´ bal de Universidad Nacional de San Cristobal o Huamanga Facultad de Ingenier´ıa Minas, Geolog´ıa y Civil ´ n Profesional de Ingeniera Civil Escuela de Formacion o
CURSO DINAMICA (IC-244)
´ DE PROBLEMAS SOLUCION ´ CINETICA DE UNA PART´ICULA Y CUERPO R´IGIDO Beer - Jhonston
DOCENTE: Ing. CASTRO PEREZ Cristian ALUMNOS: AYALA BIZARRO Rocky G. CONTRERAS VENTURA Samir ˜ VARGAS NAUPA Hilmar ZARATE LAZO Dick F.
Ayacucho, Julio de 2013
´Indice General neral
Cap Ca p´ıtul uloo 1
Problemas de Din´ Problemas amica amica 1.1 Leyes de d e Newton Ne wton Cuerp Cuerpoo R´ R´ıgido
P´agina 1 2
Ejericio Nro 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Trab rabaa jo y Ene Energ rg´´ıa en Cue Cuerp rpoo R´ıgi ıgido do Ejericio Nro 2 . . . . . . Problema Proble ma de Comput Computadora adora Ejericio Nro 4 . . . . . . Ejericio Nro 5 . . . . . . Ejericio Nro 6 . . . . . . Ejericio Nro 7 . . . . . . Ejericio Nro 8 . . . . . . Ejericio Nro 9 . . . . . . Ejericio Nro 10 . . . . . Ejericio Nro 11 . . . . . Ejericio Nro 12 . . . . . Ejericio Nro 13 . . . . . Ejericio Nro 14 . . . . . Ejericio Nro 15 . . . . . Ejericio Nro 16 . . . . .
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2
5 . . . . . . . . . . . . . . .
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5 7 10 11 14 16 18 22 25 27 29 30 33 35 36
´Indice General neral
Cap Ca p´ıtul uloo 1
Problemas de Din´ Problemas amica amica 1.1 Leyes de d e Newton Ne wton Cuerp Cuerpoo R´ R´ıgido
P´agina 1 2
Ejericio Nro 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Trab rabaa jo y Ene Energ rg´´ıa en Cue Cuerp rpoo R´ıgi ıgido do Ejericio Nro 2 . . . . . . Problema Proble ma de Comput Computadora adora Ejericio Nro 4 . . . . . . Ejericio Nro 5 . . . . . . Ejericio Nro 6 . . . . . . Ejericio Nro 7 . . . . . . Ejericio Nro 8 . . . . . . Ejericio Nro 9 . . . . . . Ejericio Nro 10 . . . . . Ejericio Nro 11 . . . . . Ejericio Nro 12 . . . . . Ejericio Nro 13 . . . . . Ejericio Nro 14 . . . . . Ejericio Nro 15 . . . . . Ejericio Nro 16 . . . . .
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2
5 . . . . . . . . . . . . . . .
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1
Probl Pro blem emas as de Din´ Din´amic amicaa
Dinamica IC-244
Problem Prob lemas as de Din´amica amic a
1.1 Leyes de Newton Cuerp Cuerpoo R´ R´ıgido movimient nto o de una barra unifor uniforme me AB de 5kg 5kg de de masa y longitud Ejerci Eje rcicio cio 1.1 El movimie L=750mm L=750mm se se gu´ıa ıa por p or medio medi o de dos d os ruedas rue das peque p eque˜ n˜as de masa despreciable nas que ruedan ruedan sobre la superficie superficie mostrada mostrada.. Si la barra barra se suelta suelta desde desde el reposo cuando q = 20 , determine inmediatamente despu´es es de la aceleraci´on on a) la aceleraci´ on o n angular de la barra y b) la reacci´on o n en A.(Problema Nro 122) °
B
q
60° A
L
Soluci´on: on: Datos m = 5k g L = 750mm q = 20 °
´ RELATIVA SERA LA ACELERACION aB = a A + aA/B
[ aB
←] = [ = [ aA ] + [ + [L.α ]
aA/B = L.α
En las siguientes im´agenes agenes se vera de donde salen la aB , aA y aA/B .
