UNIVERSIDAD PRIVADA BOLIVIANA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
METODO DIRECTO PARA EL TRANSITO DE AVENIDAS EN EMBALSES
por Roger Gustavo Saravia Aramayo asesorado por Ing. William David Iraizos Ramírez
Proyecto de Grado Presentado en Cumplimiento Parcial de los Requisitos para Optar el Título de
LICENCIADO EN INGENIERIA CIVIL Cochabamba - Bolivia Julio de 2002
RESUMEN
En éste Proyecto de Grado se desarrollará extensamente la propuesta de un nuevo método directo para el tránsito de avenidas en embalses. El tránsito de avenidas también conocido como la laminación de avenidas o flood routing en inglés participa imprescindiblemente en el diseño de las presas y los vertederos para la detención de tormentas.
La concepción del método directo emerge gracias al Ing. William Iraizos
Ramírez de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba, asesor y orientador en éste trabajo.
Primero se realizó una revisión necesaria del fundamento teórico que antecede y respalda al tránsito de avenidas en embalses. En ésta parte se tratarán los conceptos básicos como el ciclo hidrológico, los sistemas hidrológicos y los modelos hidrológicos. Enseguida se revisan los procesos hidrológicos para cimentar la ecuación de continuidad que viene a ser la ecuación de partida del método directo. Después se estudian el sistema de agua superficial y la técnica del hidrograma unitario debido al valor que representan en cuanto a los hidrogramas de caudal. Posteriormente se analizan los conceptos claves que involucran los embalses y las presas; en ésta parte se ha incluido muestras existentes de calibre a escala mundial. Finalmente se realiza una extensa exploración de los métodos tradicionales disponibles para el tránsito de avenidas en embalses, se tratan los métodos de técnica tabular más populares y hasta se propone un método gráfico muy simplificado. En la inspección de éstos métodos se tiene un ejemplo de carácter completo y como modelo de comparación.
Una vez establecido el marco teórico, se desarrolla detalladamente el nuevo método directo para el tránsito de avenidas en embalses. En ésta parte se destaca la ecuación principal que comanda el método directo. Primero se hace una revisión conceptual de las propiedades más sobresalientes e importantes de la ecuación principal general. Seguidamente se deducen, desde un principio, las ecuaciones principales para casos específicos de sistemas agregados o sea de sistemas embalse-vertedero. Cada formación de la ecuación principal está acompañado de un análisis de la función implicada por la ecuación, sobretodo para consolidar su representatividad y correspondencia respecto al sistema embalse-vertedero en cuestión y también para demostrar la existencia de su solución. Junto a cada caso específico de sistema embalse-vertedero se ha incluido la resolución de un ejemplo completo para comparación. Por último, se termina el desarrollo del método directo con un análisis de resultados que consiste esencialmente en comparaciones cualitativas y cuantitativas entre los métodos tradicionales y el método directo. Para exponer el potencial del método directo en cuanto a su sencilla aplicabilidad y automatización se describe como se ha creado el programa computacional que acompaña éste Proyecto de Grado haciendo de desarrollo práctico.
El programa computacional
bautizado como Trans ha sido elaborado en un lenguaje orientado a objetos como el Microsoft Visual Basic que permite la ejecución en un sistema operativo gráfico como el Microsoft Windows.
Como se verá, el programa ha sido capacitado para resolver el
tránsito de avenidas en embalses para los casos más populares de sistemas embalsevertedero. Lógicamente se ha incluido una explicación a cerca del manejo y operación del programa. Para mostrar la utilidad del programa computacional se analizan dos casos de estudio reales que existen en nuestro medio. Primero se resuelve el tránsito de avenidas en embalses para el caso de la presa Cacapi de los Yungas en La Paz. Luego se resolverá para el caso de la presa Taquiña en Cochabamba. En ambas aplicaciones prácticas se describe el procedimiento de resolución paso a paso y se concluye con un examen de los resultados obtenidos.
Finalmente, se adjuntan en los apéndices la teoría de los vertederos de excedencia, esto como complemento urgente a la revisión teórica de los sistemas embalse-vertedero. Se incluye igualmente teoría sobre dos métodos numéricos poderosos para la resolución de ecuaciones. También se presenta un método algebraico sumamente interesante para la resolución de ecuaciones polinómicas de tercer grado, como una opción en la resolución de las ecuaciones principales del método directo.
INDICE DE CONTENIDO
1
GENERALIDADES
1.1 Introducción......................................................................................................... 1 1.2 Objetivos ............................................................................................................. 4 1.2.1 Objetivo General......................................................................................... 4 1.2.2 Objetivos Específicos.................................................................................. 5 1.3 Justificación......................................................................................................... 5 2
MARCO TEORICO (REVISION BIBLIOGRAFICA)
2.1 Conceptos Básicos ............................................................................................... 7 2.1.1 La Hidrología.............................................................................................. 7 2.1.2 El Ciclo Hidrológico ................................................................................... 9 2.1.3 Sistemas Hidrológicos............................................................................... 11 2.1.4 Modelos Hidrológicos............................................................................... 14 2.1.5 Clasificación de los Modelos Hidrológicos ............................................... 16 2.2 Procesos Hidrológicos........................................................................................ 18 2.2.1 Teorema de Transporte de Reynolds ......................................................... 18 2.2.2 Ecuación de Continuidad .......................................................................... 19 2.3 Agua Superficial ................................................................................................ 21 2.3.1 Hidrograma de Caudal .............................................................................. 21 2.3.2 Hietograma ............................................................................................... 23 2.4 Hidrograma Unitario .......................................................................................... 24 2.5 Embalses............................................................................................................ 27 2.6 Pronóstico de Avenidas...................................................................................... 34 2.7 Tránsito de Avenidas ......................................................................................... 35 2.7.1 Concepto de Tránsito ................................................................................ 35 2.7.2 Tránsito de Sistemas Agregados (Embalses) ............................................. 35 2.7.3 Método de la Piscina Nivelada .................................................................. 40 2.7.4 Método SIC (Storage Indication Curve) .................................................... 46 2.7.5 Método Gráfico de Puls (Pulso) ................................................................ 52
3
DESARROLLO TEORICO
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
Método Directo.................................................................................................. 59 Ecuación de Continuidad para el Tránsito de Avenidas ...................................... 60 Ecuación Principal General................................................................................ 61 Ecuación Principal para Vertederos Estándar ..................................................... 68 Ecuación Principal para Vertederos Morning Glory ........................................... 95 Ecuación Principal para Estructuras de Salida No Tradicionales....................... 118 Ecuación Principal para Embalses con Espejo de Agua Variable ...................... 142 Análisis de Resultados ..................................................................................... 163
4
DESARROLLO PRACTICO
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Programa Computacional para el Tránsito de Avenidas en Embalses ............... 170 Plataforma Hardware ....................................................................................... 170 Plataforma Software......................................................................................... 172 Desarrollo del Algoritmo ................................................................................. 176 Programación del Algoritmo ............................................................................ 177 Aplicaciones .................................................................................................... 180 Operación del Programa................................................................................... 181
5
CASOS DE ESTUDIO (APLICACIONES A CASOS PRACTICOS)
5.1 5.2
Presa Cacapi .................................................................................................... 193 Presa Taquiña .................................................................................................. 202
6
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................ 213 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................... 217
APENDICES A B C
Vertederos ....................................................................................................... 219 Métodos Numéricos para la Resolución de Ecuaciones .................................... 228 Métodos Algebraicos para la Resolución de Ecuaciones de Tercer Grado ........ 232
1
CAPITULO 1
GENERALIDADES
1.1
Introducción
Puede definirse a la Hidrología como la ciencia que se ocupa del estudio del ciclo hidrológico. El ciclo hidrológico es el conjunto de cambios que sufre el agua en la Tierra, tanto en su estado (sólido, líquido y gaseoso) como en su presentación (agua superficial, agua subterránea, etc.). Véase la ilustración 1.1.
Ilustración 1. 1. Representación del ciclo hidrológico según el Internet.
2
La Hidrología abarca un tema de gran interés como es el tránsito de caudales. El tránsito de caudales es útil para determinar el tiempo y el caudal (o sea el hidrograma) en un punto de un curso de agua a partir de hidrogramas conocidos en uno o más puntos aguas arriba. Cuando el caudal corresponde a una crecida o avenida el tránsito de caudales se conoce más propiamente como el tránsito de avenidas. El hidrograma de una avenida representa al movimiento de una onda al pasar por un punto. Debe tenerse en cuenta que la forma de la onda cambia según se mueve aguas abajo. Estos cambios que sufre la onda se deben a contribuciones de agua y a que las velocidades en los distintos puntos de la onda son desiguales. Véase la ilustración 1.2.
Caudal
Estación A
Estación B
Estación C
Tiempo
Ilustración 1. 2. Paso de una onda o tránsito.
Las ondas de las avenidas se forman debido a un aumento no uniforme del caudal del curso de agua a causa de una tormenta importante. Para su estudio existen métodos hidrológicos que describen los cambios de la onda durante el tiempo. hidrológicos precisamente están dentro del tránsito de avenidas.
Estos métodos
3
Los métodos hidrológicos existentes están basados en procedimientos que involucran tablas y gráficas, y permiten obtener resultados ciertamente aproximados. Los principales inconvenientes que presentan estos métodos hidrológicos se listan a continuación: •
Generación preliminar de tablas y curvas (gráficas).
•
Consulta de curvas.
•
Resultados regularmente aproximados.
•
Dificultad en la automatización.
•
Cambio del intervalo de tiempo.
Estos métodos exigen trabajo preliminar como la generación de tablas y curvas. Exigen también consultar las curvas previamente generadas, lo cual involucra a la interpretación personal que no es la misma de una persona a otra. Consecuentemente, estos métodos solamente pueden brindar resultados regularmente aproximados. Luego, a causa de la intervención personal, estos métodos no permiten su total automatización. Por último, cuando la información que es conocida no está dada a intervalos de tiempo constantes, se tienen dificultades que deben ser resueltas con particular consideración. Este Proyecto de Grado pretende abordar los problemas anteriormente mencionados por medio de la propuesta de un Método Directo para el Tránsito de Avenidas en Embalses.
Como se verá en el cuerpo del documento, el método directo evade la
generación preliminar de tablas y curvas, y la consecuente consulta de curvas. El método directo promete resultados máximamente aproximados. El método directo es totalmente dable para su automatización. Finalmente, el método directo no presenta dificultad alguna en cuanto al cambio en el intervalo de tiempo de la información de entrada. El método directo para el tránsito de avenidas en embalses se basa en la suposición de una configuración compuesta principalmente de los siguientes elementos:
4 •
Embalse
•
Presa
•
Estructura de salida
Un embalse ancho y profundo conocido como embalse de piscina horizontal. Una presa de tierra, concreto o cualquier otro material. Una estructura de salida como la de un vertedero de excedencia. Véase la ilustración 1.3. Es importante adelantar que, el método directo es una iniciativa del Prof. Ing. William Iraizos de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba.
Presa Espejo de agua horizontal
Embalse
Estructura de salida
Vaso
Ilustración 1. 3. Esquema de un sistema de almacenamiento.
1.2
Objetivos
1.2.1 Objetivo General
El objetivo general de éste Proyecto de Grado es desarrollar un método directo para el tránsito de avenidas en embalses de piscina horizontal.
5 1.2.2 Objetivos Específicos
El objetivo general implica un número de objetivos específicos importantes: •
Desarrollar la ecuación principal general del método directo para el tránsito de avenidas en embalses.
•
Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses con vertederos estándar.
•
Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses con vertederos Morning Glory.
•
Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses con estructuras de salida no tradicionales.
•
Desarrollar la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses con espejos de agua variables.
•
Resolver problemas mediante la aplicación del método directo para el tránsito de avenidas en embalses.
•
Comparar el método directo con otros métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses.
•
Comparar los resultados obtenidos mediante el método directo con los obtenidos mediante otros métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses.
•
Desarrollar un programa en computadora mediante la aplicación del método directo para el tránsito de avenidas en embalses.
•
Resolver un caso de estudio real mediante la aplicación del programa en computadora mencionado en el punto anterior.
1.3
Justificación
La justificación es enteramente tecnológica porque con el desarrollo del método directo se pretende el mejoramiento del tránsito de avenidas en embalses en lo que respecta a su metodología, a la calidad de los resultados, a su automatización y a otros detalles técnicos propios.
6 El mejoramiento de la metodología del tránsito de avenidas es substancial en cuanto a la disminución de los cálculos preliminares y en cuanto a la aproximación de los resultados. Una mejor aproximación en los resultados obtenidos mediante el tránsito de avenidas sin lugar a dudas es muy beneficiosa en cuanto al diseño y verificación de las estructuras dependientes de los mismos. La automatización del tránsito de avenidas es una ventaja en lo que se refiere a la posibilidad de aplicación del método en un programa de computadora para su reiterada utilización. El desarrollo del método directo para las distintas configuraciones que fueron citadas en los objetivos específicos es importante en lo que respecta a la disponibilidad de un método directo acabado aplicable a una diversidad de casos. El desarrollo de un programa en computadora elaborado a partir del método directo es conveniente para el máximo aprovechamiento del método directo, además de ser ventajoso para su aplicabilidad a problemas reales. Finalmente, a causa de que el tránsito de avenidas participa de manera directa en el diseño y/o verificación tanto de la presa como de la estructura de salida de un sistema de almacenamiento, puede afirmarse que la mejora del tránsito de caudales es beneficiosa del todo para cualquier cálculo consecuente relativo a estos sistemas.
7
CAPITULO 2 MARCO TEORICO (REVISION BIBLIOGRAFICA)
2.1
Conceptos Básicos
Los proyectos hidráulicos son de dos tipos: los proyectos referidos a la defensa contra los daños que ocasiona el agua y los referidos al uso del agua. Los proyectos de defensa son los de drenaje urbano, drenaje vial y drenaje agrícola, además de los de encausamiento de ríos y protección contra inundaciones. Los proyectos de uso del agua son los de abastecimiento de agua potable, los de irrigación y los de aprovechamiento hidroeléctrico, además de los de navegación, recreación y otros.
2.1.1 La Hidrología
El agua es abundante en la Tierra, forma parte de todos los seres vivos, y siempre está transformando la fachada de la Tierra. La Hidrología cubre todas las fases del agua en la Tierra, es una disciplina trascendental para el hombre y su medio ambiente. Aplicaciones de la Hidrología se hallan en actividades como: •
Abastecimiento de agua.
•
Control de sedimentos.
•
Diseño y operación de estructuras hidráulicas.
•
Drenaje.
8 •
Erosión.
•
Generación hidroeléctrica.
•
Inundaciones.
•
Irrigación.
•
Navegación.
•
Protección de la vida.
•
Uso recreativo del agua.
La Hidrología es útil para estudiar los problemas implicados por las anteriores actividades y para facilitar una orientación en cuanto al planeamiento y empleo de los recursos hidráulicos. Las ciencias hídricas se relacionan con el agua según: •
Su distribución y circulación.
•
Su interacción con el medio ambiente.
•
Su interacción con los seres vivos.
•
Sus propiedades físicas y químicas.
La Hidrología abarca todas las ciencias hídricas. Puede definirse a la Hidrología como la ciencia que estudia el ciclo hidrológico, o sea, la circulación sin fin del agua entre la superficie terrestre y la atmósfera. La circulación, distribución, o la temperatura del agua pueden tener efectos de trascendencia, como las glaciaciones por ejemplo.
Las actividades constructivas o
destructivas del hombre pueden afectar la circulación y la calidad del agua en la naturaleza. Finalmente, la Hidrología está ligada al estudio de fenómenos naturales, de manera que los métodos que emplea no pueden ser del todo exactos o rígidos, quedando algunas decisiones a criterio del ingeniero. Pero debe caerse en cuenta que esta falta de precisión no es propia únicamente de la Hidrología, sino que es de carácter común en toda la ingeniería, como común es la toma de precauciones. La consideración de la carga de servicio en la mecánica de materiales es otro ejemplo en la ingeniería.
9
2.1.2 Ciclo Hidrológico
Es posible denominar al ciclo hidrológico como el conjunto de cambios que experimenta el agua en la Tierra, tanto en su estado (sólido, líquido y gaseoso) como en su presentación (agua superficial, agua subterránea, etc.). El agua está presente en un espacio que se conoce como hidrosfera, que va desde la atmósfera hasta por debajo de la corteza terrestre. El agua fluye en la hidrosfera a través de complicados caminos que forman el ciclo hidrológico. El ciclo hidrológico es el tema principal de la Hidrología. El ciclo hidrológico es infinito y sus variados procesos suceden ininterrumpidamente. En la ilustración 2.1 se muestra como el agua se evapora desde los océanos y desde la superficie terrestre para convertirse en parte de la atmósfera; el vapor de agua se mueve y asciende en la atmósfera hasta que se condensa y precipita sobre la superficie terrestre o los océanos; el agua precipitada puede ser capturada por la vegetación, transformarse en flujo superficial sobre el suelo, infiltrarse en el suelo, correr a través del suelo como flujo subsuperficial y llegar a los ríos como escurrimiento superficial.
La mayor parte del agua capturada y de
escurrimiento superficial se evapora. El agua infiltrada puede caer profundamente para recargar el agua subterránea de donde brota en manantiales o se dirige hacia los ríos para formar el escurrimiento superficial, y finalmente fluir hacia el mar o evaporar según continúa el ciclo hidrológico. La cantidad total de agua en la Tierra y en los variados procesos hidrológicos aún no es bien conocida. La tabla 2.1 muestra una estimación de las proporciones de agua en las diferentes formas que existen en la Tierra. Pese a que las proporciones del agua superficial y atmosférica son pequeñas, abundantes cantidades de agua se mueven cada año.
10
Ilustración 2. 1. El ciclo hidrológico según el Internet.
Tabla 2. 1. Distribución del agua en la Tierra.
Océanos
96.5 %
Hielos polares
1.7 %
Manantiales subterráneos
1.7 %
Agua superficial y atmosférica
0.1 %
Total
100.0 %
11
La hidrología de una zona en particular esta determinada por sus propiedades de clima, topografía, geología y hasta vegetación.
Sin lugar a dudas las actividades del
hombre influyen cada vez más en el medio ambiente, desordenando el equilibrio del ciclo hidrológico e iniciando nuevos procesos y eventos. Por ejemplo, se dice que a causa de la quema de combustibles fósiles, la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera se está acrecentando. Esto puede llevar a un calentamiento en la Tierra y estropear gravemente la hidrología global.
2.1.3 Sistemas Hidrológicos
Los fenómenos hidrológicos son tan complicados que hasta ahora no se los ha podido asimilar a la perfección. No obstante, a falta de un conocimiento excelente, pueden representarse de manera simplificada mediante el concepto de sistema. Recuérdese que un sistema es un conjunto de partes relacionadas entre sí, que componen un entero. Es posible estudiar el ciclo hidrológico como un sistema cuyos componentes son la precipitación, la evaporación, el escurrimiento y otras formas del ciclo hidrológico. Estos componentes pueden reunirse en subsistemas del ciclo total. Así, para estudiar el sistema total, estos subsistemas pueden analizarse independientemente, y combinarse los resultados de acuerdo a la relación entre los mismos. El ciclo hidrológico se representa como un sistema en la ilustración 2.2. Se tienen tres subsistemas: el sistema de agua atmosférica abarca los procesos de precipitación, evaporación, interceptación, y transpiración; el sistema de agua superficial abarca los procesos de flujo superficial, escurrimiento superficial, nacimientos de agua subsuperficial y subterránea, y escurrimiento hacia ríos y océanos; y el sistema de agua subsuperficial abarca los procesos de infiltración, recarga de acuífero, flujo subsuperficial, y flujo de agua subterránea. El flujo subsuperficial ocurre en la capa del suelo próxima a la superficie; el flujo de agua subterránea ocurre en estratos profundos del suelo.
12 Precipitación
Evaporación
Interceptación
Σ
1
2
Transpiración
Flujo superficial
Escurrimiento superficial
Escurrimiento a ríos y mares
Infiltración
Flujo subsuperficial
Σ 3
Recarga de agua subterránea
Flujo de agua subterránea
Ilustración 2. 2. Diagrama del sistema hidrológico según Chow. 1) Agua atmosférica. 2) Agua superficial. 3) Agua subsuperficial.
Para la mayor parte de los problemas prácticos solo se toma en cuenta algunos procesos del ciclo hidrológico en un cierto momento, además solamente se toma en cuenta una determinada porción de la superficie terrestre. Para este tratamiento es necesario optar por una definición más limitativa de sistema, la cual se genera a partir del concepto de volumen de control. El volumen de control es una referencia en tres dimensiones a través de la cual el fluido circula. El volumen de control proporciona una estructura para la aplicación de las leyes de conservación de masa y energía y la segunda ley de Newton para obtener ecuaciones de movimiento.
El fluido dentro del volumen de control puede
considerarse como una masa concentrada en un punto en el espacio cuando se considera la acción de fuerzas externas como la de la gravedad.
13 Entonces, un sistema hidrológico puede definirse como una estructura o volumen en el espacio, rodeada por una frontera, que acepta agua y otras entradas, opera en ellas interiormente y produce salidas (ilustración 2.3). La estructura o volumen en el espacio son todos los caminos del agua desde su entrada hasta su salida. La frontera es una superficie continua definida de manera tridimensional, que aprisiona la estructura o el volumen.
Entrada
Salida Operador
Ilustración 2. 3. Esquema de la operación de un sistema.
La deducción de ecuaciones y modelos en Hidrología involucra un error de aproximación porque los sistemas son complejos, básicamente aleatorios porque su entrada normalmente es la precipitación, un fenómeno soberanamente variable e impredecible. De esto se concluye que el análisis estadístico juega un papel importante en el análisis hidrológico. Si el terreno de una cuenca se estudia en detalle, el número de caminos posibles resulta descomunal. A lo largo de uno de estos caminos, la forma, la pendiente y la rugosidad quizás cambia incesantemente y estos factores pueden cambiar con el tiempo a medida que el suelo cambia en su humedad. De la misma manera, la precipitación varía de forma aleatoria en el espacio y tiempo. De acuerdo a estas complejidades, es imposible explicar algunos procesos hidrológicos a través de leyes físicas exactas. Si se utiliza el concepto de sistema, el empeño se encamina hacia la elaboración de un modelo que relacione entradas y salidas en vez de realizar una representación exacta de los detalles del sistema, lo cual podría ser prácticamente imposible. No obstante, el conocimiento de un sistema físico ayuda en el desarrollo de un buen modelo y en la evaluación de su precisión. La ilustración 2.4 está relacionada con éste párrafo.
14 Precipitación
Frontera Cuenca Caudal Divisoria
Ilustración 2. 4. La cuenca como sistema hidrológico.
2.1.4 Modelos Hidrológicos
El análisis de un sistema hidrológico consiste en estudiar la operación y la salida del mismo. Un modelo de un sistema hidrológico es una aproximación del sistema real; sus entradas y salidas son variables hidrológicas que pueden medirse y su estructura es un conjunto de ecuaciones que relacionan las entradas y salidas. Junto a la estructura del modelo está el concepto de transformación del sistema. Las entradas y salidas como función del tiempo pueden representarse por I (t ) y
O(t ) respectivamente. El sistema transforma la entrada en salida de acuerdo a: O (t ) = ΨI (t )
(2.1)
La ecuación (2.1) se conoce como ecuación de transformación del sistema. El símbolo ψ se conoce como la función de transferencia entre la entrada y salida. Si esta relación puede representarse algebraicamente, entonces ψ hace de operador algebraico. O sea:
15
O (t ) = kI (t )
(2.2)
En la ecuación (2.2), k es una constante. La función de transferencia es el operador:
Ψ=k=
O (t ) I (t )
(2.3)
Si la transformación es una ecuación diferencial, entonces la función de transferencia hace de operador diferencial. Si se tiene un embalse cuyo almacenamiento V está relacionado con su caudal O de acuerdo a:
V = kO
(2.4)
En la ecuación (2.4) k es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considerando que el cambio del almacenamiento en el embalse es igual a la diferencia entre la entrada y salida: dV = I (t ) − O(t ) dt
(2.5)
Operando y combinando las ecuaciones (2.4) y (2.5), se tiene:
k
dO + O (t ) = I (t ) dt
(2.6)
O (t ) 1 = I (t ) 1 + kD
(2.7)
Luego, según la ecuación (2.1):
Ψ=
16 En la ecuación (2.7), D es el operador diferencial d / dt .
Así, si la ecuación de
transformación ha podido ser encontrada y resuelta, entonces se tendrá la salida una como función de la entrada. La ecuación (2.7) corresponderá a un sistema lineal si k es constante. Por otra parte, si k es una función de la entrada o de la salida, entonces (2.7) corresponderá a un sistema no lineal que será más difícil de resolver.
2.1.5 Clasificación de los Modelos Hidrológicos
Los modelos hidrológicos pueden ser modelos físicos y modelos abstractos. Los modelos físicos incluyen modelos a escala que representan un sistema en una escala reducida. Los modelos físicos incluyen también a los modelos análogos, que se basan en otro sistema físico con propiedades similares a las del original. Los modelos abstractos representan el sistema matemáticamente.
El sistema se expresa con un conjunto de
ecuaciones que relacionan las variables de entrada y de salida. Estas variables pueden depender del espacio y del tiempo, y también pueden ser variables aleatorias que no tienen un valor clavado en un cierto punto del espacio y tiempo, pero que están descritas mediante distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, no puede pronosticarse con precisión la lluvia que caerá la semana entrante, pero si puede calcularse la probabilidad de que llueva. Otro ejemplo, es imposible pronosticar con precisión la intensidad de la precipitación en una tormenta porque varía vertiginosamente en el tiempo y de un lugar a otro, pero es racional representarla por un valor referido a una distribución de probabilidad. Un modelo determinístico no considera la aleatoriedad; una entrada dada produce una misma salida. Un modelo estocástico tiene salidas que son por lo menos parcialmente aleatorias. Se puede decir que los modelos determinísticos hacen pronósticos, mientras que los estocásticos hacen predicciones.
Pese a que los fenómenos hidrológicos implican
siempre aleatoriedad, la variabilidad resultante en la salida puede ser pequeña en comparación con la variabilidad de otros factores conocidos. En tales casos el modelo determinístico es el más apropiado.
Si la variación aleatoria es grande, un modelo
estocástico es el mejor, porque la salida real podría ser bastante diferente del valor único producido por el valor del modelo determinísitco. Así por ejemplo pueden elaborarse modelos determinísticos para la evaporación diaria en un lugar dado, usando la información de energía y transporte de vapor, pero tal información no puede usarse para elaborar buenos
17 modelos de precipitación diaria en el lugar dado, debido a que la precipitación es de un carácter muy aleatorio. Por lo tanto, la mayoría de los modelos de precipitación son estocásticos. Los fenómenos hidrológicos pueden cambiar en el espacio tridimensional, pero tomar en cuenta toda esta variación puede hacer que el modelo sea muy difícil en la práctica. En un modelo determinístico agregado, el sistema es considerado como un punto único sin dimensiones en el espacio. Por ejemplo, varios modelos del proceso de lluviaescurrimiento toman la entrada de precipitación como uniforme en toda la cuenca y desprecian la variación espacial del flujo en tal cuenca.
Por otra parte, un modelo
determinístico distribuido considera que los procesos hidrológicos ocurren en varios puntos del lugar y define las variables del modelo como funciones de las dimensiones espaciales. Los modelos estocásticos se clasifican en independientes del espacio y correlacionados con él, de acuerdo con la influencia que las variables aleatorias tengan entre ellas en diferentes puntos del espacio. Los modelos hidrológicos son acercamientos a la realidad porque la salida de un sistema nunca puede pronosticarse con precisión; así mismo los fenómenos hidrológicos varían en el espacio tridimensional y con el tiempo, pero la consideración de las cinco fuentes de variación (aleatoriedad, espacio tridimensional, tiempo) es corrientemente poco práctica. Un modelo práctico solamente considera una o dos fuentes variación. La clasificación de los modelos hidrológicos se muestra en la ilustración 2.5.
Entrada
Salida Sistema
Determínistico
Agregado
Distribuido
Estocástico
Independiente
Dependiente
Ilustración 2. 5 . Clasificación de los modelos hidrológicos.
18
2.2
Procesos Hidrológicos
Los procesos hidrológicos cambian la distribución del agua en el espacio y tiempo a través del ciclo hidrológico. El desplazamiento del agua en un sistema hidrológico depende de las propiedades físicas del sistema, propiedades tales como la medida y la forma de sus líneas de corriente, y por la interacción del agua con otros medios como el aire y el calor. Los cambios de estado del agua también son importantes.
Varias leyes físicas están
involucradas con la acción de los sistemas hidrológicos. Un artificio esencial para la generación de modelos hidrológicos es el teorema de transporte de Reynolds. Este teorema es aplicable para deducir la ecuación de continuidad. La ecuación de continuidad es fundamental en el tema central de este documento.
2.2.1 Teorema de Transporte de Reynolds
El teorema de transporte de Reynolds toma leyes físicas que generalmente se usan con masas discretas de una sustancia y las aplica a un fluido que circula infinitamente a través de un volumen de control. Para esto deben distinguirse dos tipos de propiedades en los fluidos: propiedades extensivas, cuyos valores dependen de la cantidad de masa, y propiedades intensivas, que son independientes de la masa.
Para cualquier propiedad
extensiva B puede definirse una propiedad intensiva β como la cantidad de B por la unidad de masa de fluido, o sea, β = dB / dm .
B y β pueden ser magnitudes escalares o
vectoriales, dependiendo de la propiedad en cuestión. El teorema de transporte de Reynolds relaciona la magnitud del cambio de la propiedad extensiva de un fluido con respecto al tiempo, dB / dt , con las causas externas que producen este cambio.
Considérese el momentum del fluido,
B = mVe
y
β = d (mVe ) / dm = Ve donde Ve es la velocidad del fluido. Nótese que en el caso del momentum, B, β y V son cantidades vectoriales. De acuerdo con segunda ley de Newton, la magnitud del cambio del momentum con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta
19 aplicada en el fluido: dB / dt = d (mVe ) / dt = ∑ F . Las propiedades extensivas más usadas en Hidrología son la masa, el momentum, la energía del agua líquida y la masa del vapor de agua. Generalmente, cuando se aplica la segunda ley de Newton se pretende seguir el movimiento del cuerpo.
Aunque este concepto se aplica a fluidos, es más común
considerar que el fluido forma un continuum en el cual no se sigue el movimiento de las partículas individuales. Luego, la atención está en el volumen de control, un marco fijo en el espacio a través del cual el fluido circula. El teorema separa la acción de las influencias externas en el fluido, que se expresan por dB / dt en dos partes: la magnitud del cambio con respecto al tiempo de la propiedad extensiva almacenada en el volumen de control y el flujo neto de la propiedad extensiva a través de la superficie de control:
dB d = dt dt
∫∫∫ βρd∀ + ∫∫ βρV dA e
v
(2.8)
s
En la ecuación (2.8) el símbolo ρ representa a la densidad del fluido. La ecuación (2.8) es la que rige el teorema de transporte de Reynolds. El teorema de transporte de Reynolds establece que la magnitud total de cambio de una propiedad extensiva de un fluido es igual a la tasa de cambio de la propiedad extensiva almacenada en el volumen de control, más el flujo neto de la propiedad extensiva a través de la superficie de control. Cuando se usa este teorema, los flujos de entrada se consideran negativos y los de salida positivos.
2.2.2 Ecuación de Continuidad
La ecuación de continuidad es aplicable a un volumen de fluido. Si la masa es la propiedad extensiva en el teorema de transporte de Reynolds, entonces B = m y
β = dB / dm = 1 . Como la masa no se crea ni se destruye se tiene dB / dt = dm / dt = 0 . Al tomar en cuenta estas consideraciones en la ecuación (2.8), se tiene:
0=
d ρd∀ + ∫∫ ρVe dA dt ∫∫∫ v s
(2.9)
20
La ecuación (2.9) es la ecuación de continuidad para un flujo no permanente de densidad variable. Si el flujo tiene densidad constante, se tiene:
d d∀ + ∫∫ Ve dA = 0 dt ∫∫∫ v s
(2.10)
La triple integral puede convertirse en la magnitud del cambio del almacenamiento o volumen con respecto al tiempo. La doble integral, el flujo neto, puede dividirse en flujo de entrada y flujo de salida:
dV + ∫∫ Ve dA + ∫∫ Ve dA = 0 dt salida entrada
(2.11)
La ecuación (2.11) puede escribirse también como: dV + O (t ) − I (t ) = 0 dt
(2.12)
dV = I (t ) − O(t ) dt
(2.13)
O mejor:
La ecuación (2.13) es la ecuación de continuidad para el flujo no permanente de densidad constante usada ampliamente en este documento.
Si el flujo es permanente debe
considerarse dV / dt = 0 para que la ecuación (2.13) quede en I (t ) = O (t ) .
Un flujo
permanente es aquel en el cual la velocidad en cada punto del flujo es constante con respecto al tiempo.
21 Si las cantidades totales de flujo de entrada y flujo de salida son iguales, se dice que el sistema es cerrado, luego: ∞
∞
∫ I (t )dt = ∫ O(t )dt
−∞
(2.14)
−∞
Cuando (2.14) no se cumple se dice que el sistema es abierto. El ciclo hidrológico es un sistema cerrado en lo que respecta al agua, pero el proceso lluvia-escurrimiento en una cuenca es un sistema abierto, porque no toda la lluvia se transforma en escurrimiento; puesto que parte de ella asciende a la atmósfera mediante la evaporación.
2.3
Agua Superficial
El agua superficial es la que se halla almacenando y fluyendo sobre la superficie terrestre. El sistema de agua superficial se relaciona interminablemente con los sistemas de agua atmosférica y subsuperficial.
2.3.1 Hidrograma de Caudal
Un hidrograma de caudal puede ser una gráfica o una tabla que describe el cambio del flujo o caudal en función del tiempo. Puede decirse también que el hidrograma es una expresión de las propiedades topográficas y climáticas que norman las relaciones entre la lluvia y el escurrimiento de una cuenca en particular.
Hay dos tipos de hidrogramas
importantes: el hidrograma anual y el hidrograma de tormenta o de crecida.
