Es una forma particular de un problema problema de programación programación lineal en la cual la función objetivo debe ser s er Maximizada, Maximizada, solamente existen restricciones restricciones de igualdad y todos los lados derechos derechos de las restricciones restricciones y las variables variables son no negativas.
Es una forma particular de un problema problema de programación programación lineal en la cual la función objetivo debe ser s er Maximizada, Maximizada, solamente existen restricciones restricciones de igualdad y todos los lados derechos derechos de las restricciones restricciones y las variables variables son no negativas.
Variable Floja o de holgura: variable no negativa que se agrega al lado izquierdo de una restricción “menor o igual” i gual” para
convertirla en igualdad. Variable superávit supe rávit o de excedente: variable no negativa que se resta del lado izquierdo de una restricción restricción “mayor o igual”
para convertirla en igualdad. Normalmente se representan representan por la letra S
Cualquier restricción puede ser convertida en igualdad sumando una variable de holgura no negativa del lado izquierdo. Cualquier restricción se puede convertir en igualdad restando una variable de excedente no negativa del lado izquierdo
Ejemplo: Colocar en forma estándar el siguiente sistema lineal:
Max X 1
X 2
B. R.
8x1 7x2 56 -6x1 - 10 x2 -60 6 x1 - x1 x2 6 x1,x2 0
Max X X 1 2
Max x1 + x2
B. R.
8x1 7x 2 56 - 6x1 - 10 x 2 - 60 x1 - x1
x2
6
6
x1, x 2 0
4 restricciones con 2 variables
8x1 + 7x2 + S1 = 56 6x1 + 10x2 + S2 = 60 x1 + S3 = 6 -x1 + x2 - S4 = 6
4 restricciones con 6 variables
Una fábrica de TV’`s produce 2 tipos de televisiones, el Astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada tipo de televisor y dos departamentos; ambos intervienen en la producción de cada aparato. La capacidad de la línea de producción Astro es de 70 TV/día y la de Cosmo es de 50. En el departamento A se fabrican los cinescopios, en ese departamento los TV Astro requieren 1 hr./hombre de trabajo y los Cosmo 2 hrs./hombre, y pueden asignarse un máximo de 120 hrs./día. En el departamento B se construye el chasis, este es igual para ambos y consume 1 hrs./hombre c/u y se pueden asignar 90 hrs./día. La utilidad por aparato es de $20.00 para Astro y $10.00 para Cosmo.
Hrs./ aparato Astro
Cosmo
A
C
Departamento A
1
2
120
Departamento B
1
1
90
Capacidad
70
50
Utilidad
20
10
Disponibilidad
Planteamiento: Max 20A 10C BR A 2C 120 Depto. A A C 90 Depto. B A Cap. A 70 C 50 Cap. B A, C 0
Forma estándar: Max 20A + 10C A + 2C + S1 = 120 A + C + S2 = 90 A + S3 = 70 C + S4 = 50
Representación gráfica
C 90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
A
C 90
80
70
60 II
S4 = 0
III
50 S1 = 0 40 IV
30
A=0
S2 = 0 V
20 S3 = 0 10
I
VI
C=0 0
10
20
30
40
Punto óptimo A=70, C=20
50
60
70
80
90
100
110
120
A
Variables Básicas: son aquellas variables que en un vértice son diferentes de 0. Variables no básicas: son aquellas que en un vértice tienen valor igual a 0. Para cualquier problema de PL escrito en forma estándar con restricciones de igualdad, el número de variables positivas en cualquier vértice es igual o menor que el número de restricciones.
Representación gráfica
X 2
Max X 1
9
8
X 2
B. R.
4
8x1 7x2 56 -6x1 - 10 x2 -60 6 x1 - x1 x2 6 x1,x2 0
7
6
5
2
4
(1) (2) (3) (4)
3
1
2
3
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
X 1
X 2
Región factible II
III
P 1 I
S 1 , S 2 , S 3 , S 4 0
IV
V
X 1
Vertice I II III IV V
Variables Nulas X1 , X2 X1 , S2 , S4 S1, S2 S1, S3 X2, S3
Vértice degenerado
Variables positivas S1, S2, S3, S4 X2, S1, S3 X1, X2, S3, S4 X1, X2, S2, S4 X1, S1, S2, S4
No. De positivas 4 3 4 4 4
El algoritmo Simplex es un método algebraico sistemático que examina los vértices de un conjunto factible de programación lineal en busca de una solución optima. En particular el método comienza con la determinación de un vértice inicial y luego recorre la región factible hasta encontrar la solución optima basado en los costos de oportunidad.
