1. Modul 1 Sistem Linier (Pendahuluan)

Pendahuluan

Fakultas

Program Studi

Elektro

Program Studi Elektro

Tatap Muka

Kode MK

Disusun Oleh Agung Yoke basuki. ST. MT.

Abstract

Kompetensi

Pendahuluan Sistem Liniear

Di harapkan para peserta dapat memahami sistem linier. .

1. Pendahuluan SISTEM LINIER

Pengantar tentang sistem, sinyal dan sistem linier Sistem Berbicara tentang sistem berarti berbicara tentang sekumpulan elemen/unsur yang menyusun sistem, dan berbicara tentang cara berhubungan antara elemen-elemen penyusun itu. Umumnya pengertian sistem menyangkut sesuatu yang tersusun dari elemenelemen. Jadi sebuah komponen tidak dapat disebut sistem. Tapi secara mikroskopis, sebuah elemen juga tersusun dari elemen-elemen yang lebih kecil sehingga dapat disebut sistem juga. Elemen-elemen penyusun sistem mempunyai perilaku yang khas dalam sistem, atau mempunyai tugas yang spesifik yang tidak dapat digantikan oleh elemen lain. Jika sebuah elemen penyusun sistem tidak ada, maka sistem menjadi tidak ada atau sistem berganti menjadi sistem lain. Tabel ini mendaftar contoh beberapa sistem berikut elemen penyusun dan fungsi setiap elemen. Sistem

Elemen Mekanik playback

Sistem

Fungsi elemen Mengubah sinyal magnetis magnetis dari kaset ke k e sinyal elektris

Penguat

Memperkuat sinyal elektris

Speaker

Mengubah sinyal elektris elektr is menjadi sinyal suara/audio

audio Tombol volume Mengubah penguatan penguat Matahari Tata surya Planet Satelit

Pusat tata surya Mengitari pusat tata surya Mengitari planet

Sistem audio mempunyai empat elemen, jika salah satunya tidak ada, maka t idak dapat lagi disebut sistem audio. Tanpa penguat dan mekanik playback, sistem dikatakan rusak. Tanpa speaker, sistem tidak lengkap dan tidak dapat dimanfaatkan. Tanpa tombol volume, semua orang akan tertawa.

2014

2

Sistem Linier Dosen : Agung Yoke Basuki, ST.MT

Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id

Hal yang penting untuk disepakati ketika seseorang berbicara tentang sistem teknik adalah model sistem. Memodelkan sebuah sistem berarti menyepakati besaran keluaran sistem, lalu menentukan masukan sistem dan akhirnya menentukan hubungan antara keluaran dan masukan itu.

Persamaan matematis

dapat disebut model sistem, yaitu model komponen

elektronik resistor. Dalam model ini, besaran keluaran yang disepakati adalah arus resistor, sehingga masukannya adalah tegangan dan hubungan antaran keluaran dan masukan adalah persamaan matematis itu sendiri. Diagram blok berikut ini menyatakan bentuk umum dari sistem:

Bentuk diagram blok di atas sudah dapat disebut model. Dalam bentuk diagram blok, biasanya besaran masukan dan keluaran sudah diketahui, dan dapat pula persamaan matematisnya sudah diketahui dan dicantumkan pada label blok. Diagram blok sebuah resistor dengan keluaran arus adalah seperti berikut:

Jika keluaran sistem telah disepakati, maka penentuan masukan haruslah mengandung alasan (argumentasi). Alasan itu diperoleh dari fakta fisik sistem bahwa jika masukan diubah-ubah maka keluaran berubah. Jika arus disepakati sebagai keluaran sistem resistor, maka tegangan adalah masukan. Alasannya adalah jika tegangan resistor diubah-ubah maka arus resistor berubah. Pemodelan tidak dimaksudkan untuk mendapatkan kebenaran mutlak tentang sistem yang dimodelkan. Pemodelan dimaksudkan untuk memperoleh manfaat dari model dan kebenarannya adalah kondisional dalam batas-batas yang dipersyaratkan.

2014

3



Terhadap resistor berlaku persamaan matematis

. Artinya jika sebuah resistor 1 W

diberi input berupa tegangan 1 V maka akan diperoleh output berupa arus sebesar 1 A. Persamaan di atas berlaku dalam batas-batas tertentu. Resistor 1 W 5 watt dapat diberi tegangan 1 V untuk dan menghasilkan arus 1 A, tapi resistor itu tidak dapat diberi tegangan 10 V karena akan menyebabkan resistor berada di luar batas yang diijinkan. Arus sebesar 10 A yang dihasilkan akan menyebabkan daya sebesar 100 watt masuk ke resistor dan merusak resistor itu. Resistor menjadi short atau resistor menjadi putus sehingga sesaat kemudian catu daya menjadi rusak atau tidak ada arus sama sekali yang mengalir. Contoh-contoh tentang penentuan masukan sistem beserta alasannya tersaji pada tabel. Sistem

Keluaran

Masukan Alasan Jika

Filamen

panas

setrika

arus

diberi

arus

filamen

mengeluarkan panas. Semakin besar arus, semakin besar panas yang dikeluarkan filamen.