Hidrograma Anual
El hidrograma anual es una gráfica de caudal frente a tiempo en un año, describe el balance de largo plazo de la precipitación, evaporación y el caudal en una determinada cuenca. En la ilustración 2.6 se muestra un hidrograma anual de la región Yungas del departamento de La Paz en Bolivia.
22
Caudal (m3/s) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5
Tiempo SE P SE P OC T NO V NO V DI C DI C
JU L AG O AG O
JU N JU L
EN E EN E FE B FE B M AR M AR AB R AB R M AY JU N
0
Ilustración 2. 6 . Hidrograma anual de los Yungas de La Paz (1980) según el Senamhi.
Hidrograma de Tormenta
La revisión de los hidrogramas anuales muestra que los picos se producen con escasa frecuencia y son consecuencia de la lluvia por sí sola o junto a un deshiele de la nieve. La ilustración 2.7 expone las cuatro partes de un hidrograma de caudal durante una tormenta. Antes del inicio de la lluvia intensa puede verse que el flujo base desciende paulatinamente (AB). El escurrimiento directo empieza en B, llega a su valor máximo o pico en C y luego termina en D. Finalmente sigue la trayectoria DE en la cual el flujo base otra vez empieza a descender.
23
Caudal
C
D
E B A Tiempo
Ilustración 2. 7. Partes de un hidrograma de tormenta.
2.3.2 Hietograma
Un hietograma de lluvia es una gráfica histograma de profundidad de lluvia o intensidad frente al tiempo como se muestra en la ilustración 2.8. El exceso de precipitación o precipitación efectiva, es la precipitación no retenida en la superficie y tampoco infiltrada en el terreno. Luego de circular por la superficie de la cuenca, el exceso de precipitación se transforma en escurrimiento directo a la salida de la cuenca bajo la presunción de flujo superficial hortoniano; es decir bajo la suposición de que el flujo no es absorbido por el suelo y tampoco interceptado por la vegetación. Las curvas de exceso de precipitación frente al tiempo o hietograma de exceso de precipitación son importantes para el estudio del proceso lluvia-escurrimiento. La diferencia entre el hietograma de lluvia total y el hietograma de exceso de precipitación son las abstracciones
24 o pérdidas.
Las pérdidas son agua absorbida por infiltración más interceptación y
almacenamiento superficial.
Tiempo (h) 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 0
10
Pérdida LLuvia
Lluvia (mm)
20
Exceso de lluvia 30
40
50
60
Ilustración 2. 8. Hietograma de lluvia.
2.4
Hidrograma Unitario
Conocido en un principio como gráfica unitaria de una cuenca, se define como el hidrograma de escurrimiento directo resultante de 1 centímetro de exceso de lluvia generado uniformemente sobre la superficie de drenaje a una tasa constante a lo largo de una duración efectiva. Inicialmente se utilizó el término “unitario” para denotar un tiempo unitario, pero desde entonces se ha entendido frecuentemente como profundidad unitaria de exceso de lluvia.
Inicialmente además se estableció el hidrograma unitario para ser
empleado únicamente en relación con el escurrimiento superficial El hidrograma unitario es un modelo lineal simple que puede emplearse para derivar el hidrograma resultante de cualquier cantidad de exceso de lluvia. suposiciones son inseparables de este modelo:
Las siguientes
25
•
El exceso de precipitación tiene una intensidad constante a lo largo de la duración efectiva.
•
El exceso de precipitación está uniformemente distribuido en toda la superficie de la cuenca.
•
El tiempo base de la duración del escurrimiento directo resultante de un exceso de lluvia de una duración dada es constante. En otras palabras, los hidrogramas generados por tormentas de la misma duración tienen el mismo tiempo base pese a que corresponden a diferentes intensidades de precipitación.
•
Las ordenadas de todas las duraciones del escurrimiento directo de una base de tiempo común son directamente proporcionales a la cantidad total de escurrimiento presentada por cada hidrograma.
Esto se conoce como el
principio de proporcionalidad. •
Para una determinada cuenca, el hidrograma resultante de un exceso de lluvia dado representa las características que no cambian en la cuenca.
En otras
palabras, a tormentas iguales corresponden también hidrogramas también iguales. Esto se conoce como el principio de la no variabilidad. En la realidad, tales suposiciones no se cumplen a la perfección. No obstante, cuando la información hidrológica es seleccionada de tal manera que pueda cumplir tales suposiciones, los resultados obtenidos mediante el hidrograma unitario son razonables en la práctica. En ciertos casos no puede emplearse el modelo a causa de que una o más de las suposiciones no son cumplidas ni siquiera aproximadamente.
Por ejemplo, se ha
establecido que el hidrograma unitario es inejecutable cuando el escurrimiento es originado por el deshiele.
Obtención del Hidrograma Unitario
Se parte de conocer el hidrograma resultante de una lluvia neta uniforme de duración conocida (t1 horas). Se trata de hallar el hidrograma unitario de las t1 horas para esa cuenca. El método consiste en (ilustración 2.9):
26
1
Separar el flujo base del escurrimiento directo.
2
Por planimetría obtener el volumen de escurrimiento directo V0.
3
Obtener la lámina de escurrimiento directo h de acuerdo a la fórmula h = V0 / A . Esta lámina de escurrimiento directo es, por definición, igual a la lámina de la lluvia neta.
4
Dividir las ordenadas de escurrimiento directo entre la lámina h. Los valores obtenidos son las ordenadas del hidrograma unitario de las t1 horas.
o=
O h
Caudal Intensidad h (cm)
Tiempo
Tiempo Caudal Intensidad
Hidrograma Unitario
1 (cm) Tiempo
Tiempo
Ilustración 2. 9. Obtención del hidrograma unitario.
27
Aplicación de los Hidrogramas Unitarios
Conocido el hidrograma unitario de una cuenca para una cierta duración, el hidrograma
unitario
permite
obtener
el
hidrograma
de
escurrimiento
directo
correspondiente a una tormenta simple de igual duración y una lámina cualquiera de lluvia neta, o el correspondiente a una tormenta compuesta de varios periodos de igual duración y laminas cualesquiera de lluvia neta.
La ilustración 2.10 muestra la primera aplicación
mencionada.
Caudal
Intensidad
h Tiempo
H H = h × ordenadas del hidrograma unitario
Tiempo
Ilustración 2. 10 . Aplicación del hidrograma unitario.
2.5
Embalses
Un embalse es un depósito de agua formado artificialmente por una presa y sus terrenos circundantes.
28
Los embalses de detención de lluvias se usan para operar aguas de las tormentas. La detención consiste en conservar el escurrimiento durante un período corto antes de retornarlo a su curso natural. Las palabras “detención” y “retención” a veces no son correctamente interpretadas. La retención consiste en conservar el agua en un lugar de almacenamiento durante un período importante con fines estéticos, de consumo, de irrigación, y otros.
Quizás el agua nunca retorne a su curso natural y más bien sea
consumida por plantas, evaporación o infiltración en el suelo. Las estructuras de detención normalmente no descienden significativamente el volumen total del escurrimiento, sino que sencillamente descienden las tasas de caudal máximo o pico laminando o redistribuyendo el hidrograma de caudal.
Los embalses de detención participan ampliamente en este
documento. El detener al escurrimiento y despacharlo a una tasa regulada es un principio importante en la operación de aguas de tormentas. En superficies con un realce topográfico serio, el almacenamiento por detención disminuye el pico de los caudales y la elevada energía cinética del escurrimiento superficial. Esta disminución del flujo o caudal puede bajar la erosión del suelo y la cantidad de contaminantes digeridos y llevados por el escurrimiento. Es esencial hacer una revisión a las estructuras llamadas presas puesto que son las estructuras que forman los embalses.
Presas
Las presas son construidas para componer un embalse, una carga hidráulica o una superficie de agua: •
Un embalse es usado para coordinar la producción de agua con las necesidades de agua. Un embalse sirve entonces para el almacenamiento temporal de agua. Existen presas para el abastecimiento de agua, irrigación o energía hidroeléctrica. Usualmente, el agua es almacenada durante el período de lluvias y usada durante el período de sequía. Las presas son estructuras efectivas para
29 la protección contra inundaciones puesto que almacenan el agua y la despachan con cierta demora. •
Una carga hidráulica sirve para la generación de energía eléctrica en una planta hidroeléctrica.
También un río puede ser mejorado para la navegación
mediante la creación de una cola de agua. •
Una superficie de agua permite la navegación y recreación. Resumidamente, las presas son estructuras que forman embalses para usos
diferentes: •
Alimentación del hombre y de los animales.
•
Creación de paisajes, de zonas de reposo o zonas de recreación.
•
Estancamiento de sedimentos.
•
Industria.
•
Irrigación de cultivos como aquellos de regiones áridas.
•
Piscicultura.
•
Producción de energía eléctrica.
•
Regulación de ríos navegables.
•
Vegetación acuática.
La hidráulica de presas estudia todas las cuestiones hidráulicas relacionadas con la construcción, operación y seguridad de presas. Durante la construcción el río tiene que ser desviado mediante canales, túneles u otros. Un desagüe es necesario durante el primer llenado del embalse. Un desagüe permite un control de llenado y puede ser incorporado para el vaciado del embalse. El proceso de vaciado es necesario en circunstancias de peligro, verificación o lavado del embalse. Para la utilización del agua una estructura de toma es construida. Para evitar el rebalse por la presa se tiene una estructura de excedencia capaz de despachar tormentas extraordinarias sin daños significativos. La hidráulica de presas estudia el diseño hidráulico de los siguientes puntos: •
Desviación de la fuente durante la construcción.
•
Desagües.
•
Estructuras de toma.
30 •
Estructuras de excedencia.
Otros problemas particulares incluyen la formación de vórtices en las estructuras de toma, entrada de aire, cavitación, vibración, disipación de energía y erosión.
Algunas Presas Importantes
Las partes de una presa pueden ser descritas aprovechando importantes estructuras existentes a escala internacional.
Ilustración 2. 11 . La presa de Karakaya en Turquía según Vischer y Hager (1988). 1) Estructura de toma. 2) Túneles de desviación. 3) Cámaras de inspección. 4) Ataguía o cofferdam. 5) Casa de servicio. 6) Zona de desagüe. 7) Casa de Maquínas.
31 La ilustración 2.11 está referida a la presa Karakaya en Turquía. La presa de Karakaya está sobre el río Euphrates, y es uno de los esquemas más inmensos para la irrigación y el aprovechamiento hidroeléctrico a lo largo del mundo. El área de captura tiene alrededor de 80000 Km2 y la descarga promedio es de 725 m3/s. La capacidad total del embalse es casi 10x109 m3 con un espejo de agua de 300 Km2 y una longitud de 166 Km. La altura máxima de la presa llega a 173 m y la longitud de la cresta es de 462 m. La descarga de diseño es de 17000 m3/s y la descarga máxima es de 22000 m3/s. La potencia generada es de 1800 MW y la producción anual puede llegar hasta 7100 GWh. La caída sobre las turbinas francis tiene una media de 150 m. Karakaya es una presa de concreto con diez estructuras de excedencia con compuertas, cada una de 14 m de ancho que descarga en tres rebosaderos concéntricamente construidos. El rebalse o excedencia descarga en el río Euphrates. La carga de diseño para las estructuras de excedencia es de 13 m. Finalmente, la construcción empezó en 1975 y terminó en 1988. La presa de Itaipu es una de las más gigantescas de la Tierra en lo que respecta al aprovechamiento hidroeléctrico. La presa de Itaipu está ubicada sobre el río Paraná y es propiedad de Brasil y Paraguay. La ilustración 2.12 muestra un esquema vista superior de la presa. El esquema Itaipu tiene un embalse de 170 Km de largo y hasta 8 Km de ancho. La presa de concreto es de 2.6 Km de largo y hasta 196 m de alto. Las presas de tierra son de 5 Km de largo. El vertedero está diseñado para una descarga de 62000 m3/s con un período de retorno de 10000 años. La casa de máquinas es de 1 Km de largo y está equipada con 18 turbinas Francis de 8.5 m de diámetro y de 700 MW cada una. Durante el período de construcción se emplearon a 35000 personas.
Las
3
dimensiones de los esquemas son tremendos: 64 millones de m de roca y tierra fueron removidos, 12 millones de m3 de concreto y 500000 toneladas de acero fueron usados. En 1984, la primera explotación hidroeléctrica fue para la ciudad de Sao Paolo (Brasil). El impacto ambiental fue enorme: 10000 campesinos tuvieron que ser reubicados y 1350 Km2 fueron inundados. Un área de forestación de 230 Km2 fue establecida en las orillas del embalse para prevenir la erosión. La vida salvaje fue rescatada y transferida a zonas de
32 reserva.
En el embalse, 125 especies de peces fueron acomodadas además de otras
facilidades para las mismas.
Ilustración 2. 12. La presa de Itaipú de Brasil y Paraguay según Hager y Vischer (1988). 1) Presa principal. 2) Casa de máquinas. 3) Canales de desviación. 4) Presa izquierda de roca y tierra. 5) Estructura de toma. 6) Vertedero. 7) Presa derecha de tierra.
En cuanto a los vertederos, tres canales de salida fueron elegidos como combinación entre economía y flexibilidad operacional. La carga de diseño para los vertederos es de 20 m con un máximo de 23 m. En total fueron instalados 14 vertederos con compuertas con una capacidad máxima de 62000 m3/s. La longitud total de los tres canales juntos es de 350 m. El ancho total del canal es mantenido constante.
33 La descarga específica de diseño del canal es de 180 m2/s, y la velocidad de salida es 40 m/s. Tales valores de descarga y velocidad tienen gran predominio en la trayectoria del chorro. La técnica para la disipación de la energía fue cuidadosamente seleccionada. Bloques de disipación de energía fueron construidos teniendo en cuenta que parte de la energía es disipada en el aire antes del impacto sobre el colchón de agua. Se realizaron estudios adicionales para determinar la disipación de energía en los canales y la erosión en la cama del río Paraná. Esto fue necesario a causa de: •
La alta frecuencia de la operación del vertedero.
•
La concentración extrema de descarga cuando menos de tres canales están en uso.
•
La alta descarga unitaria y velocidad del chorro.
•
La incertidumbre del efecto del colchón de agua.
La presa Tres gargantas que actualmente se está construyendo en China será el esquema más grande del mundo en lo que respecta al aprovechamiento hidroeléctrico. La presa tiene una corona de 1.9 Km, una longitud del embalse de 595 Km y una profundidad de 160 m. Este proyecto tendrá un costo virtualmente mayor que cualquier otro proyecto en la historia. La idea de construir una presa sobre el río Yangtze para controlar inundaciones y para el aprovechamiento hidroeléctrico ha sido un sueño de varias generaciones desde la revolución democrática de China. La primera proposición para la construcción de la presa data de 1919 cuando el Dr. Sun Yat Sen sugirió construir una presa en las Tres gargantas. Desde 1954, científicos e ingenieros se han dedicado al planeamiento y diseño del proyecto. La capacidad de aprovechamiento hidroeléctrico de 17 millones de kW es la más grande de la historia. Se ha proyectado una generación de potencia evaluada en 84 billones de kWh por año, lo cual es equivalente a una mina de carbón de 40 a 50 toneladas por año. El proyecto suministrará energía principalmente a China central, Hubei, Hunan, Henen, Jiangsu, y Anhui. El proyecto costará cerca de 11 billones de dólares. Una vez terminado,
34 la presa tendrá una altura de 185 m y una capacidad de almacenamiento de 39.3 billones de metros cúbicos de agua. El impacto ambiental es sumamente enorme. La presa ocupará casi dos ciudades y cerca de 1.1 millones de personas están siendo transferidas a otras zonas a cuenta de un tercio del costo del proyecto. El proyecto causará también un daño a la vida salvaje como peces, delfines, tigres y hasta osos panda que serán rescatados y transferidos a zonas de reserva. Finalmente, se ha discutido que la construcción de la presa afectará el hermoso paisaje fuente de valioso turismo. La construcción del proyecto se ha iniciado en 1994 y se ha previsto su terminación para el año 2010. Las tres presas importantes que se han mencionado están resumidas en el siguiente cuadro a manera de comparación de acuerdo a parámetros seleccionados:
Tabla 2. 2 . Comparación de tres presas importantes a escala mundial.
Presa
Karakaya
Itaipú
Tres gargantas
Turquía
Brasil y Paraguay
China
Euphrates
Paraná
Yangtze
Corona
462 m
13 Km
Altura
173 m
196 m
185 m
166 Km
170 Km
595 Km
1800 MW
12600 MW
17000 MW
Ubicación Río interceptado
Longitud del embalse Potencia
2.6
Pronóstico de Avenidas
El pronóstico de avenidas es un campo en crecimiento de las técnicas hidrológicas. La meta es conseguir información en tiempo real de precipitación y caudales a través de
35 una red de microondas, radio o vía satélite, emplear dicha información en aplicaciones o programas de lluvia-escurrimiento y de tránsito de caudales y presagiar los caudales de las avenidas y los niveles de agua para lapsos desde pocas horas hasta pocos días en el futuro, dependiendo de la magnitud de la cuenca. Los pronósticos de avenidas son útiles para alarmar a la población con el objetivo de abandonar áreas con advertencia de inundación y para colaborar al personal encargado del manejo de aguas en la manipulación de estructuras para el control de inundaciones, tales como vertederos con compuertas en embalses.
2.7
Tránsito de Avenidas
2.7.1 Concepto de Tránsito
El procedimiento para hallar el hidrograma en un punto de curso de agua a partir de un hidrograma conocido aguas arriba se conoce como tránsito de caudales. Si se trata de una avenida o crecida el procedimiento se conoce como tránsito de avenidas e incluso como laminación de avenidas. De manera general, el tránsito de caudales es un análisis para seguir el caudal a través de un sistema hidrológico conocida una entrada. En el tránsito agregado se calcula el caudal en función del tiempo únicamente. En el tránsito distribuido se calcula el caudal en función del espacio y tiempo a través del sistema. El tránsito agregado es conocido también como tránsito hidrológico. El tránsito distribuido es conocido también como tránsito hidráulico.
2.7.2 Tránsito de Sistemas Agregados (Embalses)
En un sistema hidrológico, la entrada, la salida y el almacenamiento están relacionados por la ecuación de continuidad: dV = I (t ) − O(t ) dt
(2.15)
36 Si bien el hidrograma de entrada I (t ) puede estar definido, no garantiza la obtención del hidrograma de salida O(t ) a partir de la ecuación (2.15) puesto que O como V son desconocidas. Es necesaria una relación adicional o función de almacenamiento para relacionar V, I y O; así lograr dos ecuaciones para que las dos incógnitas puedan encontrarse. De manera general, la función de almacenamiento podría definirse en función de I, O y sus derivadas respecto al tiempo: dI d 2 I dO d 2 O , 2 , L V = f I , , 2 , L , O, dt dt dt dt
(2.16)
Si se tendría una forma lineal de la ecuación (2.16) entonces ésta podría diferenciarse, sustituirse en la ecuación (2.15), y luego integrarse la expresión resultante para obtener O(t ) en función de I (t ) . Corrientemente se aplican métodos de solución por diferencias finitas a las dos ecuaciones. El espacio de tiempo se divide en intervalos finitos y la ecuación de continuidad (2.15) se resuelve repetitivamente desde un punto hasta otro usando la función de almacenamiento (2.16) para tomar en cuenta al almacenamiento en cada punto.
Caudal
Caudal Hidrograma de entrada Hidrograma de salida
Tiempo
Almacenamiento
Ilustración 2. 13 . Relación invariable entre caudal y almacenamiento.
37 La conformación de la función de almacenamiento depende de la condición del sistema que está siendo analizado. Para el tránsito en embalses empleando métodos como el de la piscina nivelada, el almacenamiento V es una función no lineal de O:
V = f (O)
(2.17)
En la ecuación (2.17) la función f se ensambla relacionando el almacenamiento V y la salida del embalse O con el nivel de agua en el mismo.
Caudal
Caudal Hidrograma de entrada Hidrograma de salida
Tiempo
Almacenamiento
Ilustración 2. 14. Relación variable entre caudal y almacenamiento.
La conexión entre el caudal de salida O y el almacenamiento V en un sistema hidrológico tiene un efecto importante en el tránsito de caudales. Esta relación puede ser invariable (ilustración 2.13) o variable (ilustración 2.14). Una función de almacenamiento invariable tiene correspondencia con la ecuación (2.17) y se emplea con un embalse de superficie o espejo de agua horizontal. Tales embalses tienen un depósito o piscina ancho y profundo en contraste a su longitud en la dirección del flujo. La velocidad del flujo en el embalse es muy baja. La relación de almacenamiento invariable requiere un caudal fijo de salida del embalse para una elevación de la superficie de agua dada, implicando que las estructuras de salida del embalse deban ser no controladas o controladas por compuertas estáticas. Si la disposición de las compuertas cambia, el caudal y la elevación del espejo de agua en la presa cambian, y el efecto se difunde aguas arriba en el embalse para generar una
38 superficie o espejo de agua transitoriamente inclinada hasta que se instaura una nueva elevación de equilibrio de la superficie de agua a través del embalse. Cuando un embalse tiene un espejo de agua horizontal, su almacenamiento es función de la elevación de la superficie de agua. Correspondientemente, el caudal de salida es una función de la elevación de la superficie de agua o carga sobre la estructura de salida. Combinando estas dos funciones, el almacenamiento en el embalse y el caudal de salida pueden relacionarse para crear una función de almacenamiento invariable y de valor exclusivo, V = f (O) , como está mostrado en la ilustración 2.13.
Para este tipo de
embalses, el caudal máximo de salida sucede cuando el hidrograma de salida intercepta al hidrograma de entrada, puesto que el máximo almacenamiento ocurre cuando dV / dt = I − O = 0 , y el almacenamiento y el caudal de salida están relacionados por
V = f (O) . Una relación variable entre el almacenamiento y caudal de salida es aplicable a embalses largos y estrechos y a canales abiertos o corrientes, donde la silueta de la superficie de agua puede ser significativamente curva debido a efectos de remanso. El almacenamiento debido a la curva de remanso depende del cambio respecto al tiempo del caudal a través del sistema. De acuerdo a la ilustración 2.14 la relación entre el caudal y el almacenamiento del sistema no es una función de valor exclusivo sino que muestra una curva en forma de un lazo, dependiendo de las características de almacenamiento del sistema. A causa del efecto de retardo ocasionado por la curva de remanso, el máximo de caudal de salida sucede después del momento en el cual se interceptan los hidrogramas de entrada y salida, como se ve en la ilustración 2.14. Si el efecto de remanso no es de magnitud, el lazo que se muestra en la ilustración 2.14 puede substituirse por una curva promedio que se muestra como una línea discontinua. Consecuentemente, los métodos de tránsito para espejo de agua horizontal pueden aplicarse aproximadamente para el tránsito con una relación caudal-almacenamiento variable. La anterior discusión implica que el efecto del almacenamiento es redistribuir el hidrograma desplazando el centroide del hidrograma de entrada hasta el centroide del hidrograma de salida en un tiempo de redistribución. En canales ciertamente largos, toda la onda de la avenida viaja también una distancia importante y el centroide de su hidrograma
39 también puede desplazarse en un período mayor que el tiempo de redistribución. Este tiempo suplementario puede considerarse como el tiempo de traslación. De acuerdo a la ilustración 2.15, el tiempo total del movimiento de la avenida entre los centroides de los hidrogramas de entrada y salida, es igual a la suma del tiempo de redistribución y del tiempo de traslación. La redistribución transforma la forma del hidrograma, mientras que la traslación lo desplaza.
Caudal Hidrograma de entrada Hidrograma de salida
Tiempo
Tiempo de movimiento de la avenida
Caudal
Caudal Hidrograma de entrada Hidrograma de salida
Tiempo
Tiempo
Tiempo de redistribución
Tiempo de traslación
Ilustración 2. 15. Interpretación del tiempo de movimiento de avenidas .
40 2.7.3 Método de la Piscina Nivelada
El método de piscina nivelada es un procedimiento para calcular el hidrograma de caudal de salida desde un embalse con superficie de agua horizontal, dado su hidrograma de entrada y sus características de almacenamiento-caudal de salida. El horizonte de tiempo se divide en intervalos de duración ∆t, indexados por j:
t = 0, ∆t , 2∆t , ..., j∆t , ( j + 1)∆t , ... La ecuación de continuidad (ec) se integra sobre cada intervalo de tiempo: V ( j +1)
( j +1) ∆t
V ( j)
j∆t
∫ dV = ∫
( j +1) ∆t
∫ O(t )dt
I (t )dt −
(2.18)
j∆t
Si la variación de los caudales de entrada y salida a lo largo del intervalo es aproximadamente lineal, la ecuación (2.18) puede escribirse como:
V j +1 − V j =
I j + I j +1 2
∆t −
O j + O j +1 2
∆t
(2.19)
Ambos valores I son dados o conocidos. Los valores Oj y Vj se conocen gracias a los cálculos hechos en el intervalo anterior. Por consiguiente, la ecuación (2.19) contiene dos incógnitas Oj+1 y Vj+1, las cuales pueden aislarse manipulando la ecuación (2.19): 2V j +1 2V j + O j +1 = I j + I j +1 + − O j ∆t ∆t
(2.20)
Para calcular Oj+1 se necesita una función de almacenamiento-caudal de salida que relacione 2V / ∆t + O y O. El método para desarrollar esta función utilizando las relaciones elevación-almacenamiento y elevación-caudal de salida se desarrolla en el problema a continuación.
La relación elevación-almacenamiento puede determinarse mediante
41 estudios topográficos en el embalse.
La relación elevación-caudal se deduce de las
ecuaciones hidráulicas que relacionan carga y caudal como son las ecuaciones de los vertederos y otras estructuras de salida. El valor ∆t se toma como el intervalo de tiempo del hidrograma de entrada. Para un valor de la elevación de la superficie de agua, se determinan los valores de almacenamiento V y del caudal de salida O, luego se calcula el valor de 2V / ∆t + O y se dibuja en el eje horizontal de una gráfica con O en el eje vertical. Durante el tránsito de caudal a través del intervalo de tiempo j, todos los términos de la parte derecha de la ecuación (2.20) se conocen, y toda la parte de la izquierda ya puede conocerse.
El valor correspondiente Oj+1 puede determinarse a partir de la gráfica
mencionada o por interpolación lineal de la tabla correspondiente. Con el fin de preparar la información para el siguiente intervalo de tiempo, debe usarse la siguiente ecuación: 2V j +1 2V j +1 − O j +1 = + O j +1 − 2O j +1 ∆t ∆t
(2.21)
Después de la ecuación (2.21) el cálculo se repite para los subsiguientes períodos de tránsito.
Aplicación
Un lago de 200 hectáreas de superficie (espejo de agua constante) está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.
Solución
Lo primero que debe hacerse es generar la tabla y gráfica de la función almacenamiento-caudal de salida del embalse.
La tabla 2.4 muestra la función
almacenamiento-caudal de salida del embalse. La elevación del espejo de agua sobre la cresta del vertedero se muestra en la columna 1. El caudal de salida por el vertedero estándar se muestra en la columna 2. El caudal de salida para un vertedero estándar está
42 dado por O = C d b 2 g H 3 / 2 . El almacenamiento en el embalse a partir de la cresta del vertedero se muestra en la columna 3 y ha sido calculado con V = AH . El parámetro 2V / ∆t + O para un intervalo de tiempo de 3 y 6 horas se muestra en las columnas 4 y 5
respectivamente.
La ilustración 2.16 muestra la curva de la función almacenamiento-
caudal de salida del embalse de acuerdo a la tabla 2.4.
Tabla 2. 3 . Hidrograma de entrada de la aplicación.
t (h)
I (m /s)
(h)
I (m /s)
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30
21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00
75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00
3
t
3
Luego, debe ensamblarse una tabla como la tabla 2.5 para el cálculo del hidrograma de salida como se explica a continuación. Primero, se tiene el caudal inicial de salida en la primera fila de la columna 7. Con un almacenamiento inicial de cero se calcula la primera fila de la columna 5. Usando la ecuación (2.20) se calcula la primera fila de la columna 6. Con el anterior resultado y mediante la ilustración 2.16 se calcula la segunda fila de la columna 7. Con éste resultado y mediante la ecuación 2.21 se halla la segunda fila de la columna 5. A partir de aquí los cálculos se llevan de manera repetitiva. La ilustración 2.17 muestra los hidrogramas de entrada y salida de acuerdo a este procedimiento.
43
Tabla 2. 4. Función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante por el método de la piscina nivelada.
Columna:
1 H
2 O
3 4 5 V 2V/∆t1+O 2V/∆t2+O
(m)
(m3/s)
(m3)
(m3/s)
(m3/s)
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
23.5 36.2 50.6 66.5 83.7 102.3 122.1 143.0 165.0 188.0 212.0 236.9 262.7 289.4 317.0 345.3
0.0 1000000.0 2000000.0 3000000.0 4000000.0 5000000.0 6000000.0 7000000.0 8000000.0 9000000.0 10000000.0 11000000.0 12000000.0 13000000.0 14000000.0 15000000.0
23.5 221.4 420.9 622.0 824.5 1028.2 1233.2 1439.3 1646.5 1854.6 2063.8 2273.9 2484.9 2696.8 2909.5 3123.1
23.5 128.8 235.7 344.2 454.1 565.3 677.6 791.1 905.7 1021.3 1137.9 1255.4 1373.8 1493.1 1613.3 1734.2
44
Tabla 2. 5. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar por el método de la piscina nivelada.
Columna:
1 t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 36 42 48 54 60 66 72 78
2 ∆t
3 I 3
(h)
(m /s)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 6 6
25.0 30.0 40.0 52.5 65.8 73.8 76.3 75.0 71.0 65.0 57.5 42.5 30.0 25.0 25.0 25.0 25.0 25.0 25.0
4 Ij+Ij+1 3
5 2Vj/∆t-Oj 3
(m /s)
(m /s)
55.0 70.0 92.5 118.3 139.6 150.1 151.3 146.0 136.0 122.5 100.0 72.5 55.0 50.0 50.0 50.0 50.0 50.0
-25.0 -20.4 -3.4 30.9 83.4 147.2 210.9 266.4 309.2 336.8 146.7 139.1 114.0 82.8 56.4 37.0 22.0 10.8 2.2
6 2Vj+1/∆t+Oj+1
7 Oj
(m3/s)
(m3/s)
30.0 49.6 89.1 149.2 223.0 297.3 362.2 412.4 445.2 459.3 246.7 211.6 169.0 132.8 106.4 87.0 72.0 60.8
25.0 25.2 26.5 29.1 32.9 37.9 43.2 47.9 51.6 54.2 55.3 53.8 48.8 43.1 38.2 34.7 32.5 30.6 29.3
45
3 O (m /s)
400
∆t = 6 h
∆t = 3 h
350 300 250 200 150 100 50 2V/∆t+O (m3/s)
0 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Ilustración 2. 16 . Curva de la función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
3
Caudal (m /s)
90 80
Caudal de entrada
70 60
Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)
0 0
20
40
60
80
100
Ilustración 2. 17. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
46
Es importante notar que, para obtener la primera fila correspondiente al intervalo de tiempo de 6 horas de la columna 6, debe actualizarse previamente el último valor de la columna 5 al intervalo de 6 horas mediante la ilustración 2.16 con el último caudal. De este modo se tiene el valor modificado de 146.7 m3/s como se muestra en la parte sombreada de la tabla. A partir de éste punto debe continuarse como de costumbre pero consultando la curva correspondiente al intervalo de 6 horas de la ilustración 2.16.
2.7.4 Método SIC (Storage Indication Curve)
El método SIC está basado en una ecuación fundamental que se origina de acuerdo a la siguiente deducción: Dado el intervalo de tiempo por el hidrograma de entrada: ∆t = t n+1 − t n
(2.22)
La forma discreta de la ecuación de continuidad para el intervalo de tiempo: V n+1 − V n I n + I n +1 On + On+1 = − ∆t 2 2
(2.23)
Ordenando términos y aplicando un artificio matemático: V n+1 − V n On + On+1 I + I n +1 + − On = n − On ∆t 2 2
(2.24)
Aislando los términos desconocidos en el miembro izquierdo: Vn +1 On +1 Vn On I n + I n +1 + − On = + + 2 ∆t 2 2 ∆t
(2.25)
47 La relación de almacenamiento S (storage) se define como:
S=
V O + ∆t 2
(2.26)
Substituyendo la definición (2.26) en la ecuación (2.25):
S n +1 = S n +
I n + I n +1 − On 2
(2.27)
Sea Im el caudal promedio de entrada:
Im =
I n + I n+1 2
(2.28)
La variable N puede definirse como: N = I m − On
(2.29)
Substituyendo N en la ecuación 2.27: S n +1 = S n + N
(2.30)
Esta es la ecuación fundamental del método SIC. El procedimiento del método SIC no es complicado y se explica aprovechando la aplicación de a continuación.
Aplicación
Un lago de 200 hectáreas de superficie de agua constante está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.
48 Tabla 2. 6 . Hidrograma de entrada de la aplicación.
t (h)
I (m /s)
(h)
I (m /s)
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30
21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00
75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00
3
t
3
Solución
La elevación inicial sobre la cresta del vertedero se calcula a partir del caudal de salida inicial (25 m3/s) empleando la fórmula del vertedero estándar:
O = Cd b 2g H
3/ 2
O ⇒ H = C b 2g d
2/3
= 1.56 ≈ 1.6 m
El almacenamiento V se calcula como función de la elevación del espejo de agua H sobre la cresta del vertedero mediante V = HA . Esto está mostrado en la columna 2 de la tabla 2.7. La columna 3 de la tabla 2.7 se calcula a partir de la fórmula del vertedero estándar. La columna 4 se calcula para un intervalo de 3 horas usando la expresión V / ∆t , análogamente la columna 5 para un intervalo de 6 horas. Las columnas 6 y 7 se calculan a partir de la ecuación 2.26, S3h corresponde al intervalo de tiempo de 3 horas y S6h a 6 horas. La relación almacenamiento-caudal de salida que está en función a O y V / ∆t + O / 2 se representa en la ilustración 2.18.
49
Tabla 2. 7. Función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante por el método SIC (Storage Indication Curve).
