2s
DATOS
* ⁄ + [ ]
a) SOLUCIÓN Ecuaciones cinemáticas
∫
∫ |
∫
|
√
√
√
[
]
√ ∫
∫
∫
∫
√
|
√
(
(
)
) (
) (
( )
(
)
)
Posición del Punto A con tiempo=0.2s
Velocidad del Punto A con tiempo =0.2s
19 La aceleración del punto A se define mediante la relación a 800x 3200x 3 , donde a y x se expresan en ft s 2 y f t respectivamente. Si la velocidad de A es de 10 ft s y x 0 cuando t 0 , determine la velocidad y la posición de A cuando t 0,05s .
v 10 ft s
Datos:
A
a 800x 3200x 3
A’
t= 0
t 0,05s
SOLUCION:
Ecuaciones cinemáticas: a 800x 3200x 3 (1)
* a vdv
*
dx
v a
v
x a
adx vdv
dt
vdv 800x 3200x dx 3
v
10
dx v
dt 40 ( x
vdv adx
v2 2
dx dt
x2 x4 800 3200 2 4
40 dt
x
dx ( x 0,5 2 ) 2
x
40 t 0 t
0
dx 0,5 2 )
2
1 1 x tg 0.5 0.5 0
v 2 10 2 400x 2 800x 4 2 2
tg 1 (2 x) 20 t
v 2 1600x 4 800x 2 100
x 0,5tg (20t )
(2)
x v
p x2
dx dt
v 2 1600 p 2 800 p 100
v
0 1600 p 2 800 p 100
v 0,5 sec2 (20 t ) (20 )
b 2 4ac p b 2a p b
b 2 4ac 2a
p 800
p
(800) 2 4(1600)(100) 2(1600)
800 0 3200
p 0,25 0
p1 p 2 0,25 ft 2 p1 p 2 0,25 ft 2 v 2 1600x 2
v 2 1600 ( p p1 ) 2 v 2 1600 ( x 2 (0,25 )) 2 v 2 1600 ( x 2 0,5 2 ) 2
v 10 sec2 (20 t )
(3)
v 40 ( x 2 0,5 2 ) ft s
En (2) : t 0,05
En (3): t 0,05
x 0,5tg20 (0,05 )
v 10 sec2 (20 t )
1 v 10 2 cos 20 t
x 0,5.tg (1)
1 v 10 2 cos (1,0) v 34,3 ft s
x 0,00872 ft
11.21 La aceleración de una partícula se define mediante la relación mediante a = k(1-e-x), donde k es constante. Si la velocidad de la partícula es v=+9m/s cuando x= -3m y la partícula queda en reposo en el origen, determine a) el valor de k, b) la velocidad de la partícula cuando x=-2m. Datos: a = k(1-e-x) v =+9m/s
x= -3m
vf = 0m/s
x=0m
a) k=? b) v=?
x=-2m
Solución: a) ∫
(
∫
)
[
]
b) ∫
(
∫ [
)
]
[
]
[
]1/2
[
]1/2
X=-2m
23. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-0.4V, donde a se expresa en mm/s2 y V en mm/s. Si cuando t=0 la velocidad es de 75 mm/s, determine a)la distancia que recorrerá la partícula antes de quedar en reposo . b) el tiempo recorrido para que la velocidad de la partícula se reduzca al uno por ciento de su valor inicial. SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS
Cuando: X=0
V0=75 m/s
X=?
V=0
∫
∫
b)
Cuando: t=0
V0=75 m/s
t=?
V=0.75 m/s
∫
∫
t =0,71+10,79 t= 25.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación √ , donde k es constante, si x = 0 y v = 25ft/s en t = 0, y =12ft/s cuando x = 6ft, determine: 1) la velocidad de la partícula en x = 8ft, 2) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo.
k, cte.
√ {
Determine:
SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas 1.
( )∫
∫
( )
√
( )( ( )(
) )
2.
√
( )(
) ∫
( )( ( )( (
) )
)( (
3.
∫
) )
)
27. La aceleración de la corredera A se define mediante la relación √ , donde k es constante. El sistema inicia en el tiempo t = 0 con x = 1.5ft y v =0. Si x = 1.2ft cuando t = 0.2s, determínese el valor de k.
⁄
k=cte
√ ,
,
Determine: SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas 1.
