1
lnclined Plane with Friction
INCLINE.XLS Chapter 4
3
l,,rlass
t4
Ac c e e raticil:oFg ravity Coefficient of static friction
r5 b ,7
I
K
69
)
m/s2
degree Normal Force
10 11 123 134 145 156 167 178 189
kg
1
2
r ) x\ttcru.(&Ettl*Et2l
97.98507 97.9403 97.86569 97.76128 97.62708 97.46315 97.26952 97.04627 96.79346
Force Down the Plane 0 1.710336 3.420151
5.128924
48.95 48.91
6.836'134
48.9: 48.8f
8.541263
48.8'
10.24379 11.9432 13.63896 15.33058
48.7: 48.61
48.5: 48.3!
l,
Nrnyur m
Ilmuwan
S.C. BTOCH
4
EXCEL untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi Kedua
.!t l.'
{
t"
S. C. BLOCH Universit-y of Soutlt Florida
PENERBIT ERLANGGA Jl. H. Baping Raya No. l0t) Ciracas. Jakarta [37;10 http://www.erlangga.co.id e-mai l:editor@ erlangga.net
(Anggota IKAPI)
?9 '*1 /ItUZte MtI-lK Bcdan Petilrr-('lai:a3rt -[-itl tf Prnoin:i 'zrva
EXCEL untuk Insinrur dan Ilmuxan
S C B-.'.: Juciul
.\.1i: E\CEL for Engineers and Scientists
S C B]...:Originel
Coplright
e
ISB\ John
o-+- I :56361
\\iler s
Sons. Inc.
franslation copl-ri_uht e l0O- 6r Penerbit Erlangga. All rights reserved. This translation of EXCEL tbr Engineer: and Scientists Second Edition is published by arangement *ith John \\ilcr & Sons, Inc. Hak terjemahan dalam Bahasa Indone:il ptda Penerbit Erlangga berdasarkan perjanjian resnri tangral l5 Oktober 2005
Alih Bahasa: Soni Astranto.
S.Si.
Editor: Lemeda Simarmata.
S.T.
Taufan Prasetlo. S.Kom. Buku ini diset dan dilayout oleh Basian ProdLrksi Penerbit Erlangga dengan Power Macintosh G5 tTimes l0 pt1 Setting oleh: Tim Setting Perti
Dicetak oleh: PT Gelora Aksara Pratama
1110090807
654321
Dilartrng keras mengutip, ntenjiplak. memfuokopi, atau memperbtutt'ak dalcun bentuk apopun, baik sebugian utau keseluruhan isi bukLr irti, serta ntentperjuttlbelikunnya tttnpa i:.in terttiis dari Penerbit Erlangga.
O HAK CIPTA DILINDUNGI OLEH UNDANG-UNDANG
Pendahuluan lntisari dari ilmu pengetahuan adalah memilikinya, lalu mengaplikasikannya Confucius (K'ung Futse, 551 SM - 479 SM)
EXCEL adalah lembar pengolah angka (spread.sheet) yang sangat populer untuk aplikasi-aplikr.r
di bidang sains, rekayasa, dan teknik karena fasilitas-fasilitasnya yang begitu kaya dan berlaku secara universal. EXCEL merupakan sebuah aplikasi pengolah angka yang lengkap yang marnpu mempercepat serta memudahkan Anda menganalisis, mengatur, menginterpretasikan maupun memaparkan data-data. Aktivitas di bidang rekayasa dan sains membutuhkan kemampuan dalam berimajinasi. pemahaman. nalar, dan perhitungan. Semuanya saling terkait satu sama lainnya, sehingga bila Anda dapat memiliki salah satunya saja maka sebenarnya Anda telah memiliki lebih daripada 25 persen keuntungan di tahap awal. Buku ini akan membantu Anda dari sisi yang paling mudah, yaitu perhitungan. Tiga hal lainnya tergantung kepada diri Anda sendiri.
Tujuan buku ini Buku ini bertujuan untuk membantu Anda dalam melakukan perhitungan dan analisis terhadap data-data. Perhitungan lebih mudah dilakukan daripada berimajinasi, memahami, dan bernalar. namun perhitungan tidak selalu mudah dilakukan dan kadang justru membosankan. Ini adalah buku mengenai "Bagaimana harus berbuat" yang dimaksudkan untuk memberikan kemampuan dalam memecahkan persoalan yang Anda butuhkan menyelesaikan pekerjaan. Di dalamnya akan terdapat banyak topik lanjutan yang dapat Anda pelajari nanti. Buku ini didesain agar dapat masuk ke dalam tas punggung dan dapat digunakan secara interaktif dengan notebook atau komputer desktop Anda. Hidupkan komputer Anda dan masukkan CD-nya. Jalankanlah EXCEL bersama dengan buku kerja di dalam CD sambil Anda membaca buku ini bab demi bab insatlah bahwa: -
. . .
Saya mendengar, saya lupa. Saya melihat, saya ingat.
Saya melakukan, saya paham.
Siapa yang membutuhkan buku ini? Buku ini diperuntukkan bagi para insinyur dan ilmuwan, juga orang-orang yang ingin nren-1adr insinyur atau ilmuwan, atau bagi siapa saja yang ingin mengetahui hal-hal spesifik dari sesuaru yang telah diketahuinya sebelumnya. Buku ini pada dasarnya diperuntukkan bagi para pentuil. para mahasiswa yang mungkin menghadapi kesulitan dalam mata kuliah kalkulus. kimia. fi6log:. fisika, dan baru mulai mempelajari ilmu-ilmu statika, dinamika, termodinamika. biologi molek:i. rangkaian arus bolak-balik, elektrodinamika, mekanika kuantum, dan berbagai disiplin :.- lainnya.
Pendahuluan
lsi buku ini mencakup: . ' . . . . . . .
Ada 90 buah contoh buku kerja di dalam CD yang dikelompokkan berdasarkan bab. Penjelasan-penjelasannya dibuat dalam format teks maupun gambar, sederhana, dan langsung ke pokok masalah. Seluruh gambar di dalam CD ditampilkan berupa buku kerja (tvorkbook) dan berwarna. Bagaimana cara membuat struktur data, melakukan efisiensi. mendokumentasikan komposisi buku kerja melalui sel-sel data masukan, merangkum hasil dan statistik sel, maupun memberikan
catatan (comment) terhadap sel. Tips dan trik penggunaan EXCEL untuk keperluan aplikasi-aplikasi rekayasa dan sains. Strategi pengajaran untuk membantu para pemula. Titik berat pemaparan data secara grafis diberikan dalarn tbrmat yang standar. Disediakan web sire untuk mengupdate materi dan CD. Link ke Internet. Lampiran 2 dan Daftar Pustaka terdapat di dalam CD dalam format HTML agar dapat diakses melalui w^eb brovser. Metode diferensiasi dan teknik integrasi sederhana dijabarkan dan diperbandingkan dengan jelas.
. . . ' . . ' . . . . .
Penjabaran secara menyeluruh terhadap fasilitas-fasilitas di dalam Analvsis ToolPak menjadikan
EXCEL berguna secara teknologi. Latihan-latihan untuk meningkatkan kemampuan diberikan di retiap hab. Aplikasi-aplikasi operasi matriks berformat EXCEL. Penggunaan EXCEL untuk mengimpor, menganaliri:. Jun 11.'lsgkspot- data ke aplikasi pengolah kata (u,ord processor'). Menyisipkan lembar kerja aktif ke dalam aplika.i penSolrh kltri. Memasukkan klip video maupun klip gambar ke drl.rnr lenrber kerja nlorls/reer). Penggunaan EXCEL untuk menarik data secara Lrtr)nrati. d;rn nrencontrol eksperimen baik lokal maupun jarak jauh. Penggunaan EXCEL bersama-sama dengan hardu are Jrn :trtiri are populer lainnya. Penarikan data eksperimen melalui port serial. atau p.rrelel tanpa bantuan perangkat tambahan lainnya. Pengunaan data eksperimen EXCEL melalui Trorr USB. Petunjuk penggunaan Fast Fourier Transform dengan brnruan EXCEL. Petunjuk penggunaan Fast Fourier Transform dalani apiiku:i-aplikasi rekayasa dan sains dengan bantuan beberapa fungsi dan operasi di dalam E\CEL.
Yang baru di Edisi Kedua ini: . Kaya akan buku kerja yang mendemonstrasikan ta\iiira\-iasilitas di EXCEL. . Pertanyaan yang sertng diajukan (Frequentlr'-ri.rA't,r1 Qtrt,srirtr.s. FAQ) beserta jawabannya. ' Ditampilkannya lebih banyak contoh kasus dalam disiplin ilrnu rekayasa dan sains. . Penjelasan luas mengenai metode integrasi. . Kaya akan metode-metode matriks beserta contoh-contohnva. ' Menambahkan penekanan pada pendokumentasian lembar kerja melalui pemberian catatan tambahan (commenr')
di
sel.
'
Kaya akan contoh-contoh dan penjelasannva mengenai pemecahan masalah persamaan
.
diferensial. Menggunakan fasilitas-fasilitas terbaru dari EXCEL 2002 (Microsofi OFFICE XP).
,endahululan
Para mahasiswa yang aktif di lab telah melakukan suatu evolusi di bidang pekertailnn\; r-.tJen-san mengubah penggunaan format kertas-panjang (read-the-tneter) menjadi penankin -.:eksperimen dengan bantuan komputer. EXCEL ternyata ideal untuk mereka dan dapar dip,i'. .eluruh tingkatan pekerjaan karena mudah digunakan dan sudah ada di banyak komputer. Beber;:. \ofiware untuk keperluan para mahasiswa pun mengekspor datanya ke lembar pen-uolah .in,ri,.PASCO Scientific (Science Workshop), National Insftuments (LabVIEW and Measure)dan \e:-
nier Software (Multi-Purpose Laboratory lnterface lbr Windows, Data Logger) memiliki sofrrr ar: analisis sendiri di dalamnya, namun mengekspor data-datanya ke Excel akan memberikan par" mahasiswa dan pembimbingnya suatu kekuatan yang lebih dalam melakukan analisis. EXCEL tidak hanya mampu menarik data dan mengotomatiskan eksperimen, namun juga dapat nt.-nrbangkitkan sinyal-sinyal dan mengontrol eksperimen-eksperimen tingkat lokal maupun dunia. bahkan bila diinginkan, bisa melalui Intemet. Beberapa software yang disebutkan di atas memiliki Fast Fourier Translbrm (FFT) seba_s.n bagian dari program mereka, namun mengimpor data mentah ke Excel memberikan para mahasisu r suatu keleluasaan, ada perasaan ingin mengendalikan proses, dan banyak lagi apresiasi yang dapat dilakukan. Selain itu, grafik-grafik dan data-data dari lembar pengolah angka cukup mudah untuk disisipkan ke dalam laporan praktikum yang dibuat dengan software pengolah kata. Hal ini akan meningkatkan kemampuan seseorang dalam berkomunikasi.
Koneksi Internet Internet merupakan suatu sumber daya yang besar bagi para insinyur dan ilmuwan. Isi Lampiran 2 dan Daftar Pustaka memudahkan Anda untuk mengunjungi situs-situs yang berguna di Internet. Masukkan saja CD yang disertakan di dalam buku ini, bukalah salah satu file HTML-nya dan kliklah situs-situs yang Anda minati. EXCEL 2002 dibuat agar terhubung dengan Internet sehingga Anda dapat sangat mudah melakukan impor data dari situs-situs di Internet. Anda dapat juga mengambil data-data dari eksperimen jarak jauh, fasilitas-fasilitas manufakturing, dan bahkan dari pesawat luar angkasa dan planet-planet lain. JikaAnda ingin sering mengganti beberapa data agar tetap berada dalam kondisi terkini, maka fasilitas web terbaharui yang telah ada dalam EXCEL 2002 menjadikan tugas tersebut semakin mudah untuk dilakukan. Jika Anda terkoneksi ke Intemet, klik saja http://www.microsoft.com. Ini adalah situs doy'nloatl gratis dari Microsoft.
Bagaimana cara menggunakan buku ini Versi EXCEL Versi terakhir EXCEL (Microsoft OFFICE XP) sangat diperlukan agar Anda dapat melihat secara utuh fasilitas-fasilitas buku kerja di dalam CD. Namun demikian, buku ini beserta bukubuku kerjanya dapat digunakan secara efektif melalui Excel versi-versi sebelumnya. Versi larnr yang direkomendasikan untuk dipakai adalah Excel 97. EXCEL 2002 dapat melakukan proses impor buku kerja yang dibuat dengan EXCEL rer.; sebelumnya maupun dari pengolah-pengolah angka lain seperti Lotus 1-2-3 dan Quattro. Hidupkan komputer Anda dan masukkan CD yang diserlakan bersama dengan buku rni Mulailah menjalankan EXCEL dan panggillah sebuah file yang Anda inginkan. Anda akan menen',;kan cara efektif menggunakan buku ini pada saat Anda mengerjakannya di depan kompurer -.: mengikuti pembahasan-pembahasan melalui penjelajahan lembar-lembar kerja yan-u ntun.-'-. layar sesuai dengan yang Anda baca di buku ini. Buku ini dirancang untuk bahan belajar singkat atau sebagai materi tambahan di nt,:. - *-
'
Pendahuluan
yang sesungguhnya. Sebagian besar isinya diperuntukkan bagi para pemula dan tidak dapat mencakup keseluruhan fasilitas yang ada di EXCEL. Di dalamnya terdapat beberapa bab dan latihan, dua bab terakhir diperuntukkan bagi parii mahasiswa tingkat lanjutan: bab-bab itu ditandai dengan
0.
I Bab 2 Bab 3 Bab
Bab
Memulai
Menjelajahi EXCEL Grafik-grafik dalam EXCEL
.1 Matematika
Cepat
Keempat bab pertama
Bab
5
ini
adalah yang terpentins.
Dif'erensial dan Integral
Bagian 5.1-5.2 melingkupi dif'erensial dan integral dasar. Bagian-bagian yang tersisa melingkupi fasilitas khusus di EXCEL (\lorins .\rerage and Exponential Smoothing) beserta teknik-teknik filter lainnya. Bab
6
Fungsi-fungsi Keteknikan (Engineering Functitrn. t dalam EXCEL
Bab ini merupakan sebuah survei terhadap \eluruh operasi dalam kategori Engineering Functions EXCEL berikut metode matriks.
Bab 7 Persamaan Diferensial Bab ini boleh dihilangkan di perkuliahan singkrt. Di dalamnya tercakup dua buah buku kerja interaktif mengenai elemen-hingga untuk per\iinraan Laplace, di samping metodemetode untuk persamaan diferensial biasa.
Bab 8 Analisis ToolPak
Ini
merupakan hasil survei terhadap beberapa
ir.ilita:
bantu yang sering dipakai di
EXCEL. Bab 9 Penggunaan EXCEL di lab Bab ini membahas mengenai penggunaan EXCEL
di laboriitorium komputer kampus
dengan dua paket pendrikan data ilmiah ranr populer dan satu buah software add-in untuk keperluan dunia industri dari National In:truntents.
Bab 10 Matematika Kompleks Bab ini dapat dihilangkan untuk tingkat pen.rula. nanrun Bab I I dan 12 akan bergantung pada Bab l0 ini. Bab ini juga disediakan di dalanr CD. Bab 1l Analysis ToolPak: Fast Fourier Transform O Di sini akan ditunjukkan cara penggunaan fasilrtl:-fr>ilita\ )'iing sangat berguna pada
EXCEL, yaitu Fast Fourier Transform (FFTt. Beberapa paket software untuk keperluan lab memiliki fasilitas FFT, namun Anda dapat melakukan sesuatu yang lebih bermakna dan memperoleh hasil yang lebih baik dengan bantuan EXCEL. Di dalam CD ini disertakan panduan
FFI
pembuatan jendela (.tuinclotr). pernberian alias. pemberian skala terhadap
frekuensi. dan kerapatan spektrum daya. Bab ini terdapat pula di dalam CD dalam format Acrobat PDF. Software Acrobat Reader disenakan pula di dalam CD.
Bab
12 Analysis ToolPak:
Aplikasi FFT O
Bab ini akan menampilkan beberapa aplikasi FFT, termasuk konvolusi, dekonvolusi, fungsi korelasi silang, identifikasi sistem, fungsi koheren dan fungsi SNR. Bab 12 ini tersedia di dalam CD dalam format Adobe Acrobat PDF. Versi terbaru Acrobat Reader dapat di-dottnlottcl secara gratis dari www.adobe.com.
,{
Pendahululan
Latihan-latihan lain untuk masing-masing bab disediakan di dalam folder-f,,iier CD r-'--. saat selesai membaca buku ini, Anda diharapkan dapat memiliki kemarnpuan talnhdhri. .j:-mungkin akan sangat berguna bagi pengembangan karirAnda, karena versi EXCEL nrenJr:i:-akan dibuat berdasarkan dasar-dasar ini. Program-program matematika lanjutan juga dapat dikerjakan menggunakan EXCEL. Seb.,L,, contoh, MAILAB (www.mathworks.com) memiliki linkke EXCEL dan EXCEL BUILDER untuk membuat beberapa add-in berbasis MAILAB di EXCEL. MAIHEMAIICA (wwu'.uoltiam.c,rnr memiliki MATHEMATICA LINK FOR EXCEL dan MATHCAD (www.mathsofi.conr) nrc'nrilik: sebuah komponen l/O data untuk EXCEL. Waterloo MAPLE (www.maplesofi.com) purl nrr-nrilrkr sebuah add-in untuk EXCEL.
Ucapan Terima Kasih Ucapan terima kasih disampaikan atas bantuan, arahan, dan kesabaran dari teman-teman di John Wiley & Sons. Saya mengucapkan terima kasrh kepada Mary Beth Bohman, Monique Calelkr. Jack Drucker, editor Joseph P. Hayton, Katherine Hepburn, Mary Mohan, Kenneth Santor. Erie
Shivak. dan Lisa Van Horn. Untuk Edisi Pertama, saya juga ingin mengucapkan terima kasih kepada Profesor Williani Beckwith (Clemson University), Melanie Bengtson (North Dakota State University), Daniel A. Gulino (Ohio University) dan Georg F. Mauer (University of Nevada. Las Vegas) atas bantuann\ ir dalam pemeriksaan naskah. Untuk di Edisi Kedua. saya sampaikan terima kasih kepada Dr. Roy Fitzgerald L6pez Carrera. Prof'esor Dan'ell G. Fontane (Colorado State University), Dr. Calvin Johnson. Profesor Patrick J. Jordan (University of Canterbury, New Zealand). Profesor J. C. Simonis (University of Texas-San Antonio), Profesor Garry W. Waren (University of Alabama) dan di John Wiley & Sons. Simon Durkin, Bonnie Kubat dan Angie Vennerstrom. Sekali lagi, terirna kasih kepada editor Joseph P. Hayton. Saya sangat berterima kasih atas saran, komentar, dan dorongan dari Dr. Lawrence Edward Bloch, Dr. Robert Dressler. Profesor Donald T. Haynie (Louisiana Tech University), Curt Lorenc dan Janis Walters. Terima kasih juga saya sampaikan kepada Dr. Daniel H. Fylstra dari Frontline Systems (www.solver.com) atas izinnya untuk menyertakan tutorial soflware Solver di dalam CD. National Instruments (wr,,,w.ni.com). PASCO Scientific (www.pasco.com) dan Vernier Softuare ( www.vernier.com).
Kontak dan Update Untuk infbrmasi mengenai judul buku ini dan buku-buku lainnya yang juga berhubungan. Anda dapat mengunjungi situs-situs: http://www.wiley.com/college/bloch dan http://www.wiley.com Untuk layanan teknis mengenai CD, silakan kunjungi situs: http://www.wiley.com/techsupport atau email ke techhelp @ wiley.com Untuk update dan download intb-info terbaru buku ini, silakan kunjungi situs: http ://sylvanbloch.hypermart. net/
ApabilaAnda memiliki saran atau menemukan hasil koreksi yang belum tercantunr. llrrh,,:'. untuk mengirimkannya ke alamat email di bagian kontak setiap situs tersebut. Selamat meng gtmakan
E.r.cel
!
Daftar lsi
1. Memulai
1
1.1 Sel, lembar kerja, buku kerja I 1.2 Informasi sel 5 1.3 Rumus 6 1.4 Operasi copy 6 1.5 Referensi sel 1 1.6 Contoh workbook: lintasan baseball 8 1.1 Apakah Analysis ToolPak sudah rerinsral I 1.8 Tips panduan menggunakan Excel ll .9 Tombol-tombol Fungsi l3
I
I
1
1.10 1.11
l.l2
mouse 13 CONVERT 11
Tombol kanan Penggunaan
Trik untuk merekam tampilan di
layar
1+
Kustomisasi EXCEL 15 Tips untuk mengatur komposisi lembar kerja 1.15 Menggunakan OFFICE BINDER sebagai penjilid 1.16 Apa yang baru di EXCEL 2002 17
1.13 1.14
Apa selanjutnya? 18 Daftar Pustaka 19
Uji
2.
kemampuan
Anda
Menjelajahi
Mengenai apa isi bab
19
Excel
ini 2l
2'l
2.1 Office Assistant 21 2.2 Menu-menu File, Edit, dan View 23 2.3 Menu-menu Insert, Format, dan Tools 21 2.1 Menu-menu Data, Window, dan Help 25 2.5 Di manakah menu grafik (chart)? 26 2.6 Fungsi Paste 21 2.1 Referensi lembar kerja 3-D 28 Apa selanjutnya? 29
Uji
kemampuan
Anda
30
15
digital
16
Daftar lsi
Membuat Grafik di Excel
3.
31
31 Mengenai aPa isi bab ini 31 diagram xy sederhana membuat Wizard: Chart 3.1
3.2 Dua sumbu-Y 38 dB 39 3.3 Logaritma clan sumbu 42 oiigram kolorn dan batang . 3: .1 45 i.s Dirigram radar dan Polar 3.6 Statistik diagram 47 Tsiolkovskii persamaan 3.'7 -Ooini llmu Roket: gral'ik -50
49
ilmiah melaltri paparan Apa selanjutnYa? 5l Daftar Pustaka 5l
Uji
kemamPuan
4.
Anda
51
Singkat 55
Matematika
Mengenai aPa isi bab ini 4.1 Dasai-dasar oPerator 55 ;:; Fungsi-fungsi trigonometri 55
1.3
4:,.1
5J ^
Buku kerja nenienai bidang-mirinc 62 Buku kerja deret Fourier
60
Fungsitlngsi hiPerboia 66 APa selanjutnYa? 61 Daftal Pustaka 6T Uji kemamPuan Anda 68
+.S
5.
Diferensial dan
Mengenai aPa isi bab
ini
lntegral
70
10
70
5.1 Diferensial 5.2 lr)tegral 16 5.3 Moving Average 82 89 \.0 ExPonJntial smoothing .94 5.5 Fungsi-fungsi Savitsky-Golay unt;k data yang terganggu Menggunakan"f'"nOfin" 5.6 diingat 98 5!7 Hal-hal Yang Perlu .l03 APa
selanjumya'/
Daftar
Uji
Pustaka
kemarnPuan
6.
103
Anda
Fungsi-fungsi
l0,+
Engineering
Mengenai aPa isi bab ini 6.1 Fungsi-lungsi Matematika
6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.1 6.8 6.9
107
10'7
Fungsi-tunisi kompleks
Khusus
.-
107
113
113 Fungsi-lunlsi konversi bilangan,115 bermant'aat Fungsi-tungsi lain yang
rto*"t'i p*g'"'iutun' CONVERT Aljabar matriks 118
116
Fungsi
Memecahkanpersamaan-persamaansimultan 124 Aplikasi *u"ik'' mesin Atwood Rotasi
koordinat
121
121
96
Daftar lsi
6.10 Fungsi lembar kerja Apa selanjutnya? 130 Dattar Pustaka 130 Uji Kemampuan
Anda
INDEX
128
130
7.
Persamaan
1.3 1.4 1.5 1.6 1 .1
Metode numerik Euler 138 Vibrasi yang baik l'13
Diferensial
133
133 Mengenai apa isi bab ini 1.1 Operasi-operasi pendahuluan I 33 1.2 Contoh: variabel yang dapat dipisah
ODE
131
Metode Rurrge-Kutta 1,16 Metode elemen hingga: Laplace 111 Pemisahan variabel-variabel PDE l-5-+
Apa selanjutnya? 159 Daftar Pustaka 159
Uji
kemampuan
8.
Anda
Analysis
ToolPak
Mengenai apa isi bab
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 U.6 8.7 8.8 8.9
161
ini
164
l6-+
Korelasi 166 Kovarian 170 Statistika Deskiptif
110 Pemulusan Eksponensial (Exponential Snrtrr,tirinS
Analisis
Fourier
r
I
7i
173
Histogram 173 Moving Average 176 Random number generation Regresi 180
177
Apa selanjutnya? 182 Dafiar Pustaka 184
Uji
kemampuan
9.
Anda
184
Pemakaian Excel di
Lab
187
ini 187 9.1 Mengimpor data 187 9.2 Membuat program makro urrtuk rnen-sotonratiskan tugas 190 9.3 Meng-sunakan Excel clengan PASCO Scienct-- \\'orkshc'rp 193 9.4 Menggunakan Excel dengan Intertirce Lab Vernier 198 Mengenai apa isi bab
Multifungsi
9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12
198
Menggunakan Excel dengan softr,''are I'IEASURE buatan National Instruments 200 N4enggunakan Excel dengan TAL Technologies SOFTWAREWEDGE 205 Penarikan data port serial DATAQ 106 Penarikan dirta melalui poft paralel 201 Penarikan data melalui Universal Serial Bus (USB) 108 Merata-ratakan gabungan data eksperinlen 210 Menyisipkan lembar kerja Excel ke dalam Microsoft Word 216 Menempelkan klip lilm ke dalarn lembar kerja 216
Apa seianjutnya? 219
I
Daftar lsi
Daftar
Pustaka
Uji kemampuan
219
Anda
Lampiran 1. Buku
220
Kerja
223
lnternet 227 jttga terdapot di dalam CD dalam fbrmat lile teks HTML, Ar:robat, dttn ASCII. Gtmo-kan brow'ser Andu dengut.file HTML atau Acrobot untuk akses internet tang mudtth. Lampiran 2. Link-link
Lunpiran
2
Lampiran 3. Persamaan
Trendline
235
Lampiran 4. Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan
Lookup
Lampiran 5. PivotTable Wizard, lnternet Assistant
Wizard 25'l
Daftar
Pustaka
256
Daftar pustaka jugcL tertlapat di dalom CD meng gltrrurkart bruyt
lndeks
se
240
daLcnn
r Anda.
259
Cutaton: Latihan tambahan terdapat di dalam CD.
.forntat HTML. Akseslah dengan
XVI
llmu hitung sangat diperlukan hingga ke pencarian akar kuadrat dan akar pangkat tiga; aljabar diperlukan hingga ke persamaan kuadrat; dan penggunaan logaritma pun sering kali begitu berharga bagi kasus-kasus biasa; tetapi di luar semua itu terdapat sebuah kenikmatan; kenikmatan yang begitu membangkitkan selera; namun janganlah menjadi terbuai karena pengaruh seseorang yang hanya ingin menuruti hawa nafsunya saja. Thomas Jefferson 1743-1826
Matematika mungkin dapat disetarakan dengan pekerjaan seni yang akan menghasilkan sesuafu yang indah, namun demikian, apa yang Anda hasilkan bergantung dari apa yang Anda masukkan... Thomas Henry Huxley 1
869
... jika Anda dapat mengukur apa yang Anda ucapkan dan menyatakannya dengan angka, berarti Anda mengetahui sesuatu tentangnya; tetapi jika Anda tidak dapat mengukurnya, maka Anda tidak dapat menyatakannya dalam angka, berafti pengetahuan Anda pun masih sedikit dan belum memuaskan... Lord Kelvin Pengajar di lnstitution of Civil Engineers, 3 Mei 1883
Andai saja para insinyur mau membaca buku petunjuk, dunia akan menjadi tempat yang lebih baik...
Andrew S. Grove CEO lntel Corporation, 1999
i
Bab
1
Memulai Spredsheet berawal dari kotak-kotak hitung akuntan yang dikomputerisasikan, yang dirancang untuk melakukan perhitungan matematika dan statistik, serta mengurut-urutkan data. Spreadsheet berkembang dengan cepat menjadi program matematika yang ampuh, yang menarik perhatian insinyur dan ilmuwan. Excrl, khususnya, menjadi perangkat favorit mereka. Selain untuk kalkulasi. spreadsheet berguna untuk membuat grafik secara cepat dan bagus, dan juga dapat melakukan operasi database sederhana. Fitur grafik yang dimiliki ExcEl ini sangat berguna untuk memvisualisasikan hubungan di atas angka-angka data yang kita pelajari. Sangat mengagumkan bagaimana sebuah grafik yang sederhana dapat membantu kita memahami hubungan yang ada di antara data. Inilah kehebatan Excgr-. Dalam bab ini kita akan mendiskusikan dasar-dasar Excnr-, sehingga Anda dapat segera bersiap dan dapat segera berlari dengan cepat. Topik-topik yang lebih lanjut akan dibahas kemudian. Anda memegang kendali atas spreadsheet Anda, dari angka-angka yang Anda input ke dalamnya, sampai tampilan yang tampak di layar monitor. Untuk memahami spreadsheet, Anda tidak perlu seorang ahli, Anda hanya perlu memahami sel dan formula.
1.1 Sel, lembar kerja, buku kerja Sebuah lembar kerjo (worksheet) terdri dari sejumlah .re1. Yang dimaksud dengan sel adalah pelpotongan antara baris dengan kolom. Sebagai contoh, sel yang menempati pelpotongan antara kolom-C dan baris-2 disebut sel C2 (lihat Gambar l-1). C2 merupakan alamat sel. Alamat sel berfungsi seperti kotak surat. Kelak Anda akan menemukan bahwa ada dua jenis alamat sel, yaitu absolut dan relatif, tapi untuk sementara kita tidak akan membahasnya, lembar kerja Excer- yang ditujukan dalam Gambar 1-1 adalah salah satu dari tiga lembar kerja dalam buku kerja ini. BLrku kerjo (w-orkbook) adalah sekumpulan lembar kerja.
Tips Masukkan formula atau alamat sel alih-alih data numerik kapanpun Anda bisa, agar Ercrt. dapat segera meng-update perhitungannya setiap kali Anda merevisi data Anda dengan yang terbaru.
Bukalah sebuah buku kerja baru dan jelajahilah toolbar di bagian atas lembar kerja. Sel Cl dalrrnr kondisi terpilih pada Gambar 1-1. Perhatikan bahwa isi sel C7 terpampang di baris editor rei r,r..' berada di atas label kolom (label kolom adalah A, B, C, dan seterusnya). Perhatikan tiga buah tab di sisi kiri bawah. Ketiganya merupakan lembar keria di Ju.::: sebuah buku kerja. Anda dapat menambah lembar kerja itu sebanyak 256 lembar. atau -\ndir ij:i: menghapusnya. Anda juga dapat meng-klik tab-tab tersebut untuk mengeanti namani r
Bab 1: Memulai
Eile 4dt
ul:e hYl Fgtm* lmle qda winds Lblf
D6& &&rx tl(&&s; "::...,&?.: 18-B.fU ;
FE€E
Isial
S
Al zl 2t Aa
%
p iF
g,tr$ rsov..,€ Fi Er - .&. S.'
i,!"1qllq
c 1
your mouse 0 explore the tool bars.
1
The small dot in the lower right corner is the fill
I
4
is i
handle.
11 J
? t!0
press the left mouse button, drag the cell up or down, lefi or right. The cell contents will be copied to all cells that you have dragged over.
11
Sheet 1 is the
1? 13 14
first worksheet
1S
workbook.
in this
A workbook can have up to 256 worksheets
16 :l
Use the fill handle to copy a cell. Put the cursor on the fill hanclle,
i, rl\stee$J
sheet,
lstueia
I
j..
Gambar 1-1. Tampilan EXCEL. Sel C7 dalam kondisi terpr rh narrun pointer mouse berada di sel C9. Pointer mouse berbentuk tanda tambah. Tanda tambah ini akan berubah menjadi tanda + kecil pada saat Anda menempelkannya ke bingkai isian sel. Cobalah di komputer AnCa.
Slide bar yang terdapat di sisi kanan dan bauah nreniudahkan Anda untuk berpindah secara cepat ke bagian lain dari lembar kerja. Setiap lembar terdiri dari 256 kolom dan 65.536 baris. Tekanlah tombol Home untuk menuju kolom A: tekan Ctrl+Home untuk menuju sel Al, yaitu sisi kiri atas dari lembar kerja. Menekan tombol Ctrl+Home artinya menekan keduanya secara bersamaan.
Pilihlah sel kosong di sembarang tempat di dalanr lembar kerja dan pergunakan klik kanan di tombol mouse. Cara ini akan mengaktifkan menu pop-up seperti ditunjukkan oleh Gambar I -2. Menu pop-up memiliki sepuluh perintah operasi Lrmum vang dikelompokan untuk memudahkan penggunaan. Anda harus mencoba operasi Cut. Copr. dan Paste karena operasi ini akan sering Anda gunakan. Cobalah meng-klik perintah-perintah operasi lainnya dan perhatikan apa yang akan dikerjakannya. kita akan membahasnya nanti. Gambar 1-3 memperlihatkan tampilan ErcnL- dan MyWoRreooK yang nantinya akan Anda
pakai. Aktifkan ExcEt- dan bukalah workbook baru. Tekanlah tombol EnterJ setelah Anda mengetikkan informasi-infbrmasi berikut ini ke dalam setiap sel:
Ketik ltyworkbook di sel Al. Ketik Press Function Key F9 to recalculate di sel El. Tekan tombol Align Right (rata kanan) yang terletak di bagian atas baris editor sel. Lihat Gambar 1-3. Ketik 2 di sel D2. Gunakan ikon Border dan lakukan pilihan di menu panahnya agar muncul kotak yang akan mengelilingi sel D2.
1
1 Sel, lembar keria, buku kerja
5 3+$P53 5$ E5+F5 Sdl, $UM(E*:E$)
Addition
&
&
Eopv
@ fa:te
ssund: i:3
Insert {r&ment
S
Earmal (ells.,,
Fir! Frpx Lisl..
,
Gambar 1-2. Menu pop-up muncul pada saatAnda meng-klik tombol kanan mouse. Pointer mouse memilih Cir apabila Anda meng-klik tombol kiri.
610 .---"-,-"-
-l
",;d---.
Utr,
G
H
MyWorkbook Press Function Key F$ to recaleulate ZI 1 Enter a nunrberl
Chapter
Loterry Winning Numbers: 7g
85
Roundin
lnteger Rouncldown Roundup Round
2? ?2
44
u6,
Addition
51
5 3*$S52 59 E5+F5 64 SUMTES:E9)
n,{
Double-Click here for sound:
Gambar 1-3. Lembar kerja Anda yang lengkap akan berbentuk seperti ini, kecuali untuk suara.
Ketik Enter a number di sel C2. Tekan tombol Align Right yang terletak di bagi.rn . baris editor sel. Pointer mouse adalah panah yang tertera pada Gambar l -3. (Di bab-bab :elan_'u:: . kita akan membahas bagaimana cara menyisipkan suara, foto, dan video ke dalam lemh.r: \.: * Ketik l,ottery Winning Numbers di sel ,A4. Ketik = rNT(RAND O*46* $D$2) di sel ,A5. Mari kita pelajari ruurus ini. INT adalah sebuah fungsi di lembar kerja yang akan membulatkan angka ke baurh i: -':-terdekat. RAND( ) adalah sebuah lungsi di lembar kerja yang akan mengembalikan ni.,: .. angka yang lebih besar daripada atau sama dengan 0 dan lebih kecil daripada 1. Jrn,c":. rnenyertakan tanda kurung kosong ( ). Setiap angka baru yang acak akan dikemt.i...
Bab 1: Memulai
lembar kerja melakukan perhitungan. Informasi lebih lanjut mengenai INT dan RAND( ) dapat dilihat di menu Help. $DS2 adalah suatu alamat sel absolut yang selalu mengacu ke sel D2, walaupun Anda mengopinya ke sel lain. Jangan menempatkan spasi di ontara simboL di dalam rutnus.
Letakkan pointer mouse Anda ke bingkai sel isian di sel A5 dan tarik (drag) ke sepanjang baris 5. Berhentilah di sel F5. Ini akan mengkopi rumus di sel A5 ke sel-sel lain hingga berakhir di sel F5. Anda dapat menyaksikan sesuatu seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1-3, namun angka-angka di baris 5 akan berbeda. Tekan Tombol Fungsi F9 dan Anda akan menyaksikan angka-angka tersebut berubah. Ketik Roundinq di sel A7 dan klik ikon Align Right. Ketik22.959 di sel 87. Sekarang mari kita lihat beberapa operasi lain yang cukup berguna. Carilah di menu Help mengenai perbedaan antara fungsi pembulatan (rowtclirtg) ini dan bagaimana penggunaannya: Ketik =rNT (22.959 ) di sel 88. (Nilainya akan dibulatkan ke bawah.) Ketik =ROUNDDOi^IIJ (22.959,0) di sel 89. (Lihat keterangannya di menu Help.) Ketik =RoUNDUP(22.959,0 ) di sel B10. (0 berarti tidak ada angka desimal.) Ketik =ROUND(22.959,0) di sel B1l. tLihat keterangannl,a di menu Help.) Sekarang kita akan menuliskan tiga rumus berikutnl a dan perhatikan bagaimana cara menambahkan sekelompok (ran ge) angka. Ketik Addition di sel D8. Klik ikon Align Right. Ketik =3+$D$2 di sel 88. lni akan r.nenambahkan 3 beserta isi dari sel D2. Ketik =E5+F5 di sel E9. Ini akan menambahkan isi sel E5 dan F5. Ketik =SUM(E8:E9) di sel El0. Ini akan menambahkan sebuah kelompok dari sel E8 hingga E9 dan memasukkan nilai totalnl'a ke sel El0. Silakan lihat ke menu Help untuk penggunaan SUM dan bagaimana SUM men-rperlakukan nilai yang bukan angka. Ini jauh lebih bermanfaat dibandingkan cara penambahan i ang sederhana. Ketik 3+glg2 di sel F8. Perhatikan bahwa ketikan ini akan muncul di sel F8 persis seperti apa yang Anda ketikkan karena ini bukan rumus, tidak ada tanda = di depannya. Ketik E5+F5 di sel F9. Ketik suM (E8 : E9 ) di sel F10. Arahkan pointer mouse Anda ke tab bernama Sheet 1 di sisi kiri bawah dari lembar kerja Anda. Tanda tambah akan berubah meniadi panah. Klik kanan tombol mouse Anda dan menu pop-up berukuran kecil akan muncul. Ada enam pilihan yang muncul di daiamnya. Klik kiri di pilihan Rename dan gunakan tombol Delete atau Backspace untuk menghapus tulisan Sheet 1. Ketikkan kata Main dan klik di sembarang sel di dalam lembar kerja. Klik tab tersebut lalu tariklah ke antara tab-tab lainnya. Masuklah ke menu File dan klik Save As. Pilih sebuah lokasi dan nama untuk workbook Anda ini. Selamatl Anda baru saja membuat sebuah workbook yang interaktif. Sekarang marilah kita beralih ke workbook yang lebih rumit yang selanjutnya akan kita pelajari secara detail. Bukalah lembar kerja bernama BASEBALL dan Anda bisa melihatnya di Gambar l-4. Anda dapat mengetikkan angka-angka, teks, maupun rumus di dalam sebuah sel. Memindahkan kursor sel (yang menyerupai sebingkai kotak di dalam pengolah angka) dapat dilakukan dengan cara menekan tombol-tombol panah atau dengan menggunakan mouse. Arahkan pointer (yang menyerupai tanda tambah) ke dalam sebuah sel, kemudian klik tombol kiri mouse satu kali. Seluruh operasi dan fungsi Excrl dapat dilakukan dengan meng-klik ikon f yang biasa disebut Paste Function (lihat Bab 2, Bagian 2.6). Apabila Anda ingin mengetahui di mana kursor Anda berada, lihatlah ke dalam sel referensi di bagian kiri atas, yaitu kira-kira di atas tempat bertemunya huruf kolom dan nomor baris (lihat Gambar 1-4, bagian yang bertuliskan Bll). Perhatikan sebuah noktah hitam di pojok kanan bawah bingkai di sel Bll. Ini adalah.fill handle yang telah disinggung di bagian awal.
1.2 lnformasi sel
u rt v1 nl#gil
UEli, ln EJt
rtllr$! Ip]l ?{*
Silrdaw {3lp
6&iZ .*{bffid ":' &W ry,*F€ffi,.s '0..'.,.I ; -$E$EaClt5{$E$I"pl{l/lBfl}"A'l
Arial
x&.
racr* i= n.&,A-
8r{i & S 4] );* ;19. iF
tJt
1
] 2
Projectile I'ilrtirn: Twu firnensirns, l'.lo Alr Hesislanrr {See Halliday, Pesnick & \r,r-alker, Sirlh Editian, Chapter 4)
BASEBALL.XLS Chapter'1
3
Ent*r r*f
6:
em rl
r-l
10
r-l
13
rl 0tr5l il 0?16511 0 012378 bt 0.t11 00433[1 0r]2451
't3
0.r:r'1
tl
14
E
0.r:16455;1 0.r:1383$X
02
11.0866t13 0.[4804
0.0i.i5 [.1t]8213
t3
ll.0l-sl4-10
ll.0: 0.'t2!l!,04
J6
1I
0
1r
rl35 0.15J55{ 0.r:r4
0
IJ
30 )1
ll45
[.0t
&ep,t
r*J con*))r'ons.
Tir"ns ixrrpma*l g Initial velocity. m/E lnitial ansle. desrees
5
lEfrffiTTX6IiEl
3(
di ^, r.-
-' ;tru E
H
0-1
10.6278684,0.25947
E.or
0
0,5
[.07t]5y 0.t-]S21S
0 19{856 0 Jn2576
1
1,5
2
2,5
X 0isplncefirefit. nr
r1.ti8149fi
[.'1732[5
lll0RE: Fg0rr
t}.00:
Ba*eball, x arr{l y co{trdiniries
0.J16f;0x t].1r2rf,
0.055 [.23G151 0 122676 0.tr6 tt.255,8t18 0.132:S 0.rl6t 0!8145X 0 |4r7$*
)i ttl ta
11.07
0.:83109
[.075
I
BI! I P,eadr
til\
fi.15fi98
0.:2476 fi.1!S9:8
B?seUat! /,X *rC V-,{ rra:Eitory .r'
Gambar 1-4. lni adalah sisi kiri atas dari sebuah workbook. Bukalah workbook ini di komputer Anda lalu arahkan pointer mouse ke setiap ikon untuk mengetahui keperluan apa sajakah dari ikon-ikon tersebut. Perhatikan bahwa bingkai sel isian tengah berada di sel B1'l dan rumusnya tercantum di baris editor sel, di bawah toolbar. Pointer mouse tepat berada di grafik, di sana tertera nilai untuk x,y. Perhatikan tab-tab di bagian kiri bawah,
seluruhnya menyatakan nama-nama lembar kerja di dalam workbook ini.
1.2
lnformasi sel
Anda dapat memasukkan tiga tipe dasar informasi ke dalam sel lembar pengolah angka: Angkct-angka merupakan masukan yang utama di dalam sebuah lembar kerja. Anda dapat mengatur jumlah digit yang akan ditampilkan, dalam bentuk desimal (seperti 3.14159) atau dalanr tbrmat ilmiah (seperti 6.02823 atau 6.02x10^23). Angka tersebut setara dengan 6.02 x 10rr. Rumus-rtrmtrs menghitung hasil berdasarkan angka-angka atau sel-sel yang direferensikan oleh rumus. Pada saat Anda memasukkan sebuah rumus, akan langsung ditampilkan hasilny'a. -\_rar EXCEL dapat mengenali sebuah rumus, maka penulisannya harus didahului dengan sebuah tand., sama-dengan (seperti =2+3 atau =A3+87l10). Infonnasi berupa teks dapat digunakan untuk mengidentifikasi data-data, catatan lantpir"r. dan informasi lainnya yang bersifat umum. Ini merupakan sebuah ide yang bagus. mengsun;lk;r-. catatan untuk mendokumentasikan apa yang Anda kerjakan dan mengapa Anda melakuklr::r. Sebuah workbook tanpa dokumentasi pendukung bagaikan sebuah misteri, bahkan bagi penuir.:.. sekalipun. Catatan-catatan (comments) dapat ditambahkan ke dalam sebuah sel tlihat Glnrb,: l-dan 2-8). Bacalah tulisan karya K. R. Morison dan P. J. Jordan di Daftar Pustaka hal:n:.:. . -
Bab 1: Memulai
Masukkan teks, angka-angka, maupun rumus-rumus dengan meletakkan kursor ke sel yang Anda inginkan, kemudian ketiklah informasinya. Anda akan melihat karakter-karakter masuk ke dalam sel, namun sebenarnya Anda bekerja di baris editor sel yang berada di atas label kolom. Untuk memasukkan informasi ke dalam sel, lakukan salah satu cara berikut: tekan tombol Enter J, tekan tombol Tab, atau berpindah keluar dari sel dengan menekan salah satu tombol panah. Apabila Anda membuat kesalahan ketik dan ingin kembali ke kondisi sebelumnya, pilihlah sel dimaksud, tekan tombol fungsi F2, kemudian klik ikon "X" di baris editor sel. Cara ini akan membatalkan perubahan yang dilakukan.
1.3 Rumus Rumus merupakan persamaan matematika atau statistika yang dimasukkan ke dalam sel untuk melakukan proses perhitungan. Operasi aljabar dasar di dalam rumus adalah:
2+2 {penambahant
2-2 (pengurangan) 2*2 (perkalian) 2/2 (pembagian) 2^2 (pemangkatan). Penulisan rumus selalu diawali dengan trindl = dan terL'tak di dalant tanda kurung. Jika Anda lupa menuliskan tanda =. rumus itu akan ditarnpilkan rebagai teks dan ErcEr- tidak akan menghitung apa pun yang berada di dalam sel itu. Pada saat Ancla menulis rumus. .\nda dapat menSgunakan angka-angka dan sel referensi. Sebagai contoh, rut'nus untuk rnenghitung suatu perrenta:e adalah: suatu data sembarang dibagi dengan jumlah total data, dikalikan dengan 100 Iik:r 89 adalah sembarang data dan B10 adalah
jumlah dari seluruh data, maka rurlusnva nleniadi = 39 810 ) *100. EXCEL rnemiliki fungsi untuk menghitung \e.urtu \eperti rata-rata, nilai tengah, dan jumlah. Untuk menggunakan fungsi ini, ketik tanda =. nama iLingsi dan, dalam tanda kurung, kelompok sel yang dipisahkan oleh tanda titik clua. Contoh. untuk rnenghitung rata-rata dari data-data di dalam sel 85 hingga 88. rumusnya ntenjadi =.r.-.-;:;-CE (B5: BB ).
1.4 Operasi copy Operasi ini dapat menghemat waktu dan tenaga Anda untuk mengetik. Daripada mengetikkan rumus ke dalam setiap sel, operasi COPY memun-gkinkan Anda untuk sekali saja mengetikkan rumus, kemudian tinggal mengkopikannva ke seluruh sel yang Anda butuhkan.
1. I r
Pilih sel berisi rumus yang akan Anda pindahkan atau kopikan. \rahkan pointer mouse ke bingkai sel tersebut. Untuk rnemindahkan sel, tarik pilihan itu ke arah kiri atas sel di dalam area paste.
EXCEL akan mengganti data lama yang terdapat di area paste itu. Untuk mengkopi sel, tekan dan tahan tombol CTRL sambil Anda menarik rnouse Anda. Anda juga dapat mengkopi rumus ke sel terdekat dengan menggunakan fill handle yang telah dijelaskan sebelumnya. (Fill handle adalah sebuah noktah hitam di pojok kiri bawah bingkai isian sel.) Pilih sel yang memuat rumus, kemudian tarik noktah hitamnya menuju kelompok yang ingin Anda isi. (Klik menu Help untuk informasi lebih lanjut mengenai operasi pengkopian yang khusus, serta mengenai ref-erensi sel absolut dan relatif.)
'.5
Referensi sel
1.5 Referensi sel Scbuah referensi mengidentifikasikan sebuah sel atau kelompok sel di dalam lentbar kc,r-tu c';. nremberitahukan kepada Excsr- di mana harus mencari data yang akan digunakan di dalant mn,uDengan referensi. Anda dapat menggunakan data pada Iembar kerja yang berbeda untuk dintasukkr: re dalam sebuah rumus atau menggunakan nilai dari sebuah sel untuk dipakai di banyak rulnu. \nda juga dapat mengacu ke sel-sel lain di dalam satu workbook, workbook lain, bahkan ke dar.' Ji program-program lain. Ret-erensi yang mengacu ke workbook lain merupakan ref'erensi ekstenut... Ref'erensi ke data-data di program lain adalah referensi remote.
ffi )0K
ffi=
Tips Pada saat Anda memindahkan rumus dengan metode Cut dan Paste, referensi sel
di dalamnya
ridak akan berubah. Pada saat Anda ntengkopl rumus. ref'erensi sel absolut tidak akan berubah. Pada saat Anda mengkrpi rumus, rel'erensi sel relatif akon berubah saat dikopi.
Pada kondisi standar, Excsl menggunakan lbrmat penulisan referensi A1, yang menamai kolon.t dengan huruf (A sampai IV, totalnya 256 kolom) dan menamai baris dengan angka ( I sampai 6-5536). Untuk mengacu ke sebuah sel, masukkan huruf kolom diikuti dengan angka baris. Sebagai contoh, C61 mengacu ke sel yang berpotongan dengan kolom C dan baris 61. Untuk mengacu ke sekelompok sel, masukkan referensi sel di pojok kiri atas dari kelompok tersebut, sebuah tanda titik dua (:), dan kemudian referensi sel di pojok kanan bawah dari kelompok tersebut. Berikut ini adalah contoh-contoh ref'erensi.
Untuk mengacu ke: Sel di kolom A dan baris 10 Kelompok sel di kolom A dan baris l0 hingga 20 Kelompok sel di baris 15 dan kolom B hingga E Seluruh sel di baris 4 Seluruh sel di baris 4 hingga 1 I Seluruh sel di kolom C Seluruh sel di kolom D hingga K
O Anda
Gunakan
Al0 A10:A20 B l5:E1,5
l:l 4:11
C:C
D:K
juga dapat menggunakan format penulisan lain dalam bentuk baris dan kolom lembaL kerja yang dinomori. Format RlCl digunakan untuk proses komputasi posisi baris dan kolom di dalam program makro dan dapat digunakan untuk menunjukkan referensi sel. Di dalam format RlCl ini, Excer- mengenali lokasi sebuah sel berdasarkan huruf "R" yang diikuti oleh nomor barir dan huruf "C" yang diikuti oleh nomor kolom. Untuk informasi lebih lanjut mengenai referensi RlCl, lihatlah menu Help online atau buku petunjuk Anda. Anda juga dapat mengkombinasikan beberapa referensi. Sebagai contoh, $Cl2 akan :el.,l.. nlengacu ke kolom C, tetapi nomor barisnya akan berubah bila Anda kopikan ke posisi :el l,: : Selain itu, C$12 akan selalu mengacu ke baris 12, tetapi kolomnya akan berubah bila dikcr:r *-
ie posisi sel lain.
Bab '1 : Memulai
Tips Bergantung pada tugas yang ingin Anda lakukan, Anda dapat menggunakan referensi sel relatifmatpun referensi sel absolto. Referensi sel relatif adalah referensi terhadap sel-sel yang relatif mengacu ke sel t'ang berisi nunus. Sebagai contoh, C12 adalah sebuah referensi sel relatif. Apabila Anda melakukan Copy dan Paste terhadap sel ini ke posisi sel lain, maka referensinya berubah menjadi sel baru. Ret'erensi sel absolut akan selalu mengacu ke sel-sel di lokasi tertentu. Sebagai contoh. $C$ I 2 akan tetap sama bila Anda kopikan ke posisi sel lain.
Itulah yang perlu Anda ketahui pada saat akan bekerja dengan lembar pengolah angka. Anda dapat membuat pengolah angka Anda menjadi sebesar atau serumit yang Anda inginkan. Nanti kita akan lihat bagaimana penggunaan analisis statistik terbaik untuk menggali lebih banyak infbrmasi.
1.6 Gontoh workbook: lintasan baseball Setiap mahasiswa teknik dan sains mengerjakan problem lintasan sebuah objek memakai percepatan gravitasi yang konstan dan tanpa memperhitungkan hambatan angin. Problem pertama melibatkan sebuah massa yang bergerak jatuh bebas. Berikutnya Anda akan menghadapi contoh dua dimensi, seperti gerakan baseball, bola kaki. atau peluru meriam (Gambar l-5). Pada saat Anda memecahkan problern-problem tersebut dengan kalkulator, Anda hanya akan mendapatkan jawaban tunggal seperti lamanya waktu saat berada di udara, tinggi maksimum maupun jarak tempuhnya. Anda akan mendapatkan lebih banyak infbrmasi bila menggunakan bantuan pengolah angka. Contoh. Anda dapat men-uikuti lintasan gerak benda dalam bentuk komponen vertikal dan horizontal. berikut jarak dan u'aktunya. Suatu grafik sederhana di dalam pengolah angka akan memberikan analisis atas kalkulasi Anda. Sebelum mulai mengolah angka, Anda perlu men-getahui beberapa hal mengenai rumus. Pada saat menggunakan sebuah fungsi, pernyataan dari fun_srsi tersebut harus berada di dalam tanda kurung. Contoh, logaritma natural dan 10 harus ditulis menjadi =1n(10). Fungsi trigonometri menggunakan radiart di dalam pemyataannya, bukan derajat. Karena terdapat 2nradian dalam 360 derajat, Anda dapat menskonversikan derajat menjadi radian dengan mengalikan derajat dengan n/l80. Sebagai contoh. rumus untuk sinus 30 derajat dapat ditulis
I S G
k,
pi
kr m
se
de
m( Gambar 1-5. Bentuk lintasan tanpa hambatan udara. Kecepatan awal adalah vo dan sudut awalnya adalah 0o dari titik pusat koordinat (0, 0). Perhatikan bahwa komponen horizontal perubahan komponen rafl4' lf,onstan vertikal.
Badan Perrrlstlklan P.r'n,nri 'tua
i lm!tr
Pe
me
de,
9r
1.6 Contoh workbook: lintasan baseball
=sin (30*pf O /180). Huruf n selalu ditulis sebagai pI0. Jangan lupa untuk nt.n\3:i*\*. di tengahnya! \{ari kita mempelajari problem fisika yang ditunjukkan oleh Gambar l-,5 dan ntenulr.i.:r
::-,enladi
:.-nda kurung tanpa karakter apa-apa
rer\amaan untuk pergeseran horizontal dan vertikal sebagai fungsi waktu /, posisi aualnva ud;1,:i dan t',,, kecepatan awalnya u,,, dan sudut awalnya 0,. -t(1) Persamaan
-
x,,
+
u,,
cos(0o)r
(l-l
(l- l) menyatakan bahwa
pergeseran horizontal pada sembarang waktu adalah pergeseran dengan pergeseran yang disebabkan oleh komponen horizontal clari recepotofl awal yang konstan, dikalikan dengan /.
r\\al dari x = 0, ditambah
.l'(/) =
.r,,,
1
1,,,
sin(0,)/
-
0,5 gtz
(1-l)
Persamaan ( 1-2) menyatakan bahwa pergeseran vertikal adalah pergeseran awal dari i. - 0, clitarnbah ,iengan pergeseran yang disebabkan oleh komponen vertikal dari kecepatan awal, dikalikan dengan r. dikurangi pergeseran yang disebabkan oleh percepatan gravitasi, g m/s2. Anda dapat memasukkan persamaan-persamaan tersebut langsung ke Excrr-. Waktu akan nluncul sebagai parameter di dalam Persamaan (1-l) dan (l-2), selanjutnya Anda dapat n.rengeliminasi waktu di antara kedua persamaan tersebut untuk memperoleh batasan R horizontal sebagai iungsi kecepatan awal dan sudut peluncuran,
R
),,1 = ''"
I
sint 0,, tcos( 9,,
).
(1-3r
Batasan tersebut dapat dituliskan secara lebih sederhana dengan menggunakan persamaan trigonometri untuk sudut ganda, sin(20) = 2sin(0) cos(0). Persamaan (l-3) menjadi: R=
t-lL
sin(20.'1
(
1-4)
Konstruksi Lembar Kerja Sekarang marilah kita membuat lembar kerja berdasarkan informasi yang ada. Kita akan mengIni sangat nyaman dilakukan dan menghemat waktu karena Anda dapat memasukkan data baru dan seluruh lembar kerja akan menghitungnya kembali. Anda tidak perlu memasukkan data baru di setiap sel serta melakukan pengkopian apa -eunakan referensi sel untuk memasukkan data awal.
pun.
Mengacu ke Gambar l-4 dan l-6. sel E5 memuat data time increment. Ini digunakan di kolom A dalam cara berikut ini: sel Al0 memiliki waktu awal, yaitu 0 menurut contoh. Sel Al I memiliki rumus =A10+$n$5, seperti ditunjukkan oleh Gambar l-6. Sel Al I dikopikan ke kelompok sel yang diinginkan di kolom A. Sel di kolom B memuat Persamaan (1-l), yaitu rumus untuk koordinat r pada ser.nbarans waktu. Sebuah rumus yang khas, untuk sel B10, ditunjukkan oleh Gambar l-7. Akhirnya kita sampai di kolom C yang memuat rumus untuk koordinat ,r, dan berhubunse; dengan Persamaan (1-2). Rumus di dalam sel C10 ditunjukkan oleh Gambar l-g. (pada saar.\nJ,, n.rengetikkan rumus, jangan menyisipkan spasi). Lihat kembali Gambar l-4. Sel H4 merupakan report range yang berhubunean den..:Persamaan (l-4). Pada saat membuat lembar kerja, Anda akan sering merasakan ntanflr: i-,: menemukan hasil atas sebuah hasil perhitungan komputer (seperti nilai tengah. nilai r"r"-:.:. deviasi standar, varian, dan sebagainya) di dalam area dengan posisi yang mencolok. G;n:-": 9 menunjukkan bentuk detail dari report range.
Bab 1: Memulai
10
D
Projectile Motion. Two i$ee Halliday. Resnict Enter initial canditions Trrne increment, s
tJ UU3
lnrtralvelocity m/s
5 30
nitial angle. degreee
Gambar 1-6. Rumus yang khas untuk menentukan dasar waktu. Sel A11 menggunakan nilai awal di sel A10
dan penambahannya berada di sel E5. Di sini akan ada penggunaan referensi sel relatif dan absolut dalam satu rumus.
818
rtr
#
41il
=$[$6"t]t3${$E$7*F10i1
;,fi;i,;.iti::."f'--.-.i;;"'S-. Pr*j*r'lile Moti*n
I .,-""f,,...--
Tv+o
Dirn*nsin
{Se* Halliday. ft*snitk ,1\Valk*
fnfer
rnrtrbJ
candrfeons.
,QeP,:tl
[.005
Time rnrrernent, s lnitial veletitx. rnJs lnitial anqle, d*,Ir*es
5 30
\"/ Gambar 1-7. Rumus untuk koordinat x pada saat t = 0 diperlihatkan dalam sel B10. Perhatikan bahwa referensi sel absolut digunakan untuk kecepatan awal dan sudut awal, dan referensi sel relatif untuk waktu di dalam sel A10. perhatikin pula konversi sudut derajat menjadi radian yang dibutuhkan oleh operasi cosinus dalam Excel.
!1!.-.-- "-_j"....----:'":"1"f'1g::I!{$E$r.pl0r1BBJ:{q:!i!3-.9:fl9:?-. 1
1
BASEBALL,XLS Chapter 1
Projectile Motion: Two Dimensions. No Air iSee Halliday. Resnick & Walker. Fifth Edit
3 E nter i n ttia I
4
condifions.
5
Time increment.
o
lnitialvelocitv. mls
7
lnitial anqle. deorees
;o
s
{0
Time
s
0.005 3{
+
Gambar 1-8. Rumus untuk koordinat y pada waktu t = 0 ditunjukkan di dalam sel C10. Faktor 9.8 adalah g, yaitu percepatan gravitasi dalam satuan m/s2. Rumus ini merupakan bentuk Persamaan (1-2) yang dituliskan ke dalam bentuk rumus di pengolah angka, berlaku untuk kondisi di titik pusat koordinat (0, 0).
1.7 Apakah analysis toolpak sudah terinstal? -i'::{$ESE^2,56)*5lNE-$E$l"Frr't,180J
oTEFGH
Projectile Motion. Two Dimensions. No llr Resstan.e {See Halliday. Resnick & Walker. Fifth Edition. Chapter -i,
BASEBALL.XLS Chapter 1
1
1 ,t
{
E nte
r
i n iti a
! condifiors.
Tinre increment.
s
Faporf,' 0.0s5
lnitial velocity, m/s
5
lnitialanole. deorees
30
Basehall.xandyr
Gambar 1-9. Panah mouse menunjuk ke sel H4, yang merupakan report range yang mengacu ke Persamaan (1-4)
1.7
Apakah Analysis ToolPak sudah Terinsta!?
Sekarang adalah saat yang tepat untuk melihat apakah Analysis ToolPak sudah terinstal di ExcEl-. ToolPak sendiri bagaikan kunci pintu utama di sebuah tambang emas. Klik menu Tools untuk mencari menu Data Analysis, seperti diperlihatkan di Gambar 1-10, kemudian klik menu tersebut sehingga muncul tampilan seperti di Gambar 1-11. Apabila Data Analysis tidak muncul, silahkan mengikuti petunjuk di bawah Gambar l-12.
Fl riu rart ?iefl lr,ieri
n6w,&&g
Fp.lmit lo{ds
#" re liu
Trerk {ianges
l BASEtsALL.XLS Chapter
5
-.1
6
rl
,:.:
1
rr**l w ts^Y-r'uE
Fnl
T;
60e{ 5s.ek.,,
Iil
,rgnaritl5..,
Ulu
Agdilirg
I
t.,
&e
4B
.
-
tcvt
t3
a=t=-1L-AL-
MT
Brreball. x and y coordinate:
Sii:ro
tt
Time
1?,
r
4,1&!ns.,,
tl
:
l1l l-i '14
.0')
rrrr%
Tmn lirnnrrsians, l',]u,{ir Resistance rk & Walker, Fiftl'r Editinn, ChaFter 4)
7
Itl
ZI
grrde.Iran
4 3l
{elp 17
&uln,:orrsct,,
Arial
2 a
[.:ta Sird*ur
gpelline..,
i:t
lu5ton{ze.,, QFti*ns,.,
[05
Wizard
001 0 ll'15
0fit
tl.tt?5
{}
2
o r) 1t
1
(]
n
0.0
fi1 [
Llp,Jatr Add-in Lir*"s,..
Gambar 1-10. Menu Tools dengan Data Analysis yang sudah te
Klik menu Data Analysis untux
"nemunculkan Analisis ToolPak.
Kotak pilihan Data Analysis ditunjukkan oleh Gambar 1-ll. Pergunakan scroll bar di .:.: kanan dallar isinya untuk melihat item-item selanjutnya. Gambar 1-11 memperlihatkan hanya sebagian dari menu DataAnalysis. Bila Anda nren-rr..\. Y'
tn
.edikit waktu luang, pergunakanlah scroll bar untuk melihat-lihat tool ini. Sara pikir.\ni; "r,: menjadi bersemangat. Apabila Data Analysis tidak muncul di menu Tools Anda. klik .\iJ-l:- -: nrenu Tools (lihat Gambar 1-10). Anda dapat memilih Add-Ins dari kotak dialos rerc::. r--:
Bab'1:Memulai
1Z lnitisl velnr
6
ir
lrritial
em
11tl I 11 I I 13 I i 13 i iu 115, 16 1l:
&rglysis T(,ols
0
D
I
i Trr)o-Fact0r V,1ith REFlirali(n : luo-Fn,:tor V,lithout F.pF ication
0.005 n.[:1651 tr.tr]]ll$ 0
01 0 0433[1
0,02451
tl.B15 0.n64S53 n.*:63S6 o
02
rl DEG603 tr Blao,r
n.0?5 ll.ttl6353 u.[59438
Etl3 012,],J04 007il59 S.S35 n.151554 n.nn14ffi
Gambar 1-11. Kotak dialog Data Analysis untuk Analysis Tools, di dalamnya terdapat sejumlah fasilitas bantu statistik dan Fourier Analysis (lihat Bab 9 dan 11).
BA$T8&I-L,XL5 r1
1
*h
?
&dd-lns evsibbf*l
3 4
&nalysir T*olFak - !'$&
3
&utcrSar.re
l.1
{*nditirnal 5um }trizard
7
LurkuF',1/iaard 14icr**of I Bnol,"shalf Integr.*li*n
IJ
1r 111 41
,
Template Utilities Updat* Add-in tinks
Tim*
$
1I
1l
|],iltls rl.ff?1s5 [.01 n.fi4330 [.fi15 il |]&,{.s5
1rl
s.02 tr,fifififi0
15
[,il25 n,1fi*?s
.l
,:'
tt ttl
11
r-Anclysi* T*dFak
{ ,1.3ftn
Gambar 1-'l2.Kolak dialog Add-ln. Selain Analysis ToolPak, Anda dapat menggunakan Analysis ToolPak-VBA. .'BA mengacu ke Visual Basic forApplicationsAdd-ln; yang dibutuhkan untuk merekam program makro. Lihat
3a5 9) :.-:riirkkan dalam Gambar l-12. Analysis ToolPak adalah salah satu bagian yang akan kita pelajan l:i1rm. Pilihan Measure Serial Add-In mungkin saja tidak muncul di menu Anda. Pilihan ini r'_-:,,. ke :ebuah program bernama MEesunr yang berfungsi menarik data ke ExcEt-: lihat Bab
-:
i- :
.,:r',
\lrrsrnn dibuat oleh National Instruments,
http://www.ni.com.)
1,8 Tips panduan menggunakan Excel 1 ---. .;. :-: ':r.r.k "-arlr untuk berpindah-pindah dari satu sel ke sel lain dan melakukan berbagai ':.--- - :,::-- j j-:.-::r E\r rr. Jika Anda telah begitu terbiasa menggunakan Excrl, maka Anda .--r:i. i-.:rj=rr-.r:rjr.;r-. i.'bie.:ran kerja tersebut melalui bantuan toolbar dan tombol-tombol cepat ,: : ..,. -:11-r :-.3.:rir..:n proredur-prosedur yang sering Anda lakukan. Pada saat Anda telah
irinr:Ji
.eurrn_i
it:!.un.1 Er-:-
tingkat atas. Anda dapat mengutak-atik sendiri rangkaian toolbar
Jan t.rmttri-t1'11p1,l .3.,1;i Jan!Jn keinginan Anda.
1.9 Tomboltombol funqsi Tekanlah tombol Home. Aktivitas ini akan membuat kursor Anda pindah ke kolcrnt \ ir :":.. tempatAnda sekarang berada. Untuk menuju ke sel pertama yang ada isinya. tekan tontboi E^: kemudian tekan tombol panah ke kiri <-. Tekanlah tombol Ctrl dan Home untuk kembali ke sel di pojok kiri atas. yaitu :el .\ i. Tekanlah tombol Home untuk menuju ke kolom paling kiri dari lembar kerja. Untuk menuju ke kolom terakhir yang diinput, tekan tombol End, kemudian tekan ronrht l panah ke bawah J. Untuk menuju ke baris terakhir yang diinput, tekan tombol End, kemudian tekan tontbtrl lanah ke kanan -+. Tekanlah tombol End kemudian tombol panah ke atas 'l untuk menuju ke input pertama di
:rgian atas kolom.
1.9 Tombol-tombol
Fungsi
Setelah Anda mulai menggunakan pengolah angka, mungkin Anda akan menemukan bahwa tomboliombol fungsi yang paling sering dipakai adalah F1 dan F2. Tombol Fungsi Fl akan memunculkan lampilan Help online dan Tombol Fungsi F2 memudahkan Anda untuk mengedit isi sebuah sel melalui kursor di dalam bingkai editor sel. Tabel l-l memperlihatkan beberapa buah tombol .ingkat (shortcut), beberapa di antaranya tercantum di Help dalam kategori Tombol Fungsi (Function Key). Keduabelas Tombol Fungsi memiliki tugas operasi sendiri-sendiri.
Tabel 1-1. Tomboltombol singkat yang sering digunakan
trt
shift
Alr
Menampilkan Help
Menyisipkan
Menyisipkan
lembar grafik baru
lembar kerja baru
Microsoft Office
Menjawab pertanyaan, What's this?
Mengedit sel yang sedang aktif
Mengedit catatan (comment) sel
Perintah Save As
Perintah Save
atau bantuan F2
Alt + Shift
Tombol Fungsi
Contoh:
Untuk menampilkan Help, tekan tombol Fl. Untuk mengedit catatan (comment) sel, tekan dan tahan tombol Shift lalu tekan Tombol Fungri
Fl. Untuk menyisipkan lembar kerja baru, tekan dan tahan tombol Tornbol Fungsi Fl.
Alt dan Shift, kemudian
tekan
1.10 Tombol kanan mouse
i 1
t 1
r
Jari telunjuk Anda akan mendapatkan banyak sekali pengalaman dalam menggunakan Excrr karen. tu-sasnya adalah mengontrol tombol kiri mouse yang sering kali digunakan. Namun. tombol krnr: nrouse pun memiliki fungsi yang tidak kalah menariknya, seperti ditunjukkan oleh Gambar 1-l Tombol kanan mouse menyediakan akses cepat sebagai cara alternatif untuk melakukan pri:1-..:. terhadap sebuah item, sebenarnya ini dapat juga dilakukan dari menu drop-dori'n arau bei't:-;ikon yang tersedia di bagian atas ExcEL. Mad kita lihat menu pop-up sedikit lebih detail (lihat Gambar 1-13). Anda telah nri:.i:'-:jbagaimana penggunaan Cut, Copy, dan Paste. Kini perhatikanlah perintah Paste Spee i"." P=: - *"
Bab 1: Memulai
14
sangat bermanfaat namun agak panjang bila dibahas saat ini. Cobalah mengunjungi menu Help untuk mendapatkan penjelasan mengenai penggunaan Paste Special untuk objek yang telah disisipkan (embedded) dan yang berupa link di Excpt-. Perintah Insert dapat Anda gunakan untuk menyisipkan baris atau kolom, dan menggeser sel ke kanan atau ke bawah. Perintah Delete dapat Anda gunakan untuk menghapus baris atau kolom, dan menggeser sel ke kiri atau ke atas. Perintah Clear Contents digunakan untuk mengosongkan
ini
isi sel-sel yang dipilih. ,}{ cut
l*
ffi
e*pr pe*e
Gambar 1-13. Menu pop-up muncul saat Anda meng-klik kanan tombol mouse. Perintah Insert Comment akan dibahas di Bagian 2.3; pada saat Anda menyisipkan catatan (comment) maka akan muncul tiga perintah baru di dalam menu pop-up. Klik juga perintah Format Cells dan cobalah fasilitas-fasilitas di dalamnya! Anda bahkan dapat mengatur sudut kemiringan tulisan di dalam sel.
Farte 3perial".,
(3
Inserf {*lynent
I
f$rrril: {flls.,. Pirf, Fr*rn List. ..
1.11 Penggunaan CONVERT Salah satu tugas menyebalkan y,ang dihadapi oleh para mahasisua adalah menyangkutperubahan satuan pengukuran antara satuan-satuan di Sistem Internasional (SI) dan Sistem lnggris (British Unit). Hal ini bisa menjadi hambatan dalam menvelesaikan suatu masalah secara benar bila hasil perhitungan yang diperoleh ternyata salah karena masalah satuan pen-eukuran. ExcEl dapat membantu memecahkan kendala ini karena di dalamnva memuat sebuah tungsi lembar kerja yang dinamakan CONVERT. fasilitas ini dapat mengubah hampir semua angka dari satu sistem pengukuran ke
sistem pengukuran yang lain. Sebagai contoh, CONVERT dapat mengkonversikan sebuah table jarak yang menggunakan satuan mil menjadi tabel yang menggunakan satuan kilometer, inci, atau ke hampir seluruh satuan panjang yang ada. Fungsi ini juga sanggup mengkonversikan satuan massa, berat. waktu, daya. volume benda cair, temperatur, energi, dan gara. Lihat Bagian 6.4 untuk penjelasan lebih rinci beserta contoh-contohnya.
Jika fungsi CONVERT ini belum tersedia. maka jalankan program Setup untuk melakukan instalasi Analysis ToolPak (lihat Bagian 1.7t.
1.12 Trik untuk merekam tampilan
di Iayar
Trik ini dapat dilakukan di semua aplikasi Windows dan memungkinkan Anda untuk mengkopi apa pun yang tampil di layar lalu meletakliannya ke dalam aplikasi Windows lainnya sebagai sebuah gambar. Atau Anda dapat menyimpan terlebih dahulu tampilan tersebut ke dalam sebuah
file kemudian mengeditnya (memotong, memutar, mengganti warna. dan sebagainya). Untuk menangkap tampilan di layar, tekan saja tombol Print Scrn. Cara ini akan memasukkan tampilan tersebut ke dalam clipboard Windows. Untuk meletakkan hasil tangkapan itu ke dalam sebuah aplikasi, bukalah aplikasi yang dimaksud (sebagai contoh, Microsofi Wor
1.13 Kustomisasi
ExceL
ikon Paste atau masuklah ke menu Edit lalu klik Paste. Hasil tangkapan (-{( /?r,/r \/i, ,.' r\ j:. r- , - - , di dalam dokumen dan Anda dapat mengubah-ubah ukurannya rnenggunakan nr()u.e Apabila Anda ingin menyimpan hasil tangkapan itu ke dalam sebuah tlle untuk JrL,:.,,-pada suatu saat nanti, klik IStart][Plograrns][Accessories][Paint] kemudian klik ikon Pa.te Sei.-:- -
-I::-.,
Anda dapat mengedit dan menyimpannya sebagai file dengan bantuan menu [Fite][Sar e .\.]. saja Anda boleh rnenggunakan program pengolah gambar lainnya. seperti Corel atau \Photoshop untuk mengedit dan menyimpannya.
1.13 Kustomisasi
-,
Excer-
Klik menu [Tools] di bagian atas menu bar. kemudian di bagian bawah menu drop-doun. klrk ICustomize]. Proseclur ini memunculkan kotak dialog yang memr.rngkir.rkan Ar.rda untuk rti.'nqkustomisasi Toolbars, Commands. dan Options.
Lakukanlah cara Anda Biasanya terdapat lebih daripada satu cara untuk menyelesaikan sebuah operasi di Exc'er-. Sebagri contoh, Anda dapat menggunakan mouse untuk mengklik pilihan nrenu atau perintah, Drempergunakan Tombol Fungsi atau bahkan tombol singkat (keyboard sltortt'ut\. Semakin lama, seciua alamiah Ancla akan dapat mengenrbangkan sendiri kebiasaan-kebiasaan dalam penggunaannya.
Pengguna dengan keterbatasan penglihatan Klik tab [Options] dan pilihlah Large Icons untuk toolbar. Gagasan lainnya. klik menu Help kemtrdian pilih Contents and lndex. lalu ketikkan accessibilif, atau lision. Anda pun dapat menemukan lebih banyak inforrnasi melalui Internet di http://www.microsoft.com/.
1.14 Tips untuk mengatur komposisi lembar kerja Pada saat Anda mernulai Excpl dan rnelihat lembar kerja yang kosong, berpikirlah seperti layakn) a seorang artis. Anda akan merancang sebuah mahakarya (.salult scttu dari sekian banyak nrahakarlu buatarr Anda) dan Anda ingin agar orang lain mengagumi dan memahami ciptaan Anda itu. Lalu. jika suatu saat nanti Anda kembali lagi ke ciptaan Anda itu, maka Anda akan tetap dapat rnemahanti isinya. Marilah kita memperhatikan beberapa tips pengaturan lernbar kerja berikut; Anda dapat melihatnya pada saat mernbuka lernbar kerja BASEtsALL. Gambar 1-4. Sebagaimana yang telah dilakukan di beberapa bab selanjutnya. Anda akan rnenjunrpai lebih banyak ide.
.
Pergunakanlah catatan sel agar Anda mudah mengingat apa yang telah Anda kerjakan. Catatan sel ini dapat ditambahkan dengan nrengklik menu [nsert][Comment]. Cara seperti yang terterl di Gambar 1-13 pun dapat dipergunakan. Catatan sel yang telah dibuat akan disembunrikan hingga Anda menempelkan kursor ke sel tersebut atau Anda bisa juga membuatny,a agar senantiasa muncul. (Lihat Gambar 2-'7 dan 2-8.) Menyembunyikan catatan sel dapat sedikit mengurangi kekisruhan di lernbar kerja. Ayo, mulailah mendeskripsikan pekerjaan Andal
.
Di sel mana pun yang mungkin, masukkan referensi sel, bukannya nilai yang berupa anglrangka. Ini akan rnemungkinkan Anda mengkopikan runtus sel ke dalam baris. kolonr. ittuu -e' tunggal dan menjadikan lembar kerja melakukan perhitungan secara cepat. Selain::-. memudahkan Anda dalam memasukkan data (lihat tips berikutnya).
.
Pergunakanlah ref-erensi sel absolut dan relatif dengan tepat untuk membuat operasi pensk,,i.,-
berjalan efektif. Perhatikanlah bagaimana hal BASEBALL.
ini
dapat dilakukan
di dalam
lc'nrh.ir
i..--
Bab 1: Memulai
Letakkanlah data n.rasukan, seperti ffrassa. temperatur awal. dan kecepatan awal ke dalam selsel berbingkai di bagian atas lembar kerja. Kemudian pergunakanlah referensi sel absolut untuk rnengikutsertakan data-data ini ke dalam rumus yang terdapat di dalam lembar kerja. Perhatikan kotak lnitial Corulitions di dalam lembar kerja BASEBALL. Kumpulkan dan sarnpaikanlah hasil-hasil yang penting (seperti perbedaan inptrt, perbeclaan output, nilai puncak, nilai rata-rata. waktu tunda) ke dalam sel-sel berbingkai di bagian atas lembar kerja sehingga siapa pun mudah menemukannya. Pacla saat hasil-hasil perhitungan telah muncul di lembar kerja. kopilah dengan menggunakan referensi sel absolut ke sel-sel berbingkai di atas. Lrhar Rartge Report di dalam lembal kerja BASEBALL. Sertakanlah judul-judul yang dapat menjelaskan isi baris dan kolom! Kehadiran judul akan membantu rnenghilangkan ketidakjelasan dari lembar kerja. Anda dapat menyeftakan grafik ke dalam Sheetl di lembar kerja, tetapi jangan sampai lembaran (sheet) tersebut menjadi kisruh karena jumlah grafik yang muncul terlalu banyirk. Selain itu bisa menggunakan cara lain. yaitu simpanlah grafik ke lembaran-lembaran yang lain yang masih satu lembar kerja. Untuk mengaksesnya Anda tinggal trengklik masing-masing Tab lembaran yang berada di bagian bawah lembar kerja. Berilah nama deskriptif untuk masing-masing Tab lembaran yang berbeda. Klik kanan di sebuah Tab kemudian pilih Rename. Lihat Gambar l-4. Hindarilah kekisruhan lembar kerja. Gunakanlah hitungan bantuan di lembaran yang lain dan tukarkanlah data di antara lembaran-lembaran itu. Dengan kata lain. pergunakanlah workbook 3-D. Lihat Bagian 2.7. Lembar kerja dapat n.relakukan penghitungan kembali secara otonlatis nraupurr manual. Tekanlah Tombol Fungsi F9 untuk mengaktifkan mode penghitungan kembali secara cepat. Untuk mengetahui sedang berada di mode apakah Anda. ketik =rNFo("recaIc") lalu tekan Enter +J. Untuk mengubah-ubah nrode tersebut. klik menu [Tools][Options][Calculationl. Aturlah lebar kolom agar diperoleh tampilan data yang optimum. Anda tidak akan dibatasi dengan lebar kolorn yang harus sama seluruhnya. Mainkan pula ukuran huruf-hurufnya. Berilah warna terhadap huruf-hurufdan sel-sel yang dianggap penting untuk diketahui. Grafik pun perlu diperjelas dengan rnemberinya wan'ta. Koleksi tips untuk berbagai macam penggunaan EXCEL dapat dilihat di http://wwwj-walk.com/ ss/excel/usertips/index.htm. Beberapa di antara tips ini adalah untuk tingkat mahir.
1.15 Menggunakan Ornce
Brruoen
sebagai penjilid digital
Bila Anda telah menginstal Excel sebagai bagian dari Microsoft OrptcE, maka Anda dapat menggunakan OpprcE BrNosR sebagai perekat antar aplikasi atau penjilid dokumen (binder) untuk menjaga agar sekumpulan dokurren tetap nlenyatu, sehingga Anda dapat mentberikan sentuhan profesional atas dokumen yang akan Anda buat nantinya. (Ini merupakan Sepuluh Peringkat Teratas dari cara untuk rnembuat dosen Anda terkesan.) Misalnya, Anda rnemiliki sebuah dokumen Microsoti Wono, sebuah workbook Excel, dan sebuah slide PowenPorNr yang akan dibuat menjadi satu laporan. nrasukkanlah ketiganya ke dalam sebuah penjilid dokumen yang akan menggabungkannya menjadi satu. Pada saat dokumen berupa file-file tersebut telah berada di dalam penjilid dokumen. maka
Anda dapat:
r o o
memeriksa ejaannya, fireneropkan tampilan yang seragam, menambahkan nomor halaman yang saling berurutan ke sepanjang gabungan (Catatan: lile dinamakan section di dalam penjilid dokumen atau binder ini.),
tile
tersebut
'
. . . t
r
6 Apa yanglgMLEtlll 2002 mencctak berbagai section, bekerja di section sccara terpisah. melihal aiau me.cctrk satu per satu secrion secar'a be.urutan. secrion lerpilih saja atau
,.1r.-.
!ection sekaligus. mencetak seluruh section dengan catatan kepala dan caratan kaki yanS sama. arau men.e(-r catalan keprla d{n catatan kakr yang berbeda untuk sctiap section.
Unluk memulai penjilidan dokumcn buu. masuklah ke OFFIr: BI\DER ]alu k]ik Ne$ Binder trng terdapat di menu File aiau cukup dcngrtr membuka OtsFrcE BTNDER. Pada saat .\nda bel,crlJ lr dalam iendela OlrrcE BNDER, pancl di scbehh kirinya akan memperlihatkan sejumlih secrion .3ng menlirdi hrgian dari binder )ang scdang Anda kerjakan dan panel di sebelah kaninn\x Tenunjukkan scctnrn yang sedarg akti1. File filc yang akan Anda malukkan ke daiam binder drpar ierupa tile bffu. file kosong naupun lile yang sudah dihuat sebelumnya. Uniuk menambahkin tlie \ang sudah pcmah dibuat ke dalam binder, tarik (d/dg) file rehebur nelatui WNDows ETPLoRER
ie pancl kirijendela
OFFTCE BTNDER.
atau masukldh ke menu Section di OFflCtr
BTNDER
kcmudian
naluklah kc nrenu File dan klik Add. Untuk memulai OFFTCE BrNDr,R. klik t(nnbol S1an wNDows, pilih kograms kcmudim klik \lrcR.rsoH B NDER. (Soli\rare ini memiliki ikon berbentuk periepir kerras.) Umuk mcnial.tnlrD OFFTCE BTNDTR di WNDows NT. lihadah pctunjuk di buku manualnya arau mel.ilui menu Help. \pablla pc.intah Microsoil Br\DrR atau ikon IlrNr)FR tidak tersedia. jalankan perinld Scrup Ollicc \ekati lagi untuk menginsral O .p B \DrR ini.
Parionyodn yorg sering riuncul
T Di ndMklh
su)u d1ryt menerutkdn
OfF(r
BNDER
pala
OFFTCE
XPI
J. Anda tid* akan nenernukanD",-a karcDa Or rr XP tidak menilikrnya. Nanrun de ikian. Andd J.,prl mencnrbahkrn lemb.'r lrrtJ E\, r r dan ilide PowERPoNr di dalirn dokunen WoRD
untuk mcndapatkan hasil yang \crupa. (Lihat Bab 9.)
'1.16 Apa yang baru
di
Excer- 2002
Offr.L xP menillki bebelaplr thsiliras baru yrng rkan Andr rasakan nlama. untuk dipakai. mcliputi Ta\k l,ane.,{sk a Questlon. drn Relicshabl. Wch Qu.rl. EX.EL 2002 dan
Task Pane Task pdne menyediakan scbuah lokasi tunggal untuk opensioperasi yang rmLrm. dengan
demikru
waklu Anda dari dktivxas menggulung layal untuk membacr dafta. pilihln di nrenu 'nenghemat Pekerjaan mengkopi dan menempelkar, menambahkan grafik, nrcmbudt prelentali. mengatur tampilan dokumen dan b,nyak lagi tugas'tugas harian kini daprr dilakukan hanya dengan selali mengklik tombol mousc. Lihat Gambar 1-1'1. Kunjungilah pusar banruan Office untuk mernpelatJ
lebih lanjut: http://office.microsoil.com/assistance/20o2/articles/oTartPanes.aspx
Ask A Ouestion la'rl,rd' ba u rnr merupJkrn Jle-nJrit dJ.Jm penrrurd.,r rcnq Fref KerLlrh penan'.-r : kotak Ask A Queslion dan Anda *an mendapatkan ropil-ropLk Hclf yang reroei dengan FnM_r r
I
I'cr
r" '-
18
r.arBl!-dlqel
!...
1
,.'.1
'I
Ft..
I
&.d.
I
Ihis T @--.1 Gambar 1-14.
is
tle
Tosk Pane
(,-rd.dn.o,dl CLslo- /e r..-t -algat trar rd t oa'6 di data
EYCEL 2002
Menggunakan EXCEL 2002 di lnternet ExcEL dapat digunakan untuk mcngumpulkan dara jarak jauh melalui lnterner. Halaman web serirg memuat infomrasi r-ang mudrh diinalisis menggunakan ExcEL. Contohnya. Anda tupat menggunakan Ex(H untut menganalisis harga-harga stok yang dikopikan dari halaman web dan dara-data yang diiransmisikan dan perangkaCperangkal jarak jauh. Anda dapat memperbaharul inlbrmasi itu agar senantiasa dalam kondisi terkini dcngan bantuan pJi"rrarle Web queries ynE lcrsedia di ExcEL 2002. Cara membuat refreshable Web query: 1. Di howserAnda, masuklah ke hrl|mrn wcb tcnpat Anda.tkan mengambil dara. Coltoh nlar hlrp/moneycentral.msn.com,home.asp. 2. Kopikan dan temp€lkan data terlebut ke dahm lembar kcrjr ExcEL- Tombol Pastc Op tions akxn mxncul teFt di bawah daia yang tel$ Anda rcmpelk.tn. l. Klik tanda panah di bagian kdnan lombol Panc Optnrns lalu klik C.cate Ref.eshable
4.
Di dalam koral dialog Nes web Quer). klik panah kuning di sebelah tabel data )ang Anda inginkan di \\tb query. 5. Klik rombol lmport. Unruk lips lainnya, kunjungilah: http://wws.microsoft.con oificc/using/tips/winncrs.htm. Kunjungilah httpr/www.ni.com untuk memperoleh informasi mcngcnai pcnggunun Excu- di lmernet untuk mengendalikxn eksperimen-eksperimenjarak jauh, mengumpulkan data. dan belajar jarak jauh. National Indrumenls memiliki sebuah add-in untuk ExcEr, dinamakan MEASL,RE yang memungkinkan EX.EL untuk menarik data dari berbagai macan perangkal. Lihar Bab 9.
Apa selanjutnya? Sekarang Anda ielah mengemhui beberapa cam penggunaan Excll-,
kini saatnya untuk nenggali sedikit lebih dalarn. Kira akan menielaiah lebih banyak lagi fasilitas pengolah angka di Bab 2.
Fngenalan teknik teknik membuat grafik di Bab marematika di Bab 4.
I
dan pengembanga, kemrmpuan
mel--:
Daftar Pustaka Robert K. Adair. The Pbsi$ of Basebdll, (Harpercollins, New York. l99l). Baft Giam.tti appointed Professor Adair to the coleted po( of Physicist io the National League. 198? 1989. Roben K. Adair, "The physics of haseb.tll," Pbsi.s To.]q 48 (5). 26-31 (1995).
1
R. Penner, 'The phlsics of EoIr', Ametica JounnL hal.. Jre more cunplrcrred rhan )ou md) rma!rn<
D
Halliday, R. Resnick, dan 1. W^lke\ F Sons, lnc.. New York, 2001), Chapler 4.
SP
Hendee, R.
ol Pbsics 69 (10) 1073 l08l (2001). Golf
nllan ntalr o/ Pi)ri.r. Sixth Edition,
(John Wllley
&
M. Greenwald, dan J. J. Crisco. Static and dynamic propcrlies of various Bione.lunics 14. 390-100 (1998).
basebatts, "Jaumat oJ Apptiet
Ken- R. Morison dan PaEick J. Jordan, Spreadsheet documcnlalion tbr students aDd engineers. 'lnte ationaL Journnl ol Engineerinq Education 16, No. 6, 509-515 (2000)Kyle Forniash dan Raymond wisman, 'Simple Inteme! data collectjon fbr physics taboratories." Anvricnn JoumaL oJ Ph,"r,.r 70 (4), 45E-.161 (2002).
Uii kemampuan Anda Catoto : Sebagio h.sat latihdn diberika lalan CDl. Gunatanlah ExctrL untut menrhilung nilai dari pemyataan berikut: =3+11
6
=(2+:1)/5 (t-ihatlah perbedaan EXCEL dalam mcl*ukan perhitunsan mergsunakan tand! /). =22+,1/5 (Catatan: ini harus diinput meDj|di =2^2+,1/5) =(2r+.115 =log(10) (Catatan: ini adalah log birsi. bcrbrsis 10.) =ln(10) (lni adalah log natural. berbasis €.)
=ln(exp(11)) (Perhaiikan pengsunaan tanda kuruns). =sin(2) (lni adalah tunCSi sinus. Sudut bialanya dinyalakm dalam radian). =sinGadian(2)) (Gunakan metode ini untuk nemasukkan sudul scbagai derajat). =sin(0.001)/0.m1 =sin(0)/0 (Menjadi nilai apakah seharusnya ini? Lihat Bagian 4.2). =sin(exp(0.2))
l. 0
Mohon perhatian kepada para .rtlet bungee jumping. Bungee jumping. yang merup,Lf keunggulm optimisme atas iDtelegensix, adalah olah rrga yang populer di Great Falls. \Ion tana. Seutas kawat statis dengan paDjang D dipxsangkan ke seulas kawar elasis dengan panjans awal a drn m€ngalami gaya konstan t. Krwat staris dipasangkan ke kalii peloniar yang akan rcriun dengan kepala terlebih dahulu drri ketinggian H diui permukaan beton- ,iur atau tanah. Dapal sala leriadi kcsalahan yxng iatal dengan asumsi bahwa kawat slari! a]<
reranrbahkan tanjang sebesar /) ke nxrl tenrmh{han prnlang kawat elaitis di bawalm,la. Lnruk seorang peloncar yang bennassr ar. energi kons.rlasi nremheriLln nilai parjang rnaLsnnum dari sisten bungee yan: multrr.
