resueltos dinámica beer johnston

mm

 mm  mm  

mm

 

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    §§ 

 

  mm mm

 

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 m! "#$" # 

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§§

 

§§§§§§§§§§§§§§§§§§ "$) m*"+## ,
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, -. /  " 01(1 

1 El movimiento de una partícula está definido por la relación, x t ^ t ^ Ä
Ä , x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine 
el momento en el que ala aceleración es cero, ÿ
la posición y la velocidad de la partícula en ese momento. Datos: x

P ------------------------------------------------

t ^ t ^ Ä
Ä

SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas: x

t ^ t ^ Ä
Ä

(1)

xD v v

t ^ Ät ^ Ä


(2)

D xD  

^ t ^ Ä


(3)


 ï

v

t ^ Ät ^ Ä


^ t ^ Ä


v

ï Ä
^ Ärï Ä
^ Ä

^ ^

v

 ï Ä
^ Ä 


v

ï ^  

v

 m s§ Ä



^ t ^ Ä


ï

t ^ Ä


t

t

t

ÿ
v  x 



(3)

  Ä

ï s Ä

Ä ÄÄ s

v

x

(1)

x

t ^ t ^ Ä
Ä

x

ï Ä
^ rï Ä
^ Ä  m 

 ÄÄ

x

Ä

 ï ÷

s

(2)

3 El movimiento de una partícula está definido por la relación x=5t4 - 4t3 +3t -2, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=2s. Datos: x=5t4 - 4t3 +3t -2 x=? v=? a=? g

t=2s

Solución:

Posición: x= 5(2)4 ² 4(2)3 +3(2) -2 x= 80 ² 32 + 6 ² 2 x= 52 ft.

Velocidad: v= 20(2)3 ² 12(2)2 +3 v= 160 ² 48 + 3 v= 115 ft/s.

Aceleración: v= 60(2)2 ² 24(2) v= 240 ² 48 v= 192 ft/s2.

5. El movimiento de la corredera A se define mediante la relación x=500 sen kt donde x y t se expresan en milímetros y segundos respectivamente , y k es constante. Si k=10 rad/s, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la corredera A cuando t=0.05 s.

SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS. ‫ ݔ‬ൌ ͷͲͲ•‡–

 ൌ ͳͲ”ƒ†Ȁ•

 ൌ …––‡

cuando t=0.05 s POSICION: ‫ ݔ‬ൌ ͷͲͲ•‡–

‫ ݔ‬ൌ ͷͲͲ•‡ሺͳͲ”ƒ†Ȁ•ሻሺͲǤͲͷ•ሻ ‫ ݔ‬ൌ ͷͲͲ•‡ሺͳͺͲͲȀǑሻሺͲǤͲͷ•ሻ

‫ ݔ‬ൌ ʹͶͲ.

VELOCIDAD: ‫ݒ‬ൌ

݀‫ݔ‬ ݀‫ݐ‬

‫ ݒ‬ൌ ͷͲͲ…‘•–

‫ ݒ‬ൌ ͷͲͲሺͳͲሻ…‘• ቀ

‫ ݒ‬ൌ Ͷ͵ͻͲȀ•

ଵ଼଴଴ Ǒ

‫ ݒ‬ൌ Ͷǡ͵ͻȀ•

ቁ ሺͲǡͲͷ•ሻ

ACELERACION: ܽൌ

݀‫ݒ‬ ݀‫ݐ‬

ܽ ൌ െͷͲͲ݇ଶ •‡– ܽ ൌ െʹ͵ͻ͹ͳǤʹ͹͸Ȁ•

ܽ ൌ െͷͲͲሺͳͲሻଶ •‡ ቀ

ଵ଼଴଴ Ǒ

ܽ ൌ െʹ͵ǡͻ͹Ȁ•

ቁ ሺͲǡͲͷ•ሻ

7.- El movimiento de una partícula se define mediante la relación ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݐ‬ଷ െ ͸‫ ݐ‬ଶ ൅ ͻ‫ ݐ‬൅ ͷ, donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine: a) El momento en que la velocidad es cero b) La posición, aceleración y la distancia total recorrida cuando ‫ ݐ‬ൌ ͷ‫ݏ‬ DATOS ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݐ‬ଷ െ ͸‫ ݐ‬ଶ ൅ ͻ‫ ݐ‬൅ ͷ

‫ݔ‬ሾ‫ݏ݁݅݌‬ሿ

‫ݐ‬ሾ‫ݏ݋݀݊ݑ݃݁ݏ‬ሿ

a)§ ‫ ݐ‬ൌǫ ՜ ‫ ݒ‬ൌ Ͳ b)§ ‫ ݔ‬ൌǫ ǡ ܽ ൌǫ ǡ ݀݅‫ ݈ܽݐ݋ݐܽ݅ܿ݊ܽݐݏ‬ൌǫ՜ ‫ ݐ‬ൌ ͷ‫ݏ‬

SOLUCIÓN Ecuaciones cinemáticas ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݐ‬ଷ െ ͸‫ ݐ‬ଶ ൅ ͻ‫ ݐ‬൅ ͷ

‫ݒ‬ൌ

డ௫ డ௧

ܽൌ

డ௩ డ௧

‫ ݐ‬ൌǫ ՜ ‫ ݒ‬ൌ Ͳ

a)§ ‫ ݒ‬ൌ

డ௫ డ௧

ൌ ͵‫ ݐ‬ଶ െ ͳʹ‫ ݐ‬൅ ͻ

͵‫ ݐ‬ଶ െ ͳʹ‫ ݐ‬൅ ͻ ൌ Ͳ

࢚ ൌ ૚࢚࢟ ൌ ૜

‫ ݔ‬ൌǫ ǡ ܽ ൌǫ ǡ ݀݅‫ ݈ܽݐ݋ݐܽ݅ܿ݊ܽݐݏ‬ൌǫ՜ ‫ ݐ‬ൌ ͷ‫ݏ‬

b)§ ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݐ‬ଷ െ ͸‫ ݐ‬ଶ ൅ ͻ‫ ݐ‬൅ ͷ ‫ ݔ‬ൌ ሺͷሻଷ െ ͸ሺͷሻଶ ൅ ͻሺͷሻ ൅ ͷ ࢞ ൌ ૛૞࢖࢏ࢋ࢙ ߲‫ݒ‬ ൌ ͸‫ ݐ‬െ ͳʹ ߲‫ݐ‬ ܽ ൌ ͸ሺͷሻ െ ͳʹ ࢖࢏ࢋ࢙ൗ ࢇ ൌ ૚ૡ ࢙૛

