INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA DE ENVIGADO NOTAS DE CLASE CÁLCULO INTEGRAL Elaborado por: Gabriel Arias C. ANTIDERIVADA ANTIDERIVA DA DEFINICIÓN: Una antiderivada de la función f es una función F tal que F ' x f x , siempre que f x esté definida. Ejemplo: Consideremos las funciones: F x x4 F ' x 4 x3 f x G x x4 1
G ' x 4 x3 f x
H x x4 2
H ' x 4 x3 f x
L x x4 2
L ' x 4 x3 f x
. . . Se puede deducir que F x , G x , H x , L x ,… son todas ANTIDERIVADAS de f x 4 x3 . En general, podemos considerar una un a ANTIDERIVADA que las incluya a todas: J x x 4 c . Gráfica de las antiderivadas:
La gráfica de J x x 4 c corresponde a una familia de curvas “paralelas” separadas una distancia c . y recibe el nombre de antiderivada general. Cada curva particular recibe el nombre de antiderivada particular.
1
TEOREMA: LA ANTIDERIVADA MÁS GENERAL. Si F ' x f x en cada punto de un intervalo abierto I, entonces cada antiderivada G de f en I tiene la forma G x F x c , donde c es una constante. El conjunto de todas las antiderivadas de la función f x se llama INTEGRAL INDEFINIDA de f respecto a x y se denota
f x dx .
Por lo tanto,
f x dx F x c donde
F x es cualquier antiderivada
particular de f x . Conclusión: f x dx F x c si y solo si F ' x f x . FÓRMULAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS. A partir de las fórmulas o reglas de derivación, podemos obtener unas fórmulas de integración y determinar algunas de sus propiedades. Así: DERIVADA
INTEGRAL INDEFINIDA
1.
d d c . f x c . f x dx dx
1. c . f x dx c . f x dx
2.
d d d f x g x f x g x dx dx dx
2. f x g x dx f x dx g x dx
3.
d k 0 dx
3. 0 dx dx k , k cons ta tan te te
4.
d x 1 dx
4. 1dx dx x c
d r 5. x r x r 1 dx
5. x r dx
x r 1 c , r 1 r 1
6.
d 1 Ln x , x 0 dx x
1 6. dx L n x c , x 0 x
7.
d x e e x dx
7. e x dx e x c
d x x a a .L . Ln a dx d 9. Sen x Cos x dx d 10. Cos x Sen x dx 8.
11.
d Tan x Sec 2 x dx
ax 8. a dx c Ln a x
9. Cos xd x dx Sen x c 10. Sen x dx Cos x c 11. Sec 2 x dx Tan x c
2
12.
d Cot x Csc 2 x dx
12. Csc 2 x dx Cot x c
13.
d Sec x Sec x.Tan x dx
13. Sec x .Tan x dx Sec x c
14.
d Csc x Csc x.Cot x dx
14. Csc x.Cot xdx Csc x c
15.
d 1 Sen x dx
1 15. dx Sen 1 x c 2 1 x
16.
d 1 Tan1x dx 1 x2
17.
d 1 Sec 1x dx x x2 1
1 16. dx Tan1 x c 2 1 x 1 17. dx Sec 1 x c 2 x x 1
18.
d dx
1 18. dx 2 x c x
1 1 x
1 x 2 x
2
Ejemplos: 4 3 1) Calcule x 3 x 2 dx x 1 1 4 3 3 3 2dx 4 x 2dx 2dx 4 x 2dx x 3 x dx x dx 3 x x dx 3 x 2 x 3 x2
3 x x 1 1 4 c1 3 c2 4 c 3 x 4 2 x 2 c , con c c1 c 2 c 3 4 4 x 1 3 2 x 2 1 2) Resuelva e 20 1 x dx 4
e x 20 1 x 2 1 dx e x dx 20 1 dx e x 20 Tan 1x c 2 1 x 1 x dx e dx 20 1 x2 3 2 3 3) Encuentre 2 x dx 4 4 x 3 2 2 3 3 3 14 3 53 3 4 3 4 6 53 3 4 2 x dx 2 x dx x dx 2. x . x c x x c 4 4 5 5 4 3 4 x
Cos θ 4) Resuelva dθ Sen2θ
3
Cos θ Cos θ . 1 dθ Cot θ .Csc θ dθ Csc θ c Cos θ dθ dθ 2 Sen θ Senθ .Sen θ Senθ Sen θ 2 x3 x 2 2 x 2 dx 4) Encuentre x2 1 En este caso, el integrando es una fracción impropia. Generalmente, las fracciones impropias no son integrables directamente, y por tanto, debemos convertirla en una fracción propia efectuando la división algebraica. Divisor 2
2 x3 x 2 2 x 2
x 1 2 x 1
Cociente
2 x 3
2 x x2
2
x2
1 1
Residuo
1 x2 2 x3 x 2 2 x 2 dx 2 x 1 2 dx 2 . x Tan1x c x 2 x Tan1x c 2 2 x 1 x 1 5) Halle
Sen2 x
Sen2 xdx .