Columnas:
1 H
2 V 3
3 O 3
4 V/∆t1
5 V/∆t2
6
7
S3h
S6h
3
3
3
3
(m)
(m )
(m /s)
(m /s)
(m /s)
(m /s)
(m /s)
1.6 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
0.0 73375.9 273375.9 473375.9 673375.9 873375.9 1073375.9 1273375.9 1473375.9 1673375.9 1873375.9 2073375.9 2273375.9 2473375.9 2673375.9 2873375.9 3073375.9 3273375.9 3473375.9 3673375.9 3873375.9
25.0 25.9 28.3 30.9 33.5 36.2 38.9 41.7 44.6 47.6 50.6 53.6 56.7 59.9 63.2 66.5 69.8 73.2 76.7 80.2 83.7
0.0 6.8 25.3 43.8 62.3 80.9 99.4 117.9 136.4 154.9 173.5 192.0 210.5 229.0 247.5 266.1 284.6 303.1 321.6 340.1 358.6
0.0 3.4 12.7 21.9 31.2 40.4 49.7 59.0 68.2 77.5 86.7 96.0 105.2 114.5 123.8 133.0 142.3 151.5 160.8 170.1 179.3
12.5 19.7 39.5 59.3 79.1 99.0 118.8 138.8 158.7 178.7 198.7 218.8 238.9 259.0 279.1 299.3 319.5 339.7 359.9 380.2 400.5
12.5 16.3 26.8 37.4 47.9 58.5 69.2 79.8 90.5 101.2 112.0 122.8 133.6 144.5 155.3 166.3 177.2 188.2 199.1 210.2 221.2
50
Tabla 2. 8. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar por el método SIC (Storage Indication Curve).
Columna:
1 t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 36 42 48 54 60 66 72
2 ∆t
3 I 3
(h)
(m /s)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 6
25.0 30.0 40.0 52.5 65.8 73.8 76.3 75.0 71.0 65.0 57.5 42.5 30.0 25.0 25.0 25.0 25.0 25.0
4 Im
5 S
6 N
7 O
(m /s)
(m3/s)
(m3/s)
(m3/s)
27.5 35.0 46.3 59.2 69.8 75.1 75.7 73.0 68.0 61.3 50.0 36.3 27.5 25.0 25.0 25.0 25.0
12.5 15.0 24.7 44.4 74.6 111.5 148.7 181.2 206.2 222.5 229.6 123.3 105.8 84.5 66.5 53.3 43.4 36.1
2.5 9.7 19.8 30.2 36.9 37.1 32.5 25.1 16.3 7.0 -5.3 -17.5 -21.3 -18.0 -13.2 -9.8 -7.4
25.0 25.3 26.5 29.0 32.9 37.9 43.2 47.9 51.7 54.2 55.3 53.8 48.8 43.0 38.2 34.8 32.4 30.6
3
51 S (m3/s)
450
∆t = 3 h
400 350 300
∆t = 6 h
250 200 150 100 50
O (m3/s)
0 0
20
40
60
80
100
Ilustración 2. 18 . Curva de la función almacenamiento-caudal de salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
3
Caudal (m /s)
90 80
Caudal de entrada
70 60
Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)
0 0
20
40
60
80
100
Ilustración 2. 19. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
52
Luego se ensambla una tabla para el cálculo del hidrograma de salida como la tabla 2.8, donde inicialmente se calcula S en la columna 5 a partir del caudal de salida inicial mostrado en la primera fila de la columna 7 de la tabla y mediante la ilustración 2.18. A partir de la segunda fila, en la columna 4 se calcula el caudal promedio de entrada al final de cada intervalo de tiempo. En la columna 6 se calcula N a partir de la ecuación 2.29. Luego, se calcula la columna 5 mediante la ecuación 2.30. Con la columna 5 conocida se calcula el caudal de salida al final del intervalo en la columna 7 consultando la mencionada ilustración 2.18. Todo esto se muestra en la tabla 2.8. La ilustración 2.19 muestra el hidrograma de entrada conocido y el hidrograma de salida calculado en la anterior tabla. Cuando S deba calcularse para un intervalo de tiempo distinto, es necesario actualizar el S precedente al nuevo intervalo de tiempo antes de usar la ecuación 2.30. En la columna 5 de la tabla 2.8 se tiene S n = 229.60 m3/s correspondiente a un ∆t = 3 h, que actualizando a un intervalo de tiempo de 6 horas se tiene S n = 128.62 m3/s.
Luego,
mediante la ecuación 2.30 se tiene S n+1 = 128.62 + (−5.29) = 123.33 m3/s como se muestra en la parte sombreada de la tabla 2.8.
2.7.5 Método Gráfico de Puls (Pulso)
El método gráfico para el tránsito de avenidas en embalses es ciertamente sencillo, rápido y aproximado. El principio y el procedimiento del método gráfico es elemental como se desarrolla a continuación. Teniendo en cuenta la forma discreta de la ecuación de continuidad:
Vn +1 − V n =
I n + I n +1 O + O n +1 ∆t − n ∆t 2 2
(2.31)
53
La cual puede transformarse en:
Vn +1 +
On +1∆t I n + I n+1 O ∆t = ∆t + V n − n 2 2 2
(2.32)
La ecuación (2.32) es la ecuación primordial del método gráfico, puesto que la misma es resuelta una y otra vez mediante el procedimiento gráfico que se explica a continuación. En primer lugar, deben prepararse las curvas V + O∆t / 2 y V − O∆t / 2 con el almacenamiento como eje horizontal y con el caudal de salida como eje vertical según se muestra en la ilustración 2.20. Ahora bien, primero se ubica el caudal de salida inicial O1 en el eje vertical (ilustración 2.20), luego se prolonga una horizontal hasta interceptar la curva V − O∆t / 2 en el punto A. Seguidamente, se prolonga la última horizontal desde el punto A una distancia de ( I 1 + I 2 ) / 2 . A partir de la final de la última horizontal debe trazarse una vertical hasta cortar la curva V + O∆t / 2 en el punto B. Finalmente, debe prolongarse una horizontal desde el punto B hasta el eje vertical para obtener el caudal de salida O2. Para proseguir debe considerarse a O2 como el caudal de salida inicial y repetirse el anterior procedimiento. Todo esto se muestra en la ilustración 2.20.
Aplicación
Un lago de 200 hectáreas de espejo de agua constante está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La crecida que se muestra en el cuadro siguiente sucede sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Determínese el hidrograma de salida después del paso por el lago.
54 Caudal V-½O∆t V+½O∆t B
O2
A O1 ½(I1+I2)∆t
Almacenamiento
Ilustración 2. 20 . Procedimiento gráfico del método pulse (pulso).
Tabla 2. 9 . Hidrograma de entrada de la aplicación.
t (h)
I (m /s)
(h)
I (m /s)
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30
21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00
75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00
3
t
3
55
Solución
La elevación inicial sobre la cresta del vertedero se calcula a partir del caudal de salida inicial (25 m3/s) empleando la fórmula del vertedero estándar:
O = Cd b 2g H
3/ 2
O ⇒ H = C b 2g d
2/3
= 1.56 ≈ 1.6 m
Antes de continuar, deben prepararse las curvas V + O∆t / 2 y V − O∆t / 2 mediante una tabla como la tabla 2.10. En la columna 1 de la tabla se tiene la elevación del espejo de agua por encima de la cresta del vertedero. En la columna 2 de la tabla se tiene el almacenamiento en el embalse por encima de la cresta del vertedero, considerando un espejo de agua constante durante su elevación. En la columna 3 de la tabla se tiene el caudal de salida obtenido mediante la ecuación del vertedero estándar mostrada anteriormente.
En las columnas 4 y 5 de la tabla se tienen las curvas V + O∆t / 2 y
V − O∆t / 2 para un intervalo de tiempo de 3 horas. En las columnas 6 y 7 se tiene las
mencionadas curvas pero para un intervalo de tiempo de 6 horas. Con todo esto se trazan las curvas como se muestra en las ilustraciones 2.21 y 2.22. En la ilustración 2.21 se tiene la resolución de ésta aplicación para el intervalo de tiempo de 3 horas. En ésta ilustración puede apreciarse que el procedimiento se inició con un caudal de salida inicial de 25 m3/s hasta llegar sucesivamente a un caudal de salida de 55.4 m3/s para lo cual debe cambiarse las curvas puesto que a continuación se tiene el intervalo de tiempo de 6 horas. En la ilustración 2.22 se tiene la continuación de la resolución de la aplicación para un intervalo de tiempo de 6 horas. En ésta ilustración se puede ver que el caudal de salida de arranque es de 55.4 m3/s y el caudal salida de terminación es de 30.5 m3/s. Tanto en la ilustración 2.21 como en la ilustración 2.22 se siguió el procedimiento explicado más arriba mediante el apoyo de la tabla 2.11. Los caudales de salida obtenidos mediante esta iteración gráfica se muestran en la tabla 2.11 y sirven para ensamblar el hidrograma de salida que está mostrado en la ilustración 2.23.
56
Tabla 2. 10. Preparación de las curvas V+½O∆t y V-½O∆t para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante por el método gráfico o método de puls (pulso).
Columnas:
1 H
2 V
3 4 5 6 7 O V+½O∆t1 V-½O∆t1 V+½O∆t2 V-½O∆t2
(m)
(m3)
(m3/s)
(m3)
(m3)
(m3)
(m3)
1.56 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50
0.0 80000.0 280000.0 480000.0 680000.0 880000.0 1080000.0 1280000.0 1480000.0 1680000.0 1880000.0 2080000.0 2280000.0 2480000.0 2680000.0 2880000.0 3080000.0 3280000.0 3480000.0 3680000.0 3880000.0
24.9 25.9 28.3 30.9 33.5 36.2 38.9 41.7 44.6 47.6 50.6 53.6 56.7 59.9 63.2 66.5 69.8 73.2 76.7 80.2 83.7
134571.2 219780.1 433087.1 646791.5 860882.1 1075348.6 1290181.4 1505371.6 1720911.2 1936792.4 2153007.9 2369551.1 2586415.6 2803595.4 3021084.7 3238878.2 3456970.9 3675357.7 3894034.2 4112995.7 4332238.3
-134571.2 -59780.1 126912.9 313208.5 499117.9 684651.4 869818.6 1054628.4 1239088.8 1423207.6 1606992.1 1790448.9 1973584.4 2156404.6 2338915.3 2521121.8 2703029.1 2884642.3 3065965.8 3247004.3 3427761.7
269142.4 359560.1 586174.2 813583.1 1041764.3 1270697.2 1500362.7 1730743.3 1961822.4 2193584.7 2426015.9 2659102.3 2892831.2 3127190.7 3362169.4 3597756.5 3833941.7 4070715.4 4308068.3 4545991.5 4784476.6
-269142.4 -199560.1 -26174.2 146416.9 318235.7 489302.8 659637.3 829256.7 998177.6 1166415.3 1333984.1 1500897.7 1667168.8 1832809.3 1997830.6 2162243.5 2326058.3 2489284.6 2651931.7 2814008.5 2975523.4
57
90
O (m3/s)
V-½O∆t1
80
V+½O∆t1
70 60 50 40 30 20 10
-1.E+06
V (m3)
0 0.E+00
1.E+06
2.E+06
3.E+06
4.E+06
5.E+06
Ilustración 2. 21. Curvas del método de puls (pulso) para un intervalo de tiempo de 3 horas para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
90
O (m3/s)
V-½O∆t2
80
V+½O∆t2
70 60 50 40 30 20 10
-1.E+06
0 0.E+00
V (m3)
1.E+06
2.E+06
3.E+06
4.E+06
5.E+06
6.E+06
Ilustración 2. 22. Curvas del método de puls (pulso) para un intervalo de tiempo de 6 horas para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
58
3
Caudal (m /s)
90 80
Caudal de entrada
70 60
Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)
0 0
20
40
60
80
100
Ilustración 2. 23. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
59
CAPITULO 3 DESARROLLO TEORICO
3.1
Método Directo
El tema central de este Proyecto de Grado es la propuesta de un nuevo método llamado método directo para el tránsito de avenidas en embalses. El método directo se origina en Cochabamba - Bolivia en el año 2001 gracias a la iniciativa del Profesor Ing. William Iraizos Ramírez de la Universidad Privada Boliviana de Cochabamba. El método directo consiste básicamente en la aplicación de una ecuación llamada ecuación principal. La solución de ésta ecuación principal es un punto del hidrograma de salida correspondiente a un punto del hidrograma de entrada. El método directo en comparación con los métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses ofrece lo siguiente: •
Una automatización de los cálculos.
•
La mejor aproximación de los resultados.
•
Una mejora en los procedimientos de cálculo.
•
Una mínima carga de trabajo.
•
Una nueva opción para la determinación y verificación de la altura de la presa y de la configuración del vertedero.
60 Por ejemplo, en métodos tradicionales para el tránsito de avenidas en embalses como el método de la piscina nivelada, debe generarse tablas y gráficas preliminares para ser consultadas posteriormente, mientras que en el método directo se suprime esta necesidad y se obtienen los resultados de manera directa mediante la solución de la ecuación principal. Si bien el método directo consiste en la solución de una ecuación principal, debe tenerse a la mano la ecuación principal adecuada y correspondiente al caso en cuestión. En este capítulo se desarrollarán ecuaciones principales que corresponden a casos importantes y luego serán usadas en el método directo para la resolución de un problema en particular concerniente a cada caso.
3.2
Ecuación de Continuidad para el Tránsito de Avenidas El espacio de tiempo del tránsito se divide en intervalos de duración ∆t indexados
por i, o sea:
t = 0, ∆t , 2∆t , K , i∆t , (i + 1)∆t ,K
(3.1)
Posteriormente, la ecuación de continuidad se integra sobre cada intervalo de tiempo según la ilustración 3.1. Para el intervalo de tiempo i, se tiene: Vi +1
∫
Vi
( i +1) ∆t
dV =
∫ I (t )dt −
( i +1) ∆t
i∆t
∫ O(t )dt
(3.2)
i∆t
Los caudales de entrada al inicio y al final del intervalo i son Ii e Ii+1, respectivamente, y los caudales de salida correspondientes son Oi y Oi+1. Si la alteración de los caudales de entrada y salida durante el intervalo es cercanamente lineal, el cambio en el almacenamiento puede calcularse de acuerdo a:
Vi +1 − Vi =
I i + I i +1 O + Oi +1 ∆t − i ∆t 2 2
(3.3)
61
La ecuación (3.3) es conocida como la forma discreta de la ecuación de continuidad.
Caudal
Caudal de entrada In+1
In Vn+1-Vn
On+1
Caudal de salida
Vn
On
∆t Tiempo tn
tn+1
Ilustración 3. 1. Cambio del almacenamiento en un embalse durante un intervalo de tiempo.
3.3
Ecuación Principal General
La deducción de carácter general que se presentará en ésta parte es de mucha importancia, puesto que es la base para el desarrollo de las ecuaciones principales de los distintos casos, como ser para un embalse con vertedero estándar, o para un embalse con vertedero Morning Glory, etc. Al integrar la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo ∆t = t n +1 − t n como se aprecia en la ilustración 3.1, se tiene:
62
Vn + 1
∫
dV =
Vn
t n +1
t n +1
tn
tn
∫ I (t )dt − ∫ O(t )dt
(3.4)
En ésta ecuación, los valores correspondientes al inicio y final del intervalo de tiempo ∆t están marcados por los subíndices n y n+1 respectivamente. Así, los caudales de entrada al inicio y final del intervalo están designados por In e In+1 respectivamente. Análogamente, los caudales de salida al inicio y final del intervalo están designados por On y On+1 respectivamente. Ahora bien, cuando el comportamiento de los caudales de entrada y salida puede considerarse lineal durante el intervalo de tiempo, la ecuación (3.4) puede escribirse como:
Vn +1 − V n =
I n + I n +1 O + O n +1 ∆t − n ∆t 2 2
(3.5)
La ecuación anterior (3.5) es la forma discreta de la ecuación de continuidad. Los valores conocidos son los caudales de entrada In e In+1, el caudal de salida On y el almacenamiento Vn. Los valores desconocidos son On+1 y Vn+1. Es necesario aclarar que In e In+1 son dados por el hidrograma de entrada, y On es obtenido en los cálculos correspondientes al intervalo de tiempo anterior. Para lograr que la ecuación (3.5) esté expresada solo en función de los caudales de entrada y salida, y para lograr que contenga una sola incógnita On+1, es necesario reemplazar a Vn y Vn+1 por una expresión equivalente de caudal. Para esto, y como se verá a continuación, es ventajoso emplear las fórmulas de almacenamiento del embalse y del caudal del vertedero en cuestión. La fórmula general de almacenamiento del embalse está dada por una función de la elevación del espejo de agua:
V = f (H )
(3.6)
63 Si el espejo de agua A en el embalse se mantiene constante con la elevación de la superficie de agua H, entonces la ecuación (3.6) podría tomar la forma V = AH . Caso contrario, la ecuación (3.6) podría ser más complicada como una cúbica. La expresión general del caudal que pasa por un vertedero de excedencia está dada por una constante multiplicada por una función de la elevación del espejo de agua por encima de la cresta del vertedero:
Q = K ⋅ g (H )
(3.7)
En la ecuación (3.7), normalmente la constante K representa simultáneamente a la constante del caudal del vertedero en cuestión, a la longitud efectiva de la cresta del mismo, y a un factor hidráulico. La función g depende de la elevación de la superficie o espejo de agua H por encima de la cresta del vertedero. Por ejemplo, la ecuación de un vertedero Morning Glory está dada por Q = C d 2πR 2 g H 3 / 2 , donde Cd es la constante de caudal, 2πR es la longitud efectiva de la cresta (en éste caso circular),
2 g es el factor hidráulico,
y H 3 / 2 es la función g en éste caso. Despejando H de la ecuación (3.7) y cambiando Q por O, se tiene: H = g −1 (O / K )
(3.8)
Substituyendo la ecuación (3.8) en la (3.6), se tiene:
(
)
V = f g −1 (O / K ) = h(O / K ) = K ′ ⋅ h(O )
(3.9)
En la ecuación (3.9) la nueva función h es la función compuesta de f y g-1 o también f o g −1 . En la ecuación (3.9) la constante modificada de K está dada por K ′ = h(1 / K ) . Substituyendo la ecuación (3.9) en la (3.5) con los subíndices correspondientes, se tiene:
64 h(On+1 ) K ′ − h(On ) K ′ =
I n + I n+1 O + On +1 ∆t − n ∆t 2 2
(3.10)
Trasladando todos los términos a la izquierda, se tiene:
h(On+1 ) K ′ − h(On ) K ′ −
I n + I n+1 O + On+1 ∆t + n ∆t = 0 2 2
Multiplicando por 2 / ∆t y ordenando, se tiene:
On+1 +
2K ′ 2K ′ h(On+1 ) + On − h(On ) − I n+1 − I n = 0 ∆t ∆t
(3.11)
Esta es la ecuación principal general para un embalse con espejo de agua constante o variable y para un vertedero cualquiera. La solución de la ecuación (3.11) es el caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1, dados los caudales de entrada In e In+1, calculado el caudal de salida On, dada la duración del intervalo de tiempo ∆t , y dadas las características físicas del embalse y vertedero.
3.3.1 Análisis de la Ecuación Principal
Para comprender la naturaleza de la ecuación (3.11) es necesario expresarla como una función:
f (On+1 ) = On +1 +
2K ′ 2K ′ h(On +1 ) + On − h(On ) − I n +1 − I n = 0 ∆t ∆t
(3.12)
Nada se puede decir sobre el tipo de la función (3.12) porque depende de la función h. De este modo, si la función h eleva On+1 a un exponente entero positivo, entonces la función (3.12) será del tipo polinomial, o si h eleva On+1 a un exponente negativo o racional, entonces la función (3.12) será del tipo algebraica explícita.
65 El grado de la ecuación (3.11) y de la función (3.12) depende del grado de la función h, a su vez, ésta depende simultáneamente del grado de la ecuación del almacenamiento del embalse y del grado de la ecuación del vertedero en cuestión. Por ejemplo y como se verá más adelante, para un embalse con espejo de agua constante y vertedero estándar, la función h eleva On+1 a la 2/3, por lo que el grado de la función correspondiente queda en 1. La función (3.12) es descendiente de la forma discreta de la ecuación de continuidad (3.5), por lo que su magnitud representa el estado de balance del sistema embalse-vertedero para un caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1. Cuando la función (3.12) es cero significa que el caudal On+1 es la raíz de la ecuación (3.11), y al mismo tiempo es el caudal adecuado para la satisfacción de la ecuación de continuidad. La ilustración (3.2) es la representación gráfica de una posible curva que podría tomar la función (3.12).
f(O)
O (m3/s) 0
Ilustración 3. 2. Curva ejemplo de la función de la ecuación principal general para un embalse con determinado vertedero.
66 3.3.2 Parámetro Físico del Embalse y Vertedero
La expresión que aparece junto al termino independiente h(On+1 ) en la función f(On+1) representa a las características del embalse y vertedero, por lo que se denomina parámetro físico del embalse y vertedero: 2K ′ ∆t
Generalmente, el parámetro físico es positivo porque involucra valores definidamente positivos como el intervalo de tiempo ∆t, etc. Las unidades del parámetro físico dependen del caso tratado en particular.
Finalmente, el parámetro físico tiene
influencia directa en la forma de la curva de la función (3.12). La ilustración (3.3) es una representación gráfica de una posible función (3.12) para distintos parámetros físicos.
3.3.3 Parámetro de Almacenamiento
Toda la expresión que no está ligada a ninguno de los independientes On+1 o h(On+1 ) involucra los caudales de entrada y salida a través del sistema embalse-vertedero, involucrando a su vez el almacenamiento en el embalse, por lo que se denomina parámetro del almacenamiento:
On −
2K ′ h(On ) − I n +1 − I n ∆t
Como se verá más adelante, la curva del parámetro de almacenamiento es semejante a la curva de almacenamiento, de tal manera que, su punto máximo sucede cuando el almacenamiento es máximo.
67 f(O)
3
O (m /s) 0
Ilustración 3. 3. Curvas ejemplares de la función de la ecuación principal general para un embalse con determinado vertedero para distintos parámetros físicos.
f(O)
3 O (m /s)
0
Ilustración 3. 4. Curvas ejemplares de la función de la ecuación principal general para un embalse con determinado vertedero para distintos parámetros de almacenamiento.
68
Normalmente, el parámetro de almacenamiento es negativo puesto que se trata de un valor a compensar dentro la ecuación (3.11).
Las unidades del parámetro de
almacenamiento dependen del caso tratado en particular.
Finalmente, el parámetro de
almacenamiento no tiene influencia en la forma de la curva de la función (3.12), más bien tiene influencia en la posición de la curva respecto al eje vertical. La ilustración (3.4) es una representación gráfica de la mencionada posible función (3.12) para distintos parámetros de almacenamiento. Como se verá más adelante, el parámetro físico del embalse y vertedero, y el parámetro de almacenamiento se presentan siempre en todos los casos de la ecuación principal. Casi nada se puede adelantar sobre el dominio, rango, intersecciones, simetrías, asíntotas, máximos y mínimos, puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión, función inversa, raíces, etcétera de la función (3.12) a menos que se haga un examen pertinente de cada caso en particular. Esencialmente se puede anticipar que, el dominio de la función (3.12) debe estar restringido a valores de cero o mayores, puesto que caudales negativos físicamente no están definidos en el sistema embalse-vertedero: On+1 ≥ 0
3.4
Ecuación Principal para Vertederos Estándar
Integrando la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo ∆t = t n+1 − t n según la ilustración 3.1: Vn + 1
∫
Vn
dV =
t n +1
t n +1
tn
tn
∫ I (t )dt − ∫ O(t )dt
(3.13)
Los subíndices n y n+1 designan valores al inicio y al final del intervalo de tiempo respectivamente. Los caudales de entrada al inicio y al final del intervalo de tiempo están
69 dados por In e In+1 respectivamente, y los respectivos caudales de salida están dados por On y On+1. Si el comportamiento de los caudales de entrada y de salida es aproximadamente lineal durante el intervalo de tiempo, entonces la ecuación (3.13) puede transformarse en:
Vn +1 − V n =
I n + I n +1 O + O n +1 ∆t − n ∆t 2 2
(3.14)
Los caudales de entrada In e In+1 se conocen como información de entrada. Los valores de On y Vn se conocen gracias a los cálculos del intervalo de tiempo anterior. Por lo tanto, la ecuación (3.14) contiene dos incógnitas que son On+1 y Vn+1. Con el fin de lograr que la ecuación (3.14) contenga una sola incógnita, On+1, se usarán las fórmulas de almacenamiento del embalse y de caudal del vertedero estándar como sigue a continuación. La fórmula de almacenamiento para un embalse con espejo (superficie) de agua constante a partir de la cresta del vertedero es: V = AH
(3.15)
Aquí A es el espejo de agua del embalse, y H la elevación de la superficie de agua por encima de la cresta del vertedero. La fórmula de caudal correspondiente a un vertedero estándar es: Q = Cd b 2g H 3 / 2
(3.16)
Aquí Cd es el coeficiente de caudal, b la longitud efectiva de la cresta, y H la carga total en la cresta. Despejando H de la ecuación (3.16) y cambiando Q por O, se tiene:
70 O H = C b 2g d
2/3
(3.17)
Substituyendo (3.17) en (3.15): O V = A C b 2g d
2/ 3
(3.18)
Combinando adecuadamente las ecuaciones (3.14) y (3.18): O n +1 A C b 2g d
2/ 3
On − A C b 2g d
2/ 3
=
I n + I n +1 O + On +1 ∆t − n ∆t 2 2
(3.19)
Trasladando todos los términos a la izquierda: O n +1 A C b 2g d
2/ 3
On − A C b 2g d
2/ 3
−
I n + I n +1 O + On+1 ∆t + n ∆t = 0 2 2
Multiplicando por 2 / ∆t y ordenando:
On +1 +
2A 2A 2/ 3 On2+/13 + On − On − I n+1 − I n = 0 2/ 3 2/ 3 ∆t (C d b 2 g ) ∆t (C d b 2 g )
(3.20)
Definiendo los parámetros E y F como sigue:
E=
2A ∆t (C d b 2 g ) 2 / 3
F = On − EOn
2/3
− I n +1 − I n
Usando las ecuaciones (3.21) y (3.22) en la (3.20):
(3.21)
(3.22)
71
On +1 + EOn2+/13 + F = 0
(3.23)
Esta es la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante. La solución de ésta ecuación es el caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1 conocidos el caudal de entrada al inicio del intervalo In, el caudal de entrada al final del intervalo In+1, el caudal de salida al inicio del intervalo On, la duración del intervalo ∆t, además de las características del embalse y vertedero.
3.4.1 Análisis de la Ecuación Principal
Antes de abordar la resolución de la ecuación (3.23) es importante la comprensión de toda la expresión del miembro izquierdo desde un enfoque matemático. Expresando el miembro izquierdo (sin subíndices) de la ecuación (3.23) como función: f (O ) = O + EO 2 / 3 + F
(3.24)
La función (3.24) es una función algebraica explícita. Las funciones algebraicas explícitas son una clase importante de funciones que incluyen las funciones tipo polinomio y racionales, como casos especiales, y son generadas por un número finito de operaciones algebraicas. Como esta función fue derivada de una forma de la ecuación de continuidad (3.20), físicamente representa el estado del balance en el sistema para un caudal de salida O al final del intervalo de tiempo. De esta manera, la función (3.24) es cero cuando el caudal de salida O al final del intervalo es el adecuado para satisfacer la ecuación de continuidad. La curva mostrada en la ilustración 3.5 es una representación gráfica de la función (3.24).
72 3
f(O) (m /s)
3 O (m /s)
0 F
Ilustración 3. 5. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
3 f(O) (m /s)
E para 3A
E para 2A
E para A
3
O (m /s)
Ilustración 3. 6. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de E.
73
3.4.2 Parámetro Físico del Embalse y Vertedero E
La expresión para E involucra las características del embalse y del vertedero estándar, además del intervalo de tiempo del hidrograma de entrada. Por consiguiente, E puede llamarse parámetro físico del embalse y vertedero. A causa de lo que representa, E tiene influencia en la forma de la gráfica de la función (3.24) como se ve en las curvas para distintas superficies de agua mostradas en la ilustración 3.6. Es necesario mencionar que si bien ∆t no representa a una característica física del sistema, éste representa a una característica intangible del sistema capaz de influir en la respuesta del mismo. Como se puede deducir de la ecuación (3.21), las unidades de E están dadas en
m 3 / s1 / 3 . En la ecuación (3.21) puede verse también que E exclusivamente puede tomar valores positivos, porque los valores correspondientes a las características del embalse y del vertedero, y los valores del tiempo son siempre positivos.
3.4.3 Parámetro de Almacenamiento F
La expresión (3.22) para F contiene el caudal de entrada al inicio In y al final del intervalo de tiempo In+1, y el caudal de salida al inicio del intervalo de tiempo On, o sea contiene toda la información conocida de caudal.
Como toda ésta información está
relacionada con el almacenamiento en el embalse, F puede llamarse parámetro de almacenamiento. La curva de F durante el tránsito de la avenida corresponde a una curva típica de almacenamiento, como puede verse en la ilustración 3.7. La ecuación (3.20), una forma de la ecuación de continuidad, requiere que F sumada a los términos dependientes de On+1 sea cero. Por esta razón, F puede llamarse también parámetro de balance.
74
On +1 +
(
)
2A 2/ 3 On2+/13 + On − EOn − I n+1 − I n = 0 2/ 3 ∆t (C d b 2 g )
(3.20)
Como F depende del flujo que pasa por el embalse y el vertedero, F no tiene influencia en la forma de la gráfica de la función (3.24), tan sólo tiene efecto en su ubicación respecto al eje vertical. La ilustración 3.8 muestra la gráfica de la función (3.24) para algunos valores de F. De acuerdo a su expresión (3.22), las unidades de F están dadas en m 3 / s . Finalmente, puesto que los valores del caudal de salida On+1 son siempre positivos, la ecuación (3.20) requiere que la expresión de F tome siempre valores negativos o cero. 3 F (m /s)
Tiempo (s)
Ilustración 3. 7. Curva del parámetro de almacenamiento F durante la avenida.
La ilustración 3.5 servirá de guía para el análisis desarrollado a continuación. Es muy útil conocer el dominio y el rango de una función, porque este conocimiento nos dice acerca de aquellas regiones del plano en las cuales el gráfico está confinado y de las que está excluido.
75
3 f(O) (m /s)
3
O (m /s) 0 F 2F 3F
Ilustración 3. 8. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de F.
3.4.4 Dominio El dominio de la función es el conjunto de todos los números O0 tales que la recta vertical O = O0 intercepta la gráfica. Para determinar el dominio de la función f debe hallarse todos los O para los cuales la expresión tiene significado. En la función (3.24) el término EO 2 / 3 no está definido para valores de O menores a 0. Por consiguiente, el dominio de la función f es: O≥0
Evidentemente, O no debe ser negativo porque la elevación del espejo de agua H sobre la cresta del vertedero es por definición positiva, en consecuencia el caudal resultante de la formula (3.16) es también positivo.
76 Es necesario notar que, la función (3.24) esta definida y es continua para todos los valores O de su dominio.
3.4.5 Rango
El rango de la función es el conjunto de todos los f0 tales que la recta horizontal f = f 0 intercepta la gráfica. Para determinar el rango de la función f debe despejarse O y hallarse los valores de f para los cuales la expresión resultante tiene significado. Si bien el despeje de O en la ecuación (3.24) es posible, como se verá más adelante, éste conlleva a complicadas expresiones algebraicas y a cálculos en el campo de los números complejos, por lo que es conveniente aquí la técnica de cálculo alternativa de a continuación: Primero se calcula la derivada de f: f ′(O) = 1 + 23 EO −1 / 3
(3.25)
Tomando en cuenta que E no puede ser negativa, la derivada en el interior del dominio es positiva por lo que la función f es creciente.
Luego,
f (0) = F y
lim f (O) = +∞ . Por lo tanto, el rango de la función está dado por:
O → +∞
F ≤ f (O) < +∞ Ciertamente, el rango debe tener un límite inferior, puesto que el estado de balance al que representa la función f no puede ser de un carácter infinitamente negativo.
3.4.6 Intersecciones
Es útil saber el lugar donde la gráfica corta a los ejes O y f. Un punto en que la gráfica cruza al eje O se llama intersección con O; un punto donde cruza al eje f se llama intersección con f. Para hallar la intersección con O se hace f (O ) = 0 . Para hallar la intersección con f se hace O = 0 .
77
La intersección con f ocurre en F puesto que f (0) = F . La intersección con O sólo sucede cuando F ≤ 0 . Como la intersección con O corresponde al valor para el cual
f (O ) = 0 este valor de O se llama cero de la función. La intersección con f nos dice que, a causa de la falta de un caudal de salida al final del intervalo de tiempo, se tiene un estado de balance imperfecto F. La intersección con O nos da el caudal de salida al final del intervalo para un estado de balance perfecto, como lo exige la ecuación de continuidad.
3.4.7 Simetrías La gráfica será simétrica respecto al eje O, si y solo si los puntos (O, f ) y (O,− f ) pertenecen a la gráfica. La gráfica será simétrica respecto al eje f, si y solo si los puntos
(O, f ) y (−O, f ) pertenecen a la gráfica. La gráfica será simétrica respecto al origen, si y solo si los puntos (O, f ) y (−O,− f ) pertenecen a la gráfica. Debe tenerse en cuenta que una curva puede ser simétrica respecto al origen sin serlo respecto a los ejes. Puesto que f es una función, se descarta la simetría respecto al eje O. Puesto que el dominio de la función no permite valores negativos, también se descarta la simetría respecto al eje f. En consecuencia, la simetría respecto al origen también queda descartada. Por ejemplo, si la función (3.24) fuese simétrica con respecto al eje O implicaría un doble estado de balance para un caudal de salida al final del intervalo, situación físicamente incompatible.
3.4.8 Asíntotas
Una asíntota es una línea recta a la cual se acerca, pero no logra alcanzarla, el ramal infinito de una curva y que puede considerarse como tangente a la curva en el infinito. Para hallar asíntotas verticales debe buscarse valores de O que hagan cero el denominador de algún cociente en la función (3.24). Para hallar asíntotas horizontales debe despejarse O y
78 buscarse valores de f que hagan cero el denominador de algún cociente en la expresión resultante. Como no existen cocientes en la función f no se tienen asíntotas verticales. Si bien no es práctico aquí despejar O se puede afirmar que no se tienen asíntotas horizontales porque la función es creciente hacia el infinito.
