FILSAFAT MATEMATIKA YANG DIREKONSEPTUALISASI 1. Ruang Ruang Lingk Lingkup up dari dari filafa! filafa! Ma!"#a!i Ma!"#a!ika ka
Pada Bab sebelumnya, dijelaskan dalam hipotesis bahwa pengetahuan matematika adalah himpunan kebenaran, dalam bentuk satu kumpulan dalil-dalil dengan bukti-bukti, dan fungsi filsafat filsafat matematika adalah untuk membangun kepastian dari pengetahuan ini. Setela Setelah h ditemu ditemukan kan bahwa bahwa hipote hipotesis sis ini tak dapat dapat dipert dipertaha ahanka nkan n kita kita dipaks dipaksaa untuk untuk mempertimbangkan lagi sifat dasar filsafat matematika. apa yang merupakan fungsi dan lingkup dari filsafat matematika? Sepe Sepert rtii fils filsaf afat at huku hukum m tida tidak k memb membua uatt unda undang ng-u -und ndan ang, g, atau atau fils filsaf afat at ilmu ilmu pengetahuan memikirkan atau menguji hipotesis ilmiah - filsafat matematika tidak menam menambah bah bany banyakn aknya ya dalil dalil-da -dali lill mate matema mati tika ka dan dan teor teorii-te teor ori. i. Itu Itu bukan bukanla lah h matematika. Itu Itu adalah refleksi matematika, menimbulkan menimbulkan pertanyaan-pertanyaan tertentu dan jawaban-jawaban. (orner, !"#$, halaman #% &ilsafat &ilsafat matematika matematika mulai ketika kita meminta meminta suatu penjelasan penjelasan umum tentang matematika, suatu 'isi yang ringkas dari disiplin yang mengungkapkan iri-irinya yang penting dan menjelaskan bagaimana manusia mampu melakukan matematika. ()ymo*ko, ()ymo*ko, !"+#, halaman 'iii%
Priest (!"% menguraikan tugas sebagai berikut
Semua permasalahan permasalahan mengenai mengenai filsafat filsafat matematika matematika dapat diringkas dengan rapi oleh pertanyaan
P"r!an$aan % . /pa yang dimaksud matematika murni?
Pertama-tama, apa yang dimaksud dengan 0matematika0? Satu-satunya jawaban kita dapat dapat berika berikan n tanpa tanpa memint memintaa pertan pertanyaa yaan n adalah adalah 01a 01ang dilaks dilaksana anakan kan dan telah telah
dilaks dilaksana anakan kan selama selama empat empat ribu ribu tahun tahun terakh terakhir ir oleh oleh para para ahli ahli matema matematik tika0.. a0.... Pengetahuan tentang sifat dasar kepalsuan matematika di dalam kemampuan untuk melakukan itu. 2ntuk menjawab pertanyaan $ kita perlu untuk menjawab berikut P"r!an$aan 1 . 3engapa kebenaran dari matematika benar?
Setiap Setiap jawaban yang masuk akal harus pula pula memungkinkan memungkinkan jawaban masuk akal terhadap pertanyaan yang berikut P"r!an$aan 1&a' . 3engapa kebenaran-kebenaran itu kelihatan penting dan
tak dapat diganggu gugat, dan mengapa kita tidak dapat menyusunnya menjadi salah? P"r!an$aan 1&( %. Bagaimana kita mengetahui kebenaran-kebenaran itu? P"r!a P"r!an$ n$aan aan
1&)' 1&)'.
3eng 3engapa apa
keben kebenar aran an-k -kebe ebena nara ran n
mate matema mati tika ka
dapat dapat
diterapkan pada persoalan praktis misalnya, pengukuran tanah, bangunan jembatan, pengiriman roket ke bulan, dan lain lain. singkatnya, mengapa mereka bermanfaat?. Sekarang jawaban untuk pertanyaan ! adalah karena matematika kebenarankebenaran memang demikian karena mereka benar untuk obyek tertentu seperti angka-angka, angka-angka, fungsi-fung fungsi-fungsi, si, dalil-dalil dalil-dalil,, titik-tit titik-titik, ik, kelompok-kel kelompok-kelompok, ompok, modelmodelmodel dan sebagainya, yaitu, ini matematika yang dimana-mana arenanya kita harus mampu menjawab /pa ketepatan ketepatan obyek-obyek obyek-obyek di atas, dan dalam kesadaran kesadaran P"r!an$aan * . /pa apakah mereka ada? Pertanyaan 4 (isi% (isi% dan jika jika mereka tidak ada, mengapa itu kita mempunyai kesan kuat yang mereka kerjakan? 3enu 3enuru rutt panda pandang nganan-pa panda ndang ngan an ini, ini, pera peran n dari dari fils filsaf afat at mate matema mati tika ka adal adalah ah untu untuk k memiki memikirka rkanny nnya, a, dan member memberii satu satu penjel penjelasa asan n dari dari sifat sifat dasar dasar matema matematik tika. a. Isu kuni kuni berhubungan dengan bagaimana 0memberi satu penjelasan 0 matematika adalah yang dipa dipaham hami. i. &ils &ilsaf afat at-f -fil ilsa safa fatt peng penganu anutt kemu kemutl tlak akan an dari dari mate matema mati tika ka sepe sepert rtii logi logism sme, e, formalisme dan intuitinisme berusaha untuk menyediakan penjelasan tentang sifat dasar matematika. Seperti menjelaskan, seperti kita sudah melihat, adalah yang bersifat renana,
mengatur bagaimana matematika harus dipahami, ketimbang menyediakan dengan teliti penjelasan deskriptif tentang sifat dasar matematika. 5engan begitu mereka akan gagal untuk menerangkan matematika sebagaimana adanya, dalam harapan akan pelaksanaan 'isi mereka bagaimana itu seharusnya. Pemeriksaan tersebut dapat mulai dengan pertanyaan-pertanyaan tradisional dari epistemology dan ontologi. /pa yang merupakan sifat dan dasar dari pengetahuan matematika? apa yang merupakan sifat dari, dan bagaimana ara kita menerangkan, keberadaan dari obyek matematika(angka-angka, fungsi-fungsi, himpunan-himpunan, dll.%? 6amun, jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini tidak akan menyediakan suatu penjelasan deskriptif sifat dasar matematika. arena fokus yang sempit dari pertanyaan pertanyaan 0yang internal0 mengenai filsafat
matematika gagal untuk menempatkan
matematika di dalam konteks yang lebih luas dari pikiran manusia dan sejarah. )anpa konteks seperti itu, menurut 7akatos, filsafat matematika kehilangan isinya. 5i bawah dominan yang saat ini dari formalisme (yaitu., foundatinisme%, satu tertarik untuk menafsirkan ant sejarah dari matematika, karena tidak ada petunjuk dari filsafat telah menjadi buta, sementara filsafat matematika yang berputar kembali pada kebanyakan fenomena yang membangkitkan minat di dalam sejarah matematika, telah menjadi kosong. (7akatos, !"#, halaman 4% 5emikian banyak ruang lingkup dari filsafat matematika dibanding hanyalah pertimbangan pengetahuan matematika, yang dengan syarat melalui rekonstruksinya oleh suatu program foundationist. 3atematika adalah bersegi banyak, dan seperti juga tubuh dari pengetahuan propositional, itu dapat digambarkan dalam kaitan dengan? dengan menggunakan istilah konsep-konsep nya, karakteristik-karakteristik, sejarah, dan praktek-praktek. &ilsafat matematika harus menjelaskan kompleksitas ini, dan kita juga perlu untuk menanyakan pertanyaan-pertanyaan berikut. /pa yang merupakan tujuan dari matematika? /pa yang peranan manusia di dalam matematika? Bagaimana ara pengetahuan yang subjektif dari indi'idu menjadi pengetahuan yang objektif tentang matematika? Bagaimana bisa pengetahuan matematika ditingkatkan? Bagaimana ara sejarahnya menerangi filsafat
matematika? /pa yang merupakan hubungan antara matematika dan bidang-bidang lain dari pengetahuan dan pengalaman manusia? 3engapa teori-teori dari matematika yang dibuktikan begitu kuat dan bermanfaat dalam penerapannya kepada ilmu pengetahuan dan untuk permasalahan praktis? Pertanyaan-pertanyaan ini menunjukkan suatu perluasan ruang lingkup filsafat matematika dari internal berhubungan dengan abolutisme. )iga persoalan pokok mungkin
terpilih
sebagai hal yang penting, seara filsafat dan seara pendidikan. masing-masing isu adalah yang dinyatakan dalam kaitan dengan? )iap dari persoalan pokok diungkapkan dalam istilah- istilah dari suatu dikotomi, dan penganut kemutlakan dan fabilist perspektif di isu itu dibandingkan. etiga isu-isu tersebut sebagai berikut.