.
=t
It
)1,.^ I
t
lr
I)engin s dallrh p.rccparan gr.rlilasi. Alunxika|
linggi brdan si peloncal
I
tt.
adahh 9.8 rnAr d.rn D sudah rernusuk
Bulthh lembd kcrix unluk menehnurg \r^ bila,r = 70 kg. t = l0 N/n dan 1- = 10 m. unruk D = 1.5 hingSr 10 nr dengan kehpatan 0.5 In. l-enrbd pengolah xngk! )'.tng Anda burt dapat nrenyehmltkm ntr$r ]\ndrl H.ll ini berkaimn dengat tor!.n'a\l .r./al Nrtion{l science Education St.rnd.rd. ,\nggap Arda lrremilili hendr :00 kg ]ang rerlerak di bidang horizonral !ang licm. Pada saa! Anda nEndoron gn) a dengrn
gr)!
honzonral J-ang konsran \ebesar
II
.7
\.
benda ilu mengalami
percetaran. Benda hergerrk dari keadaan diam di J = 0. Buatl,rh sebuah lembar ker.la untuk renglrirung l)ercetxtin, kcccprtxn. da pe.geseran lrenda iru seb.rgai lungsi saktu, untuk 0 < / < 30 detik. PetLmjuk: gunrka lrh Hukun Ne$tor lt 1'= ,r.r. Untuk percepatar ,!ang
konsran.r=r,+a/danr=r,,+r/+0.5dr.AurlahdataAndakedalanrkolorn'ko]om. dergan llaktu hemd.t di kolom A. pcrceprh di kolom B, kecepatan di kolon C. dan jarak pergeseran di kolom D. N4rsukkan massa d.rn gaya ke drlam sel-sel di bagian al.ts lernbxr kerja dan referensikxn sel !el inikc drlam r!nrus rLrrnus,!angA da buit. (Pergunakrn /.,t!r"n, r.l.drolrr.) Dengln menggunrkan relerensi rbsolul terhadap sel-sel data. Arda dapat mengubah massa nrautun g!!r tanpr pcrlu mengubah seluruh |ilai massa maLrpun gaya itu di seluflrh lenbar ke{a. Lrtihrn ini bcrhuhungan denga Natloral Science Edncation Standard mengerai It)\isl dan pery aka h. tld d ?kt sruk nu su\o-
l.
Kegiatan baseballdifhnel lain drn dibulanr Buadih salinan workbook B,A.SEBALL kenudian Sandlah namxnr-i. Ubahlah lcnrbar kerianr-a xgar dapal mengikursenakan data a. ,t-aitu pe. cepatan grayitrsi. Bandingkrnhh lintasin b.rseball di buni dengan dl bulan maupun plirneG
planer lainnla. Catatin: s diukur di drcrih tercarnunr di tahel beriktrt.
grrii khalulistiwlr
Petcepatan gnvilast,
masing-nnsing planet sepefli
n/e
1,67 3,78 9,TA
8.60 3.72
229 9,05
11,00
0.50
Shinizu Construction Corporation lengah nempelajari rencana untuk membuat lapangan-lapangan tenis dan golf di bulan, din Nishimatsu Construction Corporation ielah mengajukan usulan unluk mcmbangun tempat peristirahatan berupa gedung bertingtat di bulan. Kunjungilah hltp:// www.shimz.co jp/engli\h/indcx.hhl.
Bab 2 Menjelajahi Excer
Mengenai apa isi bab ini E\.!L nr.ruprkan rplik{si }!ng
trDgguh dan kaya akan beberapt lungsi miupun pilihan t.rnrtilln. \ndr bisr saia lidak nrcmcrlukin scluruh tasilitas tersebut. namuD bilaAnda tidal nempedulikannl!. brgrimanr muDgkm ADda r.thu brh\a Anda rnemang tidak mcmbutuhkannl-a? Klra ridak !k{n mempclald EX.LL. \ccrra nrcndahm di !nri. nai m akan membrhas mcDgcnai dasar-dasamya.! J \xn-q mungkin dipedukan untuk nrul.li menggunakin ExcEL. Di bagian *hir, kita {ktn nenlpelajrri beberapa operasi yang lebih kompleks. Di bagian atas lembar kerja E\( H. tcrdapat sembilan buah menu yang daptr diiabrrkan ke
(prl/'ldrr): File. Edir. view. Inset. Format. Tools. Data. wirdow, dan Hclp. Jika Anda relah mengetahui seluruh sub menu d{n kolrk I'otak dialog -v'.ang tersedi{ tersebut. mxka Arda ..benamla lelah memiliki kuilifikasi scbagxi penggura trngkat lanjut$. Nanrun And.t tidak perlu t.rlalu khawrtir dengan penjabardn s.luruh sub-menu yang ada. begitu Anda membuka lembar terla yang kosong. Anda datat segefu menjelajahi Inenu-menunya lanrbil nrcmbac! bab ini. tawah
2.1 Office Assistant
mril
kila lihal ke bagian Ot{ice Asi'trnt (banludn unnrk penllunJ n ,,1fi((r\3ng merup an brgian umum yang terdapat dalam progranr MrcRosoFr OFFrcE. Klik ikon tanda mn)a (l) di sisi kanrn rlas nenu bar dan Arda akan menyrksikan sesosok makhluk yang lucn sedarg benanya mengenai apakah )ang ingin Anda lakukan. Anda drpai mengganti ma$luk ini dengan mengklik menu OptioDs. SalJr satunyi lang bernana Genius ditunjukkan oleh Gambar 2 1. PosLi
Peaanr| um&
r
Genius digantikan oleh OFrcn lainnya.
1l{{
Ioov"
Merli.
' gtt
Sang Pesulap di E\CEL 2002 dan di progran-program MrcRosorl
Gambar
2r.
Untlk menjalankan OIf@ Assls1a.l
cukup dengan cara mengklk lomboi k r mouseAnda Slakan klik dibar yang lerlelak d bagian alas menL bantuan (drsisikir lombolE) untuk melhattamp ar sepeni Gambar 2 2. D EXCEL 2002 se.ln me^a
glnakan Ofiice Assislant, Anda dapat iuga
k
glnakan Task Pane. Lihat haaman 18
-e_l
22
Bab 2: Menielaiahi Excer
What would you like to do? Type your question here, and tten dick Search,l
9-,9P-lP!1r..
)
ctose
Gambar 2'2. Ketikkan pertanyaan Anda di dalam Kotak Dialog, kemudian klik Search. Bila Anda mengklik Options, maka Anda akan melihat tampilan seperti di Gambar 2-3.
*'t
Aptimt
l
B#,a1t c.grbftal
V tldoffilfizr.e
v f
w*v*tc Scr*r
V tgttc*ainttpwst V CtgrVpt*s V jt*cgrt*
fsffirrrlcd.d,udrlqrr:frh?h l*lrn
glrrylarrnirry
ShfftprSot*
3 at*8fu*resnwcdfa** y 7 U*n tl* tsst* nrr,e df ctrrvdy'
dsW6isE f Orgdtowffdr T
3rro$r
SrcTl'ot
!
d
V'u;WliW
$cOry* *,rhr
Gambar 2-3. Aturlah menu bantuan Anda melalui Kotak Dialog Options. Tombol Fungsi Fl merupakan tombol singkat yang akan memunculkan menu Help. Untuk melihat tampilan seperti di Gambar 2-4, siiakan klik tab Gallery. Anda dapat juga mengklik menu Help di bagian kanan atas bar menu.
CEL
23
2.2 Menu-menu file, edit, dan view
Eilery i Yan
gt-ts
I
ca sool6rur9h
rc ffircd
sclccthg
Ele
ffietcr*
aist{ts
lrrr 6$stut, d(ktE
bry
o|(
ui19 Ate €d
h.ttm.
ud ihxt> h-ttqs. v*lon yqr
l-Elb. GettiE tEb h OffiCe b.elativev sirpb. }Jstgive ne a cltk.
h ildrte:
IhE G€rirs ItE rnd oa *le c€rirs udl
rdasgr.
4d.
ll: rG)&> il
Gambar 2-4. Pilihlah menu bantuan (asslstanf) Anda di sini. Bantuan-bantuannya antara lain akan berwujud penjepit kertas yang apik, robot, William Shakespeare, Power Pup, dan seekor kucing. :lik
2.2
Menu-menu File, Edit, dan View
Gambar 2-5 memperlihatkan pilihan-pilihan atas menu-menu tersebut. Pergunakanlah mouse Anda untuk menjelajahinya satu per satu.
Eb EC Ulrr [t6c* fgrn* Itak ]Cta E
D w...
cu!{il
E} g!..,..'
cbl+o
gh6r
sa+cl&dap*a... P{!SG{fr...
()
E E
AeoaatOose Cbl+Y
a
Ptrt&G.
prrtprrur*
5a*...
Uiil h$rt Fgra* Ioob Uune
gacaaat
Preilitr{
Ioobns , EpnnJ.Bar v g*us8a
E
&
Ee Sqr tnst Fgtrr* fo
ctrt+s
ScndIo
Frtres
)
Uaadet{dF@t!t...
Ctr*om Uitirs...
El Uscr"-, lun...
lE{tRopY
Eooro*s ud Sdrh$lY*,..\Fal-U t famils urd SrttrGlY*...Fgl-le I Foos*s ad $rttresll$ ...Fgl{ ?
Er*
Gambar 2-5. Menure ,- 'a-,; dijabarkan ke bana- - -*-perlihatkan operas Ct'r: "-r{; standar.
24
Bab 2: Menielaiahi Excer-
2.3
Menu-menu lnsert, Format, dan Tools
Operasi pembacaan catatan (Comment) di sebuah sel melalui menu View merupakan sesuatu yang penting untuk dilakukan karena ini akan mengajak Anda untuk melihat-lihat catatan yang telah ditambahkan ke dalam sel tersebut, sekaligus akan membantu mengingatkan Anda (dan juga orang lain) mengenai apa sebenarnya arti di balik isi sel tersebut. Catatan ini diselipkan ke dalam sel menggunakan menu Insert seperti ditunjukkan oleh Gambar 2-6. Iadllah orang yang baik hati dengan senantiasa memberikan catatan-catatan sel seperti ini; suatu saat nanti jika Anda membuka kembali lembar kerja Anda itu, maka Anda akan dapat mensyukuri telah memberikan catatancatatan yang berguna di dalamnya. Salah satu contoh catatal sel ditunjukkan oleh Gambar 2-7. Perhatlkanlah kehadiran sebuah segitiga kecil di pojok kanan atas sel tersebut. Anda dapat melihat catatan yang tersembunyi dengan menggunakan menu View seperti yang nampak di Gambar 2-5. Untuk modifikasi tampilan catatan, dapat menggunakan menu [Tools] [Options] [View] [Comments].
lnsert Fgrfid Iods 0*a cdk.,.
Flfnat look
Qeta
;
Y 5pdns.,. n
Sows
$.toCorrect...
(okrnns
LmL up Refcrcnce..
'
Wskheet
0
Iools Q*a Urdow $lp
Stdow
qu't... PaSe
.
S[re Wod,bod*.. IfxkChilrqes
Beak Protactm
ib courn*t Click here to see w-hat you can do!
r L
nyp*fr*...
Ctrl+(
Qpta Analfgs,.. LJpdatc Add-n
lftto...
Gambar2-6. Menu lnsert, Format, dan Tools. Pada saatAnda menyisipkan catatan (comment), sebuah tanda kecil muncul di pojok kanan atas sel yang akan diberi catatan itu; lihat Gambar 2-7. Pergunakanlah mouse Anda untuk menjelajahi pilihan-pilihan di dalam menu ini. Cobalah mengklik pilihan Picture untuk menyisipkan foto atau gambar. Klik pilihan Object untuk memunculkan kotak dialog dengan sejumlah besar pilihan item penyisipan. Hyperlink akan kita bahas nanti. Data Analysis di menu Tools akan digunakan secara lebih luas di Bab 9, 11, dan
12.
:L
2.4 Menu-menu data, window, dan help
l +
0.30103'
D
0.30103
is is Sre log 2.
:I I
I
i I
Gambar 2-7. Kiri: Sel yang telah diberi catatan. Perhatikan tandanya. Kanan: Anda dapat melihat catatal telah diberikan dengan menempatkan kursor Anda ke sel tersebut namun tidak perlu mengkliknya..
.,.-:
1
i
&!3raQ&:tae,m
I
Insert a comment here to remind you why yo.l did this in this cell.
Gambar 2-8. Kotak Reviewing akan muncul pada saat Anda memilih Comments di menu View (lihat Gambar 2-5).
Ada sembilan buah ikon di dalam kotak Reviewing sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 2-8. Ini merupakan kotak kecil yang sangat bermanfaat. Ikon-ikon tersebut berturut-turut dari kiri ke kanan adalah untuk keperluan mengedit catatan, melihat catatan sebelumnya, melihat catatan setelahnya, menyembunyikan catatan, menyembunyikan seluruh catatan, menghapus catatan. membuat Microsoft Outlook Task, meng-Update File, dan mengirimkannya melalui Email. Pergunakanlah mouse Anda untuk mendalami ikon-ikon ini lebih lanjut. Anda pun dapat menggunakan kotak Reviewing ini untuk saling berkorespondensi dengan orang lain melalui intraner maupun Internet.
2.4
Menu-menu Data, Window, dan Help
Menu Help adalah untuk mencari sebuah penjelasan bagi keperluan diri Anda sendiri, namun marilah kita fokuskan perhatian kita ke menu Window di Gambar 2-9. Gambar 2-9. Pilihan-pilihan di menu Windo,,,
whdow LEh
dan Help. Tiga pilihan teratas di menu W ^dow sudah jelas. Pilihan Split memungkrn
[ew \{rnrdow Ngrange...
Sde
f,? urr*'sIt*r Mfir:rosoft
freeze Panes
v
I Eookl
m the Heb
totus l-2-3 Heb,,,
memungkinkan Anda untuk
menar: "a-
sebuah bagian lembar kerja secara ::-_;. menerus sambil Anda melihallihat ke :al ayang lainnya. lni adalah fasilitas pra< s .
=-,:
dapat digunakan untuk menami r..' :e.. bagai informasi di dalam kolo- a=- :,=-r: yang letaknya jauh dari lemba. --=-":
26
Bab 2: Menielaiahi ExcEr
g*.
!*!idotr E+
il:ot... iltr Fgrm...
e.Qrd*... YaHatin,,.
Tgxt to
Colfint. ..
CaOsoldde...
go.pxtdOl*he [El girotr"bb Rwrt... Get
Exterrd QEta Gambar 2-10. Pilihan-pilihan di menu Data.
Menu Data di Gambar 2-10 memiliki fasilitas-fasilitas tingkat lanjutan yang akan disuguhkan
di bab-bab selanjutnya. Jangan khawatir untuk saat ini. (Namun Anda tidak dilarang untuk menjelajahinya.)
2.5 Di manakah
menu grafik (chartl?
Menu Chart ini akan disembunyikan hingga Anda mengklik ikon Chart Wizard, kemudian akan muncul panduan mengenai langkah-langkah pembuatan grafik itu. Setelah Anda selesai dengan Chart Wizard, Anda akan melihat menu Chart yang terletak di dalam menu Data, di Tool Bar. Posisi Chart Wizard adalah di sisi kanan atas bar menu. Lihatlah Bab 3 untuk pendalaman mengenai pemakaian Wizard.
E f* ,| o, ,o ,
,l ?t, q,t $ : tora +,0 .@ 5i Chart Wizart .(X, +.0 tl -
?
@
. $. A-
Gambar 2-11. Llenu Chart memuat beberapa sub-menu dengan prlinan-prlrhan yang begitu bermanfaat. lni semua akan dibahas secara iebih detarl di Bab 3. Menu Chart hanya akan muncul di Tool Bar pada saatAnda telah menyelesaikan pembuatan sebuah grafik aLau dengan mengklik grafik yang sudah ada di lembar ke4a.
2.6 Fungsi paste
2.6
27
Fungsi Paste
Sebuah ikon kecil untuk Fungsi Paste,
El berada di bagian atas bar menu, lokasinya tiga ikon sebelah kiri Chart Wizard. Ikon ini akan membuka seluruh fungsi di Excel dalam bentuk beberapa sub-menu dan kategori. Keberadaannya kira-kira mirip dengan kunci untuk membuka pintu utama sebuah bank. Gambar 2-12 memperlihatkan posisi ikon tersebut, yang berada di sebelah kanan ikon AutoSum,E-]. Bagian kanan Gambar 2-12 menampilkan kotak dialog Paste Function dengan pilihan berada pada Fungsi Engineering. Di bagian atas dari kategori-kategori ini, yaitu di atas kategori All. terdapat "Most Recently Used", namun tidak ditampilkan di Gambar 2-13. Bukalah lembar pengolah angka Anda dan jelajahilah kotak dialog ini. Suatu deskripsi singkat akan Anda temui. namun Anda dapat menemukan yang lebih lengkap lagi di bagian Help. Klik tombol OK untuk melihat tampilan seperti Gambar 2-14. Gunakanlah mouse untuk mengklik setiap kategori Fungsi dan jelajahi Fungsi-fungsi itu. Kita akan lebih memfokuskan diri untuk mempelajari Math & Trig, Statistical, dan Engineering, namun pilihan Logical pun memiliki beberapa fungsi yang cukup berguna untuk dipelajari. Janganlah menjadikan fungsi-fungsi ini sebagai sesuatu yang akan memberatkan Anda. Pada saat Anda telah terbiasa menggunakannya nanti, Anda akan menemukan sesuatu yang akan banyak membantu Anda. Oleh karena itu, Anda perlu mengetahui fungsi-fungsi apa saja yang tersedia sehingga dapat .A,nda pakai pada saat dibutuhkan. Ingat pula bahwa menu Help bisa diperoleh hanya dengan satu sentuhan mudah pada tombol mouse Anda. di
RrcUongrri
FtrEtion gltceory:
L?
Z
ffirs:z-
f: ll '^[ ll -.0 ,h
Pasta
.oo
F Fmdonl InoGrO(hntcr) Rctsns
tfr
basa-l0logarttrn of
a
car$cx
rutcr.
\
f or I
cu'cd
i
Gambar 2-12. Kiri: Lakukan klik di ikon Paste Function dan Anda akan menemukan betapa menakjubkannya fungsi-fungsi di EXCEL. Kanan'.Kotak dialog Paste Function. Fungsi Engineering sedang dalam kondisi terpilih dengan nama Fungsi IMLOG10. Kategori ini berikut fungsinya akan dibahas di Bab 6 dan 10. Bab 4 akan lebih menekankan ke kategori Math & Trig.
28
Bab 2: Menielaiahi Excer
+i'r A
1
2 3
I
5 6 7
:J X v;
=lMLoGl0(BIt
B
Numbet=
i10(81)
Inurttr
lBl \
lJ
= T.3olo2999s663sl"
Retuns the bas"-l0loguittm of a cmpbx nunb*.
Immber
is a conplex
I
nrnkr
for wt*ch ya.r war* the
rm
f-
o
=e
logarttm.
_l orr
cma
I
,n
Gambar 2-13. lni adalah tampilan yang akan Anda dapatkan pada saat Anda mengklik tombol OK untuk Kategori dan Fungsi yang ditunjukkan oleh Gambar 2-13. Ketikkan alamat sel untuk lnumber. (Perhatikan: Karena2 adalah bilangan riil, maka lMLOGl0 memberikan hasil yang sama dengan LOG10 di dalam Kategori Math & Trig). Sekarang klik tombol OK dan Anda akan melihat tampilan seperti Gambar 2-14.
2.7
Referensi lembar kerja 3-D
Sebuah lembar kerja memiliki 256 kolom dan 65536 baris. Anda mungkin menganggapnya sudah lumayan besar, namun sebenarnya masih bisa lebih besar lagi. Anda dapat menggunakan hingga 256 lembar kerja di dalam sebuah buku kerja dan setiap sel di setiap lembar kerja dapat saling membuat link ke sel lain di lembar kerja yang lain. Ini akan berupa sebuah array sel tiga-dimensi yang begitu besar; lihat Gambar 2-15. Apakah yang kira-kira dapat Anda lakukan dengan buku kerja tiga-dimensi? Gunakanlah kemampuan imajinasi Anda! Sangatlah mudah melakukan referensi-silang terhadap sel-sel tiga-dimensi. Cobalah contoh berikut ini di lembar pengolah angka Anda: Di sel D7 (atau sembarang sel yang Anda pilih) di Sheet 1, ketikkan kata Hello. Di sel 89 (atau sembarang sel yang Anda pilih) di Sheet 2, ketikkan =Sheetl lD7 kemudian tekan Enter*j. (Yakinkan bahwa tanda I telah diikutsertakan). Anda akan melihat bahwa kata Hello akan muncul di sel 89 di Sheet 2. Sekarang, apa pun yang Anda isikan ke dalam sel D7 di Sheet I akan muncul pula di dalam sel 89 di Sheet 2. Carayang serupa dapat Anda lakukan untuk membuatkan referensi sebuah sel di sebuah lembar kerja dari sel yang berada di lembar lain. Anda akan menerima sebuah peringatan referensi sirkular (circular reference) apabila Anda melakukan pereferensian terhadap sel itu sendiri. Biasanya hal ini terjadi pada saat Anda membuat link ygng melibatkan beberapa lembar kerja.
0 301029995663981 Gambar 2-14. lni adalah hasil akhir dari penggunaan Paste Function untuk Kategori dan Fungsi di Gambar 2-13. Sel 82 memuat logaritma basis-10 dari sel 81. Fungsi lMLOGl0 pun akan bekerja dengan bilanganbilangan kompleks (lihat Bab 10). Untuk bilangan-bilangan riil, Anda dapat inenggunakan LOG10.
Apa selaniutnVa?
256
Gambar 2-15. Buku kerja merupakan sebuah array sel tiga-dimensi berukuran besar dan seluruhnya dapat saling direferensikan silang. Anda memiliki 256 kolom, 256 lembar kerja, dan 65536 baris. Anda juga dapat melakukan referensi silang ke buku kerja yang lain, sehingga Anda praktis hanya akan dibatasi oleh kapasitas hard disk dan memori.
Hyperlink Sebuah hyperlink adalah bagaikan sebuah referensi luar biasa terhadap lembar kerja. Anda dapat menyertakan spbuah hyperlink menggunakan menu Insert (lihat Gambar 2-6, di pilihan paling bawah). Cara lainnya, Anda dapat mengklik ikon hyperlink yang terletak di sebelah kiri ikon toolbar Web di bagian atas menu. Sebuah hyperlink dapat mengakses ke file lain dalam bentuk lembar pengolah angka, pengolah kata, maupun URL di Internet. Penggunaan hyperlink ditunjukkan di lembar kerja ENSEMBLE.
Apa selanjutnya? Sekalipun Anda tidak tahu apa yang dapat Anda lakukan dengan menu-menu yang telah dibahas. sekarang Anda telah paham cara melakukan beberapa tugas yang berguna. Semakin Anda belajar, maka kemampuan Anda semakin bertambah. Di Bab 3 kita akan mempelajari dasar-dasar pembuatan
grafik. Mengapa kita perlu membahas grafik begitu awal? EXCEL memiliki fasilitas-fasilitas yang sangat memadai untuk melakukan visualisasi data dan fasilitas-fasilitas ini dapat membantu Anda untuk menampilkan array besar berisi angka-angka yang harus dipahami tanpa perlu banyak mengernyitkan dahi. Menampilkan grafik adalah suatu cara yang efektif untuk membuat suatu kesimpulan atas data dan memadatkan informasinya. Selain itu, memeriksa grafik seringkali dapat membantu Anda untuk mengecek kesalahan data. Setelah Anda mengenal teknik-teknik dasar pembuatan grafik, kita akan memasuki intisari matematika untuk lembar pengolah angka di dalant Bab 4.
Bab 2: Menielaiahi Excel
30
Sebuah batu baterai adalah bagaikan sebuah rekening di bank yang dapat mengalami pemotongan dana untuk keperluan membayar tagihan-tagihan yang Anda terima, namun Anda tidak pernah menerima tambahan bunga ke rekening tersebut. Empat soal latihan pertama di ba*ah ini berhubungan dengan topik listrik dan magnet yang diberikan oleh National Science Education Standard.
l.
Baterai mobil. Anda menggunakan voltmeter hambatan-tinggi untuk mensukur teeangan di kutub baterai pada saat kabel-kabelnya dilepaskan. Voltmeter Anda membaca 11.0 rolt. Ini adalah nilai tegangan rangkaian terbuka Vr, atalu emfbaterai. Voltmeter FET memiliki hambatan tinggi (sekitar 1012 Q) sehingga arus yang mengalir praktis nol. Sekarang hubun-ekan baterai Anda ke sebuah resistor. Anda mendapatkan arusnya 1= 10 ampere dan tegangan kutub V7 turun menjadi 11 volt. Berapakah hambatan-dalam r baterai? (Petunjuk: Berdasarkan Hukum Kirchoff, jumlah aljabar tegangan di dalam rangkaian tertutup adalah nol. I' - \-r- 1r = 0.) Pergunakanlah lembar pengolah angka Anda untuk membuat tabel tegansan kutub sebagai fungsi arus, dengan I yang berkisar dari 0 hingga 120 ampere dengan kenaiken setiap 2 ampere.
2.
Berapakah daya-hilang yang dialami oleh hambatan-dalam unruk setiap nilar aru. l ang diberikan di pertanyaan nomor 1? (Petunjuk: Daya-hilang sama den,uan 1lrt.
J.
Berapakah daya yang dibangkitkan oleh baterai untuk setiap kenaikan nilai :ru. r ang diberikan di pertanyaan nomor 1? (Petunjuk: Daya yan-u dibangkitkan sama densan l'-L.
4.
Berapapersenkah efisiensi baterai untuk setiap nilai arus ran_s drbenkan dr p'ertanraan nomor 1? (Petunjuk: Persentase efisiensi adalah 100 x rDara-hilansr,Dala rang dibanekitkan).
5.
O Koefisien transmisi da1 a adalah perbandingan antara de1 :r lrensmr:i dengan dara sesaat. Di bidang akustik. koefisien ini lebih tepat didet-rnisikan delam bentuk k.rr*teristik impedansi R yang diukur dalam satuan rar'1 {sebagai penghormatan-kepada Lrrrd Rerleiehr. Impedansi ini adalah hasil perkalian antara kerapatan volume tk_e/m'rdengan kecepatan suara di dalam sebuah media (m/s). Di perbatasan antara dua buah media. koet-rsien ini menjadi lrltl+r)2, dengan r = Rt/Rz dan r ini merupakan perbandin_ean antara ka.rakeristik impredansi di perbatasan dua media pada kondisi sesaat dengan kondisi pada saat transmisi. Buatlah lembar kerja untuk menghitung koefisien transmisi daya untuk 0 < r < 5 dengan kenaikan setiap 0,1. Latihan ini berhubungan dengan topik mengenai perpindahan enerqi rang diberikan oleh National Science Education Standard.
6.
Di pertanyaan nomor 5, pada saat r sama dengan berapakah nilai koet'isien transmisi daya mencapai nilai maksimum? (Ini adalah dasar mengapa transformator pencan impedansi kerap kali digunakan di dalam rangkaian elektronika. Persneling mobil juga lermasuk transformator, telinga manusia maupun binatang adalah transformator akustik.)
7.
Catenary. Sebuah rantai seragam sepanjang 30 m memiliki kerapatan linier 0.-i kg/m dan berat total 15 x 9,8 N. (Gunakan 8 = 9,8 m/s2.) Rantai ini tergantung di dua buah titik vertikal. Sebuah bentuk khas yang melengkung akan tercipta terhadap rantai )an_s tergantung vertikal seperti ini dan bentuk ini dinamakan catenary, l(x)=a cosh(x/c). (Lihat Bagian -1.5 untuk fungsi hiperbola seperti cosh.) Buatlah lembar kerja untuk menghitung tegangan rantai di 9 titik yang berjarak sama, termasuk pula di ujung-ujungnya. Cobalah dengan jarak antara 15 sampai 25 m dengan kenaikan setiap 1 m.
Bab 3 Membuat Grafik di Excel
Mengenai apa isi bab ini \lulailah Excsl Anda dan gunakan sambil Anda membaca-baca bab ini. ExcBr- memiliki fasilitasthsilitas pembuat grafik yang sangat kaya (ada 14 buah fasilitas untuk diagram standar dan 20 buah untuk diagram bebas) yang memungkinkan Anda untuk menampilkan dan memaparkan data dalam trentuk visual sehingga Anda maupun orang lain dapat lebih mudah memahaminya. Kita akan memulai dengan mempelajari pembuatan grafik ini karena akan membantuAnda melihat apa sebenarnya iang sedangAnda kerjakan. Sebuah grafik mampu memberikan penggambaran data secara cepat l ang tidak akan Anda dapatkan hanya dengan melalui angka-angka di dalam lembar kerja. Di Excnr- dan program-program Microsoft lainnya, grafik dinamakan diagram (chart) dan _rrafik polar dinamakan diagram radar (radar chart). Di dalam bab ini Anda akan mempelajari konstruksi dasar untuk:
. . .
diagram xy (scatter), termasuk yang memiliki dua sumbu-y, log, dan dB, diagram kolom (column) danbatang (bar), diagram radar dan polar.
Beberapa tipe diagram di dalam Excnr- juga telah dimasukkan ke dalam analisis-analisis statistika sederhana. Di dalam bab-bab terakhir Anda akan mempelajari beberapa teknik untuk memaparkan Jata-data yang lebih rumit, namun ketiga tipe diagram di atas akan membawa Anda untuk memulai dan memahami kebutuhan mendasarnya terlebih dahulu.
3.1
Chart Wizard: membuat diagram xy sederhana
Sebuah diagram begitu mudah untuk dibuat; Excer- memiliki Chart Wizard untuk membantu Anda. Ikon Chart Wizard berada di sisi kanan atas tool bar ikon, letaknya di antara ikon Sort Descending
dan Map. Ikon Wizard ini menyerupai diagram kolom (Gambar 3-2). Diagram ry (atau scatter) adalah tipe yang paling sering digunakan untuk keperluan presentasi di bidang ilmu rekayasa dan sains karena menggunakan data yang saling berpasangan. Seperti rnilah data biasanya direkam dari kejadian-kejadian sesungguhnya yang terjadi sehari-hari. Sebagai r-ontoh, Anda ingin mengukur temperatur pada waktu-waktu tertentu yang interval waktunya tidak :ama. ExcEL memiliki lima diagram ry standar dan beberapa tipe diagram bebas untuk keperluan rtu- Tipe-tipe Standar (Standard Types) ini hadir di tab sebelah kiri di dalam kotak dialog riiha:
32
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
Gambar 3-3) segera setelah Anda memulai pembuatan grafik melalui ikon Chart Wizard. Tipe-tipe Bebas (Custom Types) muncul pada saat Anda mengklik tabnya.
Diagram
ry memiliki tampilan seperti diagram garls, namun diagram garis ternyata kurang
handal karena membutuhkan interval data yang harus sama. Diagram xy dapat bekerja dengan data
poirs. Bukalah buku kerja bernama XY-EXAMPLE dan marilah kita membahasnya secara mendalam. Biasanya lebih mudah untuk mempelajari buku kerja dengan cara mengedit sebuah lembar kerja daripada harus berhadapan dengan sebuah lembar kerja yang masih kosong. Anda dapat menampilkan Gambar 3-1 di layarAnda. Lembar kerja ini memuat dua trik menyenangkan yang akan memudahkan Anda untuk menggonta-ganti kenaikan nilai x dengan segera tanpa perlu melalui menu [Edit][Fill] (Bab 2).
Sel D3 memuat sebuah nilai untuk mengatur kenaikan nilai r. (Anda dapat mengisi kolom ini menggunakan menu [Edit][Fill]tseriesl, namun bila Anda ingin mengubah nilai kenaikannya dipersilakan untuk menggunakan cara ini kembali.) Lembar kerja ini menggunakan sel D3 dengan rumus yang berada di kolom A untuk mengotomatiskannya. Sel ,4.6 memuat nilai au al untuk r dan sel A7 berisi rumus =A6+$n$3, sebagaimana ditunjukkan di dalam kotak editor sel. Perhatikanlah penggunaan alamat sel absolutnya, yang ditandai dengan tanda $, yang terkunci di kolom D baris 3. Pada saat Anda menggunakan noktah di bingkai sel untuk mengkopi sel A.7 ke seluruh kolom A, seluruh sel akan mengacu ke nilai kenaikan di sel D3. Sel 86 memuat rumus =2*A6 dan ini akan dikopikan ke sel-sel lain di kolom B. Proses ini membuat seluruh nilai data di 1'1 menjadi dua kali daripada nilai data di .r. Diagram pada Gambar 3-1 memperlihatkan kumpulan data ini. Lalu rumus apakah yang ada di sel C6? Letakkan kursor di sel A5 dan tahan tombol kiri mouse di sel tersebut. Geserlah kursor ke kolom B kemudian dengan menuruni kedua buah kolom tersebut hingga berakhir di data terbawah. Hal ini dimaksudkan untuk menyeleksi data yang akan ditampilkan di erat-lk pertama. Sekarang
silakan
klik Chat Wizard. .
=A6+3DB
CDEFG
1
XYSXAMPLE.XLS
2
Chapter 3
4 5
I-
4 0 0.8 1 12 1.4 1 6 1.8 2 2.2 24 2.6 2.8 3 0
9
0
12 13 14
15 IO
17 18 19
20 21
i""r"r"rtl
0
0a
02
I 11
,
x--T--Y!--T-rz--l
6
10
Examples of XY (scatter) Charts
0.4 0.8
XY Example
2.442806 2.983649 3.644238
25
1.2 1.6 4451082
2 5.436564 24 6U02U 2.8 811A4 3.2
3.6
9.906065 12 09929
414.77811
4.4 4.8 5.2 5.6
6
18.05003
22.0/.635 26.92148 32.88929 40.11107
o
2A
*rs
Ffil
-10 5
0
l,l
l,ll-
Gambar 3-1. Lembar utama dari XY-EXAMPLE Perhatikan rumus yang berada di sel A7 yang memanfaatkan nilai di sel D3 sebagai nilai kenaikan x.
3.'l
Chart wizard: membuat diagram xy sederhana
Gambar 3-2. Klik ikon Chart Wizard untuk memulai operasi pembuatan grafik.
Kotak Dialog untuk (Step 1) ditunjukkan oleh Gambar 3-3 dengan pilihan yang tengah berada
di tipe .ry, bentuk diagram ry yang lebih khusus ditunjukkan oleh pointer mouse. Pilihan l ang diambil adalah "scatter with data points connected by smooth lines without markers." Silahkan klik tombol yang terdapat di bagian bawah kotak dialog ini ("press and hold to see sample") untuk melihat bentuknya secara lebih jelas. Bila Anda cocok dengan bentuk ini silakan klik tombol Nert dan Anda akan melihat tampilan Garnbar 3-4.
M Tips Menggambar grafik dari sekumpulan data pada kolom yang berdekatan adalah mudah, tetapi
mencobauntukmembuatnyadaridatayangletaknyaclipisahkanolehbarismaupunkolom bisa saja menjengkelkan. Di sini ada dua trik yang akan membuatnya menjadi mudah. Biasanya di dalam EXCEL selalu tersedia lebih daripada satu cara untuk melakukan sesuatu. \Ietode pertama
.
o
Pergunakanlah tombol kiri mouse Anda untuk melakukan seleksi terhadap kelornpok data pertama Tekan dan tahan tombol Ctrl lalu pilihlah kelompok data kedua dengan menggunakan tombol kiri mouse untuk mengklik dan menariknya (melakukan drag).
\4etode kedua
o Melalui menu Edit, pilih Go To. o Di dalam kotak Referensi. ketikkan kedua kelompok data itu, pisahkan dengan tanda .
[:f;"-bol oK. (Lihat
pula Gambar 3-5 untuk .u.u tulnnyu.;
*rd(dr1ecr I C,rt*ryp.r
I
OEt tl.par
Chdt e-6.b/p6l
8aa
liE Pia
Area
Dqrdnt R.dr
Kl&
5qfe. erbblc
5t(k
Prq: ard tpU
@]
c"*d
|
-,,,,,
to
tl* sneh
l--rrotl-l r**'
I
I
Gambar 3'3. Langkah 1 dari 4langkah di dalam Chart Wizard. Pilihannya mengarah ke sub-tipe XY
S-:i-
]
J4
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
Data R.n€c
25 20
l5 t0 5
0
Qata renge: Series
r
h:
Bpws
6 co-umns Gambar 3-4. Langkah 2 di Chart Wizard, menunjukkan batasan sumber data.
Klik tab Series untuk melihat urutan datanya. Apabila pilihan datanya tidak sesuai, maka Anda dapat menggantinya, seperti ditunjukkan oleh Gambar 3-5.
a0
s t0 5
0
Gambar 3-5. Menambah, membuang, atau membuat perubahan terhadap urulurutan data dapat dilakukan melalui salah satu bagian di Langkah 2 ini. Anda dapat mempergunakannya untuk kelompok data yang lokasi kolom selnya tidak berdekatan. Anda dapat memasukkan atau membuang sekelompok data melalui kotak dialog ini. lni merupakan cara ketiga untuk membuat grafik pada sekumpulan data yang kolomnya tidak berdekatan. Lihat tips di halaman 33.
3.1 Chart wizard: membuat diaoram xy sederhana
_.i"g
I
:Ert
.
ll r'r*t, I
.Ed*,
I
Gambar 3-6. Langkah 3 di Chart Wizard. Judul dapat dimasukkan dengan menggunakan bantuan papan ketik (keyboard). Silakan klik keempat tab lainnya di bagian atas kotak dialog untuk melihat apa saja pilihan yang bisa dilakukannya.
Langkah 3 ditunjukkan oleh Gambar 3-6. Langkah ini memberi Anda kesungguhan dalam mengontrol seluruh penampilan diagram. Sebagai contoh, Anda dapat mengklik tab Legend untuk menggeser lokasi legenda (legend) data atau mengubah posisinya. Langkah 4 ditunjukkan oleh Gambar 3-7 .lni adalah langkah terakhir dalam pembuatan sebuah diagram. Di sini Anda dapat meletakkan diagram di dalam lembar kerja baru atau menjadikannya sebagai sisipan di dalam lembar kerja yang sudah ada (lihat Gambar 3-l). Perhatikanlah pointer mouse yang berada di tombol Question. Pada saat Anda mengklik tombol ini, Office Assistant akan hadir untuk membantu Anda. Fasilitas ini tersedia di seluruh Kotak Dialog dan di sisi kanan atas Tool Bar ExcEr-.
Hxe chat:
m
r-
As rcvr
ffi
6
as gbicct
E*
tlraet: lclxtt
n:
lvt, vz
:l
< E€ck
Gambar 3-7. Langkah 4 di dalam proses pembuatan diagram. Setelah Anda memilih di mana diagrar :.a-- akan diletakkan, klik tombol Finish. Lihat pula bahwa pointer mouse Anda sedang berada di tornco l=,:e Assistant.
36
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
Memodifikasi diagram buatan Anda Sekarang Anda telah memiliki dasar diagram;ry, Anda dapat memodifikasinya dengan cara mengklik bagian diagram dan memilih sembarang objek. Sebagai contoh, pada Gambar 3-1 arsiran diagramnya telah dibuang. Di dalam lembar kerja, letakkan kursor ke dalam bagian diagram (chart area)
namun di sisi luar diagramnya, kemudian klik tombol kanan mouse. Ini akan memunculkan menu kontrol seperti tertera di Gambar 3-8. Pergunakanlah mouse Anda untuk menjelajahi menu-menu
ini. Lakukanlah kllk di plot area (area keberadaan diagram) dengan tombol kiri mouse, kernudian klik kanan tombol mouse Anda. Anda akan melihat menu kontrol seperti tertera di Gambar 3-8. Sekali lagi. cobalah untuk menjelajahi pilihan-pilihannya dengan mouse Anda. Menu-menu kontrol ini akan membuat Anda semakin mahir, namun Anda tidak perlu memahami seluruh tungsinya saat
ini. Anda dapat dengan cepat mengubah tipe diagram dengan cara mengklik Chart Type. Anda dapat melihat atau memodifikasi sumber datanya dengan mengklik Source Data. Silahkan Anda coba sendiri yang berikut ini: menambah, membuang, atau mengubah seluruh sumber data dan batasan (range) datanya. Anda ingin mengubah judul? Silahkan klik Chart Options. Sekarang marilah kita lihat bagaimana mengubah-ubah tampilan diagram Anda. Klik kiri tombol mouse Anda di sumbu-"r diagram dan Anda akan menerima Kotak Dialo-e seperti tertera di Gambar 3-9. Kotak dialog ini akan mengajak Anda untuk mengubah-ubah lormat sumbu diagram dengan berbagai cara. Jelajahilah tab+ab yang ada dengan mouse Anda. Pada saat Anda mengklik sumbu-,y, kotak dialog yang sama akan muncul. Kotak dialog pada Gambar 3-10 muncul pada saat Anda mengklik tab Scale. Berlatihlah terhadap pilihan-pilihan yang ada, kemudian klik untuk tab-tab lainnya dan lihatlah apa yang dapat Anda lakukan dengannya.
S .
rgf*d Chat Chrt
E$
fgnrrat Ptot area...
lvp,.,
$gr.rre
.
Area..,
D*a,..
Chart Qptims,..
Laati,m.,.
$
chstT9
*",ry
c+,
dclr
Eb gopy
G er*" degr
Gambar 3-8. Kiri: pilihan-pilihan di dalam Format ChartArea, muncul hanya dengan sekali klik di tombol kanan mouse. Kanan: pilihan-pilihan di dalam Format Plot Area. Beberapa pilihan yang sama muncul di keduanya.
3.1 Chart wizard: membuat diaoram xy sederhana
il*gjp-ll s..b I Fo't I urt* | ag*e* Ar, [.aix ttkmaktpe 6 **onr*ic r Nor12 .t Otgde - Mne r Ift*rc r'Crosr Ns -uf r cu*dn $vrc: HT#***5on* |
F::::=
Cdor: gud*,
rlnsile
t,trffi l:;
fcross
!&m*klabels
r None a High .- Lo,r, 6 Next to axis
sdn*
f
!-
l-l
c*rr
I
Gambar 3-9. Kotak Dialog untuk mengubah format sumbu-x. Kotak yang sama dapat digunakan untuk mengubah
'crmat sumbu-y.
.............'.,..'....
l
Patterns i--ii-+i---ll V*.e (X) axis scale
r""t
I
ruu*uu,
i
at6nmer*
|
Alxo
17
ui6mun:
17
ualrnum;
17
ms;or
17
tqrorwr*: It
l7
vdrre
Ifl-
r.nit:
lo
l" ls
-
lvl axis Erasr* ls s(6h logaitlunic N Vafues in
*:
lever*
S",
value (v) axis crosser at ![aximr.m vd.re
t q.-]
cancet
I
3ambar 3-10. Tab ini sangat penting untuk Anda dalam mengatur skala. Lihatlah ke pilihan Logarithmic scale
'=
akan membahasnya di Bagian 3.3.
:{
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
.2 Dua sumbu-y i:Ja
Anda memiliki dua kelompok data yang batasan nilai-nilainya sungguh berbeda, nampakbila salah satunya dipetakan ke sumbu-y di sisi kiri diagram dan yang .:innya ke sumbu-y di sisi kanan. Marilah kita lihat bagaimana cara melakukannya. Bukalah lembar kerja TWO-Y. Simpanlah trle ini sebagai MyChart-1. Kita akan membuat diagram baru dan menambahkan sumbu-y lain ke sisi sebelah kanan diagram untuk sekumpulan data Z, terakhir kita akan melakukan eksperimen dengan memanfaatkan skala logaritma. Tahan tombol kiri mouse Anda kemudian pilihlah data yang ditandai sebagai X, Y, dan Z di kolom A, B, dan C. saat
:1 a akan sangat berguna
Klik ikon Chat Wizard lalu pilih -xy (scatter). Lanjutkan Chart Wizard ini hingga selesai. Pada saat diagram muncul, klik kanan di Z data series. Klik kiri di Format Data Series di dalam kotak dialog yang muncul.
Klik kiri tab Patterns. Di bawah kolom Line (di sebelah kiri), pilih Automatic and Smoothed Line. Di dalam kotak Format Data Series, klik kiri tab Axis. Pilihlah Secondary Axis di "Plot Series On". (Sekarang Anda dapat melihat tampilan grafiknya seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3-12.)
Klik kanan Value (x) Axis dan pilihlah Format Axis. Klik tab Scale. Masukkan -0.6 ke dalam kotak isian "Value (y) Axis Crosses At." (Langkah ini akan menggeser sumbu-y ke titik -0.6 atau titik data pertama yang lebih besar daripada -0.6.)
Y.|dYz
o2a68r'2 x Gambar 3-11. Kelompok data Y1 (tidak ditandai dengan noktah) dipetakan ke sumbu kiri dan kelompok data Y2 (ditandai dengan noktah) dipetakan ke sumbu kanan. Sumbu-x adalah sumbu milik kedua kelompok tersebut.
3.3 Logaritma dan sumbu dB
3.3
j-
Logaritma dan sumbu dB
Di dalam aplikasi-aplikasi ilmu
rekayasa dan sains, kita sering dihadapkan dengan data rrr.: cakupannya begitu besar, jutaan, miliaran, bahkan lebih, sehingga terlalu besar bila dipetak"r. menggunakan skala linier di kertas berukuran normal. Apabila Anda menggunakan skala iinier tersebut, maka Anda akan kesulitan untuk melihat nilai-nilai kecil yang muncul di antara sekian banyak nilai yang besar. Kendala ini dapat diselesaikan dengan menggunakan skala grafik logaritma. atau mengkonversikan datanya menjadi format desibel (dB). Perhatian: nilai negatif tidak dapat dipetakan ke dalam skala log! Anda akan menerima peringatan keras apabila Anda tetap mencobanr aatau ketika Anda memasukkan nilai negatif ke dalam log. Alam telah mengajarkan kepada kita tentang bagaimana bertahan hidup. Manusia sebenarnl a telah mengembangkan kemampuan untuk mendengarkan berdasarkan skala logaritma (lihat materi tentang Desibel di bawah) sehingga mereka dapat mendengar suara harimau yang tengah mengendapendap untuk menerkamnya saat berlangsung angin ribut maupun guntur yang bersahut-sahutan. Manusia yang tidak memiliki kemampuan ini akan menjadi santapan lezat dan membuat sans harimau mampu mempertahankan hidupnya. Persyaratan paling umum yang melibatkan pembuatan sebuah diagram adalah kemampuanny'a untuk mewakili suatu besaran dan fase respon dari sebuah sistem. Besaran dan frekuensi cakupan data dapat berukuran sangat besar, hingga mencapai puluhan tahun, sedangkan ukuran fase hanyalah berkisar antara 0 sampai 360 derajat. Cara baku untuk menggrafikkan data seperti ini adalah
melalui pemetaan Bode (ditemukan oleh Hendrik Bode untuk keperluan di bidang elektronika) yang memiliki skala logaritma untuk frekuensi di sumbu-x, sebuah logaritma atau skala dB untuk suatu besaran di sumbu-y sebelah kiri dan skala linier untuk fase di sumbu-y sebelah kanan. (Kata Bode dilafalkan menjadi Bo-dee.) Tipe diagram seperti ini sering dipergunakan di bidang teknik elektronika maupun mesin untuk melihat karakteristik respon frekuensi di dalam sistem.
Desibel dan skala dB Mengapa kita menggunakan skala desibel? Seperti halnya skala log, skala dB berguna untuk memadatkan data yang memiliki batas cakupan begitu besar, namun skala dB ini akan terlihat seperti skala linier sehingga lebih mudah diinterpretasi. Namun demikian, skala dB sendiri merupakan sebuah logaritma sederhana.
Desibel banyak digunakan untuk data-data audio karena manusia tidak dapat merasakan perubahan intensitas suara sebagai Ir - Iz. Suara dapat dideteksi dengan pendekatan log(11) log(12). Dengan menggunakan kaidah logaritma, dapat ditulis menjadi, log
1,
)
i)
(3-1)
(3-l) merupakan definisi dari Bel, namun jarang dipergunakan karena orang masih dapat mendeteksi perubahan sebesar 1/10 dari sebuah Bel. Jadi, desibel didefinisikan sebagai. Persamaan
10,"'(+) Mengingat intensitas berhubungan dengan daya, kita sering mengukur desibel sebagai.
,rr"r[+)
(_1-l
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
{}..r.::r\r.
da1
a berhubungan dengan kuadrat tegangan atau amplitudo, sehingga
ro
losl]! "\v, )l'=
2o los
u) ,r)
(3-4)
ierena menurut kaidah logaritma, log (l) = n log(x). Biasanya tidak ada masalah dalam melakukan pengukuran daya, namun berhati-hatilah pada \aal menggunakan tegangan. Tegangan harus dalam bentuk tegangan r.m.s. (root-mean-square, akar kuadrat tegangan rata-rata). Selain itu, kedua tegangan tersebut harus diukur dalam impedansi \ ang sama. Sebagai contoh, jika V2 merupakan input atau re.ferensi dan Vr adalah output, maka Persamaan (3-4) akan menghasilkan keuntungan alal. Keterbatasan penggunaan skala log dan dB adalah bahu'a Anda tidak dapat menggunakannya untuk membuat grafik nilai-nilai negatif. Jangan pernah mencoba untuk mencari log dari sebuah
nilai negatif! Apakah arti dB nol? Secara sederhana, dB nol mengandun-e arti bahwa nilai output (nilai yang diukur) adalah setara dengan nilai referensi, karena log(1) = 0. Apakah arti dB negatif? Sebuah desibel yang negatif mengandung arti bahwa nilai output (nilai yang diukur) lebih kecil daripada nilai referensi, karena log dari sebuah angka vang lebih
kecil daripada 1 adalah negatif. Beberapa orang mengatakan bahwa desibel dipakai jika Anda tidak tahu apa yang sedang Anda ukur. Walaupun itu bukanlah pernyataan yang benar, namun sebagian darinya memang benar. Oleh karena desibel merupakan sebuah perbandingan, maka satuan pengukurannya dapat diabaikan. Tidak ada pembedaan mengenai satuan apa yang Anda pakai. selama Anda konsisten menggunakan satuan yang sama.
Neper Desibel didefinisikan dalam bentuk log yang umum (1og berbasis l0). namun loe natural (1og berbasis e) kerup muncul di dalam proses-proses ilmu alam. Nampaknra sudah menjadi suatu kebiasaan untuk mendefinisikan beberapa satuan menjadi berbasis lo-e natural. seperti desibel. dan inilah yang telah dilakukan selama ini. Neper digunakan oleh beberapa nesara di Eropa sebagai satuan transmisi telekomunikasi dan didefinikan sebagai,
(v,)
N, = 0'5 r, f&l =ln lP, ) [,a
(3-s)
.]
dengan Po dan P, masing-masing adalah daya output dan daya ret-erensi. dan I,, dan V,. adalah tegangan output dan tegangan referensi (diukur melalui impedansi vans sama). Untuk mengkonversikan dB menjadi neper, kalikanlah dB dengan 0. 1 l5l. Untuk mengkonversikan neper menjadi dB, kalikanlah neper dengan 8,686. Satuan-satuan pen-uukuran ini kerap digunakan untuk mendeskripsikan peredaman (attenuation) per satuan panjang kabel koaksial, kabel fiber optik, dan pandu gelombang (waveguide) sebagaimana yang dilakukan terhadap material bulk.
Sebagai contoh, fiber optik silikon memiliki peredaman sekitar 0.1 dB/km. tetapi fiber optik plastik memiliki peredaman dalam batasan 15 dB/km hingga 100 dB4im. Fiber optik yang disisipi Erbium dapat digunakan sebagai penguat distribusi dan akan memiliki nilai peredaman negatif (atau mencapai positif) bila bekerja sebagaimana mestinya.
Contoh Bila referensi yang diberikan adalah nya.
I mV dan outputnya 50 mV (atau 0,050 V), tentukanlah dB-
3.3 Logaritma dan sumbu
20
r"c(+)
dB
= 2o (1,30r)
=
26,02 dB
Daya output adalah setengah daripada daya input. Tentukanlah dB-nya.
lo Ioefo;s) = -3.0r
-\r/
dB
Dengan kata lain, nilai daya-setengah adalah -3 dB. Bukalah lembar kerja TWO-X letakkan pointer mouse Anda di salah satu se1 di kolom B. klik
kiri di menu Insert kemudian klik Columns. Di sel 84, ketikkan dB. Di sel 85 ketikkan =20x log (C5 ) kemudian tekan EnterJ. Sekarang, gunakanlah mouse untuk menarik (drag) noktah
di bingkai sel 85 dan mengopikannya ke sel-sel 86:825.
Gunakanlah pointer mouse untuk menyeleksi sel-sel A4:825, yaitu kolom A dan B mulai dari klik Chart Wizard dan buatlah sebuah diagram xy dengan skala dB berdasarkan data-data yang Anda miliki. Hasil akhir diagram Anda haruslah seperti Gambar 3-12. sel 4 hingga ke sel 25. Selanjutnya,
Gambar 3-12. Sumbu di sisi kiri menggunakan skala logaritma. Anda dapat melihat nilai-nilai kecilnya secara rinci seperti halnya melihat nilai-nilai besai yang muncul di kurva polos (tanpa noktah). Sumbu di iisi kanan memuat skala untuk kurva bernoktah. Data-data yang diikutsertakan di sumbu kanan ini memiliki nilai-nilai positif dan negatif dalam batasan data yang relatif kecil.
Lembar kerja TWO-XY memiliki dua buah diagram yang akan memperlihatkan kegunaan skala
logaritma. Gambar 3-13 adalah diagram berjudul Lin-Lin
di dalam lembar kerja ini;
kedua
sumbunya nampak linier. Gambar 3-14 memperlihatkan sebuah grafik bernama dB-Log. Data antara kedua diagram tersebut adalah sama, namun penggunaan skala log lebih meninggikan kerapatan datanya.
42
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
EA
&r$&ry Gambar 3-13. Data-data di dalam diagram ini diberikan hingga frekuensi 100, namun batasan data untuk daya begitu besar sehingga nilai-nilai kecilnya untuk frekuensi tinggi tidak bisa dilihat.
,
l
5
Bo -t
-t0 -13 -10
Freq:ency.
Gambar 3-14. Diagram ini menggunakan data yang sama dengan diagram di Gambar 3-13, namun diagram ini datanya berformat dB-Log (pemetaan Bode) sehingga pemahaman atas grafik akan menjadi lebih baik.
3.4
Diagram kolom dan batang
Diagr:m kolom nenikal) dan batang (horizontal) cocok digunakan untuk kumpulan-kumpulan data r ang berurutan. sebagaimana Anda ketahui bahwa tidak ada satu data pun darinya yang nilainilainla berada di antara kumpulan-kumpulan data lain di dalam lembar ker1a. Sebagai contoh, suatu data bulanan atau tahunan yang memuat urutan waktu dipaparkan dengan baik .melalui
3.4 Diagram kolom dan batang
.1
diagram kolom. Diagram kolom juga sangat baik digunakan untuk membandingkan beber.rp" variabel yang saling berdampingan di dalam satu kurun waktu yang sama. Hidupkan komputer Anda. Pilihlah diagram kolom melalui Langkah I di dalam Chart \\-izarc (lihat Gambar 3-3). EXCEL menyediakan beberapa variasi untuk jenis diagram ini.
Tipe kolom standar Kolom berjajar (clustered column): membandingkan nilai-nilai yang berpotongan di bagian kate-son (sumbu-r). Kolom bertumpuk (stacked column): membandingkan kontribusi setiap nilai terhadap total nilai yang berpotongan di bagian kategori. Kolom bertumpuk 100%: membandingkan persentase dari setiap kontribusi nilai terhadap totalnya yang berpotongan di bagian kategori. Kolom berjajar dengan tampilan efek 3-D. Kolom bertumpuk dengan tampilan efek 3-D. Kolom bertumpuk 1007o dengan tampilan efek 3-D. Kolom 3-D: membandingkan nilai-nilai yang berpotongan dengan bagian kategori maupun dengan bagian serial.
Tipe kolom bebas EXCEL memiliki 20 pilihan diagram bebas (lihat Chart Wizard) yang dapat digunakan untuk lebih memuaskan keinginan Anda. Diagram-diagram yang telah tersedia mampu menghasilkan ide-ide sehingga Anda dapat mengolahnya sendiri sesuai dengan keperluan. (Lihatlah buku kerja THIN-
LENS.)
Hindarilah diagram yang bersifat fantasi; jagalah bentuk pemaparan data Anda agar tetap sederhana sehingga siapa pun dapat memahaminya dengan mudah. Kita hanya akan menggunakan
tiga bentuk diagram bebas yang paling banyak digunakan. Blok Area: berupa diagram area 3-D yang kaya warna (atau memiliki arsiran abu-abu), berguna untuk membandingkan data serial. Kolom-garis (line-column): data serial untuk garis dan kolom dipetakan ke sumbu yang sama. Kolom-garis di 2 sumbu: diagram kombinasi. Kolom dipetakan ke sumbu utama (sumbu kiri) dan garis dipetakan ke sumbu kedua (sumbu kanan). Sekarang marilah kita membuat sebuah diagram kolom dengan sebuah tabel data yang tersedia, yaitu dengan menggunakan data dB di Gambar 3-12. Sebelumnya, seleksilah data untuk cakupan A4:825 kemudian klik Chart Wizard. Agar sedikit lebih menarik, klik di tab Custom kemudian pilihlah B&W Column. Ini adalah diagram kolom 3-D dengan arsiran abu-abu di tabel data. Hasilnya ditunjukkan oleh Gambar 3-15. Diagram kolom ini mensyaratkan bahwa data-datanya harus diperoleh dari nilai-nilai yang berurutan, untuk contoh kasusnya adalah data urutan frekuensi yang dihasilkan oleh resonator frekuensi. Pada saat menggunakan Excrr-, Anda dapat mengkaji nilai-nilai -r,y dengan menggunakan mouse, namun ketika Anda mencetak diagramnya, data-data tersebut haruslah telah dipetakan ke dalam grafik. Cukup menyenangkan untuk menyelesaikan sebuah tabel data beserta dengan diagramnya bila ukuran data tersebut masih wajar.
Di bagian atas bar menu, klik [Chafi]l3D-View] untuk memunculkan kotak dialog seperti yan-u ditunjukkan oleh Gambar 3-16. Kotak ini memberikan kendali penuh kepadaAnda untuk mengutakatik tampilan diagram 3-D. Anda dapat memutar diagram sepanjang sumbu vertikal maupun horizontal, menggeser diagram ke atas maupun ke bawah dan mengatur skala maupun sudut kemiringan sumbunya.
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
5.rs '&' valrr 19.6593321
Gambar 3-15. Sebuah diagram kolom menitikberatkan urutan data alamiah yang diperoleh dari data kurva resonansi. lni adalah data yang sama dengan yang tertera di Gambar 3-12, sumbu-y kiri.
{>l .={]=}l
Elevation:
ffi
u
.t
|
l
| l7 Auto sctJing
-lrj r'*h*ffi&'
Gambar 3'16. Kotak dialog 3-D View. Pointer mouse sedang berada di tombol yang berfungsi untuk mengatur sosok diagram terhadap diri Anda, di sepanjang sumbu horizontal.
.:
3.5 Diagram radar dan polar
3.5
Diagram radar dan polar
Diagram radar dan polar memberikan Anda cara pandang baru terhadap data. Anda akan memperoleh tambahan wawasan melalui pemaparan data yang lebih daripada satu macam cara. (Di Bab l1 kira akan lihat bagaimana cara memunculkan spektrum data, tentu saja data yang berada di dalam cakupan frekuensi tertentu.) Salah satu tipe diagram standar di EXCEL adalah diagram radar yang
terdiri dari tiga sub-tipe. yaitu:
o r o
Diagram radar yang menampilkan perubahan nilai data relatif terhadap titik pusat. Diagram radar dengan noktah di setiap titik data. Radar dengan arsiran (filled radar), dengan area data yang diberi arsiran berupa warna.
Tipe-tipe diagram tersebut dapat dilihat di buku kerja POLAR dan tampilannya dapat dilihat di Gambar 3-17. Diagram radar merupakan salah satu jenis diagram polar, namun tidak murni berupa diagram polar karena Anda tidak dapat memillh r 0 sebagai pasangan data yang saling tidak bergantung. Namun Anda masih dapat membuat diagram polar murni dengan bantuan diagram r-r (scatter).
Membuat sendiri diagram polar Diagram polar adalah metode alternatif yang sangat baik untuk menampilkan nilai sebuah besaran dan fasenya, dengan nilai besaran berupa radius dan fasenya berupa koordinat sudut. Radius dapat dijadikan skala logaritma atau yang biasa dinyatakan dalam dB. Inilah cara membuat diagram polar yang sesungguhnya. (Bukalah buku kerja bernama POLAR untuk mengikuti instruksi-instruksi dalam contoh di bawah ini).
Contoh: Data asli berada dalam format x, y. Cukup mudah membuatnya. Gunakan saja mouse Anda untuk menyeleksi data x dan y. Data x harus terletak di kolom sebelah kiri data y. Klik Chart Wizard, kemudian pilih XY (Scatter) di dalam Standard Types, lalu lakukan langkah-langkah seperti biasa. Lihat Gambar 3-17 untuk hasilnya.
Bukalah lembar kerja baru dan gunakan [Edit][Fill][Series][Column] untuk membuat sebuah sumbu satuan waktu di kolom A yang nilainya dari 0 hingga 100 dengan kelipatan l. Ini dinamakan sumbu waktu.
Gambar 3-17. Tiga bentuk standar diagram radar di dalam Chart Wizard EXCEL. Kiri: diagram radar. Tengan. diagram radar dengan noktah. Kanan: diagram radar dengan arsiran
MILIK
Bedan Per-,,rsr1rta.i Prr Fiaci
,A
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
Di sel B1 masukkan rumus =COS(Al/3)*exp(-0.02*A1) lalu kopikan ke sel B2:B100. Ini
:illah
.r(r).
Di sel C1 masukkan rumus =SIN(Al/3)*exp(-0.02*Al) lalu kopikan "dalah
ke sel C2:C100. Ini
r'(t).
Pergunakan mouse Anda untuk memilih sel A1:C100, lalu klik Chart Wizard. Pilih XY rScauer) dan selesaikanlah pembuatannya. Anda akan melihat sesuatu seperti yang ditunjukkan t.rleh Gambar 3-18. Selanjutnya, buatlah grafik r(t) terhadap x(r) dan Anda akan melihat tampilannya .epeni di Gambar 3-19. Contoh: data asli berada dalam format
r,
0.
Data dalam format r, 0, seperti nilai besaran dan fase, tidak dapat digambarkan langsung ke diagram scatter (hamburan), namun, begitu mudah untuk mengkonversikannya menjadi format .\, '\' menggunakan transformasi polar ke segiempat standar:
x=rcos0 Jika Anda memiliki data
r'=rsin0.
(3-6)
r 9di dalam kolom. buatlah dua kolom lagi untuk.r dan.r'lalu tuliskan
kedua rumus di atas pada masing-masing kolom itu. Ingat, Anda harus konsisten dalam penggunaan
radian dan derajatl
Di Bab 10 kita akan melihat lebih banyak aplikasi diagram polar. Lalu di Bab ll kita akan membahas bagaimana menggunakan diagram polar bersama-sama dengan spektrum bentuk yang menggunakan Fast Fourier Transform (FFT) di Excsl. -uelombang
o
02
o E
Tlme
Gambar 3-18. lni adalah diagram xy yang menunjukkan fungsi waktu. Bentuk gelombangnya berupa sinus e
x dan
3.6 Statistik diaqram
o
ln-phase
Gambar 3-19. lni adalah diagram polar yang terdiri dari dua buah bentuk gelombang eksponensial melemah yang telah ditunjukkan di Gambar 3-18. Anda dapat membayangkan ini sebagai sebuah pandangan dari sisi kiri Gambar 3-18, teruslah menuju ke sumbu waktu. Dari perspektif ini, kedua bentuk gelombang tersebut dapat dibayangkan sebagai komponen-komponen sebuah vektor yang berputar melawan arah jarum jam.
I
:.0_ gtrti"tik dirgr"r,
Excel menyediakan sebuah fasilitas yang sesuai untuk melakukan penerapan analisis statistik dasar terhadap data Anda. Bukalah buku kerja bernama OLYMPIC dan klik di tab-nya untuk memunculkan sebuah diagram ke layarAnda. Klik kanan kurva yang berada di dalam diagram dan Anda akan melihat menu pop-up seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3-20. Sekarang klik pilihan Add Trendline untuk menghasilkan tampilan seperti di Gambar 3-21 . Di dalam kotak dialog, klik tab Options hingga muncul tampilan seperti di Gambar 3-22. Di dalam Gambar 3-22 Anda dapat melihat sebuah kotak isian bernama "Set intercept" yang dapat digunakan untuk mematok kecondongan garis ke sebuah nilai di sumbu-y. Fasilitas ini berguna terhadap data-data yang "terganggu", yaitu dengan cara memperbaiki kecondongan garisnya agar tampilannya menjadi lebih layak. Sebagai contoh, bila Anda tahu bahwa data dimulai dari 0,0 sedangkan pengukuran data pertama tidak menunjuk ke nol, maka paksalah dengan set intercept
= 0. Lakukanlah
percobaan terhadap fasilitas
ini untuk nilai-nilai intercept yang
berbeda dan
perhatikanlah bagaimana pengaruhnya terhadap nilai R2 (kelayakan condong garis yang bergantung pada least square). Tekan Tombol Fungsi F9 berulang kali dan perhatikan perubahan pada nilai Rr.
Lihatlah Lampiran 3 untuk informasi lebih lanjut.
6
fgnr,*O*aseriL=... ChdtB/pe...
59.:ceD*a...
lddlqen*re... Oear
Gambar 3-20. Menu pop-up untuk sebuah diagram. Anda juga daca: mengakses Add Trendline melalui menu Chart di bagian atas tool 3a. Lihat Lampiran 3 untuk persamaan-persamaan kecondongan ga's (trendline) beserta pilihannya.
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
48
il
Bdyrumiaa
Or&n
F--5. h
f- oK I
cncd
I
Gambar 3-21. Pilih tipe Trend/Regression di sini. Untuk membuat tampilan polinomialnya menjadi lebih pantas, Anda dapat menentukan orde polinomialnya. Untuk perpindahan nilai rata-rata (moving average), Anda dapat memilih periodenya fiumlah titik data yang akan dirata-ratakan). Cobalah beberapa kali untuk mendapatkan tampilan yang lebih baik.
Type o6l:rts I Trerilnc nane
(3
f
Autm*ic:
pdy. (Sederz)
Eufto.n:
Fs?cast
l6--J
for*ard: Ead
=
I*
Spt lr*ercept
17
rxdevqratlmmchart
17
ffi
unnt'
l6'--Q u*' lo i. *"h
E-:rsitfdiji{r8. fr':if'4
I o( -l
curcet
I
Gambar 3-22. Pilihan-pilihan di dalam kotak dialog Add Trendline. Memberi tanda cek di pilihan "Display equation on chart- dan "Display R-square value on chart" akan menghasilkan tampilan seperti Gambar 3-23.
3.7 llmu roket: persamaan tsiolkovskii
100 rrreler Fle*-style Olynrpir G$lrl
Y
I{idal Switntnilg
= -58-05;g3 +0.3788x2 - 54s.Ev
H'=
Recortls
+s16il3
U.U54l
{! r
s60
151fi
134n
1
9E(
Y*"u
Gambar 3-23. Garis tipis dengan nokfah: kelompok wanita. Garls trpis: kecondongan garis Polinomial. Garls tebal: kelompok pria. Persamaan untuk kecondongan garis kelompok wanita ditunjukkan dengan nilai P, yang merupakan tolok ukur seberapa baik kecondongan garis tersebut pada kesesuaian data (lihat Help dan Lampiran 3). Data-data rekaman kelompok pria dimulai pada 1896; dan kelompok wanita pada 1912.
3.7 llmu
Roket: persamaan Tsiolkovskii
Konstantin Tsiolkovskii (kadang ditulis Tsiolkovskiy) adalah seorang guru di sebuah kota kecil di Rusia. Beliau telah selangkah lebih maju dan pada tahun 1895 ia mempublikasikan sebuah karya ilmiah mengenai peluncuran satelit dalam mengelilingi bumi. Sebelumnya, Sir Isaac Newton telah melakukan penghitungan untuk beberapa orbit satelit bumi berdasarkan hukum gravitasi universal yang pernah dilontarkannya. Tsiolkovskii telah memperoleh hak paten atas mesin roket yang berbahan bakar oksigen dan hidrogen cair, dan ia juga menerapkan hukum-hukum Newton tentang gerak pada pesawat roket. Karya yang begitu terkenal dari Tsiolkovskii adalah dasar-dasar roket banyak-tingkat, yang lebih efisien daripada roket satu tingkat berdasarkan jumlah penggunaan bahan bakar. "Ley de
di Gambar 3-24. "Hukum" ini ditunjukkan dalam notasi yang lebih jelas di Persamaan (3-7), dengan ry adalah kecepatan akhir roket, u; adalah kecepatan awal roket, u,n7 adalah kecepatan motor pemancar gas roket reloti.t terhadap roket, m1 adalah massa awal roket, dan mi adalah massa akhir roket. Persamaan ini diterapkan berurutan ke setiap tingkat roket. Tsiokovskii" ditunjukkan dalam prangko seperti ditunjukkan
y.r
- I'i = 1,., ln
(*,)
l*'
t-1--
,
)
Perhatikan bahwa "hukum" ini benar-benar dapat berlaku secara menyeluruh karena mengikut: hukum gerak Newton. Dahulu kala, orang berpikir bahwa roket bekerja dengan cara mendrlr.,.:
50
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
*# ,q
,\
w iIrk
\"d{
"4sl Fq
.# {} U Fqq|q'€
ffi ts$
#*sffi&s
I n**m***
x
; 4
s
E*ffi*$,,ffieTIffi fftrffiH*ffifi $ rni ffi $ $}f;ftR*
Gambar 3-24. Hukum Tsiolkovskii (Ley de Tsiolkovskii) merupakan satu dari sepuluh rumusan yang mampu mengubah pandangan terhadap dunia.
udara, tetapi hal itu hanya akan bekerja dengan baik di ruang hampa yang tidak terdapat udara di dalamnya. Percepatan sesaat roket juga merupakan bagian yang menarik. Ini pun menul'uti hukurn kedua Newton yang diaplikasikan ke sistem yang terdiri dari roket dan motor penggeraknya:
Ma =
Byrot,
(3-8)
Persamaan (3-8), M adalah massa sesaat roket (kg), a adalah percepatan (m/s2) roket relatif terhadap sebuah kerangka referensi inersianya (misalnya bintang-bintang), B adalah laju pembakaran bahan bakar (kg/s) dan u,r1 adalah kecepatan pancaran gas relatif terhadap roket, seperti telah
Di
disebutkan di atas. Persamaan-persamaan ini akan lebih dapat dipahami bila Anda melihatnya dalam bentuk srafik dan Anda dapat mengganti besaran-besarannya. Gambar 3-25 menunjukkan tampilan utama Jeri buku kerja ROCKET SCIENCE. Persamaan (3-7) dapat diaplikasikan secara berurutan ke setiap tingkat roket. Internet memiliki trrnr lk situs yang disediakan untuk informasi mengenai roket. Berikut ini adalah di antaranya: Per:anraan roket tingkat satu h
ttp : 1/u u u execpc.com./-culp/rockets/rckt_eqn.htm1 .
Per\rnraan roket tingkat-banyak
htrp:
rr \\
\\.e\ecpc.com/-culp/rockets/multistg.html
Opini ilmiah melalui paparan grafik Dalanr bukunla )ans terkenal. The Visual Displn of Quontitcrtit(, Ittlitnrrutiori. Ediiard R. Tufte menulis. "Dalanr kondisi terbaik. srafik adalah perangkat yan-u dapat nrenielaskan infbrmasi secara kuantitatif." Gratrk-gralrk l ang baik akan menampilkan pola data. atau batasan-batasan data, dalam bentuk hasil statistik secara ielas.
Apa selaniutnva? 6:s ""---
E :,) A -"" "' B
.$C$9*SC$6.Ll.l{A15iS
1"""-"c
1
RocketScience.XLS Tsiolkovskii'sEquation
2
Chapter
3
J
il11
4
ilt,
6
Enter data:
Rocket final
; I
nrrrr *,1-
Gas relative velocity
-
--iOOO
*--
v,*,1
Rocket initial velocityl-
_-
Xq
=d*r, 0lnr/s
10
"#
*J
tJ .*f rv Fry
*d -*T
11
II
\#
Rocket 13 lnitial mass
t4
Fffi*
K
nr/s
15
20000
16
21
000
6697.S
lnnn
6800.3
23000 24000
66S8.1
19
21
26000
a
17,
l8
l,ffi $
ffiffi*$
ffir[H*tHffi
tr$f
fffi*trsr* ts
Note: Escape speed from Eadh is I I 100 mls scape sp s moqn ts
6991.7
7167 8 r . ) l\MdNJ(hirL l*,e/t2 /
lr
Gambar 3-25. Tampilan utama buku kerja ROCKET SCIENCE untuk tingkat 1 (y = 0)
Untuk para insinyur dan ilmuwan, grafik merupakan sesuatu yang begitu penting untuk mewakili dan mengkomunikasikan ide-ide yang rumit. Melalui kombinasi garis, titik, simbol, sistem koordinat, arsiran, dan warna, grafik dapat menyampaikan cerita yang ada di balik sekumpulan
data rumit. Grafik dapat menuntun mata kita untuk membandingkan, membedakan, maupun memadatkan informasi yang datang dari satu atau lebih sumber data.
Apa selanjutnya? Sekarang Anda telah mengetahui bagaimana menampilkan data dalam beberapa bentuk, mari kita 4 untuk mempelajari bagaimana memanipulasi data dengan bantuan operasi matematika sederhana. Di Bagian 7.6 kita akan menggunakan diagram 3-D untuk data dua dimensi.
beranjak ke Bab
Daftar Pustaka E. R. Tufte, The Visual Displa,v of Quantitative Information, (Graphics Press, Cheshire, CT, 1983
t
W. S. Cleveland, The Element.s of'Graphing Data, (Wadsworth, Monterey, CA, 1985). Bila Anda membutuhkan grafik yang khusus, cobalah software ORIGIN yang akan bekerja secara langsung di EXCEL. Silakan men-download versi demonya secara gratis dari http:/i www. microcal.com.
Uji kemampuan Anda t.
Buatlah grafik fungsi -r'(x)
= " f_;r2 + 0.05'
untuk -0,5 < x < + 0,5. Pergunakan kenaikan seii.rp
0,05 untuk x dan skala linier untuk kedua sumbunya.
Bab 3: Membuat Grafik di Excel
?2
untuk -0.5 = , .kenaikan yang sama untuk .,r dan skala ltrtJ; J 3.Hu, ,r-ourrr.
Di sumbu kanan pada diagram Latihan 1, gambarkan fungsi -y(x) < .r < + 0.5^ Pergunakan
t.
-1.
Buatlah diagram semi-log (log-lin). Dengan menggunakan diagranr yang Anda buat pada Latihan 2, ubahlah sumbu-y kirinya menjadi skala log. Dengan menggunakan diagram log-log. buatkanlah grafik r.rntuk tungsi r t
r) =
-lt
+t ,
dengan
x < 1000. Gunakanlah skala log di kedua sumbunya. (Ini n-rerupakan kurva respon tiekuensi untuk l'ilter tiekuensi rendah berkutub tunggal. Ini digunakan untuk meredanr harmonika dan gangguan pada tiekuensi tinggi.l 0,01 <
-1.
5.
Diagram desibel. Buatlah gratik fungsi yang sama pada Latihan 4, namun konversikanlah nilai -r, menjadi dB. Gambarkan dB ke dalam skala linier dan .r dalam skala log. (Titik -3 dB dinamakan.frekuensi pe,fl,r/r/.r (cut-oll) atau frekuensi separuh-daya dari trlter. Daya keluarar.r turun rnenjadi setengah daripada nilai maksimumnya pada tiekuensi pemutus.) Amati kelinieran responnya untuk nilai di atas frekuensi pemutus (yaitu tiekuensi yang berhubungan dengan titik -3 dB di dalam pemetaan Boc'le). Hitunglah graclien (dB/waktu) pada frekuensi tinggi di atas frekuensi pemutus. Hasil lomba renang. Pergunakanlah data Olimpiade berikut untuk membuat diagram XY dan terapkanlah tipe condong garis Polinomial untuk setiap kelompok data. Gunakan tiga orde vang berbeda dari polinomial. Pada diagram lainnya yang menggunakan data ini. terapkanlah condong garis Eksponensial. Dengan diagram lain, cobalah dengan tipe Power. Bandingkan nilai Rr untuk masing-masing tipe condong garis (trencllil?e) tersebut. Lakukanlah percobaan dengan Moving Average (kita akan menrpelajarinya lebih lanjut di Bab 5). Catatan Waktu Lomba Renang (dalam detik) Perebutan Medali Emas - Gaya Bebas 100 meter Tahun
Putra
896 904
82.2 62.8
Putri
906
73.4
908 912
65.6 63.4
82.2
920
61 .4
924
590
73.6 72.4
928 932
58.6
71.0
58.2
66.8
936
57.6
65.9
948 1952
57.3
66.3
57.4
66.8
1
956
55.4
62.0
1
960
55.2
61 .2
1
964
53.4
1
968
522
59.5 60.0
att
Al
11
58.59
976
49.99
55.65
50.4
498
54.79 55.92
48.63
54.93
Uii kemamouan anda
1992
49.02
54.64
996 2000
48.74
54.50
48.30
53.83
1
2004 2008
(Kunjungi http://www.usswim.org/history/index.html
untuk mendapatkan data terbartt
,
Dengan mengacu ke Bagian 3.3 Gunakanlah lembar pengolah angka Anda untuk tuen,ci.r tabel berikut: Tabel 3-1. Daya, dB, dan Neper Rasio Daya
Rasio Tegangan
0.01
0.1
1.0233
1.0116
1 2589
1.1220
1.9953
1 4142
10
3 16228
100
10
1
000
31 .6228
1
0000
100
1.
dB
Neper
20 (contoh)
2.30 (contoh)
Mengacu ke Pertanyaan no. I dan 2 di Bab 2, buatlah gralik antara tegangan kutub dan da1'a-
hilang sebagai lungsi arus.
8.
Mengacu ke Pertanyaan no. 3 dan 4 di Bab 2, buatlah grafik antara daya yang dibangkitkan dan efisiensi sebagai tungsi arus.
9.
Mengacu ke Pertanyaan no. 3 dan 4 di Bab 2, buatlah grafik efisiensi sebagai fungsi daia yang tlibangkitkan.
10.
Dengan menggunakan diagram "radar" EXCEL. gambarkanlah dengan kenaikan setiap 5 angka.
L, l+,r'
11. Buatlah grafik fungsi .r'(r) = a
untuk 0,01
(
r = log(.r) untuk
1
< ,r < 1(X)
r S 1000. Pergunakanlah skala log untuk
sumbu-r (frekuensi) dan dB untuk sumbu-r'. (Ini adalah kurva fiekuensi untuk filter fiekuen.i tinggi dan digunakan untuk meredam daya liekuensi rendah di dalam sistem.)
12.
Permainan baseball dalam sebuah "merry-go-round" ("gaya" Conolis). Pelempar bola (prtr /it ,. beracla di tengah dan pemukul bola (butter) berada di titik 0 lingkaran. Pergunakanlah Er,-, . untuk membuat sebuah diagrarn polar dan diagram "radar" untuk lintasan boia lang dilih.: oleh pelernpar bola.
:'
3
Bab
Pelempar terhadap bola Batasan nilai
Sudut
0
0
00
1
2
90
2
4
180
3
6
270
',Va
ktu
4
B
360
q
10
90
6
12
180
7
14
270
8
'16
360
Membuat Grafik di Excel
&
- --,s --
--':j-i, "i€': i,' -|*- *
,', l*. tl
rrofj
'., -*,t.os
'c
*
I*
B
,X
i
t
; .F
\')o?ag \\.1:
.45
't! ':i
:i
:
i*u i
i
1&0
13. Kompresi dan ekspansi isotermal. Suatu gas ideal dideskripsikan den-qan persamaan PV = nRZ, dengan P adalah tekanan (N/m2), 7 adalah volume (-3), , adalah bilangan mol, R adalah
konstanta gas universal (8,31 J/mol K) dan f adalah temperatur mutlak (K). Buatlah diagram ekspansi dan kompresi suatu gas ideal pada saat temperatur konstan. Pergunakanlah bilangan mol, volume awal, kenaikan volume dan temperatur sebagai data masukan. Nilai-nilainya
diberikansebagaiberikut:n=0,l,Vawal=0,05,kenaikanV=0.00,5.7=2l3.Letakkan data masukan tersebut ke dalam sel-sel masukan dan pergunakanlah ref'erensi sel absolut untuk meletakkan data menurut hukum gas ideal. Petakan nilai tekanan sebagai fungsi volume, sedikitnya untuk 20 nilai volume yang berbeda. Kenaikan volume dapat bernilai positif maupun ,f
,]
negatif. Kompresi dan ekspansi isotermal adalah
separuh dari siklus Carnot untuk mesin panas ideal. Petunjuk: bentuk grafik Anda haruslah seperti gambzr berikut. Perhatikan pula file data PV-GAS di dalam CD. (Latihan ini berhubungan dengan topik mengenai
panas dan perpindahan energi yang diberikan oleh National Science Education Standard.)
^,1
i
Bab 4 Matematika Singkat Mengenai apa isi bab ini mengenai beberapa operasi dasar matematika. seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, maupun fungsi-fungsi trigonometri ilan logaritma. Nampaknya begitu mudah, namun ada perbedaan antara operasi yan-e tertulis dengan operasi yang harus dilakukan. Kita akan menyuguhi Anda apa saja yang dapat Anda lakukan dengan bantuan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, maupun pembagiun yang pada awalnya terlihat rumit, namun pada kenyataannya sangat mudah. Kita juga akan mencoba menclemonstrasikan beberapa fungsi trigonometri EXCEL. Di dalam Bab 5 Anda akan mempelajari beberapa teknik pengolahan angka berdasarkan operasi-operasi sederhana tersebut untuk menangani data-data sesungguhnya. Di dalam bab ini akan diperkenalkan:
Di dalam bab ini kita akan mengulas kembali
. . . r
operasi-operasi EXCEL dan urutan prioritasnya, bagaimana menggunakan operasi-operasi kalkulasi dan komparasi (pembandingan) EXCEL di dalam rumus. bagaimana menggunakan operasi-operasi teks dan referensi EXCEL di dalam rumus, fungsi-fungsi sepuluh trigonometri EXCEL.
Kita akan memasuki bagian yang lebih rinci melalui dua buah aplikasi sederhana yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri, yaitu:
o .
bidang miring yang kasar, persamaan-persamaan Fourier.
Operator mencerminkan tipe kalkulasi yang akan Anda lakukan pada sebuah rumus. EXCEL menyertakan empat tipe operator kalkulasi yang berbeda, yaitu: aritmetika, komparasi. reAr. dan re.ferensi. EXCEL melakukan operasi-operasi di dalam rumus melalui suatu urutan tertentu. Bilr Anda mengkombinasikan beberapa operator ke dalam sebuah rumus, proses operasinra ak:r dilakukan sesuai urut-urutan yang tercantum di dalam Tabel 4-1. Apabila sebuah rumus memuat operator-operator dengan urutan prioritas yang sltll& (:eb:i: contoh, bila rumus memuat operator perkalian dan pembagian), maka EXCEL akan menger;1u;': operator-operator tersebut dari kiri ke kanan (Tabel 4-l). Untuk mengubah urutan evaluasi. tut*: bagian rumus yang ingin dihitung pertama kali dengan tanda kurung. Untuk inlormasi lebih l.-- -: mengenai operator-operator hitung ini, pergunakanlah menu Help.
Bab 4: Matematilla Singkat I
Operator-operator aritmetika, komparasi, teks, dan referensi dijelaskan secara rinci di dalam T.^;.1 -l-1. -l-.1. dan 4-4. Tabel 4-1. Urutan Prioritas Operator-operator Deskripsi
Operator
(titik dua) ,
(koma)
Operator-operator referensi
(spasi tunggal)
Negasi (seperti
-1)
Persen Perpangkatan
*dan/
Perkalian dan pembagian
+dan-
Penjumlahan dan pengurangan
&
Menghubungkan dua buah teks strrng (perangkaian kata) Komparasi
Operator-operator aritmetika (kalkulasi) melakukan operasi-operasi matematika dasar seperti penambahan, pengurangan, atau perkalian; pengkombinasian bilangan; dan membuat hasil perhitungan numeriknya.
Tabel 4-2. Operator-operator Kalkulasi di dalam Rumus Operator aritmetika
Arti
Contoh
+ (tanda tambah)
Penambahan
22+63
-
(tanda kurang)
Pengurangan (Negasi)
36-22
(tanda bintang/asterisk)
Perkalian
(garis miring)
Pembagian
314
% (tanda persen)
Persen
aao/
^ (tanda pangkat)
Perpangkatan (eksponensiasi)
3^4 (berarti 3-3-3.3)
/
-11
Operator-operator komparasl (lihat Tabel 4-3) membandingkan dua bilangan lalu menghasilkan nilai logika BENAR (TRUE) atau SALAH (FALSE). (Ini akan berguna di dalam fungsi IF). Tabel 4-3. Operator-operator Komparasi dalam Rumus Arti
Contoh
Sama dengan
41=81
Lebih besar daripada
A1 >81
Lebih kecil daripada
A1 <81
Lebih besar daripada atau sama dengan
A1 >=81
atau sama denganl
<= (tanda lebih kecil daripada atau sama dengan)
Lebih kecil daripada atau sama dengan
A1 <=B1
o
Tidak sama dengan
A1 <>81
Operator komparasi
=
{tanda sama dengan)
> tanda lebih besar daripada) < tanda lebih kecil daripada) >= (tanda iebrh besar daripada
(tanda tidak sama dengan)
4.2 Funosi-funosi trioonometri Operator teks teks tunggal.
"&"
(Tabel 4-4) mengkombinasikan satu atau lebih nilai teks untuk n-ienlh;-..r.-
Tabel 4-4. Operator Teks dalam Rumus Operator Teks
Atli
Contoh
& (tanda dan)
Menghubungkan atau merangkaikan dua nilai untuk menghasilkan sebuah nilai teks yang menyambung
"North" & "wind" menghasilkan "Northwind'
Operator-operator referensi (Tabel 4-5) mengkombinasikan batasan sel-sel untuk keperluan kalkula:i
Tabel 4-5. Operator-operator Referensi dalam Rumus Operator referensi (tanda titik dua)
Afti
Contoh
Operator pembatas, yang menghasilkan sebuah referensi terhadap seluruh sel yang ' berada di antara dua referensi, termasuk kedua referensi
C5:C22
tersebut
Operator penggabung, yang mengkombinasikan beberapa referensi menjadi sebuah
(tanda koma)
SUM(85:815,D5:D15)
referensi
Operator perantara, yang menghasilkan sebuah referensi terhadap sel-sel milik dua referensi lain
(spasi tunggal)
SUM(83:B22 A3:D11) Contoh: sel 87 adalah milik kedua buah batasan tersebut. (Cobalah).
4.2 Fungsi-fungsi trigonometri EXCEL memiliki koleksi 10 fungsi sirkular trigonometri yang sangat bermanfaat,
sebagainlanr,
ditunjukkan oleh Tabel 4-6. Fungsi tersebut akan dijelaskan secara rinci di bawah ini. Fung.ifungsi hiperbola akan diperlihatkan di Tabel 4-1. Tabel 4-6. Fungsi-fungsi Trigonometri Dasar ACOS
ASIN
ATAN
ATAN2
cos
DEGREES
Pt0
RADIANS
stN
TAN
ACOS(bilangan) menghasilkan arccosinus dari suatu bilangan. Arccosinus adalah :udut cosinusnya berupa bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan (nol) hingga z.
Syntax ACOS(bilangan)
,.
'
h;t;--:
Bab 4: Matematika Sinqkat
rersebur adalah cosinus sudut yang Anda inginkan dan harus bernilai antara -1 hingga l. \n.ia in-ein mengkonversi suatu hasil dari radian menjadi derajat (degrees). kalikan bilangan
rr.;ijrn J.r"
:.i..lnll
dengan 180/PI0.
Contoh:
rCOSr-0.5) sama dengan 2,094395 (ini adalah 2r/3 radian) \COS(-0.5)x180/PI0 sama dengan 120 (derajat) ASIN(bilangan) menghasilkan arcsinus dari suatu bilangan. Arcsinus adalah sudut yang sinusnya berupa bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan batasan
-rl2
hingga
trl). Syntax .\SIN(bilangan) bilangan tersebut adalah sinus sudut yang Anda inginkan dan harus bernilai antara -1 hingga Untuk menuliskan arcsinus dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan 180/PI0.
1.
Contoh:
ASIN(-0,5) sama dengan -0,5236 (ini adalah -nl6 tadian) ASIN(-0,5)*180/PI0 sama dengan -3,0 (derajat) ATAN(bilangan) menghasilkan arctangen dari suatu bilangan. Arctangen adalah sudut yang tangennya berupa bilangan. Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan balasan -nl2 hingga nl2. Dengan kata lain, ini merupakan arctangen kuadran-dua.
Syntax ATAN(bilangan) bilangan'tersebut adalah tangen sudut yang Anda inginkan. Untuk menuliskan arctangen dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan 180/PI0.
Contoh: ATAN(1) sama dengan 0,785398 (ini adalah
rl4
tadian)
ATAN(l)*180/PI0 sama dengan 45 (derajat) ATAN2(bilangan) menghasilkan arctangen untuk koordinat-koordinat tertentu
r
dan
,).'.
Arctangen
aclalah sudut dari sumbu-x terhadap garis yang mengandung pusat koordinat (0. 0) dan sebuah titik dengan koordinat (x_num, y_num). Sudut yang dihasilkan adalah dalam bentuk radian dengan
-n hingga 7[, namun -n tidak termasuk di dalamnya. (Ini merupakan arctangen kuadranenlpat. Bandingkan dengan ATAN).
batasan
Syntax ATAN2(x-num, y-num) X_num adalah koordinat-x titik tersebut. \'_num adalah koordinat-y titik tersebut. Suatu hasil yang positif menggambarkan sebuah sudut yang berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu-x; hasil yang negatif menggambarkan sudut yang searah dengan jarum jam. .\TA\l(a. ll) sama dengan ATAN(&/a), pengecualiannya adalah a boleh bernilai 0 di ATAN2. .\pabila \-num dan y-num adalah 0, ATAN2 menghasilkan nilai salah #DM0!. L'nruk menuliskan arctangen dalam derajat, kalikan bilangan hasilnya dengan I 80/PI0. Contoh:
.\TA\1,
l.