Más adelante, cuando se tenga a O
despejado se confirmará esta aseveración.
3.4.9 Máximos y Mínimos
Por definición, una función como f tiene un máximo relativo en Oo si existe un intervalo que contiene a O0 como punto interior, tal que f (Oo ) es el máximo de f en este intervalo. Análogamente, f tiene un mínimo relativo en O1 si existe un intervalo con O1 como punto interior tal que f (O1 ) es el mínimo de f en este intervalo. Si la función f se restringe a un intervalo cualquiera no existirán máximos ni mínimos relativos de acuerdo a la definición, porque éstos no ocurren en el interior del intervalo, sino en los extremos. De este modo, se tiene un mínimo absoluto para O = 0 en
f (0) = F . El máximo absoluto no está definido para la función f.
3.4.10 Puntos Críticos
Por definición, un valor crítico de una función como f es un valor de O donde
f ′(O ) = 0 .
Un punto crítico de la función f es el punto
(O, f (O))
de la gráfica
correspondiente al valor crítico O. Generalmente se presenta un punto crítico en cualquier punto de máximo o mínimo relativo de una función que puede derivase en ese punto. Ya que en la función f no existe máximos ni mínimos relativos, tampoco existe puntos críticos.
79 3.4.11 Concavidad
Por definición, si en cada punto de un intervalo la gráfica de la función está siempre por encima de la tangente a la curva en ese punto, se dice que la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo. Si la curva está siempre por debajo de la recta tangente, se dice que la curva es cóncava hacia abajo. Para verificar la concavidad hacia arriba debe probarse
f ′′(O ) > 0 en el interior del dominio.
Para verificar la concavidad hacia abajo debe
probarse f ′′(O ) < 0 en el interior del dominio. La segunda derivada de la función (3.24): f ′′(O ) = − 92 EO −4 / 3
(3.26)
Puesto que para cualquier O del interior del dominio de (3.24) f ′′(O ) es negativa, la curva de la función f es cóncava hacia abajo.
3.4.12 Puntos de Inflexión Por definición, un punto de la curva es un punto de inflexión si f ′′(Oo ) = 0 en este punto y si la gráfica es cóncava hacia arriba a un lado y cóncava hacia abajo al otro lado. Como la curva de la función f es sólo cóncava hacia abajo no se tienen puntos de inflexión.
3.4.13 Función Inversa
Por teorema, una función creciente como f con dominio J y rango K tiene una función inversa, creciente, con dominio K y rango J.
80 Como la función (3.24) es creciente, entonces f (O ) tiene una función inversa, creciente O ( f ) con dominio F ≤ f < +∞ y rango 0 ≤ O ( f ) < +∞ .
Para expresar la
función inversa es necesario despejar O de la ecuación (3.24), lo que se verá más adelante. La función inversa representa el caudal de salida O al final del intervalo de tiempo perteneciente a un estado de balance en el sistema dado por f. De esta manera, cuando el estado de balance dado es cero, el valor resultante de la función inversa es el caudal de salida O al final del intervalo de tiempo apto para el cumplimiento de la ecuación de continuidad. La ilustración (3.9) muestra la gráfica de la función inversa O la cual puede ser generada mediante la resolución numérica de O en la función (3.24) para valores dados de f. 3 O(f) (m /s)
3 f (m /s)
F
0
Ilustración 3. 9. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
81 3.4.14 Raíces
Encontrar las raíces de una ecuación como la (3.23) es equivalente a encontrar los valores de O para los cuales f (O ) es cero. Por esta razón las raíces de las ecuaciones muchas veces son llamadas ceros de la ecuación. Existe teoría sobre las raíces de las ecuaciones tipo polinomio, pero no existe tal sobre las raíces de ecuaciones tipo función algebraica explícita como la función (3.24). En consecuencia es obligatorio un análisis particular de la función (3.24). Si F es menor o igual a cero, entonces la curva de la función (3.24) cruzará el eje O dada la naturaleza creciente de ésta función. Una vez que la curva cruza el eje O no lo cruza más debido a que la función (3.24) es creciente. En conclusión, la ecuación (3.23) tiene una única raíz real para F ≤ 0 . Como corolario, la ecuación (3.23) no tiene raíces reales para F > 0 . Se mencionó anteriormente que F es siempre negativa.
Por consiguiente, la
existencia de una solución de la ecuación (3.23) está garantizada. La ilustración 3.10 muestra la curva de la función (3.24) rotulada de acuerdo a todo el análisis anterior.
82 3
f(O) (m /s) Rango F ≤ f(O)< +∞
Continua Creciente
Cóncava hacia abajo
Dominio O≥0
3
O (m /s) 0 F
Intersección con O (Raíz) O=On+1 Intersección con f (Mínimo absoluto) f=F
Ilustración 3. 10. Curva (rotulada) de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
3.4.15 Resolución Gráfica de la Ecuación Principal Curva Característica
Una alternativa para la resolución de la ecuación principal (3.23) es mediante una curva muy interesante, llamada curva característica del sistema embalse-vertedero, desarrollada a continuación. La curva característica es la gráfica del caudal de salida al final del intervalo de tiempo O frente a la función (3.24) pero recortada de F: f (O ) = O + EO 2 / 3
(3.27)
83 La curva característica se muestra en la ilustración 3.11. No es complicado advertir que la función 3.27 retorna el valor de F con signo cambiado cuando el caudal de salida al final del intervalo de tiempo es la raíz de la ecuación (3.23), o sea cuando el caudal de salida satisface la ecuación de continuidad del sistema embalse-vertedero. La facultad más sobresaliente de la curva característica radica en que basta trazarla una sola vez para luego hallar cualquier caudal de salida al final del intervalo dado su respectivo F. Esto es posible porque en un sistema embalse-vertedero ya establecido el parámetro E normalmente permanece constante mientras que el parámetro F permanece variable durante el paso de la tormenta o avenida. Consiguientemente, es conveniente señalar que, existe una sola curva característica para el sistema embalse-vertedero. Finalmente y como ejemplo, para valores de E = 67.7 m 3 / s1 / 3 y F = -609.0 m 3 /s , se tiene un caudal de salida al final del intervalo de tiempo de O = 25.3 m3/s obtenido aproximadamente mediante la curva característica correspondiente mostrada en la ilustración 3.11.
Ecuación Alternativa
Otra alternativa para la resolución de la ecuación (3.23) se origina en la curva característica del sistema embalse-vertedero y consiste en articular una sencilla ecuación para representar aproximadamente la versión tipo log-log de la curva característica. Es importante advertir que, pese a que la función (3.27) puede representarse muy aceptablemente con una línea recta en una gráfica tipo log-log, ésta no puede convertirse matemáticamente a formas u expresiones logarítmicas, lo cual significa que la función (3.27) no siempre puede mostrarse como una recta en una gráfica log-log. La versión loglog de la curva característica se muestra en la ilustración 3.12.
84 f(O) (m3/s)
1200
1000
800
600
(25.3,
609.0)
400
200
O (m3/s) 0 0
10
20
30
40
50
60
70
Ilustración 3. 11. Curva característica para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante. y (m3/s)
10000
1000
(x2, y2) (24.7, 609.0) (x1, y1) 100
10
x (m3/s) 1 1
10
100
Ilustración 3. 12. Curva de la ecuación alternativa para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
85
Para ensamblar la ecuación que representa la recta mostrada en la ilustración 3.12 puede usarse un par de puntos de la misma en la forma dos puntos de la ecuación de una recta:
O
f (O) = O + EO 2 / 3
20.0
519.0
32.0
714.6
Según la forma dos puntos de la ecuación de una recta:
y − 519.0 =
714.6 − 519.0 ( x − 20.0) 32.0 − 20.0
x = 0.06 y − 11.8
(3.28)
La ecuación (3.28) se denomina ecuación alternativa del sistema embalse-vertedero y al igual que la curva característica basta ensamblarla una sola vez para resolver cualquier caudal de salida al final del intervalo de tiempo O. Sin embargo nótese que, para mayor aproximación debe elegirse un par de puntos que cubran el rango de caudales abordados en el problema. Continuando
con
el
ejemplo,
para F = -609.0 m 3 /s se
tiene
primeramente
y = 609.0 m /s , luego de la ecuación (3.28) se tiene O = x = 24.7 m /s como se muestra 3
3
en la ilustración 3.12. Finalmente, decir que, como se verá más adelante el resultado anterior es indudablemente aproximado.
3.4.16 Resolución Algebraica de la Ecuación Principal
Para resolver algebraicamente la ecuación principal (3.23), primeramente debe emplearse un cambio de variable que transforme la misma en una ecuación cúbica, para
86 luego poder aplicar el método de Cardano orientado a ecuaciones cúbicas. El método de Cardano está desarrollado en el Apéndice C. Aplicando un cambio de variable:
V3 =O
(3.29)
Expresando la ecuación (3.23) de acuerdo al anterior cambio de variable:
V 3 + EV 2 + F = 0
(3.30)
Aplicando las fórmulas de Cardano a la ecuación cúbica (3.30), se tiene:
V =
3
− q + q2 + 2
4 27
p3
+
3
− q − q2 +
4 27
2
p3
−
E 3
(3.31)
En la ecuación (3.31) las variables p y q están dadas por:
p=−
E2 3
2E 3 q= +F 27
(3.32)
(3.33)
En el ejemplo a continuación, se evitará la colocación de las unidades junto a las cantidades por conveniencia de notación. Entonces, para valores dados de E = 67.72 y F = −609.00 , según las ecuaciones (3.32) y (3.33) se tiene p = −1528.67 y q = 22395.73 .
Posteriormente, aplicando la ecuación (3.31), se tiene:
V =3
− 22395.73 + - 27652748.27 3 − 22395.73 − - 27652748.27 − 22.57 + 2 2
87 Ciertamente, la anterior expresión de V requiere manipulaciones en el campo de los números complejos. De este modo, se tiene: V = 3 − 11197.87 + 2629.29i + 3 − 11197.87 − 2629.29i − 22.57 Evaluando las raíces cúbicas, se tiene:
V = (12.75 + 18.62i) + (12.75 − 18.62i) − 22.57 = 2.93 Finalmente, deshaciendo el cambio de variable mediante la ecuación (3.29), se tiene:
O = 25.15 m 3 / s El caudal de salida al final del intervalo de tiempo apropiado para la ecuación de continuidad, según el resultado anterior es, 25.15 m3/s. La gráfica de éste ejemplo se muestra en la ilustración 3.13.
Pese a que las fórmulas de Cardano pueden abarcar
manipulaciones en el campo de los números complejos, se puede aseverar que son la mejor opción para resolver la incógnita de la ecuación principal (3.23). Es importante advertir que el resultado anterior goza de un error de redondeo puesto que se las cifras se redondearon a dos decimales durante todo el cálculo mostrado. Este error de redondeo puede reducirse a su mínima expresión realizando todo el cálculo con el mayor número de cifras decimales posibles. Por último, es necesario mencionar aquí, que la función inversa de la función (3.24) puede ensamblarse fácilmente usando las ecuaciones (3.29), (3.31), (3.32) y (3.33) pero reemplazando F por F − Q . Y finalmente, como en la expresión (3.31) no existe ningún denominador que pueda hacerse cero, se puede confirmar que no existen asíntotas horizontales para la función (3.24).
88 f(O) (m3/s)
4500
E=67.72
4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500
O (m3/s)
0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-500
F=-609.00 -1000
Ilustración 3. 13. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante para valores de E y F dados.
3.4.17 Resolución Numérica de la Ecuación Principal
Dado que la resolución de la ecuación (3.23) por métodos algebraicos involucra cierta dificultad, la aplicación de los métodos numéricos es una buena opción. En esta parte se aplicará el método de Newton-Raphson, elegido por la sencillez de su algoritmo y por su rápida convergencia. En verdad, cualquier otro método es aplicable para la resolución de la ecuación (3.23) ya que la misma como se mostró posee una única raíz real. En el Apéndice B se presenta un resumen teórico de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones, incluyendo el de Newton-Raphson. La fórmula del método Newton-Raphson aplicada a la función (3.24):
O
( n +1)
−O
(n)
=δ
( n +1)
f (O ( n ) ) O + EO 2 / 3 + F =− =− f ′(O ( n ) ) 1 + 23 EO −1 / 3
(3.34)
89
En la ecuación (3.34) n y n+1 denotan la anterior y actual iteración, respectivamente. El símbolo δ (delta) representa la magnitud del cambio de la raíz. Es necesario iniciar la iteración con un valor estimado de O, y con un valor de error ε (épsilon) exigido.
Una regla conocida consiste en asignar a ε un décimo del error
permitido en la raíz. Finalmente, la iteración deberá continuar hasta que el cambio de la raíz sea menor que el valor predeterminado del error. O sea δ < ε .
Por ejemplo, se resolverá la ecuación (3.23) para
E = 67.72 m 3 / s1 / 3
y
F = -609.00 m 3 /s . La gráfica correspondiente se muestra en la ilustración 3.13. Para iniciar la iteración con un valor estimado puede usarse la gráfica y elegirse por ejemplo
O = 24.00 m 3 / s . Luego puede exigirse un error permisible ε = 0.001 m 3 / s . Con esta información y la ecuación (3.34) puede lograrse el cuadro:
Tabla 3. 1. Resolución numérica de la ecuación principal.
O (m /s)
δ (m /s)
|δ|<ε
24.000 25.294 25.305
1.294 0.011 0.000
No No Si
3
3
De acuerdo al anterior cuadro, la raíz de la ecuación (3.23) ocurre en O = 25.31 m3/s. Debe notarse que, éste resultado es más aproximado respecto al anterior
ejemplo, puesto que se emplearon tres decimales durante la iteración.
90 3.4.18 Aplicación
Un lago de 200 hectáreas de superficie constante está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La avenida que se muestra en el cuadro siguiente ocurre sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Calcúlese el hidrograma de salida después del paso por el lago.
Tabla 3. 2. Hidrograma de entrada de la aplicación.
t (h)
I (m /s)
(h)
I (m /s)
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30
21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00
75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00
3
t
3
Solución
Con el método directo basta generar una tabla como la tabla 3.3 para encontrar el hidrograma de salida según se explica a continuación. Las columnas 1 y 3 de la tabla 3.3 contienen toda la información conocida. La columna 2 puede calcularse fácilmente a partir de la columna 1. El parámetro físico del embalse y vertedero se calcula en la columna 4 mediante la ecuación (3.21). Nótese en la tabla que E se mantiene constante mientras el intervalo de tiempo no cambia. El parámetro de almacenamiento se calcula en la columna 5 mediante la ecuación (3.22). Nótese que F se mantiene variable durante toda la tabla. El caudal de salida al final del intervalo de tiempo se calcula para cada paso en la columna 6 mediante la resolución algebraica de la ecuación (3.23) explicada en las ecuaciones (3.29) a (3.33). Nótese que el mencionado caudal también puede calcularse mediante métodos
91 numéricos como se vio anteriormente.
La ilustración 3.14 muestra las curvas de los
hidrogramas de entrada y salida de acuerdo a la tabla 3.3.
Tabla 3. 3. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante por el método directo (de la ecuación principal).
Columna:
1 t (h) 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00 54.00 60.00 66.00
2 ∆t
3 4 I E 3 3 1/3 (h) (m /s)(m /s )
3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30 75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00 25.00 25.00 25.00
5 6 F O 3 3 (m /s) (m /s)
67.72 -609.00 67.72 -628.40 67.72 -667.90 67.72 -728.24 67.72 -802.04 67.72 -876.33 67.72 -941.32 67.72 -991.49 67.72 -1024.10 67.72 -1038.19 33.86 -536.16 33.86 -501.11 33.86 -458.47 33.86 -422.51 33.86 -396.04 33.86 -376.36
25.00 25.30 26.50 28.98 32.90 37.90 43.15 47.92 51.70 54.20 55.29 53.77 48.82 42.98 38.23 34.84 32.38
Como se vio, existe una alternativa gráfica originada en la ecuación principal para calcular el hidrograma de salida consistente en emplear la curva característica del embalse. La ilustración 3.15 muestra la curva característica para un intervalo de tiempo de 3 horas, y muestra también su uso para hallar un caudal de salida de la tabla 3.3. Nótese que la curva característica necesita ser ensamblada una sola vez para cada intervalo de tiempo.
92 3
Caudal (m /s)
90 80
Caudal de entrada
70 60
Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)
0 0
20
40
60
80
100
Ilustración 3. 14 . Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
F(O)=f(O) (m3/s) 1200
(50.49, 1038.19)
1000
800
600
400
200
O (m3/s) 0 0
10
20
30
40
50
60
70
Ilustración 3. 15. Curva caracterísitca para un embalse con vertdero estándar y espejo de agua constante.
93
Finalmente, existe la ecuación alternativa originada en la ecuación principal para calcular el mencionado hidrograma de salida de manera aproximada.
Esta ecuación
aproximada que puede ensamblarse desde la gráfica log-log de la curva característica tiene la siguiente forma para E = 67.72 m 3 / s1 / 3 :
O = 0.06(− F ) − 11.8 Entonces, para un F = −1038.19 m3/s, se tiene:
O = 0.06(1038.19) − 11.8 = 50.49 El caudal de salida al final del intervalo de tiempo es 50.49 m3/s como se puede apreciar en la ilustración 3.16. Nótese que el caudal de salida calculado es aproximado en comparación al hallado en la tabla 3.3 (55.29 m3/s) por resolución algebraica. Nótese también que la ecuación alternativa necesita ensamblarse una sola vez para cada E o sea para cada intervalo de tiempo. y (m3/s)
10000
1000
(50.49, 1038.19)
100
x (m3/s) 10 1
10
100
Ilustración 3. 16. Curva de la ecuación alternativa para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
Ecuación Principal para un Embalse con Vertedero Estándar y Espejo de Agua Constante Ecuación:
On+1 + EOn2+/13 + F = 0 (Incógnita On+1)
Función:
f (O ) = O + EO 2 / 3 + F
Parámetro E: Parámetro F: Función tipo: Función continua: Función creciente: Dominio: Rango: Intersección con O: Intersección con f: Simetrías: Asíntotas: Máximo y mínimos: Puntos críticos: Concavidad: Puntos de inflexión: Función inversa: Número de raíces: Raíz:
E=
2A ∆t (C d b 2 g ) 2 / 3
F = On − EOn
2/3
3 f(O) (m /s)
>0
− I n +1 − I n ≤ 0
Algebraica explícita. Sí Sí O≥0 f (O ) ≥ F O = On +1 (Raíz) f =F Ninguna Ninguna Mínimo absoluto en f =F Ninguno Cóncava hacia abajo Ninguno Continua y creciente Una real cuando F ≤ 0
On+1
(Independiente O)
Rango F ≤ f(O)< +∞
Continua Creciente
Cóncava hacia abajo
Dominio O≥0
3
O (m /s) 0 Intersección con O (Raíz) O=On+1
F
= 3 12 (− 272 E 3 − F +
Intersección con f (Mínimo absoluto) f=F 4 27
E F+F )+ 3
2
3 1 2
(−
2 27
E −F− 3
4 27
E F + F ) − E 3
2
1 3
3
95
3.5
Ecuación Principal para Vertederos Morning Glory
Al integrar la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo ∆t = t n+1 − t n de acuerdo a la ilustración 3.1: Vn + 1
∫
dV =
Vn
t n +1
t n +1
tn
tn
∫ I (t )dt − ∫ O(t )dt
(3.35)
Los valores al inicio y al final del intervalo de tiempo están designados por n y n+1 respectivamente. Así, In y On representan a los caudales de entrada y salida al inicio del intervalo de tiempo respectivamente, In+1 y On+1 representan a los caudales entrada y salida al final del intervalo, respectivamente. Si la variación de los caudales durante el intervalo de tiempo es aproximadamente lineal, entonces el cambio en el almacenamiento puede escribirse como:
Vn +1 − V n =
I n + I n +1 O + O n +1 ∆t − n ∆t 2 2
(3.36)
En la ecuación (3.36), In e In+1 son información conocida, On y Vn también son conocidos porque fueron calculados en el intervalo de tiempo anterior. Consiguientemente, la ecuación (3.36) presenta dos incógnitas: On+1 y Vn+1. Con el fin de resolver la ecuación (3.36) por On+1, se manipularán algebraicamente las fórmulas de almacenamiento del embalse, y del caudal de salida del vertedero Morning Glory. La fórmula de almacenamiento para un embalse con espejo de agua constante a partir de la cresta del vertedero es: V = AH
(3.37)
96 En la ecuación (3.37), A es la superficie (espejo) de agua del embalse, y H la elevación de la superficie de agua a partir de la cresta del vertedero. El caudal de salida para un vertedero Morning Glory está dado por: Q = C d 2πR 2 g H 3 / 2
(3.38)
Donde Cd es el coeficiente de caudal relativo a R y H. El radio de la cresta circular (pipe radius) es R, y la carga total relativa a la cresta del vertedero es H. Aislando H de la ecuación (3.38), y usando O en vez de Q para uniformar la notación, se tiene: O H = C 2πR 2 g d
2/3
(3.39)
Combinando las ecuaciones (3.37) y (3.39), se tiene: O V = A C 2πR 2 g d
2/3
(3.40)
Substituyendo la ecuación (3.40) en la (3.36) con los subíndices adecuados, se tiene: On +1 A C 2πR 2 g d
2/3
On − A C 2πR 2 g d
2/3
=
I n + I n +1 O + O n +1 ∆t − n ∆t 2 2
Trasladando todos los términos al miembro izquierdo de la ecuación (3.41): On +1 A C 2πR 2 g d
2/3
On − A C 2πR 2 g d
2/3
−
I n + I n+1 O + On +1 ∆t + n ∆t = 0 2 2
(3.41)
97 Multiplicando toda la expresión por 2 / ∆t y ordenando:
On +1 +
2A 2A 2/3 On − I n +1 − I n = 0 (3.42) On2+/13 + On − 2/3 2/3 ∆t (C d 2πR 2 g ) ∆t (C d 2πR 2 g )
Definiendo E de acuerdo a:
E=
2A ∆t (C d 2πR 2 g ) 2 / 3
(3.43)
Definiendo F de acuerdo a: F = On − EOn
2/3
− I n +1 − I n
(3.44)
Substituyendo las ecuaciones (3.43) y (3.44) en la (3.42), se tiene: On +1 + EOn2+/13 + F = 0
(3.45)
La ecuación (3.45) es la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante. La raíz o solución es el caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1, cuando son conocidos los caudales de entrada y salida al inicio del intervalo, o sea In y On, el caudal de entrada al final del intervalo, In+1, la duración del intervalo de tiempo ∆t, además de las características del embalse y vertedero.
3.5.1 Análisis de la Ecuación Principal
Como la ecuación (3.45) es semejante a la ecuación para un embalse con vertedero estándar (3.23) no se repetirá al detalle el análisis de la ecuación (3.45), más bien se aprovechará aquí para complementarlo. Excluyendo los subíndices de la ecuación (3.45) por simplicidad de notación y expresándola como una función, se tiene:
98
f (O ) = O + EO 2 / 3 + F
(3.46)
La función f es una función algebraica explícita porque puede ser generada por un número finito de operaciones algebraicas. La función (3.46) es descendiente de la ecuación de continuidad, de esta manera representa el estado del balance en el sistema, dado un caudal de salida al final del intervalo de tiempo O. Si el caudal O es el adecuado para un estado de balance perfecto, entonces la función (3.46) es cero. La curva representante de la función f se muestra en la ilustración 3.17. 3 f(O) (m /s)
3
O (m /s) 0 F
Ilustración 3. 17. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
99
3.5.2 Parámetro Físico del Embalse y Vertedero E
El parámetro E puede llamarse parámetro físico del embalse y vertedero porque su expresión (3.43) contiene las características del embalse y del vertedero Morning Glory, y el intervalo de tiempo dado por el hidrograma de entrada. El valor de E tiene efecto en la curva de la función (3.46), de acuerdo a la ilustración 3.18, a medida que el intervalo de tiempo crece, la curva correspondiente es más laminada. En la ilustración 3.18 se puede ver también que, a medida que ∆t es mayor, la curva intercepta al eje O más a la derecha, implicando que el caudal de salida al final del intervalo, necesario para un balance perfecto, depende del intervalo de tiempo establecido para el sistema. Todos los componentes de E (3.43) son siempre valores positivos porque representan parámetros de la realidad física. En consecuencia E será siempre positivo. Las unidades de E están dadas en m 3 / s1 / 3 . f(O) (m3/s) E para ∆t
E para 2∆t
E para 3∆t
O (m3/s) 0 F
Ilustración 3. 18. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante para valores de E.
100 3.5.3 Parámetro de Almacenamiento F
El parámetro F puede llamarse parámetro de almacenamiento porque su fórmula (3.44) contiene todos los caudales conocidos que están relacionados con el almacenamiento en el sistema durante el paso de la tormenta o avenida como se muestra en la ilustración 3.19. El parámetro F puede llamarse también parámetro de balance porque es parte de una forma de la ecuación de continuidad (3.42) donde sumada a términos dependientes de On+1 deberá producir cero para un balance perfecto:
On +1 +
2A 2A 2/3 On2+/13 + On − On − I n +1 − I n = 0 2/ 3 2 / 3 ∆t (C d 2πR 2 g ) ∆t (C d 2πR 2 g )
(3.42)
El valor de F tiene influencia sólo en la posición de la curva de la función (3.46) con respecto al eje vertical, como se muestra en la ilustración 3.20. En la ilustración 3.20 se puede ver también que, a medida que F decrece, el caudal necesario para un estado de balance perfecto se incrementa. De acuerdo a la ecuación (3.42), F siempre es cero o negativa, puesto que On+1 siempre es cero o positivo. El caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1 siempre es cero o positivo porque debe ser compatible con la ecuación (3.38) donde las componentes son físicamente cero o positivas. Las unidades de F están dadas en m 3 / s .
3.5.4 Dominio
Como la potenciación de valores reales negativos no está definida para exponentes racionales, la función (3.46) está restringida al siguiente dominio: O≥0
Lo que confirma que el caudal de salida al final del ∆t es siempre positivo. La función f (3.46) está definida y es continua para todos los valores O del dominio.
101 3 F (m /s)
Tiempo (s)
Ilustración 3. 19. Curva del parámetro de almacenamiento F.
3 f(O) (m /s)
3
O (m /s) 0 F
O 3>O2>O 1 O2>O1
2F 3F
O1
Ilustración 3. 20. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante para valores de F.
102
3.5.5 Rango
Como la primera derivada de f es siempre positiva en el interior del dominio, la función f es creciente: f ′(O) = 1 + 23 EO −1 / 3 > 0
El límite inferior del rango está dado por f (0) = F .
(3.47)
Y como la función es
creciente, el límite superior del rango está dado por lim f (O) = +∞ . De esta manera, el O → +∞
rango de la función (3.46) se restringe a:
F ≤ f (O) < +∞ Indiscutiblemente, para un caudal de salida mínimo al final del intervalo de tiempo debe existir un estado de balance definido F, y para un caudal de salida infinitamente positivo debe existir un estado de balance infinitamente correspondiente. En otras palabras, es razonable que el rango contenga un límite inferior.
3.5.6 Intersecciones Como f (0) = F existe una intersección con f en F. Como la función (3.46) es creciente, existe una intersección con el eje O cuando F ≤ 0 . La intersección con f se interpreta como el estado de balance imperfecto límite existente para un caudal de salida al final del intervalo de tiempo no existente o cero. La intersección con O se interpreta como el caudal de salida al final del intervalo necesario para un estado de balance perfecto.
103
3.5.7 Simetrías
No existe simetría con respecto al eje O, si existiese significaría que un caudal de salida al final del intervalo de tiempo produce simultáneamente un doble estado de balance, realidad física imposible.
Tampoco existe simetría con respecto al eje f, si existiese
significaría que el caudal de salida al final del intervalo podría ser negativo, situación matemáticamente y físicamente incompatible.
3.5.8 Asíntotas
No se tienen asíntotas verticales porque el caudal de salida al final del intervalo de tiempo puede crecer infinitamente sin restricción. Del mismo modo, no se tienen asíntotas horizontales porque la función f puede crecer infinitamente sin restricción.
3.5.9 Máximos y Mínimos
La función (3.46) no tiene máximos ni mínimos relativos en intervalos interiores del dominio. Sin embargo, la función (3.46) tiene un mínimo absoluto en f (0) = F . Si la función (3.46) no tuviese un mínimo absoluto, entonces implicaría que el estado de balance del sistema no estaría definido para un caudal de salida al final del intervalo de cero. Situación físicamente incompatible.
3.5.10 Puntos Críticos
Los puntos críticos solo existen junto a máximos o mínimos relativos en intervalos interiores del dominio. Como la función f no tiene máximos ni mínimos relativos, tampoco tiene puntos críticos. Además, como la función (3.46) es eternamente creciente no permite la existencia de puntos críticos.
104
3.5.11 Concavidad
Como la segunda derivada de la función f es siempre negativa en el interior del dominio, la curva correspondiente es cóncava hacia abajo: f ′′(O ) = − 29 EO −4 / 3 < 0
(3.48)
Generalmente, se comprueba la concavidad con el fin de obtener más información sobre la gráfica.
3.5.12 Puntos de Inflexión
Cuando la gráfica cambia de cóncava hacia abajo hacia cóncava hacia arriba o viceversa, se tiene un punto de inflexión. Como la función (3.46) sólo es cóncava hacia abajo, no se tienen puntos de inflexión. Al igual que en la concavidad, generalmente se buscan los puntos de inflexión para lograr más información sobre la gráfica.
3.5.13 Función Inversa
Por teorema, cuando una función como f es creciente, entonces tiene una función inversa creciente O ( f ) cuyo dominio está dado por F ≤ f < +∞ y cuyo rango está dado por 0 ≤ O ( f ) < +∞ .
105
Físicamente, la función inversa O retorna el caudal de salida al final del intervalo de tiempo para un estado de balance f dado. De esta manera, para un estado de balance dado
f = 0 la función O retornará el caudal de salida al final del intervalo adecuado para la satisfacción de la ecuación de continuidad, o sea O (0) = On+1 . La curva de la función inversa O puede ser trazada resolviendo la ecuación (3.46) por O para valores de f dados. La ilustración 3.21 muestra la función inversa O. Para expresar la función inversa de f debe resolverse algebraicamente la ecuación (3.46) por O. La resolución algebraica de (3.46) se detalla más adelante. 3
O(f) (m /s)
3
On+1
F
f (m /s)
0
Ilustración 3. 21. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
106
3.5.14 Raíces
Como no existe una guía sobre las raíces de las ecuaciones algebraicas explícitas, es necesario una inspección particular tanto a la ecuación (3.45) como a la función correspondiente (3.46). Como se dijo al principio, F siempre es menor o igual a cero, implicando el cruce del eje O por la curva de la función (3.46) dado que ésta es creciente, e implicando al mismo tiempo que una vez cruzado el eje O, no se lo vuelve a pasar más porque el rango de f tiende al infinito positivo. Concluyendo, la ecuación (3.45) tiene una raíz real cuando F ≤ 0 y ninguna si F > 0 .
La ilustración 3.22 es una representación de la curva de la función de la ecuación principal (3.46) etiquetada de acuerdo a los resultados de todo el análisis anterior. 3 f(O) (m /s)
Rango F ≤ f(O) < +∞
Cóncava hacia abajo
Continua y Creciente
Dominio O≥0 3
O (m /s) 0 F
Intersección con O (Raíz) O=O n+1 Intersección con f (Mínimo absoluto) f=F
Ilustración 3. 22. Curva (rotulada) de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
107
3.5.15 Resolución Gráfica de la Ecuación Principal Curva Característica
Puede resolverse la ecuación principal (3.45) usando una curva muy interesante, denominada curva característica del sistema embalse-vertedero. La curva característica es una gráfica del caudal de salida al final del intervalo de tiempo O frente a la siguiente función derivada de (3.46): f (O ) = O + EO 2 / 3
(3.49)
Es fácil darse cuenta que la función (3.49) retorna − F si el caudal de salida al final del intervalo de tiempo es la solución de la ecuación principal, o sea cuando se satisface la ecuación de continuidad del sistema. La curva característica está mostrada en la ilustración 3.23. La curva característica es única para el sistema embalse-vertedero, por lo tanto una vez trazada puede hallarse cualquier caudal de salida al final del intervalo para su respectivo F. Esto es posible porque en un sistema establecido el parámetro E permanece constante y el parámetro F permanece variable durante la avenida. Por ejemplo, para E = 16.4 m 3 / s 1 / 3 y F = -511.1 m 3 /s se tiene un O = 117.4 m3/s logrado como se muestra en la curva característica de la ilustración 3.23.
108 3
f(O) (m /s)
800
700
600
500
(117.4, 511.1) 400
300
200
100 3
O (m /s) 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Ilustración 3. 23. Curva característica para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
Ecuación Alternativa
Al igual que para un embalse con vertedero estándar, la versión log-log de la curva aparece en ésta parte y se muestra en la ilustración 3.24. Para establecer la ecuación que representa la línea recta trazada en la ilustración 3.24 debe escogerse dos puntos de la misma y luego aplicarlos a la forma dos puntos de la ecuación de una recta:
O
f (O) = O + EO 2 / 3
126.0
538.6
150.0
613.5
Según la forma dos puntos de la ecuación de una recta:
109
y − 538.6 =
613.5 − 538.6 ( x − 126.0) 150.0 − 126.0
x = 0.32 y − 47.7
(3.50)
La ecuación (3.50) que es la ecuación alternativa del sistema embalse-vertedero sirve para encontrar cualquier caudal de salida al final del intervalo de tiempo O. Siempre debe tenerse en cuenta que, para lograr mayor aproximación debe escogerse un par de puntos que cubran el rango de caudales tratados en el problema en cuestión. Siguiendo el mismo ejemplo, para F = -511.1 m 3 /s se tiene y = 511.1 m3/s , y de la ecuación alternativa (3.50) se tiene O = x = 115.9 m3/s como se puede ver en la ilustración 3.24. Es necesario subrayar que, el resultado logrado es aproximado.
y (m3/s)
1000
(x2, y2) (115.9, 511.1) (x1, y1) 100
10
x (m3/s) 1 1
10
100
1000
Ilustración 3. 24. Curva de la ecuación alternativa para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
110
3.5.16 Resolución Algebraica de la Ecuación Principal
Como se vio en el caso correspondiente al vertedero estándar, la ecuación (3.45) puede resolverse mediante un cambio de variable más la aplicación del método de Cardano (Apéndice C). Cambio de variable:
V3 =O
(3.51)
La ecuación (3.45) de acuerdo al cambio de variable:
V 3 + EV 2 + F = 0
(3.52)
Las fórmulas de Cardano aplicadas a la ecuación (3.52):
V =
3
− q + q2 +
4 27
p3
2
+
3
− q − q2 + 2
4 27
p3
−
E 3
(3.53)
Las variables p y q están dadas por:
p=−
q=
E2 3
2E 3 +F 27
(3.54)
(3.55)
En el ejemplo a continuación no se colocarán las unidades junto a las cantidades por conveniencia de notación.
