GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
5a) Osnovni materijal Č0361 (II sl.o.) ⇒ dopušten normalni napon σ dop = 18 kN/cm2
5. Zadatak 5a. Dimenzionisati nosač sistema proste grede koji je opterećen prema skici. Nosač je kontinualno bočno pridržan. q =7 kN/m
dopušten smičući napon
τ dop = 10 kN/cm 2
Dimenzionisanje nosača: Uticaji u nosaču
P =20 kN a=2m L=6m Poprečni presek nosača usvojiti iz asortimana vruće valjanih profila: IPE
HEB
Osnovni materijal: Slučaj opterećenja: Dozvoljeni ugib nosača:
HEM Č0361 II L/250
5b. Dimenzionisati nosač sistema kontinualne grede na dva polja koji jeopterećen jednakopodeljenim opterećenjem. Gornja nožica nosača je bočno pridržana: − nad osloncima i u sredinama raspona, q = 8 kN/m L=7m
W pot =
M max 54,67 = = 303,7 cm 3 σ dop 18
a) Poprečni presek IPE 240 bf=120 mm tf =9,8 mm h=240 mm tw =6,2 mm
Poprečni presek nosača usvojiti iz asortimana vruće valjanih profila: IPE Osnovni materijal: Slučaj opterećenja: Dozvoljeni ugib nosača:
Č0361 I L/300
A=39,1 cm2 Iy= 3890cm4 Iz= 284 cm4 iy= 9,97 cm iz= 2,69 cm
Wy=324cm3 Wz= 47,3 cm3 Sy=183cm3 G=30,7 kg/m
Kontrola napona: σ max = τ max =
M max 5467 = = 16,87 kN/cm 2 < σ dop =18 kN/cm2 Wy 324 Tmax ⋅ S y tw ⋅ I y
=
34,33 ⋅ 183 = 2,6 kN/cm 2 < τ dop =10 kN/cm2 0,62 ⋅ 3890
Kontrola uporednog napona na mestu maksimalnog momenta savijanja
1
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
24 − 0,98 = 135,4 cm 3 2 = 34,33 − 2 ⋅ 7 = 20,33 kN
S y ,0 = (12 ⋅ 0,98) ⋅ Todg
σ1 = τ1 =
σ1 = τ1 =
M max h − 2t f 5467 (24 − 2 ⋅ 0,98) ⋅ = ⋅ = 15,5 kN/cm2 < σ dop =18 kN/cm2 Iy 2 3890 2 T ⋅ S y ,o tw ⋅ I y
=
fmax(P) =
Kontrola ugiba: 5⋅ q ⋅l4 5 ⋅ 0,07 ⋅ 600 4 fmax(q) = = = 1,4 cm 384 ⋅ I y ⋅ E 384 ⋅ 21000 ⋅ 3890
(
)
3
=
=
20,33 ⋅ 209,2 = 1,31 kN/cm 2 < τ dop =10 kN/cm2 0,85 ⋅ 3830 2
Kontrola ugiba: 5 ⋅ q ⋅ l4 5 ⋅ 0,07 ⋅ 600 4 fmax(q) = = = 1,47 cm 384 ⋅ I y ⋅ E 384 ⋅ 21000 ⋅ 3830
2
P a ⋅ ⋅ 3 ⋅ l 2 − a2 27 ⋅ E ⋅ I y l
tw ⋅ I y 2
σ u = σ 1 + 3 ⋅ τ 1 = 15,52 + 3 ⋅1,142 = 15,6 kN/cm 2 < σ dop =18 kN/cm2
fmax(P) =
T ⋅ S y ,o
σ u = σ 1 + 3 ⋅ τ 1 = 10,852 + 3 ⋅ 1,312 = 11,1 kN/cm 2 < σ dop =18 kN/cm2
20,33 ⋅135,4 = 1,14 kN/cm 2 < τ dop =10 kN/cm2 0,62 ⋅ 3890
2
M max h − 2t f 5467 (18 − 2 ⋅1,4 ) ⋅ = ⋅ = 10,85 kN/cm 2 < σ dop =18 kN/cm2 Iy 2 3830 2