ܽൌ

La distancia total es la suma de las distancias: Cuando t=0 Cuando t=1 Cuando t=3 Cuando t=5

x=5 x=9 x=5 x=20

d=0 d=4 d=4 d=20

Distancia = 28 pies 9.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación ܽ ൌ ͵݁ ି଴Ǥଶ௧ ௙௧ donde ܽ y t se expresan en మ y segundos respectivamente. Si x=0 y v=0 en t=0, ௦ determine la velocidad y la posición de la partícula cuando t=0.5s ܽ ൌ ͵݁ ି଴Ǥଶ௧ ‫ݔ‬ൌͲ ‫ݒ‬ൌͲ Determine: ‫ ݔ‬ൌǫ ‫ ݒ‬ൌǫ SOLUCIÓN:

t=0 t=0.5s

௙௧

ܽ( మ) ; t (s) ௦

Ecuaciones cinemáticas: ௙௧

1.§ ܽ ൌ ͵݁ ି଴Ǥଶ௧ ቂ మ ቃ ௦

ܽൌ

௩ ‫׬‬௩௢ ݀‫ݒ‬

ௗ௩ ௗ௧

ൌ

ൌ ܽ ൌ ͵݁ ି଴Ǥଶ௧

‫ ݒ‬െ ‫ ݋ݒ‬ൌ

ଷ

ି଴Ǥଶ

݁ ି଴Ǥଶ௧

2.§ ‫ ݒ‬ൌ ‫ ݋ݒ‬െ ͳͷሺ݁ ‫ݒ‬ൌ ௫

ௗ௫ ௗ௧

‫ ݒ‬ൌǫ՜ ‫ ݐ‬ൌ ͲǤͷ‫ݏ‬

௧ ‫׬‬଴ ͵݁ ି଴Ǥଶ௧ ݀‫ݐ‬

‫ ݒ‬ൌ ‫ ݋ݒ‬െ ͳͷሺ݁ ି଴Ǥଶ௧ െ ͳሻ ‫ ݒ‬ൌ െͳͷ൫݁ ି଴Ǥଶሺ଴Ǥହሻ െ ͳ൯

t 0

ି଴Ǥଶ௧

௙௧

െ ͳሻ

௙௧

ቂ ቃ

௧

‫׬‬௫௢ ݀‫ ݔ‬ൌ ‫׬‬଴ ‫ ݋ݒ‬െ ͳͷሺ݁ ି଴Ǥଶ௧ െ ͳሻ݀‫ݐ‬

‫ ݔ‬െ ‫ ݋ݔ‬ൌ ‫ ݐ݋ݒ‬െ ͳͷሺ

ି଴Ǥଶ

െ ‫ݐ‬ሻ

௦

௦

ൌ ‫ ݋ݒ‬െ ͳͷሺ݁ ି଴Ǥଶ௧ െ ͳሻ ௘ షబǤమ೟

‫ ݒ‬ൌ ͳǤͶʹ͹ ቂ ቃ

t

‫ ݔ‬ൌǫ՜ ‫ ݐ‬ൌ ͲǤͷ‫ݏ‬

0

‫ ݔ‬ൌ ‫ ݋ݔ‬൅ ‫ ݐ݋ݒ‬െ ͳͷሺെͷ݁ ି଴Ǥଶ௧ ൅ ͷ െ ‫ݐ‬ሻ

‫ ݔ‬ൌ െͳͷ൫െͷ݁ ି଴Ǥଶሺ଴Ǥହሻ ൅ ͷ െ ͲǤͷ൯ 3.§ ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݋ݔ‬൅ ‫ ݐ݋ݒ‬െ ͳͷሺെͷ݁ ି଴Ǥଶ௧ ൅ ͷ െ ‫ݐ‬ሻሾ݂‫ݐ‬ሿ ‫ ݔ‬ൌ ͲǤ͵͸͵ሾ݂‫ݐ‬ሿ

11.- la aceleración del punto A se define mediante la relación ܽ ൌ െ͵ǤʹͶ •‹ ݇‫ ݐ‬െ ௙௧ ͶǤ͵ʹ …‘• ݇‫ ݐ‬donde ܽ y t se expresan en మ y segundos, respectivamente y ௦ ‫݀ܽݎ‬ ൗ ݇ൌ͵ ‫ ݏ‬Con x = 0.48ft y v= 1.08 ft/s cuando t = 0. Determine la velocidad y la posición del punto A cuando t = 0.5s

݇ ൌ ͵ ‫݀ܽݎ‬Τ‫ݏ‬

ܽ ൌ െ͵ǤʹͶ •‹ ݇‫ ݐ‬െ ͶǤ͵ʹ …‘• ݇‫ݐ‬

‫ ݔ‬ൌ ͲǤͶͺ݂‫
ݐ‬ ‫ ݐ‬ൌ Ͳ൜ ‫ ݒ‬ൌ ͳǤͲͺ݂‫ݐ‬Ȁ‫ݏ‬ Determine:

‫ ݐ‬ൌ ͲǤͷ‫ ݏ‬ቄ

ܽሺ݂‫ݐ‬Τ‫ ݏ‬ଶ ሻǢ ‫ݐ‬ሺ‫ݏ‬ሻ

‫ ݔ‬ൌǫ
‫ ݒ‬ൌǫ

SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas ௙௧

1.§ ܽ ൌ െ͵ǤʹͶ •‹ ݇‫ ݐ‬െ ͶǤ͵ʹ …‘• ݇‫ ݐ‬ቂ మ ቃ

ܽൌ

ௗ௩ ௗ௧

௦

ൌ െ͵ǤʹͶ •‹ ݇‫ ݐ‬െ ͶǤ͵ʹ …‘• ݇‫ݐ‬ ௧

௩

‫׬‬௩௢ ݀‫ ݒ‬ൌ ‫׬‬଴ ሺെ͵ǤʹͶ •‹ ݇‫ ݐ‬െ ͶǤ͵ʹ …‘• ݇‫ݐ‬ሻ ݀‫ݐ‬ ͳǤͶͶ •‡ ݇‫ݐ‬ t రǤయమ యǤమర ‫ ݒ‬െ ‫ ݋ݒ‬ൌ ሺ ೖ …‘• ݇‫ ݐ‬െ ೖ •‡ ݇‫ݐ‬ሻ ‫ ݒ‬ൌ ͳǤͲͺ …‘• ͵ሺͲǤͷሻ െ ͳǤͶͶ •‡ ͵ሺͲǤͷሻ o ‫ ݒ‬െ ‫ ݋ݒ‬ൌ యǤమర ሺ…‘• ݇‫ ݐ‬െ ͳሻ െ రǤయమ ሺ•‡ ݇‫ ݐ‬െ Ͳሻ ೖ ೖ

‫ ݒ‬ൌǫ՜ ‫ ݐ‬ൌ ͲǤͷ ‫ ݒ‬ൌ ͳǤͲͺ …‘• ݇‫ ݐ‬െ

௙௧

‫ ݒ‬ൌ ͳǤͲͶ ቂ ቃ ௦

‫ ݒ‬ൌ ͳǤͲͺ ൅ ͳǤͲͺሺ…‘• ݇‫ ݐ‬െ ͳሻ െ ͳǤͶͶ •‡ ݇‫ݐ‬ ௙௧

2.§ ‫ ݒ‬ൌ ͳǤͲͺ …‘• ݇‫ ݐ‬െ ͳǤͶͶ •‡ ݇‫ ݐ‬ቂ ቃ ௦

‫ ݒ‬ൌ

ௗ௫ ௗ௧

ൌ ͳǤͲͺ …‘• ݇‫ ݐ‬െ ͳǤͶͶ •‡ ݇‫ݐ‬

‫ ݔ‬ൌǫ՜ ‫ ݐ‬ൌ ͲǤͷ

௧

௫

‫׬‬௫௢ ݀‫ ݔ‬ൌ ‫׬‬଴ ሺͳǤͲͺ …‘• ݇‫ ݐ‬െ ͳǤͶͶ •‡ ݇‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬ ͲǤͶͺ …‘• ݇‫ݐ‬ t భǤబఴ భǤరర ‫ ݔ‬െ ‫ ݋ݔ‬ൌ ሺ ೖ •‡ ݇‫ ݐ‬൅ ೖ •‡ ݇‫ݐ‬ሻ ͲǤͶͺ …‘• ͵ሺͲǤͷሻ o ‫ ݔ‬െ ͲǤͶͺ ൌ ͲǤ͵͸ሺ•‡ ݇‫ ݐ‬െ Ͳሻ ൅ ͲǤͶͺ ሺ…‘• ݇‫ ݐ‬െ ͳሻ ‫ ݔ‬ൌ ͲǤͶͺ ൅ ͲǤ͵͸ •‡ ݇‫ ݐ‬൅ ͲǤͶͺ …‘• ݇‫ ݐ‬െ ͲǤͶͺ

