Desarrollo del Segundo Parcial de Cálculo en la UNSL 1) a) Calcular x 2 − x x 2 − x x 2 lim 3 x − 4 x 2 lim − 4 x 2 lim ( − 1 4 ) 3 x − 4 x 2 = e x→∞ = e x→∞ = e x→∞ lim e x → ∞ O bien usando logaritmo: x 2 − x 3 x − 4 x 2 = l lim e x → ∞ x 2 − x 3 x − 4 x 2 = ln l ln lim e x → ∞
Aplicando ln en ambos lados
x 2 − x 3 x − 4 x 2 = ln l lim ln e x → ∞
Prop. de límites
x 2 − x lim 3 x − 4 x 2 ln e = ln l x → ∞
Prop. de logaritmos
x 2 − x lim 3 x − 4 x 2 = ln l x → ∞
Regla de l'Hôpital
2 x −1 lim 3 − 8 x = ln l x → ∞
Regla de l'Hôpital
lim −
x → ∞
1
2 8
= ln l
− = ln l 4
Prop. de límites
Luego
l = e
− 14
∴
=e
− 14
∴
b) Dar la expresión analítica de una función f(x) f (x) tal que:
lim
sen( x)
x → 0
Dado que lim
f ( x)
sen( x)
x → 0
x
=
2
=1
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 2 y aplicando propiedades de los límites:
2 lim
x → 0
lim 2
sen( x) x sen( x)
x → 0
x sen( x) = lim x x → 0
=
2
=
2
2
2 De donde resulta que f ( x) =
x 2
∴
2) Para la función f ( x) = x 2 − 3 ⋅ e x , se pide analizar intervalos de crecimiento, máximos y mínimos locales, concavidad y graficar aproximadamente la función. Dominio de f = ℜ y además observamos que e x Por lo que la función se anula cuando:
−3= 0 x 2 = 3 x = ± 3
> 0 ∀x ∈ ℜ
x 2
..........(+) ..........(+)........... ........... − 3 ...........(-) ...........(-)............ ............
La función esta sobre el eje de las x en
− ∞, − 3 ∪
La función esta debajo el eje de las x en
− 3, 3
3, ∞
3 ..........(+) ..........(+)............. .............
Cuando “x” tiende a más infinito la función f unción también lo hace. Cuando “x” tiende a menos infinito la función tiende a cero. No tiene asíntotas verticales, dado que está definida para todos los reales. Criterio de la primer derivada:
f ′( x) = ( 2 x ) ⋅ e x
+ ( x 2 − 3) ⋅ e x = e x ( x 2 + 2 x − 3)
Esta expresión expresión se anula cuando:
( x 2 + 2 x − 3) = 0 x =
x =
−2±
22
− 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3) 2 ⋅1
−2±
16
2
=
−2±4 2
⇒
x = 1 x = −3
.......(+)...... ( − 3) .......(-)....... (1) .......(+).......
( − ∞,−3) ∪ (1, ∞) Decrece en ( − 3,1) Crece en
Criterio de la segunda derivada:
f ′′( x) = e x x 2
+ 2 x − 3 + e x ( 2 x + 2) = e x x 2 + 2 x − 3 + 2 x + 2 = e x x 2 + 4 x − 1
Esta expresión expresión se anula cuando:
( x 2 + 4 x − 1) = 0 x =
−4±
− 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 1) 2 ⋅1
42
x =
−4±
20
2
=
−4±2
5
2
⇒
x = −2 + 5 x = −2 − 5
............(+).......... ( − 2 − 5 ...........(-).......... ( − 2 + 5 .........(+)........... Cóncava hacia arriba en ( − ∞,−2 − 5 ) ∪ ( − 2 + 5 , ∞ ) Cóncava hacia abajo en ( − 2 − 5 ,−2 + 5 ) Determinación de Máximos y Mínimos
f ′′(−3) = e −3
[( − 3)
2
+ 4( − 3) − 1] =
1
1
e
e3
( 9 − 13) = 3
( − 4) < 0
En x
= −3
hay un
Máximo Local
f ′′(1) = e1 12
+ 4(1) − 1 = e( 4) > 0
