EESSCCU SU PO DEE C CH UEELLA A S UPPEER RIIO OR R P OLLIITTEECCN NIICCA A D HIIM MB BO OR RA AZZO O FFA DEE M MEECCA ACCU ULLTTA AD D D AN NIICCA A
EESSCCU DEE IIN UEELLA A D NG GEEN NIIEER RIIA A IIN ND DU USSTTR RIIA ALL
TTR DEE:: RA AB BA AJJO O D
Dinámica TTEEM MA A::
Solución de Ejercicios impares de Beer Jhonston cap. 11
IIN NTTEERRG GRRA AN NTTEESS:: Grupo 8 Efrén Llanos
Luis Ludeña
Carlos Gualpa
Paulina Miranda
Oscar Caluña
David Quezada
Fernando Lluco 2 010
El movimiento de una partícula está definido por la relación, x t 2 (t 3) 3 , x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine a ) el momento en el que ala aceleración es cero, b ) la posición y la velocidad de la partícula en ese momento.
2
x
t
x
t
x v
2
(t 3) 3
------------------------------------------------
(t 3) 3
v
2t 3(t 3) 2
a
x
a
a
a
0
2
)
6(t 3)
a
b) v ?
0
2
6(t 3)
v
2
6(t 3)
v
(t 3)
2 t
2
6
6
v
v
s
v
3
t 3.33 s
v
2
x t x
x
(10 3)
299
(t 3)
27
m
2
(20 3) (3 9)
9
27
m s
3
6,33m
3
(10 3)
3
3
x
?
3(10 3)
19
10 t
2(10 3)
180
3
2t 3(t 3) 2
x
11,07 m
s
3
2
El movimiento de una partícula está definido por la relación x=5t 4 - 4t3 +3t -2, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=2s. Datos: x=5t4 - 4t3 +3t -2 x=? v=? a=? g
t=2s
Solución:
Posición: x= 5(2)4 – 4(2) 4(2)3 +3(2) -2 x= 80 – 80 – 32 32 + 6 – 6 – 2 2 x= 52 ft.
Velocidad: v= 20(2)3 – 12(2) 12(2)2 +3 v= 160 – 160 – 48 48 + 3 v= 115 ft/s.
Aceleración: v= 60(2)2 – 24(2) 24(2) v= 240 – 240 – 48 48 v= 192 ft/s2.
El movimiento de la corredera A se define mediante la relación x=500 sen kt donde x y t se expresan en milímetros y segundos respectivamente , y k es constante. Si k=10 rad/s, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la corredera A cuando t=0.05 s.
SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS.
500 sen kt k 10 rad/s
kctte
cuando t=0.05 s POSICION:
500 sen kt 500 sen 10rad/s0.05s 500 sen 1800/π0.05s 240mm. VELOCIDAD:
500 k cos kt
500 10cos 0,05s 4,39 m/s π
4390 mm/s ACELERACION:
500 sen kt
500 10 sen0,05s 23971.276 mm/s 23,97 m/s π
.- El movimiento de una partícula se define mediante la relación , donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine:
6 +9+5
a) El momento en que la velocidad es cero b) La posición, aceleración y la distancia total recorrida cuando
6 +9+5 a) ?→0 b) ?, ?, ? → 5 Ecuaciones cinemáticas
6 +9+5
?→0
5
3 12+9 3 12+90 ?, ?, ? → 5 b) 6 +9+5 5 65 +95+5 612 6512 a)
La distancia total es la suma de las distancias: Cuando t=0 Cuando t=1 Cuando t=3 Cuando t=5
x=5 x=9 x=5 x=20
d=0 d=4 d=4 d=20
3−.