‫ ݔ‬ൌ ͲǤ͵͸ •‡ ݇‫ ݐ‬൅ ‫ ݔ‬ൌ ͲǤ͵͸ •‡ ͵ሺͲǤͷሻ ൅ ‫ ݔ‬ൌ ͲǤͶͻ ሾ݂‫ݐ‬ሿ

3.§ ‫ ݔ‬ൌ ͲǤ͵͸ •‡ ݇‫ ݐ‬൅ ͲǤͶͺ …‘• ݇‫ ݐ‬ሾ݂‫ݐ‬ሿ

13.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a=0.15m/s2. Si x=-10m cuando t=0 y v=-0.15m/s cuando t=2s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t=5s.

Datos: Cuando

t=0s x0=-10m

Cuando

t=2s V0=-0.15m/s

Ecuaciones cinemáticas ܽൌ

‫ݒ‬ൌ

ௗ௩

(1)

ௗ௧ ௗ௫

(2)

ௗ௧

Solución: Tramo AB ܽൌ ௩

ௗ௩ ௗ௧

௧

‫׬‬௩: ݀‫ ݒ‬ൌ ‫׬‬௧: ܽ݀‫ݐ‬

‫ ݒ‬െ ‫ݒ‬: ൌ ܽ‫§ ݐ‬ ‫ݒ‬: ൌ ܽ‫ ݐ‬+ ‫ݒ‬ Remplazando valores de a=0.15m/s2 t=2s v=-0.15m/s ‫ݒ‬: ൌ ܽ‫ ݐ‬+ ‫ݒ‬ ‫ݒ‬: ൌ ͲǤͳͷ݉Ȁ‫ ݏ‬ଶ ሺʹ‫ݏ‬ሻȄ ͲǤͳͷ݉Ȁ‫ݏ‬

§

‫ݒ‬: ൌ െͲǤͶͷ݉Ȁ‫ݏ‬ Tramo BC Cuando: ܽൌ ௩

a=0.15m/s2 t0=0s t=5s V0=-0.45

ௗ௩ ௗ௧

௧

‫׬‬௩: ݀‫ ݒ‬ൌ ‫׬‬௧: ܽ݀‫ݐ‬

‫ ݒ‬െ ‫ݒ‬: ൌ ܽ‫§ ݐ‬ ­ ൌ ࢇ࢚ ൅ ­: Ecuación Cinemática de la Velocidad Remplazando valores: ‫ ݒ‬ൌ ܽ‫ ݐ‬൅ ‫ݒ‬: ‫ ݒ‬ൌ ͲǤͳͷ݉Ȁ‫ ݏ‬ଶ ሺͷ‫ݏ‬ሻȄ ͲǤͶͷ݉Ȁ‫ݏ‬ ­ ൌ ૙Ǥ ૜࢓Ȁ࢙

§

Posición: ݀‫ݔ‬ ‫ݒ‬ൌ ݀‫ݐ‬ Cuando: ௫

௧

௫:

௧: ଶ

t=0s a=0.15

x0=-10m

න ݀‫ ݔ‬ൌ  න ሺܽ‫ ݐ‬൅ ‫ݒ‬:ሻ݀‫ݐ‬

‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬: ൌ ܽ‫ ݐ‬Ȁʹ +‫ݒ‬:‫ݐ‬ §

§

࢞ ൌ ࢇ࢚૛ Ȁ૛ +­:࢚ ൅ ࢞: Ecuación cinemática de la posición Reemplazando valores de:

a=0.15m/s2

t=5s v0=-0.45m/s x0=-10m

‫ ݔ‬ൌ ͲǤͲ͹ͷሺͷሻଶ -0.45 (5)െͳͲ ࢞ ൌ െ૚૙Ǥ ૜ૡ࢓ Distancia recorrida: Cuando v=0m/s obtendremos el tiempo en detenerse ‫ ݒ‬ൌ ܽ‫ ݐ‬൅ ‫ݒ‬: ܽ‫ ݐ‬൅ ‫ݒ‬: ൌ Ͳ ‫ ݐ‬ൌ ‫ݒ‬:Ȁܽ ‫ ݐ‬ൌ ͲǤͶͷȀͲǤͳͷ ‫ ݐ‬ൌ ͵‫ݏ‬ Reemplazando en ecuación de la posición:

‫ ݔ‬ൌ ͲǤͲ͹ͷሺ͵ሻଶ -0.45 (3)െͳͲ ܺ݉݅݊ ൌ െͳͲǤ͸͹ͷ d1=x0 - Xmin=0.675 d2=xs - Xmin=0.3 dt=d1+d2=0.975m 15. La aceleración de una partícula está definida por la relación aൌ ݇‫ ݐ‬ଶ. a) Si v= -10 m/s cuando t = 0 y v = 10 m/s cuando t =2s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de movimiento con x = 0 cuando t = 2s.

Datos: Cuando t= 0 i v= -10 m/s Cuando t= 2s i v= 10 m/s Solución: Ecuaciones de movimiento: ܽ ൌ ݇‫ ݐ‬ଶ (1) ܽൌ

‫ݒ‬ൌ

ௗ௩

es decir v: y t: es decir v

(2)

ௗ௧ ௗ௫

(3)

ௗ௧

a) De (1)

௧

௩

‫׬‬௩: ݀‫ ݒ‬ൌ ‫׬‬௧: ܽ݀‫ݐ‬ ௧

‫ ݒ‬െ ‫ݒ‬: ൌ ‫׬‬௧: ݇‫ ݐ‬ଶ ݀‫ݐ‬

‫ ݒ‬െ ‫ݒ‬: ൌ ݇ ‫ݒ‬ൌ

݇ൌ

௧య

ଷ ௞ ଷ ‫ݒ‬: ൅ ‫ ݐ‬ ଷ ଷሺ௩ି௩:ሻ ௧య

(4) (5)

Reemplazando los valores de los datos del problema en (5) tenemos: ݇ൌ

݇ൌ

ଷሺଵ଴ିሺିଵ଴ሻሻ ଵହ ଶ

ሺଶሻయ

(6)

b) De (3)

݀‫ ݔ‬ൌ ‫ݐ݀ݒ‬

(7)

integrando (7):

௫

௧

௞

‫׬‬௫: ݀‫ ݔ‬ൌ  ‫׬‬௧ୀଶሺ‫ݒ‬: ൅ ଷ ‫ ݐ‬ଷ ሻ݀‫ݐ‬ ௧

௞

‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬: ൌ  ‫׬‬௧ୀଶሺͳͲ ൅ ‫ ݐ‬ଷ ሻ݀‫ݐ‬ ଷ ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬: ൌ ͳͲ‫ ݐ‬൅

௞

ଵଶ

‫ݐ‬ସ

݁‫ݏ݋݊݁݉݁ݐ݋݀݊ܽݑ݈ܽݒ‬: ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬: ൌ ቀͳͲ‫ ݐ‬൅ ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬: ൌ

௞

ଵଶ

௞

ଵଶ

‫ ݐ‬ସ ቁ െ ቀͳͲሺʹሻ ൅

‫ ݐ‬ସ ൅ ͳͲ‫ ݐ‬െ ͵Ͳ

଻ǡହ ଵଶ

ሺʹሻସ ቁ

‫ =ݔ‬0 cuando t i 2s Entonces: ‫ݔ‬ൌ

௞

ଵଶ

‫ ݐ‬ସ ൅ ͳͲ‫ ݐ‬െ ͵Ͳ

(8) ec. Mov.

