RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA Caros Caro s am amig igos os, , es esta tamo mos s de vo volt lta! a! Ho Hoje je, , te tent ntar arei ei fa faze zer r um uma a au aula la suci su cint nta a so sobr bre e um as assu sunt nto o mu muit ito o si simp mple les s e ta tamb mbém ém mu muit ito o im impo port rtan ante te! ! Falaremos sobre a relação que há entre as Medidas de Tendência Central – Média, Moda e Mediana – e o comportamento da Simetria de um conjunto.
# Curva de Freqüências: Já vi vimo mos, s, no Po Pont nto o nº nº10 10 (Di (Dist stri ribu buiç içõe ões s Si Simé métr tric icas as), ), o qu que e é um Hist Hi stog ogra rama ma. . Es Esta tamos mos le lemb mbra rado dos? s? É aq aque uele le gr gráf áfic ico o qu que e re repr prese esent nta a um uma a Distribuição de Freqüências! Observemos o conjunto abaixo: C la s se s 0 !-- 10 10 !-- 20 20 !-- 30 30 !-- 40 40 !-- 50
fi 2 5 8 5 2
Construindo o Histograma para este conjunto, teríamos o seguinte:
Façamos agora o s eg u in t e : m a rq u em o s em cada ret re t â ng u l o do Histograma, em sua parte superior, o ponto correspondente ao Ponto Médio de cada classe. Ficaríamos assim:
Neste momento, voltaremos ao nosso tempo de infância e ligaremos os pontinhos marcados no histograma acima. Passaremos ao seguinte:
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Pois bem, amigos! Estamos agora diante de um novo gráfico, originado pelo Histograma, o qual chamaremos de Polígono de Freqüências! Primeira conclusão de hoje: o Polígono de Freqüências é um gráfico, representativo da Distribuição de Freqüências, obtido quando ligamos os Pontos Médios das classes do conjunto, marcados na parte superior dos retângulos do Histograma! Já houve uma questão teórica sobre esse gráfico em uma prova da ESAF. Veremos nos exercícios do fim da aula! Agora Polígono de o Polígono curvilíneo,
é que vem! Se quisermos aproximar estas retas que formam o Freqüências para uma curva, ou seja, se quisermos “suavizar” de Freqüências, fazendo com que suas retas tomem aspecto teríamos algo parecido com o seguinte:
Esta curva, que consideraremos apenas uma suavização do Polígono de Freqüências, é a chamada Curva de Freqüências, e também (como vimos) será representativa de uma Distribuição de Freqüências! Essa consideração que estamos fazendo (curva como mera suavização do Polígono) é apenas uma aproximação (que fique bem claro isso!) e que, para efeito de concurso, nos ajuda e não nos prejudica em nada! Portanto, aceitaremos dessa forma! Ou seja, percorremos este caminho até aqui, para concluir que uma Distribuição de Freqüências pode ser representada por uma Curva! Agora uma pergunta: o que podemos dizer acerca desta Distribuição de Freqüências que estamos estudando? Nem precisa pensar muito! De cara, respondemos que se trata de uma Distribuição Simétrica!
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Ora, já vimos nas aulas precedentes (nas Dicas de Ouro da Média, Moda e Mediana) que quando uma Distribuição de Freqüências é simétrica, teremos que a Média será igual à Moda e à Mediana. Certo? No caso de um conjunto simétrico com número ímpar de classes, sabemos que: Média = Moda = Mediana= Ponto Médio da Classe Intermediária! Passando essa informação para nosso gráfico, teremos:
Média=Mo=Md Já sabíamos praticamente tudo o que foi dito até aqui! Agora consideremos as duas outras situações, quando a Distribuição de Freqüências não for simétrica, ou seja, quando o conjunto apresentar assimetria! Observemos o conjunto abaixo (emprestado do Ponto nº10!): Classes 0 |--- 10 10|--- 20 20|--- 30 30|--- 40 40|--- 50 50|--- 60 60|--- 70 70|--- 80 80|--- 90 90|--- 100 100|--- 110 Se traçarmos o Histograma para esse fizemos no Ponto nº10, teremos o seguinte:
fi 2 6 11 15 8 7 6 4 3 2 1 conjunto
acima, como já o
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Saltando os passos de marcar os pontinhos (os Pontos Médios!), e de ligá-los (formando o Polígono de Freqüências), teremos (aproximadamente) a seguinte Curva de Freqüências:
Tomemos agora mais um conjunto, qual seja: Classes 0 |--- 10 10|--- 20 20|--- 30 30|--- 40 40|--- 50 50|--- 60 60|--- 70 70|--- 80 80|--- 90 90|--- 100 100|--- 110 Para esta Histograma:
Distribuição
de
fi 1 2 3 4 6 7 8 15 11 6 2 Freqüências,
teríamos