.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación donde y t se expresan en y segundos respectivamente. Si x=0 y v=0 en t=0 , determine la velocidad y la posición de la partícula cuando t= 0.5s
3−. 00 t=0 ?? t=0.5s
() ; t (s)
3−. 3−. −. ∫ ∫ 3 −. −. t
? → 0.5 15−. 1 15(−.. 1) 1.427
0
15−. 1 −. 1 15 ? → 0.5 ∫ ∫ 15−. 1 15−.. +155−. +5 −.. +50.5) 15(5 +155−. +5 0.363 t
0
3.24sin
la aceleración del punto A se define mediante la relación donde y t se expresan en y segundos, respectivamente y
4.32cos 3v=1.08 ft/s Con x = 0.48ft y cuando t = 0. Determine la velocidad y la posición del punto A cuando t = 0.5s
3.24sin4.32cos 0.48 0{ 1.08/
3⁄
⁄;
0.5 ?? 3.24sin4.32cos 3.24sin4.32cos ∫ ∫3.24sin4.32cos 1.44sen t . . cos sen 1.08cos30.51.44sen30.5o . cos1 . sen0 1.08+1.08cos11.44sen 1.08cos1.44sen 1.08cos1.44sen
? → 0.5 1.08cos 1.04 ? → 0.5
∫ ∫1.08cos1.44sen 0.48cos t . . sen+ sen 0.48cos30.5 o 0.480.36sen0 +0.48cos1 0.48+0.36sen+0.48cos0.48 0.36sen+0.48cos
0.36sen+ 0.36sen30.5+ 0.49
La aceleración de una partícula está definida por la relación a=0.15m/s2. Si x=-10m cuando t=0 y v=-0.15m/s cuando t=2s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t=5s.
Cuando
t=0s x0=-10m
Cuando
t=2s V0=-0.15m/s
(1) (2)
∫ ∫ + Remplazando valores de a=0.15m/s t=2s + ˳
˳
˳
t
0
˳
2
˳
v=-0.15m/s
0.15 /2—0.15/ 0.45/ ˳
˳
Cuando:
a=0.15m/s 2 t 0= 0s t=5s V 0= -0.45
∫ ∫ + Remplazando valores: + 0.15 / 5—0.45/ . / ˳
˳
t
0
˳
˳
˳
Posición:
Cuando:
t=0s a=0.15
+ /2 +
x 0 =-10m
˳
˳
˳
t
˳
0
˳
/ + ˳
˳
Reemplazando valores de:
a=0.15m/s 2
t=5s v 0= -0.45m/s x 0= -10m
0.0755 -0.45 (5) 10 . Distancia recorrida: Cuando v=0m/s
+ + 0 / 0.45/0.15 3 ˳
˳
˳
obtendremos el tiempo en detenerse
Reemplazando en ecuación de la posición: -0.45 (3)
0.0753 10.675
10
d1=x 0 - Xmin=0.675 d2=x s - Xmin=0.3 dt=d1+d2=
La aceleración de una partícula está definida por la relación a . a) Si v= -10 m/s cuando t = 0 y v = 10 m/s cuando t =2s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de movimiento con x = 0 cuando t = 2s.