2
Ingeni Ing enier er´´ıa Civ Civil il
Dinamica IC-244 T 2 T 2
Problemas de Din´amica
2 L 1 m ω 2 2
= + + ( = + + + = + 1 8
1 24
1 2
1 8
T 2
1 mL2 12 Ec 2 1 L 24
1 5 24
ω
2
1 m 2
2
2
Ec ) ω +
1 2
mL2 ω 2
Ec 12 L
1 mL2 12
ω2
2
mL2 ω 2
Formula de la conservaci´ on de la energ´ıa T 1 + U 1 = T 2 + U 2
0 + 0 =
+ + = + 1 24
−2mgL sin θ ω
5
12
24g sin θ Ec L 5
Ec 2 L
mL2 ω 2
2
L
La velocidad en D sera (V D ) V D = ( CD ) ω
(2.13)
Reemplazando las ecuaciones 2.11, 2.12 y 2.13 para el calculo de V D
DATOS PARA RESOLVER CON PROGRAMA
Datos L = 30in = 2.5ft g = 32.2lb/s2
Evaluando y graficando desde desde θ = 0 hasta θ = 90 usando incrementos de θ = 10 °
°
°
Cuadro de Resultados
9
Ingenier´ıa Civil
θ
ω
V D
0
0,0000
0,0000
10
2,4806
2,1537
20
3,1277
5,3487
30
3,3223
8,3066
40 3,3302
10,7031
50 3,2746
12,5423
60 3,2088
13,8945
70 3,1544
14,8210
80 3,1198
15,3622
90 3,1081
15,5403
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Nos piden: Determine el intervalo de valores permisibles de v de modo que las magnitudes de las fuerzas de los eslabones no excedan de 75 N
Haciendo el D.C.L. de una de las esferas:
POR EQUILIBRIO:
F Y = 0
⇒ T AB cos20 − W − T BC cos30 = 0
(2.18)
W + T BC cos30 cos20 T AB cos20 W T BC = cos30 T AB sera maximo cuandoT AB sea maximo y esto es : 75N T AB =
−
(2.19)
Luego: siT BC = 75N
⇒ T AB =
√
(0.5)( 9.81 ) + (75)( 3/2) cos20
T AB = 74.34N esta dentro de lo permitido
12
Ingenier´ıa Civil
(2.20)
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
As´ı tambi´ en: T AB sera minimo cuandoT AB sea minimo y esto es : 0N
Luego: si T BC = 0
(2.21)
)(9.81 ) ⇒ T AB = (0.5cos20 T AB = 5.22N esta dentro de lo permitido
´ POR CINEMATICA Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular:
⇒
F R = m.acp max
(2.22)
m.V M AX 2 T AB max .sin20 + T BC max .sin30 = r r T AB max .sin20 + T BC max .sin30] m
= [
⇒ V M AX
150x10−3 [74.34x sin20 + 75.sin30] V M AX = 0.5 V M AX = 4.34m/s
As´ı tambi´ en: En forma an´ aloga
⇒ V
min
r T AB min.sin20 + T BC min .sin30] m
= [
V M in =
150x10−3 [5.22x sin20] 0.5 V min = 0.732m/s
Por tanto: 0.732m/s
13
Ingenier´ıa Civil
≤ v ≤ 4.34m/s
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Ejercicio 1.6 Un collarin de 3lb esta unido a un resorte y desliza sin friccion a lo largo de una varilla circular en un plano horizontal. El resorte tiene una longitud no deformada de 7in y una constante k = 1.5lb /in.Si se sabe que el collarin esta en equilibrio en A y se le de un ligero inpulso para ponerlo en movimiento, determine la velocidad del collarin, a)cuando pasa por B ,b) cuando pasa por C.(Problema 13.60)
Soluci´on: Datos W collarin Lresorte
K
= = =
3lb 7in 1.5 lb/in
Ademas: Si se sabe que el collarin esta en equilibrio en A y se le da un ligero impulso para ponerlo en movimiento.
PREGUNTA a) Velocidad del collarin cuando pasa por B.