√ √
∫
∫ (
∫
√ √
v
)
[(√
)
[(√
(√ )
[(√
)
(√
)
(√
)
3.
vo
(√
]
) )]
∫
2. 29.- A partir de x=0 sin velocidad inicial, la aceleración de un auto de carreras está definida por la relación v=154√ , donde v y x se expresa en m/s y metros respectivamente. Determine la posición y la aceleración del auto de carreras cuando a) v=20m/s b) v=40m/s
Datos: v=154√ Ecuaciones cinemáticas: Solución: Trabajando en ecuación v=154√ v/154=√ -0.00057x=
[
x=
*
(
) ]
(
) + ecuación cinemática de la posición
despejando x en función de v v2=23716 =
( ) = *
(
[
(
) ]
) + ecuación cinemática de la aceleración
Reemplazando v=20m/s en ecuación cinemática de la posición y aceleración.
Para x=29.8m a=6.65m/s2 Para x=122.5m a=6.30m/s2
v=20m/s
v =40m/s
35. A una vagoneta se le prueban la aceleración y los frenos. En la primera prueba de aceleración en la calle, transcurrió un tiempo de .2 segundos para lograr un incremento de velocidad desde 10 km/h hasta 100 km/h. En la prueba de frenos, la vagoneta recorrió una distancia de 44m durante el frenado desde 100 km/h hasta cero. Si se suponen valores constantes para la aceleración y la desaceleración, determine a) La aceleración durante la primera prueba en la calle. b) La desaceleración durante la prueba de frenos.
solución: A
B
t˳ =0
t₁=8,2s
v˳= 10 km/h Ecuaciones de movimiento:
v₁=100km/h
(1) (2) De (1) ∫
44m (=0,044 km)
; integrando: ∫
(3) Reemplazando los valores de los datos tenemos:
(=0,00227h)
C t₂
v₂=0
b) Despejando
de (1) y (2) y luego igualando ambas tenemos:
(4) ∫
Integrando:
∫
(5) Reemplazando los datos tenemos:
37 Un avión inicia su despegue en A con velocidad 0 y aceleración constante a. Si empieza a volar 30 s después en B y la distancia AB es de 2700ft, determine a) la aceleración a. b) la velocidad de despegue VB.
SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS
∫
∫
(ecuación 1) v0=0
ECUACION CINEMATICA
Cuando: Xo= 0
t0= 0
X= 2700 ft ∫
∫
∫
∫
Vo=0
t= 30s
39 En una carrera de 400m , un atleta acelera de modo uniforme durante los primeros 130m y luego corre a velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros 130m es de 25s . Determine a ) su aceleración y b ) su velocidad final, c ) el tiempo en que completa la carrera. Datos:
a ctte MRUV
v ctte MRU
130m A
B
C
400m SOLUCION:
Ecuaciones cinemáticas: a
dv dt
v
dx dt
v a
x a
dv adt
dx vdt
dx (v
dv adt v v at t v
x
t
0
xx
0
0
0
at )dt
t2 v0t a 2
t
0
t2 x v0t a x0 2
v vo at
v V0 at
(1)
a)
a ctte
En AB:
t2 x x0 v0t a 2
(2)
t2 x x0 v0t a 2
a
a
b)
2x t2
2(130 m) (25 s) 2
a
En
(1)
a 0,42 m s 2
v V0 at v (0,42 m s 2 )( 25 s)
v 10 ,4 m s
c)
En BC:
v
dx dt
dx (v
0
400
x 130
v0 v
V ctte
at )dt
t2 v0 t a 2
t
25
t2 400 m 130 m v0t a 2
t
25
260 m 10 ,4 m s t 10 ,4 m s (25 s) 10 ,4 m s t 70 m 260 m
t 31,73s
49 El bloque A se mueve hacia abajo a velocidad constante de 1m/s. Determine a) la velocidad del bloque C, b) la velocidad del collarín B en relación con el bloque A, c) la velocidad relativa de la porción D del cable respecto al bloque A.
Datos: VA=cte.
VA=1m/s
a) VC=? b) VB/A=? c) VD/A=? Solución: a) VA=1m/ s XA + (XA – XB)= cte.