17.- El punto A oscila con una aceleración ܽ ൌ ͳͲͲሺʹͷ െ ‫ݔ‬ሻ, donde ܽ‫ ݔݕ‬se expresan en ݉ൗ‫ ݏ‬ଶ y en metros, respectivamente. Si el sistema se inicia en el

tiempo t=0 con v=0 y x=0.2 metros, Determine: a)§ Posición y velocidad de A cuando t=0.2s

DATOS ܽ ൌ ͳͲͲሺʹͷ െ ‫ݔ‬ሻ ܽ ൌ ቂ݉ൗ‫ ݏ‬ଶ ቃ ‫ ݔ‬ൌ  ሾ݉݁‫ݏ݋ݎݐ‬ሿ ‫ ݐ‬ൌ Ͳǡ ‫ ݒ‬ൌ Ͳǡ ‫ ݔ‬ൌ ͲǤʹ݉ a)§ ‫ ݔ‬ൌǫ ǡ ‫ ݒ‬ൌǫ՜ ‫ ݐ‬ൌ ͲǤʹ‫ݏ‬ SOLUCIÓN Ecuaciones cinemáticas ܽ ൌ ͳͲͲሺʹͷ െ ‫ ݔ‬ሻ ܽൌ

߲‫ݒ‬ ߲‫ݐ‬

‫ݒ‬ൌ

߲‫ݔ‬ ݀‫ݔ‬ ݀‫ ݐ‬ൌ ߲‫ݐ‬ ‫ݒ‬

ܽൌ

‫ݒ݀ݒ‬ ൌ ͳͲͲሺͲǤʹͷ െ ‫ ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬

௩

௫

න ‫ ݒ݀ݒ‬ൌ න ͳͲͲሺͲǤʹͷ െ ‫ ݔ‬ሻ݀‫  ݔ‬՜ ‫ ݑ‬ൌ ͲǤʹͷ െ ‫ ݑ݀ݔ‬ൌ െ݀‫ݔ‬ ଴

଴Ǥଶ

௫ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݒ‬ଶ න ൌ 
െͷͲሺͲǤʹͷ െ ‫ݔ‬ሻଶ ȁ ൌ െͳͲͲ‫ ݑ݀ݑ‬ൌ 
െͷͲ‫ݑ‬ଶ ȁ ͲǤʹ ͲǤʹ ʹ ଴Ǥଶ ൌ  െͷͲሺͲǤʹͷ െ ‫ݔ‬ሻଶ ൅ ͲǤͳʹͷ

‫ ݒ‬ൌ േඥെͳͲͲሺͲǤʹͷ െ ‫ ݔ‬ሻଶ ൅ ͲǤʹͷ

݀‫ ݔ‬ൌ ‫ ݐ݀ݐ݀ݒ‬ൌ ݀‫ ݐ‬ൌ

௧

݀‫ݔ‬

݀‫ݔ‬ ‫ݒ‬ ൌ

݀‫ݔ‬

േඥͲǤʹͷሾͳ െ ͶͲͲሺͲǤʹͷሻଶ ሿ േඥെͳͲͲሺͲǤʹͷ െ ‫ ݔ‬ሻଶ ൅ ͲǤʹͷ ݀‫ݔ‬ ൌ  േͲǤͷඥͳ െ ͶͲͲሺͲǤʹͷ െ ‫ݔ‬ሻଶ ௫

න ݀‫ ݐ‬ൌ න ଴

݀‫ݔ‬

ͶͲͲሺͲǤʹͷ െ ‫ ݔ‬ሻଶ ൌ െʹͲ݀‫ݔ‬

଴Ǥଶ േͲǤͷඥͳ െ

ܿ‫ ݔ݋݀݊ܽݑ‬ൌ ͲǤʹ ՜ ‫ ݑ‬ൌ ͳ ௧

௨

න ݀‫ ݐ‬ൌ േ න ଴

‫ݐ‬ൌേ

ଵ

݀‫ݑ‬

ͳͲξͳ െ ‫ݑ‬ଶ

ͳ ߨ ቀ•‹ିଵ ‫ ݑ‬െ ቁ ͳͲ ʹ

ൌേ

‫ ݑ‬ൌ ʹͲሺͲǤʹͷ െ ‫ ݔ‬ሻ݀‫ݑ‬

ͳ
ିଵ ‫ݑ‬ ͳ ߨ  •‹ ‫ݑ‬ȁ ൌ േ ቀ•‹ିଵ ‫ ݑ‬െ ቁ ͳͲ ͳͲ ͳ ʹ

ߨ ߨ ‫ ݑ‬ൌ •‹ ቀ േ ͳͲ‫ݐ‬ቁ  ՜  •‹ ቀ േ ͳͲ‫ݐ‬ቁ ʹ ʹ ߨ ߨ ൌ ቀ•‹ ቁ ሺ…‘• േͳͲ‫ݐ‬ሻ േ ቀ…‘• ቁ ሺ•‹ േͳͲ‫ݐ‬ሻ ʹ ʹ

‫ ݑ‬ൌ …‘•ሺേͳͲ‫ݐ‬ሻ ൌ …‘•ሺͳͲ‫ݐ‬ሻ  ՜  …‘•ሺͳͲ‫ݐ‬ሻ ൌ …‘•ሺെͳͲ‫ݐ‬ሻ

‫ ݑ‬ൌ ʹͲሺͲǤʹͷ െ ‫ ݔ‬ሻ ൌ …‘•ሺͳͲ‫ݐ‬ሻ Posición del Punto A con tiempo=0.2s ࢞ ൌ ૙Ǥ ૛૞ െ

‫ܛܗ܋‬ሺ૚૙࢚ሻ ૛૙

Velocidad del Punto A con tiempo =0.2s ‫ݒ‬ൌ ­ൌ

డ௫ డ௧

ൌെ

ି ୱ୧୬ሺଵ଴௧ሻ‫כ‬ଵ଴

૚ ‫ܖܑܛ‬ሺ૚૙࢚ሻ ૛

ଶ଴

19 La aceleración del punto A se define mediante la relación  ïï x   Ä ïïx Ä , donde  y x se expresan en ft s y ft respectivamente. Si la velocidad de A es

de 10 ft s y £ u ï cuando u ï , determine la velocidad y la posición de A cuando u ï
ï .

 r uO Datos:

ft s

A

A·

t= 0

a u jïï  
ïï£


u ï
ï

SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas:

a u jïï £  
ïï£ §§§§K(2§

3
u 2 §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ 2 

2 u 2

3



v  §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

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v 2  v 
r



r

ï

 Ä

 Ä 2 §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ 

£
£ u ïï   
ïï


v




v v £


§§§§§ r £ £




4

£ 


4

£

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ ï ï

ï

£

£ §
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 ï   ^ ïï £    ïï £  §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§
   Rï §    O