Inicialmente tenemos que:
14
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Entonces :
1 K (Linicial Lresorte )2 2 1 lib V inicial = (1.5 )( 20in 7in)2 2 in 219.7 V inicial = lib .in 22 V inicial =
⇒
−
(2.23)
−
Inicialmente tenemos que: Ahora hallamos la velocidad final
1 K (Lfinal Lresorte )2 2 1 lib V final = (1.5 )[ 142 62 7in]2 in 2 101.6375 V final = lib .in 2 V final =
−
(2.24)
− −
Finalmente : Aplicando la conservaci´ on de la energ´ıa se cumple que: V inicial + T inicial = V final + T final
(2.25)
1 W collarin .V B 2 V inicial + 0 = V final + . g 2 219.7 101.6375 3lib .V B 2 lib.in = lib .in + 22 2 (32.2)( 2) V B = 11.66ft/s
PREGUNTA b) Velocidad del collar´ın cuando pasa por C Cuando pasa por C tenemos que :
Entonces: 1 K (Lfinal Lresorte )2 2 1 lib 2 en c = (1.5 )( 8in 7in) in 2 1.5 lib .in en c = 2
V final en c =
⇒ V final V final
15
Ingenier´ıa Civil
−
−
(2.26)
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Luego: Por la conservacion de la energia se cumple que:
V inicial + T inicial en A = V final en C + T final en C 219.7 1.5 3lib .V C 2 lib.in = lib .in + 22 2 (32.2 )( 2)
(2.27)
V C = 15.05ft/s
Ejercicio 1.7 Al capturar una pelota un jugador de b´eisbol puede suavizar el impacto jalando su mano hacia atr´ as.Suponiendo que una pelota de 5oz llega a la manopla a 96mi/h y que el jugador jala hacia atr´as su mano durante el impacto a una rapidez promedio de 25f t/s sobre una distancia de 8 in, y la bola queda en reposo, determine la fuerza impulsiva promedio ejercida sobre la mano del jugador.(Problema 13.154)
Soluci´on:
Donde: W pelota = 5oz
Ademas El jugador jala hacia atr´as su mano durante el impacto a una rapidez promedio de 25f t/s sobre una distancia de 8 in, y la bola queda en reposo.
16
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Nos piden: Determinar la fuerza impulsiva promedio ejercida sobre la mano del jugador. En la mano del jugador se cumple que:
V promedio .∆t = DISTACIA RECORRIDA POR SU MANO ∆t =
∆t =
(2.28)
DISTACIA RECORRIDA POR SU MANO V promedio
. f t ] [8in. 3.281 39.37 s
25f t/s 26.248 ∆t = s 984.25
Luego: Aplicando el principio del impulso y la cantidad de movimiento de la pelota se cumple que:
W pelota .V inicial g
− F impulsiva promedio.∆t = 0
F impulsiva promedio sobre la pelota =
(2.29)
W pelota .V inicial g . ∆t
mi 5280 f t 1 lib [5oz . 16 oz ][ 96 h x 3600 ] mi/h F impulsiva promedio sobre la pelota = (32.2)( 26.248 /984.25 ) F impulsiva promedio sobre la pelota = F impulsiva promedio ejercida sobre la mano
F impulsiva promedio ejercida sobre la mano = 51.24
F impulsiva = 51.24
17
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Ejercicio 1.8 Tres esferas, cada una de masa m, se puede deslizar con libertad sobre una superficie horizontal sin fricci´o n. Las esferas A y B est´ an unidas a una cuerda inextensible e inelastica de longitud l y se encuentran en reposo en la posici´ on que se muestra cuando la esfera C, que se esta moviendo con una velocidad V0 , choca horizontalmente contra la esfera B y se supone un impacto perfectamente el´astico entre B Y C, determine a) la velocidad de cada esfera inmediatamente despu´es de que la cuerda se tensa, b) la fracci´on de la energ´ıa cin´etica inicial del sistema que se disipa cuando se pone tensa la cuerda.(Problema 14.44)
Soluci´on:
De la figura : donde
mA = mB = mC = m
