singularitas-dan-ekstrapolasi-untuk-integrasi.docx

SINGULARITAS DAN EKSTRAPOLASI UNTUK INTEGRASI (RICHARDSON, ROMBERG, DAN AITKEN)

OLEH : KELOMPOK 20: EKA MUKARRAMAH (60600107027) SUMARNI (60600107015) FITRIA TUATOY (60600107021)

URUSAN MATEMA MATEMATIKA TIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKHNOLOGI UNI!ERSITAS UNI!ERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







2010

PEMBAHASAN

A. Sing Singul ular arit itas as

Kita akan kesulitan melakukan menghitung integrasi numerik apabila fungsi tidak terdefenisi di x=t, dalam hal ini a < t
I =

cos( x

∫ 0

x

dx

x !ungsi f(x = cos x" #elas tidak terdefenisi di x = 0 (u#ung ba$ah selang. %egitu #uga apabila perhitungan integrasi &

1

∫ x − 1dx

I =

0.'

Menggunakan h = 0.1, titik diskrit di x=1 tidak dapat dihitung sebab fungsi f ( x = I "( x − 1 tidak terdefenisi di x=1. !ungsi yang tidak terdefenisi di x=t, untuk a≤t ≤b , dinamakan singular. ingular #uga muncul pada fungsi yang turunannya tidak terdefenisi di x=t, untuk 1

∫

a≤t≤b

x

0

. Misalnya hasil perhitungan integral memperlihatkan hasil yang f ( x  = x menyimpang meskipun fungsi sendiri terdefenisi untuk semua x= t, untuk 1

∫

a≤t≤b

0

. )enyimpangan ini dapat di#elaskan sebagai berikut. Misalkan integral dihitung dengan kaidah trape*ium. +in#au kembali galat total pada kaidah trape*ium Etot ≈ −

h



1&

( f 0- + f1- + ... + f - n −1 

x







≈−

≈−

h 1&

h

b

∫ f ( xdx a



1&

 f / (b − f / (a  2

(1

b

∫ f ( xdx

f / (a 

a )ersamaan (1 menyiratkan bah$a galat integrasi f / (b  atau tidak ada.

akan besar apabila

ingularitas harus dihilangkan dengan cara memanipulasi persamaan fungsi sedemikian sehingga ia tidak singularitas lagi. 3ontoh 1 4bahlah fungsi integrasi 1

I =

cos( x

∫ 0

x

dx

ehingga men#adi tidak singular lagi. )enyelesaian f ( x  = cos( x  " x

!ungsi

tidak terdefenisi di x=0.

Misalkan x = u & → dx = &udu

%atas5batas selang integrasi #uga berubah

Maka

x = 0 → u =

x

=0

x = 1 → u =

x =1







1

I =

cos(u & 

∫ 0

u

(&u du

1

∫ & cos(u du &

→

0

tidak singular lagi. B. Penggunaa Penggunaan n Ekstrapo Ekstrapolasi lasi untuk untuk integ integrasi rasi I ( h

Misalkan adalah perkiraan nilai integrasi dengan #arak antara titik data adalah h(h<1. 6ari persamaan galat kaidah integrasi (trape*ium, impson 1", dll yang dinyatakan dalam notasi orde 

E

= O  h p÷  

6apat dilihat bah$a galat 7 semakin kecil bila digunaka h yanh semakin kecil, seperti yang ditun#ukkan oleh diagram garis berikut

8ilai integrasi adalah bila h=0, tetapi pemilihan h=0 tidak mungkin kita lakukan lakukan didalam rumus integrasi numerik sebab iya akan membuat nilai integrasi sama dengan 0. 9ang 9ang dapat kita peroleh adalah perkiraan nilai nila i integrasi yang lebih baik dengan melakukan ekstrapolasi ke h= 0. :da :da dua macam metode ekstrapolasi yang digunakan untuk integrasi 1. &. 1.