£




£

O

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 4

(2)

p

x §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ xD

v

ïï p   ïï p   ïï §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v

ï ïï p   ïï p   ïï §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v

p

^ÿ


ÿ ^  
§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v 

p

^ÿ


ÿ ^  


p

^ïï


p

^ ïï R ï § Ä ïï

p

^ï  R ï §

dx § dt

r

Rï    ït
 ï


r


ï   ït


ïï
^ ïï
ïï
ïï


p

p

^ï  ft

p

p

^ï  ft

v

ïï x §

v

ïï  p ^ p


v

ïï  x ^  ^ï 



v

ïï  x   ï 


v

Rï x   ï 
ft s

En (2) : t

v§

ï ï

En (3): t

ï ï

(3)

x

ï tg r ïï ï


x

ï  tg 


v v

r

ï   ït
   ï 
  ït 

   v ï
   ï
 x

v

ï ïï ft

Ä Ä ft s

11.21 La aceleración de una partícula se define mediante la relación mediante a = k(1-e-x), donde k es constante. Si la velocidad de la partícula es v=+9m/s cuando x= -3m y la partícula queda en reposo en el origen, determine a) el valor de k, b) la velocidad de la partícula cuando x=-2m. Datos: a = k(1-e-x) v =+9m/s

x= -3m

vf = 0m/s

x=0m

a) k=? b) v=?

x=-2m

Solución: a) ૙

૙

න ­ ­ ൌ  න ࢑ሺ૚ െ ࢋି࢞ ሻ ࢞ ૢ

ቆ૙ െ

ି૜

ૢ૛ ቇ ൌ ࢑ሾ૙ ൅ ૚ െ ሺെ૜ሻ െ ࢋ૜ ሿ ૛

૙ െ ૝૙Ǥ ૞ ൌ ࢑ሺ૝ െ ࢋ૜ ሻ ࢑ ൌ ૛Ǥ ૞૛࢓Ȁ࢙૛ b)

࢞

­

න ­ ­ ൌ  න ૛Ǥ ૞૛ሺ૚ െ ࢋି࢞ ሻ ࢞ ૙

ቆ

૙

­૛ ቇ ൌ ૛Ǥ ૞૛ሾ࢞ ൅ ࢋି࢞ െ ૚ሿ ૛

­૛ ൌ ૞Ǥ ૙૝ሾ࢞ ൅ ࢋି࢞ െ ૚ሿ

­ ൌ േ૛Ǥ ૛૝ሾ࢞ ൅ ࢋି࢞ െ ૚ሿ1/2

X=-2m ­ ൌ േ૛Ǥ ૛૝ሾെ૛ ൅ ࢋ૛ െ ૚ሿ1/2

­ ൌ േ૝Ǥ ૠ࢓Ȁ࢙ ­ ൌ ૝Ǥ ૠ࢓Ȁ࢙

23. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-0.4V, donde a se expresa en mm/s2 y V en mm/s. Si cuando t=0 la velocidad es de 75 mm/s, determine a)la distancia que recorrerá la partícula antes de quedar en reposo . b) el tiempo recorrido para que la velocidad de la partícula se reduzca al uno por ciento de su valor inicial. SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS ܽ ൌ െͲǤͶ ܽൌ

‫ݒ݀ݒ‬ ݀‫ݔ‬

݀‫ ݔ‬ൌ

‫ݒ݀ݒ‬ ܽ

Cuando: X=0

V0=75 m/s

X=?

V=0

௫

‫ݒ݀ݒ‬ ୴୭ െͲǤͶܸ ௩

න ݀‫ ݔ‬ൌ න ଴

݀‫ ݔ‬ൌ െ ‫ݔ‬ൌെ

‫ݒ‬ ͲǡͶ

Ͳ െ͹ͷ െ ͲǡͶ ͲǡͶ

‫ ݔ‬ൌ ͳͺ͹Ǥͷ݉ b) ܽ ൌ െͲǤͶ ܽൌ

݀‫ݒ‬ ݀‫ݐ‬

݀‫ ݐ‬ൌ

݀‫ݒ‬ ܽ

Cuando: t=0

V0=75 m/s

t=?

V=0.75 m/s ݀‫ݒ‬ ௩௢ െͲǤͶܸ ௩

௧

න ݀‫ ݐ‬ൌ න ଴

‫ݐ‬ൌെ ‫ݐ‬ൌെ

ͳ Ž ˜ ͲǡͶ

Ͳ ͳ ŽሺͲǡ͹ͷሻ െ  Žሺ͹ͷሻ ͲǡͶ െͲǡͶ

t =0,71+10,79 t =ͳͳǡͷ‫ݏ‬ 25.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación ܽ ൌ െ݇ξ‫ݒ‬, donde k es constante, si x = 0 y v = 25ft/s en t = 0, y ‫=ݒ‬12ft/s cuando x = 6ft, determine: 1) la velocidad de la partícula en x = 8ft, 2) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo. ܽ ൌ െ݇ξ‫ݒ‬

k, cte.

‫ ݔ‬ൌ Ͳ
‫ ݐ‬ൌ Ͳ൜ ‫ ݒ‬ൌ ʹͷ݂‫ݐ‬Ȁ‫ݏ‬

‫ ݒ‬ൌ ͳʹ݂‫ݐ‬Ȁ‫ ݏ‬՜ ‫ ݔ‬ൌ ͸݂‫ݐ‬

Determine: ܽሻ‫ ݒ‬ൌǫ ՜ ‫ ݔ‬ൌ ͺ݂‫ݐ‬ ܾሻ‫ ݐ‬ൌǫ ՜ ‫ ݒ‬ൌ Ͳ SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas ௗ௩