Cuando t= 0 v= -10 m/s Cuando t= 2s v= 10 m/s : Ecuaciones de movimiento: (1)
es decir v y t es decir v ˳
˳
(2) (3)
a) De (1)
∫ ∫ ∫ + (4) − (5) Reemplazando los valores de los datos del problema en (5) tenemos: −− (6) ˳
˳
˳
˳
˳
˳
˳
b)
De (3)
(7) integrando (7): ∫ ∫= + ∫= 10+ 10+ : 10+ 102+ , 2 +1030 = 0 cuando t 2s Entonces: +1030 (8) ec. Mov. ˳
˳
˳
˳
˳
˳
10025
El punto A oscila con una aceleración , donde se expresan en y en metros, respectivamente. Si el sistema se inicia en el
tiempo t=0 con v=0 y x=0.2 metros, Determine:
a) Posición y velocidad de A cuando t=0.2s
10025 0,0,0.2 a) ?, ? → 0.2 Ecuaciones cinemáticas
10025
1000.25 .1000.25 → 0.25 100 50| 500.25| 2 . 0.2 0.2 500.25 +0.125 ± 1000.25 +0.25 ± 1000.25 +0.25 ± 0.2514000.25 ±0.5 1 4000.25 . ±0.514000.25 200.25 20 0.2 → 1 ± 10√1 ± 101 sin− | 1 ± 101 sin− 2 ± 101 sin− 2 sin2 ±10 → sin2 ±10 sin 2cos±10±cos 2sin±10
cos±10 cos10 200.25 cos10
→
Posición del Punto A con tiempo=0.2s
. Velocidad del Punto A con tiempo =0.2s
−∗
cos10 cos10
La aceleración del punto A se define mediante la relación a 800 x 3200 x , donde a y x se expresan en ft s 2 y ft respectivamente. Si la velocidad de A es de 10 ft s y x 0 cuando t 0 , determine la velocidad y la posición de A cuando t 0,05 s . 3
v
a
800 x
a
800 x
3200 x
3200 x
3
10
ft s
t= 0
3
t
(1)
vdv
*a
*
dx
a
v
adx
v
2
2
vdv
800
dt
a dx
v
dt 40( x
800 x 3200 x
dx
dt
v
10
v
x
vdv adx vdv
x
2
2
0,05 s
3200
3
x
dx 4
4
40
dt
( x
dx
0,5 2 )
2
dx 2
0,5 2 )
x
1
t
40 t 0 0
0.5
1
tg
x
x
0.5 0
v
2
2
v2 p
v
0
2
2
400 x
4
1600 x
2
10
x
800 x
800 x
p b
2
800 p 100
800 p 100
b2
4ac
b2
4ac
2a
(800) 2
3200
0 2
p1
p2 0,25 ft
v
v
2
2
2
4(1600)(100)
800 0
p2 0,25 ft
2
2(1600)
p1
1600 x
2
1600( p p1 ) 2 1600( x 2 1600( x 2
v
v
dx
dt
v 0,5 sec
v 10 sec
2a
p 0,25
2
x 0,5tg (20t )
p 800
v
100
1
tg (2 x) 20t
x
1600 p 2
p b
v
2
4
2
1600 p
p
2
( 0,25)) 2
0,5 2 ) 2
2
2
(20t ) (20)
(20t )
v 40( x 2
En
0,5
t
2
) ft s
En
0,05
x 0,5tg 20(0,05) x
t
v
0,5.tg (1)
v
x 0,00872 ft
0,05
10 sec 2 (20t )
v
1 10 2 cos 20t
v
1 10 2 cos (1,0)
34,3 ft s
La aceleración de una partícula se define mediante la relación mediante a = k(1-e -x), donde k es constante. Si la velocidad de la partícula es v=+9m/s cuando x= -3m y la partícula queda en reposo en el origen, determine a) el valor de k, b) la velocidad de la partícula cuando x=-2m.
a = k(1-e-x) v =+9m/s vf = 0m/s
x= -3m x=0m
a) k=? b) v=?
x=-2m
a)
− − +
.
./ b)
.− .+−
.+− ±.+−
±.+ ±./ ./ . La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-0.4V, donde a se expresa en mm/s2 y V en mm/s. Si cuando t=0 la velocidad es de 75 mm/s, determine a)la distancia que recorrerá la partícula antes de quedar en reposo . b) el tiempo recorrido para que la velocidad de la partícula se reduzca al uno por ciento de su valor inicial.
0.4V Cuando: X=0
V0=75 m/s
X=?
V=0
0.4
0,4 0,04 75 0,4 187.5 b)
0.4V Cuando: t=0
V0=75 m/s
t=?
V=0.75 m/s
0.4
0,14 lnv 0,04 ln0,75 0,14 ln75 t =0,71+10,79
11,5
t=
√
.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación , donde k es constante, si x = 0 y v = 25ft/s en t = 0, y =12ft/s cuando x = 6ft, determine: 1) la velocidad de la partícula en x = 8ft, 2) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo.