Para valores de E = 16.42 y F = −511.11 , p = -89.87 y
q = -183.18 . Luego, según la ecuación (3.53):
111
V =3
183.18 + - 73977.76 3 183.18 − - 73977.76 + − 5.47 2 2
Luego: V = 3 91.59 + 135.99i + 3 91.59 − 135.99i − 5.47 Evaluando:
V = (5.18 + 1.75i ) + (5.18 − 1.75i ) − 5.47 = 4.89 Y, según la ecuación (3.51):
O = 116.93 m 3 / s El caudal de salida al final del intervalo de tiempo es 116.93 m3/s. La curva se muestra en la ilustración 3.25. Es necesario volver a mencionar que, el resultado anterior tiene un error de redondeo puesto que durante todo el cálculo expuesto se usaron dos decimales. Finalmente, la función inversa de (3.46) puede ensamblarse usando las ecuaciones (3.51), (3.53), (3.54) y (3.55) pero cambiando F por F − Q .
3.5.17 Resolución Numérica de la Ecuación Principal
Otra vía recomendable para la resolución de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory (3.45) es el método numérico de Newton-Raphson, que fue empleado también en la resolución de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar (3.23).
112 3
f(O) (m /s)
1000
E=16.42
800
600
400
200 3
O (m /s) 0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-200
-400
-600
F=-511.11
Ilustración 3. 25. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante para valores de E y F.
La formula de iteración de Newton-Raphson aplicada a la función (3.46):
O ( n+1) − O ( n ) = δ ( n+1) = −
f (O ( n ) ) O + EO 2 / 3 + F = − f ′(O ( n ) ) 1 + 23 EO −1 / 3
(3.56)
Aquí, n y n+1 designan a la anterior y actual iteración, respectivamente. El símbolo δ (delta) es la magnitud del cambio de la raíz entre iteraciones. Para iniciar la iteración de la resolución, debe especificarse un estimado inicial de O así como un error ε (épsilon) admisible. Se sugiere que el error ε sea un décimo del error permitido en la raíz. Posteriormente, la iteración debe durar hasta que δ < ε .
Por ejemplo, se resolverá la ecuación (3.45) para
E = 16.42 m 3 / s 1 / 3
y
F = −511.11 m 3 / s . Para iniciar la iteración puede elegirse un O = 115.00 m 3 / s , como se ve en la ilustración 3.25, además puede admitirse un error ε = 0.001 m 3 / s . Luego, se continúa con la fórmula (3.56) como se muestra en el siguiente cuadro:
113
Tabla 3. 4 . Resolución numérica de la ecuación principal.
O (m /s)
δ (m /s)
|δ|<ε
115.000 117.401 117.407
2.401 0.006 0.000
No No Si
3
3
Entonces, la solución o la raíz de la ecuación (3.45) está dada por
O = 117.41 m 3 / s . Nótese que la solución fue alcanzada prontamente gracias a un buen estimado inicial y gracias a la naturaleza del método Newton-Raphson. Nótese también que el método Newton-Raphson no requiere manipulaciones de números complejos. Finalmente, nótese que éste resultado es más aproximado que el obtenido en el anterior ejemplo, puesto que se emplearon tres decimales.
3.5.18 Aplicación
Un embalse de 200 hectáreas de superficie constante está regulado por un vertedero Morning Glory cuyo radio circular de excedencia (pipe radius) es de 2.25 m, radio de chimenea (shaft radius) es de 1.25 m, y un coeficiente de descarga Cd de 0.385. La tormenta o avenida que se muestra a continuación ocurre sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Calcúlese el hidrograma de salida después del paso por el embalse. Supóngase que el vertedero Morning Glory está situado en el embalse de tal manera que, su altura estructural es la más óptima y el flujo en las proximidades del mismo se mantiene aproximadamente libre de circulación o sea no se tiene asímetría de flujo en las cercanías del vertedero.
114 Tabla 3. 5. Hidrograma de entrada de la aplicación.
t (h)
I (m /s)
(h)
I (m /s)
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30
21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00
75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00
3
t
3
Como la ecuación principal para un embalse con vertedero Morning Glory es la misma en su forma algebraica que la correspondiente a un embalse con vertedero estándar, el procedimiento de cálculo también es el mismo. La tabla 3.6 es la tabla de cálculo del problema en cuestión. El hidrograma de la avenida se muestra en las columnas 1 y 3 de la tabla. El parámetro físico del embalse y vertedero E es calculado a lo largo de la columna 4 según la ecuación (3.43).
Nótese que éste cambia junto al intervalo de tiempo.
El
parámetro de almacenamiento F es calculado en la columna 5 de la tabla según la ecuación (3.44).
Nótese que F cambia durante toda la tormenta. Con ésta información puede
calcularse mediante métodos numéricos o algebraicamente el caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1 a partir de la ecuación (3.45) como se muestra en la columna 6 de la tabla 3.6. Con todo esto se tienen los hidrogramas de entrada y salida mostrados en la ilustración 3.26. Al igual que el caso para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante, la curva característica y la ecuación alternativa son aplicables como métodos aproximados de solución.
115
Tabla 3. 6. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante por el método directo (de la ecuación principal).
Columna:
1 t
2 ∆t
(h)
(h)
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00 54.00 60.00 66.00
3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00
3 4 I E 3 3 1/3 (m /s) (m /s ) 25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30 75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00 25.00 25.00 25.00
44.38 44.38 44.38 44.38 44.38 44.38 44.38 44.38 44.38 44.38 22.19 22.19 22.19 22.19 22.19 22.19
5 F 3 (m /s)
6 O 3 (m /s)
-409.44 -428.54 -466.65 -523.39 -590.28 -653.84 -704.80 -738.99 -755.26 -754.22 -384.64 -343.56 -301.58 -270.81 -251.40 -238.90
25.00 25.45 27.20 30.78 36.35 43.27 50.17 55.91 59.86 61.77 61.65 56.79 48.49 40.38 34.71 31.25 29.08
116
Caudal (m3/s)
90 80
Caudal de entrada
70 60
Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)
0 0
10
20
30
40
50
60
70
Ilustración 3. 26 . Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
Ecuación Principal para un Embalse con Vertedero Morning Glory y Espejo de Agua Constante Ecuación: Función: Parámetro E: Parámetro F: Función tipo: Función continua: Función creciente: Dominio: Rango: Intersección con O: Intersección con f: Simetrías: Asíntotas: Máximo y mínimos: Puntos críticos: Concavidad: Puntos de inflexión: Función inversa: Número de raíces: Raíz:
On+1 + EOn2+/13 + F = 0 (Incógnita On+1)
f (O ) = O + EO 2 / 3 + F 2A E= >0 ∆t (C d 2πR 2 g ) 2 / 3 F = On − EOn
2/3
(Independiente O) 3
f(O) (m /s)
− I n +1 − I n ≤ 0
Algebraica explícita. Sí Sí O≥0 f (O ) ≥ F O = On +1 (Raíz) f =F Ninguna Ninguna Mínimo absoluto en Q = F Ninguno Cóncava hacia abajo Ninguno Continua y creciente Una real cuando F ≤ 0
Rango F ≤ f(O) < +∞
Continua y Creciente
Dominio O≥0
Cóncava hacia abajo
3
O (m /s) 0 Intersección con O (Raíz) O=On+1
F
On+1 = 3 12 (− 272 E 3 − F +
Intersección con f (Mínimo absoluto) f=F
4 27
E 3 F + F 2 ) + 3 12 (− 272 E 3 − F −
4 27
E 3 F + F 2 ) − 13 E
3
118
3.6
Ecuación Principal para Estructuras de Salida No Tradicionales
Para embalses con estructuras de salida no tradicionales como vertederos con compuertas particulares u otras estructuras de excedencia universalmente no estudiadas, nada se puede adelantar sobre la ecuación principal, a menos que se trate algún caso en concreto. Cuando se tiene una estructura de excedencia peculiar, ya sea como resultado de un arreglo sobre una estructura estándar, o ya sea una estructura totalmente nueva, debe tratarse de encontrar la ecuación que relaciona el caudal de salida que pasa por la estructura frente a la elevación del espejo de agua sobre la cresta de la misma. Una vez lograda la fórmula, ésta debe incluirse en las deducciones correspondientes para lograr la ecuación principal.
3.6.1 Caso Típico
En ésta parte se estudiará la ecuación principal para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante. El desarrollo mostrado aquí puede ser aplicado a cualquier otro caso particular simplemente usando la información que se tenga sobre la estructura particular. Para la estructura de salida no tradicional estudiada aquí no se tiene la fórmula que relaciona el caudal de salida que pasa por ella frente a la elevación de la superficie de agua sobre su cresta. Pero se tiene una tabla de información sobre estos parámetros como se muestra a continuación:
119
Tabla 3. 7 . Caudal frente a elevación de una estructura no tradicional.
H (m)
Q 3 (m /s)
0.00 0.15 0.30 0.46 0.61 0.76 0.91
0.00 0.08 0.23 0.48 0.85 1.22 1.70
H Q 3 (m) (m /s)
H (m)
Q 3 (m /s)
1.07 1.22 1.37 1.52 1.68 1.83 1.98
2.13 2.29 2.44 2.59 2.74 2.90 3.05
5.80 6.17 6.54 6.85 7.16 7.48 7.79
2.21 2.75 3.31 3.88 4.42 4.90 5.38
Como se dijo anteriormente, debe hallarse una ecuación para la relación del caudal de salida frente a la elevación del espejo de agua. correlación de la anterior información.
Esto puede lograrse mediante la
Debe correlacionarse para varios modelos y
escogerse el de mejor coeficiente de determinación R 2 . Un coeficiente de determinación ideal es igual a la unidad. De este modo, la tabla a continuación muestra los resultados de la correlación de la anterior información de acuerdo a varios modelos:
Tabla 3. 8. Correlación de caudal frente a elevación.
Coeficiente R2
Modelo
Ecuación
Lineal
Q = 2.58 ⋅ H
0.978
Logarítmico
Q = 9.49 ⋅ Log(H )
-0.619
Potencial
Q = H 1.74
0.804
Polinomio 2do grado
Q = 0.19 H 2 + 2.12 H
0.984
Polinomio 3er grado
Q = −0.43H 3 + 2.00 H 2 + 0.43H
0.999
120
Entonces, el modelo polinomial de tercer grado es el que mejor se ajusta a la información recogida sobre la estructura de salida no tradicional: Q = −0.43H 3 + 2.00 H 2 + 0.43H
(3.57)
La ecuación resultante de la integración de la ecuación de continuidad (2.13) sobre un intervalo de tiempo es la siguiente:
Vn +1 − Vn =
I n + I n+1 O + On +1 ∆t − n ∆t 2 2
(3.58)
Los caudales de entrada In e In+1 se conocen como información de entrada. Los valores de On y Vn se conocen de acuerdo a los cálculos del intervalo de tiempo anterior. Por consiguiente, la ecuación (3.58) contiene dos incógnitas que son On+1 y Vn+1. Para que (3.58) contenga una sola incógnita, On+1, se emplearan las fórmulas de almacenamiento del embalse y de caudal de la estructura de salida no tradicional como sigue a continuación. La fórmula de almacenamiento para un embalse con espejo de agua constante es: V = AH
(3.59)
Donde A es el espejo de agua del embalse, y H la elevación de la superficie de agua. Despejando H de la ecuación (3.57) y cambiando Q por O, se tiene:
H = 3 − 1.17O + 4.5 + 1.36O 2 − 10.49O − 0.25 + 3 − 1.17O + 4.5 − 1.36O 2 − 10.49O − 0.25 + 1.55
(3.60)
121 Nótese que la ecuación (3.60) fue obtenida por el método de Cardano. El método de Cardano sirve para la resolución de ecuaciones cúbicas, éste se presenta en el Apéndice C. La expresión (3.60) es tan compleja que perjudicará el resto de ésta deducción, y más aún, el análisis físico matemático de la ecuación principal.
Por consiguiente, se
procederá con una técnica alternativa, consistente en aplicar la regresión a la información anterior con el objetivo de dar con una ecuación del tipo H = f (Q).
Tabla 3. 9. Correlación invertida de caudal frente a elevación.
R2
Modelo
Ecuación
Lineal
H = 0.39 ⋅ O
Logarítmico
H = 2.37 ⋅ Log(O)
Potencial
H = O 0.50
0.863
Polinomio 2do grado
H = −0.01O 2 + 0.45O
0.978
Polinomio 3er grado
H = 0.01O 3 − 0.12O 2 + 0.72O
0.996
0.972 -0.058
De acuerdo a la anterior tabla, el modelo polinomial de tercer grado es el mejor para expresar la siguiente relación:
H = 0.01O 3 − 0.12O 2 + 0.72O
(3.61)
Substituyendo la (3.61) en la (3.59): V = A(0.01O 3 − 0.12O 2 + 0.72O) Substituyendo la ecuación (3.62) en la (3.58), se tiene:
(3.62)
122 A(0.01O n3+1 − 0.12On2+1 + 0.72On +1 ) − A(0.01On3 − 0.12O n2 + 0.72O n ) =
I n + I n +1 O + On +1 ∆t − n ∆t 2 2
Trasladando todos los términos a la izquierda, y agrupando:
0.01AOn3+1 − 0.12 AOn2+1 + (0.72 A + 0.50∆t )On+1 − 0.01AOn3 + 0.12 AOn2
− (0.72 A − 0.50∆t )On − 0.50∆t ⋅ I n+1 − 0.50∆t ⋅ I n = 0
(3.62)
Multiplicando la ecuación (3.62) por (0.01A) −1 :
O n3+1 − 12On2+1 + (72 + 50
∆t ∆t ∆t ∆t )O n +1 − O n3 + 12O n2 − (72 − 50 )On − 50 I n +1 − 50 I n = 0 A A A A
(3.63) Definiendo los parámetros D, E, y F de acuerdo a: D = 12
(3.64)
∆t A
(3.65)
E = 72 + 50 F = −On3 + 12On2 − (72 − 50
∆t ∆t ∆t )On − 50 I n+1 − 50 I n A A A
(3.66)
Substituyendo las ecuaciones (3.64), (3.65) y (3.66) en la (3.63), se tiene: On3+1 − DOn2+1 + EOn +1 + F = 0
(3.67)
La ecuación (3.67) es la ecuación principal para un embalse con estructura de salida no tradicional tratado en ésta parte. La solución de ésta ecuación es el caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1 conocidos el caudal de entrada al inicio del intervalo In, el caudal de entrada al final del intervalo In+1, el caudal de salida al inicio del intervalo On,
123 la duración del intervalo de tiempo ∆t, además de las características del embalse y de la estructura de salida no tradicional.
3.6.2 Análisis de la Ecuación Principal
Se procederá con el análisis matemático de la ecuación (3.67) sin profundizar para generalizar, puesto que se trata de una ecuación perteneciente a un caso particular. Expresando (sin subíndices) la ecuación (3.67) como función: f (O ) = O 3 − DO 2 + EO + F
(3.68)
La función (3.68) es una función polinomial. Una función polinomial es la suma de un número finito de términos, cada uno de los cuales es el producto de una colección finita de números y variables. Una función polinomial es continua en todo momento. El gráfico de una función polinomial es una curva continua. 9 3 f(O) (m /s )
3
0
O (m /s)
F
Ilustración 3. 27 . Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
124
Como la función (3.68) es una forma de la ecuación de continuidad, físicamente representa el estado del balance en el sistema para un caudal de salida O al final del intervalo de tiempo. De esta manera, la función (3.68) es cero cuando el caudal de salida O al final del intervalo satisface la ecuación de continuidad. La ilustración 3.27 es la gráfica de la función (3.68).
3.6.3 Parámetros Físicos del Embalse y Vertedero D y E
En la ecuación principal (3.67) se presentan D y E, conocidas como parámetros físicos del embalse y vertedero, puesto que sus expresiones involucran valores correspondientes a las características del embalse, de la estructura de salida no tradicional, y duración del intervalo de tiempo dado por el hidrograma de entrada. El parámetro D corresponde a la estructura de salida no tradicional y puede tomar valores tanto positivos como negativos. Las unidades de D están dadas en m 3 /s . El parámetro E corresponde al embalse, a la estructura de salida no tradicional y al intervalo de tiempo dado por el hidrograma de entrada. De acuerdo a su expresión (3.65) E únicamente puede tomar valores positivos. Las unidades de E están dadas en m 6 /s 2 . Los parámetros D y E influyen en la gráfica de la función (3.68) como se ve en las curvas para distintos espejos de agua (constantes) de la
ilustración 3.28.
Como se
mencionó en apartados precedentes, si bien ∆t no es una característica física del sistema, éste es una característica impalpable del sistema que influye en la respuesta del mismo.
3.6.4 Parámetro de Almacenamiento F
Nuevamente se presenta F, conocida como parámetro de almacenamiento o como parámetro de balance. Como se confirmará más adelante, F únicamente puede tomar valores negativos para la existencia de una solución en el sistema. expresión, las unidades de F están dadas en m 9 /s 3 .
De acuerdo a su
125 9 3 f(O) (m /s )
E para 3A
E para 2A
E para A
3
O (m /s)
0 F
Ilustración 3. 28. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante para valores de E.
9 3 f(O) (m /s )
3
O (m /s) 0 F 2F 3F
Ilustración 3. 29. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante para valores de F.
126
El valor de F no influye en la forma de la curva de la función (3.68), pero influye en su posición respecto al eje vertical. La ilustración 3.29 muestra la curva de la función (3.68) para ciertos valores de F. La interpretación de F es la misma que la de los apartados relativos al vertedero estándar y vertedero Morning Glory.
3.6.5 Dominio
Dado que la función (3.68) es del tipo polinomio, matemáticamente el dominio de la definición es el conjunto de los números reales. Pero como el caudal de salida al final del intervalo de tiempo es físicamente incompatible con valores negativos, el dominio de (3.68) debe restringirse a: O≥0
3.6.6 Rango
El rango de una función polinomial puede ser un subconjunto de los números reales (que puede ser el conjunto total).
Si bien el rango puede hallarse despejando
algebraicamente O, esto conduce a expresiones que pueden involucrar cálculos en el campo de los complejos, por lo tanto aquí se empleará una metodología alternativa usada anteriormente. Se tiene la primera derivada de f: f ′(O) = 3O 2 − 2 DO + E
(3.69)
Para la estructura de salida no tradicional que corresponde a la función (3.68) se tiene D = 12 m 3 / s , y puesto que E es siempre positivo, la primera derivada en el interior
127 del dominio es positiva, por lo que la función f es creciente. De este modo, f (0) = F y
lim f (O) = +∞ . Por lo tanto, el rango de la función está dado por:
O → +∞
F ≤ f (O) < +∞
3.6.7 Intersecciones La intersección con f está en F puesto que f (0) = F . La intersección con O está en On+1 cuando F ≤ 0 . La intersección con f se interpreta como la magnitud de un estado de balance imperfecto para un caudal de salida al final del intervalo de tiempo de cero.
La
intersección con O se interpreta como el caudal de salida al final del intervalo correspondiente a un estado de balance perfecto.
3.6.8 Simetrías
Como f es una función, no se tiene simetría respecto al eje O. Como la función (3.68) no admite valores negativos de O, tampoco se tiene simetría con respecto al eje f. Por tanto, tampoco se tiene simetría respecto al origen. Si la función (3.68) fuese simétrica respecto al eje O implicaría la existencia de un solo caudal de salida al final del intervalo de tiempo para dos imperfectos estados de balance simultáneos, situación verdaderamente incompatible.
3.6.9 Asíntotas
Como la función (3.68) es una función polinomial, no se tienen asíntotas verticales. Como la función (3.68) es creciente hacia el infinito, no se tienen asíntotas horizontales.
128 3.6.10
Máximos y Mínimos Para hallar máximos y mínimos relativos debe resolverse la ecuación (3.69) igualada
a cero:
3O 2 − 2 DO + E = 0 De acuerdo a la fórmula para ecuaciones de segundo grado, se tiene:
O=
2 D ± 4 D 2 − 12 E 6
Para la obtención de raíces en el campo de los números reales, es necesario que
4 D 2 ≥ 12 E , lo cual no es posible como se ve en la siguiente deducción: ∆t ∆t D 2 ≥ 3E ⇒ 12 2 ≥ 3 72 + 50 ⇒ − 72 ≥ 150 A A Nótese la aplicación de D = 12 m 3 / s .
La última desigualdad es totalmente
incompatible porque ∆t / A siempre es un valor positivo. Por todo esto, no se tienen máximos relativos (cimas) ni mínimos relativos (simas) en el dominio establecido de la función (3.68). Sin embargo, se tiene un mínimo absoluto en f (0) = F .
3.6.11 Puntos Críticos
Los puntos críticos existen simultáneamente junto a máximos o mínimos relativos. Como la función (3.68) no tiene máximos ni mínimos relativos, tampoco tiene puntos críticos.
129 3.6.12 Concavidad
La segunda derivada de la función f está dada por:
f ′′(O ) = 6O − 2 D
(3.70)
La curva de la función (3.68) es cóncava hacia abajo cuando O < 13 D , y es cóncava hacia arriba cuando O > 13 D . Nótese que el punto del cambio de concavidad depende del parámetro D de la estructura de salida no tradicional tratada aquí.
3.6.13 Puntos de Inflexión Primero, f ′′(O ) = 0 cuando O = 13 D . Segundo, la curva es cóncava hacia abajo antes de O = 13 D , y la curva es cóncava hacia arriba después de O = 13 D .
Por
consiguiente, se tiene un punto de inflexión en O = 13 D . Las concavidades y los puntos de inflexión son guías precisas para la gráfica de una función.
3.6.14 Función Inversa
Como la función f (3.68) es creciente, ésta tiene una función inversa creciente O ( f ) cuyo dominio está dado por F ≤ f < +∞ y cuyo rango está dado por 0 ≤ O ( f ) < +∞ . La función inversa O da el caudal de salida al final del intervalo de tiempo para un estado de balance f dado. De acuerdo a esto, para un estado de balance perfecto f = 0 la función O dará el caudal de salida al final del intervalo que satisface la ecuación de continuidad, o sea O (0) = On +1 . La ilustración 3.30 muestra la curva de la función inversa O.
130 La expresión algebraica de la función O puede hallarse despejando O de la ecuación (3.68). La resolución algebraica de la ecuación (3.68) se detalla más adelante. 3 O(f) (m /s)
On+1
9 3
f (m /s ) F
0
Ilustración 3. 30. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
3.6.15 Raíces
Por teorema, una ecuación polinomial de tercer grado como la (3.67) tiene exactamente tres raíces que pueden ser reales y/o complejas. Como puede verse en la ilustración (3.27) de la función (3.68), se ubica una raíz real cuando F ≤ 0 puesto que (3.68) es creciente, luego no puede ubicarse otra raíz real puesto que la función (3.68) no vuelve a cortar el eje O una vez lo haya atravesado. Por tanto, las dos raíces restantes de la ecuación polinomial (3.67) pertenecen al campo de los números complejos, que normalmente se presentan como par conjugado. A manera de corolario puede señalarse que no existe ninguna raíz real cuando F > 0 .
131 En un sistema embalse-estructura de salida bien condicionado, la ecuación (3.67) siempre tendrá una raíz real; es decir, en un sistema bien condicionado F siempre será menor o igual a cero. En la ilustración 3.31 se presenta la curva de la función de la ecuación principal (3.68) rotulada según todo el análisis anterior. 9 3 f(O) (m /s )
Rango F ≤ f(O) < +∞
Continua Creciente
Cóncava hacia arriba Dominio O≥0
Punto de inflexión O=D/3
3 O (m /s)
0 F Cóncava hacia abajo
Intersección con O (Raíz) O=O n+1
Intersección con f
(Mínimo absoluto)
Ilustración 3. 31. Curva rotulada de la función de la ecuación principal para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
3.6.16 Resolución Gráfica de la Ecuación Principal Curva Característica
La resolución de la ecuación principal (3.67) puede lograrse mediante la denominada curva característica del sistema embalse-estructura de salida.
132 La curva característica es una gráfica cuyo eje horizontal está dado por el caudal de salida al final del intervalo de tiempo O y cuyo eje vertical está dado por la función derivada de la (3.68): f (O ) = O 3 − DO 2 + EO
(3.71)
La función (3.71) da − F si el caudal de salida al final del intervalo de tiempo O satisface la ecuación de continuidad del sistema. La curva característica está trazada en la ilustración 3.32. f(O) (m9/s3)
1200
1000
800
600
400
(6.6, 289.7)
200
O (m3/s) 0 0
2
4
6
8
10
12
14
Ilustración 3. 32. Curva característica para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
Normalmente, un sistema embalse-estructura de salida tiene una sola curva característica, por lo que trazarla una vez es suficiente para dar con cualquier caudal de salida al final del intervalo O dado su respectivo F. Esto es posible porque en un sistema establecido E permanece constante y F permanece variable durante la crecida.
133 En este caso y como ejemplo, para D = 12 m 3 / s (fijo), E = 79.4 m 6 / s 2 y
F = −289.7 m 9 / s 3 el caudal de salida al final del intervalo es O = 6.6 m3/s como se muestra en la ilustración 3.32. f(O) (m9/s3)
1000
100
10
O (m3/s) 1 1
10
100
Ilustración 3. 33. Curva característica en su versión log-log para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
Ecuación Alternativa
En la ilustración 3.33 se muestra la versión log-log de la curva característica del sistema embalse-estructura de salida. Como esta curva en su versión log-log no es una línea recta, no puede ensamblarse la ecuación alternativa para la resolución de la ecuación (3.67) como se hizo con los anteriores casos. En realidad, la ecuación alternativa no es dable para la estructura de salida no tradicional tratado aquí, lo cual no significa que en general no exista para estructuras de salida no tradicionales.
134 3.6.17 Resolución Algebraica de la Ecuación Principal
Dada la condición polinomial de tercer grado de la ecuación (3.67), ésta puede resolverse de manera algebraica por medio del método de Cardano (Apéndice C). Se tiene la fórmula principal de Cardano adecuada a la ecuación (3.67):
O=
3
− q + q2 +
4 27
p3
2
+
3
− q − q2 +
4 27
p3
2
+
D 3
(3.72)
Las variables p y q están dadas por:
p=E−
q=−
D2 3
2 D 3 DE + +F 27 3
(3.73)
(3.74)
En el siguiente ejemplo no se mostrarán las unidades junto a las cantidades por conveniencia de notación. Para valores de D = 12 (fijo), E = 79.41 y F = −289.67 , se tiene p = 31.41 y q = −100.03 . Luego, según la ecuación (3.72):
O=3
100.03 + 14596.92 3 100.03 − 14596.92 + +4 2 2
Evaluando:
O = 6.62 m 3 / s El caudal de salida al final del intervalo de tiempo es 6.62 m3/s.
La gráfica
respectiva se muestra en la ilustración 3.34. Nótese que, el resultado anterior está afectado por un error de redondeo porque durante el cálculo mostrado se usaron solamente dos decimales.
135
Es importante mencionar que la función inversa de (3.68) puede ensamblarse usando las ecuaciones (3.72), (3.73), y (3.74) pero usando F − Q en vez de F.
9 3
f(O) (m /s )
2500
E=79.41 2000
1500
1000
500 3
O (m /s) 0 0
-500
2
4
6
8
10
12
14
16
18
F=-289.67
Ilustración 3. 34. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante para valores de E y F.
3.6.18 Resolución Numérica de la Ecuación Principal
Puede resolverse la ecuación principal (3.67) para un embalse con estructura de salida no tradicional mediante métodos numéricos, como el de Newton-Raphson. Una recopilación de métodos numéricos para resolver ecuaciones se presenta en el Apéndice B. La formula de Newton-Raphson aplicada a la función (3.68):
O ( n+1) − O ( n ) = δ ( n +1) = −
f (O ( n ) ) O 3 − DO 2 + EO + F = − f ′(O ( n ) ) 3O 2 − 2 DO + E
(3.75)
136 Donde n y n+1 designan respectivamente, a la anterior y actual iteración.
El
símbolo δ (delta) representa la magnitud del cambio de la raíz entre iteraciones. Para empezar la iteración, debe darse un estimado inicial de O y un error admisible ε (épsilon).
Es recomendable que ε sea un décimo del error admitido en la raíz.
Subsiguientemente, la iteración debe mantenerse hasta que δ < ε .
Por ejemplo, se resolverá la ecuación (3.67) para
E = 79.41 m 6 / s 2
y
F = −289.67 m 9 / s 3 .
Para
abordar
D = 12 m 3 / s
(fijo),
la
elíjase
iteración
O = 6.00 m 3 / s , como se ve aproximadamente en la ilustración 3.34, y además admítase un ε = 0.001 m 3 / s . Luego, se sigue con la fórmula (3.75) como se muestra en el siguiente cuadro:
Tabla 3. 10 . Resolución numérica de la ecuación principal.
O (m /s)
δ (m /s)
|δ|<ε
6.000 6.673 6.616 6.615
0.673 -0.057 -0.001 0.000
No No Si Si
3
3
Según el cuadro, la raíz de la ecuación (3.67) es O = 6.62 m 3 / s .. Nótese que éste resultado es tan aproximado como el obtenido en el anterior ejemplo.
3.6.19 Aplicación
Un embalse, para la detención de crecidas, tiene un área horizontal de 1 acre (4046.86 m2), lados verticales (espejo de agua constante) y un tubo de concreto reforzado
137 de 1.52 m de diámetro como estructura de salida. La relación entre el nivel de aguas arriba y caudal de salida para el tubo está dada en el cuadro siguiente:
Tabla 3. 11. Caudal frente a elevación de la estructura no tradicional de la aplicación.
H (m)
Q 3 (m /s)
0.00 0.15 0.30 0.46 0.61 0.76 0.91
0.00 0.08 0.23 0.48 0.85 1.22 1.70
H Q 3 (m) (m /s)
H (m)
Q 3 (m /s)
1.07 1.22 1.37 1.52 1.68 1.83 1.98
2.13 2.29 2.44 2.59 2.74 2.90 3.05
5.80 6.17 6.54 6.85 7.16 7.48 7.79
2.21 2.75 3.31 3.88 4.42 4.90 5.38
Utilice el método directo para calcular los caudales de salida del embalse utilizando el hidrograma de entrada dado en el cuadro siguiente.
Suponga que el embalse está
inicialmente vacío.
Tabla 3. 12. Hidrograma de entrada de la aplicación.
t (min)
I (m /s)
t (min)
I (m /s)
0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00
0.00 1.70 3.40 5.10 6.80 8.50 10.19 9.06
80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 130.00 140.00 150.00
7.93 6.80 5.66 4.53 3.40 2.27 1.13 0.00
3
3
138 Solución
Lo primero que debe hacerse es, ensamblar una ecuación para la relación de la elevación del espejo de agua frente a caudal de salida para la estructura de salida no tradicional. Esto puede realizarse mediante correlación de distintos modelos y elegirse el mejor de acuerdo a su coeficiente de determinación. La ecuación correspondiente a este caso como puede verse en el principio de esta parte es: Q = −0.43H 3 + 2 H 2 + 0.43H
(3.57)
Se dijo que ésta ecuación no siempre es la adecuada para proseguir con una clara deducción, por lo que es conveniente muchas veces expresar esta relación en un sentido inverso:
H = 0.01O 3 − 0.12O 2 + 0.72O
(3.61)
En segundo lugar, debe deducirse la ecuación principal considerando la anterior ecuación. De acuerdo a la deducción para este caso mostrada al inicio de esta parte, se tiene: On3+1 − DOn2+1 + EOn +1 + F = 0
(3.67)
Con la información del hidrograma de entrada más la ecuación (3.67) es posible construir una tabla de cálculo del hidrograma de salida como la tabla 3.13. Las columnas 1y 4 de la tabla 3.13 contienen la información conocida del hidrograma de entrada. La columna 2 puede ser calculada rápidamente a partir de la columna 1. Aunque el parámetro D se comporta como una constante del embalse y de la estructura de salida no tradicional, ha sido mostrada a lo largo de la columna 4 por razones de presentación de una tabla completa. En la columna 5 se tiene el parámetro físico E calculado a partir de la ecuación (3.65). Nótese que E permanece constante durante un el intervalo de tiempo constante. En la columna 6 se tiene el parámetro de almacenamiento F que cambia durante toda la avenida. El caudal de salida al final del intervalo de tiempo O es calculado en la columna 7 de forma directa o algebraica según las ecuaciones (3.72) a la (3.74).
Es importante
139 mencionar que, el caudal de salida también puede ser calculado mediante métodos numéricos como el de Newton-Raphson mostrado anteriormente. Los hidrogramas de entrada y salida están mostrados en la ilustración 3.35. Es necesario reiterar que la curva característica y la ecuación alternativa no son aplicables en la aplicación tratada aquí.
Tabla 3. 13. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero no tradicional y espejo de agua constante por el método directo (de la ecuación principal).