1.§ ܽ ൌ ‫ݒ‬

ൌ െ݇‫ݒ‬ଵȀଶ

ௗ௫

‫ ݒ݀ݒ‬ൌ െ݇‫ݒ‬ଵȀଶ ݀‫ݔ‬

݀‫ ݔ‬ൌ ௫

ܽሻ‫ ݒ‬ൌǫ ՜ ‫ ݔ‬ൌ ͺ݂‫ݐ‬ య

௩ௗ௩

ି௞௩ భȀమ

‫ ݒ‬మ ൌ ͳʹͷ െ ͳ͵ǤͻͲͷ‫ݔ‬ య

௩

ଵ

‫׬‬௫௢ ݀‫ ݔ‬ൌ െ ቀ௞ቁ ‫׬‬௩௢ ‫ݒ‬ଵȀଶ ݀‫ݒ‬ ଶ

‫ ݔ‬െ ‫ ݋ݔ‬ൌ െ ቀ ቁ ‫ ݒ‬ଷȀଶ ଷ௞

య మ

ଶ

‫ ݒ‬మ ൌ ͳʹͷ െ ͳ͵ǤͻͲͷሺͺሻ య

‫ݒ‬

‫݋ݒ‬

య

‫ ݔ‬െ ‫ ݋ݔ‬ൌ െ ቀ ቁ ቀ‫ ݒ‬െ ‫݋ݒ‬మ ቁ ଷ௞ య మ

ଶ

య మ

‫ ݔ‬ൌ െ ቀ ቁ ቀ‫ ݒ‬െ ʹͷ ቁ ଷ௞

ܾሻ‫ ݐ‬ൌǫ ՜ ‫ ݒ‬ൌ ‫݋‬

ܽൌ

య

ଶ

‫ ݒ‬మ ൌ ͳ͵Ǥ͹ͷͻ య ‫ ݒ‬ൌ ξͳ͵Ǥ͹ͷͻଶ ‫ ݒ‬ൌ ͷǤ͹Ͷ݂‫ݐ‬Ȁ‫ݏ‬

2.§ ‫ ݔ‬ൌ െ ቀ ቁ ቀ‫ ݒ‬మ െ ͳʹͷቁ ଷ௞

ௗ௩ ௗ௧

݀‫ ݐ‬ൌ

య

ଶ

ଵ

య మ

݇ ൌ െ ቀ ቁ ቀͳʹ െ ͳʹͷቁ ֜ ݇ ൌ ͻǤʹ͹݇݁݊ʹ ଽ ‫ ݔ‬ൌ െቀ

ଶ

ଷሺଽǤଶ଻ሻ

య

య

‫ ݔ‬ൌ െͲǤͲ͹ʹ ቀ‫ ݒ‬మ െ ͳʹͷቁ య మ

య

ቁ ቀ‫ ݒ‬మ െ ʹͷమ ቁ

3.§ ‫ ݒ‬ൌ ͳʹͷ െ ͳ͵ǤͻͲͷ‫ݔ‬

ௗ௩

ି௞௩ భȀమ

௧

 ଵ

௩

భ

ି ‫׬‬௢ ݀‫ ݐ‬ൌ െ ௞ ‫׬‬௩௢ ‫ ݒ‬మ ݀‫ݒ‬ ‫ݒ‬

ܿ‫ ݒ݋݀݊ܽݑ‬ൌ ͳʹ݂‫ݐ‬Ȁ‫ ݏ‬՜ ‫ ݔ‬ൌ ͸݂‫ݐ‬ ‫ ׵‬͸ ൌ െ ቀ ቁ ቀͳʹమ െ ͳʹͷቁ ଷ௞

ൌ െ݇ξ‫ݒ‬

ଶ

‫ ݐ‬ൌ െ ሺ‫ ݒ‬଴Ǥହ ሻ ௞

ଶ

‫ݐ‬ൌെ

‫ ݐ‬ൌ െ ሺ‫ݒ‬ ଶ

ଽǤଶ଻

௞

଴Ǥହ

ሺെʹͷ଴Ǥହ )

‫ ݐ‬ൌ ͳǤͲ͹ͻ‫ݏ‬

െ ‫݋ݒ‬

‫݋ݒ‬

଴Ǥହ

ሻ

27. La aceleración de la corredera A se define mediante la relación ܽ ൌ െʹ݇ξ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ , donde k es constante. El sistema inicia en el tiempo t = 0 con x = 1.5ft y v =0. Si x = 1.2ft cuando t = 0.2s, determínese el valor de k.

ܽ ൌ െʹ݇ξ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ

k=cte

‫ ݋ݔ‬ൌ ͳǤͷ݂‫
ݐ‬ ‫ ݔ‬ൌ ͳǤʹ݂‫
ݐ‬ ‫ ݐ‬ൌ Ͳቄ ቄ ‫ ݋ݒ‬ൌ Ͳ ‫ ݐ‬ൌ ͲǤʹ‫ݏ‬

ܽ ሺ݂‫ݐ‬Τ‫ ݏ‬ଶ ሻǢ ‫ݐ‬ሺ‫ݏ‬ሻ

Determine: ݇ ൌǫ SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas 1.§ ܽ ൌ

݀‫ ݔ‬ൌ

௩ௗ௩ ௗ௫

ൌ െʹ݇ξ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ

ଵ

௩

௩ௗ௩

ିଶ௞ξ௞ మ ି௩ మ

௫

‫ ݔ‬െ ‫ ݋ݔ‬ൌ െ ‫ ݔ‬െ ‫ ݋ݔ‬ൌ

ଵ

ଶ௞

ͳǤʹ െ ͳǤͷ ൌ

ଶ௞

൬

ξ௞ మ ି௩ మ ିଵ

൰

ଵ

ௗ௧

ൌ ͲǤͻʹ݇ ௧

‫׬‬௫௢ ݀‫ ݔ‬ൌ ‫׬‬଴ ͲǤͻʹ݇݀‫ݐ‬ r§ r §

ሾ൫ξ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ ൯ െ  ൫ξ݇ ଶ െ ‫݋ݒ‬ଶ ൯ ଶ௞

ௗ௫

௫

௩ௗ௩

‫׬‬௫௢ ݀‫ ݔ‬ൌ െ ଶ௞ ‫׬‬௩௢ ξ௞ మ ି௩ మ ଵ

‫ݒ‬ൌ

3. ‫ ݔ‬െ ‫ ݋ݔ‬ൌ ͲǤͻʹ݇‫ݐ‬ ݇ ൌǫ ՜ ‫ ݐ‬ൌ ͲǤʹ

ሾ൫ξ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ ൯ െ  ൫ξ݇ ଶ െ Ͳଶ ൯ሿ

ͳǤʹ െ ͳǤͷ ൌ ͲǤͻʹ݇ሺͲǤʹሻ ଴Ǥଷ

െͲǤ͵ሺʹ݇ሻ ൌ ሾ൫ξ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ ൯ െ ݇ሿ

݇ൌെ

െͲǤ͸݇ ൅ ݇ ൌ ൫ξ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ ൯

݇ ൌ െͳǤ͸͵

ሺͲǤͶ݇ሻଶ ൌ ൫ξ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ ൯

ͲǤͳ͸݇ ଶ ൌ ݇ ଶ െ ‫ ݒ‬ଶ

ଶ

଴Ǥଵ଼ସ

‫ ݒ‬ଶ ൌ ͲǤͺͶ݇ ଶ

2.§ ‫ ݒ‬ൌ ͲǤͻʹ݇

29.- A partir de x=0 sin velocidad inicial, la aceleración de un auto de carreras

está definida por la relación v=154ξͳ െ ݁ ି଴ǡ଴଴଴ହ଻௫ , donde v y x se expresa en m/s y metros respectivamente. Determine la posición y la aceleración del auto de carreras cuando a) v=20m/s b) v=40m/s

Datos:

v=154ξͳ െ ݁ ି଴ǡ଴଴଴ହ଻௫ Ecuaciones cinemáticas: ܽൌ

ௗ௩ ௗ௧

Solución: Trabajando en ecuación v=154ξͳ െ ݁ ି଴ǡ଴଴଴ହ଻௫

v/154=ξͳ െ ݁ ି଴ǡ଴଴଴ହ଻௫

-0.00057x=݈݊ ൤ͳ െ ቀ

ଶ

௩మ

ቁ ൨ ଵହସ

x=െ૚ૠ૞૝Ǥ ૝࢒࢔ ቈ૚ െ ቀ

­૛

૚૞૝

૛

ቁ ቉ ecuación cinemática de la posición

despejando x en función de v v2=23716ሺͳ െ ݁ ି଴ǡ଴଴଴ହ଻௫ ሻ

ܽൌ‫ݒ‬

ௗ௩

= ௗ௧

ௗ

ௗ௫

௩మ

ቀ ቁ ൌ ሺͳͳͺͷͺሻሺͲǤͲͲͲͷ͹ሻ݁ ି଴ǡ଴଴଴ହ଻௫ ଶ

ܽ ൌ ͸Ǥ͹ͲͷͻͲ͸݁ ି଴ǡ଴଴଴ହ଻௫ =͸Ǥ͹ͲͷͻͲ͸ ൤ͳ െ ቀ ࢇ ൌ ૟Ǥ ૠ૙૞ૢ૙૟ ቈ૚ െ ቀ

‫ܞ‬૛

૚૞૝

૛

୴మ

ଶ

ቁ ൨ ଵହସ

ቁ ቉ ecuación cinemática de la aceleración

Reemplazando v=20m/s en ecuación cinemática de la posición y aceleración.