Bendungan

Sepeda motor

aliran air ke posisi

Semakin

persawahan pintu air

semakin banyak air mengalir

posisi kecepatan

handel gas

tinggi

posisi

pintu

air,

Semakin besar sudut handel gas, semakin cepat sepeda motor berlari

Sinyal Kata lain sinyal adalah isyarat. Tapi penggunaan sehari-hari kata "sinyal" dan kata "isyarat" sedikit berbeda. Seseorang menyuruh diam dengan meletakkan telunjuk ke bibir disebut memberi isyarat. Kereta berangkat menunggu sinyal dari petugas PPKA berupa tiupan peluit. Dalam pembicaraan tentang sistem teknik, kedua kata di atas adalah sama. Sinyal adalah besaran yang diamati dalam selang waktu tertentu. Dalam selang waktu yang dimaksud, biasanya besaran berubah secara dinamis. Dalam keseharian dikenal sinyal suara atau sinyal gambar yang besarannya senantiasa berubah terhadap waktu. Namun besaran yang tidak berubah terhadap waktu secara teknis disebut sinyal juga asalkan merupakan pengamatan dalam selang waktu tertentu. Sehingga cahaya yang keluar dari sebuah lampu (meskipun intensitasnya tetap) disebut sinyal cahaya. Sebuah sepeda motor mempunyai besaran fisik: berat, warna, ukuran, kecepatan, jumlah persnelling, dan lain-lain. Semuanya 2014

4



adalah sinyal yang dikeluarkan oleh sepeda motor jika diamati dalam selang waktu tertentu. Namun di antara besaran-besaran yang dimiliki oleh sepeda motor, mungkin hanya kecepatan yang sifatnya dinamis, besaran lain bersifat statis. Oleh karena itu kecepatan merupakan besaran yang paling banyak diamati/diperhatikan untuk sepeda motor. Pembicaraan tentang sistem seringkali melibatkan pembicaraan tentang sinyal. Sistem dikenali dari sinyal yang dikeluarkannya, dan sistem diamati karena ada dinamika sinyal padanya. Masukan dan keluaran sistem berwujud sinyal. Masukan dari sistem audio adalah sinyal magnetis dari pita kaset dan keluarannya adalah sinyal suara. Dalam sistem bendungan, aliran air ke persawahan adalah sinyal, aliran air dari hulu adalah sinyal, hujan adalah sinyal, pengubahan posisi pintu air oleh petugas irigasi adalah sinyal, bahkan watt listrik yang dihasilkan (jika ada PLTA-nya) adalah sinyal. Secara teknis sinyal dibedakan menurut keberadaan dan nilai besarannya. Gambar berikut ini memperlihatkan empat macam sinyal yaitu: sinyal kontinyu (analog), sinyal kontinyu terkuantisasi, sinyal diskret, dan sinyal diskret terkuantisasi (digital).

2014

5



Sinyal kontinyu merupakan bentuk kebanyakan sinyal yang ada di alam. Debit aliran air sungai, arus listrik yang masuk ke sebuah rumah pelanggan PLN dan suhu suatu ruangan adalah contohnya. Sinyal kontinyu mempunyai nilai di semua waktu dan nilainya bisa berapa saja. Sinyal kontinyu terkuantisasi mempunyai nilai di semua waktu tapi nilainya hanya tertentu saja. Contohnya adalah nilai tukar rupiah terhadap dollar, atau harga suatu barang di toko. Sinyal diskret mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu saja dan nilainya bisa berapa saja. Contohnya adalah data harian curah hujan di Solo, atau nilai indeks harga saham gabungan di bursa pada saat penutupan transaksi. Sinyal diskret terkuantisasi mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu saja dan nilainya hanya tertentu. Contohnya adalah sinyal komunikasi digital. Pembicaraan dalam kuliah sistem linier secara umum adalah menyangkut sinyal kontinyu dan diskret yang tidak terkuantisasi. Sistem Linier Sistem linier adalah sistem dengan sifat khusus berupa linieritas. Artinya hubungan masukan dan keluarannya bersifat linier. Jika digambar pada grafik hubungan itu berupa garis lurus. Namun gambaran grafis berupa garis lurus hanya berlaku pada saat sistem berada pada kondisi mantap (steady) dan bukan pada kondisi transisi (transien). Jika resistor tiba-tiba diberi tegangan, arus resistor tidak langsung muncul sesuai hukum ohm. Ada masa transisi dari kondisi belum diberi tegangan (kondisi awal) menuju kondisi mantap (meskipun hanya dalam hitungan mikrodetik atau nanodetik). Hukum ohm hanya berlaku pada kondisi mantap. Kondisi transisi ini tidak diperhatikan pada desain rangkaian elektronik biasa, tapi kondisi ini menjadi perhatian pada sistem frekuensi tinggi di mana sinyal berubah dengan sangat cepat. Ada dua alasan penting mengapa studi sistem linier menjadi perlu: 1. Model sistem linier dapat dipelajari lebih mudah dan pembahasannya telah mendalam. Alat bantu analisis dan desain sistem linier telah banyak tersedia. 2. Kebanyakan sistem fisik dapat dimodelkan dengan sistem linier.