2XB + XC = cte.
x v
x v
2 VA – VB = 0
2 VB + VC = 0
VB= 2(1)
VC = -2 VB
VB= 2m/s
VC = -2 (2) VC = -4m/s. VC = 4m/s
b) VB/A= VB – VA
VB/A= 2 – 1 VB/A= 1m/s
XD + XC = cte.
x v VD + VC = 0 VD = - VC VD = 4m/s VD/A= VD – VA VB/A= 4 – 1 VB/A=3m/s
53.- El bloque C se mueve hacia abajo a velocidad constante de 2ft/s. Determinar la velocidad a) Del bloque A b) Del bloque D
Cable AB Va+Vb=0 Xa +Xb =constante Vb=-Va Cable BED xB +2xD = constante Vb+2Vd=0 Vd=
=
Cable BCD (Xc +Xb) +(Xc +Xd) =constante 2Vc-Vb-Vd=0
o
Velocidad del bloque A
Va=-8ft Va=8ft/s Velocidad del bloque D Vd=
=-4ft
Vd=4ft/s
2Vc+Va-
=0
99. Un saltador de esquí inicia su salto con una velocidad de despegue de 25 m/s y aterriza sobre una pendiente recta de 30° de inclinación. Determine a) El tiempo transcurrido entre el despegue y el aterrizaje, b) La longitud d del salto,
Solución: 25 m/s o
(1)
y x
30°
Ecuaciones cinemáticas: Mov horizontal: Mov vertical: x = (v x)o t (2) y = (yo)+ (vy)o t – ½ gt2 (v x)o = 25 m/s (2’) g = 9.81 m/s2 En el momento del despegue (punto o) tenemos: (v x)o = 25 m/s (vy)o = 0 yo = 0 xo = 0 Reemplazando esto en (3)
a) (4) Reemplazando (1) en (4) (5) (2) en (5) (8) (2’) y el valor de la gravedad en (6) tenemos:
(3)
(7) b) (8) (1) En (8)
(9) (2) En (9)
Reemplazando los valores ya conocidos: (
)
101.-Un jugador de baloncesto lanza un balón desde A con velocidad horizontal v0. Si d = 15ft, determine: a) el valor de v0 para el cual la pelota golpeará en la esquina C, b) el rango de valores de v0 para los cuales la pelota golpeará en la esquina BCD.
Determine:
SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas
∫
∫
√
√
√
√
103.- Una bomba está cerca del borde de la plataforma horizontal que muestra la figura. La boquilla colocada en A descarga agua con velocidad inicial de 25 ft/s formando un ángulo de 55° con la vertical. Determine el rango de valores de la altura h para los cuales el agua entra en la abertura BC.
Datos: V0=25 ft/s α=90-55=35° g=32.2 ft/s2 Ecuaciones Cinemáticas Movimiento Horizontal x= (v0cosα) t (1) Movimiento Vertical y=h + (v0senα) t-
(2)
Despejando t de ecuación 1 y reemplazando en 2
y=h + x tan α Despejando h Tenemos h= y – x tan α -
Ecuación Cinemática de la altura
Reemplazando en el punto B x=20 ft y=0 h= 0 – 20 tan 35 –
= 1.352 ft
Reemplazando en el punto C x=24 ft y=0 h= 0 – 24 tan 35 – Limites de altura
1.352 ft < h < 5.31 ft
= 5.31 ft
105 En un lanzamiento lento de softbol, el tiro por debajo del brazo debe alcanzar una altura máxima de entre 1.8 y 3.7 metros por arriba del suelo. Se realiza un lanzamiento con velocidad inicial v0 de magnitud igual de 13 m/s a un ángulo de 330 con la horizontal. Determine a) si el lanzamiento cumple con la altura máxima requerida, b) la altura de la pelota cuando llega al bateador.
SOLUCION: DATOS: VO=13 m/s, α=33 , XO= 0, YO = 0.6 m ECUACIONES CINEMATICAS MOVIMIENTO VERTICAL α . . Cuando la pelota alcanza la altura máxima tenemos:
α
. .
Si cumple la altura máxima requerida.
MOVIMIENTO HORIZONTAL α α
.
109 Un hombre utiliza una barredora de nieve para limpiar el acceso a su cochera. Si la nieve se descarga a un ángulo promedio de 40 con la horizontal, determine la rapidez inicial V o de la nieve.
