2.1
FORMA TA TABULAR DE DEL ME METODO SI SIMPLEX
Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: problema: Maimi!ar
Z= f(x,y)= 3x + 2y 2x + y
su"eto a:
18
2x + 3y
42
3x + y
24
#,$
#
Se consideran las siguientes %ases: 1. Convertir las desi!aldades en i!aldades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + d = 24
2. I!alar la "!n#i$n o%&etivo a #ero - 3x - 2y + Z = 0
'. Es#ri%ir la ta%la ini#ial si()le*
En las columnas aparecer&n todas las variables del problema problema $, en las 'las, los coe'cientes de las igualdades obtenidas, una 'la para cada restricci(n $ la )ltima 'la con los coe'cientes de la %unci(n ob"etivo: *abla *abla I + Iteraci(n Iteraci(n n .ase
/ariable de decisi(n
/ariable de 0olgura
/alores soluci(n
x
y
H
s
d
h
1
-
-
#
#
-2
s
1
3
#
-
#
41
d
'
-
#
#
-
14
Z
53
51
#
#
#
#
+. En#ontrar la varia%le de de#isi$n ,!e entra en la %ase - la varia%le de ol!ra ,!e sale de la %ase
6+ Para escoger la variable de decisi(n que entra en la base, nos '"amos en la )ltima 'la, la de los coe'cientes de la %unci(n ob"etivo $ escogemos la variable con el coe'ciente negativo ma$or 7en valor absoluto8+ En nuestro caso, la variable x de coe'ciente 5 3+ Si eistiesen dos o m&s coe'cientes iguales que cumplan la condici(n anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos+ Si en la )ltima 'la no eistiese ning)n coe'ciente negativo, signi'ca que se 0a alcan!ado la soluci(n (ptima+ Por tanto, lo que va a determinar el 'nal del proceso de aplicaci(n del método del simple, es que en la )ltima 'la no 0a$a elementos negativos+ La columna de la variable que entra en la base se llama olu!"a #ivo$e 7En color a!ulado8+ .+ Para encontrar la variable de 0olgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la )ltima columna 7valores soluci(n8 por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos )ltimos sean ma$ores que cero+ En nuestro caso: -291 ;<= , 4191 ;1-= $ 1493 ;2= Si 0ubiese alg)n elemento menor o igual que cero no se 0ace dic0o cociente+ En el caso de que todos los elementos %uesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una soluci(n no acotada $ no se puede seguir+ El término de la columna pivote que en la divisi(n anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, $a 2 es el menor, indica la 'la de la variable de 0olgura que sale de la base, d+ Esta 'la se llama %la #ivo$e 7En color a/!lado8+ Si al calcular los cocientes, dos o m&s son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base+ C+ En la intersecci(n de la 'la pivote $ columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, '+ 0. En#ontrar los #oe#ientes de la n!eva ta%la.