Analisis sistem, dapat dibagi dalam tiga aspek: a. Pengembangan model matematis yang cocok bagi persoalan fisika yang dihadapi. Bagian analisis ini berurusan dengan ”persamaan gerak”, syarat batas atau syarat awal, nilai parameter dan lain-lain. Ini rnerupakan proses gabungan antara penilaian, 2014

6



pengalaman, dan eksperimen untuk mengembangkan model yang cocok. Langkah pertama ini adalah yang tersulit dilalui secara formal. b. Setelah model yang cocok diperoleh, maka persamaan resultannya dipecahkan untuk memperoleh berbagai pemecahan dalam berbagai bentuk. c. Kemudian, pemecahan model matematiknya dihubungkan atau ditafsirkan dalam persoalan fisikanya. Tentu saja tafsiran dan perkiraan yang berarti terhadap sistem fisika hanya dapat dilakukan jika pengembangan pada poin a telah cukup tepat. Penekanan utama pada kuliah ini adalah aspek kedua dan ketiga dari yang disebutkan di atas. Langkah pertama memang penting, tetapi telah terpenuhi secara lebih lengkap dan sesuai dalam bidang telaah tertentu. Jadi, insinyur kimia akan mempelajari bagaimana menuliskan persamaan gerak bagi proses-proses kimia, insinyur elektro untuk rangkaian listrik dan sebagainya. Setelah suatu model diperoleh, maka barulah dapat ditimbang berbagai teknik untuk menganalisisnya dan mendapatkan dasar untuk menafsirkan pemecahan matematikanya. Karena model linear seringkali digunakan dalam semua bidang kerekayasaan dan ilmu, maka bahan ini sangatlah bermanfaat. Mungkin jalan terbaik untuk menjelaskan kenyataan ini adalah dengan memberikan contoh-contoh dari berbagai persoalan fisika. Satu-satunya kelemahan metode ini adalah bahwa pembaca mungkin tidak selalu memiliki latar belakang

yang diperlukan untuk melakukan langkah pertama analisisnya, yakni

menuliskan persamaan gerak. Persoalan ini memang sudah diperhitungkan. Bila seseorang lebih mengenal suatu bidang tertentu, maka langkah pertama ini tidaklah menjadi persoalan baginya. Disini akan digunakan model linear berdasarkan pada penerapan teknik elektro hampir pada semua bagian. Soal-soal tertentu pada bagian akhir dari tiap-tiap bab menyajikan contoh-contoh fisika dari bidang-bidang lainnya. Akan disajikan beberapa model untuk menganalisis sistem-sistem linear. Setiap model memang bermanfaat secara tersendiri, tetapi secara bersama-sama akan memberikan gambaran sistem linear yang lebih baik. Dengan meninjau .teknik-teknik yang berbeda tersebut, maka diharapkan pandangan pembaca terhadap pokok permasalahan yang disajikan dapat dipadukan.

2014

7



Ref : 1 PENGENALAN SINYAL & SISTEM

Konsep sinyal dan sistem terdapat dalam variasi bidang ilmu yang luas. Sinyal dan sistem memiliki peran penting dalam berbagai area sains dan teknologi, seperti: communication, aeronautics, circuit design, acoustics, seismology, biomedical, energy generation and distribution, chemical process control, speech processing, dan lain-lain. Pada modul ini akan dijelaskan mengenai konsep umum sinyal dan sistem, beberapa contoh dan aplikasi dari sinyal dan sistem. Lebih lanjut mengenai representasi, klasifikasi dan operasi dasar pada sinyal juga dibahas pada modul ini sedangkan dasar teori mengenai sistem akan dibahas pada modul selanjutnya.

1.1 Konsep Umum Sinyal dan Sistem Sinyal adalah suatu fenomena, yang terjadi di lingkungan yang dapat dideskripsikan secara kuantitatif. Contoh: tegangan dan arus pada rangkaian listrik, sinyal audio, sinyal visual, urutan bit dari computer, sinyal RF dari transmiter, sinyal ECG dan EEG, dll. Sedangkan sistem adalah bagian dari lingkungan apa pun yang menyebabkan terjadinya sinyal tertentu dalam lingkungan tersebut. Contoh: rangkaian listrik (menghasilkan tegangan dan arus), televisi (sinyal audio dan visual), negara (pendapatan nasional, demography, dan lain-lain).

Sistem umumnya memiliki input dan output seperti pada gambar 1.1 di bawah ini. Sistem yang demikian disebut sebagai sistem input-output. Tidak harus bahwa input menentukan output secara unik.

input

Sistem

output

Gambar 1.1 Diagram blok umum sistem

Sebagai contoh sistem input-output adalah sistem rangkaian listrik resistif. Elemen resistor terhubung ke sumber tegangan. Kita dapat mengasumsikan bahwa sumber tegangan bertindak sebagai input dan arus bertindak sebagai output. Tetapi, untuk beberapa tegangan input, tidak terdapat output arus yang unik.

Jika input secara unik menentukan output , maka sistem ini disebut sistem pemetaan inputoutput (input-output mapping system). Contoh : Parity bit generator selalu menerima input digital dan memberikan output unik untuk setiap input. Tergantung pada parity bit generator menggunakan even- or odd-parity.

2014

8



Biasanya, sinyal adalah sebuah fungsi dari waktu, sinyal seperti ini disebut sinyal waktu/time-signals, terdapat 2 jenis sinyal : 

Sinyal waktu diskrit (Discrete-time signals)



Sinyal waktu kontinyu (Continuous-time signals)

Dari segi sinyal waktu, terdapat 2 buah sistem: 

Sistem waktu diskrit (sistem yang terkait dengan sinyal waktu diskrit)



sumbu

waktu terbatas dan dapat dihitung Sistem waktu kontinyu (sistem yang terkait dengan sinyal kontinu-waktu)



 sumbu

waktu tak terbatas dan tak terhitung

1.2 Aplikasi Teori Sinyal dan Sistem Teori sinyal dan sistem banyak diaplikasikan pada berbagai macam bidang . Berikut ini akan diuraikan contoh-contoh aplikasi dari teori sinyal dan sistem.