(
P a ⋅ ⋅ 3 ⋅ l 2 − a2 27 ⋅ E ⋅ I y l
(
20 200 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 600 2 − 200 2 27 ⋅ 21000 ⋅ 3890 600
l2 − a2 600 2 − 200 2 l = = 326 cm ≈ 300 cm = 3 3 2 fmax(q+P) = 1,4 + 0,95 = 2,35 cm < 2,4 cm = l/250 = fdop x=
)
3
l2 − a2 600 2 − 200 2 l = = 326 cm ≈ 300 cm = 3 3 2 fmax(q+P) = 1,47 + 0,96 = 2,43 cm ≈ 2,4 cm = l/250 = fdop c) Poprečni presek HEM 160
A=65,3 cm2 Iy= 3830cm4 Iz= 1360 cm4 iy= 7,66 cm iz= 4,57 cm
Wy=426 cm3 Wz= 151 cm3 Sy=241cm3 G=51,2 kg/m
Kontrola napona:
τ max =
M max 5467 = = 12,8 kN/cm 2 < σ dop =18 kN/cm2 Wy 426 =
34,33 ⋅ 241 = 2,54 kN/cm 2 < τ dop =10 kN/cm2 0,85 ⋅ 3830
Kontrola uporednog napona na mestu maksimalnog momenta savijanja 18 − 1,4 S y , 0 = (18 ⋅ 1,4) ⋅ = 209,2 cm 3 2 Todg = 34,33 − 2 ⋅ 7 = 20,33 kN
2
A=97,1 cm2 Iy= 5100cm4 Iz= 1760 cm4 iy= 7,25 cm iz= 4,26 cm
Wy=566 cm3 Wz= 212 cm3 Sy=337cm3 G=76,2 kg/m
Kontrola napona: σ max =
tw ⋅ I y
(
20 200 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 600 2 − 200 2 27 ⋅ 21000 ⋅ 3830 600
bf=166 mm tf =23 mm h=180 mm tw =14,5 mm bf=180 mm tf =1,4 mm h=180 mm tw =8,5 mm
Tmax ⋅ S y
=
x=
b) Poprečni presek HEB 180
τ max =
3
fmax(P) = 0,96 cm Položaj maksimalnog ugiba usled sile P = 20 kN
fmax(P) = 0,95 cm Položaj maksimalnog ugiba usled sile P = 20 kN
σ max =
)
M max 5467 = = 9,7 kN/cm 2 < σ dop =18 kN/cm2 Wy 566 Tmax ⋅ S y tw ⋅ I y
=
34,33 ⋅ 337 = 1,56 kN/cm 2 < τ dop =10 kN/cm2 1,45 ⋅ 5100
Kontrola uporednog napona na mestu maksimalnog momenta savijanja 18 − 2,3 S y ,0 = (16,6 ⋅ 2,3) ⋅ = 299,7 cm 3 2 Todg = 34,33 − 2 ⋅ 7 = 20,33 kN σ1 = τ1 =
M max h − 2t f 5467 (18 − 2 ⋅ 2,3) ⋅ = ⋅ = 7,2 kN/cm 2 < σ dop =18 kN/cm2 Iy 2 5100 2 T ⋅ S y ,o tw ⋅ I y
=
20,33 ⋅ 299,7 = 0,82 kN/cm 2 < τ dop =10 kN/cm2 1,45 ⋅ 5100
3
)
3
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
Osnovni materijal Č0361 (I sl.o.) ⇒ dopušten normalni napon σ dop = 16 kN/cm 2
σ u = σ 1 + 3 ⋅ τ 1 = 7,2 2 + 3 ⋅ 0,82 2 = 7,33 kN/cm 2 < σ dop =18 kN/cm2 2
2
dopušten smičući napon
τ dop = 9 kN/cm 2
Dimenzionisanje nosača: Uticaji u nosaču
Kontrola ugiba: 5 ⋅ q ⋅ l4 5 ⋅ 0,07 ⋅ 600 4 fmax(q) = = = 1,1 cm 384 ⋅ I y ⋅ E 384 ⋅ 21000 ⋅ 5100 fmax(P) =
(