Para x=29.8m a=6.65m/s2 Para x=122.5m a=6.30m/s2

v=20m/s

v =40m/s

35. A una vagoneta se le prueban la aceleración y los frenos. En la primera prueba de aceleración en la calle, transcurrió un tiempo de .2 segundos para lograr un incremento de velocidad desde 10 km/h hasta 100 km/h. En la prueba de frenos, la vagoneta recorrió una distancia de 44m durante el frenado desde 100 km/h hasta cero. Si se suponen valores constantes para la aceleración y la desaceleración, determine a) La aceleración durante la primera prueba en la calle. b) La desaceleración durante la prueba de frenos.

solución: A

B

t: =0

t:=8,2s

v:= 10 km/h v:=0 Ecuaciones de movimiento: ܽൌ

‫ݒ‬ൌ

ௗ௩

(1)

ௗ௧ ௗ௫

(2)

ௗ௧

ܽሻ De (1) ݀‫ ݒ‬ൌ ܽ݀‫ ; ݐ‬integrando: ௩Ό

௧Ό

௩:

௧:

න ݀‫ ݒ‬ൌ න ܽ݀‫ݐ‬

‫ݒ‬Ό െ ‫ݒ‬: ൌ ܽሺ‫ݐ‬Ό െ ‫ݐ‬:ሻ

44m (=0,044 km) (=0,00227h)

v:=100km/h

C t:

ܽൌ

ሺ௩Όି௩:ሻ

(3)

ሺ௧Όି௧:ሻ

Reemplazando los valores de los datos tenemos: ሺͳͲͲ െ ͳͲሻ݇݉Ȁ݄ ܽൌ ሺͲǡͲͲʹʹ͹͹݄ െ Ͳሻ ௞௠

ܽ ൌ ͵ͻͷͳʹǡͳͻͷ మ ௛ ࢓ ࢇ ൌ ૜ǡ ૙૝ૡ ૛ ࢓ b) Despejando ݀‫ ݐ‬de (1) y (2) y luego igualando ambas tenemos: ݀‫ݔ݀ ݒ‬ ൌ ܽ ‫ݒ‬ ‫ ݒ݀ݒ‬ൌ ܽ݀‫( ݔ‬4) Integrando: ௩΍

௫

න ‫ ݒ݀ݒ‬ൌ න ܽ݀‫ݔ‬ ௩Ό

௫:

ͳ ሺ‫ݒ‬΍ଶ െ ‫ݒ‬Όଶ ሻ ൌ ܽሺ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬:ሻ ʹ ܽൌ

௩΍మ ି௩Όమ

ଶሺ௫ି௫:ሻ

(5)

Reemplazando los datos tenemos: ܽൌ

଴మ ିሺଵ଴଴௞௠Ȁ௛ሻమ ଶሺ଴ǡ଴ସସ௞௠ି଴ሻ

ܽ ൌ ͳͳ͵͸͵͸ǡ͵͸݇݉Ȁ݄ଶ ࢇ ൌ ૡǡ ૠ૟࢓Ȁ࢙૛ 37 Un avión inicia su despegue en A con velocidad 0 y aceleración constante a. Si empieza a volar 30 s después en B y la distancia AB es de 2700ft, determine a) la aceleración a. b) la velocidad de despegue VB.

SOLUCION: ECUACIONES CINEMATICAS ܽൌ

݀‫ݒ‬ ݀‫ݐ‬

݀‫ ݒ‬ൌ ܽ݀‫ݐ‬ ௩

௧

௩௢

௧௢

න ݀‫ ݔ‬ൌ න ‫ݐ݀ݒ‬ ‫ ݒ‬െ ‫ ݋ݒ‬ൌ ܽ‫ݐ‬ ‫ ݒ‬ൌ ˜‘ ൅ ܽ‫ݐ‬

‫ ݒ‬ൌ ˜‘ ൅ ܽ‫( ݐ‬ecuación 1) v0=0 ‫ ݒ‬ൌ ܽ‫ݐ‬

‫ ݒ‬ൌ ͸ሺ͵Ͳሻ

‫ ݒ‬ൌ ͳͺͲ݂‫ݐ‬Ȁ‫ݏ‬ ECUACION CINEMATICA ‫ ݒ‬ൌ

ௗ௫ ௗ௧

Cuando: Xo= 0

t0= 0

X= 2700 ft ௫

௧

௫௢

௧௢

t= 30s

න ݀‫ ݔ‬ൌ න ‫ݐ݀ݒ‬ ௧

‫ ݔ‬ൌ න ‫ݐ݀ݒ‬ ௧௢

‫ ݒ‬ൌ ˜‘ ൅ ƒ– ௧

‫ ݔ‬ൌ න ‫ ݋ݒ‬൅ ܽ‫ݐ݀ݐ‬ ௧௢

‫ ݔ‬ൌ ‫ ݐ݋ݒ‬൅ Vo=0 ‫ ݔ‬ൌ ƒ‫ ݐ‬ଶ Ȁʹ

ܽ‫ ݐ‬ଶ ʹ

ܽ ൌ ʹšȀ‫ ݐ‬ଶ

ܽ ൌ ʹሺʹ͹ͲͲሻȀሺ͵Ͳሻଶ

ܽ ൌ ͸ˆ–Ȁ‫ ݏ‬ଶ

39 En una carrera de ïï÷ , un atleta acelera de modo uniforme durante los primeros Äï ÷ y luego corre a velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros Äï ÷ es de s . Determine 
su aceleración y ÿ
su velocidad final,

el tiempo en que completa la carrera. Datos: 


tte MRUV

v


tte MRU

Äï ÷ A

B

C ïï÷

SOLUCION: Ecuaciones cinemáticas: 

dv §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ v dt

v

  §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ x   §

v

t §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ x

dx dt

vt §§

 v  t §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§  x  v v

vv

x

t

ï

t t

ï

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

xx

ï

  t
t §

ï

vït   

t

t

§ ï

v ^ vo

t §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ x

v Vï   t §§§§§§§§K(2 x

vït   

t

  xï §

xï   v ï t   

t

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§K02




En AB:




tte §§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

x

x ï   vït   

t

x

 t

ÿ


Äïm
 s




 §§§§§En v

§v

ï

(1)



ï  m s

  t §§§§§§§§

ï  m s
  s


v ï  ÷ s §





En BC:

 x  v x Äï

vï


tte

v

x t

v

ïï

V

ï

  t
t

vï t   

t

t



ïï ÷ ^ Äï ÷

vï t   

t

t



ïm ï  m s t ^ ï  m s  s
ï  m s t t

ïm   ïm

Ä Äs

49 El bloque A se mueve hacia abajo a velocidad constante de 1m/s. Determine a) la velocidad del bloque C, b) la velocidad del collarín B en relación con el bloque A, c) la velocidad relativa de la porción D del cable respecto al bloque A.

Datos: VA=cte.

VA=1m/s

a)§ VC=? b)§ VB/A=? c)§ VD/A=? Solución: a)§ VA=1m/ s XA + (XA ² XB)= cte.

Du r

2XB + XC = cte.