I r \arna dengan 0,785398 (ini adalah nl4 radian)
.\TA\lr-1. -1 r sama dengan -2,35619 (ini adalah -3nl4 .\TA\1-1. -1r"l80,PItt sama dengan -135 (derajat)
radian)
COS(bilangan) menghasilkan cosinus untuk sebuah sudut. Syntax
4.2 Funqsi-funqsi triqonometri COS(bilangan) bilangan tersebut adalah sudut dalam radian yang ingin Anda cosinuskan. Jika sudutnl a Lhn\ ri dalam derajat, kalikan dengan PI(y180 untuk mengkonversinya menjadi radian.
,\j1
Contoh: COS(1,047) sama dengan 0,500171 COS(60*PI0/180) sama dengan 0,5, yaitu cosinus 60 derajat
DEGREES(sudut) mengkonversi radian menjadi derajat (degrees). Syntax DEGREES(sudut) sudut adalah sudut yang dinyatakan dalam radian yang akan Anda konversikan.
Contoh: DEGREES(PI0) sama dengan 180 PlQ bernilai 3,14159265358979 dan merupakan sebuah konstanta matematika Syntax PI0 Contoh:
r,
tepat l5 digit.
PI0/2 sama dengan 1,51079... SIN(PI(y2) sama dengan 1
Jika jari-jari sebuah lingkaran disimpan di dalam sel bemama Radius, rumus berikut akan menghitung
luas lingkaran tersebut: Pl0*(Radius^2).
RADIANS(sudut) mengkonversi derajat
menj adi radian.
Syntax RADIANS(sudut) sudut adalah sebuah sudut dalam derajat yang akan Anda konversikan.
Contoh: RADIANS(270) sama dengan 4,712389 (ini adalah 3n/2 radian).
SIN(bilangan) menghasilkan sinus untuk sebuah
sudut.
Syntax SIN(bilangan) bilangan adalah sudut dalam radian yang akan Anda sinuskan. Bila pernyataan Anda adalah dalam derajat, kalikan dengan PI(yl80 untuk mengkonversikannya menjadi radian.
Contoh:
SIN(PI0) sama dengan 1.22F-16, nilainya mendekati nol. Sinus n adalah nol. SIN(PI(y2) sama dengan I SIN(30"PI(y180) sama dengan 0,5, yaitu sinus 30 derajat.
TAN(bilangan) menghasilkan tangen untuk sebuah
sudut.
Syntax TAN(bilangan)
bilangan adalah sudut dalam radian yang ingin Anda tangenkan. Bila pernyataan Anda adalah dalam derajat, kalikan dengan PI(y180 untuk mengkonversikannya menjadi radian. Contoh: TAN(0,785) sama dengan 0,99920
TAN(45*P()/180) sama dengan
1
Bab 4: Matematika Sinqkat
Penggunaan arctangen di EXCEL B:r:rr-hatilah dalam penggunaan fungsi arctangen. Fungsi ini berasal dari dua sumber seperti ::13:.: Jr atas. ),aitu ATAN dan ATAN2. Keduanya menghasilkan nilai sebuah sudut dalam radian, r.:r'.Lro tungsi AIAN menggunakan bilangan tunggal sebagai masukan. dan ATAN2 menggunakan :*; brlan_san sebagai masukan. Gambar 4-l menunjukkan beberapa contoh dari dua fungsi arctangen ':r
-1
2
3 4
ATAH & ATAI'IZ.XLS
ff.r'-1:ATAN2S2,6X) [,7*53Sfi
!
:T i-r:l-
=.aI.qlG{-fi},63} =ATAN2F3.-&?}
:.:35S1S4
-tr.7fi54
"--
H**l-i-,
=,4TA1112(-6?,-63}
-?.35613
5
? E
.s
=ATAhr6:iE2) =ATAri(.62rri2) =ArAN$j2l.62) 0
785398
-0
7854
-fi
7854
=ATArrJi-621.62) 0 7S5398
Gambar 4-1. Perbandingan antara fungsi ATAN dan ATAN2.
Suatu hasil yang positif mencerminkan sebuah sudut yang berlawanan dengan arah jarum jam dari sumbu--r; hasil negatif mencerminkan sebuah sudut yang searah dengan jarum jam. (Gambarlah sketsanya untuk melihat mengapa seperti itu). ATAN2(a,D) sama dengan ATAN(b/a) ketika a dan b bernilai positif. Nilai a mendapatkan pengecualian, yaitu boleh bernilai 0 di dalam ATAN2. Apabila -r_num dan r'_num adalah 0, maka ATAN2 akan menghasilkan nilai salah #DIV/O!. Radian menjadi clerajat'. Anda dapat menggunakan DEGREES(ATAN2(.r-num,r'_num)) atau DEGREES(ATAN(n)). Anda bisa juga mengalikan hasil radian dengan 180/PI().
TIPS Fungsi (sin r)/-r adalah sesuatu yang para insinyur dan ilmuwan serin-e jumpai karena berhubungan dengan pulsa kotak yang dibangkitkan oleh transfbrmasi Fourier (lihat Bab 1l). Bentuk ini begitu umum sehingga bentuk yang telah sedikit dimodiflkasi diberikan nama khusus, yaitu fungsi srnc yang sama dengan (sin zt)/(zr). Fungsi sinc kerap disebut sebagai titrt,e,.si interpolasi dan memiliki beberapa sifat menarik. Anda diharap berhati-hati untuk nilai .r = 0 karena lembar pengolah angka tidak akan menghasilkan nilai yang tepat untuknya. Dari ilmu kalkulus. Anda mengetahui bahwa (sin 0)/0 = l, namun lembar pengolah angka akan nrenrberikan pesan yang cukup menyedihkan, yaitu: #DIV/0!. Anda dapat menghindari kesalahan
ini Jc'ncan memberikan tambahan nilai kecil ke x, misalnya -r +
l0-16.
4,3 Buku kerja mengenai bidang miring -\lunlrh kir., hrr.rn_ilk untuk menjelajahi fungsi-fungsi trigonometri di dalam aplikasi tertentu.
Bukalah buku kerli, I\CLI\E. Buku kerja ini merupakan sebuah contoh penggunaan fungsi-fungsi tri_sononrerri dan di.igranr-diaqrarn.r'r dalam kaitannya dengan kasus yang sering dihadapi oleh
4.3 Buku keria menoenai bidano mirinq seluruh mahasiswa baru untuk bidang ilmu rekayasa dan sains. Buku kerja ini ntenganali.r. benda yang berada di bidang miring kasar, seperti ditunjukkan oleh Gambar 4-2.
:;:-.*
Gambar 4-2. Kri: Sebuah koin berada di atas buku yang tergeletak secara miring. Kanan: Berat dan gaya gesek diproyeksikan ke dalam komponen-komponen tegak lurus dan sejajar terhadap bidang miring. Gaya gesek statik selalu berlawanan dengan arah gerak benda. (Sumber CD Physics, Version 3.0, Wiley).
Sebuah bidang miring berhubungan dengan metode yang mungkin digunakan oleh Bangsa Mesir Kuno untuk membangun piramid, karena ini ef'ektif untuk meredam gaya gravitasi. Dengan menggunakan bidang miring, Anda dapat mengirimkan sebuah benda ke tempat yang lebih tinggi dengan menggunakan gaya yang lebih sedikit dibandingkan dengan mengangkatnya langsung ke arah vertikal, namun jarak yang harus ditempuhnya menjadi lebih jauh dibandingkan bila diangkat langsung ke arah vertikal.
Cara yang biasa (dan mudah) digunakan dalam melakukan analisis bidang miring adalah dengan memproyeksikan berat dan gaya gesek yang dialaminya ke dalam komponen paralel dan bidang tegak lurus. Kita akan membuat lembar kerja yang menghasilkan gaya-gaya ini sebagai fungsi sudut. Pada saat komponen berat yang menyentuh bidang miring lebih besar daripada ga1'a gesek maksimumnya, maka benda akan mulai bergerak. Berat dapat diproyeksikan menjadi gaya W sin 0 yang sejajar dengan bidang miring dan 11' cos 0 yang tegak lurus terhadap bidang miring. Penentuan ini masuk akal mengingat gaya yans sejajar dengan bidang miring akan menjadi nol apabila sudut kemiringannya juga nol dan gara tegak lurusnya sama dengan berat benda pada saat sudut kemiringan sama dengan nol. Koefisien gesek maksimum adalah pN, di mana p adalah koeflsien gesek statik dan N adalah gaya normal. Komponen dari gaya gesek maksimum ke atas bidang adalah pl{ cos 0. Gerak akrn terjadi pada saat gaya meluncur ke bawah setara dengan gaya gesek statik maksimum, W sin e = ptW cos 0. Sistem seperti ini mudah dianalisis di dalam lembar pengolah angka. Seperti biasa, kita akirr mengikutsertakan beberapa fasilitas yang dibutuhkan di EXCEL. Sel D3:D6 memuat data maruk:rn yang digunakan oleh rumus di kolom A, C, E, dan H. (Mengikutsertakan percepatan grar iti.: sebagai data masukan akan membuat lembar kerja menjadi lebih berlaku umum; lembar kerta r:. dapat digunakan terhadap planet-planet lain maupun terhadap bulan-bulan yang mengorbitn'.Lembar kerja utama ditunjukkan oleh Gambar 4-3. Pelajarilah sel-sel di baris 9. Sel A9 memuat bilangan 0, digunakan untuk memulai sudut sumbu di titik 0. Sel .\ lll n'.::'-rumus =A9+gDg6 yang akan menaikkan nilai sudut sumbu dengan menan.rbahkan nilai :.:- '. A6 ke dalam nilai sel sebelumnya. Rumus ini dikopikan hingga ke akhir cakupan sel l ans i:r:: -.-
al
Bab 4: Matematika Si
Sel C9 memuar rumus = gDg 3 * gDg 4 *CoS (RADIANS (.A9 ) ) yang merupakan versi penulisan rumus m8 cos 0 di lembat pengolah angka untuk sebuah gaya normal t;erhadip bidang ftfmponen b'erat adalah tegak Iurus bidang). Perhatikan penggunaan RADIANS unruk mengkonversi
ieraiat
menjadi radian. Sel E9 memuat rumus =$D$3*gDg4*SrN(RADIANS (A9) ) yang merupakan versi rumus "is sin 0 atau W sin 0 di lembar pengolah angka untuk komponen berat ke barvah bidang. Sel H9 memuat rumus =$D$5*C9 yang merupakan gaya gesek ntaksimum di sudut ini, jelasnya ini adalah perkalian antara koefisien gesek statik dengan gaya normal. Diagram di Gambar 4-4 menunjukkan hasilnya. Perhatikan di mana grafik gay.a vang menuruni bidang (force down the plane) berpotongan dengan gaya friksi maksimum. Benda mulai bergerak pada saat gaya menuruni bidang mencapai nilai yang setara dengan ga),a gesek statik. Setelah uerak terjadi, grafik ini tidak berlaku lagi karena koefisien gesek statik berubah menjadi koefisien ,eesek kinetik (biasanya lebih kecil). Dari pengalaman kita mengetahui bahua lebih sulit untuk mulai menggerakkan benda ketimbang mempertahankannya agar tetap bergerak.
*l---4 _ {11 ",,, ** __:;_1r_F_t:.j$.r^81-!!${HAnlAhis{At0}} E*:---?.-f-3 :*U*ql lHtltlNE.XL
1
ln*[]ned FIam*
S
2
:l
ku
4
my'sr
:
5
6 v
I
ANQ,LE {d*greerJ
90
Nrmal F*rc*
:5fi Ih
sr :6t:fi
|i.43613,1
.16 8806.1
87.627nfi 3/ 4Al t:1 9r.2S953
s.541263 10 ?4379 r 1 9432
4A 8r35.{
9I.[4$:7
r3 63891i r 5 13[58
3
sr.sbrss,
4
5
,18 17fr 1ES 19 ?0
s7.a{n3
7
1[
.
Friction Fcrrce
5 1:8924
t
',
t3b
0
49 46 9?25d 4A ?7015 4A 33265
97 S85tr7l
i1l :
12 .13 ,14
Frrte Oown tti* Ptan*
96.19346 S6.5t I l6 96.1 9946
1.11[:36
3
ti
420151
.u
llhl
18 69928
)t
11 1-)
:*E.rraaa,
ir:.iisir
))
1il
23
ss.,{raii
t4
s5.fi8frgS
7? 045: 23 70815
.lE ,/ I t1/ 46
5_1476
4U
5l:i14
{E.JYtj/ J 48 25558 48 [997]
47 92923 J7 1t {rl?
? I 1 t11t) ' ' tirro J{9*J
Gambar 4-3. Tampilan utama buku kerja INCLINE. Rumus di dalam sel C10 ditampilkan di kotak editor sel
>:.:niutnva. mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan han1,a menambahkan sinus dan ':n1.. Pada saat mempelajari perpindahan panas, Count Jean Baptiste Joseph Fourier menemukan r::- 't.; hlnlpir setiap fungsi periodik dapat diwakili oleh deret sinus dan cosinus. Deret Fourier dan
-
'';:::,
:.i Fourier merupakan penemuan penting pada abad kesembilan belas. penemuan ini .:Jerhena namun luar biasa. yaitu membuka sebuah medan yang luas di bidang mate-
rr:l i.: :::
i:ll-i ::l-a.ii.
'tplikasi-aplikasi ilmu rekayasa dan sains. dan tetap menjadi subjek penelitian
4.4 Buku keria deret Fourier Bidang Miring
2 6
o
-*-
Gaya formal Gaya menuruni Bidang Miring
Gambar 4-4. Gaya pada sistem bidang miring sebagai fungsi sudut. Benda akan mulai bergerak pada saat gaya menuruni bidang miring menyamai nilai gaya friksi statik maksimumnya.
Sejumlah besar aplikasi yang tidak biasa dilakukan akhirnya bermunculan setelah pengembang-
an komputer digital dan algoritma Fast Fourier Transform (FFT) pada abad kesembilan belas. (EXCEL memiliki FFT di dalamAnalysis ToolPak, lihat Bab 11.) Fourier menuliskan ke dalam catatan hariannya, "Kemarin adalah hari ulang tahun keduapuluh satu saya, pada usia itu Newton dan Pascal telah memperoleh beberapa hukum kekekalan." Fourier pun mencapainya dan naman) a akan senantiasa diingat atas karyanya dalam deret dan transformasi. Menambahkan komponen-komponen Fourier (atatt harmonika-harmonika) untuk membuat fungsi periodik dinamakan sintesis Fourier; membedah suatu fungsi ke dalam komponen-komponennya dinamakan analisis Fourier. Bentuk yang biasa dipakai untuk deret tersebut diberikan sebagai.
ro
=
!. i[o, *'(T). u,,,*(T))
(4-l
)
di mana /(r) adalah fungsi yang ingin Anda anggap sebagai deret, Ao adalah konstanta, nilainya dapat berharga nol (ini adalah nilai "dc" dari fungsi), A, adalah koefisien Fourier untuk bagian genap dari deret (cosinus), B, adalah koefisien Fourier untuk bagian ganjil dari deret (sinus), T adalah periode dari fungsi periodik /(r). Deret begitu mudah diimplementasikan ke dalam lembar kerja. Untuk membuatn\a tetrp mudah, kita hanya akan melakukannya terhadap sebuah contoh sintesis Fourier. Bukalah t'ui. kerja FOURIER dan Anda akan melihat sembilan koefisien Fourier yang digunakan untuk melaliuk":r sintesis terhadap sebuah pendekatan gelombang kotak (lihat Gambar 4-5). Makin banl'ak koetlrre: yang digunakan maka pendekatannya akan semakin baik. Hitunglah redaman di gelombang kirt*. ada lima buah di sana, ditandai dengan lima buah harmonika bukan nol yang muncul. L.;.::-'. mudahnya, perlambahan periode dan waktu dimasukkan ke sel F6 dan G6. Cobalah Je:....mengganti-ganti pertambahan periode dan waktunya.
Bab 4: Matematika Sinqkat
(zn
-l
-A
ci:St$7-CtSB-Pl0-1'{;A20l$F$6]+$t1$7"tllr(2'Pl0-i'$A2rl/$F$6]
6
ffiF
s.--r
Fi)u8lEB.xL$ fl*uri*r s*rie*
k
J
L
:j i.haptir,l ,t
FfisriBr IoericiBnl dala in aolurrns C and L
5
tt
6
i
[
{dc}
0.0,]|l[n
r)
1.[t[]il0
B
8.0c008
I
2 3
1n
{
1
0 t)
B 0c1J00
1l
0
B
1l
6
f)
B
7
0
0.14:86
ll
Lr.Blnair
11
i:JllJll
l4 3
15
3I0t:l 0[&]il
ib 17
IS
r0 33
0
1l
ll
0 r6ll5E5
21
0
5
B
Ir 0:a1,J,13
0.32$S67
C
1.,186^I
C198Bl4
rr
I
0 131895 n1n2n68
0 rl.1 1118.!2 [ 001]9:E
l"J
7J6561
D?l63Ci
Gambar4-5. Tampilan utama buku kerja deret Fourier. Koefisien C6:D15 digunakan untuk melakukan sintesis gelombang kotak untuk sembilan komponen, empat dr antaranya adalah nol. Pemilihan koefisien-koefisien ini menghasilkan gelombang kotak yang mulai naik di perpotongan titik nol dan tidak memiliki komponen dc. (Tentu saja gelombang kotak nampak simetris sepanjang sumbu waktu). Perhatikan bahwa amplitudo gelombang kotak dengan koefisien-koefisien ini adalah rl4, bukan 1. Amplitudo frekuensi fundamental adalah 1.
Gerakkan mouse Anda sepanjang lembar kerja dan amatilah isi sel-selnl a. Anda akan melihat bahwa kolom-kolomnya akan mendapat tambahan hingga sembilan ba-uian dalam deret di Persamaan
(4-l). Deret Fourier untuk gelombang kotak seperti nampak di Gambar -1-5 diberikan sebagai,
f(i)
1
I
| ()tr,1t l+ /2zxlr\ l+- t.(2rx3r\ Stnl l- srnl \e,37sl 3 \e,375i s \q..17.5 l
srnl
dan seluruh harmonika ganjil yang lebih tinggi, mewakili sebuah gelon.rbang kotak
rlrlle) dengan amplitudo sebesar
(scluure
7Tl4.
Deret Fourier tidak hanya dibatasi untuk fungsi-fungsi yang kontinu: deret ini juga rnemiliki kemampuan luar biasa untuk merepresentasikan fungsi periodik y'ang diskontintt. Di titik-titik diskontinuitas, deret akan bertemu dengan nilai rata-rata titik-titik tersebut sebelum dan sesudah redaman. Deret Fourier merupakan suatu bentuk representasi deret yan-: optimum. dalam arti tidak ada deret lain yang memiliki tingkat kesalahan lectst-ntenn-squore vans be-situ kecil dalam merepresentasikan fungsi periodik yang diberikan. Gambar 4-6 menunjukkan komponen-komponen Fourier untuk -selombang kotak, dan Gambar 1-7 menunjukkan spektrum dari gelombang kotak, sudah jelas bahri a itu adalah amplitudo dari kontponen Fourier. Sebuah gelombang kotak biasa digunakan sebagai sinl al qi coba secara umum. Perhatikan bahwa gelombang kotak murni tidak memiliki sedikit pun harmonika. Jadi, apabila .\nda rnenggunakan gelombang kotak sebagai sinyal uji coba terhadap sebuah sistem dan mendapati beherapa harmonika muncul di dalamnya, maka dapat Anda simpulkan bahwa sistem tersebut nren,calami distorsi harmoniko. (Ini biasa terjadi di dalam amplifier dengan keluaran yang tinggi). Bilt perbandingan amplitudo harmonika keluaran tidak sama dengan masukannya, maka Anda .l.rprr menyimpulkan bahwa telah terjadi distorsi frekuensi. Sebuah -telombang kotak periode :Jn.jring dapat memperkirakan suatu/angsl langkah (step func'tion). yang dapat digunakan untuk nr;ndapatkan respon frekuensi secara lengkap (berupa amplitudo dan fase) dari sebuah sistem
lrnier rlihat Bab
11).
4.4 Buku keria deret Fourier
Foi.r'rBr
Seile:
5
{Df c84erti Lr'.i'jqrSrF r'i.t
n5
a!
Gambar 4-6. Komponen-komponen gelombang kotak di Gambar 4-4. Diagram ini akan mudah dicerna dengan tampilan berwarna di layar Anda. (Diagram ini terdapat di dalam buku kerja FOURIER).
$pectrum (nrr DC torfiprlnent)
t.{riooit ,1.s0[f0
B.StUt'0
0.7nrlrfi
u 3 5
0.$1]{r)B
it5r1ftl0
E
-'
o lo,:rug
r,r.rl0B0i1
i].f{i0{0 i.1i]rt0 n.n088,1
r Frequer'l'r'd
Gambar 4-7. Spektrum gelombang kotak di Gambar 4-5. Perhatikan bahwa hanya harmonika ganjil (1, ) yang muncul, dengan indikator satu untuk gelombang kotak yang murni.
3
Cobalah latihan-latihan yang terdapat di dalam buku kerja FOURIER di bagian akhir h.rl'
5
r::
Anda akan melihat bagaimana melakukan sintesis terhadap bentuk-bentuk gelonlbang pcnr\i r yang umum. Lakukanlah untuk beberapa harmonika dan koefisien yang berbeda. (Ini akan lllen kan bagaimana music synthesizer bekerja).
u:1,
-'
-
1 r/e19rne!!!?lr!sle1
TIPS Seluruh fungsi matematika di EXCEL dapat diakses secara cepat dengan mengklik ikon f. Ikon ini dinamakan ikon Paste Function dan terdapat di baris atas bar menu. di antara Auto Sum
(I)
4.5
dan ikon Sort Ascending.
Fungsi-fungsi hiperbola
Fungsi-fungsi hiperbola meliputi eksponensial
riil. Seluruhnya
merupakan solusi cepat untuk
beberapa permasalahan. (Lihat Latihan 1. Bab 2). Tabel 4-6. Fungsi-fungsi hiperbola di EXCEL ACOSH
ASINH
ATANH
COSH
SINH
TANH
ACOSH menghasilkan kebalikan cosinus hiperbola dari suatu bilangan. Bilangan tersebut harus lebih besar daripada atau sama dengan l. Kebalikan cosinus hiperbola adalah nilai yang cosinus hiperbolanya berupa bilangan. sehingga ACOSH(COSH(bilangan)) sama dengan bilangan.
Syntax ACOSH(bilangan) Bilangan adalah sembarang bilangan
riil
yang sama dengan atau lebih besar daripada
1.
Contoh:
ACOSH(l) sama dengan 0 ACOSH(10) sama dengan 2,993223
ASINH menghasilkan kebalikan sinus hiperbola dari suatu bilangan. Kebalikan sinus hiperbola adalah nilai yang sinus hiperbolanya berupa bilangan, sehingga ASINH(SlNH(bilangan)) sama dengan bilangan.
Syntax ASINH(bilangan) bilangan adalah sembarang bilangan riil.
Contoh:
.\SI\H(-2,5) sama dengan -1,64723 ASI\H(10) sama dengan 2,998223 COSH nrenghasilkan cosinus hiperbola dari suatu bilangan. Syntax COSHT bilangan
r
Rumus untuk co:inus hiperbola adalah: cosh(z)
=+
Contoh: COSH(+) sama densan 17.30823 COSH(EXPI
l))
sama dengan 7.61012-5. dengan EXP(1) adalah e, basis dari logaritma natural
Aoa selaniutnva?
SINH menghasilkan sinus hiperbola dari
suatu bilangan.
Syntax SINH(bilangan) bilangan adalah sembarang bilangan riil. Rumus untuk sinus hiperbola adalah: sinh(z)
Contoh: SINH(1) sama dengan 1,115201194
SINH(-I)
sama dengan -1,175201194
Anda dapat menggunakan fungsi sinus hiperbola untuk melakukan pendekatan terhadap distribu't probabilitas kumulatif. Anggap nilai hasil uji coba di lab berada di antara 0 dan l0 detik. Sebuah analisis empirik terhadap rekaman data yang dikumpulkan dari eksperimen menunjukkan bahu a probabilitas hasil yang diperoleh, yaitu r, yang nilainya lebih kecil daripada 1 detik adalah hasil pendekatan dari rumus berikut:
P(x <
0 = 2,868 * SINH(0,0342 * t),dengan 0 < t < l0
Untuk menghitung probabilitas hasil yang lebih kecil daripada 1,03 detik, masukkan nilai 1,03 ke dalam t: 2,868*SINH(0,0342* 1,03) sama dengan 0,101049063 Anda dapat memperkirakan hasil ini akan muncul sebanyak kira-kira 101 kali untuk setiap 1000 percobaan.
TANH menghasilkan tangen hiperbola dari suatu bilangan. Syntax TANH(bilangan) Bilangan adalah sembarang bilangan riil. Rumus untuk tangen hiperbola adalah: tanh(z)
_
sinh(z) cosh(z)
Contoh:
TANH(-2) sama dengan -0,96403 TANH(0) sama dengan 0 TANH(0,5) sama dengan 0,462117
Apa selaniutnya? Di dalam Bab 5 kita akan menjelajahi beberapa teknik dif'erensial dan integral numerik. Inte-urul merupakan bagian penuntun di dalam tasilitas Moving Average dan Exponential Smoothing di EXCEL. Kita akan lihat pula bagaimana mudahnya mengimplementasikan beberapa operasi integr:r'i yang berguna dengan bantuan aritmetika sederhana. Integrasi akan membantu pada saat dlt-1 mengalami gangguan atau Anda ingin mengambil informasi dari data yang rusak.
Daftar Pustaka N. Momison, Intodltction to Fourier Analysls (John Wiley & Sons, Inc., New York. 199-l t. Dr ditunjukkan bagaimana cara menghitung koefisien-koefisien Fourier untuk sebuah deret memang berada di luar cakupan bab ini.
:. C \\il:trn. Forlrrer Series and Optical ' :r .t Sons. Inc.. New York, 1995).
..i
Transform Techniques in Contentporan Optic:s (.John
S C Bloch. "Fourier Perspective," Chapter 6 in Introtluction to Clas.sical and Quontum Harmonic ' r":llutot's (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997). Di dalamnya memuat contoh-contoh :ringenai bagaimana cara menghitung koefisien-koefisien Fourier untuk gelombang kotak dan _iik)mbang segitiga.
Uji kemampuan Anda Per_cunakanlah lembar pgngolah angka Anda untuk perhitungan-perhitungan berikut:
l. l. 3. +. .5. 6. 1. 8. 9.
=ATAN2(15,30)
=ATAN2(15,-30) =ATAN2(-15,30) =ATAN2(-15,-30) =DEGREES(ATAN2(36,36)) =DEGREES(ATAN2(_36,36)) =ATAN(30/15) =ATAN(-3OI15)
=ATAN(30/-15)
10. =ATAN(-30/-15) I
l.
Buatlah satu lembar kerja untuk sebuah benda yang didorong ke atas di sebuah bidang miring kasar. Peristiwanya kira-kira seperti yang tertera di Gambar .1-2 dan -1-3. tetapi sekarang gaya gesek dan komponen berat ke arah bawah bidang memiliki arah yang sama karena gerak yang terjadi adalah ke atas. Gaya yang diberikan untuk mendorong benda agar bergerak ke atas harus lebih besar daripada jumlah gaya yang menuju ke bawah bidang. Berapakah gaya minimum, sebagai fungsi sudut, yang diperlukan untuk menggerakkan benda tersebut? Tunjukkanlah data-datanya dengan diagram XY. (Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenai posisi dan gerak benda - gerak dan gaya yang diberikan oleh National Science Education Standard).
12. Sebuah batu bata tengah berada di atas sebidang papan ka1,u. Pada saat papan tersebut dimiringkan dengan sudut kemiringan 60 derajat, batu bata rnulai bergerak turun. Berapakah koefisien gesek statiknya'? (Ini merupakan metode standar untuk rnengukur koefisien gesek statik antara dua buah permukaan, seperti karet ban dengan aspal. Perhatikan bahwa koefisien
itu bergantung pada berat dan luas permukaan kontak).
13
Tunjukkanlah amplitudo-amplitudo komponen harmonika 3. 5. 7. dan 9 dari sebuah gelombang kotak dalam satuan dB, relatif terhadap harmonika I (frekuensi fundamental).
-
Pr-rgunakanlah buku kerja FOURIER untuk melakukan sintesis terhadap gelombang gigi
,:r'r!.r.ti. Seluruh harmonika akan muncul. Amplitudo-amplitudo harrnonikanya adalah: l/1, . l. i 1. l/1. 1/5. 1/6 dan seterusnya. Anda sering melihat aplikasi gelombang gigi gergaji ini, .,:.... ';it\lk digunakan sebagai bujur horizontal di monitor komputer. osiloskop, dan layar.;,.r iel:', i.i.
,: L;s'jr;r:rh
.inte.is deret Fourier untuk gelombang segitiga. Pergunakan buku kerja FOURIER ir.'1:rkuk.rnn\ a. Di dalarn kasus ini, seluruh harmonika genap bernilai nol. Amplitudournpiirujrr h.rrnt.,nik.i ranjilnva adalah: ll12J.32, 1/52, 1/1). 1192, dan seterusnya.
inlik
Uji kemampuan Anda
16.
_
A-,
::.':::
, f,3 Kemiringan jalan raya yang berbentuk kurva. Di Bagian 4.3 kita telah nrenrbahrbidang miring yang kasar. Pada saat sebuah kendaraan melintasi sebuah jalan rara le::r.'-:-. kurva, Anda tidak dapat memperkirakan apakah gesekan akan mampu rnelindunsin... .-.,tergelincir karena adanya genangan air maupun oli di atas jalan, sehingga ini men-i-^.:kondisi permukaan jalan. Jalan raya akan dimiringkan di bagian yang berupa belokan h;t:::-menyerupai kurva untuk menghindari kendaraan tergelincir. Ini ada pelmasalahan l ang din.,r:r.i namun dapat dijadikan statik sehingga menjadi serupa dengan bidang miring biasa. Kit., .'k.r mencoba memiringkan jalan raya untuk mendapatkan gaya normal terhadap pusat lengkuncdn
jalan yang akan menghasilkan sebuah gaya sentripetal. Tidak ada percepatan yang tegak lurujalan sehingga N, = N cos 0 = W = rrrg. Dalam arah radialnya, komponen N adalah:
N. = N
,ir1 = n'!' R
dengan R adalah jari-jari kurva dan l adalah kecepatan kendaraan. Bagilah N,. dengan .\. untuk mendapatkan tangen sudut kemiringan, tang = v2lkR).Perhatikan bahwa sudut kemiringan tidak tergantung pada massa kendaraan. Ini adalah hal yang penting, karena kurr a jalan yang miring akan menghasilkan ef'ek yang sama terhadap setiap jenis kendaraan y'ang melintas dengan kecepatan yang sama. Buatlah lembar kerja yang akan menghitung sudut yang dibutuhkan untuk kecepatan maksimum 20, 30, 40, dan 50 m/s dan R sama dengan -50. 75, 100, dan 125 m. (Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenai posisi dan gerok benda - gerak clan gdl'd yang diberikan oleh National Science Education Standard).
t].
Mernbahas mengenai kolektor vektor. Buku kerja bernama VECTORS menunjukkan bagaimana
cara menambah, mengurangi, dan mengalikan vektor. Perkalian vektor menghasilkan dua bentuk, yaitu skalar (titik) dan vektor (silang). Jelajahilah rumus-rumus di dalam sel-selnf ii untuk melihat betapa mudahnya melakukan perhitungan tersebut. Diberikan A = 3i + 4j - 5k dan B = 2i + llj - 3k. Masukkan keduanya ke dalam lembar kerja untuk mencari A + B. A- B, lA + Bl, lA- Bl, lAl, lBl, A x B, B x A, A. B dan sudut terkecil di antara A dan B. Cocokkan jawaban itu dengan hasil perhitungan tangan. Berapakah A x A? Berapakah
A . A? Mengapa?
Bab 5 Diferensial dan lntegral Mengenai apa isi bab ini Operasi-operasi kalkulus dasar untuk diferensial dan integral dapat diukur dalam bentuk numerik melalui Excsr-. Kita akan menjelajahi beberapa metode untuk keilua operasi tersebut, dan amati masing-masing kelebihan dan kekurangannya. Integral berhubungan dengan upaya menghaluskan garis kurva dan kita akan lihat bagaimana penggunaan dua buah fasiiitas bantu di ExcrrlMoving
Average dan Exponential Smoothing) untuk mengerjakan inte-sral bertipe khusus. Kita akan menunjukkan cara penggunaan fungsi-fun-esi Sar itskr -Golay, yang mengkombinasikan diferensial dan integral untuk melakukan estimasi leasr-mean-square terhadap daia yang terganggu. Fungsi-fungsi ini pada awalnya berlaku di bidan-e kimia. namun kini berguna pula untuk bidang ilmu lainnya dan Anda pun layak untuk mengetahuinr a. Pada akhirnya Anda dapat melihat bagaimana penggunaan fasilitas Trendline di ExcEr- untuk data-dara \ ang terganggu dan Anda pun dapat menghitung sebuah pusat massa beserta momen inersian_ra. Integrator telah tersedia di Internet. Anda dapat menuliskannva ke cialam sebuah tungsi dan mendapatkan hasil integralnya dengan segera melalui lllrruerr.urca. Kunjungilah situs http:// integrals. wolfram.com/index.en.cgi. Lihat contohnya di Gantbar,5 - g. Kapan Anda membutuhkan diferensial dan integral numerik l Dara-data eksperimen seringkali tidak mengikutsertakan fungsi yang diketahui, sehinsga merode-metode numerik menjadi penting.
Mengambil turunan suatu fungsi merupakan sebuah keahlian analitis menclasar yang Ancla pelajari di kalkulus. Turunan membantu menjawab pertanyaan. bagaimanakah nilai perubahan suatu fungsi? Turunan dapat mengurangi perubahan-perubahan di dalam suatu fungsi atau sekumpulan data. Hal ini berlawanan dengan integral, yang membolehkan perubahan (untuk tujuan memuluskan kurva). Kita sering tertarik untuk mengamati angka perubahan waktu, namun turunan tidak akan dibatasi oleh waktu. Sebagai contoh, kita mungkin in-ein mengetahui nilai perubahan di sebuah ruang, seperti sebuah gradien, bila kita bekerja dengan temperatur, tekanan, atau potensial listrik. Interpretasi geometri untuk turunan pefiama adalah kecontlongan (slope) clari sebuah fungsi di titik tertentu. Turunan keduanya merupakan angka perubahan kecondongan. Turunan kedua ini muncul
dalam hukum Newton mengenai gerak dan identifikasinya terhadap nilai maksimum dan minimum.
5.1 Diferensial Interpretasi seperti ini baik dilakukan untuk fungsi-fi.rngsi kontinu dan nilar pcrluli,r;.-.:i...yang tidak terbatas, narnun untuk data yang menyebar kita harus memperhatikan interr "i .: ... titik-titik datanya. Miserlnya, kecepatan rata-rata diberikan sebagai, A^s
ri-
I
Lt Dengan As adalah interval jarak yang berhubungan dengan interval waktu At. Garis yanu terdrip,l di atas u menunjukkan "nilai rata-rata" sepanjang interval waktu tertentu. Kita perlu memutu.krn apa yang akan kita lakukan pada akhir pertambahan ruang dan waktu. Ini semua akan rlenia.| jelas pada saat Anda menggunakan buku kerja DERIVAIIVE. Ada tiga cara untuk mengoluh pertambahan-pertambahan ini terhadap data-data berurutan yang berbeda:
. . .
turunan maju (forward derivative), turunan mundur (bach,.'ad derivcttive'), turunan tengah (central derivative).
Marilah kita lihat ke titik dengan koordinat .r0, )0. Koordinat titik sebelumnya adalah x ,, r' , dan koordinat sesudah,r;,.r'o adalah.r+1,J,+r. (Gambarkanlah sebuah kurva pada selernbar kertas dan tandailah ketiga titik tersebut. Saya bisa saja menunjukkan gambarnya tetapi Anda akan dapat belajar lebih banyak bila melakukannya sendiri). Di dalarn mata kuliah kalkulus, Anda telah mempelajari bahwa turunan pefiama sebuah fungsi diberikan sebagai,
dy_ Iz-)r dx
t
5-1i
h
dengan limit I mendekati nol, iz adalah pertambahan .r. Sebelum i mendekati nol, terjadi sebuah kesalahan estimasi dalam menghitung turunan untuk /2, yaitu biasa disingkat dengan O(/r). Jadi, muncullah sebuah pefiambahan kecil yang diinginkan, namun kita juga perlu mempelajari efek dari pembulatan nilai-nilai yang salah dan pemilahan data akurat dari sebaran data sehingga perlu kehati-hatian dalam mernbuat pernyataan umumnya. Thbel 5-1 berisi ringkasan ketiga tipe turunan pefiama di titik xo, )0. Tabel 5- I muncul untuk menyatakan bahwa Anda perlu sesering mungkin menggunakan turunan tengah, namun turunan ini membutuhkan jumlah titik data yang sama untuk kedua sisi titik yang ditanyakan. Di bagian akhir sebuah urutan data, Anda dapat nrenggunakan turunan rnaju atau mundur untuk menghindari kesalahan yang serius. Selain itu, turunan Maju dan Mundur memberikan
Tabel 5-1. Estimasi Turunan Pertama untuk Sebaran Data Tipe turunan
Rumus
Maju (Fot'vvard). (Lihat lembar kerja untuk rumusnya).
AJ'Ar
h
Mundur (Backwardl (Lihat lembar kerja untuk rumusnya).
Al' _ )o Ar
-
Tengah (Central). (Lihat Gambar 5-2, sel F105 untuk rumusnya).
A],
Ar
Orde kesalahan
-]'*r
-)'-r
h
-)kr
h
,)'-r
h
- )' 2h
hz r
Bab 5: Dlfe-rensial dan lntegral -
-.
i.ing terbaik terhadap data yang memiliki banyak perubahan. Pergunakanlah turunan mundur
sebuah perubahan besar dan turunan maju untuk kondisi sesudahnya. Karena turunan pertama adalah analog terhadap kelajuan (atau kecepatan, jika itu merupakan ,..:.,rr. maka turunan keduanya analog terhadap percepatan. Dengan kata lain, turunan kedua -*,ilh turunan dari turunan pertama. Tabel 5-2 menunjukkan rumus dan orde-orde yang salah dari
-:-r.',nt melakukan
.:re turunan kedua.
Tabel 5-2. Estimasi Turunan Kedua untuk Sebaran Data Tipe turunan
Rumus
Orde kesalahan
Maju.
Arl
h
(Lihat lembar keria untuk rumusnya).
Ar2
Mundur.
A2-y-)'o-2.,-r+l:
(Lihat lembar kerja untuk rumusnya). Tengah.
(Lihat Gambar 5-1, sel J12 untuk rumusnya).
A2-r'-,yr Ar2 -
lt
-2.rn+l-,
h
h2
h2
Tentu saja, untuk mendapatkan turunan yang lebih tinggi Anda dapat menggunakan pengulangan aplikasi-aplikasi turunan pertama" selain menggunakan rumus khusus. Marilah kita mengimplementasikan turunan-turunan ini ke dalam buku kerja kemudian membandingkan hasilnya dengan fungsi kontinu .1,(1) = 6t2 yang dapat kita turunkan secara analitis nrenjadi bentuk dy,lclt = l2r. [Pada tahun 1676, Leibniz membuktikan ./(,\'') = rrl'-rdrl. Bukalah buku kerja bernama DERIVATIVE dan lihatlah Gambar 5-1 dan 5-2. Dengirn pertambahan sebesar l, turunan pertama Maju dan Mundur nlasing-masing akan menghasilkan konstanta kesalahan +6 dan -6. Jelasnya, pertambahan sebesar I terlalu besar untuk memberikan hasil yang dapat diterima terhadap nilai dari perubahan sekumpulan data ini. Selanjutnya, mari kita coba menguranginya dari I menjadi 0, 1. Gambar 5-3 dan 5-'1 menunjukkan pengurangan konstanta kesalahan untuk turunan pertama Maju dan Mundur seba-eai penurunan pertambahan. Namun demikian, kesalahan-kesalahan di bagian akhir selalu saja nluncul. Amatilah kesalahan-kesalahan yang terjadi terhadap turunan-turunan \'Iaju. \ltrndur. dan Tengah
di ujung-ujung data. Sekarang Anda dapat memahami mengapa hal ini begitu sering dibutuhkan untuk berpinclah dari turunan Maju. ke Tengah, ke Mundur, sehingga Anda dapat nrengikutsertakan seluruh titik data, walaupun di bagian akhir data masih mengalami kesalahan dibandingkan dengan keseluruhan data. Walaupun turunan numerik tidaklah sempurna, namun Anda tetap dapat n.renghasilkan sesuatu \ ang ridak dapat dilakukan dengan kalkulus analitis. Data dari eksperirnen-eksperimen yang se\unsguhnya selalu memiliki gangguan acak dan hampir tidak mun-ukin untuk merepresentasikan rlaranr,a ke dalam bentuk fungsi yang diketahui. Di dalam kondisi yang sesungguhnya, kita membutuhkan operasi-operasi numerik. Gambar 5-2 dan 5-4 memiliki tampilan lembar kerja yang dikunci secara vertikal sehingga .\ndl dapat melihat judul kolom (baris 5 dan 6) setiap saat. Untuk melakukan penguncian tersebut, pilihlah :ebuah sel, kemudian masuklah ke menu Window dan klik Freeze Panes. Gambar 5--5 ntenuniukkan sebuah contoh turunan maju yang diterapkan terhadap suatu fungsi yang terdiri dari :ebuah pulsa (7rrrl.ie) dan segmen sinus.
5.'l
Diferensial
113
3-2"81!+fi
={S1
":"i
--A ,. . B,
,----
:l
IEKIVATI\IE,XLS
'l L
unalller
D ltE
C
1
y$D$3^2
F:S
I
Fir*t and S*rond }erivalivs
t
f, *l
1
lncrement
I
I
4
(
6 &l -.-t
.9 .,
lnl
Time 0
dvr'dl
AvJAt
ll
llr F,;
1
'j 54
i11
4
sEi
ti
5 6
2'r6i
7
:s4
tl
:{j4
15
Fr:nrr'ard
YIJl
J
illi '
Analrltical
I
DI
i
Centrxl
&.nalvticsl
F*nnrard
Sarkvrarc
Ay/&t
&v/&l
d:y/,it:
.$v181?
&2y,'al2
12 i ti,lALUE!
*&/,ALlJEl i *tv'ALLIEI
tt
Itl
6
11
24 3f JU
an
tol
?4
41
3S
1i
48
b4
4Z)
4fi
60
6B
5jl
{1
Itr
bb
sil 7) Ei
tt
fi4 vb
i
B*ck',rr,art
5rl 1ra1
t1
ss
9tl
Cer::; iil.ri,.
i'
#./,11
_r=!
l::#{All,lEl 12t 17 {a t!
41 tl
tl
trt
12, 1!, t1: tt ,t1
i1: 1r-
12[-:j l"t, r-t: ll: 11:
12
ta t: 1l
Gambar 5-1. Tampilan utama buku kerja DERIVATIVE. Perhatikan bahwa turunan Mundur dan Tengah mengalami kesalahan di bagian awal data, tetapi turunan Majunya trdak mengalami kesalahan. Di titik-titik lain, turunan Tengah sesuai dengan Analytical. Turunan pertama Maju memiliki konstanta kesalahan +6. Turunan pertama Mundur memiliki konstanta kesalahan -6. Perhatikan titik-titik lain untuk turunan kedua.
__-t-lu5
1
?
I
s,
I
AEC
*f,Jr
=tBj il6.S1fi.1y€'$0$3J
D
*_*t_l-"
G
First antl Sec**d &*rivalive
CIERIVATIVE,XLS
2,Chaptrr5 lncrenrent
3
I
1
4
s
E
&.rialvtic*l
F,:ruVard
Eackvgsrr
drrldl
AulAt
&v1At
Central
Ifi2
t)[
5415t1
1
1
146
1
1:4
&v/Ar I't .dfi
irle
3b
Edlqfi
1
1
15S
1
146
tat
1fi41
$7
58454
1
1
'170
{ iEo I IJU
lssl
98
eirzr
rlQ6
39
5fifi06
Time
i1' r 1[[
"1{r1
t--__
bUUUU
1iln 152 16d, '1176 118-fl 12il0
r 1fi3
1
1'l$il
1 1fi2
-6tl[[D
1
17U
1S4
' 1
184
r:re! I I Ll'f
-:s4tl3
Anelvtirs Ftr*v*rd B*ckward tlentral d'v/dt: ,{2rr/&tl &!ti&t? lf-rj1al1: 12
12 'I"] 41 ta
12 1: 12
{"l {a t4 11 -61 194
BtlDfffi
12 12 1'l 12 12 1I
12
ri 1: 1-
,6119i
1*A
Gambar 5-2. Di bagian akhir urutan data, untuk pertambahan yang diberikan, turunan Maju dan Tengamemiliki angka kesalahan yang besar namun turunan Mundur mungkin kesalahannya masih dapat diterirna Bandingkan dengan Gambar5-1. Kecuali di bagian akhir, turunan Tengah sesuai denganAnalytical. (Lemrakerja ini menggunakan pilihan Freeze Panes di menu Window).
Bab 5 Ditqlgrylgl dan lntegral
": .l - A*- B*-*T
'"*fl _I--*
:-,:lRg3:g:ll:gxl{.llp:?
,,'.-j
D
,*-t*-N*'-F****""
G
First arrd $*c*nrl Serivalive
DERIVATIVE.XLS i- irapter 5
lncrenr*nt
6
Time
Yit)
7 rl ..- 0 I [ 1 t].08
I
0.1
I(t) = 6t?
(nalvtrc al
Forr,vard
Eatkrnrart
tlenlral
A.nalvtrca
Fonnard
dv/dt
Av/Al
,lv,r&t
&rrlAt
dx',rjdt2
A3'i/'itr
s 0.: n.zq 1o i [.44 11 tt 4 rl.9B _gl ns_ rs 13 D.B 1.16 1.{, rr.i i.g4
t a-"" J
i.4
lo
l
t.4
2 ... 3.. 3.8 4!. - .l'1S 6.6. .5a..-. "". 6 tlb l'd / I ;^ .,; Y i t-J Dr+
3.6
D
- 1i
0.6 rs,lALUEl - "nL:#,,1ALUE
t_l
tt 4,* 6
?) i:r 4
4
12 12
#'/AL1-IE! .fi.1}LlJEl
#'lALUEt 12 1! 12 12 12 1: ti 12 12 12
1) t1
5,4-. .
&3v/At?
1:
!:
{lentral
Back'ryard
12
r:f-1iI
r'J
1l tf
e
rl
11
la
12
12
12
-l
Gambar 5-3. Data yang sama untuk fungsi y(l) pada Gambar 5-'1 dan 5-2 diturunkan dengan pertambahan sebesar 0,1. Turunan Tengah begitu sesuai dengan turunan Analytical, kecuali di bagian akhirnya. Turunan pertama Maju dan Mundur memiliki kesalahan masing-masing sebesar +0,6 dan -0.6. Menurut perkiraan, kesalahan ini sepuluh kali lebih kecil daripada pertambahan yang besarnya 1.
1
BERIVATIVE.XL$
2
Chapter 5
First and Seconrl Oetiv.rlive
lncrement
3
I
v(t) = bt'
0.1
,:1
{nalvtical
5
6
iTirn*
100 1tl1
r03 tn: rnr tu3 lub 1
r-l-
9.3
rrftl 51S 94
!.4 53[.1& !,.5 541 5 s.6 552 96 97 50454 '., E 578.'14 3 5fi8.06 1rl Btl0 ,r:t
dv,'dt 1r 1,8 I lt.8 114
F*m,'ard
B*ckw*rt
Centrsl
An*lvtira
F'rruvard
B*ckward
**ntral
&v1Al
A,r*/Al
Av/At
cl2v./dt2
A2vlAl?
&rurl1.tI tit!
&!v/&t?
{il I tz a i
111
11:4
11:.:
I14.6
113 d
15.8
114.6
118..1
117
1is.B
11i.6
11S.2
117
't1s 4
1182
.stltill
1'13.4
115,t q tI to {U.U
fin
1
111 6
III
U
r:-:r;! I l:).1
I15.4
,
117 6 t tu t)
-tstr:r.:
11
12 {a l! 1'l tL
12 '1: 12 12
1') 12
ta lz r
-]
ri
12 12
-61194
Etltlm
1: 17 It
12 12 12 1:
41 tz ldr
12 1't
1: 12
12 .6',11S4
!:-,C
Gambar 5-4. lni adalah tampilan bagian bawah buku kerja DERIVATIVE yang menunjukkan kesalahan-kesalahan tur-ucdi cr Dagran tersebut. Bandingkan dengan Gambar 5-2. (Penguncian sel dapat mempertahankan baris 1-6 aEar letap nuncu di layar).
5.1 Diferensial
Gambar 5-5. Turunan pertama maju terhadap pulsa kotak dan segmen sinus. Fungsi asli y(t) diidentifikasikan dengan noktah di tiaptiap titik data. Turunan dari pulsa (tanpa noktah) mengutamakan kondisi pada saat pulsa mulai dan berakhir (seperti sebuah pendeteksi ujung-ujung). Turunan pertama dari sinus adalah cosinus, seperti yang Anda harapkan. Perhatikan turunan di bagian akhir segmen sinus yang tibatiba terjal.
Pertonyoon yorg sering murcd T: Apakah ado penjela,san )'ang sederhana mengenai turunan dan integral?
J: Ya. Pikirkanlah grafik
sebuah fungsi. Pada saat turunan pertama dievaluasi di suatu titik, maka turunan pertama akan mendapatkan nilai kemiringan garis. Itulah yang dinamakan tangen kurva fungsi di suatu titik. Apabila turunan pertama sama dengan nol, ini mengindikasikan bahwa sebuah fungsi adalah konstan atau turunannya dievaluasi pada saat kondisi maksimum atau minimum. Turunan kedua adalah "kemiringan dari sebuah kemiringan," atau angka perubahan dari sebuah kemiringan. Pada saat turunan kedua bernilai positif, grafik fungsinya berbentuk parabola terbuka ke atas. Turunan kedua yang negatif mengindikasikan bahwa fungsinya akan berupa parabola terbuka ke bawah. Jadi, sebuah turunan pertama bernilai nol dengan turunan kedua yang bernilai positif mengidentifikasikan sebuah fungsi minimum. Turunan pertama bernilai nol dengan turunan kedua yang bernilai negatif mengidentifikasikan sebuah fun-qsi maksimum. Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut dapat memiliki lebih daripada satu nilai
maksimum atau minimum. Interpretasi geometri terhadap sebuah integral adalah area di bawah kurvanya. Sebuah integral dapat diinterpretasikan sebagai limit dari jumlah total bagian area-areanva. Ini memungkinkan kita untuk membuat perkiraan integral numerik dengan sejumlah bentuk r an_t berhingga. Ilmuwan dan matematikawan besar Archimedes (287-212 SM) memiliki beber.rp; ide dasar kalkulus, namun beliau tidak memiliki pengembangan konsep yang utuh untuk dere: tak berhingga dengan nilai yang berhingga.
Bab 5: Diferensiql dan lntegral
Pcrtonyoot YatE/ sering muncul ttntttk keperluan opakoh tttrLtnon tingkat tinggi?
Seringkali Anda sekalian membutuhkan turunan pertama dan kedua. Di dalam bidang rlekanika. turunan ketiga terhadap waktu adalah angka perubahan percepatan. Turunan ketiga rr,rhadap waktu ini juga muncul di dalam reaksi radiasi. Turunan keempat terhadap ruang
J:
tlibutuhkan untuk melakukan analisis pembelokan sinar secara mekanik. Turunan tingkat yang lebih tinggi
5.2
lntegral
Kalkulus modern {itemukan oleh Sir Isaac Ne\\ ton ( l6-12- 1727) pada saat beliau memerlukannya untuk mengembangkan mekanika. Pada waktu t'ang harnpir bersamaan, kalkulus ditemukan pula oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). seorang pel.Igacara dan matematikawan. Hingga hari ini kita masih menggunakan buah karya Leibniz tersebut. Dari hasil pemikiran mereka, kalkulus tneletakkan dasar yang kuat untuk memacu para materltatikauan. Gambar 5-7 rnenunjukkan sebuah perangko Perancis sebagai penghormatan atas sumbangan Augustin Cauchy. Grafik di sisi kiri bawah p..ungto itu menunjukkan pendekatan integral parabola r'(.t) -,rl derlgan deretan lajur persegi panjang vertikal. Belakangan Riemann mengukuhkan metode tersebut sebagai integral Riemann' Melakukan evaluasi secara analitik terhadap integral merupakan suatu keterampilan yang Anda dapatkan dari kalkulus, namun data-data eksperimen jarang berada dalam bentuk fungsi dan integral yang diketahui. Integral numerik dikenal sebagai solusi atas ruasalah ini dan beberapa metode analog dari integral telah diken-rbangkan sebelunt komputer di-sital tersedia. Contoh, integrator-integrator cakram-bola (batl-clist:) digunakan secara Iuas di dalanl komptrter-komputer analog dengan sistem mekanik. Planimeter mekanik dan elektronik digunakan untuk integrasi grafis. planimeter mekanik ditemukan oleh Jacob Amsler ( I 835- 19 I ? ). Komputer digital elektronik pertama dibuat dengan tabung vakum pada tahun 1940-an, diberi nama E\I,\C tElectronic Numerical Integrator and ComPuter).
ke,{
"{IJ#[iIYr]r, 6, #d{i#F{x/,,, +gr*$ffiS .fS* --.-:r&;' r}ffS*rdrf '." '
,6l
sji "-*?
ffi,ffiffi
Gambar 5-7. Lajur persegi panjang vertikal melakukan pendekatan terhadap area di bawah kurva y = v'
5.2 lnteqral
Gambar 5-8. lntegralkan fungsi Anda melalui http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi
Metode pisau cukur Untuk mendapatkan cara memilih metode integral praktis yang cocok, bayangkanlah permasalahan yang dihadapi oleh para insinyur yang merancang mesin uap terdahulu. Mereka ingin memaksimalkan etisiensi mesin mereka, sehingga mereka perlu menghitung masukan energi dan keluaran kerjanya. Para insinyur ini menemukan bahwa mereka harus melakukannya dengan grafik tekanan P terhadap volume V, karena perkalian PV menghasilkan kerja. Kita ulas kembali bahwa tekanan dinyatakan dalam N/m2 dan volume dalam m3, sehingga tekanan dikalikan dengan volume adalah N/m2 x m3 = N.m atau Joule, satuan pengukuran untuk kerja dan energi. Dengan memasangkan sebuah pena ke alat ukur tekanan di silinder mesin dan ke lengan pistonnya, pena tersebut akan mengalami gerakan ke dua arah yang berlawanan dan akan menghasilkan kurva PV bila gerakannya itu ditorehkan ke atas sehelai kertas. Namun demikian, hal yang perlu dilakukan adalah menentukan area yang dilingkupi oleh kurva sebagai mesin yang sedang bekerja di dalam siklusnya. Area ini dapat didekati dengan menghitung luasannya di atas kertas. namun ini kurang akurat. Luas area ini dapat diperoleh secara lebih akurat dengan menggunakan pisau cukur untuk memotongmotong, kemudian mengukur kertas yang berada di bagian bawah kurva diagram PV (rnasukan energi). Selanjutnya, kertas yang berada di dalam siklus (keluaran kerja) dapat dipotong dan diukur. Gambar -5-9 menunjukkan sebuah contoh khusus. Perbandingan antara keluaran kerjr dengan masukan energi adalah efisiensi. Marilah kita meninggalkan pisau cukur dan rnelihat ke beberapa rnetode standar untuk inte gral numerik. Kita asumsikan bahwa seluruh data berada dalam bentuk sebaran. Dengan kata lain. walaupun data aslinya berupa data kontinu, kita akan memperlakukannya sebagai contoh d.ttr Contoh data yang dihasilkan melalui urut-urutan data sebaran. Bukalah buku kerja bemant" INTEGRATED-101 dan pelajarilah rumus-rumus yang Anda baca di dalamnya.
78
Ee!-! prferyns
:.1:-..
;l::rltq,
p
ffQ{1,,,:r:,,',)l S'r.il::':
:
;)r ::::,,\ '.,,,\
Gambar 5-9. Diagram PV dari sebuah siklus mesin. Kerja yang dikeluarkan (Work Out) + Panas yang dikeluarkan (Heat Out) = Masukan Energi (Energy /npuf) berdasarkan hukum pertama termodinamika. Efisiensi adalah [Kerja yang dikeluarkan]/[Masukan Energi]. Area di bawah kurva dapat ditentukan dengan metode integral numerik atau analog.
Metode persegi panjang Cara mudah untuk mengestimasi integral
l Ar seperti di Gambar 5-7 adalah,
^1
sebagai penjumlahan dari area-area lajur persegi panjang
t1
r=>
r5-1r
)';Ar,
Bila perubahan Ar adalah konstan, maka perubahan tersebut dapat difaktorkan keluar dari penjumlahan aljabar (sum). Contoh sederhana yang menggunakan sebuah penjumlahan 0, I adalah, t
1=
0,lI
:-i = 0,1(0,22 + 0,36 + 0,46 + 0.65
*
0.66).
(s-4)
Bila urutan data memiliki perubahan yang cepat maka Anda dapat menggunakan Ar yang lebih kecil. Pada saat perubahannya lamban. Anda dapat men-ugunakan Ar l ang besar. Ini dinamakan uktrran loncutut yang adaptif. Tentu saja. jika Ar bervariasi sehingga tidak clapat difaktorkan ke
luar dari penjumlahan maka Anda harus menggunakan Persamaan (5-3 ). Pada saat data eksperimen
dikumpulkan dengan interval yang biasa, Anda dapat menurunkan ukuran loncatan dengan melakukan interpolasi di antara titik-titik data. Gambar 5-10 menunjukkan tampilan utama buku kerja INTEGRAIION-101. Buku kerja ini memuat tiga metode integrasi numerik dan membandingkan ketiganya dengan hasil eksak dari krlkulasi analitik. Seperti vang Anda duga, keakuratan membaik sesuai dengan kenaikan n dan penurunan Ar, ietripi perse-li panjang yang berhingga tidak dapat mencocokkan kurva begitu dekat kecuali lebarnya ..-t rh kecil diiripada perubahan yang berhubungan dengan kurva. Lihat Gambar 5-12 dan 5-13. Buku kerja ini juga memperlihatkan masalah yang timbul atas metode persegi panjang. Anda :!'::J ltt.mutu:kan apakah akan memilih lajur persegi panjang sisi kiri atau sisi kanan. Lihat
Gr:l.r.:i
-<- 1
I Jan 5- 12.
Metode trapesium \tetode :erlerhana dari intesral numerik biasanya lebih akurat daripada metode persegi panjang tetapi kurang akurlt dibandingkan kaidah Simpson.
5.2 lnteqral
., . .:r1 ,, - -,-* ,. :i-:l!!-{.r"1,8:FlLIF,17 t.qraic,DrirG i iltrrttari*u-igt.fis ,-lrs,.irr:,:nIfiliiliiili"i'i',: I
|2
Lhapter 5
fi1
4
tll
Trau*z
il
fi
7
0.1 il.s044:7 $.SSU4S3; i].*rfl'1837 rl.rl!0{8:7 8.2 i_t.Er8731 fi.rfi1er3t r:,srt8zlt fi.3 t1.i4ctfi18 [.n74[616 n.nI4i]Sl8 r r:ia*nrn
{1
U
5 6
I
tn
l!
1f,
,l
tt
5IB3;
fi.5
fi.8fi65:1
0.6
il.fi48P,1:
n.I
11.{36586
0
fi 44Bt2S
U.1.14S339
0.9 [ 4l]657
t3
U Ut},'U.]J
B.D6t*531 e ffi.{s*:13 0.fl4965S5
*
r1.1140657
1 [.36lfir*
1,{
ri*,:ilrrer.ririr
Rectarrqylar .rrrrl Tr;lpezoirlal Metllorls
,
'5ee E,luotion i5-S)
0 867432 B.B6tr3: u.{sii6s:1 t] i1E0$531 n 0f;4i:812 [.1]54fi*12 l:l 0 n{i}64*5
r{srffii
n.044932*' 0.tl{49t29
[ il40651
D
n,lffi5l
0
0.t13678r9 0 rl1*3!4
u iih4l53J u.0321206
0.su1nd13 0.6:2647:
I:1
16
ii
llj
. ] L::1"}
lfi
l, li
5l.lfill1gil Lefi Rect
n 63?12t16 j1 S166n1
Ri{lht Rect
0.53t1:fS n
nnlltgd
tr}t)*x
Gambar 5-10. lntegral numerik untuk persegi panjang kiri dan kanan, serta trapesium.
exp(-x), Left Rectangular
0
o.7
0.8
0.9
Gambar 5-11. lntegral persegi panjang kiri melakukan estimasi yang berlebih terhadap nilai integral untuk fungsi ini. Amatilah bahwa penurunan kesalahannya berupa penurunan kemiringan kurva.
Metode trapesium mengestimasi integral / sebagai jumlah area lajur trapesium. Dengan kata lain, lajur-lajur vertikal terbentuk dengan menghubungkan nilai .-vi yang berdekatan dengan gari. lurus. Kaidah trapesium dapat dinyatakan sebagd, I rr
I
/= -:.(-\,+.\',,r)( .rr,r --\'r) 2; '',
r-<-i
dengan besar pertambahan adalah rr*l - r, = Axi. Jika titik-titik data senantiasa memiliki i"r-.". maka pertambahannya konstan, dan ini dapat dikeluarkan dari penjumlahan. seperti sehelu:-,: . -
_
Bab 5: Diferensial dan lntegral
exp(-x), Right Rectangular
0 0
0
1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.1
Gambar 5-12. lntegral persegi panjang kanan melakukan estimasi di bawah nilai integral untuk fungsi eksponensial yang menurun. Perhatikan pula parabola di Gambar 5-7.
Amatilah bagaimana Persamaan (5-5) dapat cliimplementasikan ke dalam buku kerja INTEGRATION-101. di Gambar 5-10. Perhatikan bahwa penyederhanaan ),ans utanra dalam metode trapesium adalah untuk datadata yang senantiasa berjarak. Dengan meng-uunakan data lang sama dengan yang kita gunakan pada metode persegi panjang, kita sekarang memiliki.
I
I
=
; r 0.1[(0,22 + 0,36) + (0,36 + 0.-{6) + 10.-16 + 0.65) + (0,65 - 0,66)].
Ini akan disederhanakan rnenjadi,
r = o,r[]ro,z2; + 0,36 + 0,46 + 0.65
- l,u.uu,l
Mungkin mengejutkan bahwa metode trapesium itu seperti metode persegi panjang, kecuali bila Anda hanya menggunakan sebagian titik data pertama dan data teraikhir untuk metode trapesium. \{odiflkasi sederhana ini sering menghasilkan suatu pertambahan besar di sisi keakuratannya. Bandingkanlah sei-sel di baris 18 pada Gambar 5-10. Dalarn contoh eksponensial yang menurun, Anda dapat nielihat bahwa persegi panjang kiri nrelakukan estimasi yang berlebih dan persegi panjang kanan rnelakukan estirnasi di bawah nilai integralnl'a. Bagaimana cara mendapatkan estimasi yang terbaik'l .\pabila salah satu metode begitu berlebihan dan metode lainnya kekurangan, Anda dapat nrencrrba nrengambil nilai rata-ratanya. Lihatlah ke baris l7 dan l8 di Gambar 5-10. Anda akan nrenemukan bahu,a nilai rata-rata antal'a persegi panjang kiri dan kanan akan menghasilkan rnetode rrrperiunr. Jika Anda memikirkannya sejenak, Anda akan menemukan bahwa inilah yang Anda inginkan Be_sinilah cara kerja rnetode trapesiuml
Kaidah 1/3 Simpson Kaidah Sinrpson beeitu sederhana dan cukup akurat. Kaidah
l/3
menggunakan polinomial orde-
5.2 lnteqral kedua (kuadrat atau parabola) melalui tiga sama. Integral 1 dapat didekati sebagai,
titik yang
1lt
I = 1J It l, * 4)i.r
+ )i,2
berdekatan, dengan jarak
.rni.:. :: f. ..---
)Ar.
a
-
r=1.-1.5.
Ar dapat dikeluarkan dari penjumlahan dan digunakafl .itr;_r:. pengali tunggal setelah operasi penjumlahan, sebagaimana telah dijelaskan sebelumnva. Juir:.,,.lajur adalah genap dengan index I merupakan bilangan bulat ganjil. Persamaan (5-6) dapat dituli.k;r menjadi bentuk yang lebih baik untuk keperluan penggunaan di lembar pengolah angka. ,\rnatilr: bagaimana persamaan ini diimplementasikan di dalam buku kerja INTEGRAIION. Pada saat Ar bernilai konstan, maka
,= b-n ,
,r'o +41', +
2y,+4yr-t2y-,*...*4y,,_, *y,).
(
5-6r,
Di dalam Persamaan (5-6a), konstanta a dan b masing-masing adalah limit awal dan akhir, dan n adalah jumlah lajur vertikalnya. Kaidah 3/8 Simpson Kaidah 3/8 Simpson memiliki kemampuan untuk memberikan hasil yang lebih baik, narnun di beberapa kasus justru tidak lebih baik, atau bahkan lebih buruk daripada kaidah l/3. Anda mungkin dapat melakukan yang lebih baik dengan menggunakan pertambahan yang kecil di kaidah l/3. Kaidah 3/8 menggunakan polinomial orde-tiga (kubik) melalui empat titik yang berdekatan dengan jarak antara titik yang sama. Jika jumlah titik data adalah n, maka integral 1 dapat dibuat sebagai,
1 ri3 6
(5-l
i=t,+.r.
.
=ii:-lr il-ll:;'el
IJ
:I:JK
Comparison of Rectangular. Trapeaair{al. and $ilnps*n'* 1J3 Rule
tHTt6FATrCr|t.XtS
n
t$ J.BCDt$l 0.rr)m(BD t ln n.904637 o{]gndffi7 (.:{ Il Blgi?31 0 ffi18731 {lB 07?tliEjg BtgrlFlB nrn t.rro:z: n*:lo.::c
$ugi b* ar ev*n pis{rYe trlElal
B
6
I
g 1G i11
o.rtr: B.ro6g::t o m(l;itr
1t
0lB 0.4s05s5 B fidffisB5 crm' o,td93x orlig:lzg
i6
o ss' c 't c,r:, 0
16
1
:2
!I
3
3l
*8167?1 , rl.B545!q21 ft7dil81B, t] Rg67lf,8
I_mr$20
$6:t11.]:ft.0446ffit-l onorE:t ,n tr8lfi7r:a
n ffij16531
I
anoeril [ [rmaru :eitru rj tr:elstt
i
I
Ll03{:11194
tgrg:q rr [ias:e:
Bi01 t94
il.,133211 ,0.0.{43628 c{13.11194 0ll3l0tgri 0.02725-?n {-r 138:76
1.D2"t1112
B. 1,1,
1.61 0.201657 rl Ctnl!a97
I
?2, 23 14.,
)\
?6.
1
l:r[ 'r.Hl
0
c]i82684 il.1E5is9 D 149i69
1.5r1 2 D0 $ 135115
l;
Ds7Bl8
27ii552 D CA725:: r dB c.:d6597 BD:i0557 'r F'i] C?2313:r fl.0?:t130
l6
B5cB612 (l B3658r.{ oasm6-g ru.E66it r:]4n5r]?!: D 829!55: t,rool:o' o aelzml
D54SB1?
1.0499535 , 0,14!329 3 0406570
l(r C.r332rl1 0033:B7r
'r.i0 rJ3urlF!
m0€3r
t.c61*731 iJ.074tB1t
il.r:46597 0.0tE4SA
,.02465S1 0.:r3 r 30
i
0 Dl61$8,1
63t84 0.tr241578 o ut tnlol ,
1.:80 1.i:D!l
^j
L
0.880
il t8tl
'l0rB:69,,
0.81
t alss:w:
!.tt0
t.*ta*as
e.trld?569 0.01rJ9425 o.BM7}i6s'o.og{r1r""
0.2{:0
i
0R]65295 D0id9$19
fi .. J7:3] -.rn {.1 mFi50 7 0.cr2t1$s/ 0.813dt9$
Dxl1Bg;
EXPI-Xl
nlEsTqq
,0D51-15
'r861d,1 14t21t 1't t- t65]15: 0 a546rri2 : . " 0i64iE4t JE6,tt64? 13646tdi0.s6466.1i .i;'..1r. f ; l l,r ; jl i, -:.i-i'..,I1 :1'jr.iiijil,l r; l'iliJ.'lrT I'i _--_--ffi
B.il00
r.l
2$ 29 9i:)
|.
r
l
..............*..l.._..........J
Gambar 5-13. Buku kerja ini menghitung integral eksponensial menurun dengan bantuan empa: kemudian membandingkan hasilnya dengan kalkulasi analitis eksak.
-:::,::
t
Bab 5: Diferensial dan lnteqral
a1
n.silB$ls4, l].*?:'rsl$ tl 8646047 8.fi6,16647 f,. *t fffirurlt ft*r?r*,rs -4 *1fiS*ufi Iight Lrt
!l
28 29 30
il ns53fi5: il fi6{685: 0.86466.{7 0.fifi4$647 "*, il
*t *l i ,*, l '",'*, Ilr)..t.j1,./9
;
1r*t:ezoi,Jal
Reutantular ft**tanqular
31
!L!'till
Sim*x*n
Gambar 5-14. Perbandingan hasil empat metode integral numerik dengan hasil yang eksak. Perhatikan penggunaan catatan sel (Comment) di sel "EXACT" dan sel "Simpson".
Merode ini tidak ditunjukkan di dalam buku kerja INTEGRATION dan memang sengaja tidak diberikan sehingga Anda bisa lebih menikmati menyelesaikan sebuah permasalahan sendiri. Anda dapat belajar lebih banyak dengan mengerjakannya di buku kerja, sama seperti ketika Anda mempelajari sebuah bahasan mengenai mesin mobil.
Contoh analitis Marilah kita menghitung sebuah integral untuk mengingatkan kembali mengenai hubungan antara metode pendekatan numerik dengan metode analitis di kalkulus. Di dalam buku kerla INTEGRATION-101, Anda dapat melihat tampilan Gambar -5-lzl yang mernperlihatkan perbandingan dari tiga hasil numerik dan hasil eksak. Nilai eksak dari integral adalah.
r=fexp(-x)dr
(s-8)
Persamaan tersebut merupakan sebuah integral tertentu tingkat dasar dan dapat dievaluasi sebagai,
,= 7
=
:exp(-r)lf ]1{.*n{-l) -
=
I
1l
=
[.*nf-r) 1
- exp(o)].
- exp(-l) = 0,6321206...
Nilai yang diberikan di Persamaan (5-10) digunakan di baris
(s-e) (s- 10)
17 dari buku kerja INTEGRATION-
10i. Ini pun ditunjukkan di Gambar 5-10. Untuk baris 28 di Gambar 5-13 (buku kerja INTEGRATION). kita hanya perlu mengubah limit integralnya untuk mendapatkan hasil terhadap x = 0 hingga ,r = 2:
I = +exp(-x)
;fr
= _+ [exp(-2)
- exp(O)] = 0,8646641..
(s- 1 1)
Hasil-hasil analitis ini digunakan di dalam Gambar -5-10, 5-13. dan 5-1,1 untuk nilai yang "eksak". Bu.is dari logaritma natural e adalah bilangan yang transenden (bilangan yang tidak begitu jelas) .ehingga kita tidak bisa mendapatkan hasil eksak yang sempuma bahkan ketika kita menggunakan x.ilkulus. Pada tahun 2002, nilai e dihitung untuk lebih daripada t010 digit desimal. Ini biasanya .iJ:h cukup kecuali untuk mereka-mereka yang meminta lebih. Bll;rngan rransenden favorit kita, r, memiliki daya tarik mistik bagi orang-orang selama :b-,n iahun dan bilangan ini telah mengalami perhitungan jumlah desimal yang lebih banyak r.:inrtr.ins t,. Film tlksi ilmiah pemenang penghargaan, Pr, yang ditulis dan disutradarai oleh D;:ren \r,rntri.kr. tersedia di www.Amazon.com.
5.3 Movino averaoe
5.3
Moving Average
Apakah Moving Average itu? Moving average adalah suatu bentuk integral sekumpulan data atas sebagian dari kumpulan tr'i-r'r -.. biasanya dalam waktu yang singkat. Bentuk standar integral ini memiliki satu buah nilai ren"-. hasil akhir, namun moving average menghasilkan kumpulan data baru sebagai hasil akhirnr,
Apa yang dilakukan Moving Average? Moving average memodifikasi kumpulan data asli, bertindak seperti filter elektronika lrekucn.r rendah, karena menghilangkan frekuensi tinggi dari data as1i. Dengan kata lain, moving o\ertlr' merupakan sebuah proses pemulusan yang membantu meminimalkan perubahan cepat. Sisi buruknr.' adalah Anda mungkin akan kehilangan sesuatu yang penting demi mendapatkan hasil yang mulus Termasuk pula jeda waktu keluaran atau perubahan fase pada saat memroses data periodik. Halhal seperti ini akan menjadi jelas pada saat Anda menggunakan buku kerja. Moving average di dalam EXCEL merupakan sebuah tipe khusus yang mencoba memperkirakan nilai dari titik{itik data berdasarkan nilai rata-rata di beberapa titik data awal yang sama sebelumnl a. (Berhati-hatilah dengan segala sesuatu yang berkenaan dengan memperkirakan masa yang akart datang). Di bagian akhir, kita akan membahas mengenai moving average yang biasa dipakai untuk memuluskan dengan cara mengaturnya tanpa membuat perkiraan.
Siapa yang membutuhkan Moving Average? Mungkin Anda menyadari bahwa dunia itu sesungguhnya penuh dengan gangguan, merupakan tempat yang berantakan, dan mengeluarkan data-data yang penuh gangguan dan berantakan (noisr'). Cobalah membayangkan data yang mengganggu itu sebagai sebuah ilmu dan seni. Seluruh insinyur dan ilmuwan membutuhkan bantuan untuk mengambil informasi dari data yang mengganggu tersebut.
Orang lain juga menggunakan moving average.
Di
Internet Anda dapat melihat moving
average dalam bentuk diagram harga saham, harga kopi, dan banyak lagi.
Fasilitas analisis moving average
di EXCEL
berada
di
dalam Analysis ToolPak. Moving
average adalah contoh yang baik untuk pemakaian sederhana aritmetika dasar di EXCEL. Kliklah [Tools][Data Analysis] dan Anda akan melihat kotak dialog Data Analysis seperti di Gambar 5-15. Sangatlah mudah membuat tool moving average untuk keperluan Anda sendiri, namun EXCEL mengikutsertakan beberapa fasilitas lainnya yang lebih mudah digunakan. Seperti telah dikatakan sebelumnya, moving average muncul berdasarkan nilai rata-rata data di titik-titik tertentu di bagian awal data. Moving average menyediakan informasi mengenai kecenderungan atas suatu nilai rata-rata sederhana dari seluruh rekaman data yang akan "disapu". karena nilai rata-rata sederhana ini berupa sebuah bilangan tunggal. Anda dapat menggunakan moving average untuk memperkecil gangguan dalam data, ntent-
perkirakan penjualan, inventori, maupun bentuk-bentuk kecenderungan yang lain. Lihatlah ke Bagian 8.8 untuk rumus yang digunakannya. Klik Moving Average di dalam kotak dialog Data Analysis dan Anda akan melihat sesuatu seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 5-16.
Kotak dialog Moving Average lnput Range Masukkan referensi sel untuk range data yang ingin Anda analisis. Range harus terdiri kolom tunggal yang memuat empat atau lebih sel data.
Labels in First Row Pilihlah jika baris pertama input range Anda memuat label. Hilangkan tartrlti ,,
i.r.':
i"::
:,
Bab 5: Diferensial dan lntegral
&nalysis Tack
Rankand Fercentil* 5ampling
l-T*st: Pair*d Ttrrr $ampl* inr" l{**ns b-lestr Two-Sanrpl*,0,ssuming fqual Varianres t-Tesh Trvr-5ampl* *ssuming Unequal V*riarrces ?-T*str Trr* Sampl* L:r lvlrans Gambar 5-15. Kotak dialog Data Analysis di dalam menu [Tools][Data Analysis]. Klik OK untuk memilih Moving Average dan melihat tampilan di Gambar 5-16.
inpul'"'' lnFxt fton$*r
il
Lab*ls in First
R.or,'{
Inleru*l: Oulput
l3
oF'tions
&utput Rang*r
-
ht I$c$rr$c$es
ra
Click here to change range
JV gns* sutput
Gambar 5-16. Kotak dialog Moving Average dengan Chart Output dan Standard Errors dalam kondisi terpilih. Masukkan range der,gan mengetikkannya di dalam kotak atau dengan mengklik lokasi munculnya.
Do.r)
bila input range Anda tidak memiliki label; EXCEL rnenyediakan label data yang cocok
untuk clutput tabel.
lnterval \Ia:ukkan juntlah bilangan yang akarr Anda ikutsertakan ke dalarn moving average. Nilai inrerral aualnva adalah
3.
Output Range \lu.ukkan ref'erensi untuk sel di bagian kiri atas tabel hasil. Bila Anda rnemberi tanda cek unruk Srendrrrd Errors. maka EXCEL akan menghadirkan tabel hasil dua-kolom dengan nilai
5.3 Moving average standard error di kolom kanan. Bila terdapat rekaman data yang ticlak mencukupi untuk rn3l..-. -peramalan atau perhitungan kesalahan standar, EXCEL memunculkan nilai salah +\i.\. Output range harus berada di dalam lembar yang sama dengan data yang digunakan di i.:.:.: input range, sehingga pilihan New Worksheet Ply dan New Workbook tidak tersedia.
Chart Output Pilihlah ini untuk menghasilkan
sebuah histogram yang menyatu dengan tabei hasil.
Standard Errors Pilihlah ini jika Anda ingin menyertakan sebuah kolom yang memuat nilai standar eror
kr.
dalam tabel hasil. Buanglah tanda ceknya bila Anda menginginkan kolom tunggal untuk tabel hasil tanpa nilai standar error.
Untuk informasi lebih lanjut mengenai pilihan-pilihan di kotak dialog Moving Average. kunjungilah menu Help.
Mari kita terapkan moving average di EXCEL untuk sebuah sinyal yang terdiri dari pulsa segitiga dan kotak. Pulsa segitiga berubah secara cepat (memiliki bandwidth yang lebih kecilt ketimbang pulsa kotak. Hasilnya ditunjukkan oleh Gambar 5-17 untuk proses 2 titik dan 3 titik. Perhatikan bahwa distorsinya bertambah pada saat dimuluskan. Selanjutnya, mari kita menerapkannya terhadap sebuah segmen di gelombang sinus, seperti ditunjukkan oleh Gambar 5-18. Segmen sinus ini merupakan sinyal yang relatif sempit ukuran pitanya. Perhatikan fase selanjutnya dari data prakiraan yang relatifterhadap data asli. akan nampak amplitudonya berkurang.
.....i
1
;* .i.. S.'
.
I,HHt
=A\?FP4'iF'H
{ l
o 2,Poinr ldoving Aver*ga
6 'dOVE.AVG.XLS
?
I )rtntar
3 4.
t!, ':11
5
0 #!1A #{IA 0 n #\liA rlfi0 rl 851 n1fi5534 2ta l: 15 0s 3 2.5 05
jr:,
6
I
7
5 6
r
7
2 3
1
iB
4
.
' tt
6
i 14.
ia
tr:
'15
U.J
B5
0
g
l!6-
l
tl5
11
12 14
::!
ff.5 }-Poilrt H*\rirl( &\is{ aU$
1
0.5s35534 0.3535534
il
5
0.3535534
15
0
16
U
tt r33,
17
0
tl
t0
U
fi
1S
D
U
0 n 0
2a
30
ll
0
0
,,r\ .
0atn Poirlt
10 1n
't3
.19
1r '1S 21
i
r1.3515534
fin
10
!
i
'I tl
u u J5555i4
0nta Paint
Gambar 5-17. Moving average menggunakan interval 2 titik dan 3 titik dengan menggunakan fas :as EXCEL. (lni adalah proses prakiraan). Perhatikan Tabel Error di kolom D.
Bab 5: Diferensial dan lntegral
$Point Moving Awrage
7
g
11\ \3
15 1?r/19 21
23
Data Point
Gambar 5-18. Fasilitas moving average EXCEL diterapkan ke sinyal uji coba sinus yang mengalami gangguan. Perubahan fase dan distorsi amplitudo karena pemulusan terlihat dengan jelas.
3-Point Maving Awrage
() 3
(ou
Data Point
Gambar 5-19. Diagram ini menggunakan data yang sama dengan Gambar 5-18, namun gangguan acak ditambahkan di sini. Amatilah upaya pemulusan yang dilakukan oleh moving average, disertai dengan perubahan fase yang tidak dapat dihindari dan distorsi amplitudo.
Sekarang marilah kita lihat bagaimana tampilan moving average untuk segmen gelombang ..rr--. \itng santa. namun dengan tambahan gangguan yang acak. Gambar 5-19 menunjukkan
--,t::ti,:r'i.1 rntrrins average berkurang secara acak dengan mengurangi frekuensi-frekuensi tinggi.
D: Ci:rthrr 5-19.
dengan menggunakan -sangguan acak ditambahkan
RAND0-0.5. Ini
akan
::::._lr.;.:.k.Ln konJi:i acak antara -0,5 dan +0,5. Pada saat Anda melihat lembar kerja dengan j:r.!i-*r ri.rk di dalantnva. tekanlah Tombol Fungsi F9. Ini akan mengkalkulasi ulang lembar r;i'; j:i.::tr:h.r.ilkan rekLrntpulan gangguan acak baru. Tekanlah F9 berulang kali kemudian
5.3 Movinq averaqe amatilah aksi yang dilakukan oleh moving average. Lihatlah Bagian 8.9 untuk mense:;:.-. :--.dalam mengenai fungsi lembar kerja RANDQ.
O Weighted averaging Moving average di dalam EXCEL merupakan sebuah kasus istimewa clari proses w.eighretl .1i r ri. -'r (merata-ratakan bobot), dengan kondisi bobot data yang setara. Untuk bobot yang setara. nttrrr;t,j average kadang-kadang dinamakan pulajendela geserkarena kondisinya analog dengan memandlnS. sebagian kecil urutan data melalui penggeseran jendela. Bobot yang setara mengasumsikan bahs.r seluruh titik data memiliki validitas yang sebanding, namun yang seringkali teiadi adalah bagianbagian penting dari data di awal mengecil pada saat Anda melihatnya kembali, atau berada jriuh dari data yang akan diamati dalam data dua atau tiga dimensi. Weighted average ditujukan untuk menjawab kenyataan seperti itu dan mengatur nilai bobot sehingga titik data terkait dapat lebih berpengaruh daripada data yang letaknya begitu jauh. Bagaimana agar bobot dapat diatur? Banyak orang bekerja untuk itu dan nama mereka (sepeni Barlett dan Parzen) disertakan ke dalam kumpulan bobot yang mereka temukan. Weighted average merupakan sebuah tipe dari filter data yang disebut sebagai respon irnpuls terhingga, karena sebuah bilangan terhingga dari titik-titik data digunakan untuk menghitung titik data yang cliamati. (Kita akan lihat lebih jauh mengenai resput intpul.s di Bab l2). Bentuk umum weighted average
diberikan sebagai, \'/,
= lyl.rl + tt2,r, + l[],r.r +...
(s- 12)
dengan,r',, adalah output hasil average yang kontemporer (contemporary), ru, adalah faktor bobot (weight) dan x,, adalah sampel n terakhir dari data. Marilah kita melihat beberapa contoh sederhana dari Persamaan (5-12) untuk dua titik clan lima titik average di dalam buku kerja SMOOTH-2. Tampilan utama buku kerja ini ditunjukkan oleh Gambar 5-20. Di titik data yang kedua, moving average untuk dua titik yang memiliki bobot setara adalah,
-lr=0,5r,+0,5-r, Sebuah contoh untuk dua titik weighted average, yang memberikan nilai awal kontemporer yang penting, diberikan sebagai,
l/3 dari
nilai
-r'r=0,25xr +0,75x, Lima buah titik moving average yang setara di kelima datanya .)-,
= 0,2r, + 0,2rr+
0,2"r.,
+ 0,2,r* +
adalah. 0,2x-r.
Total penjumlahan dari seluruh bobot harus sama dengan 1, untuk menghindari perubahan-perubahan terhadap sesuatu yang dianggap sebagai "penguatan" (amplifikasi). Dalam bentuk lain, total pen-
jumlahan kuadrat-kuadratnya tidak perlu sama dengan 1. Total penjumlahan kuadratnya ini berhubungan dengan vorian. Varian adalah ukuran kemulusan sebuah deret data. Varian biasanya didefinisikan sebagai kuadrat dari standar deviasi (lihat menu Help Excel). Perbandingan varian VR(ru) adalah ukuran kemulusan yang dihasilkan oleh weight avera-ge. n
VR(n'1=
I ,,'
(-5-lIr
Perbandingan varian sering pula dinyatakan dalam desibel, VR,,u@)
= l0
logrolVR(n)l
, -<-
1l
Eeb s.Q{elg4tql len
c
S,ata
SMOOTH.?.XLS :-
l
={$E$3*Dl /+$E$4*016+9E95"01S]/SUM($E$3 $E,5)
" ..c.
: -
llt
.."j
p- .
.
$moothi nfl wlttl ulfsl U\Ieiuht*
hapler h
ll*is*
ed Avera(Iers ifuise Arnplitud*
0 0?3su5
3
u.5
I
3
6 7
:
Tirne
$irxal
t1
-5
13
-4 -n
1{
a l
15 IB
-1
tr
-1il 18,
1 2 3 4 5 E I Lq
1S.
?0. 11
Signal
fFress F9)
11
:
2?, IJ
?4
25:
fi
n.18466,1
0.1fi353:
VARIANCE
t0
5" Itlormfilieation is lulnrrinn.&v h,.1 ar.Jtsmati(. 5ee f orrn{ia
Nr:ise
Floise
in cellEl?
CI CI.044437 0044417 n t"t 1fr?17fi t1.1fi3378 n 1*1?7t; 0 il.183376
rl
-n
01476
0 [,156693 n n r:**rt
a.166632
160?08
3-Faintr
+
avittklL
,5avilsky-
rlai
Salav 7
S
-CI.03478
0
158693
fi.124s71
0 "0"05s
-0.058 I
oo75z:rl oor4B5E 0 [?853S
-0.0fiS11
CI [.tr18fi42 t].01884: t,.028538 fl 041909 CI.r15't407 n.tl!4831
[ fi
0
0193578 0193578 0.0514t17 0 r:r875/1 0.141q53l] n.168971 0.233:83 0?3338S 0.148536 0 10:515 0 213975 0.:34155 il.2'r4$58 11.:14958 -l 0.213575 0.12tt513 ll 218153 8.25245)
D fi206113
0 0 0
[.]18153 0
CI21161i3
173338
0
0fi608s
8.117856
-D.162P, -0 16*'fi
0 08809 0 13/t148 t|083937 0 [483't9 0.2?6437 0.:26497 , 0.0s9s37 [.143631 cr.ll311?9 0.fi2$693 0 102fi3: 0 155:i58 0.1fi8i3 0.0:ssB2 0.[2sBs: [ 031 t;;t-^- / I
,
l3
)'r-f r( btr- /
^
l{l
Gambar 5-20. Tampilan utama buku kerja SMOOTH-2. Lembar kerja ini memuat beberapa fasilitas berguna yang dideskripsikan melalui teks. Perhatikan varian di baris 9. Perhatikan pula sel-sel yang diberi catatan (Comment), yang ditandai dengan segitiga kecil di pojok kanan atasnya. Letakkan pointer Anda di sepanjang sel yang ditandai untuk membaca keterangannya.
atilu.
V\r(n)
=
'o
r"s,,[i,,i]
(5- I 4a)
\Iarilah kita melitrat sebuah contoh sederhana dari perbandingan varian untuk dua titik moving a\erage. Untuk moving average dua titik yang rnemiliki bobot setara, perbandingan variannya adalah.
VR(2) = 0,52 + 0,5r = 0,5
.rilu dalam desibel, YRdu(2)
= l0
log,o(0,5) = -3,01 dB.
Sepeni telah dikatakan sebelumnya, kelemahan dari penggunaan moving average adalah data
.\jit nrenqalarri distorsi, namun ini adalah harga yan_e harus Anda bayar untuk n.rengurangi gangguan :,:r. i.io intertelensi sinyal oleh metode ini. Kondisi ini bagaikan seorang dokter yang mengobati t;.t3in\-r. Tuluun utarnanya adalah mengobati penyakit tanpa membunuh si pasien. Pada saat
.\;rir
:n.nrrLrrer data. ingatlah pernyataan yang dikeluarkan oleh Hippocrates (460-377 SM):
"Perirrrr. .lrnSan meninrbulkan kerugian."
5.4 Exponential soothinq Sebelum kita mendalami buku kerja tersebut, marilah kita mengalihkan perhatiilrl re-r3i; untuk mengulas kembali empat tipe fungsi lembar kerja yang berbeda.
TIPS
Excnl menghitung empat tipe varians: VAR, VARA, VARP, dan VARPA Fungsi lembar kerja VAR. VAR memperkirakan besarnya varians berdasarkan suatu sampelSyntax: VAR(bilangan1,bilangan2,...)
bilangan1,bilangan2,... adalah sampel dari sebuah populasi.
I
hingga 30 buah pernyataan yang berhubungan dengan suatu
VAR mengasumsikan bahwa pernyataan-pemyataannya adalah sebuah sampel dari populasi. Apahila data Anda mewakili seluruh populasi, maka hitunglah variansnya dengan VARP. Nilai-nilai logika seperri TRUE (BENAR) dan FALSE (SALAH), dan teks akan diabaikan. Apabila nilai-nilai logika dan teks tidak ingin diabaikan, pergunakanlah fungsi lembar kerja VARA.
VAR menggunakan rumus,
,,).t,i n(n
(?r,)' -
(5- 15
t
11
Fungsi lembar kerja VARP. Berbasiskan seluruh populasi, VARP menggunakan rumus,
(nlr; - lI,, ); --;-\i / I
(5-16)
Jacli, VARP dan VAR memberikan hasil yang hampir sama untuk n>>1.
Fungsi lembar kerja VARPA. Fungsi ini mengkombinasikan keistimewaan VARP dan VARA. VARPA mewakili seluruh populasi. Dengan VARA, nilai-nilai logika TRUE dan FALSE dan teks akan diikutsertakan.
5.4
Exponential smoothing
Excpr memiliki fasilitas untuk pemulusan eksponen sial (exponential smoothing) di dalam Analysrs ToolPak. Penggunaan exponential smoothing berbeda dengan penggunaan weighted average (yang menggunakan sejumlah titik data yang berhingga) karena exponential smoothing menggunakan seluruh data awal, dengan suatu waktu peluruhan eksponensial yang dapat diubah-ubah. Exponential smoothing merupakan kasus istimewa untuk kategori respon impttls tak berhingga. Fasilitl. bantu untuk memuluskan eksponensial memerlukan waktu yang singkat untuk bekerja den-san baik, sehingga proses ini memiliki lebih banyak "waktu untuk belajar". Hal ini ;kan menjadi jela. pacla saat Anda menggunakan buku kerja EXP-SMOOTH. Fasilitas exponential smoothing di Excel menggunakan rumus yang terdapat di menu Help Excel.