√ k, cte. 0 0{25/
12/ →6
?→ ?→ 08 / / −/ ∫ ∫ / / 25 125 12/ → 6 ∴ 6 12 125 12 125 ⇒ 9. 2 7 2 . 25 125 0.072 12513.905
?→ 8 12513.905 12513.9058 13.759 √13.759 5.74/ ?→ √ −/ ∫ ∫ − . . . . 25.) 1.079
La aceleración de la corredera A se define mediante la relación , donde k es constante. El sistema inicia en el tiempo t = 0 con x = 1.5ft y v =0. Si x = 1.2ft cuando t = 0.2s, determínese el valor de k.
2√
2√ k=cte 1.2 0 1.5 0 0.2
⁄;
? 2√
−√ − ∫ ∫ √ − √ −− (√ ) (√ ) 1.21.5 (√ ) (√ 0)
0.92 ∫ ∫ 0.92 0.92 ?→0.2 1.21.50.920.2
0.32(√ ) 0.6+(√ ) 0.4 (√ ) 0.16
.. 1.63
v
vo
0.84 0.92 A partir de x=0 sin velocidad inicial, la aceleración de un auto de carreras está definida por la relación v=154 , donde v y x se expresa en m/s y metros respectivamente. Determine la posición y la aceleración del auto de carreras cuando a) v=20m/s b) v=40m/s
√1−,
√1−,
v=154
Solución: Trabajando en ecuación
√1−,−, √1 -0.00057x=[1 ] . v=154 v/154=
despejando x en función de v v2=23716
−, 1 = 118580.00057−, 6.705906 −,=6.705906[1 ] .
Reemplazando v=20m/s en ecuación cinemática de la posición y aceleración.
Para
v=20m/s
Para
v =40m/s
A una vagoneta se le prueban la aceleración y los frenos. En la primera prueba de aceleración en la calle, transcurrió un tiempo de .2 segundos para lograr un incremento de velocidad desde 10 km/h hasta 100 km/h. En la prueba de frenos, la vagoneta recorrió una distancia de 44m durante el frenado desde 100 km/h hasta cero. Si se suponen valores constantes para la aceleración y la desaceleración, determine a) La aceleración durante la primera prueba en la calle. b) La desaceleración durante la prueba de frenos.
A
B
t =0 v = 10 km/h Ecuaciones de movimiento: ˳
˳
(1) (2) De (1) ; integrando: ₁ ₁ ₁₁−₁ ₁− (3) ˳
C
t =8,2s (=0,00227h) t v =100km/h v =0 ₁
₁
˳
˳
44m (=0,044 km)
˳
˳
˳
Reemplazando los valores de los datos tenemos:
₂
₂
10010/ℎ 0,002277ℎ0 39 512,195 , b) Despejando de (1) y (2) y luego igualando ambas tenemos: (4) Integrando: ₂ ₁ 1 ₂ ₁ 2 ₂−₁ − (5) Reemplazando los datos tenemos: / ,− − 113 636,36 /ℎ , / ˳
˳
˳
Un avión inicia su despegue en A con velocidad 0 y aceleración constante a. Si empieza a volar 30 s después en B y la distancia AB es de 2700ft, determine a) la aceleración a. b) la velocidad de despegue VB.
vo+ vo+
(ecuación 1)
v0=0
630 180/ Cuando: Xo= 0 X= 2700 ft
t 0= 0 t= 30s
vo+at + + 2 Vo=0
a/2 2x/
22700/30 6ft/ En una carrera de 400m , un atleta acelera de modo uniforme durante los primeros 130m y luego corre a velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros 130m es de 25 s . Determine a ) su aceleración y b ) su velocidad final, c) el tiempo en que completa la carrera.
