Metode simpleks yang direvisi (Revised Simplex Method) Kuliah 05
Materi Bahasan 1. Rumusan baku pemrograman linier dalam bentuk matriks 2. Tabel simpleks dalam bentuk matriks 3. Metode simpleks yang direvisi
Rumusan baku pemrograman linear dalam bentuk matriks Maks (min) z = CX Kendala (A ,I )X = b > 0 X dimana X = vektor kolom variabel (n x 1) = vektor baris fungsi tujuan (1 x n) C A = matriks kendala (m x (n-m)) I = matriks identitas (m x m) b = vektor kolom ruas kanan kendala (m x 1) m = jumlah kendala n = jumlah variabel
Rumusan baku pemrograman linear dalam bentuk matriks a11 a A 21 ... a m1
x1 x X 2 ... x n
C c1
1 I 0 ... 0
c2
0 1 ... 0
...
... ... ... ...
a12 a 22
... ...
a1, n m a 2, n m
... a m2
... ...
... a m, n m
cn
0 0 dengan ukuran mxm ... 1
b1 b b 2 ... b m
Contoh Perhatikan LP dibawah Maks z = x1 + 4 x2 + 7 x3 + 5 x4 Kendala 2 x1 + x2 + 2 x3 + 4 x4 = 10 3 x1 – x2 – 2 x3 + 6 x4 = 5 x1, x2, x3, x4 > 0
Contoh Maka bentuk matriksnya (ingat rubah dulu ke rumusan baku LP) x1 x 2 x X 3 x 4 R1 R2
A 2 3
b 10 5
C 1
1 1
4
4 2
7
5
0 6
M
I 1 0
M
0 1
Representasi vektor dari basis •
Dalam rumusan baku LP , persamaan kendala ( A ,I )X = b dapat direpresentasikan dalam bentuk n
P j x j
b
j 1
dimana P ) j merepresentasikan vektor kolom dari ( A ,I •
Himpunan bagian yang terdiri dari m vektor disebut basis, B , jika dan hanya jika sejumlah m vektor tersebut linearly independent atau determinan B tidak sama dengan nol
Contoh Dari soal diatas, dapatkan semua basis yang mungkin Kendala soal diatas, direpresentasikan dalam bentuk n j 1 P j x j b sebagai berikut: 2 x 1 x 2 x 4 x 1 R 0 R 10 3 1 1 2 2 3 6 4 0 1 1 2 5
Maka basis yang mungkin: Det (P 1,P 2) = det
2
1
3
-1
2 Det (P , ) = det P 1 3 3
2 -2
= 2(-1) – 1(3) = -5 basis = 2(-2) – 2(3) = -10 basis
Contoh Det (P 1,P 4) = det Det (P 1,R 1) = det
2
4
3
6
2
1
3
0
Det (P 1,R 2) = det
2
0
3
1
Det (P 2,P 3) = det
1
2
-1
-2
= 2(6) – 4(3) = 0 bukan basis = 2(0) – 1(3) = -3
basis
= 2(1) – 0(3) = 2 basis = 1(-2) – 2(-1) = 0 bukan basis
… 1
0
Det (R 1,R 2) = det 0
1
= 1(1) – 0(0) = 1
basis
Solusi basis •
Dalam rumusan baku LP dengan (A ,I )X = b, m persamaan kendala dan n variabel, dimisalkan X B adalah himpunan bagian vektor X (terdiri dari n elemen) yang terdiri dari m elemen.