P a ⋅ ⋅ 3 ⋅ l 2 − a2 27 ⋅ E ⋅ I y l
)
3
=
(
20 200 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 600 2 − 200 2 27 ⋅ 21000 ⋅ 5100 600
)
3
fmax(P) = 0,72 cm Položaj maksimalnog ugiba usled sile P = 20 kN l2 − a2 600 2 − 200 2 l = = 326 cm ≈ 300 cm = 3 3 2 fmax(q+P) = 1,1 + 0,72 = 1,82 cm < 2,4 cm = l/250 = fdop x=
Analiza dobijenih rezultata
80
Težina prfila [kg/m]
70
W pot =
60
M max 4900 = = 306,25 cm 3 σ dop 16
50
Poprečni presek IPE 240 valjani profil
40 30 20
bf=120 mm tf =9,8 mm h=240 mm tw =6,2 mm
10 0 IPE 240
HEB 180
HEM 160
Profil
A=39,1 cm2 Iy= 3890cm4 Iz= 284 cm4 iy= 9,97 cm iz= 2,69 cm
Wy=324cm3 Wz= 47,3 cm3 Sy=183cm3 Sy,o=135,4cm3 It= 12,9 cm4
Kontrola napona: Presek sa maksimalnim momentom u polju
σ max =
M max 2756 = = 8,5 kN/cm 2 < σ dop =16 kN/cm2 Wy 324
Presek nad srednjim osloncem
σ max = τ max =
5b)
M max 4900 = = 15,1 kN/cm 2 < σ dop =16 kN/cm2 Wy 324 Tmax ⋅ S y tw ⋅ I y
=
35,0 ⋅183 = 2,65 kN/cm 2 < τ dop =9 kN/cm2 0,62 ⋅ 3890
Kontrola uporednog napona
4
5
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
σ = τ=
M max h − 2t f 4900 (24 − 2 ⋅ 0,98) ⋅ = ⋅ = 13,9 kN/cm2 < σ dop =16 kN/cm2 Iy 2 3890 2 T ⋅ S y ,o tw ⋅ I y
=
35 ⋅135,4 = 1,96 kN/cm 2 < τ dop =9 kN/cm2 0,62 ⋅ 3890
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE 2
2
l I 350 12,9 K = 1 + 0,156 z ⋅ t = 1 + 0,156 = 2,51 ⋅ h Iz 24 284 φ=
K + ρ2 − ρ K + ρ2
=
2,51 + 0,462 − 0,46 2,51 + 0,462
=0,72
σ u = σ 2 + 3 ⋅ τ 2 = 13,92 + 3 ⋅1,962 = 14,3 kN/cm 2 < σ dop =16 kN/cm2 Kontrola ugiba nosača * q ⋅ L4 8 ⋅ 74 f = k⋅ = 0,248 ⋅ = 1,22 cm < f dop = L / 300 = 2cm I 3890 Kontrola stabilnosti nosača na bočno torziono izvijanje ** 1. Pritisnuta gornja nožica
2 2 + σ Dw = 0,72 ⋅ 24,52 + 18,52 = 22,1 kN/cm2 σ cr = φ ⋅ σ Dv
Koeficijent oblika poprečnog preseka 2 ⋅ S y 2 ⋅183 W = = 1,13 α P = y , pl = 324 Wy ,el Wy Relativna (bezdimenzionalna) vitkost αp ⋅ fy 1,13 ⋅ 24 = = 1,108 λD = σ cr 22,1 Bezdimenzionalni koeficijent bočno torzionog izvijanja 1/ n
Razmak tačaka bočnog pridržavanja je:
l z = l t = L / 2 = 3,5 m
Poluprečnik inercije dela preseka koga sačinjavaju pritisnuta nožica i 1/6 rebra: A f = b f ⋅ t f = 12 ⋅ 0,98 = 11,76 cm2 Aw = A − 2 ⋅ A f = 39,1 − 2 ⋅11,76 = 15,58 cm2 bf
Af