Como no tenemos fórmula de integral para este caso, aplicamos la identidad
1 Cos 2x 2
1 Cos 2x 1 1 1 Cos 2x dx . Sen x dx 2 dx 2 1 Cos 2x dx 2 dx Cos 2x dx 2 x ???? Tenemos fórmula de integral para Cosx : Cos x dx Sen x c , pero no para Cos2x . Esto nos lleva a 2
pensar en desarrollar un método para resolver integrales donde x no “esté sola”. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN SIMPLE. Corresponde al sentido inverso (antiderivada) de la regla de la cadena de las derivadas. Este método se aplica a integrales de la forma f g x .g' x dx , donde g' x es la derivada interna de f g x . du g' x du g' x dx y obtenemos: dx f g x .g' x dx f u du que se puede integrar directamente por las fórmulas de integración vistas.
Si hacemos la sustitución u g x
Ejemplos: 1) Resuelva Cos2x dx .
4
du 1 1 1 Cos u du Senu c Sen 2x c 2 2 2 2 du u 2x du 2 dx dx 2 Si observamos bien, notaremos que 2x es una expresión lineal y que el coeficiente 2 pasó a dividir a la integral. Podemos utilizar este hecho para simplificar los procesos.
Cos 2x dx Cos u
2) Calcule Sen ax b dx . Cos ax b 1 Sen ax b dx c Cos ax b c . Si se quiere, también se puede resolver a a Lineal realizando la sustitución u ax b
3) Halle emx bdx . e
Lineal mx b
emx b 1 dx c emx b c . También puede resolverse con la sustitución u mx b . m m
4) Encuentre x 3Sen x 4 2 dx . 3 4 Senu. du 1 Senu du 1 Cosu c 1 Cos x 4 2 c x Sen x 2 dx 4 4 4 4
u x 4 2 du 4 x3 dx du x 3 dx 4 x 5) Resuelva dx . 1 4 x 2 x 1 du 1 1 dx 1 4x 2 c .2 u c 8 u 8 4 1 4x 2 u 1 4x 2 du 8 x dx du x dx 8 6) Resuelva
1 x 2 x 5 dx .
1 2 u. u 1 du 2 1 1 u 2 . u2 2u 1 du u 1 x2 x 2 u 1 2 3 1 du 1 52 du 2 x dx x dx u 2u 2 u 2 du 2 2 5 3 7 1 2 7 2 5 2 3 1 2 1 u 2 2. u 2 u 2 c 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 2 c 27 5 3 7 5 3 2
1 x 2 x 5 dx 1 x 2 x 4 .x dx 1 x 2 x 2 .x dx
5
1 7) Resuelva dθ . Aplicamos la identidad trigonométrica correspondiente: 2 Cos 2 θ Tan 2 θ 1 1 2 θ θ θ d Sec 2 d c Tan 2 θ c Cos2 2 2 2 θ Lineal 2 x 2 2x 3 x 1 dx . 8) Calcule 2 3 1 2 1 u3 1 x 2 2x 3 x 1 dx u du c x 2 2x 3 c 2 2 3 6 u x 2 2x 3 du 2 x 2 dx du du 2 x 1 dx x 1 dx 2 9) resuelva Senx Cos x dx de tres formas diferentes. Interprete los resultados obtenidos. Primera forma: u2 1 1 2 Sen x Cos x dx u du c Sen x c Sen 2 x c 2 2 2 u Sen x du Cos x dx Segunda forma: u2 1 1 2 Sen x Cos x dx u du 2 c 2 Cos x c 2 Cos 2x c u Cos x du Sen x dx du Sen x dx Tercera forma: 2 1 1 1 Cos 2 x Sen x Cos x dx Sen x Cos x dx 2Sen x Cos x dx Sen 2 x dx . c 2 2 2 2 2 Lineal
Identidad
1 Cos 2 x c 4 Aparentemente se obtuvieron tres resultados diferentes, sin embargo, al aplicar identidades trigonométricas podemos verificar que los resultados son equivalentes. El método de sustitución simple nos facilita deducir otras fórmulas de integración adicionales a las de la tabla anterior. Así: 10) Encuentre Tan x dx . Sen x dx du Ln u c Ln Cos x c Ln Cos x 1 c Ln 1 c Tan x dx Cos x u Cos x u Cos x du Sen x dx Ln Sec x c du Sen x dx
11) Resuelva secxdx .
