Problemario Tipo para el segundo examen parcial 1. El número de días X que le lleva a una empresa entregar un paquete de una ciudad V a otra ciudad M tiene la siguiente distribución x 2 3 4 5 6
P( x ) 0.55 0.25 0.1 0.05 0.05 a) Encuentra la media y la desviación estándar, b) ¿cuál es la probabilidad de que un paquete tarde más de tres días en llegar de la ciudad V a la ciudad M? c) si dos paquetes paquetes son enviados de la ciudad V en diferentes diferentes meses, ¿cuál es la probabilidad de que ambos paquetes lleguen a la ciudad M en al menos 4 días después de que fueron enviados? 2. Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos: dos mujeres y tres hombres. Supo Suponga nga que que los los cinco cinco candi candida datos tos están están igua igualme lmente nte calif califica icados dos y que que no exist existe e preferencia por ningún género al escoger. Sea X igual al número de mujeres elegido para cubrir los dos puestos. a) Determine P(x), b) trace un histograma de probabilidad para x. 3 La vigencia máxima de patente de un nuevo medicamento es 17 años. Al restar el perío período do reque requerid rido o para para prob probar ar y apro aprobar bar el fármac fármaco o por parte parte de la Direcc Dirección ión de Alimentos y Medicamentos, Medicamentos, se obtiene la vida real real del producto es decir, el período que que tiene una compañía para recuperar los gastos de investigación y desarrollo, y obtener una ganancia. Supóngase que la distribución de los valores de vida para medicamentos está dada en la siguiente tabla: Años, x 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P( x ) 0.03 0.05 0.07 0.10 0.14 0.20 0.18 0.12 0.07 0.03 0.01 a) Obte Obtenga nga el númer número o de años años espe esperad rado o como como tiempo tiempo de vigen vigencia cia o vida vida de un medicamento nuevo, b) calcule la desviación estándar de x, c) encuentre la probabilidad de que x caiga en intervalo (μ ± 2σ) 4. Un productor productor de acero está probando un nuevo aditivo para fabricar una aleación de acero. La función de masa de probabilidad conjunta de la intensidad de la tensión (en miles de libras/pulg 2) y la concentración aditiva es Intensidad de la tensión 150 200 Concentración de aditivo 100 0.02 0.05 0.06 0.11 0.04 0.01 0.08 0.10 0.06 0.04 0.08 0.17 0.08 0.04 0.14 0.12 a) ¿Cuáles son las funciones de masa de probabilidad marginal de X (concentración aditiva) y Y (intensidad de la tensión)? b) ¿X y Y son independientes? Explique, c) Dado que un espécimen tiene una concentración aditiva de 0.04, ¿cuál es la probabilidad de que la intensidad de la tensión sea de 150 o mayor? d) dado que una especie tiene una concentración aditiva de 0.08, ¿cuál es la probabilidad de que la intensidad de tensión sea mayor a 125? e) cierta aplicación aplicación requiere que la intensidad de la tensión sea igual
o mayor a 175. ¿Qué concentración aditiva debe utilizarse para que la probabilidad de cumplir con esta especificación sea máxima? 5. Una caja contiene cuatro focos de 75 W, tres de 60 W y tres focos fundidos. Se selecciona aleatoriamente dos focos de la caja. Sea X el número de focos seleccionados de 75 W, Y representa el número de focos seleccionados de 60 W. a) Determine la función de masa de probabilidad conjunta de X y Y, b) determine µ x, c) determine µ y, d) determine σx, e) determine σy, f) determine Cov(X,Y), g) determine ρ X,Y. 6. Una caja contiene tres cartas, 1, 2 y 3. Se eligen aleatoriamente dos de ellas, se reemplaza la primera antes de que salga la segunda. X representa el número en la primera y Y representa en la segunda. a) Determine la función de masa de probabilidad conjunta de X y Y, b) determine la función de masa de probabilidad marginal de p x(x) y py(y), c) determine µ x y µy, d) determine µ xy, e) determine Cov(X,Y). 7. La lectura de un termómetro calibrado en agua helada (temperatura real de 0°C) representa una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad.