•
Definisikan B matriks himpunan bagian dari (A ,I ) yang berkaitan dengan X basis, maka nilai di luar X B. Jika B B adalah nol sehingga B X B = b
dan didapat -1 X B = B b
dengan B -1 adalah invers B . Dalam hal ini X B disebut solusi basis •
Jika B -1 b > 0 maka X B disebut solusi basis layak
Contoh Solusi basis soal diatas: B
(P 1, P 2)
(P 1, P 3)
(P 1, R 1)
(P 1, R 2)
B X B = b
Solusi
2
1
x 1
3
-1
x 2
2
2
x 1
3
-2
x 3
2
1
x 1
3
0
R 1
2
0
x 1
3
1
R 2
1
0
R 1
0
1
R 2
=
=
=
=
10
x 1
5
x 2
10
x 1
5
x 3
10
x 1
5
R 1
10
x 1
5
R 2
10
R 1
5
R 2
Status
=
=
1/5
1/5
3/5
- 2/5
1/5
1/5
3/10 =
- 1/5
10 =
3
5
4
10 =
3
5
2
10 =
1 2/3
0
1/3
1
- 2/3
5
6 2/3
0
10 =
5
-1 1/2
1
5
-10
1
0
10 =
10
0
1
5
5
=
1/2
Layak
Layak
Layak
Tidak layak
… (R 1, R 2)
=
=
Layak
Metode simpleks dalam bentuk matriks •
Dalam metode simpleks, solusi bergerak dari satu basis B ke basis selanjutnya, misalnya B next dengan mengganti salah satu vektor basis yaitu leaving variabel dengan satu vektor non basis yaitu entering variabel
•
Dalam bentuk matriks, penentuan entering variabel dan leaving variabel dilakukan berdasarkan optimality dan feasibility condition berikut
Entering variabel • Entering variabel ditentukan berdasarkan simplex optimality condition •
Dari tabel matriks baku, persamaan dari koifisien fungsi tujuan yang berkaitan dengan variabel x j adalah: -1P - c z j – c j = C B B j j
•
Dari persamaan z , untuk masalah minimasi, kenaikan variabel non basis x j akan menurunkan nilai z dari nilai z sekarang jika nilai z j – c j positif
•
Untuk masalah maksimasi, kenaikan variabel non basis x j akan menaikkan nilai z dari nilai z sekarang jika nilai z j – c j negatif
Leaving variabel • Leaving variabel ditentukan berdasarkan simplex feasibility condition • Nilai maksimum entering variabel dihitung dari
B 1b i x k min B 1 P k i 0 i B 1 P k i
•
Variabel basis yang menjadi leaving variabel adalah yang mempunyai ratio terkecil
Contoh Dari soal di atas, misal diambil salah satu solusi basis layak, misalnya (P 1, P 2) sebagai solusi awal. Iterasi B 0
X B
C B
B
-
-
Solusi basis ( B b )
z (C B B
-1
b )
Untuk P 3
Ent ering variabel (P1,P2)
z j - c j bukan basis
= 2 1
x 1
3 -1
x 2
1 4
1/5
1/5
x 1
3/5
- 2/5
x 2
=
1/5
1/5
3/5
- 2/5
10 = 3 5
19
1
Untuk P 4 -3
4
Leaving variabel -
B b
1
-
x 4 (min
B P 4
3
2
4
0
-
-
ratio B b /B P 4)
1 1/2
B next
(P4, P2)
Untuk P 3
Ent ering variabel (P4,P2)
= 4 1
x 4
6 -1
x 2
5 4
z j - c j > 0 sehingga sudah optimal
1/10 3/5
1/10 - 2/5
x 4 x 2
=
1/10 3/5
1/10 - 2/5
10 = 1 1/2 5
4
23 1/2
1
Untuk P 1 1 1/2
Metode simpleks yang direvisi •
Algoritma simpleks yang direvisi (the revised simplex) mempunyai langkah-langkah yang sama dengan metode simpleks.
•
Perbedaan hanya dalam cara menghitung basis dan invers basis (B dan B -1). Alih-alih menghitung invers B secara langsung, the revised simplex mendapatkan invers B dengan product form method .
•
Keuntungan akan terasa jika masalah memiliki jumlah variabel atau kendala dalam jumlah besar
Metode simpleks yang direvisi • Product form method – Diberikan B -1, B -1next didapat dengan: -1 -1 B next = EB
– Untuk mendapatkan E : jika P j dan P r adalah entering dan leaving variabel, maka E didefinisikan sebagai matriks identitas berukuran m dengan kolom ke-r diganti oleh: B 1 P j 1 B 1 P j 2 1 ... 1 B P j 1 r ... 1 B P j m
Tempat
ke-r
-1 dengan (B -1P j)r ≠ 0. Jika sama dengan nol, maka B next tidak ada
Contoh Diberikan informasi 2 B 0 4
1 2 0
0 0 1
1 2 1 B 0 2
1
4 1 2
1
0
0 1
Misalkan B -1next didapat dengan mengganti leaving variabel T dengan entering variabel V = (2, 1, 5) T. P = (0, 0, 1) 3 3
Contoh 1 Maka 2 B 1V 3 0 2
3 2 4 0 1 1 5 2 r 3 1 2 0
1
4 1 2
1
3 3 4 8 1 1 1 2 4 2 1 1 2 1 1 0 Bnext 0
0 1 0
3 1 8 2 1 0 4 1 2 2
1
4 1 2
1
5 4 0 1 2 1 1 0
5 8 1 4 1 2
3 8 1 4 1 2