1.2.1 Aplikasi pada pemrosesan sinyal Masalah umum dalam bidang pemrosesan sinyal adalah penghilangan noise yang tidak diinginkan dari sinyal. Sebuah model u = s + n seringkali digunakan, dimana s adalah sinyal yang ditransmisikan dan n adalah noise yang ditambahkan pada sinyal. Masalahnya adalah bagaimana merancang filter seperti ditunjukkan pada gambar 1.2 di bawah, yang berfungsi untuk menghilangkan atau setidaknya mereduksi noise. noise n

signal s

+

+ received signal u=s+n

Filter

filtered signal y

Gambar 1.2 Filter untuk mereduksi noise

1.2.2 Aplikasi pada Teknik Komunikasi Teknik komunikasi berurusan dengan mentransfer informasi dari satu lokasi ke lokasi lain menggunakan gelombang frekuensi tinggi sebagai pembawa. Lihat gambar 1.3 berikut. Banyak sekali teori tentang sinyal dan sistem yang dapat diaplikasikan dalam proses ini.

2014

9



Modulated carrier (z)

message s

Modulated carrier (z)

Modulator

message y

Demodulator

Gambar 1.3 Pengiriman sinyal komunikasi

1.2.3 Aplikasi pada Teknik Kendali Automatik Teknik kendali mengkhususkan diri pada desain kontroler otomatis, yang tujuannya adalah untuk mengatur perilaku dinamik suatu sistem tertentu, misalnya cruise control otomatis dalam mobil seperti pada gambar 1.4 berikut.

Ref. speed (vr)

Car speed (v)

Cruise Controller

Car

Gambar 1.4 Cruise control otomatis dalam mobil

1.2.4 Aplikasi pada Sistem Power Salah satu aplikasi teori sinyal dan sistem di bidang sistem power adalah pada pengontrolan power filter seperti pada gambar 1.5 di bawah ini.

Voltage and current with high frequency due to non linear load

Power Filter

Normal signal

Controller Gambar 1.5 Pengontrolan power filter

1.3 Representasi Sinyal Seperti yang telah diuraikan sebelumnya sinyal dapat didefinisikan sebagai sebuah variabel atau besaran fisis yang dapat dideteksi, mengandung informasi tentang perilaku dari suatu fenomena. Oleh karena setiap sinyal selalu merupakan kumpulan dari beberapa banyak kemungkinan sinyal, secara matematis sinyal bisa direpresentasikan sebagai elemen dari satu set, yang disebut set sinyal. Sebagai contoh :

2014

10





Mekanisme vokal manusia menghasilkan ucapan dengan menciptakan fluktuasi tekanan akustik



Gambar monokromatis terdiri dari pola variasi dalam tingkat kecerahan

Diantara sekian banyak jenis sinyal, sinyal elektrik merupakan sinyal yang paling mudah diukur dan digunakan. Pada prakteknya banyak dijumpai transformasi dari besaran fisis ke sinyal listrik. Biasanya sinyal direpresentasikan sebagai fungsi dari suatu variabel bebas (biasanya waktu, t). Domain dari sebuah sinyal x adalah sebuah subset T bernilai real dan disebut sebagai sumbu sinyal. Sinyal dapat mengambil nilai dari sebuah set A, disebut range sinyal. x: T

 A

berarti sebuah sinyal x dengan sumbu sinyal T dan range sinyal A.

Dapat juga ditulis dengan x: AT Jika T adalah waktu, maka sinyal disebut sebagai sinyal waktu, dan sumbu sinyal disebut sebagai sumbu waktu. Contoh sinyal lain adalah sinyal frekuensi.

1.4 Klasifikasi Sinyal Sinyal dapat dibedakan menjadi beberapa jenis berdasarkan sifat-sifatnya. Berikut akan dijelaskan beberapa macam sinyal.

1.4.1

Sinyal waktu diskrit dan kontinyu

Salah satu cara untuk mengklasifikasikan sinyal adalah berdasarkan sifat dan variabel bebasnya. Jika variabel bebas tersebut diskrit, maka disebut sinyal waktu diskrit dan jika variabel bebasnya kontinyu, maka sinyal waktu kontinyu.

Sumbu waktu T adalah diskrit jika terdiri dari suatu set waktu sesaat yang terbatas ( finite) atau dapat dihitung. Sinyal waktu diskrit ditulis sebagai x(n), n adalah integer. Contoh sinyal waktu diskrit: 

Sinyal tersampling dari ADC



Banyaknya produk dalam waktu saju jam produksi.

Sumbu waktu T adalah kontinyu jika terdiri dari interval dari R (bilangan real ). Sinyal waktu kontinyu ditulis sebagai x(t), t adalah bilangan real. Contoh sinyal waktu kontinyu : 

x(t) adalah sinyal listrik dalam sebuah rangkaian



Suhu yang diukur dalam ruangan

1.4.2

2014

Sinyal waktu terbatas (finite) dan tak terbatas ( infinite)

11



Dilihat dari sumbu waktunya, sinyal dapat digolongkan menjadi sinyal dengan sumbu waktu: 

Sumbu waktu finite: jika sumbu waktu terkandung dalam interval yang terbatas.



Sumbu semi-infinite: jika sumbu waktu dibatasi dari kiri, dan sebaliknya.



Sumbu waktu Infinite: jika sumbu waktu tidak dibatasi dari kiri maupun dari kanan.

1.4.3

Sinyal periodik

t T

Suatu sinyal yang berulang tanpa batas dikatagorikan sebagai sinyal periodik. Selang waktu setelah sinyal mulai mengulang sendiri disebut perioda. x(t + T) = x(t) untuk semua Dengan T adalah perioda.