Pertama-tama, terdapat perbedaan antara pengetahuan sebagai suatu produk jadi, sementara sebagian besar menyatakan sebagai suatu tubuh dalil-dalil, dan akti'itas mengetahui atau memperoleh. belakangan ini mempunyai kaitan dengan asal dari pengetahuan, dan dengan sumbangan manusia kepada iptaannya. Sebagaimana yang sudah kita lihat, penganut kemutlakan pandangannya berpusat pada pembentuk, yang selesai atau pengetahuan yang diterbitkan, dan dasarnya dan pembenaran. Penganut kemutlakan memandang tidak hanya berfokus kepada pengetahuan sebagai satu produk yang objektif, mereka sering kali menyangkal legitimasi filosofis dari mengingat asal pengetahuan, dan menyerahkan hal ini kepada psikologi dan ilmu-ilmu sosial. Satu pengeualian adalah konstrukti'isme, yang mengakui agen pengetahuan dalam suatu bentuk yang disesuaikan mode. 3enurut &allibist, pandangan-pandangan dari sifat dasar matematika diketahui, dengan memahami peran dari kekeliruan dalam matematika yang tentunya tidak bisa lepas dari mempertimbangkan penggantian teori dan pertumbuhan sebagai pengetahuan. 5i mana, pandangan-pandangan seperti itu harus terkait dengan konteks-konteks manusia dari iptaan pengetahuan dan asal historis dari matematika, jika mereka menjelaskan keukupan matematika, dengan segala akupannya.
8leh karena pentingnya pokok permasalahan tersebut, itu adalah penambahan yang bernilai lebih lanjut dan argumentasi yang lebih umum untuk keperluan untuk mempertimbangkan asal dari pengetahuan. /rgumentasi ini didasarkan pada kenyataan perkembangan pengetahuan. seperti sejarah menggambarkan, pengetahuan terus menerus mengalami perubahan dan perkembangan di setiap disiplin ilmu termasuk matematika. 9pistemologi tidak menjelaskan keukupan untuk pengetahuan jika itu memusatkan hanya di suatu perumusan yang statis, dan mengabaikan dinamika dari perkembangan pengetahuan. :al tersebut seperti meninjau ulang suatu film atas dasar suatu penelitian dengan ermat yang terperini suatu bingkai kuni; 5engan demikian epistemologi harus berhubungan dengan dirinya sendiri dengan dasar mengetahui. Pondasi dinamis dari perkembangan pengetahuan, seperti juga dengan tubuh yang spesifik pengetahuan diterima pada tiap orang waktu. /hli filsafat tradisional seperti 7oke dan ant mengakui legitimasi dan tentu saja keperluan pertimbangan-pertimbangan yang genetik di dalam epistemologi. 5emikian juga suatu peningkatan sejumlah ahli filsafat yang modern, seperti dewey (!"<$%, =ittgenstein (!"<%, >yle (!""%, 7akatos (!"$%, uhn (!"$% dan :amlyn (!"+%. 1ang kedua, ada pembedaan antara matematika sebagai satu disiplin terpisah dan yang terisolasi, yang dengan keras dibuat garis demarkasi dan terpisah dari bidang-bidang lain dari pengetahuan, sebagai lawan suatu pandangan dari matematika yang ada hubungan keluarga, dan bagian yang tidak dapat dipeah-peahkan dari keseluruhan struktur pengetahuan manusia. Pandangan-pandangan penganut kemutlakan dari matematika menyetujuinya suatu status yang unik, hal itu (dengan logika% satu-satunya bidang tertentu dari pengetahuan, yang seara unik bersandarkan pada bukti ermat. ondisi-kondisi ini, bersama-sama dengan pengingkaran internalist yang dihubungkan keterkaitan sejarah atau genetik atau konteks-konteks manusia, berfungsi untuk membuat garis demarkasi matematika sebagai satu yang terisolasi dan disiplin terpisah. &allibilists termasuk jauh lebih di dalam ambit(ambisi, hasrat, ita-ita% filsafat matematika. arena matematika dilihat sebagai sesuatu yang dapat bernilai salah, itu tidak bisa dengan pasti dipisahkan dari yang empiris (dan karenanya dapat berbuat keliru% pengetahuan tentang yang seara fisik dan ilmu pengetahuan yang lain. arena fallibilsm
mengindahkan asal dari pengetahuan matematika seperti juga produknya, matematika dilihat seperti yang ditempelkan di sejarah dan di dalam praktek manusia. 8leh karena itu matematika tidak bisa bererai dari umat manusia dan ilmu-ilmu sosial, atau dari suatu pertimbangan kultur manusia seara umum. 5engan demikian dari suatu matematika perspektif fallibilist dilihat seperti yang dihubungkan dengan, dan tak dipeah-peahkan bagian dari keseluruhan struktur dari pengetahuan manusia. Pembedaan ketiga dapat dilihat seperti suatu spesialisasi dan pengembangan lebih lanjut dari yang kedua. Ia membedakan antara pandangan-pandangan matematika sebagai sasaran dan bebas nilai, menjadi terkait hanya dengan logika inner yang dimilikinya, dalam perbedaan matematika terlihat sebagai bagian utuh dari kebudayaan manusia, dan dengan demikian seperti(ketika nilai-nilai kemanusiaan seara penuh mengilhami dengan bidang bidang lain dari pengetahuan dan usaha. Penganut kemutlakan memandang, dengan perhatian-perhatian mereka yang internal, melihat matematika seperti sasaran dan mutlak bebas dari nilai-nilai moral dan manusia. Pandangan fabilist, sebaliknya, menghubungkan matematika dengan pengetahuan manusia melalui asal-usul tinjauan sejarah dan sosial. arena itu melihat matematika seperti nilai, moral dan nilai sosial dimuati, yang yang diilhami dengan yang memainkan peran yang penting di dalam pengembangan pengetahuan dan aplikasi-aplikasi matematika. /pa yang telah diusulkan adalah perhatian yang tepat filsafat matematika termasuk pertanyaan-pertanyaan eksternal menyangkut asal-asul sejarah dan konteks sosial dari matematika, lagi pula pertanyaan-pertanyaan internal mengenai pengetahuan, keberadaan, dan pertimbangan mereka. Selama beberapa tahun telah ada suatu perdedebatan yang paralel melalui satu dikotomi internalist-e@ternalist di dalam filsafat ilmu pengetahuan (7osee, !"+%. Seperti di filsafat matematika telah ada suatu pemisahan antara promosi ahli filsafat suatu internalist memandang di dalam filsafat ilmu pengetahuan (seperti penganut aliran empirisme yang logis dan Popper% dan yang menyertai pandangan e@ternalist. 1ang belakangan termasuk banyak dari ahli filsafat ilmu pengetahuan terbaru yang berpengaruh, seperti &eyerabend, :anson, uhn, 7akatos, 7audan dan )oulmin. Sumbangan-sumbangan penulis-penulis ini kepada filsafat ilmu pengetahuan adalah penyaksian penuh kekuatan
kepada keperluan pertimbangan pertanyaan-pertanyaan 0eksternal0 di dalam filsafat ilmu pengetahuan. 6amun dalam filsafat ilmu pengetahuan, bahkan ahli filsafat yang menyertai satu posisi internalist,
seperti Popper,
mengakui
pentingnya
mempertimbangkan
pengembangan dari pengetahuan yang ilmiah untuk epistemologi. Kri!"ria K"!"r)ukupan ua!u Filafa! Ma!+"#a!ika
Ia telah diperlihatkan bahwa peran filsafat matematika adalah menjelaskan sifat dasar matematika, di mana tugas ini dipahami dengan luas termasuk 0eksternal0 keluarkan seperti sejarah, asal dan praktek matematika, seperti juga persoalan epistemology dan ontolog 0yang internal0, seperti dasar kebenaran pengetahuan matematika. 2kuran-ukuran ini dapat dinyatakan lebih eksplisit suatu filsafat matematika seharusnya menjelaskan (i%
Pengetahuan 3atematika sifatnya, dasar kebenaran dan asal
(ii% 8byek 3atematika sifat dan asal-muasal mereka. (iii% /plikasi-aplikasi matematika efekti'itasnya di dalam ilmu pengetahuan, teknologi dan bidang-bidang lain. (i'% Praktek 3atematika akti'itas dari para ahli matematika, baik yang saat ini maupun masa lampau. Ia diusulkan, oleh karena itu, untuk mengadopsi ini sebagai ukuran-ukuran keterukupan untuk setiap filsafat yang diusulkan dari matematika. riteria-kriteria ini mewakili suatu reonseptualisasi peran filsafat matematika. 6amun, peran ini, itu dibantah, mewakili tugas yang tepat filsafat matematika, yang dikaburkan oleh kesalahan identifikasi filsafat matematika dengan penyelidikan dasar yang logis dari pengetahuan matematika.