6
du sec x Sec x Tan x dx Ln u c Ln Sec x Tan x c Sec x Tan x u
sec x dx
u Sec x Tan x du Sec x Tan x Sec 2 x dx du Sec x Tan x Sec x dx Ejercicio 1: Resolver las integrales planteadas. 1. Deducir las fórmulas de integración: a. Cot x dx
b. Csc x dx
2. Resuelva Sec 2 xTanx dx de dos formas diferentes. 4 4. 3 x 2 4 x5 3 x 4 7. dx x
3 3 2 1 dx 3. 2 x 3 x
2 x 4 3 x 3 5 6. dx 2 7 x
dx
5.
2
x 1 x dx
1 8. dy 6 3y 10
2 e x e x dx 9. 2 θ 1 Cos 3 2 θ 1 2 6 12. dθ 2 3 2 θ 1 6
10. 2Cos πx 3 Sen πx dx
11. Cos2 x dx
18 Tan2 z Sec 2 z 13. dz 2 Tan3 z 2
Sen x 14. dx 3 x Cos x
1 Ln x 15. dx x
e x 16. 2 dx x
1
dx 17. 2 x 1 x
18. Halle f dado que: a. f '' x 6 x 12x 2
b. f ''' t e t
c. f ' x x
13
INTEGRAL DEFINIDA ÁREA BAJO UNA CURVA: Supongamos una función continua de valores po sitivos f definida en el intervalo cerrado a,b y que deseamos calcular el área de la región R que está bajo la curva y f x y sobre el eje X, en dicho intervalo. La región R se supone limitada a la izquierda por la recta vertical x a y por la derecha por la recta vertical x b . Podemos dividir el intervalo a, b de la base en n subintervalos todos de la misma longitud (ancho) y trazar una serie de rectángulos inscritos o circunscritos para cada subintervalo. Entonces:
7
Para rectángulo inscrito se tiene: ba base x n altura f x i 1
Para rectángulo circunscrito se tiene: ba base x n altura f x i
Área de un rectángulo: A i f x i 1 . x
Área de un rectángulo: A i f x i . x
n
n
Área aproximada: A A i
Área aproximada: A A i
i1
i1
n
A f x i1 . x
A
i 1
n
f x i . x
i 1
Suma de Riemann
Suma de Riemann
Si el número de subintervalos (rectángulos) se va aumentando cada vez más y más, entonces x 0 y f x i 1 f x i para n . Así, el área total se obtiene para: A lim
n
n
A i lim f x i . x .
n i 1
n i 1
Se recomienda visitar la página web: www.calculusapplets.com/riemann.html para visualizar el proceso descrito. Su computador debe tener instalado e l java. Para el uso de esta fórmula, se requiere tener presente algunas propiedades y fórmulas de la sumatoria, a saber. 1. 3.
n
c c .n , c
cons tan te
i1 n
n
n
i1
i 1
i1
a i b i a i b i
n n 1 2n 1 5. i 2 6 i1 n
n
n
i1 n
i 1
2. c.a i c. a i , c cons tan te 4.