4., =
fi,
a,-,.,
l-1- l
Bab 5: Diferelsiai dan lntegral
F,-, adalah nilai prediksi mendatang dan A, adalah nilai prediksi sekarang. :.:'.'..r lasilitas ini memprediksikan nilai di titik yang akan datang t + l. Di dalam lembar pengolah angka, rumusnya diimplementasikan sebagai,
i;rj;n
F,*t = F, + a(A,- F,) .ir.nran n adalah faktor kelembaman, A, adalah nilai sekarang yang aktual dan
Perhatikan
(s- r 8)
{
adalah nilai
pretliksi sekarang. Besaran a menentukan seberapa cepat respon perrosesan data untuk perubahan
plda data utama. Nilai 0,2 hingga 0,3 untuk a merupakan faktor kelembaman (damping) yang dapat diterima. r\ilai awalnya adalah 0,3). Nilai-nilai ini mengindikasikan bahwa titik data prediksi akan diatur ketepatannya sekitar 20 hingga 30 persen untuk kesalahan di dalam aliran data utama. Sebuah konstanta terkecil menghasilkan respon yang cepat, namun ini dapat memunculkan prediksi yang rak menentu. Sebuah konstanta terbesar dapat memberi hasil dalam waktu respon yang tertinggal begitu lama dan detail yang melebur. Exponential smoothing merupakan faktor kelembaman yang sangat sensitif. Anda dapat memyariasikan parametemya dengan sekumpulan data dan mengamati efeknya. Seperti di Moving ,\r,erage, Exponential Smoothing dapat menghasilkan diagram secara otomatis. Klik [Tools][Data Analysisl[Exponential Smoothing] dan Anda akan melihat kotak dialog seperti di Gambar 5-21. Gambar 5-22 aclalah tampilan utama buku kerja EXP-SMOOTH; Tabel 5-3 menunjukkan struktur buku kerja ini.
pergunakan lembar kerja Anda untuk melakukan eksperimen dengan nilai-nilai faktor kelembaman yang berbeda, seperti yang telah dipilih di Kotak Dialog pada Gambar 5-21. Alat bantu Exponential Smoothing secara otomatis akan menulis rumus, menghitung error standar, dan memetakannya ke diagram. Marilah kita mengikuti bagaimana Excnl mengimplementasikan exponential smoothing ini. Sel E10 memuat rumus!
=0. B*B9+0 .2*89
Input -'-".
'- --
"'
lnput R*ng*:
l$o$*'*o$
[pr*pin* fact*r:
Ir: t',
kf
l-* Lsbelt *ulrrul *Ftion$ #,uQuL B*ng*:
tr$r$n'$r$r:: I I
lS 5l*nd*rd frr*rs
Gambar $21. (::a< i,a'og Exponential Smoothing dengan tanda cek di pilihan Chart Output dan Standard Er:r.s I s - -:-: Ra-ge-nya berupa data yang terganggu (lihat Gambar 5-14). Klik ikon di lnput Range dan O,ltpJt Ra-ge -.'ik renve eksi range baru. Cara lainnya, ketikkan range alamat-alamat sel di kotak-kotak yang tersec,a ramJn angan lupa untuk membubuhi tanda $.
5.4 E xponential soothinq
*-::: ;"-'l-., { t !t Y '.-
;----*-'---H Y. 1
EXP-ShrOOTH.XrS
L
L.ha0ler
Expon*nfial $nro*tiring *ata Analyris Tool
il
r
3
;
i
VARIAI',.ICE
5
Data Foint rl
.$..
l7 ;s
1
1
:
tt)
i
o.Tl Frnr:tir:n Ne F3 to chan 0.314119
0 0.1 0421 6 0 104316 *tJ/A ff rl.1 1 002? n.1 1fit129 0 U B n.?01?6r' 0 2812$7 U
r
12
, 13,
i14i
I
15
,lI t/
-[
fr'iJA
*sJ.,,A *{'l1A #{,'A :t; D #'J,'A 0 l[,1216 j 0 s{.,A 0.10596 #'j n *ryug 0.134552 s'j 0 0.169'lll 0i;ii-: B rD'
*vil, 0
0
(tdB1
0 431329
a9?1579 8.613284
0 0 [ 0
0 0 rl 0 r1.197923 0. t42833 a074221 0.423125 n.?1 6371 tr 195782 t] 6t9936 tr.262857 0 341539
r.t,lrs:
IU n.681639 0.2j13$4I -l:t??81' 11 0 E.{rdI1
0 47?i125
*{,1/A
tl
-0.ff616fi
u t3JJ3
0.1s161t
*{'l/A
0.24995
f-{--rffi'
0 H'?I 5 n n n4g&tr4 fr 0 .U, I JD6/ -[t 06188 LI I -0 1ff55 B fi.2,{f404 4
,-lg-l i1'1
tn-t$e-f
L"l
ll 0 01918,3 r] 1s5:5,: 0 CI06926 0138::0 t] 0w438 n 212,11 il -0 ff133 0 l2EElii 1
il
14?839 rl CI33262 u'i5J-lii
ll ?741114 0 r525SZ 01496:l {,}S21StJ B 3863161 ir.5125rl';
Gambar 5-22. Tampilan utama buku kerja EXP-SMOOTH. Tampilan ini memuat data tanpa gangguan di kolom B, data terganggu di kolom C dan data + gangguan (nolse) di kolom D. Dua buah faktor kelembaman digunakan terhadap data tanpa gangguan dan data terganggu. Perhatikan varians di baris 4 dan rumus untuk gangguan acak di sel C10. Menekan Tombol Fungsi F9 akan menghasilkan sekumpulan gangguan baru. Rumus yang membangkitkan gangguan dengan menggunakan fungsi RANDQ ditunjukkan di kotak editor rumus. Rumus $E$2"(RANDQ*'1-0.5) membangkitkan urut-urutan gangguan dengan amplitudo 0,5 dan nilai tengah yang nol lngatlah untuk mengikutsertakan tanda kurung kosong pada saat menggunakan fungsi RAND0.
Tabel 5-3. Struktur buku kerja EXP-SMOOTH. Se/
/sl se/
lnformasi sel
E2
Amplitudo gangguan
Bilangan. Tipikal:
B6
Data tanpa gangguan
1
Data dimasukkan oleh pengguna
C6
Gangguan acak bernilai tengah nol
=$E$2.(RANo0.1-0.5)
D6
Data + gangguan
=B6+C6
E4
Data tanpa gangguan yang telah dimuluskan, a = 0.2
Data dimasukkan melalui kolom B
Kolom F
Errorstandar, a=0.2
Dibangkitkan secara otomatis
Kolom G
Data tanpa gangguan yang telah dimuluskan, a = 0.7
Data dimasukkan melaiui kolom B
Kolom H
Errorstandar, a=0.7
Dibangkitkan secara otomatrs
Kolom
Data terganggu yang telah dimuluskan, a = 0.7
Data dimasukkan melalui kolom D
Errorstandar, a=0.7
Dibangkitkan secara otomat
I
Kolom J
s
yang mengambil 80% data tanpa gangguan di sel 89 dan menambahkannya hingga ll)', ' * prakiraan awal data di sel B9. Ini merupakan prakiraan untuk sel E,10. Fasilitas Exponential Smoothing di ExcEr- secara otomatis rnenghasilkan suatu ke.,,.:-(enor) yang diperkirakan berada di dalam sebuah kolom yang berdekatan (kolom F. H. :.: . Garnbar 5-14). Sebagai contoh, di dalam sel FlO Anda akan menjumpai runru\.
92
Bab 5 Diferensial dan lntegral
Exprnential$mrnthing, a
:
[.7
r1 v* 85 32 39 106 113 1?n
1
-[.5
-1
nata F0int Gambar 5-23. Sifat integral dari sebuah upaya memuluskan penurunan amplitudo dan perubahan fase gelombang sinus. Perhatikan buntut akhir Forecast setelah gelombang sinus aktual berhenti. Pemulus gelombang membutuhkan waktu untuk "mempelajari" dan "melupakan". Pulsa mengalamr kenaikan dan penurunan secara eksponensial, yang kemudian menjadi semakin buruk dengan tampilan pulsa pendek-pendek. Pulsa terakhir adalah titik tunggal, sebuah "fungsi delta". Fasilitas Exponentral Smoothing melakukan sesuatu seperti menyaring
frekuensi rendah, kecuali untuk sifat Forecast ini.
=SQRT ( SLMXMY2 (87 : B9
,81 :89 ) / 3 )
yang akan menghitung kesalahan dari prakiraan (sel El0) dengan nilai aktual (sel Bl0). Perhatikan: SUMXMY2(B2:B5,F2:F5) adalah fungsi lembar kerja yang mengembalikan hasil penjumlahan dari perbedaan kuadrat nilai-nilai yang berhubungan di dalam dua buah arrar- (lihat menu Help untuk fungsi ini). Akar kuadrat dari perbedaan kuadrat, rata-ratanya sebany'ak 3, menghasilkan kesalahan di kuadrat tengah. Gambar 5-23 menunjukkan sebuah contoh data tanpa gangguan yang sudah dimuluskan, a =
0.7. Sinyal aslinya akan mengalami distorsi. Distorsi-distorsi ini berupa amplitudo tersendiri dan fase eror yang dihasilkan dari filter frekuensi rendah. Gambar 5-2,1 menunjukkan sinyal tanpa Sangguan dan sinyal serupa yang mendapatkan gangguan. Gambar 5-2-5 menunjukkan pemulusan tr'rhrrdap sinyal yang terganggu. Perhatikan reduksi varian yang diakibatkan oleh pemulusan ini di .1-rl.rm lembar kerja Anda.
O Tipe-tipe integrator khusus .\o, i'eberlpa penggunaan integrator di dalam software maupun
hardware. Contoh, beberapa pirl-ltri1lr,,1 .i:Iem menssunakan integral masukan atau keluaran sebagai pengontrol sinyal. Tidak .eper: :"'iirtr. prediksi exponential smoothing di Excrr-, sekarang akan ditunjukkan bagaimana
5.4 Exoonential soothino
6rta aild Ncire
4
q.5
Saln
Ptillr
Gambar 5-24. Gambar inr menggunakan segmen gelombang sinus dan kumpulan pulsa yang sama dengan Gambar 5-23, namun ditambahkan gangguan ke dalamnya. Data terganggu itu diletakkan di atas data tanpa gangguan. Tidak ada proses pemulusan yang dilakukan. Tekan Tombol Fungsi F9 untuk mendapatkan gangguan baru. Buku kerja EXP-SMOOTH menunjukkan data dan gangguan yang sama pada Gambar 5-23 dan 5-24 dengan exponential smoothing, a = 0,7. Baris 4 buku kerja ini memperlihatkan beberapa varians.
membuat sebuah filter untuk menghasilkan keluaran )', yang sewaktu (bukan sebagai prediktor) berbasis rata-rata eksponensial dari masukan terkini.r, dan keluaran sebelumnya -)',_1. Di sini. A-= l/a (a adalah faktor kelembaman untuk pemulusan eksponensial prediktif di Excol).
r,=1-r,-(,-i)r'.
(-5-l9r
Pada saat k bernilai kecil, perata-rata eksponensial dapat melacak perubahan sinyal lebih ceplt daripada algoritma rata-rata persegi panjang. Setelah perata-rata eksponensial bekerja, untuk sejumlah sampel ,? yang iauh lebih besar daripada k, perbandingan variannya diberikan sebagai,
yR(k)
I
2k-l
untuk n >> k.
(
5-l(
|
Ini merupakan filter kecil yang menarik karena lebih sederhana untuk diimplementasikan di drh::r lembar pengolah angka daripada perata-rata bobot dan lantaran telah rnemiliki rr'nAtrr ltt'it;...' sebelum beroperasi secara efektif. Perata-rata eksponensial di Gambar (5-19) iuga S&ng0t sederh;i: untuk diimplementasikan ke hardware karena membutuhkan hanya satu penampungan. Gambar -5-25 menunjukkan hasil penerapan perata-rata eksponensial untuk /r = ,5. Ini rtlil.ii:r. .filter yang baik, artinya tidak akan ada keluaran sebelum masukan diberikan. namun kelu"-r.:.: .. tetap ada setelah masukan dihentikan. Kita akan mernpelajari filter-filter dari perspektrr FF-i -
Bab 12.
Bab 5: Diferensial dan lnteoral
llR Exponentlal Averager, k e 5
q E
fifi -"
.: E
Data Fr}int
Gambar 5-25. Perata-rata eksponensial diterapkan terhadap sebuah pulsa yang terganggu, untuk k 5. Garls = putus-putus: pulsa yang terganggu. Garis bernoktah: pulsa terganggu yang telah dimuluskan. Garls biasa: pulsa tanpa gangguan.
Tabel 5-4. Stitik dan Ttitik untuk fungsi-fungsi equal-weight dan Savitsky-Golay Equal-weight 5-titik
Savitsky-Golay 5-titik
Equal-weight 7-titik
0.2
-0.0857 o.3429
0.1429
02
0.1429
0.1429
o2
0.4856
0.1429
0.2857
0.2
0.3429
0.1429
0.3332
o2
-0.0857
0.1429
0.2857
o.1429
0.1429
0.1429
-0.0952
5.5
Savitsky-Golay 7-titik
-0.0952
Fungsi-fungsi Savitsky-Golay
Fun-gsi-tlnosi Savitsky-Golay diturunkan untuk memberikan prose
5.5 Funosi-funqsi savitskv-qolav Savitsky-Golay 5 Polnt
-i'l
)
i3i
{r.l
Time
Gambar 5-26. Fungsi Savitsky-Golay Stitik memuluskan pulsa terganggu. Perhatikan bentuk paku yang berada dekat ujung-ujung pulsa. Bentuk paku rni bagaikan artifak dari fungsi yang mulus. Pulsa asli yang tanpa gangguan juga dipedihatkan.
savitsky.Golay 5 Psint
r0R
1:f]
Time
Gambar 5-27. Fungsi Stitik Savitsky Golay diterapkan ke pulsa tanpa gangguan. Amatilah paku-par- :--:lonjakan-lonjakan di ujung-ujung pulsa, hal itu terjadi karena proses pendiferensialan sifat fungsi rn ::- : negatif di ujung-ujungnya). Oleh karena itu, fungsi{ungsi ini menyediakan estimasi least-mean'sc-.'. ----' sinyal yang terganggu.
96
EeqlQil,eErcreLle! !!!esre!
TIPS ''t.
t.^ilterr" nterupakan bagian dari kumpulan data yang berada jauh dari kondisi normal dan i.:.idns oleh kebanyakan operasi pemulusan. Berhati-hatilah pada saat memuluskan clata-data :i.perinten. Bisa
saja Anda gagal menerima hadiah Nobel karenanya. Terlalu banyak melakukan pcmulusan juga berisiko karena akan mengabaikan outliers. Outliers mungkin saja memuat intornrasi yang penting.
Pada tahun 1974 sebuah komunitas dari Stanfbrd LinearAccelerator Center and Lawrence Berkeley Laboratory (SLAC-LBL) memimpin sebuah studi rutin terhadap pemusnahan positronelektron sebagai fungsi energi. Energi total ditambahkan secara bertahap sebesar 200 MeV dan penampangnya diukur untuk setiap pertambahan itu. Penampang tersebut sesungguhnya bernilai konstan kecuali untuk suatu outlier yang mendekati 3,1 GeV yang memiliki lebih daripada dua standar deviasi terhadap nilai tengahnya. Probabilitas untuk menemukan sesuatu yang memiliki lebih daripada dua standar deviasi atas nilai tengahnya adalah kurang daripada 5 persen. Beberapa orang, dan di banyak proses memuluskan data. akan mengabaikan atau menghapus titik data yang seperti itu. Komunitas di SLAC-LBL tidak mengabaikan hal semacam ini. Pengukuran yang hati-hati memperlihatkan bahwa mereka berhasil menemukan partikel baru yang saat ini diketahui beracia pada kondisi antara quark dan antiquark. Pada tahun 1976 hadiah Nobel fisika diberikan kepada Burton Richter dan Samuel Chao Chung Ting atas upayanya ini.
5.6
Menggunakan Trendline untuk data yang terganggu
Analisis terhadap data yang terganggu adalah tugas umum yang dihadapi sehari-hari oleh para insinyur, ilmuwan maupun orang lain. Ada sejumlah besar ilmu pengetahuan yang membahas n.rengenai ekstraksi informasi dari data yang terganggu dan mayoritas memuat matematika tingkat lanjutan. Jika Anda memiliki sekumpulan data terganggu yang dipercayai muncul dari sebuah
proses tertentu, maka Anda dapat mencoba menggunakan pilihan Trendline EXCEL di dalam Chart Wizard untuk melakukan estimasi terhadap beberapa informasi. Hal ini terasa cepat, muclah dan begitu produktif. Silakan klik menu Chart kemudian klik di bagian Add Trendline. Marilah kita memperagakan penggunaan Trendline. Anggaplah Anda memiliki sekumpulan data terganggu yang tunggal dan Anda percaya bahwa ada satu proses tertentu yang menghasilkan gangguan. Marilah kita coba memahaminya berdasarkan sesuatu yang sederhana, seperti sistem nrekanik atau elektrik yang kembali ke kondisi kesetimbangan setelah terjadinya gangguan. Ini hi.a dicontohkan sebagai sebuah peredam kejut pada mobil atau sebuah ran-gkaian elektronika JenSan peluruhan karakteristiknya yang eksponensial. L'nttrk proses peluruhan karakteristik secara eksponensial, kita akan menentukan waktu sebuah '1'r!'n] Irekallik untuk turun menjadi lle dari pergeseran awalnya atau tegangan yang melewati 13'r'trrr di dalam rangkaian RC untuk turun menjadi lle dari nilai aualnva. Di sini, e adalah basis ddn logirritnla natural, 2,1 1828... Waktu karakteristik ini dinamakan konstontct waktu t (sebuah hurui \.unlni rang dibaca tau). Pada saat gangguan muncul. cukup sulit untuk mengukur konstanta ri;ltu atrLt rtlenentuk:rn sebuah nilai yang dapat berguna untuk menentukan batasan suatu integral di barr,h kurr anr l. \lensambit nilai diferensialnya hanya memperburuk keadaan karena difereniial justru mensha:ilkan oansguan. Moving average. exponential smoothing. maupun proses-proses sejenis lainnre tidak begitu membantu karena terjadi pertukaran fase dan distorsi amplitudo yang tidak dapat dipirahkan.
5.6 Menggunakan trendltne untuk data vanq terqanqqu
ts
-l
=i=tiAl,l00'$t$6-0.'${]$ri
i.ABrc,DE.rG uiing riinotine iJ rniasitte ru*isy Data it I 'ineuutqtrennl. Chapter 5 Press Function Key FB to change nois* sequence t
t':
4 5 6
-s --, a.-i ^.
'
Constantl
Time Noise AmplituO.l
7
0-5]
l?
T'ME
-q
I
10
Manual calculation is {tl'.j
tnitiatvatue[-----Tl
5:89:14762
,
11 .t .)
014..756147 -0.38948 4.366671 1 s 0
3
3
4.52418V -0.62106 3.S031 25S 4.30354 0.980216 5.2837662
a.4 4.0s3654 -0.7745 3.3191549 0.5 3.894004 0.069177 3.963181 15 0 6 3.704091 -0 18%7 3.5146239 a.7 3.53344 -0.33429 3.1 891 541 ib rl li r I \r'rain { cturtr I c},arr: / sneerS / t3
,
14
lrl
Gambar 5-28. Tampilan utama buku kerja TREND-INTEGRAL. Lihatlah Bagian 8.9 untuk informasi mengenai fungsi lembar kerja RAND$.
Trendline with Noisy Data
y=
$9-0'6361x
R2 = 0.8336
E4
\-..--,li
! o. >j
nt
t.t TimB
{61
Gambar 5-29. Garis bernoktah: data terganggu. Gars tprs: data asli yang tanpa gangguan. Garis teba estimasi trendline. Persamaan untuk trendline pun ditunjukkan, bersama dengan nilai R2 (layak digunakan Tekan Tombol Fungsi F9 untuk membangkitkan gangguan baru, trendline baru berikut persamaannya. Pergunakanlah persamaan trendline ini untuk melakukan estimasi integral dan turunan melalui kalkulus analitis.
Bab 5: Diferensial dan lnteoral
Di dalam Bab 3 Anda telah mempelajari fasilitas Trendline EXCEL yang memungkinkan
\rdu untuk mendapatkan bentuk terbaik
atas sebuah kumpulan data melalui beberapa model
rroie!. l aitu linier, eksponensial, polinomial hingga orde keenam. dan hukum power.
Program
nrrtematika tingkat lanjutan memiliki beberapa model bentuk kurva. Bukalah buku kerja TRENDI\TEGRAL dan marilah kita lihat bagaimana menggunakannya. Gambar -5-28 rnemperlihatkan ran.rpilan utamanya dan Gambar 5-29 memperlihatkan hasilnya. Buku kerja ini menghasilkan sebuah model peluruhan eksponensial data tanpa gangguan dengan konstanta waktu yang dapat dipilih-pilih. Gangguan ditambahkan menggunakan fungsi RAND0 EXCEL. Fungsi RAND0 menghasilkan bilangan acak antara 0 dan l. lni sesungguhnya rrerupakan pembangkit bilangatr acak-palsu (untuk memuaskan para matematikawan belaka). Jika Anda dapat menemukan sebuah pembangkit bilangan acak yang sempurna maka Anda akan menjadi orang yang kaya dan terkenal, namun pembangkit tersebut harus dapat digunakan dengan mudah dan cepat untuk mengeliminasi seluruh masalah kemiskinan dan penyakit menular di dunia.
5.7
Hal-hal yang perlu diingat
111, Thomas Carlyle (1795-1881) menulis, "Sebuah kenyataan matematis bahwa melemparkan batu kerikil dari tanganku akan mengubah pusat gravitasi bumi." Kutipan tersebut dapat dijumpai dalam situs web Universitas St. Andrew, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ -history/Quotations/Carlyle. html. Pernyataan Carlyle adalah salah. Pusat gravitasi (sesungguhnya adalah pusat massa) tidak akan berubah, tetapi distribusi massanya yang berubah. Dengan mengacu ke hukum Newton tentang gerak, hanva gaya eksternal yang dapat memindahkan pusat massa sebuah sistem. Di antara Carlyle dan batu kerikil, hanya ada gaya internal. Hal ini serupa dengan sebuah roket dengan gaya luarnya (lihat Bagian 3.7).
Di dalam Sartor Resartus
Pertonyoon yong sering muncul Tz Apakah vang dimaksttd dengan puscrt ntassci) Pusat massa mewakili lokasi sebuah partikel titik 1'ang massanya sama dengan distribusi massa di seluruh bagian yang berjarak tertentu dari pusat massa. Untuk kondisi kesetimbangan dan gerak translasi, pusat massa berlaku seolah-olah seiuruh massa sistem terkonsentrasi di titik tersebut. Pusat massa merupakan gabungan ntotnen pertama distribusi massa. Perhatikan Persamaan (5-26). Pusat massa sebuah objek setara dengan konsep georretri pusat luasan dai suatu area atau volume (lihat ref'erensi Inten.ret di bagian akhir bab ini).
J:
T:
Mengapa kita ingin menghitung pusat massa? J: Lokasi pusat massa begitu penting untuk kinematika dan dinamika karena akan memudahkan pendeskripsian dan analisis. Contoh, kombinasi antara translasi dan rotasi dapat dipisahkan nrenjadi dua bagian: translasi pusat massa dan rotasi pusat massa. Selain itu, tabel momen irte rsitt untuk benda-benda umum seperti I-beams dihitung untuk sumbu-sumbu yang melalui l'.r\irt rnassa. Dengan menggunakan teorema tran.sfer sumbu paralel, cukup mudah untuk ::::nentukan momen inersia beberapa jenis lain sumbu paralel. Suatu momen inersia bernilai .-.::rr-r!rrr pada saat direferensikan ke sumbu-sumbu yang melalui pusat massa. Pusat massa i:-. rir'.rt luaran dari suatu area sangat berguna untuk menghitung luas, volume, dan massa -ir-:i.r f.enJu padat vang berputar dengan bantuan teorema Pappus dari Alexandria (lihat :::::::..i l:temet tii basian akhir bab ini).
5.7 Hal-hal yang perlu diingat
T: Apakah perbedaan antara pusat massa dengan pusat gravitasi'!
J:
Beberapa orang menggunakan kedua hal yang dapat saling dipertukarkan ini. nuntun :-,:-. dasarnya keduanya berbeda. Pusat ma.ssa tidak bergantung pada rneclan grarirasi tuLitit, ). namun lokasi pusat gravitasinya bergantung pada keseragaman medan gravitasi krkal D. dalam medan gravitasi yang seragam kedua pusat itu berada di titik yang sama. Hal ini ak.,n menjadi jelas pada saat Anda mempelajari torsi dan kesetimbangan statis. Stabilitas gradir'n gravitasi sering digunakan untuk satelit-satelit bumi. .
Distribusi dan momen Total massa M adalah jumlah aljabar seluruh N massa individual m di dalam distribusi, N
M=Zmi.
(5-l I
t
i=l
Momen distribusi dapat dituliskan dalam bentuk yang seragam Pertama, massa total dapat ditulis sebagai tnomen nol dari distribusi, N
Mxo
=Z*,
(5-22
*,1.
)
i=l
Setiap momen dapat ditulis sebagai:
Mx" = Z*, *i.
r5-71r
Momen yang perlu diingat Momen pertdma dari distribusi massa satu-dimensi akan menentukan pusat massa yang mengacu ke sistem koordinat sembarans:
i =\m,
M
(s-24)
x,.
Momen pertama merupakan nilai rata-rata sederhana dari seluruh massa dikalikan dengan pergeserannya dari sumbu sembarang. Dengan kata lain,
Z*, (=
*,
N
t
'
5-r5
r
2*, Persamaan (5-25) berlaku untuk seluruh massa M yang terletak di pusat massa t, dan ini setarr dengan jumlah aljabar dari seluruh hasil perkalian antara massa ,7?- dengan pergeseran x-. Persantaan ini seringkali berguna untuk menentukan sumbu-sumbu di sepanjang pusat massa. Untuk distrihu.i massa tiga-dimensi, letak pusat massa diberikan sebagai,
..-
2*,r, i=l
M
2*,v, -"M I
2*,r,
-_i-l .,M
Bab 5: Diferensial dan lntegral
110
c
0
x(m)
Gambar 5-30. Kiri: elemen massa berbentuk persegi panjang dari sebuah segitiga ditunjukkan dengan koordinat koordinatnya. Kanan: sebuah elemen massa berbentuk lajur vertikal digunakan untuk menghitung x. Gambar ini dibuat dengan EXCEL, menggunakan Drawing Tool.
Contoh Gambar 5-31 menunjukkan dua pilihan elemen-elemen area di dalam sebuah bidang segitiga dan jarak elemen tersebut dari sumbu koordinat. Sifat-sifat mekanik tigur dasarnya telah diinvestigasi ribuan tahun lalu untuk alasan-alasan praktis. Contoh. Archimedes membangun peralatan-peralatan militer besar sebagai pertahanan terhadap kapal-kapa1 Roruaui dan peralatan tersebut begitu stabil dalam menghadapi angin kencang. Di Gambar 5-30 kita dapat menggunakan kalkulus analitis karena persamaan segitiganya relah cliketahui, y(x) = -x + 1. Persamaan ini seringkali dipakai untuk mentransformasikan integral nrassa ke dalam integral ruang. Kerapatan massa sebuah area adalah pkglmz. BerdaszLrkan keterangan :ebelumnya, maka kerapatan massa area adalah P = dnrltlA. Sekarang kita dapat menuliskan massa total (momen nol) sebagai,
ru = Jao, = ,Jengan
lr
ro = lo t'o,
77 =r- dx adalah luas lajur vertikal. Untuk koordinat-.r dari pusat massa, kita
(s-21) sekarang
nrcmiliki.
'
v='
lr p ydr
Setelah itu kerapatan (5-28) dan dihapuskan. Untuk area segitiga di Gambar 5-30, kita
lr1.::l,h kita lihat kasus sederhana yang menunjukkan kerapatan yang konstan.
j:r:. Jirr.ludrkan dari Persamaan .r'r-:l:ii nlemiliki.
(s-28)
IP 'ur'
5.7 Hal-hal yang perlu diingat
1'l
Jnx(-r
+ l)
dx
al
It-r+ltrlx
I
r 1
JO
Di dalam segitiga simetris, kita lihat bahwa I = 113 juga. Nilai y untuk bentuk nonsimerri: J;;;r dihitung menggunakan lajur horizontal. Koordinat-koordinat polar, silinder, dan bola dapar rr,:nyederhanakan proses perhitungan untuk benda-benda yang cocok dengan pola-pola kesimerrir;n
ini.
TIPS Pusat massa dari sebuah benda berbentuk sembarang dengan kerapatan yang bervariasi dapat ditentukan melalui eksperimen, yaitu dengan menggantungkan sebuah bandul ke benda tersebur dari satu titik kemudian dari titik yang lain. Tali bandul akan berpotongan di pusat massanva. Hal ini sudah diketahui sejak dulu, namun pusat massa secara umum diketahui sebagai pusat gravitasi karena tidak ada perbedaan antara massa dan berat.
Gambar 5-30 dapat pula digunakan untuk menghitung momen inersia untuk momen kedua:
I.-, =
Z*, *l
dan
Iu =\m,
y?.
(5-30
)
(s-3 I
)
Dengan menggunakan lajur vertikal, momen inersia terhadap sumbu--r adalah, 1r.,.
= J*2,1,n =
1., =
lrt p dA = I;*' p y clx
fr2 p(-x
+ l)dx
t5-l1r
Menghitung momen inersia terhadap sumbu-x 1,., agak menyulitkan Anda. Secara simetri.
1.,
seharusnya sama dengan 1.,. namun Anda harus membuktikannya dengan menghitung integraln-r a menggunakan lajur horizontal. Setelah itu Anda perlu bersiap-siap menghitungnya kembali untuk
bentuk yang tidak simetris. Momen inersia sedikit lebih rumit daripada yang sudah diperlihatkan. Sesungguhnya ini merupakan ten.sor yang dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks 3 x -l (lihat Bagian 6.6). Momen inersia yang kita hitung adalah salah satu dari komponen riga diagonal sebuah tensor, namun jangan khawatir mengenai hal ini.
Pertonyoon yqng sering muncul T: Mengapa kita membutuhkan momen. kedua? J: Momen kedua muncul secara alami pada saat kita menganalisis energi kinetik rota:i. momentum anguler, torsi, dan laju perubahan momentum anguler. Momen kedua juga merupakar: dasar yang penting dalam analisis pembelokan berkas sinar. "Kesetimbangan dinamis" rt,.l. mobil meliputi pengaturan momen kedua hingga mencapai goyangan yang nrinimunr.
102
_
Bab 5: Diferensial dan lntegral
TIPS
\lonten inersia benda-benda umum biasanya ditabulasikan terhadap sistem koordinat di sepanjarrg pusat massa. Anda dapat menggunakan teorema transfer sunrbu parctlel (.teoretna Steinei) untuk menentukan momen inersia untuk sumbu-sumbu paralel lainnl'a. Teorema tersebut nrenyatakan bahwa I = 1,,, + M(P dengan 1,,, adalah momen inersia terhadap sumbu pusat nlassa, M adalah massa benda dan d adalah jarak sumbu baru ke sumbu pusat massa. Dari pernyataan ini jelas bahwa momen inersia selalu bernilai minimurn bila rnengacu ke pusat massa.
Sekarang nrarilah kita lihat ke buku kerja MOMENTS untuk mencoba mengestimasi momen i menunjukkan tampilan utamanya. Di kolom C buku kerja MOMENTS, luas segitiga diestimasi menggunakan integral numerik melalui metode trapesium. Di kolom D, rnassa adalah hasil kali dari luas X ketebalan X kerapatan massa. Metode trapesium memberikan hasil yang eksak karena kita melakukan integral terhadap sebuah garis lurus. Di dalam Gambar 5-3 1, momen inersia 1." dihitung berdasarkan deflnisi pada Persarnaan (530). menggunukan Iajur vertikal. Sebuah alternatif perhitungan dapat dikerjakan untuk 1,,, yaitu mengeunakan lajur horizontal. namun selain itu kita telah meng-cunakan teorema transf-er sumbu paralei dengan lajur vertikal yang sama untuk 1,,.. lni dapat dipahami - dan Anda dapat menunjukkannva - bahwa momen inersia sebuah silincler tipis di pusat massanya adalah Mtl12. Apabila kita geser sun.rbunya sejauh L/2, maka momen inersia di bagian ujung silinder tersebut adalah ,tllll3. Seba-raimana ditunjukkan pertama dan kedua dengan bantuan integral numerik. Gambar 5-3
oleh Gambar 5-32. rumus di sel Gl1 adalah
=D!!*BLl^2 i3.
;--. . -:--." :.:! 1;1i-... .- -.. imOfUeNf'5,Xlb Zer*, Fire( .!irii $ri.oil!1 Llrnrcnt;
.-:i:....-.--.
1..
J
,.f .t F,liss Di$tribUtii,n
Chapter 5
4 Entermassd.nsity, [ ],15@kgr*' Thickness:l _!!1], 5 6:
Center of
Mass 22.5ikg mass 0.3333im ) 1.. 3.7496251k9 rn'
r
i
rTrorzslks,r'
8
s
\rfl'
10
0 0.01
17
13 14 15 16 1i '3 '3 :i :: -': ..)r
0.02 0.03 0.04 0.05 005 0 07 0 08 I09 ,J 1 I1! k
/.
r 0.005 0.?25 0 0.9s 0.009s 04455 0.00446 4.5E-05 0.98 0.0098 0A41 0.00882 0.00018 0.141 1788 B.S? 0.0097
0 4365
0.96 0.0096 0.433 0.s5 0.0095 a.4?75 09.1 0.0094 0423 0.93 0.0093 0.4185 a 92 0.0092 a.414 8.91 0.0091 0.4095 0.9 0.00S 0.405 0.89 0.0089 0.,1.005 -r,.rrrf
Tttygy;q,i,
1
0.0131 0.01738 0.021n8 0.02538 0.0293 0.03312 0.036s6 0.0405 0.04406
0.00039
0.136901 0.1327104 0.1286063 0.1245976 0.1306536 0.1168032 0.1130357 0.00405 0.10s35 0.00485 0.1057454
0.00069 0.00107 0.00152 0.00305 0.00265 0.00333
Iri
x (m)
ffiffi,'
Gambar $31. l.!s1e6s trapesium digunakan untuk mengestimasi sebuah area. Teorema transfer sumbu paralel cr!,:3qs- --:-( -engestimasi /", menggunakan lajur vertikal elemen massa (lihat catatan sel). Pusat massa berlokasr a (oordnat x = 1/3 dan y = 113
Apa selaniutnya?
Gambar 5-32. "Hukum Archimedes" adalah sebuah rumus yang mengubah wajah dunia. Persamaan ini adalah kondisrkedua untuk kesetimbangan statis: penjumlahan aljabar seluruh torsi di sebuah titik adalah sama dengan nol. Torsi adalah sebuah vektor yang berupa momen pertama gaya. Gambar perangko di sisi kiri ini menunjukkan bagaimana Archimedes menggunakan kondisi-kedua kesetimbangan statis untuk mengukur kerapatan volume sebuah benda yang
tenggelam. Dikatakan bahwa ia menggunakan metode
lnr
untuk menentukan apakah mahkota raja itu terbuat dari emas murni. (Kondisi-pertama kesetimbangan adalah 0. Jumtan aljabar gaya di titik mana saja adalah nol).
IF-
Momen pertama beberapa benda telah dipelajari ribuan tahun lalu karena orang peduli terhadap keseimbangan benda dan struktumya. Archimedes menemukan bahwa pusat gravitasi sebuah segitigr sama sisi akan berhubungan dengan titik perpotongan tengahnya. Gambar 5-32 menunjuklan "Hukum Archimedes" flrrl = F,r, dengan { adalah gaya (berat) di posisi r,.
Apa selanjutnya? EXCEL memiliki sejumlah besar koleksi operator dan fungsi yang dinamakan Engineerirtg f-ur;,rion. Fungsi-fungsi ini jauh lebih umum daripada namanya. Kita akan menjelajahi fun-esi-iunt.. ini di dalam Bab 6. Di dalam Bab 12 Anda dapat melihat integrator RC dari sudut pand.lirr transformasi Fourier dalam cakupan suatu frekuensi.
Daftar Pustaka Galactic Industries Corporation memiliki topik-topik diskusi mengenai bab http ://www. galactic.com,/galactic/Science/smooth.htm
ini di situ. r-,ir:,-
Bab 5: Diferensial dan lntegral
P \ Gorr1. "General least-squares smoothing and differentiation bv the convolution (SavitskyG,,lar r \lethod. "Analytical Chemistry, 62, 510-513 (1990). J. Steiner. Y. Termonia. dan J. Deltour. "Comments on smoothing and ditterentiation of data by sinrplitied least square procedure," Analytical Chemistry 44, No. ll. i906-1909 (.1912).
-\. Savitsky dan M. J. E. Golay, "Smoothing and diferentiation of data bv sinrplitied least procedures." Analytical Chemistry 36, 1621-1639 (1964). B. Porat, A Ctrurse in Digirol Signal Processing (John Wiley & Sons. Inc.. S. K. Mitra dan J. F. Kaiser, editors, Handbook.fbr Inc., New York, 1993).
\eu
York.
squares
1997).
Digital Sigrtal Pxtce.ssrrrg {John Wiley &
W. H. Press dan S. A. Teukolsky, "Savitsky-Golay smoothing filters." Corrtltuters
in
Sons,
Plq,sics 4,
689-672 (1990).
H. W. Schussler dan P. Steffen, Bab 8 dalam Advanced Topics in Sigttol Ptote.i.iing, diedit oleh J. S. t.im dan A. V. Oppenheim (Prentice Hall, Errglewood Cliffs. NJ. 1988). Integrator mekanika. Planimeter merupakan sebuah perangkat yang digunakan untuk menentukan luas daerah di sebuah benda dengan nrelakukan penelusuran di sepanjang batas pinggirnya. Planimeter modern ditemukan oleh Jacob Amsler (1835-1911). Anda dapat menemukan lebih banyak planimeter dan komputer-komputer antik di N'[useum Konlputer. Universitas Amsterdam, Belanda. Silakan kunjungi: http://www.wins.r-rva.nl/faculteiVmuseum/planimeter/plani.html. Pusat luasan segitiga: http://mathworld. wcllfiam.con.r/CentroidTri angle. htm
l
Pusat luasan dan teorema Pappus dari Alerandriu:
http://mathworld.wolfrarn.con/PappussCentroidTheorc
ni. htnr
I
Uji kemampuan Anda l.
Integral persegi panjang. Integralkan l/"r- dari I hingsl I menggr.rnakan l0 interval. Setiap persegi panjang memiliki lebar 0. l. Mulailah dari r = l. hingga pendekatan numeriknya menjadi sepcrti 1 = 0.1(l/l + 1/1.1 + 111.2 + ... + l/1.9t. Berapakah persentase kesalahan berdasarkan nilai eksak dari integral itr"r'? Petunjuk: gunakan integral
i:dl ./: J, .,
)
Kerjakan Soal 1 untuk 20 interval. Perhatikan perbaikan untuk pertambahan yang lebih kecil ini. Berapakiih persentase kesalahannya'?
l
dan 2 rnelakukan estimasi berlebih terhadap nilai sesungguhnya dari integral karena keduanya menggur.rakan sisi luar persegi paniang. Ulangi Soal I untukx = 1,1 hinggaAnda berhenti di; = 2. Dengan kata lain, gunakanlah pendekatan numerik 1= 0, 1(1/1,1 + lll,2 + l/1.3 + ... + l/2l. Bandingkan dengan hasil di Soal l. Hal ini memberikan estimasi yang ktrrang daripada nilai sesungguhnya dari integral tersebut karena menggunakan sisi dalam
Soal
tqS
Uii kemamouan Anda
persegi panjang. Buatlah gambar untuk menunjukkannya. Hitunglah persentase kesalahan berdasarkan nilai sesungguhnya dari integral. Hitunglah nilai rata-rata dari hasil yang diperoleh dari Soal 1 dan 3. Bagaimanakah nilai ratarata untuk estimasi yang berlebih dan estimasi yang kurang bila dibandingkan dengan nilai sesungguhnya? Hitunglah persentase kesalahannya. Catatan: menggunakan nilai rata-rata adalah setara dengan menggunakan metode trapesium. 5.
Aturan trapesium. Bukalah buku kerja TRAPEZOID. Di dalamnya memuat contoh-contoh sebaran dari fungsi kontinu exp(-r). Hitunglah integral fungsi ini untuk 0 < r < I dengan 25 interval. Ulangilah untuk 50 interval. Berapakah kesalahannya untuk setiap kasus dibandingkan dengan nilai integral yang sesungguhnya?
6.
'l
.
Hitunglah akar kuadrat dari mean square sin(nx) di dalam range 0 hingga 1. Ini adalah bilangan yang penting; dinamakan nilai root-mean-square atau r.m.s. dari data. Ini sama saja dengan bertanya "Berapakah tegangan konstan yang dapat menghasilkan efek panas yang sama dengan tegangan yang divariasikan terhadap waktu?" Konfirmasikan bahwa hasil Anda di Soal 5 adalah area persegi panjang dengan tinggi 0.5 '. 2 dan lebar 1. Dengan kata lain, nilai r.m.s. dari gelombang sinus mendekati 0,707 106781. Nilai r.m.s. tegangan listrik di rumah adalah 120 V. Berapakah nilai maksimum tegangan tersebut? Aturan l/3Simpson.UlangiSoal 5denganaturanintegral iniuntuk50interval.(Ingat,aturan ini membutuhkan interval bilangan genap). Bagaimana perbandingannya dengan aturan trapesium?
8.
Moving average. Tabel 5-5 memuat catatan mengenai pengamatan bercak-bercak matahari. Hitunglah moving average untuk data-data ini menggunakan periode 2 dan 4 bulan. Planet bumi lebih kecil daripada jenis bercak
ini.
9.
Exponential smoothing. Pergunakanlah fasilitas exponential Smoothing di data bercak matahari dengan faktor kelembaman 0,2, 0,3, dan 0,5. step function adalah penguji sinyal umum untuk mekanik, listrik. g dan sisrem elektronika. Sinyal uji ini ditandai sebagai u(r) dengan u(t) = untuk / < 0 dan
10. Exponential smoothing. Unit
= l untuk 1 > 0. Anda
dapat memulai r.r(r) pada setiap waktu ro dengan menggunakan a(l - /r). Buatlah lembar kerja clengan pertambahan waktu sebesar 0,1 (mulailah dari / = -1) di koiom A, pertambahan unit di kolom B, dan exponential smoothing dengan faktor kelembaman 0,2. 0,4, dan 0,6 di kolom c, D dan E. Uji coba ini menunjukkan bagaimana pemulusan u(r1
melakukan distorsi terhadap data asli.
ll.
Gunakanlah Moving Average dengan periode
2,4,
dan
6 sebagai unit
step.
12. Ujilah fungsi equal weight dan Savitsky-Golay di Tabel 5-4 dengan fungsi step unit a(t) = I untuk r > 0; kebalikan u(t) = Q. < 13. Pakailah fungsi Savitsky-Golay 5-titik dan 7-titik terhadap data bercak matahari di Tabel 5. Bandingkan hasilnya dengan jawaban Soal 9 dan 10. Lihatlah pula ke buku karya M. Waldmeir, The Sunspot Activitf in the Years 1610'19r,'
.
(Schulthess, Zlurich, I 96 I ). Angka-angka bercak matahari-relatif dikoreksi untuk memudahkr:: pengelompokan dan menampilkan kondisi dari beberapa pengamat yang memberikan kontnL'u': data; inilah mengapa angka-angka tersebut bukan merupakan bilangan bulat.
Bab 5: Diferensial dan lnteoral
Tabel 5-5. Observasi atas jumlah bercak matahari relatif (lihat buku kerja SUNSpOTS) Tahun 958
'1959
1
73.6
'165
202.5
217.4
143.6
57.9
20.8
124
130.2
164.9
143.1
106
10.9
4.9
118.4
157.4
190 7
185.7
4
'1.8
11.3
110.7
175.2
196
5
0.8
28.9
136.6
164.6
175.5
b
0.2
31 .7
116 6
200.7
171 q
7
4.8
26.7
129.1
187.2
Brian
1954
1
955
ia
23.1
I
0.5
3
1
956
1957
960
1962
1
387
19.8
46.1
50.3
24.4
102.2
53
45.6
17
163.3
122
61
46.6
29.3
172
119.6
JI
43.7
43
168.7
110.2
77.4
42
35.9
191 .4
149.6
tlt
70.2
21 .B
19.6
21 8
33.2
1
7
1
961
4
963
1
B
8.4
40.7
'169.6
158
200.2
199.6
134.1
558
o
1.5
42.7
173.2
235 8
201 .2
145.2
127.2
63.6
c t.J
38.8
'10
70
58.5
155.3
aEa o
181 5
111 4
37
7
39.5
2E 2
11
9.2
89.2
201 .3
210.9
152.3
124
32.6
26.9
23.4
12
7.6
76.9
192
239.4
187.6
125
82.2 89.6 85.6
1
39.9
14.9
Untuk data terbaru, silakan mengunjungi situs Roral Observatorr of Belgium, World Data Center-Cl untuk indeks bercak marahari: http ://www.oma.be/KSB -ORB/SIDC/inde x.htn.rl Selain itu, lihat pula ke situs National Solar Obserrator\'(Sacrarnenro Peak and Kitt Peak): http ://www. nso.noao.edu/index. html Untuk informasi lebih lanjut mengenai siklus matahari. silakan kunjunei: http :i/www.dxlc.com/solar/cyc1 I _20. html
14.
0 InEgral Monte Carlo. Download-lah buku kerja MONTE-CARLO dari situs buku ini dan jelajahilah sel-selnya untuk mempelajari bagaimana pendekatan intesral dapat dijelaskan menggunakan bilangan-bilangan acak untuk membangkitkan vektor-r'ekror acak. Buku kerja ini menghitung sebuah nilai pendekatan ft dengan menggunakan r ektor-r'ektor random yang mengarah dari titik pusatnya untuk mencari area lingkaran berjari-jari I yang dituliskan dalam sebuah kuadrat area 4. Perbandingan antarajumlah vektor di dalam lingkaran terhadap jumlah seluruh vektor adalah z/4. Sehingga, menghitung vektor mernberikan suatu estimasi terhadap area lingkaran dan sebuah estimasi terhadap z/-1. Lembar pen-solah angka untuk fungsi IF digunakan untuk menghitung vektor-vektor. Berapakah jumlah rektor yang dibutuhkan untuk menghitung a hingga 6 angka desimal? Untuk informasi lebih lanjut, lihatlah buku karya S. C. Bloch dan R. Dresslel "statistical estimation of z using random vectors," American Jountol rlf Pltrsics 67 (4) 298-303 (1999). Karya ilmiah ini memuat di antaranya informasi ran-s detail. latar belakang, dan ref'erensi untuk metode integral numerik Monte Carlo. Untuk intbnnasi yang lengkap mengenai .rr. silakan kunjungi situs http://www.users.globalnet.co.uk/-nickjh/Pi.htm. Selain itu, carilah n.relalui mesin pencari di Internet untuk kata kunci "Monte Carlo integration". /'tta akan diarahkan menuju ke sebuah titik di mana kita akan mendapatkan nilai-nitai suatu keistimewaan yang diperlukan atas berbagai macam metode, dan bukannya
"rerik. re.dalatkan perubahan bentuk formal yang sia-sia belaka.
Jean Baptiste Joseph Fourier Dalam Th1orie Analytique de la Chaleur (1522)
Bab 6 Fungsi-fungsi Engineering
Excer memiliki suatu koleksi fasilitas bermant'aat yang bernama fungsi-fungsi engineerirtg (engineeringfuncrions).Ini adalah nama yang dikenal di dalam menu Help, namun fungsi-fun-r'i ini penggunaannya lebih umum dibandingkan dengan namanya. Di dalam bab ini kita akan mert'tpelajari fungsi-fungsinya yang paling umum digunakan. Fungsi-fungsi tersebut terdiri dari empat kategori:
' . . .
fungsi-fungsi matematika dan statistika, fungsi-fungsi untuk bekerja dengan bilangan kompleks, fungsi-fungsi untuk mengkonversi nilai-nilai di antara sistem bilangan yang berbedaseperti desimal, heksadesimal, oktal, dan sistem biner, fungsi-fungsi untuk mengkonversi nilai-nilai di antara sistem pengukuran yang berbeda.
Ancla akan menemukan fungsi-fungsi engineering di dalam Analysis ToolPak. Apabila fungsi tersebut tidak tersedia, jalankan program Setup untuk menginstalasi Analysis ToolPak. Setelah instalasi Analysis ToolPak, Anda harus mengaktifkannya menggunakan perintah Add-Ins di menu Tools. Untuk informasi lebih lanjut mengenai bagaimana melakukan instalasi Analysis ToolPak ini, lihatlah ke menu Help atau tekan Tombol Fungsi Fl di Ercpr-. Kita juga akan mempelajuri
operasi-operasi dan aplikasi-aplikasi matriks di Erccl'
6.1
Fungsi-fungsi Matematika Khusus
Deskripsi ringkas mengenai fungsi-fungsi matematika khusus di Excnr- tercantum di dalam Tabel 6-1. Fungsi-fungsi ini dijabarkan secara detail setelah tabel tersebut. ExceL memuat empat tipe fungsi Bessel. Beberapa mahasiswa beryikir bahwa fungsi-funs'r ini diciptakan unruk membuat hidup menjadi sulit. Anda mungkin tidak membutuhkan fung.ifungsi Bessel sampai Anda melakukan sebuah pekerjaan tingkat lanjutan yang melibatkan nilrinilai batas lingkaran atau silinder, namun pada akhirnya Anda akan dikejutkan den-uan be5rtu seringnya fungsi-tungsi ini muncul cli dalam ilmu-ilmu listrik dan mekanik, fisika, kimia. Seofi'1x-dan astronomi untuk menjelaskan sekelumit teori di dalamnya. Mayoritas buku untuk ilnlu-ll::rtersebut menuliskan tentang fungsi Bessel. Anda perlu berhati-hati karena di dalamnra ltl':rsesuatu yang dinamakanJilngsi Bessel sferls (bola); ini dapat dijumpai di dalarn program-Fr,'::--' seperti MetHsnrartc.t dan Merlee.
Bab 6: Fungsi-fungsi Engineering
Tabel 6-1. Fungsi-fungsi Matematika Khusus di EXCEL 3ESSELI
menghasilkan fungsi Bessel termodifikasi, yang setara dengan fungsi Bessel yang dievaluasi untuk argumen imajiner murni
BESSELJ
menghasilkan fungsi Bessel
BESSELK
modifikasi orde ke-n fungsi Bessel
BESSELY
menghasilkan fungsi Bessel, kadang dinamakan juga sebagai fungsi Weber atau fungsi Neumann
DELTA
menguji apakah dua buah bilangan itu sama; fungsi delta Kronecker
ERF
fungsi error, yang diintegralkan antara dua buah Iimit
EFRC
menghasilkan komplemen fungsi ERF yang diintegralkan antara x dan nilai tak berhingga
menghasilkan 1 jika bilangannya > step; menghasilkan 0 (nol) jika sebaliknya Pergunakanlah fungsi ini untuk memfilter sekumpulan nilai. Contoh, dengan menjumlahkan fungsiJungsi GESTEP, Anda menghitung nilai yang dicapai di ambang batas.
GESTEP
BESSELI Menghasilkan fungsi Bessel termodifikasi 1,,(r), yang setara den-can lunqsi Bessel "r,,(x) hasil evaluasi argumen imetjiner murni. (lihat BESSELJ. Selain itu, lihat pula Bab l0 untuk informasi tebih lanjut mengenai bilangan-bilangan imajiner).
Syntax BESSELI(x,n) x adalah nilai untuk mengevaluasi fungsi. n adalah orde tungsi Bessel. Jika n bukan bilangan bulat. fungsi ini akan terpancung.
Catatan Jika x bukan numerik, BESSELI menghasilkan nilai error #\ALUE:. Jika n bukan numerik, BESSELI menghasilkan nilai error #\.\LUE:. Jika n < 0, BESSELI menghasilkan nilai error #NU\{1. Moditikasi orde ke-n lungsi Bessel dari variabel r adalah:
Gontoh BESSELI(1,5,
l)
sama dengan 0,981666 (Perhatikan bahua 1.5 adalah imajiner dan n
=
1).
Definisi 1,,(r) = (i)-"
(6-l)
"I,,(l.r)
BESSELJ \lenghasilkan fungsi Bessel. (Ini adalah tipe
1'an-e
akan sering kali Anda pergunakan).
Syntax BESSELJT r.n
r
I
I
uJ.rlah nilai untuk mengevaluasi fungsi. :Jrl-rh trrde lLrnssi Bessel. Jika n bukan bilangan bulat. fungsi ini akan terpancung.
6.1 Fungsi-fungsi Matematika khusus
109
Catatan Jika x bukan numerik, BESSELJ menghasilkan nilai error #VALUE!. Jika n bukan numerik, BESSELJ menghasilkan nilai error #VALUEI. Jika n < 0, BESSELJ menghasilkan nilai error #NUM!.
Definisi
(Tidakkah Anda senang memiliki lembar pengolah angka untuk mengerjakan ini?r Orde ke-n fungsi Bessel dari variabel x adalah:
J,,tx)
dengan
=Io,r,,r** ,,[j )"
l(n + k + l) = [*e-'x"+kd.r
t' (6-2t
adalah fungsi Gamma
Contoh BESSELJ(1,9, 2) sama dengan 0,329926 Pergunakanlah buku kerja BESSEL untuk menjelajahi keempat fungsi Bessel untuk nilai n yang berbeda-beda. Fungsi Bessel -/y(.r) atau BESSELJ(x,l) ditunjukkan oleh Gambar 6-1. Gambar
6-2 menampilkan "/11(,r) untuk range yang sama.
BESSELK Menghasilkan fungsi Bessei termodifikasi, yang setara dengan fungsi Bessel yang dievaluasi untuk argumen imajiner murni.
Syntax BESSELK(x,n)
x
adalah nilai untuk mengevaluasi fungsi. n adalah orde fungsi Bessel. Jika n bukan bilangan bulat, fungsi ini akan terpancung.
E - nl a a I,JJ
uJ
m
-0.1
X
Gambar 6-1. Fungsi BESSELJ(x,1) untuk 0 < x < 25. lni nampaknya seperti gelombang sinus yang namun nyatanya tidak demikian. Lihatlah definisi di Persamaan (6-2).
le..r:-
: __
j
Bab 6: Fungsi-fungsl
tl3
lffi*.,
I
S*M$*|**d*t$ded+t,
:lS{*r :#*:
&
u e
\
t]1
\
\,u &
x
Gambar 6-2. Fungsi BESSELJ(x,11) untuk 0 < x <25. Graflk di dalam perangko menunjukkan bagian riil dan imajiner dari transformasi Fourier untuk gelombang kotak yang beranjak dari waktu sama dengan 0 (lihat Bab 11 di dalam CD).
Catatan Jika x bukan numerik, BESSELK menghasilkan nilai error #\,,{LUE!. Jika n bukan numerik, BESSELK menghasilkan nilai error #V.{LUEI. Jika n < 0, BESSELK menghasilkan nilai error #NUNIl. Modifikasi orde ke-n flngsi Bessel dari variabel x adalah: K,,(
x) =
!i"*1
lJ,,{ir) +
r)j, (r.r )l
(6-3)
J, dan I, masing-masing adalah fungsi Bessel "/ dan I. lJ,,(ir) + iY,,(.ix)) sering disebut sebagai fungsi Hankel benruk pertama. Argumen dari fungsi ini dapat berbentuk riil maupun imajiner. Fungsi Hankel bentuk kedua adalah ["i,,(zx) - iY,,(i.v)1. dengan
Contoh BESSELK(1,5.
l)
sama dengan 0,211388
BESSELY Menghasilkan fungsi BesselY kadang dinamakan juga sebagai fungsi Weber atau fungsi Neumann.
Syntax BESSELY(x,n)
x adalah nilai untuk mengevaluasi fungsi. n adalah orde fungsi Bessel. Jika n bukan bilangan bulat, fungsi ini akan terpancung
6.
__
1 Fungsijungsi Matematika khusus
111
Catatan Jika x bukan numerik, BESSELY menghasilkan nilai error #VALUEI. Jika n bLrkan numerik. BESSELY rnenghasilkan nilai enor #VALUEI. Jika n < 0, BESSELY menghasilkan nilai error #NUM!.
Definisi Orde ke-n firngsi Bessel )',,(-r) adalah:
)i,(-t) = ''
lim4i!-(Yzr)i.+, Srn(uZ)
"r-''('r)
t6--1
r
Contoh BESSELY(2,5, l.; sama dengan 0,1,15918
TIPS Seperti haln,va sinus dan cosinus. lungsi Bessel adaluhlirrrg-ii ortog,onal. Fungsi ini bermanfaat untuk merepresentasikan deret, seperti deret Irourier (lihat Bagian 4.4). Anda akan menemukan fungsi Bessel digunakan secara luas di bidang akustik, mekanik, elektron.ragnetik. dan mekanika kuantum yang melibatkan nilai-nilai batas berupa lingkaran atau silinder.
Fungsi Bessel ke-nol begitu penting karena dapat menentukan fiekuensi natural sebuah sistenr, seperti nilai sinus dan cosinus yang nol untuk nienentukan ft'ekuensi natural sistern koordinat kotak. Pada saat Anda bermain tenis, baseball, sepak bola, atau bola basket sebenamya Anda telah menggunakan fungsi-fungsi Bessel, baik inr Anda sadari maupun tidak.
DELTA DEUIA nrenguji apakah dua buah nilai itu sama. Ini menghasilkan I jika bilangan I = biianganl dan menghasilkan 0 jika tidak sama. Pergunakanlah fungsi ini untuk memfilter sekurnpulan nilai. Sebagai contoh. dengan meniumlahkan beberapa fungsi
DELIA. Anda melakukan perhitungan
untuk jumlah pasangan yang saura. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi Delta Kronecker.
Syntax DEUIA(bilangan l,bilangan2) bilanganl adalah angka pertama. bilangan2 adalah angka kedua. Bila dihilangkan, maka bilangan2 diasumsikan sama dengan nol.
Catatan Jika bilanganl bukan numerik, DEUIA rnenghasilkan nilai error #VALUE!. Jika bilangan2 bukan numerik, DELTA menghasilkan nilai error #VALUEI.
Contoh DELIA(5, 4) sama dengan 0 DELIA(5. 5) sirma de'ngan I DELIA(0,5, 0) sama dengan 0 ERF ERF menghasilkan fungsi error yang diintegralkan antara limit_bau'ah dan liniit_ri"-
112
Bab 6: Funqsi-funqsi Enqineerino
Syntax E
RF(
limit_bawah,limit_atas)
limit_bawah adalah batas bawah integral ERF. lirnit-atas adalah batas atas integral ERF. Bila dihilangkan, maka integral ERF akan berkisar antara nol dan limit_bawah.
Catatan Jika limit-bawah bukan numerik, ERF menghasilkan nilai emor #vALUEr. Jika limit_bawah adalah negatif, ERF menghasilkan nilai error #NUMI. Jika limit_atas bukan numerik, ERF menghasilkan nilai eror #VALUE!. Jika limit_atas adalah negatif. ERF menghasilkan nilai enor #NUM!.
Definisi ERF(z) =
J-rJo ,-'' r,
(6-5)
S'-
dan
ERFltt. n,
=
4ll. t lf
Jtt
r-,' ,jt
=
ERF(b)
- ERF(a)
(6_6)
Contoh ERF(0,74500) sama dengan 0,10193 ERF(I) sama dengan 0,84270
ERFC ERFC menghasilkan komplemen fungsi ERF yang diintegralkan antara
x dan nilai tak
berhingga.
Syntax ERFC(x)
x
adalah batas bawah integral ERF.
Catatan Jika x bukan numerik, ERFC menghasilkan nilai eror #VALUEI. Jika x negatif, ERFC menghasilkan nilai eror #NUM:.
Definisi ERflCl.rr =
;J,
,'
'- ctt
=I
- ERF(_I)
6_7)
Contoh ERFC(1) sama dengan 0.1573
GESTEP GESTEP menghasilkan I jika bilangannya > step; menghasilkan 0 (nol) bila sebaliknya. Pergunakanlah fungsi ini untuk memfilter sekumpulan nilai. Sebagai contoh, dengan menjumlahkan fun-usi-fungsi GESTEP, Anda dapat menghitung nilai bilangan yang dicapai di ambang batas.
Syntax GESTEP(bilangan,srep)
113
6.3 Funqsi-funqsi konversi bilanqan
Bilangan adalah sebuah nilai yang akan diuji terhadap step. Step adalah nilai ambang (threshold). Jika Anda menghilangkan nilai step, GESTEP akan menggunakan nol.
Catatan Jika setiap argumen adalah bukan numerik, GESTEP menghasilkan nilai error #VALUE!.
Contoh GESTEP(5, 4) sama dengan GESTEP(5, 5) sama dengan GESTEP(-4, -5) sama dengan 1
1
1
GESTEP(-I, 0) sama dengan 0
6.2
Fungsi-fu
I
memiliki l8 buah fungsi yang dapat membuat matematika kompleks menjadi mudah dan nyaman dikerjakan. Ini membutuhkan banyak penjelasan dan contoh, kita akan melakukannya di Bab 10. Contoh-contoh merupakan cara yang terbaik untuk memahami fungsi-fungsi ini. Jika Anda tidak bersedia menunggu, silakan buka Bab l0 sekarang. ExcEr-
6.3
Fungsi-fungsi konversi bilangan
12 buah fungsi yang akan membantu Anda mengkonversikan nilai-nilai ke dalam sistem bilangan yang berbeda. Kita akan melihat secara detail men-senai tungsi-fungsi biner ke desimal. biner ke heksadesimal, dan biner ke oktal; lihatlah menu Help untuk fungsi lainnya. Keduabelas fungsi tersebut adalah:
Excrl memiliki
BIN2DEC BIN2HEX BIN2OCT DEC28IN DEC2HEX DEC2OCT
HEX2BIN HEX2DEC HEX2OCT OCT2BIN OCT2DEC
OCT2HEX
BIN2DEG BIN2DEC mengkonversikan sebuah bilangan biner menjadi bilangan desimal'
Syntax BIN2DEC(bilangan) Bilangan adalah bilangan biner yang ingin Anda konversikan. bilangan tidak boleh memuat lebih daripada 10 karakter (10 bit). Bit-bilanganyang paling berbeda adalah bit untuk tanda. Sisa 9 bit larnnya adalah untuk besaran. Bilangan negatifdiwakili dengan penggunaan dua notasi tambahan
Bab 6: Funqsi-funqsi Enoineerinq
Catatan
.
Jika bilangannya bukanlah bilangan biner yang valid atau bilangan itu memuar lebih daripada r karakter (10 bit), maka BIN2DEC menghasilkan nilai error #NUM!.
Contoh BIN2DEC(1100100) sama dengan 100. BIN2DEC(1111111111) sama dengan -l (Tanda
ini
adalah
bit yang paling berbeda).
BIN2HEX BIN2HEX mengkonversikan sebuah bilangan biner menjadi bilangan heksadesimal. Syntax IN2HEX(bilangan,bagi an ) Bilangan adalah bilangan biner yang ingin Anda konversikan. Bilangan tidak boleh memuat lebih daripada 10 karakter (10 bi|. Bit-bilangan yang paling berbeda adalah bir untuk randa. Sisa 9 bit lainnya adalah untuk besaran. Bilangan negatif diwakili dengan penggunaan dua notasi B
tambahan.
Bagian adalah jumlah karakter yang digunakan. Jika bagian ini dihilangkan, BIN2HEX menggunakan jumlah karakter minimum vang dibutuhkan. Bagian berguna untuk menambahkan nilai hasil dengan angka nol di depannl'a.
Catatan Jika bilangannya bukanlah bilangan biner yan-v valid atau bilangan iru memuat lebih daripada 10 karakter (10 bi|, maka BIN2HEX menghasilkan nilai enor #\U\{1. Jika bilangannya adalah negatif, BIN2HEX mengabaikan bagian dan menghasilkan 10 karakrer bilangan heksadesimal.
Jika BIN2HEX membutuhkan lebih banyak karakter daripada van-q rercantum di bagian, ini akan menghasilkan nilai error #NUM!. Jika bagian bukan merupakan bilangan bulat, ini akan terpancung (truncated'). Jika bagian bukan berupa numerik, BIN2HEX akan menghasilkan nilai enor #VALUEI. Jika bagian merupakan bilangan negatif, BIN2HEX akan menghasilkan nilai enor #NUM!.
Contoh BIN2HEX(1
I1I
1011,4) sama dengan 00FB
BIN2HEX(11l0) sama dengan E BIN2HEX(
1
I I I 11111
1) sama dengan FFFFFFFFFF
BIN2OCT BIN2OCT mengkonversikan sebuah bilangan biner menjadi bilangan oktal.
Syntax BIN2OCT(bilangan,bagi an) Bilangan adalah bilangan biner yang ingin Anda konversikan. Bilangan tidak boleh memuat lebih daripada l0 karakter (10 bit). Bit-bilangan yang paling berbeda adalah bit untuk tancla. Sisa 9 bit lainnya adalah untuk besaran. Bilangan negatif diwakili dengan penggunaan dua notasi tambahan.
Bagian adalah jumlah karakter yang digunakan. Jika bagian
ini
dihilangkan, BIN2OCT
menggunakan jumlah karakter minimum yang dibutuhkan. Bagian berguna untuk menambahkan nilai hasil dengan angka nol di depannya.
115
6.4 Funqsi{unqsi lain vanq bermanfaat
Catatan Jika bilangannya bukanlah bilangan biner yang valid atau bilangan itu memuat lebih daripada l0 karakter (10 bi|, maka BIN2OCT menghasilkan nilai error #NUM!. Jika bilangannya adalah negatif. BIN2OCT mengabaikan bagian dan menghasilkan l0 karakter bilangan heksadesimal. Jika BIN2OCT membutuhkan lebih banyak karakter daripada yang tercantum di bagian, ini akan menghasilkan nilai error #NUMI. Jika bagian bukan merupakan bilangan bulat, ini akan terpancung. Jika bagian bukan berupa numerik, BIN2OCT akan menghasilkan nilai error #VALUEI. Jika bagian merupakan bilangan negatif, BIN2OCT akan menghasilkan riilai error #NUM!.
Contoh BIN2OCT(1001,3) sama dengan
011
BIN2OCT(01100100) sama dengan 144 BIN2OCT(l111ll I 1 1 1) sama dengan 1111777177
6.4
Fungsi-fungsi lain yang bermanfaat
Excel memiliki banyak fungsi lain dan fasilitas-fasilitas yang penting untuk ilmu rekayasa,
sains
dan teknologi walaupun tidak termasuk di dalam kategori fungsi-fungsi engineering EXCEL (lihat Gambar 6.3). Beberapa dari fungsi-fungsi dan fasilitas-fasilitas .vang bermanfaat ini akan dijelaskan di babbab lain. Lihatlah Lampiran 4 untuk Goal Seek. Solver, dan Lookup Wizard. Di sini. kita akan mendiskusikan fungsi CONVERT dan aljabar matriks.
Funrtinn qats{eryr
Fu*cli*n niim*: B*rsell
& Time
$855rtI
S, TriU
Bass*ll
$r55tll Bes:elK aL,ase E55TLY C
Bin2l'{ex
SE5$fLKtx,nI R*turns thc rnndifi*d 8*r**lfunttisn Xn{x},
gJ Gambar 6-3. Tampilan daftar seluruh fungsi untuk kategori Engineering dapat dilihat dengan mengklik Paste Function. Pergunakanlah scroll bar untuk melihat daftar seutuhnya.
(:-
.
Bab 6: Funqsi_funqsi Enqineerino
6.5
Fungsi konversi pengukuran, CONVERT
Di Bagian I . I I kita telah diperkenalkan dengan suatu fungsi lembar kerja, CONVERT. Sekarang niarilah kita menuju ke penggunaan fungsi praktis ini secara mendetail. CONVERT Fun-ssi ini mengkonversikan suatu bilangan dari satu sistem pengukuran ke sistem lain. Contoh, CONVERT dapat menerjemahkan sebuah tabel jarak dalam mil menjadi tabel jarak dalam kilometer.
Syntax CONVERI(bilangan,satuan_asal,satuan_tuj uan) Bilangan adalah suatu nilai satuan_asal yang akan dikonversikan. Satuan_asal adalah satuan untuk bilangan. Satuan-tujuan adalah satuan untuk hasil. CONVERT dapat menerima nilai-nilai teks berikut ini untuk satuan_asal dan satuan_tujuan.
Berat dan massa
Gram Slug
Satuan _asal atau satuan_tujuan
"C"
"sg"
Massa pon (avoirdupois) U (satuan massa atom) Massa ons (avoirdupois)
"lbm" "ozm"
Satuan asal atau satuan_tujuan Meter m "mi" Mil menurut hukum
Jarak
Mil untuk pelajaran (Nautical) "Nmi" "in" Inci Kaki (foot)
"ff'
Yard
"yd"
Angstrom Pica (1172 in).
"Pica"
Waktu
Satuan_asal atau satuan_tujuan
Tahun (year)
ang
yr
Hari (day)
"day"
Jam (hour) \lenit (minute)
"hr"
Detik (second)
sec
"mn"
Tekanan Satuan_asal atau satuan_tujuan
P.rrcal \t
"Pa"
rttr-r:ter
.r-rr .1tr ftrksa
(iar
"mmHg"
Sltuan_asal atau satuan_tujuan
a
"N"
\:...
(l\'n
C
-.-
'rnr'
6.5 Funqsi konversr oenoukuran. CONVERT
Energi
Satuan_asal atau satuan_tujuan
Joule Erg
"J" "e"
117
Kalori termodinamika "cal" Kalori IT "eV" Elektron volt Tenaga
kuda-jam "HPh"
Watt-jam Kaki-pon BTU Daya Tenaga
Waft
"Wh"
"flb" "BTU"
Satuan_asalatausatuan_tujuan
kuda
Magnet
"HP"
"W" Satuan_asal atau \atuan_lujuan
Tesla Gauss
Temperatur
"T" "ga" Satuan_asal atau satuan_tujuan
Derajat Celcius "C" Derajat Fahrenheit "F" "K" Derajat Kelvin
cairan Satuan_asal atau satuan_tujuan "tsp" Sendok teh (teaspoon) (tablespoon) "tbs" Sendok makan Ons cair Volume
Cangkir Pint Quart Galon I-iter
"cup"
"pf' "qf ' "gal"
"l''
Awalan-awalan Beberapa singkatan untuk awalan satuan pengukuran berikut dapat digunakan sebagai awalan terhadap beberapa pengukuran satuan_asal maupun satuan-tujuan. Awalan
Pengali
Singkatan
eksa peta
lE+18 lE+15 lE+12
"E"
tera
giga mega
1E+09 1E+06
kilo
1E+03
hekto
1E+02
deka desi senti
1E+01
mili
rE-01 E-02 I E-03
I
"P" ,.T,,
"G" .,M,,
"k" "h" "d" C
"m"
_
r..\ro r-:o0 rrko re nlto rro
Bab 6: Funqsijunqsi Enqineerinq
1E-06
lE-09
lE-12 lE- 15
"p"
"f
'
1E-18
Catatan Jika tipe data yang dimasukkan tidak tepat, CONVERT akan menghasilkan nilai enor #VALUEI. Jika satuan tidak tercantum, CONVERT akan menghasilkan nilai error #N/A. Jika satuan tidak bisa mengadaptasi suatu singkatan awalan, CONVERT akan menghasilkan nilai error #N/A. Jika satuan berasal dari grup yang berbeda, CONVERT akan menghasilkan nilai er:ror #N/A. Penulisan nama satuan dan awalan harus memperhatikan huruf besar atau kecil.
Gontoh CONVERT(1.0,"1bm","kg") sama dengan 0,453592 CONVERT(68,"F","C") sama dengan 20 CONVERT(2.5,"ft","sec") sama dengan #N/A Jangan lupa mencantumkan tanda kutip (" ").
6.6 Aljabar matriks O Rplitasi-aplikasi
aljabar matriks menyertakan pemecahan untuk sistem persamaan aljabar linier
simultan dengan beberapa variabel dan sistem koordinat rotasi. Operasi aljabar matriks yang tersedia di dalam EXCEL begitu terbatas, namun cukup mampu untuk mengerjakan beberapa hal yang bermanfaat. Apabila Anda membutuhkan operasi-operasi tingkat lanjut, Anda dapat menggunakan program-program seperti MAIHCAD,
MAILAB
atau MATHEMAIICA. Sebuah marriks
2x2 (terdiri dari 2 baris dan 2 kolom) berbentuk seperti:
(o,, ",,') [,,r: ,t:: ) Determinan matriks 2x2 tersebut berbentuk seperti:
0,, a.,)
ln',',
ur'.1=
otg22
-
at2Ltal
(6-8)
Sebagai contoh,
,1
',:15 | =tz)(5)-(7)(-3)= to+21 =31.
(6-9)
Rumus array dan bagaimana memasukkannya Sr'ruah rumus array dapat melakukan beberapa proses kalkulasi dan akan memberikan satu atau r;rt"rk hasil. Run.rus-rumus array berlaku untuk dua atau lebih kumpulan nilai yang dikenal .3r:!.ri urgumen array. Setiap argumen array harus memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. P.:.burtln rumus alray memiliki cara yang sama dengan pembuatan bentuk dasarnya, yaitu rumus 1:.i: :Lnigrl. Runtus-rumus array dimasukkan dengan cara tertentu:
6.6 Aliabar matriks
>
Pilihlah satu atau beberapa sel yang akan diberi rumus, buatlah rumus kemudian tek;ir ir,:r-.tombol CTRL+SHIFT+ENTER untuk memasukkan rumus tersebut.
MDETERM Fungsi ini menghasilkan determinan matriks sebuah
array.
Syntax MDETERM(anay) Array adalah sebuah array numerik dengan jumlah baris dan kolom yang sama. Array dapat berupa sebuah range sel; contoh: A1:C3, sebagai sebuah array yang konstan; sepenr {1 ,2,3;1,5,6;7,8,9} atau sebagai nama dari keduanya. Jika beberapa sel di dalam array dalam keadaan kosong atau memuat teks, maka MDETERM akan menghasilkan nilai error #VALUE!. MDETERM juga akan menghasilkan #VALUE! jika aray tidak memiliki jumlah baris dan kolonr yang sama.
Catatan Determinan matriks adalah suatu jumlah yang diperoleh dari nilai-nilai di dalam array. Untuk anar tiga baris dan tiga kolom, A1:C3, determinannya didefinisikan sebagai:
MDETERM(AI :C3) sama dengan Al *(B2*C3-B3,'C2)+A2x(B3r'C I -B I *C3)+A3+(B l'+C2-82*Cl) Determinan matriks umumnya digunakan untuk pemecahan sistem persamaan matematika yang memuat beberapa variabel.
MDETERM dihitung dengan keakuratan mendekati l6 digit, yang dapat menghasilkan kesalahan numerik yang kecil pada saat perhitungannya tidak lengkap. Contoh, determinan matrik tunggal dapat berbeda antara nol dan 1E-16.
Contoh MDETERM({ 1,3,8,5;1,3,6,1 ;1,1,1,0;7,3,10,2}) sama dengan MDETERM({3,6,1 ;1,1,0;3,10,2}) sama dengan 1
MDETERM({3,6;1.1}) sama dengan
88
-3
MDETERM({ 1,3,8,5;1,3,6,1}) sama dengan #VALUE! karena array tersebut tidak memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
TIPS Pergunakan mouse Anda untuk menyeleksi range di dalam lembar kerja sebagai cara untuk memasukkan bilangan-bilangan. Ini akan lebih cepat dan Anda akan terhindar kesalahan ketik. Lihat Gambar 6-4.
Bukalah lembar kerja MATRIX dan jelajahilah sambil kita membahas operasi-operasi matrik: inr
MINVERSE Fungsi ini menghasilkan matriks invers untuk matriks yang tersimpan di dalam arrar.
Syntax MINVERSE(array)
120
Ba@ t'l ,
G.1
iMATRIX.XLS
i'id#piei6 ?
i-
4 -------A---l
:H
,l
Matrix Operations
TlhrvERSE
-l
A times A INVERSE
F:r#-#
1
I
rl
1
-8-.
s
r! I
AB=C
11
IZ
21
a1
otl
Transoose of
f-r-
1
C
I
661
f---r81-:-71 tt
1i
:t
15
vpe-r-e"sl,L.o-Lplf
.tl
Iffi
tt
.-..-,,-.,-,.,,.,,.,,,,,],,.,,,,,,,,,.,,.,,.,,'i'l
Gambar 6-4. Sel H16 memuat determinan matriks C. Perhatikan rumus di dalam kotak editor sel, =MDETERM(G12:H13). Di sini AB = C. array adalah sebuah aray numerik dengan jumlah baris dan kolom yang sama. array dapat berupa sebuah range sel; contoh: A1:C3, sebagai sebuah array yang konstan; seperti 11,2,3;4,5,6;1,8,9) atau sebagai nama dari keduanya. Jika beberapa sel di dalam array dalam keadaan kosong atau memuat teks, maka MINVERSE akan
menghasilkan nilai error #VALUE!. MINVERSE juga akan menghasilkan #VALUE! jika array tidak memiliki jumlah baris dan kolom
yang sama.
Catatan Rumus-rumus yang menghasilkan array harus dimasukkan sebagai rumus-rumus array. Anda dapat menggunakan matriks-matriks invers. seperti halnya determinan, untuk memecahkan sistem persamaan matematika yang memuat beberapa variabel. Hasil perkalian sebuah matriks dengan inversnya akan menghasilkan matriks identitas. yaitu sebuah array bujursangkar dengan nilai diagonalnya adalah I dan nilai lainn1,a adalah nol. Matriks identitas 2x2 berbentuk seperti:
n0\ lo r, i
Marilah kita lihat contoh bagaimana sebuah matriks dua baris, dua kolom, dihitung. Anggaplah Al:B2 berisi huruf-huruf a, b, c dan d yang meuakili empat buah bilangan. Tabel berikut menunjukkan matriks invers Al:B2.
range
ini
MINVERSE adalah fungsi lembar pengolah angka yang sangat hemat, walaupun matriks 2x2 membutuhkan beberapa tindakan analisis. Untuk matriks 2x2 yang berbentuk,
Tabel 6-2. Matriks lnvers 2x2 Kolom A
Kolom B
Baris
'1
d/(a.d
Baris
2
c/(b"c
- a.d) a/(a.d - b-c)
- b.c) - a-d)
b/(b.c
121
6.6 Aliabar matriks
(a b\
A=l
I
[c d)
matriks inversnya diberikan sebagai,
A'=,
l(d| lAl[-,
-b) -h)l=- t (d | il) ud-bc\-t'o)
I.
Menghitung matriks invers 3x3 memerlukan banyak pekerjaan. Untungnya pekerjaan yang merepotkan tersebut dapat dikerjakan dengan komputer saat ini juga. Fungsi MINVERSE melakukan perhitungan dengan keakuratan mendekati 16 digit, walaupun kadang menghasilkan kesalahan numerik yang sangat kecil. Beberapa matriks bujursangkar tidak dapat diinverskan dan akan menghasilkan nilai error #NUM melalui MINVERSE. Determinan yang noninvers adalah 0.
Contoh MINVERSE({a,-1;2,0}) sama dengan {0,0.5;-1,2} MINVERSE({1,2,1;3,,1,-1;0,2,0}) sama dengan {0.25,0.25,-0.75;0,0,0.5;0.15,-0.25,-0.25} Gambar 6-5 menunjukkan penggunaan MINVERSE di dalam lembar kerja MATRIX.
TIPS Pergunakanlah tungsi INDEX untuk mengakses ke elemen-elemen individu di dalam matriks yang sangat besar. Ini merupakan fungsi yang kompleks. sehingga jika ukuran matriksnya kecil akan sangat mudah untuk mengkaji array-n)a secara visual.
MMULT Fungsi ini menghasilkan perkalian matriks dua array. Hasilnya adalah sebuah array yang memiliki jumlah baris sama dengan arrayl dan jumlah kolom sama dengan arcay2.
Syntax MMULT(aray1,anay2)
(anayl, array2 adalah dua buah array yang akan Anda kalikan)' Jumlah kolom cli ar:rayl harus sama dengan jumlah baris di arcay2 dan kedua array tersebut harus berisi bilangan saja. arrayl dan array2 dapat berupa range sel-sel, affay konstanta atau referensi.
Jika beberapa sel ternyata kosong atau memuat teks, atau jumlah kolom di arrayl tidak sama dengan jumlah baris di array2, maka MMULT akan menghasilkan nilai er:ror #VALUE!.
Catatan Anay a yang merupakan hasil perkalian matrik dari dua artay b dan c a4 =
\b*cq
t=l
dengan
i
adalah nomor baris dan 7 adalah nomor kolom
adalah:
(6- 10
t
.Ban 0: fungsi-fung
-;,TMtNVERSE(II8611 F
D
Matrix Operations ?
*Q,!tep$l"9*
3 4 5 b
5 0
A
*-1*
G**]-**;iG
.."..".."""^""^^^..."^*-*l
l
-'.-,.,,.,,.''-,.,,.,,'
i
1,,,,''
A times A INVERSE
0
1
0
B
0
1
Gambar 6-5. Penggunaan MINVERSE di lembar kerja MATRIX. Rumus di kotak editor sel {=1411t1y=*aE(A5:86)} berlaku untuk seluruh sel di dalam range D5:E6. Anda perlu memilih sel-sel ini dan memasukkan rumus array menggunakan Ctrl+Shift+Enter.
Marilah kita melihat ke contoh khusus yang menggunakan Persamaan (6-10):
(2 3\ \4 5)
B=l A=BC=l
l2 3)16 ll
(4
{6 ?') (8 e)
C=l
7) 12*6+3*8 l=l
s)[8 e) \+*o+s*8
7+-l*9\ t_ (ru u,) 4'k 7 +5*9) [64 73)
2+
Rumus-rumus yang menghasilkan array harus dimasukkan berupa rumus-rumus array.
>
Pilihlah satu atau beberapa sel yang akan diberi rumus, buatlah rumus kemudian tekan tombol-tombol CTRL+SHIFT+ENTER untuk memasukkan rumus tersebut.
Contoh MMULI({ 1,3;1,2},12,0;0.2}) sama dengan {2,6:la.a} MMUUI({3.0;2,0},{2,0;0,2}) sama dengan {6,0;a,0} MMUUI({1,3,0'.7,2,0',1,0,0},{2,0;0,2}) sama dengan #VALUEI. karena array pertama memuat tiga kolom dan aray kedua hanya memiliki dua baris. Garnbar 6-6 menunjukkan penggurlaan MMULT di dalam lembar kerja MATRIX. Bukalah lembar kerja itu dan jelajahilah rumus-rumusnya. Ubahlah nilai elemen matriks dan arnati hasilnya. Cobalahl TRANSPOSE Fungsi ini menghasilkan range sel vertikal sebagai range horizontal, atau sebaliknya. TRANSPOSE tidak akan menghasilkan transpose dari keseluruhan matriks hanya dalam satu kali men.illankan operasi. (Anda harus melakukan transpose satu kolom atau satu baris dalam satu waktu). TRANSPOSE harus dimasukkan sebagai rumus array (CTRL+SHIFT+ENTER) di dalam .:L'urrh range yang masing-masing rlemiliki jurnlah baris dan kolom yang sama seperti kolom dan -.::i. .1rrr). Pergunakanlah TRANSPOSE untuk mengubah orientasi vertikal dan horizontal sebuah .r;' Ji Jalam lembar kerja. Contoh, beberapa fungsi, seperti LINEST, menghasilkan aray-array :.r',li;l LI),iEST menghasilkan array horizontal untuk kemiringan garis dan perpotongan-Y -: -r. !:i-i.. Rumus berikut menghasilkan array vertikal untuk kerniringan garis dan perpotongan-
\ -::-.. LI\EST: - t i\ SP.)SE, LI\EST( nilaiY.nilaiX))
I
6.6 Aliabar matriks
c tt' D * B h4*trix *p*rati*ns t ,rartRtx.xls f fi
1
E
*
6**-1
t-1
t<
l^heator
J
{'------.---;-'r------i-'iijiEEEE-l | ----I-llli}illi!-----J
ol 5l 5 ------------S-----_] 8l 6 __ 0l
B2l Bl
I I
A limer
A.
INVERSE
'I
ol
01251
7
I s
l0
iU-::#::I f:*F= f--- 6T----l fii4T-41
111 I 1^{
it5 i
-
5l
:l
bl
I
/,8.
D
)l
1{
E6
u-qrFSHst!.[-*-***-gl.
!0
Gambar 6-6. Penggunaan operasi perkalian matriks MMULT. Rumus di dalam kotak editor sel {=MMULT-
tai) nertaku untuk seluruh sel di dalam range G12:H13. lngat: Anda harus memasukkan seluruh iumus array menggunakan Ctrl+Shift+Enter. Pilihlah range sel-selnya sebelum mengetikkan rumus Jika Anda hanya melihat satu buah masukan, berarti Anda belum memilih sel-selnya atau Anda hanya menggunakan tombol Enter. (A12:L-13,D12:f
Syntax TRANSPOSE(array) Array adalah affay atau range sel-sel di dalam lembar kerja yang akan Anda transpose. Transpose sebuah array dibuat dengan menjadikan baris pertama affay sebagai kolom pertama amay baru. baris kedua array sebagai kolom kedua array baru, dan seterusnya. Gambar 6-7 menunjukkan penggunaan TRANSPOSE di dalam buku kerja MAIRIX.
Contoh Anggap Al:Cl memuat berturut-turut 1, 2. 3. Pada saat rumus berikut dimasukkan sebagai amay ke dalam sel A3:A5: TRANSPOSE($A$1 :$C$1) sama dengan urut-urutan nilai di A3:A5.
,,,
3 - ._:;J--*^;l=rI4NSPosEiHir:Hi
A l 3 3
il 5
*
MATRIX.XLS Chapter 6
I
0
Ctt
3)i
:il
.
E
Matrix Operations
I
A
lt'l!'ERSE
I
f---6:r----81 ol I tr'51 I
A
lrres A I|'IVEPSE 1
ll
1
a
x
s
{n
ir 11
r-----r---l
#
A-B=D ?1
1
6E
57
Gambar 6-7. Penggunaan TRANSPOSE di dalam buku kerja MATRIX. Anda harus menggunakan TRANSPOSE untuk men{ranspose matriks 2x2. Rumusnya ditunjukkan dalam range J13:K13.
dJa':
Bab
6
: F1 ngg5[q ngelEngineeri4g
.\l.1abar matriks memudahkan pemecahan masalah persamaan simultan. Pertama. marilah kita pecahkan sistem yang paling sederhana yang dapat Anda lakukan cukup den-uan tangalt atau di dalam kepala. Pikirkan pasangan persamaan aljabar linier yang simultan berikut,
x+2Y=! 3x+y-5. Solusi analitis untuk kedrra persamaan simultan tersebut mudah didapatkan, yaitu x = 1,2 dan ) = 1,4. Sekarang marilah kita pecahkan persamaan-persamaan tersebut menggunakan metode matriks, (Ini bagaikan membuka kulit kacang dengan bantuan martil, namun ini hanya berupa sebuah ilustrasi sederhana). Kita dapat menuliskan kedua persamaan di atas ke dalam bentuk matriks.
:)(''r
(l
/ t\ lal
(6-ll)
[, r,l [r ] - Ir] atau dengan simbol AB = C. Dikalikan di sebelah kirinva dengan invers A,
A-rAB = A-rC sehingga B = Carilah
A-l
A-rC.
(6-12)
menggunakan lembar pengolah angka Anda, sehingga persamaan matriks kita menjadi,
/x\t_t
(
-O.2 [r,) - [ o,o I
0.4) 14)
-0.2/
\s/
(6-
l3)
Hitunglah perkaliannya dan Anda akan mendapatkan,
(r) (y/
(1.2)
-_ [t,+,/'
(6- 14)
Hasil ini sesuai dengan perhitungan analitisnya, x = 1,2 dan r,- 1,4. Kekuatan metode matriks rrenjadi jelas pada saat Anda perlu mencari solusi untuk persamaan linier simultan berukuran besar dengan jumlah variabel yang banyak. Operasi matriks mengurangi tenaga untuk melakukan opcrasi-operasi rutin semacam ini. Setelah memeriksa hasil yang Anda dapatkan, jangan lupa untuk mengembalikan hasilnya ke persamaan aslinya untuk memastikan bahwa tidak ada kesalahan yang terjadi. Kesalahan yang sangat kecil bisa saja terjadi karena lenrbar pengolah angka urenghitung invers matriks dengan ketepatan yang tidak lebih daripada 16 angka desimal. Ini dapat menrbuat nilai 0 muncul sebagai
lx1016.
6.8 Aplikasi matriks: mesin Atwood P.rJ.r tahun 1784, George Atwood dari Universitas Carnbridge menemukan mesin sederhana untuk
:ll:ntpelajari hukum Newton tentang gerak untuk kecepatan rendah. Mesin Atwood mungkin satu l: illirra sekian banyak perangkat mekanik yang populer di Internet; ada sejumlah situs yang ..::.,jrturnkan tbto dan deskripsi untuk beberapa variasi mesin ini. \l:r,ganalisis gerak rnesin menrbutuhkan pemecahan sistem persamaau aljabar linier sirnultan.
\1'::..: <:ti ntelakukan
pemodelan terhadap mesin ini dengan dua cara. pertama dengan model
125
6.8 Aplikasi matriks: mesin Atwood
ini membutuhkan matriks 2x2. (Perhatikan bahwa benda tanpa massa dan komponen mekanik tanpa friksi hanya ada secara teori.) Kedua, lebih realistis, model yang memerlukan matriks 3x3. Mesin Atwood dengan puli pejal terdapat di soal no. 10 di bagian akhir bab ini. Seperti biasa, untuk mulai menganalisis, gambarlah diagram benda bebas untuk setiap objek di atas, seperti ditunjukkan oleh Gambar 6-8. Untuk benda tanpa massa dan puli tanpa gesekan, hanya dua buah diagram benda bebas yang dibutuhkan. Setiap massa memiliki gaya tegangan 7 ke atas dan gaya berat Mg ke bawah. Berdasarkan hukum kedua Newton, jumlah aljabar gaya-gaya ekstemal sama dengan massa dikalikan dengan percepatannya. Oleh karena itu, persamaan untuk geraknya menjadi, sederhana tanpa massa dan puli tanpa gesekan;
7-Mtg=*Mfi 7'Mzg=-Mza. Kita perlu mencari tegangan I dan percepatafl a. Jangan khawatir Anda akan salah menerka arah percepatannya. Jika Anda memilih tanda yang salah untuk percepatannya, jawabannya hanya akan menghasilkan tanda yang berlawanan. Kita dapat memecahkan kedua sistem persamaan simultan sederhana ini secara langsung namun kita akan mencobanya dengan metode matriks. Mari kita tulis ulang persamaan-persamaan gerak untuk puli tanpa massa dengan jumlah yang tidak diketahui di sisi kiri dan jumlah yang diketahui di sebelah kanan,
T-Mp-MB T+M2a=M28. Sekarang kita siap menuliskan ulang persamaan-persamaan tersebut ke dalam format matriks,
(M,\ t1 -M,\/r\ 'l t:t It +u. )\t ) [ v, )' Invers matriks 2x2 didapatkan ntelalui Tabel 6-2 dan contoh di dalam pembahasan mengenal MINVERSE halaman 121.