*. Sua!u P"ngu,ian L"(i+ Lan,u! K"l-#p-k Fil--fi
riteria baru bermakna digunakan untuk menilai keterukupan kelompok pemikiran dalam filsafat matematika.
A.
K"l-#p-k A(-lu!
Pada bab sebelumnya , kita melihat bahwa kelompok penganut logika, formalist dan
intuisionist adalah penganut kemutlakan. ita sudah memberi satu penjelasan kegagalan dari para program-program kelompok ini, dan tentu saja disangkal pada kemungkinan umum absolutisme dalam filsafat matematika. /tas dasar kriteria tersebut kita dapat lebih lanjut mengkritik kelompok ini untuk kekurangan mereka sebagai filsafat-filsafat matematika. )ugas mereka seharusnya memuat penjelasan untuk sifat dasar matematika, termasuk faktor sosial dan sejarah eksternal, seperti kegunaan matematika, dan asalnya. 8leh karena sempitnya, keasyikan-keasyikan yang internal eksklusif, kelompok ini telah membuat tidak ada sumbangan kepada penjelasan matematika yang dipahami seara luas (dengan perkeualian kemungkinan intuitionism, lihat di bawah%. 5engan demikian, mereka tidak hanya gagal dalam tujuan foundationist pilihan mereka sendiri, tetapi mereka telah behasil mereka akan tetap ketidakukupan filsafat matematika, dengan menggunakan istilah kriteria diadopsi. 7ebih lanjut, kritik ini mungkin dapat digunakan untuk filsafat penganut kemutlakan dengan program foundationist. . Pr-gr"if A(-lu!i#"
3eskipun absolutist bentuknya ber'ariasi dikelompokkan dan dikritik bersama-sama, bentuk yang berbeda absolutist dalam matematika dapat dibedakan. 3ensejajarkan dengan filsafat
ilmu pengetahuan,
Aonfrey (!"+!% memisahkan penganut kemutlakan formal
dengan penganut kemutlakan progresif filsafat matematika. Pandangan penganut kemutlakan yang formal dari matematika adalah
>ingkasanlambang dari ketentuan, kebenaran-kebenaran yang abadi, dan metodametoda tidak dapat dibantah, menjamin melalui kesempurnaan dari metode tertingginya, deduksi onsep-konsep di dalam matematika tidak berkembang, mereka ditemukan. kebenaran sebelumnya meninggalkan tanpa perubahan oleh penemuan kebenaran baru. kelanjutan matematika oleh suatu akumulasi kebenarankebenaran matematika dan sebagai sesuatu yang tidak fleksibel, suatu struktur priori.
( Aonfrey,!"+!. :alaman 4#-4%
:al ini berbeda dengan pandangan absolutist progresif matematika, yang penganut absolut melihat matematika seperti sebagai hasil manusia mengejar kebenaran, ketimbang penapaiannya. 3enurut pandangan ini
Progress adalah suatu proses penggantian teori-teori yang sebelumnya oleh teoriteori yang superior yang menjelaskan semua data yang sebelumnya dan lebih. )iap teori progresif lebih mendekati kebenaran dan lebih tepat C progress terdiri dari menemukan kebenaran-kebenaran matematika yang tidak konsisten dengan suatu teori atau tidak diterangkan di dalam teori, dan lalu memperluas teori untuk menjelaskan bidang lebih luas dari ini peristiwa matematika.
( Aonfrey, !"+! ,halaman 4-4+%
uni pembedaan antara konsepsi-konsepsi absoluitist statis dan dinamis pengetahuan matematika dan teori-teori, dengan akti'itas manusia menyokong dinamis dalam absoluitesme progresif. &ormalisme dan logisme adalah formal absolutist. 3ereka menerima penemuan dan bukti teorema-teorema baru di dalam suatu teori matematika formal, berdasarkan aksioma-aksiomanya. 6amun, mereka tidak memperlakukan iptaan atau perubahan dari teori-teori matematika maupun matematika informal, dibiarkan saja
agen manusia. 3enurut pandangan-pandangan seperti itu, matematika tidak hanya terdiri dari ditetapkan, teori-teori matematika formal.
5alam perbedaan, filsafat-filsafat absoluitist progresif !.
mengakomodasi iptaan dan perubahan teori-teori aksiomatikD
4.
mengakui bahwa lebih dari semata matematika formal ada, karena intuisi matematika diperlukan sebagai dasar untuk peniptaan teoriD dan karenanya
.
mengakui akti'itas manusia dan hasil-hasilnya, di dalam peniptaan pengetahuan dan teori-teori baru.
Intuituonisme (dan konstrukti'isme, lebih umum lagi% ook gambaran ini. arena intuituonisme adalah foundationist dan absoluitist, penarian dasar yang kokoh (terjamin% untuk pengetahuan matematika melalui bukti-bukti intuituonistik dan Eur-intuisi0 (almar, !"#%. 6amun intuitionisme (!% mengakui akti'itas matematika manusia sebagai asas di dalam konstruksi bukti-bukti atau obyek matematika, peniptaan pengetahuan yang baru, dan (4% mengakui bahwa aksioma-aksioma dari teori matematika yang intuituonistik (dan logika% pada dasanya tak lengkap, dan perlu untuk ditambahkan lagi kebenaran matematika yang diungkapkan seara informal atau oleh intuisi (Brouwer, !"4D 5ummet, !"%.
arena itu, intuituonisme dan filsafat absolut progresif seara umum,
lebih
menukupi kiretiria keukupan daripada filsafat absolutist formal, sedang meskipun demikian menetap menyeluruh yang disangkal. arena mereka memberi beberapa tempat, meski membatasi, kepada akti'itas dari ahli matematika (ktiteria ke-%. 3ereka menyatakan perantara manusia sekalipun hanya dalam bentuk yang disesuaikan, di dalam daerah matematika informal. Ini pemenuhan sebagian kriteria yang pantas menerima pengakuan, itu berarti tidak semua filsafat-filsafat absolutist tingkatannya sama. :al itu juga ternyata penting (signifiant% untuk pendidikan.
/. Pla!-ni#"
Platonisme adalah pandangan bahwa obyek matematika real, eksistensi objektif dalam beberapa bidang ideal. :al itu bermula dari Plato, dan dapat dilihat dalam tulisan logiists ®e dan >ussel, dan termasuk Aantor, Bernays (!"%, )abah (!"#% dan Fodel (!"#% antar para pendukungnya yang dibedakan. Platonist mempertahankan bahwa obyek dan struktur-struktur matematika mempunyai suatu
eksistensi riil tidak
terikat pada
kemanusiaan, dan tindakan (bekerja% matematika adalah proses menemukan hubunganhubungan pre-e@isting mereka. 3enurut Platonisme pengetahuan matematika terdiri dari gambaran-gambaran obyek ini dan hubungan dan struktur-struktur yang menghubungkan mereka. Platonisme dengan jelas menyediakan suatu pemeahan untuk permasalahan obyekti'itas matematika. :al tersebut menerangkan kedua-duanya yaitu kebenarannya dan eksistensi obyek, seperti juga untuk otonomi yang nyata dari matematika, yang mematuhi hukum dalam yang dimiliki dan logika Permasalahan Platonisme, tidak seperti kelompok penganut absolut foundational, tidak sama sekali satu kegagalan, karena itu menawarkan tanpa program foundationist untuk merekonstruksi dan melindungi matematika. /pa yang lebih menarik adalah menjelaskan fakta seperti suatu filsafat implausible menyediakan bantuan dan kenyamanan kepada para ahli matematika sukses kualitas moral dari Aantor dan Fodel. 3eskipun ini menarik, Platonisme memiliki dua kelemahan utama. Pertama, tidak dapat memberikan penjelasan yang memadai para ahli matematika memperoleh jalan masuk kepada pengetahuan tentang bidang yang bersifat platonik. ita dapat mengakui bahwa Platonisme menjelaskan pengetahuan matematika dengan ara pengetahuan yang tidak dibuat-buat seara induktif menerangkan pengetahuannya. 1aitu sebagai hal yang berdasarkan pengamatan atas dunia nyata (suatu dunia ideal, di dalam kasus Platonisme%, sesudah itu disamaratakan. )etapi jika matematika adalah sejarah alam dari alam semesta kristalin Platonik, bagaimana bisa para ahli matematika mendapatkan pengetahuan tersebut? :al itu pasti melalui intuisi, atau beberapa kemampuan mental khusus dan tak ada penjelasan yang diberikan. Gika akses melalui intuisi, maka rekonsiliasi yang dibutuhkan
antara fakta-fakta, yaitu (i% intuisi-intuisi ahli matematika yang berbeda-beda, sehubungan dengan kesubjektipan intuisi,
dan (ii% Intuisi Platonist harus obyektif, dan mengarah
kepada persetujuan. 5engan demikian pandangan Platonist tidak ukup tanpa menjelaskan akses manusia ke bidang dari obyek platonik yang mengatasi berbagai kesulitan ini.