i i1
n n 1 2 2
n n n 2 n 1 3 6. i i3 4 i1 i 1 n
2
n 2 2n 1 4
Ejemplo 1: Aplique el límite de las sumas de Riemann para encontrar el área bajo la curva f x 3x 2 x 1 en el intervalo 1,2 . Solución: 8
x
a x0
2 x x1
3 x
n x
i x
x2
x i1
xi
x n1
xn b
Se deduce que: ba 2 1 1 x x x n n n 1 i x i a i x x i 1 i x i 1 n n 2 2 i i f x i 3 x i x i 1 f x i 3 1 1 1 n n 2i i 2 i 6i 3i 2 i 3n 2 6ni 3i 2 ni f x i 3 1 2 1 1 f x i 3 2 f x i n n n n n n n2
f x i . x
3n 2 6ni 3 i 2 ni 1 3n 2 7ni 3 i 2 . f x . x i n n2 n3
3n 2 7 ni 3 i 2 1 3 f x i . x 3 n n i 1 i 1 n
n
n
3n 2 7ni 3 i 2 i 1
n n n 2 3n 7 ni 3i 2 i 1 i 1 i 1 n n n 1 2 n 2 f x . x 3n 1 7n i 3 i i 3 n i 1 i 1 i 1 i 1 n
1 f x i . x n 3 i 1
n n 1 n n 1 2n 1 1 2 3n .n 7n. 3 . 2 62 n3 i 1 n 1 3 7n 2 n 1 n n 1 2n 1 f x i . x n 3 3n 2 2 i 1 3 2 n 1 6n 7n n 1 n n 1 2n 1 f xi . x n 3 2 i 1 n 1 6n 3 7n 2 n 1 n n 1 2n 1 f xi . x n 3 2 i 1 n
f x i . x
6 n 3 7n 3 7n 2 2n 3 3n 2 n f xi . x 2n 3 i 1 n
15n 3 10n 2 n f xi . x 2n 3 i 1 Entonces: n
9
15 n 3 10 n 2 n 15 2 A lim f x i . x A lim u A 3 n i 1 n 2 2n n
Ejemplo 2: Aplique el límite de las sumas de Riemann para encontrar el área bajo la curva f x x 3 1 en el intervalo 1,1 . Solución: 1 1 ba 2 x x x n n n 2 2i 2i x i a i x x i 1 i x i 1 x i 1 n n n 3 3 8i 3 12i 2 6i 8i 3 12i 2 6i 2i f x i x i 1 f x i 1 1 f x i 3 2 1 1 f x i 3 2 n n n n n n n 8i 3 12ni 2 6 n 2 i f x i n3 8i 3 12ni 2 6n 2 i 2 16i 3 24ni 2 12n 2 i f x i . x . f x i . x n n3 n4 n n 16i 3 24 ni 2 12n 2 i 1 n 4 16i 3 24ni 2 12n 2 i f x i . x 4 n n i 1 i 1 i 1 n
f x i . x i 1 n
f x i .
x
1 n4
x
1 n4
x
1 2 2 4n n 2n 1 4n 2 2n 2 3n 1 6n3 n 1 4 n
n
i 1 n
f x i .
n n n 3 2 16i 24ni 12n 2 i i 1 i 1 i 1 n n n 3 2 2 16 i 24n i 12n i i 1 i 1 i 1 n 2 n 2 2n 1 n n 1 2n 1 2 n n 1 16 24n 12n 4 6 2
i 1
f x i .
1 n4
i 1
4n 4 8n 3 4n 2 8n 4 12n 3 4n 2 6n 4 6 n 3 f xi . x n4 i 1 n
2n 4 2n 3 f xi . x n 4 i 1 Entonces: n
2n 4 2n 3 2 A lim f x i . x A lim A A 2 u2 4 n i 1 n 1 n n
El proceso de calcular el área bajo una curva aplicando el límite de la suma de Riemann se hace extenso y en ocasiones complicado (¿o hasta imposible?). El matemático alemán G.W. Leibniz simplificó dicho proceso en una definición y en un teorema: 10
b
DEFINICIÓN: La integral definida de la función f de a a b es el número I f x dx lim
n
f x i . x ,
n i 1
a
que puede calcularse a partir del siguiente teorema: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARTE 1: Suponga que f es una función continua en el intervalo cerrado a, b . Si G es una b
b
antiderivada de f en dicho intervalo, entonces:
f x dx G x a
G b G a . a
Para la aplicación de este teorema es conveniente conocer las propiedades de la integral definida, pues estas nos indican que se puede y que no se puede hacer. Propiedades básicas de las integrales defini das. b
A) Integral de una constante: Sea f integrable en a,b y c una constante. Entonces:
c dx c. b a a
B) Propiedad de la constante múltiple: Sea f integrable en a,b y c una constante. b
b
a
a
Entonces: c f x dx c . f x dx . C)
Propiedad
de
la
suma:
b
b
b
a
a
a
Sean
f
y
g
integrables
en
a,b .
Entonces:
f x g x dx f x dx g x dx . D) Propiedad de la unión de intervalos: Si f es integrable en b
c
b
a
a
c
a,b y a c b ,
entonces: f x dx f x dx f x dx . E) Propiedades de comparación: Si f y g son integrables en a,b , m y M son números reales, entonces: 1. Si f x g x para toda x en a,b se cumple:
b
b
a
a
f x dx g x dx . b
2. Si m f x M para toda x en a, b se cumple: m b a f x dx M b a . a
F) Propiedad del cambio de signo : Si f es integrable en a, b , entonces:
b
a
a
b
f x dx f x dx .
a
G) Integral en un pun to: Si f es integrable en a,b , entonces:
f x dx 0 . a
Veamos ahora algunos ejemplos que nos ilustren tanto la integral definida como la operatividad de sus propiedades. Ejemplo 1: Determine el área bajo la recta y x 1 en el intervalo 0,2 . Solución:
11
Por geometría:
Por integral definida:
Podemos calcular el área del rectángulo
A x 1 dx
2 0
2
y el área del triángulo y sumarlas o
x2 A x 2 0
calcular el área del trapecio.