o
seguinte
Daí, se marcarmos os Pontos Médios de cada classe na parte superior dos retângulos; se traçarmos retas unindo esses pontos e construirmos o Polígono de Freqüências; se, enfim, aproximarmos as retas do Polígono de Frequencias para uma Curva de Freqüências, ficaríamos aproximadamente com o seguinte:
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O que temos que aprender agora é o seguinte: as duas Curvas de Freqüências que traçamos acima, para as duas Distribuições de Freqüências assimétricas, representam exatamente as duas situações de assimetria possíveis! Para melhor distingüir essas duas situações, observaremos seguinte: haverá, em cada caso, um lado da curva que tende mais para direção horizontal, enquanto o outro lado tende mais para a vertical. que faremos é simples: colocaremos uma setinha no lado que tende para horizontal, e daí teremos o nome da nossa assimetria! Vejamos:
o a O a
O raciocínio é simples: o lado que tende para a horizontal (setinha vermelha) aponta para a direita! Logo, estamos diante de uma Distribuição Assimétrica à Direita, ou de Assimetria Positiva! No outro caso, teremos:
Aqui, o lado que tende para a horizontal (setinha vermelha) aponta a esquerda! Concluímos: estamos diante de uma Distribuição Assimétrica à Esquerda ou de Assimetria Negativa! para
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Estamos quase chegando aos “finalmentes”! Só nos resta agora memorizar três frases curtas e simples (as Três Frases Mágicas), quais sejam:
1o) A seta puxa a Média! 2o) A Moda está no topo! 3o) A Mediana está no meio! Ora, estas frases traduzem as características destas três Medidas de Posição. Claro! A Média é sempre influenciada por valores extremos, os quais são “atraídos pela seta”. A Moda é o elemento de maior freqüência, e a maior freqüência está no topo (no ponto mais alto da curva!). A Mediana está sempre no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais! Daí, transpondo as três frases mágicas para nossos gráficos, teremos que:
Moda
Mediana
Média
Ou seja: sempre que a Média for maior que a Mediana, e esta for maior que a Moda, estaremos diante de uma Distribuição Assimétrica à Direita, ou de Assimetria Positiva! Teremos ainda que:
Média
Mediana
Moda
Traduzindo: quando tivermos a situação em que a Moda for maior que a Mediana, e esta maior que a Média, estaremos diante de uma Distribuição Assimétrica à Esquerda, ou de Assimetria Negativa! Percebamos que, nesta aula, nosso objetivo não é o de aprendermos a calcular os índices de Assimetria! Isso será objeto de uma aula futura (se Deus quiser!). Por hora, nossa meta consiste simplesmente em conhecermos o comportamento das Medidas de Tendência Central, nos casos de Distribuições de Freqüências Assimétricas à Direita e à Esquerda!
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Finalmente, quando a distribuição for simétrica, conforme já vimos no início desta aula, teremos que Média, Moda e Mediana serão coincidentes, conforme a Curva de Freqüências abaixo:
Média=Mediana=Moda Que outras observações podemos fazer acerca destes três gráficos conclusivos? 1o) Quando a distribuição for assimétrica, a Mediana estará sempre entre a Média e a Moda; o 2 ) Só será necessário conhecermos os valores de duas medidas de tendência central para sabermos se a distribuição é assimétrica positiva ou negativa. Particularmente, eu prefiro encontrar Média e Moda. Daí: Se a Média for maior que a Moda, a seta apontará para a direita (lembremos que “a seta puxa a Média” e que o valor maior fica sempre na direita!), logo o conjunto é de assimetria positiva (assimétrico à direita!); Se a Média for menor que a Moda, a seta estará apontando para a esquerda, logo teremos uma assimetria negativa (ou à esquerda!). Confesso, com toda honestidade, que em todas as provas que fiz de Estatística (sobretudo as de AFRF!) sempre desenhei os três gráficos que aprendemos hoje! São rápidos de se fazer, e nos garantem uma questão! E que questão é essa? É a do tipo que pergunta não o valor do índice de assimetria, mas apenas se a distribuição é simétrica, se é assimétrica à esquerda ou se é assimétrica á direita! Daí, só temos que calcular duas medidas de tendência central, compará-las lembrando das três frases mágicas, e acertar a questão! Facílimo!
