TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
1
P=240kN
Primer Primer 1:
Dimenzionisati nosa sistema proste grede, iji su optere#enje i popreni presek prikazani na skici. MB 30, RA 400/500.
g=40kN/m
STATIKI UTICAJI
a. stalno optere#enje
b. povremeno optere#enje
Ag = Bg = 40.0 × 6.0 / 2 = 120 kN
A p = 2.0 × 240.0 / 6.0 = 80 kN
Mg,max = 40.0 × 6.02 / 8 = 180 kNm
B p = 4.0 × 240.0 / 6.0 = 160 kN M p,max = 160 × 2.0 = 320 kNm (x = 4.0 m)
g=40kN/m
P=240kN
A
B Ag=120
Bg=120
0 6 1
A
B Ap=80
Bp=160
Mg
0 2 3
Mp
m N k 0 2 3 =
m N k 0 8 1 = g
p
M .
M .
Tg
x a m
0 4 0 2 1
x a m
0 2 1
0 6 1
0 8
Tp 0 6 1
0 8
DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA
MB 30 RA 400/500
⇒ f B = 2.05 kN/cm2 ⇒ σv = 40 kN/cm2
Mu 2 3 8
Maksimalni moment savijanja Mu, merodavan za dimenzionisanje, je u preseku u kome je za odgovaraju #u kombinaciju uticaja Tu=0. Sa dijagrama desno jasno je da je to presek na x = 4.0 m od oslonca A, gde je:
2 3 8 = u
M . x a m
Mg = 80×4.0 - 40 ×4.0 /2 = 160 kNm 2
M p= 80×4.0 = 320 kNm = M p,max. Mu = 1.6×160 + 1.8×320 = 832 kNm
PRIMERI ZA VEŽBE VEŽBE
2 5 3 6 3 3
0 8
Tu 0 8 4
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
2
Pritisnuta je gornja ivica nosaa, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, širine B, ili, za sluaj da je neutralna linija u rebru, oblika T. Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploi:
b + 20 × d p = 25 + 20 × 15 = 325 cm b + 0.25 × l = 25 + 0.25 × 600 = 175 cm = 175 cm 0 pretp. a1 = 9 cm ⇒ h = 65 - 9 = 56 cm B = min.
56
k =
832 × 10
2
2RØ25
= 3.677
175 × 2.05
ε b/εa = 1.558/10‰
;
µ = 7.775%
2RØ12 URØ10/25 2RØ25
; s = 0.135
x = s×h = 0.135×56 = 7.55 cm < 15 cm = d p
3RØ25
Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se potrebna površina zategnute armature odre%uje iz izraza:
= 7.775 ×
A a , potr .
175 × 56 100
×
2.05 40
3RØ25
= 39.05 cm 2
usvojeno: 8 RØ 25 (39.27 cm2) a1
=
3 × 4.5 + 3 × 10 + 2 × 15.5 8
= 9.3 cm ⇒ hstv. = 65 - 9.3 = 55.7 cm ≈ 56 cm = h pretp.
DIMENZIONISANJE PREMA GLAVNIM NAPONIMA ZATEZANJA
MB 30
⇒ τr = 1.1 MPa
(lan 89. Pravilnika BAB 87)
Usvojeno je za sve preseke z b = 0.9×h = 0.9×56 = 50.4 cm. a. levi deo nosaa (A-C)
88.5
TuA = 1.6×120 + 1.8×80 = 336 kN
τ An =
τ
C ,levo n
25 × 50.4
=
τAn =2.67
= 0.267 kN/cm 2 > τr
1.6×(-40) + 1.8×80 = 80 kN 80
τ
λ1 = L A −C ×
[MPa] 1 5 . 2 =
) u 1 , ( u
τ
8 6 . 1 =
) u 2 , ( u
τ
= 0.063 kN/cm < τr 2
25 × 50.4
λ1 = 400 ×
131.9
A =2.35 τRu
336
TuC,levo =
88
=1.1 τr =1.1
τCn =0.63
1 0 . 1 =
) u 3 , ( u
τ
λ=308.4
τ − τ r τ An − τ Cn ,levo A n
2.67 − 1.1 2.67 − 0.63
400
= 308.4 cm
Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama, a prema dijagramu τRu.
τnA = 2.67 MPa < 3 τr
PRIMERI ZA VEŽBE VEŽBE
91.6
⇒
3
τRuA = × (2.67 − 1.1) = 2.35 MPa 2
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
usvojeno: eu
=
m=2 ;
2 × 0.785 25 × 0.235
θ = 45°
;
3
α = 90°
; URØ10 (au(1)=0.785 cm2)
× 40 × (1 + 0 ×1) =13.62×au(1) = 10.69 cm ⇒ usvojeno eu = 10 cm
Odgovaraju#i napon koji nose ove uzengije je:
τ
(1 ) u,u
=
m × a (u1) b × e u
× σ v × (cos α + sin α × ctgθ) =
2 × 0.785 25 × 10
× 40 × (1 + 0 × 1) = 0.251 kN/cm 2 > τRu,max.
