Ejercicios de Programación Lineal 1.- MODE MODELI LIZA ZACI CIÓN ÓN Y RESO RESOLU LUCI CIÓN ÓN GRÁF GRÁFIC ICA. A. MAT MATRICE RICES S BÁSI BÁSICA CAS. S. SIMP SIMPLE LEX X ALGEBRAICO. 1. Plantea Plantearr el modelo modelo asoc asociad iado o al siguien siguiente te proble problema: ma: Una empresa consultora tiene en cartera realizar una serie de proyectos de dos tipos A y B, cuyo coste de desarrollo unitario es el mismo. Las necesidades de analistas, programadores y terminales para cada tipo de proyecto se indican en l a tabla siguiente.
TIPO A B
". #.
! de programadores " #
! de terminales # 1
%stos proyectos pueden realizarse bien total o parcialmente y el deseo de la empresa es minimizar el coste de desarrollo de los proyectos &ue se 'ayan a e(ecutar. Los condicionantes para el desarrollo de )stos proyectos son: al menos 1* programadores y + analistas deben estar ocupados en ellos y se cuanta nicamente con $ terminales. -eso -esol'e l'err geom)tr geom)tricam icamente ente el probl problema ema anteri anterior or.. -esol'e -esol'err geom)tr geom)tricament icamentee los proble problemas mas de programacin programacin lineal lineal siguientes: siguientes: min
= x +x
z
1
min "
+ x" ≤ " − x 1 + x " ≤ # # x 1 + " x ≤ 1* x 1 , x " ≥ * x 1
+x ≤1 / x + "x ≥ $ x , x ≥ * x1
"
1
1
= " x1 + x "
z
su(eto a
su(eto a
/.
! de analistas " $
"
"
min
z
=
" x1
+
x"
+ +x "
su(eto a x 1 x 1
≥
"
≥
x 1 , x "
≥
/
*
0onsid 0onsid)re )rense nse las las sigu siguien ientes tes rest restric riccio ciones nes
x1 + " x"
$
≤
1. -epre -epresen sentar tar la regin regin actib actible, le, x1 − x" ≤ / ". Identiicar Identiicar los puntos puntos e2tremos e2tremos y en cada uno de estos estos puntos, puntos, identiicar identiicar x1 , x" ≥ * las 'ariables b3sicas y no b3sicas, 4upngase 4upngase &ue el proceso proceso de optimizacin optimizacin se mue'e del punto e2tremo e2tremo
/ *
1/ # punto e2tremo . %speciicar cu3l es la 'ariable &ue entr a la base y cu3l es " # la &ue sali. +.
$.
al
min x − y s.a.
x ≤1 y ≤ 1
-eso -esol' l'er er el sigu siguie iente nte Probl Problem emaa de Progr Program amac aci in n Line Lineal al por por el m)to m)todo do geom) geom)tric trico. o. Indica Indica claram claramente ente los distint distintos os eleme elementos ntos &ue compo componen nen el problema, la regin actible, la uncin ob(eti'o, el 'ector gradiente, la solucin, etc.
x ≤ y x + y x, y
≥1
≥
*
5ormalizar 5ormalizar el modelo modelo asoci asociado ado al al siguiente siguiente proble problema ma de programacin programacin lineal. lineal. Una compa67a produce dos tipos de ratones para ordenador: l3ser e inerciales. %l ratn l3ser necesita " 8oras pasa su abricacin y 1 para su control de calidad, mientras &ue el segundo re&uiere 1 8ora para su abricacin y # para su control de calidad. %l nmero de 8oras de abricacin disponibles durante la semana es de "** y #** 8oras para el control de calidad. Los costes de abricacin son de #* y "* unidades monetarias respecti'amente para cada ratn. La compa67a pretende optimizar el proceso producti'o con el in de ma2imizar sus beneicios. beneicios.
9.
%l proble problema ma anterior anterior e2presarlo e2presarlo en orma orma est3ndar est3ndar de minimizacin. minimizacin.
.
;e las las sig siguie uiente ntes bas bases
B1
" = 1
* , B 1 "
1 = #
soluciones b3sicas actibles del e(ercicio $=.
1
* , B 1 #
1 = *
*
,
1
Ejercicios de Programación Lineal 2.- ALGORITMO SIMPLEX. MÉTODO DOS FASES.
>.
-esol'er los problemas de programacin lineal siguientes mediante el algoritmo simple2 y el mismo algoritmo en ormato de tabla. %n el ltimo de ellos realizar slo una iteracin en la 'ersin algebraica y la 5ase 1, e n el m)todo dos ases.
min z
=
min z
x1 + x"
sujeto a
sujeto a x1 + x" x1 , x"
≥
≥
" x1 + x" ma2 z = " x + + x ma2 z = " x1 − x" 1 " sujeto a sujeto a ≤
"
x"
≤
x1 + x"
≤1
/ x1 + " x"
=
$
*
− x1 +
x1 + x"
#
x1
# x1 + " x ≤ 1* x1 , x"
≥
≥
x1 , x"
≥
x1 + x"
"
/ x1 − x"
x1 , x" , x#
*
1*. ;ado el siguiente PPL se pide 1. Plantear el PPL en orma est3ndar. ". -esol'er geom)tricamente. %2presar: ?a@ la regin actible, ?b@ el 'ector de costes, ?c@ la uncin ob(eti'o, ?d@ los puntos e2tremos y sus coordenadas, ?e@ el punto o puntos solucin y el 'alor ob(eti'o ptimo en ellos mismos. #. -esu)l'elo aplicando el algoritmo simple2 algebraico a la 4B5 inicial dada por la submatriz b3sica B
( a"
=
P : min
≥
"
− x# ≥
/
+
" x1 + #x"
*
x#
≥
*
x1 − " x"
sujeto a
# x1 + / x" " x1 − x" x1 , x"
a# ) .
≥
= 1"
≤ 1"
*
;ebes indicar la solucin y el 'alor ob(eti'o ptimo, (ustiicando por &u) lo son. 11. -esol'er por el m)todo de las dos ases el PPL correspondiente al e(ercicio 1*. 1". ;ada la siguiente tabla simple2, indica: x
x " x
#
x
/
x"
1
x
x
#
/
x
+
1 1
* 1
* *
* *
C1 C"
C1 "
"
*
1
*
C1
+
C"
*
*
1
1
1
1. la 'ariable &ue entra en la base y la &ue sale de la base ?no 8ay 'ariables artiiciales@. ". calcula la nue'a ila *. <4e alcanza optimalidad=,
x1 + " x"
≤
/
" x1 + / x"
≥
"
indicar si la matriz B
=
( a1
a " ) es b3sica.
1/. ;ada la siguiente matriz de coeicientes ampliada con el 'ector del lado derec8o
" A = − 1 1 1. <%s b3sica la matriz B
=
( a/
a+
1
1
1
*
*
"
1
1
*
1
*
1
−1
/
*
*
1
>
a $ ) =.
". <0u3nto 'alen z1 − c1 y z # − c# si la uncin ob(eti'o es x1 + x " − / x# =. #.
"
x#
− " x# ≤
/
≥
+