Gika, sebaliknya, akses Platonist ke dunia obyek matematika tidak melalui intuisi tetapi melalui alasan dan logika, maka permasalahan selanjutnya munul. Bagaimana ara Platonist mengetahui bahwa pemikirannya benar? Salah satu dari bentuk lain intuisi diperlukan,
yang
membiarkan
Platonist
untuk
melihat
bukti-bukti
yang
benar
menggambarkan kenyataan matematika, atau Platonist sependapat dengan orang lain mengenai bukti. )etapi di dalam kasus kedua ini, apakah Platonisme kosong iman, karena itu menyediakan tanpa pengertian yang mendalam ke dalam kebenaran atau keberadaan? ekurangan yang kedua di dalam penjelasan Platonist adalah tidak dapat memberikan penjelasan memadai tentang matematika, baik seara internal maupun seara eksternal. Seara internal, satu yang bagian penting matematika adalah konstrukti'isnya, sisi perhitungan. :al ini sangat tergantung pada penyajian proses-proses matematikayang dinamis, seperti iterasi, fungsi rekursif, teori pembuktian, dan seterusnya. Penjelasan Platonism hanya untuk yang statis yang set-teoretis dan aspek struktural dari matematika. 5engan demikian itu menghilangkan daerah pusat matematika dari penjelsannya. Seara eksternal,
Platonism
gagal
menjelaskan
seara
memadai
kegunaan
matematika,
hubungannya dengan ilmu pengetahuan, akti'itas manusia atau kebudayaan, dan asal dari pengetahuan. arena Platonists mengatakan bahwa matematika memperepat sebagaimana hal itu dibuka seara progresif, ketika geografi diperepat dengan perjalanan-perjalanan dari penjelajah-penjelajah, itu tidak ukup. /tau pun itu menukupi untuk katakan kegunaannya berasal dari fakta bahwa matematika menggambarkan struktur kebutuhan dari kenyataan yang tampak. 2ntuk penjelasan-penjelasan ini meminta sangat pertanyaan pertanyaan yang mereka maksud untuk mengatasi. arena itu gagal pada penjelasan, Platonism ditolak sebagai suatu filsafat matematika.
D. K-n0"ni-nali#"
Pandangan kon'ensionalisme matematika menganggap pengetahuan dan kebenaran matematika didasarkan pada
kaidah-kaidah ilmu bahasa. hususnya, bahwa kebenaran-
kebenaran dari logika dan matematika bersifat analitik, benar berdasarkan atas artinya istilah-istilah dilibatkan. Suatu bentuk moderat dari kon'ensionalisme, seperti Huine (!"# % atau :empel (!"<%, menggunakan kaidah ilmu bahasa sebagai sumber dari kebenaran dasar matematika yang di atasnya matematika dibangun. 3enurut pandangan ini kaidah ilmu bahasa menyediakan dasar, kebenaran-kebenaran tertentu matematika dan logika, dan logika deduktif (bukti% memanarkan kebenaran ini kepada sisa dari tubuh pengetahuan matematika, hingga menetapkan kepastiannya. Bentuk kon'ensionalisme ini kurang lebih sama dengan 0if-thenism0, yang dibahas di dalam pasal ! sebagai suatu posisi mundur untuk foundationist yang dikalahkan. Pandangan ini tetap absolutist, dan seperti halnya adalah tunduk kepada ingkaran yang sama.
Bentuk-bentuk yang lebih menarik dari kon'ensionalisme tidak absolut (dan ini yang akan mengau pada dengan istilah kon'ensionalisme0%. Priest (!"% mengusulkan untuk menhidupkan kembali kon'ensionalisme, tetapi penganjur yang terbaik yang dikenal dari
pandangan adalah =ittgenstein, keduanya meletakkan
dasar-dasar bentuk yang
moderat dengan menyatakan kebenaran matematika menjadi tautologi (=ittgenstein, !"44%, sebelum membuat perluasan kontibusinya kemudian (=ittgenstein, !"<, !"+%. &ilsafat matematika =ittgenstein kemudian susunannya tidak jelas karena gaya epigramatiknya, dia menjauhkan diri penjelasan sistematis, dan karena kebanyakan dari sumbangansumbangannya kepada filsafat matematika diterbitkan dengan anumerta, dalam satu keadaan yang belum selesai (=ittgenstein, !"<, !"+%.
=ittgenstein mengkritik kelompok foundationist, dan memikirkan panjang lebar pengetahuan sebagai suatu proses di dalam matematika (=ittgenstein, !"<, !"+%. 5i dalam kon'ensionalismenya, =ittgenstein menegaskan bahwa matematika adalah suatu 0yang bermaam warna0, suatu koleksi 0permainan bahasa0, dan ide kebenaran, kepalsuan
dan bukti tergantung pada penerimaan kita aturan ilmu bahasa kon'ensional dari permainan-permainan iniD seperti yang ditunjukkan kutipan-kutipan berikut.
)entu saja, sedikit banyak matematika adalah suatu abang dari pengetahuan J hal itu masih sebagai satu akti'itas.
5an 0salah langkahK hanya ada sebagai
pengeualian. 2ntuk jika apa yang sekarang kita sebut dengan nama itu menjadi aturan, permainan mereka yang salah langkah akan dibatalkan.
ata 0persetujuan0 dan kata 0aturan0 berhubungan satu sama lain, mereka adalah sepupu. Gika aku mengajar seseorang pemakaian satu kata, ia mempelajari pemakaian kata yang lain dengannya.
0Supaya /nda sedang berkata sehingga persetujuan manusia memutuskan apa benar dan apa itu salah?0 - itu adalah apa yang manusia katakana benar dan palsu dan mereka setuju dalam bahasa yang mereka gunakan. 1aitu bukan persetujuan dalam pendapat-pendapat tetapi hanya dalam bentuk-bentuk kehidupan.
( =ittgenstein, !"<, pages44, +#, dan ++, berturut-turut%
/pa kepastian yang tak tergonangkan tentang apa yang dibuktikan? 2ntuk menerima suatu dalil sebagai kepastian tak tergonangkan J saya ingin mengatakan - maksud untuk menggunakan hal itu sebagai suatu aturan bersifat tatabahasa hal ini menghilangkan ketidak-pastian daripadanya.
( =ittgenstein, !"+, halaman !"
%$utipan-kutipan ini menggambarkan pandangan =ittgenstein bahwa penggunaan bahasa (dalam berbagai permainan bahasa atau konteks yang bermakna% melibatkan penerimaan aturan-aturan, suatu prasyarat, yang harus ada, untuk komunikasi ilmu bahasa. Persetujuan dia mengau pada pembagian 0suatu bentuk hidup0, sebuah kumpulan praktek sosio-
linguistik berdasar pada umum mengikuti aturan-aturan, yang penting bagi kebermaknaan bahasa yang digunakan. Seperti persetujuan bukan kerelaan semata menyetujui suatu praktek, sebagaimana ketentuan jembatan. Aukup hal itu terpasang tetap dalam perilaku komunikasi kita, yang mensyaratkan suatu yang umum mendasari pemakaian bahasa dan aturan yang mengikuti. Gadi menurut filsafat matematika kon'ensionalis dari =ittgensteins 0kebenaran0 dari matematika dan logika tergantung penerimaan mereka pada penggunaan aturan ilmu bahasa istilah-istilah dan tatabahasa, juga pada aturan-aturan mengatur bukti-bukti. /turan pokok ini memberi kepastian pada 0kebenaran-kebenaran0, karena mereka tidak bisa salah tanpa melanggar aturan-aturan, yang akan menentang penggunaan yang diterima. Sehingga hal tersebut aturan-aturan ilmu bahasa mendasari 0kebenaran-kebenaran0 matematika dan logika yang memastikan bahwa mereka tidak bisa dipalsukan.
