09 – Losas gruesas Teoría de Reissner-Mind Reissner-Mindlin lin
Diego Andrés Alvarez Alvarez Marín Profesor Asociado Universidad Nacional de olo!"ia #ede Manizales
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Ta"la de on$enido ●
%i&'$esis funda!en$ales
●
(or!ulaci'n de ele!en$os fini$os
●
)lo*ueo &or cor$an$e
●
Técnicas de in$egraci'n reducida
●
Técnicas de i!&osici'n del ca!&o de defor!aci'n
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+n$roducci'n ●
●
,le!en$os la!inares delgados –
Losas o &lacas son ele!en$os &lanos.
–
L/!inas de su&erficie curva
Losas –
Losas delgadas $eoría de 1irc22off t 1irc22off t 3L 4 056
–
Losas gruesas 7 delgadas. $eoría de ReissnerMindlin t 3L 4 058 3
Algunas definiciones ●
●
Placa Placa s'lido &aralele&í&edo en el *ue una de sus di!ensiones es&esor t . es !uc2o !/s &e*ue:a *ue las o$ras dos5 Plano medio de la placa placa su&erficie &lana e*uidis$an$e de las caras !a7ores de la &laca
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Teoría oría de de 1irc22o 1irc22off ff vs Teoría oría de de Reissner-Mindlin La $eoría de 1irc22off asu!e *ue las secciones or$ogonales 7 &lanas al &lano !edio de la &laca se !an$ienen &lanas 7 or$ogonales des&ués de la defor!aci'n de la &laca5 La $eoría de RM asu!e *ue se !an$ienen &lanas &ero N; or$ogonales des&ués de la defor!aci'n5 1irc22off
Reissner-Mindlin
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%i&'$esis funda!en$ales de la $eoría de 1irc22off ●
●
●
●
Los &un$os del &lano !edio solo se des&lazan ver$ical!en$e u < v < 0 Todos los &un$os con$enidos en una nor!al al &lano !edio $ienen el !is!o des&laza!ien$o ver$ical ,l esfuerzo nor!al σ z es des&recia"le al co!&ararlo con res&ec$o a σ x 7 σ y . Las secciones or$ogonales 7 &lanas al &lano !edio de la &laca se !an$ienen &lanas 7 or$ogonales des&ués de la defor!aci'n de la &laca5 6
%i&'$esis funda!en$ales de la $eoría de Reissner-Mindlin ●
●
●
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Los &un$os del &lano !edio solo se des&lazan ver$ical!en$e u < v < 0 Todos los &un$os con$enidos en una nor!al al &lano !edio $ienen el !is!o des&laza!ien$o ver$ical ,l esfuerzo nor!al σ z es des&recia"le al co!&ararlo con res&ec$o a σ x 7 σ y . Las secciones or$ogonales 7 &lanas al &lano !edio de la &laca se !an$ienen &lanas &ero no necesaria!en$e or$ogonales a es$a des&ués de la ,s$a 2i&'$esis 2ace &osi"le defor!aci'n de la &laca5 el c/lculo de defor!aciones angulares de una for!a !/s na$ural *ue la e!&leada &or
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a!&os vec$oriales de des&laza!ien$o 7 !ovi!ien$os Convención de signos, ejes de coordenadas y desplazamientos
Vector de movimientos con$iene los des&laza!ien$os de un &un$o del &lano !edio de la &laca 7 los 7 giros =&ro!edios> de la &laca.5
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a!&o vec$orial de !ovi!ien$os
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a!&o vec$orial de des&laza!ien$os
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a!&o vec$orial de defor!aciones
;"serve *ue el valor de es$as defor!aciones angulares es cons$an$e en el es&esor e inde&endien$e de z
vec$or de defor!aciones de"idas a efec$os de fle?i'n vec$or de defor!aciones de"idas a efec$os de cor$an$e 11 $ransversal
a!&os de defor!aciones
vector de deformaciones generalizadas debidas a efectos de flexión
vector de deformaciones generalizadas debidas a efectos de cortante transversal
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a!&o de esfuerzos
;"serve *ue a*uí no se es$/ $eniendo en cuen$a σ z 7a *ue
vector de esfuerzos debidos a efectos de flexión
seg@n la $ercera 2i&'$esis su valor
vector de esfuerzos debidos 13 a efectos de cortante
Le7 de %ooe relaci'n esfuerzos-defor!aciones.