Cada vértice se representa algebraicamente como una clase de solución particular de un conjunto de ecuaciones lineales Cada movimiento en la secuencia se llama ITERACIÓN o PIVOTEO. El modelo utiliza la forma estándar.
II
S4 = 0
Punto óptimo A=70, C=20
III
S1 = 0
IV
S2 = 0
A=0
V
S3 = 0 C=0 I
VI
Es una de las herramientas que proporciona Excel. Consiste en identificar en una hoja de cálculo normal, las celdas que representaran las variables de decisión e introducir la función objetivo y las restricciones en función de estas celdas. Una vez identificados se ejecuta la herramienta Solver, indicando si el sistema se desea maximizar o minimizar y se obtienen las respuestas al sistema.
Herramienta Solver
Herramienta Solver
Se colocan las variables de decisión
Herramienta Solver
Se escoge el objetivo del problema
Se colocan las restricciones
Respuesta de una aplicación solver A= C=
70 20
Max
1600
Depto A Depto B Cap.linea Astro Cap. Linea Cosmo
110 90 70 20
120 90 70 50
La confederación agrícola sur esta formada por tres pequeñas comunidades, la planeación global del grupo se hace en una oficina de coordinación técnica. En la actualidad planean la producción agrícola para el próximo año. La producción esta limitada tanto por la extensión de terreno disponible para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas asigne. Comunidad
Terreno disponible (acres)
Asignación de agua (pies-acre)
1
400
600
2
600
800
3
300
375
Los tipos de cultivo adecuados para la región incluyen remolacha, algodón y sorgo, que son precisamente los que están es estudio para la estación venidera. Los cultivos difieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo de agua. Además el Ministerio de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la Confederación puede dedicas a estos cultivos Cultivo
Cantidad máxima Consumo de agua en acres (acre-pie/acre)
Rendimiento neto ($/acre)
Remolacha
600
3
1000
Algodón
500
2
750
Sorgo
325
1
250
Solución
Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación, la confederación no podrá utilizar todo el terreno irrigable para los cultivos de la próxima temporada, para asegurarse la equidad entre las tres comunidades han acordado que cada uno sembrará la misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Por ejemplo la comunidad 1 siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces la comunidad 2 deberá sembrar 300 de sus 600 acres, mientras que la comunidad 3 sembrará 150 de sus 300 acres. Cualquier combinación de estos cultivos se pude sembrar en cualquiera de las granjas. El trabajo al que se enfrenta la oficina es asignar cuantos acres deberán sembrarse en cada comunidad cumpliendo con las restricciones.
PROBLEMA 1
Un problema de producción. Una planta tiene suficiente capacidad para manufacturar cualquier combinación de cuatro productos diferentes (A, B, C, D). Para cada producto siempre se requiere invertir tiempo en cuatro máquinas distintas, el cual está expresado en minutos / kilogramo de producto, como se puede apreciar en la siguiente tabla. Cada máquina tiene una disponibilidad de 60 hrs. /semana. Los productos A, B, C y D pueden venderse a $9, $7, $6 y $5 por kilo respectivamente. Los costos variables de mano de obra son de $2 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $3 por hora para las máquinas 3 y 4. Los costos de material para cada kilo del producto A son de $4. Los costos de material para cada kilo de los productos B, C y D son de $1. Formule el modelo de PL que maximice las ganancias, dada la demanda máxima del producto que se muestra a continuación y resuélvalo. MÁQUINA PRODUCTO
1
2
3
4
A B C D
5 3 4 4
10 6 5 2
6 4 3 1
3 8 3 2
DEMANDA MÁXIMA 400 100 150 500
PROBLEM A 2 Un problema de producción.
Un fabricante tendrá que atender cuatro pedidos de producción A, B, C, y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo utilizado para completar cada trabajo en uno de estos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este mes aparecen en la siguiente tabla. También existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos talleres, en cualquier proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo de A puede hacerse en 8 horas en el taller 1 y una tercera parte del trabajo de C puede hacerse en 19 horas en el taller 3. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de cada trabajo que deberán realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de terminación de los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisión, formule el PL para este problema y resuélvalo. TIEMPO REQUERIDO (hrs.)