22 02 A 2 0 2 2
A
B b h
2 3 1 . 2 4 u2 A 2
A 2 2 A 4u2
Ejemplo 2: Encuentre el área bajo f x 3 en el intervalo 1,3 Solución:
Por geometría:
Por integral definida: 3
Calculamos el área de un rectángulo.
A 3 dx 1
A b. a A 4.3 12u2
A 3. 3 1 A 3. 4 12u2
12
π Ejemplo 3: Calcule el área bajo la curva f x 2Sen x en el intervalo 0, 2 Solución:
.
Por geometría: No se puede hacer (o no sabemos). π
Por integral definida: A
2
2Sen x dx
0 π
A 2
2
Sen x dx A 2 Cos x
0 2
π
2 0
A 2 Cos
2 Cos 0 A 2 0 1 π
A 2u
Ejemplo 4: a) Encuentre el área bajo la curva f x Cos x en el intervalo 0, π . Solución: En este caso debemos tener presente que un área es una magnitud positiva, entonces si b
f x 0 , a,b el área correspondiente es A
f x dx a
b
a
a
b
f x dx f x dx
Por geometría: No se puede hacer (o no sabemos). Por integral definida: A A 1 A 2 π
A
π
2
π
Cos x dx
0
Cos x dx A
A Sen x
0
π
2 π
2 0
Sen x
π π
2
A Sen
π
2
π
Cos x dx
Cos x dx A
π
2
0
π
2
2 Sen 0 Sen 2 Sen π
Cos x dx
π
2
Cos x dx
π
π
A 2u 2 .
13
π
Cosxdx , pero no la interprete como un área.
b) Calcule
0 π
Cos x dx Sen x 0
π
0
Sen π Sen 0 0 .
Comprendamos que una integral definida interpretada como un área es diferente a interpretarla como u na integral definida que corr esponde a un número, no necesariamente el mism o del área. Ejemplo 5: Encuentre el área bajo y 2x 1 en el intervalo 2, 2 . Solución.
Por geometría: A A 1 A 2 3 .3 2 A 2
Por integral definida: A A 1 A 2
5 .5 2 2
A
9 25 A 2 2 2 2
A
2
9 25 4 4 34 A 4 17 2 A u 2
1 (2x 1)dx
(2x 1)dx
2
2
2
2
1
(2x 1)dx
2
1 (2x 1)dx
2
A x 2 x
A
2 12
x2 x
2 12
1 2 1 1 2 1 2 A 2 2 2 2 2 2 2 2
A 1
Ejemplo 6: Interprete
12
2
17 2 u 2
1 x 2 dx como un área.
0
Solución: Si tenemos presente que y 1 x 2 y 2 1 x 2 x 2 y 2 1 gráficamente corresponde a la semicircunferencia “positiva” con centro 0,0 y radio 1, tendremos:
14
Por geometría: Corresponde al área de 1 del área del círculo. 4 1 A π R 2 4 π 1 1 A π R 2 A π.12 A u 2 4 4 4 Ejemplo 7: Si
1 x 1
Por integral definida: aún no tenemos un método estudiado para resolver la integral definida.