,s$a es la !is!a matriz constitutiva u$ilizada en $ensi'n &lana 7 en la $eoría de 1irc22off
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Bec$or de !o!en$os vec$or de esfuerzos generalizados. Recuerde que son momentos y fuerzas por unidad de longitud
Bec$or de !o!en$os flec$ores 7 !o!en$os $orsores Bec$or de fuerzas
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matriz constitutiva generalizada de flexión
matriz constitutiva generalizada de cortante 18
vector de deformaciones generalizadas debidas a efectos de flexión
vector de deformaciones generalizadas debidas a efectos de cortante transversal
La relaci'n en$re esfuerzos 7 defor!aciones generalizadas es en$onces
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Princi&io de los $ra"aCos vir$uales
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Princi&io de los $ra"aCos vir$uales
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(or!ulaci'n de ele!en$os fini$os ●
●
Dificul$ades encon$radas con los ,(s de 1irc22off re*uieren ele!en$os con con$inuidad 6. –
(or!as rec$angulares confor!es
no
iso&ara!é$rico
–
(or!as $riangulares ele!en$os no confor!es
ele!en$os
no
Bere!os *ue los ,(s de RM al u$ilizar ele!en$os con con$inuidad 0 solucionan los &ro"le!as an$eriores de no confor!idad de los ,(s de 1irc22offE sin e!"argo se de"e solucionar el &ro"le!a de ="lo*ueo &or cor$an$e> &ara losas !u7 delgadas5
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(or!ulaci'n de ele!en$os fini$os onsiderando un ele!en$o iso&ara!é$rico de n nodos de clase 0 se $iene *ue el ca!&o vec$orial de !ovi!ien$os se in$er&ola co!o
!a$riz de funciones de for!a
vec$or de !ovi!ien$os del ele!en$o
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,Ce!&lo del ele!en$o fini$o rec$angular "ilineal de F nodos
Tene!os &or lo $an$o $res grados de li"er$ad &or nodo
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Discre$izaci'n del ca!&o de defor!aciones generalizadas
Ma$riz de defor!aci'n generalizada del ele!en$o
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(or!ulaci'n &ara el ele!en$o
A*uí se !e$erían los !o!en$os concen$rados 26
(or!ulaci'n general del ele!en$o
#e $iene en$onces *ue
PRE!"#$ co!o se $endrían en cuen$a los !o!en$os dis$ri"uidos de "ordeG RE%P!E%#$ usando una in$egral de con$orno recuerde *ue se e?&resan &or 27 unidad de longi$ud.
;"$enci'n de la !a$riz de rigidez del ele!en$o
Ma$riz de rigidez &or fle?i'n
Ma$riz de rigidez &or cor$an$e
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ondiciones de con$orno
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)lo*ueo de la soluci'n
Mé$odos &ara evi$ar el "lo*ueo de la soluci'n 65Mé$odos de in$egraci'n reducida 7 selec$iva son !é$odos *ue su"in$egran la !a$riz Kc 5 85Mé$odos *ue u$ilizan ca!&os de defor!aci'n &or cor$an$e i!&ues$os5 H5Mé$odos "asados en =lined e?$ra&ola$ions>5
+n$egraci'n con cuadra$uras de IaussLegendre 7 singularidad de la !a$riz K
#ingularidad de la !a$riz de rigidez uando K es singular se $iene *ue j-kpJ05 ,s$a es una condici'n necesaria &ero no suficien$e5 #i j-kpJ0 !u7 &ro"a"le!en$e #i j-kp≤0 K es inver$i"le
K es
singular
,l cri$erio j-kpJ0 es a&lica"le a cual*uier $i&o de ele!en$o fini$o 7 $a!"ién es a&lica"le a la es$ruc$ura en su $o$alidad5 ,s a&lica"le individual!en$e a la !a$riz K a la !a$riz K f o a la !a$riz
K 5 c
Puntos de integración de auss&'egendre
,Ce!&lo su"in$egrando K f
Nu! Kgld3nodo nodos
,n es$e caso en &ar$icular se de"e usar la es$ra$egia de in$egraci'n c &ara su"in$egrar la !a$riz
Kgdl res$ringidos
,l cri$erio j - pk J0 es a&lica"le a cual*uier $i&o de ele!en$o fini$o 7 $a!"ién es a&lica"le a la es$ruc$ura en su $o$alidad5
89 nodos C < 89?8 – H < gdl li"res < H co!&onen$es defor!aci'n e? e7 g?7. & < &un$os de in$egraci'n. C – & < – H? < 8 J 0 K dd es singular.
89 nodos C < 89?8 – H < gdl li"res < H co!&onen$es defor!aci'n e? e7 g?7. & < 8F &un$os de in$egraci'n.