# Relação Empírica de Pearson: Aprenderemos agora uma nova fórmula, na verdade uma relação entre Média, Moda e Mediana, desenvolvida pelo matemático Karl Pearson. Esta relação tem algumas particularidades! A rigor, para efeito de prova, não a utilizaremos para calcular as Medidas de Posição, a não ser, naturalmente, que o enunciado da questão o exija!! Até hoje isso não aconteceu! É a seguinte a Relação Empírica de Pearson: X
- Mo = 3( X - Md)
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Por meio desta relação, se conhecermos duas das medidas (Média e Moda, ou Média e Mediana, ou Moda e Mediana) teremos condições de calcular a terceira! Ocorre que, como já foi dito, tal relação não será utilizada por nós na prova, exceto se esta determinação estiver explícita no enunciado da questão! Quais seriam as particularidades e condições para aplicação desta relação empírica? São os seguintes: 1o) Só se aplicaria a distribuições de freqüência quase simétricas, ou seja, de fraca assimetria; 2o) Só se aplicaria a conjuntos unimodais, ou seja, que apresentam apenas uma Moda; 3o) Só se aplicaria se o conjunto tivesse um número de elementos n bastante elevado. E o mais importante: todas essas condições acima elencadas para a aplicação da relação empírica de Pearson ainda não lhe conferem uma característica de exatidão dos resultados. Em outras palavras: mesmo que as condições sejam atendidas, a relação de Pearson nos fornecerá apenas uma mera aproximação do resultado real! Talvez por isso nunca tenha sido objeto de prova até hoje! Por conta deste “até hoje”, não podemos deixar de mencionar esta relação! Além do mais, quando formos aprender como calcular o índice de Assimetria de um conjunto, voltaremos a recordar esta relação empírica de Pearson!
De teoria é só isso! Passemos aos exercícios propostos para hoje, cujas resoluções iniciarão nossa próxima aula!
EXERCÍCIOS DE HOJE Enunciado Único para as Questões de 1 a 5: Para cada um dos conjuntos abaixo, diga se a distribuição de freqüências é simétrica, ou assimétrica à direita (de assimetria positiva), ou assimétrica à esquerda (de assimetria negativa).
01. Trabalhe a Distribuição abaixo: 0 10 20 30 40
Xi !--!--!--!--!---
10 20 30 40 50
fi 3 5 8 4 2
02. Trabalhe a Distribuição abaixo: 0 15 30 45 60 75
Xi !--!--!--!--!--!---
15 30 45 60 75 90
fi 4 7 11 9 5 2 Página 8 de 10
03. Trabalhe a Distribuição abaixo: 0 7 14 21 28
Xi !--!--!--!--!---
7 14 21 28 35
fi 7 11 15 9 3
04. Trabalhe a Distribuição abaixo: 9,5 19,5 29,5 39,5 49,5
Xi !--!--!--!--!---
19,5 29,5 39,5 49,5 59,5
fi 4 6 7 2 1
05. Trabalhe a Distribuição abaixo: Xi 30 !--- 40 40 !--- 50 50 !--- 60 60 !--- 70 70 !--- 80 80 !--- 90 90 !--- 100 100 !--- 110 110 !--- 120
fi 1 3 7 11 14 11 7 3 1
O importante nestes exercícios será a memorização das três Curvas de Freqüências, características das três situações possíveis de simetria de um conjunto. Essa simples teoria pode nos garantir uma questão a mais na prova!
Vou abrir aqui um novo parênteses, pedindo a licença de todos, para dizer que AGORA É PRA VALER!! Próximo sábado, dia 05 de julho, estaremos iniciando em Fortaleza nossa turma de Matemática Financeira, cumprindo o programa de Fiscal da Receita, que por sinal é o mesmo do Fiscal de Fortaleza, cujo edital acabou de sair!! As aulas acontecerão sempre aos sábados pela manhã, e o local é uma sala que eu próprio organizei. Infelizmente a sala não é muito grande, de modo que as vagas são, realmente, limitadas. Começaremos às 8:15h com um mínimo de cinco alunos, ou às 8:30h com qualquer número de presentes! (Tá igual reunião de condomínio!). Contatos para pré-inscrição, pelo número (85)91.11.92.21. Quem tiver interesse, por favor ligue com antecedência para garantir sua vaga. O preço é inacreditavelmente promocional!! Só vendo! Nossos planos para as aulas vindouras são os seguintes: simulado estilo ESAF (elaborado por este que vos escreve), para efeitos de uma revisão sistemática de tudo o que vimos até aqui. Na seqüência, passaremos às Medidas Separatrizes e daí às tão ansiosamente esperadas “Medidas de Dispersão”.
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Devagar e sempre, a gente chega lá! Tenho pra mim que antes do próximo AFRF a gente terá condição de cumprir todo o programa e ainda de fazer outros simulados. Se Deus quiser! Fico por aqui! Um forte abraço a todos e até a próxima!
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