(2.30)
V OA = V OB = 0 V OC = V O
↓
PARTE a) Aplicando la conservaci´ on de la cantidad de movimiento lineal y de la conservacion de la energia cinetica despues de que la esfera C choca con B y antes que se tense la cuerda se cumple que: Haciendo el D.C.L. de una de las esferas:
18
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Eje x: Linicial del sitema =Lfinal del sitema(despues del choque)
(2.31)
(2.32)
2
(2.33)
mC v0 = mB vB + mC vC + mA (0) v0 = vB + vC ..................(1)
As´ı tambi´ en: T inicial del sitema =Tfinal del sitema(despues del choque)
1 1 1 1 mC v0 2 = mB vB 2 + mC vC 2 + mA (0)2 2 2 2 2 2 2 2 v0 = vB + vC ................(2)
Luego: Remplazando ecuaci´ on (1) en (2) resulta que: v0 2 = vB 2 + (v0 vB = v0
− vB )
↓ ................(3)(despues del choque y antes que la cuerda se tense)
Por tanto: v0 = 0................ (despues del choque y antes que la cuerda se tense)
(2.34)
Por otro lado: Despues de que la cuerda se tensa se cumple que:
−mvB = −mvA.sin α − mvB .cos α + 0 ⇒ vB = vA.sin α + vB .cos α
.sin α + vB .cos α..................(4) v0 = vA
19
Ingenier´ıa Civil
(2.35)
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Finalmente: remplazando ecuaci´ on (3) en ecuaci´ on (4) resulta que: .tan α + vB .cos α v0 = vB sin α v0 = vB . .cos α + vB cos α v0 .cos α = vB sin α + cos2 α v0 vB = tan α + cos α
(2.36)
Y:
vA = vA =
vB =
v0 .( 13 )
[ 13 + 89 ]
20
Ingenier´ıa Civil
(2.37)
3 v0 RPTA 11 v0 .( 23 2)
√
[ 13 + 89 ]
vB =
PARTE b)
√ 6 2 11
v0
(2.38)
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Tenemos que: 1 (2.39) .m.v02 2 E final = T A + T B + T C .....................(Cuando se pone tensa la cuerda) 1 2 2 2 E final = .m[vA + vB + vC ] 2 1 3 6 2 E final = .m[( v0 )2 + ( v0 ) 2 + 0 2 ] 2 11 11 1 81 2 E final = .m( v0 ) 2 121
E inicial =
⇒ ⇒
√
En consecuencia: ∆E
E inicial ∆E E inicial ∆E
E inicial ∆E
−
E inicial E final E inicial E final = 1 E inicial 1 81 v0 2 ) .m( 121 2 = 1 1 . m ( v0 2 ) 2 81 = 1 121
=
(2.40)
− − −
E inicial ∆E = 0.33 E inicial
∆E
E inicial
21
Ingenier´ıa Civil
= 33%
(2.41)
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
on una pila de madera comprimida, el conductor Ejercicio 1.9 Para bajar de un cami´ inclina primero la cama del veh´ıculo y despu´es acelera desde el reposo. Si se sabe que los coeficientes de fricci´on entra lamina debajo de la madera comprimida y la cama son µs = 0.40 y µk = 0.30 , determine a) la aceleraci´ on m´ınima del cami´ on que provoca el deslizamiento de la pila de madera comprimida, b) la aceleraci´on del cami´on que ocasionara que en la esquina A de la pila de madera llegue al extremo de la cama en 0.40s (Problema 12.23)
20°
Soluci´on:
PARTE a) La aceleraci´on m´ınima del cami´on se dar´a cuando la pila este a punto de deslizarse sobre la cama del veh´ıculo, cumpli´endose que la aceleraci´ on de la pila con respecto del cami´ on debe ser cero. Haciendo D.C.L de la pila
22
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
N
N cos(20)
f s sen(20)
f s 20
f s cos(20)
Nsen(20)
y
) 2 0 s ( o g c m p
m p gsen(20)
m p g
20
x
Por la Segunda ley de Newton Tenemos:
→ F (x) = m pac f s cos(20) − Nsen(20) = m p ac µs N .cos(20) − Nsen(20) = m p ac N =
m p ac (1) µs N .cos(20) Nsen(20)
−
tambien:
↑ f (y) = 0
N cos20 + f s sin20 = 0 N cos20 + µs N sin20 = m p g m p g (2) N = cos20 + (µs )sen20