&la$e
Reissner-Mindlin &la$e ele!en$s 1irc22off &la$e
La $écnica de in$egraci'n reducida
Definici'n de $ér!inos
Mecanis!os in$roducidos &or la in$egraci'n reducida
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Mecanis!os in$roducidos &or la in$egraci'n selec$iva3reducida ●
●
●
+n$roducen !odos de energía nula diferen$es a los de s'lido rígido Algunos de dic2os !odos !ecanis!os son &ro&aga"les5 ,l *ue un !ecanis!o sea &ro&aga"le o no de&ende de la co!&a$i"ilidad en$re ele!en$os 7 de las condiciones de a&o7o5
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,le!en$os de &laca de RM cuadril/$eros "asados en $écnicas de in$egraci'n selec$iva3reducida ●
)ilineal de F nodos LF
●
uadr/$ico serendí&i$o de nodos #
●
uadr/$ico lagrangiano "icuadr/$ico. de 9 nodos L9
●
,le!en$o de 9 nodos Cer/r*uico 9O
●
,le!en$o de 9 nodos Cer/r*uico 9OI
●
Elemento de ( nodos )eterosis (*
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,le!en$o "ilineal de F nodos LF +n$egraci'n Completa + - uadra$ura K f 8?8 uadra$ura K c 8?8 Modos de energía nula ●
●
H
%electiva Reducida 6 8?8
6 6?6
6?6
6?6
U$iliza las funciones de for!a del ele!en$o 8D rec$angular iso&ara!é$rico de cua$ro nodos5 Los !o!en$os3cor$an$es en es$e ele!en$o se calculan en los &un$os de in$egraci'n de IL 6?65 Tiene cua$ro !ecanis!os in$ernos &ro&aga"les *ue &ueden afec$ar la soluci'n se !ues$ran en la siguien$e dia&osi$iva.
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&or lo *ue es no &ro&aga"le
,le!en$o LF5 Mecanis!os inducidos &or la in$egraci'n reducida 6 50 8 H 7 F. 7 selec$iva s'lo 6 7 8.5
,le!5 serendí&i$o de nodos # +n$egraci'n Completa + -9 uadra$ura K f H?H uadra$ura K c Modos de energía nula ●
●
●
%electiva Reducida 6 H?H
6 8?8
H?H
8?8
8?8
H
H
F
on in$egraci'n selec$iva el ele!en$o carece de !ecanis!os in$ernos &ro&aga"les &ero a &esar de la in$egraci'n reducida el ele!en$o se "lo*uea5 on in$egraci'n reducida el ele!en$o $iene un !ecanis!o no &ro&aga"le5 (unciona "ien &ara &lacas gruesas &ero no &ara &lacas delgadas 7a *ue a &esar de la in$egraci'n reducida el ele!en$o sigue "lo*ue/ndose5 Los !o!en$os3cor$an$es en es$e ele!en$o se calculan en los &un$os de in$egraci'n de IL 8?85 51
,le!en$o lagrangiano o "icuadr/$ico. de 9 nodos L9 +n$egraci'n Completa + -L uadra$ura K f H?H uadra$ura K c H?H Modos de energía nula
●
●
H
%electiva Reducida F H?H
F 8?8
8?8
8?8
F
#e co!&or$a "ien con &lacas !oderada!en$e delgadas5 #in e!"argo $an$o con in$egraci'n selec$iva3reducida se &resen$an !ecanis!os in$ernos &ro&aga"les5 Los !o!en$os3cor$an$es en es$e ele!en$o se calculan en los &un$os de in$egraci'n de IL 8?85 52
,le!5 de 9 nodos Cer/r*uico 9O +n$egraci'n Completa + -N uadra$ura K f H?H uadra$ura K c H?H Modos de energía nula
●
H
%electiva Reducida 8 H?H
8 8?8
8?8
8?8
H
F
Los !o!en$os3cor$an$es en es$e ele!en$o se calculan en los &un$os de in$egraci'n de IL 8?85
53
,le!5 de 9 nodos Cer/r*uico 9OI +n$egraci'n Completa + -L uadra$ura K f H?H uadra$ura K c H?H Modos de energía nula
●
H
%electiva Reducida F H?H
F 8?8
8?8
8?8
H
F
Los !o!en$os3cor$an$es en es$e ele!en$o se calculan en los &un$os de in$egraci'n de IL 8?85
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,le!5 de 9 nodos 2e$erosis 9% +n$egraci'n Completa + - uadra$ura K f H?H uadra$ura
K
Modos de energía nula
●
●
c
%electiva Reducida H H?H
H 8?8
H?H
8?8
8?8
H
H
L
,n gené$ica se conoce co!o )eterosis el &roceso &or el cual se o"$ienen !eCores individuos &or la co!"inaci'n de las vir$udes de sus &adres5 Los !o!en$os3cor$an$es en es$e ele!en$o se calculan en los &un$os de in$egraci'n de IL 8?85 55
,le!5 de 9 nodos 2e$erosis 9% +n$egraci'n Completa + - uadra$ura K f H?H uadra$ura
K
Modos de energía nula
c
%electiva Reducida H H?H
H 8?8
H?H
8?8
8?8
H
H
L
on in$egraci'n selec$iva no se $ienen !ecanis!os in$ernos 7 funciona !u7 "ien &ara el an/lisis de &lacas gruesas 7 delgadas5 #in e!"argo solo sa$isface el cri$erio de &arcela en for!as rec$angulares 7 &aralelogr/!icas5 56
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