Više kao prikaz praktinog postupka nego stvarne potrebe za uštedom armature, izvršeno je prore%ivanje uzengija na pojedinim delovima dužine osiguranja. Za usvojene uzengije Ø10 maksimalno rastojanje, odre%eno iz zadovoljenja µuz,min.= 0.2% je:
eu
≤
m×a
(1) u
b × µ uz , min.
=
2 × 0.785 25 × 0.2 × 10 − 2
= 31.4 cm ;
b = 25 cm e u ≤ min .h 2 = 28 cm ⇒ usv. eu,max. = 25 cm 25 cm
Odgovaraju#i napon koji nose ove uzengije je:
τ
( 3) u,u
=
m × a (u1) b × e u
× σ v × (cos α + sin α × ctgθ) =
2 × 0.785 25 × 25
× 40 × (1 + 0 × 1) = 0.101 kN/cm 2
Deo nosaa na kome su potrebne uzengije guš #e od minimalih odre %uje se iz dijagrama τRu: ( 3) τ 0.101 u,u = 308.4 × x 3 = λ 1 × 1 − 1− = 176.5 cm τ Ru,max . 0 . 235
Dodatno prore%ivanje je uinjeno usvajanjem uzengija URØ10/15:
τ
( 2) u,u
=
m × a (u1) b × e u
× σ v × (cos α + sin α × ctgθ) =
2 × 0.785 25 × 15
× 40 × (1 + 0 × 1) = 0.168 kN/cm 2
Deo nosaa na kome su potrebne uzengije guš #e od ovih odre %uje se iz dijagrama τRu:
τ (u2,u) 0.168 = 308.4 × x 2 = λ 1 × 1 − 1− = 88.5 cm τ Ru,max . 0 . 235 Konano, usvojeno je: usvojeno:
UØ 10/10
(m=2) na dužini 90 cm > x 2
UØ 10/15
(m=2) na dužini 90 cm > x 3-x2
UØ 10/25
(m=2) na ostalom delu dužine
λ1
dodatna zategnuta armatura:
∆A a =
Tmu 2σ v
× ( ctgθ − ctgα) =
336 × (1− 0) = 4.20 cm2 2 × 40
usvojeno:
1
2 1
3 Ø 25 (14.73 cm )
Usvojene su 3RØ25 kao MINIMALNO TRE &INA šipki iz polja koje se moraju prevesti preko slobodnog oslonca (lan 168. Pravilnika BAB 87)
PRIMERI ZA VEŽBE VEŽBE
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
4
b. desni deo nosaa (deo C-B)
100.3 B τnB=τRu =3.81
TuB = 1.6×120 + 1.8 ×160 = 480 kN
τ = B n
480
99.7
τ
3τr
[MPa]
τCn =2.79
= 0.381 kN/cm > τr 2
25 × 50.4
Aτ
τCRu=2.54
TuC,desno = 1.6×40 + 1.8×160 = 352 kN
τCn ,desno =
352 25 × 50.4
8 6 . 1 =
= 0.279 kN/cm 2 > τr
) u 1 , ( u
τ
Kako je na itavom delu nosaa prekoraena vrednost τr , to je dužina osiguranja λ2 = 2.0 m. Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama i koso povijenim profilima, a prema dijagramu τRu.
τ nB > 3τr ⇒
B T bu =0
λ=200
B = τ nB = 0.381 kN/cm 2 ⇒ τ Ru
Napon 3τr je prekoraen na delu nosaa dužine
λ 3 = 200 ×
3.81 − 3.3 3.81 − 2.79
= 100.3 cm
3
τCn ,desno < 3τr ⇒ τ CRu,desno = × (0.279 − 0.11) = 0.254 kN/cm 2 2
Usvojene su na itavoj dužini osiguranja vertikalne uzengije URØ10/15:
τu,u =
m × a (u1) b × e u
× σ v × (cos α + sin α × ctgθ) =
2 × 0.785 25 × 15
× 40 × (1 + 0 × 1) = 0.168 kN/cm2
Na dijagramu τRu u prilogu je deo napona koji prihvataju uzengije uze ngije šrafiran vertikalnom, a deo koji je potrebno prihvatiti koso povijenim profilima ukrštenom šrafurom. Sledi: Sledi: 0.33 + 0.254 0.381 + 0.33 × 100.3 + × 99.7 − 0.168 × 200 × 25 = 781.5 kN 2 2 θ = 45° ; αk = 45° (ugao pod kojim se povijaju profili) usvojeno: H vu , k =
A a , k =
H vu, k
σ v × (cos α k + sin α k × ctgθ)
=
781.5 40 × (0.707 + 0.707 × 1.0 )
usvojeno:
= 13.81 cm 2 2
3 RØ 25 (14.73 cm )
Tana mesta povijanja kosih profila odre%uju se grafiki, konstrukcijom integralne krive. dodatna zategnuta armatura: Tu,u = τu,u× b×z = 0.168×25×50.4 = 211.1 kN Tmured. = Tu,u + T bu = 211.1 + 0 = 211.1 kN
∆A a =
red. Tmu
2σ v
× (ctgθ − ctgα) =
211.1 2 × 40
× (1 − 0 ) = 2.64 cm2
usvojeno:
2
Videti napomenu za deo A-B ( lan 168. Pravilnika BAB 87)
PRIMERI ZA VEŽBE VEŽBE
2 2
3 Ø 25 (14.73 cm )