Igualando las ecuaciones (1) y (2) m p ac m p g = cos(20) + µs sen(20) µs cos(20) sen(20) 0.4cos20 sen20 9.81 ac = 0.4sen20 + cos20
−
−
ac = 0.309m s2
→
aceleraci´on m´ınima del cami´on ac = 0.309m s2
23
Ingenier´ıa Civil
→
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
parte(b) del gr´ afico de la parte (a) aplicando la Segunda ley de Newton cuando la pila se desliza por la cama del cami´on se cumple:
F (x) = −m pa p f k − m p gsen(20) = −m p a p c + m p ac cos(20) µk N − m p gsen(20) = m p ac cos(20) − a p c /
(3)
/
tambi´en:
F (y) = −m pa p N − m p g cos(20) = −m p ac sen(20) N = m p (g cos(20) − ac sen(20))
(4)
por cinem´ atica: 1 X p/c = a p/c t2 2 1 a p/c (0.4)2 1 = 2 a p/c = 12.5m s2
−
−
− −
(5)
Reemplazando la ecuaci´ on (5) y (3)
µk [m p (g cos20
− acsen20)] − m pgsen20 = m p ac cos20 − a p c µk (g cos20 − ac sen20) − gsen20 = ac cos20 − a p c µk g cos20 − gsen20 + a p c = ac cos20 + µk ac sen20 µk g cos20 − gsen20 + a p c ac = /
/
/
/
cos20 + µk sen20 (0.3)9.81cos20 9.81sen20 + 12.5 ac = cos20 + 0.3sen20 ac = 11.45m s2
−
aceleraci´on del cami´on ac = 11.45m s2
24
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Ejercicio 1.10 Un collar´ın C de 4kg se desliza sobre una varilla horizontal entre los resortes A y B. Si se empuja el collar´ın hacia la derecha hasta que el resorte B se comprime 50mm y se suelta, determine la distancia que recorre el collar´ın, suponiendo a) ninguna fricci´on entre el collar´ın y la varilla, b) en coeficiente de fricci´on µk = 0.35. K A = 3N /mm; K B = 2N /mm(Problema 13.27) 400 mm
A
B
150 mm
C
k A
k B
Soluci´on: parte(a) suponiendo ninguna fricci´ on entre el collar´ın y la varilla v f
0
450 mm
A
vi
0
B
C d 150 mm
aplicando el principio de trabajo y energ´ıa se tiene: T inicial + U inicial = T final + U final
0+
1 1 ∆X A (K A X i + K A X f ) ∆X B (K B X i + K B X f ) = 0 2 2 X f (K A X f A ) (X f B X iB ) (K B X iB + K B X f B ) = 0
−
− −
X f A (K A X f A ) = X f B (K B X f B )
3d2 = 2 (50)2 d = 40.825mm
25
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
por lo tanto la distancia que recorre es D = 450 + 40.825
− 150
D = 340.825mm
parte(b) tenemos
A
450 mm
v f
vi
0
B
0
C
f F d 150 mm
aplicando el principio del trabajo y energ´ıa tenemos: T inicial + U inicial = T final + U final
0+
1 ∆X B (K B X f B + K B X iB ) f k d = 0 2 1 (X F B X iB ) (K B X f B ) = µk mc gd 2 K B X f B 2 d = 2µk mc gd
−
−
2
2(50) d = 2(0.35 )( 4)( 9.81) d = 182.030 mm
por lo tanto la distancia que recorre es: d = 182.030mm
26
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
o n A es de 9m/s. Si el Ejercicio 1.11 La velocidad inicial del bloque en la posici´ coeficiente de fricci´ on est´atica entre el bloque y el plano es µk = 0.30, determine el tiempo que tarda el bloque en alcanzar B con velocidad cero, si a) θ = 0; b) θ = 20 vA = 9m/s; µk = 0.30 (Problema 13.28)
Soluci´on: parte(a) haciendo D.C.L del bloque:
v A
9m
v B
s
0
f k o
x
mg N
aplicando el principio de impulso y la cantidad de movimiento se cumple que:
27
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica mvA
t2
−
mvA mvA
F dt = mvB
t1
− f k ∆t = mvB
− µk (mg )∆t = mvB v A − vB ∆t = gµ k 9−0 ∆t =
9.81 (0.30)
∆t = 3.06s
el tiempo que tarda es: t = 3.06s parte(b) haciendo D.C.L del bloque
v B
v A
N
y
x
9 m
9 m
s
B
s
f k
A
2 0 s e n g m
O
20°
mg
m g
c o s 2 0