x 1.2 0.3 x , encuentre una aproximación para el área bajo
f 1 x en 0,1 . Solución: Podemos aplicar la propiedad de comparación y se tiene: 1 Si x 1 u 2 1 1 u 1 x 1 x dx 1 x dx 1.2 0.3 x dx , Si x 0 u 1 du dx 0 0 sustitución simple o
2
1
u dx 1
1
0
1
2 3 x dx 1.2 0.3 x dx u 2 3 0
1
2 32 32 2 1 1 3 0 1
1.21 u 1 2
2
1
1
0
1
x x dx 1.2 x 0.3 2
1
0
1 0 x dx 1,2.1 0,3. 1,2.0 0,3. 2 2
x dx 1.35 u2
0 e
2
Ln x Ejemplo 8: Calcule dx . x 1
En este caso, hacemos una sustitución simple. e
2
1
Ln x 1 3 2 x dx u du 3 u 0 1
1 0
1 1 . 13 0 3 3 3
Si x 1 u Ln1 0 u Ln x Si x e u Ln e 1 1 du dx x
15
1
Sec x Ejemplo 9: Resuelva dx x 0
De nuevo, aplicamos una sustitución simple. 1
1 1 Sec x dx 2Sec u du 2 Sec u du 2Ln Sec u Tanu x 0 0
1 0
0
2 Ln Sec1 Tan1 Ln Sec 0 Tan0 1 0
2Ln Sec 1 Tan1 Si x 1 u 1 1 x Si x 0 u 0 0 1 1 du dx 2 du dx 2 x x
u
1
1 3 x Ejemplo 10: Halle el valor de 4 dx . 3 x 4 1
También podemos resolver la integral indefinida, reemplazar el resultado y evaluar. 1 3 4 3 du 3 du 3 3 3 x dx .Ln u .Ln x 4 4 3 4 4 u 4 u 4 x 4 4 1 4 1 3 u x 3 4 du u 3 dx du u 3 dx 3 4 1
1 3 4 x 3 Entonces: 4 dx .Ln x 3 4 3 4 x 4 1
4 4 3 3 4 Ln 1 . Ln 1 34 4 5 1 5
1
3 .0 0 4
Nota. Más adelante veremos un a forma más ágil y rápida de resol ver esta integral. Ejercicio 2: Calcular las áreas (por geometría y por integral definida, si es posible), y resolver las integrales planteadas. 1. Encuentre el área bajo f x 2 x2 en el intervalo 0,2 . 2. Encuentre el área bajo f x 1 3 x en el intervalo 1,2 . 3. Encuentre el área bajo f x x 3 en el intervalo 1,2 .
4 x 2 en el intervalo 2, 2 . 5. Encuentre el área bajo f x 3 x 5 en el intervalo 0,3 . 4. Encuentre el área bajo f x
6. Encuentre el área bajo f x x 1 en el intervalo 1,3 1 7. Encuentre el área bajo la curva f x Sen x en el intervalo 0, π . 2 8. Encuentre el área bajo la curva f x 1 9 x 2 en el intervalo 3, 0 . 16
3
1
e x e x 10. x dx e e x
x 2 9. dx 4 x3 2
9
12.
2
x
π
11.
SecxTanxdx
π
0
2
x 4 si 0 x 1 13. f x dx donde f x 5 x si 1 x 2 0 2
dx
8
3
1
3
14. Si 1 1 x 1 x para x 0 , encuentre un valor aproximado para
1 x 3 dx .
0 3
10 15. dx 2 2 x 3
2
3 x 2 1 dx 16.
1
π
18.
4
SenxCosxdx
0 6
21.
1
17.
e x e x dx
1
1
5
π
πx 19. Sen dx 10 0
20.
8
Sec 2 2θ dθ
0
6 x x 2 dx . Sugerencia: Haga completación de trinomio cuadrado perfecto.
0 2
22.
1 23. x 1
1 x dx
2
4
2
25.
π
9
x2 0
4
x
dx
Cos2t 24. dt 1 Sen 2t 0
x 1 dx
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARTE 2: Suponga que f es una función continua en el intervalo cerrado a,b . Si f está definida en x
x
d a, b por F x f t dt , entonces F' x f t dt f x . dx a a x
Tan1t Ejemplo 1: Encuentre h' x si h x dt . 2 1 t 0 Tan 1t Como f t es continua en y tiene la forma para aplicar el T.F.C. parte 2, entonces: 1 t2 x
d Tan 1t Tan1x h' x dt . dx 0 1 t 2 1 x2 Para los siguientes ejemplos, supondremos válida la con tinuidad. x2
Ejemplo 2: Encontrar la derivada de g x
t 3Sen t dt . 0 17
du Como el límite superior de la integral no es una variable x sino una función u x 2 2 x , hacemos dx la sustitución y obtenemos por la regla de la cadena: x2
g' x
0
x2
d t Sen t dt dx
3
0
u
d du du du 3 3 2 3 t Sen t dt t Sen t dt. u Senu. x Sen x 2 . du 0 dx dx dx 3
T.F.C.
6
2
7
x Sen x .2 x 2 x Sen x
2
x5
d Ejemplo 3: Encuentre dx
Secudu .
1
Procedemos como en el ejercicio anterior: z x 5 x5
g' x
0
dz 5x4 dx
z
d dz dz Sec u du Sec u du. Sec z. Sec x 5 .5 x 4 5 x 4 Sec x 5 dz 0 dx dx T.F.C.