1.4.4

Sinyal harmonik

Suatu sinyal x(t) = e jωt atau x(n) = e jΩn dimana ω(dan Ω) = 2πf disebut frekuensi angular sinyal harmonik adalah sinyal harmonik. Sinyal dalam bentuk x(t) = a e jωt memiliki amplitudo kompleks sinyal harmonik a. Jika T adalah perioda, maka e jωT = 1.

Menentukan perioda sinyal harmonik waktu kontinyu adalah sederhana. Dirumuskan sebagai T = 1/|f|. Menentukan perioda sinyal harmonik waktu diskrit lebih rumit. Alasannya adalah sampling dua sinyal waktu kontinyu dengan frekuensi yang berbeda dapat menghasilkan sinyal waktu-diskrit yang sama. Fenomena ini disebut aliasing.

1.4.5 Sinyal elementer yang banyak digunakan Sinyal elementer yang banyak digunakan diantaranya adalah: a. Impuls Satuan (n)

=

1, untuk n = 0 n 

T

0, n lain T sumbu waktu diskrit 1

-2

0

2

Gambar 1.6 Impuls satuan b. Tangga Satuan Sinyal tangga satuan dinyatakan dengan :

2014

12



1, untuk n ≥ 0

u(n) =

n 

0, untuk n < 0

1, untuk t > 0

u(t) =

T

t T

0, untuk t < 0

Gambar 1.7 menunjukan sinyal tangga satuan untuk sumbu waktu diskrit dan sumbu waktu kontinyu.

… n=0

(a)

t =0

(b) Gambar 1.7 Tangga satuan (a) sumbu waktu diskrit (b) sumbu waktu kontinyu

δ(n) u(n) u(n 1) 





Untuk sinyal waktu diskrit berlaku:



u(n)   δ(n m) m 0

dan

c. Ramp Satuan r(t)

ramp(n) =

ramp(t) =

n, untuk n

≥

0 n 

1

T

0, untuk n < 0 t, untuk t

≥

0

t T

0, untuk t < 0

0

1

Gambar 1.8 Ramp satuan kontinyu

2014

13



d. Pulsa Rectangular & Triangular

rect(t) =

trian(t) =

1, untuk -0.5 ≤ t ≤ 0.5

t  R

0, lainnya 1-|t|, untuk |t| < 1 t  R

0, lainnya

(a)

(b)

Gambar 1.9 (a) Pulsa rectangular (b) pulsa triangular

e. Sinyal Exponential Kompleks Sinyal eksponensial kompleks didefinisikan sebagai: x(t) = aαt atau x(n)= ant at 4

4

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 -2

2

-1.5

-1

a>1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0
(a) an 4

4

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

a>1

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0
(b) Gambar 1.10 Sinyal eksponensial (a) kontinyu (b) diskrit 2014

14



1. 5 Operasi Dasar pada Sinyal Operasi dasar pada sinyal meliputi : 1. Transformasi range sinyal 

Amplifikasi atau atenuasi

Kuantisasi



2. Transformasi waktu 

Ekspansi waktu, kompresi waktu dan reversal waktu



Translasi waktu

1.5.1 Amplifikasi atau atenuasi Sebuah sinyal y(t) = α x(t) 

Jika |α| > 1 maka adalah sebuah amplifikasi



Jika |α| < 1 maka adalah sebuah atenuasi

Sumbu waktu tetap sama sedang range-nya berubah.

1.5.2 Kuantisasi Merupakan suatu transformasi Range yang menghasilkan A new (Range baru) dengan anggota himpunannya terbatas (dapat dihitung). Contoh : operasi pada Analog to Digital Converter (ADC).

1.5.3 Ekspansi, kompresi dan reversal Sebuah sinyal y(t) = x(α t) 

Jika 0 < α < 1 maka disebut ekspansi waktu



Jika α > 1 maka disebut kompresi waktu



Jika α = -1 maka disebut reversal/refleksi waktu

1.5.4 Translasi 

y(t) = x (t – θ) bergeser x(t) ke kanan (delay) oleh θ



y(t) = x (t + θ) bergeser x(t) ke kiri oleh θ

Contoh translasi dan refleksi :

2014



Kita akan mendapatkan x(t- θ) dari x(-(-t+ θ))



Kita akan mendapatkan x(-t- θ) dari x(-(t+ θ))



Kita akan mendapatkan x(t+ θ) dari x(-(-t- θ))



Kita akan mendapatkan x(-t+ θ) dari x(-(t- θ))