a
ctte
v
ctte
130m
400m
a
v
dv
v
dt
a
dv
x
adt
dx
a
dx
dv adt
dt
vdt
dx (v
0
at ) dt t
2
v
v v0
t
x
t
x
at
x 0
t 0
v0t a
2 0
2
v vo
t
at
x v0t a
2
x0
2
v
V 0 at
a
) En
:
t x x0 v0t a
(1) a
ctte
2
(2)
2
t x x0 v0 t a
a
b)
a
2
2 x
2
t
2(130m)
(25 s)
2
En
a
a
0,42 m
s
2
v V 0 at v
v
c
(0,42 m
s
2
)(25 s)
10,4 m s
)
En
v
:
V
v
0
v
dt
0
at )dt 2
t
t
400 130
ctte
dx
dx (v x
v0 t a
2 25
2
400m 130m
t
t v0 t a
2 25
260m 10,4 m s t 10,4 m s (25s)
10,4 m s t 70m 260m t
31,73 s
El bloque A se mueve hacia abajo a velocidad constante de 1m/s. Determine a) la velocidad del bloque C, b) la velocidad del collarín B en relación con el bloque A, c) la velocidad relativa de la porción D del cable respecto al bloque A.
V A =cte.
V A =1m/s
a) VC=? b) VB/A =? c) VD/A =?
a) V A =1m/ s X A + (X A – XB)= cte.
x
v
2XB + XC = cte.
x
v
2 V A – VB = 0
2 VB + VC = 0
VB= 2(1)
VC = -2 V B
VB= 2m/s
VC = -2 (2) VC = -4m/s. VC = 4m/s
b) VB/A = VB – V A
VB/A = 2 – 1 VB/A = 1m/s
XD + XC = cte.
x
v
VD + VC = 0 VD = - VC VD = 4m/s VD/A = VD – V A VB/A = 4 – 1 VB/A =3m/s
El bloque C se mueve hacia abajo a velocidad constante de 2ft/s. Determinar la velocidad a) Del bloque A b) Del bloque D
Cable AB Va+Vb=0 Xa +Xb =constante Vb=-Va Cable BED xB +2xD = constante Vb+2Vd=0 Vd= =
Cable BCD (Xc +Xb ) +(Xc +Xd ) =constante 2Vc-Vb-Vd=0 o 2Vc+Va Velocidad del bloque A
1 224 2 Va=-8ft Va=8ft/s
Velocidad del bloque D Vd= =-4ft
Vd=4ft/s
=0
Un saltador de esquí inicia su salto con una velocidad de despegue de 25 m/s y aterriza sobre una pendiente recta de 30° de inclinación. Determine a) El tiempo transcurrido entre el despegue y el aterrizaje, b) La longitud d del salto,
Solución: 25 m/s o y 30°
x
30° − 30°
Ecuaciones cinemáticas: Mov horizontal: Mov vertical: x = (v x)o t (2) y = (y o)+ (vy)o t – ½ gt2 (v x)o = 25 m/s (2’) g = 9.81 m/s2 En el momento del despegue (punto ) tenemos: (v x)o = 25 m/s (vy)o = 0 yo = 0 xo = 0 Reemplazando esto en (3)
0+ 0 – ½ ½ (4) Reemplazando (1) en (4) 30 ° ½ (5) (2) en (5) (8) (2’) y el valor de la gravedad en (6) tenemos: 30° 2 259.8/ 1 / °
˳
°
(3)
(1)
2,94
(7)
30° (8) En (8) (9) En (9) Reemplazando los valores ya conocidos: , 84,87 °
(1)
° °
(2)
°
˳
°
°
°
Un jugador de baloncesto lanza un balón desde A con velocidad horizontal v0. Si d = 15ft, determine: a ) el valor de v 0 para el cual la pelota golpeará en la esquina C, b ) el rango de valores de v 0 para los cuales la pelota golpeará en la esquina BCD.