COSTO POR TIEMPO DE TALLER HORA DEL DISPONIBLE (hrs.) TALLER ($)
TALLER
A
B
C
D
1
32
151
72
118
89
160
2
39
147
61
126
81
160
3
46
155
57
121
84
160
PROBLE M A 3 Un problema de programación.
Mientras permanece en las afueras de Estocolmo, el portaviones Mighty efectúa maniobras de lunes a viernes y fondea el fin de semana. La próxima semana, el capitán desea dejar en tierra, desde el lunes hasta el viernes a la mayoría de los 2,500 marineros de la tripulación. No obstante, debe efectuar las maniobras de la semana y cumplir con los reglamentos navales. Dichos reglamentos son: Los marineros deberán trabajar ya sea en el turno a.m. (de medianoche a mediodía) o en el p.m. (de mediodía a medianoche) cada uno de los días que estén en servicio y, durante toda la semana, tendrán que estar adscritos al mismo turno todos los días de servicio. Cada marinero que trabaje debe de estar en activo durante cuatro días, incluso cuando no haya suficiente “trabajo real” en alguno de esos días. La cantidad de marineros requeridos para cada uno de esos turnos, según los diferentes días, se muestra en la siguiente tabla. Formule y resuelva este ejercicio como un problema de PL, de manera que podamos saber cuántos marineros trabajarán cada día. L
M
M
J
V
A.M.
900
1000
450
800
700
P.M.
800
500
1000
300
750
PROBLEMA 4: Un pr oblema de integración. Alimentos Consolidados produce dos salsas para
carne: Spicy Diablo y Red Baron (la mas suave). Estas salsas se hacen mezclando dos ingredientes A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. Alimentos Consolidados puede vender toda la salsa que elabore. Formule el modelo PL para maximizar las ganancias netas obtenidas por las ventas de estas salsas. Ingrediente
Salsa
A
B
Precio de venta por litro ($)
Spicy Diablo
Cuando menos Cuando menos 25% 50%
$3.35
Red Baron
Cuando mucho No hay límite 75%
$2.85
Costo por litro
$1.60
$2.59
PROBL EM A 5 Admini str ación Agrícola. Una empresa opera 4
granjas de productividad comparable. Cada granja tiene una cierta cantidad de acres útiles y un número de horas disponibles para plantar y atender los cultivos. Los datos para la siguiente temporada se muestran en la siguiente tabla 1. La organización está pensando en sembrar 3 cultivos, que difieren, según se muestra en la tabla 2. GRANJA
AREA UTILIZABLE
HORAS DE TRABAJO DISPONIBLES x MES
1
500
1700
2
900
3000
3
300
900
4
700
2200
CULTIVO
AREA MÁXIMA
Tabla 1
HORAS DE LABOR AL UTILIDAD ESPERADA x MES x ACRE ACRE
A
700
2
$500.00
B
800
4
$200.00 $300.00
Tabla 2
Por otra parte, el área total que puede ser destinada a cualquier cultivo particular está limitada por los requerimientos de equipo de cultivo, con el objeto de mantener, a grandes rasgos, cargas de trabajo uniformes entre las granjas, la política de la administración es que el porcentaje del área aprovechada debe ser el mismo en cada granja. Sin embargo, se puede cultivar cualquier combinación de las plantaciones en tanto se satisfagan todas las restricciones (incluyendo el requerimiento de carga de trabajo uniforme). La administración desea saber cuántos acres de cada cultivo deben sembrarse en las respectivas granjas con el objeto de maximizar las utilidades. Formule esto como un modelo de programación lineal.
PROBL EM A 6:
Jorge Hernandez administra una granja de su familia. Para complementar varios alimento que se cultivan en la granja, Jorge también cría cerdos para la venta y desea determinar las cantidades de los distintos tipos de alimento disponibles (maíz, soja y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como éstos se comerán cualquier mezcla de estos alimentos, el objetivo es determinar cuál de ellas cumple ciertos requisitos nutritivos a un costo mínimo. En la siguiente tabla se presentan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico que contiene 1 kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos de nutrición diarios y los costos de los alimentos.