15



Ref : 2

PENDAHULUAN 1.1 UMUM Telaah tentang sistem linear telah menjadi bagian penting dari latihan formal tahap sarjana selama bertahun-tahun. Analisis sistem linear sangatlah bermanfaat karena, walaupun tak pernah ada sistem fisika yang pernah linear secara sempurna, namun suatu model linear seringkali memadai untuk menjangkau nilai-nilai masukan-keluaran tertentu. Telah tersedia sejumlah teori matematika yang dapat digunakan para insinyur dan ilmuwan untuk menganalisis sistem linear. Sebaliknya, analisis sistem tak-linear merupakan ad hoc (kasus per kasus). Setiap sistem tak-linear harus dipelajari tersendiri, karena terdapat sedikit sekali metode umum untuk menganalisisnya. Analisis sistem linear sering dilakukan dengan menggunakan sekelompok sinyal masukan tertentu. Jadi adalah wajar untuk menyertakan telaah sinyal dan berbagai penyajiannya dalam mempelajari sistem linear. Akan dijumpai bahwa sinyal-sinyal sinusoidal dan impuls teristimewa bermanfaat sebagai masukan-masukan sistem. Seorang insinyur biasanya tertarik pada masalah sintesis dan analisis sistem, karena sintesis atau desain sistem merupakan bagian kreatif dalam perekayasaan. Lagipula, seperti halnya dalam kebanyakan usaha kreatif, orang harus pertama kali mempelajari mengenai bagaimana menganalisis sistem sebelum dapat melanjutkan dengan merancang atau mendesain sistem. Usaha yang dilakukan dalam kuliah ini terutama diarahkan pada analisis suatu kelas sistem linear tertentu. Namun, karena desain dan analisis sangat erat kaitannya, maka bahan ini juga menyediakan dasar-dasar desain sederhana. Analisis sistem, dapat dibagi dalam tiga aspek: a. Pengembangan model matematis yang cocok bagi persoalan fisika yang dihadapi. Bagian analisis ini berurusan dengan ”persamaan gerak”, syarat batas atau syarat awal, nilai parameter dan lain-lain. Ini rnerupakan proses gabungan antara penilaian, pengalaman, dan eksperimen untuk mengembangkan model yang cocok. Langkah pertama ini adalah yang tersulit dilalui secara formal. b. Setelah model yang cocok diperoleh, maka persamaan resultannya dipecahkan untuk memperoleh berbagai pemecahan dalam berbagai bentuk.

2014

16



c. Kemudian, pemecahan model matematiknya dihubungkan atau ditafsirkan dalam persoalan fisikanya. Tentu saja tafsiran dan perkiraan yang berarti terhadap sistem fisika hanya dapat dilakukan jika pengembangan pada poin a telah cukup tepat. Penekanan utama pada kuliah ini adalah aspek kedua dan ketiga dari yang disebutkan di atas. Langkah pertama memang penting, tetapi telah terpenuhi secara lebih lengkap dan sesuai dalam bidang telaah tertentu. Jadi, insinyur kimia akan mempelajari bagaimana menuliskan persamaan gerak bagi proses-proses kimia, insinyur elektro untuk rangkaian listrik dan sebagainya. Setelah suatu model diperoleh, maka barulah dapat ditimbang

berbagai

teknik

untuk

menganalisisnya

dan mendapatkan

dasar

untuk

menafsirkan pemecahan matematikanya. Karena model linear seringkali digunakan dalam semua bidang kerekayasaan dan ilmu, maka bahan ini sangatlah bermanfaat. Mungkin jalan terbaik untuk menjelaskan kenyataan ini adalah dengan memberikan contoh-contoh dari berbagai persoalan fisika. Satu-satunya kelemahan metode ini adalah bahwa pembaca mungkin tidak selalu memiliki latar belakang

yang diperlukan untuk melakukan langkah pertama analisisnya, yakni

menuliskan persamaan gerak. Persoalan ini memang sudah diperhitungkan. Bila seseorang lebih mengenal suatu bidang tertentu, maka langkah pertama ini tidaklah menjadi persoalan baginya. Disini akan digunakan model linear berdasarkan pada penerapan teknik elektro hampir pada semua bagian. Soal-soal tertentu pada bagian akhir dari tiap-tiap bab menyajikan contoh-contoh fisika dari bidang-bidang lainnya. Akan disajikan beberapa model untuk menganalisis sistem-sistem linear. Setiap model

memang

bermanfaat

secara

tersendiri,

tetapi

secara

bersama-sama

akan

memberikan gambaran sistem linear yang lebih baik. Dengan meninjau .teknik-teknik yang berbeda tersebut, maka diharapkan pandangan pembaca terhadap pokok permasalahan yang disajikan dapat dipadukan.

1.2 KLASIFIKASI SISTEM LINEAR Suatu sistem adalah model matematika atau abstraksi proses fisika yang menghubungkan masukan atau gaya luar dengan keluaran atau tanggapan sistem. Masukan dan keluaran menyatakan hubungan sebab akibat. Ada terdapat beberapa klasifikasi atau jenis sistem. Suatu

sistem

sebab-akibat

atau

kausal

(causal )

atau

takmendahului

(nonanticipatory ) menghasilkan keluaran yang pada setiap waktu t o, hanya merupakan fungsi dari nilai masukan yang ada sampai dengan dan termasuk t o. Dengan perkataan lain, sistem tidak memberi tanggapan terhadap nilai masukan sampai masukan tersebut

2014

17



betul-betul dikenakan pada sistem. Dengan pernyataan seperti ini, jelas bahwa semua sistem fisika yang nyata termasuk sistem kausal. Namun, akan diperlihatkan bahwa sistem takkausal (noncausal ) dapat diterapkan dalam berbagai penerapan. Keadaan (state) sistem merupakan konsep yang mendasar. Keadaan adalah himpunan terkecil variabel yang dipilih sedemikian rupa sehingga apabila nilainya diketahui pada t o dan semua masukan diketahui untuk waktu yang lebih besar dari t o, maka keluaran sistem dapat dihitung untuk waktu yang lebih besar dari t o. Keadaan sistem dapat dibayangkan sebagai ingatan sistem. Ingatan atau memori ( memory ) pada setiap waktu t o merangkumkan pengaruh dari semua masukan dan setiap keadaan awal atau ingatan sebelumnya. Secara umum, masukan, keadaan, dan keluaran, adalah himpunan variabel yang akan dinyatakan sebagai besaran vektor. Sebagai contoh, suatu masukan n-variabel ditulis sebagai