15 ?→ ? ∫ ∫
ℎ ℎ − ℎ 3 ft, 32.2 ft/s2 en la esquina C 15ft, 0 .− 34.7 ft/s en el punto B 15ft, 1ft .− 42.6 ft/s en el punto D 14ft,0 .− 32.4 ft/s 32.4 ft/s < 0 < 42.6 ft/s
Una bomba está cerca del borde de la plataforma horizontal que muestra la figura. La boquilla colocada en A descarga agua con velocidad inicial de 25 ft/s formando un ángulo de 55° con la vertical. Determine el rango de valores de la altura h para los cuales el agua entra en la abertura BC.
V0=25 ft/s α=90-55=35° g=32.2 ft/s2
Movimiento Horizontal x= (v0cosα) t (1) Movimiento Vertical y=h + (v 0senα) t
(2)
Despejando t de ecuación 1 y reemplazando en 2
˳
y=h + x tan α -
˳
Despejando h Tenemos
˳
Reemplazando en el punto B x=20 ft y=0
. = 1.352 ft
h= 0 – 20 tan 35 –
Reemplazando en el punto C x=24 ft y=0
. = 5.31 ft
h= 0 – 24 tan 35 – Limites de altura
En un lanzamiento lento de softbol, el tiro por debajo del brazo debe alcanzar una altura máxima de entre 1.8 y 3.7 metros por arriba del suelo. Se realiza un lanzamiento con velocidad inicial v 0 de magnitud igual de 13 m/s a un ángulo de 33 0 con la horizontal. Determine a) si el lanzamiento cumple con la altura máxima requerida, b) la altura de la pelota cuando llega al bateador.
VO=13 m/s, α=33°, XO= 0, Y O = 0.6 m
MOVIMIENTO VERTICAL
α + . 98,03. Cuando la pelota alcanza la altura máxima tenemos:
0 α 1333 9,8 0,7217 + . 0,6+ 13330,7217 9,80,7217. 3,16 Si cumple la altura máxima requerida.
MOVIMIENTO HORIZONTAL
Xo+α XXo α 15.20 1333 1,3941 0,6+ 13331,3941 9,81,3941. 0,937 Un hombre utiliza una barredora de nieve para limpiar el acceso a su cochera. Si la nieve se descarga a un ángulo promedio de 40 con la horizontal, determine la rapidez inicial V de la nieve.
o
h1
h2
x h2 1,1m h1
v0
40
0,6m
ctte
v
0 x
a v0 . cos 40
g
v0 y v0 .sen40
v
v
a
v
0
a
0
dx
0
x x0 v0 x .t
dv adt
dt dy
0
dx vdt
dt dv
x
v
v0 y
gt
dy (v at )dt
dy vdt
dt
2
y
En
y0
: x
t
t
v0 x
x v0 . cos 40
v0 y Y 2
y
y
v0 y t g
v0 y t g
t
v
. sen40 0
2
v
0
x v g . cos 40
y
2 g x tg 40 x 2 2 2v0 . cos 40
y
y
y
0
x . cos 40 2
h2 h1 1,1m
0,5m
0,6m x
4,2m
2
t
2
9,81 2 m ( 4 , 2 ) 2v 2 . cos 2 40 0
0,5m tg 40 4,2m)
173,0484 0,5m tg 40 4,2m) 1,1736v 2 0
2
v
3,02(1,173v0 )
2 0
173,0484
v
0
173,0484
3,5474
48,74
v
0
6,98 m
s
Una pelota se proyecta desde un punto A con velocidad V o perpendicular al plano inclinado que muestra la figura. Si la pelota golpea el plano inclinado en B, determine la rapidez inicial V o en términos del rango R y β. Datos: Vo=? en rango R y β. Solución: (Vy)o
Vo
(Vx)o
cos90 9.8/ Vyot+ 12 at cos90ot+ 12 9.8t
cos90ot4.9t yh sin ℎsin sin cos90o t4.9t 4.9t cos90o t+ sin 0 4 ±√ 2 44.9 cos90o ± cos90o} 24.9 19.6 } cos 90 o ± cos 90 o 9.8 sin90
o} 19.6 sin90 cos90o ± cos90 9.8