(M, M,) 1) M) + Mt\ -l t
-l-1.
T1
tL
T2
lu,l -f+lv,l YJ Mrg
M:!
Gambar 6-8. Dua buah massa digantungkan dengan kawat antimulur melewati sebuah puli tanpa gesekar Diagram benda-bebas menunjukkan tegangan f dan berat Mg. Tegangantegangan adalah sama untuk p.r tanpa massa. Puli dengan massa M digunakan di Soal 10.
Bab 6: Fungsi-fungsi Engineering
r.':..1i :isi kiri kedua persafitaan matriks tersebut dengan invers matriks 2x2 dan masalah ini
:rir;ahkan
dengan,
(r\ _( 2M"Ml \ (,J \prr-u,) Mr+M, D::sln kata lain. 1.M
rM, T = "'"t
I
M.+M," Ll ._Ml d=-?. M, + M,'
Dengan sebuah contoh numerik, anggap Mt = 1 kg dan Mz = 2 kg, kemudian I = 4gl3 N dan g/3ms2. Percepatannya lebih kecil daripada percepatan massa yang jatuh bebas. begitulah an-sgapannya. Massa puli dapat diikutsertakan den-qan sedikit kerja tambahan; lihat Soal 10. Gambar 6-9 menunjukkan versi mesin Atwood tersebut. Apa yang terjadi pada saat dua buah massa berada dalam kondisi icientik'l Yang terjadi adalah tegangannya sama dengan Mg dan percepatann)'a sama dengan nol. Dengan kata lain, sistem berada dalam kesetirnbangan statik.
a-
Puli bermassa yang tanpa gesekan Kita dapat rnengikutkan massa puli sebagai bagian dari rnomen inersia terhadap sumbu rotasi. (Lihat Soal 10. Untuk informasi lebih lanjut mengenai nr(rnren iriersia. silakan lihat Bagian 5.7.) Gambar 6-8 dan 6-9 dibuat menggunakan Drawing Tool Ercrr rang be-ritu bermanfaat namun tidak rnampu menandingi software gambar untuk keperluan engineering.
Gambar 6-9. Mesin Atwood menyertakan puli bermassa. Momen inersia pult di sepan.jang sumbu rotasi adalah /". Gambar ini dibuat menggunakan Drawing Tool EXCEL.
127
6.9 Rotasi koordinal
6.9 Rotasi koordinat Mengapa Anda perlu merotasi koordinat? Ada sebuah alasan, yaitu tidak tertutupnya kemungkinan untuk menemukan suatu metode pemecahan sederhana dengan cara memutar sumbu. Contohsebuah benda yang meluncur di atas sebuah bidang miring lebih mudah dianalisis dengan sistem koordinat yang menempatkan salah satu sumbunya paralel terhadap bidang miring dan sumbu Iainnya regak lurus terhadap bidang miring (lihat Bagian 4-3). Untuk bidang miring, Anda hanya perlu memutar sebuah sumbu untuk mentransformasikan problem gerak ke dalam problem gerak satu dimensi. Lihat Gambar 6-10 dan 4-2.
Aljabar matriks disukai oleh banyak orang untuk merotasi sumbu koordinat karena dapat dilakukan sebagai operasi rutin, bahkan untuk rotasi tiga buah sumbu ruang. (Di dalam relativitas, Anda membutuhkan matriks 4x4 untuk melakukan rotasi empat sumbu ruang-waktu. Ini dinamakan transformasi Lorentz, namun Anda tidak perlu memikirkannya saat ini). Persamaan (6-15) menunjukkan persamaan matriks untuk rotasi satu sumbu; dalam hal ini sumbu-2, seperti nampak di Gambar 6-10. Rotasi seperti ini tidak akan mempengaruhi vektor komponen-2. Perhatikan bahwa matriks rotasi dapat dianggap sebagai sebuah operator yang mentransformasikan vektor biasa menladi vektor prima.
Icos0 I
sin 0
-sin 6 cos 0
Io
0
?ltilt.,;
(6-ts)
Mengingat kita tidak mengubah komponen-2, maka kita dapat membahas hanya komponen.r dan ini mengurangi materi diskusi kita menjadi hanya dua dimensi. Dengan kata lain. seluruh perubahan komponen berada di bidang xy. Bentuk sederhana Persamaan (6-15) menjadi
dan
y
Gambar 6-10. Sebuah rotasi sistem koordinat membuat sudut 0 yang berlawanan arah jarum 1am.
R::':
nampak dilakukan atas sumbu-z positif terhadap pusat koordinat. Vektor P adalah konstan namun pro.'.'s pada sumbu menjadi berbeda.
.
:
cos0
I(-sin I
0\ltt/r .o. e] [ sin
\
''.J
- [,;)
(6- 16)
Sebagai contoh, anggaplah terdapat sebuah vektor berukuran
l0
sepanjang sumbu-x positif.
Sebuah rotasi sistem koordinat sebesar 45 derajat melawan arah jarum jam yang diterapkan menjadi
.ebuah sistem koordinat baru dapat diwakili oleh, cos
45
sin 4-5\ I
l
l0\t-
-sin 215 cos a5/ [ 0 ]
(
l0 cos 4.s) f 7.071068) ,in +sl - [-z.ozroos/
l-to
(6-t7)
Perhatikan bahwa vektor berada di kuadran keempat dari sistem koorclinat terotasi. Perhatikan pula bahwa besarnya vektor adalah tetap, yaitu 10. (Kita ulas kembali, besarnya vektor adalah akar kuadrat dari jumlah aljabar kuadrat komponen-komponennya). Pada saat Anda menerapkan rotasi ini untuk lebih daripada satu vektor, maka Anda akan menemukan bahwa sudut relatif antara seluruh vektor tidak berubah dan seluruh besarnya pun tidak berubah. Sebuah transformasi yang membiarkan besar vektor dan sudut relatifnya ti
6.10 Fungsi lembar k
INDEX
0
Fungsi ini berguna pada saat Anda bekerja dengan sebuah matriks berukuran besar karena ini akan menghasilkan suatu nilai, atau referensi nilai, dalam sebuah tabel atau range. Berhati-hatilah: ada dua bentttk fungsi INDEX: yaitu aray dan ref-erensi. Bentuk array selalu menghasilkan sebuah nilai atau sebuah array nilai; sedangkan bentuk ref'erensi selalu menghasilkan sebuah referensi. Meskipun nampaknya begitu sederhana, namun INDEX cukup rumit untuk digunakan. INDEX(array, nomor-baris,nomor-kolom) menghasilkan nilai dari sel tertentu atau array sel dalam array.
INDEX(referensi,nomor-baris,nomor-kolom,nomor_area) sel tertentu atau sel-sel dalam referensi. Pengulangan:
menghasilkan sebuah referensi terhadap
Dua bentuk INDEX INDEX memiliki dua bentuk: array dan referensi. Ini akan menghasilkan nilai sebuah elemen di dalam sebuah array atau tabel, ditandai oleh nomor indeks baris dan kolom. Untuk Fun-ssi
matriks. silakan menggunakan bentuk array.
Syntax 1 (array) Bentuk array selalu menghasilkan sebuah nilai atau array nilai; pergunakanlah bentuk array jika rrgunren pertama terhadap INDEX adalah sebuah array yang konstan.
Syntax 2 (referensi) Bentuk reterensi selalu menghasilkan sebuah referensi.
Syntax 1 rbentuk I
\DE
\
anay)
rrrt\.nomor_baris.nomor_kolom)
.\::.rr :i;luh :ebuah range sel atau sebuah array yang
konstan.
6.'10 Funosi lembar keria INDEX
ll:
Nilai-nilai yang tidak berubah di dalam rumus alray: Dasarnya, rumus nilai-tunggal mengeluarkan sebuah hasil tunggal dari satu atau lebih orgtltllr'tl atau nilai; Anda dapat memasukkan referensi sel yang memuat nilai maupun memasukkan nilui itu sendiri. Di dalam sebuah rumus alray, yaitu rumus yang biasanya menggunakan ret-erensi terhadup range sel, Anda dapat juga mengetikkan array dari nilai-nilai yang terdapat di dalam sel-sel. .\n'lr dari nilai-nilai yang Anda ketikkan dinamakan konstanta array dan digunakan secara umum pa,1., saatAnda ticlak ingin memasukkan setiap nilai ke dalam sel yang terpisah di dalam lembar keriu Untuk membuat sebuah konstanta array, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut: Masukkan nilai-nilai secara langsung ke dalam rumus, tutuplah dengan kurung kurawal ({ } Pisahkan nilai-nilai dari kolom yang berbeda dengan tanda koma (,). Pisahkan nilai-nilai dari baris yang berbeda dengan tanda titik koma (;). Contoh, Anda dapat memasukkan {10,20,30,40} ke dalam rumus array selain memasuk}ian 10,20,30,40 ke dalam empat buah sel yang sebaris. Konstanta array ini dikenal sebagai arral 1-per-4 dan setara dengan ref'erensi 1-baris-per-4-kolom. Untuk mewakili nilai 10,20,30,40 di dalam sebuah baris dan 50, 60, 70, 80 di satu baris di bawahnya, Anda dapat memasukkan t
konstanta aray 2-per-4: { 10,20,30,40;50,60,70,80}. Isi konstanta array Konstanta ar-ray dapat memuat bilangan, teks, nilai logika seperti TRUE atau FALSE maupun nilai error seperti #N/A. Bilangan di dalam konstanta array dapat berupa bilangan bulat, desimal, maupun format ilmiah (scientific). Teks harus dituliskan di dalam tanda kutip, contoh "Selasa". Anda dapat menggunakan tipe-tipe nilai yang berbeda di dalam satu konstanta array, contoh { 1,3,4;TRUE.FALSE,TRUE }. Nilai-nilai di dalam konstanta aray harus berupa nilai yang konstan, bukan rumus. Konstanta array tidak dapat memuat tanda $. tanda kurung. atau tanda %. Konstanta array tidak dapat memuat ref-erensi sel. Konstanta array tidak dapat memuat kolom atau baris yang panjangnya tidak sama. Nomor_baris menyeleksi baris di dalam array asal untuk menghasilkan suatu nilai. Jika nomor-barir dihilangkan, nomor-kolom-lah yang diperlukan. Nomor_kolom menyeleksi kolom di dalam array asal untuk menghasilkan suatu nilai. Jika nomor-kolom dihilangkan, nomor-baris-lah yang diperlukan. Jika argumen-argumen nomor_baris dan nomor-kolom digunakan, INDEX akan menghasilkan nilai di dalam sel di antara perpotongan nomor-baris dan nomor-kolom. Jika array hanya memuat satu baris atau satu kolom, hubungan argumen nomor-baris atau nomor_kolom akan merupakan pilihan.
Jika anay memiliki lebih claripada satu baris dan lebih daripada satu kolom, dan hanra nomor_baris atau nomor_kolom yang digunakan, maka INDEX akan menghasilkan sebuah arrar untuk seluruh baris atau kolom di dalam array. Jika Anda mengeset nomor_baris atau nomor-kolom ke 0 (nol), INDEX akan menghasilkrn array nilai untuk seluruh kolom atau baris. Untuk menggunakan nilai-nilai yang dihasilkan seblg.rt array, masukkan fungsi INDEX sebagai sebuah rumus array di dalam range sel horizontal. Untui memasukkan rumus array, tekan CTRL+SHIFT+ENTER.
Catatan Nomor_baris dan nomor_kolom harus menunjuk ke sel dalam anay, INDEX akan menghasilkan nilai error berupa #REF!.
Contoh INDEX({ 1,2;3,4},2,2) sama dengan 4 Jika dimasukkan sebagai sebuah rumus arra,r, maka: INDEX({ 1,2:3,4},0,2') sama dengan {2;4}
jika tidak demikiaD llur-
Bab
6
:
ELmgll:lqlgliEngDeellg
Apa selanjutnya? K.:- rk.rn melaju dengan cepat. Bab 7 akan membahas mengenai persamaan-persamaan diferensial ::enggunakan EXCEL.
Daftar Pustaka D. Frenkel, L. Golebiowski dan R. Portugal, "Computer algebra takes on the vibrating-membrane problem," CompLtting in Science and Engineering I (2),88-93 (1999). Karya ilmiah ini merupakan contoh yang bagus mengenai penggunaan fungsi-fungsi Bessel. Di dalamnya memuat grafik-grafik evolusi waktu dari bermacam-macam model vibrasi membran berbentuk bundar untuk stimulan
lang
berbeda-beda.
T. Lawson, Linear Algebra, (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996). Ini merupakan perlakuan yang seksama terhadap aljabar matriks dengan bantuan keterampilan komputasi dan teori. Anda membutuhkan kalkulus dan pendahuluan persamaan diferensial untuk mempelajari buku ini.
MAILAB (www.mathworks.com) memiliki
Excpr- LrNr dan Marssunrlce(www.wolfram.com) memiliki Marucr,tlttca LlNr ron ExcEI-. Merncao 8 (www.mathsoft.com) memiliki komponen data I/O dengan Excpl.
Uji kemampuan Anda l. 2. 3. 4.
Gunakan CONVERT untuk menuliskan skala 37 derajat Celcius menjadi Fahrenheit. Gunakan CONVERT untuk mengubah tekanan 5000 Pa menjadi tekanan dalam atm. Fungsi RAND0. Bukalah buku kerja RANDOM dan jelajahilah untuk mengetahui bagaimana fungsi RAND0 digunakan di lembar kerja. (Buku kerja ini terdapat di folder Bab 8 di dalam CD. Lihat pula Bagian 8.8 dan 9.10).
Matriks invers. Pergunakan lembar pengolah angka Anda untuk menghitung matriks invers,
l5
[, 5.
f,\ 8.J
Kalikan matriks di Soal 4 dengan inversnya untuk mendapatkan matriks identitas,
(t o\ tl l/ l0 (Ini akan menjadi konfirmasi bahwa matriks invers yang Anda hitung di Soal 4 adalah benarbenar invers dari matriks yang diberikan).
6.
Kalikanlah matriks-matriks di bawah ini. Perhatikan bahwa hasil perkalian matriks bergantung pada urutan perkaliannya. Dengan kata lain, perkalian matriks tidak komutatif.
(t 2 3\(e 8 7)
lo s ollo s
ol=,
lz a s,/[: z t)
(e 8 7\/t 2
3\
[: :
s)
lu s +ll+ s ul=, r,J[z B
Uji kemampuan Anda
1.
Rotasi koordinat. Buatlah gambar sistem koordinat dua dimensi. Di sumbu-.r. ganrb*:.-:sebuah vektor sepanjang 3 cm. Sekarang gambarkan sebuah sumbu baru yang diput": ^ derajat berlawanan dengan putaran jarum jam, dengan pusat koordinat yang tetap. (lni ir'.:rupakan rotasi terhadap sumbu-2.) Berapakah panjang komponen-komponen vektor di drl.::: sistem koordinat yang baru? Ukurlah di dalam gambar dan hitunglah menggunakan lenrL';: pengolah angka Anda.
8.
Rotasi koordinat, Bagian 6.9. Buatlah sebuah lembar kerja menggunakan perkalian matrik. untuk menghitung komponen-komponen vektor di Soal 7 untuk beberapa sudut. (Petunjuk masukkan sudut rotasi ke dalam sebuah sel di bagian atas lembar kerja dan pergunakanlah sebagai alamat sel absolut untuk sinus dan cosinus. Ingatlah untuk mengubah derajat menjadi radianl Uji cobalah lembar kerja Anda dengan sudut yang positif dan negatif).
9.
Determinan matriks. Tunjukkan bahwa determinan rotasi matriks di soal no.8 adalah +1. Pergunakan lungsi MDETERM dalam lembar kerja Anda dan tunjukkan pula secara analitik. Nilai +l menunjukkan bahwa ini adalah transformasi ortogonal.
r0.
0 Mesin Atwoorl. Dua buah benda terhubung dengan seutas kawat yang massanya diabaikan. Benda pertama bermassa 50 kg dan benda kedua 110 kg. Kawat bergerak di bibir puli tanpa gesekan bermassa M = 2 kg dan jari-jari R = 0,3 m. Lihat Gambar 6-9. Momen inersia puli di sumbu rotasinya adalah 1= 0,09 kg m2 llihat Bab 5). Benda-benda tersebut lalu dilepaskan dari keadaan diamnya. Kawat tidak tergelincir dari puli. Berdasarkan diagram benda bebasnya. persamaan geraknya menjadi, Tr-M8=*Mra Tz-Mzg=-M2a T2R-T1R=(llR)a. Pergunakan metode matriks untuk menentukan tegangan kawat dan percepatan gerak yang terjadi. (Pakailah g = 9.8 m/sl sebagai percepatan
o
gravitasi). Bandingkan jawaban dari lembar kerja dengan jawaban
r6'
analitiknya.
Berikut ini adalah problem 1'ang lebih menantang: Gambar di samping kanan ini adalah mesin Atrvood ganda. Untuk mudahnya anggaplah kedua puli tersebut tidak bermassa dan tanpa gesekan. Massa 1-50 kg dan M: adalah 100 kg. Sistem bergerak dari keadaan diamnya. Tentukanlah percepatan setiap massa dan tegangan setiap kawatnya. Mesin ini akan lebih mudah dianalisis dengan menggunakan metode dinamika lanjutan (persamaan Lagrange)
M.J
M1 adalah 50 kg, M2 adalah
M1
selain menggunakan hukum Newton tentang gerak. Drawing Tool
Excnl digunakan untuk membuat gambar ini.
M2
ll. I
Entropi dan fungsi lembar kerja COMBIN. Beberapa mahasiswa beranggapan bahwa entropi ditemukan untuk membingungkan mereka. Beberapa orang berkata bahwa entropi didiskusikan oleh para filosof, digunakan oleh para insinyur dan dipahami oleh para ilmuwan.
Setelah mengerjakan soal ini, Anda harus mampu mendiskusikannya, menggunakannya, dan memahaminya. Entropi dikenal selama bertahun-tahun sebagai fungsi termodinamika sebelum dikenal sebagai pengukuran dari suatu ketidakpastian. Contoh, sebuah sistem yang teratur memiliki entropi rendah dan sistem yang tidak teratur memiliki entropi yang tinggi. Reaksi-
reaksi kimia terjadi, orang menjadi tua, bintang-bintang terbakar dan polusi meningkat: inr adalah aspek-aspek kenaikan entropi karena setiap sistem yang terisolasi akan mengalami kenaikan entropi. Entropi lazimnya diukur dengan satuan J/K, yaitu Joule/Kelvin. Suatu keadcttu:
'
:2
Bab 6: Funosi-funqsi Enqineerinq
nnkro mengacu pada gambaran kasar mengenai sistem. Contoh, gas dapat dideskripsikan dengan tekanan, temperatur dan volumenya. Keadaan mikronya adalah susunan khusus partikel gas tersebut. Jelasnya, bisa saja terdapat banyak keadaan mikro yang menghasilkan keadaan makro yang sama di dalam gas. Semakin banyak keadaan mikronya, maka semakin tinggi pula kemungkinan terjadinya keadaan makro. Untuk sebuah model sederhana, bayangkan empat buah koin. Di sini, I buah keadaan mikro berhubungan dengan 4 buah bagian depan koin dan 1 buah keadaan mikro berhubungan dengan 4 buah bagian belakang koin. A
paling mungkin dengan urutan paling sedikit, yang paling acak. Bukalah buku kerja ENTROPY dan Anda akan melihat bagaimana penggunaan fungsi COMBIN untuk menghitung kombinasi yang mungkin untuk sejumlah besar partikel. Carilah ke dalam menu Help untuk mengetahui lebih jauh mengenai COMBIN. Amatilah bahwa keadaan yang paling mungkin adalahjauh lebih mungkin untuk muncul dibandingkan dengan keadaan lain. Anda dapat saja
nyaris tidak mempedulikan keadaan lain yang mencapai 100 buah, khususnya ketika Anda memiliki bilangan yang besar seperti 6,02 x 1023 lbilangan Avogadro). Modifikasilah buku kerja Anda untuk memeriksa benda n = 10,50 dan 1000. Catatan: jumlah cara untuk membuat pilihan sebanyak k dari benda sebanyak n adalah nt.
kl(n dengan
nl
ada
-
k)l
"n faktorial", Entropi S diberikan s = t.38 x ro-r'
sebagai,
,r(*10,,)rr*.
Konstanta Boltzmann adalah 1,38 x 10-13. Gambar di bawah ini berasal dari buku kerja ENTROPY-2. Untuk informasi lebih lanjut, silakan lihat ke buku karya D. Halliday, R. Resnick, dan J. Walker, Fundamentals of Phltsics, Sixth Edition (John Wiley & Sons, Inc., New York, 2001) halaman 483-504. Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenai konservasi energi dan kenaikan ketidakteraturon yang diberikan oleh National Science Edu-
cation Standard. Entropy of a Binary System (Coin Toss)
0.2 0
0.00
1.00
Probability of Heads of Tails
Entropi maksimum berhubungan dengan ketidakpastian maksimum.
Bab 7 Persamaan Diferensial
Mengenai apa isi bab ini Persamaan diferensial begitu penting di dalam ilmu rekayasa dan sains karena digunakan untuk menjelaskan bagaimana perubahan suatu sistem. Di dalam bab ini kita akan mendiskusikan dua metode numerik dari solusi persamaan diferensial linier biasa kemudian membandingkannya satu sama lain. Kita akan menggunakan contoh-contoh sederhana sehingga nantinya dapat menghasilkan suatu solusi analitis yang eksak dan dapat dipakai untuk membandingkan kesalahan terhadap penggunaan metode numerik. Kita juga akan melakukan sesuatu yang sederhana berupa contoh-contoh interaktif metode elemen hingga untuk memecahkan persamaan Laplace maupun persamaan diferensial parsial yang
dipakai
di
seluruh bidang teknologi dan sains. Metode
ini akan menunjukkan
bagaimana dan
kapan referensi sirkuler digunakan di Excpr-, yang merupakan sesuatu yang biasanya Anda hindari.
Hasilnya akan ditunjukkan dalam diagram 3-D.
Di dalam bab ini kita akan mendiskusikan dua kategori umum:
. .
7.',
Nilai awal. Contoh: r(t1 = 22 dan drldt = 6, pada saat / = Nilai batas. Contoh: t'(r) = 0, untuk x = 0 dan x = ll.
0.
Operasi-operasi pendahuluan
Sebelum menggunakan metode numerik untuk mencari solusi, Anda perlu mencoba mencarinla dengan solusi analitis. Persamaan diferensial telah dipelajari selama beratus-ratus tahun, sehingga Anda dapat menemukan suatu solusi yang telah diketahui terhadap hampir seluruh problem dasar - atau bahkan problem tingkat lanjutan - yang mungkin Anda hadapi. Langkah pertama adalah mencoba untuk mengidentifikasi persamaan dif'erensial sebagai suatu bentuk persamaan yang telah diketahui. Jika bentuk tersebut tidak diketahui, langkah kedua adalah mencoba mentransformasikan persamaan tersebut ke dalam bentuk yang diketahui dengan mengubah variabelnya. Langkah ini serupa dengan mengubah suatu integral yang tidak diketahui menjadi
integral yang diketahui, contohnya dengan substitusi trigonometri. Biasanya, untuk dapat nrelakukannya membutuhkan pengalaman. Jika Anda dapat menemukan solusi analitis, maka .\nc. dapat menggunakan lembar pengolah angka Anda untuk menghasilkan tabel sepanjarg r&flle r u:.i diamati untuk nilai-nilai yang berbeda dan konstan.
Bab 7: Persamaan Diferensial
Per.amaan-persamaan diferensial biasa yang berorde lebih tinggi dapat ditransfbrmasikan ke persamaan-persamaan orde pertama, seperti yang akan kita lihat nanti. Cara ini dapat .l.ering ntungkin dipakai walaupun untuk persamaan diferensial parsial. Contoh, di dalam ilmu iinantika lanjutan, transformasi Legendre digunakan untuk mengubah persamaan-persamaan Lagrange (persamaan diferensial parsial orde-kedua iz) ke dalam persamaan-persamaan Hamilton ,per\amaan diferensial parsial orde-pertama 2n). Cara lainnya yang juga bermanfaat adalah dengan persamaan diferensial ltt,rrtisclrun variabel, yang memungkinkan Anda untuk mentransformasikan parsial ke dalam sistem persamaan diferensial biasa. Ini adalah cara umum untuk solusi masalah
j:.;nt ii:t€fil
nilai
batas.
Tabel tambahan untuk transformasi Laplace juga tersedia, sehingga Anda dapat menyederhanadiferensial biasa menjadi persamaan-persamaan aljabar. Tentu saja, metode-metode persamaan kan kemampuan pemahaman yang cukup, namun ini memang diperlukan untuk membutuhkan analitis numerik secara ef'ektif. metode menggunakan Program matematika lanjutan (Menr-r, MerHCao, MarsEra,qrtca, Merr-ae, dan sebagainya) begitu unggul dibandingkan EXCEL untuk memecahkan persamaan diferensial. Meskipun begitu, semuanya membutuhkan waktu untuk mempelajarinya, harganya pun mahal dan Anda tidak dapat melihat tahapan-tahapan apa yang dikerjakan oleh program-program tersebut.
Pertonyaon yong sering muncul
T: Mengapa pengerjaan dengan sebuah solusi analitis begitu memakon waktu ketika saya membutuhkan sebuah tabel berisi niLcti-nilai? Mengapa tidok langsung saja menuju ke solusi
numerik?
J:
Solusi numerik memberikan hasil di sepanjang range nilai yang berhingga.
Di sisi
lain,
solusi analitis memberikannya di sepanjang range variabel sehingga Anda dapat menghindari hal-hal yang tidak diinginkan. Contoh, sebuah solusi numerik Anda, namun ini mungkin menjadi tidak stabil untuk range nilai yang lain. Aliran zat cair mungkin akan mulus dan lancar untuk beberapa nilai, namun alirannya dapat tiba-tiba berputar-putar untuk sebuah perubahan kecil dari variabel yang independen atau konstan. Anda dapat mengamati gumpalan asap yang membumbung di udara diam.
7.2
Contoh: variabel yang dapat dipisah ODE
Variabel _vang dapat dipisah adalah salah satu bentuk termudah dari persamaan diferensial biasa (ODE). Jika Anda dapat memisahkan variabel-variabel - dengan meletakkan seluruh variabel fungsi yang saling bergantung di sisi kiri dan seluruh variabel fungsi yang tidak saling bergantung di sisi kanan - maka solusinya telah disederhanakan untuk keperluan perhitungan beberapa
integralnya. Tabel integral memang disediakan untuk mengakomodasikan seluruh kebutuhan Anda. Ada sebuah integrator yang tersedia di Internet yang memungkinkan Anda untuk mengetikkan fun-esi integralnya dan mendapatkan hasilnya (lihat Bab 5, Gambar 5-8). Jika Anda tidak dapat nrengintegralkan secara analitis, Anda dapat menggunakan metode di Bab 5 untuk mendapatkan pendekatan integral secara numerik. Di dalam contoh ini kita akan memecahkan persamaan diferensial biasa orde kedua dengan i-1renrrenstbmtasikannya menjadi dua buah persamaan diferensial biasa orde pertama. Setelah menj.rr:iken rolusi untuk kedua persamaan diferensial biasa orde pertama ini, kita akan menggunakan E\CEL untuk membuat tabel nilai-nilai solusinya. Sei;rlng ntarilah kita memecahkan sebuah persamaan dif'erensial. Anggaplah Anda memiliki .3rLr;rl ren.ia bermassa nr vang bergerak di dalam sebuah media cair yang kental dengan gaya ;rr .eb.rnding dengan kecepatan -R drldt, dengan R adalah gaya hambatan konstan.
135
7.2 Contoh: variabel vanq dapat dipisah ODE
Ini merupakan persoalan satu dimensi sehingga kita tidak perlu menggunakan vektor. Lihatlah Gambar 7-1. Dengan menggunakan hukum kedua Newton tentang gerak, hasil perkalian antara massa dan percepatan adalah sama dengan jumlah aljabar gaya-gaya luarnya, ma = ZF. Model persamaan kita pun menjadi,
*+ dr' = -Rd*. dt
(7-1)
Kita dapat menuliskan kecepatan sebagai v = dxldt dan percepatan sebagai a = dvldt. Sekaran-s gunakanlah substitusi di dalam Persamaan (7-l) untuk mendapatkan persamaan diferensial biasa orde pertama,
,r4' = -pr. dt
(7
-2)
Ini merupakan sebuah persamaan yang mungkin, dan mudah, untuk memisahkan variabel-variabel Mari kita meletakkan v di sisi kiri dan r di sisi kanan untuk mendapatkan,
dvR ; = -;o'
(7-3)
Sekarang kita dapat mengintegralkan kedua sisi tersebut dan memperoleh,
ff=-fiJ o'*' ln(v)=
(1
-!t+C
-4)
(7-,5)
dengan C merupakan konstanta integral yang ditentukan dari kecepatan awal. Sekarang eksponensialkan kedua sisi tersebut dan pergunakanlah aturan logaritma exp(ln.r) = x. Gambar 7-2 menunjukkan aturan ini sebagai "Hukum Napier" exp(ln Af = N. Hasilnya adalah. v = exp(ln
r) =
#T#m*ff1+
".p(-*/
(1-6t
+ c).
ffi
*e $$rri}#ffifB {rrffiHfirq*
-iW rsl 'u \*d
-3' c
Gambar 7-1.Gaya hambatan (-Rv) terjadi atas benda bermassa myang bergerak dengan kecepata' hambatan selalu berlawanan dengan kecepatan.
,
3z,z
Bab 7: Persamaan Diferensial
"# 'ft d rq \.d
df N F*.t
i ',
d
L,J lm{
ffi
7q
TV
g&FrY*v*s
ffis!0 ffiffiKffi ffirffisTIf*$
fitifi
ffiffiffi0il
1$
f*I
s[ tf; Yrtffir
Gambar 7-2. "Hukum Napier" (Ley de Napier), sebuah rumus matematika yang mengubah wajah dunia (Las 10 Formulas Matematicas que Cambiaron laFazde la Tierra). Rumus ini menyediakan kalkulasi numerik dan navigasi angkasa, dilambangkan dengan sekstan kelautan dan gugusan bintang Big Dipper di dalam perangko. Navigasi angkasa menghasilkan peta akurat pertama untuk eksplorasi dan perdagangan internasional. Hasil kerja John Napier, dipublikasikan pada tahun 1614, dipuji 200 tahun kemudian oleh Pierre-Simon Laplace, "... dengan mengurangi tenaga kerja, menggandakan jiwa para astronom".
Sekarang pergunakanlah aturan logaritma exp(A + B)
= exp(A)exp(B).
(
R\ y = exp(c_)exp[__rr. Sekarang marilah kita lihat ke kondisi awalnya, y
,
= ,',, .*p(-
=
(7
1'o
-1)
pada saat 1 = 0. Hasil akhimya menjadi,
4 r)
(7_8)
sehingga kita mendapatkan kecepatan awal 1,0 = exp(C). Persamaan (7-8) menjabarkan sebuah peluruhan eksponensial sederhana dalam kondisi sistem yang stabil setiap saat. Konstanta w*aktlt untuk proses eksponensial ini adalah r = m/R detik. Ini adalah waktu kecepatan untuk turun rnenjadi lle atau sekitar 0,367879 dari nilai awalnya. Untuk menentukan posisi sebagai fungsi uaktu. tuliskan ulang Persamaan (7-8) menjadi,
dr
,lr =
t'o
/R\ exp[-
rr.
(7
-e)
Kit.r dapat menemukan pergeseran r(r) dengan mengintegralkan Persamaan (7-9) (7-10)
'=Jvdt l'
:.-:.nr"
..'j-:
i;
C
ditentukan oleh nilai awal .r pada saat
/ = 0, yang kita
sebut
xr. Hasil akhirnya
7.2 Contoh: variabel vanq
137
daDat dioisah ODE
r =.\o .
'#[' - '*o(-#')]
(1 -11)
Akhirnya, kita mendapatkan solusi untuk persamaan diferensial biasa (ODEt orJe r:---Persamaan (7-t), dengan memecahkan persamaan diferensial biasa orde pertamo. Sc'i.::: masukkanlah solusi ini ke dalam buku kerja. Bukalah buku kerja bernama Drag-Force- I dan Anda akan melihat tampilan utaman\ a .efe:. di Gambar 7-3. Di gambar ini, data dimasukkan ke dalam sel C6:C9. Sel-sel ini diref-eren.ik,,: oleh rumus di sel-sel B12 dan Cl2 menggunakan alamat sel absolut. Sumbu waktu beradr; kolom A dan dibuat menggunakan lEditl[FilllISeriesl[Column]. Rumus di dalam sel B12 adal.,rPersamaan (7-8) yang dituliskan menjadi, =$,cs8+ExP (- ($c$7 / $cs6 ) *A12 ) . Rumus di sel Bl2 dikopikan ke sel-sel B13:Bl12. Seperti biasa, operasi kopi dilakukir, menggunakan bantuan noktah di sel. Rumus di dalam sel C12 adalah Persamaan (7-ll)yang dituliskan meniadi =$C$9+ ( ($C$8*$C$6) /$c$7) * (1-ExP(- ($c$7/$C$6) *A12) ) . Rumus ini dikopikan ke sel-sel Cl3:Cll2. Anda dapat melihat mmus ini di dalam kotak editor rumus untuk sel Cl2 di Gambar 7-3. Hasil perhitungan kecepatan dan posisi terdapat di sel G7 dan G8. Sel-sel ini secara sederhana mengacu ke kecepatan dan posisi pada saat / = 10 detik. Rumus di sel G7 adalah =8112 dan rumus di sel G8 adalah =CLL2. Kolom A, B, dan C digunakan untuk membuat grafik XI scatter untuk menampilkan hasil melalui cara yang berbeda.
H 1
Drag-Farce-1.XLS
2
Chapter 7
*l:j*ct lvitlr ffi*sistiv* firnq F*r** ,
3,
_l-.
4
Ent*r Sxtx;
5,
v
Mass m Force Constant R
I
lnitial veloc lnitial position
6
I
2 Ag
1.2 N s/m
{s0 mls 0 m
12 13 14 15 16 17
-
t,7
('-1 L-
dt
D
l\
Velocity at 10 s 0.2478r5 inls Position at 10 s {ss.3535 t?l
Time constant tau 1.66S6S7 ( Velocity at tau 36.78794. mls Position at tau {{}s.3s34 tn
10 1,1
-
n -t\
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
100 0 sffi1-{
e4.176451
8*.69204 18,84659 83.52702 27.4549S 78.66379 35.56202 74.08182 43,19696
Gambar 7-3. Tampilan utama buku kerja Drag-Force-1. Buku kerja ini menghasilkan tabel nilai menggunakasolusi analitis persamaan diferensial biasa orde kedua. Anda dapat memasukkan data baru di sel-sel C6 C3 dan mengamati hasil-hasil barunya.
Bab 7: Persamaan Diferensial
Gratrk-gratiknya berupa Kecepatan, Log Kecepatan (grafik semi-log), Posisi, Posisi dan sumbu--y kiri dan kanan dengan satu buah sumbu--r untuk menampilkan i:t: rec-itra terpisah), dan Kecepatan terhadap Posisi. Empat grafik pertama menampilkan kecepatan *::1 pr'rrisi sebagai fungsi waktu, menggunakan kolom A untuk waktu. Perhatikan bahwa grafik .rnri-log tidak dapat menampilkan nilai-nilai negatif.
(e:epatan tmenggunakan
Peltonyaan ycng sering muncul T; Contoh buku kerja Drag-Force-l mengingatkan saya akan pengosongan muutott kapasitor Apakah analogi ini cocok?
resi.stor-
massa di dalam sistem mekanika adalah analog terhadap induktansi di dalam sistem elektronika. Lihat Tabel 7-l untuk elemen-elemen yang analog. Contoh buku kerja Drag-Force-1 adalah analog terhadap pengosongan muatan resistor-induktor.
J: Tidak, karena
Tabel 7-1. Elemen-elemen yang analog di dalam Sistem Mekanika dan Listrik Mekanika
Listrik
Gaya F
Gaya elektromotif, tegangan V
Pergeseran x
Muatan listrik q
Kecepatan v
Arus listrik
Percepatan a
Laju perubahan arus dlldt
Massa m
lnduktansi L
Konstanta gaya pemulihan k
Kebalikan kapasitansi 1/C
Konstanta gaya hambatan R
Resistansi listrik R
/
Persamaan (7-8) dan (7-11) merupakan persantaan parametrlk, dengan r sebagai parameter. Gratik Kecepatan terhadap Posisi memperlihatkan suatu keistimewaan Excrl yang penting, yaitu sangat mudah mengeliminasi parameter dengan menggambarkan u sebagai fungsi .r. Data-data posisi digunakan sebagai sumbu-x dan data-data kecepatan dipetakan ke sumbu--v sehingga Anda dapat menggambarkan grafik sebuah.flrrgsi dari fungsi lainnya untuk menentukan kecepatan di setiap posisi dan pada setiap saat. Eliminasi parameter dapat juga dilakukan secara analitis tetapi di dalam kasus ini sangatlah mudah untuk mengerjakannya dengan ExcEr-. Gambar 7-.1 menunjukkan perubahan waktu untuk kecepatan dan posisi.
7.3
Metode numerik Euler
Sekaran-e marilah kita pecahkan sebuah persamaan diferensial biasa (ODE) dengan murni rnenggunakan metode numerik. Metode Euler adalah cara yang langsung dan sederhana namun J.rprt dengan mudah diperbaiki, seperti yang akan lihat nanti. Letrnhard Euler (1707-1783), salah satu matematikawan besar dunia, hidup di Swiss. Beliau :r-..:r-.5J\\rr sc-buah ide baru ke dalam kalkulus, geometri, aljabar, teori bilangan dan probabilitas. :rJtenratika terapan, beliau melakukan perhitungan untuk akustik, optik, mekanika, astronomi,
Ilj.i:r
.::..::.. 1;r iguri. statistik.
dan finansial. Marilah kita lihat bagaimana metode Euler bekerja untuk
-:.-:r tndl rans niemiliki percepatan konstan. Ini adalah ciri-ciri sebuah benda yang bergerak ':t-r !,il;. Ji Jrlent rnedan gravitasi yang konstan dan tidak ada hambatan udara. Para astronot
139
7.3 Metode numerik Euler Velocity and Position with Drag Force 180 160
140 120
80
E
100;
E
ioo o
.o
80E
6
rI
60 40 20
o
2
4
6
8
10
0 12
Time (s)
Gambar 7-4. Sumbu klri: Kecepatan (tanpa noktah) . Sumbu kanan: Posisi (bernoktah). Perubahan waktu untuk sistem massa yang tergantung ini dihitung berdasarkan data yang tertera di Gambar 7-3.
melakukan eksperimen ini di bulan menggunakan bulu ayam dan koin. Secara alami, keduanya jatuh dengan kelajuan yang sama. Dalam hal ini Galileo benar dan Aristoteles salah. Jika kita mengetahui gaya F atas sebuah benda bermassa m, maka kita dapat menentukan percepatannya berdasarkan hukum kedua Newton, a = Flm. Selanjutnya, pertambahan kecepatan
dv dan pertambahan pergeseran dr mengikuti definisi dari persamaan-persamaan berikut,
dv=adt dx=rdt.
(7
-t21
(7- 13
)
Untuk interval waktu yang berhingga, persamaan-persamaan ini menjadi,
Lv=aLt Av=vAr.
(1-14) (7- l5
)
Di dalam Persamaan (7- 14) dan (7- I 5), tanda garis di atas percepatan dan kecepatan menggambarkan nilai rata-rata dari besaran-besaran ini selama interval waktu At. Dalam bentuk yang diskret (yaitu untuk data diskret), kecepatan dan pergeseran dapat dinyatakan sebagai,
r'il+l =1'+aLt 11 n ,r,+t =,ril +vAt. n
(7- 16 ) (7 -11
t
Setelah waktu berlalu, berlaku hal-hal yang fundamental. Pertambahan waktu mengacu pada.
t,= to+ n\t.
(7-11r
Walaupun metode ini nampak sebagai tambahan yang nyata di dalam kalkulus, namun terdapat suatu kesulitan karena kalkulus memuat pertambahan percepatan dan kecepatan yang tak berhinggu dan nilai-nilainya yang seketika. Pertambahan yang berhingga dapat memunculkan kesalahan hi.. pertambahannya begitu besar karena nilai rata-rata percepatan dan kecepatan ada di Persan',;;: (7-14) dan (7-15). Hal ini akan menjadi jelas di dalam lembar kerja. Metode 1'ang lebih:k*:-:.
140
it,i;il
Bab 7: Persamaan Diferensial
perbaikan metode Euler, jnga dikalkulasi
rnodi.tikrz.st atau
an_r
b'likan ) metode Euler. Anda dapat mengurangi kesalahan-kesalahan dengan menggunakan perubahan rrlktu yang sangat kecil. Perubahan waktu yang besar digunakan di Gambar 7--5 untuk menekan kesalahan-kesalahan di dalam metode Euler dan Euler termodifikasi. r
Di dalam aplikasi-aplikasi yang melibatkan percepatan yang tidak konstan (seperri sistem ibrasi atau osilator harmonik) dan gaya-gaya yang bergantung pada kecepatan, metode Runge-
Kutta lebih baik untuk digunakan, walaupun membutuhkan lebih banyak tahapan kerja. Tiada hasil ang dicapai tanpa usaha. Lihatlah Bagian 7.4. Bukalah buku kerja EULER dan Anda dapat melihat tampilan utamanya seperti ditunjukkan oleh Gambar 7-5. Data-data masukan berada di sel-sel D5:D8. Dalam kasus ini, percepatan a(0) adalah konstan dan tersimpan di sel D6. Kecepatan awal u(0) dan pergeseran x(0) berada di sel D7 dan D8. Pertambahan waktunya termuat di dalam sel D5; keakuratannya begitu sensitif terhadap ukuran pertambahan. r
Sumbu waktu: Sel A15 memuat Sel B15 memuat Sel Cl5 memuat
judul sumbu Waktu (Time). judul sumbu Kecepatan Euler (Euler Velocity). judul sumbu Pergeseran Euler (Euler Displacement), dan
seterusnya.
Kecepatan Euler:
Sel Sel
Bl6
Bl7
memuat keceparan awal gDg7.
=B16+$D$6*$D$5
Pergeseran Euler:
Sel Cl6 Sel C17
=
=c16+B16*SD$5
f
f;lcfl.,rrl .lr,rl
ir.,,.1
--"'"
H;
FG ,1141'-
i'..*,J[1i--r'r l;i, !1r..3i
|
"'"*:i
'::i*:"
Di$plnif mer* {:on}p{r is+t Time irrrr
r
arceleralio
1.5
lnrliel
lnili.il
+
o/o
errol
rrler
k
,\ errtr
#01Y,{il *flI\,','I! -11.1111 -125800
mprffivnrnGGln ,t 90[0n 0.801]08
lmprr:ved X B
"r 4161E^14
i 92utl0l I 94rr00
"14.2857 2.15787E^14 E6E7 ^1.8861?E^14
0
"2il
n.0rlllllrl
,16
rlnN
n
1
."q6,ltt0
$s88il
0 44]flnl 0 7114[0 1
.0?9c10
1
.176Bil
1
.:25[i]
Gambar 7'5. Tampilan utama buku kerja EULER sebagai perbandingan antara metode EULER dengan metode :--=i ::-:c rkasi dan hasil analitis eksak. Pertambahan waktu yang besar adalah untuk menekan-perbedaan
^:S
d{m3 7.3 Metode numerik Euler Kecepatan eksak: Sel Dl6 =$D$7 Sel Dl7 =$n$7+SDS6*A16 Pergeseran eksak:
SelEl6 Persentase
Sel
Gl6
=$D$8+$DS7*A16+0.5*SDS6*A16^2
eror, pergeseran Euler: =(E16-C16) *100/E16
Persentase error, pergeseran perbaikan Euler:
SelH16
=(E16-K16)*100/E16
Kecepatan perbaikan Euler: Set Jl6 =$Dg7 Sel J17 =.116 + $D$ 6 * $D$ 5 Pergeseran perbaikan Euler:
Sel Sel
Kl6 Kl7
=$D$8
=K16+0.5* (J16+J17) *gDg4
Perhatikan bahwa metode Euler menghitung pergeseran menggunakan nilai kecepatan dari
titik awal. Di dalam Soal 3, Anda akan mengubah metode Euler agar dapat menggunakan nilai kecepatan di titik yang sekarang, lalu membandingkan hasilnya dengan metode standar. Di dalanr buku kerja EULER, metode Euler termodifikasi menggunakan nllai rata-rata keceparan di titik sebelumnya dan titik sekarang. Perubahan sederhana ini menghasilkan pertambahan keakuratan yang luar biasa. Ubahlah kecepatan awal dan amati hasilnya. Gambar 7-6 menunjukkan perhitungan pergeseran dengan data yang ditunjukkan di sel-sel D5:D8 di Gambar 1-4. Llhat Gambar 7-7 untuk kesalahan
di metode eksak dan metode Euler termodifikasi. Catatan: Rumus-rumus yang digunakan dalam perhitungan kecepatan dan pergeseran eksak adalah rumus kinematika standar yang diturunkan dengan kalkulus untuk percepatan yang konstan.
r(t)-lo+at
(7 -19
t
r(r)=1'o+Yot+O'5at2
(7-20
r
Persamaan (7-19) berasal dari Persamaan (1-12),
v{t1
= la, = to at = yo + (tt.
Dengan menggunakan Persamaan (7-13) dan (7-19), kita mendapatkan Persamaan (i-20). x1t1=
[ax = lv dr = Jtr, *
ctt)
dt =.r0 +
y0/
+ U,5dr-
Selanjutnya, ubahlah kondisi awal di lembar kerja. Selain melemparkan bola ke atas (sepenr ditunjukkan oleh Gambar 7-5 dengan kecepatan awal 4.9 dan posisi awal 0), marilah kira sek.id,r menjatuhkannya dari posisi awal 4.9 dengan kecepatan awal 0. Ini merupakan contoh sederhrn, benda jatuh bebas, seperti yang pernah dilakukan oleh Galileo dari menara miring Pisa. Sebelur. Galileo, ahli filsafat Aristoteles menulis bahwa benda yang berat akan jatuh lebih cepar daripri. benda yang ringan. Galileo menunjukkan bahwa semua benda akan jatuh dengan keceparln -r.' sama jika hambatan udara yang dialaminya adalah sama.
Ee! z.tereernee!-Qi&r9lq XDisplacement Comparison
c
4'0
C
o E
g 6
3,0
o
.9
o x
2n
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
,0
1,2
Time (s)
GambarT-6. Gerak.jatuh bebas dari ketinggian 4,9 m, dari keadaan diam. Hasil eksaknya mendekati hasil dari Euler termodifikasi. Benda tiba di permukaan tanah dalam waktu '1 detik. Metode Euler standar memiliki kesalahan yang berlebih dan kesalahannya makin bertambah seiring waktu berjalan. Meskipun begitu, metode Euler dapat memberikan hasil yang dapat diterima dengan memilih pertambahan yang sangat kecil.
Errors: lmproved Euler Method 1
.6E-13
't
.4E-13
12E-13 c
o E
1E 11
o
o o
o o
8E-14
.E
6E-14
.9
o uJ
4E-14
c
o
Lo
2E-'t4
-2E-14 -4E-14 Time
Gambar 7-7. Kesalahan hasil metode Euler termodifikasi untuk parameter-parameter yang ditunjukkan oleh Ga-5ar 7-4. Bandingkan kesalahan-kesalahan metode Euler standar, kolom G di Gambar 7-4.
Drn!.rri tiadirnva hanrbatan udara, seluruh benda akan jirtuh dengan kelajuan yang salna. menunjukkan sesuatu seperti yang tertera di Gambar 7-6. Kita tahu bahwa -:r j j-, "enti;.r lkan berpindah selauh 4.9 m dalam detik pertarna jatuh bebasnya, dengan mengabaikan
B-r- rjr-tu.\rrda akan
143
7.4 Vibrasi yang baik
Lakukanlah eksperimen untuk posisi awal dan kecepatan awal yang lain. Contoh, janganlah sekedar melepaskan bola. Jatuhkanlah dengan kecepatan awal yang searah dengan percepatannvii. Anda mungkin perlu mengubah skala grafiknya atau mengesetnya menjadi otomatis.
7.4
Vibrasi yang baik
Sistem vibrasi ditemukan dalam berbagai bentuk di sepanjang cakupan ilmu rekayasa dan sains. Desain mekanika mungkin akan mengalami kegagalan bila murni berada dalam kondisi statis dan tidak mempertimbangkan kemungkinan vibrasi. Ribuan tahun yang lalu tentara-tentara Romau,i telah diajari cara menyusun langkah dalam baris-berbaris. Mereka menemukan bahwa berdasarkan pengalaman, mereka harus menghentikan langkah dan berbaris sendiri-sendiri pada saat melintasi jembatan untuk menghindari runtuhnya jembatan. Pada 1 Juli 1940, Jembatan Tacoma Narows di Puget Sound, kota Washington selesai dibangun dan dibuka untuk lalu lintas umum. Jembatan ini terletak di dekat kota Tacoma, Washington. Jembatan tersebut mulai mengalami osilasi. Padal November 1940, kira-kira pukul I 1.00, suspensi jembatan ini runtuh secara dramatis karena perancangnya tidak memperhitungkan ef'ek induksi angin yang menghasilkan vibrasi. Jembatan ini dibuka untuk umum hanya beberapa bulan. Profesor F. B. Farquharson dari Universitas Washington memimpin serangkaian uji coba ata' sebuah model jembatan dan meyakinkan setiap orang akan kestabilannya. Sang profesor adalah orang terakhir yang berada di atas jembatan itu. Bahkan ketika jembatan itu mengalami vibrl:i lebih daripada duapuluh delapan kaki ke atas dan ke bau'ah. beliau malah membuat perhitungan teknis, tidak mengantisipasi keruntuhan jernbatan. Pada saat gerakan bertambah, beliau berhasil mencari cara untuk mengamankan dirinya dengan mengikuti garis simpul di bagian tengah jalan. Rekaman video vibrasi iengkap. cuplikan foto, jalan keluar Prof'esor Farquharson dan keruntuhan jembatan tersedia di lnternet melalui situs: http ://www.enm.bris.ac. uk/nonl i near/tacoma/tacoma.html.
Prototipe sebuah sistem vibrasi adalah suatu massa dalam pegas. Kita akan mulai den-tan model sederhana dari sebuah sistem satu dimensi tidak lembam (tidak ada energi yang hilang t dengan gaya pulih linier -kr. Kita dapat menuliskan hukum kedua Newton tentang gerak rua = IF untuk sistem model ini sebagai,
lll
,] ax
t-.-
.=
(1-21t
dr'
Mari kita tulis ulang menjadi,
cl2r ,1t2
k
t7-alr
nt
Pemecahan persamaan ini dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk yang ekuivalen dan seluruhnr r
telah kita kenal dengan baik sehingga tidak perlu kita buatkan turunannya. Marilah kita eeri solusinyu berdasarkan intuisi. Perhatikanlah persamaan di atas, apa yang Anda lihat? Tentu Anda melihat turunan keduu J.rr; sebuah fungsi yang berbanding lurus dengan fungsi negatif. Satu-satunyer tungsi yang kita ker:..
berbentuk khusus seperti ini adalah sinus dan cosinus, atau representasi bentuk eksponen-i'. kompleksnya yang ekuivalen (lihat Bab 10). Jika kita mencoba sebuah solusi melalui bentuk , = A exp(iroot), dengan i = .,-1 dan 12 = -1, kita akan mendapatkan tl2xltli = -o,,1.\'. rehin:-::
Bab 7: Persamaan Diferensial
,k -aiA exp(ia$t Per.amaan
=
-;
A
exp(ia;or).
(7-23)
ini berlaku untuk seluruh A dan seluruh waktu sehingga kita mendapatkan, tk
@o=
r'7
-)At
m
dengan rr,t. adalah frekuensi alarni sistem yang dinyatakan dalam rad/s. Perhatikan bagaimana tiekuensi alami sistem dipantau berdasarkan perbandingan pal'ameter-parametef simpanan energi: energi potensial yang sebanding dengan k dan energi kinetik yang sebanding dengan m. Di dalarn model sederhana ini tidak ada energi yang hilang. Mengingat Persamaan (1 -22) adalah persamaan linier, maka jumlah aljabar kedua solusi itu .juga merupakan sebuah solusi dan dapat kita tulis menjadi,
.r(r)
=A
cos(arol.)
+B sin(a,rnt)
(1-25)
dengan A dan B adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi awalnya. Per-geseran awal x(0) menentukan A dan kecepatan awal r'(0) menentukan B. Sebuah model yang lebih runiit. tetapi lebih realistis, adalah sebuah sistem yang mengalami kehilangan energi dan pasokan energi luamya berasal dari sebuah -uaya. Kita dapat menuliskan rnodel persamaannya menjadi.
d: r' m .-=-Lr*R dr-
r1t
*Fr1.
,lt
\7-26)
Sekarang terdapat tiga buah gaya terhadap benda rrr. Krtl gunakan gala pulih -kx di Persamaan (7-21), gaya hambatan yang digunakan di Persamaln t -- l r dan sekarang kita tambahkan pengaruh gaya luar umum F(r). Keempat jenis gaya luar bia:a.iigunakan terliadap uji coba dan pengukuran sifat-sifat dinamika sebuah sistem: impuls (fungsi deltar. tunesi langkah (fungsi Heaviside), sinusoidal, dan gangguan acak. Gaya sinusoidal mudah :ekali dihangkitkan melalui eksperimen di lab dan mudah sekali digunakan dengan matematika dasar. \lari kita masukkan Persamaan (1-26)ke
dalam bentuk standar.
,]
!i *2K!: *ron.r=F,,, dt' dt
(1-21)
K = Rl2m adalah kon.stonta kelemltarran. kebalikan dari konstanta waktu. Konstanta kelembaman berh,rbungan dengan konstanta waktu r untuk sistem non-osilasi dengan t = l/2K. Kita mendapatkan waktu untuk sistem rnassa yang lembam di Bagian J .1 , t = nrlR. Sekali lagi kita lihat bahwa, semakin besar massa, maka semakin lanra pula waktu peluruhannya, dan semakin besar faktor gaya hrlang, maka semakin singkat uaktu peluruhannya. Alaminya, bentuk khusus fl(t) akan menentukan bentuk solusi untuk rnenjelaskan gerak sistem. Jika F(r) adalah periodik, maka fungsi ini kerapkali bemrilnfaat untuk dapat menyatakannya sebagai deret Fourier (Bagian 4.4) sehingga masalahnya dapat disederhanakan menjadi gaya sinusoidal. Mengingat sistern ini adalah linier, respon totalnya adalah jumlah aljabar respon-respon di setiap komponen Fourier. Solusi dari Persamaan (7-21) telah kita kenal dengan baik dan persamaan itu dapat dipilahpilah menjadi tiga kategori yang bergantung pada parameter sistem: dengan
.
melebihi kelembaman (over-dampefi,
or< K
7.4 Vibrasi vanq baik kelembaman l
di bawah kelembaman (under-dampefi, ar.,>
K.
Sebuah sistem over-damped akan melentur menuju ke keadaan kesetimbangan secara relatif perlahr:.. seperti bandul di dalam oli. Sistem yang critically damped memiliki sifat yang selalu ingin kenrh.,r.
ke keadaan kesetimbangan secara cepat. Sistem yang under-damped mengalami osilasi seerr., eksponensial. Pada saat kelembaman berukuran kecil, amplitudo sistem dapat menjadi sangat be:ar hingga mendekati frekuensi resonansinya. Lihat kembali topik tentang keruntuhan jembatan Taconrr.,
Narrows.
Marilah kita lihat solusi untuk sebuah kasus menarik mengenai sistem under-damped lanr kembali ke keadaan setimbangnya setelah gaya luar dihilangkan. Sebuah cara bermanf'aat ) ang dipakai untuk menyatakan solusinya adalah,
x(t) = dengan @,
s-
xt
1*rcos( q,t)+ { (r,,,+ kx,,)/q,
= \r?, - X', yaitu frekuensi
} si
(7-18
n(ot,,t)l
t
pada saat terjadi perubahan menurun karena pengarulr
kelembaman. Lantaran amplitudo mengalami perubahan, lebih akurat bila dikatakan bahwa osilator under-damped tidak memiliki fiekuensi tunggal: hal yang demikian bukanlah peristiwa pengulangan yang seragam. Persamaan (7-28) memiliki sebuah spektrum yang membentang akibat adanva
kelembaman. Semakin kuat kelembamannya. semakin besar pula bentangan spektrumnya (lihat
Bab
ll).
Mbrasi sistem elektromekanik di dalam mikrochip yang menggunakan kristal kwarsa (quurt--) dapat mendeteksi bakteri dan virus. Lihatlah intbrmasinya di dalam Scientific American 286 (3) 20-21 (Maret 2002). Gambar 7-8 memperlihatkan sistem under-damped yang kembali ke keadaan kesetimbangan. l/e menahan laju eksponensial untuk waktu yang konstan. Gambar 7-9 memperlihatkan sistem pembuatan grafik cara sendiri yang dikendalikan oleh gaya impuls acak.
Garis
Classical Under-Damped Simple Harmonic Oscillator EXP[-(R/2m)t]
-x(t)---lle
5.00
6.00
rlME (s)
Gambar 7-8. Vibrasi under-damped dengan amplitudo yang tertahan dan garis'1/e
Bab 7: Persamaan Diferensial
lrri::
'rati
lr:tt
,ii;hat
u-i i,:rirjdj
Gambar 7-9. Menggambarkan sendiri massa di dalam pegas yang dikendalikan oleh gaya impuls acak. Lihat Persamaan (7-27). Perhalikan bahwa tikustikus tersebut harus berlari mundur. (Courtesy of PASCO Scientific, Roseville, California. www.pasco.com).
7.5
Metode Runge-Kutta
\letode Runge-Kutta lebih akurat daripada metode Euler dan lebih rnemiliki kekuatan karena hekerja dengan gaya-gaya yang bergantung pada kecepatan seperti gaya magnet pada muatan listrik yang bergerak. Metode ini membutuhkan komputasi yang lebih dalam, namun cukup sepadan. Metode Runge-Kutta dirancang untuk mendekati deret Taylor, narnun Runge-Kutla memiliki keun-egulan yaitu tidak memerlukan evaluasi-evaluasi eksplisit dari turunan di deret Taylor. Selain nrenghitung turunan, metode Runge-Kutta terdiri dari beberapa nilai bantu; cletailnya diberikan di daltar pustaka di bagian akhir bab ini. Marilah kita n-rembayan.gkan metode Runge-Kutta orde keempat dengan persamaan dif'erensial umumnya, dr dr
f (x,
t) dengan
-r(lr) = ru
(1-29)
Di :ini. l'(.r. t) adalah fungsi untuk -r dan r. lnilah yang dinamakan clengan masalah nilai uv:al. Ktla tentukan /l sebagai ukuran loncatan. Sekarang kita harus menghitung gradien-gradien ft,
k.=
'-
h.t'i.r,,. t,,)
= /l/i.i,, +
.. =
0,-5/1. /,, + 0,-5tr)
/r/i.r. + 0.5/1. ,.-r.1.
r,,
+ /r. t,, +
+ 0.5fr,)
4.,)
7.6 Metode Runqe-Kutta
147
dan gradien-gradien tersebut digunakan untuk menghitung
r(t,, + h)= -r,
* j,r, *
r
pada pertambahan waktu berikutnya.
2fr. + 2k., + k.,).
(7-30)
Akhirnya, Anda melihat ini sernua seba-qai sesuatu i'ang lebih rumit daripada metode Euler. Dengan lembar pengolah angka. Anda dapat menggunakan pertambahan yang sangat kecil sehingga Anda bisa mendapatkan hasil yang lebih baik rvalaupun men-ugunakan metode Euler dan bahkan metode Euler termodifikasi pun nlampu menghasilkan yang terbaik. Sekedar mengingatkan kembali, Anda memiliki 65.536 sel. 2-56 kolom dan 2-56 lembar kerja! Dalam beberapa situasi, Anda tidak memerlukun metode yang rumit. Sir Isaac Newton rnemberikan saran, "Kebenaran seringkali dijumpai di dalam sebuah kesederhanaan dan bukan di dalam kerumitan maupun kebingungan akan sesuatu hal." Profesor Albert Einstein (peraih hadiah Nobel pada tahun 192 l) mengatakan, "Sesuatu itu seharusnya dibuat sesederhana mungkin, namun tidak dengan ala kadarnya." Runge-Kutta orde keempat adalah salah satu dari sekian banyak metode solusi numerik. namun ini pun seharusnya digunakan dengan memperhatikan: "Untuk beberapa kalangan ilmiah, Runge-Kutta orde keempat bukan hanya merupakan kata pertama dalam integral persamaan dif'erensial biasa, namun juga rneliputi kata terakhirnya. Pada kenyataannya, Anda bisa mendapatkan hasil akhir yang cantik melalui kuda pacu yang sudah tua ini, khususnya jika Anda mengkombinasikannya dengan algoritma yang menggunakan ukuran loncatan sesuai. Pahamilah bahwa walaupun perjalanan terakhir yang ditempuh kuda pacu tua itu begitu jauh dan membawa Anda ke rumah miskin di daerah Bulirsch-Stoer atau metode prediktorkorektor, namun metode ini dapat menjadi sangat efisien untuk problem-problem yang memerlukan keakuratan tinggi. Metode-metode tersebut merupakan kuda-kuda balap berstamina tinggi. RungeKutta adalah untuk membajak sawah. Namun demikian. bahkan kuda pacu tua berlari lebih cepat dengan sepatu kuda yang baru..."
W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling dan B. P. Flannen. Ntunericul Recipes itt C: the Art of Scientific Computing. halaman 711. (Cambridge UP, Cambridge, 1991t
Berikut ini beberapa situs sebagai panduan dalam penggunaan metode Runge-Kutta: http ://www. nac se. org/sc96/DIFFEQ/mydif2/i ndex. htm http ://c sep. acns. colostate. edu/csep/ODE/NODET.html
7.6
I
Metode elemen hingga: Laplace
Sekarang kita sampai ke materi pelajaran yang berbeda seluruhnya dari persamaan dif'erensial J.,: metode yang juga berbeda seluruhnya dari solusi numerik. Saat ini kita akan mempelajari r1e flSin,:
referensi sirkular dan mematikan Automatic Calculation di ErcEr-. Persamaan dif'erensial biasa, ordinan cli.fJbrenticrL eqLrcttions (ODE), menggunakan turLr'.,, turunan total untuk mendeskripsikan proses-proses di dalam ilmu rekayasa maupun sain.. .\: -.. tidak akan ragu-ragu untuk mengambil mata kuliah mengenai topik ini secara utuh dan .\nJ., ..,.-. mempelajari metode-metode solusi khusus yang berhubungan dengan aplikasi-aplika:i Jr ::r-.mata kuliah lainnya. Walaupun begitu, turunan total tidak akan cukup untuk ntende.k:::'..-proses yang melibatkan fungsi-tungsi beberapa variabel. Persamaan dif'erensial p&r:i;;. dffirential eqturtions (PDE), dibutuhkan untuk mendeskripsikan dinamika. ntekrn;i, :-- ,termodinamika, transf'er panas, dan elektrodinamika lanjutan, sekedar untuk ntenani;. .---- -kecil. .
Bab 7: Persamaan Diferensial
P:rnr araan bahwa "jumlah aljabar turunan parsial kedua adalah nol" dikenal sebagai persamaan - -:..-.- Persamaan ini muncul dalam begitu banyak bentuk yang penjumlahan aljabar turunan :.:.r.r. ke.luanra ditan
ErY(x.
v.:t
-rTa)T-Jr-.
c)x"
.rtau
D2v(.r.
v.:)
E2Y(*,
d:'
dt'
di dalam sembarang sistem koordinat jrl, Y2V1xr,
t,:)
t7 -31
1
jr2, .r3,
-t, x,) = 0.
(1-32)
Persamaan (7-3 l) dan (7-32) mendeskripsikan beberapa sistem secara fisik; contoh umumnya ldalah temperatur kesetimbangan dalam benda padat atau medan elektrostatis di dalam sebuah r olunre ruang yang tidak mengandung kerapatan muatan listrik. Solusi analitis persamaan Laplace
telah dipelajari sepenuhnya dalam kondisi batas dan sistem koordinat yang berbeda, selama beberapa rahun. Deret Fourier, fungsi hiperbola, fungsi Bessel, polinomial dan seluruh bagian dari bendabenda menakjubkan muncul dalam solusi-solusi ini. Kadang matematika memang sulit. Hal pertama yang perlu Anda perhatikan mengenai persamaan Laplace adalah jumlah aljabar ketiga bagiannya adalah nol. Ini mengandung arti bahwa salah satu darinya harus memiliki tanda vang berlawanan daripada kedua sisanya. Sesuatu yang tidak begitu jelas, tapi mudah untuk dibuktikan, adalah bahwa persamaan Laplace menyiratkan suatu solusi di sebuah titik yang merupakan nilai rata-rata solusi di sekitar titik itu. Ini adalah kunci dari aplikasi lembar pengolah
angka kita. Kita tidak akan mendiskusikan solusi analitis yang menantang secara matematika. Sebaliknya, kita akan menggunakan Exctl untuk mengembangkan sebuah solusi numerik menggunakan kekuatan luar biasa dari metode elemen hingga. finite elemettt tnethod (FEM). Dengan menggunakan metode ini. Anda bisa mendapatkan solusi numerik yang kelihatannya tidak mungkin dilakukan secara anaiitis karena kita tidak mengetahui seluruh fungsi yang ada di alam semesta. Mari kita mulai menggunakan metode elemen hingga melalui contoh satu dimensi, sehingga Anda dapat melihat kesederhanaan konsepnya. Kita akan mencari distribusi temperatur di sepanjang sebuah batang konduktor panas. yang dibalut isolator panas, yang terbuat dari logam tipis. Salah satu ujungnya berada di sebuah keadaan temperatur, katakanlah di uap bertemperatllr 100 C dan Lrjung lainnya berada di keadaan temperatur yang lain, katakanlah di dalam es bertemperatur 0 C. Gan.rbar 7-10 memperlihatkan model untuk eksperimen ini dengan sumber panas bertemperatur konstan di kedua ujungnya dan lima buah sensor temperattlr terpasang di batangnya. Bukalah buku kerja TEMPERAIUR dan Anda akan melihat tampilan Lrtamanya di Gambar 7- I I . Distribusi temperatur berada jauh dari keadaan tetap di gambar ini. Bayangkan bahwa sebuah
Gambar 7-10. Batang konduktor panas yang dibalut isolator penahan panas terletak di antara dua buah sumber :.'.. ..'..-ce.atur konstan. Sensor-sensor temperatur terletak di sepanjang batang dengan jarak yang sama. !.s::--:' ^ serupa dengan eksperimen klasik Angstrom pada tahun '1800. Gambar ini dibuat dengan
l'2.',': -:: :
E,,=-
7.6 Metode Runqe-Kutta
149
DiE :1
!
iTEMPERATURE.XL$ t-.
:unarrter
i
i4 ,fffiilonltrr--j---p.-'ul*1 i
1 1ffff 0000811 2l 99 SSE117l
5
3 4 5 s
71
8l
sl 101
S*.99?175 SS
Til*sptrffi,&Tuffi ff tt{ A L#hiffi,,TidrFi, ft ff Press Function Key F9 to Recalculate
C(:ntlnile plessing F9 ilntil temperatures do nct change, N,lanual R€calcuation is iurned on
Fo;rt,c,i -
j*g'ee;
C |s 1,,*5 at The roC rs enclosprl rn thermal nslrlat,cn
S0i175l
TEmilEraturs
?9,9S-?&81 l il8
c
12',
f
1-3-,
O c
14:
is
E o
l
F
1.S.,
tl
100
lno IUU
lOB 100 1ofi
Finite alement rnethcd.
1S
ri$fi huti0n
s'i.99$941
7-t 1oo fioriooo
11:
n
:
191 When Ioimulas require a circular reference.
.
you may need to modifu the number of iterati+ns -lorls To fhange the number 0f rleralions, clirk ifFhom on the and tlren r|ch ti-re falc:ulatii:n lab Sele(t the iteratli:rr check h*x, an,J then tndrcdte ths rna
menx,
,
Gambar 7-11. Distribusi temperatur belum diam dalam kondisi tetap. Tekanlah Tombol Fungsi F9 berulang kali hingga temperatur berhenti berubah.
DEF.G;H J .iTEMPERATURE.xLS / , |15ntar el a
4 ljor'tion 5 ?-
t
s s
l0 1t
Trpmperature-l l Uil 001000 83.334746 31 66 66s?d6l H 50 0021 19 33,334922
1
2 4 i 6 7
:
YtrltdPfiffi &T[ itrF' ihl A I dX\iri Tl".iihl
Pless Function Key F9 to Recalculate C0n!inue prersing FS untiltemperatr:re: do n*l change
tf i
tt,)r. I
Doa rr(,r 7
irt+,1 ei l*'l: ++! i ii i,{eil ai Jegreei {
r:
The rl{1 is enclo6ed in tirerm*l insuiation TenpBrature Distrif,ution
1d 667461
0
u0{10r10
12
4i
l5j 1S
17 Finite element method.
0 lBU
: ro
o o
F
BN
6n
4n 20 0
345
1E
19 V.iherr formu'as requtre a circular referer':.-e, tfl ryou may neetl to nrcciify tl"!e nunlb*r of itaratior.l5 2l- ;To change th* number 0f iieratianl: cl!c! rlptlr:n3 *n lhe T00h
Position
menu,
,
32,andthenclickthe{laliulati':rtak, Selecttheli*i*iii>ncherkbcx,andthen 23 irndrcate thg r:a.,mur., nLrnr[rer of teratrons arrd enrount of ':harge yoLj (vant lvlirro:oii E{.pl tc uri Gambar 7-12. Setelah Anda menekan Tombol Fungsi F9 beberapa kali, distribusi temperatur yatg mencapai nilai-nilai pada kondisi tetapnya ditunjukkan di sini.
ar.'-,.
Bab 7: Persamaan Diferensial
---i;1S []e&rrl memiliki tujuh buah sensor temperatur yang letaknya saling berjarrk sama di sepanjang terdapat sumber panas bertemperatur konstan. \letode elemen hingga (FEM) mungkin analog dengan bagaimana Alam bekerja. pada saat :lurtan-muatan listrik berada di dalam konduktor, muatan tersebut saling mendorong satu sama i.rin hingga mencapai konfigurasi energi potensial minimum. Pada saat Anda menggunakan buku kerja TrurenAruRE dan LAPLACE, Anda dapat mengamati nledan-medan skalarnya ketika mereka berubah hingga mencapai konfigurasi yang stabil-yang merupakan solusi akhir-yaitu saat tidak ada perubahan lagi yang terjadi. Konclisi di alam lebih .epat daripada Excel; muatan-muatan di dalam konduktor yang baik mengatur diri mereka sendiri dalarn waktu l0-la cletik atau kurang daripacla itu. Alam pun juga kadang lebih lambat daripada Ercel; muatan-muatan kadang membutuhkan waktu tahunan untuk mengatur diri mereka r"ndi.i di permukaan isolator yang baik, seperti kwarsa.
:-Ihnra. di ujung-ujungnya
Buku kerja ini memiliki tiga keistimewaan baru, yairu:
'
Pertama, biasanya Anda menghindari penggunaan referensi sirkulctr, yaitu sebuah rumus yang mengacu ke sel itu sendiri. Para perancang Excel mengetahui bahwa beberapa aplikasi cli bidang ilmu rekayasa dan sains membutuhkan referensi^referensi sirkular dan mereka me-
nvediakannya. (Lebih lanjut mengenai sirkular, silakan lihat menu Help). Keistimewaan kedua di buku kerja ini adalah kita akan mematikan fasilitas Automatic Calculation dan mengaktifkan Manual Calculation untuk menjalankan referensi sirkular ini. Keistimewaan ketiga adalah penggunaan diagram 3-D untuk melihat hasilnya.
' '
Marilah kita lihat bagaimana menggunakan metode elemen hingga (FEM) digunakan untuk menentukan potensial listrik atau temperatur di dalam cakupan dua dimensi. Bukalah buku kerja LAPLACE dan Anda akan rnelihat sketsa sebuah kotak (lihat Gambar 1-13). Kotak kosong ini
memiliki tutup yang rapat di atasnya untuk mengisolasinya clari pengaruh luar kotak. Bagian
atasnya berupa sebuah konduktor yang berada dalam beda potensial sebesar 100 volt terhadap sisisisi dan bagian bawahnya. [Jntuk temperatur, anggaplah kotak ini berisi sebuah koncluktor panas dan temperatur di bagian atasnya diberi perbedaan temperatur sebesar 100 derajat C terhadap sisi-
sisi dan bagian bawahnya. Sebagai contoh, sisi-sisi clan bagian bawahnya ditempelkan ke es dan bagian atasnya tetap menempel dengan sumber panas. Langkah pertama metode elemen hingga adalah membagi-bagi area atau volume menjadi kisi-kisi. Selanjutnya kita akan menggunakan kisi-kisi ini dalam dua dimensi, 5 kali 5. Semakin banyak kisi yang Anda gunakan, semakin baik hasil yang akan Anda ilapatkan. Pada saat Anda membuka buku kerja, mungkin Anda sudah berada pada kondisi akhir. Untuk rnernulainya kembali, ubahlah salah satu nilai batasnya. Contoh, ubahlah salah satu nilai 100 volt Inenjadi 0 kemudian tekan Tombol Fungsi F9. Ulangilah terus menekan F9 hingga solusi berhenti berubah. Anda mungkin perlu menekan F9 hingga limapuluh kali sebelum memperoleh solusi ranc stabil. Keadaan akhirnya ditunjukkan oleh Gambar 7-13. Sekaran-u ubahlah 0 kembali ke 100 dengan menekan Tombol Fungsi F9. Hasilnya akan rrrengalami penf impangan seperti nampak di Gambar 7- 14. Lanjutkan menekan F9 hingga tercapai l',r11iiog1'11s' irang stabil. Mengingat akan kesimetrian konclisi batas, medan di dalam kotak akan ::'i!'nuniukkan pola yang simetris pula.
Lebih jauh mengenai referensi sirkular :r:
-- --:.-,1.t
': ';
ruttlus cli scl D6 (Garnbar 7-13) dan sel D5 (Gambar 7-14). Rumus di sel D6 rnengacu
i.,n lirrtrula di sel D-5 mengacLl ke sel D6. Ini adalah ref'erensi sirkular dan biasanya ir -- :r.:r r e ndupatkan peringatan buruk dari Excu (lihat Gambar 7- 15) jika Anda tidak meng:-- ,. -- \1.,'r:.,:l Rr.irilculation clan memberi tanda cek di pilihan Iteration. D-<
7.6 Metode Runge-Kqtta
151
L
LArLAT:E.xLs F!*it* El*ment Ssfl{I{i**l *$ Ls$}Eeee'$ ffiq**qi*fi
il i:
Chilrler
la :J
,,
is'r
Yw* ffinmt*rlci*t'?s
Atler Lhrrlurn! t-rturrdary acrnd(,1}ii. Ieqp Freisrru F!] uritrl the rrurfb?ri 510p tiranqrnu 10il
10rl
ll
n 0 rl
6
v
B2:dS 4f 74 5522a-
,
!r.8lill3
13{E1[4 2]
i
6
t1]l
1tB
1l]n
.r
Vcrlts or Relerence Ternperatute $fiE8g 0
41 $:5t-12 3r.6r07E1 24.5532f; l-l :2 1153i1 13.4811,{ ()
115t8
2l
v
azto
ctx'
d"v "
a2
lrBE1E 12)2\21 11844:1 1t.1t121 I.1l6f;1r; il lll3l3 5 rlnETlT 6 1:.{421 ! 34S737 3.'131313 0
*
{i
-
lrl 11
rj
X,
J3 14 J5 18
7Lr I
i;
rs
.{
.,,' I *-*m
1B
E
!0
F
21
E
,'
-'"
I
'',
' -!-
\''
:2 21
.L
rr
!.: 1g
Gambar 7-13. Tampilan utama buku kerja LAPLACE. Rumus untuk sel C5 ditunjukkan di dalam kotak editor rumus. Perhatikan bahwa rumus ini adalah nilai rata-rata sel-sel di sekitar C5. Lembar kerja ini menunjukkan keadaan akhirnya, solusi metode elemen hingga. Er =(05+C6+07+E6)i{
.1 A
i
Lnplac*'$ Equfrtisn in Tw* Bim*nsions
1 ILApLACE:XLS
Finite El*ment $*luti*n
I Lnipler /
Afrer chan6rng boundary conditi0nr, ieep prJii;ng Fg unlil the numbers rtop chengirig
CIf
a:
4j
1n0
1m
373:2,1S E0ESl35 61.35Sr9: )A 55n5l 4 L2fl7rl l8 B0rt0: :16 70691
A.i
ItBn0
tn-1
Vohs or fiefererrre Temper
46
2d 16163 0 0 13.45154 2[.55280 2:i 8i'013 21 5.'945 1].217d 0 7.178{16! 11.73[5, 13.45:5r: ]1.fr77\7 7 fl 3131313' fi.24srl-18 6.111:3t1 5.355184 3.07
ri i l"!" j
1m
lD0 dEBEAT,S
.
a
a2Y axl
D2v
fi
a.y2 --
r-1.
.t-3
14 t3
]F 17
l6
't$
)l
n 1il
x:
,
ffi
I
l
t,
-
luu
v0tl6
I
E T
o
L
E o F.
a a
za
Gambar 7-14. Nilai batas sel D4 mengalami perubahan menjadi 0 dan Tombol Fungsi F9 telah ditekan se:a- ' =. satu kali. Perhatikan pola distorsi medannya; bandingkan dengan Gambar 7-13. Tekanlah Tombol Furls =: berulang kali hingga angka-angkanya tidak berubah. Anda mungkin perlu menekannya sebanyak limapu -- ..:,
Bab 7: Persamaan Diferensial Pada saat suatu rumus mengacu ke sel itu sendiri, baik secara langsung maupun tidok langstrng, :,r dinamakan referensi sirkular. Untuk menghitung sebentuk rumus, Excel harus menghitung 'r'tiap sel yang tercakup di dalam ref-erensi sirkular satu kali dengan menggunakan hasil iterasi 'ebelumnya. Kecuali jika Anda mengubah nilai delault iterasinya, Excsl akan menghentikan per-
hitungan setelah 100 iterasi atau setelah seluruh nilai di dalam referensi sirkular mengalami perubahan nilai yang kurang daripada 0,001 antara masing-masing iterasi, mana yang tercapai duluan. ExcEr- tidak dapat memecahkan rumus-rumus referensi sirkular menggunakan perhitungan normal. Pada saat Anda mengetik referensi sirkular. sebuah pesan akan memperingatkan Anda bahwa muncul referensi sirkular (Gambar 7-15). Jika ref'erensi sirkular adalah suatu kebetulan, klik OK. Toolbar Circular Ref-erence akan muncul dan panah pencari akan mengarah ke setiap sel yang diret'erensikan secara sirkular. Anda dapat menggunakan toolbar Circular Reference untuk memindahkan setiap sel di clalam referensi sehingga Anda bisa mendesain ulang rumus-rumus atau logika untuk menghentikan referensi sirkular itu. Beberapa rumus sains dan ilmu rekayasa membutuhkan referensi sirkular. Metode elemen hingga adalah salah satunya. Sejak beberapa rumus membutuhkan ref-erensi sirkular, Anda perlu untuk mengubah jumlah iterasinya. Untuk mengubah jumlah iterasi, klik Option di menu Tool, kemudian klik tab Calculation. Berilah tanda cek di bagian Iteration lalu berikan jumlah maksimum iterasi dan derajat perubahan yang ingin dipergunakan oleh Excn (lihat Gambar 7-16). Soal-soal di bagian akhir bab ini akan memberikan beberapa praktik mengatasi referensi sirkular.
Milrosofl Excel cnnnot calculate a tormula. Cell reierences in the formula retrr tc the formula's result, creating a cirrular reference . lu'/ ane of thi follov{iftg:
. ,
If you accidentall'1 ffe.3tsd the tir{ular r*ference, clich OK, To bring up the {ircular Relerrnce toolbar ootB,$s on thE vie*, menu End choose Cirrular Referenre.
dck
Gambar 7-15. lni adalah peringatan referensi sirkular. Di dalam lembar kerja LAPLACE, sengaja digunakan referensi sirkular. Jika Anda tidak ingin menggunakan referensi sirkular, klik OK dan Excer akan menimpilkan toolbar Circular Reference untuk mengarahkan Anda dalam menelusuri referensi sirkular.
Trenvtis vles
Cu:tonrtr:ts .; i --cakuktua I
Chr4
Ee
I
cou' s€rd
I I I
Cakdlotrnn
l" {ul$'€ti. I' Aui6r-Bti( sy{spt lnb'g,
;.iss) (qii,of,r:
F0
ti' Uffil l"- Reratrglsie hel*.e sart
rlarorsi thiogr:
lor,or
wd lboo, optons 1+ Updite
I '
190{
r4iEefi.es dspia>zd
Lewta
*errs,or,
as
{ae
lJ r'
Si"e e\teBaltirkeahrJ
' iuept
taoers rn
lonrutas
systear
Gambar 7'16. (irk [ools][Options] dan Anda akan melihat kotak dialog seperti ini. Kotak lterasi nampak telah .ae' '-z'22 :e( can rterasi maksimumnya adalah 100.
7.6 Metode Runqe-Kutta
TIPS Dimungkinkan untuk mentransfbrmasikan persamaan dif'erensial parsial ke dalrint ..-..' persamaan diferensial biasa menggunakan metode pemisahttn varial:tel. Contohnrt ri.rl-j.. persamaan Laplace tigar dimensi, Anda dapat memecahkan tiga buah persamaan diferei:.., biasa orde kedua setelah variabel-variabelnya dipisahkan. Hal ini seringkali begittr IlLr.l,, untuk memecahkan dua atau tiga buah persamaan diferensial biasa ketimbang satll bu.: persamaan diferensial parsial. Lihat Bagian 7.7.
Nampaknya begitu sarat akan ilmu dan begitu berguna saat melihat tampilan diagralll drt., dua dimensi dalam wujud diagram tiga dimensi seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 7- l7 darr 7-18. Gambar-gambar ini berada di dalam lembar kerja. Lihatlah kembali ke Gambar 3-16 di Bab 3. Ini merupakan kotak dialog 3-D )an! r.nr'mungkinkan Anda mengontrol sudut penampilan 3-D dan diagram permukaannya. KIik saja bagirtrl dalam diagram dan pergunakanlah mouse untuk memutar diagram.
L
H
{,
l.*
o ij:
Gambar 7-17. Solusi metode elemen hingga untuk persamaan Laplace dalam dua dimensi. Anda dapat me - a: tampilan diagram dengan mengklik tab 3-D di bagian bawah buku kerja LAPLACE. Perhatikan pengE--::judul vertikal untuk "Volts or Temperature". Anda dapat mengontrol orientasi judul melalui pilthan Altgr-:-: Gambar ini dihasilkan hanya dengan kisi-kisi 5x5. Gambar akan nampak lebih mulus dengan lebih ba-,:' elemen.
;t
Bab 7: Persamaan Diferensial
d) L J
{v L
$ E Itl
F s rt 3
a
Gambar 7-18. Solusi metode elemen hingga untuk persamaan Laplace dalam dua dimensi,
x
dan
y. Lihalah
diagram ini dengan mengklik tab Surface di lembar kerja Anda dapat melihatnya berwarna d-i monitor; perhatikanlah perbaikan berupa kejelasannya secara grafik.
7.7
Pemisahan variabel-variabel PDE
0 Marilah kita melihat sebuah contoh pemisahan tutrictbel untuk transfbrmasi persamaan diferensial parsial (PDE) menjadi sistem persamaan diferensial bia:a (ODE). persamaan Schrodinger merupakan persamaan dif'erensial parsial yang memberikan kita transistor. laser, Silicon Valley, dan komputer yang sekarang Anda gunakan. Erwin Schrodinger nremenangkan hadiah Nobel pada tahun 1933 untuk persamaannya, yang merupakan salah satu runrus dasar mekanika kuantum. Persamaan Schrddinger tidak akan membantu Anda untuk membansun jembatan atau mobil, tetapi membantu Anda untuk menghasilkan baja yang terbaik dan rnaterial-n.raterial lainnya yang akan digunakan untuk merrbuat jembatan dan mobil. Kita akan menemukan model-model osilasi sebuah elektron yang akan mengingatkan Anda kembali mengenai r ibrasi 1,ang ditunjukkan di dalam film mengenai jembatan Tacoma Namows sebelum keruntuhannva. Kita akan menggunakan persamaan dif-erensial parsial Schrddinger pada sebuah massa yang terletak di dalam sebuah sumur potensial persegi. Ini adalah model sederhana dari sebuah elektron yang terperangkap di dalam sumur kuantum di mikrochip, yang akan menghasilkan laser mini. Tidak seperti dioda laser, frekuensi sumur kuantum ditentukan oleh ukuran sumurnya. Metode elemen hingga (FEM) sering digunakan untuk memecahkan masalah kuantum yang lebih rumit. Persamaan Schrcidinger berbasis pada infonnasi dua bit. Max Planck (pemenang hadiah Nobel 1918) menemukan secara eksperimen bahwa energi E terkuantisasi sebagai E =
lta.
dengan fi
7.7 Pemisahanvariabel-variabel PDE adalah konstanta Planck dibagi dengan 2x, dan a,l adalah frekuensi radian (rad/s). Nilai ekspenmen konstanta fisika dasar fi adalah 1,0-52 x l0-rl Joule-s. Dalam disertasi doktorainya. Prince Louis Victor de Broglie (pemenang hadiah Nobel tahun 1929) menyarankan bahwa momentunl mekanika mv agar dihubungkan dengan panjarrg gelombang cle Broglie i ntelalui hubungan sederhana )" = hlmv. Nilai h adalah 6.63 x 10 } Joule.s. Rumus Prince de Broglie begitu cepat dikonfirmasikan dengan eksperimen di Laboratoliuru Bell (sekarang Lucent Technologies) dan ini dipertimbangkan untuk menjardi salah satu dari sepuluh
rumus yang rnampu mengubah r.r,ajah dunia. Lihatlah Gambar 1-19. Ini juga merupakan clasar mikrclskop elektron karena sebuah panjang gelombang elektron dapat menjadi jauh lebih pendek daripada cahaya tampak clan zt dapat diatur dengan tegangan. Ernst Ruska memenangkan hadiah Nobel pada tahun 1986 atas penemuan mikroskop elektronnya. Jika terdapat suatu panjang gelombang, bagaimana pcrsamaan gelombangnya? Schrddinger rneletakkan intbrmasi dua bit dari Planck dan de Broglie secara bersaura-silura kemudian rrrembentuk persamaan,
-*r'*+w=ih#
(7-33
)
dengan Y adalah fungsi gelombang yang mendeskripsikan massa tn, i = , -l clan V aclalah fung:i energi potensial, yang di sini digunakan sebagai operator di dalam Y. (Lihat Bab l0 untuk inforrnasi lebih jauh mengenai i). Solusi Persamaan (7-33) adalah sangrt sensitif terhadap bentuk I/. Persamaan (7-33) nampak sulit. tapi marilah kita menerapkannya ke dalam sistem sederhana kita berupa
sumur potensial kotak satu dirnensi. Di dalam sumur. V adalah nol, kecuali di dindingnya. Di dinding sumur, V dapat diasumsikan bernilai sangat besar atau bahkan tak berhingga. Dengan asumsi sederhana di dalam sumur ini. Persamaan (7--33) dapat disederhanakan rnenjadi,
h) -.
tttt
olY J
dx-
._aY
= ll1:
-
c)t
(
7-3+
)
#-*d
*-.T{
@
J
1i ksd ,d
#
srffi
#
L# rM
n*y
1
fl.r
f,Hffit'${ffi
*-
ffi$$i
ffif*ffiffiffiWffit&$ffiwfl&-ffffiffi
Gambar 7-19. Persamaan Prince Louis Victor de Broglie adalah sebuah rumus yang mengubah '$ae' :-- . Perangko ini menunjukkan aplikasi )" = hlmv untuk mikroskop elektron. Lingkaran-lingkaran mela-:a-1. =difraksi dan interferensi elektron.
Bab 7: Persamaan Diferensial
S:iirrans marilah kita lakukan pemisahan. Diberikan Y(x, r) = r{k)T(t). Dengan kata lain. r..:. :l.nSansgap bahwa fungsi yang terdiri dari dua buah variabel dapat dituliskan sebagai perkalian '].-; bulh fun-usi lainnya. Salah satu dari fungsi baru ini (r7r) bergantung hanya pada x dan fungsi r"n lainnra (I) bergantung hanya pada r. Substitusikan perkalian Wx)T(t) ke dalam Persamaan ---i-lr dan Anda akan mendapatkan,
dTtn .. ^ d2w(x) '- = tnv(xl 2m dt' dt h)
(7-3s)
Dari Persamaan (7-35) kita mendapatkan perubahan turunan parsial terhadap turunan total karena setiap fungsi di dalam perkalian adalah suatu fungsi yang hanya untuk satu variabel. Sekarang bagilah kedua sisi persamaan tersebut dengan V4x'lT(t),
_n2 fQ) 2m
,t2VG) _
ty(x)T(t) dxz
ih tt/\y)
dTlr)
tl/(.\tT(tl
dr
(1-36)
dan buang beberapa fungsinya untuk mendapatkan,
f12 I d)ttt(x) .. I (tT(t) = ttt T\t) dr V/(xt dx'
2m
(7
-31)
Sekarang di sisi kiri hanya merupakan sebuah fungsi x dan di sisi kanan hanya merupakan fungsi r. Bagaimana sebuah fungsi yang terdiri dari sebuah variabel bisa sama dengan fungsi lain yang terdiri dari sebuah variabel lain? Ini dapat menjadi benar hanya jika kedua fungsi tersebut sama dengan suatu konstanta. Inilah yang kita namakan konstanta pemisahan. Kita berikan konstanta pemisahan sebagai E. Anda dapat memilih huruf apa saja yang Anda inginkan untuk konstanta ini, namun saat ini kita namakan E karena saya mengetahui tahapan selanjutnya dan pilihan ini akan memudahkan nantinya. Kontanta pemisahan E akan dikeluarkan menjadi energi. Sekarang kita telah menyelesaikan tugas utama kita. Selain sebuah persamaan diferensial parsial yang rumit, kita pun memiliki sebuah sistem dari dua buah persamaan diferensial biasa yang kita lihat di bagian awal bab ini:
,l2v(r\ 2mE . Ur(.l dx' = -- 11' dT(t\ E T(r). dr = -itt
)
(7-38)
(7
-3e)
Untuk menghemat tinta printer, kita akan memisalkan 2mE/lt2 = k2 dan Elifl = -i ro. perhatikan bahwa Elitt = -ir.rr merupakan hukum Planck. Dengan perubahan ini marilah kita ulang penulisan persamaan diferensial biasanya menjadi,
d2w(x) ox
,)
1 = -k- tt/(.t \
dTttt dt
(7-40)
(1-41)
Persamaan (7-40) adalah persamaan untuk model osilator harmonik tua yang kita pelajari di Basian 7.-1. namun kini kita memiliki sebuah vibrasi di ruang r, bukan dalam waktu l. Selanjutnya, Persantaan (7-'11) akan nampak seperti model peluruhan eksponensial di Bagian 7.1, kecuali i.
t3'
7.7 Pemisahan variabel-variabel PDE
Marilah kita letakkan t/40) = 0 dan r7,(L) = 0 di kedua kondisi batasnya yang berbat;r.rrl dengan sumur potensial di x = 0 dan memiliki lebar t. Untuk persamaan waktunya, kita tentukun
I(0) =
70.