(1.1) Masing-masing u, y, dan x digunakan untuk menyatakan variabel masukan, variabel keluaran, dan variabel keadaan. Vektor yang berbeda dari kelompok yang sama dibedakan oleh indeks-atas (superscript), misalnya u1 ,u2, dan seterusnya. Disini akan diicarakan tentang sistem waktu kontinu dan sistem waktu-diskret. Sistem waktu-kontinu adalah sistem di mana masukan, keluaran, dan keadaan merupakan fungsi dari variabel riil kontinu t. Juga akan dipelajari sistem yang variabel waktunya dibatasi hanya untuk waktu diskret t k, di mana k adalah bilangan bulat. Dalam hal ini, sistem disebut sistem waktu-diskret. Fungsi waktu kontinu akan ditunjukkan dengan f(t) atau, dan supaya tidak terjadi hal yang membingungkan maka cukup ditunjukkan saja dengan f . Nilainya pada t adalah f(t). Begitupula, suatu fungsi dari waktu diskret, akan ditunjukkan dengan f(k) atau f , dan nilainya pada t = t k = kT ditunjukkan oleh notasi-notasi f(t k )

f(kT)

≡

f(k)

≡

≡

f k. Perhatikan

bahwa f(k) sendiri adalah suatu variabel kontinu, hanya argumennya yang diskret. Fungsi waktu-diskret biasanya disebut barisan waktu atau barisan (sequence) saja. Jadi, suatu barisan masukan n - variabel dapat dituliskan sebagai:

2014

18



(1.2) Model-model sistem fisika, dibatasi pada sistem-sistem berparameter tetap atau konstan. Yakni, diandaikan bahwa parameter sistem tidak berubah terhadap waktu. Ini menjurus ke pemikiran sistem takubah-waktu ( time-invariant ) dan sistem takubah-geser (shift-invariant ). Sistem waktu-kontinu takubah-waktu dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika suatu masukan u(t) menghasilkan keluaran y(t), maka versi tergeser dari masukan u(t±r) akan menghasilkan keluaran y (t±r ). Begitupula, untuk sistem waktu-diskret takubah-geser. Jika suatu masukan u(k) menghasilkan keluaran y(k), maka u(k±n), menghasilkan keluaran y(k±n). Ini merupakan cara lain untuk menyatakan bahwa tanggapan sistem tidak bergantung pada pengambilan waktu awal tetapi hanya pada bentuk dari masukan. Selanjutnya, akan ditinjau sistem-sistem takubah-waktu (atau -geser). Sistem semacam ini paling sering dinyatakan oleh persamaan diferensial (atau beda) linear dengan koefisien tetap. Persamaan diferensial dan beda linear ini, berturut-turut merupakan model dasar untuk sistem waktu-kontinu dan sistem waktu-diskret.

1.3 KELINEARAN Sistem telah diklasifikasikan dalam beberapa cara. Salah satu konsep yang paling penting dalam teori sistem adalah kelinearan (linearity ). Apa sebenarnya sistem linear itu? Sistem linear memiliki sifat superposisi (superposition). Yaitu, jika u1 menghasilkan

y1 dan

u2

menghasilkan y2, maka masukan (u1 + u2) menghasilkan (y1 + y2). Secara perlambang, jika u1  y1 dan u2  y2

(1.3)

maka u1 + u2  y1 + y2 untuk beberapa kelas masukan u j , j = 1,2,3, … Superposisi juga menyatakan bahwa jika uy maka

(1.4) bilangan rasional

2014

19



Sifat yang terakhir ini disebut kehomogenan (homogeneity ) jika berlaku untuk semua . Notasi yang serasi bagi tanda panah pada (1.3) dan (1.4) adalah yang menggunakan notasi fungsional dan yang menyatakan sistem sebagai transformasi T dari masukan u menjadi keluaran y. Suatu sistem adalah linear jika T memenuhi:



T  u

dimana

dan

1



 u 2





 T u 1   T u 2

(1.5)

merupakan tetapan-tetapan sebarang. Berikut adalah beberapa contoh

mengenai bagaimana membuktikan apakah sebuah sistem adalah linear ataukah tidak.

Contoh 1.2: Tinjau sistem waktu-diskret seperti yang teradapat pada gambar 1.1. Diagram bloknya mengandung elemen unit tunda, pengali bernilai

dan penjumlah. Elemen tunda

adalah peralatan yang menyimpan nilai sebelumnya yang dikenakan pada sistem, dalam hal ini adalah nilai sebelumnya dari masukan. Persamaan untuk keluaran adalah: (1.7) Apakah sistem ini memenuhi sifat superposisi? Masukan u1 menghasilkan keluaran:

Masukan u2 menghasilkan keluaran:

Masukan

menghasilkan keluaran

Jadi sistem waktu diskret ini linear.