/ku belum membuat peran dari kesalahan perhitungan jelas. Peran dari dalil 0/ku pasti telah salah hitung0. Ia benar-benar adalah kuni itu kepada satu pemahaman Edasar-dasar 0matematika.
(=ittgenstein, !"+, p44!%
/pa yang Finnstein katakan di sini adalah bahwa jika hasil-hasil kita bertentangan dengan aturan dasar penggunaan, maka kita menolak hasil-hasil, kita tidak mempertanyakan aturan-aturan dasar. Seara ringkas, =ittgenstein mengusulkan bahwa kebutuhan logis pengetahuan matematika (dan logika% bersandar pada
kaidah-kaidah ilmu bahasa, yang ditanamkan
dalam praktek-praktek sosio linguistik kita. on'ensionalisme mungkin kelihatan, pada dasar penjelasan yang diberikan, menjadi
absolut,
karena
kon'ensinalisme
menegaskan
bahwa
aksioma-aksioma
matematika, sebagai ontoh, mutlak benar atas dasar kaidah-kaidah ilmu bahasa. )etapi penempatan dasar pengetahuan matematika di dalam aturan mengatur pemakaian bahasa alami membolehkan untuk pengembangan pengetahuan matematika, dan tentu saja karena
perubahan-perubahan seara alami dari kebenaran matematika dan arti, seperti itu dasarnya dikembangkan. 2ntuk penggunaan bahasa dan pola-polanya berkembang terus-menerus seara organis, dan kumpulan kaidah-kaidah dan aturan-aturan berubah. :al ini seara khusus benar untuk bahasa matematika informal, yangi mana aturan-aturan mengatur pemakaian beberapa istilah seperti 0set (himpunan%0, jumlah tak berhingga (infinity%0, 0sangat keil (infinitesimal%0 dan 0bukti (proof%0 sudah berubah seara dramatis dalam ratusan tahun yang lalu, seperti praktek matematika telah berkembang. 5emikian juga kaidah-kaidah baru sudah menjamin kebenaran-kebenaran baru (seperti :amilton0s 0 ijL -ji0 dan, di dalam logika 0!L4 menyiratkan !L!%. 5engan demikian kon'ensionalisme bukanlah absolutist, karena hal tersebut memperbolehkan penurunan dan penggantian dari dasar kebenaran-kebenaran matematikayang ( seperti 0@yLy@0%. Ini bentuk kon'ensionalisme oleh karena itu konsisten dengan fallibilisme.
on'ensionalist filsafat matematika telah dikritik oleh penulis-penulis sebelumnya pada dua alasan. Pertama, itu diklaim bersifat tidak informatif 0terlepas dari menunjukkan sifat utama sosial alami matematika, kon'ensionalisme mengatakan kepada kita sangat sedikit0. (3aho'er, !"+, halaman #%. ekuatan dari kritik ini adalah melengkapi fisafat matematika, banyak 'ersi yang rumit kon'ensionalisme dibutuhkan.
eberatan yang kedua adalah dikaitkan dengan Huine.
5engan singkat pendapat bahwa kebenaran logis, menjadi tak berhingga dalam jumlah, harus diberikan oleh kaidah-kaidah umum daripada satu demi satuD dan logika diperlukan kemudian untuk memulai, dalam metatheory, untuk menerapkan kaidah-kaidah umum kenkasus-kasus perseorangan.
( Huine, !"##, halaman !$+%. Gadi menurut Huine, kaidah-kaidah ilmu bahasa kita harus meliputi tak berhingga kebenaran-kebenaran dari bentuk 0(kalimat !% dan (kalimat 4% menyiratkan (kalimat 4%0, atau
kaidah tunggal, kaidah umum, dalam hal ini kita memerlukan logika di dalam metabahasa itu untuk memperoleh semua kejadiannya.
)etapi memperhatikan bahwa keberatan yang sama berlaku bagi kemungkinan kaidah-kaidah bersifat tatabahasa di dalam bahasa. ita perlu untuk mengetahui bilangan tidak
terhingga
kejadian-kejadian
bersifat
tatabahasa
bentuk
0(subjek%
adalah
suatu(predikat%0, atau kita akan memerlukan aturan-aturan metalinguistik penggantian untuk memperoleh kejadian-kejadiannya dari kaidah gramatikal umum. )etapi kita dengan jelas tidak memerlukan aturan-aturan tambahan seperti untuk berbiara, karena sangat tersusun sebagai 0aturan hasil0. &ungsi satu-satunya aturan seperti itu di suatu bahasa alami untuk menghasilkan kejadian-kejadian. 5emikian juga, polaskema logis adalah aturan-aturan yang memandu hasil kebenaran-kebenaran yang logis. 5engan demikian itu bukan kasus yang kita butuhkan untuk mensyaratkan logika di suatu metabahasa untuk memperoleh kejadian-kejadian dari skema kita yang logis. Ia tidak tepat untuk menari semua bentuk dan pembedaan bahasa formal dalam bahasa alami, sebagai ontoh, telah berbeda di dalam meta-languages kepunyaan mereka sendiri.
Sebenarnya, kebenaran-kebenaran dari bentuk 0/MB menyiratkan B0 tidak mungkin bergantung pada pola sentential di atas, tetapi pada kaidah mengatur pemakaian kata 0dan0. /turan-aturan ini mungkin menjadi aturan-aturan semantik menghubungkan 0dan0 dengan 0 kombinasikan0, 0gabungan0 dan 0berpasangan0, yang merupakan arti konjungsi 0dan0. Ini aturan-aturan semantik yang menyiratkan akibat-akibat dari 0 /MB0 adalah akibat-akibat dari 0/0 yang yang dikombinasikan dengan 0B0. eberatan Nuine kemudian dipeat dibubarkan bahwa hal tersebut tidak berlaku untuk bahasa alami, dan memaksakan suatu peran yang sangat membatasi pada kaidahkaidah umum. sebaliknya ia benar mengatakan bahwa kita tidak akan menemukan semua kebenaran matematika dan logika mewakili benar-benar sebagai aturan-aturan dan kaidahkaidah ilmu bahasa.
3eskipun Huine adalah kritis tentang kon'ensionalisme dalam logika, ia menganggap kekuatannya sebagai suatu filsafat matematika sangat berbeda. 2ntuk teori himpunan doktrin ilmu bahasa yang nampak hampir tidak ada di dalam teori himpunan, lebih dari itu, kaidah sungguh kesadaran sepertinya adalah yang biasa antik banyak apa yang terjadi. kon'ensionalisme mempunyai suatu perhatian klaim yang serius di dalam filsafat matematika, seandainya karena teori h impunan. (Huine, !"##, halaman !$+% on'ensionalisme menawarkan permulaan suatu penjelasan deskriptif sifat dasar matematika, yang dirumuskan dalam istilah-istilah dasar ilmu bahasanya. :al tersebut memuat suatu pandangan fallibilist matematika, dan mungkin menerangkan objekti'itas pengetahuan matematika, melalui penerimaan kebutuhan kita terhadap aturan-aturan ilmu bahasa, dan paling tidak bagian asal-usulnya, melalui kemahiran bahasa. arena bahasa menghubungkan
matematika
dengan
bidang-bidang
lain
dari
pengetahuan,
kon'ensionalisme mempunyai potensi itu untuk menerangkan aplikasi-aplikasi matematika. 5engan begitu kon'ensionalisme tidak disangkal, dan menukupi banyak
kriteria
keterukupan diajukan sebelumnya. kon'ensionalisme dibahas lebih lanjut di dalam pasal yang berikutnya, sebagai salah satu penyokong pada filsafat konstrukti'is sosial dari yang diusulkan matematika. E.