Persamaan (7-4 I ) merupakan persamaan diferensial biasa dalam bentuk variabel yang yang pernah kita lihat sebelumnya dan dapat kita tulis sebagai,
dr T
=
Tltl =
(7-ll
-i.", ,lt.
dengan solusinya berupa, Tue
terpi.,l:
'
i,',.
(7--ll
r
Sekarang marilah kita lihat apa yang dikatakan oleh persamaan osilator harmonik kepada kita. Solusinya akan berupa,
\4x)
=A
cos(Lt) + B sin(kr).
(1-11t
Kondisi batas di x = 0 memerlukan A = 0 karena, (7-45
0=Acos(ft0)+Bsin([O).
r
Kondisi batas di x = L lebih menarik: (1-16t
0 = B sin(kZ).
Jika B = 0, kita tidak mempunyai solusi, sehingga Persamaan (7-46) hanya dapat berguna jika.
kL =
ntt
n = 0, 1, 2,3,
"'
(1 -11
\
Kita dapat mengabaikan rr = 0 karena, seperti kita lihat secara singkat, ini berhubungan dengan kasus yang menyangkut probabilitas menemukan benda di dalam sumur adalah nol. Jadi kitr mendapatkan,
k,=T,
n=t,2,3,.
(7-.18
r
Kita perlu memberikan subskrip n terhadap ft untuk mengidentifikasi k dengan nilai kumpulan rr. Perhatikan bahwa ini merupakan sesuatu yang telah kita dapatkan untuk vibrasi jembatan Taconla Narows atau sebuah dawai biola, kecuali bahwa /z tidak muncul di Persamaan (7-48). Bilangan bulat n dinamakan bilangtnt kuantum. Begitu bermanfaat untuk memperhatikan kemunculan bilangan kuantum ini ketika mencapai kondisi batas. Diulangi kembali bahwa kita telah menggunakan 2mEl tt2= ft2 dan kita perlu menamai E sehingga kita mendapatkan,
2mE.. ) h2 -"n-
,r'1T=
(7--lq
L2'
Akhirnya kita memperoleh tingkat-tingkat energi terkuantisasi: CL),
"
,: --.
r'rr'
r -l'
2mL-
Marilah kita meringkas beberapa hal yang penting: . Tingkat-tingkat energi mengalami kuantisasi-hanya energi tertentu ,vang diperbolei... Tingkat-tingkat energi tidak berjarak; tingkat-tingkat energi bertambah sebe.ar , . Bilangan bulat (bilangan kuantum) muncul ketika kondisi batas tercapai. :ebr!:-*'.--tercantum di mekanika klasik.
,
Bab 7: Persamaan Diferensial
Energi di setiap level bertambah secara cepat mengikuti penurunan L. Dengan kata lain, men-eikat elektron akan menghasilkan tingkat energi terkuantisasi
Y,,(x, /) = B,,sin(k,,x)7oexp(-i
at,| = B,,sin(fr,,.r)e
den-qan konstanta Z0 telah diserap ke dalam konstanta
xp(-i a,,i)
(7-s I )
8,.
Bagaimana kita menentukan nilai 8,,? Max Born (kakek Olivia Newton-John) memenangkan hadiah Nobel pada tahun 19521 atas jawabannya terhadap pertanyaan tersebut. Prof'esor Born Ir.renginterpretasikan Y sebagai probabilita.s antplitudo yang dimiliki oleh sebuah benda bermassa
ttt. Hari
ini hampir setiap orang percaya bahwa interpretasi statistik ini benar, karena nyatanya
memang bekerja dengan baik.
Probabilitas menemukan massa m seluruh sumur potensial adalah 1, sehingga kita dapat menotmalkan fungsi gelombangnya menjadi l. Kita tidak dapat melihatnya secara detail di sini, namun bisa dikatakan bahwa kerapatan probabilitasnya adalah Y*Y dengan Y* adalah konjugasi kompleks Y. (Lihat Bab l0 untuk mempelajari mengenai konjugasi kompleks. Di dalam Bab l0 dan ll Anda akan melihat bahwa kerapatan spektnun clat'o dart sistem mekanika klasik memiliki bentuk matematika yang analog). Kerapatan probabilitas adalah seperti bentuk-bentuk kerapatan lainnya - kerapatan massa contohnya. Anda dapat mengintegralkan kerapatan massa di dalam ruang untuk menentukan berapa banyak massa yang ada. Serupa juga dengan probabilitas, .I
t = J,, [4,sln(k,,x) exp(+ia,,/)] [4,sin(k,,.r) exp(-rar,,r)] d-t
(1-s2)
sehingga kita mendapatkan, 2
4= [:
sin21k,,r1 d,r
(7-s3)
L
Setelah kita melakukan integral terhadap Persamaan (7--53), kita akan rnemperoleh fungsi gelombang
lengkap,
Y,(-', r) =
t2
\L
,
sin(k,,r)
exp(
- i to,,t
)
(7
-54)
Bukalah buku kerja QUANTUM dan Anda akan melihat tampitan utamanya seperli di Gambar 7-20. Perhatikan bahwa Persamaan (7-53) dimasukkan ke dalam sel B11. Di dalam buku kerja ini .{nda dapat memasukkan data dengan lebar sumur sebesar Z dan bilangan kuanturn n. Buku kerja ini dipersiapkan untuk sebuah massa elektron dan menghasilkan nilai tingkat energi serta frekuensi cahava untuk transisi antara tingkat n dan n + l. Grafik fungsi gelombang dan kerapatan probabilitasnya ditunjukkan pula.
Pertonyoon yong serirg muncul BLi!ditndno sova dapat menghitung fiekuensi cahayo dari elektron di perbatusan? dipol listrik, distribusi muatan elektron 4 harus berubah melalui beberapa rirn-\iilletris. seperti di antena radio dipol. Perhatikan bahwa hanya sejumlah integral 'i.; :.:i::,,:r .erengrih qelombang yans diperbolehkan. Tingkat terendahnya adalah setengah
J:
L ntuk radiasi
159
Daftar pustaka
g
.l
T*-a -: B-*l c--,F1 QUAHTUM.XLS &uantxr* S{iciare W*!! Rl1
?
=5!ElEj$a$i)"Str.ii$a$d.Ft0"A11t$f,$51
Chapter 7
+
4
Energy level n
b
Well width
{must be an integeri
E{n)
nm
6
Ein+11] detta E
7
Outpd Frequencyl
L
I o
10
Wave Function n
:x
Probability Densitv n
1!l0Lq!000 12 5 0.022123? 0.0004A9 i
10 0.0437016
tJ
15
1* lrn
1
lzt lrr I
*i
1l{:
{
0.00691
0 0't 25 0.1 30 0.r 144123 0.01309 35 0.1360074 0.015878 40 0.1 344997 0 01 809 45 0.1 396802 0.01 951 50 0.1414214 0 0: 55 0.1 396802 0.01 951
lrn
1.'
0.064204 0.004122
2D 0.08312s4
lre ln, l|, Irs ire
0.00191
1
Wave Fu,-rctior't
r"1+
Probability
i
Dpnsihl [+
:l
0.0437016
0.00191
0.0831254
0.006s1 0.01 309 0.0180s
a1M4123 344957 0.1414?14 0.1 344997 a 144123 0.0831?54 0.0437016 1 733E-17 -0 043701 6 0.1
i
nn1 0.01809 0.0130s 0.006s1 0.001s1 J tr-J4 0.00191
l
} )')\Mdr,i wa(p Ferbql! f Le\ei n / Le!!l,..1 ! J,.nd&. LP ;ti,4
Gambar 7-20. Tampilan utama buku kerja QUANTUM Fungsi gelombang untuk tingkat energi 1 dan 2 ditunjukkan di sana. Keluaran frekuensr diperlihatkan dalam wilayah gelombang mikro dari spektrum elektromagnetik.
gelombang, tingkat keduanya adalah gelombang penuh. (Ini adalah panjang gelombang de Broglie, bukan panjang gelombang foton). Hasil akhirnya didapat pada saatAnda menghitung momen dipol listrik qx yarrg menghubungkan tingkat energi berbeda, Anda temukan bahwa transisi dipol dapat terjadi antara tingkat yang berdekatan karena transisi dipol memiliki simetri yang bolak-balik. Frekuensi cahaya sebanding dengan perbedaan energi-energinya. Contoh. energi antara dua tingkat pertama liekuensi foton adalah oz- @r.Ini merupakan hasil matematis ketika Anda tidak dapat melihat visualisasi argumen fisikanya. Hal ini merupakan sesuatu yang sama dengan yang Niels Bohr (pemenang Hadiah Nobel 1922) temukan di bagian palin-s awal teori semi-klasiknya mengenai atom hidrogefl, 8,,*l - E,,= tt(o),,*t - a,), dengan ri adalah bilangan bulat. Lihat Gambar 1-21 . Lrhat pula sel-sel G4:G1 di Gambar 7-20.
Apa selanjutnya? Di Bab 8 kita
akan menjelajahi beberapa aplikasi
di dalam Analysis ToolPak. ToolPak sudic
tersedia dengan beberapa lasilitas bermanfaat namun memerlukan begitu banyak bab untuk nt.-r:jelaskan seluruhnya. Akhirnya kita hanya mencoba sebagian kecil yang paling sering disunak". saja dan Anda akan mempelajari sebagian yang lainnya ketika - dan jika - Anda membutuhkannr ,
Daftar Pustaka ODE Architect, the Ultimate ODE Pov:er Tool.s, CD (John Wiley
&
Sons, Inc..
\err \bri. ---
Bab 7: Persamaan Diferensial
ilE'-rElrlmfilmEfE
Fr
.qir'f{pk"q
Gambar 7-21. Energi kuantum adalah hV dengan h adalah konstanta Planck dan frekuensi yang dinyatakan dalam Hz diwakili oleh v, huruf Yunani yang dibaca nu. Huruf Romawi v (vi) tampak sama persis dengan huruf Yunani y.
J.A. Roberson dan C. T. Crowe, Engineering Fluitl MeclrLn rc'.i. Sirth Edition (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997). Persamaan Laplace hlm.660-661. metode dit'erens hingga hlm.612-619.
J. Jin, The Finite Element Method in Electromctgneti('s. (John Wile1, & Sons. Inc., New York, I
993).
M. Abramowitz dan I. A. Stegun, Hondbook of Motherrrutitri Furtttiorts vt'ith Formulas, Graph.s, and Mathematical Tables. (Dover Publications, New York. 197-1). Halaman 875-899 mengacu ke metode-metode di bab ini. Buku ini juga tersedia dalam bentuk hardcover dari U. S. Government Printing Office di situs http://www.gpo.gov. Stock Number: 003-003-00279-8.Ini adalah National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55 )rang terkenal. Cetakan ke-10, 1972, dengan koreksi; dicetak ulang tahun 1984. Buku ini menyediakan ba-si para insinyur dan ilmuwan sebuah perbandingan maupun catatan rangkuman sendiri dari beberapa fungsi dan metode matematika yang dibutuhkan dalam problem-problem fisika dan ilmu rekayasa. (National Bureau of Standards sekarang bernama National Institute of Science and Technology, atau NIST. Situsnya adalah http:/ /www.nist.gov.
lni adalah situs yang
C. Arfken, Mathemtfiic:al Methocls l9tt5) hlm. 492-493.
bagus, Anda perlu rnengunjunginya).
for
Physicists,3rd Edition (Academic Press, Orlando, Florida.
J. H. E. Cartwright dan O. Piro, "The Dynamics of Runge-Kutta Methods." Int. J. Bifurcations Chaos 2. 421-419 (199D. http ://formentor.uib.es/-j ulyan/TeX/rkpaper/roor/roor.html.
J. D. Lanrbert dan D. Lambert, Numerical Methods.for Ordinan Dffirential Sy,stems: The Initial \hlue Probleri. (John Wiley & Sons, Inc., New York, l99l). Bab 5.
Uii kemampuan Anda
S.A.Teukolsky dan W. T. Vetterling. "Runse-K.ri:- \i, "Adaptive Step Size Control tor Runge-Kutta." Bagian 16. 1 dan 16.2 dalattt .\.ri,.' in C: The Art of Sc'ientific' Computing, second edition (Cambridge Unirersitr Pre'.. I England, 1992). hlm. 104-116.
W H. Press, B.
P. Flannery,
Aplikasi-aplikasi algoritma Euler dan Feynman: http://www.kw.igs. net/-j ackord/j 6.html http :///www.kw. igs.net/.-j ackord/bp/f I .html Penggunaan Euler dan Runge-Kutta untuk memecahkan persamaan diferensial biasa ordl' perlrrt dan kedua: http ://www.nac se. org/sc96/DIFFEQ/mydif 2/index.html
..
http ://c sep. acns. col ostate.edu/c sep/ODE/NODE7.html. http ://ww w. shu. ac. uk/schools/sciimaths/ssu Jurnal Spreadsheet User.
ser
/
http://www-math. mit.edu/-djk/ I 8_0 I 3a/chapte126/sections.html Catatan dalam analisis numerik persamaan diferensial biasa.
L. N. Long dan H. Weiss. "The Velocity Dependence of Aerodynamic Drag: A Primer lbr Mathematicians," American Mathematical Monthly, 106, 121-133 (Februari 1999). Lampirannya memuat sebuah model untuk memasukkan kembali pesawat ruang angkasa ke dalam atmosfer Bumi, 1'ang merupakan solusi yang mendekati bentuk sesungguhnya.
Uji kemampuan Anda 1.
Metode Euler termodifikasi. Tunjukkan bahwa persamaan dif'erensial biasa
4=,_, d.r
memiliki solusi eksak _l'(x) = ls r + -r - 1, untuk kondisi awal .v = 1, r = 0. Pergunakan metode Euler termodiflkasi untuk mendapatkan solusi r'(;r) untuk r = 1 sampai 5 dengan kenaikarr sebesar 0. l. Hitung dan gambarkan perbandingan kesalahan terhadap solusi eksaknya.
2.
Hitunglah Soal I dengan kenaikan sebesar 0,01. Hitung dan gambarkan kesalahan-kesalahan antara Euler. Euler termodifikasi. dan solusi eksak.
3.
Persamaan Laplace. Buatlah sebuah lembar kerja untuk mengerjakan solusi elemen hingga satu dimensi dengan persamaan Laplace untuk distribusi temperatur di dalam kabel tipis atau batang pejal yang kedua ujungnya dimasukkan ke dalam tabung es bertemperatur 0 C. Batang ini memiliki isolator panas kecuali di kedua ujungnya. Bagian tengah batang tersebut dipanesi dengan laser dan fiber optik. Manfaatkan ll buah titik sensor temperatur berjarak santa di sepanjang batang untuk menghitung temperatumya. Pergunakan hingga 6 desimal untuk kolont temperatur. Pada saat / = 0, laser dihidupkan dan temperatur di tengah batang (di sensor n., 6) naik dengan cepat hingga I 00 C. Tentukan distribusi temperatur dan buatlah grafik datanl a Petunjuk: aktifkan pilihan Manual recalculation. Lanjutkan dengan menekan Tombol Funt-. F9 hingga distribusi temperatur tidak berubah. Eksperimen ini sebenarnya adalah metode pengukuran standar den-uan fil€Ilslur,rl;.. laser atau pulsa arus yang melalui sebuah resistor untuk memberikan pulsa p&Di1r .r'.;-.
qeLz.lglsqMe!
DiferensiaI
i:rr:j:!
kabel atau batang tipis. Materi ini berhubungan dengan topik mengenai energi dan -. , ,,. )ang diberikan oleh National Science Education Standard.
-
O Pr'r:iilttaur aliran panas. Persamaan aliran panas klasik yang dipelajari oleh Joseph Fourier -rn \rnq lainnya pada tahun 1800-an dapat ditulis sebagai, p, yl Atau dalam satu dimensi untuk kawat adalah. a', f :H = pC dH ,
orr-k
k &
H
dr
adalah aliran panas per satuan luas per satuan waktu, p adalah kerapatan massa, r adalah kapasitas panas spesifik, dan k adalah konduktivitas termal. Persamaan ini memiliki bentuk yang sama dengan persamaan Schrcidinger kecuali i yang hilang. Dengan menggunakan nretode pemisahan variabel di Bagian 7.7, carrlah solusi umum untuk eksperimen di soal 3. Kondisi awalnya adalah: kedua ujungnya ditahan pada temperatur 0 C, di tengahnya adalah
densan
100
C dan distribusi temperatumya memiliki bentuk seperti segitrga sama sisi. Pada saat
r = 0, laser dimatikan. Buatlah lembar kerja untuk menghitung lima komponen Fourier pertama
sebagai fungsi waktu. Gunakan grafik 3-D untuk menunjukkan distribusi temperatur terjadi perubahan menjadi distribusi yang seragam.
saat
-5. 0
Apakah Anda memiliki parasut'? Kondisinya adalah kita akan membuat perumpamaan sebuah massa 200 kg yang jatuh di medium berhambatan dengan gaya hambatan konstan sebesar 63 N s/m- Ini seperti parasut atau kucing yang jatuh. Sistem ini dapat diumpamakan sebagai persamaan dilerensial biasa orde kedua yang menggunakan hukum kedua Newton,
ma = LF.
zoo(-j = 2oog dtPersamaan
63r.
ini dapat ditransformasikan menjadi dua buah
pertama dengun mensubsrirusltan
dt
persamaan diferensial biasa orde
4l = r' sehingsu menjudi L 'tlr dt
=
g--u^1 , "200
dan. renru saja
dr
Marilah kita beri kondisi awal .y = 0, ll = 0, untuk r = 0. Arah ke bawah adalah positif dan ke atas adalah negatif. (Lihat pula karya L. N. Long dan H. Weiss di bagian Daftar Pustaka). (a) Kecepatan akhir dicapai ketika gaya hambatan -63v setara dengan berat 2009. Tunjukkan bahwa kecepatan akhirnya adalah 2009/63 n/s. (b) Tunjukkan bahwa solusi eksak untuk kecepatan v diberikan dengan persamaan, ut
-Ur1l | tr= 200p -
expl
63
-:11;.
Perhatikan bahwa kecepatan akhir dicapai setelah waktu yang lama,
(c)
1
,,
200. 63
Tunjukkan bahwa solusi eksak untuk pergeseran 1 adalah
2oosl,
'rrr = 63
t
+
2oo 63 - l1i. lexPr- l
63
or)
Persiimaan-persamaan ini memungkinkan Anda untuk mendesain sistem penclaratan di planet lain dengan menyisipkan nilai g yang berbeda. Sebagai contoh: untuk pendaratan di Mars, g = -1.7r n/sl. Bandingkan dengan Bumi, g = 9,8 m/s2. Gaya hambatan bergantung pada parasut
ilrn
lltnlost-er. Buatlth lenrbar 'J
r
'e,
kerja untuk menghitung
1, dan y, untuk 5 detik pertama dengan menggunakan metode Euler termodifikasi. Hitunelah persentase kesalahan relatif terhadap solusi eksak pada setiap kenaikan
i:rrrrkrn retiap 0.2 detik.
Uji kemampuan Anda
waktu. Buatlah grafik persentase kesalahan untuk setiap kenaikan waktu. (f) Buatlah gratik yang menunjukkan solusi numerik untuk x dan r,, dan strlu.r :,..., untuk perbandingan visualnya. Untuk menghindari kekacauan grafik, buatlah sebuah Jr.,,l:-:r untuk ,1' dan sebuah diagram untuk v. Soal latihan ini berhubungan dengan topik mengenai posisi dan gerak bentla - gr,iiir -.'-. gala yang diberikan oleh National Science Education Standard.
Kucing dapat mengalami cedera yang serius ketika jatuh dari ketinggian kurang daripada tujuh atau delapan lantai. Kemungkinan cedera akanberkurang apabila terjatuh dari ketinggian lebih daripada tujuh atau delapan lantai. Rekornya adalah untuk kucing yang jatuh dari ketinggian 32 lantai dan terhindar dari cedera. Lihatlah tulisan W. O. Whitney dan C. J. Mehlhaff, "High-rise syndrorne in cats." The Journol of the American Veterinory Associcttiott. l9l. 1399-1401 (1987). Untuk mengetahui lebih jauh mengenai parasut dan kucing yang jatuh, lihatlah ke buku karya D. Halliday. R. Resnick, dan J. Walker, Fundamentals ofPhtsit'.t. sixth edition, pages 104-105 (John Wiley & Sons, Inc.. New York,2001).
Ilmu mekanika, sebagai Hermodorus tercintaku, memiliki beberapa penggunaan yang pentin-s dalam kehidupan praktis, digunakan oleh para ahli filsafat agar layak mendapatkan penghargaan tertinggi dan didambakan untuk dipelajari oleh para matematikawan karena ilmu ini hampir menempati urutan pertama dalam kaitannya dengan sifat alami unsur-unsur material dari alant semesta. Melalui hubungan umumnya dengan stabilitas dan pergerakan benda di pusiit gravitasinya, dan pergerakan dalam ruang, keingintahuan tidak hanya dibatasi oleh penyebab gerakan yang alami, namun dengan setengah memaksa memindahkan benda lain dari tempatnva melalui suatu gerakan yang bertentangan dengan gerak alaminya... Pappus Alexandria (sekitar 290-350
t
Mekanika adalah surganya ilmu matematika. Ilmu mekanika adalah yang paling berguna dan bermanfaat melebihi seluruh ilmu yang ada, karena semenjak itu seluruh benda yang bisa digerakkan dapat melakukan semua operasi mereka. l,eonardo Da
(1452-1519)
Bab B Analysis ToolPak
Mengenai apa isi bab ini Analysis ToolPak adalah salah satu dari 15 Add-ins yang diserlakan di dalam ExcBr-. ToolPak sendiri memiliki 19 fasilitas bantu (tctol) yang dapat membuat hidup Anda menjadi lebih muilah. Kita akan membuat daftamya sebagai ref'erensi yang siap pakai. Untuk mengakses Analysis ToolPak,
klik ITools][Data Analysis]. Berdasarkan urutan abjad, isi Analysis ToolPak adalah:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anova: Single Factor Anova: Two-Factor with Replication Anova: Two-Factor without Replication Cor-relation Covariance
Descriptive Statistics Exponential Smoothing (Lihat Bagian 5.-1; F-Test Two-Sample for Variances Fourier Analysis (Lihat Bab 11) Histogram
Moving Average (Lihat Bagian 5.3) Random Number Generation Rank and Percentile Regression
Sampling t-Test: Paired Two Sample for Means t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances t-Test:: Two-Sample Assuming Unequal Variances z-Test: Two Sample for Means
Anda mungkin tidak akan pernah menggunakan beberapa dari fasilitas tersebut namun Anda tetap perlu memperhatikannya karena salah satu darinya mungkin akan Anda perlukan untuk
8.1 Korelasi memperoleh beberapa hasil perhitungan. Kita akan mendiskusikan beberapa ha.il le:r:--:-' secara detail mengingat fasilitas-fasilitas tersebut begitu penting dalam ihnu rekarlr; i;r. .: r. Seiain itu, Bab 1l dicurahkan sepenuhnya untuk Analisis Fourier karena petunluk fc-o!i--::ExcEI- dan menu Help tidak banyak membantu analisis tersebut, yang sesungguhnra nier-:...-sesuatu yang luar biasa di Excel. Hal ini dapat dibuktikan bahwa Fast Fourier Transtbrnr FFI yang sesungguhnya mengenai apakah sebenarnya fungsi analisis Fourier di Excu itu. adalah .,-.'peristiwa matematika yang penting selama ratusan tahun terakhir untuk kegunaan praktis. \\ alru:'.: pembuktian teorema terakhir Fermat difokuskan lebih banyak untuk keperluan pemberitaan di T\ dan media cetak. (Teorema terakhir Fermat begitu penting untuk keperluan teoritis, namun \rrr ::. tidak banyak yang tahu bahwa teorema tersebut memiliki aplikasi-aplikasi praktis).
TIPS Anda dapat mengunjungi menu Help untuk rnendapatkan infomasi r.nengenai penempan fasilita.
statistik, namun Anda perlu berhati-hati. Membuat hasil yang memiliki arti melalui metode statistik memerlukan pengetahuan yang lebih claripada sekadar mencarinya di menu Help. Peringatan akan hal itu kerap muncul di menu Help. Ingatlah kata-kata bijak orang tua Anda. "Statistik tidak akan berbohong, nalnun ahli statistik mungkin saja melakukannya."
Bagian 1.7 memiliki diskusi singkat mengenai Analysis ToolPak. Sekarang marilah kita melihat detailnya. Klik menu Tools dan Anda akan melihat Gambar 8-1. Jika Data Analysis tidak muncul di jejeran menu ke bawahnya, Anda perlu menginstal ToolPak (lihatlah menu Help, Bagian 1.7 dan halaman selanjutnya).
!ral* Qatn Windar,v l[elp r.,,, >Felffrrg... r,'
a6c.
&utadnrrert.,.
.
:oSlre&r*r11u*.,, S[are 'df*rktrak. .,
frack(hanges
Gambar 8-1. Data Analysis akan muncul di jejeran menu ke bawah jika Analysis ToolPak telah terinstal.
Jika Anda tidak menjumpai Data Analysis, sangat mudah untuk menginstal ToolPak: Di rnenu Tools, klik Add-Ins. Jika Analysis ToolPak tidak terdaftar di kotak dialog Add-Ins, klik Brovu.se. Tentukan lokasi drive, nama folder, dan namir file untuk add-in Analvsis TtrolPak
)
Bab
B:
Anal
ToolPak
:3r.ebut mun-qkin bernama Analys32.xll. File ini biasanya terletak di tblder rrr Analrsis. Atau, jalankan program Setup jika fasilitas ini tidak terinstal. Pilih kotak cek Analysis ToolPak. Untuk lebih lanjut, bacalah di menu Help. Catatan:
Untuk menambah atau membuang komponen-komponen Microsoft OrrrcE atau ExcEL di \\'indou's NT Workstation 3.51, jalankan Setup Excer- atau Setup OrncE dengan cara seperti saat pertama kali Anda instal dulu. Ikutilah petunjuknya di layar monitor. Jika Anda menginstal Microsoft Orrrcp atau ExcEL dari CD-ROM dan Anda telah memetakan ,lrire CD Anda tersebut menjadi sebuah drive baru pada saat Anda menginstalnya dulu, maka .\nda harus menjalankan Setup lagi dari CD-ROM. Jika Anda menjalankan beberapa lile Orncp atau Excnr- dari CD-ROM, Anda harus membuang programnya terlebih dahulu kemudian menginstal
Orrrcr atau Excnr- baru sekali lagi dari CD-ROM. Sekarang, ketika Anda mengklik Data Analysis, Anda akan melihat kotak dialog bagian atas dari Gambar 8-2. Gulunglah kotak dialog tersebut ke bawah dan Anda akan melihat lanjutan isi kotak dialog tersebut seperti tertera di Gambar 8-2 bawah.
8.1
Korelasi
Apakah korelasi (Correlation) itu? Ini adalah fasilitas statistika yang memungkinkan Anda untuk
meneliti hubungan antara uruturutan data. Contoh, jika Anda sedang berada di Las Vegas dan mencurigai bahwa roda roletnya
&nekEi: fsr;ls nova: Two-Factsr With Replirntion Anova: Two-Fa,:tsr 14/iihsul Replirotion
F-
lest
Fr:urier
lVr,r'r:1-3tsmple
for t/ArlArr(et
&naiysis
{nalysi: Tral* Hist*gram l,loving &verage Randtm l,iurrtber 6eneratii:rr fr.ank and F*rrentile fr.egrarsi*n 5arnpiing
t-Tesl: Fair*d 1r;r 5ampl* lnr lr'leans
t-Terll Tr,ls-Semple t-Te!l: T$rr-
Arsurnirrp Egual ?eriances
3:-ga' B-2. )='.2'Analysrs Tools yang sesuai urutan abjad di dalam kotak dialog Data Analysis. Klik pilihan - -= ,' - --'.-- -:-.r"culkan tampilan seperti Gambar B-3.
\
8.1 Korelasi direkatkan, maka Anda dapat mengumpulkan data untuk meiihat angka-lnsku
:-.': . - :
-
hubungan.
Edwin Hubble bekerja di Observatorium MountWilson di California keliku rl-,r'i.--:r., - 'data-data mengenai jarak antara bintang-bintang, galaksi-galaksi, dan perubahan Dt'rr.::-.... Hubble menemukan bukti bahwa jagat raya secara diam-diam mengalarni pernekrrt.'ir'. ,..-r:perubahan Doppler (kecepatan relatifl berhubungan dengan jarak. Benda-benda kosnlik aJ: .-:.-' jauh berbalik dengan begitu cepat. Padanannya adalah jika Anda menyaksikan pacuan kud.,. .\:.-.akan menemukan bahwa jarak antara seekor kuda dengan garis awal berhubungan dengan ke':p','.',:berlarinya.
Apakah yang dilakukan korelasi? Fasilitas korelasi menghasilkan bilangan yang menunjukkan bagaimana nilai-nilai dari sebtr-'i'. kumpulan data dihubungkan dengan nilai-nilai dari kumpulan lainnya. Sebuah korelasi yang benril.,r I menandakan bahwa mereka pasti berhubungan, dan jika nilai-nilai di salah satu kunlpulrn mengalami kenaikan, maka nilai-nilai di kumpulan lainnya pun mengalami kenaikan. Ini adaleh korelasi positif. Sebuah korelasi bernilai -1 menandakan bahwa mereka pun pasti berhubungan. namlln jika salah satunya mengalarni kenaikan. maka yang lainnya mengalami penurunan. Ini adalah korelasi negatif. Korelasi bernilai 0 menandakan bahwa tidak ada hubungan statistik .ii sana. Di Bab l2 kita akan membahas mengenai fungsi korelasi, yang merupakan sebuah tirng.i dan bukan bilangan tunggal. Fungsi korelasi seringkali berupa fungsi waktu atau ruang. Klik di Correlation Analysis Tool dan akan muncul kotak dialog seperti tertera di Gttrtlhar 8-3. Korelasi akan dihitung dan diselipkan ke dalam lembar kerja. Bukalah buku kerja CORRFLATION dan Ancla akan melihat tampilan utamanya seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 8--1.
Di dalam sel-sel keluaran Correlation, perhatikan bahwa Kolom
1 benar-benar berhubungan
dengan dirinya sencliri dan kolom 2 pun berhubungan dengan dirinya sendiri. Kolom 2 memilikr koefisien korelasi 0,83614 terhadap Kolom L
Mengenai kotak dialog Correlation lnput Range Masukkan referensi sel untuk range data yang akan Anda analisis. Ref'erensi harus mernuirt clua atau lebih range yang saling berdekatan di dalam sekumpulan data yang tersusun melalui kolom-kolom dan baris-baris.
input lnput Rangel Grqupcd Syr
i
f--ir
L8Bels rn Flrs(
xots
tlutput *ption$
#
*ulFutRanQ*r
r""
Flts$'
Klik disini untuk memilih range
Wark*hx*t tlyr
{"g*wr#,orl,$mh Gambar 8-3. Kotak dialog Conelation. Klik ikon kecil di bagian kanan kotak pilihan range untuk mem range melalui mouse.
---
Bab,8. Analysis ToolPak
:€
:
.]*
***"c"-""" -H ---l
=3"A6+RAl.l00-$E$:-n.5"$E$3
{ ,"* q "_J-_f -*-}"**__g_J ' r-f,rRRELATlofl.xLs f$rr&lCtinn AnfllySig TOOI r - hapl,rrfi
Enler t'r*i**
arnplirudel--**l$l{Pr*rsr
Functicrrr Key
*
r
F! lo chxng* ncri*x sample)
i
re i
' 1
:1
ln
11 lz
I3 14 15 16 I
I
lfi i 19 ,28 i :1 I !t , i :: , i ,, , ,
D,stan.eT*
5 a /
g o
$ 11 12 E 1{ lu
15
16 1v 1A 19 2A 2'r
??
Sp*e*ed
-l
13.1CI15
18.0?10
2lt 1!76 fn qlqu anan -,L, 1,1 2878
tD.,','Jr+
Slerg, Galarie's, ancl Rgre Hc,r*es
15 123S J7 ,1665 27 0096
60
1935t9
irU
J] 4vl/
20.:l:fi 3$.fi23$ 4fi.2563
o -+JU r. -{, lU
:3.15?S 4i-1.??{'t
,} o a. oo '.1 {' +t ,t.. ,<,
r)
x
o *
n
[61r1]52[25
2r.1ff39 5.6.irso
0islanre
Gambar 8-4. Tampilan utama buku kerja CORRELATION. Hasil dari proses Correlation rni dimunculkan secara otomatis di sel-sel keluaran yang telah ditentukan. Perhatikan rumus yang digunakan untuk membangun model ini. Fungsi RAND 0 menghasilkan bilangan acak antara 0 dan 1, dan rumus tersebut mengubahnya melalui amplitudo gangguan yang dipilih.
Grouped By Untuk melihat apakah data di dalam range masukan tersusun dari baris-baris atau kolomkolom. klik Rows atau Columns.
Labels in First Row/Labels in First Column
Di baris pertama dari range masukan yang berisi judul. berilah tanda cek di Labels in First Row. Jika judul berada di kolom pertama dari range masukan Anda, berilah tanda cek di Labels in First Column. Tanda cek ini harus dibuang jika range masukan Anda tidak memiliki judul; Erc'r.r- akan memberikan judul data yang sesuai untuk tabel keluaran. Output Range Masukkan referensi untuk sel di kiri atas tabel keluaran. Exclr- menghitung populasi hanya untr,rk setengah tabel karena korelasi antara dua buah range data tidak bergantung pada urutan
di tabel keluaran dengan koordinat baris dan kolom yang sepadan r:3ltuat nilai I karena setiap kumpulan data berkorelasi secara tepat dengan dirinya sendiri. nrrr\cs atas range. Sel-sel
'r:,',
rVorksheet Ply
K::1.,h pilihan ini untuk menyelipkan lembar kerja baru di buku kerja yang sekarang dan r-.1:-r.:r-r hr.ilnra mulai dari sel Al di lembar kerja baru. Untuk menamai lembar kerja baru ini, . :, :.r.:r. :r:iritnvil di kotak isian nama.
8.1 Korelasi
169
New Workbook Kliklah pilihan ini untuk membuat buku kerja baru dan paste-kan hasil lembar kerja baru ke buku kerja baru ini.
0
Bagaimana analisis korelasi bekerja? Fasilitas analisis data beserta runrusnya ini mengukur
hubungan antara dua buah kumpulan data
yang skala satuan pen-sukurannya dibuat tidak saling bergantung. Populasi perhitungan korelasi menghasilkan kovarian atas dua buah kumpulan data dibagi dengan hasil perkalian standar deviasinya:
Px.r dengan COV(X,
I)
= cov(x, "_ ",
Y)
(8-l)
adalah kovarian (lihat Bagian 8.3), kemudran:
.l
ox = - 2{x, - pt,)' n adalah kuadrat standar deviasi di X, rt adalah jumlah serupa, untuk I kita dapatkan,
"1
= !2r
Y,
(8-2)
titik
data dan tr-t, adalah nilai rata-rata. Hal
(8-3)
- [tr))
Anda dapat menggunakan fasilitas Correiation untuk menentukan apakah dua buah range data berubah secara bersama-sama, yaitu apakah nilai-nilai besar di sebuah kumpulan data berhubungan dengan nilai-nilai besar di kumpulan yang lain (korelasi positif), apakah nilai-nilai kecil di sebuah kumpulan data berhubungan pula dengan nilai-nilai besar di kumpulan yang lain (korelasi negatif).
atau nilai-nilai di kedua kelompok tersebut tidak saling berhubungan (korelasi mendekati nol). Untuk informasi lebih lanjut mengenai pilihan di kotak dialog Correlation, silakan lihat ke menu He1p.
Catatan: Untuk menghasilkan koefisien korelasi dua buah range sel, Anda dapat pula menggunakan
fungsi lembar kerja CORREL.
O coRRel Fungsi ini menghasilkan koefisien korelasi range sel amayl dan array2. Gunakanlah koeflsien korelasi untuk menentukan hubungan antara dua buah sifat data. Contoh, Anda dapat mempela.juri hubungan antara curah hujan rata-rata dan jumlah kasus malaria di suatu daerah.
Syntax CORREL(array 1,arr ay 2) arrayl adalah range sel yang berisi nilai-nilai. array2 adalah range sel kedua yang berisi nilai-nilai.
Catatan Pernyataan-pernyataan (argumen-argumen) harus berupa bilangan, nama. arraY rrtau
re
i:r::-
yang memuat bilangan.
Jika suatu pemyataan array atau referensi memuat teks, nilai-nilai logika atau..l k,'maka nilai-nilai tersebut akan diabaikan; walaupun sel-sel dengan nilai nol diikutsen.ri"r Jika arrayl dan array2 memiliki jumlah titik data yang berbeda, CORREL menghd.iiri -
Bab
B:
An?lysis ToolPak
-- : =\ .\. .i
I maupun anay2 adalah kosong, atau jika s (deviasi standar) dari nilai-nilainya llengan nol. maka CORREL akan menghasilkan nilai eror #DIV/01. Runrus untuk koeflsien korelasi diberikan di Persamaan (8-l). Jika alrar
---..,
Contoh CORREL ( {3.2,4,5,6}.{9,1.12,15,17}) sama dengan 0p91054.
8.2
Kovarian
Apakah kovarian itu? Fungsi ini menghasilkan kovarian (t'ot,uriuuc'e), yaitu rata-rata hasil kali deviasi untuk setiap pasangan titik data. Kovarian adalah bagaikan korelasi yang tidak normal. Ingat kembali, di Persamaan (8-1) korelasinya telah dinormalkan terhadap standar deviasi.
Apakah yang dilakukan kovarian? Anda dapat menggunakan kovarian untuk menentukan apakah terdapat sebuah relasi statistik di antara dua buah kumpulan data. Contoh, Anda dapat menentukan apakah tingkat ozon di atmosfer berhubungan dengan kerapatan populasi (jumlah orang per kilometer persegi). Kovarian digunakan dalam perhitungan korelasi.
Bagaimana kovarian bekerja? Syntax
COVAR(anayl,may2) arrayl adalah range sel pertama yang berisi bilangan bulat. array2 adalah range sel kedua yang berisi bilangan bulat.
Catatan Argumen-argumen harus berbentuk bilangan atau nama, array, atau ref'erensi yang memuat bilangan. Jika suatu array atau referensi argumen memuat teks. nilai-nilai logika atau sel kosong, maka nilainilai tersebut akan diabaikan; walaupun sel-sel dengan nilai nol diikutsertakan. dan anay2 memiliki jumlah titik data yang berbeda, maka COVAR akan menghasilkan nilai error #N/A. Jika amayl dan array2 kosong, COVAR akan menghasilkan nilai enor #DIV/0!.
Jika
arayl
Rumus untuk kovarian adalah: I
COV(X.Y:=-
Ir.,
-p,)(.r'i
-/-r,)
(8-4)
Contoh
CO\,:{R(13.2,4,5, 6}, {9, 7,12,15, 17}) sama dengan
8.3
5,2.
Statistika Deskriptif
Apakah Statistika Deskriptif itu? .:-: -: ' D:.kriptil lDeskriptive Statistic) adalah sebuah
' *':--:r:ir.:l
fasilitas yang dapatAnda gunakan untuk rnti.rmasi mengenai pusat kecenderungan dan variabilitas data Anda.
8.3 Statistika Deskriptif
Apakah yang dilakukan Statistika Deskriptif? Fasilitas ini memberikan sebuah laporan mengenai statistik tidak bervariasi untuk range keluaran.
J-,
Mengenai kotak dialog Gambar 8-5 menunjukkan kotak dialog Descriptive Statistic
di dalam buku
ker3a CORREL -.
TION.
lnput Range Masukkan referensi sel untuk range data yang ingin Anda analisis. Referensi harus tercliri dari u,.. atau lebih range yang berdekatan untuk data-data yang tersusun dalam kolom atau baris.
Grouped By Untuk menunjukkan apakah data di range masukan terdiri dari baris atau kolom. klik Ro.,i s
arr,L.
Columns.
Labels in First Row/Labels in First Column Jika baris peftama range masukan Anda memuat judul, berilah tanda cek di Labels in First Ro\\ Jika judul berada di kolom pertama dari range masukan Anda, maka berilah tanda cek di Label. in First Column. Kotak cek ini dikosongkan jika range masukan Anda tidak memiliki judul: Erti akan memberikan label atau judul data yang sesuai untuk tabel keluaran.
.
rb
LA-**::.8"-I:J
=
;r;*Til-"=f'.*1;-*s
, coRRfLartrrX.rt-i
3 i3
'.
h;pler
8
*-
=:"a5+FrrNt,0.$E$20i-$E$:
-
Corrvlation Aaolyrir Tool
ErllEr rrorse arnprrt'rdef--*-*Ttj](Frgs:
Eralnple: Slaist
galirt;i
-rr
..- --
Functror fiey F,:] t$ itt.inge ,.Brs€ sarrlttpl
AnrJ race horse
]J
5
9
1rl 11 12 1l 14 15
1l 1r.
7
B 3
l0 l1 12 1i
1.1
13
i]
l:t
3n
1l',
1: 34 35 3S
',Iotumn
I
l,]lurnl2 [.8]614
15 tD 17
ro
ipeed
[*rbmn I I 4[-2I3GB! 6lum,1r 1 4.8:[S
Dirtancp
EJ
18
i9
1l 72
2
r---];ffii--l i:.-'._
1
i,
:8.910€
tr#lffiE
9185 $-;Irpuf :1.0171 E LnFut r..,rn".*. Rsnw: 6
7
58'l
:e.{2 ti:.:na+
31
:r 1?
,iqLped
I| E utplt opler,s [ outputoprons C
23 !35j I d0i"135 28.
Ii;:;;;;----"---At I ':r I I F6i.s6n-. --5 ..*.., I I i''i gslgm",: : ..--.::.:'......,...,...: 6o,p"oa$ Br'; Coluffirs f; I i i* &ows f: 'Lobelsir,FrstFovr &swe Ueip i I I fi Lnhels ii, F{rl F.o8 I
114: T---I
I I lf.Afil! I 18:8EE I Jl
*B ,i,i
e:na" iutpurRonJe rrlrn,,r
q':
I*uta,c,c; {$'i0,9"$i---*T
,' :: I ;{, ;-:"i::------{'Ers -,"-;::-..", l,te!$,,rff1'ih*i a'b{rxl 0,r' rlli I T-
l:&[ I 0SLIE
I 8.!'13
:!::?1 56.68[i
I
E E
a
rf
i-' tie\a!,n'l.boor lanri,.hrck E l,lerc
f, E i,
fumftrarv stabst(s tumftaryrtakstics
r
o,it
f
l'1edrar,
[,lodp
ri2grr,1-
j0 l;arj #,.].,,.r
5rariila,d t,e..ratlo,, I 1 4iij Bgmpjr Varianca lJ1 215{
II
t4ud0rt3 -il.:ibt;
!u*nr16is .[ !p _:
Ranse
I
torinii,u,n l.li'rnidm
II
!,UUIIL
l
|
*o,o.n*.*'erro,irean, Fi* I fi ?,loltds,cetere{forllean: li5 g; " Kthters.*r {; fu (tt'5sattestr
Siard:r.J E
I [:nrioenca
su*
s-{
48:1-
i.ts7i, 4:l ia[i: 54,: rr:
t,Lnt
-,,g*:tttl
sn,rtt*rril1
11 o:J:..
I tt';:;
L''j9Hi&-ffjr:.
f-
_! -i;
Gambar 8-5. Tampilan utama buku kerja CORRELATION dengan kotak dialog Descriptive Statistics. Ke -.-=Descriptive Statistics ini berada di kolom K dan L. Gambar 8-6 menunjukkan tampilan kotak dialog yan: :: besar.
Ee.!_9.a49lyCE ToglEe
t(
l:^'dence Level for Mean P .:..ah ini .1ika Anda ingin memasukkan sebuah baris ke dalam tabel keluaran untuk confidence .;.r', trf the rnean. Di dalam kotak isian, masukkan confidence level yang akan Anda gunakan. (-.,nttrh. nilai sebesar 95 persen akan menghitung mean dengan tingkat signifikan 5 persen.
Kth Largest Pilihlah ini jika Anda ingin menyertakan sebuah baris ke dalam tabel keluaran untuk nilai yang terbesar ke-k di setiap range data. Di dalam kotak isian, masukkan angka yang akan digunakan ..'bagai k. Jika Anda memasukkan 1, baris ini akan memuat kumpulan data maksimum. Kth Smallest Pilihlah ini jika Anda ingin menyertakan sebuah baris ke dalam tabel keluaran untuk nilai yang terkecil ke-k di setiap range data. Di dalam kotak isian, masukkan angka yang akan digunakan :ebagai k. Jika Anda memasukkan l, baris ini akan memuat kumpulan data minimum. Output Range llasukkan referensi untuk sel di bagian kiri atas tabel keluaran. Fasilitas ini akan menghasilkan dua buah kolom infbrmasi untuk setiap kumpulan data. Kolom kiri memuat judul statistik dan kolom kanan memuat statistiknya. Excnt. menuliskan sebuah tabel yang terdiri dari dua kolom untuk setiap kolom atau baris di dalam range input, tergantung pada pilihan Grouped By yang dipilih.
New Worksheet Ply Klik bagian ini untuk menyelipkan lembar kerja baru ke dalam buku kerja yang sekarang, kemudian paste-kan hasilnya mulai dari sel A1 di lembar kerja yang baru. Untuk menamai lembar kerja baru ini. ketikkan nama baru di kotak isiannva.
lnpul lnput F"enqx: 6ror:prd 8y:
f-" labels
irr Fir$t
Rsyi
*utput oplirns
ll ,:
"
Or.ltput B*ngel l.,l*,rv
Worksheet
tlyl
,:
Nars tll({rrkhn*k
ir
3r;61661'y
U
cogf ider,re Level
*latislirs
f*r
ithLgg*st: r"e Hth irnatlesh :'v
fn{eanr lEL
""q'
ll -
Gambar 8-6. (c:ak dialog Descriptive Statistics. Tanda-tanda cek akan menghasilkan keluaran seperti yang .: ( ian L di sisi kanan Gambar 8-5. = :-
'.e-..'z
8.6 Histogram
t/J
New Workbook
Klik pilihan ini untuk membuat buku kerja baru kemudian paste-kan hasil-hasil yang diperoleh di lembar kerja yang baru ke buku kerja yang baru. Summary Statistics Berilah tanda cek terhadap pilihan-pilihan di kotak dialog jika Anda ingin ExcEl menghasilkan sebuah field untuk setiap statistik yang berlaku di tabel keluaran: Mean. Standard Error (terhadap Mean), Median, Mode, Standard Deviation, Variance, Kurtosis, Skewness, Range, Minimum, Maximum, Sum, Count, Largest (#), Smallest (#), dan Convidence Level. Semua itu ditunjukkan oleh Gambar 8-5.
8.4
Pemulusan Eksponensial (Exponential Smoothing)
Apakah pemulusan eksponensial itu? Pemulusan eksponensial merupakan suatu bentuk integral dari data terkini yang dihitung balik untuk seluruh titik data sebelumnya. dengan suatu bobot eksponensial yang diberikan terha
8.5 Analisis
Fourier
Apakah Analisis Fourier itu? Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, fasilitas Analisis Fourier adalah fasilitas yang sangar luar biasa di ErcEr-. Ini sesungguhnya merupakan bentuk Fast Fourier Transform (FFT). Lihatlah ke Bab 1l dan l2 (di dalam CD) untuk penjelasan rinci mengenai bagaimana menggunakan fasilitas ini di dalam domain frekuensi. Beberapa operasi penting dapat dilakukan dengan seclerhana. cepat dan mudah di dalant domain tiekuensi daripada di dalam domain clata aslinya.
8.6
Hi
am
Apakah Histogram itu? Fungsi analisis ini menghitung frekuensi-fiekuensi individual dan kumulatif untuk sebuah ranse sel data atau tampungan data.
Apa yang dilakukan Histogram? Fungsi ini menghasilkan data untuk sejumlah kemunculan nilai di dalam kumpulan data. Cont,,l. di sebuah kelas terdapat 163 siswa. Anda dapat menentukan distribusi nilai-nilai ujian deng.,: kategori berupa tingkatan-huruf. Tabel histogram memperlihatkan batas-batas tingkatan-hurut r.,:jumlah nilai ujian di antara batas terbawah dengan batas yang sekarang. Nilai ujian runsgal r.,:: sering muncul dinamakan modus (ntode) data. Lihatlah di menu Help untuk intbrmasi lebih 1.,n.-.: mengenai pilihan-pilihan di kotak dialog Histogram yang ditunjukkan oleh Gamba1E--. C,,::: keluaran histogram ditunjukkan oleh Gambar 8-8.
Mengenai kotak dialog Histogram lnput Range Masukkan ref'erensi untuk range clata yang ingin Anda analisis.
Bab B:
Analysis&Sf+
Inlut lnF'ut Ranuer $!n Rarrge:
l-
lruet:
Output optisfit
ii
ourput
:'
I'lew worksheet
Ranqe: ply:
l$c*r ,$cs
r
o
1l
l',
'tr
f---
r""' lilel'r Wsrf';booh
[7
Fareto {sorted histogram}
ilZ Cun.ulativa
l;
Pertent€ge
:
.!jraii.-r?-utpuij
Gambar 8-7. Kotak dialog Histogram. Lakukanlah ekspertmen melalui pilihan-pilihannya.
Bin Range (pilihan) Masukkan ref'erensi sel ke dalam sebuah range )'&n-s rltemuat kumpr-rlan tambahan nilai batas berupa range tampungan (Bin Range). Nilai-nilai ini harus berurutan secara mettetik. ErcEl ntencacal.t jumlah titik-titik data antara jumlah tampungan van-e sekarang dan tarr.rprtngan terbesar yang berclampingan, bila adn. Jumlahnya dicacah dalanr tar.rrpun-can lain jika hasilnya sama dengan atau kurang daripada jumlah tampungan ke tampungan terakhirnya. Seluruh nilai di bawah nilai rampungan pertanla dihitung secara bersamaan, seperti halnya nilai-nrlai di atas nilai tampungart di
atasnya.
Jika Ancla mengabaikan range tanlpungan, maka Exc r,l membuat sebuah kumpulan tampungan
l,ang terdistribusi merata di antara nilai mirrimum dan maksimum data.
Labels Pilihlah Labels jika baris atau kolom pertama range masukan Anda memuat label (udttl). Hilangkan tancla cek cli pilihan ini jika range masukan Anda tidak merniliki label: Ercr.l Inen-rhasilkan label data yang berbeda-beda untuk tabel keluaran.
Output Range \lastrkkan referensi untuk .sel di kiri ara.i tabel keluaran. ErcEI- secara otomirtis menentukan ukuran alea keluaran dan rnenampilkan pesan
jika tabel keluaran akan menggantikan data yang
sekarang.
New Worksheet Ply Kiik pilihan ini untuk menvelipkan sebuah lembar kerja baru ke dalam buku kerja yang sekarang. kernrrdran paste-lah hasilnya mulai dari sel A I di lernbar kerja baru. Untuk memberi nama terhadap lenrber ker.ja baru ini, ketikkan namanya di kotak isiannya. \e,rv Workbook
L
i.::lrh.rrt ini untuk rnembuat r.:r'',r Jr httku kc'rja baru.
bukLr kerja baru kemudian paste-kan hasilnya ke dalam lemb;rr
-.:r'.:
Pare:c isorted histogram) Pr :..r ::r1 r:'riuk rnenarnpilkan data ke dalam tabel keluaran mengikuti urutan frekuensi yang
8.6 Histooram menurun. Apabila tanda cek pada pilihan ini dihilangkan, maka Ercrl menampilkan data nrcn_i:\. urutan membesar dan rnengabaikan tiga kolom paling kanan yang memuat data terpilah.
Cumulative Percentage Pilihlah ini untuk rnenghasilkan kolom tabel keluaran persentase kumulatif dan untuk rle fl) e r.tli,-:
'
garis persentase kumulatif ke dalam diagrarn histograrn. Hilangkan tanda ceknya untuk mengahuik.,:' persentase kumulatii ini.
Chart Output Pilihlah ini untuk menghasilkan tempelan (.enrbedclecl) diagrarn histrogram ke tabel output. {Diagram tempelan ini tidak sebaik diagram yang Anda buat melalui fasilitas Chart). Histogram mengikuti intuisi kita untuk gelombang sinus. Jumlah titik yang berada di dekat puncak lebih banyak daripada di dekat perpotongan dengan sumbu nol. Cobalah yang berikut ini di lab atau visualisasikanlah. Ambillah sebuah generator pembangkit sinyal dan sebuah osiloskop. kemudian gunakan gelombang sinus sebagai masukan untuk eksperimen ini. Pada saat Anda melihat gelombang sinus, matikan penyapu horizontalnya dan kecilkan intensitas sinarnya. Garis vertikal dilayar lebih terang di bagian akhirnya ketimbang di bagian tengah karena sinar menghabiskan waktu lebih banyak di bagian akhir. ltulah yang dikatakan oleh Gambar 8-8 dan 8-9. Untuk eksperimen lainnya, pergunakanlah kamera perekam untuk merekam gerakan bandul. Di setiap bingkai (frame) video, ukurlah pergeseran dari titik terendah dan petakanlah ke dalam histogram. Hasilnya akan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 8-8 dan 8-9. Perhatikan bahwa bentuk histogram begitu peka terhadarp ukuran tampungan. 67
! lHtStsriRA$.xllt
&ftBlii{i,ie Hist0qram d 5inBwfi\E
2 rCkart*rB
4: $: E 1 I _-:J Bi * : J{
.lj': 12
.!1, lll,i 15 i ]Pt 17: 1$ l :r9 i x)l 21 )
.rl
0-g rl
in4
'11
1u1l
'1,..:,.Y..15,t*l 0.n245r1
2 3
11.035S87
6
C.S?3565
a a flaflc6s g r mr::r
I 8 I
lrl
11
12
C.rf.fiQ17
*133411
bE31 u-
ri'l
{
R.1345S]
W: 2?: e'
W :1
fj.2548fs
sI
z:l
rl.:t&52
24 [.29r]:ffi 25 0:3020ffi
Wrv., Periad
=
5l?
I
i1,14S73
ff.2191t-11
Sane
13 :
'13 0.158$$S 14 0r7fis63 15 0j*:384 1n n loslv
*.:Dilll
Dg
-E ..,..
4E 8.4 r'1.3 0
Q.242ffi
?7 tll$f.713
i 32:, ;S 0 1136$2 fi a: I a1ra1 'fi O.X&Ffr 14 i n r r')i'1Nan./ iistcew,i 3]
Ii4
f:11t)1!)
JS
is,
r-{r
:*5{
6.t6$?er
17
33 i 24t,
6n Frs+u*ntv. no1 rll 16 0? n.4 0.^{ ]g [.8 B5 tr.s t i 23 1153
,/
Ir-l
memiliki data histogram yang sudah dihas Diagram histogram yang dihasilkan secara otomatis berada di kanan atas.
Gambar 8-8. Buku kerja untuk Histogram. Kolom E dan
F
Bab
B:
Analvsis ToolPak
Amplitude Distribution of a Sine Wave
Bin Number
Gambar 8-9. Histogram yang sudah disesuaikan dari data yang ditunjukkan di Gambar B-8. Bandingkan dengan diagram histogram di Gambar B-8. Diagram seperti ini berikut tabel datanya adalah tipe standar ExcEr.
8.7
Moving Average
Apakah Moving Average itu? Lihatlah Bagian 5.3 untuk pembahasan lengkap mengenai fasilitas ini, kotak dialognya maupun contoh-contoh aplikasinya terhadap data.
Apa yang dilakukan Moving Average? Fasilitas analisis ini dan nilai-nilai perumusan dalam periode ramalan didasarkan oleh nilai ratarata variabel di sepanjang bilangan-bilangan tertentu dari periode sebelumnya. Setiap nilai ramalan didasarkan atas rumus,
,., = * io.,.,
(8-s)
dengan,
N adalah jumlah periode utama yang diikutsertakan dalam moving A, adalah nilai aktual pada saat waktu j, { adalah nilai ramalan pada waktu 7.
average,
Nilai default N adalah 3, namun Anda dapat menggunakan lebih banyak atau lebih sedikit bergantung pada seberapa cepat data mengalami perubahan. Disarankan untuk mencoba moving average beberapa kali dengan nilai N yang berbeda-beda. Lihatlah Soal-soal Latihan di bagian akhir bab ini.
8.8 Random number qeneration
8.8
Random number generation
Apakah random number generation itu? Fasilitas analisis ini melakukan apa yang dikatakan sebagai pembangkitan bilangan-bilan-ean ac-,^ dengan mengacu pada beberapa parameter pilihan. Sesungguhnya, hal ini membangkitkan bilangrnbilangan acak palsu karena suatu pembangkit bilangan acak (random number Senercrtiottl \tnt sempurna belum pernah diciptakan atau ditemukan. Bahkan ketika sebuah generator pembangkit bilangan acak yang sempurna telah ada, mungkin terlalu berharga untuk mempublikasikannr i
secara terperinci karena generator-generator bilangan acak digunakan hanya untuk radar berkemampuan rendah dan kriptografi. Untuk infbrmasi lebih lanjut, lihatlah Daftar Pustaka di bagian akhir bab ini.
Apa yang dilakukan random number generation? Fasilitas analisis ini mengisikan sebuah range dengan bilangan-bilangan
acak yang independen subjek-subjek di mencirikan yang digambarkan oleh satu dari tujuh distribusi terpilih. Anda dapat distribusi menggunakan
.
Pergunakanlah tungsi lembar kerja RAND untuk menghasilkan sebuah bilangan acak yang terclistribusi secara merata, yang lebih besar daripada atau sama dengan nol dan kurang danpada I pada setiap saat lembar kerja dihitung.
l.lumber af
Variables:
F,lumber uf Randam
l$um[ersr
gstribution; P8r€a*BtBrs
sgtwer.n 10
*
l" os"
I
glfl-"i
[exr
fUniforrn lnlornral
Fxrnoulli Binorrrial Pnis$Bn
F,:tlerned
0isrret* gmdrm 5*edr
-i:
It
*ulput fipti*nt
,e 0*tput [*nger
l$,q$r,$n$asa
:#
{* td*w $lcrks}reet fiy; *l*" f{aw
,,tr
Srrkboolq
Gambar 8-10. Kotak dialog untuk fasilitas Random Number Generator.
178
Bab 8: Analvsis ToolPak
=
056358f,314{93!d
-".".-
-. --;-,4
) I
:
t.t
::e5tc! - t1@a'!
i
358291
EP t
c 89562 n 01141
a
10 , 11
,12
I
*
13
B 1741ffi
085Sr4:
r6
aa
:'
0_2
B./105U1
rl
t4 [:tJ53 I 15
C
B 745605
r\dnSF6-freE6=tu€ -{)qD0rF-soqGNr-of,m
n.3033$5 n.01d?fi5
'*'*N&N
Item irr Ser;t+nce
17i n.n$r4m
rB
n.364{52
19
8.1.47:13
:n n rBsnss 21 n.9m525 x n.445fr92 ::, n r1*nm &;8804fiffi 25
i n.[&r11
Gambar 8-11. Urutan bilangan acak 256 berdasarkan distribusi seragam. Pada Soal Latihan di akhir bab ini Anda dapat membuat histogram seperti ini.
Pergunakanlah fungsi lembar kerja RANDBETWEEN untuk menghasilkan sebuah bilangan acak di antara bilangan-bilangan yang Anda tentukan pada setiap saat lembar kerja dihitung.
Tentang kotak dialog Random Number Generation Number of Variables Masukkan jumlah kolom nilai yang Anda inginkan di tabel keluaran. Jika Anda tidak memasukkan jumlahnya, Excer- akan mengisinya ke seluruh kolom di dalam range keluaran yang Anda tetapkan.
Number of Random Numbers Masukkan jumlah titik data yang ingin Anda lihat. Setiap titik data muncul di baris tabel keluaran. Jika Anda tidak memasukkan jumlahnya, ExcEL akan mengisinya ke seluruh baris di dalam range keluaran yang Anda tetapkan.
Distribution
Klik metode distribusi yang
akan Anda gunakan untuk menciptakan nilai-nilai acak.
Uniform Fungsi ini dicirikan dengan batas bawah dan atas. Variabel-variabel digambarkan dengan probabilitas vang setara dari seluruh nilai di dalam range. Suatu aplikasi umum menggunakan distribusi seragam
dalam range 0...1.
Normal Fungsi
ini dicirikan
dengan
nilai tengah dan standar deviasi. Suatu aplikasi menggunakan nilai
8.8 Random number generation tengah (mean) 0 dan standar deviasi I untuk distribusi normal standar. Hal ini juga dikenui .ilr::distribus Gauss. Distribusi ini tersedia di Excel sebagai NORMDIST dan fungsi letnb.rr rr'-
NORMDIST (lihat Help). Bernoulli Fungsi ini dicirikan dengan suatu probabilitas keberhasilan (nilai p) untuk uji coba yang dilakuk.,:r Variabel-variabel acak Bernoulli memiliki nilai 0 atau 1. Contoh, Anda dapat menggambark.,rl variabel acak yang seragam dalam range 0...1. Jika variabel tersebut kurang daripada &tou :.tltt.: dengan probabilitas keberhasilan, maka variabel acak Bernoulli diberi nilai 1;dan jika sebaltknr.' maka diberi nilai 0.
Binomial Fungsi ini dicirikan dengan probabilitas keberhasilan (nilai p) untuk sejumlah percobaan. Contoh. Anda dapat melakukan sejumlah percobaan untuk variabel-variabel acak Bernoulli, yang merupakan jumlah aljabar variabel acak binomial.
Poisson Fungsi ini dicirikan dengan suatu nilai ,t (lambda). yang sama dengan l/mean. Distribusi Poisson sering digunakan untuk mencirikan jumlah peristiwa yang terjadi per satuan waktu. Distribusi ini dapat mendeskripsikan perbedaan, frekuensi yang jarang (rare) matplun peristiwa-peristiwa fisik yang terjadi dalam satu interval waktu atau ruang. Pengukuran praktis untuk peristiwa yang jarang terjadi adalah, setidaknya untuk 50 kali percobaan,jumlah percobaan dikalikan dengan probabilitlr terjadinya peristiwa kurang daripada 5. Contoh, laju rata-rata elektron tiba di kolektomya atau 1u.1tr rata-rata yang dicacah oleh alat pencacah Geiger dapat dideskripsikan dengan distribusi Poisson. Karakteristik distribusi Poisson adalah: Probabilitas sebuah peristiwa tunggal berbanding lurus dengan ukuran intervalnya. Probabilitas dari dua atau lebih peristiwa di dalam suatu interval adalah sangat kecil intervalnya cukup kecil.
.
jikr
Peristiwa-peristiwa adalah saling independen di dalam interval dan tidak saling turnpang tindih.
Distribusi ini tersedia di Excrl sebagai fungsi lembar kerja POISSON. Patterned Fungsi ini dicirikan dengan batas bawah dan atas, lompatan (step),la1u pengulangan nilai, dan pengulangan urutan.
lljtl
Discrete Fungsi ini dicirikan dengan sebuah nilai dan range probabilitas yang berhubungan. Range haru. memuat dua kolom: kolom kiri memuat nilai-nilai dan kolom kanan memuat probabilitas \anj berhubungan dengan nilai di baris tersebut. Jumlah aljabar probabilitas harus sama dengan I
Parameters Masukkan satu atau lebih nilai untuk mencirikan pilihan distribusi.
Random Seed Masukkan suatu nilai optimal untuk menghasilkan bilangan acak. Anda dapat men-sgunakr: nilai ini nanti untuk menghasilkan bilangan-bilangan acak yang sama.
'-
Bab 8: Analvsis ToolPak
3;:put Range \1,-uklan reterensi untuk
":er .e k
sel di
kiri
atas tabel keluaran. ExcEr- secara otomatis menentukan ukuran
jika tabel keluaran akan menggantikan data yang
keluaran dan menampilkan sebuah pesan
rrang.
New Worksheet Ply Khk lungsi ini untuk menyisipkan sebuah lembar kerja baru ke dalam buku kerja yang kentudian paste-lah hasilnya mulai dari sel
Al
sekarang,
dari lembar kerja baru. Ketikkan namanya di kotak
i:ian. bila diperlukan. New Workbook
Klik fungsi ini untuk membuat sebuah buku kerja baru, kemudian paste-lah hasilnya ke dalam lembar kerja baru di dalam buku kerja baru.
8.9
Regresi
Apakah regresi itu? Fungsi analisis ini melakukan
analisis regresi (regression) linier dengan menggunakan metode least square untuk memantaskan garis terhadap sekumpulan hasil pengamatan. Selain itu, Iihatlah ke menu Help untuk fungsi lembar kerja FORECAST, yang menghasilkan peramalan berdasarkan regresi iinier. Gambar 8-12 menunjukkan kotak dialognya.
Apakah yang dilakukan regresi? Anda dapat menganalisis bagaimana sebuah variabel tunggal yang independen dipengaruhi oleh nilai-nilai dari satu atau lebih variabel independen lainnya. Contoh, Anda dapat meneliti bagaimana
Wffi
'InFut----
Inp*trP"an{er ,ffiH, __ Inpur
I* f*
,":
&Range:
l**$r,$a$r
gabels il ftn(ideny:-ld
censta*t ir
I
_l-
- : f-----:::*-"I -loKI L*H : {anr*l I
:#
[elP
f*ro
ry:::%
*utput sptipns-
f;.&nqr: r- New Worksheet Ely: r:i E'lrput
i"
f....-.--.....:-
l$o$t,$n$t
t
f--
1# U :
t"l*w lt*rkbook
ftesiduals
il g**duols
F.esi{url
Stendardia*d
L6x Fit
l*
N*rmal
f* Residr.rals i#
Frob*hility
f- garm*lPrrbabfrflctr
Flots i Pl*tr
i
:
: :
.. -.. .. Gambar 8-12. (:tak dialog fungsi lembar kerja Regression.
i I
8.9 Regresi
181
kinerja seorang perenang atau pelari dipengaruhi oleh usia, tinggi, dan berat badannya. Anda dapat menggunakan secara bersama-sama ketiga faktor tersebut dalam mengukur kinerja untuk masing-masingnya. didasari oleh sekumpulan data kinerja kemudian menggunakan hasilnya untuk memprediksi kinerja dari seorang atlet baru yang belum diuji. (Cobalah hal yang sama untuk kinerja IC (integrated circ'uit) dan untuk harga saham perusahaan dan data kinerja finansialnya.) Fungsi regresi bukan sulap; fungsi ini harus digunakan secara hati-hati setelah Anda mempelajari analisis statistik. Gambar 8-13 menunjukkan hasil regresi. Untuk infbrmasi lebih lanjut mengenai pilihan-pilihan di dalam kotak dialog Regression, lihatlah menu Help.
Mengenai kotak dialog Regression lnput Y Range Masukkan referensi untuk range data yang saling bergantung. Range tunggal untuk data.
ini harus memuat kolom
lnput X Range Masukkan referensi untuk ran-ee data yang tidak saling bergantung (independen). Excpl mengurutkan variabel-variabel independen dari range ini dalam urutan yang membesar dari kiri ke kanan. Jumlah maksimum variabel independen adalah 16.
Labels Pilihlah untuk baris atau kolom pertama range masukan Anda atau beberapa range yang memuat label. Buanglah tanda ceknya jika masukan Anda tidak memiliki label; ExcEl menghasilkan label data yang berbeda-beda untuk tabel keluaran.
Confidence Level Pilihlah untuk menyertakan tingkat tambahan dalam rekapitulasi tabel keluaran. Masukkan confidence level yang ingin Anda terapkan selain nilai delault yang berada di tingkat 95 persen.
Constant is Zero Tentukanlah untuk memaksa gans regresi memotong sumbu koordinat.
Output Range Masukkan referensi untuk sel
kiri atas tabel keluaran. Diperbolehkan setidaknya tujuh kolom untuk rekapitulasi tabel keluaran yang mengikutsertakan tabel inova, koefisien, error standar dari estimasi y, nilai l, jumlah pengamatan, dan error standar untuk koefisien. New Worksheet Ply Kliklah untuk menyisipkan sebuah lembar kerja baru ke dalam buku kerja yang sekarang, kemudian paste-kan hasilnya mulai dari sel A1 lembar kerja baru. Untuk menamai buku kerja baru, ketikkan namanya di kotak isian.
New Workbook Kliklah untuk membuat buku kerja baru kemudian paste-kan hasilnya ke dalam lembar kerja
di dalam buku kerja baru. Residual Tentukanlah untuk menyertakan sisa (re.sidual) ke dalam tabel sisa (residuaLs output tablet.
baru
Bab 8:Analysis ToolPak
S:a-:arorzed Residuals I::..-runii,rh untuk menyertakan standardized residual ke dalam tabel sisa. Lesrdual Plots T:ntuknnlah untuk memunculkan diagram dari setiap variabel independen terhadap sisa (residual).
Lrne Fit Plots Tentukanlah untuk memunculkan diagram dari nilai-nilai prediksi terhadap nilai-nilai pengamatan.
Normal Probability Plots Tentukanlah untuk memunculkan diagram yang memetakan probabilitas normal. Aplikasi analisis regresi terhadap data yang terganggu diperlihatkan oleh Gambar 8-13. Perhatikan rumus yang digunakan di dalam model jarak galaksi-galaksi dari planet kita ini; kesalahan acak meningkat seiring dengan waktu. Diagram yang ditunjukkan di lembar utama dihasilkan secara otomatis bersama dengan penyusunan informasi ke dalam tabel. Gambar 8-14, 8-15, dan 8-
l6
menunjukkan diagram-diagram yang disebutkan di tab di bagian bawah lembar kerja.
Apa selanjutnya? Bab 9 akan memperlihatkan bagaimana mengimpor data ke dalam Ercel dan bagaimana menggunakan Excer- dengan akuisisi data lab yang tertentu, kemudian melakukan analisis dengan hard-
ware dan software. Paket software bernama MEASURE buatan National Instruments
88 A
,:=AE+RA.Nn0-AS^0.5',48 :ll q I C Dh E
REGRESSI{JH.XLS
F--"""*G"--*-"""i{"
Charter tl
)
-
I Drstance frme
lrgtrr 1
SUMMARY OU}PUT SUMIdIAEY 0UTPUT
I
years;
fi tsf ia,J6,rrn $lal.,$lj{:,J
7
ql ^i
,a t Elcalcol
I
I
5
3 1ln0t39
1t]
6
7.3439U82 6 i;64!18
11
1t 14
7 u I
r0
11 1nt2rr03
tU t,t iiZr:m,
t{
rc
1n.767868
14
11 2tS689
XJ 21
22
2l
22.2F,7213 18.885rJ98
:1
1:
..2
16 651388
D
1 1 .1
r "-*"-H-"
1 Residual Flrt
40
*ro
86nEmtrl
o+^ 'x
S -:n
ll
ttY
+5"
uo"
-4ll
fn348
O&ssrvslion
X
63
ai-
, ".
Virtiabl*
-o
qo.
1
Al'lD\,'A
,=._d.SS:MS,FS,qnfibarigF R*greosir:n 1 31583.I15 2'156:.72: 174.188 1.5EEE^1, 61 1551.6332
Qesidral T*tel
tn.a:taa
)8 r9
P
Standard Er
"
E2
1337156
39115.249
Cotftrhnr.rsrd,ldrrdElJtr
-lSlqJ
p-rrrfur,{-o!!er85%Upr)f,r95%raH.3:0%lrpFri!
.lnrprreFr 12n34flfi5 3.304S60t 0414316 n60mg6 ,4AAAAZ2 Tnitaie +SnArr :rfir: 1 1 uJ,r,jl.lir 0.q1I"WB1 i3 J,sq$ 1 s7q;:1e n.BE3,?*rE I 1T,l5iB,,,pBffi?qi,.,l ii1{
16 fi.97S382s 17 r4.7E534:
:0
'
Squ,rre 8.7,{ilfi3:1 Adjrsted R n.73S161 l
13154Y82
16
r;
Mrltit,le
s 873{:€ 13 rlftU*{
'15
19
X Variabls
0.8fi6$332
:
t.6s11058 .:3.1S41143
6
*--*1"*----
f.{egrrdit,il Arralyrir l+ol
x_\/_f.................riabre
16.3*637
= < a| r' vairrf
(;2fr356
predfrim
RESIDUAL *UTFUT
I
gesUuai
tr piuUaUitit 1
PRrfEAElLtTy OUIpUT
li
I
ffi,r
Gambar 8-13. Tampilan utama yang menunjukkan hasil analisis regresi dengan pilihan-pilihan yang berasal dari 3z-=a'3-'2 Gulunglah layar ke kanan dan ke bawah untuk melihat informasi lainnya.
8.9 Reqresi Regression 100
90 80 70
60 !
o
.9 !
50
E
I
40 30
20 10 0
Observation
Gambar 8-14. Garis bernoktah'. prediksi analisis regresi. Garis tanpa noktah: data mentah
Regression 30
20
o
10
o
oo
_0 G '6 o
d
o
o
o"
o oooooold o oo -'10
oo
o
2do
30
ooo 60
o
o
o
oo
o
o o
-20
-40
Observation
Gambar 8-15. Sisa (residuaf dari analisis regresi untuk data yang ditunjukkan oleh Gambar 8-13.
Bab
:i
B:
Analysis ToolPak
.,,i.; -tritnit.ct,mradalah
.: t: ;lt
khusus didesain untuk bekerja dengan Excel, mentranstormasikannya in.trumen lab yang penggunaannya umum. Software ini dapat digunakan untuk menarik
i-:.. \3 Jllanr Ercel.
membangkitkan sinyal, dan mengontrol eksperimen.
Daftar Pustaka >;licrrn Graphics, Inc. memiliki situs (http://lavarand.sgi.com) dengan sekumpulan bilangan acak arru \an-s dihasilkan setiap menit untuk kepentingan umum. Bilangan-bilangan acak ini tersedia iultnt bentuk sistem oktal dan basis-10. Bilangan-bilangan acak ini dihasilkan oleh lampu-lampu Lrr a Lite@. dikonversikan ke video digital kemudian diproses oleh Secure Hash Algorithm (SHS (http://www.nist.gov). -rraLr SHA-1) dari National Institute of Standards and Technology J. J. Collins. M. Fanciulli, R. G. Hohlfield, D. C. Finch, G. v. H. Sandri dan E. S. Shtatland, "A rurrdom number generator based on the logit transform of the logistic variable," Contputers itt Pirr'.uc.s 6 (6) 630-632 (1992). Sebuah situs web di University of Salsburg memuat uji coba untuk bilangan acak, pembangkit bilangan acak, berita terbaru, dan perpustakaan bayangan untuk literatur yang berhubungan. http ://random.mat. sbg. ac. atl. S. C. Bloch dan R. Dressler, "statistical estimation of n using random vectors," American
Jottnal
of Pht sics 67 (4) 298-303 (1999). Buku ini memuat diskusi singkat mengenai pembangkit bilangan acak, berbagai referensi, dan link Internet.
Uji kemampuan Anda l. ).
Pergunakanlah fungsi korelasi untuk data pada Tabel yang ditunjukkan
di Soal 7 di Bab 3.
Buku kerja bernama SWIM-RECORDS ditunjukkan di Gambar 8-16. Buku kerja ini berisi data rekor renang gaya bebas FINA-Masters Long Course Meters untuk putri. Buatlah diagram XY dari data di buku kerja yang sama. Tambahkan trendline ke dalam diagram. pergunakan Options of equation display dan zero intercept. Apa yang terjadi jika Anda tidak memilih zero intercept? Apakah trendline linier adalah yang terbaik? (Petunjuk: lihatlah ke nilai R2.) Pergunakanlah link Internet untuk men-download data terbaru. Apakah para perenang menjadi makin cepat'? Bandingkan kecepatan gaya bebas dengan gaya lainnya.
Records as ofMay 1, 199S FINA-Ma$ter Wom*n's Long Course Met*r$
5Vl/IM.RECORO.XLS Dhapler
*
http:/fuu$r.fina.orglmasterswldrecor http :lfuww.fina,arglnrasterswonren
W!}.liet-r's I rgE *lYrr
Meibs llimb,s 5n 10fl
llt ,1rr0 ilr-r =--
f()
II
34t:r.46
5{n 28 lJiUb'r
Gambar 8-16. Rekor renang Women's Long Course (gaya bebas)
l
cmcon-rp!ete.html
httLl:lli4\,\e'/.dn* 0rglmagt€r'womenlDmcornplete hlml I
ao 1a 130
I
185
uu kemampuan Anda
Pergunakan fungsi korelasi untuk data dalam SWIM-RECORDS. Berapakah koefisien korelasinya') Apakah menakjubkan? Ingat, rekor diciptakan oleh perenang yang berbeda. 4.
5.
Pergunakanlah fungsi Regression untuk data dalam SWIM-RECORDS. Bandingkan fungsi ini dengan pilihan trendline linier di Soal L Terapkan fungsi Covarianve untuk data dalam SWIM-RECORDS. Berapakah kovarian untui data tersebut'l
6.
Terapkan Descriptive Statistics untuk data dalam SWIM-RECORDS.
"1.
Pergunakan fasilitas Random Number Generation dalam membangkitkan urutan acak untuk 256 bilangan dengan distribusi seragam. Buatlah grafik urutannya. Pergunakan fungsi histtrgram untuk mempelajari distribusi frekuensi dari urutan tersebut. Lakukanlah eksperimen dengan ukuran tampungan yang berbeda. Tekanlah Tombol Fungsi F9 untuk mengubah-ubah
bilangan. mempertahankan statistik yang sama. 8.
Pergunakan fasilitas Random Nuntber Generation untuk membangkitkan urutan acak untuk 256 bilangan dengan clistribusi normal. Buatlah gratik untuk hasilnya dan amati bagaimana
perbandingannya dengan distribusi seragam (Soal 7). Matikan Automatic Recalculation. Sekarang nilai-nilainya tidak akan berubah hingga Anda menekan Tombol Fungsi F9. 9.
Bukalah buku kerja bernama FREE-FALL di tolder workbook Bab 7. Buku kerja ini memuat data kecepatan benda jatuh bebas di dekat permukaan bumi. Pergunakan diferensial numerik untuk mendapatkan percepatan dan simpanlah di kolom D di samping kecepatan. Pergunakan integral numerik untuk mendapatkan pergeseran benda dan simpanlah di kolom E di samping percepatan. Buatlah grafik kecepatan, percepatan, dan pergeseran. Pergunakan analisis trendline untuk menentukan garis terbaik dan Descriptive Statistics untuk menganalisis datanya. Pergunakan hukum perpangkatan dan polinomial trendline untuk pergeseran. Manakah hasil yang terbaik?
6e%
10. Bukalah buku kerja bernama EKG di folder Workbooks. Buku kerja ini memuat data eksperimen dari perangkat elektrokardiogram. Pergunakan Moving Average dengan periode 2,3, dan 5. Pergunakanlah lasilitas histogram untuk membuat histogram
data mentah dan hasil Moving Average. Ini adalah bentuk gelombang periodik yang akan kita gunakan di
\, ? a
r$ CJE
$
s
Bab ll dengan fungsi analisis Fourier untuk menentukan spektrum elektrokardiogram dan kelengkapan frekuensi yang berhubungan.
11. Bukalah buku kerja bernamaTITRATION di dalam folder workbook Bab 3. Buku k.:-.;. memuat hasil eksperimen larutan NaOH yang diteteskan ke dalam larutan HCl. ker:-,*: -dilakukan monitor terhadap pH. Buatlah diagram XY untuk data ini. Tambahkan lren,jl::- ,.
;:: : - untuk :'r: ",,.
grafik menggunakan analisis Moving Average dengan periode 2. Bandingkan hasil ini
hasil dari penggunaan fasilitas analisis Moving Average. Lakukanlah eksperimen yang berbeda. Pergunakan diferensial numerik untuk menentukan slope makrintur-.:. -
Bab
pHrersusVolune
lffi
tunfi vniunls{mL)
B:
Analvsis ToolPak
Bab I Pemakaian Excrl di Lab
Mengenai apa isi bab ini Excr,l adalah lembar pengolah angka yang dipilih oleh kebanyakan insinyur dan ilmuwan untuk menunjang eksperimen-eksperimen mereka di laboratorium. Excpt- bisa mendapatkan data dan menganalisisnya; dengan menggunakan Visual Basic for Applications (VBA) Anda bisa menjadikan Excel sebagai pengontrol eksperimen kemudian menjalankannya. VBA dapat diinstal mengunakan [Tools][Add-ins] kemudian meng-klik [Analysis Toolpak-VBA]. Walaupun begitu, salah satu bab tidak dapat membahas otomatisasi eksperimen dengan VBA secara menyeluruh; topik itu akan mengisi keseluruhan buku. Bab ini membahas mengenai kemampuan olah data lab yang dibutuhkan oleh para pemula.
Di dalam bab ini Anda akan mempelajari bagaimana mengimpor data dari:
. . .
file-file data yang dihasilkan oleh aplikasi-aplikasi lain, perangkat-perangkat di lab, perangkat penarik data.
Anda juga akan mempelajari bagaimana membuat program makro untuk melakukan tugas-tugas secara otomatis, kemudian bagaimana meningkatkan kualitas data dari lab melalui perata-rataan sinyal (dengan cara penyapuan tunggal atau multi). Kita akan membandingkan hasil perata-rataan sinyal dengan metode filter lainnya.
9.1
Mengimpor data
Impor data secara otomatis dan langsung (realtime) adalah sesuatu yang nyaman dikerjakan pada saat Anda memiliki hardware dan software yang tepat, namun impor data secara off-line kadang kala juga dibutuhkan. Impor data off-line dapat dilakukan melalui metode berikut ini.
.
Cara yang paling gamblang adalah dengan memasukkan data ke ExcEI- menggunakan keyboard. Cara ini lambat dan memungkinkan untuk muncul kesalahan. Selain itu. memasukkan data dengan cara ini berarti bahwa Anda mengambil data dengan beberap, cara lain, seperti membaca panel instrumen atau hasil cetakannya.
.
Anda dapat juga memasukkan data menggunakan software pengenal suara di Micrt - Opptcs XP (atau Dragon Systems, IMSI, L&H Kurzweil, IBM ViaVoice dan ba:' '
_
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
l.rgi r. \Iemasukkan data melalui suara perlu memperhatikan cara yang benar dan mikrofon
runs direkomendasikan oleh pembuat software pengenal suara ini. Program pengenal karakter optikal (Optical character recognition OCR), seperti Tertbridge dan Caere, sering begitu berguna untuk memasukkan data cetakan. Contoh, Anda dapat menggunakan pengganda dokumen untuk Tabel data yang Anda dapatkan dari buku, scan-lah tabel tersebut dengan program OCR Anda, simpanlah sebagai teks ASCII kemudian impor ke ExcEl menggunakan metode yang akan dijelaskan di bawah ini. Text Import Wizard memudahkan proses impor file data dari aplikasi lain. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk mengimpor seluruh teks data ke dalam ExcEr-:
1. Klik ikon Open File i-l atau klik [Fi1e][Open]. 2. Di dalam kotak Look ln, tentukan drive, fblder, atau lokasi Internet yang memuat file yang ingin Anda buka. (Lihat Gambar 9-l).
3. Di dalam kotak Files oJ t,rpe, klik Text Files. 4. Klik ganda file yang akan Anda impor. 5. Ikutilah petunjuk di dalam Text Impor Wizard untuk menentukan
bagaimana Anda ingin
membagi teks menjadi kolom. Marilah kita mengikuti petunjuk tersebut untuk mengimpor file data bemama OZONE yang terdapat
di folder POLLUTION. Folder ini terdapat di dalam CD-ROM. Gambar 9-1 menunjukkan file tersebut dengan Text Files dipilih di dalam kotak Flles o.f type. Perhatikanlah kotak Look In; folder yang dipilih adalah POLLUTION dan file OZONE muncul di dalam isinya. Klik Open dan Anda akan melihat Ganrbar 9-2 yang menampilkan Step I dari Text Import Wizard. Text Wizard secara otomatis mendeteksi file OZONE sebagai file teks delimited Windows (ANSI). Anda dapat memilih baris di file untuk memulai proses impor. Tarnpilan file tersebut
Lo*br
1f,3 rottution
:J
H *lsfW ffimlr*$wl ml 8P;n
Sehctthe foldBr here
!*d
t I
.Ml*,,
I
$elect Files of tlrpe: Text Files Fhd fiks
*r*
r$atch
tlese
Fle qxre: Fles of b,pe: lText Files
t ftds)
l:---*-:3,, ,'l;il;il"--**: t*urr#iedr Te*Erprryerty,
furd.
Gambar 9-1. F'e teks bernama OZONE dipilih untuk diimpor ke dalam
ExcEr-
. ,,
m,m...J
l.sgryqq'
tr
9.1 Menqimpor data
The Text $/iaard has determined that your data is Delimited. If this is corr*ct, chr:ose N*xt, *r eho*se th* Data Type that best desrribes : Original
y*ur data.
data type
Choose the fil€ type that best d*scribes your data;
,; ipgl1f1tp.$) 5 .* Fixed,,'ridth'[
- Characters such as commas sr tabs sepsrate each field. - Fields are aligned in (olumfis with spac*s between each field.
sla*
impr'rl
{t
file
Lowl
Qrigirrr
lv'/indsh'5 {A$51}
Preview af file F:tOata Files\Pnllulion\Ol0lllE.txt,
ter 9 ltr *x*na lev*l*
rllevel
stl0l . B*1
*:g
--j -*:;:::
.--.-l l- Jre-t
tl l
"" "
:T,*-
"
".1
Gambar 9-2. Step 1 di dalam wizard yang secara otomatrs akan menentukan tipe file dan memberikan wujud tampilan.
This srreen havo your
l*tr yru r*l th* dslir*ilffs ysff dalr rrr,llins,
text
is
I
{aur
]{,[[ 1700 1,30ff tutttl
sie
il
3S,fnts
-*rel
?$$t crrns*rutir,*
Comma
i
{nurIy
1'*u aan
affpcled in the pr*view belou*,
Trxt (ualifirr:
l"sve-ls
ilfi1 il01 .002 . .
nn:3
Gambar 9-3. Step 2 di dalam wizard yang memungkinkan Anda memilih pembatas data (delimiter). Pergunakar' lembar kerja Anda untuk melakukan eksperimen dengan pembatas berupa Tab dan Space.
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
ii'*s screen lets yau s*lect xach rslumn *nd sst ihe Data Formet, 'General'crnverts numerir valueE to nurnbers, dete values tc dates, xnd *ll r*maining velurs lu lxsi,
:'Cthntn d;ta l*rmst. r {i gen*ral
:
""
{-" Tr*xt
{*'
Do
n*t ilnp*rt c*fumn {5hip}
evsl* N
Gambar 9-4. Step
3 di dalam wizard yang
memungkinkan Anda mengubah format seluruh kolom atau
menghentikan proses irnpor atas kolom-kolom tertentu.
ditunjukkan di dalam window; gulunglah layar Anda ke bawah untuk melihat file itu lebih jauh, rpalagi jika Anda ingin mulai mengimpor di baris yang lain' Setelah Anda selesai membuat pilihan, klik Next dan Gambar 9-3 akan muncul memuat Step l. Sekarang Anda dapat mengeset pembatas (delimiter) sesuai dengan kebutuhan dan melihat tampilan file itu ketika muncul pada saat file tersebut diimpor. Pisahkan teks dari data menggunakan
Tert Qualifier.
Setelah Anda puas dengan tampilannya, klik Next dan Gambar 9-4 akan muncul berisikan Srep 3. Di sini Anda dapat memilah tanggal, bilangan, dan teks secara otomatis dengan memilih General di bawah Column Data Format, kemudian Anda dapat memilih untuk mengabaikan satu
.rtru lebih kolom dalam proses impor. Jika Anda ingin membuat beberapa perubahan dalam proses ini, klik Back. Jika segalanya .utiah cocok, klik Finish dan Anda akan kembali melihat Gambar 9-4' Jika seluruhnya berlangsung dengan baik, Anda akan melihat Gambar 9-5 ketika Anda mengklik itrntbol Finish. Setelah file tersebut berada di dalam Excst-, Anda dapat menerapkan sentuhan
,rkhir apa pun untuk memperbaiki tampilan.
g:
Membuat program makro untuk mengotomatiskan tugas
T-_tj:-rugas 1'ang berulang dapat dilakukan secara otomatis dengan membuat sebuah program ,,.;:.",,Ji ErcEl. Cara yang paling mudah untuk membuat program makro adalah menggunakan .:...t:> Record \Iacro: fasilitas ini akan merekam setiap ketukan tombol keyboard dan mouse mengulangi operasinya dengan membuat tombol singkat (shortcut), misalnya jarang -i Tr::tt'trl iingkar ini begitu nyaman bilaAnda sering menggunakannya, namun bila
-;.,:i:;.\nJa.iapat ,
i,-
9.2 Membuat proqram makro untuk menqotomasikan tuqas
- -,q
,l
i
_-
Hrurly
.... B $z0nB
i-'lo-ur
levxl*
Le'trxl
3
5till
[.001
4
700
0.001
Dnn UUU
0.002 0.003 0 tl04 0 004 0 005 0.004 0 004 0.003
_q,
srfir 1nn0
fi
11ff11
1n
I IUU 1300
I
jttlll
191
1l-
1
12 1?
1500 't500
l4
1r00
0
1800
0.D01
rTl
CI.002 CI02
Itt t: Gambar 9-5. lni adalah bentuk impor data yang lengkap. Saat ini proses analisis dan pembuatan diagram telah siap dilakukan.
Anda gunakan kemungkinan Anda akan lupa. Tombol cepat Anda akan menggantikan semua tombol singkat Excst- dengan nama yang sama ketika buku kerja yang memuat tombol singkat Anda itu dibuka. Anda pun dapat menggunakan mouse untuk memilih program makro di dalam menu [Tools][Macro][Macros]. Apabila Anda ingin yang lebih berfantasi lagi, Anda dapat membuat
tombol kustomisasi di toolbar untuk menjalankan program makro ini atau menciptakan sebuah hotspot di dalam objek grafik yang dapat di-klik. Lihatlah di menu Help untuk metode-metode ini.