h2
h1
x
Datos:
h2 1,1m
40
h1 0,6m SOLUCION:
v 0 ctte
v0 x v0 . cos 40
a g
v0 y v0 .sen40
Ecuaciones cinemáticas:
v0
a0
x0 0
v
dx dt
dx vdt
a
dv dt
dv adt
v
dy dt
dy vdt
x x0 v0 x .t
(1)
v v0 y gt
(2)
dy (v at)dt t2 y y 0 v0 y t g 2
En (1) :
t
x v0 x
v0 y
Y (4) en (3)
t
x v0 . cos 40
t2 y v0 y t g 2
x v . cos 40 x g 0 y v0 .sen 40 2 v0 . cos 40 2 g x y tg 40 x 2 2 2 v . cos 40 0
y h2 h1
y 1,1m 0,6m y 0,5m
x 4,2m
2
(4)
(3)
Reemplazamos valores:
9,81 (4,2m) 2 0,5m tg 40 4,2m) 2 2 2v0 . cos 40
173,0484 0,5m tg 40 4,2m) 2 1 , 1736 v 0
3,02(1,173v0 ) 173,0484 2
v0 2
173 ,0484 3,5474
v0 6,98 m s
v0 48,74
111 Una pelota se proyecta desde un punto A con velocidad Vo perpendicular al plano inclinado que muestra la figura. Si la pelota golpea el plano inclinado en B, determine la rapidez inicial Vo en términos del rango R y β. Datos: Vo=? en rango R y β. Solución: (Vy)o
Vo
(Vx)o
[
]
[
]
[
]
[
] √
[
]
√{[
] }
[
]
√{[
] }
[
] [
]
[
]
√{[
] }
121. En un cruce de 2 calles el automóvil A s e dirige hacia el sur a velocidad de 25 mi/h cuando lo choca el carro B que viaja 30° al noreste con velocidad de 30 mi/h. Determine la velocidad relativa del automóvil B respecto al automóvil A.
y 25 m/s o α
θ
Vb/a
Va 60° Vb
Datos: Vb=30 mi/h Va=35 mi/h Solución: Vb/a =
x
Vb/a = √ Vb/a =√ Vb/a= 47,7 mi/h Ley de senos: = Sen
=
α=
*
+
α=33 θ= 90 - 33° θ=57
Vb/a= 47,7 mi/h ;
57°
123 Las velocidades de los trenes A y B son como indica la figura. Si la velocidad de cada tren es constante y B alcanza el cruce 10 minutos después de que A lo hizo, determine: a) Velocidad relativa de B con respecto a A b) Distancia entre los frentes de las máquinas 3 minutos después de haber pasado A por el crucero
DATOS: ⁄ ⁄ a 25º con la horizontal ⁄
SOLUCION Ecuaciones
⁄ ⁄
⁄
⁄
√ ⁄
⁄
⁄
√
⁄
143 En un instante determinado durante una carrera de aviones, el avión A vuela horizontalmente el línea recta, y su velocidad aumenta a una tasa de 6 m/s2. El avión B vuela a la misma altura que A y, al rodear un pilar, sigue una trayectoria circular de 200 m de radio. Si en un instante dado la velocidad de B está disminuyendo a razón de 2m/s2, determine, para la posición mostrada, a) la velocidad de B relativa a A, b)la aceleración de B respecto a A. SOLUCION: DATOS: vA =420 km/h , vB=520 km/h
60
ECUACIONES CINEMATICAS: vB vA vB/A B/A=
VB/A
A+
vB/A vB vA vB B
vA
2VAVB cos 60
477,9 km/h
α α VB/A
477,9 km/h
aA
6 m/s2
vB
520 km/h
70,4O.
(aB)t= 2 m/s2 vB = 144.44 m/s
(aB)n= aB/A= aB-aA= (aB)t-(aA)n-aA 2 m/s2 i aB/A
cos60 i sin 60 j 50.43 m/s2 j 109,6 m/s2
27,4O
104.32
cos30 i sin 30 j
6i
97.34
145 Una boquilla descarga un chorro de agua en la dirección que se muestra con una velocidad inicial de 8 m s . Determine el radio de curvatura del chorro a ) cuando salga de la boquilla b ) en la altura máxima del chorro.
an g
55
at
Datos:
v0 8 m s
SOLUCION:
an g.sen55
a ) an
at g. cos 55
v0
an (9,81 m s 2 ) .sen55
at (9,81 m s 2 ) . cos 55
an 8,035 m s 2
at 5,627 m s 2
2
2
v 0 an
2
(8 m s) 8,035 m s 2
7,96m
v0 x v0 8 m s 55
an
an g 9,81 m s 2
b)
an
v0 x
147
v0 x (8).sen55
2
v 0x an
v0 x v0 .sen55
v0 x 6,55 m s
2
(6,55 m s) 9,81m s 2
2
4,37m
Desde el punto A se lanza un proyectil con velocidad inicial ⁄
a un ángulo de 30º con la vertical. Determine el radio de
curvatura de la trayectoria descrita por el proyectil a) En el punto A b) En el punto de la trayectoria donde la velocidad es paralela a la pendiente
DATOS: ⁄ INCÓGNITAS a) b)
SOLUCIÓN Ecuaciones
-
En el punto A ⁄ ⁄ =
-
En el punto B
=