E#piri#"
Penganut aliran empirisme memandang sifat dasaer matematika (0empirisme naif0, untuk menbedakannya Nuasi-empiriismnya 7akatos% mengatakan bahwa kebenaran-kebenaran dari matematika bersifat generalisasi empiris. ita dapat membedakan penganut aliran empirisme dari yang dua ini (i% konsep matematika mempunyai asal-muasal empiris, dan (ii% kebenaran matematika mempunyai dasar kebenaran empiris, yang diperoleh dari pengamatan dunia fisik. )esis pertama disetujui, dan diterima oleh kebanyakan ahli filsafat matematika (selama banyak konsep-konsep yang diberikan tidak seara langsung dibentuk dari pengamatan-pengamatan tetapi digambarkan dalam istilah konsept lain yang diruju, melalui rantai-rantai bagan, untuk penelitian konsep%. )esis yang kedua ditolak oleh semua
penganut aliran empirisme, karena hal itu mengarah ke kemustahilan. eberatan yang pertama adalah kebanyakan pengetahuan matematika diterima seara teori, sebagai lawan alasan-alasan empiris. 5engan begitu aku mengetahui bahwa """,""" O ! L!,$$$,$$$ bukan melalui mempunyai pengamatan kebenarannya di dalam dunia, tetapi hanya melalui pengetahuan teoritisku tentang bilangan nomor dan pemberian angka. 3ill (!"#!% sebagian mengantisipasi keberatan ini, mengusulkan bahwa prinsip prinsip dan aksioma-aksioma matematika disebabkan dari pengamatan atas dunia, dan kebenaran-kebenaran lain berasal dari deduksi ini. 6amun, empirisme terbuka bagi sejumlah kritik selanjutnya. Pertama, ketika pengalaman kita membantah dasar kebenaran-kebenaran matematika, kita tidak menyerah kepada mereka (5a'is dan :ersh, !"+$%. ukup kita berasumsi bahwa beberapa kesalahan telah menyelinap ke dalam penalaran kita, karena terdapat ada dibagi persetujuan bersama tentang matematika, yang menghalangi penolakan kebenaran-kebenaran matematika(=ittgenstein, !"+%. Sehingga 0 !O! L0 perlu palsu, bukan karena satu kelini yang ditambahkan kepada yang lain tidak memberi tiga kelini, hanya karena oleh defenition 0 ! O!0 0pengganti dari !0 dan 040 adalah pengganti 0!0. 1ang kedua, matematika adalah sebagian besar abstrak, dan begitu banyak konsepkonsepnya tidak mempunyai asal-muasal di dalam pengamatan atas dunia. agak mereka didasarkan pada konsep-konsep yang telah dibentuk sebelumnya. kebenaran-kebenaran seperti konsep-konsep, yang merupakan bagian terbesar dari matematika, tidak bisa oleh karena itu disebut dipengaruhi dari pengamatan dunia yang eksternal. /khirnya, empirisme permasalahan
dapat
dikritik karena memfokuskan
hampir pada
dasar semata, dan gagal menerangkan dengan lengkap sifat dasar
matematika. :al ini, seperti telah dibantah di atas, adalah tujuan utama filsafat matematika. /tas dasar kritik ini, kita dapat menolak pandangan penganut aliran empirisme yang naif dari matematika sebagai yang tidak ukup.
. 2uai3"#piri#"
Huasi-empirisme adalah filsafat matematika yang dikembangkan oleh Imre 7akatos (!"#, !"+%. Pandangannya bahwa matematika adalah apa yang para ahli matematika lakukan dan sudah dilakukan, dengan segala ketidaksempurnaan yang melekat dalam setiap akti'itas atau iptaan manusia. Huasi-empiriism mewakili suatu 0arah baruK di dalam filsafat matematika0s (tymo*ko, !"+#%, oleh karena keunggulan yang ook pada praktek matematika. Para pendukung dari pandangan ini termasuk 5a'is (!"4%, :allet (!""%, :ersh (!""%, )ymo*ko (!""% dan sedikitnya pada sebagian, Putnam (!"<%. Suatu sket pendahuluan dari pandangan penganut aliran Huasi-empirisme dari matematika adalah sebagai berikut. 3atematika adalah suatu
tanya
jawab
antara orang-orang mengerjakan
permasalahan matematika. Para ahli matematika bersifat bisa berbuat keliru dan produk produk mereka, termasuk konsep-konsep dan bukti-bukti, tidak pernah dapat dianggap akhir atau sempurna, tetapi mungkin memerlukan negosiasi ulang ketika standar-standar keras berubah, atau sebagai tantangan-tantangan baru atau makna yang baru munul. Sebagai suatu akti'itas manusia, matematika tidak bisa dianggap terisolasi dari sejarah dan aplikasi-aplikasinya di dalam ilmu pengetahuan dan di tempat lain. Huasi-empiriism mewakili 0suatu kebangkitan kembali dari empirisme di dalam filsafat yang terbaru dari matematikaK (7akatos, !"#% A. P"n,"laan !"rp"rin)i !"n!ang 2uai3"#piri#" Laka!-
Huasi-emperisme dapat dikenali dari 7ima hal yaitu. 1. Ma!"#a!ika p"ng"!a+uan dapa! ("r(ua! k"liru
5i dalam Huasi-empirisme, menari-ari suatu dasar untuk kepastian yang absolut di dalam matematika ditolak, dan matematika pengetahuan diakui untuk bersifat dapat berbuat keliru, yang dapat dibenarkan, dan tanpa dasar yang tertentu. *. Ma!"#a!ika adala+ 4ip-!"i D"duk!if
3atematika diakui adalah sistem hypotio-deduti'e, seperti konsepsi yang diterima seara luas ilmu pengetahuan empiris dalam kaitan Popper (!"<"%. Seperti di ilmu pengetahuan,
penekanan dalam sistem yang demikian bukanlah pada transmisi kebenaran dari premis premis yang benar ke konklusi (pandangan penganut kemutlakan%, akan tetapi transmisi ulang kepalsuan dari kesimpulan-kesimpulan yang dipalsukan (0pemalsu-pemalsu0% ke premis-premis hyphothial. karena teori-teori aksiomatik adalah formalitas-formalitas teoriteori matematika sebelumnya yang informal yang ada, pemalsu-pemalsu mereka yang potensial adalah dalil-dalil yang informal dari ada lebih dahulu teori, (sebagai tambahan terhadap pertentangan-pertentangan formal%. eberadaan seperti ( teorema informal% pemalsu menunjukkan bahwa pengaksiomaan tidak seara 'alid menyatakan teori yang informal, yaitu. sumber nya (7akaters, !"+%. . S",ara+ adala+ "n!ral
)ugas epistomologi filsafat
matematika tidak hanya untuk menjawab pertanyaan 0
bagaimana (setiap% matematika pengetahuan mungkin?0, tetapi untuk menguraikan pengetahuan matematika memang ada. 5engan begitu, filsafat matematika tidak dapat dipeahkan dihubungkan dengan sejarah dari matematika, karena akhir sejarah perubahan pengetahuan matematika. 5. K"unggulan dari #a!"#a!ika $ang inf-r#al din$a!akan
3atematika informal merupakan hal yang terpenting, baik sebagai suatu praktek dan sebagai suatu produk. Sebagai suatu produk, merupakan sumber dari semua matematika formal, karena hal tersebur merupakan apa yang disusun. Ini juga, seperti yang sudah kita sudah lihat, sumber dari pemalsu-pemalsu potensial dari matematika formal. pentingnya matematika mempraktekkan yang merupakan 0bahan0 sejarah matematika, dan sumber Nuasi-empiris dari matematika. itu menyediakan indi'idu dengan premis-premis dan konklusi dari deduktif matematika yang (aksioma-aksioma yang informal, defenisi dan dugaan-dugaan%, dan bukti-bukti informal melalui premis-premis dan konklusi yang terhubung. 6. T"-ri p"n)ip!aan p"ng"!a+uan di#aukkan
Pusat perhatian filsafat matematika adalah logika dari penemuan matematika, atau heuristik. Ini mendasari 0dialektis otonomi matematika (7akatos, !"#, halaman !#%.