Los nuevos coe'cientes de x se obtienen dividiendo todos los coe'cientes de la 'la d por el pivote operacional, 3, que es el que 0a$ que convertir en -+ 6 continuaci(n mediante la reducci(n gaussiana 0acemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coe'cientes de las otras 'las inclu$endo los de la %unci(n ob"etivo Z + *ambién se puede 0acer utili!ando el siguiente esquema: >ila del pivote:
!eva la del )ivote3 45ie&a la del )ivote6 7 4Pivote6
?esto de las 'las: !eva la3 45ie&a la6 8 4Coe#iente de la vie&a la en la #ol!(na de la varia%le entrante6 X 4!eva la del )ivote6
/e&moslo con un e"emplo una ve! calculada la 'la del pivote 7'la de en la *abla II8: /ie"a 'la de s
1
3
#
-
#
41
5
5
5
5
5
5
Coe'ciente
1
1
1
1
1
1
@ueva 'la pivote
-
-93
#
#
-93
2
;
;
;
;
;
;
@ueva 'la de s
#
A93
#
-
5193
1B
*abla II + Iteraci(n n 1 .ase
/ariable de decisi(n x
/ariable de 0olgura
y
h
s
d
/alores soluci(n
h
#
19'
-
#
5193
1
s
#
A93
#
-
5193
1B
x
-
-93
#
#
-93
2
Z
#
5-
#
#
-
14
Como en los elementos de la )ltima 'la 0a$ uno negativo, 5-, signi'ca que no 0emos llegado todavía a la soluci(n (ptima+ a$ que repetir el proceso: 6+ La variable que entra en la base es y , por ser la variable que corresponde al coe'ciente 5.+ Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la )ltima columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 1:-93 ;B= , 1B:A93 ;A29A= $ 2:-93 ;2=
$ como el menor cociente positivo es B, tenemos que la variable de 0olgura que sale es h+ C+ El elemento pivote, que a0ora 0a$ que 0acer -, es 19'+ Dperando de %orma an&loga a la anterior obtenemos la tabla: *abla III + Iteraci(n n 3 .ase
/ariable de decisi(n
/ariable de 0olgura
/alores soluci(n
x
y
H
s
d
y
#
-
3
#
51
B
s
#
#
5A
#
+
-1
x
-
#
5-
#
-
B
Z
#
#
3
#
5-
3#
Como en los elementos de la )ltima 'la 0a$ uno negativo, 5-, signi'ca que no 0emos llegado todavía a la soluci(n (ptima+ a$ que repetir el proceso: 6+ La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coe'ciente 5.+ Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la )ltima columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: B97518 ;53= , -194 ;3=, $ B:- ;B= $ como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de 0olgura que sale es s+ C+ El elemento pivote, que a0ora 0a$ que 0acer -, es ++ Dbtenemos la tabla: *abla I/ + >inal del proceso .ase
/ariable de decisi(n
/ariable de 0olgura
/alores soluci(n
x
y
h
s
d
y
#
-
5-91
#
#
12
d
#
#
5A94
#
-
3
x
-
#
5394
#
#
'
Z
#
#
94
#
#
''
Como todos los coe'cientes de la 'la de la %unci(n ob"etivo son positivos, 0emos llegado a la soluci(n (ptima+
Los soluci(n (ptima viene dada por el valor de F en la columna de los valores soluci(n, en nuestro caso: ''. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcan!a, observando las 'las correspondientes a las variables de decisi(n que 0an entrado en la base: D4':126
2.2
EL METODO DE LAS DOS FASES
M;todo de las Dos Fases
Gste método di'ere del Simple en que primero 0a$ que resolver un problema auiliar que trata de minimi!ar la suma de las variables arti'ciales+ Hna ve! resuelto este primer problema $ reorgani!ar la tabla 'nal, pasamos a la segunda %ase, que consiste en reali!ar el método Simple normal+ FASE 1
En esta primera %ase, se reali!a todo de igual manera que en el método Simple normal, ecepto la construcci(n de la primera tabla, la condici(n de parada $ la preparaci(n de la tabla que pasar& a la %ase 1+ 8 Constr!##i$n de la )ri(era ta%la7 Se 0ace de la misma %orma que la tabla
inicial del método Simple, pero con algunas di%erencias+ La 'la de la %unci(n ob"etivo cambia para la primera %ase, $a que cambia la %unci(n ob"etivo, por lo tanto aparecer&n todos los términos a cero ecepto aquellos que sean variables arti'ciales, que tendr&n valor 5- debido a que se est& minimi!ando la suma de dic0as variables 7recuerde que minimi!ar > es igual que maimi!ar >J75-88+ La otra di%erencia para la primera tabla radica en la %orma de calcular la 'la F+ 60ora tendremos que 0acer el c&lculo de la siguiente %orma: Se sumar&n los productos CbJP" para todas las 'las $ al resultado se le restar& el valor que apare!ca 7seg)n la columna que se éste 0aciendo8 en la 'la de la %unci(n ob"etivo+