En x
= 1 hay un Mínimo Global
8
6
4
2
0
-2
-4
-6 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3) Determinar la derivabilidad en x
=1 : x 2 + x → x > 1 g ( x) = 2 → x ≤ 1
2 1 + h ) + (1 + h ) − 12 − 1 ( h( 2 + h + 1) lim lim = =3 + + h→0 h h g (1 + h ) − g (1) h→0 = g ′(1) = lim h→0 h 2−2 0 lim lim = =0 − − h →0 h →0 h h
Como los límites laterales existen, son finitos, pero no iguales, la función no es diferenciable en x = 1∴
4) Calcular la derivada de las siguientes funciones a) arcsen
3 x 2 − 4 x + 2
d dx
(
)
1
arcsen 3 x 2 − 4 x + 2 = 1−
=
=
(
3 x 2 − 4 x + 2
)
⋅ 2
1 2 3 x − 4 x + 2 2
2( 3 x − 2 ) 2 1 − ( 3 x 2 − 4 x + 2 ) 3 x 2 − 4 x + 2
( 3 x − 2) − 3 x + 4 x − 1 3 x − 4 x + 2 2
2
∴
⋅ ( 6 x − 4)
b) ln
3 sen( x 2 ) x 4 − x
d ln dx
3 sen( x 2 )
x 4 − x
3 cos( x 2 ) ⋅ 2 x ⋅ ( x 4 − x ) − 3 sen( x 2 ) ⋅ ( 4 x 3 − 1) ] [ = ⋅ 2 3 sen( x ) ( x 4 − x ) 2 1
x 4 − x
1 ( x 4 − x ) 3[ 2 x cos( x 2 ) ⋅ ( x 4 − x ) − ( 4 x 3 − 1) sen( x 2 ) ] = ⋅ 3 sen( x 2 ) ( x 4 − x ) 2
=
2 x cos( x 2 ) ⋅ ( x 4 − x ) − ( 4 x 3 − 1) sen( x 2 )
( x
4
− x ) ⋅ sen( x
2
)
∴
5) Se sabe que la velocidad de crecimiento crecim iento de una colonia de bacterias en el tiempo es controlada por la función V ( t ) = ln ( t + 1) . Se conoce, además que la población cuando se comenzó el estudio era de 20 bacterias. Se pide encontrar la función N ( t ) que determina la cantidad de bacterias en el tiempo t . Desarrollo: observemos que si derivamos la cantidad de bacterias en el tiempo t , obtenemos la velocidad de crecimiento de la colonia.
dN (t ) dt
= V (t )
luego dN ( t )
∫
= V (t )dt Si integramos en ambos miembros
N ( t ) = V (t )dt Tenemos un PVI (Problema de valores iniciales)
N ( t ) = ∫ ln(t + 1)dt PVI: N ( 0) = 20
N ( t ) = ( t + 1) ⋅ ln( t + 1) − ( t + 1) + C N ( 0) = ( 0 + 1) ⋅ ln( 0 + 1) − ( 0 + 1) + C = 20 1 ⋅ ln(1) − 1 + C = 20 C = 20 + 1 N ( t ) = ( t + 1) ⋅ ln( t + 1) − ( t + 1) + 21∴
6) Calcular las siguientes integrales indefinidas a)
2 ( 2 1 ln ( ) − − x ) dx x x ∫
Método de sustitución
∫ ( 2 x − 1) ln( x
2
= x 2 − x du = ( 2 x − 1) dx
u
− x ) dx = ∫ ln udu = u ⋅ ln u − u + C = ( x 2 − x ) ⋅ ln( x 2 − x ) − ( x 2 − x) + C
De donde resulta
( 2 x − 1) ln( x 2 − x ) dx = ( x 2 − x ) ⋅ [ln( x 2 − x) − 1] + C
∫
Verificación
d dx
( x 2 − x ) ⋅ [ln( x 2 − x ) − 1] + C = ( 2 x − 1) [ln( x 2 − x ) − 1] + ( x 2 − x ) 2 x2 − 1 + 0 x − x
= ( 2 x − 1) ln x 2 − x ) − ( 2 x − 1) + ( 2 x − 1) = ( 2 x − 1) ln x 2 − x ) ∴
b)
∫
2 senx cos xdx
u = 2 senx du = 2 cos xdx
Método de sustitución
du
= cos xdx
2
∫
2 senx cos xdx =
∫
u
du 2
=
1 2
3
∫
u
1
2 du
1u = 2 3
2
2
+ C =
1 3
( 2 senx ) 3 + C
Verificación
d 1 dx 3
( 2 senx)
3
2
1 3
= ⋅ ⋅ ( 2 senx) 3 2
1
2
⋅ 2 cos x + 0 = ( 2 senx) ⋅ cos x ∴
http://www.primi-genio.blogspo http://www .primi-genio.blogspot.com/ t.com/
[email protected]