7kstrapolasi ;ichardson 7kstrapolasi :itken

Ekstrapolasi Richardson

)andang kembali kaidah trapesium b

∫ f (

dx

h

n

(f

∑f

&

f

(b − a  f - (t  & h







b

∫ f ( xdx = I (h + Ch

&

a

6engan I 6engan I (h (h adalah integrasi dengan menggunakan kaidah trapesium dengan #arak antar (b − a f - (t  C = 1& titik selebar h dan ecara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kita tulis sebagai b

∫ f ( x dx = l (h  + Ch

q

a

2(&

6engan 3 dan  adalah konstanta yang tidak bergantung pada h. nilai  dapat ditentukan langsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya

→

( &)

O h

Kaidah trape*ium

=&

→

( )

O h&

Kaidah trape*ium

=& ( )

O h=

→

Kaidah 1" simpson,

 = 

+u#uan ekstrapolasi ;ichardson ialah menghitung nilai integrasi yang lebih baik (improve improve  dibandingkan dengan I. dengan I. Misalnya > adalah nilai integrasi yang lebih baik daripada ? dengan #arak antar titik h hq >= l(h@ 3

2(

7kstrapolasikan h men#adi &h, lalu hitung integrasi numeriknya

( &h )

q

>= l(&h@ 3

2(

7liminasikan 3 dari kedua persamaan dengan menyamakan persamaan ( dan persamaan ( I (h

( &h )

hq @3

= l(&h@ 3

ehingga diperoleh

q







ulihkan persamaan (' kedalam persamaan ( untuk memperoleh I ( h − I ( &h (&q − 1 >= l(h @

2(A

9ang 9ang merupakan persamaan ekstrapolasi ;icahrdson. 7kstrapolsi ;icahrdson dapat kita artikan sebagai berikut. Mula Bmula hitung nilai itegrasi dengan kaidah yang sudah baku dengan #arak antara titik selebar h untuk mendapatkan l(h, kemudian hitung kembali nilai itegrasi dengan #arak antara titik selebar &h untuk memperoleh l(&h. akhirnya, hitunglah nilai itegrasi yang lebih baik dengan menggunakan persamaan (A. )erhatikan bah$a #ika pernyataan diatas di balik, kita telah menggunakan ekstrapolasi menu#u h=0, yaitu yaitu kita hitung l(&h lalu hitung l(h. 4rutan penger#aan (? (h&h atau ?(h lebih dulu tidak mempengaruhi solusi akhirnya. ebagai contoh perhatikan bila (h dan (&h di di hitung dengan kaidah trafesium (=&, maka ekstpolasi ;icahrdson5nya adalah 1 

[ l (h  − l (&h ]

> = l(h @

2(C

6an bila ?(h dan ?(&h dihitung dengan kaidah 1" impson ( = , maka ekstpolasi ;icahrdson5nya adalah  ?(h5?(&h  1 1'

[ l ( h  − l ( & h ]

> = l(h @

2(D

)erhatikan bah$a suku 1"  ?(h5?(&h  pada persamaan (C dan suku 1"1' ?(h5?(&h pada persamaan (D merupakan factor korelasi. :rtinya, :rtinya, nilai taksiran itegrasinya ?(h dapat dikatakan men#sdi nilai yang lebih baik dengan menambahkan factor koreksi tersebut 3ontoh & Eitunglah kembali itegrasi

6engan menggunakan ekstpolasi ;ichardson.yang dalam hal ini ?(h dan (&h hitung dengan kaidah trafesium dan h=0,1&'









r

xr

f r

0 1 &   ' A C D

0 0.1& 0.&'0 0.C' 0.'00 0.A&' 0.C'0 0.DC' 1000

1 0.DDDDG 0.D0000 0.C&C&C 0.AAAAC 0.A1'D 0.'C1 0.' 0.'0000

? (h adalah nilai itegrasi dengan kaidah trafesium menggunakan h=0,1&' 1

1

∫ 1 + xdx ≈ h " &( f

I (h

0

+ & f1 + & f & + & f  + & f = + & f ' + & f A + & f C + & fD

0

=

≈ 0.1&'" &1 + &(0.DDDDG + &(0.D0000 + ... + (0.'0000

≈ 0.AG=1& ? (&h adalah nilai itegrasi dengan kaidah trafesium menggunakan &h=0,&'0F 1