Columna:
1 t (min) 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 130.00 140.00 150.00 160.00 170.00 180.00 190.00 200.00
2 ∆t
3 4 5 6 7 I D E F O 3 3 6 2 9 3 3 (min) (m /s) (m /s) (m /s ) (m /s ) (m /s)
10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00
0.00 1.70 3.40 5.10 6.80 8.50 10.19 9.06 7.93 6.80 5.66 4.53 3.40 2.27 1.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00 12.00
79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41 79.41
-12.60 -47.97 -101.05 -165.30 -230.64 -291.44 -335.61 -351.88 -347.83 -327.85 -295.51 -254.58 -209.66 -166.22 -126.18 -93.96 -72.17 -56.38 -44.52 -35.40
0.00 0.16 0.67 1.61 3.24 5.24 6.65 7.40 7.64 7.58 7.28 6.73 5.86 4.63 3.27 2.17 1.47 1.06 0.80 0.61 0.48
140 Caudal (m3/s)
12
Caudal de entrada
10
8 Caudal de salida
6
4
2 Tiempo (min)
0 0
50
100
150
200
250
Ilustración 3. 35. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
Ecuación Principal para un Embalse con Estructura de Salida No Tradicional y Espejo de agua Constante Ecuación:
On3+1 − DOn2+1 + EOn +1 + F = 0 (Incógnita On+1)
Función:
f (O ) = O 3 − DO 2 + EO + F
Parámetro físico D: Parámetro físico E:
D = 12
Parámetro de almacenamiento F:
F = − O n3 + 12 O n2 − ( 72 − 50
Función tipo: Función continua y creciente: Dominio (restringido): Rango: Intersección con O / f:
Polinomio Sí O≥0 f (O ) ≥ F O = On +1 (Raíz) / f = F Ninguna/Ninguna Mínimo absoluto en f = F Ninguno Abajo O < 13 D / Arriba O > 13 D
Simetrías/Asíntotas Máximo y mínimos: Puntos críticos: Concavidades: Puntos de inflexión: Función inversa: Número de raíces: Raíz:
(Independiente O) 9 3 f(O) (m /s )
∆t E = 72 + 50 >0 A
Rango F ≤ f(O) < +∞
∆t )On A ∆t ∆t − 50 In ≤ 0 I n + 1 − 50 A A
O = 13 D Continua y creciente Una real cuando F ≤ 0
Continua Creciente
Cóncava hacia arriba Dominio O≥0
Punto de inflexión O=D/3
3 O (m /s)
0 F Cóncava hacia abajo
Intersección con O (Raíz) O=O n+1
Intersección con f
(Mínimo absoluto)
O = 3 12 ( 272 D 3 − 13 DE − F + (− 272 D 3 + 13 DE + F ) 2 + 274 ( E − 13 D 2 ) 3 ) + 3 1 2
( 272 D 3 − 13 DE − F − (− 272 D 3 + 13 DE + F ) 2 +
4 27
( E − 13 D 2 ) 3 ) + 13 D
142
3.7
Ecuación Principal para Embalses con Espejo de Agua Variable
Generalmente, el espejo de agua de un embalse es variable conforme su elevación se incrementa. En esta parte se mostraran dos maneras de atacar este problema. La primera se basa en una ecuación principal para un embalse con inclinación de taludes variable; es decir en una ecuación principal dependiente del ángulo general de inclinación de los taludes del embalse. La segunda consiste en una metodología tabular que involucra la modificación de la elevación del espejo de agua durante el tránsito de la avenida. En ambos casos se considerará un embalse con vertedero estándar. Como se ha visto hasta ahora, la forma discreta de la ecuación de continuidad (2.13) es:
Vn +1 − V n =
I n + I n +1 O + O n +1 ∆t − n ∆t 2 2
(3.76)
Los caudales de entrada In e In+1 son información conocida de antemano. Los valores de On y Vn se conocen por los cálculos del intervalo de tiempo anterior. Consiguientemente, la ecuación (3.76) contiene dos incógnitas que son On+1 y Vn+1. Para lograr que la ecuación (3.76) quede con una sola incógnita, On+1, se usarán las fórmulas de almacenamiento del embalse y de caudal del vertedero estándar. La fórmula de almacenamiento para un embalse con superficie o espejo de agua variable como el mostrado en el conjunto de ilustraciones 3.36:
V =
2 A L 2 H3 + + H + LAH 2 3 ⋅ Tan α Tan α 2 ⋅ Tan α
(3.77)
En la ecuación (3.77), el largo de la base del embalse es L, el ancho de la base A, y el ángulo general de inclinación de los taludes del embalse es α. Para simplificar las subsiguientes deducciones, la ecuación (3.77) también podría escribirse de la siguiente forma:
143
Vista tridimensional de un embalse con espejo de agua variable.
Vista en planta de un embalse con espejo de agua variable.
Vista lateral de un embalse con espejo de agua variable.
Vista trasera de un embalse con espejo de agua variable.
Ilustración 3. 36. Distintas vistas de un embalse con espejo de agua variable.
144
V = K1 H 3 + K 2 H 2 + K 3 H
(3.77)
El área del espejo de agua frente a la elevación de la misma para el embalse en cuestión y para distintos ángulos de inclinación de sus taludes se muestra en la ilustración 3.37. La fórmula del área del espejo del embalse está dada por:
1 2 Area = L + H ⋅ A+ H Tan α Tan α
(3.78)
Es importante mencionar que, la fórmula (3.77) se obtiene de la integración de la fórmula (3.78) sobre la elevación del espejo de agua. Elevación H del espejo de agua
α =90° α =45°
α =30°
Area del espejo de agua
Ilustración 3. 37. Relación de la elevación del espejo de agua frente al área del mismo para un embalse con espejo de agua variable.
145
La fórmula correspondiente a un vertedero estándar es: Q = Cd b 2g H 3 / 2
(3.79)
Aquí Cd es el coeficiente de caudal, b la longitud efectiva de la cresta, y H la carga total en la cresta. Despejando H de la ecuación (3.79) y cambiando Q por O, se obtiene: O H = C b 2g d
2/3
(3.80)
Pero para simplificar las subsiguientes deducciones, la ecuación (3.80) podría escribirse como: H = K 4O 2 / 3
(3.80)
Substituyendo la ecuación (3.80) en la (3.77): V = K1 K 5 O 2 + K 2 K 6 O 4 / 3 + K 3 K 4 O 2 / 3
(3.81)
Nótese que, en la ecuación (3.81) K5 y K6 son las modificadas de K4 de acuerdo a la operación de potenciación correspondiente. Substituyendo la ecuación (3.81) en la (3.76):
K 15 On2+1 + K 26 On4+/13 + K 34 On2+/13 − K 15 On2 − K 26 On4 / 3 − K 34 On2 / 3 =
I n + I n +1 O + On +1 ∆t − n ∆t 2 2
(3.82)
146 Multiplicando por 2 / ∆t y trasladando todos los términos al miembro izquierdo: 2 K O2 + 2 K O2 / 3 + 2 K O4 / 3 + O n + 1 ∆t 34 n + 1 ∆t 15 n + 1 ∆t 26 n + 1 − 2 K O2 − 2 K O4 / 3 + O − 2 K O2 / 3 − I −I =0 n ∆t 34 n n +1 n ∆t 15 n ∆t 26 n
Dividiendo la ecuación (3.83) por
2 ∆t
(3.83)
K 15 :
On2+1 + COn4+/13 + DOn +1 + EOn2+/13 + F = 0
(3.84)
En la ecuación (3.84) los parámetros se definen de acuerdo a lo siguiente: C = ( 32 L + 34 A) Tan α (C d b 2 g ) 2 / 3
(3.85)
D = 34 ∆t Tan 2 α (C d b 2 g ) 2
(3.86)
E = 32 LA Tan 2α (C d b 2 g ) 4 / 3
(3.87)
F = −On2 − COn4 / 3 + DOn − EOn2 / 3 − DI n+1 − DI n
(3.88)
La ecuación (3.84) es la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable. La solución de la ecuación es el caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1 dados el caudal de entrada al inicio del intervalo In, el caudal de entrada al final del intervalo In+1, el caudal de salida al inicio del intervalo On, la duración del intervalo ∆t, además de las características del embalse y vertedero.
3.7.1 Análisis de la Ecuación Principal
Expresando la ecuación (3.84) como función, se tiene:
147 f (O ) = O 2 + CO 4 / 3 + DO + EO 2 / 3 + F
(3.89)
La función de la ecuación principal es una función algebraica explícita.
Las
funciones de este tipo son una clase de funciones que incluyen a las polinomiales y racionales como casos especiales, además son generadas por un número finito de operaciones algebraicas. A causa de que la función (3.89) es heredera de la forma discreta de la ecuación de continuidad (3.76), ésta representa en magnitud el estado de balance existente en el sistema correspondiente a un caudal de salida al final de intervalo de tiempo O. Así, cuando el caudal de salida O es el adecuado para balancear el sistema, se tiene f (O ) = 0 . La curva de la función (3.89) está mostrada en la ilustración 3.38. f(O) (m6/s2)
O (m3/s) 0
F
Ilustración 3. 38. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable.
148
3.7.2 Parámetros Físicos del Embalse y Vertedero C, D y E
Los parámetros físicos del embalse y vertedero están denotados por C, D, y E tanto en la función (3.89) como en la ecuación principal (3.84). Las expresiones que definen C, D y E están dadas por las ecuaciones (3.85), (3.86) y (3.87) respectivamente. De acuerdo a las mencionadas expresiones, los valores de C, D, y E solo pueden ser positivos puesto que las constantes que involucran son definidamente positivas. Las unidades de C están dadas en m 2 / s 2 / 3 . Las unidades de D están dadas en m 3 / s . Las unidades de E están dadas en
m4 / s 4/3 . La curva de la función (3.89) está sujeta a los parámetros físicos del embalse y vertedero. Así por ejemplo, las curvas de la ilustración 3.39 corresponden la función (3.89) para distintos valores del parámetro D.
3.7.3 Parámetro de Almacenamiento F
La expresión (3.88) define el parámetro de almacenamiento F. Esta expresión se compone de la información conocida de caudal, tanto de entrada así como la calculada en el intervalo de tiempo ∆t anterior. Como en casos anteriores, el parámetro F solamente puede tomar valores negativos. Las unidades de F están dadas en m 6 / s 2 . Puesto que F es un parámetro que representa el flujo que pasa por un sistema ya establecido, F no tiene influencia en la geometría de la curva de la función (3.89), pero sí en la ubicación de la curva respecto al eje vertical como se aprecia en la ilustración 3.40.
3.7.4 Dominio
Como la potenciación de números negativos para exponentes fraccionarios o racionales no está definida, el dominio de la función (3.89) está dado por:
149 f(O) (m6/s2)
3D
2D
D O (m3/s) 0 F
Ilustración 3. 39. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable para valores de D.
f(O) (m6/s2)
O (m3/s) 0
F1 F2
Ilustración 3. 40. Curvas de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable para valores de F.
150
O≥0
La función f (3.89) está definida y es continua para todos los valores O de su dominio.
3.7.5 Rango
Existe una alternativa para hallar el rango de una función sin llegar a complicaciones algebraicas, que se muestra a continuación: La primera derivada de la función f: f ' (O ) = 2O + 43 CO 1 / 3 + 23 EO −1 / 3 + D
(3.90)
Es fácil concluir que (3.90) es siempre positiva en el interior del dominio de f. Por consiguiente, la función (3.89) es creciente en su dominio.
Luego,
f (0) = F y
lim f (O ) = +∞ . Entonces, el rango de la función f (3.89) está dado por:
O → +∞
F ≤ f (O) < +∞
3.7.6 Intersecciones La intersección con el eje O ocurre solo si f (O ) = 0 , y como O ≥ 0 , la intersección ocurre en la parte positiva del eje O. La intersección con el eje vertical f ocurre en F puesto que f (0) = F . Y como F siempre es negativa, la intersección siempre ocurre en la parte negativa del eje f.
151 3.7.7 Simetrías
Como se trata de una función, la curva respectiva no presenta simetría con respecto al eje O. Y como el dominio de f es O ≥ 0 , la mencionada curva no presenta simetría con respecto al eje f. Finalmente, tampoco se tiene simetría respecto al origen.
3.7.8 Asíntotas
Como la función (3.89) no contiene fracciones cuyos denominadores puedan resultar cero, no se tienen asíntotas verticales. Como el rango de la función es creciente al infinito positivo, tampoco se tienen asíntotas verticales.
3.7.9 Máximos y Mínimos
Dado que la función f (3.89) es creciente en el interior de su dominio, no se tienen máximos (cimas) ni mínimos (simas) relativos para intervalos interiores. Más bien, se tiene un mínimo absoluto en su límite inferior, o sea en f (0) = F .
3.7.10 Puntos Críticos
Como se ha ido mencionando, los puntos críticos ocurren de manera simultánea junto a máximos y mínimos relativos. Ya que la función (3.89) no presenta máximos y mínimos relativos para intervalos interiores de su dominio, ésta tampoco presenta puntos críticos.
3.7.11 Concavidad
Considerando la segunda derivada de la función f (3.89): f ′′(O) = − 92 EO −4 / 3 + 49 CO −2 / 3 + 2
(3.91)
152
Para f ′′(O ) = 0 se tiene: 4C + O=9
C 2 + 169 E 4 9 E
16 81
−3 / 2
(3.92)
Para valores de O menores al expresado por (3.92), la función (3.89) es cóncava hacia abajo, y para valores mayores, la función (3.89) es cóncava hacia arriba.
3.7.12 Puntos de Inflexión Ahora se sabe que, existe un O tal que f ′′(O ) = 0 , se sabe también que, antes de éste O (3.92) la curva es cóncava hacia abajo, y después es cóncava hacia arriba. Por consiguiente, se concluye en un punto de inflexión ubicado en: 4C + 9 O=
C 2 + 169 E 4 9 E
16 81
−3 / 2
(3.92)
Los puntos de inflexión al igual que la concavidad son una guía para la gráfica de una curva.
3.7.13 Función Inversa
Por teorema, una función creciente como f (3.89) tiene una función inversa creciente O ( f ) con dominio F ≤ f < +∞ y rango 0 ≤ O( f ) < +∞ . La curva de la función inversa de la función f (3.89 ) está mostrada en la ilustración 3.41.
153 3 O(f) (m /s)
On+1 6 2 f (m /s )
F
0
Ilustración 3. 41. Curva de la función inversa de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable.
3.7.14 Raíces
Sin examinar la ecuación principal (3.88) y su función (3.89), nada puede decirse sobre las raíces de una ecuación algebraica explícita como la (3.88). La curva de la función (3.89) cortará el eje O solo si F es menor o igual a cero. Luego, como la función f (3.89) es creciente, el eje O no puede ser atravesado más de una sola vez. Por lo tanto, la ecuación (3.88) tiene una única raíz real para F ≤ 0 . Para F > 0 la ecuación (3.88) no tiene ninguna raíz real. De esta manera, la constante F puede tomar solamente valores negativos para que la ecuación (3.88) tenga solución.
154
3.7.15 Resolución Numérica de la Ecuación Principal
La mejor alternativa para la resolución de la ecuación (j12) es mediante métodos numéricos. Por lo tanto, se procederá con la resolución mediante el método numérico de Newton-Raphson (Apéndice B). La fórmula de Newton-Raphson aplicada a la función f (3.89):
O ( n+1) − O ( n ) = δ ( n+1) = −
f (O ( n ) ) O 2 + CO 4 / 3 + DO + EO 2 / 3 + F = − f ′(O ( n ) ) 2O + 43 CO 1 / 3 + 23 EO −1 / 3 + D
(3.93)
En la ecuación (3.93) n y n+1 designan la anterior y actual iteración, respectivamente. La magnitud δ (delta) representa la variación de la raíz entre iteraciones. Para empezar la iteración debe darse un estimado inicial de O, además de un error admisible ε (épsilon). El error ε puede ser un décimo del error permitido en la raíz. Luego, la iteración deberá seguir mientras δ ≥ ε . Como ejemplo, se resolverá la ecuación (3.88) para C = 10538.41 m 2 / s 2 / 3 ,
D = 441679.00 m 3 / s , E = 29910843.41 m 4 / s 4 / 3 y F = -269755471.20 m 6 / s 2
. Se
iniciará la iteración con un estimado de O = 25.00 m 3 / s y ε = 0.001 m 3 / s (consúltese la ilustración 3.42).
Luego, se continúa con la fórmula (3.93) como se muestra a
continuación:
Tabla 3. 14 . Resolución Numérica de la Ecuación Principal
O (m /s)
δ (m /s)
|δ|<ε
25.000 25.302 25.303
0.302 0.001 0.000
No Si Si
3
3
155 f(O) (m6/s2)
800000000
600000000
400000000
200000000
O (m3/s) 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
-200000000
F =-269755471.20 -400000000
Ilustración 3. 42. Curva de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable para valores de C, D, E y F.
6 2 f(O) (m /s )
Continua Creciente
Rango F ≤ f(O) < +∞
Cóncava hacia arriba
Punto de inflexión O=((4C/9+... Dominio O≥0 3
O (m /s) 0 F
Intersección con O (Raíz) O=On+1 Cóncava hacia abajo Intersección con f (Mínimo absoluto)
Ilustración 3. 43. Curva (rotulada) de la función de la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable.
156
De acuerdo a lo anterior, el caudal de salida al final del intervalo de tiempo está dado por O = 25.30 m 3 / s .
Esta solución fue lograda prácticamente en la segunda
iteración, gracias a un estimado adecuado originado en la curva de la ilustración 3.42. El análisis anterior se muestra en la curva rotulada de la ilustración 3.43.
3.7.16 Aplicación
Un lago de 200 hectáreas (largo 1600 m y ancho 1250 m) de espejo de agua base e inclinación general de orillas de 30° está regulado por un vertedero estándar de pared de 7.5 m de ancho y un coeficiente de caudal Cd de 0.385. La avenida o crecida que se muestra a continuación ocurre sobre un caudal base estabilizado en 25 m3/s. Calcúlese el hidrograma de salida después del paso por el lago. Nótese que se trata de un embalse con espejo de agua variable.
Tabla 3. 15 . Hidrograma de entrada de la aplicación.
t (h)
I (m /s)
(h)
I (m /s)
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30
21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00
75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00
3
t
3
157 Tabla 3. 16 . Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable por el método directo (de la ecuación principal).
Columna:
1 t
2 ∆t
(h)
3 I 3 (h) (m /s)
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00 54.00 60.00 66.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30 75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00 25.00 25.00 25.00
3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00
4 C 2 2/3 (m /s )
10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41 10538.41
5 D 3 (m /s)
441679.00 441679.00 441679.00 441679.00 441679.00 441679.00 441679.00 441679.00 441679.00 441679.00 883358.00 883358.00 883358.00 883358.00 883358.00 883358.00
6 E 4 4/3 (m /s )
7 8 F O 6 2 3 (m /s ) (m /s)
29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41 29910843.41
25.00 25.30 26.49 28.96 32.85 37.82 43.04 47.78 51.54 54.04 55.15 53.68 48.80 43.01 38.29 34.90 32.44
-269755471.20 -278321406.28 -295777605.45 -322449241.52 -355085044.88 -387968162.33 -416771662.67 -439050963.18 -453588483.88 -459953115.37 -475211031.23 -444411255.81 -406782807.80 -374958090.50 -351484551.80 -333989079.45
Solución
Gracias al método directo es posible confeccionar una sola tabla como la tabla 3.16 para resolver el problema. Las columnas 1 y 3 de la tabla 3.16 son la información conocida o de entrada del problema. Los parámetros físicos del embalse y vertedero se calculan de acuerdo a las columnas 4 a 6 de la tabla según las ecuaciones (3.85) a (3.87). Nótese que, el parámetro D es el único que cambia (a causa del intervalo de tiempo) durante la avenida. El parámetro de almacenamiento F es calculado en la columna 7 de acuerdo a su ecuación (3.88). Como F depende del flujo que pasa por el embalse y vertedero, éste cambia en magnitud durante toda la avenida. El caudal de salida al final del intervalo de tiempo On+1
158 es calculado mediante métodos numéricos a lo largo de la columna 8 de la tabla 3.16. Con todo esto, los hidrogramas de entrada y salida se muestran en la ilustración 3.44.
Caudal (m3/s)
90 80
Caudal de entrada
70 60
Caudal de salida
50 40 30 20 10
Tiempo (h)
0 0
10
20
30
40
50
60
70
Ilustración 3. 44 . Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable.
Es importante comentar que, en primer lugar, los resultados obtenidos difieren muy poco de los obtenidos por el mismo problema para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante como se vio con anterioridad. Esto se debe a que los cambios de volumen originados en las orillas o taludes son pequeños en comparación con el cambio en global (también a causa del reducido ángulo general). En segundo lugar, antes del caudal de salida máximo instantáneo, los caudales obtenidos son menores a los similares para el caso de espejo de agua constante.
Esto se debe a la influencia del volumen mayor
disponible para amortiguar la crecida.
En tercer lugar, después del caudal de salida
máximo instantáneo los caudales de salida son mayores a los similares para el caso de espejo de agua constante. Esto se debe a que la descarga se ve influenciada por un mayor volumen que fue almacenado antes del mencionado caudal pico.
159 Tabla 3. 17. Tránsito de caudal a través de un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable por el método directo (de la ecuación principal).
Columna:
1 t (h) 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 27.00 30.00 36.00 42.00 48.00 54.00 60.00 66.00
2 ∆t
3 4 I H 3 (h) (m /s) (m)
3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 3.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00
25.00 30.00 40.00 52.50 65.80 73.80 76.30 75.00 71.00 65.00 57.50 42.50 30.00 25.00 25.00 25.00 25.00
1.56 1.58 1.62 1.72 1.88 2.06 2.25 2.41 2.53 2.61 2.65 2.60 2.44 2.24 2.08 1.95 1.86
5 6 Area E 2 3 1/3 (m ) (m /s ) 2012064.09 2012161.49 2012539.06 2013307.37 2014478.39 2015906.61 2017340.64 2018592.71 2019558.64 2020187.70 2020462.71 2020096.91 2018856.31 2017332.59 2016036.34 2015075.50 2014356.64
7 8 F O 3 3 (m /s) (m /s)
68.13 -612.50 68.13 -631.92 68.15 -671.56 68.17 -732.19 68.21 -806.48 68.26 -881.47 68.31 -947.27 68.35 -998.26 68.38 -1031.62 68.40 -1046.32 34.21 -540.49 34.20 -505.53 34.18 -462.65 34.15 -426.30 34.13 -399.46 34.12 -379.48
25.00 25.30 26.49 28.96 32.86 37.83 43.05 47.78 51.55 54.05 55.16 53.69 48.80 43.02 38.29 34.91 32.44
Técnica de Solución Alternativa
Una técnica de solución alternativa a problemas que involucren espejo de agua variable consiste en usar la ecuación principal del caso en cuestión (embalse con vertedero estándar, Morning Glory, etc.) modificando sus parámetros de acuerdo al cambio de la elevación y el área del espejo de agua durante la crecida o avenida. La ventaja principal de ésta técnica radica en que no es necesario deducir una ecuación principal correspondiente para un espejo de agua variable. Es ciertamente una ventaja puesto que las deducciones para espejo de agua variable involucran siempre cierta complejidad algebraica como se vio al principio de esta parte.
160
La tabla 3.17 es la tabla de solución de la aplicación de acuerdo a lo explicado. Las columnas 1 y 3 de la tabla 3.17 contienen toda la información conocida del hidrograma de entrada. La columna 4 contiene la elevación del espejo de agua calculada a partir del caudal de salida inmediato anterior según la ecuación (3.80) en este caso. En la columna 5 se calcula el área del espejo de agua del embalse (ecuación (3.78)) correspondiente a la elevación del mismo calculada en la columna 4. Con ésta información puede calcularse el parámetro físico del embalse y vertedero E y el parámetro de almacenamiento F para la ecuación principal del vertedero estándar, como se muestra en las columnas 6 y 7 respectivamente y de acuerdo a las siguientes formulas ya estudiadas:
E=
2A ∆t (C d b 2 g ) 2 / 3
F = On − EOn
2/3
− I n +1 − I n
La columna 8 contiene el caudal de salida al final del intervalo de tiempo que puede ser calculado mediante métodos numéricos o algebraicamente a partir de la ecuación principal mencionada: On +1 + EOn2+/13 + F = 0
Como resultado final, los hidrogramas de entrada y salida se muestran en la ilustración 3.45. Además de los valederos comentarios expuestos en el anterior camino de solución, aquí se debe afirmar que los resultados son menos aproximados por esta vía de solución. Esto se debe a que la ecuación principal para un embalse con vertedero estándar usada en ésta técnica de solución fue deducida (como se estudio con anterioridad) a partir de la suposición de un volumen dependiente de un área de espejo constante: V = AH
161 3
Caudal (m /s)
90 80
Caudal de entrada 70 60
Caudal de salida
50 40 30 20 10
Tiempo (h)
0 0
10
20
30
40
50
60
70
Ilustración 3. 45. Hidrogramas de entrada y salida para un embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable (técnica de solución alternativa).
Ecuación Principal para un Embalse con Vertedero Estándar y Espejo de Agua Variable Ecuación:
On2+1 + COn4+/13 + DOn +1 + EOn2+/13 + F = 0 (Incógnita On+1)
Función:
f (O ) = O 2 + CO 4 / 3 + DO + EO 2 / 3 + F
Parámetro físico C:
C = ( 32 L + 34 A) Tan α (Cd b 2 g ) 2 / 3 > 0
Parámetro físico D:
D = 34 ∆t Tan 2 α (C d b 2 g ) 2 > 0
Parámetro físico E:
E = 32 LA Tan 2α (C d b 2 g ) 4 / 3 > 0
Parámetro de almacenamiento F:
F = −On2 − COn4 / 3 + DOn − EO − DI n +1 − DI n ≤ 0 Algebraica explícita Sí O≥0 f (O ) ≥ F O = On +1 (Raíz) / f = F Ninguna/Ninguna Mínimo absoluto en f = F Ninguno Cóncava hacia abajo antes del punto de inflexión. Cóncava hacia arriba después del punto de inflexión.
6 2 f(O) (m /s )
Simetrías/Asíntotas Máximo y mínimos: Puntos críticos: Concavidades:
Puntos de inflexión:
Función inversa: Número de raíces:
4 C + 16 C 2 + 16 E 81 9 O=9 4 9 E Continua y creciente Una real solo si F ≤ 0
−3 / 2
Continua Creciente
Rango F ≤ f(O) < +∞
2/3 n
Función tipo: Función continua y creciente: Dominio: Rango: Intersección con O / f:
(Independiente O)
Cóncava hacia arriba
Punto de inflexión O=((4C/9+... Dominio O≥0 3
O (m /s) 0 F
Intersección con O (Raíz) O=On+1 Cóncava hacia abajo Intersección con f (Mínimo absoluto)
163
3.8
Análisis de Resultados
Para destacar mejor las ventajas que ofrece el método directo en cuanto al tránsito de avenidas en embalses, es favorable hacer un análisis de resultados a partir de un problema completo ya resuelto mediante métodos tradicionales y mediante el método directo. El análisis de resultados puede llevarse a cabo de manera comparativa de acuerdo a las siguientes consideraciones: •
Metodología de trabajo.
•
Aproximación de los resultados.
•
Automatización de los cálculos.
•
Cambio de intervalo de tiempo.
El análisis de resultados desarrollado a continuación está basado en el problema resuelto con anterioridad tanto por métodos tradicionales como por el método directo. Es honrado señalar que ésta aplicación se originó en los cursos de la materia Construcciones Hidráulicas dictada en la Escuela Politécnica Federal de Lausana (EPFL) de Suiza por el Profesor Ing. Boillat Jean Louis. La ilustración (3.46) muestra los hidrogramas de entrada y salida del problema mencionado. 3
Caudal (m /s)
90 80
Caudal de entrada
70 60
Caudal de salida 50 40 30 20 10 Tiempo (h)
0 0
20
40
60
80
100
Ilustración 3. 46. Hidrogramas de entrada y salida de la aplicación de comparación.
164 3.8.1 Metodología de Trabajo
En lo que respecta a la metodología de trabajo puede señalarse que los métodos tradicionales requieren la generación de tablas y gráficas preliminares para ser consultadas posteriormente. Es importante adelantar aquí que la consulta de gráficas siempre está ligada a considerables errores de aproximación en los resultados porque es muy dependiente de la interpretación personal. Para la aplicación en consideración y como se vio en el apartado correspondiente, el método de la piscina nivelada requiere la generación preliminar de una tabla y de una gráfica compuesta por dos curvas (una por cada intervalo de tiempo). Para el mismo ejercicio, el método SIC también requiere el trabajo preliminar de una tabla y dos curvas. Finalmente y siempre para el ejercicio en cuestión, el método gráfico de puls requiere la generación preliminar de una tabla y de dos gráficas (cada una de dos curvas). Por otra parte y para la aplicación de comparación, el método directo no requiere la generación de ninguna tabla preliminar y menos una gráfica correspondiente, requiere simplemente de la elaboración de una tabla final. Por consiguiente aquí se destaca una de las ventajas del método directo. El cuadro siguiente muestra de manera resumida lo concerniente a la metodología de trabajo.
Tabla 3. 18. Comparación de la metodología de trabajo.
Método
De la Piscina Nivelada
SIC Gráfico Directo
Número de tablas preliminares
1
1
1
0
Número de curvas preliminares
2
2
4
0
¿Requiere consulta de curvas?
Si
Si
Si
No
165 3.8.2 Aproximación de los Resultados
En realidad, la aproximación de los resultados depende bastante de la información del hidrograma de entrada dado, y éste a su vez depende de la información de la precipitación analizada. En esta parte se harán las discusiones bajo la suposición de que se tiene un hidrograma de entrada correctamente aproximado. Como todos los métodos tradicionales involucran la consideración e interpretación de curvas, la aproximación de los resultados está prácticamente ligada a la calidad de la interpretación personal implicando la variabilidad de estos de una persona a otra.
La
interpretación de las curvas es un agente importante puesto que durante los métodos tradicionales
éstas
son
consultadas
iterativamente,
por
consiguiente
incorrectas
interpretaciones pueden hacer que la propagación existente hagan del error una magnitud considerable. Desde luego que estas consideraciones que aparentan ser exageradas pueden tener repercusiones no deseadas para el diseño de las estructuras de excedencia por ejemplo. Los métodos de la piscina nivelada y el SIC son equivalentemente aproximados puesto que involucran una analogía en sus procedimientos en cuanto a curvas y tablas consultadas. El método gráfico de puls es el menos aproximado porque la generación de resultados finales depende directamente de la metodología gráfica propia del método. Por otra parte, el método directo brinda la mejor aproximación puesto que no depende de interpretaciones de curvas, y aún más, la calidad de los resultados puede extenderse de acuerdo a las exigencias del Ingeniero, esto es posible porque los resultados pueden calcularse de manera precisa mediante una fórmula algebraica como la de Cardano, o de manera iterativa mediante el método numérico de Newton-Raphson. De cualquier manera quizás no tiene mucho sentido buscar una aproximación extrema cuando se sabe que la información de entrada es una información tan especial. De acuerdo a las anteriores consideraciones podría generarse una tabla comparativa en cuanto a la aproximación de los resultados que forman parte del hidrograma de salida:
166 Tabla 3. 19. Comparación de la aproximación de los resultados.
Método
Calidad de la
De la Piscina Nivelada
SIC
Gráfico
Directo
Media
Media
Mínima
Máxima
aproximación del hidrograma de salida
En lo que respecta a números y cantidades, lo mencionado anteriormente puede representarse en una tabla comparativa de acuerdo al método empleado para el cálculo del segundo punto correspondiente al hidrograma de salida del ejercicio de comparación en cuestión:
Tabla 3. 20. Comparación en números de la aproximación de los resultados.
Método
De la Piscina Nivelada
SIC
Gráfico
Directo
25.2 m3/s
25.3 m3/s
25 m3/s
25.30 m3/s
Aproximación del segundo punto del hidrograma de salida de la aplicación de comparación
167 3.8.3 Automatización de los Cálculos
La automatización de los cálculos que comprende el tránsito de avenidas es muy importante para el mejor diseño de la estructura de salida. Por ejemplo podría transitarse una y otra vez para variados anchos de la cresta de un vertedero estándar con el fin de obtener una altura convenientemente menos peligrosa durante una tormenta.
También
podría transitarse una y otra vez una determinada configuración de embalse y estructura de salida para variadas posibles tormentas. La automatización de los cálculos también es muy importante para la programación de una computadora en cuanto al tránsito de avenidas. Los métodos de la piscina nivelada y el SIC son de naturaleza difíciles de automatizar en cuanto a sus cálculos que involucran porque dependen de una consulta intermedia de curvas.
Esta consulta de curvas quizás podría reemplazarse por una
interpolación aproximada entre puntos para propósitos de automatización.
El método
gráfico es extremadamente difícil de automatizar porque toda la inteligencia visual que implica la consulta de curvas habría que trasladar a una complicada representación de procedimientos matemáticos. Por otra parte, el método directo es dable para una automatización práctica y total puesto que no intervienen consultas de curvas de por medio, además como depende de la solución de una ecuación, ésta puede calcularse mediante la programación de una formula algebraica o mediante métodos numéricos rápidos como el de Newton-Raphson. Si se optaría por la aplicación de una fórmula algebraica como la de Cardano se podría hablar incluso de hidrogramas de salida en tiempo real dependiendo de la capacidad de la computadora involucrada. El programa de computadora que se ha generado para este Proyecto de Grado aprovecha totalmente las facultades del método directo en cuanto a la automatización de sus cálculos. Para finalizar se ha querido resumir estas ideas en una tabla representativa y comparativa en cuanto a la automatización de los métodos expuestos.
168 Tabla 3. 21. Comparación de la automatización.
Método
De la Piscina
SIC
Gráfico
Directo
Parcial
Ninguna
Completa
Nivelada Automatización de los cálculos inmersos en el
Parcial
método
3.8.4 Cambio del Intervalo de Tiempo
Un hidrograma de caudal ofrece información de caudal cada cierto intervalo de tiempo ∆t. Aunque en su generalidad se tienen hidrogramas con un intervalo de tiempo constante, a veces también se tienen hidrogramas con un intervalo de tiempo variable. Los hidrogramas con información de caudal frente a intervalos de tiempo distintos merecen cierta consideración a tratarse a continuación. Cuando se tiene un problema que incluye un hidrograma de entrada con intervalos de tiempo ∆t diferentes, el método de la piscina nivelada, el método SIC y el método gráfico de puls exigen la representación de una o más curvas preliminares, dependiendo del número de intervalos de tiempo distintos que se tengan. A parte de esto y durante el proceso de cálculo debe tenerse sumo cuidado cuando llega el momento de cambiar de un intervalo de tiempo a otro. Un cambio de intervalo de tiempo mal considerado puede repercutir seriamente en el resultado del hidrograma de salida. Estas consideraciones se las tuvo en cuenta a la hora de resolver el problema de comparación en cuestión. Por otra parte, en el método directo no es necesaria la consideración y atención a un cambio en el intervalo de tiempo durante el proceso, debido a que el cálculo de cada punto del hidrograma de salida es independiente del anterior. Esta es una ventaja natural de la ecuación principal del método directo.