Ta%la
C#
C-
C1
+++ Cn5K
+++ Cn
Base C%
P<
P1
P2
... Pn8=
... Pn
Pi-
bi-
a--
a-1
+++ a-n5K
+++ a-n
Ci-
Pi1
Ci1
bi1
a1-
a11
+++ a1n5K
+++ a1n
+++
+++
+++
+++
+++
+++ +++
+++ +++
Pim
Cim bim am- am1 +++ amn5K
>
F#
F-
F1
+++ F1
+++ amn +++ Fn
Siendo F" ; 7CbJP"8 5 C" $ los C" ; # para todo " comprendido entre # $ n5K 7variables de decisi(n, 0olgura $ eceso8, $ C" ; 5- para todo " comprendido entre n5K $ n 7variables arti'ciales8+ 8 Condi#i$n de )arada7 La condici(n de parada es la misma que en el
método Simple normal+ La di%erencia estriba en que pueden ocurrir dos casos cuando se produce la parada: la %unci(n toma un valor #, que signi'ca que el problema original tiene soluci(n, o que tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene soluci(n+ 8 Eli(inar Col!(na de varia%les arti#iales7 Si 0emos llegado a la
conclusi(n de que el problema original tiene soluci(n, debemos preparar nuestra tabla para la segunda %ase+ eberemos eliminar las columnas de las variables arti'ciales, modi'car la 'la de la %unci(n ob"etivo por la original, $ calcular la 'la F de la misma %orma que en la primera tabla de la %ase -+ IE@*I>IC6@D C6SDS 6@NM6LDS O SDLHCID@ES O%ten#i$n de la sol!#i$n7 Cuando se 0a dado la condici(n de parada,
obtenemos el valor de las variables b&sicas que est&n en la base $ el valor (ptimo que toma la %unci(n que est&n en la base mirando la columna P#+ En el caso de que estemos minimi!ando, se multiplicar& por 5- el valor (ptimo+ Innitas sol!#iones7 Cumplida la condici(n de parada, si se observa que
alguna variable que no est& en la base, tiene un # en la 'la F, quiere decir que eiste otra soluci(n que da el mismo valor (ptimo para la %unci(n ob"etivo+ Si estamos ante este caso, estamos ante un problema que admite in'nitas soluciones, todas ellas comprendidas dentro del segmento 7o porci(n del plano, o regi(n del espacio, dependiendo del n)mero de variables del problema8 que de'ne 6.$;F#+ Si se desea se puede 0acer otra iteraci(n 0aciendo entrar en la base a la variable que tiene el # en la 'la F, $ se obtendr& otra soluci(n+ Sol!#i$n ili(itada7 Si al intentar buscar la variable que debe abandonar la
base, nos encontramos que toda la columna de la variable entrante tiene todos sus elementos negativos o nulos, estamos ante un problema que tiene soluci(n ilimitada+ @o 0a$ valor (ptimo concreto, $a que al aumentar el valor de las variables se aumenta el valor de la %unci(n ob"etivo, $ no viola ninguna restricci(n+
o e*iste sol!#i$n7 En el caso de que no eista soluci(n, seguro que
tendremos que reali!ar las dos %ases, por lo que al término de la primera sabremos si estamos en tal situaci(n+ E()ate de varia%le entrante7 Se puede optar por cualquiera de ellas, sin
que a%ecte a la soluci(n 'nal, el inconveniente que presenta es que seg)n por cual se opte se 0ar&n m&s o menos iteraciones+ Se aconse"a que se opte a %avor de las variables b&sicas, $a que son aquellas las que quedar&n en la base cuando se alcance la soluci(n con estos métodos+ E()ate de varia%le saliente7 Se puede nuevamente optar por cualquiera de
ellas, aunque se puede dar el caso degenerado $ entrar en ciclos perpetuos+ Para evitarlos en la medida de lo posible, discriminaremos a %avor de las variables b&sicas 0aciendo que se queden en la base+ 6nte el caso de estar en la primera %ase 7del método de las os >ases8, se optar& por sacar en caso de empate las variables arti'ciales+ C!riosidad Fase 17 6l 'nali!ar la %ase -, si el problema original tiene soluci(n,
todas las variables arti'ciales, en la 'la F deben tener el valor -+ ?Pivote )!ede ser <@7 @o, $a que siempre se reali!an los cocientes entre
valores no negativos $ ma$ores que cero+ 2.1
CASOS ESPECIALES.
