2.1 Demostración Del Método Simplex

02/04/2015

CAB

P.L. en forma canónica 

Las desigualdades han sido convertidas en igualdades. Max Z = = c X Ya están las variables de holgura s.a: A X = b con: X  0





donde: A es de orden … m  n. c es de orden … 1× n n × 1 X es de orden … b es de orden … m × 1 Denótense las columnas de A de A con: con: a1 , a 2 , ..., a n

1

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Composición Composi ción del P.L. 

La matriz A matriz A se se puede partir en dos submatrices: A = ( [a1 , a2 , ..., am ][ am1 , ..., an ] ) = ( [ B] B] [ N ] ) Matriz básica, conformada por vectores básicos (coeficientes de las variables de holgura)



Matriz no básica, conformada por vectores no básicos (coeficientes de las restricciones)

Cualquier vector de N de N se se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de B de B.. a j  Y 1 j a1  Y 2 j a 2  ...  Y mj am m

a j 

Y

kj

k 1



a k

ak  B

 Y 1 j     Y 2 j  Sea: Y j    ...      Y mj 

 Y j     Y j  , , ..., a a a Entonces: a j = ( 1 2 m)   ...      Y mj  a j  B Y j 1

2







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¿Cómo conseguir una solución factible del P.L.? 

El sistema planteado tiene m ecuaciones con n incógnitas, siendo n > m. a11 x1 + a12 x2 + … + x + xh1 ……… = b1 a21 x1 + a22 x2 + ………+ ………+ xh2 …. = b2 …… …… … am1 x1 + am2 x2 + ……. …….…….+ …….+ x xhm = bm



De las infinitas soluciones posibles, a simple vista se puede determinar una con al menos (n – – m m) incógnitas iguales a cero, cero, es decir, con no más en m incógnitas positivas.

A X  b





 B N  X B   b  X N 

B X B  N X N  b 

Para obtener una solución básica factible se considera: X N  0 ; X B  0



Por lo tanto: B X B  b

X  B 1 b





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

Para esta solución, la función objetivo será: Z  c X

 X B    c B X B  c N X N  X  N 

Z  c B c N 

Z  c B X B 

Esta solución inicial es muy mala, pues como los c B son ceros, Z=0 ¿Cómo mejorarla?



Dantzig buscó otra solución cambiando un vector de la base B base B,, es decir, sacando un vector básico para reemplazarlo por otro no básico. De esta manera conseguiría mejorar la función objetivo.

¿Y cómo llegar a la solución óptima? 

Recuérdese que cualquier vector de N se puede expresar como una combinación lineal de vectores de B de B:: m

a j 

Y

kj

a k

j = 1, 2, …, n-m

k 1 

Si a r es el vector que se va a sacar de B de B:: m

a j 

Y

kj

a k  Y rj a r

k 1 k  r

1

m

Y kj

Si a j es el nuevo vector de entrada.





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

Por otro lado, el sistema de ecuaciones de donde se obtiene la solución inicial básica factible, , puede expresarse de la siguiente manera: m

a

k x Bk

b

k 1

m

a

k x Bk

 a r x Br  b

k 1 k  r



Ahora debemos sustituir en esta última ecuación la expresión del vector de salida, ār :

m

a

k x Bk

 a r x Br  b

k 1 k  r 

m Y kj 1 a r  a j  a k Y rj k 1 Y rj



k  r

Sustituyendo en esta última ecuación la expresión del vector de salida, ār :

  m Y  1  kj a x a a   j k  x Br  b   k Bk  k 1 k 1 Y rj  Y rj  k r k 1   m

m

 

Y 



x





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 Y kj  x Br   x x a a j  b    Bk Br k   Y rj  Y rj k   k  r m

1



Sustituyendo con:

x'k  x Bk  x Br 

Y kj

x'r 

Y rj

x Br Y rj

Se obtiene: m

 x'

k

Este sistema de ecuaciones proporciona una nueva solución básica

ak  x'r a j  b

k 1 k  r

¿Cómo conseguir que la nueva solución básica sea factible? 

Es necesario que: x’ k = x Bk  x Br

Y kj Y rj

0

y

x’ r =

x Br Y rj

0



Para que se cumpla la segunda condición, siendo x siendo x Br  0 (es una de las soluciones anteriores), es necesario que: Y rj > 0.



La primera condición se cumplirá si todos los Y kj  0. ¿Y qué pasará si algún







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

Si Y kj > 0, se puede dividir la primera condición entre Y kj sin que cambie el signo de desigualdad:

x'k  x Bk  x Br

Y kj Y rj

0

x Bk x Br Y kj



Y rj

0

x Br x Bk





Es decir:



El cociente x cociente x Br / Y rj debe ser el menor de todos los k posibles posibles cocientes x cocientes x Bk / Y kj. Así Así la nueva solución será factible.

Y rj

Y kj

Regla de salida 

En conclusión, si supiera qué vector

de N de N formará





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¿ Y c ó m o d e t e r m i n a r e l v e c t o r ¿Y q u e en tr ar áa la b as e? 

El vector de precios básico es:

c B  (c B1 , c B 2 , ..., c Br , ...,c Bm ) 

Una vez que se haya cambiado un vector de la base, el vector de precios básico resultante sólo diferirá del anterior en un elemento.



Este nuevo vector será:

c ' B  (c B1 , c B 2 , ..., c j , ..., cBm )



Por lo tanto la nueva F.O. será: m

Z '

' X '



'

'

 m  



  ' 

'





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

Por lo tanto se incluye ese término en la sumatoria:

 m  Y kj        c j x Br Z '  c Bk x Bk  x Br   Y rj   Y rj   k 1 



m

Z ' 



m

c Bk x Bk 

k 1

Z '  Z 



c Bk x Br

k 1

x Br Y rj

Y kj Y rj

m



c Bk Y kj  c j

k 1

x Br Y rj

z j

Regla de entrada 

 c j

Entonces, la nueva F.O. resulta:

x Br Y rj





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Resumen del método Simplex P.L. en su forma f orma canónica y añada las 1. Exprese el P.L. variables de holgura para convertir las desigualdades en igualdades. Construya, a partir de estas igualdades, la primera tabla, que expresa la solución inicial básica. Si esta solución no es factible, emplee otra variante del método Simplex. los z j – c – c j  0, la solución encontrada es óptima. 2. Si todos los z En caso contrario, seleccione como vector de entrada a j a aquél cuyo z cuyo z j – c – c j sea el más negativo.

3.

Seleccione como vector de salida a r a aquél cuyo cociente x Bk /Y /Y kj sea el menor de todos, para todo Y kj  0.

4.

Identifique el “pivote”, que es el valor arj que está en la intersección de la fila r con con la columna j columna j,, y aplique las

2.1 Demostración Del Método Simplex

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