169
A continuación se presenta una tabla comparativa en lo que se refiere al cambio de intervalo de tiempo ∆t:
Tabla 3. 22. Comparación en cuanto al intervalo de tiempo.
Método
De la Piscina Nivelada
SIC
Gráfico
Directo
n curvas
n curvas
2n curvas
Ninguna
Curvas necesarias para la consideración de n cambios en el intervalo de tiempo ∆t presentes en el hidrograma de entrada
Finalmente y de acuerdo a toda la discusión comparativa presentada, puede señalarse sin lugar a dudas que, el método directo es una buena opción para el tránsito de caudales de crecidas o tránsito de avenidas, ya sea por su alivianada metodología, por su mejor aproximación en los resultados, por su fácil automatización en sus procedimientos, o por sus ventajas respecto al cambio del intervalo de tiempo ∆t.
170
CAPITULO 4 DESARROLLO PRACTICO
4.1
Programa Computacional para el Tránsito de Avenidas en Embalses
Con el fin de explotar las ventajas del método directo tales como la automatización, se ha elaborado un programa en computadora para el tránsito de avenidas en embalses. Este software permite el tránsito de avenidas en embalses con espejo de agua constante y variable, y con vertederos estándar, Morning Glory, o no tradicionales. Además, para fundamentar el valor del tránsito de avenidas se ha incluido un módulo de cálculo de altura de presa que depende de los resultados del tránsito. Este programa bautizado como Trans exige la entrada de información manualmente o mediante archivos de la configuración del embalse y de la estructura de salida además del hidrograma de entrada, opcionalmente también puede ingresarse información de entrada concerniente a la presa.
Una vez
alimentada la información, el programa opera con ella de acuerdo al desarrollo visto en el capítulo 3 y proporciona completos informes de salida tanto gráficos como de texto.
4.2
Plataforma Hardware
Aquí se describirán las características físicas generales de la computadora usada para la elaboración del programa de tránsito de avenidas. Junto a las características físicas generales se mencionarán los requerimientos mínimos para la ejecución del programa.
171
Una computadora está compuesta de cinco partes claves: el procesador, la memoria, los dispositivos de entrada y salida, el almacenamiento en disco, y los programas. La ilustración 4.1 muestra las partes mencionadas conectadas por flechas que representan su interacción.
Memoria
Procesador
Entrada Salida ---------------Discos
Programas
Ilustración 4. 1. Las cinco partes de una computadora.
El procesador es el cerebro de la computadora. El procesador tiene la capacidad de llevar a cabo las instrucciones que le son suministradas. El programa fue creado en un procesador Intel 80486 para asegurar la compatibilidad con toda la familia de procesadores Intel Pentium 80586, 80686, etc. La memoria es el área de trabajo de la computadora.
La memoria de la
computadora es donde todas las actividades toman lugar. El programa fue creado en un ambiente con una memoria de 20 megabytes, no obstante la memoria mínima requerida es de 16 megabytes. Los dispositivos de entrada y salida son todas las vías por las cuales la computadora recibe y envía información. Estos incluyen dispositivos tales como el teclado, el ratón, el monitor, la pantalla, etc. El programa fue creado en un ambiente con un teclado estándar de 101 teclas, un ratón estándar de dos botones, y una pantalla a colores conectada a un adaptador VGA estándar.
172
El almacenamiento en disco es un dispositivo de entrada y salida muy importante. El almacenamiento en disco es donde la computadora mantiene los datos cuando los mismos no están en la memoria. El programa fue creado en un ambiente con un disco duro de 1.4 gigabytes, y un disco flexible de alta densidad de 3.5 pulgadas.
El programa
requiere un espacio mínimo disponible de 2 megabytes en disco duro. El cuadro siguiente muestra un extracto de los requerimientos mínimos que necesita el programa para su ejecución.
Tabla 4. 1 . Requerimientos mínimos de hardware.
4.3
Procesador
80486 o superior
Memoria RAM
16 MB o superior
Adaptador de pantalla
VGA o superior
Dispositivo de apuntamiento
Ratón de dos botones o superior
Disco duro con espacio mínimo disponible
2 MB o superior
Plataforma Software
La plataforma software hace referencia al sistema operativo y más que todo al lenguaje de programación usado para la elaboración del programa de tránsito de avenidas. El programa ha sido elaborado en un ambiente correspondiente al Microsoft Windows 95, y en un lenguaje de programación para ese ambiente denominado Microsoft Visual Basic 5.
173
4.3.1 Windows: Ventanas, Eventos y Mensajes
Una versión simplificada del funcionamiento del Windows involucra tres conceptos claves: ventanas, eventos y mensajes. Una ventana puede concebirse como una región rectangular con sus propias fronteras.
Existen varios tipos de ventanas conocidos en el Windows tales como el
Explorador, un documento en Microsoft Word, un cuadro de dialogo cualquiera, etc. Mientras estos tipos de ventanas son los más conocidos existen también otros tipos de ventanas como los botones de comando, los iconos, los menúes, etc. El Microsoft Windows administra todas estas ventanas asignando a cada una ellas un número de identificación. El sistema continuamente verifica cada una de estas ventanas buscando signos de actividad o eventos. Los eventos pueden ocurrir según la intervención del usuario, un control de programación o como el resultado de una acción de otra ventana. Cada vez que un evento ocurre, éste causa el envío de un mensaje al sistema operativo. El sistema procesa el mensaje y lo radiodifunde al resto de las ventanas. Cada ventana puede entonces tomar la acción apropiada basada en sus propias instrucciones para tratar con el mensaje en particular. Por ejemplo, una ventana podría repintarse una vez que ha sido descubierta por otra.
4.3.2 El Lenguaje Visual Basic
El Visual Basic de Microsoft es la vía más rápida y fácil de crear aplicaciones para el Microsoft Windows. El Visual Basic posee un conjunto completo de herramientas para simplificar el desarrollo rápido de aplicaciones. ¿Qué es el Visual Basic? La parte “Visual” se refiere al método usado para crear la interface gráfica de usuario (GUI).
En vez de escribir varias líneas de código para
especificar la ubicación y apariencia de los elementos de la interface, se puede arrastrar y soltar objetos ya fabricados en algún lugar puntual de la pantalla.
174
La parte “Basic” se refiere al lenguaje BASIC (Beginners All-Purpose Symbolic Instruction Code), que según la Microsoft es el lenguaje más usado en el mundo en toda la historia de la computación.
El Visual Basic es una evolución del lenguaje BASIC y
actualmente contiene cientos de instrucciones para todo propósito.
Modelo Conducido por Eventos
En aplicaciones tradicionales o de procedimientos, el código y la secuencia de ejecución están controlados por la misma aplicación o programa. Entonces, la ejecución parte con la primera línea del código y sigue un camino definido a través de la aplicación invocando procedimientos según sea necesario. En una aplicación conducida por eventos elaborada con el Visual Basic, el código no sigue un camino definido puesto que se ejecutan diferentes partes del código en respuesta a los eventos. Los eventos pueden ser causados por las acciones del usuario, por mensajes del sistema u otras aplicaciones, o quizás de la aplicación misma. La secuencia de los eventos determina la secuencia en la cual el código se ejecuta, por consiguiente cada vez puede ejecutarse una parte distinta del código.
Desarrollo Interactivo
El proceso tradicional del desarrollo de una aplicación puede ser separado en tres pasos distintos: la escritura, la compilación y la depuración. A diferencia de los lenguajes tradicionales, el Visual Basic usa un enfoque interactivo de desarrollo que no hace distinción entre las tres partes mencionadas. En la mayoría de los lenguajes, si se comete un error durante la escritura del código, el error es capturado por el compilador durante la compilación. Entonces debe procederse a corregir el error y empezar la compilación otra vez, repitiendo todo esto con cada error. El Visual Basic interpreta el código mientras es ingresado, capturando la mayoría de los errores sobre la marcha.
175
En adición a la captura de errores sobre la marcha, el Visual Basic compila parcialmente el código según es ingresado. De esta manera cuando se va a ejecutar y depurar la aplicación se tiene un tiempo realmente corto para la culminación de la compilación. Si el compilador captura el error, entonces es marcado en el código. Luego se puede proceder a remendarlo y se puede continuar con la compilación sin necesidad de empezar desde el principio. La ilustración 4.2 muestra el ambiente interactivo de desarrollo que ofrece el Visual Basic y que fue usado para el programa de tránsito de avenidas.
Ilustración 4. 2. El ambiente de desarrollo del Visual Basic 5 de la Microsoft.
176 4.4
Desarrollo del Algoritmo
El algoritmo base sobre el cual está estructurado el programa es de cuatro fases como se muestra a continuación:
Entrada de datos: Embalse Estructura de salida Hidrograma de entrada Presa
1
Resolución de la ecuación principal
Modificación de la estructura de salida
2
No
Satisface Hmax u Omax ?
Si
Calcular altura de presa ?
Si
Resolución de la altura de presa
3
No
Generación del informe de resultados:
4
Hidrograma de salida Altura de presa
Ilustración 4. 3 . Algoritmo base del programa. 1) Fase de entrada. 2) Fase de tránsito. 3) Fase de presa. 4) Fase de salida.
177 La fase 1 del algoritmo está orientada al proceso de la información de entrada para el programa. Esta información consiste en la geometría del embalse, la configuración de la estructura de salida, el hidrograma de entrada y hasta los parámetros de altura de la presa. La fase 2 del algoritmo se encarga del tránsito de avenida en el embalse, o sea se encarga de la generación del hidrogama de salida punto a punto. Como se verá más adelante, el programa permite establecer una elevación máxima (Hmax) o caudal de salida máximo (Omax) como condición de tránsito. Si uno de estos parámetros es establecido y no se satisface, entonces el algoritmo exige la repetición del transito hasta su cumplimiento. Una vez logrado el hidrograma de salida se puede continuar de manera opcional con la determinación de la altura de la presa como se advierte en la fase 3 del algoritmo. No obstante para esto debe proporcionarse la información pertinente en la fase 1. La fase 4 del algoritmo procesa toda los cálculos anteriormente para su presentación como información de salida. La información de salida está compuesta por reportes tipo texto y también gráficos del hidrograma de salida, del almacenamiento en el embalse y de la altura de la presa. La información de salida también incluye la información de entrada como referencia.
4.5
Programación del Algoritmo
La programación del algoritmo ha sido estructurada en formularios de interacción y en módulos de cálculo como se puede apreciar en la ilustración 4.4. Los formularios de interacción consisten básicamente en el procesamiento de la información de los distintos cuadros de diálogo. Son la parte que permiten la interacción con el usuario, ya sea para la entrada de información o para la representación de la información de salida. Los módulos básicamente son el motor del programa. Tanto los módulos de entrada y salida como los módulos de cálculo contienen código para el procesamiento de la información.
178 Formulario principal de interacción
Formularios secundarios de interacción
Módulo de la información de entrada
Módulo A de cálculo (Tránsito)
Módulo B de cálculo (Presa)
Módulo de la información de salida
Ilustración 4. 4. Estructura de la programación del algoritmo.
El formulario principal de interacción comanda el funcionamiento y la dirección de los procesos del programa. En la práctica puede decirse que el formulario principal es el menú principal del programa. El módulo de entrada contiene código capaz de procesar y organizar la información para el subsiguiente proceso de cálculo. El módulo de entrada además de procesar la información de los formularios de interacción puede recuperar información alimentada en forma de archivos en disco. El módulo A de cálculo está destinado y organizado en cuanto al tránsito de avenidas para embalses con vertederos éstandar o Morning Glory y con espejo de agua constante o variable.
Este módulo está basado en las correspondientes ecuaciones
principales desarrolladas en el capítulo 3. El módulo A emplea el método de NewtonRaphson para la resolución de las mencionadas ecuaciones.
179 El módulo B de cálculo requiere el hidrograma de salida generado por el módulo A de cálculo. Este módulo está encargado de la obtención de la altura total de la presa a partir de un pequeño conjunto de fórmulas conocidas. El módulo de salida procesa toda los cálculos realizados para presentarlos como información de salida mediante los formularios de interacción. Este módulo de cálculo es capaz de generar información de salida en forma de texto, en forma de gráficos y hasta en forma de archivos en disco. El código perteneciente a los formularios de interacción y a los módulos ha sido programado en forma estructurada, o sea mediante subprogramas encargados de tareas específicas. Los subprogramas o subrutinas son porciones de código independiente unos de los otros capaces de generar tareas orientadas para proporcionar resultados específicos. La ilustración 4.5 muestra un subprograma del módulo de información de entrada usado para almacenar la información del área frente a elevación del embalse en el disco.
Sub guardar1() Open arch1 For Output As #1 For j = 1 To n1 Print #1, h1(j) & " " & a1(j) Next j Close #1 End Sub
Ilustración 4. 5. Subprograma o subrutina para guardar información en disco.
En el Apéndice D se presentan los listados del código fuente de los formularios de interacción y de los módulos del programa.
180
4.6
Aplicaciones
El programa ha sido codificado para poder resolver las siguientes combinaciones que vienen a ser las aplicaciones: •
Tránsito de avenidas en embalse con vertedero estándar y espejo de agua constante.
•
Tránsito de avenidas en embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua constante.
•
Tránsito de avenidas en embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua constante.
•
Tránsito de avenidas en embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable dependiente del ángulo de inclinación del talud de orillas.
•
Tránsito de avenidas en embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua variable dependiente del ángulo de inclinación del talud de orillas.
•
Tránsito de avenidas en embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua variable dependiente del ángulo de inclinación del talud de orillas.
•
Tránsito de avenidas en embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable dependiente de la curva área y elevación.
•
Tránsito de avenidas en embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua variable dependiente de la curva área y elevación.
•
Tránsito de avenidas en embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua variable dependiente de la curva área y elevación.
•
Tránsito de avenidas en embalse con vertedero estándar y espejo de agua variable dependiente de la curva volumen y elevación.
•
Tránsito de avenidas en embalse con vertedero Morning Glory y espejo de agua variable dependiente de la curva volumen y elevación.
•
Tránsito de avenidas en embalse con estructura de salida no tradicional y espejo de agua variable dependiente de la curva volumen y elevación.
•
Cálculo de la altura total de la presa (dependiente del tránsito de avenidas).
181 4.7
Operación del Programa
Esta parte viene a ser lo que se conoce con frecuencia como la referencia del programa o también como la guía del usuario.
4.7.1 Apertura de Proyecto
El programa está organizado en cuanto a proyectos. Un proyecto es un conjunto de información que corresponde a algún caso de estudio en particular. Entonces, un proyecto está compuesto por la información del embalse, de la estructura de salida, del hidrograma de entrada, y hasta de la información de la presa para un caso o problema en particular. Para empezar un nuevo proyecto, para abrir un proyecto existente o para guardar un proyecto debe emplearse el menú archivo del formulario principal.
La ilustración 4.6
muestra el menú archivo del programa.
Ilustración 4. 6 . El menú archivo para administración de proyectos.
4.7.2 Configuración del Embalse
Toda la información pertinente a la geometría del embalse debe introducirse a través del formulario embalse accesible desde el menú tránsito.
El formulario del embalse
permite introducir parámetros correspondientes a embalses de espejo de agua constante o variable. Si se trata de un embalse de espejo de agua variable pueden especificarse los parámetros de una geometría de talud de orillas o mediante los archivos contenedores de las
182 curvas área frente a elevación o volumen frente a elevación. En la ilustración 4.7 se muestra el formulario embalse llenado para un problema de espejo de agua constante.
Ilustración 4. 7. El formulario embalse del menú tránsito.
Es importante mencionar aquí que, la información de las curvas de área frente a elevación y volumen frente a elevación del embalse también pueden introducirse de una manera tabular o sea manual.
4.7.3 Configuración de la Estructura de Salida
Los parámetros de un vertedero o de una estructura de salida no tradicional del embalse se introducen por medio del formulario estructura de salida. Cuando se trate de una estructura de salida no tradicional la información concerniente a la curva caudal y elevación puede introducirse manualmente o mediante un archivo específico.
La
183 ilustración 4.8 muestra el formulario estructura de salida llenado conforme a un vertedero estándar.
Ilustración 4. 8. El formulario estructura de salida del menú tránsito.
4.7.4 Ingreso del Hidrograma de Entrada
Una vez ingresados el embalse y la estructura de salida es el turno de introducir el hidrograma de entrada para el tránsito de la avenida. El formulario hidrograma de entrada es accesible desde el menú tránsito. El hidrograma de entrada puede introducirse mediante un archivo de texto específico o mediante una forma tabular o manual. El formulario del hidrograma de entrada es una planilla versátil que permite una entrada ordenada de datos mediante celdas. Este formulario exige que la información del hidrograma de entrada deba guardarse en un archivo independiente mediante el comando guardar accesible desde el menú archivo del mencionado formulario. Finalmente, este formulario también permite graficar el hidrograma para su verificación visual. La ilustración 4.9 muestra el formulario de ingreso del hidrograma de entrada.
184
Ilustración 4. 9. El formulario hidrograma de entrada accesible desde el menú tránsito.
Es necesario aclarar que el funcionamiento del anterior formulario es común a los casos que exijan ingresar información tabular o mediante archivos como el caso de la estructura no tradicional, etc.
4.7.5 Cálculo del Hidrograma de Salida
El formulario para el cálculo del hidrograma de salida es accesible desde el menú tránsito. Cuando se tiene un vertedero estándar o Morning Glory es posible especificar restricciones en cuanto al caudal máximo de salida o en cuanto a la elevación máxima de la
185 carga de agua. La ilustración 4.10 presenta las opciones de restricción de los mencionados parámetros.
Ilustración 4. 10. Las opciones del formulario hidrograma de salida accesible desde el menú tránsito.
Cuando se introduce un caudal máximo de salida restringido o una elevación máxima restringida debe ingresarse la magnitud del cambio del largo de la cresta del vertedero. Esto porque el programa realiza el tránsito una y otra vez cambiando el largo de la cresta del vertedero hasta obtener la restricción deseada.
4.7.6 El Reporte del Transito de Avenida
Una vez resuelto el hidrograma de salida puede verse el reporte de resultados mediante el formulario correspondiente accesible desde el menú tránsito. El reporte de resultados inicialmente se muestra en modo texto pero permite también una representación gráfica del hidrograma de salida o de la curva de almacenamiento en el embalse. Para ver estas gráficas debe irse a los comandos correspondientes que están disponibles en el menú reporte del formulario reporte.
La ilustración 4.11 muestra el formulario reporte de
acuerdo al ejemplo seguido hasta ahora.
186
Ilustración 4. 11. El formulario reporte accesible desde el menú tránsito.
Como se dijo anteriormente, es posible también representar de manera gráfica el reporte de resultados a partir del menú reporte del formulario reporte. La ilustración 4.12 muestra la gráfica del hidrograma de salida calculado. Es importante señalar que, el formulario gráfico como el mostrado en la ilustración 4.12 permite cambiar la escala de los ejes de gráfica mediante el empleo de los botones de escalado situados en la parte inferior izquierda claramente visibles en el formulario. Finalmente, es conveniente mencionar que el funcionamiento del formulario gráfico es común a todas las representaciones gráficas que ofrece el programa, o sea común también a las gráficas de área frente a elevación o volumen frente a elevación por ejemplo.
187
Ilustración 4. 12. Formulario gráfico del hidrograma de salida accesible desde el menú reporte del formulario reporte.
4.7.7 Ingreso del Volumen Muerto
El primer parámetro a considerarse e ingresarse para el cálculo de la altura de la presa es el volumen muerto del embalse. Puede introducirse el volumen muerto en función del porcentaje del volumen útil mediante el formulario volumen muerto accesible desde el menú presa.
El porcentaje por defecto del volumen útil es convencionalmente y
teóricamente igual al 10%. La ilustración 4.13 muestra el formulario del volumen muerto del embalse.
188
Ilustración 4. 13 . El formulario volumen muerto accesible desde el menú presa.
4.7.8 Ingreso del Volumen Util
El ingreso del volumen útil del embalse es posible mediante el formulario volumen útil del menú presa. Mediante este formulario debe ingresarse el caudal de demanda y el caudal de aporte medio. El caudal de aporte medio puede introducirse manualmente o mediante un archivo específico una vez pulsado el botón modificar del formulario del volumen útil. La ilustración 4.14 muestra el formulario básico para el ingreso del volumen útil del embalse.
Ilustración 4. 14. El formulario volumen útil accesible desde el menú presa.
189
4.7.9 Ingreso del Borde Libre
Para ingresar el borde libre debe irse al formulario borde libre accesible desde el menú presa. Posteriormente debe seleccionarse el tipo de presa, ésta puede ser de concreto o de tierra. Luego debe introducirse un valor que corresponde a la longitud de acción del viento, conocido también a veces como el parámetro de Fetch.
Por último debe
introducirse la velocidad del viento que sucede lo largo de la longitud considerada anteriormente. La ilustración 4.15 muestra el formulario del borde libre.
Ilustración 4. 15. El formulario borde libre accesible desde el menú presa.
4.7.10 Cálculo de la Altura de Presa
Antes del cálculo de la altura de presa es necesario que se haya procedido con el tránsito de la avenida en el embalse puesto que la altura depende de los resultados del tránsito como la elevación de la carga de agua. Para calcular la altura de la presa debe usarse el comando altura de presa que es accesible desde el menú presa. Los cálculos de la altura de presa involucran cálculos preliminares de volúmenes de presa como se pueden apreciar mediante el comando reporte del menú presa.
190
4.7.11 El Reporte de Altura de Presa
El reporte de altura de presa es un formulario accesible desde el menú presa. Al igual que en el tránsito de la avenida este formulario inicialmente se presenta en modo texto pero permite también la gráfica de la curva de masa usada para la determinación del volumen útil. La curva de masa es accesible desde el menú reporte del formulario reporte mediante el comando aporte acumulado. La ilustración 4.16 muestra el formulario del reporte de altura de presa de acuerdo al ejemplo seguido hasta ahora.
Ilustración 4. 16. El formulario reporte de altura de presa accesible desde el menú presa.
191 4.7.12 Opciones: Generales
Puede especificarse la precisión en cuanto a las posiciones decimales mediante el formulario generales accesible desde el menú opciones. En este menú opciones también pueden especificarse la descripción del proyecto en cuestión y la magnitud de la aceleración de la gravedad que será usada en el tránsito de avenidas. La ilustración 4.17 presenta el formulario generales del menú opciones.
Ilustración 4. 17. El formulario generales accesible desde el menú opciones.
Además, se ha incluido una opción para la consideración del caudal de salda por la toma de la presa. Esta opción denominada “sobreponer gasto de toma” requiere la entrada del coeficiente de gasto, del diámetro, y de la distancia del eje de la toma a la cresta o cima del vertedero. Con esto se genera un archivo texto titulado “caudal y elevación” que puede ser usado como información de entrada para la estructura de salida no tradicional del formulario estructura de salida (ilustración 4.8). La fórmula usada para la generación de ésta relación es la siguiente: Qs = Qv + C ⋅ S ⋅ 2 g ( H1 + H D )
(4.1)
En la ecuación (4.1), Qv es el caudal de salida correspondiente a un vertedero estándar o Morning Glory, dado por las ecuaciones 3.16 y 3.38, respectivamente. El parámetro C es el coeficiente de gasto, S es la sección de la toma, g es la aceleración de la gravedad, H1 es la distancia del eje de la toma a la cima del vertedero, y Hd es la carga sobre la cresta del
192 vertedero. La ilustración 4.18 muestra el formulario sobreponer gasto de toma accesible desde el menú opciones:
Ilustración 4. 18. El formulario sobreponer gasto de toma accesible desde el menú opciones.
Finalmente, debe señalarse que el formato de los archivos con los que opera el programa es del tipo texto (*.TXT). Este formato es usado para los archivos de entrada que el usuario pueda especificar como el hidrograma de entrada, etc. Este formato es usado también para almacenar el reporte de salida tanto del tránsito de la avenida como de la altura de la presa.
193
CAPITULO 5 CASOS DE ESTUDIO (APLICACIÓN A CASOS PRACTICOS)
En ésta parte se verá como se aplica el método directo por medio del programa computacional a dos casos de estudio reales que existen en nuestro medio. Primero se realizará el tránsito de avenidas para el caso de la presa Cacapi en los Yungas de La Paz. Luego se realizará el tránsito de avenidas para el caso de la presa Taquiña en Cochabamba.
5.1
Presa Cacapi
5.1.1 Descripción del Proyecto
La región de los Yungas es un reto que la naturaleza ha impuesto al dominio del hombre sobre el planeta. La tierra débil y resbaladiza se opone a la seguridad que debieran proporcionar los caminos. Y la vasta vegetación se alía con el agua que no deja de caer para que la mano humana, tan inteligente y poderosa, sólo pueda construir un camino tortuoso por el que suelen resbalar los vehículos barranco abajo. Sin embargo, el hombre ha demostrado su testarudez a lo largo de los siglos. En Sur Yungas la historia se repite. Aun cuando en esta zona cualquier construcción parece fuera de lugar y destinada al fracaso, un convenio entre la empresa italiana Astaldi y la Compañía Boliviana de Ingeniería (CBI) ha logrado lo que muchos no creerían ni al verlo con sus propios ojos. A tres horas y media de la ciudad de La Paz y a lo largo de 22 kilómetros, en medio de un mar de árboles que ondean sobre las montañas y valles de las
194 regiones de Cacapi, Yanachi y Sakahuaya, se ha doblegado al río Taquesi para construir una central hidroeléctrica en un lugar donde no se divisan las casas del ser humano. Cuando la obra finalice en marzo del 2002, habrán transcurrido dos años y medio desde su comienzo.
En realidad, es un tiempo reducido si se toma en cuenta sus
dimensiones. No en vano, en la etapa más activa de la construcción se llegaron a emplear hasta 850 empleados y actualmente unos 350 operarios. Estos hombres se enfrentan a las difíciles condiciones de la región de los Yungas y a las exigencias temporales del contrato. El compromiso que tienen con los empresarios les obliga a desarrollar turnos de 25 días continuados con sólo cinco jornadas libres. A diferencia de otras construcciones, en este proyecto el diseño y la construcción se desarrollan de forma paralela. A medida que se avanza sobre el terreno, se modifican los planos en función de las necesidades geológicas y laborales. Cuando una sección de la obra se adelanta a las previsiones y otra se atrasa, se transfieren operarios de un lado a otro para igualar los ritmos de trabajo. Así se tiene una construcción integral y uniforme. Del mismo modo, el sistema permite adaptar la construcción a las necesidades que impone la tierra. La región sobre la que se ha desarrollado el proyecto conjunto de Astaldi y CBI presenta una variedad rocosa que varía en una escala de uno a cinco, siendo la primera de una dureza semejante a la del granito y la cuarta de una cohesión débil. Cuando los trabajadores se topan con una piedra que, por su inestabilidad, entraña riesgos en la construcción, es posible realizar los ajustes técnicos y refuerzos geológicos pertinentes sin que el proyecto global sufra de mayores retrasos. Construir una central hidroeléctrica es una tarea compleja que se divide en varias fases. En primer lugar, la empresa interesada en llevar a cabo la obra realiza los estudios que aseguren la viabilidad y rentabilidad del proyecto. Si el análisis es positivo, se procede a obtener las licencias correspondientes para poder operar con el terreno que en el caso de las hidroeléctricas pertenece al Estado puesto que el agua es un bien público. Superada la burocracia, comienza el verdadero trabajo.
195 En este caso, fue el río Taquesi a su paso por Cacapi el que tuvo que ser desviado para elevar la presa. El embalse consta de una fundación en su zona inferior que sirve de base e impide que el agua se infiltre por el subsuelo. La pared de la presa Cacapi se eleva 25 metros. El hormigón que retiene el embalse es de 5 metros de ancho en la corona y 40 en la base, debido a que en ella la presión hidrostática es máxima. Para asegurar todo el conjunto y que no existan filtraciones de agua por las paredes inferiores y laterales de la presa, se inyecta a presión un cemento líquido que penetra en las grietas y se solidifica en el terreno, técnica conocida como jet grouting. Cada parte de la central se construye de forma más o menos simultánea. Desde el embalse se construye un túnel que pasa la montaña para desembocar en un tendido de tubería conocido como penstock que inicia la caída del agua aprovechando la fuerza de la gravedad. La gran cantidad de líquido que corre por el tendido de 1.8 metros de diámetro adquiere gran velocidad en su último tamo. El conducto se estrecha y la presión aumenta en la salida para mover con fuerza las aletas de una turbina tipo Francis. Y la energía dinámica se transforma en eléctrica para servir a la sociedad boliviana. La casa de máquinas correspondiente a la presa Cacapi está capacitada para generar 35 MW de potencia. La tabla 5.1 muestra la información más importante del proyecto Cacapi.
El
esquema del proyecto Cacapi se muestra en la ilustración 5.1 de a continuación.
5.1.2 Tránsito de Avenidas
Antes que nada, para producir el tránsito de avenidas en el embalse Cacapi es indispensable un hidrograma de entrada del río Taquesi.
196 Tabla 5. 1. Información del proyecto Cacapi
Descripción Río (entrada/descarga) Presa Area de captura de cuenca Embalse Espejo de agua Area del espejo de agua Almacenamiento Niveles Máximo nivel de operación Mínimo nivel de operación Nivel de avenida (Q100) Descarga de avenida Período de retorno 1000 años (Q1000) Período de retorno 100 años (Q100) Período de retorno 10 años (Q10) Presa Tipo Configuración Nivel de la corona Altura máxima Largo de la corona Vertedero Tipo Longitud de la cresta Elevación de la cresta Descarga máxima en el desagüe Descarga de diseño en la toma Casa de máquinas Turbinas tipo Número de turbinas Salida de la turbina Descarga de diseño Velocidad de rotación
Valor Unidad Taquesi/Taquesi Cacapi 107 Km2 Constante 4785 m2 110000 m3 2547 m.s.n.m. 2536 m.s.n.m. 2549 m.s.n.m. 250 m3/s 150 m3/s 75 m3/s Concreto (gravedad) Simétrica 2550 m.s.n.m. 26 m 72 m Estándar no controlado 33 2547 210 7
m m.s.n.m. m3/s m3/s
Francis 1 35 MW 7 m3/s 100 r.p.m.
197 Presa de gravedad L = 72 m
Vertedero L = 33 m
Espejo de agua A = 4785 m2
26 m 12 m Río Taquesi
Embalse V = 110000 m3
23 m
Toma QD = 7 m3/s
Desagüe Qmax = 210 m3/s
Ilustración 5. 1. Esquema del perfil de la presa Cacapi.
Tabla 5. 2. Hidrograma de entrada del río Taquesi.
Tiempo
Tiempo
(h)
Caudal (m3/s)
(h)
Caudal (m3/s)
0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
7.90 11.64 17.67 27.18 37.55 46.38 53.52 57.60 58.70 57.34
2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00
53.86 48.51 40.52 33.13 27.95 20.98 15.63 11.38 9.17 7.65
198 El hidrograma de entrada del río Taquesi para un período de retorno de 10 años aguas arriba del embalse Cacapi se muestra en la tabla 5.2. Usando el programa Trans debe primero debe introducirse la configuración del embalse como se muestra en la siguiente ilustración:
Ilustración 5. 2. Introducción de la configuración del embalse Cacapi.
Ilustración 5. 3. Introducción de la estructura de salida de la presa Cacapi.
199 Nótese que se ha introducido un coeficiente de descarga de 0.495 para el vertedero estándar. Este valor es usado corrientemente para cuestiones de diseño. Es el turno de ingresar el hidrograma de entrada en el programa de acuerdo a la tabla 5.2. La siguiente ilustración muestra la gráfica del hidrograma de entrada desde el programa.
Ilustración 5. 4. Hidrograma de entrada del río Taquesi.
Con toda ésta información introducida ya es posible el cálculo del hidrograma de salida por la presa Cacapi. La ilustración 5.5 muestra el hidrograma de salida de la presa Cacapi una vez calculado o sea transitado.
200
Ilustración 5. 5. Hidrograma de salida de la presa Cacapi.
Un examen preliminar de la anterior ilustración nos dice que el hidrograma de salida de la presa Cacapi es realmente semejante al hidrograma de entrada del río Taquesi debido a ciertas razones que se discutirán en detalle más adelante. Junto a la ilustración del hidrograma de salida de Cacapi también es posible obtener un reporte en modo texto del análisis realizado como se muestra a continuación.
201
HIDROGRAMAS DE ENTRADA Y SALIDA ARCHIVO DEL HIDROGRAMA DE ENTRADA: C:\MIS DOCUMENTOS\TESIS\TRANS\CACAPI (1).TXT TRANSITO DE AVENIDA EN EL EMBALSE: T (h)
I (m³/s)
O (m³/s)
H (m)
V (m³)
0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00 5.25 5.50
7.90 11.64 17.67 27.18 37.55 46.38 53.52 57.60 58.70 57.34 53.86 48.51 40.52 33.13 27.95 20.98 15.63 11.38 9.17 7.65 7.90 7.90
7.90 11.03 17.23 26.30 37.05 45.85 53.23 57.43 58.73 57.45 54.11 48.84 41.08 33.50 28.26 21.60 15.89 11.82 9.23 7.87 7.71 8.02
0.23 0.29 0.38 0.51 0.64 0.74 0.81 0.86 0.87 0.86 0.82 0.77 0.69 0.60 0.53 0.45 0.36 0.30 0.25 0.23 0.22 0.23
1093.12 1365.69 1838.04 2436.93 3062.37 3530.00 3899.66 4102.09 4163.61 4102.89 3942.27 3681.81 3281.04 2863.55 2556.96 2137.34 1741.92 1429.60 1212.15 1089.98 1075.62 1104.58
TIEMPO DE MAXIMOS = 2.25 (h) CAUDAL MAXIMO DE SALIDA = 58.73 (m³/s) ELEVACIÓN MAXIMA = 0.87 (m) ALMACENAMIENTO MAXIMO = 4163.61 (m³)
202
Para finalizar ésta aplicación se discutirán las razones más importantes respecto al resultado logrado. Aun que el hidrograma de salida parece ser el mismo que el hidrograma de entrada, en realidad no lo es como puede verse en reporte anterior. En el reporte anterior puede verse que el caudal de salida es menor al caudal de entrada antes de alcanzar la cúspide, pero luego el caudal de salida es mayor al caudal de entrada hasta terminar el tránsito. Este comportamiento refleja la acumulación y liberación de cierto almacenamiento y es típico de un hidrograma de salida. Se ha visto en la parte teórica que el tiempo del movimiento de una avenida está compuesto por un tiempo de redistribución más un tiempo de traslación. El tiempo de traslación es 0 en este caso porque se está analizando el tránsito en un sistema agregado como un embalse.