I ( &h  =

1

∫ 1 + xdx ≈ (&h " &( f

0

+ & f & + & f = + & f A + & f D 

0

,D0000 + &(0. (0.AAAAC + &(0.'C1= + (0. (0.'0000 ≈ 0.1&'" &1 + &(0,D0

≈ 0.AGC0&







J = 0.AG=1& +

0.AG= .AG=1& 1& − 0.A 0.AG=1& && − 1

= 0, AG1'

#adi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah 0,AG1'. %andingkanlah dengan nilai integrasi se#atinya 1

1

∫ 1 + xdx = ln(1 + x 0

x =1 x = 0

= ln( & − ln(1 = 0.AG1=C1D

Y"#$ Y"#$ "&"-*" %-*"'"#   %"*"/ 5 "#$" -#" (0,689171;).0,68915, (0,689171;).0,68915, "+*#" '&"' +"/" %#$"# #*" #'$3"+ "#$ %'#$ %#$"# %#$"# +'3"&*"+ R<"3%+#

&. Metode Romberg Metode integrasi ;omberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi ;ichardson untuk memperoleh nilai integrasi yang semakin baik. ebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasi ;ichardson akan menaikkan order galat pada hasil solusinya sebesar dua

→ O(h& N + & 

O (h & N 

Misalnya, bila ?(h dan ?(&h dihitung dengan kaidah trpesium yang berorde galat H(h, maka ekstrapolasi ;richardson menghasilkan kaidah impson 1" yang berorde H(h. selan#utnya bila ?(h dan ?(&h dihitung dengan kaidah impson 1", ekstrapolasi ;ichardson menghasilkan kaidah %oole yang berorde H(h. O (h & 

O (h = 

O ( hA 

+in#au kembali persamaan ekstrapolasi ;ichardson l ( h  − l ( &h  (&q − 1 . l(h @







ebagai contoh, selang dalam a, b dibagi men#adi A buah pias atau upaselang

n = A = = &A

→ k = A(0,1, &, , =, ', A h0

&0 k=0 (artinya n =

= (b − a  " 1 → A0 = h0 " & f 0 + f A= 

=1 pias,

k=1 (artinya n =

= (b − a  " & → A1 = h1 " & f 0 + & f && +

h1

&1

f A= 

= & pias,

h&

&& k=& (artinya n =

= (b − a  " = → A& = h& " & f 0 + & f1A + & f& + & f =D +

f A= 

=  pias,

h

&

k= (artinya n =

= (b − a  " D → A = h " & f 0 + & f D + & f1A + & f &=&= +

= D pias, & f& + & f=0 + & f =D + & f'A + f A= 

2

hA

&A K=A (artinya n=

= (b − a  " A= → AA = hA " & f 0 + & f1 + & f & + ... +

=A pias, & f A + f A= 

A0 :rti dari setiap

adalah sebagai berikut b

I

A0

= ∫ f ( x  dx a

adalah taksiran nilai integrasi

dengan menggunakan kaidah trape*ium &0 dengan pembagian daerah integrasi men#adi n= =1 buah piasF







b I = ∫ f ( x  dx a

AA adalah taksiran nilai integrasi

dengan menggunakan kaidah trape*ium &A dengan pembagian daerah integrasi men#adi n= =A buah piasF A0 , A1 , ..., Ak

Iunakan

pada persamaan ekstrapolasi ;ichardson untuk mendapatkan B1 , B& , ..., Bk

runtunan

, yaitu

Bk = Ak +

Ak − Ak −1 && − 1 l = Bk + D / h = + E / hA + ...

>adi nilai ? (yang lebih baik sekarang adalah = Bk O(h  adalah .

dengan orde galat

B1 , B& , ..., Bk

elan#utkan gunakan

pada persamaaan ekstrapolasi ;ichardson untuk C & , C  , ..., C k

mendapatkan runtunan Ck = Bk +

, yaitu

Bk − Bk −1 &= − 1 l = Ck + E - hA + ...

>adi nilai ? (yang lebih baik sekarang adalah

C k dengan orde galat

A

O(h 

adalah

.