El Método simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución o cuando esta es óptima. Este método, permite analizar cada variable del problema planteado, sus variaciones, para determinar cual es la decisión más acertada a tomar en cualquiera que sea el área de la empresa sobre la cual se presente la incertidumbre. Existen casos especiales de solución de problemas por medio del simplex, tales como ! "oluciones M#ltiples ! "olución $egenerada ! "olución %n&actible ! "in "olución ' continuación se presenta un análisis detallado de cada caso especial de solución con un ejemplo práctico. ('") $E ")*+(%)E" M-*%/*E" (uando la &unción objetivo es paralela a una restricción que se satis&ace en el sentido de la igualdad a través de la solución óptima, la &unción objetivo tomará el mismo valor óptimo en más de un punto de la solución. /or esta razón reciben el nombre de M#ltiples alternativas óptimas.
('") $E ")*+(%0 $E1EE2'$' *a degeneración ocurre cuando en alguna iteración del método simplex existe un empate en la selección de la variable que sale. Este empate se rompe arbitrariamente. En este caso decimos que la nueva solución es degenerada. "in embargo, cuando suceda esto una o más veces de las variables básicas, será necesariamente igual a cero en la siguiente iteración. En el método simplex, la presencia de una variable básica igual a cero, no requiere ninguna acción especial3 en todo caso, es necesario no descuidar las condiciones de degeneración. En términos geométricos, la degeneración ocurre cuando un vértice está de&inido por demasiadas restricciones. ('") $E ")*+(%0 %4'(%5*E En un modelo de /rogramación *ineal, cuando las restricciones no se pueden satis&acer en &orma simultánea, se dice que este no tiene solución &actible. Esta situación nunca puede ocurrir si todas las restricciones son del tipo ME)2 ) %1+'* 6 7, esto, suponiendo valores positivos en el segundo miembro, ya que las variables de holgura producen siempre una solución &actible. "in embargo, cuando empleamos los otros tipos de restricciones, recurrimos al uso de variables arti&iciales, que por su mismo dise8o no o&recen una solución &actible al modelo original. 'unque se hacen provisiones 6a través del uso de penalizaciones7 para hacer que estas variables arti&iciales sean cero en el nivel óptimo, esto sólo puede ocurrir si el modelo tiene una espacio &actible. "i no lo tiene, cuando menos una variable arti&icial será positiva en la iteración óptima. $esde el punto de vista práctico, un espacio in&actible, apunta a la posibilidad de que el modelo no se haya &ormulado correctamente, en virtud de que las restricciones estén en con&licto. ambién es posible que las restricciones no estén destinadas a cumplirse en &orma simultánea. En este caso, quizás se necesite una estructura del modelo totalmente di&erente que no admita todas las restricciones al mismo tiempo. ('") $E ) ")*+(%0 En algunos modelos de /rogramación *ineal, los valores de las variables, se pueden aumentar en &orma inde&inida sin violar ninguna de las restricciones, lo que signi&ica que el espacio es sin solución cuando menos en una dirección.
(omo resultado, el valor de la &unción objetivo puede crecer 6Maximización7 o decrecer 6Minimización7 en &orma inde&inida. En este caso, decimos que el espacio en el cual se espera sea resuelto el modelo, y el valor óptimo de la &unción objetivo no tiene solución. *a &alta de explicación de un modelo puede se8alar solo una cosa, que este se encuentra mal construido. Evidentemente resulta irracional hacer que un modelo produzca una ganancia in&inita. *as irregularidades más probables en este modelo son 9. o se toman en cuenta una o más restricciones redundantes :. o se determinan adecuadamente los parámetros 6constantes7 de alguna restricción.