TIPS Untuk dapat menggunakan Perekam makro, Anda harus memberi tanda cek di menu Analysis ToolPak-VBA di dalam [Tools][Add-ins]. Lihatlah Gambar 9-6. Setelah ini terpilih, Anda dapat merekam program makro menggunakan [Tools][Macro][Record New Macrol. Lihat Gambar 9-7. Kotak dialog yang ditunjukkan di Gambar 9-6 memiliki beberapa Add-Ins penting yan-e dap.. Anda jelajahi bila Anda memiliki waktu. Pilihan Solyer Add-In adalah salah satu yang bersultr karena fasilitas ini dapat memecahkan sebuah nilai untuk memaksimalkan nilai yang lain. Pergunakanlah Solver untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari sebuah .; dengan mengubah sel-sel lain. Contoh, Anda mungkin ingin memaksimalkan volume konr::.::.:: dengan mengubah dimensinya, dengan memaksakan beberapa nilai dimensi. Sel-sel vang {:.:pilih harus dihubungkan dengan rumus di dalam buku kerja. Jika sel-sel tersebut tidak dihubu:,i^-mengubah isi sebuah sel tidak akan mengubah isi sel lainnya. Untuk informasi mengenai :rlS,,::''yang menggunakan Solver, Anda dapat melihatnya di menu Help Excor-. Lookup Wizard dapat menjadi penghemat waktu karena memungkinkan Anda unruk n.:. -. kan nilai tertentu di dalam daftar. Anda dapat membuat rumus untuk mencari suaru nr.- :-,.-gunakan label baris dan kolom dari daftar. Contoh, jika Anda memiliki datiar inre.: : .---
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
Add-Ins srsilshlf
;
f-*qr**3
Analysis ToslPlk -
Aulosave
\,BA
l\'s
ffi (*nditi*nsl Surrr Y,Jisard ffi tnnkuP l,liirard ffi"*
t*
I
hlicrns*f t
LAn(er
{
Erows*.,.
3
""".;---..t
Brnkhelf Int*qrati*r
$
I
T*mplal* Utilities
rink
upd*te &dd-in
"'Analy*is TrdF*k ""' "'-
Gambar 9-6. Kotak pilihan Analysis ToolPak - VBA diberi tanda cek menggunakan klik kiri di tombol mouse Pergunakanlah kotak dialog ini untuk menambah atau menghapus Add-lns.
loak $ala Sndow
lF Spettl*s,.,
gxlp
r?
{utoCorrect.,,
la*l
Up Reierenc*..
'',:.:). a: '',,'.
: 'l ,,r
zr x f* Al Z+ A+
& g i*B:
iS
oi
*3 ci- t3 :r
$.*
.0f
.BS +.0
-L-Li
,
!
100?-o
.
,&.d
I
a
lrack{harrges i
&
lr,:;.ir:';r.1t,..,
grot*{ti{n
?
;
,
6*al 5eek.., 5cgnerios.,,
Sgditing
)
i l{l
Eecord Neb.' trlacro.,.
$suol
tsesic
€ditor Alt+Ft I
Gambar 9'7 Anda dapat menjalankan program makro atau merekam program makro baru menggunakan menu bahwa Anda dapat juga mengaktifkan Visual Basic Editor untuk memodifikasi program makro .:-l s,:e- arlz 3JBt. Perhatikan tombol singkat di keyboard, seperti Alt+FB.
--': s pe-a: (an
9.3 Menggunakan Excel denqan PASCO Science Workshoo
Shortrut Uv,
h
193
Stcre macra in:
[escriptiont lHacro r*rordrd UlJ2000 by Dorth $/ader I
Gambar 9'8. lni adalah kotak dialog Record Macro. Anda dapat menyimpan program makro ke dalam This Workbook, New Workbook, atau Personal Macro Workbook. Dengan menyimpannya ke dalam Personal Macro Workbook Anda dapat dengan mudah memanggil makro tersebut untuk digunakan di buku kerja mana pun. Pilihlah tombol cepat (shortcut) dengan atau tanpa tombol Shift; ini akan menggantikan setiap tombol cepat dengan nama yang sama pada saat buku kerja dibuka.
memuat nomor part mikrochip, deskripsi, dan harga. maka Anda dapat membuat rumus untuk mencari deskripsi atau harga part dengan mencari berdasarkan nomor part tertentu. ktokup Wiz.artl akan membantu Anda menuliskan rumus yang dibutuhkan. l. Klik salah satu se1 di dalam daftar. 2. Di dalam menu Tools, arahkan ke Wizard kemudian klik Lookup. 3. Ikuti petunjuk di dalam Wizard. Excpl juga memiliki fungsi LOOKUP yang dapat menghasilkan suatu nilai dari range satu baris atau satu kolom atau dari array. Bentuk vektor dari LOOKUP nampak dalam range satu baris atau satu kolom (dikenal sebagai vektor) untuk nilai dan menghasilkan sebuah nilai dari posisi yan-e sama di range satu baris yang kedua atau satu kolom yang kedua. Bentuk array LOOKUP nampak
di baris atau kolom pertama dari sebuah array untuk nilai tertentu dan menghasilkan suatu nilai dari posisi yang sama di baris atau kolom terakhir
ar:ray.
Gambar 9-8 menunjukkan kotak dialog Record Macro. Jika nama makronya tidak dideskripsi-
kan secara lengkap, sertakanlah intbrmasi lainnya membuat Anda frustrasi
di dalam kotak Description. Hal ini dapat jika nanti dihadapkan dengan program makro misterius yang Anda buat
sendiri! Gambar 9-9 menunjukkan kotak dialog Macro untuk memilih dan mengedit. Gambar 9-10 menunjukkan Msual Basic Editor (lihat Gambar 9-7). Anda juga dapar aksesnya menggunakan tombol cepat dengan menekan ALT+Fll.
9.3
men-s-
Menggunakan Excel dengan PASCO Science Workshop
Cara dasar untuk memasukkan data ke dalam Excpr- adalah dengan keyboard. namun ini mentbosankan, makan waktu, dan berpeluang besar memunculkan kesalahan. Software akuisisi data laL, yang modem biasanya memiliki ketentuan untuk mengekspor dan menyimpan file data. Memindah-
kan data langsung dari program akuisisi data ke dalam Excpr- atau pengolah kata kerap dibanrr, oleh operasi Copy di Windows. Ini adalah bantuan besar dalam menghasilkan laporan lab 1un: profesional. Marilah kita lihat bagaimana hal ini dilakukan oleh program lab yang populer unr.-i membantu eksperimen melalui komputer. Interface untuk PASCO Science Workshop ditampilkan di Gambar 9-11. Dengan inrer:.-, software ini, Anda dapat secara otomatis mengkoneksi dan mengkonfigurasikan masukan ar.. ,: dan digital; hanya dengan mengklik dan menyeret salah satu tombol ke saluran pilihan. Perh:: . *-
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
lvlgrrus
inr
l*tt *pen ![rorl]suks
Oescriptaon
Fkcro rccard*d
lJl/2*$f
by
es*h l4lader
Gambar 9-9. Kotak dialog Macro. Pergunakanlah kotak dialog ini sebagai sebuah alternatif tombol cepat untuk memilih program makro. Kotak ini juga menyediakan pilihan untuk mengedit.
tS ft*
gUir
:X'6-
ges Intrri FB-td
E&l
nalrl6FivdtTabl
:'
r,i
$s:!.!::.1,i
Dsbrru 8un
i,r
Igds L&de
Heb
) fi r N &lestf =
l3
Fil*
trdsdt/,lidh fr,1{
Gambar 9-10. Visual Basic Editor adalah fasilitas yang luar biasa dengan banyak pilihan, namun tetap mudah digunakan untuk memodifikasi apa yang telah Anda buat sebelumnya.
9.3 Menggunakan Excel dengan PASCO Science Workshop
r;f3fffiffit l#$s;ll; .Irffif,l
,
H r$l
lxffi'l
r--l ll ktfi'lffil
{SS.lr.--iH
Cltck and drag thls digltet plus t€ a th*nne{ for fftotion,
*Y111'll:
Slltk and d{sg lnls analss plr:u
t*
e hh*nEe{ tos
vslta*e.
--:T*' -'t
-'--ii :'-:1::11. ffiffiffit i'-.fl iiril,r, m W''W ffi Ldii#, lffiii*E*tffi:li.?
':l-:"i'
--
i::gn" -S:$:---I*os* " f.r]-:''1*31?. a*d drag a dlsFlay ltsn l$ &
r',.
I
"
?.Tl"li
e
Ctick
channel0rsgn$6rmdit$la!.'d*'ga
Gambar 9-11. lnterface dari PASCO Science Workshop. Tidak ada saluran yang dipilih di gambar ini. Fungsi Scope-nya menyerupai Graph, namun dioperasikan untuk data yang cepat. Pengukur analog dan digital berguna untuk melihat kondisi selama eksperimen.
bahwa terdapat tiga saluran analog dan empat saluran digital. Sistem ini dapat juga digunakan sebagai pembangkit sinyal; konektor OUT di sisi kanan berada di sinyal tingkat rendah dari suatu pilihan bentuk gelombang yang dapat dikuatkan untuk keperluan selanjutnya. Sollware ini akan men-ehasilkan sebuah grafik dan tabel data. Walaupun hal ini cocok untuk keperluan cepat dalam eksperimen, hasil ini
. . .
ini, seluruh tabel dan grafik akan ditampilkan dengan tulisan putih di atas dasar hitam. Lihat Gambar 9-13. (JikaAnda klik di bagian masukan data yang lain di dalam tabel, hanya titik itulah yang akan dikopikan). Sekarang gerakkan pointer mouse ke kiri atas dan klik [Edit] di bar menu. Di menu [Edit] yang tergulung ke bawah, klik tCopyl, maka seluruh data di dalam tabel
Klik di
area
akan ditransfer ke Windows clipboard.
.
Sekarang Anda dapat meletakkan data ke dalam Excst- atau pengolah kata menggunakan
[Paste]. Hasilnya di Excrt- diperlihatkan oleh Gambar 9-14. Data di dalam tabel harus dikopikan secara serentak.
Bab g: Pemakaian Excel di Lab
l J
t--**--'::-{
Click in this area to copy all data in a
la.srliib sltue..s
Table
in,iElffi l.:li.I#iffi
Gambar 9-12. Di dalam eksperimen ini, sebuah pegas bermassa digantungkan dari sensor pengukur gaya tegangan dan pegas tersebut dibuat bergerak. Hasil osilasi direkam ke dalam grafik dan Tabel (kiri), kemudian dianalisis dengan FFT untuk memperoleh spektrumnya. Klik di area yang ditunjukkan untuk mengkopi data ke dalam Windows clipboard.
Gambar 9-13. K iklah di area tempat beradanya pointer mouse dan Anda akan meletakkan seluruh data dj tabel -'::a:-,"/i"dowsclipboardpadasaatAndamemilihtEditl[Copy].Tulisanputihdi atasdasarhitammenunluk-
..^ -:s -.^.kllk
tabel Force.
9.3 Menggunakan Excel dengan pASCO Science Workshop
-
oscttA
...,.".-
-q*---i---'F;-* i..-*.f
Data
:..
197
i.*'-_q**
:"-_*.
lnportfrom PA$Co Scienca lffortshop
H i
I
I J :i l{
l
Chapter 10
$, ,(h A #1 Rpt #1 FFT FFT .],lTlme i9] ,Fo1ce {N) o--i3g Freq {Hz) FFI g -q, .3.2461 9l 0051 0.n78 4.031 lil ' n.l .3 2!6 a2y uoar 8.391 ff.m6 .,l-i..] fl 15, -3 2,16 0 547 0 2S8 1"?_i 0.2 .3 ?48 0703 1X.i 0,S -3.216 0 859 o.ril .1*,j . n3 -3185 ffi4 1 816 0.131 :!s-l n 35 .3.2972 16.i 04 1 172 B.m6 ,? 8€ 1 328 008 "f_.r 0045 1 484 0.G9 .1,Q-: 5 .3.27w 15 i 0.55 m7 1 641 0 059 2[ i n.6 -2 U4 1 797 B.B5 }j_l o 6s .2 3e2 1 953 U 044 2 1m DB43 wi 07 "22re 178 2M iE3 _?$j rl 75 .2.1.m7 rl.8 24, 2 472 I C34 ,tw5 x: 0.85 2 578 C 037 :6-i oe .1m4 2.7U rl 031 X-j,i L i *\s*r"etr l sreeta { green I .
$-
jch
{
..Q*1Run
*-1 g
r'. a1
_I
D
lla
1
8pccln fir, illa*s on a Sprirx 5 4
o E 3 ic
6. E
x 3 1
il Fr.qeulcy tl'h)
lrl
.ffi
Gambar 9'14. Tabel data Force yang telah berhasil dimasukkan ke dalam Excrr- diperlihatkan seluruhnya di Gambar9-13. Selainitu,padaoperasi Copyyangkedua.datanyasudahdikopikandandipastekan,diagramnya pun sudah dibuat. Diagram spektrum perlu disesuaikan karena bentuk pakunya mendekati frekuensi noi Bentuk sumbu log akan membantu memperjelas secara grafis untuk analisis spektrum. Modifikasi untuk hal tersebut terdapat di Gambar 9-15 dan 9-16.
Sp€ctrum, Mass on Sprlng
I I
I 0
1
2
3
4
5
6
7
I
S
IQ
i1
FGqwnry (H.,
Gambar 9-15, Diagram hasil modifikasi untuk spektrum yang diimpor dari PACSO Science Workshop. Bandinokadengan spektrum di Gambar 9-14; bentuk paku "dc" pada frekuensi 0.078 Hz yang berupa artefak dar r.e:dihapus. Garis spektrumnya berada pada frekuensi 0.703 Hz. Di Excer-, letakkan pointer mouse ke data;-:.. untuk membaca frekuensi dan amplitudonya.
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab Spectrum, Mass on Spring
€ c E
8.1
1
Fraquency (Hz)
Gambar 9-16. Data di Gambar 9-15 ditunjukkan di sini dengan format diagram log ke log.
Lebar garis spektrum di Gamhar 9-1.5 dan 9-16 bukanlah estimasi yang baik untuk lebar yang sesungguhnya dan bukan pula pengukuran yang baik untuk Q osilator. Alasannya adalah bahwa FFT yang digunakan di sini hanya baik untuk tampilan cepat, namun jendela data kotak digunakan untuk menghasilkan tambahan sebaran di garis. (Bab 11 akan mendiskusikan data yang lebih baik.) Penggunaan Excr,L dengan data waktu asli (yaitu berbentuk gelombang) dapat menghasilkan sosok spektrum yang lebih akurat dengan mempekerjakan teknik-teknik lain FFT. Kita akan lihat bagaimana melakukannya melalui Bab I l, namun marilah kita membandingkan hasil awalnya di Gambar 9-17. Perhatikan sosok spektrum yang lebih baik dihasilkan dengan ExcEr-.
9.4
Menggunakan Excel dengan lnterface Lab Vernier Multifungsi
Interface ini berbasis papan rangkaian standar (ISA) 12-bit, 3-masukan, dan konverter analog ke digital yang diperuntukkan bagi keperluan mahasiswa di lab. Laju maksimum pengumpulan data adalah 75.000 sampel per detik. Tiga range software yang dapat dipilih bisa didukungnya, keluaran analog dan jalur VO digital juga tersedia.
Kotak lnterface Lab Multifungsi Kotak tambahan ini memiliki soket S-pin DIN
(Saluran A, B, dan c) yang memperbolehkan koneksi cepat ke sensor range lebar. Bagian dalam kotak adalah soket 16-pin DIP yang digunakan oleh pelaku eksperimen untuk membuat prototipe area tempat rangkaian dibuat.
Software lnterface Lab Multifungsi Setiap saluran masukan dapat dikalibrasi menjadi tampilan untuk beberapa macam sinyal masukan; - -:,,i:. .rluran A dapat membaca temperatur, saluran B membaca pH dan saluran C membaca
9.4 Menqounakan Excel denqan lnterface Lab Vernier Multifunqsi
199
Gambar 9-17. Kiri: Spektrum menggunakan PASCO Science Workshop FFf . Kanan: Spektrum menggunakan EXCEL FFT dengan data bentuk gelombang dari PASCO Science Workshop. Kedua diagram menggunakan format log ke log. Perhatikan penurunan kebocoran spektrum.
tekanan. Data dari masing-masing saluran masukan analog tersebut dapat ditarik, dibuatkan grafik-
nya, dan disimpan ke dalam disk. Grafik waktu terkini, histogram, osiloskop seperti tampilan monitor, dan analisis Fourier seluruhnya dapat disediakan. Program-program tersebut menyertakan sebuah pilihan yang akan mengeset komputer menjadi digital, bersaluran tunggal maupun menjadi tampungan osiloskop yang mengukur Y terhadap / dan Y terhadap X. Program MPLI for Windows membolehkan penarikan data cepat terhadap grafik, osiloskop, dan hasil pengukuran terkini. Uji coba kelajuan dapat mencapai 75.000 data uji/detik atau lebih lambat lagi sehingga data dapat ditarik dalam beberapa hari. Perangkat-perangkat penunjang datanya termasuk perangkat analisis, garis tangen, integral, jendela FFI jendela histogram, kolom perhitungan dan pencocokan kurva. Program MPLI for Windows mendukung pencocokan kun'a secara otomatis menjadi fungsi-fungsi yang lebih beragam. termasuk linier, polinomial. logaritma. dan trig. Selain itu mendukung pula terhadap pencocokan kurva secara manual, dengan cara para mahasiswa yang mengetikkan nilainya kemudian mencoba mencocokkan datanya ke model matematika. Begitu mudah untuk mengkopi data dari program MPLI ke dalam EXCEL atau software pengolah kata. Tatanan jendela tertentu ditunjukkan oleh Gambar 9-18 dan 9-19. Jendela MPLI dapat diubah ukurannya dan dihapus; jendela tambahan dapat disertakan pula.
TIPS Kliklah di bagian kepala tabel data di layar MPLI untuk memilih seluruh tabel. Setelah itu klik [Edit][Copy Data] di bagian atas bar menu. Langkah ini akan meletakkan isi tabel data ke dalam Windows clipboard. Bukalah sebuah buku kerja EXCEL, pilihlah sebuah sel, kemudian klik ikon [Paste]. Anda akan melihat hasilnya seperti di Gambar 9-20.
Anda dapat juga mengkopi seluruh jendela di MPLI menggunakan [Edit][Copy Windorr ;: bagian atas bar menu. Langkah ini berguna apabila Anda ingin meletakkan sebuah diagram \IPLI ke dalam pengolah kata atau lembar kerja. MPLI memuat beberapa fasilitas analisis yang berguna. Contoh, Anda dapat membuar :ebu:histogram dari suatu bentuk gelombang untuk mempelajari distribusi amplitudonya. Sepuluh;:-:. pemantasan kurva data eksperimen secara manual maupun otomatis dapat dilakukan.
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
_ -l-
aH F'
r
x n 3
eI &
l
Gambar 9-18. Konfigurasi MPLI dengan grafik, tabel data, dan jendela spektrum (FFT). Eksperimen ini berupa massa yang berosilasi di udara, digantungkan di sebuah pegas dengan sensor gaya. Keluaran dari sensor gaya digambarkan dalam grafik. Perhatikan kursor yang berada di grafik. Kursor tersebut menghasilkan pembacaan waktu dan gaya dan berhubungan dengan bagian yang dipilih di tabel data. Kursor juga dapat mengukur perbedaan waktu dan perbedaan gaya. Di sini FFT ditampilkan menggunakan 256 titik; jumlah titik ini bisa diatur namun harus berupa bilangan bulat pangkat 2, seperti 128,256, 512, dan seterusnya. Untuk mentransfer tabel data ke Excer, klik bagian atas tabel kemudian klik [Edit][Copy].
9.5
Menggunakan Excel dengan software MEASURE buatan National lnstruments
Plket software bernama MEASURE adalah sebuah software tambahan serba guna untuk keperluan industri yang memungkinkan EXCEL menarik data lab, mengontrol eksperimen, dan membangkitkan rin1,al. MEASURE memiliki tiga bagian: Serial, GPIB (General Purpose Interface Bus), dan DAQ rlkuisisi data dari National Instruments). Dengan software tambahan ini Anda dapat:
. . . . ji:r
menarik data analog dan mengontrol instrumen menggunakan EXCEL, mengkonfigurasi operasi masukan/keluaran (l/O) dengan kotak-kotak dialog yang mudah digunakan,
meletakkan data langsung ke dalam sel-sel lembar kerja, tanpa bantuan program dan
algoritma konversi. mengotomatisasi eksperimen dengan program makro VBA.
Dengan Add-ins Serial dan GPIB Anda dapat mengontrol instrumen-instrumen yang kompatibel
langsung menarik data melalui EXCEL dengan menggunakan instrumen-instrumen yang terdi komputer Anda.
- --.-rnS ke port serial atau kartu GPIB
@n
1s_
software
lvl
*
E4q!8E ICqIA! llCllo1qLl1gtqqg{9
201
Gambar 9-19. Sebuah massa silinder yang tergantung ke pegas direndam separuhnya di dalam air. Pegas ini digantungkan ke sebuah sensor gaya. Osilasi mengalami redaman karena gerakannya di dalam air. Gaya mengalami gangguan berupa turbulensi di dalam air dan beberapa osilasi lainnya di dalam pegas-
'-,_31 1
? 3 4
D
E
l-1
IE
F . G epffng
.r.11.....
Irl ; tl!
K:
frlrn for{e gengor
[.Bs$ed S$*r*si#
Time Polenlral eVFz\,1
.7
E
\lass euependrd verlrrally by lUaos og|liales rn a"ler
;OSC.DAMP.XLS :Chnrier lB
Ma$s: 0 351? diamBtsr 3 cm
l9
!l1lr,iq
t!
sr
FrequencJl,,legnrtude
.8.-r 0 1{649$3 D 2974 .! S r 0.?t10t12 1 462621 C.0.1BB!4 0.Dmll 1ff I B.r-140tltr9 1.482683 0 rB7B47 0 000t49 1t 0660006 1,rE53b3 C 14b771 iJ000l8i t!^ amwnt r 4eiali o,9i69s j 0.l}99*1 1.489t:6 8.24.4616
'13
Mass oislrinq:0.15{d k
ooooi2! 0 0003:ts
14] 0 !2008? r d9ffi13 0 ?935{2 0.000371
15:013999: I d91%:
11.34.?466 0000423
16,0159991 149334.? 05913a9 00m{8 D
180087
1
1ti81999S3
1
1.1-.a
lls,r
0.22
-{93981 rr.{i0313 0 000555 195111 0.489237 0D0m4A
.4ffi3'
0 53816 0 rlDB/g1 562 C.S?081 ! .!t:r 1 9n 1 501562 8635006 000112! 2?t B.:ADD04, '1.4S51r B.€8493r 0.002258 23 , t -tsss9: r agagli r: i:l9ls o ooszl3 24: 0.3?lilB4 1.501197 0.78?7fiS ll.flE6{6
:g i 0.?3S993 )r". ozsesgn
* ,fi z
1 1
.501
1
olqo&r: rso2r;ts og3l;,Bi ooo2toi D.-355992 1 50142'
o :eotrrr
1 5001
C.mrt6:t
19 t 92955
0.081t19 0 000847
:
Gambar 9-20. Data dari Gambar 9-19 telah diimpor ke EXCEL. Spektrumnya telah dipetakan menjadi diag:'asemi-log untuk melebarkan penampilan sebagian spektrum amplitudo rendah. Penampung air memiliki diar-e::' dalam sebesar 5,9 cm. Turbulensi terjadi ketika massa yang berdiameter 3 cm berosilasi pada saat dicei-:.eke dalam air.
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
Dengan \dd-in Serial Anda dapat mengontrol setiap instrumen melalui interface RS-232 atau RS{85. seperti skala elektronik, analizer, spektrografi, kaliper, dan modul I/O jarak tauh di dalam lab atau di tempat manapun di dunia melalui Internet.
\dd-in GPIB memungkinkan Anda untuk mengakses setiap instrumen GPIB seperti multimeter, osiloskop, dan pembangkit fungsi. (GPIB merupakan singkatan dari General Purpose Interface Bus. Bus ini memungkinkan beberapa instrumen maupun komputer untuk berkomunikasi satu sama lain; instrumen-instrumen tersebut harus memiliki kartu GPIB). Add-in DAQ bekerja dengan standar industri berupa kartu PCI, ISA, dan PCMCIA yang dimasukkan ke dalam slot di komputer untuk menarik data, membangkitkan sinyal, mengoperasikan relay, dan banyak lagi. Penarikan data dengan DAQ berkisar anta.ra 100.000 hingga 300.000 sampel/detik, lebih cepat daripada menggunakan port Serial. Ketika MEASURE sudah diinstal dan diaktifkan, Anda akan melihat pilihan tambahan di bagian atas menu bar EXCEL. Sebagai contoh, pada Bab I Gambar 1-4, Anda dapat melihat menu Serial di antara menu Data dan Window di bagian atas lembar kerja. Add-in Serial dan GPIB yang diakses melalui menu-menu yang dapat digulung ke bawah ini secara otomatis ditambahkan ke EXCEL ketika Anda menginstal MEASURE. Anda dapat menonaktifkan menu ini melalui menu ITools][Add-ins]. Pertama Anda harus mengkonfigurasikan setting spesifik di instrumen seperti koneksi port COM, baud rate, dan bit data untuk instrumen serial, atau alamat GPIB untuk instrumen GPIB. Setelah itu Anda dapat membuat tugas khusus untuk mengirimkan perintah atau menangkap data
dari instrumen yang terhubung, kemudian Anda dapat menentukan algoritma terpisahnya. Gambar 9-21 menunjukkan menu yang dapat digulung ke bawah untuk Add-in Serial. Klik menu lSerial][Instruments] dan Anda akan melihat Gambar 9-22, yaitu yang memulai setup instrumen. Di dalam contoh ini, perangkat penyeimbang elektronik (electronic balance) dalam kondisi terpilih. Perangkat ini memiliki konektor RS-232 9-pin di belakangnya. Kabel serial standar digunakan untuk menghubungkan perangkat penyeimbang elektronik ini ke Port COM 1
di komputer. Di sisi kiri Gambar 9-22, Anda akan melihat tiga buah tombol: New, Delete, dan Test. Ketika Anda menekan tombol Test, Anda akan melihat Gambar 9-23, kotak dialog Instrument Test. Kliklah di bagian Send Data dan Read Serial Port. Setelah instrumen mengalami setup dan uji coba, klik di Tasks. Kotak dialog Capture Task akan muncul seperti di Gambar 9-24. Bukalah buku kerja bernama INSERT-MOVIE dan Anda akan melihat konektor 9-pin tertentu
di bagian belakang dari sebuah perangkat penyeimbang elektronik. Anda dapat menghubungkan kabel standar di antara konektor ini dan pofi COM (uga 9-pin) di komputerAnda untuk membentuk koneksi Serial ke proses transfer data dan perintah melalui protokol RS-232.
Gambar 9-21. Klik menu Serial untuk mengakses menu-menu Tasks dan lnstruments.
9.5 Menqqunakan Excel denqan software MEASURE buatan National lnstruments
203
Ells Edh VIew lnsert Fgrmst Ipolr Qatr lYlndo* DAO gerirl f ffi FS".{}m.E}ffi }$ffi @rfi r*ffi
lffi
Help
n-ffi
Wtrf.-q.ffi
1t*rfttd*i
I
f-{st
qg$dr-;;u}:.:Yir*r,:r
t CryP#t
rH $r
t
)
llar:
S8iri| ftirt&r
{?{oo , fffit .,
:
lEl."t,*t" B"t"*- ,, h(
lEq'l i fH,F i
' ,,
l*l
1:,'l:'
::,,
l
@ffiffi:"! Gambar 9-22. Add-in Serial dikonfigurasikan untuk masukan data otomatis dari perangkat penyeimbang elektronik Kotak dialog ini berada di menu lnstruments.
fIl* gdit Yieur lnsert Fgrmat Iosls Data llfindas BAg IE36lGIffi lElEl lx3-r]
ffi tffi fsr*ffi ffi
Wffiil#-ffi
in*rsa**:. ., 2.
T X( r"
s-Is c
t
llh$-
Tredeii*i F?
Ssd:Sa*a
$
s
Srrial
n"ijsi*Yr: \1
$r
{nI 3S"3e311 }\'t *X-B$\}n3gtl
311.{}
!a
13
,il
*]:ffiit"ffi,l::I Gambar 9-23. Kotak dialog lnstrument Test. Klik di Read Serial Port. Gambar 9-24 menunjukkan kotak diato,; Capture Task dan pembacaan yang diimpor dari EXCEL.
Bab 9: Pemakaran Excel di Lab
-, Elc Edit Vierv lnsrrl Farrnrt lonl*
ffirEl
''
"' 'l' trsffi r,ht ..:i:lilt
DAg
Oxtc
$.S
'$:
tr
?rs&s
$erial
*aStffiii*ffi$rH'4 #W fi*
'"":
{8cad Scde
ss,-.s* ryw+*h*19*dffir1@
ffi
$i$ff*rffi g*F
it'
Aoc*
oa sarftg
tft# tff lhi: Bn$od-em
ry
' ,,,
snst
il
es{ry{ry$*!{qanrryx fWsrtfusl'tllfsr llsffiffit i,
12
Isooo
ft
fl*
I
Srir rea${s11g
rir*q$
s*tqh6;
,
I l
S$e$bsl$lei&S.lirls.*cA4 *€&*k
1S
S*&t!
f-$*w-f
*h
rJt*-J
Gambar 9-24. Kotak dialog Capture Task mengeset parameter-parameter penangkapan (capture). Perhatikan bahwa data yang ditangkap akan disimpan di range $A1 :$A10, seperti ditunjukkan di Gambar 9-25.
fil* Edif Eleu lr*rrl fi
ffif** Iz 1
s
Xrle"hmi* sdance
[&&,**l
Xa*.*r
Htu*&lfi&"M
*
s.3:2 LS$
fffc$* * tx**: s.?11 LS$ 5.bi r' L5b 1&{
&ixffi*
I AC
$ 6
n ft.ts'i I
7
il01*
E
n frB-l r &q
I
*.ffi
cl{
LSS
[ds
n.fls"3 LBS
il t1tfr LsS 1
12
--.--''**'-'..-"-'. -.-:-*-*-:*-.: Sridtiigtfun: - -* nedr isai$N frnm EbiJkimie 8afia*ee
13
1t 15
t6
ffi
17'
lal Gambar 9-25. {.
.
ffiterns;3.il#s";
:.^lbol Run yang telah ditandai untuk menjalankan
Task
9.6 Menggunakan Excel dengan
9.6
205
TAL Technologies SOFTWAREEDGE
Menggunakan Excel dengan TAL Technologies SorrweneWeoce
Anda tidak perlu rnengetikkan data ke dalam software aplikasi dari tampilan di panel instrunren Anda atau rnemasukkan nilai-nilai hasil tulisan tangan jika perangkat Anda telah merniliki port RS-232 (Serial). WIxWEocr. bagian dari keluarga SonrweepWEoce, merupakan solusi lain untuk rnenarik data melalui perangkat I/O Serial yang sungguh dapat diubah-ubah sesuai keperluan. Pada dasarnya. WrxWeocE memasukkan data dari perangkat apa pun yang dipasangkan ke salah satu port Serial komputer ke dalam program aplikasi Windows langsung saat itu juga. Kartu Serial tambahan yang memiliki 2 clan 4 port pun tersedia. Seluruh informasi yang muncul di tampilan instrumen Anda (dan di banyak perangkat lainnya) tersedia melalui port Serial. WrrvWpocE melakukan pengambilan intisari informasi yang Anda butuhkan dari data Serial yang masuk ke komputer dari berbagai instrumen. Software ini secara cepat menyelipkan data ke dalam program aplikasi Anda
maupun matematika) atau program-program
(Excel, Accpss, software statistik,
di Windows 3.x, 95, 98, atau NT. Anda
dapat
menarik data langsung dari pengukur elektronik, gage, scanner barcode, pengukur aliran. pengukur pH, spektrorneter, analiser, densitometer, sensor, pencatat log data, kontroler, Global Positioning System (GPS), atau perangkat lain, secara langsung ke dalam field-field atau sel-sel di dalam lembar pengolah angka atau database yang akan langsung menghasilkan grafik beserta analisisnya. Dalam model yang sederhana. WrsWEocE mengkonversikan data serial yang datang menjadi "ketukan tombol" sehingga data yang masuk ke dalam program aplikasi hanya bagaikan mengetikkan data. Alternatifnya, model yang canggih untuk nientransmisikan data serial adalah melalui DDE
(Dynamic Data Exchange) untuk mendefinisikan lokasi di aplikasi tu.juan. WTNWEocE dapat memasukkan data dari berbagai instrumen. tidak peduli seberapa kompleks keluarannya. Software ini dapat melayani hingga 100 port serial secara bersamaan dan mendukung pula kornunikasi TCPiIP untuk Internet. Data dimurrgkinkan untuk ditarik dari perangkat yang terkoneksi ke sebuah jaringan Ethernet atau Internet, selain ke port serial. Untuk informasi lebih lanjut. silakan melihat ke Bagian 9.8.
Berikut ini adalah dua buah contoh penalikan data beserla analisisnya dengan Excer-:
Lapisan Ozon Lapisan ozon adalerh daerah di atmosfer atas. berada pada ketinggian kira-kira 10 hingga 20 mil (atau l5 sampai 30 kilometer), yang mengandung konsentrasi ozon (bentuk natural dari oksigen O.,) yang relatif tinggi. Lapisan ini menyerap radiasi ultraviolet dari matahari dalarn suatu range panjang gelombang yang tidak dapat disaring oleh komponen-komponen atmosfer lainnya dan ini membantu melindrrngi kita dari pengaruh bumk sinar matahari. Fakultas Ilmu Bumi dan Planet Universitas Harvard telah melakukan pengembangan sebuah metode analisis lapisan ozon. Penelitian ini termasuk melacak karbondioksida di atmosf'er yang dapat membuka wawasan kita mengenai bagaimana polusi udara itu menyebar dan et'eknya terhadap lapisan ozon. Kampus tersebut mengembangkan sebuah sistem melalui alat ukur karbon dioksida yang akan menangkap data melalui logger data. Instrumennya dipasangkan ke sebuah balon udara. Data dari balon udara ini diukur dari jarak jauh ke stasiun penerima di bumi kemudian ditransf'er ke pon Serial di sebuah kornputer berbasis Windows 95 dan Soprw.,\neWrpcE 32-bit versi Pro (Wrr\\'rnr,r 232). WINWTDGE menguraikan dan menyaring datanya kemudian mentransfernya melalui dinarni; data exchange (DDE) ke dalam Exc's.t-. Data akan secara otomatis dianalisis dan dibuatkan gral-iknr u oleh Excnr..
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
Bola golf sempurna P::'.rin golf di seluruh dunia
menyadari bahwa begitu penting untuk menemukan bola yang - tidak terlalu lunak, tidak terlalu keras, untuk :rr'rJrprtkun jumlah putaran yang sesuai. \lemilih bola golf yang sempurna bukan tugas mudah. Asosiasi Golf Amerika Serikat memiliki .r'n-rpurna dan cocok dengan permainan mereka
:ekitar 1900 bola di dalam daftar mereka untuk hal ini. Bola-bola itu adalah bola two-piece, bola three-piece, bola balata dan Surlyn, bola wound, bola liquid-center, bola titanium-center, bola "\enior". bola "ladies", bola yang memberikan "tambahan jarak" atau "tambahan putaran", dan terrrr.ra kasih kepada bagian riset dan pengembangan dalam industri bola golf, terdapat banyak bola r ang rnengkombinasikan karakteristik-karakteristik di atas. Suatu pabrik pembuat bola golf, yang sejak lama telah dianggap sebagai pemegang merek paling bergengsi dalam industri bola golf dengan laba $1 miliar per tahun, menawarkan sebuah array tipe bola golf untuk hampir semua tipe pemain golf. Pabrikan tersebut membuat begitu banyak tipe bola dengan tingkat kepadatan berbeda-beda. yang bahkan dapat membingungkan para pemain golf profesional sekalipun. Untuk para pemain rata-rata yang bermain secara 'untunguntungan', apakah ada tipe bola yang dapat memperbaiki permainan mereka? Departemen Riset dan Pengembangan di pabrikan tersebut memiliki tanggung jawab untuk terus melakukan perbaikan kualitas dan komposisi bola-bola golf mereka, sekaligus melakukan perluasan di jalur-jalur produksi. Salah satu elemen kritis dari bola golf adalah komposisi intinya. lnti adalah sumber utama simpanan energi potensial dan kinetik di bola golf. Perbedaan pada konstruksi inti akan mempengaruhi laju putaran (kontrol), kecepatan awal (arak), dan kompresi (rasa). Konstruksi inti tertentu, baik yang terbuka maupun padat, dapat menghasilkan perbedaan mencolok dalam kontrol dan rasa. Bola bertipe terbuka memiliki tiga bagian: pusat, lilitan, dan bungkus. Bola terbuka ini menawarkan putaran dan kontrol yang lebih baik namun menghasilkan jarak yang pendek. Bola bertipe padat terdiri dari dua bagian: inti padat dan bungkus. Bola padat, atau bola two-piece, memberikan jarak yang lebih jauh namun kurang di sisi putaran dan kontrolnya. Inti pada umumnya tersusun dari karet alami dan sintetis (polimer). Departemen Riset dan Pengembangan memimpin eksperimen kompresi inti untuk memperbaiki desain bagian dalam bola-bola golf buatan mereka. Mereka menggunakan rheometer, yaitu sebuah instrumen pengukur aliran viskositas zat cair buatan Monsanto yang akan dipergunakan untuk mengukur perbedaan siklus panas polimer yang masuk ke dalam pusat bola. Mengukur perbedaan siklus panas memberikan simulasi terhadap bagian dari proses aktual dalam pengembangan inti bola. Dengan melakukan simulasi proses melalui reometer ini. mereka dapat mengatur panas dan proses kompresi untuk memperbaiki inti bola golf dan selanjutnya mempengaruhi kontrol dan rasa bola. Monsanto, pencipta rheometer, menawarkan software buatannya untuk dipakai menganalisis keluaran dari perangkat. Namun demikian, pihak Departemen Riset dan Pengembangan mem-
butuhkannya untuk melapisi kurva perbedaan siklus panas mereka yang tidak dapat dilakukan dengan paket software tambahan. Dengan menggunakan SoprwaneWrocE versi Profesional (WrrWeocn Pro) sebagai interface antara reometer dengan komputer yang menjalankan Windows 9-5. rnereka dapat melapisi pemanasan kurva dan menganalisis hasilnya di Excst-. Kelompok riset dan pengembangan menyarankan penggunaan Excnl karena telah dikenal, mudah digunakan dan nremiliki kemampuan analisis statistik yang luar biasa. Rheometer dikoneksikan melalui kabel Serial ke komputer yang menjalankan Excr,l dan \\'rrWrocE. WrNWsoce menguraikan dan menyaring data dari rheometer dan mengarahkannya lansruns ke Exclt-. Data-data tersebut kemudian langsung dibuatkan grafiknya di ExcEr-.
9.7
Penarikan data port serial DATAQ
f.:.i. .:reni \furst'ne dan Sor"'rweneWrocE, perangkat ini dan software yang berhubungan dengan-r.: i.i-\ ::r:nrbutuhkan Serial RS-232 sebagai sumber data. Modulnya memiliki dua ciri, single-
9.8 Penarikan data melalui
207
Dort oaralel
ended, masukan analog bipolar (batas maksimum pengukuran + 5 volt), dan port masukan digital untuk mematikan/menghidupkan dari jarak jauh atau pengontrol aktivitas jarak jauh. Modul ini juga mencirikan sebuah generator bentuk gelombang onboard yang dapat digunakan sebagai sinyal masukan ke perangkat luaran. Kit softwarenya menyertakan software perekam WINDAQ/LiIe dan WINDAQ Waveform Browser playback beserta software analisis. Kit DI-190 menl''ediakan sebuah pilihan daya dan kecepatan selain yang mungkin telah disediakan oleh software WINDAQ for Windows. Sollware ini akan mengimpor dan mengekspor data melalui EXCEL secara mudah. Software gralls versi download memperlihatkan WINDAQ Waveform Browser. plalback yang berhubungan dan software analisisnya (lihat Bagian 9.10). namun untuk mendapatkan suatu demo langsung mengenai perekaman data dan kemampuan
menampilkan WINDAQ/LiIe. Anda membutuhkan Starter Kit DI-190. Ketika terkoneksi ke port Serial komputer, Stafier Kit DI-190 memungkinkan Anda untuk merekam, menampilkan. dan rnenganalisis data menggunakan sinyal Anda sendiri. Starter Kit DI190 dapat dijinjing. terdiri dari modul 2x3-inci A/D, dua saluran dan sebuah kabel komunikasi serial yang memungkinkan Anda untuk terhubung ke port serial komputer mana pun (bukalah buku kerja DAIA-INPLT untuk melihat kedua fotonya). Laju penarikan data vang mencapai 240 sampel per detik didukung oleh resolusi 12-bit dengan WINDAQ,TI-iIe atau \\-INDAQ Serial Acquisition for Windows. Ini cukup cepat untuk benda-benda seperti termistor dan pengukuran mekanikal yang lambat, namun perlu diingat bahwa 240 sampel/detik memiliki arti bahu a frekuensi tertinggi yang dapat Anda percayai adalah 120 Hz (lihat Bab 11 untuk diskusi mengenai tiekuensi Nyquist). Kecepatan tertinggi hingga 240 jalur masukan tersedia di peran-ukat DATAQ lainnra. Gambar 9-26 menunjukkan diagram rangkaian kotak masukan. Kotak ini mengambil dala dari komputer. Gambar 9-27 menunjukkan bentuk gelombang detak jantung tidak beraturan. Sebuah bagian dari bentuk gelombang ini akan dipilih untuk diekspor ke EXCEL. Kursor diletakkan di awal bagian tersebut kemudian Tombol Fungsi F4 ditekan. Setelah itu kursor diletakkan di akhir bagian tersebut. Gambar 9-28 menunjukkan bentuk gelombang yang diimpor ke EXCEL.
9.8
Penarikan data melalui port paralel
Port paralel di komputer Anda dapat digunakan untuk menarik aliran data yang relatif lambat melalui PC Analog Data Sampler. Ada beberapa model yang tersedia; kita akan mendiskusikan contoh yang murah.
J OOFi
RJO
4l'€AD€&
1'l0X :;
Cl
Ltr"f I
a;
I I
!:1.
.ol uF
A/D Cln've*nr
Gambar9-26. Diagram rangkaian modul masukan. Empat koneksi di sisi kiri adalah terminal-terminal mas-.:Konektor Serial DBg di sisi kanan menerima kabel ke konektor port COM di komputerAnda. Daya dipaso<
port COM ini.
:=.
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
Efl Uht" $Acrsk 1
-
2500
41CA
?t:11
-
ffi
B* *E:{TEr'l
14:59
4dry;aryFr
iri;:iitl;rrt
&d;**
*. x7fl? ?u1t.
;*..i*-*'-^-i--;.*
I$ffi
-l$*S{
14 I S$
*
Gambar 9-27. Atas: Awal bentuk gelombang detak jantung tidak beraturan dipilih dengan kursor. Barazah: Akhir bagian bentuk gelombang yang dipilih dengan kursor. Perhatikan bagian-bagian menunya.
Sebuah contoh A/D tertentu memonitor perubahan tegangan dalam batasan milidetik hingga
bulan yang dihasilkan dari port paralel. Perangkat pengukur ini dibungkus dalam kemasan luar DB-25 dan penampilannya seperti konektor di ujung kabel paralel printer. Perangkat ini berupa saklar yang dapat diatur ke 2V atau ke batasan skala penuh 20V. Contoh ini dapat digunakan sebagai cakupan digital fiekuensi rendah untuk menjangkau sinyal audio maupun sinyal lainnya hingga 5 kHz. Perangkat ini tidak membutuhkan baterai atau sumber daya luar dan tersedia bersama dengan software Windows. Anda dapat memetakan diagran.r penarikan data dan menyimpan datanya sebagai file teks agar memungkinkan untuk mengirnpornya ke suatu lembar pengolah angka (lihatlah ke Bagian 9.12, Marlin P. Jones & Associates,
.\nalog Data Samplers).
9.9
Penarikan data melalui Universal Serial Bus (USB)
Kecepatan USB 2.0 adalah 480 Megabit per detik (Mbps), 40 kali lebih cepat daripada USB 1.1. L'ntuk membandingkannya, Anda dapat mem-backup data berukuran gigabyte dari komputer Anda j.l:nl saktu kurang daripada satu menit melalui USB 2.0, dibandingkan dengan sekitar setengah
;:relului USB 1.1. P,'n paralel atau port printer memiliki laju transfer arah maju sebesar 150 Kbps. Lajunya ke :i:1 ^: :rr :J.rllh :epertiga daripada ke arah majunya, yaitu 50 Kbps. Port Serial RS-232 memiliki -. . -..'.::'-:li .ebesar -j8.100 bps. Port USB 1.1 yang terdapat di sistem-sistem lama memiliki ::---.
209
9.9 Penarikan data melalui Universal Serial Bus (USB)
E
...F.j
0 , H ,
I
&cguiring data in EXfXL via $erial F*rt
{. 5 B!8
5
0.000 is tlre lrigger level
b
I 6 I
e
t:t
12
1.3S7
13
0 sfi4 -n.078
16
-[.820 -'t 549
tt
-225fr
'ts
-2 UJq
1s ?fl
0
rs the AD C h.lnnel
.J
DUJ
-.1
:bt
15.890
SetUp and
Frn '10.000
Acqurre and Re-arm
11
5
^t
",op
rg0
0.000 I
-5.ggg
-5 q59
i
23
-0.0
fi
-7 n7tl
r
-6 55i
\L-J
-10.000
"'t1.gg0
t6 27
-? 800
Jdl
-o 171 o a?n
w
1 negatrve]
': 799 ':11n
1:l
tb
?slts
50 is thP pre-tnggsr lerrgth
3 473
1n
!1
irr
0 i$ lhr triuqer slope i0 pc:itive,
4 756
1: 18 25 3t 37 43 {8 55 61 67 7' ?9 $5 SJ
gI
Gambar 9-28. Gelombang sinus telah ditarik dan diimpor ke dalam EXCEL. Keluaran Analog-ke-Digital (fuD) berada di kolom A. Tiga tombol kotak mengontrol program makro VBA. Pada saat Anda membuka buku kerja ini, Anda akan diberikan pilihan untuk menonaktifkan program makro. Anda perlu menonaktifkannya jika Anda tidak memiliki WINDAQ yang sudah terinstal. Ketiga tombol itu membutuhkan hardware dan software WINDAQ untuk beroperasi.
laju transfer maksimum sebesar l2 Mbps untuk perangkat yang berkecepatan penuh. Meskipun demikian, versi yang baru tetap kompatibel terhadap versi yang lama. Selain menawarkan band*'idth yang besar, keuntungan USB lainnya adalah hanya satu buah IRQ yang diperlukan oleh kontroler USB yang dapat menangani hingga 127 perangkat. Bandwidth USB dapat dipakai secara bersarna oleh seluruh perangkat. Tidak terdapat konfigurasi jumper yang menyebalkan atau pengesetan hardware terhadap perangkat USB ini. Konfigurasinya pun tidak memusingkan.
USB begitu luar biasa bermanf'aat untuk penarikan data dengan berbagai alasan, yaitu:
.
Perangkat bisa memperoleh daya dari port USB; tidak dibutuhkan tenaga baterai maupun kabel yang dicolokkan ke dinding. Hal ini membuat USB menjadi ideal untuk penarikan data yang dibawa-bawa dengan notebook.
.
Dengan menggunakan hub USB, Anda dapat menghubungkan beberapa perangkat ke sebuah port USB sehingga memudahkan Anda dalam mengembangkan sistem.
.
Pofi USB telah disediakan di seluruh komputer keluaran terbaru sehingga tidak perlu membuka komputer untuk menginstal kartu adaptor.
.
Anda dapat mencolokkan atau mencabut kabel perangkat Anda tanpa perlu memati\:, komputer maupun sekedar me-restart Windows.
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
Kabel USB dapat mencapai panjang maksimum -5 m. Akan tetapi, dengan menggunakan hub USB di antara kabel, Anda bisa mencapai jarak hingga 30 m. .\nda dapat menggunakan perangkat USB dengan perangkat penarik data lainnya (seperti
kartu yang Anda pasang di komputer atau instrumen yang terhubung langsung dengan port serial RS-232). Jika Anda memiliki komputer tua yang tidak memiliki port USB, Anda dapat menggunakan kanu berbasis PCI yang memilikinya. Namun demikian, Anda perlu menggunakan Windows 98 rrilu vcrsi yang sesudahnya. (Keluaran awal Windows 95 tidak mendukung penggunaan USB. K'.luaran yang terakhirnya memang memiliki dukungan narrun lebih disukai menggunakan Windous 98 atau versi sesudahnya). Anda dapat menguji apakah kornputerAnda kompatibel dengan USB melalui situs http://www.usb.org dan men-download program utiliti evaluasinya. Solusi lainnya untuk komputer-komputer tua adalah dengan menggunakan adaptor USB-ke-Serial, seperti Keyspan Tu'in USB ke Adaptor Serial, dengan nomor part #USA-2SX. Hubungilah [email protected] dan ww.keyspan.com. Di dalam komputer-komputer baru, USB kemungkinan menggantikan port serial dan paralel. Perangkat penarik data USB untuk dunia pendidikan dan industri kini tersedia secara luas dan teknologinya pun berkembang pesat. Lakukanlah pencarian di Internet dengan kata kunci "USB data acquisition" untuk mendapatkan infbrmasi terbaru. Lihat pula Daftar Pustaka di halaman r,,
2.19.
9.10 Merata-ratakan gabungan data eksperimen Data yang diperoleh dari eksperimen biasanya mendapatkan gangguan. Begitu Anda mengulangi eksperimen, Anda akan mendapatkan hasil yang sedikit berbeda, bila Anda amati lebih jauh. Ada banyak eksperimen yang datanya tidak dapat Anda lihat karena tertutup oleh gangguan. Untungnya, ada sejumlah metode yang memungkinkan Anda untuk mengambil intisari sinyal-sinyal dari data yang terganggu. Jika Anda dapat mengulangi eksperimen hingga beberapa kali dan jika record datanya cukup panjang. maka merata-ratakon gabttngann\o (ensenlble averaging) menjadi sederhana, efektif, dan berguna. (Kita telah mempertimbangkan penggtnaan movittg average di Bagian 5.3). Merata-ratakan gabungan memiliki beberapa keuntungan di sepanjang tilter frekuensi untuk high-pass, low-pass, dan band-pass:
.
Tidak ada perubahan fase (atau distorsi tase, yaitu artefak untuk waktu tunda) melalui perata-rataan gabungan ini,
.
Varians dapat direduksi (gangguan acak dikurangi) ketika jumlah record bertambah. (Lihat halaman 89.)
Reduksi varian akan menggambarkan sesuatu yang baik dalam proses perata-rataan; kita ulas kembali bahwa varian adalah perbedaan antara rata-rata kuadrat dan kuadrat rata-rata, inilah kuadrat dari standar deviasi. Reduksi varian berhubungan dengan gangguan namun dalam beberapa jenis tilter juga berhubungan dengan reduksi infbrmasi! Jika S, adalah sinyal + gangguan dan S, adalah sinyal keluaran yang diproses, akan muncul ',;r'i-rn i. dan V. dari data-data tersebut. Perbandingan varian VrlV, adalah pengukuran reduksi
I 0 lt4eelq:lqlqkan 1
galq1gqn dqtgsEpqti[e!
TIPS Varians berhubungan dengan perpangkatan, yaitu kuadrat standar deviasi, sehingga sangat perlu untuk menggunakan akar kuadrat dari perbandingan varians ketika Anda melakukan analisis yang berbasis pengukuran tegangan.
Dalam beberapa c'ksperirnen, Anda akan menemukan bahwa gangguan acak menin-gkat mengikuti akar kuadrat jumlah record N dalam gabungan dan sinyal meningkat mengikuti N. Oleh karena itu. sinyal/rasio gangguan naik sebesar r Iy'. Contoh, 100 buah record menghasilkan sepuluh lipatan peningkatan dan l0l record menghasilkan seratus lipatan peningkatan. Hal ini terjadi.jikl setiap record merupakan pengukuran yang independen, yaitu tidak memuat gangguan yan-c berkorelasi di sepanjang record. Gangguan di frekuensi sangat rendah dapat memunculkan korelasi. sehingga begitu penting untuk menjadikan setiap record itu sedapat mungkin dalam kondisi bersih. Semakin panjang record dan semakin besar jumlah record ,V, maka semakin baik hasil yang akan diperoleh.
Kunci keberhasiian dalam merata-ratakan gabungan yang koheren (tasenya terjaga) adalah gangguan. ditandai dengan amplitudo dan f'ase yang acak, cenderung akan meningkat lebih lambat daripada informasi sinyal pada tiap-tiap pengamatan tambahan. Ketidaksinkronan sinyal koheren
berkurang karena terjadi dalam fase berbeda di setiap urutan data. Lihatlah ke Bab I I untuk perata-rataan gabungan yang inkoheren. Lantaran perata-rataan gabungan koheren didasari oleh pengukuran yang berulang, maka begitu penting untuk membuat waktu (fase) sinyalnya rnenjadi benar-benar sinkron (strobed) dengan sistem penarikan data. Pengerlip waktu dalam proses sinkronisasi akan mereduksi ketinggiur sinyal karena tampilannya samar-samar: hal ini menjadi serius ketika sisi depan atau belakang sinyal membawa intbrrnasi penting nilmun pengerlip juga mereduksi efektivitas perata-rataan sinr al sepanjang seluruh proses. Berlawanan dengan proses-pr()ses penyaringan yang berputar-putar (Bab l2), perata-rataan gabungan dengan sinkronisasi yang ketat tidak akan meluaskan, mencoreng, mengubah. atau mengaburkan garis spektrum ketika spektrum dirata-ratakan. Harga yang harus Anda bayarkan adalah waktu untuk menarik record yang berulang-ulang itu. Walaupun kita sudah menekankan bahwa perata-rataan gabungan hanya bermanfaat untuk sinyal yang berulang, ada beberapa kasus khusus yang dapat menggunakan perata-rataan gabungan untuk sinyal yang tidak berulang. Contoh, pada komunikasi ruang angkasa antara pesa\\.at ruani angkasa dan bumi. sebuah urutan data tunggal telah ditransmisikan namun data tersebut tenggelant dalarn gangguan. Dengan mengirimkan perintah ke pesawat ruang angkasa untuk mentransnti\ik-,:l data berulang-ulang, stasiun di bumi menggunakan perata-rataan gabungan untuk memperh.,.. data. Dengan kata lain, sinyal yang tidak berulang dibuat menjadi berulang dan sinlal ter..-,: sama untuk tiap-tiap transmisi nlrmun gangguannya berbeda. Perata-rataan gabungan dapat dilakukan dalam dua cara, single-sw,eep dan lirrlli-'.,,, Keduanya begitu mudah diirnplementasikan di dalam lembar pengolah angka. Nlari krt: r':-. pelajarinya satu per satu dan rnelihat apakah kelebihan dan kekurangannya.
Single-sweep Di dalam cara ini,
seluruh record ditarik kemudian seluruh gabungannya dirata-ratakan.
P: r-.
merata-ratakannya dilakukan terhadap titik data yang sama untuk setiap record. (Lihar G:::.:-.' 9-29. Jeta.jahilah rumus lembar kerjanya dengan mouse Anda).
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
Tabel $,1. Perata-rataan gabungan single-sweep
raaa.ar
Kekurangan
::-:J.gan hanya dibutuhkan di bagian ar-: penarikan data
Perata-rataan gabungan tidak tersedia hingga akhir dari penarikan data
:
t,r:dah diimplementasikan dalam bentuk grtal dan analog
Keputusan menjadi tertunda hingga proses perata-rataan gabungan ini selesai
,laktu integrasi yang panjang dan waktu penyapuan (sweep) yang panjang begitu
Tidak efektif untuk mereduksi gangguan hingga 1/f
dimungkinkan Resolusi waktunya bagus
Frekuensi pemakaian maksimumnya dibatasi oleh contoh lebar pulsa. Pulsa yang lebih pendek dibutuhkan untuk penggunaan frekuensi yang lebil tinggi
Seluruh data asli disimpan untuk penggunaan pada suatu saat nanti
Memori yang besar dibutuhkan untuk menyimpan gabungan yang besar
Multi-sweep Di dalam cara ini, perata-rataan bobot (weighted average) dihitung setelah setiap record ditarik. Contoh, pada saat record keempat selesai ditarik maka akan digabungkan dengan tiga record sebelumnya. Rata-rata dari tiga record tersebut tiga kali lebih berbobot daripada record keempat, dan seterusnya. Di dalam cara multi-sweep ini Anda dapat melihat sinyal yang dikeluarkan oleh gangguan pada saat setiap record baru ditarik. Bandingkanlah Tabel 9.2 dengan Tabel 9.1.
Tabel 9.2 Perata-rataan gabungan multi-sweep Kelebihan
Kekurangan
Perata-rataan gabungan yang terbaru selalu tersedia
Memerlukan perhitungan setelah setiap record ditarik
Perbandingan sinyal terhadap gangguan akan bertambah untuk setiap record baru
Resolusi waktu dibatasi oleh memori yang tersedia
Reduksi gangguan 1/f telah diperbaiki
Membutuhkan perhitungan yang lebih banyak dan lebih cepat
Hanya memerlukan memori yang kecil. Data yang sebelumnya dapat dibuang setelah perhitungan rata-rata gabungan terbaru dilakukan
Frekuensi penggunaan maksimum dibatasi oleh Teorema Sampling. Laju sampling harus dua kali daripada frekuensi penggunaan maksimum
Gambar 9-29 menunjukkan lembar kerja Micro-Tutorial yang mendemonstrasikan kedua cara perata-rataan tersebut. Perhatikan sel-sel yang menghasilkan varians; kedua cara itu memiliki rr'duksi varians dan rata-rata gabungan yang sama. \licro-Tutorial memperlihatkan dua cara yang diterapkan untuk gabungan skalar yang terdiri jrE .mPit record sinyal terganggu, yaitu sebuah pulsa tunggal beramplitudo 1 di titik data 4. Bu\.1,h buku kerja MICRO-TUTOR dan jelajahilah rumus di dalam sel-selnya. Dalam cara sing:-.'.\e.i. .eluruh record merupakan data mentah. Tekanlah Tombol Fungsi F9 untuk mengubah - -i L _i:l:l_iU-tfl.
9.'10 Merata-ratakan gabungan data eksperimen
213
rrollri
D HtJtlt :i{i*o-Tutariol 5in9le-Sweep and ltlulii-Sweep Ensemble Aver,ag* r*\ffifrtrTffi'l-r Tvrflffi;EEooli-] lPecordl lDTlYll{ i I lSEs 'l i0 712015
MICRO.TUTOR.XLS
itlapter 9:
Single.Ssiep
I
[,Awn$ l0.1li3B4
I
-0.381$3 -tj$A42 $.rfi74 3 0.f,15:15 {.5l8gl -0.134ffi
2
sweeir
iiBr
i?8i i21 i
:
zrr:
8,6 ct 4
D2 0
lm ffiffiffi#
Irffil |lfEfl frx*l lrt{X{ H**l Wffil Hffi " ffi, ffiffi _ffi l2rrrlI
EffiSi
ffiffi
556&
,0.0:5'11
.0 i104d,0.2c28a3
01a18
0.056?9
ffi# &d
"_ffiffi.-_,_=
1
D,I
=o 04 0.?
^8.4
-0.2
3ll
-tt.6
-il.4
31
-0
312925
i tt5t02{
0.8
-o2
i
6t5774
1
En$ernble Averag*
i,/ " i&:
ipi
1
1
0.8
i24
tffii
ozuur@ortrsa
S:nql&5weEF Mod€. Record 4
la3i |
rz:xa
i
$weep Sw?eD
ilfil
ls6l-jo
HO:
B
1
7
5
6
l
Gambar 9-29. Rata-rata gabungan single-sweep dan multi-sweep di Micro-Tutorial. Sinyal tanpa gangguan adalah pulsa dengan amplitudo 1, terletak di titik data 4. Di dalam diagram, nilai-nilai negatif tidak diarsir (ini dilakukan melalui chart wizard).
Bagian single-sweep Rumus di sel B13 adalah =AVERAGE(B8:B11). Rumus ini dikopikan ke sel-sel Cl3:G13. Perhatikan bahwa operasi kopi ini melibatkan sel-sel dengan alamat sel-sel relatif, sehingga setiap rata-rata mengacu ke kolomnva sendiri. Rumus di sel E3 adalah =VARP (88 : G8 ) . Rumus ini menggambarkan populasi varian Record l. Rumus di sel E4 adalah =VARP ( 813 : G13 ) dan menggambarkan populasi varian rata-rata dari gabungan single-sweep. Perhatikan bahwa rata-rata single-sweep (sel E4) identik dengan bagian akhir rata-rata multisweep (sel L4). Selain itu. rata-rata gabungan single-sweep (sel-sel Bl3:G13) identik dengan Sweep 4 (sel-sel I11:Nl l) dari bagian multi-sweep.
Bagian multi-sweep Rumus multi-sweep membutuhkan sedikit penjelasan tambahan. Dalam versi metode multi-sweep ini, seluruh record adalah sama secara bobot. Contoh, Sweep 3 adalah rata-rata untuk tiga buah record, sehingga ini tiga kali lebih berbobot daripada record keempat (lihatlah penjelasan untuk rumus Sweep 4 ini di bawah). Sweep 1 menyederhanakan data pertama yang datang, identik dengan Record I di metode single-sweep. Sweep 2 menghitung rata-rata Sweep I dan dua record berikutnya yang datang. Rumusnya adalah = (.18+C9 ) /2 di sel J9. Sweep 3 menghitung rata-rata Sweep 2 dan tiga record berikutnya yang datang. Rumusnya adalah = (2*Jg+cto ) /3 di sel J9.
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
:r:."r =
{
menghitung rata-rata Sweep 3 dan empat record berikutnya yang datang. Rumusnya :---10+C11) /4 di sel Jll. Rumus ini ditampilkan dalam kotak editor sel di Gambar
S.. eep
--'u.
.\nda dapat menemukan rumus pembobotan yang tidak sama sehingga gabungan ini akan ::-,elupakan data-data lama. Hal ini berguna untuk perubahan data masukan yang relatif lamban.
TIPS Contoh-contoh berikut ini mendemonstrasikan gabungan data skalar. Ini merupakan tambahan sederhana untuk mengoperasikan data vektor. Untuk gabungan vektor, buatlah bagian lembar kerja untuk data se-fase dan bagian lainnya untuk data kuadrat. Sebagai alternatif, Anda dapat membuat sebuah bagian lembar kerja untuk besar vektor dan bagian lain untuk fase vektor. Perata-rataan gabungan vektor (yang fasenya terjaga) sering dinamakan perata-rataan pradeteksi karena digunakan di bidang telekomunikasi dan radar. Serupa dengannya, peratarataan skalar dinamakan perotd-rataan pasca-deteksi.
Gambar 9-30 dan 9-3 1 menunjukkan tampilan buku kerja ENSEMBLE. Sembilan buah record dan sembilan sapuan tergambar di dalam tab lembar bernama Single & Multi, namun Anda dapat
menambahkan lebih banyak lagi. Buku kerja ini mendemonstrasikan penggunaan hyperlink dr clalcmt buku kerja untuk melornpat ke tampilan lain. Pada saat melihat tampilan Home (Gambar 9-30), klik GoTo Multi-Sweep Average dan Anda akan mendapati Gambar 9-31. Sekarang klik Go To Single-Sweep Averagc dan Anda akan melompat kembali ke tampilan Home. Klik kanan di hyperlink untuk mengaktifkan menu pop-up, kemudian klik kiri di hyperlink
dan Anda akan melihat menu editor hyperlink. Lihatlah ke lEdit Hyperlink] dan Anda akan rnenjumpai Go To Multi-Sweep Average yang mengacu ke sel AM4. Anda dapat menguhah referensi sel melalui kotak dialog ini. Tentu saja, Anda dapat juga menggunakan hyperlink untuk mengacu ke file lain di komputer Anda atau ke URL di Internet.
TIPS Anda dapat menampilkan buku kerja Anda dengan jenis huruf yang berbeda. Judul di Gambar 9-30 menggunakan jenis huruf Comic Sans MS dengan ukuran l6 poin. Perhatikan bahwa EXCEL secara otomatis mengubah ukuran baris untuk mengakomodasikan huruf yang lebih besar.
Jika Ancla benar-benar ingin mengesankan instruktur lab. klik ikon [Drawing] di menu bagian atas. kemudian klik ikon [Insert WordArtl di menu Drawing yang muncul di bagian bawah lay'ar Anda dan pergunakanlah kreatifitas artistik Anda.
Di buku kerja ENSEMBLE, klik tab bernama SingleSweep dan Anda akan melihat
sebuah
lL.nrhiir ker-ja den-uan 25 record. Perhatikan perbaikan reduksi dalam varians yang dibandingkan
Jili:lr1 9
rec
9.10 Merata-ratakangeqqngan data eksperimen
clo "-;--
:i
= E,-*_:j_It D'-"-"*-E- r =''./A8Fifi29:223)
215
r-
..{rL
ii
INSEiiBLT,XLS
(r
---Erter
ilE
, r?':
:'
mfi ii0;tei---r_-l
i,tr,r.e .rrnpte
i
1..: :,iY.
[IJ54fi]
Silrgle-Sts!ep Etrsertlre
'Jafiinres
ess
Pr
1' 1ti 17 19 l$ 2it !1 1.? 23 ?4 25 !i 11 29
frlDlion Ki,y
tltil
nsw nlixB
-0 t03 f r'*ilei2 ir.1 !352 0 iJlo? 0 *0301 -0.3$3?1 1.i:1 I "r:r.6[16 9844t 1.10r1IP 1-1.0,91 5? .r.B(7r-ig i !7t{6 tr 6[103 0.n972 ,0.7aiB: 0 n53.18 0 ,q6 jJ!5 61lqA 1 tI324 1 nt3?S 0 1758 "0 1 657 ,0 905119 ,0.i ?157 -d.4e!1 4 rr Phl]i5 .0 ddaoi .].11063 0.8518I .0.sd4 31 0 0530Ii 0 6097F 0.53€5X rl 30{51 r.t l,itl C !:15{3 1.55411 -0273r.1 .0 ?c31.! ^0 2iarn -il 91!,t5 -0.3t4{t t '.j1191 n !J[ ] -)! I ir51 I tr 11 2d] 1 ti1538 1.5e8i8 t6161 08C6!l 0 56d:1: 0 10vi,q '.119:r d.d*:Jl -r.r.0r:r*5.9 Ir.d425i i:, 1 1 3S2 -i:r 415,,1 n rl:803 0.:5057 n 8550{ B385rii 0?811i 1.83!ti7 0.ii*t2 1.37t:t4it r-1.1!{}1 .{.r-lui42 [ :*565 [ :21 t7 -0.4&304 0.153S3 .0.28S:l t,Bil{1 0rBii{ \ 6412A 1.t!56{ -0.t2751 .n6i7?4,035t9i !.3r4:5 n.56:!1 0 I i40 0.14i6! -l.liri8t9 -t*i813 I 1 2i!?O: 1.95.{S4 '.fi551 I 309?1 ,0 ,r39I9 0.0i91 4 0 1 004ii ,0.51 0!l 0.808!1 0 er3Jr I aa]:'
1 2 : 4 i 6 I a I
0g8l:7
tl6a.i.1
.0l1387 B{I'l!,1
-1,414112 u4ii2.1 -r-ruhi:r{ ,r:r i-lBi!
1l
0 1 1
43!t7 0 041:1
1
r04e8 0 2tgl 7
0
Sr:1
0 0
1
dl76i
0 .Lr
.0
4451r gel-rr .r
!!16
tl
,n .11-qa6
0:50?7 0.31343 A
0
dirlcj
,ti
r^r
B
.0
888!,J
0 0
155lri
I
5
:
i l :
"0 5
231tt .t
50641 0 ir
1t
rl91a8 r:,.+i5:i
u u
I 4
i1 12
1? 1q
,s,(:inJri lB
S.
**t.
Gambar 9-30. Tampilan utama buku kerja ENSEMBLE. Perhatikan varians-varians dan hyperlink di layar ratarata multi-sweep. Bandingkan dengan varians-varians gabungan single-sweep dengan gabungan multi-sweep (lihat Gambar 9-31).
'l
AC:.
1,
Multr- Sweep Ensemble Average
3
Clicki
4
So
Tc,
$n$l*"$*e+p Ai*rage
6
Pres Filtrciiotr hey
7
F9
for rrew rroise
S*€Ep
ir.,*9p
8 1g 11
i::a:I. ?{1
tilulli.
FDserrhle
130t 15
iE
17
.0.1:2:: i:."q&li2 .D.41'fr6
18 13
l0
tJ 2f:831 -D AE5A1 ^rl
21
12
659;ri
ri.6105t3 .8.345)A
2t | ! 14'
r](r0113
,t 1:1il
il
5llt59
6.[e!'53!
I t6B5t6
.l i6lr,1 t 4iliisa
I 1irES7 -0 35i2' .l
.1 r.5542 -it 32r3d
-0
-t] 2:b-?3 -i 55tE-'l
-ri:!133
-0.t i) .ir.Egr7
.D
1|91
3d;14 ,r_r 4 r117 ,tr
llBr6
0 31X39 -0.15!d7 -tt 17S11 .0 29421 321i19
-ar
.0 1B(r1t .(1
)6i,115
,tr
t2:11
colEs; D0ts:11
.r:15cas .ai
.tl
15401 .nn70;5 0
o:lt6'lr
1[712 .D.iE5:1
i4;.ri?
0:t9lr
tr
lor:iil I
]7:i$r' ll,":Jl"':
c 271716 ff r5l,iie
.cc,]];5 {.,1:rf25s
ir..20i95
llE6l [,l]firitg r]f.rdjlnt t'r?[,iri: 07.r:9ji
,[i1605
0.37{5?A D0i7?58 [1i6456 0110515 -c.44C81 0.43r.?11 0 [56961 0.]r,1trS D rD?lt:r .[ 27q5i 0 Ji-]165-: 0 I ln2:5 0 23f?Ii 0;$l5,lB .r-,,-'il6.i.5 ar )416?1 C f{la,{ n :frt?i.l n 0l6il7.:
"tr.1
t6tr7 .[ !68".6 0
rr 10p?l
1
,i.l
(1.1:151rS
107!qr6 0.I3B5gl
lolll ! l1!q []1641
4D2l!
-.rr
1
216B111
1,10tS81
33411 a C.i:72 15[21 1 3:5]91 -fi 11197 0 1863E: "[ i].17:6 I d4,l0.i,l -[.'1665 l]2iE9]2 -8n553 1 :'?571: ^,125618 0.ll5l5?,] 11ffi,110.1 I Ir'5lli,l -Q.lte1i Bt12A:il r:.181d,{i 1.15,1825 .B.1IS7n (r 11406: 0ii23507 1.1461]i3
-rl
-0
,1E
26
l/
2e
-}1673s -:ii-:E!6
Gambar 9-31. Layar rata-rata gabungan multi-sweep di buku kerja ENSEMBLE. Kliklah hyperlink untuk kembal ke layar utama. Perhatikan penggunaan fungsi lembar kerja VARP untuk menghitung varians.
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
9.11 Menyisipkan lembar kerja Excel ke dalam Microsoft Wono
?:j: -rrl .{nda menulis
laporan lab, Anda dapat mengikutsertakan sebuah lembar kerja kecil di
j;.:::r teks. Hal ini lebih baik daripada sebuah tabel biasa karena Anda dapat melakukan kalkulasi :: dalamnra. Bukalah file baru di Microsoft WORD. Di bagian atas menu bar, klik ikon bertajuk li.en \licrosoft Excel Worksheet (ikon ini berada di antara ikon Insert Table dan ikon Columns). \nda dapat memilih jumlah baris dan kolom yang akan ditampilkan. Gambar 9-32 menunjukkan rebuah lembar kerja yang telah disisipkan, terdiri dari 5 baris dan 5 kolom. Pada saat Anda telah menyelesaikan lembar kerja, gerakkan pointer mouse Anda ke bagian teks di dokumen dan lakukan klik kiri satu kali. Lembar kerja akan bertransformasi menjadi tampilan tabel yang lebih baik tanpa alamat sel, seperti ditunjukkan di Gambar 9-33. Untuk mengedit lembar kerja, klik ganda saja tabel tersebut.
',9.12 Menempelkan klip film ke dalam lembar kerja Foto dan gambar seringkali berguna dalam menjelaskan tentang isi lembar kerja. Klip film bahkan lebih berguna ketika sebuah gerak akan dideskripsikan oleh lembar kerja Anda. Namun demikian, video lebih daripada sekedar dekorasi. Anda dapat membuat pengukuran kuantitatif di dalam klip film dengan menyertakan jam digital dan batang (atau kisi) pengukur di film, kemudian menggeser pointer di Media Player (dijelaskan di bawah) sehingga Anda akan melihat gerak yang berhenti, yaitu satu buah kerangka (frame) sesaat. Untuk pengukuran gerak robot, kadang perlu untuk menyertakan pengukuran angular. Begitu mudah untuk menempelkan klip film ini. Bukalah buku kerja baru, klik [Insert][Object] dan Anda akan melihat kotak dialog seperti di Gambar 9-34. Pilihlah tipe film, Movie Clip (AVI) atau QuickTime Movie sebagai contoh.
"t
2 J
-
n
Tl-lT, Kg *rstsr S-*pth,
m
Craier 0iameter. nl
l-l
1 ,
#
s.t
Dry Sand
tmaiaaaaarai.I
"$ ":
ll ( i l.iii\srreetl
l
r{
ffi'l
Gambar 9-32. Sebuah lembar kerja aktif disisipkan ke dalam dokumen Microsoft WORD.
ThlT, l{p Cratxr S*pth- m C rat er Dia m BIB r, m
1
I
3
s"3 s.1
&ry $and
3ambar $33. ,enbar kerja akan nampak seperti ini di dokumen Microsoft WORD pada saat tidak Anda edit. :: -: ::.' .2'.2'.3' Anda memiliki pilihan untuk memunculkan atau menyembunyikan catatan tersebut.
217
9.12 Menempelkan klip film ke dalam lembar keria
.'::-.,,-:::
.::t4t,,,..:
{rsatew* ,l creatC*omnU
#,
M*S#sr
I
3"* $ew:
ri
e*#1k'd$ffi &#q *.*
: I I i ... .;...'.
.
:i
r nar iloe
Q
{AyI}
rfie= ' ,.ry1o"'&"ffi
I *-**I l
1+eSS
iilr ffi
,, t::
ry.,.;;t3i,:li
. ,:jiiiri;!i;iiili,Ei
:
ll
Gambar 9-34. Kotak dialog Object di dalam menu lnsert digunakan untuk meletakkan klip film ke dalam lembar kerja. Gulunglah ke bawah untuk mendapatkan objek berupa QuickTime Movie.
Gambar 9-35. Klik kanan di tombol mouse akan memunculkan menu seperti di ataslPilihtan Play atau Open. Klik di foto AVI untuk memunculkan menunya.
Bab 9: Pemakaian Excel di La:
tilst
RT
Hovl[.xl.s
Gambar 9-36. Pada saat Anda memilih open, Anda menampilkan panel kontrol video
ms.rfi& rx','
?
I
ri +@*fui*...-.-,
-*,--.
./fu,.sffiri,,::{ffi,.., !{ ,
..:
*lJ*T. ,
Lfi
Gambar 9-37. lni adalah panel kontrol yang muncul ketika Anda memilih [Video Clip Object][Open]. Bukalah buku kerja INSERT-MovlE dan jelajahilah menu-menunya di komputer Anda.
Panel kontrol video bekerja seperti sebuah VCR. Anda dapat melakukan play, stop, fast Ibr\r'ard, rewind, dan sebagainya. Yang lebih baik lagi, Anda dapat menggunakan pointer mouse
untuk menggeser-geser pointer waktu ke arah mundur dan maju, satu kerangku .".u.o serentak. Perhatikan indikator waktu di Gambar 9-36 dan 9-37; pembac aannyaberada di 02,60 (derik).
Jika
t ideo Anda dibuat pada 30 kerangka per detik, data Anda akan memiliki resolusi yang baik. Contoh.
'\nda dapat mengukur posisi baseball pada setiap kerangka waktu untuk menentukan lintasannya. Percunakanlah diferensial numerik dari posisi data untuk mendapatkan komponen kecepatan. Dit'erensialkan komponen kecepatan untuk mendapatkan komponen p"...putun. (Lihatlah Bab 5).
Beberapa sumber bacaan untuk interface software dan hardware lab Buatlah inrerf:tce USB Anda sendiri: L-nirersal Serial Bus interface for electronics projects anil instruments,,,T. Z. Fullem and C. I) Srencer. Attreric.an Journal of physic:s 70 (g), 9j2_g74 OO0 .
'''\
iT\Q In.rrurnents '::":l 'r' l:n'rrik dan playback hardware -:.-i. ::.,,irrll \\ I\DAQ. :r
-
":
.;, .:. ..t.
JrlJq_a\rr]l
dan software yang murah, tersedia download gratis
219
Daftar Pustaka
Marlin
P. Jones
&
Associates
8412-KT Analog parallel port S-bit data sampler $23.21. 8418-KT l2-bit data acquisition s\stem $55.00. http://www.mpja.com
National Instruments Software gabungan dan hards are tingkat laboratorium http://www.ni.com
Jika Anda tidak menriliki salinan lisensi MEASURE, Anda dapat men-download demo MEASURE dari http:llu s ri.ni.com. PASCO Scientific Hardware dan sr:rftri are untuk pendidikan: Biologi, Kimia, dan Fisika. http://www'. pa\co. c Lrnl
TAL Technologie.. lne
.
WinWedge menuinrpor data dari setiap instrument RS-232 ke dalam EXCEL. http://ww$.taltech.conr/
TEL-Atomic Hardware dan sofiu are untuk pendidikan http ://wwr.l'.
te
Vemier Sollu
I
atornic. cont are
Hardware dan softu are untuk pendidikan: Biologi, Kimia, dan Fisika' http://u wll.r ernier.e ortt
Apa selanjutnya? menunjukkan ba-saimana menggunakan operator-operator dan fungsi-fungsi kompleks Bab ini rerdapar di dalam CD. Klik ganda file bernama Chapter-10 dan file ini akan Excpr-. dalam Anda. Perhatikan: terdapat error di dalam file Acrobat untuk Bab 10 ini. Baris di monitor muncul t l()-lt seharusnya: Persamaan di bawah y'' cos(n 0) + iy'' sin(n?) = y''ei"o . a Persantaan bahw t l 0-2) menyatakan z" = Perhatikan Fungsi-fungsi konrpleks dibutuhkan diBab 1l dan 12. Bab 11 akan menunjukkanbagaimana menggunakan fasilitas Transformasi Fourier di Analisis ToolPak. Ini adalah Fast Fourier Transfom (FFT) versi ExcEr. iasilitas yang sangat luar biasa di lembar pengolah angka. FFT di banyak paket sofiware lab baik unruk nlenampilkan spektrum secara cepat, namun Anda akan mendapatkan informasi lebih ban.vak dan lebih akurat dengan mengimpor ctata di domain waktu ke dalam Excel
Bab
10 akan
R. Stephens, Advanc'ed \li.sual Bttsic Techniques, (Wiley, New York,
1997).
Microsoft OfficeNisuul Bctsic Pro.e,runlrner's Guide mengajarkan kepada siapa saja yang memahanti dasar-dasar Visual Basic mengenai bagaimana membuat kode yang singkat dan efisien densr,n bahasa pemrograman di Microsoft Office yang begitu kuat. Buku tersebut mengajarkan pembacrnr -,
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
:L-
r:j-irltaflil menjadi lebih produktif melalui Visual Basic for Application
dengan fasilitas untuk
-:::rgubah dan mengadaptasikan kebutuhan-kebutuhan khusus, termasuk bagaimana membuat :.nnrah. menu. kotak dialog, pesan, dan tombol tertentu seperti halnya bagaimana dapat ::enumpilkan menu Help untuk seluruh elemen ini. Anda bisa mendapatkan Microsoft OfficeNisual Basic Programmer's Guide
di toko-toko memesan Programnrer's Guide Microsoft Press. Untuk b'uku. toko komputer, maupuu langsung dari (800) (800) Amerika Serikat atau hubungi MSPRESS di ISBN: l-57231-340-4) secara langsung, http://www.microsoft.com/. lanjut, kunjungilah situs 667-lll5 di Kanada. Untuk informasi lebih r.{nda juga akan menemukan beberapa software gratis yang di-download dari situs ini.) Selain itu, kunjungilah http://www.amazon.com dan http://www.barnesandnoble.com./ untuk buku terbaru mengenai VBA.
Uji kemampuan Anda L
Mengirnpor data. Bukalah buku kerja baru menggunakan [File][New]. Ikutilah instruksi di halaman 188 kemudian impor-lah file teks bernama OZONE.txt. File ini terdapat di CD di dalam folder POLLUTION.
2.
Menyisipkan film ke dalam lembar kerja. (Ini adalah Nomor 2 di Top Ten List of Ways to Impress Your Laboratory Instructor.) Bukalah buku keda INSERIMOVIE. Anda akan melihat
dua metode menyisipkan film. Metode I menggunakan menu [Insert][Object] untuk menyisipkan ikon Movie Clip (AVI) yang akan Anda lihat di dalam daftar di kotak dialog. Metode 2 menyisipkan foto di kerangka pertama klip film. Anda dapat rnenjalankan klip film dengan dua cara: (1) Klik ganda di ikon atau foto. (2) Gunakanlah klik kanan untuk membuka menu pop-up. Pilihlah "Video Clip Object" kemudian pilih "Play". Sekarang. tutuplah buku kerja kemudian klik [File][New]. Gunakan menu [Insert][Object] untuk menyisipkan klip
film dari CD ke dalam lembar kerja Anda. Uji cobalah lembar kerja untuk menyakinkan ini semua berjalan dengan baik.
-3.
Merekam program makro untuk melakukan Moving Average. Bukalah buku kerja baru di EXCEL, imporlah file data bernama DAMP-MASS.IxI yang terdapat di folder Data Files. Ikutilah petunjuk di Bagian 9.2 untuk membuat sebuah program makro yang ekan melakukan moving average 3 titik di dalam data Force menggunakan fasilitas Moving Average di Analisis ToolPak. Pilihlah Chart Output.
1.
Untuk Soal 3, gunakanlah fungsi lembar kerja VARP untuk menghitung varian data mentah Force dan data moving average 3 titik.
-5.
Merata-ratakan gabungan single-sweep. Bukalah buku kerja baru di EXCEL kemudian imporlah file bernarna ENSEMBLE-OSC.IxI yang terdapat di folder Data Files. Buatlah rata-rata
gabungan single-sweep untuk record individualnya.
6
-
4 record. Hitunglah varian populasi rata-rata gabungan
dan
\Ierata-ratakan gabungan multi-sweep. Bukalah buku kerja baru di EXCEL kemudian imporlah file bernama ENSEMBLE-OSC.IxI yang terdapat di folder Data Files. Buatlah tata-rata 4 record. Hitunglah varian populasi rata-rata gabungan dan -labungan n.rulti-sweep untuk record indi r,idualnya. G:n!SUan acak dan SNR. Bukalah buku kerja NOISE. Gunakanlah beberapa nilai gangguan -:-::lirudr.'r dan aniati hasil varian dan SNR-nya. Pergunakan mouse untuk menjelajahi rumus-..:ru: tl.rn komposisi lembar kerja.
O
P=:.:lr:k.i.rn elektromekanika virus dan bakteri. Perangkat getar elektromekanika
dapat
221
Uii kemamouan Anda
digunakan untuk pendeteksian cepat mengenai kehadiran bentuk khusus mikroba. Untuk informasi lebih lanjut silakan mengunjungi situs http://www.akubio.com. Anda dapat juga melakukan pencarian di Internet untuk kata akubio, menggunakan mesin pencari Google, sebagai contoh. Pendeteksian dilakukan berdasarkan percepatan (atau g) yang berhubungan dengan mikroba lain ketika mereka terlepas dari sel induk. Nilai maksimum g berdasarkan pengalaman para pilot adalah 7 atau 8. Ingat kembali, satu g adalah percepatan gravitasi bumi, 9,8 m/sr. Hal ini nrungkin mengejutkan bahwa sebuah perangkat elektromekanik dapat mendeteksi sesuatu sebe :ar \ irus atau bakteri, namun dapat dijelaskan kembali bahwa mikroskop elektron penama dibuat berdasarkan ikatan antara sebuah potongan alumunium foil dapur biasa.
kitl kembali ke Bagian 7.4, halaman 143. Untuk percepatan, pergunakan --ll t dalanr bentuk,
Pertama. Persamaan
r
d2x
d,'
1
= -a;' r'
Ingat. ro = 'r dengan ro memiliki satuan rad/detik danf'memiliki satuan Hz. Pergunakanlah amplitudo maksimum untuk -r. Buatlah buku kerja untuk menghitung percepatan dalam m/s2 dan hubungkan g untuk vibrasi kri:tel ksana pada beberapa frekuensi dan amplitudo. Berikan frekuensi yang bervariasi dari t hinggri l0 \IHz dengan kenaikan sebesar I MHz dan berikan amplitudo yang bervariasi dari 5 x lt) hingga I x l05mdengankenaikansebesarl0Tm.Buatkangrafikhasilini dalam e terhadrp liekuensi. g terhadap amplitudo dan dengan grafik 3-D gunakanlah frekuensi dan amplitudr) sebasai sumbu x dan y, dan g sebagai sumbu z. Anda rlungkin rercenean_9 melihat nilai g. Pertanyaan pentingnya adalah, mengapa orang tidak memikirkan hal sederhana ini bertahun-tahun yang lalu? Catatan: Pada .aar .\nda mengimpor file-file teks, Anda mungkin membutuhkan eksperimen dengan mernilih teb delimited, space delimited, dan sebagainya untuk mencapai hasil yang diinginkan.
File trlm di dalam CD menggunakan nama Codec "Indeo Video Interactive R4. I by Intel". Ini sansar munqkin diinstal di komputer Anda. Klik Control Panel, kemudian klik Multimedia. lalu klik tab Advanced. Selanjutnya, klik di "kotak+" dengan Video Compression Codecs. Anda dapar melihat Codec di dalam daftar (Gambar 9.38). Jika tidak ada, silakan men-dounloadnla dari situs http://www.intel.com atau dari CD instalasi Windows Anda. (Codec adalah singkatan dari Compressor Decompresor.)
URL berikut akan membawa Anda ke Indeo Codecs: http://support.intel.com/support/technologies/multimedia/indeo/enduser/index.htm
Bab 9: Pemakaian Excel di Lab
ffil#sei I
fideo f,ompression frdecs
.r& ATI VCR 1.rl Fsrnrat f,udec [1".CR1]
:'& ATI
r& rS
\tCfr? F)anar F*rmal C*der [1/ma; ATI YUU turrnat Ccrder IUYUY]
al YV12 Flener Fnrnrat {odec [YVl;] 1ffi ATI YVUB Fl,:nar Fnrrnat C{:rder IYVUS] :S
firrepak [Thl]
rffi {rystal Net Ccrrpnratinn $Flt4 Video {od*c [5
:S
lffi
Dir*ctt/ideo 0river [nni\\4r] lndeua video interartive ft4.1 by Intel lndeox tidao [3,3 by Intel lndere uider F.3,? by Intel
rm
pr.$FEGre [F,up6]
:fu{
HLE
&
tlid*o t
,S
Whrte Prrre H ?61
r{d
fi
;ffi vtn5,cC0l:tdlicrr:silft (arnrcrder
F.ender Cnd
Gambar 9-38. lni adalah kotak Multimedia Properties yang dipilih dengan mengklik di ikon Multimedia di dalam Control Panel Windows. Anda dapat memperoleh daftar Video Compression Codecs yang berbeda.
Untuk informasi terbaru mengenai teknologi multimedia dari Microsoft, silakan mengunjungi: http ://w ww. micro soft. com
Hypercam begitu luar biasa, software penangkap gambar video yang tidak mahal yang dapat merekam film AVI langsung dari monitor Anda, untuk keperiuan presentasi, training, demo, tutorial, dan keperluan ringan. Versi terbaru dapat beroperasi di Windows XP. Anda dapat men-download versi trial-nya. Hypercam mendukung keterangan berupa teks, suara, dan catatan layar (baik untuk membuat laporan lab dan mengotomatiskan software demo). Anda juga dapat memilih Frame Rate dan Compression Quality utama untuk menangkap video. Kunj ungi lah http ://www.hyperionics.com./
Lampiran 1 Buku Kerja
Buku k
di dalam CD
Lampiran ini heri.i Jrftar-datiar buku kerja dan file data di dalam CD. Dalam Lampiran ini, ada buku kerja \ anS nrerupakun pelengkap dari buku kerja yang sudah dibahas dan adajuga buku ker.ju yang berhubunlrn dl'nLrrt :oal-soal di akhir bab. Dalant Llnrprrln ini. ada buku kerja yang tidak dibahas sebelumnya. Buku kerja ini bermantaat sebagai "re\er\e engin.-erinr" atau "forensic engineering" dalan.r rangka mempelajari kegunaan suatu buku keriu Jan .rra lnenggunakannya. Jenis latihan seperti ini sesuai der.rgan praktik di dunia nyata. Anda munSkin harus rnernakai buku kerja yang dibuat oleh orang lain yang ternyata tidak memiliki dokunte nta,i r ang memadai. Anda mendapat tugas untuk mendokumentasikan buku kerja tcrsebut :chingru orang lain dapat memahaminya. Gunakan kornentar EXCEL (lihat halaman 24 dan 2-5) dan tuli:kan cara-cara pemakaian dalam bentuk narasi pada lembar tersendiri di dalam
buku kerja ter'ehut.