3x
z 2 1 Ejemplo 4: Derivar 2 dz . z 1 2x
Como tanto el límite de integración como el límite inferior son funciones, entonces: u 3x u' 3 u v 2x v' 2 3x 3x a 3x a d z 2 1 d z2 1 d z 2 1 z2 1 d z2 1 dz 2 dz 2 dz dz dz 2 2 dx dx z 1 dx dx z 1 z 1 z 1 z2 1 2 x 2x a 2x a 2x
2
3x
v
u
d z 1 d z 1 d z 1 d z2 1 dz dz 2 dz.v ' 2 dz.u' dx dx dv z 1 du z 1 z2 1 z2 1 a
2
a
2
a T.F.C.
v
a T.F.C.
u
d z 2 1 d z 2 1 v 2 1 u2 1 u2 1 v2 1 dz.v ' 2 dz.u' 2 .2 2 .3 3. 2 2 2. 2 dv z 1 du z 1 v 1 u 1 u 1 v 1 a T.F.C. 2
a T.F.C.
2
3 x 1 2 x 1 9x 2 1 4 x2 1 3. 2. 3. 2 2. 2 2 2 9x 1 4x 1 3 x 1 2 x 1 x
u2
1 z 2 Ejemplo 5: Si F x f u du , donde f u dz , encuentre F'' 2 . z 1 1
Para encontrar F'' 2 , debemos derivar 2 veces F x y evaluar para x 2 .
18
x
u2
x
d f u du f x , y como f u dx 1
F x f u du F' x 1
Luego, F'' x f ' x
1 x 2
2
d 1 z dz dx z
F'' 2
2 1 2 2
2 h
1 h 0 h
1 t 2 dt lim
0
1 t dt lim
h 0
2
1 4 4.0 0 2
1 t dt
h
2
2
2
1 t 2 dt
2
0
0 . Podemos aplicar la regla de L’hospital: 0
T.F.C.
2 h
1 lim h 0 h
1 t 2 dt .
2
h 0
2
2h
2 1 x 4 y por lo tanto: x
2
2 h
lim
.2 x
1
17 .
1 Ejemplo 6: Encuentre lim h 0 h
2h
2
x2
1 4
1 z 2 1 z 2 dz f x dz . z z
1
T.F.C.
x2
x2
2
1 t dt
2
L'h.
lim
h
d dh
h 0
2 h
2
1 t 2 dt dh dh
2
lim
h0
1 2 h .1 lim 1 4 4h h 2 h 0 1
5. El límite existe.
Ejercicio 3: A. Aplique el teorema fundamental del cálculo (parte 2) para encontrar la derivada de las siguientes funciones: x
11
u 2 1 du 1. f x
2. g u
4. f t
1 θ 4 dθ
5. h x
Cos w 2 dw
ex
6. f x
0
y2
Tany
1 3. h x dz z 1
2x
1
7. f y
x 2 16 dx
1
1
x2
x
u
1 2
u 1
1
x3
du
8. y
Ln u 2 1 du
2x
t Sen t dt
9. y
Senx
x
Cos t 2 dt
B. Resuelva los planteamientos siguientes. x
1 10. Encuentre el intervalo sobre el cual la curva y dt es: a) cóncava hacia arriba, b) cóncava 1 t t 2 0
hacia abajo.
19
x
11. Si f es una función continua tal que
f t dt x e
2x
x
e t f t dt para toda x, halle una fórmula
0
0
Cosx
1 Sen t 2 dt , halle f ' π . 2
explícita para f x . gx
12. Si f t 0
1 1 t 2
dt , donde g x
0
x
1 1 13. Evalúe lim 1 Tan 2t t dt . x 0 x 0
d2 14. Encuentre dx 2
x Sen t
0
1
1 u 4 du dt .
d 15. Encuentre una función f y un número a tales que 6 dx
x
a
f t d dt 2 x . t2 dx
VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN. Recordemos que el valor promedio aritmético de n números dados a 1 , a 2 , a 3 , ...., a n se define como a a 2 a 3 ... a n 1 n a 1 a i . Para el caso de funciones, una función continua f definida en un n n i 1 intervalo cerrado a, b tiene infinitos valores f x i por lo que la fórmula anterior no es aplicable para encontrar su promedio aritmético. DEFINICIÓN: Suponga que la función f es integrable en a, b . El valor promedio f prom y para b
1 y f x , con x en el intervalo a,b , es: y f x dx . O también b a a Interpretación gráfica.
b
f x dx y . b a . a
y corresponde a la altura del rectángulo de área igual al área bajo la curva y f x . Entonces: A rect A bajo f b
b a . y f x dx a
y
1 b f x dx b a a
20
Ejemplo 1: Encuentre el valor promedio de f x x 2 para x en 0,2 . Solución: b 2 3 2 1 1 1 x 1 23 03 4 2 y f x dx y x dx y . y y ba a 20 0 2 3 0 2 3 3 3 Ilustración gráfica:
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Si
f
es
continua
en
a,b ,
b
f c f prom
1 f x dx b a a
entonces
existe
un
número
c
en
a,b tal
que
b
f x dx f c b a
.