Du r

2 VA ² VB = 0

2 VB + VC = 0

VB= 2(1)

VC = -2 VB

VB= 2m/s

VC = -2 (2) VC = -4m/s. VC = 4m/s

b)

VB/A= VB ² VA VB/A= 2 ² 1 VB/A= 1m/s

XD + XC = cte.

xD v VD + VC = 0 VD = - VC VD = 4m/s VD/A= VD ² VA VB/A= 4 ² 1 VB/A=3m/s

   ! ü .  l l     m v   i      v l  id d # & ' mi "' l  v l  id d ( )   &l l   (  &l l   &

 )  l  * + + + =, - # #  + + = " "  + =    l  *& # # x * +$x & = " "  + + +$ d=, + d=«  =« 





  l  *& - -( - - ( # # +. + d = " "  . + + + + + + $   d=,  $ +  =,


+

)  l  id d d l l  

   «ܿ  ሺ ሻ  %# + = / %# + =/ /   l  id d d l l   & %# + d= = 0 +
%# d=0 /  +

%# # # " "  d  $ / .

1 5 5 ‰‰. 2 34l 4d 67 d 8 839: í i2i; i 4 3: 34l 6 ; 62 : 24 v 8l 6; id 4d d 8 d 83p 8g: 8 d 8 <= D ? 5 5 5 5 m/ 3 y 4 877 i >4 36 7 8 : 24 p 82di 82 8 7 8; 4 d 8 @A° d 8 i2; li 24; i B2. C8 87 mi 28 4 F ?D 5 5 5 5 5 El i 8mp 6 7 423;:77 id 6 82 7 8 8l d 83p 8g: 8 y 8l 4 877 i >4 8, L4 l 62gi :d d d 8l 5 34l 6,

G6l:; i B2:  

‫Ͳ͵݃ݐ‬° 

  

Ä

5 5 D5 E2 8l m6m82 6 d 8l d 83p 8g: 8 Hp: 2 6 6 828m63: D Hv x M = <= m/ 3 D Hvy M = A yM = A xM = A D R 5 88mpl 4>42d 6 83 6 82 H@ D 4 ‫   ݕ‬ሺͲሻ  ሺͲሻ‫ݐ‬Ȃ ½݃‫
ݐ‬ D HS ‫
ݐ݃½«   ݕ‬ D D R 88mpl 4>42d 6 HI 82 HS «‫Ͳ͵݃ݐ‬°   «½݃‫
ݐ‬ D
௫௧௚ଷ଴° ‫ 
ݐ‬ H= D D௚ H< 82 H= V
ሺሺ୚୶ሻ:ሻ௧௧௚ଷ଴° ‫ 
ݐ‬ TU ௚ V V TWX y Yl v Zl [\ d Y l Z g\ Zv Yd Zd Y] T^ _Y]Ym[`:

ሺ ݉Ȁ ሻ‫Ͳ͵݃ݐݐ‬° ͻǤͺ݉Ȁ
݃

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111 Una pelota se proyecta desde un punto A con velocidad V o perpendicular al plano inclinado que muestra la figura. Si la pelota golpea el plano inclinado en B, determine la rapidez inicial V o en términos del rango R y ǃ. Datos Vo=? en rango R y ǃ. Solución (Vy)o

Vo

(Vx)o

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121. En un cruce de 2 calles el automóvil A s e dirige hacia el sur a velocidad de 25 mi/h cuando lo choca el carro B que viaja 30 al noreste con velocidad de 30 mi/h. Determine la velocidad relativa del automóvil B respecto al automóvil A.

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Datos Vb=30 mi/h Va=35 mi/h Solución Vb/a = ሺ„ሻʹ ൅  ሺെƒሻʹ െ ʹ„ሺെƒሻ…‘•͸Ͳ 

Vb/a = ටሺ͵Ͳሻʹ ൅  ሺെʹͷሻʹȂ ʹሺ͵Ͳሻሺʹͷሻ…‘•͸Ͳ  Vb/a =ξͻͲͲ ൅ ͸ʹͷ ൅ ͹ͷͲ Vb/a= 47,7 mi/h Ley de senos ௌ௘ ఈ ௏௕

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Vb/a= 47,7 mi/h ;

57 

123 Las velocidades de los trenes A y B son como indica la figura. Si la velocidad de cada tren es constante y B alcanza el cruce 10 minutos después de que A lo hizo, determine a)§ Velocidad relativa de B con respecto a A b)§ Distancia entre los frentes de las máquinas 3 minutos después de haber pasado A por el crucero

DATOS ‫ݒ‬஺ ൌ ͺͲ ݇݉ൗ݄

‫ ݒ‬஻ ൌ ͸Ͳ ݇݉ൗ݄ a 25º con la horizontal ‫ ݒ‬஻ൗ

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SOLUCION Ecuaciones

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143 En un instante determinado durante una carrera de avion es, el avión A vuela horizontalmente el línea recta, y su velocidad aumenta a una tasa de 6 m/s2. El avión B vuela a la misma altura que A y, al rodear un pilar, sigue una trayectoria circular de 200 m de radio. Si en un instante dado la velocidad de B está disminuyendo a razón de 2m/s 2, determine, para la posición mostrada, a) la velocidad de B relativa a A, b)la aceleración de B respecto a A. SOLUCION DATOS vA =420 km/h , vB=520 km/h

60


ECUACIONES CINEMATICAS vB
vA
vB/A

vB/A
vB
vA
vB


vA


 ଶ B/A= ଶ A + ଶ Bെ2VAVB cos 60

ൌ ሺͶʹͲሻଶ ൅ ሺͷʹͲሻଶ െ ʹሺͶʹͲሻሺͷʹͲሻ …‘• ͸Ͳ

VB/Aൌ 477,9 km/h ‫ ݊݁ݏ‬È ‫݊݁ݏ‬͸Ͳ ൌ Ͷ͹͹ǡͻ ͷʹͲ

È ൌ ͹ͲǡͶ

VB/Aൌ 477,9 km/h a A

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(aB)t= 2 m/s 2

vB

520 km/h

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௏మ ఘ

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ሺଵସସǡସସሻమ ଶ଴଴

vB = 144.44 m/s

ൌ ͳͲͶǡ͵ʹ݉Ȁ‫ ݏ‬ଶ

a B/A= a B-a A= (a B)t-(aA)n-a A 2

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j

104.32

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i
sin 30
j

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i


50.43 m/s2
j a B/A

109,6 m/s 2

27,4 O

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§ En el punto A ݂‫ݐ‬ ‫ ݒ‬ൌ ‫ݒ‬଴ ൌ ͳʹͲ ൗ‫ݏ‬ ܽ ൌ ݃ ൌ ͵ʹǤʹ

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݂‫ݐ‬ ൗ ଶ ՝ ‫ݏ‬

ሺͳʹͲሻଶ ‫ݒ‬ଶ ൌ ൌ ૡૢ૝ࢌ࢚ ͵ʹǤʹ •‹ ͵Ͳ ݃

§ En el punto B ‫ ݒ‬଴௫ ൌ ‫ݒ‬஻௫ ൌ ͳʹͲ …‘•ሺ͸Ͳሻ ‫ݒ‬଴ ‫ݒ‬ൌ ൌ ͸ʹǤʹͺ݂‫ݐ‬ …‘• ͵Ͳ å=

‫ݒ‬ଶ ሺ͸ʹǤʹͺሻଶ ൌ ൌ ૚ૠ૛Ǥ ૚૜ࢌ࢚ ݃ ͵ʹǤʹ •‹ ͸Ͳ §