Como los centroides de ambos hidrogramas están muy pero muy
próximos puede afirmarse que el tiempo del movimiento de la avenida es 0 lo que implica a su vez que el tiempo de redistribución también es 0. Si el tiempo de redistribución es 0 significa que las características del embalse y del vertedero no le dan tiempo a la onda para que pueda redistribuirse o “amortiguarse” y por eso la onda sale del embalse prácticamente sin ser afectada. Un embalse con un espejo de agua relativamente reducido y con una cresta de vertedero relativamente larga como en el problema en cuestión, hace que el caudal de entrada sea expulsado como caudal de salida rápidamente debido al corto tiempo o casi nulo de redistribución. La presa Cacapi no ha sido diseñada con el fin de detener y laminar tormentas sino con el fin de regular un cierto caudal (7 m3/s) exigido para la generación de energía eléctrica.
Si la presa tuviese que ser apta para detener o laminar avenidas, entonces
posiblemente sería una presa más elevada en general y con relación a la cresta del vertedero, además tendría un largo de cresta menor con relación al largo de la corona de la presa.
203
5.2
Presa Taquiña
5.2.1 Descripción del Proyecto
Se trata de la construcción de una presa en reemplazo de la presa de tierra, tepes y piedra emboquillada existente. El área de proyecto incluye la presa Taquiña como fuente de almacenamiento, regulación y suministro de agua, la cual es complementada por la laguna Vizcachas que se encuentra aguas arriba. El agua de ambas lagunas se emplea para fines industriales como la fabricación de la cerveza así como para fines agrícolas. La presa Taquiña se encuentra localizada al norte de la ciudad de Cochabamba, en la cordillera del Tunari pero dentro de la provincia Cercado, a 21 Km de la ciudad de Cochabamba. Tiene una altitud de 4096 m.s.n.m. con un clima frío típico de la cordillera. La zona de riego está ubicada dentro los límites actuales del área urbana de Cochabamba, exactamente en las comunidades de Taquiña y Linde. La zona de riego cuya área es de 114 hectáreas tiene una altitud de 2600 m.s.n.m. y un clima templado apto para la producción agrícola durante todo el año. Los productos agrícolas se comercializan en los mercados de la ciudad de Cochabamba así como en las ferias dominicales de Tiquipaya. La cuenca Taquiña representa un potencial de aprovechamiento de 1300000 m3 de agua cada año, de los cuales 1000000 m3 se captarían en el embalse y 300000 m3 serían regulados durante la época de lluvias. En reemplazo de la presa rústica actualmente existente cuyo almacenamiento es de 600000 m3 se propone la construcción de una presa de tierra con un volumen útil de 1000000 m3, con una altura máxima de 12 m, con una longitud de 38 m y un ancho de corona de 4 m. Para la obra de toma y vertedero se ha decidido la construcción de una
204 estructura combinada tipo torre con una capacidad de 4.15 m3/s para avenidas importantes calculadas a partir de un período de retorno de 500 años. El sistema de conducción y la red de canales en el área de riego son estructuras existentes. Por motivos de costo y seguridad se ha optado por la construcción de una estructura combinada capaz de cumplir las funciones de vertedero de excedencia y toma.
Esta
estructura combinada consiste en una torre, una tubería de conducción y un canal de salida. Las avenidas se captarán en la cota 4094.5 m.s.n.m. mediante perfiles de vertederos estándar ubicados en los cuatro lados de la torre que unidos suman un largo de cresta total de 7 m. Los cálculos hidrológicos para un período de retorno de 500 años han establecido una descarga máxima de 4.15 m3/s y una elevación máxima de 0.42 m sobre la cresta del vertedero. La toma de agua para regulación de caudales hará realidad mediante la instalación de una compuerta que permita la descarga de 1 m3/s. La tabla 5.3 es un extracto de la información más relevante del proyecto Taquiña. El esquema del proyecto de la presa Taquiña se muestra en la ilustración 5.6 de a continuación.
5.2.2 Tránsito de Avenidas
El siempre necesitado hidrograma de entrada al embalse Taquiña consistente en información ordenada de tiempo frente a caudal para un período de retorno de 500 años se muestra en la tabla 5.4.
205
Tabla 5. 3. Información del Proyecto Taquiña.
Descripción Curso de agua Presa Area de captura de cuenca Embalse Espejo de agua Area media del espejo de agua Almacenamiento Niveles Máximo nivel de operación Mínimo nivel de operación Nivel de avenida (Q500) Descarga de avenida Período de retorno 500 años (Q500) Presa Tipo Nivel de la corona Altura máxima Largo de la corona Vertedero Tipo Longitud de la cresta Elevación de la cresta Descarga máxima en la toma Servicios Industriales Agrícolas – Area de riego
Valor Unidad Deshiele de la cordillera Tunari Taquiña 4.6 Km2 Variable 92000 m2 1000000 m3 4094.5 m.s.n.m. 4090 m.s.n.m. 4095 m.s.n.m. 4.15 m3/s Tierra (zonificada) 4096 m.s.n.m. 12 m 38 m Cresta estándar en estructura combinada tipo torre 7 m 4094.5 m.s.n.m. 1 m3/s Fabricación de cerveza 1140000 m2
206
Presa de tierra L = 38 m Espejo de agua 2 A = 92000 m
6m
Deshiele de la cordillera Tunari
Embalse 3 V = 1000000 m
Vertedero L=7m
10½ m 12 m
Toma 3 Qmax = 1 m /s
Desagüe 3 Qmax = 1 m /s
Ilustración 5. 6. Esquema del perfil del proyecto Taquiña.
Tabla 5. 4. Hidrograma de entrada del embalse Taquiña.
Tiempo
Tiempo
(min)
Caudal (m3/s)
Tiempo
(min)
Caudal (m3/s)
(min)
Caudal (m3/s)
15.00 30.00 45.00 60.00 75.00 90.00 105.00 120.00 135.00 150.00 165.00
0.00 0.03 0.16 0.49 1.22 3.22 13.38 15.25 14.10 12.07 10.16
180.00 195.00 210.00 225.00 240.00 255.00 270.00 285.00 300.00 315.00
8.58 7.36 6.35 5.56 5.00 4.57 4.24 3.72 2.79 1.81
330.00 345.00 360.00 375.00 390.00 405.00 420.00 435.00 450.00 465.00
1.15 0.66 0.39 0.25 0.16 0.13 0.10 0.07 0.03 0.00
207
Primero debe introducirse en el programa la configuración del embalse Taquiña. La configuración del embalse para el proyecto Taquiña sugiere la introducción de la relación área y elevación del embalse relativa a la cresta del vertedero. La ilustración 5.7 muestra la tabla al respecto extraída desde el programa.
Ilustración 5. 7. Introducción de la configuración del embalse Taquiña.
La gráfica de la relación área frente a elevación a partir de la cresta del vertedero se muestra en la ilustración 5.8.
208
Ilustración 5. 8. Relación área frente a elevación del embalse Taquiña.
Ilustración 5. 9. Introducción de la estructura de salida de la presa Taquiña.
209
A continuación debe ingresarse la configuración del vertedero como se muestra en la ilustración 5.9. Finalmente debe entrarse el hidrograma de entrada del embalse Taquiña de acuerdo con la tabla 5.4. Una vez entrado puede apreciarse la gráfica desde el programa como se muestra en la siguiente ilustración 5.10.
Ilustración 5. 10. Hidrograma de entrada del embalse Taquiña.
Con toda esta información ya introducida ahora puede transitarse la avenida. Después de transitarse la avenida puede apreciarse la gráfica del hidrograma de salida de la presa Taquiña como se muestra en la ilustración 5.11.
210
Ilustración 5. 11. Hidrograma de salida de la presa Taquiña.
Puede decirse de manera preliminar que el resultado obtenido corresponde a un tipo de comportamiento corriente o habitual en casos como la presa Taquiña. Esto significa que el embalse ha cumplido una buena función en lo respecta a la reducción de los caudales que involucra la tormenta. También puede generarse un reporte en modo texto del tránsito de avenidas como se muestra la página de a continuación.
211
HIDROGRAMAS DE ENTRADA Y SALIDA
ARCHIVO DEL HIDROGRAMA DE ENTRADA: C:\MIS DOCUMENTOS\TESIS\TRANS\TAQUIÑA (1).TXT TRANSITO DE AVENIDA EN EL EMBALSE: T (h)
I (m³/s)
O (m³/s)
H (m)
V (m³)
0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00 5.25 5.50 5.75 6.00 6.25 6.50 6.75 7.00 7.25 7.50 7.75 8.00
0.00 0.03 0.16 0.49 1.22 3.22 13.38 15.25 14.10 12.07 10.16 8.58 7.36 6.35 5.56 5.00 4.57 4.24 3.72 2.79 1.81 1.15 0.66 0.39 0.25 0.16 0.13 0.10 0.07 0.03 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0.43 1.37 2.54 3.61 4.45 5.02 5.38 5.56 5.61 5.57 5.47 5.34 5.18 4.95 4.64 4.27 3.90 3.53 3.19 2.89 2.62 2.38 2.17 1.97 1.80 1.65
0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.03 0.09 0.20 0.30 0.38 0.44 0.47 0.50 0.51 0.51 0.51 0.50 0.49 0.48 0.47 0.45 0.43 0.40 0.38 0.35 0.33 0.31 0.29 0.27 0.25 0.24 0.23
0.00 68.09 116.94 385.94 1146.90 3106.03 10351.57 22427.54 33878.89 42888.29 49264.65 53435.33 55926.61 57173.07 57506.24 57228.29 56566.47 55664.66 54513.18 52886.87 50644.60 47967.58 45105.76 42236.08 39498.47 36946.29 34598.98 32454.36 30486.40 28668.62 26982.39 25428.92
TIEMPO DE MAXIMOS = 3.75 (h) CAUDAL MAXIMO DE SALIDA = 5.61 (m³/s) ELEVACIÓN MAXIMA = 0.51 (m) ALMACENAMIENTO MAXIMO = 57506.24 (m³)
212
De acuerdo al análisis de caudal realizado puede afirmarse con confianza que, según la posición relativa de los centroides de los hidrogramas de entrada y salida indudablemente ha ocurrido un tiempo de redistribución implicando un amortiguamiento de la onda caudal gracias a la configuración del embalse y vertedero. Una relación de embalse y vertedero como la correspondiente al caso del proyecto Taquiña o sea un embalse de piscina ancha y un vertedero relativamente pequeño ha permitido una buena laminación de la avenida. No obstante, el caudal pico de salida es de 5.61 m3/s y la elevación máxima correspondiente sobre la cresta del vertedero es de 0.51 m. Esto contrasta con los valores hallados y mencionados en el proyecto o sea 4.15 m3/s y 0.42 m respectivamente. La diferencia se debe principalmente a una propagación de errores generada por el procedimiento manual y parcialmente gráfico del método tradicional de la piscina nivelada que se había empleado en el tránsito que se menciona en el proyecto. Entonces, gracias al empleo del método directo por medio del programa computacional puede obtenerse resultados máximamente aproximados como los vistos aquí. Felizmente el proyecto no se verá afectado por éstas diferencias puesto que son relativamente pequeñas y gracias al factor de seguridad siempre presente a la hora del diseño. Finalmente hay que señalar que la presa Taquiña tiene una apreciable capacidad para la detención de tormentas o crecidas lo cual es favorable siempre para la conservación de la vida existente aguas debajo de la presa.
213
CAPITULO 6
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El tránsito de avenidas en embalses permite determinar el hidrograma de salida que pasa por el vertedero de excedencia de la presa una vez conocido el hidrograma de entrada aguas arriba. Por lo tanto, mediante el tránsito de avenidas es posible determinar el caudal máximo de salida a través del vertedero, dato imprescindible para el diseño del vertedero de la presa y para el cálculo de la altura de la misma. En un embalse con piscina ancha y profunda comparada con su longitud en la dirección del flujo, el hidrograma de entrada intercepta al hidrograma de salida en el punto de caudal máximo de salida, justo cuando el almacenamiento en el embalse es máximo. Los métodos tradicionales para el cálculo del tránsito de avenidas en embalses requieren esfuerzo preliminar como la elaboración y consulta de tablas y curvas para dar con el hidrograma de salida. Estos métodos tradicionales producen resultados afectados de errores de aproximación que son introducidos durante la consulta de curvas la cual depende de la interpretación personal. El método directo resulta ser una mejor alternativa para el tránsito de avenidas porque permite resultados más precisos, porque permite una total automatización de los cálculos, porque ofrece una mejora en los procedimientos de cálculo y porque ofrece una mínima carga de trabajo. La ecuación principal del método directo puede ser deducida a partir de la forma discreta de la ecuación de continuidad. En la ecuación principal del método directo pueden
214 identificarse dos parámetros importantes:
Un parámetro es conocido como el parámetro
físico del embalse y vertedero. El otro parámetro es conocido como el parámetro de almacenamiento. El parámetro físico del embalse y vertedero siempre es el coeficiente de la incógnita de la ecuación principal. Este parámetro siempre incluye constantes correspondientes a las propiedades del embalse y vertedero. El parámetro físico del embalse y vertedero siempre es positivo porque depende de valores definidamente positivos. Finalmente, éste parámetro influye directamente en la forma de la curva de la ecuación principal. El parámetro de almacenamiento es el término independiente en la ecuación principal. Este parámetro depende solamente del caudal de entrada y del caudal de salida del embalse y los valores que involucra tienen una relación proporcional con los valores del almacenamiento en el embalse. El parámetro de almacenamiento siempre es negativo y su valor absoluto es igual al valor obtenido en la evaluación de la expresión restante de la ecuación principal usando la solución de la misma.
Finalmente, el parámetro de
almacenamiento influye directamente en la posición respecto al origen de la curva de la ecuación principal. El análisis de la función de la ecuación principal ha demostrado que el dominio de la variable independiente siempre está restringido a los reales positivos. El rango de la función de la ecuación principal siempre tiene como límite inferior el valor del parámetro de almacenamiento y como límite superior el infinito positivo. La curva de la función de la ecuación principal siempre intercepta los ejes horizontal y vertical en la solución de la ecuación y en el parámetro de almacenamiento, respectivamente. La curva de la función de la ecuación principal no es simétrica respecto a ningún eje. La función de la ecuación principal tiene una función inversa. La función de la ecuación principal siempre tiene un único cero correspondiente a la raíz de la ecuación principal. La ecuación principal puede resolverse mediante métodos numéricos y en la mayoría de los casos hasta por métodos algebraicos.
215 La función de la ecuación principal permite la derivación del método de la curva característica y del método de la ecuación alternativa para el tránsito de avenidas en embalses. El método de la curva característica es una propuesta interesante de un nuevo método gráfico que normalmente permite la generación de una curva para todo el tránsito de la avenida en el embalse. El método de la ecuación alternativa consiste en una función que representa la versión log-log de la curva característica y que puede transformarse en una útil ecuación para la solución del tránsito de la avenida en el embalse. No obstante el método de la ecuación alternativa no siempre está disponible porque depende de las propiedades del sistema hidrológico tratado en particular.
Finalmente, es importante
recordar que tanto el método de la curva característica como el método de la ecuación alternativa son métodos aproximados. La ecuación principal del método directo tiene correspondencia biunívoca con las propiedades del embalse y del vertedero del sistema en cuestión por lo que puede ser usada solamente para ese tipo de sistema hidrológico. La ecuación principal es relativamente fácil de deducir cuando se tienen sistemas con embalses con espejo de agua constante y vertederos con ecuación de caudal de salida definida.
Este argumento es coherente con las ecuaciones principales correspondientes a
sistemas de embalse con espejo de agua constante y vertederos estándar o Morning Glory como los tratados en capítulo 3. Cuando se tienen sistemas con embalses de espejo de agua constante y vertederos con ecuación desconocida o dada en forma tabular es permisible la deducción de la ecuación principal mediante la correlación. La ecuación principal resultante es una muestra de la automatización que se puede lograr mediante el método directo para el tránsito de avenidas. Cuando se tienen sistemas con embalses de espejo de agua variable y vertederos con ecuación definida es permisible la obtención de la ecuación principal mediante la aplicación de la fórmula del volumen del vaso del embalse. Se ha visto en el capítulo 3 que esto es posible para un embalse con espejo de agua variable asumiendo un ángulo de inclinación del talud de orillas constante.
216
Cuando se tienen sistemas combinados o sea con embalses de espejo de agua variable dependiente de una relación área frente a elevación o una relación volumen frente a elevación dada de una manera tabular y con vertederos de ecuación de caudal de salida no definida y más bien dada de forma tabular, también es factible la obtención de una ecuación principal mediante la técnica de la correlación. En fin, la ecuación principal del método directo para el tránsito de avenidas en embalses siempre es posible para cualquier sistema embalse-vertedero dado. Y como se dijo anteriormente, en la ecuación principal resultante siempre podrán distinguirse el parámetro físico del embalse y vertedero y el parámetro del almacenamiento. Gracias al método directo y su ecuación principal propuesta por William Iraizos es viable la elaboración de programas en computadora completamente automáticos para el tránsito de avenidas en embalses como el programa creado para este Proyecto de Grado. Como producto de la generación de un programa en computadora es posible transformar el tránsito de avenidas en un procedimiento iterativo para que pueda verificar restricciones en cuanto a las propiedades del hidrograma de salida. En el programa elaborado para este Proyecto de Grado es fácil condicionar el caudal de salida o la elevación sobre la cresta del vertedero para diseñar el vertedero. Por último, se vio en el capítulo anterior como puede aplicarse el método directo mediante el programa de computadora para el tránsito de avenidas en embalses reales y existentes en nuestro medio. En un primer caso como en la presa Cacapi se verificó que el sistema no es competente para la laminación de avenidas porque el hidrograma de salida es aproximadamente igual al hidrograma de entrada. Se argumentó que las razones de esto se deben sobre todo a las funciones del embalse para las cuales está diseñado. En un segundo caso como en la presa Taquiña se verificó un hidrograma de salida “normal” implicando que la presa posee una propiedad de laminación de avenidas.
Se argumentó que los
motivos para esto están relacionados con la defensa de la vida existente aguas debajo de la presa.
217
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219
APENDICE A VERTEDEROS
A.1
Vertedero Estándar
El flujo sobre una estructura consiste en líneas aerodinámicas curvadas cuyo origen de curvatura cae debajo del flujo. La componente gravitacional de un elemento del fluido se ve entonces reducida por la fuerza centrífuga. Si la curvatura es lo suficientemente grande entonces la presión interna puede caer debajo de la presión atmosférica e incluso debajo de la presión de vapor para grandes estructuras. Por consiguiente, la cavitación puede ser un hecho implicando un daño sumamente potencial. Dada la importancia de una estructura de excedencia, estas condiciones son verdaderamente inaceptables.
Ilustración A. 1. Vertedero de pared delgada completamente aireado según Hager y Vischer (1999).
220
Para estructuras de excedencia medianas y grandes, la forma de la cresta de un vertedero de pared delgada completamente aireado, es adoptada, esto porque el chorro resultante corresponde a un estado natural que involucra la presión atmosférica entre la napa inferior y superior del rebalse. La ilustración A.1 muestra un vertedero de pared delgada completamente aireado.
Ilustración A. 2. Diseño del perfil del vertedero estándar.
A.1.1 Forma de la Cresta
La forma de la cresta es importante con respecto a la distribución inferior de presiones. Pequeñas modificaciones tienen un efecto significante en la presión inferior, mientras que las características de descarga permanecen casi invariables. La geometría de la napa inferior no puede ser simplemente expresada por medios analíticos. La mejor aproximación consiste en un perfil compuesto de tres arcos para el cuadrante ascendente, y una función potencial para el cuadrante descendente, con la cresta como origen del sistema
221 cartesiano de coordenadas ( x, z ) . La cresta de acuerdo a lo explicado se muestra en la ilustración A.2.
Tabla A. 1. Coordenadas básicas del perfil del vertedero estándar.
Punto
O1
O2
O3
P1
P2
P3
x/ Hd
0.000
-0.105
-0.242
-0.175
-0.276
-0.2818
z / Hd
0.500
0.219
0.136
0.032
0.115
0.1360
La magnitud de escalado para el perfil de la cresta del vertedero estándar se llama carga de diseño Hd. Las otras magnitudes no tienen dimensiones y están normalizadas con respecto a Hd, tal como R1 / H d = 0.50 , R2 / H d = 0.20 y R3 / H d = 0.04 , que son los radios relativos de los tres arcos de la parte ascendente. Los orígenes de las curvaturas, O1, O2, y O3, así como los puntos de transición, P1, P2, y P3 para el cuadrante ascendente se muestran en la tabla A.1. La forma del cuadrante descendente del perfil de la cresta del vertedero estándar puede calcularse de acuerdo a la siguiente ecuación:
x z = 0.50 Hd Hd
1.85
x>0
(A.1)
A.1.2 Descarga
La descarga de un vertedero estándar está dada por la siguiente ecuación: Q = Cd b 2g H 3/ 2
(A.2)
222
En la ecuación (A.2), Cd es el coeficiente de descarga, b el ancho del vertedero, y g la aceleración gravitacional. El coeficiente de descarga puede variar de acuerdo a la carga relativa χ = H / H d , y de acuerdo a la ecuación:
Cd =
2 4χ 1 + 3 3 9 + 5χ
(A.3)
Cuando χ → 0 , el rebalse es superficial y prácticamente se tiene presión hidrostática. Luego, el coeficiente de descarga es C d = 0.385 . Para el diseño, puede considerarse χ = 1 y por lo tanto un C d = 0.495 .
A.1.3 Cavitación Vertederos estándar con χ < 1 se consideran subdimensionados.
Vertederos
estándar con χ > 1 se consideran sobredimensionados y con presiones inferiores subatmosféricas.
Inicialmente, los vertederos sobredimensionados se consideraban
ventajosos con respecto a su capacidad. Sin embargo, se sabe que el incremento de Cd para χ > 1 no es significativo mientras que la reducción en la presión inferior si lo es. Por consiguiente sobredimensionar un vertedero estándar es sumamente riesgoso para la cavitación.
A.2
Vertedero Morning Glory
Un vertedero Morning Glory está compuesto de tres partes: una cresta circular, una chimenea vertical, y un conducto de desviación. La descarga de diseño deberá producir un flujo libre superficial para lo cual la chimenea vertical y el conducto de desviación deberán tener la suficiente capacidad. Con el fin de promover la presión atmosférica desde la cresta circular hasta el conducto de desviación, es normal incluir un conducto de aireación en la chimenea vertical. Un vertedero Morning Glory se muestra en la ilustración A.3.
223
Ilustración A. 3. Esquema de un vertedero Morning Glory.
Los vertederos Morning Glory son típicamente usados para presas de pequeña a mediana descarga de diseño, con un máximo aproximado de 1000 m3/s. La altura del vertedero puede llegar hasta casi 100 m aunque 50 m es más relevante. La estructura tiene una cresta circular de perfil estándar, una chimenea vertical, un conducto de aireación y un conducto de desviación que descarga en un disipador de energía. Un vertedero Morning Glory es ventajoso cuando: •
La acción sísmica es pequeña.
•
El conducto de desviación puede ser conectado a un canal de desviación ya existente.
•
Los escombros flotantes son inofensivos.
•
El espacio para la estructura de excedencia es limitado.
•
Las condiciones geológicas son ideales para el establecimiento de estructuras.
•
Es buscado un corto canal de desviación.
224 Los escombros flotantes son despreciables si la cresta y la chimenea tienen el radio suficientemente largo. La participación de un vertedero Morning Glory en un proyecto con presa de tierra se muestra en la ilustración A.4.
Ilustración A. 4. Vertedero Morning Glory en un proyecto de presa de tierra. 1) Toma. 2) Morning Glory. 3) Cámara de inspección. 4) Túnel de descarga. 5) Disipador de energía.
El diseño del vertedero Morning Glory incluye la cresta circular, el conducto de desviación, y el conducto de aireación. La estructura es propensa a flujo rotatorio que deberá ser evadido con la adecuada selección de la ubicación del vertedero con respecto a la topografía del embalse y con respecto al eje de la presa. El flujo radial puede ser mejorado con la construcción de rompeolas sobre la cresta circular.
225 A.2.1 Forma de la Cresta
La forma del perfil de la cresta circular del vertedero Morning Glory es una extensión lógica de la forma del perfil de la cresta del vertedero estándar. El perfil de la cresta también puede modelarse usando la siguiente ecuación: Z = − X ln X
X < 1.6
(A.4)
El perfil de la cresta de acuerdo a lo anterior se muestra en la ilustración A.5
Z
0.6
0.4
0.2
X 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Ilustración A. 5. Perfil de la cresta del Morning Glory.
A.2.2 Descarga
La descarga de un vertedero Morning Glory está dada por: Q = C d 2πR 2 g H 3 / 2
(A.5)
226
En la ecuación (A.5), R es el radio de la cresta circular, H la carga sobre la cresta, y Cd el coeficiente de descarga que depende de H y R como se muestra a continuación:
H C d = 0.5151 − 0.20 R
0.2 <
H < 0. 5 R
(A.6)
Nótese que de acuerdo a la obstrucción del flujo, la descarga baja cuando la carga relativa sube. Para H / R = 0.2 el coeficiente de descarga es igual al valor base C d = 0.495 de los vertederos de cresta recta. Para una descarga de diseño dada, el par H y R para 0.2 < H / R < 0.5 debe ser determinado.
A.2.3 Ubicación
El vertedero Morning Glory debe ser ubicado de tal manera que la altura estructural se mantenga pequeña, y el flujo de las vecindades circule con libertad.
También, la
conexión a un canal de desviación ya existente debe tener el menor costo posible. La asimetría en el flujo de las vecindades puede ser mejorada mediante la excavación del suelo sobresaliente y formaciones de roca, además de la construcción de rompeolas sobre la cresta circular.
A.2.4 Chimenea Vertical
La cresta circular del vertedero Morning Glory está conectada al conducto de desviación mediante la chimenea vertical. La chimenea deberá tener un eje vertical, un diámetro constante, y deberá conducir el flujo interior con el suficiente aire para garantizar un flujo libre superficial. Para un diseño preliminar, el radio de la chimenea puede ser calculado a partir del radio de la cresta circular de acuerdo a lo siguiente:
227
Rch = 1+ 0.1R
(A.7)
Es importante notar que la ecuación (A.7) es válida solo en metros. Si no se estiman escombros flotantes puede establecerse un radio mínimo de Rch = 1.5 m. Por otra parte, si los escombros flotantes son excesivos, entonces el vertedero Morning Glory es quizás la peor opción.
A.2.5 Aireación
La aireación de la chimenea asociada con el flujo libre superficial es un concepto importante en el diseño del vertedero Morning Glory. La aireación promueve un flujo relativamente suave con una distribución de la presión casi atmosférica, e inhibe la vibración, cavitación, y otros. El diseño de un conducto de aireación es entonces muy importante, pese a que hasta hoy no ha sido bien estudiado.
228
APENDICE B METODOS NUMERICOS PARA LA RESOLUCION DE ECUACIONES
B.1
Método Newton-Raphson
Considérese un punto x0 que no es una raíz de la función f (x ) , pero si razonablemente está cercana a ella. Al expandir f (x ) en series de Taylor alrededor de x0:
f ( x) = f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) f ′( x0 ) +
( x − x0 ) 2 f ′′( x 0 ) + L 2!
(B.1)
Si se supone que f (x ) es igual a 0, entonces x deberá ser una raíz y el miembro derecho de la ecuación (B.1) constituirá una ecuación para la raíz x. Desafortunadamente, la ecuación es del tipo polinomio de grado infinito. Sin embargo, un valor aproximado de la raíz x puede ser obtenido suponiendo que f (x ) es igual a 0 y tomando solamente los dos primeros términos del miembro derecho de la ecuación (B.1): 0 = f ( x 0 ) + ( x − x0 ) f ′( x 0 )
(B.2)
Aislando x de la ecuación (B.2), se tiene:
x = x0 −
f ( x0 ) f ′( x 0 )
(B.3)
229
O también:
x − x0 = δ = −
f ( x0 ) f ′( x 0 )
(B.4)
Ahora x representa un mejor estimado de la raíz y puede hacer el papel de x0 para producir todavía un mejor estimado de la raíz en la siguiente iteración. La expresión general para el método Newton-Raphson puede ser escrita como:
x ( n +1) − x ( n) = δ ( n +1) = −
f ( x ( n) ) f ′( x ( n) )
(B.5)
En la ecuación (B.5), los superíndices n y n+1 designan la anterior y actual iteración. La iteración converge rápidamente a la raíz para la mayoría de las funciones. El algoritmo del método se muestra en la ilustración B.1.
Entrada x0, ε
x = x0
δ = − f ( x) / f ′( x)
No
δ <ε
Si
x = x +δ
Ilustración B. 1. Algoritmo del método Newton-Raphson.
Raíz x
230
El algoritmo termina cuando la magnitud del cambio del valor de la raíz, δ, es menor a una magnitud predeterminada ε. Esto no garantiza una precisión de ε en la raíz. Aunque es posible un análisis de convergencia más sofisticado, una regla muy útil y conservadora es elegir un ε igual a un décimo del error permisible en la raíz.
B.2
Método de la Secante
El método de la secante es una modificación del método Newton-Raphson. El método de la secante contiene una diferencia en vez de la derivada en la fórmula del Newton-Raphson. Esto es ventajoso cuando la función es difícil de derivar, y también es conveniente para la programación ya que permite la introducción de una sola expresión algebraica. De acuerdo a lo explicado se tiene:
x
( n +1)
−x
( n)
=δ
( n +1)
f ( x ( n) ) − f ( x ( n ) ) − f ( x ( n −1) ) / δ ( n )
(
)
(B.6)
Para usar éste método, f ( x ( n−1) ) deberá ser guardada. Este es el valor de f de dos iteraciones previas a la actual. Como no se tendrá disponible tal valor para la primera iteración, deberá suministrarse dos estimados iniciales y diferentes para la raíz, x0 y x00. El algoritmo del método de la secante se muestra en la ilustración B.2. Para la mayor parte de las funciones, el método de la secante puede no ser tan rápido como el de Newton-Raphson, pero sus ventajas pueden balancear está perdida de rapidez. Si evaluar la primera derivada de la función consume demasiado tiempo, entonces el método de la secante podría requerir menos tiempo que el método de Newton-Raphson.
231
Entrada x0, x00, ε
δ = x0 − x00 x = x0 f ( n −1) = f ( x00 )
f ( n) = f ( x)
δ =−
( f (n)
f ( n) − f ( n −1) ) / δ
x = x+δ
No
δ <ε
f ( n −1) = f ( n )
Si Raíz x
Ilustración B. 2. Algoritmo del método de la secante.
232
APENDICE C METODOS ALGEBRAICOS PARA LA RESOLUCION DE ECUACIONES DE TERCER GRADO
C.1
Método de Cardano
La fórmula general para la resolución algebraica de las ecuaciones del tipo polinomio de tercer grado se atribuye a Cardano. La formula de Cardano será deducida a continuación. Antes, es interesante señalar que, Girolamo Cardano (1501-1576) fue físico, astrólogo y matemático, autor de Ars Magna, primer texto latino dedicado exclusivamente al álgebra y en cuyo contenido se incluyó la solución de las ecuaciones cúbicas, procedimiento que se dice obtuvo Cardano de su descubridor, Niccolo Tartaglia, con una promesa en secreto que Cardano dejó de cumplir. Sea una ecuación de tercer grado de la forma:
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
(C.1)
La ecuación (C.1) puede transformarse en:
x 3 + a~x 2 + b~x + ~ c =0
(C.2)
233
En la ecuación (C.2), a~ = b / a , b~ = c / a y c~ = d / a . Simplificando la notación, la ecuación (C.2) puede escribirse simplemente como:
x 3 + ax 2 + bx + c = 0
(C.3)
Como primer paso se hara desaparecer el término cuadrático o sea ax 2 mediante el uso de la siguiente ecuación: x = z +α
(C.4)
Substituyendo la ecuación (C.4) en la (C.3), y ordenando, se tiene: z 3 + (3α + a ) z 2 + (3α 2 + 2aα + b) z + (α 3 + aα 2 + bα + c ) = 0
(C.5)
Haciendo α = −a / 3 y substituyendo en la ecuación (C.5), se tiene: z 3 + pz + q = 0
(C.6)
En la ecuación (C.6), p y q están definidos de acuerdo a:
p=−
q=
a2 +b 3
2a 3 ab − +c 27 3
(C.7)
(C.8)
Como segundo paso se convertirá la ecuación (C.6) en una ecuación cuadrática o de segundo grado de acuerdo al desarrollo a continuación.
234 Si z = u + v entonces la ecuación (C.6) se transforma en: u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v ) = − q
(C.9)
Haciendo 3uv + p = 0 se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: u 3 + v 3 = −q
(C.10)
p3 27
(C.11)
u 3v 3 = −
Combinando las ecuaciones (C.10) y (C.11), se tiene:
λ2 + qλ −
En la ecuación (C.12), λ = u 3 .
p3 =0 27
(C.12)
Al resolver la ecuación (C.12), y combinar el
resultado con las ecuaciones (C.10) y (C.11) se obtiene:
q q2 p3 u= − + + 2 4 27
(C.13)
q q2 p3 v= − − + 2 4 27
(C.14)
3
3
Aparentemente se tendrían seis soluciones pero gracias a uv = − p / 3 se tienen tres. Finalmente, substituyendo las ecuaciones (C.13) y (C.14) en z = u + v , y la resultante en x = z + α , se tiene la famosa fórmula de Cardano:
x=3 −
q q2 p3 3 q q2 p3 b + + + − − + − 2 4 27 2 4 27 3a
(C.15)
235 O también como:
x=
3
− q + q2 + 2
4 27
p3
+
3
− q − q2 + 2
4 27
p3
−
b 3a
(C.16)
Es importante señalar que a y b en las ecuaciones (C.15) y (C.16) corresponden a la ecuación (C.1).