aplicando el principio del impulso y la cantidad de movimiento se cumple: mvA
t2
− ( t1
f k + mgsen20)dt = 0 mvA = (f k + mgsen20)∆t mvA = (µk N + mgsen20)∆t mvA = (µk mg cos20 + mgsen20)∆t vA ∆t = (µk m cos20 + msen20)g 9 ∆t = 9.81 (0.3cos20 + sen20) ∆t = 1.47s
28
Ingenier´ıa Civil
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica el tiempo que tarda es: t = 1.47s
Ejercicio 1.12 Un sistema est´a formado por tres part´ıculas A, B y C. Se sabe que mA = 3kg , mB = 2kg , mC = 4kg y que las velocidades de las part´ıculas en m/s son, V A = 4ˆi + 2 jˆ + 2kˆ , V B = 4ˆi + 3 jˆ , V C = 2ˆi + 4 jˆ + 2kˆ . Determine la cantidad de movimiento angular H O del sistema alrededor de O.(Problema 14.13)
−
y A
3 m 3m V B V C
o
B 2.4m
3 .6 m
C
z
x
1 .2 m
Soluci´on: Sabemos que
H O = H A + H B + H C
Donde: H A = rA xmAvA H B = rB xmB vB H C = rC xmC vC
= ( )( ) ( )( ) ( )( ) = ( )( ) ( )( ) = ( )(− ) ( )( ) ( )( ) 0
jˆ 3
kˆ 0
3 4
3 2
3 2
ˆi
jˆ 2.4 2 3
ˆi
H A
H B
1.2 2 4 ˆi
3.6
H C
4
29
Ingenier´ıa Civil
2
kˆ 3 0
jˆ 0
kˆ 0
4 4
4 2
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
= = = − ˆi
H A
jˆ
0 3 0 12 6 6
Por lo tanto H O = (18ˆi
18ˆi
36 jˆ
18ˆi + 24 jˆ
jˆ kˆ 3.6 0 0 8 16 8
28.8ˆi
ˆi
H C
= − = − = −
jˆ kˆ 1.2 2.4 3 8 6 0 ˆi
H B
kˆ
− 12kˆ
− 57.6kˆ
− 36kˆ ) + (−18ˆi + 24 jˆ − 12kˆ ) + (−28.8 jˆ + 57.6kˆ )
H O = ( 4.8 jˆ + 9.6kˆ )
−
en consecuencia la respuesta es: H O = ( 4.8 jˆ + 9.6kˆ )Kg .m2 /s
−
Ejercicio 1.13 la barra uniforme BD de 3lb esta unida a la manivela AB y a un collar de peso despreciable.En la posici´on mostrada la manivela AB tiene una velocidad angular de 12rad /s
opuesta al sentido de giro de las manecillas del reloj y una aceleraci´on angular de 80rad/s2
en el sentido de giro de las manecillas del reloj. despreciando el efecto de rozamiento.determine la reacci´ o n en D.
30
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Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
Soluci´on:
* datos: ω = 12rad /s αAB = 80rad /s2
(α B (α B
) = ∗ = ( ) = ∗ = n
t
r
ω
r
2
α
3 ft 12
3 ft 12
12rad /s) = 36f t s2 2
80rad /s
2
2
=
20f t s2
* calculando las aceleraciones. aD = aB + aB
/D
aD = 20
← +36 ↑ +
donde : aD /B
y aD /B
aD /B
= ( BD )ω
BD =
n
= ( BD )αBD = t
2
n
10 α 12 BD
* sumando en X las componentes tenemos:
31
Ingenier´ıa Civil
∗(
)
−3;4
5
+ aD /
10 ( 6) 2 12
B
t
= 30f t
s2
∗(
3;4) 5
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
→+ xcomponentestenemos : −20 − (30) + αBD = 0 4 5
3 5
10 12
αBD = 88rad /s2
desde aB /D
esdirecto t
:
on de B respecto de D en la direcci´on tangencial en sentido anti horario * La aceleraci´ tenemos: a = aG = aB + a ax =
−20 −
G/ D
4 (15) 5
= aB + 12 aD
/B
+ 35 (36.667 ) = 10
−
ay = 36 + 35 (15) + 45 (36.667 ) = 74.33 I =
1 3 12 g
2
= 10 12
0.17361
g
* Aplicando momentos en b tenemos:
+
M B =
0.5D
−3
( = 1 3
D = 7.10lb
32
Ingenier´ıa Civil
− = + − − ( ) )+ ( )
M B )ef f : D
→
0.17361
g
(88
6 121
W
4 12
3
74.33
1 3
g
I α 3
g
10
may 1 4
4 12
max
3 12
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica D = 7.10lb
(2.42)
Ejercicio 1.14 una varilla de longitud L y peso W esta soportada como se indica. Despu´es de que se corta el cable la varilla oscila libremente. a) Encuentre la velocidad angular de la varilla la primera vez que pasa por la posici´on vertical. b)Eval´ ue b para el maximo valor de ω
. c)Evalue los resultados de a) y b) para W=5lb y L=3ft.