mekanisme untuk asal-usul dari pengetahuan matematika. 5i dalam proses produksi para ahli matematika yang indi'idual (biasanya suatu susunan definisi-definisi, dugaan-dugaan dan bukti-bukti informal% diarahkan ke kritik, dan merumuskan kembali sebagai jawaban atas kritik, dalam satu siklus ara dialektika yang berulang. Proses ini, mengikuti logika otonominya sendiri, adalah kebutuhan untuk materi yang baru (definisi-definisi, dalil-dalil, mengoreksi% untuk disatukan ke dalam tubuh dari pengetahuan matematikayang diterima. )erdapat suatu pola yang sederhana dari penemuan matematika - atau dari perkembangan teori-teori matematika yang informal. itu terdiri dari langkah-langkah yang berikut !. 5ugaan(terkaan% primitif 4. Bukti (konsep meskipun eksperimen atau argumentasi, penguraian dugaan yang primitif ke dalam subkonjektur atau lema-lema%. . 0 Flobal0 ountere@amples (ounter e@amples untuk dugaan yang primitif% munul . Pengujian kembali bukti 0lema yang salah0 kepada ountere@ample global adalah sebuah 0lokal0 ountere@ample ditandai. lema yang salah ini mungkin telah tinggal sebelumnya 0tersembunyi0 atau mungkin telah tidak dikenali. Sekarang itu dibuat eksplisit, dan yang dibuat ke dalam dugaan yang primitif sebagai suatu kondisi. )eorema J dugaan diperbaiki mengganti dugaan primitif dengan bukti yang baru - menghasilkan konsep sebagai suatu punaknya fitur baru yang tertinggi. eempat tahap ini mendasarimembuat inti esensial dari analisis bukti. )etapi terdapat beberapa tahap standar lagi sering terlihat <. bukti-bukti dari teorema-teorema yang lain diuji untuk melihat jika lema yang baru saja ditemukan atau bukti yang baru menghasilkan konsep terjadi pada mereka konsep ini bisa ditemukan berada pada persimpangan-jalan dari bukti yang berbeda, dan seperti itu munul mulai dari arti penting yang dasar. #. /kibat-akibat yang diterima sampai sekarang dari yang asli dan sekarang disangkal dugaan diek. . ountere@amples diubah menjadi ladang-ladang ontoh-ontoh baru dari penyelidikan terbuka. (7akatos, !"#, halaman !4-!4+%
/kti'itas matematika adalah akti'itas manusia. /spek tertentu dari akti'itas ini J seperti beberapa akti'itas manusia - dapat dipelajari oleh psikologi, yang lain oleh sejarah. :euristik bukanlah yang utama tertarik akan aspek ini.)etapi akti'itas matematika menghasilkan matematika. 3atematika, produk ini dari akti'itas manusia, 0asingkan diri sendiri0 dari akti'itas manusia yang sudah akan menghasilkan matematika. 3atematika menjadi suatu yang hidup, organisme yang tumbuh, yang memperoleh suatu otonomi tertentu dari akti'itas yang telah menghasilkan matematikaD matematika mengembangkan hukum otonomi sendiri dari pertumbuhan, dialektis sendiri. /hli matematika kreatif sejati hanyalah suatu pengejawantahan, Satu penjelmaan hukum ini hanya dapat mewujudkan diri mereka di dalam tindakan manusia. penjelmaan mereka, namun, jarang sempurna. /kti'itas manusia ahli matematika sebagaimana nampak dalam sejarah, hanyalah suatu perwujudan meraba-raba dialektis yang menakjubkan dari ide-ide matematika. )etapi beberapa ahli matematika, jika ia mempunyai talenta, menyala, erdas, berkomunikasi dengan, merasakan usapan dari, dan mematuhi dialektis ini dari ide-ide. (7akatos, !"#, hal !#% :al itu dapat dilihat pada inti filsafat matematika dari 7akatos adalah suatu teori asal-usul pengetahuan matematika. Ini adalah suatu teori praktek matematika, dan karenanya suatu teori sejarah dari matematika. 7akatos tidak menawarkan suatu teori yang psikologis dari iptaan atau penemuan matematika, karena ia tidak berhubungan dengan asal-muasal dari aksioma-aksioma, definisi-definisi dan dugaan-dugaan di dalam pikiran indi'idu. &okusnya adalah di proses yang mengubah iptaan-iptaan pribadi ke dalam pengetahuan matematika yang diterima masyarakat umum, suatu proses yang terpusat menyangkut kritik dan perumusan kembali. 5alam hal ini, filsafatnya melekat menyerupai filsafat falsifiationist ilmu pengetahuan arl Popper, suatu hutang bahwa lakatos siap menguraikan. Bagi Popper (!"<"% mengemukakan suatu 0logika dari penemuan yang ilmiah0, di mana ia membantah bahwa memajukan ilmu pengetahuan melalui suatu proses dari dugaan-dugaan dan sangkalan-sangkalan. Perbedaan bahwa Popper berhubungan dengan dirinya sendiri hanya dengan rekonstruksi rasional atau idealisasi teori-teori, dan menyangkal keabsahan'aliditas
penerapan modelnya ilmu pengetahuan kepada sejarah. 7akatos sebaliknya, menolak untuk memisahkan teori yang filosofis dari perkembangan pengetahuan dari perwujudan historis. 5i samping penhindarannya dari perangkap paham psikologi, 7akatos mungkin dituduh tersesat keluar dari batas-batas perhatian filsafat sah(logis%. arena kontras dengan kebanyakan epistomologi di dalam dunia yang berbahasa Inggris, yang sangat fokus di pengetahuan yang objektif atau persoalan mengetahui satu hal, Nuasi-empirisme membahas mengetahui atau generasi pengetahuan sebagai bagian dari suatu proses sosial. 6amun, di dalam filsafat matematika, sebagaimana telah kita lihat, ada suatu kelangkaan penawaran teori-teori sebagai penjelasan yang ukup dari matematika. 5engan begitu keterbatasanketerbatasan tradisional pada apa yang berpengaruh sebagai hal yang sahlogis di dalam filsafat boleh sesungguhnya adalah satu rintangan kepada satu filsafat yang ukup dari matematika. ita selanjutnya berbalik pada e'aluasi penganut filsafat matematika aliran Nuasiempirisme 7akatos. /kan tetapi yang harus dikatakan bahwa filsafat matematika 7akatos jauh dari lengkap atau sistem memeahkanmenyusun seara penuh. :al ini karena dua faktor. Pertama, wafatnya pada usia yang terlalu muda. 7akatosK menulis hanya satu jilid keil dan lima naskah filsafat matematika, dan sejumlah ini belum selesai dan menerbitkan dengan anumerta. edua, gaya presentasinya dalam pekerjaan utamanya tak langsung, memanfaatkan suatu tanya jawab yang platonibersifat persaudaraan untuk merekonstruksi satu aspek dari sejarah dari matematika. GadiD 5engan demikian 7akatos telah mewariskan kita(kami satu menggairahkan filsafat yang tidak sempurna hanya dari matematika, jauh dari dikerjakan seara penuh atau ditekuni. 5engan begitu potensi, seperti juga perwujudannya, harus yang diingat di dalam menaksir Nuasi-empirismenya. . Kri!"ria K"!"r)ukupan dan 2uai E#piri
2ntuk menge'aluasi filsafat penganut aliran Nuasi-empirisme kita mempertimbangkan dari sudut ukuran-ukuran keterukupan.
Huasi 9mpiris menawarkan penjelasan parsial dari sifat dasar pengetahuan matematika, dan asal usul dan pertimbangannya. 5alam hal ini 7akatos ini menawarkan penjelasan lebih luas dibanding matematika filsafat-filsafat yang lain kita menganggap, jauh melampaui mereka di dalam lingkup. 2ntuk lapisan yang tradisional dari pengetahuan matematika disusun, ia menambahkan suatu yang baru, lapisan bawah, yakni pengetahuan matematika yang informal. 2ntuk sistem yang diperluas dia menambahkan suatu yang dinamis, yang tunjukkan tidak hanya bagaimana pengetahuan di dalam lapisan yang lebih rendah berkembang, tetapi juga hubungan antara kedua lapisan. Seara khusus, bagaimana pengetahuan di dalam lapisan yang lebih rendah dierminkan ke atas, oleh formalitas, kepada gambaran-gambaran wujud ideal di tingkatan bagian atas, yang dilihat sebagai kebenaran yang tak dapat diragukan dari matematika. 7akatos memegang buku untuk sifat dasar pengetahuan matematikasebagai hypothetio-deduti'e dan pura pura, empiris, membangun suatu analogi yang menolok dengan popper0s (!""% filsafat dari ilmu pengetahuan.
5ia
menjelaskan
untuk
kesalahan-kesahan
memegang
buku
dalam
pengetahuan matematika, dan menyediakan satu teori yang rumit dari asal dari pengetahuan matematika. hal ini berpotensi menguraikan lebih banyak praktek matematika, dan untuk sejarahnya. arena teori 7akatos dari asal usul dari pengetahuan matematika menuliskannya sama rata, di dalam banyak rasa hormat, dengan pengetahuan yang ilmiah, sukses dari aplikasi-aplikasi matematika berpotensi dapat diterangkan oleh analogi dengan ilmu pengetahuan dan teknologi. 3enjelaskan sukses dari matematika terapan akan menjadi suatu kekuatan yang penting, )erutama di wajah pengabaian yang ditunjukkan oleh filsafatfilsafat yang lain dari matematika (orner, !"#$%. /khirnya, suatu kuni kekuatan filsafat dari 7akatos matematika adalah hal tersebut bukanlah (presriptif% sifat yang menentukan, tetapi deskriptif, dan menoba untuk menggambarkan seperti itu tidaklah harus seperti yang dipraktekkan.