12 11,76 ikz = ⋅ = ⋅ = 3,13 cm A + A / 6 11 , 76 + 15,58 / 6 12 12 f w Sen Venanov kritičan napon: π 0,41 ⋅105 σ Dv = ηt ⋅ ⋅ EI z ⋅ GI t = ηt ⋅ ⋅ I z ⋅ I t [kN/cm2] l t ⋅Wy l t ⋅ Wz σ Dv = 1,12 ⋅
Kontrola napona M 2756 σ 17,14 σ= = = 8,51 kN/cm 2 < D = = 11,43 kN/cm 2 Wy 324 ν 1,5 2. Pritisnuta donja nožica Razmak tačaka bočnog pridržavanja je***: 3 1 M ( x ) = ⋅ q ⋅ l ⋅ x − ⋅ q ⋅ x 2 za M(x)=0 ⇒ x = 5,25 m 8 2 Dužina pritisnutog dela nožice je od nulte tačke dijagrama momenata do oslonca l z = 7 − 5,25 = 1,75 m l t = 1,75 m
0,41 ⋅105 ⋅ 284 ⋅12,9 = 24,5 kN/cm2 350 ⋅ 324 Sen Venanov kritičan napon: π 0,41 ⋅105 σ Dv = ηt ⋅ ⋅ EI z ⋅ GI t = ηt ⋅ ⋅ I z ⋅ I t [kN/cm2] l t ⋅Wy l t ⋅ Wz
Kritični napon deplanacije: lz 350 λkz = = = 105,7 η z ⋅ ikz 1,12 ⋅ 3,13
0,41 ⋅ 105 ⋅ 284 ⋅12,9 = 77,5 kN/cm2 175 ⋅ 324 Kritični napon deplanacije: lz 175 λkz = = = 42,02 1,77 ⋅ 3,13 η z ⋅ ikz σ Dv = 1,77 ⋅
E 2,07 ⋅105 σ Dw = π 2 ⋅ 2 = = 18,5 kN/cm2 λkz 105,7 2 Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja
*
1/ 2
1 1 = χ D = = 0,632 (n=2 za valjane profile) 2n 4 1 λ 1 1 , 108 + + D Granični napon bočno torzionog izvijanja σ D = αP ⋅ χD ⋅ fy ≤ fy σ D = 1,13 ⋅ 0,632 ⋅ 24 = 17,14 kN/cm2 < 24,00 = fy
Čelične konstrukcije u građevinarstvu / str. 896 Čelične konstrukcije u građevinarstvu / JUS U. E7. 101 / str. 674
**
6
***
Metalne konstrukcije 1 / str. 520
7
GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU KATEDRA ZA METALNE KONSTRUKCIJE
E 2,07 ⋅105 = = 117,23 kN/cm2 2 λkz 42,2 2 Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja σ Dw = π 2 ⋅
2
2
l I 175 12,9 K = 1 + 0,156 z ⋅ t = 1 + 0,156 = 1,377 ⋅ h Iz 24 284 φ=
K + ρ2 − ρ K + ρ2
=
1,377 + 0,46 2 − 0,46 1,377 + 0,46 2
=0,635
2 2 σ cr = φ ⋅ σ Dv + σ Dw = 0,635 ⋅ 77,52 + 117,2 2 = 89,2 kN/cm2
Relativna (bezdimenzionalna) vitkost αp ⋅ fy 1,13 ⋅ 24 = = 0,551 λD = σ cr 89,2 Bezdimenzionalni koeficijent bočno torzionog izvijanja 1/ n
1/ 2
1 1 = χ D = = 0,957 (n=2 za valjane profile) 2n 4 1 + 0,551 1 + λD Granični napon bočno torzionog izvijanja σ D = αP ⋅ χD ⋅ fy ≤ fy σ D = 1,13 ⋅ 0,957 ⋅ 24 = 25,95 kN/cm2 > 24,00 ⇒ σ D = 24 kN/cm 2 = fy Kontrola napona σ M 4900 24,00 σ= = = 15,12 kN/cm 2 < D = = 16,00 kN/cm 2 Wy 324 1,5 ν / Usvaja se valjani profil IPE 240 /
8