En un cruce de 2 calles el automóvil A s e dirige hacia el sur a velocidad de 25 mi/h cuando lo choca el carro B que viaja 30° al noreste con velocidad de 30 mi/h. Determine la velocidad relativa del automóvil B respecto al automóvil A. y 25 m/s o
θ α
Vb/a
x
Va 60° Vb
Datos: Vb=30 mi/h Va=35 mi/h Solución:
Vb2 + Va2 2VbVa cos60 ° = 302 + 252 – 23025 cos60 °
Vb/a = Vb/a
Vb/a =
√ 9 00+625+750
Vb/a= 47,7 mi/h Ley de senos:
= / Sen = / / α = sen− , / α=33° θ= 90°- 33° θ=57°
Vb/a= 47,7 mi/h ;
57°
Las velocidades de los trenes A y B son como indica la figura. Si la velocidad de cada tren es constante y B alcanza el cruce 10 minutos después de que A lo hizo, determine: a) Velocidad relativa de B con respecto a A b) Distancia entre los frentes de las máquinas 3 minutos después de haber pasado A por el crucero
80 ℎ 60 ℎ a 25º con la horizontal =? →0.216 ? → 0.216 ℎ, 0.05 ℎ Ecuaciones
60 ℎ 80 ℎ
= 60 +80 26080 cos25 =36 ℎ 25 60 36 44.79° = ;.° 800.216 17.33 600.05 3
17.33 +3 217.333 cos155 20.09 155 3 20.09 3.48 ° .;.°
En un instante determinado durante una carrera de aviones, el avión A vuela horizontalmente el línea recta, y su velocidad aumenta a una tasa de 6 m/s2. El avión B vuela a la misma altura que A y, al rodear un pilar, sigue una trayectoria circular de 200 m de radio. Si en un instante dado la
velocidad de B está disminuyendo a razón de 2m/s 2, determine, para la posición mostrada, a) la velocidad de B relativa a A, b)la aceleración de B respecto a A. SOLUCION: DATOS: vA =420 km/h , vB=520 km/h
60
ECUACIONES CINEMATICAS: vB vA vB/A
vB/A vB vA vB
vA
V = V + V 2V V cos 60 420 +520 2420520 cos60 V 477,9 km/h α 60 520 477,9 α 70,4 V 477,9 km/h 70,4 . B/A
A
B
A B
B/A
O
B/A
a A
6 m/s2
vB
520 km/h
(aB)t= 2 m/s2 vB = 144.44 m/s
, (a ) = 104, 32/ B n
aB/A = aB-a A = (aB)t-(a A )n-a A 2 m/s2 aB/A
cos60 sin 60 50.43 m/s2 109,6 m/s2
104.32
cos30
sin 30
6
97.34
27,4O
Una boquilla descarga un chorro de agua en la dirección que se muestra con una velocidad inicial de 8 m s . Determine el radio de curvatura del chorro a ) cuando salga de la boquilla b ) en la altura máxima del chorro.
a
g
v
0
55
n
at
8 m s
an g . sen55
at
an a
n
g . cos 55
(9,81 m s 2 ) . sen55 8,035 m
s
at
2
at
(9,81 m
5,627 m
2
v a
a
)
n
0
2
v
0
a
n
(8 m s)
8,035 m
2
s
2
v
0 x v
0
a
n
55
8m
s
s
7,96m
2
) . cos 55
s
2
b)
an
g
9,81m
s
2
0 x
v
v0 .sen55
(8).sen55
0 x
n
v
2
a
v0 x
v
0 x
6,55 m
s
2
v
0 x
a
n
(6,55 m s )
9,81 m
s
2
2
4,37 m
Desde el punto A se lanza un proyectil con velocidad inicial a un ángulo de 30º con la vertical. Determine el radio de
120
curvatura de la trayectoria descrita por el proyectil a) En el punto A b) En el punto de la trayectoria donde la velocidad es paralela a la pendiente
120 60° a) b)
" ρ" "" 30°
Ecuaciones -
En el punto A
120 32.2 ↓