k(1 − x 2 ) − 1 < x < 1 f ( x ) = de otro modo 0 Donde k es una constante. a) Determine el valor de k, b) ¿cuál es la probabilidad de que el termómetro indique una temperatura mayor a 0 °C? c) ¿cuál es la probabilidad de que la lectura esté dentro los 0.25 °C de la temperatura real? d) ¿cuál es la media de la lectura? e) ¿cuál es la mediana de la lectura? f) ¿cuál es la desviación estándar? 8. La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la función de densidad 20000 x>0 f ( x ) = ( x + 100 )3 0 en cualquier otro caso. Encuentre la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de a) al menos 200 días, b) cualquier duración entre 80 a 120 días. 9. El tiempo de espera, en horas, entre corredores sucesivos detectados por un radar es una variable aleatoria continua con distribución acumulada x≤0 0, F( x ) = −8 x 1 − e , x > 0. Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre corredores sucesivos, a) con el uso de la distribución acumulada de X, b) con el uso de la función de densidad de probabilidad de X. 10. Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. a) Sea X = 1, si anota el tiro, si no lo hace, X = 0. Determine la media y la varianza de X, b) si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe
puntos. Sea Y el número de puntos anotados. Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique por qué, c) determine la media y varianza de Y. 11. Se lanza al aire una moneda de 1 y 5 centavos. Sea X = 1 si sale águila en la moneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier otro caso. Sea Y = 1 si sale águila en la moneda de 5 centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale águila en ambas monedas y Z = 0 en cualquier otro caso. a) Sea p x la probabilidad de éxito de X. Determine p x, b) Sea p y la probabilidad de éxito de Y. Determine p y, c) Sea p z la probabilidad de éxito de Z. Determine p z, d) ¿son X y Y independientes? e) ¿es p z = pxpy? f) ¿es Z = XY? Explique. 12. Se dice que un nuevo procedimiento quirúrgico tiene éxito en 80% de los casos. Suponga que la operación se realiza cinco veces y que los resultados son independientes entre sí. ¿Cuáles son las probabilidades de estos eventos? a) Las cinco operaciones tienen éxito, b) exactamente cuatro tienen éxito, c) menos de dos tienen éxito. 13. Los registros muestran que 30% de los pacientes admitidos en una clínica médica no pagó sus facturas y que éstas no se cobraron finalmente. Suponga que n = 4 pacientes nuevos representan una selección aleatoria del gran conjunto de pacientes probables a atender por la clínica. Encuentre estas probabilidades: a) Las cuentas de todos los pacientes al final tendrán que ser condonadas, b) una tendrá que ser condonada, c) Ninguna tendrá que ser condonada. 14. Suponga que 10% de los campos en un área agrícola dada están infestados con la mosca blanca de la papa. En esta área se eligen al azar cien campos para comprobar la existencia de la mosca blanca. a) ¿Cuál es el número promedio de campos muestreados que están infestados con la mosca blanca? b) dentro de qué límites esperaría usted encontrar el número de campos infestados, con probabilidad aproximada de 95%, c) ¿qué podría concluir si encontrara que x = 25 campos están infectados? ¿Es posible que en este experimento no se satisfaga una de las características de un experimento binomial? Explique. 15. Las barras de pan de centeno que cierta panadería distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 centímetros y una desviación estándar de dos centímetros. Suponga que las longitudes están distribuidas normalmente, ¿qué porcentaje de las barras son: a) más largas que 31.7 centímetros? b) entre 29.3 y 33.5 centímetros de longitud? c) más cortas que 25.5 centímetros? 16. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros, a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros? b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? d) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?
17. La penicilina es producida por el hongo Penicillium, que crece en un caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración óptima de azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo el día. a) Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL, ¿en qué proporción de días se suspenderá el proceso? b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con media de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL. ¿Este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida? Explique. 18. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es de 0.9. De los siguientes 100 pacientes que tienen esta operación, ¿cuál es la probabilidad de que: a) sobrevivan entre 84 y 95 inclusive? b) sobrevivan menos de 86? 19. Investigadores de la Universidad George Washington y del Instituto Nacional de Salud reportan que aproximadamente 75% de las personas creen que “los tranquilizantes funcionan muy bien para hacer que una persona esté más tranquila y relajada”. De las siguientes 80 personas entrevistadas, ¿cuál es la probabilidad de que: a) al menos 50 sean de esta opinión? b) a lo más 56 tengan esta opinión? 20. Un fabricante de medicamentos sostiene que cierto medicamento cura una enfermedad de la sangre en promedio en 80% de los casos. Para verificar la aseveración, inspectores gubernamentales utilizan el medicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar la afirmación si 75 o más se curan. a) ¿Cuál es probabilidad de que la afirmación se rechace cuando la probabilidad de curación es, de hecho, 0.8? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno acepte la afirmación cuando la probabilidad de curación sea tan baja como 0.7?