Contoh 1.3: Jaringan RC sederhana yang diperlihatkan dalam gambar 1.2 mempunyai masukan arus i (t ) dan keluaran tegangan e(t ). Apakah transformasi i (t ) ke e(t) ini menyatakan sebuah sistem linear? Diandaikan energi awal yang dikandung adalah nol,

2014

20



yakni tidak ada muatan pada kapasitor. Dengan menggunakan hukum Kirchoff tegangan, dapat ditulis: (1.8) Sekali lagi disini digunakan superposisi untuk membuktikan kelinearan. Andaikan dua masukan terpisah i 1(t ) dan i 2( t ) digunakan. Keluarannya adalah:

Gambar 1.2 Jaringan RC untuk Contoh 1.3 Jika digunakan masukan  i1 t    i2 t  , maka keluarannya adalah:

Ini menyatakan suatu sistem linear. Perhatikan bahwa pada contoh ini, tegangan awal pada kapasitor diandaikan sama dengan nol. Andaikan ada tegangan awal pada kapasitor. Andaikan tanda dari tegangan awal ini merupakan suatu penurunan tegangan menurut arah perputaran jarum jam. Persamaan Kirchoff tegangannya sekarang adalah:

(1.9) merupakan tegangan awal kapasitor. Karena adanya tetapan v o, maka (1.9) tidak lagi menyatakan hubungan linear antara i (t ) dan e(t ). lni mirip dengan contoh 1.1. Dalam membuktikan apakah suatu sistem adalah linear maka syarat awal selalu harus dibuat nol. Jika ini tidak dilakukan, persamaan masukan - keluaran yang dihasilkan akan mengandung

2014

21



suku tetapan yang diakibatkan oleh syarat awal yang tak nol itu. Dalam hal ini superposisi akan gagal. Sistem akan muncul sebagai taklinear apabila dalam kenyataannya sistem ini memang linear tetapi dengan syarat awal tak nol.

1.4 KANDUNGAN ENERGI AWAL PADA SISTEM LINEAR Sistem linear dengan kandungan energi awal dapat dianalisis sebagai sistem linear dengan memisahkan tanggapan total dalam dua tanggapan terpisah; yakni, tanggapan dari kandungan energi awal dan tanggapan yang dihasilkan oleh masukan sistem. Pemisahan ini ditunjukkan secara skematis pada gambar 1.3. Pada pemisahan yang terlihat pada gambar 1.3, semua sistem yang bertanda T adalah sama. Disini dituliskan keluaran sistem y sebagai suatu jumlah dari y (d), keluaran dari sistem dengan masukan u, ditambah y (h), keluaran sistem dengan masukan nol dan dengan syarat-syarat awal yang sama dengan sistem semula. Pemecahan y = y (h) + y (d) dari sistem yang dipisahkan identik dengan pemecahan dari sistem semula. Kedua pemecahan tersebut memenuhi persamaan diferensial atau persamaan beda yang sama dan keduanya memiliki syarat awal yang sama pula. Contoh 1.4: Sistem pada contoh 1.1 yang dinyatakan oleh persamaan aljabar dapat dipisah seperti diperlihatkan pada gambar 1.3. Disini keluaran yang diakibatkan oleh masukan u adalah y (d) = au. Keluaran sistem semula dengan masukan nol adalah y (h) = b (lihat gambar 1.4). Contoh 1.5: Tinjau jaringan RC pada contoh 1.3, yang dinyatakan oleh persamaan diferensial:

Telah didefinisikan i (t ) sebagai masukan sistem dan e(t ) sebagai keluaran sistem. Dalam pemisahan yang dilakukan, diambil y (d)(t ) sama dengan keluaran sistem dengan syarat awalnya nol. Jadi:

Pemecahan y(h)(t ) adalah keluaran sistem semula dengan i (t ) = 0, tetapi dengan syarat awal e(0) = v 0 Jadi diperoleh:

2014

22



seperti sebelumnya. Dengan memisahkan sistem melalui cara ini dapat diterapkan superposisi

terhadap

bagian

linear,

yakni

hubungan

u(t )y (d)(t ),

dan

kemudian

menambahkan suku y (h)(t ) untuk mendapatkan keluaran keseluruhan.

1.5 MODEL IMPLISIT Pada contoh-contoh yang telah disajikan sejauh ini, keluaran sistem y dituliskan sebagai fungsi eksplisit masukan u. Hal ini berarti dapat dinyatakan y = T(u). banyak model yang tak diberikan dalam bentuk eksplisit. Sebagai contoh, tinjaulah persamaan beda (diferensial):

y k



u k 

1 2

y k

2

(1.10)

Keluaran y merupakan jumlahan dari masukan yang ada dan setengah keluaran dengan tundaan dua siklus pewaktu. Lalu bagaimana menguji superposisi dalam hal ini? Diagram blok dari (1.10) diperlihatkan pada gambar 1.5. Persamaan. (1.10) menimbulkan suatu transformasi T. Sampai di sini, bentuk transformasi ini tidak dapat dikembangkan. Namun, jika diandaikan bahwa transformasi seperti ini ada, maka dapat dibuktikan kelinearan (1.10) seperti yang sebelumnya. Untuk itu tinjaulah dua masukan u1 dan u2. Keluarannya didefinisikan oleh:

akan diperoleh keluaran y 3 yang didefinisikan sebagai

Untuk masukan

Jadi kita dapati y3 =

1

+

2

dan dengan demikian sistem adalah linear. Proses

yang sama dengan in dapat pula digunakan untuk kasus persamaan diferensial.

2014

23



Daftar Pustaka 1. Robert A.Gobel, Richard A. Roberts, Signal and Linier Systems, John Wiley &

Sons Inc, Singapore, 1995. 2. Gabel Robert, Sinyal dan Sistem Linier, Er;langga. 3. Oppenheim, Signal and System, Prentice Hall. 4. Nresh K. Sinha, Linear Systems, John Wiley & Sons. 5. Referensi : Modul – Modul UMB Elektro Sistem Linier

2014

24



1. Modul 1 Sistem Linier (Pendahuluan)

Recommend Documents