5ikaitkan dengan empat riteria keukupan, Nuasi-empirisme sebagian memenuhi perhatian pengetahuan matematika (i%, aplikasi (iii% dan praktek (i'%.
/. K"l"#a+an 2uai E#piri Laka!-
Huasi-empiriism dapat dikritik pada sejumlah penjelasan. Pertama, tidak ada penjelasan dari kepastian matematika. 7akatos gagal menjelaskan mengapa kebenaran matematika nampak paling pasti dari semua pengetahuan. 5emikian juga, ia gagal untuk menjelaskan kepastian nyatajelas kelihatan dari pengetahuan matematika, dan beratbeban yang terkait dengan pertimbangannya.
edua, 7akatos tidak menjelaskan sifat dasar obyek matematika, atau dari asalmuasal mereka. )idak ada indikasi di dalam penjelasannya dari hal yang masuk akal dari platonisme. Ia bahkan tidak menawarkan alasan-alasan untuk obyekti'itas heuristik, Ehukum otonomi perkembangan0 pengetahuan matematika, yang diasumsikan di dalam penjelasannya. etiga, 7akatos tidak menjelaskan baik sifat dasar atau keberhasilan aplikasiaplikasi matematika, atau efekti'itasnya di dalam ilmu pengetahuan, teknologi, dan di dalam bidang yang lain. 3ungkin saja dibantah, seperti yang telah saya lakukan, bahwa ada pertimbangan potensial kegunaan matematika dalam Nuasi empirisme. &akta tinggalnya bukan diisyaratkan maupun diberi. 7ebih lanjut, 7akatos mengadakan dan menunjuk seara eksklusif kepada matematika murni, maka penjelasan sifat dasar matematika terapan hilang dari filsafatnya.
eempat, 7akatos tidak ukup menetapkan legitimasi yang membawa sejarah matematika ke dalam inti filsafat matematika. 5alam hal ini, ia sedang menentang tradisi filosofis (meskipun, seperti yang telah kita lihat, satu peningkatan jumlah ahli filsafat membawa isu-isu genetik ke dalam filsafat hal asal%. Pendekatan 6ya adalah berpotensi berhasil, barangkali lebih dibanding filsafat-filsafat yang sebelumnya dari matematika. 3eskipun demikian pendekatan seara historisnya memerlukan pertimbangan eksplisit filosofis (di luar pertimbangan implisit bahwa ia sedang menoba menjelaskan matematika seara deskriptif%.
elima, terdapat permasalahan membandingkan status filsafatnya dan disertasi historis. 7akatos gagal untuk memberikan pertimbangan untuk memperkenalkan satu yang empiris (yaitu. terkaan% disertasi historis ke dalam satu pendekatan filosofis yang analitik, sederajat kedudukannya dengan metodologi logis. Ini, aku peraya, dalam kaitan dengan kegagalan untuk menandai logika ara dialektika umum penemuan matematika dari suatu tesis emperial yang spesifik mengenai langkah-langkah dari pengembangan dan pengembangan pengetahuan matematika. 7ogika yang umum dari penemuan matematika, seperti !"#+ Popper% logika adalah penemuan ilmiah, adalah hypothetio-deduti'e. itu melibatkan metode ara dialektika umum dugaan (termasuk bukti-bukti% dan ingkaraningkaran. Itu adalah murni metodologi logis, menggambarkan bentuk dan kondisi-kondisi yang umum untuk perbaikan, dan pada akhirnya, penerimaan dari pengetahuan matematika.
Berlawanan dengan, hipotesis 7akatos yang empiris berhubungan dengan langkahlangkah historis aktual melalui pengetahuan matematika lewat selama pengembangannya dari dugaan yang awal ke pengetahuan matematika yang diterima (tujuh tahap heuristik mengutip di atas%. Ini adalah satu dugaan empiris, dan tidak melembagakan suatu kondisi neesarry untuk kebenaran filsafat penganut aliran Nuasi-empirisme umum dari matematika. 5engan begitu rinian tesisi empiris spesifik bisa dimodifikasi, tanpa menyangsikan dasar (dan umum% filsafat. Sesungguhnya filsafat dan tesis historikal seara logika indipendent, di dalam penolakan sebagai sesuatu yang tidak memiliki keterlibatanketerlibatan logis untuk yang lain. lakatos sepertinya tidak auh pembedaan ini. eenam,
7akatos
penganut
filsafat
matematika
aliran
Nuasi-empirisme
menyediakan alasan-alasan yang bersifat perlu tetapi tidak ukup untuk menetapkan pengetahuan
mathamatika.
Aontoh-ontoh
dapat
ditemukan
tentang
pengetahuan
matematika yang setelah pengembangan dan perumusan kembali, mengikuti pola umum dari heuristik 7akatos, masih yang tidak disatukan ke dalam tubuh dari pengetahuan methematika yang diterima. /nggap, sebagai suatu outere@ample khayal, matematika yang idiosynrati bahwa bisa dikembangkan oleh suatu kelompok yang mistik, pembagian seperangkat kaidah-kaidah dan norma-norma, termasuk dasar dari metodologi mereka yang
kritis, yang ganjil kepada diri mereka. &akta bahwa kumpulan kreasi matematika bertahan prosesi mereka dari bukti-bukti dan
sangkalan-sangkalan tidak memberi mereka
penerimaan umum. 2ntuk
mengesampingkan
ontoh
seperti itu, Nuasi-empirisme memerlukan
pengambil-alihan suatu dasar yang dibagi bersama untuk metodologinya yang kritis, jika ada persetujuan yang uni'ersal pada hasil-hasilnya. Pada hakekatnya, ini adalah pengambilalihan pemakaian suatu logika yang standar, dan 'aliditasnya. /khirnya.
tidak
ada
penjelesan
yang
sistematis tentang
Nuasi-empirisme,
meletakkan bagian depannya seara detil, dan mengantisipasi dan membantah keberatankeberatan ke hal itu. Publikasi 7akatos di filsafat matematika meliputi studi-studi kasus historis yang direkonstruksi dan tulisan polemik.
Seara keseluruhan, itu dapat dilihat bahwa kekurangan(aat% utama dari Nuasiempirisme, adalah dosa-dosa karena kelalaian, dibanding komisi. ritik di atas, terus terang dari suatu sudut pandang yang simpatik, menyingkapkan tanpa kekurangan atau aat pokok. Aukup itu menandai (adanya% suatu program riset yang diperlukan, yakni untuk mengembangkan Nuasi-empirisme. D. 2uai E#piri#" dan Filafa! #a!"#a!ika
Huasi-empirisme menawarkan penjelasan parsial dari sifat dasar pengetahuan matematika, dan asal-usul dan pertimbangan nya. 5alam hal ini 7akatos menawarkan berpotensi suatu penjelasan yang jauh lebih luas dibanding matematika filsafat-filsafat yang lain yang telah dianggap. 5i dalam bagian yang besar, hal ini bergantung pada rekonseptualisasi 7akatos dan redefinisi dari filsafat matematika. 5ia menyangsikan sifat ortodoks yang dominan di dalam filsafat matematika mengenai foundasionisme dan absolutisme (argumentasiargumentasi di dalam pasal yang sebelumnya tidak mungkin telah dirumuskan, tetapi bagi 7akatos%.
5engan
begitu
ia
telah
membebaskan
filsafat
matematika
untuk
mempertimbangkan lagi fungsinya dalam istilah-istilah digambarkan di dalam pasal ini,
seperti juga untuk mempertanyakan status yang tidak tertandingi dari sampai sekarang kebenaran matematika. 3eski ini bersifat kritis (yaitu negati'e seara essensi% prestasi prestasi dari Nuasi-empirisme arti pentingnya tidak bisa diremehkan. 5alam kerangka positif Nuasi-empirisme mempunyai kemampuan(potensi% untuk menawarkan solusi untuk banyak persoalan baru. 7akatos bersikap untuk filsafat matematika. Pada bab selanjutnya saya akan berusaha untuk membangun sebuah erita filsafat matematika pada dasar Nuasi-empirisme 7akatos.