a
Ejemplo 2: Encuentre un número c en 1,2 para el que f x 1 x 2 verifique el T.V.M. Solución: b
2
x3 f x dx f c b a 1 x dx 1 c 2 1 x 3 1 a 2
2
1 c 2 .3
2
1
3 1 2 3 3 1 c 2 6 3 c 2 3 3 c 2 3 0 3 c 2 1 0 2 1 3 3
3 c 1 c 1 0 c 1 c 1 . Se tienen dos valores de c en el intervalo 1,2 . Interpretación gráfica:
21
Ejemplo 3: Suponga que un tanque de agua de 5000 litros tarda 10 minutos en vaciarse y que después 2 de t minutos, la cantidad de agua que queda en el tanque es v t 50 10 t litros. ¿Cuál es la cantidad de agua promedio en el tanque durante el tiempo en que se vacía? Solución. 2 Tenemos v t 50 10 t en el intervalo 0,10 . 1 v t 10 0
10
0
50 50 10 t dt v t 10 2
10
10 t
2
0
10
dt v t 5 u du v t 5 u 2dt
0
2
10
u3 v t 5 3
Si t 0 u 10 u 10 t Si t 10 u 0
0 10
v t 0
5000 litros 3
du dt du dt Ejercicio 4: 1. Encuentre el valor promedio de las funciones en los intervalos dados y determine el (los) valor (es) de c que verifican el T.V.M. para dicha función, si es posible. 1 2
a. f x 3 x 2 x 3 1 , 0,2
b. h x x
c. g x e 2 x , 1,1
d. f x Sen 2 x , 0, π
, 1,4
2. Encuentre el valor promedio de una población p t 100 10r 0.02 t 2 en el intervalo de tiempo 0,10 . π 3. Cierto día, la temperatura después de media noche era T t 80 10 Sen t 10 . ¿Cuál era la 12 temperatura promedio entre medio día y las 6:00 p.m.? 12 kg 4. La densidad lineal de una varilla de 8 metros de longitud es D x m . Calcule la densidad x 1 promedio de la varilla. 4. La temperatura en ºF, de cierta ciudad, t horas después de las 9:00 a.m. se expresa, πt aproximadamente, mediante la función T t 50 14 Sen . Calcule la temperatura promedio 12 durante el período de 9:00 a.m. hasta las 9:00 p.m.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES SIMÉTRICAS. Suponga que f es continua sobre a,b . A) Si f es una función par entonces f x f x y
a
a
a
0
f x dx 2 f x dx .
Interpretación gráfica:
22
Como
A 1 A 2 y A A 1 A 2 ,
entonces
a
f x dx 2 A 2
a
a
a
a
0
f x dx 2 f x dx
a
B) Si f es una función impar entonces f x f x y
f x dx 0 .
a
Interpretación gráfica: Como A 1 A 2 , entonces: A A 1 A 2 A A 1 A 2 0 a
f x dx 0
a
2
2 6 Ejemplo 1: x1 dx 2 x 6 1 dx 2 Función par 0 2
x7 x 7
2
0
2 7 07 284 2 2 0 7 7 7
1
Función impar Tanx dx 0 Ejemplo 2: 2 4 1 x x Función par
1
Recordemos que: Par por par = par. Par por impar = impar. Impar por par = impar. Impar por impar = par. 23
2
Ejemplo 3:
2
2
x 2 dx 3 x 3 4 x 2 dx x4
2
2
Impar
4 x2
dx 3.
π .2
2
Semicircuferencia
2
2
6π.
Ejercicio 5: Aplicar la integración de funciones simétricas para resolver las siguientes integrales. π
2
π
2
x Sen x dx . 1. 6 1 x
2.
6
3
Tan dx .
a
3.
a2 x 2 dx .
a
π 6
π 2
x
π
4.
2
a
π
Cosxdx .
π 2
5.
Senxdx
π
6.
2 x 5
1 x 2 dx
a
Bibliografía: STEWART, James; Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Cuarta Edición. Editorial Thomson. LEITHOLD, Louis; EL CÁLCULO con Geometría Analítica. Cuarta edición. Editorial Harla. EDWARDS Y PENNEY, CÁLCULO CON TRASCENDENTES TEMPRANAS. Séptima Edición. Editorial Pearson.
24