C& , C , ..., C k elan#utnya gunakan

pada persamaan ekstrapolasi ;ichardson untuk







=

O( h & 

O (h 

O(hA 

D

O (h 

O ( h10 

1&

O( h 

O (h1=  A0 A1

B1

A&

B&

C &

A

B

C 

D

A

B

C 

D=

E 

A'

B'

C '

D'

E '

F '

AA

BA

C A

DA

E A

F A

A

3. Ekst Ekstra rapo pola lasi si Aitke itken n Kita telah membahas ekstrapolasi ;ichardson yang dapat diringkas sebagai berikut b

I =

∫ f ( xdx = l (h + Ch

q

a

9ang dalam hal ini  h = lebar tiap upaselang atau pias (atau #arak antara titik 3 dan  adalah konstanta dengan  diketahui (3 dapat dieliminir I (h (h adalah hampiran nilai I nilai I q Ch adalah galat dari hampiran nilai ?









J

= I (=h + C (=h 

q

→

C =

J − I (=h  (= h q 2(11

7liminasikan nilai 3 dan  tidak diketahui 4ntuk kasus ini kita gunakan tiga buah I ( h I (& h I (= h I perkiraan nilai , yaitu , , dan  J − I (h 

J − I (&h

hq

(& hq =

hq − I (h  = q q = 1q J − 1(&h & −h & J

2(1& 6an menyamakan persamaan (10 dan (11

− I (&h &h q 1 = = J − I (=h (=h q &q J

2(1 )ersamaan (1&sama dengan persamaan (1

− I ( h  J − I ( &h  = J − I ( &h J − I (=h  J

2(1







I (h  − I (&h  = C (&h q

− Ch q 2(1A

= I ( & h  + C ( &h  q J = I (=h + C (=h q 0 = I ( &h − I ( =h  + C (&h q − C ( =h q J

I (&h  − I ( =h  = C ( =h q

− C (&h q 2(1C

%agi persamaan (1Cdengan persamaan (1A

I (&h − I (=h I ( h − I (&h

=

C ( & h q − C ( = h q Ch

q

− C (& h

q

= &q 2(1D

%esaran 3 pada persamaan (1Ddapat dihilangkan men#adi

t =

I ( &h − I (=h I (h  − I ( &h 

= &q 2(1G

+in#au kembali persamaan (1' yang dapat ditulis ulang sebagai

J

= I (h  −

I (h  − I (&h  (&h  + I ( =h  I ( h  − & I (&







9ang 9ang mirip dengan persamaan ekstrapolasi ;ichardson :itken akan tepat sama dengan ekstrapolasi ;ichardson #ika nilai teoritis t = = &q

+epat +epat sama dengan niai empirik

t =

I (&h − I ( =h I (h  − I (&h 

)erbedaan antara kedua metode ekstrapolasi muncul bergantung kepada apakah kita mengetahui nilai  atau tidak. ecara matematis, prinsip ker#a dari metode5metode ini adalah melakukan eJaluasi dan perbaikan rasio nilai5nilai akar yang telah diperoleh relatif terhadap akar eksaknya sedemikian rupa sehingga dapat meningkatkan la#u konJergensinya (dan bahkan menghindari diJergensi sampai mendekati konJergensi kuadratis. 3ontoh sekuensi konJergen dan diJergen dari fungsi (  n 1 n x L ! x L . ecara ringkas, algoritma Metode :itken ini dapat disa#ikan sebagai berikut 

!"x#"e,iter ,itmax, itmax fla! , fla!  Algoritma :?+K78( !"x#"e, 1. )eriksa terlebih dahulu karakteristik konJergensinya, yaitu ! N ! ( xN xN < 1 







ES!MP"#AN

:. ing ingul ular arit itas as Menggunakan h = 0.1, titik diskrit di x=1 tidak dapat dihitung sebab fungsi f ( x = I "( x − 1 tidak terdefenisi di x=1. !ungsi yang tidak terdefenisi di x=t, untuk a≤t ≤b , dinamakan singular. ingular #uga muncul pada fungsi yang turunannya tidak terdefenisi di x=t, untuk 1

∫

a≤t≤b

x

0

. Misalnya hasil perhitungan integral

memperlihatkan hasil yang







J

= I (h  −

 I ( h − I ( &h  & (&h  + I (=h  I (h  − & I (&

singularitas-dan-ekstrapolasi-untuk-integrasi.docx

Recommend Documents