File-file update din do\\ nload tersedia di http://sylr,anbloch.hypermart.net/. Bab
1
Memulai
Nama Buku Keria
Deskripsi
AASEBALI-
Buku keria tutorial yang mengilustrasikan beragam Pengenalan terhadap buku kerja EXCTL
MY WORKBOOK
teiq! qLEIC+
Bab 3 Membuat Grafik di Excel Deskripsi Nama Buku Keria Contoh qrafik polar, fungsi dari fungsi EXP-POLAR Grafik loq-loq dan pemakaian Trendline dalam grafik GRAVITY Relasi tekanan-isi, T konstan IDEAL.GAS sensor nendeteksi ob;ek bergerak pada berbagai posisi. Buku kerja ini menOBJECT DETECTOR demonstrasikan orafik EXCEL bidanq 3D Contoh trendline dari rekor renang Olimpiade OLYMPIC Membuat qrafik data planet-planet dalam tata surya PLANETS Grafik polar POLAR Roket denqan massa variabel, persamaan Tsiolkovskii ROCKET SCIENCE Jumlah dari 2 gelombang sinus. Peragaan fungsi lF SINE-SUM SURFACE
Grafik hidann ?l-)
Excel untuk lnsinvur dan llmuwan
-,i:-v ,,.:)(ANIPLE
\ama
Buku
;OURIER NCLINE
Bab
ffi
5
Rekor renang SO-meter gaya bebas, menurut kelompok umur Jarak antara gambar dan objeknya Sumbu Y kiri dan kanan Grafik XY atau scatter
Deret Fourier, sintesa pada bi ing dengan friksi
Diferensiasi dan lntegral
DERIVATIVE EXP-SMOOTH INTEGRATION INTEGRATION-101 ENTS I\4OVE-AVG
SinXoverX SMOOTH SMOOTH-2 SMOOTH-2A SUNSPOTS TRAPEZOID TREND-INTEGRAL
Turunan Mundur, Maju, dan Tengah Fasilitas Exponential Smoothing di EXCEL Persegi Panjang, Trapesium, dan Kaidah 1/3 Simpson Perbandingan antara integral Persegi Panjang-Kiri, Persegi panjang Kanan, dan Trapesium dengan pilihan ukuran loncatan Pusat massa dan momen inersia Fasilitas Moving Average di EXCEL Contoh integral numerik lntegrator jendela geser, uli tanpa qanqquan lntegrator jendela geser, data terganqgu FIR dengan pilihan bobot dan pemulusan Savitsky-Golay Data sejarah bercak matahari, dipakai dalam pemulusan data Contoh integrasi trapesium dan persegi panjang Fasilitas Trendline di EXCEL yang dipakai mengintegrasikan data terganggu
Bab 6 Fungsi-fungsi Engineering Nama Rrrkrr K Deskripsi ATWOOD Menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar simultan memakai nretooe rnatrirr untuk mesin Atwood BESSEL Fungsi-fungsi Bessel ENTROPY Tutorial entropi memakai fasilitas COMBIN di EXCEL ENTROPY-2 Enkopi dari sistem biner (pelemparan koin) IUATRIX Operasi matriks di EXCEL ROTATE Rotasi koordinat memakai metode matriks VECTOR ALGEBRA Jumlah, selisih, perkalian dot dan silang, magnitudo, sudut Bab
7
Persamaan Diferensial
EXP.D.K-2 FREE-FALL
hambatan dari cairan kental Tutorial metode Euler antara solusi numerik dan analitis Data untuk analisis Persamaan dua dimensi memakai FEM
QUANTUM TEN4PERATURE
.,ECTORS SRATIONS
Getaran harmonik sederhana dengan pilihan kelembaman
Fasilitas Correlation di EXCEL asilitas Covariance di EXCEL
225
Lampiran 1: Buku Keria
EXP-AVG HISTOGRAM MOVING AVERAGE RANDOM REGRESSION
Fasilitas Fasilitas Fasilitas Fasilitas Fasilitas
Exoonential Smoothino di EXCEL Histoqram di EXCEL Movinq Averaqe di EXCEL Random Number di EXCEL Reqression di EXCEL
Bab 9 Pemakaian Excel dr Lab Nama Buku Keria Deskilpsi DATA-INPUT EKG FREE-FALL HYPERLINK ENSEMBLE INSERT.MOVIE INSERT-MOVIE2
MICRO-TUTOR NOISE
PASCO-EXCEL RADIOACTIVE TITRATION
Cara memakai Wizard Text lmport Data EKG eksperimental Data eksperimental dari obiek iatuh bebas Pemakaian hvperlink dalam buku keria Rata-rata qabunqan, tunqqal dan iamak Cara menyisipkan klip video di EXCEL Cara menvisipkan klip video di EXCEL
Tutorialrata-Gtaqabunqansinqle-sweepdanmulti-sweep Data qanqquan acak. Menqhitunq rata-rata dan r.m.s Data eksperimental PASCO diimpor ke dalam EXCEL Memakai fasilitas Trendline untuk mengestimasi paruh-hidup isotop Penerapan fasilitas Reqression dalam titrasi NaOH dan HCI
10 Matematika Kompleks Nama Buku Kerla Deskriosi Bab
COMPLEX
Menuniukkan pemakaian beberapa operasi kompleks di EXCEL
11 Analys,s ToolPak: Fast Fourier Transform Nama Buku Kerla Deskripsi Bab
ALIAS-DATA COLLISION DATA-WINDOWS EKG EKG.2 FFT-IFFT FFT-TEST
FORCE
SENSOR
FREQUENCY SCALING PSD
Efek-efek samplinq dan aliasinq, frekuensi Nyquist Tumbukan antar magnet. Menunjukkan kegunaan fungsi-fungsi lF dan MAX di buku keria, dan FFT Tutorial iendela data Data elektrokardioqraf Data elektrokardioqram Tutorial FFT dan IFFT Uii FFT di EXCEL Sensor gaya mengukur gaya tergantung-waktu yang disebabkan oleh objek beroerak. Ketebalan soektrum dari dava iuqa diperhitunqkan Cara menentukan skala frekuensi dalam Hz, memakai frekuensi sampling dan lumlah sampel. Teorema Parseval Tutorial ketebalan spektrum daya; Teorema Parseval
Bab 12 Analysis ToolPak: Penerapan FFT Nama Buku Keria
Deskriosi
COHERENCE CONVOLTIME CONVOLVE CORRELTIME CROSSCORR DECONVOLVE DECONVOLVE-2 RC-CIRCUIT-FFT RC-CIRCUIT-2 SYSTEM-I-D SYSTEM-FUN
Funosi Coherence dan funosi SNR Tutorral konvolusi, tanpa FFT Tutorial konvolusi memakai FFT Tutorial fungsi Cross-correlation, tanpa FFT Tutorral funqsi Cross-correlation memakai FFT Dekonvolusi memakai FFT Dekonvolusi memakai FFT Analisrs ranqkaian RC memakai FFT dan IFFT Ranqkaian RC ldentifikasi sistem memakai FFT sistem dan respons
Excel untuk bqlnyuldan llmuwan
Persamaan TrendLine
File-file data di dalam CD File-trle ini berfbrmat teks ASCII dalam fblder bemama Data Files. File-file tersebut dapat dimanfaatkan rebagai latihan mengimpor data mentah ke dalam EXCEL dalam hal analisis dan pembuatan
crliik. l',lama File Data
Ukuran File, kB
DAMP-MASS
14
EKG
20
ENSEMBLE.OSC OSC.DATA POLLUTION PV.GAS RADIOACTIVE-DK SOUNDWAVE SUNSPOTS
9 3
43 1
10 tr
5
Deskripsi
Massa pada peqas, berosilasi di air Data elektrokardiooram Catatan ganqguan dari massa pada peoas Massa pada pegas, berosilasi di udara Folder File berisi data ozon Data tekanan dan volume qas Peluruhan radioaktif, counts/s Perekaman suara denoan mikrofon Catatan bercak matahari historis
C0t0tan: Latihan tambahan untuk setiap bab tersedia di dalam CD.
Lampiran 2 Link-link lnternet
Internet beri.i .c'.iunrlah besar sumber daya yang bermanfaat. Rasanya seperti memiliki komputer dengan hard di.k .epuluh juta gigabyte. Berikut ini ada sekelumit URL pilihan yang bagus. Masing-nrasing L RL rnerniliki link-link ke banyak situs lainnya. Untuk kemudahan Anda, Lampiran ini juga tersr'dir Ji dalam CD yang disc'rtakan bersama buku ini. dalam format Microsott WORD T lAppendir-l..loc.rdan tirrnrat HT\IL. Jalankan hrorrser uebAnda untuk membuka file HTML tersebut. Setellh \nda rnernbuka Lanrpiran ini d: konrputr'r..\nda bisa mengklik salah satu URL (diberi garis ba*ah. beruarna hrru pa.ia nrr)njton.lan.\nda akan terkoneksi ke situs internet tersebut.
jika
rntrdern .\nda herfunori denSan benar.
Internet relalu berubah. sehingga rcbagian dari URL ini nrun-skin tidak lagi tersedia. Lampiran ini juga tcrsc'dir J.rlant tbrntat .\SCII. dalarn file apdx-2 . txt dl CD.
Koneksi alternrtii ke .rtu. Inte nrer: Dial up konek:i Intenret .\nda dan jalankan brc'rwser web. Ketikkan URL .itu. r.rns .irnrakrud dan tckan E,nter.l. Alih-alih mensetik. \nJ.r br..r rnenrrnfaatkan operasi Copy. Copy salah satu alamat dari daftar di bawah ini dan klik menu Edit brorrser Anda dan Paste pada baris alamat browser web Anda. Lalu tekan EnterJ. http://wwu'. rnicro:otl. eonl' Oil ree/archive/xl97brch/detauit.htm Infornrasi terbaru. dan urrip-arsip EXCEL. http //w u' w. m ic rcl s o l't. e o nV d o u :
n l oad s/se
arch.
as
p
File-flle dou nload gratis untuk mempercanggih produk-produk Microsofi. http ://ofllceupdate. ru icrosoft.com/dow nloadCatalog/dldExcel.htm
Banyak file-flle dori'nload gratis terutama untuk EXCEL. Tersedia EXCEL Internet Assistant (konversi instan dari sprcadsheet menjadi HTML), EXCEL Viewer (menampilkan spreadsheet di komputer yang tidak niemiliki EXCEL), tambahan fungsi-fungsi baru untuk spreadsheet, dan banyak lagi. http ://www. microsoti. con/mspre ss/defaul t. asp Home page dari Microsoti Press. Tersedia buku-buku mengenai produk-produk Microsoft dan
beberapa
file downloutl gratis.
Excel untuk lnsinvur dan llmuwan
-::;',i
i\ \\.\preadsheet\\'orld.com/
H.,rre page dari Spreadsheet World. Banyak link ke informasi tentang spreadsheet. P:Ju tanggal 17 Juli 1999, Microsoft menyadari isu keamanan yang melibatkan driver database ODBC vang terinstal sebagai bagian dari EXCEL 91 . Ada kemungkinan bahwa seorang coder _;ihat sen-eaja membuat sebuah spreadsheet EXCEL 97 yang dapat mengeksploitir kelemahan drirer database ini sehingga dapat menghapus file-file dan melakukan aksi jahatnya. Seorang pengguna bisa mendapati masalah ini setelah membuka spreadsheet yang terlampir dalam pesan e-rnail atau berupa link dalam suatu situs Web. Pada saat proses menghasilkan solusi bagi isu kemanan ini, penguji Microsoft menyadari satu la-si kelemahan lain pada driver database ODBC yang bisa mempengaruhi pengguna Excel 2000. Kelemahan ini terkait dengan komponen IISAM dari driver database ODBC dan bisa dieksploitir dengan query EXCEL 2000 untuk menjalankan aksi-aksi jahat yang serupa dengan deskripsi EXCEL 97 "ODBC Driver" Vulnerability. Microsoft telah membuat solusi untuk kelemahan khusus ini dan mewujudkannya dalam bentuk file update. Telah tersedia untuk didownload, alamat berikut adalah update dari kelemahan EXCEL pada
"ODBC Driver": http://officeupdate.microsoft.com/Articles/mdac t],p.htm ini Anda dapat mencari pilihan download di bagian Table of Contents.
Pada URL
http ://www. dataq.com/windaq.htm
Download gratis perangkat lunak playback dan analisis WINDAQ yang bisa juga membaca filefile spreadsheet. WINDAQ cukup baik kinerjanya (baca Bab 9). Dataq Instruments juga menyediakan peranti akuisisi data RS-232 yang sangat murah dan perangkat USB. http://www.senn.com/ Science and Engineering Network News. Situs besar dengan banyak link dan panduan yang baik atas sumber daya Internet bagi insinyur dan ilmuwan. http ://lcweb.loc.gov/homepage/lchp.html
Home page dari Library of Congress. Gunakan mesin pencarinya untuk mengakses sumber daya informasi yang besar dari Perpustakaan ini. http ://www. tc.cornell.edu/Edu/MathSciGatewaf r
The Comell Theory Center Math and Science Gateway. Memiliki link ke hampir semua sirus ang terkait.
http //archives.math.utk.edu/calculus/crol.html :
Sumber daya Kalkulus on-line. http //euclid.math.fsu.edu/Science/math.html :
The Florida State University Mathematics Department memiliki link ke sumber daya matematis
di internet. http://u ww.maa.org/ Home page dari Mathematical Association of America.
htti : rrr u u -sci.lib.uci.edu/HSG/Ref.html Ercineerinc Center. Science Tables & Databases, Bioscience Center, Chemistry Centeq Math::r'j:.-. Center. Phrsics Center, Space & Astrophysics Center, dan banyak lagi. 1 :
,;
,t".t, '.r,
l
-'.
3. trf
o/
:: ^-: r:j: :.r
IEEE. Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc.
Lampiran 2: Link-link lnternet
229
http ://www.ieee.org/societ),/i nder. html
Home page ini memiliki link-link ke masyarakar teknik IEEE berikut ini. IEEE Aerospace and Elecrronic Systems Society IEEE Antennas and Propagation Society IEEE Broadcast Technolo-e1 Society IEEE Circuits and Sr \rems Sociery
IEEE IEEE IEEE IEEE
Communicationr Societr Componenr\. Packaeing. and Manufacturing Technology Society Computer Srrr'ltr-r Consurner Elecrrtrnics Society
IEEE, Control Sr:rern: Society
IEEE Dielectric. an.l Electrical Insulation Societv IEEE Educutior) S(\rit) IEEE Electromagneric Compatibility Society IEEE Electron Der icer Society IEEE Engineering in \ledicine and Biology Society IEEE Engineenng \lanrsement Society IEEE Geoscience ln.i Remote Sensing Society IEEE Industnal Elecrrtrnics Society IEEE Indurtrr .\ppli;ations Society IEEE Intbrrnarion Therrrr Society IEEE Instrunlentarlrrn and Measurement Society IEEE Laser. rnti Elecrrtr-Optics Society IEEE Nlagnetii. Stuierr IEEE N{icrtrrr lr e Ther'rrr and Techniques Society IEEE Neural \etur-rrk' Council IEEE Nuclear an,j Pla:nra Sciences Society IEEE Oceanic En_gineering Society IEEE Porier Elecrronic. Society IEEE Pouer Enginc'ering Society IEEE Protes:ional Contmunication Society
IEEE Reliahilitr
S,'e ierr
IEEE Robotic: and .\utomation Society IEEE Si-enal Prt)ce::ins Society IEEE Social Inrplicarions of Technology Society IEEE Solid-Stare Circuirs Council/Society IEEE S1'stems. \Ian and Cybernetics Society IEEE Ultrasonics. Ferroelectrics and Frequency Control Society IEEE Vehicular Technology, Society http://www.asme.ors Home page dari Anterican Society of Mechanical Engineers. Kunjungi halaman untuk pelajar di http://www.asme.ors/\tudents/ htto://www.asce.ors/ Home page dari Arnerican Sociery of Civil Engineers (ASCE) htto://www.acs.ors/ Home page dari American Chemical Society (ACS). Kunjungi halaman untuk pelajar /www.acs. org/edugen2/education/stu aff/sa. htm
di
hnp:/
Excel untuk lnsinvur dan llmuwan - ::
:
:,..Sp. pt'rmona. edu/medchem/chem/index.html
i-:rt'er Jara kinria di I :: i
:
*
rr ri
.
Ii
r . ac.
Internet
uk/Chemistryr/Links/links.html
Kt'rlek:i besar link-link kimia dari University of Liverpool.
http://u
rr r.l'.aibs.org
Home page dari American Institute
of Biological
Sciences. Tersedia link-link ke seluruh
II)r\\ arakut anggotanya. http //www.orst.edu/-ahernk/biochemlinks.html :
Biotechnology Software and Internet Journal. http ://www. mpae. gwdg. de/EGS/EGS.html
Home page dari European Geophysical Society. http://www.agu.org/ Home page dari American Geophysical Union (AGU). Memiliki lebih dari 35,000 anggota di I 15 negara.
http ://physicsweb.org/TIPTOP/
The Internet Pilot To Physics (TIPTOP). Kunjungi koleksi dunia dari applet-applet Java di Virtual Laboratory. Anda akan belajar banyak di sini. http ://www.psrc-online.org/
Physical Science Resource Center di American Association of Physics Teachers. http //www.phys. washin gton.edu/groups/peg/ :
Center for Physics Education di University of Washington. http //www.phlzsics.umd.edu/deptinfo/facilities/lecdem/ :
Physics Demonstration Lab di University of Maryland. http ://www2.ncsu.edu/ncsu/pams/physics/Physics Ed/
Physics Education Research and Development di North Carolina State University http ://mazur-www. harvard.edu/EducationlEducationMenu.
Science Education Research
html
di Harvard, Eric Mazur Group.
http ://u ww.me.umn.edu/
Department of Mechanical Engineering di University of Minnesota, Twin Cities Campus
* r.r'.unl.edu/phlzsics/Education.html Phr:ics Education Research di University of Nebraska at Lincoln.
http :i/rr
::; i- :
@:-
.i
s rl.nsf.gor,/home/ehr/start.htm
:.'::::.lulte \ISE&T -
Education Program, National Science Foundation.
-. l::-:::-.:nt Ji L. S. Air Force Academy.
Lampten 2: Link-link lnternet
231
http://webphysics.iupui.edu/152 25 I mainpage.html Just-in-Time Teaching of Physics di IUPUI. http://www.aip.org/pt/ Home page dari PHYSICS TODAY. Kunjungi situs ini untuk berita-berita hangat, artikel-artikel menarik. dan Web \\'atch. http://www.aas.org/ American Astrononrical Society (AAS). http ://earth. agu.or-s/
American Geophlricai Union (AGU). http://www.aapt.org/ American Association trt' Phr sics Teachers - AAPT. Situs web dari American Journal of Physics ada di http://wwu.kzoo.edu/ajp. Anda bisa mencarinya menlrrut penulis, judul, dan pokok bahasan dalam database di http://cIps.aip.org/ajp/ http://www.aip.org/
American Institute ol' Phr:ics (AIP). http;//aps.org/
American Phrsical Streietr t.\PSt. http://wwu'.anl.gor / Argonne National Laboratory. http://ww u.bnl.gor ibnl.html Brookhaven National Laboratorv. http://wwu,.cebaf. gov/ The Thomas Jeft-erson National Accelerator Facility, atau Jefferson Lab, adalah laboratoriun.t riset dasar yang dibangun untuk melakukan probe terhadap inti atom, struktur quark dari zat.
http://www.fhal.gov/ Fermi National Accelerator Laboratory. http://www.11n1.gov/
Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL). LLNL dioperasikan oleh Universitl' ot California sesuai kontrak dengan US Department of Energy. http://www-phys.lIn1. gov/
Lawrence Livermore National Laboratory, Physics and Space Technology. http ://www. lanl. gov/external/
Los Alamos National Laboratory. http://www.nas.edu/ National Academy of Sciences. Home page ini juga memiliki link ke National Acadent.' Engineering, Institute of Medicine, dan agensi operasi utamanya yaitu National Research Cr'.r:.http://www.nasa.gov/ Home page dari NASA. Persiapkan satu hari untuk situs web ini.
:
232
Excel untuk ln
http:
,,,r
dan llmuwan
ir rr jpl.nasa.gor'/
\ {S.\ Jet Propulsion
Laboratory.
hnp: ri ri rr.gslc.nasa.gov/GSFC orgpage.html \.\S.VGoddard Space Flight Center. http: Itpu .i
w
w.gsfc.nasa.gov/
\AS,VGoddard Space Flight Center, Laboratory for Terrestrial Physics. ht tp
:
//ri ww.ornl.gov/home.html
Oak Ridge National Laboratory. http://www.pnl.gov: 2080/ Pacific Northwest Laboratorv. http ://www. sandia. gov/
Sandia National Laboratories. http ://www. slac. stanford. edu/
Stanford Linear Accelerator Center. http ://www.ioppubli shing. com/
The Institute of Physics (United Kingdom). http://nobelprizes.com/ Penghargaan Nobel. Tersedia database dengan mesin pencari. Kaum wanita telah mendapatkan Penghargaan Nobel dalam semua bidang kecuali ekonomi. Situs web ini membahas beberapa teori tentang jarangnya Penghargaan Nobel matematika. http://www.ibm.com/ Home page dari IBM.
httg//www.intel.com/ Home page dari Intel. http ://telerobot. mech. uwa.edu. au/
Situs telerobot Australia. Operasikan telerobot dari u,eb. Ada link-link ke telerobot lainnya, termasuk sebuah robut kecil yang bagus di EE Depanment dari Mississippi State University: http://space ghost.ece.msstate.edu/telerobot.html http ://www. usno. navv.
mil
U.S. Naval Observatory menjalankan peran ilmiah utama untuk Angkatan Laut, untuk Departmen Pertahanan, dan untuk Amerika Serikat. Misinya adalah menentukan posisi dan gerakan objek-objek angkasa luar, menyediakan data astronomis. mengukur rotasi Bumi, dan merawat Master Clock. http ://tycho.usno. navy.mil/
Time Service Department dari U.S. Naval Observatory adalah pusat resmi dari waktu yang dipakai di Amerika Serikat. Situs web ini memiliki beberapa bagian yang menarik, seperti Global Positioning System dan cara untuk mengatur jam PC Anda sesuai Master Atomic Clock. http /iphy sics. nist. gov/GenInt/Time/time. html :
The National Institute of Standards and Technology mempersembahkan A Wctlk Through Time.
Lampiran 2: Link-lin!
lllgllet
233
http://http.ee.queensu.ca:8000/www/dept/courses/elec33l/eleclink.htm Electrical Engineering Software and Reference Materials di Queen's University, Canada. http ://t),cho.usno. navy. mi Ugps.html
The Global Positioning System (GPS). http://www.its.bldrdoc._sor'/f s- I 037/
Glossary of Teleconrmunication Terms, U.S. Federal Standard 1037C. http://www.bldrdoc. gor / Home page dari \ational Institute of Standards and Technology Boulder, Colorado Laboratories. s. u rl i ch. edu/uf f c/uf fc fc.html Jam and uaktu Daftar komprehensif dari situs-situs horologis di internet Glosari dari Time and Frequency Control Terms CPS Internet Crrnnections Aktiritas \lST Time and Frequency Sinyal riaktu dan emisi-emisi standar frekuensi, Daftar ITU-R Recommendations UFFC Sensors and Actuators Section
http ://bul.eec
http ://u' u rr . s lac. stantbrd.edu/librar),/nobel. html
Pemenang Penuhargaan Nobel yang berhubungan dengan kontrol frekuensi dan timekeeping: Rabi. Ramser. Dehmelt. Paul, Chu. Cohen-Tannoudji. dan Phillips.
http://wu ri.patent-inf.tu-ilmenau.de/links/patinfo-eng.hrm I Infbrmasi paten. Baca situs IB\1 untuk semua paten U. S. sejak 197L http://wu u. patents. ibnt.corn/ Situs IBNI untuk paten-paten U. S. sejak 197 l. Database gratis dengan mesin pencari. http://physics.nist. gor i luncon. htntl
Fundamental Phr rrcal Con:tants. milik National lnstitute of Standards and Technology Physics Laboratory. http://bul.eecs.umich.eduiuttciuf tL fc.html Kontrol frekuensi. Unirersin ol Michigan. http://bul.eecs.umich.edui ufti/qualrz/v i g/vi gtoc.htm Apakah Anda merasa tahu segalanya tentang osilator kristal? (Fort Monmouth)
http://www.npl.co.uU National Physical Laboratorl. Queens Road, Teddington, Middlesex, United Kingdom. http ://www.Colorudo. ED U/ph) sics/1000/
University of Colorado di Boulder; applet-applet Java interaktif yang bagus. http ://www.wiley.com/
Home page wilayah Barat dari John Wiley & Sons, Inc. penerbit sejak 1807. Untuk Eropa, kunjungi http://www.wiley.co.uU untuk pengoperasian yang lebih cepat. Untuk Australia dan wilayah Pacific Barat, kunjungi http://www.jacwiley.com.au.
Excel untuk lnsin
: i-l
--
; ''';
.i ri
rr.aaii.trrS/dltrads/sprsheets/
hr\nrc.S\ i.net/-epearson/excel/pivots.htm Tutorial Pir otTable
.rrl: trorrre.gr i. net/-cpearson/excel/topic. htm Indeks topik EXCEL
dan llmuwan
Lampiran 3 Persamaan Trendline
Berikut ini adalah persar.naan-persamaan yang digunakan oleh EXCEL untuk menghitung trendline dengan diagrant. rLiharlah Ba-sian 3.6 dan gambar-gambar yang menunjukkan kotak dialog Add Trendline). Pada saat Anda rnemilih sebuah tipe trendline tertentu, ini akan secara otomatis dihitung menggunakan data-data
milik Anda.
Untuk menggunakan rrendline secara e1-ektif, Anda perlu memahami apa yang Anda pilih Pencocokan rang baik untuk data-data terganggu menggunakan trendline seringkali dapat menyiratkan sr.sllatLl r.nerrgenai proses yang membangkitkan data. Secara umum, Anda perlu melakukan eksperirnen dengan tipe-tipe trendline dan parameter yang berbeda untuk mendapatkan hasil yang cocok.
Linier Pilihan ini menghitunc least \quare yang cocok untuk data Anda melalui garis lurus, (L3- I )
)'=nN+b' Dengan
lr
adalah keniiringan -earis dan b adalah
titik potong di
sumbu-.t'.
Polinomial Least square polinontial mencocokkan terhadap data yang dihitung dengan' ,r'
=
1,
+ t,.f +
r'r-r2
+ r'.,r3 + ...
+.',r.16
(L3-lr
b dan c,, aclalah konstanrir yang Anda pilih. Anda tidak dapat menggunakan polinomial yang lebih tinggi daripada,tn karena itu sudah cukup untuk menyelesaikan beberapa kasus. dengan
Logaritma Least square logaritma menyelesaikan pencocokan data Anda melalui persamaan'
,r'= r' ln(,r) +
rL-l--:
b
dengan c' dan b adalah konstanta clan ln(,r) adalah logaritma natural
r.
Lampiran 3; Persamaan Trendline
Eksponensial Su,tu least square eksponensial mencocokkan data Anda melalui perhitungan, (L3-4)
Y=ceb' Jen-gan
c
dan b adalah konstanta.
Perpangkatan Least square perpangkatan mencocokkan data Anda melalui. dengan
c
-)'
- ,rb
(L3-5)
dan b adalah konstanta.
Nilai R-kuadrat Nilai R-kuadrat adalah pengukuran kecocokan yang terbaik, yaitu seberapa baikkah hitungan trendline mencocokkan data. Nilai sempurnanya adalah I dan yang terburuk adalah 0 Nilai Rkuadrat dihitung berdasarkan, ssE Rr=l-ssr dengan SSE adalah jumlah aljabar dori
(L3-6)
,rro) madrat (sum oJ'squarecl errors).
ssr=)rYj -i'jl
(L-1-7)
Dan SSI adalah jumlah aljabar dari kundrttt deviasi dari nilai mean (.sum of the scluared deviations from the mean),
r,:)ssr = (f \L.i I
'
(tr,)'
Dalam Persamaan (L3-7), )', adalah titik data dan
(Lr-8)
,
n\u.j
t,
adalah
titik penghubung dalam model untuk
trendline. Catatan: dalam pekerjaan lain, SSI'dinamakan SSI dan didefinisikan sebagai,
ssy = dengan
I
I(I - 1)2
adalah nilai mean. Contoh, lihatlah referensi kedua
(L3-9)
di bagian akhir lampiran ini.
Moving Average Trendline moving average di ExcEl dihitung dengan, F, =
!(.A,+ Al 1 + ... *
A,-,11).
(L3- r 0)
n
P:::-,rikan bahua jumlah titik di dalam trendline moving average sama dengan total jumlah titik j -;..:i: Jer.'t. dikurangi jumlah titik yang Anda pilih untuk periode average. Contoh, jika Anda
'r': :...:r..: ,lr trtik di dalam sebuah deret dan Anda memilih 3 titik moving average. maka trendline -.:: :-'i:-.:.:L: ll-< titik. Di dalam Excrl jumlah maksimum titik yang dapat Anda gunakan dalam - - --^ :(:t 'a- .,'.31-.rge adalah 20.
23=
Contoh trendline
Contoh trendline Bukalah buku kerja TRENDLINE dan Anda akan melihat sesuatu seperti di Gambar L3- l. Lenibar kerja ini memiliki sekumpulan data yang terdiri dari pengukuran tegangan di kolom A dan pengukuran arus di kolom B. Pengukuran arusnya mengalami gangguan dan kita akan melihat apa jeni: hubungan kuantitatif antara tegangan dan arus. Dari data tersebut, jelas nampak bahwa pada saat tegangan naik, arus cenderung naik sepanjang waktu namun kesalahan acak membuat arus berfluktuasi di sepanjang kecenderungan umum yang menaik. Tekanlah Tombol Fungsi F9 untuk mengubah gangguan serta melihat perubahan nilai persamaan dan nilai R-kuadrat. Masukkanlah sebuah nilai baru untuk amplitudo gangguan di sel E2. Tekanlah Tombol Fungsi F9 berulang kali untuk mendapatkan contoh gangguan baru. Contoh lain ditunjukkan di Gambar L3-2. Nilai perpotongan-y seharusnya nol karena tidak ada arus yang dapat mengalir jika tegangannya nol. Jadi untuk kumpulan data terganggu ini. trendline mengatakan bahwa sekitar 99 persen yakin bahwa resistansi R dari sistem adalah
R='t=l'= r' 1
I .01
(L3- l
=looo.
l)
Cobalah trendline polinomial dengan data yang berasal dari lembar kerja ini. Anda akan melihat bahwa koefisien pangkat x yan-s lebih besar daripada I adalah sangat kecil. Jelasnya, pencocokan secara linier adalah yang terbaik untuk kumpulan data seperti ini.
A.B
(-
iTREHDtII{E Apperrliu
!
Lt
Enler NDise .".*pl,tuo,
a
L
Pr*** ilrrrr*tir:n l'i*i; F* l* $h*il,I* tttri** l::trtpl*
[--llll
5
Current vs. Voltage
6 7 a
R.llt6E1;
9 10
1fi
0 82783,6 0 83303: (t 057672 [.067031 n.u7gutl4 0 rr7073F o r:aqlgt
IE
0.1196857
l1 12
ri tt
1/
025
02 o o,
0
y=DrJ$$u+rlfiD23
^, i-.:- :
u
!t4\.,,
015
o. E
0.101 183
Ci
I
18
ir
ts
1?92t11
0 t15
tr.14t-r588 21
i!
r1.16{05
2:
0.168/S5
n
24 35 36
;;
It
0 15
10
17362
t:r.2rlEil
l
l1 l1\rqenttl1ns.,{ r: Ilieriept
|5
Volts
rl.1!6?fi1
I
')0
/'
1r
I
%,
Gambar L3-1. Tampilan utama lembar kerja TRENDLINE. Sebuah trendline linier dihitung secara otomatis. dengan nilai persamaan dan R-kuadrat ditampilkan pula. Dengan mengacu ke nilai R-kuadrat, pencocokan secara linier nampak begitu cantik.
.DE
A
L
IRTHOLINE -F,PErr,lr
ll',:
l
:i1Er
l,JDrse
--F.rifj- s] LB
i : J
.{
5 I 7
E
A*,pl,trl,
l-*--fill Current l,s
rr 0r-r7136
0 1125178 rl 0:5x;6 B 135316 U 0508:6
t].0531]9! il.A8249 t1
089832
10 0
145775
9
0.0975
1l r:r.1r14176 '12 1 1451 1
1:1 rl 13026/ t{
u t1tial
l5
0 15i86:
1Li
t-r.183532
19
t] 161r0: rl 179296 n.18rll.l3
1l lE
lll
0
190323
Gambar L3-2. Gambar inr menunjukkan kumpulan data terganggu lainnya yang berbasis pada sistem fisik yang sama dengan yang ditunjukkan oleh Gambar L3-1. Di sini pilihannya diberi tanda cek untuk mengeset trendline di perpotongan-y sama dengan 0. Bandingkan persamaan-persamaan trendline dan nilai-nilai R-kuadrat.
I tr
Beberapa fasilitas
di Excer- yang berhubungan
Seperti yang telah Anda lihat, fasilitas trendline br-roperasi dalam bentuk cliagram clan mudah Excnt memiliki beberapa f'asilitas lain rang berhubunsan. r'aitLr LINEST. LOGEST. dan REGRESSION. vanc dapat digunakan terhadap duta lenrbar kcrja tanpa mengambilnya dari operasi diagranr. Berikut ini adalah beberapa tlisilitas yang clrkup anrpuh dln rnenrerlukan beberapa pengetahuan statistik untlrk dtrpat mcngaplikasikannya secara et'ektil'. LINEST digunakan untuk rnenghasilkan kecocokan linier terbaik: LOGEST pun serupa, namun cligunakan untuk kecocokan eksponensial terbaik. Lihatlah Bab 9 untuk REGRESSION. ciigunakan.
LINEST Hitunglah statistik di sebuah garis menggunakan mctode least square untuk rnenghitung sebuah garis lurus -vang akan memberikan kecocokan terhadap clata Anda dan men-{hasilkan sebuah array yang dapat menjeiaskan garis tersebut. Lantaran fungsi ini n.renghasilkan sebuah array nilai. maka tungsi ini harus dirnasukketn sebagai sebuah array runrus. Lihatlah ke Help untuk infbrrnasi lebih liinjut rnengenai rumus array. Persamaan garisnya adalah:
.\'= ,r,.r * D 1111r jika terdapat beberapa range untuk nilai .r (,r,..r:..r.r. ...). persamaannya rnenjadi, .\ - //lt.\'l + /il-.1- + ... + b
l yane dependen adalah suatu fungsi dari nilai -r yang independen. Nilai rr adalah kt,clisien ymg beihubirngan dengan setiap nilai ,r dan D adalah nilai konstanta. Perhatikan bahwa
derrsan nilai
I
239
Daftar Pustaka
r'..r. dan m dapat berupa vektor. Array yang dihasilkan oleh LINEST adalah {rirrr. tnn-|. .... rttl. lr). LINEST dapat juga menghasilkan tambahan statistik regresi. Syntax LINEST( y_diketahui. r_diketahui.const.stats ) y-diketahui adalah kunrpulan nilai y yang Anda ketahui di dalarn hubungan )' = rr?i. + lr.
.
Jika arral )-dikr-tahui merupakan sebunh kolor.t.r tunggal, maka setiap kolom dari x-diketahui akan diinterpretasikar.r sebagai sebuah variabel teryisah.
.
Jika artal
r
tliku-rahui merupakan sebuah baris tunggal, maka setiap baris dari x-diketahui
akan diinterprctasikan sebagai sebuah variabel teryisah.
. .
x_dikt'rrrhui nrerupakan pilihan kumpulan nilai dalanr hubungan r' - tl1-Y + b.
r
yang mungkin telah Anda ketahui di
Arrar r_diketahui dapat memuat satu atau lebih kumpulan variabel. Jika hanya satu variahel rlng digr-rnakan, y_diketahui dan x_diketahui dapat berupa range dari bentuk apa \airr \epanjang rnemiliki dimensi yang sarna. Jika lebih daripada satu variabel yang digunlkln. ntaka ;-'_diketahui harus berupa vektor (yaitu sebuah range yang berupa
. .
tingri dari :ebr.rah baris atau lebar dari sebuah kolom). Jikri r_dikctahui dihilangkan, rnaka x_diketahui diasumsikan sebagai anay t1,2.3.... ) rang nrtnriliki ukuran sat'na den-uan 1-diketahui. Ctrtr:r adalah nilai logika vang nrenetapkan atau memaksa konstanta 1r meniadi sama dc'n!all
. .
().
Jika c(rn.t hernilai TRL'E atau dihilrrnskun. nraka /r dihitung secara nortnal. Jika i()n.r hernilui F\LSE. nutkl /, ditentukan sama densan 0 dan nilai rrr diatur agar C(lC(rl (lr'nqllll \ = rll.r.
.
St.rr:.r.1.,1.rh nil,rr
ltrgikl ]irnS nreni'tllpkun atau tidak nienghasilkan tambahan statistik
l'egl't\l. Jika stats bcrnillr TRt E. LI\EST ntr.nghasilkan tanrbahan statistik regresi. sehingga array hasilnya rnenjadi {mn.ntn-1.. ..nti.b..en.ren-l.....sel.seb;r2,sey;F.df;ssreg,ssresid}.JikastatsbernilaiFALSE
atau dihilangkan. Ll\EST ntenghasilkan hanya koeflsien-rr dan konstanta b. Lihatlah ntenu l{cl;. Er.t.rr- untuk tambiihan infbrmasi mengenai statistik dan contoh-contoh penggunaan LINEST
Daftar Pustaka H. Skala, "Will the rcal l'r.'.r tlt curve please stand up!".College Mathenrutics Journol 27 \3),224' 223 t 1996).
B. Rossa, D. Pulskrrnp ,lrrn I) Otelo. "Remarks on fitting functictns to data". Primus 8 (4), 2U9304 ( 1998).
Lampiran 4 Wizard untuk Goal Seek, Solver,
dan Lookup
Apakah perbedaan antara Goal Seek, Solver, dan Lookup? Anda dapat menggunakan operasi Goal Seek ketika Anda telah mengetahui hasil yang diharapkan atas sebuah rumus tunggal namun Anda tidak tahu nilai masukan yang dibutuhkan untuk menentukan hasil tersebut. Pada saat goal seek bekerja, ExcEI- memvariasikan nilai di dalam sebuah sel tertentu hingga suatu rumus yang bergantung pada sel tersebut mendapatkan hasil yang Anda inginkan. Dengan Solver Anda dapat menentukan nilai sebuah sel pada saat Anda perlu mengubah nilainilai di lebih daripada satu sel yang memiliki beberapa kendala atas nilai-nilai tersebut. Pada saat Anda menggunakan Solver, sel-sel yang akan Anda ikut sertakan harus berhubungan dengan rumus di lembar kerja. Solver menggunakan algoritma yang canggih untuk mendapatkan hasil. Wizard Lookup digunakan unttk data empiris ketika tidak ada rumus yang diketahui. Lihatlah ke dalam CD untuk contoh-contoh yang lebih banyak beserta soal-soal latihan mengenai Goal Seek dan Solver.
i
L4.1 Goal Seek
Bagaimana menemukan hasil tertentu untuk sebuah sel dengan cara mengatur nilai di salah satu sel
1. l.
Di menu Tools, klik Goal Seek. Di dalam kotak Set Cell, masukkan referensi untuk sel yang memuat rumus yang ingin Anda tetapkan. Lihatlah Gambar L4-1.
-1. Di dalam kotak To Value, ketikkan hasil yang Anda inginkan. -+. Di dalam kotak By Changing Cell, masukkan ref-erensi untuk sel yang memuat nilai yang insin Anda
ubah.
Tutorial mikro mengenai Goal Seek C-:rr'r*!-LJ-1 ntenunjukkan sebuah tutorial mikro mengenai Goal Seek. Di dalam persoalan ini, - *:-:.:r rual di sel Bl. 82. dan 83 telah diberikan. Sel 84 berhubungan dengan ketiga sel ini '-':. -: '-r':r. )anu diperlihatkan. Sasaran kita adalah mengubah sel 84 menjadi 63 dengan
- r-=-'": .:.
\
B1.
L4.1 Goal Seek
=E
1
32+LN(Bli-Si H{nrC REE
a
1
.)
{ 3
7
b c
3 14t*s Setcell, F***----:#
X
4 7012S
To
12
v,lh;e:
Byghsngngrett:
le:
ml--X
G--*ry]
-fq!.t-l
Gambar L4-l . Goal Seek ditentukan untuk mencoba mengubah nilai di sel B1 ke sebuah nilai yang akan membuat sel 84 menjadi sama dengan 63, mengikuti rumus di sel 84 yang diperlihatkan di kotak editor sel
=81^2+ln(E2r
-sr::,ie;:=:s,33)
).
Pilihlah lToolsl[Goa1 Seek] dan masukkan sasaran yang 63 itu sebagaimana diperlihatkan oleh Gambar L4- l. Pada saat Anda rnengklik tombol OK, Goal Seek akan mengubah nilai sel B I menjadi nilai baru 7.89296 dan sel B-1 sekarang menjadi 63.00010315. Setelah Anda mengklik OK. .\nda akan melihat hasil seperti ditunjukkan di dalam Gambar L4-2. Perhatikan bahwa Goal Seek tidak dapat mencapai suatu hasil yang eksak untuk 63. Hal ini akibat dari logaritma natural dan lungsi sinus di dalam rumus yang membuatnya tidak mungkin untuk mendapatkan bilangan bulat t6-it sebagai hasil. Perhatian: beberapa rumus Goal Seek tidak dapat rnencapai hasil yang diminta karena ketidakmungkinan secara matematis. Contoh. tidak niungkin untuk menemukan logaritma untuk bilangan negatif. Berikut ini adalah soal-soal lans bukan merupakan suatu ketidakmungkinan. Cobalah dengan
Goal Seek:
Di sel A l. masukkan .1. Di sel A.2. masukkan 16. Di sel A3. masukkan l. Di sel A4. masukkan rumus = (-A2+SQRT (A2^2-4*A1*A3)) / (2*AL) Di se1 A5 Anda dapat melihat hasil, -0.06351.
.
Pergunakanlah Goal Seek untuk mengeset sel A,5 menjadr bernilai -0.5 dengan mengubah sel A3.
*-**____
=n
1
^t +LH{a2J-slN{nEGEErsiB-)}
f\ 1
't {) i
i5.
a
b c X
7 fiS2SS 3 14153 12 s3 0001
,.!aal 5eekinq ruith dell
f*urd
84
,'
DK
:iI
a sc,lutian.
I&r€el:
value;
LdI
I
'LB
$3
{urrent,reiuer S3,iX01Dil5
|'l,s
,:.:.| ....,_-:---1
Gambar L4-2. Goal Seek Status melaporkan bahwa telah ditemukan suatu solusi yang mendekati
1
l
La m pi ra n 4 : W izar d
u n
tu
k
G oa
lSeq(..Qqlvelqen-LgqKqp
I
dapal menggunakan Solver untuk menentukan nilai maksimum atau minimuur dari sebuah lain. Contoh, anggaplah Anda ingin mengetahui volume maksimum .ehuah kotak persegi panjang yang akan Anda hitung dengan mengubah-ubah panjang sisinya. panjang maksimum atau lninimum. Sel-sel yang ) ang rerap mengacu pada beberapa keterbatasan {nda pilih hnru.s dihubungkan melaltti nrmus-runur.r di dalam lembar ker.la. Jika tidak berhubungan. rnaka perubahan atas satrt sel tidak akan mengubah sel lainnya. Solyer adalah suatu fasilitas yang ampuh yang dapat Anda pergunakan segera untuk masalah-
1:dr
r-l
den-uan mengubah sel
rnasalah sederhana. Untuk aplikasi-aplikasi tingkat lanjut Anda perlu menjelajahi kemampuan
penuh Solver. Diskusi lengkapnya akan rnembutuhkan beberapa bab, namun Anda dapat mempelajarinya sanrbil mempraktikkannya selain dengan membaca materinya. CD 1,ang disertakan nrerniliki banyak informasi mengenai penggunaan Solr'er' O Setelah pengenalan singkat mengenai Solver, kita akan r.nenge{akan masalah terdahulu r ang telah kita selesaikan dengan Goal Seek clan Anda dapat membandingkan hasilnya. Contoh di ,ini tidak akan menunjukkan kekuatan penuh Solver namun Anda akan melihat bagairnana rnulai nrenggunakannya.
0 Solve. di Excer menggunakan kode optimalisasi nonlinier Generalized Reduced Gradient rGRG2) yang dikembangkan oleh Leon Lasdon (University of Texas di Austin) dan Allan Waren rCleveland State University). Untuk masalah-masalahlinier danbilangan bulat, Solvermenggunakan rnetode yang sederhana berupar pembatasan di variabel-variabelnya dan metode cabang-dan-batas, rang diimplementasikan oleh John Wat.son dan Dan Fylstra dari Front.line Systenrs, lnc. Untuk infbrmasi lebih lanjut mengenai proses solusi intelnal yang digunakan oleh Solver, si.lakan nrengunjungi situs http://www.solver.com. Anda juga akan menernukan tutorial mengenai optinralisasi Iinier dan nonlinier lanjutan.
Bagaimana mengeset waktu dan iterasi solusi Solver i Di menu Tools. klik Solver.
: r I
Klik Options.. Di dalam kotak Max Tinte. ketikkan jumlah detik yang akan Anda perbolehkan sebagai waktu solusi. Lihatlah Gambar L.1-8. yang akan kita diskusikan kemudian. Di clalarn kotak {terations, masukkan bilangan iterasi maksimum yang akan Anda perbolehkan. Lihatlah Gambar L4-8.
C.rtaton: Jika proses solusi mencapai waktu atau bilangan iterasi maksimum sebelum Solver menemu\.rn \uatLl solusi, maka Solver akan rnenampilkan kotak dialog Show Trial Solution. Untuk informasi
ehih lanjut rnengentri pilihan-pilihan di kotak dialog Show Trial Solution. tekanlah Tombol Fungsi .rtau lihatiah ke menu Help. Gantbar Lrl-3 rnenunjuktrian kotak dialog Solver Parameters dan sebuah lembal kerja sederhana. ::r .\1. .-\1. dan A3 memuat nilai ntasing-masing 4. [6, dan l. Rumus rnenghubungkan data-data . -,:t,r ditunjukkan di kotak editor rumus. Rumus ini merupakan rumus persamaan kuadrat standar,
F.
=,
Al+SQRT(A2"2-4'F Al {'A3)y(2'r'A I).
>: :.,rs.'t adalah A.l dan Anda dapat mengeset Target Cell menjadi Max, Min, atau memilih Value t-): !.:nrudian ntasukkan nilainya ke dalam kotak isian. Bu"tluh lenrbar kerja seperti Gambar L4-3 di komputer Anda agar Anda dapat mengikuti :: -: j ..:ri" l. Perhatikan tombol Options di sisi kanan-tengah Gambar L4-3. Kita akan kembali ke -:: i- r.r .r'teLh kita melihat hasil dari penekanan tombol Solver di sisi kanan-atas. Solusi kita - ,- -*.!.i: ,.reh Crembar L-1-;1.
243
L4.2 Solver
*43)}{?*A1 } = i ={-A} +$SHT{A},12-4*41 i-----f;"--.".,i.-""""""..$-"".""...i.-----
:l
"1.1*-"-","i".
.I
I
tn
3
1
s&i?rq6.
ffi
t*"*dTrl ,.f*'ffi 1.f*ffi,,,:
,{
t$&eI {;;;;riE;l*;a;.!{t {M{
r
l:t: :
Fgp*xrd;
1r
!.! ri.: ;:,i,,:ii: i::::::
s. n ?(
o
&#* r*--;-ry;----
* 1il I1
*
MI
ll
S*lets
:u=.1.:::..::::t
:t? 14 15
n
e
* E
,_ ". I FgE& $ ., -:3,:;-*it
Gambar L4-3. Kotak dialog Solver Parameters. Sel 44 berhubungan dengan sel-sel 41 , A2, dan A3 melalui rumus yang ditun.iukkan di dalam kotak dialog. Kita akan mengeset sel A4 (sel target) menjadi bernilai -0.5 dengan mengubah sel A3.
\' -.= . -/-A?+S 1
4
;
16
J
{
5ol'rfund ar€ffim, cordir|' ri rtiru.
^2-4*Ali
*t
A1)
g sffi&tr
M
(e*ffi-ffiffi$j C nc*rc$drt${
t--E*]', .
,
Gambar L4-4. Kotak dialog Solver Results. Lihat Gambar L4-5 untuk Answer Report.
Di Gambar L4-4 perhatikanlah kotak Reports. Anda dapat meminta laporan (report) berupa Answer, Sensitivity, dan Limits. Ketiga laporan tersebut ditampilkan dalam Gambar L4-5, L4-6, dan L4-7. Selain itu, perhatikan pula tombol Save Scenario di bagian bawah kotak dialog. Kliklah tombol ini jika Anda ingin menggunakannya kembali. Apakah skenario itu? Skenario adalah sekumpulan nilai yang Anda gunakan untuk meramal keluaran dari suatu model lembar kerja. Anda dapat membuat dan menyimpan kelompok nilai berbeda ke dalam lembar kerja kemudian berpindah ke skenario baru manapun untuk menampilkan hasil yang berbeda. Sekarang Anda telah selesai mengerjakan sebuah contoh sederhana, marilah kita lihat pilihanpilihan apakah yang tersedia di Solver untuk membantu mengerjakan solusi-solusi tingkat lanjutan.
Lampiran 4: Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookup
A FiC_ j
B , i 1 Microsoft Excel 10.0 Answer Report j 2 Worksheet: [$dver-l.xlslMain !3
E
,Report Created: {0/12/I00t 8:52:SI PM
14,
lb, {S
I7
lTarget Cellfvalue Of} 1 Cell Name OriginalYalueFinalValuc
{
"Adiusta$e
isr iei 1ff
Cells
_*
j Cell Name Original Valu*FinalValue i 1? &A&3 7.000S51S7 7.000005167 \ 11
I 13
ud
i rs,
{ 16 rConstraints
I
rr
i
NCIr..lE
Gambar L4-5. lni adalah contoh sederhana mengenai Answer Report. Bandingkan Final Value untuk sel 43 dan
A4 dengan nilai yang didapatkan untuk kasus yang sama melalui Goal Seek.
Af B C 0 ,1, Microsoft i Excel{S.S Limits Repart,8' ,
F
G
Lower
Limit
Target Result
#N/A
#NIA
H
I
Worksheet: [$olver-l.xlsllimit Report 2 8:52:07 FM
?
3i Rcport Crcated: 101121?0fi2 4; :
o '7
I
Cell
Target Value
Name
-0.500000431
$A$4
u 10 11
g 12
Adiustahle
Cell &A*J
Name
Value 7.00005167
Upper
Limit #N/A
Targrt Result #N/A
Gambar L4-6. lni adalah kotak Limits Report. Limit tidak dapat diaplikasikan ke dalam persoalan sederhana kita. Perhatikan pengaturan otomatis untuk lebar kolomnya.
EL
245
L4.2 Solver
A Br
C i
0
i
E
Microsoft Exsrl {0.0 Sensitivity Reprfi Worksheet : [$olver-{. xlslMain Report Crrat*d: {01{112002 8:52:07 PM
1
2 J
4 5
Adjustable Selle
6
Final Value
7
I
Cell
L9-]
ltlame
Reductd Gradient
7.00005167
$A$3
0
10
Constraints 12 NONE 11
Gambar L4-7. Sensitivity Report diaplikasikan untuk masalah-masalah yang lebih rumit.
Mengenai kotak dialog Solver Options Anda dapat mengontrol tampilan-tampilan lanjutan proses solusi, menarik atau menyimpan definisi masalah dan mendef-rnisikan parameter-parameter untuk masalah-masalah linier dan nonlinier. Setiap pilihan memiliki patokan default yang cocok untuk kebanyakan jenis masalah.
lffii
;,:affi: ,iit!i''iii'ii
UertrSll ,l
S:
BE(kisr:: fBErtrlc*i
ry
lsw t-
;ffi*
l0.rx1
f f
Ass*ff*tffiiffi, A.".*tre,
r]
r.q
ffiffi
ffi
iifi ffilirl:irt
li!ili
,
ii
Gambar L4-8. Kotak dialog Solver Options. Kotak dialog ini memberikan kendali lengkap mengenai pilihanpilihan yang tersedia dalam algoritma Solver.
246
Lampiran 4: Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookup
Max Time (Waktu maksimum) Waktu masksimum ini membatasi waktu yang diperbolehkan untuk proses solusi. Ketika
Anda dapat memasukkan sebuah nilai sebesar 32.161 . nilai detaultnya yang 100 (detik) adalah cukup untuk kebanyakan masalah kecil.
Iterations (lterasi) Pilihan iterasi membatasi waktu yang diperlukan oleh pr(r\e\ solusi dengan cara membatasi jumlah perhitungan sementaranya. Ketika Anda dapat memasukkan nilai sebesar 32.161 . nilai defaultnya yang 100 adalah cukup untuk kebanyakan masalah kecil.
Precision (Presisi) Precision ini mengontrol
ketelitian solusi menggunakan bilangan 1'an-r Anda masukkan untuk
rtru nrenrenuhi btrtas bawah atau atas. Precision harus ditandai dengan sejumlah kecil angka antara [) dan l. Precision tinggi ditandai pada saat bilangan yangAnda masukkan rnemiliki banlak ansk.i iie'irral. Contoh,0.0001 merupakan precision yang lebih tinggi daripada0,01. Semakin tin-sgr trnrkJt precision. maka semakin banyak waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi. menentukan apakah nilai dari sel batasan mencapai tarset
Tolerance (toleransi) Toleransi adalah suatu persentase solusi sel target )ang dlrpat nrembuat barasan bilangan bulatnya berbeda dari nilai optimal yang sesungguhnya namun tetap .l.rpi.rt diterinta dengan baik. Pilihan ini diterapkan hanya untuk masalah-masalah batas bilanean hulat. Suatu rolL-ransi tinggi cenderung mempercepat proses solusi.
Convergence (Konvergensi) Solver berhenti ketika perubahan relatif di nilai sel tarce t l.'i.ih k.'cil daripada bilangan di dalam kotak Convergence untuk lima iterasi terakhir. Conrergence hanra diterapkan untuk masalahmasalah nonlinier dan harus ditandai ketika bilangan \ ilng .\nda masukkan memiliki banyak bilangan desirnal. Contoh, 0,0001 adalah relatif kecil peruhahannra dibandingkan 0,01. Semakin kecil nilai convergence, maka semakin banyak waktu lanr diperlukan oleh Solver untuk mendapatkan solusi.
Assume Linear Model Gunakan pilihan
ini untuk mempercepat proses solusi pada \aat seluruh hubungan model
adalah
linier dan Anda ingin memecahkan masalah optimalisa:i hnier rlaupun pendekatan linier untuk masalah nonlinier. Berhati-hatilah ketika Anda menggunakan hasil pendekatan linier untuk sistem yang Anda ketahui merupakan nonlinier.
Show lteration Results Silakan pilih bagian ini untuk menghentikan
Solver rejenak guna melihat hasil dari tiap-tiap
iterasi.
Use Automatic Scaling Pilihlah bagian ini untuk rnenggunakan skala otonratis ketika masukan dan keluaran memiliki perbedaan yang besar di sisi besarnya. Contohny'a ketika Anda memaksimalkan persentase ke.nrtLrngan berdasarkan investasi terakhir Anda sebesar rniliaran dolar.
R.
L4.2 Solver
247
Assume Non-Negative Pilihlah bagian ini untuk membuat
Solver mengasumsikan limit terendah yang 0 (nol) untuk seluruh sel yang dapat diubah karena sebelumnya Anda tidak lnengeset lirnit terendah di kotak Constraint dalam kotak dialoc Add Constraint.
Estimates (Perkiraan) Estimates menetapkan pendekatan yang digunakan untuk mendapatkan perkiraan variabel-variabel dasar di setiap pencarian satu dirnensi.
Tangent (Tangen) Tangen mensgunrk.rn ek\trapolasi linier dari sebuah vektor tangen.
Quadratic (Kuadrat) Quadratic nrenL!Lrn.rkalr ek\trapolasi kuadrat yang dapat nremperbaiki hiisil dalam masalah-masalah
nonlinrcr tinrk,rt trir:!i.
Derivatives (Turunan) Derivativer nrL'nerJlkrn nretode turunan yang digunakau untuk memperkirakan turunau parsial dari tirngri-funi.i ,.hiektif dan terbatas (Lihatlah Bagian -5.1).
Forward Pergunakrinl,:: F',:,rard untuk kebanyakan masalah yang nilai-nilai terbatasnya berubah relatif larnbtrt t Lrhrt.-,:'. B.rrran -5. I ).
Central Pergunlkuni.ri: Cr'nrr;rl untuk masalah-masalah yang batas-batasnya berubah secara cepat, khususnya vang rrenJck.,ll li;nrt. \\'alaupun pilihan ini mernbutuhkan lebih banyak perhitungan, naurun akar.t cukup menrhrntu prda saat Solver menghasilkan pesan yang menyatakan bahwa ia tidak dapat meniperheiki .1'ls.i rLihat Bagian 5.1).
Search Search rr1eil€t.:pk.:i) .,lgtritma yang digrrnakan di setiap iterasi untuk menentukan arah pencarian.
Newton N-r-\\
tt)n nrf Dr!u0;k.rn rnetr)de kuasi-Newton yang secara khusus rnembutuhkan lebih banyak memot'i ..'Jikit rt.'ra'i daripada metode gradien konjugasi (conjugate).
nanrun lc'bih
Conjugate Conjugate nrernhutuirkan nremori yang lebih sedikit daripada metode Newton namun secara khusus memerlukan lehih h.rnr ak iterasi untuk mencapi.ri tingkat keakuratan tertentu. Pergunakanlah pilihan ini ketika Andl nrenrrliki nra:alah besar dan penggunaan memori sebagai titik berat, atau krncatan sepanjan-t iterrr.i nrenrrrrpilkan kemajuiur yang lamban. Gunakan dan bandingkanlah Conjugate dan Nervton untuk rla..rlah rang sama guna melihat perbedaannya.
- ta
Lampiran 4: \Nizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookuo
Load Xlodel lnr alian menampilkan kotak dialog Load Model, Anda dapat menetapkan referensi untuk model
i;ne
ingin
^A.nda muat.
Save Model Ini akan menampilkan kotak dialog Save Model, Anda dapat menetapkan ke mana akan menyimpan model tersebut. Kliklah hanya jika Anda ingin menyimpan lebih daripada satu model dalam satu lembar kerja. Model pertama akan disimpan secara otomatis. Download-lah lebih banyak macam Solver dari http://sylvanbloch.hypermart.net.
L4.3 Lookup
Wizard
Goal Seek dan Solver menghitung nilai-nilai berdasarkan rumus. Seringkali data-data eksperimen dikumpulkan dalam bentuk tabel yang tidak menyertakan rumus yang diketahui. Ini adalah datadata empiris. Lookup Wizard akan sangat nyaman dipakai ketika Anda perlu mencari hasil suatu eksperimen dalam tabel data yang besar. Kita akan mendemonstrasikan penggunaan Lookup Wizard dengan contoh yang sederhana. Klik [Tools][Wizard][Lookup] dan Anda akan melihat Gambar L4-9. Lookup Wizard akan memandu Anda untuk menemukan hasil yang diinginkan dan Wizard akan menuliskan rumusnya di dalam kotak editor rumus. Dalam Langkah I dari 4langkah, Anda memilih range untuk sel yang akan dicari. Pergunakan mouse Anda untuk memilih range baris dan kolom. Dalam Gambar L49, seluruh tabel dalam keadaan terpilih.
A
B
r
C
I iDepth {m) Gauge Pressure {N/m2} ?: 0 0
3j 41 5; 64 75 86 9V 10 11
lil
1
I S
88i00
10
s8000
3
Water,4 degrees C
gs00
i s6oo 2S400 39200 +9000 58800 68600 78400
2
EJF
Ths
tuqtrp $fizad
at ihe intersectis-r
@l
y*u w:it* * fonrnrla that finds tl'p vah.n
d a cdm
and a row.
2i15,ts4 1l;1*,!4
S:45 3 31 llr: i : Ll 3+ 15:30 12.83 1S45 15.96 1
i{r 13 rf 1g;.t3
7f25$5 51.55 'n4 .r? 83.8? S$.02
girare k tha range te seanh, imluding tha rolt and co{urnn hbels?
I she*il1$A$1r$B$32
*J
::::q
*l
i
Gambar L4-9. Langkah 1 dari 4 langkah di dalam Lookup Wizard. Dalam contoh sederhana ini kita akan -e--- -<-ran tekanan (gauge pressure) yang berhubungan dengan kedalaman sejauh 11 m di dalam air :::: :--- -: :e'arat C. Tentu saja dalam tabel dua kolom ini Anda cukup melihat ke kolomAuntuk kedalaman,
'-=-,' :aa-'.eae : -': -..:^
\
besar yang multikolom akan menjadi tugas yang membosankan untuk mencari nilai yang
L4.3 Lookup Wizard
249
Setelah Anda memilih range yang diinginkan, klik tombol Next dan Anda akan melihat Gambar L4-10. Jika Anda berubah pikiran tentang pilihan Anda setelah menjalankan beberapa langkah, klik tombol Back. Setelah memilih kolom dan baris, klik tombol Next dan Anda akan melihat Gambar L4-11. Anda dapat memilih untuk mengkopi hanya rumus atau mengkopi rumus beserta parameter-parameter lookup-nya.
l1 \,>
Depth (mi Gauge Pressure {Nfin2}
l-
1 2 3
ls i4 is 1
i6
4
I
i
i7
t8
is
i 10
JlJ i12
I 13
5 6 7 I I 10 1 1
9800 19600 ?$400
Wat*r,4 degrees
C
Which cdumn cw*ainr the vdue to findl Select the rohrrrr iabel,
rgzoo 4s000 rago0 6fiS00 78400 88200 9s000
Mich
row contains
tle
value
lr fird?
lelect tlre rrw label.
[ttt*7 < gark
_*
tdext >
10780CI
Gambar Lzt-10. Langkah 2 dari 4langkah di dalam Lookup Wizard. Di kotak yang paling atas, pilihlah label kolom untuk nilai yang ingin Anda cari. Di kotak terbawah, pilihlah label barisnya (nilai masukan dalam contoh ini).
AB.C, 1
2 3
4 5 6 a
I
o lJ g 1(
1'
Depth (m) Gauge Pressure {N/mr;
00 1 9800 2 1$600 3 !9400 4 3S200 5 4S000 6 5880fl 7 63S00 I 78400 e 88200 10 98000 11 107800
E .t
f
Water,4 degrees
The t6ol,iip wi?ard can display the result in huo differeflt forms.
,-
eopy iust the forrm.da to a srngle cell.
fro-ro?srlo---"I
s irrsi
$Pieidde ers jp*ii
rs#s*
Gambar L4-11. Langkah 3 dari 4langkah. Pilihlah satu dari dua pilihan di atas.
i
C
Lampiran 4: Wizard untuk Goal Seek, Solver, dan Lookup
:-
A I
-.-::!-i199,!!,.?.9.!Y*U*Fl$SiS.-$Q$l-1F.$yJ.,':i*IgIE
BrC
E
Depth(m) Gauge Pressure (N1mr)
2
U
4 5
z.
1
3 4
I59lIyH'L*
F
Water, 4 degrees C
n
$soo r$aoo 29400
Gauge Pressure (N/m2) 11
jgzoo
Gambar L4-12. Sel D3:D5 berisi keluaran Lookup Wizard. Rumus-rumus di dalam kotak editor sel dituliskan secara otomatis oleh Wizard.
Hasil akhir Lookup Wizard ditunjukkan dalam Gamb ar L4-12. Dalam contoh ini, keluarannya diletakkan di dalam tiga buah sel dalam kolom yang sama (D3:D5) namun Anda dapat memilih lokasi manapun yang Anda inginkan. Perhatikan penggunaan fungsi lembar kerja MATCH di dalam rumus yang dihasilkan oleh Wizard. Untuk informasi mengenai MATCH, tekanlah Tombol Fungsi Fl atau lihatlah ke menu Help.
Daftar Pustaka Untuk informasi terbaru mengenai Solver dari Frontline Systems Inc., kunjungilah: http://www. solver. com,/
Untuk tutorial pemula, kunjungilah: http://www.solver.com./tutorial.htrn Tutorial ini juga tersedia di dalam CD yang disertakan. Tutorial ini akan menjawab pertanyaan: Untuk Keperluan Apakah Solver Digunakan? Apa yang Harus Saya Lakukan untuk Menggunakan Solver? Bagaimana Saya Mendefinisikan sebuah Model? Solusi Seperti Apakah yang Dapat Saya Harapkan?
Apa yang Membuat suatu Model Begitu Sulit Memecahkan Masalah? Dapatkah Anda Menunjukkan Langkah Demi Langkahnya? Setelah menyelesaikan tutorial untuk pemula, Anda dapat mempelajari lebih banyak topik seperti linieritas terhadap nonlinieritas dan kejarangan (sporsity) dalam optimalisasi model melalui Tutori
al Lanjutan di: http://www.solver.com/tutorialadv.htm
Tutorial Lanjutan ini juga tersedia di dalam CD yang disertakan. Tutorial Lanjutan melingkupi beberapa konsep yang mendasari seluruh masalah optimalisasi: Turunan, Gradien, dan Jacobian Linieritas, Nonlinieritas. dan Non-Smoothness Fun-esi-tungsi dan ketentuan-ketentuan linier dan nonlinier campuran. Penv-eunaan langsung matriks koefisien LP
Lampiran 5 PivotTable Wizard, lnternet Assistant Wizard
L5.1 PivotTable siapakah yang membutuhkan dan apa yang dapat dilakukan pivotTabre? Anda rnembutuhkan PivotTable jika Anda menginginkan sebuah tabel interaktif yangdapat membuat ringkasan secara cepat atau membuat tabulasi silang terhadap clata berjumlah besar. Anda dapat merotasi baris dan kolomnya untuk mendapatkan ringkasan yang berbeda dari sumber data, melakukan penvaringan data dengan menampilkan halaman yang berbeda atau menampilkan rincian area tefientu.
PirotTable meringkas data menggunakan tungsi summary yang Anda tentukan, seperti Sum. Count. atau Average. Anda dapat menyertakan subtotal dan ,erand total secara otomatis, atau menggunakan runtus Anda sendiri dengan menambahkan field dan item terhitung. Untuk info lebih lanjut, silakan .\nda rnengunjungi: http:///home.gvi.net/-cpearson/excel/pivots.htm.
Terdiri dari apakah PivotTable itu? Anda dapat ntenrbuat PivotTable dari daftar EXCEL atau database, database eksternal. lembar-lembar
kerja EXCEL ganda. atau PivotTable lainnya. PivotTable berisi field, yang masing-masingnya merinskas bari.-baris informasi ganda dari sumber data.
Apakah tombol field itu dan apa yang dapat dilakukannya? Dengan men\ eret ttrntbol fleld ke bagian lain dari PivotTable, Anda dapat melihat data Anda dalam bentuk lain. Ctrntt',h. .\nda dapat melihat nama-nama pabrikan CPU dan kecepatan chip buatan mereka dengan ntenuruni bari: atau melintasi kolom.
Bagaimana saya memulai PivotTable? EXCEL membuatnr a begitu niudah. Gunakanlah PivotTable Wizard sebagai panduan untuk menempatkan dan tnengatur data r ang akan Anda analisis. Untuk memulai, klik PivotTable Report di menu Data.
Lampiran 5: PivotTable Wizard, lnternet Assistant Wizard
Membuat PivotTable dari daftar atau database Microsoft Excel Klik sebuah sel dalam daftarAnda sebelum menialankan PivotTable Wizard. Dalam PivotTable \\-izard-kotak dialog Langkah 2 dari 4 langkah-wizard akan memasukkan referensi ke dalam daltar untuk Anda.
l.
EXCEL mengabaikan filter-filter yang Anda terapkan atas daftar melalui perintah di submenu Filter di menu Data. PivotTable secara otomatis mengikutsertakan seluruh data dalam daftar. Untuk membuat PivotTable dari data tersaring, pergunakanlah perintah Advanced Filter untuk mengekstraksi range data ke lokasi lembar kerja lain dan memasukkan PivotTable ke dalam range terekstraksi. Untuk informasi mengenai advanced filtering, lihatlah ke menu Help.
-1.
EXCEL secara otomatis membuat grand total dan sub total di PivotTable. Jika daftar di sumbernya sudah otomatis berisi grand total dan subtotal, buanglah keduanya sebelum membuat PivotTable.
-1.
Lantaran EXCEL menggunakan data di baris pertama dari daftar untuk nama-nama field di PivotTable, daftar sumber atau database harus memuat label kolom. Untuk arahan mengenai format daftar, lihatlah di menu Help.
r*, &&
TIPS Untuk membuat PivotTable mudah memperbaharui dan meng-update ketika mengubah daftar sumber atau database, beri nama range sumber dan gunakan namanya pada saat Anda membuat PivotTable. Jika range yang sudah dinamai mengalami pemekaran untuk mengikutsertakan banyak data, Anda dapat memperbaharui PivotTable guna mengikutsertakan data-data baru tersebut.
Bagaimana menggunakan total dan subtotal di dalam PivotTable Anda dapat mengikutsertakan grand total untuk data-data di dalam baris-baris dan kolom-kolom PivotTable (lihat Lampiran 5), dihitung menggunakan fungsi summary yang sama dengan field data yang akan ditotalkan. EXCEL secara otomatis menampilkan subtotal untuk field baris atau kolom terjauh ketikaAnda membuat dua atau lebih field baris atau kolom di dalam PivotTable. Untuk field baris atau kolom terdalam, EXCEL menampilkan subtotal hanya jikaAnda menambahkannnya. Anda dapat menentukan lungsi summary untuk digunakan dalam subtotal. Ba
gaimana menam
pi
I
kan atau menyembunyi kan grand total dalam PivotTable
l. l. -r.
Pilihlah sebuah sel di dalam PivotTable. Dalam toolbar PivotTable, klik Options di dalam menu PivotTable. Untuk menampilkan grand total, di bawah pilihan Format, berilah tanda cek di Grand total for columns. Grand total for rows, atau keduanya. Untuk menyembunyikannya, hilangkan tanda cek di salah satu atau keduanya.
Bagaimana menambahkan atau menghilangkan subtotal di PivotTable
. I
Klik
ganda tombol field apabila Anda ingin menampilkan atau menghilangkan subtotal. L-ntuk menampilkan subtotal jika field-nya merupakan field baris atau kolom terluar, klik Auto:'.:'.:r Ji harlah Subtotals. ':'::ti n:nantpilkan subtotal jika field-nya merupakan field baris atau kolom terdalam, klik Custom - -:,i :h Suhtrrtrl: kernudian klik fungsi summary di dalam kotak di sisi kanan.
\.
L5.2 \Nizard untuk lnternet Assistanl
253
Untuk menghilangkan subtotal, klik None di bawah Subtotals.
1.
Untuk menggunakan fungsi summary yang berbeda atau untuk menampilkan lebih daripada klik fungsi summary yang ingin Anda gunakan di dalam kotak di sisi kanan Cus-
satu tipe subtotal,
tom. Untuk deskripsi mengenai fungsi summary yang tersedia, lihatlah ke menu Help. Catatan: EXCEL menambahkan satu baris subtotal untuk setiap fungsi summary yang Anda
pilih. Untuk menyertakan item-item field di halaman tersembunyi, klik Options di menu PivotTable yang terdapat di toolbar PivotTable, kemudian berilah tanda cek ke item Subtotal hidden page di bawah pilihan format.
Bagaimana mengubah fungsi summary yang digunakan untuk menghitung subtotal di PivotTable
l. 2.
Klik ganda tombol field apabila Anda ingin mengubah fungsi summary subtotal. Di bawah Subtotals, klik satu atau lebih fungsi summary. Untuk informasi mengenai fungsi-
fungsi summary yang dapatAnda tentukan untuk tipe subtotal, lihatlah di dalam menu Help. Catatan: Untuk menambahkan subtotals ke dalam field baris atau kolom terdalam, atau untuk menggunakan dua atau lebih tipe subtotal (seperti Sum dan Average) terhadap field PivotTable terpilih, klik Custom.
L5.2 Wizard untuk lnternet Assistant Anda dapat menggunakan EXCEL untuk membuka buku kerja di \\'eb lokal atau intranet. Jika Anda memiliki koneksi ke Internet. Anda juga dapat membuka buku kerja di situs-situs Internet seperti ke server FTP (File Transfer Protocolr dan HTTP {Hipertert Transter Protocol). Anda pun dapat menggunalian EXCEL untuk membuka l"ile-t'ile Web r ang tersimpan dalam bentuk HTML (Hypenext Markup Languaee ). suatu tbrmat y ang digunakan dalam World Wide Web. Klik [Tools][Add-inr] dan periksalah daftarnya untuk memastikan bahwa Internet Assistant Wizard sudah terin:tal , lihat Gantbar L-5- I ).
Hfu#Eiir::,?$ XI: ffiYYt:',Y11ffi,M
l,ffi,
Ad*Insard*h:
pr:
L.....
Analysis TooFak Analysis TooPak - VEA
I ii:a i
,Cx,
AutoSave
I:
iit i:iii; i i;i;:;i:: i: li:
l
l,
.t::t:l: ,nfffr8,;.]r rl: ? :: U: t: :::::t:
: :l:: : :a
Condrtional Sum Wizard File Conversion Wiaard
!ri:
1
: ::
:ta :
I
Lookup Wizard Microsoft Access Links Add-ln l*licrosof t Bookshelf Integration M5 Query Add-in for rxcl s crmpatib$
AS#tElX WEtr
CmvertsFlktffi:Elm*lldfi&i
tlrcit*i$a*ii
fds.
Gambar L5-1. lnternet Assistant Wizard diberi tanda cek untuk membuatnya tersedia di dalam kotak dialog Addins.
Lampiran 5: PivotTable Wizard, lnternetAssistant Wizard
I r" Edit uew tnsert rsryf!*S*i Hli:g1sg "HlI DE*
Arial
+.
"6
Gambar L5-2. Tombol lnsert Hyperlink berada di sebelah tombol Web. Toolbar Web nampak di baris bawah.
Pergunakanlah toolbar Web untuk memindahkan file. Anda dapat melompat ke depan atau ke belakang di antara buku kerja dan file lain yang telahAnda kunjungi. kemudian menambahkan sesuatu r ang ingin Anda kembalikan ke dalam list "favorites". Hyperlink merupakan tombol singkat yang menyediakan cara cepat untuk melompat ke buku kerja atau file lain. Arrda dapat melompat ke lile di dalam komputer Anda sendiri, jaringan Anda, Internet maupun World Wide Web. Anda dapat membuat hyperlink dari teks sel atau objek berupa grafik, seperti bentuk bangun atau gambar. Tombol hyperlink berada di bagian atas toolbar setelah tornbol Web. Lihatlah ke Gambar L5-2. Untuk rnelompat ke buku kerja atau file lain, arahkan pointer mouse ke hyperlink, kemudian kliklah ketika pointer rnouse berubah menjadi sebentuk tangan. Teks untuk hyperlink berwarna biru dan bergaris bawah. Pada saat Anda kembali ke buku kerja setelah mengunjungi file lain melalui klik hlperlink, warna hyperlink akan berubah menjadi ungu. Anda dapat membuat data EXCEL Anda tersedia bagi para pengguna di intranet atau World Wide Web sehingga setiap orang yang uremiliki web browser dapat melihatnya. Pergunakanlah program add-in Internet Assistant Wizard untuk mengkonversi data lembar kerja atau diagram-diagram menjadi halarnan web HTML yang dapat Anda kirimkan ke World Wide Web. Jika Anda ingin mengumpulkan informasi yang telah dikirin*an oleh para pengguna Web. Anda dapat mendesain sebuah formulir dalam EXCEL untuk mengumpulkan data, kemudian menggunakan \\'eb Form Wizard untuk melakukan set up sistem database di server Web.
Bagaimana menambahkan data lembar kerja atau diagram ke halaman Web yang ada Perintah Save As HTMLbiasanya muncul dalam menu File di EXCEL, seperti ditunjukkan di Gambar L5-3. Jika perintah Save As HTML tidak tersedia, Anda perlu menginstal program add-in Internet Assistant Wizard. (Lihatlah menu Help atau tekan Tombol Fungsi Fl.) Pergunakan web browserAnda atau sebuah editor teks, editlah sotrrce code untuk halarlan Web HT\IL Anda. Conroh, di dalam Microsofr INTERNET EXPLORER, Anda dapat mengklik perintah Open di dalam menu File kemudian mengklik Open File untuk membuka file .htm. Kliklah llle tersebut dengan tombol kanan mouse. kemudian klik View Source di menu shortcut-
Di lokasi yang Anda ingin lembar kerja tambahan muncul, sisipkan baris kosong baru, kemudian iEtikkan 1'ang berikut ini di baris baru tersebut:
C :-:,,h. jika Anda memiliki halaman Web yang telah dibuat sebelumnya dengan Microsoti :\CEL Intern.'t.\ssistant. Anda dapat menambahkan baris baru mengikuti baris di file .htm .
--
i
ll:'u-.;-1i .
LS.S
Program-pr
255
1e!]rygq
itl*
U
Ed*
gi*lil ftsert FBIn-l€t
Trok Ai*o
New.
{td+t'J
t@ 14,fi
{rd+0
Utn&
ehr:
El
**---*-------*--
L(rt+5
5are
salt rr lillvll ." 5at& lfolksF{te, Fdg€ sPtup,,
"
Prinl*(fi
k
prir* p,*ri*t*
&erint,,. freal*
&d*Le POF
.
Gambar L5-3. Perintah Save As HTML seharusnya nampak di menu File, tepat di bawah perintah Save As
3. 4. 5. 6.
Save-lah halaman Web HTML yang telah di-edit ini. Contoh, di dalam Microsoll INTERNET EXPLORER, Anda dapat mengklik Save As di menu File, kemudian memasukkan nama file .htm. Di EXCEL, klik sebuah sel di dalam data yang Anda ingin tambahkan ke dalam halaman Web. Di menu File, klik Save As HTN,IL. Ikutilah instruksi-instruksi di dalam Intemet Assistant Wizard'
Bagaimana membuat halaman Web dari data lembar kerja atau diagram Jika perintah Save As HTML tidak muncul di menu File EXCEL. Anda perlu menginstal program acld-in Intemet Assistant. Untuk infbrmasi lebih lanjut. iihatlah menu Help. Untuk membuat halaman Web:
L 2. 3.
klik sebuah sel di dalam data yang ingin Anda konversikan menjadi halaman Web. Di menu File, klik Save As HTML. Ikutilah instruksi-instruksi di Internet Assistant.
L5.3 Program-program halaman
Web
Ada beberapa program yang dapat memudahkan pembuatan halaman Web. Program yang sangat populer di antaranya adalah Microsoft FRONTPAGE, Macromedia DREAMWEAVER dan Adobe GOLIVE. FRONTPAGE tersedia sebagai program yang berdiri sendiri dan disertakan sebagai komponen di dalam Microsoft OFFICE 2000 dan 2002. Adobe GOLIVE dijalankan di dalam sistem operasi Apple MACINTOSH. (http://www.adobe.com) Daftar singkat men,eenai referensi untuk desain halaman web dapat ditemukan di: http://www.macromedia.com/support/dreamweaver/ts/documents/dreamweaver-books.htm
Daftar Pustaka
Buku E. J. Billo, Excel
for
Chemi,sts:
A
Comprehensive Guide (John Wiley
&
Sons, Inc., New York,
1997).
S. C. Bloch, E.tcel per Ingegneri, (Apogeo, Turino, Italia, 2001). http ://www. apogeonline.com/libri/OO827/scheda
S. C. Bloch, Spreadsheet Analysis
York.
for
Engineers and Scientists (John Wiley
&
Sons, Inc., New
1995).
S. C. Bloch, SSP, The Spreodsheet Signal Processor (Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
1992t.
S. C. Bloch, Introduction to Classical and Quantum Harmonic Oscillators (John Wiley
&
Sons,
Inc.. New York, 1997). D. Diamond dan V. C. A. Hanratty, Spreadsheet Applications in Chetnistry Using Micntsoft Excel
r\\'ile1'. New York, 1997).
B. S. Gottfried, Spreaclsheet
Tbols .for Engineers (WCB/McGraw-Hill, New
B. \. Liengme, A Guide to Microsoft Excelfor Scientists \elr York. 1997).
\\ J Orri:. E.rcel for Scientists ond Engineem -- ! F\\r\\rhe . -- \\.ler &
\
1998).
and Engineers (John Wiley & Sons, Inc.,
(SYBEX, Alameda, CA, 1996).
dan W. R. Wasow, Finite-Difference Methods Sons. Inc., New York, 1960), hal.242-283.
''l -- - : :-.:::::i:l.rn
York,
for Partial Dffirential
Equalions
buku-buku untuk beberapa versi EXCEL: http://www.microsoft.com
257
Daftar Pustaka
Artikel Kyle Forniash dan Raymond Wisman, "Simple Internet data collection for physics laboratories," American Journal of Phvsics 10 (4),458-461 (2002).
K. R. Morison dan P. J. Jordan, "Spreadsheet documentation for students and engineers," International Journal of Engineering Education 16, No. 6, 509-515 (2000) S. C. Bloch dan R. Dressler. "Statistical estimation of n using random vectors," American Journal
of Physics 67(4).298-303 (1999).
L. N. Long dan H. Weiss "The Velocity Dependence of Aerodynamic Drag: A Primer for Mathematicians," Americcut tVathematical Monthly, 106, 121 - 133 (February 1999) T. A. Moore dan D. \'. Schroeder, "A different approach to introducing statistical mechanics," American Journal o.f Physics 65(l),26-36 (1997). S. C. Bloch. "Fine-tune sliding-window integrators in a spreadsheet before processing real-world signals." Persotnl Enqineerhg and Instrumentation News 10(5), 46-52 (1993).
S. C. Bloch. "Compression of wavelets," American Journal of Physics 6l(9),789-798 (1993). S. C. Bloch. "Spreadsheet implements scalar ensemble averaging for dramatic yet simple noise reduction." Personal Etteineering and Instrumentation News 9(ll), 45-52 (1992). S. C. Bloch. "Spreadsheet implements easy, cost effective matched filters," Personal Engineering and lttstruntenttttiort Ne}ts 9(8). 39-44 (1992).
R. Smith. "Spreadsheets as a mathematical tool," Journal on Excellence in College Teaching,
3,
l3l-l+9 tl99lr. F. X. Hart. "\'alidating spreadsheet solutions to Laplace's equation," American Journal of Physics 57( 1l
). l0l7-
10-3-1 ( 1989).
R. L. Borrn.ran. "Electronic spreadsheets for physics students' use," American Journal of Physics
56.
18-t- 18-5 ( 1988
).
W. H. Lockrear. "Spreadsheets cut finite-difference computing costs," Microwaves & RF,99-108, November (1988). F.
X. Hart, "Soft*are for introductory physics," American Journal of Physics 55, 200-201 (1987).
T. T. Crow, "Solutions to Laplace's equation using spreadsheets on a personal computer," American Journal of Plq'sit's 55. 817-823 (1987). J. M. Crowley, "Electrostatic fieids on PC spreadsheets," J. Electrostnt. 19, 131-149 (1987).
R. Feinberg dan M. Knittel. "Microcomputer spreadsheet programs American Journal of Physics 53, 631-634 (1985).
in the physics laboratory,"
Daftar Pustaka
lurs dan J. L. Daiis. IEEE Trans. Edttcation, vol. E-26, 138 (1983). Fri.rr. ".\ note on the roundoff error in the Numerov algorithm," J. Contputational Phys. 28, l9-S r.
Perangkat Lunak Add'ln Statistik untuk Excel .\Jd-in buatan NAG adalah fungsi-fungsi Excel, bukan makro, sehingga hasil perhitungan Anda Jiperbaharui secara otomatis ketika datanya direvisi. Ada lebih dari 50 algoritma statistik di dalam plket ini. Algoritma-algoritma tersebut diorganisir ke dalam empat buku: statistika dasar. metodernetode multivariasi. analisis-analisis deret waktu. serta analisis variansi dan model-model linear tergeneralisir.
http://www.nag.com/ http //www. nag. co. uk/ :
Numerical Algorithms Group, Inc. 1400 Opus Place, Suite 200 Downers Grove. Illinois 605 l5-5702
ESIM Monte Carlo Simulation fbr Microsoff Excel 2000 File download ini mendukung Excel 97 dan Excel 2000. Tersedia juga dukungan untuk versiversi yang lebih lama. Metode Monte Carlo menghasilkan ribuan input acak sembari melacak kisaran dari output yang tidak pasti. Hasilnya ditampilkan secara grafis dengan histogram dan distribusi kumulatif. Dua bab dari buku Dr. Sam Savage disertakan sebagai panduan tutorial. Tersedia juga filetlle contoh. File download gratis tersedia di URL: hnp ://ofliceupdate. microsoft.com/2000/downloadDetail s/esim50.htm Selain itu. kunjungi situs web AnalyCorp untuk mendapatkan lebih banyak infbrmasi dan tile-file clounload gratis: http ://www. analycorp.com/
Indeks
pairs 32 Broglie 155
data de
deretFourier 62.
148
determinan matriks I 19 diagram kolom 42 diagram polar 45 diagram radar 31, r15
diagram
A alarniit
sel
I
Albcrt Einstein
l4l
aljiibar matriks I 18, 127 iinalisis data 169 arralisis Fourier 63. 173 anali:is korelasi 169 anrli:is statistik dasar 47
anllr:is ToolPak 11, 83, r6.l apliku:i matriks 12zl Archim.-dc-s 75
Ari.totr'L's lJ I aritnretika
-5-5
AucLrrtin Cauchy, 76 B
BarL'tt Sbidlng nrrring 6l bilangrn .rerk-pllsu 98 bilancan inrajincr 108 billng;rn ku.Lntunt Bodr' -1t) BukLr
kerja
l.
157
60. -
I
Burtrrr.r Richter 96
C chart oLrtput S-i
chart u iziird 16.
cornment r-l
-l I
CONVERT 1+. I16 D Darren Aronofskl, 81 dasar-dasar operator 55 data analysis I i
data eksperirrren
2l0
xy
31
diferensial 70 distorsi amplitudo 96 distorsi frekuensi 64 distorsi harmonika 64 distribus Gauss 179 distribusi dan momen 99 dynamic data exchange 205 E Edward R. Tufie 50 EcIi in Hubble 167
ENIAC 76 Ernst Rurka l-5-i Excel l. 11. -l I . 83. 187 exponential \moothing 89.
96
F
tasilitas Trendline 70 Fast Fourier Transfbrm
46.
16,5
fiber optik silikon ,10 fill handle .1. 6 flnite element method (FEM)
1,+8
fbrmat data series 38 furn'rat desibel 39 tirngsi analisis Fourier 165 fungsi Bessel 111, 148 fun-ssi Bessel sferis 107
fungsi fungsi fungsi lungsi fungsi fungsi fungsi fungsi
engineering 27 engineering
EXCEL
hiperbola 66, kompleks 113
115
148
konversi bilangan I l3
langkah 64 lembar kerja 1 l6 matematika khusus 107
fungsiortogonal fungsi Paste 27
111
:f,:
lndeks
'-:...r :-:.::i
pembulatan
Konstantin Tsiolkovskii 49
-1
itskl -Gola1 70, 94 :rngri sirkular trigonometri 57 iunrri trigonometri 8, 60 :ungsi-fun_usi engineering 107
korelasi 166 Kotak dialog 35 kovarian 170
G
L
Sa\
Genius 21 GeorgeAtwood
lapisan ozon 205
124
least-mean-square 64
GottfriedWilhelmvonleibniz _erafik polar 31
H
Hendrik Bode 39 Hippocrates 88
histogram 173 hukum Archimedes 103 hukum kedua Newton hukum Newton 124
hyperlink
139
I
ilmu roket 49 impor data 187
indikatorwaktu
218
integral 76 integrator 92
interface Lab Vernier
interval
J Jacob
84
76
lembarkerja 1, 9, 15,216 lembar kerja CORREL 169 lembar kerja INDEX 128 Leonhard Euler 138 lintasan baseball 8 logaritma natural 66 Lookup Wizard 191
M matematika kompleks I 13 matriks invers 120, 125 Measure Serial Add-In l2 MediaPlayer 216 menu Chart 26 menu Help 25
29
Informasi sel 5 input range 83
kursor sel 4
menulnsert 24,29 menu pop-up 13 menu Tools 11
Merlin 21 mesinAtwood
198
124
metode elemen hingga 148, 154 metode Euler 140, l4l metode numerik 133
Metode numerik Euler 138
76 geser 87
metode pemisahan variabel 153 metode persegi panjang 78 metode pisau cukur 77
Amsler
iendela
K
Metode Runge-Kutta 146 metode trapesium 78
kabel fiber 40 kabel koaksial 40
kaidah l/3 Simpson 80 kaidah 3/8 Simpson 8l kulkulus modern 76 kerapatan spektrum daya t lip t-rlm ll6
momen inersia 101.126 Monsanto 206
158
r,r:llf l-illl:i 5-5
63 r. ,r.' j,ia.i kompleks l-58 .. -..i:iir kllenrbaman l;14 r -.i:t-ir :re:'.t.;h;n I -56 r - -i:rr: .i .{i- . -:6
r,,,:r-.lt,nen Fclurier
Moving average 83, 96, 116,210 multi-sweep 2ll, 212, 213 multimeter 202 N Neper 40 Newton 63 O Office Assistant 21. 35
261
lndeks
Office Binder 16 operasi copy 6 operator aritmetika 56 operator komparasi 56 operator referensi 57 operator teks 57 optical character recognition 188
oprik 40 ordinary differential equations (ODE) 147 osilator harmonik 157
osiloskop 202 output range 8.1
referensi remote 7 referensi sel 7. 83 referensi sirkular 28, 141, 150
regresi 180 respon impuls 87 respon impuls tak berhingga 89 respon impuls terhingga 87 rheometer 206 rotasi koordinat 127
rumus 6 rumus
aray ll8, 120, 122
Runge-Kutta 147 Rusia 49
P pandu gelombang 10 partial differential equations (PDE) 147 Parzen 8J
Pascal 63
S
Samuel Chao Chung Ting 96 Sartor Resartus III 98
Schrcidinger 155
PASCO Science
\lbrkshop
193
sel I
2ll, 212, 213
Paste Special 13
single-sweep
pembangkit bilangan acak 177 pembangkit fungsi 201
sintesis Fourier 63
pemisahan variabel I 5-l Pemulusan eksponensial l7-i
skala desibel 39 skala grafik logaritma 39 skala logaritma 39 sottware MEASURE 200
li
Persamaan diferensial l Persamaan diferensial biasa 1-17. 154
Sir Isaac Newton 76, 141
persamaan diferensial parsial 111.154, 156 persamaan Hamilton 13-1
SofiwareWedge 205
persamaan parametrik 138
spreadsheet
persamaan simultan
standard errors 85 statistika deskriptif 170
Planck
12.1
155
plot area 36
191 1
sumbu-y 38
pointer mouse
poiinomial
solver
3
T
148
port paralel 207 port serial 206 probabilitas amplitudo 158
task pane 17
program makro 190
Thomas Carlyle 98 tipe kolom bebas 43
teks 55 tensor 101
puli bermassa 126 pusat gravitasi 98 pusat massa 98
R radian
8
random number generation 177 reduksi informasi 210 reduksi varian 210
referensi 55 referensi eksternal 7 referensi lembar kerja
3-D
28
tipe kolom standar 43 tombol fungsi 15 tombol kanan mouse 13 tombol kiri mouse 13 tombol singkat 15 tombol-tombol fungsi l3 Tool Bar Excel 35 transfbrmasi Fourier 62 transformasi Legendre 134 transformasi Lorentz 127 transformasi ortogonal 128
lndeks
i....r.lne
96
w
:-:-rrn kedua 75
weighted average 87
I
WinWedge 205 workbook 4
L'nir ersal Serial Bus 208
\ vibrasi
143
Visual Basic Editor 193 Visual Basic for Applications t81