Soluci´on:
on 1 tenemos: * Para la posici´ V = 0, ω = 0T1 = 0 h = 0V1 = mgh = 0
on 2 tenemos: * Para la posici´ 1 mL2 V2 = bω , I = 12 2
T 2 = 12 mV2 + 12 Iω 2 T 2 =
1 m 2
2
b +
1 2 L 12
ω2
on vertical tenemos: * sabemos que cuando la barra se encuentre en posici´ h =
−bV = −mgb 2
on de energ´ıa tenemos: * por el principio de conservaci´
33
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Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
T1 + V 1 = T 2 + V 2 1 2 L ω2 0 + 0 = 12 m b2 + 12
ω2 =
− mgb
2gb 1 b2 + 12 L2
aximo: * b)Evaluamos para b m´ aximo la velocidad angular deve ser maximo para lo * sabemos que para que sea m´ cual derivamos el omega respecto de b. d db
b 1 b2 + 12 L2
=
1 b2 + 12 L2 −b(2b)
(b
2
1 L2 ) + 12
2
0
= 0
* de donde tenemos que es igual a: b =
√ L12
* c)Evaluamos los resultados para para W=5lb y L=3ft.
on obtenemos la velocidad angular * reemplazando valores en la siguiente ecuaci´
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Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica ω2 =
ω = 1.861
2gb b2 +
1 2 L 12
g 9.81 = 1.861 = 3.36rad /s 3 l
* reemplazando el valor de L=3ft obtenemos b. b = b =
√ L12
√ L12 = √ 312 = 0.866f t b =0.866ft
(2.43)
optero que se muestra, se utiliza rotor compensador vertical de Ejercicio 1.15 En el helic´ la cola para evitar la rotaci´on de la cabina cuando se cambia la velocidad de la h´elice principal. suponiendo que no trabaja el rotor compensador de la cola, determine la velocidad angular final de la cabina despu´es de que la velocidad de la h´ elice principal cambia de 180 rpm a 240 rpm. la velocidad de la h´ elice principal se mide con respecto a la cabina,que tiene un moneto centroidal de inercia de 650lb.ft.segundos al cuadrado. cada una de las cuatro aspas de la helice primcipal se supone que es una varilla de 14 ft con un peso de 55 lb.
Soluci´on: 35
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Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
* sabemos que omento centroidal de inercia es 650lb.ft.segundos al cuadrado. * la velocidad angular inicial es de o. * sabemos lo siguiente: ωC = [180rpm ;240rpm ]
(ωB )1 = 180rpm (ωB )2 = 240rpm IB (ωB )1 IC (ωC )1 = 0 * momento del sist.2 + momento del sist.1 - 2 = momento del sist.2 IB = 4
(ωB )2
1 55lb (14f t)2 3 32
=
446.4f t lb s2
∗ ∗
− (ωC ) = 240rpm 2
(ωB )2 = ( ωC )2 + 240rpm * se sabe que la suma de momentos de inercia respecto al centro es: IB (ωB )1 + 0 = IB (ωB )2 + IC (ωC )2 * de donde reemplazando valores tenemos:
446.4f t lb s2 (180rpm ) = 446.4 f t lb s2 [( ωC )2 + 240rpm ] + 650lb ft s2 (ωC )2
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
26184 = 24.4rpm (ωC )2 = 1096.4
ωC = 24.4rpm
36
Ingenier´ıa Civil
(2.44)
Dinamica IC-244
Problemas de Din´amica
no de masa m esta unido en B a un arco de masa m y Ejercicio 1.16 un bloque peque˜ radio ”r”. El sistema se suelta del reposo cuando B esta directamente arriba de A y rueda sin resbalar. a) determine la velocidad angular cuando cuando se encuentre en la parte mas alta.
Soluci´on:
* posicion 1.
ω = ω1 V A = rω 1 V B = 2rω 1
* El trabajo realizado en el punto 1 sera:
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